ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГосударственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования«Тихоокеанский государственный университет»

Исследование функцийи построение графиков

Методические указания к самостоятельной работедля студентов строительных специльностей

Издание второе, стереотипное

Хабаровск 2012

УДК 517 (076.05)Исследование функций и построение графиков: Методические указания к самостоятельнойработе для студентов строительных специальностей дневной вечерней форм обучения/ Сост. В. И. Чеботарев. - Хабаровск: Хабар. политехн. ин-т, 1990. - 40 с.

Работа составлена на кафедре высшей математики (с).Содержит указания по исследованию функций и построению графиков.

Объем выполнения - 4 часа.

Печатается в соответствии с решениями кафедры высшей математики (с) и методическогосовета строительного факультета.

c© Хабаровский политехнический институт, 1990.

СодержаниеВведение. 1

§1.Предварительные сведения. 2Поведение графика в окрестности точки разрыва второго рода. . . . . . . . 3Поведение функции на бесконечности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Исследование на монотонность и экстремум. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Исследование на направление выпуклости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§2.Метод промежуточных эскизов. 11

§3. Некоторые примеры построения графиков. 11Пример 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Пример 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Пример 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Пример 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Пример 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Пример 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§4. Построение «кусочных» функций. 18

Варианты заданий 21Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Вариант 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Вариант 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Вариант 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Вариант 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Вариант 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Вариант 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Вариант 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Вариант 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Вариант 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Вариант 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Вариант 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Вариант 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Вариант 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Вариант 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Вариант 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Вариант 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Вариант 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Вариант 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Вариант 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Вариант 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Вариант 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Вариант 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Вариант 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Вариант 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Вариант 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Введение.

Обычно для построения графика сначала выясняют поведение функции, привлекая теоре-мы математического анализа, затем делают словесные выводы и уже как результат рассужде-ний получают график изучаемой функции (см., например, [1, стр. 239-242], [2, стр. 213-216],[3, стр. 182-186]). При этом, на наш взгляд, нет достаточного обоснования последовательностирассуждений. Кроме того, построение графика "сразу без промежуточых, как нам кажется,затрудительно для обучающихся.

В §2 мы предлагаем свой подход к указанным двум аспектам задачи построения графиков.Суть подхода заключена в следующем общем принципе любых исследований. Сначала явлениеизучают «грубо», выделяя в нем главное. Потом, привлекая все больше информации, получаютвсе более тонкие свойства явления. В результате исследователь приближается к истине.

Для построения графиков указанный принцип используется следующм образом. В процес-се исследования функции мы строим промежуточные эскизы, которые с ростом информациипо своему виду приближаются к искомому графику.

В §1 даны необходимые сведения из математического анализа. В §3 рассмотрены примерыиспользования метода. В §4 студент познакомится с так называемым "кусочными" функциями.

Для закрепления изученного материала методические указания содержат варианты заданий.

1

§1. Предварительные сведенияиз математического анализа.

Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке α, если limx→α

f(x) ≈ f(α).Другими словами, непрерывность функции f(x) в точке α означает, что f(x) = f(α) при

всех x, достаточно близких к α. Здесь важно выделить тот факт, что функция, нерерывная:т. α, почти постоянна в некоторой малой окрестности этой точки.

Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывнав каждой точке этого интервала.

График такой функции можно вычертить, двигаясь в одном направлении, скажем слеванаправо, не отрывая карандаша от графика.

Известно, что каждая элементарная функция непрерывна в своей области определения.Обратим внимание читателя, что при построение графиков более важную роль играют

не точки непрерывности, а как раз точки, в которых непрерывность нарушается. Такиеточки называются точками разрыва. Различают точки разрыва двух родов.

Определение. Точкой разрыва первого рода функции f(x) называется такая точка x0,в которой функция имеет конечные левый и правый пределы, не равные между собой.

Например, функция, график которой изображен на рис. 40, имеет разрыв первого родав точке x = −1 :

limx→−1−0

f(x) = 0, limx→−1+0

f(x) = −1.Для того чтобы описать точки разрыва другого вида, напомним некоторые понятия.Определение. Говорят, что предел функции равен бесконечности, когда x приближается

к x0 слева (справа), если при этом значения функции неограниченно возрастают. В рассматри-ваемом случае применяют обозначения lim

x→x0−0f(x) = +∞ или lim

x→x0+0f(x) = +∞.

Аналогично предел функции равен минус бесконечности, когда x приближается к x0слева (справа), если при этом значения функции неограниченно убывают, то есть становятсяменьше любого наперед заданного отрицательного числа. Применяют обозначения

limx→x0−0

f(x) = −∞ или limx→x0+0

f(x) = −∞.

Например, limx→0−0

1

x= −∞, lim

x→0+0

1

x=∞.

Определение. Точкой разрыва второго рода для данной функции называется такая точкаx0, в которой функция имеет или бесконечный слева предел или бессконечный справа пределили не имеет предела.

Приведем несколько примеров. Функция, график которой изображен на рис. 1, имеетразрыв второго рода в точке 1, причем предел слева конечен и равен 2, а предел слева равенбесконечности.

2

рис. 1

6

-0 x

y

1 2

1

2y =

1

x− 1

y = 2x13

12

1

−13

−12

-1

рис. 2

6

-0x

y

y = sin π2

Для функции y = tg x точкаπ

2служит точкой разрыва второго рода: lim

x→π2−0

tg x = ∞,

limx→π

2−0

tg x = −∞ (см. рис.24). Далее, функция y = sinπ

2в точке O имеет разрыв второго рода,

так как пределы справа и слева в этой точке не существует для рассматриваемой функции.С каждой точкой разрыва второго рода связана некоторая вертикальная прямая.Определение. Вертикальная прямая, задаваемая уравнением x = x0, называется верти-

кальной асимптотой графика функции y = f(x), если в точке x0 передел слева или справаравен бесконечности.

Например, прямая x =π

2-вертикальная асимптота графика функции y = tg x (см. рис.

24), прямая x = 1 - вертикальная асимптота графика функции, изображенного на рис. 1.Прямая x = 0 - вертикальная асимптота графика логарифмической функции (см. рис. 20,21).

Сравнивая графики, имеющие вертикальные асимптоты, нетрудно заметить следующееобщее свойство: расстояние от точки (x, f(x)) графика функции y = f(x) до вертикальнойасимптоты стремится к нулю при движении точки вдоль графика к бесконечности. Этимсвойством могут обладать не только вертикальные асимптоты.

Определение.Асимптотой графика функции f(x) называется прямая, обладающая темсвойством, что расстояние от точки (x, f(x)) графика до этой прямой стремится к нулю придвижении этой точки вдоль графика к бесконечности.

Поведение графика в окрестности точки разрыва второго рода.

Пусть известно, что limx→x0−0

f(x) =∞. Это означает, что когда x приближается к x0 слева, то

значения f(x) "убегают" в бесконечность.Возьмем для наглядности три точки x1 < x2 < x3 < x0 (можно и больше), достаточно

близкие к x0. На оси Oy отметим некоторые три больших числа y1 < y2 < y3, причемподразумевается, что y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3). Заметим, что точки y1, y2, y3 должныотстоять достаточно далеко для начала координат, так как рассматривается случайlim

x→x0−0f(x) = ∞. Отметим на плоскости три точки (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3). Проведем через

них плавную кривую. В результате получим характерное поведение графика функции слеваот точки разрыва второго рода, когда lim

x→x0+0f(x) = ∞ (рис.3). Аналогичный прием можно

3

использовать для того, чтобы понять, как ведет себя график функции справа от точкиразрыва второго рода, когда lim

x→x0+0f(x) = ∞ или −∞. На рис. 4 изображено характерное

поведение графика в случае, когда limx→x0+0

f(x) = −∞.

6

-0 x

y

x3x2x1

y2y1

y3

q q q

рис. 3

6

-0 x

y

x3x2x1x0

y1y2y3

qqqрис. 4

Пример 1. Изобразить поведение функции y =1

x− 1в окрестности точки x = 1.

y =1

x− 16

-0 x

y

рис. 5

q1q−1q1

q54

q32

q2

q34

q12q−2

q−4

Имеем limx→1−0

1

x− 1= −∞.

Поясним это. Возьмем несколько числовых значений x,приближающихся к 1 слева, например, x1 = 0, 9, x2 = 0, 99,

x3 = 0, 999. Подставим их в функцию y =1

x− 1и получим

y1 = −10, y2 = −100, y3 = −1000. Эти вычисления приво-

дят нас к заключению, что значения функции y =1

x− 1"убегают"в минус бесконечность, если x приближается к1 слева.

Если бы теперь мы взяли точки (0,9;-10), (0,99;-100), (0,999;-1000) и провели через нихплавную кривую, то тем самым изобразили бы поведение функции в окрестности 1 (вблизи 1)слева. Но построение этих точек весьма затруднительно, и мы возьмем другие, более удобныезначения x, приближающихся к 1 слева (хотя и не так быстро): x1 = 0,

x2 =1

2, x3 =

3

4. Соответствующие значения функции: y1 = −1, y2 = −2, y3 = −4. Отмечая

точки (0;−1) ,(1

2;−2

),

(3

4;−4

)на плоскости и проводя через них плавную кривую, получим

график исследуемой функции слева от = 1 (вблизи этой точки) (рис. 5).

Аналогично предыдущему, убеждаемся, что limx→1+0

1

x− 1=∞. Для этого достаточно вычис-

лить значения функции в точках x1 = 1, 1, x2 = 1, 01, x3 = 1, 001.

Для построения графика выбираем на оси Ox более удобные точки x1 = 2, x2 =3

2,

x3 =5

4. Вычисляем соответствующие значения функции y1 = 1, y2 = 2, y3 = 4. Отмечая точки

4

(2; 1) ,

(3

2; 2

),

(5

4; 4

)на плоскости и проводя через них плавную кривую, получаем график

функции справа от x = 1 (вблизи этой точки) (см. рис. 5).

Поведение функции на бесконечности.

Теперь нас будет интересовать геометрическое изображение функции при x → ∞ илиx→ −∞. Мы обсудим случай x→∞ (второй случай рассматривается аналогично).

Выделим три возможности:1) график функции имеет горизонтальную асимптоту (рис. 6-8),2) график функции имеет наклонную асимптоту (рис. 9-11),3) график функции не имеет асимптот при x→∞.

6

-0 x

y

x1 x2 x3

y3

y2

y1

q q qqqq q

q qqA

рис. 6

6

-0 x

y

y1y2y3

x1 x2 x3

q q qA

рис. 7

y = f(x)6

-0 x

y

x1

x2x3

x4x5

y3

y2y1

y4

y5

q qq q qqqqqqq q q

q qq

рис. 8

A

6

-0 x

y

���������

рис. 9

y = f(x)

y = kx+ b

5

6

-0 x

y

�������

y = kx+ b

y = f(x)

рис. 10

6

-0 x

y

�������

y = f(x)

y = kx+ b

рис. 11

1. Пусть limx→∞

f(x) = A. Возьмем три достаточно больших числа (можно взять четыреи т.д.) x1 < x2 < x3 на оси Ox и найдем соответствующие значения функции y1 = f(x1),y2 = f(x2), y3 = f(x3). По предположению они близки к . Отметим эти три числа на оси Oyи три соответствующие точки (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3) на плоскости. Проводя через них плавнуюкривую, получим поведение функции при x→∞ (рис. 7 или 8). Глядя на график, замечаем,что расстояние от точки (x, f(x)) графика до прямой y = A стремиться к нулю, когдаx→∞. Это означает, что прямая y = A является асимптотой. Ее называют горизонтальнойасимптотой.

Итак, если limx→∞

f(x) = A, то прямая, задаваемая уравнением y = A, является гори-зонтальной асимптотой, а функция может вести себя (при x→∞) одним из трех способов,изображенных на рисунках 6-8.

2. Пусть limx→∞

f(x) =∞ или−∞. В этом случае проверяют наличие наклонной асимптоты,то есть такой прямой y = kx + b (k 6= 0), что расстояние от точки (x, f(x)) до этой прямойстремится к нулю, когда x→∞. Справедливо утверждение: график функции y = f(x) имеетнаклонную асимптоту y = kx + b при x → ∞ тогда и только тогда, когда существуютконечные пределы

k = limx→∞

f(x)

xи

b = limx→∞

[f(x)− kx]

.Если у функции есть наклонная асимптота, то при больших x графики функции y = f(x)

и прямой y = kx + b сближаются. Это может происходить одним из способов, изображеныхна рисунках 9-11.

Замечание. Если функция является отношением двух многочленов f(x) =P (x)

Q(x), то

наклонная асимптота существует тогда или только тогда, когда степень многочлена P (x) на1 больше степени многочлена Q(x).

3. Пусть limx→∞

f(x) =∞ или −∞, а наклонная асимптота не существует. Чтобы изобразитьхарактер изменения функции при x → ∞, возьмем три (а можно и больше) достаточнобольших числа x1 < x2 < x3 и найдем y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3). Если lim

x→∞f(x) = ∞,

то значения y1, y2, y3 велики. Отметим их на оси Oy, а затем три точки (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3).Проведя через них плавную кривую, получим график функции при достаточно больших x(рис. 12. 13).

6

6

-0 x

y

рис. 12

y1

y2

y3

x2 x3x1

q q q

6

-0 x

y

рис. 13

y1

y2

y3

x2 x3x1

qq

q

Аналогичные рассуждения помогают построить график функции y = f(x) при большихx, если lim

x→∞f(x) = −∞.

Пример 2. Изобразить поведение функции y =x2 − 1

2x+ 3при x → ±∞. Так как степень

многочлена x2−1 на 1 больше степени многочлена 2x+3, то наклонная асимптота существует.Найдем ее при x→∞. Имеем

k = limx→∞

x2 − 1

(2x+ 3)x= lim

x→∞

x2

2x2=

1

2,

b = limx→∞

[x2 − 1

2x+ 3− 1

2x] = lim

x→∞

x2 − 1− x2 − 3

2x

2x+ 3= lim

x→∞

−3

2x

2x= −3

4.

���

���

���

�

6

-0x

y

рис. 14

y = x2−12x+3

y = x2−12x+3

s q qqqq

−34

132

−1−3

Здесь применим "способ выделения главногочлена при x → ∞": в числителе и знаменателеоставлены только слагаемые с набольшей степенью.Итак, прямая y =

1

2x − 3

4- наклонная асимптота

при x → ∞. Чтобы построить график функциипри больших x, осталось выяснить взаимноерасположение асимптоты и графика. Возьмем,например, x = 5 (достаточно большое число) и

выясним, что больше:52 − 1

2 · 5 + 3или

1

2· 5-3

4. Из

неравенства52 − 1

2 · 5 + 3>

5

2− 3

4можно сделать вывод,

что при больших x график функции расположеннад асимптотой. Этот график изображен в правойполовине рисунка 14.

Аналогично проверяется, что наклонной асимптотой при x→ −∞ является та же прямая

y =1

2x− 3

4и что значения функции при отрицательных, но больших по модулю x, меньше,

чем1

2x− 3

4. Это значит, что график функции находится под асимптотой при x→ −∞ ( рис.

14, левая половина).

7

Исследование на монотонность и экстремум.

Теорема 1. Если f ′(x) > 0 при всех x ∈ [a, b], то f(x) возрастает на [a, b].Если f(x) < 0 при всех x ∈ [a, b], то f(x) убывает на [a, b].Обратно, если дифференцируемая функция возрастает на [a, b], то f ′(x) 6 0при всех x ∈ [a, b],Если дифференцируемая функция убывает на [a, b], то f ′(x) > 0при всех x ∈ [a, b].

Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если при всех x,достаточно близких к x0 (x 6= x0), выполняется неравенство f(x) < f(x0).

Бывают гладкие и острые максимумы. На рис. 15 x =π

2точка гладкого максимума:

касательная к графику в точке(π2, 1)

параллельно оси Ox. На рис. 16 x = 0 - точка острогомаксимума: в точке (0,0) касательная не существует. Кроме того, острый максимум бывает,когда касательная параллельна оси (рис. 18). Заметим, что функции, графики которых изобра-жены на рисунках 15 и 16, имеют бесконечное число точек максимума (укажите их).

6

-0 x

y

рис. 15

1

−2π −π π 2π

6

-0x

y

рис. 16

−1

−π π

6

-

qq0 x

y

рис. 17

1

−1 1

y =√|x|

q q

6

-0x

y

рис. 18

−1−1 1

y = −√|x|

Аналогично определяются точки минимума.

8

Определение. Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если при всех x,достаточно близких к x0 (x 6= x0), выполняется неравенство f(x) > f(x0).

Например, функция y =| sinx | имеет бесконечное число точек острого миимума, (рис.15, x = 0, ±π,...), а функция y = − | sinx | имеет бесконечное число точек гладкого минимума

(рис. 16, x = ±π2, x = ±3

2π,...). Функция y =

√x |x=0 имеет острый минимум (рис. 17).

Определение. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.Геометрически гладкие экстремумы изображаются или плавными «холмиками» или плав-

ными «ямками», а острые экстремумы - или «пиками» вверх или «пиками» вниз (рис. 15-18).Теорема 2 (необходимый признак экстремума). Если в точке x0 функция f(x) имеет

экстремум, то f ′(x) = 0 (случай гладкого экстремума).Краткое объяснение. Напомним, что существование производной f ′(x0) равносильно

существованию касательной к графику функции y = f(x) в точке (x0, f(x0)). В этом состоитгеометрический смысл существования производной. Более того, f ′(x0) равна угловому коэффи-циенту касательной, то есть f ′(x0) = tgα, где α − угол между положительным направлениемоси Ox и касательной, измеряемый против часовой стрелки (рис.19).

α

y = f(x)

6

-0 x

y

рис. 19

f(x0)

x0

qQQQQQQQQQQQQQ

y = f(x)

6

-0 x

y

рис. 20

f(x0)

x0

q

Если x0 - точка гладкого экстремума, то, как видно на рис. 20, в точке (x0, f(x0)) касатель-ная к графику параллельна оси Ox. Следовательно, tgα = 0. Отсюда f ′(x0) = 0. Если x0 -точка острого экстремума, то в точке (x0, f(x0)) не существует касательная к графику (см.рис. 15, точка (0,0) ). Следовательно, не существует и производная.

Определение. Точка x0, входящая в область определения исследуемой функции, называет-ся критической, если f ′(x) = 0 или f ′(x) не существует.

В случае, когда f ′(x) = 0, эту точку приянато также называть стационарной.Если точка критическая, это еще не означает, что она является точкой экстремума. Например,

функция y = x3 в точке x = 0 не имеет экстремума. (Приложение, рис. 14), но эта точкаявляется критической, так как (x3)′ |x=0= 3x2 |x=0= 0.

Теорема 3. (первый достаточный признак экстремума).Пусть x0 - критическая точка функции y = f(x).Если производная f ′(x) при переходе x через x0 слева направо меняет знак с «+» на «-»,

то x0 − точка максимума, если с «-» на «+», то x0 − точка минимума.

9

Краткое объяснение. Если f ′(x) при переходе через x0 слева направо меняет знак с «+»на «-», то по теореме 1 слева от x0 функция возрастает, а справа убывает, то есть графикфункции в окрестности точки x0 представляет собой «холмик». Это и значит, что x0 − точкамаксимума.

Аналогично объясняется второй случай.Иногда для исследования на экстремум удобно применять вторую производную.Теорема 4. (второй достаточный признак экстремума). Пусть x0 − стационарная точка.

Если f ′′(x0) > 0, то x0 − точка минимума.Объяснение к этой теореме будет дано в следующем пункте.

Исследование на направление выпуклости и точки перегиба.

Определение. Кривая (на плоскости) называется выпуклой вверх, если она расположенаниже любой своей касательной (рис.21). Кривая называется выпуклой вниз, если она располо-жена выше любой своей касательной (рис.22).

6

-0 x

y

рис. 21

qr

����

���

y = f(x)

����

��

��

y = f(x)

6

-0 x

y

рис. 22

qq

6

-0 x

y

рис. 23

���

���

y = f(x)Определение.Точкой перегиба называется точкакривой, которая отделяет участки с разныминаправлениями выпуклости (рис. 23, точка А).Заметим, что в точке перегиба касательнаяпересекает кривую.Теорема 5. Если вторая производная f ′′(x) всюдув некотором интервале отрицательна, то частьграфика функции y = f(x), соответствующая этомуинтервалу, выпукла вверх.Еслиf ′′′(x) всюду в этом интервале положительна,то рассматриваемая часть графика выпукла вниз.

10

Замечание. Так как в окрестности точки гладкого максимума график обязан быть выпуклымвверх (см. рис. 15), то становится понятным утверждение теоремы 4: если f ′(x0) = 0 иf ′′(x0) < 0, то x0 − точка максимума.

§2. Метод промежуточных эскизов.

Процедуру построения графиков мы разделим на три этапа.Первый этап. Применяем приемы исследования функций, не использующие производных:

нахождение области определения, точек разрыва, исследование поведения в окрестноститочек разрыва, исследование поведения на бесконечности, нахождение горизонтальных инаклонных асимптот, если они существуют. К этому этапу можно отнести нахождение точекпересеченя с осями координат (если это удается сделать) и другие уточнения. И самое важное:после каждого пункта исследования желательно строить эскиз, который бы отражалвновь полученную информацию о функции, причем каждый последующий эскиз уточнялбы или дополнял предыдущий.

Второй этап. Применяя первую производную, находим точки экстремума (если онисуществуют), интервалы монотонности. Затем строим эскиз, который уточняет предыдущий.Заметим, что при исследовании на экстремум можно пользоваться и второй производной (см.теорему 4).

Третий этап. С помощью второй производной находим точки перегиба и участки постоян-ного направления выпуклости графика. Затем производим дополнительные уточнения: уголнаклона касательной в некоторых точках и т.д. Строим окончательный график.

Заметим, что количество предварительных эскизов зависит, в основном, от опыта исследо-вателя: чем больше опыта, тем меньше предварительных рисунков потребуется, чтобы построи-ть график.

§3. Некоторые примеры построения графиков.Рассмотрим примеры построения графиков. При этом предполагается, что рассуждения будетпроводить не очень опытный, но добросовестный студент.

Пример 3.

Построить график функцииy = (x+ 1)(x2 + x+ 1).

Первый этап. Область определения − все действительные числа. Точек разрыва нет.Таким образом, график определен при всех . Далее, исследуя поведение на бесконечности,получается что

limx→∞

(x+ 1)(x2 + x+ 1) =∞

иlim

x→−∞(x+ 1)(x2 + x+ 1) = −∞.

11

Кроме того, график не имеет асимптот. Вспоминая, как изображаются графики функций,которые так ведут себя на бесконечности (рис. 12 и 13), придем к эскизу, изображенному нарис. 24.

6

-0 x

y

рис. 24

6

-0 x

y

рис. 25

qq

1

−1

Чтобы найти точку пересечения с осью Oy, достаточно найти значение функции при x = 0.Таким образом, (0,1) − точка пересечения графика с осью Oy. Для того чтобы определитьточки пересечения с осью Ox, заметим, что график многочлена степени n пересекает ось Oxболее, чем в n точках. В рассматриваемом случае максимальное число точек пересечения сосью Ox равно трем. Приравняем функцию к нулю. Легко видеть, что корнем функции (x+1)(x2+x+1) является число −1. Приравниваем к нулю x2+x+1 и убеждаемся, что уравнениеx2+x+1 = 0 действительных корней не имеет. Следовательно, график исследуемой функциипересекает ось Ox только в точке x = −1. С учетом полученной информации уточним рис.24 (см. рис. 25).

Второй этап. Чтобы найти производную, запишем функцию в виде y = x3+2x2+2x+1.Тогда y′ = 3x2+4x+2. Дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, коэффициент приx2 положителен. Следовательно, y′ > 0 для всех x. По теореме 1 функция всюду возрастает.Это соответствует рис. 25.

Третий этап. Имеем y′′ = 6x+ 4. Следовательно, y′′ = 0 при x = −2

3. Заполним таблицу

чередования знаков второй производной:

x < −2

3x = −2

3x > −2

3y′′ < 0 y′′ = 0 y′′ > 0

По теореме 5 при x < −2

3график имеет выпуклость вверх, при x > −2

3− выпуклость

вниз. В результате вычислений получаем y

(−2

3

)=

2

27. В силу предыдущего

(−2

3;7

27

)-

точка перегиба. Заметим еще, что y′(−2

3

)=

2

3≈ 0, 67.

12

Следовательно, угол между касательной в точке перегиба и положительным направлением

оси Ox приблизительно равен 40◦(так как tg 45◦ = 1, tg 30◦ =1√3≈ 0, 57).

6

-0 x

y

qрис. 26

1q−2

3

q727

Теперь из рис. 25 и последней информации получаемграфик исследуемой функции (рис. 26).Заметим, что характер поведения функции в основномотражен уже на рис. 25, а рис. 26 является лишьуточнением.

Пример 4.

Построить график функции

y = (x+ 2)(x2 − 4x+ 3).

Первый этап. Область определения − все действительные числа. Точек разрыва нет.Следовательно, график определен при всех x. Далее исследуем поведение на бесконечности:

limx→∞

(x+ 2)(x2 − 4x+ 3) = limx→∞

x3 =∞,

limx→−∞

(x+ 2)(x2 − 4x+ 3) = limx→−∞

x3 = −∞.

График не имеет асимптот. Первый эскиз так же, как на рис. 24 в предыдущем примере.Теперь определим точки пересечения с осями.Так как y(0) = 6, то (0,6) − точка пересечения с осью Oy. Далее, решаем уравнение(x+2)(x3− 4x+3) = 0. Первый корень x1 = −2. Остается решить уравнение x2− 4x+3 = 0.По теореме Виетта x2 = 1, x3 = 3. Итак, x1 = −2, x2 = 1, x3 = 3 − точки пересечения с осьюOx. Учитывая предыдущую информацию, строим эскиз (рис. 27).

6

-0 x

y

q6q q q−2

1

3

рис.27

6

-0 x

y

q6q q qx5

−21

3q

рис.28

qqx4

−1

−4 q

13

Второй этап. Чтобы найти производную, запишем исследуемую функцию в видеy = x3 − 2x2 − 5x+ 6. Тогда y′ = 3x2 − 4x− 5. Решаем уравнение y′ = 0. Получаем

x4 =2−√14

3≈ −0, 76, x5 =

2 +√14

2≈ 2, 1. Заполним таблицу чередования знаков

производной:

x < x4 x = x4 x4 < x < x5 x = x5 x > x5y′ > 0 y′ = 0 y′ < 0 y′ < 0 y′ = 0

В силу теоремы 3 x4 − точка максимума, x5 − точка миимума. Найдем значения функции вэтих точках: y(x4) ≈ 8, 2, y(x3) ≈ −4. Теперь можно уточнить рис. 27 (см. рис. 28).

Третий этап. Имеем y′′ = 6x−4. Заполним таблицу чередования знаков второй производ-ной:

x <2

3x =

2

3x >

2

3y′′ < 0 y′′ = 0 y′′ > 0

Отсюда следует, что при x <2

3график имеет выпуклость вверх, x >

2

3− выпуклость вниз.

6

-0 x

y

q6q q qx5

−21

3q

рис.29

qqx4

−1

−4 q 2q

Имеем y

(2

3

)=

56

27≈ 2. В силу предыдущего(

2

3,56

57

)− точка перегиба. Теперь из рис. 28

и полученной информации получаем графикисследуемой функции (рис. 29). Заметим, чтона первом эскизе (рис. 27) уже в основном"схвачена"форма графика (поведение набесконечности и два экстремума). Следующиедва эскиза его уточняют.

Пример 5.

Построить график функции y = ln(x2 − 1).Первый этап. По определению логарифмируемое выражение должно быть положительным.

Отсюда x2 − 1 > 0 − условие существования функции. Решая это неравенство, получимобласть определения: [−∞,−1] ∪ [1,∞]. Функция непрерывна всюду в области определения.Кроме того, она четная. Следовательно, график симметричен относительно оси Oy.

Выясним, как ведет себя функция справа от x = 1 ( в окрестности этой точки). Имеемlim

x→1+0ln(x2−1) = −∞. Следовательно, прямая x = 1 - вертикальная асимптота (см. определение

вертикальной асимптоты), а поведение графика при x, близких к 1, можно приблизительноизобразить, как на рис. 30. Пользуясь четностью функции, изображаем поведение функциив окрестности точки x = −1 (рис. 30).

14

q q−1 1

6

-0 x

y

рис.30 рис.31

q q−1 1

6

-0 x

y

Далее, посмотрим как ведет себя функция на бесконечности. Имеем limx→∞

ln(x2 − 1) = ∞.С учетом этой информации дорисовываем предыдущий эскиз (см. рис. 31).

Теперь уточним точки пересечения с осью Ox. Решаем уравнение:ln(x2 − 1) = 0 : x2 − 1 = 1, x = ±

√2.

В результате получаем рис. 32.

Второй этап. Имеем y′ =2x

x2 − 1, y′ = 0 при x = 0 и y′ не существует при x± 1. Так как

0, −1, 1 не входят в область определения, то функция y = ln(x2 − 1) не имеет критическихточек. Далее, если x > 1, то y′ > 0. Следовательно, функция возрастает при x > 1, а из-засимметричности, убывает при x < −1. Это соответствует рисунку 32.

q q−1 1

6

-0 x

y

рис.32

−√2q q√

2q q−1 1

6

-0 x

y

рис.33

−2q q

2

Третий этап. Имеем y′′ = −2 x2 + 1

(x2 − 1)2. Очевидно y′′ < 0 при всех допустимых x. Следова-

тельно, график везде имеет выпуклость вверх. Это тоже согласуется с рис. 32. Ради большейточности найдем значение функции в какой-нибудь точке правее x = 1. Возьмем, например,такое число x0, что x20 − 1 = e2, то есть x0 =

√e2 + 1 ≈

√8 + 1 = 3. Очевидно, ln(x20 − 1) = 2.

Учитывая это обстоятельство, получаем график (рис. 33).

Пример 6.

Построить график функции

y =x2 + 1

x− 1.

15

Первый этап. Область определения − все действительные числа, кроме 1, так как приx = 1 знаменатель обращается в ноль.

Исследуем поведение в окрестности точки x = 1. Имеем

limx→1−0

x2 + 1

x− 1= −∞, lim

x→1+0

x2 + 1

x− 1=∞.

Изобразим поведение графика вблизи точки x = 1 (рис. 34). Прямая x = 1 - вертикальнаяасимптота.

q q−1 1

6

-0 x

y

рис.34

�������

��

�

q qqq−1

1

−11

6

-0 x

y

рис.35Исследуем поведение функции на бесконечности. Имеем

limx→∞

x2 + 1

x− 1= lim

x→∞

x2

x=∞, lim

x→−∞

x2 + 1

x− 1= −∞.

Зададимся вопросом: существуют ли наклонные асимптоты? Так как степень многочлена,находящегося в числителе, на 1 больше степени многочлена, находящегося в знаменателе, тографик функции имеет наклонные асимптоты. Найдем их, исходя из утверждения на стр. 9.Имеемk = lim

x→∞

x2 + 1

(x− 1)x= 1, b = lim

x→∞(x2 + 1

x− 1− x) = 1. Отсюда следует, что наклонной асимптотой

при x→ −∞ является прямая y = x+1. Аналогично доказывается, что наклонной асимптотойпри x→ −∞ является эта же прямая. Для того чтобы изобразить поведение на бесконечности,необходимо выяснить взаимное расположение графика и асимптоты y = x+ 1.

Выясним, при каких x график функции находится выше асимптоты

y = x+1, то есть при каких x справедливо неравенствоx2 + 1

x− 1> x+1. Решая это неравенство,

получаем2

x− 1> 0.

Отсюда x > 1. Итак, при x > 1 график выше прямой y = x + 1, а при x < 1 − ниже.Рисуем эскиз (рис. 35), учитывая рис. 34, вновь полученную информацию и рассуждения настр. 10. Кроме того, мы воспользовались тем, что y(0) = −1.

Второй этап.

Имеем y′ =x2 − 2x− 1

(x− 1)2, y′ = 0 при x1 = 1 −

√2 ≈ −0, 4, x2 = 1 +

√2 ≈ 2, 4 не существует

только при x = 1. Однако x = 1 не входит в область определения функции и не можетсчитаться критической точкой.

16

Заполняем таблицу чередования знаков производной:

x < x1 x = x1 x1 < x < 1 1 < x < x2 x = x2 x > x2y′ > 0 y′ = 0 y′ < 0 y′ < 0 y′ = 0 y′ > 0

Следовательно, x1 − точка максимума, x2 − точка минимумаy(x1) ≈ −0, 8, y(x2) ≈ 4, 8. Уточняя предыдущий эскиз, получаем новый (рис. 36).

6

-0 x

y

рис.36

�������

��

�

q qqq

q

q q q2 x2x1

5

−1

1

−11

Третий этап.

Имеем

y′′ =(2x− 2)(x− 1)2 − (x2 − 2x− 1)2(x− 1)

(x− 1)4=

4

(x− 1)3.

Для всех x из области определения функции y′′

существует,y′′ 6= 0 при всех x, y′′ > 0 при x > 1 y′′ < 0 при x < 1.Следовательно, график имеет выпуклость вверх приx < 1 и выпукла вниз при x > 1. Это соответствуетрис. 36.

Если Вы чувствуете себя достаточно уверенными, попробуйте решить следующие задачи.

Пример 7.

Построить график функцииy = 3

√(x− 1)(x2 + x+ 1).

Пример 8.

Построить график функцииy =

3√x2 · e−x.

Ответы смотрите на рис. 37 и рис. 38 соответственно.6

-0x

y

рис.37

�������

��

�

��

��

�

��

qqq−1

1

1

6

-0 x

y

рис.38

−11

0, 5q qqqq q q qx1 x3 2x2−1

17

Пояснение:

x1 =2

3, y(x1) ≈ 0, 4,

x2 =6−√54

9≈ −0, 15, y2 = y(x2) ≈ 0, 24,

x3 =6 +√54

9≈ 1, 5, y3 = y(x3) ≈ 0, 3.

(x2, y2), (x3, y3) - точки перегиба.

§4. Построение «кусочных» функций.Рассмотрим следующий пример.

Пусть функция y равна x2, если x ≤ 1, и равна x, если x > 1. Такую функцию краткозаписывают в виде:

y =

{x2, если x ≤ 1;x, если x > 1.

Ее график состоит как бы из двух «кусков» (рис. 39). Поэтому функции такого типаестественно называть «кусочными».

6

-0 x

y

рис.39

−1 1

1q qq qq ���y = x2 y = x

6

-0 x

y

рис.40

−11

1

−1q q qq

y = x3

y = 0

Пример 9. Построить график функции

y =

{0, если x ≤ −1;x3, если x > 1.

При x ≤ −1 график совпадает с осью Ox, а при x > −1 − с графиком функции y = x3

(рис. 40). В точке x = −1 рассматриваемая функция имеет разрыв.Функции могут состоять из трех и более «кусков» (частей).Пример 10. Известен график функции (рис. 41). Задать ее с помощью формул.Эта функция состоит из пяти частей, соответствующих интервалам

−∞ < x ≤ −1,−1 < x ≤ 0, 0 < x ≤ 1, 1 < x ≤ 2, 2 < x <∞.

18

Легко определить формулу, которой задается каждая часть (прямая определяется двумяточками).

6

-0 x

y

рис.41

−11

12

q qq qy = 0 y = 0

y = 1

QQQ

Ответ:

y =

0, если x ≤ −1,x+ 1, если −1 < x ≤ 0,1, если 0 < x ≤ 1,−x+ 2, если 1 < x ≤ 2,0, если x > 2.

Замечание. Функции рассмотренного типа принято называть также сплайнами.Пример 11. Построить график функции

y =

x2, если x < −2,(x+ 2)(x2 − 4x+ 3), если −2 ≤ x < 1,x2 + 1

x− 1, если x > 1.

Учитывая рисунки 36 и 26, получаем требуемый график (рис. 42).6

-

0 x

y

рис.42

−1 1

1

2−1

−53 −2

x2

5

6

8

−2q

qqq qq q

qq

qqq

�������

��

�

���

��

Пояснение:

x4 =2−√19

3≈ −0, 76, y4 = y(x4) ≈ 8, 2

x2 = 1 +√2 ≈ 2, 4, y2 = y(x2) ≈ 4, 8,(

2

3,56

27

)− точка перегиба.

19

Список литературы1. Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников.−М.: Наука, 1982. − 510 с.

2. Бермант А. Ф., Арманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов. −М.: Наука, 1969.− 735 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, том первый.− М.: Наука, 1978. − 456 с.

20

Варианты заданий.Исследовать функции и построить их графики.

Вариант 1.

1. y = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x+ 9.

2. y =1− 2x2

x− 1.

3.y =

2x+ 1, если x < −1,x4 − 4x3 − 2x2 + 12x+ 9, если −1 ≤ x < 3,1− 2x2

x− 1, если x ≥ 3,

Вариант 2.

1. y = −x3 + 3x2 − 3x+ 1.

2. y =x− 1

1− 2x2.

3.y =

−x3 + 3x2 − 3x+ 1, если x < 2,− 1, если 2 ≤ x < 3,

x− 1

1− 2x2, если x ≥ 3,.

Вариант 3.

1. y = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x+ 9.

2. y =3x2 + 2

x+ 2.

3.y =

x4 + 4x3 − 2x2 − 12x+ 9, если x < 0,

9, если −3 ≤ x < 0,3x2 + 2

x+ 2, если x ≥ 1.

Вариант 4

1. −x3 + x2 − x+ 6.2. y =

x+ 2

x2 − 9.

3. y =

x+ 2

x2 − 9, если x < −3,

0, если −3 ≤ x < 0,−x3 + x2 − x+ 6, если x ≥ 0.

21

Вариант 5

1. y = −x3 + 3x2 + 6x− 8.

2. y =x2 − x+ 1

1− 2x.

3.y =

−x3 + 3x2 + 6x− 8, если x < 1,x2 − x+ 1

1− 2x, если 1 ≤ x < 2,

− 1, если x ≥ 2.

Вариант 6

1. y = 4x4 + 12x3 + 13x2 + 8x+ 1.

2. y =1− 2x

x2 + x− 2.

3. y =

4x4 + 12x3 + 13x2 + 8x+ 1, если x < −1,

1, если −1 ≤ x < 1,1− 2x

x2 + x− 2, если x ≥ 0.

Вариант 7

1. y = −x3 − x+ 2.

2. y =2x2 − x− 1

x+ 1.

3. y =

2x2 − x− 1

x+ 1, если x < 0,

0, если 0 ≤ x < 1,−x3 − x+ 2, если x ≥ 1.

Вариант 8

1. y = −x3 − x− 2.

2. y =1 + x

4x2 − 4x+ 1.

3. y =

−x3 − x− 2, если x < 0,−1 + 2x, если 0 ≤ x < 1,

1 + x

4x2 − 4x+ 1, если x ≥ 1.

22

Вариант 9

1. y = x4 + 2x3 − 3x2 − 4x+ 4.

2. y =1− x2

2 + x.

3. y =

x4 + 2x3 − 3x2 − 4x+ 4, если x < 1,

2, если 1 ≤ x < 3,1− x2

2 + x, если x ≥ 3.

Вариант 10.

1. y = x3 + x− 2.

2. y =x2 + 2

1 + 2x.

3. y =

x3 + x− 2, если x < 0,−2x+ 1, если 0 ≤ x < 3,x2 + 2

1 + 2x, если x ≥ 3.

Вариант 11

1. y = x3 − 3x2 − 6x+ 8.

2. y =1 + 2x

2 + x2.

3. y =

x3 − 3x2 − 6x+ 8, если x < 0,

8, если 0 ≤ x < 2,1 + 2x

2 + x2, если x ≥ 2.

Вариант 12

1. y = x4 − 4x3 + 4x2.

2. y =1 + 2x

x2 − 4.

3. y =

2x+ 1

x2 − 4, если x < −1,

2x+ 3, если −1 ≤ x < 1,x4 − 4x3 + 4x2, если x ≥ 1.

23

Вариант 13

1. y = x4 − 2x3 + x2 − 4.

2. y =1 + 5x2

x+ 3.

3. y =

x4 − 2x3 + x2 − 4, если x < 2,− 1, если 2 ≤ x < 3,

1 + 5x2

3 + x, если x ≤ 3.

Вариант 14

1. y = x3 − 9x2 − 7x− 30.

2. y = − 2x2

11(x− 1).

3. y =

x3 − 9x2 − 7x− 30, если x < 10,− 2, если 10 ≤ x < 11,

− 2x2

11(x− 1), если x ≥ 11.

Вариант 15

1. y = x3 + 2x2 − 5x− 6.

2. y =x− 1

x+ 1.

3. y =

x3 + 2x2 − 5x− 6, если x < −1,− 3, если −1 ≤ x < 0,

x− 1

x+ 1, если x ≤ 0.

Вариант 16

1. y = 2x3 + 5x2 − 4x− 3.

2. y =−x2 + x− 1

1 + 2x.

3. y =

−x2 + x− 1

1 + 2x, если x < 0,

2x3 + 5x2 − 4x− 3, если 0 ≤ x < 1,x− 1, если x ≤ 1.

24

Вариант 17

1. y = −x3 + 5x2 − 11x+ 15.

2.y =1 + 2x2

x+ 3.

3. y =

1 + 2x2

x+ 3, если x < −3,

−x3 + 5x2 − 11x+ 15, если −3 ≤ x < 0,15, если x ≤ 0.

Вариант 18

1. x3 + 3x2 + 5 + 7x.

2. y =1 + x− 3x2

1 + x.

3. y =

1 + x− 3x2

x+ 1, если x < −1,

x3 + 3x2 + 7x+ 5, если −1 ≤ x < 0,5− x, если x ≥ 0.

Вариант 19

1. −x3 − 2x2 + 11x+ 12.

2. y =4x2 − 1

x+ 4.

3. y =

4x2

x+ 4, если x < −4,

−x3 − 2x2 + 11x+ 12, если −4 ≤ x < 3,−x+ 3, если x ≥ 3.

Вариант 20

1. y = x3 − x2 − 4x+ 4.

2. y =1− 3x2

2 + x.

3. y =

1− 3x2

2 + x, если x < −2,

x3 − x3 − 4x+ 4, если −2 ≤ x < 2,x− 2, если x ≥ 2.

25

Вариант 21

1. y = x3 + 2x2 − x− 2.

2. y =x2 + 3

2(x− 1).

3. y =

x2 + 3

2(x− 1), если x < 1,

x3 + 2x− x− 2, если 1 ≤ x < 0,−2− x, если x ≥ 0.

Вариант 22

1. y = x3 + 5x2 + 11x+ 5.

2. y =x2 + x+ 2

2(x+ 3).

3. y =

x2 + x+ 2

2(x+ 3), если x < −3,

x3 + 5x2 + 11x+ 5, если −3 ≤ x < 0,1, если x ≥ 0.

Вариант 23

1. y = −x3 + 3x2 + 3 + 4.

2. y =−4x2 + x+ 1

x− 4.

3. y =

−x3 + 3x2 + 3x+ 4, если x < 0,−4x2 + x+ 1

x− 4, если 0 ≤ x < 5,

0, если x ≥ 5.

Вариант 24

1. y = x3 − 5x2 + 5x− 4.

2. y =x2 − x+ 1

4− x.

3. y =

x3 − 5x2 + 5x− 4, если x < 4,x2 − x+ 1

4− x, если 4 ≤ x < 5,

0, если x ≥ 5.

26

Вариант 25

1. y = x3 − 5x2 − 2x+ 24.

2. y =5− x2

x− 3.

3. y =

x3 − 5x2 − 2x+ 24, если x < 3,5− x2

x− 3, если 3 ≤ x < 4,

2x+ 10, если x > 4,

Вариант 26

1. y = x3 + 3x2 + 6x+ 6.2. y = ln(1 + x2).

3. y =

sin 3x, если x < −π,x3 + 3x2 + 11x+ 6, если −π ≤ x < 0,ln(1 + x2), если x ≥ 0.

Вариант 27

1. y = x3 − 2x2 + 8x− 6.2. y = xe−2x.

3. y =

x3 − 2x2 + 8x− 6, если x < 3,x− 3, если 3 ≤ x < 5,xe−x, если x ≥ 5.

27

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Методические указания к самостоятельной работе для студентовстроительных специльностей дневной и вечерней форм обучения.

Владимир Иванович Чеботарев

Редактор Л.С.БакаеваТехнический редактор Л.А.УшаковаН/К

Подписано в печать 04.01.90. Формат 60х84 1/16.Бумага писчая. Офсетная печать. Усл. печ. л. 2,3.Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 300 экз. Заказ 51. Бесплатно.

Редакционно-издательский отдел Хабаровского политехнического института. 680035, Хабаровск,ул. Тихоокеанская, 136.

Фотоофсетная лаборатория Хабаровского политехнического института. 680035, Хабаровск,ул. Тихоокеанская, 136.

28