Definitivamente las matemáticas, en sus orígenesestuvieron directamente relacionadas con lascondiciones de vida de la época. El hombre primitivonecesitaba el número (al menos los primeros númerosnaturales) para verificar la cuenta de su rebaño,para efectuar rudimentarios intercambios comercialeso para llevar la cuenta de su calendario que lespermitía controlar las cosechas.Solo con los Egipcios se puede comenzar a hablar de

ciencia matemática. Obligados por las inundaciones anuales se vieron en la necesidad demanejar líneas y números. Conocieron hechos matemáticos, supieron manejar formulas yrazonar con figuras geométricas, pero solo por una necesidad práctica, sin una concepciónde la ciencia teórica.Sin embargo, las cosas cambian radicalmente cuando abordamos "La Época Griega". De lamano de Thales de Mileto (640 - 560 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.), Demócrito (460 -370 a.C.) y Euclides (360 - 275 a.C.) aparecen conceptos precisos como la abstracción,generalización, análisis y la síntesis. La escuela de Pitágoras se apasiono por estascuestiones : "Todas las cosas son números".La obra de Euclides "Los Elementos" (320 a.C.), que le origino una gran reputación hasido usado como texto de estudios cerca de 2000 años. Dicha obra, constituida por trecelibros, es la coronación de las investigaciones realizadas por los Geómetras de Atenas yde sus antecesores.Como encargado de la Biblioteca de Alejandría, era tal su entusiasmo que diariamente lecomunicaba de sus avances matemáticos a Tolomeo II (308 - 246 a.C.) Rey de Egipto,sumiéndolo constantemente en situaciones por demás incomodas.

96

900 a.C. 800 a.C. 700 a.C.

600 a.C. 500 a.C. 400 a.C. 300 a.C. 200 a.C.

CULTURA OLMECA (1200 - 400 a.C.)

CULTURA CHAVIN (850 - 200 a.C.)

IMPERIO ASIRIO (883-612 a.C.) IMPERIO PERSA (550 - 331 a.C.)

COMERCIO FENICIO (900 - 600 a.C.)

PRIMERAS CIUDADES GRIEGAS-GRECIA CLÁSICA (750-330 a.C.)

REPÚBLICA ROMANA (509 - 27 a.C.)

EUCLIDES(360 - 275

a.C.)

Observemos las siguientes figuras:

Es un cuadrado de lado (a + b), hacemos 2 cortesimaginarios tal que se forman 2 cuadrados (lados a y b) y2 rectángulos.Área Total = (a + b)2

Pero también:AT = A1 + A2 + A3 + A4(a + b)2 = a2 + b2 + ab + ab

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ahora es un cuadrado de lado “a” y hacemos nuevamente 2cortes imaginarios tal que se forman 2 cuadrados (lados“b” y “a - b”) y 2 rectángulos.

A1 = AT – A2 – A3 – A4(a - b)2 = a2 – b2 – b(a - b) – b(a - b)

(a - b)2 = a2 – b2 – ab + b2 – ab + b2

(a - b)2 = a2 – 2ab + b2

Otra vez hacemos el par de cortes imaginarios y obtenemoslo siguiente:

AT – A1 = A2 + A3a2 – b2 = a(a - b) + b(a - b)Extrayendo factor común obtenemos:

97

1

2

4

3

ba

a

b

1

2

3

4

ba - b

b

aa - b

a

a-b

b

2

13

ba - ba

a

a-b

b

¡Interesante

Verdad!

¡Soy un genio!

PRODUCTOS NOTABLES I

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

PRODUCTOS NOTABLESSon los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directasin necesidad de aplicar la propiedad distributiva, ello por la forma como la presentan.

1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTOEs el desarrollo del binomio suma o diferencia al cuadrado.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

TCP(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejm.: (a + 3)2 = a2 + 6a + 9 (2x + 5)2 = 4x2 + 20x + 25 (x - 7)2 = x2 – 14x + 49 (3x - 1)2 = 9x2 – 6x + 1

(x + 6)2 = (4x + 3)2 = (m - 4)2 = (5m - 2)2 =

De acá se generan las identidades de Legendre:

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 – (a - b)2 = 4ab

Ejm.: (3x + 2)2 + (3x - 2) 2 = (4x + 7)2 – (4x – 7) 2 =

(3x + 5)2 + (3x - 5)2 = (x + 9)2 - (x - 9)2 =

2. DIFERENCIA DE CUADRADOSEs el resultado generado de la multiplicación del binomio suma por su diferencia.

(a + b) (a - b) = a2 – b2

Ejm.:

98

Diferenciade Cuadrados

(x + 3) (x - 3) = x2 - 9 (3x + 5)(3x - 5) = 9x2 – 25 (2x3 + 5)(5 – 2x3) = 25 –

4x6

(x + 7)(x - 7) = (2x – 4)(2x + 4) = (x4 + 8)(8 – x4) =

3. BINOMIO AL CUBO (SUMA) (a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

= a3 + b3 + 3ab(a + b) *

BINOMIO AL CUBO (DIFERENCIA)(a - b)3= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

= a3 - b3 - 3ab(a - b) *

Ejm.: (x + 3)3 = x3 + 3x2 . 3 + 3x

. 9 + 27= x3 + 27 + 3(3x)(x+ 3)

(a - 5)3 = a3 – 3a2.5 +3a.25 - 125

= a3 – 125 – 3(5a)(a- 5)

(y + 2)3 =

(m - 1)3 =

4. SUMA DE CUBOS

(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)

DIFERENCIA DE CUBOS

(a3 - b3) = (a - b)(a2 + ab + b2)

Ejm.: (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 23 =

x3 + 8 (y - 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53

= y3 – 125 (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) = (2x)3 +

33 = 8x3 + 27 (5x - 1)(25x2 + 5x + 1) = (5x)3 –

13 = 125x3 - 1

(a + 4)(a2 – 4a + 16) = (m - 2) ( ) = m3

- 23

(4x + 3) ( ) =(4x)3 + 33

(x2 - 2) (x4 + 2x2 + 4) =

5. PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Ejm.: (x + 3) (x + 5) = x2 + 8x +

15 (x + 4) (x - 2) = x2 + 2x -

8

99

Las equivalencias que aparecen con asterisco son para problemas con condición.

(x + 7) (x - 9) = x2 – 2x –63

(2x - 5) (2x - 3) = 4x2 –8(2x) + 15

(x + 1) (x + 6) = (x - 5) (x + 9) = (x + 4) (x - 10) = (3x - 1) (3x - 6) =

1. Reducir:A = (2x + 3)2 – (2x - 3)2 + (3x -

4)2 – 8x2 - 16

a) 0 b) 2 c) xd) x2 e) 2x2

2. Efectuar:

a) x2 b) 1 c) 0d) 2x2 e) 2

3. Reducir:

a) 15 b) 20 c) 25d) 60 e) 67

4. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

5. Efectuar:E = (x + 2)(x - 2)(x2 + 4)(x4 + 16)

+ 256

a) x b) x2 c) x4

d) x6 e) x8

6. Multiplicar:M = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1)(x2 –

x + 1) + 1

a) x3 b) x4 c) x6

d) x9 e) N.A.

7. Efectuar:

a) 1 b) 10 c) 2d) 8 e) 1

8. Reducir:A = (xn + 8)(xn + 2) – (xn + 3)(xn +

7)

a) xn b) x2n c) 2xnd) -5 e) -1

9. Simplificar:

a) x2 + x b) x2 + x + 1c) x2 + x - 1

d) x2 – x + 1 e) N.A.

10. Simplificar:

a) x6 + 1 b) x6 – 1c) x2 + 2

100

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

En este último producto notable debemos tener muy presente los signos de cada término, de

los factores en cuestión.

d) x2 – 2 e) N.A.

11. Reducir:M = (2x + 3y - z)3 + (3x – 3y + z)3

– 124x3 + 15x(2x + 3y - z) (3x – 3y+ z)

a) 0 b) x2 c) x3

d) 1 e) 2z

12. Hallar “E” en:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13. Evaluar:

a) 9 b) 3 c) 81d) 1 e) 6

14. Simplificar:

a) m b) a c) 2ad) b e) c

15. Reducir:

a) 1 b) 12 c) 13d) 14 e) 18

TAREA DOMICILIARIA Nº 4

1. Reducir:M = (x + 2)2 – (2 - x)2 + (x - 4)2

– x2 - 16

a) 0 b) 2 c) xd) 4x e) x + 2

2. Efectuar:

a) 0 b) 1 c) 2d) x2 e) 2x2

3. Reducir:

a) 10 b) 13 c) 20d) 18 e) 36

4. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Efectuar:E = (a + 5)(a - 5)(a2 + 52)(a4 - 54)

– a8

a) 54 b) -58 c) -56

d) -254 e) Hay dos clavescorrectas

6. Multiplicar:M = (a + b)(a2 + ab + b2)(a - b)(a2

– ab + b2)

a) a6 – b3 b) a3 – b6

c) (a - b)6

d) a6 – b6 e) Hay dosclaves correctas

7. Efectuar:

a) 3 b) 4 c) 8d) -4 e) N.A.

8. Reducir:M = (x5 + 4) (x5 + 7) – (x5 + 2) (x5

+ 9)

a) 5 b) x10 c) x20

d) 10 e) 15

9. Simplificar:

101

a) x2 + 5x + 5 b) x2 – 5x + 5c) x2 - 5

d) –x2 – 5x – 5 e) N.A.

10. Simplificar:

a) a6 + b6 b) a6 – b6

c) a3 + b3

d) a3 – b3 e) N.A.

11. Reducir:M = (x + 2y – 7z)3 + (x – 2y + 7z)3

– 8x3 + 6x(x + 2y – 7z) (x – 2y + 7z)

a) x b) 2xyzc) 0

d) x – y e) 2y2

12. Hallar “M” en:

a) 1 b) 6 c) 20d) 4 e) 8

13. Evaluar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Simplificar:

a) 1 b) 2x c) xd) 3x e) 8x

15. Reducir:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) -1

102