ESTUDIO DE LA ESTRUCTURA DE BANDAS DE CRISTALES FOTÓNICOS BIDIMENSIONALES CON GEOMETRÍA TRIANGULAR

momento Revista de Fısica, No 44, Junio 2012 1

ESTUDIO DE LA ESTRUCTURA DE BANDAS DECRISTALES FOTONICOS BIDIMENSIONALES CON

GEOMETRIA TRIANGULAR

BAND STRUCTURE STUDY OFTWO-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS WITH

TRIANGULAR GEOMETRY

Erik Petrovish Navarro-Baron1, Diego Nicolas Bernal-Garcıa1

y Herbert Vinck-Posada 1

1 Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Fısica,

Grupo de Optica e Informacion Cuantica

Resumen

Se realizo un estudio de las estructuras de bandas de cris-tales fotonicos con una red triangular de barras dielectricastriangulares usando el metodo de expansion en ondas planas(PWE). Se analizo el ancho relativo del bandgap fotonico enterminos de parametros geometricos de barras de triangu-los equilateros e isosceles, tanto para el modo TransversoMagnetico (TM) como para el Transverso Electrico (TE).Para barras equilateras los parametros modificados son eltamano de los triangulos y su orientacion dentro de la celdaunitaria, mientras en el caso de barras isosceles se fija el areatransversal, siendo los angulos internos y la orientacion delos triangulos dentro de la celda unitaria los parametros amodificar. Como resultado de la variacion de estos parame-tros se encuentran maximos de bandgap segun el parametrogeometrico para cada uno de los modos de polarizacion, loque permite encontrar a su vez un bandgap total maximo.

Palabras clave: Cristales Fotonicos, Estructura de Bandas, Barras

Triangulares, PWE, Bandgap.

[email protected]

2 Navarro-Baron, Bernal-Garcıa y Vinck-Posada

A study of the band structure of photonic crystals with atriangular lattice of triangular rodes is made using the Pla-ne Wave Expansion Method (PWE). The relative width ofphotonic bandgap is analyzed in terms of geometrical para-meters in either Transverse Magnetic (TM) and TransverseElectric (TE) cases for equilateral and isosceles triangularrods. For equilateral rods the size of the triangles and itsorientation in the unit cell are the modified parameters,while in the case of isosceles rods the cross area is fixedas the internal angles and the orientation of the triangle inthe unit cell are changed. As a result of varying of theseparameters, maximum of bandgaps are found according tothe parameter for each polarization mode, itself a maximumcomplete bandgap is found.

Keywords: Photonic Crystals, Band Structure, Triangular rods, PWE,

Bandgap.

Introduccion

Los arreglos de materiales espacialmente periodicos, gracias a susinteresantes propiedades, han sido el centro de gran parte de lasinvestigaciones en ciencias naturales en los ultimos anos. Dentrode estas estructuras se destacan los metamateriales, tanto electro-magneticos como acusticos; y los cristales fotonicos. Una de lascaracterısticas mas importantes de este tipo de materiales es lamanera en que controlan el flujo de ondas en su interior, ya seanelectromagneticas o acusticas. En el caso de los cristales fotonicos,destaca tambien su capacidad de confinar las ondas de luz de cier-tas frecuencias, esto debido a que la transmision de un conjuntode frecuencias dentro del cristal esta prohibida. A este conjunto defrecuencias se le conoce como bandgap fotonico (PBG, PhotonicBandGap), y es el fundamento de las diferentes aplicaciones quetienen los cristales fotonicos[1].Ademas del contraste entre la permitividad de los medios que for-man el cristal, el PBG depende fuertemente de dos caracterısticasdel mismo, su estructura de red y la forma de sus dispersores, siendode gran importancia la simetrıa entre ambas[2].

Cristales Fotonicos con Geometrıa Triangular 3

Una de las redes mas usadas y estudiadas es la red triangular(tambien llamada red hexagonal), la cual esta caracterizada porsus redes de Bravais y recıproca. Dichas redes se muestran en lasFiguras 1(a) y 1(b).

(a) Red de Bravais (b) Red recıproca

Figura 1. Caracteristicas de la red triangular.

Los vectores de la red estan definidos por el parametro de red acomo lo indican las ecuaciones 1 y 2.

~a1 = aı ~a2 = a

(1

2ı +

√3

2

)(1)

~b1 =2π

a

(ı− 1√

3

)~b2 =

2π

a

2√3

(2)

En la Figura 1(b) el hexagono punteado define la zona de Brillouin(celda unitaria en el espacio recıproco)[3], y los puntos Γ, M y Kdefinen la zona irreducible de Brillouin la cual esta formada porreduccion de la zona de Brilluoin a partir de las simetrıas de la red.Esta zona es de gran importancia ya que indica la mınima cantidadde vectores de onda que determinan todos los posibles valores defrecuencias permitidas en el cristal.

Esta red tiene asociados dispersores de forma triangular, los cualespueden maximizar las propiedades del cristal, en especial el anchode gap. Para ello se deben tener en cuenta diferentes parametrosasociados a dichos dispersores, como son el tamano, los angulos in-ternos y la orientacion dentro de la celda unitaria. En este artıculo


(a) Triangulos equilate-

ros

(b) Triangulos isosceles

Figura 2. Cristales fotonicos con geometrıa triangular.

nos concentraremos en dos tipos de triangulos, equilateros e isosce-les.Para la modelacion de cristales fotonicos bidimensionales se consi-deran las ecuaciones de Maxwell para medios materiales. Ademasse hacen cuatro importantes consideraciones sobre el material[4]:

La intensidad de los campos es lo suficientemente pequena, talque se tiene un regimen lineal, i.e, las componentes del campodesplazamiento dependen linealmente de las componentes delcampo electrico:

Di = εijr Ej

El material es macroscopico e isotropico, por lo cual los cam-pos ~D y ~E estan relacionados por un escalar, es decir,

~D(~r, ω) = εr(~r, ω)εo ~E(~r, ω)

con εr(~r, ω) la permitividad relativa del medio, conocida tam-bien como funcion dielectrica y εo la permitividad electrica enel vacıo.

La dependencia de la permitividad con la frecuencia es ig-norada, y son tomados valores promedios de la permitividadsegun las frecuencias de interes, en este caso las frecuenciasopticas.

El material es transparente esto quiere decir que εr es real ypositiva.


Bajo estas aproximaciones se considera la relacion de dispersion deestos materiales, es decir, la relacion entre el vector de onda ~k yla frecuencia ω. Teniendo en cuenta la relacion entre la energıa yω se puede determinar tambien una relacion entre ~k y la energıa,relacion con la que constituye lo que se conoce como estructura debandas la cual da razon de las energıas y frecuencias permitidasdentro del cristal. En el presente trabajo se hara un estudio de laestructura de bandas para cristales fotonicos dos dimensionales dered triangular y dispersores triangulares.

Expansion de Ondas Planas (PWE)

Para este tipo de medios periodicos existe una gran variedad detecnicas numericas para resolver las ecuaciones de Maxwell que sonlas que modelan el comportamiento de las ondas electromagneticas.Entre las mas destacadas estan: metodo de diferencias finitas (enel dominio del tiempo y en el domino de las frecuencias), elementosfinitos, analisis de dominio espectral, ecuaciones integrales, metodode los momentos(IE/MoM) y expansion en ondas planas(PWE) [5].

En el presente trabajo se hacen los calculos mediante el metodoPWE, el cual consiste en considerar que debido a la periodicidadde los materiales, los campos electrico y magnetico, y la permitivi-dad pueden ser expresados como funciones espacialmente periodi-cas. Para ello se consideran las ecuaciones de onda en un mediolibre de fuentes, es decir:

1

εr∇×∇× ~E =

1

c2

∂2

∂t2~E (3)

∇× 1

εr∇× ~H =

1

c2

∂2

∂t2~H (4)

Donde c es la velocidad de la luz en el vacıo. Si se consideraque los campos tienen dependencia temporal armonica, esto quieredecir, que ∂2

∂t= −ω2 (siendo ω la frecuencia angular de oscilacion),


entonces se tiene:

1

εr∇×∇× ~E = −ω

2

c2~E (5)

∇× 1

εr∇× ~H = −ω

2

c2~H (6)

Estas ecuaciones vectoriales pueden ser escritas como seis ecuacio-nes escalares, haciendo una separacion por componentes [6]. Porotro lado, se considera la dependencia periodica espacial, la cual sepuede expandir en una serie de Fourier.

1

εr=∑m,n

κεrm,nei(m~b1+n~b2)·~r (7)

Ex,y o z =∑m,n

κEx,y o zm,n ei(m

~b1+n~b2)·~rei~k.~r (8)

Hx,y o z =∑m,n

κHx,y o zm,n ei(m

~b1+n~b2)·~rei~k.~r (9)

Donde los coeficientes κ son de la expansion en la serie de Fourierpara cada componente de campo y para la permitividad, y el vector~k es el vector de onda que indica la direccion de propagacion de loscampos. Se considera que la onda se propaga solo en las direccionesde periodicidad del material, es decir, en el plano xy; y se conside-ran, solo dos modos de polarizacion. El modo transverso electrico(TE), donde el campo electrico esta contenido en el plano xy y portanto el campo magnetico esta en la direccion z; y el modo trans-verso magnetico (TM) donde el campo electrico esta en la direccionz.De esta manera, para el modo TE se considera la ecuacion 6, y laexpansion para Hz, y para el modo TM se considera la ecuacion 5y la expansion para Ez.De forma tal que cada ecuacion queda escrita como un problemade autovalores como se indica en las ecuaciones 10 y 11.∑

m,p κEzm,pκ

εrn−m,q−p×[(

2πma + kx

)2+(

2π(2p−m)√3a

+ ky

)2]

= ω2

c2κEzn,q

(10)


∑m,p κ

Hzn,qκ

εrn−m,q−p×[(

2πma + kx

) (2πna + kx

)+(

2π(2p−m)√3a

+ ky

)(2π(2q−n)√

3a+ ky

)]= ω2

c2κHzn,q

(11)

Ası, en dicho problema los autovalores estan relacionados a las au-tofrecuencias tal que λn = ω2

n/c2, y los autovectores asociados a

cada autovalor seran los coeficientes de la expansion de los campos,lo cual nos dara informacion de los perfiles de intensidad del campoasociados a dicha frecuencia. En la ecuaciones 10 y 11 se puede veruna dependencia con respecto a ~k = (kx, ky) de las autofrecuencias,

por lo que para cada posible ~k en la zona reducida de Brillouin,se tendra un problema de autovalores. Para solucionar cada pro-blema las series de Fourier, que en principio van desde −∞ hasta∞, son truncadas a un numero finito N , de tal forma que se debediagonalizar una matriz de tamano N2 ×N2.

(a) Cambio de tamano -

equilatero

(b) Cambio de orienta-

cion -equilatero

(c) Cambio de angulos

internos - isosceles

(d) Cambio de orienta-

cion -isosceles

Figura 3. Parametros para diferentes tipos de triangulos.


Resultados

Para los calculos, se consideraron barras dielectricas triangulares dearseniuro de galio (GaAs), con permitividad relativa de 13.2 sumer-gidas en aire. Se trabajaron dos tipos de triangulos y para cada unode ellos se tuvieron en cuenta diferentes parametros (ver Figura 3);para los triangulos equilateros se toma como primer parametro eltamano del dispersor, el cual es determinado por la longitud (L) deuno de sus lados, posteriormente se fija el parametro L y se varıa laorientacion dentro de la celda unitaria, teniendo en cuenta el angulo(θ) formado con el eje y; como indican las Figuras 3(a)-3(b).

(a) La

= 0.4 (b) La

= 0.6

(c) La

= 0.7 (d) La

= 0.8

Figura 4. Estructura de bandas para triangulos equilateros.

Para diferentes tamanos se encontraron bandgaps parciales, es de-cir, en alguno de los dos modos de polarizacion y para L lo sufi-cientemente grande se hallo un bandgap completo para frecuencias


cercanas a ωa2πc

= 0.5. La Figura 4 muestra diagramas de bandaspara diferentes valores de L.

Figura 5. Bandgaps en funcion del factor L/a.

Ademas, en la Figura 5 se muestra un estudio del ancho de losdiferentes gaps en funcion del factor L/a. Y se encuentran maximospara cada gap.Para un tamano suficientemente grande, se da la aparicion de unbandgap completo, esto puede explicarse debido a que la forma enpunta del dispersor puede mostrar el papel que generalmente desem-pena la estructura de venas permitiendo un acoplamiento entre lostriangulos. Dicho bandgap completo se maximixa para un factorL/a = 0.77 y con un valor del ancho de ∆

(ωa2πc

)= 4.026× 10−2.

Ahora, se presentan los resultados obtenidos al rotar los triangu-los, para ello y en adelante el area de los dispersores sera fijadaal area correspondiente a la de un triangulo equilatero de factorL/a = 0.73, en la Figura 6 se muestran diagramas de bandas paradiferentes valores de θ.


(a) θ = π9rad (b) θ = π

6rad

(c) θ = 5π18rad (d) θ = π

3rad

Figura 6. Estructura de bandas para triangulos equilateros rotados.

Figura 7. Ancho de bandgap en funcion del angulo de rotacion para triangulosequilateros.

Como era de esperar se tiene un comportamiento periodico del an-cho de los diferentes bandgaps con un perıodo de π/3 rad relacio-nado a la simetrıa de la red y se obtienen maximos en 0 rad ymultiplos de π/3 rad con un valor del ancho de 4.008× 10−2, dicho


comportamiento es mostrado en la Figura 7. Ası mismo, se obser-va que le gap completo desaparece para multiplos pares de π/6 rad.

Por otro lado, para triangulos isosceles se dejara fija el area, yse tomaran como parametros de estudio los angulos internos deltriangulo y su orientacion en la celda unitaria, para ello se tendranen cuenta dos angulos: ϕ correspondiente al angulo interno dobledentro del triangulo y θ el angulo de rotacion, como lo muestra laFigura 3(c)-3(d).

(a) ϕ = π4rad (b) ϕ = 3π

10rad

(c) ϕ = 7π20rad (d) ϕ = 2π

5rad

Figura 8. Estructura de bandas para triangulos isosceles.

Primero se presenta el estudio sobre el efecto de los angulos internosdonde se encuentran cambios en los tamanos del Gap para diferentesvalores de ϕ como se puede ver en las estructuras de bandas de laFigura 8.


Figura 9. Ancho de bandgap en funcion del angulo interno (ϕ) para triangulosisosceles.

Un comportamiento de los diferentes bandgaps en funcion ϕ es mos-trado en la Figura 9 donde se puede observar maximos en diversospuntos para cada gap diferente, en particular para el bandgap com-pleto se halla un maximo para ϕ = π/3 rad lo que corresponde aun triangulo equilatero resaltandose de nuevo la importancia de lasimetrıa entre la red y la forma del dispersor.

Por ultimo, se procede a estudiar el efecto de la rotacion para dife-rentes valores de θ y se tiene en cuenta dos valores diferentes de ϕ,55◦y 65◦. En la Figura 10 se muestran diagramas de bandas paradiferentes valores de θ y valor fijo de ϕ = 65◦.El comportamiento del PBG en funcion de θ es mostrado en laFigura 11, donde se presenta dicho comportamiento para los dosvalores de ϕ especificados anteriormente. De nuevo, como se espe-


(a) θ = π6rad (b) θ = π

3rad

(c) θ = π2rad (d) θ = πrad

Figura 10. Estructura de bandas para triangulos isosceles rotados.

raba, se observa un comportamiento periodico y ademas se destacaun desfase de π, para el primer gap del modo TM, entre los valoresde ϕ menores y mayores de π/3 lo cual resalta de nuevo a este valorcomo un punto de simetrıa, en este caso se observa una inversion.

Conclusiones

Las caracterısticas geometricas de cristales fotonicos 2-D de barrastriangulares, juegan un papel importante en su estructura de ban-das. Dentro de estas caracterısticas se destacan el tamano y losangulos internos, para triangulos isosceles. Por un lado, el tamanoes importante en la aparicion de PBG completo, cuando el tamanode los triangulos es lo suficientemente grande su forma en puntapermite un acople entre los dispersores, lo cual generalmente se lo-


(a) ϕ = 55o

(b) ϕ = 65o

Figura 11. Ancho del bandgap en funcion del angulo de rotacion para triangu-los isosceles.

gra solo conectando los dispersores por una estructura de venas. Ensegunda instancia, se destacan los angulos internos y la orientacionde los triangulos para maximizar el PBG completo, donde en am-


bos casos el valor de π/3 para los angulos es de gran importanciaen la simetrıa. Dentro de todos los posibles triangulos isosceles sedestaca el triangulo equilatero para el cual se obtiene maximo PBGcompleto y se observan propiedades de simetrıa, hecho que resaltala importancia de esta entre la red y los dispersores.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido financiado por Colciencias dentro del proyec-to con codigo 110156933525, contrato numero 026-2013 y codigoHERMES 17432. Por otra parte, reconocemos el apoyo tecnico ycomputacional del Grupo de Optica e Informacion Cuantica de laUniversidad Nacional de Colombia, Sede Bogota.

Referencias

[1] Weimin Kuang, Zhilin Hou, Youyan Liu, and Hai Li, Journal ofOptics A: Pure and Applied Optics 7, 525 (2005)

[2] Rongzhou Wang, Xue-Hua Wang, Ben-Yuan Gu, and Guo-ZhenYang, Journal of Applied Physics 90 (2001)

[3] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, eight ed.(John Wiley & Sons, Inc, 2005)

[4] J. D. Joannopoulos, R. D. Meade, and J.N. Winn, PhotonicCrystals: Molding the Flow of Light (Princeton, NJ: PrincetonUniversity Press, 1995)

[5] John David Shumpert, Modeling of periodic dielectric structures(electromagnetic crystals), Ph.D. thesis, University of Michigan(2001)

[6] Aaron J. Danner, “An introduction to the plane wave expansionmethod for calculating photonic crystal band diagrams,” (2002),university of Illinois

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