LA ELIPSE Y

LA HIPÉRBOLA

Lic. Ludwig Candela

Ejercicios Resueltos

OBJETIVO 1

OBJETIVO 2

OBJETIVO 3

Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico y su ecuación en la forma

canónica y en la forma general.

1) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a 9.Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro se encuentra en el punto medio entre ellos: C(0, 0). •La distancia c es:

•El lado recto es:

,

330 c2 2 2b a c

922 ab

92 2

abLR

•Sustituyendo:

•El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.

992 2

a

a

01892 2 aa 22

182499 2 a

4159

4144819

a 6424

1 a

23

46

2 a

•La ecuación de la elipse es:

922 ab

279362 b

1362722

yx

2) Los focos de una elipse son los puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad.•El eje focal es paralelo al eje y. •El centro tiene la misma abscisa que los focos:

h = 3. La distancia entre los focos es: k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)  2b = 8 b = 4

8 2 32c

222 cba 259162 a

•Ecuación de la elipse:

•Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10); V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)

•Excentricidad:

1255

163 22

yx

cea

53

3) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el resultado.

•Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):

•Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0:

1d 22 04 yx

2d 2116

x

El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a

1 212d d 2 24x y 1 162 x

2 22 14 164x y x

2563241168 222 xxyxx 21 8 644 x x

2 23 484 x y

2 23 14 48 48x y

1486422

yx

482

4) Un arco con forma de semi-elipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de 150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que dividan en claro en tres espacios iguales. Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la elipse) y el origen es su punto medio, la ecuación es del tipo , con el

semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45. Para que el claro se divida en tres partes iguales, la distancia de los soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.

12

2

2

2

by

ax

•La ecuación es: 12025562522

yx

Para determinar la altura de los soportes, se hace x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y:

Puesto que y es una longitud (la altura de los postes), se toma sólo la raíz positiva.

2 225 15625 2025y

120255625625 2

y

1202591 2

y

98

20252

y

18009162002 y 230y

Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar geométrico y su ecuación

en la forma canónica.

1) Encuentra los elementos de la hipérbola

Centro C(0, 0)

Eje focal El eje y

Vértices V(0, 3), V’(0, –3)

Focos F(0, 5), F’(0, –5)

Distancia focal 10

Longitud del eje transverso

6

Longitud del eje conjugado

8

Longitud de cada lado recto

Excentricidad

Asíntotas

116922

xy

92 a 2 16 a = 3; b = 4b 222 bac 251692 c

5 (la raíz negativa se descarta)c

ab22

332

ace

53

xy 43

xy 43

2)Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal que tiene su centro en (0, 0), su lado recto mide 6 unidades y su excentricidad es

72

22 6bLRa

ab 32 2 2 7

2c a bea a

4

72

22

a

ba 22 734 aaa

01247 22 aaa 0123 a 4312

a 162 a12)4(32 b

1121622

yx12

2

2

2

by

ax

3) Determina la ecuación de la hipérbola con C(0, 0), eje focal sobre el eje y, y que pasa por los puntos (4, 6) y (1, –3)Hipérbola vertical:

Se sustituyen las coordenadas de los puntos por los que pasa:

12

2

2

2

bx

ay

2 2

2 2(6) (4) 1a b

1163622

ba

2222 1636 baab 2 2

2 2( 3) (1) 1

a b

11922

ba22229 baab

Se despeja a2 en la segunda ecuación:

y se sustituye en la primera:

2222 9baba

222 91 bba

192

22

bba

22

2

2

22

19

191636 b

bb

bbb

1

91144139

2

4

2

222

bb

bbbb

4224 91443636 bbbb 010827 24 bb

Se resuelve para b y se sustituye para calcular a:

La ecuación de la hipérbola es:

10827 2 b

4271082 b

536

14)4(92

a

1453622

xy

4) Los vértices de una hipérbola son los puntos (–3, 2) y (–3, –2) y la longitud de su eje conjugado es 6. Encuentra la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.V(–3, 2) y V’(–3, –2) → la

hipérbola es vertical:

Centro de la hipérbola: h = –3,

12

2

2

2

b

hxa

ky

2 2 4 2 ( 3,0)2 2k C

Semieje transverso:

Eje conjugado 2b = 6 → semieje conjugado: b = 3

Ecuación de la hipérbola:

Focos:

Excentricidad:

a = 0 2 2

193

40 22

xy

2 2c a b 1394

13,3 13,3

213

e

Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una elipse o de una hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación de

segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola.

1) Comprueba que el lugar geométrico de la ecuación es una elipse y encuentra las coordenadas del centro, de los vértices y focos.

A = 2, C = 4, 2 ≠ 4, ambos son positivos.

D = 3, E = –12, F = 6;

la ecuación sí representa una elipse. Por los valores de A y de C, tiene su eje focal paralelo al eje x.

0612342 22 yxyx

2 2 4CD AE ACF 642412234 22

= 36 + 288 - 192 = 132 > 0

Por lo tanto:a2 = 4; a = 2; b2 = 2; b =

2aC

2bA hbD 22 kaE 22 222222 bakahbF

2

2 2 2c a b 2242 c

22bDh

3422a

Ek 12 38 2

2

3,43C

3 32,4 2V

23,4

5 11 3' ,4 2V

3 32,4 2F

3 3' 2,2 2F

2) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos (–2, 1) y (4, 5) es igual a 3

Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (–2, 1):

Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (4, 5):

El lugar geométrico es una hipérbola.

11m = 2

yx

25m = 4

yx

1 21 5m m = 32 4

y yx x

3842

552

2

xxxyyy

82356 22 xxyy 029663 22 yxyx

3) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tal que el producto de las pendientes de las rectas que unen el punto P con los puntos fijos (3, –2) y (–2, 1) es igual a .

Pendiente de la recta que une a P con (3, –2):

Pendiente de la recta que une a P con (–2, 1):

Es una elipse.

1m 32

xy

2m 21

xy

1 2mm 621

32

xy

xy

662

2

2

xxyy 662 22 xxyy

03866 22 yxyx

4) Encuentra todos los elemento de la elipse

•A = 2, C = 9, D = 0, E = 0, F = -18; 2 ≠ 9, ambos son positivos y C > A. La ecuación no tiene términos en x ni en y por lo que el centro está en el origen.

C(0, 0), V(3, 0), V’(-3, 0);

01892 22 yx

01892 22 yx1892 22 yx

12922

yx 7292 c

( 7,0)F '( 7,0)F

34

LR 37

e 2a = 6 2b = 2 2