Determinantes sistemas lineares

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

Centro de Ensino Superior de Chapecó Faculdade Empresarial de Chapecó

Cursos: Engenharia Civil e Engenharia de Produção

Docente: Flavio Fernandes

Álgebra Linear e Geometria Analítica

2

1. Determinantes

A cada matriz n x n, A, é possível associar um escalar, det(A), cujo valor dirá se a matriz

é ou não singular.

Matrizes 1 x 1 (Matrizes de primeira ordem)

Se A = (a) é uma matriz 1 x 1, então A terá uma inversa multiplicativa se e somente se

a � 0. Portanto, definimos

det (A) = a

então A será não singular1 se e somente se det(A) � 0.

Matrizes 2 x 2 (Matrizes de 2ª ordem)

Dada a matriz M = �� , de ordem 2, por definição o determinante associado a M,

determinante de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o

produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal

secundária. Veja o exemplo a seguir.

Matrizes 3 x 3 (Matrizes de 3ª ordem)

Regra de Sarrus

O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo

prático, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para D = �� .

1 Uma matriz singular é aquela que não admite inversa. Isso ocorre sempre que seu determinante é

zero.


3

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois

produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve

ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois

produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve

ser precedida do sinal negativo):

Assim:


4

LISTA DE ATIVIDADES 1

1. Calcule o determinante√2 �13 5√2

2. Resolva a equação � 5 2� � 1 � � 3� � �1

3. Dadas as matrizes

A = � 3 1�1 2� e B = ��1 50 �1�, calcule:

a) det (A + B)

b) det (AB)

c) detA(B)


5

4. Usando a Regra de Sarrus, calcule o determinante da matriz A = �2 3 �15 2 01 4 �3�

5. Aplicando a regra de Sarrus, calcule os determinantes:

a) �3 2 �15 0 42 �3 1 �

b) �2 1 �23 �1 04 1 3 �

c) �� 0 00 � �0 1 1�


6

d) �1 0 �0 1 �� 1�

e) �3 5 �10 4 20 0 �2�

f) �1 2 01 4 41 8 0�

Gabarito:

1. 13

2. -6

3. a) 8 b) 7 c) ��7 350 �7�


7

4. 15

5. a) 57 b) -29 c) ab – a2 d) 1 – 2a2 e) -24 f) -24

Menor Complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M,

quadrada e de ordem n > 1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de

M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij.

Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz M = �� , de ordem 2, para determinar o menor complementar

relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:

b) Sendo M = �� , de ordem 3, temos:

• •

Cofator

Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma

matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij .

Veja:

a) Dada M = �� , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:


8

b) Sendo M = �� , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]m x n (m � 2) pode ser obtido

pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da

matriz pelos respectivos cofatores.

Desta forma, fixando j∈ � , tal que 1 � � ! , temos:

em que ∑#$%� é o somatório de todos os termos de índice , variando de 1 até , ! ∈ � .

Exemplo:


9

Calcule o determinante a seguir utilizando o Teorema de Laplace:

D = � 2 3 �4�2 1 20 5 6 �

Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, temos:

D =50

12)4(

60

223

65

212

−−+

−− = 2[(1 x 6) – ( 2 x 5)] – 3[(-2 x 6) – (2 x 0)] – 4 [(- 2 x 5) – ( 1 x

0) = 68

Observação

Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus, obteremos o mesmo

número real.

LISTA DE ATIVIDADES 2

1. Sendo A = �2 4 53 0 22 8 1�, determine:

b) A11

c) A31

d) A33


10

e) A22

f) A12

g) A32

2. Sendo A = �3 45 �1�, calcule o valor de:

a) a11A11 + a12A12

b) a12A12 + a22A22

c) detA

3. Aplicando o teorema de Laplace, calcule os determinantes:


11

a) detA = �3 2 �16 0 42 �3 5 �

b) detA = �1 3 41 3 51 3 �4�

c) detA = �2 3 51 2 32 4 6�


12

Gabarito

1. a) -16 b) 8 c) -12 d) -8 e) 1 f) 11

2. a) -23 b) -23 c) -23

3. a) 10 b) 0 c) 0


13

Propriedade dos Determinantes

Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes

propriedades:

P1) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa

matriz é nulo.

Exemplo:

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos

correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Exemplos:


14

P5) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos

elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas

paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o

determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:


15

P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda

de sinal.

Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos

nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos

nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por

.


16

Exemplos:

P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:

Exemplo:

P12)

Exemplo:

LISTA DE EXERCÍCIOS - 03

01. Calcular o valor do determinante:

Resposta: O valor do determinante é 700


17

02. Se e calcular o número real m, tal que: det (A – mB) = 0

3. Calcule o determinante

,. Resposta: det A = 2 · 35 = 70

4.

Resposta det A = -35


18

5. Resolver a equação:

Resposta: S = {–1, 0}

6. Calcule os determinantes:

a) 73

45=A

b) 34

72=B

c) C = �10 �18 9 �

d)

−=

41

26D


19

7. Resolva as equações:

a) 1571

2=

xx b) 0

1

1=

x

x

c) �� 4� � � 0 d) �(� � 1) �8 �� 18

8. Calcule os determinantes:

a)

152

432

021

− b)

025

411

327

−−

9. Resolva as equações:

a) 9

151

310

12

=−+

−x

x


20

b) 0

323

12

10

=x

xx

x

c) 0

504

322

211

=+++

x

xx

x

d) x

xx

x

x

x

10

2

51

32

112

=−


21

10. Se 21

1

+=

x

xA ,calcule x sendo que AAA 3=⋅ .

11. Qual é o valor de m para que o determinante da matriz

1603

61

542

mA −−

= seja positivo.

12. Dadas as matrizes abaixo, calcule o valor de x de modo que det A = det B.

5 1

1A

x= e

2 1

1 2

2 1 1

x

B x

−=

−

13. São dadas as matrizes 3 2

7 5A = e

1 1

1 1B =

−, calcule AB + A-1.


22

14. Na equação matricial: 1 2 0 5 1

1 1 3 1 1 1

x y− − −× =

− − − quais os valores de x e y

respectivamente?

Gabarito

6.

a) 23

b) – 22

c) 98

d) – 26

7.

a) 3

b) ± 1

c) {0, ± 2}

d) {6, 3}

8.

a) 3

b)- 5


23

9.

a) {1, -16}

b) {0, 2}

c) {1, -16/3}

d) – 7/4

10. 1

11. 8

12. {3, -1}

13.

A1−

= 37

25 − A.B + A

1− =

155

36

−

14. x = 0 y = -1


24

SISTEMAS LINEARES

Equação Linear

Toda equação da forma bxa...xaxa nn =+++ 2211 é denominada equação linear, em

que:

na,..,a,a 21 são coeficientes

nx,...,x,x 21 são as incógnitas

b é um termo independente

Exemplos:

a) 532 321 =+− xxx é uma equação linear de três incógnitas.

b) 1−=+−+ tzyx é uma equação linear de quatro incógnitas.

Observações:

1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação

linear homogênea. Por exemplo: 05 =+ yx .

2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma 2121 x.x,x etc., isto é, cada termo da

equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1.

As equações 323 221 −=+ xx e 24 =+ zy.x não são lineares.

3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou ênupla

( )n,...,, ααα 21 , que, colocados respectivamente no lugar de nx,...,x,x 21 , tornam

verdadeira a igualdade dada.

4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea 03 =+ yx é a dupla ( )00, .

Vejamos alguns exemplos:

1º exemplo: Dada a equação linear 24 =+− zyx , encontrar uma de suas soluções.

Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.

0

2

=

=

y

x

⇒

6

2042

−=

=+−

z

z.

Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).


25

2º exemplo: Dada a equação 523 =− yx , determinar para que a dupla (-1, ) seja solução da

equação.

Resolução: ( )α,1− ⇒ α=−=

y

x 1 ⇒

( )

482

523

521.3

−=⇔=−=−−

=−−

ααα

α

Resposta: = – 4

Exercícios Propostos:

1. Determine m para que ( )2,1,1 −− seja solução da equação 62 =−+ zymx . Resp: -1

2. Dada a equação 132

−=+ yx, ache para que ( )1, +αα torne a sentença verdadeira.

Resp: -8/5

Sistema linear

Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas nxxx ,...,, 21 todo sistema da

forma:

=+++

=+++=+++

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

nn bbbaaa '2'1'11211 ,...,,,,...,,→ são números reais.

Se o conjunto ordenado de números reais ( )n'2'1' ,...,, ααα satisfizer a todas as equações do

sistema, será denominado solução do sistema linear.


26

Observações:

1ª) Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é,

021 ==== n'' b...bb , o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:

=+−=++=−+

0325

04

02

zyx

zyx

zyx

Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.

Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo

admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada

solução não-trivial.

2ª) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas

equivalentes. Veja o exemplo:

( ){ }2142

531 −=⇒

=−−=+

,Syx

yx:S ( ){ }21

13

22

3

2 −=⇒

−=+−

=+,S

yx

yx

:S

Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes.

Classificação dos sistemas lineares

Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:

3.4 Método de Resolução de um Sistema Linear

Resolução de sistemas com duas variáveis

Adição (cancelamento)

Exemplo:

a) * 5� � 3+ � 13�4� � 9+ � 1 b)*2� � + � 6� � + � 6


27

Substituição

Exemplo

a) * 2� � + � 44� � 3+ � 8 b)*5� � 3+ � 13�4� � 9+ � 1

Comparação

Exemplo

a) * 2� � + � 44� � 3+ � 8 b) *5� � 3+ � 13�4� � 9+ � 1

Resolução de sistemas com mais de duas variáveis

Exemplo

�) ,� � 2+ � - � 22� � + � - � 3� � + � - � 6 �) , � � + � - � 64� � 2+ � - � 5� � 3+ � 2- � 13


28

Regra de Cramer

A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear.

=+++

=+++=+++

nnmnmm

nn

nn

bxa..xaxa

...

...

bxa..xaxa

bxa..xaxa

2211

22222121

11212111

:sistema o Seja

Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incógnitas, depois as matrizes Ax, Ay e

Az. Após determinar as matrizes calcular o determinante.

Pela regra de Cramer a solução de um sistema linear é : ./012./01 , ./014./01 , ./015./01 ,...

Exemplo:

a) Resolver o sistema

−=+=−

25

72

yx

yx.

Resolução: 1151

12=⇒

−= AdetA

3352

1711 =⇒

−−

= AdetA

1121

7222 −=⇒

−= AdetA

311

331 ===Adet

Adetx 1

11

112 −=−==Adet

Adety

Resposta: ( ){ }13−= ,S

b) Exemplo: Resolver o sistema

=−−=+

2

5

yx

yx.

Resolução: 011

11=⇒

−−= AdetA

712

15−=⇒

−= xx AdetA


29

721

51=⇒

−= yy AdetA

0

7−==Adet

Adetx x impossível

0

7==Adet

Adety y

impossível

Resposta: φ=S

c) Resolver o sistema

=++=+−

=−+

1

10543

02

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

Resolução:

1º) Cálculo do determinante da matriz incompleta.

126543104

111

543

121

−=−−−−+−=⇒

−−

= AdetA

2º) Cálculo do determinante das incógnitas.

24200410100

111

5410

120

11 −=−+−−+=⇒

−−

= AdetA

1205103010

111

5103

101

22 =+−+−+=⇒

−= AdetA

061000204

111

1043

021

33 =−−+++−=⇒

−= AdetA

3º) Cálculo das incógnitas.

212

2411 =

−−==

Adet

Adetx

112

1222 −=

−==

Adet

Adetx

012

033 =

−==

Adet

Adetx


30

Resposta: ( ){ }012 ,,S −= Sistema Possível e Determinado.


31

LISTA DE EXERCÍCIO - 03

1. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.

a)

−=−=+

432

52

yx

yx

Resp: {(1,2)} b)

=+=−93

143

yx

yx

Resp: {(3,2)}

2. Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:

a)

=−+=+−

=−+

3233

932

22

zyx

zyx

zyx

Resp: {(1,2,3)} b)

=−−=−−

=−+

03

05

010

zy

zx

yx

Resp: {(6,4,1)}

3. A soma de dois números é 20. A diferença entre eles é 40. Que números são esses? S =

{30,-10}


32

4. Tenho moedas de 10 e 50 centavos num total de 13 moedas, perfazendo 410 centavos.

Quantas são as moedas de 10? E as de 50 centavos? S = {6,7}

5. Eliane e Elisa estudam na mesma escola, mas em sala diferentes. As duas salas tem um total

de 40 alunos. A sala de Elisa tem o dobro de alunos menos 8. Quantos alunos tem em cada

sala? S = {24,16}

6. Num quintal há 36 animais entre porcos e galinhas. Sabe-se que há, ao todo, 112 pés.

Quantos são os porcos e quantas são as galinhas? S = {16,20}


33

7. Resolva os sistemas e determine a solução:

a)

=+=

100

3

yx

yx b)

=−=+12

42

yx

yx c)

=−=−

62

42

yx

yx d)

=+=

225

4

yx

yx e)

S = {75,25} S = {27,15} S = {78,36} S = {180,45} = {2,-1,3}

f)

=−−=+42

53

yx

yx g)

=−=+

03

52

yx

yx

h), � � 5+ � 2- � 102� � + � 3- � �33� � 6+ � 5- � 19 6) , � � 2+ � 3- � 72� � + � - � 43� � 3+ � - � 14

S = { 1, -2 } S = { 789 , 89 } S = {1,1,2} S = {0,5,-1}


34

8. Um ourives cobrou R$150,00 para cunhar medalhas de ouro com 3 g cada; de prata com 5 g

cada; e de bronze com 7g cada, ao preço unitário de R$30,00, R$10,00 e R$5,00,

respectivamente. Sabendo que foram confeccionadas 15 medalhas, com massa total de 87 g,

determine o número de cada medalha confeccionada. S = {2 ouro, 5 prata, 8 bronze}

9. Seja o sistema

−=++−=+−=−+

2

52

032

321

321

321

1

xxx

xxx

xxx

:S .

a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.

b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.

Resp: a) é b) não é


35

10. Seja o sistema:

+=−−=+32

93 2

kyx

kyx. Calcule k para que o sistema seja homogêneo. Resp: k =

-3

11. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:

=+=−

52

1

yx

yx e

=+−=−2

1

mynx

nymx

Resp: m = 0 e n = 1

12. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a

manufatura de cada kg de X são utilizados 2 gramas de insumo A e 1 grama do insumo B; para

cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de

A e 5 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é de R$ 3,00, R$

2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada

com 1,9 kg de A e 2,4 Kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2900,00. Determine quantos kg de

cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.

(Dica: monte um sistema de equações que represente a situação e resolva-o de modo a

encontrar os valores das incógnitas X, Y e Z).

Resp: Foram vendidos 500 kg do produto X, 300 kg do produto Y e 200 kg do produto Z.

Determinantes sistemas lineares

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