Introducción Las ecuaciones de los medios continuos Modelado de la Turbulencia

IntroduccionLas ecuaciones de los medios continuos

Modelado de la Turbulencia

Aerodinamica y Mecanica de FluidosComputacional

Conceptos basicos de Mecanica de Fluidos

Javier Ros1

1Departamento de Ingenierıa MecanicaUniversidad Publica de Navarra

3 de Octubre de 2007

Javier Ros Aerodinamica y Mecanica de Fluidos Computacional



Indice

1 Introduccion

2 Las ecuaciones de los medios continuos

3 Modelado de la Turbulencia




Mecanica de Fluidos Computacional (MFC)

La MFC (Computational Fluid Dynamics –CFD–) es la tecnicaque provee los metodos para la simulacion numerica de losflujos de fluidos.

Los flujos fluidos son descritos de forma analıtica por Sistemasde ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:Continuidad, Momento, Energıa, Transporte de especies,...

Estas ecuaciones se resuelven de forma numerica utilizandodiferentes tecnicas numericas siendo la mas popular de todasel Metodo de los Volumenes Finitos (MVF).




Mecanica de Fluidos Computacional (MFC)

La utilizacion exitosa de las tecnicas de la MFC requiere deuna comprension profunda de cuestiones de ındole:

Fısica: Las ecuaciones que rigen el problema fluido concreto,las hipotesis simplificatorias, hipotesis de modelado.Comprension cualitativa del comportamiento/fenomenologıa delos flujos y sus causas que permita criticar la solucion obtenida.Numericos: La naturaleza de los errores que pueden apareceren la utilizacion del MVF para la solucion numerica delproblema.

Ademas es necesaria realizar una validacion comparando losresultados del Modelo Fısico/Metodo Matematico en flujoscon caracterısticas similares.




Aerodinamica y Mecanica de Fluidos Computacional

Objetivos del Curso:

Hacer un repaso rapido pero suficientemente detallado de losconceptos Fısicos y Numericos necesarios para la solucionexitosa de problemas de Aerodinamica por metodosComputacionales.

Poner en practica las citadas tecnicas, para lo cual seutilizara el programa OpenSource OpenFOAM.

Enfoque:

La aerodinamica de palas de aerogenerador.




Forma General de las Ecuaciones en forma Integral

Conservacion de una propiedad para un Volumen de Controlimaginario y estacionario.Variacion de la cantidad de propiedad = Fuentes Volumetricas ySuperficiales de cantidad de propiedad:Matematicamente:d

dt

∫VM

ρφ(~x , t)dV =

∫VM

QV (φ)dV +

∮∂VM

d~S · ~QS(φ)

φ = cantidad de propiedad por unidad de masaDonde:d

dt

∫VM

ρφ(~x , t)dV =∂

∂t

∫VM

ρφdV +

∮∂VM

d~S · ρφ~U




Forma General de las Ecuaciones en forma Diferencial

Notacion Tensorial (mas afın a OpenFOAM):1

∂

∂tρφ + ~∇ · (ρφ~U) = QV (φ) + ~∇ · ~QS(φ)

Notacion indicial o Einsteniana:∂∂t ρφ + ∂

∂xjρφUj = QV (φ) + ∂

∂xjQS j(φ)

1Utilizando el teorema de Gauss, las integrales de superficie se pasan aintegrales de volumen, y se hace el lımite cuando el volumen tiende a cero




Ecuaciones generales de Navier–Stokes: Forma Integral

Forma general para un fluido de composicion quımica constante:

Conservacion de la masa (Continuidad), φ = 1∂∂t

∫VM

ρ1dV +∮∂VM

d~Sρ1~U = 0

Conservacion del momento (2a ley de Newton), φ = ~U∂∂t

∫VM

ρ~UdV +∮∂VM

d~S · ρ~U~U =∫VM

ρ~gdV +∮∂VM

d~S · σConservacion de la “Energıa Total”, φ = e∂∂t

∫VM

ρedV +∮∂VM

d~Sρe~U =

−∮∂VM

d~S · ~q +∫VM

ρ~g · ~UdV +∮∂VM

d~S · (σ · ~U) +∮VM

QdV




Ecuaciones generales de Navier–Stokes: Forma diferencial

Forma general para un fluido de composicion quımica constante:2

Conservacion de la masa (Continuidad), φ = 1∂∂t ρ + ~∇ · (ρ~U) = 0,

Conservacion del momento (2a ley de Newton), φ = ~U∂∂t ρ

~U + ~∇ · (ρ~U~U) = ρ~g + ~∇ · σ,

Conservacion de la “Energıa Total”, φ = e∂∂t ρe + ~∇ · (ρe~U) = −~∇ · ~q + ρ~g · ~U + ~∇ · (σ · ~U) + ρQ,

2Teorema de Gauss:R

∂Vφd~S =

RV

~∇ · φdVJavier Ros Aerodinamica y Mecanica de Fluidos Computacional



Relaciones constitutivas para fluidos Newtonianos

Energıa interna u, entalpıa:u = u(P,T ), h = u + p

ρPara un gas ideal u = Cv (T )(T − T0), h = Cp(T )(T − T0)

“Energıa Total” e y “Entalpıa Total o de Remanso” H.e = 1

2~U · ~U + u(P,T ),H = e + p

ρ

Ecuacion de estado: ρ = ρ(P,T )Para un gas ideal ρ = P

RgasT

Ley de conduccion de Fourier~q = −λ~∇T

Tensor de esfuerzos fluido Newtoniano (sin “bulk viscosity”)

σ = −(P + 23µ~∇ · ~U)I + µ(~∇~U + (~∇~U)T )

Coeficientes de transporteλ = λ(P,T ) µ = µ(P,T )




Ecuaciones de Navier–Stokes para fluidos Newtonianos


Conservacion de la masa (Continuidad), φ = 1∂∂t ρ + ~∇ · (ρ~U) = 0,

Conservacion del momento (2a ley de Newton), φ = ~U∂∂t ρ

~U+~∇·(ρ~U~U) = ρ~g−~∇(P+23µ~∇·~U)+~∇·[µ(~∇~U+(~∇~U)T )],

Conservacion de la “Energıa Total”, φ = e∂∂t ρe + ~∇ · (ρe~U) = ~∇ · (λ~∇T ) + ρ~g · ~U − ~∇ · ((P + 2

3µ~∇ ·~U)~U) + ~∇ · [µ(~∇~U + (~∇~U)T ) · ~U] + ρQ,




Ecuaciones de Navier–Stokes para la Entalpıa

En vez de la ecuacion de conservacion de la “Energıa Total”:∂∂t ρe + ~∇ · (ρe~U) = ~∇ · (λ~∇T ) + ρ~g · ~U − ~∇ · ((P + 2

3µ~∇ · ~U)~U) +~∇ · [µ(~∇~U + (~∇~U)T ) · ~U] + ρQ,Es habitual emplear la ecuacion para la Entalpıa:∂∂t ρh + ~∇ · (ρh~U) = ∂P

∂t + ~∇ · ( λcp

~∇T ) + ~U · ~∇P + ~∇ · ~U :

[µ(~∇~U + (~∇~U)T )− (23µ~∇ · ~U)I ] + ρQ,

o bien la ecuacion para la “Entalpıa Total”:∂∂t ρH + ~∇ · (ρH~U) = ∂p

∂t + ~∇ · (λ~∇T ) + ρ~g · ~U − ~∇ · ((23µ~∇ ·

~U)~U) + ~∇ · [µ(~∇~U + (~∇~U)T ) · ~U] + ρQ,




Ecuaciones de Navier–Stokes para fluidos Newtonianos condensidad constante


Conservacion de la masa (Continuidad), φ = 1~∇ · ~U = 0,

Conservacion del momento (2a ley de Newton), φ = ~U∂∂t

~U + ~∇ · (~U~U) = ~g − ~∇p + ~∇ · (µρ~∇~U),

Conservacion de la energıa, φ = e∂∂t e + ~∇ · (e~U) =~∇ · (λ

ρ~∇T ) + ~g · ~U − ~∇ · (p~U) + ~∇ · [(µ

ρ~∇~U) · ~U] + ρQ,




Forma Conservativa de las ecuaciones de Navier–Stokes

Es una forma conveniente de agrupar los diferentes terminos de lasecuaciones de Navier-Stokes.∂U∂t + ~∇FFF = P

U cantidad de propiedad conservada (escalar, vector o tensor).

P aporte exterior de U (escalar, vector o tensor).

F flujo de U asociado (tensor de un orden superior a U o P).

Se corresponde con la forma que toman las ecuaciones diferencialesdeducidas desde su forma integral.Puede resultar apropiada en la discretizacion de las ecuaciones enel metodo de los “Volumenes finitos”3.

3http://www.eng.vt.edu/fluids/msc/ns/nscf.htmJavier Ros Aerodinamica y Mecanica de Fluidos Computacional



Forma Adimensional de las ecuaciones de Navier–Stokes:Momento

Elegir una longitud caracterıstica L del flujo4

Elegir una velocidad caracterıstica V del flujoElegir otra dimension caracterıstica que contenga dimensiones demasa (g en este ejemplo)Hacer ~U = ~U∗V x = x∗L, y = y∗L, z = z∗L, t = t∗L/U,~g = ~g∗g , P = P∗U2ρ ~∇ = 1/L~∇∗ en la ecuacion del momento

∂~U∗

∂t∗+ ~∇∗ · (~U · ~U) = −~∇∗P∗ +

1

Fr~g∗ +

1

Re~∇∗ · (~∇∗~U)

Re = ρVLµ Numero de Reynolds: Relacion adimensional entre

Fuerzas Inerciales y Fuerzas ViscosasFr V 2

gL Numero de Froude: Ratio adimensional entre FuerzasInerciales y Fuerzas gravitatorias

4http://www.cbu.edu/ rprice/lectures/dimanal2.htmlJavier Ros Aerodinamica y Mecanica de Fluidos Computacional



Semejanza

Dos flujos son semejantes si los numeros adimensionales que loscaracterizan son los mismos.En dicho caso la solucion de uno de los flujos permite conocer ladel otro flujo, para ello:

1 De los campos del flujo uno obtenemos los asociados al flujoadimensional, ejemplo~U∗(x/L1, y/L1, z/L1, tV1/L1) =

~U1(x ,y ,x)V1

2 De los campos del flujo adimensional obtenemos los asociados

al flujo dos, ejemplo ~U∗(x/L2, y/L2, z/L2, tV2/L2) =~U2(x ,y ,x)

V2

La condicion anterior no es suficiente: Las condiciones de contornoadimensionalizadas deben ser iguales.




Interpretacion de los numeros Re y Fr

Re = ρVLµ Numero de Reynolds: Relacion entre Fuerzas Inerciales y

Fuerzas ViscosasFr = V 2

gL Numero de Froude: Ratio entre Fuerzas Inerciales yFuerzas gravitatorias

Si Re >> 1 La conveccion domina frente a las fuerzasviscosas.

Si Fr >> 1 La conveccion domina sobre el efecto de lagravedad.




Hipotesis de Viscosidad Nula: Ecuacion de Euler

Valida para zonas del flujo donde Re >> 1

Continuidad~∇ · ~U = 0,

Conservacion del momento (Ecuacion de Euler)∂∂t

~U + ~∇ · (~U~U) = ~g − ~∇p,

Conservacion de la energıa (en general no necesaria)∂∂t e + ~∇ · (e~U) = ~∇ · (λ

ρ~∇T ) + ~g · ~U − ~∇ · (p~U) + ρQ,

Para flujos exteriores es valido lejos de la capa lımite (pared) yde la zona afectada por el desprendimiento de la capa lımite(estela).




Hipotesis de Viscosidad Infinita: Flujo de Stokes

Valida para zonas del flujo donde Re << 1

Continuidad~∇ · ~U = 0,

Conservacion del momento (Ecuacion de Stokes)0 = ~g − ~∇p + ~∇ · (µ

ρ~∇~U),

Conservacion de la energıa (en general no necesaria)∂∂t e + ~∇ · (e~U) =~∇ · (λ

ρ~∇T ) + ~g · ~U − ~∇ · (p~U) + ~∇ · [(µ

ρ~∇~U) · ~U] + ρQ,

Es importante en la “Teorıa hidrodinamica de la Lubricacion.”




Forma Adimensional de las ecuaciones de Navier–Stokes:Energıa

Analisis dimensionales anterior validos ⇔ densidad y temperaturase mantienen constantes.Caso general: Necesaria ecuacion de la energıa.Analisis dimensional ⇒ cuantificacion importancia diferentesefectos5

Ademas del Re y del Fr , aparecen los siguientes numerosadimensionales:Pr =

µref Cprefλref

(Prandtl)

Ma = crefV (Mach c =

√γRT )

Kρ = −βref Tref (Numero de Expansion Termica -1 para gasesideales)

5necesario otro parametro caracterıstica que contenga como dimension a latemperatura (por ejemplo Tref )




Forma Adimensional de las ecuaciones de Navier–Stokes:Energıa

En el caso del aire, como Pr ≈ 0,7 y Kρ = −1 quedandeterminados, con lo cual la semejanza dimensional dependeunicamente del Ma.En la ecuacion resultante:

conduccion termica ∝ 1Re Pr ≈

1Re

trabajo de compresion ∝ Ma2

Trabajo de compresion importante si Ma2 >> 1, en la practicapara Ma < 0,4 flujo incompresible.




Influencia del Mach en el comportamiento del flujo

Incompresible Ma < 0,4Compresible Ma > 0,4Subsonico Ma < 0,7Transonico 0,7 < Ma < 1,2Supersonico 1,2 < Ma < 5Hipersonico 1,2 < Ma < 5




Transicion a la Turbulencia

Para un determinado flujo y para numeros de Reynoldssuficientemente pequenos el Flujo es laminar. Es decir: es estable,y determinista (una solucion unica para unas mismas condicionesiniciales y de contorno).Conforme aumenta el numero de Reynolds, llega un momento enque el problema se hace inestable: Aparecen fluctuaciones“rapidas” (frente al tiempo caracterıstico) y aleatorias (nodeterministas) en el flujo.Estas perturbaciones tienen la forma de torbellinos.En dichas condiciones decimos que el flujo es turbulento, al menosen la zona de este donde aparece el movimiento aleatorio o caotico.La transicion a la turbulencia puede ocurrir “Espacialmente” comoen una capa lımite (laminar ⇒ transicion ⇒ turbulenta), o“Temporalmente”.




Transicion a la turbulencia graficamente




Caracterısticas flujo perfil aerodinamico graficamente




Conclusiones para Aerodinamica en contextoAerogenerador

Re >> 1 flujo no viscoso excepto cerca de la pared. Es necesarioconsiderar efectos viscosos al menos de la pared (capa lımite) y enlas zonas de separacion y estela.Fr >> 1, la gravedad no afecta al flujoEn el caso de rotores, hay que considerar las fuerzas de inercia~Ωrotor ∧~reje + ~Ωrotor ∧ (~Ωrotor ∧~reje) + 2~Ω ∧ ~Urotor .

Su importancia relativa puede estimarse: Fr = V 2

|termino|L .Ma < 0,4 El flujo es incompresible, no se necesita resolver ecuacionpara la energıa.




Turbulencia




Turbulencia

Definicion:

La turbulencia designa el estado de una zona de un flujofluido, en el cual la velocidad de las particulas fluidas tiene uncaracter fluctuante, fluctuaciones que toman la forma detorbellinos, cuya posicion orientacion y tamano cambianconstantemente.Los flujos turbulentos se caracterıcan por una apariencia muydesordenada o “caotica”, un comportamiento no previsible, yexistencia de numerosas escalas espaciales y temporales.Los flujos turbulentos son siempre tridimensionales ydependientes con el tiempo, aunque las condiciones decontorno sean estacionarias.El rango de escalas espaciales es muy grande, desde las escalascomparables con el tamano de las geometrıa, hasta las escalasde los torbellinos disipativos (microescalas de Kolmogorov).




Opiniones de Cientıficos Famosos sobre la Turbulencia

Richard Feynman: ”The most important unsolved problem ofclassical physics.”

Bradshaw: “Invention of the Devil in the 7th day of creation.”

Horace Lamb: “I am an old man now, and when I die and goto heaven there are two matters on wich I hope forenlightenment. One is quantum electrodynamics, and theother is the turbulent motion fo fluids. And about the former Iam rather optimistic.”




Aparicion

Sistemas no lineales y caos:

Pendulo simple ⇒ un solo grado delibertad ⇒ no puede exhibircomportamiento caotico

Pendulo doble ⇒ dos grados delibertad

Pequenas oscilaciones ⇒ lineal⇒ por tanto no caotico.Oscilaciones mayores ⇒ no lineal⇒ comportamiento caotico.

Conforme los grados de libertad aumentan, el sistema tienemuchas mas posiblidades ser caotico.




Aparicion

Se dice: El estado caotico de un fluido emerge cuando lavelocidad del fluido excede un determinado lımite.

Es mas correcto decir: en una zona del flujo y cuando elReynolds caracterıstico excede un determinado valor lımite.

Detras de la bola la turbulencia aparece al superarse unadeterminada velocidadEn la capa lımite la turbulencia aparece a partir de unadeterminada longitud de entrada

La presencia de efectos, como irregularidades en superficies,vibraciones de estas, o flujos pulsantes, o ligeramentealeatorios a la entrada, favorece la transicion a la turbulencia.

Por ejemplo, en la figura de la bola se han puesto un anillopromotor de turbulencia que garantiza que la transicion va aocurrir en el punto deseado, para las citadas condiciones deflujo.




Aparicion

Para una velocidad fijada, laturbulencia aparece para lalongitud de entrada que hace queel Re de la capa lımite sea crıtico.Para velocidades mayores latransicion a la turbulencia ocurreespacialmente antes.

La turbulencia aparece a partirdel anillo (si el Reynolds essuficientemente elevado)Cuanto mayor Re, mayorintensidad de la turbulencia.




Aparicion

Conforme el numero de Reynolds aumenta, las fuerzas deinercia (fuerzas no lineales con la velocidad) se hacen masimportantes frente las fuerzas viscosas (fuerzas lineales concampo de velocidad ~U).

Es decir los efectos no lineales frente a los no lineales soncada vez mas importantes.

Esto produce una desestabilizacion del flujo que da lugar alfenomeno de la turbulencia.

Para flujo en tuberıas ReturbD ≈ 2300

Para el flujo de Couette Returbd ≈ 1500

Para flujo en placa plana 105 < Returbx < 106

Siendo la inestabilidad el desencadenante de la transicion,mutiples factores afectan al Re preciso en que ocurre, ası queestos numeros son orientativos.




Algunos efectos

Aumenta la mezcla de fuel y oxidante y produce unacombustion mas limpia y eficiente

Las bolas golf con “agujeritos” vuelan mucho mas que sinestos.

Aumenta la friccion (drag) frente a flujo laminar.

...




Motivos para la investigacion en turbulencia

Investigacion de estructuras “dentadas” en la piel de lostiburones. Estas “dentıculas” forman estructuras acanaladas,preferidas por la “naturaleza”. La DNS demuestra que dichasestructuras previenen que los torbellinos se acerquen a lasuperficie, lo que disminuye el drag (cuando son del orden de50 µm).





Estrategias de control activas de la turbulencia. Millones demicroactuadores en la superficie de las alas (MEMS), queactuan sobre las fluctuaciones turbulentas de presion yvelocidad tratando de disminuirlas. Los delfines consiguen unaincreible eficiencia en la propulsion y se especula que esdebido a que pueden mover su piel.





Las bolas de golf presentan un ejemplo intrigante de como sutextura superficial puede controlar ventajosamente el flujo deaire. Los agujeritos hacen que la bola vuele 2.5 veces maslejos que si no los tuviera6.

6Interesante lectura:http://www.stanford.edu/group/ctr/articles/tackle.html




Necesidad de modelos de turbulencia

El ratio entre los tamanos del tornellino mas grande ypequeno es del orden de Re3/4.

Esta relacion puede utilizarse para estimar el numero depuntos del mallado computacional. Como hay 3 dimensionesespaciales el numero de puntos es proporcional al Re9/4

Duplicar el Re, lleva aproximadamente a multiplicar por 5 elnumero de puntos.

Ademas las escalas de tiempo caracterısticas disminuyen conel inverso del Re .

La resolucion numerica directa (sin modelado –DNS–) deflujos turbulentos de interes como el flujo turbulento alrededorde un avion requerirıa con los ordenadores de hoy millones deanos de tiempo de caculo.




Hipotesis de modelado

Las hipotesis de modelado implican que el flujo puede serdescrito como un estado de continua inestabilidad en el flujo,donde aun ası es posible separar las fluctuaciones turbulentasdel flujo promedio.

Las fluctuaciones deben exhibir cierta clase de equilibrioestadıstico para que el modelado sea posible.

Existe evidencia de dicho equilibrio:

Cascada de torbellinos de KolmogorovCapa Logaritmica Prandtl

Modela la turbulencia es modelar el citado equilibrio enfuncion de propiedades conocidas del flujo.

Idealmente un modelo debe introducir la mınima cantidad decomplejidad a la vez que captura lo mas esencial de la fısicarelevante del fenomeno.




Promediado –Averaging–




The scales of turbulence




La cascada de torbellinos

Si se toma una fotografıa de un flujo turbulento, pueden verse“torbellinos” de tamanos muy diferentes, estos torbellinos noson paralelos.

El mecanismo que da lugar a la formacion de torbellinospequenos a partir de torbellinos mas grandes se denomina“estiramiento de torbellino” (“vortex stretching”).

Como consecuencia, las longitudes caracterısticas de losremolinos, y por tanto de cualquier propiedad transportada(concentracion, temperatura,...) va desde las longitudescaracterısticas mas grandes (del orden del tamano del objeto ode la capa lımite –flujos internos–, o de la anchura del flujo–flujos internos–) hasta las longitudes caracterısticas maspequenas donde su energıa cinetica es disipada por laviscosidad.





Se dice que hay un “proceso de cascada” que tranfiere laenergıa cinetica fluctuante, desde los torbellinos grandes atorbellinos mas pequenos. Desde los mas grandes “Torbellinoscontenedores de la energıa” (Energy containing eddies)cinetica fluctuante, hasta los mas pequenos “Torbellinosdisipadores de la energıa” (Energy dissipating eddies)Ası, los flujos turbulentos siempre son disipativos.Los torbellinos grandes transportan consigo a los torbellinosmas pequenos, que tardan cierto tiempo en disiparse, mientrasson reemplazados por nuevos torbellinos.Por ejemplo, en una tuberıa, puede ser necesarios 30 D paraque los torbellinos de la entrada desaparezcan. Ası el flujoturbulento depende de su historia anterior, y por tanto nopuede ser directamente modelizado en terminos depropiedades locales como en flujos laminares.





La turbulencia es un fenomeno contınuo (las escalas maspequenas son mucho mayores que el recorrido libre mediomolecular)

Los torbellinos son responsable de una mezcla vigorosa“Mezcla turbulenta” (“Turbulent mixing”), que aumentaenormemente la transferencia de momento, de calor y deespecies quımicas, de una zona con su entorno.

Este hecho lleva a la definicion de “Propiedades de tranporteaparentes”: viscosidad turbulenta, difusividad termicaturbulenta, y difusividad de concentraciones turbulenta.

La mayor parte de los flujos de interes tecnico, sonturbulentos en su globalidad o en una zona del dominio fluido.




El espectro de kolmogorov

Kolmogorov realizo un analisis dimensional de la “Cascada detorbellinos”. Describiendo la “energıa cinetica turbulenta”contenida en los movimientos turbulentos de una determinadalongitud caracterıstica λ = 1

κ , E (κ).Para ello divide el espectro en 3 zonas o rangos:

1 ”torbellinos contenedores de la energıa“, λ mayores κmenores: E (κ) = f (k, ε, κ)

2 ”Torbellinos disipadores de la energıa“, κ menores:E (κ) = f (ε, ν, κ)

3 union entre ambas zonas ”Rango inercial“ (”InertialSubrange“): E (κ) = f (ε, κ)

El rango inercial no puede depender de ν ya que la energıa sedisipa en el rango disipativo.





Parametros caracterısticos de los “Torbellinosdisipadores”: ε = − d

dt k y ν

Adimensionalizacion da: η ≡ (ν3/ε)1/4,τ = (ν/ε)1/4, v = (νε)1/4

Parametros caracterısticos de los “Torbellinoscontenedores de la energıa” ε y k

Adimensionalizacion da: l ∼ k3/2

εEl numero de Reynolds Turbulento se define

ReT = k1/2lν

Parametros caracterısticos del “Rangoinercial”: ε y κ = 1/λ (num de onda)Adimensionalizacion da: E (k) = Ckε2/3κ−5/3

1/l << κ << 1/η k =∫∞0 E (κ)dκ





Las principales conseguencias

Existe un equilibrio universal queabarca al rango inercial y al rangodisipativo

Las grandes escalas no presentanequilibrio universal, ya que tienendependencia con el tipo de flujo (capalımite, flujo en conductos,...)

Ademas propone una froma funcionalpara el rango inercial

El equilibrio encontrado exp. es laexpresion del equilibrio reinante paralos diferentes campos turbulentos enlos citados rangos.





Las principales conseguencias

Implica que la turbulencia puede sermodelada en cierta medida: “Todasaquellas escalas en el subrango inercialy disipativo son modelables” !!!.

Las conclusiones sobre modeladoafectan a regımenes turbulentosalejados de la pared: “No se considerala distancia a la pared en el analisis” y“es evidente que si esta proximainfluye”.

Nedesidad resultados teoricos quepermitan justificar la posiblidad dehacer modelos de turbulencia parazonas proximas a la pared !!!.




Capa Lımite (Prandtl 1904)

Juega el mismo papel teorico que el modelo de Kolmogorov,pero para las zonas afectadas por la pared.

Prandtl realiza un analisis dimensional del perfil de velocidadU(y) en las proximidades de la pared, analogo al deKolmogorov.Postula que la capa lımite en la direccion y , esta dividida en 3zonas.

1 Subcapa viscosa: flujo pegado a la pared dominado por laviscosidad, que se comporta laminarmente. EvidentementeU(y) ∝ y , los parametros caracterısticos τw ν y .

2 Flujo exterior: El flujo alejado de la pared, no es turbulento, yviene impuesto por las condiciones exteriores.

3 Subcapa inercial o Logarıtmica: Entre las dos zonas anteriores,existe una zona donde los efectos viscosos no son importantes,transmite el esfuerzo cortante visto en la pared. los parametroscaracterısticos son τw ν y .




Capa Lımite (Prandtl 1904)

Parametros caracterısticos: τwρ and ν

ρAdimensionalizacion da: “velocidad defriccion” uτ =

√τwρ y η ∼ ν

uτ(longitud

caracterıstica de los torbellinosdisipantes en la pared)Postula que ∂U

∂y es una funcion de uτ , ηy y . Anal. Dim. da∂U∂y = uτ

y F (uτ yν )

Los datos experimentales revelanlımy→∞ F (uτ y

ν ) = 1κ

y por tantoUuτ

= 1κ ln uτ y

ν + C , u+ ≡ Uuτ

, y+ ≡ uτ yν

Donde C ≈ 0,5 para superficies suavesy κ ≈ 0,41 es la cte de von KarmanValido para δ

η >> y+ >= 30, δ ≡espesor de la capa lımiteJavier Ros Aerodinamica y Mecanica de Fluidos Computacional



Capa Lımite

Uuτ

= 1κ ln uτ y

ν + C , u+ ≡ Uuτ

, y+ ≡ uτ yν ,

k+s ≡ uτks

ν (ks altura promediorugosidades)u+ = 1

κ ln y+ + C (ks)Donde C viene dada en el grafico.Por tanto, para rugosidades altasu+ = 1

κ ln y+

k+s

+ 8,5

Ausencia de viscosidad o dependenciacon Re dice que para alta rugosidad τw

es debida a “friccion por presion”(presure drag) en las rugosidades.Valido para δ

η >> y+ >= 30, δ ≡espesor de la capa lımite




Capa Lımite

Los experimentos confirman la validezde la teorıa !!!

Existe un equilibrio universal para laturbulencia que incluye la subcapalogarıtmica y la viscosa. Se ha puestode manifiesto con el perfil develocidad, pero afecta a todas laspropiedades turbulentas.

El flujo exterior viene determinado porlas condiciones exteriores.

Queda justificada la posiblidad deplantear modelos de turbulencia paratoda la subcapa inercial y viscosa !!!.




Ecuaciones de Reynolds

Promedio muestral: (Ensemble averaging –ReynoldsAveraging–)φ(~x , t) = φ(~x , t) + φ′(~x , t),φ′(~x , t) = lımN→∞

1N

∑Ni=1 φi (~x , t)

Ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles~∇ · ~U = 0,∂∂t

~U + ~∇ · (~U~U) = g − ~∇p + ~∇ · (ν ~∇~U),

Promedio de Reynolds de las ecuaciones de Navier-Stokesincompresibles~∇ ·U = 0,∂∂t U + ~∇ · (UU) = g − ~∇p + ~∇ · (ν ~∇U) + ~∇ · (U′U′),

Se dice que los diferentes modelos de la ecuacion anterior sonmodelos de turbulencia RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes).




Bousinesq & Prandtl’s Mixing Length model




Bousinesq & Prandtl’s Mixing Length model

Modelado del “tensor de esfuerzos de Reynolds” U′U′

Aproximazion de la viscosidad de torbellino “eddy viscosity” oviscosidad turbulenta de Bousinesq , νt (1877)

U′U′ = νt(~∇U + (~∇U)T ) + 23kI

Donde k es la “Energıa Cinetica Turbulenta”k = 1

2U′ ·U′ = 1

3 trace(U′U′)Y νt se define (basado en analisis dimensional)

νt = Cµk2

ε (derived from Prandtl’s mixing-length analogy1925)Donde ε es la “Disipacion de Energıa Cinetica Turbulenta”.

ε = µU′U′ : ~∇U′

Un resultado interesante. Para turbulencia homogenea:dkdt = ε





Obviamente para utilizar la hipotesis de Bousinesq sonnecesarias ecuaciones en derivadas parciales para la evolucionde k y de ε

Este tipo de modelos son normalmente conocidos como“modelos RANS de 2 ecuaciones” (“two–equation turbulencemodels”)

Existe una gran variedad de modelos k–ε, en los que se defienecuaciones de evolucion especıficas para k y ε

Modelo k–ε de Launder and Spalding (Standard k–ε model)

Modelo RNG k–ε de Yakhot and Orszag

Modelo k–ε Realizable




El modelo Standard k–ε

∂ρk∂t + ∂ρkui

∂xi= ∂

∂xj

[(µ + µt

σk) ∂k

∂xj

]+ Gk − ρε

∂ρε∂t + ∂ρεui

∂xi= ∂

∂xj

[(µ + µt

σε) ∂ε

∂xj

]+ C1ε

εk Gk − C2ερ

ε2

k

Produccion de energıa cinetica turbulenta:

Gk = −ρu′iu′j∂uj

∂xi= µtS

2 S =√

2SijSij S = (~∇~u(~∇~u)T )C1ε=1,44,C2ε = 1,92,Cµ = 0,09, σk = 1,0, σε = 1,3




Modelos Low Reynolds RANS

Como se ha visto, la fısica de la turbulencia en la proximidadde paredes es diferente. Es por lo tanto necesario usarmodelos turbulentos apropiados en la zona proxima a la pared.

Los modelos de turbulencia que modelan el tensor deesfuerzos turbulentos y otros terminos turbulentos teniendo encuenta la “singularidad” de las paredes se denominan“modelos turbulentos para Bajos numeros de Reynolds”.

Bajo numero de Reynolds hace referencia a que se toma comolongitud caracterıstica δ, espesor de la capa lımite, y por tantoReδ, es el Reynolds caracterıstico de la turbulencia en lasproximidades de la pared, que evidentemente sera “bajo”.




Modelos Low Reynolds RANS

Actualmente la mayor parte de modelos RANS tienenversiones para bajo numero de Reynolds (ver Low–Re RNGk-ε, Lam and Bremhorst, Launder and Sharma, etc.).

Sin embargo, la utilizacion de los citados modelos requiereutilizar mallas muy finas cerca de la pared. Para el primernodo y+ ≈ 1




Funciones de pared

Es posible tener en cuenta el efecto de la pared sin tener queresolver la zona proxima, (perdiendo algo de precision).

Las funciones de pared (Wall–functions, Launder andSpalding) representan un modelo simplificado de laturbulencia, que tiene encuenta el comportamiento de U, k yε en las proximidades de la pared.

Supone que el flujo proximo a la pared se comporta como unacapa lımite turbulenta completamente desarrollada y que elnodo mas proximo a la pared esta en la subcapa logarıtmica.

Ası la condicion de contorno para el modelo k-ε, se situa en elnodo mas proximo a la pared (en vez de en la propia pared).

Las ventajas son obvias, pero es necesario garantizar que losnodos mas proximos a la pared se encuentran en la zonalogaritmica 30 < y+ < 100.




Funciones de pared

Standard Wall Function en Fluent7

En vez de U+ and y+, Fluent define el modelo de capa lımiteenterminos de U∗ and y∗, sin embargo el modelo de Fluent y elvisto son practicamente iguales, habiendo muy pequenasdiferencias entre las longitudes y velocidades adimensionalizadasU∗ = 1

κ ln(Ey∗), donde

U∗ ≡ UpC1/4µ k

1/2p

τw/ρ

y∗ ≡ ρC1/4µ k

1/2p yp

µEl subındice p hace referencia al nodo mas proximo a la pared.

7B. E. Launder and D. B. Spalding. The Numerical Computation ofTurbulent Flows. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,3:269-289, 1974.




Funciones de pared

La condicion de contorno en la ecuacion de momento impone τw

at yp (von Newman)τw se despeja de la ecuacion para U∗ en funcion de Up.La condicion de contorno para k specifies ∂k

∂y = 0 en yp (vonNewman)

La condicion de contorno para ε especifica εp =C

3/4µ k

3/2p

κyp(Dirichlet)

Esta ecuacion se obtiene de la hipotesis de equilibrio local: Laproduccion de k Gk iguala a la disipacion ε.





Puede implementarse un algoritmo similar al anterior, pero enterminos de U+ e y+ basado en la ley de Prandtl descritaanteriormente.Las condiciones de contorno par k pueden ser especificadastambien como una condicion de Dirichlet en yp. A tal fin, el valorde kp puede ser obtenido de una forma similar a la utilizada paracalcular εp en la ley de la pared de Fluent.




Funciones de pared

Non–Equilibrium wall function en Fluent8

El perfil “log–law” incluye el efecto del gradiente de la presion.

Los efectos de produccion de energıa cinetica turbulente en lapared son mejor capturados

8S.-E. Kim and D. Choudhury. A Near-Wall Treatment Using WallFunctions Sensitized to Pressure Gradient. In ASME FED Vol. 217, Separatedand Complex Flows. ASME, 1995.




Modelos K–ω

Kolmogorov (1942) define ω: “tasa de disipacion de deenergıa por unidad de volumen y de tiempo”

ω puede ser utilizada para definir propiedades turbulentas:

Escala de tiempo de la turbulencia, 1ω

mixing-length or longitur caracterıstica de los torbellinos

contenedores de la energıa, l ∼ k1/2

ω

De hecho ε = kω

Ası la viscosidad turbulenta puede ser formulada en terminosde ω, νt = Cµ

kω

Hay modelos de turbulencia que modelan ecuaciones para k yω en vez de k y ε, denominados modelos two-equation k–ωRANS , los mas notables:

Wilcox k–ωSTT k–ω




Modelos K–ω STT

Referencias910

∂∂t (ρk) + ∂

∂xi(ρkui ) = ∂

∂xj(Γk

∂∂xi

k) + Gk − Yk

∂∂t (ρω) + ∂

∂xi(ρωui ) = ∂

∂xj(Γω

∂∂xi

ω) + Gω − Yω + Dω

Γk = µ + µt

σk, Γω = µ + µt

σω, σk y σω, son numeros de Prandtl

para k y ω.

µt = ρkω

1

max( 1α∗ ,

ΩF2a1ω

)

Ω =√

2Ω : Ω, Ω ≡ mean rate of rotation tensor

α∗ = α∗∞α∗

0+Ret/Rk

1+Ret/Rk, Ret = ρk

µω , Rk = 6, α0 = βi/3,

βi = 0,072 (α∗∞ = 1 –high Reynolds number form–)

9Menter, F. R. (1993), ”Zonal Two Equation k- Turbulence Models forAerodynamic Flows”, AIAA Paper 93-2906.

10Menter, F. R. (1994), ”Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Modelsfor Engineering Applications”, AIAA Journal, vol. 32, pp. 269-289.




Modelos K–ω

σk = 1F1/σk ,1+(1−F1)/σk ,2

σω = 1F1/σω ,1+(1−F1)/σω ,2

.......... (11)

11http://www.cfd-online.com/Wiki/SSTk − omegamodelJavier Ros Aerodinamica y Mecanica de Fluidos Computacional



Reynolds Stress Models

Son modelos de tipo RANS, pero en este caso no se modela el“Tensor de Esfuerzos de Reynolds”, utilizando la hipotesisisotropa de Bousinesq.

En este caso se plantea una ecuacion para cada una de lascomponentes de dicho tensor U

′U′(como es simetrico son

necesarias 6 ecuaciones). Por comparacion con los modelosk–ε, estas ecuaciones sustituirıan a la ecuacion para la energıacinetica k.

Ademas como los modelos k–ε utilizan otra ecuacion adicionalpara la disipacion de energıa cinetica turbulenta ε.





La caracterıstica mas importante de estos modelos es quepueden reproducir tensores de esfuerzos de Reynolds noisotropos, que son frecuentes en flujos que tienen unatridimensionalidad importante:

Union entre ala y avion.Coche de F1.Turbomaquinas...

Existen versiones “Low–Reynolds” y con modelo de pared,como en los k–ε“. En este ultimo caso los modelos deben sermas ricos ya que deben proveerse condiciones de contornopara U

′U′, en vez de solamente para k, tal y como se ha visto.

En mi opinion son muy poco utilizados. En parte por losrequerimientos computacionales adicionales necesarios,ademas de presentar problemas numericos adicionales quehacen mas difıcil lograr la convergencia. Parece que LESesta tomando el relevo de este tipo de modelos.





Tambien existen versiones Reynols Stress de los modelos k-ω(Wilcox)

En mi opinion son muy poco utilizados. En parte por losrequerimientos computacionales adicionales necesarios,ademas de presentar problemas numericos adicionales quehacen mas difıcil lograr la convergencia. Parece que LESesta tomando el relevo de este tipo de modelos.




Otras aproximaciones: DNS

Simulacion numerica directa (Direct Numerical Simulation–DNS–)

Se resuelven las ecuaciones directamente sin necesidad demodelado. Imposible salvo para bajos reynolds y flujossencillos. Se utiliza en investigacion para el modelado deturbulencia.




Otras aproximaciones: LES

Objeto de la siguiente charla.

Simulacion de grandes torbellinos (Large Eddy Simulation–LES–)

El ”promedio muestral“ utilizado en los modelos RANS es unfiltro del campo turbulento que dejarıa las grandes escalas delflujo congeladas en situaciones estadısticamente estacionarias.

Esto implica que la hipotesis de modelado turbulentoesta afectando a las grandes escalas de la turbulencia fueradel rango inercial. Algo evidentemente incorrecto, ya que noestan en equilibrio y ademas no son isotropas.

LES separan las escalas turbulentas en equilibrio (rangoinercial – subcapa logarıtmica), de los torbellinos contenedoresde la velocidad.





Para ello LES utiliza filtros de convolucion espacial, queajustados apropiadamente consiguen separar el campoturbulento, en dos componentes:

una componente que contiene la cinematica de las grandesescalas (Supergrid scale)otra componente que contiene escalas en el rango inercial ydisipativo (subgrid scale).

Ası es necesario modelar el efecto de la ”Subgrid scale“ en la”Supergrid Scale“.

Conforme la malla se hace mas fina, el numero de escalasmodeladas, es mas pequeno y LES → DNS.





Acualmente es posible utilizar funciones de pared en LES. Noobstante muchas de las ventajas de LES se pierden ya que elmodelo de pared utilizado es similar a los utilizados enmodelos RANS.

Ası que esta desaconsejado, y se utiliza cuando no queda otroremedio.

Una asignatura pendiente en LES es la definicion de unmodelado basado en su filosofıa en la Zona de la pared, con locual se mejorarıa la problematica producida por las funcionesde pared.

En la actualidad la utilizacion de la filosofıa LES en todo eldominio implica realizar DNS en las proximidades dela pared.


Introducción Las ecuaciones de los medios continuos Modelado de la Turbulencia

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