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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

Fundamentos de MatematicaPROPOSICIONES Y PREDICADOS DE PRIMER ORDEN


28 de mayo de 2021

Curso virtual Fundamentos de Matematica (EPN) Proposiciones y Predicados de Primer Orden 28 de mayo de 2021 1 / 96

Agenda

1 Introduccion

2 Teorıas MatematicasEjemploConceptos

3 ProposicionesEjemplos

4 Conceptos primitivos de la Logica

5 Axioma de los Principios Fundamentales

6 Sintaxis de la Logica

7 Tablas de verdad

8 Tautologıas y ContradiccionesTautologıas relevantesLo que “nos dice” algunas tautologıas relevantes

9 Ejemplos de uso de tautologıas relevantes

10 “Forma” de una proposicionEjemplosForma de algunas tautologıas de uso frecuente

11 Deduccion logica

12 Deduccion


Agenda

Reglas de inferenciaEjemplosObservaciones sobre el concepto “deduccion logica”

13 Equivalencia logicaEjemplos previosMotivacion

14 Definicion

15 Algunas Equivalencias LogicasEquivalencias Logicas

16 Conclusiones


Clase 02

Clase 02

1. Teorıa Matematica

2. Tres caracterısticas de las proposiciones

3. Conceptos primitivos de la Logica

4. Axioma de los Principios fundamentales

5. Sintaxis de la logica Proposicional

6. Axioma de Valor de verdad de una proposicion.


Introduccion

Introduccion

Fundamentos de Matematica

estudia concepto fundamentales

Conjuntos Numero reales Numero complejos Funciones


Introduccion

Introduccion




Estas y otras teorıas confirman la Matematica.


Introduccion

Introduccion




Estas y otras teorıas confirman la Matematica.

Cada una de estas teorıas es una coleccion de conceptos yproposiciones (sobre tales conceptos); estas proposiciones se relacionanentre sı mediante la Logica.


Introduccion

Teorıas Matematicas

La Logica estudia el concepto basico de proposicion mediante dos teorıas:

1. Logica de proposiciones

“El numero 1 es mayor que 0”“La suma de 3 y 0 es igual a 3”

2. Logica de predicados

“Para todo numero real x, se tiene que x + 0 = x”“Para toda funcion g, si g es biyectiva, entonces g es invertible”



Teorıas Matematicas o axiomaticas

Teorıasaxiomaticas

conceptos|proposiciones

Conceptosprimitivos

Conceptosdefinidos

Axiomas

Teoremas


Teorıas Matematicas Ejemplo

Ejemplo

Algunos conceptos de la teorıa de Conjuntos:

clase,

conjunto,

elemento,

relacion igualdad,

relacion subconjunto.

conjunto vacıo,

union,

interseccion,

diferencia,

complemento,

conjunto unitario,

par desordenado,

par ordenado,

producto cartesiano,

grafo.

De estos conceptos, algunos se definen exclusivamente mediante uno o variosde los denominados primitivos.

Conceptos primitivos son:

clase y relacion pertenencia.



Ejemplo

Algunos conceptos definidos de la Teorıa de Conjuntos:

C1: Una clase A es igual a la clase B si una clase pertenece a A si y solo sipertenece a B.

C2: Una clase es un conjunto si esta clase pertenece a otra clase.Los conceptos igual y conjunto se definen exclusivamente mediante losconceptos primitivos clase y pertenece.



Ejemplo

Las siguientes proposiciones son algunos de los axiomas de la teorıa deConjuntos:

A1: Si A, B y C son clases tales que A = B y A ∈ C , entonces B ∈ C .Este axioma define implıcitamente los conceptos primitivos pertenencia yclase. Recordemos que el concepto definido igual se define unicamentemediante los conceptos clase y pertenencia.

A2: Dado un predicado P (x), existe la clase cuyos elementos son todos losconjuntos a tales que P (a) es una proposicion verdadera.

A3: Si a y b son conjuntos, el par desordenado de a y de b tambien es unconjunto.

A4: Si A es un conjunto y B es una clase tal que B ⊆ A, entonces B tambien esun conjunto.



Ejemplo

Los siguientes son algunos de los teoremas de la teorıa de Conjuntos. Es decir,estas proposiciones se deducen de los axiomas.

T1: Si A es un conjunto, entonces A = A.Este teorema se deduce del axioma de la doble implicacion. Recordemosque toda teorıa matematica tiene tambien como axiomas todos los de laLogica.

T2: Si A y B son conjuntos tales que A = B, entonces B = A.Este teorema se deduce del axioma de la doble implicacion.

T3: Si A, B y C son conjuntos tales que A = B y B = C, entonces A = C.Este teorema se deduce del axioma de la doble implicacion.

T4: Si A y B son conjuntos tales que A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A = B.

T5: El conjunto vacıo es subconjunto de todo conjunto.

T6: La interseccion de dos conjuntos es un subconjunto de cada uno de losconjuntos.



Ejemplo

Las siguientes proposiciones son falsas en esta teorıa:

F1: La clase universal es un conjunto.

F2: La union de dos conjuntos dados es subconjunto de cada uno de losconjuntos dados.

F3: Si dos conjuntos son disjuntos, hay un elemento en la interseccion dedichos conjuntos.

F4: Todo conjunto se pertenece a sı mismo.

F5: El conjunto vacıo pertenece a todo conjunto.

Las siguientes no son proposiciones:

1. El conjunto vacıo.

2. La clase universal.

3. La interseccion de dos clases.

4. La union de dos conjuntos.


Teorıas Matematicas Conceptos

Conceptos I

� Conceptos primitivos

Un concepto primitivo no se define explıcitamente. Se los define IMPLICI-TAMENTE mediante axiomas.



Conceptos I

� Conceptos primitivos

Un concepto primitivo no se define explıcitamente. Se los define IMPLICI-TAMENTE mediante axiomas.

� Axiomas

Los axiomas son proposiciones aceptadas sin mas como verdaderas. Y,

1. De estas proposiciones se deducen todas las demas proposicionesde una teorıa axiomatica. (TEOREMAS)

2. Estas proposiciones describen las propiedades o caracterısticasbasicas o fundamentales de los conceptos primitivos. (DEFINICIONIMPLICITA)



Conceptos II

� Conceptos definidos

Un concepto definido es todo concepto que se define unicamente me-diante los conceptos primitivos o mediante cualquier concepto previa-mente definido a traves de otros conceptos o los conceptos primitivos,siempre y cuando dentro de esos conceptos previos no conste el que seesta definiendo.



Conceptos II

� Conceptos definidos

Un concepto definido es todo concepto que se define unicamente me-diante los conceptos primitivos o mediante cualquier concepto previa-mente definido a traves de otros conceptos o los conceptos primitivos,siempre y cuando dentro de esos conceptos previos no conste el que seesta definiendo.

� Teorema

Un teorema es toda proposicion que se deduce unicamente de los axio-mas o de teoremas previamente deducidos a partir de los axiomas o deotros teoremas, siempre y cuando dentro de esos teoremas previos noconste el que se esta deduciendo.


Proposiciones

Proposiciones

Es un concepto basico de la Logica donde sobresalen dos caracterısticasfundamentales:

1. Una proposicion tiene que ser o verdadera o falsa.Principio del tercer excluido

2. Una proposicion no puede ser verdadera y falsa.Principio de no contradiccion

Una ultima caracterıstica es el hecho de que una proposicion se puedeexpresar mediante otras proposiciones.


Proposiciones Ejemplos

Ejemplos

Proposiciones expresadas mediante otras proposiciones

Si el producto de dos numeros reales es igual a 0, entonces uno de los doses igual a 0.

Si una figura geometrica es una recta, entonces existen dos puntos talesque son distintos y estan en la recta.

Una funcion biyectiva es inyectiva y sobreyectiva.



Ejemplos

El cuadrado de un numero real es igual a 0 si y solo si el numero es igual a0.

Todo triangulo equilatero es isosceles.

En una recta, hay al menos dos puntos distintos.



Ejemplos

Proposiciones que no se expresan mediante otras

Una recta es un conjunto de puntos.

Un plano es un conjunto de puntos.

El numero 0 es el elemento neutro de la suma.


Conceptos primitivos de la Logica

Conceptos primitivos de la logica

proposicion,

verdadero,

falso,

valor de verdad de una proposicion,

negacion,

conjuncion,

disyuncion,

implicacion y

doble implicacion


Axioma de los Principios Fundamentales


Los axiomas que definen los conceptos primitivos son:

1. Principio del tercero excluido:El valor de verdad de toda proposicion o bien es verdadero o bien es falso.

2. Principio de no contradiccion:Si el valor de verdad de una proposicion es verdadero, no puede sertambien falso; y si es falso, su valor de verdad no puede ser verdadero.

3. Conectivas:Hay proposiciones que se expresan mediante otras proposiciones y de unao mas de las siguientes palabras (a las que se les denomina conectivas):negacion, conjuncion, disyuncion, implicacion o doble implicacion.




4. Proposiciones simples:Hay proposiciones (denominadas simples) que no se expresan medianteotras proposiciones.

5. Proposiciones:Toda proposicion es, o bien simple, o bien se expresa unicamentemediante otras proposiciones y una o varias de las conectivas negacion,conjuncion, disyuncion, implicacion o doble implicacion.


Sintaxis de la Logica


1. Para representar proposiciones usaremos las letras A, B, C, . . . , P , Q, R,etcetera.

2. Para las conectivas utilizaremos los siguientes signos:

¬, ∧, ∨, ⇒ y ⇔ .

3. Las reglas para el uso de las letras que representan las proposiciones y lossignos para las conectivas son las siguientes:

1) La conectiva negacion se escribe como prefijo de un signo querepresenta una proposicion.

¬P

2) Las conectivas conjuncion, disyuncion, implicacion y dobleimplicacion se escriben entre dos signos que representanproposiciones

1. Por ejemplo:

P ∧Q, P ∨Q, P ⇒ Q y P ⇔ Q.




4. Utilizaremos los signos v y f para representar valor de verdad verdadero yvalor de verdad falso, respectivamente.

5. Utilizaremos los parentesis ( y ) como signos de agrupacion, con el fin deevitar ambiguedades.

ü Abuso de lenguaje

Aunque P no es una proposicion, abusaremos del lenguaje y diremoscon frecuencia

“P es una proposicion” o

“la proposicion P”

en lugar de decir

“P representa una proposicion” o

“la proposicion representada por P”

1En el caso de la implicacion P ⇒Q, la proposicion P es denominada antecedente y la

proposicion Q, consecuente de la implicacion.



Axioma del valor de verdad de una proposicion

Si P y Q representan proposiciones, entonces:

1. Axioma de la negacion: El valor de verdad de la negacion de unaproposicion es el valor de verdad opuesto de dicha proposicion.

Ası, el valor de verdad de ¬P es el valor de verdad opuesto al de P .




2. Axioma de la conjuncion: El valor de verdad de la conjuncion de dosproposiciones es verdadero unicamente si el valor de verdad de ambasproposiciones es verdadero.

Ası, el valor de verdad de P ∧Q es verdadero unicamente si los valores deverdad de P y Q son ambos verdadero.




3. Axioma de la disyuncion: El valor de verdad de la disyuncion de dosproposiciones es falso unicamente si el valor de verdad de ambasproposiciones es falso.

Luego, el valor de verdad de P ∨Q es falso unicamente si los valores deverdad de P y Q son ambos falso.




4. Axioma de la implicacion: El valor de verdad de implicacion de dosproposiciones es falso unicamente si el valor de verdad del antecedentees verdadero y el del consecuente, falso.

Es decir, el valor de verdad de P ⇒ Q es falso unicamente si el valor deverdad de P es verdadero y el de Q es falso.




5. Axioma de la doble implicacion: El valor de verdad de la dobleimplicacion de dos proposiciones es verdadero unicamente si las dosproposiciones tienen el mismo valor de verdad.

Luego, el valor de verdad de P ⇔ Q es verdadero unicamente si los valoresde verdad de P y Q son iguales.




Para resumir:

P ¬P

v f

f v

P Q P ∧Q

v v v

v f f

f v f

f f f

P Q P ∨Q

v v v

v f v

f v v

f f f

P Q P ⇒ Q

v v v

v f f

f v v

f f v

P Q P ⇔ Q

v v v

v f f

f v f

f f v


Tablas de verdad

Tablas de verdad

Realizar una tabla de verdad de:

P ∨ ¬P


Tablas de verdad

Tablas de verdad


((P ∨Q) ∧ P )⇒ Q


Tablas de verdad

Tablas de verdad


((P ∨ ¬Q) ∧R)⇔ Q


Clase 03

Clase 03

1. Tautologıas

2. Formas de una proposicion


Clase 03

Introduccion a las tautologıas

Hemos visto proposiciones que son verdaderas o falsas independientementedel valor de verdad de las proposiciones de las que se expresa, por ejemplo:

P ∨ ¬P

P ∧ ¬P

¿Que nos quiere decir esto?Lo importante es identificar las caracterısticas que tienen estas proposicionespara identificar su valor de verdad sin mas.

Algunas, las mas relevantes, tendran un nombre propio.

Mientras que, otras dependen del valor de verdad de las que se expresa, porejemplo:

((P ⇒ Q) ∧Q)⇒ P

P ∧Q


Tautologıas y Contradicciones

Tautologıas y Contradicciones

� Tautologıa

Una proposicion que se expresa mediante otras proposiciones se deno-mina tautologıa si su valor de verdad es verdadero independientementede los valores de verdad de las otras proposiciones.

� Contradiccion

Una proposicion que se expresa mediante otras proposiciones se deno-mina contradiccion si su valor de verdad es falso independientementede los valores de verdad de las otras proposiciones.


Tautologıas y Contradicciones Tautologıas relevantes

Tautologıas relevantes

La proposicionP ∨ ¬P

es verdadera, independientemente de que proposicion represente P ; puestoque,

si la proposicion es verdadera, su negacion es falsa; y si es falsa, su ne-gacion es verdadera, luego, en ambos casos, la disyuncion de P y ¬Pes verdadera

2

Esta tautologıa se denomina PRINCIPIO DEL TERCERO EXCLUIDO pues expresan lomismo que

una proposicion es verdadera o es falsa

2Nota que no es necesario hacer una tabla de verdad de la proposicion para que es un

tautologıa.




Y Ejemplo

¿Que sucede con las siguientes proposiciones?

a.) Un numero real es racional o irracional.

b.) El conjunto A es conjunto vacıo o no.

c.) (P ⇒ Q) ∨ ¬(P ⇒ Q)

d.) ¬P ∨ ¬(P ⇒ Q)




Y Ejemplo

¿Es la proposicion (P ∧Q)⇔ (Q ∧ P ) una tautologıa?a

aUna manera sencilla de contestar esta pregunta es a traves de la elaboracion de una

tabla de verdad de la proposicion:




P Q P ∧Q Q ∧ P (P ∧Q)⇔ (Q ∧ P )

v v v v v

v f f f v

f v f f v

f f f f v

Esta tautologıa se denomina PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA CONJUNCION.

Por el axioma de la doble implicacion, ¿que sucede con los valores de verdadde P ∧Q y Q ∧ P ?




Por ejemplo, si la proposicion

a y b son distintos de 0

es verdadera, sin mas que por la apelacion a la tautologıa

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA CONJUNCION,

aseguramos que tambien es verdadera la proposicion

b y a son distintos de 0




Otra tautologıa relevante es MODUS PONENS3:

((P ⇒ Q) ∧ P )⇒ Q. (1)

Una manera de “entender” lo que “nos dice” esta tautologıa es la siguiente:

[1.] La implicacion((P ⇒ Q) ∧ P )⇒ Q

es verdadera independientemente de los valores de verdad de P y de Q.

[2.] El antecedente de esta implicacion es

(P ⇒ Q) ∧ P.

Si este antecedente fuera una proposicion verdadera, el consecuente dela implicacion en [1.] tendrıa que ser verdadera necesariamente por elaxioma de la implicacion. Y como Q es ese consecuente, entonces Q serıauna proposicion verdadera necesariamente.




[3.] Bajo el supuesto de que el antecedente de [1.] es una proposicionverdadera, por el axioma de la conjuncion, las dos proposiciones

P ⇒ Q y P

tambien serıan verdaderas.

Con base en [3.] y en [2.], diremos “que la tautologıa Modus Ponens aseguraque”:

Si P ⇒ Q y P son verdaderas, necesariamente Q es verdadera. (2)

Y esto lo podemos decir unicamente porque ((P ⇒ Q) ∧ P )⇒ Q es unatautologıa.

3lo cual es facil verificar mediante una tabla de verdad de la proposicion


Tautologıas y Contradicciones Lo que “nos dice” algunas tautologıas relevantes

Lo que “nos dice” algunas tautologıas relevantes I

Doble negacionP ⇔ ¬¬P

P y ¬¬P , aunque proposiciones diferentes, tienen el mismo valor deverdad independientemente del valor de verdad de P .






Ley de De Morgan para la negacion de la conjuncion

¬(P ∧Q)⇔ (¬P ∨ ¬Q).

La negacion de la conjuncion de dos proposiciones tiene el mismo va-lor de verdad que la disyuncion de la negacion de dichas proposicio-nes, y viceversa.






Ley de De Morgan para la negacion de la conjuncion

¬(P ∧Q)⇔ (¬P ∨ ¬Q).

La negacion de la conjuncion de dos proposiciones tiene el mismo va-lor de verdad que la disyuncion de la negacion de dichas proposicio-nes, y viceversa.

Ley de De Morgan para la negacion de la disyuncion

¬(P ∨Q)⇔ (¬P ∧ ¬Q).

La negacion de la disyuncion de dos proposiciones tiene el mismo valorde verdad que la conjuncion de la negacion de dichas proposiciones,y viceversa.



Lo que “nos dice” algunas tautologıas relevantes II

Contrapositiva(P ⇒ Q)⇔ (¬Q⇒ ¬P ).

Una implicacion y su contrapositiva tienen el mismo valor de verdad.






Implicacion-disyuncion

(P ⇒ Q)⇔ (¬P ∨Q).

La implicacion de dos proposiciones tiene el mismo valor de verdadque la disyuncion de la negacion del antecedente y del consecuente.






Implicacion-disyuncion

(P ⇒ Q)⇔ (¬P ∨Q).

La implicacion de dos proposiciones tiene el mismo valor de verdadque la disyuncion de la negacion del antecedente y del consecuente.

Negacion de la implicacion Es el nombre de la tautologıa

¬(P ⇒ Q)⇔ (P ∧ ¬Q).

El valor de verdad de la negacion de la implicacion de dos proposicio-nes es igual al valor de verdad de la conjuncion del antecedente y lanegacion del consecuente.



Lo que “nos dice” algunas tautologıas relevantes III

Transitiva de la implicacion

((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ R))⇒ (P ⇒ R).

Si P ⇒ Q y Q⇒ R son verdaderas, necesariamente P ⇒ R es verdade-ra.



Lo que “nos dice” algunas tautologıas relevantes III

Transitiva de la implicacion

((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ R))⇒ (P ⇒ R).

Si P ⇒ Q y Q⇒ R son verdaderas, necesariamente P ⇒ R es verdade-ra.

Silogismo hipotetico disyuntivo

(((P ∨Q) ∧ (P ⇒ R)) ∧ (Q⇒ R))⇒ R

Principio de no contradiccion¬(P ∧ ¬P )

Asociativa de la disyuncion

(P ∨Q) ∨R ⇔ P ∨ (Q ∨R)

Debido al uso de las tautologıas relevantes es esencial identificar la FORMA delas dichas proposiciones.


Ejemplos de uso de tautologıas relevantes


1. Principio de no contradiccion

¬(P ∧ ¬P )

2. Idempotencia

1) Disyuncion(P ∨ P )⇔ P

2) Conjuncion(P ∧ P )⇔ P

3. Propiedades Conmutativas

1) Disyuncion(P ∨Q)⇔ (Q ∨ P )

2) Conjuncion(P ∧Q)⇔ (Q ∧ P )

3) Doble implicacion(P ⇔ Q)⇔ (Q⇔ P )

4. Asociativas




1) Disyuncion((P ∨Q) ∨R)⇔ (P ∨ (Q ∨R))

2) Conjuncion((P ∧Q) ∧R)⇔ (P ∧ (Q ∧R))

5. Contrapositiva(P ⇒ Q)⇔ (¬Q⇒ ¬P )

6. Ley de DeMorgan

1) Negacion de la disyuncion

¬(P ∨Q)⇔ (¬P ∧ ¬Q)

2) Negacion de la conjuncion

¬(P ∧Q)⇔ (¬P ∨ ¬Q)

7. Doble negacion¬¬P ⇔ P

8. Implicacion-Disyuncion(P ⇒ Q)⇔ (¬P ∨Q)




9. Negacion de implicacion

¬(P ⇒ Q)⇔ (P ∧ ¬Q)

10. Doble implicacion-implicacion

(P ⇔ Q)⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ P ))




11. Modus Ponens((P ⇒ Q) ∧ P )⇒ Q

Asegura que:

Si P ⇒ Q y P son verdaderas,necesariamente Q es verdadera.

12. Modus Tollens((P ⇒ Q) ∧ ¬Q)⇒ ¬P

Asegura que:

Si P ⇒ Q es verdadera y Q es falsa,necesariamente P es falsa.

13. Transitiva de la implicacion

((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ R))⇒ (P ⇒ R)

Asegura que:

Si P ⇒ Q y Q⇒ R son verdaderas,necesariamente P ⇒ R es verdadera.


“Forma” de una proposicion


Sea la proposicionP ∧ ¬Q,

donde P y Q representan proposiciones cualesquiera, luego, una proposicionque tiene su misma “forma” es:

(R⇒ Q) ∧ ¬(R ∨ T ).




Hemos probado que la proposicion

P ∨ ¬P

es una tautologıa. Ası,(P ⇒ R) ∨ ¬(P ⇒ R)

tambien es una tautologıa.

Cualesquiera de las dos representaciones (independientemente de la(s)letra(s) que utilicemos) expresa que:

la disyuncion de una proposicion y su negacion es verdadera indepen-dientemente de la proposicion.

Es decir,

la disyuncion de una proposicion y su negacion es verdadera para to-da (o cualesquier) proposicion.




Ası, por ejemplo, la proposicion

(P ∧Q) ∨ ¬(P ∧Q)

tiene la misma “forma” que las proposiciones

P ∨ ¬P, que Q ∨ ¬Q o que (R⇒ ¬Q) ∨ ¬(R⇒ ¬Q)

(entre muchas otras). Y todas REPRESENTAN la tautologıa Principio del TerceroExcluido.




En este sentido, la proposicionT ∨ ¬T,

donde T representa una proposicion cualesquiera, se denomina forma dedicha proposicion.

Cada caso particular de esta forma sera denominado ejemplificacion de laforma de la proposicion T ∨ ¬T .

Por esta razon, diremos que:

la disyuncion de cualquier proposicion y su negacion es verdaderapues es una ejemplificacion de la forma del Principio del Tercero Ex-cluido.

Usaremos como sinonimo de ejemplificacion las palabras caso particular.


“Forma” de una proposicion Ejemplos

Ejemplo de la “forma” de una proposicion

La Propiedad Reflexiva de Implicacion es la tautologıa

P ⇒ P

por lo que, las siguientes proposiciones son tautologıas:

1. (Q ∧R)⇒ (Q ∧R)

2. ¬¬P ⇒ ¬¬P

3. (P ⇒ P )⇒ (P ⇒ P )




Y Ejemplo

Escriba una ejemplificacion de la proposicion

¬(P ∨Q)⇔ (¬P ∧ ¬Q)




Y Ejemplo

La proposicion¬¬¬R⇔ ¬R

es un caso particular de:


“Forma” de una proposicion Forma de algunas tautologıas de uso frecuente

Forma de algunas tautologıas de uso frecuente

1. La Doble negacion es:¬¬P ⇔ P.

Su “forma” es:La doble implicacion de:

I. la negacion de la negacion de una proposicion; yII. la proposicion.

2. La Ley de De Morgan para la negacion de la disyuncion es:

¬(P ∨Q)⇔ (¬P ∧ ¬Q).


I. la negacion de la disyuncion de dos proposiciones; yII. la conjuncion de las negaciones de las proposiciones.


“Forma” de una proposicion Forma de algunas tautologıas de uso frecuente

Forma de algunas tautologıas de uso frecuente

3. La Contrapositiva es:(P ⇒ Q)⇔ (¬Q⇒ ¬P ).


I. la implicacion de dos proposiciones; yII. la implicacion de la negacion del consecuente y la negacion del

antecedente de la primera implicacion.

Y Ejemplo

La forma de la proposicion

(S ∧ T )⇒ S

es:


CLASE 04

Clase 04

1. Deduccion logica


Deduccion logica

Deduccion logica: ejemplo

� Introduccion

Utilizaremos letras minusculas del alfabeto espanol para representarnumeros reales.Las siguientes proposiciones son axiomas en la teorıa de los numerosreales

A1: s = s.

A2: Si s = t es verdadera, entonces en cualquier proposicion en la queaparezca s, podemos sustituirle por t. La proposicion resultante dela sustitucion tiene el mismo valor de verdad que la proposicion ori-ginal.


Deduccion logica


Y Ejemplo

Demostrar que la proposicion

a = b⇒ b = a

es un teorema.

Utilicemos:P : a = b

Q: b = a

R: a = a


Deduccion logica


Demostracion I:

I. Suponemos queP

es verdadera. Nuestra intencion es mostrar que Q tambien lo es.

II. La proposicionR

representa el axioma A1; luego, es verdadera.

III. La proposicion(P ∧R)⇒ Q

representa el axioma A2; por tanto, es verdadera.

IV. La proposicionP ∧R

es verdadera por la aplicacion de la regla de inferencia Introduccion dela conjuncion a las proposiciones en [i.] y [ii.].

V. La proposicionQ

es verdadera por la aplicacion de la regla de inferencia Modus Ponens alas proposiciones en [iii.] y [iv.], que es lo que se querıa demostrar.


Deduccion logica


Justificacion:

I. La proposicionQ

se ha deducido deA1, A2 y P .

II. El paso I asegura que la proposicion

P ⇒ Q

se ha deducido de los axiomasA1 y A2.


Deduccion logica


Demostracion II:

I. Suponemos que la proposicion a = b es verdadera. El objetivo es establecerque b = a tambien es verdadera.

II. Por el axioma A1, la proposicion a = a es verdadera.

III. Como a = b es verdadera (por [i.]), gracias al axioma A2, podemos sustituir,en la proposicion en [ii.], el numero a que aparece en el lado izquierdo delsigno = por b; el resultado es la proposicion

b = a.

Y esta proposicion es verdadera ya que tiene el mismo valor de verdadque la proposicion en [ii.] (que es verdadera), gracias al axioma A2.


Deduccion

Deduccion

� Deduccion logica

Se dice que la proposicion Q se deduce logicamente de la proposicionP si la implicacion de P y Q es una tautologıa.Utilizaremos el signo

P ⊧ Q

para indicar que Q se deduce logicamente de P .

Son sinonimos de “Q se deduce logicamente de P”:

1. De P se deduce logicamente Q.

2. P implica logicamente Q.

3. Q se infiere de P .

4. De P se infiere Q.

El hecho de deducir una proposicion a partir de otras por la aplicacion de unatautologıa (de una implicacion de dos proposiciones) denominaremos reglade inferencia.


Deduccion Reglas de inferencia

Reglas de inferencia

Modus Ponens Modus TollensP ⇒ Q

P

Q

P ⇒ Q

¬Q

¬P

Introduccion de la conjuncion Introduccion de la conjuncionP

Q

P ∧Q

P

Q

Q ∧ P

Eliminacion de la conjuncion Eliminacion de la conjuncionP ∧Q

P

P ∧Q

Q


Deduccion Reglas de inferencia


Introduccion de la disyuncion Introduccion de la disyuncionP

P ∨Q

P

Q ∨ P

Dilema constructivo Transitiva de la implicacionP ∨Q

P ⇒ R

Q⇒ R

R

P ⇒ Q

Q⇒ R

P ⇒ R


Deduccion Ejemplos

Ejemplos

1. Decimos que

la proposicion Q se deduce de las proposiciones P ⇒ Q y P

porque la proposicion

((P ⇒ Q) ∧ P )⇒ Q

es una tautologıa.

Podemos, entonces, tambien decir y escribir lo siguiente:

1) Q se deduce de (P ⇒ Q) ∧ P .

2) Q se deduce de P ⇒ Q y de P .

3) De P ⇒ Q y de P , se deduce Q.

4) P ⇒ Q,P ⊧ Q.


Deduccion Ejemplos

Ejemplos

Cuando se deduce una proposicion Q de P ⇒ Q y de P diremos que

Q se ha deducido por la aplicacion de Modus Ponens a P ⇒ Q y P .

El hecho de deducir una proposicion a partir de otras por la aplicacion deModus Po-nens denominaremos regla de inferencia Modus Ponens y puede leerse ası:

De la implicacion de dos proposiciones y del antecedente de esta im-plicacion, se deduce el consecuente la misma.

Dicho de otro modo,si la implicacion de dos proposiciones y su antecedente son verdade-ras, el consecuente de la implicacion tambien es verdadera.

Se suele representar a la regla de inferencia Modus Ponens de la siguientemanera:

P ⇒ Q

P

Q

Notemos que esta representacion es solo una manera alternativa de escribir

P ⇒ Q,P ⊧ Q.


Deduccion Observaciones sobre el concepto “deduccion logica”

Observaciones sobre el concepto “deduccion logica”

1. La deduccion logica es una relacion entre dos proposiciones. ¿Cual? Lasiguiente: “la implicacion entre las proposiciones es una tautologıa”.

2. El sımbolo P ⊧ Q no representa una proposicion. Una vez mas: ¡representauna relacion entre las proposiciones P y Q! Lo mismo aplica a larepresentacion de una regla de inferencia.

3. P implica logicamente Q y Q se deduce de P representan el mismoconcepto: la implicacion de P ⇒ Q es una tautologıa.


CLASE 05

Clase 04

1. Equivalencia logica


Equivalencia logica

Conocimientos Previos


Proposiciones

• Conceptos primitivos• Valor de verdad

Tautologıas

Deduccion


Equivalencia logica

Preguntas

¿Que es una tautologıa?

La deduccion logica es una relacion entre dos proposiciones. ¿Cual es esarelacion?

Dadas las siguientes expresiones, ¿cuales representan proposiciones?

1. P ⊧ Q

2. P Ô⇒ Q

3.P ∧Q

Q

4. P ⇔ Q


Equivalencia logica

Resultados y Destrezas

1. Resultados de aprendizaje

1) Explicar la diferencia entre tautologıa y equivalencia logica.2) Explicar la diferencia entre deduccion logica y equivalencia logica.

2. Destrezas

1) Enunciar las propiedades de las conectivas mediante equivalenciaslogica.


Equivalencia logica Ejemplo 1

Ejemplos previos a la definicion de Equivalencia Logica

Y Ejemplo

Si P es verdadera , ¬P es falsa ; luego, ¬¬P es verdadera . Es decir,

las proposiciones P y ¬¬P tienen siempre el mismo valor de ver-dad


Equivalencia logica Ejemplo 1


Y Ejemplo

Por el axioma de la doble implicacion, tenemos que

P ⇔ ¬¬P

es una tautologıa.Cuando esto ocurre diremos que:

P y ¬¬P son equivalentes logicamente.

o Importante

P y ¬¬P ¡no son iguales!


Equivalencia logica Ejemplo2


Y Ejemplo

Ej. 2 En el ejemplo 9 de la pagina 26, demostramos que

(P ⇒ Q) ⇔ (¬Q⇒ ¬P )

es una tautologıa. Es decir,

P ⇒ Q y ¬Q⇒ ¬P

tienen el mismo valor de verdad, dados los valores de verdad de P y deQ. Ası, diremos que

P ⇒ Q y ¬Q⇒ ¬P son equivalentes logicamente.




Y Ejemplo

Ej. 3 Notemos que la proposicion

¬(P ∧Q) ⇔ (¬P ∨ ¬Q)

es una tautologıa. Por tanto, estas dos proposiciones son equivalenteslogicamente.




Y Ejemplo

Ej. 4 Sean las proposiciones

P ∨Q y ¬P ⇒ Q

notemos que:

1. P ∨Q es falsa unicamente si P y Q son falsas.




Y Ejemplo


P ∨Q y ¬P ⇒ Q

notemos que:


2. Si P y Q son falsas, ¬P ⇒ Q es falsa.




Y Ejemplo


P ∨Q y ¬P ⇒ Q

notemos que:



3. Si P y Q son falsas, P ∨Q y ¬P ⇒ Q son falsas.




Y Ejemplo


P ∨Q y ¬P ⇒ Q

notemos que:



3. Si P y Q son falsas, P ∨Q y ¬P ⇒ Q son falsas.

4. Para cualquier otro caso, P ∨Q y ¬P ⇒ Q son verdaderas.


Equivalencia logica Motivacion

Motivacion:

Uso fundamental de las proposiciones equivalentes

Para las demostraciones en cualquier teorıa matematica.


Equivalencia logica Uso Proposiciones Equivalentes

Ejemplo del uso de Proposiciones Equivalentes

Y Ejemplo

Teorema de la Teorıa de Numeros Reales

ab = 0⇒ (a = 0 ∨ b = 0)

Al tratarse de una implicacion, para asegurarnos que la propo-sicion

ab = 0⇒ (a = 0 ∨ b = 0)

es verdadera, debemos suponer que su antecedente ab = 0 esverdadero y debemos demostrar que su consecuente

a = 0 ∨ b = 0

tambien es verdadero.




Y Ejemplo

Teorema de la Teorıa de Numeros Reales Sean

P : ab = 0;Q: a = 0; yR: b = 0,

entonces la proposicion que hay mostrar que es verdadera se represen-ta ası:

P ⇒ (Q ∨R).




Y Ejemplo

Teorema de la Teorıa de Numeros Reales Del ejemplo 4, tenemos queQ ∨R y ¬Q⇒ R son equivalentes logicamente.Ası, es suficiente, entonces, mostrar que ¬Q⇒ R es verdadera para saberque Q ∨R es verdadera.



Y Ejemplo

Teorema de la Teorıa de Numeros Reales Por lo tanto, para mostrar que

a = 0 ∨ b = 0

es verdadera, mostramos que

a ≠ 0 ⇒ b = 0

es una proposicion verdadera.

Procedimiento: sustituir una proposicion por una equivalente

Principio de sustitucion por equivalentes logicos.


Definicion

Definicion

� Equivalencia logica

Se dice que una proposicion P es equivalente logicamente a Q si la do-ble implicacion de P y Q es una tautologıa; es decir, si P ⇔ Q es unaproposicion verdadera, independientemente de los valores de verdadde P y de Q.Utilizaremos el signo

P ≡ Q

para indicar que P es equivalente logicamente a Q.


Algunas Equivalencias Logicas


Doble Negacion

Si P es una proposicion, entonces

¬¬P ≡ P.




Doble Negacion

Si P es una proposicion, entonces

¬¬P ≡ P.

Es facil ver esto si realizamos la tabla de verdad de ¬¬P ⇔ P :

P ¬P ¬¬P ¬¬P ⇔ P

v f v v

f v f v




Ley de De Morgan: negacion de la disyuncion

¬(P ∨Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q.




Absorcion

P ∧ (P ∨Q) ≡ P



Propiedades de la Equivalencia Logica

1. Reflexiva: si P es una proposicion, entonces

P ≡ P

2. Simetrica: si P y Q son proposiciones, entonces

si P ≡ Q, entonces Q ≡ P .

3. Transitiva: si P , Q y R son proposiciones, entonces

si P ≡ Q y Q ≡ R, entonces P ≡ R.

4. Negacion: si P y Q son proposiciones, entonces

si P ≡ Q, entonces ¬P ≡ ¬Q.


Algunas Equivalencias Logicas Equivalencias Logicas

Equivalencias Logicas

Doble negacion Contrapositiva¬¬P ≡ P P ⇒ Q ≡ ¬Q⇒ ¬P

Conmutativa de la conjuncion Conmutativa de la disyuncionP ∧Q ≡ Q ∧ P P ∨Q ≡ Q ∨ P

Asociativa de la conjuncion Asociativa de la disyuncionP ∧ (Q ∧R) ≡ (P ∧Q) ∧R P ∨ (Q ∨R) ≡ (P ∨Q) ∨R

Conmutativa de la dobleimplicacion

Doble implicacion - implicacion

P ⇔ Q ≡ Q⇔ P P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ P )


Algunas Equivalencias Logicas Equivalencias Logicas

Equivalencias Logicas

Implicacion - disyuncion Negacion de la implicacionP ⇒ Q ≡ ¬P ∨Q ¬(P ⇒ Q) ≡ P ∧ ¬Q

De Morgan: negacion de laconjuncion

De Morgan: negacion de ladisyuncion

¬(P ∧Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q

Distributiva: conjuncion respectode disyuncion

Distributiva: disyuncion respecto deconjuncion

P ∧ (Q ∨R) ≡ (P ∧Q) ∨ (P ∧R) P ∨ (Q ∧R) ≡ (P ∨Q) ∧ (P ∨R)


Conclusiones

Conclusiones

1. La doble implicacion de dos proposiciones es la base del concepto deEquivalencia Logica.


Conclusiones

Conclusiones


2. Se dice que “P es equivalente logicamente a Q”si la doble implicacion deP y Q es una tautologıa; es decir, ambas proposiciones tienen el mismovalor de verdad dados los valores de verdad de P y Q.


Conclusiones

Conclusiones



3. La Equivalencia Logica es una relacion entre dos proposiciones, mas nouna proposicion.


Conclusiones

Conclusiones



3. La Equivalencia Logica es una relacion entre dos proposiciones, mas nouna proposicion.

4. Redundancia: aunque encontremos escrito o digamos

“la equivalencia logica P ≡ Q es valida”

esto no es necesario. ¿Por que?


Fundamentos de Matemática - 2020B

Capítulo 5: Funciones

Preparado por:

la Cátedra de Fundamentos de Matemática - EPN

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es

Índice general

1 Funciones 3

1.1 El concepto general de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 El recorrido de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4 Inversión de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.5 Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.5.1 Operaciones entre funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.5.2 Monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.5.3 Paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.6 Funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.7 Gráfico de una función real y su dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.7.1 Dibujos de funciones lineales y afines . . . . . . . . . . . . . . 74

1.7.2 Dibujos de funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.8 Del dibujo a la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1

Capítulo 1

Funciones

Como hemos visto, hay varios conceptos fundamentales en la Matemática: propo-

sición, conjunto, número. El que nos ocupa este capítulo, a más de fundamental,

es quizás el más importante desde el punto de vista de lo que hacemos en la Mate-

mática, dentro y fuera de ella. El Análisis, una de las principales ramas de la Mate-

mática, estudia las funciones para dar cuenta de los conjuntos dominio y recorrido

de dichas funciones. En particular, se estudian las funciones continuas, derivables,

integrables, sumables, etcétera. En el Álgebra, otro ámbito de las Matemáticas, estu-

diamos ciertas estructuras comparándolas con otras mediante funciones especiales;

por ejemplo, las aplicaciones lineales, las afines, etcétera.

En este capítulo, vamos a abordar el concepto de función de manera general.

En este estudio, enfatizaremos en las siguientes categorías propias de cualquier fun-

ción: recorrido, composición e inversión. A continuación, nos enfocaremos en algunos

aspectos de las funciones reales y, en particular, de las operaciones algebraicas como la

suma, el producto, etcétera. Hay ciertas categorías sobre las funciones reales que se

aplican únicamente a éstas o a funciones cuyos dominios y recorridos tengan ca-

racterísticas similares a los reales. Entre estas categorías están: monotonía, paridad,

periodicidad y extremos.

Finalmente, presentaremos con cierto detalle las funciones afines, cuadráticas y

racionales. En el último capítulo de estas notas, presentaremos una breve descrip-

ción de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, exponenciales y logarít-

micas con el fin principal de mostrar las dificultades que implican sus definiciones

en relación a las anteriores. Su correcta definición y estudio pertenece al ámbito de

Cálculo Diferencial e Integral.

1.1 El concepto general de función

Dados dos conjuntos A y B, el siguiente enunciado suele ser utilizado frecuente-

mente para “definir” una función de A en B:

Una función de A en B es una relación entre los elementos de A y B talque a cada uno de los elementos de A le corresponde (en la relación)

3

uno y solo un elemento de B.

Aunque el enunciado establece correctamente el concepto de función, general-

mente queda sin precisar los conceptos o ideas que aparecen en negrita: relación,

corresponder y uno y solo uno. Una de las razones para ello es que se requiere

un mayor dominio de la teoría de conjuntos, semejante al que hemos desarrollado

en este curso. En la mayoría de los cursos de Matemática de la Secundaria y del

pre-universitario no se aborda así el concepto de conjunto.

Otra razón, y de mayor importancia, es el hecho de que la versión conjuntista

es más difícil de entender, está lejos de las nociones intuitivas del concepto de con-

junto. Y para lograr que se aprenda, se requiere más tiempo y trabajo, algo que no

está siempre disponible en los cursos mencionados.

En este curso, vamos a presentar la definición conjuntista de función pero no

desarrollaremos ni ejemplos ni las deducciones de los teoremas utilizando dicha

definición. Nos centraremos en los aspectos de uso del concepto para luego, inme-

diatamente, abordar las funciones reales, objetivo final de este curso.

DEFINICIÓN 1.1 (Función de un conjunto en otro)

Dados los conjuntos A y B, el conjunto f es una función de A en B si las siguientes

tres proposiciones son verdaderas:

F1: f es un subconjunto del producto cartesiano de A y B; es decir, f ⊆ A × B.

F2: Para cada x ∈ A, existe y ∈ B tal que

(x, y) ∈ f .

F3: Si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f , entonces y = z.

Utilizaremos la notación

f : A −→ B

para indicar que el conjunto f es una función de A en B. Los conjuntos A y B

se denominan salida y llegada de f , respectivamente. El conjunto A también se

denomina dominio de la función f de A en B, y se lo representa alternativamente

por dom f .

Cada una de las proposiciones de esta definición definen de manera precisa

aquellas palabras en negrita indicadas anteriormente. En efecto:

1. La proposición F1 es la manera de decirnos que f es una relación entre los ele-

mentos de A en B. Así, los elementos de f son pares ordenados cuya primera

componente es un elemento de A y la segunda, un elemento de B.

Este concepto expresa la noción de relación entre los elementos de A y de B

mediante el concepto de par ordenado; así, si x, un conjunto que pertenece

EPN - MAYO - 2021 Cátedra: Fundamentos de Matemática 4

a A, se “relaciona” con y, un conjunto que pertenece a B, y f es la relación,

entonces escribimos

(x, y) ∈ f .

En este caso, decimos que y es el elemento de B que le corresponde a x (que

pertenece a A) en la relación f .

2. La proposición F2 dice simple y llanamente que a cada elemento de A le co-

rresponde al menos un elemento de B en la relación f simplemente porque

para cada x ∈ A, existe y ∈ B tal que

(x, y) ∈ f

3. Finalmente, la proposición F3 expresa que ese elemento y de B que “corres-

ponde” a x es único, en el sentido de que, si z también es un elemento de B

que corresponde a x en la relación f , entonces

y = z;

es decir, y y z son nombres diferentes de un mismo elemento de B.

DEFINICIÓN 1.2 (Imagen respecto de una función)

Dada la función f de A en B, si x ∈ A, el único elemento y de B tal que

(x, y) ∈ f

se denomina imagen de x respecto de f y se representa por f (x).

Por tanto, es válida la equivalencia lógica

y = f (x) ≡ (x, y) ∈ f

para todo x ∈ A y todo y ∈ B.

Ejemplos: Concepto de función

1. SiA = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3},

el conjuntof = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 1)}

es una función de A en B, ya que las proposiciones F1, F2 y F3 son verdaderas eneste caso.

En cambio, siC = {1, 2},


el conjunto f no es una función de A en C, ya que para c ∈ A no existe ningúnelemento z ∈ C tal que

(c, z) ∈ f

(pues 3 6∈ C); es decir, la proposición F2 no es verdadera.

2. SiA = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3},

el conjuntog = {(1, a), (2, b), (c, 3), (3, d)}

no es una función de B en A porque la proposición F1 es falsa ya que

(c, 3) ∈ g y (c, 3) 6∈ B × A;

es decir, g no es subconjunto de B × A.

3. SiA = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3},

el conjuntoh = {(1, a), (2, b), (3, c), (3, d)}

no es una función de B en A porque la proposición F3 no es verdadera ya que

(3, c) ∈ h, (3, d) ∈ h y c 6= d.

4. SiA = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3},

el conjuntok = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}

no es una función de A en B porque la proposición F2 es falsa, ya que para elelemento d de A, ningún elemento z de B es tal que

(d, z) ∈ k.

Sin embargo, k sí es una función de C en B, donde

C = {a, b, c}.

5. SiA = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3},

el conjuntof = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 1)}

es una función de A en B. Entonces la imagen de a respecto de f es 1, ya que

(a, 1) ∈ f ;


por tanto, podemos escribir1 = f (a).

Si f : A −→ B, entonces podemos asegurar que para cada x ∈ A, existe un único

y ∈ B tal que y = f (x). La unicidad de y se expresa también de la siguiente manera:

si u ∈ A y v ∈ A tales que

u = v,

las imágenes de u y v respecto de f tienen que ser el mismo elemento de B; es decir,

necesariamente debe suceder

f (u) = f (v).

Resumamos lo anterior en el siguiente teorema.

TEOREMA 1.1 (Propiedad F03).

Dadas las clases A y B, y la función f : A −→ B, las proposiciones siguientes son

verdaderas:

F02: Para cada x ∈ A, existe y ∈ B tal que

y = f (x).

F03: Si u ∈ A, v ∈ A tales que

u = v,

entonces

f (u) = f (v).

La mayoría de las veces es “fácil ver” que un cierto conjunto es una función de

un conjunto en otro conjunto por lo que apenas se detalla la demostración corres-

pondiente. Por supuesto, también hay casos en los que hay “bastante trabajo” para

probar que un conjunto es una función. Los ejemplos que siguen son, en la mayoría

de los casos, del primer tipo.

Ejemplos: Funciones

1. Dado el conjunto A, el conjunto

IA = {(x, y) : x ∈ A ∧ y = x}

es una función de A en A.

En efecto, F1 es verdadera porque IA ⊆ A × A (ya que de y = x y x ∈ A,tenemos que y ∈ A).

También F2 es verdadera porque para cada x ∈ A, el y ∈ A tal que

(x, y) ∈ IA


es el mismo x.

Finalmente, F3 es verdadera porque si (x, y) ∈ IA y (x, z) ∈ IA, entonces y = x,z = x y, por tanto, y = z.

Por tanto, podemos escribir

IA : A −→ A. (1.1)

Por otra parte, si x ∈ A, por la definición de IA, tenemos que

(x, x) ∈ IA,

de donde, la imagen de x respecto de IA es x; luego, podemos escribir

x = IA(x) (1.2)

para todo x ∈ A.

Una vez probado que IA es una función de A en A, utilizaremos la notación

IA : A −→ Ax 7−→ x

para representar la conjunción de las proposiciones (1.1) y (1.2). Al símbolo

x 7−→ x

para todo x ∈ A, le llamaremos la ley de asignación de IA.

De la definición de dominio de una función, tenemos que

dom IA = A.

El conjunto IA se denomina función identidad en A.

2. Dado el conjunto A, si u ∈ A, ¿cuál es la imagen de u respecto de IA? Es u, ya que

(u, u) ∈ IA

y, por ello, podemos escribirIA(u) = u.

¿Cuál es la imagen de w respecto de IA? Depende. ¿De qué depende? De si wes o no un elemento de A.

En el primer caso, obviamente tenemos que dicha imagen es w; es decir, tene-mos

IA(w) = w.

En el segundo caso; es decir, si w 6∈ A, no existe y ∈ A tal que

(w, y) ∈ IA.


Diremos, en esta situación, que “no existe” la imagen de w respecto de IA porquew no está en el dominio de IA.

3. Dados los conjuntos A y B, b ∈ B. Si A 6= ∅, el conjunto

K(A)b = {(x, y) : x ∈ A ∧ y = b}

es una función de A en B, como se puede verificar fácilmente al probar que lasproposiciones F1, F2 y F3 son verdaderas. Por tanto, podemos escribir

K(A)b : A −→ B.

Por otra parte, si x ∈ A, de la definición de K(A)b, obtenemos que

(x, b) ∈ K(A)b;

luego, la imagen de x respecto de K(A)b es b; así, podemos escribir

b = K(A)b(x)

para todo x ∈ A. Luego, podemos escribir

K(A)b : A −→ Bx 7−→ b

y, por tanto, la ley de asignación de esta función es

x 7−→ b

para todo x ∈ A. También tenemos que

dom K(A)b = A.

Esta función se denomina función constante.

4. Si x ∈ R, ¿cuál es la imagen de x2 respecto de IR?

Para responder esta pregunta, observemos que para todo z ∈ R, tenemos que

IR(z) = z,

por la definición de IR. Luego, como x ∈ R, entonces x2 ∈ R; por tanto,

IR(x2) = x2;

es decir, la imagen de x2 respecto de IR es x2.

5. Sea x ∈ R. ¿Cuál es la imagen de −x respecto de I[0,+∞)?

Una vez más, la respuesta depende de si −x pertenece a [0,+∞) o no. Ahorabien, para que −x ∈ [0,+∞), entonces x ∈ (−∞, 0].

Así, para cada x 6 0, la imagen de −x respecto de I[0,+∞) es −x. En cambio, si


x > 0, no “existe” dicha imagen; es decir, si x > 0, ¡ no tenemos derecho a escribir

I[0,+∞)(−x) = −x !

6. El conjuntof = {(x, y) : x ∈ R ∧ y = x + 2}

es una función de R en R, lo cual es de fácil verificación. No lo haremos aquí. Comosiempre, se sugiere que las lectoras y los lectores lo hagan.

Por tanto, aceptando ya que f es una función de R en R, si u ∈ R, entonces

u + 2 = f (u),

pues(u, u + 2) ∈ f .

Luego, podemos escribirf : R −→ R

t 7−→ t + 2.

La ley de asignación esr 7−→ r + 2

para todo número real r.

Obsérvese que hemos utilizado una letra distinta a t; aquí lo importante esque, en este contexto, r representa únicamente un número real y, por tanto, inde-pendientemente de la letra que se utilice, lo que la ley de asignación establece es:

la imagen de cualquier número real respecto de f es la suma de esenúmero real y el número 2.

Si w ∈ R, entonces w − 2 ∈ R y, por tanto, la imagen de w − 2 es:

f (w − 2) = (w − 2) + 2 = w.

Si s ∈ R − {0}, ¿cuál es la imagen de s−1? Pues

fÄ

s−1ä

= s−1+ 2.

7. El conjuntog = {(x, y) : x ∈ (−∞, 0) ∧ y = x + 2}

es una función de (−∞, 0) en R. La verificación de esta afirmación queda comoejercicio.

¿Cuál es la imagen de 0 respecto de g? Pues bien, 0 no está en el dominio de g;luego, no “existe” la imagen de 0 respecto de g; por tanto, no tenemos derecho aescribir

g(0)

y, mucho menos, a escribirg(0) = 0 + 2.


¿Cuál es la imagen de −z2 respecto de g si z > 0? En realidad, para todo z ∈R − {0}, tenemos que

−z2< 0,

de donde,−z2 ∈ dom g

pues dom g = (−∞, 0); por tanto,

g(−z2) = −z2+ 2.

8. Las funciones f y g presentadas en los ejemplos anteriores son

f = {(x, y) : x ∈ R ∧ y = x + 2} y g = {(x, y) : x ∈ (−∞, 0) ∧ y = x + 2}.

Podemos escribir

f : R −→ R

x 7−→ x + 2y

g : (−∞, 0) −→ R

x 7−→ x + 2.

Debe estar claro que las funciones f y g son distintas; es decir, la proposición

f 6= g.

En efecto, para que dos conjuntos sean diferentes es suficiente que haya unconjunto, en este caso, un par ordenado que pertenece a uno de ellos y no al otro.En este caso es fácil, pues

(0, 2) ∈ f y (0, 2) 6∈ g,

ya que0 ∈ dom f ∧ 2 = 0 + 2 y 0 6∈ dom g.

9. Este ejemplo es continuación del anterior. Lo único en común entre f y g es elconjunto de llegada. Como se puede ver, sus dominios son diferentes y tambiénsus leyes de asignación.

Quizás pueda parecer extraño que afirmemos que sus leyes de asignación sondistintas porque “lucen” iguales:

x 7−→ x + 2.

Sin embargo, la ley de asignación de f es:

la imagen de cualquier número real respecto de f es la suma de esenúmero real y el número 2

y la ley de asignación de g es:

la imagen de cualquier número real menor que 0 respecto de g es lasuma de ese número real y el número 2.

Como se puede ver en el enfatizado con negrita, la indicación adicional de que elnúmero es menor que cero es fundamental; eso establece la diferencia entre las dosfunciones porque nos indica al decirnos que sus dominios son diferentes.

10. Sea h la función de R en R+ cuya ley de asignación es

la imagen de cada número real es la suma de su cuadrado y 1.

Entonces podemos escribir

h = {(x, y) : x ∈ R ∧ y = x2+ 1},

pues para todo x ∈ R, se tiene que

x2+ 1 > 1,

de dondex2

+ 1 ∈ R+.

También podemos escribir

h : R −→ R+

z 7−→ z2+ 1.

Observemos que, comox2

+ 1 ∈ R,

se tiene también queh : R −→ R

z 7−→ z2+ 1.

11. La función signo, representada por sgn, es la función de R en R cuya ley de asig-nación es

la imagen de cada número real respecto de sgn es 1 si el número espositivo, 0 si el número es 0 y −1 si el número es negativo.

Por tanto,

sgn =(

{(x, y) : x ∈ R+ ∧ y = 1} ∪ {(x, y) : x ∈ (−∞, 0) ∧ y = −1})

∪ {(0, 0)}.

Así, podemos escribir

sgn : R −→ R

x 7−→

1 si x > 0,

0 si x = 0,

−1 si x < 0.

En particular, tenemos

sgn

Ç

−√

22

å

= −1 y sgn

Ç√3

2

å

= 1.

También, para todo u ∈ R, se tiene

sgnÄ

1 + u2ä

= 1.

Además, si u 6= 1,sgn(−|1 − u|) = −1

y si u = 1,sgn(−|1 − u|) = 0.

Finalmente, para todo z < 0, se tiene que

sgn(z − |z|) = −1,

ya que si z < 0, tenemos quez − |z| = 2z

y 2z < 0.

12. Dadas las clases A, B cualesquiera, f : A −→ B y C ⊆ A, el conjunto

f |C = {(x, y) : x ∈ C ∧ y = f (x)}

es una función de C en B denominada restricción de f a C.

La proposiciónf |C(z) = f (z)

es verdadera para todo z ∈ C.

La ley de asignación de la restricción de f a C es:

la imagen de cada elemento de C respecto de f |C es la imagen de eseelemento respecto de f .

Nótese que si x ∈ C, dado que C ⊆ A, entonces x ∈ A, por lo que existe f (x),ya que dom f = A.

Podemos escribirf |C : C −→ B

t 7−→ f (t).

13. Dada f : A −→ B y C ⊆ A, si C 6= A, entonces

f |C 6= f .

En efecto. Sea u ∈ A tal que u 6∈ C. Como f : A −→ B, por F1, existe v ∈ B talque

(u, v) ∈ f ;

sin embargo, como u 6∈ C, entonces

(u, v) 6∈ f |C.

Debe estar claro que si C = A, entonces f |C = f .

14. Es fácil ver que

sgn |(0,+∞) = K((0,+∞))1, sgn |{0} = {(0, 0)} y sgn |(−∞,0) = K((−∞, 0))−1.

En efecto, tenemos:

sgn |(0,+∞) = {(x, t) : x ∈ (0,+∞) ∧ t = 1} = K((0,+∞))1

ysgn |(−∞,0) = {(x, t) : x ∈ (−∞, 0) ∧ t = −1} = K((−∞, 0))−1.

15. Supongamos que A y B son dos conjuntos tales que B ⊆ A. El conjunto

χB = {(x, y) : x ∈ B ∧ y = 1} ∪ {(x, y) : x ∈ A − B ∧ y = 0}

es una función de A en R. Esta función se denomina característica de B en A. Laletra χ pertenece al alfabeto griego y su nombre es “ji” (es decir, χB debe pronun-ciarse “ji sub B”).

Podemos escribir

χB : A −→ R

x 7−→

1 si x ∈ B,

0 si x ∈ A − B.

La ley de asignación de esta función es:

la imagen de todo elemento de A es 1 si dicho elemento pertenece a B y0 si no pertenece a B.

Es claro quesgn |[0,+∞) = χ(0,+∞),

donde la función χ(0,+∞) es la función característica de (0,+∞) en [0,+∞).

También es fácil ver que

χB = K(B)1 ∪ K(A − B)0.

Por tanto,χB|B = K(B)1 y χB|A−B = K(A − B)0.

Finalmente, notemos que se tiene también

χB : A −→ {0, 1}.

16. De los axiomas de los números reales, se deduce la siguiente proposición:

Para cada x ∈ R, existe un único número entero n tal que

n 6 x < n + 1.

Busquemos este único número entero n para algunos números reales, por ejem-

plo, para 3, ese número n es 3; para32

, ese número n es 1 pues

1 632< 2.

Para −2.5, el n es −3, ya que

−3 6 −2.5 < −2.

A este único n se le conoce como la parte entera de x (o también, el suelo de x)y se le representa por

⌊x⌋.

En otras palabras, ⌊x⌋ es el mayor número entero que es menor o igual a x. Entextos de algunas décadas atrás, se puede encontrar la notación JxK para la parteentera de x; sin embargo, en la actualidad preferimos la indicada arriba.

Con esta notación, tenemos:

õ

32

û

= 1, ⌊−2.5⌋ = −3.

Es fácil probar que el conjunto

F = {(x, y) : x ∈ R ∧ y = ⌊x⌋}

es una función de R en Z. A esta función se le llama parte entera y suele represen-tarse por

⌊·⌋.

Por tanto, podemos escribir⌊·⌋ : R −→ Z

x 7−→ ⌊x⌋.

La ley de asignación de esta función es:

la imagen de un número real respecto de la función parte entera es elmayor número entero menor o igual a dicho número real.

17. Si x ∈ [1, 2), la imagen de x respecto de la parte entera es 1:

⌊x⌋ = 1

ya que1 6 x < 2.

Si n ∈ N y x ∈ [n, n + 1), entonces

⌊x⌋ = n.

Si u ∈ [0,+∞), ¿cuál es la imagen de 2u respecto de ⌊·⌋?

Para responder esta pregunta, observemos que, para cada n ∈ N, si

n 6 u < n + 1,

entonces2n 6 2u < 2n + 2.

Por tanto, si2n 6 2u < 2n + 1,

entonces⌊2u⌋ = 2n

y, si 2n + 1 6 2u < 2n + 2, entonces

⌊2u⌋ = 2n + 1.

En resumen,

⌊2u⌋ =

2n si n 6 u < n +12 ,

2n + 1 si n +12 6 u < n + 1

para cada n ∈ N.

18. Es claro que⌊·⌋|[5,6) = K([5, 6))5.

19. El conjuntof = {(x, y) : x ∈ Q ∧ y = −2x + 1}

es una función de Q en Q, pues si z ∈ Q, entonces

−2x + 1 ∈ Q.

Podemos escribirf : Q −→ Q

y 7−→ −2y + 1.

La ley de asignación de f es:

la imagen de un cualquier número racional respecto de f es la suma delproducto de −2 y el número racional, y el número 1.

¿Cuál es la imagen de12

respecto de f ? Dado que12∈ dom f , su imagen es

−2 · 12+ 1;

es decir,

fÅ

12

ã

= 0.

¿Cuál es la imagen de√

2 respecto de f ? Esta imagen no existe porque

√2 6∈ Q.

20. El conjunto

g =

ß

(x, y) : x ∈ Z ∧ y =1

x2 + 2

™

es una función de Z en Q, pues si t ∈ Z, entonces

1t2 + 2

∈ Q.

La imagen de 0 respecto de g es

102 + 2

=12

.

Si x ∈ Z − {0}, ¿cuál es la imagen de1x

respecto de g? Para que la imagen deeste número exista, la proposición

1x∈ Z,

porque dom g = Z.

Por tanto, para responder la pregunta, debemos hallar todos los números en-teros, distintos de 0, tales que su inverso multiplicativo sea también un númeroentero. Dicho de otra manera, busquemos todos los números enteros x distintos de0 tales que

1x∈ Z;

es decir, tales que exista un entero y tal que

1x= y;

o, lo que es lo mismo, tal quexy = 1.

Como sabemos, los únicos números enteros y que satisfacen esta proposición

son 1 y −1; luego, si |x| 6= 1, no “existe” la imagen de1x

respecto de g. En cambio,

si |x| = 1, tenemos

gÅ

1x

ã

= g(1) =1

12 + 2=

13

o gÅ

1x

ã

= g(−1) =13

.

21. El conjuntoF =

¶

(x, y) : x ∈ R ∧ y2= x©

no es una función de R en R.

En efecto, es fácil verificar que la proposiciones F1 es verdadera para F. Sinembargo, la proposición F2 no lo es.

Para ver esto, supongamos que x < 0. Entonces no existe un número real y talque y2

= x pues, como sabemos, el cuadrado de todo número real es mayor o igual

que 0. En resumen, para todo x < 0, no existe y ∈ R tal que

(x, y) ∈ F.

Esto prueba que F no es una función de R en R.

22. El conjunto F del numeral anterior tampoco es una función de [0,+∞) en R porque,aunque son verdaderas las proposiciones F1 y F2, la proposición F3 es falsa, ya que

(1,−1) ∈ F, (1, 1) ∈ F y − 1 6= 1.

En efecto, tenemos que(−1)2

= 1 y 12= 1.

23. El conjuntoG =

¶

(x, y) : (x ∈ R ∧ y > 0) ∧ y2= x©

sí es una función de [0,+∞) en [0,+∞).

En efecto, es fácil verificar que las proposiciones F1 y F2 son verdaderas. Vea-mos que la proposición F3 es verdadera.

Para ello, supongamos que

(x, y) ∈ G y (x, z) ∈ G.

Probemos que y = z.

De la definición de G, tenemos que x > 0, y > 0 y z > 0, y

y2= x y z2

= x.

Por tanto, y2= z2; de donde, colegimos que |y| = |z| y, así, concluimos que y = z,

como se quería.

En algunos de los ejemplos, hemos mostrado que dos funciones son iguales o

distintas mediante la definición de igualdad de conjuntos, ya que las funciones son

conjuntos. Sin embargo, no es necesario este procedimiento.

En efecto, la primera condición obvia para que dos funciones sean iguales es

que sus dominios sean el mismo conjunto. Luego, por F1, es claro que para cual-

quier elemento de ese dominio, las imágenes de ese elemento respecto de las dos

funciones deberán ser iguales para que estas también lo sean. Tenemos el siguiente

teorema cuya demostración no la presentaremos aquí, pero como siempre, reco-

mendamos a las lectoras y lectores que la realicen.

TEOREMA 1.2 (Igualdad de funciones).

Sean f : A −→ B y g : A −→ B. La proposición f = g es verdadera si y solo si para

todo x ∈ A, la proposición

f (x) = g(x)

es verdadera.

Antes de estudiar algunos ejemplos, es necesario volver sobre la ley de asigna-

ción de una función.

En primer lugar, no siempre una función tiene una “ley de asignación”. En efec-

to, la función presentada en el primer ejemplo

f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 1)}

no tiene ninguna ley de asignación. En el campo de los Fundamentos de la Matemá-

tica, hay muchas funciones que no lo tienen. Por lo tanto, la “ley de asignación” no

es un aspecto fundamental en el concepto de función.

Por otra parte, cuando hay una ley de asignación, hay que estar claro que es

única pero que puede expresarse de infinitas maneras. En efecto, supongamos que

la siguiente es la ley de asignación de una función f de R − {1} en R:

La imagen de un número real distinto de 1 respecto de f es la suma deese número y 1.

Por tanto, estamos de acuerdo en que

f : R − {1} −→ R

x 7−→ x + 1.

Pero también estamos de acuerdo en que

f : R − {1} −→ R

x 7−→ x2 − 1x − 1

,

ya que para todo x ∈ R − {1}, las proposiciones

x2 − 1x − 1

=(x − 1)(x + 1)

x − 1= x + 1

son verdaderas (porque, entre otras razones, x − 1 6= 0).

No es difícil imaginar infinitas maneras de expresar la ley de asignación de estas

funciones.

Ejemplos: Igualdad de funciones

1. Las funcionesf : R −→ R

x 7−→ x + 1y

g : R − {1} −→ R

x 7−→ x + 1

no son iguales porquedom f 6= dom g.

De hecho, mientras que sí existe la imagen de 1 respecto de f , no existe laimagen del mismo 1 respecto de g.


2. En los ejemplos del grupo anterior, probamos que

χB|B = K(B)1 y χB|A−B = K(A − B)0

mediante las definiciones de igualdad entre conjuntos y de unión.

Veamos cómo se deduce la primera de estas proposiciones utilizando el teore-ma 1.2. La deducción de la segunda es similar.

En primer lugar, el dominio de la función χB es A; y, como B ⊆ A, el dominiode χB|B es B:

dom χB|B = B.

El dominio de la función K(B)1 es B, por definición de la función constante; portanto, tenemos

dom χB|B = dom K(B)1.

Por otra parte, si x ∈ B, tenemos que

χB|B(x) = 1 y K(B)1(x) = 1;

luego,χB|B(x) = K(B)1(x),

de donde, concluimos queχB|B = K(B)1.

3. Sean

f : R −→ R

x 7−→ x − 1y

g : R − {−1} −→ R

x 7−→ x2 − 1x + 1

.

Es claro que las funciones f y g no son iguales.

En efecto, tenemos que

(1, 0) ∈ f y (1, 0) 6∈ g.

Notemos que la ley de asignación de g se puede re-escribir de la siguiente ma-nera:

x 7−→ x − 1

para todo x 6= −1, puesx2 − 1x + 1

=(x − 1)(x + 1)

x + 1

si x 6= −1.

Como se puede ver, es una ley de asignación diferente a la de f a pesar de lasimilitud en el modo de calcular la imagen de los elementos de los dominio de lasfunciones f y g.


1.2 El recorrido de una función

Hemos visto que el conjunto

f = {(x, y) : x ∈ R ∧ y = x2}

es una función de R en R; es decir, tenemos que

f : R −→ R.

Pero también es una proposición verdadera

f : R −→ [−1,+∞).

En efecto, dado x ∈ R, el único y ∈ [−1,+∞) tal que

(x, y) ∈ f

es x2 y, dado que x2 > 0, tenemos que

x2 ∈ [−1,+∞).

Un argumento similar, nos permite concluir que las siguientes proposiciones

son verdaderas:

f : R −→ (−5,+∞), f : R −→ [−10,+∞) y f : R −→ [0,+∞).

Y también que las siguientes proposiciones son falsas:

f : R −→ (0,+∞) y f : R −→ [0, 1].

En efecto, en el primer caso, para 0, no existe y ∈ (0,+∞) tal que

(0, y) ∈ f ,

porque el único y posible sería 0, pero 0 6∈ (0,+∞). En el segundo caso, para ningún

x ∈ (1,+∞), existe y ∈ [0, 1] tal que

(0, y) ∈ f .

Estos ejemplos nos muestran que el conjunto de llegada de una misma función

puede variar. La pregunta es: ¿qué conjuntos de llegada son posibles para la función

f ?

La respuesta viene fácil: cualquier conjunto que tenga todas las imágenes de los

elementos del dominio respecto de la función f . El conjunto que tenga únicamente

todas las imágenes se denomina recorrido de la función.


Por ejemplo, para la función f de R en R, para cada x ∈ R, el conjunto de todas

las imágenes debe contener a x2, que es un número mayor o igual que cero. ¿Podría

contener otros elementos? La respuesta es no, ya que, por el axioma de completitud,

tenemos que

y = x2 ≡ |x| = √y

para todo x ∈ R y todo y ∈ [0,+∞). Luego, si

y ∈ [0,+∞),

existe x ∈ R tal que

y = x2

y si

y 6∈ [0,+∞),

entonces no existe x ∈ R tal que

y = x2.

En otras palabras, los únicos números reales y para los que existe un número real

x, cuyo cuadrado es igual a y, son los que pertenecen a [0,+∞). Este conjunto es,

por tanto, el recorrido de la función f .

No es muy difícil ver que cualquier conjunto que no tenga todos los elementos

del recorrido de f no podrá ser un conjunto de llegada de esta función, mientras

que cualquier conjunto que tenga como subconjunto el recorrido de f , ¡es un con-

junto de llegada de la función!

Resumamos estos desarrollos en la definición y teoremas siguientes.

DEFINICIÓN 1.3 (Recorrido de una función)

Dada f : A −→ B, el recorrido de f , representado por rec f , es el conjunto de todos

y ∈ B tales que existe x ∈ A tal que

y = f (x).

Dicho de otra manera, es el conjunto de todos los elementos del conjunto de llegada

que son imagen de al menos un elemento del dominio respecto de la función.

Debe quedar claro que el recorrido de cualquier función siempre es subconjun-

to del conjunto de llegada. No es difícil deducir, de las definiciones de función y

recorrido, el siguiente teorema.

TEOREMA 1.3 (Conjunto de llegada).

Dada f : A −→ B, las siguientes proposiciones son verdaderas:

1. rec f ⊆ B.

2. Si C es un conjunto tal que rec f ⊆ C, entonces

f : A −→ C.


Los siguientes ejemplos nos mostrarán cómo se aborda la determinación del re-

corrido de una función de manera general. La mayoría de las veces resulta, sino

imposible, muy difícil dicha tarea. Podemos determinar el recorrido de cierta “fa-

milia” de funciones, pero de manera general, el problema es equivalente a la reso-

lución de ecuaciones, para lo cual no existe ningún método general.

Ejemplos: Recorrido de una función

1. SiA = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4} y f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 1)},

entonces f es una función de A en B. Es muy fácil ver que

rec f = {1, 2, 3}

y que es diferente del conjunto de llegada B.

¿Por qué 1 ∈ rec f ? Simplemente porque existe un elemento en el dominio def , es decir, en A tal que 1 es la imagen de ese elemento. ¿Qué elemento es ese? Puestenemos que

1 = f (a)

ya que (a, 1) ∈ f . (También d es un elemento del dominio cuya imagen respectode f es 1). Los mismos argumentos nos confirman porque 2 y 3 son elementos delrecorrido. Y también es fácil ver que ningún otro conjunto que no sea elemento de{1, 2, 3} puede pertenecer al recorrido de f .

2. Si A es un conjunto distinto del vacío, B un conjunto y b ∈ B, el recorrido de lafunción constante

K(A)b : A −→ Bx 7−→ b

es el conjunto unitario de b:rec K(A)b = {b}.

¿Por qué? Porque para cualquier elemento de A, digamos x, la proposición

(x, b) ∈ K(A)b

es verdadera (por la definición de K(A)b). Y, además, porque si c 6= b, entonces

(x, c) 6∈ K(A)b

para todo x ∈ A; de donde, c 6∈ rec K(A)b. Es decir, el único conjunto que está en elrecorrido de esta función es b.

3. Sea A un conjunto. El recorrido de IA es A. En efecto, si x ∈ A, entonces

(x, x) ∈ IA.

Luego, dado x ∈ A, existe x ∈ A tal que x = IA(x). Por tanto, x ∈ rec IA. Acabamos


de probar queA ⊆ rec IA.

Y, como se tiene querec IA ⊆ A

ya que el conjunto de llegada de IA es A (véase el teorema 1.3), concluimos que

rec IA = A.

4. Dados A y B tales que B ⊆ A, B 6= ∅ y A − B 6= ∅, entonces

rec χB = {0, 1}.

En efecto: en primer lugar, tenemos que si x ∈ A (el dominio de χB), entonces

χB(x) = 0 o χB(x) = 1,

según x pertenezca a A − B o a B, respectivamente, y no hay otra posibilidad; esdecir, no existe un número real y, distinto de 0 y 1 tal que

y = χB(x).

Por tanto,rec χB ⊆ {0, 1}.

Por otra parte, para 0, dado que A − B 6= ∅, existe z ∈ A − B y, por tanto,

0 = χB(z);

luego, 0 ∈ rec χB.

De manera similar, para 1, dado que B 6= ∅, existe w ∈ B; luego,

1 = χB(w),

de donde, 1 ∈ rec χB.

En resumen, tenemos que

{0, 1} ⊆ rec χB

y, por tanto, podemos concluir que

rec χB = {0, 1}.

La determinación del recorrido de una función no siempre es una tarea fácil.

En ocasiones, los caminos que hay seguir para su determinación son indirectos y se

logran según otras propiedades de la función y de las características de su dominio.

Las funciones de las que nos ocuparemos en este curso, en general, son tales que

hay modos sencillos que nos permitirán establecer su recorrido.

De modo general, el procedimiento para ello es el siguiente. Dada f : A −→ B,


suponemos que y ∈ rec f . Por la definición de recorrido, aseguramos la existencia

de x ∈ A (el dominio de f ) tal que

y = f (x). (1.3)

Bajo la hipótesis de x ∈ A, se establece condiciones necesarias y suficientes para la

proposición (1.3); es decir, se encuentra una proposición A (y), en la que aparece y

tal que es válida la equivalencia lógica

y = f (x) ≡ A (y)

para todo x ∈ A. La proposición A (y) (la misma que puede ser la conjunción de

varias proposiciones) es denominada condiciones necesarias y suficientes porque, si la

equivalencia lógica en cuestión es válida, entonces son verdaderas las siguientes

implicaciones:

y = f (x) ⇒ A (y) y A (y) ⇒ y = f (x).

Por la primera implicación, A (y) se dice que es condición necesaria para y = f (x)

porque al ser esta verdadera, necesariamente A (y) también lo es. Y, por la segunda

implicación, A (y) es condición suficiente porque es suficiente que esta sea verdadera

para que también lo sea y = f (x).

En general, no es fácil encontrar la proposición A (y). De hecho, la parte más

difícil suele ser, dado y tal que A (y), encontrar x ∈ A tal que

y = f (x)

(esto equivale a resolver la ecuación determinada por la igualdad anterior, en la

que la incógnita es x y y está dado). En los ejemplos que siguen, veremos como, en

ciertos tipos de funciones, resolver esta ecuación es sencillo. Mostraremos también

un ejemplo, donde el problema es difícil.

Finalmente, en lo que concierne al estudio de las propiedades de las funciones

en el Cálculo Diferencial e Integral, no será indispensable determinar los recorridos

de las funciones en cuestión; por ello, tampoco dedicaremos grandes esfuerzos para

su determinación. Y, en todo caso, hay que proceder de acuerdo a la definición de

recorrido: el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio respecto

de la función.

Ejemplos: Recorrido de una función

1. Determinemos el recorrido de la función

f : [0, 1] −→ R

x 7−→ ⌊x⌋.


Para todo x ∈ [0, 1), tenemos que

f (x) = 0

y f (1) = 1. Por tanto, 0 y 1 son elementos del recorrido de f . ¿Hay más elementosen este conjunto?

Para responder a esta pregunta, supongamos que

y ∈ rec f .

Entonces, existe x ∈ [0, 1] tal que

y = f (x) = ⌊x⌋.

Luego, si x ∈ [0, 1), tenemos quey = 0

y si x = 1, entoncesy = 1.

En conclusión,rec f = {0, 1}.

2. Supongamos queg : [1, 2) −→ R

x 7−→ ⌊x⌋.

Con un procedimiento similar al ejemplo anterior, vemos que

rec g = {1}.

Sea n ∈ Z; definamos

h : [n, n + 1) −→ R

x 7−→ ⌊x⌋.

Determinemos el recorrido de h.

Para ello, seguiremos el mismo procedimiento de los ejemplos anteriores: paratodo x ∈ [n, n + 1), tenemos que

h(x) = n.

Y, si y ∈ rec h, existe x ∈ [n, n + 1) tal que

y = h(x) = n.

Por tanto,rec h = {n}.


3. Con un procedimiento similar, podemos establecer el recorrido de la función suelo:

⌊·⌋ : R −→ R

x 7−→ y,

donde y es el mayor número entero tal que

y ≤ x < y + 1.

Sea x ∈ R; entonces, existe un único entero n tal que

n 6 x < n + 1.

Por tanto,⌊x⌋ = n.

Es claro que todas las imágenes del dominio de ⌊·⌋ son números enteros; lapregunta es: ¿todos los números enteros son elementos del recorrido de ⌊·⌋?

Para responder a esta pregunta, supongamos que m ∈ Z. Si tomamos x = m,tenemos que

⌊x⌋ = m.

Y, como x ∈ R, ya que Z ⊆ R, concluimos que existe x ∈ dom⌊·⌋ tal que m = ⌊x⌋.En conclusión, m ∈ Z: todo número entero está en el recorrido de ⌊·⌋. Así:

rec⌊·⌋ = Z.


f : R −→ R

x 7−→ |x − 1|.

En primer lugar, para todo x ∈ R, se tiene que

f (x) = |x − 1| > 0.

Luego, colegimos querec f ⊆ [0,+∞).

La consabida pregunta: ¿todos los números mayores o iguales que 0 están enel recorrido de f ? Para responderla, supongamos que y > 0 y veamos si y ∈ rec f .

Ahora bien, para todo x ∈ R, tenemos que las siguientes equivalencias lógicasson válidas:

y = f (x) = |x − 1| ≡ y = x − 1 ∨ y = −(x − 1)

≡ x = y + 1 ∨ x = −y + 1.

Luego, dado y > 0, existe y + 1 ∈ dom f tal que

f (y + 1) = y;

luego, y ∈ rec f y, por tanto, concluimos que

rec f = [0,+∞).

Obsérvese que en este caso, dado y > 0, no solo hay un x ∈ dom f tal quey = f (x), sino dos:

y + 1 y − y + 1.


g : [−1, 2) −→ R

x 7−→ |3 − x|.

En primer lugar para todo x ∈ [−1, 2), tenemos que

g(x) = |3 − x| > 0.

Una vez más: ¿todos los números mayores que 0 son elementos de recorridode g?

Para responder esta pregunta, supongamos que y > 0 y observemos que:

y = g(x) ∧ x ∈ [−1, 2) ≡ y = |3 − x| ∧ −1 6 x < 2

≡(

y = 3 − x ∨ y = x − 3)

∧−1 6 x < 2.

Ahora bien, dado que

−1 6 x < 2 ≡ 4 > 3 − x > 1 y − 1 6 x < 2 ≡ −4 6 x − 3 < −1,

entonces

y = g(x) ∧ x ∈ [−1, 2) ≡(

y ∈ (1, 4] ∨ y ∈ [−4,−1))

∧−1 6 x < 2,

donde y > 0. Así, como la proposición y ∈ [−4,−1) es falsa, por el axioma de ladisyunción, colegimos que

y = g(x) ∧ x ∈ [−1, 2) ≡ y ∈ (1, 4] ∧−1 6 x < 2,

de donde, concluimos querec g = (1, 4].


h : (−∞, 1) −→ R

x 7−→ −2x + 1.

En este caso, procederemos de modo diferente que en los ejemplos anteriores.

Para cada número real x, tenemos que las siguientes equivalencias lógicas son

válidas:

x ∈ (−∞, 1) ≡ x < 1

≡ −2x > −2

≡ −2x + 1 > −1

≡ h(x) > −1

≡ h(x) ∈ (−1,+∞).

Es decir, todas las imágenes de los elementos del dominio de h están en el intervalo(−1,+∞) y solo estos números. Por tanto, concluimos que

rec h = (−1,+∞).

7. Con el procedimiento utilizado en el ejemplo anterior, determinemos el recorridode la función

f : R −→ R

x 7−→ x2 − 1.

Son válidas las siguientes equivalencias lógicas:

x ∈ R ≡ x2> 0

≡ x2 − 1 > −1

≡ f (x) > −1.

Por tanto, concluimos querec f = [−1,+∞).

8. Encontremos el recorrido de

g : (−2, 3] −→ R

x 7−→ x2+ 1.

Tenemos las siguientes equivalencias lógicas válidas:

−2 < x 6 3 ≡ −2 < x < 0 ∨ 0 6 x 6 3

≡ 0 < −x < 2 ∨ 0 6 x 6 3

≡ 0 < x2< 4 ∨ 0 6 x2

6 9

≡ 1 < x2+ 1 < 5 ∨ 1 6 x2

+ 1 6 10

≡ f (x) ∈ (1, 5) ∨ f (x) ∈ [1, 10].

Por tanto, concluimos que

rec g = (1, 5) ∪ [1, 10] = [1, 10].

9. Como se dijo anteriormente, aunque siempre nos guía el concepto de recorrido deuna función, incorporamos procedimientos acordes a la función en cuestión. Este

es el caso deh : R −→ R

x 7−→ −x2+ 2x − 3.

Tenemos las siguientes equivalencias lógicas: si x ∈ R, entonces

y = f (x) ≡ y = −(x2 − 2x + 3)

≡ y = −((x − 1)2+ 2)

≡ (x − 1)2= −y − 2,

de dondey 6 −2,

pues(x − 1)2

> 0,

Ahora, siy 6 −2,

tenemos:

(x − 1)2= −y − 2 ≡ |x − 1| =

√

−y − 2

≡ x = 1 +√

−y − 2 ∨ x = 1 −√

−y − 2;

es decir, existe por lo menos un x ∈ R tal que

y = f (x);

(x puede ser 1 +√

−y − 2 o 1 −√

−y − 2); es decir,

y ∈ rec f .

En resumen,y = f (x) ≡ y 6 −2,

de donde, concluimos querec h = (−∞,−2].

10. Consideremos la función

f : R −→ R

x 7−→ x3 − 5x + 1x2 + 1

.

Para encontrar el recorrido de f , debemos saber para qué números reales y,existe al menos un número real x tal que

y =x3 − 5x + 1

x2 + 1;

es decir, tal quex3 − yx2 − 5x + (1 − y) = 0.


Resolver esta ecuación (en el caso de que existiera una solución) no es fácil.

Para determinar el recorrido, deberemos utilizar características de esta funciónque le vienen dada por las propiedades de R: esta función es continua y derivabley, a través de estos conceptos, podemos determinar el recorrido de f , aunque aquítampoco resultará una tarea sencilla.

1.3 Composición de funciones

La composición de funciones es un concepto aplicable a cualquier función; es decir,

es un concepto independiente del tipo de conjuntos que sean el dominio y la llegada

de la función. Antes de presentar la definición, miremos de qué trata este concepto.

Para ello, supongamos que f : A −→ B y que g : C −→ D. Supongamos que

x ∈ A. Entonces f (x) ∈ B. Pero, si también sucede que

f (x) ∈ C

(es decir, en el dominio de g), entonces podemos asegurar que “existe” la imagen

de f (x) respecto de g y

g( f (x)) ∈ D.

Por tanto, si definimos

E = {x ∈ A : f (x) ∈ C} y h = {(x, y) : x ∈ E ∧ y = g( f (x))},

siempre que E 6= ∅, tenemos que

h : E −→ D

tal que para todo x ∈ E, la proposición

h(x) = g( f (x)).

A la función h se le conoce con el nombre de la composición de g y f y se le repre-

senta por g ◦ f . Luego, para todo x ∈ E, la proposición

(g ◦ f )(x) = g( f (x));

es decir, la ley de asignación de la composición de g y f es:

la imagen de un elemento del dominio de g ◦ f es igual a la imagen,respecto de g, de la imagen de dicho elemento respecto de f .

En el caso que E = ∅, no definiremos la composición de g y f ; diremos, simple-

mente que “la composición no está definida”.

En particular, si

rec f ⊆ dom g o C = B,


entonces

E = A

y, por tanto,

g ◦ f : A −→ D.

Ejemplos: Composición

1. Sean A un conjunto cualesquiera, diferente del conjunto vacío, y f : A −→ B. En-tonces las proposiciones

f ◦ IA = f y IB ◦ f = f

son verdaderas.

En efecto, utilicemos el teorema sobre la igualdad entre funciones para deducirla primera proposición; la segunda deducción queda como ejercicio para las lecto-ras y los lectores.

En primer lugar, la composición f ◦ IA sí está definida, y es una función de Aen B porque

rec IA = A = dom f .

En segundo lugar, si x ∈ A, tenemos que

( f ◦ IA)(x) = f (IA(x))

= f (x),

de donde, obtenemos quef ◦ IA = f ,

como se quería.

2. Seanf : R −→ R

x 7−→ x2

yg : R −→ R

x 7−→ 2x.

En este caso A = B = C = D = R, entonces el dominio de g ◦ f es igual a R y paratodo x ∈ R, se tiene que

(g ◦ f )(x) = g( f (x))

= g( x

2

)

= 2( x

2

)

= x.

Por tanto,g ◦ f : R −→ R

x 7−→ x.

3. Con las mismas funciones del ejemplo anterior, vemos que la composición de f y


g también está definida. Además, tenemos que para todo x ∈ R:

( f ◦ g)(x) = f (g(x))

= f (2x)

=2x2

= x.

Por tanto,f ◦ g : R −→ R

x 7−→ x.

4. Continuación del primer ejemplo: ya que el recorrido de f es subconjunto de su domi-nio, también está definida la composición de f y f . Además, se tiene que:

( f ◦ f )(x) = f ( f (x))

= f(x

2

)

=

x22

=x4

.

Por tanto,f ◦ f : R −→ R

x 7−→ x4

.

5. Continuación del primer ejemplo: como el recorrido de g es subconjunto de su domi-nio, también está definida la composición de g y g. Se tiene que:

(g ◦ g)(x) = g(g(x))

= g (2x)

= 2(2x) = 4x.

Por tanto,g ◦ g : R −→ R

x 7−→ 4x.

6. Supongamos queg : R − {0} −→ R

x 7−→ 1x

.

Veamos si es posible definir g ◦ g. Para ello, veamos que

rec g ⊆ dom g.

Puesto que,

x 6= 0 ≡ 1x6= 0,

tenemos querec g = dom g,


luego, tenemos queg ◦ g : R − {0} −→ R

x 7−→ x,

pues, para todo x ∈ R − {0}, se tiene que

(g ◦ g)(x) = gÅ

1x

ã

=11x

= x;

es decir,(g ◦ g)(x) = x

para todo x 6= 0.

¿Cuál es la imagen de 2 respecto de g ◦ g? Es 2 pues 2 6= 0. ¿Y cuál es la imagende 0 respecto de g ◦ g? ¡No existe! Simplemente, porque 0 no está en el dominio deg.

Observemos que g ◦ g 6= IR, porque

dom g ◦ g 6= dom IR.

7. Seanf : R −→ R

x 7−→ −2x + 5y

g : R −→ R

x 7−→ x2 − 1.

Dado querec f ⊆ dom g y rec g ⊆ dom f ,

podemos definir g ◦ f y f ◦ g. Determinemos estas composiciones.

Supongamos que x ∈ R. Entonces:

(g ◦ f )(x) = g( f (x))

= g(−2x + 5)

= (−2x + 5)2 − 1

= 4x2 − 20x + 25 − 1;

por tanto,g ◦ f : R −→ R

x 7−→ 4x2 − 20x + 24.

Nuevamente, supongamos que x ∈ R. Tenemos:

( f ◦ g)(x) = f (g(x))

= f (x2 − 1)

= −2(x2 − 1) + 5;


por tanto,f ◦ g : R −→ R

x 7−→ −2x2+ 7.

8. Seah : [0, 3) −→ R

x 7−→ ⌊x⌋.

Veamos si podemos definir la composición de sgn y h, y de h y sgn.

Para la primera composición, puesto que

rec h ⊆ dom sgn,

podemos definir la composición sgn ◦h y su dominio es [0, 3). Por tanto, para todox ∈ [0, 3), tenemos tres posibilidades:

x ∈ [0, 1), x ∈ [1, 2) y x ∈ [2, 3).

Si x ∈ [0, 1), entonces

(sgn ◦h)(x) = sgn(h(x))

= sgn(0) = 0.

Si x ∈ [1, 2), entonces


= sgn(1) = 1.

Finalmente, si x ∈ [2, 3), entonces


= sgn(2) = 1.

En resumen, tenemos:

sgn ◦h : [0, 3) −→ R

x 7−→

0 si x ∈ [0, 1),

1 si x ∈ [1, 3).

Veamos ahora la composición h ◦ sgn. Como rec sgn no está contenido en eldominio de h, definamos el conjunto

E = {x ∈ dom sgn : sgn(x) ∈ dom h}.

Dado que dom h = [0, 3) y

sgn(x) ∈ [0, 3) ≡ x ∈ [0,+∞),


colegimos queE = [0,+∞).

Por tanto, E 6= ∅ y podemos definir la composición h ◦ sgn, cuyo dominio es,precisamente, E.

Finalmente, si x ∈ [0,+∞), existe n ∈ N tal que

n 6 x < n + 1.

Luego,h(sgn(x)) = n.

En resumen:h ◦ sgn : [0,+∞) −→ R

x 7−→ n,

donde n ∈ N y n 6 x < n + 1.

9. Seanϕ : R − {2} −→ R

x 7−→ x + 2x − 2

yψ : R − {0} −→ R

x 7−→ 1x

.

(Las letras griegas ϕ y ψ son “fi” y “psi”, respectivamente).

Para determinar si podemos definir las compuestas ϕ ◦ ψ y ψ ◦ ϕ, encontremosantes los recorridos de ϕ y ψ.

Hemos visto en un ejemplo anterior que

rec ψ = R − {0}.

Para determinar el recorrido de ϕ, supongamos que x 6= 2; entonces tenemosque las siguientes equivalencias lógicas son válidas:

y = ϕ(x) ≡ y =x + 2x − 2

≡ y(x − 2) = x + 2

≡ x(y − 1) = 2(y + 1).

Luego, si y 6= 1, la equivalencia lógica

y = ϕ(x) ≡ x =2(y + 1)

y − 1

para todo x 6= 2 y todo y 6= 1, de donde, concluimos que

rec ϕ = R − {1}.

Volvamos con las composiciones. Veamos, en primer lugar, ϕ ◦ ψ. Para ello,determinemos el conjunto

E = {x ∈ dom ψ : ψ(x) ∈ dom ϕ};

es decir, el conjunto

E =

ß

x ∈ R : x 6= 0 ∧ 1x6= 2™

.

Es fácil ver que

E = R −ß

0,12

™

.

Por tanto, el dominio de ϕ ◦ ψ es E y, para todo x ∈ E, tenemos que:

(ϕ ◦ ψ)(x) = ϕ(ψ(x)) = ϕ

Å

1x

ã

=

1x+ 2

1x− 2

=1 + 2x1 − 2x

.

Luego, concluimos que

ϕ ◦ ψ : R −ß

0,12

™

−→ R

x 7−→ 1 + 2x1 − 2x

.

Debe observarse que, a pesar de que

1 + 2x1 − 2x

∈ R

si x = 0, ¡no existe la imagen de 0 respecto de ϕ ◦ ψ pues 0 no está en su dominio!

Ahora veamos la composición ψ ◦ ϕ. En este caso, el conjunto E se define así:

E =

ß

x ∈ R : x 6= 2 ∧ x + 2x − 2

6= 0™

= {x ∈ R : x 6= 2 ∧ x + 2 6= 0} = R − {−2, 2}.

Este conjunto es el dominio de ψ ◦ ϕ. Finalmente, si x 6= −2 y x 6= 2, tenemos que:

(ψ ◦ ϕ)(x) = ψ(ϕ(x))

= ψ

Å

x + 2x − 2

ã

=1

x + 2x − 2

=x − 2x + 2

;

por tanto, concluimos que

ψ ◦ ϕ : R − {−2, 2} −→ R

x 7−→ x − 2x + 2

.


1.4 Inversión de funciones

La inversión de funciones es otro concepto para cualquier función, independiente

de los conjuntos de salida y llegada. La idea central de este concepto es la siguiente.

Supongamos que f : A −→ B. Nos preguntamos: ¿existe g : B −→ A tal que, si

x ∈ B, el único y ∈ A para el cual la proposición

y = g(x)

es verdadera, también lo es la proposición

x = f (y).

En otras palabras:

si y es la imagen de x respecto de g, entonces, y solo allí, x es la imagende y respecto de f ;

es decir, es válida la equivalencia lógica para todo x ∈ B y todo y ∈ A:

y = g(x) ≡ x = f (y).

Si existe esta función g, aunque no vamos a probarlo en este curso, esta función

es única; es decir, solo hay una función g con estas características. Y, justamente a

esta g, se le denomina la función inversa de f y se le representa mediante f−1.

Precisemos esta definición.

DEFINICIÓN 1.4 (Invertible)

Se dice que f : A −→ B es invertible si y solo si existe g : B −→ A tal que para todo

x ∈ B y todo y ∈ A, es válida la equivalencia lógica

y = g(x) ≡ x = f (y).

Como se mencionó anteriormente, el teorema siguiente justifica el por qué de

hablar de la función inversa.

TEOREMA 1.4 (Unicidad de la inversa).

Si f : A −→ B es invertible, existe una única función g : B −→ A tal que para todo

x ∈ B y todo y ∈ A, es válida la equivalencia lógica

y = g(x) ≡ x = f (y).

A esta función g se le denomina la función inversa de f y se le representa con f−1.

Por tanto, es válida la equivalencia lógica para todo x ∈ B y todo y ∈ A,

y = f−1(x) ≡ x = f (y).


Supongamos f : A −→ B es invertible. Sea x ∈ B. Entonces y ∈ A, donde

y = f−1(x);

luego, de esta proposición obtenemos, de la equivalencia lógica del teorema 1.4 y

por F03:

x = f (y) y f (y) = fÄ

f−1(x)ä

,

respectivamente. Por tanto, de la transitiva de la igualdad, concluimos que

fÄ

f−1(x)ä

= x;

es decir,Ä

f ◦ f−1ä

(x) = x

para todo x ∈ B. Y, como x = IB(x), entonces, concluimos que

f ◦ f−1= IB.

De manera similar, podemos demostrar que f−1 ◦ f = IA y que estas dos pro-

posiciones implican que f sea invertible, algo que dejamos a las lectoras y lectores

para lo demuestren.

TEOREMA 1.5 (Existencia de la inversa).

La función f : A −→ B es invertible si y solo existe g : B −→ A tal que

f ◦ g = IB y g ◦ f = IA.

Si existe esta g, entonces g = f−1.

Además, si f : A −→ B es invertible, entonces las proposiciones

f ◦ f−1= IB y f−1 ◦ f = IA

son verdaderas.

Supongamos que f : A −→ B es invertible. Si y ∈ B, como f−1 : B −→ A, por

F2, existe un único x ∈ A tal que

x = f−1(y);

es decir, existe al menos un x ∈ A tal que

y = f (x).

Esto significa que y ∈ rec f y, además, que

rec f = B.


La función f de A en B tal que rec f = B se denomina sobreyectiva. Hay que

prestar mucha atención con esta definición: este concepto depende ciento por ciento

del conjunto de llegada de f . Volveremos sobre esto en los ejemplos.

En resumen, hemos probado que si f : A −→ B es invertible, entonces es sobre-

yectiva.

Una vez más, supongamos que f : A −→ B es invertible y que y ∈ B. Existe,

entonces, un único x ∈ A tal que

x = f−1(y),

gracias a F2 y F3. La unicidad significa que si z ∈ A es tal que

z = f−1(y),

necesariamente, tenemos que

x = z.

Supongamos ahora que u ∈ A y v ∈ A tales que

f (u) = f (v);

luego, por F03, tenemos

f−1( f (u)) = f−1( f (v)),

de donde, por el teorema 1.5, tenemos

u = v;

o, lo que es lo mismo, si u 6= v, entonces f (u) 6= f (v):

si dos elementos del dominio de f son diferentes, sus imágenes respectode f también lo son.

Una función con esta propiedad se denomina inyectiva.

Lo que hemos probado es que si f : A −→ B es invertible, entonces f : A −→ B

es inyectiva.

DEFINICIÓN 1.5 (Inyectiva, sobreyectiva)

La función f : A −→ B es inyectiva si para todo x ∈ A y todo y ∈ A tales que

x 6= y, entonces f (x) 6= f (y); o, de manera equivalente, si f (x) = f (y), entonces

x = y.

La función f : A −→ B es sobreyectiva si rec f = B; es decir, si para todo y ∈ B,

existe x ∈ A tal que y = f (x).

Una función f : A −→ B que es sobreyectiva e inyectiva se denomina biyectiva.

Con estas definiciones, lo que hemos deducido se expresa en parte en el siguien-

te teorema.


TEOREMA 1.6 (Biyectividad-Invertibilidad).

Una función f : A −→ B es invertible si y solo si f : A −→ B es biyectiva.

Se deja a las lectoras y lectores probar que si f : A −→ B es biyectiva, entonces

f : A −→ B es invertible.

Este teorema es el que se utilizan con mayor frecuencia para demostrar que

una función de un conjunto en otro es invertible. Y para obtener la inversa de esta

función, se utiliza la segunda equivalencia lógica del teorema 1.4.

Otro teorema que se utiliza para probar la existencia de la inversa y, al mismo

tiempo, obtener la inversa, es el teorema 1.5.

Antes de pasar a los ejemplos, es frecuente confundir el teorema 1.6 con la defi-

nición de invertibilidad y función inversa. Este teorema establece simple y sencilla-

mente dos condiciones necesarias y suficientes para que una función sea invertible

(inyectividad y sobreyectividad).

No es muy difícil probar, finalmente, que si f : A −→ B es invertible, entonces

f−1 : B −→ A es biyectiva y, por tanto, invertible, y que la proposición

Ä

f−1ä−1

= f .

Es decir:

La inversa de la inversa de una función es la función.

Ejemplos: Invertibilidad

1. Sea A un conjunto distinto del vacío. La función identidad IA es invertible y esigual a su inversa.

En efecto, para cada x ∈ A, se tiene que:

(I−1A ◦ IA)(x) = (IA ◦ I−1

A )(x) = (IA ◦ IA)(x) = IA(IA(x))

= IA(x)

= x.

Por tanto, por el teorema de la igualdad entre funciones, colegimos

IA ◦ IA = IA,

de donde, por el teorema, 1.5, concluimos que IA es invertible, que es igual a suinversa. Y, finalmente, por el teorema 1.6, sabemos también que IA es inyectiva ysobreyectiva.

2. En un ejemplo previo, hemos deducido que el recorrido de la función

f : R −→ R

x 7−→ x2


es el conjunto [0,+∞). Por tanto, f : R −→ R no es sobreyectiva y, por tanto, no esinvertible.

Ahora bien, el conjunto f también es una función de R en [0,+∞), gracias alteorema 1.3 (véase la página 22). Luego, f , como función de R en [0,+∞) sí es unafunción sobreyectiva. ¿Será invertible?

Para responder a esta pregunta, solo tendríamos que determinar si f es inyec-tiva. Pero se ve fácilmente que no lo es. En efecto, tenemos que

−1 ∈ dom f , 1 ∈ dom f , −1 6= 1 y f (−1) = 1 = f (1);

es decir, existen dos elementos del dominio de f diferentes, pero cuyas imágenesrespecto de f son iguales; por tanto, f no es inyectiva.

En conclusión, la función f de R en [0,+∞) tampoco es invertible pues, aunquees sobreyectiva, no es inyectiva.

3. La funcióng : [0,+∞) −→ [0,+∞)

x 7−→ x2

sí es invertible.

En efecto, es inyectiva porque si x ∈ dom g y y ∈ dom g tales que

g(x) = g(y),

obtenemos quex2

= y2.

Y, como x > 0 y y > 0, concluimos que

x = y.

Es sobreyectiva, porque si x ∈ dom g y y > 0, entonces

y = g(x) ≡ y = x2

≡ x =√

y,

por el axioma de completitud. Luego,

rec g = [0,+∞).

En resumen, hemos probado que g : [0,+∞) −→ [0,+∞) es biyectiva y, portanto, invertible por el teorema 1.6.

Para hallar la inversa de g es suficiente que apliquemos la equivalencia lógicadel teorema 1.4. En efecto, por este teorema, tenemos que, para todo x ∈ [0,+∞) ytodo y ∈ [0,+∞), son válidas las equivalencias lógicas:

y = g−1(x) ≡ x = g(y)

≡ x = y2


≡ y =√

x

(ya que y > 0). Es decir, para todo x > 0, tenemos que

g−1(x) =√

x.

En resumen, hemos demostrado que la proposición

g−1 : [0,+∞) −→ [0,+∞)x 7−→ √

x

es verdadera.

4. Sean a ∈ R y b ∈ R tales que a 6= 0. La función

Λ : R −→ R

x 7−→ ax + b

es invertible. Probemos esta afirmación y encontremos su inversa. (La letra Λ delalfabeto griego se denomina lambda, es mayúscula; la minúscula correspondientees λ. Al escribirla, hay que evitar confundirla con la letra delta mayúscula ∆, que lautilizamos para representar el discriminante de una ecuación de segundo grado.).

Vamos a utilizar el teorema 1.5 para probar que Λ es invertible. Para ello, su-pongamos que u ∈ R; luego, tenemos que las siguientes equivalencias lógicas sonválidas:

v = Λ(u) ≡ v = au + b

≡ u =v − b

a

(porque a 6= 0); es decir, para todo u ∈ R y todo v ∈ R, es válida la equivalencialógica

v = Λ(u) ≡ u =v − b

a.

Entonces, tenemos que las proposiciones

g : R −→ R

x 7−→ x − ba

yΛ ◦ g = IR y g ◦ Λ = IR. (1.4)

Luego, y antes de deducir las dos proposiciones en 1.4, concluimos, gracias alteorema 1.5, que Λ es invertible y que g es su inversa:

Λ−1 : R −→ R

x 7−→ x − ba

.

Para terminar, probemos únicamente la segunda proposición en 1.4; la otra de-ducción, queda como ejercicio.


Supongamos que x ∈ R. Entonces tenemos que:

(g ◦ Λ)(x) = g(Λ(x))

= g(ax + b)

=(ax + b) − b

a

=axa

= x;

es decir,g ◦ Λ = IR,

como se dijo.

5. Veamos si la funciónµ : R − {3} −→ R

x 7−→ 3x + 1−x + 3

es invertible.

Veamos en primer lugar si µ es inyectiva. Para ello, supongamos que x 6= 3 yy 6= 3 tales que

µ(x) = µ(y).

Y, dado que

µ(x) = µ(y) ≡ 3x + 1−x + 3

=3y + 1−y + 3

≡ −3xy − y + 9x + 3 = −3xy − x + 9y + 3

≡ 10x = 10y.

Por tanto, concluimos que µ es inyectiva.

Ahora bien, veamos si µ es sobreyectiva. Con este fin, determinemos su recorri-do: supongamos que x 6= 3; luego, son válidas las siguientes equivalencias lógicas:

y = µ(x) ≡ y =3x + 1−x + 3

≡ x(y + 3) = 3y − 1.

Por tanto, si y 6= −3, es válida la equivalencia lógica

y = µ(x) ≡ x =3y − 1y + 3

. (1.5)

Por tanto,rec µ = R − {−3},

de donde, concluimos que µ, como función de R − {3} en R no es sobreyectiva y,por tanto, no es invertible.

Sin embargo, µ, que también es función de R − {3} en R − {−3} sí es sobre-


yectiva y, por tanto, la función

µ : R − {3} −→ R − {−3}

es biyectiva y, por tanto, invertible.

Finalmente, de la equivalencia lógica (1.5), concluimos que

µ−1 : R − {−3} −→ R − {3}x 7−→ 3x − 1

x + 3.

1.5 Funciones reales

En las secciones anteriores, hemos estudiado conceptos generales de funciones,

independientemente del tipo de conjuntos que sean la salida y la llegada de las

funciones. No obstante, puesto que este curso es una antesala para el estudio de

conceptos matemáticos fundamentales que son herramientas para modelos mate-

máticos que resuelven problemas o describen fenómenos en una gran variedad de

otras ciencias, las funciones que se requieren tienen como conjuntos de salida y de

llegada los números reales. Por ello, hemos estudiado antes con bastante profun-

didad este conjunto y los ejemplos que hemos estudiado, y que han servido para

ilustrar los primeros conceptos, son funciones que denominamos reales. De manera

más precisa, una función f : A −→ B se dirá real si A y B son subconjuntos de R.

En esta y en las siguientes secciones, vamos a estudiar categorías que aplican

únicamente a funciones reales porque sus definiciones dependen directamente de

R; es decir, dependen de los axiomas de cuerpo, orden y completitud que definen R.

Estas categorías son: monotonía (depende del orden principalmente), paridad, perio-

dicidad y extremos.

Adicionalmente, hablaremos de los dibujos de las funciones, que aunque son

de mucha utilidad, no son esenciales a la definición de función o función real. Los

utilizaremos como una herramienta que ayudará a visualizar propiedades, pero su

elaboración se regirá ciento por ciento a los diferentes conceptos.

Para las funciones reales vamos también a definir operaciones entre ellas, una

vez más, aprovechando las operaciones definidas en R. Empecemos con este tema.

1.5.1 Operaciones entre funciones reales

En esta sección es importante tener en cuenta el uso de los signos que representan

las operaciones en R y para las funciones. Lamentablemente, para los principiantes

puede resultar un poco difícil pero, como ya ha ocurrido en otras ocasiones, cada

signo siempre será interpretado en el contexto en el que aparece. Un texto mate-

mático escrito correctamente siempre dejará claro el uso de los signos, sea por una

declaración explícita, sea porque el contexto lo indica de manera unívoca. La reco-

mendación a las lectoras y lectores es que siempre tengan la atención máxima para


ubicar el significado de cada signo.

En sentido estricto, no vamos a definir las funciones “que son resultado” de las

operaciones; en realidad, se deduce que ciertos conjuntos son funciones; lo que ha-

remos es, en realidad, ponerles nombres y asignarles signos para su representación.

A lo largo de esta y las siguientes secciones, salvo que se diga lo contrario, todas

las funciones serán reales; así, todos los conjuntos de salida y llegada que aparezcan

serán subconjuntos de números reales.

TEOREMA 1.7 (Operaciones entre funciones reales).

Dadas las funciones f : A −→ B y g : C −→ D tales que dom f ∩ dom g 6= ∅, son

verdaderas las siguientes proposiciones:

1. Suma:ϕ : A ∩ C −→ R

x 7−→ f (x) + g(x).

La función ϕ se denomina suma de f y g, y se representa por f + g. Por tanto,

es verdadera la siguiente proposición para todo x ∈ dom f ∩ dom g:

( f + g)(x) = f (x) + g(x).

2. Producto:ψ : A ∩ C −→ R

x 7−→ f (x) · g(x).

La función ψ se denomina producto de f y g, y se representa f · g (o, simple-

mente, f g). Luego, la proposición

( f · g)(x) = f (x) · g(x)

es verdadera para todo x ∈ dom f ∩ dom g.

De manera similar a lo ocurre con las operaciones en R, a partir de la suma y

producto de funciones, definiremos otras operaciones entre funciones reales. Esto

lo haremos en los siguientes ejemplos.

Ejemplos: Funciones reales, operaciones

1. La función realf : A −→ R

x 7−→ 0

es la función constante K(A)0. Es decir, para todo x ∈ A, tenemos que

f (x) = 0.

Esta función se denomina función cero en A y suele ser representada por 0 (sí,


el mismo signo que utilizamos para el número 0). Por tanto, si escribimos

0(x)

nos estaremos refiriendo a la imagen de x respecto de la función cero. Por supuesto,se tiene que

0(x) = 0.

2. Sean a ∈ R y f : A −→ B, la función

K(A)a · f

se denomina producto de la constante a y la función f , y se representa por a f .

El nombre y la notación se explican por lo siguiente: para cada x ∈ A, se tieneque

(

K(A)a · f)

(x) = K(A)a(x) · f (x) = a f (x).

Por tanto, tenemos que para cada x ∈ A, la proposición

(a f )(x) = a f (x)

es verdadera.

Observemos que en a f , el producto se realiza entre dos funciones, mientras queen a f (x), sucede entre dos números reales.

3. Continuación del ejemplo anterior: si a = −1, entonces para cada x ∈ A, tenemosque

((−1) f )(x) = (−1) f (x) = − f (x)

(gracias al teorema −α = (−1)α para todo α ∈ R). Luego, para cada x ∈ A, por ladefinición de suma de dos funciones reales, tenemos

( f + (−1) f )(x) = f (x) + ((−1) f )(x)

= f (x) + (− f (x))

= f (x) − f (x) = 0

para cada x ∈ A. Luego, de la definición de igualdad de funciones, concluimos que

f + (−1) f = 0.

Y, por esta razón, escribiremos − f en lugar de (−1) f , y le llamaremos a − f elinverso aditivo de f .

Está muy claro que si g : A −→ B, h : C −→ D y ϕ = g + (−h), entonces

ϕ : A ∩ C −→ R

x 7−→ g(x) − h(x)

y a ϕ le denominamos resta de g y h y representamos por g − h. Así, para todo


x ∈ dom g ∩ dom h, la proposición

( f − g)(x) = f (x) − g(x).

4. De manera similar a los ejemplos anteriores, obtenemos la función división entredos funciones: dadas las funciones f : A −→ B y g : C −→ D, tenemos

fg

: E −→ R

x 7−→ f (x)g(x)

,

dondeE = {x ∈ dom f ∩ dom g : g(x) 6= 0}.

Luego, para todo x ∈ E, la proposición

Å

fg

ã

(x) =f (x)g(x)

.

5. Continuación del ejemplo anterior: si f es la función constante K(A)1, en lugar deescribir

K(A)1

g,

escribiremos1g

.

Es claro que la proposiciónfg= f · 1

g.

Hay que tener cuidado de no confundir1g

con g−1. En el segundo caso, estamos

hablando de la función inversa de g; en el primero, el cociente entre dos funciones.

6. Sif : [−1, 1] −→ R

x 7−→ x + 1y

g : [0, 2] −→ R

x 7−→ x − 1,

entoncesf + g : [0, 1] −→ R

x 7−→ 2x,

ya que

dom f ∩ dom g = [−1, 1] ∩ [0, 2] = [0, 1] y f (x) + g(x) = (x + 1) + (x − 1) = 2x.

La imagen de 0.5 respecto de f + g es

2(0.5) = 1.

La imagen de 2 respecto de f + g no “existe” ya que 2 6∈ dom( f + g).


7. Continuación del ejemplo anterior: se tiene que

f − g : [0, 1] −→ R

x 7−→ 2;

es decir, se tienef − g = K([0, 1])2.

También se tienef g : [0, 1] −→ R

x 7−→ x2 − 1,

puesf (x)g(x) = (x + 1)(x − 1) = x2 − 1.

Y también:gf

: [0, 1] −→ R

x 7−→ x − 1x + 1

,

ya que

(dom f ∩ dom g) ∩ {u ∈ dom f : f (u) 6= 0} = [0, 1] ∩ {u ∈ [−1, 1] : u + 1 6= 0}= [0, 1] ∩ (−1, 1]

= [0, 1].

8. Funciones lineales: Sea a ∈ R tal que a 6= 0. La función

λ : R −→ R

x 7−→ ax

se denomina lineal. Se dice también que pertenece a la clase de las funciones li-neales.

Una de las razones por las que se denomina lineal es porque las proposiciones

λ(x + y) = λ(x) + λ(y) y λ(xy) = xλ(y)

son verdaderas para todo x ∈ R y todo y ∈ R.

En efecto:

λ(x + y) = a(x + y)

= ax + ay

= λ(x) + λ(y)

λ(xy) = a(xy)

= (ax)y

= (xa)y

= x(ay)

= xλ(y).


Si A ⊆ R, la funciónf : A −→ R

x 7−→ ax

no es lineal porque las proposiciones anteriores no son verdaderas para todo x ∈ Ay todo y ∈ R.

En efecto, supongamos que A = [0, 2), aunque

1 ∈ A y32∈ A,

se tiene que

1 +32=

526∈ A;

luego no existe la imagen de 1 +32

.

Si n ∈ Q, tenemos queλ(nx) = nλ(x)

para todo x ∈ R. Por esta propiedad, λ también se denomina función de la propor-cionalidad directa.

No es difícil ver que el recorrido de λ es R.

9. Funciones afines: Sean a ∈ R, a 6= 0, y b ∈ R. La función

α : R −→ R

x 7−→ ax + b

se denomina afín.

Una de las razones para recibir este nombre es porque es verdadera la propo-sición

α(x + h) − α(x)h

= a

para todo x ∈ R y todo h ∈ R − {0}.

En efecto:

α(x + h) − α(x)h

=(a(x + h) + b) − (ax + b)

h

=(ax + ah) − ax

h=

ahh

= a.

De manera similar al caso de las funciones lineales, la función

f : A −→ R

x 7−→ ax + b

no es afín si A 6= R.

Es claro que toda función lineal es afín y que el recíproco no es verdadero.

Finalmente, el recorrido de toda función afín es R, proposición que se deducefácilmente.


10. Funciones cuadráticas: Sean a ∈ R, a 6= 0, b ∈ R y c ∈ R. La función

κ : R −→ R

x 7−→ ax2+ bx + c

se denomina cuadrática (la letra griega κ se denomina kappa).

El recorrido de esta función nunca es R. Es fácil determinar su recorrido utili-zando la “completación del cuadrado”. Mejor que tener una fórmula general, es,en cada caso, aplicar el método mencionado.

En efecto: determinemos el recorrido de la función

κ : R −→ R

x 7−→ −2x2+ 3x + 5.

Si x ∈ R, tenemos:

y = κ(x) ≡ y = −2x2+ 3x + 5

≡ y = −2Å

x − 34

ã2+

498

.

Dado queÅ

x − 34

ã2> 0

para todo x ∈ R, se tiene que

−2Å

x − 34

ã2+

498

6498

,

de donde, concluimos que

y = κ(x) ≡ y 6498

y, por tanto, que

rec κ =

Å

−∞,498

ò

.

11. Por el axioma de completitud, el conjunto

ϕ = {(x, y) : x ∈ [0,+∞) ∧ y2= x}

es una función de [0,+∞) en [0,+∞).

En efecto, si x ∈ [0,+∞), por el mencionado axioma, existe un único númeroreal y > 0 tal que

y2= x.

Esto significa que las proposiciones F2 y F3 son verdaderas para ϕ. Es fácil ver quetambién es verdadera F1.

Dado que utilizamos el signo√

x para representar el único número y, mayor oigual que 0, tal que

y2= x,


a la función ϕ se le representa por√· y se le denomina función raíz cuadrada. Por

tanto, tenemos: √· : [0,+∞) −→ [0,+∞)x 7−→ √

x.

Probemos que el recorrido de esta función es [0,+∞). Para ello, supongamosque y > 0. Es claro que el x > 0 buscado es y2. En efecto, como y > 0, del axiomade completitud, hemos deducido que

»

y2 = y;

luego, y ∈ rec√·.

En resumen, tenemosrec

√· = [0,+∞).

Cualquier funciónf : A −→ [0,+∞)

x 7−→ √x,

donde A 6= [0,+∞) no es la función raíz cuadrada.

En el capítulo de números reales, también dedujimos que si x > 0, y > 0,entonces

√x =

√y si y solo si x = y, entonces la función

√· es biyectiva y, portanto, invertible. Y, obviamente, su inversa es:

(√·)−1 : [0,+∞) −→ [0,+∞)

x 7−→ x2.

12. La funciónψ : R −→ [0,+∞)

x 7−→ |x|

se denomina función valor absoluto y se le representa por | · |.En este caso, es fácil mostrar que el recorrido de la función valor absoluto es

[0,+∞).

En efecto, si y ∈ [0,+∞), tenemos que

|y| = y,

de donde, y ∈ rec | · |.

1.5.2 Monotonía

La monotonía es un concepto que aplica únicamente a las funciones reales, ya que

se construye sobre el orden en R.

DEFINICIÓN 1.6 (Monotonía)

Sean A ⊆ R, f : A −→ R y B ⊆ A.

1. La función f : A −→ R es creciente en B si para todo x ∈ B y todo y ∈ B tales


que x < y, entonces

f (x) 6 f (y),

y es estrictamente creciente en B si

f (x) < f (y).

2. La función f : A −→ R es decreciente en B si para todo x ∈ B y todo y ∈ B

tales que x < y, entonces

f (x) > f (y),

y es estrictamente decreciente en B si

f (x) > f (y).

3. La función f : A −→ R es monótona en B si es creciente, estrictamente cre-

ciente , decreciente o estrictamente decreciente en B.

Ejemplos: Monotonía

1. Sean A ⊆ R y a ∈ R. La función constante K(A)a es monótona en todo subconjuntode A.

En efecto, supongamos que B ⊆ A. Si x ∈ B y y ∈ B tales que

x < y,

entoncesK(A)a(x) = a y K(A)a(y) = a,

de donde,K(A)a(x) = K(A)a(y).

Por tanto,K(A)a(x) 6 K(A)a(y) y K(A)a(x) > K(A)a(y).

Así, K(A)a es creciente y es decreciente en B. Ya sea porque una función es crecienteen B o sea decreciente en B diremos que esta función es monótona en B.

Está claro que esta función no es ni creciente estrictamente ni decreciente es-trictamente debido a la Tricotomía.

2. La función sgn es monótona en (−∞, 0], en {0} y en [0,+∞), porque es constanteen cada uno de estos conjuntos.

Esta función es creciente en R. En efecto, supongamos que x ∈ R, y ∈ R talesque

x < y.

Si y < 0, entonces x < 0 y, por tanto,

sgn(x) = −1 y sgn(y) = −1,

de donde,sgn(x) 6 sgn(y).

Si x < 0 y y = 0, entonces

sgn(x) = −1, sgn(y) = 0 y − 1 < 0;

por tanto,sgn(x) 6 sgn(y).

Si x < 0 < y, entonces

sgn(x) = −1, sgn(y) = 1 y − 1 < 1;

luego,sgn(x) 6 sgn(y).

De manera similar, se procede para los casos restantes: x = 0 y y > 0; y 0 <

x < y.

3. La función ⌊·⌋ es creciente en R. En efecto, sean x ∈ R y y ∈ R tales que

x < y.

En primer lugar, existen m ∈ Z y n ∈ Z tales que

m 6 x < m + 1 y n 6 y < n + 1.

Luego, m 6 n (ya que x < y). Por tanto,

⌊x⌋ 6 ⌊y⌋,

ya que por la definición de parte entera se tiene que

⌊x⌋ = m y ⌊y⌋ = n.

4. La función valor absoluto es decreciente estrictamente en (−∞, 0] y creciente estric-tamente en [0,+∞).

En efecto: supongamos que x 6 0, y 6 0 tales que

x < y.

Luego,|x| = −x y |y| = −y.

Y, como−x > −y

(ya que x < y), concluimos que|x| > |y|;

por tanto, la función valor absoluto es decreciente estrictamente en (−∞, 0].

Supongamos ahora que u > 0, v > 0 tales que

u < v.

Por tanto,|u| < |v|,

ya que |u| = u| y |v| = v; de donde, colegimos que la función valor absoluto escreciente estrictamente en [0,+∞).

5. Sean a ∈ R tal que a 6= 0 yλ : R −→ R

x 7−→ ax.

Esta función es creciente estrictamente en R si a > 0 y es decreciente estrictamenteen R si a < 0.

En efecto: supongamos que x ∈ R, y ∈ R tales que

x < y.

Si a > 0, tenemos queax < ay;

es decir,λ(x) < λ(y),

de donde, λ es creciente estrictamente en R.

Si a < 0, obtenemosax > ay;

luego,λ(x) > λ(y).

Concluimos que λ es decreciente estrictamente en R.

6. La función afínα : R −→ R

x 7−→ ax + b

es creciente estrictamente en R si a > 0 y es decreciente estrictamente en R si a < 0.La deducción de estas dos proposiciones son similares a las de la función lineal.

7. La “monotonía” de la función cuadrática se determina fácilmente con la ayuda dela “completación del cuadrado”. De manera similar a lo que dijimos para el reco-rrido de estas funciones, mejor que obtener fórmulas generales, podemos deducirfácilmente en cada caso particular. No obstante, los siguientes teoremas deducidosde los axiomas de cuerpo y orden, se aplicarán en las deducciones:

T1: Si 0 < u < v, entonces u2< v2.

T2: Si u < v < 0, entonces u2> v2.

Por ejemplo, “estudiemos la monotonía” de la función cuadrática

κ : R −→ R

x 7−→ −2x2+ 3x + 5.

En primer lugar, tenemos que para todo x ∈ R, se tiene que

κ(x) = −2Å

x − 34

ã2+

498

.

De esta igualdad, se ve que es necesario considerar dos conjuntos para la de-terminación de la “monotonía” de κ.

En primer lugar, consideremos el intervalo I =

Å

−∞,34

ò

. Así, supongamos

que x ∈ I, y ∈ I tales quex < y.

Luego,

x − 34< y − 3

46 0,

ya que

y ∈Å

−∞,34

ò

.

Por tanto, por el teorema T2, colegimos que

Å

x − 34

ã2>

Å

y − 34

ã2,

luego,

−2Å

x − 34

ã2< −2

Å

y − 34

ã2,

y, por tanto,

−2Å

x −−34

ã2+

498

< −2Å

y − 34

ã2+

498

;

es decir,κ(x) < κ(y).

En otras palabras, κ es creciente estrictamente en

Å

−∞,34

ò

.

No es muy difícil ver que si x y y pertenecen al intervalo

ï

34

, ∞

ã

y son tales que x < y, se tiene

0 6 x − 34< y − 3

4,

de donde, por el teorema T1, concluimos que

−2Å

x − 34

ã2+

498

> −2Å

y − 34

ã2+

498

;

es decir, en este intervalo, κ es decreciente estrictamente.

8. Si n ∈ N − {0}, se denomina función n–ésima potencia a

ϕ : R −→ R

x 7−→ xn.

“Estudiemos la monotonía” de esta función. Para ello, requerimos el siguienteteorema, demostrado mediante inducción en el capítulo sobre números reales:

T: Si 0 0, y > 0, tales que x < y, entonces xn< yn. Por tanto, ϕ(x) < ϕ(y); es

decir, ϕ es creciente estrictamente en [0,+∞).

Si x 6 0, y 6 0, tales que x < y, entonces

−x > −y > 0.

Luego, por el teorema T, colegimos

(−x)n> (−y)n.

Si n es par, obtenemosxn

> yn

y, por tanto, ϕ es decreciente estrictamente en (−∞, 0]. Pero si n es impar, nos da

−xn> −yn,

de donde,xn

< yn

y, por tanto, ϕ es creciente estrictamente en (−∞, 0].

9. La función raíz cuadrada es creciente estrictamente en su dominio gracias al teore-ma

0 6 u < v ⇒√

u <

√v.

10. Seaf : R − {0} −→ R

x 7−→ 1x

.

Si 0 < x < y, entonces1y<

1x

;

luego, f es decreciente estrictamente en (0,+∞).

Si x < y < 0, entonces−x > −y > 0,

de donde,

− 1x< −1

y;

es decir,1x>

1y

.

Por tanto, f es decreciente estrictamente en (−∞, 0).

11. En el ejemplo anterior, hemos deducido que f es decreciente estrictamente en losconjuntos

(−∞, 0) y (0,+∞).

El hecho de que el dominio de f sea la unión de estos dos conjuntos, y que la inter-sección de estos sea el conjunto vacío, no implica que la función f sea decrecienteestrictamente en su dominio.

En efecto, si x < 0 y y > 0, entonces

x < y y1x< 0 <

1y

;

es decir, no es decreciente estrictamente en su dominio. Pero tampoco significaque f sea creciente estrictamente en su dominio porque si x < y y x > 0, hemosprobado que f (x) > f (y). Dicho en otra palabras, f ¡no es monótona en su dominio!

La determinación de la monotonía de las funciones estudiadas en estos ejem-

plos se obtiene con la simple aplicación de los teoremas de cuerpo y orden de los

números reales. En todos los casos, las funciones estudiadas son simples. Cuando

se trata de funciones más complejas, no resulta sencillo determinar la monotonía.

Una vez más, las técnicas del Cálculo proveen métodos más sencillos y eficaces pa-

ra el estudio de la monotonía. Lo más importante, en todo caso, es tener claro este

concepto.

Por ejemplo, si una función es creciente estrictamente o decreciente estrictamen-

te en su dominio, la función es inyectiva. En efecto, supongamos que f : A −→ R,

donde A ⊆ R, y es creciente estrictamente en A. Deduzcamos que f es inyectiva.

Para ello, supongamos que x ∈ A, y ∈ A tales que

x 6= y;

demostremos que

f (x) 6= f (y).

De la hipótesis, y por la Tricotomía, hay dos posibilidades:

x < y y x > y.

En el primer caso, ya que f es creciente estrictamente, tenemos que

f (x) < f (y)

y, por tanto, por la Tricotomía, concluimos que

f (x) 6= f (y).

En el segundo caso, se llega a la misma conclusión. Por tanto, f es inyectiva.

En el siguiente teorema, presentamos otras propiedades importantes de la mo-

notonía en relación a la composición y a la inversión de funciones.

TEOREMA 1.8 (Monotonía, composición, inversión).

Sean f : A −→ B y g : C −→ D de manera que esté definida la composición g ◦ f .

Sea I ⊆ dom(g ◦ f ). Las siguientes proposiciones son verdaderas:

1. Si f es creciente (estrictamente) en I, g ◦ f será creciente (estrictamente) o de-

creciente (estrictamente) en I, según sea g creciente (estrictamente) o (decre-

ciente) en J, donde J es un subconjunto de todos los elementos del dominio

de g que son imagen de algún elemento de I respecto de f , respectivamente.

2. Si f es decreciente (estrictamente) en I, g ◦ f será decreciente (estrictamente)

o creciente (estrictamente) en I, según sea g creciente (estrictamente) o decre-

ciente (estrictamente) en J, donde J es un subconjunto de todos los elementos

del dominio de g que son imagen de algún elemento de I respecto de f , res-

pectivamente.

3. Si f es invertible, entonces f−1 será creciente estrictamente o decreciente es-

trictamente en el recorrido de f , según f sea creciente estrictamente o decre-

ciente estrictamente en su dominio, respectivamente.

Demostración. Demostraremos únicamente la primera y la tercera; la segunda deducción essimilar a la primera.

Supongamos que f es creciente en I. Si g también lo es, entonces para cada x ∈ I, y ∈ Itales que

x < y,

tenemos quef (x) 6 f (y) y g( f (x)) 6 g( f (y)),

de donde, se concluye que g ◦ f es creciente.Y si g es decreciente en I, entonces

f (x) 6 f (y) y g( f (x)) > g( f (y));

es decir, g ◦ f es decreciente.Sea f : A −→ B. Supongamos que f es invertible y creciente estrictamente en A. Vamos

a probar que f−1 también es creciente estrictamente en B.

Para ello, supongamos u ∈ B, v ∈ B tales que

u < v.

Vamos a demostrar quef−1(u) < f−1(v).

Razonemos por el absurdo: supongamos que

f−1(u) > f−1(v).

Ahora bien, como f es sobreyectiva, existen x ∈ A, y ∈ A tales que

u = f (x) y v = f (y),

de donde, obtenemos quex = f−1(u) y y = f−1(v);

así, por la hipótesis de la reducción al absurdo, colegiríamos que

x > y,

de donde, como f es creciente estrictamente y por F03, deduciríamos que

f (x) > f (y);

es decir, obtendríamos queu > v,

proposición falsa por la Tricotomía (ya que u < v).En resumen, f−1 es creciente estrictamente en B.

Ejemplos: Monotonía, composición, inversión

1. Como la funciónh : [0,+∞) −→ [0,+∞)

x 7−→ x2

es creciente estrictamente en [0,+∞), entonces

√· : [0,+∞) −→ [0,+∞)x 7−→ √

x

también es creciente estrictamente en [0,+∞) porque

√· = h−1.

2. La funcióng : R − {0} −→ R

x 7−→ 1x

es decreciente estrictamente en (−∞, 0), entonces la función

h : R −→ R

x 7−→ 11 + x2

es estrictamente creciente en (−∞, 0) pues h es la composición de g y f , donde

f : R −→ R

x 7−→ 1 + x2

y f es decreciente estrictamente en (−∞, 0].

En efecto, como rec f ⊆ dom g, entonces para todo x ∈ R, tenemos que

(g ◦ f )(x) = g( f (x))

= g(1 + x2) =1

1 + x2

= h(x).

Luego, como g es decreciente estrictamente en (0,+∞) y f es estrictamentecreciente en [0,+∞) entonces la función

h : R −→ R

x 7−→ 11 + x2

es estrictamente decreciente en (0,+∞) pues h es la composición de g y f .

1.5.3 Paridad

Este concepto de funciones también aplica únicamente a funciones reales. Antes,

requerimos la siguiente definición.

DEFINICIÓN 1.7 (Conjunto simétrico)

Un conjunto A ⊆ R es simétrico si para todo x ∈ A, el inverso aditivo de x, −x,

también pertenece a A.

Por ejemplo, R es obviamente simétrico. Si a > 0, los intervalos

(−a, a) y [−a, a]

son simétricos. En efecto, si x ∈ (−a, a), entonces

−a < x 6 0 o 0 6 x < a.

Luego,

−(−a) > −x > 0 o 0 > −x > −a.

Por tanto, −x ∈ (−a, a), ya que −(−a) = a.

Los conjuntos

[0,+∞), (−∞, 0], (−a, a]

no son simétricos, como es fácil confirmar:

2 ∈ [0,+∞), −2 ∈ (−∞, 0] y a ∈ (−a, a],

pero

−2 6∈ [0,+∞), −(−2) 6∈ (−∞, 0] y − a 6∈ (−a, a].

En particular, el conjunto vacío es simétrico, pues la proposición

x ∈ ∅ ⇒ −x ∈ ∅

es verdadera para todo número real x, gracias al axioma de la implicación.

DEFINICIÓN 1.8 (Funciones pares e impares)

Sean A ⊆ R, un conjunto simétrico, y f : A −→ R.

1. f es par si para todo x ∈ A, la proposición

f (−x) = f (x)

es verdadera.

2. f es impar si para todo x ∈ A, la proposición

f (−x) = − f (x)

es verdadera.

¿Podría ser una función par e impar? Para responder a esta pregunta, suponga-

mos que A es un conjunto de números reales simétrico y que f : A −→ R. Supon-

gamos que f es par e impar. Eso significa que para todo x ∈ A, tenemos

f (−x) = f (x) y f (−x) = − f (x),

de donde obtenemos que

2 f (x) = 0

para todo x ∈ A. Luego, si existe x ∈ A tal que

f (x) 6= 0,

de la igualdad anterior, deduciríamos la proposición 2 = 0, que es falsa. Por tanto,

no existe ningún x para el cual f (x) 6= 0; es decir, para todo x ∈ A,

f (x) = 0.


Dicho en otras palabras, f es la función constante K(A)0.

Y, como es fácil ver, la función K(A)0 es par e impar. Luego,

la única función par e impar es la función constante 0.

Ejemplos: Funciones pares, impares

1. Sean n ∈ N − {0} tal que n es un número par y a > 0. La función

f : [−a, a] −→ R

x 7−→ xn

es una función par.

En efecto: para empezar, el dominio de f es un conjunto simétrico. Por otraparte, supongamos que x ∈ [−a, a]; luego −x ∈ [−a a] y

f (−x) = (−x)n= xn

= f (x),

ya que n es par.

Esta función es la que da el nombre al concepto de función par.

2. Continuación del ejemplo anterior: la función

g : [0,+∞) −→ R

x 7−→ xn

no es una función par porque su dominio no es un conjunto simétrico. Así, si x ∈dom g, entonces, −x 6∈ dom g, salvo que x = 0 y, por tanto, no existe siquiera laimagen de −x respecto de g.

3. Sean n ∈ N − {0} tal que n es un número impar y a > 0. La función

h : [−a, a] −→ R

x 7−→ xn

es una función impar.

En efecto: el dominio de h es un conjunto simétrico. Además, si x ∈ [−a, a];luego −x ∈ [−a, a] y

f (−x) = (−x)n= −xn

= − f (x),

dado que n es impar.

Esta función es la que da el nombre al concepto de función impar.

4. Continuación del ejemplo anterior: la función

k : (−∞, 0) −→ R

x 7−→ xn

no es una función impar porque su dominio no es un conjunto simétrico.


5. Sean A ⊆ R yϕ : A −→ R

x 7−→ |x|.

Si A es un conjunto simétrico, ϕ es una función par ya que para todo x ∈ A,tenemos

ϕ(−x) = | − x| = |x| = ϕ(x).

Debe estar claro que si A no es simétrico, ϕ no es una función par.

6. Toda función lineal es impar. En efecto, sea

λ : R −→ R

x 7−→ ax,

donde a 6= 0. El dominio de λ es un conjunto simétrico y si x ∈ R, entonces

λ(−x) = a(−x) = −(ax) = −λ(x).

7. En general, una función afín no es impar, y nunca es par.

En efecto, sean m ∈ R, m 6= 0, b ∈ R, y

α : R −→ R

x 7−→ mx + b.

Si b = 0, α es lineal y, por tanto, es impar. Y, como α no es la función constante0, entonces α no es par.

Si b 6= 0, α no es impar porque si x ∈ R, entonces

α(−x) = −mx + b 6= −(mx + b),

pues b 6= 0. (Si los dos números fueran iguales, tendríamos 2b = 0).

Tampoco es par porque si

−mx + b = mx + b,

entonces m = 0, proposición falsa.

8. La función cuadráticaκ : R −→ R

x 7−→ ax2+ bx + c,

donde a 6= 0 es par únicamente si b = 0.

Una propiedad importante de las funciones reales cuyo dominio es R, relacio-

nada con los conceptos de par e impar, se presenta en el siguiente teorema.

TEOREMA 1.9 (Representación única par-impar).

Toda función f : R −→ R es la suma de una función par y una función impar. Y

estas funciones son únicas.


Demostración. En primer lugar, vamos a demostrar que

f = ϕ + ψ,

donde ϕ : R −→ R es par y ψ : R −→ R es impar.Estas funciones se definen de la siguiente manera: para todo x ∈ R:

ϕ(x) =f (x) + f (−x)

2y ψ(x) =

f (x) − f (−x)2

.

En primer lugar, tenemos que para todo x ∈ R, tenemos:

ϕ(x) + ψ(x) =f (x) + f (−x)

2+

f (x) − f (−x)2

=2 f (x)

2= f (x).

Luego,f = ϕ + ψ.

Veamos ahora que ϕ es par: si x ∈ R, entonces

ϕ(−x) =f (−x) + f (−(−x)

2=

f (x) + f (−x)2

= ϕ(x).

Y ψ es impar:

ψ(−x) =f (−x) − f (−(−x)

2=

− f (x) + f (−x)2

= − f (x) − f (−x)2

= −ψ(x).

Finalmente, veamos que ϕ y ψ son únicas en el sentido de que no hay otro par defunciones, par e impar, cuya suma sea f .

Para probar esta afirmación, supongamos que las funciones

µ : R −→ R y η : R −→ R

son par e impar, respectivamente, y que

f = µ + η.

(La letra griega η se denomina “eta”; a µ ya la conocemos).Por tanto, para todo x ∈ R, tenemos

ϕ(x) + ψ(x) = µ(x) + η(x),

de donde,(ϕ − µ)(x) = (η − ψ)(x).

Luego,ϕ − µ = η − ψ.

Ahora bien, es fácil probar (lo haremos al final de esta demostración) que la suma (ypor tanto, resta) de funciones pares es también una función par, lo mismo que la suma defunciones impares es una función impar. Por tanto, ϕ − µ es par y η − ψ es impar.

Así, de la última igualdad, colegimos que las funciones de cada lado tienen que ser


iguales a la función 0, ya que es la única función que es par e impar:

ϕ − µ = 0 y η − ψ = 0,

de donde, concluimos queµ = ϕ y η = ψ.

Como prometimos: si g : R −→ R y h : R −→ R son funciones pares, entonces paracada x ∈ R, tenemos que

(g − h)(−x) = g(−x) − h(−x)

= g(x) − h(x) = (g − h)(x);

es decir, g + h también es par. De manera similar: si g y h son impares, entonces

(g − h)(−x) = g(−x) − h(−x)

= −g(x) + h(x)

= −(g(x) − h(x)) = −(g − h)(x),

con lo que finalizamos la demostración.

Cuando nos referimos a la “paridad de una función”, hablamos de la condición

de si la función es par o impar, y las consecuencias que ello tiene en un determinado

contexto. También se dice que dos funciones tienen “paridad opuesta” o “diferente

paridad” si una de ellas es par y la otra impar.

La noción de paridad está relacionado con la noción de simetría (tanto geomé-

tricamente como algebraicamente). Por ejemplo, en el cálculo integral, si f es una

función definida en un intervalo simétrico [−a, a], donde a > 0, y es continua allí,

su integral en el intervalo no es más que el doble de la integral en [0, a], si la función

es par, y si es impar, la integral es 0. Situaciones de este tipo, simplifican argumen-

tos y cálculos.

Finalmente, planteamos a las lectoras y lectores que realicen la demostración

del siguiente teorema como un ejercicio sencillo de los conceptos de paridad, com-

posición e inversión.

TEOREMA 1.10 (Paridad, composición, inversión).

Sean f : R −→ R y g : R −→ R. Las siguientes proposiciones son verdaderas:

1. Si g es par, f ◦ g es par.

2. Si g es impar, f ◦ g tiene la misma paridad que f .

3. Una función par nunca es inyectiva; por tanto, no es invertible.

4. Si f es invertible e impar, entonces f−1 también es impar.

Los ejemplos más interesantes de estas propiedades se encuentran entre las fun-

ciones trascendentes, de modo que los pospondremos hasta esa sección.


1.6 Funciones polinomiales

Las funciones lineales, afines y cuadráticas son ejemplos de funciones polinomiales.

Otras son las siguientes:

p : R −→ R

x 7−→ ax3+ bx2

+ cx + d,

q : R −→ R

x 7−→ ax4+ bx3

+ cx2+ dx + e,

donde a 6= 0.

Para dar una definición general, vamos a introducir el concepto de sumatoria

para dar sentido a la notación usual para los polinomios:

anxn+ an−1xn−1

+ · · ·+ a2x2+ a1x + a0,

donde n ∈ N, an 6= 0 y todos los otros aj, donde j “recorre” el conjunto de números

naturales desde 0 hasta n − 1, son números reales.

Para hacer precisos los diversos términos, incluyendo los tres puntos suspensi-

vos, que involucra la expresión anterior, definiremos a continuación la “suma de un

conjunto de números reales indexados por los números naturales”, de manera que

la expresión anterior será simplemente una representación del número expresado

por cualesquiera de los símbolos siguientes:

n

∑j=0

ajxj,

n

∑j=0

an−jxn−j.

Así, las funciones p y q podrán expresarse de la siguiente manera, respectiva-

mente:3

∑j=0

a3−jx3−j,

4

∑j=0

a4−jx4−j,

donde los aj representan, según el caso, a, b, c, d y e, respectivamente.

Dados n0 ∈ N y n ∈ N y el conjuntos de números reales

An = {aj ∈ R : j ∈ N ∧ n0 6 j 6 n},

vamos a definir la suma de los aj cuando j es un número natural entre n0 y n como

un número real, el mismo que será representado por

n

∑j=n0

aj.

Este número se definirá mediante el teorema de Recursión finita.

DEFINICIÓN 1.9 (Sumatoria)

Dados el número natural n0 y el conjunto

An = {aj ∈ R : j ∈ N ∧ n0 6 j 6 n}


para todo número natural n, definimos:

i. Base de la recursión:n0

∑j=n0

aj = an0 .

ii. Paso recursivo: si n ∈ N, suponemos definido el número

n

∑j=n0

aj,

definimos el númeron+1

∑j=n0

aj como la suma den

∑j=n0

aj y an+1; es decir,

n+1

∑j=n0

aj =

n

∑j=n0

aj + an+1.

Por el teorema de Recursión finita, se ha definido el número

n

∑j=n0

aj

para todo número natural n > n0.

Este número es denominado suma de los aj cuando j recorre los naturales des-

de n0 hasta n. Los números j se denominan índices y cada aj, término j-ésimo de

la suma. El número aj también suele denominarse término general de la suma. Los

números n0 y n se denominan límites inferior y superior de la suma.

El símbolon

∑j=n0

aj

se denomina sumatoria.

En lugar den

∑j=n0

aj,

se utiliza con mucha frecuencia la notación

an0 + an0+1 + · · ·+ an.

El símbolo sumatoria tiene un “pro” y un “contra”. El “pro”: permite escribir de

forma compacta y breve ciertos números. El “contra”: la compacidad de escritura

suele ser un obstáculo para entender que número exactamente representa la suma.

La representación con puntos suspensivos también tiene un “pro” y un “contra”. El

“pro ”: permite entender exactamente que número representa la suma. El “contra”:

la escritura no es compacta. Así es la vida. Con el tiempo, aprendemos a utilizar

ambos: de preferencia en los contextos donde el “pro” se vuelve necesario y quere-

mos evitar el “contra”.


El propósito de introducir aquí la sumatoria es presentar fácilmente las defini-

ciones de las funciones polinomiales, por lo que no vamos a ahondar en las pro-

piedades de la sumatoria. A cambio, cada vez que se requiera, la indicaremos y

dejaremos que las lectoras y lectores hagan las correspondientes deducciones que,

en su mayoría, no son difíciles.

Ejemplos: Sumatorias

1. Dado n ∈ N − {0}, en la suman

∑j=1

j,

respecto de la definición dada, n0 = 1, aj = j para cada j ∈ N tal que 1 6 j 6 n.

Con la notación de puntos suspensivos, este suma se escribe así:

1 + 2 + · · ·+ (n − 1) + n.

2. La suma representada por

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) + (2n + 1)

es la suman

∑k=0

(2k + 1).

Observemos que también es igual a la suma

n+1

∑k=1

(2k − 1).

En otras palabras, tenemos

n

∑k=0

(2k + 1) =n+1

∑k=1

(2k − 1).

Por otra parte, dado que la suma es asociativa y conmutativa, tenemos que

n

∑k=0

(2k + 1) =n

∑k=0

(2(n − k) + 1),

es decir,

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) + (2n + 1) = (2n + 1) + (2n − 1) + · · ·+ 2 + 1.

3. Continuación del ejemplo anterior: una característica importante que ilustran lassumas anteriores es que la letra que se utiliza para representar el índice en la su-


matoria no es fundamental; es decir, tenemos

n

∑j=n0

aj =n

∑k=0

ak,

como se puede ver fácilmente. La única condición es que j y k no se expresen unoen términos del otro.

Otra característica que se ilustra es que los límites de la suma pueden modifi-carse con el cambio adecuado de los subíndices, sin cambiar la forma del términogeneral:

n

∑k=0

(2k + 1) =n+1

∑k=1

(2k − 1).

Finalmente, los índices pueden ser los mismos, pero se puede modificar la for-ma de los subíndices en el término general:

n

∑k=0

(2k + 1) =n

∑k=0

(2(n − k) + 1).

4. El número1 + x + x2

+ x3+ x4

+ x5

se puede representar mediante5

∑k=0

xk,

tomando en cuenta que x0= 1. Y también se puede representar mediante

5

∑k=0

x5−k,

ya que1 + x + x2

+ x3+ x4

+ x5= x5

+ x4+ x3

+ x2+ x + 1.

5. El númeroa0 + a1x + a2x2

+ a3x3+ a4x4

+ a5x5,

que es igual aa5x5

+ a4x4+ a3x3

+ a2x2+ a1x + a0,

se representa tanto con5

∑j=0

ajxj,

como con5

∑j=0

a5−jx5−j.

Definamos las funciones polinomiales.

DEFINICIÓN 1.10 (Función polinomial)


Dado el número natural n y el conjunto de números reales

C = {aj ∈ R : 0 6 j 6 n},

donde an 6= 0, la funciónp : R −→ R

x 7−→n

∑k=0

akxk

se denomina función polinomial de grado n.

Los elementos de C se denominan coeficientes de la función p. En particular,

para cada número natural j, entre 0 y n, aj se denomina coeficiente de xj.

Es común referirse a p como un polinomio en lugar de función polinomial.

De esta definición, queda claro que las funciones lineal, afín y cuadrática son

polinomiales de grado 1 (las dos primeras) y de grado 2, la tercera. También está

claro que una función polinomial de grado 0 es una función constante, diferente de

0, en sentido estricto. No obstante, la función constante 0 (de R en R) es considerada

como un polinomio. Este hecho es fundamental en el Álgebra Lineal.

Respecto de las propiedades, tanto generales como particulares, de las funcio-

nes polinomiales, las hemos abordado ya para los grados 1 y 2. Para grados mayo-

res o iguales que 3, las herramientas necesarias sobre pasan las propiedades de los

números reales estudiadas en este curso. Como se ha mencionado en otras partes,

el Cálculo y el Análisis son las herramientas adecuadas para dar cuenta de ellas.

Por ejemplo, el recorrido de la función

f : R −→ R

x 7−→ x3 − 6x2+ 11x − 6

es R. Para probar esto, suponemos que y ∈ R y debemos demostrar que existe

x ∈ R tal que

y = x3 − 6x2+ 11x − 6;

es decir, debemos resolver esta ecuación cúbica. Hay una fórmula general, denomi-

nada Cardano–Tartaglia. Su deducción no es difícil, pero deberíamos hacerla.

Sin embargo, con el concepto de continuidad de funciones, hay un teorema,

denominado valor intermedio para la continuidad, que nos asegura que el recorrido de

f es R, y el único requisito que nos pide es que probemos que f es continua, lo que

se deriva de dos hechos generales: la suma y el producto de funciones continuas son

también funciones continuas; y de dos hechos particulares: las funciones identidad

y constante son continuas.

Para el caso de la monotonía de f , el problema también es difícil: si x < y, para

qué conjuntos en los que estén x y y, podremos garantizar

x3 − 6x2+ 11x − 6 < y3 − 6y2

+ 11y − 6

o

x3 − 6x2+ 11x − 6 > y3 − 6y2

+ 11y − 6.

El Cálculo nos da una herramienta simple: en el conjunto en el que la derivada

de una función es positiva, esta es creciente estrictamente; y en el que conjunto en

que la derivada es negativa, la función es decreciente estrictamente.

Buenas noticias: el cálculo de la derivada de un polinomio es muy sencillo. Pro-

bablemente la mayoría de las lectoras y de los lectores lo sabrán: para todo x ∈ R,

se tiene que

f ′(x) = 3x2 − 12x + 11.

Y, puesto que, con la ayuda de nuestro imprescindible método de “completación

del cuadrado”, tenemos

f ′(x) = 3(x − 2)2 − 1,

de donde, deducimos que:

f ′(x) > 0 ≡ 3(x − 2)2 − 1 > 0

≡ |x − 2| > 1√3

≡ x ∈Å

−∞, 2 − 1√3

ã

∪Å

2 +1√3

, +∞

ã

.

Así, f es creciente estrictamente en

Å

−∞, 2 − 1√3

ã

∪Å

2 +1√3

, +∞

ã

y es decreciente estrictamente en

ï

2 − 1√3

, 2 +1√3

ò

.

La importancia de los polinomios radica en el hecho de que son funciones “bas-

tante simples” cuyas propiedades son fáciles de establecer con los métodos del

Cálculo y el Análisis, y la determinación de las imágenes de los elementos del do-

minio respecto de estas funciones se limitan a realizar sumas y multiplicaciones.

Estas características, además, son tales que toda función importante es el “límite”

de una sucesión de polinomios y, así, el cálculo de las imágenes de dichas funciones

se limitan a cálculos con las funciones polinomiales.

Por ejemplo, para cada x 6= 1, tenemos que

11 − x

≈ 1 + x + x2+ · · ·+ xn

para cada número natural n, siempre que x sea un número real “cercano” a 0.


Otro ejemplo: para cada número real x, “cercano” a 0, tenemos que

ex ≈ 1 + x +x2

2+

x3

6+ · · ·+ xn

n(n − 1) · · · 2

para cada n ∈ N.

En ambos casos, mientras más grande se n, la “aproximación” es también ma-

yor.

Para cerrar esta sección, definamos las funciones racionales. Es bastante simple:

una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales. Igual que para

estas últimas, las herramientas adecuadas para su estudio están en el ámbito del

Cálculo y el Análisis, por lo que no diremos nada más. En ejemplos anteriores, ya

nos hemos encontrado con estas funciones:

f : R − {2} −→ R

x 7−→ x + 2x − 2

,

g : R −→ R

x 7−→ 11 + x2 ,

h : R − {−1, 1} −→ R

x 7−→ x1 − x2 .

1.7 Gráfico de una función real y su dibujo

Sean A y B dos subconjuntos de R y f : A −→ B. Entonces, por F1, tenemos que

f ⊆ A × B.

Es decir, f es un conjunto de pares ordenados de números reales. Por tanto, cada

elemento de f puede ser representado por un punto en un sistema de coordenadas

para un plano.

Al conjunto de puntos en un sistema de coordenadas para un plano que repre-

sentan los elementos de f llamaremos el gráfico de f . Por abuso de lenguaje, el

dibujo de este gráfico (o, lo que es lo mismo, de la representación de f ) se le llama

gráfica o gráfico de f . Y, si bien, el mencionado dibujo es útil porque puede sis-

tematizar mucha información de las propiedades de la función (por ejemplo, nos

muestra los conjuntos en los que es creciente, decreciente; si es inyectiva, etcétera),

este no es esencial al concepto de función.

En efecto, al menos son dos las razones para ello. La primera: el dibujo no es

único. Dicho de otro modo, podemos realizar muchos dibujos de una misma fun-

ción, según el sistema de coordenadas que elijamos. De hecho, podemos elegir un

sistema donde los ejes de coordenadas no sean perpendiculares. Luego, lo que el

dibujo muestre dependerá del sistema en cuestión. La segunda razón: para obtener

el dibujo, debemos determinar las propiedades que tiene la función, lo que signifi-

ca que el dibujo “va después” de conocer la función y no antes. Por supuesto, una

vez que tenemos un dibujo, este contendrá mucha información sobre la función.

Lo importante en todo esto es comprender los conceptos sobre las funciones, sean

que los obtenemos por medio de deducciones a partir de los axiomas y teoremas


de los números reales, conjuntos, con ayuda de las definiciones dadas, sea que pro-

viene de un dibujo del gráfico de la función. Finalmente, de la misma manera que

tenemos “calculadoras” para realizar las operaciones con números reales, también

disponemos de “calculadoras” que nos ofrecen un dibujo del gráfico de una fun-

ción. Luego, un problema real en Matemática es conocer los conceptos relacionados

con las funciones de manera que los modelos que se realicen sobre un problema o

un fenómeno en particular nos ayudan a resolverlo o entenderlo, respectivamen-

te. El rol de los dibujos simplemente serán herramientas adicionales que podrían

permitir la solución o la comprensión de los problemas.

En esta sección, no vamos a aprender a realizar el dibujo del gráfico de una

función. Tampoco vamos a proceder en la manera cómo “dibuja” una calculadora

(dibuja un conjunto grande de puntos); es decir, no vamos a dibujar muchos puntos

y luego unirlos con líneas. De lo que nos vamos a ocupar es reconocer los dibujos

de ciertas clases de funciones como las lineales, afines, cuadráticas, y otras más.

Todos esos dibujos han sido obtenidos por un conocimiento profundo de esas fun-

ciones junto con herramientas que nos las provee fundamentalmente el Cálculo y

el Análisis.

1.7.1 Dibujos de funciones lineales y afines

Sean m ∈ R y b ∈ R tales que m 6= 0, y

λ : R −→ R

x 7−→ mx + b.

Si b = 0, λ es una función lineal. El gráfico de λ es el conjunto de puntos (geomé-

tricos) que representan al conjunto λ:

λ = {(x, y) : x ∈ R ∧ y = mx + b}.

En la Geometría, se deduce que todos los puntos que representan los elementos

de λ son todos los puntos de una recta. Por otra parte, el primer axioma sobre rectas

y puntos en Geometría, establece la existencia de una única recta que pasa por

dos puntos dados. Por ello, para dibujar la recta que representa a λ, es suficiente

encontrar dos puntos por los que pase dicha recta.

En Geometría, se deduce también que, en un sistema de coordenadas cartesianas

(es decir, un sistema con ejes de coordenadas perpendiculares), la recta que repre-

senta a λ pasa por el punto cuyas coordenadas son

(0, b).

Para determinar otro punto, se utiliza la ley de asignación de λ y así se determina


el punto cuya ordenada sea 0; luego, dado que

0 = mx + b ≡ x = − bm

,

la recta que representa λ pasará también por el punto cuyas coordenadas son

Å

− bm

, 0ã

.

Cuando b = 0, los “dos” puntos anteriores son, en realidad, uno mismo. En

ese caso, simplemente, obtenemos las coordenadas de un segundo tomando un

número cualesquiera como abscisa y calculando la correspondiente ordenada con

la ley de asignación de λ.

Así, una vez obtenidos los dos puntos, el dibujo es, simplemente, la recta que

pasa por dichos puntos.

Como siempre advertimos, más importante que memorizar fórmulas es com-

prender los conceptos y sus procedimientos, de modo que, en una situación con-

creta, se los aplique. Por supuesto, nunca hace daño recordar fórmulas.

Ejemplos: Dibujos de funciones lineales y afines

1. El dibujo del gráfico de la función afín

λ : R −→ R

x 7−→ 2x − 1

es una recta que pasa por el punto cuyas coordenadas son

(0,−1).

Para encontrar otro punto, encontramos la abscisa de uno cuya ordenada es 0;es decir, encontramos x tal que

2x − 1 = 0.

Luego, x =12

y, por tanto, la recta que representa λ pasa también por el puntocuyas coordenadas son

Å

12

, 0ã

.

En resumen, el dibujo se ve así:


Este dibujo ilustra una propiedad de λ que ya dedujimos previamente: es cre-ciente estrictamente ya que el m correspondiente, en este caso, 2, es mayor que 0.En este mismo dibujo podemos ilustrar esta propiedad de la siguiente manera:

Como se puede observar, si x1 < x2, entonces λ(x1) < λ(x2).

2. El dibujo del gráfico de la función lineal

α : R −→ R

x 7−→ −2x

es una recta que pasa por el punto cuyas coordenadas son

(0, 0);

es decir, pasa por el origen de coordenadas. Para hallar otro punto, obtengamos laordenada del punto cuya abscisa es 1:

−2(1) = −2;

luego, la recta que representa a α también pasa por el punto de coordenadas

(1, −2).

El dibujo de la mencionada recta es el siguiente:

1.7.2 Dibujos de funciones cuadráticas

Sean a, b y c números reales tales que a 6= 0, y la función cuadrática

κ : R −→ R

x 7−→ ax2+ bx + c.

El gráfico de κ es el conjunto de puntos (geométricos) que representan, en un siste-

ma de coordenadas cartesianas, al conjunto κ:

κ = {(x, y) : x ∈ R ∧ y = ax2+ bx + c}.

En la Geometría, la figura geométrica cuyos puntos representan κ se denomina


parábola. A partir de a, b y c, y de la ecuación de segundo grado

ax2+ bx + c = 0,

se puede esbozar esta parábola. A través de los ejemplos, presentaremos algunas

de las reglas para obtener el dibujo. La validez de estas se obtiene en la Geometría.

Ejemplos: Dibujos de funciones cuadráticas

1. El dibujo de la parábola que representan el gráfico de la función cuadrática

κ : R −→ R

x 7−→ 2x2 − x − 2

es una parábola que pasa por los siguientes puntos:

Ç

1 +√

174

, 0

å

,

Ç

1 +√

174

, 0

å

, (0,−2) yÅ

14

, −178

ã

.

El dibujo de la parábola correspondiente es:

Según la forma general de la función cuadrática, en este caso,

a = 2, b = −1 y c = −2.

Los dos primeros puntos tienen como abscisas las dos raíces de la ecuación desegundo grado

2x2 − 2x + 2 = 0,

como se puede verificar fácilmente. Estos puntos representan la intersección de laparábola con el eje de las abscisas.


El tercer punto, tiene como abscisa 0 y como ordenada −2; es decir, c. Estepunto representa la intersección de la parábola con el eje de las ordenadas.

Finalmente, el cuarto punto tiene como abscisa el número obtenido mediantela fórmula

− b2a

.

En este caso, ese número es

− −12(2)

=14

.

Y la ordenada del punto es la imagen de la abscisa respecto de la κ:

κ

Å

− b2a

ã

.

En este caso, ese número es

κ

Å

14

ã

=

Å

14

ã2− 1

4− 2 = −17

8.

Este punto se denomina vértice de la parábola y, como se puede ver, es el punto deordenada mínima.

Hay una relación entre el número a y el vértice. Si a > 0, el vértice es el punto deordenada mínima. Si a < 0, el vértice es el punto de ordenada máxima. En el casoque nos ocupa, se dice que la parábola “abre sus ramas hacia arriba”. En términosmás técnicos, la parábola es una figura “convexa”.

Una pregunta que, sin lugar a dudas, ha surgido es: ¿y si la ecuación de segun-do grado no tiene soluciones reales? La respuesta es: la parábola correspondienteno se interseca con el eje de las abscisas. En los próximos ejemplos, ilustraremostodas las posibilidades.

2. Dibujemos la parábola que representa al gráfico de la función cuadrática

ϕ : R −→ R

x 7−→ 2x2 − x + 1.

En este caso,a = 2, b = −1 y c = 1,

y la ecuación de segundo grado correspondiente es:

2x2 − x + 1 = 0.

Su discriminante es∆ = (−1)2 − 4(2)(1) = −7 < 0.

Por tanto, la ecuación no tiene soluciones reales. Pero, dedujimos en el estudio delas ecuaciones de segundo grado que, en este caso, dado que a > 0 (2 en este caso),para todo número real x, la proposición

2x2 − x + 1 > 0.

Luego, la parábola correspondiente “está sobre el eje de las abscisas”.

El criterio del vértice es independiente de si la parábola corta o no el eje de lasabscisas. Por ello, el vértice, en este caso, tiene las coordenadas

− −12(2)

=14

y ϕ

Å

14

ã

=

Å

14

ã2− 1

4+ 1 =

78

.

Finalmente, la intersección de la parábola con el eje de las ordenadas es el puntocuyas coordenadas son

(0, 1),

porque c = 1.

En resumen, el dibujo del gráfico de ϕ luce así:

3. Dibujemos la parábola que representa el gráfico de la función cuadrática

ψ : R −→ R

x 7−→ −x2+ x + 5.

En este caso,a = −1, b = 1 y c = 5.

Por tanto, dado que a < 0, el vértice de la parábola es el punto de la parábola conla ordenada máxima; esta y la abscisa se obtienen de modo similar a los vértices delas parábolas de los ejemplos anteriores. La abscisa:

− b2a

= − 12(−1)

=12

y la ordenada:

ψ

Å

12

ã

= −14+

14+ 5 =

214

.

Así, las coordenadas del vértice de la parábola son:

Å

12

,214

ã

.

Dado que c = 5, la parábola pasa por el punto cuyas coordenadas son:

(0, 5).

Finalmente, dado que el discriminante de la ecuación

−x2+ x + 5 = 0

es∆ = 1 + 20 = 21 > 0,

esta ecuación tiene dos raíces reales, y son:

1 −√

212

y1 +

√21

2.

Luego, la parábola también pasa por los puntos

Ç

1 −√

212

, 0

å

y

Ç

1 +√

212

, 0

å

,

puntos de intersección de la parábola con el eje de las abscisas.

Con toda esta información, el esbozo de la parábola que representa a la funcióncuadrática ψ es:

En este caso, se suele decir que la parábola “abre sus ramas hacia abajo”. Técnica-mente, la parábola es una figura geométrica cóncava.


µ : R −→ R

x 7−→ −2x2 − 5x − 4.

En este caso, tenemos:

a = −2, b = −5 y c = −4.

Si realizamos cálculos similares a los ejemplos anteriores, llegamos a las si-guientes conclusiones. La parábola que representa a µ:

(a) No interseca el eje de las abscisas porque el discriminante de la ecuación−2x2 − 5x − 4 = 0 es −7 (es negativo).

(b) Tiene el vértice cuyas coordenadas son

Å

−54

, −78

ã

.

(c) Es cóncava ya que a < 0.

(d) Pasa por el punto de coordenadas (0,−4) ya que c = −4.

Con esta información, un esbozo del dibujo de la parábola en cuestión es elsiguiente:


α : R −→ R

x 7−→ 3x2.

En este caso, la ecuación3x2

= 0

tiene una sola solución y, por tanto, la parábola interseca el eje horizontal en unsolo punto, cuyas coordenadas son

(0, 0),

ya que 0 es la solución de la ecuación mencionada.

Ahora bien, dado que b = 0, las coordenadas del vértice son también (0, 0), ycomo a = 3 > 0, esta parábola es convexa. Finalmente, c = 0 y por tanto, la inter-sección de la parábola y el eje de ordenadas es también el origen de coordenadas.

Con la información anterior, tenemos el esbozo siguiente de la parábola querepresenta la función α:

6. Con el mismo procedimiento utilizado en los ejemplos anteriores, la parábola


representa el dibujo del gráfico de la función cuadrática

β : R −→ R

x 7−→ x2+ 6x + 9.

1.8 Del dibujo a la función

Aparte de los dibujos de los gráficos de las funciones anteriores, y de otras que

vamos a mostrar en los ejemplos, como se dijo anteriormente, realizar estos dibujos

no tienen una importancia por sí misma. Más bien, cuando se dispone de un dibujo,

este nos puede informar sobre las propiedades de la función. En lo que resta de esta

sección, tomaremos el dibujo del gráfico de una función (en la mayoría de los casos,

obtenido a través de una calculadora) y deduciremos información sobre esta.

Ejemplos: Dibujos del gráfico de una función

1. El gráfico de la función valor absoluto es

En efecto, realizarlo no es muy difícil, porque para cada x ∈ R, tenemos que

|x| =

x si x > 0,

−x si x < 0.

Por tanto, podemos obtener el correspondiente dibujo al observar que esta fun-ción es la unión de las restricciones de las funciones lineales a (−∞, 0) y [0,+∞),respectivamente:

λ|(−,∞,0) y µ|[0,+∞),

dondeλ : R −→ R

x 7−→ −xy

µ : R −→ R

x 7−→ x.

Y, puesto que los dibujos de los gráficos de λ y µ son:

los dibujos de los gráficos de las restricciones son:

Y así obtenemos la gráfica de la función valor absoluto.

2. El dibujo del gráfico de la función signo es muy fácil de obtener: es la unión de lasfunciones

K((−∞, 0))−1 K({0})0 y K((0,+∞))1.

Por tanto, el dibujo del gráfico de cada uno de estas funciones es:


y, por tanto, el dibujo del gráfico de la función signo es:

3. Ahora dibujemos el gráfico de la función parte entera. Para cada n ∈ Z, la res-tricción de esta función al intervalo [n, n + 1) es la constante Kn. Por tanto, en elintervalo

[0, 1),

el dibujo corresponde a la constante 0; en el intervalo

[−1, 0),

a la constante −1; en el intervalo[3, 4)

a la constante 3; etcétera. Con este mente, el dibujo buscado se esbozaría así:


4. El siguiente dibujo es el gráfico de una función f cuyo dominio es el conjunto

R −ß

−13

™

:

Podemos colegir de este información sobre f . Por ejemplo, f es creciente estricta-mente en

Å

−∞, −13

ã

¿Por qué el extremo superior −13

? Porque este número no pertenece al dominio def y el dibujo “parece mostrarnos” que allí no está definida la función, precisamente.


También nos muestra que f es creciente estrictamente en

Å

13

, +∞

ã

.

Y, por supuesto, no permite colegir también que f no es monótona en su dominio.

Este dibujo también nos dice que

f (1) = 0

y que el único x ∈ dom f tal que

f (x) = 0

es, precisamente, 1 (salvo que algo cambie en la parte del plano que no está dibu-jada).

También podemos decir que

f (0) = −1

y quef (x) > 0

para todo x < −13

y todo x > 1. Y que

f (x) < 0

para todo x ∈Å

−13

, 1ã

.

Aunque no es necesario el dibujo, se ve que f no es ni par ni impar (porque eldominio no es simétrico, para empezar), pero también porque

f (−4) > f (4) y f (−4) > − f (4). f (1)

Por último, podemos ver que f es inyectiva, ya que si x y y están en el dominiode f tales que

x 6= y,

entoncesf (x) 6= f (y),

lo que se puede “visualizar” mediante rectas paralelas al eje de las abscisas:

¿Qué es lo que tenemos que visualizar? Lo siguiente: ninguna de esas rectasparalelas “corta” (interseca) en más de un punto al dibujo del gráfico de la funciónf .

¿Por qué lo anterior significa que f es inyectiva? Para responder la pregunta,razonemos por reducción al absurdo. Si f no fuera inyectiva, existirían x y y en sudominio tales que

x 6= y y f (x) = f (y).

Esto significa que los puntos cuyas coordenadas son

(

x, f (x))

y(

y, f (y))

son puntos distintos del dibujo del gráfico que representa f con la misma ordenada;luego, la recta que pase por estos dos puntos es paralela al eje de las abscisas y esosignificaría que esta recta paralela “corta” (interseca) en al menos dos puntos eldibujo del gráfico de la función:


Pero ninguna recta paralela interseca en más de un punto al dibujo del gráfico def ; entonces f es inyectiva.

5. El siguiente dibujo es del gráfico de una función g cuyo dominio es R:

Aunque no se dibujará la recta paralela al eje de las abscisas, se apreciaría fácil-mente que g no es inyectiva. El dibujo de esta recta lo hace más evidente, quizás.

Por otra parte, este dibujo sugiere que la función g es par, porque nos da laimpresión de que, aparte de que R es simétrico, se verifica

f (−x) = f (x)

para todo x ∈ R, algo difícil de asegurar ciento por ciento, dado que es un dibujoúnicamente, pues cualquier medida que hiciéramos, tendrá el carácter de aproxi-mada.

6. ¿Podría ser el siguiente el dibujo del gráfico de una función cuyo dominio sea elintervalo [0, 5]?


Pues, bien, la respuesta es no, pues si h fuera una función cuyo gráfico estárepresentado por el dibujo, es claro que hay más de un elemento x del dominio deh, para el cual existen números y, z, distintos, tales que

(x, z) ∈ h y (y, z) ∈ h;

luego, h no es una función de [0, 5] en R.

No requerimos nada más que el razonamiento anterior, para llegar a la con-clusión de que h no es una función. Sin embargo, “didácticamente”, se puede “vi-sualizar” el mismo razonamiento, al trazar al menos una recta paralela al eje delas ordenadas y constatar que el dibujo se intersecará con las rectas paralelas en almenos dos puntos:


Escuela Politecnica Nacional

Departamento de Formacion Basica

Curso de Fundamentos de Matematica

Ejercicios de Logica matematica

Catedra de Fundamentos de Matematica

Semestre 2021 - A

1 Ejercicios resueltos

Enunciados

1. Segun la sintaxis de la logica, indique cuales de los siguientes literales representan

proposiciones y cuales no. Ademas, explique el por que.

(a) W

(b) P ⇒ ¬R

(c) S ⇔ (¬T ∨Q)

(d) ¬(P ⇔ Q)¬R

(e) (P♠Q) ∧ P

(f) ⇒ (Q ∧ ¬R)

(g) S m ¬T

2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

(a) Q ∧ ¬Q

(b) P ⇔ R si el valor de verdad de P es v y de ¬R es v.

(c) Q⇒ (¬P ∨ R) si el valor de verdad de P es f.

3. Identifique las proposiciones mediante las que se expresa la siguiente proposicion:

Si f es un sistema de coordenadas para la recta l , entonces −f tambien esun sistema de coordenadas para l .

4. ¿Como se lee la siguiente la proposicion

(¬P ∧Q)⇒ P?

5. ¿Los siguientes signos representan una proposicion?

(A⇒ (¬P ∨ B)) ∧Q

6. Mostrar que la proposicion

1

Si a ≤ b y a ≥ b, entonces a = b

se puede representar simbolicamente en la Logica de proposiciones de al menos dos

formas distintas.

7. Demostrar que la validez de

(P ⇔ Q) ≡ ((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ P )).

8. Si

(P ⇒ Q) ≡ ¬(P ∧ ¬Q),

¿cual de las siguientes afirmaciones es correcta?

(a) La proposicion (P ⇒ Q) ≡ ¬(P ∧ ¬Q) es verdadera.

(b) Las proposiciones (P ⇒ Q) y ¬(P ∧ ¬Q) son iguales.

(c) Representa una proposicion y no una relacion

(d) Si el valor de verdad de la proposicion (P ⇒ Q) es verdadera, tambien la proposicion¬(P ∧ ¬Q) es verdadera.

9. Complete la siguiente tabla de verdad:

P Q ¬P Q⇒ ¬P (Q⇒ ¬P ) ∨ P

f f v v v

v v f

f v v v

v f f v

Justifique cada uno de los valores de verdad que coloque en la tabla.

10. Identifique los errores en la siguiente tabla

P Q Q⇔ P P ∧Q (Q⇔ P ) ∨ (P ∧Q)

f v f f v

v f f f v

v v f f v

f f v f f

11. ¿Los cuadrosQ P P ⇔ Q

f f v

f v f

v f f

v v v

y

Q P P ⇔ Q

f v f

v f f

v v v

f f v

son tablas de verdad de la proposicion P ⇔ Q?

12. Si la proposicion

(P ∧ (Q ∨ R))⇔ ((P ∧Q) ∨ (P ∧ R))

es una tautologıa, que se denomina propiedad distributiva de la conjuncion con

respecto a la disyuncion, ¿tambien lo es

(x2 > 0 ∧ x > 3) ∨ (x2 > 0 ∧ x < −3)⇔ x2 > 0 ∧ (x > 3 ∨ x < −3)?

EPN -FM- 2021A Logica matematica-Ejercicios 2 of 18


¬(x = 4 ∨ x = −2)

es verdadera, ¿podemos afirmar que la proposicion

¬(x = 4) ∧ ¬(x = −2)

tambien lo es?

14. Mediante la definicion de deduccion, demuestre que de la conjuncion de P y Q se

deduce P .

15. ¿La proposicion (P ∨Q)⇔ (Q ∨ P ) es una tautologıa?

16. En el estudio de los numeros reales podemos encontrar proposiciones como las siguien-

tes:

(x − 2)(x + 2) 6= 0,

y

x 6= 2 ∧ x 6= −2

¿Se puede decir que

(x − 2)(x + 2) 6= 0 ≡ x 6= 2 ∧ x 6= −2?

17. Demostrar la validez de

(P ∨Q) ≡ (¬P ⇒ Q).

18. Demostrar que la proposicion Q se deduce de (P ∨Q) y ¬P .

19. ¿Podrıamos sustituir esta proposicion Una funcion invertible no es inyectiva o una fun-

cion invertible no es sobreyectiva, por esta otra No es verdad que una funcion invertible

es inyectiva y sobreyectiva sin que el valor de verdad de la proposicion resultante luego

de la sustitucion cambie?

20. Si

x2 + x − 2 = 0 ≡ (x + 2)(x − 1) = 0

y

(x + 2)(x − 1) = 0 ≡ x = −2 ∨ x = 1,

¿se puede afirmar que

x2 + x − 2 = 0 ≡ x = −2 ∨ x = 1?

21. ¿Cual es la forma de la tautologıa Modus Ponens:

((P ⇒ Q) ∧ P )⇒ Q?

22. ¿Cual es la forma de la tautologıa Implicacion-disyuncion:

(P ⇒ Q)⇔ (¬P ∨Q)?

23. ¿Es verdadera la proposicion: Si a es un numero real, entonces, o bien a es igual a 0,

o bien es distinto de 0?

24. Se dice que las conectivas conjuncion y disyuncion son conmutativas porque las pro-

posiciones

(P ∧Q)⇔ (Q ∧ P ) y (P ∨Q)⇔ (Q ∨ P )

son tautologıas. ¿Se podrıa decir que la conectiva implicacion tambien es conmutativa?


Ejercicios con solucion

1. Segun la sintaxis de la logica, indique cuales de los siguientes literales representan

proposiciones y cuales no. Ademas, explique el por que.

(a) W

(b) P ⇒ ¬R

(c) S ⇔ (¬T ∨Q)

(d) ¬(P ⇔ Q)¬R

(e) (P♠Q) ∧ P

(f) ⇒ (Q ∧ ¬R)

(g) S m ¬T

Solucion. Observemos cada una de las expresiones propuestas:

(a) Para este caso, W sı representa una proposicion porque, por la regla 1, las letras mayusculas del

alfabeto espanol se utilizaran como signos para representar proposiciones.

(b) Por la regla 3 literal a, ¬R representa una proposicion, la negacion de R; luego como P repre-senta una proposicion por la regla 1, P ⇒ ¬R representa una proposicion por la regla 3 literal b.La proposicion estudiada es la implicacion de P y la negacion de R.

(c) S ⇔ (¬T ∨ Q) representa una proposicion. Como vimos, S, T y Q son proposiciones porregla 1. Ahora, ¬T es una proposicion por regla 3 literal a; luego (¬T ∨Q) es una proposicion.Finalmente, S ⇔ (¬T ∨Q), que se lee la doble implicacion de S y, la disyuncion de la negacionde T y Q, representa una proposicion por regla 3 literal b y regla 5.

Notese que la regla 5 es importante ya que sin parentesis habrıa la ambiguedad de que si la

proposicion fuese (S ⇔ ¬T ) ∨Q o S ⇔ (¬T ∨Q).

(d) Para este literal analizaremos dos posibles escenarios:

• Siendo ¬(P ⇔ Q) y ¬R proposiciones, la regla 3 literal b nos dice que las conectivasconjuncion, disyuncion, implicacion y doble implicacion se escriben entre proposiciones,

faltando una de estas conectivas entre ¬(P ⇔ Q) y ¬R. Por tanto, ¬(P ⇔ Q)¬R norepresenta una proposicion.

• Siendo ¬(P ⇔ Q) y R proposiciones, la regla 3 literal b nos dice que las conectivas con-juncion, disyuncion, implicacion y doble implicacion se escriben entre proposiciones, pero

no la conectiva negacion ¬, la cual se escribe solamente como prefijo de una proposicion.Por tanto, ¬(P ⇔ Q)¬R no representa una proposicion.

(e) (P♠Q) ∧ P no representa una proposicion porque ♠ no ha sido definida como una conectiva.

(f) No representa una proposicion porque la unica conectiva que se situa como prefijo de una

proposicion y no entre proposiciones es la negacion.

(g) S m ¬T no representa una proposicion debido a que m no ha sido definida como una conectiva.

2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

(a) Q ∧ ¬Q

(b) P ⇔ R si el valor de verdad de P es v y de ¬R es v.

(c) Q⇒ (¬P ∨ R) si el valor de verdad de P es f.

Solucion. (a) El valor de verdad de esta proposicion es siempre f, sin importar el valor de verdad de

la proposicion Q. Esto es debido a que si Q es v, por el axioma de la negacion, ¬Q es f, y si Qes f, ¬Q es v. Por lo tanto, por el axioma de la conjuncion, siempre Q ∧ ¬Q sera f.


(b) Como el valor de verdad de ¬R es v, por el axioma de la negacion, R es f. Luego por el axiomade la doble implicacion , como P y R tienen valores de verdad opuestos, la proposicion P ⇔ Res f.

(c) Si el valor de verdad de P es f, por el axioma de la negacion, ¬P es v. Luego, independientementedel valor de verdad de R, como ¬P es v se tiene que (¬P ∨ R) es v. Esto, por el axioma de ladisyuncion.

Ahora, como el consecuente es v, independientemente del valor de verdad del antecedente Q,

la proposicion Q⇒ (¬P ∨ R) es v, por el axioma de la implicacion.

3. Identifique las proposiciones mediante las que se expresa la siguiente proposicion:

Si f es un sistema de coordenadas para la recta l , entonces −f tambien esun sistema de coordenadas para l .

Solucion. La proposicion esta expresada mediante las proposiciones

i) f es un sistema de coordenadas para la recta l ; y

ii) −f tambien es un sistema de coordenadas para l

y las palabras si, entonces y la coma:

Si f es un sistema de coordenadas para la recta l , entonces −f tambien es un sistema decoordenadas para l .

En la teorıa de la logica que estamos estudiando, podemos expresar simbolicamente la proposicion

de este ejemplo de la siguiente manera.

Si P representa la proposicion

f es un sistema de coordenadas para la recta l ,

Q representa

−f tambien es un sistema de coordenadas para l ,

y las palabras si, entonces y la coma , se representan mediante la conectiva⇒, entonces la proposicion

Si f es un sistema de coordenadas para la recta l , entonces −f tambien es un sistema decoordenadas para l

se representa mediante P , Q y ⇒ ası:P ⇒ Q.

Atencion: frecuentemente, abreviaremos la oracion

“P representa la proposicion [Aquı el texto de la proposicion]”

de la siguiente manera:

“P : [Aquı el texto de la proposicion].”


(¬P ∧Q)⇒ P?

Respuesta. Se lee ası:

La implicacion de la conjuncion de la negacion de P y Q, y de P .


5. ¿Los siguientes signos representan una proposicion?

(A⇒ (¬P ∨ B)) ∧Q

Respuesta. (A⇒ (¬P ∨B))∧P representa una proposicion. Como vimos, A, P y B son proposicionespor regla 1 de la sintaxis de la logica. Ahora, ¬P es una proposicion por regla 3 literal a; luego porregla 3 literal b, ¬P ∨B es una proposicion; por esta misma regla y la regla 5, S ⇔ (¬T ∨Q) tambienes una proposicion. Finalmente, (A⇒ (¬P ∨ B)) ∧ P es una proposicion por regla 3 literal b y regla5, la cual se lee conjuncion de la implicacion de A y la disyuncion de la negacion de P y B, y Q.



se puede representar simbolicamente en la Logica de proposiciones de al menos dos

formas distintas.

Demostracion. En primer lugar, si

P : a ≤ b y a ≥ b; y

Q: a = b,

entonces la proposicion en cuestion es la implicacion de P y de Q:

P ⇒ Q.

Por otra parte, si

R: a ≤ b;

S: a ≥ b; y

Q: a = b,

la proposicion en cuestion es la implicacion de la conjuncion de P y R, y de Q:

(R ∧ S)⇒ Q.

Como se ve, la proposicion


se puede representar de la siguientes formas diferentes:

P ⇒ Q y (R ∧ S)⇒ Q.

En los dos casos, la representacion es una implicacion. La diferencia es que la segunda muestra,

ademas, que el antecedente de dicha implicacion es, a su vez, la conjuncion de dos proposiciones.

Luego, queda claro, que el antecedente de la primera representacion no es una proposicion simple;

de hecho, es la conjuncion de R y S, ambas proposiciones simples.

Este ejemplo pone de manifiesto que, salvo que se diga lo contrario, indicar que una proposicion

tiene la forma

P ⇒ Q

no significa que P o Q, o ambas, sean proposiciones simples.

7. Demostrar que la validez de

(P ⇔ Q) ≡ ((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ P )).


Demostracion. Para demostrar la validez de la equivalencia logica demostraremos que

(P ⇔ Q)⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ P )).

es una tautologıa, y una manera sencilla de hacerlo es elaborando una tabla de verdad de la proposicion.

La tabla de verdad de (P ⇔ Q)⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ P )) es:

P Q P ⇔ Q P ⇒ Q Q⇒ P (P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ P ) (P ⇔ Q)⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ P ))

v v v v v v v

v f f f v f v

f v f v f f v

f f v v v v v

ası, (P ⇔ Q) ⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )) es una tautologıa, puesto que su valor de verdad es

verdadero independientemente de los valores de verdad de las otras proposiciones. Por lo tanto,

P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ), y a esta equivalencia logica se la llamara Doble implicacion -implicacion.

8. Si

(P ⇒ Q) ≡ ¬(P ∧ ¬Q),


(a) La proposicion (P ⇒ Q) ≡ ¬(P ∧ ¬Q) es verdadera.

(b) Las proposiciones (P ⇒ Q) y ¬(P ∧ ¬Q) son iguales.

(c) Representa una proposicion y no una relacion

(d) Si el valor de verdad de la proposicion (P ⇒ Q) es verdadera, tambien la proposicion¬(P ∧ ¬Q) es verdadera.

Respuesta. La afirmacion correcta es la presentada en la opcion (d): Si el valor de verdad de la

proposicion (P ⇒ Q) es verdadera, tambien la proposicion ¬(P ∧ ¬Q) es verdadera, puesto que,(P ⇒ Q) ≡ ¬(P ∧¬Q es una relacion entre proposiciones que establece que (P ⇒ Q) es equivalentelogicamente a ¬(P ∧ ¬Q si ambas proposiciones tiene igual valor de verdad.

Las afirmacion presentada en la opcion (a) no es correcta, puesto que no representa una pro-

posicion, por lo que, resulta inconsistente decir que tiene un valor de verdad; la opcion (b) no es

correcta, puesto que las proposiciones en cuestion no son iguales, la una es una implicacion la otra es

la negacion de una conjuncion; (c) no es correcta, puesto que (P ⇒ Q) ≡ ¬(P ∧ ¬Q) no representauna proposicion sino una relacion.


P Q ¬P Q⇒ ¬P (Q⇒ ¬P ) ∨ P

f f v v v

v v f

f v v v

v f f v

Justifique cada uno de los valores de verdad que coloque en la tabla.

Solucion. El valor de verdad de la negacion de P es el opuesto del valor de verdad de P , en particular,

en la tercera fila de la tabla el valor de verdad de P es f, en consecuencia, el valor de verdad de ¬Pes v.

P Q ¬P Q⇒ ¬P (Q⇒ ¬P ) ∨ P

f f v v v

v v f

f v v v v

v f f v


En la segunda fila de la tabla los valores de verdad de Q y ¬P son respectivamente v y f, enconsecuencia, el valor de verdad de la proposicion Q⇒ ¬P es f por axioma de la implicacion.

P Q ¬P Q⇒ ¬P (Q⇒ ¬P ) ∨ P

f f v v v

v v f f

f v v v v

v f f v

Observemos que en esta fila los valores de verdad de P y Q⇒ ¬P son respectivamente v y f. Comoel valor de verdad de la disyuncion de dos proposiciones es f unicamente si el valor de verdad de ambas

es f. Entonces, el valor de verdad de (Q⇒ ¬P ) ∨ P es v.

Finalmente, en la cuarta fila el valor de verdad de (Q⇒ ¬P )∨P es v ya que los valores de verdadde (Q⇒ ¬P ) y P son ambos v.

P Q ¬P Q⇒ ¬P (Q⇒ ¬P ) ∨ P

f f v v v

v v f f v

f v v v v

v f f v v

La tabla completada es:

P Q ¬P Q⇒ ¬P (Q⇒ ¬P ) ∨ P

f f v v v

v v f f v

f v v v v

v f f v v

10. Identifique los errores en la siguiente tabla

P Q Q⇔ P P ∧Q (Q⇔ P ) ∨ (P ∧Q)

f v f f v

v f f f v

v v f f v

f f v f f

Solucion. En la tabla presentada existen 5 errores, a continuacion se presenta el detalle de cada uno:

E1: En la fila tres los valores de verdad de P y Q son ambos v, pero el valor de verdad de Q ⇔ Ppropuesto en la tabla es f, lo cual es incorrecto. ya que por el axioma de la doble implicacion si

ambas, P y Q, tienen el mismo valor de verdad la doble implicacion de P y de Q es v.

E2: En la misma fila tres el valor de verdad de P ∧Q propuesto es f, el cual es incorrecto ya que enesa fila los valores de verdad de P y Q son ambos v, y segun el axioma de la conjuncion este es

el unico caso en el cual el valor de verdad de la conjuncion de P y de Q es v.

E3: En la primera fila los valores de verdad de Q ⇔ P y P ∧Q son ambos f, en consecuencia, porel axioma de la disyuncion, el valor de verdad de la disyuncion de estas dos proposiciones es f y

no v como se propone en la tabla.

E4: En la segunda fila ocurre lo mismo que en E3.

E5: En la cuarta fila los valores de verdad de Q ⇔ P y P ∧ Q son v y f respectivamente, enconsecuencia, por el axioma de la disyuncion, el valor de verdad de la disyuncion de estas dos

proposiciones es v y no f como se propone en la tabla.


Finalmente, la tabla completa corregida es:

P Q Q⇔ P P ∧Q (Q⇔ P ) ∨ (P ∧Q)

f v f f f

v f f f f

v v v v v

f f v f v

11. ¿Los cuadrosQ P P ⇔ Q

f f v

f v f

v f f

v v v

y

Q P P ⇔ Q

f v f

v f f

v v v

f f v

son tablas de verdad de la proposicion P ⇔ Q?

Respuesta. Sı, a pesar de que las tablas no son iguales presentan la misma informacion. Es decir,

presentan todas las posibilidades para el valor de verdad de la proposicion P ⇔ Q segun los valoresde verdad de las proposiciones mediante las que se expresa.


(P ∧ (Q ∨ R))⇔ ((P ∧Q) ∨ (P ∧ R))

es una tautologıa, que se denomina propiedad distributiva de la conjuncion con

respecto a la disyuncion, ¿tambien lo es

(x2 > 0 ∧ x > 3) ∨ (x2 > 0 ∧ x < −3)⇔ x2 > 0 ∧ (x > 3 ∨ x < −3)?

Respuesta. Si P representa x2 > 0, Q representa x > 3 y R representa x < −3, la representacionsimbolica de la proposicion en cuestion es

((P ∧Q) ∨ (P ∧ R))⇔ (P ∧ (Q ∨ R))

y, como sabemos que

(P ∧ (Q ∨ R))⇔ ((P ∧Q) ∨ (P ∧ R))

es una tautologıa, lo que significa que las proposiciones

P ∧ (Q ∨ R) y (P ∧Q) ∨ (P ∧ R),

tienen el mismo valor de verdad por el axioma de la doble implicacion, luego,

(P ∧Q) ∨ (P ∧ R) y P ∧ (Q ∨ R)

tienen el mismo valor de verdad y, por tanto, tenemos que

(P ∧Q) ∨ (P ∧ R)⇔ P ∧ (Q ∨ R)

tambien es una tautologıa. Es decir,

(x2 > 0 ∧ x > 3) ∨ (x2 > 0 ∧ x < −3)⇔ x2 > 0 ∧ (x > 3 ∨ x < −3)

tambien es una tautologıa.


¬(x = 4 ∨ x = −2)

es verdadera, ¿podemos afirmar que la proposicion

¬(x = 4) ∧ ¬(x = −2)

tambien lo es?

Respuesta. Sı, sı es verdadera. En efecto, esto se explica por la Ley De Morgan para la negacion de

la disyuncion, la cual se expresa como:

La negacion de la disyuncion de dos proposiciones tiene el mismo valor de verdad que la

conjuncion de las negaciones de dichas proposiciones, y viceversa.

En este caso, las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad verdadero ya que la primera

proposicion es

la negacion de la disyuncion de x=4 y x=-2

y la segunda proposicion es

la conjuncion de las negaciones de x=4 y x=-2

lo cual cumple la forma de la Ley De Morgan para la negacion de la disyuncion.

Si representamos las proposiciones por P y Q respectivamente:

i) x=4 ;

ii) x=-2 ;

la proposicion

¬(x = 4 ∨ x = −2)

se puede simbolizar ası

¬(P ∨Q)

y, la proposicion

¬(x = 4) ∧ ¬(x = −2)

se simboliza

¬P ∧ ¬Q

de nuevo, por la Ley De Morgan de la disyuncion se conoce que

¬(P ∨Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q

lo cual afirma que las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad verdadero.

14. Mediante la definicion de deduccion, demuestre que de la conjuncion de P y Q sededuce P .

Demostracion. Por la definicion de deduccion verifiquemos que

(P ∧Q)⇒ P

representa una tautologıa. Para lo cual, se elaborara la tabla de verdad de la proposicion

P Q P ∧Q (P ∧Q)⇒ P

v v v v

v f f v

f v f v

f f f v


Atencion: Las siguientes locuciones son sinonimos de “P se deduce logicamente de la

conjuncion de P y Q”.

• De la conjuncion de P y Q se deduce logicamente P .

• La conjuncion de P y Q implica logicamente P .

• P se infiere de la conjuncion de P y Q.

• De la conjuncion de P y Q se infiere P .

15. ¿La proposicion (P ∨Q)⇔ (Q ∨ P ) es una tautologıa?

Una forma sencilla de contestar esta pregunta es elaborando una tabla de verdad de la

proposicion.P Q P ∨Q Q ∨ P (P ∨Q)⇔ (Q ∨ P )

v v v v v

v f v v v

f v v v v

f f f f v

Se observa que independientemente de los valores de verdad de P y Q, la proposicion es

verdadera. Por lo tanto, esta proposicion es una tautologıa y se la denomina propiedad con-

mutativa de la disyuncion.

Adicionalmente, por el axioma de la doble implicacion sabemos que la proposicion P ∨Qy la proposicion Q ∨ P tienen igual valor de verdad para los mismos valores de verdad de Py de Q.

Es decir, si la proposicion P ∨Q es verdadera tambien lo es la proposicion Q ∨ P .

Por ejemplo, la proposicion

El valor absoluto de un numero real es mayor o igual que cero

luego, por la propiedad conmutativa de la disyuncion, podemos afirmar que

El valor absoluto de un numero real es igual o mayor que cero

donde P representa la proposicion El valor absoluto de un numero real es mayor que cero y

Q representa El valor absoluto de un numero real es igual a cero.

16. En el estudio de los numeros reales podemos encontrar proposiciones como las siguien-

tes:

(x − 2)(x + 2) 6= 0,

y

x 6= 2 ∧ x 6= −2

¿Se puede decir que

(x − 2)(x + 2) 6= 0 ≡ x 6= 2 ∧ x 6= −2?

Solucion. Sı, en las notas de clase se vio que es valido que:

a.b = 0 ≡ a = 0 ∨ b = 0.

y tambien por la Ley De Morgan de la disyuncion es valido que

a 6= 0 ∧ b 6= 0 ≡ a.b 6= 0


Luego, (x −2)(x +2) = 0 es logicamente equivalente a x −2 = 0∨ x +2 = 0, y x −2 = 0∨ x +2 = 0es logicamente equivalente a x = 2 ∨ x = −2 por propiedades de los numeros reales. Si aplicamos laPropiedad Transitiva se tiene que:

(x − 2)(x + 2) = 0 ≡ x = 2 ∨ x = −2

Ahora, aplicando la Ley De Morgan para la negacion de la disyuncion a

¬(x = 2 ∨ x = −2).

tenemos la proposicion

x 6= 2 ∧ x 6= −2

Por tanto, la proposicion (x − 2)(x + 2) 6= 0 es equivalente logicamente a x 6= 2 ∧ x 6= −2, es decir:

(x − 2)(x + 2) 6= 0 ≡ x 6= 2 ∧ x 6= −2

17. Demostrar la validez de

(P ∨Q) ≡ (¬P ⇒ Q).

Demostracion. Una manera sencilla de demostrar la validez de (P ∨Q) ≡ (¬P ⇒ Q) es elaborandouna tabla de verdad de la proposicion.

(P ∨Q) ⇔ (¬P ⇒ Q).

P Q ¬P P ∨Q ¬P ⇒ Q (P ∨Q)⇔ (P ⇒ Q)

v v f v v v

v f f v v v

f v v v v v

f f v f f v

Se observa que (P ∨Q)⇔ (¬P ⇒ Q) es una tautologıa.

En conclusion,

(P ∨Q) ≡ (¬P ⇒ Q),

a esta equivalencia logica la llamaremos disyuncion-implicacion.

La proposicion en cuestion tambien cumple con la forma de la disyuncion -implicacion:

la doble implicacion de

i. la disyuncion de dos proposiciones; y

ii. la implicacion de la negacion de la primera proposicion y la segunda.

18. Demostrar que la proposicion Q se deduce de (P ∨Q) y ¬P .

Demostracion. Se puede demostrar que la proposicion

((P ∨Q) ∧ ¬P )⇒ Q

es una tautologıa.

Una manera sencilla de demostrar que es una tautologıa es a traves de la elaboracion de una tabla

de verdad de la proposicion.

P Q ¬P P ∨Q (P ∨Q) ∧ ¬P ((P ∨Q) ∧ ¬P )⇒ Q

v v f v f v

v f f v f v

f v v v v v

f f v f f v


Como se observa, la proposicion

((P ∨Q) ∧ ¬P )⇒ Q

es una tautologıa.

Luego, podemos escribir lo siguiente:

(a) Q se deduce de (P ∨Q) ∧ ¬P .

(b) Q se deduce de P ∨Q y de ¬P .

(c) De P ∨Q y de ¬P se deduce Q.

(d) P ∨Q, ¬P |= Q.

Por tanto, queda demostrado que

Q se ha deducido de la aplicacion de la Eliminacion de la disyuncion a (P ∨Q) y ¬P .

19. ¿Podrıamos sustituir esta proposicion Una funcion invertible no es inyectiva o una fun-cion invertible no es sobreyectiva, por esta otra No es verdad que una funcion invertiblees inyectiva y sobreyectiva sin que el valor de verdad de la proposicion resultante luegode la sustitucion cambie?

Respuesta. Sı, se puede sustituir la proposicion

Una funcion invertible no es inyectiva o una funcion invertible no es sobreyectiva,

por

No es verdad que una funcion invertible es inyectiva y sobreyectiva.

En efecto, si representamos la proposicion con P y Q respectivamente:

i) Una funcion invertible es inyectiva;

ii) Una funcion invertible es sobreyectiva;

entonces ¬P representa la proposicion Una funcion invertible no es inyectiva y ¬Q representa Unafuncion invertible no es sobreyectiva, la proposicion Una funcion invertible no es inyectiva o una funcion

invertible no es sobreyectiva se representa como

¬P ∨ ¬Q;

de esto, la proposicion No es verdad que una funcion invertible es inyectiva y sobreyectiva se representa

ası

¬(P ∧Q).

Ahora, esta sustitucion es posible, ya que cumple con la Ley de Morgan para la negacion de la

conjuncion que dice:

La disyuncion de la negacion de dos propociones tiene el mismo valor de verdad que la

negacion de la conjuncion de dichas proposiciones y viceversa

20. Si

x2 + x − 2 = 0 ≡ (x + 2)(x − 1) = 0

y

(x + 2)(x − 1) = 0 ≡ x = −2 ∨ x = 1,

¿se puede afirmar que

x2 + x − 2 = 0 ≡ x = −2 ∨ x = 1?


Respuesta. Sı, esto se puede explicar por la Propiedad transitiva de las equivalencias logicas, la cual

dice

Si una proposicion es equivalente logicamente a otra proposicion y esta segunda es equiva-

lente logicamente a una tercera proposicion, entonces la primera proposicion es equivalente

logicamente a la tercera.

En este caso, la proposicion

x2 + x − 2 = 0

es equivalente logicamente a

(x + 2)(x − 1) = 0

y la proposicion

(x + 2)(x − 1) = 0

es equivalente logicamente a

x = −2 ∨ x = 1

Ası por la propiedad transitiva de las equivalencias logicas podemos concluir que:

x2 + x − 2 = 0 ≡ x = 3 ∨ x = −2,

21. ¿Cual es la forma de la tautologıa Modus Ponens:

((P ⇒ Q) ∧ P )⇒ Q?

Solucion. Su “forma” es la implicacion de:

i. la conjuncion de la implicacion de dos proposiciones y el antecedente de esta implicacion; y

ii. el consecuente de la implicacion.

22. ¿Cual es la forma de la tautologıa Implicacion-disyuncion:

(P ⇒ Q)⇔ (¬P ∨Q)?

Solucion. Su “forma” es la doble implicacion de:

i. la implicacion de dos proposiciones; y

ii. la disyuncion de la negacion del antecedente y del consecuente.

23. ¿Es verdadera la proposicion: Si a es un numero real, entonces, o bien a es igual a 0,

o bien es distinto de 0?

Respuesta. Sı, esta proposicion es verdadera. En efecto, si representamos respectivamente con P y

Q las proposiciones:

i) a es un numero real ;

ii) a es igual a 0;


entonces ¬Q representa la proposicion a es distinto de 0, y la proposicion dada se representa ası:

P ⇒ (Q ∨ ¬Q).

Y el valor de verdad de esta implicacion es verdadero, independientemente del valor de verdad de P ,

porque su consecuente, la proposicion Q ∨ ¬Q, es una tautologıa (Principio del tercero excluido); esdecir, es siempre verdadera; y, como sabemos, una implicacion unicamente es falsa si su antecedente

es verdadero y su consecuente, falso; que no es el caso.

En resumen, la proposicion Si a es un numero real, entonces, o bien a es igual a 0, o bien es

distinto de 0 es siempre verdadera.

24. Se dice que las conectivas conjuncion y disyuncion son conmutativas porque las pro-

posiciones

(P ∧Q)⇔ (Q ∧ P ) y (P ∨Q)⇔ (Q ∨ P )

son tautologıas. ¿Se podrıa decir que la conectiva implicacion tambien es conmutativa?

Respuesta. No; no podemos decir que la conectiva implicacion es conmutativa.

En efecto, es facil ver que la proposicion

(P ⇒ Q)⇔ (Q⇒ P )

no es una tautologıa. Basta con que el valor de verdad de P sea v y el de Q, f. En este caso, por el

axioma de la implicacion, el valor de verdad de P ⇒ Q es f y el de Q⇒ P , v.

En otras palabras, los valores de verdad de las proposiciones

P ⇒ Q y Q⇒ P

no son, necesariamente, iguales para los mismos valores de verdad de P y de Q.

Debe estar claro que si P y Q tienen el mismo valor de verdad, entonces ambas implicaciones sı

tienen el mismo valor de verdad.

A la proposicion Q⇒ P se le conoce como la recıproca de la proposicion P ⇒ Q. Luego, comohemos visto, la recıproca de una implicacion no tiene, necesariamente el mismo valor de verdad que

la implicacion.

Veamos un par de ejemplos:

i. La proposicion

Si a 6= 0, entonces a · 0 = 0

es verdadera en la teorıa Numeros reales. Sin embargo, su recıproca

Si a · 0 = 0, entonces a 6= 0

es falsa en dicha teorıa.

ii. La proposicion

Si a es un numero real negativo, su inverso aditivo −a es positivo

es verdadera y tambien lo es su recıproca:

Si el inverso aditivo de a, −a, es positivo, entonces a es un numero negativo.


2 Ejercicios propuestos

1. Segun la sintaxis de la logica, indique si

(¬(P ⇔ Q) ∨ ¬(R ∧ P ))⇒ Q.

representan o no una proposicion. Ademas, explique el por que.

2. Analice el valor de verdad de

(P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q)

sabiendo que P es v y Q es f.

3. Identifique las proposiciones mediante las cuales se expresa la proposicion

Si t es un numero primo, t es igual a 2 o es impar.

4. Muestre que la siguiente proposicion se puede expresar mediante otras proposiciones en la

Logica de proposiciones. Represente simbolicamente esta proposicion bajo las reglas de sin-

taxis de la Logica:

En todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual

a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

5. Muestre que la siguiente proposicion se puede expresar mediante otras proposiciones en la

Logica de proposiciones. Represente simbolicamente esta proposicion bajo las reglas de sin-

taxis de la Logica:

Si un numero real es mayor que cero, entonces su inverso aditivo es menor que

cero y su cuadrado es mayor que cero.

6. Dada la proposicion

El cuadrado de un numero real distinto de 0 es mayor que 0,

identifique las proposiciones mediante las que se expresa.

7. Represente simbolicamente en la Logica de proposiciones la proposicion

Si a es un numero real distinto de 0, o bien a es positivo, o bien −a es positivo.

8. Represente simbolicamente en la Logica de proposiciones la proposicion

El producto de los numeros reales a y b es distinto de 0 si y solo si a y b son

diferentes de 0

9. Represente simbolicamente la proposicion

Si a 6= 0, b 6= 0 y a = b, entonces1

a=1

b

mediante las proposiciones simples a traves de las que se expresa.


¬Q⇔ (P ∨ R)?

11. ¿Representa la expresion

(P ∧ (R⇒ S) ∨Q)⇔ ¬P

una proposicion?


Si ǫ > 0, entonces |a| > ǫ si y solo si a < −ǫ o a > ǫ

se puede representar simbolicamente en la Logica de proposiciones de al menos dos formas

distintas e indique la diferencia entre estas.

13. Demostrar que la siguiente proposicion es una tautologıa

(P ⇒ (Q⇒ R))⇒ ((P ⇒ Q)⇒ (P ⇒ R)).

14. Si

La negacion de la conjuncion de las proposiciones P y Q es equivalente logicamente

a la implicacion de las proposiciones P y ¬Q


(a) La proposicion ¬(P ∧Q) ≡ (P ⇒ ¬Q) es una tautologıa.

(b) Se tiene que: ¬(P ∧Q) = (P ⇒ ¬Q).

(c) Corresponde a la lectura de la proposicion ¬(P ∧Q) ≡ (P ⇒ ¬Q)

(d) Corresponde a la lectura de la proposicion P ∨Q ≡ P ⇒ ¬Q


P Q Q⇒ P ¬(Q⇒ P ) P ∨Q ¬(Q⇒ P )⇔ (P ∨Q)

f v v v v

v f v v

v v v f

f f v f f v

y justifique cada uno de los valores de verdad que ubique en la tabla.

16. Identifique los errores en la siguiente tabla de verdad

P Q ¬Q Q ∧ P P ⇒ ¬Q (P ⇒ ¬Q) ∧ (Q ∧ P )

v f v f v f

v v f f f f

f v v v f f

f f v f v v

17. ¿Los cuadros

P Q P ∨Q (P ∨Q)⇒ Q

v v v v

v f v f

f v v v

f f f v

y

Q P P ∨Q (P ∨Q)⇒ Q

f v v f

v f v v

v f v v

f v v f

son tablas de verdad de la proposicion (P ∨Q)⇒ Q?


(P ∨ (Q ∧ R))⇔ ((P ∨Q) ∧ (P ∨ R))

es una tautologıa, que se denomina propiedad distributiva de la disyuncion con respecto a la

conjuncion, las proposiciones

(|x | = −1 ∨ x > 3) ∧ (|x | = −1 ∨ x < 10) y |x | = −1 ∨ (x > 3 ∧ x < 10)

son equivalentes logicamente?


¬(x > −1 ∨ x = 1)

es verdadera, por la Ley De Morgan de la disyuncion, ¿podemos afirmar que la proposicion

¬(x > −1) ∧ ¬(x = 1)

tambien es verdadera?

20. Mediante la definicion de deduccion, demuestre que de la conjuncion de P y Q se deduce Q.

21. ¿Podrıamos sustituir esta proposicion La clase universal no es conjunto o la clase vacıo no es

conjunto por esta otra No es verdad que las clases universal y vacıo son conjuntos sin que el

valor de verdad de la proposicion resultante luego de la sustitucion cambie?

22. Si

x2 − x − 6 = 0 ≡ (x − 3)(x + 2) = 0

y

(x − 3)(x + 2) = 0 ≡ x = 3 ∨ x = −2

¿Entonces podemos decir que

x2 − x − 6 = 0 ≡ x = 3 ∨ x = −2?

23. ¿Cual es la forma de la tautologıa Modus Tollens:

((P ⇒ Q) ∧ ¬Q)⇒ ¬P?

24. ¿Cual es la forma de la tautologıa Negacion de la implicacion:

¬(P ⇒ Q)⇔ (P ∧ ¬Q)?

25. En la teorıa de los numeros reales, se sabe que es verdadera la proposicion

Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.

¿Es verdadera la proposicion: Si a 6= 0 y b 6= 0, entonces ab 6= 0?

26. ¿Se puede decir que la conectiva doble implicacion es conmutativa?

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Fundamentos de MatematicaNUMEROS REALES


28 de mayo de 2021

Curso virtual Fundamentos de Matematica (EPN) Numeros Reales 28 de mayo de 2021 1 / 52

Sumario

1 Axioma Fundamental Reales

2 Lenguaje y Sintaxis

3 Propiedades de la igualdad

4 Axiomas de cuerpoReglas de precedencia de las operacionesTeoremas de CuerpoResta y DivisionMas Teoremas de Cuerpo

5 Axiomas de OrdenTeoremas de Orden

6 Axioma de completitudRaız cuadrada

7 Los Numeros RealesLos Numeros NaturalesLos Numeros EnterosLos Numeros RacionalesLos Numeros IrracionalesOtros Teoremas de los Reales

8 Induccion Matematica


Sumario

Teorema de InduccionTeorema de recursion finitaTeorema de induccion matematica general


Axioma Fundamental Reales

Numeros Reales

� Axioma: Axioma Fundamental

Existe un conjunto denominado conjunto de los numeros reales y re-presentado por R. A cada elemento de este conjunto se le denominanumero real.


Lenguaje y Sintaxis

Lenguaje y Sintaxis

1. Letras minusculas del alfabeto espanol:

a, b, c, . . . , x, y, z

para representar numeros reales.

2. El signo+

representara el concepto operacion suma. La sintaxis es:

a + b.

3. El signo⋅

representara el concepto operacion producto. La sintaxis es:

a ⋅ b.

4. Las proposiciones de la teorıa Numeros Reales se definen recursivamenteası:


Lenguaje y Sintaxis

Lenguaje y Sintaxis

I. Todas las proposiciones de la teorıa Conjuntos son proposiciones de lateorıa Numeros Reales.

II. a ∈ R es una proposicion.III. Si A y B representan proposiciones de la teorıa Numeros Reales,

¬A , A ∧B, A ∨B, A ⇒ B y A ⇔B,

tambien representan proposiciones de esta teorıa.IV. Una proposicion de la teorıa Numeros Reales se obtiene unicamente

por la aplicacion de las tres reglas anteriores.


Propiedades de la igualdad

Propiedades de la igualdad

� Teorema: Propiedades de la igualdad de numeros reales

Dados los numeros reales a, b y c, se deducen:

1. Reflexiva: a = a.

2. Simetrica: si a = b, entonces b = a.

3. Transitiva: si a = b y b = c, entonces a = c.4. Sustitucion: si A representa una proposicion, entonces se tiene que

a = b⇒ (A (a) ⇔ A (b)),donde A (b) se obtiene a partir de A (a) al sustituir algunas (no ne-cesariamente todas) de las apariciones del numero real a en A porel numero real b.


Axiomas de cuerpo

Axiomas de cuerpo

� Axioma: Clausuras de la suma y el producto

Si a ∈ R y b ∈ R, entonces

a + b ∈ R y a ⋅ b ∈ R.

� Axioma: Conmutativas de la suma y el producto

Si a ∈ R y b ∈ R, entonces

a + b = b + a y a ⋅ b = b ⋅ a.

� Axioma: Asociativas de la suma y el producto

Si a ∈ R, b ∈ R y c ∈ R, entonces

a + (b + c) = (a + b) + c y a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c.


Axiomas de cuerpo

Axiomas de cuerpo

� Axioma: Distributiva del producto respecto de la suma

Si a ∈ R, b ∈ R y c ∈ R, entonces

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

� Axioma: Existencia y unicidad del elemento neutro de la suma

Existe un unico numero real, denominado cero y representado por 0, talque para todo numero real a, se tiene

a + 0 = a.Que 0 sea unico significa que si para todo numero real a, se tiene que

a + b = a,entonces b = 0.


Axiomas de cuerpo

Axiomas de cuerpo

� Axioma: Existencia y unicidad del elemento neutro del producto

Existe un unico numero real, denominado uno y representado por 1, talque

1 ≠ 0y para todo numero real a, se tiene

a ⋅ 1 = a.Que 1 sea unico significa que si para todo real a, distinto de 0, se tieneque

a ⋅ b = a,entonces b = 1.


Axiomas de cuerpo

Axiomas de cuerpo

� Axioma: Existencia y unicidad del inverso aditivo

Para todo numero real a, existe un unico numero real, denominado in-verso aditivo de a y representado por −a, tal que

a + (−a) = 0.La unicidad del inverso aditivo de a significa que si b ∈ R tal que

a + b = 0,entonces b = −a necesariamente.


Axiomas de cuerpo

Axiomas de cuerpo

� Axioma: Existencia del inverso multiplicativo

Para todo numero real a distinto de 0, existe un unico numero real, deno-minado inverso multiplicativo de a y representado por a

−1, tal que

a ⋅ a−1 = 1.

Es decir, la proposiciona ≠ 0 ⇒ a ⋅ a

−1 = 1es verdadera. La unicidad de a

−1significa que si a ≠ 0 y

a ⋅ b = 1,entonces b = a−1 necesariamente.


Axiomas de cuerpo Reglas de precedencia de las operaciones

Reglas de precedencia

1. Los productos se realizaran antes que las sumas; es decir, el producto tienemayor precedencia que la suma.

2. La aplicacion de parentesis se realizara desde la izquierda; es decir, lasoperaciones que estan “mas a la izquierda” tienen mayor precedencia.


Axiomas de cuerpo Teoremas de Cuerpo

Teoremas de Cuerpo

� Teorema: Inverso aditivo de 0

La proposicion−0 = 0

es verdadera.

� Teorema: Inverso multiplicativo de 1

La proposicion1−1 = 1

es verdadera.



Teoremas de Cuerpo

� Teorema: Propiedades aditiva y multiplicativa de la igualdad

Las proposiciones

a = b ⇒ c + a = c + b y a = b ⇒ c ⋅ a = c ⋅ bson verdaderas para todo numero real a, todo numero real b y todonumero real c.

� Teorema: Caracterizaciones del cero y uno

Sea b ∈ R.

1. Si existe a ∈ R tal que a + b = a, entonces b = 0.

2. Si existe a tal que a ≠ 0 y a ⋅ b = a, entonces b = 1.



Teoremas de Cuerpo

� Teorema: Multiplicacion por 0

La proposiciona ⋅ 0 = 0

es verdadera para todo numero real a.

� Teorema: Inverso multiplicativo distinto de 0

La proposiciona ≠ 0 ⇒ a

−1 ≠ 0es verdadera para todo numero real a.



Teoremas de Cuerpo

� Teorema: Propiedades cancelativas de la igualdad respecto de la suma y el

producto

Las proposiciones

1. a + c = b + c ⇒ a = b2. (c ≠ 0 ∧ a ⋅ c = b ⋅ c) ⇒ a = b

son verdaderas.


Axiomas de cuerpo Resta y Division

Resta y Division

� Definicion: Operacion resta

Si a ∈ R y b ∈ R, la resta de a y b, representada por a − b, es el numero real

a + (−b)(la suma de a y el inverso aditivo de b). Por tanto,

a − b = a + (−b).


Axiomas de cuerpo Resta y Division

Resta y Division

� Definicion: Operacion division

Sean a ∈ R y b ∈ R. Si b ≠ 0, la division de a por b, representada pora

b, es el

numero reala ⋅ b

−1

(el producto de a y el inverso multiplicativo de b). Por tanto,

a

b= a ⋅ b−1.


Axiomas de cuerpo Mas Teoremas de Cuerpo

Mas Teoremas

� Teorema:

Para todo numero real a, es verdadera la proposicion

−(−a) = a.

� Teorema: Ley de signos

La proposiciones

1. (−a) ⋅ b = −(a ⋅ b)2. a ⋅ (−b) = −(a ⋅ b)3. (−a) ⋅ (−b) = a ⋅ b

son verdaderas para todo numero real a y todo numero real b.


Axiomas de cuerpo Mas Teoremas de Cuerpo

Mas Teoremas

� Teorema: Multiplicacion por (−1)

La proposicion(−1) ⋅ a = −a

es verdadera.

� Teorema: Suma y producto de igualdades

1. Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d.

2. Si a = b y c = d, entonces a ⋅ c = b ⋅ d.


Axiomas de Orden

Axiomas de Orden

� Axioma: Clausuras de los numeros positivos

Existe un subconjunto de R, denominado conjunto de los numeros realespositivos y representado por R

+

, tal que para todo a ∈ R+ y todo b ∈ R+,se tiene

a + b ∈ R+ y a ⋅ b ∈ R+.


Axiomas de Orden

Axiomas de Orden

� Definicion: Relaciones mayor que y menor que

Dados los numeros reales a y b, diremos que a es mayor que b y escribire-mos a > b si es verdadera la proposicion

a − b ∈ R+;es decir, a > b si a − b ∈ R+.

Utilizaremos a ≯ b para representar la negacion de a > b.Diremos que a es menor que b y escribiremos a a; es decir,

a a.

El signo a ≮ b representara la negacion de a < b.

Axiomas de Orden

Numeros reales positivos y negativos

� Definicion: Numeros negativos

Dada la proposicion−x ∈ R+

existe un unico conjunto denominado el conjunto de los numeros realesnegativos, representado por R

−

, al conjunto de todos numeros reales x

tales que −x ∈ R+, es decir,

R− = {x ∶ −x ∈ R+}

Ası, es valida la siguiente equivalencia

z ∈ R− ≡ −z ∈ R+

� Teorema: Caracterizacion de numeros positivos y negativos

1. a ∈ R+ si y solo si a > 0.

2. a ∈ R− si y solo si a < 0.

Axiomas de Orden

Tricotomıa

� Axioma: Tricotomıa

Dados dos numeros reales a y b, una y solo una de las tres proposicioneses verdadera:

1. a = b.2. a > b.3. a < b.

Axiomas de Orden Teoremas de Orden

Teoremas de Orden

� Teorema: Transitiva del mayor que y menor que

Las siguientes proposiciones son verdaderas

1. Si a > b y b > c, entonces a > c.2. Si a 0 si y solo si a−1 > 0.

2. a < 0 si y solo si a−1 < 0.

3. a > b y b > 0 si y solo si a−1 > 0 y a

−1 < b−1.

4. a b−1.

Teoremas de Orden

� Teorema:

1. Si a ⋅ b > 0 y a > 0, entonces b > 0.

2. Si a ⋅ b > 0 y a < 0, entonces b < 0.

3. Si a ⋅ b > 0, entonces a > 0 y b > 0 o bien a < 0 y b < 0.

4. Si a ⋅ b < 0, entonces a > 0 y b < 0 o bien a < 0 y b > 0.

Mayor o igual y menor o igual

� Definicion: Mayor o igual, menor o igual

Dado los numeros reales a y b, se dice que a es mayor o igual que b, loque se representa por a ⩾ b, si la proposicion

a > b ∨ a = bes verdadera. Utilizaremos a ≱ b para representar la negacion de a ⩾ b.Se dice que a es menor o igual que b, lo que se representa por a ⩽ b, si laproposicion

a < b ∨ a = bes verdadera. El signo a ≰ b representa la negacion de a ⩽ b.

� Teorema: Mayor, menor, mayor o igual, menor o igual

Las proposiciones

1. si a > b, entonces a ⩾ b,2. si a < b, entonces a ⩽ b,3. si a = b, entonces a ⩾ b,4. si a = b, entonces a ⩽ b,5. a ⩾ b si y solo si b ⩽ a

son verdaderas.

� Teorema: Antisimetrıa de mayor o igual y menor o igual

Dados los numeros reales a y b, las proposiciones

1. a ⩽ b y b ⩽ a si y solo si a = b,2. a ⩾ b y b ⩾ a si y solo si a = b

son verdaderas.


� Teorema: Tricotomıa

Dados los numeros reales a y b, la proposicion

a ⩽ b o a ⩾ bes verdadera.


Axioma de completitud


� Definicion: Raız cuadrada

Dado el numero real a, si a ⩾ 0, el numero b ⩾ 0 tal que

a = b2se denomina raız cuadrada de a.




� Axioma: Axioma de completitud

Dado el numero real a, si a > 0, existe una unica raız cuadrada de a. Esdecir, existe un unico numero real b > 0 tal que

a = b2.El numero b (la raız cuadrada de a) se representa por

√a.

Ası, si a > 0, las siguientes proposiciones son verdaderas:

1.√a > 0.

2. a = (√a)2.




� Teorema: Raız cuadrada

Dados los numeros reales a y b, si a ⩾ 0 y b ⩾ 0, entonces

a = b2 si y solo si b = √a.


Los Numeros Reales Los Numeros Naturales

Los Numeros Naturales

� Definicion: Sucesor de un numero

Sea a un numero real el sucesor de a, es el numero real

a + 1.

� Definicion: Conjunto Sucesor

A subconjunto de R es un conjunto sucesor, si

1. 0 ∈ A2. a ∈ A⇒ a + 1 ∈ A, para numero real a.

El conjunto de los numeros naturales es el conjunto de todos los numeros realesque pertenecen a todos los conjuntos sucesores que existen.




� Teorema: N es un conjunto sucesor

El conjunto N es un conjunto sucesor; es decir:

1. 0 ∈ N.

2. Si x ∈ N, entonces x + 1 ∈ N para todo numero natural x.

� Teorema: Induccion matematica

Supongase que A (x) es una proposicion en la que aparece el numeronatural x. Si

1. A (0) es verdadera; y

2. si A (x) es verdadera, entonces A (x + 1) es verdadera para todonumero natural x;

entonces A (x) es una proposicion verdadera para todo numero naturalx.




� Teorema: Acotamientos de N

Las siguientes proposiciones son verdaderas:

1. Para todo numero natural x, se tiene x ⩾ 0.

2. Para todo x ∈ N tal que x ≠ 0, entonces

−x /∈ N.3. No existe un numero natural que sea mayor o igual que todos los

numeros naturales.


� Teorema: N no es denso

Las proposiciones siguientes son verdaderas:

1. Para todo numero natural x, no existe y ∈ N tal que

x < y y y < x + 1.

2. Si x ∈ N y z ∈ N tal quex < z,

entoncesx + 1 ⩽ z.

Los Numeros Reales Los Numeros Enteros

Los Numeros Enteros

El signo{−x ∶ x ∈ N}

indica que sit ∈ {−x ∶ x ∈ N},

entonces existe x ∈ N talquet = −x.

Recıprocamente, si t ∈ N, entonces

−t ∈ {−x ∶ x ∈ N}.El conjunto de los numeros enteros: es la union del conjunto de los numerosnaturales y el conjunto de los inversos aditivos de los numeros naturales. A esteconjunto se le representa por Z; es decir,

Z = N ∪ {−x ∶ x ∈ N}.


Los Numeros Reales Los Numeros Enteros

Los Numeros Enteros

� Teorema: Z es cerrado para el inverso aditivo

La proposicion

x ∈ Z si y solo si −x ∈ Zes verdadera para todo entero x.


Los Numeros Reales Los Numeros Racionales

Los Numeros Racionales

El conjunto de los numeros racionales es el conjunto de todas las divisionesentre numeros enteros. A este conjunto le representamos por Q. Ası, tenemos

Q = {xz∶ (x, z) ∈ Z × (Z − {0})} .

Sir ∈ Q,

significan que existen x ∈ Z y z ∈ Z − {0} (es decir z ≠ 0) tales que

r = x

z.

Recıprocamente, si a ∈ Z y b ∈ Z tal que b ≠ 0, entonces el numeroa

bes un

numero racional; es decir,a

b∈ Q.


Los Numeros Reales Los Numeros Racionales

Los Numeros Racionales

� Teorema: Q es cerrado para el inverso aditivo

La proposicion

x ∈ Q si y solo si −x ∈ Qes verdadera para todo numero racional x.

� Teorema: Q es cerrado para el inverso multiplicativo

La proposicion

si x ∈ Q y x ≠ 0, entonces x−1 ∈ Q.


Los Numeros Reales Los Numeros Irracionales

Los Numeros Irracionales

Si representamos con 2 al numero 1 + 1, dado que 1 > 0, por la clausura de losnumeros positivos tenemos que

1 + 1 > 0;es decir, 2 > 0. Luego, por el axioma de completitud, existe la raız cuadrada de2:√2; es decir, existe el numero real cuyo cuadrado es igual a 2.

� Teorema:√2 no es un numero racional.

A todos los numeros reales que no son racionales se les denomina irracionalesy se lo representa por I, es decir,

I = Q′.


Los Numeros Reales Otros Teoremas de los Reales

Otros Teoremas de los Reales

� Teorema: Arquimediana

Para todo numero real x, existe un numero natural n tal que

x < nes una proposicion verdadera.

� Teorema: Densidad de los reales

Dados los numeros reales a y b, si a < b, existe un numero real c tal que

a < c y c < bes una proposicion verdadera.

Los Numeros Reales Otros Teoremas de los Reales

Otros Teoremas de los Reales

� Teorema: Caracterizacion de cero

Si z > x y x ⩾ 0 para todo z > 0, entonces x = 0


Induccion Matematica Teorema de Induccion

Teorema de Induccion

� Teorema: Induccion matematica

Supongase que A (n) es una proposicion en la que aparece el numeronatural n. Si

1. Base de la induccion: A (0) es verdadera; y

2. Paso inductivo: si A (n) es verdadera, entonces A (n+1) es verdade-ra para todo numero natural n;

entonces A (n) es una proposicion verdadera para todo numero naturaln.


Induccion Matematica Teorema de recursion finita

Teorema de recursion finita

� Teorema: Recursion finita

Para definir un concepto C (n) para todo numero natural n, se procedede la siguiente manera:

1. Base de la recursion: se define el concepto para 0; es decir, se define

C (0).2. Paso recursivo: se supone que n es un numero natural cualesquiera

y, bajo la suposicion de que ya se ha definido el concepto para n,se define el concepto para n + 1 en terminos del concepto para n.

De manera mas precisa, si n ∈ N, se supone definido

C (n)y se define

C (n + 1)en terminos de C (n).



Potencia de exponente natural

� Definicion: Potencia de exponente natural

Dado un numero real a, definimos:

1. Base de la recursion: a0 = 1.

2. Paso recursivo: Si n ∈ N, suponemos definido el numero an y definimos a

n+1

como el producto de an y a; es decir,

an+1 = an ⋅ a.

Por el teorema de Recursion finita, se ha definido el numero

an

para todo numero natural n. Este numero se denomina la potencia de n de a. Losnumeros n y a se denominan, respectivamente, exponente y base de la potencia.



Numeros pares e impares

� Definicion: Numeros par, impar

Un numero natural m es par si existe un numero natural k tal que

m = 2k.Un numero natural n es impar si existe un numero natural l tal que

n = 2l + 1.


Induccion Matematica Teorema de induccion matematica general

Induccion General

� Teorema: Induccion matematica general

Supongase que A (n) es una proposicion en la que aparece el numeronatural n y que n0 ∈ N. Si

1. Base de la induccion: A (n0) es verdadera; y

2. Paso inductivo: si A (n) es verdadera, entonces A (n+1) es verdade-ra para todo numero natural n ⩾ n0;

entonces A (n) es una proposicion verdadera para todo numero naturaln ⩾ n0.



� Definicion: Potencia de exponente entero

Sea a ∈ R tal que a ≠ 0.

1. Si n ∈ N, se define la potencia de base a y con exponente −n como elinverso multiplicativo de a

n. A este numero se lo representa por a

−n;

luego,a−n = (an)−1

o, lo que lo mismo,

a−n = 1

an.

2. Si m ∈ Z tal que m /∈ N, se define la potencia de base a y exponentem como a

−k, donde m = −k y k ∈ N. A este numero representaremos

por am

.



� Teorema: Potencias de exponente entero

Para todo m ∈ Z, todo n ∈ Z, todo a ≠ 0 y todo b ≠ 0, las siguientes proposi-ciones son verdaderas:

1. 0n = 0 si n ≠ 0.

2. 1n = 1.

3. am+n = am

⋅ an

si a ≠ 0.

4. am−n = am

an.

5. an⋅ b

n = (a ⋅ b)n.

6.an

bn= (a

b)n.

7. (an)−1 = a−n.



Factorial

� Definicion: Factorial de un numero natural

Dado un numero natural n, definimos:

1. Base de la recursion: 0! = 1.

2. Paso recursivo: Suponemos definido el numero n! y definimos (n + 1)! comoel producto de n + 1 y n!; es decir,

(n + 1)! = (n + 1) ⋅ n!.

Por el teorema de Recursion finita, se ha definido el numero

n!

para todo numero natural n. Este numero se denomina factorial de n.



Capítulo 1: Lógica

Preparado por:



Índice general

1 Lógica 3

1.1 Teorías matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Conceptos primitivos y el primer axioma . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Valor de verdad de una proposición . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Tautologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1 Tautologías relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.2 La “forma” de una proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4 Deducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.5 Equivalencias lógicas y el Principio de sustitución . . . . . . . . . . . 54

1

Capítulo 1

Lógica

Resultados de aprendizaje del capítulo

Conocimientos:

1. Reconocer una proposición.

2. Identificar las conectivas.

3. Reconocer una tautología.

4. Reconocer una equivalencia lógica.

5. Reconocer una deducción lógica.

6. Explicar la diferencia entre tautología y equivalencia lógica.

7. Explicar la diferencia entre deducción lógica y equivalencia lógica.

8. Enunciar las propiedades de las conectivas mediante equivalencias lógica.

Destrezas:

1. Determinar el valor de verdad de una proposición.

2. Demostrar que una proposición es una tautología.

3. Demostrar que dos proposiciones son lógicamente equivalentes.

4. Demostrar propiedades de las conectivas lógicas.

Introducción

Los Fundamentos de la Matemática es el estudio de los conceptos fundamentales de

las diversas teorías que, en su conjunto, componen lo que se denomina Matemática.

Por su parte, cada una de estas teorías es, fundamentalmente, una colección de

3

conceptos y proposiciones (sobre tales conceptos); estas proposiciones se relacionan

entre sí mediante la Lógica.

Por ello, el primer tema de estudio de esta materia es una breve introducción

a esa Lógica. Los conceptos fundamentales que vamos a estudiar son: conjunto,

número real, número complejo y función real.

Ahora bien, decimos que el estudio de la Lógica será breve porque esta es una

teoría matemática muy amplia; no obstante, el principiante en los fundamentos de

la matemática no requiere conocer toda esa amplitud.

Por otra parte, la Lógica estudia básicamente el concepto de proposición me-

diante dos subteorías: Lógica de proposiciones y Lógica de predicados. Esta división es,

en cierto sentido, artificial porque las proposiciones de todas las teorías importan-

tes pertenecen al campo de la Lógica de predicados; de hecho, la Lógica de proposiciones

está contenida en la de Predicados. Sin embargo, para la comprensión de las propo-

siciones con predicados es necesario antes entender las proposiciones sin ellos. Por

esta razón, en este primer capítulo, nos centraremos en una pequeña parte de la

Lógica de proposiciones.

Como ejemplos de las proposiciones de cada una de las subteorías tenemos:

1. Lógica de proposiciones:

(a) “El número 1 es mayor que 0”;

(b) “La suma de 3 y 0 es igual a 3”;

(c) “La unión del conjunto ∅ y el conjunto {∅} es igual al conjunto {∅};

(d) “La funciónh : [0,+∞) −→ R

t 7−→ t2

no es inyectiva”.

2. Lógica de predicados:

(a) “Para todo número real x, se tiene que x + 0 = x”.

(b) “Para todo número real x, existe un número real y tal que x + y = 0”.

(c) “Para todo conjunto A, se tiene que ∅ ⊆ A”.

(d) “Para toda función g, si g es biyectiva, entonces g es invertible”.

1.1 Teorías matemáticas

Los conceptos matemáticos se organizan y estudian a través de teorías matemáti-

cas que están constituidas por dichos conceptos y por las proposiciones acerca de

estos que se consideran verdaderas. Algunos de estos conceptos (que se los llama

primitivos) no se definen explícitamente pero todos los demás se definen única y

exclusivamente mediante los conceptos primitivos. En cuanto a las proposiciones

de una teoría matemática, algunas son aceptadas sin más como verdaderas (se las


llama axiomas); las demás proposiciones de la teoría se deducen de los axiomas y,

por este hecho, se las considera verdaderas. A estas proposiciones se las denomina

teoremas.

Cuando se estudia o desarrolla una teoría matemática, es justamente la Lógica

matemática la teoría que nos provee los conceptos y procedimientos (o métodos)

necesarios para deducir las proposiciones a partir de sus axiomas.

Un concepto que no se define de ninguna manera no es de utilidad alguna. Por

ello, aunque los conceptos primitivos no se definen explícitamente, sí se los defi-

ne implícitamente mediante los axiomas. Es decir, los axiomas son proposiciones

que describen las propiedades o características básicas o fundamentales de los con-

ceptos primitivos; por ello, decimos que los axiomas definen implícitamente los

conceptos primitivos. Este es el segundo papel que juegan los axiomas.

Veamos algunos ejemplos1.

Ejemplos: Teorías matemáticas

1. Números reales: esta teoría se desarrolla añadiendo axiomas y conceptos primitivosa los de la teoría de Conjuntos (a más de los axiomas de la Lógica).

En esta teoría se estudian, entre otros, los conceptos de:

número real, suma, producto, resta, división, el cuadrado de un núme-ro, inverso aditivo, inverso del producto, neutro aditivo, neutro mul-tiplicativo, igual a, mayor que, menor que, mayor o igual que, menoro igual que, positivo, negativo, raíz cuadrada.

Los conceptos primitivos propios de esta teoría son:

número real, suma, producto, mayor que, neutro de la suma o cero,neutro de la multiplicación o uno, inverso aditivo e inverso multipli-cativo.

Los siguientes ejemplos muestran conceptos definidos:

C1: La resta de a y b es la suma de a y el inverso aditivo de b.

Este concepto se define mediante los conceptos primitivos: número real,suma e inverso aditivo.

C2: La división de a y b, donde b es distinto de cero, es el producto de a y elinverso multiplicativo de b.

Este concepto se define mediante los conceptos primitivos: número real,producto, cero e inverso multiplicativo.

C3: El cuadrado de un número real es el producto de ese número y el mismonúmero.

1El objetivo de estos ejemplos es ilustrar el otro papel que juegan los axiomas: ser la base de lasproposiciones a partir de las cuales se deducen todas las demás proposiciones de la Geometría. Porello, en estos ejemplos no nos ocuparemos de demostrar por qué son teoremas.


Este concepto se define mediante los conceptos primitivos: número realy producto.

C4: Un número real es positivo si es mayor que 0.

Este concepto se define mediante los conceptos primitivos: número real,mayor que y cero.

Las siguientes proposiciones son algunos de los axiomas de los Números reales:

A1: La suma de dos números reales es un número real.

Este axioma define implícitamente los conceptos primitivos número real y su-ma.

A2: Si a y b son números reales, entonces ab = ba.

Este axioma define implícitamente los conceptos primitivos número real y pro-ducto.

A3: Si a, b y c son números reales, entonces a(bc) = (ab)c.

A4: Existe un número real 0 tal que para todo número real a, a + 0 = a.

Este axioma define implícitamente los conceptos primitivos número real, sumay elemento neutro de la suma o cero.

A5: Para todo número real a, existe otro número real −a tal que a + (−a) = 0.

Este axioma define implícitamente los conceptos primitivos: número real, su-ma, inverso aditivo y cero.

A6: Para todo número real a distinto de 0, existe otro número real a−1 tal queaa−1

= 1.

Este axioma define implícitamente los conceptos primitivos: número real, pro-ducto, inverso multiplicativo y uno.

A7: Para todo número real a, todo número real b y todo número real c, a(b + c) =ab + ac.

A8: Si a y b son números mayores que cero, entonces a + b y ab también son nú-meros mayores que cero.

Las siguientes se deducen de uno o varios axiomas de la teoría de los Números

reales:

T1: Si a = b, entonces ac = bc.

Esta proposición se deduce del axioma x = x y del axioma de sustitución(de la teoría de Conjuntos).

T2: El producto de un número real y 0 es igual a 0.

Este teorema se deduce de los axiomas A4, A5 y A7.

T3: Si el producto de dos números reales es igual a cero, entonces uno de los doses igual a cero.

Este teorema se deriva de los siguientes axiomas: A3, A4, A5, A6 y A7.

T4: Si a, b y c son números reales tales que a = b y b = c, entonces a = c.

T5: El cuadrado de todo número real es mayor o igual que cero.

T6: La raíz cuadrada de un número positivo es un número positivo.


T7: Si el producto de dos números reales es positivo, entonces, o bien ambos sonpositivos, o bien ambos son negativos.

T8: Si a, b y c son números reales tales que a > b y b > c, entonces a > c.

T9: Si a, b y c son números reales y a = b, entonces a + c = b + c.

T10: Si a es un número real, entonces a2= 0 si y solo si a = 0.

T11: Si a y b son números reales positivos, entonces a < b si y solo si a2< b2.

Las siguientes proposiciones son falsas en esta teoría:

F1: Existe un número real tal que para todo número real, la suma de ambos esigual a 0.

F2: Para todo número real, existe otro número tal que el producto de ambos esigual a 1.

F3: Existe un número real para todo número real distinto de 0 tal que la multipli-cación de ambos es igual a 1.

F4: Si a y b son números reales, la división de a por b es igual al producto de a yel inverso multiplicativo de b.

F5: La suma de a y b es diferente de la suma de b y a.

Las siguientes expresiones, que utilizan conceptos de Números reales, no sonproposiciones:

(a) La suma de a y de b.

(b) El cuadrado del número real x.

(c) x2 − y2.

(d) [−1, 2[.

(e) n + 1.

Vamos a modificar ligeramente las definiciones de concepto definido y teorema

dadas originalmente para que estas apliquen de manera correcta a las teorías que

abordaremos en este curso.

1. Un concepto definido es todo concepto que se define únicamente mediante

los conceptos primitivos o mediante cualquier concepto previamente defini-

do a través de otros conceptos o los conceptos primitivos, siempre y cuando

dentro de esos conceptos previos no conste el que se está definiendo.

2. Un teorema es toda proposición que se deduce únicamente de los axiomas o

de teoremas previamente deducidos a partir de los axiomas o de otros teore-

mas, siempre y cuando dentro de esos teoremas previos no conste el que se

está deduciendo.

En este primer capítulo, vamos a estudiar los conceptos fundamentales de la

Lógica de proposiciones: proposición y deducción lógica, y otros que permitirán en-

tender y realizar deducciones en las teorías matemáticas sobre los conceptos fun-

damentales de la Matemática como son: conjunto, número real, número complejo,

función, función polinómica y función racional. Otros conceptos fundamentales

que aprenderemos son las razones trigonométricas, los exponentes reales y los

logaritmos.

1.2 Proposiciones

La mayoría de las proposiciones vistas en los ejemplos anteriores pertenecen a la

Lógica de predicados. Sin embargo, el modo en el que están formuladas oculta la pre-

sencia de estos, con lo cual se resaltan las características de la Lógica de proposiciones.

Ahora bien, en estos ejemplos, sobresalen dos de las características fundamen-

tales de una proposición:

1. Una proposición necesariamente tiene que ser o verdadera o falsa. A esta

característica se le conoce con el nombre Principio del tercero excluido.

2. Una proposición no puede ser verdadera y falsa. A esta característica se le

conoce con el nombre Principio de no contradicción.

Una tercera característica de las proposiciones (que es menos aparente en los

ejemplos anteriores), es el hecho de que una proposición se puede expresar me-

diante otras proposiciones. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos: Proposiciones expresadas mediante otras proposiciones

1. Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados

también son congruentes.

Esta es una proposición que se expresa a través de dos proposiciones:

i) los dos lados de un triángulo son congruentes; y

ii) los ángulos opuestos a los dos lados congruentes son también congruentes.

Y estas dos proposiciones se relacionan mediante las palabras Si, entonces y unacoma:

Si los dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opues-

tos a los dos lados congruentes son también congruentes.

2. Si el producto de dos números reales es igual a 0, entonces uno de los dos es igual a 0.

En este caso, las proposiciones mediante las que se expresa la proposición ori-ginal son:

i) el producto de dos números reales es igual a 0;

ii) uno de los números es igual a 0; y

iii) el otro número es igual a 0.

Además de las palabras: Si, entonces, la coma y la palabra o:


Si el producto de dos números reales es igual a 0, entonces uno de los números

es igual a 0 o el otro es igual a 0.

3. Dos rectas paralelas no se intersecan.

Esta proposición se expresa mediante la proposición

Dos rectas paralelas se intersecan.

con la ayuda de la palabra no:

Dos rectas paralelas no se intersecan.

Aunque no es frecuente, esta proposición suele escribirse diferente pero con-servando el mismo sentido:

No es verdad que dos rectas paralelas se intersequen.

En este caso, se utiliza la frase no es verdad que la cual significa lo mismo que elsimple no utilizado en la proposición original.

4. El cuadrado de un número real es igual a 0 si y solo si el número es igual a 0.

En este caso, esta proposición se expresa mediante las proposiciones:

i) el cuadrado de un número real es igual a 0; y

ii) el número real es igual a 0,

y con ayuda de las palabras si y solo si:

El cuadrado de un número real es igual 0 si y solo si el número real es igual a

0.

5. Si a y b son números reales positivos, entonces a < b si y solo si a2< b2.

En este caso, las proposiciones mediante las que se expresa la proposición ori-ginal son:

i) a y b son números reales positivos;

ii) a < b; y

iii) a2< b2,

y con ayuda de las palabras si y entonces, la coma y la frase si y solo si:

Si a y b son números reales positivos, entonces a < b si y solo si a2< b2.

Los ejemplos que siguen nos presentan proposiciones que no se expresan me-

diante otras proposiciones, y también proposiciones que se expresa a través de otras

pero que no utilizan únicamente una o varias de las palabras si, entonces, y, o, no,

sino otras que son también relevantes para la matemática, pero que no estudiare-

mos en este capítulo, sino en el siguiente.

Ejemplos: Proposiciones

1. La proposición

Todo triángulo equilátero es isósceles

puede interpretarse de la siguiente manera:

Si un triángulo es equilátero, entonces también es isósceles.

En este caso, se ajusta al tipo de proposiciones que se expresan mediante las pala-bras si y entonces.

Es posible, sin embargo, interpretar la proposición original de esta otra forma:

Para todo triángulo, si este triángulo es equilátero, entonces también es isós-

celes.

Como se puede ver, aparte de las palabras si y entonces, aparece también las pala-bras Para todo.

Este tipo de proposiciones es frecuente en la Matemática. No obstante, su estu-dio lo dejaremos para el siguiente capítulo.

2. La proposición

En una recta, hay al menos dos puntos distintos.

En este caso, el modo en que la Matemática lo interpreta es el siguiente:

Para toda recta, existen dos puntos tales que son distintos y están en la recta.

En este caso, también aparece la palabra existen. Este tipo de proposiciones tam-bién es clave en la Matemática.

Cabe interpretar esta última proposición de forma alternativa:

Si una figura geométrica es una recta, entonces existen dos puntos tales que

son distintos y están en la recta.

En esta interpretación, hemos cambiado el Para toda por la pareja si-entonces; noobstante, es más difícil reemplazar la palabra existen. Volveremos en el siguientecapítulo a estas proposiciones.

3. Las siguientes proposiciones:

(a) Una recta es un conjunto de puntos.

(b) Un plano es un conjunto de puntos.

(c) El número 1 es positivo.

(d) El número 0 es el elemento neutro de la suma.

son ejemplos de proposiciones que no se expresan mediante otras proposiciones.

Como se dijo, la Lógica de proposiciones también es una teoría matemática. Por

tanto, en sentido estricto, su estudio debería seguir el mismo patrón que el estudio

de otras teorías matemáticas. Sin embargo, como se mencionó en la introducción,

este curso abordará brevemente aquellos aspectos de la Lógica de proposiciones que

nos permite definir el concepto deducción, el que aplicaremos en el estudio de los


conceptos fundamentales indicados.

Por supuesto, vamos a presentar la mayoría de los conceptos primitivos y los

correspondientes axiomas de la Lógica de proposiciones (aunque no todos). Para em-

pezar, asumimos que proposición es un concepto primitivo y que los axiomas que

lo definen expresan, precisamente, las tres características sobre las proposiciones

que enunciamos anteriormente.

Respecto de la tercera característica, solo nos ocuparemos de las proposiciones

sin predicados.

Las palabras mediante las cuales se expresa una proposición a través de otras

que elegiremos son: no, y, o, si-entonces, si y solo si2. Para estas cinco palabras,

los conceptos primitivos correspondientes son negación, conjunción, disyunción,

implicación y doble implicación.

1.2.1 Conceptos primitivos y el primer axioma

Los conceptos primitivos son: proposición, verdadero, falso, valor de verdad de

una proposición, negación, conjunción, disyunción, implicación y doble impli-

cación.

Mediante el siguiente axioma, definimos implícitamente estos conceptos primiti-

vos:

AXIOMA 1.1 (Principios fundamentales)

Los axiomas que definen los conceptos primitivos son:

1. Principio del tercero excluido: El valor de verdad de toda proposición o bien es

verdadero o bien es falso.

2. Principio de no contradicción: Si el valor de verdad de una proposición es ver-

dadero, no puede ser también falso; y si es falso, su valor de verdad no puede

ser verdadero.

3. Conectivas: Hay proposiciones que se expresan mediante otras proposiciones

y de una o más de las siguientes palabras (a las que se les denomina conecti-

vas): negación, conjunción, disyunción, implicación o doble implicación.

4. Proposiciones simples: Hay proposiciones (denominadas simples) que no se

expresan mediante otras proposiciones.

5. Proposiciones: Toda proposición es, o bien simple, o bien se expresa únicamen-

te mediante otras proposiciones y una o varias de las conectivas negación,

conjunción, disyunción, implicación o doble implicación.

Este axioma no define completamente los conceptos primitivos; más adelante,

estableceremos otros para completar la definición.

2En el español hay variantes gramaticales de estas palabras que se usan frecuentemente. Por ejem-plo: no es cierto que es una variante de no; siempre y cuando, variante de si y solo si; o bien-o bien,variante de o, entre otras.


Como se indicó, las proposiciones de una teoría matemática son aquellas pro-

posiciones que consideramos verdaderas, y las consideramos verdaderas porque se

pueden deducir de los axiomas de dicha teoría. Por ello, en la siguiente subsección,

abordaremos el axioma que nos permitirá estudiar el concepto primitivo valor de

verdad de una proposición.

1.2.2 Valor de verdad de una proposición

Una característica de la Matemática a partir del siglo XVI es el simbolismo. El uso

de signos con significados le permitió a la Matemática desarrollar teorías más abs-

tractas y generales, al punto de convertirse, en la actualidad, en una herramienta

poderosa para resolver problemas que afectan o ayudan a las personas.

Esta característica se ve reflejada en todo el desarrollo de las teorías matemáticas

a partir del siglo XVII. Y la Lógica no es la excepción. Por ello, en el enunciado

de axiomas y teoremas, en la presentación de los conceptos primitivos y en las

definiciones de los conceptos que no son primitivos, introduciremos también los

signos que los representarán y las reglas para el uso de dichos signos. A los signos

con los significados que representan les llamaremos símbolos y a las reglas para el

uso de dichos símbolos, sintaxis.

Sintaxis de la Lógica

A continuación, presentamos los signos que utilizaremos para representar los con-

ceptos primitivos de la Lógica y las reglas que los rigen.

1. Letras mayúsculas del alfabeto español se utilizarán como signos para repre-

sentar proposiciones. Es decir, las letras A, B, C, . . . , P, Q, R, etcétera.

2. Para las conectivas negación, conjunción, disyunción, implicación y doble

implicación, utilizaremos los siguientes signos, respectivamente:

¬, ∧, ∨, ⇒ y ⇔ .

3. Las reglas para el uso de las letras que representan las proposiciones y los

signos para las conectivas son las siguientes:

(a) La conectiva negación se escribe como prefijo de un signo que representa

una proposición. Por ejemplo:

¬P.

Por el punto 3 del axioma 1.1 (de los Principios fundamentales), ¬P tam-

bién representa una proposición que llamaremos la negación de P.

(b) Las conectivas conjunción, disyunción, implicación y doble implica-

ción se escriben entre dos signos que representan proposiciones. Por


ejemplo:

P ∧ Q, P ∨ Q, P ⇒ Q y P ⇔ Q.

Nuevamente, por el punto 3 del axioma 1.1, estos signos también repre-

sentan proposiciones, a las que llamaremos la conjunción de P y Q, la

disyunción de P y Q, la implicación de P y Q y la doble implicación

de P y Q, respectivamente.

En el caso de la implicación P ⇒ Q, la proposición P es denominada

antecedente y la proposición Q, consecuente de la implicación.

4. Utilizaremos los signos v y f para verdadero y falso, respectivamente. Estos

dos signos también se denominarán valor de verdad verdadero y valor de

verdad falso.

Debido al Principio del tercero excluido, diremos que los valores de verdad

verdadero y falso son opuestos. Así, el opuesto de verdadero es falso y, vi-

ceversa.

5. Utilizaremos los paréntesis ( y ) como signos de agrupación, con el fin de

evitar ambigüedades. Por ejemplo, si escribiéramos

P ∧ Q ∨ R

no podríamos determinar cuál de las dos proposiciones representa:

P ∧ (Q ∨ R) o (P ∧ Q) ∨ R.

El uso de los paréntesis no deja posibilidad de confusión.

Abuso de lenguaje

Aunque P no es una proposición (es un signo que representa una pro-

posición), abusaremos del lenguaje y diremos con frecuencia “P es una

proposición” o “la proposición P” en lugar de decir “P representa una

proposición” o “la proposición representada por P”.

6. Las únicas reglas para formar una proposición son las reglas 1, 2, 3, 4 y 5.

Axiomas para el valor de verdad de una proposición

Como el concepto valor de verdad de una proposición es primitivo, debemos es-

tablecer los axiomas que lo definan implícitamente.

Ahora bien, el axioma 1.1, numeral 4, asegura la existencia de proposiciones que

no se expresan mediante otras proposiciones. Por el Principio del tercero excluido, su

valor de verdad es o bien verdadero o bien falso.


A excepción de las proposiciones simples, el resto de proposiciones se expresan

necesariamente mediante otras proposiciones y una o varias de las cinco conectivas

(debido al numeral 5 del axioma de los Principios Fundamentales):

toda proposición, o bien es una que no se expresa mediante otras pro-posiciones (es decir, es simple), o bien es únicamente una de las cincoproposiciones siguientes:

¬P, P ∧ Q, P ∨ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q,

donde P y Q no son necesariamente proposiciones simples.

Por ello, para definir implícitamente el valor de verdad de una proposición, es

suficiente con indicar los valores de verdad de cada una de las cinco proposiciones

anteriores, según el valor de verdad de las proposiciones P y Q. Y esto es lo que

establece el siguiente axioma.

AXIOMA 1.2 (Valor de verdad de una proposición)

Si P y Q representan proposiciones, entonces:

1. Axioma de la negación: El valor de verdad de la negación de una proposición

es el valor de verdad opuesto de dicha proposición.

Así, el valor de verdad de ¬P es el valor de verdad opuesto al de P.

En otras palabras,

• si el valor de verdad de P es v, entonces el valor de verdad de ¬P es f; y,

• si el valor de verdad de P es f, el de ¬P es v.

2. Axioma de la conjunción: El valor de verdad de la conjunción de dos proposi-

ciones es verdadero únicamente si el valor de verdad de ambas proposiciones

es verdadero.

Así, el valor de verdad de P ∧ Q es verdadero únicamente si los valores

de verdad de P y Q son ambos verdadero.

En otras palabras,

• si los valores de verdad de P y Q son ambos v, el valor de verdad de

P ∧ Q es v.

• En cambio, si los valores de verdad de P y Q son opuestos o ambos son

f, el valor de verdad de P ∧ Q es f.

3. Axioma de la disyunción: El valor de verdad de la disyunción de dos proposi-

ciones es falso únicamente si el valor de verdad de ambas proposiciones es

falso.

Luego, el valor de verdad de P ∨ Q es falso únicamente si los valores de

verdad de P y Q son ambos falso.

En otras palabras,


• si los valores de verdad de P y Q son ambos f, el valor de verdad de

P ∨ Q es f.

• En cambio, si los valores de verdad de P y Q son opuestos o ambos son

v, el valor de verdad de P ∨ Q es v.

4. Axioma de la implicación: El valor de verdad de implicación de dos proposi-

ciones es falso únicamente si el valor de verdad del antecedente es verdadero

y el del consecuente, falso.

Es decir, el valor de verdad de P ⇒ Q es falso únicamente si el valor de

verdad de P es verdadero y el de Q es falso.

En otras palabras,

• si el valor de verdad de P es v y el de Q es f, el valor de verdad de P ⇒ Q

es f.

• En cambio, si el valor de verdad de P es f, el valor de verdad de P ⇒ Q

es v, independientemente del valor de verdad de Q; y,

• si los valores de verdad de P y Q son ambos v, el valor de verdad de

P ⇒ Q también es v.

Se puede ver también que el valor de verdad de P ⇒ Q es:

• el valor de verdad de Q si el valor de verdad de P es verdadero;

• si P es falso, el valor de verdad de P ⇒ Q es verdadero (independiente-

mente del valor de verdad de Q); y

• si Q es verdadero, el valor de verdad de P ⇒ Q es verdadero (indepen-

dientemente del valor de verdad de P).

5. Axioma de la doble implicación:cEl valor de verdad de la doble implicación de

dos proposiciones es verdadero únicamente si las dos proposiciones tienen

el mismo valor de verdad.

Luego, el valor de verdad de P ⇔ Q es verdadero únicamente si los valo-

res de verdad de P y Q son iguales.

En otras palabras,

• si los valores de verdad de P y Q son ambos v o son ambos f, el valor de

verdad de P ⇔ Q es v.

• En cambio, si los valores de verdad de P y Q son opuestos, el valor de

verdad de P ⇔ Q es f.

Ejemplos: Valores de verdad de las proposiciones

1. Si P es v y Q es f, el valor de verdad de P ∨ Q es v porque (gracias al axioma


de la disyunción) el valor de verdad de la disyunción de dos proposiciones esf únicamente si el valor de verdad de las dos proposiciones es f, que no es elcaso.

2. Si P es f, el valor de verdad de P ⇒ Q es v (independientemente del valor deverdad de Q), porque el único caso en que una implicación es f es cuando elvalor de verdad del antecedente es v y el del consecuente es f, que no es el caso.

3. Si el valor de verdad de P ⇒ Q es f y el de P es v, el valor de verdad de Q es f,porque este es el único caso en que la implicación es f.

4. El valor de verdad de P ∨ ¬P es v independientemente del valor de verdad deP.

En efecto, si P es v, por el axioma de la disyunción, el valor de verdad deP∨¬P es v (la disyunción es falsa únicamente si los valores de verdad de ambasproposiciones es falso).

Si P es f, por el axioma de la negación, ¬P es v; por tanto, por el axioma dela disyunción, P ∨ ¬P es v.

Es muy fácil ver que los cinco axiomas enunciados en el axioma 1.2 se pueden

resumir a través de las siguientes tablas:

P ¬P

v f

f v

P Q P ∧ Q

v v v

v f f

f v f

f f f

P Q P ∨ Q

v v v

v f v

f v v

f f f

P Q P ⇒ Q

v v v

v f f

f v v

f f v

P Q P ⇔ Q

v v v

v f f

f v f

f f v

Se puede ver del axioma 1.2 que el valor de verdad de cualquiera de las cinco

proposiciones del numeral 3 del axioma de los Principios Fundamentales depende

del valor de verdad de las proposiciones mediante las cuales se expresan.

Si P representa una proposición cualesquiera, no sabemos cuál es su valor de

verdad. Luego, el valor de verdad de ¬P puede ser f si el valor de verdad de P es

v; y, puede ser v si el valor de verdad de P es f. En otras palabras, si desconocemos

el valor de verdad de P, sobre el valor de verdad de ¬P hay dos posibilidades

únicamente.

En este punto es importante no confundir el hecho de que

“hay dos posibilidades para el valor de verdad de ¬P”

con el hecho de que

“en cada una de esas posibilidades, el valor de verdad de ¬P es único”.

En este sentido, el número posibilidades de valores de verdad para

P ∧ Q, P ∨ Q, P ⇒ Q o P ⇔ Q, (1.1)

según los valores de verdad de P y de Q es cuatro.


En efecto, según los dos posibles valores de verdad de P y los dos posibles

valores de verdad de Q, hay 2× 2 (es decir, 4) posibilidades para el valor de verdad

de cualquiera de las cuatro proposiciones en (1.1)

A continuación, veamos algunos ejemplos para ilustrar cómo se determina el

valor de verdad de una proposición utilizando los axiomas de las cinco proposicio-

nes

¬P, P ∧ Q, P ∨ Q, P ⇒ Q y P ⇔ Q. (1.2)

Ejemplos: El valor de verdad de una proposición

1. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición

(P ⇒ Q) ∨ (Q ⇒ P)

si el valor de verdad de P es f y el de Q es v?

Respuesta. Esta proposición es la disyunción de P ⇒ Q y de Q ⇒ P. Por tanto,para determinar el valor de verdad de la proposición en cuestión, si el valor deverdad P es f y el de Q es v, tenemos que determinar antes los valores de verdadde:

(a) P ⇒ Q;

(b) Q ⇒ P; y

(c) la disyunción de P ⇒ Q y de Q ⇒ P.

Procedamos:

(a) Como el valor de verdad de P es f, sabemos que, independientemente delvalor de verdad de Q, el valor de verdad de P ⇒ Q es v.

(b) Por el axioma del valor de verdad de la implicación, el único caso en que elvalor de verdad de Q ⇒ P es f es si el valor de verdad de Q es v y el de P esf. Y este es el caso. Por tanto, el valor de verdad de Q ⇒ P es f.

(c) El valor de verdad de la disyunción de P ⇒ Q y Q ⇒ P es v porque losvalores de verdad de estas dos proposiciones son opuestos.

El procedimiento que acabamos de realizar se puede resumir de la siguientemanera:

P Q P ⇒ Q Q ⇒ P (P ⇒ Q) ∨ (Q ⇒ P)f v v f v

2. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición

((P ⇒ Q) ∧ Q) ⇒ P

si el valor de verdad de P es falso?


Respuesta. Esta proposición es la implicación de la conjunción de la implicaciónde P y Q, y de Q y de P. Por tanto, si el valor de verdad de P es f, antes debemosdeterminar los valores de verdad de las siguientes proposiciones, tanto si el valorde verdad de Q es v como si es f:

(a) P ⇒ Q;

(b) (P ⇒ Q) ∧ Q; y

(c) la implicación de (P ⇒ Q) ∧ Q y de P.

Procedamos:

(a) El valor de verdad de P es f; así, independientemente del valor de verdad deQ, el valor de verdad de P ⇒ Q es v (el axioma de la implicación asegura queel único caso en que el valor de verdad de la implicación de dos proposicioneses f es cuando el valor de verdad del antecedente es v y el consecuente es f,que no es el caso).

Resumamos este procedimiento de la siguiente manera:

P Q P ⇒ Q (P ⇒ Q) ∧ Q ((P ⇒ Q) ∧ Q) ⇒ P

f v v

f f v

(b) El valor de verdad de P es f. Si el valor de verdad de Q es v, el valor deverdad de la conjunción (P ⇒ Q) ∧ Q es v (por el axioma de la conjunción); ysi el valor de verdad de Q es f, será f (por el axioma de la conjunción):

P Q P ⇒ Q (P ⇒ Q) ∧ Q ((P ⇒ Q) ∧ Q) ⇒ P

f v v v

f f v f

(c) El valor de verdad de P es f. Entonces, si el valor de verdad de Q es v, elvalor de verdad de ((P ⇒ Q) ∧ Q) ⇒ P es f, ya que el valor de verdad delantecedente es verdadero y el del consecuente es falso. Si el valor de verdadde Q es f, el valor de verdad de ((P ⇒ Q) ∧ Q) ⇒ P es v (por el axioma de laimplicación):

P Q P ⇒ Q (P ⇒ Q) ∧ Q ((P ⇒ Q) ∧ Q) ⇒ P

f v v v f

f f v f v

En resumen:

Si P es f, el valor de verdad de

((P ⇒ Q) ∧ Q) ⇒ P

es f si el valor de Q es v, y es v si el valor de verdad de Q es f.

3. Sean P y Q dos proposiciones tal que Q es falsa, entonces


i. si P es v, entonces P ∨ Q también lo es; y

ii. si P es f, entonces P ∨ Q también lo es;

en ambos casos, por el axioma de la disyunción, por lo tanto, las proposicionesP ∨ Q y P tienen el mismo valor de verdad para los mismo valores de verdad de P.

4. Sean P y Q dos proposiciones tal que Q es verdadera, entonces

i. si P es v, entonces P ∧ Q también lo es; y

ii. si P es f, entonces P ∧ Q también lo es;

en ambos casos, por el axioma de la conjunción, por lo tanto, las proposicionesP ∧ Q y P tienen el mismo valor de verdad para los mismo valores de verdad de P.

Como se ha indicado ya (y los ejemplos anteriores lo ilustran claramente), el

valor de verdad de una proposición que se puede expresar mediante otras propo-

siciones depende del valor de verdad de dichas proposiciones y de las conectivas a

través de las que se expresa.

Por tanto, no tiene sentido preguntarnos cuál es el valor de verdad de una pro-

posición que se expresa mediante otras proposiciones si no especificamos los valo-

res de verdad de las otras proposiciones.

Ahora bien, el gran valor de la Lógica es proveer de un mecanismo general pa-

ra deducir proposiciones en cualquier teoría matemática. Y esto es posible, porque

la Lógica de proposiciones se ocupa de la “forma” de una proposición y no de qué

proposiciones podría representar en una teoría en particular. Por ejemplo, si P re-

presenta una proposición cualesquiera, el valor de verdad de la proposición

P ∨ ¬P

es verdadero, independientemente del valor de verdad de P, como es fácil concluir

si se aplican los axiomas de la negación y de la disyunción3.

Al ser esta proposición verdadera, independientemente del valor de verdad de

P, la proposición

el número real a es mayor que 0 o es menor o igual que 0

es una proposición verdadera en la teoría de Números reales. En este caso, P podría

representar la proposición

el número a es mayor que 0

y, por tanto, ¬P representa

el número a es menor o igual que 0.

3En efecto: P y ¬P tiene, por el axioma de la negación, valores de verdad opuestos; luego, losvalores de verdad de P y ¬P no pueden ser ambos f. Luego, por el axioma de la disyunción, el valorde verdad de P ∨ ¬P es v, independientemente del valor de verdad de P.


En resumen, para asegurar que la mencionada proposición de la teoría Números

reales es verdadera, no se requiere una deducción en dicha teoría; basta con recurrir

al hecho de que la proposición

P ∨ ¬P

es verdadera independientemente de qué proposición particular representa P y

cuál es su valor de verdad.

Así, dada una proposición que puede representar cualesquier proposición y que

está expresada mediante otras, surge la pregunta:

¿cuáles son todas las posibilidades para el valor de verdad de dicha proposición

según los valores de verdad de las proposiciones mediante las que se expresa?

Por ejemplo, si P y Q representan cualesquier proposición, ¿cuáles son todas las

posibilidades para el valor de verdad de la proposición

((P ∨ Q) ∧ P) ⇒ Q,

según los valores de verdad de P y de Q?

Para responder estas dos preguntas (la general y la del ejemplo), procedamos

de la siguiente manera.

Si la proposición en cuestión estuviera expresada únicamente mediante una

proposición; por ejemplo, la proposición

P ⇒ ¬P,

hay dos posibles valores de verdad: uno por cada uno de los valores de verdad que

podría tener P. Así, si el valor de verdad de P fuera v, el de P ⇒ ¬P sería f; y,

si el valor de P fuera f, el de P ⇒ ¬P sería v. Estas dos posibilidades podemos

expresarlas en el siguiente cuadro:

P ¬P P ⇒ ¬P

v f f

f v v

(No olvidemos que el cuadro siguiente

P ¬P P ⇒ ¬P

f v v

v f f

también resume las dos posibilidades encontradas).

Ahora, supongamos que la proposición dada estuviera expresada mediante dos

proposiciones; por ejemplo, la proposición

((P ∨ Q) ∧ P) ⇒ Q. (1.3)


Hay 4 posibilidades para el valor de verdad de esta proposición, como lo vimos

antes (el número 4 se obtiene por la multiplicación de 2 y 2 que son el número de

posibilidades para el valor de verdad de P y de Q, respectivamente). Estas cuatro

posibilidades se pueden escribir en el siguiente cuadro, en el cual también se han

registrado los valores de verdad de las proposiciones mediante las que está expre-

sada la proposición (1.3):

P Q P ∨ Q (P ∨ Q) ∧ P ((P ∨ Q) ∧ P) ⇒ Q

f f f f v

f v v f v

v f v v f

v v v v v

Este cuadro se suele denominar tabla de verdad de la proposición

((P ∨ Q) ∧ P) ⇒ Q.

En esta tabla se consignan todos los posibles valores de verdad de esta proposi-

ción según los posibles valores de verdad de las proposiciones P y Q en conjunto.

Veamos un ejemplo más: una proposición expresada mediante tres proposicio-

nes; por ejemplo:

((P ∨ Q) ∧ (P ⇒ R)) ∧ (Q ⇒ R).

Ya sabemos que cuando la proposición se expresa mediante dos proposiciones,

hay 4 posibilidades. Por tanto, si se expresa por una proposición más, por cada

una de esas 4, hay dos posibilidades debido a la tercera proposición. Esto significa

que hay 4 × 2 (8) posibles valores de verdad de la proposición según los valores de

verdad diferentes de P, Q y R.Así, el cuadro

P Q R P ∨ Q P ⇒ R (P ∨ Q) ∧ (P ⇒ R) Q ⇒ R ((P ∨ Q) ∧ (P ⇒ R)) ∧ (Q ⇒ R)v v v v v v v v

v v f v f f f f

v f v v v v v v

v f f v f f v f

f v v v v v v v

f v f v v v f f

f f v f v f v f

f f f f v f v f

Esta es la tabla de verdad de la proposición ((P ∨ Q) ∧ (P ⇒ R)) ∧ (Q ⇒ R).

Veamos un par de ejemplos más.

Ejemplos: Una tabla de verdad para una proposición


1. Elaboremos una tabla de verdad de la proposición

(P ∧ (P ∨ Q)) ⇒ Q.

Como esta proposición se expresa mediante dos proposiciones, hay cuatroposibles valores de verdad para ella, según los valores de verdad de P y de Q.Al aplicar el axioma de valores de verdad (página 14), obtenemos la siguientetabla:

P Q P ∨ Q P ∧ (P ∨ Q) (P ∧ (P ∨ Q)) ⇒ Q

v v v v v

v f v v f

f v v f v

f f f f v

2. Una tabla de verdad de la proposición

(¬P ∨ (P ⇒ Q)) ⇒ Q

es la siguiente:

P Q ¬P P ⇒ Q ¬P ∨ (P ⇒ Q) (¬P ∨ (P ⇒ Q)) ⇒ Q

v v f v v v

v f f f f v

f v v v v v

f f v v v f

Elaborar tablas de verdad de una proposición no es un objetivo de la Lógica de

proposiciones. Aunque en las tablas de verdad subyace un concepto importante para

el estudio de las características de la Lógica de proposiciones como una teoría (y no

sobre los conceptos que estudia la teoría), la aplicación de la Lógica de proposiciones

para deducir proposiciones en cualquier otra teoría no requiere de ellas. De he-

cho, en el estudio que estamos realizando ahora mismo, elaboraremos las tablas de

verdad de algunas proposiciones para establecer que una proposición es una tau-

tología, concepto que definiremos en la siguiente sección. Sin embargo, podríamos

prescindir totalmente de esas tablas de verdad para cumplir con dicho cometido.

Finalmente, la mayoría de las proposiciones que requerimos para abordar el

concepto deducción se pueden expresar por una o dos proposiciones; unas pocas

veces, con tres. Quizás, una vez, con cuatro, pero en este curso no la veremos.

Abuso de lenguaje

Frecuentemente diremos “una proposición es verdadera (o falsa)” en lugar de

decir “el valor de verdad de una proposición es verdadero (o falso)”.


1.3 Tautologías

En la sección anterior, nos encontramos con la proposición

P ∨ ¬P, (1.4)

donde P representa cualesquier proposición. Vimos que es verdadera independien-

temente del valor de verdad de P. Esta característica de la proposición (1.4) es la que

permite asegurar que cualquier proposición en una teoría

que sea la disyunción de una proposición y su negación es verdadera, sin más

que la apelación a la proposición (1.4).

Lo dicho aplica a cualquier proposición que tenga la misma característica que

la proposición (1.4):

ser verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones

mediante las que se expresa.

Por esto, identificar estas proposiciones es una tarea primordial de la Lógica de pro-

posiciones, pues es claro que no todas las proposiciones tienen la característica seña-

lada.

En efecto, la proposición P ⇒ Q es verdadera para algunos valores de verdad

de P y de Q, pero para otros no: si P es v y Q, f, entonces la implicación de P y Q

es f.

Otra proposición que no tiene esta característica es

((P ⇒ Q) ∧ Q) ⇒ P.

Una manera de verlo fácilmente es elaborar una tabla de verdad para esta proposi-

ción:P Q P ⇒ Q (P ⇒ Q) ∧ Q ((P ⇒ Q) ∧ Q) ⇒ P

v v v v v

v f f f v

f v v v f

Como podemos verlo, la tercera línea nos indica que

si P es f y Q, v, el valor de verdad de la proposición en cuestión es f.

(De hecho, no fue necesario elaborar la tabla de verdad sino únicamente las tres

primeras filas de la misma).

Otra proposición cuyo valor de verdad es verdadero independientemente de

los valores de verdad de las proposiciones mediante las que se expresa es

((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q,


como se puede constatar inmediatamente después de realizar una tabla de verdad

para ella:P Q P ⇒ Q (P ⇒ Q) ∧ P ((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q

v v v v v

v f f f v

f v v f v

f f v f v

La siguiente proposición no tiene la característica de esta última proposición,

sin embargo, también juega un papel importante en la aplicación de la Lógica:

P ∧ ¬P. (1.5)

Como se puede ver fácilmente si aplicamos los axiomas de la conjunción y nega-

ción, esta proposición es falsa independientemente del valor de verdad de P, pues

P y ¬P tienen valores opuestos, por lo que el axioma de la conjunción nos asegura

que la conjunción de P y ¬P es f.

Lo significativo de la proposición (1.5) está en el hecho de que, al ser falsa inde-

pendientemente del valor de verdad de P, ¡su negación es verdadera independien-

temente del valor de verdad de P!

Así, la proposición

¬(P ∧ ¬P)

es verdadera independientemente del valor de verdad de P.

De igual manera que proposiciones con la misma característica que (1.4) son

“deseables”, proposiciones con la misma característica de la proposición (1.5) son

“rechazables”, salvo por el hecho de que su negación tiene la característica “de-

seable”. Los nombres dados a estos dos tipos de proposiciones son tautología y

contradicción, respectivamente. Consignemos estas designaciones a través de la

siguiente definición.

DEFINICIÓN 1.1 (Tautología, contradicción)

Una proposición que se expresa mediante otras proposiciones se denomina tau-

tología si su valor de verdad es verdadero independientemente de los valores de

verdad de las otras proposiciones.

La negación de una tautología se denomina contradicción.

Los siguientes ejemplos nos muestran las tautologías que con mayor frecuencia

se utilizan para realizar deducciones en las teorías matemáticas. Por su importan-

cia, estas tautologías tienen nombres propios que tratan de reflejar el sentido que

expresa.

Ejemplos: Tautologías, contradicciones


1. Como vimos, la proposiciónP ∨ ¬P

es una tautología. Se denomina Principio del tercero excluido pues

la disyunción de una proposición y su negación

expresan lo mismo que

una proposición es verdadera o es falsa,

pues si la proposición es verdadera, su negación es falsa; y si es falsa, su negaciónes verdadera.

2. También vimos que la proposición

¬(P ∧ ¬P)

es una tautología. Su nombre es Principio de no contradicción pues expresa a esteaxioma:

una proposición no es verdadera y falsa,

ya que si una proposición fuera verdadera y falsa, su negación sería falsa y verda-dera, respectivamente; por ello, la conjunción de una proposición y su negación esfalsa; y, la negación de dicha conjunción sería verdadera, y esto es lo que expresala tautología

¬(P ∧ ¬P).

3. ¿Es la proposición (P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P) una tautología?

Una manera sencilla de contestar esta pregunta es a través de la elaboración deuna tabla de verdad de la proposición:

P Q P ∧ Q Q ∧ P (P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P)v v v v v

v f f f v

f v f f v

f f f f v

Se ve claramente que esta proposición es una tautología. Se denomina propiedad

conmutativa de la conjunción.

4. Veamos que la proposición

((P ∨ Q) ∨ R) ⇔ (P ∨ (Q ∨ R))

es una tautología.


Para ello, realicemos una tabla de verdad para esta proposición:

P Q R P ∨ Q Q ∨ R (P ∨ Q) ∨ R P ∨ (Q ∨ R) ((P ∨ Q) ∨ R) ⇔ (P ∨ (Q ∨ R))v v v v v v v v

v v f v v v v v

v f v v v v v v

v f f v f v v v

f v v v v v v v

f v f v v v v v

f f v f v v v v

f f f f f f f v

Se observa que esta proposición es una tautología. Su nombre es propiedad aso-

ciativa de la disyunción.

Uso de las tautologías

En la introducción de esta sección, ilustramos cómo se usa la tautología Principio

del tercero excluido en un caso particular de la teoría Números reales. Veamos a conti-

nuación ejemplos del uso de algunas tautologías.

Principio de no contradicción. Esta tautología es la base de un método para dedu-

cir proposiciones en cualquier teoría matemática; se denomina Reducción al absurdo.

Toda persona que aprende matemática tiene que aprender a utilizarlo, pues deduc-

ciones de proposiciones relevantes de una teoría matemática se realizan a través

del método mencionado. En general, a los aprendices les toma tiempo aprenderlo,

por lo que abordaremos su estudio en todos los capítulos de este curso, excepto en

este.

Propiedad conmutativa de la conjunción. Como vimos en los ejemplos anteriores,

esta tautología es la proposición

(P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P). (1.6)

Independientemente de los valores de verdad de P y de Q, esta proposición es

verdadera. Luego, por el axioma de la doble implicación,

las proposiciones

P ∧ Q y Q ∧ P

tienen igual valor de verdad para los mismos valores de verdad de P y

de Q.

Luego, si la proposición P ∧ Q es verdadera, también es verdadera la proposi-

ción Q ∧ P, porque tiene el mismo valor de verdad4. Por ejemplo, si la proposición

4Para llegar a esta conclusión, no es necesario saber que la proposición (1.6) es una tautología;basta con utilizar la definición de conjunción, ya que si P∧ Q es verdadera, necesariamente P y Q sonambas verdaderas. Sin embargo, el ejemplo muestra cómo se utiliza una tautología en general.


a y b son distintos de 0

es verdadera, sin más que por la apelación a la tautología propiedad conmutativa de

la conjunción, aseguramos que también es verdadera la proposición

b y a son distintos de 0

(En este ejemplo, P representa la proposición “a es distinto de 0” y Q la propo-

sición “b es distinto de 0”.)

Gracias a esta tautología, en las deducciones que se realizan en la teoría Números

reales se dice indistintamente “a y b son distintos de 0” y “b y a son distintos de 0”.

Propiedad asociativa de la disyunción. Veamos el significado de que la proposi-

ción

((P ∨ Q) ∨ R) ⇔ (P ∨ (Q ∨ R))

sea verdadera independientemente de los valores de verdad de P, Q y de R.

Por el axioma de la doble implicación, las proposiciones

(P ∨ Q) ∨ R y P ∨ (Q ∨ R)

tienen igual valor de verdad para los mismos valores de verdad de P, Q y de R. Por

ello, si se escribiera

P ∨ Q ∨ R,

la ambigüedad aún existe5, pues estos signos pueden interpretarse de las dos for-

mas ya indicadas. No obstante, a pesar del no cumplimiento de la sintaxis para

las conectivas, esta ambigüedad no es un problema porque ambas proposiciones

tienen igual valor de verdad para los mismos valores de verdad de P, Q y de R.

Abuso de lenguaje: “Disyunción” de tres proposiciones

Frecuentemente, se escribirá

P ∨ Q ∨ R

en lugar de

(P ∨ Q) ∨ R o P ∨ (Q ∨ R)

y nos referiremos a dichos signos como “la disyunción de P, Q y R”.

Y por este uso común de la disyunción, en la teoría Números reales aparecerán a

menudo expresiones como la siguiente:

El número real a es negativo, o es igual a 0, o es positivo.

5No solo existe ambigüedad sino que no se está acatando las reglas de la sintaxis para el uso delas conectivas. Sin embargo, esta escritura es utilizado en el 100 % de los casos.


Propiedad asociativa de la conjunción. La proposición

((P ∧ Q) ∧ R) ⇔ (P ∧ (Q ∧ R)) (1.7)

es una tautología, como se puede ver fácilmente si se realiza una tabla de verdad

de ella; se denomina propiedad asociativa de la conjunción.

De manera similar a lo que ocurre con la disyunción, escribiremos

P ∧ Q ∧ R (1.8)

en lugar de cualquiera de las dos proposiciones siguientes:

(P ∧ Q) ∧ R y P ∧ (Q ∧ R). (1.9)

por las mismas razones para el caso de la disyunción.

Su uso está presente en enunciados como el siguiente de la teoría Números reales:

a, b y c son números reales positivos.

En este caso, si P representa “a es un número real positivo”, Q, “b es un número real

positivo” y R representa “c es un número real positivo”, la proposición de la teoría

Números reales puede representarse mediante cualquiera de las proposiciones en

(1.9). De hecho, aunque no representa una proposición, la forma (1.8) es utilizada

con mucha frecuencia para representar las dos anteriores, como ya se dijo antes.

1.3.1 Tautologías relevantes

No es difícil ver que hay muchas tautologías. Sin embargo, algunas de ellas son

relevantes6 para las teorías matemáticas porque son requeridas frecuentemente en

las deducciones de sus teoremas. Vamos a presentar algunas de ellas a continua-

ción junto con una explicación para “entender” cómo se utiliza; añadiremos un

ejemplo concreto en algunas de las teorías matemáticas que hemos utilizado en los

ejemplos.

Modus Ponens

Este el nombre de la proposición

((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q. (1.10)

No es difícil cerciorarse de que se trata de una tautología si se elabora una tabla de

verdad para ella.

Una manera de “entender” lo que “nos dice” esta tautología es la siguiente:

6Las palabras “tautología relevantes” no son de ninguna manera un concepto de la Lógica o de laMatemática. El adjetivo relevante es utilizado aquí para enfatizar el hecho de que estas proposicionesson de uso frecuente y nada más.


[1.] La implicación

((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q


[2.] El antecedente de esta implicación es

(P ⇒ Q) ∧ P.

Si este antecedente fuera una proposición verdadera, el consecuente de la im-

plicación en [1.] tendría que ser verdadera necesariamente por el axioma de la

implicación. Y como Q es ese consecuente, entonces Q sería una proposición

verdadera necesariamente.

[3.] Bajo el supuesto de que el antecedente de [1.] es una proposición verdadera,

por el axioma de la conjunción, las dos proposiciones

P ⇒ Q y P

también serían verdaderas.

Con base en [3.] y en [2.], diremos “que la tautología Modus Ponens asegura

que”:

Si P ⇒ Q y P son verdaderas, necesariamente Q es verdadera. (1.11)

Y esto lo podemos decir únicamente porque ((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q es una tautología.

Veamos un ejemplo sencillo del uso de Modus Ponens en la Geometría euclídea.

Sabemos que un teorema en esta teoría es la proposición

Si T es un triángulo equilátero, la medida de cualquiera de sus ánguloses 60.

Supongamos que la proposición

El triángulo △ABC es equilátero

es verdadera. El teorema indicado asegura que cualquiera que sea el triángulo, si

este es equilátero, cualquiera de sus ángulos tendrá por medida7 el número 60. Por

tanto, el teorema asegura que la siguiente proposición es verdadera:

Si △ABC es equilátero, entonces m∠B = 60. (1.12)

Puesto que el antecedente de esta proposición es verdadera, Modus Ponens “nos ase-

gura que” el consecuente también es una proposición verdadera; es decir, podemos

garantizar que la proposición

m∠B = 607Vamos a utilizar el signo m∠A para representar la medida del ángulo ∠A


es verdadera.

Si no nos convence que el ejemplo anterior ilustra el uso de la tautología Modus

Ponens, utilicemos las letras P y Q para representar las proposiciones

“△ABC es equilátero” y “m∠B = 60”,

respectivamente. Por tanto, la proposición (1.12) se representa mediante

P ⇒ Q.

Luego, sabemos que las proposiciones

P ⇒ Q y P

son verdaderas. Luego, Modus Ponens asegura que necesariamente Q también lo es,

como dice (1.11).

Modus Tollens

Este es el nombre de la proposición

((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P. (1.13)

Es una tautología como se puede verificar fácilmente si se elabora una tabla de

verdad para ella.

Mediante un análisis similar al realizado para Modus Ponens el siguiente:

[1.] La implicación de

((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P


[2.] Por tanto, si el antecedente

((P ⇒ Q) ∧ ¬Q)

fuera verdadero, por el axioma de la implicación, el consecuente también se-

ría verdadero; es decir, ¬P sería verdadero y por el axioma de la negación, P

sería falsa.

[3.] Ahora, para que el antecedente sea verdadero, P ⇒ Q y ¬Q deberían ser

verdaderas. Y para que ¬Q sea verdadera, Q debería ser falsa.

Así, para que el antecedente sea verdadero, la proposición P ⇒ Q debería

ser verdadera y la proposición Q, falsa.

Con base en [3.] y [2.], diremos que “la tautología Modus Tollens asegura que”:

Si P ⇒ Q es verdadera y Q es falsa, necesariamente P es falsa. (1.14)


El ejemplo utilizado en Modus Ponens con una modificación nos sirve para ilus-

trar claramente el uso de Modus Tollens.

En efecto, recordemos que en dicho ejemplo, la proposición (1.12) es verdadera.

A diferencia de ese ejemplo, supongamos adicionalmente que la proposición

m∠B = 60 (1.15)

es falsa (es decir, la medida del ángulo B no es 60). ¿Qué es lo que se puede concluir

gracias a Modus Tollens? Que la proposición

El triángulo △ABC es equilátero

es falsa (es decir, el triángulo △ABC no es equilátero).

Igual que en el caso del Modus Ponens, no es difícil convencerse de que este

ejemplo ilustra claramente el uso de Modus Tollens.

Contrapositiva

Es el nombre de la proposición

(P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P). (1.16)

es una tautología como se puede verificar mediante una tabla de verdad para esta

proposición.

Sin embargo, hay otra manera de hacerlo: utilizando simplemente los axiomas

de la doble implicación, implicación y negación.

En efecto, para ver que la proposición (1.16) es una tautología, debemos verifi-

car que su valor de verdad es v independientemente de los valores de verdad de P

y Q. Para ello, determinamos los valores de verdad de ambas proposiciones según

los valores de verdad de P y de Q. Veamos:

1. Si P es falsa, luego, ¬P es verdadera. Por tanto, las dos proposiciones

P ⇒ Q y ¬Q ⇒ ¬P

tienen valor de verdad v, independientemente del valor de verdad de Q, pues

el antecedente de la primera proposición es f y el consecuente de la segunda

es v. (véase el axioma de la implicación). Es decir, estas dos proposiciones

tienen el mismo valor de verdad entre sí.

2. Si Q es verdadera, luego ¬Q es falsa. Por tanto, las dos proposiciones

P ⇒ Q y ¬Q ⇒ ¬P

tienen el valor de verdad de v, independientemente del valor de verdad de P

(el consecuente de la primera proposición es v y el antecedente de la segunda

es f). Es decir, las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad entre sí.


3. Si P es v y Q es f, entonces ¬P es f y ¬Q es v; luego las dos proposiciones

P ⇒ Q y ¬Q ⇒ ¬P

tienen el valor de verdad f, pues los antecedes de cada una son verdaderas

mientras que los consecuentes son falsas.

En resumen, las proposiciones

P ⇒ Q y ¬Q ⇒ ¬P

tienen el mismo valor de verdad

Esta tautología “nos asegura que”:

Las proposiciones P ⇒ Q y ¬Q ⇒ ¬P tienen igual valor de verdadpara los mismos valores de verdad de P y de Q.

La proposición ¬Q ⇒ ¬P se denomina contrapositiva de la proposición P ⇒

Q. Con esta palabra, lo que “asegura la tautología Contrapositiva” se escribe de la

siguiente manera:

Una implicación y su contrapositiva tienen el mismo valor de verdad.

En este último párrafo hemos utilizado la frase

“tienen igual valor de verdad para los mismos valores de verdad de P

y de Q”.

Antes de ilustrar con un ejemplo el uso de la tautología Contrapositiva, es necesario

precisar su significado.

Si los valores de verdad de P y de Q en la proposición P ⇒ Q no son los mismos

que en ¬Q ⇒ ¬P, entonces no podemos asegurar que las dos proposiciones

P ⇒ Q y ¬Q ⇒ ¬P

tengan el mismo valor de verdad.

Por ejemplo, si los valores de verdad de P y Q son ambos v, el valor de P ⇒ Q

es v. En cambio, si el valor de P es v y el de Q es f, entonces los valores de verdad

de ¬P y de ¬Q son f y v, respectivamente. Luego, el valor de verdad de ¬Q ⇒ ¬P

es f; es decir, distinto del valor de verdad de P ⇒ Q, como podemos verlo en estos

cuadros:

P Q P ⇒ Q

v v v

yP Q ¬Q ¬P ¬Q ⇒ ¬P

v f v f f

En conclusión, las dos proposiciones

P ⇒ Q y ¬Q ⇒ ¬P


no tienen, necesariamente, el mismo valor de verdad, salvo que los valores de ver-

dad de P y de Q tengan los mismos valores de verdad en ambas proposiciones.

Consideremos ahora el siguiente ejemplo de la Geometría euclídea. La proposi-

ción

Si la suma de los números α, β y γ, que son las medidas de tres ángulos,respectivamente, es distinta de 180, entonces los tres ángulos no sonángulos de un triángulo

tiene el mismo valor de verdad que la proposición

Si tres ángulos cuyas medidas son α, βy γ son los ángulos de un trián-gulo, entonces la suma de las tres medidas es igual a 180,

puesto que la primera es la contrapositiva de la segunda, y la segunda es verdadera

ya que es un teorema de la Geometría euclídea.

En efecto, si P y Q representan, respectivamente, las proposiciones:

P: Tres ángulos cuyas medidas son α, β y γ son los ángulos de un trián-gulo;

Q: La suma de α, β y γ es igual a 180;

entonces la proposiciones en cuestión se representan, respectivamente, por:

¬Q ⇒ ¬P y P ⇒ Q.

Y, como se puede ver, la primera es la contrapositiva de la segunda.

Ley de De Morgan para la negación de la conjunción


¬(P ∧ Q) ⇔ (¬P ∨ ¬Q). (1.17)

Es una tautología como se puede verificar fácilmente. Veamos “qué nos dice”:

[1.] La doble implicación

¬(P ∧ Q) ⇔ (¬P ∨ ¬Q)


[2.] De [1.] y el axioma de la doble implicación, las proposiciones

¬(P ∧ Q) y ¬P ∨ ¬Q

tienen igual valor de verdad para los mismos valores de verdad de P y de Q

(es decir, o bien ambas son verdaderas, o bien ambas falsas).


Podemos expresar Ley de De Morgan para la negación de la conjunción de la si-

guiente manera:

La negación de la conjunción de dos proposiciones tiene el mismo valorde verdad que la disyunción de la negación de dichas proposiciones, yviceversa.

Veamos un ejemplo sencillo. La proposición

la negación de a = 0 y b = 0

tiene el mismo valor de verdad de la proposición

a 6= 0 o b 6= 0,

porque la primera es la negación de la conjunción de a = 0 y b = 0:

¬(a = 0 ∧ b = 0),

y la segunda proposición es la disyunción de las negaciones de a = 0 y b = 0:

a 6= 0 ∨ b 6= 0.

(No hay que olvidar que a 6= 0 es la abreviación de ¬(a = 0)).

Un ejemplos más. En este ilustraremos el uso de la Contrapositiva y la Ley de

De Morgan de esta subsección. La siguiente proposición es un teorema de la teoría

Números reales:

ab = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0). (1.18)

De este teorema, se puede deducir el siguiente teorema:

(a 6= 0 ∧ b 6= 0) ⇒ ab 6= 0. (1.19)

En efecto:

1. La contrapositiva de la proposición (1.19) es

ab = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0)

En las siguientes subsecciones, presentaremos otras tautologías relevantes pero

omitiremos los ejemplos, los que podrán encontrarse en el material complementa-

rio de estas notas de clase8.

Doble negación


P ⇔ ¬¬P. (1.20)

8Las listas de ejercicios resueltos y propuestos.


Es una tautología que “nos dice”:


P ⇔ ¬¬P

es verdadera independientemente del valor de verdad de P.

[2.] Por el axioma de la doble implicación, los valores de verdad de P y ¬¬P son

los mismos, independientemente de los valores de verdad de P.

Así, la tautología Doble negación asegura que:

P y ¬¬P, aunque proposiciones diferentes, tienen el mismo valor deverdad independientemente del valor de verdad de P.

Ley de De Morgan para la negación de la disyunción


¬(P ∨ Q) ⇔ (¬P ∧ ¬Q). (1.21)

Es una tautología que nos dice:


¬(P ∨ Q) ⇔ (¬P ∧ ¬Q)


[2.] Los valores de verdad de ¬(P ∨ Q) y ¬P ∧ ¬Q son iguales para los mismos

valores de verdad de P y de Q.

Esta tautología Ley de De Morgan para la negación de la disyunción nos dice:

La negación de la disyunción de dos proposiciones tiene el mismo valorde verdad que la conjunción de la negación de dichas proposiciones, yviceversa.

Implicación-disyunción

Denominaremos así en estas notas de clase la proposición

(P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q). (1.22)

Es una tautología, como puede verificarse fácilmente. Nos dice que:

La implicación de dos proposiciones tiene el mismo valor de verdadque la disyunción de la negación del antecedente y del consecuente.

A diferencia de las tautologías anteriores, no hay un nombre generalizado para

esta tautología. Hay autores que le llama Eliminación de la implicación; por ejemplo,

(Mendelson, E. , 2015).


Negación de la implicación

Es el nombre de la tautología

¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q). (1.23)

Su significado es:


¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q)


[2.] De [1.] y el axioma de la doble implicación, los valores de verdad de las pro-

posiciones

¬(P ⇒ Q) y P ∧ ¬Q

son iguales para los mismos valores de verdad de P y de Q.

Esta tautología nos dice:

El valor de verdad de la negación de la implicación de dos proposicio-nes es igual al valor de verdad de la conjunción del antecedente y lanegación del consecuente.

Transitiva de la implicación


((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R). (1.24)

Es una tautología..

El significado de esta tautología es:

[1.] La implicación

((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R)

es verdadera independientemente de los valores de verdad de P, de Q y de

R.

[2.] Si el antecedente fuera una proposición verdadera, el consecuente también lo

sería (por el axioma de la implicación).

[3.] Si el antecedente de la proposición en [1.] fuera verdadera, por el axioma de

la conjunción, las proposiciones

P ⇒ Q y Q ⇒ R

también lo serían.


Así, diremos que “la tautología Transitiva de la implicación asegura que”:

Si P ⇒ Q y Q ⇒ R son verdaderas, necesariamente P ⇒ R es verdade-ra.

Esta es una de las tautologías que se utiliza con más frecuencia. Tendremos la opor-

tunidad de “verla en acción” a lo largo de cada uno de los capítulos de este curso.

Ejemplos: Tautologías

1. La proposición(((P ∨ Q) ∧ (P ⇒ R)) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ R

es una tautología. Esto podemos verificar fácilmente mediante la tabla de verdadde esta proposición (la tabla de verdad del antecedente fue realizada en la página21).

Como se puede observar ahí, este antecedente tiene el mismo valor de verdadque R en cada una de las filas, excepto en la séptima, fila en la cual el antecedentees falso y, por tanto, la implicación, verdadera.

Esta tautología se denomina Silogismo hipotético disyuntivo.

1.3.2 La “forma” de una proposición

Desde el enunciado del axioma de los Principios fundamentales (véase la página 11 y

siguientes), se ha hecho evidente lo que vamos a llamar “forma” de una proposición

y que es una de las características de la Lógica de proposiciones más importantes y

útiles en la deducción de proposiciones.

En efecto, hemos probado que la proposición

P ∨ ¬P

es una tautología. No es muy difícil ver que la proposición

R ∨ ¬R

también es una tautología.

Lo que se puede ver de esto es que cualesquiera de las dos representaciones

(independientemente de la letra que utilicemos) expresa que:

la disyunción de una proposición y su negación es verdadera indepen-dientemente de la proposición.

Es decir,

la disyunción de una proposición y su negación es verdadera para toda(o cualesquier) proposición.


Esta es una característica de cualquier expresión que represente una proposi-

ción cuando las letras que se utilizan no representan proposiciones específicas de

una teoría matemática.

En el caso de la tautología Principio del Tercero Excluido, la característica mencio-

nada se expresa al decir que

lo que hace siempre verdadera a una proposición es su “forma” y no lasletras que se utilicen para su representación.

Así, por ejemplo, la proposición

(P ∧ Q) ∨ ¬(P ∧ Q)

tiene la misma “forma” que las proposiciones

P ∨ ¬P, que Q ∨ ¬Q o que (R ⇒ ¬Q) ∨ ¬(R ⇒ ¬Q)

(entre muchas otras). Y por esto decimos que todas ellas representan la tautología

Principio del Tercero Excluido. En este sentido, la proposición

T ∨ ¬T,

donde T representa una proposición cualesquiera (es decir, ninguna en particular)

se denomina forma de dicha proposición, porque representa las infinitas posibles

disyunciones de una proposición y su negación.

Cada caso particular de esta forma será denominado ejemplificación de la for-

ma de la proposición T ∨ ¬T.

Por esta razón, diremos que:

la disyunción de cualquier proposición y su negación es verdadera pueses una ejemplificación de la forma del Principio del Tercero Excluido o,simplemente, una ejemplificación del Tercero Excluido.

Con muchas frecuencia utilizaremos como sinónimo de ejemplificación las pa-

labras caso particular.

Ejemplos: Forma de una proposición

1. Como la proposición¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q)

es una tautología, también la siguiente proposición lo es:

¬(¬R ⇒ S) ⇔ (¬R ∧ ¬S),

pues se trata de una ejemplificación de la primera.

En efecto, en la primera proposición, en lugar de P, se escribió ¬R y, en lugar


de Q, la proposición S. En fin, ambas proposiciones tienen la misma forma puesson un caso particular de la tautología Negación de la implicación.

Otra ejemplificación de la Negación de la implicación es

¬(P ⇒ ¬Q) ⇔ (P ∧ ¬¬Q).

2. La proposición¬¬¬R ⇔ ¬R

es un caso particular de la Doble negación ya que tiene la misma forma de la propo-sición

¬¬P ⇔ P,

que es la tautología Doble negación.

3. La proposiciónP ⇒ (Q ⇒ P)

es una tautología, como se puede verificar fácilmente si se realiza su tabla de ver-dad. Por tanto, la proposición

P ⇒ ((P ⇒ P) ⇒ P)

también es una tautología.

4. La proposición¬((P ⇒ Q) ∧ ¬P)

no es una ejemplificación de la No contradicción. En efecto, esta proposición no es lanegación de la conjunción de una proposición y su negación.

Sin embargo, la proposición en cuestión sí es una ejemplificación de la propo-sición

¬(S ∧ T).

En este caso, en lugar de S, está P ⇒ Q y, en lugar de T, está ¬P.

Para utilizar la Lógica de proposiciones es más importante y útil reconocer la “for-

ma” de una proposición que las letras utilizadas para representar las proposiciones

mediantes las cuales se expresa.

A continuación, veamos la forma de algunas tautologías de uso frecuente.

1. La Doble negación es:

¬¬P ⇔ P.

Su “forma” es:

La doble implicación de:

i. la negación de la negación de una proposición; y

ii. la proposición.


2. La Ley de De Morgan para la negación de la disyunción es:

¬(P ∨ Q) ⇔ (¬P ∧ ¬Q).

Su “forma” es:


i. la negación de la disyunción de dos proposiciones; y

ii. la conjunción de las negaciones de las proposiciones.

3. La Contrapositiva es:

(P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P).

Su “forma” es:


i. la implicación de dos proposiciones; y

ii. la implicación de la negación del consecuente y la negación del

antecedente de la primera implicación.

1.4 Deducción

Antes de definir el concepto de deducción, veamos algunos ejemplos de deduc-

ciones en algunas de las teorías matemáticas que estudiaremos a lo largo de este

curso.

Ejemplos: Deducciones

1. En la teoría Conjuntos, si a es un conjunto y ∅ es el conjunto vacío, la proposición

∅ ⊆ a

es un teorema.

¿Por qué? Porque esta se deduce de un axioma o de un teorema que se dedu-ce de un axioma de esta teoría. Veamos una de las posibles deducciones de estaproposición.

Para simplificar el ejemplo, vamos a utilizar las letras minúsculas del alfabetoespañol para representar conjuntos, de modo que no será necesario decir que a, b,x, y, etcétera son conjuntos cuando aparezcan estas letras en las proposiciones.

A continuación, listemos un concepto definido y un teorema de la teoría deconjuntos requeridos para la deducción:

∆: El signo a ⊆ b se utiliza para representar el concepto definido subconjuntoque se define explícitamente de la siguiente manera:


a es subconjunto de b si la proposición

x ∈ a ⇒ x ∈ b

es verdadera. Esto significa que esta proposición se representa por el signoa ⊆ b.

T: Un teorema de esta teoría es la proposición

¬(a ∈ ∅),

donde a es cualquier conjunto.

Con esto presente, el siguiente es un procedimiento usual para deducir la pro-posición

∅ ⊆ a

a partir del teorema T.

i. Por la definición ∆, la proposición que vamos a deducir es

x ∈ ∅ ⇒ x ∈ a;

es decir, vamos a demostrar que es verdadera.

ii. Por el teorema T, la proposición

¬(x ∈ ∅)

es verdadera.

iii. Por el axioma de la negación aplicado a [ii.], la proposición

x ∈ ∅

es falsa.

iv. Por [iii.] y el axioma de la implicación, la proposición

x ∈ ∅ ⇒ x ∈ a

es verdadera (pues su antecedente es f), que es lo que queríamos demostrar.

En resumen,

La proposición∅ ⊆ a

se dedujo de los axiomas de los cuales se haya deducido el teorema T.

(Para el ejemplo, no es relevante indicar de qué axiomas se dedujo el teorema; loúnico que hay que garantizar es haya sido así).

2. En la teoría Números reales, si a y b son números reales, la proposición

a = b ⇒ b = a


es un teorema. Es decir, se deduce de uno o varios axiomas de esta teoría. Veamosuna posible deducción.

Como hicimos en el ejemplo anterior, utilizaremos letras minúsculas del alfa-beto español para representar números reales con el fin de simplificar el ejemplo.Así, no será necesario indicar en las proposiciones en que aparezcan a y b que setrata de números reales.

Las siguientes proposiciones son los axiomas a partir de los cuales vamos adeducir la proposición en cuestión:

A1: s = s.

A2: Si s = t es verdadera, entonces en cualquier proposición en la que aparezca s,podemos sustituirle por t. La proposición resultante de la sustitución tiene elmismo valor de verdad que la proposición original.

Con esto en mente, el procedimiento que mostramos a continuación es unocomúnmente utilizado:

i. Suponemos que la proposición a = b es verdadera. El objetivo es establecerque b = a también es verdadera.

ii. Por el axioma A1, la proposición a = a es verdadera.

iii. Como a = b es verdadera (por [i.]), gracias al axioma A2, podemos sustituir,en la proposición en [ii.], el número a que aparece en el lado izquierdo delsigno = por b; el resultado es la proposición

b = a.

Y esta proposición es verdadera ya que tiene el mismo valor de verdad quela proposición en [ii.] (que es verdadera), gracias al axioma A2.

iv. La secuencia [i.] - [iii.] es la deducción de la proposición

a = b ⇒ b = a.

Recordemos que es, justamente la Lógica la que establece la validez de este pro-cedimiento, y lo hace a través de los conceptos que estamos estudiando en estecapítulo y de la definición de deducción que, luego de estos ejemplos, vamos apresentar.

Pero, antes de ello, veamos cómo la Lógica justifica la validez del procedimientoanterior.

Con este fin, utilicemos las letras P y Q para representar las proposiciones a = b

y b = a, respectivamente. Así, la proposición que vamos a deducir es

P ⇒ Q.

Utilicemos también la letra R para representar la proposición a = a.

El procedimiento anterior para deducir P ⇒ Q, utilizando la Lógica de proposi-

ciones, es el siguiente:


i. Suponemos queP

es verdadera. Nuestra intención es mostrar que Q también lo es.

ii. La proposiciónR


iii. La proposición(P ∧ R) ⇒ Q

representa el axioma A2; por tanto, es verdadera.

(Para que esté claro este paso de la deducción, revísese el paso [iii.] de laprimera deducción en este ejemplo.)

iv. La proposiciónP ∧ R

es verdadera por la aplicación de la regla de inferencia Introducción de la con-

junción a las proposiciones en [i.] y [ii.].

v. La proposiciónQ

es verdadera por la aplicación de la regla de inferencia Modus Ponens a lasproposiciones en [iii.] y [iv.], que es lo que se quería demostrar.

En resumen:

I. La proposiciónQ

se ha deducido de

A1, A2 y P.

II. El paso I asegura que la proposición

P ⇒ Q

se ha deducido de los axiomas

A1 y A2.

En este ejemplo se presentaron dos deducciones para la misma proposición.La segunda, en términos de la Lógica de proposiciones, es similar a la primera. Sinembargo, es importante notar que esta última es un registro completo del procedi-miento de deducción. Lo que se omitió en la primera deducción son las reglas deinferencia de la Lógica de proposiciones para deducir proposiciones (Introducción de

la conjunción y Modus Ponens).

3. Veamos otro ejemplo de deducción en la teoría Números reales. Con el mismo acuer-do de que las letras minúsculas del alfabeto español representen números reales,mostremos una deducción de la proposición

si a = b, entonces a + c = b + c.


Igual que en los ejemplos anteriores, por ahora no es necesario en este puntoconocer ni todos los axiomas ni todas las definiciones de la teoría de los númerosreales. Es suficiente saber aquellos que intervendrán en la deducción. En este caso,son los siguientes axiomas:

A1: s = s.

A2: s + t es un número real.

A3: Si s = t, entonces en cualquier proposición en la que aparezca s, podemossustituirle por t. La proposición resultante de la sustitución tiene el mismovalor de verdad que la proposición original.

Una deducción típica es la siguiente:

i. Suponemos que la proposicióna = b

es verdadera. Vamos a establecer que la proposición a + c = b + c también loes.

ii. Por el axioma A1, la proposición

a + c = a + c

es verdadera.

iii. Por el axioma A3, de la proposición en [i.] y la proposición en [ii.], la propo-sición

a + c = b + c

es verdadera porque esta proposición es el resultado de sustituir a por b en ellado derecho del signo = en la proposición en [ii.], la misma que es verdadera(paso [ii.]). Y esto es, justamente, lo que se quería.

Aunque no se menciona a lo largo de esta deducción, el axioma A2 ha sidoutilizado cada vez que aparece a+ c o b+ c para garantizar que se trata de númerosreales.

Mediante la Lógica de proposiciones, ilustremos esta deducción. Para ello, utilice-mos las letras P, Q y R para representar las proposiciones a = b y a + c = b + c ya + c = a + c, respectivamente. Así, la proposición que hay que deducir es

P ⇒ Q.

La deducción anterior se expresa de la siguiente manera en la Lógica de proposiciones:

i. Suponemos que la proposiciónP

es verdadera.

ii. La proposiciónR



iii. La proposición(P ∧ R) ⇒ Q

representa el axioma A3; así, es verdadera.

iv. La proposiciónP ∧ R

es verdadera gracias a la aplicación de la regla de inferencia Introducción de la

conjunción a las proposiciones en [i.] y en [ii.].

v. La proposiciónQ

es verdadera debido a la regla de inferencia Modus Ponens aplicada a las pro-posiciones en [iii.] y [iv.], como se quería.

En resumen,

I. La proposiciónQ

se dedujo de las proposiciones

A1, A2, A3 y P.


P ⇒ Q

ha sido deducida de los axiomas

A1, A2 y A3.

4. Este ejemplo también trata de la misma proposición del ejemplo anterior: si a, b y c

son números reales, la proposición

si a = b, entonces a + c = b + c

es un teorema.

La diferencia con el ejemplo anterior estriba en que ahora no utilizaremos elacuerdo tácito de representar los números reales con letras minúsculas del alfabetoespañol. Como se podrá apreciar, la dificultad de la deducción se incrementa asícomo su extensión (el número de “pasos”).

Los axiomas a partir de los cuales se deduce la proposición en cuestión son,obviamente, los mismos que en el ejemplo anterior. Notemos, sin embargo, queahora el axioma A2 es utilizado explícitamente.

A1: Si s es un número real, entonces s = s.

A2: Si s y t son números reales, entonces s + t también es un número real.

A3: Si s y t son dos números reales tales que s = t, entonces en cualquier proposi-ción en la que aparezca s, podemos sustituirle por t. La proposición resultantede la sustitución tiene el mismo valor de verdad que la proposición original.


Con estos axiomas en mente, el siguiente procedimiento es una deducción típi-ca de la proposición


a partir de los axiomas:

i. Suponemos que a = b es verdadera. Nuestro propósito es establecer que a +

c = b + c también es verdadera.

ii. Como a y c son números reales, por el axioma A2, a+ c también es un númeroreal.

iii. Como a + c es un número real, por el axioma A1, la proposición

a + c = a + c

es verdadera.

iv. Finalmente, como a = b es verdadera (paso [i.]), por el axioma A3, podemossustituir en la proposición en [iii.], el número a que aparece en el lado derechodel signo = por b; el resultado es la proposición

a + c = b + c.

Y esta proposición también es verdadera porque tiene el mismo valor de ver-dad que la proposición de [iii.], que es verdadera.

v. En resumen, la secuencia [i.] - [iv.] es la deducción de la proposición

si a = b, entonces a + c = b + c.

Y, por esta razón, es verdadera en la teoría de los números reales.

Una vez más, podemos establecer la validez del procedimiento si representa-mos simbólicamente todas estas proposiciones. En efecto, utilicemos las letras P yQ para representar las proposiciones a = b y a+ c = b+ c, respectivamente. Luego,la proposición


es la implicación de P y de Q: P ⇒ Q.

Además:

R: a es un número real;

S: b es un número real;

T: c es un número real;

U: a + c es un número real.

V: a + c = a + c.

El primer procedimiento en este ejemplo para deducir P ⇒ Q en términos deP y de Q es el siguiente:


i. Suponemos que la proposiciónR

es verdadera.

ii. Suponemos que la proposiciónS

es verdadera.

iii. Suponemos que la proposiciónT

es verdadera.

iv. Suponemos queP

es verdadera. Vamos a demostrar que Q también lo es.

v. La proposición(R ∧ T) ⇒ U

representa el axioma A2. Por tanto, es verdadera.

vi. La proposiciónR ∧ T

es verdadera por la regla de inferencia Introducción de la conjunción aplicada alas proposiciones en [i.] y [iii.].

vii. La proposiciónU

es verdadera por la regla de inferencia Modus Ponens aplicada a las proposi-ciones en [v.] y [vi.].

viii. La proposiciónU ⇒ V

representa el axioma A1. Luego, es verdadera.

ix. La proposiciónV

es verdadera por la regla de inferencia Modus Ponens aplicada a las proposi-ciones en [viii.] y [vii.].

x. La proposición((R ∧ S) ∧ (P ∧ V)) ⇒ Q

representa el axioma A3.

xi. La proposiciónR ∧ S

es verdadera por la regla de inferencia Introducción de la conjunción aplicada alas proposiciones en [i.] y [ii.].


xii. La proposiciónP ∧ V

es verdadera por la regla de inferencia Introducción de la conjunción aplicada alas proposiciones en [iv.] y [ix.].

xiii. La proposición(R ∧ S) ∧ (P ∧ V)

es verdadera por la regla de inferencia Introducción de la conjunción aplicada alas proposiciones en [xi.] y [xii.].

xiv. La proposiciónQ

es verdadera por la regla de inferencia Modus Ponens aplicada a las proposi-ciones en [x.] y [xiii.].

En resumen,

I. La proposiciónQ

se ha deducido de

A1, A2, A3, R, S, T y P.


P ⇒ Q

se ha deducido de

A1, A2, A3, R, S y T.

En este ejemplo, la secuencia de la deducción en términos de la Lógica de propo-

siciones es más extensa que la realizada únicamente mediante proposiciones de lateoría de los Números reales. Esto se debe a dos razones.

La primera, como se aprecia en los tres ejemplos (no en el primero), en la de-mostración utilizando la Lógica de proposiciones se registra el procedimiento comple-to (principalmente, el uso de la reglas de inferencia). La segunda razón, no asumirel acuerdo de que las letras minúsculas del alfabeto español representan númerosreales.

Hemos dicho que las deducciones fuera de la Lógica de proposiciones son las usua-

les, a pesar de no ser completas. ¿Por qué estudiar, entonces, la Lógica de proposicio-

nes? La respuesta es muy simple: al estudiar la Lógica se aprenden los conceptos

y las reglas requeridos para realizar tal procedimiento; es decir, se aprende a de-

ducir proposiciones. El premio de tal aprendizaje es que, una vez este alcanzado,

no requeriremos ya escribir en detalle los procedimientos utilizados en la Lógica

de proposiciones. Las personas que conocen Matemática y que lean una deducción

como la primera (la común) entenderán aquellas partes que se han omitido en la

escritura. Pero, para lograrlo, tenemos que aprender todo aquello que ocultamos

(en particular, la aplicación explícita de las reglas de inferencia).


En los ejemplos, aparecieron los conceptos de deducción y de regla de inferen-

cia. La relación entre ellos se expresa mediante los siguientes enunciados:

1. La regla de inferencia Introducción de la conjunción establece que:

Si las proposiciones P y Q son verdaderas, se deduce que también

lo será la proposición P ∧ Q.

2. La regla de inferencia Modus Ponens establece que:

Si las proposiciones P ⇒ Q y P son verdaderas, se deduce que la

proposición Q también lo es.

En otras palabras,

Las reglas de inferencia expresan un procedimiento para deducir una

proposición de (o a partir de) otras proposiciones.

Más adelante, precisaremos la relación entre los conceptos regla de inferencia y

deducción.

Para definir deducción y regla de inferencia, vamos a utilizar los conceptos

implicación y tautología, puesto que si la implicación

P ⇒ Q

es una tautología y P es verdadera, el axioma de la implicación nos asegura que Q

también lo será9. Y esa es la idea central de la deducción:

una proposición Q se deduce de una proposición P si bajo la condición

de que P es verdadera, Q también lo será.

Esta idea se plasma en la siguiente definición.

DEFINICIÓN 1.2 (Deducción)

Se dice que la proposición Q se deduce lógicamente de la proposición P si la im-

plicación de P y Q es una tautología.

Utilizaremos el signo

P |= Q

para indicar que Q se deduce lógicamente de P.

Las siguientes locuciones son sinónimos de “Q se deduce lógicamente de P”:

1. De P se deduce lógicamente Q.

9Es importante notar que si P ⇒ Q es una tautología, P o Q, o ambas, no pueden ser proposicionessimples. En efecto, si las dos fueran simples, es obvio que P ⇒ Q no es una tautología, pues no esverdadera independientemente de los valores de verdad de P y de Q (si P es v y Q es f, por ejemplo).

Así, si P ⇒ Q es una tautología, su valor de verdad es v independientemente de las proposicionesmediante las que se expresan P o Q.


2. P implica lógicamente10 Q.

3. Q se infiere de P.

4. De P se infiere Q.

5. De P se tiene Q.

En lugar de las palabras, infiere o deduce, se utilizan también las siguientes

como sinónimos:

deriva, colige, obtiene, concluye.

Abuso de lenguaje

1. Frecuentemente, se utilizará únicamente la palabra “deduce” en lugar de

“deduce lógicamente”.

2. A menudo, también se dirá que

“de P se tiene Q”

en lugar de

“de P se deduce lógicamente Q”.

3. También se suele decir que

“Q se ha obtenido (deducido, derivado, colegido) a partir de

P”

en lugar de

“Q se deduce de P”.

La notaciónP

Q

suele leerse o denominarse también regla de inferencia, la proposición P se llama

hipótesis o premisa y Q, conclusión.

Esta notación de “regla de inferencia” se extiende de siguiente manera: si P, R,

. . . , S y Q son proposiciones tales que la implicación

(P ∧ R ∧ · · · ∧ S) ⇒ Q

10Para evitar la confusión entre implicación e implicación lógica, evitaremos utilizar este nombre.


es una tautología, se escribeP

R...

S

Q

y se lee: “Q se deduce de P, R, . . . , S” (en lugar de “deducir”, se usa cualesquiera

de los sinónimos). A las proposiciones P, R, . . . , S se les llama premisas o hipótesis

y a Q, conclusión.

En lugar de esta notación, también se escribe

P, R, · · · , S |= Q.

Como se podrá ver a continuación, varias de las tautologías relevantes que es-

tudiamos antes justifican la deducción de ciertas proposiciones.

Ejemplos: Deducción

1. Podemos decir que

la proposición Q se deduce de las proposiciones P ⇒ Q y P

porque la proposición((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q

es una tautología (como vimos en la página 28).

Podemos, entonces, también decir y escribir lo siguiente:

(a) Q se deduce de (P ⇒ Q) ∧ P.

(b) Q se deduce de P ⇒ Q y de P.

(c) De P ⇒ Q y de P, se deduce Q.

(d) P ⇒ Q, P |= Q.

Cuando se deduce una proposición Q de P ⇒ Q y de P diremos que

Q se ha deducido por la aplicación de Modus Ponens a P ⇒ Q y P.

El hecho de deducir una proposición a partir de otras por la aplicación de Modus

Ponens denominaremos regla de inferencia Modus Ponens y puede leerse así:

De la implicación de dos proposiciones y del antecedente de esta impli-cación, se deduce el consecuente la misma.

Dicho de otro modo,

si la implicación de dos proposiciones y su antecedente son verdaderas,el consecuente de la implicación también es verdadera.


Aunque no es necesario, es costumbre representar la regla de inferencia Modus

Ponens de la siguiente manera:P ⇒ Q

P

Q

Notemos que esta representación es solo una manera alternativa de escribir

P ⇒ Q, P |= Q.

La única importancia de tal escritura es histórica y, probablemente, visual.

Ya hemos visto ejemplos del uso de Modus Ponens en la deducción de proposi-ciones en los ejemplos que abren esta sección.

2. En los ejemplos de esta sección, también nos encontramos con que

la proposición P ∧ Q se deduce de las proposiciones P y Q.

Esta deducción es válida puesto que la proposición

(P ∧ Q) ⇒ (P ∧ Q)

es una tautología, como es fácil constatar.

Luego, podemos decir y escribir lo siguiente:

(a) P ∧ Q se deduce de P y de Q.

(b) De P y de Q, se deduce P ∧ Q.

(c) P, Q |= P ∧ Q.

Cuando se deduce P ∧ Q de P y de Q, diremos que

P ∧ Q se ha deducido por la aplicación de Introducción de la conjunción aP y a Q.

El hecho de deducir una proposición a partir de otras por la aplicación de Intro-

ducción de la conjunción llamaremos regla de inferencia Introducción de la conjunción.Esta regla se lee así:

De dos proposiciones, se deduce la conjunción de ambas.

En otras palabras,

si dos proposiciones son verdaderas, su conjunción también lo es.

Se escribeP

Q

P ∧ Q

para indicar la regla de inferencia Introducción de la conjunción.

3. Podemos afirmar que

la proposición ¬P se deduce de las proposiciones P ⇒ Q y ¬Q,


puesto que la proposición

((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P

es una tautología (véase la página 30).

Luego, podemos decir y escribir lo siguiente:

(a) ¬P se deduce de (P ⇒ Q) ∧ ¬Q.

(b) ¬P se deduce de P ⇒ Q y de ¬Q.

(c) De P ⇒ Q y ¬Q, se deduce ¬P.

(d) P ⇒ Q,¬Q |= ¬P.

Cuando se deduce ¬P de P ⇒ Q y de ¬Q, diremos que

¬P se ha deducido por la aplicación de Modus Tollens a P ⇒ Q y ¬Q.

El hecho de deducir una proposición a partir de otras por la aplicación de Mo-

dus Tollens llamaremos regla de inferencia Modus Tollens. Esta regla se lee así:

De la implicación de dos proposiciones y la negación del consecuentede esta, se deduce la negación del antecedente de la implicación.

En otras palabras,

si una implicación es verdadera y su consecuente es falso, el antecedentede la implicación también es falso.

Se escribeP ⇒ Q

¬Q

¬P

para indicar la regla de inferencia Modus Tollens.

Al final de este capítulo, podemos encontrar otras reglas de inferencia que seusarán en el estudio de las diversas teorías matemáticas que abordaremos en estecurso, por lo que no es necesario ahondar en ellas ni trabajar más ejemplos porahora.

4. Puesto que((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R)

es una tautología, como vimos en el ejemplo 1.24 en la página 36, podemos decir yescribir lo siguiente:

(a) P ⇒ R se deduce de (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R).

(b) P ⇒ R se deduce de (P ⇒ Q) y de (Q ⇒ R).

(c) De P ⇒ Q y Q ⇒ R, se deduce P ⇒ R.

(d) P ⇒ Q, Q ⇒ R |= P ⇒ R.

(e)P ⇒ Q

Q ⇒ R

P ⇒ R


5. Como((P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ S) ∧ (P ∨ Q)) ⇒ (R ∨ S)

es una tautología, como se podrá verificar al realizar su tabla de verdada, podemosescribir:

(a) R ∨ S se deduce de ((P ⇒ R) ∧ (Q ⇒ S) ∧ (P ∨ Q)).

(b) R ∨ S se deduce de P ⇒ R, Q ⇒ S y P ∨ Q.

(c) P ⇒ R, Q ⇒ S, P ∨ Q |= R ∨ S.

(d)

P ⇒ R

Q ⇒ S

P ∨ Q

R ∨ S

A esta tautología la llamaremos Silogismo hipotético disyuntivo.

aUna tarea mecánica pero laboriosa, ya que involucra cuatro proposiciones; por tanto, hay16 valores de verdad posibles. Esta es, tal vez, la única tautología de cuatro proposiciones rele-vante.

Observaciones sobre el concepto “deducción lógica”

1. La deducción lógica es una relación entre dos proposiciones. ¿Cuál? La si-

guiente: “la implicación entre las proposiciones es una tautología”.

2. El símbolo P |= Q no representa una proposición. Una vez más: ¡representa

una relación entre las proposiciones P y Q! Lo mismo aplica a la representa-

ción de una regla de inferencia.

3. P implica lógicamente Q y Q se deduce de P representan el mismo concepto:

la implicación de P ⇒ Q es una tautología.

Usos de las deducciones lógicas

Hemos visto en los ejemplos de esta sección y en algunos de la anterior, cómo se

deducen algunas proposiciones a partir de otras. Ahora ya le hemos dado un con-

cepto preciso de manera que ya poseemos la herramienta para deducir u obtener

los teoremas de una teoría matemática. Como se dijo al inicio de este curso, obtener

proposiciones verdaderas sobre los conceptos que estudia la teoría matemática es

el propósito del desarrollo de dicha teoría. Al procedimiento mediante el cual se re-

porta qué reglas de inferencia o qué tautologías se han utilizado para la deducción

de una proposición (a partir de los axiomas) se denomina demostración de dicha

proposición.

1.5 Equivalencias lógicas y el Principio de sustitución

Para realizar deducciones, junto a las deducciones lógicas, hay otra relación entre

proposiciones: la equivalencia lógica. Veamos un ejemplo en primer lugar.


En la teoría Números reales, se deduce la proposición

si a y b son distintos de 0, entonces ab también es distinto de 0

de la proposición

si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.

Esta deducción se obtiene con ayuda de las tautologías Contrapositiva, Doble nega-

ción y Ley de De Morgan para la negación de la disyunción.

En efecto, en primer lugar, escribamos en forma simbólica estas proposiciones

en la teoría Números reales. La primera es

(a 6= 0 ∧ b 6= 0) ⇒ ab 6= 0 (1.25)

y la segunda,

ab = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0). (1.26)

Nuestro propósito es deducir la proposición (1.25) de la proposición (1.26).

Antes de continuar, permitámonos una digresión. Observemos que en esta re-

presentación de las dos proposiciones, no hemos utilizado letras como P, Q, R,

etcétera. ¿Por qué en el estudio de la Lógica sí lo hacemos?

Una razón, como se ha mencionado ya, es que la Lógica de proposiciones estudia

las “formas” de las proposiciones que intervienen en cualquier teoría matemática.

Cuando trabajamos una teoría específica (como la de los Números reales), utilizamos

las proposiciones de la teoría (como en varios de los ejemplos de este capítulo) y,

muy ocasionalmente requerimos representarlas con letras como P, Q, R, etcétera;

generalmente, lo hacemos solo con fines explicativos.

Volvamos al hilo inicial. Una deducción de la proposición (1.25) a partir de la

proposición (1.26) sigue el siguiente curso:

i. En lugar de deducir la proposición (1.25), deduciremos la contrapositiva de

esta proposición:

¬(ab 6= 0) ⇒ ¬(a 6= 0 ∧ b 6= 0). (1.27)

¿Por qué? Porque las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad (por

la tautología Contrapositiva, página 31).

ii. Ahora bien, como x 6= y es la abreviación de la proposición ¬(x = y), la

proposición (1.27) no es más que una abreviación de la proposición

¬¬(ab = 0) ⇒ ¬(¬(a = 0) ∧ ¬(b = 0)). (1.28)

iii. Por la tautología Doble negación (página 34), la proposición ¬¬(ab = 0) tiene el

mismo valor de verdad que la proposición ab = 0. Por tanto, si reemplazamos

la primera por la segunda en la proposición (1.28), la proposición que resulta


de tal sustitución es

ab = 0 ⇒ ¬(¬(a = 0) ∧ ¬(b = 0)). (1.29)

y, además, tiene el mismo valor de verdad que la proposición original (es

decir, la (1.28)).

iv. Por la tautología Ley de De Morgan para la negación de la conjunción (página 33),

el consecuente de la proposición (1.29) tiene el mismo valor de verdad que la

proposición

¬¬(a = 0) ∨ ¬¬(b = 0).

Luego, reemplazamos dicho consecuente por esta proposición, obtenemos es-

ta otra

ab = 0 ⇒ (¬¬(a = 0) ∨ ¬¬(b = 0)), (1.30)

que tendrá el mismo valor de verdad que la proposición original (1.29).

v. Una vez más, por la tautología Doble negación, podemos reemplazar las dos

proposiciones de la disyunción en el consecuente de (1.30) por las proposicio-

nes a = 0 y b = 0, respectivamente.

Lo que se obtiene es la proposición

ab = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0), (1.31)

que tiene el mismo valor de verdad que la proposición original (1.30).

La proposición obtenida, como se puede ver fácilmente, no es otra que la

proposición (1.26).

vi. En resumen, hemos probado que las proposiciones (1.25) y (1.26) tienen el

mismo valor de verdad; luego, si la segunda es verdadera, la primera también

lo será.

Como se trata de una implicación, si el antecedente fuera falso, entonces, inde-

pendientemente del consecuente, la implicación sería verdadera. Pero, si el antece-

dente fuera verdadero, la única posibilidad para que la implicación sea verdadera

es que el consecuente también sea verdadero.

En este procedimiento, en lugar de demostrar que la proposición (1.25)

(a 6= 0 ∧ b 6= 0) ⇒ ab 6= 0

es verdadera, se ha demostrado que esta tiene el mismo valor de verdad que la

proposición (1.26)

ab = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0).

Y, como esta es verdadera (es un teorema de la teoría), la primera también lo es.


Además, el proceso de demostración de que ambas proposiciones tienen el mis-

mo valor de verdad recurrió a varias tautologías y varias sustituciones de una pro-

posición por otra que tiene el mismo valor de verdad que la primera.

Cuando dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad, se les llama equi-

valentes lógicamente y este procedimiento de sustitución se conoce con el nombre

de Principio de sustitución por equivalentes lógicos. Su uso es muy frecuente y ya ten-

dremos la oportunidad de usarlo y aprenderlo muy bien.

DEFINICIÓN 1.3 (Equivalencia lógica)

Se dice que una proposición P es equivalente lógicamente a Q si la doble implica-

ción de P y Q es una tautología.

Utilizaremos el signo

P ≡ Q

para indicar que P es equivalente lógicamente a Q.

Es claro, del axioma de la doble implicación que si dos proposiciones son equi-

valentes lógicamente, tienen el mismo valor de verdad independientemente de los

valores de verdad de las proposiciones mediante las cuales se expresan.

Hay muchas equivalencias lógicas. Veamos algunas de ellas, las que se utili-

zarán con mayor frecuencia. Las equivalencias lógicas suelen identificarse con los

mismos nombres que las tautologías correspondientes.

Reflexiva.

Toda proposición es equivalente lógicamente consigo misma.

Esto es:

P ≡ P

para toda proposición P.

En efecto, para afirmar esto solo hay que ver que P ⇔ P es una tautología, como

se puede verificar de la simple aplicación del axioma de la implicación.

Doble negación.

La negación de la negación de una proposición es equivalente lógica-mente a la proposición.

Esto es:

¬¬P ≡ P

para toda proposición P.

Esto es claro dado que ¬¬P ⇔ P es una tautología. ¡Debe estar claro que estas

dos proposiciones no son iguales: en una de ellas, aparece dos veces la negación;

en la otra, ni una sola vez!


Contrapositiva.

La implicación de dos proposiciones es equivalente lógicamente a la im-plicación de la negación del consecuente y la negación del antecedentede la primera implicación.

Esto es:

P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P

para toda proposición P y toda proposición Q.

La razón de esto es porque

(P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P)

es una tautología.

Una vez más: ¡las proposiciones

P ⇒ Q y ¬Q ⇒ ¬P

son distintas!

Ley de De Morgan para la negación de la conjunción.

La negación de la conjunción de dos proposiciones es equivalente lógi-camente a la disyunción de la negación de cada proposición.

Esto es:

¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q

para toda proposición P y toda proposición Q.

La razón: la proposición

¬(P ∧ Q) ⇔ (¬P ∨ ¬Q)

es una tautología.

Observaciones

Es importante prestar mucha atención a las siguientes características de una equi-

valencia lógica:

1. Tiene que estar claro que el signo P ≡ Q no representa una proposición sino

una relación entre proposiciones: la doble implicación de P y Q es una tauto-logía.

2. También hay que estar claro que el hecho de que P ≡ Q no significa que

P sea igual a Q; únicamente significa que tienen el mismo valor de verdad

independientemente de los valores de verdad de las proposiciones mediante

las cuales se expresan.


3. Si dos proposiciones son equivalente lógicamente, o ambas son verdaderas o

ambas son falsas, debido al axioma de la doble implicación.

Ejemplos: Equivalencias lógicas

1. Asociativa de la disyunción: si P, Q y R son proposiciones, entonces

(P ∨ Q) ∨ R ≡ P ∨ (Q ∨ R)

puesto que((P ∨ Q) ∨ R) ⇔ (P ∨ (Q ∨ R))

es una tautología, como se verificó en el ejemplo 4 en la página 25.

2. Asociativa de la conjunción: si P, Q y R son proposiciones, entonces

(P ∧ Q) ∧ R ≡ P ∧ (Q ∧ R)

puesto que((P ∧ Q) ∧ R) ⇔ (P ∧ (Q ∧ R))

es una tautología, como se verificó en el ejemplo 1.7 en la página 28.

3. Contrapositiva: si P y Q son proposiciones, entonces

P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P,

puesto que(P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P)

es una tautología, como se mostró en el ejemplo 1.16 en la página 31.

¡Atención!: Redundancia

El símbolo

P ≡ Q

se escribe únicamente cuando la proposición P ⇔ Q es una tautología. Luego,

es suficiente con escribirlo para que se entienda que la doble implicación es

una tautología. Sin embargo, es frecuente decir que

“la equivalencia lógica P ≡ Q es válida” o que “su validez se debe

a que P ⇔ Q es una tautología”.

Las palabras “válida” o “validez” son redundantes, pero de uso frecuente.


Propiedades de la equivalencia lógica

La equivalencia lógica tiene algunas propiedades que se utilizan con mucha fre-

cuencia en las deducciones. Son las siguientes:

1. Reflexiva: toda proposición es equivalente lógicamente consigo misma.

Es decir, si P es una proposición, entonces P ≡ P, como lo hemos visto en

los ejemplos anteriores.

2. Simétrica: si una proposición es equivalente lógicamente a otra proposición,

la segunda también es equivalente lógicamente a la primera proposición.

En otras palabras, si P ≡ Q, entonces Q ≡ P.

En efecto, si P ≡ Q, entonces por la definición de equivalencia lógica,

la proposición P ⇔ Q es una tautología. Esto significa que P y Q tienen el

mismo valor de verdad (independientemente de los valores de verdad de las

proposiciones mediante las cuales se expresan P y Q); luego, Q y P tienen el

mismo valor de verdad y, por tanto, Q ⇔ P también es una tautología, lo que

significa que Q ≡ P.

3. Transitiva: si una proposición es equivalente lógicamente a otra proposición y

esta segunda es equivalente lógicamente a una tercera proposición, entonces

la primera proposición es equivalente lógicamente a la tercera.

Dicho de otra manera, si P ≡ Q y Q ≡ R, entonces P ≡ R.

Efectivamente: si P ≡ Q y Q ≡ R, entonces P y Q tienen el mismo valor de

verdad y Q y R también tienen el mismo valor de verdad; así, P y R también

tienen el mismo valor de verdad. Todo esto de manera independiente de los

valores de verdad mediante las cuales se expresan las proposiciones P, Q y R.

Así, podemos concluir que P ≡ R.

4. Negación: si dos proposiciones son equivalentes lógicamente, entonces sus ne-

gaciones también son equivalentes lógicamente.

De otra forma: si P ≡ Q, entonces ¬P ≡ ¬Q.

En efecto, si P ≡ Q, P y Q tienen el mismo valor independientemente de

los valores de verdad mediante las cuales se expresan P y Q; luego, es muy

fácil ver que sus negaciones también; así, ¬P ≡ ¬Q.

5. La disyunción preserva la equivalencia lógica: si P ≡ Q, entonces P ∨ R ≡ Q ∨ R.

En efecto, si P ≡ Q, entonces P y Q tienen el mismo valor de verdad. Lue-

go, P ∨ R tiene el mismo valor de verdad que Q ∨ R porque, si P y Q son am-

bas verdaderas, esas dos disyunciones son verdaderas, independientemente

del valor de verdad de R (por el axioma de la disyunción).


Si P y Q son ambas falsas, los valores de verdad de las disyunciones P ∨ R

y Q ∨ R dependen únicamente del valor de verdad de R; así, ambas disyun-

ciones tienen el mismo valor de verdad.

En conclusión, P∨ R y Q∨ R tienen el mismo valor de verdad y, por tanto,

P ∨ R ≡ Q ∨ R.

6. La conjunción preserva la equivalencia lógica: si P ≡ Q, entonces P ∧ R ≡ Q ∧ R.

La verificación de esta propiedad es idéntica a la verificación de la ante-

rior.

7. La implicación preserva la equivalencia lógica: si P ≡ Q, entonces P ⇒ R ≡ Q ⇒

R.

Ejemplos: Propiedades de la equivalencia lógica

1. Generalmente, cuando se prueba la equivalencia de una proposición con otra no esnecesario probar la equivalencia de la segunda proposición con la primera, porqueesto ya lo establece la propiedad simétrica de la equivalencia lógica.

Por ejemplo, se mostró que¬¬P ≡ P.

Luego, por la propiedad simétrica de la equivalencia lógica, se muestra que

P ≡ ¬¬P.

Por esta propiedad, no se suele decir la proposición P es equivalente lógica-mente a Q o Q es equivalente lógicamente a P, sino, simplemente, P y Q son equi-valentes lógicamente.

2. En la teoría Números reales, se tiene que

a = b ≡ a − b = 0.

Por tanto, por la propiedad Negación de la equivalencia, también se tiene que

a 6= b ≡ a − b 6= 0,

ya que la negación de a = b es a 6= b y la negación de a − b = 0 es a − b 6= 0.

3. Un ejemplo de la propiedad transitiva de la equivalencia lógica en la teoría Números

reales es el siguiente:

(a) Se tiene que(x − 1)2

= 0 ≡ x − 1 = 0.

(b) También se tiene quex − 1 = 0 ≡ x = 1.

(c) Por tanto, por la Propiedad transitiva de la equivalencia lógica aplicada a (a) y (b),


se tiene que(x − 1)2

= 0 ≡ x = 1.

4. Mediante las tablas de verdad, es fácil verificar que

P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q y R ∨ S ≡ ¬R ⇒ S.

A modo de ejemplo de la utilidad de las propiedades de las equivalencias lógicas,vamos a obtener cada una de las equivalencias anteriores a partir de la otra.

(a) En primer lugar, admitamos que ya hemos probado

P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q. (1.32)

Vamos a verificar la validez de

R ∨ S ≡ ¬R ⇒ S. (1.33)

i. Sabemos que ¬¬R ≡ R. Por tanto, por la propiedad simétrica de la equi-valencia lógica, tenemos que

R ≡ ¬¬R.

ii. Luego, de [i] y la propiedad 5 (la disyunción preserva la equivalencia lógica),tenemos que

R ∨ S ≡ ¬¬R ∨ S.

iii. La equivalencia lógica 1.32 para ¬R y S es:

¬R ⇒ S ≡ ¬¬R ∨ S,

de donde, por la propiedad simétrica de la equivalencia lógica, es válida

¬¬R ∨ S ≡ ¬R ⇒ S. (1.34)

iv. Por la propiedad transitiva de las equivalencias lógicas aplicada a [ii] y(1.34), tenemos la validez de

R ∨ S ≡ ¬R ⇒ S,

que es la equivalencia (1.33), como se quería.

(b) Ahora admitamos la validez de la equivalencia (1.33) y verifiquemos la de laequivalencia (1.32).

v. La equivalencia (1.33) para ¬P y Q es:

¬P ∨ Q ≡ ¬¬P ⇒ Q.

vi. Como ¬¬P ≡ P, es válida, por la propiedad 7 (la implicación preserva la


equivalencia), es válida

¬¬P ⇒ Q ≡ P ⇒ Q.

vii. Por la propiedad transitiva de las equivalencias lógicas, de [v] y [vi], esválida

¬P ∨ Q ≡ P ⇒ Q.

viii. De [vii] y la propiedad simétrica de las equivalencias lógicas, es válida

P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q,

que es la equivalencia (1.32), como se quería.

Reglas de inferencia y equivalencias lógicas frecuentes

Las que se presentan en los siguientes cuadros no son todas las reglas de inferencia

y equivalencias lógicas que hay. Sin embargo, son quizás las que más utilizaremos

a lo largo de este curso.



Modus Ponens Modus Tollens

P ⇒ Q

P

Q

P ⇒ Q

¬Q

¬P

Introducción de la conjunción Introducción de la conjunción

P

Q

P ∧ Q

P

Q

Q ∧ P

Eliminación de la conjunción Eliminación de la conjunción

P ∧ Q

P

P ∧ Q

Q

Introducción de la disyunción Introducción de la disyunción

P

P ∨ Q

P

Q ∨ P

Dilema constructivo Transitiva de la implicación

P ∨ Q

P ⇒ R

Q ⇒ R

R

P ⇒ Q

Q ⇒ R

P ⇒ R


Equivalencias lógicas

Doble negación Contrapositiva

¬¬P ≡ P P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P

Conmutativa de la conjunción Conmutativa de la disyunción

P ∧ Q ≡ Q ∧ P P ∨ Q ≡ Q ∨ P

Asociativa de la conjunción Asociativa de la disyunción

P ∧ (Q ∧ R) ≡ (P ∧ Q) ∧ R P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R

Conmutativa de la doble implicación Doble implicación - implicación

P ⇔ Q ≡ Q ⇔ P P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)

Implicación - disyunción Negación de la implicación

P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q ¬(P ⇒ Q) ≡ P ∧ ¬Q

De Morgan: negación de la conjunción De Morgan: negación de la disyunción

¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q

Distributiva: conjunción respecto de

disyunción

Distributiva: disyunción respecto de

conjunción

P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

Ejercicios propuestos

1. Según la sintaxis de la lógica, indique si

(¬(P ⇔ Q) ∨ ¬(R ∧ P)) ⇒ Q.

representan o no una proposición. Además, explique el por qué.

2. Analice el valor de verdad de

(P ⇒ Q) ∧ (P ∧ ¬Q)

sabiendo que P es v y Q es f.

3. Identifique las proposiciones mediante las cuales se expresa la proposición

Si t es un número primo, t es igual a 2 o es impar.

4. Muestre que la siguiente proposición se puede expresar mediante otras pro-


posiciones en la Lógica de proposiciones. Represente simbólicamente esta pro-

posición bajo las reglas de sintaxis de la Lógica:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa

es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

5. Muestre que la siguiente proposición se puede expresar mediante otras pro-

posiciones en la Lógica de proposiciones. Represente simbólicamente esta pro-

posición bajo las reglas de sintaxis de la Lógica:

Si un número real es mayor que cero, entonces su inverso aditivo es menor

que cero y su cuadrado es mayor que cero.

6. Dada la proposición

El cuadrado de un número real distinto de 0 es mayor que 0,

identifique las proposiciones mediante las que se expresa.

7. Represente simbólicamente en la Lógica de proposiciones la proposición

Si a es un número real distinto de 0, o bien a es positivo, o bien −a es

positivo.

8. Represente simbólicamente en la Lógica de proposiciones la proposición

El producto de los números reales a y b es distinto de 0 si y solo si a y b

son diferentes de 0

9. Represente simbólicamente la proposición

Si a 6= 0, b 6= 0 y a = b, entonces1a=

1b

mediante las proposiciones simples a través de las que se expresa.

10. ¿Cómo se lee la siguiente la proposición

¬Q ⇔ (P ∨ R)?

11. ¿Representa la expresión

(P ∧ (R ⇒ S) ∨ Q) ⇔ ¬P

una proposición?

12. Mostrar que la proposición

Si ǫ > 0, entonces |a| > ǫ si y solo si a < −ǫ o a > ǫ

se puede representar simbólicamente en la Lógica de proposiciones de al me-

nos dos formas distintas e indique la diferencia entre estas.

13. Demostrar que la siguiente proposición es una tautología

(P ⇒ (Q ⇒ R)) ⇒ ((P ⇒ Q) ⇒ (P ⇒ R)).

14. Si

La negación de la conjunción de las proposiciones P y Q es equivalente

lógicamente a la implicación de las proposiciones P y ¬Q

¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

(a) La proposición ¬(P ∧ Q) ≡ (P ⇒ ¬Q) es una tautología.

(b) Se tiene que: ¬(P ∧ Q) = (P ⇒ ¬Q).

(c) Corresponde a la lectura de la proposición ¬(P ∧ Q) ≡ (P ⇒ ¬Q)

(d) Corresponde a la lectura de la proposición P ∨ Q ≡ P ⇒ ¬Q


P Q Q ⇒ P ¬(Q ⇒ P) P ∨ Q ¬(Q ⇒ P) ⇔ (P ∨ Q)

f v v v v

v f v v

v v v f

f f v f f v

y justifique cada uno de los valores de verdad que ubique en la tabla.

16. Identifique los errores en la siguiente tabla de verdad

P Q ¬Q Q ∧ P P ⇒ ¬Q (P ⇒ ¬Q) ∧ (Q ∧ P)

v f v f v f

v v f f f f

f v v v f f

f f v f v v

17. ¿Los cuadros

P Q P ∨ Q (P ∨ Q) ⇒ Q

v v v v

v f v f

f v v v

f f f v

y

Q P P ∨ Q (P ∨ Q) ⇒ Q

f v v f

v f v v

v f v v

f v v f

son tablas de verdad de la proposición (P ∨ Q) ⇒ Q?

18. Si la proposición

(P ∨ (Q ∧ R)) ⇔ ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ R))


es una tautología, que se denomina propiedad distributiva de la disyuncióncon respecto a la conjunción, las proposiciones

(|x| = −1 ∨ x > 3) ∧ (|x| = −1 ∨ x < 10) y |x| = −1 ∨ (x > 3 ∧ x < 10)

son equivalentes lógicamente?

19. Si la proposición

¬(x > −1 ∨ x = 1)

es verdadera, por la Ley De Morgan de la disyunción, ¿podemos afirmar que

la proposición

¬(x > −1) ∧ ¬(x = 1)

también es verdadera?

20. Mediante la definición de deducción, demuestre que de la conjunción de P y

Q se deduce Q.

21. ¿Podríamos sustituir esta proposición La clase universal no es conjunto o la clase

vacío no es conjunto por esta otra No es verdad que las clases universal y vacío son

conjuntos sin que el valor de verdad de la proposición resultante luego de la

sustitución cambie?

22. Si

x2 − x − 6 = 0 ≡ (x − 3)(x + 2) = 0

y

(x − 3)(x + 2) = 0 ≡ x = 3 ∨ x = −2

¿Entonces podemos decir que

x2 − x − 6 = 0 ≡ x = 3 ∨ x = −2?

23. ¿Cuál es la forma de la tautología Modus Tollens:

((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ ¬P?

24. ¿Cuál es la forma de la tautología Negación de la implicación:

¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q)?

25. En la teoría de los números reales, se sabe que es verdadera la proposición

Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.

¿Es verdadera la proposición: Si a 6= 0 y b 6= 0, entonces ab 6= 0?

26. ¿Se puede decir que la conectiva doble implicación es conmutativa?


Bibliografía

Deaño, A. (2006). Introducción a la Lógica Formal. Sexta reimpresión. Madrid. Alianza

Editorial.

Grimaldi, R. (1998). Matemáticas Discreta y Combinatoria. Una introducción con aplica-

ciones. Tercera Edición. México. Prentice Hall.

Hamilton, A. (1988). Lógica para matemáticos. España. Paraninfo.

Hilbert, D. y Ackermann, W. (1950). Principles of Mathematical Logic. Chelsea.

Kleene, S. (1952). Introduction to Metamathematics. Van Nostrand.

Kneale, W. y Kneale, M. (1962). The development of Logic. Clarendon Press.

Mendelson, E. (2015). Introduction to Mathematical Logic. Sexta edición. USA. CRC

Press.

Smullyan, R. (2014). A Beginner’s Guide to Mathematical Logic. USA. Dover Publica-

tions.

Tarski, A. (1961). Introduction to Logic and to the methodolgy of deductive sciences. New

York. Dover Publications.

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Fundamentos de MatematicaTRIGONOMETRIA


28 de mayo de 2021

Curso virtual Fundamentos de Matematica (EPN) Trigonometrıa 28 de mayo de 2021 1 / 43

1 Conceptos de GeometrıaAxiomas y Teoremas

2 Razones trigonometricas de angulos agudosIdentidades Trigonometricas Pitagoricas

3 Angulos en un sistema de coordenadasMedida angular en grados en un sistema de referenciaExistencia de π

Conversion entre sistemas

4 Generalizacion de razones trigonometricasSignos de las razones trigonometricasRazones de 0, 90, 180 y 270 gradosLeyes de senos y cosenosSuma de angulosIdentidades TrigonometricasMultiplo de un anguloMas identidades trigonometricas

5 Representacion polar de un numero complejoProducto y division de numeros complejosTeorema de DeMoivre


Conceptos de Geometrıa

Conceptos de Geometrıa

1. punto,

2. recta,

3. distancia entre puntos,

4. relacion entre,

5. rayo,

6. segmento,

7. longitud de un segmento,

8. congruencia entre segmentos

9. angulo,

10. medida angular,

11. triangulo.


Conceptos de Geometrıa Axiomas y Teoremas

Axiomas y Teoremas

1. Dada una recta y un punto que no este en ella, existe una y solo unaparalela a la recta dada y que pasa por el punto.

1. La suma de las medidas de los angulos de un triangulo es igual a 180.

2. Dadas dos rectas y una transversal a estas, las rectas son paralelas si y solosi los angulos correspondientes son congruentes.


Conceptos de Geometrıa Axiomas y Teoremas

Axiomas y Teoremas

3. Dado un triangulo △ABC, si D y E son puntos en los lados AB y BC,respectivamente, y diferentes de los extremos:

Si DE es paralelo a AC, entonces

BA

BD=BC

BE=

AC

DE.

4. Dada una correspondencia entre dos triangulos, si un par de ladoscorrespondientes son congruentes y los angulos adyacentes a estos ladostambien son congruentes, entonces los triangulos son congruentes.


Razones trigonometricas de angulos agudos


1. En todos los posibles triangulos rectangulos que se pueden construirtomando puntos en el lado AC y las paralelas al lado BC que pasan pordichos puntos, el cociente entre la longitud del cateto opuesto al angulo∠A y la longitud de la hipotenusa es constante.

2. Dado un numero real α, mayor que 0 y menor que 90, en todos lostriangulos rectangulos que tengan un angulo cuya medida es α, elcociente entre las longitudes del cateto opuesto al angulo que mide α yde la hipotenusa es el mismo; es decir, ese cociente es una constante.




� Definicion: Razones trigonometricas de un angulo agudo

Dado un angulo agudo ∠A, sea T cualesquier triangulo rectangulo donde ∠A sea uno de sus angulos.Entonces:

1. el seno de ∠A (o de cualquier angulo congruente con ∠A) es el cociente entre las longitudes delcateto opuesto al angulo∠A del triangulo rectangulo T y de su hipotenusa. A este cociente le repre-sentaremos por sen∠A.

2. el coseno de∠A (o de cualquier angulo congruente con∠A) es el cociente entre las longitudes delcateto adyacente al angulo ∠A del triangulo rectangulo T y de su hipotenusa. A este cociente lerepresentaremos por cos∠A.

3. la tangente de ∠A (o de cualquier angulo congruente con ∠A) es el cociente entre las longitudesde los cateto opuesto y adyacente al angulo ∠A del triangulo rectangulo T . A este cociente lerepresentaremos por tan∠A.




� Definicion: Cotangente, secante y cosecante de un angulo agudo

Dado un angulo agudo∠A, la cotangente de∠A, representada por cot∠A, es el inverso multiplicativo detan∠A:

cot∠A = 1

tan∠A.

La secante de∠A, representada por sec∠A, es el inverso multiplicativo de cos∠A:

sec∠A = 1

cos∠A.

Finalmente, la cosecante de∠A, representada por csc∠A, es el inverso multiplicativo de sen∠A:

csc∠A = 1

sen∠A.

� Teorema: Razones trigonometricas del angulo complementario

Si ∠A y ∠B son angulos complementarios, las razones trigonometricasde ∠A son iguales a las co-razones trigonometricas de ∠B.


Razones trigonometricas de angulos agudos Identidades Trigonometricas Pitagoricas

Identidades Trigonometricas Pitagoricas

� Teorema: Tangente, cotangente

Dado un angulo agudo∠A, las siguientes proposiciones son verdaderas:

1. tan∠A =sen∠A

cos∠A2. cot∠A =

cos∠A

sen∠A.

� Teorema: Identidades Pitagoricas

Las siguientes proposiciones son verdaderas para todo angulo agudo∠A:

1. sen2∠A + cos

2∠A = 1

2. 1 + tan2∠A = sec

2∠A

3. 1 + cot2∠A = csc

2∠A


Angulos en un sistema de coordenadas


� Definicion: Angulo

Un angulo es la union de dos rayos no colineales que tienen el mismo

origen. De manera precisa, siÐ→AB y

Ð→AC son dos rayos no colineales, es

decir, los puntos A, B y C no son colineales, se define el angulo de vertice

A y ladosÐ→AB y

Ð→AC como la union de los dos rayos y se le representa con

∠BAC o ∠CAB.

� Definicion: Medida Angular

La medida angular de un angulo implıcitamente a traves de variosaxiomas. Dado ∠BAC la medida angular de ∠BAC se representa porm∠BAC.

Los axiomas que definen implıcitamente la medida angular de un angulo son:

1. A cada angulo se le asigna un unico numero mayor que 0 y menor que180,




2. Construccion de Angulos: Sea un rayoÐ→AB en la frontera del semiplano H.

Para cada numero r ∈ ]0,180[, existe un unico rayoÐ→AP tal que P ∈H y

m∠BAP = r,

3. Suma de Angulos: Si D esta en el interior de ∠BAC, luego

m∠BAC =m∠BAD +m∠DAC

4. Angulos Suplementarios: Sean los rayosÐ→AB y

Ð→AC dos rayos opuestos, y el

rayoÐ→AD, luego,

m∠BAD +m∠DAC = 180.

� Definicion: Angulos en un sistema de coordenadas

Dado un sistema de coordenadas, los angulos (la union de dos rayos nocolineales y con el mismo origen) a los que vamos a denominar angulosen un sistema de coordenadas son aquellos cuyo vertice es el origen decoordenadas y uno de sus lados es el lado del eje de abscisas “positivo”;el otro lado puede ser cualquier otro rayo. El lado que yace en el eje delas abscisas se denomina lado inicial del angulo; el otro lado, lado final.




Extension de la definicion de angulo




1. El rayoÐ→OA y la recta x son angulos en el sistema de coordenadas.

2. Dado un rayo cualesquieraÐ→OP , los pares ordenados de rayos (Ð→OA,

Ð→OP ) y

(Ð→OP,Ð→OA) son angulos en el sistema de coordenadas.

Los angulos del tipo (Ð→OA,Ð→OP ) se denominan positivos y se los representara

por ∠AOP (primero A y luego P ); los angulos del tipo (Ð→OP,Ð→OA), negativos

y se los representara por ∠POA (primero P , luego A).


Angulos en un sistema de coordenadas Medida angular en grados en un sistema de referencia

Medida angular en grados en un sistema de referencia

1. Para cada angulo en un sistema de coordenadas es un numero en elintervalo ] − 360, 360[.

2. La medida en grados del anguloÐ→OA es 0 grados:




3. La medida en grados del angulo ∠AOB es 180 y del angulo ∠BOA es−180. Para indicar si el angulo es positivo o negativo graficamente,utilizaremos las flechas.




4. La medida en grados de cualquier angulo positivo que no sea el ladopositivo del eje de las abscisas o los correspondientes a este eje es elnumero de grados que contiene el arco de cualquier circunferencia concentro en el origen de coordenadas (O) que subtiende el angulo:




Ası, el angulo la medida en grados del ∠AOC es el numero de gradoscontenidos en el arcoÏKM , el subtendido por el angulo. La medida engrados del angulo ∠AOE es el numero de grados contenidos en el arcoÎKN , etcetera.

5. La medida en grados del angulo ∠DOA, donde D es un punto cualquieradel plano que contiene los ejes coordenados es:

m∠DOA =m∠AOD − 360 ∶


Angulos en un sistema de coordenadas Existencia de π

Existencia de π

� Teorema: Existencia de π

Sean:

1. C y D dos cırculos cuyos centros son P y Q, respectivamente;

2. AB y EF diametros de C y D, respectivamente.

EntoncesmC

AB=mD

EF,

donde mC y mD son las longitudes de las circunferencias C y D, respec-tivamente.Dicho de otra manera, el cociente entre las longitudes de la circunfe-rencia y de su diametro es constante. A esa constante se le denominapi y se le representa por la letra del alfabeto griego π.


Angulos en un sistema de coordenadas Conversion entre sistemas

Conversion entre sistemas

En una circunferencia caben 360 grados y 2π radianes. Se deduce quela relacion entre los arcos unidad, un grado y un radian, es directa-mente proporcional. Por tanto, los factores de conversion entre ambossistemas son:

2π rad

360○ y360

○2π rad

,

o tambienπ rad

180○ y180

○π rad

.


Generalizacion de razones trigonometricas





� Definicion: Razones trigonometricas

Si ∠AOB es un angulo en un sistema de coordenadas en cualesquierade los cuatro cuadrantes y (s, t) son las coordenadas del punto de in-terseccion entre el lado final del angulo y la circunferencia unidad, sedefinen

1. sen∠AOB = t

2. cos∠AOB = s

3. tan∠AOB =t

s

4. cot∠AOB =s

t

5. sec∠AOB =1

s

6. csc∠AOB =1

t.

1. El seno de un angulo en un cuadrante es la ordenada del punto deinterseccion del lado final del angulo y la circunferencia unidad.

2. El coseno de un angulo en un cuadrante es la abscisa del punto deinterseccion del lado final del angulo y la circunferencia unidad.




3. La tangente de un angulo en un cuadrante es el cociente entre laordenada y la abscisa del punto de interseccion del lado final del anguloy la circunferencia unidad.

4. La cotangente de un angulo en un cuadrante es el cociente entre laabscisa y la ordenadadel punto de interseccion del lado final del angulo yla circunferencia unidad.

5. La secante de un angulo en un cuadrante es el inverso multiplicativo delcoseno del angulo; es decir, es el inverso multiplicativo de la abscisa delpunto de interseccion del lado final del angulo y la circunferencia unidad.

6. La cosecante de un angulo en un cuadrante es el inverso multiplicativo delseno del angulo; es decir, es el inverso multiplicativo de la ordenada delpunto de interseccion del lado final del angulo y la circunferencia unidad.


Generalizacion de razones trigonometricas Signos de las razones trigonometricas

Signos de las razones trigonometricas

� Teorema: Los signos de la razones trigonometricas

Sea α un angulo. Si α esta en:

1. El primer cuadrante, todas las razones trigonometricas de α son po-sitivas.

2. En el segundo cuadrante, unicamente el seno y la cosecante de α

son positivas.

3. En el tercer cuadrante, unicamente la tangente y la cotangente deα son positivas.

4. En el cuarto cuadrante, unicamente el coseno y la secante de α sonpositivas.


Generalizacion de razones trigonometricas Razones de 0, 90, 180 y 270 grados

Razones de 0, 90, 180 y 270 grados

� Definicion: Razones de 0, 90, 180 y 270 grados

Las razones trigonometricas de los angulos de 0, 90, 180 y 270 grados (0,π

2, π y

3π

2radianes) son:

1. sen 0○= 0, cos 0

○= 1, tan0

○= 0, sec 0

○= 1.

2. sen 90○= 1, cos 90

○= 0, cot 90

○= 0, csc 90

○= 1.

3. sen 180○= 0, cos 180

○= −1, tan180

○= 0, sec 180

○= −1.

4. sen 270○= −1, cos 270

○= 0, cot 270

○= 0, csc 270

○= −1.


Generalizacion de razones trigonometricas Leyes de senos y cosenos

Leyes de senos y cosenos

� Teorema: Ley de senos

Dado un triangulo cualesquiera △ABC, las siguientes proposiciones sonverdaderas:

sen∠A

BC=sen∠B

AC=sen∠C

AB.

En otras palabras, el cociente entre el seno de un angulo del triangulo yla longitud del lado opuesto a ese angulo es constante para el triangulo.


Generalizacion de razones trigonometricas Leyes de senos y cosenos

Leyes de senos y cosenos

� Teorema: Ley de cosenos

Dado un triangulo cualesquiera △ABC, las siguientes proposiciones sonverdaderas:

1. AB2= AC

2+BC

2− 2AC ⋅BC ⋅ cos∠C,

2. AC2= AB

2+BC

2− 2AB ⋅BC ⋅ cos∠B,

3. BC2= AB

2+AC

2− 2AB ⋅AC ⋅ cos∠A.

En otras palabras, el cuadrado de la longitud de un lado del trianguloes igual a las suma de los cuadrados de las longitudes de los otros ladosmenos el doble producto de las longitudes de esos lados y el coseno delangulo comprendido entre dichos lados.


Generalizacion de razones trigonometricas Suma de angulos

Suma de angulos

� Definicion: Suma de angulos

Dados los angulos ∠A y ∠B en un sistema de coordenadas, se define lasuma de ∠A y ∠B, representada por ∠A + ∠B, como el angulo ∠C talque:

1. Si m∠A +m∠B ∈ [0,360) ∪ (−360,0], entonces la medida de ∠C es:

m∠A +m∠B.

2. Si m∠A +m∠B ⩾ 360, entonces la medida de ∠C es:

(m∠A +m∠B) − 360.3. Si m∠A +m∠B ⩽ −360, entonces la medida de ∠C es:

360 + (m∠A +m∠B).


Generalizacion de razones trigonometricas Identidades Trigonometricas

Identidades Trigonometricas

� Axioma: Seno y coseno de la suma de angulos

Dados los angulos ∠A y ∠B en un sistema de coordenadas, las proposi-ciones

1. sen(∠A +∠B) = sen∠A cos∠B + sen∠B cos∠A,

2. cos(∠A +∠B) = cos∠A cos∠B − sen∠A sen∠B

son verdaderas.


Generalizacion de razones trigonometricas Identidades Trigonometricas

Identidades Trigonometricas

� Teorema: Razones trigonometricas de sumas y restas

Dados los angulos ∠A y ∠B en un sistema de coordenadas, las proposi-ciones

1. tan(∠A +∠B) = tan∠A + tan∠B

1 − tan∠A tan∠B,

2. sen(∠A −∠B) = sen∠A cos∠B − sen∠B cos∠A,

3. cos(∠A −∠B) = cos∠A cos∠B + sen∠A sen∠B,

4. tan(∠A −∠B) = tan∠A − tan∠B

1 + tan∠A tan∠B

son verdaderas (en el caso de las identidades de la tangente, siempreque∠A+∠B o∠A−∠B no midan ni 90 ni 270 grados, segun la identidad).


Generalizacion de razones trigonometricas Multiplo de un angulo

Multiplo de un angulo

� Definicion: Multiplo de un angulo

Sean n ∈ N tal que n ⩾ 2 y ∠A un angulo positivo en un sistema de coor-denadas. Se define el producto de n por el angulo ∠A, y se representapor n∠A, como el angulo cuya medida es el residuo de dividir nm∠A

por 360.Si ∠A es negativo, el angulo n∠A es el angulo cuya medida es el inversoaditivo del residuo de dividir −nm∠A por 360.


Generalizacion de razones trigonometricas Mas identidades trigonometricas

Mas identidades trigonometricas

� Teorema: Seno, coseno y tangente del doble de angulo

Dados el angulo ∠A en un sistema de coordenadas, las proposiciones

1. sen 2∠A = 2 sen∠A cos∠A,

2. cos 2∠A = cos2∠A − sen

2∠A,

3. cos 2∠A = 2 cos2∠A − 1,

4. cos 2∠A = 1 − 2 sen2∠A,

5. tan2∠A =2 tan∠A

1 − tan2∠A

si ∠A no mide ni 45 ni 135 grados

son verdaderas.




� Teorema: Razones de la “mitad” de un angulo

Dado el angulo∠A en un sistema de coordenadas, las proposiciones

1. ∣sen ∠A2∣ =√

1 − cos∠A

2

2. ∣cos ∠A2∣ =√

1 + cos∠A

2

3. ∣tan ∠A2∣ =√

1 − cos∠A

1 + cos∠Asi ∠A no mide 180 grados

4. tan∠A

2=

sen∠A

1 + cos∠A=1 − cos∠A

sen∠Asi ∠A no mide 180 grados

son verdaderas.




� Teorema: Sumas de senos y cosenos en productos de senos y cosenos

Dados los numeros α y β, medidas en grados de dos angulos, las propo-siciones

1. senα○+ senβ

○= 2 sen(α + β

2)○ cos(α − β

2)○,

2. cosα○+ cosβ

○= 2 cos(α + β

2)○ cos(α − β

2)○,

3. senα○− senβ

○= 2 sen(α − β

2)○ cos(α + β

2)○,

4. cosα○− cosβ

○= −2 sen(α + β

2)○ sen(α − β

2)○

son verdaderas.




� Teorema: Productos de senos y cosenos en suma de senos y cosenos

Dados los numeros α y β, medidas en grados de dos angulos, las propo-siciones

1. 2 senα○cosβ

○= sen (α + β)○ + sen (α − β)○,

2. 2 cosα○cosβ

○= cos (α + β)○ + cos (α − β)○,

3. 2 cosα○senβ

○= sen (α + β)○ − sen (α − β)○,

4. −2 senα○senβ

○= cos (α + β)○ − cos (α − β)○

son verdaderas.


Representacion polar de un numero complejo


Vamos a identificar a + bi ∈ C con el par ordenado

(r, θ)donde

r =√a2+ b2 y tan θ =

b

a

si a ≠ 0 y θ es el angulo en un sistema de coordenadas cuyo lado final pasa porel punto de coordenadas (a, b). Es decir, el angulo en cuestion es positivo y sumedida en radianes esta en el intervalo [0, 2π).




Luego,a + bi = r cos θ + r sen θi

y que se acostumbra a escribir en la forma

r cos θ + ir sen θ

o, tambien,r cis θ.


� Definicion: Forma polar de un numero complejo

Dado el numero complejo a + bi, al numero

r cosθ + ir senθ,

donde

r = √a2 + b2 y tanθ = b

a

si a ≠ 0, se denomina forma polar del numero complejo a + bi.

Si a = 0, entonces θ ∈ {π

2,3π

2} y

bi = ∣b∣ cos π

2+ i∣b∣ sen π

2o bi = ∣b∣ cos 3π

2+ i∣b∣ sen 3π

2,

segun b ⩾ 0 o b < 0, respectivamente.El angulo θ se denomina argumento de a + bi y r, modulo o valor absoluto de a + bi y se suele tambienrepresentar por ∣a + bi∣.

Representacion polar de un numero complejo Producto y division de numeros complejos

Producto y division de numeros complejos

� Teorema: Producto y division de numeros complejos

Si z = r cis θ y w = s cisϕ

zw = rs cis(θ +ϕ) yz

w=r

scis(θ −ϕ)


Representacion polar de un numero complejo Teorema de DeMoivre

Teorema de DeMoivre

� Teorema: Potencia de exponente n de un numero complejo

Si z = r cis θ,zn= r

ncisnθ.

� Teorema: Raız n-esima de un numero complejo

Si z = r cis θ,n

√z = n

√r cis(2kπ + θ

n)

para cada n ∈ {0,1, . . . , n − 1}.



Capítulo 6: Trigonometría

Preparado por:



Índice general

1 Razones trigonométricas 3

1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Razones trigonométricas de ángulos agudos . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Identidades trigonométricas pitagóricas . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2 ¿Para qué sirven las razones trigonométricas? . . . . . . . . . 26

1.2.3 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 Razones trigonométricas de ángulos en un sistema de coordenadas . 28

1.3.1 Ángulos en un sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.2 Sistemas de medición de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3.3 Razones trigonométricas: generalización . . . . . . . . . . . . 44

1.3.4 Las leyes de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.3.5 Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.4 Representación polar de los números complejos . . . . . . . . . . . . 99

1.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1

Capítulo 1

Razones trigonométricas

1.1 Introducción

En este capítulo vamos a estudiar las relaciones que existen entre las longitudes de

los lados y las medidas de los ángulos de un triángulo. Así que, por una parte, tra-

bajaremos con el conjunto de los números reales y, por otra, con la geometría plana

euclídea. Para los números reales hemos desarrollado una teoría; para la segunda,

echaremos mano de varios conceptos y teoremas sobre estos, los que manejaremos

con el mismo rigor que con los números reales. En este sentido, antes de iniciar

cualquier tema sobre la Trigonometría, presentaremos los conceptos geométricos

pertinentes y los teoremas requeridos para nuestro estudio.

El plan para este capítulo no es estudiar el concepto de función trigonométri-

ca.debido a que para una definición adecuada de función trigonométrica, es mejor

conocer antes la noción de razón trigonométrica.

Lo que vamos a realizar es el estudio de las razones trigonométricas de ángulos

agudos de un triángulo rectángulo. Luego, extenderemos estas nociones a ángulos

que se definen en un sistema de coordenadas.

Asumimos, por otra parte, el conocimiento de conceptos geométricos básicos

como punto, recta, distancia entre puntos, relación entre, rayo, segmento, lon-

gitud de un segmento, congruencia entre segmentos, ángulo, medida angular,

triángulo.

Un axioma fundamental de la Geometría plana euclídea es el denominado pos-

tulado de las paralelas que establece:

Dada una recta y un punto que no esté en ella, existe una y solo unaparalela a la recta dada y que pasa por el punto.

Gracias a este axioma, es posible deducir los siguientes teoremas:

G1: La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es igual a 180.

G2: Dadas dos rectas y una transversal a estas, las rectas son paralelas si y solo silos ángulos correspondientes son congruentes.

3

Sin el axioma de las paralelas no es posible desarrollar la teoría de figuras se-

mejantes. Gracias a este axioma, se deduce el denominado Teorema fundamental de

la semejanza entre triángulos, el mismo que es indispensable para definir las razones

trigonométricas.

TEOREMA 1.1 (Teorema fundamental de la semejanza).

Dado un triángulo △ABC, si D y E son puntos en los lados AB y BC , respectiva-

mente, y diferentes de los extremos, tenemos:

Si DE es paralelo a AC , entonces

BA

BD=

BC

BE=

AC

DE.

Otro teorema fundamental es el de Pitágoras:

TEOREMA 1.2 (Pitágoras).

Si el triángulo △ABC es rectángulo, donde ∠C es el ángulo recto, entonces el cua-

drado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las

longitudes de los otros dos lados (catetos):

AB2= AC2

+ BC2.

Otro proposición de la geometría Euclídea es el referente a la congruencia de

triángulos, referido como el criterio ALA, que establece lo siguiente:

Dada una correspondencia entre dos triángulos, si un par de lados co-rrespondientes son congruentes y los ángulos adyacentes a estos ladostambién son congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

Estamos listos para iniciar.

1.2 Razones trigonométricas de ángulos agudos

Dado un triángulo rectángulo△ABC, donde ∠C es el ángulo recto:


elijamos los puntos X, Y y Z en el lado AC y R, S y T en el lado AB tales que

XR ‖ BC , YS ‖ BC y ZT ‖ BC

Por tanto, como los ángulos con vértices C, Z, Y y X son correspondientes, entonces

son congruentes; luego, los ángulos con vértices en Z, Y y X son rectos:

Podemos aplicar, entonces, el teorema fundamental de la semejanza de triángulos

a los pares de triángulos: △ABC - △ATZ, △ABC - △ASY y △ABC - △ARX. Ob-

tendremos, entonces, las siguientes igualdades, respectivamente:

AB

AT=

AC

AZ=

BC

TZ,

AB

AS=

AC

AY=

BC

SYy

AB

AR=

AC

AX=

BC

RX.

De estas igualdades, consideremos las siguientes:

AB

AT=

BC

TZ,

AB

AS=

BC

SYy

AB

AR=

BC

RX.

Cada una de ellas, es equivalente a las siguientes, respectivamente:

BC

AB=

TZ

AT,

BC

AB=

SY

ASy

BC

AB=

RX

AR,


de donde, podemos concluir que:

BC

AB=

TZ

AT=

SY

AS=

RX

AR;

es decir, en los cuatro triángulos rectángulos considerados, triángulos que tienen

en común el ángulo ∠A, se tiene que

el cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo ∠A y la longi-tud de la hipotenusa es la misma.

Dicho de otra manera,

en todos los posibles triángulos rectángulos que se pueden construirtomando puntos en el lado AC y las paralelas al lado BC que pasanpor dichos puntos, el cociente entre la longitud del cateto opuesto alángulo ∠A y la longitud de la hipotenusa es constante.

Y esta propiedad no es exclusiva de los triángulos rectángulos construidos da-

do un triángulo rectángulo, como en el caso anterior. En efecto, consideremos dos

triángulos rectángulos cualesquiera △ABC y △DEF tales que ∠C y ∠F son los

ángulos rectos y ∠A ∼= ∠D:

Está claro que los ángulos ∠B y ∠E también son congruentes (por el teorema G1).

Como se ilustra en el dibujo, sin pérdida de generalidad, supongamos que FE <

CB. Entonces, existe un punto G en el lado CB tal que BG ∼= EF :

Por el axioma de las paralelas, existe una recta paralela al lado CA y que pasa por

G. Sea GH el segmento correspondiente en esta paralela, donde H es su intersec-

ción con AB :

Por tanto, concluimos lo siguiente:

1. Los triángulos rectángulos △BGH y △EFD son congruentes por el criterio

ALA. Luego, por la definición de congruencia entre triángulos, son verdade-

ras las proposiciones

HG = FD y DE = HB. (1.1)

2. Los triángulos rectángulos △BGH y △BCA son semejantes por el teorema

fundamental de la semejanza entre triángulos; es decir, es verdadera la si-

guiente proposición:AB

HB=

AC

HG. (1.2)

Por tanto, de (1.1) y (1.2), colegimos

AB

DE=

AC

FD,

de donde, obtenemosAC

AB=

FD

DE;

es decir, el cociente entre las longitudes del cateto opuesto al ángulo ∠B y de la

hipotenusa del triángulo△ABC es igual al cociente entre las longitudes del cateto

opuesto al ángulo ∠E y de la hipotenusa del triángulo△DEF.

En resumen:

dado un número real α, mayor que 0 y menor que 90, en todos los trián-gulos rectángulos que tengan un ángulo cuya medida es α, el cocienteentre las longitudes del cateto opuesto al ángulo que mide α y de lahipotenusa es el mismo; es decir, ese cociente es una constante.

En otras palabras, estos cocientes no dependen de ningún triángulo rectángulo en

particular, sino únicamente de las medidas de sus ángulos agudos.

A esa constante se le conoce con el nombre de seno de cualquier ángulo cuya

medida sea el número α. Vamos a utilizar dos notaciones para este cociente.

En primer lugar, dado un ∠A es un ángulo agudo (es decir, su medida es un


número mayor que 0 y menor que 90), escribiremos

sen∠A

para indicar la constante: el cociente entre las longitudes del cateto opuesto al án-

gulo ∠A y de la hipotenusa, independientemente del triángulo rectángulo, donde

uno de sus ángulos sea ∠A o cualquier ángulo congruente con este.

Por ejemplo, si ∠A es uno de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos

△ABC y △ADE (donde los ángulos rectos son ∠C y ∠E, respectivamente), o es

congruente con el ángulo ∠F, ángulo del triángulo rectángulo △FGH (donde el

ángulo recto es ∠H):

entonces sen∠A es cualesquiera de los números

BC

AB,

DE

AD,

GH

FG.

En segundo lugar, dado el número α, mayor que 0 y menor que 90, escribiremos

sen α◦,

cuando no se haga mención a ningún ángulo en particular.

Razonamientos similares nos permiten probar que los cocientes entre las longi-

tudes del cateto adyacente a uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo

y de la longitud de su hipotenusa es independiente del triángulo rectángulo; es de-

cir, es una constante, denominada coseno de dicho ángulo. Situación similar ocurre

con los cocientes entre las longitudes de los catetos. En ese caso, esas constantes se

denominan tangente y cotangente.

Resumamos lo anterior en la siguiente definición:

DEFINICIÓN 1.1 (Razones trigonométricas de un ángulo agudo)

Dado un ángulo agudo ∠A, sea T cualesquier triángulo rectángulo donde ∠A sea

uno de sus ángulos. Entonces:

1. el seno de ∠A (o de cualquier ángulo congruente con ∠A) es el cociente entre

las longitudes del cateto opuesto al ángulo ∠A del triángulo rectángulo T y

de su hipotenusa. A este cociente le representaremos por sen∠A.


2. el coseno de ∠A (o de cualquier ángulo congruente con ∠A) es el cociente en-

tre las longitudes del cateto adyacente al ángulo ∠A del triángulo rectángulo

T y de su hipotenusa. A este cociente le representaremos por cos∠A.

3. la tangente de ∠A (o de cualquier ángulo congruente con ∠A) es el cocien-

te entre las longitudes de los catetos opuesto y adyacente al ángulo ∠A del

triángulo rectángulo T. A este cociente le representaremos por tan∠A.

Si ∠B es congruente con ∠A, entonces

sen∠B = sen∠A, cos∠B = cos∠A y tan∠B = tan∠A.

Finalmente, si α es la medida del ángulo ∠A, escribiremos

sen α◦, cos α◦ y tan α◦

para indicar el seno de ∠A, el coseno de ∠A y la tangente de ∠A, respectivamente.

Frecuentemente, diremos

el seno de α

en lugar de

el seno de un ángulo cuya medida es α.

De manera similar nos expresaremos del coseno y de la tangente.

A estos tres números se les denomina razones trigonométricas del ángulo ∠A.

Ejemplos: Seno, coseno, tangente

1. Vamos a calcular el seno, el coseno y la tangente de cualquier ángulo cuya medidasea 60.

Para ello, es suficiente con disponer de un triángulo rectángulo en el que unode sus ángulos agudos mida 60 y conozcamos las longitudes de sus dos catetos y dela hipotenusa. Este triángulo vamos a obtenerlo a partir de un triángulo equiláterocuyos lados midan, cada uno, 1.

En efecto, para empezar, dado que el triángulo es equilátero, sus ángulos de-ben ser congruentes (en un triángulo, a lados congruentes se oponen ángulos con-gruentes). Por tanto, cada uno debe medir 60 porque la suma de sus medidas (queson iguales) es 180 (por el teorema G1).

Sea△ABC un triángulo cuyos lados miden 1. Por tanto, los ángulos ∠A, ∠B y∠C miden 60:


Consideremos ahora la altura CD del triángulo respecto del vértice C:

Por tanto, el triángulo△ACD es rectángulo donde el ángulo recto es ∠D.

Por otra parte, por el teorema G1, los ángulos ∠ACD y ∠BCD deben medir 30,ya que el ángulo recto mide 90. Por tanto, los triángulos△ADC y△BDC son con-gruentes por el criterio ALA. Esto significa que los lados AD y BD son congruentes,

de donde, concluimos que D es el punto medio de AB ; luego, AD =12

.

En resumen, ya tenemos un triángulo rectángulo (de hecho, dos) donde uno

de sus ángulos mide 60, la hipotenusa mide 1 y uno de sus catetos,12

. Mediante elteorema de Pitágoras, aplicado al triángulo rectángulo△ACD, sabremos inmedia-tamente la medida del otro cateto:

CD =

√

12 −Å

12

ã2=

√3

2.

Ilustremos los resultados obtenidos:


Ya tenemos el triángulo buscado. Ahora solo es cuestión de aplicar las defini-ciones de seno, coseno y tangente:

sen 60◦ =DC

AC

=

√3

21

=

√3

2.

cos 60◦ =AD

AC

=

121=

12

.

tan 60◦ =DC

AD

=

√3

212

=

√3.

En resumen:

el seno de cualquier ángulo agudo cuya medida sea 60 es

√3

2, el co-

seno es12

y la tangente,√

3.

2. Con ayuda del triángulo rectángulo es claro que el triángulo △ADC, obtenido enel ejemplo anterior, también nos permite calcular el seno, coseno y tangente de unángulo cuya medida es 30. Es más, es inmediato que:

sen 30◦ = cos 60◦

=12

.

cos 30◦ = sen 60◦

=

√3

2.


tan 30◦ =

12√3

2

=1√3=

√3

3.

Que el seno y el coseno de 30 sean iguales al coseno y seno de 60, respectiva-mente, no es una coincidencia, como lo probaremos más adelante.

3. Ahora vamos a calcular el seno, coseno y tangente de cualquier ángulo que mi-da 45. Para ello, un buen triángulo rectángulo es uno cuyos catetos midan ambos1. Luego, es un triángulo isósceles (a lados congruentes, se oponen ángulos con-gruentes) y, por tanto, por el teorema G1 nuevamente, los ángulos agudos debenmedir 45.

Sea △ABC un triángulo rectángulo donde el ángulo recto es ∠A y AC = 1,AB = 1. Por tanto, por el teorema de Pitágoras, obtenemos que su hipotenusa esigual a

√2. En efecto:

BC =

√

12 + 12 =

√2.

De las definiciones de seno, coseno, es obvio que

sen 45◦ = cos 45◦ =1√2=

√2

2

y la tangente de un ángulo que mide 45 es 1:

tan 45◦ =11= 1.

4. Supongamos que la tangente de un ángulo ∠A es igual a12

y que uno de los án-gulos de un triángulo rectángulo es congruente con ∠A y su hipotenusa mide 3.Determinemos el seno y el coseno de ∠A.

Supongamos que el ángulo de vértice X del triángulo rectángulo△XYZ, don-de el ángulo recto es Z, es congruente con ∠A y que su hipotenusa mide 3:


Sabemos que

tan∠A =12

.

Por tanto, como ∠X es congruente con ∠A, entonces

tan∠X =12

.

Por otra parte, en el triángulo rectángulo△XYZ, tenemos

tan∠X =YZ

XZ,

de dondeYZ

XZ=

12

. (1.3)

Para encontrar el seno y el coseno de ∠A, es suficiente que encontremos el senoy el coseno de ∠X (ya que son congruentes).

Tenemos que

sen∠X =YZ

3y cos∠X =

XZ

3.

Ahora bien, de (1.3), vemos que la longitud del cateto XZ es el doble de la longituddel cateto YZ , ya que

XZ = 2YZ;

por tanto, el coseno de ∠X es el doble del seno de ∠X; luego, basta con calcular elprimero.

Para ello, por el teorema de Pitágoras, tenemos

XZ2+ YZ2

= 32,

de donde, son válidas las siguientes equivalencias:

YZ2+ XZ2

= 9 ≡ YZ2+ 4YZ2

= 9

≡ YZ2=

95

≡ YZ =

…95=

3√

55

;

es decir, obtenemos

sen∠A =3√

53 · 5 =

√5

5.

Por tanto,

cos∠A =2√

55

.


5. Supongamos que

sen∠A =35

.

Entonces, en un triángulo rectángulo, donde el ángulo ∠A o uno congruente conél es uno de los ángulos agudos, si el cateto opuesto a este ángulo mide 3, necesa-riamente, la hipótesis medirá 5:

Luego, gracias al teorema de Pitágoras, el cateto adyacente al ángulo ∠A, será iguala 4, pues

√

52 − 32 =

√16.

Así, tenemos que

cos∠A =45

y tan∠A =34

.

El triángulo anterior no es el único que nos permite determinar el coseno y tan-gente del ángulo ∠A. Otro triángulo rectángulo siendo uno de sus ángulos agudos∠A o uno congruente con este, es un triángulo cuyo cateto opuesto a ∠A mide 6.En ese caso, por la definición de seno, la hipotenusa medirá 10 y, por tanto, el otrocateto: √

100− 36 = 8.

De esta manera, obtenemos

cos∠A =8

10=

45

y tan∠A =68=

34

,

como se esperaba.

Los inversos multiplicativos de seno, coseno y tangente también tienen nom-

bres propios: cosecante, secante y cotangente, respectivamente. Estas definiciones

son posibles ya que para todo ángulo agudo ∠A, tenemos que

0 < sen∠A < 1, 0 < cos∠A < 1 y tan∠A > 0.

En efecto, estas tres razones trigonométricas son el cociente de dos números

positivos; luego, las tres razones son positivas. Por otra parte, en todo triángulo, al

ángulo mayor se opone el lado mayor; luego, la longitud de cada cateto es menor

que la longitud de la hipotenusa; luego, las tres razones son menores que 1 (si a y b

son dos números reales positivos tales que a < b, entonces ab−1< bb−1, de donde

a

b< 1).

DEFINICIÓN 1.2 (Cotangente, secante y cosecante de un ángulo agudo)

Dado un ángulo agudo ∠A, la cotangente de ∠A, representada por cot∠A, es el

inverso multiplicativo de tan∠A:

cot∠A =1

tan∠A.

La secante de ∠A, representada por sec∠A, es el inverso multiplicativo de

cos∠A:

sec∠A =1

cos∠A.

Finalmente, la cosecante de ∠A, representada por csc∠A, es el inverso multi-

plicativo de sen∠A:

csc∠A =1

sen∠A.

En otras palabras, si T es cualesquier triángulo rectángulo, donde ∠A sea uno

de sus ángulos, entonces:

1. la cotangente de ∠A (o de cualquier ángulo congruente con ∠A) es el cociente

entre las longitudes del cateto adyacente al ángulo ∠A del triángulo T y del

cateto opuesto a dicho ángulo.

2. la secante de ∠A (o de cualquier ángulo congruente con ∠A) es el cociente

entre las longitudes de la hipotenusa del triángulo rectángulo T y la longitud

del cateto adyacente al ángulo ∠A.

3. la cosecante de ∠A (o de cualquier ángulo congruente con ∠A) es el cociente

entre las longitudes de la hipotenusa del triángulo rectángulo T y la longitud

del cateto opuesto al ángulo ∠A.

Ejemplos: Cotangente, secante y cosecante de 30, 45 y 60

1. Puesto que

sen 30◦ =12

, cos 30◦ =

√3

2y tan 30◦ =

√3

3,

entoncescsc 30◦ = 2, sec 30◦ =

2√3

y cot 30◦ =√

3.

2. Puesto que

sen 45◦ =1√2

, cos 45◦ =1√2

y tan 45◦ = 1,

entoncescsc 45◦ =

√2, sec 45◦ =

√2 y cot 45◦ = 1.

3. Puesto que

sen 60◦ =

√3

2, cos 60◦ =

12

y tan 60◦ =√

3,

entonces

csc 60◦ =2√3

, sec 60◦ = 2 y cot 60◦ =

√3

3.


4. Observemos que no solo el seno y coseno de 30 son iguales al coseno y seno de 60,respectivamente, sino que también la tangente y la cotangente tienen esta propie-dad, y también la secante y la cosecante.

Lo expresado en el último ejemplo no es una coincidencia. En efecto, esta es una

propiedad que comparten dos ángulos complementarios; es decir, dos ángulos cuyas

medidas suman 90.

En efecto, si ∠A y ∠B son ángulos complementarios, entonces hay un trián-

gulo rectángulo △XYZ, donde Z es el ángulo recto y los ángulos ∠X y ∠Y son

congruentes con ∠A y ∠B, respectivamente:

Luego,

sen∠X =YZ

XYy cos∠Y =

YZ

XY

de donde,

sen∠X = cos∠Y.

Y, puesto que

sen∠A = sen∠X y cos∠B = cos∠Y,

porque ∠A, ∠B son congruentes con ∠X, ∠Y, respectivamente. En conclusión, te-

nemos que

sen∠A = cos∠B.

De manera similar, se demuestra que coseno, tangente, cotangente, secante y

cosecante de ∠A es igual al seno, cotangente, tangente, cosecante y secante de ∠B,

respectivamente.

TEOREMA 1.3 (Razones trigonométricas del ángulo complementario).

Si ∠A y ∠B son ángulos complementarios, las razones trigonométricas de ∠A son

iguales a las co-razones trigonométricas de ∠B.

Si α y β son las medidas de dos ángulos complementarios, entonces

α + β = 90.

Luego, con la segunda notación para las razones trigonométricas, algunas de las

proposiciones enunciadas en el teorema anterior se pueden expresar de la siguien-


tes maneras:

sen(90− β)◦ = cos β◦, tan(90− α)◦ = cot α◦ y csc(90− β)◦ = sec β◦.

La lectura de la “forma” de estas proposiciones es:

el seno de un ángulo es igual al coseno del ángulo complementario delángulo dado

(Y de manera similar para el resto de razones trigonométricas).

Por lo anterior, la proposición

tan(90− α)◦ = cot α◦,

que se lee

la tangente de noventa menos α es igual a la cotangente de α,

expresa la relación entre tangente-ángulo y cotangente-complemento del ángulo.

Ejemplos: Razones trigonométricas de ángulos agudos

1. La proposiciónsen 33◦ − cos 57◦ = 0

es verdadera porque33 + 57 = 90.

2. La proposicióncot 60◦

tan 30◦= 1

es verdadera porque60 + 30 = 90,

de donde la cotangente de 60 es igual a la tangente de 30.

3. La longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo es un tercio de lalongitud de la hipotenusa. Encontremos la seis razones trigonométricas de uno delos ángulos de este triángulo.

Si a es la longitud del cateto en cuestión, la hipotenusa del triángulo mide 3a.Por tanto, si ∠A es el ángulo opuesto al cateto que mide a, tenemos que

sen∠A =a

3a=

13

.

Por el teorema de Pitágoras, la longitud del otro cateto es:

»(3a)2 − a2 =

√8a2 = 2

√2a;


luego, tenemos que

cos∠A =2√

2a

3a=

2√

23

y tan∠A =a

2√

2a=

1

2√

2.

Por último, de las definiciones de cotangente, secante y cosecante, obtenemos:

cot∠A = 2√

2, sec∠A =3

2√

2y csc∠A = 3.

4. Si α es la medida de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo tal que3α es menor que 90. Encontremos α si se tiene que

cos(2α)◦ = sen(3α)◦.

De esta igualdad, los ángulos cuyas medidas son 2α y 3α son complementarios;luego,

2α + 3α = 90,

de donde, concluimos que α = 18.

5. Encuentre todos los números reales x tales que

tan(30− x)◦ = cot(30 + 3x)◦

es una proposición verdadera.

De esta igualdad, se debe verificar

(30− x) + (30 + 3x) = 90,

de donde, obtenemos que el único número x para el cual la primera proposición esverdadera es 15.

1.2.1 Identidades trigonométricas pitagóricas

Supongamos que A (x) es una proposición de tipo igualdad, donde x es un número

real mayor que 0 y menor que 90, en la que aparecen una o más razones trigono-

métricas de ángulos cuya medida sea x. Si A (x) es verdadera para todo x ∈ (0, 90),

a esta proposición se le suele denominar identidad trigonométrica, y la petición

demuestre la identidad trigonométrica A (x)

no es más que pedir que se deduzca la proposición A (x) para todo los x ∈ (0, 90)

mediante los teoremas de números reales y las definiciones de razones trigonomé-

tricas. Más adelante, se ampliará la “definición” de identidad trigonométrica.

Las identidades trigonométricas establecen, en general, relaciones entre las ra-

zones trigonométricas. Muchas de ellas se utilizan en la solución de ecuaciones en

las que no solamente interviene una incógnita sino también razones trigonométri-

cas de la incógnita.


Hay algunas identidades de uso frecuente que se obtienen fundamentalmente

de las definiciones de razones trigonométricas y del teorema de Pitágoras; por ello,

a estas identidades se les denomina Pitagóricas.

Para su deducción, supongamos que ∠A es un ángulo agudo y consideremos

que a, b y c son las longitudes de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectán-

gulo, respectivamente, donde el lado de longitud a es el que se opone al ángulo

∠A.

De las definiciones de seno, coseno y tangente, tenemos que

sen∠A =a

c, cos∠A =

b

cy tan∠A =

a

b.

Es fácil ver que

tan∠A =sen∠A

cos∠Ay cot∠A =

cos∠A

sen∠A.

En resumen:

Dado un ángulo agudo, la tangente del ángulo es igual al cociente entreel seno y el coseno del ángulo dado, y la cotangente del ángulo es elcociente entre el coseno y el seno del ángulo dado.

TEOREMA 1.4 (Tangente, cotangente).

Dado un ángulo agudo ∠A, las siguientes proposiciones son verdaderas:

1. tan∠A =sen∠A

cos∠A2. cot∠A =

cos∠A

sen∠A.

Ahora bien, bajo las mismas hipótesis anteriores a este teorema, tenemos que

cot∠A =b

a, sec∠A =

c

by csc∠A =

c

a. (1.4)

Por otra parte, del teorema de Pitágoras, tenemos que la proposición

a2+ b2

= c2.

Ahora bien, puesto que

a2+ b2

= c2 ≡ a2+ b2

c2 = 1

≡( a

c

)2+

Åb

c

ã2

= 1

≡ (sen∠A)2+ (cos∠A)2

= 1

y, dado que a2+ b2

= c2 es una proposición verdadera, también lo es la proposición

(sen∠A)2+ (cos∠A)2

= 1.


Es costumbre escribir

sen2 ∠A y cos2 ∠A

en lugar de

(sen∠A)2 y (cos∠A)2.

Así, hemos demostrado que la proposición

sen2 ∠A + cos2 ∠A = 1 (1.5)

es verdadera para todo ángulo agudo ∠A.

En resumen:

Dado un ángulo agudo, la suma de los cuadrados del seno y el cosenodel ángulo es igual a 1.

Ahora, de (1.4) y, dado que las siguientes equivalencias lógicas son válidas:

a2+ b2

= c2 ≡ a2+ b2

a2 =c2

a2

≡( a

a

)2+

Åb

a

ã2

=

( c

a

)2

≡ 1 + (cot∠A)2= (csc∠A)2,

y a2+ b2

= c2 es verdadera, concluimos que la proposición

1 + cot2 ∠A = csc2 ∠A


En resumen:

Dado un ángulo agudo, el cuadrado de la cosecante del ángulo es igual

a la suma de 1 y el cuadrado de la cotangente del ángulo dado.

Finalmente, con un procedimiento similar a los dos anteriores, de

a2+ b2

= c2,

al “dividir ambos lados de esta igualdad por b2”, obtenemos que la proposición

1 + tan2 ∠A = sec2 ∠A.

En el siguiente teorema, resumamos los resultados obtenidos.

TEOREMA 1.5 (Identidades Pitagóricas).

Las siguientes proposiciones son verdaderas para todo ángulo agudo ∠A:


1. sen2 ∠A + cos2 ∠A = 1

2. 1 + tan2 ∠A = sec2 ∠A

3. 1 + cot2 ∠A = csc2 ∠A

En los siguientes ejemplos, vamos a demostrar identidades trigonométricas. No

hay ningún método nuevo para esto; son simplemente deducciones dentro del ám-

bito de los números reales, con la diferencia que ahora añadimos a axiomas y teo-

remas, las definiciones de las razones trigonométricas y los teoremas anteriores.

Ejemplos: Identidades trigonométricas

En todos los ejemplos, si no se dice lo contrario, la letra A representará un ánguloagudo y la letra α la medida angular de un ángulo agudo.

1. La proposiciónsen∠A · csc∠A = 1

es verdadera. ¿La razón? Simplemente que, por definición, csc∠A es el inversomultiplicativo de sen∠A.

Por el mismo argumento, las proposiciones siguientes son verdaderas:

cos∠A · sec∠A = 1 y tan∠A · cot∠A = 1.

2. De las definiciones de las razones trigonométricas, de las identidades Pitagóricasy del teorema 1.4 sobre la tangente y la cotangente, se ve fácilmente que cualquierrazón trigonométrica del ángulo ∠A se puede“expresar” exclusivamente en “tér-minos” de cada una de las otras cinco razones.

En efecto, de la definición de cosecante, tenemos inmediatamente:

sen∠A =1

csc∠A; (1.6)

es decir, seno se “expresa” en “términos” de cosecante únicamente.

De esta proposición y de la identidad Pitagórica

1 + cot2 ∠A = csc2 ∠A,

tenemos

sen∠A =1

csc∠A

=1√

1 + cot2 ∠A

(ya que cot∠A > 0); es decir, seno se expresa en “términos” de cotangente única-mente así:

sen∠A =1√

1 + cot2 ∠A. (1.7)


Ahora, desen2 ∠A + cos2 ∠A = 1,

obtenemossen2 ∠A = 1− cos2 ∠A,

de donde, como sen∠A > 0, concluimos que

sen∠A =

√

1− cos2 ∠A. (1.8)

Así, hemos “expresado” la razón seno en “términos” de coseno únicamente.

De esta última y de la definición de secante como el inverso multiplicativo decoseno, tenemos:

sen∠A =

√

1− cos2 ∠A

=

…1− 1

sec2 ∠A

=

sec2 ∠A− 1

sec2 ∠A,


sen∠A =

√sec2 ∠A− 1

sec∠A(1.9)

(porque sec∠A > 0). En otras palabras, hemos expresado seno en “términos” desecante únicamente.

De aquí, podemos “expresar” seno en “términos” de tangente fácilmente de laidentidad Pitagórica

1 + tan2 ∠A = sec2 ∠A.

En efecto, en primer lugar, tenemos que

sec∠A =

√

1 + tan2 ∠A

(pues sec∠A > 0), luego:

sen∠A =

√sec2 ∠A− 1

sec∠A

=

√tan2 ∠A√

1 + tan2 ∠A;

es decir,

sen∠A =tan∠A√

1 + tan2 ∠A. (1.10)

Las otras cinco razones también se expresan exclusivamente en términos de lasrestantes. Queda como un buen ejercicio para las lectoras y los lectores.


3. Deduzcamos la identidad

(1 + tan2 ∠A) cos2 ∠A = 1

para todo ángulo agudo ∠A.

Tenemos:

(1 + tan2 ∠A) cos2 ∠A = sec2 ∠A cos2 ∠A

= (sec∠A · cos∠A)2

= 12= 1;

luego, por la aplicación de varias veces la propiedad transitiva de la igualdad, con-cluimos

(1 + tan2 ∠A) cos2 ∠A = 1.

Las razones: la primera, por la identidad Pitagórica 2.; la segunda, el cuadradode un producto es igual al producto de los cuadrados; la tercera, la existencia delinverso multiplicativo; finalmente, la última, el axioma de existencia de 1.

4. Demostremos que la siguiente proposición es verdadera para todo número real α

tal que α ∈ (0, 90):cos2 α◦ − sen2 α◦ = 1− 2 sen2 α◦.

De la identidad Pitagórica

sen2 α◦ + cos2 α◦ = 1,

obtenemos:

cos2 α◦ − sen2 α◦ = (1− sen2 α◦)− sen2 α◦

= 1− 2 sen2 α◦,

como se quería.

5. Deduzcamos la siguiente identidad trigonométrica para todo ángulo agudo ∠A:

(cos∠A− sen∠A)2+ (cos∠A + sen∠A)2

= 2.

Como nos podemos imaginar ya, en esta deducción aplicaremos una vez másla identidad Pitagórica

sen2 ∠A + cos2 ∠A = 1.

En efecto, en primer lugar, tenemos que:

(cos∠A− sen∠A)2= cos2 ∠A− 2 cos∠A sen∠A + sen2 ∠A

= (sen2 ∠A + cos2 ∠A)− 2 sen∠A cos∠A;

es decir, tenemos que:

(cos∠A− sen∠A)2= 1− 2 sen∠A cos∠A.


De manera similar, deducimos que

(cos∠A + sen∠A)2= 1 + 2 sen∠A cos∠A.

Así, colegimos que

(cos∠A− sen∠A)2+ (cos∠A + sen∠A)2

= (1− 2 sen∠A cos∠A)

+ (1 + 2 sen∠ cos∠A)

= 2,

como se quería.

6. Demostremos la siguiente identidad

sen∠A + cos∠A =sen∠A

1− cot∠A+

cos∠A

1− tan∠A

para todo ángulo agudo ∠A cuya medida sea un número distinto de 45.

7. Si sen∠A =12

, determinemos

(cos2 ∠A− sen2 ∠A) tan2 ∠A.

Una opción para esto es calcular cos∠A y tan∠A sabiendo que sen∠A =12

.La otra, y es la que vamos a llevar adelante, consiste en utilizar algunas de lasidentidades para expresar todo en términos de sen2 ∠A.

Con este propósito, recurramos a la identidad

sen2 ∠A + cos2 ∠A = 1.

Así, obtendremos:

(cos2 ∠A− sen2 ∠A) tan2 ∠A =

Ä(1− sen2 ∠A)− sen2 ∠A

ä sen2 ∠A

cos2 ∠A

=

Ä1− 2 sen2 ∠A

ä sen2 ∠A

1− sen2 ∠A

=

Å1− 2

14

ã 14

1− 14

=12

13

;

es decir, concluimos que

(cos2 ∠A− sen2 ∠A) tan2 ∠A =16

.

8. Determinemos Åsen∠A− cos∠A

sen∠A + cos∠A

ã2


si cot∠A = 2.

Dado que

cot∠A =cos∠A

sen∠A,

tenemos que

sen∠A− cos∠A

sen∠A + cos∠A=

sen∠A− cos∠A

sen∠Asen∠A + cos∠A

sen∠A

=1− cot∠A

1 + cot∠A

=1− 21 + 2

= −13

.

Por tanto, Åsen∠A− cos∠A

sen∠A + cos∠A

ã2=

19

.

9. Expresemos el númerosec∠A− cos∠A

en términos de sen∠A únicamente.

Para ello, basta recordar que la secante de un ángulo es el inverso multiplicati-vo del coseno de dicho ángulo; luego, haremos uso de la identidad Pitagórica

sen2 ∠A + cos2 ∠A = 1.

En efecto, tenemos:

sec∠A− cos∠A =1

cos∠A− cos∠A

=1− cos2 ∠A

cos∠A

=sen2 ∠A√

1− sen2 ∠A.

Por tanto, concluimos que

sec∠A− cos∠A =sen2 ∠A√

1− sen2 ∠A,

solo en “términos” de sen∠A, como queríamos.

10. Expresemos el número1 + tan∠A

sec∠A

en “términos” de sen∠A o cos∠A únicamente.

La cuestión no es difícil: la tangente es el cociente entre seno y coseno; la se-


cante es el inverso multiplicativo del coseno. Resuelto:

1 + tan∠A

sec∠A=

1 +sen∠A

cos∠A1

cos∠A

=cos∠A + sen∠A

cos∠A

cos∠A

;

por tanto,1 + tan∠A

sec∠A= sen∠A + cos∠A.

1.2.2 ¿Para qué sirven las razones trigonométricas?

El origen de la Trigonometría se remonta al siglo II antes de Cristo, a Hiparco en

Grecia y su cálculo de las distancias relativas de la Tierra a la Luna y el Sol. El pro-

blema fundamental que resolvía Hiparco es la determinación de la distancia entre

dos objetos que no puede ser medida directamente. El método utilizado se deno-

mina de modo general triangulación: si se requiere obtener la distancia entre dos

puntos A y B que, por alguna razón, no se puede obtener mediante una medición

directa, se busca un tercer punto C:

de forma que se conozcan (o se puedan medir) las distancias AC y BC, y la medida

del ángulo de vértice C.

Si el ángulo de vértice C es recto (o el de vértice B), la distancia AB se obtiene

directamente mediante el teorema de Pitágoras. Sin embargo, la mayoría de veces

el punto C del que se dispone no determina que el triángulo△ABC sea rectángulo.

Por otra parte, aunque se obtuviera un triángulo rectángulo, no siempre es po-

sible conocer tanto AC como BC. Si ese fuera el caso (por ejemplo, si B es recto, se

conoce BC y la medida del ángulo de vértice C), podemos obtener la longitud AB

si conociéramos el coseno de ∠C.

Y, puesto que para calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo

dado se requiere únicamente de un triángulo rectángulo con un ángulo agudo

congruente al ángulo dado, los matemáticos griegos calcularon esas razones con

bastante precisión y las utilizaron para obtener medidas mediante métodos que,

en esencia, se basan en la triangulación. Uno de estos matemáticos fue Ptolomeo


quien elaboró las denominadas “tablas trigonométricas” que contenían las razones

trigonométricas de ángulos agudos entre 0 y 90 a intervalos de medio grado.

En la actualidad, las tablas trigonométricas están contenidas en nuestras calcu-

ladoras y computadoras, tienen precisiones más allá de las necesidades prácticas y

de casi todos los ángulos que pudiéramos necesitar.

1.2.3 Ejercicios propuestos

1. Si las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo △ABC, donde ∠C

es el ángulo recto, miden 16 y 30, respectivamente, determine las razones

trigonométricas de los ángulos ∠A y ∠B.

2. Si la longitud de uno de los de los catetos del triángulo rectángulo △ABC,

donde ∠C es el ángulo recto, y la longitud de la hipotenusa son 3 y√

10,

respectivamente, determine las razones trigonométricas de los ángulos ∠A y

∠B.

3. Si tan∠A = 3, donde ∠A es un ángulo agudo, ¿cuál es la longitud de la hi-

potenusa de un triángulo rectángulo que tenga un ángulo agudo congruente

con ∠A y la longitud del cateto opuesto sea igual a 6.

4. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos de un triángulo cuya hipotenusa es

el doble que uno de los catetos?

5. Exprese cos∠A en términos de cada uno de las otras cinco razones trigono-

métricas.

6. Exprese tan∠A en términos de cada uno de las otras cinco razones trigono-

métricas.

7. Si en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa

es cinco medios del producto de las longitudes de los catetos, encuentre la

tangente de cada uno de los ángulos agudos del triángulo.

8. Demuestre la siguiente identidad trigonométrica:

tan∠A + cot∠A = sec∠A csc∠A.

9. Deduzca la siguiente identidad trigonométrica:

cot2 ∠A− cos2 ∠A = cot2 ∠A cos2 ∠A.

10. Demuestre que la proposición

sec2 ∠A + csc2 ∠A = sec2 ∠A csc2 ∠A



1.3 Razones trigonométricas de ángulos en un sistema de

coordenadas

En esta sección, vamos a extender el concepto de razones trigonométricas para cual-

quier ángulo, no únicamente aquellos ángulos de un triángulo rectángulo. Para

ello, en primer lugar, vamos a recordar la definición de un ángulo, luego establece-

remos un sistema de coordenadas para definir allí las razones trigonométricas de

cualquier ángulo. De paso, recordaremos las definiciones de los sistemas de medi-

ción de ángulos: grados y radianes. Con todo esto, contaremos con dos teoremas

importantes para determinar las medidas de lados y ángulos de cualquier triángu-

lo (no solo de los rectángulos): los denominados leyes de senos y cosenos. Finalmente,

como una “aplicación de la trigonometría”, estudiaremos la representación polar

de los números complejos.

1.3.1 Ángulos en un sistema de coordenadas

Un ángulo es la unión de dos rayos no colineales que tienen el mismo origen. De

manera precisa, si−→AB y

−→AC son dos rayos no colineales, es decir, los puntos A, B

y C no son colineales, se define el ángulo de vértice A y lados−→AB y

−→AC como la

unión de los dos rayos y se le representa con ∠BAC o ∠CAB. Una ilustración de

ángulos es la siguiente:

En cada caso, lo pintado con rojo o con azul representa el ángulo, nada más; ningún

otro punto del plano en el que siempre se encuentra un ángulo (por tres puntos no

colineales pasa uno y solo un plano) está en el ángulo. A continuación se ilustran

dos ejemplos de figuras que no son ángulos:


El dibujo de la izquierda muestra “dos” rayos:−→XZ y

−→XY; son colineales y, en reali-

dad, son uno y el mismo rayo; por esta razón, la definición de ángulo excluye la

colinealidad de los puntos X, Y y Z porque lo que tenemos ahí es un rayo.

El otro dibujo muestra dos rayos:−→SR y

−→ST, donde R, S y T son colineales. En

este caso, la unión de estos rayos no es más que la recta que pasa por estos tres

puntos; esta posibilidad también se excluye en la definición de ángulo porque lo

que tenemos ahí es, simplemente, una recta.

Bajo estas condiciones, se define la medida angular de un ángulo implícitamen-

te a través de varios axiomas. El primero asigna a cada ángulo un único número

mayor que 0 y menor que 180; a este número se le denomina medida angular del

ángulo. La razón para elegir este conjunto de números como medidas angulares se

debe a que, por un lado, se tiene en mente el sistema de medida en grados, sistema

sexagesimal inventado por los babilonios. Por otro lado, ya que un ángulo es, sim-

plemente, la unión de dos rayos no colineales, no se requieren números mayores

que 180 y menores que 360; además, se excluyen 0 y 180 porque un rayo y una recta

no son ángulos, respectivamente.

Bajo estas definiciones (o axiomas), los ángulos se “clasifican” en tres categorías:

agudos, rectos y obtusos, según su medida angular: entre 0 y 90, 90 y entre 90 y

180. Nada más.

En este curso no nos ocuparemos más de los otros axiomas que definen medida

angular porque lo que requerimos para su uso viene dado ya en el estudio de la

Geometría.

A continuación, se ilustran los ángulos de un triángulo que, por lo regular, no

solemos dibujarlos:

Así se ven los ángulos de un triángulo.

Para poder extender la noción de razón trigonométrica a cualquier ángulo, va-

mos a “ubicar” a los ángulos en un sistema de coordenadas. De manera precisa,

esto significa lo siguiente.


Dadas dos rectas perpendiculares m y l, existe un único plano que pasa por ellas

(es decir, las contiene). Por ser perpendiculares, las rectas no son paralelas. Sea O (la

letra “o” mayúscula) el punto de intersección de ambas rectas. Por el postulado de

colocación de la regla, existen dos sistemas de coordenadas, uno para cada recta, tales

que, en ambos sistemas, la coordenada de O es el número 0 y, además, podemos

fijar a nuestro gusto, los lados de m y n, respecto del punto O, tales que todos sus

puntos sean números mayores que 0. Una representación gráfica de esta situación

es la siguiente:

El fondo de color simula el plano que contiene a las rectas m y l. Las letras a y b

representan las coordenadas de los puntos A y B en los correspondientes sistemas

de coordenadas de cada recta, de manera que a > 0 y b > 0.

El par de sistemas de coordenadas se denomina sistema de coordenadas para

el plano que contiene a m y l. Al punto O le denominamos origen de coordenadas

y a las rectas m y l, ejes del sistema de coordenadas. Para distinguir entre ellas,

utilizaremos los nombres eje de abscisas y eje de ordenadas. ¿Cuál de los dos ejes

es el de abscisas y cuál el de ordenadas? Es una cuestión de elección arbitraria, así

que siempre que utilicemos un sistema de coordenadas para un plano, indicaremos

cuál es cuál. En general, siguiendo la tradición, utilizaremos la letra minúscula x

para indicar el eje de las abscisas y la minúscula y para el de las ordenadas, salvo

que se diga lo contrario, e indicaremos cuáles son los lados positivos con la x y la

y. Por ejemplo:


Dado un sistema de coordenadas para un plano, cada punto de este queda de-

terminado de manera unívoca por un par ordenado de números reales: justamente,

las coordenadas de ciertos puntos de las rectas x y y respecto de sus correspondien-

tes sistemas de coordenadas.

En efecto: supongamos que P es un punto cualesquiera del plano. Por el axioma

de las paralelas, existen dos rectas, r y s, que pasan por P y que son paralelas a los

ejes x y y, respectivamente. Sean Px y Py los puntos de intersección de r y s con x y

y, respectivamente:

Sean u y v las coordenadas de Px y Py respectos de los correspondientes sistemas de

coordenadas de x y de y. Puesto que u y v son únicos, el par ordenado de números


reales (u, v) identifican de manera unívoca al punto P. Al par ordenado le denomi-

namos coordenadas de P, a la primera componente, la abscisa de P, a la segunda

coordenada, la ordenada de P:

Dado que las rectas r y x son paralelas, y x y y son perpendiculares, entonces r

y y son perpendiculares y, por tanto, Py es la proyección ortogonal de P sobre y. Un

razonamiento igual nos indica que Px es la proyección ortogonal de P sobre x.

Por lo anterior, si P está en la recta x, entonces la recta r es igual a la recta x, de

donde concluimos que la ordenada de P es 0. Igualmente, si P está en la recta y, la

abscisa de P es 0. Ilustremos varios ejemplos:


Utilizaremos los subíndices x y y para indicar la abscisa y la ordenada de cada

punto, respectivamente.

Por el axioma de separación, x “divide” el plano menos las rectas en dos se-

miplanos o lados; y hace lo mismo; luego, el plano queda “dividido” en cuatro

conjuntos a los que se denominan cuadrantes. Cada uno tiene un nombre:

1. Primer cuadrante: es el conjunto de todos los puntos del plano cuyas coorde-

nadas son mayores que 0.

2. Segundo cuadrante: es el conjunto de todos los puntos del plano cuya abscisa

es menor que 0 y cuya ordenada es mayor que 0.

3. Tercer cuadrante: es el conjunto de todos los puntos del plano cuyas coorde-

nadas son menores que 0.

4. Cuarto cuadrante: es el conjunto de todos los puntos del plano cuya abscisa

es mayor que 0 y cuya ordenada es menor que 0.

De esta definición, se desprende que los puntos de los ejes no pertenecen a ningún

cuadrante.

Debe estar claro que la “distribución” de los cuadrantes mostrada en la ilus-

tración anterior depende de la elección de los “lados positivos” en cada eje. Aho-

ra ocupémonos de los ángulos. Dado un sistema de coordenadas, los ángulos (la

unión de dos rayos no colineales y con el mismo origen) a los que vamos a de-

nominar ángulos en un sistema de coordenadas son aquellos cuyo vértice es el

origen de coordenadas y uno de sus lados es el lado del eje de abscisas “positivo”;

el otro lado puede ser cualquier otro rayo. El lado que yace en el eje de las abscisas

se denomina lado inicial del ángulo; el otro lado, lado final. Ilustremos algunos

ejemplos:


En esta ilustración, tenemos los ángulos ∠AOB, ∠AOC, ∠AOD, ∠AOF, ∠AOG y

∠AOH. De acuerdo a la definición de ángulo geométrica, ni el rayo−→OA ni la recta

←→EA (que es, en realidad, la recta x) son ángulos.

No obstante, vamos a extender la definición de ángulos implícitamente a través

de dos axiomas:

1. El rayo−→OA y la recta x son ángulos en el sistema de coordenadas.

2. Dado un rayo cualesquiera−→OP, los pares ordenados de rayos (

−→OA,−→OP) y

(−→OP,−→OA) son ángulos en el sistema de coordenadas.

Los ángulos del tipo (−→OA,−→OP) se denominan positivos y se los representará

por ∠AOP (primero A y luego P); los ángulos del tipo (−→OP,−→OA), negativos y

se los representará por ∠POA (primero P, luego A).

Los ángulos en un sistema de coordenadas se los clasifica por la región en el

plano en la que se encuentre el lado final: se dirá que un ángulo está en un deter-

minado cuadrante si su lado final yace en dicho cuadrante. Aquellos ángulos cuyo

lado final yacen sobre los ejes no están en ningún cuadrante.

En la ilustración anterior, el ángulo ∠AOB está en el primer cuadrante; ∠AOD,

en el segundo; ∠AOF, en el tercero; y, finalmente, ∠AOH, en el cuarto cuadrante.

Para terminar la definición de los ángulos en un sistema de coordenadas, re-

querimos axiomas para las medidas angulares que sean consistentes a las que ya

tienen en la Geometría. Para ello, vamos a introducir los denominados sistemas de

medición de ángulos, tema de la siguiente subsección.

1.3.2 Sistemas de medición de ángulos

Los axiomas de la medida angular hacen referencia al sistema de medición de án-

gulos denominado sexagesimal y a su unidad, grado. El otro sistema que vamos a


utilizar es el radial, cuya unidad es el radián.

Sistema sexagesimal

El sistema que vamos a estudiar se basa en el siguiente teorema de la geometría

Euclídea:

TEOREMA 1.6 .

Sean:

1. C y D dos círculos cuyos centros son P y Q, respectivamente;

2. α y β dos ángulos congruentes cuyos vértices son P y Q, respectivamente;

3. A y B los puntos de intersección de los lados de α y la circunferencia C;

4. E y F los puntos de intersección de los lados de β y la circunferencia D;

5. AB el conjunto de puntos de la circunferencia C que están en el interior del

ángulo α (es decir, el arco subtendido por el ángulo); y,

6. EF el conjunto de puntos de la circunferencia D que están en el interior del

ángulo β.

EntoncesmAB

c=

mEF

d,

donde mAB y mEF son las longitudes de los arcos correspondientes, y c y d son las

longitudes de los diámetros de C y D, respectivamente.

Dicho de otra manera, el cociente entre las longitudes de los arcos subtendidos

por ángulos congruentes y de los diámetros es constante.

Con ayuda de este teorema, vamos a asignar un número real a cada ángulo.

En primer lugar, definamos la unidad de medida angular grado. Para ello, sea C

una circunferencia cualesquiera y sea P su centro. Mediante puntos, dividamos la


circunferencia en 360 partes de igual longitud; sean A y B dos puntos consecutivos

de dicha división:

Decimos que la medida del ángulo central ∠APB es un grado, lo que se escribirá

de la siguiente manera:

m∠APB = 1◦.

Ahora bien, dado ∠ABC, un ángulo cualesquiera (es decir, la unión de los rayos

no colineales−→BA y

−→BC), sea C un círculo cuyo centro sea B y su radio mida cualquier

número real (podemos elegir cualesquier número para la longitud del diámetro

gracias al teorema anterior). Sean X y Y las intersecciones de los lados del ángulo

con la circunferencia:

Definimos la medida en grados de ∠ABC, representada por m∠ABC, como el co-

cientemXY

mPQ,

donde el arco PQ es 1360 de la circunferencia (es decir, el ángulo central ∠PBQ mide

un grado). Si r es este cociente, escribiremos

m∠ABC = r◦


y diremos que el ángulo ∠ABC mide r grados.

En otras palabras, la medida en grados del ángulo ∠ABC es igual al “número”

de arcos de un grado que caben en el arco XY, subtendido por el ángulo.

En este sentido, se dice que la circunferencia mide 360 grados; y cualquier semi

circunferencia (el arco de circunferencia cuyos extremos son los extremos de un

diámetro), mide 180 grados; la cuarta parte, 90 grados:

En este caso, PQ es un diámetro y los diámetros AC y XY son perpendiculares.

Ahora vamos a asignar la medida en grados a cada ángulo en un sistema de

coordenadas, donde O es el origen, A es un punto en el lado positivo del eje de las

abscisas y B uno en el lado negativo de este eje:

1. Para cada ángulo en un sistema de coordenadas es un número en el intervalo

(−360, 360).

2. La medida en grados del ángulo−→OA es 0 grados:

3. La medida en grados del ángulo ∠AOB es 180 y del ángulo ∠BOA es −180:


Para indicar si el ángulo es positivo o negativo gráficamente, utilizaremos las

flechas como en esta ilustración.

4. La medida en grados de cualquier ángulo positivo que no sea el lado positivo

del eje de las abscisas o los correspondientes a este eje es el número de grados

que contiene el arco de cualquier circunferencia con centro en el origen de

coordenadas (O) que subtiende el ángulo:

Así, el ángulo la medida en grados del ∠AOC es el número de grados conte-

nidos en el arco KM, el subtendido por el ángulo. La medida en grados del

ángulo ∠AOE es el número de grados contenidos en el arco KN, etcétera.

5. La medida en grados del ángulo ∠DOA, donde D es un punto cualquiera del

plano que contiene los ejes coordenados es:

m∠DOA =m∠AOD− 360 :


Los siguientes ejemplos ilustran la conclusión general sobre los límites de las

medidas angulares en cada cuadrante.

Ejemplos: Sistema sexagesimal

1. Es claro que la medida en grados del ángulo cuyo lado final es el lado positivo deleje de ordenadas es 90, del ángulo cuyo lado final es el lado negativo del eje deordenadas es 270:

2. En cambio, el lado final del ángulo cuya medida en grados es −90 es el lado nega-tivo del eje de ordenadas, y el lado final del ángulo que mide en grados −270 es ellado positivo de dicho eje porque

−90 = 270− 360 y − 270 = 90− 360,

respectivamente:


3. Se ilustran a continuación los ángulos cuyas medidas son 60, 135, 210 y 300 grados.Están el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes, respectivamente, porquesus medidas están en (0, 90), (90, 180), (180, 270) y (270, 360), respectivamente:

4. Ilustramos los ángulos cuyas medidas son: −30, −135, −210 y −300 grados:


En efecto:

−30 = 330− 360, −135 = 225− 360, −210 = 150− 360, −300 = 60− 360,

respectivamente.

5. Los ángulos ∠AOB y ∠BOA tienen los mismos lados, sin embargo, el primeroes positivo y el segundo es negativo. Es claro que la medida del segundo es ladiferencia entre la medida del primero y 360:

m∠BOA = m∠AOB− 360.

Así, los ángulos que miden 45 y −315 grados tienen los mismos lados; los quemiden 70 y −290 grados, etcétera.

Sistema radial

Este sistema se base en el siguiente teorema:

TEOREMA 1.7 (Existencia de π).

Sean:

1. C y D dos círculos cuyos centros son P y Q, respectivamente;

2. AB y EF diámetros de C y D, respectivamente.


Entoncesm C

AB=

m D

EF,

donde mC y mD son las longitudes de las circunferencias C y D, respectivamente.

Dicho de otra manera, el cociente entre las longitudes de la circunferencia y de

su diámetro es constante. A esa constante se le denomina pi y se le representa por

la letra del alfabeto griego π.

El número π es irracional. La demostración de esta proposición requiere argu-

mentos del Cálculo Diferencial por lo que no la presentaremos aquí. Este número

se puede aproximar por

3.141 592 654

(con nueve cifras decimales exactas). Para los cálculos de los ejemplos y ejercicios

en este curso, esta aproximación será más que aceptable.

Vamos a definir otra unidad de medida para los ángulos; el procedimiento es el

mismo que el utilizado para definir grado. En este caso, un radián es la medida de

un ángulo central (en cualquier circunferencia, gracias al teorema de la existencia

de π) que subtiende un arco de longitud igual a la del radio de la circunferencia:

Es decir, tenemos que

m AB = PA = PB.

Decimos que la medida del ángulo central ∠APB es un radián, y se escribirá así:

m∠APB = 1 rad .

Ahora definamos la medida en radianes de cualquier ángulo ∠ABC. Sea C un

círculo cuyo centro sea B y su radio mida cualquier número real (podemos elegir

cualesquier número para la longitud del diámetro gracias al teorema anterior). Sean

X y Y las intersecciones de los lados del ángulo con la circunferencia:


Definimos la medida en radianes de ∠ABC, representada por m∠ABC, como el

cocientemXY

BX,

o tambiénmXY

m PQ,

donde el ángulo ∠PBQ mide un radián (razón por la cual, m PQ = BX).

Si r es este cociente, escribiremos

m∠ABC = r rad

y diremos que el ángulo ∠ABC mide r radianes.

En otras palabras, la medida en radianes del ángulo ∠ABC es igual al “número”

de arcos de un radián que caben en el arco XY, subtendido por el ángulo.

En este sentido, como la longitud de la circunferencia es 2π veces la longitud de

su radio, se dice que la circunferencia mide 2π radianes; y cualquier semi circunfe-

rencia (el arco de circunferencia cuyos extremos son los extremos de un diámetro),

mide π radianes; la cuarta parte,π

2radianes.

Conversión entre los dos sistemas

Los ángulos no están dados en ninguno de los dos sistemas; son sus medidas las

que hacen referencia a una unidad específica. Por ello, para referirnos a la medida

de un ángulo, utilizaremos una de las dos locuciones siguientes: medida en grados

o medida en radianes de un ángulo.

La relación de las medidas en estos dos sistemas es fácil de obtener:

En una circunferencia caben 360 grados y 2π radianes. Así, de los dosúltimos teoremas, deducimos que la relación entre los arcos unidad, ungrado y un radián, es directamente proporcional. Por tanto, los factoresde conversión entre ambos sistemas son:

2π rad360◦

y360◦

2π rad,


o tambiénπ rad180◦

y180◦

π rad.

El primero permite obtener la medida en radianes de un ángulo a partirde la medida en grados de dicho ángulo. El segundo factor, realiza elproceso contrario.

Ejemplos: Conversión entre sistemas

1. Está claro que las medidas de los ángulos cuyas medidas en grados son 0, 90, 180

y 270, respectivamente, en radianes sus medidas son: 0,π

2, π y

3π

2.

2. Los ángulos cuyas medidas en grados son 30, 45 y 60, en radianes miden:

30 · π

180=

π

6,

45 · π

180=

π

4,

60 · π

180=

π

3,

respectivamente.

3. Los ángulos cuyas medidas en radianes son23

π,56

π y54

π, en radianes miden:

23

π · 180π

= 120,

56

π · 180π

= 150,

54

π · 180π

= 225,

respectivamente.

Ya estamos listos para extender la definición de razón trigonométrica para cual-

quier ángulo en un sistema de coordenadas.

1.3.3 Razones trigonométricas: generalización

Debemos tener en cuenta que la definición de razones trigonométricas para cual-

quier ángulo en un sistema de coordenadas deberá “coincidir” con la dada para

los ángulos agudos cuando se trate de un ángulo en el primer cuadrante. Por esta

razón, formulemos el procedimiento para definir las razones de un ángulo en dicho

cuadrante y luego lo extenderemos a ángulos en los otros cuadrantes y para los que

miden 90, 180 y 270 grados (oπ

2, π y

32

π radianes).

Para aligerar las definiciones, es de ayuda definir la circunferencia unidad: la

circunferencia cuyo centro es el origen del sistema de coordenadas y cuyo radio


mide 1.

Supongamos que el ángulo ∠AOB está en el primer cuadrante. Notemos que

definiremos las razones trigonométricas del ángulo ∠BOA iguales a las del ángulo

∠AOB porque esta definición dependerá enteramente del hecho de que el lado final

del ángulo está en el primer cuadrante.

Para ello, además del ángulo ya indicado, consideremos la circunferencia uni-

dad. Sea P la intersección de esta circunferencia y el lado final−→OB. Sean s y t las

coordenadas de P (abscisa y ordenada, respectivamente), y S y T las proyecciones

de P en los ejes de las abscisas y de las ordenadas, respectivamente:

De la definición de razones trigonométricas para un ángulo agudo, tenemos

que

sen∠AOB =PS

OP=

t

1= t

cos∠AOB =SO

OP=

s

1= s

tan∠AOB =PS

SO=

t

s,

ya que s y t son las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo△PSO (donde

O es el vértice del ángulo recto) y la hipotenusa OP mide 1.

En esta situación, podemos decir que:

el seno, coseno y tangente del ángulo ∠AOB, como ángulo en un siste-ma de coordenadas, son la ordenada, abscisa y el cociente entre la ordenada

y la abscisa del punto de intersección entre el lado final del ángulo y lacircunferencia unidad.

Si tomamos esta proposición como definición de seno, coseno y tangente de un

ángulo en el primer cuadrante, ambas definiciones (la dada para ángulos agudos

y esta nueva) coinciden y, además, permite que generalicemos para las razones

trigonométricas de un ángulo en cualesquiera de los cuadrantes.


DEFINICIÓN 1.3 (Razones trigonométricas)

Si ∠AOB es un ángulo en un sistema de coordenadas en cualesquiera de los cuatro

cuadrantes y (s, t) son las coordenadas del punto de intersección entre el lado final

del ángulo y la circunferencia unidad, se definen

1. sen∠AOB = t

2. cos∠AOB = s

3. tan∠AOB =t

s

4. cot∠AOB =s

t

5. sec∠AOB =1s

6. csc∠AOB =1t

.

En otras palabras:

1. El seno de un ángulo en un cuadrante es la ordenada del punto de intersección

del lado final del ángulo y la circunferencia unidad.

2. El coseno de un ángulo en un cuadrante es la abscisa del punto de intersección

del lado final del ángulo y la circunferencia unidad.

3. La tangente de un ángulo en un cuadrante es el cociente entre la ordenada y la

abscisa del punto de intersección del lado final del ángulo y la circunferencia

unidad.

4. La cotangente de un ángulo en un cuadrante es el cociente entre la abscisa y la

ordenada del punto de intersección del lado final del ángulo y la circunferencia

unidad.

5. La secante de un ángulo en un cuadrante es el inverso multiplicativo del co-

seno del ángulo; es decir, es el inverso multiplicativo de la abscisa del punto

de intersección del lado final del ángulo y la circunferencia unidad.

6. La cosecante de un ángulo en un cuadrante es el inverso multiplicativo del

seno del ángulo; es decir, es el inverso multiplicativo de la ordenada del punto

de intersección del lado final del ángulo y la circunferencia unidad.

Ejemplo: Razones de un ángulo del segundo cuadrante

Calculemos las razones trigonométricas del ángulo ∠AOB que mide 120 grados o23

π

radianes. Este ángulo está en el segundo cuadrante. Como dictamina la definicióndada, sea P el punto de intersección entre la circunferencia unidad y el lado

−→OB:


Para determinar las razones trigonométricas de este ángulo, debemos calcular s yt. Para ello, vamos a recurrir a las razones trigonométricas de los ángulos agudos queya estudiamos antes.

En efecto, sean S y T las proyecciones ortogonales del punto P sobre los ejes de lasabscisas y ordenadas, respectivamente. Obtenemos así el triángulo rectángulo△OPS,donde el ángulo cuyo vértice es S es recto.

Debe estar claro que el ángulo de vértice O en el triángulo rectángulo△PSO mide 60grados; la hipotenusa de este triángulo es OP y mide 1.

Como ya conocemos las razones trigonométrica de cualquier ángulo agudo quemida 60, podemos determinar las longitudes de los catetos OS y PS (no olvidemosque PS = TO).

En efecto, tenemos que

sen∠POS =PS

1= PS y sen∠60◦ =

√3

2.

Por tanto,

PS =

√3

2,


de donde

t =

√3

2.

También tenemos que

cos∠POS =OS

1= OS y cos∠60◦ =

12

.

Por tanto,

OS =12

,

de dondes = −1

2.

¡Obsérvese que s es la abscisa del punto P y no la longitud del cateto OS! (las abscisasde los puntos del segundo cuadrante son negativas; y el punto P está en el segundocuadrante). Por tanto, las coordenadas de P son

Ç−1

2,

√3

2

å

Y ya podemos determinar las razones trigonométricas del ángulo que mide 120 gra-

dos o23

π:

1. sen 120◦ =

√3

2

2. csc 120◦ =2√3

3. cos 120◦ = −12

4. sec 120◦ = −2

5. tan 120◦ =

√3

2

−12

= −√

3

6. cot 120◦ = − 1√3

.

Podemos concluir también que:


1. sen 120◦ = sen 60◦

2. csc 120◦ = csc 60◦

3. cos 120◦ = − cos 60◦

4. sec 120◦ = − sec 60◦

5. tan 120◦ = − tan 60◦

6. cot 120◦ = − cot 60◦.

De la definición de razones trigonométricas para un ángulo en un sistema de

coordenadas se desprende que las razones trigonométricas de los ángulos del pri-

mer cuadrante son las mismas que las de los ángulos agudos. Y de este ejemplo,

también se puede ver que las razones de ángulos en los otros cuadrantes se obtie-

nen fácilmente a partir de las razones trigonométricas de algún ángulo del primer

cuadrante.

En efecto, supongamos que ∠AOB está en el segundo cuadrante. Entonces cual-

quier ángulo que mida

α = 180−m∠AOB

es un ángulo agudo:

Y con los mismos razonamientos utilizados en el ejemplo del ángulo que mide 120

grados, concluimos que

1. sen∠AOB = sen(180−m∠AOB)◦

2. csc∠AOB = csc(180−m∠AOB)◦

3. cos∠AOB = − cos(180−m∠AOB)◦

4. sec∠AOB = − sec(180−m∠AOB)◦

5. tan∠AOB = − tan(180−m∠AOB)◦

6. cot∠AOB = − cot(180−m∠AOB)◦.


Ejemplos: Razones de ángulos del segundo cuadrante

1. Tenemos que

sen 150◦ = sen 30◦ =12

porque150 = 180− 30.

2. También tenemos que

cos 150◦ = − cos 30◦ = −√

32

.

3. Dado que135 = 180− 45,

tenemos que

sen 135◦ = sen 45◦ =

√2

2, cos 135◦ = −

√2

2y tan 135◦ = −1.

4. Es fácil obtener la siguiente tabla:

α◦ sen α◦ cos α◦ tan α◦ cot α◦ sec α◦ csc α◦

120◦√

32

−12

−√

3 −√

33

−22√

33

135◦√

22

−√

22

−1 −1 −√

2√

2

150◦ 12 −

√3

2−√

33

−√

3 −2√

33

2

Las igualdades anteriores son una forma equivalente de definir las razones tri-

gonométricas de un ángulo en el segundo cuadrante. Y nos sugiere que las defini-

ciones dadas se pueden expresar de maneras similares en los otros dos cuadrantes.

En efecto, si ∠AOB está en el tercer cuadrante, entonces

m∠AOB = 180 + α,

donde α ∈ (0, 90); es decir,

α = m∠AOB− 180.

Luego, α es la medida de un ángulo agudo, congruente con el ángulo del triángulo

rectángulo△PSO (donde ∠S es el ángulo recto, P es la intersección de la circunfe-

rencia unidad y el lado final del ángulo y S es la proyección de P sobre el eje de las

abscisas):


Por tanto, por la definición de razones trigonométricas para ángulos en un sistema

de coordenadas, tenemos

1. sen∠AOB = t

2. csc∠AOB = t−1

3. cos∠AOB = s

4. sec∠AOB = s−1

5. tan∠AOB =t

s

6. cot∠AOB =s

t

y por la definición de razones trigonométricas para ángulos agudos, tenemos

1. sen α◦ = −t

2. csc α◦ = (−t)−1= −t−1

3. cos α◦ = −s

4. sec α◦ = (−s)−1= −s−1

5. tan α◦ =−t

−s=

t

s

6. cot α◦ =−s

−t=

s

t,


1. sen∠AOB = − sen(m∠AOB− 180)◦ = − sen α◦

2. csc∠AOB = − csc(m∠AOB− 180)◦ = − csc α◦

3. cos∠AOB = − cos(m∠AOB− 180)◦ = − cos α◦

4. sec∠AOB = − sec(m∠AOB− 180)◦ = − sec α◦

5. tan∠AOB = tan(m∠AOB− 180)◦ = tan α◦

6. cot∠AOB = cot(m∠AOB− 180)◦ = cot α◦,

dado que

α = m∠AOB− 180.


Ejemplos: Razones de ángulos en el tercer cuadrante

1. Se tiene que

sen 210◦ = − sen 30◦ = −12

y cos 210◦ = − cos 30◦ = −√

32

dado que210 = 180 + 30.

2. También se tiene que

tan 225◦ = tan 45◦ = 1 y cot 225◦ = cot 45◦ = 1

pues225 = 180 + 45.

3. Ya que240 = 180 + 60,

obtenemos que

sec 240◦ = − sec 60◦ = −2 y csc 240◦ = − csc 60◦ = −2√

33

.

Finalmente, si el ángulo ∠AOB está en el cuarto cuadrante, entonces

m∠AOB = 360− α,

donde α ∈ (0, 90); es decir,

α = 360−m∠AOB.

Con razonamientos análogos a los casos anteriores, es fácil deducir que:

1. sen∠AOB = − sen(360−m∠AOB)◦ = − sen α◦

2. csc∠AOB = − csc(360−m∠AOB)◦ = − csc α◦

3. cos∠AOB = cos(360−m∠AOB)◦ = cos α◦

4. sec∠AOB = sec(360−m∠AOB)◦ = sec α◦

5. tan∠AOB = − tan(360−m∠AOB)◦ = − tan α◦

6. cot∠AOB = − cot(360−m∠AOB)◦ = − cot α◦.

Ejemplos: Razones de ángulos en el cuarto cuadrante


1. Tenemos que

sen 330◦ = − sen 30◦ = −12

y cos 330◦ = cos 30◦ =

√3

2

dado que330 = 360− 30.

2. Dado que315 = 360− 45,

obtenemos que

tan 315◦ = − tan 45◦ = −1 y cot 315◦ = − cot 45◦ = −1.

3. Puesto que300 = 360− 60,

tenemos que

sec 300◦ = sec 60◦ = 2 y csc 300◦ = − csc 60◦ = −2√

33

.

Dado que cada razón trigonométrica de un ángulo, o bien es una de las coor-

denadas del punto de intersección entre el lado final del ángulo y la circunferencia

unidad, podemos establecer fácilmente que la razón trigonométrica de un ángu-

lo será positiva o negativa según el cuadrante en el que el ángulo esté: es obvio

que las razones de los ángulos del primer cuadrante son todas positivas porque las

coordenadas del mencionado punto son positivas.

Para ángulos del segundo cuadrante, como la abscisa de cada punto de dicho

cuadrante es negativa y la ordenada es positiva, tenemos que el seno y la cosecante

del ángulo son positivas; las otras cuatro razones son negativas. En el tercer cua-

drante, ambas coordenadas son negativas; luego, la tangente y la cotangente son

positivas (porque la división de dos números negativos es un número positivo);

las otras, negativas. Finalmente, en el cuarto cuadrante, la abscisa de cada punto

es positiva y la ordenada, negativa; luego, el coseno y la secante son positivas; las

demás, negativas.

TEOREMA 1.8 (Los signos de las razones trigonométricas).

Sea α un ángulo. Si α está en:

1. El primer cuadrante, todas las razones trigonométricas de α son positivas.

2. En el segundo cuadrante, únicamente el seno y la cosecante de α son positi-

vas.

3. En el tercer cuadrante, únicamente la tangente y la cotangente de α son posi-

tivas.

4. En el cuarto cuadrante, únicamente el coseno y la secante de α son positivas.


Ejemplos: Razones de ángulos en un sistema de coordenadas

1. El seno de un ángulo que mide 275 grados es negativo porque este ángulo está enel cuarto cuadrante, ya que

275 = 270 + 5 = 360− 85

y 5 ∈ (0, 90). Además, tenemos que

sen 275◦ = − sen 85◦.

2. El coseno de un ángulo que mide 114 grados es negativo porque está en el segundocuadrante, pues

114 = 90 + 24 = 180− 66.

Luego,cos 114◦ = − cos 66◦.

3. La tangente de −30◦ es negativa, ya que el ángulo cuya medida es −30 está en elcuarto cuadrante pues

360− 30 = 330

y, por tanto, su lado final es el mismo que el ángulo que mide 330; así, tenemos que

tan(−30)◦ = tan 330◦ = tan(360− 30)◦ = − tan 30 = −√

33

.

4. Un ángulo que mida −150◦ está el tercer cuadrante ya que

360− 150 = 210

y, por tanto, su lado final es el mismo que el ángulo que mide 210. Así, concluimosque

sec(−150)◦ = sec(210◦) = sec(180 + 30)◦ = − sec 30◦ = −2.

Aunque siempre es fácil determinar las razones trigonométricas de ángulos ne-

gativos, como se mostró en los ejemplos, podemos también deducir proposiciones

generales para las razones trigonométricas de ángulos negativos en términos del

ángulo “correspondiente” positivo.

En efecto, supongamos que α es la medida de un ángulo del primer cuadrante.

Por tanto, −α es la medida de un ángulo del cuarto cuadrante, ya que

360− α ∈ (270, 360) :


Hagamos que la elección de los puntos B y C sea tal que sean la intersección de

los lados con la circunferencia unidad; sea D sea la intersección del segmento BC y

el eje:

Luego, los triángulos△BOA y△COA son congruentes ya que tienen dos lados co-

rrespondientes congruentes y los ángulos comprendido entre estos lados también

son congruentes; por tanto, tenemos que

BD = CD,


de donde, si las coordenadas de B son (s, t), las de C serán

(s,−t) :

Podemos concluir que

sen(−α)◦ = −t = − sen α◦.

cos(−α)◦ = s = cos α◦.

tan(−α)◦ =−t

s= − t

s= − tan α◦.

cot(−α)◦ = − cot α◦.

sec(−α)◦ =1s= sec α◦.

csc(−α)◦ =1−t

= − csc α◦.

Si el ángulo cuya medida es α está en el segundo cuadrante, el ángulo con me-

dida −α está en el tercer cuadrante y un razonamiento similar nos conduce a la

misma conclusión: el seno, tangente, cotangente y cosecante de −α es igual al in-

verso aditivo del seno, tangente, cotangente y cosecante de α; en cambio, el coseno

y la secante de −α es igual al coseno y la secante de α.

TEOREMA 1.9 (Razones trigonométricas del inverso aditivo).

Si α es la medida de un ángulo en un sistema de coordenadas, entonces:


1. sen(−α)◦ = − sen α◦

2. cos(−α)◦ = cos α◦

3. tan(−α)◦ = − tan α◦

4. cot(−α)◦ = − cot α◦

5. sec(−α)◦ = sec α◦

6. csc(−α)◦ = − csc α◦.

Ejemplos: Razones de un ángulo en un sistema de coordenadas

1. Supongamos que ∠α es un ángulo en un sistema de coordenadas tal que

cos∠α =58

.

¿En qué cuadrante está este ángulo?

Como el coseno es positivo en el primero y cuarto cuadrantes, el ángulo ∠α

está en uno de esos dos cuadrantes. ¿En cuál? Sin más información sobre ∠α, nopodemos saberlo. De hecho, lo que podemos asegurar es que hay dos ángulos, uno

en el primer cuadrante y otro en el segundo cuadrante, cuyo coseno es58

.

Podemos también “encontrar” los lados finales de estos dos ángulo. Con “en-contrar” queremos decir que podemos indicar al menos un punto por el que pasael lado final de cada uno de estos ángulos.

En efecto, sean (s, t) las coordenadas del punto de intersección del lado final yla circunferencia unidad. Por tanto,

cos∠α = s =58

.

Ahora solo nos falta determinar t. Pero esto es fácil con la ayuda del teorema dePitágoras, como lo podemos visualizar a continuación:


Como se puede ver, hay dos posibles ángulos (no importa si son positivos o nega-tivos, sino en dónde están sus lados finales).

En el caso del ángulo del primer cuadrante, t es la longitud del cateto PD en eltriángulo rectángulo△PDO, donde el vértice del ángulo recto es D. Por tanto, porel teorema de Pitágoras, tenemos que

t2+

Å58

ã2= 12,

ya que la hipotenusa es OP, que mide 1. Por tanto,

t2=

3964

;

luego, como t > 0, tenemos que

t =

√398

y, por tanto, el lado final del ángulo en el primer cuadrante, pasa por el punto decoordenadas Ç

58

,

√398

å.

En el caso del cuarto cuadrante, −t es la longitud del cateto DP . Y con unprocedimiento similar, encontramos que

(−t)2= t2

=3964

;

de donde, como t < 0, obtenemos que

t = −√

398

y que el lado final de este ángulo pasa por el punto de coordenadas

Ç58

, −√

398

å.

2. Si ∠A es un ángulo cuya tangente es −54

, entonces el ángulo ∠A podría estar en elsegundo o cuarto cuadrante.

Para averiguar, como el ejemplo anterior, un punto por el que pase su ladofinal, podríamos proceder de manera similar. Sin embargo, en este caso, podemosproceder de una manera diferente.

En efecto, en primer lugar, tenemos que

−54=

5−4

=−54

,

entonces si el ángulo está en el segundo cuadrante, el lado final pasa por el puntode coordenadas

(−4, 5)

y si está en el cuarto cuadrante, pasa por el punto de coordenadas

(4,−5).

¿Por qué? Porque si (s, t) son las coordenadas del punto de intersección entreel lado final y la circunferencia unidad, tenemos que

tan∠A =t

s=

5−4

=−54

.

Esta igualdad no implica que t sea 5 o −5, o que s = −4 o 4, sino que los númerost y s están en la misma proporción que −5 y 4 (o que 5 y −4) y, por tanto, 5 y4 son las longitudes de un triángulo rectángulo, donde O es uno de sus vértices,semejante al triángulo ODP, donde P es la intersección del lado final del ángulo yla circunferencia unidad, y D es la proyección de P en el eje de las abscisas:

Para averiguar s y t, utilicemos las proporciones anteriores y el teorema dePitágoras. En primer lugar, tenemos

s2+ t2

= 1 yt

s= −5

4;

luego,

s2+ t2

= 1 yt2

s2 =2516

,

de donde,1− s2

s2 =2516

;

así,

s2=

1641

.


Luego, si el ángulo está en el segundo cuadrante, s < 0, t > 0 y, por tanto,

s = − 4√41

y t =5√41

.

En cambio, si el ángulo está en el cuarto cuadrante, s > 0, t < 0 y

s =4√41

y t = − 5√41

.

3. Si ∠A es un ángulo del tercer cuadrante y su lado final pasa por el punto de coor-denadas (−6,−3). Para calcular las razones trigonométricas de este ángulo, no ne-cesitamos conocer las coordenadas de la intersección entre el lado final y la circun-ferencia unidad (s, t).

En efecto, como se ilustra en la siguiente gráfica, por la semejanza de triángu-los, tenemos que

t

s=−3−6

=12

,

de dondetan∠A =

12

.

Por tanto, la longitud de la hipotenusa OQ se obtiene así:

OQ =

»(−3)2 + (−6)2 =

√45 = 3

√5,

de donde

sen∠A =−3

3√

5= −√

55

y cos∠A =−6

3√

5= −2

√5

5.

En resumen, basta con determinar la longitud del punto de coordenadas (−6,−3)y el origen de coordenadas.

4. Si ∠A es un ángulo del segundo cuadrante y su lado final pasa por el punto decoordenadas (−2, 5), calculemos seno, coseno y tangente de este ángulo.

Sea Q el punto de coordenadas (−2, 5). Entonces su distancia al origen de coor-

denadas O es:OQ =

»(−2)2 + 52 =

√29

y, por tanto, tenemos

sen∠A =5√29

, cos∠A =−2√

29y tan∠A =

5−2

= −52

.

Para terminar esta sección, definamos las razones trigonométricas de los án-

gulos de 0, 90, 180 y 270 grados. Para darle consistencia, las definiciones siguen la

misma estructura para los ángulos en los cuadrantes; es decir, si P es la intersección

de uno de los ejes con la circunferencia unidad, entonces el seno es la ordenada de

este punto; el coseno, la abscisa; la tangente, cuando sea posible, el cociente entre

ordenada y abscisa; y, las otras, como los respectivos inversos multiplicativos de

los tres primeros.

Veamos una ilustración de la situación:

Como la división por 0 no está definida, no se podrán definir:

1. la cotangente y la cosecante de 0 y 180 grados; y

2. la tangente y la secante de 90 y 270 grados.

Las demás se definen así:

DEFINICIÓN 1.4 (Razones de 0, 90, 180 y 270 grados)

Las razones trigonométricas de los ángulos de 0, 90, 180 y 270 grados (0,π

2, π y

3π

2radianes) son:

1. sen 0◦ = 0, cos 0◦ = 1, tan 0◦ = 0, sec 0◦ = 1.

2. sen 90◦ = 1, cos 90◦ = 0, cot 90◦ = 0, csc 90◦ = 1.

3. sen 180◦ = 0, cos 180◦ = −1, tan 180◦ = 0, sec 180◦ = −1.

4. sen 270◦ = −1, cos 270◦ = 0, cot 270◦ = 0, csc 270◦ = −1.


Esta definición escrita en el sistema en radianes queda así:

1. senπ

2rad = 1, cos

π

2rad = 0, cot

π

2rad = 0, csc

π

2rad = 1.

2. sen π rad = 0, cos π rad = −1, tan π rad = 0, sec π rad = −1.

3. sen3π

2rad = −1, cos

3π

2rad = 0, cot

3π

2rad = 0, csc

3π

2rad = −1.

1.3.4 Las leyes de senos y cosenos

Con las definiciones de razones trigonométricas para ángulos en un sistema de

coordenadas, ya podemos hablar de las razones trigonométricas de los ángulos de

un triángulo.

En efecto, recordemos que la suma de las medidas de los ángulos de un triángu-

lo es igual a 180 grados; luego, los ángulos de un triángulo solo pueden ser agudos

u obtusos. Para el caso de los ángulos agudos, ya tenemos definidas las razones

trigonométricas. Para el caso de los obtusos, les definimos de una manera muy

simple: las razones trigonométricas de un ángulo obtuso de un triángulo son las

razones trigonométricas de un ángulo del segundo cuadrante congruente con el

ángulo del triángulo. El asunto queda resuelto.

Con esta definición, hay dos teoremas importantes sobre las relaciones entre las

medidas angulares y las longitudes de los lados de un triángulo. Estos teoremas

permiten determinar estos “seis elementos” de un triángulo a través de las razones

trigonométricas de sus ángulos. Los nombres comunes de estos teoremas son ley de

los senos y ley de los cosenos.

TEOREMA 1.10 (Ley de los senos).

Dado un triángulo cualesquiera △ABC, las siguientes proposiciones son verdade-

ras:sen∠A

BC=

sen∠B

AC=

sen∠C

AB.

En otras palabras, el cociente entre el seno de un ángulo del triángulo y la longitud

del lado opuesto a ese ángulo es constante para el triángulo.

Demostración. Vamos a considerar dos casos: el triángulo dado es acutángulo (es decir, lostres ángulos son agudos) y el triángulo tiene un ángulo obtuso (necesariamente, los otrosángulos son agudos).

Supongamos que△ABC es acutángulo. Sean BH y AG las altura del triángulo respectode los vértices B y A, respectivamente:


De la definición de seno de un ángulo agudo, en los triángulos rectángulos △ABH y△CBH, tenemos

sen∠A =BH

ABy sen∠C =

BH

BC,

de donde, obtenemos

BH = AB sen∠A y BH = BC sen∠C;

por tanto, por la propiedad transitiva de la igualdad, colegimos que

AB sen∠A = BC sen∠C,

de donde, concluimos quesen∠A

BC=

sen∠C

AB.

Ahora, repitamos este argumento, pero con los triángulos rectángulos△BAG y△CAG;obtendremos que

sen∠B

AC=

sen∠C

AB,

con lo que concluimos que

sen∠A

BC=

sen∠B

AC=

sen∠C

AB,

como se quería.Supongamos ahora que el triángulo es obtusángulo, donde el ángulo ∠B es obtuso.

Entonces la altura BH del triángulo respecto de B está en el interior del triángulo (es decir,H está entre A y B) y, necesariamente cualesquiera de las otras dos alturas está en el exteriordel triángulo. Sea CG la altura respecto de C; esto significa que G está en la prolongaciónde BC por B:

El razonamiento es similar al caso anterior en relación a los triángulos rectángulos


△ABH y△CBH; igual que antes, obtenemos que

sen∠A

BC=

sen∠C

AB.

Ahora consideremos los triángulos rectángulos △BAG y △CAG. De la definición deseno, tenemos que

sen∠GAB =AG

ABy sen∠C =

AG

AC.

Ahora bien, el ángulo ∠B es obtuso; por tanto, ∠GAB es agudo y, además, se verifica

m∠B = (180−m∠GAB),

de donde, obtenemossen∠GAB = sen∠B

y, así, tenemos que

sen∠B =AG

ABy sen∠C =

AG

AC,

de donde, como ya lo vimos antes, concluimos que

sen∠B

AC=

sen∠C

AB

y, así, obtenemos las tres proporciones.

Ejemplos: Ley de senos

1. Supongamos que el triángulo△ABC es tal que

AC = 7, m∠A = 30◦ y m∠C = 105◦.

Por tanto, el ángulo ∠B mide 45 grados. Mediante la ley de senos, podemosdeterminar las longitudes de los otros dos lados, pues

sen∠A

BC=

sen∠B

AC;

es decir, tenemossen 30◦

BC=

sen 45◦

7.

Como

sen 30◦ =12

y sen 45◦ =

√2

2,

colegimos1

2BC=

√2

14,

de donde,

BC =7√

22

.


Por la ley de senos, también tenemos

sen∠C

AB=

√2

14,

de donde, obtenemos que

AB =14 sen 105◦√

2= 7√

2 sen 105◦.

Utilizando una “calculadora” para calcular el seno de 105 grados y la raíz cuadradade 2, podemos tener un valor aproximado de AB y uno de BC:

AB ≈ 9.562 18 y BC ≈ 4.949 75

(con cinco decimales exactos).

2. Supongamos que el triángulo△ABC es tal que

AC = 100, BC = 80 y m∠A = 30◦.

Determinemos la longitud del tercer lado y la medidas angulares de los otros dos.

Comosen 30◦ =

12

,

por la ley de senos, tenemos:

sen 30◦

80=

sen∠B

100≡ 1

160=

sen∠B

100,

de donde, obtenemos que

sen∠B =58

.

Como el seno de un ángulo es positivo tanto para los agudos como para los obtusos(primero y segundo cuadrantes), entonces hay dos posibles ángulos cuyo seno es58

. Estos ángulos son suplementarios (es decir, la suma de sus medidas es 180). Así,basta que hallemos la medida de uno de ellos, para conocer la medida del otro.

Con la ayuda de una calculadora, tenemos que la medida del ángulo agudo

cuyo seno es58

es aproximadamente

38.68219◦.

Por tanto, el otro ángulo medirá

(180− 38.68219)◦ ≈ 141.31781◦.

Luego, tenemos dos triángulos que tienen un ángulo que mide 30 grados, ellado adyacente a este ángulo mide 100 y el lado opuesto al ángulo mide 80: unoque tiene un ángulo que mide 38.68219◦ aproximadamente y otro que tiene unángulo que mide 141.31781◦ aproximadamente.


En el primer caso, el ángulo ∠C mide:

180− (30 + 38.68219)◦ ≈ 111.31781◦.

En el segundo caso, el ángulo ∠C mide:

180− (30 + 141.317819)◦ ≈ 8.68219◦.

En el primer caso, con ayuda de la ley de senos, calculamos la longitud deltercer lado:

sen 30◦

80≈ sen 111.31781◦

AB≡ AB ≈ 160 sen 111.31781◦ ≈ 149.05252.

Con un procedimiento similar, en el segundo se obtiene:

AB ≈ 24.15256.

En el siguiente dibujo, se muestran ambos triángulos:

Ahora abordemos el teorema denominado ley de cosenos.

TEOREMA 1.11 (Ley de cosenos).

Dado un triángulo cualesquiera △ABC, las siguientes proposiciones son verdade-

ras:

1. AB2= AC2

+ BC2 − 2AC · BC · cos∠C,

2. AC2= AB2

+ BC2 − 2AB · BC · cos∠B,

3. BC2= AB2

+ AC2 − 2AB · AC · cos∠A.

En otras palabras, el cuadrado de la longitud de un lado del triángulo es igual

a las suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados menos el doble

producto de las longitudes de esos lados y el coseno del ángulo comprendido entre

dichos lados.

Demostración. De manera similar a la demostración de la ley de senos, vamos a considerardos casos: el triángulo dado es acutángulo (primer caso) y es obtusángulo (segundo caso).

Supongamos que △ABC es acutángulo. Sea AH la altura del triángulo respecto delvértice A:


Como los triángulos △AHB y △AHC son rectángulos, por el teorema de Pitágoras, tene-mos

AB2= AH2

+ BH2 y AH2= AC2 − CH2,

de donde, se derivaAB2

= AC2+ (BH2 − CH2).

Luego, como BH = BC− CH, colegimos

AB2= AC2

+ (BH2 − CH2)

= AC2+ ((BC2 − 2BC · CH + CH2)− CH2)

= AC2+ BC2 − 2BC · CH.

Finalmente, como

cos∠C =CH

AC,

concluimos queAB2

= AC2+ BC2 − 2BC · AC cos∠C.

Las otras dos proposiciones se deducen de manera similar considerando las otras dosalturas.

Veamos ahora el caso en el que el triángulo △ABC es obtusángulo. Supongamos queel ángulo ∠C es obtuso. Luego, la altura AH está en el exterior del triángulo y H está en laprolongación del lado BC por C:

Por el teorema de Pitágoras aplicados a los triángulos rectángulos △AHB y AHC, te-nemos:

AB2= AH2

+ (BC + CH)2

= (AC2 − CH2) + (BC2+ 2BC · CH + CH2);


es decir,AB2

= AC2+ BC2

+ 2BC · CH. (1.11)

Ahora bien, también se tiene que

cos∠ACH =CH

AC.

Y, como el ángulo ∠C es obtuso, es congruente con algún ángulo en el segundo cuadrantede un sistema de coordenadas, tenemos que

cos∠C = − cos∠ACH,

de donde, obtenemos queCH = −AC cos∠C;

luego, de (1.11), concluimos

AB2= AC2

+ BC2 − 2AC · BC cos∠C,

como queríamos.

Es claro que este teorema es una generalización del teorema de Pitágoras. En

efecto, si △C es un triángulo rectángulo, donde C es el vértice del ángulo recto,

entonces

cos∠C = 0

y, por tanto,

AB2= AC2

+ BC2 − 2AC · BC · cos∠C = AC2+ BC2.

Ejemplos: Ley de cosenos

1. Utilicemos la ley de los cosenos para determinar las medidas de los ángulos deltriángulo cuyos lados miden 4, 7 y 10.

Supongamos que el triángulo es△ABC y que

AB = 4, AC = 7 y BC = 10.

Entonces, por la ley de cosenos, tenemos:

42= 72

+ 102 − 2(7)(10) cos∠C ≡ cos∠C =133140

,

de donde, con la ayuda de una “calculadora” obtenemos que

m∠C ≈ 18.194 87◦

(con cinco decimales de precisión).


De manera similar, obtenemos que

m∠B ≈ 33.122 94◦.

La medida del ángulo ∠A la obtenemos así:

m∠A ≈ (180− (18.194 87 + 33.122 94))◦ = 128.682 19.

2. Si los lados de un triángulo miden 3, 8 y 9, determinemos la longitud de la alturacorrespondiente al vértice del ángulo de menor medida.

Supongamos que el triángulo en cuestión es△ABC y que

AB = 9, AC = 8 y BC = 3.

Usemos la ley de cosenos para determinar cuál es el ángulo de menor medida;es suficiente con que calculemos las medidas aproximadas de los ángulos ∠A y ∠B

únicamente:

cos∠A =AB2

+ AC2 − BC2

2AB · AC

=81 + 64− 9

2(9)(8)

≈ 0.944 44;

de donde, se obtienem∠A ≈ 19.188 14◦.

cos∠B =AB2

+ BC2 − AC2

2AB · BC

=81 + 9− 64

2(9)(3)

≈ 0.481 48,

de donde, se obtienem∠B ≈ 61.217 80◦.

Está claro, entonces, que el ángulo de menor medida es ∠A. También debe estarclaro que se trata de un triángulo acutángulo; el ángulo obtuso es ∠C; por tanto, laaltura respecto del vértice A es externa e interseca la prolongación del lado opuestoBC por C:


Por tanto, podemos calcular la longitud de la altura AH con ayuda del triángulorectángulo△AHB:

AH = AB cos∠B = 9 sen∠B ≈ 7, 888 11.

1.3.5 Identidades trigonométricas

Vamos a demostrar varias identidades trigonométricas que ahora involucran ángu-

los cuyas medidas están en el intervalo [0, 360) (en grados) o en el intervalo [0, 2π).

Antes de deducir identidades trigonométricas, observemos que las razones tri-

gonométricas de ángulos en un sistema de coordenadas tienen las mismas propie-

dades fundamentales de las razones de ángulos agudos.

En efecto, si ∠α es un ángulo en un sistema de coordenadas, el seno y el coseno

de este ángulo son la ordenada y la abscisa del punto de intersección del lado final

de este ángulo y la circunferencia unidad. Supongamos que s y t representan estas

coordenadas y Q es la proyección ortogonal de P sobre el eje de las abscisas:

Las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo△OQP son |s| y |t|, respecti-

vamente. Como la hipotenusa OP mide 1, entonces los valores absolutos de s y de


t son mayores o iguales que 0 y menores o iguales que 1:

0 6 |t| 6 1 y 0 6 |s| 6 1,

por tanto, tenemos que

−1 6 t 6 1 y − 1 6 s 6 1;

es decir,

−1 6 sen∠α 6 1 y − 1 6 cos∠α 6 1.

Ahora bien, por el teorema de Pitágoras, también concluimos que

t2+ s2

= 1,


sen2 ∠α + cos2 ∠α = 1,

una de las identidades pitagóricas que dedujimos para los ángulos agudos.

Y podemos deducir las otras dos identidades pitagóricas de los agudos, pero

debemos imponer algunas restricciones para el ángulo α porque, como recorda-

rán las lectoras y los lectores, la tangente, cotangente, secante y cosecante no están

definidas para todos los ángulos; es decir, debemos excluir en algunos casos, los

ángulos de 0, 90, 180 y 270 grados (0,π

2, π y

32

π radianes).

Resumamos estos resultados en el siguiente teorema.

TEOREMA 1.12 (Identidades pitagóricas).

Si ∠α es un ángulo en un sistema de coordenadas, las siguientes proposiciones son

verdaderas:

1. sen2 ∠α + cos2 ∠α = 1

2. 1 + tan2 ∠α = sec2 ∠α

3. 1 + cot2 ∠α = csc2 ∠α

para todo ángulo ∠α para el cual estén definidas las razones tangente, cotangente,

secante y cosecante.

Como es fácil verificar, también son verdaderas las identidades

tan∠α =sen∠α

cos∠αy cot∠α =

cos∠α

sen∠α

para todos los ángulos α donde los respectivos denominadores no sean iguales a 0.

Dado que las razones trigonométricas de ángulos en un sistema de coordena-

das son positivas o negativas, hay que tomar precauciones cuando se utilizan las

identidades del teorema anterior.


En efecto, supongamos que ∠β es un ángulo tal que

sen∠β =34

.

Calculemos el coseno de este ángulo. Para ello, utilicemos la identidad pitagórica

sen2 ∠β + cos2 ∠β = 1.

Tenemos, entones

cos2 ∠β = 1− 916

=716

,

de donde, obtenemos

| cos∠β| =√

74

.

Observemos que ha sido necesario “colocar” el valor absoluto ya que el coseno de

∠β puede ser negativo.

En efecto, ya que el seno de este ángulo es positivo, este ángulo podría estar

en el primero o segundo cuadrantes. Si estuviera en el primero, el coseno de ∠β es

positivo y, en ese caso, tendríamos

cos∠β =

√7

4;

sin embargo, si ∠β estuviera en el segundo cuadrante, tendríamos

cos∠β = −√

74

.

Otras identidades que ya dedujimos y que se resumió en el teorema (1.9) las pre-

sentamos en el siguiente teorema. Para ello, dado un ángulo ∠A, introduciremos la

notación −∠A para indicar el ángulo cuya medida es

m∠A− 360

grados (o m∠A− 2π radianes).

TEOREMA 1.13 (Identidades del inverso aditivo).

Dado un ángulo ∠A en un sistema de coordenadas, las siguientes proposiciones

son verdaderas:

1. sen(−∠A) = − sen∠A

2. cos(−∠A) = cos∠A

3. tan(−∠A) = − tan∠A

4. cot(−∠A) = − cot∠A

5. sec(−∠A) = sec∠A

6. csc(−∠A) = − csc∠A.

Otras identidades trigonométricas importantes están relacionadas con la idea

de “sumar” ángulos y la de “múltiplo” de un ángulo. Por ello, vamos a introducir


estos conceptos a continuación.

Suma de ángulos

No es difícil comprender el por qué de la siguiente definición. No obstante, los

ejemplos la harán evidente. Usaremos el sistema de medida en grados. Sin embar-

go, la conversión a radianes es clara.

DEFINICIÓN 1.5 (Suma de ángulos)

Dados los ángulos ∠A y ∠B en un sistema de coordenadas, se define la suma de

∠A y ∠B, representada por ∠A +∠B, como el ángulo ∠C tal que:

1. Si m∠A + m∠B ∈ [0, 360)∪ (−360, 0], entonces la medida de ∠C es:

m∠A + m∠B.

2. Si m∠A + m∠B > 360, entonces la medida de ∠C es:

(m∠A + m∠B)− 360.

3. Si m∠A + m∠B 6 −360, entonces la medida de ∠C es:

360 + (m∠A + m∠B).

Ejemplos: Suma de ángulos

1. Si m∠X mide 120 grados y m∠Y mide 200 grados, entonces el ángulo ∠X + ∠Y

mide120 + 200 = 320

grados, porque 320 ∈ [0, 360).


Por tanto,∠X +∠Y = ∠AOD

2. Supongamos quem∠X = −135◦ y m∠Y = −210◦,

entoncesm(∠X +∠Y) = −345◦

ya que −345 ∈ (−360, 0].

Por tanto,∠X +∠Y = ∠DOA.

3. Sim∠X = 240◦ y m∠Y = 150◦,

entoncesm(∠X +∠Y) = (390− 360)◦ = 30◦

ya que 390 > 360.



4. Sim∠X = −300◦ y m∠Y = −240◦,

entoncesm(∠X +∠Y) = 360 + (−300 + (−240) =◦= −180◦

ya que −540 < −360.


Con la definición de suma dada, podemos definir también la resta de dos án-

gulos: dados los ángulos ∠X y ∠Y, se define la resta de X y Y, representada por

∠X−∠Y, como el ángulo cuya medida se obtendrá a partir del número

m∠X−m∠Y

según las reglas de la definición de la suma de ángulos. Por ejemplo, si

m∠X = 120◦ y m∠Y = 240◦,

entonces

m(∠X−∠Y) = −120◦,

ya que

120− 240 = −120 ∈ (−360, 0].

Si

m∠X = 300◦ y m∠Y = 240◦,

entonces

m(∠X−∠Y) = 60◦,

ya que

300− 240 = 60 ∈ [0, 360).

Si

m∠X = −300◦ y m∠Y = 240◦,

entonces

m(∠X−∠Y) = −180◦,

ya que

−300− 240 = −540 < −360 y 360 + (−540) = −180.

Con esta definición, podemos escribir

∠X−∠Y = ∠X + (−∠Y).

Aunque no es difícil deducir de las definiciones de razones trigonométricas1,

vamos a asumir como axiomas las siguientes proposiciones sobre el seno y el co-

seno de la suma de dos ángulos.

AXIOMA 1.1 (Seno y coseno de la suma de ángulos)

Dados los ángulos ∠A y ∠B en un sistema de coordenadas, las proposiciones

1. sen(∠A +∠B) = sen∠A cos∠B + sen∠B cos∠A,

2. cos(∠A +∠B) = cos∠A cos∠B− sen∠A sen∠B

son verdaderas.

De estas proposiciones, de las definiciones de las razones trigonométricas, de

las identidades pitagóricas y de las identidades sobre los inversos aditivos, obten-

dremos las identidades trigonométricas de mayor uso en las aplicaciones de la Tri-

gonometría. Antes, veamos unos ejemplos de este axioma.

Ejemplos: Seno y coseno de la suma de ángulos

1. Con ayuda de estas dos identidades, podemos calcular las razones trigonométricasde los ángulos agudos que miden 75 grados.

En efecto, ya que 75 = 20 + 45, entonces

sen 75◦ = sen(30 + 45)◦

= sen 30◦ cos 45◦ + sen 45◦ cos 30◦

=12·√

22

+

√2

2·√

32

;

luego,

sen 75◦ =

√2Ä

1 +√

3ä

4.

1No lo presentamos aquí porque, como se dijo, no es difícil deducir estas proposiciones pero re-quieren varios casos; las deducciones se derivan de la semejanza de triángulos.

Ahora obtengamos el coseno de estos ángulos:

cos 75◦ = cos(30 + 45)◦

= cos 30◦ cos 45◦ − sen 45◦ sen 30◦

=

√3

2·√

22−√

22· 1

2;

de donde, obtenemos

cos 75◦ =

√2Ä√

3− 1ä

4.

Por tanto, tenemos también que:

tan 75◦ =sen 75◦

cos 75◦

=

√3 + 1√3− 1

=

Ä√3 + 1

ä2

3− 1

=4 + 2

√3

2;

de donde, concluimos quetan 75◦ = 2 +

√3.

De estos resultados, es fácil obtener lo siguiente:

cot 75◦ = 2−√

3, sec 75◦ =√

2Ä√

3 + 1ä

y csc 75◦ =√

2Ä√

3− 1ä

.

2. Obtengamos el seno, coseno y tangente de un ángulo que mida 105 grados:

sen 105◦ = sen(180− 75)◦

= sen 75◦;

es decir,

sen 105◦ =

√2Ä

1 +√

3ä

4.

También tenemoscos 105◦ = − cos 75◦;

luego

cos 105◦ =

√2Ä

1−√

3ä

4y tan 105◦ = −

Ä2 +√

3ä

.

Para constatar estos resultados, véanse la definiciones de razones trigonomé-tricas de ángulos del segundo cuadrante.

Deduzcamos ahora algunas identidades de suma y resta de ángulos a partir del

axioma de la suma.


Sean ∠A y ∠B dos ángulos en un sistema de coordenadas con la condición

cos(∠A +∠B) 6= 0;

es decir, tales que

m (∠A +∠B) 6∈ {90, 270}.

Entonces:

tan(∠A +∠B) =sen(∠A +∠B)cos(∠A +∠B)

=sen∠A cos∠B + sen∠B cos∠A

cos∠A cos∠B− sen∠A sen∠B

=

sen∠A cos∠B + sen∠B cos∠A

cos∠A cos∠Bcos∠A cos∠B− sen∠A sen∠B

cos∠A cos∠B

=tan∠A + tan∠B

1− tan∠A tan∠B;

es decir,

tan(∠A +∠B) =tan∠A + tan∠B

1− tan∠A tan∠B. (1.12)

Ahora, deduzcamos el seno y el coseno de la resta de ángulos:

sen(∠A−∠B) = sen(∠A + (−∠B))

= sen∠A cos(−∠B) + sen(−∠B) cos∠A

= sen∠A cos∠B + (− sen∠B cos∠A);

de donde, colegimos

sen(∠A−∠B) = sen∠A cos∠B− sen∠B cos∠A. (1.13)

Con procedimientos similares, se obtienen identidades para el coseno y la tan-

gente de la resta de dos ángulos. Resumamos estos resultados a continuación.

TEOREMA 1.14 (Razones trigonométricas de sumas y restas).


1. tan(∠A +∠B) =tan∠A + tan∠B

1− tan∠A tan∠B,

2. sen(∠A−∠B) = sen∠A cos∠B− sen∠B cos∠A,

3. cos(∠A−∠B) = cos∠A cos∠B + sen∠A sen∠B,

4. tan(∠A−∠B) =tan∠A− tan∠B

1 + tan∠A tan∠B


son verdaderas (en el caso de las identidades de la tangente, siempre que ∠A +∠B

o ∠A−∠B no midan ni 90 ni 270 grados, según la identidad).

Para las siguientes identidades trigonométricas, requerimos de definir el pro-

ducto de un número natural mayor igual a 2 por un ángulo; es decir, el múltiplo de

un ángulo.

DEFINICIÓN 1.6 (Múltiplo de un ángulo)

Sean n ∈ N tal que n > 2 y ∠A un ángulo positivo en un sistema de coordenadas.

Se define el producto de n por el ángulo ∠A, y se representa por n∠A, como el

ángulo cuya medida es el residuo de dividir n m∠A por 360.

Si ∠A es negativo, el ángulo n∠A es el ángulo cuya medida es el inverso aditivo

del residuo de dividir −n m∠A por 360.

Por ejemplo, si el ángulo ∠A mide 30 grados, entonces el ángulo 5∠A mide

150◦

porque al dividir 150 por 360 el residuo es 150 (ya que 150 < 360). Bajo los mismos

argumentos, tenemos que

m 10∠A = 300◦,

pero

m 15∠A = 90◦

ya que al dividir 450 por 360 el residuo es 90.

Si el ángulo ∠B mide −150 grados, entones el ángulo 8∠B mide

−120◦

porque

−(8)(−150) = 1200

y el residuo de dividir 1200 por 360 es 120.

Debe estar claro que

2∠A = ∠A +∠A, 3∠A = 2∠A +∠A, 4∠A = 3∠A +∠A, etcétera.

Deduzcamos ahora el seno, coseno y tangente de 2∠A:

sen(2∠A) = sen(∠A +∠A)

= sen∠A cos∠A + sen∠A cos∠A;

por tanto,

sen 2∠A = 2 sen∠A cos∠A. (1.14)

Ahora obtengamos una identidad para el coseno de 2∠A:

cos 2∠A = cos(∠A +∠A)

= cos∠A cos∠A− sen∠A sen∠A;

por tanto,

cos 2∠A = cos2 ∠A− sen2 ∠A. (1.15)

De la identidad pitagórica

sen2 ∠A + cos2 ∠A = 1,

obtenemos

sen2 ∠A = 1− cos2 ∠A y cos2 ∠A = 1− sen2 ∠A

que, junto con (1.15), obtenemos dos identidades más para el coseno de 2∠A:

cos 2∠A = 2 cos2 ∠A− 1 y sen 2∠A = 1− 2 sen2 ∠a.

Finalmente, obtengamos una identidad para la tangente de 2∠A:

tan 2∠A = tan(∠A +∠A)

=tan∠A + tan∠A

1− tan∠A tan∠A;

siempre que tan 2∠A esté definida; por tanto,

tan 2∠A =2 tan∠A

1− tan2 ∠A(1.16)

siempre que esté definida tan 2∠A.

¿Cuándo no está definida tan 2∠A? Cuando 2∠A es un ángulo que mide 90 o

270 grados; por tanto, la identidad anterior es verdadera siempre que ∠A mide 45

o 135 grados.

TEOREMA 1.15 (Seno, coseno y tangente del doble de ángulo).

Dados el ángulo ∠A en un sistema de coordenadas, las proposiciones

1. sen 2∠A = 2 sen∠A cos∠A,

2. cos 2∠A = cos2 ∠A− sen2 ∠A,

3. cos 2∠A = 2 cos2 ∠A− 1,

4. cos 2∠A = 1− 2 sen2 ∠A,

5. tan 2∠A =2 tan∠A

1− tan2 ∠Asi ∠A no mide ni 45 ni 135 grados


son verdaderas.

Para cerrar esta incursión en las identidades fundamentales de la Trigonome-

tría, descubramos las relacionadas al “ángulo mitad”. De forma más precisa, si ∠A

es un ángulo en un sistema de coordenadas, definamos la mitad de ∠A, represen-

tada por∠A

2o

12∠A,

como el ángulo cuya medida es la mitad de la medida de ∠A. Deduzcamos, a con-

tinuación, el seno, coseno y tangente de un “ángulo mitad”.

Empecemos con el seno. Es fácil obtenerla de la identidad

cos 2∠A = 1− 2 sen2 ∠A

y de la siguiente proposición (fácil de verificar):

∠B = 2Å∠A

2

ã.

En efecto:

cos∠A = cos 2Å∠A

2

ã≡ cos∠A = 1− 2 sen2 ∠A

2

≡ sen2 ∠A

2=

1− cos∠A

2;

por tanto,∣

∣

∣

∣

sen∠A

2

∣

∣

∣

∣

=

…1− cos∠A

2(1.17)

para todo ángulo ∠A.

Observemos que hemos “dejado” el valor absoluto en lado izquierdo de esta

igualdad ya que, según el cuadrante, sen∠A puede ser un número negativo.

Con las mismas ideas, pero utilizando la identidad

cos 2∠A = 2 cos2 ∠A− 1,

deduzcamos el coseno del la “mitad de un ángulo”:

cos∠A = cos 2Å∠A

2

ã≡ cos∠A = 2 cos2 ∠A

2− 1

≡ cos2 ∠A

2=

1 + cos∠A

2;

luego,∣

∣

∣

∣

cos∠A

2

∣

∣

∣

∣

=

…1 + cos∠A

2(1.18)

para todo ángulo ∠A.


Finalmente, si ∠A es un ángulo tal que la tangente de∠A

2esté definida, tene-

mos:

tan2 ∠A

2=

sen2 ∠A

2

cos2 ∠A

2

=1− cos∠A

1 + cos∠A;

por tanto, para todo ∠A cuya medida no sea 180 grados, tenemos:

∣

∣

∣

∣

tan∠A

2

∣

∣

∣

∣

=

1− cos∠A

1 + cos∠A. (1.19)

En los siguientes ejemplos, deduciremos a partir de esta última identidad, otras

dos para la tangente de la “mitad” de un ángulo. Pero, antes de ello, resumamos

los últimos resultados en el siguiente teorema.

TEOREMA 1.16 (Razones de la “mitad” de un ángulo).

Dado el ángulo ∠A en un sistema de coordenadas, las proposiciones

1.∣

∣

∣

∣

sen∠A

2

∣

∣

∣

∣

=

…1− cos∠A

2

2.∣

∣

∣

∣

cos∠A

2

∣

∣

∣

∣

=

…1 + cos∠A

2

3.∣

∣

∣

∣

tan∠A

2

∣

∣

∣

∣

=

…1− cos∠A

1 + cos∠Asi ∠A no mide 180 grados

son verdaderas.

TEOREMA 1.17 (Transformación de suma a producto).


1. sin∠A + sin∠B = 2 sinÅ∠A +∠B

2

ãcosÅ∠A−∠B

2

ã

2. sin∠A− sin∠B = 2 sinÅ∠A−∠B

2

ãcosÅ∠A +∠B

2

ã

3. cos∠A + cos∠B = 2 cosÅ∠A +∠B

2

ãcosÅ∠A−∠B

2

ã

4. cos∠A− cos∠B = −2 sinÅ∠A +∠B

2

ãsinÅ∠A−∠B

2

ã

TEOREMA 1.18 (Transformación de producto a suma).


1. sin∠A · cos∠B =12

Äsin(∠A +∠B) + sin(∠A−∠B)

ä


2. cos∠A · cos∠B =12

Äcos(∠A +∠B) + cos(∠A−∠B)

ä

3. sin∠A · sin∠B = −12

Äcos(∠A +∠B)− cos(∠A−∠B)

ä

Ejemplos: Identidades trigonométricas

1. Si ∠A no mide 180 grados, tenemos que:

tan2 ∠A

2=

1− cos∠A

1 + cos∠A

=(1− cos∠A)(1 + cos∠A)

(1 + cos∠A)2

=1− cos2 ∠A

(1 + cos∠A)2 ;

por tanto,∣

∣

∣

∣

tan∠A

2

∣

∣

∣

∣

=| sen∠A|

1 + cos∠A.

2. Si ∠A no mide 180 grados, tenemos que:

tan2 ∠A

2=

1− cos∠A

1 + cos∠A

=(1− cos∠A)2

1− cos2 ∠A

=1− cos∠A)2

sen2 ∠A;

por tanto,∣

∣

∣

∣

tan∠A

2

∣

∣

∣

∣

=1− cos∠A

| sen∠A| .

3. Calculemos el seno, coseno y tangente de un ángulo que mide 22.5 grados; es decir,

mide452

grados oπ

8radianes.

Como este ángulo está en el primer cuadrante (o es agudo), las tres razonesindicadas de este ángulo son números positivos. Por tanto, tenemos:

sen452

◦=

…1− cos 45◦

2

=

Ã1−√

22

2

=

√

2−√

22


cos452

=

Ã1 +

√2

22

=

√

2 +√

22

tan452

=1− cos 45◦

sen 45◦

=

1−√

22√

22

=

√2− 1.

4. Calculemos ahora el seno, el coseno y la tangente de un ángulo que mida 15 grados:

sen 15◦ = senÅ

302

ã◦

=

…1− cos 30◦

2

=

Ã1−√

32

2

=

√

2−√

32

cos 15◦ =

√

2 +√

32

tan 15◦ =sen 30◦

1 + cos 30◦

=

12

1 +

√3

2

=1

2 +√

3

= 2−√

3.

5. Supongamos que ∠A es un ángulo del tercer cuadrante y que

cot∠A =43

.

Calculemos el seno, el coseno y la tangente del ángulo∠A

2.


Como ∠A está en el tercer cuadrante, tenemos que

m∠A ∈ (180, 270),

de dondem

∠A

2∈ (90, 135);

es decir, el ángulo∠A

2está en el segundo cuadrante y, por tanto, el seno de este án-

gulo es positivo, mientras que el coseno y la tangente son negativos. No perdamosde vista esto para los siguientes cálculos.

Para determinar las razones de este ángulo mitad, requerimos antes conocerel coseno de ∠A. Ahora bien, como este ángulo está en el tercer cuadrante y su

cotangente es igual a43

, tenemos que el lado final de ∠A pasa por el punto (−4,−3);luego, obtenemos

cos∠A = − 4√

(−4)2 + (−3)2= −4

5.

Ya podemos calcular el seno, el coseno y la tangente de∠A

2:

sen∠A

2=

…1− cos∠A

2

=

Ã1 +

45

2

=3√10

.

cos∠A

2= −…

1 + cos∠A

2

= −

Ã1− 4

52

= − 1√10

.

tan∠A

2= −3.

6. Bajo las mismas hipótesis del ángulo ∠A del ejemplo anterior, calculemos ahora elseno, el coseno y la tangente de 2∠A.

En este caso, sim 2∠A ∈ (0, 180)

porque2 m∠A ∈ (360, 540)

y, por la definición del múltiplo de un ángulo (véase la definición 1.6 en la página79), tenemos que

m 2∠A = 2 m∠A− 360;


es decir,m 2∠A ∈ (360− 360, 540− 360)

(como se afirmó).

Antes de continuar, requerimos primero determinar el seno y el coseno de ∠A.En el ejemplo anterior, ya explicamos cómo obtenerlos. Así, sabemos que

sen∠A = −35

y cos∠A = −45

.

Estamos listos. Supongamos que 2∠A está en el primer cuadrante. Entonces:

sen 2∠A = 2 sen∠A cos∠A

= 2Å−3

5

ãÅ−4

5

ã

=2425

.

cos 2∠A = cos2 ∠A− sen2 ∠A

=1625− 9

25

=725

.

tan 2∠A =sen 2∠A

cos 2∠A

=247

.

Ahora también sabemos algo más de ∠A:

m∠A ∈ (180, 225)

porque cos 2∠A > 0 y tan 2∠A > 0; es decir, el ángulo 2∠A está en el primercuadrante; luego, su medida está en (0, 90) y, por tanto, la medida de ∠A está en(180, 225) porque

(0, 90) = (360− 360, 450− 360) y 450 = (2) · (225).

7. Supongamos que α es la medida de un ángulo del primer cuadrante. Vamos a de-terminar las razones trigonométricas de un ángulo que mida 90 + α grados.

Para ello, sean P y Q los puntos de intersección de los lados finales de los án-gulos de medidas 90 + α grados y α grados con la circunferencia unidad, respec-tivamente. Sean también, B y C las proyecciones ortogonales de P y Q sobre losejes de las ordenadas y de las abscisas, respectivamente. Finalmente, sean (s, t) lascoordenadas de Q:


Para determinar las razones del ángulo que mide (90 + α)◦, debemos hallar lascoordenadas de P. Con ese propósito, observemos que los ángulos ∠POB y ∠QOC

son congruentes, ya que

m∠POB + m∠BOQ = 90 y m∠QOC + m∠BOQ = 90,

de donde se obtiene quem∠POB = m∠QOC.

Por tanto, los triángulos rectángulos △POB y △QOC son congruentes, lo que im-plica que

PB = QC y OB = OC.

Luego,PB = t y OB = s,

de donde, las coordenadas de P son

(−t, s).


Así, puesto que

i. sen α◦ = t

ii. cos α◦ = s

iii. tan α◦ =t

s

iv. cot α◦ =s

t

v. sec α◦ = s−1

vi. csc α◦ = t−1,

concluimos que:

i. sen(90 + α)◦ = s = cos α◦

ii. cos(90 + α)◦ = −t = sen α◦

iii. tan(90 + α)◦ = − s

t= − cot α◦

iv. cot(90 + α)◦ = − t

s= − tan α◦

v. sec(90 + α)◦ = (−t)−1= − csc α◦

vi. csc(90 + α)◦ = (−s)−1= sec α◦.

8. Este ejemplo es la continuación del anterior. Las proposiciones deducidas para unángulo del primer cuadrante se deducen también si el ángulo está en cualesquiercuadrante. Como ilustración de los razonamientos correspondientes que apoyanla afirmación anterior, veamos el caso en el que α es la medida de un ángulo delsegundo cuadrante. Se recomienda fuertemente a las lectoras y a los lectores quehagan por sí mismas y por sí mismos los otros dos casos.

Supongamos que α es la medida de un ángulo del segundo cuadrante. Entoncesel ángulo que mide (90 + α)◦ está en el tercer cuadrante:


Debemos determinar las coordenadas de P. Para ello, observemos que los án-gulos ∠POC y ∠QOB son congruentes, como se puede leer el razonamiento en elsiguiente dibujo:

Por tanto, los triángulos rectángulos △POC y △QOB son congruentes, de donde,obtenemos que

PC = OB y OC = QB,

por lo que las coordenadas de P son

(−t, s)

ya queOB = s y QB = t


Como podemos ver, las coordenadas de P para el caso del ángulo en el segundocuadrante (el que mide α) son las mismas que las coordenadas de P cuando α esla medida de un ángulo del primer cuadrante (véase el ejemplo anterior). Así, lasrazones trigonométricas de un ángulo que mide (90+ α) son las dadas en el ejemploanterior, independientemente del cuadrante en el que esté el ángulo que mide α

grados, como se afirmó.

9. Determinemos sen(3α)◦ en términos de sen α◦ únicamente:

sen(3α)◦ = sen(2α + α)◦

= sen(2α)◦ cos α◦ + sen α cos(2α)◦

= (2 sen α◦ cos α◦) cos α◦ + sen αÄ

1− 2 sen2 α◦ä

= 2 sen α cos2 α + (sen α◦ − 2 sen3 α◦)

= 2 sen α(1− sen2 α) + (sen α◦ − 2 sen3 α◦);

por tanto,sen(3α)◦ = 3 sen α◦ − 4 sen3 α◦.

10. Obtengamos cos(3α)◦ en términos de cos α◦ únicamente:

cos(3α)◦ = cos(2α)◦ cos α◦ − sen(2α)◦ sen α◦

= (2 cos2 α◦ − 1) cos α◦ − 2 sen2 α◦ cos α◦

= (2 sen α◦ − cos α◦)− 2(1− cos2 α◦) cos α◦;

por tanto,cos(3α)◦ = 4 cos3 α◦ − 3 cos α◦.

11. Dados los números α y β, medidas en grados de dos ángulos, es fácil expresar

sen α◦ + sen β◦

en términos de un producto de seno y coseno de ángulos cuyas medidas se expre-san únicamente a través de α y β.


En efecto, en primer lugar, buscamos dos números u y v tales que

α = u + v y β = u− v.

Esto es sencillo: de estas dos proposiciones, tenemos

α + β = 2u y α− β = 2v;

luego, los números buscados son:

u =α + β

2y v =

α− β

2.

Y, con esto, ya podemos alcanzar nuestro objetivo:

sen α◦ + sen β◦ = sen(u + v)◦ + sen(u− v)◦

= 2 sen u◦ cos v◦;

por tanto,

sen α◦ + sen β◦ = 2 senÅ

α + β

2

ã◦cosÅ

α− β

2

ã◦.

De manera similar, podemos deducir la proposición

cos α◦ + cos β◦ = 2 cosÅ

α + β

2

ã◦cosÅ

α− β

2

ã◦.

Y también:

sen α◦ − sen β◦ = 2 senÅ

α− β

2

ã◦cosÅ

α + β

2

ã◦.

Y, finalmente:

cos α◦ − cos β◦ = −2 senÅ

α + β

2

ã◦senÅ

α− β

2

ã◦.

12. Con la ayuda de las proposiciones deducidas en el ejemplo anterior, podemos de-mostrar que la proposición

sen 32◦ + sen 28◦ = cos 2◦

es verdadera porque

32 + 282

= 30,32− 28

2= 2 y cos 30◦ =

12

y

sen 32◦ + sen 28◦ = 2 sen 30◦ cos 2◦

= cos 2◦.

13. Si α es la medida en grados de un ángulo para el cual la tangente sí está definida,


entonces la proposición

tan α◦ =sen(7α)◦ − sen(5α)◦

cos(7α)◦ + cos(5α)◦

es verdadera.

En efecto:

sen(7α)◦ − sen(5α)◦

cos(7α)◦ + cos(5α)◦=

2 senÅ

7α− 5α

2

ã◦cosÅ

7α + 5α

2

ã◦

2 cosÅ

7α + 5α

2

ã◦cosÅ

7α− 5α

2

ã◦

=sen α◦

cos α◦.

14. Supongamos que ∠A, ∠B y ∠C son los ángulos de un triángulo rectángulo, donde∠C es el ángulo recto. Supongamos que a, b y c son las longitudes de los lados deltriángulo que se oponen a los vértices A, B y C, respectivamente. Entonces

sen∠B

2=

…c− a

2c. (1.20)

En efecto, como ∠B es un ángulo agudo, tenemos

sen∠B

2=

…1− cos∠B

2.

Ahora bien, como a es la longitud del cateto adyacente al ángulo ∠B, tenemos

cos∠B =a

c,

con lo que se obtiene la proposición (1.20).

15. Demostremos la siguiente identidad trigonométrica:

sen u◦

1 + cos u◦=

1− cos u◦

sen u◦,

válida para u distinto de 180 y 90.

Esto se deduce inmediatamente de los dos primeros ejemplos, ya que, por lapropiedad transitiva de la igualdad, tenemos que

| sen u◦|1 + cos u◦

=1− cos u◦

| sen u◦| .

Así, si sen u◦ > 0, tenemos

sen u◦

1 + cos u◦=

1− cos u◦

sen u◦;

y si sen u◦ < 0, entonces

− sen u◦

1 + cos u◦= −1− cos u◦

sen u◦,

de donde,sen u◦

1 + cos u◦=

1− cos u◦

sen u◦.

16. Demostremos la identidad

1− sen u◦

1 + sen u◦= |sec u◦ − tan u◦| ,

válida para u 6∈ {90, 270}.Notemos que

1− sen u◦

1 + sen u◦> 0

para todo u ∈ (−360, 360)− {−270, −90, 90, 270}, ya que

1− sen u◦ > 0 y 1 + sen u◦ > 0,

porquesen2 u◦ < 1 y sen2 u◦ > −1.

Si u ∈ (0, 90)∪ (270, 360) (es decir, el ángulo correspondiente está el primero ocuarto cuadrantes), tenemos:

1− sen u◦

1 + sen u◦=

(1− sen u◦)2

1− sen2 u◦

=1− sen u◦

| cos u◦|

=1− sen u◦

cos u◦

=1

cos u◦− sen u◦

cos u◦,


1− sen u◦

1 + sen u◦= sec u◦ − tan u◦ = |sec u◦ − tan u◦| ,

ya que cos u◦ > 0.

Supongamos ahora que u ∈ (90, 270) (segundo y tercer cuadrantes). Obtene-mos:

1− sen u◦

1 + sen u◦=

1− sen u◦

| cos u◦|

=−1 + sen u◦

cos u◦

= − 1cos u◦

+sen u◦

cos u◦,

1− sen u◦

1 + sen u◦= − sec u◦ + tan u◦ = |sec u◦ − tan u◦| ,

ya que cos u◦ < 0.

17. Demostremos la siguiente identidad:

1− tan x◦ tan(x− y)◦

tan(x− y)◦ + tan y◦= cot x◦

para todo x ∈ (−360, 360) y todo y ∈ (−360, 360) tales que la tangente y la cotan-gente esté definidas.

Supongamos que x y y son las medidas de ángulos tales que la tangente estédefinida en el ángulo que mide x grados, y grados y x− y grados; y la cotangenteesté definida en el ángulo de x grados y sea distinta de 0.

Por otra parte, dado que

x = (x− y) + y y cot x◦ =1

tan x◦,

tenemos que:

tan x◦ = tan((x− y) + y)◦

=tan(x− y)◦ + tan y◦

1− tan(x− y)◦ tan y◦,

de donde se obtiene la identidad propuesta.

18. Demostremos la identidad

sen(2x)◦ =2 tan x◦

1 + tan2 x◦

para todo ángulo cuya medida sea x grados y la tangente esté definida para eseángulo.

Esta proposición es verdadera, pues

1 + tan2 x◦ = sec2 x◦ y tan x◦ =sen x◦

cos x◦.

En efecto:

2 tan x◦

1 + tan2 x◦=

2 sen x◦

cos x◦ sec2 x◦

=2 sen x◦

cos x◦1

cos2 x◦

;


2 tan x◦

1 + tan2 x◦= 2 sen x◦ cos x◦ = sen(2x)◦.

19. Demostremos la siguiente identidad

sen(4u)◦

sen(2u)◦= 2 cos(2u)◦

para todo ángulo cuya medida sea u grados, distinto de 0 y 180.

Se deduce fácilmente:

sen(4u)◦

sen(2u)◦=

2 sen(2u)◦ cos(2u)◦

sen(2u)◦

= 2 cos(2u)◦,

como se afirma.

20. La proposición(

sen(α

2

)◦+ cos

(α

2

)◦)2= 1 + sen α◦

es verdadera para todo α ∈ (−360, 360).

En efecto:

(

sen(α

2

)◦+ cos

(α

2

)◦)2= sen2

(α

2

)◦+ 2 sen

(α

2

)◦cos

(α

2

)◦+ cos2

(α

2

)◦

= 1 + 2 sen(α

2

)◦cos

(α

2

)◦

= 1 sen(

2 · α

2

)◦

= 1 + sen α◦.

21. Supongamos que ∠A, ∠B y ∠C son los ángulos de un triángulo. Demostremos quela proposición

tan∠A + tan∠B + tan∠C = tan∠A tan∠B tan∠C

es verdadera.

En primer lugar, tenemos que

m∠A + m∠B + m∠C = 180◦.

Luego,

tan∠C = tan(180− (m∠A + m∠B))◦

=tan 180◦ − tan(∠A +∠B)

1− tan 180◦ tan(∠A +∠B)

= − tan(∠A +∠B),

ya quetan 180◦ = 0.


Por tanto,tan∠C = − tan(∠A +∠C).

Ahora bien, dado que

− tan(∠A +∠C) = − tan∠A + tan∠B

1− tan∠A tan∠B

=tan∠A + tan∠B

tan∠A tan∠B− 1,

tenemos que

tan∠C =tan∠A + tan∠B

tan∠A tan∠B− 1y, por tanto,

tan∠A tan∠B tan∠C− tan∠C = tan∠A + tan∠B,

de donde, se obtiene inmediatamente la identidad propuesta.

22. ¿Cuáles son todos los ángulos ∠X tales que

sen∠X = −12

?

En primer lugar, los ángulos ∠X para los que la igualdad anterior es verdaderadeben estar en el tercero o cuarto cuadrantes.

Por otra parte, sabemos

sen 30◦ =12

;

por tanto,

sen(−30)◦ = − sen 30◦ = −12

;

luego, uno de los ángulos buscados es el que mide −30 grados. Por tanto, otro seráel ángulo que mide

360− 30 = 330

grados.

Dado que el seno también es negativo en el tercer cuadrante, tenemos el seno

de 210 grados es −12

; en efecto:

sen 210◦ = sen(180 + 30)◦

= sen 180◦ cos 30◦ + sen 30◦ cos 180◦

= − sen 30◦ = −12

,

puessen 180◦ = 0 y cos 180◦ = −1.

Por tanto, otro ángulo será el que mide

210− 360 = −150


grados.

En resumen, las medidas de todos los ángulos cuyo seno es− 12 son los elemen-

tos del conjunto{210, 330,−30,−150} .

Y estos son los únicos ángulos cuyo seno es igual a −12

, porque el punto deintersección entre el lado final de cada uno de estos ángulos y la circunferencia

unidad es un único punto cuya abscisa es −12

.

23. Resolvamos la ecuacióncos α◦ =

12

en (−360, 360).

En este caso, la incógnita es α, la medida de un ángulo en grados cuyo coseno

es el número12

. Puesto que este número es positivo, el ángulo en cuestión está obien en el primer cuadrante, o bien en el cuarto cuadrante. Por tanto, hay cuatroposibles ángulos: dos positivos y dos negativos.

Sabemos que el único ángulo en el primer cuadrante cuyo coseno es12

es el quemide 60 grados. Por tanto, el otro ángulo de este cuadrante es el que mide

60− 360 = −300

grados.

En el cuarto cuadrante, los ángulos son los que miden −60 grados y

360− 60 = 300

grados, como era de esperarse. En resumen, el conjunto solución de la ecuaciónplanteada es

{60, −60, 300, −300}.

24. Resolvamos la ecuaciónsen2 β rad =

14

en (−2π, 2π).

En este caso, la incógnita es el número β, la medida de un ángulo en radianes

tal que el cuadrado del seno de dicho ángulo es el número14

. Por tanto, tenemosque

sen β rad =12

o sen β rad = −12

.

Ya sabemos (por un ejemplo anterior) que hay cuatro ángulos cuyo seno es

igual a −12

; sus medidas en grados son

−150, −30, 210, 330;


por tanto, en radianes, sus medidas son los elementos del conjunto

S1 =

ß−5π

6, −π

6,

7π

6,

11π

6

™.

Con un razonamiento similar a cualesquiera de los realizados en los ejemplosanteriores, concluimos que las medidas de los ángulos en radianes cuyo senos soniguales a d 1

2 son los elementos del conjunto:

S2 =

ßπ

6,

5π

6, −7π

6, −11π

6

™.

Este último resultado también se obtiene fácilmente si recordamos que

sen(−β) rad = − sen β rad .

En resumen, el conjunto solución de la ecuación

sen2 β rad =14

en (−2π, 2π) es la unión de S1 y S2.

25. Resolvamos la ecuaciónsen2(2x)◦ = 1

en (−360, 360).

En este caso, x es la medida de un ángulo en grados. Supongamos que x ∈(−360, 360). Son válidas las siguientes equivalencias lógicas:

sen2(2x)◦ = 1 ≡ sen(2x)◦ = 1 ∨ sen(2x)◦ = −1

≡ 2x ∈ {90, −270} ∨ 2x ∈ {−90, 270}≡ 2x ∈ {45, −135} ∨ 2x ∈ {−45, 135}.

Por tanto, el conjunto solución de la ecuación es

{−135, −45, 45, 135}.

26. Resolvamos la ecuación

2 sen2 z rad+3 cos z rad = 0

en (−2π, 2π).

Con la ayuda de la identidad

sen2 ∠A + cos2 ∠A = 1,

tenemos que:

2 sen2 z rad+3 cos z rad = 0 ≡ 2 cos2 z rad−3 cos z rad−2 = 0


≡ (2 cos z rad−4)(2 cos z rad+1)2

= 0

≡ cos z rad = 2 ∨ cos z rad = −12

.

Como la proposicióncos z rad = 2

es falsa ya que 2 > 1 y cos z rad < 1, tenemos que

2 sen2 z rad+3 cos z rad = 0 ≡ cos z rad = −12

.

Por tanto, el conjunto solución de la ecuación es

ß−7π

3, −2π

3,

2π

3,

7π

3

™.

1.4 Representación polar de los números complejos

Recordemos que un número complejo es un par ordenado de números reales y que

el conjunto de los números complejos no es más que una estructura de cuerpo es-

pecial definida sobre el conjunto R×R. Con ayuda de la Trigonometría, podemos

utilizar los números complejos de una manera más efectiva que simplemente tra-

tándolos como pares ordenados.

En efecto, si a + bi ∈ C, entonces podemos identificar a este número con otro

par ordenado

(r, θ)

donde

r =√

a2 + b2 y tan θ =b

a

si a 6= 0 y θ es el ángulo en un sistema de coordenadas cuyo lado final pasa por el

punto de coordenadas (a, b). Es decir, el ángulo en cuestión es positivo y su medida

en radianes está en el intervalo [0, 2π).

En esta sección omitiremos los signos de los ángulos o de sus medidas angula-

res. En este sentido, θ (la letra griega “teta”) representará tanto el ángulo como su

medida angular.

Esta identificación se puede entender mediante la representación de cada par

ordenado de números reales en un sistema de coordenadas como se muestra en la

siguiente figura:

La flecha se utiliza para representar geométricamente un par ordenado de números

reales. Es claro que por qué r es la suma de los cuadrados de a y b: los valores

absolutos de a y b son las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo△OPQ,

donde ∠Q es el ángulo recto, y r es la longitud de la hipotenusa:

r2= a2

+ b2.

Por otra parte, si r = 1, a y b serán el coseno y el seno de θ. Y, como ya lo hemos

visto, si r 6= 1, entonces

cos θ =a

ry sen θ =

b

r;

luego,

a + bi = r cos θ + r sen θi

y que se acostumbra a escribir en la forma

r cos θ + ir sen θ

o, también,

r cis θ.

En esta sección, vamos a dar preferencia al sistema de medición en radianes; así

que, cuando no se especifique el sistema, asumiremos que es el de radianes.

DEFINICIÓN 1.7 (Forma polar de un número complejo)

Dado el número complejo a + bi, el número

r cos θ + ir sen θ,

donde

r =√

a2 + b2 y tan θ =b

a

si a 6= 0, y se denomina forma polar del número complejo a + bi.


Si a = 0, entonces θ ∈{

π2 , 3π

2

}

y

bi = |b| cosπ

2+ i|b| sen

π

2o bi = |b| cos

3π

2+ i|b| sen

3π

2,

según b > 0 o b < 0, respectivamente.

El ángulo θ se denomina argumento de a + bi y r, módulo o valor absoluto de

a + bi y se suele también representar por |a + bi|.

Ejemplos

1. La forma polar de la unidad imaginaria i es

cosπ

2+ i sen

π

2.

Por tanto, |i| = 1.

2. La forma polar de −i es:

cos3π

2+ i sen

3π

2.

Por tanto, | − i| = 1.

3. La forma polar de 1 + i es

√2 cos

π

4+ i√

2 senπ

4

ya que√

12 + 12 = 2 y tanπ

4=

11= 1.

Por tanto,|1 + i| =

√2.

4. Se tiene1− i =

√2 cis

7π

4porque el ángulo θ tal que

tan θ =−11

= −1

está en el cuarto cuadrante y, por tanto, se tiene

θ = 2π − π

4

pues

tanπ

4= 1.

También tenemos que|1− i| =

√2.

5. La forma polar del número complejo −2 + 3i es

√13 cis θ,

dondetan θ = −3

2

y θ es un ángulo del tercer cuadrante. El módulo de este número complejo es√

13.

La forma polar nos ofrece un procedimiento bastante sencillo para multiplicar,

dividir y obtener potencias de números complejos.

En efecto, sean z = r cis θ y w = s cis ϕ dos números complejos. Entonces:

zw = r cis θ · s cis ϕ

= rs(cos θ + i sen θ)(cos ϕ + i sen ϕ)

= rs(

(cos θ cos ϕ− sen θ sen ϕ) + (cos θ sen ϕ + sen ϕ cos θ))

= rs(cos(θ + ϕ) + i sen(θ + ϕ));

por tanto,

r cis θ · s cis ϕ = rs cis(θ + ϕ).

De manera similar, si w 6= 0 se obtiene

z

w=

r

scis(θ − ϕ).

De aquí es fácil obtener la potencia con exponente natural de cualquier número

complejo. En efecto, empecemos con el cuadrado:

z2= (r cis θ)2

= r cis θ · r cis θ

= r2 cis 2θ.

De manera similar, obtenemos que

z3= r3 cis 3θ.

Si n ∈ N mayor o igual que 1, conjeturemos que

zn= rn cis nθ

y demostremos mediante inducción.

La base de la inducción es verdadera porque

z1= r1 cis(1 · θ) = r cis θ.


Supongamos que

zn= rn cis nθ

es verdadera para el número natural n mayor o igual que 1. Entonces la proposición

zn+1= rn+1 cis(n + 1)θ

es verdadera.

En efecto:

zn+1= zn · z = (r cis θ)n · r cis θ

= rn cis nθ · r cis θ

= (rn · r) cis nθ · cis θ

= rn+1 cis(n + 1)θ.

En resumen, para todo número natural n, la proposición

(r cos θ + r sen θ)n= rn cos nθ + rn sen nθ.

(No es difícil ver que esta proposición también es verdadera para n = 0). El nombre

de este teorema es Moivre2.

Ejemplos: Productos, divisiones, potencias y teorema de Moivre

1. Como 1 + i =√

2 cisπ

4, tenemos

(1 + i)2= 2 cis

π

2

= 2(

cosπ

2+ i sen

π

2

)

= 2i.

(1 + i)3= 2√

2Å

cos3π

4+ i sen

3π

4

ã

= 2√

2(− 1√2+ i

1√2

)

= −2(−1 + i).

2. Calculemos las potencias 2 y 3 del número complejo

−12+

√3

2i.

2Abraham Moivre fue un matemático francés quién dedujo esta proposición en 1707.


Puesto que

14+

34= 1 y

√3

2

−12

= −√

3 = tan2π

3,

tenemos que

−12+

√3

2i = cis

2π

3.

Por tanto, obtenemos:

Ç−1

2+

√3

2i

å2

= cis4π

3

= −12−√

32

i.

Ç−1

2+

√3

2i

å3

= cis 32π

3

= cis 0 = 1,

puesto que, por la definición de un múltiplo de un ángulo, tenemos que

32π

3= 2π,

de donde, la medida del ángulo es el residuo de dividir 2π por 2π; es decir, 0.

En resumen, hemos probado que

Ç−1

2+

√3

2i

å3

= 1.

3. ELa potencia 4 de cada uno de los siguientes números es −1:

1√2

(1 + i) ,1√2

(1− i) ,1√2

(−1 + i) y1√2

(−1− i) .

En efecto, el módulo de cada uno de estos números es:

Ä√2ä2

+

Ä√2ä2

=12+

12= 1.

Por otra parte, el ángulo θ para cada caso es:

θ =π

4, θ =

3π

4, θ =

5π

4y θ =

7π

4

ya que los argumentos para cada uno de estos números complejos están en el pri-mero, segundo, tercero y cuarto cuadrante, respectivamente

tanπ

4= 1.


Por tanto, en forma polar, cada número, respectivamente, es

cisπ

4, cis

3π

4, cis

5π

4y cis

7π

4.

Por tanto, sus potencias 4 son:

cis π = −1, cis π = −1, cis π = −1 y cis π = −1,

ya que al dividir3π, 5π y 7π

por 2π, el residuo es, en todos los casos, π.

Un dibujo de la representación geométrica de cada uno de estos números cua-drados nos muestra que estos son los vértices de un cuadrado inscrito en la circun-ferencia unidad. Los vértices equidistan entre sí y cada par consecutivo es subten-

dido por un ángulo que mideπ

2; es decir, un ángulo que mide

2π

4:

4. Siwk = cis

2kπ

5,

donde k ∈ K = {0, 1, 2, 3, 4}, calculemos w5k para cada k ∈ K.

Puesto que para cada k ∈ K tal que k 6= 0, tenemos que

52kπ

5= 2kπ > 2π,

entonces la medida del ángulo múltiplo 5 2kπ5 es el residuo de dividir 2kπ por 2π;

este residuo es 0, luego,w5

k = cis 0 = 1


para todo k ∈ K− {0}. Finalmente, es inmediato que

w50 = cis 0 = 1.

Como C es un cuerpo, la definición de z−n, donde z 6= 0 y n es un número

natural distinto de 0, es

z−n=

1zn

.

Esta igualdad es consistente con el teorema de Moivre:

(r cis θ)−n= r−n cis(−nθ).

Finalmente, si n ∈ N − {0}, el último ejemplo anterior nos muestra que no es

posible definir unívocamente la potencia1n

y, por tanto, las potencias racionales,

pues dado el número complejo

z = r cis θ

con r 6= 0, cada una de los siguientes n números complejos

r1n cisÅ

θ + 2kπ

k

ã,

donde k ∈ K = {0, 1, 2, . . . , n− 1}. En el ejemplo indicado, n = 5; en el anterior,

n = 4.

Finalmente, con ayuda de la forma polar, podemos deducir fácilmente las pro-

posiciones

|z · w| = |z| · |w| y∣

∣

∣

z

v

∣

∣

∣=|z||v|

para todo z ∈ C, todo w ∈ C y todo v ∈ C− {0}.En efecto, si z = r cis θ, entonces

|z|2 = r2 cos2 θ + r2 sen2 θ = r2,


|z| = r,

ya que r > 0.

Por tanto, si w = s cis ϕ, entonces

|z · w| = |rs cis(θ + ϕ)| = |rs| = rs = |z| · |w|.

De manera similar se deduce el caso de la división.

Para terminar esta sección y el capítulo, veamos que si z = r cis θ, entonces

z = r cos θ − ir sen θ

= r cos(−θ) + ir sen(−θ)


= r cis(−θ).

Por tanto, tenemos que

z · z = r2 cis 0 = r2= |z|2.

1.5 Ejercicios propuestos


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