Concepções e representação de relações entre quantidades

Seediscussions,stats,andauthorprofilesforthispublicationat:http://www.researchgate.net/publication/269764668

Concepçõeserepresentaçãoderelaçõesentrequantidades

THESIS·OCTOBER1995

DOI:10.13140/2.1.3567.5209

1AUTHOR:

AlexSandroGomes

FederalUniversityofPernambuco

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Availablefrom:AlexSandroGomes

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Universidade Federal de Pernambuco Curso de Mestrado em Psicologia

Concepções e representação de relações entre quantidades

Alex Sandro Gomes

Dissertação de Mestrado

Área de concentração: Psicologia Cognitiva

Recife, 1995

ii

ORIENTADORES:

Dr. Luciano de Lemos Meira (1º Orientador)

Dr. David William Carraher (2º Orientador)

BANCA EXAMINADORA:

Dr. Luciano de Lemos Meira (Presidente)

Dr. Jorge Tarcísio da Rocha Falcão

Dr. Paulo Figueiredo

COORDENADORA DO MESTRADO:

Dra. Lúcia Browne Rego

iii

In memoriam:

Hildevânio Gomes de Lima

iv

Agradecimentos Sem dúvida devemos muito a muitas pessoas. No entanto, há determinadas

ações de nossos amigos, familiares, colegas ou conhecidos que têm o poder de nos

tocar de forma mais significativa que outras. Esses detalhes nos fazem encontrar

respostas muito importantes. Todas as pessoas que vou citar a seguir foram

importantes e isso de uma forma genérica. No entanto, referindo-me a cada um deles

eu gostaria de destacar o aspecto de nossas relações que é mais significativo, os quais

eu tomo como ‘marcos teóricos de apoio’ para continuar a fazer esse Mestrado,

enquanto pensava sobre o assunto que irei apresentar, enquanto escrevia esse

documento, enquanto vivia.

A minha mãe. Dessa mulher fantástica, gostaria de registrar a confiança

madura que ela depositou em mim e em meus sonhos (mesmo quando esses pareciam

não ter sentido). Lembro bem do momento quando tive o insight do caminho

profissional que eu iria tomar. Ainda me recordo do local e o que estava lendo. Ela

estava lá, ela está aqui e em ambas as situações há apenas um invariante1, uma frase:

“Faça aquilo que o seu coração mandar”, e eu estou fazendo.

E você, pai. Você soube, como ninguém, respeitar-me e aos meus sonhos,

mesmo vendo que poderia ser mais útil, de forma imediata, se agisse de outras

formas. E como se não bastasse, ainda me mostrou como analisar um momento

presente e como projetar um futuro.

A minha irmã, assim como para qualquer pessoa com menos idade do que eu,

não quero apenas agradecer, mas além disso, quero deixar um exemplo e uma frase:

“Acredite em seus sonhos.”

Ao amigo Artur... não sei se há teorias sobre o funcionamento das amizades.

Caso não haja, gostaria de sugerir que as investigações começassem a partir do

seguinte modelo teórico: o follow up. O estudo seria basicamente voltado a

investigação do conjunto de comportamentos cooperativos e seus respectivos

retornos ou feedbacks. A metodologia... bem, a metodologia fica a cargo dos

interessados. O que gostaria de significar com essa ‘sugestão de estudo’ é o meu

1Qualquer referência a termos de uso técnico terá sido apenas ‘mera coincidência’.

v

profundo agradecimento a todo o apoio logístico e estratégico, e de caráter

providencial que sempre dele recebi.

Ao meu Professor Luciano Meira. A literatura no campo da Metodologia

Científica destaca diferentes tipos de relações que existem entre orientando e

orientador. Em um dos tipos, destaca-se a exploração do primeiro pelo segundo, que

tende a forçar o aluno a engajar-se no seu projeto atual de pesquisa. Nesse caso, o

aluno torna-se apenas um trabalhador intelectual e o seu direito de ser criativo

encontra-se sob controle alheio. Em outros casos, o orientador exerce o papel de

educador, no sentido amplo da palavra, orientado o estudante no desenvolvimento de

meta-conhecimento a respeito do labor intelectual. Luciano soube orientar-me e

respeitar-me a partir do meu ponto de vista teórico, das minhas limitações técnicas e

da minha maneira de trabalhar. Portanto, no meu caso particular, eu contei com um

verdadeiro educador como orientador.

Ao Professor David Carraher. Houve momentos em minha vida, geralmente

antes de fazer alguma escolha importante, nos quais procurei identificar a melhor

pessoa para me orientar. Quando terminei a graduação em Engenharia, eu já sabia

que queria criar brinquedos educativos (“a escolha”), e portanto procurei identificar a

pessoa que melhor me orientaria nessa passagem. Hoje, iniciado no labor de criar

instrumentos didáticos, tenho a convicção que fui feliz na escolha dessa pessoa.

Todo profissional teve alguém que o ensinou os primeiros passos. Com

cientistas também é assim. Foi com o Professor João Pereira de Brito que tive minha

iniciação. Sob sua orientação fiz minha primeira revisão bibliográfica e escrevi meu

primeiro artigo.

Ao todo, vivo a 9 anos no ambiente universitário. Conheci muitos colegas, fui

orientado por diversos professores e fiz duas amigas. Cláudia, pessoa do mesmo

signo que eu; e Maria, pessoa de uma enorme visão. Com cada uma delas aprendi um

pouco mais sobre carinho e solidariedade.

Ao CNPq e ao povo brasileiro, agradeço todo o apoio financeiro que permitiu

realizar este estudo.

A todos os professores do mestrado: Alina, Jorge, Profa. Lúcia, Analúcia,

gostaria de agradecer todo o apoio moral e conceitual que sempre pude dispor.

vi

À Vera, Elaine e Irani gostaria de agradecer o acesso e a simpatia com os

quais me acolhem sempre que preciso.

À diretoria da Escola Recanto Infantil, em nome da Professora Maria de

Fátima Morais e das coordenadoras Maria Inês Pires e Regina agradeço o carinho

com o qual me acolheram durante a coleta de dados deste estudo.

Aos alunos que participaram do mesmo, agradeço o tempo e a paciência

dispensados.

A todas as pessoas que direta ou indiretamente contribuíram para a realização

deste trabalho, cujos nomes tenho receio de enunciar para evitar omissões, obrigado!

A Deus agradeço o fato de ter conhecido essas pessoas.

vii

Resumo No presente estudo investigou-se a natureza da relação existente entre os

conhecimentos empregados por adolescentes de primeiro grau maior e segundo grau

ao resolver problemas de comparação entre taxas de variação, apresentados em

diferentes tipos de fenômenos, a maneira como os alunos criam e utilizam sistemas

de representações autênticos, e ainda como essas representações são utilizadas

durante tratamentos cognitivos de determinados invariantes.

Participaram do estudo 18 alunos de 5ª e 7ª séries do primeiro grau e do 1º

ano do segundo grau de uma escola particular da cidade do Recife. Os dados foram

coletados através de entrevistas clínicas que incluíram: tarefas de produção de

desenhos e tarefas de interpretação de gráficos cartesianos. Nas tarefas do primeiro

tipoo, descreviam-se duas ou mais etapas de um fenômeno físico. Pedia-se os

sujeitos que desenhassem algo que representasse cada um dos fenômenos descritos.

No segundo grupo de tarefas, foram apresentados aos sujeitos gráficos cartesianos

que representavam fenômenos físicos. Pedia-se aos sujeitos que interpretassem as

relações quantitativas expressas nesses gráficos.

A análise das produções dos alunos mostrou que esses, mesmo aqueles que

ainda não foram introduzidos às representações gráficas cartesianas, são capazes de

criar desenhos adequados à representação de fenômenos descritos verbalmente. Além

disso, há muitos aspectos geométricos em seus desenhos que os tornam instrumentos

potenciais à resolução dos problemas. Foram identificados três categorias de

produções em observando os dois seguintes critérios: a presença de silhuetas de

objetos físicos nos desenho e a utilização de regras escolares na construção dos

desenhos. A análise qualitativa do uso desses mostrou que todos os três tipos

desenhos são igualmente práticos à representação de fenômenos físicos e igualmente

úteis à resolução dos problemas de comparar taxas.

viii

Abstract The present study investigated the nature of the relations between the

competencies of adolescents to solve rates comparison’ problems, involving different

kinds of phenomenon, and the way how students created and used paper and pencil

representation that can serve as instruments in the cognitive treatment of diverse

invariantes.

Eighteen students of 5th, 7th and 9th grades from a Brazilian private school,

in Recife, participated of the study. Data was collected throughout clinical

interviews, that included production and graphs interpretation tasks. In the first

group, there were described two or more phases of a physical phenomenon and asked

to the students to draw one representation to them. In the second group of tasks, there

were presented Cartesian graphs and asked to them about the quantitative relations

graphed.

The results showed that the students, as those who never had been instructed

about graphs systems, were capable to create adequate draws to represent the

phenomenons. There were many geometrical aspects in those draws that transform

then into potential instruments to the problems solving. There were identified three

groups of draws concerning the following criteria’s: the representation of physical

objects in the draws e the utilization’s of school rules to the creation of those draws.

The analyses showed that all kinds of draws were equally practical to the

phenomenons’ representation and useful to problems solving involving rate’s

comparisons.

ix

Índice AGRADECIMENTOS ......................................................................................................................... iv

RESUMO ............................................................................................................................................. vii

ABSTRACT ........................................................................................................................................ viii

ÍNDICE ................................................................................................................................................. ix

ÍNDICE DE FIGURAS ........................................................................................................................ xi

ÍNDICE DE PROTOCOLOS ............................................................................................................ xiii

ÍNDICE DE TABELAS ....................................................................................................................... xv

CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1

1 O CONCEITO DE TAXA E AS RELAÇÕES COM OS CONCEITOS DE RAZÃO E PROPORÇÃO ................. 2

1.1 O conceito de taxa ....................................................................................................... 2

1.2 Os conhecimentos sobre razão e proporção ............................................................... 4

1.3 Conclusões ................................................................................................................. 11

2 O PROCESSO DE REPRESENTAÇÃO ............................................................................................. 11

2.1 O conceito Vygotskiano de mediação ........................................................................ 12

2.2 A relação entre invariante e representação .............................................................. 13

3 FORMAS E FUNÇÕES DA REPRESENTAÇÃO ................................................................................. 15

3.1 As Funções da representação .................................................................................... 16

3.2 Interpretar gráficos e o conceito de taxa .................................................................. 21

3.3 As competências dos alunos para representar .......................................................... 26

3.4 Conclusões ................................................................................................................. 33

CAPÍTULO 2: MÉTODO ................................................................................................................... 34

1 SUJEITOS ................................................................................................................................... 34

2 MATERIAL ................................................................................................................................ 35

2.1 Tarefas ....................................................................................................................... 35

3 PROCEDIMENTOS ...................................................................................................................... 39

CAPÍTULO 3: ANÁLISE DE DADOS .............................................................................................. 42

1 CARACTERÍSTICAS DOS DESENHOS E AS RELAÇÃO COM OS CONHECIMENTO SOBRE TAXA ........ 44

1.1 Os tipos básicos de desenhos .................................................................................... 44

1.2 Análise e discussão .................................................................................................... 79

x

2 OS CONHECIMENTOS SOBRE RELAÇÕES ENTRE QUANTIDADES E SUA REPRESENTAÇÃO ............ 87

2.1 Estratégia 1: Ênfase em Δq ou Δt .............................................................................. 89

2.2 Estratégia 2: Relaciona Δq, Δt, Δq’ e Δt’ através de desigualdades ........................ 91

2.3 Estratégia 3: Solução aditiva .................................................................................... 97

2.4 Estratégia 4: Ênfase na relação Δq/Δt .................................................................... 106

2.5 Estratégia 5: Ênfase na relação Δt/Δq .................................................................... 116

2.6 Estratégia 6: Não considera as variações Δq, nem as Δt, nem as razões ............... 125

2.7 Análise ..................................................................................................................... 126

CAPÍTULO 4: CONCLUSÕES E IMPLICAÇÕES DIDÁTICAS ............................................... 130

1 CONCLUSÕES .......................................................................................................................... 130

2 IMPLICAÇÕES .......................................................................................................................... 136

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................ 138

ANEXO I - A DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DO CONCEITO DE TAXA E AFINS ................ 146

1 UM POUCO DA HISTÓRIA DO CONCEITO ................................................................................... 146

2 A TAXA DE VARIAÇÃO E A DERIVADA ..................................................................................... 148

2.1 Um exemplo da aplicação da derivada à Física - O conceito de velocidade ......... 152

ANEXO II - AS TAREFAS ............................................................................................................... 154

1 SIMPLES .................................................................................................................................. 154

2 DUPLAS ................................................................................................................................... 157

3 TABELAS ................................................................................................................................. 159

4 GRÁFICOS ............................................................................................................................... 160

xi

Índice de figuras FIGURA 1 - DIAGRAMA DAS TRANSFORMAÇÕES SIMULTÂNEAS OCORRIDAS NUM PROBLEMA

ENVOLVENDO O CONCEITO DE TAXA, TENDO COMO CONTEÚDO A DEFINIÇÃO DE VELOCIDADE ...... 3

FIGURA 2 - EXEMPLO DA APRESENTAÇÃO DE UMA TAXA POR MEIO DO USO DE UM GRÁFICO CARTESIANO4

FIGURA 3 - EXEMPLOS DE MATERIAIS USADOS POR SPINILLO & BRYANT (1991). (A) AS DUAS FIGURAS

ONDE A COMPARAÇÃO OCORRE COM REFERENCIAIS DE METADE, (B) FIGURAS ONDE A

COMPARAÇÃO ATRAVESSA O REFERENCIAL DE METADE (UM RETÂNGULO TEM A>B E O OUTRO

A’<B’) ............................................................................................................................................ 8

FIGURA 4 - GRÁFICO USADO PARA REPRESENTAR O MOVIMENTO DE UM CAMPONÊS SUBINDO UM MORRO

COM SUA BICICLETA ...................................................................................................................... 25

FIGURA 5 - GRÁFICO, PERGUNTAS E RESPOSTAS USADAS NO PROBLEMA SOBRE O CRESCIMENTO DE

MENINOS E MENINAS ...................................................................................................................... 26

FIGURA 6 - GRÁFICO USADO PARA REPRESENTAR O ENCHIMENTO DA JARRA COM ÁGUA (CLEMENT,

1985) ............................................................................................................................................. 26

FIGURA 7 - EXEMPLO DE DESENHO CRIADO PARA REPRESENTAR O MOVIMENTO DE UM CAMINHÃO NO

DESERTO USANDO TRIÂNGULOS (DISESSA, HAMMER, SHERIN & KOLPAKOWSKI, 1991) .............. 30


DESERTO SEMELHANTE AO TREM DE ONDAS DE UM ‘SONAR’, (DISESSA, HAMMER, SHERIN &

KOLPAKOWSKI, 1991) ................................................................................................................... 30


DESERTO USANDO ‘SLANTS’, (DISESSA, HAMMER, SHERIN & KOLPAKOWSKI, 1991) ................... 31


DESERTO USANDO ‘T’, (DISESSA, HAMMER, SHERIN & KOLPAKOWSKI, 1991) ............................. 31

FIGURA 11 - DESENHO CRIADO PELO ALUNO I PARA REPRESENTAR O FENÔMENO DESCRITO NA TAREFA

BALANÇO-CRESCENTE ................................................................................................................... 46

FIGURA 12 - DESENHO DA ALUNA J PARA A TAREFA CAMINHÃO-DUPLO ................................................ 48

FIGURA 13 - DESENHO CRIADO PELO ALUNO I PARA REPRESENTAR A CONTAGEM DE ONDAS NUMA PRAIA51

FIGURA 14 - DESENHO DO SUJEITO O NA TAREFA ENVOLVENDO A DESCRIÇÃO DO CRESCIMENTO DE UMA

PLANTA, DESCRITO POR UMA TABELA ........................................................................................... 54

FIGURA 15 - ESCALAS DE MEDIDA DA ALTURA DA PLANTA, CRIADAS PELA ALUNA J PARA A TAREFA

PLANTA-CRESCENTE ...................................................................................................................... 57

FIGURA 16 - ESCALAS DE ALTURA E DE TEMPO CRIADAS PELA ALUNA J PARA A TAREFA PLANTA-

CONSTANTE ................................................................................................................................... 58

FIGURA 17 - DESENHO DA ALUNA J PARA A TAREFA PLANTA-DECRESCENTE ......................................... 59

xii

FIGURA 18 - DESENHO DA ALUNA J PARA A TAREFA TABELA-PLANTA ................................................... 60

FIGURA 19 - DESENHO CRIADO PELO ALUNO A PARA REPRESENTAR A TAREFA VASO-DUPLO ................ 63

FIGURA 20 - DESENHO DO ALUNO A PARA A TAREFA CAMINHÃO-CRESCENTE ....................................... 67

FIGURA 21 - DESENHO FEITO PELO SUJEITO A PARA A TAREFA CAMINHÃO-TABELA .............................. 69

FIGURA 22 - DESENHO CRIADO PELA ALUNA M PARA REPRESENTAR O MOVIMENTO COM VELOCIDADE

CONSTANTE DE UM CAMINHÃO ...................................................................................................... 74

FIGURA 23 - DESENHO DO ALUNO P PARA A TAREFA VASO-CRESCENTE ................................................. 75

FIGURA 24 - DESENHO DO ALUNO E NA TAREFA BALANÇO-CONSTANTE ................................................ 90

FIGURA 25 - DESENHO CRIADO PELO ALUNO A PARA A TAREFA PLANTA-DUPLA .................................... 96

FIGURA 26 - DESENHO DO ALUNO I NA TAREFA VASO-DECRESCENTE ..................................................... 97

FIGURA 27 - DESENHO DO ALUNO A NA TAREFA VASO-DECRESCENTE. A SEGUNDA TAXA ΔQ/ΔT É

MENOR QUE A PRIMEIRA .............................................................................................................. 101

FIGURA 28 - DESENHO CRIADO PELA ALUNA G NA TAREFA PLANTA-CRESCENTE ................................. 108

FIGURA 29 - DESENHO DO SUJEITO F NA TAREFA BALANÇO CONSTANTE .............................................. 113

FIGURA 30 - REPRESENTAÇÃO DA ALUNA J NA TAREFA PLANTA CONSTANTE ....................................... 118

FIGURA 31 - DESENHO DA ALUNA J CRIADO PARA A TAREFA PLANTA-CRESCENTE ............................... 119

FIGURA 32 - DESENHO QUE DESCREVE A VARIAÇÃO DE TEMPO COM RELAÇÃO A ALTURA DO BALANÇO,

CRIADO PELO ALUNO A, NA TAREFA BALANÇO-CRESCENTE. O ALUNO CRIA AS SÉRIES

ASSOCIANDO RETÂNGULOS ÀS UNIDADES DE ALTURA PERCORRIDA. SEU DESENHO DEMONSTRA A

ESCOLHA DA ESTRATÉGIA DE COMPARAR AS TAXAS INVERTIDAS (ΔT/ΔQ E ΔT’/ΔQ’) ................. 122

FIGURA 33 - DESENHO INDICANDO AS ALTURAS DO BALANÇO AO LONGO DO PERCURSO, PELO ALUNO A,

NA TAREFA BALANÇO-CRESCENTE. NESSE CASO O DESENHO CORRESPONDE A RELAÇÃO CORRETA

ENTRE AS TAXAS. O ALUNO USOU A ESTRATÉGIA DE COMPARAR AS TAXAS DIRETAS (ΔQ/ΔT E

ΔQ’/ΔT’) ...................................................................................................................................... 123

FIGURA 34 - TERCEIRO DESENHO DO ALUNO A NA TAREFA BALANÇO-CRESCENTE. AQUI, RETÂNGULOS

REPRESENTAM INTERVALOS DE 1 S E AS ALTURAS DAS LINHAS INSCRITAS REPRESENTAM AS

ALTURAS SUCESSIVAS DA PLANTA ............................................................................................... 124

FIGURA 35 - VÁRIAS SECANTES DE UM GRÁFICO: APRESENTAÇÃO DA MESMA TAXA ............................ 150

FIGURA 36 - A DIFERENÇA ENTRE UMA SECANTA E UMA TANGENTE NUMA CURVA .............................. 150

FIGURA 37 - A DIFERENÇA DE UMA SECANTE E UMA TANGENTE NO GRÁFICO ...................................... 151

FIGURA 38 - INTERVALO ONDE A TAXA ESTÁ SENDO CALCULADA ........................................................ 152

xiii

Índice de protocolos PROTOCOLO 1 - O ALUNO I EXPLICA O SEU DESENHO CRIADO PARA A TAREFA BALANÇO-CRESCENTE ... 47

PROTOCOLO 2 - COMPARAÇÃO DAS VELOCIDADES DOS PRIMEIRO E SEGUNDO CAMINHÕES, NA TAREFA

CAMINHÃO-DUPLO PELO ALUNO J ................................................................................................. 50

PROTOCOLO 3 - EXPLICAÇÃO DA REPRESENTAÇÃO DO ALUNO I NA TAREFA MAR-DECRESCENTE .......... 52

PROTOCOLO 4 - O SISTEMA GRÁFICO CRIADO PELO ALUNO O NA TAREFA PLANTA-TABELA ................... 55

PROTOCOLO 5 - ALUNA J RESOLVENDO A TAREFA PLANTA-CRESCENTE ................................................. 57

PROTOCOLO 6 - RESOLUÇÃO DA TAREFA PLANTA-CONSTANTE PELA ALUNA J ....................................... 58

PROTOCOLO 7 - RESOLUÇÃO DA ALUNA J NA TAREFA PLANTA-DECRESCENTE ....................................... 59

PROTOCOLO 8 - COMO A ALUNA J IDENTIFICA A DIFERENÇA ENTRE AS TAXAS NO DESENHO QUE FOI

CRIADO PARA A TAREFA QUE DESCREVE O CRESCIMENTO DE UMA PLANTA POR UMA SÉRIE DE DEZ

PARES DE VARIAÇÕES .................................................................................................................... 61

PROTOCOLO 9 - ALUNO A TENTANDO ENCONTRAR A VARIAÇÃO A CADA MINUTO DA ALTURA DO NÍVEL

DE ÁGUA NO PRIMEIRO VASO. DA TAREFA VASO-DUPLO. .............................................................. 64

PROTOCOLO 10 - O ALUNO A DESCREVE O SEU DESENHO CRIADO PARA REPRESENTAR O MOVIMENTO

DESCRITO NA TAREFA CAMINHÃO-CRESCENTE .............................................................................. 67

PROTOCOLO 11 - A CRIAÇÃO DE UM SISTEMA GRÁFICO PELO ALUNO A NA TAREFA CAMINHÃO-TABELA69

PROTOCOLO 12 - COMPARAÇÃO ENTRE VELOCIDADE MÉDIAS DE DIFERENTES INTERVALOS DE TEMPO,

ALUNO A NA TAREFA CAMINHÃO-TABELA .................................................................................... 71

PROTOCOLO 13 - ALUNO P RESOLVENDO A TAREFA VASO-CRESCENTE (PARTE 1/3) .............................. 76



PROTOCOLO 16 - O ALUNO E ESTIMA UMA RELAÇÃO COMPARANDO APENAS AS EXTENSÕES DOS

INTERVALOS DE TEMPO, NA TAREFA BALANÇO-CONSTANTE ......................................................... 89

PROTOCOLO 17 - O ALUNO E COMPARA APENAS A ALTURA PERCORRIDA PELO BALANÇO PARA

CONCLUIR QUAL A RELAÇÃO ENTRE AS TAXAS, TAREFA BALANÇO-DECRESCENTE ....................... 90

PROTOCOLO 18 - ALUNO E UTILIZA A ESTRATÉGIAS DE COMPARAR AS QUANTIDADES ATRAVÉS DE

DESIGUALDADES. PRIMEIRA PARTE DA TAREFA VASO-DUPLO ....................................................... 92

PROTOCOLO 19 - RELACIONAR AS VARIAÇÕES ATRAVÉS DE DESIGUALDADES PARECE SER SUFICIENTE

PARA O ALUNO A RESOLVER A PRIMEIRA PARTE DA TAREFA PLANTA-DUPLA ............................... 94

PROTOCOLO 20 - EXEMPLO DE SOLUÇÃO ADITIVA EMITIDA PELO ALUNO I NA TAREFA VASO-

DECRESCENTE ................................................................................................................................ 97

PROTOCOLO 21 - CONTINUAÇÃO DO PROTOCOLO DA TAREFA VASO-DECRESCENTE COM O ALUNO I ...... 98

xiv

PROTOCOLO 22 - MUDANÇA DA ESTRATÉGIA ADITIVA PARA UMA ESTRATÉGIA MULTIPLICATIVA QUE

OCORREU ENQUANTO O ALUNO A AO RESOLVER UMA TAREFA QUE DESCREVIA O ENCHIMENTO DE

UM VASO NUMA SEQÜÊNCIA DECRESCENTE DE TAXAS. ............................................................... 102

PROTOCOLO 23 - CONTINUAÇÃO... O ALUNO A ABANDONA A HIPÓTESE DE UMA RELAÇÃO ADITIVA

ENTRE AS VARIAÇÕES .................................................................................................................. 105

PROTOCOLO 24 - RESOLUÇÃO DA TAREFA CAMINHÃO-DECRESCENTE PELO ALUNO J. ELE CALCULA O

VALOR UNITÁRIO: VARIAÇÃO DE POSIÇÃO EM 1 H. ...................................................................... 107

PROTOCOLO 25 - EXPLICAÇÃO DA ALUNA G NA TAREFA PLANTA-CRESCENTE ..................................... 108

PROTOCOLO 26 - A ALUNA G EXPLICA COMO OS INTERVALOS DE TEMPO FORAM REPRESENTADOS EM

SEU DESENHO, AINDA NA TAREFA PLANTA-CRESCENTE ............................................................... 110

PROTOCOLO 27 - O ALUNO F RESOLVENDO A TAREFA BALANÇO-CONSTANTE ..................................... 111

PROTOCOLO 28 - A ALUNA J FOCALIZA A RELAÇÃO INVERSA ΔT/ΔQ PARA ENCONTRAR O RESULTADO DA

COMPARAÇÃO ENTRE AS TAXAS DESCRITAS NA TAREFA PLANTA-CONSTANTE ............................ 117

PROTOCOLO 29 - ERRO PROVOCADO PELO USO DA RAZÃO INVERSA NA COMPARAÇÃO FEITA PELO

ALUNO J NA TAREFA PLANTA-CRESCENTE ................................................................................... 118

PROTOCOLO 30 - SOLUÇÃO CORRETA DO ALUNO A USANDO A ESTRATÉGIA DE COMPARAR RAZÕES

ΔT/ΔQ, NA TAREFA BALANÇO-CRESCENTE ................................................................................... 120

PROTOCOLO 31 - CONCLUSÃO DO ALUNO A, NA TAREFA BALANÇO-CRESCENTE, USANDO A TAXA ΔT/ΔQ121

PROTOCOLO 32 - O USO DA ESTRATÉGIA DE RELACIONAR AS VARIAÇÕES ATRAVÉS DE DESIGUALDADES,

PELO ALUNO A, PARA REFORÇAR SUA CONCLUSÃO DA TAREFA BALANÇO-CRESCENTE .............. 124

PROTOCOLO 33 - O ALUNO L NÃO CONSIDERA AS QUANTIDADES DESCRITAS COM A TAREFA BALANÇO-

CRESCENTE PARA COMPARAR AS TAXAS ..................................................................................... 125

xv

Índice de tabelas TABELA 1 - FORMAÇÃO DOS GRUPOS DE FENÔMENOS DE ACORDO COM A DIREÇÃO PREFERENCIAL DAS

TRANSFORMAÇÕES OCORRIDAS NOS MESMOS ............................................................................... 36

TABELA 2 - AS DIMENSÕES DAS QUANTIDADES ENVOLVIDAS EM CADA FENÔMENO ............................... 37

TABELA 3 - ORDENS DE APRESENTAÇÃO DOS GRUPOS DE TAREFAS ........................................................ 40

TABELA 4 - RELAÇÃO DOS ALUNOS: IDADE, SÉRIE E ORDEM DAS TAREFAS ............................................ 40

TABELA 5 - RESUMO DAS SEQÜÊNCIAS DE TAREFAS ............................................................................... 41

TABELA 6 - DISTRIBUIÇÃO DOS TIPOS DE DESENHOS POR SÉRIE .............................................................. 81

TABELA 7 - DISTRIBUIÇÃO DOS TIPOS DE DESENHOS PELOS TIPOS DE FENÔMENOS ................................. 82

TABELA 8 - A OCORRÊNCIA DE DIFERENCIAÇÃO DAS TAXAS, POR SÉRIE ................................................ 82

TABELA 9 - ACERTO DOS PROBLEMAS DE COMPARAÇÃO DE TAXAS, POR SÉRIE ...................................... 83

TABELA 10 - DIFERENCIAÇÃO DAS TAXAS PELOS TIPOS DE FENÔMENOS DESCRITOS .............................. 83

TABELA 11 - DISTRIBUIÇÃO DO DESENHO DE VARIAÇÕES, TOTAIS OU TAXAS, POR SÉRIE ....................... 84

TABELA 12 - DISTRIBUIÇÃO DO DESENHO DE VARIAÇÕES, TOTAIS OU TAXAS, POR TIPO DE FENÔMENO

REPRESENTADO ............................................................................................................................. 84

TABELA 13 - DISTRIBUIÇÃO DE ERROS E ACERTOS NAS TAREFAS DE INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS ..... 85

TABELA 14 - RESUMO DOS TIPOS DE ESTRATÉGIAS EMITIDAS PELOS ALUNOS DURANTE A RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS DE COMPARAR TAXAS ................................................................................................ 88

TABELA 15 - DISTRIBUIÇÃO DAS ESTRATÉGIAS, POR SÉRIE ................................................................... 127

TABELA 16 - DISTRIBUIÇÃO DAS ESTRATÉGIAS, PELA ORDEM DE APRESENTAÇÃO DAS TAXAS ............ 127

TABELA 17 - DISTRIBUIÇÃO DAS ESTRATÉGIAS, PELO TIPO DE FENÔMENO REPRESENTADO ................. 128

TABELA 18 - DISTRIBUIÇÃO DOS ACERTOS, POR ESTRATÉGIA ............................................................... 129

1

Capítulo 1: Introdução De modo geral, os alunos não utilizam conceitos matemáticos da maneira

como são formalmente ensinados na escola. Esse fato verifica-se na literatura com

relação, por exemplo, aos algoritmos de resolução de problemas de proporção.

Carraher, Carraher & Schliemann (1986) demonstraram que o ensino do algoritmo

da regra de três não implicava na utilização desses procedimentos durante a

resolução de problemas cotidianos fora da escola.

Em contrapartida, alguns estudos demonstraram que as crianças, desde muito

cedo, já têm conhecimentos preliminares sobre conceitos matemáticos, tais como:

proporção (Spinillo & Bryant, 1991), função (Piaget, Grize, Szeminska & Bang,

1968), número e operações com números (Piaget & Szeminska, 1981).

Um outro exemplo de descontinuidade ocorre com o ensino de gráficos

cartesianos. A atividade com gráficos envolve, entre outras coisas, o processo de sua

interpretação. Janvier (1978) analisou esse processo e mostrou que o mesmo é

problemático para a maioria dos adolescentes. Esse autor apresenta os tipos de erros

de interpretação mais freqüentes e aponta algumas causas.

Por outro lado, desde muito jovens e mesmo sem terem recebido instruções

formais sobre a construção de gráficos, as crianças são capazes de criar

representações para situações-problema (Nemirovsky & Rubin, 1991), e de utilizar

seus desenhos para tratar conceitos matemáticos (Meira, 1995). Suas estratégias,

mesmo que distintas daquelas ensinadas na escola, são bastante sofisticadas e

adequadas à resolução desses problemas (Nunes, 1994).

O estudo de diSessa, Hammer, Sherin & Kolpakowski (1991) analisou como

representações de um grupo de alunos poderiam ser utilizadas como parte do

processo de instrução sobre sistemas gráficos. Nesse caso particular, os sujeitos

tinham de criar representações gráficas próprias para fenômenos específicos.

Observou-se então que essas representações, mesmo sofisticadas e eficientes como

instrumento à resolução dos problemas, não eram organizadas de forma sistemática

como os gráficos cartesianos, mesmo que os estudantes tivessem sido instruídos

sobre esse conteúdo.

Neste capítulo será apresentado o conceito de taxa de variação e sua

emergência em atividades que envolvem o uso de sistemas simbólicos. Em seguida,

2

será introduzido o conceito de representação, precisamente à partir da análise da

relação entre um objeto matemático e sua representação. Esta última, definida como

sendo o processo pelo qual os indivíduos atribuiem significados a formas gráficas ou

simbólicas, possue função específica que são exemplificadas e analisadas na terceira

parte deste capítulo.

Logo a seguir, observa-se como o conceito de taxa é tratado por meio do uso

de sistemas simbólicos formais como os gráficos cartesianos. Os autores mostram

que tipos de problemas ocorrem quando gráficos cartesianos são usados como

instrumentos na resolução de problemas envolvendo o conceito de taxa de variação.

Outros autores observaram, no entanto, que alguns alunos criam seus próprios

sistemas de representação. Seus desenhos, mesmo diferentes dos gráficos

cartesianos, parecem ser eficazes no tratamento de conceitos específicos como:

velocidade, mudança e função.

1 O conceito de taxa e as relações com os conceitos de razão e proporção

Neste Capítulo será analisado o conceito de taxa de variação: sua definição,

alguns sistemas de representação formais e algumas aplicações. Do ponto de vista da

psicologia da aprendizagem, serão discutidos alguns estudos que analisam os

conhecimentos primitivos de crianças e adolescentes com relação aos conceitos de

razão, proporção e quantidades intensivas observando-se a ligação desses com a

aprendizagem do conceito de taxa.

1.1 O conceito de taxa média2

Formalmente, o conceito de taxa é um caso particular do conceito de razão,

ou seja, é a expressão dos tamanhos relativos de um par ordenado de números ou

quantidades (Carraher, 1992b). Uma dessas quantidades corresponde à medida da

variação de uma grandeza qualquer (com a exceção de quantidades temporais). A

segunda refere-se à medida do intervalo de tempo decorrido durante a variação da

primeira (Nussenzveig, 1987).

2 Por simplicidade, usaremos o termo taxa para designar taxa média. Quando fizermos referência a uma taxa instantânea o mesmo será especificado.

o conceito de taxa e as relações com os

conceitos de razão e proporção

3

O conceito de taxa de variação é utilizado na atividade diária das pessoas em

diversos problemas. Sempre que se pensa em algo envolvendo variações de

quantidades que ocorram ao longo de um intervalo de tempo, estamos pensando em

algo que, matematicamente, é definido como taxa. Mas, sua importância principal

reside no fato de que grande parte dos conceitos da Física (velocidade= taxa de

variação da posição no tempo; aceleração= taxa de variação da velocidade no tempo;

força= taxa de variação da quantidade de movimento no tempo etc.) possui o mesmo

invariante3, do tipo definido por uma razão. Quando uma taxa é expressa pela razão

entre a distância percorrida por um móvel e o tempo que durou esse deslocamento,

ela expressa a intensidade da velocidade com a qual o móvel se desloca. O diagrama

da figura a mostra as duas transformações envolvidas com o cálculo de uma

velocidade: a variação da distância percorrida e a variação do tempo. A taxa é

definida como uma relação do tipo razão entre duas quantidades que representam as

transformações simultâneas (+30 m e +1 s ) resultando na taxa de 30 m/s.

x x+30

t t+1

+1

+30

Distância (m)

Tempo (s)

Figura A - Diagrama das transformações simultâneas ocorridas num problema envolvendo o conceito de taxa, no cálculo de uma velocidade O valor da taxa não depende dos valores iniciais nem finais da distância ou do

tempo. O seu valor depende apenas dos valores correspondentes às variações no

intervalo em que a taxa é calculada. Dentro da análise de um fenômeno, a taxa é uma

razão que caracterizando a rapidez com a qual uma grandeza varia com relação a um

intervalo de tempo decorrido.

3 O termo invariante está sendo utilizado na acepção dada por Vegnaud (1990). Este autor define invariante como sendo “os conhecimentos do sujeito que são subjacentes às suas condutas, e que são então parte integrante de seus esquemas de ação. São os invariantes que formam as categorias com as quais o sujeito de fazer a escolha das informações pertinentes a sua ação; ele as faz entrar em cálculos inferenciais que lhe permite gerar, consciente ou inconscientemente, regras de ação, ações e antecipações.” (p. 146)



4

Quando um fenômeno é representado através de um gráfico cartesiano, as

diferentes taxas são representadas através de diferentes inclinações nesse gráfico4.

Essas inclinações são medidas a partir da direção horizontal, no sentido anti-horário.

A comparação entre taxas ocorre através da comparação entre essas inclinações. A

figura b abaixo apresenta como uma taxa de variação pode ser representada através

da inclinação de um segmento de reta (AB) desenhado num gráfico. O valor dessa

inclinação depende das posições iniciais e finais do segmento, não importando o que

ocorre nos momentos intermediários entre esses valores5.

Figura B - Gráfico cartesiano de uma função O conceito de taxa está relacionado com os conhecimentos anteriores dos

alunos sobre razão e proporção. Pelo tipo de relação que envolve esse conceito é

classificado como sendo uma relação de primeira ordem. A proporção, por sua vez, é

denominada relação de segunda ordem, por tratar-se de uma igualdades entre

relações de primeira ordem6 (razões). Na seção a seguir serão analisados alguns

estudos que descrevem os conhecimentos que as crianças têm sobre os conceitos de

razão e proporção.

1.2 Os conhecimentos sobre razão e proporção

Alguns estudos sugerem que a base da compreensão do conceito de razão

reside em atividades de julgamento perceptual no início da infância, sugerindo a

possibilidade de crianças muito jovens poderem apresentar alguma versão de

raciocínio proporcional. Lovett & Singer (1991) apresentaram a um grupo de

crianças cartelas com desenhos de flores e aranhas e perguntaram como estaria o

rosto de uma formiguinha que iria cair em cada arranjo. As respostas eram dadas

4 Veja a definição de tangente de um gráfico na seção a taxa de variação e a derivada na página 154. 5 Observe no Apêndice I as definições de secante e tangente e a sua aplicação na comparação entre diferentes taxas através do uso de gráficos. 6 Os sentidos dados as expressões “relações de primeira ordem”e “relações de segunda ordem” são os mesmos adotados por Spinillo & Bryant (1991), analisado na próxima seção.



5

pelas crianças em uma outra cartela onde estava representada uma escala do estado

emocional da formiguinha, desde muito triste até muito feliz. A criança tinha de

marcar uma posição na escala. Este estudo mostrou que a criança pode usar

informações perceptuais e não quantitativas para estimar probabilidade através do

estabelecimento de relações parte-parte, nesse caso, as quantidades de flores e de

aranhas.

O conceito de proporção também constitui o campo conceitual (Vergnaud,

1992) das estruturas necessários à resolução de problemas de comparar taxas. Para

que exista uma relação de proporção faz-se necessário que sejam estruturadas

relações de igualdade ou de desigualdade, i.e., comparações entre duas (ou mais)

relações de primeira ordem (razões ou taxas de variação). As relações de primeira

ordem podem ser parte-todo ou parte-parte, sendo as últimas mais fáceis de serem

compreendida que as primeiras (Spinillo & Bryant, 1991).

Singer, Kohn & Resnick (prelo), especulando sobre o conhecimento sobre

proporção, sugerem que esse pode ter algum fundo biológico. Provavelmente inato

ou aprendido muito cedo, esse conhecimento permitiria que crianças muito novas

pudessem tomar decisões diante de relações proporcionais. “Do ponto de vista da

evolução, faz sentido que os organismos sejam capazes de tomar decisões sobre

certas dimensões proporcionais, por exemplo, densidade de alimentos e velocidade”

(p. 10). De acordo com esses autores, pode ser desvantajoso para um organismo ter

de realizar uma integração de longo prazo de diferentes fontes. Os autores, então,

imaginam que a apreensão direta de proporções ocorre durante um único passo

cognitivo, sem a necessidade de integrar duas ou mais variáveis, isto é, o conceito de

proporção seria aprendido de forma primitiva, direta, e não seria construído via a

integração de duas quantidades. Isso significa que a criança seria capaz de realizar

um julgamento sobre proporção sem ter de primeiro integrar outras dimensões.

Com relação ao conceito de velocidade, por exemplo, a criança realizaria o

julgamento sem ter de primeiro estimar o tempo, depois estimar a distância, para

então integrá-las multiplicativamente determinando a velocidade. Fazendo-o

diretamente, a velocidade seria a única quantidade a ser imaginada, percebida e

medida. Um resumo de situações nas quais os conhecimentos que as crianças

pequenas têm sobre proporção e outros exemplos nos quais ocorre a utilização de



6

‘conhecimentos diretos’ de relações proporcionais são apresentados em Singer, Kohn

& Resnick (prelo).

O conceito de proporção foi considerado por Piaget como sendo uma

aquisição do estágio das operações formais. A criança, no estágio pré-operacional

concreto, reconhece claramente acontecimentos causais quando os encontra, i.e.,

reconhece as relações de causa e efeito dos fenômenos. No entanto, não consegue

reconhecer adequadamente relações proporcionais entre quantidades, pois não dispõe

do equipamento intelectual necessário para isso7. Ao contrário, a criança no estágio

operacional concreto disporia dos equipamentos intelectuais necessários para

reconhecer relações como essas.

Segundo Piaget, há quatro os estágios no desenvolvimento do esquema de

proporcionalidade. Num primeiro estágio, pré-operacional, a criança consegue

estabelecer intuitivamente algumas das relações entre quantidades envolvidas, sem

mostrar qualquer tentativa de quantificação. No segundo estágio, aparecem algumas

tentativas de quantificação, e as crianças conseguem ordenar sistematicamente

alguns exemplos de modo correto. Seus sucessos, porém restringem-se aos casos em

que é suficiente considerar e quantificar apenas uma variável8. Basta considerar a

única variável com valores diferentes nos dois grupos para responder corretamente.

No terceiro estágio, operatório concreto final, a criança já busca uma quantificação

das duas variáveis em jogo, porém não consegue alcançar essa quantificação em

termos de proporcionalidade. Suas tentativas permanecem aditivas, levando-os a

erros sistemáticos em determinadas questões. Finalmente, no quarto estágio, a

criança torna-se capaz de reconhecer a impossibilidade de comparações diretas entre

os valores das duas variáveis em jogo, estabelecendo relações quantitativas.

7Um exemplo de limitação desse tipo ocorreria quando o aluno tem de reconhecer uma relação de igualdade entre volumes iguais de líquidos, quando colocados em vasos de formas diferentes, mesmo o sujeito tendo acompanhado seu transvazamento a partir de quantidades iguais. 8 No caso, por exemplo, da tarefa de Quantificação de Probabilidade (Carraher, Schliemann & Carraher, 1986). Nessa tarefa o experimentador apresenta para a criança dois conjuntos de cartas. Cada carta pode ter uma de duas configurações diferentes: possuir uma cruz ou não (cartas brancas). Os conjuntos são formados de cartas brancas e cartas com cruzes. Pergunta-se, então, ao sujeito qual dos dois conjuntos tem uma proporção maior de cartas com cruz ou brancas. A criança nesse estágio consegue acertar sistematicamente as comparações quando, por exemplo, o número de cartas com cruz é constante (evento esperado), e apenas o número de ‘cartas brancas’ varia, ou vice-versa. Os sujeitos nesse estágio conseguem, pois, ordenar as probabilidades quando a consideração de apenas uma variável é suficiente para realização do julgamento correto.



7

Alguns estudos demonstraram a capacidade que crianças pequenas têm de

realizar julgamentos em termos de uma relação de segunda ordem, em geral, nos

casos nos quais relações de primeira ordem são comparadas. O estudo de Spinillo

(1992) avaliou o desempenho de crianças com idades por volta dos 6 anos ao realizar

julgamentos sobre proporção. Foram apresentadas diversas tarefas de proporção que

envolviam a distinção entre relações de primeira ordem entre dimensões

complementares de um estímulo (partes complementares de uma figura retangular,

dividida em duas parte pintadas com cores diferentes). A autora observou que essas

relações tanto podiam ser estabelecidas através de comparações parte-parte como

através de comparações parte-todo, e que as crianças eram capazes de resolver

problemas de proporção quando as relações de primeira ordem envolviam

comparações parte-parte.

Em um trabalho anterior, Spinillo & Bryant (1991) tinham documentado que

as crianças estabeleciam relações de segunda ordem entre algumas relações parte-

parte, mas não entre outras. Segundo os autores, isso ocorria, porque entre relações

de primeira ordem diferentes, a criança pode fazer julgamentos proporcionais usando

termos relacionais (por exemplo, “maior do que” versus “menor do que”,

“maior/menor do que” versus “igual a”), enquanto que entre relações de primeira

ordem semelhantes9 a criança precisava usar códigos absolutos que eram mais

sofisticados que os códigos relativos.

Nas tarefas em Spinillo & Bryant (1991) foram solicitadas comparações entre

dimensões complementares representadas não-numericamente: áreas pintada e

não-pintada de retângulos. A área A correspondia a parte pintada de azul de um

retângulo. A outra área, B, correspondia à parte deixada em branco deste mesmo

retângulo (figura c).

9 Relações de primeira ordem diferentes designam duas razões cuja diferença entre as mesmas pode ser identificada facilmente através de um exame visual. É o caso, por exemplo, de um par de retângulos que têm 1/4 e 3/4 de suas áreas pintadas de azul. O segundo tipo, relações de primeira ordem semelhantes são razões cuja diferença entre parte pintadas e parte não-pintadas são semelhantes como, por exemplo, no caso em que 1/3 e 1/4 de suas áreas são pintadas de azul.



8

(a)

(b)

Figura C - Exemplos de materiais usados por Spinillo & Bryant (1991). (a) As duas figuras com a razão área pintada:área não-pintada igual a 1/2; (b) figuras onde a comparação ocorre entre relações de primeira ordem diferentes (A>B e A’<B’) Era solicitado a criança que identificasse o retângulo cuja razão área

pintada:área não-pintada fosse a mesma razão A:B que existia no retângulo modelo.

As áreas A’ e B’ correspondiam às áreas pintada e não-pintada de um segundo

retângulo. Diversas situações foram apresentadas à criança: (1) um retângulo tinha

A>B e o outro A’<B’; (2) um retângulo tinha A>B (ou A<B) e o outro A’=B’; (3)

um retângulo tinha A>B e o outro A’>B’; (4) um retângulo tinha A<B e o outro

A’<B’.

As duas primeiras comparações (1 e 2) eram fáceis de ser estabelecidas

porque envolviam relações de primeira ordem diferentes. Mas a mesma criança podia

ter dificuldade em estabelecer uma relação entre duas relações de primeira ordem

iguais (3 e 4). Os termos relacionais nessas comparações eram insuficientes, pois

apenas através do uso de um código absoluto (o quanto A é maior do que B em cada

retângulo) era que a criança poderia solucionar a tarefa.

Por outro lado, nas situações (1) e (2), as comparações entre as relações

atravessavam o referencial de metade. Enquanto, nos casos (3) e (4), as comparações

ocorriam dentro dos limites do referencial de “metade”. Evidenciava-se assim, a

importância dos limites de referencial de “metade” em julgamentos sobre proporção.

A criança fazia julgamentos sobre proporção quando as comparações atravessavam

os limites de “metade” ou explicitamente envolviam este referencial. A hipótese era

que o referencial de metade fosse uma categoria limite, adotada como “âncora” para

discriminar quantidades e estímulos10. Outra conclusão interessante dos autores com

10 Análogo ao referencial de “metade” existem outros exemplos de categorias perceptuais semelhantes quanto à percepção de cores e sons por parte de adultos e bebês. Especificamente com relação ao referencial de metade, os autores (Spinillo & Bryant, 1991) afirmaram ter encontrado apenas uma



9

relação à forma como a criança resolvia os problemas de proporção, foi que

inicialmente ela o fazia através de uma comparação parte-parte, e não entre uma

parte e um todo e ela não podia coordenar uma tarefa de proporção na qual as

relações de primeira ordem que ela tinha para trabalhar eram relações parte-todo.

Esta conclusão também foi evidenciada por Parrat-Dayan (1982, 1985). Outros

estudos que se preocuparam com as estratégias diretamente ligadas a julgamentos

perceptuais como meio para realizar julgamentos proporcionais encontram-se citados

em Spinillo (1993).

Para avaliar as contribuições do ensino formal da escola no desenvolvimento

da noção de proporcionalidade, Carraher, Carraher, Schliemann & Ruiz (1986)

observaram a compreensão de quantidades medidas por razões em situações

familiares (comparação de preço por unidade) e em situações menos familiares

(comparação entre velocidades, medidas em centímetros por segundo). O

desempenho de 49 adolescentes (de 10 a 16 anos), com ou sem instrução escolar

sobre proporção, foi comparado nessas duas situações. Observou-se que o conteúdo

da tarefa afetou significativamente o desempenho. Em primeiro lugar, a porcentagem

de jovens que levava em consideração apenas uma das variáveis foi bastante

reduzida (17%) em comparação com aquela obtida na tarefa de comparação de

preços (59%). Segundo, houve algumas respostas aditivas incorretas (10%), em

que os jovens pressupunham implicitamente que a cada segundo os carros deveria

percorrer um centímetro. Enquanto na tarefa de comparação de preços não foi

observada qualquer resposta do tipo aditiva. Observou-se ainda que o nível de

escolaridade afetou significativamente apenas a tarefa menos familiar. Na tarefa

envolvendo o conceito de velocidade houve uma certa influência da escolaridade

sobre o desempenho, uma vez que, dos oito sujeitos que mostraram respostas de

quantificação correta, sete encontravam-se na série mais avançada incluída neste

estudo, sendo significativa a correlação entre a série cursada e o nível alcançado

nesta tarefa.

Do ponto de vista teórico, os autores questionam a possibilidade de existência

de uma fase, envolvendo comparações aditivas e precedendo a quantificação

apropriada em problemas de proporcionalidade, como previa Piaget. Pois, se este

fosse, de fato, um estágio na construção do raciocínio proporcional, ele deveria

categoria limite em um senso restrito, porque algumas das notas de crianças na comparação dentro da metade, que não cruzam a metade como entre 1/3 e 1/4, foi melhor do que se podia esperar.



10

aparecer em qualquer tarefa, independente do conteúdo. A explicação dos autores foi

que as respostas aditivas incorretas apareciam apenas quando era, de certa forma,

aceitável para o sujeito a hipótese implícita de correspondência um a um entre as

unidades das variáveis em jogo. Quando esta hipótese não era intuitivamente aceita,

as respostas aditivas incorretas desapareciam.

Há um outro tipo de estratégia aditiva, mais sofisticada que essa descrita

acima. Em um outro estudo no qual os sujeitos tinham de comparar medidas lineares

expressas numa planta baixa, foi usado um tipo de estratégia aditiva para resolver

problemas de proporção que, no entanto, preservava a razão entre as quantidades

(Carraher, 1986). Neste trabalho, a autora apresentou aos sujeitos (estudantes de

sétima série e mestres de obra, operários da construção civil) problemas envolvendo

a utilização de escalas para conversão de medidas lineares. Foram utilizadas quatro

tipos de plantas baixas (blueprints) de construções com diferentes escalas: 1:100,

1:50, 1:40 e 1:33.3. A autora observou que a estratégia mais comumente empregada

foi uma denominada por ‘rated addition’, de acordo com a qual os sujeitos

encontravam uma simples razão (geralmente, 1/×) e então procediam adicionando

montantes de quantidades a cada uma das quantidades. Este método deve ser

distinguido da solução aditiva simples porque, ao contrário dessa, a estratégia ‘rated

addition’ mantém a razão constante. O que ocorre são adições simultâneas; de um

lado o sujeito adiciona uma unidade a uma das quantidades, e depois procede à

adição da quantidade correspondente a essa unidade, com relação à taxa 1/×. Esse

tipo de estratégia não gera erros sistemáticos.

Em um outro estudo, Carraher, Carraher & Schliemann (1986) procuraram

verificar até que ponto era possível fazer com que adolescentes se tornassem capazes

de resolver corretamente problemas de proporção aprendendo um algoritmo que

facilitasse a solução desses problemas, e até onde essa aprendizagem em Matemática

estaria condicionada ao nível de desenvolvimento cognitivo do estudante. Estudantes

de 5ª, 6ª e 7ª séries foram submetidos as seguintes tarefas: a) Bonecos Alto e Baixo,

de Karplus; b) Problemas escolares; c) Quantificação de probabilidades, de Inhelder

e Piaget; e d) Equilíbrio de uma balança, também de Inhelder e Piaget. As duas

primeiras tarefas foram aplicadas coletivamente e as duas últimas individualmente.

Observou-se nos problemas escolares um desempenho inferior ao esperado, a partir

do desempenho nas tarefas que indicavam a habilidade de raciocínio proporcional.

Tal resultado sugere que a escola, ao tentar promover, por meio do ensino, a



11

capacidade de resolver problemas de proporção, não tem aproveitado devidamente as

habilidades já existentes nos estudantes. Consistentemente com esta conclusão,

observou-se entre os estudantes a utilização mais freqüente de estratégias intuitivas

ao uso da regra de três, ensinada como o algoritmo para resolução de problemas de

proporção.

1.3 Conclusões

Nesse Capítulo foram discutidos estudos que evidenciam as concepções das

crianças sobre razão e proporção. Alguns resultados colocam em questão a suposição

inicial de Inhelder & Piaget (1976) de que o esquema de proporcionalidade é uma

aquisição das operações formais, e portanto tardia (por volta dos 15 anos). O estudo

realizado por Spinillo & Bryant (1991) demonstrou que crianças com apenas 6 anos

de idade já eram capazes de fazer julgamentos corretos em problemas envolvendo

este tipo de relação. As crianças de 6 e 7 anos apresentavam um bom desempenho no

julgamento de proporcionalidade quando as relações entre azul e branco em cada

uma das figuras encontravam-se separadas pelo limite do referencial de metade, i.e.,

uma das relações menor que a metade e a outra maior do que esse valor (figura c.b).

O ensino de algoritmos como a regra de três não contribui efetivamente para

tornar as crianças capazes de resolver problemas envolvendo os conceito de razão e

proporção em qualquer situação (Carraher, Carraher & Schliemann, 1986). Suas

estratégias intuitivas são muitas vezes adequadas para resolver os problemas. Em

alguns casos, no entanto, o uso de suas estratégias levam a erros sistemáticos. Isso

ocorre, por exemplo, com a estratégia aditiva.

Discutidas algumas características das competências relacionadas com os

conceitos de razão, proporção e taxa, serão discutidas a seguir o conceito de

representação, e finalmente a relação entre invariante e representação de um

conceito. Serão discutidas posições teóricas de base com relação ao papel dos

sistemas simbólicos na aprendizagem de um conceito.

2 O processo da representação Nesta seção será discutida a função mediadora do processo de representação

na atividade matemática. Essa função será discutida à luz da definição do conceito

o processo da representação

12

vygotskiano de mediação. Por outro lado, será discutida a relação entre o invariante

de um conceito e a sua representação.

2.1 O conceito Vygotskiano de mediação

O ponto de vista Vygotskiano com relação ao desenvolvimento cognitivo tem

reflexos na forma de sua definição metodológica. O elemento tomado como central

em sua análise foi a noção de processos de desenvolvimento, num contexto no qual o

desenvolvimento não é visto como um processo de aquisições quantitativas de

capacidades, mas sim como um processo de evoluções qualitativas. Por esse motivo,

a sua abordagem é denominada muitas vezes de genética, na qual desenvolvimento

não deve ser entendido como desenvolvimento ontogenético na forma adotada por

Piaget, por exemplo. A análise vigotskiana é de que a própria natureza do

desenvolvimento muda. Essa mudança dos processos de desenvolvimento reflete-se

diretamente na organização material da atividade dos indivíduos, e o elemento

analítico adotado para analisar essa interação foi o princípio da mediação.

A aparição de uma nova forma de desenvolvimento estaria associado à

aparição de uma nova forma de mediação. Dependendo do domínio no qual se

processa o desenvolvimento, essa mediação pode ocorrer em forma de instrumentos

ou sinais. “Em alguns casos, transições no desenvolvimento estão relacionadas a

novas formas de mediação, em outras, elas estão relacionadas a versões mais

avançadas de uma forma existente de mediação.” (Wertsch, 1985, p.22). A distinção

entre funções mentais “elementares” e “superiores” encontra-se subjacente às noções

vigotskianas de transformações qualitativas e o papel da mediação é o de estabelecer

essa distinção. A idéia de Vygotsky era investigar de que forma, funções como:

memória, atenção, percepção e pensamento, primeiro aparecem em formas

elementares e depois mudam para formas superiores. A discussão descreve como

ocorre a passagem das formas naturais para as formas sociais, ou culturais, de

desenvolvimento.

Para Vygotsky, são quatro os fatores principais que são usados para distinguir

funções elementares de funções superiores: (1) o deslocamento do controle do

ambiente para o indivíduo, i.e., a emergência de uma regulação voluntária; (2) a

emergência de uma realização consciente de processos mentais; (3) a origem social e

a natureza social das funções mentais superiores; e (4) o uso de sinais para mediar as

funções mentais superiores. O controle voluntário, a realização consciente e a


13

natureza social das funções mentais superiores, pressupõem a existência de

instrumentos psicológicos, ou sinais11, que podem ser usados na atividade de si

mesmo ou de outras pessoas. Isso conduz à conclusão de que a noção de mediação é

analiticamente anterior a outros aspectos da construção teórica de Vygotsky.

Wertsch (1985) sintetiza, em forma de princípio, a influência que há entre os

processos de mediação e o desenvolvimento qualitativo descrito por Vygotsky,

quando afirma que “em sua descrição da história dos sinais como dispositivos

mnemônicos ou meios de cálculo assim como em sua explicação da relação entre

pensamento e fala, Vygotsky imaginava um princípio superior de desenvolvimento.

Esse princípio, o qual deveria chamar-se princípio de descontextualização de meios

mediadores, substitui aquele [princípio] da evolução Darwiniana após a emergência

da cultura. A descontextualização de meios mediadores é o processo pelo qual o

significado de sinais tornam-se menos e menos dependentes de um único contexto

espaço-temporal no qual eles são usados.” (pp. 32-33).

Os sistemas simbólicos, devido ao seu papel mediador, encontram-se

relacionados com os invariantes dos conceitos.

Na seção a seguir serão discutidas algumas perspectivas com relação à

natureza da ligação entre invariantes e sua representação.

2.2 A relação entre invariante e representação

Piaget, por muito tempo, utilizou a noção de estrutura invariante (sistema

equilíbrio-equilibração) como central na sua análise do desenvolvimento cognitivo.

No entanto, um grande número de pesquisas nos últimos vinte anos têm indicado

algumas limitações dessa posição. Resultados consistentemente observados não

teriam explicação na teoria. Os resultados mais relevantes são aqueles que mostram

que o tipo de situação influencia na forma como a criança resolve um problema e a

constatação de que a representação desempenha um papel significativo no raciocínio.

Vergnaud, entre outros, promoveu novos constructos teóricos a partir da

posição piagetiana. A noção de invariante foi mantida no centro da descrição de

conceitos matemáticos, mas deixou de ser o único elemento importante dessa

descrição. As ações, como origem dos conceitos matemáticos, foram substituídas por

uma noção mais ampla, a de ‘situação’ (Nunes, 1994). O conceito de situação passa a

11O termo sinal é usado por Vygotsky no sentido de ‘ter significado’.


14

desempenhar um papel mais central na teoria, pois os conceitos não são mais

definidos somente em termos de seus invariantes, mas também em termos das

situações relacionadas ao invariante.

Vergnaud incluiu ainda a idéia de que as representações simbólicas são

centrais à descrição psicológica dos conceitos matemáticos, não se tratando apenas

de um subproduto das estruturas cognitivas. Um tipo de representação pode facilitar

o reconhecimento de certas semelhanças e obscurecer outras, enquanto uma segunda

forma de representação pode facilitar o reconhecimento também de outras

semelhanças e diferenças. Os sistemas simbólicos de representação desempenham

um papel estruturante nos processos de raciocínio.

É importante analisar o significado das formas simbólicas que são utilizadas

na formação dos conceitos. Vergnaud (1982), observa que algumas formas de

representação facilitam a resolução de problemas. Ele observou que para os

estudantes na faixa etária entre 11 e 12 anos, diagramas são mais apropriados do que

equações quando o objetivo era resolver problemas de adição e subtração. Ele

admite, então, que diagramas são “...um tipo de equação com informações adicionais

especificadas.” (p. 56). Uma das características dos símbolos matemáticos é que um

mesmo símbolo pode ser usado para representar diversos conceitos. Vergnaud (1985)

considera essa característica como sendo uma limitação das representações

algébricas, um obstáculo à aprendizagem dos conceitos: “Uma representação

algébrica faz perder muitas informações porque identifica sob o mesmo símbolo (+,

-, =) conceitos elementares relativamente diferentes uns dos outros.”(p. 85). O autor

explicita essas limitações: “Alguns sistemas simbólicos não permitem representar

todos os problemas, ou não permitem distinguir entre a representação dos

problemas e a representação das soluções” (p. 89). Decorrem desse fato muitas das

dificuldades encontradas pelas crianças quando têm de ampliar para outras classes de

problemas, e a outras relações, as suas concepções sobre um determinado conceito.

Portanto, Vergnaud (1991) afirma que só é possível existir o significado de

um conceito quando ocorrer a coordenação entre três componentes: as relações entre

o conceito e seu invariante; a estrutura da situação na qual o conceito é utilizado; e as

formas simbólicas que são usadas para representá-lo. Esta é uma teoria sobre

conceitos, matemáticos em particular. Para Vergnaud (1984) um conceito consiste

em uma tríade de três conjuntos.


15

conceito = (S, I, ζ)

S: o conjunto de situações que dão sentido ao conceito; I: o conjunto de

invariantes (ou teoremas-em-ação) que caracterizam a variedade de competências

dos estudantes, esses invariantes são propriedades do conceito enquanto construtos

psicológicos; e, ζ : o conjunto de representações simbólicas que podem ser usadas

para representar essas propriedades e as situações. Em outras palavras, o autor chama

S de referente, I de significado, e ζ de significante. Nesse modelo, a representação de

um conceito tem a mesma importância, para sua formação que têm o invariante e as

situações nas quais esse pode ser tratado.

A posição teórica de Duval (1992) difere um pouco do modelo de campos

conceituais de Vergnaud. Duval conclui que o invariante, ou objeto matemático, é

mais importante que a sua representação. No entanto, esses elementos estão

intimamente relacionados, pois as representações são absolutamente necessárias. Os

objetos matemáticos não são acessíveis diretamente à percepção, ou numa

experiência intuitiva imediata como os objetos ditos ‘reais’ ou ‘físicos’. A

possibilidade de efetuar tratamentos sobre os objetos matemáticos depende do

sistema de escrita escolhido. Com relação à função da representação, Duval conclui

que não servem apenas para comunicar, mas interagem com partes importantes da

cognição.

Na seção a seguir serão discutidos alguns estudos que analisam diferentes

funções da representação perante a atividade matemática. Serão adotadas dois pontos

de vista: em primeiro lugar, analisou-se como sistemas de gráficos formais podem

ser usados para representar objetos matemáticos e, como desenhos peculiares dos

alunos também podem exercer o papel de representar materialmente um invariante.

3 Formas e funções da representação A capacidade de tratar o invariante de um conceito, num amplo conjunto de

situações, por meio do uso de um vasto conjunto de sistemas simbólicos é

conseqüência do conhecimento sobre um conceito. Dos sistemas gráficos usados no

ensino de Matemática, o gráfico cartesiano é um dos que permite, através de sua

interpretação, comparar diferentes taxas. Nesses, taxas diferentes são codificadas por

diferentes inclinações desenhadas a partir de dois pontos distintos do gráfico (Ver no


16

Anexo I a discussão sobre o conceito de tangente). No entanto, a interpretação de

gráficos é uma atividades problemática para os alunos (Janvier, 1978). Um tipo

freqüente de erro cometido é a confusão entre a altura de um ponto no gráfico com a

sua inclinação nas proximidades desse ponto.

Além disso, alguns estudos demonstram como crianças representam

fenômenos através da criação de desenhos diferentes daqueles ensinados na escola.

Nessa seção três tópicos foram analisados: as diferentes funções da representação na

atividade matemática; a relação entre a interpretação de gráficos e a compreensão do

conceito de taxa; e o processo espontâneo de representar dos alunos.

3.1 As funções da representação

Em uma recente revisão, Nunes (1994) discutiu vários estudos empíricos que

evidenciam as funções de diferentes formas de representações em determinados

processos de resolução de problemas. Num dos estudos analisados, essa autora

observou um primeiro tipo de função: determinados tipos de representação exercem

um melhor controle dos processos de computação. Em Marton & Neuman (1990),

uma amostra de crianças de 7 anos resolveu eficientemente problemas aditivos, com

uma parcela desconhecida, usando “finger numbers”, ou seja, o reconhecimento de

padrões visuais que indicavam uma quantidade. Num problema como “se sua

professora tiver 4 lápis e 10 crianças quiserem desenhar, quantos lápis ela precisa ir

buscar na sala de material?”, bastava a criança levantar os dez dedos, separar quatro,

e reconhecia o padrão que se formava. As crianças bem sucedidas diziam a resposta

correta sem contar os dedos. Como afirmou a autora, “...os dedos funcionam como

objetos simbólicos” (Nunes, 1994, p. 21).

As características de um sistema de numeração específico influenciam no

processo de raciocínio. Para exemplificar essa fato, Nunes (1994) observou, por

exemplo, o que ocorria com as crianças das camadas populares do Brasil que eram

expostas a dois tipos de aritmética: a escrita e a oral. A primeira, aprendida na escola,

pode ser caracterizada pelo papel estruturante que os símbolos escritos exercem

sobre o processo de computação. No entanto, depois que os números são escritos no

papel, deixa-se de pensar nas quantidades representadas e passa-se a trabalhar com

dígitos. Essa representação tem características espaciais específicas, e.g., os símbolos

têm de ser alinhados. Além disso, no processo de reagrupamento de colunas, os

dígitos são tratados igualmente, independente de seu valor relativo. Essas

as funções da representação

17

características fazem com que o processo de controle do significado do resultado

fique enfraquecido.

Por outro lado, com a aritmética oral, o processo de controle dos resultados

durante o cálculo é preservado. As quantidades permanecem representadas

explicitamente durante a computação. Os números são tratados de acordo com o seu

valor relativo. Por exemplo, na aritmética oral, duzentos e trinta mais cento e oitenta

são somados calculando-se: “duzentos e trinta mais cem, trezentos e trinta; mais

oitenta, quatrocentos e dez.” (Nunes, 1994, p. 21). A forma como os sistemas

simbólicos oral e escrito são usados para resolver problemas envolvendo um sistema

de numeração também foi descrito em Schliemann, Santos & Costa (1992). Os

sujeitos resolveram contas oralmente preservando suas referências às quantidades

físicas (no caso, dinheiro). Os mesmos sujeitos, quando tentavam resolver as contas

usando código escritos, demonstravam apenas um uso incorreto das técnicas

aprendidas na escola. Efetivamente, suas representações poderiam estar servindo

apenas para auxiliar no cálculo mental, mas isso não ficou claro no estudo.

O uso de sistema simbólico na resolução de problemas aritméticos também

foi apresentado em Hatano (1994). Este autor descreveu como os grandes-mestres

utilizavam o ábaco para resolverem problemas desse tipo. Em síntese, os

grandes-mestres desenvolviam uma representação mental, com características

espaciais, que lhes permitia operar um ‘ábaco mental’ com tanta eficiência como

operavam um ábaco físico. Assim como na aritmética escrita, o ábaco levava o

usuário a trabalhar com dígitos, e não com quantidades. Isso dificultava o processo

de controle dos resultados durante o cálculo. O autor conclui que para todos os tipos

de representantes nos quais a referência às quantidades físicas é perdida, “a

influência do sistema simbólico, usado para simbolizar os números sobre o processo

de cálculo, provavelmente decorre do fato de que os símbolos tornam-se os objetos

sobre os quais operamos” (p. 20).

Um outro papel dos sistemas simbólicos analisada por Nunes (1994) é a

influência desses em processos de resolução de problemas inseridos em práticas

culturais específicas. Basicamente, esse aspecto diz respeito à atribuição de

significados às representações em virtude de seu uso em práticas culturais anteriores.

A autora exemplificou este tópico demonstrando como o significado dos sinais “+” e

“-” são tratados no ensino básico. Ambos são usados para indicar as operações de


18

soma e subtração, no entanto, “não se podem misturar duas operações” (p. 23). Com

a introdução do conjunto dos inteiros, o sinal de menos deixa de representar apenas

uma operação, para passar também a representar magnitudes negativas12. As crianças

demonstraram ter dificuldades ao resolver problemas que envolvam a descrição de

quantidades negativas, como na descrição de perdas e lucros de um agricultor. Os

alunos resolviam corretamente os problemas quando utilizavam o sistema oral de

representação, ao invés do sistema escrito. Uma análise qualitativa demonstrou que

os erros dos alunos não podiam ser atribuídos às dificuldades na compreensão dos

invariantes envolvidos na situação, mas pareciam resultar diretamente de problemas

relacionados à notação.

Para avaliar a interferência dos significados anteriores dos sinais de “+” e “-”,

os problemas foram apresentados em uma folha semelhante à usada em armazéns e

padarias nas quais se fazem anotações das compras e pagamentos. Explicava-se para

os alunos que as anotações indicavam lucros se fossem precedidas pelo sinal de mais

(+), e prejuízos, quando precedidas por um sinal de menos (-). Essa modificação

facilitou a compreensão dos significados dos números negativos, por haver mudado a

interpretação dos sinais. Não foram mais obtidos desempenhos significativamente

inferiores do que aqueles obtidos quando os problemas eram resolvidos na condição

oral. Os alunos saíram-se tão bem na condição escrita quanto na oral. Em síntese,

“quando sistemas simbólicos estão inseridos em determinadas práticas culturais, os

significados dos símbolos e as regras dessas práticas estruturam os processos de

raciocínio, ainda que em conflito com a análise que os sujeitos fazem da situação-

problema” (Nunes, 1994, p. 23).

Um terceiro exemplo de função, analisado por Nunes (1994), revelou que a

maneira com a qual se representa uma situação-problema pode determinar o tipo de

esquema desenvolvido na análise da mesma. A autora descreveu alguns resultados de

estudos sobre o conceito de área os quais os alunos têm dificuldade em resolver

utilizando as medidas dos lados. Basicamente, havia dois grupos de alunos e ambos

tinham de resolver um problema de comparar duas áreas diferentes. Os alunos do

primeiro grupo receberam duas réguas e o outro grupo de alunos recebeu 20

‘tijolinhos’ de 1 cm2. O número médio de respostas erradas no grupo ao qual foram

dadas as réguas foi significativamente maior do que o número de respostas erradas

12Aspecto particularmente problemático, tanto do ponto de vista da aprendizagem como do ponto de vista epistemológico no campo da Matemática (Neto, 1995).


19

observadas no outro grupo. Entre os alunos que dispunham de réguas, três estratégias

foram mais freqüentes: (1) medir os perímetros dos retângulos e compará-los como

se fossem as áreas; (2) calcular a área e depois chegavam à conclusão que ainda não

sabiam qual das figuras tinha a maior área; e (3) tentar utilizar a régua como

instrumento de medida de área, deslocando-a sucessivamente sobre a figura para

medir a área. Este último comportamento foi muito significativo, pois demonstrou a

insatisfação dos alunos em usar uma representação linear para comparar áreas. Entre

os alunos que dispunham de tijolinhos, alguns tentaram contá-los, construindo uma

fileira junto à base da figura. No entanto, um grupo significativo de alunos descobriu

uma fórmula multiplicativa para o cálculo da área dos retângulos. Esta fórmula

surgia a partir da constatação de que todas as fileiras tinham o mesmo número de

tijolinhos e apoiava-se claramente no esquema “correspondência um a muitos”,

característico da compreensão de problemas do tipo ‘isomorfismo de medidas’,

descrito em Vergnaud (1991). Quando foram apresentados ao problema que pedia

para comparar áreas de um paralelogramo, os alunos que resolveram corretamente o

problema com os retângulos usando a estratégia de multiplicar as medidas dos lados,

geralmente confundiam o comprimento do lado inclinado com a altura, incidindo em

erro. Em contraste, muitos dos usuários dos tijolinhos conseguiram vencer essa

dificuldade, buscando identificar o número de tijolos por fileira e o número de

fileiras.

Meira (1991b) investigou, do ponto de vista da Teoria da Atividade13, como a

produção de representações externas está relacionada com a atividade de resolução

de problemas envolvendo o conceito de função do primeiro grau. Foram observados

nove pares de alunos de oitava série trabalhando em problemas sobre funções

lineares, instanciadas em três diferentes dispositivos. Todos os pares receberam

problemas equivalentes, mas cada um dos grupos de três pares tive apenas um dos

dispositivos para experimentar.

O primeiro dispositivo foi um conjunto de pesos, linhas e roldanas. Uma das

extremidades das linhas era fixa a roldanas que, ao girar, recolhiam as linhas. Na

outra extremidade havia um peso que mantinha a linha distendida no sentido vertical.

Neste caso, a altura inicial dos pesos, na ponta da linha, estaria associado ao termo

13Na Teoria da Atividade (Leontiev, 1947/1981) os componentes básicos são as ações tomadas pelos agentes em meios sociais e materiais específicos. Essas ações envolvem aspectos cognitivos, sociais e materiais do mundo na forma de: (1) conhecimentos anteriores dos agentes; (2) sua interação com outros; e (3) seu uso e produção de artefatos e convenções.


20

independente da equação (b), o diâmetro da roldana se referia ao coeficiente do

termo de primeiro grau (a), o número de voltas era representado pela variável x e a

altura do peso em qualquer instante era simbolizado por y. A equação que

corresponderia à posição dos pesos em função no número de voltas seria y=ax+b.

O segundo dispositivo foi um sistema com molas de diferentes coeficientes de

elasticidade (K). Essas molas, dentro de limites práticos, respeitam a Lei de Hooke

(Resnick & Halliday, 1983). Essa lei diz que a força exercida por uma mola, contra a

sua formação, é diretamente proporcional ao seu deslocamento, e K é a constante de

proporcionalidade. Essa relação tem a forma de uma equação do primeiro grau como

P Kx= , relacionando o peso suportado pela mola P e a deformação observada x. O

comprimento da mola deformada, y, é matematicamente expresso como sendo

y y MKn= +0 , onde yo é o tamanho inicial da mola, M é o peso de cada massa

pendurada à mola, e n é o número de massas penduradas na mola.

O terceiro dispositivo era um programa de computador que recebia um valor

de entrada e entregava um valor de saída. Para cada entrada, entre 0 e 5, o programa

mostrava um valor de saída segundo uma função linear previamente programada. Os

estudantes não tinham acesso à definição da função, apenas podiam usar o programa

para obter os resultados das saídas.

Durante a seção de resolução de problemas, tabelas de valores foram

extensamente produzidas por todos os alunos. Este tipo de representação serviu como

ferramenta que os alunos usaram para manipular os dados experimentais

relacionados aos dispositivos físicos e para resolver problemas relacionados às

funções lineares. Muito provavelmente, tabelas, de uma forma geral, tinha uma

importância particular na prática de sala de aula dos alunos entrevistados.

O autor observou que tais produções, além de servirem para auxiliar no

processamento cognitivo e dar suporte à comunicação, tinham fundamental

importância na organização da atividade dos alunos. A relação entre a representação

e a atividade foi vista como uma relação dialética. A representação externa feita em

papel tem a importante função de moldar a atividade do indivíduo, ao mesmo tempo

que o indivíduo molda as representações que produz. As representações têm grande

importância, principalmente quando ocorrem breakdowns na atividade dos sujeitos,

ou seja, quando ocorre a perda de uma linha de pensamento. Portanto, as


21

representações produzidas durante a atividade têm o papel de organizar, em um

sistema simbólico, os aspectos circunstanciais envolvidos com sua atividade. Um

outro aspecto relativo ao papel de representações está relacionado às inferências

quantitativas. Nesse caso, as representações servem como uma ‘base material’ para

que quantidades sejam conduzidas e inferências sejam feitas. O autor concluiu, ainda

com relação à competência em criar representações e atribuir-lhes significado, que:

“o conhecimento de representações matemáticas não é apenas relembrado e aplicado

onde parece relevante. Ao contrário, a competência em criar representações materiais

emerge em sua interação com as circunstâncias de um específico conjunto de fatores

sociais e materiais. Em particular, ferramentas matemáticas, assim como tabelas de

valores, são apropriadas e continuamente transformadas conforme, por exemplo, as

intenções comunicativas do estudante-designer ou a emergência de situações na qual

a manipulação do dispositivo físico não é possível ou realizável” (p. 38).

A compreensão do conceito de taxa de variação também envolve a

capacidade de tratar seu invariante quando o mesmo é apresentado por meio de

gráficos cartesianos. No entanto, muitos estudos demonstraram que as crianças erram

com freqüência ao proceder com a interpretação de gráficos. Na seção a seguir será

caracterizado o processo de interpretação de gráficos, identificando-se as principais

dificuldades encontradas pelos alunos e suas prováveis causas.

3.2 Interpretar gráficos e o conceito de taxa

Um estudo clássico sobre a interpretação de gráficos foi realizado por Janvier

(1978). O autor observou como os estudantes percebiam a relação entre a forma dos

gráficos e aspectos de um fenômeno descritos através deles. Com relação a essa

conexão, o autor afirmou que: “não há interpretação sem situação” (p. 3.6). Essa

suposição inicial torna-se explícita quando o autor afirma que: “a intenção principal

de nossa abordagem é a de ilustrar a interferência ou a influência da situação

quando chamada na ação [de produzir e interpretar gráficos]” (p. 9.14). Essa tornou-

se central na análise que o autor realizou sobre o processo de interpretação de

gráficos.

Interpretar um gráfico, segundo Janvier, consiste em colocar em forma verbal

informações relacionadas a uma situação, fornecidas na forma gráfica. Significa

descrever em palavras a relação que existe entre duas variáveis descritas por meio de

um gráfico. Segundo o autor, o processo de interpretação envolve uma relação

interpretar gráficos e o conceito de taxa

22

dialética entre o conhecimento dos aspectos envolvidos com a situação e as formas

particulares dos gráficos. Por um lado, qualquer pergunta feita sobre um gráfico

refere-se às quantidades físicas, e não às características gráficas como tais; porém

seus elementos gráficos são utilizados para simbolizar aspectos das situações

descritas. As respostas produzidas pelo sujeito podiam ser induzidas pela forma do

gráfico, pelos conhecimentos sobre a situação subjacente, ou pela combinação de

ambos. Esses dois fatores foram, de modo geral, considerados como continuamente

relacionados. Em outras palavras, as conclusões dos alunos são influenciadas por

aspectos geométricos dos gráficos, por seus conhecimentos sobre a situação

subjacente, ou podia ainda tratar-se de uma influência híbrida. Em suma, o sujeito

tinha que “coordenar”, durante o processo de interpretação, o gráfico e a situação. A

interpretação de gráficos podia ser melhor descrita como uma progressiva integração

dos vários pedaços de informações transmitidas pelo gráfico com o conhecimento

circunstancial subjacente.

Os elementos básicos da interpretação de gráficos eram, portanto, as

associações Características Gráficas ↔ Fatos Circunstanciais. Habilidades de

leitura claramente inadequadas podiam também impedir a associação a ser

estabelecida ou suspender a leitura do gráfico por parte das crianças. Que distinção

podia ser feita entre leitura e interpretação? A leitura trata da decodificação dos

aspectos geométricos de um gráfico sem a preocupação de referir-se à organização

circunstancial da situação. É um processo usado como meio para que sejam

estabelecidas relações entre aspectos do gráfico e aspectos ligados a situação descrita

por ele. Em cada caso, a interpretação diferia da leitura, pois a relação

Característica Gráfica ↔ Fatos Circunstanciais era estabelecida bem

diferentemente. No entanto, para existir a interpretação, faz-se necessário que haja a

leitura do gráfico.

Para o autor, o tipo de pergunta apresentada à criança interferiria no tipo de

procedimento utilizado para interpretar um gráfico. Uma pergunta na qual as

palavras apenas exigissem uma descrição dos aspectos figurativos do gráfico não

implicava numa interpretação por parte do sujeito. Alguns exemplos de perguntas

que podem não suscitar o processo de interpretação de um gráfico de crescimento

(altura × tempo) podem ser as seguintes: “Qual a média das alturas de meninos aos 8

anos?”, ou “De quantos centímetros a média das alturas das meninas aumentou entre

as idades de 3 e de 8 anos?” Nesses dois casos, o sujeito podia encontrar respostas


23

para ambas as perguntas sem ter de reportar-se aos aspectos particulares do

fenômeno descrito pelo gráfico. Por outro lado, uma pergunta que envolve

reformulações intermediárias podem ser considerada como uma chamada à

interpretação. Por exemplo, com relação ao gráfico da figura e, a seguir, a pergunta:

“Quando estão as meninas mais altas do que os meninos?” é um exemplo de

pergunta que requer interpretação.

A relação entre taxa de variação de uma quantidade e a sua representação

através de gráficos foi analisada por Nemirovsky & Rubin (1991). Os autores

descreviam uma corrida de carros e pediam que essa fosse representada. Nesse caso,

a quantidade corresponde à posição de um caminhão e a variação corresponde a sua

velocidade. Foram realizados dois encontros de 90 minutos nos quais realizaram-se

12 seqüências de ‘traduções’ de gráficos de Posição × Tempo para gráficos de

Velocidade × Tempo. Todos os estudantes cursavam o segundo grau e não haviam

tido qualquer instrução formal sobre conceitos do Cálculo Infinitesimal, como:

limite, derivada, taxa de variação, integral.

Os problemas foram colocados através do desenho de gráficos em uma

cartela, onde se perguntava ao estudante o que ele esperava da forma de uma função,

conhecida a forma da outra. Por exemplo, era mostrado ao estudante um gráfico de

posição e era pedido que antecipasse a forma do gráfico da velocidade. Durante as

entrevistas, os estudantes escolhiam qual experimento iriam realizar. Eles podiam,

por exemplo, dirigir um caminhão de brinquedo com as mãos. O procedimento

prosseguiu com a produção/interpretação de gráficos criados pelos alunos com

softwares específicos ou desenhando-os à mão.

Os protocolos foram analisados para encontrar certas “idéias guia”, que

ajudaram os estudantes a articular predições específicas e para as quais eles

expressaram uma certa consistência. Muitas idéias desse tipo correspondiam à regras

sintáticas, sem ligação com o significado que as formas gráficas mantinham do

fenômeno representado. Por exemplo, linhas retas no gráfico de velocidade

correspondiam a linhas retas no gráfico de posição. Geralmente, um estudante

construía um conjunto de idéias não compatíveis com o ponto de vista formal,

parecendo emergir de diferentes aspectos da situação, entretanto, sem uma

consistência interna. A maioria dos episódios de aprendizagem do estudo incluíram

experiências nas quais contradições entre diferentes idéias-chaves tornavam-se


24

salientes para o estudante. Ficava então mais claro para o estudante que este deveria

construir uma tradução semântica como uma prova de seu conhecimento

reorganizado. Isso novamente demonstra que a interpretação dependia da relação que

os indivíduos criam entre as formas dos gráficos e aspectos das situações a que os

gráficos se referem.

O processo de interpretação, caracterizado pelo estabelecimento de

associações Características Gráficas ↔ Fatos Circunstanciais, misturado com

várias estratégias de leitura, pode ser desordenado por vários fatores, os quais

provocam fracassos ou muitos tipos de regressões a esse processo. Os fatores,

segundo Janvier, que podem provocar erros de interpretação são: (1) dificuldades

com relação à situação apresentada, o que faria a criança interpretar um gráfico sem

qualquer referência às quantidades físicas ou a qualquer tipo de conhecimento

anterior. Esse fator pode provocar a ocorrência de associações errôneas; (2) a própria

natureza da apresentação de um gráfico pode ser determinante no processo de

interpretação; (3) a criança pode não ter conhecimento da causalidade de

determinadas grandezas diretamente envolvidas como: temperatura, tempo, altura,

largura etc.; (4) ainda com relação aos conhecimentos que os sujeitos têm de fatos

circunstanciais, a criança pode não ter o domínio de conceitos derivados das relações

entre quantidades, como: aceleração, rapidez, crescimento, altura, aumento de peso

etc.; e, (5) erros ocorridos no processo de interpretação podem ainda ser devidos as

próprias características dos gráficos, como: relações entre a forma do mesmo e escala

etc. Janvier identificou alguns dos tipos de erros mais freqüentes, os quais são

mostrados a seguir:

• QUANDO A FORMA DO GRÁFICO É CONFUNDIDA COM A FORMA DE UMA ESTRUTURA

FÍSICA ASSOCIADA AO PROBLEMA:


25

Figura D - Gráfico usado para representar o movimento de um camponês subindo um morro com sua bicicleta

Este gráfico representa o deslocamento de um camponês, em sua bicicleta,

subindo e descendo um morro e voltando a posição de partida. A análise dos

protocolos revelou que os sujeitos interpretavam o gráfico como se fosse o desenho

do próprio morro. Dessa forma, os sujeitos concluíam que o camponês andava mais

devagar na “subida” porque estava cansado e mais rápido na “descida”. Estes sujeitos

confundiam, portanto, a inclinação do gráfico com a topografia do terreno, tornando

difícil a realização de outras interpretações a respeito da velocidade da bicicleta.

• AS CRIANÇAS CONFUNDEM UMA ORDENADA PARTICULAR DO GRÁFICO COM O

VALOR DA INCLINAÇÃO NO PONTO.

Num gráfico que mostra a evolução da altura de duas crianças, os alunos

confundem-se ao interpretar o crescimento com o valor da altura num determinado

ponto. Observe as perguntas e respostas típicas na figura e abaixo.

Problema: “Quem estava crescendo mais rápido aos 14 anos de idade?”

Resposta típica: “Susan, porque o gráfico de Susan está mais alto quando ela tem 14 anos.”


26

Figura E - Gráfico, perguntas e respostas usadas no problema sobre o crescimento de meninos e meninas Em outra situação, o autor solicitava que os sujeitos desenhassem gráficos de

Altura × Tempo para representar níveis de água em diferentes jarras ao serem

enchidas. Em uma das tarefas ele mostrou o gráfico de uma jarra larga (A) sendo

enchida e pedia para que o sujeito desenhasse como seria o gráfico correspondente ao

enchimento de uma jarra mais estreita (C). Alguns estudantes desenhavam retas

paralelas e mais altas que o gráfico de (B), ao invés de uma reta com outra

inclinação. Este erro também foi observado por (Clement, 1985). Na figura f

apresentam-se a resposta correta (C) e a solução errôneas dada por alguns alunos (B).

Figura F - Gráfico usado para representar o enchimento da jarra com água (Clement, 1985)

Nemirovsky & Rubin (1991, 1992) observaram que os estudantes confundiam

os gráficos da função com o gráfico da sua derivada. Esse erro de conceituação que

foi denominado por “Height/Slope misconception”. Seus sujeitos ostensivamente

confundiam a inclinação associada a uma curva com a sua altura no gráfico. Esse

erro de interpretação está relacionado com a competência de comparar taxas através

da interpretação de gráficos.

De modo geral, o processo de interpretação de gráficos é problemático. Por

outro lado, alguns estudos demonstraram que as crianças, desde muito cedo, são

capazes de criar desenhos espontâneos que codificam quantidades que descrevem

fenômenos. Na seção seguinte, serão analisados alguns estudos que demonstram essa

capacidade.

3.3 As competências dos alunos para representar

O estudo de Tierney & Nemirovsky (1991) investigou como crianças

representavam espontaneamente situações de mudança ao longo do tempo. Eles

as competências dos alunos para

representar

27

pediram para um grupo de crianças de 9 anos de idade para fazer “desenhos ou

gráficos”, com os quais representariam os seguintes eventos: a mudança da

população em um restaurante vizinho ou em sua classe ao longo do tempo; a

mudança do número de pessoas em suas casas ao longo do dia; uma seqüência de

mudanças (aditivas e subtrativas) da quantidade de objetos em uma bolsa; a mudança

de velocidade de um caminhão descrita por uma história; e o movimento de um

caminhão de brinquedo através de uma mesa, mostrado num vídeo.

As crianças trabalharam sozinhas, ou em duplas, para produzir seus desenhos.

Logo após, elas discutiam suas representações em pequenos grupos e tentavam

compreender cada um de seus desenhos encenando os eventos com objetos: movendo

pequenos blocos para dentro e para fora de uma casa desenhada ou movendo um

caminhão de brinquedo.

Os autores observaram que as crianças limitavam-se a descrever apenas

aspectos diretamente percebidos dos fenômenos. Suas produções incorporavam

algumas características de gráficos formais, no entanto, as crianças criavam sistemas

simbólicos idiossincráticos para expressar dados reais que eles coletavam e

informações que eles achavam relevante representar. Mesmo tratando-se de

fenômenos de natureza contínua como a mudança da velocidade de um caminhão, as

crianças criavam representações discretas. Eram usadas chaves para suas diferentes

categorias - por exemplo, “ft” (do inglês “fast”) ou uma linha em zig-zag para rápido,

“s” (do inglês “slow”) ou uma linha curva para devagar, e “st” (do inglês “stop”) ou

o desenho de um semáforo para significar parado. Representando movimentos, as

crianças geralmente incluíam desenhos de elementos perceptuais da situação (um

caminhão de brinquedo, uma mesa, uma rua) mesmo se a ilustração não provesse

informações sobre o próprio movimento. Muitas crianças escreviam tempos em seus

gráficos apenas nos momentos exatos quando pessoas vinham ou iam, ao invés de

fazê-lo em intervalos regulares. A maioria das crianças omitia as horas da noite em

seus gráficos da população em sua sala de aula, mas incluíam esses períodos nos

gráficos das populações de suas casas. Quando questionadas porque não listaram as

horas da noite em seus gráficos eles inferiam que o entrevistador estaria imaginando

que haveria alguém na sala de aula nesses horários.

Tierney, Weinberg & Nemirovsky (1992) também investigaram como

crianças criam e interpretam gráficos. Esse estudo foi realizado com 20 crianças da


representar

28

quarta série de uma escola pública norte-americana. O trabalho durou duas semanas,

tendo ocorrido dez aulas de quatro horas cada. Cada par de alunos plantou uma

semente de feijão e acompanhou seu crescimento. As medidas foram realizadas na

quinta, sexta e segunda-feira seguintes. Na segunda-feira, eles desenharam essas

medidas em um gráfico e com um lápis de outra cor, desenharam uma linha para

mostrar uma previsão para o crescimento da planta na semana seguinte. Eles

continuaram medindo a cada dia por duas semanas e gravaram as medidas em uma

planilha e num gráfico. Outra atividade conectada com o trabalho de observação do

crescimento das plantas incluía contar histórias sobre o crescimento de plantas, a

partir de seus próprios gráficos e a partir de curvas produzidas com as planilhas

eletrônicas.

Alguns aspectos observados em seus gráficos foram: (a) todos os pares de

estudantes começaram a escala vertical do gráfico com a primeira medida da planta;

(b) como alguns dados estavam em centímetros inteiros e alguns em meio

centímetro, os estudantes tendiam a misturar suas escalas ao longo do eixo vertical,

algumas vezes com uma divisão valendo um centímetro, e em outras vezes uma

divisão valendo meio centímetro, criando uma escala não uniforme; (c) como as

crianças não tinham medidas dos finais de semana, eles simplesmente escreviam

‘segunda’ seguida de ‘sexta’, criando uma escala não linear de tempo. Quando o

professor sugeria que construíssem o eixo vertical mais sistemático, começando do

zero e indo de 1 em 1 cm, alguns estudantes desenhavam um segmento ligando o

ponto zero ao primeiro ponto de medida e tomavam isso para representar um dia de

crescimento. Mesmo ignorando a consistência na criação de escalas em seus gráficos,

sua maneira de interpretá-los demonstrava um uso consistente das mesmas.

Os autores concluíram que, de modo geral, os estudantes tendiam a incluir

nos gráficos informações que lhes pareciam verdade, mas precisavam usar suas

próprias experiências limitadas como guia. Por isso, seus gráficos eram uma

combinação entre a generalização e dados bem específicos pertencentes aos seus

próprios conhecimentos. O uso adequado de seus gráficos, segundo os autores, seria

o resultado de uma relação dialética entre a visão de gráficos como uma coleção de

pontos e uma “visão variacional”, onde se observaria a forma do gráfico como um

todo.


representar

29

No estudo analisado a seguir, os autores tomaram o processo de produção de

gráficos pelos estudantes como meio para uma abordagem didática a respeito de

gráficos e de suas aplicações na representação de movimentos. diSessa, Hammer,

Sherin & Kolpakowski (1991) realizaram cinco encontros com 8 estudantes de uma

escola privada de Oakland, Califórnia. Os encontros duraram em média de 30 a 40

minutos. O objetivo foi, basicamente, o de observar como estudantes de sexta série

representam movimentos e como uma negociação poderia orientar os estudantes no

desenvolvimento de um sistema gráfico consistente. Os encontros foram

coordenados por uma professora conhecida dos alunos e a forma da discussão foi a

mesma adotada em aulas, nas quais ocorriam com as crianças organizadas em um

grande círculo e fazendo apresentações ao grupo. A situação eleita para ser

representada foi denominada de ‘movimento no deserto’. Seu enunciado é o

seguinte:

Um motorista está dirigindo ao longo do deserto, e ele está com muita sede. Quando vê um cacto, ele pára perto para tomar a água dele. Então volta para o carro e o dirige, embora lentamente.

Antes dos encontros, nos quais ocorriam a produção, crítica e discussão dos

desenhos, os alunos passaram 3 dias criando simulações desse movimento num

programa de computador semelhante ao ambiente gráfico LOGO14. No primeiro dia,

as crianças faziam desenhos do movimento e apresentavam ao grupo. Após 10

minutos de trabalho, a turma se organizava em um grande grupo para ver a

apresentação dos desenhos de cada um de seus membros. As perguntas formuladas

pela professora eram do tipo: “Qual das figuras de movimento é mais simples?”,

“Qual mostra a parada?”, “Qual mostra a duração do tempo?” Alguns exemplos de

desenhos são descritos a seguir:

• Pontos que variavam as distâncias mútuas - Esta representação aparecia

muitas vezes durante o primeiro dia (e.g, . . . . . . .). Frequentemente, aparecia uma

linha horizontal abaixo dos pontos que eventualmente os estudantes pensavam ser

uma representação de distância, ou de alguma medida ambígua de duração, ao invés

de apenas mostrar o caminho.

• Traços horizontais que variam seu comprimento ou ‘chalk’ - Com relação

à representação usando linhas horizontais, ficou claro para os autores que os

14 O ambiente computacional LOGO foi desenvolvido por Seymour Papert (1980) na década de 70 para permitir que crianças tenham acesso a um ambiente de exploração de conceitos que ele chamou de micromundo. Nesse ambiente, o usuário pode criar desenhos e simulações virtuais de fenômenos.


representar

30

estudantes não cuidavam em supor o espaço representado como correspondente a

intervalos de tempo iguais (e.g., ____ ___ __ _ __ ___ ____ ). Os alunos faziam-se

perguntas como: “O que são os espaços entre as linhas?” Ou “Como posso interpretar

quando a linha fica sem espaço?”

• Triângulos - A intensidade da velocidade era representada pela distância

entre a linha horizontal e a linha inclinada, e o estado parado (velocidade nula) com

sinais de igualdade, com a parada maior representada por um sinal de igualdade

maior. A linha horizontal representava a distância ao longo da estrada e não o tempo.

Esta representação era difícil para os outros entenderem, em parte por causa da

descrição do autor do desenho baseado na “largura da linha” ao invés de apoiada na

distância entre as linhas. A figura g abaixo mostra um esquema de um desenho

usando triângulos.

Figura G - Exemplo de desenho criado para representar o movimento de um caminhão no deserto usando triângulos (diSessa, Hammer, Sherin & Kolpakowski, 1991)

• Linhas verticais justapostas que variam suas alturas ou ‘sonar’ - Neste

desenho, usou-se o comprimento de linhas verticais para representar a velocidade. A

dimensão horizontal, como em alguns outros desenhos, mostrava ambiguamente

tempo e distância. A figura h abaixo mostra um esquema desse tipo de desenho.

Figura H - Exemplo de desenho criado para representar o movimento de um caminhão no deserto semelhante ao trem de ondas de um ‘sonar’, (diSessa, Hammer, Sherin & Kolpakowski, 1991)

• Linha com diferentes inclinações ou ‘slants’ - As inclinações mais

horizontais significavam maiores velocidades do caminhão, enquanto as linhas

desenhadas com direções mais próximas a vertical indicavam movimentos cada vez


representar

31

mais lentos. Uma linha vertical significava que o caminhão estava parado. A figura i

abaixo mostra um esquema desse tipo de desenho.

Figura I - Exemplo de desenho criado para representar o movimento de um caminhão no deserto usando ‘slants’, (diSessa, Hammer, Sherin & Kolpakowski, 1991)

• T’s - Desenhos desse modelo eram desenhados com seqüências de T’s

invertidos (⊥). Os tamanhos das linhas horizontais representavam velocidade (speed)

e das linhas verticais representavam tempo15. Dessa forma, o tempo ficava

duplamente representado, pela altura da linha vertical e pela seqüência horizontal.

Esta representação provocou a discussão a respeito da relação entre tempo, espaço e

velocidade em termos da representação. Ficou bem reconhecido que o produto entre

os comprimentos vertical e horizontal daria a distância viajada em cada segmento de

movimento. A figura j abaixo mostra um esquema desse tipo de desenho.

Figura J - Exemplo de desenho criado para representar o movimento de um caminhão no deserto usando ‘T’, (diSessa, Hammer, Sherin & Kolpakowski, 1991) No terceiro dia, a professora solicitou que fossem combinadas todas as

melhores características das figuras já concebidas para encontrar uma maneira de

mostrar números sem realmente escrever numerais. Um exemplo de combinação veio

de um aluno que colocou linhas inclinadas (slants) encadeadas. O comprimento de

cada segmento indicava distância, a inclinação indicava velocidade e uma possível

transversal mostrando o tempo. Sua representação tinha uma aparência já bem

próxima a de um gráfico cartesiano. Assim como esse exemplo, alguns outros eram

sem dúvida gráficos de velocidade versus distância, enquanto outros gráficos eram

de velocidade versus tempo.

15Um tipo de representação similar a esse já foi usado como representação de conceitos físicos, por intermédio de pessoas como Thomas Bradwradine, William Heytesbury, Richard Swineshead e John Dumbleton, durante o período de 1328 a 1350 (Dias, 1992). Uma discussão sobre os desenvolvimentos ocorridos com a cinemática nessa época encontra-se na seção um pouco da história do conceito, na página 151.


representar

32

No quarto dia e no quinto dia as situações foram diversificadas para exemplos

com movimentos uniformes, ciclistas subindo e descendo morros, ciclistas que não

conseguiram chegar ao topo do morro e voltavam do meio do caminho etc. Muitos

modelos de gráficos surgiram durante as discussões.

A análise dos dados foi feita com base na organização da atividade, tendo em

vista que essa foi organizada pelo professor e interpretada pelo estudante, e

negociada entre ambos. O foco principal da análise foi traçar a evolução da

representação do movimento ao longo do estudo. As atividades e produções foram

avaliadas segundo dois critérios. O primeiro critério tinha um caráter conceitual, e

observava: a evolução dos modelos de desenhos discretos para desenhos contínuos;

aspectos figurativos dos mesmos; a relação entre tempo e distância; a competência

em criá-los; e mudanças para desenhos mais abstratos. O segundo critério era de

natureza pragmática ligado aos aspectos da atividade, como: interesse, apropriação

das produções por parte dos alunos e estratégias adotadas pelo professor.

As conclusões básicas refletiam uma posição epistemológica a respeito de

desenvolvimento e aprendizagem. Os autores, adotando como modelo de

aprendizagem a definição de Zona de Desenvolvimento Proximal de Vygotsky,

concluíram que: “Os estudante desenvolveram seus entendimentos da construção e

interpretação de gráficos de velocidade versus tempo. Mais importante, eles o

fizeram em um contexto próprio meta-representacional no qual o propósito de fazer

gráficos e o critério representativo geral que eles satisfazem são salientes, e em cada

gráfico é visto como uma opção dentre muitas outras.” (pp. 149-150).

Sua conclusão mais importante é de que os alunos parecem ter adquirido uma

consciência do próprio processo de representar. A forma de seu desenho não é um

parâmetro essencial nesse processo. Pelo contrário, os alunos usaram sistemas

próprios, no entanto, em todos os casos, suas produções foram usadas por si e pelo

grupo de alunos. Concluíram, portanto, que representação simbólica é um processo

de produção e de atribuição de significados a sistemas simbólicos através dos quais

indivíduos relacionam aspectos de um fenômeno com aspectos do veículo simbólico

usado para representar. O que se exige dos meios materiais é que os mesmo

permitam aos indivíduos tratar os invariantes dos conceitos por meio de seu uso.

3.4 Conclusões

Representações têm múltiplas funções. Nunes (1994) descreveu três

exemplos: possibilitar o controle em processos de computação; estruturar o

raciocínio em determinadas práticas culturais, juntamente com as regras desses

práticas e; influenciar na construção de esquemas e invariantes. Para Meira (1991b),

representações são constituintes de um processo dialético no qual são geradas. A

natureza de cada sistema simbólico, por outro lado, determina a maneira como o

mesmo é utilizado nas atividades. Alguns sistemas auxiliam nos processos de

resolução de problemas, enquanto, outros podem inclusive atrapalhar. De uma forma,

ou de outra, o domínio de sistemas simbólicos é determinante na aprendizagem de

um conceito.

Para compreender os invariantes de um conceito, é fundamental que os

sujeitos saibam tratá-los por meio de sistemas simbólicos. No entanto, a identificação

desses invariantes é problemática quando veiculada através de gráficos cartesianos.

Isso deve-se ao fato de que a interpretação de gráficos cartesianos depende do

estabelecimento de ligações entre características geométricas e aspectos do fenômeno

descrito através do mesmo. O estabelecimento dessas ligações é comprometido por

fatores que vão desde problemas na leitura do próprio gráfico, até dificuldades em

lidar com quantidades que derivam das relações nele expressas.

Por outro lado, os sujeitos, mesmo aqueles bem jovens, são capazes de criar

representações para fenômenos. Seus sistemas têm, na maioria das vezes,

características idiossincráticas e são influenciados pela natureza dos fenômenos que

representam.

No capítulo seguinte serão descritos os procedimentos metodológicos

adotados para se investigar a relação entre o processo de representação de relações

entre quantidades e as concepções sobre as mesmas.

capítulo 2: método

34

Capítulo 2: Método O objetivo deste estudo foi analisar como estudantes de diferentes níveis de

escolaridade representam quantidades e relações entre quantidades por meio de

sistemas simbólicos criados por eles mesmos durante a resolução de problemas de

comparar taxas. Foram apresentadas tarefas que descreviam cinco diferentes tipos de

fenômenos: o movimento de caminhões, o crescimento de plantas, o enchimento de

vasos com água, a contagem de ondas que quebram numa praia e o movimento de

um balanço. Nas tarefas foram descritas duas ou mais etapas de transformação. Em

cada etapa eram descritas variações de uma quantidade diferente do tempo e a

duração do intervalo de tempo correspondente à variação dessa primeira. A razão

entre esse par de variações correspondia à taxa com a qual a primeira quantidade

variava. Essas taxas poderiam ser iguais ou distintas.

De modo geral, tentou-se fazer com que os materiais e procedimentos

adotados não sugerissem aos alunos qualquer modelo de sistema de representação

socialmente convencionado. Os alunos recebiam apenas a descrição impressa das

tarefas, papel e lápis. Nas instruções do examinador não foram feitas referências

sistemáticas a modelos específicos de sistemas de representação como gráficos

cartesianos, por exemplo. O examinador pedia apenas que os alunos

“representassem” o que ocorreu com as quantidades descritas nas tarefas. Nas seções

a seguir são descritas: a amostra de sujeitos entrevistados durante o estudo, as etapas

do mesmo e as tarefas utilizadas nas entrevistas.

1 Sujeitos Durante a pesquisa foram entrevistados 18 alunos de uma escola particular da

cidade do Recife. Os alunos participaram voluntariamente. Foram criados três grupos

de alunos, a partir da amostra inicial, de acordo com o seu nível de escolaridade. O

primeiro grupo foi formado por 6 alunos de quinta série do primeiro grau. O segundo

grupo, por 6 alunos de sétima série do primeiro grau maior. E finalmente, o terceiro

grupo foi formado por 6 alunos de primeiro ano do segundo grau.

A escola onde os alunos estavam matriculados adotava a pedagogia Freinet

como orientação para sua prática pedagógica. Esta orientação tem como


35

característica promover atividades em salas de aulas para matérias específicas, as

quais são preparadas para ocupar os alunos em períodos de aulas mais longos do que

o normal (3 horas em média). No caso da Matemática, há uma sala para o ensino da

disciplina com uma variedade bastante grande de materiais pedagógicos. Com

relação ao ensino de gráficos, seu início ocorre quando os alunos estão na sexta série.

As atividades envolvem basicamente a colocação de pontos em planos cartesianos e

o desenhos de gráficos de linhas simples.

2 Material A partir da análise dos diversos estudos sobre a produção de representações,

pôde-se concluir que a forma das produções “espontâneas” dos estudantes depende

de muitos fatores. A forma como as tarefas são apresentadas, por exemplo, pode

determinar aspectos das produções dos alunos. Nos estudos de Janvier (1978) e

Nemirovsky, et al. (1991) as crianças recebiam papéis com o desenho de eixos

cartesianos ou papéis milimetrados, respectivamente. De modo geral, no presente

estudo as tarefas foram apresentadas usando-se apenas o enunciado impresso das

tarefas, papel em branco para os alunos desenharem e lápis.

2.1 Tarefas

As tarefas consistiam de descrições, por escrito e orais, de fenômenos onde

ocorriam transformações de quantidades ao longo de um intervalo de tempo. O

examinador solicitava que o estudante fizesse um desenho para representar a

quantidade diferente do tempo. Pedia, ainda, para o mesmo comparar as duas ou

mais taxas descritas na tarefa. Cada criança tinha de resolver um total de 25 tarefas.

Vários aspectos foram controlados na apresentação das tarefas: a relação entre as

duas ou mais taxas contidas na tarefa, a natureza do fenômeno, a quantidade de

fenômenos simultâneos e a quantidade de etapas sucessivas. A seguir são descritas as

características das tarefas.

2.1.1 Quanto a natureza dos fenômenos descritos

Havia cinco tipos diferentes de fenômenos descritos nas tarefas. Em cada

caso, a variação de uma determinada grandeza foi observada. As grandezas

destacadas em cada fenômeno foram as seguintes: (a) a variação da altura de uma


36

planta durante o seu desenvolvimento, (b) a variação da altura do nível de água em

um recipiente enchendo, (c) a variação da distância percorrida por um caminhão, (d)

a variação da altura de um balanço durante a execução de meio ciclo de seu

movimento periódico, e a (e)variação do número de ondas que quebram numa praia.

Os fenômenos foram colocados em três grupos de acordo com a direção preferencial

da variação da quantidade. Os grupos são descritos na tabela a abaixo.

Tabela A - Formação dos grupos de fenômenos de acordo com a direção preferencial das transformações ocorridas nos mesmos

Grupo de Fenômenos

Situação

A Crescimento de Plantas Enchimento de vasos

B

Movimento de um caminhão

C Balanço de parque Freqüência de ondas

No primeiro grupo encontram-se os fenômenos cuja grandeza cuja taxa foi

observada varia na direção vertical, de baixo para cima. No segundo grupo, encontra-

se um fenômeno onde as transformações da grandeza observada ocorrem na direção

horizontal: a distância de um caminhão a um ponto fixo. Esse fenômeno parece ser o

mais frequentemente apresentado através de gráficos em diversos livros didáticos de

matemática (Bigode, 1994; Bongiovanni, Vissoto & Laureano, 1993). Finalmente,

com os fenômenos do terceiro grupo não há uma direção bem definida para onde as

transformações ocorrem. No primeiro, o deslocamento do balanço ocorre numa

trajetória curva e, no segundo, a quantidade de ondas que quebram na praia não

corresponde a um deslocamento, mas sim a uma freqüência. Para cada um dos

conteúdos, a dimensão correspondente à relação entre a quantidade observada e a

duração do intervalo de tempo é enumerada na tabela b.


37

Tabela B - As dimensões das quantidades envolvidas em cada fenômeno

Fenômeno Relação entre... Unidades Crescimento de plantas ... variação da altura (cm) e duração

do intervalo de tempo (dias) cm/dias

Enchimento de vasos ... variação do nível de água (cm) e duração do intervalo de tempo (s)

cm/s

Movimento de caminhões ... variação da distância (km) e duração do intervalo de tempo (h)

km/h

Movimento do balanço ... variação da altura (m) e duração do intervalo de tempo (s)

m/s

Freqüência de ondas no mar ... variação do número de ondas e duração do intervalo de tempo (min)

Número de ondas/min

2.1.2 Quanto à relação entre as taxas sucessivas

Para cada um dos cinco tipos de fenômenos foram apresentadas tarefas com

três diferentes relações entre as taxas descritas na mesma: crescente, constante e

decrescente. A primeira delas apresenta uma seqüência de taxas crescentes, onde a

segunda taxa maior do que a primeira (e.g., uma velocidade do caminhão é maior na

segunda etapa da descrição, ou o vaso encheu mais rápido na segunda etapa). Nas

tarefas onde a relação entre as taxas era constante, as razões entre a variação da

quantidade medida e a duração do intervalo de tempo eram equivalentes. No entanto,

os valores apresentados eram sempre distintos. Nas tarefas onde a relação entre as

taxas consecutivas era decrescente, a segunda taxa era menor que a primeira. Para

cada tipo de fenômeno havia três problemas. Esses foram sempre apresentados na

mesma ordem, a saber: crescente, constante, decrescente.

2.1.3 Quanto ao tipo das tarefas

Quatro tipos de tarefas foram apresentadas aos aluno. Cada uma delas com

características específicas:

• Simples - Descreviam apenas um único fenômeno em duas etapas. Cada um

dos momentos era descrito pela enumeração da variação diferente do tempo e da

duração do tempo correspondente. Um exemplo desse tipo de tarefa é mostrado a

seguir, onde é descrita a contagem de ondas que quebram numa praia:


38

Antônio estava na praia, quieto e observando o mar. Certa hora, ele começou a contar a quantidade de ondas que quebravam na areia. E, além de contar as ondas, ele começou a medir o tempo que as ondas demoravam para quebrar. Ele observou, na primeira medida, que 36 ondas quebraram na praia num intervalo de 7 minutos. Logo depois, Antônio contou 16 ondas num intervalo de 24 minutos. Você poderia representar o que ocorreu com as ondas na praia.

Dupla - Neste segundo tipo, eram descritos dois fenômenos simultâneos, e.g,

duas plantas que cresciam simultaneamente, dois vasos que enchiam ao mesmo

tempo. Cada tarefa dupla continha a descrição de duas tarefas do tipo simples

simultaneamente. Uma das tarefas simples tinha sempre a ordem crescente e a

segunda tinha sempre a ordem decrescente. Para a análise quantitativa, analisavam-se

as tarefas duplas como se fossem duas tarefas simples. O objetivo desse tipo de tarefa

era verificar como os estudantes representariam fenômenos simultâneos, permitindo

inclusive a comparação entre as taxas de variação dos diferentes fenômenos

simultâneos. A expectativa era a de que os estudantes representassem os fenômenos

com algo que tivesse função semelhante àquela da inclinação em gráficos cartesianos

(slope) que indica a intensidade das taxas. Sua apresentação ocorria após que as três

tarefas do tipo simples de cada fenômeno já tinham sido apresentadas. Por exemplo,

a tarefa que descrevia o crescimento simultâneo de duas plantas ocorria após uma

série de três tarefas com apenas uma planta. Apenas aquelas que descreviam o

fenômeno das ondas no mar não foram apresentadas na versão dupla.

Tabela - Este tipo de tarefa foi desenvolvido com o objetivo de apresentar a

descrição dos fenômenos de maneira a demandar uma representação com maior

sistematização. Foram apresentadas três tarefas onde, ao invés de 2 momentos

sucessivos, como na tarefa simples, eram apresentados 10 momentos sucessivos, em

forma de tabela. Este tipo de tarefa foi apresentado contendo os fenômenos do

deslocamento do caminhão, do enchimento do vaso e do crescimento da planta.

Foram sempre apresentadas na mesma ordem, depois que todas as tarefas simples e

duplas já tinham sido apresentadas. A intenção era apresentar as tarefas, em ordem,

de acordo com a quantidade de informações contidas na sua descrição, deixando para

o final as tarefas que continham mais de uma de duas etapas sucessivas.

Gráficos - Por fim, foram apresentadas três tarefas de interpretação de

gráficos. Estas tarefas consistiam em pedir para que os alunos interpretassem o que

estava sendo descrito, por gráficos, que descreviam três fenômenos diferentes:

movimento de caminhões, crescimento de plantas e enchimento de vasos. Cada uma

das tarefas continha o desenho de um sistema de eixos e duas curvas descrevendo


39

dois fenômenos que ocorreriam simultaneamente (ver os gráficos no Anexo II). O

objetivo da introdução dessas tarefas foi verificar se os alunos dominavam ou não o

sistema de gráficos cartesianos, ensinado na escola. Basicamente, era solicitado aos

alunos que contassem uma história do que eles achavam que podia estar acontecendo

com as quantidades em cada um dos fenômenos.

Durante a entrevista, o examinador perguntava sobre alguns aspectos

relacionados à interpretação da tarefa, como: “Onde a transformação está ocorrendo

mais rápido?”; “O que acontece quando o gráfico está horizontal?”; “o que acontece

quando os gráficos se cruzam?”

Em resumo, havia quatro diferentes tipos de problemas: (a) problemas com

dois pares de taxas sucessivas; (b) problemas com a descrição de dois fenômenos

simultâneos, constituindo uma situação onde há pares de taxas sucessivas (mesmo

objeto) e pares de taxas simultâneas (segundo objeto da situação); (c) tarefas onde

são apresentadas dez taxas sucessivas; e (d) tarefas de interpretações de gráficos. A

seguir serão descritos os procedimentos adotados no estudo.

3 Procedimentos As tarefas foram apresentadas aos alunos uma após a outra e, para cada uma

das tarefas, o examinador pedia para que o aluno criasse a sua representação (com

exceção da tarefa de interpretação de gráficos). Além disso, o examinador fazia

perguntas que solicitavam dos alunos suas considerações a respeito da relação entre

as variações descritas nas tarefas. Perguntas gerais, feitas aos alunos, com respeito às

suas representações foram, por exemplo: “Você poderia me explicar a sua

representação?”, “Se alguém chegasse agora e não visse o texto da tarefa, ele iria

entender a tua representação?”. As perguntas também faziam menção à comparação

entre as taxas descritas, como por exemplo nas perguntas: “Quando o caminhão foi

mais rápido?”, “Quando a planta cresceu mais devagar?”, etc.

Baseado na classificação para os fenômenos (tabela a), a ordem de

apresentação foi controlada de forma parcial. Foram propostas três combinações no

sentido de que cada grupo fosse apresentado no início, no meio e no fim da resolução

dos problemas. As ordens de apresentação são mostradas na tabela c abaixo.


40

Tabela C - Ordens de apresentação dos grupos de tarefas

Ordem Seqüência 1 ABC 2 BCA 3 CAB

Sujeitos de uma mesma série resolveram os problemas em ordens diferentes.

Dois alunos de cada série passaram pelas ordens 1, 2 e 3. Na tabela d abaixo,

encontra-se resumida a distribuição dos sujeitos por série e ordem.

Tabela D - Relação dos alunos: idade, série e ordem das tarefas

Aluno Idade Série Ordem A 12 ABC B 11 C 12 5ª BCA D 12 E 11 CAB F 12 G 13 ABC H 16 I 15 7ª BCA J 13 K 14 CAB L 13 M 16 ABC N 15 O 18 1º BCA P 16 Q 15 CAB R 18

A seqüência completa de apresentação das tarefas encontra-se na tabela e a

seguir. Para facilitar a referência às tarefas, criou-se um sistema de legendas,

composto por três conjuntos de letras. As primeiras indicam o tipo de fenômeno que

é descrito. As segundas letras indicam o tipo da tarefa. E a terceira indica a relação

entre as taxas descritas na tarefa. De acordo com o tipo de fenômeno descrito, as

primeiras letras podem ser: P = crescimento de plantas, V = enchimento de vasos, C

= deslocamento de caminhões, B = movimento de um balanço, e M = freqüência de

ondas numa praia. Com relação ao tipo da tarefa usaram-se os seguintes códigos: S

= simples, D = duplo, T = tabela, G = gráfico. No que se refere à relação entre as

taxas consecutivas, têm-se os seguintes anagramas: CR = crescente, CO = constante,

DE = decrescente, DU = crescente e decrescente. Por exemplo, a tarefa P-S-DE é


41

uma tarefa do tipo simples, cujo conteúdo é o crescimento de plantas, e a ordem de

apresentação das taxas é a decrescente. As tarefas encontram-se no Anexo II.

Tabela E - Resumo das seqüências de tarefas

ABC BCA CAB Tarefa Fenôm. Tipo Ordem Fenôm. Tipo Ordem Fenôm. Tipo Ordem

1 P S CR C S CR B S CR 2 P S CO C S CO B S CO 3 P S DE C S DE B S DE 4 P D DU C D DU B D DU 5 V S CR B S CR M S CR 6 V S CO B S CO M S CO 7 V S DE B S DE M S DE 8 V D DU B D DU P S CR 9 C S CR M S CR P S CO 10 C S CO M S CO P S DE 11 C S DE M S DE P D DU 12 C D DU P S CR V S CR 13 B S CR P S CO V S CO 14 B S CO P S DE V S DE 15 B S DE P D DU V D DU 16 B D DU V S CR C S CR 17 M S CR V S CO C S CO 18 M S CO V S DE C S DE 19 M S DE V D DU C D DU 20 C T - C T - C T - 21 P T - P T - P T - 22 V T - V T - V T - 23 C G - C G - C G - 24 P G - P G - P G - 25 V G - V G - V G -

As entrevistas foram gravadas e transcritas. Os dados coletados formam um

conjunto de protocolos e desenhos, feitos pelos alunos. Ambos os materiais foram

analisados qualitativamente e quantitativamente. O enfoque central da análise do

próximo capítulo foi na relação entre as concepções dos alunos sobre quantidades e

relações entre quantidades e a sua representação.

capítulo 3: análise de dados

42

Capítulo 3: Análise de dados No presente estudo, observou-se como alunos de diferentes níveis de

escolarização trataram e representaram quantidades e variações de quantidades

descritas num enunciado. Os dados coletados (protocolos e desenhos) foram

analisados qualitativamente com o objetivo central de descrever a natureza das

ligações entre as concepções dos sujeitos sobre quantidades e relações entre

quantidades e suas competências para representá-las. Foram observados nos

desenhos dos alunos aspectos que os poderiam tornar instrumentos para o tratamento

de invariantes de alguns conceitos, principalmente, dos conceitos de razão, proporção

e taxa de variação. Então, tentou-se identificar características geométricas de suas

construções que poderiam fazer com que as mesmas preservassem as relações que

figuravam entre as quantidades descritas nas tarefas. Por outro lado, observou-se nos

protocolos a forma como os alunos concebiam as relações entre as variações

descritas nas tarefas.

Nos protocolos, as falas de alunos e examinador foram colocados na coluna à

esquerda. Explicações referentes a passagens específicas foram colocadas na coluna

à direita. Utilizaram-se ainda as seguintes convenções:

• (palavra) Expressões entre parênteses são explicações dentro do protocolo;

• [palavra] Colchetes são usados para indicar interrupção brusca de uma fala;

• /palavra/ Texto entre barras indicam uma sobreposição de falas;

• palavra... Reticências indicam uma pausa no diálogo;

• Ent: Indica as falas do entrevistador.

Além disso, será adotada a seguinte nomenclatura de referência às

quantidades descritas nas tarefas: Δq e Δq’ para designar as variações das

quantidades com exceção do tempo; Δt e Δt’ para designar os intervalos de tempo

decorridos durante as variações Δq e Δq’, respectivamente. Cada protocolo inicia

com uma lista dos dados do aluno (série, idade, tarefa a qual corresponde o

protocolo, seqüência de tarefas que o aluno resolveu) e a descrição da tarefa

específica (tipo da tarefa, tipo do fenômeno, variações Δq’s e Δt’s).

capítulo 3: análise de dados

43

Além da análise qualitativa os dados foram analisados quantitativamente.

Para a análise quantitativa foram consideradas apenas tarefas dos tipos simples e

duplo. A análise das tarefas duplas foi dividida em duas parte. Dessa forma, cada

aluno resolveu 23 tarefas entre simples e duplas. Para completar a análise, foram

observados os resultados obtidos com as tarefas de interpretação de gráficos. O

objetivo foi investigar até que ponto o conhecimento de um sistema simbólico

matematicamente estabelecido e ensinado na escola, influenciou a representação dos

diferentes fenômenos descritos nas tarefas. As categorias, nesse caso, foram criadas a

partir dos tipos de erros cometidos pelos alunos e já bastante documentados na

literatura (Janvier, 1978; Clement, 1985; Nemirovsky & Rubin, 1992).

Alguns dos alunos não concluíram todas as tarefas. Aproximadamente 14%

de todas as tarefas não foram realizadas (incluindo as tarefas tipo tabela e de

interpretação de gráficos). A maior parte das faltas ocorreu com alunos de 5ª série.

Talvez, devido a grande quantidade de tarefas. De modo geral, ocorriam em média

dois encontros. As sessões eram demoradas, cansativas para os mais jovens16. Alguns

deles, após terem resolvido cerca de 20 tarefas, recusavam-se a prosseguir. As tarefas

tipo tabela e de interpretação, que ficaram para o final, foram as que mais os alunos

deixaram sem resolver. No entanto, como o objetivo do estudo foi analisar a natureza

da relação entre suas concepções e sua competência para representar, o fato de

algumas tarefas não terem sido realizadas não prejudicou a análise qualitativa.

Este capítulo foi dividido em duas partes. Na primeira parte foram analisados

alguns aspectos dos desenhos dos alunos. Observaram-se as características que

poderiam permitir que esses fossem utilizados como instrumentos à resolução dos

problemas. Na segunda parte, foram avaliadas as concepções dos alunos sobre

relações entre quantidades medidas por razão e as ligações desses conhecimentos

com o modo como eles representam esses quantidades. Essa avaliação ocorreu

através da análise dos tipos de estratégias utilizadas na resolução dos problemas. Em

ambas as partes, tentou-se explicitar a relação entre concepções e representação.

16A duração das entrevistas era de aproximadamente 5 ou 6 h.

1 Características dos desenhos e as relação com os conhecimento sobre taxa

A análise a seguir visou identificar os aspectos dos desenhos dos alunos que

poderiam torná-los instrumentos a resolução dos problemas de comparar taxas.

Observou-se ainda como as formas desses podem estar relacionadas com seus

conhecimentos sobre relações entre quantidades. A análise foi centrada na criação e

no uso de alguns aspectos de seus desenhos, como: a criação de escalas métricas no

papel, a diferenciação das taxas no desenho, o uso de segmentos de retas e figuras

geométricas com dimensões proporcionais às variações descritas nas tarefas. De

modo geral, foram criados três categorias básicas de desenhos a partir do conjunto de

desenhos produzidos. A seguir são analisados os tipos básicos.

1.1 Os tipos básicos de desenhos

Foram observados dois critérios para criação das categorias básicas de

desenhos: a apresentação ou não de formas que lembrem objetos concretos e o uso

ou não de regras escolares para a criação de gráficos. A combinação desses fatores

produz, logicamente, quatro categorias. No entanto, consideram-se membros de um

mesmo grupo todos os desenhos que demonstrem o uso de regras formais, mesmo

quando no mesmo aparecem referências a algum objeto físico ‘palpável’. A partir

desses critérios foram criadas três categorias para organizar as produções dos alunos.

O primeiro modelo, por exemplo, engloba as produções nas quais foram desenhados

objetos (mar, caminhão, plantas, palitos etc.). Além disso, não são observados

aspectos que demonstrem a utilização de qualquer regra de construção de gráficos

formais. Não ocorrem tentativas de usar o mesmo tipo de desenho para representar

fenômenos de naturezas diferentes. Os desenhos refletem aspectos que podem ser

vistos ou que estão diretamente relacionados com os fenômenos. A organização

desses desenhos é diferente para cada tipo de fenômeno que representam.

O segundo modelo engloba aqueles desenhos nos quais os alunos criaram

analogias com formas geométricas para representar as relações entre as variações. Os

desenhos e diagramas não correspondem às formas de objetos ‘físicos’ ou ‘reais’, ou

seja, a representação do fenômeno ocorre através da criação de desenhos que não

reproduzem objetos palpáveis. Também não se verificam aspectos da construção de

os tipos básicos de desenhos

45

gráficos como eixos e projeções. Por outro lado, alguns tipos de desenhos desse

grupo foram usados para representar mais de um tipo de fenômeno.

No terceiro grupo de desenhos incluem-se aqueles cujos aspectos demonstram

a intenção de usar, na sua criação, regras de construção de gráficos cartesianos.

Nesses desenhos podem ser encontrados, por exemplos: eixos ortogonais, desenhos

de curvas, gráficos de linha, quantidades associadas aos eixos, entre outros. Não é

necessário que os gráficos estejam corretos para que os mesmos sejam classificados

nessa categoria. Em alguns casos, partes de ‘gráficos’ lembram objetos palpáveis

como plantas e vasos, mas o critério que definiu essa categoria foi o uso de regras

formais da construção de gráficos cartesianos.

Na análise a seguir serão identificados aspectos construtivos desses três tipos

de desenhos. Alguns desses aspectos que podem torná-los potencialmente úteis ao

tratamento cognitivo de invariantes do conceito de taxa. A seguir será discutido o

modelo onde os alunos desenham aspectos observáveis dos fenômenos ao representá-

los.

1.1.1 Desenho de aspectos observáveis

Foram classificadas nessa categoria as produções onde os alunos desenharam

objetos (plantas, vasos, caminhões etc.) para representar os fenômenos sem, no

entanto, usar regras escolares para a criação de gráficos. Um exemplo de desenho

dessa categoria encontra-se na figura k abaixo. O aluno I representou as variações da

altura do balanço usando o desenho abaixo.

desenho de aspectos observáveis

46

Figura K - Desenho criado pelo aluno I para representar o fenômeno descrito na tarefa balanço-crescente

Há uma figura no centro do desenho na direção vertical, em forma de

retângulo. Da parte superior desse retângulo partem semi-retas paralelas para baixo e

para a esquerda. Na outra extremidade dessas semi-retas há o desenhos de uma

região fechada. Acima dessa região aparece o desenho de um calunga. O aluno

parece desenhar o diagrama de um balanço mostrando-o de perfil. Há uma curva

aberta e tracejada que atravessa o desenho do retângulo e do calunga. Do lado

esquerdo, a extremidade da curva pontilhada é mais alta que no lado direito. Além

disso, há duas outras curvas contínuas com setas e números desenhados em suas

extremidades. A menor delas tem a seta na parte de baixo e apontada para a direita.

A altura da parte superior da mesma coincide com a altura da extremidade mais

baixa da curva pontilhada. A maior das curvas contínuas tem uma seta na sua

extremidade superior, apontando para cima.

A linha tracejada parece estar representando todo o percurso realizado pelo

balanço desde o início da descida até o final da subida. A curva contínua

imediatamente abaixo da primeira parece indicar o movimento de descida do

balanço. A seta na extremidade de baixo parece indicar a direção do movimento do

mesmo nesse ponto. As indicações nas extremidades de cima, ‘2 m’, e na de baixo,

‘5 s’, correspondem às variações ocorridas na primeira etapa (ver no protocolo a

abaixo as descrições das etapas da tarefa). A indicação do início do movimento

parece ter sido feita pela inscrição ‘0 s’ abaixo de ‘2 m’. A segunda etapa do

fenômeno parece ter sido representada pela curva contínua mais abaixo e à esquerda.

A seta apontando para cima parece indicar a direção do movimento nessa posição.

As indicações das variações da segunda etapa foram colocadas nas extremidades

dessa curva: ‘3 m’ acima e ‘3 s’ abaixo. O aluno parece associar os deslocamentos


47

citados na descrição da tarefa aos comprimentos das curvas que descrevem os

deslocamentos realizados pelo balanço, e não às suas variações de altura. No entanto,

essa construção parece não tornar seu desenho inadequado. No desenho, as durações

dos intervalos de tempo foram colocadas nas extremidades das curvas que

representam os deslocamentos correspondentes. Essa coordenação poderia ter sido

utilizada como meio para o aluno decidir qual a relação entre as variações de tempo e

de espaço. As curvas contínuas foram colocadas lado a lado. Isso permite que a

relação entre os deslocamentos do balanço (2m:3m) possa ser tratada através da

observação das formas geométricas correspondentes aos deslocamentos do balanço.

No protocolo a abaixo o aluno I descreve seu desenho.

Protocolo A - O aluno I explica o seu desenho criado para a tarefa balanço-crescente

Sujeito I Idade 15 Série 7ª Tarefa Balanço-crescente Sequência BCA 1ª etapa Desceu 2 m em 5 s 2ª etapa Subiu 3 m em 3 s

• O sujeito desenha sua representação. (1) Ent: Pronto, você poderia me explicar como foi que você esquematizou esse desenho?

(2) I: Que quando ele subiu... ele tava na... ele subiu 2 metros. Aí começa a contar 0 segundos... até embaixo foram 5 segundos e quando ele subiu novamente, ele sobe 3 metros, e na descida são 3 segundos. É mais rápido aqui.

(3) Ent: Aonde? (4) I: Quando ele sobe e desce. • O aluno se refere à segunda etapa do

movimento. Sua resposta é correta.

(5) Ent: Por quê? (6) I: Porque ele percorreu a distância maior em menos tempo.

• O sujeito usa uma estratégia onde relaciona as variações através de desigualdades (Δq’>Δq e Δt’<Δt).

(7) Ent: Você faz alguma conta... para fazer isso?

(8) I: Não... lógica.


48

Observe na passagem (6) a maneira como o aluno I relaciona as

quantidades17. Observe que essa estratégia, através de desigualdades, pode ter sido

inspirada nas características gráficas de seu desenho. Através da observação do seu

desenho é possível identificar a relação entre os deslocamentos (2 m e 3 m)

comparando-se os comprimentos das curvas contínuas. Além disso, as associações

entre os deslocamentos com os respectivos intervalos de tempo podem ser

observadas através da forma como as inscrições foram colocadas, ao lado das

respectivas curvas. Em resumo, há uma série de características geométricas no seu

desenho que podem servir para o aluno tratar os invariantes de razão, proporção e

taxa. Portanto, a identificação das relações entre as variações (2m < 3m e 5seg >

3seg, 2m/5seg < 3m/3seg, ou o maior deslocamento ocorre no menor intervalo de

tempo enquanto o menor deslocamento ocorre durante o maior intervalo de tempo),

pode ter ocorrido mediante o uso do seu desenho.

Observe, na figura l abaixo, um outro exemplo onde também aparece o

desenho do próprio objeto citado na tarefa para representar o fenômeno. Esse

desenho foi realizado durante a resolução de uma tarefa onde foram descritas

velocidades sucessivas de dois caminhões. Esse desenho foi criado pela aluna J.

Figura L - Desenho da aluna J para a tarefa caminhão-duplo Na parte de cima, o aluno desenhou um linha reta e horizontal. Em sua

extremidade encontram-se indicações com os nomes das cidades de Recife e João

Pessoa (“J. Pessoa”). Ao longo da linha horizontal, encontramos desenhos de

caminhões. Acima de cada um deles há indicações de tempo: ‘0:00’, ‘2:00’ e ‘3:00’.

Abaixo deles são colocadas informações sobre os quilômetros: ‘1 km’, ‘130 km’,

‘210 km’. Cada desenho de caminhão parece estar representando o mesmo objeto

descrito na tarefa em três momentos: no início do deslocamento, após as duas

primeiras horas e no final da terceira hora. A parte de baixo tem características

17Ver na seção estratégia 2: relaciona Δq, Δt, Δq’ e Δt’ através de desigualdades uma descrição mais detalhada sobre essa estratégia.


49

semelhantes à de cima. O que há de diferente são: a posição do segundo caminhão

desenhado que se encontra a aproximadamente ¼ da distância total a partir da

extremidade esquerda da linha horizontal; as inscrições de tempo: ‘0:00’, ‘2:00’ e

‘5:00’; as informações sobre os quilômetros: ‘1 km’, ‘70 km’, ‘210 km’.

A distância entre os caminhões em cada série de desenhos parece

corresponder aproximadamente aos deslocamentos em cada etapa do movimento. Na

série de cima, a distância entre os desenhos do primeiro caminhão e do segundo,

corresponde a um deslocamento de 130 km em 2 h. Por outro lado, a distância entre

o desenho do segundo caminhão e do terceiro corresponde a um deslocamento de 80

km em 1 h. Na série de baixo, a primeira distância entre os dois primeiros caminhões

corresponde a um deslocamento de 70 km em 2 h. A segunda distância, entre o

segundo e o terceiro caminhão, corresponde a um deslocamento de 140 km em 3 h.

As velocidades são, respectivamente, 35 km/h e ∼46 km/h. Os comprimentos de

ambas as séries são iguais e parecem representar os deslocamentos totais percorridos

(210 km).

Há uma incoerência no desenho da série de cima da figura l. A distância

correspondente ao deslocamentos de 130 km foi desenhada menor que a distância

correspondente ao deslocamento de 80 km. Há, no entanto, uma coordenação entre as

posições dos caminhões na série de cima e na série de baixo. O desenho do segundo

caminhão da série de baixo, que se deslocou de 70 km, foi colocado à esquerda, mais

próximo do referencial de origem do que o segundo caminhão da série de cima, que

percorreu 130 km. Em suma, há uma métrica implícita a construção do desenho

como um todo. Essa métrica existe ao longo da direção horizontal e serviu para

coordenar a colocação dos caminhões acima das duas linhas horizontais. Os

desenhos não foram colocados sem que a aluna observasse as posições relativas entre

os mesmos. Todas essa características do seu desenho criam a possibilidade do

mesmo servir como instrumento no tratamento de objetos matemáticos como:

razões, frações, proporções, que existem nas relações entre as quantidades descritas.

Além disso, a aluna sabe que a velocidade dos caminhões é calculada através da

razão entre os quilômetros percorridos e a duração do intervalo de tempo. Suas

explicações encontram-se nas passagens (4) e (8) no protocolo b.


50

Protocolo B - Comparação das velocidades dos primeiro e segundo caminhões, na tarefa caminhão-duplo pelo aluno J

Sujeito J Idade 13 Série 7ª Tarefa Caminhão-Duplo Sequência BCA 1º caminhão 2º caminhão 1ª etapa 130 km em 2 h 1ª etapa 70 km em 2 h 2ª etapa 80 km em 1 h 2ª etapa 140 km em 3 h

(1) Ent: O primeiro caminhão: ele foi mais rápido em que parte? Na primeira ou na segunda?

(2) J: Foi na segunda. (3) Ent: Por quê?

(4) J: Na primeira, ele gastou 2 h pra percorrer 130 km, ou seja, cerca de 65 km por hora. Enquanto na segunda ele gastou 1 h pra percorrer 80 km.

(5) Ent: E o segundo caminhão. (6) J: O segundo caminhão? O quê parte ele foi mais rápido... (pausa) É a segunda.

(7) Ent: Por quê?

(8) J: Nos meus cálculos, pelo menos, ele percorreu na primeira parte 35 km em 1 h, na segunda 46 km em 1 h.

• Aqui estão as velocidades,encontradas através dos cálculos: 70 km ÷ 2 h, e 140 km ÷ 3 h.

Sua concepção sobre o conceito de velocidade, reconhecendo a razão Δq/Δt,

parece tê-la conduzido à conclusão correta da comparação entre as velocidades dos

dois caminhões. Além disso, os aspectos geométricos de seu desenho possuem

relações entre si que são aproximadamente equivalentes àquelas encontradas entre as

quantidades descritas na tarefa. Os quilômetros percorridos em cada etapa aparecem

inscritos ao longo da linha do percurso, além de estarem codificadas nos espaços

entre os pequenos caminhões. Os tempos decorridos em cada etapa encontram-se

inscritos acima dos mesmos. A organização geral do desenho, mesmo sem possuir

características de um gráfico, permite que as relações entre as quantidades descritas

na tarefa possam ser encontradas através da observação de suas partes.

Um outro exemplo é mostrado na figura m abaixo. Nele apresenta-se o

desenho criado pelo aluno I para representar o fenômeno que descreve um garoto

contando ondas no mar. Nessa tarefa a freqüência de ondas na segunda etapa é menor

que na primeira. As quantidades de ondas contadas e dos minutos encontram-se

representadas de duas maneiras. Na primeira, através do desenho de palitos de


51

fósforo. O aluno parece estar associando cada palito a uma onda observada.

Inscrições foram colocadas acima de cada um dos conjuntos de palitos indicam o

tempo decorrido durante a observação. Acima dos desenhos dos palitos

correspondentes à primeira etapa foi colocada a inscrição ‘00:07’. A segunda etapa

foi desenhada do lado direito da figura, fora da região definida por um retângulo. Há

16 palitos de fósforos que correspondem à quantidade de ondas observadas. Acima

dos desenhos dos palitos, há uma inscrição indicando o tempo decorrido nessa etapa

(‘00:24’). É possível identificar, a partir do seu desenho, relações equivalentes

àquelas encontradas na descrição da tarefa. A quantidade de ondas foi maior na

primeira parte e a quantidade de minutos foi maior na segunda parte. Nessa tarefa,

onde a diferença entre as taxas é muito grande (36/7 >> 16/24), uma estratégia que

relacione as quantidades através de desigualdades permite ao aluno encontrar a

relação entre as variações. Da mesma forma, um outro tipo de estratégia poderia ter

sido usada como base para o seu desenho, pois o mesmo dispõe de aspectos

geométricos que o tornam um meio provável através do qual ocorre a identificação

das relações entre as quantidades.

Figura M - Desenho criado pelo aluno I para representar a contagem de ondas numa praia

A segunda representação criada pelo aluno encontra-se no canto superior

direito da figura m. Trata-se de um inscrição em forma de tabela onde são

organizadas as variações das quantidades de ondas contadas e de tempo. A coluna da

esquerda corresponde às variações de quantidades de ondas. A coluna da direita

corresponde às durações dos intervalos de tempo. Essa pequena tabela organiza os


52

número que, na descrição da tarefa, encontram-se separados. Essa tabela também

permite que se identifique a relação entre as variações (36/7 > 16/24).

Durante a entrevista, o examinador deliberadamente pediu para que o aluno

comparasse as taxas antes de desenhar. O desenho dos palitos foi criado após o aluno

ter encontrado a relação entre essas. Observe o diálogo transcrito no protocolo c

abaixo.

Protocolo C - Explicação da representação do aluno I na tarefa mar-decrescente

Sujeito I Idade 15 Série 7ª Tarefa Mar-decrescente Sequência BCA 1ª etapa 36 ondas em 7 min 2ª etapa 16 ondas em 24 min

Ent: O terceiro problema com mar, certo? Você teria que fazer uma representação. Agora, antes de fazer a representação, dá para saber em qual intervalo o mar está mais agitado?

• O examinador pede para que o aluno resolva o problema de encontrar a relação entre as taxas antes do aluno fazer o desenho.

I: Dá... Na, na primeira, na primeira etapa está mais agitado.

• O aluno encontra a relação correta.

Ent: Por quê? I: Porque foi mais ondas em menos tempo. • O sujeito relaciona as variações através

de desigualdades como Δq’>Δq e Δt’<Δt.

Ent: Mais ondas em menos tempo. Poderia fazer uma representação?

I: Posso.

• O aluno escreve os números em forma de tabela, como mostrado na parte superior direita da figura m acima.

Ent: Pode fazer diferente? I: Diferente. Fazer diferente, mas... quer diferente, na maneira de eu contar, é?

Ent: É.

• O aluno desenha os palitos e as indicações de tempo. I: Podia representar assim, como se o cara visse, cada onda que ele visse era um palitinho que ele botava no desenho.

• Descreve a figura m acima.

Nesse caso, ao escrever os números na tabela e ao criar o desenho, o aluno

cumpriu a solicitação do examinador: “...desenhar algo que representasse o que

Antônio observou do mar.” (Ver a descrição completa das tarefas no anexo ii - as


53

tarefas). Essa organização em forma de tabela pôde servir como meio à identificação

das relações entre as variações dos números de ondas contadas e do tempo decorrido.

O exemplo a seguir mostra o desenho criado pelo aluno O para representar o

fenômeno do crescimento de uma planta descrito em dez etapas. O aluno criou dois

desenhos cujas formas assemelham-se a caules de plantas. Nas bases desses desenhos

encontram-se desenhadas raízes. Às margens desses desenhos de caules foram

desenhados colchetes com a parte interna apontando para os centros desses desenhos.

No desenho da esquerda, os colchetes colocados a mesma altura têm tamanhos

iguais. Seus tamanhos parecem ser proporcionais aos centímetros de crescimento nas

etapas correspondente. Referências numéricas aos valores das variações de altura e

de tempo foram colocados ao lado dos colchetes. Colchetes e números foram

colocados de modo que as primeiras entradas da tabela fossem registradas próximas

aos desenhos das raízes. As entrada das linhas seguintes foram colocadas, no

desenho, acima das anteriores, e assim por diante em direção ao topo. Seu desenho é

mostrado à esquerda da figura n abaixo.


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Figura N - Desenho do sujeito O na tarefa envolvendo a descrição do crescimento de uma planta, descrito por uma tabela Referências às variações foram feitas através do uso de números, colocados

às margens da figura. Ainda no desenho da esquerda, as durações dos intervalos de

tempo em dias encontram-se desenhadas do lado esquerdo dos colchetes da esquerda.

Do lado direito dos colchetes da direita, foram escritos números que correspondem às

variações de altura em cada etapa. Os dados fornecidos com a tarefa encontram-se

relacionados no protocolo d adiante. Nesse caso, os recursos do desenho à esquerda

acrescentaram pouco aos dados apresentados na tabela da tarefa. Através dos

aspectos geométricos do desenho, não é possível concluir algo mais a respeito das

relações entre as taxas consecutivas além daquilo que já é possível com os recursos

disponíveis na tabela.

Ao contrário, no desenho da direita, a referência às quantidades foi feita

através do uso de colchetes de tamanhos proporcionais às quantidades apresentadas

na tabela. Os colchetes correspondentes a um mesmo par de variações de altura e

tempo foram colocados à mesma altura alinhados por suas parte inferiores. Nesse

desenho não foram usados números para registrar as variação no desenho. Os pares


55

de colchetes correspondem às entradas das tabelas na ordem invertida. Os colchetes

próximos à base correspondem aos valores da primeira linha da tabela. Eles têm

tamanhos iguais pois correspondem a uma variação de altura de 2 cm que ocorreu em

2 dias. Os dois colchetes acima, em cada lado, encontram-se alinhados por suas

partes inferiores, mas têm tamanhos diferentes. Esses correspondem aos valores da

segunda linha da tabela, que indicam um crescimento de 4 cm em 3 dias. O colchete

do lado esquerdo é menor, pois corresponde ao número de dias, enquanto o colchete

do lado direito é maior, pois corresponde à quantidade de centímetros de

crescimento. Nesse caso, relações proporcionais podem ser identificadas a partir da

observação dos aspectos geométricos do desenho. Por exemplo, as variações da

primeira linha da tabela (2 cm, 2 dias) são representados por colchetes do mesmo

tamanho, enquanto que o segundo par (4 cm, 3 dias) é representado por colchetes de

tamanhos diferentes, no entanto proporcionais aos números desse par. A maior razão

entre comprimentos de colchetes é observada na relação entre os comprimentos dos

colchetes que correspondem aos valores da quarta linha da tabela, 8 cm em 1 dia. As

razões entre comprimentos de colchetes numa mesma altura são equivalentes à razão

entre valores numéricos encontrados numa linha correspondente na tabela. Essas

relações, observadas a partir dos aspectos gráficos do desenho, podem servir de base

à comparação entre as taxas descritas na tarefa. O protocolo d, a seguir, mostra como

o sujeito O resolve o problema.

Protocolo D - O sistema gráfico criado pelo aluno O na tarefa planta-tabela

Sujeito O Idade 18 Série 1º Tarefa Planta-tabela Sequência BCA 1ª etapa Cresceu 2 cm em 2 dias 6ª etapa Cresceu 6 cm em 5 dias 2ª etapa Cresceu 4 cm em 3 dias 7ª etapa Cresceu 3 cm em 2 dias 3ª etapa Cresceu 6 cm em 4 dias 8ª etapa Cresceu 2 cm em 6 dias 4ª etapa Cresceu 8 cm em 1 dias 9ª etapa Cresceu 1 cm em 1 dias 5ª etapa Cresceu 5 cm em 3 dias 10ª etapa Cresceu 8 cm em 3 dias

Ent: E aí Armando, pelo teu desenho, como é que a gente sabe qual dessas partes que você representou tá indo mais rápido?

O: A quarta parte.

Ent: Por quê? O: Porque o número de dias foi pequenininho e o crescimento dela foi bem grande. E eu indiquei isso através de

• O aluno parece comparar os colchetes desenhados relacionando seus comprimentos. No entanto, a referência


56

quadradinhos, retângulos. às quantidades associadas aos colchetes é lembrada.

Ent: Como assim?

O: Quadradinhos porque aqui... porque aqui na quarta etapa ela cresceu 1 cm, aí eu representei por um quadradinho, 1 cm, e o crescimento dela foi de 8 cm, eu tive que representar por um triângulo (retângulo).

Além de apresentarem desenhos de objetos que podem ser vistos e tocados, os

alunos desenharam figuras geométricas dando a impressão de estar criando sistemas

de referências métricas através do uso sistemático dos colchetes. As relações entre

seus comprimentos são mantidas indicando a existência de uma métrica implícita à

construção de todo o desenho.

Há diversos recursos que podem ser usados pelos alunos ao criar seus

desenhos, para torná-los capazes de servir como meio a identificação de relações

entre quantidades. Um deles é a utilização de escalas métricas, desenhadas no papel,

indicando as quantidades que definem uma taxa. A criação de uma escala é definida

como o processo no qual o aluno desenha marcas espaçadas regularmente numa

direção escolhida. Marcas podem ser feitas sobre um segmento de reta. A figura o

abaixo mostra o desenho criado pela aluna J para a tarefa planta-crescente. A aluna

desenha escalas que aparecem ao lado das plantas no seu desenho. As alturas no final

da primeira etapa do crescimento e no final da segunda etapa são mostradas através

do desenho da planta e das escalas. Os números que aparecem indicam as variações

citadas na tarefa. As inscrições numéricas ao lado da escala da esquerda indica a

quantidades ‘6 cm’. Na escala da direita, a indicação é ‘5 cm’. Na escala à esquerda

há 7 marcas. A primeira marca na parte de baixo encontra-se na mesma altura da

parte de cima do desenho do jarro. Na escala à direita encontram-se 12 marcas, e

novamente, a altura da primeira marca da parte de baixo coincide com a altura da

parte superior do desenho do jarro. A quantidade de marcas é igual a altura no final

de cada etapa acrescido de uma marca. As duas escalas são desenhadas sobre

segmentos de reta. Acima de cada planta são escritas as quantidades de dias que

duraram cada etapa: ‘7 dias’ e ‘3 dias’.


57

Figura O - Escalas de medida da altura da planta, criadas pela aluna J para a tarefa planta-crescente

As operações que aparecem abaixo dos desenhos indicam que a aluna

calculou a quantidade de dias que a planta gastou para crescer cada centímetro, Δt ÷

Δq. Aparecem as seguintes operações: 7 dias ÷ 6 cm = 1,1 dias/cm, e 3 dias ÷ 5 cm =

0,6 dias/cm. O protocolo e abaixo transcreve-se o diálogo do sujeito J resolvendo o

problema.

Protocolo E - Aluna J resolvendo a tarefa planta-crescente

Sujeito J Idade 13 Série 7ª Tarefa Planta-crescente Sequência BCA 1ª etapa Cresceu 6 cm em 7 dias 2ª etapa Cresceu 5 cm em 3 dias

Ent: O que foi que aconteceu com a altura dela?

S: Nos primeiros 7 dias a planta cresceu 6 cm, e nos 3 dias restantes cresceu mais 5 cm.

Ent: Ela cresceu mais rápido na primeira ou na segunda parte?

S: Eu acho que ela cresceu mais, mais depressa nos sete primeiros dias. Ela cresceu cerca de 1,1 cm por dia, enquanto na segunda parte ela cresceu 0,6 cm por dia.

• Encontrar a quantidade de dias necessários para que a planta cresça 1 cm não fez com que a aluna comparasse corretamente as taxas que são descritas. Ele não identifica a natureza correta do resultado e


58

compara-os erroneamente.

Ent: Como foi que tu fizeste a conta? S: Eu dividi a quantidade de dias pela altura.

A aluna usa novamente escalas no desenho feito para a tarefa planta-

constante. Essa tarefa foi resolvida logo depois da anterior. Aqui ela também desenha

uma escala para a dimensão do tempo, a qual é dividida por linhas verticais

demarcando a duração de cada intervalo de 1 dia. Há 12 partes na escala horizontal.

Após a marca com o número ‘4’ um segmento de reta desce até a parte de baixo do

desenho. A figura p abaixo mostra sua representação para essa tarefa.

Figura P - Escalas de altura e de tempo criadas pela aluna J para a tarefa planta-constante

As indicações numéricas feitas ao lado das escalas são as variações da altura

da planta: 5 cm e 10 cm. Novamente, a aluna calcula a quantidade de tempo, em dias,

necessários para que a planta cresça 1 cm, Δt ÷ Δq. Aparecem as seguintes

operações: 4 dias ÷ 5 cm = 0,8 dias/cm, e 8 dias ÷ 10 cm = 0,8 dias/cm. O protocolo f

abaixo mostra como o sujeito resolve o problema.

Protocolo F - Resolução da tarefa planta-constante pela aluna J

Sujeito J Idade 13 Série 7ª Tarefa Planta-constante Sequência BCA 1ª etapa Cresceu 5 cm em 4 dias 2ª etapa Cresceu 10 cm em 8 dias

Ent: O que foi que aconteceu, ela cresceu mais ligeiro na primeira ou na segunda parte?


59

S: Elas cresceram igualmente, tanto na primeira parte como na segunda.

• Sua resposta foi correta, mesma usando uma forma incorreta de relacionar as quantidades.

Ent: Como você fez pra saber?

S: Dividi a quantidade de dias pelo tamanho que ela cresceu. Em ambas das partes ela cresceu 0,8 cm por dia.

• Essa passagem demonstra como a aluna não coordena muito bem a operação com a designação da quantidade intensiva correta.

Um modelo diferente de escala aparece no desenho feito pela aluna J na tarefa

planta-decrescente. Essa tarefa foi apresentada à aluna logo após a tarefa planta-

constante. Aqui ela desenha apenas uma porção de escala suficiente para medir a

variações de altura. Os números colocados ao lado das escalas indicam as variações

da altura.

Figura Q - Desenho da aluna J para a tarefa planta-decrescente A aluna calcula a quantidade de tempo, em dias, necessária para que a planta

cresça 1 cm (Δt ÷ Δq). Aparecem as seguintes operações: 4 dias ÷ 7 cm = 0,5

dias/cm, e 6 dias ÷ 5 cm = 1,2 dias/cm. O protocolo g abaixo mostra como o sujeito

resolve o problema.

Protocolo G - Resolução da aluna J na tarefa planta-decrescente

Sujeito J Idade 13 Série 7ª Tarefa Planta-decrescente Sequência BCA 1ª etapa Cresceu 7 cm em 4 dias 2ª etapa Cresceu 5 cm em 6 dias

Ent: Ela tá crescendo mais ligeiro na primeira ou na segunda parte?


60

S: Ela tá crescendo mais rápido na segunda parte.

Ent: Por quê?

S: Porque na segunda fase ela cresceu 1,2 cm a cada dia, e na primeira 0,5 cm a cada dia.

Ent: Como foi que tu fizeste a conta?

S: Eu dividi a quantidade de dias, o tempo, pela altura.

Ent: O que significa esse número... 0,5 o quê?

S: Aqui é centímetros. • A aluna não parece compreender o significado do resultado da divisão.

Ent: Centímetros? /Sim./ E esse 1,2.

S: Também é centímetros.

Nos desenhos anteriores, foram encontrados enúmeras características que são

semelhantes àquelas encontradas em gráficos cartesianos. Ao resolver a última das

tarefas sobre o crescimento da planta, descrito em 10 etapas, a aluna J criou o

desenho mostrado na figura r abaixo.

Figura R - Desenho da aluna J para a tarefa tabela-planta

Nesse desenho há 10 plantas desenhadas. Cada uma delas com um tamanho

diferentes. Ao lado de cada um desenho de planta aparece uma escala com a


61

quantidade de marcas correspondente a variação da altura, em centímetros, na etapa

correspondente. A escala de tempo foi construída com espaços colocados a intervalos

regulares. As marcas internas mostram números desde ‘1’ até ‘30’. Após a

quantidade de dias correspondente a cada uma das etapas do crescimento, aparecem

segmentos de reta desenhados até a parte de baixo do desenho. Observa-se nesse

desenho, diversos aspectos encontrados em gráfico de barras, como: escalas na

direção vertical para a altura, escalas na posição horizontal para o tempo, eixos. Pela

combinação de recursos usados na construção desse gráfico, o mesmo parece auxiliar

na identificação das relações entre as diferentes taxas descritas em forma de tabela.

Protocolo H - Como a aluna J identifica a diferença entre as taxas no desenho que foi criado para a tarefa que descreve o crescimento de uma planta por uma série de dez pares de variações

Sujeito J Idade 13 Série 7 Tarefa Planta-tabela Sequência BCA 1ª etapa Cresceu 2 cm em 2 dias 6ª etapa Cresceu 6 cm em 5 dias 2ª etapa Cresceu 4 cm em 3 dias 7ª etapa Cresceu 3 cm em 2 dias 3ª etapa Cresceu 6 cm em 4 dias 8ª etapa Cresceu 2 cm em 6 dias 4ª etapa Cresceu 8 cm em 1 dias 9ª etapa Cresceu 1 cm em 1 dias 5ª etapa Cresceu 5 cm em 3 dias 10ª etapa Cresceu 8 cm em 3 dias

E: Será que dá pra gente saber qual foi mais ligeiro? Sem fazer as contas, olhando o gráfico.

S: Acho que olhando assim... acho que foi no quarto bloco quando ela cresceu 8 cm em 1 dia.

• A aluno parece identificar a etapa de crescimento mais rápido analisando o próprio desenho.

E: Por quê? S: Olhando assim, aqui aparentemente cresceu mais, agora fazendo as contas eu não sei.

E: Vamos ver então. (Pausa)

E: O que foi que você olhou, o que foi que você reparou no gráfico pra dizer quando tava mais ligeiro?

S: A altura da planta.

E: E o tempo tem alguma coisa a ver com isso.

S: Não. Acho que não, eu não reparei nada olhando para o tempo, só para o desenho. Isso, relacionada as outras plantas. A evolução delas.


62

A sua explicação de como usa o seu desenho não corresponde à forma como

ela relaciona as variações quando calcula as taxas. No caso particular da quarta etapa,

que corresponde a quarta planta desenhada, um intervalo de tempo muito curto, o

menor, está associado a um crescimento de 8 cm. Essa combinação destaca-se no

desenho. Esse exemplo mostra como a criação de escalas coordenadas no desenho

podem torná-lo útil à resolução da comparação entre taxas. Na seção a seguir, será

analisado um outro exemplo de resolução de problemas no qual os desenhos foram

organizados recriando relações equivalente àquelas encontradas entre as quantidades

descritas na tarefa. Um outro aspecto pode ser destacado da análise dos quatro

últimos desenhos. Todos foram classificados como modelos do primeiro grupo, pois

os alunos criaram desenhos de objetos palpáveis. No entanto, o uso sistemático de

escalas criou no desenho uma métrica implícita à sua construção que torna o desenho

dotado de características semelhantes às encontradas em gráficos, com relação à

métrica imposta pelos eixos coordenados.

Em cada um dos exemplos descritos acima os fenômenos foram

representados por meio do desenho de aspectos observáveis do mesmo, os quais

podem ser observados diretamente. Foram desenhados caminhões, caules, balanços,

palitos, entre outros. Em todos os exemplo, no entanto, há aspectos geométricos em

seus desenhos que podem permitir a identificação de relações equivalentes àquelas

encontradas entre as quantidades descritas nas tarefas. Essas características tornam-

os instrumentos em potencial a resolução de problemas. Na seção a seguir, será

discutido outro modelo de desenhos onde os alunos realizam algum tipo de analogia

ao representar. Esses possuem formas geométricas que não correspondem a aspectos

diretamente percebidos do fenômeno.

1.1.2 Uso de analogias ao representar

Foram classificados nesse grupo todos os desenhos e diagramas onde os

alunos não desenharam aspectos observáveis dos fenômenos e, no entanto, não se

observa o uso de regras escolares para a construção de gráficos. Foram usados, em

alguns casos, figuras geométricas como retângulos, segmentos de reta e círculos para

representar as variações Δq. Frequentemente, esses modelos foram usados para

representar diferentes tipos de fenômenos.

Os modelos onde ocorrem analogias foram observados principalmente

quando houve uma mudança do tipo de fenômeno representado. Por exemplo, o

uso de analogias ao representar

63

aluno A usou a mesma estrutura que havia sido usada para representar a tarefa

descrevendo o enchimento de dois vasos para criar seu desenho na tarefa que

descrevia o movimento de um caminhão, numa seqüência crescente de velocidades

médias. Na primeira, o primeiro vaso encheu 3 cm em 4 min, e na segunda etapa 4

cm em 5 min. O segundo vaso encheu 6 cm em 4 min, depois 7 cm em 5 min. Na

segunda tarefa, no movimento descrito do caminhão ele percorria 130 km em 2 h e,

depois 80 km em 1 h. A figura s mostra o desenho que ele criou para representar a

tarefa com os vasos sendo enchidos com água.

Figura S - Desenho criado pelo aluno A para representar a tarefa vaso-duplo

Na parte superior desse desenho foram colocadas seqüências de curvas

fechadas cujas formas assemelham-se a retângulos. Esses parecem ter sido

desenhados da esquerda para a direita. Dentro desses desenhos aparecem curvas

abertas na direção horizontal que dividem as regiões delimitadas pelos ‘retângulos’

em duas partes. O ‘retângulo’ que aparece à esquerda e abaixo da primeira seqüência,

segue o mesmo padrão de construção. O segundo, nessa mesma altura, aparece

cortado por um grande ‘X’. Há algumas indicações de quantidades. Na parte superior

do desenho, entre o quarto e o quinto ‘retângulo’ encontra-se a inscrição ‘3 cm’.

Após o primeiro ‘retângulo’ da segunda linha de baixo e antes do ‘retângulo’ cortado

aparece a inscrição ‘4 cm’. Abaixo desse último aparece a inscrição ‘7 cm’. A altura

da curva com relação à base no ‘retângulo’ mais à esquerda é pequena.

Ainda na figura s, os desenhos dos retângulos parecem ter sido usados para

representar vasos enchendo. As alturas do nível de água a cada minuto que durou o

enchimento parece ter sido representada pela altura das linhas horizontais dentro dos

‘retângulos’. Enquanto que os minutos consecutivos parecem estar sendo

representados pela sucessão de desenhos, da esquerda para a direita. Observe a

primeira parte do desenho, composta dos ‘retângulos’ até a inscrição ‘3 cm’. Nessa

parte, a altura das curvas inscritas iniciou próxima à base do primeiro ‘retângulo’.


64

Essa altura aumentou até que, no quarto ‘retângulo’, ela foi desenhada na metade da

altura desse.

Na segunda parte do desenho, constituída pelos cinco ‘retângulos’ seguintes,

incluindo aquele desenhado à esquerda da linha de baixo até as inscrições ‘4 cm’ e ‘7

cm’, a altura das curvas inscritas aumentou da metade até próximo ao topo no último

retângulo dessa parte.

A sua concepção sobre a relação entre as variações Δq e Δt é de que deve

haver uma partição da primeira quantidades pela segunda, nessa ordem. Assim, o

enchimento ocorre com variações regulares de Δq a cada minuto. O protocolo i

abaixo mostra uma série de tentativas do aluno A para encontrar a variação de altura

do nível de água em cada minuto.

Protocolo I - Aluno A tentando encontrar a variação a cada minuto da altura do nível de água no primeiro vaso. Da tarefa vaso-duplo.

Sujeito A Idade 12 Série 5ª Tarefa Vaso-duplo Sequência ABC 1º vaso 2º vaso 1ª etapa Encheu 3 cm em 4 min 1ª etapa Encheu 6 cm em 4 min 2ª etapa Encheu 4 cm em 5 min 2ª etapa Encheu 7 cm em 5 min

Ent: Ele aumentou mais 4 centímetros. • O aluno inicia a análise da segunda etapa do primeiro vaso.

A: Quatro centímetros, né? Ent: Hum, hum!

A: Então, eu acho que foi igual porque, é... pra 4 ela sobe, ela sobe é... 1.5 e 1.5, é não! Ela sobe... 1.5 e um pouquinho, ela sobe em 8 mais ou menos, entre 1.5 e 1, entre meio e 1, ela sobe, ela sobe aqui, certo? Ela sobe aqui, e aqui também ela sobe entre 0.5 e 1.0. Ó! Vamos dizer, 1.5, 1.5+1.5, 1.5+1.5... (Pausa) é, é até aqui vai por quanto? Dará 3 centímetros e aqui 5.5... 5 centímetros.

• Faz uma estimativa da variação da altura do nível de água em cada minuto. Sua primeira tentativa foi 1.5 cm/min. Mas, logo percebe que essa variação pequena.

• Muda para “1.5 e um pouquinho”.

• Muda para “entre 1.5 e 1”.

• Muda para “entre 0.5 e 1.0”

• O aluno A tentou várias outras hipóteses. A: 8 + 8 = 16. • Tenta agora 0.8 cm/min. Faz os

cálculos somando décimos. Esta estratégia corresponde à primeira etapa do enchimento do primeiro vaso. Ele tem de encontrar um valor que somado quatro vezes produza algo em torno de 3 cm, ou 30 mm.


65

Ent: Mais 8... A: É, mais 8... trinta e... não, 24. Ent: Mais 8.

A: 32. 32. Ent: Está perto, né? • O objetivo foi encontrar uma variação

de altura por minuto cuja integral nos 4 minutos da primeira etapa, correspondesse a uma variação de altura de 3 cm (ou 30 mm). 32 mm passa um pouco de 30 mm, foi a que se referia o examinador.

A: É,... é menos, por 7.0 Ent: Pronto, vamos ver por sete.

A: 7.0 Ent: 7.0

A: 7 + 7 é 14. Ent: Mais 7?

A: 21 Ent: Mais 7? A: 28. • A taxa de 7 mm/min não é suficiente,

pois integrada ao longo de 4 min tem-se 28 mm, que é menor que 30 mm.

Ent: Quanto agora? A: Num vai por oito. Por sete...

Ent: Por 8 é quanto? A: É por 6. É por 6.

Ent: Por 7. É muito ou pouco? A: É não.

Ent: Aqui deu 28. A: Por 7, é... é pouco.

Ent: E por oito? A: É muito.

Ent: Então... A: Está entre 7 e 8.

Ent: E oito... Vamos ver na 2ª etapa... • O examinador pede que examine a segunda etapa.

A: Vamos ver 7 e 8 também.

Ent: Certo.


66

A: 8. 8 + 8 = 16. 16. 24. 32. É 32. 40. Por oito.

• O aluno A logo encontra que a variação por minuto da altura do nível de água é de 8 mm/min.

Ent: Pronto, por 8. A: Por oito.

Ent: Então quem cresce mais? A: Igual, né?... (Pausa) Não... vim ver... é aqui em cima, tá entre 8 e 7. 8 e 7. É aqui tá entre, entre... tá em 8.

• Tendo encontrado as duas taxas de variações, o aluno as relaciona-as entre si. Ele conclui que a segunda taxa é maior que a primeira.

Durante todo o diálogo transcrito no protocolo i, o aluno A tentou encontrar o

valor da variação da altura do nível de água em cada minuto nas duas etapa do

enchimento do primeiro vaso. A sua conclusão final sobre as duas taxas encontra-se

na última passagem do protocolo acima. Há pouca diferença entre as duas taxas de

enchimento por minuto. Essa estratégia usada pelo aluno, denominada ‘rated

addition’, será analisada na seção estratégia 4: ênfase na relação mais adiante). O

tipo de estratégia parece corresponder ao tipo de desenho criado para representar o

fenômeno. Pois, em seu desenho, o aluno descreve o enchimento por meio de

variações regulares da altura de linhas horizontais inscritas em retângulos

consecutivos. Cada retângulo corresponde a um minuto e as variações por minuto são

representadas pelas diferenças de altura entre suas linha horizontais internas.

A figura t mostra o desenho que o mesmo aluno, A, criou para representar o

movimento de um caminhão descrito por uma seqüência crescente de velocidades

médias. Esse desenho tem uma organização semelhante àquela apresentada na figura

s. A descrição do movimento do caminhão foi apresentada para o aluno logo após a

descrição do enchimento dos dois vasos (ver na tabela e a ordem de apresentação das

tarefas para os alunos, página 41).


67

Figura T - Desenho do aluno A para a tarefa caminhão-crescente No desenho, encontram-se desenhados três figuras novamente com formas

retangulares. Os desenhos parecem ter sido desenhados da esquerda para a direita.

Dentro dessas figuras há linhas horizontais que as dividem em duas regiões. As

alturas das linhas internas são diferentes. Da esquerda para a direita, elas são

desenhadas, a cada retângulo, em níveis cada vez mais altos. Há inscrições no

desenho. Entre os dois primeiros retângulos existe a inscrição ‘130’ e acima do

último foi colocada a inscrição ‘80’. Um traço vertical após o segundo retângulo

divide o desenho em duas partes.

Nesse desenho, os retângulos parecem corresponder às horas que duraram o

deslocamento do caminhão. As alturas das linhas horizontais, dentro de cada

retângulo, correspondem às distâncias percorridas até o instante representado pelo

retângulo. A diferença entre alturas de duas linhas internas a retângulos sucessivos

corresponde à variação de posição em cada hora de duração do deslocamento.

Observe que a diferença de altura entre as linhas internas no primeiro e no segundo

retângulo é menor que a diferença entre as alturas do segundo e do terceiro.

A organização desse desenho cria a possibilidade de se identificar relações

equivalentes àquelas entre as quantidades descritas na tabela, usando os aspectos

geométricos do desenho. O protocolo j descreve como o aluno A concebe a relação

entre variações de posição e variações de tempo.

Protocolo J - O aluno A descreve o seu desenho criado para representar o movimento descrito na tarefa caminhão-crescente

Sujeito A Idade 12 Série 5ª Tarefa Caminhão-crescente Sequência ABC 1ª etapa Percorreu 130 km em 2 h 2ª etapa Percorreu 80 km em 1 h

Ent: Quanto vale essa altura aqui no primeiro?

A: Quanto vale ela? (Pausa) Aí eu divido


68

3 é ... 13 dividido por... 13 dividido por 2, ai dá, dá, 63, não (Pausa) Quer saber quanto é a distância aqui, né?

Ent: É. A: Eu sei que a distância... ah, não fiz a conta err... Fiz a conta errada. Porque, era por, era de 210 km certo. É... é 130 km mais 80 dá, 130 + 80, 3 + 8 dá 110. Dá tudo igual. É igual, é.

Ent: É? A: É.

Ent: Quer dizer que a diferença do primeiro para o segundo, é igual a diferença do segundo para o terceiro?

• O examinador pergunta se a diferença dos das alturas dos níveis sucessivos são iguais.

A: Não. A do primeiro por segundo é menor do que a diferença...

Ent: Me explique por quê? A: Porque a diferença, a... a... é na terceira ele... 80 certo? Na terceira ele, ele andou 80, e na segunda ele andou 130. Se fosse igual, ele teria... se fosse igual a do terceiro ele teria que andar, ele teria que andar 160.

Ent: Certo.

A: Certo? Então só, ele só andou 130. Ent: Quanto foi que ele andou no primeiro?

A: 130 km. Não, o primeiro, quanto ele andou?

Ent: Hum!

A: É. 130 dividido por dois, dá 65. •O aluno conhece a relação Δq/Δt.

A concepção do aluno a respeito das mudanças com o caminhão é de que

houve variações regulares de sua posição em intervalo de 1 h para cada etapa. Essa

concepção reflete a forma como seu desenho foi criado. Neste, as variações

correspondem a diferenças entre alturas consecutivas de linhas horizontais internas

aos retângulos.

Um exemplo que demonstra a utilização de desenhos deste tipo na resolução

de um problema pode ser visto quando A está representando o fenômeno descrito na

tarefa que descreve o deslocamento de um caminhão por meio de uma tabela. De

uma forma peculiar, o aluno consegue representar os intervalos de durações


69

diferentes através da codificação dos valores dos tempos pelas áreas de retângulos,

de uma forma diretamente proporcional. Assim, os intervalos de duração igual a 3 h

foram representados por um retângulo grande, os intervalos de 2 h por um retângulo

médio e os intervalos de 1 h por um retângulo pequeno. Além disso, a seqüência de

intervalos na tabela é mantida na representação. A Figura abaixo mostra o desenho

feito pelo aluno A.

Figura U - Desenho feito pelo sujeito A para a tarefa caminhão-tabela

Protocolo K - A criação de um sistema gráfico pelo aluno A na tarefa caminhão-tabela

Sujeito A Idade 12 Série 5ª Tarefa Caminhão-tabela Sequência ABC 1ª etapa Percorreu 75 km em 2 h 6ª etapa Percorreu 70 km em 3 h 2ª etapa Percorreu 80 km em 3 h 7ª etapa Percorreu 80 km em 2 h 3ª etapa Percorreu 45 km em 2 h 8ª etapa Percorreu 45 km em 3 h 4ª etapa Percorreu 60 km em 3 h 9ª etapa Percorreu 12 km em 2 h 5ª etapa Percorreu 65 km em 1 h 10ª etapa Percorreu 45 km em 3 h

(1) Ent: (O experimentador explica a tarefa para o aluno.) (2) S: Aqui eu vou desenhar 20 quadrados e cada quadrado vai representar uma etapa.

• Na verdade, o aluno irá desenhar apenas 10 retângulos, ele se confunde ao dizer a quantidade.

(3) Ent: Tá certo. (4) (Pausa) • O estudante começa a fazer sua

representação. (5) Ent: Como é?

(6) S: Aqui nesse dois aqui, aí no intervalo de hora, em 2 h ele percorreu... é? / Ent: É./ Esse quadrado médio representa 2 h, o grande 3 h, e o menor de todos 1 h....

• Observe a definição do tamanho dos quadrados.

(7)... Agora eu vou traçar no quadrado • Agora é a vez de definir o que significa


70

uma reta, e quanto essa reta for maior, mais quilômetros ela vai representar. Mais alta, quanto ela... a reta for mais alta, mais quilômetros ela vai representar....

a altura dos riscos que ele faz dentro dos retângulos para representar a distância percorrida. A altura da linha vai depender da distância percorrida.

(8)... Eu, medi assim: vamos dizer que aqui tenha, eu medi as etapas, quais foram o primeiro, segundo, terceiro e quarto (mais rápidos). Aí conforme essa ordem, e quantos quilômetros... (9)...quem percorreu mais aí eu marquei o primeiro eu marquei mais em cima, o segundo percorreu menor em 2 h, aí marquei mais em baixo. O terceiro que percorreu em 2 h eu marquei mais no meio e o quarto que percorreu em 2 h 12 (km), foram menor (os quilômetros) em 2 h aí eu marquei mais em baixo.

• Primeiro, segundo, terceiro e quarto intervalos, significam: os intervalos no qual o caminhão percorreu mais quilômetros, o intervalo imediatamente inferior, e assim por diante. No entanto, com a mesma duração de tempo, 2 h. O primeiro a quem ele faz referência é o primeiro retângulo da esquerda. O segundo, é na verdade o terceiro em seu desenho. O terceiro retângulo citado refere-se ao sétimo retângulo da sua representação. E, o quarto corresponde ao nono retângulo.

(10) Ent: Quer dizer que nessa parte você percorreu só os que percorreu em 2 h?

(11) S: Os de 2 horas.

(12) Ent: Qual deles foi mais rápido? • O examinador pergunta qual dos intervalos de 2 h de duração foi o mais rápido.

(13) S: Foi o terceiro, a terceira etapa, o terceiro quadrado.

• A resposta foi o terceiro, pois, dentre os intervalos que duraram 2 h, esse foi o caminhão percorreu mais quilômetros.

(14) Ent: Terceiro quadrado, que correspondia a 2 h, não é isso?

(15) S: É. Porque aqui em 2 h ele percorreu 80, 80 km, então foi o que percorreu mais em 2 h, só em 2 h. Agora eu vou marcar o de 3 h.

(16) Pausa. (17) S: Aqui eu fiz assim, no de 3 h, do mesmo modo que eu fiz no de 2 h, eu vi qual era o que tinha percorrido mais, aí o primeiro quadrado foi o que percorreu mais, então eu marquei mais em cima.

• O aluno repete o procedimento que usou para marcar os retângulos correspondentes a 2 h, no retângulo de 3 h. O aluno aponta para o primeiro retângulo da série.

(18) Ent: O primeiro quadrado em 3 h. (19) S: Isso, em 3 h. Aqui no segundo quadrado de 3 h foi o terceiro então, eu marquei mais no meio. O terceiro quadrado de 3 h eu marquei mais em cima, por que ele foi o segundo. O quarto quadrado foi em quarto e foi igual ao

• O “segundo quadrado” de 3 h corresponde ao quarto retângulo de seu desenho, o segundo corresponde ao quarto do desenho, o terceiro ao sexto, o quarto ao oitavo e o quinto ao décimo retângulo


71

quinto quadrado, foi 45, 45, no de 1 h foi o primeiro porque só tinha 1.

do seu desenho.

(20) Ent: Certo. Quem foi que foi mais rápido no de 3 h.

(21) S: No de 3 h foi o primeiro quadrado. • Sua resposta novamente respeita a lógica, pois este “quadrado” corresponde ao intervalo de 3 h no qual o caminhão percorreu mais quilômetros.

Ao criar seu sistema de codificação das distâncias percorridas pelo caminhão

ele preserva a relação entre as distâncias percorridas nos intervalos com a duração

desse mesmo intervalo de tempo. Dessa forma, torna-se fácil identificar na

representação quais intervalos o caminhão percorreu com maior velocidade. A

comparação nesse caso ocorre entre as quantidades de quilômetros percorridos nos

intervalos com a mesma duração. Esse sistema gráfico também foi eficiente para

comparar velocidades médias de intervalos de durações diferentes. O protocolo l

mostra como o aluno A realiza a comparação entre intervalos da série que têm a

mesma duração.

Protocolo L - Comparação entre velocidade médias de diferentes intervalos de tempo, aluno A na tarefa caminhão-tabela

Sujeito A Idade 12 Série 5ª Tarefa Caminhão-tabela Sequência ABC 1ª etapa Percorreu 75 km em 2 h 6ª etapa Percorreu 70 km em 3 h 2ª etapa Percorreu 80 km em 3 h 7ª etapa Percorreu 80 km em 2 h 3ª etapa Percorreu 45 km em 2 h 8ª etapa Percorreu 45 km em 3 h 4ª etapa Percorreu 60 km em 3 h 9ª etapa Percorreu 12 km em 2 h 5ª etapa Percorreu 65 km em 1 h 10ª etapa Percorreu 45 km em 3 h

(1) Ent: Ó, de todos eles quem foi o mais rápido?

• O examinador pergunta qual o intervalo, dentre todos aqueles mostrados na tarefa, onde o caminhão tem a maior velocidade média.

(2) A: De todos eles, o mais rápido? (3) Ent: Quem foi mais rápido?

(4) A: Ó... foi o terceiro quadrado de 2 h, porque ele em 2 h ele percorreu 80 km, e em... e o primeiro quadrado em 3 h, o primeiro quadrado em 3, em 3 h ele percorreu 80 km. Então quem percorreu mais foi ele, que percorreu a mesma coisa em menos tempo.

• Este terceiro de 2 h corresponde ao sétimo retângulo de seu desenho e o primeiro de 3 h corresponde ao primeiro do desenho. O aluno toma os retângulos que correspondem às maiores distâncias percorridas em 2 h e 3 h, respectivamente. Em ambos a distância percorrida é de 80 km, daí, o aluno conclui que o caminhão foi mais rápido durante o intervalo que durou 2 h, o sétimo. Observe, no desenho,


72

uma linha curva que liga os dois retângulos aqui citados e um sinal de maior indicando que o retângulo correspondente ao intervalo de 2 h corresponde a uma velocidade maior que aquele referente ao intervalo de 3 h.

(5) Ent: Percorreu quanto?

(6) A: Percorreu 80 km em 2 h. • Observe que abaixo do sétimo retângulo está escrito o número “40”, que pode representar a taxa de variação da posição nesse intervalo.

(7) Ent: Como é que você respondeu, você olhou pra onde?

• O examinador, pensando que o aluno estaria concluindo apenas a partir da observação do seu desenho, pergunta para onde ele está olhando.

(8) A: Eu olhei pra esse quadro aqui em cima.

• O estudante esta usando não apenas o seu desenho, mas também a tabela fornecida com a tarefa.

(9) Ent: Qual foi a conta que você fez? • Por outro lado, o examinador pergunta se o aluno usou algum algorítmo, mas...

(10) A: Eu associei assim, porque se o de 3 h fez 80 que foi o mais rápido entre os... entre as... foi o mais rápido de 3 h, 80, em 2 h o outro quadrado percorreu 80. Então ele foi igual, a quilometragem foi igual mas sendo que esse daqui fez 80 (km) com 1 h menos do que esse.

• ... as suas conclusões são baseadas em estratégias de comparar as quantidades através de desigualdades, sem relacioná-las multiplicativamente.

(11) Ent: E esse que você falou que é mais rápido, /Foi./ esse ele é o sétimo intervalo, não é? / É./ Ele foi mais rápido ou ele foi mais devagar do que o quinto?

• O examinador pergunta então sobre a relação entre as velocidades do quinto e do sétimo intervalos.

(12) A: O quinto intervalo? (Pausa) Mais devagar do que o quinto.

(13) Ent: Por quê? (14) A: Porque ele em 2 h percorreu 80, e esse em 1 h percorreu 65. Se esse daqui tivesse percorrido em 1 h ele daria 40. A metade dá 40.

• O aluno usa a relação Δq/Δt em ambas as etapas da tarefa, calcula mentalmente 80 km/2 h = 40 km/h.

(15) Ent: Será que tem algum outro que dá quarenta.

(16) A: Acho que não.

(17) Ent: Como é que você faz para procurar se tem outro mais rápido?

(18) A: Porque eu já sei que o primeiro de


73

2 é mais rápido do que o mais rápido de 2 h, de... de 3 h. Então os mais ‘devagares’ de que o primeiro, de que primeiro de 3 h deve ser mais devagar. (19) Ent: Você podia me explicar de novo?

(20) A: Porque eu não já sei de que o primeiro, é maior... é maior. / O primeiro de quê?/ O primeiro de 2 h.

(21) Ent: O mais rápido de 2? (22) A: É, o mais rápido de 2 h, é maior de que o mais rápido de 3 h, então eu sei que os mais ‘devagares’ de 3 h vai ser menor do que o de... vai ser mais devagar do que o de... 2 h, o primeiro de 2 h.

Apesar de não se tratar de um gráfico cartesiano, as peculiaridades de seu

desenho organizam as informações apresentadas na tabela através de aspectos

geométricos e permitem a identificação de diversas relações entre quantidades. O

exame de suas partes permitiu ao aluno ser capaz de encontrar diversas relações entre

pares de taxas. Portanto, o seu desenho possibilitou a realização de diversos

tratamentos com os invariantes dos conceitos que há nas relações entre as

quantidades descritas.

Um outro exemplo de desenho no qual o aluno recria as relações entre as

quantidades através do desenho de figuras geométricas é mostrado na figura bb na

página 108. Nesse caso, as relações foram codificadas através de comprimentos de

segmentos de retas. A discussão desse desenho é apresentada próxima ao mesmo.

Os alunos que desenham modelos analógicos podem ser capazes de

representar fenômenos de naturezas diferentes utilizando um mesmo modelo. Os

aspectos geométricos desses desenhos possibilitam que relações entre suas partes

sejam equivalentes àquelas descritas nas tarefas. Portanto, as analógicas também

podem ser usadas como instrumentos na resolução de problemas de comparar taxas.

A seguir, serão analisados os desenhos onde os alunos usaram algum tipo de regra

escolar para a construção de gráficos.

1.1.3 Uso de gráficos ao representar relações entre quantidades

Foram classificadas nesta categoria aquelas produções que demonstram terem

sido criadas a partir do uso de regras para a construção de gráficos. Porém, não é

uso de gráficos ao representar relações

entre quantidades

74

necessário que todas as convenções sejam observadas ou que as mesmas estejam

sendo corretamente empregadas. O que se objetivou com a criação dessa categoria

foi avaliar se o fato dos alunos estarem usando regras formais e sistemáticas tornam

seus desenhos melhores do ponto de vista de oferecer apóio ao tratamento cognitivo

dos invariantes de conceitos.

Uma instância dessa categoria é mostrada na figura v abaixo. Esse desenho

foi criado pela aluna M para uma tarefa onde foi descrito o movimento de um

caminhão em duas etapas. As velocidades médias em cada uma das etapas eram

equivalentes. A aluna encontrou que as velocidades, em ambas as etapas, era de 27,5

km/h. No seu desenho há eixos coordenados ortonormais. O eixo vertical foi

designado pela letra ‘y’, o que é comum em desenho como esse quando apresentados

em livros didáticos de matemática ou de física. O eixo horizontal foi marcado em

seis locais. O eixo vertical recebeu uma única marca correspondente a quantidades

27,5. Pela forma como esse gráfico foi construído, pôde-se concluir que o eixo

horizontal foi usado para registrar o tempo com a unidade [horas], e o eixo vertical

foi usado para registrar a velocidade do caminhão com a unidade [km/h]. Seu

desenho é, portanto, um gráfico de Tempo × Velocidade e encontra-se na figura v

abaixo.

Figura V - Desenho criado pela aluna M para representar o movimento com velocidade constante de um caminhão

Os intervalos de tempo são dispostos regularmente no eixo horizontal. À

esquerda do gráfico encontram-se listadas as velocidades em cada uma das 6 h que

durou o deslocamento. A forma final do gráfico corresponde às velocidades

desenvolvidas pelo caminhão. Portanto, esse gráfico possui características que

podem torná-los úteis a atividade matemática do aluno.


entre quantidades

75

A figura w abaixo mostra outros exemplo de gráficos criados pelo aluno P

para representar o fenômeno descrito na tarefa vaso-crescente. Nessa tarefa era

descrito o enchimento de um vaso em duas etapas. Na segunda etapa, a taxa de

enchimentos era maior do que na primeira.

Figura W - Desenho do aluno P para a tarefa vaso-crescente Há quatro desenhos na figura acima. Todos eles possuem evidências de que

foram criados a partir de regras de construção de gráficos cartesianos. O primeiro

desenho, na parte de cima, possui eixos ortogonais. Seu eixo horizontal está

associado a grandeza tempo com a unidade [minutos], e o eixo vertical está

associado a uma grandeza de medida linear com a unidade [metro]. Há apenas uma

marca no eixo horizontal no número 4, e apenas uma marca no eixo vertical

associada ao número 3. O aluno projetou segmentos de retas a partir dessas marcas

em direção ao primeiro quadrante do seu gráfico. No encontro dessas projeções o

aluno marcou um ponto. Com um segmento de reta, ele ligou o ponto de encontro

das projeções ao ponto de encontro dos eixo ortogonais.


entre quantidades

76

O segundo desenho segue a mesma regra de construção. Nesse, as

coordenadas do ponto (5 min, 8 cm) foram marcadas. O ponto de encontro de suas

projeções foi ligado ao ponto de interseção dos eixos ortonormais por um segmento

de reta. Observe que no primeiro gráfico a distância de sua origem até o ponto (4

min, 0 cm), em cima do eixo horizontal é maior que a distância da origem até o ponto

(0 min, 3 cm) emcima do eixo vertical. Da mesma forma, no segundo gráfico, a

distância da origem até o ponto (5 min, 0 cm) emcima do eixo horizontal é menor

que a distância da origem até o ponto (0 min, 8 cm) emcima do eixo vertical.

Os dois primeiros desenhos correspondem às duas etapas do enchimento. No

primeiro o sujeito descreve apenas a primeira etapa do enchimento, 3 cm em 4 min.

O desenho logo abaixo corresponde à segunda etapa, 8 cm em 5 min. As relações

entre as variações podem ser identificadas através da observação de relações entre

partes de seus gráficos. As inclinações dos segmentos de reta que ligam os encontros

das projeções até as origens dos respectivos gráficos possuem ângulos diferentes. O

segundo gráfico, no qual a inclinação do segmento desenhado a partir da origem

corresponde exatamente ao par de valores cuja razão entre as quantidades de

centímetros e de minutos é maior. O protocolo m abaixo mostra o aluno P explicando

os seus dois primeiros gráficos.

Protocolo M - Aluno P resolvendo a tarefa vaso-crescente (Parte 1/3)

Sujeito P Idade 16 Série 1º Tarefa Vaso-crescente Sequência BCA 1ª etapa Encheu 3 cm em 4 min 2ª etapa Encheu 8 cm em 5 min

F: Na 1° parte ele teve 4 min de água despejando no vaso... ele cresceu 3cm. Em 5 min, ele aumentou 8 cm, então na 2ª ele cresceu mais.

Ent: E nesse gráfico como é que fica?

F: Na 1° parte foi de 4 min ele cresceu 3 cm.

Ent: A 2ª parte tá desenhada aí?

F: Não. Ent: Quer desenhar? (Pausa) E agora essa 2ª parte como foi que tu fizeste?

• Desenha o gráfico que representa a segunda etapa. F: Quase a mesma coisa da 1ª, eu só botei aqui 5 min ele encheu 8 cm, então a 2ª


entre quantidades

77

parte ele encheu bem mais rápido que a 1ª, eu acho, porque os primeiros 3 min ele tinha que molhar o vaso e a forma do vaso, é, podia ser mais devagar.

• Mais adiante o aluno descreve o que poderia acontecer na segunda etapa. Ent: No começo da 2ª parte, qual é a altura da planta?

F: Da planta? Ent: É.

F: Do vaso né? Ent: Do vaso.

F: A 2ª parte já é... Ent: Ela começa a 2ª parte em que altura?

F: Ela começa do zero, se ele dividiu em duas partes a experiência, ele começaria do zero, senão, ele continuaria do 5 cm.

• Para o aluno o nível de água recomeçaria com uma altura igual a zero na segunda etapa. No entanto, ao final, ele parece reconhecer que o gráfico poderia continuar a partir da altura de 5 cm.

Nos dois primeiros gráficos, as etapas foram descritas separadamente. No

terceiro desenho da figura w, de cima para baixo, seu gráfico parece estar seguindo

todas as convenções da construção de um gráfico cartesiano. No entanto, há um

problema com a disposição dos pontos no gráfico. O sujeito não desenha o par

ordenado (9 min, 11 cm), correspondente ao estado final do líquido no vaso. Ao

invés disso, ele representa os pares de variações nas duas etapas: (4 min, 3 cm) e (5

min, 8 cm), ligando o primeiro ponto à origem e esse ao segundo ponto usando

segmentos de reta. O protocolo n mostra o momento onde o aluno P identifica seu

erro.

Protocolo N - Aluno P resolvendo a tarefa vaso-crescente (Parte 2/3)


(1) Ent: O que é que você tá entendendo do texto?

(2) F: Ele continuou, seria só 5 min de diferença e ele aumentaria 5 cm o nível da água.

(3) Ent: Qual é a altura do fim? A altura da água?


entre quantidades

78

(4) F: 8 cm. (5) Ent: Do fim de tudo?

(6) F: Sim, que continuou a experiência eu acho que ele continuou, então é 3 ele não pararia de encher, ele continuaria e encheria até 8 cm.

(7) Ent: Mais aqui ele diz... aumentou mais 8 cm?

(8) F: Mais 8 cm. (9) Ent: É

(10) F: Tá certo. (11) Ent: Então como ficaria a altura final?

(12) Ent: Então seria altura final do vaso da água, seria 11 cm?

(13) Ent: Sim.

(14) F: O nível da água seria 11 cm que ela aumentou no total do vaso.

A incoerência que ocorreu na construção do terceiro gráfico torna-o

inadequado à identificação das relações entre as duas taxas. A causa do erro parece

ter sido um erro de interpretação que aparece na passagem (6) do protocolo acima.

Nessa passagem o aluno parece entender que 8 cm seja a altura final do nível de

água.

O aluno desenha então o seu quarto gráfico e o último. Ele representa a

primeira etapa por um meio do desenho de um ponto no cruzamento dos dois eixos e,

a segunda etapa através de projeções no primeiro quadrante do gráfico. Uma reta é

desenhada ligando o ponto na origem e o ponto de intersecção das projeções.

Novamente, seu gráfico não destaca os estados finais de cada etapa. Não há como

identificar geometricamente as relações entre as variações, pois não há duas

inclinações destacadas no gráfico. O protocolo o abaixo mostra a sua explicação.

Protocolo O - Aluno P resolvendo a tarefa vaso-crescente (Parte 3/3)


Ent: Como é que ficaria o gráfico? F: Poderia começar daqui do 3, mais ele


entre quantidades

79

aumentaria 8 cm não aumentaria apenas 5 cm.

Ent: Agora esse último aqui? F: Ele partiu do 3.

Ent: Em quanto tempo? Aqui é o início da história ou já tinha passado algum tempo do inicio?

F: Não, é a 1ª parte que seria 4 min.

As duas primeiras etapas foram desenhadas separadamente. No entanto, suas

estruturas geométricas possuem características tais, a inclinação das linhas nos

gráficos, que permitem que as relações entre as variações descritas na tarefa sejam

identificadas a partir da observação de seus aspectos geométricos. Portanto, o

desenho desses gráficos possuem características que os tornam adequados a serem

usados como meio para se concluir sobre relações entre quantidades.

1.2 Análise e discussão

Nas seções anteriores foram analisadas características físicas e funcionais dos

desenhos produzidos pelos alunos durante a resolução de problemas envolvendo

comparações entre taxas. Do ponto de vista da funcionalidade de determinados

desenhos, esperava-se que aqueles criados a partir de regras formais e sistemáticas

como aquelas usadas na construção de gráficos cartesianos fossem “melhores”. Para

testar essa hipótese, foram criados grupos de desenhos segundo dois critérios: a

utilização de formas icônicas, lembrando objetos palpáveis; e o uso de regras formais

na criação de seus desenhos. A combinação desses critérios geram, a princípio,

quatro categorias. No entanto, gráficos desenhados com formas geométricas e

aqueles nos quais aparecem desenhos de objetos não foram classificados na mesma

categoria.

Os desenhos do primeiro grupo têm como características principais a

representação de aspectos observáveis dos fenômenos como objetos fixos e móveis, e

a ausência de formas demonstrativas de que os mesmos foram criados a partir da

observação de regras formais. Devido a isso, desenhos desse modelo são limitados a

representar fenômeno de uma natureza particular.

A segunda categoria de desenhos engloba aqueles que são criados usando-se

figuras geométricas como linhas e retângulos, no entanto, ainda não se observa a

influência do ensino de gráficos. Desenhos desse modelo podendo ser usados para

análise e discussão

80

representar diferentes tipos de fenômenos. Denominamos essa categoria pelo nome

de analogias. Um momento provável para a criação de desenhos desse tipo acontece

quando o sujeito termina de resolver uma série de tarefas sobre um determinado

fenômeno e passa a resolver tarefas sobre outro fenômeno.

A terceira categoria engloba todos os desenhos que demonstram terem sido

criados a partir da utilização de regras adotadas na construção de gráficos, seja

através do uso de formas que lembrem objetos palpáveis ou forma abstrata como

segmentos de retas e retângulos. A maioria dos alunos, no entanto, usou apenas

algumas dessas regras formais. O conhecimento de procedimentos básicos de criação

e interpretação de gráficos permite que alguns alunos desenhem diagramas que muito

se assemelham a esses gráficos.

De modo geral, a maioria dos alunos criou desenhos do primeiro modelo,

69,32%. É conveniente, no entanto, lembrar que a solicitação do examinador não

pedia explicitamente para que desenhassem gráficos. Os comandos usados no final

das descrições de cada tarefa pediam para que os alunos “...desenhassem algo para

representar o que acontece com...” o aspecto observado no fenômeno (por exemplo: a

variação da altura de uma planta, a variação da distância de um caminhão a um ponto

fixo etc.). A escolha do modelo de seus desenhos foi deixada por conta dos próprios

alunos. A tabela f abaixo mostra a distribuição de freqüência dos tipos de desenhos

por série.

Em vários exemplos nos quais os alunos desenharam objetos, as variações

Δt’s (de tempo) são representadas pela sucessão de imagens de objetos, da esquerda

para a direita, mostrando estados cada vez mais evoluídos dos fenômenos. As

variações Δq’s (por exemplo, da altura de uma planta ou do nível de água no vaso)

são representadas por diferenças entre alturas consecutivas de algumas partes dessas

imagens.

Há muitas características dos desenhos criados para essas tarefas que

lembram gráficos cartesianos. As tarefas sobre plantas e vasos foram apresentadas

próximas umas as outras. Elas foram classificadas no mesmo grupo A com relação

ao tipo do fenômeno (ver a seção procedimentos no capítulo 2: método). Em alguns

desenhos ocorre a utilização de escalas métricas implícitas, que em alguns casos são

desenhadas, na direção vertical e horizontal para sistematizar a representação das


81

variações Δq’s e Δt’s, respectivamente. Por exemplo, a própria sucessão horizontal

dos desenho é semelhante ao modelo que aparece em gráficos de barras.

Poucos alunos produziram gráficos cartesianos nessas condições: N=30,

apenas 7,25% de todos os desenhos. Como mostra a tabela f, todas as representações

classificadas como gráficos foram desenhadas por alunos da primeira série do

segundo grau. Nessa série, os alunos já tinham sido formalmente instruídos com

relação à construção de gráficos.

Tabela F - Distribuição da freqüência de desenhos em função dos tipos de desenhos e por série

Séries Modelos 5ª/1º 7ª/1º 1ª/2º Total Porc.[%] Objeto 80 125 82 287 69,32

Analogias 16 6 22 44 10,63 Gráficos 0 0 30 30 7,25

Não realizou 42 7 4 53 12,80 138 138 138 414 100

A maioria desses ‘gráficos’ foram criados para representar fenômenos de

movimento do caminhão, N=14 (tabela g abaixo). Provavelmente, por ser esse o tipo

de fenômeno mais frequentemente apresentado através de gráficos nas aulas e livros

didáticos de física e matemática na primeira série do segundo grau.

Determinados tipos de fenômenos sugerem, com mais freqüência, a criação

de modelos específicos de desenhos. A tabela g traz a distribuição dos modelos por

tipo de fenômeno. Os desenhos onde aparecem formas semelhantes a objetos

palpáveis foram mais freqüentes para representar os fenômenos do crescimento de

plantas (N=71) e do enchimento de vasos (N=71). De algum modo, a maneira como

esses fenômenos ocorrem com objetos físicos (vasos e plantas), sugere aos alunos

desenharem os próprios objetos ao representá-los. Uma explicação para isso pode

estar no fato de que ambas as quantidades variam suas alturas na direção vertical, no

sentido ascendente. Transformações desse tipo podem ser descritas por modelos

semelhante a uma foto estroboscópia. Esse aspecto coincide com aquele descrito em

Gomes (1994a), onde nas representações para o crescimento de plantas os alunos

utilizavam um modelo ‘estroboscópio’ de desenhos.

Poucos desenhos dos tipos analógico e gráficos foram criados para

representar fenômenos de crescimento de plantas (N=7 e N=0) e enchimento de

vasos (N=0 e N=7). Uma explicação para esse fato pode ser que os desenhos com


82

formas de objetos sejam considerados pelos alunos, estruturas adequadas e

suficientes à codificação das transformações e das relações entre quantidades. No

caso dos fenômenos envolvendo a quantidade contada de ondas também houve

poucos desenhos com forma de gráficos. Uma explicação pode ser o fato dos alunos

não serem capazes de criar um sistema gráfico e, associado às formas, um conjunto

de regras que façam a ligação entre os aspectos geométricos de seu desenho e fatos

circunstanciais do fenômeno subjacente.

Tabela G - Distribuição da freqüência dos tipos de desenhos em função dos tipos de fenômenos

Tipo do fenômeno Modelo Planta Vaso Caminhão Mar Balanço Total Porc. [%] Objeto 71 71 56 32 57 287 69,32

Analogias 7 0 10 12 15 44 10,63 Gráficos 0 7 14 1 8 30 7,25

Não realiza 12 12 10 9 10 53 12,80 414 100

Diversos recursos tornaram os desenhos produzidos pelos alunos em

potenciais instrumentos através dos quais tornou-se possível o tratamento de diversos

invariantes de conceitos. Um dos aspectos geométricos que poderiam tornar os

desenhos úteis à resolução de problemas foi a apresentação das taxas destacando suas

diferentes intensidades. Um fato observado é que quanto maior a escolaridade menor

foi o cuidado ao representar as taxas diferentes de forma consecutiva. Ao mesmo

tempo, o número de desenhos sem uma diferenciação explícita das taxas descritas

aumenta com o nível de escolaridade. A tabela h abaixo mostra a distribuição da

ocorrência desse tipo de diferenciação por série.

Tabela H - Distribuição da freqüência da diferenciação das taxas em função dos tipos de fenômenos

Séries 5ª/1º 7ª/1º 1º/2º Total Porc.[%]

Diferencia 73 47 47 167 40,34 Não dif. 4 82 88 174 42,03

Não realizou 61 9 3 73 17,63 414 100

Uma explicação para isso pode estar no fato de que o problema de comparar

taxas torna-se mais simples para os alunos à medida que sua escolaridade aumenta.

Alunos de 5ª série (N=84) acertam menos do que alunos de 7ª (N=93). Enquanto

alunos de 7ª acertam menos que alunos de 1º ano (N=132). A tabela i abaixo mostra

o número de acertos nas comparações entre taxas por série.


83

Tabela I - Distribuição da freqüência dos acertos no problema de comparação de taxas em função da série

Séries 5ª/1º 7ª/1º 1º/2º Total Porc.[%]

Acerta 84 93 132 309 74,64 Erra 11 24 1 36 8,70

Não realizou 43 21 5 69 16,66 414 100,00

As representações do fenômeno da quebra de ondas na praia foi o que menos

inspirou os alunos a diferenciarem as taxas consecutivas (N=20). Por outro lado o

fenômeno do crescimento de plantas e do enchimento de vasos foram os que mais

sugeriram aos alunos desenharem sem diferenciá-las (N=43). A tabela j resume a

distribuição dessa diferenciação pelos tipos de fenômenos.

Tabela J - Distribuição da freqüência das taxas em função dos tipos de fenômenos descritos

Tipo do fenômeno Planta Vaso Caminhão Mar Balanço Total Porc. [%]

Diferencia 28 32 40 20 47 167 40,34 Não dif. 43 43 36 22 30 174 42,03

Não realiza 19 15 14 12 13 73 17,63 414 100,00

Além de utilizar a diferenciação dos desenhos que representam as taxas

sucessivas, os alunos poderiam também utilizar um outro recurso gráfico que os

auxiliasse a tornar seu desenho útil nas atividades de comparar taxas, por exemplo,

representar as variações das quantidades medidas, ao invés de representar as

quantidades acumuladas no final de cada etapa. Na maioria dos desenhos os alunos

destacaram as variações de quantidades em cada etapa (57,73 %). Com relação à

distribuição do tipo de quantidade representada (variações, totais ou taxas)

evidenciaram-se dois aspectos. Em primeiro lugar, as tarefas sobre o fenômeno do

crescimento de plantas foi a que mais sugeriu a criação de desenhos onde apenas as

quantidades totais eram mostradas.


84

Tabela K - Distribuição da freqüência do desenho de variações, totais ou taxas em função da série

Séries 5ª/1º 7ª/1º 1ª/2º Total Porc. [%]

Total 27 34 20 81 19,57 Variações 41 95 103 320 57,73

Taxa 0 0 8 8 1,93 Não realizou 70 9 7 86 20,77

414 100,00

Por outro lado, em nenhuma das representações para o fenômeno das ondas

foram destacadas apenas as quantidades integral de ondas. A maioria (N=35)

representou destacando as variações dessa quantidade. Essa quantidade, diferente do

que ocorre com a altura da planta ou do nível de água, não possui características

‘equivalentes’ nos gráficos daquilo que é transformado fisicamente. A tabela l

resume a distribuição desse aspecto dos desenho pelos tipos de fenômenos.

Tabela L - Distribuição da freqüência do desenho de variações, totais ou taxas em função do tipo de fenômeno representado

Tipo do fenômeno Planta Vaso Caminhão Mar Balanço Total Porc. [%]

Totais 40 19 17 0 5 81 19,57 Variações 36 53 52 35 63 239 57,73

Taxas 2 3 2 1 0 8 1,93 Não realiza 12 15 19 18 22 86 20,77

414 100,00

♦ INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS

A análise complementar a respeito das competências dos alunos para

interpretar gráficos veio confirmar alguns dos resultados encontrados na literatura

(Janvier, 1978; Clement, 1985; Nemirovsky & Rubin, 1992). As dificuldades para

interpretar gráficos parecem diminuir a medida que aumenta os níveis de

escolaridade. Os alunos do 1º ano do segundo grau acertaram mais que os alunos de

sétima 7ª série. Estes, por sua vez, acertaram mais que os alunos de 5ª série (Observe

sub-totais na coluna Acerta na tabela m abaixo). Apesar disso, a interpretação de

gráficos que descrevem o deslocamento de caminhões ainda continua problemática.

Estes foram as únicas tarefas em que os alunos de 7ª série e 1º ano erraram, N=4 e

N=1, respectivamente.


85

Tabela M - Distribuição da freqüência dos sucessos em função do desempenho (erros, acertos e nulas) nas tarefas de interpretação de gráficos

Acerta Erra Não realiza Série 5ª/1º 7ª/1º 1ª/2º 5ª/1º 7ª/1º 1ª/2º 5ª/1º 7ª/1º 1ª/2º Total

Caminhão 1 1 2 1 4 4 4 1 0 18 Plantas 2 5 6 0 0 0 4 1 0 18 Vasos 2 5 6 0 0 0 4 1 0 18

Total/Série 5 11 14 1 4 4 12 3 0 54 Total 30 9 15 54

De modo geral, o tipo de fenômeno interfere no processo de interpretação. O

deslocamento de caminhões apresenta-se como o mais problemático dos três tipos

apresentados. A análise dos protocolos mostrou que a interpretação de gráficos de

crescimento de plantas e de enchimento de vasos foram realizadas corretamente por

todos os alunos. Isso pode ser atribuído ao fato de que alturas de pontos nos gráficos

correspondem a alturas da planta ou de níveis de água. Segundo Janvier (1978),

haveria uma coincidência na forma como aspectos dos gráficos e fatos

circunstanciais variam. Essa semelhança parece acontecer quando o aluno desenha

escalas métricas. O uso sistemático do recurso das escalas, mais freqüente nos

desenhos de fenômenos envolvendo vasos e plantas, faz com que esses desenhos

possuam recursos semelhantes àqueles encontrados nos gráficos criados a partir de

regras e convenções formais. Outra peculiaridade desse recurso é o fato da direção e

sentido de sua criação, no papel, coincidirem com aquele com os quais plantas

crescem ou os vasos enchem - na direção vertical e no sentido ascendente.

O aumento da quantidade de relações tratadas, como ocorre nas tarefas do

tipo Tabela, fez com que os desenhos produzidos sejam mais sofisticados. Em alguns

casos, os alunos criaram regras próprias, no entanto coerentes, para a utilização dos

desenhos. Isso nos faz concluir que os alunos limitam-se a introduzir, em seus

desenhos, uma pequena quantidade de informações que lhes permitam realizar

apenas o tratamento cognitivo necessário. Os gráficos cartesianos, por outro lado,

possibilitam a identificação de uma quantidade muito grande de relações em suas

partes. No entanto, essas não são necessárias a todo tipo de problema. Por sua vez,

os desenhos criados pelos alunos codificam poucas relações. Quando problemas

simples são resolvidos, envolvendo poucas relações, o uso do desenho pode inclusive

não ser necessário à resolução do problema, mas, pode ocorrer o contrário. No

entanto, quando há uma quantidade maior de relações a serem identificadas, o uso


86

dos desenhos passa a ser mais necessário e ocorre em muitos casos, a criação de

sistemas simbólicos bastante sofisticados, que na maioria das vezes não se

assemelham com gráficos cartesianos.

Concluindo, do ponto de vista da forma, há aspectos que diferenciam os

diversos tipos de produções dos alunos, no entanto, do ponto de vista de sua

funcionalidade, todos os modelos parecem possuir características que os tornam

ferramentas à resolução de problemas. Faz-se necessário apenas, que as quantidades

e relações entre quantidades estejam codificadas de forma coerente em suas formas.

Os três modelos identificados, desenho do objeto, analogias ou gráficos, têm

aspectos que os distinguem, no entanto, um fator é comum a todos: a potencial

utilização como instrumento à resolução de problemas envolvendo relações entre

quantidades. Um desenho deve preservar, em suas partes ou na relação entre essas, as

relações entre as quantidades que se deseja representar e a criança deve saber

identificar, através da observação do mesmo essas relações. Os desenhos onde

objetos físicos aparecem e nos quais não se observa o uso de regras da construção de

gráficos também possuem aspectos que permitem aos alunos identificarem relações

equivalentes àquelas que há entre as quantidades descritas com os fenômenos. Da

mesma forma, através do uso de modelos onde os alunos usaram analogias também é

possível criar estruturas geométricas a partir das quais pode-se identificar tais

relações. Nesse caso, a utilização do modelo transcende os limites definidos pelo tipo

de fenômeno que é representado. A construção de gráficos depende de uma instrução

formal que ocorre na escola. Desenhos criados a partir de regras formais como as

regras de construção de sistemas cartesianos também podem oferecer aos alunos

recursos geométricos para o tratamento dos invariantes de conceitos matemáticos. No

entanto, o fato do desenho ter a forma de um gráfico, não significa que o mesmo é

mais adequado que outros para comunicar, ou servir como meio à atividade de

manipular invariantes. A análise realizada nos três tipos básicos de desenho serviu

para demonstrar, portanto, que mesmo as formas de suas construções geométricas

sendo diferentes, no entanto todos são equivalentes em termos da possibilidade de

servir como instrumento ao tratamento cognitivo de objetos matemáticos.

Na seção seguinte serão apresentadas e discutidas as principais estratégias

emitidas pelos alunos durante a resolução dos problemas, bem como a relação entre

essas concepções sobre relações entre quantidades e suas representações.

os conhecimentos sobre relações entre

quantidades e sua representação

87

2 Os conhecimentos sobre relações entre quantidades e sua representação

O objetivo desta análise foi identificar as diferentes concepções dos alunos

sobre relações entre quantidades e a influência destas concepções na forma dos

desenhos produzidos no papel e como os mesmos são usados. Deseja-se saber quais

são os tipos de estratégias empregadas pelos estudantes para comparar quantidades

medidas por razões. Observaram-se várias estratégias usadas na identificação das

relações entre as quantidades descritas nas tarefas. A tabela n a seguir apresenta os

principais tipos emitidos pelos alunos na resolução das tarefas.

os conhecimentos sobre relações entre

quantidades e sua representação

88

Tabela N - Resumo dos tipos de estratégias emitidas pelos alunos durante a resolução de problemas de comparar taxas

Estratégia Descrição Pág Ênfase em Δq ou Δt Alguns alunos resolvem os problemas apenas

comparando quantidades Δq ou Δt, isoladamente, sem considerar suas relações. Sua resposta é baseada na comparação de variações de um mesmo tipo de quantidade.

89

Comparação envolvendo Δq, Δt, Δq’ e Δt’, através de desigualdades.

Neste caso, a comparação leva em consideração as quatro variações de quantidade. Por exemplo, na tarefa: “um caminhão percorre 110 km em 2 h e depois, 80 km em 1 h. Quando o caminhão foi mais rápido?”. Aqui, Δq=110 km, Δt=2 h, Δq’=80 km e Δt’=1 h. O aluno leva em consideração as quatro variações sem relacioná-las aditiva ou multiplicativamente. A comparação através de desigualdades (Δq>Δq’ e Δt<Δt’ ou Δq<Δq’ e Δt>Δt’) ocorre como uma estimativa.

91

Estratégia aditiva Alguns problemas parecem sugerir aos alunos uma relação aditiva entre as quantidades, i.e., ocorrem mudanças iguais, acréscimos ou decréscimos, para ambas as quantidades. Isso acontece, por exemplo, quando os números têm magnitudes absolutas na mesma ordem de grandeza e as diferenças entre os elementos correspondentes são iguais. São atribuídas relações de igualdades entre as quantidades, como: Δq’=Δq+1 e Δt’=Δt+1. Nesses casos, quando as taxas são diferentes, os alunos que usam essa estratégia erram sistematicamente na resolução do problema.

97

Ênfase na relação Δq/Δt O aluno relaciona multiplicativamente as quantidades descritas na tarefa, estabelecendo uma relação de quociente do tipo Δq/Δt, realizando operações de divisão no papel, ou através de estimativas com cálculos mentais. O resultado da divisão é usado para comparar duas ou mais taxas descritas na tarefa. Geralmente, o uso dessa estratégia possibilita aos alunos identificarem as relações corretas entre as taxas descritas nas tarefas.

106

Ênfase na relação Δt/Δq Aqui, o aluno também relaciona multiplicativamente as quantidades, embora, na ordem inversa, estabelecendo uma relação do tipo Δt/Δq. O uso dessa estratégia pode levar a erros sistemáticos, caso o aluno não tenha a noção de que está comparando razões inversas. Nesses casos, a maior taxa apresenta a menor razão Δt/Δq.

116

Não considera qualquer das quantidades descritas na tarefa

Nesse caso, os alunos não fazem qualquer referência às quantidades descritas na tarefa ou a qualquer relação que as envolva.

125

A seguir, apresenta-se uma análise detalhada de cada uma das estratégias.

estratégia 1: ênfase em Δq ou Δ t

89

2.1 Estratégia 1: Ênfase em Δq ou Δ t

Nessa categoria o aluno compara os diferentes momentos descritos numa

tarefa observando apenas as variações Δt e Δt’ ou as variações Δq e Δq’. Quando o

aluno observa as variações Δq e Δq’, o mais rápido é aquele correspondente à maior

das duas. Por outro lado, quando o aluno observa as variações Δt e Δt’ , o mais

rápido é aquele correspondente à menor das duas variações. Um exemplo desse tipo

de estratégia é mostrado no protocolo p a seguir. Ao resolver o problema balanço-

constante, o sujeito E conclui que o balanço vai mais rápido na primeira etapa do

problema porque gasta menos tempo.

Protocolo P - O aluno E estima uma relação comparando apenas as extensões dos intervalos de tempo, na tarefa balanço-constante

Sujeito E Idade 11 Série 5ª Tarefa Balanço-constante Sequência CAB 1ª etapa Desceu 3 m em 2 s 2ª etapa Subiu 6 m em 4 s

Ent: Mas no caso aqui os metros são diferentes, né. Como é que a gente faz para (saber) quem é mais rápido?

• O examinador chama a atenção para os diferentes deslocamentos, ao que o aluno concorda.

E: Num sei, né. Explique.

Ent: Nesse primeiro aqui, ele andou quantos metros?

• Ver figura x abaixo.

E: 3. Ent: Em quantos segundos?

E: 2. Ent: E o segundo?

E: 6 metros em 4 s. • O aluno observa que foram decorridos 4 s para o balanço percorrer 6 metros.

Ent: Pois bem, o segundo andou mais metros, não foi?

E: Foi.

Ent: Quem foi mais rápido? E: Mas, só que o primeiro andou 2 s. • O aluno, no entanto, prefere supor que

o tempo é o fator que determina a rapidez do fenômeno.

Na Figura abaixo encontra-se o desenho criado pelo sujeito. Nele o aluno

desenhou um balanço. Seu desenho transcreve as informações sobre as variações

descritas na tarefa. No entanto, não há qualquer aspecto geométrico que demonstre a


90

possibilidade desse desenhos servir ao processo de identificação das relações entre as

quantidades. Neste caso, durante a criação do desenho não houve qualquer evidência

de que esse processo tenha influenciado o aluno a refletir a respeito das relações

entre as variações. O aluno parece apenas ter cumprido com a solicitação do

examinador de desenhar algo que representasse o fenômeno.

Figura X - Desenho do aluno E na tarefa balanço-constante

Em outra tarefa, balanço-decrescente, o mesmo aluno explica suas conclusões

comparando apenas as alturas percorridas pelo balanço. O protocolo q abaixo mostra

uma de suas justificativas.

Protocolo Q - O aluno E compara apenas a altura percorrida pelo balanço para concluir qual a relação entre as taxas, tarefa balanço-decrescente

Sujeito E Idade 11 Série 5ª Tarefa Balanço-decrescente Sequência CAB 1ª etapa Desceu 4 m em 4 s 2ª etapa Subiu 3 m em 6 s

Ent: Ele foi mais rápido na primeira ou na segunda parte?

S: Na primeira.

Ent: Por quê? S: Porque o primeiro ele percorreu mais metros. Mas, eu vou pelo primeiro.

• Aqui a sua justificativa é baseada na altura alcançada pelo balanço.


91

Ent: O segundo ele andou menos metros. Será que isso tem a ver?

S: Não.

Ent: Então, quem foi mais ligeiro? S: O primeiro.

Ent: Tu fizeste alguma conta pra saber isso?

S: Não.

A atribuição de uma definição errada às relações entre as variações coincidiu

com a criação de desenhos que não possuem muitos aspectos geométricos que

possam torná-los úteis à identificação das relações corretas entre as mesmas. No

entanto, como veremos adiante, a tentativa de criar um desenho que organiza as

informações numéricas, e os conhecimentos sobre taxa, numa estrutura onde haja

coordenação entre as diversas partes pode orientar o aluno na identificação das

relações corretas entre as variações.

Ao usar esse tipo de estratégia, o aluno não relaciona quantidades extensivas

de naturezas diferentes de forma aditiva, nem de forma multiplicativa. Há, no

entanto, uma pequena semelhança entre esta estratégia e o tipo com a qual o aluno

relaciona as variações através de desigualdades. A diferença principal entre os dois

casos é que, na segunda o aluno considera as quatro variações (Δq, Δt, Δq’, e Δt’). O

seu julgamento da relação entre as taxas é normalmente correto. A seguir, é analisada

a estratégia onde as variações são relacionadas através de desigualdades.

2.2 Estratégia 2: Relaciona Δq, Δ t, Δq’ e Δ t’ através de desigualdades

Esta estratégia é caracterizada pelo tipo de relação que o aluno estabelece

entre quantidades extensivas de naturezas diferentes. No caso das tarefas tipo

simples, onde são descritos dois momentos de um fenômeno, cada um contendo um

par de variações de naturezas diferentes (altura e tempo, distância percorrida e tempo

etc.), o aluno que usa essa estratégia relaciona as quatro quantidades ao mesmo

tempo. Entretanto, essa relação não é multiplicativa, i.e., as quantidades não são

relacionadas por razões ou proporções. As quantidades são comparadas dentro de um

espaço de medida conservando sempre o significado dos referentes físicos. O que

torna essa estratégia diferentes das demais é o fato dos alunos considerarem as

relações entre quantidades em forma de estimativas, sem lhes atribuir relações

estratégia 2: relaciona Δq, Δ t, Δq’ e Δ t’

através de desigualdades

92

aditivas, multiplicativas ou mesmo igualdades, usam apenas desigualdades. Por

exemplo, ao comparar duas etapas do crescimento de uma planta, a criança, que usa

essa estratégia, pode argumentar, por exemplo que: “a planta cresceu mais

centímetros em menos tempo e depois ela cresceu menos centímetros em mais

tempo”.

Na pesquisa de Limas (1991) esse tipo de solução estava associada,

principalmente, a problemas cujos números que descreviam as razões Δq:Δt e

Δq’:Δt’, mantinham as seguintes relações entre si: Δq>Δq’ e Δt<Δt’, ou Δq<Δq’ e

Δt>Δt’. A existência destes tipos de relações entre as quantidades, contidas nos

problemas, permite resolvê-los apenas através de desigualdades, sem que seja

necessário encontrar a relação exata entre as mesmas. Observe o exemplo mostrado

no protocolo r abaixo. Nele, o aluno E usa essa estratégia de relacionar as

quantidades por desigualdades.

Protocolo R - Aluno E utiliza a estratégias de comparar as quantidades através de desigualdades. Primeira parte da tarefa vaso-duplo

Sujeito E Idade 11 Série 5ª Tarefa Vaso-duplo Sequência CAB 1º vaso 2º vaso 1ª etapa Encheu 3 cm em 4 min 1ª etapa Encheu 6 cm em 4 min 2ª etapa Encheu 4 cm em 5 min 2ª etapa Encheu 7 cm em 5 min

(1) Ent: Qual foi o momento que ele foi mais ligeiro?

(2) S: O segundo.

(3) Ent: Por quê? (4) S: Os centímetros são maiores e os minutos, mais ou menos.

• Aqui o aluno justifica utilizando a estratégia com a qual se estima as relações a partir de desigualdades usando as relações: “maiores”, “mais ou menos”. A quantidade de minutos não é menor e o sujeito, que utiliza a estratégia de relacionar as quantidades através de desigualdades, não encontrou uma relação de desigualdade muito forte que permitisse concluir comparando apenas os dois tipos de dados.

(5) Ent: Os centímetros são maiores, mas os minutos também são. E dessa vez quem foi mais rápido?



93

(6) S: Primeiro. (7) Ent: Por quê?

(8) S: Os centímetros são menores mas os minutos são... menores.

• O aluno tenta usar a comparação com desigualdades, mas a desigualdade não é grande o suficiente para que ele conclua com certeza sobre as relações entre as quantidades.

(9) Ent: Então, quem e mais ligeiro? (10) S: O primeiro.

(11) Ent: O segundo é mais devagar por quê?

(12) S: Por causa dos minutos. • O aluno parece apoiar-se na comparação apenas entre os intervalos de tempo.

(13) Ent: Como assim?

(14) S: Os minutos são maiores. Muito devagar.

• O seu conhecimento de que a duração do intervalo é inversamente proporcional à rapidez é válida, mas não funciona para produzir um julgamento correto, pois o nível variou de diferentes quantidades.

(15) Ent: E os centímetros? • Observe que o examinador procurou resgatar a comparação dos centímetros para o aluno concluir sobre as velocidades.

(16) S: Maiores. Encheu mais. Mas, os minutos são maiores.

• O sujeito compara os minutos para determinar quem encheu mais rápido.

Essa estratégia implica na identificação de relações estabelecidas por

estimativa. Uma peculiaridade da mesma é que ela é usada quando a sua utilização

parece ser suficiente à comparação entre as taxas. No entanto, quando a diferença

entre as taxas não é grande, sua aplicação não garante que a resposta do aluno

expressa em termos das desigualdades, esteja correta. Um exemplo desse fato pode

ser visto na passagem (8) do protocolo acima.

O uso dessa estratégia não implica dizer que o aluno não reconheça as razões

e proporções entre as quantidades. O sujeito que utiliza essa estratégia pode também

considerar as quantidades relacionando-as multiplicativamente. O exemplo do

protocolo abaixo mostra o aluno A na resolução da tarefa planta-dupla. Uma das

partes que descreve o crescimento de plantas são apresentadas quantidades onde há

uma determinada relação entre essas que leva alguns alunos a utilizarem a estratégia



94

de relacioná-las às variações através de desigualdades, mesmo tendo conhecimento

da relação multiplicativa. Na primeira parte dessa tarefa, as diferença entre variações

de tamanho é menor que a diferença entre variações de tempo nas duas etapas:

Δq’<Δq e Δt’<<Δt. Nesse caso, a aplicação dessa estratégia parece ser suficiente para

o aluno identificar a relação entre as taxas. A figura y adiante mostra o seu desenho

para essa tarefa.

Protocolo S - Relacionar as variações através de desigualdades parece ser suficiente para o aluno A resolver a primeira parte da tarefa planta-dupla

Sujeito A Idade 12 Série 5ª Tarefa Planta-dupla Sequência ABC 1ª parte 2ª parte 1ª etapa 6 cm em 7 dias 1ª etapa 7 cm em 4 dias 2ª etapa 5 cm em 3 dias 2ª etapa 5 cm em 6 dias

(1) Ent: Então ela cresceu mais na 1ª ou na 2ª etapa?

• O examinador pede explicitamente que o aluno faça a comparação entre as taxas de crescimento da primeira planta descrita na tarefa.

(2) A: Na 2ª. • O aluno compara corretamente, pois dentre as razões 7:6 e 3:5, a maior é a segunda.

(3) Ent: Por quê?

(4) A: Porque a planta aqui ó, (pausa) 6 centímetros. Aí em 7 dias ela cresceu 6 centímetros. 7 dias ela cresceu 6 centímetros. Mas já na 2ª etapa em 3 dias, 3 dias só, ela cresceu 5 centímetros. Só em 3.

• Aqui ele apresenta a relação através de desigualdades.

(5) Ent: Me mostra como é que você representou isso em seu desenho.

(6) A: Assim, quando chega o sétimo ela esta com 6 centímetros, e quando chega ao 10 ela já tem crescido mais 5 centímetros, então o total foi de 11 centímetros, que a planta cresceu.

•Ver figura y abaixo.

(7) Ent: E a 2ª planta?

(8) A: Foi a 1ª etapa que cresceu mais, não foi?

(9) Ent: A 1ª etapa ela cresceu 6 centímetros não foi? Na 2ª etapa ela cresceu 5.

(10) A: Em 3 dias só.



95

(11) Ent: Em 3 dias só. Qual foi a que cresceu mais?

(12) A: Foi a 3ª etapa. Porque 3 só, ela cresceu 5.

(13) Ent: Não cresceu mais aqui na 2ª etapa?

(14) A: Porque aqui ó, se fosse em 7 e 7, se fosse contar mais 7 e 7, 6 centímetros, então aqui ó, mais 3... 7 e 3, 4, daria mais 2 centímetros aqui ó, porque 6, 7, 6 e 6 né, aí mais 7, “aqui”, 7 menos 2, 4, 4 menos 6, 2, aqui ela teria... se tivesse crescido igualmente ela teria crescido 8 centímetros.

• Observe que, mesmo tendo estimado as relações através de desigualdades, o aluno não deixa de utilizar o conhecimento da relação multiplicativa entre as variações da altura e do tempo. Durante essa explicação complicada, o aluno está comparando as duas taxas de maneira tal que aparenta estar simulando o que ocorreria na segunda etapa se a mesma ocorresse com a taxa da primeira etapa, e conclui “... se tivesse crescido igualmente ela teria crescido 8 centímetros”. Essa estratégia, denominada rated addition, é discutida mais adiante na seção estratégia 4: ênfase na relação Δq/Δt.

Novamente, a identificação de desigualdades entre as variações serviu para

que o aluno encontra-se uma relação correta entre as taxas Δq’/Δt’>Δq/Δt, e concluir

que a segunda taxa é maior. O uso dessa estratégia não implica dizer que o aluno não

saiba identificar as razões e proporções entre essas quantidades. A passagem (14) do

protocolo acima mostra que ele é capaz de relacionar as variações usando esses dois

invariantes.

A figura abaixo, mostra o desenho criado pelo aluno A para essa mesma

tarefa. Na parte superior de seu desenho, aparece uma seqüência de desenhos

semelhantes. Na parte de baixo de cada um dos desenhos aparecem formas

semelhantes a quadrados. Acima dos quadrados há pares de segmentos de retas

paralelos. A forma de cada desenho lembram uma planta desenvolvendo-se. O

primeiro desenho à esquerda aparece com uma forma oval dentro do quadrado, talvez

indicando o momento no qual a planta ainda é semente. Acima de cada um há

inscrições indicando a sua ordem correspondente, desde o primeiro até o décimo. O

desenho completo destaca, em forma geométricas: a quantidade de dias decorrido em

cada etapa, as mudanças ocorridas com a altura da planta a cada dia, os diferentes

ritmos de crescimento em cada etapa.



96

Figura Y - Desenho criado pelo aluno A para a tarefa planta-dupla

A parte de baixo da figura mostra uma segunda seqüência de desenhos,

provavelmente correspondendo à segunda parte da tarefa. Nessa etapa, a taxa de

crescimento médio foi maior na primeira etapa. Na seqüência de baixo, por exemplo,

as alturas dos desenhos das plantas, a partir da inscrição ‘7 cm’, têm tamanhos

semelhantes. Em toda a criação, observam-se aspectos geométricos nos quais podem

ser observadas relações equivalentes àquelas que existem entre as quantidades

descritas verbalmente. Seu desenho possui diversos aspectos que o tornam

semelhante a um gráfico cartesiano e ao mesmo tempo, um instrumentos apto a

auxiliá-lo na resolução do problema de comparar as taxas. Por exemplo, o fato de

haver desenhos de plantas para cada um dos dias que durou o crescimento pode ter

contribuído para fazer com que o aluno mudasse de estratégia, de estimativa através

de desigualdades para a identificação e integração das taxas diárias de crescimentos.

Portanto, o tratamento de invariantes com o auxílio de desenhos e diagramas pode

sugerir aos alunos aspectos das relações entre quantidades como, por exemplo, a

idéia de que a altura da planta aumenta quantidades iguais em cada dia de uma etapa.

Além disso, o fato de haver uma diferenciação, no desenho, das taxas com as quais

os fenômenos se desenvolvem também é outra característica que pode estar

relacionada com o processo de comparar taxas.

Na seção a seguir será discutida uma estratégia com a qual os alunos impõem

uma relação aditiva às quantidades que são descritas na tarefa.

2.3 Estratégia 3: Solução aditiva

Entende-se por estratégia aditiva aquela com a qual o aluno admite que as

relações entre variações de mesma natureza podem ser descritas por igualdades que

as relacione através de somas ou subtrações de quantidades iguais, por exemplo,

Δq’=Δq+1 e Δt’=Δt+1. Quando uma criança relaciona quantidades aditivamente, ela

observa apenas as diferenças entre variações de mesma natureza das etapas

consecutivas, e.g., Δq-Δq’ ou Δt-Δt’. A aplicação desse tipo de estratégia resulta em

erros sistemáticos (Inhelder & Piaget, 1976; Carraher, Carraher & Schliemann, 1986)

na comparação de taxas. Um exemplo desse tipo de procedimento ocorreu quando o

aluno I resolveu o problema vaso-decrescente. A figura z mostra o desenho criado

pelo aluno I.

Figura Z - Desenho do aluno I na tarefa vaso-decrescente

Protocolo T - Exemplo de solução aditiva emitida pelo aluno I na tarefa vaso-decrescente

Sujeito I Idade 15 Série 7ª Tarefa Vaso-decrescente Sequência BCA 1ª etapa Encheu 6 cm em 4 min 2ª etapa Encheu 7 cm em 5 min

(1) Ent: O que foi que você fez na sua figura aí?

(2) I: Eu desenhei um... fiz um desenho que representasse... a torneira no primeiro vaso, a torneira encheu: 4 min 6 cm, e o outro que em 5 min encheu 7 cm.

(3) Ent: Quem encheu mais rápido foi o primeiro ou foi o segundo?

(4) S: Foi os dois juntos. • Quando a aluna usa a estratégia aditiva ela parece pensar que as taxas são iguais pois as diferenças entre as variações em etapas consecutivas são

estratégia 3: solução aditiva

98

iguais (Δq-Δq’=Δt-Δt’=1). (5) Ent: Por quê? (6) I: Porque aqui aumentou, aqui foi 4 min em 6 cm, se aqui aumentou 1 min, aumentou 1 cm. Então ele enchia 1 cm em cada min.

• A expressão ‘1 a 1’ também é típica desse tipo de estratégia.

Nesse caso, o aluno tem a falsa impressão de que a quantidade está variando

de uma unidade a cada intervalo de tempo, como acontece na passagem (6). De fato,

Carraher, Carraher, Schliemann & Ruiz (1986) mostram que crianças feirantes usam

a estratégia aditiva, no entanto, com mais freqüência em situações de comparação de

velocidade expressas em cm/s do que em situações de comparação de preços por

unidade. Para esses autores, quando for aceitável para a criança a hipótese implícita

de correspondência um-a-um entre as unidades das variáveis relacionadas com uma

taxa, a solução aditiva parece-lhe uma solução adequada. Quando esta hipótese não

for intuitivamente aceita, as respostas aditivas desaparecem. Na seqüência do

protocolo u abaixo o examinador modifica o problema inicial colocando várias

perguntas nas quais vai diminuindo a duração do intervalo de tempo de enchimento

até que o mesmo atinja 1 min. Ele observa que essa modificação torna evidente a

incorreção da sua hipótese inicial aditiva. O momento no qual parece ocorrer a

constatação do erro aparece na passagem (3) do protocolo abaixo. Na passagem (25)

ele enfatiza uma razão do tipo Δq/Δt e encontra a taxa de crescimento na primeira

etapa, 1,5 cm/min.

Protocolo U - Continuação do protocolo da tarefa vaso-decrescente com o aluno I

Sujeito I Idade 15 Série 7ª Tarefa Vaso-decrescente Sequência BCA 1ª etapa Encheu 6 cm em 4 min 2ª etapa Encheu 7 cm em 5 min

(1) I: Aqui diz que em 4 min... a torneira enchia um vaso em 4 min, e no outro em 5 min enchia 7 cm.

• O aluno descreve o problema original.

(2) Ent: Em 3 min ele ia encher quantos centímetros.

• O examinador, então, modifica o problema, perguntando ao aluno qual seria a altura do nível da água quando foram decorrido apenas 3 min.

(3) I: Não... eu errei... eu errei na hora que eu disse que em cada minuto enchia 1 centímetro.

• O aluno parece ter identificado seu erro.

(4) Ent: Se eu tivesse deixado essa


99

torneira ligada por 3 min, quantos centímetros ela ia encher? (5) I: Acho que 5.

(6) Ent: E se eu tivesse deixado por 2 (ligada por 2 minutos).

(7) I: Por 4, eu acho. (8) Ent: E se eu tivesse deixado ela aberta por 1 min?

(9) I: Vai da não. (Pausa) • O sujeito parece perceber que a relação aditiva não serve para descrever as relações que há entre as variações. Talvez pelo fato de ter percebido que essa relação o levaria a dizer que no início ( 0 min), o nível estaria com 2 cm!

(10) I: Tô achando que esse aqui foi mais rápido agora.

(11) Ent: O primeiro?, por que João?

• Mais tarde, o examinador recoloca o problema de encontrar a quantidade que o nível da água aumenta no intervalo de 1 min.

(12) Ent: Em 1 min, quanto é que ela enche?

(13) I: Alguma coisa, não é não? (14) Ent: Como é que você sabe?

(15) I: Fiz alguma conta. / Você precisa calcular?/ Se eu dividir 6 por 4...

• Aqui, o aluno I apresenta sua nova proposta de relação para as quantidades (6cm/4seg).

(16) Ent: O que você encontra quando você divide 6 por 4?

(17) I: 1,3 alguma coisa.

• Mesmo tendo realizado a estimativa mostrada acima, a sua resposta ainda parece ser influenciada pela interpretação aditiva. Talvez por causa dos números que foram usados na tarefa.

(18) Ent: Qual dos dois enche mais rápido, o primeiro ou o segundo? Ou é igual?

• O examinador recoloca o problema original de encontrar a relação entre as taxas descritas no problema.

(19) I: Eu acho que é igual. • O aluno retorna à solução aditiva. (20) Ent: Por quê? Por que é igual?

(21) I: Porque aqui foi 4 min, aqui só aumentou 1 min e aumentou 1 centímetro também.

(22) Ent: Quanto é que esse primeiro


100

cresce em 1 min. (23) I: Isso é o que eu quero saber mas ainda não descobri não. (Pausa) Tá certo isso aqui que em 2 min ele...

• O aluno escreve, ao lado dos desenhos da torneira, uma pequena tabela com as colunas: minutos e centímetros (Ver figura z). Ele coloca na primeira linha a relação entre as quantidades da segunda etapa ( 3 min e 5 cm). Na segunda linha ele coloca um informação nova, provavelmente deduzida da descrição das quantidades que covariam na primeira etapa: 2 na coluna dos minutos e 3 na coluna dos centímetros. Originalmente, a variação foi de 6 centímetros num intervalo de 4 minutos.

(24) Ent: (Pausa) Como foi que você descobriu que em 2 min ele crescia 3 cm?

• O aluno, então, escreve o número 1 abaixo do número 2, na coluna dos minutos. Nesse momento, ele parece perceber que a natureza da relação entre as quantidades que definem uma taxa é uma razão.

(25) I: Ah, eu acho que ele cresceu 1,5 cm./ Por quê?/ Porque ele não fez em 4 fases. / Por que 1,5?/ E, não e?

• O aluno identifica a taxa através da estratégia de enfatizar a razão Δq/Δt=1,5.

(26) Ent: Por quê?

(27) I: Eu dividi 6... (28) Ent: E o outro, e no segundo vaso? Quer dizer que num minuto sobe quanto o primeiro?

(29) I: 1,5. • O aluno faz a operação de divisão, 6/4, e depois verifica sua resposta com a operação inversa, 1,5 × 4.

(30) Ent: E o segundo vaso? (Pausa) Pode fazer a conta grande.

(31) I: Não, mas da pra fazer só aqui. 1,4. • Aqui o aluno realiza a operação de divisão 7 ÷ 5.

(32) Ent: 1,4? Então quem cresce mais rápido, o primeiro ou o segundo?

(33) I: O primeiro.

(34) Ent: Por quê? (35) I: Porque aqui no segundo, em 1 min cresce 1,5 cm. E no segundo em cada minuto sobe 1,4.

• Aqui está a sua conclusão referente à relação entre as taxas do problema.

Determinadas relações entre quantidades podem sugerir ao aluno o uso da

estratégia aditiva. Por exemplo, o aluno A, que até então vinha utilizando a estratégia

de enfatizar razões do tipo Δq/Δt em todas as tarefas, na tarefa vaso-decrescente ele


101

usou inicialmente a estratégia aditiva18. Essa tarefa apresenta uma relação peculiar

entre as variações de quantidades (6 cm em 4 min, e 7 cm em 5 min). As diferenças

entre os intervalos de tempo e entre as variações das alturas têm valores iguais, 1 min

e 1 cm, respectivamente. Essa situação parece, de alguma forma, sugerir aos alunos a

utilização da estratégia aditiva. O protocolo v abaixo mostra como o aluno A é

levado novamente a pensar aditivamente; no decorrer da atividade, entretanto, o

sujeito resolve substituir sua definição aditiva pela relação multiplicativa entre as

variações. O desenho produzido pelo aluno nesta tarefa é mostrado na figura aa

abaixo.

Figura AA - Desenho do aluno A na tarefa vaso-decrescente. A segunda taxa Δq/Δt é menor que a primeira

O seu desenho é semelhante àqueles analisados na seção uso de analogias ao

representar. Os quatro primeiros desenhos de cima correspondem aos quatro

primeiros minutos do enchimento. O último desenho de cima e os quatro outros de

baixo parecem corresponder a segunda etapa do enchimento. Um segmento de reta

vertical separa as duas séries de retângulos. As inscrições ‘4 minutos’ e ‘6 cm’ foram

colocadas acima desse segmento. Há curvas inscritas em todos os retângulos. A

altura da curva inscrita no retângulo mais à esquerda da primeira série encontra-se

próximo à base. No quarto retângulo, último dessa série, a curva inscrita foi

desenhada à meia altura da região. Na série seguinte, a altura iniciou na metade do

quinto retângulo e no nono retângulo não está colocada no topo do último. Na série

final as alturas das curvas variam muito pouco. Nos quatro retângulos de baixo, por

exemplo, as alturas das linhas inscritas praticamente são as mesmas. A diferença

18Observe a posição da tarefa vaso-decrescente (DE-V) na seqüência de tarefas apresentadas aos alunos, na ordem ABC, tabela e, página 44.


102

entre alturas de linhas horizontais inscritas em retângulos sucessivos na segunda série

são menores que na primeira série. Pode-se concluir, a partir da análise de aspectos

geométricos do desenho, concluir que a taxa de enchimento é maior na primeira

etapa do mesmo.

Um peculiaridade dessa etapa são os números que descrevem as variações. As

diferenças entre variações de mesma natureza são iguais (Δq-Δq’=Δt-Δt’=1), e é esse

aspecto que parece sugerir o aluno A, inicialmente, focalizar uma relação aditiva

entre as variações. Por outro lado, a forma como seu desenho é criado, destacando as

variações ocorridas em cada minuto de duração do enchimento, parece sugerir ao

aluno a idéia de que existe uma variação constante do nível em cada minuto de cada

etapa.

Protocolo V - Mudança da estratégia aditiva para uma estratégia multiplicativa que ocorreu enquanto o aluno A ao resolver uma tarefa que descrevia o enchimento de um vaso numa seqüência decrescente de taxas.

Sujeito A Idade 12 Série 5ª Tarefa Vaso-decrescente Sequência ABC 1ª etapa Encheu 6 cm em 4 min 2ª etapa Encheu 7 cm em 5 min

A: Não, eu acho que foi, foi tudo igual. A etapa segue.

• O aluno A parece escolher inicialmente a estratégia aditiva, talvez pelo fato das diferenças entre as variações serem iguais. Isso levou-o a cometer um erro na comparação entre as taxas.

Ent: Tudo igual.

A: Tudo igual. Ent: Agora, se tivesse tudo igual, né. • O examinador então tenta fazer com

que o aluno utilize a estratégia que vinha utilizando em tarefa anteriores, simulando o crescimentos da segunda etapa com a taxa da primeira.

A: É.

Ent: Então qual é a altura aqui? Nessa 8ª, nesse 8º vaso? nesse 8º instante?

• No oitavo vaso temos o penúltimo dos dias descritos na tarefa.

A: 12, 12 centímetros. • O aluno soma as duas variações, 6+7=13, e subtrai um, 12. Então a quantidade 1 cm está associada, nessa resposta, a um intervalo de tempo de 1 min. Esta relação é característica da estratégia aditiva.


103

Ent: 12. A: De 4 em 4 ela aumenta... • Observe que, aqui, ele tentar utilizar a

estratégia usada nas tarefas anteriores. Ele então apóia-se na composição dos tempo para somar os enchimentos correspondentes.

Ent: 12. E aqui no 9º (nono)? • O examinador tenta observar qual o tipo de relação que o aluno estabeleceu entre as quantidades.

A: 13 centímetros. • Sua resposta aqui mostra que a relação aditiva, 1 cm a cada min, prevalece sobre a definição multiplicativa que ele adotou nas tarefas anteriores.

Ent: 13. Quer dizer que daqui pra aqui ele aumenta de...

A: 1 em 1. • O aluno destaca a relação aditiva. Ent: 1 em 1. Tá certo? 1 em 1. E esse aqui (aponta) vai até quanto? Quer ir anotando? Esse aqui tem?

• O examinador chama a atenção para um dos retângulos da primeira etapa da figura aa acima. A figura, que mostra quatro retângulos correspondendo a um crescimento de 6 cm, não parece estar coerente com a sua conclusão de que o aumento é de 1 cm por minuto.

A: Esse aqui é bem rápido. (Pausa) Enquanto esse tem um... 1, 2, 3, 4 então a 1ª etapa seguiu mais rápido.

• Nessa passagem ele começa a reconhecer a relação multiplicativa entre as variações.

Ent: Tem certeza? E depois de chegar aqui, como foi que ele veio crescendo?

A: Porque aqui 13 centímetros, ele foi crescendo de... perai... de... de 13 centímetros. Vamos dizer que ele veio subindo de 2 em 2, né?

• O aluno troca então a relação para 2 cm por minuto. A sua estratégia agora é semelhante àquela que foi descrita como ‘rated addition’, somando as quantidades referentes às variações correspondentes à unidade de tempo.

Ent: Hum.

A: Então, é. 6 centímetros, é, 8 centímetros, é, 10 centímetros, 12 centímetros não foi no... é, 17 centímetros.

• Tenta a sua hipótese de 2 cm por min.

Ent: 7 centímetros é aqui na... 4... • O examinador tenta chamar a atenção do aluno, apontando para o quarto vaso e afirmando que a altura seria 7 cm.

A: É... peraí... peraí. Ent: E aqui no quinto vaso?


104

A: É 7, 7. • Novamente, o aluno volta a usar a relação aditiva, porque no quarto vaso a altura era de 6 cm. Segundo a explicação na literatura, faz sentido pensar na relação ‘1 cm por min’ (Carraher, Carraher, Schliemann & Ruiz, 1986) .

Ent: Aqui no sexto vaso? A: 8. • Continua usando a estratégia aditiva. Ent: E aqui? • No sétimo vaso. A: 9.

Ent: E aqui? • No oitavo vaso. A: 10. Ent: E aqui? • No nono vaso. A: 11. Pronto. • Quando chega ao fim da série de

retângulo, o resultado da altura não bate com a altura encontrada antes que foi de 13 cm (6 cm mais 7 cm).

Ent: Nem é 1 nem é dois? • O examinador então interfere no raciocínio informando que nem a relação de 1 para 1, nem a relação de 2 para 1 são corretas.

A: É. • O aluno parece admitir. Ent: Quanto será? A: (Pausa) 1.5.

Ent: Vamos contar? A: Para 1.5.

Ent: Não. Aqui tá em quanto? Na 5ª. • O examinador propõe iniciar logo depois da primeira etapa.

A: 7.5 é 7.5, 9.

Ent: Sim. A: É 10.5.

Ent: Hum. A: 9, 10.5 é 12 não foram 1,5.

Ent: 1.5 foi muito ou foi pouco. • O examinador então quer saber se a taxa foi maior ou menor que o necessário, e...

A: Foi mais. • ... o aluno conclui que foi mais do que o necessário.

Ent: Então, entre 1 e 1.5?


105

A: É, e 1.5, de 1 e 1.5, aproximado.

Existe uma diferença entre a estratégia escolhida pelo aluno quando ele usa a

relação de 1 para 1 e quando ele usa outras razões: 2 ou 1,5 por unidade de tempo.

No primeiro caso, sua escolha baseia-se na relação existente entre os números citados

no enunciado da tarefa. Ele infere que o enchimento ocorreria a 1 cm por minuto. No

segundo caso, ele focaliza uma relação do tipo Δq/Δt, e tenta identificar a variação da

altura do nível por minuto. No protocolo w abaixo, o aluno abandona a estratégia

aditiva e enfatiza a razão entre as variações.

Protocolo W - Continuação... O aluno A abandona a hipótese de uma relação aditiva entre as variações

Sujeito A Idade 12 Série 5ª Tarefa Vaso-decrescente Sequência ABC 1ª etapa Encheu 6 cm em 4 min 2ª etapa Encheu 7 cm em 5 min

Ent: Agora, sem querer entrar em muitos detalhes, qual dos dois cresceu mais? 0 primeiro?

• O examinador procura saber do aluno qual seria a relação entre as duas taxas.

A: A primeira etapa. • Para o aluno, a primeira etapa foi mais rápida, o que está correto.

Ent: Por quê? A: Porque a primeira etapa subiu é um, um, de dois em dois, né? Por que, ó! 2, 4, não foi 3 eu disse, peraí... 1.5, vamos ver se foi por 1.5, 1.5 é 1.5, 3, 4.5, 6,...

• Aí o aluno rapidamente testa todas as suas hipótese anteriores para a primeira etapa: 1 cm por min, 1.5 cm por min, e 2 cm por min.

Ent: Foi?

A: Foi 6. Foi de 1 em 1 e 1.5. • Esta é a taxa da primeira etapa: 1,5 cm por min.

Ent: E a segunda etapa?

A: Foi (pausa) foi menos de 1.5. Ent: Então...

A: Pra subir por menos de 1.5. Ent: É então, qual foi a etapa que cresceu mais?

A: Primeira.

Nos últimos três exemplos, a análise dos protocolos demonstrou que o uso

desse tipo de estratégia pode ocorrer quando existirem relações aditivas equivalentes

entre os valores das variações, i.e., Δq-Δq’=Δt-Δt’=constante. Em alguns dos casos

analisados, o examinador adicionou algumas perguntas às tarefas. Nessas perguntas,


106

intervalos de tempo cada vez menores foram analisados. Chegava-se a perguntas nas

quais a relação aditiva não poderia mais ser verdadeira. Por exemplo, na tarefa que

descrevia o enchimento de um vaso numa seqüência decrescente de taxas, a primeira

etapa o vaso enchia 6 cm em 4 min. O examinador ia perguntado, então, sobre o

enchimento que ocorreria em intervalos cada vez menores com perguntas do tipo:

“quanto o vaso vai encher em 3 min?”. Os alunos que resolviam aditivamente,

encontravam suas respostas subtraindo uma unidade da altura que haviam encontrado

na pergunta anterior. Nesse caso, sua resposta seria 5 cm. O processo continuava até

que o examinador fizesse a pergunta: “quanto o vaso vai encher em 1 min?”. Algo

que não parecia lógico era responder 3 cm! Isso ocorreu, por exemplo, até a

passagem (8) do protocolo u acima. Nesse caso, parece ocorrer uma referência a

quantidades físicas, resgatando o significado da quantidade, 3 cm/min.

Além da interação com o examinador e dos dados numéricos disponíveis, o

aluno ainda criou um desenho. Alguns aspectos geométricos do mesmo podem ter

sido usados para coordenar a identificação das relações entre as variações de altura e

de tempo. O principal recurso que se pode destacar é a regularidade da variação das

altura de linhas inscritas nos retângulos sucessivos. Além disso, o fato desses

retângulos corresponderem aos minutos decorrido pode ter auxiliado o aluno na

identificação da relação do tipo Δq/Δt entre as variações de altura e tempo.

Em resumo, com relação à escolha da estratégia, os alunos conhecem e

aplicam mais de um tipo para cada tarefa. A mudança do tipo de relação focalizada

ocorre devido a aspectos do problema resolvido, como indica a análise realizada

acima. Portanto, a forma como o seu desenho foi criado e a maneira como o mesmo

foi usado durante a resolução parece indicar que o processo de representação

contribuiu para o tratamento dos invariantes encontrados entre as quantidades

destacando aspectos da relações como, por exemplo, a regularidade das variações por

unidade de tempo.

2.4 Estratégia 4: Ênfase na relação Δq/Δ t

Os protocolos classificados nessa categoria apresentaram resoluções de

problemas onde os alunos identificaram uma razão do tipo Δq/Δt entre as variações

descritas nas tarefas. O uso desta estratégia pressupõe uma compreensão implícita e

explícita das propriedades da relação de taxa, e implícita da interpretação de uma

quantidade intensiva, expressa pela relação entre variações de naturezas diferentes. A

estratégia 4: ênfase na relação Δq/Δ t

107

maneira dos alunos expressarem a relação entre as quantidades pode ser de vários

tipos: contas de divisão armadas no papel, organizações em forma de razões, ou uma

descrição verbal da operação. A taxa pode ou não ser transformada em um número

decimal. Por outro lado, as relações podem ser expressas através de forma

geométricas de seus desenhos. Também foram classificados neste grupo as soluções

que envolviam o cálculo do valor unitário (Vergnaud, 1985, 1990). Nesse caso, o

sujeito reduz as diferentes razões, de tal maneira a permitir determinar as variações

associadas a unidades de tempo. Um exemplo seria o cálculo da distância percorrida,

em km, na unidade de tempo, 1 h. Novamente, o sujeito realiza cálculos do tipo

Δq/Δt. O Protocolo abaixo mostra o aluno J realizando um cálculo do valor unitário

durante a resolução da tarefa caminhão-decrescente.

Protocolo X - Resolução da tarefa caminhão-decrescente pelo aluno J. Ele calcula o valor unitário: variação de posição em 1 h.

Sujeito : J Idade : 13 Série : 7ª Tarefa : Caminhão-decrescente Sequência BCA 1ª etapa : Percorre 200 km em 2 h 2ª etapa : Percorre 150 km em 3 h Ent: Em qual dos instantes ele foi mais rápido.

J: O começo ele gastou uma hora em cada 100 km, na segunda, a cada hora ele gastou cento.... 150 dividido por 3? A primeira.

• Aqui o aluno verbaliza um cálculo que está realizando mentalmente.

Ent: Por quê? J: Na primeira ele gastou 1 h pra percorrer 100 km, e na segunda gastou 3 h pra percorrer 150 km.

• O resultado da conta não chega a ser verbalizado, mas orientou o aluno a escolher qual o intervalo onde o caminhão foi mais rápido.

Ainda foram classificados nesta categoria, os procedimentos nos quais ocorria

a composição de uma quantidade a partir da integração de uma taxa. Esses

procedimentos assemelham-se àquele que foi descrito por Carraher (1986) quando se

referiu à estratégia denominada ‘rated addition’. Nesse estudo, seus alunos resolviam

problemas de proporção interpretando plantas baixas de edificações. Durante a

resolução, seus sujeitos aplicavam uma das taxas (medida na planta “A”/medida na

construção, por exemplo) a uma outra planta, multiplicando essa taxa com uma

medida na planta “B”, e comparavam os resultados. Essa é uma estratégia onde o

sujeito adiciona os resultados dessa multiplicação. A aplicação dessa estratégia não

acarreta erros sistemáticos, como ocorre com os alunos que usam estratégias


108

puramente aditivas. Carraher, Carraher & Schliemann (1986) descrevem uma

estratégia parecida onde os alunos tinham de decidir qual a melhor compra dentre

dois casos descritos pela quantidade de uma mercadoria (geralmente em gramas) e

seu preço. Nesse caso o aluno vai compondo uma quantidade a partir da taxa

relacionada, permitindo fazer a comparação entre as mesmas, em termos de

dimensões, [preço] = [preço/quantidades] × [quantidades]. Um exemplo desse tipo de

estratégia ocorreu enquanto a aluna G discutia o que ocorreu com a altura da planta

na tarefa que descrevia o crescimento de uma planta numa seqüência crescente de

taxas. A aluna criou o desenho mostrado na figura bb abaixo.

Figura BB - Desenho criado pela aluna G na tarefa planta-crescente O seu desenho é um exemplo do modelo analogia, de acordo com a descrição

do segundo modelo analisado na seção os tipos básicos de desenhos. Nesse desenho

há segmentos de retas e semicírculos. Da esquerda para a direita, o primeiro

segmento que aparece é horizontal e corresponde ao maior de todos. Acima desse há

três semicírculos: dois maiores e um menor. Acima dos semicírculos há as inscrições

‘5’, ‘5’ e ‘1’. À direita do primeiro segmento horizontal há uma construção, em

forma de triângulo, no entanto sem o lado da base. Sua altura é igual a altura dos

semicírculos maiores. À direita da construção triangular encontra-se um segundo

segmento horizontal. E, finalmente, encontra-se uma segunda construção triangular.

Essa possui uma altura maior que a primeira. O desenho não foi criado todo de uma

vez. A sua construção pode ser, em parte, reconstituída ao longo dos protocolos a

seguir. No protocolo y, a aluna G descreve sua representação usando uma estratégia

com a qual integra a taxa do crescimento da planta.

Protocolo Y - Explicação da aluna G na tarefa planta-crescente

Sujeito G Idade 13 Série 7ª Tarefa Planta-crescente Sequência ABC 1ª etapa Cresceu 6 cm em 7 dias 2ª etapa Cresceu 5 cm em 3 dias

(1) G: Aqui, nesse período. Se a cada 3 em 3 ela conseguisse crescer 5... aqui 3, / Desenhe! / 3,... mais 1, cresceu 5... e 1, 11.

• A aluna se refere à primeira etapa simulando a possibilidade dessa ter crescido com a taxa da segunda (5cm/3dias).


109

• O resultado 11 é uma estimativa. A aluna decompôs os 7 dias em 3 + 3 + 1. Soma as quantidades de centímetros correspondentes: 5 + 5 + ‘1’.

(2) Ent: O que é esse 1? • Esse ‘1’ é uma estimativa de quanto a planta cresceu, a uma taxa de crescimento de 5cm/3dias, em 1 dia.

(3) G: Por que de 3 em 3 ela não cresce 5?

• A explicação do aluno é clara ao estabelecer a relação entre as quantidades.

(4) Ent: Cresce...

(5) G: Então, 3 e 3, 6, mais um dia, 7. (6) Ent: Quanto é que ela cresce em um dia?

• O examinador quer saber, então, se a aluna realizou algum cálculo e qual seria.

(7) G: 1 vírgula alguma coisa. • A aluna realizou um cálculo mental, dividindo a quantidade de centímetros pela quantidade de dias, e daí foi que ele encontrou as quantidades que anteriormente havia estimado como sendo ‘1’.

(8) Ent: (...). E ele cresce mais rápido no primeiro ou no segundo intervalo?

• O examinado pergunta, então, pela comparação entre as duas taxas, e...

(9) G: No segundo. • ...a aluna responde corretamente a pergunta.

A soma referida encontra-se na passagem (1), na qual a aluna integra a

variação da segunda etapa com a quantidade de dias simulando o que poderia ter

acontecido na primeira se a planta crescesse com a taxa da segunda, i.e.,

Δq=(Δq’/Δt)×Δt’. A primeira etapa durou 7 dias. A mesma pode ser expressa pela

decomposição 3 + 3 + 1. A integração é feita em termos dessa quantidade de dias.

Essa composição é utilizada para encontrar a altura que teria alcançado a planta na

primeira etapa , assim como mostra a passagem (1) do protocolo acima.

Para apoiar sua análise, a aluna G desenha semicírculos correspondendo aos

intervalos de tempo de 3 dias acima da linha horizontal relativa ao intervalo de 7

dias. Ela desenhou também um pequeno semicírculo para representar o dia que falta

para completar a composição 7=3+3+‘1’. Ela parece usar o seguinte raciocínio: se no

primeiro intervalo, a planta crescesse com a mesma velocidade que no segundo

intervalo, então ele, nos três primeiros dias aumentaria 5 cm, nos três dias seguintes

aumentaria mais 5 cm. No final, ainda restaria 1 dia para completar o intervalo dos 7


110

dias. Então a aluno estimou que a planta cresceria aproximadamente mais 1 cm. Este

valor foi estimado na passagem (7) acima. Portanto, a conclusão foi de que a planta

deveria ter crescido 11 cm na primeira etapa, se tivesse aumentado a uma taxa de 5/3

cm/dia durante 7 dias. O valor exato seria de 11,66... . Pela descrição da tarefa, o

crescimento na primeira etapa foi de 6 cm, muito menor que os supostos 11

centímetros. Desse modo, a aluna, usando sua representação, conclui que a taxa da

segunda etapa foi maior que a taxa da primeira.

As extensões das linhas horizontais parecem representar as durações do

intervalo de tempo, como mostra a passagem (2) do protocolo z abaixo. Por sua vez,

a altura das formas triangulares não foi claramente explicada. Há duas possibilidades.

A primeira é de que suas alturas correspondam aos valores da própria taxa. Nesse

caso, o menor corresponderia a razão 6cm/7dias enquanto a segunda corresponderia

a razão 5cm/3dias. A segunda hipótese é de que a aluna não observou a relação entre

os tamanhos das forma triangulares. Nesse caso, ela apenas observa as relações entre

as alturas dessas e dos comprimentos das linhas horizontais correspondentes. Na

primeira etapa, 7 dias e 6 cm, corresponderia a uma linha horizontal maior que a

altura da forma triangular. Na segunda etapa, a planta cresceu 5 cm em 3 dias, a

altura dessa forma deveria ser maior que o comprimento da linha horizontal à

esquerda. Os semicírculos, que serviram de apóio a simulação da primeira variação

Δq, apareceram durante a comparação. Na passagem (7) do protocolo anterior a

aluna diz quanto foi o resultado de uma divisão que ela realizou mentalmente. O

cálculo da taxa do segundo dia não aparece no protocolo; no entanto, a aluna conclui,

a partir da simulação do crescimento na primeira etapa, na passagem (8) do protocolo

anterior que a planta cresceu mais rápido no segundo intervalo.

Protocolo Z - A aluna G explica como os intervalos de tempo foram representados em seu desenho, ainda na tarefa planta-crescente

Sujeito G Idade 13 Série 7ª Tarefa Planta-crescente Sequência ABC 1ª etapa Cresceu 6 cm em 7 dias 2ª etapa Cresceu 5 cm em 3 dias

(1) Ent: O que quer dizer essa linha aqui, embaixo?

(2) G: Isso aqui, foi um período, maior, do que esse.

• As linhas horizontais representam a extensão do intervalo de tempo.

(3) Ent: Essas, essas partes horizontais, não é? Embaixo. Certo.


111

(4) G: Essa parte aqui, tá mostrando, até os 7 dias. Aqui mostra mais 3, que foi o que cresceu.

• Explica a linha horizontal da direita.

(5) Ent: Até os 7 dias ela cresceu quantos cm?

(6) G: 6.

Observa-se que o seu desenho, um modelo analógico usando segmentos de

retas, foi usado para organizar a simulação e a comparação entre as taxas. Toda sua

construção refletiu a forma como a aluna concebe a relação entre as variações.

Portanto, pode-se supor que a representação do fenômeno pode ter sido para o aluno

como um instrumento auxiliar ao tratamento cognitivo dos invariantes que há entre

as variações descritas na tarefa.

O uso dessa estratégia, apesar de demonstrar que o aluno reconhece que a

relação entre a variação da altura e o intervalo de tempo é multiplicativa, nem sempre

garante que sua resposta seja correta. Nesse caso, o aluno procura outras relações

entre quantidades, principalmente estimativas e desigualdades para apoiar sua

resposta. O exemplo a seguir, mostra como o aluno F, mesmo sabendo que a

“rapidez” do crescimento da planta dependia da variação da altura e da duração do

intervalo de tempo, erra ao utilizar a estratégia de enfatizar as relações do tipo Δq/Δt.

O motivo foi o aluno não ter domínio completo dos passos da operação de divisão

não exata. Neste exemplo, ele tenta inicialmente utilizar a estratégia de comparar as

razões Δq/Δt, mas erra numa divisão. Depois, usa a estratégia onde compara todas as

variações Δq, Δt, Δq’ e Δt’ relacionando-as através de desigualdades. Dessa forma

ele encontra a relação multiplicativa. Vejamos a seguir, o processo detalhadamente.

Protocolo AA - O aluno F resolvendo a tarefa balanço-constante

Sujeito F Idade 11 Série 5ª Tarefa Balanço-constante Sequência CAB 1ª etapa Desceu 3 m em 2 s 2ª etapa Subiu 6 m em 4 s

(1) F: A história é a mesma, mas só que muda os cálculos....(1)19 Aí aqui, em uma das idas e vindas, o garoto partiu em uma altura, na subida, o garoto partiu em 3 metros. e desceu em 2 segundos. Na outra, ele subiu em 6 metros e desceu em 4

• Em (1) o aluno descreve o problema.

• Em (2) explica o que fez em seu desenho. Há traços acima e abaixo dos desenhos do menino indicando os movimento do balanço. Ver figura cc

19Cada parte numerada dessa passagem tem seu comentário correspondente à direita, indexada pelos mesmos números entre parênteses.


112

segundos. Aí tá pedindo para eu desenhar, algo que represente o movimentos desse balanço...(2) Aí aqui eu vou fazer que ele subiu, vou fazer 2 desenhos...... Aqui, nesse desenho aqui, é o garoto subindo em 3 metros., subindo em 3 metros. Aí aqui embaixo eu vou desenhar ele descendo em... 2 segundos. (...) Ele descendo, e,... quando a gente volta pra lá, ele anda... E aqui, é ele descendo, e aqui eu vou fazer o cálculo. (3) Eu pego logo subida, 3m e divido pela descida, 2 segundos. 3 dividido por 2... dá 1... 2... acho que dá 1. Aí aqui é como, é...aqui ele subiu, é... em 1 segundo, (4) aqui ele subiu em 1 segundo e restou, milésimos. (5) Espera aí, então ele subiu em 1 e noventa, aliás, ele subiu é, ele subiu em 3 metros e desceu em 2 segundos. A diferença de 1 segundo e resta 1. E aqui é, 6 dividido por 4, dá , 1, em torno de 1... ainda 4 e resta 2. (6) Então ele subiu neste, ele subiu mais, ele subiu mais rápido nesse daqui, porque é o que resta menos. Aí ele subiu mais rápido no primeiro aqui, a resposta então, certa, é 3 metros e chegou em baixo em 2 segundos. Por causa que, é... 3 dividido por 2 dá 1, resta 1 e aqui é 6 dividido por 4, dá 4, resta 2. O que restou menos é a resposta certa, então foi 3, ele subiu...mais rápido em 3 metros. e desceu, mais rápido em 2 segundos.

abaixo.

• Em (3) descreve de que forma as quantidades devem ser relacionadas. Observe, que a relação é multiplicativa do tipo Δq/Δt, no entanto, um problema na realização do algoritmo da divisão não permite que ele faça o julgamento correto.

• Em (4), referindo-se ao resultado da divisão, ele descreve uma quantidade intensiva que não é correta. O aluno descreve o resultado como se fosse uma quantidade de tempo.

• Em (5) fica claro que o aluno não tem domínio suficiente da operação de divisão decimal exata. Observe que ele encontra um resultado incorreto e logo depois expressa os resultados das divisões com resto para comparar as duas razões.

• Finalmente, em (6) ele realiza a comparação entre as duas razões, usando o seguinte critério: a divisão que deixar o menor resto corresponde a maior velocidade. O aluno utiliza o critério de comparar os restos das divisões para realizar seu julgamento da comparação entre as duas taxas.


113

Figura CC - Desenho do sujeito F na tarefa balanço constante

(2) Ent: Então, quem foi que andou mais ligeiro?

(3) F: É, quem andou mais ligeiro, foi, é... foi quando o garoto fez da primeira vez 3 metros e chegou em baixo em 2 segundos. E aqui falta desenhar o professor anotando.

(4) Ent: Ó Dilson, quem foi que você falou, mesmo, que anda mais rápido? Qual é o que anda mais rápido?

(5) F: Eu acho que é esse daqui, que ele vai em 3 metros. e ele chega em baixo em 2 segundos.

(6) Ent: Ó Dilson, mas o segundo, ele anda mais metros, será que ele não anda mais rápido não?

• O examinador tenta contrapor a resposta do aluno, mostrando que na segunda etapa o balanço percorre uma distância maior. Este tipo de argumentação tem um efeito desequilibrador muito grande quando o aluno não tem uma definição multiplicativa de taxa, o que não é o caso com esse aluno.

(7) F: O quê!? (8) Ent: O segundo ele anda mais, vai


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mais longe, / É. / mais alto, ele faz 6 metros. Será que ele não anda mais rápido não, para poder chegar mais longe? (9) F: É, deve... espera aí, deixa eu ver aqui direito... 3m chega em baixo em 2 segundos. Na subida... é, o mais rápido é esse, que ele sobe muito mais e desce... a diferença aqui é de 2 mas é... por causa que aqui... aqui é o dobro.

• O efeito da colocação anterior a respeito da distância percorrida afeta qualquer certeza que o aluno tinha a respeito da relação entre as taxas. Ele chega a trocar de opinião, escolhendo a segunda etapa como sendo a mais rápida, usando o critério de que “quanto maior a distância percorrida, maior a rapidez”. Observe uma relação com a qual o aluno relaciona as quantidades através de desigualdades, no entanto, só leva em consideração uma das quantidades, no caso, a distância. Ele passa muito rápido por esse raciocínio (sublinhado), até reconhecer algo que poderíamos admitir que ele já sabia, que era a relação multiplicativa entre a altura e o tempo, quando ele reconhece a relação de “dobro”. Essa conclusão surge subitamente, e não é uma decorrência lógica daqui que ele falou na mesma passagem. Veja a seguir, que o aluno ainda está confuso na busca de um critério que apóie seu julgamento.

(10) Ent: A diferença 2, é aonde?

(11) F: Espera aí, a diferença de, aqui a diferença de 3 e aqui, a diferença é de 2, então,... deixa eu ver... então a diferença foi a mesma!

• Aqui, o aluno ainda tenta a hipótese de que as diferenças poderiam ser o aspecto relacionado com o julgamento das taxas. Mas, quando ele diz “então a diferença foi a mesma!” a diferença à qual ele se refere não pode estar sendo referida a quantidades absolutas, mas sim a duas relações!

(12) Ent: O que é que é a diferença? • Exatamente, o examinador fica confuso para saber qual é a relação à que o sujeito está se referindo, ou quais são as relações que ele está comparando.

(13) F: É a diferença, da subida... Do cálculo da subida e da descida por outro cálculo da subida e da descida. Então o resultado deu o mesmo, só que os restos deram diferentes. Então o resultado é o mesmo, porque se ele, ele subiu 6 metros, desceu em 4, aqui ele subiu 3 desceu em

• Inicialmente, o aluno que parece ter chegado a uma conclusão, não deixa claro o que foi que o fez pensar que “o resultado deu o mesmo”.


115

2, se, se fosse pelo tempo, da descida, se ele, eles , foi o mesmo, foi a mesma, foi a mesma coisa.

(14) Ent: O que, que mesma coisa? • Antes era a “a mesma diferença” e agora é “a mesma coisa” que provoca a dúvida do examinador.

(15) F: Causa que o tempo, não, aqui, ele demorou mais, mas ele subiu mais, mas aqui ele subiu menos e demorou menos. Então foi a mesma coisa por causa que se ele tivesse, a não ser que se, se, por causa que, aqui ó, os segundos, esses segundos aqui é menor que os segundos desse, mas aqui ele subiu mais, a metade, o dobro desse, e aqui, esse daqui é o dobro desse, então foi a mesma coisa.

• Mas o aluno precisa justificar de alguma maneira a sua resposta. A solução onde as quantidades são relacionadas através de desigualdades é ótima para realizar comparações entre quantidades de diferentes naturezas que mantêm relações entre si. Observe como o aluno usa habilmente as relações “mais”, “menos”, na frase “Causa que o tempo, não, aqui, ele demorou mais, mas ele subiu mais, mas aqui ele subiu menos e demorou menos. ” A sua formulação lógica é suficiente para servir como uma boa estimativa para o resultado da comparação entre as taxas.

(16) Ent: O tempo é o dobro, não é? (17) F: É, o tempo é o dobro.

(18) Ent: A ligeireza, a rapidez de um e a do outro, que é que tem? que é que pode fazer sobre isso?

(19) F: É que a... diferença do outro, é a mesma... só que esse daqui subiu mais.

• O termo “diferença” começa a ser usado sistematicamente, para se referir à rapidez.

(20) Ent: Quem foi mais rápido, o primeiro ou o segundo?

(21) F: Quem foi mais rápido? Foi igual, professor.

• Ótimo, a identificação da relação de dobro e a utilização de um argumento lógico facilitam chegar a uma conclusão seguramente, a respeito das relações entre as razões. E esse julgamento está correto.

(22) Ent: Mas o outro não subiu mais, o segundo?

• O examinador tenta novamente desestabilizar o aluno mostrando que o segundo “subiu mais”.

(23) F: Espera aí, olhe, esse subiu mais, o dobro de 2 não é 4? / É. / e o dobro de 3 não é 6? Ele subiu hum... bem mais, mas desceu, o dobro de 2... / Hum, sei. /... e aqui ele subiu 3 e desceu 2, que é o dobro desse. Então eles desceram igual. Se fizer

• O relação de dobro é utilizada para demonstrar que a rapidez de um é igual a do outro.


116

a comparação eles desceram igual.

No exemplo acima, um aluno utilizou conhecimentos anteriores, como as

relações de “mais” e “menos”, seus conhecimentos sobre o algorítmo da divisão e a

relação de dobro para identificar a relação entre as duas razões. Isso vem deixar clara

a relação entre os conceitos e serve de exemplo de como os alunos utilizam seus

conhecimento sobre relações entre quantidades. O seu desenho não possui muitos

aspectos geométricos que possam ser considerados como úteis à resolução do

problema. O mesmo não poderia servir de forma efetiva à identificação das relações

entre quantidades. No entanto, alguns alunos criaram desenhos que têm aspectos que

serviram para destacar os invariantes entre as quantidades descritas no problema.

O aspecto que torna esses desenhos úteis à resolução é a possibilidade de

organizar os dados numéricos por meio de formas geométricas. E isso, como foi visto

na análise das propriedades dos três modelos básicos de desenhos, pode ser atingido

desenhando-se qualquer dos três tipos: os que lembram ‘algo concreto’, através da

criação de analogias ou ainda através da criação de gráficos cartesianos.

Na seção a seguir, analisam-se as características de um tipo de procedimento

adotado por alguns alunos os quais compararam razões Δt/Δq para concluir sobre a

relação entre as taxas. Novamente observa-se a relação entre o tipo de estratégia e a

maneira como desenhos são criados e usados pelos alunos durante as entrevistas.

2.5 Estratégia 5: Ênfase na relação Δ t/Δq

Nas soluções classificadas nessa categoria os alunos calculam as taxas através

de uma razão entre os valores de Δt e de Δq. A solução correta da comparação

acontece quando o aluno afirma que a maior taxa é aquela que corresponde a menor

razão (Δt/Δq). Existe uma aparente contradição: por que escolher o menor valor

dentre os resultados das divisões quando nos problemas, o examinador pedia para

identificarem: “qual a maior taxa?” ou “onde é que vai mais rápido?”. Um exemplo

desse procedimento é mostrado abaixo, no protocolo bb, onde o aluno J resolve a

tarefa planta-constante.

estratégia 5: ênfase na relação Δ t/Δq

117

Protocolo BB - A aluna J focaliza a relação inversa Δt/Δq para encontrar o resultado da comparação entre as taxas descritas na tarefa planta-constante

Sujeito J Idade 13 Série 7ª Tarefa Planta-constante Sequência BCA 1ª etapa Cresceu 5 cm em 4 dias 2ª etapa Cresceu 8 cm em 10 dias

(1) Ent: O que foi que aconteceu, ela cresceu mais ligeiro na primeira ou na segunda parte?

• O examinador pergunta pela comparação entre as taxas.

(2) J: Elas cresceram igualmente, tanto na primeira parte como na segunda.

• O julgamento da aluna é correto, mesmo ela tendo usado a relação Δt/Δq.

(3) Ent: Como você fez pra saber?

(4) J: Dividi a quantidade de dias pelo tamanho, pelo tamanho que ela cresceu. Em ambas das partes ela cresceu 0,8 cm por dia.

No protocolo bb acima, a aluna julga que as taxas foram iguais. Nesse caso,

as taxa realmente foram idênticas nos dois intervalos da tarefa, 1,25 cm/dia e a

comparação de taxas do tipo Δq/Δt e Δt/Δq levariam o aluno a concluir da mesma

maneira. Durante a resolução dos problemas a aluna criou o desenho na figura

abaixo. No desenho da figura dd acima, encontram-se as operações aritméticas que a

aluna J realizou. Essas aparecem abaixo dos desenhos da planta destacando a forma

como as variações foram relacionadas. A aluna encontrou com a operação o valor da

quantidade de dias necessários para a planta crescer 1 cm. Em ambos os casos o

resultado foi o mesmo e igual a 0.8 dias/cm. Entretanto, sua referência a quantidade

foi de cm/dia como mostra a passagem (4) do protocolo acima.


118

Figura DD - Representação da aluna J na tarefa planta constante

Se, no entanto, as taxas eram diferentes, essa forma de relacionar as variações

das quantidades poderia produzir um erro sistemático, como mostra o protocolo cc

abaixo.

Protocolo CC - Erro provocado pelo uso da razão inversa na comparação feita pelo aluno J na tarefa planta-crescente

Sujeito J Idade 13 Série 7ª Tarefa Planta-crescente Sequência BCA 1ª etapa Cresceu 6 cm em 7 dias 2ª etapa Cresceu 5 cm em 3 dias

Ent: (Explica) • O examinador explica a tarefa.

Ent: O que foi que aconteceu com a altura dela?

J: Nos primeiros 7 dias a planta cresceu 6 cm e nos 3 dias restantes cresceu mais 5 cm.

Ent: Ela cresceu mais rápido na primeira ou na segunda parte?

• O examinador pergunta pela relação entre as taxas.

J: Eu acho que ela cresceu mais, mais depressa no 7 primeiros dias. Ela cresceu cerca de 1 vírgula... 1 cm por dia, enquanto na segunda parte ela cresceu 0,6 cm por dia.

• Os resultados da divisões indicam que a ordem utilizada foi mesmo Δt/Δq, pois 7 dias dividido por 6 cm resulta em um número um pouco maior que 1, e 3 dias divido por 5 cm resulta em 0,6 cm/dia. Além disso o aluno faz uma estimativa no primeiro cálculo. A unidade associada ao resultado da comparação está errada. O correto seria dias/cm.

Ent: Como foi que tu fizeste a conta? • O examinador pede então que o aluno


119

explicite a operação.

J: Eu dividi a quantidade de dias pela altura.

• A forma da operação é então explicitada pela aluna.

Esses resultados são o inverso das taxas de crescimento. No entanto, a aluna

interpreta como se os resultados fossem as próprias taxas.

Figura EE - Desenho da aluna J criado para a tarefa planta-crescente O desenho na figura ee acima mostra as operações de divisão que a aluna

usou para calcular as relações Δt/Δq. A aluna divide a quantidade de dias pela

variação de centímetros em cada etapa. No entanto, ao comparar as duas relações e

decidir qual das duas corresponde à maior taxa, a aluna escolhe como resposta a

maior razão do tipo Δt/Δq, 1.1.

Usando essa mesma estratégia, no entanto, um aluno pode chegar a uma

conclusão correta acerca da relação entre as taxas de uma tarefa. O aluno A, por

exemplo, resolveu as tarefas na seqüência ABC (plantas, vasos, caminhão, balanço e

mar). Em todas, até as tarefas dos caminhões (tarefas do grupo B), ele usou a

estratégia de estimar a segunda variação de quantidade (Δq’) calculado-a a partir da

integração da primeira taxa (Δq/Δt) no segundo intervalo de tempo Δt’. O objetivo

foi encontrar entre relação Δq’ e (Δq/Δt) × Δt’. A comparação era realizada em termo

dos valores de Δq e Δq’. Essa estratégia é semelhante àquela ‘rated addition’ descrita

na literatura (Ver a seção os conhecimentos sobre razão e proporção).


120

Na tarefa do balanço-crescente, o aluno A focalizou a razão entre a duração

de intervalo de tempo e o valor da altura atingida pelo balanço. Ele tenta identificar,

semelhante aos procedimentos descritos acima, a relação entre Δt’ e (Δt/Δq) × Δq’. A

sua conclusão sobre a relação entre as taxas foi correta. O protocolo dd abaixo,

demonstra como ele utiliza esta estratégia.

Protocolo DD - Solução correta do aluno A usando a estratégia de comparar razões Δt/Δq, na tarefa balanço-crescente

Sujeito A Idade 12 Série 5ª Tarefa Balanço-crescente Sequência ABC 1ª etapa Desceu 2 m em 5 s 2ª etapa Subiu 3 m em 3 s

(1) S: De um parque de diversões... (Leitura) Ele chega com 3 segundos... o primeiro, não... chega com... e segundos o primeiro, quando chega o final que ele chega com 3 segundos, então se fosse em 2 e 2, se fosse igual, de 2 e 2 daria 5... em 2 e 2, aí aqui 5 daria... daria aqui (Pausa) se fosse daria 7, sete e meio se desse aqui, se... se fosse igual, mais não deu sete e meio, só deu e 3 segundos...

• Esse aluno usou a estratégia de comparar a segunda variação de quantidades com uma variação de quantidade simulada. Neste caso, as variações de quantidade que ele comparou foram os intervalos de tempo, encontrando a relação entre (Δt/Δq) × Δq’ e Δt’: (5seg/2 m) × 3m = 7,5 s, que é muito maior que 3 s. Portanto, a primeira etapa foi mais lenta.

(2) Ent: Hum, Hum!

(3) A: Era pra dá sete e meio, sete e meio segundos...

• Ratifica a sua conclusão.

(4) Ent: Pra percorrer? (5) A: Pra percorrer igual. • ‘Pra percorrer igual’ parece significar

com a mesma relação entre metros e segundos.

(6) Ent: Igual como assim, igual?

(7) A: Igual ao primeiro (Pausa), mas não, ó! Ele só percorreu 3 segundos.

(8) Ent: O que é que seria igual? (9) A: Igual, seria... é assim em relação ao primeiro, igual em relação ao primeiro, igual em segundos.

(10) Ent: Como assim igual em segundos? Explica melhor.

(11) A: (Pausa) Porque aqui, se ele subir 5, se fosse igual, aqui seria, seria também sete e meio, se fosse igual. Certo? Se fosse igual a esse. Porque em 2 e 2 ele

• A expressão: “Se fosse igual a esse.” Parece significar, para o aluno, que a segunda etapa ter a mesma taxa que a primeira. A justificativa que deixa


121

conta 5. explicita a divisão Δt/Δq é exatamente a frase “Porque em 2 e 2 ele conta 5.”i.e., a cada 2 s ele desce 5 m.

O aluno compara o intervalo de tempo da segunda etapa, Δt = 3 s, com o

intervalo de tempo simulado a partir da integração da taxa da primeira etapa na

segunda etapa, (Δt/Δq) × Δq’. Ele faz a escolha correta como mostra o protocolo ee

abaixo.

Protocolo EE - Conclusão do aluno A, na tarefa balanço-crescente, usando a taxa Δt/Δq


A: Ó, a primeira de... demorou menos de que a segunda, não, a segunda demorou menos do que a primeira pra chegar em baixo.

• A sua escolha acontece em termos da comparação entre os tempo necessários para realizar deslocamentos com a taxa da primeira etapa. A expressão “a segunda demorou menos do que a primeira pra chegar em baixo” parece indicar que o aluno identifica que na segunda etapa a taxa é de 1 s por metro enquanto que na primeiro foi de 2,5 s por metro de altura.

Ent: Tem certeza? A: Eu acho que foi, por que se fosse igual ao primeiro, ao terceiro daria 7, sete segundos e meio, mas não foi igual e só foi 3, então ele chegou bem mais rápido do que o primeiro.

• Aqui, novamente, o aluno torna explícito o que ele observou para comparar as taxas.

A maneira como o aluno relaciona as variações de tempo decorrido e as

variações de altura parece ter refletido na maneira como ele construiu seu desenho.

Ele, que recebeu as tarefas na seqüência ABC, vinha utilizando um mesmo modelo

de desenhos para representar os fenômenos. Desenhava retângulos correspondendo

as unidades de tempo e traços no interior dos retângulos para representar a

intensidade da segunda quantidades no final de cada etapa. As diferenças entre

alturas de linhas internas em retângulos consecutivos codificavam a intensidade das

taxas de variação por segundo. Esse modelo é discutido na seção uso de analogias ao

representar. No caso dos desenhos criados nessa tarefa específica, balanço-crescente,

vários aspectos sofreram alterações (ver a descrição da tarefa no protocolo ff

adiante). Em primeiro lugar, ao invés de associar segundos a retângulos, o aluno


122

associou metros aos retângulos. Ao invés de desenhar cinco retângulos para codificar

a primeira etapa do fenômeno, o aluno desenhou 2 retângulos na primeira parte de

seu desenho. Esse aspectos parece estar codificando a partição dos segundos pelos

metros de variação da altura, como mostra na figura ff abaixo. Há duas séries de

retângulos, e o desses em cada uma delas (inferior e superior) é igual ao número de

metros em que o balanço se deslocou. A inscrição ‘3’ na parte inferior esquerda do

desenho corresponde a quantidade de metros que o balanço subiu na segunda parte

do movimento, 3 metros.

Figura FF - Desenho que descreve a variação de tempo com relação a altura do balanço, criado pelo aluno A, na tarefa balanço-crescente. O aluno cria as séries associando retângulos às unidades de altura percorrida. Seu desenho demonstra a escolha da estratégia de comparar as taxas invertidas (Δt/Δq e Δt’/Δq’) Da maneira que o aluno vinha realizando as comparações nas tarefas

anteriores a essa (Ver na tabela e - resumo das seqüências de tarefas, página 41), os

maiores resultados das divisões correspondiam às maiores taxas. Sua conclusão

inicial, a partir dessa representação, foi a de que o balanço se deslocou mais rápido

na primeira etapa, durante a descida, como destacado no início da passagem (1), no

protocolo ee acima. Seu desenho, no entanto, muda quando sua conclusão a respeito

da relação entre elas também muda. Entretanto, um aspecto mantém-se invariável: o

procedimento de particionar quantidades iguais de segundos pelas quantidades de

deslocamentos verticais. As inscrições numéricas indicam os tempos decorridos em

cada deslocamento, ‘5 s’ acima, e ‘3 s’ na série de baixo.


123

Figura GG - Desenho indicando as alturas do balanço ao longo do percurso, pelo aluno A, na tarefa balanço-crescente. Nesse caso o desenho corresponde a relação correta entre as taxas. O aluno usou a estratégia de comparar as taxas diretas (Δq/Δt e Δq’/Δt’)

O aluno representa a quantidade de segundos que demora a variação de cada

unidade de variação de altura através das alturas dos traços horizontais dentro dos

retângulos. A forma de seu desenho corresponde ao julgamento que realizou no

protocolo ee acima. Com relação ao aspecto geométricos esses são organizados de tal

maneira que as relações entre as quantidades descritas na tarefa podem ser

identificadas através de sua observação. Seu desenho não é ambíguo. Ele poderia ser

objeto para se concluir a respeito da relação entre as taxas. Mais adiante, o aluno faz

outro desenho, dessa vez, associando os retângulos de cada série para representar os

intervalos unitários de tempo. As diferenças entre alturas de linhas inscritas em

retângulos sucessivos codificam a taxa de variação da altura do balanço.

Seu terceiro desenho para a tarefa balanço-decrescente é mostrada na figura

hh abaixo. Essa apresenta uma nova organização das representações das variações.

As variações de tempo foram representados pela série de retângulos e as alturas do

balanço pelas linha horizontais neles inscritas. No entanto, mesmo mudando a forma

de associar as quantidades a parte de seu desenho, o aluno mantém invariável o

procedimento de particionar uma das quantidades pela outra. Observe que as alturas

das linhas horizontais vão sendo colocadas em posições cada vez mais próximas das

bases dos retângulos.


124

Figura HH - Terceiro desenho do aluno A na tarefa balanço-crescente. Aqui, retângulos representam intervalos de 1 s e as alturas das linhas inscritas representam as alturas sucessivas da planta O protocolo ff abaixo mostra como o aluno utiliza uma segunda estratégia,

com a qual não relaciona as quantidades em forma de razões e sim através de

desigualdades. O uso dessa estratégia parece servirem para reforçar as suas

conclusões a respeito das relações entre as taxas.

Protocolo FF - O uso da estratégia de relacionar as variações através de desigualdades, pelo aluno A, para reforçar sua conclusão da tarefa balanço-crescente


A: Esse foi igual (Pausa). Foi não (Pausa). Se em 5 segundos ele desceu 2 metros, e em 3 segundos ele desceu 3, quem desceu mais foi o segundo.

• Ao final da entrevista sobre a tarefa balanço-crescente, o aluno ainda conclui, mesmo de passagem, que as taxas seriam iguais. A sua conclusão, no entanto, muda rapidamente. Sua justificativa estava fundamentada numa organização entre as quantidades da tarefa, de tal maneira que o aluno não precisou realizar qualquer operação aritmética.

Ent: Pronto. Nesse instante a representação]

A: Além dos segundos serem menores, ele, ele ainda subiu mais.

• Aqui está a estratégia onde as quantidades são comparadas através de desigualdades (Δt>Δt’ e Δq<Δq’).

Esse aluno já sabia qual a relação entre as taxas descritas no enunciado da

tarefa, tendo realizado a comparação descrita no protocolo dd e no protocolo ee. A

utilização de uma segunda, e ainda de uma terceira ou quarta estratégias torna

explícito a multiplicidade de caminhos que os alunos podem utilizar para resolver os

problemas. Várias estratégias podem ser usadas para resolver um problema. No


125

entanto, algumas delas parecem servir apenas como estratégia de apóio as quais o

aluno utiliza para confirmar a conclusão a partir do cálculo exato das taxas.

Seus desenhos refletem a maneira como o aluno relaciona as variações. Em

alguns casos, seus aspectos geométricos são coerentes com as relações entre as

variações, possibilitando que o aluno estime relações através da observação dos

mesmos. A estratégia a seguir, descreve procedimentos de resolução nos quais os

alunos não focalizam qualquer tipos de relação entre as variações, usando apenas

hipóteses a respeito do que seria verdade em casos reais e concretos onde as

quantidades ocorrem.

2.6 Estratégia 6: Não considera as variações Δq, nem as Δ t, nem as razões

Foram classificadas nessa categoria as respostas nas quais os alunos não

usaram os valores das variações Δq ou de Δt, nem as relações entre as mesmas para

realizar seu julgamento. O mesmo é feito levando-se em consideração possíveis

relações de causa e efeito relativas à natureza das quantidades, sem no entanto

comparar as taxas através de qualquer operação aritmética com as quantidades.

Nessa categoria, nenhuma variação de quantidade ou de tempo é levada em

consideração a fim de realizar a comparação entre as diferentes taxas apresentadas

nas tarefas. Um exemplo de protocolo classificado nessa categoria é mostrado abaixo

com o aluno L resolvendo o problema balanço-crescente.

Protocolo GG - O aluno L não considera as quantidades descritas com a tarefa balanço-crescente para comparar as taxas

Sujeito L Idade 13 Série 7ª Tarefa Balanço-crescente Sequência CAB 1ª etapa Desceu 2 m em 5 s 2ª etapa Subiu 3 m em 3 s

(1) L: Aqui... Ele subiu, aí vai descer, aí o balanço vem pra cá.

(2) Ent: Pra onde?... Vai ficar em que altura? Que altura?

(3) L: Depende da força que ele colocar. • Observe que a justificativa adotada pelo aluno não leva em consideração o tipo de relação que pode existir entre as quantidades, procura apenas justificar através de um impulso inicial maior.

(4) Ent: Mas na história conta, não? A

estratégia 6: não considera as variações Δq,

nem as Δ t, nem as razões

126

altura em que ele vai ficar?... Ele foi mais rápido, descendo ou subindo?

(5) L: Descendo (6) Ent: Por quê?

(7) L: Porque descendo, a descida tem o... o peso do corpo dele, não é?

• Nessa passagem, o aluno justifica que o aluno vai mais rápido na descida por causa de seu peso.

A descrição do conteúdo específico, o balanço, fez com que o aluno

concluísse rapidamente, sem observar as quantidades descritas na mesma. Neste

caso, o aluno parece não considerar qualquer dos aspectos do seu desenho.

Na seção a seguir, serão sistematizados alguns resultados com relação as

concepções dos alunos sobre relações entre quantidades, e a relação disso com sua

maneira de representar.

2.7 Análise

Para fins do levantamento quantitativo, foram levadas em consideração

apenas as primeiras concepções emitidas pelos alunos ao comparar taxas. No entanto,

a análise dos protocolos mostrou, por sua vez, que a produção de desenhos durante a

resolução de problemas, fez com que os alunos, em alguns casos, mudassem de

estratégia. A forma mais freqüente de relação atribuída, pelos alunos, às relações

entre as variações Δq, Δt, Δq’, Δt’ foram do tipo Δq/Δt e Δq’/Δt’ (N=223). Desses, os

alunos da primeira série do segundo grau foram maioria (N=115). A segunda forma

mais freqüente de relacionar as variações foi através de estimativas. Essa estratégia

foi mais freqüente entre a proporção de alunos de quinta (N=34) e de sétima séries

(N=35). Esses dados mostram que a concepção multiplicativa sobre as relações entre

quantidades medidas por taxa tende a ser mais freqüente à medida que aumenta o

nível da escolaridade dos sujeitos. A tabela o abaixo resume a distribuição das

estratégias por série. O uso da estratégia com a qual o aluno compara apenas

quantidades de uma mesma natureza diminui com o aumento do nível de

escolaridade: N=11 de aluno de 5ª série, N=3 de alunos de 7ª e N=1 de alunos do

primeiro ano. Essa estratégia parece não fazer sentido para os alunos mais

escolarizados.

análise

127

Tabela O - Distribuição das estratégias, por série

Séries Estratégia 5ª/1º 7ª/1º 1ª/2º Total Porc. [%] Δq’s ou Δt’s 11 3 1 15 3,62

Desig. 34 35 17 86 20,77 Aditiva 2 5 0 7 1,69 Δq/Δt 46 62 115 223 53,86 Δt/Δq 2 13 0 15 3,62

Nenhuma 0 2 0 2 0,48 Não realizou 43 18 5 66 15,94

414 100,00

A estratégia de comparar por meio de estimativas as relações entre as taxas,

através de desigualdades, ocorreu com mais freqüência em tarefas onde as ordens

eram crescente e decrescente, N=42 e N=41, respectivamente. Nas tarefas onde as

taxas eram equivalentes, a relação de dobro (Δq’=2Δq e Δt’=2Δt) foi identificada

com mais freqüência, N=70. Nessas tarefa, pouco se estimou, através de

desigualdades, as relações entre as taxas, N=3. Um explicação para esse fato seria a

facilidade com a qual a relação de dobro é reconhecida pelos alunos. A tabela p

resume a distribuição das estratégias pelos grupos de tarefas classificados pela ordem

de apresentação das taxas - crescente, decrescente ou constante.

Tabela P - Distribuição das estratégias, pela ordem de apresentação das taxas

Ordem de apresentação das taxas Estratégia Crescente Constante Decrescente Total Porc. [%] Δq’s ou Δt’s 7 4 4 15 3,62

Desig. 42 3 41 86 20,77 Aditiva 3 0 4 7 1,69 Δq/Δt 79 70 74 223 53,86 Δt/Δq 5 4 6 15 3,62

Nenhuma 1 1 0 2 0,48 Não realizou 25 8 33 66 15,94

414 100,00

Com relação ao tipo do fenômeno descrito, o deslocamento do caminhão foi o

que mais sugeriu sua utilização, N=64. A tabela q resume a distribuição das

estratégias pelos conteúdos. Isso pode estar relacionado com o fato de que o cálculo,

ou mesmo a expressão oral, da intensidade de velocidades ocorre com freqüência na

atividade diária das crianças, seja analisando as transmissão e os comentários a

respeito de uma corrida de Fórmula 1 etc.

análise

128

Tabela Q - Distribuição das estratégias, pelo tipo de fenômeno representado

Tipo do fenômeno Estratégias Planta Vaso Caminhão Mar Balanço Total Porc. [%] Δq’s ou Δt’s 2 3 1 5 4 15 3,62

Desig. 30 16 11 10 19 86 20,77 Aditiva 0 7 0 0 0 7 1,69 Δq/Δt 37 38 64 33 51 223 53,86 Δt/Δq 5 6 0 1 3 15 3,62

Nenhuma 0 0 0 0 2 2 0,48 Não

realizou 16 20 14 5 11 66 15,94

414 100,00

A escolha da relação entre as quantidades pode determinar se o aluno irá

acertar ou errar na comparação entre as taxas. Os alunos que identificam a relação

Δq/Δt acertam com mais freqüência, N=216. O contrário acontece quando a sua

concepção da relação entre as variações é do tipo aditiva. Todas as vezes que essa

estratégia foi usada o aluno errou na comparação das taxas, N=7 (tabela r). Todas as

vezes que ocorreu o uso dessa estratégia foi em tarefas nas quais o padrão numérico

poderia sugerir uma relação do tipo aditiva. As tarefas nas quais isso ocorreu foram

as do enchimento de vasos, mais especificamente, vaso com ordem decrescente

(encheu 6 cm em 4 min, e 7 cm em 5 min) e na tarefa vaso com duas ordens (o

primeiro: encheu 3 cm em 4 min, e 4 cm em 5 min; o segundo: 6 cm em 4 min, e 7

cm em 5 min). Todos esses padrões parecem sugerir a idéia de que a altura está

variando de 1 cm a cada minuto (Ver a discussão sobre a estratégia aditiva na seção

os conhecimentos sobre razão e proporção). No entanto, alguns aspectos dos

desenhos podem servir para orientar os aluno a mudarem de estratégia para uma com

a qual as taxas sejam calculadas, como ocorreu no protocolo s, por exemplo. Nesse

caso, são desenhadas plantas que correspondem a cada dia do crescimento e isso

parece ter sugerido ao aluno que o crescimento da mesma ocorreu segundo ‘regras

multiplicativas’.

Concluir sobre relações entre taxa comparando quantidades de mesma

natureza pode levar a erros, tanto quanto pode levar a acertos, N=10 e N=5,

respectivamente. A comparação por estimativa através de desigualdades (Δq>Δq’ e

Δt<Δt’ ou Δq<Δq’ e Δt>Δt’) leva na maioria das vezes a uma solução correta (N=83),

e poucas vezes ao erro (N=3). Em alguns momentos da análise qualitativa, essa

estratégia foi utilizada para confirmar as respostas encontradas através de outros

análise

129

procedimentos (Ver a passagem 15 no protocolo aa). A tabela r resume a distribuição

de erros e acertos para cada estratégia.

Tabela R - Distribuição dos acertos, por estratégia

Estratégias Δq’s ou

Δt’s Desig. Aditiv

a Δq/Δt Δt/Δq Nenhum Não

realiza Tot Porc

[%] Acertou 5 83 0 216 5 0 - 309 74,64 Errou 10 3 7 7 10 2 - 39 8,69

Ñ realiza - - - - - - 66 66 16,67 414 100,00

Na seção seguinte serão apresentadas as principais conclusões do estudo bem

como são enumeradas sugestões didáticas para o ensino do conceito de taxa de

variação.

capítulo 4: conclusões e implicações

didáticas

130

Capítulo 4: Conclusões e implicações didáticas Nesse Capítulo foram resumidas as principais conclusões a respeito da

relação entre as competências dos alunos para estabelecer relações entre quantidades

e as suas competências para representá-las. A seguir são indicadas algumas

implicações para o ensino a partir dos resultados obtidos.

1 Conclusões No presente estudo investigou-se a natureza das competências de

adolescentes de primeiro grau maior e segundo grau para resolver problemas de

comparar taxas de variações que ocorrem em vários tipos de fenômenos. Além disso,

foi observada a maneira como os alunos criam e utilizam sistemas de representações

próprios que servem de auxílio ao tratamento cognitivo de diversos invariantes.

Nas seções anteriores foram apresentados e analisados seis diferentes tipos de

estratégias emitidas pelos alunos ao resolverem problemas envolvendo a comparação

de taxas de variação. Observou-se a forma como os alunos estabelecem relações

entre quantidades físicas e como os mesmos as representam.

A primeira estratégia analisada caracteriza-se pelo fato dos estudantes

compararem as taxas de etapa sucessivas observando apenas valores correspondentes

a quantidades de uma mesma natureza. O aluno realiza comparações observando

apenas as durações dos intervalos de tempo ou as variações das quantidades

‘concretas’ correspondentes. A possibilidade de ocorrerem erros não é nula. A única

situação na qual o aluno poderia acertar usando essa estratégia é quando variações de

uma mesma natureza permanecem constantes nas duas etapas do problema. Caso

contrário, o aluno pode errar sistematicamente.

Ocorreram três diferentes maneiras de relacionar todas as quantidades

descritas na tarefa. A primeira delas ocorre através da atribuição de uma ordem às

desigualdades entre variações de quantidades de mesma natureza. Neste caso, o

aluno estima as relações e compara-as através do uso de códigos relativos como:

“maior que”, “menor que”, “menos”, “mais”, “a mesma coisa” etc., semelhante

àqueles descritos por Spinillo & Bryant (1991). O aluno não calcula as razões. O uso

dessa estratégia permite que o mesmo encontre a relação entre duas taxas com maior


didáticas

131

facilidade quando as desigualdades entre as variações de naturezas diferentes são

opostas. Nesse caso, há duas possibilidades: Δq > Δq’ e Δt < Δt’, ou Δq > Δq’ e Δt <

Δt’. Por exemplo, na expressão: “na segunda etapa a planta cresceu mais em menos

minutos”, o aluno está usando um código relativo e descreve desigualdades opostas.

No caso das desigualdades não serem opostas, o uso do código relativo não

possibilita ao aluno concluir com certeza a respeito da relação entre taxas. Faz-se

necessário que o mesmo utilize uma estratégia mais sofisticada como, por exemplo,

realizando a comparação a partir do cálculo das razões. Foram identificados dois

procedimento de cálculos de taxas. Um deles relacionando as quantidades na forma

Δq/Δt, e o segundo na forma Δt/Δq. No primeiro caso, as comparações entre as taxas

são praticamente todas corretas. No segundo caso, quando o aluno não compara as

taxas na ordem inversa o mesmo pode concluir de forma errada. De modo geral, a

estratégia com as quais ocorrem cálculos das taxas Δq/Δt ou Δt/Δq são mais

sofisticadas que as demais estratégias, pois demonstram que os alunos reconhecem a

relação multiplicativa entre quantidades relacionadas por razão, como as velocidades

e taxas de crescimento. O uso da estratégia de comparar razões do tipo Δq/Δt faz com

que o aluno não dependa do tipo de fenômeno analisado ou dos padrões numéricos

que aparecem nas tarefas como analisado a seguir.

Seqüências numéricas particulares que apareceram no enunciado de algumas

tarefas deram a alguns alunos a falsa idéia de que os fenômenos variam segundo uma

regra aditiva. É característica dessa estratégia a conclusão de que a quantidade

observada ao longo do tempo varia de uma unidade a cada unidade de tempo. O uso

dessa estratégia leva os alunos a cometerem erros sistemáticos.

Houve ainda alunos que tentaram resolver as tarefas sem atribuir relações a

qualquer das variações. Suas justificativas eram baseadas em experiências com

objetos físicos, em condições normais. Nesse caso, o possibilidade de acertar é

pequena.

De acordo com a precisão obtida com o uso de cada uma das estratégias

pode-se criar dois grupos. No primeiro encontram-se as relações entre taxas

sucessivas por meio de estimativa. Nesse foram incluídas as estratégias com as quais

os alunos: comparam taxas observando apenas quantidades de uma mesma natureza;

comparam taxas relacionando os valores de todas as variações por meio de

desigualdades; comparam taxas sem observar as transformações baseando-se apenas


didáticas

132

nas experiências com quantidades físicas. O segundo grupo de estratégias envolve

aquelas com as quais os alunos comparam as taxas de forma absoluta através do

cálculo das razões. Nesse grupo incluem-se aquelas com as quais os alunos

comparam a partir das razões Δq/Δt ou Δt/Δq. A estratégia aditiva não pertence a

nenhum desses grupos, pois sempre leva o aluno a conclusão errada.

Do ponto de vista do desenvolvimento do conceito de taxa de variação,

observou-se que a freqüência do uso da estratégia de realizar o cálculo da razão

Δq/Δt aumenta com a escolaridade. Por outro lado, diminui a freqüência de uso das

estratégias alternativas como: a comparação envolvendo apenas um tipo de

quantidade ou a comparação usando códigos relativos. Isso pode estar relacionada

com o fato dos alunos, ao longo de sua escolarização, resolverem um número cada

vez maior de problemas envolvendo o conceito de razão, num conjunto amplo de

situações, envolvendo um grande número de tipos de quantidades.

Numa mesma tarefa alguns alunos utilizam mais de uma estratégia durante a

resolução do problema. A análise qualitativa mostrou vários momentos nos quais

ocorreram a utilização de diferentes estratégias por um mesmo sujeito. Ocorreram

casos nos quais o aluno partia de uma estratégia estimadora para outras onde

calculava o valor exato das taxas. Em outros, o caminho era inverso. No primeiro

caso, a mudança pode ter ocorrido se a estimativa feita a partir de comparações

relativas não permitisse ao sujeito concluir com certeza sobre a relação entre as duas

taxas. Como foi mostrado acima, quando as relações entre quantidades de mesma

natureza, que compõem as taxas, não são relacionados por desigualdades opostas, as

estimativas nem sempre são suficientes para concluir sobre o problema. Faz-se

necessário o cálculo das razões. No caso seguinte, quando o aluno calcula primeiro

as taxas e depois estima a relação entre ambas, a função das estratégias de estimação

era apenas a de confirmar ou de reforçar o resultado anterior encontrado.

A análise qualitativa dos protocolos mostrou vários exemplos nos quais os

alunos utilizaram seus desenhos para resolver os problemas de comparar taxas. Na

maioria dos casos, observa-se que suas concepções a respeito das relações entre as

quantidades descritas nas tarefas refletem na forma como sua representação é

desenvolvida e utilizada. Em outros, a forma dos desenhos parecem sugerir o tipo de

relação focalizada. Segundo Meira (1991a, 1991b, 1993, 1995) a representação é um

processo dialético no qual, na medida em que os veículos simbólicos são moldados


didáticas

133

pela atividades que lhes dão origem, eles também são responsáveis por

transformações ocorridas nessa mesma atividade. Em alguns exemplos vimos como

aspectos dos desenhos produzidos pelos alunos fazem-los mudar de estratégia

durante a resolução de problemas. Mudanças como essa ocorreram mediante a

utilização de qualquer dos modelos de desenhos identificados.

Há três tipos básicos de desenhos criados pelos alunos. Foram analisados os

aspectos construtivos de seus desenhos os quais poderiam transformá-los em

instrumentos práticos à resolução de problemas. Os desenhos do primeiro grupo têm

como características principais a representação de aspectos observáveis dos

fenômenos como objetos fixos e móveis, e a ausência de formas demonstrativas de

que os mesmos foram criados a partir da observação de regras formais. Devido a

isso, desenhos desse tipo são criados para representar apenas um tipo de fenômeno.

Outra categoria de desenhos inclui o que se chamou de analogia. Nesses

casos, os alunos desenham formas diferentes daquelas descritas na tarefa. Suas

produções ainda não são consideradas gráficos cartesianos, pois não demonstram

terem sido criados a partir da execução da regras formais da construção. A

característica fundamental da representação com esse tipo de desenho está na

possibilidade de representar diferentes fenômenos com o mesmo tipo de organização

no papel. Um momento provável para a criação de desenhos desse tipo acontece

quando o sujeito termina de resolver uma série de tarefas com um tipo de fenômeno e

passa para resolver tarefas sobre outro fenômeno.

O terceiro tipo de desenho usado pelos alunos foi aquele onde aspectos de um

gráfico podem ser identificados, como: eixos, projeções, curvas. Os alunos que

utilizam gráficos para representar os fenômenos também não restringem a aplicação

dos mesmos para um tipo de fenômeno. No entanto, sua construção depende de uma

instrução formal que ocorre na escola. Todas as representações classificadas como

gráficos foram desenhadas por aluno da primeira série do segundo grau. Nessa série,

os alunos já foram formalmente ensinados com relação à construção de gráficos. No

entanto, esse total é pequeno em comparação com o número total de produções

realizadas durante as entrevistas, correspondendo a 7,25% do total. A análise

qualitativa demonstra, no entanto, que suas representações apresentam pequenas

incoerências, se comparadas ao gráfico formalmente desenhado.


didáticas

134

Há modelos de desenhos mais freqüentes para determinados tipos de

fenômenos. Os desenhos do primeiro tipos, onde os alunos mostram objetos foram

mais freqüentes para representar os fenômenos do crescimento de plantas e do

enchimento de vasos. Uma explicação para isso pode ser o fato de haver

coincidências entre as formas dos desenhos das plantas, nos quais aparecem objetos,

e aspectos dos fatos circunstanciais subjacentes. O desenhos de gráficos foi mais

freqüente nas representações do fenômeno do deslocamento do caminhão.

Provavelmente, por ser um fenômeno apresentado com freqüência através de

gráficos, nas aulas de física da primeira série do segundo grau.

Durante o processo de representação, os desenhos dos alunos poderiam

apresentar alguns aspectos que servissem para ajudá-lo a resolver o problema de

comparar as taxas descritas nas tarefas. Um recurso gráfico usado pelos alunos foi

representar as variações descritas nas tarefas desenhando-as de formas diferentes, de

modo a destacar a diferença de suas intensidades. As organizações de seus desenhos

também podem ajudá-los a resolver problemas de comparação. Com relação a esse

aspecto, os dados mostram que, quanto maior a escolaridade, menor foi cuidado ao

destacar diferenças entre taxas consecutivas nos desenhos. Há um decréscimo do

número de representações nas quais a diferenciação entre taxas ocorre, ao mesmo

tempo, o número de desenho sem diferenciação aumenta, ambos com relação a

escolaridade. Uma explicação para isso pode estar no fato de que o problema de

comparar taxas torna-se mais simples para os alunos, à medida que sua escolaridade

aumenta. Alunos de 5ª série erram mais do que alunos de 7ª. Enquanto alunos de 7ª

série erram mais que alunos de 1º ano.

Em alguns desenhos aparecem escalas e réguas que lembram os

procedimentos de medidas realizados com objetos do tipo descritos nas tarefas. Esse

recurso foi sugestivo para a implementação de uma representação gráfica bem

coordenada por uma aluna de 7ª série (Ver a descrição do processo de representação

e a evolução das representações mostrada da figura o até figura r, discutida do

protocolo e até o protocolo g).

A natureza do fenômeno representado influenciou na produção da maioria

dos desenhos produzidos. Pode-se especular que haja fenômenos mais favoráveis à

introdução das notações gráficas que outros. Provavelmente, o movimento de carros

não parece ser adequado a essa introdução pelo fato de não haver muitas


didáticas

135

equivalências entre aspectos geométricos dos desenhos e aspectos físicos nas

situações subjacentes. Esses, assim como outros, seriam melhor introduzidos em

momentos posteriores a iniciação dos alunos com a utilização desses sistemas

gráficos. Ao contrário, os fenômenos do crescimento de plantas e do enchimento de

vasos parecem ser mais adequados à introdução da discussão sobre representações

gráficas do que o deslocamento de caminhões, por exemplo.

É importante observar, assim como afirmaram diSessa, Hammer, Sherin &

Kolpakowski (1991), que durante o processo de representação o estudante deveria ter

controle do processo sendo secundária a forma de seus desenhos. Esse controle do

processo, um tipo de meta-conhecimento sobre o mesmo, desloca o centro da análise

dos tipos de desenhos para a função que os processos de criar, atribuir significado e

utilizar desenhos e diagramas tem sobre a atividade matemática dos alunos. O fato de

desenhos de todos os tipos analisados poderem ser usados de formas parecidas nos

processos de comparação entre taxas, permite-nos reforçar a conclusão de que o

conhecimento sobre o processo de representar, ou seja, de criar formas atribuindo-

lhes significado, é muito mais importante, do ponto de vista da aprendizagem, do que

o conhecimento das regras formais de sistemas simbólicos como o cartesiano. Essa

conclusão permite-nos sugerir que ocorram práticas nas quais sejam utilizados

sistemas gráficos criados pelos alunos, em detrimento do uso exclusivo do sistema

gráfico cartesiano. Em primeiro lugar porque a interpretação de gráficos, pelo fato de

envolver processos complicados de leitura e ligações desses com aspectos

circunstanciais dos fenômenos, é um processo problemático (Janvier, 1978; Clement,

1985; Nemirovsky & Rubin, 1992). Por outro lado, os desenhos criados pelos alunos

ao resolver problemas específicos parecem destacar aspectos específicos envolvidos

com o problema para o qual o mesmo é criado. Portanto, como demonstra nossa

análise, o mais importante é fazer com que os alunos criem sistemas de representação

coerentes, do ponto de vista da recriação das relações entre as quantidades descritas

com o fenômeno. Esses desenhos devem possuir recursos geométricos mínimos

como: a manutenção de comprimentos de suas partes de forma uniforme, ou o uso de

escalas métricas que associam às dimensões de seus desenhos a capacidade de

servirem como padrões de medidas. Nesse caso, toda a sofisticação dos gráficos

cartesianos parece dispensável numa primeira abordagem didática sobre o processo

de representação por meio de sistemas gráficos.


didáticas

136

2 Implicações São sugeridas algumas implicações dos resultados desse estudo à prática

pedagógica na área da Educação Matemática, particularmente relacionada ao ensino

de conceitos cujos invariantes estejam relacionados ao de taxa de variação. A seguir

encontram-se algumas sugestões para o ensino.

♦ TRABALHAR REPRESENTAÇÕES QUALITATIVAS E ESPONTÂNEAS

Em fases iniciais do ensino de gráficos é adequado trabalhar representações

qualitativas. As situações apresentadas pelo professor deveriam descrever

quantidades qualitativamente como no estudo de Gomes (1994a). O objetivo desse

procedimento é permitir que se promovam situações propícias ao desenvolvimento

de um sistema coerente de representações gráficas, partindo de uma lógica conhecida

por cada aluno em direção aos sistemas formais adotados. Por outro lado, é

importante que as atividades propostas tenham características que incentivem ou

mesmo tornem necessário o uso dos desenhos criados pelos alunos na resolução de

problemas. Como vimos na análise dos modelos básicos de desenhos, os sistemas

eram dotados de um número maior de ‘regras de funcionamento’ quando a

quantidade de informações a serem expressas era maior, como ocorre nas tarefas do

tipo Tabela. Outras perguntas que podem exigir do aluno a análise de suas

representações são por exemplo perguntas sobre a integral de quantidades ou sobre

tendências localizadas de variações - derivada.

♦ USO COMPARTILHADO DAS REPRESENTAÇÕES

Ao longo das atividades é importante fazer com que as características

positivas e negativas de cada modelo sejam analisadas. Isso pode ocorrer através do

confronto entre o que as suas representações já podem comunicar e aquilo que elas

ainda não podem comunicar. O papel do professor é o de criar situações de conflito

onde haja a necessidade dos alunos criarem sistemas simbólicos cada vez mais

estruturados e sistemáticos, mantendo, contudo, o significado com relação às

quantidades que representa. O professor deve estar sempre exigindo do aluno algo

que esteja um pouco além do limite de seus desenhos para permitir que, durante as

atividades, ele perceba que os seus modelos ainda são insuficientes para resolver os

problemas propostos, e então, sinta a necessidade de criar novas organizações. Essas

duas sugestões têm como objetivo principal promover a possibilidade do


didáticas

137

desenvolvimento de um meta-conhecimento sobre o processo de representar

quantidades.

♦ DAR MAIS ÊNFASE AOS INVARIANTES E À FORMA COMO OCORRE O

TRATAMENTO DOS MESMOS ATRAVÉS DE SISTEMAS SIMBÓLICOS

É dialética a relação entre invariantes e sistemas simbólicos. Por um lado,

vimos que diferentes tipos de desenhos podem ser usados para representar. Isso é o

oposto do que ocorre na escola, que tende a ensinar aos alunos como desenhar

gráficos ou mesmo interpretá-los. Portanto, a forma do sistema simbólico adotado

não é o fator mais importante. A ênfase maior deve ser dada ao tratamento dos

invariantes, e a forma dos sistemas simbólicos deve ser tratada de forma secundária.

A introdução de um sistemas simbólico formal, por sua vez, deveria acontecer após o

invariante do conceito já ter sido trabalhado mediante a utilização de diferentes

formas simbólicas.

♦ PASSAGEM DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO

A maioria dos desenhos produzidos pelos alunos são do tipo discreto, pois

representam apenas alguns momentos dos fenômenos. Nesse caso, uma quantidade

maior de aspectos geométricos poderiam ser relacionados com fatos circunstanciais,

na explicação de Janvier (1978), criando a possibilidade de um maior entendimento

sobre os fenômenos e sobre o processo de utilização de gráficos. Além disso, a

passagem para modelos contínuos permitirá ao aluno usar suas produções para tratar

uma quantidade maior de invariantes ou resolver problemas envolvendo aspectos

básicos de integração e derivação de quantidades.

O desenvolvimento de um determinado conceito ocorre durante um longo

período de tempo à medida que as crianças se deparam com novos problemas.

Durante os vários momentos desse processo, as representações utilizadas também

devem ser diversas. Da mesma forma como as concepções erradas dos alunos só

podem mudar verdadeiramente se entrarem em conflito com situações que elas não

permitem tratar, seus desenhos também podem evoluir quando entram em conflito

em situações onde são inadequados ou insuficientes. Por esse motivo, o uso de

desenhos particulares dos alunos na resolução de problemas parece ser um

procedimento adequado do ponto de vista da aprendizagem, pois preserva as

concepções dos estudantes a respeito das relações sobre quantidades.

bibliografia

138

Bibliografia Bamberger, J., A. (1990). As Estruturações cognitivas da Apreensão e da Notação de

Ritmos Simples. Em A Produção de Notações na Criança. Org. Hermine Sinclair. São Paulo: Cortez Editora.

Bell, A. & Onslow, B. (1987). Development of the understanding of rates (intensive quantities). Proceedings of the Eleventh International Conference for the Psychology of Mathematical Education.

Bigode, A. J. L. (1994). Matemática Atual. 6ª série. São Paulo: Atual.

Bongiovanni, V., Vissoto, O. R. & Laureano, J. L. T. (1993). Matemática e Vida. São Paulo: Ática.

Bruner, J. S. (1966). Toward a Theory of Instruction, Cambridge, MA.

Carraher, D. W. (1992a). Building Rational Concepts Upon Student’s Prior Understanding. Paper presented at ICME-7, Quebec, August, 1992.

Carraher, D. W. (1992b). Lines of Thought: Rational Numbers Concepts Through Operations on Ratios of Quantities. Manuscrito do Mestrado em Psicologia - UFPE, Recife.

Carraher, T. N. (1986). Rated addition: A correct additive solution for proportions problems. Proceedings of the Tenth International Conference for the Psychology of Mathematical Education.

Carraher, T. N. (1989). O Método Clínico: Usando os Exames de Piaget, São Paulo: Cortez Editora.

Carraher, T. N., Carraher, D. W. & Schliemann, A. D.(1991). Matemática escrita versus matemática oral. Em Na Vida Dez, na Escola Zero. São Paulo: Cortez Editora.

Carraher, T. N., Carraher, D. W. & Schliemann, A. D.(1991). Na Vida Dez, na Escola Zero. São Paulo: Cortez Editora.

Carraher, T. N., Carraher, D. W., Schliemann, A. D. & Ruiz, E. R. L. (1986). Proporcionalidade na educação científica e matemática: quantidades medidas por razões. Revista brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, V. 67, N. 155, pp 93-107.

Carraher, T. N., Schliemann, A. D., & Carraher, D. W. (1986). Proporcionalidade na educação científica e matemática: uma análise de tarefas piagetianas. Revista brasileira de Estudos Pedagógicos, Brasília, V. 67, N. 156, pp 367-79.

bibliografia

139

Clement, J. (1985). Misconceptions in Graphing. Proceedings of the Ninth International Conference for the Psychology of Mathematical Education, The Netherlands: State University of Utrecht.

Cuoco, A. [ca. 1990]. Action to Process: Constructing Functions to Solve Algebra Word Problems.

D’Augutine, C. H. (1971). Métodos modernos para o ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Ao livro Técnico.

Dias, P. M. C. (1992). A Teoria da Velocidade Média: Um antecedente Medieval da Física de Galileu, Perspicullum, 6 (1), pp 9 - 24.

diSessa, A., Hammer, D., Sherin, B. & Kolpakowski, T. (1991) Inventing Graphing: Meta-Representational Expertise in Children, Journal of Mathematical Behavior, v. 10, pp 117-160.

Dreyfus, T. (1991). On the Status of Visual Reasoning in Mathematics and Mathematics Education. Proceedings of the Fifteenth International Conference for the Psychology of Mathematical Education, Assis, Itália - Junho/Julho.

Duval, R. (1992). Sémiosis et Noésis. Conferência proferida à A.P.M.E.P. I.R.E.M.. Paris.

Eco, H. (1991). A Estrutura Ausente. São Paulo: Editora Perspectiva.

Flavell, J. H. (1992). A Psicologia do Desenvolvimento de Jean Piaget, São Paulo: Livraria Pioneira Editora.

Frey-Streiff, M. (1990). A Notação de Melodias Extraídas de Canções Populares. Em A Produção de Notações na Criança. Org. Hermine Sinclair. São Paulo: Cortez Editora.

Galilei, G. (1954). Dialogues concerning two new sciences. Traduzido por Henry Crew e Alfonso de Salvio. New York: Dover Publications.

Goldenberg, E. P. & Dubinsky, E. (1987). Believing is Seeing: How Preconceptions Influence The Perception of Graph. Proceedings of the XI International Conference for the Psychology of Mathematical Education, v. I, pp. 197 - 203, Montreal, Julho 19-25.

Goldenberg. E. P. (1988). Mathematica, Metaphors, and Human Factors: Mathematical, Technical, and Pedagogical Challenges in the Educational Use of Graphical Representation of Function. Journal of Mathematical Behavior, 7, pp 135-173.

bibliografia

140

Gomes, A. S. (1994a). O papel da representação na formação do conceito de taxa de variação. Resumo publicado nos Anais do II Congresso Ibero-Americano de Educação Matemática (II CIBEM). Blumenau. Julho-1994. pp. 182.

Gomes, A. S. (1994b). Um sistema de controle e monitoração em tempo real para instrução de conceitos matemáticos. Trabalho apresentado no II Congresso Ibero-Americano de Informática na Educação ( II CIIE). Lisboa. Outubro-1994.

Gomes, A. S. (1995a). Propostas de atividades para o ensino do conceito de fração usando planilhas eletrônicas. Trabalho apresentado no III Encontro Pernambucano de Educação Matemática (III EPEM). Recife. Janeiro-1995.

Gomes, A. S. (1995b). Real-time control system to Mathematical instruction. Anais do The Twelfth International Conference on Technology and Education. Orlando. v. 1, pp 84-6. De 28 de fevereiro a 3 de março de 1995.

Gomes, A. S. (1995c). Como utilizar planilha eletrônica na metodologia do ensino de função. Trabalho submetido ao V ENEM, Aracaju. Julho de 1995.

Hart, K. M. (1984). Ratio: Children’s Strategies and Errors - A Report of the Stratgies and Errors in Secondary Mathematics Project, Windsor: NFER-Nelson.

Hart, K. M. (1987). Practical Work and Formalisation, too great gap, Trabalho publicado nos Proceedings of the Eleventh International Conference Psychology of Mathematics Education PME-XI, 2, 408-415.

Hatano, G. (1993). Learning arithmetic with an abacus. Em T. Nunes & P. Bryant (Eds.). How do childrens learn mathmatics? (Prelo). Falmer (UK): Lawrence Erlbaum.

Janvier, C. (1978). The Representation of Conceptual Frameworks in Young Adolescent Science Students. Tese de doutoramento, University of Nottingham.

Kamii, C. (1994). A criança e o número: Implicações educacionais da teoria de Piaget para a atuação junto a escolares de 4 a 6 anos. Tradução de Regina A. Santos. Campinas: Papirus Editora.

Kerslake, D. (1981). Graphs. Children’s Understanding of MATHEMATICS: 11~16. Cap. 9, pp. 120 - 136, Ed. by K. M. Hart (Org.), Londres: John Murray .

Leontiev, A. (1947/1981). Problems of the development of the mind. Moscow: Progress Publishers.

bibliografia

141

Limas, B. B. (1991). Comparação de razões e quantidades intensivas. Dissertação de mestrado não publicada. Universidade Federal de Pernambuco.

Lovett, S. B. & Singer, J. A. (1991). The development of children’s under probability perceptual and quantitative conceptions, Apresentado no Bienal Meeting of the Society for Research in Child Development, Seatle: WA, Abril, 1991.

Marton, F. & Neumann, D. (1990). Constructivism, Phenomenology, and the origin of arithmetic skills. Em L. P. Steffe & T. Wood (Eds.) Transforming young children’s mathematics education. International perspectives. Hilldale, NJ: Lawrence Erlbaum, pp 62-75.

Mayer, R. E. (1981). Cognição e aprendizagem humana. São Paulo: Cultrix.

Meira, L. (1991a). On the Transparency of Material Displays: The Case of Learning Linear Functions. Artigo apresentado no Encontro Anual da American Educational Research Association (AERA): Chicago, IL, EUA.

Meira, L. (1991b). Explorations of mathematical sense-making: An activity-oriented view of children’s use and design of material displays. Tese de doutoramento, University of California at Berkeley.

Meira, L. (1993). O aprendizado e o ensino do conceito de Função. Em: A. D. Schilemann; D. W. Carraher; A. G. Spinillo; L. L. Meira & J. T. R. Falcão Estudos em psicologia da educação matemática. Recife: Editora Universitária da UFPE.

Meira, L. (1995). The Microevolution of Mathematical Representations in Children’s Activity. Cognition and instruction, 13 (2), 269-313.

Meira, L. (In press). Making Sense of Instructional Devices: The Emergence of Transparency in Mathematical Activity. Journal of Mathematical Behavior.

Nemirovsky, R. & Rubin, A. (1991). It makes sense if you think about how the graphs work. But in reality... . Proceedings of the XV International Conference for the Psychology of Mathematical Education, The Netherlands: State University of Utrecht.

Nemirovsky, R. & Rubin, A. (1991). It makes sense if you think about how the graphs work. But in reality... . Hands On, v. 14, N. 1, Fall 1991.

Nemirovsky, R. & Rubin, A. (1992). Students’ Tendency to Assume Resemblances Between a Function and its Derivative. TERC Working Papers, Massachusetts: TERC.

Nemirovsky, R., Tierney, C. & Ogonowski, M. (1993). Children, Additive Change, and Calculus. TERC Working Papers, Massachusetts: TERC.

bibliografia

142

Neto, F. R. (1995) Duas ou três coisas sobre o “menos vezes menos dá mais”. Trabalho apresentado na Semana de Estudos em Psicologia da Educação Matemática, UFPE, Recife.

Newton, S. I. (1964). The mathematical works of Issac Newton. New York: Johnson Reprint corporation.

Newton, S. I. (1974). Sir Issac Newton’s Mathematical Principles of natural philosophy and his system of the world. Traduzido por Andrew Motte. Berkeley: University of California Press.

Nunes, T. (1994). O papel da representação na resolução de problemas. Dynamis, V. 1, n. 7, pp. 19-27, Blumenau.

Nunes, T., Schliemann, A. D. & Carraher, D. W. (1993). Street Mathematics and School Mathematics, New York: Cambridge University Press.

Nussenzveig, H. M. (1987). Curso de Física Básica, V 1, São Paulo, Edgard Blücher.

Ohlsson, S. (1988). Mathematical Meaning and Applicational Meaning in the Semantics of Fractions and Related Concepts, Em Number Concepts and Operations in the Middle Grade, Edited by James Hiebert & Merlyn Behr (pp. 53-92), LEA, Virginia, USA.

Oliveira, V. B. (1992) O Símbolo e o Brinquedo: A Representação da Vida, Petrópolis: Editora Vozes.

Papert, S. (1980). Mindstorms - Children, Computers, and Powerful Ideas. New York: Basic Books.

Parrat-Daysan, S. (1982). De la fraction (moitié) sur l’objet a la fraction (moitié) rationnelle. Reveu Suisse de Psychologie Pure et Appliquée, 41, 139-153.

Parrat-Daysan, S. (1985). A-propos de la notion de moitié: Role du contexte experimental. Archives de PsychologieI, 53, 433-438.

Piaget, J. & Inhelder, B. (1989). A Psicologia da Criança, Rio de Janeiro: Editora Bertrand Brasil S.A.

Piaget, J. & Szeminska, A. (1981). A Gênese da Número na Criança. Rio de Janeiro: Zahat Editores.

Piaget, J. (1970). The child’s conception of moviment and speed. Londres: Routledge and Hegan Paul.

Piaget, J. (1983). Problemas de psicologia genética. Lisboa: Dom Quixote.

bibliografia

143

Piaget, J. (1972). Intellectual Evolution from Adolescence to Adulthood, Human Development, V. 15, pp. 1-12.

Piaget, J., Grize, J., Szeminska, A. & Bang, v. (1968). Epistemology and Psycology of Functions. Dordercht, Holland: Reidel Publishing Co.

Pierce, C. S. (198-). O Ícone, o indicador e o Símbolo, São Paulo: Cultrix.

Resnick, R. & Halliday, D. (1983). Física. V 1. Rio de Janeiro: Ao livro Técnico.

Salomon, D. V. (1993). Como fazer uma monografia. São Paulo: Martins Fontes.

Saxe, J. (1991). Culture and Cognitive Development: Studies in Mathematical Undertanding, New Jersey: LEA.

Schliemann, A.D., Santos, C.M. & Costa, S.C. (1992). Da Compreensão do Sistema Decimal à Construção de Algorítimos, Em E. S. Alencar (Org.), Novas Contribuições da Psicologia aos Processos de Ensino e Aprendizagem, São Paulo: Cortes Editora.

Schwartz, J. L. (1988). Intensive Quantity and Referent Transforming Arithmetic Operations, Em James Hiebert & Merlyn Behr (Eds.) Number Concepts and Operations in the Middle Grade), Virginia, LEA, pp 41 - 52.

Seerge, R. J. (1966). Galileo Galilei, his life and his works. Oxford: Pergamon Press.

Simmons, G. F. (1987). Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw Hill.

Sinclair, A. (1990). A Notação Numérica na Criança. Em A Produção de Notações na Criança. (Org.) Hermine Sinclair. São Paulo: Cortez.

Singer, J. A., Kohn, A. S., Resnick, L. B. (Prelo) Knowing about proportions in different contexts, Para aparecer em T. Nunes & P. Bryant (Eds.), How do children learn mathematics?

Spinillo, A. G. & Bryant, P. (1991). Children’s Proportional Judgments: The Importance of “Half”, Child Development, 62, 427-440.

Spinillo, A. G. (1992). A importância do referencial de “metade” e o desenvolvimento do conceito de proporção. Psicologia: Teoria e Pesquisa, 8 (3), 305 - 317

Spinillo, A. G. (1993). Proporção nas séries iniciais do primeiro grau. Em A. D. Schilemann; D. W. Carraher; A. G. Spinillo; L. L. Meira & J. T. R. Falcão, Estudos em psicologia da educação matemática. Recife: Editora Universitária da UFPE.

bibliografia

144

Spinillo, A. G. (1994). O conhecimento matemático de crianças antes do ensino da matemática na escola. Educação Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), 2 (3), 41-50.

Tierney, C. C. & Nemirovsky, R. (1991). Children’s Spontaneous Representations of Changing Situations. Hands On, Fall 1991, Massachusetts: TERC.

Tierney, C. C., Weinberg, A. S. & Nemirovsky, R. (1992). Telling Stories About Plant Growth: Fourth Grade Students interpret Graph. Proceedings of the XVI International Conference for the Psychology of Mathematical Education, v. III, pp. 3-66 - 3-73, Durlan: University of New Hampshire, NH (USA), Julho 19-25.

Tierney, C. C. & Nemirovsky, R. (1991). Children’s Spontaneous Representations of Changing Situations. Hands On, Fall 1991, Massachusetts: TERC.

Trowbridge, D. E. & McDermott, L. C. (1980). “Investigation of student understanding of the concept of velocity in one dimension”. American Journal of Physics, 48 (12), 1020-28.

Trowbridge, D. E. & McDermott, L. C. (1981). “Investigation of student understanding of the concept of acceleration in one dimension”. American Journal of Physics, 49 (3), 242-53.

Vergnaud, G. (1982). A Classification of cognitive task and operations of thought involved in addition and subtraction problems. Em T. P. Carpenter, J. M. Moser, & T. A. Romberg (Eds.), Addition and subtraction: A cognitive perspective. Hillsdale, NJ: Laurence Erlbaum. 39-59.

Vergnaud, G. (1983). Multilplicative Structures, Em: R. Lesh & M. Landau (Eds.) Acquisition of mathematics concepts and processes. New York: Academic Press, 127-174.

Vergnaud, G. (1984). Didactics as a content-oriented approach to research on the learning of physics, mathematics and natural language. Conferência apresentada durante AERA, Newlle Orleans, Abril-1984.

Vergnaud, G. (1985). Concepts et schèmes dans une théorie opératoire de la représentation. Psychologie Française, 38-3/4, 245-252.

Vergnaud, G. (1990). Catégories logiques et invariantes opératoires. Archives de Psychologie, 58, 145-149.

Vergnaud, G. (1991). El ninõ, las matemáticas y la realidad - Problemas de la ensenãnza de las matemáticas en la escuela primaria. México: Trillas.

bibliografia

145

Vergnaud, G. (1992), The Theory of Conceptual Fields. Trabalho apresentado ICME VII, Quebec, Agosto de 1992.

Vygotsky, L. S. (1991). A Formação Social da Mente. São Paulo: Martins Fontes.

Vygotsky. L. S. (1978). Mind in society: The development of higher psycological processes. Cambridge, Massachusetts: Harvard.

Wertsch, J. V. (1985). Vygotsky and the social formation of mind. USA: Harvard University Press.

anexo i - a definição matemática do conceito

de taxa e afins

146

Anexo I - A definição matemática do conceito de taxa e afins

A derivada é uma razão entre a variação de um atributo mensurável20 de um

objeto e um segundo atributo, também mensurável, do mesmo objeto ou de outro, ou

em relação ao tempo. Esta descrição pode ser qualitativa ou quantitativa dependendo

do tipo de representação que se utilize. Se a derivada é calculada aritmeticamente,

como veremos adiante, a descrição tem um caráter quantitativo. Se, por outro lado,

descrevemos a derivada através de um gráfico, temos uma análise qualitativa.

Para introduzir o conceito, vejamos o exemplo: tomando-se um recipiente

vazio a ser preenchido com líquido; seja um fenômeno de enchimento de um

recipiente por um líquido e seja a altura da coluna desse líquido o atributo que está

sendo observado e queremos saber de que maneira este atributo varia à medida que o

tempo passa; em outros termos, queremos analisar a “derivada da altura da coluna de

líquido em relação ao tempo”. A variação de um atributo de um objeto pode ser

representada por um conjunto de valores numéricos que estejam em correspondência

termo-a-termo21 com os valores de um outro conjunto de números, representando o

segundo atributo ou as instâncias de tempo. Uma representação deste tipo é chamada

de biunívoca. Este tipo de estrutura de dados biunívoca pode ser representado

matematicamente por um conceito conhecido por função.

1 Um pouco da história do conceito Os gregos da época clássica encontravam dificuldades intransponíveis na

análise do movimento. Essas dificuldades estavam relacionadas com a formulação

dos conceitos básicos do cálculo infinitesimal (limite, taxa de variação, derivada e

integral), que nasceram precisamente da análise do problema do movimento.

No século V a.c., Zenon de Eléia formulou quatro célebres paradoxos, um dos

quais, “Aquiles e a tartaruga”, está diretamente relacionado com este problema:

“Aquiles aposta uma corrida com uma tartaruga, e é 10 vezes mais veloz que ela. A

20 Mensuráveis são atributos aos quais estados ou quantidades diferentes podem ser representados por números representativos desse estado ou quantidade. Por exemplo: temperatura, altura, pressão, massa etc. A atributos não mensuráveis não pode-se atribuir um número. Por exemplo: cor, sabor, cheiro etc. 21 Esta forma de organizar pares de valores é analisada em Piaget (1964).


de taxa e afins

147

tartaruga parte antes dele, de modo que está a uma distância d quando Aquiles parte.

Quando Aquiles atinge a distância de d, a tartaruga já terá percorrido uma distância

adicional d/10, e continuará à frente de Aquiles. Quando Aquiles tiver percorrido

d/10, a tartaruga terá percorrido d/100, e assim por diante.” A conclusão do paradoxo

é que Aquiles nunca conseguirá alcançar a tartaruga.

A dificuldade básica dos gregos estava em entender que a soma de uma série

infinita de intervalos de tempo que tendem a zero rapidamente (em progressão

geométrica) pode ser finita. Esse problema ainda iria existir por muitos séculos.

Durante o período de cerca de 1328 até 1350, nomes como Thomas

Bradwradine, William Heytesbury, Richard Swineshead e John Dumbleton,

trabalharam no desenvolvimento da cinemática (Dias, 1992). Estes nomes estão

associadas ao Colégio de Merton, Oxford.

Para tratar o problema da Cinemática de modo quantitativo, os Mertonianos

atribuíram uma intensidade e uma extensão a uma qualidade. Alguns exemplos da

diferença entre os fatores intensivos e extensivos, no tratamento de qualidades, são as

distinções entre intensidade do calor (temperatura) e quantidade de calor; entre peso

específico (densidade) e peso total.

O desenvolvimento da Cinemática Mertoniana foi possível a partir do

entendimento da velocidade (instantânea) como intensidade do movimento. Esta

intensidade, integrada ao longo do tempo resultaria na quantidade total de espaço

percorrido.

Numa citação de Bradwardine, em (Dias, 1992, p. 13), ele afirma: ‘...pode-se

dizer que agentes podem ser proporcionais às suas resistências qualitativamente,

isto é, em seu poder de agir. De tal proporcionalidade aparece igualdade de

movimentos qualitativamente, isto é, em rapidez e vagarosidade. Ou [...]

quantitativamente, isto é, com respeito à sua ação por toda parte da total quantidade

de suas resistências. E, de tal proporcionalidade, segue-se, de modo similar, a

igualdade de velocidades quantitativas. Por isso entende-se [igualdade] com

respeito à distância e brevidade do tempo de movimento.’

Nas representações, a intensidade (velocidade) era representada na linha

vertical e a extensão (tempo) pelo comprimento da linha horizontal. No entanto, a

identificação da extensão com o tempo nem sempre foi óbvia; sabe-se que Galileu,

durante muitos anos, usou a distância, em lugar do tempo.


de taxa e afins

148

Desde a antiguidade, o homem se preocupa em explicar o movimento dos

corpos celestes. Todos os modelos propostos até o Século XVII afirmavam que as

órbitas dos corpos celestes seriam circulares. Keppler (1571 - 1630), um astrônomo,

baseado em sua observação do planeta Marte e nas observações de Tycho (1546 -

1601), conseguiu agrupar dados suficientes para demonstrar que as órbitas dos

planetas eram elípticas e não circulares como afirmam até então.

Durante o Século XVII, os princípios físicos foram usados para tentar

explicar os movimentos que Keppler tão brilhantemente investigara. Ninguém na

época estava convencido de que as órbitas elípticas correspondiam à realidade, pois

diferiam ligeiramente dos círculos, e alguns cientistas ainda defendiam a teoria dos

movimentos circulares. Mas, elípticas ou circulares, a questão crucial se resumia na

pergunta: por que os planetas se moviam em órbitas fechadas?

Robert Hooke tentou explicar mais a fundo o assunto, mas parece ter sido

incapaz de dar seguimento a suas idéias. Hooke verificou que o sol deveria exercer

alguma forte atração sobre os planetas, embora a precisa expressão matemática da

força lhe tenha escapado. E também escapou a outros contemporâneos, entre outros o

astrônomo Edmoud Halley. O fato de até Halley, um matemático de renome, ter

falhado talvez não surpreendeu, pois a solução da questão exigia a criação de uma

técnica matemática radicalmente nova. Essa necessidade surgiu porque os planetas se

moviam em órbitas elípticas, sua distância em relação ao sol estava continuamente se

alterando, o que fazia com que a mudança da força de atração também acontecesse

de maneira contínua. Era necessário uma matemática que pudesse lidar

especificamente com quantidades mutáveis, e a criação de tal técnica - o Cálculo -

foi uma das realizações de Newton. Em seu livro Philosophiae Naturalis Principia

Mathematica, usualmente conhecido como Principia, Newton tinha resolvido um

problema astronômico de 2000 anos - o movimento dos planetas no espaço.

2 A taxa de variação e a derivada Vamos retomar o exemplo do recipiente sendo preenchido de líquido, que foi

dado no início. Suponha que as alturas da coluna de líquido são registradas à medida

que o tempo passa, e as anotações são feitas em uma tabela como mostrado abaixo.

Suponha-se que se deseja saber a velocidade com a qual altura da coluna de líquido

varia no instante de tempo 1 s após o início do preenchimento. Consideremos o


de taxa e afins

149

instante em que iniciamos nossos registros como sendo o instante referencial para a

medida do tempo, ou instante “zero” da experiência. Em uma primeira aproximação,

mede-se a altura a cada intervalo de 1 segundo. Tem-se, ao final de 4 segundos de

observação, a seguinte tabela:

Tempo(s) Altura(cm) 0 0 1 7 2 13 3 18 4 23

Do momento que se começa a medir a altura até o instante de tempo 2

segundos após, a altura da coluna de líquido variou de 13 cm. Mas, este valor não é a

velocidade com que a coluna aumenta no instante de tempo T = 1 s. Estes valores nos

dizem que a altura variou, em média, 6,5 cm/s durante os dois primeiros segundos, e

esse valor corresponde ao taxa de variação medida da altura do líquido nos primeiros

2.0 s.

Refazendo a experiência, tomando-se agora intervalos de tempo menores,

digamos de 0.1 segundos, e apenas entre os instantes 0.8 segundos e 1.2 segundos,

pois deseja-se calcular a velocidade no instante T = 1 s.

Tempo(s) Altura(cm) 0.8 5.7 0.9 6.4 1 7

1.1 7.5 1.2 7.9

Entre os instantes 0.8 e 1.2 segundo, a altura variou a uma taxa média de

(7.9cm - 5.7 cm)/ (1.2 s - 0.8 s) = 5.5 cm/s (a). Entre os instantes 0.9 e 1.1 a altura

variou a uma taxa média de (7.5cm - 6.4 cm)/ (1.1 s - 0.9 s) = 5.5 cm/s (b). Observe-

se que ambos os limites usados para calcular a taxa de variação da altura se

aproximam de um. Calcula-se a taxa de variação da altura, no instantes T = 1 s

quando os instantes tomados são cada vez menores em torno de 1 s. Graficamente,

observa-se que a razão (a) é a definição da tangente do ângulo que a reta que passa

pelos pontos (0,8; 5,7) e (1,2; 7,9) faz com o eixo dos tempos e a razão (b) define a

tangente do ângulo que a reta que passa pelos pontos (0,9; 6,4) e (1,1; 7,5) faz com o

eixo dos tempos.


de taxa e afins

150

Figura II - Várias secantes de um gráfico: apresentação da mesma taxa

O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes:

calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico num ponto dado T = 1 s.

Primeiro, define-se o que é uma tangente. No caso de uma circunferência uma

tangente é uma reta que a intercepta em apenas um ponto, chamado ponto de

tangencial; as retas não tangentes interceptam ou não a circunferência em dois pontos

diferentes. Essa situação sugere a idéia intuitiva de que tangente seja uma curva, ou

uma reta que “toca” a curva num determinado ponto. Ela sugere também a

possibilidade de definir uma tangente a uma curva como uma reta que intercepta a

curva em apenas um ponto.

Sua definição foi usada com sucesso pelos gregos ao tratarem de

circunferências e algumas outras curvas especiais, mas, para curvas em geral, ela é

totalmente insatisfatória. Para entender o porquê, observe a curva mostrada na figura

jj. Ela tem uma tangente perfeitamente aceitável (a reta de baixo), que essa definição

rejeitaria, e uma reta obviamente não tangente (a reta de cima), que seria aceita.

Figura JJ - A diferença entre uma secante e uma tangente numa curva O conceito moderno de tangente originou-se com Fermat, em torno de 1630.

Esse conceito não é apenas um enunciado razoável acerca da natureza geométrica


de taxa e afins

151

das tangentes, mas é também a chave de um processo prático para a construção de

tangentes.

Resumidamente, a idéia é esta: considere uma curva que representa a

expressão y = f(x) e P um ponto fixo sobre essa curva. Considere Q um segundo

ponto próximo de P sobre a curva e desenhe a reta secante PQ. A reta tangente é

agora definida como a posição-limite da secante variável quando Q desliza ao longo

da curva em direção a P (Ver figura kk abaixo).

Figura KK - A diferença de uma secante e uma tangente no gráfico O conceito de derivada de uma função foi introduzido por Newton no inverno

de 1664. O trabalho original onde ele formaliza todo o cálculo nunca foi publicado e

era referido como “October 1666 Tract” . Em uma referência posterior encontramos :

“Newton essentially found the derivative of an algebraic

function f(x) as the limit (o zero→ ) of 1o[f(x o) f(x)]+ − , where in

the working of the process...” (The Mathematical Work of Newton, p.

x)

In the summer and early autumn of that year(1665), away from

books in this childhood haunts in Lincolnshire and with ample time

for unhurried thought, he recast the theoretical basis of his new-found

calculus techniques, rejecting as his foundation the concept of the

indefinitely small, discrete increment in favor of that of that of the

“fluxion” of a variable, a finite instantaneous speed defined with

respect to an independent, conventional dimension of time and on the

geometrical model of the line-segment: in modern language, the

fluxion of the variable x with regard to independent time-variable t is

the “speed” dx/dt. (p. x)


de taxa e afins

152

Soon after, in the autumn of 1665, he was led to restudy the

tangent-problem by Roberval’s method of combining the limit-

motions of a point defined in some convenient coordinate system. (p.

xi)”

A derivada é aplicável em problemas envolvendo variação simultânea.

Para ilustrar esta aplicação vejamos alguns exemplo de fenômenos que

podem ser analisados usando a derivada.

2.1 Um exemplo da aplicação da derivada à Física - O conceito de velocidade

2.1.1 Velocidade Média

A palavra velocidade está relacionada com situações de mudança. Mas uma

mudança só pode ser verificada se um referencial é previamente estabelecido. No

caso de um móvel qualquer, a velocidade expressa a rapidez com a qual varia a

distância que separa o móvel a um referencial inicial. Esta distância pode estar

variando continuamente ou não, por exemplo como a distância de um móvel

representada pelo gráfico da figura ll.

Figura LL - Intervalo onde a taxa está sendo calculada

A velocidade média do móvel entre os instantes t1 e t2, corresponde a uma

velocidade tal que, estando o móvel à distância x(t1) no instante t1, seguindo com

esta velocidade o móvel estaria, no instante t2, na posição x(t2) e esta translação

seria feita a uma velocidade constante. A variação da distância seria graficamente

descrita pelo segmento CB.

A velocidade média é definida por

v xt

x t x tt t

= =−−

ΔΔ

( ) ( )2 1

2 1


de taxa e afins

153

ou seja, é a razão do deslocamento para intervalo de tempo que ele leva para se

produzir (Nussenzveig, 1987). A unidade de velocidade pode ser qualquer uma da

forma [Unidades de comprimento]/[Unidades de tempo], por exemplo:

metro/segundo, milímetro/hora, km/dia etc.

2.1.2 Velocidade Instantânea

Suponha que um móvel que se desloca em linha reta está sendo observado.

Seus deslocamentos são medidos. Observando deslocamentos percorridos pelo móvel

em intervalos Δt arbitrariamente pequenos.

Para Δt = 1,00 s

v x x m s0 11 01 0

5 01 0

5→ =−−

=−−

=( ) ( ) /

v x x m s1 22 12 1

20 52 1

15→ =−−

=−−

=( ) ( ) /

Para Δt = 0,10 s

v x x m s0 9 11 0 91 0 9

5 4 051 0 9

9 5.( ) ( . )

...

. /→ =−−

=−−

=

v x x m s1 1 11 1 11 1 1

6 5 51 1 1

10 5→ =−−

=−−

=.( . ) ( ).

.

.. /

Para Δt = 0,01 s

v x x m s0 99 11 0 991 00 0 99

5 0000 4 90051 00 0 99

9 95.( ) ( . ). .

. .. .

. /→ =−−

=−−

=

v x x m s1 1 011 01 11 01 1 00

5 1005 5 00001 01 1 00

10 05→ =−

−=

−−

=.( . ) ( ). .

. .. .

. /

Velocidade Instantânea é igual ao limite da Velocidade Média quando a

duração do intervalo de tempo entre as medidas tende para zero, Δt → 0.

Matematicamente, usa-se a notação

V =

anexo ii - as tarefas

154

Anexo II - As tarefas

1 Simples PLANTA-CRESCENTE

Os alunos, na aula de ciências, plantaram uma semente de milho com a

finalidade de observar o seu crescimento. As crianças trataram a pequena planta com

muito cuidado. Era fornecida água na quantidade ideal, sua localização permitia

receber luz do sol na quantidade certa e a terra era uma mistura de barro e humo.

Observaram seu crescimento por um período de 10 dias. Nos primeiros 7 dias a

planta cresceu 6 centímetros. Nos 3 dias seguintes, a planta cresceu 5 centímetros.

Você poderia desenhar algo que representasse o que aconteceu com a altura da

planta?

PLANTA-CONSTANTE








planta?

PLANTA-DECRESCENTE








planta?

VASO-CRESCENTE


155

Antônio foi apanhar água para uma experiência na sala de ciências. Era

preciso observar a quantidade exata de água. Ele colocou um vaso de vidro embaixo

de uma torneira e observou como o nível da água variou. Ele usou uma régua e um

relógio para observar essa variação. Antônio observou o vaso enchendo por 9

minutos. Nos primeiros 4 minutos o nível da água subiu 3 centímetros. Passados

mais 5 minutos, Antônio observou que esse nível havia aumentado mais 8

centímetros. Você poderia desenhar algo que representasse a variação do nível de

água no vaso?

VASO-CONSTANTE








água no vaso?

VASO-DECRESCENTE








água no vaso?

CAMINHÃO-CRESCENTE

Um motorista de caminhão fez uma viagem entre duas cidades que durou 3

horas. A distância que separa as duas cidades é de 210 quilômetros. Durante as 2

primeiras horas ele percorreu 130 quilômetros. Durante a hora seguinte, ele percorreu

os outros 80 quilômetros restantes. A estrada estava livre. Você poderia desenhar

algo que representasse a distância percorrida pelo caminhão desde a cidade de

origem?


156

CAMINHÃO-CONSTANTE


horas. A distância que separa as duas cidades é de 165 quilômetros. Durante as

primeiras 4 horas ele percorreu 110 quilômetros. Durante as 2 horas seguintes, ele

percorreu os outros 55 quilômetros restantes. A estrada estava livre. Você poderia

desenhar algo que representasse a distância percorrida pelo caminhão desde a cidade

de origem.

CAMINHÃO-DECRESCENTE


horas. A distância que separa as duas cidades é de 350 quilômetros. Durante as

primeiras 2 horas ele percorreu 200 quilômetros. Durante as 3 horas seguintes, ele

percorreu os outros 150 quilômetros restantes. A estrada estava livre. Você poderia

desenhar algo que representasse a distância percorrida pelo caminhão desde a cidade

de origem?

BALANÇO-CRESCENTE

Um garoto brincava num enorme balanço de um parque de diversões,

enquanto um professor observava o seu movimento. Esse professor anotava a altura

mais alta que o balanço ficava e media o tempo de o mesmo chegar à parte mais

baixa ou mais alta do percurso. Esse balanço podia ser impulsionado pelo garoto. Em

uma das idas e vindas, ele partiu de uma altura de 2 metros e chegou à parte baixa em

5 segundos. Na subida, o balanço atingiu uma altura de 3 metros em 3 segundos.

Você poderia desenhar algo que representasse o movimento desse balanço?

BALANÇO-CONSTANTE








BALANÇO-DECRESCENTE


157








MAR-CRESCENTE

Antônio estava na praia, quieto e observando o mar. Certa hora, ele começou

a contar a quantidade de ondas que quebravam na areia. E além de contar as ondas,

ele começou a medir o tempo em que um conjunto de ondas demorava para

quebrar. Ele observou, na primeira medida, que 40 ondas quebraram na praia num

intervalo de 7 minutos. Logo depois, Antônio contou 32 ondas num intervalo de 4

minutos. Você poderia representar o que ocorreu com as ondas na praia?

MAR-CONSTANTE



ele começou a medir o tempo em que um conjunto de ondas demorava para quebrar.

Ele observou, na primeira medida, que 36 ondas quebraram na praia num intervalo

de 6 minutos. Logo depois, Antônio contou 72 ondas num intervalo de 12 minutos.

Você poderia representar o que ocorreu com as ondas na praia?

MAR-DECRESCENTE



ele começou a medir o tempo em que um conjunto de ondas demorava para quebrar.

Ele observou, na primeira medida, que 36 ondas quebraram na praia num intervalo

de 7 minutos. Logo depois, Antônio contou 16 ondas num intervalo de 24 minutos.

Você poderia representar o que ocorreu com as ondas na praia?

2 Duplas PLANTA-DUPLA


158

Os alunos, na aula de ciências, plantaram duas sementes de milho com a

finalidade de observar o seu crescimento. As crianças trataram as pequenas plantas

com muito cuidado. Era fornecida água na quantidade ideal, sua localização permitia



primeira planta cresceu 6 centímetros. Nos 3 dias seguintes, a planta cresceu 5

centímetros. Para a segunda planta, nos primeiros 4 dias ela cresceu 7 centímetros.

Nos 6 dias seguintes, ela cresceu 5 centímetros. Você poderia desenhar algo que

representasse, ao mesmo tempo, o que aconteceu com as alturas das plantas?

VASO-DUPLO


preciso observar a quantidade exata de água. Ele colocou dois vasos de vidro

embaixo de duas torneiras e observou como o nível da água variou em cada vaso. Ele

usou uma régua e um relógio para observar essa variação. Antônio observou os vasos

enchendo por 9 minutos. Para o primeiro vaso, nos primeiros 4 minutos o nível da

água subiu 3 centímetros. Passados mais 5 minutos, Antônio observou que esse nível

havia aumentado mais 4 centímetros. Para o segundo vaso, nos primeiros 4 minutos o

nível da água subiu 6 centímetros. Passados mais 5 minutos, Antônio observou que

esse nível havia aumentado mais 7 centímetros. Você poderia desenhar algo que

representasse, ao mesmo tempo, a variação do nível de água no vaso nos dois vasos?

CAMINHÃO-DUPLO


horas. A distância que separa as duas cidades é de 210 quilômetros. Durante as 2

primeiras horas ele percorreu 130 quilômetros. Durante a hora seguinte, ele percorreu

os outros 80 quilômetros restantes. A estrada estada livre. Um outro motorista fez a

mesma viagem em 5 horas. Durante as primeiras 2 horas ele percorreu 70

quilômetros. Durante as 3 horas seguintes, ele percorreu os outros 140 quilômetros

restantes. Os dois partiram no mesmo instante. Você poderia desenhar algo que

representasse, ao mesmo tempo, a distância percorrida pelos dois caminhões, desde

que saíram da cidade de origem?

BALANÇO-DUPLO




159




5 segundos. Na subida, o balanço atingiu uma altura de 3 metros em 3 segundos. Em

outro balanço, um outro menino brincava pra valer. Em uma das idas e vindas, ele

partiu de uma altura de 4 metros e chegou à parte baixa em 4 segundos. Na subida, o

segundo balanço atingiu uma altura de 3 metros em 6 segundos. Você poderia

desenhar algo que representasse, ao mesmo tempo, os movimentos desses balanços?

3 Tabelas TABELA-PLANTA





Observaram seu crescimento por um período de 30 dias e escreveram uma tabela

com o número de dias de vida e o tamanho que a planta cresceu durante estes dias.

Nº de dias Aumento 2 2 3 4 4 6 1 8 3 5 5 6 2 3 6 2 1 1 3 8

Você poderia desenhar algo que representasse o que aconteceu com as alturas

das plantas?

TABELA-VASO

Antônio estava realizando uma experiência na sala de ciências. Era preciso

observar a quantidade exata de água em um vaso. Ele colocou um vaso de vidro à

parte baixa de uma torneira e observou como o nível da água variou. Ele usou uma

régua e um relógio para observar essa variação. Antônio observou os vasos enchendo


160

por 33 segundos e pode escrever uma tabela com valores do tempo gasto e da altura

da água durante o respectivo período.

Tempo (Seg) Variação da Altura (cm)

5 4 4 3 3 2 2 4 1 6 5 8 4 6 3 2 2 4 4 2

Você poderia desenhar algo que representasse a variação do nível de água no

vaso?

TABELA-CAMINHÃO


horas. A distância que separa as duas cidades é de 577 quilômetros. Durante a

viagem ele fazia anotação do tempo e da distância percorrida, colocando os valores

em uma tabela.

Tempo (h) Quilômetros percorridos

2 75 3 80 2 45 3 60 1 65 3 70 2 80 3 45 2 12 3 45

Você poderia desenhar algo que representasse a distância percorrida pelo

caminhão desde a cidade de origem?

4 Gráficos

Concepções e representação de relações entre quantidades

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