Curvas técnicas y cíclicas

-- 1 --

“Curvas técnicas y cíclicas por José Antonio Cuadrado”

Aplicación web

Dibujo Técnico para ESO y Bachillerato Tecnología para ESO

Educación Plástica y Visual Matemáticas

Autor: José Antonio Cuadrado Vicente.

Guía Didáctica.

INDICE

1. Introducción 2

2. Materias y niveles de aplicación 8

3. Objetivos 12

4. Competencias 13

5. Recursos necesarios 14

6. Manual de usuario 15

7. Accesibilidad. 32

8. Aplicaciones didácticas en el aula 34

9. Apuntes 35

10. Láminas 54

-- 2 --

Introducción

Las Curvas Cíclicas se obtienen por el movimiento de un punto de una circunferencia o de una

recta que rueda sin resbalar sobre otra circunferencia u otra recta. Y las curvas técnicas (óvalos,

ovoides y espirales) están formadas por arcos de circunferencia tangentes. Ambas tienen gran

importancia en dibujo industrial, mecánica y en arquitectura.

Esta aplicación pretende acercar al alumnado de ESO y Bachillerato los fundamentos que

rigen la resolución de curvas técnicas y cíclicas, de forma interactiva y experimental, a modo

de laboratorio virtual, en la que el alumno podrá adquirir conocimientos y familiarizarse con

herramientas que usará en su vida laboral. Además de mostrar los ejercicios resueltos por pasos,

con nodos interactivos que permiten al alumno moverlos a su antojo de forma totalmente

dinámica, cada apartado contiene animaciones que muestran la aplicación práctica de la

construcción.

Las páginas estáticas no sirven para que el alumno experimente con los conceptos de

Curvas Técnicas y Cíclicas. Necesita herramientas que le permitan modificar los elementos que

intervienen en el trazado para comprobar de forma inmediata las consecuencias de dichos

cambios y plataformas de dibujo para reconstruir los ejercicios aprendidos.

El estudio de las Curvas Técnicas se inicia en 3º de ESO aumentando su dificultad

paulatinamente hasta 1º de Bachillerato, y el de las Curvas Cíclicas en 2º de Bachillerato.

Una de las grandes dificultades que encuentra el alumno de Dibujo Técnico es el alto

grado de abstracción necesario para comprender ciertos procesos, lo que tiene que facilitarse

con métodos perceptivos y reflexivos. Debe existir un diálogo constante entre teoría y

experimentación. Es necesario comprender los conceptos, pero también aplicarlos mediante el

dominio de los recursos materiales, ya sean tradicionales o modernos en soporte informático.

Hasta ahora, y a pesar del gran avance que ha supuesto el uso del soporte informático en

la transmisión de conocimientos, se ha utilizado la red para desarrollar el intercambio de

información, es decir, se ha desarrollado el apartado correspondiente a la teoría, dejando la parte

de la experimentación a soportes tradicionales, por lo que, el diálogo entre teoría y

experimentación se ha roto. Este proyecto pretende en gran medida recobrar ese diálogo,

-- 3 --

investigando procesos y desarrollando código que permitan al alumno estudiar contenidos

de forma dinámica y realizar ejercicios (del mismo nivel que los propuestos en el aula)

dentro de la misma aplicación.

El soporte informático en el Dibujo Técnico ayuda a desarrollar la visión espacial y

la capacidad de abstracción. Permite al alumno marcar su propio ritmo y favorece la

retroalimentación del proceso de aprendizaje.

Respecto a la contrastación experimental tradicional, la simulación ofrece las siguientes

ventajas:

• Ofrece la posibilidad de repetir procesos y fenómenos difíciles de lograr en

condiciones reales. Optimizandose así el proceso de aprendizaje.

• Elimina los riesgos que siempre se presentan en la interacción con la realidad,

con lo que se crea confianza para implicarse en el estudio de esa realidad.

• Permite la realimentación inmediata, como resultado de introducir

modificaciones en determinados parámetros, lo que permite corregir la actuación

del estudiante en cada momento.

Los alumnos de Bachillerato utilizan las nuevas tecnologías de forma habitual en

diferentes soportes: teléfonos móviles, televisión interactiva, Internet, video juegos, ordenadores,

máquinas recreativas, DVD, etc.., lo que hace que estén acostumbrados a un lenguaje

multimedia, con alto grado de interactividad y si se enfrentan a aplicaciones educativas que no

estén a ese nivel, las rechazan de entrada, sin pasar a analizar sus contenidos. Por esto, el recurso

educativo ha de contar con un lenguaje similar, como animaciones realistas interactivas y

tridimensionales, botones con sonido, movimiento, etiquetas, etc., aplicaciones y ejercicios que

se alejen del formato de examen tradicional y se aproximen al juego, para conseguir tres cosas

básicas en el proceso de enseñanza:

• Llamar la atención del alumno.

• Transmitirle los conceptos que queremos que aprenda.

-- 4 --

• Afianzar mediante diferentes actividades los conocimientos adquiridos.

La enseñanza hoy más que nunca necesita renovarse, dando respuesta a las variadas

demandas sociales y laborales. Por eso, incluir aplicaciones informáticas en el ámbito escolar

constituye una acción necesaria y urgente, al servicio de una educación transformadora y

beneficiosa para aprender con mayor rapidez y facilidad, brindando al alumno la posibilidad de

investigar, adaptándose a la tecnología actual y a los cambios constantes.

Es obligación del docente desarrollar y apoyar mejores ambientes de aprendizaje a través

de la planeación de los contenidos, generando propuestas tecnológicas y asesorando cuando se

requiera su apoyo. Este es el rol del nuevo docente, facilitador o mediador del aprendizaje.

Esta materia optativa está muy vinculada al área troncal correspondiente en una línea de

fomento del conocimiento comprensivo a través de la práctica, la reflexión y el análisis. La

metodología habrá de articularse a partir de la indagación, la actividad reflexiva y la

autocrítica individual y colectiva.

La metodología debe relacionar e integrar las dos vertientes fundamentales que conlleva

toda disciplina: la teórica, que establece unos conceptos concretos y fundamentales, y la práctica

o instrumental, que ha de tender a desarrollar unas destrezas reflexivas y a facilitar viveza e

intuición en la expresión. Los ejercicios prácticos, por la naturaleza del área, deben predominar

en el tiempo y en la aplicación que se presenta. Son elemento motivador previo a la adquisición

de los conceptos necesarios para un aprendizaje organizado y constructivo.

“Poco importa en último extremo lo que se enseñe, con tal de que se despierte la

curiosidad y el gusto de aprender.”

Francois de Closets.

Sin descuidar el QUÉ, con estas nuevas técnicas multimedia podemos mejorar

considerablemente el CÓMO y fomentar así pasiones intelectuales huyendo de la rutina.

-- 5 --

Consideraciones generales sobre la presentación, organización y distribución de la

información dentro de este recurso multimedia:

• El visitante conoce en todo momento en que lugar del recurso se encuentra,

para lo que es muy importante que al pinchar en un botón, no se cierre esa página

y se abra otra, sino que la aplicación, página o texto que se pretende cargar, lo

haga en el mismo entorno desde el que se le ha llamado (Por eso esta aplicación

está hecha con “Flash 8”).

• En todos los apartados que conforman esta aplicación, se dará prioridad a los

gráficos frente al texto. Aquello que se pueda contar con gráficos, animaciones

o imágenes en general, no será necesario repetirlo con el texto, éste será un

complemento indispensable, pero se hará un esfuerzo de síntesis para no agobiar

al visitante con páginas de texto interminables y facilitarle herramientas que le

permitan deducir por sí solo los conceptos tratados.

• La materia de Dibujo Técnico se imparte en dos cursos, de manera que pueda

ofrecerse una visión general y completa desde el primero, profundizando y

aplicando los conceptos en soluciones técnicas más usuales en el segundo.

Los contenidos se desarrollan de forma paralela en los dos cursos, pero en sus

epígrafes se aprecia el nivel de profundización y se determinan, con mayor o

menor concreción, las aplicaciones y propuestas.

Los contenidos no están separados por cursos (aunque cada ejercicio dispone de

una etiqueta orientativa del nivel de aplicación) se desarrollarán globalmente, de

este modo se favorece que el alumno marque su propio ritmo de aprendizaje,

pudiendo repasar conceptos del curso anterior o profundizando con los del

siguiente, a la vez que se hace la herramienta más versátil para que el profesor

pueda atender mejor la diversidad de niveles que se puede encontrar en sus

grupos.

-- 6 --

• Hay animaciones que por su tamaño tardan en cargar, éstas llevan incorporado

un cargador para informar al usuario de dicho proceso.

• Para tener el máximo control sobre la presentación, se evita el uso de scroll

(desplazamiento vertical de pantalla) general de página.

• Intentando dentro de lo posible hacer un diseño accesible a personas con ciertas

discapacidades:

La zona activa de los botones es lo más grande posible.

Se puede imprimir la teoría para facilitar el estudio a aquellos alumnos que no

dispongan de ordenador en su casa o encuentren más cómodo la lectura en papel.

El uso de Flash en su elaboración permite acercar o alejar los gráficos con el

botón derecho del ratón.

Mediante el color se contrastan los diferentes elementos en pantalla.

Se puede variar la luminosidad del fondo para aumentar el contraste.

• La línea gráfica es dinámica, flexible y clara. Permite una navegación sencilla

e intuitiva. Todo esto crea un entorno de trabajo llamativo, totalmente interactivo

y próximo al lenguaje que el alumno está acostumbrado a usar, lo que evitará el

rechazo a priori y hará que se sienta cómodo en este entorno.

• Este recurso dispone de sistemas de autoevaluación que permiten al alumno

valorar el grado de conocimiento adquirido. Este sistema permite salir de la

plataforma de dibujo para comprobar los pasos a seguir y regresar más tarde al

mismo punto en el que se dejó, lo que favorece la retroalimentación del

proceso de aprendizaje.

• Se incluye una plataforma de dibujo con herramientas suficientes para dibujar

cualquiera de los ejercicios expuestos.

• Los profesores pueden utilizar el recurso como material de apoyo a sus clases, ya

que disponen de guías educativas.

-- 7 --

• Además de lo comentado la aplicación dispone de: guía de navegación, enlaces,

mapa Web, láminas de dibujo y ayuda.

Materias y niveles de aplicación

-- 8 --

Las enseñanzas sobre Curvas Técnicas y Cíclicas están presentes en diferentes áreas del

currículo de Secundaria y Bachillerato. Esta aplicación sería de gran utilidad para:

• Educación Plástica de 3º y 4º de ESO

• Dibujo Técnico de 1º y 2º de Bachillerato.

• Tecnología de 3º y 4º de ESO.

• Matemáticas 1º, 2º, 3º, 4º de ESO y 1º de Bachillerato.

A continuación se detallan las materias, contenidos de sus respectivos currículos y

niveles, en los que se puede aplicar este recurso:

Educación Plástica y Visual 3 ESO

Las construcciones fundamentales en el plano.

Óvalos, ovoides y espirales.

Dibujo Técnico I (1º Bachillerato)

Trazados geométricos:

Rectificaciones de la circunferencia.

Definición y trazado de óvalos, ovoides y volutas, espirales y hélices.

Conocimiento de la forma de estas curvas, características, elementos y arcos que las forman.

Construcción.

Curvas cíclicas. Definición de curvas cíclicas.

-- 9 --

Dibujo Técnico II (2º Bachillerato)

Trazados geométricos:

Curvas técnicas. Óvalo, Ovoide, Espiral y Voluta. Aplicaciones.

Curvas cíclicas. Cicloide, Epicicloide, Hipocicloide.

Conocimiento de la forma y de las características de cada una de ellas.

Formas de generarse.

Evolvente de la circunferencia.

Aplicaciones.

Tecnología 3 ESO

Herramientas básicas para el dibujo vectorial y el grafismo artístico.

Formulas y funciones. Elaboración de gráficas.

Aplicaciones de dibujo asistido por ordenador.

Herramientas informáticas básicas para el dibujo vectorial y el diseño asistido. Aplicación de

los sistemas de representación.

Tecnología 4º ESO

Técnicas de expresión y comunicación.

Diseño asistido por ordenador: dibujo en dos y tres dimensiones.

Aplicaciones practicas en proyectos de las herramientas informáticas para el diseño asistido.

Matemáticas 1º ESO

Funciones y gráficas.

-- 10 --

El plano cartesiano. Ejes de coordenadas. Representación de puntos en un sistema de ejes

coordenados.

Identificación de puntos a partir de sus coordenadas.



Coordenadas cartesianas. Tablas de valores y gráficas cartesianas.

Elaboración de una grafica a partir de una tabla de valores o de una expresión algebraica

sencilla que relacione dos variables.



Relaciones funcionales. Distintas formas de expresar una función.

Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes

ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la

representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica.


Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico,

algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades

geométricas.

Algebra.

Resolución de problemas cotidianos y de otros campos de conocimiento mediante ecuaciones

y sistemas.

Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo-error o a partir de métodos gráficos

con ayuda de los medios tecnológicos.

Geometría.

Resolución de problemas geométricos frecuentes en la vida cotidiana.

-- 11 --

Utilización de otros conocimientos geométricos en la resolución de problemas del mundo

físico: medida y cálculo de longitudes, áreas, volúmenes, etc.

Iniciación a la geometría analítica plana: coordenadas de un punto, distancia entre dos

puntos. La ecuación de la recta. Resolución grafica de sistemas de ecuaciones lineales.

OPCIÓN B

Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico,

algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades

geométricas.


Funciones. Estudio gráfico de una función.

Matemáticas I (1º Bachillerato)

Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera analítica o gráfica, que

describan situaciones reales.

Utilización de herramientas informáticas para el estudio de funciones y sus gráficas.

Lo anteriormente expuesto puede servir como guía de referencia para el uso de este

recurso en cada una de las materias y niveles. Es simplemente una orientación, la profundización

en cada uno de los temas es decisión del profesor, que es el que mejor conoce el nivel de

conocimientos de sus alumnos.

Objetivos:

El objetivo principal es crear una aplicación WEB, que permita al alumnado de ESO y

Bachillerato, experimentar de forma interactiva con los contenidos propios del tema

-- 12 --

“Curvas técnicas y cíclicas”. Contenidos tradicionalmente básicos junto a contenidos

educativos nuevos reclamados por la evolución social y por los avances científico-técnicos.

Con la elaboración de esta aplicación WEB se persigue conseguir los siguientes objetivos:

1. Fomentar el método y el razonamiento en el dibujo, como medio de transmisión de las

ideas científico-técnicas.

2. Utilizar adecuadamente y con cierta destreza los instrumentos, tanto los tradicionales como los nuevos sistemas informáticos y la terminología específica del Dibujo Técnico.

3. Desarrollar las capacidades que permitan expresar con precisión y objetividad las

soluciones gráficas ante problemas planteados en el mundo de la técnica, de la construcción, de las artes y del diseño.

4. Valorar la importancia que tiene el correcto acabado y presentación del dibujo en lo

referido a la diferenciación de los distintos trazos que lo configuran, la exactitud de los mismos y la limpieza y cuidado del soporte.

5. Considerar el dibujo técnico como un lenguaje objetivo y universal, valorando la

necesidad de conocer su sintaxis para poder expresar y comprender la información.

6. Conocer y comprender los principales fundamentos de la geometría métrica aplicada para resolver problemas de configuración de formas en el plano.

11. Integrar sus conocimientos de Dibujo Técnico dentro de los procesos tecnológicos y en

aplicaciones de la vida cotidiana, revisando y valorando el estado de consecución del proyecto o actividad siempre que sea necesario.

12. Interesarse por las tecnologías de la información y la comunicación, en particular por

los programas de diseño, disfrutando con su utilización y valorando sus posibilidades en la realización de planos técnicos.

13. Relacionar los conceptos aprendidos en el aula con el entorno más próximo,

despertando la capacidad de proyectar los conocimientos sobre situaciones reales, y de plantear cuestiones a partir de la observación directa.

14. Desarrollar y mantener actitudes de interés, curiosidad e indagación hacia la

actividad tecnológica, y generar iniciativas de investigación, así como de búsqueda y elaboración de nuevas realizaciones tecnológicas.

15. Adquirir conocimientos y destrezas técnicas, y emplearlos junto con los adquiridos en

otras áreas para el análisis, intervención, diseño y elaboración de objetos y sistemas tecnológicos, y valorar su funcionalidad, la multiplicidad y diversidad de perspectivas y saberes que convergen en la satisfacción de las necesidades humanas.

-- 13 --

16. Conocer las diferentes curvas cíclicas y los elementos que las generan.

17. Conocer los diferentes procesos de construcción de las curvas técnicas.

18. Diferenciar las cicloides de las epicicloides.

19. Conocer su uso para la construcción y el cálculo de engranajes.

20. Dibujar con fluidez curvas cíclicas.

21. Dibujar con fluidez curvas técnicas.

Competencias.

1. Competencia en comunicación lingüística. El alumnado utilizará con propiedad el

lenguaje propio del dibujo industrial.

2. Tratamiento de la información y competencia digital. Se trabajará en la competencia

del alumno para la representación gráfica de trazados mecánicos.

3. Competencia social y ciudadana. Aplicación de los conocimientos adquiridos en la

resolución de problemas de construcción gráfica. Se trabaja el conocimiento formal de

la mecánica de engranajes.

4. Autonomía y espíritu emprendedor. La aplicación de las Curvas Cíclicas en la

mecánica abre todo un campo de trabajo y estudio para el alumno.

5. Competencia científica y tecnológica. Se trabajarán y distinguirán entre diferentes

cíclicas. Se conocerán los elementos que las generan.

Recursos necesarios.

Para el uso de este recurso en el aula, lo idóneo es contar con un ordenador por alumno

para permitir que cada uno experimente por su cuenta con las animaciones y las repita el número

-- 14 --

de veces que sea necesario. La aplicación ha sido pensada sobre todo como un recurso

individualizado que permita al alumno avanzar a su ritmo. También es recomendable contar con

un acceso a Internet rápido, aunque el desglose de las animaciones en bastantes archivos hace

que su peso sea reducido.

Para el trabajo en grupo dirigido por el

profesor, es de gran utilidad contar en el aula

con una Pizarra Digital Interactiva. La

aplicación cuenta con una plataforma de

dibujo, que permite al profesor hacer los

dibujos pertinentes encima de la misma sin

salir de la aplicación, lo que integra mejor el

recurso y potencia el trabajo colaborativo en el

aula.

En su defecto se puede utilizar un video-proyector e interactuar desde el ordenador del

profesor. En este caso, para cubrir la carencia de las herramientas propias de la PDI, se ofrecen

otras que permiten al profesor hacer los dibujos aclaratorios pertinentes, pudiendo dibujar líneas,

circunferencias, mediatrices, efectuar mediciones, o situar puntos de interés.

Lo ideal es contar con un aula dotada de puestos individuales que permitan el trabajo

individual, y con PDI para poder hacer exposiciones dirigidas al grupo.

Manual de usuario

Esta es una aplicación multimedia e interactiva para Dibujo Técnico, Educación Plástica y Visual, Tecnología y Matemáticas, que permite al usuario experimentar con todos los elementos que intervienen en la representación.

-- 15 --

Al entrar se activa una animación en la que se desarrolla una curva epicicloide, haciendo

referencia a las animaciones que se encuentran en el interior de la aplicación. Se puede acceder desde la portada a cualquiera de los dos temas que se estudian en la

aplicación: “Curvas Técnicas” y “Curvas Cíclicas”. Para cambiar de un tema a otro hay que retroceder a la portada inicial mediante el botón “Menú”

Desde esta página inicial también se accede a una página accesible alternativa pulsando

la tecla “w” del teclado, y a una serie de servicios que se detallan:

Contenidos Servicios 1. Curvas Técnicas

o Óvalo o Ovoide o Espiral

2. Curvas Cíclicas o Cicloide o Epicicloide o Hipocicloide o Evolvente

1. Créditos. 2. Enlaces. 3. Mapa WEB. 4. Guía de navegación. 5. Guías didácticas. 6. Accesibilidad. 7. Visitas. 8. Ayuda. 9. PDF. 10. Locuciones.

Luminosidad del fondo. Se detallan de forma individualizada a continuación:

Contenidos

-- 16 --

Al entrar en los contenidos un mensaje sonoro indica que la aplicación cuenta con un sistema de locuciones que nos guiará por los mismos. Este servicio está pensado para facilitar la navegación a personas con problemas de visión. El servicio se activa o desactiva en el botón

inferior con forma de altavoz, o bien desde la tecla “s” del teclado. Se puede navegar por los contenidos usando el tabulador del teclado. Estas y otras

consideraciones se analizan detalladamente en el apartado de accesibilidad. Los contenidos están agrupados en dos temas: Curvas Cíclicas y Curvas Técnicas. La selección de cualquiera de ellos lleva a una pantalla inicial donde se definen las

curvas y se muestra un ejemplo ilustrativo del contenido del tema.

Las Curvas Cíclicas contienen el estudio de la Cicloide, Epicicloide, Hipocicloide y

Evolvente. El análisis de cada una de las curvas se desarrolla en los siguientes puntos: definición, trazado, aplicaciones, plataforma de diseño, ecuaciones y casos particulares.

Las Curvas Técnicas contienen el estudio del Óvalo, Ovoide y Espiral. El análisis de

cada una de las curvas se desarrolla en los siguientes puntos: definición, aplicaciones y trazado. En función de los datos conocidos, se expone la construcción del óvalo por seis métodos diferentes, el ovoide por tres y la espiral por seis.

-- 17 --

El acceso directo a los contenidos se facilita a través del mapa Web, desde el que se

aprecia una visión global de la aplicación, marcándose los apartados visitados, e indicando sugerencias de los niveles de aplicación.

Definición. Se definen las características diferenciales de la curva a estudio. En el caso de la curvas cíclicas se facilita una tabla para que el alumno introduzca los

valores correspondientes para dibujar la curva, lo que refuerza los contenidos y da una idea del grado de interactividad que se va a encontrar en toda la aplicación. Dependiendo de los datos introducidos se trazarán curvas normales, acortadas o alargadas. Un texto explicativo indica el tipo de curva trazada, lo que permite al alumno ir descubriendo los contenidos e interactuar con ellos.

-- 18 --

En el caso de las curvas técnicas, como los procesos constructivos son múltiples, una animación complementa al texto ilustrando la definición.

Trazado. Es en este apartado donde la interactividad cobra un sentido más pedagógico, poniéndose

al servicio del aprendizaje del alumno, facilitando el diálogo bidireccional con la aplicación.

Al entrar en cualquier ejercicio en los

que hay nodos móviles, aparece una animación señalándolos en la pantalla para recordar al usuario la situación de los mismos, al tiempo que incita a utilizarlos. Para no ser demasiado repetitivos esta animación sólo aparece las tres primeras veces que se accede a los ejercicios.

En todos los ejercicios los nodos móviles permiten recolocar los elementos en pantalla. El

movimiento de cualquiera de ellos redibuja todos los trazados hechos hasta el momento, lo que permite comprobar en tiempo real las infinitas variaciones que pueden sufrir los ejercicios planteados. Los nodos móviles se reconocen por su forma circular de contorno rojo y relleno blanco.

Si se pincha en los botones consecutivamente, el dibujo se va desarrollando de

forma animada mostrando al usuario el proceso a seguir. Si se hace la selección saltando pasos, por ejemplo para ver el ejercicio completamente terminado, el dibujo aparecerá de repente. En todos los pasos se puede modificar la posición de los nodos móviles, de tal manera, que la aplicación reconocerá la posición de los mismos en el paso siguiente, lo que dota la aplicación de una interactividad total.

Si se activan las locuciones, éstas respetan el tiempo de trazado, saltando

posteriormente para evitar distracciones centrando la atención en lo verdaderamente importante. En la parte superior se muestra el contenido teórico en los distintos apartados de la

aplicación. El texto está condensado para evitar repetir conceptos aclarados con la imagen.

Si se utilizan las locuciones para navegar, o se hace un uso expositivo de la aplicación, se puede prescindir del texto ocultándolo en el botón situado a su derecha. En cualquier momento se puede desplegar la ventana de nuevo.

Al tratarse de trazados complejos y laboriosos, la construcción por pasos, los colores, notaciones, etc., añaden bastante claridad al proceso, pero son los nodos móviles los que permiten al alumno interactuar con los ejercicios como si de un laboratorio virtual se tratase.

-- 19 --

En la imagen siguiente se muestra el proceso constructivo de una cicloide. En los libros

tradicionales, o en páginas Web estáticas, se estudian por separado los tres tipos: normal, acortada y alargada. En esta aplicación se traza sólo la normal, siendo el usuario el que descubre las peculiaridades con respecto a las demás, desplazando el nodo situado en el punto P. En función de la posición del mismo se generan curvas diferentes, indicándose debajo el tipo trazado.

Aplicaciones. La práctica real es la mejor manera de asimilar los contenidos y de comprobar las teorías.

Cuando se precisa aprender y se puede hacer en el mundo real, simularlo puede ayudar a comprender y aprender con eficacia.

En este apartado se muestran aplicaciones reales de cada una de las curvas trazadas, lo

que retroalimenta el proceso de aprendizaje, afianzando los conceptos aprendidos en la exposición teórica.

Este bloque tiene especial

relevancia en el estudio de las curvas cíclicas, que se estudian en 2º de bachillerato y su aplicación se hace evidente en algunos cursos universitarios posteriores.

-- 20 --

Se muestran ejemplos de aplicación en mundos como el diseño, la ingeniería, la arquitectura, la mecánica o el arte.

Este apartado es especialmente útil para Tecnología. Diseño. En este apartado se muestra una composición realizada con la curva seleccionada, a modo

de ejemplo de las infinitas que se pueden construir. El usuario puede rellenar con color los espacios generados por la rotación de la curva, creando combinaciones de gran belleza. Para no tener que repetir excesivas veces el volcado del color sobre el gráfico, se han asociado los huecos teniendo en cuenta la simetría central. Una vez terminado, el alumno puede poner su nombre en la parte inferior de la pantalla e imprimir el diseño realizado.

Casos singulares. Las Curvas Cíclicas: Epicicloide e Hipocicloide, tienen el apartado específico “Epi.

Singulares” y “Hipo. Singulares”, respectivamente. En ellos se analizan los casos particulares de cada una de ellas.

Las Epicicloides Singulares son: Cardioide y Nefroide. Las Hipocicloides Singulares son: Rectilínea, Triangular o Tricuspidal, y Cuadrangular o

Astroide.

Al dibujar cualquiera de ellas, aparecerán en la tabla inferior los datos constructivos de la curva, para que el alumno compruebe las peculiaridades de la misma. Estos datos se pueden modificar, redibujando el gráfico para poder resolver las dudas que puedan surgir.

-- 21 --

Ecuaciones. Los procesos matemáticos utilizados para el desarrollo de la aplicación se hacen

evidentes en este apartado. Es interesante analizar las ecuaciones paramétricas que generan las curvas, manipular los datos y observar la alteración que sufre el gráfico.

Se adjunta una calculadora para realizar operaciones, y en el botón “Comentario” se

encuentra una breve explicación de los parámetros utilizados en las ecuaciones.

Este apartado es especialmente útil para Matemáticas.

Plataforma de dibujo

La aplicación contiene una plataforma de dibujo que permite al usuario hacer los mismos dibujos que se muestran como ejercicios.

El uso de “Flash” para la construcción de esta Web genera ficheros de poco peso,

posibilitando el trazado sin problemas desde un servidor. Esta plataforma la puede utilizar el profesor en sus exposiciones, dibujando sobre la

-- 22 --

pizarra digital para aclarar las dudas que surjan. Para el usuario es una buena herramienta de autoevaluación, ya que permite hacer los

dibujos que se deseen y visualizar los pasos a seguir o el resultado final, con un simple movimiento de ratón. Este hecho favorece la retroalimentación del proceso de aprendizaje.

Para abrir la plataforma se pincha en el botón

“Plataforma dibujo” que se encuentra debajo de la barra de contenidos.

Una vez dentro, en cualquier momento se puede cerrar la plataforma u ocultarla. La

diferencia es: • “Ocultar” mantiene en memoria los

trazados realizados hasta el momento pudiendo recuperarlos pulsando el botón “Mostrar plataforma”. Esto nos permite consultar el trazado del ejercicio en el apartado teórico y continuar posteriormente con el dibujo.

• Si se opta por “Cerrar plataforma” se perderá todo el trazado comenzando de nuevo al volver a abrir la plataforma.

Una vez abierta la plataforma, se puede dibujar utilizando las herramientas de dibujo:

línea, punto, ángulo, rectángulo, polígono, circunferencia, circunferencia con ejes, elipse y texto. Además cuenta con las herramientas de edición: distancia, cambio de color, mover, rotar, escalar, borrar, dividir segmento, mediatriz de segmento.

Al seleccionar una herramienta de trazado o de edición, se desactiva la que esté abierta en

ese momento. Pulsando de nuevo sobre la herramienta abierta se desactivan todas.

A continuación se describen detalladamente las herramientas de la plataforma:

Línea.

-- 23 --

Traza líneas de dos formas

diferentes: • Señalando el punto inicial y

final directamente sobre la pantalla.

• Señalando el punto inicial

sobre la pantalla y rellenando los campos “Longitud”, “Ángulo” y “Dibujar”

Punto.

Dibuja un punto picando

directamente sobre la pantalla.

Ángulo.

Para dibujar un ángulo, al señalar el

vértice aparece un transportador de ángulos como ayuda si no se tiene claro el ángulo a trazar. Se puede “Rotar transportador”, para posteriormente seleccionar la “Longitud”, “Ángulo” y “Dibujar línea”.

Rectángulo.

Dibuja un rectángulo indicando “Ancho”, “Alto” y marcando el vértice inferior izquierdo.

Polígono.

-- 24 --

Dibuja un polígono indicando el

“Número de lados” y el “Diámetro”, marcando posteriormente el centro de la circunferencia que lo circunscribe.

Para editar un polígono sólo estarán

activos los vértices del mismo.

Circunferencia.

Dibuja una circunferencia indicando

el “Diámetro” y marcando el centro.

Circunferencia con ejes.

Dibuja una circunferencia con sus ejes horizontal y vertical indicando el “Diámetro” y marcando el centro.

Se Seleccionará esta opción para

dibujar circunferencias cuando se necesite conocer la situación del centro o de sus cuadrantes. Elipse.

Dibuja una elipse con sus ejes

horizontal y vertical, indicando la longitud del “Eje mayor”, “Eje menor” y marcando el centro.

Texto.

-- 25 --

Se pueden hacer notaciones sobre el

dibujo seleccionando el tamaño del texto y marcando el punto de inserción.

Distancia.

Señalando el punto inicial y final

directamente sobre la pantalla, aparecerán los datos en los campos “Distancia” y “Ángulo”

Cambio de color.

Para cambiar el color de los objetos dibujados hasta el momento, se selecciona el color deseado y se pincha posteriormente sobre el elemento.

Mover.

Sólo hay que pinchar sobre el objeto que se quiera mover, soltándolo en lugar que se desee situarlo.

Rotar.

Para rotar algún elemento ya dibujado, hay que indicar el “Ángulo de rotación”, pulsando en “Aplicar” y posteriormente seleccionando el elemento a rotar.

Escalar.

-- 26 --

Para reescalar algún elemento ya

dibujado, hay que indicar la “Nueva magnitud”, pulsar en “Aplicar” y posteriormente seleccionar el elemento a reescalar.

Borrar.

Borra objetos pinchando

directamente sobre ellos.

Dividir segmento.

Es posible dividir un segmento ya

trazado indicando el “Número de partes”, pulsando en “Aplicar” y posteriormente seleccionando el segmento a dividir.

Mediatriz de segmento.

Para trazar la mediatriz de un segmento ya trazado, se selecciona directamente.

Nuevo.

Borra todos los elementos trazados para iniciar de nuevo un dibujo.

Tiene el mismo efecto que cerrar y

abrir de nuevo la plataforma.

Servicios

-- 27 --

Todos los servicios están accesibles desde la portada de la aplicación.

En la parte central de la barra de servicios se despliega un menú con los siguientes servicios accesibles desde cualquier parte de la aplicación:

1. Créditos.

Al picar sobre el botón salta la página personal de

José Antonio Cuadrado donde se pueden visitar varias aplicaciones sobre Dibujo Técnico y otras materias.

2. Enlaces.

Este apartado incluye enlaces relacionados con el

tema tratado “Curvas técnicas y cíclicas”. Las propuestas completan lo expuesto en esta

aplicación aunque de forma estática y pueden ser de utilidad para el profesor, ya que contienen ejercicios, exámenes de selectividad, pruebas en línea, etc…

3. Mapa Web.

En el Mapa Web se visualizan todos los apartados que contiene la aplicación para llegar al punto deseado de forma fácil y rápida. Es de especial utilidad para que el profesor pueda ir directamente al ejercicio que necesite. También es útil para hacerse una idea de la extensión de la aplicación y del camino recorrido, ya que se marcan en otro color los campos visitados.

Se accede desde la barra de servicios en el botón “Mapa Web”, o desde la tecla “m” del

teclado para agilizar el acceso.

-- 28 --

El botón “Niveles de aplicación” marca con colores los contenidos destinados a la ESO, 1º o 2º de Bachillerato. Se trata de una sugerencia de uso, ya que corresponde al profesor marcar la secuenciación y adaptar los contenidos a la situación de su aula y de sus alumnos.

4. Guía de navegación.

Guía de navegación: Consiste en varios vídeos que explican los contenidos de este

manual: Introducción, contenidos, servicios, PDI, plataforma de dibujo y accesibilidad. Pretende facilitar la navegación por la aplicación.

Permite parar el vídeo y minimizar la ventana para trabajar sin interrupciones. Los vídeos están subtitulados para facilitar el acceso a personas con problemas de

audición.

5. Guías de usuario.

Guías didácticas y apuntes que se pueden bajar en formato pdf, son de gran ayuda para sacar mayor partido a la aplicación. Contiene Requisitos del sistema, manual de usuario, guía del alumno, guía del profesor, apuntes y láminas.

-- 29 --

6. Accesibilidad. Al entrar en la aplicación, el lector de pantalla leerá un texto explicativo del contenido de la

misma e indicará la forma de acceder a la página alternativa, donde de forma totalmente accesible se

exponen los conceptos del tema que nos ocupa.

Se han tenido en cuenta otras consideraciones para

mejorar la accesibilidad: los nodos móviles, la navegación a

través del tabulador del teclado, las locuciones presentes en

toda la aplicación sin necesidad de tener instalado un lector

de pantalla, los subtítulos en los vídeos, contraste de color

del fondo, láminas y soluciones en formato pdf, etc.…

7. Visitas.

Contador de visitas.

La barra inferior alberga otros servicios: 8. Ayuda.

La ayuda se activa al pasar por encima del botón en forma de interrogación situado en la

parte izquierda de la barra de servicio. A través de un gráfico se muestran todas las funciones de los distintos elementos en

pantalla a modo de guía rápida. Cuando se accede a la ayuda desde la plataforma de dibujo se indican las funciones de

todas las herramientas de dibujo y edición, así como los accesos a la plataforma.

-- 30 --

Ayuda general Ayuda de la plataforma de dibujo

9. PDF.

Los contenidos se pueden

descargar en formato pdf , así como los 44 ejercicios propuestos en la aplicación. De cada ejercicio se facilita un lámina con el planteamiento, para que el alumno la desarrolle, y la misma lámina resuelta, para que pueda comprobar el resultado.

Lámina para resolver Lámina resuelta

-- 31 --

10. Locuciones.

Al entrar en los contenidos un mensaje sonoro indica que la aplicación cuenta con un sistema de locuciones a modo de guía por los mismos. Este servicio está pensado para facilitar la navegación a personas con problemas de visión. El servicio se activa o desactiva en el botón inferior con forma de altavoz, o bien desde la tecla “s” del teclado.

11. Luz de fondo.

La estética de la aplicación contribuye a una navegación cómoda, garantizando un contraste adecuado para la correcta lectura de los textos y el visionado de los elementos que se presentan en pantalla. De todos modos, para hacerla más versátil a los gustos y necesidades de los usuarios, se puede variar la luminosidad del fondo aumentando o disminuyendo el contraste.

-- 32 --

Accesibilidad

Esta aplicación aporta novedades pedagógicas importantes en el estudio del Dibujo Técnico,

gracias a la interactividad que facilitan los nodos móviles, permitiendo recolocar los elementos en

pantalla, y redibujando todos los trazados hechos hasta el momento, lo que permite comprobar en

tiempo real las infinitas variaciones que pueden sufrir los ejercicios planteados.

Dada la materia a estudio, el aspecto estético, hay que potenciarlo para estimular la

creatividad en la aplicación de los temas tratados. Esto, unido al condicionante del uso de la

aplicación a través de la Web, hace de “Flash” el programa perfecto para su desarrollo, ya que

permite la interactividad total tanto en la exposición de contenidos, en la experimentación y en el

dibujo a través de la plataforma que contiene.

“Flash” carece de una accesibilidad estándar. Para suplir esta carencia se han desarrollando

alternativas válidas para cualquier ordenador, aunque no tengan instalados programas específicos

para favorecer la accesibilidad.

Al entrar en la aplicación, el lector de pantalla leerá un texto explicativo del contenido de la

misma e indicará la forma de acceder a la página alternativa, donde de forma totalmente accesible se

exponen los conceptos del tema que nos ocupa.

Si no se tiene instalado un lector de pantalla en el

ordenador, se puede acceder a la página alternativa pinchando

en el botón “Accesibilidad” en la botonera inferior de la

pantalla, o pulsando sobre la tecla “w” del teclado.

No tiene mucho sentido en aplicaciones de dibujo la accesibilidad para ciegos totales, ya que

probablemente ninguna persona con discapacidad visual grave se dedique al estudio del dibujo. De

todas formas, atendiendo normas básicas de accesibilidad, se facilita una página alternativa para

usuarios con ceguera total, ya que personas con ceguera parcial pueden acceder a la página anterior,

porque para su elaboración se han tenido en cuenta las siguientes consideraciones:

-- 33 --

1. Acceso a los contenidos con el mínimo número de pulsaciones posibles.

2. Es posible navegar sólo desde el teclado a través del tabulador.

3. Las locuciones nos acompañan durante toda la aplicación sin necesidad de tener instalado un

lector de pantalla, pudiendo activarlas o desactivarlas en cualquier momento.

4. Se ofrece la posibilidad de descargar apuntes, láminas, manuales de uso y guías didácticas.

5. La exposición en la guía de navegación se hace mediante locuciones.

6. Con el botón derecho del ratón se puede acercar o alejar la pantalla, lo que facilita el uso de

la aplicación por personas con problemas de visión.

7. Las zonas activas de los botones son lo más amplias posibles, de forma que no afectan a la

estética del botón pero son más accesibles para personas con dificultades motoras.

8. Los ejercicios prácticos tienen los puntos de interés imantados para atraer el puntero sobre

ellos sin necesidad de ser extremadamente precisos.

9. El tamaño y color de los textos garantizan el contraste suficiente para una lectura cómoda.

10. Es posible variar la luminosidad del fondo para aumentar el contraste de los elementos

expuestos en pantalla.

11. Las pantallas de ayuda proporcionan la información necesaria en cada momento, facilitando

la navegación.

APLICACIONES DIDÁCTICAS EN EL AULA

-- 34 --

Corresponde a cada profesor establecer su propio itinerario dentro de la aplicación,

atendiendo sus necesidades y las de sus alumnos. Pero de todas formas a continuación se

exponen varios itinerarios o posibles usos del recurso para potenciar el estudio de los conceptos

que se detallan.

El recurso no obliga a seguir un recorrido lineal, lo que lo hace más versátil a la hora de

aplicarlo como módulo de aprendizaje para otros contenidos.

La siguiente tabla muestra la distribución de los contenidos dentro de la aplicación.

Contenidos Servicios

• Curvas Técnicas o Óvalo o Ovoide o Espiral

• Curvas Cíclicas o Cicloide o Epicicloide o Hipocicloide o Evolvente

• Créditos. • Enlaces. • Mapa WEB. • Guía de navegación. • Guías didácticas. • Accesibilidad. • Visitas. • Ayuda. • PDF. • Locuciones. • Luminosidad del fondo.

El alumno, preferentemente con ayuda de su profesor, irá realizando los diferentes

ejercicios, interactuando con los nodos móviles de la aplicación. Deberá hacer un recorrido

minucioso por cada uno de los apartados de la aplicación, como: trazado, aplicaciones,

ecuaciones, etc. Para completar el estudio de cada tipo de curva realizará la práctica en la

plataforma de dibujo.

Una vez hecho el recorrido por cada elemento, el alumno se enfrentará a la resolución de

las 44 láminas adjuntas en formato PDF, pudiendo comprobar el resultado cotejándolas con las

láminas resueltas descargables desde la aplicación.

Por último se pueden visitar los enlaces recomendados para completar el contenido y las

actividades propuestas en esta aplicación.

-- 35 --

CURVAS TÉCNICAS Y CURVAS CÍCLICAS

Curvas Cíclicas: trazado de la cicloide, epicicloide e hipocicloide. Evolvente de círculo.

Curvas Técnicas: trazado del óvalo conocido el eje mayor de tres partes, óvalo conocido el eje mayor de cuatro partes, óvalo conocido el eje menor, óvalo conocidos los dos ejes, óvalo inscrito en un rombo, óvalo isométrico, ovoide dado el eje menor, ovoide formado por dos circunferencias, ovoide dado el eje mayor, espiral de 2, 3 y 4 centros, espiral áurea, espiral logarítmica y espiral de Arquímedes. Hélice cilíndrica (sinusoide).

INTRODUCCIÓN:

RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA:

Se divide el diámetro en siete partes

iguales y sobre una recta se llevan 22 de

dichas partes, es decir, tres diámetros completos

más una séptima parte del diámetro.

DIVISIÓN DE UN ARCO EN PARTES IGUALES:

-- 36 --

Se eligen dos medidas cualesquiera, una que llevada “n” veces sobrepase el arco “M2” y otra que no llegue

“M1”, sobre una recta se llevan dichas medidas y en sentido contrario se transportan la medida “1N” y la “2N”

que unidas cortarán la primera recta en la medida exacta que divide el arco en “n” partes iguales.

CURVAS CÍCLICAS:

Se llaman curvas cíclicas aquellas que se obtienen por el movimiento de un punto de una circunferencia o de una

recta que rueda sin resbalar sobre otra circunferencia u otra recta.

La circunferencia móvil o la recta móvil se llama "ruleta" y la línea sobre la que se mueven se llama "base".

Las curvas cíclicas tienen gran importancia en dibujo industrial y en mecánica, sobre todo en el trazado de

engranajes.

LA CICLOIDE:

Se llama "cicloide normal" a la curva que describe un punto “P” de una circunferencia ruleta que rueda sin

resbalar sobre una recta base.

-- 37 --

Para su trazado, se rectifica la ruleta de centro “O” y radio “OP” sobre la base; obteniéndose así el segmento

“PP12”. Este segmento y la ruleta se dividen en un número igual de partes iguales, doce en la figura. Por los puntos 1,2,3...

de la base, se trazan las perpendiculares a ella, obteniendo O1, O2, O3... en la recta de centros, que es la paralela por “O” a

la base.

Para obtener los puntos se opera así: La circunferencia de centro O1 y radio O1-1 y la paralela por 1 a la base se

cortan en el punto P1 de la cicloide normal. De la misma forma, la circunferencia de centro O2 y la paralela por 2 se cortan

en P2, así se obtienen P3, P4, P5...P12 y al unirlos se obtiene una arcada de la cicloide normal.

-Cicloide acortada. A partir de la cicloide normal se obtiene la cicloide acortada, cuyo punto generador es R,

interior a la ruleta y solidariamente unido a ella. En todas las posiciones se conserva constante la distancia OR.

-Cicloide alargada. A partir de la cicloide normal se obtine la cicloide alargada, cuyo punto generador es Q,

exterior a la ruleta y solidariamente unido a ella. En todas las posiciones se conserva constante la distancia OQ.

LA EPICICLOIDE.

La epicicloide es la curva que describe un punto “P” de una circunferencia ruleta que rueda sin resbalar sobre

otra circunferencia que hace de base y exteriormente a ella.

-- 38 --

Si imaginariamente se dobla la cicloide de forma que la

base se transforme en una circunferencia, se obtendría la epicicloide. Según esto, las construcciones son similares salvo

que la rectificación se hará sobre una circunferencia en vez de sobre una recta, para lo que utilizaremos la siguiente

formula:

3601 - 2nr

n1 = 3601 r/R

n1 - 2nR

LA HIPOCICLOIDE.

Esta curva está engendrada por el punto “P” de la

circunferencia "ruleta" de centro “O” que rueda sin resbalar

interiormente sobre la circunferencia base de centro “O'”.

Se utiliza la formula anterior n1 = 3601 r/R, para calcular la

rectificación de la ruleta sobre la base.

-- 39 --

Esta curva se define como el lugar

geométrico de las posiciones que va ocupando

un punto de una recta que, siendo tangente a

una circunferencia, camina sin resbalar sobre

ella. El punto generador es el punto “T”; la

circunferencia base es la de centro “O” y la

ruleta es la recta tangente en el punto “T”.

Para su trazado se divide la

circunferencia en una serie de partes iguales, cuantas más, mejor, y se trazan las tangentes en los puntos obtenidos.

Haciendo centro en los puntos de intersección de cada dos tangentes consecutivas y con radio hasta el punto anterior

obtenido, se traza un arco de la curva. El segmento T-16 sobre la tangente en “T”, resulta ser la longitud de la

circunferencia base.

Esta curva se emplea para el trazado del perfil de los dientes de las ruedas dentadas.

CURVAS TÉCNICAS:

Las curvas técnicas (óvalos, ovoides y espirales) están formadas por arcos de circunferencia tangentes.

Los óvalos y ovoides son curvas planas y cerradas, ya que empiezan y terminan en el mismo punto. Están

compuestas por cuatro arcos de circunferencia tangentes interiores dos a dos.

Las espirales son curvas abiertas y planas generadas por un punto que se aleja del núcleo, aumentando

constantemente su radio de giro.

-- 40 --

ÓVALO DE TRES PARTES CONOCIDO EL EJE MAYOR.

Se divide el eje mayor “AB” en tres partes iguales, obteniendo los centros O1 y O2.

Con centro en O1 y O2 se dibujan las circunferencias iguales de radio AB/3. La intersección de las

dos circunferencias determinan la posición de los centros O3 y O4.

Se unen los centros, como muestra el gráfico, para obtener los puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4.

Con centro en O1 y radio O1-A, se traza el primer arco del óvalo.

Con centro en O3 y radio O3-T1, se traza otro arco del óvalo.

Con centro en O2 y radio O2-B, se traza otro arco del óvalo.

Por último, con centro en O4 y radio O4-T3 se completa el óvalo.

O2A B

T1 T2

O3

O4

O1

1

2

3

T4 T3

C

D

ÓVALO DE CUATRO PARTES CONOCIDO EL EJE MAYOR.

Se divide el eje mayor AB en cuatro partes iguales, obteniendo los centros O1 y O2.

Con centro en O, O1 y O2 se dibujan las circunferencias iguales de radio AB/4. Los extremos del

diámetro vertical en O serán los centros O3 y O4.

Se unen los centros, como muestra el gráfico, para obtener los puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4.

Con centro en O1 y radio O1-A, se traza el primer arco del óvalo.

Con centro en O3 y radio O3-T1, se traza otro arco del óvalo.

Con centro en O2 y radio O2-B, se traza otro arco del óvalo.

Por último, con centro en O4 y radio O4-T3 se completa el óvalo.

-- 41 --

O2A B

T1 T2

O3

O4

O1

2

3

T4 T3

C

D

OO

4

1

ÓVALO CONOCIDO EL EJE MENOR.

Se dibuja la circunferencia que pasa por C y D.

Los extremos del diámetro horizontal de la circunferencia O serán los centros O1 y O2. Los otros dos

serán los puntos C y D.

Con centro en D y radio DC se traza el arco que va desde T1 a T2.

Con centro en C y radio CD se traza el arco que va desde T3 a T4.

Se unen los dos arcos trazados anteriormente con un arco de circunferencia de centro O1 y radio O1-

T1.

Por último para completar el óvalo se traza el arco con centro O2 y radio O2-T3.

O2A B

T1 T2

O3

O4

O1

T4 T3

C

D

OO

-- 42 --

ÓVALO CONOCIDOS LOS DOS EJES.

Óvalo conociendo los dos ejes. Éstos deben ser perpendiculares y cortarse en el punto medio 0. Se

unen los extremos A-C.

Se traza la semicircunferencia que pasa por los extremos del eje mayor AB y se prolonga el eje menor

hasta cortarla.

Con centro en C se lleva la diferencia de los semiejes sobre el segmento AC.

Al segmento resultante se le traza la mediatriz que al cortarse con los ejes determina la posición de los

centros O1 y O4. Por simetría se obtienen los otros dos centros O2 y O3.

Uniendo los cuatro centros se situa la abertura de los ángulos que configuran el óvalo.

Con centro en O4 y radio O4-C, se traza el primer arco del óvalo.

Con centro en O3 y radio O3-D, se traza otro arco del óvalo.

Por último, con centro en O1 y O2 se enlazan los arcos trazados anteriormente completando el óvalo.

A BO2

O4

O1

C

D

O

T1 T2

T4 T3

-- 43 --

ÓVALO INSCRITO EN UN ROMBO.

Óvalo inscrito el rombo ABCD, cuyas diagonales se cortan en su punto medio O. Los extremos C y D

serán los centros O1 y O2.

Desde el vértice D se traza la perpendicular al lado AC y se obtiene el punto de tangencia T1.

Desde el vértice D se traza la perpendicular al lado CB y se obtiene el punto de tangencia T2.

Desde el vértice C se traza la perpendicular al lado BD y se obtiene el punto de tangencia T3.

Desde el vértice C se traza la perpendicular al lado DA y se obtiene el punto de tangencia T4. La

intersección de las perpendiculares trazadas con el eje mayor del rombo serán los centros O3 y O4.

Con centro en D y radio D-T1, se traza el primer arco del óvalo.

Con centro en C y radio C-T3, se traza otro arco del óvalo.


A BO2

O3

O4

O1

C

D

O

T1T2

T4 T3

ÓVALO ISOMÉTRICO.

El óvalo isométrico es igual al inscrito en un rombo de ángulos 60º y 120º. Sirve para representar la

circunferencia en las tres posiciones espaciales del sistema isométrico.

Desde el vértice D se traza la perpendicular al lado AC (que en este caso particular coincide con su

punto medio) y se obtiene el punto de tangencia T1.

-- 44 --

Desde el vértice D se traza la perpendicular al lado CB (que en este caso particular coincide con su


Desde el vértice C se traza la perpendicular al lado BD (que en este caso particular coincide con su


Desde el vértice C se traza la perpendicular al lado DA (que en este caso particular coincide con su

punto medio) y se obtiene el punto de tangencia T4. La intersección de las perpendiculares trazadas con el eje

mayor del rombo serán los centros O3 y O4.

Con centro en D y radio D-T1, se traza el primer arco del óvalo.

Con centro en C y radio C-T3, se traza otro arco del óvalo.


OVOIDE CONOCIDO SU EJE MENOR.

Se traza la mediatriz del eje menor CD, obteniendo el centro O1.

Se dibuja la circunferencia que pasa por C y D. Como se aprecia en el gráfico los centros O2, O3 y

O4 están situados en los extremos de los diámetros vertical y horizontal.

Se unen los centros para situar los puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4.

Con centro en O1 se traza el primer arco del ovoide de radio O1-A.

Con centro en O3 se traza el arco de radio O3-D, desde T3 hasta T1.

Con centro en O4 se traza el arco de radio O4-C, desde T2 hasta T4.

Con centro en O2 se traza el arco de radio O2-T1, desde T1 hasta T2.

-- 45 --

C = O3 = T3 D = O4 = T4O1

O2

A

B

T1T2

OVOIDE DETERMINADO POR DOS CIRCUNFERENCIAS.

Se resta el radio de la circunferencia menor O2 al de la mayor O1, y se traza la mediatriz del segmento

que une r1-r2 con O2.

La intersección de la mediatriz trazada con el eje menor CD sitúa el centro O4, y por simetría se obtiene

O3.


Con centro en O1 se traza el primer arco del ovoide de radio O1-A.



Con centro en O2 se traza el arco de radio O2-B, desde T1 hasta T2.

-- 46 --

C = T3 D = T4O1

O2

A

B

T1T2

O3 O4

OVOIDE DADO EL EJE MAYOR.

Ovoide dado el eje de simetría AB.

Se divide el eje en seis partes iguales por el teorema de Thales. Se sitúa el centro O1 en la segunda

división y O2 en la quinta.

Se trazan las circunferencias tangentes de centros O1 y O2, y radios O1-A y O2-B respectivamente.

Los centros O3 y O4 estarán situados en los puntos simétricos de O1 respecto a los extremos del eje

menor C y D.




Con centro en O1 y O2 se trazan los arcos de radios O1-A y O2-B respectivamente.

-- 47 --

C = T3 D = T4

O2

A

B

T1T2

O3 O4O1

1

2

3

4

5

6

ESPIRAL DE DOS CENTROS.

Espiral de base el segmento AB. Los centros que generan la curva serán A y B alternativamente y los

puntos de tangencia se encuentran sobre la recta que une A y B.

Se traza el arco de centro A y radio A-B y se obtiene el punto de tangencia 1.

Se traza el arco de centro B y radio B-1 y se obtiene el punto de tangencia 2. A la distancia B-2 se le

denomina paso de la espiral.

Se traza el arco de centro A y radio A-2 y se obtiene el punto de tangencia 3.

Se traza el arco de centro B y radio B-3 y se obtiene el punto de tangencia 4.

Se traza el arco de centro A y radio A-4 y se obtiene el punto de tangencia 5.

Se traza el arco de centro B y radio B -5y se obtiene el punto de tangencia 6, y así sucesivamente.

-- 48 --

A B

Paso

1 2 43

ESPIRAL DE TRES CENTROS.

Espiral de base triangular ABC. Los centros que generan la curva serán A, B y C alternativamente.

Se prolongan los lados del triángulo equilátero formado por los puntos A, B y C. Sobre estas

semirrectas estarán situados los puntos de tangencia de los arcos que dibujan la curva.

Se traza el arco de centro B y radio B-A y se obtiene el punto de tangencia 1.

Se traza el arco de centro C y radio C-1 y se obtiene el punto de tangencia 2.

Se traza el arco de centro A y radio A-2 y se obtiene el punto de tangencia 3. A la distancia A-3 se le




Se traza el arco de centro A y radio A-5 y se obtiene el punto de tangencia 6, y así sucesivamente.

-- 49 --

AB

C

1

2

3

4

5

6

ESPIRAL DE CUATRO CENTROS.

Espiral de base cuadrangular ABCD. Los centros que generan la curva serán A, B, C y D

alternativamente.

Se prolongan los lados del cuadrado formado por los puntos A, B, C y D. Sobre estas semirrectas

estarán situados los puntos de tangencia de los arcos que dibujan la curva.

Se traza el arco de centro B y radio B-A y se obtiene el punto de tangencia 1.


Se traza el arco de centro D y radio D-2 y se obtiene el punto de tangencia 3.

Se traza el arco de centro A y radio A-3 y se obtiene el punto de tangencia 4. A la distancia A-4 se le



Se traza el arco de centro C y radio C-5 y se obtiene el punto de tangencia 6, y así sucesivamente.

-- 50 --

A B

CD

1

2

3

4

5

6

7

8

ESPIRAL ÁUREA.

Se denomina espiral áurea porque la razón de los radios consecutivos es igual al número de oro. Se

dibuja un cuadrado de lado AD.

Se traza el rectángulo áureo cuyo lado menor sea AD, para ello se lleva la distancia M-1 sobre la

horizontal.

Se dibuja el rectángulo uniendo los cuatro vértices A, B, C y D.

Con centro en C y radio C-1 se sitúa el punto 2, por el que se divide el rectángulo en un cuadrado y un

rectángulo áureo.

Con centro en B y radio B-2 se sitúa el punto 3, por el que se divide el rectángulo en un cuadrado y un

rectángulo áureo.

Se Repite la división de los rectángulos resultantes en un cuadrado y un rectángulo áureo.

Se Repite la división de los rectángulos resultantes en un cuadrado y un rectángulo áureo hasta que

deseemos.

Se dibuja la espiral áurea formada por arcos de circunferencia tangentes interiores unos a otros, hasta

completar el trazado.

-- 51 --

MA B

CD 1

2

3

4

5

6

7

= =

ESPIRAL LOGARÍTMICA.

También llamada mística o natural por ser la que se encuentra en la naturaleza más frecuentemente. Se

trata de enlazar con arcos de circunferencia tangentes un polígono formado por segmentos perpendiculares.

Se traza la mediatriz del primer tramo AB, sobre la que se sitúa el centro O1 en cualquier lugar. La

posición de este primer centro condiciona la forma final de la curva.

Se dibuja el arco de centro O1 y radio O1-A.

-- 52 --

A

B

C

D

E

F

G

H

J

=

=

. .

..

. .

O

OO

OO

O

OO

O

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES.

Se considera un segmento OP que es

el paso de la espiral. Con centro en O y radio

OP se traza la circunferencia de la figura, la

cual se divide en un número de partes iguales,

p.e., 16 partes. Se divide el paso en el mismo

número de partes iguales. Los puntos de la

espiral se obtienen al cortarse las

circunferencias concéntricas con los radios

que pasan por los mismos puntos de división.

HÉLICE CILÍNDRICA

-- 53 --

(Sinusoide).

La hélice cilíndrica es una curva alabeada cuya aplicación en mecánica y construcción es muy importante. Es

una curva situada sobre la superficie de un cilindro de revolución cuya transformada es una recta. Dicha transformada es la

diagonal del rectángulo que es desarrollo del cilindro sobre el que está trazada. Según esto, la hélice es el camino más

corto entre dos puntos de la superficie cilíndrica y sus tangentes forman el mismo ángulo con las generatrices del cilindro.

Este ángulo es el que forma la diagonal con el lado mayor del rectángulo.

La hélice cilíndrica es la trayectoria del movimiento helicoidal componente de un movimiento circular y de otro

rectilíneo, ambos uniformes.

Paso de la hélice es la longitud comprendida entre dos pasos sucesivos de la hélice por una misma generatriz del

cilindro. Se llama espira a la parte de la hélice comprendida en un paso, es decir, correspondiente a una vuelta completa de

la curva.

Aplicación multimedia sobre Curvas Técnicas y Cíclicas.

Realizada por:

José Antonio Cuadrado Vicente

[email protected]

Espiral de dos centros

AB

Espiral de dos centros

AB

Paso

12

43

Espiral de tres centros

AB

C

Espiral de tres centros

AB

C

1

2

3

4

5

6

Espiral de cuatro centros

AB

CD

Espiral de cuatro centros

AB C

D

1

2

3

4

5

6

7

8

Espiral de A

rquímedes

0

Espiral de Arquím

edes

1

2

3

4

5

6

7

O8

1

O1

O2

O3

O4 O

5

O6

O7

02

34

56

7

AB

Espiral áurea

Espiral áurea

MA

B CD

1

2

3

4

5

6

7

==

A

B

.

O

Espiral logarítm

ica

Espiral logarítm

ica

A

B

C

D

E

F

G

H

J

=

=

..

...

.

O

OO

OO

O

OO

O

Traza la trayectoria del punto P, extremo de una recta que

gira sin resbalar sobre la circunferencia base una vueltacom

pleta.

Traza la trayectoria del punto P si la circunferencia ruletagira sin resbalar interiorm

ente sobre la circunferencia baseuna vuelta com

pleta.

Óvalo conocidos sus dos ejes

AB

CD O

Óvalo conocidos sus dos ejes

AB

O2

O3

O4

O1

CD O

T1

T2

T4

T3

Óvalo de tres partes conocido su eje m

ayor

AB

Óvalo de tres partes conocido su eje m

ayor

O2

AB

T1

T2

O3

O4

O1

1

2

3

T4

T3

CD

AB

Óvalo de cuatro partes conocido su eje m

ayor

Óvalo de cuatro partes conocido su eje m

ayor

O2

AB

T1

T2

O3

O4

O1

2

3

T4

T3

CD OO

4

1

Óvalo conocido su eje m

enor

CD

Óvalo conocido su eje m

enor

O2

AB

T1

T2

O3

O4

O1

T4

T3

CD OO

Óvalo inscrito en un rom

bo

AB

CD O

Óvalo inscrito en un rom

bo

AB

O2

O3

O4

O1

CD O

T1

T2

T4

T3

O1O

2

AB

Ovoide com

ún a dos circunferencias

Ovoide com

ún a dos circunferencias

C =

T3

D = T

4O

1O2

AB

T1

T2

O3

O4

Ovoide conociendo el eje no sim

étrico CD

CD

Ovoide conociendo el eje no sim

étrico CD

C = O

3 =T

3D

= O4 =

T4

O1

O2

AB

T1

T2

Ovoide conocido su eje de sim

etría

AB

Ovoide conocido su eje de sim

etría

C =

T3

D = T

4

O2

AB

T1

T2

O3

O4

O1

1

2

3

4

5

6

Curvas técnicas y cíclicas

Documents

Transcript of Curvas técnicas y cíclicas