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Cursos: Engenharias Elétrica, Civil, Mecânica, Ciência da Computação, Matemática e Física.

Prof. Msc. Peterson Cleyton Avi

CÁLCULO

NUMÉRICO

1° semestre de 2014

Ajuste de Curvas

Como os pontos são obtidos experimentalmente, geralmente tem-se

algum “erro” de medição nos dados, tornando-se difícil encontrar uma curva da

forma desejada que passe por todos os pontos.

A ideia é escolher a curva que melhor representa os dados.

Método dos Mínimos Quadrados: entre as curvas possíveis é

determinada há curva onde há soma do quadrado das diferenças entre o valor

calculado e o experimental é a menor possível.


Ajuste Linear Simples (RETA)


O modelo mais simples que relaciona

duas variáveis x e y é dado por:

que é a equação da reta. Onde a e b são os

parâmetros do modelo.

Sendo:

baxy

22

ii

iiii

xxn

yxyxna

n

xayb

ii



Método Matricial: os parâmetros a e b também podem ser

determinados resolvendo o seguinte sistema:

baxy

ii

i

ii

i

yx

y

a

b

xx

xn2



COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO

A qualidade de uma ajuste de curvas pode ser determinada através do

coeficiente de determinação, representado por R2.

• SQE = Soma dos quadrados dos erros;

• SQT = Soma do quadrado das diferenças em relação à média.

O coeficiente de determinação (R2) varia entre 0 e 1 , ou seja, quanto mais próximo da unidade,

melhor será o ajuste.

SQT

SQER 12

2

1

n

i

i yySQE 2

1

n

i

i yySQT

n

i

i

n

yy

1



EXEMPLO:

Ajustar os dados da tabela seguinte a uma reta por mínimos

quadrados. Fazer pelos dois métodos. Determinar o R².

I Xi Yi

1 1,3 2,0

2 3,4 5,2

3 5,1 3,8

4 6,8 6,1

5 8,0 5,8

Ajuste Polinomial


Consiste em determinar um polinômio, que pode ser de qualquer grau. Desse

modo, a equação é dada por:

O sistema normal é dado por:

O coeficiente de determinação é calculado de modo análogo ao caso do ajuste

linear simples.

n

n xaxaxaay ...2

210

i

n

i

ii

ii

i

nn

i

n

i

n

i

n

i

n

iiii

n

iiii

n

iii

yx

yx

yx

y

a

a

a

a

xxxx

xxxx

xxxx

xxxn

.

.

.2

2

1

0

221

2432

132

2

Ajuste Polinomial


EXEMPLO:

Ajustar os pontos da tabela abaixo à equação: . Calcular o

coeficiente de determinação.

2

210 xaxaay

I Xi Yi

1 -2 -30,5

2 -1,5 -20,2

3 0 -3,3

4 1 8,9

5 2,2 16,8

6 3,1 21,4

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