LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu học tập hệ thống điều khiển số được ...

1

LỜI NÓI ĐẦU

Tài liệu học tập hệ thống điều khiển số được biên soạn theo kế hoạch đào tạo và

chương trình môn học hệ thống điều khiển số của khối các ngành kỹ thuật chuyên điện,

trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật công nghiệp. Nội dung tài liệu gồm 4 chương chính:

Chương 1: Những khái niệm cơ bản về điều khiển số, phần này cung cấp khái niệm,

cấu trúc cơ bản của hệ điều khiển số, các dạng tín hiệu, phép biến đổi Z và giới thiệu một

số hệ điều khiển số.

Chương 2: Mô tả toán học hệ điều khiển số, cung cấp các phương pháp mô tả toán

học hệ điều khiển số

Chương 3 : Khảo sát sự ổn định và phân tích hệ điều khiển số

Chương 4: Thiết kế và mô phỏng hệ thống điều khiển số.

Nhóm tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật

công nghiêp, Khoa Điện, Bộ môn điều khiển và tự động hóa đã động viên và tạo mọi

điều kiện thuận lợi để nhóm tác giả viết tài liệu học tập. Trong quá trình biên soạn không

tránh khỏi còn nhiều sai sót, tác giả mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn đồng

nghiệp và đọc giả để cuốn sách được hoàn thiện hơn.

Địa chỉ: Khoa Điện, Trường Đại học Kinh tế Kỹ thuật Công nghiệp, 456 Minh

Khai, Hai Bà Trưng, Hà nội.

Website: khoadien.uneti.edu.vn.

Email: [email protected].

Ngày 15 tháng 4 năm 2019

2

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 1

CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐIỀU KHIỂN SỐ .......... 4

1.1. KHÁI NIỆM. ..................................................................................................................... 4

1.1.1. Khái niệm chung về hệ điều khiển số. ................................................................... 4

1.1.2. Ưu điểm và nhược điểm của điều khiển tương tự và điều khiển số ................... 4

1.1.3. Phân loại hệ điều khiển số. ..................................................................................... 7

1.2. CẤU TRÚC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ .......................................................... 8

1.3. TÍN HIỆU VÀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ .............................................................................. 9

1.3.1. Phân loại tín hiệu .................................................................................................... 9

1.3.2. Xử lý tín hiệu ......................................................................................................... 10

1.4. PHÉP BIẾN ĐỔI Z .......................................................................................................... 15

1.4.1. Định nghĩa ............................................................................................................. 15

1.4.2 Tính chất của phép biến đổi Z .............................................................................. 16

1.4.3. Biến đổi Z của các hàm cơ bản ............................................................................ 17

1.4.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược .............................................................. 19

CHƯƠNG II : MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ ......................... 22

2.1. MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ BẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN .... 22

2.2. MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ BẰNG HÀM TRUYỀN ĐẠT .................. 23

2.2.1. Hàm truyền đạt của hệ rời rạc ............................................................................. 23

2.2.2. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối ........................................................... 24

2.3. MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI ................................................................................................................................................ 28

2.3.1. Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân ......................... 28

2.3.2. Thành lập phương trình trạng thái từ hàm tryền hệ rời rạc ........................... 32

2.3.3 Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục ....................................................................................................................... 36

2.3.4. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái. ............................ 42

2.4. Mô tả toán học hệ điều khiển số bằng Matlab Simulink ...................................... 43

CHƯƠNG 3 :KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH VÀ PHÂN TÍCH HỆ ĐIỂU KHIỀN SỐ .............................................................................................................................. 52

3.1 KHÁI NIỆM ..................................................................................................................... 52

3.2. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ ................................................................................. 54

3.2.1. Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng ................................................................ 54

3.2.2. Tiêu chuẩn JURY .................................................................................................. 56

3.2.3. Quỹ đạo nghiệm số ................................................................................................ 57

3.3. CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG RỜI RẠC ......................................................................... 62

3

3.3.1 Đáp ứng quá độ ...................................................................................................... 62

3.3.2. Độ quá điều chỉnh ................................................................................................. 62

3.4.TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ ...... 68

3.4.1 Tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống tuyến tính liên tục ........ 68

3.4.2 Tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống điều khiển số ................. 68

3.5. KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ TRÊN MATLAB – SIMULINK. ............................................................................................................................ 70

CHƯƠNG 4 : THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ ........................... 76

4.1. KHÁI NIỆM .................................................................................................................... 76

4.2. HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA CÁC KHÂU HIỆU CHỈNH RỜI RẠC ............................. 77

4.2.1. Khâu tỉ lệ ................................................................................................................ 77

4.2.2. Khâu vi phân ......................................................................................................... 77

4.2.3.Khâu tích phân ................................................................................................ 78

4.2.4. Bộ điều khiển PI, PD, PID rời rạc ....................................................................... 80

4.2.5. Bộ điều khiển bù pha (sớm pha ,trễ pha ) ........................................................... 80

4.3. THIẾT KẾ HỆ RỜI RẠC DÙNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ ............ 81

4.3.1. Thiết kế bộ điều khiển sớm pha ........................................................................... 81

4.3.2. Thiết kế bộ diều khiển trễ pha ............................................................................. 86

4.4. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN HỒI TIẾP TRẠNG THÁI. ............................................. 90

4.5. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID .............................................................................. 92

4.6. THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ ĐỘNG CƠ MỘT CHIỀU ....................... 94

4.6.1. Phân tích hệ thống điều khiển số động cơ một chiều ......................................... 94

4.6.2. Tổng hợp hệ thống dùng bộ điều khiển PID ..................................................... 100

4

CHƯƠNG 1

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐIỀU KHIỂN SỐ

MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG

Cung cấp cho sinh viên kiến thức cơ bản về hệ thống điều khiển số : khái niệm, ưu

nhược điểm của điều khiển tương tự với điều khiển số, chuyển đổi tín hiệu giữa tương tự

và số, phép biến đổi Z

1.1. KHÁI NIỆM.

1.1.1. Khái niệm chung về hệ điều khiển số.

Hệ điều khiển số là hệ điều khiển mà trong hệ chỉ cần có một tín hiệu là tín hiệu

xung, số hoặc chỉ cần một thiết bị làm việc theo nguyên tắc số.

Sơ đồ khối của một hệ điều khiển số như hình vẽ sau:

Hình 1.1 : Sơ đồ khối của hệ điều khiển số

Trong thực tế không tồn tại hệ điều khiển số mà trong đó bao gồm toàn bộ các tín

hiệu là tín hiệu số hoặc bao gồm toàn bộ thiết bị số. Nguyên nhân là do các đối tượng

điều khiển trong thực tế là các thiết bị với đại lượng điều khiển là các đại lượng vật lý

biến đổi liên tục theo thời gian, do vậy để điều khiển được các đại lượng này thì tín hiệu

điều khiển phải là tín hiệu tương tự, mang năng lượng.

1.1.2. Ưu điểm và nhược điểm của điều khiển tương tự và điều khiển số

a. Hạn chế của điều khiển tương tự và ưu điểm của điều khiển số:

Nhược điểm quan trọng của kỹ thuật tương tự liên quan đến sự trôi thông số do

các nguyên nhân có nguồn gốc khác nhau (do nhiệt, hóa-lý, cơ học,…). Hiện tượng này

làm thay đổi thông số của các linh kiện điện tử, điện dung của tụ điện, điện trở của các

chiết áp. Để khử sự trôi thông số thường sử dụng các mạch bù làm tăng độ phức tạp của

mạch và giá thành. Các linh kiện số chỉ có hai mức năng lượng cao và thấp (0 và 1) nên

không bị ảnh hưởng bởi sự trôi thông số.

Thiết bị tương tự thường nhạy với nhiễu. Nhiễu có thể phát sinh do bản thân linh

kiện (nhiệt, sự già hóa,…) hoặc nhiễu từ các yếu tố bên ngoài do ảnh hưởng của môi

5

trường. Các cấu trúc số có thể được bảo vệ bằng các kỹ thuật áp dụng cho kỹ thuật tương

tự (màn chắn, bọc kim,…), ngoài ra còn dùng các kỹ thuật lọc số.

Việc truyền dẫn tín hiệu tương tự cũng gặp khó khăn do sự suy giảm tín hiệu. Việc

truyền dẫn tín hiệu số ít bị ảnh hưởng bởi sự suy giảm.

Các linh kiện tương tự có tính chất khác nhau về thông số khi sản xuất hàng loạt

làm cho các linh kiện tương tự kém ổn định.

Việc thực hiện một số chức năng như nhớ hoặc trễ bằng kỹ thuật tương tự gặp

nhiều trở ngại. Việc thực hiện các chức năng này bằng kỹ thuật số khá đơn giản.

Do hệ điều khiển số luôn sử dụng thiết bị tính toán có khả năng tính toán mạnh

như vi xử lý hoặc máy tính, cho phép gia công các quy luật điều khiển phức tạp, do vậy

có thể thực hiện điều khiển bám sát đối tượng thực. Trong trường hợp đối tượng thực

biến động, ta có thể chủ động thay đổi cả quy luật điều khiển, do vậy điều khiển số có độ

chính xác cao. Nói cách khác đối với điều khiển số với thiết bị tính toán có khả năng tính

toán mạnh, ta có thể áp dụng nhiều thuật toán điều khiển hiện đại mà trước đây không thể

thực hiện được.

Việc thực hiện mạch và hiệu chỉnh mạch tương tự gặp nhiều khó khăn, phức tạp

nên tốn nhiều thời gian và công sức.

b. Ưu điểm của thiết bị tương tự và nhược điểm của thiết bị số.

Tác động nhanh: Các thiết bị tương tự tác động gần như tức thời trong khi các

thiết bị số tác động chậm do cần thời gian biến đổi và xử lý. Thiết bị số phải thực hiện

theo các bước:

Lấy mẫu, ghi dữ liệu.

Tính toán, xử lý theo chương trình các dữ liệu ghi được ở trên

Muốn ra kết quả thì hệ điều khiển số phải trải qua hai công đoạn trên, do vậy hệ

điều khiển số có độ nhạy kém hơn hệ điều khiển tương tự (thời gian quá độ dài hơn). Để

khắc phục nhược điểm này ta phải tìm cách rút ngắn thời gian ghi dữ liệu bằng cách sử

dụng truyền thông song song mà không sử dụng truyền thông nối tiếp đồng thời loại bỏ

những dữ liệu không cần thiết, chỉ xử lý những dữ liệu cần thiết. Ngoài ra cần phải rút

ngắn thời gian tính toán bằng cách sử dụng vi xử lý có tốc độ tính toán cao đồng thời phải

tối ưu hóa chương trình điều khiển.

Tác động liên tục: cho phép sử dụng để khống chế các thông số (đại lượng) (như

dòng điện, điên áp) có sự biến thiên rất nhanh.

Đơn giản về thiết kế của điều khiển tương tự: Điều khiển tương tự trở nên nặng nề

đối với các điều khiển phức tạp, tuy nhiên ở mức độ cơ cấu hợp lý thì điều khiển tương tự

lại rất đơn giản về phương diện cấu trúc.

c. Các ưu điểm có tính chất quyết định của điều khiển số

6

Điều khiển số cho phép tăng tỷ số giữa tính năng và giá thành. Các ưu điểm của kỹ

thuật số thể hiện ở hai mặt:

- Điều khiển thông minh: các chương trình phần mềm cho phép tối ưu hóa điều

khiển và thay đổi tính năng mong muốn.

- Đơn giản hóa thiết bị, tiêu chuẩn hóa và tích hợp hóa: Vì chức năng điều khiển

chủ yếu được thực hiện bằng phần mềm nên với cùng một thiết bị phần cứng (một bộ vi

xử lý và các giao diện) được sử dụng cho mọi ứng dụng. Điều này dẫn đến giảm các chi

tiết dự phòng, do đó làm giảm giá thành.

d. Một số lưu ý đối với hệ điều khiển số.

- Thiết bị số được chế tạo chuẩn hóa mà các đại lượng vật lý thực tế đo được lại

biến đổi trong dải rộng. Do vậy, bắt buộc phải sử dụng thiết bị khuếch đại chuẩn hóa

A/A. Đây là thiết bị tương tự nên nhiễu rất dễ xâm nhập:

Hình 1.2: Chuẩn hóa tín hiệu tương tự - số

- Trong hệ điều khiển số, tín hiệu đưa vào vi xử lý phải là tín hiệu số mà đại lượng

vật lý thực tế cần điều khiển là tín hiệu tương tự. Vì vậy, bắt buộc phải sử dụng các bộ

chuyển đổi ADC, DAC gây ra sai số về quy luật tín hiệu và giá trị thông tin.

VD: giả thiết mức mã hóa là = 0,1 V

Hình 1.3.

Các mức 4,2; 8,6 khi chuyển về cơ số 2 với 4 bít:

0100 4 x 0,1 = 0,4 V

Rời rạc hóa theo thời Tín hiệu sau khi khôi

phục bằng chuyển đổi DAC

7

1000 8 x 0,1 = 0,8 V

Như vậy xuất hiện sai số khi so sánh với 4,2 và 8,6

Muốn giảm sai số quy luật của tín hiệu thì phải giảm chu kỳ lấy mẫu T. Muốn

giảm sai số về giá trị thông tin cần phải giảm mức độ mã hóa thông tin. Điều này dẫn đến

số lượng mã hóa lớn nên phải tăng số bit.

Để khắc phục, phải dùng chuyển đổi ADC, DAC có số bit mã hóa cao. Khi đó

phải sử dụng vi xử lý có tốc độ tính toán cao.

Hệ điều khiển số có đặc điểm phần cứng không quy định quy luật điều khiển mà

được quy định bởi phần mềm. Do vậy để sử dụng được thì người vận hành và sửa chữa

cần phải nắm vững cả phần cứng và phần mềm.

Do quy luật điều khiển được quy định bởi phần mềm nên có thể dễ dàng thay đổi,

vì vậy gây khó khăn cho người quản lý. Do vậy, trong thực tế các chương trình phần

mềm điều khiển không để trên máy tính mà được ghi trên các bộ nhớ cứng như: ROM,

EPROM, EEPROM.

Xu hướng sử dụng hệ điều khiển kết hợp hệ điều khiển tương tự và hệ điều khiển

số: do các đặc điểm đã nêu ở trên, trong lĩnh vực điều khiển truyền động điện người ta

thường sử dụng kết hợp điều khiển số và điều khiển tương tự.

- Các chức năng đòi hỏi điều khiển tác động nhanh được thực hiện bằng điều

khiển tương tự.

- Các chức năng ở mức cao, điều khiển thông minh nhưng thực hiện chậm hơn

sẽ được thực hiện bằng kỹ thuật số.

1.1.3. Phân loại hệ điều khiển số.

Hệ điều khiển số thường được phân loại theo khả năng xử lý tín hiệu

Hệ điều khiển số đơn kênh: là hệ chỉ điều khiển một đại lượng vật lý. Hệ này có

ưu điểm là đơn giản dễ tính toán nhưng nhược điểm là việc thực hiện dây chuyền tự động

rất khó khăn, cần sử dụng nhiều người vận hành.

Hệ điều khiển số đa kênh: là hệ sử dụng một hệ điều khiển số để điều khiển nhiều

đại lượng vật lý khác nhau, các đại lượng vật lý này hoàn toàn độc lập với nhau. Hệ điều

khiển số đa kênh phải sử dụng các mạch dồn kênh Mux và phân kênh Demux do vậy hệ

có đặc điểm là quá trình điều khiển bị sai số do thời gian điều khiển lặp lại dài khi số đại

lượng vật lý nhiều.

Hệ điều khiển số nhiều chiều: là hệ điều khiển nhiều đại lượng vật lý khác nhau và

giữa các đại lượng vật lý có môi liên hệ với nhau. Do vậy phải thực hiện điều khiển đồng

thời và thông tin, dữ liệu của các đại lượng vật lý phải được trao đổi với nhau. Vì vậy,

đối với hệ điều khiển số nhiều chiều, cần phải sử dụng thuật toán ma trận. Đây là hệ điều

khiển hiện đại có độ chính xác cao và được sử dụng rộng rãi trong thực tế.

8

1.2. CẤU TRÚC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ

Hình 1.4: Cấu trúc của hệ điều khiển số

Trong đó:

- ĐT: đối tượng cần điều khiển, có nhiệm vụ tạo ra các đại lượng vật lý mà công

nghệ yêu cầu, chẳng hạn muốn có nhiệt độ ta phải có lò gia nhiệt, muốn có tốc độ ta phải

sử dụng động cơ,… Đây là các thiết bị tương tự.

- SS: khối thiết bị đo, có nhiệm vụ đo các đại lượng vật lý tương tự thực tế (không

điện) và biến đổi về đại lượng điện (thường là điện áp hoặc dòng điện). Đây là các thiết

bị tương tự.

- A/A: khối khuếch đại chuẩn hóa, có nhiệm vụ biến tín hiệu tương tự chưa chuẩn

ở đầu vào thành tín hiệu tương tự chuẩn hóa ở đầu ra. Đây là thiết bị tương tự. Hiện nay

thường dùng các chuẩn:

Chuẩn áp: 0 ÷ 5 V (0 ÷ 5 V)

0 ÷ 10 V (0 ÷ 10 V)

0 ÷ 15 V (0 ÷ 15 V)

Chuẩn dòng: 0 ÷ 20 mA (0 ÷ 20 mA)

4 ÷ 20 mA (4 ÷ 20 mA)

- Mux, Demux: thiết bị dồn kênh, tách kênh. Đây là thiết bị số, có nhiệm vụ

chuyển thông tin song song thành nối tiếp và ngược lại. Quá trình chuyển đổi được quét

đồng bộ và được điều khiển bởi vi xử lý thông qua phần mềm điều khiển công nghệ.

- A/D, D/A: khối chuyển đổi tín hiệu tương tự - số, số - tương tự. Đây là thiết bị

số.

9

- P: khối vi xử lý tín hiệu, có nhiệm vụ ghi chương trình điều khiển, chương trình

bảo vệ, đọc chương trình điều khiển, đọc giá trị tín hiệu số của đại lượng vật lý tương

ứng trong chương trình; so sánh, quyết định tín hiệu điều khiển. Muốn vậy, vi xử lý phải

điều khiển trạng thái tổng trở của các cửa Mux Demux.

Ngoài ra vi xử lý đọc chương trình bảo vệ, đọc giá trị đại lượng vật lý cần bảo vệ,

so sánh với ngưỡng bảo vệ trong chương trình. Khi giá trị của đại lượng vật lý vượt quá

ngưỡng, P phát lệnh bảo vệ dừng hệ thống đồng thời phát tín hiệu thông báo cho người

vận hành, sửa chữa. Mặt khác, vi xử lý kiểm soát hệ thống và thông báo chế độ làm việc

trong hệ thống thông qua mã lệnh, mã lỗi.

- CCĐC: cơ cấu điều chỉnh có nhiệm vụ nhận tín hiệu điều khiển và chấp hành

quy luật để điều tiết đối tượng sao cho đại lượng vật lý đầu ra biến đổi theo chương trình

công nghệ. Đây là thiết bị tương tự, ví dụ: các van điện tử, các van tiết lưu, động cơ

servo, các bộ biến đổi, biến trở,…

Lưu ý:

- Trong thực tế các khối có thể được chế tạo hợp bộ (trọn bộ), chẳng hạn khối

CCĐC được chế tạo hợp bộ với đối tượng ĐT, khối SS được chế tạo hợp bộ với khối

chuẩn hóa tín hiệu.

- Nếu hệ điều khiển số chỉ điều khiển một đại lượng vật lý (điều khiển số đơn

kênh) thì không có các khối Mux và Demux. 1.3. TÍN HIỆU VÀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

1.3.1. Phân loại tín hiệu

a. Tín hiệu tương tự (tín hiệu liên tục)

Tín hiệu tương tự là tín hiệu mà thông tin có ở bất kỳ thời điểm nào, giá trị thông

tin được mang theo qua thông số đặc trưng của đại lượng vật lý mang tin như: biên độ,

tần số, góc pha đầu (thực tế thường sử dụng biên độ). Để tính toán, thường sử dụng các

hàm toán học liên tục. Giá trị thông tin theo hệ thập phân

Hình 1.5: Tín hiệu liên tục

10

b. Tín hiệu lấy mẫu (tín hiệu rời rạc)

Tín hiệu lấy mẫu là tín hiệu mà thông tin chỉ có ở các thời điểm cố định, ngoài các

điểm lấy mẫu không có thông tin. Giá trị thông tin mang theo biên độ. Giá trị thông tin

theo hệ thập phân.

Hình 1.6: Tín hiệu rời rạc

c. Tín hiệu số

Tín hiệu số x*(t) là tín hiệu mà thông tin chỉ có tại các thời điểm cố định, ngoài các

thời điểm đó ra thì không có thông tin. Giá trị thông tin được mang theo mã số, được tính

toán theo hệ nhị phân.

Ví dụ: rời rạc hóa tín hiệu theo mức sau đó chuyển về cơ số 2

x*(t): t=0 00101101

t=1T 01011100

d. Tín hiệu logic

Tín hiệu logic là tín hiệu mà thông tin có tại bất kỳ thời điểm nào, giá trị thông tin

biểu diễn qua biên độ và chỉ có hai giá trị “0” hoặc “1”. Giá trị trung gian giữa hai giá trị

này bị cấm (không được phép có).

Hình 1.7: Tín hiệu logic

K mở: Điện áp U = 220 V: Đèn tắt xLG= 0

K đóng: Điện áp U = 0 V: Đèn sáng xLG= 1

1.3.2. Xử lý tín hiệu

Như ta đã biết trong hệ điều khiển số luôn tồn tại cả tín hiệu tương tự và tín hiệu

số. Do vậy, phải xảy ra quá trình chuyển đổi tín hiệu từ tín hiệu tương tự thành tín hiệu số

và ngược lại.

2

2

x’

11

Để chuyển đổi tín hiệu từ tín hiệu tương tự sang tín hiệu số, phải trải qua quá trình

lấy mẫu (lượng tử hóa hay rời rạc hóa) tín hiệu. Có ba phương pháp lượng tử hóa tín

hiệu:

- Lượng tử hóa theo thời gian: thực hiện lấy mẫu tín hiệu tại những thời điểm định

trước, cách đều nhau một khoảng thời gian T, T được gọi là chu kỳ lấy mẫu (sample

time). Giá trị thu được là những giá trị (biên độ) của tín hiệu tại những thời điểm lấy

mẫu.

Hình 1.8: Lượng tử hóa theo thời gian

- Lượng tử hóa theo mức: Lượng tử hóa tín hiệu khi tín hiệu đạt những giá trị định

trước.

Hình 1.9: Lượng tử hóa theo mức

- Lượng tử hóa hỗn hợp: Lấy mẫu tín hiệu vào những thời điểm định trước, cách

đều nhau một chu kỳ lấy mẫu T. Chia giá trị tín hiệu ra những mức cách đều nhau.

Khoảng cách giữa các mức lân cận được gọi là một bước lượng tử. Giá trị thu được bằng

mức định trước, có sai số bé nhất so với giá trị thực của tín hiệu tại thời điểm lấy mẫu.

Hình 1.10: Lượng tử hóa hỗn hợp

x

x(t

x

12

Để thực hiện quá trình chuyển đổi tín hiệu ta sử dụng các bộ chuyển đổi tương tự -

số ADC và số - tương tự DAC.

a. Chuyển đổi tương tự - số

Để chuyển đổi từ tín hiệu tương tự thành tín hiệu số ta phải thực hiện qua hai

bước:

- Chuyển đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu lấy mẫu thông qua quá trình lấy mẫu

tín hiệu: x(t) x’(t)

- Chuyển từ tín hiệu lấy mẫu thành tín hiệu số thông qua quá trình lượng tử hóa

theo mức: x’(t) x*(t)

Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo

thời gian .

Hình 1.11: Quá trình lấy mẫu tín hiệu

Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) và đầu ra là tín hiệu rời rạc *x (t) (Hình 1.9). Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi biểu thức toán học sau:

*x t x t .s t (1.1)

Trong đó s(t) là chuỗi xung dirac:

13

k

s t t kT

(1.2)

Thay (1.2) vào (1.1) , đồng thời giả sử rằng x(t)=0 khi t<0, ta được:

*

k 0

*

k 0

x t x t t kT

x t x kT t kT

(1.3)

Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được :

* kTs

k 0

X s x kT e

(1.4)

Biểu thức (1.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu .

Định lý Shanon : Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu mà không bị méo

dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện:

c1

f 2fT

(1.5)

Trong đó cf là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu .

Trong các hệ thống điều khiển thực tế , nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử

hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu.

Chu kỳ lấy mẫu T ảnh hưởng đến độ chính xác của quy luật tín hiệu theo hướng T

càng nhỏ thì độ chính xác của tín hiệu càng cao, thiết bị chế tạo càng khó khăn. Vì vậy,

theo quan điểm về tín hiệu thì T càng nhỏ thì càng tốt nhưng theo quan điểm về thiết bị

thì T càng lớn càng tốt. Do vậy, trong thực tế T thường được chọn theo điều kiện T <

Tth/2 với Tth là chu kỳ của tín hiệu cần điều khiển, Tth được xác định thông qua máy phổ

tần.

b. Chuyển đổi số - tương tự

Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu

liên tục theo thời gian.

Khâu giữ dữ liệu có nhiều dangj khác nhau ,đơn giản nhất và được sử dụng

nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0 ( Zero- Order

Hold- ZOH) (Hình 1.12)

14

Hình 1.12. Khâu giữ bậc 0 (ZOH)

Ta tìm được hàm truyền của khâu ZOH . Để ý rằng nếu tín hiệu vào của khâu

ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ rộng bằng T (Hình 1.12). Ta có :

1R s ( vì r(t) là hàm dirac)

Ts

Ts1 1 1 eC s L c t L u t u t T e

s s s

Theo định nghĩa : ZOH

C sG s

R s

Do đó : Ts 1

ZOH1 e 1 z

G ss s

(1.6)

Biểu thức (1.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0. Trong các hệ thống điều

khiển thực tế , nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A

chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH)

Nhận xét

Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá trình lấy mẫu và giữ

liệu bằng các biểu thức toán học (1.4) và (1.6). Tuy nhiên các biểu thức toán học lại chứa

hàm xe nên nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích , thiết kế hệ thống sẽ gặp

nhiều khó khăn . Ta cần mô tả toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn ,

nhờ phép biến đổi Z trình bày dưới đây chúng ta sẽ thực hiệ những điều này.

15

1.4. PHÉP BIẾN ĐỔI Z

1.4.1. Định nghĩa

Khi giải phương trình sai phân bậc cao người ta thường gặp nhiều khó khăn, vì

vậy người ta thường dùng biến đổi Z để biến phương trình sai phân tuyến tính của hệ

gián đoạn thành phương trình đại số. Điều này hoàn toàn tương tự như trong trường hợp

hệ liên tục dùng biến đổi Laplace để biến phương trình vi tích phân thành phương trình

đại số.

Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc .Biến đổi Z là x(k) là :

k

k

X z Z x k x k z

(1.7)

Trong đó : Tsz e ( s là biến laplace)

Ký hiệu : Zx k X z

Nếu x(k)=0, k 0 thì biểu thức định nghĩa trở thành :

k

k 0

X z Z x k x k z

(1.8)

Miền hội tụ ( Region of Convergence – ROC) : tập hợp tất cả các giá trị z sao

cho X(z) hữu hạn.

Ý nghĩa của phép biến đổi Z

Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian , lấy mẫu x(t) với chu kì lấy

mẫu T ta được chuỗi rời rạc x(k)=x(kT).

Biểu thức lấy mẫu x(t):

* kTs

k 0

X s x kT e

(1.9)

Biểu thức biến đổi Z :

k

k 0

X z x k z

(1.10)

Vì Tsz e nên vế phải của hai biểu thức (1.9) và (1.10) là như nhau, do đó

bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó .

Phép biến đổi Z ngược

Cho X(z) là hàm theo biến phức z . Biến đổi Z ngược của X(z) là :

k 1

C

1x(k) X(z)z dz

2j

(1.11)

16

Với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao

gốc tọa độ .

1.4.2 Tính chất của phép biến đổi Z

a. Tính tuyến tính

Nếu Z1 1x k X z

Z2 2x k X z

Thì Z1 1 2 2 1 1 2 2a x k a x k a X z a X z (1.12)

b. Dời trong miền thời gian

Hình 1.13. Làm trễ tín hiệu 0k mẫu

Nếu Zx k X z

Thì oZ kox k k z X z (1.13)

Nhận xét:

Nếu trong miền Z ta nhân X(z) với okz thì tương đương với trong miền thời gian là trễ tín hiệu x(k) ok chu kì lấy mẫu .

Vì Z 1x k 1 z X z nên 1z được gọi là toán tử làm trễ 1 chu kì lấy

mẫu.

c. Tỉ lệ trong miền Z

Nếu : Zx k X z

Thì : Zk 1a x k X a z (1.14)

d. Đạo hàm trong miền Z

Nếu : Zx k X z

17

Thì : Z dX zkx k z

dz (1.15)

e. Định lí giá trị đầu

Nếu : Zx k X z

Thì : z

x 0 lim X z

(1.16)

f. Định lý giá trị cuối

Nếu : Zx k X z

Thì : 1

z 1x lim 1 z X z

(1.17)

1.4.3. Biến đổi Z của các hàm cơ bản

a. Hàm dirac

1 k 0k

0 k 0

Theo định nghĩa :

k 0

k

Z k k z 0 z 1

Vậy : Zk 1 (ROC toàn bộ mặt phẳng Z)

b. Hàm nấc đơn vị

Hàm nấc đơn vị ( liên tục trong miền thời gian ) :

1 0

0 0

tu t

t

Lấy mẫu u(t) với chu kì lấy mẫu là T ta được :

1 0

0 0

ku k

k


1 2

0

1 ...

k k

k k

Z u k u k z u k z z z z

Nếu 1z <1 thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Áp dụng công

thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn , ta dễ dàng suy ra :

18

11

11 z

Z u kzz

Vậy : 11

11

Z zu k

zz

c. Hàm dốc đơn vị

Hàm dốc đơn vị liên tục trong miền thời gian:

1 0

0 0

tr t

t

Lấy mẫu r(t) với chu kì lấy mẫu là T , ta được :

0

0 0

kT kr k

k

r k kTu k

Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tính chất

Tỉ lệ trong miền Z:

Ta có :

11

1

Zu kz

1

1 21

1

1 1

Z d zku k z

dz z z

1

2 21 11

Z Tz TzkTu k

zz

Vậy

1

2 21 11

Z Tz Tzr k kTu k

zz

d. Hàm mũ

Hàm mũ liên tục trong miền thời gian :

0

0 0

ate tx t

t

Lấy mẫu r(t) với chu kì lấy mẫu là T, ta được

0

0 0

kaTe ke k

k

kaTx k e u k

19


2

01 2

1 ...

1 ...

k k aT

k k

aT aT

Z x k x k z x k z e z

e z e z

Nếu 1| ( ) | 1aTe z thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn . Áp

dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn , ta suy ra :

1

1

1

aTaT

zZ x k

z ee z

Vậy : 1

1

ZkaT

aTaT

ze u k

z ee z

Kết quả trên ta dễ dàng suy ra :

11

1

Zk za u k

z aaz

1.4.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược

Cho các hàm X(z) , bài toán đặt ra là tìm x(k).Theo công thức Z ngược ta có:

Với C là đường cong kín bất kì nằm trong ROC của X(Z) và bao gốc tọa độ .

Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp ,thực tế ta thực hiện bằng công thức

sau:

Cách 1 :Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản , sau đó tra bảng biến đổi Z

Ví dụ 1.1 . Cho 2 3

zX z

z z

. Tìm x(k)

Giải. Phân tích X(Z), Ta được :

2 3

z zX z

z z

Tra bảng biến đổi Z ta được :

Zk za u k

z a

Suy ra : 2 3k kx k u k

11

2k

c

x k X z z dzj

20

Cách 2. Phân tích X(z) thành chuỗi lũy thừa

Theo định nghĩa biến đổi Z:

0 1 2 3

0

0 1 2 3 ...k

k

X z x k z x z x z x z x z

Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuỗi lũy thừa ta sẽ được giá trị x(k)

chính là hệ số của thành phần kz

Ví dụ 1.2 .Cho 2 3

zX z

z z

. Tìm x(k)

Giải . 22 3 5 6

z zX z

z z z z

Chia đa thức , ta được

1 2 3 35 19 65 ...X z z z z z

Suy ra : x(0)=0 ; x(1)=1 ; x(2)=5 ; x(3)=19 ; x(4)= 65,…

Cách 3 : Tính x(k) bằng công thức đệ qui

Ví dụ 1.3 . Cho 2 3

zX z

z z

.Tìm x(k)

Giải . Ta có : 1

2 1 22 3 5 6 1 5 6

z z zX z

z z z z z z

1 2 1

1 2 1

1 5 6

5 6

z z X z z

X z z X z z X z z

Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời trong miền thời gian

), ta được : ( ) 5 ( 1) 6 ( 2) ( 1)

( ) 5 ( 1) 6 ( 2) ( 1)

x k x k x k k

x k x k x k k

Với điều kiện đầu : ( 1) 0; ( 2) 0x k x k

Thay vào công thức trên ta tìm được :

(0) 0; (1) 1; (2) 5; (3) 19; (4) 65,...x x x x x

Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư

1( ) kx k res z X z tại các cực của 1kz X z

Nếu Zo là cực bậc 1 thì :

Res 0

0

1 10

k kz z

z zz X z z z z X z

21

Nếu Zo là cực bậc p thì :

Res 0 0

11 1

011

1 !

ppk k

pz z z z

dz X z z z z X z

p dz

Ví dụ 1.4 . Cho 2 3

zX z

z z

.Tìm x(k)

Giải . Áp dụng công thức thặng dư, ta được :

(k)x =Res 1

2

k

zz X z

+Res 1

3

k

zz X z

Mà

Res 1 12

22 |k k

zz

z X z z z X z

1

2 22 | | 22 3 3

kk k

z zz z

z zz z z

Res 1 13

33 |k k

zz

z X z z z X z

1

3 33 | | 32 3 2

kk k

z zz z

z zz z z

Do đó : ( ) 2 3k kx k

CÂU HỎI HƯỚNG DẪN ÔN TẬP, THẢO LUẬN

1. Trình bày những ưu nhược điểm của tín hiệu tương tự và tín hiệu số

2. Trình bày các phương pháp chuyển đổi tín hiệu từ tương tự sang số và số sang tương

tự

3. Tìm hàm truyền G(z) của từ các hàm truyền liên tục sau:

a, ( )

5

( 1)( 3)s

sG

s s

b, ( ) 2

10

( 1)sGs s

4. Tìm hàm truyền G(z) của từ các hàm truyền liên tục sau:

a, ( )

5

1s

sG

s

b, ( )

5

( 1)sGs s

22

CHƯƠNG II MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ


Cung cấp cho sinh viên kiến thức cơ bản về các phương pháp mô tả toán học hệ

điều khiển số : phương trình sai phân, hàm truyền đạt, phương trình trạng thái và ứng

dụng các phương pháp trong phần mềm Matlab.

2.1. MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ BẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Các bộ điều khiển số cần được dùng trong hệ thống, do đó cần phải thành lập quan

hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào. Để mô tả hệ liên tục, ta sử dụng phương trình vi phân.

Để mô tả hệ rời rạc, ta sử dụng phương trình sai phân. Phương trình sai phân là xét xấp xỉ

gần đúng phương trình vi phân được viết ở dạng thuận lợi cho việc lập trình trên máy

tính.

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc n được viết dưới dạng tổng

quát như sau với r(k) là tín hiệu vào, c(k) là tín hiệu ra:

0 1 2 n

0 1 m

a c(k n) a c(k n 1) a c(k n 2) ... a c(k)

b r(k m) b r(k m 1) ... b r(k)

(2.1)

với + n m với n gọi là bậc của hệ thống rời rạc

+ c(j), r(j) (với j = k, k+1,...k+n) là các giá trị rời rạc của biến c(k) và r(k) tại

thời điểm lấy mẫu thứ j.

Để giải phương trình sai phân tuyến tính ta có thể lập trình trên máy tính hoặc

dùng biến đổi Z

Ví dụ 2.1 : Xét phương trình sai phân bậc nhất: y(k+ 1) + y(k) = 0

Áp dụng tính chất dịch gốc của biến đổi Z :

m 1

m m k

k 0

Z f (k ) F(Z)

Z f (k m ) Z .F(Z) f (k ).Z

Ta có :

)

Z.Y Z – Zy 0 Y Z 0

ZY (Z) y(0

Z 1

23

2.2. MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ BẰNG HÀM TRUYỀN ĐẠT

2.2.1. Hàm truyền đạt của hệ rời rạc

Hình 2.1 : Sơ đồ cấu trúc hệ rời rạc

Hàm truyền đạt của một phần tử hoặc của hệ thống điều khiển là tỷ số giữa ảnh

lượng ra và ảnh lượng vào của phần tử hoặc hệ thống đó theo toán tử Z với điều kiện đầu

bằng không.

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô tả bằng

phương trình sai phân :

0 1 2 n

0 1 m


b r(k m) b r(k m 1) ... b r(k)

(2.2)

Trong đó + n m , n được gọi là bậc của hệ thống rời rạc

+ c(j), r(j) (với j = k, k+1,...k+n) là các giá trị rời rạc của biến c(k) và

r(k) tại thời điểm lấy mẫu thứ j.

Biến đổi z hai vế của phương trình ( 2.1) ta được :

n n 1o z 1 z n 1 z n

m m 1o (z) 1 z m 1 z (z)

n n 10 1 n 1 n

m m 10 1 m 1 m (z)

m m 10 1 m 1 m

n n 10 1 n 1 n

a z C a Z C ....a zC a C(z)

b z R b Z R ... b zR R

a Z a Z ...a Z a C(z)

b z b z ...b z ... b R

b z b z ... b z bC(z)

R(z) a z a z ... a a

(2.3)

Đặtm m 1

0 1 m 1 m(z) n n 1

0 1 n 1 n

b z b z ... b z bC(z)G

R(z) a z a z ... a a

(2.4)

G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc.

Hàm truyền (2.4) có thể biến đổi tương đương về dạng: (n m) 1 m 1 m

0 1 m 1 m(z) z 1 n 1 z 1

0 1 n 1 n

z b b z ... b z b zC(z)G

R(z) a a z ... a z a z

(2.5)

24

Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong thực tế hàm

truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn.

Ví dụ 2.2. Cho hệ thống rời rạc mô tả phương trình sai phân :

c(k+3) +2c(k+2) – 5c(k+1) + 3c(k) = 2r(k+2) + r(k)

Tìm hàm truyền của hệ thống

Giải. Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống ,ta được :

3 2 2z C z 2z C z – 5z C z 3 C z 2 z R z R z

2

(z) 3 2

1 2

(z) 1 2 3

C(z) 2z 1G

R(z) z 2z 5z 3

C(z) z (2 z )G

R(z) 1 2z 5z 3z

2.2.2. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối

Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu dữ liệu ( và bộ điều

khiển số ) ta được hệ thống điều kiển rời rạc. bài toán đặt ra là tìm hàm truyền hệ rời rạc

theo biến từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu. Xét một số sơ đồ thường gặp sau đây :

a. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

Hình 2.2 : Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

1 2C(z)

G(z) G (z)G (z)R(z)

(2.6)

Trong đó: 11 2 2G (s) ;G (z) ZG G(z) s)Z (

Ví dụ 2.3: Cho 11

G (s)s a

và 21

G (s)s a

Tìm hàm truyền tương

đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 2.2.

Giải. Tra bảng biến đổi Z, ta có:

T1 1 aGe

(zs

)1 z

£ G (s) £a z

T2 2 bGe

(zs

)1 z

£ G (s) £b z

Do đó dễ dàng suy ra:

25

2

1 2 aT bT

zG(z) G (z)G (z)

(z e )(z e )

b.Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu

Hình 2.3: Hai khâu nối tiếp không cách nhau bới khâu lấy mẫu

1 2C(z)

G(z) G G (z)R(z)

(2.7)

Trong đó : 1 2 1 2G G (z) Z G (s)G (s)

Cần chú ý là :

1 2 1 21 2 1 2G (z)G (z) Z G (s) .Z G (s £ G (s)G (s)) G G (z)

Ví dụ 2.3 sẽ minh họa điều này.

Ví dụ 2.4. Cho 11

G (s)s a

và 11

G (s)s b

Tìm hàm truyền tương

đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 2.3.

Giải. Tra bảng biến đổi z, ta có :

11 12 )G1

G (z) £ G (s)£ G (s £(s a)(s b)

=1 1 1

£(b a)(s a) a b s b

1 1 1£ £

(b a)(s a) a b s b

= aT bT

1 z 1 z

(b a) a bz e z e

<=> bT aT

aT bT

z(e e )

(b a)(z e )(z e )

26

c.Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số

Hình 2.4: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số

kC(z) G(z)

G (z)R(z) 1 GH(z)

(2.8)

Trong đó: ( ) ; ( )( ( ) ( )) G s GH zZ Z G s sG Hz

Trường hợp H(s) = 1 ( hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ) ta có :

kC(z) G(z)

G (z)R(z) 1 HG(z)

(2.9)

Ví dụ 2.5. Cho 1

G(s)s a

và 1

G(s)s b

Tìm hàm truyền tương đương

của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 2.4

Giải. thực hiện phép biến đổi z tương tự như đã làm ở ví dụ 2.3 và 2.4, ta dễ

dàng tính được. aT

1 zG(s) Z

s a zG(z)

eZ

bT aT

aT aT

1 z(e e )G(s)H(s) Z

(s a)(s b) (b a)(z e )(z e )GH(z) Z

Thay vào công thức (2.8) ta được : bT

k aT bT bT aT

b a)(z e )G

(b a)(z e )(z e )z(e e )

d.Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp

Hình 2.5: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp

27

Trường hợp này không tìm được biểu thức hàm truyền , quan hệ giữa tín hiệu vào

và tín hệu ra như sau :

RG(z)

C(z)1 HG(z)

(2.10)

Trong đó : R(s)H(s) ;GH(z) £ GR (G(z s) s) Z H( )

e. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận

Hình 2.6: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận

kC(z) G(z)

G (z)R(z) 1 H(z)G(z)

(2.11)

Trong đó : G(s) ;H(z)G(z )Z s) Z H(

f. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh

thuận

Hình 2.7: Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối

tiếp ở nhánh thuận

1 2k

1 2

C(z) G (z)G (z)G (z)

R(z) 1 G (z)G H(z)

(2.12)

Trong đó :

28

1 1 2 2( ) ( ) ; ( ) ( )G z Z G s G z Z G s

2 2G H(z) Z G (s)H(s)

2.3. MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI

2.3.1. Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân

a. Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín hiệu vào

Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả phương

trình sai phân :

1 n 1 n 0c(k n) a c(k n 1)b ... a c(k 1) a c(k) b r(k) (2.13)

Chú ý : Ở phương trình trên hệ số 0a 1 . Nếu 0a 1 ta chia hai vế cho 0a để

được phương trình sai phân có dạng ( 2.13).

Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến trạng thái để biến đổi

tương đương phương trình sai phân bậc n ở trên thành hệ n phương trình sai phân bậc

một.

Đặt các biến trạng thái như sau:

1

2 1 2

3 2 3

n n 1 n n

x (k) c(k)

x (k) x (k 1) x (k) c(k 1)

x (k) x (k 1) x (k) c(k 2)

...

x (k 1) x (k 1) x (k n 1) x (k 1) e(k n)

Thay vào phương trình (2.13) ta được :

1n n n n 1 2 n 0

n n n n 1 2 n 1 0

x (k 1) a x (k) ... a x (k) a x (k) b r(k)

x (k 1) a x (k) ... a x (k) a x (k) b r(k)

Kết hợp với phương trình trên với các biểu thức đặt biến trạng thái ta được hệ

phương trình sau :

1

1 2

2 3

n 1 n

n n n 1 2 n 1 0

x (k 1) x (k)

x (k 1) x (k)

.........

x (k 1) x (k)

x (k 1) a x (k) ... a x (k) a x (k) b r(k)

Viết lại dưới dạng ma trận:

29

1 1

2 2

n 1 n 1

n n 1 n 2 2 1 0n n

x (k 1) x (k)0 1 0 0 0 0

x (k 1) x (k)0 0 1 0 0 0

r(k)

x (k 1) 0 0 0 0 1 x (k) 0

a a a a a bx (k 1) x (k)

Đáp ứng của hệ thống :

1

2

1

n 1

n

x (k)

x (k)

c(k) x (k) 1 0 0 0

x (k)

x (k)

Đặt:

1

2

n 1

n

x (k)

x (k)

x(k)

x (k)

x (k)

d

n n 1 n 2 2 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

A

0 0 0 0 1

a a a a a

d

0

0

0

B

0

b

dC 1 0 0 0

Ta được hệ phương trình biến thái:

d d

d

x(k 1) A x(k) B r(k)

c(k) C x(k)

(2.14)

Ví dụ 2.6. Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bới phương trình sai phân :

2c(k+3) = c(k+2) + 5c(k+1) +4c(k) = 3r(k)

Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống.

Giải. Ta có : 2c(k+3) =c(k+2) +5c(k+1)+4c(k) = 3r(k)

<=>c( k+3)+0.5c(k+2) + 2.5c(k+1) +2c(k0=1.5r(k)

30

Đặt biến trạng thái như sau

1

2 1

3 2

x (k) c(k)

x (k) x (k 1)

x (k) x (k 1)

Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống đã cho là :

d d

d


c(k) C x(k)

Trong đó:

1

2

3

x (k)

x(k) x (k)

x (k)

d

3 2 1

0 1 0

0 0 1A

0 0 0

a a a

=

0 1 0

0 0 1

0 0 0

2 2.5 0.5

d

0

0 0

B 0 0

b 1.5

1 0 0dC

b.Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào

Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi

phương trình sai phân :

1 n 1 n

0 1 n 1 n

c(k n) a c(k n 1) ... a c(k 1) a c(k)

b r(k n) b r(k n 1) ... b r(k 1) b r(k)

(2.15)

Chú ý: Ở phương trình trên hệ số 0 1a . Nếu 0 1a ta chia hai vế cho để

được phương trình sai phân có dạng (2.15)

Đặt các biến trạng thái như sau :

1 0

2 1 1

3 2 2

n n 1 n 1

x (k) c(k) r(k)

x (k) x (k 1) r(k)

x (k) x (k 1) r(k)

...

x (k) x (k 1) r(k)

:

Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau :

31

n n 1 n 1 2 1 n nx (k 1) a x (k) a x (k) a x (k) r(k)

Trong đó :

0 0

1 1 1 0

2 2 1 1 2 0

3 3 1 2 2 1 3 0

4 4 1 1 2 2 3 1 4 0

n n 1 n 1 2 n 2 3 n 3 4 n 4 n 1 1 0 0

b

b a

b a a

b a a a

b a a a a

...

b a a a a ... a a

Do đó hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng:

d d

d d


c(k) C x(k) D r(k)

(2.16)

Trong đó :

1

2

n 1

n

x (k)

x (k)

x(k)

x (k)

x (k)

d

n n 1 n 2 2 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

A

0 0 0 0 1

a a a a a

d

0

0

0

B

0

b

dC 1 0 0 0

Ví dụ 2.7. Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân :

2c(k+3) + c(k+2)+5c(k+1)+4c(k)=r(k+2)+3r(k)

<=> c(k+3) +0.5c(k+2) +2.5c(k+1)+2c(k)=0.5r(k+2)+1.5r(k)

Đặt các biến trạng thái :

32

1 o

2 1 1

3 2 2

3 3 1 2 2 1 3 3

x (k) c(k) r(k)

x (k) x (k 1) r(k)

x (k) x (k 1) r(k)

x (k 1) a x (k) a x (k) a x (k) r(k)

Trong đó :

0 0

1 1 1 0

2 2 1 1 2 0

3 3 1 2 2 1 3 0

b 0

b a 0,5 5 0

b a a 0 0,5 0,5 2,5 0 0,25

b a a a 1,5 0,5 ( 0,25) 2,5 0,5 0,375

Hệ phương trình biến trạng thai có dạng:

d d

d d


c(k) C x(k) D r(k)

Trong đó :

1

2

3

x (k)

x(k) x (k)

x (k)

=

0 1 0

0 0 1

0 0 0

2 2.5 0.5

d

0

0 0

B 0 0

b 1.5

dC 1 0 0

2.3.2. Thành lập phương trình trạng thái từ hàm tryền hệ rời rạc

Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền m m 1

0 1 m 1 m(z) n n 1

1 n 1 n

b z b z ... b z bC(z)G

R(z) z a z ... a a

(2.17)

Chú ý : Ở phương trình trên hệ số 0 1a Nếu 0 1a ta chia hai vế cho để

được phương trình sai phân có dạng (2.17)

Cách 1 : Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng phương trình sai phân : n n 1

1 n 1 n

m m 10 1 m 1 m

1 n 1 n

0 1 m 1 m

(2.17) (z a z ... a a )C(z)

(b z b z ... b z b )R(z)

c(k n) a c(k n 1) ... a c(k 1) a c(k)

b r(k m) b r(k m 1) ... b r(k 1) b r(k)

33

Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 2.3.1.b ta rút ra được hệ phương trình

biến trạng thái.

Ví dụ 2.8. Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền

là : 2

3 2

C(z) z 3G(z)

G(z) 2z z 5z 4

Giải. Cách 1: Hàm truyền đã cho tương đương với : 2

3 2

C(z) 0.5z 1.5G(z)

G(z) z 0.5z 2.5z 2

<=> 3 2 2z 0,5z 2,5c 2 C(z) (0,5z 1,5)R(z)

<=>c(k+3) + 0.5c(k+2) + 2.5c(k+1) +2c(k)=0.5r(k+2)+1.5r(k)

Xem tiếp lời giải này đã trình bày ở ví dụ 2.7

Cách 2:

Do

m m 10 1 m 1 m

n n 11 n 1 n

b z b z ... b z bC(z)G(z)

R(z) z a z ... a z a

Nên ta có thể đặt biến phụ E(z) sao cho :

m m 10 1 m 1 m z(b z b z ... b z b )E

(2.18)

n n 11 n 1 n (z)R(z) (Z a Z ... a z a )E

(2.19)

(2.19) <=> 1 n 1 ne(k n) a e(k n 1) ... a e(k 1) a e(k) r(k)

Áp dụng công thức đã trình bày ở mục 2.3.1.a, đặt các biến trạng thái

1

2 1 2

3 2 3

n n 1 n n

x (k) e(k)

x (k) x (k 1) x (k) e(k 1)

x (k) x (k 1) x (k) e(k 2)

...

x (k) x (k 1) x (k n 1) x (k 1) e(k n)

Ta được phương trình:

1 1

2 2

n 1 n 1

n n n 2 2 1 0n n

x (k 1) x (k)0 1 0 0 0 0

x (k 1) x (k)0 0 1 0 0 0

r(k)

x (k 1) 0 0 0 0 1 x (k) 0

a a a a a bx (k 1) x (k)

(2.20)

34

Từ (2.19) ta có

0 1 1 m 1 m

0 m 1 1 m m 1 2 m 1

1

2

m m 1

n 1

n

c(k) b e(k m) b e(k m) b e(k m 1) ... b e(k 1) b e(k)

c(k) b x (k) b b (k) ... b x (k) b x (k)

x (k)

x (k)

c(k) b b 0 0

x (k)

x (k)

Tóm lại ta được hệ phương trình trạng thái:

d d

d

x(k 1) A (k) B (k)

c(k) C x(k)

Ví dụ 2.9. Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền :

2

3 2

C(z) z 3G(z)

R(z) 2z z 5z 4

Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái :

Giải: Hàm truyền đã cho tương đương với : 2

3 2

C(z) 0,5z 1,5G(z)

R(z) z 0,5z 2,5z 2

Đặt biến phụ ( )E z sao cho :

2

3 2

C(z) (0,5z 1,5)E(z)

R(z) (z 0,5z 2,5z 2)E(z)

=> c(k) (0,5c(k 2) 1,5c(k)

r(k) e(k 3) 0,5e(k 2) 2,5e(k 1) 2e(k)

Đặt biến trạng thái :

1

2 1

3 2

x (k) e(k)

x (k) x (k 1)

x (k) x (k 1)

Ta được hệ phương trình :

35

d d

d


c(k) D x(k)

=

3 2 1

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

a a a 2 2,5 0,5

x(k)= 1

2

3

x (k)

x (k)

x (k)

; d

0

B 0

1

; d 2 1 0D b b b 1,5 0 0,5

Ví dụ 2.10. Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm

truyền là :

4 3 2

C(z) 2z 3G(z)

R(z) z 2z z 5z 3

Giải. Đặt biến phụ ( )E z sao cho :

4 3 2(z)

C(z) (2z 1)E(z)

R(z) (z 2z z 5z 3)E

=> c(k) (2e(k 1) e(k)

r(k) e(k 4) 2e(k 3) e(k 2) 5e(k 1) 3e(k)

Đặt biến trạng thái :

1

2 1

3 2

4 3

x (k) e(k)

x (k) x (k 1)

x (k) x (k 1)

x (k) x (k 1)

Ta được hệ phương trình :

d d

d


c(k) C x(k)

Trong đó :

36

1

2

3

4

d

4 3 2 1

d

d 1 0

x (k)

x (k)x(k)

x (k)

x (k)

0 1 0 0

0 0 1 0A

0 0 0 1

a a a a

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1 1

3 5 2 2

0

0B

0

1

C b b 0 0 1 2 0 0

2.3.3 Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục

Phương pháp này chỉ áp dụng được cho hệ thống có sơ đồ khối như sau:

Trình tự thành lập phương trình trạng thái

Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái liên tục:

Rx(t) Ax(t) Be (t)

c(t) Cx(t)

Bước 2: Tính ma trận quá độ của hệ liên tục:

37

1(t) L (s)

Với 1(s) (sI A)

Bước 3: Rời rạc hóa phương trình trạng thái ở bước 1, ta được :

d d r

d

x (k 1)T A x(kT) B e (kT)

c(k) C x(kT)

Trong đó :

d

T

d d0

d

A (T)

B ( )B

C C

Bước 4 : Hệ phương trình biến trạng thái của hệ rời rạc cầm tìm với tín hiệu

Vào ( )r kT là : d d r

d

x k 1 T A x(kT) B e (kT)

c(k) C x(kT)

Chứng minh :Bước 1 và 2 thành lập phương trình trạng thái và tính ma trận

quá độ của hệ liên tục không có gì phải chứng minh . Ta chứng minh từ bước 3

ở bước này ta suy ra phương trình trạng thái của hệ rời rạc từ phương trình trạng

trạng thái cuả hệ liên tục.

Bước 3 : ở học phần LTĐKTĐ, ta đã biết nghiệm của phương trình trạng thái hệ

liên tục cho bởi công thức trên với

: t

R0

x(t) (t)x 0 ( )Be ( )d

Tổng quát:

R

o

t

o o o et

x(t) (t t )x(t ) ( t )B ( )d

Áp dụng công thức trên với : 0t kT

t (k 1)T

Ta được :

(k 1)T

Rkt

x [(k 1)T]= (T)x(kt)+ ( kT) e ( )d

38

Ta lại có : Re ( ) e(kT), : kT (k 1)T

Do e (kT) không phụ thuộc vào biến lấy tích phân nên :

(k 1)T

kT

x[(k+1)T] (T)x(kt) ( ( kT)Bd )e(kT)

Đổi biến phép tính lấy tích phân, ta được :

k 1 T

kT

x k 1 T T x kT kT Bd e kT

(*)

Rời rạc hoá phương trình ngõ ra của hệ liên tục , ta được:

dc kT c x kT

Bước 4: Theo sơ đồ khối của hệ thống, ta thấy :

de kT r kT c kT r kT c x kT

Thay vào (*) ta được kết quả cần chứng minh .

Ví dụ 2.11. Cho hệ thống rời có sơ đồ như hình vẽ.Hãy thành lập hệ phương trình

Biến trạng thái mô tả hệ thống với các biến trạng thái được xác định trên hình vẽ.

Giải

Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ liên tục :

Theo hình vẽ ta có :

21 1 2

X sX s sX s X s

s

1 2x t x t

R2 2 R

E sX s s a X s E s

s a

39

2 2 Rx (t) ax t e t

2 2 Rx t ax t e t

Kết hợp hai phương trình trên ta được hệ phương trình :

.

1 2

.

2 2 R

.11

R22

.

R

x t x t

x t ax t e t

x t0 0x t e t0 1x tx t

x t Ax t Be t 7.3.4

Đáp ứng của hệ thống :

1 t

12

xc t kx t K 0 cx t

x t

Do đó: 0 1 0A B c k 0

0 a 1

Bước 2: Tính ma trận quá độ :

1 11

1 1

1 1

1

1 0 0 1 s 1s sI A s

0 1 0 a 0 s a

1 1s a 1 s s s a1

0 ss s a 10

s a

1 11 1L L

s s s as s s at L s l

1 10 o Ls a s a

at

at

11 1 e

at

0 e

40

Bước 3 : Rời rạc hoá các phương trình trạng thái của hệ liên tục, ta được:

d d R

d

x k 1 T A kT B e kT

c kT c x kT

Trong đó:

at aT

dat aT

t T

aT aTT T T

daT aT0 0, 0

TaT

2

aT

0

1 11 1 e 1 1 e

a aA T

0 e 0 e

1 11 1 e 1 e0

a aB d d d1

0 e e

e T e

a aa

e

a

B

aT

22

aT

d

1

aa

e 1

a a

C C k 0

Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống rời rạc với tín hiệu vào

r(kT) là :

d d d d

d

x k 1 T A B C x kT B r kT

c kT c x kT

Trong đó:

41

aT

aT 2 2

d d daTaT

aT

2 2aT

aTaT

aTaT

2 2

d d d aT

T e 11

1 1 e a a aaA B C K 0

e 10 ea a

T e 1k1 a a a1 1 e

ae 10 e K 0

a a

T e 1 11 K 1 e

a aa aA B C

eK

a

aT1e

a

Ví dụ bằng số cụ thể: a=2,T=0,5( sec),k=10

Bước 1: 0 1 0A B c 10 0

0 2 1

Bước 2: aT 2t

2TaT

1 11 1 e 1 1 e

a 2t

0 e0 e

Bước 3:

aT 2.0,5

d2*0,5aT

aT

2*0,52

d 2 2aT

d

1 11 1 e 1 1 e 1 0,316

a 2A0 0,368

0 e0 e

T e0,092a 0,5 e 1a

B0,3162 2 2e 1

a a

c c 10 0

Bước 4:

42

d d d

1 0,316 0,092A B C 10 0

0 0,368 0,316

1 0,316 0,92 0 0,08 0,316

0 0,368 3,68 0 3,16 0,368

Kết luận :hệ phương trình biến trạng thái cần tìm là:

1 1

2 2

1

2

x k 1 x k0,08 0,316 0.092r k

3,16 0,368 0,316x k 1 x k

x kc k 10 0

x k

2.3.4. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái.

Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phương trình biến trạng thái :

d d

d

x(k 1) A (k) B r(k)

c(k) C x(k)

Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền : (z)C(z)

GR(z)

Biến đổi Z hệ phương trình trạng thái ta được :

<=> d d

d

zX(z) A X(z) B R(z)

C(z) C X(z)

<=>( ) ( ) ( )

( ) ( )d d

d

zI A X z B R z

C z C X z

<=>1

d d

d

X(z) (zI A ) B R(z)

C(z) C X(z)

1d d dC(z) C (zI A ) B R(z)

Lập tỉ số ta được : 1d d d

C(z)G(z) C (zI A ) B

R(z)

(2.21)

Ví dụ 2.12. Cho hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái

Trong đó : d

0 1A

0,7 0,1

; d

0B

2

; dC 1 0

43

Hãy viết hàm truyền của hệ thống trên

Giải . Áp dụng công thức 2.21 hàm truyền của hệ thống là :

1d d d

C(z)G(z) C (zI A ) B

R(z)

Ta có :

21

d

1d d

1d d d

z 0 0 1(zI A )

0 z 0,7 0,1

z 0,1 11

0,7 0,1z(z 0,1) 0,7

z 0,1 1 0 21 1(zI A ) B

0,7 0,1 2 2zz(z 0,1) 0,7 z(z 0,1)

21 2C (zI A ) B 1 0

2zz(z 0,1) 0,7 z(z 0,1) 0,

7

Vậy (z)

2G

z(z 0,1) 0,7

2.4. Mô tả toán học hệ điều khiển số bằng Matlab Simulink

Các lệnh mô tả toán học hệ rời rạc tương tự như các lệnh mô tả toán học hệ liên

tục, chỉ khác là khi tạo ra hệ thống ta không chỉ nhập các thông số hệ thống ( tử số, mẫu

số hàm truyền và các ma trận trạng thái ) mà còn nhập vào chu kỳ lấy mẫu.

Tạo ra hệ thống mô tả bởi hàm truyền : lệnh tf ( transfer function)

Cú pháp : G=tf(TS,MS,T) tạo ra hệ thống rời rạc mô tả bởi hàm truyền G có tử số

là đa thức TS, mẫu số là đa thức MS và chu kỳ lấy mẫu là T. Nếu không xác định T thì

đặt T = 1

Ví dụ 1: chu kỳ lấy mẫu là 0.2 s

>> TS=1;MS=[2 1];

>> G1=tf(TS,MS,0.2)

G1 =

1

-------

2 z + 1

Sample time: 0.2 seconds

44

Discrete-time transfer function.

Ví dụ 2 : chu kỳ lấy mẫu không xác định

>> TS=1;MS=[2 1];

>> G1=tf(TS,MS,-1)

G1 =

1

-------

2 z + 1

Sample time: unspecified


Ví dụ 3 :

G2=tf([4 1],conv([2 1],[3 1]),-1)%G2=(4z+1)/((2z+1)(3z+1))

G2 =

4 z + 1

---------------

6 z^2 + 5 z + 1



Đơn giản hàm truyền : lệnh mineral

Cú pháp ; G-minreal(G) triệt tiêu các thành phần giống nhau ở tử số và mẫu số để

được dạng hàm truyền tối giản

Ví dụ 4:

>> TS=[2 1];MS=conv([2 1],[3 1]);

>> G=tf(TS,MS,-1)

G =

45

2 z + 1

---------------

6 z^2 + 5 z + 1



>> G=minreal(G)

G =

0.3333

----------

z + 0.3333



-Các lệnh ghép nối hệ rời rạc hoàn toàn giống như các lệnh ghép nối hệ liên tục,

cụ thể :

+ Tính hàm truyền của hệ thống nối tiếp : lệnh series hoặc toán tử “*”

Cú pháp : G=series(G1,G2) tính hàm truyền G=G1*G2

+Tính hàm truyền hệ thống song song : lênh parallel hoặc toán tử “+”

Cú pháp : G=series(G1,G2) tính hàm truyền G=G1+G2

+ Tính hàm truyền của hệ thống hồi tiếp : lệnh feedback

Cú pháp : Gk=feedback(G1,G2) tính hàm truyền hệ hồi tiếp âm 1k

1 2

GG

1 G *G

Ví dụ 5:

G1=tf(1,[2 1],-1);%G1=1/(2Z+1)

>> G2=tf([4 1],conv([1 0],[3 1]),-1);%G2=(4z+1)/z(3z+1)

>> G=series(G1,G2)

G =

46

4 z + 1

-----------------

6 z^3 + 5 z^2 + z



>> G=parallel(G1,G2)

G =

11 z^2 + 7 z + 1

-----------------

6 z^3 + 5 z^2 + z



>> G=feedback(G2,G1)

G =

8 z^2 + 6 z + 1

-----------------------

6 z^3 + 5 z^2 + 5 z + 1



>> Gk=feedback(G2,G1)

Gk =

8 z^2 + 6 z + 1

-----------------------

47

6 z^3 + 5 z^2 + 5 z + 1



>> Gk=minreal(Gk)

Gk =

1.333 z^2 + z + 0.1667

------------------------------------

z^3 + 0.8333 z^2 + 0.8333 z + 0.1667



-Tạo ra hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái : lệnh ss ( state space)

Cú pháp : PTTT = ss( A,B,C,D,T) tạo ra hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình

trạng thái PTTT có các ma trận trạng thái là A, B, C, D và chu kỳ T. Nếu không xác định

T thì đặt T = -1.

Ví dụ 6 :

>> A=[0 1;-0.7 -0.1]

A =

0 1.0000

-0.7000 -0.1000

>> B=[0; 2]

B =

0

2

48

>> C=[1 0]

C =

1 0

>> D=0

D =

0

>> PTTT=ss(A,B,C,D,-1)

PTTT =

a =

x1 x2

x1 0 1

x2 -0.7 -0.1

b =

u1

x1 0

x2 2

c =

x1 x2

y1 1 0

d =

u1

49

y1 0


Discrete-time state-space model.

-Các lệnh biến đổi giữa hàm truyền và phương trình trạng thái của hệ rời rạc hoàn

toàn giống hệ liên tục :

+ Biến đổi phương trình trạng thái về hàm truyền : lệnh tf

Cú pháp : G=tf(PTTT)

+ Biến đổi hàm truyền về dạng phương trình trạng thái : lệnh ss

Cú pháp : PTTT=tf(G)

Ví dụ 7:

>> A=[0 1;-0.7 -0.1];B=[0;2];C=[1 0];D=0;

>> PTTT=ss(A,B,C,D,-1)

PTTT =

a =

x1 x2

x1 0 1

x2 -0.7 -0.1

b =

u1

x1 0

x2 2

c =

x1 x2

y1 1 0

d =

u1

y1 0

50



>> G=tf(PTTT)

G =

2

-----------------

z^2 + 0.1 z + 0.7



>> PTTT=ss(G)

PTTT =

a =

x1 x2

x1 -0.1 -0.7

x2 1 0

b =

u1

x1 2

x2 0

c =

x1 x2

y1 0 1

51

d =

u1

y1 0



Để ý rằng sau khi biến đổi ngươc từ hàm truyền về dạng phương trình trạng thái ta

được các ma trận trạng thái hoàn toàn khác với ma trận trạng thái đã nhập ban đầu, điều

này không có gì vô lý vì đối với một hệ thống tùy theo cách đặt biến trạng thái khác nhau

ta sẽ có các phương trình trạng thái khác nhau.


1. Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ cấu trúc như sau:

Trong đó: T= 0,05 , 2

10( )

( 1)G s

s

a, Tìm hàm truyền hệ hở của hệ thống .

b, Tìm hàm truyền hệ kín của hệ thống

2. Cho hàm truyền 2

2( )

0.1 0.7G z

z z

a, Tìm hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống .

b, Tìm phương trình sai phân của hệ thống.

52

CHƯƠNG 3 KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH VÀ PHÂN TÍCH HỆ ĐIỂU KHIỀN SỐ


Cung cấp cho sinh viên kiến thức về phân tích và đánh giá độ ổn định của hệ

thống điều khiển số

Cung cấp cho sinh viên kiến thức về các phương pháp đánh giá chất lượng hệ

thống điều khiển số

3.1 KHÁI NIỆM

Ta đã biết, hệ điều khiển số tuyến tính được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến

tính có dạng tổng quát:

0 1 2 n

0 1 m


b r(k m) b r(k m 1) ... b r(k)

(3.1)

Về cơ bản, kỹ thuật phân tích và đánh giá độ ổn định của hệ thống tuyến

tính liên tục có thể áp dụng cho hệ thống ĐKS tuyến tính. Để xét hệ thống số ổn định hay

không, ta phải giải phương trình sai phân. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân

mô tả hệ thống điều khiển số có dạng:

0 qdc(nT) c (nT) c (nT) (3.2)

trong đó:

+ 0c (nT) là nghiệm riêng của phương trình sai phân. Nghiệm riêng

0c (nT) biểu diễn trạng thái xác lập của hệ thống, nó không ảnh hưởng đến tính ổn định

của hệ thống.

+ qdc (nT) là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất (phương

trình sai phân có vế phải bằng 0). Nghiệm qdc (nT) mô tả đặc tính của quá trình quá độ,

nó ảnh hưởng tới tính ổn định của hệ. Vì vậy, để xét tính ổn định của hệ thống điều khiển

số ta cần giải phương trình sai phân thuần nhất:

0 1 2 na c(k n ) a c(k n 1) a c(k n 2) ... a c(k ) 0

(3.3)

Tính chất của nghiệm của phương trình (3.3) được xác định dựa vào nghiệm của

phương trình đặc tính:

n n 1 n 2

0 1 2 na Z a Z a Z ... a 0 (3.4)

Giả thiết phương trình đặc tính có n nghiệm riêng biệt, nghiệm của phương trình

sai phân thuần nhất có dạng: n n n

0 1 1 2 2 n nc (nT) C z C z ... C z

53

iC là các hằng số được xác định từ sơ kiện bài toán. Hệ thống điều khiển số sẽ ổn

định khi

0nlim c (nT) 0

(3.5)

Điều kiện trên được xác định thông qua các đặc tính nghiệm số của phương

trình đặc tính

Từ những phân tích trên ta rút ra kết luận đối với hệ thống điều khiển số tuyến tính

+ Hệ ổn định nếu phương trình đặc tính của hệ có các nghiệm thực hoặc nghiệm

phức có mô đun < 1.

+ Hệ không ổn định nếu phương trình đặc tính của hệ có các nghiệm thực hoặc

nghiệm phức có mô đun > 1.

+ Hệ ở biên giới ổn định nếu phương trình đặc tính của hệ có nghiệm thuần ảo và

các nghiệm khác là nghiệm thực hay phức có môđun <1.

* Mỗi liên hệ giữa mặt phẳng Z và mặt phẳng S

Mặt phẳng Z liên hệ với mặt phẳng S theo công thức: sTz e

Hai mặt phẳng này đều là các lượng phức được biểu diễn trên trục thực và

ảo chi khác ở chỗ mặt phẳng S có thứ nguyên của tần số còn mặt phẳng Z thì không có

thứ nguyên.

Trục ảo trong mặt phẳng Z giống như trong mặt phẳng S chúng đóng một

vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định của hệ gián đoạn.

Trục số ảo của mặt phẳng S biểu thị của giá trị (jω) đi từ -∞ → zero → ∞

Đặt s j ta có sT j Tz e e cos( T)+jsin( T)

Hình 3.1. Quan hệ giữa mặt phẳng Z và mặt phẳng S

+ Khi ω tăng từ 0 đến π/T, đường thẳng từ gốc đến điểm Z quay ngược chiều kim

đồng hồ và nó vẽ lên một vòng tròn có bán kính là :

2 2R cos ( t) sin ( t) 1

54

+ Khi ω tăng từ -π/T đến 0, đường thẳng từ gốc đến điểm Z quay cùng chiều kim

đồng hồ và nó vê lên một vòng tròn có bán kính là 1.

+ Khi s = 0 suy ra 0z e 1 . Khi đó gốc của mặt phẳng S trùng với điểm +l trên

mặt phẳng Z.

+ Khi s = - ∞ suy ra z e 0 .Khi đó gốc của hệ Z trùng với điểm - ∞ của

mặt phẳng S

Nhận thấy nửa trái của mặt phẳng S (nửa ổn định) được thể hiện bằng phần trong

đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z.

Trên mặt phẳng S, do tính chất chu kỳ của các đặc tính tần số của hệ thống số nên

chi cần khảo sát sự phân bố nghiệm số trong dài tần từ 0 0

2 2

như hình 3.2a.

Hình 3.2. Quan hệ giữa mặt phẳng Z và mặt phẳng S

Trong các dải tần tiếp theo, với độ rộng 0 sự phân bố nghiệm số hoàn toàn lặp

lại. Hệ thống ổn định khi tất cả các nghiệm số của phương trình đặc tính phân bố bên trái

trục ảo. Khi có nghiệm nằm bên phải trực ảo, hệ thống sẽ không ổn định. Trục ảo là

đường biên giới phân vùng ổn định trên mặt phẳng S ( hệ thống điều khiển tuyến tính liên

tục)

Trên mặt phẳng Z, hệ thống sẽ ổn định khi tất cả các nghiệm số của phương trình

đặc tính phân bố bên trong vòng tròn đơn vị.

Hệ thống sẽ không ổn định nếu có một nghiệm nào đó nằm ngoài vòng tròn đơn

vị.

Vậy, vòng tròn đơn vị là biên giới ổn định trên mặt phẳng Z (hình 3.2b). 3.2. TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ

3.2.1. Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

Tiêu chuẩn Routh- Hurwitz cho phép đánh giá phương trình đại số n n 1

o 1 n 1 na x a x ... a x a 0 có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức hay không .

Ta đã sử dụng kết quả này để đánh giá nghiệm của phương trình đặc tính của hệ

55

liên tục n n 1o 1 n 1 na s a s .... a s a 0

.

Nếu phương trình trên có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức thì hệ liên tục

không ổn định.

Không thể sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để đánh giá tính ổn định

của hệ rời rạc vì miền ổn định của hệ rời rạc nằm bên trong đường tròn đơn vị.

Muốn dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để đánh giá tính ổn định của hệ rời rạc ta

phải thực hiện pháp đổi biến:

1 1

1 1

z

zz

(3.6)

Với cách biến đổi như trên miền nằm trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z

tương ứng với nửa trái của mặt phẳng .

Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz đối với phương trình đặc tính theo biến :

nếu không tồn tại nghiệm nằm bên phải mặt phẳng thì không tồn tại nghiệm z nằm

ngoài vòng tròn đơn vị

Hệ rời rạc ổn định

Hình 3.3.Miền ổn định của theo biến z Hình 3.4.Miền ổn định của theo biến

Ví dụ 3.1. Cho hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính 3 25 2 3 0z z z

Xét tính ổn định của hệ thống trên.

Giải. Đổi biến 1

1

z

, phương trình đặc tính trở thành

3 2

1 1 15 2 3 1 0

1 1 1

3 2 2 35( 1) 2( 1) ( 1) 3( 1)( 1) ( 1) 0

3 211 11 13 5 0

Bảng Routh

56

3 11 13 2 11 5 1 8 0 0 5

Bàng 3.1. Thành lập bảng Routh

Do tất cả hệ số ở cột 1 bảng Routh đều dương nên hệ số ổn định.

Hoặc

Ma trận Hurwitz

1 3

0 2

1 3

0 11 5 0

0 11 13 0

0 0 11 5

a a

a a

a a

1

2

3 2

11 0

11 13 5 11 0

5 0

Do các định thức con đều dương nên hệ số ổn định.

3.2.2. Tiêu chuẩn JURY

Về nguyên tắc, tiêu chuẩn ổn định Rao-Hurvit mở rộng có thể áp dụng cho

mọi hệ thống điều khiển số. Song đối với hệ bậc cao, việc tính toán khó. Khi đó người ta

thường dùng tiêu chuẩn Schur-cohn và tiêu chuẩn ổn định Jury.

Tiêu chuẩn này cho rằng một hệ thống dữ liệu đã được lấy mẫu là ổn định (có tất

cả các nghiệm nằm bên trong vòng tròn đơn vị của mặt phẳng Z) nêu tất cả các số hạng

trong các hàng lẻ ở cột bên trái của bảng Jury là dương.

Bảng Jury được thiết lập từ phương trình đặc tính:

n n 10 1 n 1 na Z a Z ... a Z a 0

(3.7)

Cách thành lập bảng Jury như sau :

- Hàng 1 là các hệ số của phương trình đặc tính theo thứ tự tăng dần

- Hàng chẵn ( bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết theo thứ tự ngược

lại

- Giá trị hàng thứ 3 được tính bằng cách lấy định thức bậc 2 mà sử dụng cột đầu

tiên của hàng đầu tiên với mỗi cột khác của các hàng này bắt đầu từ phải qua trái chia cho

hệ số ai). Như vậy các số hạng được tính như sau:

n n n0 0 n 1 1 n 1 j j n j

0 0 0

a a ab a a ;b a a ,b a a

a a a (3.8)

57

Hàng nZ n 1Z n 2Z … n jZ … 1Z 0Z

1 0a 1a 2a n ja n 1a na

2 na n 1a n 2a ja 1a 0a

3 0b 1b 2b n jb n 1b nb

4 nb n 1b n 2b jb 1b 0b

5

6

Bàng 3.2. Thành lập bảng theo tiêu chuẩn Jury

Ví dụ 3.2: Cho hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính : 3 25Z 2Z 3Z 1 0

Xét tính ổn định của hệ thống trên

Giải : lập bảng Jury ta được :

Hàng 3Z 2Z 1Z 0Z

1 5 2 3 1

2 1 3 2 5

3 4.8 1.4 2.6

4 2.6 1.4 4.8

5 3.39 0.61

6 0.61 3.39

7 3.28

Do tất cả số hàng ở hàng lẻ cột 1 bảng Jury đều dương nên hệ ổn định

3.2.3. Quỹ đạo nghiệm số

Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính

của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0

Xét hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính là

( )1 0

( )

N zK

D z (3.9)

Đặt 0N(z)

G (z) KD(z)

(3.10)

Gọi n là số cực của ( )oG z , m là số zero của ( )oG z

58

Từ phương trình (3.10) ta có 1 ( ) 0oG z (3.11)

0

( ) 1

( ) (2 1)

oG z

G z l (3.12)

Biểu thức (3.12) là điều kiện biên độ và điều kiện pha của (3.11)

Chú ý : Nếu phương trình đặc tính của hệ thống có dạng trên thì ta phải biến đổi

tương đương về dạng trên trước khi áp dụng các qui tắc vẽ QĐNS

Vì dạng phương trình đặc tính của hệ liên tục đã học ở học phần lý thuyết điều

khiển tự động và phương trình đặc tính trên là như nhau ( chỉ thay s bằng biến z) nên quy

tắc vẽ QĐNS là như nhau , chỉ khác ở qui tắc 8 , thay vì đối với hệ liên tục ta tìm giao

điểm của QĐNS với trục ảo thì đối với hệ rời rạc ta tìm giao điểm của QĐNS với đường

tròn đơn vị .

Sau đây là 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống rời rạc có phương trình

đặc tính có dạng 3.9

Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số

cực của Go(z)=n.

Qui tắc 2: Khi K=0 các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuât phát từ các cực của

Go(z). Khi K tiến đến : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của Go(z), n-

m nhánh còn lại tiến đến theo cá tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và 6

Qui tắc 3: Quỹ đạo nhiệm số đối xứng qua trục thực

Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực

và zero của Go(z) bên phải nó là một số lẻ.

Qui tắc 5: Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm với trục thực xác

định bở công thức: (2 1)l

n m

(l 0, 1, 2) (3.13)

Qui tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác định

bởi n m

i ii 1 i 1

p zpole zero

OAn m n m

(3.14)

Qui tắc 7: Điểm tách nhập của quỹ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là

nghiệm của phương trình :

dK

0dz

(3.15)

Qui tắc 8: Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số đường tròn đơn vị có thể xác định

bằng 1 trong hai cách sau đây :

59

- Áp dụng tiêu chuẩn Routh- Hurwitz mở rộng hoặc tiêu chuẩn July.

- Thay z a jb ( điều kiện : 2 2a b 1 ) vào phương trình đặc tính (3.9)

, cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với đường tròn đơn vị và giá trị

ghK

Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức jp được xác

định bởi công thức : m n

j i j ii 1 i 1

j i

180 arg(p z ) arg(p p )

(3.16)

Qui tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0

Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều

kiện biên độ

N(z)

K 1D(z)

(3.17)

Ví dụ 3.3. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình vẽ trong đó

+ Hàm truyền khâu liên tục 5K

G(s)s(s 5)

+ Chu kì lấy mẫu T=0,1sec

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống trên khi K thay đổi từ 0 . Tính ghK .

GIẢI. Phương trình đặc tính của hệ có sơ đồ khối như trên là :

1 G(z) 0

Trong đó

Ts

ZOH

12

0,5 0,5 0,5

2 0,5

1 e 5KG(z) G (s).G(s)

s s(s 5

5K(1 z )

s (s 5)

z (0,5 1 e )z (1 e 0,5e )z 1K

z 5(z 1) (z e )

=

60

0,021z 0,018G(z) K

(z 1)(z 0,607)

Phương trình đặc tính là

0,021z 0,0181 K 0

(z 1)(z 0,607)

+Các cực : 1 2p 1,p 0.0607(n 2)

+Các zero: 1z 0.857(m 1)

+ Góc tạo bởi tiệm cận và trực thực:

(2l 1) (2l 1)(l 0)

n m 2 1

+Giao điểm giữa tiệm cận với trục thực :

cuc zero (1 0,607) ( 0,857)OA 2,464

n m 2 1

+ Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình dK

0dz

Ta có 2(z 1)(z 0,607) z 1.607z 0.607

K0,021z 0,018 0.021z 0.018

suy ra

2

2

dK 0,021z 0,036z 0,042

dz (0,021z 0,018)

1

2

2,506dK0

0,79d

z

2zz

Cả hai nghiệm trên đều thuộc QĐNS →có hai điểm tách nhập.

Giao điểm của QĐNS với đường tròn đơn vị :

2

(z 1)(z 0.607) K(0.021z 0.018) 0

z (0.021K 1.607)z (0.018K 0.607) 0

Cách 1: dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng

Đổi biến 1

z1

, ta được

61

2

2

1 1(0.021K 1.607) (0.018K 0.607) 0

1 1

0.039K (0.786 0.036K) (3.214 0.003K) 0

Điều kiện để hệ thống ổn định là

K 0

0.786 0.036K 0

3.214 0.003K 0

K 0

K 21.83

K 1071

ghK 21.83

Thay ghK 21.83 vào phương trình đặc tính, ta được

2z 1.1485z 1 0

z 0.5742 j0.8187

Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị là

z 0.5742 j0.8187

Cách 2: thay z a jbvào phương trình trên, ta được

2

2 2

2 2

(a jb) (0.021K 1.607)(a jb) (0,018K 0,067) 0

a j2ab b (0,021K 1,607)a j(0,021K 1,607)b (0,018K 0,067) 0

a b (0,021K 1,607)a (0,018K 0,607) 0

j2ab j(0,021K 1,607)b 0

Kết hợp với điều kiện 2 2a b 1 ta được hệ phương trình 2 2

2 2

a b (0,021K 1,607)a (0,018K 0,607) 0

j2ab j(0,021K 1,607)b 0

a b 1

Giải hệ phương trình trên, ta được bốn giao điểmlà

z =1, tương ứng với K =0

z = - 1, tương ứng với K =1071

Vậy Kgh = 21, 83

Hình 3.5 . Qũy đạo nghiệm số của

ví dụ 3.3

62

3.3. CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG RỜI RẠC

Tương tự hệ điều khiển tương tự, hệ điều khiển số sau khi kết luận đã ổn định ta

phải đánh giá chất lượng của hệ. Việc đánh giá chất lượng của hệ được thực hiện thông

qua các chỉ tiêu chất lượng:

3.3.1 Đáp ứng quá độ

Chất lượng của hệ thống điều khiển được đánh giá trực tiếp từ đồ thị đáp ứng đầu

ra của hệ thống với tín hiệu đầu vào là xác định.

Đáp ứng quá độ của hệ thống là đáp ứng đầu ra của hệ khi đầu vào là hàm bước

nhảy đơn vị 1(t).

Dựa vào đáp ứng quá độ, ta có thể tính được các thông số về chỉ tiêu chất lượng

như:

- Sai số xác lập

- Độ quá điều chỉnh,

- Thời gian quá độ

- Số lần dao động v.v...

Đối với hệ thống liên tục, việc xây dựng đáp ứng quá độ là tìm nghiệm của

phương trình vi phân (phương pháp Runge Kuta) hoặc phương trình sai phân (Phương

pháp Tustin) hoặc dùng các phương pháp gián tiếp (phương pháp hình thang), phương

pháp đại số (toán tử Laplace), phương pháp mô phỏng,...

Thực tế cho thấy, tất cả các phương pháp phân tích đáp ứng quá độ và xác lập cho

hệ liên tục đều có thể áp dụng cho hệ rời rạc.

Với phép biến đổi Z, đáp ứng thời gian trong hệ thống số là tín hiệu được lấy mẫu

ở từng thời điểm T (s). Chất lượng động của hệ điều khiển số được đánh giá thông qua

các nghiệm cực và nghiệm Zero của hàm số truyền trong mặt phẳng Z

Có thể xác định được đáp ứng của hệ thống rời rạc bằng một trong hai cách sau

đây:

- Cách 1 : tính C(z) sau đó dùng phép biến đổi Z ngược để tìm c(k)

- Cách 2 : tính nghiệm x(k) của phương trình trạng thái của hệ rời rạc, từ đó suy ra c(k)

Cặp cực quyết định : hệ bậc cao có thể xấp xỉ gần đúng về hệ bậc hai với hai cực

là hai cặp cực quyết định

Đổi với hệ liên tục, cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần trục ảo nhất. Do Tsz e nên đối với hệ rời rạc, cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị

nhất.

3.3.2. Độ quá điều chỉnh

Đối với hệ rời rạc, các thường sử dụng để tính độ quá điều chỉnh là dùng biểu thức

định nghĩa :

63

max xlmax

xl

c c% 100

y

(3.18)

Trong đó maxc là giá trị cực đại của c(k) . Độ quá điều chỉnh ảnh hưởng đến tuổi

thọ của thiết bị do vậy, trong hệ điều khiển nói chung và hệ điều khiển số nói riêng mong muốn maxc càng nhỏ càng tốt.

3.3.3. Sai số xác lập

Theo định lý giá trị cuối :

1xl

k z 1e lime(k) lim(1 z )E(z)

(3.19)

Các công thức tính sai số xác lập

Hình 3.6 : Sơ đồ cấu trúc hệ ĐKS

Sai số xác lập của hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ như trên là:

1 1xl

z 1 z 1

R(z)e lim(1 z )E(z) lim(1 z )( )

1 GH(z)

(3.20)

Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị 1

1R(z

z)

1

→ xlz 1

z 1

1 1e lim

1 GH(z) 1 limGH(z)

(3.21)

Đặt pz 1

K lim GH(z)

: Hệ số vị trí

p

xl1

Ke

1

(3.22)

Nếu tín hiệu vào là hàm dốc đơn vị:

1

21

TR(

z

1z)

z

1

1

l 11x

zz 1

2

T 1 Te lim

1 GH(z) lim(1 z )GH(z)

z

1 z

1

1 ( )GH z (3.23)

64

Đặt v1

1

zz

1K zlim 1 H

TG

: Hệ số vận tốc

lV

x K

1e (3.24)

Ví dụ 3.4: cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình vẽ, trong đó

- Hàm truyền khâu liên tục K

G(s)(s a)(s b)

( với K=10, a=2, b=3)

- Chu kỳ lấy mẫu: T = 0.1 (sec)

+ Tìm hàm truyền hệ kín kG (z)

+ Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị, độ vọt lố, sai số xác

lập.

Giải.

+ Hàm truyền của hệ rời rạc :

Gk(z)= G(z)

1 G(z)

Trong đó : G(z) = ZOHZ G s G s =Ts K

Zs (s a)(s b

e

)

1

=K(1-z-1)Z1

s(s a)(s b)

= Kz 1

z

aT bT

z(Az B)

z 1 z e z e

Với A= aT bT

)

b 1 e a z e

ab(b a

B= aT bT bT aTa

)b

e 1 e

a (b

e – be 1

a

Thay K=10, a=2, b=3, T=0,1 ta được

65

→G(z)= 0,042z 0,036

(z 0,819)(z 0,741)

Do đó Gk(z)=

0,042z 0,036(z 0,819)(z 0,741)

0,042z 0,0361

(z 0,819)(z 0,741)

Gk(z)= 2

0,042z 0,036

1,518z 0,643z

+ Đáp ứng của hệ

C(z) = Gk(z)R(z)

= 2

0,042z 0,036

1,518z 0,643z

R(z) = 1 2

1 2

0,042z 0,036z

1 1,518z 0,643z

R(z)

→(1-1,518z-1+0,643z-2)C(z)=( 0,042z-1 + 0,036z-2)R(z)

→c(k) – 1,518c(k-1) + 0,643c(k-2) = 0,042r(k-1) + 0,036r(k-2)

→c(k) = 1,518c(k-1) - 0,643c(k-2) + 0,042r(k-1) + 0,036r(k-2)

Với điều kiện ban đầu c(-1) = c(-2) = 0

r(-1) = r(-2) = 0

Thay vào công thức đệ qui trên, ta tính được:

c(k)={0; 0,042; 0,106; 0,212; 0,332; 0,446; 0,542; 0,614…

0,662; 0,706; 0,743; 0,772; 0,94; 0,809; 0,819; 0,825…

0,828; 0,828; 0,827; 0,825…}

Giá trị xác lập của đáp ứng quá độ là

cxl = 1

limz

(1- z-1) 2

0,042z 0,036

1,518z 0,643z

R(z)

=1

limz

(1- z-1) 2 1

0,042z 0,036 1

1,518z 0z z,643 1

= 2z 1

0,042z 0,036lim

1,518z 0,643z

xl 0,624c

+ Độ quá điều chỉnh

max xl

xlmax

0,828 0,624% 100% 100% 32.69%

c 0,

c

624

c

+ Sai số xác lập

66

xl xl xle r c 1 0.624 0.376

Ví dụ 3.5. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình vẽ, trong đó

- Hàm truyền khâu liên tục G(s) = K

(s a)(s b) (với K = 10, a = 2, b=3)

- Chu kỳ lấy mẫu T = 0,1sec

+ Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên.

+ Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị ( điều kiện đầu bằng

0)

Giải. 1- Thành lập phương trình trạng thái mô phỏng hệ thống

Bước 1 : Hệ phương trình trạng thái của khâu liên tục

Ta có C(s) = G(s)ER(s) = 10

(s 2)(s 3) ER(s)

(s+2)(s+3)C(s) = 10ER(s)

(s2 + 5s +6)C(s) = 10 ER(s)

c̈(t) + 5c(t) + 6 = 10eR(t)

Đặt x1(t) = c(t) ; x2(t) = ẋ1(t)

Hệ phương trình trạng thái mô tả khối liên tục là

Rx(t) Ax(t) Be (t)

c(t) Cx(t)

Trong đó 0 1

A6 5

0

10B

1 0C

Bước 2 : Tính ma trận quá độ

67

Φ(s) =

1 11 1 0 0 1 s 1

(sI A) s1 0 6 5 6 s 5

s 5 1

s 5 1 (s 2)(s 3) (s 2)(s 3)1

6 s 6 ss(s 5) 6

(s 2)(s 3_ (s 2)(s 3)

Φ(t)= 1 1

s 5 1

(s 2)(s 3) (s 2)(s 3)L (s) L

6 s

(s 2)(s 3) (s 2)(s 3)

=> Φ(t)=

2t 3t 2t 3t

2t 3t 2t 3t

3e 2e e e

6e 6e 2e 3e

Bước 3 :Rời rạc hóa các phương trình trạng thái của hệ liên tục, ta được :

d d R

d

x[(k 1)T] A x(kT) B e (kT)

c(kT) C x(kT)

trong đó

2t 3t 2t 3t

d 2t 3t 2t 3t

t T 0.1

3e 2e e eA (T)

6e 6e 2e 3e

=> d

0.975 0.078A

0.468 0.585

2 3 2 3T T

d 2 3 2 30 0

(3e 2e ) (e e ) 0B ( )Bd d

10( 6e 6e ( 2e 3e

0.12 32 3T

2 32 30

0

e e10(e e ) 10(

d 2 310( 2e 3e )

10(e e )

68

3.4.TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ

3.4.1 Tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống tuyến tính liên tục

Hệ thống được gọi là điều khiển được nếu với một tác động vào ta có thể chuyển trạng thái của hệ thống từ trạng thái ban đầu 0t đến trạng thái cuối 1t trong một thời gian

hữu hạn. Hệ thống được gọi là quan sát được nếu với các toạ độ đo được ở biến ra iy

của hệ, ta có thể khôi phục lại trạng thái ix trong khoảng thời gian hữu hạn.

a) Tính điều khiển được

Định lý: Một hệ thống tuyến tính hệ số hằng mô tá bới phương trình trạng thái cấp

n:

x(t) Ax(t) Bu(t)

được gọi là điều khiển được hoàn toàn, khi và chỉ khi ma

trận sau có hạng bằng n. 2 n 1P B,AB,A B,...,A B (3.25)

Rank(P) = n

b) Tính quan sát được

Định lý: Một hệ thống tuyến tính hệ sô hằng mô tả bởi phương trình trạng thái cấp

n:

X AX(t) BU(t)

Y(t) CX(t)

(3.26)

được gọi là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằng n. n 1L C',A 'C',(A')C',...(A') C' Rank(L) N (3.27)

3.4.2 Tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống điều khiển số

Giả thiết hệ điều khiển số được mô tả bởi hệ phương trình trạng thái:

d d

d

x(k 1) A x(k) B (k)

Y(k) C x(k)

(3.28)

trong đó: x(k 1),x(k) là các vectơ n chiều.

dA là ma trận n x n

a) Tính điều khiển được

Hệ thống số được gọi là điều khiển được nếu ta tìm được vectơ điều khiển u(k) để

chuyển hệ thống từ trạng thái ban đầu bất kỳ đến trạng thái cuối bất kỳ trong một khoảng

thời gian giới hạn.

Vậy ta cần tìm điều kiện để xác định được tác động điều khiển nhằm chuyển hệ

thống từ trạng thái x(0) đến trạng thái cuối x(n) đã cho.

69

Viết lại hệ phương trình trạng thái:

d d

2d d d d d d

n n 1d d d d d d

x(1) A x(0) B (0)

x(2) A x(1) B u(1) A x(0) A B u(0) B u(1)

.....

x(n) A x(n 1) B u(n 1) A x(0) A B u(0) .....B u(n 1)

(3.29)

vì dA ,x(0),x(n) đã biết nên vế trái của phương trình là xác định, suy ra nghiệm

duy nhất u(i) chỉ tồn tại khi ma trận sau đây có hạng bằng n. n 1 n 2d d d d d d dM A B A B . .. A B B (3.30)

Rank(M)=n

b) Tính quan sát được

Hệ thống số được gọi là quan sát được nếu theo các số liệu đã đo được ở đầu ra

y(k) ta có thể xác định được trạng thái x(k) của nó.

Thật vậy, từ phương trình ra: dy(k) C x(k) ta viết lại:

d

d d d

n 1d d

y(0) C x(0)

y(1) C x(1) C A x(0)

...

y(n 1) C A x(0)

(3.31)

Viết cách khác:

Vì y(k) đã biết nên nghiệm duy nhất x(0) tồn tại khi ma trận sau có hạng bằng n ' ' ' ' n 1 'd d d d dN C A C . .. (A ) C (3.32)

Ví dụ 3.6: Cho hệ thống điều khiển số được mô tả bởi phương trình trạng thái:

1 1

2 2

1

2

( 1) ( )1 0.485 0.0142( )

( 1) ( )2 0.85 0.0245

( )( ) 1 0

( )

x k x ku k

x k x k

x ky k

x k

a, Khảo sát tính điều khiển được của hệ thống?

- Ma trận điều khiển được của hệ thống:

d d dM A B B

70

Trong đó: 1 0.485 0.0142 0.0260

2 0.85 0.0245 0.0075d dA B

0.0142

0.0245dB

0.0260 0.0142

0.0075 0.0245M

Nên Rank (M)= 2. Hệ thống điều khiển được hoàn

toàn.

b, Khảo sát tính quan sát được của hệ thống?

- Ma trận điều khiển được của hệ thống:

' ' 'd d dN C A C

Trong đó: 11 0 '

0d dC C

1 0.485 1 2'

2 0.85 0.485 0.85d dA A

1 2 1 1' '

0.485 0.85 0 0.485d dA C

1 1

0 0.485N

det 0.485 0N

Nên Rank (N)= 2. Hệ thống quan sát được hoàn toàn.

3.5. KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ TRÊN MATLAB – SIMULINK.

Cho hệ điều khiển có sơ đồ cấu trúc:

71

1 2

20(z 0,1)W (z)

(2z 0,6)

; 3

0,1W (s)

s 1

; 2

10(s 3)W (s)

s 1

; 4

0,1(s 0,1)W (s)

s 2

Yêu cầu :

- Tìm hàm truyền đạt của hệ thống

- Xét sự ổn định của hệ thống.

a. Tìm hàm truyền đạt của hệ thống.

>> W1=tf([20 2],[2 2.4 0.36],0.1)

W1 =

20 z + 2

--------------------

2 z^2 + 2.4 z + 0.36



>> W2=tf([10 30],[1 1])

W2 =

10 s + 30

---------

s + 1

Continuous-time transfer function.

>> W21=c2d(W2,0.1)

W21 =

10 z - 7.145

------------

z - 0.9048



72

>> W3=tf([0 0.1],[1 1])

W3 =

0.1

-----

s + 1


>> W31=c2d(W3,0.1)

W31 =

0.009516

----------

z - 0.9048



>> W4=tf([0.1 0.01],[1 2])

W4 =

0.1 s + 0.01

------------

s + 2


>> W41=c2d(W4,0.1)

W41 =

0.1 z - 0.09909

---------------

z - 0.8187

73



>> W12=series(W1,W21)

W12 =

200 z^2 - 122.9 z - 14.29

-------------------------------------

2 z^3 + 0.5903 z^2 - 1.812 z - 0.3257



>> Wtd1=feedback(W12,W41,-1)

Wtd1 =

200 z^3 - 286.6 z^2 + 86.33 z + 11.7

----------------------------------------------

2 z^4 + 18.95 z^3 - 34.4 z^2 + 11.91 z + 1.683



>> Whe=series(Wtd1,W31)

Whe =

1.903 z^3 - 2.728 z^2 + 0.8216 z + 0.1113

-----------------------------------------------------------

2 z^5 + 17.14 z^4 - 51.55 z^3 + 43.04 z^2 - 9.091 z - 1.523



74

Vậy hàm truyền đạt của hệ thống là : 3 2

he 5 4 3 2

1.903z 2.728z 0.8216z 0.1113W

2z 17.14z 51.55z 43.04z 9.091z 1.523

b. Xét sự ổn định của hệ thống

Từ hàm truyền đạt xét ra phương trình đặc tính: 5 4 3 22z 17.14z 51.55z 43.04z 9.091z 1.523 0

>> MS=[2 17.14 -51.55 43.04 -9.091 -1.523]

MS =

2.0000 17.1400 -51.5500 43.0400 -9.0910 -1.5230

>> x=roots(MS)

x =

-11.0759

0.9751

0.9129

0.7245

-0.1066

Bằng Matlab ta tìm được nghiệm của phương trình như sau :

1

2

3

4

5

z 11.0759

z 0.9751

z 0.9129

z 0.7245

z 0.1066

Ta thấy rằng 1z 1 nên hệ không ổn định.

75



Trong đó: T= 0,1 ; 2

( 2)( )

( 1)

sG s

s

a, Tìm hàm truyền hệ hở của hệ thống .

b, Tìm hàm truyền hệ kín của hệ thống .

c, Xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn đại số.


Trong đó: T= 0,1 ; 2

( 2)( )

( 1)

sG s

s

Tìm đáp ứng rời rạc y(kT)

3. Cho hệ thống điều khiển số được mô tả bởi phương trình trạng thái:

1 1

2 2

1

2

( 1) ( )1 0.624 0.1608( )

( 1) ( )1 0.385 0.1821

( )( ) 1 1

( )

x k x ku k

x k x k

x ky k

x k

a, Khảo sát tính điều khiển được của hệ thống?

b, Khảo sát tính quan sát được của hệ thống?

76

CHƯƠNG 4 THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ


Cung cấp cho sinh viên kiến thức về hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh rời

rạc, các phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển số, áp dụng cụ thể với động cơ một

chiều.

4.1. KHÁI NIỆM

Có nhiều sơ đồ điều khiển khác nhau có thể áp dụng cho hệ rời rạc , trong đó sơ

đồ điều khiển thông dụng nhất là hiệu chỉnh nối tiếp với bộ điều khiển Gc(z) là bộ điều

khiển sớm pha, trễ pha số, PID số,.....

Hình 4.1 : Sơ đồ điều khiển hiệu chỉnh nối tiếp bộ điều khiển cG (z)

Một sơ đồ điều khiển khác cũng được sử dụng rất phổ biến là điều khiển hồi tiếp

trạng thái

Hình 4.2 : Sơ đồ điều khiển hồi tiếp trạng thái

Thiết kế bộ điều khiển số là xác định hàm truyền Gc(z) hoặc giá trị hồi tiếp trạng

thái K để hệ thống thõa mãn yêu cầu về độ ổn định ,chất lượng quá độ,sai số xác lập.

Thực tế trong đa số trường hợp bộ điều khiển số là các thuật toán phần mềm chạy

trên máy tính PC hoặc vi xử lý . Từ hàm truyền Gc(z) hoặc giá trị độ lợi K ta suy ra được

phương trình sai phân mô tả quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của bộ điều khiển quan hệ

này được sử dụng để lập trình phần mềm điều khiển chạy trên máy tính hoặc vi xử lý.

Có nhiều phương pháp được sử dụng để thiết kế bộ điều khiển số trong nội dung

chương này chỉ đề cập đến phương pháp thiết kế dùng quỹ đạo nghiệm số, phương pháp

thiết kế bộ điều khiển PID, phương pháp thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái

(phương pháp phân bố cực )và phương pháp giải tích

77

4.2. HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA CÁC KHÂU HIỆU CHỈNH RỜI RẠC

4.2.1. Khâu tỉ lệ

P PG (z) K (4.1)

4.2.2. Khâu vi phân

Hình 4.3 : Khâu vi phân liên tục

Khâu vi phân liên tục Dde(t)

u(t) Kdt

(4.2)

Khâu vi phân rời rạc được tính bằng các công thức sai phân, có ba cách

tính :

- Sai phân tới :

D

e(k 1) e(k)u(k)

TK

(4.3)

D

DD

zE(z) E(z)U(z)

TU(z) K

(z) (z 1)E(z) T

K

G

(4.4)

- Sai phân lùi

D

e(k) e(k 1)u(k)

TK

(4.5)

1

D

1 1D D DD

E(z) z E(z)U(z)

TU(z) K K K z 1

(z) (1 z ) (1 z )E(z) T T T z

K

G

(4.6)

- Sai phân giữa

De(k 1) e(k 1)

u(k) K2T

(4.7)

1

D

21D D

D

zE(z) z E(z)U(z) K

2T

U(z) K K z 1G (z) (z z )

E(z) 2T 2T z

(4.9)

78

Công thức sai phân tới và sai phân giữa cần tín hiệu e(k+1) là tín hiệu sai số

trong tương lai , mà trong các bài toán điều khiển thời gian thực ta không thể có

được tín hiệu trong tương lai (trừ khi sử dụng bộ dự báo ) nên thực tế chỉ có

công thức sai phân lùi được sử dụng phổ biến nhất, do đó

1D DD

K K z 1G (z) (1 z )

T T z

(4.10)

4.2.3.Khâu tích phân

Hình 4.4 : Khâu tích phân liên tục

Khâu tích phân liên tục

0

( ) ( ) t

Iu t K e t dt (4.11)

Khâu tích phân rời rạc

(k 1)TkT kT

I I I0 0 (k 1)T

kT

I(k 1)T

u(kT) K e(t)dt K e(t)dt K e(t)dt

u(kT) u[(k 1)T] K e(t)dt

(4.12)

Xét tích phân kT

I(k 1)T

K e(t)dt : có ba cách tính

- Tích phân hình chữ nhật tới

Hình 4.5: Tích phân hình chữ nhật tới

79

kT

(k 1)T

I

1I

e(t)dt Te(kT)

u(kT) u[(k 1)T]+K Te(kT)

U(z) z U(z) K TE(z)

(4.13)

I I 1

U(z) 1G (z) K T

E(z) 1 z

(4.14)

+ Tích phân hình chữ nhật lùi

Hình 4.6: Tích phân hình chữ nhật lùi

kT

(k 1)T

I

1I

e(t)dt Te[(k 1)T]

u(kT) u[(k 1)T]+K Te[(k 1)T]

U(z) z U(z) K Te[(k 1)T]

(4.15) 1

I I 1

U(z) zG (z) K T

E(z) 1 z

(4.16)

- Tích phân hình thang

Hình 4.7: Tích phân hình chữ nhật lùi

80

kT

(k 1)T

I

1 1I

Te[(k 1)T]+e(kT)e(t)dt

2

K Tu(kT) u[(k 1)T]+ (e[(k 1)T]+e(kT))

2K T

U(z) z U(z) (z E(z)+E(z))2

(4.17) 1

I II 1

U(z) K T z 1 K T z 1G (z)

E(z) 2 1 z 2 z 1

(4.18)

Trong ba cách tính tích phân trình bày ở trên, tích phân hình thang cho kết quả

chính xác nhất ,do đo thực tế người ta thường sử dụng công thức

I(I)

K T z 1G

2 z 1

(4.19)

4.2.4. Bộ điều khiển PI, PD, PID rời rạc

Từ các hàm truyền rời rạc cơ bản vừ phân tích ở trên ,ta rút ra được hàm truyền

của bộ điều khiển PI, PD, PID số như sau

IPI P

K T z 1G (z) K

2 z 1

(4.20)

DPD P

K z 1G (z) K

T z

(4.21)

I DPID P

K T z 1 K z 1G (z) K

2 z 1 T z

(4.22)

4.2.5. Bộ điều khiển bù pha (sớm pha ,trễ pha )

Hình 4.8 : Sơ đồ khối bộ bù pha

Hàm truyền của bộ điều khiển bù pha liên tục có dạng:

81

C

s aG (s) K

s b

(4.23)

(Trong đó : a>b: bộ bù trễ pha ; a<b : bộ bù sớm pha)

Rời rạc hóa quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra các bộ bù pha liên tục,sử dụng công

thức tích phân hình thang, suy ra ta được hàm truyền của bộ bù pha có dạng

C

(aT 2)z (aT 2)G (s) K

(bT 2)z (bT 2)

(4.24)

Hàm truyền có thể viết dưới dạng

CC

C

z zG (z) Kc

z p

(4.25)

Trong đó Cz là zero và Cp là là cực của khâu hiệu chỉnh

CC

C

(aT 2) 2(1 z )z aT

(aT 2) (1 z )

(4.26)

CC

C

(bT 2) 2(1 p )p bT

(bT 2) (1 p )

(4.27)

Do aT, bT dương nên cực và zero của khâu hiệu chỉnh phai thỏa mãn điều kiện

C

C

[z ] 1

[p ] 1

(4.28)

Các quan hệ ở trên ta cũng dễ dàng suy ra

- Khâu sớm pha C Cz p

- Khâu trễ pha C Cz p

4.3. THIẾT KẾ HỆ RỜI RẠC DÙNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

4.3.1. Thiết kế bộ điều khiển sớm pha

Hình 4.9 : Sơ đồ cấu trúc bộ điều khiển sớm pha

Phương trình đặc tính của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là

82

1 G(z).H(z) 0 (4.29)

Phương trinh đặc tính của hệ thống sau khi hiệu chỉnh là

C1 G (z)G(z).H(z) 0 (4.30)

Khâu hiệu chỉnh sớm pha có dạng

CC

C

z zGc(z) K

z p

(4.31)

Bài toán đặt ra là chọn giá trị C C CK ,z ,p để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu

cầu về chất lượng quá độ (chất lượng quá độ thể hiện qua vị trí của cặp cực quyết định).

Trình tự thiết kế

Bước 1: Xác định cặp cực quyết định từ yêu cầu thiết kế về chất lượng của hệ

thống trong quá trình quá độ

=

r = = ∠ =T (4.32)

Bước 2: Xác định góc pha cần bù để cặp cực quyết định nằm trên QDNS của

hệ thống sau khi hiệu chỉnh bằng công thức

* 0 *

1 1

180 arg( * ) arg( )

n m

i ii i

z p z z (4.33)

Dạng hình học của công thức trên là

(4.34)

Bước 3: Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh

Vẽ hai đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết định *z sao cho hai

đường thẳng này ạo với nhau một bằng .Giao điểm của hai nửa đường thẳng này với

trục thực là vị trí cực zero của khâu hiệu chỉnh.

Đối với hệ rời rạc, người ta thường áp dụng phương pháp triệt tiêu nghiệm

cực của hệ thống để chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh.

Bước 4: Tính bằng cách áp dụng công thức

*c z zG (z)GH(z) 1

(4.35)

Ví dụ 4.1. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hinh vẽ,trong đó :

83

-Hàm truyền khâu liên tục 10G s

s(s 5)

Chu kỳ lấy mẫu T=0.1sec

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có cặp cực

quyết định ξ = 0 707 , (rad/sec)

Giải: Phương trình đặc tính của hệ trước khi hiệu chỉnh

1 G(z) 0

Trong đó

Ts

ZOH1 e 10

G(z) Z G (s)G (s) Zs s(s 5

2

1 110.(1 z )Z

s s 5

0.5 0,5 0,5

0,5

z 0,5 1 e )z (1 e 0,5e )z 110

z 5(z 1)(z e )

0,21 0,18

( )( 1)( 0,607)

z

G zz z

Cặp cực quyết định mong muốn: * j1,2z re

Trong đó nT 0,1*0,707*10r e e 0,493

2 2nT 1 0.1.10 1 0.0707 0.707

* 0,7071,2 0,493 0,493 cos(0,707) sin(0,707) jz e j

* 0,7071,2 0,493 0,375 0,320 jz e j

Góc pha cần bù : *

1 2 3180 ( )

Dễ dàng tính được

84

* 0 0 0 0180 (152,9 125.9 ) 14,6 84

Chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp triệt tiêu nghiệm :

c cz 0,607 z 0,607

Tính cực của khâu hiệu chỉnh

Ta có *sin

AB PBsin PAB

Mà 2 2

* 0 0 02

C

C

c c

PB (0,607 0,375) 0,320 0,388

PAB 125,9 84 41,9

sin84AB 0,388 0,578

sin 41,9

p OA OB AB 0.607 0.578 0.029

p 0,029

z 0,607G (z) K

z 0,029

Tính cK từ điều kiện

*c z zG (z)GH(z) 1

85

C

z 0.375 j0.32

C

C

C

(z 0,607)(0,21 0,18)K 1

(z 0,029)(z 1)(z 0,607)

0,21(0,375 j0,320) 0,18K 1

(0,375 j0,320 0,029)(0,375 j0,320 1)

0.267K 1

0.471*0.702K 1.24

Vậy : C

z 0.607G (z) 1.24

z 0.029

Nhận xét

Quỹ đạo nghiêm số của hệ thống trước khi hiệu chỉnh không qua điểm *z ,do đó

hệ thống không bao giờ đạt được chất lượng đáp ứng quá độ như yêu cầu dù có thay đổi

hệ số khuếch đại của hệ thống

Hình 4.10: Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trước khi hiệu chỉnh

86

Hình 4.11: Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống sau khi hiệu chỉnh

Bằng cách sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha, quỹ đạo nghiệm số của hệ

thống bị sửa dạng và qua điểm z*, do đó bằng cách chọn hệ số khuếch đại thích hợp

(bước 4) hệ thống sẽ có cặp cực quyết định như mong muốn => đáp ứng quá độ đạt yêu

cầu thiết kế.

4.3.2. Thiết kế bộ diều khiển trễ pha

Ta sử dụng khâu hiệu chỉnh trễ pha khi muốn làm giảm sai số xác lập của hệ thống

Xét hệ thống điều khiển có sơ đồ như hình vẽ

Hình 4.12 : Sơ đồ cấu trúc bộ điều khiển trễ pha

Khâu hiệu chỉnh cG (z) là khâu trễ pha

Cc C

C

z zG (z) K

z p

với C Cz p (4.36)

Bài toán đặt ra là chọn giá trị C C CK ,z ,p để làm giảm sai số xác lập của hệ thống

mà không ảnh hưởng đáng kể đến chất lượng đáp ứng quá độ

Đặt C

C

1 p

1 z

(4.37)

87


Bước 1:Xác đinh từ yêu cầu sai số xác lâp

Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dưới dJng hệ số vị trị *PK thì

P*P

K

K (4.38)

Trong đó PK hệ số vị trí của hệ trước khi hiệu chỉnh

*PK hệ số vị trí mong muốn

Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dưới dạng hệ số vận tốc *vK thì

V*V

K

K (4.39)

Trong đó VK -hệ số vận tốc của hệ trước khi hiệu chỉnh

*VK -hệ số vận tốc mong muốn

Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1 để không làm ảnh hưởng

đáng kể đến dạng QĐNS, suy ra

1 1c cz z (chú ý điều kiện 1cz ) (4.40)

Bước 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh

C Cp 1 (1 z ) (4.41)

Bước 4: Tính CK bằng cách áp dụng công thức

c z z*G (z)GH(z) 1 (4.42)

Trong đó *1,2z là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh. Do yêu cầu

cần thiết không làm ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng quá độ nên có thế gần đúng *1,2 1,2z z (4.43)

Với *1,2z là cặp cực quyết định cuả hệ thống trước khi hiệu chỉnh

Ví dụ 4.2: Cho hệ thống điều chỉnh rời rạc có sơ đồ khồi như hình vẽ trong đó :

Hàm truyền khâu liên tục 50

G(s)s(s 5)

,chu kỳ lấy mẫu của hệ thống sau khi

hiệu chỉnh có hệ số vận tốc là *VK 100 . Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha

88

Giải: Phương trình đặc tính của hệ trước khi hiệu chinh

1 G(z) 0

0,5

Ts

ZOH

12

0,5 0,5

2 0,5

1 e 50G(z) Z G (s)G(s) Z

s s s 5

150(1 z ).Z

s (s 5)

z 0,5 1 e z (1 e 0,5ez 150

z 5(z 1) (z e )

0,21z 0,18G(z)

(z 1)(z 0,607)

Cặp cực quyết định của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là nghiệm của chương trình

1,2

0,21 0,181 0 0,699 0,547

( 1)( 0,607)

z

z jz z

Hệ số vận tốc của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là

1V

z 1

1V

z 1

V

1K lim(1 z )GH(z)

T1 0,21z 0,18

K lim(1 z )0,1 (z 1)(z 0,607)

K 9,9

Do đó v*v

K 9,90,099

100K

Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1

c cz 0,99 z 0,99

Suy ra cực của khâu hiệu chỉnh

C Cp 1 (1 z ) 1 0,099(1 0,99)

C c C

z 0,99p 0,999 G (z) K

z 0,999

Tính CK từ điều kiên

C(z 0.99) (0.21z 0.18)

K .z 0.999 (z 1)(z 0.607)

C(0,699 j0,547 0,99

K 10,699 j0,547 0,999)

89

C0,6239

K 1,007 10,6196

Vậy cz 0,99

G (z)z 0,999

Nhận xét

QĐNS của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh gần giống nhau

Hình 4.13 : Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trước khi hiệu chỉnh

Hình 4.14: Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống sau khi hiệu chỉnh

90

4.4. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN HỒI TIẾP TRẠNG THÁI.

Hình 4.15 : Sơ đồ khối của hệ dùng bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái

Cho đối tượng điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình biến trang thái

d d

d

x(k 1) A (k) Bu(k)c(k) C x(k)

(4.44)

Tín hiệu điều khiển trong hệ hồi tiếp trang thái là

u(k) r(k) Kx(k) (4.45)

Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ hồi tiếp trang thái

d d

d

d d d

d

x(k 1) A x(k) B [r k Kx(k)c(k) C x(k)

x(k 1) A B K x(k) B r(k)c(k) C x(k)

(4.46)

Phương trình đặc tính của hệ hồi tiếp trang thái

d ddet zI A B K 0

(4.47)

Lý thuyết điều khiển chứng minh được rằng: nếu rank(P) = n,với n là bậc của hệ

thống và ] thì hệ thống trên điều khiển

được, thì đó có thể tìm được vecto K để phương trình đặc tính (4.46) có nghiệm bất kỳ


Bước 1: Viết phương trình đặc tính của hệ thống sau khi hiệu chỉnh

d ddet zI A B K 0 (4.48)

Bước 2 : Viết phương trình đặc tính mong muốn

n

iz 1

(z p ) 0

(4.49)

Trong đó ip (i 1...n) là các cực mong muốn

Bước 3: Cân bằng các hệ số của hai phương trình đặc tính (4.47) và (4.48) tìm

được vectơ hồi tiếp K

91

Ví dụ 4.3: Cho hệ thống rời rạc như hình vẽ

Hệ phương trình biến trạng thái môt tả đối tượng là

d d

d

x(k 1) A (k) B u(k )c(k) C x(k)

Trong đó

d

d

d

1 0,316A

0 0,368

0,092B

0,316

C 10 0

Hãy tính vecto hồi tiếp trạng thái sao cho hệ kín có cặp cực phức với

0,707 và 10nw rad/sec

Giải : Phương trình đặc tính của hệ thống kín là

det 0 d dzI A B K

1 2

1 0 1 0,316 0,092det(z k k ) 0

0 1 0 0,368 0,316

1 2

1 2

1 2 1 2

z 1 0,092k 0,316 0,092kdet 0

0,316k z 0,368 0,316k

(z 1 0,092k ) z 0,368 0,316k 0,316k ( 0,316 0,092k ) 0

21 2 1 2z 0,092k 0,316k 1,368)z (0,066k 0,316k 0,368) 0 (*)

Cặp cực quyết định mong muốn * j1,2z re

Trong đó

nT 0,1*0,707*10r e e 0,493

2 2nT 1 0,1*10 1 0,707 0,707

92

* j0,7071,2z 0,493e 0,493 cos(0,707) jsin(0,707)

* j0,7071,2z 0, 493e 0,375 j0,320

Phương trình đặc tính mong muốn :

2

(z 0.375 j0.320)(z 0.375 j0.320) 0

z 0.75z 0.243 0(**)

Cân bằng các hệ số ở hai phương trình (*) và (**),ta được

1 2

1 2

(0,092k 0,316k 1,368 0,75

(0,066k 0,316k 0,368 0,243

Giải hệ phương trình trên ta được

1

2

k 3,12

k 1,047

Vậy K 3,12 1,047

4.5. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID

Từ yêu cầu thiết kế về đáp ứng quá độ (vị trí nghiệm của phương trình đặc tính )

và sai số xác lập, có thể tính toán giải tích ) và sai số xác lập,có thể tính toán giải tính để

chọn thông số bộ điều khiển PID số .Sau đấy là một vi dụ

Ví dụ 4.4: Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ như hình vẽ

10

( )10 1

G ss

; ( ) 0,05H s ; 2secT

Thiết kế khâu hiệu ( )cG z để hệ thống có cặp cực phức với

0,707, 2 / secnw rad và sai số xác lập đối xá đôi với với tín hiệu vào là hàm nấc đơn

vị bằng 0

Giải. Do yêu cầu sai số xác lập đối với tín hiệu vào là hàm nấc bằng 0 nên ta sử dụng hiệu chỉnh ( )cG z là khâu PI

c

1p

K T z 1G (z) K

2 z 1

Phường trìnhđặc tính cảu hệ thống sau khi hiệu chỉnh là

1 ( ) ( )cG z GH z

93

Trong đó Ts

ZOH1 e 10 *0,05

G(H) G (s)G(s)H(s)s (10s 1)

0,091GH(z)

(z 0,819)

Do đó

Ip

K T z 1 0,0911 K 0

2 z 1 z 0,819

IK T z 1 0,0911 Kp 0

2 z 1 z 0,819

Thay T=2 ta suy ra 2

p I p Iz (0,091K 0,091K 1,819)z ( 0,091K 0,091K 0,819) 0

Cặp cực quyết đinh mong muốn là

n

* j1,2

T 2*0,707*2

2 2n

* j2,8281,2

*1,2

z re

r e e 0,059

T 1 2* 2 1 0,707 2,282

z 0,059e 0,059 cos(2,282) jsin(2,828)

z 0,056 j0,018

Phương trình đặc tính mong muốn là

2

2

z 0,056 j0,018 (z 0,056 j0,018) 0

z 0,112z 0,0035 0

So sánh (1) và (2) suy ra

P I

p I

0,091K 0,091K 1,819 0,112

0,091K 0,091K 0,819 0,0035

Giải phương trình trên ta được

p

I

K 15,09

K 6,13

Vậy cz 1

G (z) 15,09 6,13z 1

94

4.6. THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ ĐỘNG CƠ MỘT CHIỀU

4.6.1. Phân tích hệ thống điều khiển số động cơ một chiều

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển động cơ một chiều, điều chỉnh tốc độ bằng cách

thay đổi điện áp phần ứng :

Hình 4.16: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển động cơ một chiều

Trong phương pháp này, để thay đổi điện áp phần ứng ta sử dụng bộ chỉnh lưu nửa

chu kỳ bán điều khiển thyristor, Chức năng cơ bản của các khối như sau:

+ Giao diện ra là mạch có chứa bộ biến đổi DAC giúp máy tính giao tiếp và đưa

tín hiệu điều khiển ra bên ngoài.

+ Bộ khuếch đại ra là bộ phát và khuếch đại xung điều khiển mở 2 thyristor.

+ 1 2 1 2T ,T ,D ,D là bộ chỉnh lưu bán điều khiển 2 nửa chu kỳ

+ FT là máy phát tốc có nhiệm vụ biến tín hiệu tốc độ thành tín hiệu điện áp phản

hồi về máy tính.

+ Giao diện vào là mạch có chứa bộ ADC dùng để biến tín hiệu phản hồi điện áp

dạng tương tự thành dạng số cung cấp cho quá trình điều khiển bên trong máy tính

Với phương pháp này điện áp phần ứng đặt lên động cơ đươc tính theo

công thức :

u 0U U cos2

(4.50)

Với mô hình trên ta có sơ đồ của hệ thống khi chưa có bộ điều khiển mềm :

95

Hình 4.17: Sơ đồ điều khiển ĐCMC khi chưa có bộ điều khiển

Trong đó :

+ KdW (p) là hàm truyền của khuếch đại với k kK 80,T 0.02(s)

+ dcW (p) là hàm truyền của động cơ với d 1 2K 6.5,T 0.2(s),T 0.25(s)

+ T là chu kỳ trích mẫu của hệ thống khi chuyển liên tục sang số hoặc ngược lại. Do hệ thống tương tự có hằng số thời gian nhỏ nhất là kT 0.02(s) nên chu kỳ trích mẫu

phải nhỏ hơn kT để đảm bảo khả năng phản ứng kịp thời của hệ thống. Dựa vào khả năng

hoạt động của máy tính và các bộ chuyển đổi ta chọn chu kỳ trích mẫu là T 0.005(s)

a. Xác định hàm truyền đạt của hệ thống

Hàm truyền đạt kín của hệ thống có dạng :

dtk

dt

Z W (pY(z)W (z)

U(z) 1 Z W (p

( 4.51)

Trong đó :

k ddt Kd dc 2

k 1 2 2

2

K KW (p) W (p) * W (p)

(T p 1)(T T p T p 1)

520

(0.02p 1)(0.05p 0.25p 1)

(4.51)

Là hàm truyền đạt của đối tượng gồm khâu khuếch đại và động cơ

Sử dụng công cụ Matlab ta có :

96

Từ đó xác định được hàm truyền đạt của hệ thống kín :

Chuyển sang mô hình trạng thái :

x(k 1) A.x(k)+B.u(k)

y(k)=C.x(k)

(4.52)

Qua Matlab ta tìm được các ma trận trạng thái bằng các lệnh :

Kết quả thu được :

>>Wdt = tf([80], [0.02 1])*tf([6.5], [0.2*0.25 0.25 1])

Transfer function:

520

-------------------------------------

0.001 s^3 + 0.055 s^2 + 0.27 s + 1

>> Wdtd=c2d(Wdt, 0.005)

Transfer function:

0.01012 z^2 + 0.03785 z + 0.008824

-------------------------------------

z^3 - 2.754 z^2 + 2.513 z - 0.7596

Sampling time: 0.005

>> Wk=feedback(Wdtd, 1)

Transfer function:

0.01012 z^2 + 0.03785 z + 0.008824

-------------------------------

---- z^3 - 2.743 z^2 + 2.551 z -

0.7507

Sampling time: 0.005

>> [A,B,C,D]=ssdata(Wk);

>>A

>>B

>>C

97

>> [A,B,C,D]=ssdata(Wk)

A =

2.7435 -1.2756 0.7507

2.0000 0 0

0 0.5000 0

B =

0.2500

0

0

C =

0.0405 0.0757 0.0353

D =

0

Kết quả thu được :

2.7435 1.2756 0.7507

A 2 0 0 ,

0 0.5 0

0.25

B 0 ,C 0.0405 0.0757 0.0353

0

(4.53)

b. Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống

- Tính điều khiển được : Ta lập ma trận 2P A .B A.B B

(4.54)

Xét tính điều khiển được thông qua hạng của ma trận này

>> P=[A^2*B A*B B]

P =

1.2439 0.6859 0.2500

1.3717 0.5000 0

0.2500 0 0

>> det(P)

ans =

98

-0.0313

>> rank(P)

ans =

3

1.2439 0.6859 0.25

P 1.3717 0.5 0

0.25 0 0

(4.53)

det(P) 0.0313 0 do đó hệ thống là điều khiển được

+ Tính quan sát được : Ta lập ma trận ' ' ' ' 2 'N C A .C (A ) .C

(4.55)

>> C'

ans =

0.0405

0.0757

0.0353

>> A'

ans =

2.7435 2.0000 0

-1.2756 0 0.5000

0.7507 0 0

>> N=[C' A'*C' A'^2*C']

N =

0.0405 0.2625 0.6521

0.0757 -0.0340 -0.3196

0.0353 0.0304 0.1971

>> det(N)

ans =

-0.0045

>> rank(N)

ans =

3

99

0.0405 0.2625 0.6521

N 0.0757 0.034 0.3196

0.0353 0.0304 0.1971

(4.56)

det(N) 0.0045 0 do đó hệ quan sát được.

c. Kiểm tra tính ổn định của hệ thống

Từ hàm truyền đạt ra xét phương trình đặc tính mẫu : 3 2z 2.743z 2.551z 0.7507 0

(4.57)

>> HS=[1 -2.743 2.551 -0.7571];

>> x=roots(HS)

x =

1.0744 + 0.3462i

1.0744 - 0.3462i

0.5941 + 0.0000i

Bằng Matlab ta tìm được nghiệm của phương trình như sau :

1 1

2 2

3

z 1.0744 j0.3462 z 1.1128

z 1.0744 j0.3462 z 1.1128

z 0.5941

(4.58)

Ta thấy rằng 1 2z z 1 nên hệ không ổn định.

d. Quá trình quá độ của hệ thống

Khảo sát bằng Matlab :

>> step(Wk,0.185)

100

Hình 4.18: Đặc tính quá độ của hệ khi chưa có bộ ĐK

Nhận xét : đặc tính quá độ ngày càng mở rộng nên đặc tính khi chưa có bộ điều

khiển là không ổn định.

4.6.2. Tổng hợp hệ thống dùng bộ điều khiển PID

a. Bộ điều khiển PID

Hiện nay để tổng hợp một hệ thống điều khiển có rất nhiều phương pháp

như sử dụng bộ PID nối tiếp, PID bù song song hay bộ hồi tiếp trạng thái. Trong đó sử

dụng bộ PID bù nối tiếp là phương pháp kinh điển những vẫn được sử dụng rất nhiều. Bộ

điều khiển PID gồm 3 thành phần : thành phần tỉ lệ - thành phần tích phân – thành phần

vi phân. Mỗi thành phần có những ảnh hưởng nhất định đến chất lượng của hệ thống và

việc lựa chọn một bộ tham số phù hợp cho ba thành phần đó sẽ đem lại cho hệ thống chất

lượng mong muốn. Bộ PID có 2 loại : PID tương tự là bộ điều khiển bằng phần cứng,

PID số là bộ điều khiển bằng phần mềm do người lập trình viết ra. Trong bài này ta sẽ sử

dụng bộ điều khiển PID số.

Hàm truyền liên tục của bộ điều khiển PID số có thể được viết dưới dạng

sau :

101

IPID P d

KW (s) K K s

s (4.59)

Để chuyển từ bộ PID tương tự sang bộ PID số ta sử dụng phương pháp gần

đúng Tustin bằng cách chuyển từng phần của bộ PID tương tự thành dạng rời rạc theo

công thức :

+ Thành phần tỉ lệ được giữ nguyên

+ Thành phần tích phân được lấy gần đúng theo Tustin :

I IK K T(z 1)

s 2(z 1)

(4.60)

+ Thành phần vi phân được lấy gần đúng theo Tustin:

DD

K (z 1)K s

Tz

(4.61)

Trong đó T là chu kỳ trích mẫu của hệ thống

Như vậy hàm truyền đạt rời rạc của bộ PID số là :

I DPID P

2 2P I D

2D D DP I P I

K T(z 1) K (z 1)W (z) K

2(z 1) Tz

2TK z(z 1) K T z(z 1) 2K (z 1)

2TZ(z 1)

K K K(K 0.5K T )z (K 0.5K T 2 )z

T T Tz(z 1)

( 4.62)

b. Thông số bộ điều khiển PID

Sử dụng phương pháp tổng hợp bộ điều khiển PID nối tiếp ta có sơ đồ hệ thống

Hình 4.19 : Sơ đồ hệ thống sử dụng bộ điều khiển PID

- Nhiệm vụ của quá trình tổng hợp là tìm các thông số Kp,Ki,Kd của bộ điều kiển PID

sao cho hệ thống đạt chất lượng như mong muốn. Nhưng đến nay, chưa có phương

pháp chuẩn nào để tìm một cách chính xác các thông số này của bộ điều khiển mà

hoàn toàn phải “mò” dựa vào các thông số này của bộ điều PID lên chất lượng hệ

thống thông qua kết quả mô phỏng trên Simulink

102

Mức độ ảnh hưởng các thông số của bộ PID đến chất lượng của hệ thống là phụ

thuộc vào cấu trúc của hệ thông số bộ PID đến chất lượng cảu hệ thống là phụ thuộc vào

cấu trúc của hệ tuy nhiên nó cũng tuân theo nguyên tắc cơ bản :

Thời gian ổn định Độ quá điều chỉnh Độ sai lệch tĩnh

Kp Ít ảnh hưởng Tăng Giảm

Ki Tăng Tăng Triệt tiêu

kd Giảm Giảm Ít ảnh hưởng

Các bước để xác định thông số của bộ điều chỉnh PID

+ Xây dựng mô hình hệ thống trên phần mềm mô phỏng Simulink

+Đặt các thông số cho bộ |PID tùy ý.

+Chạy thử mô hình và kiểm tra kết quả đặc tính quá độ trên |Scope

+Quan sát đường đặc tính quá độ của hệ thống,kiểm tra xem tính chất nào chưa

đạt yêu cầu thì thay đổi thông số tương ứng của bộ PID theo mức độ ảnh hưởng cho trong

bảng trên.

+ Chạy lại mô hình với thông số mới và tiếp tục kiểm tra,sửa đổi cho đến khi hệ

đạt chất lượng như mong muốn

Tuy nhiên để thuận tiện và nhanh chóng khi tổng hợp hệ thống,trong

Matlab đã tích hợp sẵn một công cụ chuyên dụng giúp ta xác định tương đối chính xác

thông số của bộ điều khiển PID đó là Rltool. Với công cụ này ta có thể xác định một cách

sơ bộ thông số của bộ PID qua gán các điểm cực mong muốn cho hệ thống.Như ta đã biết

các điểm cực là thông số quyết định đến chất lượng của hệ thống,với một hệ điều khiển

số để ổn định thì các điểm cực phải năm bên trong vòng tròn đơn vị.

Như vậy ta sẽ tìm các thông số của bộ PID để làm cho hệ thống ổn định

bằng công cụ Rltool,sau đó chạy thử hệ thống trên Simulink và tiếp tục chỉnh sửa các

thông số của bộ PID để đạt chất lượng mong muốn.

103

*Các bước thực hiện tìm thông số bộ PID nối tiếp

Trong từng Command Windows đánh lệnh:

Cửa sổ Rltool xuất hiện, ta nhập mô hình của đối tượng bằng cách vào

:File\Import Model ta sẽ có sơ đồ mô hình hệ thống và của sổ để nhập thông số.Ta nhập

Wdtz tượng,trong đó k là bộ có các thông số cần tìm.

Hình 4.20: Hộp hội thoại để nhập các khâu trong hệ thống

Để nhập thông số cho bộ PID ta vào Tool\Edit Compensator,hộp hội thoại

cho phép ta nhập các điểm cực và điểm không của bộ PID xuất hiện.Từ hàm truyền rời

rạc của bộ PID ta được hai điểm cực là :z1=1 và z2=0; còn hai điểm không ta có thể chọn

tùy ý.

104

Hình 4.21: Hộp hội thoại nhập các điểm cực,điểm không cho bộ PID

-Quan sát đồ thị quỹ đạo nghiệm,và thay đổi thông số PID bằng cách kéo các điểm

cực,điểm không của bộ PID trên đồ thị sao cho hệ thống có chất lượng đạt yêu cầu.Từ đó

ra rút ra được các thông số cơ bản của bộ PID là:

Kp=0,0085;

Ki=0,0024;

Kd=0,000004;

*Kiểm tra và thay đổi thông số bộ PID trên Simulink

Xây dựng mô hình trên hệ thống trên Simulink với các thống số vừa tìm được

Hình 4.22:Sơ đồ mô phỏng hệ thống trên Simulink

-Chạy sơ đồ với thông số chưa hiệu chỉnh ta được đường đặc tính quá độ:

105

Hình 4.23:Đặc tính quá độ của hệ thống khi chưa có hiệu chỉnh

Chỉnh định lại các thông số bộ PID cho đến khi hệ đạt chất lượng tốt:

Hình 4.24: Sơ đồ mô phỏng hệ thống trên Simulink sau khi điều chỉnh TS

Với các thông số tìm được :

Kp=0,00274

Ki=0,000054/0,005=0,0108

Kd=0,098.0,005=0,0005;

Đặc tính quá độ của hệ:

106

Hình 4.25: Đặc tính quá độ của hệ khi đã có hiệu chỉnh

Qua đường đặc tính quá độ ta thấy chất lượng của hệ thống đã tốt hơn rất nhiều so

vói trước khi điều chỉnh :

+Thời gian quá độ :1,4s

+Độ quá điều chỉnh :0,8%

Như vậy thông số của bộ điều khiển PID số cần tìm là

Kp=0,00274;

Ki=0,0108;

Kp=0,0005;

Và có hàm truyền đạt

2

0,000054( 1) 0,0989( 1)W ( ) 0,0274

2( 1)

0,002767. 0,09526. 0,098

( 1)

PID

z zz

z z

z z

z z

107


1.Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hinh vẽ,trong đó :

Hàm truyền khâu liên tục s 1G s

s(s 5)

Chu kỳ lấy mẫu T=0.2(sec)

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có cặp cực

quyết định ξ = 0 707 , (rad/sec)

Trình bày các phương pháp chuyển đổi tín hiệu từ tương tự sang số và số sang

tương tự

2.Cho hệ thống rời rạc như hình vẽ

H

Hệ phương trình biến trạng thái môt tả đối tượng là

d d

d

x(k 1) A (k) B u(k )c(k) C x(k)

Trong đó

d

d

d

1 0,32A

0 0,37

0,09B

0,34

C 10 0

Hãy tính vecto hồi tiếp trạng thái sao cho hệ kín có cặp cực phức với

0,707 và 10nw rad/sec

LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu học tập hệ thống điều khiển số được ...

Documents

Transcript of LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu học tập hệ thống điều khiển số được ...