1

La ecuación de Schrödinger1 Fundamento de la ecuación

1.1 Postulado de De Broglie

El movimiento de las partículas materiales es gobernado por la propagación de sus ondas asociadas,a través de la expresión matemática siguiente:

� =h

p; � =

E

h(1)

donde p es la cantidad de movimiento lineal de la partícula, E es su energía relativista y � y � sonla longitud de onda y la frecuencia de la onda asociada.Erwin Schrödinger (1925) planteó una ecuación de onda para describir la propagación de la

onda asociada a la partícula, a la cual le llamó "función de onda" (x; t). Sin embargo, la ecuaciónque se obtiene considera energías no relativistas

E =p2

2m+ V (2)

Conviene señalar que aún cuando la energía sea no relativista, la relación entre la velocidad degrupo (de ondas) y la velocidad de la partícula (libre) se sigue manteniendo:

! = 2�� =2�E

h=E

~=

p2

2m~k =

2�

�=2�p

h=p

~de modo que

vg =d!

dk=

d

dk

�~k2

2m

�=~km=

p

m= vp

1.2 La ecuación de onda

Consideremos ahora algunas propiedades que debe tener la ecuación de onda que gobierna a lafunción de onda (x; t):1. Debe ser consistente con las ecuaciones (1) y (2).

2. Debe ser lineal en (x; t).

3. Debe incluir a la energía potencial como función de x y t.

Así, a partir de las ecuaciones (1) podemos reescribir la ecuación (2) del modo siguiente:~k2

2m+ V (x; y) = ~! (3)

La ecuación de onda entonces deberá ser consistente con esta ecuación.Al exigir que la ecuación sea lineal, los términos de la ecuación deberán ser proporcionales a

2

(x; t) o a derivadas de , tales como@

@x;

@2

@x2; ::: ó

@

@t;

@2

@t2; :::

pero no deberá haber términos independientes ni productos de y sus derivadas.Vamos a intentar obtener una ecuación de onda para el caso de la partícula libre, V (x; t) = V0.

Así, tenemos varias posibilidades para describir la función de onda, como son:(x; t) = sin (kx� !t) ó (x; t) = cos (kx� !t) :

Tomemos la primera de ellas y calculemos algunas de sus derivadas:@

@x= k cos (kx� !t)

@2

@x2= �k2 sin (kx� !t)

@

@t= �! cos (kx� !t)

@2

@t2= �!2 sin (kx� !t)

y recordando que la ecuación debe ser consistente con (3) (con V = V0) vemos que una formaposible es la siguiente:

�@2

@x2+ V0 = �

@

@t(4)

donde � y � son constantes que debemos obtener. Así, desarrollando la ecuación nos queda:��k2 sin (kx� !t) + V0 sin (kx� !t) = ��! cos (kx� !t) :

Sin embargo, debido a la independencia lineal de las funciones seno y coseno, no será posibleobtener valores de � y � que conduzcan a la igualdad anterior.Esto mismo ocurrirá si es escoge (x; t) = cos (kx� !t).Una alternativa es escoger la función como combinación de las dos posibilidades:

(x; t) = cos (kx� !t) + sin (kx� !t)

con una constante adicional que también habrá que obtener. Algunas derivadas de esta funciónson:

@

@x= �k sin (kx� !t) + k cos (kx� !t)

@2

@x2= �k2 cos (kx� !t)� k2 sin (kx� !t)

@

@t= ! sin (kx� !t)� ! cos (kx� !t)

Sustituimos estas expresiones en la ecuación (4):

� �k2 cos (kx� !t)� � k2 sin (kx� !t) + V0 cos (kx� !t) + V0 sin (kx� !t)

= �! sin (kx� !t)� �! cos (kx� !t)

o bien:���k2 + V0 + �!

�cos (kx� !t) +

��� k2 + V0 � �!

�sin (kx� !t) = 0:

Para que esta ecuación sea válida deberán anularse por separado los coe�cientes de las funciones

3

seno y coseno, lo cual conduce al siguiente par de ecuaciones:��k2 + V0 = � �!

��k2 + V0 =�!

y restando ambas ecuaciones obtenemos que = �i. Luego, sustituyendo de nuevo en cualquierade las ecuaciones anteriores obtenemos

��k2 + V0 = �i�!:Al comparar esta ecuación con la ecuación (3) vemos que

� = � ~2

2my � i� = ~! � = �i~:

Es posible escoger cualquier de los dos signos de , pero se ha convenido tomar el signo posi-tivo, de modo que = i, � = i~ y la ecuación queda así:

� ~2

2m

@2

@x2+ V0 = i~

@

@t: (5)

Esta ecuación es válida para el caso de partícula libre; sin embargo, es posible generalizar laexpresión anterior para un potencial general V (x; t). Así, se postula que la ecuación de onda autilizar es

� ~2

2m

@2(x; t)

@x2+ V (x; t) (x; t) = i~

@(x; t)

@t(6)

conocida como Ecuación de Schrödinger.

Ejemplos:1. Comprobar la linealidad de la ecuación de Schrödinger.Tomemos dos soluciones 1 y 2 de la ecuación de Schrödinger y formemos una nueva función que

sea una combinación lineal de las dos anteriores, esto es, = c11 + c22

Para veri�car que cumple con la ecuación de Schrödinger, la sustituimos en la ecuación (6):

� ~2

2m

@2

@x2[c11 + c22] + V (x; t) [c11 + c22] = i~

@

@t[c11 + c22]

efectuando las operaciones indicadas obtenemos:

c1

�� ~

2

2m

@21@x2

+ V (x; t)1

�+ c2

�� ~

2

2m

@22@x2

+ V (x; t)2

�= c1

�i~@1@t

�+ c2

�i~@2@t

�o bien

c1

�� ~

2

2m

@21@x2

+ V (x; t)1 � i~@1@t

�+ c2

�� ~

2

2m

@22@x2

+ V (x; t)2 � i~@2@t

�= 0

y como 1 y 2 son soluciones de la ecuación de Schrödinger, ambos corchetes se anulan, por lo que laigualdad se cumple para cualquier pareja de constantes c1 y c2, demostrándose así que efectivamente laecuación de Schrödinger es lineal.2. Comprobar que la función

(x; t) = Ae�pKm

2~ x2e�i

2

pK

mt

es solución de la ecuación de Schrödinger para el caso de una partícula de masam que es afectada por unafuerza de restitución lineal con constante de fuerza K, esto es, un oscilador armónico. De hecho, como severá posteriormente, la solución descrita corresponde al estado de energía más bajo.

4

Para hacer la comprobación debemos sustituir la función (x; t) en la ecuación de Schrödinger, con elpotencial adecuado al problema, esto es, sustituir en la siguiente ecuación:

� ~2

2m

@2

@x2+1

2Kx2 = i~

@

@tya que el potencial para el oscilador armónico lineal es

V (x; t) =1

2Kx2 (F (x; t) = �@V

@x= �Kx)

Efectuamos las derivadas requeridas:@

@t= � i

2

rK

m

y

@2

@x2=

@

@x

@

@x=

@

@x

�pKm

~x

!

=

Km

~2x2 �

pKm

~

!

Y ahora sustituimos estas derivadas en la ecuación de Schrödinger:

� ~2

2m

"Km

~2x2 �

pKm

~

#+

1

2Kx2 = i~

� i2

rK

m

!

o bien, efectuando los productos indicados,

~2

rK

m =

~2

rK

m

Por lo tanto, la función sí resulta ser solución de la ecuación de Schrödinger para el potencial de osciladorarmónico lineal.

Como podemos ver, la Ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial de segundoorden en x y primero en t (existe asimetría); es similar a otras ecuaciones de onda de la físicaclásica, aunque tiene una gran diferencia: contiene al número imaginario i y por tanto se trata deuna ecuación compleja, cuya solución (x; t) será en general también compleja. De hecho, yavimos que para el caso de partícula libre la solución resultó una función compleja:

(x; t) = cos (kx� !t) + i sin (kx� !t) = ei(kx�!t) (7)

1.3 Interpretación de la función de onda

Al observar que (x; t) es una función compleja, resulta evidente que no es medible experi-mentalmente y que se trata, por tanto, de un "dispositivo matemático" a partir del cual debenobtenerse cantidades que sí sean medibles. De alguna manera (x; t) debe estar conectada a lapartícula cuyo comportamiento ondulatorio se desea describir. La conexión fue propuesta por MaxBorn en 1926 mediante el siguiente postulado: La densidad de probabilidad � (x; t) o probabilidadpor unidad de longitud de encontrar una partícula en una región dx alrededor del punto x en elinstante t se obtiene así:

� (x; t) = � (x; t) (x; t) (8)y de aquí

P (x; t) = � (x; t) dx (9)

5

donde � (x; t) es el complejo conjugado de (x; t).

Ejemplos:1. Evaluar la densidad de probabilidad del estado de menor energía del oscilador armónico simple.La función de onda correspondiente es

(x; t) = Ae�pKm

2~ x2e�i

2

pK

mt

de modo que� (x; t) = A2e�

pKm

~ x2

Como puede observarse, la densidad de probabilidad resulta ser, en este caso, una función independientedel tiempo. Una grá�ca de esta densidad de probabilidad, con A = 1 y

pKm~ = 1 se muestra en la siguiente

�gura.

Figura 12. Obtener la densidad de probabilidad para el mismo caso del oscilador armónico simple pero desde el

punto de vista de la mecánica clásica.Consideramos que la probabilidad de encontrar a la partícula en un elemento de longitud dx es inversa-

mente proporcional a la velocidad con la que pasa por esa región, esto es,

� =B2

v

donde B2 es una constante. Si consideramos que la energía total de la partícula es

E = T + V =1

2mv2 +

1

2Kx2

podemos obtener la velocidad como sigue:

v =

s2

m

�E � Kx2

2

�y por tanto

� =B2q

2m

�E � Kx2

2

�Una grá�ca de esta densidad de probabilidad, con B2 =

qKm y

2EK = 1 se muestra en la siguiente �gura.

6

Figura 2

Como puede observarse, las diferentes funciones que hasta ahora hemos utilizado están de�nidashasta una constante. Esta constante puede determinarse escogiendo la función (x; t) de maneraque la probabilidad de encontrar a la partícula en algún lugar del espacio tenga el valor de uno, enconcordancia con los resultados conocidos de la Teoría de la Probabilidad. Así, la condición quedebe cumplir la función se expresa como sigue:

1 =

Z 1

�1� (x; t) dx =

Z 1

�1� (x; t) (x; t) dx

y se conoce como condición de normalización. Una integral similar se utiliza para el caso deproblemas en más de una dimensión.

Ejemplos:1. Normalizar la función de onda para el estado de menor energía en el problema del oscilador armónico

lineal.Utilizamos la función ya usada en ejemplos anteriores

(x; t) = Ae�pKm

2~ x2e�i

2

pK

mt

de manera que la integral de normalización nos queda como sigue:

1 = A2Z 1

�1e�

pKm

~ x2dx

Como puede observarse, el integrando es una función par de x, es decir, su signo no cambia cuando cam-biamos x por �x, de manera que la integral tiene el mismo signo para las regiones x < 0 y x > 0; por lotanto tenemos:

1 = 2A2Z 1

0e�

pKm

~ x2dx = 2A2�

~pKm

� 1

2Z 1

0e�y

2

dy

= 2A2�

~pKm

� 1

2p�

2

(el valor de la integral se encuentra en cualquier tabla de integrales). De aquí obtenemos la constante A:

A =(Km)1=8

(�~)1=4

7

y por tanto la función , ya normalizada, tiene la forma

(x; t) =(Km)1=8

(�~)1=4e�

pKm

2~ x2e�i

2

pK

mt

2. Normalizar la densidad de probabilidad obtenida clásicamente para el oscilador armónico lineal.Utilizamos la función obtenida en un ejemplo anterior

� =B2q

2m

�E � Kx2

2

�de modo que la integral de normalización es:

1 =B2q2m

Z 1

�1

dxq�E � Kx2

2

�Debemos tomar en cuenta que en realidad la función � no se extiende más allá de ciertos puntos x0 y �x0,conocidos como puntos de retorno, los cuales los podemos determinar considerando que en tales puntos laenergía cinética se anula, de modo que la energía total es igual a la energía potencial, esto es,

1

2Kx20 = E

de donde

x0 =

r2E

KAsí, tenemos entonces que

1 =B2q2m

Z x0

�x0

dxq�E � Kx2

2

�=

B2q2m

r2

K

Z x0

�x0

dxq�x20 � x2

�= B2

rm

K�

(la integral puede obtenerse fácilmente haciendo el cambio de variable x = x0 cos �). De aquí obtenemosel valor de la constante B2:

B2 =1

�

rK

mde modo que la densidad de probabilidad, ya normalizada, queda como sigue:

� =

1�

qKmq

2m

�E � Kx2

2

� = 1

�px20 � x2

Es conveniente mencionar que al mismo tiempo que surgió la teoría ondulatoria de Schrödinger(de hecho un poco antes) se presentó también la mecánica matricial de Heisenberg, la cual con-ducía a las mismas predicciones experimentales, sin necesidad de recurrir a funciones de onda. Semenciona esto para enfatizar el carácter arti�cial de (x; t) y la imposibilidad de medirla.Es evidente que la forma que se ha escogido para � (x; t) nos da una expresión real, aunque no

es la única cantidad real que puede construirse a partir de(x; t). Sin embargo, puede encontrarse

8

un argumento de soporte a esta selección. Así, tomemos la ecuación de Schrödinger y su complejaconjugada:

� ~2

2m

@2

@x2+ V = i~

@

@ty

� ~2

2m

@2�

@x2+ V� = �i~@

�

@tMultiplicamos la primera ecuación por � y la segunda por y las restamos:

� ~2

2m

��@2

@x2�@

2�

@x2

�= i~

��@

@t�@

�

@t

�Podemos reescribir esta ecuación como

� ~2

2m

@

@x

��@

@x�@

�

@x

�= i~

@

@t[�] (10)

Ahora integramos la ecuación entre los puntos x1 y x2:i~2m

��@

@x�@

�

@x

�x2x1

=@

@t

Z x2

x1

�dx (11)

Hasta aquí hemos considerado el caso general, pero ahora particularizaremos para efectos de sim-plicidad, esto es, consideremos la función de onda de la partícula libre:

(x; t) = Aei(kx�!t)

Calculemos sus derivadas:@

@x= ikAei(kx�!t) = ik

y@�

@x= �ikAe�i(kx�!t) = �ik�

Ahora sustituimos en la ecuación (11) para tener

� ~m[k�]x2x1 =

@

@t

Z x2

x1

�dx

y si recordamos que p = ~k entonces nos queda

v�jx1 � v�jx2 =@

@t

Z x2

x1

�dx (12)

Si seguimos sustituyendo la función para partícula libre llegaremos simplemente a la identidad0 = 0. Sin embargo, si consideramos que V (x; t) no es constante sino una función que varíamuy lentamente respecto a x y t entonces, al menos en algún intervalo restringido de x, la funciónpuede escribirse aún como(x; t) = Aei(kx�!t), peroA, k y ! serían funciones que también varíanlentamente respecto a x y t. En tal caso, tendremos que � = A2 y además v no será constante,aunque aún tendremos la ecuación (12) porque las derivadas de A, k y ! pueden ser ignoradaspor ser muy pequeñas. Ahora, observando la ecuación (12) notamos que tiene semejanza con laecuación de conservación de la cantidad de �uido que se mueve en una dimensión; esto es

v�jx1 � v�jx2 =@

@t

Z x2

x1

�dx

9

o bienjjx1 � jjx2 =

@

@t

Z x2

x1

�dx

Figura 3donde � corresponde a la densidad del �uido y v es su velocidad de �ujo, de modo que v� = j esel �ujo de masa del �uido. Así, la ecuación anterior indica que el cambio por unidad de tiempoen la cantidad de masa entre dos puntos x1 y x2 está dado por la cantidad de masa que para porx1 menos la masa que pasa por x2, esto es la conservación de la masa. En nuestro caso estamoshablando de la conservación de la probabilidad.Ahora, invirtiendo la argumentación podemos de�nir el �ujo de probabilidad como sigue:

j (x; t) = � i~2m

�� (x; t)

@(x; t)

@x�(x; t) @

� (x; t)

@x

�(13)

Esta cantidad es real, lo cual puede demostrarse muy fácilmente.Para el caso de movimiento en tres dimensiones la ecuación anterior toma la siguiente forma:

j (r; t) = � i~2m

[�r�r�] (14)

2 Valores medios (valores esperados)Como ya se ha mencionado anteriormente, la probabilidad de encontrar a una partícula en el

intervalo de posición de�nido entre x y x+ dx esP (x; t) = � (x; t) (x; t) dx = � (x; t) dx

Si la posición de la partícula se mide un cierto número de veces en sistemas preparados de man-era idéntica, es decir, sistemas descritos por la misma función (x; t), el promedio de los val-ores observados de la posición es equivalente al valor esperado que se puede obtener por mediosmatemáticos utilizando la función (x; t); esto es:

x =

Z 1

�1x� (x; t) dx

Como puede observarse, el integrando en el lado derecho es precisamente el valor de la coordenadax pesado por la probabilidad de observar dicho valor. Esta ecuación puede reescribirse comosigue:

x =

Z 1

�1 � (x; t)x (x; t) dx (15)

En esta ecuación se ha considerado que la función (x; t) cumple con la condición de normal-

10

ización; en caso contrario, la expresión para el valor medio tendría la forma

x =

R1�1

� (x; t)x (x; t) dxR1�1

� (x; t) (x; t) dx

Ejemplo:Calcular el valor medio de x para el estado más bajo del oscilador armónico simple.Utilizando las funciones usadas en los ejemplos anteriores tendremos:

x = A2Z 1

�1xe�

pKm

~ x2dx

Esta integral se anula ya que el integrando es impar, es decir, cambia de signo al cambiar x por �x, lo cualproduce que la integral tenga signos opuestos para x < 0 y x > 0.

Una expresión similar a la ecuación (15) se utilizaría para evaluar el valor medio de cualquierfunción de x; esto es:

f (x) =

Z 1

�1 � (x; t) f (x) (x; t) dx (16)

por ejemplo, para x2, V (x), etc.Existen algunas variables dinámicas que no pueden escribirse como funciones de x, tal como p,

E, etc. Esto es así debido a que en la Mecánica Cuántica el "principio de incertidumbre" establecela imposibilidad de conocer de manera simultánea a x y p. Lo mismo ocurre con las cantidadesque podrían expresarse como funciones de p. Para calcular el valor medio de este tipo de variablesse utiliza la ecuación (16) pero se requiere sustituir a la función por algún operador.Para ilustrar esto consideremos de nuevo la función de onda de la partícula libre: (x; t) =

ei(kx�!t). Si derivamos esta función respecto a x obtenemos@

@x= ik = i

p

~

o bien, reescribiendo:p [ (x; t)] = �i~@

@xesta expresión nos muestra una relación entre la variable dinámica p y el operador �i~ @

@x.

Algo similar ocurre con la energía. Para ello derivamos la misma función pero ahora respecto at:

@

@t= �i! = �iE

~

o bienE [ (x; t)] = i~

@

@tque indica una asociación entre la energía E y el operador i~ @

@t.

Aunque estas asociaciones las obtuvimos para el caso de partícula libre, puede verse que enrealidad se trata de relaciones más generales. Para ello consideremos la ecuación de la mecánicaclásica para la energía total:

p2

2m+ V (x; t) = E

Si sustituimos p y E por "operadores asociados" como los anteriores tendremos:1

2m

��i~ @

@x

�2+ V (x; t) = i~

@

@t

11

o bien� ~

2

2m

@2

@x2+ V (x; t) = i~

@

@t(17)

Como puede verse, se trata de una ecuación de operadores que cobra sentido si la aplicamos acualquier función de onda (x; t), de donde se obtiene

� ~2

2m

@2

@x2+ V (x; t) (x; t) = i~

@

@tque es precisamente la ecuación de Schrödinger. Así, concluimos que p y E tienen los siguientesoperadores asociados:

p! �i~ @@x

(� ihr en tres dimensiones)

E ! i~@

@t

(18)

Ahora, utilizando estas expresiones vemos que el valor medio de p se calcula como sigue:

p =

Z 1

�1 � (x; t)

��i~ @

@x

� (x; t) dx = �i~

Z 1

�1 � (x; t)

@ (x; t)

@xdx (19)

(y de aquí se ve por qué se había escogido el orden particular en el integrando).De la misma manera, para la energía E tendremos

E =

Z 1

�1 � (x; t)

�i~@

@t

� (x; t) dx = i~

Z 1

�1 � (x; t)

@ (x; t)

@tdx (20)

En este caso también podríamos escoger la siguiente expresión:

E =

Z 1

�1 � (x; t)

�� ~

2

2m

@2

@x2+ V (x; t)

� (x; t) dx (21)

Así, en general, para cualquier función f (x; p; t) el cálculo de su valor medio está dado por:

f (x; p; t) =

Z 1

�1 � (x; t) fop

�x;�i~ @

@x; t

� (x; t) dx (22)

Ejemplo:1. Considere la partícula encerrada en una caja de paredes impenetrables en x = �a

2 y x =a2 . La

función de onda para el estado base es

(x; t) =

8<: A cos�x

ae�i

E

~ t �a2< x <

a

20 x � �a

2ó x � a

2con A una constante arbitraria (de normalización) y E la energía de la partícula. Veri�car que la funcióncumple con la ecuación de Schrödinger, obtener la constante de normalización y evaluar los valores mediosde x, p, x2 y p2.La ecuación de Schrödinger en este caso tiene la siguiente forma:

� ~2

2m

@2

@x2= i~

@

@t; �a

2< x <

a

2

12

Así, para veri�car que la función cumple con esta ecuación calculamos sus derivadas:@

@t= �iE

~

y@2

@x2= �

��a

�2

y sustituyendo en la ecuación obtenemos que�2~2

2ma2 = E

la cual se satisface si E = �2~22ma2 , que es precisamente la energía del estado más bajo.

Ahora obtenemos la constante A de normalización:

1 =

Z 1

�1�dx = A2

Z a=2

�a=2cos2

�x

adx

= 2A2Z a=2

0cos2

�x

adx = 2A2

Z a=2

0

1

2

�1 + cos

2�x

a

�dx

= A2a

2de donde

A =

r2

aCalculamos ahora el valor medio de x:

x =

Z 1

�1 �x dx =

2

a

Z a=2

�a=2x cos2

�x

adx = 0

(el integrando es impar).Ahora obtenemos el valor medio de p:

p = �i~Z 1

�1 �@

@xdx = �i~2

a

Z a=2

�a=2cos

�x

a(�1) sin �x

adx = 0

(este integrando también es impar).Obtengamos ahora el valor medio de x2:

x2 =

Z 1

�1 �x2 dx =

2

a

Z a=2

�a=2x2 cos2

�x

adx

=2

a2

Z a=2

0

1

2x2�1 + cos

2�x

a

�dx =

2

a

�a3

24� a3

4�2

�=

a2

2�2

��2

6� 1�' 0:0326a2

Y ahora calculamos el valor medio de p2:

p2 = �~2Z 1

�1 �@2

@x2dx = �~2 2

a

Z a=2

�a=2cos

�x

a

���

2

a2

�cos

�x

adx

=~2�2

a2

Con estos resultados podemos veri�car el cumplimiento del "principio de incertidumbre". Para ello deter-minamos la �uctuación de una variable alrededor de su valor medio mediante el cálculo de su desviación

13

estándar; así, tendremos:

�x =

qx2 � x2 =

px2 '

p0:0326a

y

�p =

qp2 � p2 =

px2 =

~�a

De aquí obtenemos que su producto es

�x�p ' 0:57~ � ~2

y vemos que efectivamente se cumple el "principio de incertidumbre".

3 La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoHemos visto que la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial. La solución a

esta ecuación es algo complicada; sin embargo, es posible disminuir la complicación si la ecuaciónse puede separar. Esto es posible para potenciales que sean dependientes sólo de la posición, o sólodel tiempo. Veremos el primero de ellos.Para separar la ecuación tomamos a la función de onda como el producto de dos funciones, una

que contiene exclusivamente la dependencia espacial y otra con la dependencia temporal, esto es,(x; t) = (x)' (t) (23)

y la sustituimos en la ecuación de Schrödinger [ecuación (6)]:

� ~2

2m' (t)

d2

dx2+ V (x) (x)' (t) = i~ (x)

d'

dtAhora dividimos esta ecuación por (x)' (t):

1

(x)

�� ~

2

2m

d2

dx2+ V (x)

�= i~

1

' (t)

d'

dt

Como puede observarse, el lado izquierdo de la ecuación depende sólo de x, mientras que el ladoderecho depende sólo de t. Puesto que x y t son variables independientes, ambos lados de laecuación tendrán que ser iguales a una constante C (llamada constante de separación), la cual nodebe depender ni de x ni de t. Esto nos conduce al siguiente par de ecuaciones:

1

(x)

�� ~

2

2m

d2

dx2+ V (x)

�= C (24)

y

i~1

' (t)

d'

dt= C (25)

La ecuación para la parte temporal resulta muy sencilla de resolver pues se trata de una ecuacióndiferencial ordinaria de primer orden con coe�cientes constante, de manera que podemos escribirinmediatamente su solución como sigue:

' (t) = e�iC~ t (26)

Como vemos, se trata de una función que oscila en el tiempo, con frecuencia

! = 2�� =C

~

14

o bien� =

C

hRecordemos que la función de onda que obtengamos debe tener congruencia con las ecuacionespostuladas por De Broglie, y en particular, una de ellas establece que � = E

h, de modo que,

comparando con el resultado anterior, tenemos que la constante de separación es precisamente laenergía de la partícula, esto es, C = E.Con esta forma para C, la ecuación (24) queda ahora como sigue:

� ~2

2m

d2

dx2+ V (x) (x) = E (x) (27)

Esta ecuación se conoce como la ecuación estacionaria de Schrödinger, o ecuación de Schrödingerindependiente del tiempo. Así mismo, la función de onda (x; t) toma ahora la forma

(x; t) = (x) e�iE~ t = (x) e�i!t (28)

Como puede verse, la ecuación estacionaria de Schrödinger es una ecuación diferencial ordinaria,de segundo orden, real, y cuyas soluciones no son necesariamente complejas. Las soluciones aesta ecuación se denominan funciones propias.

4 Cuantización de la energíaVamos ahora a analizar la forma en la que se produce la cuantización en la teoría de Schrödinger.

Para ello consideraremos potenciales independientes del tiempo, de modo que la ecuación quevamos a estudiar es la estacionaria de Schrödinger. Como ya hemos visto, la función de ondatiene, en este caso, la forma (28), mientras que las funciones propias (x) deberán cumplir conlas siguientes propiedades:i) (x) debe ser �nitaii) (x) debe ser continuaiii) d

dxdebe ser �nita

iv) d dxdebe ser continua

El cumplimiento de estas propiedades es determinado por la exigencia de que � (x; t) y j (x; t)tengan valores �nitos y de�nidos para toda x.Podemos observar que para que se cumpla la condición iii) es necesario que se cumpla primero

la ii). Así mismo, el cumplimiento de la condición iv) permite que se cumpla la ecuación deSchrödinger, que reescribimos como

d2

dx2=2m

~2[V (x)� E] (x) ;

considerando que E, V (x) y (x) son �nitas y que por tanto d2 dx2

también es �nita. Es posibletener excepciones, por ejemplo cuando V (x)!1 para algunos valores de x; estos casos, aunqueideales, son de gran importancia en la física, ya que representan situaciones límite de potencialesreales.Para entender la in�uencia de las condiciones i) a iv) sobre la función (x) resolveremos la

ecuación estacionaria de Schrödinger con un potencial que tiene la forma indicada en la �gurasiguiente:

15

Figura 4Para resolver la ecuación utilizaremos una técnica numérica. Así, para empezar debemos cono-

cer la energía total E de la partícula, pero como esto no es así, entonces escogemos un valorarbitrario pero que nos conduzca a la obtención de soluciones aceptables. El valor que hemos es-cogido se muestra en la �gura anterior. Podemos observar que la recta que de�ne a la energía E, lacual es constante, corta a la curva del potencial V (x) en dos puntos x0 y x00, lo cual divide al eje xen tres regiones: x < x0, x0 � x � x00 y x > x00. Observamos que la cantidad V (x)� E es mayorque cero en la primera y tercera regiones, mientras que en la segunda región esa cantidad es menorque cero.Para iniciar la integración numérica escogemos un punto x0 tal que x0 � x0 � x00 y suponemos

un valor para (x0). El valor que escojamos para (x0) no es relevante ya que la ecuación deSchrödinger es lineal en (x); por lo tanto, escogemos el valor (x0) = 1. También debemosescoger un valor para la derivada de la función, y con este par de valores podemos obtener en formaaproximada valores de la función y su derivada en un nuevo punto x1 cercano a x0. La forma paraobtener estos nuevos valores es la siguiente:

(x1)� (x0) =d

dx

����x0

(x1 � x0)

yd

dx

����x1

� d

dx

����x0

=d2

dx2

����x0

(x1 � x0)

o bien, utilizando la ecuación estacionaria de Schrödinger:d

dx

����x1

� d

dx

����x0

=2m

~2[V (x0)� E] (x0) (x1 � x0)

Podemos repetir el procedimiento partiendo ahora de x1 y obtener así valores de la función y suderivada en el punto x2 y seguir así hasta lograr trazar la función y su derivada para toda x. Ahora,como mencionamos anteriormente, en la región entre x0 y x00 tenemos que V (x)�E < 0, de modoque el signo del cambio en la derivada resulta ser opuesto al signo de la función, esto es, la funcióndeberá ser cóncava hacia abajo, si la función es positiva, y cóncava hacia arriba, si la función esnegativa. Lo contrario ocurrirá en las otras dos regiones. Esto se ilustra en la �gura siguiente.

16

Figura 5En la �gura 6 hemos dibujado un trazo del resultado de la integración, partiendo del punto

x0. En el primer intento, la función para x < x00 es cóncava hacia abajo, pero al pasar por x00se vuelve cóncava hacia arriba y aunque la derivada de es negativa en x00, pronto se anula yse vuelve positiva, y como la función crece, pues el problema empeora porque, de acuerdo conla ecuación de Schrödinger, la segunda derivada de la función es proporcional a la función y portanto (x) ! 1 como x ! 1; es decir, obtuvimos una solución que no es aceptable. Luegohicimos un segundo intento cambiando el valor inicial de la derivada en x0 (la curva numerada conun 2). En esta ocasión se logró que la función no creciera, sin embargo, cuando la función se hacenegativa, ya no podemos evitar que siga tendiendo hacia�1 porque la función en esa región debeser cóncava hacia abajo.

Figura 6Cuando le dimos un valor adecuado a la derivada de la función en x0, se logró una solución

aceptable para x > x0 (curva 3); sin embargo, al extender el cálculo hacia la región x < x0 volvi-mos a tener problemas con el resultado. Como ya no podemos modi�car el valor de la derivada de en x0, concluimos que con este valor de la energía no podemos obtener una solución aceptable.El siguiente paso fue intentar de nuevo pero con un nuevo valor de la energía, procediendo de

igual manera para calcular (x) y d =dx, y esperar obtener una solución aceptable. Este procesonos llevó a encontrar algunos valores de E para los cuales se obtienen funciones aceptables. En la

17

siguiente �gura se muestran algunos de estos resultados.

Figura 7Como podemos ver, para x > x0 el comportamiento de la función 2 (x) es similar al de 1 (x),pero como su segunda derivada es mayor, 2 (x) cruza el eje en algún punto entre x0 y x0. Obser-vando la forma de las funciones y utilizando la ecuación estacionaria de Schrödinger nos damoscuenta que E2 > E1; esto lo podemos ver claramente en el punto x0 ya que ahí se cumple que����d2 2dx2

����x0

>

����d2 1dx2

����x0

y por tantojV (x0)� E2j > jV (x0)� E1j

y de aquí concluimos que E2 > E1.De igual manera, podemos a�rmar que E3 > E2. Además, la separación entre estos valores de

energía no es in�nitesimal porque la diferencia�����d2 2dx2

����� ����d2 1dx2

�����x0

tampoco lo es.Así, podemos a�rmar que los valores obtenidos forman un conjunto discreto de energías. Este

resultado es válido siempre y cuando la relación entre la energía y el potencial sea el mostrado enla �gura 4, esto es, si existen los dos puntos de retorno clásicos (puntos de corte de la energía y elpotencial).Ahora, podemos observar lo que ocurriría para energías mayores que Vl. En la región x > x0

ocurre que V (x)�E < 0 y (x) será cóncava hacia abajo si es positiva, y cóncava hacia arriba sies negativa, esto es, siempre tiende a regresar al eje x, por lo que se trata de una función oscilatoriay no diverge para x!1. Luego, para x < x0 siempre podremos tener un valor de energía que nosde una función que tienda asintóticamente al eje x, dándole valores apropiados a la derivada de en x0. Así, los valores de energía mayores que Vl podrán tomar cualquier valor, esto es, forman uncontinuo.Así, concluimos que cuando la relación entre V (x) y E es tal que la descripción clásica de la

partícula la ubica con�nada, entonces la descripción cuántica indica que los valores de la energía

18

de la partícula formarán un conjunto discreto. En cambio, si la relación entre V (x) y E es tal queclásicamente la partícula no estaría con�nada, entonces cuánticamente el conjunto de valores de laenergía de la partícula será un continuo.

Figura 8

19