Demonstrando uma intuição equivocada∗O uso da Lógica e da Computação na Lingüística†

Luiz Arthur Pagani (UFPR)arthur@ufpr.br

http://people.ufpr.br/�arthur

1 Introdução

Em um artigo anterior nesta Revista Letras (GONÇALVES; PAGANI, 2004),na tentativa de desquali�car, no processamento lingüístico, uma mudança ca-tegorial da palavra past em duas derivações diferentes, que supostamente de-veriam explicar a eliminação do efeito labirinto da sentença The horse racedpast the barn fell,1 os autores a�rmam que �a mudança da preposição, de((S\NP )\(S\NP ))/NP para (NP\NP )/NP , não se mostra problemáticaapós a escolha da categoria de raced, já que, sendo a primera a represen-tação de uma categoria de adjunto adverbial e a segunda a representaçãode uma categoria de adjunto adnominal, a escolha feita em raced determinaautomaticamente qual das duas versões de análise para a preposição deve serescolhida. As regras da divisão R5 e R6 (Borges Neto, 1999, 56) parecem dar

∗O presente texto foi preparado no sistema LATEX, através de sua implementação paraLinux � o TeTEX� e de um programa de integração (IDE ) � o Kile �, tudo issoinstalado em computadores funcionando com o sistema operacional Kurumin, dentro dasdiretrizes do chamado software livre. Expresso assim o meu reconhecimento à enormeequipe anônima que desenvolve todos esses recursos.

†Texto submetido à Revista Letras.1O termo labirinto está traduzindo aqui o termo em inglês gargen-path, empregado

em expressões como garden-path sentence e garden-path e�ect, que, na psicolingüística,designa di�culdades de processamento, como a do famoso exemplo mencionado na citaçãoacima; em português, um exemplo de labirinto é O navio angolano entrava no porto o naviobrasileiro, na qual a forma entrava tende a ser interpretada como o pretérito imperfeitodo verbo entrar, e não como o presente do verbo entravar, causando uma di�culdade deintegração do objeto direto o navio brasileiro, já que entrar não é transitivo direto.

1

conta da mudança, já que é plausível que ela se aplique apenas ao funtor enão ao argumento, da mesma forma como se pode dividir, num divisor com-posto, o seu divisor e o seu dividendo por um mesmo número, sem que sefaça a mesma divisão no dividendo principal (ou seja, a operaçcão (2/3)/5é equivalente à operação ((2/7)/(3/7))/5.� (GONÇALVES; PAGANI, 2004,191, n. 22).

No entanto, diferentemente da intuição inicial dos autores, a derivação dacategoria ((S\NP )\(S\NP ))/NP a partir da categoria (NP\NP )/NP (aocontrário também do que sugeria a redação da nota mencionada) não podeser obtida numa Gramática Categorial que respeite os princípios tradicionaisde demonstração lógica.

Assim, o objetivo do presente artigo é demonstrar essa inderivabilidade.Curiosamente, apesar do objetivo modesto, a demonstração exigirá a apre-sentação de alguns recursos formais, desenvolvidos na Lógica, que são em-pregados nas Gramáticas Categoriais, com os quais os lingüistas estão poucofamiliarizados. Isso será feito na seção 2; depois dela, apresentaremos as de-rivações possíveis para as divisões compostas, na seção 3. A demonstraçãoda inderivabilidade será feita na seção 4, e depois dela apresentaremos naseção 5 um demonstrador implementado em Prolog, que também con�rmacomputacionalmente a inderivabilidade. O artigo termina com as conclusõesa que se pôde chegar depois de tudo o que será apresentado aqui (seção 6).

2 Cálculo de seqüentes do Lambek

Para a demonstração que se pretende fazer aqui, será empregada uma partedo cálculo de seqüentes de Gentzen, usado pelo Lambek (1958) para de�nirsua axiomatização da Gramática Categorial, mas recorremos à sua apresen-tação feita por Carpenter (1997, 140�150).2

Na Lógica, os seqüentes são fórmulas do tipo Γ ⇒ φ, que são normalmenteinterpretados como `a proposição φ pode ser provada (ou demonstradda) a

2A regra de corte (cut) não será apresentada aqui porque, além de ser desnecessária paraos propósitos do presente artigo, ela é desnecessária de uma forma geral (como o próprioCarpenter (1997, 150�153) demonstrou); como estamos interessados também apenas naparte sintática, desconsideraremos sua parte semântica. Uma apresentação mais simplesdas Gramáticas Categoriais foi feita por Wood (1993, 34), e uma apresentação deste mesmocálculo, inclusive com uma implementação em Prolog na qual me inspirei para elaboraro demonstrador da seção 5, já havia sido proposta por Moortgat (1988); em português,temos a introdução de Borges Neto (1999).

2

partir da seqüência de proposições em Γ'; o termo Γ, anterior ao símbolode demontração, é chamado de antecedente, e o termo φ, posterior a estesímbolo, é chamado de conseqüente.3

No uso que Lambek faz da Lógica, o que normalmente seriam proposiçõese conjuntos de proposições passam a ser reinterpretados como categorias eseqüências de categorias.4 Assim, por exemplo, pode-se representar o fato deque uma expressão da categoria N seguida de uma expressão da categoriaN\S resulta numa expressão da categoria S através do seqüente N, N\S ⇒S.

A parte do cálculo que nos interessa aqui pode ser representada pelosseguintes esquemas de derivação de seqüentes:

1. Id

A ⇒ A

2.∆ ⇒ B Γ1, A, Γ2 ⇒ C

/A

Γ1, A/B, ∆, Γ2 ⇒ C

3.∆ ⇒ B Γ1, A, Γ2 ⇒ C

\AΓ1, ∆, B\A, Γ2 ⇒ C

4.Γ, A ⇒ B

/C

Γ ⇒ B/A[Γ não vazio]

5.A, Γ ⇒ B

\CΓ ⇒ A\B

[Γ não vazio]

3A notação mais comum na Lógica para os seqüentes talvez seja Γ ` φ; como observao próprio Carpenter (1997, 140), o símbolo ⇒ é mais empregado na Computação. Voupreferir este último exatamente por este motivo: na implementação do demonstrador emProlog, apresentado na seção 5, é bem mais simples de�nir um operador mais parecidocom ⇒ do que com `.

4Essa reinterpretação foi motivada pela semelhança entre o esquema de dedução domodus ponens (p, p → q ⇒ q) e os esquemas de simpli�cação categorial (X/Y, Y → X eY, Y \X → X). Usaremos aqui a notação categorial do Lambek, ao contrário da notaçãodo Steedman usada por Gonçalves e Pagani (2004); assim, ao invés de NP usaremosN e qualquer categoria X\Y será escrita como Y \X (sobre diferenças notacionais nasGramáticas Categoriais, ver as observações de Wood (1993, 11)).

3

Id Id

N ⇒ N S ⇒ S

\AN, N\S ⇒ S

Figura 1: Demonstração de que N, N\S ⇒ S

Nestes esquemas, os seqüentes que aparecem acima da barra horizontalsão chamados de premissas e o seqüente que aparece abaixo é chamadode conclusão; através deles, é possível demonstrar que a partir de umaseqüência de premissas se chega uma conclusão.5 Assim, de volta ao nossoexemplo, a demonstração de que efetivamente uma expressão da categoriaN seguida de uma expressão da categoria N\S resulta numa expressão dacategoria S pode ser representada pela derivação apresentada na �gura 1.

Para fazer esta derivação, empregou-se o esquema 3, com Γ1 = ∅, ∆ = N ,B = N , A = S, Γ2 = ∅ e C = S. Como todos os ramos desta derivaçãoterminam no axioma da identidade (1), esta derivação é uma demonstração.

Mais importante do que demonstrar que N, N\S ⇒ S (o que, do pontode vista de um lingüista, poderia ser mais simplesmente demonstrado atravésda dedução natural de Prawitz, ao invés do cálculo de seqüentes, de acordocom a discussão feita por Pagani (2004)), esse tipo de demonstração servemais claramente para testar o tipo de a�rmação feita sobre a relação entre ascategorias (N\N)/N e ((N\S)\(N\S))/N (que são as versões, na notaçãode Lambek, para as categorias (NP\NP )/NP e ((S\NP )\(S\NP ))/NP ,empregadas por Gonçalves e Pagani (2004)).

Através desse tipo de derivação é possível, por exemplo, demonstrar quea regra R4 (a chamada regra de promoção de tipo � type raising) é válida,como se pode ver na �gura 2. Em 2(a), X ⇒ Y/(X\Y ) é transformado emX, X\Y ⇒ Y , através do esquema 4, com Γ = X, B = Y e A = X\Y ;depois, a aplicação do esquema 3, para Γ1 = ∅, ∆ = X, B = X, A = Y ,Γ2 = ∅ e C = Y , termina a demonstração em duas instâncias do axioma da

5Ao contrário das demonstrações nos cálculos clássicos (o proposicional e o quanti�-cacional (MORTARI, 2001, 63)), que partem de um conjunto de premissas, o cálculo deseqüentes se caracteriza como uma Lógica Linear, na qual a ordem das premissas é rele-vante.

4

(a)

Id Id

X ⇒ X Y ⇒ Y

\AX, X\Y ⇒ Y

/C

X ⇒ Y/(X\Y )

(b)

Id Id

X ⇒ X Y ⇒ Y

/A

Y/X, X ⇒ Y

\CX ⇒ (Y/X)\Y

Figura 2: Demonstrações para a regra R4

identidade. Em 2(b), X ⇒ (Y/X)\Y é primeiro tranformado em Y/X, X ⇒Y , através do esquema 5, para Γ = X, A = Y/X e B = Y , que, agora pelaaplicação do esquema 2), com Γ1 = ∅, A = Y , B = X, ∆ = X, Γ2 = ∅ eC = Y , nos leva a duas instâncias do axioma da identidade, encerrando comsucesso a demonstração.

3 Demonstração da divisão generalizada

A �m de demonstrar quais são as possíveis aplicações das regras de divisãoa uma categoria complexa que é parte de uma categoria também complexa,mas que só toma um argumento posterior simples,6 do tipo (X/Y )/Z ou(X\Y )/Z, recapitularemos aqui as demonstrações das regras de divisão R5e R6.7

6Como, no caso que nos interessa especi�camente aqui, a função principal só tomaseu argumento depois do funtor ((N\N)/N e ((N\S)\(N\S))/N) e este argumento não écomplexo, não apresentaremos as demonstrações dos outros casos possíveis da generaliza-ção (quando o argumento é que fosse complexo); no entanto, o leitor que compreender asdemonstrações apresentadas poderá facilmente executar estas outras demonstrações.

7Na Gramática Categorial Clássica, R5 e R6 são os nomes atribuídos por Moortgat(1988) a duas regras que podem ser deduzidas no cálculo do Lambek, que é o que seráfeito a seguir; estas regras são representadas, respectivamente, pelos seguintes pares de

5

3.1 Demonstração de R5

A regra R5 é uma regra unária que se aplica a uma categoria complexa(do tipo X/Y ou Y \X), tornando o resultado ainda mais complexo peloacréscimo de uma mesma categoria em ambos os lados do conectivo. Aidéia, como já foi mencionado, é a mesma que a das frações: se dividirmos onumerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, a fraçãoresultante será equivalente.

Aplicando os esquemas de derivação e os procedimentos exempli�cadosna demonstração da promoção de tipo, ambos apresentados na seção 2, po-demos demonstrar a validade de X/Y ⇒ (X/Z)/(Y/Z), como se pode ver na�gura 3(a). Nesta derivação, a fórmula X/Y ⇒ (X/Z)/(Y/Z) é tranformadaprimeiro em X/Y, Y/Z ⇒ X/Z e depois em X/Y, Y/Z, Z ⇒ X, atravésde dois usos consecutivos do esquema 4, e depois se chega aos axiomas deidentidade por dois usos também consecutivos do esquema 2.

A demonstração de Y \X ⇒ (Z\Y )\(Z\X) é apresentada na �gura 3(b).Semelhantemente ao caso anterior, dois usos consecutivos do esquema 5, tran-formam a fórmula Y \X ⇒ (Z\Y )\(Z\X) primeiro em Z\Y, Y \X ⇒ Z\X edepois em Z, Z\Y, Y \X ⇒ X. Ainda como antes, o esquema 3 usado duasvezes seguidas revela os axiomas de identidade, encerrando a demonstração.

3.2 Demonstração de R6

Como a regra R6 também é uma regra unária, com as mesmas condiçõesde aplicação que R5, a demonstração de suas duas versões será bastantesemelhante às duas demonstrações anteriores. Mas ainda que aqui tam-bém comecemos com dois usos consecutivos dos esquemas que operam noconseqüente, a difença agora é que teremos em cada um deles uma funçãotomando argumentos para lados distintos.

Na �gura 4(a), a demonstração começa tranformando a fórmula X/Y ⇒(Z/X)\(Z/Y ) em Z/X, X/Y ⇒ Z/Y , através do esquema 5, e depois emZ/X, X/Y, Y ⇒ Z, pelo esquema 4. A seguir, esta fórmula é reduzida duasvezes pelo esquema 2, encerrando a demonstração com sucesso.

Para a demonstração de Y \X ⇒ (Y \Z)/(X\Z), na �gura 4(b), esta fór-mula é primeiro tranformada em Y \X, X\Z ⇒ Y \Z, através do esquema 4,

fórmulas: X/Y ⇒ (X/Z)/(Y/Z) e Y \X ⇒ (Z\Y )\(Z\X), e X/Y ⇒ (Z/X)\(Z/Y ) eY \X ⇒ (Y \Z)/(X\Z). Como já foi dito, estou me restringindo aqui apenas à partesintática das regras.

6

(a)

Id Id

Y ⇒ Y X ⇒ X

Id /A

Z ⇒ Z X/Y, Y ⇒ X

/A

X/Y, Y/Z, Z ⇒ X

/C

X/Y, Y/Z ⇒ X/Z

/C

X/Y ⇒ (X/Z)/(Y/Z)

(b)

Id Id

Y ⇒ Y X ⇒ X

Id \AZ ⇒ Z Y, Y \X ⇒ X

\AZ, Z\Y, Y \X ⇒ X

\CZ\Y, Y \X ⇒ Z\X

\CY \X ⇒ (Z\Y )\(Z\X)

Figura 3: Demonstrações para a regra R5

7

(a)

Id Id

X ⇒ X Z ⇒ Z

Id /A

Y ⇒ Y Z/X, X ⇒ Z

/A

Z/X, X/Y, Y ⇒ Z

/C

Z/X, X/Y ⇒ Z/Y

\CX/Y ⇒ (Z/X)\(Z/Y )

(b)

Id Id

X ⇒ X Z ⇒ Z

Id \AY ⇒ Y X, X\Z ⇒ Z

\AY, Y \X, X\Z ⇒ Z

\CY \X, X\Z ⇒ Y \Z

/C

Y \X ⇒ (Y \Z)/(X\Z)

Figura 4: Demonstrações para a regra R6

e depois em Y, Y \X, X\Z ⇒ Z, pelo esquema 5. Recorrendo-se duas ve-zes ao esquema 3, para quando a função está no antecedente e toma umargumento anterior, a demonstração é encerrada com successo.

3.3 Demonstração das generalizações pertinentes

Se nos ativermos apenas ao padrão (X\Y )/W da categoria (N\N)/N (que éa categoria mais básica que deveria resultar na suposta ((N\S)\(N\S))/N),8e se considerarmos ainda que, neste caso, só poderíamos aplicar R5 e R6 àparte inicial deste padrão (Y \X), chegaríamos somente a duas possibilida-

8A impossibilidade de se provar ((N\S)\(N\S))/N ⇒ (N\N)/N pode ser comprovadapela seguinte derivação:

8

des: (Y \X)/W ⇒ ((Z\Y )\(Z\X))/W (aplicação de R5) e (Y \X)/W ⇒((Y \Z)/(X\Z))/W (aplicação de R6).

A demonstração do primeiro caso aparece na �gura 5. Nela, a fórmula(Y \X)/W ⇒ ((Z\Y )\(Z\X))/W é transformada em (Y \X)/W, W ⇒(Z\Y )\(Z\X) através do esquema 4, e depois desmembrada numa instân-cia do axioma da identidade e na fórmula Y \X ⇒ (Z\Y )\(Z\X), pelo es-quema 2. A seguir, esta última fórmula é transformada primeiro em Z\Y ,Y \X ⇒ Z\X e depois em Z, Z\Y, Y \X ⇒ X, por dois usos consecutivosdo esquema 3, que terminam a demonstração em três outras instâncias domesmo axioma da identidade.

Na �gura 6, vemos a demonstração de (Y \X)/W ⇒ ((Z\Y )\(Z\X))/W .Ela começa com a aplicação do esquema 4, levando à fórmula (Y \X)/W, W⇒ (Z\Y )\(Z\X), que depois é separada pelo esquema 2 numa instância doaxioma da identidade e na fórmula Y \X ⇒ (Z\Y )\(Z\X). Uma série deduas aplicações do esquema 5 transforma esta última fórmula primeiro emZ\Y, Y \X ⇒ Z\X e depois em Z, Z\Y, Y \X ⇒ X. A demonstraçãotermina com sucesso em mais três instâncias do axioma da identidade depoisde mais duas aplicações do esquema 3.

Como se pode perceber, nenhuma das duas fórmulas ((Y \X)/W ⇒((Z\Y )\(Z\X))/W e (Y \X)/W ⇒ ((Y \Z)/(X\Z))/W ) que regulamentama aplicação da idéia de dividir, no dividendo composto de uma fração,9 o seu

Id ×N ⇒ N N, (N\S)\(N\S)

/A

N, ((N\S)\(N\S))/N, N ⇒ N

\C

((N\S)\(N\S))/N, N ⇒ N\N/C

((N\S)\(N\S))/N ⇒ (N\N)/N

Observe que aqui, ao contrário das outras derivações no texto, preferi reduzir comple-tamente a categoria no conseqüente, para só depois reduzir as categorias no antecedente;essa diferença, no entanto, só afeta a ordem de apresentação da derivação, não alterandoem nada os resultados obtidos.

9Vale aqui também uma pequena observação sobre a confusão dos nomes das partes deuma divisão: na nota referida no início do texto, se dizia �dividir, num divisor composto,o seu divisor e o seu dividendo por um mesmo número, sem que se faça a mesma divisãono dividendo principal�; no exemplo apresentado, porém, a divisão pelo mesmo número éfeita no dividendo composto: �a operação (2/3)/5 é equivalente à operação ((2/7)(3/7))/5�.Numa divisão, o dividendo é o número que será dividido (e que �ca acima do traço da

9

Id Id

Y ⇒ Y X ⇒ X

Id \AZ ⇒ Z Y, Y \X ⇒ X

\AZ, Z\Y, Y \X ⇒ X

\CZ\Y, Y \X ⇒ Z\X

Id \CW ⇒ W Y \X ⇒ (Z\Y )\(Z\X)

/A

(Y \X)/W, W ⇒ (Z\Y )\(Z\X)

/C

(Y \X)/W ⇒ ((Z\Y )\(Z\X))/W

Figura 5: Demonstração da aplicação de R5 à função subordinada

Id Id

X ⇒ X Z ⇒ Z

Id \AY ⇒ Y X, X\Z ⇒ Z

\AY, Y \X, X\Z ⇒ Z

\CY \X, X\Z ⇒ Y \Z

Id /C

W ⇒ W Y \X ⇒ (Y \Z)/(X\Z)

/A

(Y \X)/W, W ⇒ (Y \Z)/(X\Z)

/C

(Y \X)/W ⇒ ((Y \Z)/(X\Z))/W

Figura 6: Demonstração da aplicação de R6 à função subordinada

10

dividendo e o seu divisor ambos por um mesmo número é semelhante à fór-mula (N\N)/N ⇒ ((N\S)\(N\S))/N , que representaria a suposta relaçãoentre (N\N)/N e ((N\S)\(N\S))/N .

Na comparação com a primeira, a ordem dos conectivos é a mesma emambas as fórmulas, mas as categorias que são introduzidas na parte direitada fórmula (Z e S), depois do⇒, não se equiparam: o Z aparece antes do \,na primeira, enquanto o S vem depois, na segunda, como podemos observarlogo abaixo.10

(Y \ X) / W ⇒ ((Z \ Y ) \ (Z \ X)) / W(N \ N) / N ⇒ ((N \ S) \ (N \ S)) / N

Na comparação com a segunda, ainda que não haja problemas em relaçãoà identidade das categorias que são introduzidas na parte direita da regra, oque não bate agora é a ordem dos conectivos; mais especi�camente, apenaso segundo conectivo da parte direita não é o mesmo de uma fórmula para aoutra, como se observa logo a seguir.

(Y \ X) / W ⇒ ((Y \ Z) / (X \ Z)) / W(N \ N) / N ⇒ ((N \ S) \ (N \ S)) / N

Assim, percebe-se que as duas possibilidades pertinentes da aplicação daidéia da divisão do dividendo não chegam ao resultado intuído inicialmente.

4 Constatação da indemonstrabilidade

Uma alternativa mais direta para se constatar a impossibilidade da relaçãoentre (N\N)/N e ((N\S)\(N\S))/N consistiria em tentar demonstrar, semsucesso, a fórmula (N\N)/N ⇒ ((N\S)\(N\S))/N . Isso é feito na �gura 7.

Nesta última derivação, começamos transformando a fórmula (N\N)/N⇒ ((N\S)\(N\S))/N em (N\N)/N, N ⇒ (N\S)\(N\S), pelo esquema 4,para em seguida desmembrá-la no axioma da identidade N ⇒ N e na fór-mula N\N ⇒ (N\S)\(N\S), através do esquema 2. Depois de mais duas

divisão; ou à esquerda, na notação linearizada), enquanto o divisor é o número pelo qualo dividendo será dividido (e que �ca abaixo do traço da divisão; ou à direita, ainda nanotação linearizada): dividendo

divisor (ou dividendo/divisor).10Numa terminologia típica do Prolog, se considerássemos X, Y , W e Z variáveis, e N e

S constantes, poderíamos dizer que as duas fórmulas não seriam uni�cáveis, porque tantoo Y quanto o X teriam que valer N do lado esquerdo do ⇒, mas S do seu lado direito.

11

Id ×N ⇒ N S,N\N ⇒ S

\AN, N\S, N\N ⇒ S

\CN\S, N\N ⇒ N\S

Id \CN ⇒ N N\N ⇒ (N\S)\(N\S)

/A

(N\N)/N, N ⇒ (N\S)\(N\S)

/C

(N\N)/N ⇒ ((N\S)\(N\S))/N

Figura 7: Indemonstrabilidade de (N\N)/N ⇒ ((N\S)\(N\S))/N

aplicações do esquema 5, esta última fórmula é transformada primeiro emN\S, N\N ⇒ N\S e depois em N, N\S, N\N ⇒ S. Finalmente, na últimaoperação possível para esta derivação, o uso do esquema 3 separa uma ou-tra ocorrência do axioma da identidade N ⇒ N e a fórmula S, N\N ⇒ S.Como, nesse ponto da derivação, não é possível empregar mais nenhum dosesquemas do cálculo,11 mas como um dos ramos do diagrama termina comuma fórmula que não é o axioma da identidade, essa derivação não se cons-titui numa demonstração; assim, (N\N)/N ⇒ ((N\S)\(N\S))/N não é umteorema válido � ou seja, de (N\N)/N não se chega a ((N\S)\(N\S))/N .

Observando a fórmula que restou no topo do diagrama (S, N\N ⇒ S),observa-se que, se não houvesse aquele N\N , teríamos chegado a mais umainstância do axioma da identidade, o que teria resultado na demonstração de(N\N)/N ⇒ ((N\S)\(N\S))/N . Essa observação reforça a conclusão dascomparações feitas no �nal da seção anterior, segundo a qual o que há deerrado é a inserção de uma categoria no lado inadequado; por isso, ao invésde podermos cancelar um N com o outro, sobram os dois como N\N .

11Esta condição é representada no diagrama pelo símbolo ×.

12

5 Demonstrador em Prolog

Para encerrarmos esse nosso exercício de con�rmação de uma intuição emrelação à nossa teoria, vamos apresentar um pequeno programa em Prologque funciona como um demonstrador de teoremas para o tipo de fórmulasque estávamos usando nas demonstrações acima.12 A listagem do programaé dada a seguir.

:- op(600, xfx, ==>).

:- op(550, xfx, /).

:- op(550, xfx, \).

% Axioma da identidade

[A] ==> A :-

!.

% Função de argumento posterior no antecedente

Gama ==> C :-

append(Gama1, [A/B | Resto], Gama),

append(Delta, Gama2, Resto),

Delta ==> B,

append(Gama1, [A | Gama2], Lista),

Lista ==> C.

% Função de argumento anterior no antecedente

Gama ==> C :-

12O Prolog usado aqui foi o SWI-Prolog, que, além de ser gratuito, oferece a vantagem deuma interface grá�ca que facilita a visualização das uni�cações � ou seja, de como as va-riáveis dos esquemas assumem os valores que resultam nos teoremas a serem demonstrados.Esse Prolog pode ser obtido na internet a partir do endereço http://www.swi-prolog.org.No entanto, o programa apresentado aqui deve funcionar em qualquer outra versão deProlog; em alguns casos, talvez, as de�nições de append/3 e lenght/2 podem não es-tar pré-construídas (built-in) � neste caso, basta acrescentar ao programa as de�niçõesabaixo. (Para uma introdução ao Prolog, ver o manual de Clocksin e Mellish (1987).)

append([], [], Lista).append([Primeiro | Resto1], Lista, [Primeiro | Resto2]) :-

append(Resto1, Lista, Resto2).

lenght([], 0).lenght([_ | Resto], N) :-

lenght(Resto, M).N is M + 1

13

append(Gama1, Resto, Gama),

append(Delta, [B\A | Gama2], Resto),

Delta ==> B,

append(Gama1, [A | Gama2], Lista),

Lista ==> C.

% Função de argumento anterior no conseqüente

Gama ==> A\B :-

( length(Gama, 0)

-> fail

; [A | Gama] ==> B

).

% Função de argumento posterior no conseqüente

Gama ==> B/A :-

( length(Gama, 0)

-> fail

; append(Gama, [A], Lista),

Lista ==> B

).

As primeiras três cláusulas do programa de�nem os operadores que serãousados: os conectivos de construção das categorias complexas (/ e \) e osímbolo ⇒ (que, no programa, é representado por ==>). Na seqüência, sãode�nidos os cinco esquemas de derivação; a principal diferença notacional, jáque, nos esquemas apresentados na seção 2, o lado esquerdo do símbolo ⇒apresenta uma lista de categorias, é o uso dos colchetes, que, em Prolog, é orecurso para representar as listas.

Assim, o axioma da identidade é representado no programa de formaquase que completamente idêntica ao esquema 1 (o ! �cut� indica que,depois de satisfeita esta cláusula, nenhuma outra precisa ser mais testada).

Na de�nição dos esquemas para o conseqüente há uma estrutura comum,responsável por implementar a exigência do Γ não vazio: se o tamanho dalista Gama for 0 (length(Gama, 0)), então esta cláusula não pode ser sa-tisfeita (fail); caso contrário, o seu processamento pode continuar. Parao esquema da função de argumento anterior, basta acrestentar a categoriaA ao começo da lista de categorias Γ, o que é feito por [A | Gama] ==> B.Como, no esquema para a função com argumento posterior, o acréscimoprecisa ser feito no �nal da lista, é preciso usar o predicado append/3:append(Gama, [A], Lista); assim, no �nal, para satisfazer Gama ==> B/A,

14

é preciso então satisfazer Lista ==> B.Para os esquemas relativos ao antecedente, suas de�nições também apre-

sentam uma estrutura comum: em ambas é preciso separar da lista inicialGama as sublistas Gama1, Gama2 e Delta (relativas a Γ1, Γ2 e ∆), alémdas categorias A\B e B/A. Quando a função é de argumento posterior,a lista de categorias Gama precisa ser decomposta na lista Gama1 e em outralista [A/B | Resto] (append(Gama1, [A/B | Resto], Gama)), e, por suavez, a lista Resto também precisa ser decomposta nas listas Delta e Gama2

(append(Delta, Gama2, Resto)); desta forma, a satisfação de Gama ==> C

depende da satisfação de Delta ==> B e de Lista ==> C, de modo queLista contenha o resultado da concatenação de Γ1, A e Γ2 (append(Gama1,[A | Gama2], Lista)). Na função de argumento anterior, a lista de cate-gorias Gama é separada nas listas Gama1 e Resto (append(Gama1, Resto,

Gama)), e esta última ainda é decomposta em Delta e em [B\A | Gama2]

(append(Delta, [B\A | Gama2], Resto)); como no caso da função de ar-gumento posterior, a satisfação de Gama ==> C também depende da satisfa-ção de Delta ==> B e de Lista ==> C.

5.1 Exemplos de uso do demonstrador

Podemos usar o programa acima para, por exemplo, demonstrar que N, N\S⇒ S. Depois de carregá-lo no interpretador de Prolog, essa demonstraçãopode ser solicitada da seguinte maneira:

?- [n, n\s] ==> s.<enter>

Yes

A resposta Yes, que obtemos, signi�ca que o interpretador conseguiuprovar esta fórmula. A título de ilustração, vejamos como esta demonstraçãoé executada.

A cláusula cuja prova foi requerida uni�ca com a cabeça da de�niçãoda função com argumento anterior no antecedente, através das seguintesatribuições de valores às variáveis:

• Gama = Resto = [n, n\s],

• C = A = s,

• Gama1 = Gama2 = [],

15

• Delta = [n],

• B = n,

• Lista = [s].

A partir desta uni�cação, duas novas cláusulas precisam ser provadas:[n] ==> n (Delta ==> B) e [s] ==> s (Lista ==> C), que são claramenteinstâncias do axioma da identidade (primeiro para a uni�cação A = n, edepois para A = s). Como todos os objetivos são completamente satisfeitos,a solicitação termina indicando o seu sucecsso.

Vejamos agora como é executada a demonstração de X ⇒ Y/(X\Y ), queé solicitada da seguinte forma.

?- [x] ==> y/(x\y).<enter>

Yes

Esta cláusula uni�ca com a cabeça da de�nição da função com argumentoposterior no conseqüente, para as seguintes atribuiçõs de valores às variáveis:

• Gama = [x],

• B = y,

• A = x\y,

• Lista = [x, x\y].

Depois de constatado que a lista Gama não é vazia (length(Gama, 0)), oresultado de sua concatenação a [A] aparece em Lista; assim, a nova cláu-sula a ser satisfeita é [x, x\y] ==> y (Lista ==> B). Esta nova cláusulauni�ca com a cabeça da de�nição para a função com argumento anterior noantecedente, atribuindo os seguintes valores às variáveis:

• Gama = Resto = [x, x\y],

• C = A = y,

• Gama1 = Gama2 = [],

• Delta = [x],

16

• B = x,

• Lista = [y].

Assim, chegamos novamente a duas instâncias do axioma da identidade[x] ==> x (Delta ==> B) e [y] ==> y (Lista ==> C), terminando com su-cesso a demonstração, com todas as cláusulas exaustivamente satisfeitas.

Como o procedimento é bastante mecânico, e mais fácil de ser acompa-nhado usando os recursos do próprio interpretador de Prolog,13 parece exces-sivo comentar também passo-a-passo o processamento das quatro cláusulasdas regras R5 e R6. O leitor curioso, que tiver interesse, pode constatar queo programa também é capaz de demonstrá-las através de:

?- [x/y] ==> (x/z)/(y/z).<enter>,

?- [x\y] ==> (z\y)\(z\x).<enter>,

?- [x/y] ==> (z/x)\(z/y).<enter>,

?- [y\x] ==> (y\z)/(x\z).<enter>.

Fica também a cargo do leitor a execução das provas de (Y \X)/W ⇒((Z\Y )\(Z\X))/W e (Y \X)/W ⇒ ((Y \Z)/(X\Z))/W , invocadas respec-tivamente por:

?- (y\x)/w ==> ((z\y)\(z\x))/w.<enter>,

?- (y\x)/w ==> ((y\z)/(x\z))/w.<enter>.13Caso se esteja usando o SWI-Prolog, é possível usar o seu acompanhador grá�co

(graphical tracer), solicitado através dos comandos a seguir.

?- guitracer.<enter>

?- trace.<enter>

Logo após estes comandos, a execução de qualquer prova abre uma janela na qual sepode acompanhar todas as uni�cações que vão sendo feitas à medida que as cláusulas vãosendo processadas.

17

5.2 Processamento da indemonstrabilidade

Antes de passarmos às conclusões, seria interessante observar mais detida-mente a impossibilidade de se provar (N\N)/N ⇒ ((N\S)\(N\S))/N :14

?- [(n\n)/n] ==> ((n\s)\(n\s))/n.<enter>

No

Esta cláusula uni�ca com a cabeça da de�nição para uma função de ar-gumento posterior no conseqüente, atribuindo os seguintes valores às suasvariáveis:

• Gama = [(n\n)/n],

• B = (n\s)\(n\s),

• A = n,

• Lista = [(n\n)/n, n].

Com isto, gera-se um novo objetivo: satisfazer a cláusula [(n\n)/n, n]

==> (n\s)\(n\s) (Lista ==> B). Como esta cláusula uni�ca com a cabeçada de�niçao para as funções com argumento posterior no antecedente, suasvariáveis recebem os seguintes valores:

• Gama = [(n\n)/n, n],

• C = (n\s)\ (n\s),

• Gama1 = Gama2 = [],

• A = n\n,

• B = n,

• Resto = Delta = [n],

• Lista = [n\n].14Também é possível testar a indemonstrabilidade de ((N\S)\(N\S))/N ⇒ (N\N)/N ,

através de ?- [((n\s)\(n\s))/n] ==> (n\n)/n.<enter>.

18

Chega-se assim a dois novos objetivos: [n] ==> n (Delta ==> B) e [n\n]==> (n\s)\(n\s) (Lista ==> C). Como a primeira cláusula é uma instan-ciação do axioma da identidade, ela é facilmente satisfeita. Com a uni�caçãoda segunda cláusula com a cabeça da de�nição para funções com argumentoanterior no conseqüente, chegamos a uma nova atribuição de valores às va-riáveis:

• Gama = [n\n],

• A = B = n\s.

Passamos então a ter um novo objetivo: satisfazer [n\s, n\n] ==> n\s

([A | Gama] ==> B). Pela sua uni�cação novamente com a cabeça da de�-nição para funções com argumento anterior no conseqüente, obtemos umanova série de atribuições:

• Gama = Resto = [n, n\s, n\n],

• C = A = s,

• Gama1 = [],

• Delta = [n],

• B = n,

• Gama2 = [n\n],

• Lista = [s, n\n].

Depois disso, passamos a ter mais dois objetivos: [n] ==> n (Delta ==>

B) e [s, n\n] ==> s (Lista ==> C). Novamente o primeiro deles é o axiomada identidade, e o segundo agora não é capaz de uni�car com a cabeça denenhuma das de�nições. Como não existem outras alternativas disponíveis,15chegamos à resposta No, que indica que o interpretador de Prolog não foicapaz de satisfazer a cláusula usando o programa apresentado aqui. Ouseja, se o programa está correto, (N\N)/N ⇒ ((N\S)\(N\S))/N não édemonstrável.

15Na verdade, observamos apenas as principais uni�cações, dentre todas as suas possi-bilidades. Mas isso não interfere no fato de que, na presente prova, nenhuma uni�caçãopossível leva à demonstração requerida.

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6 Conclusões

De forma alguma, se pretendeu aqui invalidar a solução proposta para o efeitolabirinto apresentada por Gonçalves e Pagani (2004). Mesmo sem a derivaçãode uma categoria a partir da outra, ainda haveria uma alternativa de pro-cessamento supondo que houvessem dois itens lexicais, ambos com a mesmaforma past, mas cada um de uma dessas categorias, e sua escolha poderia serresolvidas pelos critérios do analisador gramatical, tornando desnecessáriasua atribuição a uma relação entre categorias que se demonstrou impossívelpara uma Gramática Categorial.16 O objetivo principal foi mesmo o de rela-tar o percurso que levou à constatação do equívoco em relação à intuição deque de (N\N)/N se chegaria a ((N\S)\(N\S))/N .

Neste relato, esperava-se descrever os trabalhosos (tediosos, diriam al-guns) exercícios de demonstração dos teoremas (ou da impossibilidade deuma prova, como era o caso aqui) e de acompanhamento da execução dodemonstrador em Prolog. O objetivo secundário, segundo sugere o subtítulodo presente texto, era o de exempli�car como essas tarefas podem auxiliaro lingüista a não cometer esse tipo de equívoco (ou, ainda no nosso caso,admitir o erro cometido).

Se, por um lado, o emprego da lógica e da computação exige dos lingüistasum conhecimento para o qual eles ainda não estão sendo institucionalmenteinstruídos,17 por outro, estas ferramentas retribuem o esforço despendido emsua utilização através da precisão que a primeira oferece e da automatizaçãodas tarefas oferecida pela segunda.

Esse tipo de ferramenta nos possibilita ainda supor que uma das fontesdo equívoco talvez tenha sido a diferença entre a mencionada divisão dodividendo e do divisor, de um dividendo composto, por um mesmo número(para a qual o lado em que a operação ocorre é indistinto) e a natureza dascategorias (que é sensível ao lado pelo qual o argumento é tomado). Podemosainda atribuir uma parte desse erro às diferenças entre a notação usada no

16Contudo, devo ressaltar que está ainda é uma opinião intuitiva, que também deveser submetida à comprovação formal � mais provavelmente, pela implementação de umanalisador gramatical que executasse a operação descrita.

17Por institucionalmente intruídos, pretendia me referir tanto ao fato de que nos cursosde Lingüística (tanto de graduação, quanto de pós-graduação) não se costuma ensinar essetipo de habilidade, quanto à constatação de que a própria Lingüística (enquanto instituiçãoque se manifesta em congressos e publicações que adotam esse rótulo) nem sempre vê combons olhos o emprego desses recursos.

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artigo mencionado para as categorias (a do Steedman) e a empregada nasapresentações das regras R5 e R6 (tanto Borges Neto (1999) quanto Moortgat(1988) escolheram a do Lambek; Wood (1993), porém, apresenta as regrasnas duas notações).

Finalmente, o objetivo mais remoto (mas não por isso o menos impor-tante) sempre é fazer com que o leitor se interesse pelo assunto e busque, apartir das referências bibliográ�cas mencionadas aqui, aprofundar sua com-preensão sobre estas questões, para que tenhamos cada vez mais interlocu-tores para discutir este tipo abordagem para os fenômenos lingüísticos.

Resumo

O presente texto procura corrigir uma pequena falha cometida emum nota do artigo `O efeito labirinto além da sintaxe' (Letras, 63 :177�195). Nesta nota se a�rmava que deveria ser possível derivar umacerta operação na Gramática Categorial; o que se demonstra aqui éque, infelizmente, essa derivação é impossível.

Palavras-chave: Sentenças-labirinto; Processamento de Língua Na-tural; Gramática Categorial.

Abstract

The present essay aims to rectify a mistake made at a footnoteof the article `Garden-path e�ect beyond syntax' (Letras, 63 : 177�195). At that footnote, it was alleged that it could be possible toderive a certain operation in Categorial Grammar�unfortunately, thisderivation is proved to be impossible.

Key-words: Garden-path sentences; Natural Language Processing;Categorial Grammar.

Referências

Borges Neto, J. Introdução às Gramáticas Categoriais. Curitiba, 1999.

CARPENTER, B. Type-Logical Semantics. Cambridge, Mass.: The MITPress, 1997.

CLOCKSIN, W.; MELLISH, C. Programming in Prolog. Berlin: Springer,1987.

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GONÇALVES, R. T.; PAGANI, L. A. O efeito labirinto além da sintaxe:Eliminando a ambigüidade. Revista Letras, v. 63, p. 177�195, 2004.

LAMBEK, J. The mathematics of sentence structure. AmericanMathematical Monthly, v. 65, p. 154�169, 1958.

MOORTGAT, M. Categorial Investigations: Logical and Linguistic Aspectsof the Lambek Calculus. Dordrecht: Foris, 1988.

MORTARI, C. A. Introdução à Lógica. São Paulo: [s.n.], 2001.

PAGANI, L. A. Anais do XXIV Congresso da Sociedade Brasileirade Computação. In: . [S.l.: s.n.], 2004.

WOOD, M. M. Categorial Grammars. London: Routledge, 1993.

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