DINAMICA DE FLUIDOSEstudio de los líquidos en movimiento

Equilibrio sólido de un líquidoFlujo de fluidos

EQUILIBRIO SÓLIDO DE LOS LÍQUIDOS

Interesa conocer la variación de la presión

en el interior del fluido

TraslaciónRotación(No se tiene en cuenta en

movimiento relativo entre las moléculas del fluido)

MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN CON ACELERACIÓN:

- vertical- horizontal- horizontal-vertical

MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN CON ACELERACIÓN VERTICAL (az )Para el movimiento de traslación con aceleración vertical en la que sólo actúa la aceleración de la gravedad la ecuación básica de la estática de fluidos expresa que: g

zP

Cuando se tiene un movimiento que además tiene una aceleración az )1()(

gaag

zP z

z

)1(ga

zP z

De aquí podemos obtener:

dzgadPdz

gadP

P zzz )1()1(

0 0

Como dz aumenta en el sentido que dP disminuye, entonces:

zgaP z )1(

EJEMPLO:Determine la expresión para la variación de la presión en el seno de una masa líquida contenida en un recipiente que se mueve verticalmente bajo las siguientes condiciones:a)Cuando sube con una aceleración de 4,9 m/s².b)Cuando baja con una aceleración de 4,9 m/s².c)Cuando el depósito cae.d)Cuando el depósito sube con una aceleración igual a la gravedad.e)Cuando el depósito sube con una retardación igual a la gravedad.

+

-

LÍQUIDO CON ACELERACIÓN LINEAL HORIZONTAL axPara el equilibrio dinámico de la porción de fluido elegido en el sistema de la figura:

xxx Alag

VamaFF 21

axxx agl

PPAlag

APAP 2121

xagxP

El signo (-) se debe

a que x aumenta en el sentido que P disminuye

También podemos apreciar que:

xaglhh

lPP tan2121

gaxtan

EJEMPLO:El recipiente de la figura contiene agua y se acelera con igual aceleración en las direcciones horizontal y vertical igual a 4,90 m/s². Determine las presiones debida al fluido en los puntos A, B y C del recipiente.SOLUCIÓN:En la dirección x:

33 /500)8,99,4(/1000 mkgmkg

ga

xP x

En la dirección y:

33 /1500)8,99,41(/1000)1( mkgmkg

ga

yP y

dyyPdx

xPdP

dydxdP 1500500

Para un punto en la superficie libre del fluido: 3

10 dxdydP Pendiente de

las líneas de igual presión

(SUPERFICIES)Como: dydxdP 1500500

Integrando de Po a P, de 0 a x, y de 0 a y tenemos:

yxPP 15005000 Para un punto en la superficie del fluido P=0

Entonces para (x,y)=(1,2 m , 0,7 m) la presión es cero P=0 , de la ecuación anterior se obtiene: 2

00 /1650)70,0(1500)20,1(5000 mkgPP

Con este valor de Po,

yxmkgP 1500500/1650 2 Esta ecuación da el valor de la presión en cualquier punto en el interior del fluido

Con los datos del problema:Presión en el punto A (0 , 1,20 m) el fluido no alcanza este punto

0 APPresión en el punto B (0 , 0)

2/1650 mkgPB

Presión en el punto C (1,2 m , 0)

)2,1(/500/1650 32 mmkgmkgPC 2/1050 mkgPC

MOVIMIENTO DE ROTACIÓNRecipientes abiertosRecipientes cerrados

Sin presión adicionalCon presión adicional

Considere el siguiente sistema:Si ubicamos el sistema en coordenadas

zr ,,

Entonces:

dzzPdPdr

rPdP

Para el pequeño elemento considerado 0HF

0)( madAdrrPPPdA

0)()( 2 rdAdr

gdAdr

rPPPdA

De la ecuación anterior obtenemos:

rgr

P 2

Además conocemos que:

gzP

Teniendo en cuenta estos valores en la ecuación

dzzPdPdr

rPdP

Considerando

0P Obtenemos: gdzrdrdP 2

Integrando:

CgzrP 2

22Para hallar el valor de la constante debemos considerar las condiciones de contorno

Para r=0, z=zo; P=Po

00 gzPC Con este valor de C:

2200 2

1)( rzzgPP ECUACIÓN PARA EL VALOR DE LA PRESIÓN EN CUALQUIER PUNTO EN EL INTERIOR DEL FLUIDO

Si la ecuación hallada para el valor de la presión en cualquier punto, se aplica a puntos en la superficie libre del fluido donde P=Po tendremos la ecuación de la forma de la superficie, por lo tanto de la forma de las superficies de igual presión 22

000 21)( rzzgPP

De donde:

grzz 222

0

ECUACIÓN DE UN PARABOLOIDE DE

REVOLUCIÓN

Las superficies de igual presión son paraboloides de revolución, en un corte vertical se verán como

parábolas

Se sabe que el volumen del paraboloide de revolución es la mitad del volumen del cilindro circunscrito a dicho paraboloide.Casos:

a) Si el eje de giro está fuera del recipiente: Parte del paraboloide se forma dentro del recipiente.

b) Si el recipiente se tapa sin añadir presión: El paraboloide se considera sobre la tapa del recipiente tangente a ella

c) Si el recipiente se tapa añadiendo presión adicional: la presión añadida se considera como una altura sobre la tapa del recipiente; sobre dicho nivel se forma el paraboloide.

EJEMPLO:Un depósito de forma cilíndrica de 4 m de altura y 2 m de diámetro contiene aceite hasta 3,2 m de altura. A cuantas rpm debe girar el recipiente alrededor de su eje para que el aceite alcance el borde superior?SOLUCIÓN:

Volumen del paraboloide=(volumen del cilindro)/2

rghh

grz 2

222

sradm

msm /96,31)8,0)(/81,9(2 2

rpm

s

radrev

srad

26096,3)

60min1

21

)(/96,3( rpm83,37

EJEMPLO:Un cilindro de 1,8 m de diámetro y 2,70 m de altura se llena completamente con glicerina de densidad 1,60 y al taparlo se añade al depósito una presión de 2,50 kg/cm². El material de que está hecho el cilindro tiene 13 mm de espesor con un esfuerzo admisible de trabajo de 850 kg/cm². Determinar a qué velocidad máxima se puede hacer girar el recipiente sobres su eje sin que se rompa.

SOLUCIÓN:

El esfuerzo tangencial en un cilindro de radio r, con presión interna P es:

tPr t es el espesor del

material de que está hecho el cilindro

De la figura se puede deducir que la presión será máxima en el borde inferior externo del cilindro

22

/3,1290)3,1)(/850(. cmkg

cmcmcmkg

rtP

La presión que puede soportar el recipiente será:

2222

21/50,2/3,12 rgg

cmkghcmkg

Con la configuración del problema:

Reemplazando los datos del problema:

)8100()/6,1(21/5,2)270(/6,1/3,12 223232 cmcmgrcmkgcmcmgrcmkg

rpmsrad 363/38

De donde se obtiene