FACTOR DE CORRECCIÓN DE FULLER: Ff

Es un factor que permite estimar el caudal máximo

instantáneo a partir del caudal máximo anual.

Donde:

A: Área de la cuenca, km2

QMI: Caudal máximo instantáneo

QMA: Caudal máximo anual.

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

CHI CUADRADO: χ2

La expresión general de Chi Cuadrado viene dado por:

Donde:

χ2C: Valor calculado de Chi cuadrado a partir del registro

de caudales máximos instantáneos.

θi: Número de valores observados en intervalo de clase “i”

ei: Número de valores esperados en intervalo de clase “i”

k: Número de intervalos de clase

El valor teórico de Chi Cuadrado (χ2t) se obtiene de la

tabla de distribución del mismo nombre considerando:

- Nivel de significación: α, por lo general α = 5%

- Grados de libertad: k - h – 1. Donde:

h = 2 Distribución Normal, LogNormal y

Gumbel

h = 3 Distribución Pearson III, LogPearson

III

Criterio de Decisión:

Si: χ2C ≤ χ2

t: El registro de caudales se ajusta a la

distribución de probabilidades para el nivel

de significación considerado.

Si: χ2C > χ2

t: El registro de caudales no se ajusta a la

distribución de probabilidades para el nivel

de significación considerado. Se debe

probar con otra distribución.

Este método requiere agrupar los datos en intervalos de

clase, su aplicación es más adecuada para ajustes a la

distribución Normal puesto que ha sido desarrollado a

base a datos normales e independientes. En la práctica se

utiliza para verificar el ajuste a cualquier distribución de

probabilidades.

Ejemplo:

Para el siguiente registro de caudales máximos anuales, en

m3/s, registrado en una estación cuya cuenca es 250 km2,

se pide aplicar la prueba Chi Cuadrado y determinar si la

información se ajusta a la Distribución Normal para un

nivel de significación del 5%.

Año QMA Año QMA Año QMA Año QMA Año QMA

1951 156.49 1961 71.59 1971 145.96 1981 115.63 1991 182.65

1952 146.89 1962 100.33 1972 218.08 1982 144.57 1992 93.31

1953 106.82 1963 182.38 1973 249.93 1983 173.91 1993 156.29

1954 121.46 1964 80.73 1974 137.95 1984 76.23 1994 108.61

1955 136.62 1965 154.64 1975 188.34 1985 228.01 1995 149.4

1956 216.82 1966 137.22 1976 96.49 1986 157.55 1996 136.56

1957 93.97 1967 236.62 1977 218.08 1987 121.85 1997 92.12

1958 170.86 1968 107.88 1978 174.04 1988 143.71 1998 125.03

1959 73.84 1969 74.3 1979 154.83 1989 104.64 1999 115.63

1960 133.25 1970 139.8 1980 130.6 1990 146.16 2000 150.13

Aplicando el Factor de Fuller al registro de caudales

máximos anuales, determinamos los caudales máximos

instantáneo, para un área de 250 km2:

= 1,51

Luego los caudales máximos instantáneos serán los

siguientes:

Año QMA Año QMA Año QMA Año QMA Año QMA

1951 236.30 1961 108.10 1971 220.40 1981 174.60 1991 275.80

1952 221.80 1962 151.50 1972 329.30 1982 218.30 1992 140.90

1953 161.30 1963 275.39 1973 377.39 1983 262.60 1993 236.00

1954 183.40 1964 121.90 1974 208.30 1984 115.11 1994 164.00

1955 206.30 1965 233.51 1975 284.39 1985 344.30 1995 225.59

1956 327.40 1966 207.20 1976 145.70 1986 237.90 1996 206.21

1957 141.89 1967 357.30 1977 329.30 1987 183.99 1997 139.10

1958 258.00 1968 162.90 1978 262.80 1988 217.00 1998 188.80

1959 111.50 1969 112.19 1979 233.79 1989 158.01 1999 174.60

1960 201.21 1970 211.10 1980 197.21 1990 220.70 2000 226.70

Nuestro objetivo es calcular χ2C y compararlo con χ2

t

Cálculo del número de intervalos de clase: k

Según Yevjevich:

N: Número de datos de la muestra, en este caso N = 50

Cálculo de la amplitud del intervalo de clase: ΔQ

En este caso:

Qmax = 377,39 m3/s Qmin = 108,10 m3/s

Cálculo del primer del intervalo de clase:

Límite Inferior: Qmin – ΔQ/2

Límite Superior: Qmin + ΔQ/2

Reemplazando:

Límite Inferior: 108,10 – 53,86/2 = 81,17

Límite Superior: 108,10 + 53,86/2 = 135,03

Podemos ahora calcular los 6 intervalos de clase, las

marcas de clase, como el promedio de los límites superior

e inferior de cada intervalo y el número de valores

observados en cada intervalo de clase: θ

k Linf Lsup Mclase θ

1 81.17 135.03 108.10 5

2 135.03 188.89 161.96 14

3 188.89 242.75 215.82 19

4 242.75 296.61 269.68 6

5 296.61 350.47 323.54 4

6 350.47 404.33 377.40 2

Para hallar el número de valores esperados en cada

intervalo de clase (e) debemos aplicar la siguiente

relación:

Donde:

F(Si): Función de distribución de probabilidad en el límite

superior del intervalo de clase “i”.

F(Ii): Función de distribución de probabilidad en el límite

inferior del intervalo de clase “i”.

Para determinar la función de distribución Normal de

probabilidades debemos primero determinar la variable

estandarizada (Z):

Zi: Variable estandarizada para el caudal Qi

Qm: Promedio de los valores agrupados

S: Desviación estándar de los valores agrupados.

Donde:

Qi: Marca de clase de cada intervalo

Reemplazando valores obtenemos:

Qm = 211,51 S = 66,05

Los cálculos se muestran en la siguiente tabla:

Linf Lsup Mclase θ Zinf Zsup

81.17 135.03 108.10 5 -1.9735 -1.1580

135.03 188.89 161.96 14 -1.1580 -0.3425

188.89 242.75 215.82 19 -0.3425 0.4730

242.75 296.61 269.68 6 0.4730 1.2885

296.61 350.47 323.54 4 1.2885 2.1040

350.47 404.33 377.40 2 2.1040 2.9195

De la tabla de distribución normal hallamos los valores de

F(Z) para los límites inferior y superior de cada intervalo

de clase y completamos los cálculos:

Linf Lsup Mclase θ Zinf Zsup F(Zinf) F(Zsup) e (θi - ei)

2/ei

81.17 135.03 108.10 5 -1.9735 -1.1580 0.0242 0.1234 4.96 0.00

135.03 188.89 161.96 14 -1.1580 -0.3425 0.1234 0.366 12.13 0.29

188.89 242.75 215.82 19 -0.3425 0.4730 0.366 0.6819 15.80 0.65

242.75 296.61 269.68 6 0.4730 1.2885 0.6819 0.9012 10.97 2.25

296.61 350.47 323.54 4 1.2885 2.1040 0.9012 0.9823 4.06 0.00

350.47 404.33 377.40 2 2.1040 2.9195 0.9823 0.9982 0.80 1.80

Sumando la última columna hallamos: χ2C = 4,99

De la tabla de distribución Chi-Cuadrado con:

G. Libertad: k – h – 1 : 6 – 2 – 1 = 3

Nivel de significación: α = 5%

Obtenemos: χ2t = 7,81

Comparando vemos que: χ2C < χ2

t , es decir:

“El registro de caudales se ajusta a la distribución Normal

de probabilidades con un nivel de significación del 5%”

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

SMIRNOV - KOLMOGOROV

Esta prueba consiste en comparar el máximo valor

absoluto de la diferencia entre la función de distribución

de probabilidad observada: ΔC , con un valor teórico (Δt)

que depende del número de datos y el nivel de

significación α.

Donde:

ΔC: Estadístico de Smirnov calculado.

F(Q): Función de distribución de probabilidad de ajuste.

P(Q): Función de distribución de probabilidad observada

(Probabilidad menor que):

Tabla 1: Valores de Δt

N α: NIVEL DE SIGNIFICACIÓN

0,20 0,10 0,05 0,01

5 0,45 0,51 0,56 0,67

10 0,32 0,37 0,41 0,49

15 0,27 0,30 0,34 0,40

20 0,23 0,26 0,29 0,36

25 0,21 0,24 0,27 0,32

30 0,19 0,22 0,24 0,29

35 0,18 0,20 0,23 0,27

40 0,17 0,19 0,21 0,25

45 0,16 0,18 0,20 0,24

50 0,15 0,17 0,19 0,23

> 50

Criterio de Decisión:

Si: ΔC ≤ Δt: El registro de caudales se ajusta a la

distribución de probabilidades para el nivel

de significación considerado.

Si: ΔC > Δt: El registro de caudales no se ajusta a la

distribución de probabilidades para el nivel

de significación considerado. Se debe

probar con otra distribución.

Esta prueba es aplicable a datos no agrupados, es decir, no

requiere hacer intervalos de clase y es aplicable a

cualquier distribución de probabilidades.

No es una prueba exacta sino más bien aproximada.

Ejemplo:

Para el registro de caudales del ejemplo anterior, se pide

aplicar la prueba de Smirnov – Kolmogorov para

determinar si la información se ajusta a la Distribución

Normal para un nivel de significación del 5%.

A partir del registro de caudales máximos instantáneos:

Año QMA Año QMA Año QMA Año QMA Año QMA

1951 236.30 1961 108.10 1971 220.40 1981 174.60 1991 275.80

1952 221.80 1962 151.50 1972 329.30 1982 218.30 1992 140.90

1953 161.30 1963 275.39 1973 377.39 1983 262.60 1993 236.00

1954 183.40 1964 121.90 1974 208.30 1984 115.11 1994 164.00

1955 206.30 1965 233.51 1975 284.39 1985 344.30 1995 225.59

1956 327.40 1966 207.20 1976 145.70 1986 237.90 1996 206.21

1957 141.89 1967 357.30 1977 329.30 1987 183.99 1997 139.10

1958 258.00 1968 162.90 1978 262.80 1988 217.00 1998 188.80

1959 111.50 1969 112.19 1979 233.79 1989 158.01 1999 174.60

1960 201.21 1970 211.10 1980 197.21 1990 220.70 2000 226.70

Realizamos los siguientes cálculos:

Columnas 1 y 2: Se ordenan los caudales en forma

descendente.

Columna 3: Se calcula la probabilidad empírica de

los caudales, aplicando:

Columna 4: Se calcula la variable estandarizada (Z),

como paso previo para el cálculo de la función de

distribución Normal de probabilidades

Columna 5: De tabla se obtiene la función de

distribución Normal de probabilidades F(Z).

Columna 6: Se calcula el estadístico de Smirnov

aplicando:

Es decir, el valor absoluto de la diferencia de los

resultados de las columnas 5 y 3.

En el cuadro siguiente se muestran estos cálculos:

1 2 3 4 5 6

m Q P(Q) Z F(Z) Abs(F - P)

1 377.4 0.9804 2.453 0.993 0.013

2 357.3 0.9608 2.152 0.984 0.024

3 344.3 0.9412 1.957 0.975 0.034

4 329.3 0.9216 1.732 0.958 0.037

5 329.3 0.9020 1.732 0.958 0.056

6 327.4 0.8824 1.703 0.956 0.073

7 284.4 0.8627 1.059 0.855 0.008

8 275.8 0.8431 0.930 0.824 0.019

9 275.4 0.8235 0.924 0.822 0.001

10 262.8 0.8039 0.735 0.769 0.035

11 262.6 0.7843 0.732 0.768 0.016

12 258.0 0.7647 0.663 0.746 0.018

13 237.9 0.7451 0.362 0.641 0.104

14 236.3 0.7255 0.338 0.632 0.093

15 236.0 0.7059 0.333 0.630 0.075

16 233.8 0.6863 0.300 0.618 0.068

17 233.5 0.6667 0.296 0.616 0.050

18 226.7 0.6471 0.194 0.577 0.070

19 225.6 0.6275 0.177 0.570 0.057

20 221.8 0.6078 0.120 0.548 0.060

21 220.7 0.5882 0.104 0.541 0.047

22 220.4 0.5686 0.099 0.540 0.029

23 218.3 0.5490 0.068 0.527 0.022

24 217.0 0.5294 0.048 0.519 0.010

25 211.1 0.5098 -0.040 0.484 0.026

26 208.3 0.4902 -0.082 0.467 0.023

27 207.2 0.4706 -0.099 0.461 0.010

28 206.3 0.4510 -0.112 0.455 0.004

29 206.2 0.4314 -0.114 0.455 0.023

30 201.2 0.4118 -0.189 0.425 0.013

31 197.2 0.3922 -0.249 0.402 0.010

32 188.8 0.3725 -0.375 0.354 0.019

33 184.0 0.3529 -0.446 0.328 0.025

34 183.4 0.3333 -0.455 0.324 0.009

35 174.6 0.3137 -0.587 0.278 0.035

36 174.6 0.2941 -0.587 0.278 0.016

37 164.0 0.2745 -0.746 0.228 0.047

38 162.9 0.2549 -0.763 0.223 0.032

39 161.3 0.2353 -0.787 0.216 0.020

40 158.0 0.2157 -0.836 0.202 0.014

41 151.5 0.1961 -0.934 0.175 0.021

42 145.7 0.1765 -1.021 0.154 0.023

43 141.9 0.1569 -1.078 0.141 0.016

44 140.9 0.1373 -1.093 0.137 0.000

45 139.1 0.1176 -1.120 0.131 0.014

46 121.9 0.0980 -1.377 0.084 0.014

47 115.1 0.0784 -1.479 0.070 0.009

48 112.2 0.0588 -1.523 0.064 0.005

49 111.5 0.0392 -1.533 0.063 0.023

50 108.1 0.0196 -1.584 0.057 0.037

Donde:

N = 50 Qm= 213,78 m3/s S = 66,70 m3/s

De la columna 6, vemos que el valor máximo es

0,104; es decir:

ΔC = 0,104

De la Tabla 1, para N = 50 y α = 5%, hallamos:

Δt = 0,190

Comparando vemos que: ΔC < Δt, es decir:

“El registro de caudales se ajusta a la distribución Normal

de probabilidades con un nivel de significación del 5%”

CALCULO DEL CAUDAL DE AVENIDA

Ven Te Chow encontró que estos caudales pueden

calcularse mediante la expresión:

Donde:

QT: Caudal de avenidas para un periodo de retorno “T”

Qm: Promedio de los caudales máximos instantáneos.

S: Desviación estándar de los caudales máximos

instantáneos.

KT: Factor de frecuencia que depende de la

distribución de probabilidades que mejor ajusta al

registro de caudales máximos instantáneos.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La función de densidad de probabilidad normal se define

como:

y la función de distribución de probabilidad normal como:

Donde, Z es la variable estandarizada calculada como:

Q: Caudal

Qm: Promedio de los caudales máximos instantáneos.

S: Desviación estándar de los caudales máximos

instantáneos.

Despejando:

Comparando con la expresión de Ven Te Chow:

vemos que el factor de frecuencia de la distribución

Normal viene dado por la variable estandarizada Z.

F(a) = P(Z ≤ a) → Tablas

El valor de Z correspondiente a una probabilidad de

excedencia P, (P = 1/T), puede calcularse hallando el valor

de una variable intermedia “w”:

Donde: 0 < P ≤ 0,5

y luego, aplicando la expresión (2):

Ejemplo 1:

Dado los caudales máximos instantáneos, en m3/s, en una

estación de aforo, se pide determinar:

a. La probabilidad de que en un año cualquiera el

caudal sea mayor o igual a 7460 m3/s. Calcular

además su periodo de retorno.

b. El caudal de avenidas para un periodo de retorno de

60 años y 100 años.

F(-a) = P(Z ≤ -a) = 1 – P(Z ≤ a)

Considerar que el registro de caudales se ajusta a la

distribución normal de probabilidades.

Año Q

(m3/s)

Año Q

(m3/s)

Año Q

(m3/s)

1965 3706 1975 2367 1985 4240

1966 4060 1976 4819 1986 2849

1967 2350 1977 3919 1987 6267

1968 6000 1978 6900 1988 2246

1969 4744 1979 3505 1989 7430

1970 6388 1980 7061 1990 5971

1971 2675 1981 3220 1991 3747

1972 3130 1982 2737 1992 5468

1973 2298 1983 5565 1993 3682

1974 4972 1984 2414 1994 2230

a. P(Q ≥ 7460 m3/s) = ?

Nos piden aplicar la distribución Normal de

probabilidades, entonces debemos estandarizar este

caudal. Previamente calculamos:

Qm = 4232,00 m3/s S = 1629,96 m3/s

Luego:

Con este valor entramos a la tabla de distribución Normal

de probabilidades y hallamos:

F(Z) = F(1,98) = P(Z<1,98) = P(Q<7460) = 0,9762

Por lo tanto, P(Q≥7460) = 0,0238 = 2,38%

Luego: T = 1/P = 1/0,0238 = 42 años

b. Q60 = ? Q100 = ?

Sabemos que:

Despejando:

Para: T = 60 P = 0,9833 = F(Z60)

De la tabla de distribución normal: Z60 = 2,13

Reemplazando en:

Hallamos: Q60 = 7703,8 m3/s

Del mismo modo: T = 100 años; P= 0,9900 = F(Z100)

De la tabla de distribución normal: Z100 = 2,33

Finalmente: Q100 = 8029,8 m3/s

También se pudo hallar Z, aplicando la ecuación (1):

w = 2,8609 reemplazando en la ecuación (2):

Z = 2,13

DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL

La función de densidad de probabilidad normal se define

como:

y la función de distribución de probabilidad normal como:

Donde, Z es la variable estandarizada calculada como:

Y: Logaritmo del caudal máximo instantáneo

: Promedio de los valores Y.

: Desviación estándar de los valores Y.

Y = Ln Q

Ejemplo 2:

Resolver el Ejemplo 1 considerando que el registro de

caudales se ajusta a la distribución de probabilidades Log

Normal.

A partir del registro de caudales original:

Año Q

(m3/s)

Año Q

(m3/s)

Año Q

(m3/s)

1965 3706 1975 2367 1985 4240

1966 4060 1976 4819 1986 2849

1967 2350 1977 3919 1987 6267

1968 6000 1978 6900 1988 2246

1969 4744 1979 3505 1989 7430

1970 6388 1980 7061 1990 5971

1971 2675 1981 3220 1991 3747

1972 3130 1982 2737 1992 5468

1973 2298 1983 5565 1993 3682

1974 4972 1984 2414 1994 2230

calculamos la variable Y = Ln Q:

Año Qmax Año Qmax Año Qmax

1965 8.2177 1975 7.7694 1985 8.3523

1966 8.3089 1976 8.4803 1986 7.9547

1967 7.7622 1977 8.2736 1987 8.7431

1968 8.6995 1978 8.8393 1988 7.7169

1969 8.4646 1979 8.1619 1989 8.9133

1970 8.7622 1980 8.8623 1990 8.6947

1971 7.8917 1981 8.0771 1991 8.2287

1972 8.0488 1982 7.9146 1992 8.6067

1973 7.7398 1983 8.6243 1993 8.2112

1974 8.5116 1984 7.7890 1994 7.7098

Además:

a. P(Q ≥ 7460 m3/s) = ?

Y = Ln 7460 = 8,92 Z = 1,63

De la tabla de distribución normal obtenemos:

F(Z)= F(1,63)= P(Z<1,63)= P(Y<8,92)= P(Q<7460)= 0,9489

Por lo tanto, P(Q≥7460) = 0,0511 = 5,11%

Luego: T = 1/P = 1/0,0511 ≈ 20 años

b. Q60 = ? Q100 = ?

Sabemos:

Para: T = 60 P = 0,9833 = F(Z60)

De la tabla de distribución normal: Z60 = 2,13

Reemplazando en:

Hallamos: Y60 = 9,11 Q60 = 9045,3 m3/s

Del mismo modo: T = 100 años; P= 0,9900 = F(Z100)

De la tabla de distribución normal: Z100 = 2,33

Finalmente: Y100 = 9,19 Q100 = 9798,7 m3/s