2

densidad de energía 2

22

22

cpp

c21v

21)t,x(e

ρ=

ρ+ρ=

cinética potencial

La relación entre la densidad de energía y la intensidad acústica en una onda progresiva es:

ceS·t

E=

∆∆∆

=I

3

Campo difuso representado como un conjunto de ondas progresivas

TEORÍA ESTADÍSTICA

Campo difuso:1) Densidad de energía es la misma en

cualquier punto2) Todas las direcciones de propagación

de la energía son equiprobables

El campo difuso es una superposición de las ondas progresivas no coherentes.

Una de las ideas de modeladodel campo difuso:

4

La energía acústica dentro del ΔV = e dV, siendo e la densidad volumétrica de la energía. Hacia ΔS se irá no toda la energía sino solo una parte:

2r4cosSeπ

θ∆ dV

Para calcular la energía que le llega a ΔS de todas las direcciones con el ángulo θ pasamos al “casquillo” circular: θ∆θπ= dr·r·sen·r2dV

Integramos por θ:4

rSedr·r·senr2r4cosSeE

2

02

∆∆=θ∆θπ

πθ∆

==∆ ∫∫π

Dividimos esta energía entre entre el tiempo que dura esta transferencia Δt = Δr /c y el área ΔS, obteniendo la intensidad “difusa”: 4

ceS·t

E=

∆∆∆

=difI

5

Idif es la potencia total que incide desde todos los ángulos en un campo difuso sobre uno de los lados de una superficie unitaria. “Intensidad difusa”, “Intensidad reverberante”, “Intensidad de irradiación de las paredes”.

4ce

c4p2

dif =ρ

=I la densidad de energía

4ceAASW difdifabs ==α= II

Potencia absorbida por el area S:

Si el coeficiente de absorción α de la pared depende del ángulo, entonces el coeficiente de absorción promedio entre todos los ángulos de incidencia será:

( )( ) ( ) θθθα=

θθθϕ

θθθθαϕ==α ∫

∫ ∫

∫ ∫ π

ππ

ππ

d2sen

dcossend

dcossend 2

02

0

2

0

2

0

2

0

incid

abspromedio I

I

=ρ

= 2

2

cpedonde

En una onda plana progresiva la intensidad acústica es cuatro veces mayor

Fórmula de París:

6

7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L22L1L2L2L

2L1L1L1L

2L1L2L1L 2222

∆=∆+∆=

∆

∂−∂

+

∆

∂−∂

=−∆

8

Lrev

ABSORCIÓNALTA

FUENTE FUENTE

BALANCE DE ENERGÍAEN UN RECINTO

En un equilibrio dinámico la absorción es proporcional a la “intensidad difusa”, es decir, a la densidad de energía dentro del recinto.

( ) ( )( )t2exp1V2

Wte δ−−δ

=

V8Ac,eV2

tdedVW

4Ace

tdedVW =δδ+=→+=

crecimiento:

( ) ( )t2expete 0 δ−=caída:

W = potencia entranteV = volumenA = absorción

densidad de energía=

ρ= 2

2

cpe

LrevW = vS ~ ρg L·S W = vS ~ ρg L·S

W W

Se tarda poco en llegar al equilibrio, el nivel final es bajo

ABSORCIÓN BAJA

Se tarda mucho en llegar al equilibrio, el nivel final es alto

9

CRECIMIENTO Y CAÍDA DE LA DENSIDAD DE ENERGÍA

fuente on fuente off

( )δ

=→=− δ− 91.6Telog1060 T2

AV163.0V8

A·34091.6T

V8Ac

==→=δ

( ),tp 2

AWc4p est

2 ρ=

0

L(t)

Durante del TIEMPO DE REVERBERACIÓN el nivel de la presión (o de la energía acústica) cae 60 dB,

(la presión cae 1000 veces, la energía cae 1000000 veces:

t

W.C.Sabine(1868-1919)

AV161.0V8

A·34391.6

=

( ) ( )t2expptp 022 δ−=

( ) ( )( )t2exp1ptp est22 δ−−=

( ) Tt8.13

02

2

ep

tp −

=

10

A MAYOR FRECUENCIA MAYOR ABSORCIÓN Y MENOR T:

11

ABSORCIÓN TOTAL DE UN RECINTO

CAMPO DENTRO DE UN RECINTO:

constante de la sala

( ) ( ) ( ) 2H2H r4

W,)θ,r(θQ,RQ

41r

R4

r4Q total

isoiso π

=θπ

=→=πθ

=II

I

11 ,S α

33 ,S α

22 ,S α∑ α=α

iii

_S

S1 [ ] 2

_mASA =α=

( ) ( )

+

πθ

ρ=ρ

+π

θρ=

R4

r4QWc

RWc4

r4QWcp 22total

2

directo reverberanteα−α=

1SR

radio de reverberación

( )

+

πθ+=

R4

r4Qlog10LL 2Wp si α << 1 ASR =α≈

factor de directividad intensidadisotrópica

10

potencia entranteW WW <<α

Campo muyreverberante

W≈

potencia entranteW Wα

Campo pocoreverberante

( )α−1W

poca absorción α < < 1 mucha absorción α ~ 1

SA,AcW4p2 α=ρ

=α−

α=

ρ=

1SR,

RcW4p2

En el momento t=0 una fuente empieza emitir en una sala ( V= 300 m3, A= 10 m2) con el nivel de potencia 90 dB. Cuando el nivel de la presión llega a 82 dB la fuente se apaga. Calcular el tiempo total desde el principio de la emisión hasta el momento cuando el nivel de la presión desciende a 60 dB.

16.0A

Wc4p 2est =

ρ=

( ) 063.01010·20p 1082

26282 == −

178.0

pp1

1ln21t,417.1

V8Ac

2est

282

1 =

−δ

===δ

( ) ( )( )t2exp1ptp 2est

2 δ−−=

( )12est

282 t2exp1

pp

δ−−=

788.110ln21t 10

6082

2 =

δ

=−

966.1tt 21 =+13

31090

122

estdif 101010WS

c4pWSI −− ===αρ

→=α

( )2282

260 t2exp

pp

δ−= ( )2260

282 t2exp

pp

δ=

14

En una pequeña habitación 3 x 3 x 3 m se encuentra una fuente de ruido con una potencia sonora de 1 μw a 1 kHz. Inicialmente el suelo es de baldosa (α = 0.1 a 1 kHz), las paredes y el techo son de yeso (α = 0.1 a 1 kHz).Con el fin de reducir la reverberación hemos cubierto el techo con unas placas (α = 0.7 a 1 kHz) y el suelo con una moqueta (α = 0.7 a 1 kHz ). Calcular el nivel a 0.5 m y a 2 m de la fuente en ambos casos.

15

Por encima de la frecuencia de Schroeder el campo dentro de un recinto se hace difuso. A cualquier punto le llegan ondas aleatoriamente desde todas las direcciones con la misma intensidad y se suman como no coherentes. El nivel es el mismo en todo el recinto salvo las proximidades de las fuentes y paredes:

3 dB

directo, 6 dB/oct

reverberante rH

Lp

log rrH

total

campo próximo

fuente

absorciónmenor

16

¿en qué zonas del campo sonoro se han registrado las siguientes caídas de nivel?

Una fuente omnidireccional emite dentro de un recinto. El radio de reverberación rH es igual a 3 m. ¿A qué distancia de la fuente hay que alejarse para recibir el nivel de la presión acústica que supera en 1 dB el nivel de reverberación? ¿en 5 dB?

585.110a

r41

r41

r41

r41

102

2H

2

2H

2H ===

π+

π

π+

π

17

( )

+

πθ

ρ=R4

r4QWcp 2total

2

directo reverberante

El nuevo nivel será 2 dB menos que a distancia rH, porqueL (rH) = L_REV + 3 dB. Por tanto :

Dividiendo entre

y despejando r”:

2Hr4

1π

862.51

a2rra

1rr

2 H

2

2H

=−

=→=+

037.2r631.010a"dB5" 102

=→==→−

18

MODELOS DEL TIEMPO DE REVERBERACIÓNLa fórmula de Sabine se basa en el modelo delcampo difuso y vale solo para pequeñasabsorciones. Por ejemplo, si α = 1, físicamente T = 0(no hay reflexiones), pero según la fórmula T > 0 .

V4Scn=

Otro modelo de EYRING utiliza el concepto de “recorrido libre” de unosrayos o “partículas sonoras:

Supongamos que dentro del recinto hay una sola “partícula sonora”,con una energía acústica E0. Entonces la densidad de energía será:e = E0/V. Supongamos también que durante 1 s esta partícula realiza enpromedio “n” choques contra las paredes. La energía incidente sobretoda la superficie del recinto durante 1s será :

∑ α=

kkSV163.0T

Dividiendo el recorrido total durante 1 sentre n llegamos al recorrido entre dosreflexiones seguidas: S

V4ncL ==

por una parte: SV4cES

4ceSI 0

dif ==por otra parte:0En

por tanto: Si hay NN partículas, ambas partes de esta ecuacióncrecerán NN veces, sin alterar la fórmula.

19

La energía de la partícula (rayo) se reduce en cada reflexión, multiplicándosepor (1 – α), siendo α el coeficiente de absorción igual en todas las paredes.Después de N reflexiones, transcurriendo el tiempo t, la energía de la partículaserá:

( ) ( ) ( ) ( )τ

−α−==α−=α−=

t

01ln

Ltc

0Ltc

0N

0 eEeE1E1EtE

Podemos decir lo mismo sobre la densidad de la energía de todo el recinto.Respectivamente

( )α−−=τ

1lncL

siendo

( ) →−=τ

−→= −τ−

10ln·6T10e 6T

Ahora si α = 1, se cumple T = 0. Para α << 1:y la fórmula de Eyring se transformaen la de Sabine.

( ) α≈+α

+α

+α=β=α−− ...32

1ln32

α = 0.2 β = 0.22 α =0.3 0.357, si α 1, β inf , T 0

fórmula de Eyring

FÓRMULA DE EYRINGSuponiendo el mismo coeficiente de absorción para todas las superficies

( ) ( )( )[ ] =α−−

=τ=1ln

Lc

10ln610ln6T

( )( )[ ] ( )[ ]α−−

=α−−

=1lnS

V163.01lnS

Vc

10ln24

8.13

20

21

Binomio (de Newton)

triángulo de Pascal

( ) !kn!k!nCk

n −==

kn

por ejemplo: 103·2·1·2·15·4·3·2·1

!3!2!5

25

===

( ) ∑=

−=+N

0N

NNNNN

N

1

11

1yxyx C

Coeficientes binomiales: número de diferentes subconjuntos compuestos por de k elementos (combinaciones sin importar el orden dentro) que se pueden elegir de un grupo de n números

CCCCCCCCC

CCCCC

C

44

34

24

14

04

33

23

13

03

22

12

02

11

01

00

146411331

12111

1

22

( ) ( ) knknk p1pC −−

Distribución binomial o de Bernoulli

1. En cada prueba sólo son posibles dos resultados: éxito con la probabilidad pfracaso con la probabilidad 1-p

2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores. 3. La probabilidad del éxito es constante y por tanto no varía de una prueba a otra.

coeficiente binomial = número de modos en los que se puede escoger k

objetos de un total de n( ) !kn!k

!nCnk −==

Probabilidad de obtener k éxitos de n intentos:

siendo

kn

23

Para una variable aleatoria discreta con valores posibles x1, x2…xn y sus probabilidades p(xi) la esperanza (el valor de máxima probabilidad) es:

( ) ( ) ( ) ( )∑=

=++=n

1iiinn11 xpxxpx...xpxXE

puntos1x

puntos2x

puntos3x

veces1N

veces2N

veces3N

Tiramos una bola N veces. Cada vez la bola entra necesariamente en uno de los tres agujeros:

Calculamos el valor medio de puntos en un tiro:

3322113

32

21

1332211 pxpxpx

NNx

NNx

NNx

NNxNxNxx ++=++=

++=

N = N1+N2+N3

puntos que se obtienenal entrar en cada agujero

24

FÓRMULA DE EYRING Coeficiente de absorción es individual para cada superficie

( ) ∑=

−=+N

0N

NNNNN

N

1

11

1baba C

Supongamos que en la superficie total de la sala S =S2+S1 se producen N reflexiones.

( )11

1

NN2

N1N

N1 SS

SSNp C

−

=

Según la distribución binomial (pág.ant), la probabilidad deque se producen N1 reflexiones en S1 y el resto en S2 es:

La energía del rayo después de este suceso: ( ) ( ) ( ) 11 NN2

N1inicial1 11eNe −α−α−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=

==++++=N

0N11N

1

NpNeNpNe...2p2e1p1e0p0ee

( ) ( ) ( ) ( ) =

α−+α−=

α−

α−= ∑

=

−N

0N

N2

21

1inicial

NN2

2

N1

1NNinicial

1

11

1 SS1

SS1e

SS1

SS1e C

τ−=

α−=

α−=

α−=

−−− texpe1lnLtcexpe1lnNexpe1e inicialinicialinicial

N

inicial

SSS 2211 α+α

=α−

( ) ( )

α−−

=

α−−

=

α−−

=τ=∑−−

SS

1lnS

V163.01lnS

V163.01ln

Lc

10ln610ln6Tkk

Las superficies actúan EN PARALELO. Alguna superficie quizás no actúa nunca.

Las N reflexiónes se pueden producir de (N +1) maneras: (0,N), (1,N-1), (2,N-2)….Posibles valores de N1 son: 0,1,2,3 . . . . N. Por tanto la esperanza de la energía “e”:

Probabilidad de reflexión en S1 esSS1 , probabilidad de reflexión en S2 es

SS2

SV4L=

→

α−

−=τ−

1ln·c

L

25

Ahora en vez de calcular probabilidades supongamos con certeza que en cadasuperficie S1,S2,... se producen, respectivamente N1=N·S1/S, N2=N·S2/S, …reflexiones.En total N = N1 + N2 + … reflexiones. Cualquier rayo se refleja en cada superficie, unatras otra. Es decir, las superficies actúan EN SERIE.

siendo:

Las superficies actúan EN SERIE. Si alguna superficie no refleja, el rayo muere.

FÓRMULA DE MILLINGTONCoeficiente de absorción individual para cada superficie

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) =

α−=

α−

α−=

=

α−

α−=α−α−=

∑ kkinicial22

11

inicial

SSN

1SSN

1inicialSSN

2SSN

1inicial

1lnSSNexpe...1ln

SSNexp1ln

SSNexpe

...1lnexp1lnexpe...11ete2121

( )∑ α−−=τ

kk 1lnScV4

( ) ( )( ) ( )∑∑ α−−

=α−−

=τ=kkkk 1lnS

V163.01lnSc

V4·10ln610ln6T

V4tc

SLtcN == ( ) =

α−= ∑ kkinicial 1lnS

SLtcexpe

( ) ·e1lnSV4tcexpe inicialkkinicial =

α−= ∑

τ−

texp

26

Resumen de las fórmulas para el tiempo de reverberación

∑ α=

kkSV163.0T

α−−

=∑

SS

1lnS

V163.0Tkk

( )∑ α−−=

kk 1lnSV163.0T

Sabine:

Eyring:

Millington:

Vale para α pequeños (<0.2). Las superficies actúanen paralelo, “simultáneamente”. Actúan todas, ponde-radamente de acuerdo son su area.

Parece razonable dividir toda la superficie en macrozonas. Dentro de cada macrozona sumar en paralelo, luego sumar las macrozonas en serie (Cremer, 235).

Atenuación del aire: añadir en el denominador: 4mV . La constante m depende de la frecuencia, temperatura y humedad.

Vale para cualquier α. Las superficies actúan en serie, una tras otra. Actúan todas, ponderadamente. Puesto que en esta fórmula ninguno de αk puede ser igual a 1, hay que unir la superficie correspondiente con otra, menos absorbente, calculando α medio entre ellas.

Vale para cualquier α. Las superficies actúanen paralelo, “simultáneamente”. La probabi-lidad de actuación ponderada.

27

Modelos de Sabine, Eyring y Millington

El modelo de Sabine supone la absorción continua. Este supuesto es válido para poca absorción y muchas reflexiones que permiten pasar de las reflexiones discretas al proceso contínuo. El modelo de Eyring acepta el carácter discreto de las reflexiones.

Tanto Sabine como Eyring se aplican para la distribución mas o menos uniforme de la absorción por el recinto (para poder hablar de un coeficiente promedio de la absorción).

Para la distribución de la absorción muy heterogenea el mejor es el modelo de Millington. El problema de la fórmula de Millington es la imposibilidad de ser igual a 1 el coeficiente de absorción (por muy pequeña que sea la superficie).

En general, para pequeñas absorciones (teatros, salas de concierto, aulas) todos los modelos funcionan bien. Para los coeficientes medios de absorción la fórmula de Eyring es la más próxima a las medidas reales. Y en salas muy heterogéneas funciona bien la fórmula de Millington.

28

20º C ISO 9613-1

m – constante de atenuación del sonido en el aire

Vm4AV163.0TR

+=

( ) ( ) xme0x −= II

( ) ( ) ( )dBxm34.40x −=LL

Ejemplo:20% de humedad8 kHz m = 0.05 V = 100 m3

la absorción adicional será : 4mV = 20 m2

m1

Atenuación del sonido en el aire

29

DIFUSIÓN

luz directa luz difusa

30

DIFUSIÓNCon difusores conseguimos la distribución uniforme de energía

en tiempo en espacio

dir ref

dir ref

31

IRREGULARIDADES DE UNA PARED

λ≈dλ<<d λ>>d

Fig. 2.15 del libro de Heinrich Kuttruff “Room Acoustics” Fifth Edition

32

Superficies reflectantes cóncavas ayudan a la difusión.

DIFUSIÓN

Beethovenhalle, Bonn, Alemania 33

34

35

36

37

DIFUSOR MLS (máximum-length sequence)Período = 2n - 1

Chapa metálica doblada para formar MLS secuencia para comprobar la difusión de ondas de 3 cm de longitud (n = 4, 2n – 1 =15 términos de la secuencia )

profundidad de las ranuras

reflexión difusa

reflexión especular

4λ

2λ

4λ

2λ

http://www.ruvegaudio.com/images/pdf/MLS.pdf

38

Antony Carrión Isbert “Diseño acústico de espacios arquitectónicos”Edicions UPC, 1998

39

Maximum Length Sequence diffusorSecuencia binaria, compuesta por +1 y -1. Son señales deterministas, pero con las propiedades aleatorias.

40

DIFUSORES MLS (maximum length sequence) Estructura Pseudo-aleatoria .

41

Pasando al siguiente estado los valores de las celdas AB se desplazan a la derecha (convirtiéndose a BC), y en la celda A entra el valor XOR(A,C) (circuito izquierdo) o XOR(B,C) (circuito derecho) .

Tabla del operador lógico XOR

A B C A B C

XOR XOR

7123 =−

42

Quadratic-Residue Diffusor = Difusores de Residuos Cuadráticos

43

p = 17

p = 89

http://www.subwoofer-builder.com/qrd.htm

QRD

( )== pmodns 2n

Antony Carrión Isbert “Diseño acústico de espacios arquitectónicos”Edicions UPC, 1998

n – número entero p – número primo

CÁLCULO DE LA PROFUNDIDAD RELATIVADE LAS RANURAS DE UN DIFUSOR QRD :

A cada p le corresponde su n_max = el período del difusor

resto de la división de n2 entre p

46

Acoustic Absorbers and DiffusersTheory, design and applicationTrevor J. Cox, Peter D’AntonioEd. Taylor and Francis, 2009

47

Las ondas que se propagan dentro de las ranuras tienen que ser planas, por tanto la frecuencia superior se determina a partir de:

max

min

f2c

2w =

λ= siendo w = ancho de las ranuras

c = velocidad del sonido

La profundidad de las ranuras:

ps

f2cd n

minn =

Podemos elegir la profundidad dn máxima (a partir del volumen de la sala) y buscar p adecuado para tener fmin deseada (según la gráfica)

( )pmaxsn

p

O, bien elegir la fmin y buscar p adecuado para tener la dn(max) deseadaTambién podemos elegir la p de acuerdo con la fórmula:

mff2pmin

max=

siendo m (número entero) el “grado de difusión” == número de los máximos en el diagrama de difusión

48

89p=

17p=QRD

49

50

51

The Cinerama in Seattle, WA with a diffusingceiling (photo courtesy University of Salfordand Harris-Grant Associates)

Optimised curved surface in the Edwina Palmer Hall, Hitchin, UK (photo courtesy Arup Acoustics)

52

53

COEFICIENTE DE ABSORCIÓN

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

125 250 500 1K 2K 4K

frecuencia

coef

icie

nte

de a

bsor

ción ladrillo

hormigónvidriomoquetalana mineraltela terciopeladatecho acústicoasiento vaciopersona sentada

54

De los parámetros que determinan las propiedades acústicas de unrecinto TR es el parámetro más importante (aunque no el único):

1) se mide y se predice con precisión y sencillez;2) no depende mucho de la posición dentro del recinto;3) se encuentran muchos datos sobre TR en muy diferentes recintos,

permitiendo una orientación sólida a la hora de diseño.

El umbral de sensibilidad auditiva con respecto al valor de TR: unos 4 %Recintos para la voz 0.5<TR<1 s: la reverberación mínima para evitarenmascaramiento de un fonema con el otro, pronunciado antes, y asítransmitir todos los detalles de la palabra. Pero tampoco nula paraaportar a la voz sonoridad y naturalidad necesarias (comparar con laincomodidad de escucha en exteriores o en cámara anecóica).Recintos para la música 1<TR<2.5 s: aquí los detalles sobran. Importamucho la sonoridad. Estamos acostumbrados escuchar música conestos TR. TR óptimo depende del tipo de música: (Kuttruff, pag. 234)

1.5 s para Mozart y 2.1 s para Brahms (opinión de gran cantidad de gente)Opera: tendencia de alargar TR ( no importa mala inteligibilidad:

idiomas originales, texto traducido por pantalla)

Uso de la sala T60 (s)Teatro y palabra

hablada 0.4 - 1

Música de cámara 1 - 1.4Música orquestal 1.5

Ópera 1.6 - 1.8Música coral y sacra hasta 2.3

55

salas "afinables"

56

57

TIEMPOS DE REVERBERACIÓN

Kuttruff. Room Acoustics

58

INTEGRACIÓN DE SCHROEDER

( ) ( ) t2

t

t2

t

2 e21dtedttptS δ−

∞δ−

∞

δ=== ∫∫

Suponiendo una caída exponencial de la presión acústica, la curva “integral de Schroeder” en función del tiempo tiene la misma pendiente que la misma caída:

La ventaja de la curva integrada consiste en su suavidad en comparación con la caída original.

La integración numérica de la caída experimental necesita una corrección del ruido de fondo que interviene en la parte final de la caída.

Luego se calcula la pendiente de la recta a partir de la parte inicial de la caída:de -5 dB a -35 dB

Como señal de excitación suelen utilizar un ruido aleatorio o señal MLS (señal pseudo- aleatoria).

59

RECIPROCIDAD DE AUDICIÓN ENTRE DOS RECINTOSEs posible que no se cumple, si las absorciones son muy diferentes.

cuarto de baño dormitorio

1 2

ambas personas hablan con la misma potencia sonora

sin grifo de agua con grifo de agua

seoye

seoye

seoye

no seoye

L11

L21L12

L22

LRUIDO_1

LRUIDO_2

La causa: no linealidad del fenómeno “enmascaramiento”

60

61