GRAFICA DE LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

GRAFICA DE LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

La idea básica detrás del método del lugar geométrico delas raíces es que los valores de s que hacen que la función detransferencia alrededor del lazo sea igual a -1 debensatisfacer la ecuación característica del sistema.

El método debe su nombre al lugar geométrico de lasraíces de la ecuación característica del sistema en lazocerrado conforme la ganancia varía de cero a infinito. Dichagráfica muestra claramente como contribuye cada polo o ceroen lazo abierto a las posiciones de los polos en lazocerrado.

Al diseñar un sistema de control lineal, encontramosque el método del lugar geométrico de las raíces resulta muyútil, dado que indica la forma en la que deben modificarselos polos y ceros en lazo abierto para que respuesta cumplalas especificaciones del desempeño del sistema.

Algunos sistemas de control puede tener más de unparámetro que deba ajustarse. El diagrama del lugargeométrico de las raíces, para un sistema que tieneparámetros múltiples , se construye variando un parámetro ala vez.

Condiciones de Angulo. Considere el sistema de la figura 2.5. La función de transferencia en lazo cerrado es

C s G sR s 1 G s H s

La ecuación característica para este sistema en lazo cerradose obtiene haciendo que el denominador del segundo miembro dela ecuación anterior sea igual a cero. Es decir,

1 G s Hs 0

o bien

G s H s −1 ( ecuac. 5.1)

Aquí se supone que

G s H s

es un cociente de polinomios en s. Dado que

G s H s

es una cantidad compleja la ecuación 5.1 se divide endos ecuaciones

igualando los ángulo y las magnitudes de ambos miembros, para obtener lo siguiente :

Condición de ángulo:

Notas del Curso de Control I

M. C. Jaime Cid Monjaraz

2

1

Condición de magnitud :

G s H s 1

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones deángulo como las de magnitud son las raíces de la ecuacióncaracterística, o los polos en lazo cerrado. El lugargeométrico de las raíces es una gráfica de los puntos delplano complejo que sólo satisfacen la condición deángulo. Las raíces de la ecuación característica(los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valorespecífico de la ganancia se determinan a partir de lacondición de magnitud.

En muchos casos,

G s H s

contiene un parámetro de ganancia K, y la ecuación

característica se escribe como

K s z 1 s z 2.. . s z m

s p1 s p2 ... s pn

Entonces los lugares geométricos de la raíces para elsistema son los lugares geométricos de los polos en lazocerrado conforme la ganancia K varía de cero a infinito.

Observe que, para empezar a trazar los lugaresgeométricos de las raíces de un sistema mediante el método



3

analizado aquí, debemos conocer la ubicaciónde los polos y los ceros de

G s H s . Recuerde que los ángulos de las cantidades

complejas que se originan a partir de los polos y los ceros en lazo abierto para el punto de prueba s se miden en sentidocontrario al de las manecillas del reloj. Porejemplo,

G s H s

se obtiene mediante

K s z 1 G s H s s p s p

s p

s p 1 23 4

en donde − p2 , y − p3 son polos complejos conjugados, el ángulo

G s H s es

en donde 1 ,12 ,3 ,4 se miden en sentido contrario al de las manecillas del reloj,como se observa en la figura 5.2.1 (a) y (b). la magnitud de sistema es

G s H s

para este

G s H s KB1

A1 A2 A3 A4

en donde A1 A2 A3 A4 yB1 son magnitudes de las cantidades complejass p1 , s p2 , s p3 , s p4 , s z1 , respectivamente.

Observe que debido a que los polos complejos conjugado ylos ceros complejos conjugados en lazo abierto, siexisten, siempre se ubican simétricamente con respectoal eje real, los lugares geométricos de las raíces siempreson simétricos con respecto a este eje. Por lo tanto, sólo esnecesario construir la mitad superior de los lugaresgeométricos de las raíces y dibujar la imagen espejo de lamitad superior en el plano s inferior.

De otra manera los ceros de una función son los valores dela variable para los cuales la función se anula. Los valoresde la función para los cuales la función se hace finita (osu inversa a cero) son los polos. En una función racional,los ceros son las raíces del polinomio del numerador y lospolos son las raíces del polinomio de denominador. Porejemplo, la función

F s 2 s 2 2 s − 12

s 2 7s 10

2 s − 2 s 3 s 2 s 5

tienen ceros en s 2 y s −3 , y polos en s −2 y s −5 .

Cuando se indican los polos y ceros de un función en elplano complejo, el resultado es una gráfica de polos y ceros, de lacual se pueden deducir propiedades importantes de la función.Los valores ceros se indican por :

en la gráfica, y los valores de los polos se representan por :

A continuación se presentará un ejemplo para construir gráficas del lugar geométrico de las raíces.

Ejemplo 5.1. Considere el sistema de la figura 2.5.2(suponemos que el valor de ganancia K es no negativo). Para este sistema,

KG s ,s s 1 s 2

Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en

La condición de magnitudes

G s

Ks s 1 s 2

1

Reglas generales para construir los lugaresgeométricos de las raíces. Resumiremos las reglas y elprocedimiento general para construir los lugaresgeométricos de las raíces del sistema de la figura 2.5.3.

Primero, obtenga la ecuación característica

1 G s Hs 0

A continuación, vuelva a ordenar esta ecuación para que el parámetro de interés aparezca como el factor multiplicativo, en forma

1 K s z1 s z 2 ... s z m

0 → .s p1 s p2...s

pn ecuac a

En estos análisis suponemos que el parámetro de interés es laganancia K , en donde K 0. (Si K 0, lo cual correspondeal caso de realimentación positiva, bebe modificarse lacondición de ángulo.) Sin embargo observe, que el métodotodavía es aplicable a sistemas con parámetros deinterés diferentes a la ganancia.

1. Ubique los polos y ceros de

G s H s

en el plano s. Las ramificaciones del lugar

geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan enlos ceros (ceros finitos o ceros en infinito) . A partir de la formafactorizada de la función de transferencia en lazo abierto,ubique los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. [Observe que los ceros en lazo abierto son los deG s H s , en tanto que los ceros en lazo cerrado son los dede H s .

G s

y los polos

Observe que los lugares geométricos de las raíces sonsimétricos con respecto al eje real del plano s, debido a quelos polos y ceros complejos sólo ocurren en pares conjugados.

Encuentre los puntos inicio y fin de los lugaresgeométricos de las raíces y localice también el número delugares geométricos de las raíces separados. Los puntos dellugar geométrico que corresponde a K = 0 son los polos enlazo abierto. Esto se aprecia a partir de la condición demagnitud, suponiendo que K tiende a cero, o que

s z s z ...s z 1lim 1 2 m limK → 0 s p1 s p2

...s pn

∞K →0 K

Esta última ecuación implica que conforme K disminuye, elvalor des debe tender a uno de los polos en lazo abierto.Por lo tanto, cada lugar geométrico de las raíces seorigina en un polo de la función de transferenciaen lazo abiertoG s H s . Conforme K tiende a infinito, cada lugargeométrico tiende al cero de la función de transferencia en

lazo abierto o al infinito del plano complejo. Esto seaprecia del modo siguiente : si suponemos que K tiende ainfinito en la condiciónde magnitud,entonces :

( s z )( s z )...( s z )lím 1

2 m

1 lím 0

K →∞ (s p1 )(s p2)...(s pn )

K →∞ K

Por tanto, el valor de s debe aproximarse a uno de los ceros finitos en lazo abierto o a un cero en lazo abierto en infinito. [Si se incluyen los ceros en infinito en lacuenta, G sH s

tiene la misma cantidad de ceros que de polos.]

Una gráfica del lugar geométrico de las raíces tendrátantas ramificaciones como raíces tenga la funcióncaracterística. Dado que, por lo general, la cantidad depolos en lazo abierto es mayor que la de ceros, la cantidadde ramificaciones es igual a la de los polos. Si la cantidadde polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos enlazo abierto, la cantidad de ramificaciones individuales del

lugar geométrico de las raíces que terminan en los cerosfinitos en lazo abierto será igual a la cantidad m de cerosen lazo abierto. Las n - m ramificaciones restantes terminanen infinito ( n - m ceros implícitos en infinito ) a lo largode las asíntotas.Sí incluimos los polos y los ceros en infinito, la cantidadde polos en lazo abierto es igual a la de ceros en lazoabierto. Por tanto, siempre podemos plantear que loslugares geométricos de las raíces empiezan enlos polos de

G s H s

y terminan

en los ceros de

G s H s

conforme K aumenta de cero a infinito, en donde los

polos y los ceros incluyen tanto aquéllos finitos y eninfinitos en el plano s.

2.- Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real. Loslugares geométricos de las raíces sobre el je real sedeterminan mediante los polos y los ceros en lazo abierto quese encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejosconjugados de la función de transferencia en lazo abierto noafectan la ubicación de los lugares geométricos de lasraíces sobre el eje real, porque la contribución del ángulode un par de polos o ceros complejos conjugados es 360sobre el eje real. Cada parte del lugar geométrico de lasraíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de unpolo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugaresgeométricos sobre el je real, seleccione un punto en éste. Sila cantidad total de polos y ceros reales a la derecha deeste punto de prueba es impar, este punto se encuentra en ellugar geométrico de las raíces. El lugar geométrico de lasraíces y su firma complementaria alternan segmentos a lolargo del eje real.

3.- Determine las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. Si elpunto de prueba s se ubica lejos del origen, se considera queno cambia el ángulo de cada cantidad compleja. Entonces, uncero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelanlos efectos del otro. Por tanto, los lugares geométricos delas raíces para valores de s muy grandes deben ser asintóticospara líneas rectas cuyos ángulos (pendientes) se obtenganmediante

Ángulos de las asíntotas 180( 2 K 1) ; (K

0,1,2,..., ) n −m

en donde n = número de polos finitos de G s H sm = números de ceros finitos de G s H s

Aquí, k = 0 corresponde a las asíntotas con el ángulo máspequeño con respecto al eje real. Aunque k supone una cantidadinfinita de valores, conforme aumenta, el ángulo se repiteasí mismo y la cantidad de asíntotas es n - m.

Todas las asíntotas interceptan al eje real en un puntoque se obtiene del modo siguiente : si se expanden elnumerador y el denominador de la función de transferencia enlazo abierto, el resultado es

K s m ( z z ... z ) s m −1 ... z z ... z G(s)H (s)

1 2 m

1 2 m

sn ( p p ... p )sn −1 ... p p ...p1 2 n 1 2 n

(

1

Si un punto de prueba se localiza lejos del origen,entonces dividiendo eldenominador entre el numerador, podemos escribir G s H s

como

G s H s K ( )

sn−m (p p... p ) −(z z

... z)sn−m−1

...1 2 n 1 2 m

Dado que la ecuación característica es

puede escribirse como

G s H s = -1

sn−m

(p p2

... pn

)−(z1

z2...zm

)sn−m−1 ... −K

Para un valor grande de s la ecuación anterior se aproximamediante

s

( p1 p 2 ... pn ) − (z1 z 2 ... z m )

n − m

0 n − m

Si la abscisa de la intersección de las asíntotas y el eje real se representa mediante s a , entonces

− ( p1 p 2 ... pn ) − ( z1 z 2 ...

z m )a n − m

obien,

Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren enpares conjugados, a siempre es una cantidad real. Una vezque se encuentra la intersección de las asíntotas y el ejereal, es fácil dibujar las asíntotas en el plano complejo.

Es importante señalar que las asíntotas muestran elcomportamiento de los lugares geométricos de las raícespara s 1. Una ramificación del lugar geométrico delas raíces pueden encontrarse en un lado de la asíntotacorrespondiente o puede atravesar ésta de un lado al otro.

4.- Encuentre los puntos de desprendimiento y de ingreso. Debido a lasimetría conjugada de los lugares geométrico de las raíces,los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentransobre el eje real o bien ocurren en pares complejosconjugados.

Si un lugar geométrico de las raíces se ubica entredos polos en lazo abierto adyacentes sobre el eje real,existe al menos un punto de desprendimiento entre dichos dospolos. Asimismo, si el lugar geométrico de las raíces estaentre dos ceros adyacentes (un cero puede ubicarse en -∞)sobre el eje real, siempre existe al menos un punto deingreso entre los dos ceros. Si el lugar geométrico de lasraíces se ubica entre un polo en lazo abierto y un cero(finito o no finito) sobre el eje real, puede o no existirpuntos de desprendimiento o de ingreso, o bien puedenexistir ambos.

Suponga que la ecuación característica se obtiene mediante

Bs KAs 0Los puntos de desprendimiento y los puntos de ingresocorresponden a las raíces múltiples de la ecuacióncaracterística. Por tanto, los puntos de desprendimiento y deingreso se determinan a partir de las raíces de

dK −ds

B' sAs − Bs A' s A2 s

0

en donde la prima indica una diferenciación con respectoa s. Es importante señalar que los puntos de desprendimientoy los punto de ingreso deben ser las raíces de la ecuaciónanterior, aunque no todas las raíces de la ecuación anteriorse encuentran en la parte del eje real del lugar geométricode las raíces, es un punto de desprendimiento o de ingresoreal. Si una raíz real de la ecuación anterior no está enla parte del eje real del lugar geométrico, esta raíz nocorresponde a un desprendimiento ni a un punto de ingreso. Sidos raíces s = s1 y s = -s1 de la ecuación anterior son un parcomplejo conjugado y si no es seguro que están en loslugares geométricos de las raíces, es necesario verificar elvalor de K correspondiente. Si el valor de K que corresponde ala raíz s = s1 de dK/ds =0 es positivo, el punto s = s1 es un punto de desprendimientoo de ingreso real.(Dado que se supone que K es no negativo,si es negativo el valor obtenido de K el punto s = s1 no es dedesprendimiento ni de ingreso.)

5.- Determine el ángulo de salida (ángulo de llegada) de un ángulo geométricode las raíces a partir de un polo complejo (un cero complejo). Para trazar loslugares geométricos de las raíces con una precisiónrazonable, debemos encontrar las direcciones de los lugaresgeométricos de las raíces cercanas a los polos y ceros

complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve enla cercanía precisa del polo complejo (o del cero complejo) ,se considera que no cambia la suma de las contribucionesangulares de todos los otros polos y ceros. Por tanto, elángulo de llegada (o ángulo de salida) del lugar geométricode las raíces de un polo complejo (o de un cero complejo), seencuentra restando a 180 la suma de todos los ángulos devectores, desde todos los polos y ceros hasta el polocomplejo (o cero complejo) en cuestión, incluyendo los signosapropiados.

Angulo de salida desde un polo complejo = 180-(suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo

en cuestión desde otros polos)+(suma de los ángulos de vectores hacia el polo

complejo en cuestión desde los ceros)Angulo de llegada a un cero complejo = 180

-(suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otro cero)

+(suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos)El ángulo de salida aparece en lafigura 2.5.4

6.- Encuentre los puntos en los que los lugares geométricos de las raícescruzan el eje imaginario. Los puntos en los que los lugaresgeométricos de las raíces intersectan al eje j se encuentrancon facilidad por medio de : (a) el criterio de estabilidadde Routh, o (b) suponiendo que s = j en la ecuacióncaracterística, igualando con cero la parte real y la parteimaginaria y despejando y K . En este caso, los valoresencontrados de representan las frecuencias en las cualeslos lugares geométricos de las raíces cruzan el ejeimaginario. El valor de K que corresponden a cadafrecuencia de cruce produce la ganancia en el punto decruce.

7.- Tomando una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen delplano s, trace los lugares geométricos. Determine los legaresgeométricos de las raíces en la vecindad amplia del eje yel origen. La parte más importante de los lugares geométricosde las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas,sino en la parte de la vecindad amplia del eje j y elorigen. La forma de los lugares geométricos de las raícesen esta región importante del plano s debe obtenerse consuficiente precisión.

8.- Determine los polos en lazo cerrado. Un punto específico de cadaramificación del lugar geométrico de la s raíces será un poloen lazo cerrado si el valor de K en dicho punto satisface lacondición de magnitud. Por otra parte, la condición de

ontrol I M. C. Jaime Cid Monjaraz

magnitud nos permite determinar el valor de la ganancia en Ken cualquier ubicación de las raíces específicas sobre ellugar geométrico. )si es necesario, se establece unagraduación de los lugares geométricos en términos deK. Los lugares geométricos de las raíces son continuos conK).

El valor de K que corresponde a cualquier punto s sobre el lugar geométrico de las raíces se obtienen a partir de la condición de magnitud, o bien

Notas del Curso de C 10



11

Este valor debe calcularse en forma gráfica o analítica.Si este problema de la ganancia K de la función de

transferencia en lazo abierto, entonces, aplicando lacondición de magnitud encontramos las ubicacionescorrectas de los polos en lazo cerrado para un K determinadode cada ramificación de los lugares geométrico de las raíces,mediante un enfoque de prueba y error o mediante MATLAB, locual se presentara en la sección 2.5.1.

Configuraciones comunes de polos y ceros y los



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correspondientes lugares geométricos de las raíces.Para concluir esta sección mostramos la tabla 2.5.1, quecontiene varias configuraciones de polos y ceros en lazoabierto y los correspondientes lugares geométricos de las



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raíces. El patrón de los lugares geométricos de las raícessólo depende de la separación relativa de los polos y cerosen lazo abierto. Si el número de polos en lazo abierto excedeel número de ceros finitos en tres o más, existe un valor dela ganancia K más allá del cual los lugares geométricos de lasraíces entran en el semiplano derecho del plano s y, por lotanto, el sistema puede volverse inestable. Un sistemaestable debe tener todos sus polos en lazo cerrado en elsemiplano izquierdo del plano s.

Observe que, una vez que hemos adquirido ciertaexperiencia con el método, nos es fácil evaluar los cambiosen los lugares geométricos de las raíces debidos a lasmodificaciones en el número y ubicación de los polos y cerosen la lazo abierto visualizando las gráficas de los lugaresgeométricos de las raíces que se producen de las diversasconfiguraciones de los polos y ceros.

2.5.1.- GRAFICAS DEL LUGAR GEOMETRICO DELAS RAICES CON MATLAB

En este capítulo presentaremos el enfoque de MATLAB,para generar las gráficas del lugar geométrico de las raíces.

Gráfica de los lugares geométricos de las raícescon MATLAB. Al graficar los lugares geométricos delas raíces con MATLAB, abordaremos la ecuación de sistemaobtenida en la forma de la ecuación (*), que se escribe como

1 K num

0demEn donde num es el polinomio del numerador y den es el polinomio del denominador. Es decir,

num s z1 s z2 ...s zm num sm (z z ...

z)s m −1 ... z z ...z

1 2 m 1 2 m

den s p1 s p2 ...s pm den sn

p1 p2

... pn s

n −1 ... p1 p2..... pn



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Observe que ambos vectores, num y den, deben escribirse enpotencias descendentes de s.

Un comando de MATLAB que se usa con frecuencia paragraficar los lugares geométricos de las raíces es

rlocus(num,den)

con este comando, se dibuja en la pantalla la gráfica dellugar geométrico de las raíces. El vector de ganancia K sedetermina en forma automática. El comando rlocus funcionapara sistemas tanto en tiempo continuo como discreto.

Para los sistemas definidos en el espacio de estados,rlocus(A, B, C, D) grafica el lugar geométrico de las raícesdel sistema, con el vector de ganancias automáticamentedeterminado.

Observe que los comandos

rlocus(num, den, K) y rlocus(A, B, C, D, K)

Usan el vector de ganancia K proporcionado por el usuario.(El vector K contiene todos los valores de ganancias para loscuales se van a calcular los polos en lazo cerrado.).

Si se invocan con los argumentos del lado izquierdo

[r,K = rlocus(num,den) [r,K = rlocus(num,den,K) [r,K = rlocus(A,B,C,D) [r,K = rlocus(A,B,C,D. K)

la pantalla mostrará la matriz r y el vector de ganancia K.( r tiene una longitud de K renglones y una longitud den de –1 columnas que contienen las ubicaciones de las raícescomplejas. Cada renglón de la matriz corresponde una gananciaa partir del vector K.) El comando plot

plot(r,’ ‘)grafica los lugares geométricosde las raíces.

Si se quiere graficar los lugares geométricos de las raíces con las marcas

′o′ o bien ′x′, es necesario usar elcomando siguiente:

r = rlocus(num,den)

plot(r,’o’) o plot(r,’ x’)

Es instructivo graficar los lugares geométricos de lasraíces mediante las marcas′o′ o bien ′x′, dado que cada polo en lazo cerrado calculado seexhibe en forma gráfica; en alguna parte de los lugaresgeométricos de las raíces estas marcas están densamenteubicadas y en otra parte aparecen separadas. MATLABproduce su propio conjunto de valores de ganancias que seusan para obtener una gráfica del lugar geométrico de lasraíces. Lo consigue mediante una rutina interna de adaptacióndel tamaño de paso. Así mismo, MATLAB usa lacaracterística automática de fijar la escala del eje delcomando plot.

Por último, observe que, dado que el valor de gananciasse determina en forma automática, las gráficas del lugargeométrico de las raíces de

G(s)H (s) K ( s 1)

s(s 2)(s 3)

G(s)H (s) 10 K ( s 1)

s(s 2)(s 3)

G(s)H (s) 200 K ( s 1)

s(s 2)(s 3)

son todas iguales. El conjunto de num y den del sistema esigual para los tres sistemas. Los num y den son

num = [0 0 1 1]den = [1 5 6 0]

EJEMPLO 2.5.1.- Considere el sistema de control de lafigura 2.5.1.a. Para graficar el lugar diagrama del lugargeométrico de las raíces con MATLAB, es necesario encontrarlos polinomios del numerador y denominar en lazo abierto.

Para este problema el numerado esta dado como polinomioen s. Sin embargo, el denominador se obtienen como unproducto de los términos del primer y segundo orden, locual implica que debemos multiplicar estos términos paraobtener un polinomio en s. La multiplicación de estostérminos se efectúa con facilidad mediante el comando deconvolución, que aparece a continuación.Defina

a ss 4 s2

4s :b:

c

s2 1.4s 1 :

a 1b 1c 1

4 061.4 1

Después, use el comando siguiente:

d conva, b; e convc, d [Observe que conv(a,b) proporciona el producto de dos polinomios a y b.] Observe la siguiente salida de computadora:


jaraz

15

M. C. Jaime Cid Mon

Por tanto, el polinomio de denominador esden =1

11.4 39

43.6

24 0

Para encontrar los ceros en lazo abierto de la función de transferencia determinada, usamos el siguiente comando roots:

p = 1 2 4r = roots(p)

A continuación se muestra el comando y la salida de la computadora.

Asimismo, para encontrar los polos complejos conjugadosen lazo abierto

(las raíces de


jaraz

16

s2 1.4s 1 0 ), introducimos el comando roots del modo siguiente:



16

Imag

Axis

Por tanto, el sistema tiene los siguientes polos y ceros en lazo abierto:

Ceros en lazo abierto:Polos en lazo abierto:

s −1 j1.7321,s −0.7 j0.7141,

s −1 − j1.7321s −0.7 − j0.7141

s 0, s −4,

s −6

El programa MATLAB 2.5.1 graficará el diagrama del lugar geométrico de las raíces para este sistema. La gráfica aparece en la figura 2.5.1.b.

Grá fica del lugar geomé trico de las raí ces; FIGURA 2.5.1.b.10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10-10 -8 -6 -4 -2 0

2 4 6 8 10RealAxis

EJEMPLO 2.5.2.- Considere el sistema de la figura 2.5.2.a, en el cual la función de transferencia en lazo abierto Gs H s es

G(s)H (s) K ( s 0.2)

s2 (s 3.6)



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Imag

Axis

El cero lazo abierto está en s = -0.2 y los polos en lazoabierto están en s =

0, y s = -3.6. El programa MATLAB 2.5.2 genera una gráfica dellugar geométrico de las raíces. La gráfica del lugargeométrico de las raíces resultante aparece en la figura2.5.1.c.

Grafica del lugar geometrico de las raí ces; FIGURA 2.5.1.c4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4-4 -3 -2 -1 0 1 2

RealAxis

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