DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE

MATERIALES

ÁREA DE ESTRUCTURAS

COMPORTAMIENTO NO LINEAL DE MARCOS DE

CONCRETO REFORZADO DISEÑADOS CON

DIFERENTES CRITERIOS DE DUCTILIDAD (CUARTA

ETAPA).

REPORTE FINAL

UAM-A/DMAE-2020-01

diciembre de 2020

Oscar M. González Cuevas

(Responsable)

El presente estudio de investigación se realizó dentro del Convenio de Colaboración ISCDF/CC-04/2020-01 entre el Instituto para la Seguridad de las Construcciones en el Distrito Federal y la Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco, el cual consta de 190 páginas.

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DESCRIPCIÓN

En el presente documento, se muestra la conclusión de la investigación que fue iniciada con el nombre Validación de las NTC-Concreto Referentes a la Ductilidad y Análisis no Lineal y después cambiada al nombre que aparece en el encabezado ya que se considera más apropiado.

El objetivo de esta investigación es la justificación teórica y experimentalmente de los lineamientos establecidos en las NTC-Concreto 2017 para el diseño de estructuras con ductilidad baja, media o alta. Para cada ductilidad las NTC-Concreto 2017 proporciona requisitos geométricos y de detallado de refuerzo en vigas, columnas, nudos y muros; esta investigación pone a prueba estos requisitos en estructuras de concreto reforzado de distintas alturas a base de marcos, y se obtendrán sus respectivas conclusiones.

Los 3 últimos capítulos de esta investigación tratan sobre las pruebas experimentales, cuantificación de resistencia, ductilidad y daño en las estructuras, así como las conclusiones de la investigación. Estas pruebas están en marcha, pero han sufrido un retraso debido a que el Laboratorio de Estructuras de la Universidad Autónoma Metropolitana está cerrado por la pandemia de COVID 19. De hecho, toda la Universidad está cerrada por lo que ha sido imposible continuar los trabajos experimentales. Por tal motivo se tomó la decisión de buscar en la literatura experimentos de laboratorio realizados por investigadores dedicados al comportamiento de estructuras de concreto de prestigio internacional y reproducir los resultados obtenidos con las teorías presentadas en este documento.

El Capítulo 1 de esta investigación se aborda la problemática del tema, se presenta una descripción del diseño sísmico de los edificios, así como la explicación del significado de la ductilidad en las estructuras y su impacto en el diseño, para después presentar la justificación y objetivos, además de los alcances y limitaciones de esta investigación. El Capítulo 2 se presenta el diseño de nueve estructuras de estudio a base de marcos de concreto reforzado, un edificio de 3 niveles, otro de 9 niveles y otro de 14 niveles, cada uno de estos edificios se ha diseñado con ductilidad baja, media y alta. El Capítulo 3 aborda las teorías del modelado no lineal en estructuras de concreto reforzado, se presenta la teoría de plasticidad concentrada, así como la teoría de plasticidad distribuida para realizar una comparación entre ellas y entender distintos fenómenos que ocurren en los elementos de concreto reforzado, entre los más importantes el deslizamiento del acero de refuerzo. El Capítulo 4, se muestran resultados de los análisis no lineales estáticos y dinámicos de las edificaciones de estudios del capítulo2. El Capítulo 5 se trata sobre las pruebas experimentales a realizar en 3 especímenes de concreto reforzado que simulan la unión viga-columna, estos especímenes son un subensamblaje del edificio de 9 niveles, y cada uno representa una ductilidad baja, media y alta. El Capítulo 5 está dividido en dos partes, la primera de ellas muestra los resultados analíticos de los especímenes de prueba, la segunda etapa son los resultados experimentales, mismo que se encuentran parados por las razones de pandemia que se está

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viviendo actualmente en el país. Para solventar esta situación y para comprobar la teorías de los Capítulos anteriores se aplicaron dichas teorías a especímenes de concreto reforzado que fueron probados por investigadores de prestigio internacional. El Capítulo 6 se realizará la cuantificación de resistencia, ductilidad y el daño que sufren las estructuras que son diseñadas de acuerdo a la normativa NTC-Concreto 2017, para después concluir esta investigación con el Capítulo 7.

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Índice 1 INTRODUCCIÓN ____________________________________________________ 7

1.1 Problemática _____________________________________________________ 7

1.2 Diseño sísmico de los edificios ______________________________________ 9

1.3 Factor de comportamiento sísmico ___________________________________ 12

1.4 Justificación de la investigación _____________________________________ 14

1.5 Objetivo general de la investigación _________________________________ 16

1.5.1 Objetivos específicos de la investigación ____________________________ 16

1.6 Alcances y limitaciones ___________________________________________ 18

2 APLICACIÓN DE LAS NTCS-17 Y NTCC-17 EN TRES EDIFICACIONES DE

ESTUDIO _____________________________________________________________ 19

2.1 Revisión de estados límite _________________________________________ 25

2.2 Cuantificación de materiales _______________________________________ 27

3 TEORÍA DEL MODELADO NO LINEAL ______________________________ 28

3.1 Plasticidad concentrada, plasticidad distribuida _________________________ 28

3.1.1 Curva Backbone _______________________________________________ 30

3.1.2 Modelos histeréticos ____________________________________________ 31

3.1.3 Modelos de deterioro ___________________________________________ 36

3.2 Diagramas momento curvatura ______________________________________ 41

3.3 Diagramas momento rotación experimentales __________________________ 48

3.4 Rigidez de los elementos de concreto reforzado ________________________ 54

3.4.1 Reflexión sobre el momento de inercia en elementos de concreto reforzado 58

3.5 Modificación del diagrama momento rotación para tomar en cuenta degradación ante cargas cíclicas. _____________________________________________________ 62

4 ANALISIS NO LINEALES DE LAS EDIFICACIONES DE ESTUDIO ______ 66

4.1 Análisis estático no lineal __________________________________________ 66

4.1.1 Análisis estático no lineal mediante diagramas momento curvatura _______ 68

4.1.2 Análisis estático no lineal mediante diagramas momento rotación experimentales ______________________________________________________ 71

4.2 Análisis dinámico no lineal ________________________________________ 77

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5 PRUEBAS EXPERIMENTALES ______________________________________ 84

5.1 Protocolo de carga experimental e idealización de los prototipos de prueba ___ 90

5.1.1 Idealización del Prototipo EDIFN9Q=2 _____________________________ 92

5.1.2 Idealización del Prototipo EDIFN9Q=3 _____________________________ 96

5.1.3 Idealización del Prototipo EDIFN9Q=4 _____________________________ 99

5.1.4 Resumen de la respuesta de los prototipos __________________________ 102

5.2 Trabajos en el laboratorio _________________________________________ 104

5.3 Resultados de pruebas experimentales y comprobación de las teorías en las NTCC-17. 113

5.3.1 Columna de concreto reforzado en volado __________________________ 113

5.3.2 Subestructura de concreto reforzado ______________________________ 125

6 CUANTIFICACIÓN DE RESITENCIA, DUCTILIDAD Y DAÑO

ESTRUCTURAL EN LAS EDIFICACIONES DE ESTUDIO _________________ 134

6.1 Cuantificación de resistencia y ductilidad ____________________________ 137

6.2 Cuantificación de daño estructural __________________________________ 143

6.2.1 Índice de daño de Park y Ang (1985). _____________________________ 143

6.2.2 Índice de daño propuesto a partir de la teoría de Ibarra et al. (2005) ______ 158

6.3 Cuantificación de daño estructural en estructuras de estudio ______________ 166

7 CONCLUSIONES __________________________________________________ 173

REFERENCIAS _______________________________________________________ 175

A. PÉNDICE _________________________________________________________ 177

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1 INTRODUCCIÓN

1.1 Problemática

Las estructuras podrían presentar daño estructural significativo cuando se presenta el sismo de diseño, una manera de evaluar el daño posible es necesario conocer su comportamiento estructural, principalmente ante etapas avanzadas de carga y desplazamiento. El daño es dependiente del desplazamiento de la estructura ante el sismo, conforme aumentan los desplazamientos en la estructura los elementos estructurales comienzan a trabajar en un rango no lineal de su material implicando mayor daño estructural. Los análisis no lineales son una herramienta que permite evaluar la respuesta de una estructura antes varias intensidades de un movimiento sísmico.

Cuando las estructuras de una ciudad quedan afectadas por algún desastre natural, por ejemplo un sismo, se afecta directamente la vida social y económica de las personas que en ella habitan, las reparaciones de las estructuras producen pérdidas económicas, así como tiempo para la rehabilitación estructural. Ejemplos importantes de este fenómeno natural que ha afectado el país y a la Ciudad de México son el sismo de junio de 1957, el sismo del 19 de septiembre de 1985 y los sismos más recientes del 7 y 19 de septiembre de 2017, estos últimos sismos de la era moderna afectando también los estados de Morelos, Puebla, Oaxaca y Chiapas, ocasionando pérdidas humanas y económicas, fenómenos trágicos marcando la historia del país, Figura 1.1.

El crecimiento de la red de sismógrafos y acelerógrafos han permito zonificar gran parte del país con el fin de proporcionar un peligro sísmico a cada zona, los acelerógrafos registran la aceleración del terreno en sus tres direcciones, dos horizontales y la aceleración vertical, con esta información se puede obtener la aceleración máxima del terreno, este valor es expresado generalmente en una fracción de la gravedad, el diseño sísmico de las estructuras está en función de la aceleración máxima de terreno en la cual está ubicada.

La Ciudad de México es una de las zonas de más estudio sísmico del país debido a que la mayoría de la ciudad se encuentra ubicada sobre un terreno blando, los reglamentos de diseño como el actual Reglamento de Construcciones de la Ciudad de México del año 2017 y sus Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo (NTCS-17) zonifican la Ciudad de México y pretenden proporcionar las aceleraciones del terreno que estará sometida la estructura ante un evento sísmico a través de espectro de diseño sísmico.

El sistema sismorresistente de las estructuras debe ser elegido y diseñado acorde a las cargas externas que estarán demandando a la estructura, el sismo influye en un papel fundamental en la elección del sistema estructural, uno de los sistemas más utilizados en edificios de pequeña y mediana altura se encuentra el de marcos, el cual consta solo de vigas y columnas, y es utilizado por economía y facilidad en construcción.

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a) b)

c) d)

Figura 1.1 — a) Caída parcial del Ángel de la independencia, Ciudad de México 28/Jul./1957 [1]. b)

Zona de Tlatelolco, Ciudad de México 19/Sep./1985 [2]. c) Palacio municipal Juchitán, Oaxaca, México 7/Sep./2017 [3]., d) Ciudad de México 19/Sep./2017 [4].

La filosofía de diseño en los actuales Reglamentos de Construcción se basa en que las estructuras deben ser capaz de resistir sin daño a sismos leves; para sismos moderados la estructura debe seguir permaneciendo sin daño estructural, sin embargo se puede presentar algún tipo de daño no estructural; para sismos intensos la estructura no debe colapsar aunque puede sufrir daño estructural y no estructural. Las distorsiones que ejerce el sismo en la estructura producen de manera directa daño en los elementos estructurales, por ello, es importante limitar las distorsiones en el comportamiento global de la estructura, o restringir rotaciones locales en los elementos estructurales, las limitaciones de distorsiones y rotaciones están plasmadas en los Reglamentos de Construcción y están en función principalmente del sistema sismo resistente y del material de construcción. Cuando se rebasan las distorsiones máximas permitidas la estructura entra en una zona de incertidumbre en la cual es difícil garantizar que no se desarrolle daño excesivo, Figura 1.2.

[1] https://local.mx/ciudad-de-mexico/cronica-ciudad/el-angel-sismo-57/ [2] http://vivirtlatelolco.blogspot.com/2010/09/el-sismo-de-1985-desde-la-mirada-de-un.html [3] https://www.nvinoticias.com/nota/72498/7-de-septiembre-el-dia-del-desastre-de-oaxaca [4] Archivo: El UNIVERSAL

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Falla cortante Falla piso débil Falla por flexo-compresión

Figura 1.2— Alguna de las fallas en edificaciones en la Ciudad de México, sismo 19 septiembre del 2017

En esta investigación se realizan estudios analíticos y experimentales en edificaciones con un sistema sismo resistentes a base de marcos que se diseñan con el actual Reglamento de Construcciones de la Ciudad de México, se estudia su comportamiento lineal y no lineal, se hace una evaluación de las ductilidades y resistencias esperadas tomando en cuenta efectos de sobrerresitencia de los elementos, por otra parte se evalúa el posible daño estructural global y local en los elementos estructurales y la factibilidad de reparación de la estructuras.

1.2 Diseño sísmico de los edificios

Las fuerzas de diseño sísmico en una estructura provienen de la intensidad del movimiento que se genera en el terreno debido al sismo, además de la ductilidad máxima que se permite en el sistema estructural. De acuerdo con Bazán (1998), “la base del edificio tiende a seguir el movimiento del terreno, mientras que por inercia y masa del edificio el edificio se opone a ser desplazada dinámicamente”, Figura 1.3a. De manera muy simplificada y como un inicio, la respuesta dinámica de las estructuras puede ser estudiada por un modelo de un sistema de un grado de libertad, formado por una masa concentrada y un elemento con rigidez lateral, así mismo el material de la estructura proporciona un amortiguamiento atenuando el movimiento sísmico con el tiempo; en función de la rigidez, masa y material de construcción se obtiene el periodo de vibración de la estructura que es una propiedad dinámica, Figura 1.3b.

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a) b)

Figura 1.3— a) Fuerza de inercia generada por la vibración de la estructura, b) Modelo de un sistema de un grado de libertad, Bazán (1998).

La intensidad sísmica para cada edificio es correspondiente a su periodo de vibrar, cuando el periodo del edificio coincide con el periodo de vibrar del suelo existirá una amplificación de la demanda sísmica, las propiedades geométricas y mecánicas de la estructura comienzan a cambiar y alteran su respuesta sísmica, para intensidades muy grandes el comportamiento de la estructuras deja de ser lineal incursionando en un comportamiento no lineal de los materiales produciendo una disminución de la rigidez. De acuerdo con Bazán (1998) estas modificaciones son distintas para cada tipo de material, el acero mantiene su comportamiento lineal hasta niveles muy altos de esfuerzos correspondientes a la fluencia, el concreto reforzado tiene una reducción significativa en su rigidez incluso a niveles bajos de carga, es decir, la rigidez de estructuras de concreto reforzado se ve disminuida por el agrietamiento de las secciones principalmente las que están sujetas a momento flexionantes.

Las estructuras al incursionar en un comportamiento no lineal comienzan a disipar energía, la relación que existe entre el comportamiento no lineal y la disipación de energía es a través de la ductilidad, que es una propiedad que relaciona la capacidad de mantener su resistencia para deformaciones superiores a aquella que inició la fluencia, ante mayores ductilidades mayores desplazamientos tendrá la estructura. Una estructura mal detallada desarrollará daño significativo a muy bajas ductilidades, una estructura muy bien detallada puede tener mucho menos daño con ductilidades (desplazamientos) mayores.

Para el caso de estructuras de concreto reforzado que tengan un sistema sismorresistente a base de marcos (vigas y columnas), se procurará que los daños ocurran predominantemente por flexión para evitar fallas de tipo de frágil o degradación cíclica excesiva, de tal manera que puedan formarse articulaciones plásticas principalmente en los extremos de los elementos y que las deformaciones inelásticas contribuyan de manera significativa a la absorción de la energía transmitida por el sismo a la estructura.

Un análisis estático no lineal, llamado en inglés “pushover” en un edificio, consiste en la aplicación de cargas estáticas o deformaciones horizontales en cada entrepiso que van aumentando de intensidad. A través de este análisis se puede monitorear la secuencia de formación de las articulaciones plásticas en una estructura, es decir, se puede monitorear cuando algún elemento llega a su capacidad de fluencia y comienza a trabajar en su rango no lineal. Para el caso de articulaciones plásticas a flexión, la fluencia del elemento es cuando

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se alcanza su momento de fluencia y su capacidad última de deformación es cuando el elemento alcanza su capacidad última de rotación. En la Figura 1.4 se muestra la formación de articulaciones plásticas en un marco de concreto reforzado y su curva de capacidad Cortante basal Vs. Desplazamiento de azotea, obtenida de un análisis pushover. Una característica importante de estas curvas es el comportamiento lineal en la estructura hasta alcanzar el desplazamiento de fluencia Δy, que es cuando un primer elemento o grupo de elementos llegan a su fluencia. De esta curva de capacidad se puede obtener la ductilidad µ de la estructura, que es la relación entre el desplazamiento máximo y el desplazamiento de fluencia de la azotea, µ=Δu/Δy.

Figura 1.4— Descripción análisis pushover

Tomando como base a Bazán (1998), describen las siguientes etapas que implica el diseño sísmico de las estructuras:

a) La selección de un sistema estructural adecuado. El sistema estructural debe ser capaz de absorber y disipar energía introducida por el sismo, la elección del sistema estructural dependerá también del costo-beneficio.

b) Análisis sísmico. Los reglamentos definen las acciones sísmicas para los cuales se debe calcular la respuesta de la estructura a través de espectros de diseño.

c) Dimensionamiento de las secciones.

d) Detallado de la estructura. Para que la estructura tenga un comportamiento dúctil es necesario detallar sus elementos y conexiones para proporcionarles gran capacidad de deformación y prevenir el colapso.

e) Establecer un mecanismo de falla plástico aceptable, implicando dar resistencias relativas a los elementos estructurales para que se forme este mecanismo.

Los últimos dos párrafos anteriores son importantes, el detallado en los elementos estructurales influye de forma significativa en el comportamiento no lineal global de la estructura, entre mejor sea el detallado de los elementos la estructura tendrá mayor capacidad de ductilidad, sin embargo, para desarrollar esta capacidad, se deben formar mecanismos de

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falla plástico aceptables entre ellos el mecanismo de columna fuerte-viga débil, implicando dar resistencias relativas a elementos estructurales para desarrollar este mecanismo, entre ellos las conexiones. El detallado y las resistencias en los elementos se define en los Reglamentos de Construcción, y está relacionado con el factor de comportamiento sísmico.

1.3 Factor de comportamiento sísmico

Desde Reglamentos anteriores (1976) y ahora el actual Reglamento de Construcciones del Distrito Federal del año 2017 (RCDF-17), sus Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo (NTCS-17) y sus Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto (NTCC-17) toman en cuenta que la estructura puede incursionar en un rango de comportamiento no lineal en su respuesta sísmica a través de un valor de Q. Para describir el significado de Q se muestra en la Figura 1.5 el desplazamiento de azotea δ, de un edificio con su respectivo cortante basal Vb, expresado sin dimensiones en la forma del llamado coeficiente sísmico. El cortante basal requerido para que la estructura permanezca elástica para el sismo de diseño es Ve, el cual se puede expresar con el coeficiente y se define como:

𝐶𝐶𝑒𝑒 =𝑉𝑉𝑒𝑒

𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (1.1)

donde Wedif, es el peso de la estructura por encima del nivel de terreno. La filosofía de los reglamentos, incluyendo las NTCS-17, es la de diseñar una estructura para que tenga una resistencia menor que Ve, basado en reconocer su capacidad de comportamiento inelástico, ya que en la mayoría de las estructuras si se diseñarán con un comportamiento elástico sería costoso, las estructuras que se pueden exceptuar serian estructuras muy pequeñas con periodos cortos, en donde la diferencia entre coeficientes sísmicos con distintos valores de Q no es notable. La estructura de la Figura 1.5 es diseñada con un coeficiente menor a Ce, donde se tiene un desplazamiento de fluencia δy y un desplazamiento máximo δmax, y su resistencia es la de fluencia Vy, la cual en función del coeficiente sísmico Cy se expresa como:

𝐶𝐶𝑦𝑦 =𝑉𝑉𝑦𝑦

𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (1.2)

El cálculo de Vy implica análisis del tipo no lineal y es obtenido con las resistencias esperadas de los materiales, es decir, es la resistencia esperada de la estructura. De manera típica los procedimientos de los reglamentos de diseño por sismo, basados en herramientas de comportamiento elástico, especifican una resistencia de diseño Vs, Figura 1.5, resistencia obtenida de resistencias nominales de los materiales, así como la utilización de factores de resistencia en el diseño; este cortante en función del coeficiente sísmico Cs, se expresa como:

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𝐶𝐶𝑠𝑠 =𝑉𝑉𝑠𝑠

𝑊𝑊𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (1.3)

Figura 1.5— Relación coeficiente sísmico basal – desplazamiento de azotea de una estructura.

Reconociendo la ductilidad de la estructura y su capacidad de disipar energía en su

comportamiento inelástico, además de considerar por simplicidad un sistema inelástico equivalente con comportamiento elastoplástico perfecto, se definen los siguientes factores:

a) El factor de sobrerresistencia R:

𝑅𝑅 =𝐶𝐶𝑦𝑦𝐶𝐶𝑠𝑠

(1.4)

Los factores de reducción para fuerzas sísmica igualando la respuesta elástica e inelástica términos de energía y términos de deflexión son ec. (1.5) y ec. (1.6), respectivamente.

b)

𝑄𝑄′ =𝐶𝐶𝑒𝑒𝐶𝐶𝑦𝑦

(1.5)

c)

𝑄𝑄 =Δ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

Δ𝑦𝑦 (1.6)

Q’ es definido en las NTCS-17 como el factor de reducción de las fuerzas sísmicas con fines de diseño y Q como el factor de comportamiento sísmico. En las NTCS-17 ambos factores están relacionados entre sí, además de estar en función del periodo de la estructura.

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El factor de comportamiento sísmico Q adopta principalmente valores de 1, 2, 3 y 4, inclusive valores intermedios entre estos, la elección de Q es de acuerdo con varias características de la estructura, entre ellas el material a utilizar, el tipo de estructuración, el sistema sismo resistente empleado, condiciones de regularidad y, en el caso de estructuras de concreto reforzado el detallado de acero de refuerzo de los elementos asegurándose que se cumplan los mecanismos de falla plástico como el de columna fuerte-viga débil.

Como se menciona en las NTCS-17 el valor de Q permite limitar las demandas de fuerza en los elementos estructurales y, por lo tanto, utilizar resistencias de diseño menores, a cambio de que se presenten demandas de ductilidad limitadas y cierto nivel de daños provocados por el agrietamiento y la fluencia de algunas secciones de la estructura. La forma de limitar las demandas sísmicas a través del espectro de diseño sísmico, es decir, el espectro de diseño elástico es directamente afectado por los coeficientes Q, Q’ y R, Figura 1.6.

Figura 1.6— Espectro elástico y espectro de diseño.

El costo de utilizar ductilidades grandes es hacer incursionar a la estructura a desplazamientos mayores, conforme aumentan los desplazamientos en la estructura sus elementos comienzan a trabajar en un rango no lineal implicando daño estructural; el detallado en los elementos juega un papel fundamental en el daño, una estructura con un detallado pobre puede tener mayor daño a ductilidades bajas, por otra parte una estructura con un buen detallado puede incursionar en rangos altos de no linealidad con ductilidades altas sin implicar tanto daño estructural. Los análisis no lineales es una herramienta que permite evaluar la respuesta de una estructura ante varias intensidades de un movimiento sísmico.

1.4 Justificación de la investigación

Es importante considerar que, aunque se han hecho avances importantes para caracterizar los materiales y modelar las estructuras cuando se utilizan análisis no lineales, aún quedan aspectos en que no se ha llegado a consensos a nivel internacional e hipótesis

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que no han sido comprobadas fehacientemente, principalmente en el cálculo de la rigidez de los elementos estructurales. En el caso de estructuras de concreto reforzado, el detallado del acero tiene un impacto importante en el elemento estructural y a su vez en el comportamiento no lineal. Existen en las NTCC-17 los capítulos 7, 8 y 9, cada capítulo contiene respectivamente lineamientos para el diseño de estructuras según su grado de ductilidad, Figura 1.7. Para una ductilidad baja, se puede usar Q=2, para una ductilidad media, Q=3 y para una ductilidad alta, Q=4. Los lineamientos presentan el detallado y la resistencia mínima para que los elementos estructurales puedan resistir y deformarse de forma controlada ante la demanda de las fuerzas sísmicas que actuarán en la estructura.

Figura 1.7— Lineamientos para diseño de estructuras con diferentes ductilidades (NTCC-17).

El Apéndice D es nuevo en las NTCC-17, contiene lineamientos para la construcción de diagramas momento curvatura y diagramas momento rotación, estos últimos obtenidos de pruebas experimentales. Los diagramas momento curvatura y/o momento rotación son necesarios para los análisis no lineales, sin embargo, al Apéndice D le falta información muy importante principalmente para tomar en cuenta el deterioro en los elementos, información que si no se aclara en esta normativa se caen en errores descomunales al predecir el comportamiento de la estructura, ver Capítulo 3.3.

El autor de esta investigación se hace las siguientes preguntas, mismas que sirvieron de motivación para esta tesis:

1) Si se diseñan y detallan las estructuras con las disposiciones de las NTCC-17, para cualquier factor de comportamiento sísmico, Q, ¿realmente las estructuras de marcos de concreto reforzado alcanzarán sus ductilidades objetivo correspondientes? Es claro que se debe de tomar en cuenta factores importantes que afectan el comportamiento de elementos de concreto reforzado, entre ellos,

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repetición de cargas que degradan la rigidez de los elementos, deslizamiento de las varillas de refuerzo que también afectan de forma directa las rigidez de los elementos.

2) ¿Cuál será la severidad del daño estructural en los edificios que fueron diseñados con Q=2, Q=3 y Q=4 ante un sismo de diseño? ¿las estructuras podrán ser habitadas inmediatamente después del sismo de diseño? ¿si requieren reparación cual será el alcance esta de reparación? O en un caso extremo ¿las estructuras quedarán inservibles por el daño estructural que hayan tenido?

Se estima que es importante verificar estas disposiciones con más estudios analíticos y experimentales.

El daño estructural en los elementos estructurales está relacionado con las demandas de fuerzas actuantes y con las capacidades de deformación de los elementos, las capacidades de deformación están relacionadas a su vez con el detallado, es fácil pensar que ha mayor detallado menor daño estructural. Existen diferentes requisitos (o niveles) de detallado que se deben de cumplir de acuerdo al factor de comportamiento sísmico Q para el cual fue diseñada la estructura, lo que hace pensar niveles de daño distintos para cada Q. Este tema es importante para El Instituto para la Seguridad de las Construcciones en el Distrito Federal, por lo que, en la UAM se ha decidido investigar estos nuevos lineamientos del Reglamento a través de estudios teóricos y experimentales.

1.5 Objetivo general de la investigación

El objetivo general de esta tesis es predecir el comportamiento estructural no lineal hasta la etapa de falla en marcos de concreto reforzado diseñados con diferentes niveles de ductilidad, por medio de estudios analíticos y experimentales. El comportamiento es medido en términos de resistencia, ductilidad y daño estructural.

1.5.1 Objetivos específicos de la investigación En esta sección se presentan los objetivos particulares de la investigación, los cuales,

una vez cumplidos ayudarán a conseguir el objetivo general de esta investigación.

La investigación constará de una etapa analítica y otra etapa experimental, los objetivos particulares de la etapa analítica de esta tesis son:

1) Análisis elástico de tres estructuras de estudio, todas ellas con un sistema a base de marcos de concreto reforzado diseñadas con ductilidad baja, media y alta, cumpliendo con los lineamientos de las NTCC-17. a) La primera es una estructura

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de 3 niveles de altura, EDIFN3, b) la segunda de 9 niveles, EDIFN9, y c) la tercera de 14 niveles, EDIFN14.Cuantificar en términos de volúmenes de materiales todas estas estructuras de estudio.

2) Estudiar los diagramas momento rotación que se presentan en las NTCC-17 de elementos viga-columna y que fueron obtenidos de forma experimental, estos diagramas son comparados con diagramas momento curvatura y con teorías de plasticidad distribuida por medio de fibras.

3) Evaluar el comportamiento no lineal estático y dinámico de las estructuras del paso 1 con el efecto de la utilización de inercias agrietadas con valores pequeños, alrededor de 0.2Ig, donde Ig es la inercia gruesa de la sección, hasta valores de inercias grandes, 0.7Ig como se plantea en las NTCC-17.

4) Identificar de forma analítica el nivel de daño de las estructuras del paso 1, encontrar un índice de daño que sea indicativo para cuantificar el daño después de un sismo y saber si las estructuras puedan ser reparables o no.

Los objetivos particulares de la etapa experimental de esta tesis de investigación son los siguientes:

5) Comprobar de forma experimental, los diagramas momento rotación en vigas y columnas que se presentan en las NTCC-17.

6) Evaluar la rigidez y encontrar un valor de inercia en los elementos viga y columna de concreto reforzado que mejor prediga el comportamiento de los elementos inclusive ante cargas cíclicas.

7) Identificar de forma tangible el índice de daño obtenido de forma analítica en los elementos viga y columna, evaluar la severidad del daño, como anchos de grietas, desconchamientos de concreto, fluencia del acero de refuerzo, y evaluar la posibilidad de reparación.

Con las combinaciones de los resultados analíticos y experimentales se pueden cumplir los siguientes objetivos:

8) Con base a los índices de daño obtenidos de forma analítica como experimentales, evaluar las distorsiones permisibles de las edificaciones de marcos de concreto propuestas en la normatividad vigente (NTCS-17).

9) Concluir la severidad del daño estructural que implica la elección del factor de comportamiento sísmico Q para el diseño de las edificaciones.

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1.6 Alcances y limitaciones

Este estudio se enfoca solo al comportamiento de elementos viga-columna, elementos que son utilizados en estructuras con sistema sismorresistente a base de marcos, se estudiaron edificios con planta simétrica tanto en geometría como en masas. Las alturas de los edificios de estudio fueron de 3 niveles, 9 niveles y 14 niveles, ya no se estudiaron edificios de más altura debido que para edificios más altos se requiere un sistema sismorresistente más eficaz, por ejemplo, el uso de contravientos, muros rigidizantes, outriggers, etc., sistemas que se encuentran fuera de esta investigación.

Para el edificio de 9 niveles las vigas tiene de 3 metros de longitud y alturas de columnas de 3.5m, las longitudes de las vigas comparadas con una estructura real pudiesen ser pequeñas, sin embargo, se estudió la estructura con estas longitudes debido a que se probara en Laboratorio de Estructuras de la UAM-Azcapotzalco a escala real tres conexiones viga-columna de este edificio, el laboratorio cuenta con las capacidades justas de dimensiones y resistencia para probar las vigas y columnas con las longitudes antes mencionadas. Las vigas de 3 metros de longitud doblemente empotradas con las columnas tienen peraltes promedio de 45 centímetros, la relación de claro/peralte de estos elementos es alrededor de 3 (tomando como claro la mitad de la longitud de la viga, 1.5 metros), con una relación de 3 el elemento queda regido por un comportamiento de flexión.

Otra limitación de esta investigación fue que solo se estudiaron las estructuras en base rígida, es decir, no se tomó en cuenta la interacción suelo-estructura debido a que se puso principal atención en las deformaciones propias entre los elementos viga-columna, además de que las pruebas experimentales en el laboratorio no se toman en cuenta los desplazamientos impuestos por suelo a la estructura; sin embargo, es conveniente la continuación de este estudio tomando en cuenta esta interacción.

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2 APLICACIÓN DE LAS NTCS-17 Y NTCC-17 EN TRES EDIFICACIONES DE ESTUDIO

Se procedió a estudiar los lineamientos de los capítulos 7, 8 y 9 de las NTCC-17 y

aplicarlos a tres edificaciones en el cual su sistema resistente es a base de marcos de concreto reforzado. La primera edificación es de baja altura consta de tres niveles y es llamada EDIFN3, la segunda es una edificación mediana altura, 9 niveles, llamada EDIFN9 y la tercera edificación es una estructura alta, 14 niveles, llamada EDIFN14, Figura 2.1. Las edificaciones EDIFN3 y EDIFN9 tendrán una planta con tres crujías por lado, separación de columnas de 3m; para la edificación EDIFN14 la separación entre columnas es de 5m, Figura 2.2. Las alturas de entre pisos para las tres edificaciones es de 3.5m.

a) b) c)

Figura 2.1— Edificaciones de estudio a) EDIFN3, b) EDIFN9, c) EDIFN14.

20

a) b)

Figura 2.2— Planta de las edificaciones de estudio a) EDIFN3 y EDIFN9, b) EDIFN14.

Los espectros de diseño sísmico se obtuvieron con el programa SASID que pertenece

a las NTCS-17. Se ubicaron las estructuras en dos zonas de estudio, la primera zona con un periodo de suelo Ts=1.83 seg, que corresponde a la zona donde se tienen registrado el acelerograma SCT-EW-85, registro del sismo de 1985, en esta zona se tienen las aceleraciones máximas para un periodos de 1.4 a 2.5 seg., Figura 2.3. La segunda zona de estudio es con un periodo de suelo de T=1.0 seg., donde se tiene registrado el acelerograma DGCOH XOTEPINGO al sur de la Ciudad de México o mejor conocido como DX37, registro del sismo del 19 de septiembre 2017, aquí se tienen las aceleraciones máximas en un rango de periodos de 0.8 a 1.6 seg., Figura 2.4. Las estructuras de estudio fueron diseñadas para cumplir la demanda de aceleraciones de estos dos espectros de diseño.

En la Figura 2.5, se puede hace la comparación de los espectros antes mencionados, se puede observar cómo los espectros de diseño de las NTCS-17 cubren la demanda de aceleraciones de los espectros individuales SCT-EW-85 y DX37. Entre estas dos zonas de diseño, la zona con periodos de suelo Ts=1.83 seg, correspondiente al espectro SCT-EW-85, es las critica para los diseños modal espectral de las edificaciones teniendo mayores ordenadas espectrales, sin embargo en los análisis no lineales dinámicos donde se utilizan acelerogramas, se observa que para periodos de 1.0 seg rige las demandas del acelerograma DX37.

21

a)

b)

c)

d) Figura 2.3— Zona sísmica Ts=1.83 seg. a) Espectro elástico de NTCS-17, b) Espectros de diseño de

NTCS-17, c) Acelerograma SCT-EW-85, d) Espectro SCT-85-EW.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Cs =

a/g

Periodo, T [seg]

Espectro elástico, Ts =1.83 seg.

E. Diseño Q=2E. Diseño Q=3E. Diseño Q=4E. Elástico

Q’ R

0.0

0.1

0.2

0.3

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Cs=

a/g

Periodo, T [seg]

Espectros de diseño sísmico, T=1.83 seg.

E. Diseño Q=2E. Diseño Q=3E. Diseño Q=4

-200-150-100

-500

50100150200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

a [c

m/s

eg2]

Tiempo [seg]

Acelerograma SCT-EW-85

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Cs =

a/g

Tiempo [seg]

Espectro SCT-85-EW

22

a)

b)

c)

d)

Figura 2.4— Zona sísmica Ts=1.0 seg. a) Espectro elástico de NTCS-17, b) Espectros de diseño de NTCS-17, b) Acelerograma DX37, c) Espectro DX37.

0.00.10.20.30.40.50.60.70.8

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Cs=

a/g

Periodo, T [seg]

Espectro elástico, T=1.0 seg.

E. Diseño Q=2

E. Diseño Q=3

E. Diseño Q=4

E. Elástico

Q’ R

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Cs =

a/g

Periodo, T [seg]

Espectros de diseño sísmico, T=1.0 seg.

E. Diseño Q=2E. Diseño Q=3E. Diseño Q=4

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

a [c

m/s

eg2]

Tiempo [seg]

Acelerograma DX37

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Cs =

a/g

Periodo [seg]

Espectro DX37

23

Figura 2.5—Espectro de diseño NTCS-17 Ts=1.83 seg. y Ts=1.0 seg.

Cada edificación fue diseñada con un factor de comportamiento sísmico de Q=2, Q=3

y Q=4, es decir se tiene un total de 9 edificaciones en total, cada una de ellas independientes entre ellas, las cuales son EDIFN3Q=2, EDIFN3Q=3, EDIFN3Q=4, EDIFN9Q=2, EDIFN9Q=3, EDIFN9Q=4, EDIFN14Q=2, EDIFN14Q=3 y EDIFN14Q=4.

Cuando se diseña para un Q=3, y 4, el cortante de diseño en las vigas debe ser obtenido por un diseño por capacidad. En la práctica profesional varios despachos de cálculo diseñan las vigas como secciones rectangulares sin tomar en cuenta la contribución de la losa, esto es por facilidad en el diseño o simplemente por practicidad. Sin embargo, cuando son vigas monolíticas con la losa y no se toma en cuenta la contribución del acero de esta última, se cae en errores importantes en los diseños por capacidad. Para ejemplificar obsérvese la viga de sección rectangular de la Figura 2.6a, cuando se diseña el cortante por capacidad, este cortante se obtienen por equilibrio con los momentos reales esperados en la viga, para esto se utiliza el esfuerzo de fluencia, fy, en el acero de refuerzo reales que es aproximadamente un 25% más al fy nominal (fy = 1.25fy), con esto se obtienen momentos, positivo y negativo respectivamente de M(+)= 19.21 ton-m y M(-)=34.61 ton-m y con esto un cortante de Vu=17.81 ton. Si se considera la sección como viga T, Figura 2.6b, con la contribución de la losa, se obtienen un momento positivo y negativo respectivamente de M(+)= 22.67 ton-m y M(-)=57.35 ton-m y con esto un cortante de Vu=23.71 ton. Obsérvese que el cortante de la viga T es mayor que el de la viga rectangular en un 33%, por lo tanto, se debería diseñar la viga con este cortante mayor y no con el obtenido con la sección rectangular. Si se diseña con un cortante menor lo que más probablemente pasará es que van a desarrollar un comportamiento cíclico inestable para el cual no se puede garantizar el desempeño buscado (que en situaciones extremas si puede resultar en falla), por esta razón todas las vigas de las edificaciones de estudio se diseñaron como vigas T tomando en cuenta la contribución del acero de la losa.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Cs =

a/g

Periodo [seg]

Comparación espectros sísmicos

Espectro SCT-85-EWEspectro DX37Espectro NTCS-17 Ts=1.83 segEspectro NTCS-17 Ts=1.0 seg

24

a) b)

Figura 2.6— Sección de viga, a) Viga Rectangular, b) Viga T.

El concreto utilizado en todas las estructuras tiene una resistencia de f’c=300 kg/cm2, la fluencia del acero de refuerzo es de fy=4200 kg/cm2. Las dimensiones con su respectivo armado de cada uno de los elementos estructurales se muestran en el Apéndice.

Los periodos de vibración de las estructuras de estudio se muestran en la siguiente

Tabla 2.1. Estos periodos fueron obtenidos con valores de inercia que proporciona las NTCC-17, en la cual para vigas de concreto reforzado se tiene un valor de inercia de 0.5Ig para vigas, y un valor de 0.7Ig para columnas, donde Ig es la inercia gruesa del elemento.

Edificación Periodo de vibrar, T [seg] Edificación de 3 niveles

EDIFN3Q=2 0.54 EDIFN3Q=3 0.59 EDIFN3Q=4 0.59

Edificación de 9 niveles EDIFN9Q=2 0.96 EDIFN9Q=3 1.02 EDIFN9Q=4 1.02

Edificación de 14 niveles EDIFN14Q=2 1.15 EDIFN14Q=3 1.28 EDIFN14Q=4 1.28

Tabla 2.1— Periodos de vibrar de las estructuras de estudio utilizando valores de inercia de las NTCC-

17.

De la Tabla 2.1 se puede observar que los periodos para las estructuras de Q=3 y Q=4 son los mismos, esto debido a que se tienen las mismas dimensiones en los elementos estructurales para estos dos diseños, el motivo es la revisión de los estados limite, donde para Q=4 comienza a regir la revisión de distorsiones para sismos frecuentes, la revisión de estas distorsiones se muestra en el siguiente sección de esta investigación.

25

2.1 Revisión de estados límite

Se revisaron los estados límite de estado de seguridad contra colapso (sismo de diseño) y limitación de daños ante sismos frecuentes, de acuerdo a como se establece en las NTCS-17. Se realizaron cambios en las dimensiones de la secciones de vigas y columnas conforme a su altura de las edificaciones de acuerdo a la demanda requerida. De la Figura 2.7 a Figura 2.9 se presenta la revisión de distorsiones de entrepiso para los estados límite obtenidas de un análisis modal espectral para cada una de las estructuras de estudio.

Se hace mención que los diseños con Q=2 rige la revisión de distorsiones contra colapso dejando en segundo término la revisión de distorsiones ante sismos frecuentes, para los diseños con Q=3, la revisión de las distorsiones contra sismos frecuentes comienza a tener mayor peso, sin embargo, sigue rigiendo la revisión de distorsiones contra colapso, para los diseños para Q=4 la revisión que rige el diseño es la revisión de distorsiones contra sismos frecuentes, dejando en segundo término la revisión contra colapso. Por las razones anteriores los diseños con Q=3, y Q=4, llegan a tener las mismas dimensiones sus elementos, para diseños con Q=4 no es posible bajar dimensiones.

Figura 2.7— Distorsiones para la estructura EDIFN3.

26

Figura 2.8— Distorsiones para la estructura EDIFN9.

Figura 2.9— Distorsiones para la estructura EDIFN14.

27

2.2 Cuantificación de materiales

Con las secciones diseñadas se procedió a la cuantificación del acero de refuerzo y del volumen de concreto ambos materiales para un solo marco. Los resultados son presentados en la Figura 2.10. Se concluye que la estructura de baja altura es menos sensible al cambio de valores de Q, las estructuras mediana y alta son más sensibles a los valores de Q, bajando hasta un 44% el peso de acero de refuerzo y 21% en volumen de concreto para la EDIFN14 comparando Q=2 con Q=4.

Figura 2.10— Volúmenes de concreto y acero en las estructuras de estudio.

28

3 TEORÍA DEL MODELADO NO LINEAL

3.1 Plasticidad concentrada, plasticidad distribuida

Los análisis no lineales es una herramienta que permite predecir la respuesta de una estructura antes varias intensidades de un movimiento sísmico, los modelos simulación del comportamiento no lineal de los elementos estructurales se dividen dos grandes grupos principalmente: 1) plasticidad concentrada, 2) plasticidad distribuida, Figura 3.1.

Figura 3.1—Idealización no lineal de elementos viga – columna (tomado de Deirlein G. et al. 2010).

De acuerdo con Deirlein G. et al. (2010), los modelos más simples de idealizar además de ahorro tiempo de cálculo computacional son los de plasticidad concentrada, estos modelos capturan la no linealidad en una articulación rígido plástica o en un resorte ambos con propiedades histeréticas y propiedades de degradación, Figura 3.1a, Figura 3.1b; para elementos de concreto reforzado la curvas backbone se captura través de los diagramas momento-curvatura o momento-rotación, tanto las articulaciones como los resortes tienen una longitud cero. Los modelos con articulaciones con una longitud finita, Figura 3.1c, la sección transversal en las zonas de articulaciones plásticas es caracterizadas también por relaciones no lineales sin embargo se toma una longitud finita de esa articulación. Los modelos de fibras, Figura 3.1d, se discretiza la sección transversal, así como la longitud del miembro en pequeñas fibras, cada fibra es definida con modelos uniaxiales esfuerzo-deformación del material correspondiente, se asume la teoría que las secciones planas permanecen planas; las fibras son integradas numéricamente sobre la sección transversal para obtener esfuerzos resultantes (fuerzas axiales y momentos). El modelado más complejo es con elementos finitos, Figura 3.1e, estos modelos discretizan el medio continuo a lo largo del miembro, así como la sección transversal en pequeños (micro) elementos finitos con propiedades histeréticas constitutivas que tienen numerosos parámetros de entrada, las formulaciones calculadas en los elementos finitos pueden ser difícil de interpretar.

Los modelos de plasticidad distribuida se basan en el comportamiento uniaxial esfuerzo-deformación del material, este comportamiento es asignado a cada fibra que fue discretizado el elemento, estos modelos predicen de manera aceptable el comportamiento a deformaciones bajas a moderadas donde el comportamiento del elemento estructural es

29

estable. Con esta metodología es muy difícil capturar fenómenos distintos a los de flexión como son efectos locales de pandeos de placas ya sea en almas o patines en elementos de acero, pandeo o deslizamiento de acero de refuerzo en elementos de concreto reforzado, interacción flexión-cortante, en ocasiones estos efectos son significativos causando deterioro en los elementos afectando su respuesta no lineal.

Los modelos de plasticidad concentrada pueden capturar mejor la degradación de la respuesta no lineal usando parámetros que son obtenidos de pruebas experimentales que modifican la curvas backbone de los elementos, mediante pruebas experimentales se toma en cuenta los factores fenómenos que causan el deterioro en los elementos.

Entre los principales fenómenos que pueden causar deterioro en elementos de concreto reforzado, entre otros son los siguientes:

- Agrietamiento del concreto en tensión.

- Aplastamiento del concreto en compresión.

- Pandeo del acero de refuerzo.

- Deslizamiento del acero de refuerzo.

- Tensión diagonal.

La mayoría de los softwares de análisis estructural no reconoce estas fuentes de deterioro, al menos que el usuario los incorpore de manera explícita, causando degradación de resistencia y rigidez en los elementos estructurales.

El deterioro implica perdida en la resistencia y rigidez en la respuesta de un elemento estructural. Las consecuencias del deterioro en el comportamiento de una estructura son: 1) las cargas se distribuyen a otros componentes, 2) incremento en los parámetros básicos de demanda tales como distorsiones de entrepiso, 3) el mecanismo de falla de una estructura puede cambiar.

Si se modela el comportamiento no lineal a través de plasticidad concentrada por medio articulaciones plásticas se deberá tomar en cuenta los siguientes conceptos para idealizar la respuesta cíclica incluyendo el deterioro:

- Curva backbone. Es una curva que representa la relación esfuerzo-deformación que define las fronteras dentro del cual la respuesta histerética del elemento es confinada.

- Modelos histeréticos. Es un conjunto de reglas que definen las características del comportamiento histerético entre las fronteras que definen la curva backbone.

- Modelos de deterioro. Es un conjunto de reglas que modifican los modelos histeréticos para incorporar la deterioración de la curva backbone.

30

Estos conceptos deben ser tomados en cuenta de forma simultánea para capturar de forma más razonable el comportamiento de los elementos, en muchas ocasiones los modelos de deterioro no son tomados en cuenta, la principal razón es que los softwares de análisis comercial no son capaces de capturar el deterioro en los elementos, sin embargo cuando una estructura se comporta a bajas deformaciones debido a las limitantes de distorsiones, como pasa con un diseño con Q=4, un modelo no lineal simple, sin deterioro es suficiente para predecir el comportamiento.

Esta investigación se utilizan los modelos histeréticos y modelos de deterioro propuestos por Ibarra-Medina-Krawinkler, Ibarra et al. (2005).

3.1.1 Curva Backbone

En la Figura 3.2 se presenta la curva backbone de Ibarra et al. (2005), las cantidades F y δ son fuerza genérica y cantidad de deformación, para una articulación plástica a flexión F=M y δ=θ (giro). Si no existiese degradación, la curva está definida por tres parámetros: rigidez elástica (inicial) Ke, fuerza de fluencia, Fy, rigidez por endurecimiento por deformación Ks=αsKs. Si se incluye la degradación en la curva backbone comienza una rama descendente en δc, el cual corresponde a la resistencia “capping” Fc. Si δc es normalizada con la deformación de fluencia δy, el resultado es la ductilidad del elemento, la diferencia entre δc y δy, se le llama desplazamiento “capping”, δp. La rama descendente está definida por la rigidez “post-capping” Kc= αcKe, el cual tiene una pendiente negativa, la diferencia entre δr y δc, se le llama desplazamiento “post-caping”, δpc. En la parte final de la curva backbone, se puede asignar una fuerza residual Fr=λFy, el cual representa una fracción de la resistencia de fluencia del elemento que es preservada una vez alcanzada la deterioración. Los parámetros αs, δc/δy, αc y λ son obtenidos cada uno de forma analítica con calibraciones de modelos de histeréticos con datos de pruebas experimentales, estos parámetros pueden tener diferentes valores en dirección positiva y negativa. Es común que los elementos se diseñen para no incursionar en la rama descendente de la curva, antes de δc, con este criterio se evita una degradación súbita en el elemento y estar del lado de la seguridad en el diseño.

Figura 3.2— Curva backbone (tomada de Ibarra et al. 2005).

31

3.1.2 Modelos histeréticos

Los modelos histeréticos proporciona las coordenadas carga-deformación de puntos

de que representan la respuesta de un elemento sujeto a cargas cíclicas. Se han desarrollado modelos de histeréticos de acuerdo a las necesidades propias del material como del comportamiento de los elementos, por ejemplo, modelos histeréticos para cortante, flexión, axial, interacción flexión-cortante, interacción flexión-axial, etc. Los modelos histeréticos definen el comportamiento no lineal ante casos de carga que exhiben reversiones de carga y cargas cíclicas, ante carga monotónicas el comportamiento no es afectado. Entre los modelos de histéresis más utilizados para elementos de concreto reforzado se tienen: modelo de Clought, modelo de Takeda, modelo de peak-oriented, modelo pinching.

En los modelos histeréticos se define como etapa de “carga” al incremento de la magnitud de la deformación en una dirección ya sea positiva o negativa, se define etapa de “descarga” a un decremento de la deformación, y la etapa “recarga” representa un incremento en la deformación con el cambio de signo durante la descarga, Figura 3.3.

Figura 3.3— Caracterización de un modelo histerético.

Modelo histerético de Clought y Johnston (1966).

En este modelo histerético la rigidez de la descarga se reduce gradualmente de acuerdo con la ec. (3.1), de forma ilustrativa se observa en la Figura 3.4.

𝐾𝐾𝑅𝑅 = 𝐾𝐾0 �𝐷𝐷𝑦𝑦𝐷𝐷𝑚𝑚

�𝛽𝛽

≤ 𝐾𝐾0 (3.1)

donde:

𝐾𝐾𝑅𝑅: Rigidez de descarga.

𝐾𝐾0: Rigidez de elástica.

F

δ

Carga

Descarga

Recarga

Curva backbone

32

𝐷𝐷𝑦𝑦: Desplazamiento de fluencia en la región de inicio de descarga.

𝐷𝐷𝑚𝑚: Desplazamiento máximo en la región de inicio de descarga (remplazado con el desplazamiento de fluencia en la región donde la fluencia no ha ocurrido).

𝛽𝛽: Constante en la rigidez de descarga.

Figura 3.4— Modelo histerético de Clought y Johnston (1966).

Modelo histerético de Takeda.

En 1970, Takeda basándose en la observación experimental en pruebas de elementos de concreto reforzado desarrollo un modelo con una curva backbone trilineal que degrada la rigidez de descarga basada en el máximo desplazamiento del sistema. El modelo de Takeda se basa en 7 condiciones y reglas de carga y descarga, Takeda (1970), las principales condiciones están resumidas en la Figura 3.5. En la Figura 3.5a y Figura 3.5b, muestra la dirección de descarga y recarga cuando se presenta una descarga después de la fuerza de agrietamiento (Fagr) pero antes de la fuerza de fluencia (Fy), en estos casos la descarga regresa a Fagr en el sentido opuesto y sigue con la curva backbone, la Figura 3.5c aplica cuando la descarga es después de la fuerza de fluencia, la rigidez de descarga KR0 se calcula con la ec. (3.2). Los lazos internos de histéresis (Figura 3.5d) se forman cuando la descarga toma lugar antes que la carga alcance el desplazamiento objetivo en la curva backbone mientras la recarga está en proceso, el cual toma lugar después del cambio de signo de la carga en el proceso de la descarga, la rigidez de los lazos internos es determinada por la ec. (3.3).

𝐾𝐾𝑅𝑅0 = �𝐹𝐹𝑦𝑦 + 𝐹𝐹𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝐷𝐷𝑦𝑦 + 𝐷𝐷𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎

� �𝐷𝐷𝑦𝑦𝐷𝐷𝑀𝑀

�𝛽𝛽

(3.2)

donde:

33

KR0 : Rigidez de descarga de los lazos exteriores. Fagr : Fuerza de agrietamiento en la región opuesta al punto de descarga. Fy : Fuerza de fluencia en la región en el cual el punto de descarga pertenece. Dy : Desplazamiento de fluencia en la región en el cual el punto de descarga pertenece. DM : Máxima deformación en la región en el cual el punto de descarga pertenece. β : Constante para determinar la rigidez de descarga del lazo exterior.

𝐾𝐾𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝛾𝛾𝐾𝐾𝑅𝑅0 (3.3)

donde:

KRI : Rigidez de descarga de los lazos internos.

γ : Factor de reducción de lazos internos.

Figura 3.5— Modelo histerético de Takeda (adaptado de Manual Midas).

Los variables β y γ, en los modelos histeréticos anteriores regularmente toman valores de 0.4 y 1.0 respectivamente, sin embargo, estos se deben ajustar para obtener la mejor predicción de la respuesta de cada elemento estructural, en el caso de elementos de concreto reforzado estos valores están principalmente en función del nivel de detallado de acero

34

causando mayor la capacidad de absorción de energía. Se recomiendan en los códigos de diseño realizar pruebas experimentales para conocer físicamente el comportamiento de los elementos y con los resultados obtenidos ajustar las variables necesarias en los modelos histeréticos para realizar análisis estructurales que más se asemejen al comportamiento real del elemento.

Ibarra et al. (2005) describe tres modelos histeréticos tradicionales, estos modelos se ajustan a la curva backbone de la Figura 3.2, los tres modelos histeréticos son los siguientes:

Modelo histerético bilineal.

Este modelo es basado en reglas histeréticas bilineales estándar con endurecimiento por deformación cinemático. Estas reglas son preservadas una vez que las ramas “post-capping” y resistencia residual son incluidas, sin embargo, es necesario introducir la “resistencia límite” cuando la curva backbone incursiona en una en una rama con pendiente negativa, Figura 3.6. De acuerdo con las reglas cinemáticas el segmento de carga que comienza en 5 podría continuar hasta el punto 6’, sin embargo, el segmento de carga termina cuando este intercepta con “la resistencia limite” en el punto 6. Si esta condición no fuera establecida la resistencia en la dirección de la carga podría incrementar en etapas ultimas de deterioración. Este modelo histeréticos es usado principalmente en elementos de acero.

Figura 3.6— Modelo histerético bilineal con resistencia limite (tomada de Ibarra et al. 2005).

Modelo histerético Peak-oriented.

En un modelo de histerético de peak-oriented el punto de respuesta en la descarga se mueve hacia el máximo punto de desplazamiento en el lado opuesto, Figura 3.7.

El modelo peak-oriented de Ibarra et al. (2005) toma las reglas básicas histeréticas propuestas por Clogh y Johnston (1966), la curva backbone es modificada para incluir la resistencia capping y la resistencia residual. La presencia de una pendiente negativa no modifica cualquier regla básica del modelo. La Figura 3.8 muestra la deterioración de la

35

rigidez de recarga para un modelo de peak-oriented una vez que el eje horizontal es alcanzado (puntos 3, 7 y 11). La dirección de la recarga siempre llega al máximo desplazamiento previo.

Figura 3.7— Modelo histerético peak-oriented.

Figura 3.8—Reglas básicas para modelo histerético peak-oriented (tomada de Ibarra et al. 2005).

Modelo histerético Pinching.

El modelo pinching es similar a un peak-oriented, excepto que la recarga consiste en dos partes. Inicialmente la dirección de la recarga es dirigida hacia un “break point”, el cual es una función de la máxima deformación permanente y la máxima carga experimentada en la dirección de la carga. El break point es definido por el parámetro κf, el cual, modifica la máxima resistencia “pinched” (puntos 4 y 8 de la Figura 3.9a), y el κd, el cual define el desplazamiento de el break point (puntos 4’ y 8’). La primera parte de la rama de recarga es definida por Krel,a y una vez que el break point es alcanzado (puntos 4’ y 8’), la dirección de la recarga es dirigida hacia la máxima deformación de los primeros ciclos en la dirección de la carga (Krel,b).Si la deformación absoluta de la recarga (punto 13, Figura 3.9b) es mayor que

36

el valor absoluto de (1-κd)δper, la dirección de la recarga consiste de una rama con dirección hacia la deformación previa máxima de la dirección de la carga.

Figura 3.9— Modelo histerético pinching: a) reglas básicas del modelo; b) modificación si la deformación en la recarga está a la derecha del break point (tomada de Ibarra et al. 2005).

3.1.3 Modelos de deterioro

La autor de esta investigación de acuerdo a la experiencia y práctica profesional, la

mayoría de los despachos de cálculo elaboran los análisis no lineales únicamente utilizando los modelos histeréticos mencionados en el Capítulo 3.1.2 entre otros, la mayoría de los modelos histeréticos toman en cuenta un deterioro de rigidez en los elementos estructurales, sin embargo, no toman en cuenta por ejemplo el deterioro de la resistencia. El deterioro se produce por el efecto de la repetición de cargas. De acuerdo con Ibarra et al. (2005) el efecto del deterioro en los elementos estructurales se puede observar en la Figura 3.10; se presenta una prueba monotónica y la respuesta de una prueba cíclica de dos paneles idénticos de madera. El resultado de la prueba monotónica muestra que una vez que alcanza su resistencia es seguida de una rigidez negativa. Con los resultados de la respuesta cíclica histerética se puede observar modos de deterioro Ibarra et al. (2005) clasifica los modos de deterioro de la siguiente forma:

1) Deterioración de resistencia básica. Se presenta una deterioración de la resistencia con el número de amplitudes de los ciclos, aun si el desplazamiento asociado con la respuesta máxima ha sido alcanzado (Modo 1 en Figura 3.10). Se representa por una traslación (y posible rotación) de la resistencia pre-fluencia hacia el origen.

2) Deterioración de resistencia post-capping. Existe una deterioración de resistencia cuando se alcanza la rigidez negativa (Modo 2 en Figura 3.10). Se representa por una traslación (y posible rotación) de la post-fluencia hacia el origen.

37

3) Deterioración por rigidez de descarga. La rigidez de la descarga se deteriora por el número de ciclos (Modo 3 en Figura 3.10). Se representa por una rotación de la pendiente de la descarga.

4) Deterioración por rigidez de recarga acelerada. Para una amplitud de deformación dada, el segundo ciclo se presenta un pequeño pico en la resistencia mayor que el primero, por lo tanto, la fuerza incrementa y la resistencia es alcanzada si la amplitud del segundo ciclo es incrementada. (Modo 4 en Figura 3.10). Se representa por un movimiento del punto en el cual la resistencia es alcanzada lejos del origen. Este modo de deterioración es evidente en vigas de concreto reforzado sujeta a una fuerza cortante alta. Si la envolvente de resistencia es alcanzada tras el incremento de amplitud de deformación en ciclos subsecuentes, entonces la deterioración no es deterioración básica por resistencia, es una deterioración por rigidez de recarga acelerada.

Figura 3.10— Respuesta experimental monotónica y cíclica de un panel de madera, (tomada de Ibarra et al. 2005).

Los cuatro modos de deterioro son activados una vez que el punto de fluencia es superado en al menos una dirección. Ibarra-Krawinkler basan sus ciclos de deterioro en la energía histerética disipada cuando un componente está sujeto a cargas cíclicas. Se considera que cada componente posee una capacidad de energía de disipación histerética, sin importar la historia de carga aplicada en el componente, Ibarra et al. (2005). De acuerdo con este autor, el deterioro cíclico en una incursión i es definida por el parámetro βi el cual está dado por la ec. (3.4) :

𝛽𝛽𝑒𝑒 = �𝐸𝐸𝑒𝑒

𝐸𝐸𝑇𝑇 − ∑ 𝐸𝐸𝑗𝑗𝑒𝑒𝑗𝑗=1

�𝑐𝑐

(3.4)

donde:

𝛽𝛽𝑒𝑒 = parámetro que define la deterioración en la incursión i.

𝐸𝐸𝑒𝑒 = energía histerética disipada en la incursión i.

38

∑𝐸𝐸𝑗𝑗 = energía histerética disipada en todas las incursiones en ambas direcciones positiva y negativa.

𝑐𝑐 = exponente que define la velocidad del deterioro. Si la historia de desplazamiento consiste en ciclos con amplitudes constantes un valor de 1 implica una velocidad de deterioración casi constante; para la misma historia de desplazamientos un valor de c=2 muestra una baja de velocidad de deterioración en los primeros ciclos y aceleradas velocidades de deterioración en los últimos ciclos.

𝐸𝐸𝑇𝑇 = es la capacidad de disipación de energía histerética expresada como un múltiplo de 𝐹𝐹𝑦𝑦𝛿𝛿𝑝𝑝, es decir, 𝐸𝐸𝑇𝑇 = 𝜆𝜆𝐹𝐹𝑦𝑦𝛿𝛿𝑝𝑝. El parámetro λ es calibrado con resultados experimentales y puede ser diferente para cada modo de deterioración.

A través de toda la historia de carga, βi, debe estar entre los valores de 0< βi ≤1. Si βi está fuera de estos límites (βi ≤0 o βi>1), la capacidad de energía histerética es agotada y se asume que toma lugar al colapso, matemáticamente:

𝜆𝜆𝐹𝐹𝑦𝑦𝛿𝛿𝑝𝑝 −�𝐸𝐸𝑗𝑗

𝑒𝑒

𝑗𝑗=1

≤ 𝐸𝐸𝑒𝑒 (3.5)

Los modos de deterioro son descritos a continuación, y es lo presentado por Ibarra et al. (2005):

1) Deterioración de resistencia básica. Es definida por un traslado de la rama por endurecimiento por deformación hacia el origen reduciendo la resistencia de fluencia a:

𝐹𝐹𝑒𝑒+ = �1 − 𝛽𝛽𝑠𝑠,𝑒𝑒�𝐹𝐹𝑒𝑒−1+ y 𝐹𝐹𝑒𝑒− = �1 − 𝛽𝛽𝑠𝑠,𝑒𝑒�𝐹𝐹𝑒𝑒−1− (3.6)

donde 𝐹𝐹𝑒𝑒+/− y 𝐹𝐹𝑒𝑒−1

+/− son el deterioro de la fuerza por fluencia después y antes de la incursión i respectivamente. Existe un valor positivo y negativo para cada parámetro de deterioro debido a que el algoritmo deteriora la resistencia independientemente en ambas direcciones. El parámetro βsi es calculado con la ec. (3.4), en cada tiempo en que la trayectoria inelástica cruza el eje horizontal y es asociado con el apropiado valor λ del modelo de deterioración de resistencia básica (λs).

El modelo de deterioro básico por resistencia también incluye la deterioración de la pendiente de endurecimiento por deformación, el cual es rotada de acuerdo con la siguiente ecuación:

𝐾𝐾𝑠𝑠,𝑒𝑒+ = �1 − 𝛽𝛽𝑠𝑠,𝑒𝑒�𝐾𝐾𝑠𝑠,𝑒𝑒−1

+ y 𝐾𝐾𝑠𝑠,𝑒𝑒− = �1 − 𝛽𝛽𝑠𝑠,𝑒𝑒�𝐾𝐾𝑠𝑠,𝑒𝑒−1

− (3.7)

39

La pendiente del endurecimiento por deformación también es deteriorada

independientemente en ambas direcciones. La consecuencia es que la pendiente del endurecimiento por deformación es cero cuando la fuerza de fluencia ha sido deteriorada a cero.

Un modelo de peak-oriented es usado en la a para ilustrar este modo de deterioración, Figura 3.11a. Al punto 3, βs es calculado por primera vez y la resistencia de fluencia del lado negativo es reducida de 𝐹𝐹𝑦𝑦− a 𝐹𝐹1−. Además, la pendiente del endurecimiento por deformación se reduce de 𝐾𝐾𝑠𝑠,0

− a 𝐾𝐾𝑠𝑠,1− . En el punto 7, βs es calculado otra vez y la fuerza de fluencia

positiva es modificada de 𝐹𝐹𝑦𝑦+ a 𝐹𝐹1+.

2) Deterioración de resistencia post-capping. Este modo de deterioración se ilustra en la Figura 3.11b, se observa un traslado de la rama post-capping hacia el origen, diferente a la deterioración de resistencia básica la pendiente de la rama post-capping permanece constante. La rama post-capping es movida hacia dentro una cantidad a reducir a una reducción de la fuerza de referencia de acuerdo con:

𝐹𝐹𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒,𝑒𝑒+/− = �1 − 𝛽𝛽𝑐𝑐,𝑒𝑒�𝐹𝐹𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒,𝑒𝑒−1

+/− (3.8)

donde 𝐹𝐹𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒+/− es la intersección del eje vertical con la proyección de la rama post-capping

(Figura 3.11b). Existe una fuerza de referencia positiva y negativa independientemente para deterioro de resistencia post-capping positiva y negativa. El parámetro βs es calculado con la ec. (3.4) y es asociado con un apropiado valor de λ del modelo de deterioración de resistencia post-capping (λc).

La resistencia de deterioración post-capping es calculada en cada tiempo que es cruzado el eje horizontal, pero este puede no afectar la dirección de la carga en las primeras etapas de no linealidad. En la Figura 3.11b la primera deterioración de resistencia post-capping es calculada en el punto 3 y el punto de referencia negativo es movido a 𝐹𝐹𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒,1

− . Esta modificación de la curva backbone no afecta la dirección de la carga por que el desplazamiento negativo no alcanza la rama post-capping. En el punto 6, la deterioración de resistencia post-capping es otra vez calculada, en esta ocasión la dirección de la carga es modificada debido a que el desplazamiento “cap” �𝛿𝛿𝑐𝑐,1

+ �es excedido en esta incursión.

3) Deterioración por rigidez de descarga. La rigidez de descarga (Ku) es deteriorada de acuerdo con:

𝐾𝐾𝑢𝑢,𝑒𝑒 = �1 − 𝛽𝛽𝑘𝑘,𝑒𝑒�𝐾𝐾𝑢𝑢,𝑒𝑒−1 (3.9)

donde Ku,i y Ku,i-1 son la rigidez de descarga deteriorada después y antes de cada incursión i, respectivamente. El parámetro βk,i es calculado con la ec. (3.4) y asociada con un a

40

apropiado parámetro de deterioración cíclica λk. El parámetro β es calculado cuando la carga reversible toma lugar en el rango inelástico, diferente a los otros tres parámetros β que son calculados cuando la dirección de la carga cruza el eje horizontal. Este modo de deterioro en es actualizada simultáneamente en ambas direcciones (por ejemplo, para descarga positiva y negativa), consecuentemente el deterioro de rigidez de descarga se deteriora hasta el doble que los otros modos, así λk debe ser alrededor de dos veces mayor que los otros valores de λ, λk = 2 λs,k.a.

En la Figura 3.11c muestra un modelo de peak-oriented que incluye el deterioro de rigidez de descarga. En el punto 2, ocurre la primera inversión en el rango inelástico y la rigidez de descarga se deteriora de Ke a Ku,1. En el punto 5 ocurre la primera inversión del lado negativo y Ku,2 es calculado basado en el actual valor de βk y Ku,1.

4) Deterioración por rigidez de recarga acelerada. Este modo de deterioración incrementa el valor absoluto del desplazamiento objetivo, definido como el máximo desplazamiento positivo y negativo de pasados ciclos, de acuerdo a la dirección de la carga. Este modo de deterioración es solo definido para modelo de peak-oriented y pinching, se basa de acuerdo a la siguiente ecuación:

𝛿𝛿𝑡𝑡,𝑒𝑒+/− = �1 + 𝛽𝛽𝑚𝑚,𝑒𝑒�𝛿𝛿𝑡𝑡,𝑒𝑒−1

+/− (3.10)

Se tiene un desplazamiento objetivo (δt) para cada dirección de carga, y la deterioración de rigidez de recarga es calculada en cada tiempo que el eje horizontal es cruzado, Figura 3.11d. Se emplea la ec. (3.4) para calcular βa es basado en un apropiado parámetro λa.

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Figura 3.11— Modos individuales de deterioración ilustrados en un modelo peak-oriented: (a)

deterioración de resistencia básica; (b) deterioración de resistencia post-capping; (c) deterioración por rigidez de descarga y (d) deterioración por rigidez de recarga acelerada, (tomada de Ibarra et al. 2005).

3.2 Diagramas momento curvatura

Como se mencionó en el Capítulo 3.1.1, la curva backbone, Figura 3.2, es una curva que representa la relación esfuerzo-deformación que define las fronteras dentro del cual la respuesta histerética del elemento es confinada. La curva backbone para para elementos esbeltos de cualquier material cuyo comportamiento y daño quede dominado por flexión son:

1) Diagramas momento curvatura.

2) Diagramas momento rotación.

En este apartado se tratarán los diagramas momento curvatura de elementos de concreto reforzado, estos diagramas simulan el comportamiento de la sección transversal de los elementos estructurales. El Apéndice D de las NTCC-17 proporciona ayudas de diseño para obtener los diagramas momento curvatura de elementos de concreto reforzado a través de la teoría usada para calcular resistencias a flexión con las hipótesis de secciones planas permanecen planas después de una deformación y compatibilidad de deformaciones entre los materiales, Figura 3.12. También las NTCC-17 presentan la gráfica esfuerzo deformación del concreto sin confinar y confinado propuesta por Mander (1988), así como la gráfica esfuerzo deformación de aceros nacionales, Figura 3.13.

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Figura 3.12— Compatibilidad de esfuerzos y deformaciones en una sección de concreto reforzado.

a) b)

Figura 3.13— Diagramas esfuerzo deformación de: a) acero de refuerzo, b) concreto sin confinar y confinado.

Una propiedad muy importante del diagrama momento curvatura es que es posible obtener la inercia agrietada, Iagr, en elementos de concreto reforzado, Iagr es la pendiente de la rama inicial de la idealización del diagrama momento-curvatura, en el caso del diagrama no idealizado, la pendiente inicial corresponde a la sección transversal bruta, Ig. Figura 3.14, la pendiente de la rama inicial del diagrama de momento curvatura es EIagr, donde Iagr es la inercia agrietada, Ec es el módulo de elasticidad del concreto reforzado, My es el momento de fluencia, φy la curvatura de fluencia, estos parámetros están relacionados con la ec. (3.11):

𝐼𝐼𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 =𝑀𝑀𝑦𝑦

𝐸𝐸𝑐𝑐𝜑𝜑𝑦𝑦 (3.11)

Para elementos vigas y columnas de concreto reforzado que son diseñados con las NTCC-17, de sus diagramas momento curvatura se obtienen inercias agrietadas promedio para una sección transversal de 0.3Ig para vigas y 0.45Ig para columnas donde se toma en cuenta la carga axial que corresponde a la carga balanceada, Ig es la inercia gruesa del elemento.

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Figura 3.14— Diagrama momento curvatura de elementos de concreto reforzado.

Aquí se puede hacer una reflexión del valor de inercia a utilizar en los análisis estructurales de elementos de concreto reforzado, ¿si se sabe que por la teoría de flexión se obtienen para una sección transversal inercias agrietadas alrededor de 0.3Ig para vigas y 0.45Ig para columnas ¿porque las NTCC-17 en su Tabla 3.2.1 indica utilizar valores de 0.5Ig y 0.7Ig para vigas y columnas agrietadas, para el análisis estructural? La respuesta es que las inercias agrietadas de 0.3Ig y 0.45Ig es a nivel sección, aquella sección que llega a su momento de fluencia, por ejemplo los extremos de una viga o columna doblemente empotrada sometida a una demanda de carga lateral; por otra parte a nivel elemento, no todo el elemento está sometido a la misma demanda de flexión, las partes centrales de este mismo elemento ante carga lateral tienen poca demanda de flexión, el agrietamiento en esta zona es menor, sin embargo como se muestra en el Capítulo 3.4.1los extremos agrietados (la inercia agrietada en los extremos) dominan la respuesta del elemento; por ultimo a nivel estructura la demanda a flexión es diferente en los elementos, algunos elementos fluyen, otros no, el agrietamiento no es el mismo en todos los elementos de la estructura, la rigidez global de la estructura depende de que tanto se ha extendido el agrietamiento en los elementos que conforman la estructura, Figura 3.15; las inercias de las NTCC-17 de 0.5Ig y 0.7Ig hacen una simplificación para de tomar en cuenta un promedio de inercias en todos elementos de la estructura y representar esa rigidez global.

Por otra parte, en la práctica comúnmente los diagramas momento curvatura son obtenidos considerando que toda la sección está confinada, asignándole la gráfica esfuerzo deformación del concreto confinado, sin embargo, es posible darse cuenta que los recubrimientos en vigas y columnas no están confinados, en vigas T la sección del patín tampoco está confinada, por lo tanto, a estas partes de las secciones se les debe asignar el esfuerzo del concreto correspondiente sin confinar, Figura 3.13b. Los ingenieros de la práctica generalmente consideran que la sección es totalmente confinada ya que tienen ahorros en tiempos de cálculo, sin embargo, como se verá más adelante considerar sección confinada o semiconfinada no afecta mucho el comportamiento en elementos con carga axial pequeña, es decir, menores a su carga axial balanceada.

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Figura 3.15— Demanda a flexión en elementos en estructura global.

Para observar los cambios en la resistencia y comportamiento de una sección totalmente confinada y una sección semiconfinada se estudió la sección de una viga y una columna considerando dos casos: 1) considerando que toda la sección totalmente confinada y 2) considerando la sección semiconfinada, Figura 3.16.

Figura 3.16— Secciones confinadas y semiconfinadas.

El comportamiento de la viga se representa con la Figura 3.17, en línea punteada se muestra el diagrama considerando la sección confinada y en línea continua la sección semiconfinada. Antes del momento de fluencia la resistencia en la sección confinada y semiconfinada es la misma debido a que fluye primero el acero de refuerzo sin que el concreto alcance su deformación de 0.003, deformación última del concreto sin confinar. Para secciones semiconfinadas cuando el concreto alcanza la deformación de 0.003 se observa un

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pequeño brinco en la gráfica, a partir de esta etapa se considerará que el concreto sin confinar desparece y deja de aportar resistencia, sin embargo, cuando desaparece el concreto sin confinar las deformaciones en el acero de refuerzo no tiene un cambio significativo manteniéndose casi las mismas fuerzas con los mismos brazos de palanca resultando un momento simular al momento de sección totalmente confinada.

Generalmente los diagrama momento curvatura son idealizados con una curva bilineal, presentada en color rojo en la Figura 3.17, esta curva idealizada es muy simular para las secciones confinadas y semiconfinadas. Para esta viga T de estudio, cuando se considera la sección confinada se tiene un momento positivo resistente de 29.8 ton-m y un momento positivo de 27.2 ton-m cuando se considera la sección semiconfinada; para momentos resistentes negativos 32.2 ton-m y 31.7 ton-m para sección confinada y semiconfinada respectivamente.

Figura 3.17— Momento curvatura de viga T con sección confinada y semiconfinada.

Los diagramas momento curvatura de una sección confinada y semiconfinada

comienzan a tener diferencias significativas de cuando la carga axial en el elemento es mayor a la carga axial correspondiente a la falla balanceada, esto es común para el caso de columnas. Por ejemplo, para la columna mostrada en la Figura 3.18, los momentos resistentes de la sección confinada y semiconfinada para una axial de 59 ton son de 72.2 ton-m y 69.8 ton-m respectivamente, no se tiene un cambio de resistencia significativo; para la misma columna, pero con una carga axial de 450 ton, los momentos resistentes de la sección confinada y semiconfinada son de 86.5 ton-m y 70.7 ton-m respectivamente, ya comienza a existir una disminución notable en la resistencia del elemento.

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Figura 3.18— Momento curvatura de columna con sección confinada y semiconfinada.

En los análisis no lineales es conveniente utilizar el giro, θ, de los elementos estructurales. La relación que existe entre la curvatura, φ, con el giro en los elementos es a través de la longitud plástica, Lp, si se multiplica la curvatura plástica (φu – φy) por la Lp se obtiene el giro plástico θp en la sección, un ejemplo de esta relación es el que se muestra en la viga en volado de la

Figura 3.19, la Etapa 1 es una etapa elástica donde se alcanza el momento y curvatura de fluencia (φy) en el empotramiento de la viga, la deflexión en esta etapa es una deflexión elástica calculada como Δy=φyL2/3, si continua incrementando la carga en el extremo se pasa a la Etapa 2, aquí comienza la aparición de la articulación plástica en el empotramiento con curvaturas mayores a la fluencia, si continua incrementando la carga las curvaturas mayores a la fluencia se propagan dentro de la articulación plástica Lp, así se pasa a la Etapa 3, en la cual la articulación plástica está totalmente desarrollada alcanzando la curvatura última (φu) en esta etapa la deflexión plástica es calculada como Δp=θp(L-Lp/2). La longitud de la articulación plástica Lp, varia de 0.5h a 1.0h, un valor común es 0.75h, donde h es el peralte total del miembro.

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Figura 3.19— Giro de los elementos estructurales.

Así, una vez iniciada la fluencia se puede pasar de un diagrama momento curvatura a un diagrama momento rotación por medio de la longitud de la articulación plástica Lp, Figura 3.20.

Figura 3.20— Diagrama momento rotación a través de un diagrama momento curvatura.

En el Capítulo 4 de este documento se presenta los análisis estáticos no lineales de la estructuras de estudio de la Figura 2.1, en ese capítulo se realiza una comparación de la respuesta de las estructuras utilizando los diagramas momento curvatura con secciones confinadas y semiconfinadas, además se hace una comparación de las ductilidades obtenidas en cada una de estas estructuras de acuerdo con el factor de comportamiento sísmico con las cuales fueron diseñadas.

Se debe volver a mencionar que al hacer uso de diagramas momento curvatura en elementos de concreto reforzado se excluyen principalmente efectos de deslizamientos y pandeos de los aceros de refuerzo, así como efectos de cortante, estos efectos flexibilizan los elementos generando incrementos en los desplazamientos incluso desde antes de la fluencia. Una manera de tomar en cuenta estos fenómenos distintos a la flexión es a través de la inercia del elemento, es decir, se asigna un valor aún más bajo en la inercia, alrededor de 0.3Ig,

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provocando una flexibilización en el elemento teniendo como consecuencia mayores desplazamientos ante las cargas demandadas, Figura 3.21.

Figura 3.21— Diagrama momento curvatura con efectos adicionales a la flexión.

Los efectos de deslizamientos, pandeos de los aceros y efectos de cortante son difíciles de idealizar a través de teorías analíticas usuales que se conocen en la mecánica de los materiales, por esta razón, distintos institutos de investigación entre ellos PEER (Pacific Earthquake Engineering Research Center) han realizado pruebas experimentales de cientos de elementos de concreto reforzado, tomando en cuenta distintas variables, entre ellas, porcentajes de acero de refuerzo, nivel de confinamiento, carga axial, condiciones de apoyo, etc., y se han propuesto diagramas momento rotación donde se toma de forma directa efectos de flexión como los demás efectos deslizamiento de los aceros de refuerzo y efectos de cortante. En el Capítulo 3.3 se presentan estos diagramas momento rotación obtenido de forma experimental.

3.3 Diagramas momento rotación experimentales

En este apartado se tratarán los diagramas momento rotación, mismos que son obtenidos de resultados de pruebas experimentales. La manera más real de conocer el comportamiento de un elemento de concreto reforzado es a través de pruebas experimentales en laboratorio, donde se toman en cuenta distintas fuentes de deterioro como el deslizamiento de las varillas de refuerzo, pandeo del acero, estallamiento del concreto, pérdida de resistencia por la acción cíclica de las cargas, etc.

En el diseño de una estructura, la forma correcta de idealizar sus elementos estructurales en un análisis no lineal, es tomando los resultados del comportamiento de los elementos que conforman dicha estructura obtenidos de pruebas experimentales realizadas en laboratorios que cuenten con la capacidad para esta tarea, este procedimiento en muchas

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ocasiones es lento y costoso, de tal manera que los diseñadores deben partir de bases o de pruebas de laboratorio ya realizadas de otros elementos estructurales.

Las NTCC-17, en el Apéndice D, proporcionan fórmulas para la construcción de diagramas momento rotación de elementos de concreto reforzado, mismos que pueden ser usados para el diseño estructural y en un posible futuro ser probados experimentalmente para comprobar su comportamiento.

Las fórmulas presentadas en el Apéndice D para la construcción de diagramas momento rotación de elementos de concreto reforzado fueron obtenidas del estudio “Haselton, C. B.; Liel, A. B.; Taylor Lange, S, and Deierlein, G. G. (2008). “Beam-Column Element Model Calibrated for Predicting Flexural Response Leading to Global Collapse of RC Frame Buildings”, Peer Report 2007/03”; en el cual se probaron en laboratorio 255 especímenes de concreto reforzado cada uno con distintas variaciones de los siguientes parámetros de diseño, cargas axiales (υ), relaciones de carga axial contra carga axial balanceada (P/Pb), resistencia de los materiales (f’c, fy), relación de claro a cortante contra el peralte del elemento mejor conocido como relación de aspecto (Ls/H), relación de separación de estribos contra diámetro de varilla longitudinal (s/db), relación de confinamiento lateral (ρsh), factor de confinamiento efectivo (ρeff = ρsh fysh / f’c) y cuantías de acero longitudinal en tensión y compresión (ρ, ρ’); en la Figura 3.22 se muestran los parámetros de diseño en los 255 especímenes. Las pruebas experimentales fueron cíclicas logrando obtener la energía de disipación de cada espécimen.

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Figura 3.22— Parámetros de diseño de 255 pruebas experimentales de columnas, (tomada de Haselton

et al. 2008).

Haselton et al. (2008) a través de la respuesta histerética de todos los experimentos obtiene una curva inicial backbone, refiriéndose como curva inicial, aquella que no toma en cuenta la degradación del elemento ante la repetición de cargas cíclicas, esta curva inicial es la que se presenta en las NTCC-17 en el Apéndice D, Figura 3.23. Las NTCC-17 si mencionan que se trata de una curva inicial y no toma en cuenta la degradación, sin embargo, no presenta la modificación de esta curva para tomar en cuenta esta repetición de cargas, el procedimiento se menciona en el Capítulo 3.5 de este documento, procedimiento que principalmente afecta la rama descendente “post-capping”.

Figura 3.23— Curva backbone inicial (momento rotación sin daño).

Curva inicial

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Haselton et al. (2008) propone las ec. (3.12) para la construcción de la curva backbone inicial que presenta Ibarra et al. (2005) en la Figura 3.2.

𝜃𝜃𝑝𝑝 = 0.121(1 + 0.55𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠)0.16𝜗𝜗(0.02 + 40𝜌𝜌𝑠𝑠ℎ) 0.43(0.54)0.01𝑐𝑐𝑢𝑢𝑒𝑒𝑐𝑐′(0.66)0.1𝑠𝑠𝑛𝑛(2.27)10.0𝜌𝜌

𝜃𝜃𝑝𝑝𝑐𝑐 = (0.76)(0.031)𝜗𝜗(0.02 + 40 𝜌𝜌𝑠𝑠ℎ )1.02 ≤ 0.10 (3.12)

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀

= (1.25)(0.89)𝜗𝜗(0.91)0.01𝑐𝑐𝑢𝑢𝑒𝑒𝑐𝑐′

𝑀𝑀𝑀𝑀 = 0

donde:

𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠 = 1 a menos que se evite el deslizamiento por falla de adherencia.

𝜗𝜗 = 𝑃𝑃 / 𝑓𝑓𝑐𝑐′𝐴𝐴𝑎𝑎 es el índice de carga axial.

𝜌𝜌𝑠𝑠ℎ = 𝐴𝐴𝑠𝑠ℎ / 𝑠𝑠𝑠𝑠 relación de refuerzo transversal en la zona de articulación plástica, Ash es el área de refuerzo transversal, s separación de estribos.

𝑐𝑐𝑢𝑢 es un factor de conversión de unidades igual a 1.0 para sistema internacional (SI) en MPa y 0.1 para sistema métrico (MKS) en kg/cm2.

𝑠𝑠𝑛𝑛 = (𝑠𝑠/𝑑𝑑𝑏𝑏)(𝑓𝑓𝑦𝑦/100)0.5 es un factor para considerar el pandeo de los estribos, db es el

diámetro de la varilla longitudinal y fy/100 debe cambiarse a fy/1000 en unidades del sistema MKS.

𝜌𝜌 = 𝐴𝐴𝑠𝑠/𝑠𝑠ℎ es la relación de acero longitudinal, As es el área de acero, b y h la dimensiones de la sección.

𝑀𝑀𝑦𝑦 momento resistente de fluencia del elemento estructural.

𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 momento resistente máximo del elemento estructural.

𝑀𝑀𝑎𝑎 momento residual del elemento estructural, conservadoramente se puede despreciar, Mr =0.

Las ec. (3.12) aplican cuando se tiene refuerzo simétrico en los elementos, cuando se tiene refuerzo asimétrico Biskinis (2003) y Haselton et al. (2008) presentan la ec. (3.13) para ajustar θp en elementos con refuerzo asimétrico.

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𝜃𝜃𝑝𝑝(𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝑚𝑚é𝑡𝑡𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡) = �𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀 �0.01,

𝜌𝜌′𝑓𝑓𝑦𝑦𝑓𝑓𝑐𝑐′

�

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀 �0.01,𝜌𝜌𝑓𝑓𝑦𝑦𝑓𝑓𝑐𝑐′��

0.225

𝜃𝜃𝑝𝑝(𝑠𝑠𝑒𝑒𝑚𝑚é𝑡𝑡𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐𝑡𝑡) (3.13)

donde, ρ es la relación de acero de refuerzo a tensión definido como As/bd, ρ’ es la relación de acero de refuerzo a compresión definido como As’/bd, y f’c, fy son las resistencias del concreto y del acero respectivamente.

Haselton et al. (2008) se ajusta también a la teoría de Ibarra et al. (2005) para tomar en cuenta el deterioro de los elementos estructurales y propone la ec. (3.14) para obtener la capacidad de energía, λ, de los elementos de concreto reforzado, este valor de λ es utilizado para la utilización de los modelos de deterioración presentados en el Capítulo 3.1.3 con la ec. (3.4).

𝜆𝜆 = (127)(0.19)𝜈𝜈(0.24)𝑠𝑠/𝑒𝑒(0.595)𝑉𝑉𝑝𝑝/𝑉𝑉𝑛𝑛(4.25)𝜌𝜌𝑠𝑠ℎ,𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (3.14)

donde: 𝜈𝜈 = 𝑃𝑃/𝐴𝐴𝑎𝑎𝑓𝑓𝑐𝑐´ y s/d es la relación entre espaciamiento de estribos y peralte del elemento, Vp/Vn es la relación entre demanda a cortante a la flexión de fluencia y resistencia a cortante de la columna, y 𝜌𝜌𝑠𝑠ℎ,𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 es una medida del confinamiento (ρeff = ρsh fysh / f’c).

El momento resistente de fluencia, My, del elemento puede calcularse con los métodos usuales del bloque equivalente de esfuerzos, pero debe usarse la resistencia esperada del concreto, 𝑓𝑓𝑐𝑐� y el esfuerzo de fluencia esperado del acero, 𝑓𝑓𝑦𝑦� . Biskinis y Fardis (2009) proponen la ec. (3.15) para la obtención del momento de fluencia, esta ecuación es muy potente ya que se puede calcular el momento con carga axial actuante además de tomar en cuenta el confinamiento de la sección.

𝑀𝑀𝑦𝑦 = 𝜑𝜑𝑦𝑦𝑠𝑠𝑑𝑑3 �𝐸𝐸𝑐𝑐 �𝜉𝜉𝑦𝑦

2

2 �1 + 𝛿𝛿′

2 −𝜉𝜉𝑦𝑦3 �

𝑠𝑠𝑤𝑤𝑠𝑠 + �1 −

𝑠𝑠𝑤𝑤𝑠𝑠 � �𝜉𝜉𝑦𝑦 −

𝑡𝑡2𝑑𝑑� �1 −

𝑡𝑡2𝑑𝑑�

𝑡𝑡2𝑑𝑑� +

𝐸𝐸𝑠𝑠(1− 𝛿𝛿′)2 ��1 − 𝜉𝜉𝑦𝑦�𝜌𝜌 + �𝜉𝜉𝑦𝑦 − 𝛿𝛿′�𝜌𝜌′ +

𝜌𝜌𝑣𝑣6

(1 − 𝛿𝛿′)� (1 − 𝛿𝛿′)�

(3.15)

La curvatura de fluencia, φy, utilizada en la ec. (3.15) entre otras, se puede obtener de los diagramas momento curvatura, sin embargo, para poder ahorrar ese cálculo Biskinis y Fardis (2009) proponen la ec. (3.16) y ec. (3.17) para la obtención de la curvatura de fluencia sin necesidad de la construcción del diagrama momento curvatura. La ec. (3.16) aplica en secciones cuando fluye primero el acero de refuerzo, la ec. (3.17) aplica en secciones en las que se alcanza primero el aplastamiento de la fibra extrema en compresión del concreto, esta última aplica para cargas axiales significativas. Estas ecuaciones pueden ser utilizadas para secciones T, con un ancho de patín b, peralte de patín t, y ancho del alma bw; también pueden ser aplicadas en secciones rectangulares sustituyendo b=bw, Es y Ec es el módulo de

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elasticidad del acero y concreto respectivamente, ξy es el peralte del eje neutro a la fibra de fluencia normalizado con el peralte d, y d’ es la distancia del centro de refuerzo de compresión a la fibra extrema en compresión.

Cuando fluye primero el acero de refuerzo:

𝜑𝜑𝑦𝑦 =𝑓𝑓𝑦𝑦

𝐸𝐸𝑠𝑠�1 − 𝜉𝜉𝑦𝑦�𝑑𝑑

𝜉𝜉𝑦𝑦 = (𝛼𝛼2𝐴𝐴2 + 2𝛼𝛼𝐵𝐵)1/2 − 𝛼𝛼𝐴𝐴

𝛼𝛼 =𝐸𝐸𝑠𝑠𝐸𝐸𝑐𝑐

(3.16)

𝐴𝐴 =𝑠𝑠𝑠𝑠𝑤𝑤

�𝜌𝜌 + 𝜌𝜌′ + 𝜌𝜌𝑣𝑣 +𝑁𝑁

𝑠𝑠 𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑦𝑦 � +

1𝛼𝛼𝑡𝑡𝑑𝑑�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑤𝑤

− 1�

𝐵𝐵 =𝑠𝑠𝑠𝑠𝑤𝑤

�𝜌𝜌 + 𝜌𝜌′𝛿𝛿′ +𝜌𝜌𝑣𝑣(1 + 𝛿𝛿′)

2+

𝑁𝑁𝑠𝑠 𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑦𝑦

� +1

2𝛼𝛼�𝑡𝑡𝑑𝑑�2�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑤𝑤

− 1�

𝛿𝛿′ =𝑑𝑑′𝑑𝑑

Cuando se alcanza primero el aplastamiento de la fibra extrema en compresión del concreto:

𝜑𝜑𝑦𝑦 =𝜀𝜀𝑐𝑐𝜉𝜉𝑦𝑦𝑑𝑑

≈1.8 𝑓𝑓′𝑐𝑐𝐸𝐸𝑐𝑐𝜉𝜉𝑦𝑦𝑑𝑑

𝜉𝜉𝑦𝑦 = (𝛼𝛼2𝐴𝐴2 + 2𝛼𝛼𝐵𝐵)1/2 − 𝛼𝛼𝐴𝐴

𝛼𝛼 =𝐸𝐸𝑠𝑠𝐸𝐸𝑐𝑐

(3.17)

𝐴𝐴 =𝑠𝑠𝑠𝑠𝑤𝑤

�𝜌𝜌 + 𝜌𝜌′ + 𝜌𝜌𝑣𝑣 −𝑁𝑁

𝜀𝜀𝑐𝑐 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑑𝑑 � +

1𝛼𝛼𝑡𝑡𝑑𝑑�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑤𝑤

− 1�

𝐵𝐵 =𝑠𝑠𝑠𝑠𝑤𝑤

�𝜌𝜌 + 𝜌𝜌′𝛿𝛿′ +𝜌𝜌𝑣𝑣(1 + 𝛿𝛿′)

2 � +

12𝛼𝛼

�𝑡𝑡𝑑𝑑�2�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑤𝑤

− 1�

𝛿𝛿′ =𝑑𝑑′𝑑𝑑

54

3.4 Rigidez de los elementos de concreto reforzado

La construcción del primer parte lineal del diagrama momento rotación, Figura 3.23, es un punto muy importante a tratar. El cálculo de la rotación de fluencia θy está relacionado con la rigidez del elemento y a su vez con la inercia. Haselton et al. (2008) propone las ecuaciones (3.18) y (3.19) para la obtención de la inercia en elementos de concreto reforzado. Con la ec. (3.18) se obtiene la inercia del elemento a la fluencia Iy, con la ec. (3.19) se obtiene la inercia secante cuando el elemento alcanza el 40% de su momento de fluencia, Istf40, Figura 3.24, la fluencia Fy corresponde cuando el lecho del acero de refuerzo más alejado en el elemento alcanza su esfuerzo de fluencia. Se sugiere utilizar la Iy, cuando se esté revisando la estructura ante el máximo sismo de diseño, y utilizar la Istf40, cuando se revise la estructura con el sismo de servicio. Estas ecuaciones fueron obtenidas también de resultados de pruebas experimentales de la base de datos de la Figura 3.22. La rigidez de un elemento está en función de los siguientes factores: 1) flexión pura, 2) cortante, a través del claro a cortante, Ls=M/V, del elemento y 3) deslizamiento del acero de refuerzo (bond slip), las ecuaciones (3.18) y (3.19) toman de forma indirecta los tres factores antes mencionados, en estas ecuaciones P es la carga axial en el elemento, Ag, es el área gruesa y H es el peralte del elemento.

𝐸𝐸𝐼𝐼𝑦𝑦𝐸𝐸𝐼𝐼𝑎𝑎

= −0.07 + 0.59 �𝑃𝑃

𝐴𝐴𝑎𝑎𝑓𝑓𝑐𝑐′� + 0.07 �

𝐿𝐿𝑠𝑠𝐻𝐻� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 0.20 ≤

𝐸𝐸𝐼𝐼𝑦𝑦𝐸𝐸𝐼𝐼𝑎𝑎

≤ 0.60 (3.18)

𝐸𝐸𝐼𝐼𝑠𝑠𝑡𝑡𝑒𝑒40𝐸𝐸𝐼𝐼𝑎𝑎

= −0.02 + 0.98 �𝑃𝑃

𝐴𝐴𝑎𝑎𝑓𝑓𝑐𝑐′� + 0.09 �

𝐿𝐿𝑠𝑠𝐻𝐻� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 0.35 ≤

𝐸𝐸𝐼𝐼𝑠𝑠𝑒𝑒𝑡𝑡40𝐸𝐸𝐼𝐼𝑎𝑎

≤ 0.80 (3.19)

Figura 3.24— Prueba monotónica de elementos de concreto reforzado y la definición de inercias efectivas, Haselton et al. (2008).

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La comparación de la rigidez efectiva de elementos viga-columna de concreto reforzado de las ecuaciones (3.18) y (3.19) con la rigidez efectiva que propone el ASCE 41-17 se muestra en la Figura 3.25. Se observa que el ASCE cae en medio de las ecuaciones de Haselton et al. (2008), para cargas axiales pequeñas o nulas, como en el caso de vigas, la rigidez de fluencia tiene un valor de 0.2Ig, donde Ig es la inercia gruesa del elemento.

Figura 3.25—Comparación de rigidez efectiva de vigas-columnas de concreto reforzado Haselton et al. (2008) con ASCE 41-17.

La relación que existe entre la rotación de fluencia θy, y la rigidez del elemento Iy, es a través de la ec. (3.20), obtenida de la rigidez a flexión de una viga doblemente empotrada sometida a un diagrama de momentos con máximos opuestos en los extremos, Figura 3.26, similar al diagrama de momentos producidos en los elementos de un marco producido por cargas laterales.

𝜃𝜃𝑦𝑦 = 𝑀𝑀𝑦𝑦 𝐿𝐿𝑠𝑠3 𝐸𝐸 𝐼𝐼𝑦𝑦

(3.20)

Figura 3.26—Rigidez a giro de una viga doblemente empotrada con máximos opuestos en los extremos.

56

Para comprender más el significado de la rotación de fluencia θy, se estudió también a Biskinis y Fardis (2009), ellos presentan la ec. (3.21) para la rotación de fluencia tomando en cuenta efectos de cortante y deslizamiento del acero longitudinal de refuerzo, θy slip, la ecuación está dividida en: 1) flexión, primera parte de la ecuación; 2) cortante, segunda parte de la ecuación, esta expresión es empírica y obtenida experimentalmente y 3) deslizamiento del acero de refuerzo, tercera parte de la ecuación, deducida como se muestra en la Figura 3.27, donde dbl es el diámetro de la varilla de acero longitudinal, Es el módulo de elasticidad del acero, fy esfuerzo de fluencia del acero longitudinal de refuerzo, f’c esfuerzo a compresión del concreto.

(3.21)

𝜃𝜃𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝 =𝜑𝜑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑏𝑏𝑠𝑠𝑓𝑓𝑦𝑦8�𝑓𝑓′𝑐𝑐

En la ec. (3.21) φy es la curvatura de fluencia que puede ser obtenida con la ec. (3.16)

o ec. (3.17) , z, es la distancia entre el acero de refuerzo a tensión y el acero de refuerzo a compresión, av = 1, si existe agrietamiento por cortante es decir cuando 𝑉𝑉𝑢𝑢 < 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑅𝑅 =0.5 𝑠𝑠𝑑𝑑 �𝑓𝑓𝑐𝑐′, de otra manera av = 0, Ls es el claro a cortante, h peralte del elemento, as1=0 si no se toma en cuenta el deslizamiento del acero de refuerzo, de otra manera as1=1.

57

Figura 3.27— Deducción de θyslip, adaptada de Biskinis y Fardis (2009).

Para obtener las inercias en elementos de concreto reforzado que resultan de la teoría de Biskinis y Fardis (2009), primero se calculan las rotaciones de fluencia la ec. (3.21), después se despeja el valor de la inercia Iy con la ec. (3.20), como se ha mencionado con anterioridad este valor de Iy ya incluyen efectos de flexión, cortante y deslizamientos del acero longitudinal.

Hasta ahora se tienen tres enfoques para la obtención de la inercia de fluencia: 1) el primer enfoque es Haselton et al. (2008) ec. (3.18), 2) el segundo enfoque es Biskinis y Fardis (2009) ec. (3.21), y 3) el tercero a través de del diagrama momento curvatura; si se comparan estos tres enfoques en la estructura de mediana altura, EDIFN9, Figura 3.28, se puede observar que la inercia de fluencia calculada con Biskinis y Fardis (2009) tiene valores promedio de 0.15Ig para vigas y de 0.2Ig para columnas; las inercias calculadas con Haselton et al. (2008) se tiene un promedio de 0.2Ig y 0.22 Ig para vigas y columnas respectivamente; las inercias de acuerdo al diagrama momento curvatura tienen un promedio de 0.3Ig y 0.4 Ig para vigas y columnas respectivamente. Para tener otra comparación se calculó la inercia de acuerdo al ASCE 41-17, Tabla 3.1, obteniéndose valores de 0.3 Ig para vigas y columnas.

58

Figura 3.28— Comparación de inercias para la estructura EDIFN9.

Tabla 3.1— Valores de inercias efectivas, ASCE 41-17.

Así como se obtuvieron las inercias para la estructura EDIFN9, se calcularon las inercias de fluencia para las estructuras EDIFN3 y EDIFN14, llegando a la misma tendencia de valores de inercia de EDIFN9.

3.4.1 Reflexión sobre el momento de inercia en elementos de concreto reforzado

Hasta aquí es importante hacer una pausa y pensar que las inercias obtenidas con los

enfoques anteriores son significativamente bajas, surgiendo la pregunta ¿realmente se tiene la inercia baja en toda la longitud del elemento? La respuesta es que posiblemente no, sin embargo, para una viga doblemente empotrada con momentos flexionantes debido a fuerzas sísmicas, los extremos de la viga tienen una mayor demanda, en estas zonas si se pudiesen tener inercias bajas, alrededor de 0.2Ig, esta inercia pudiese propagarse una longitud de la articulación plástica Lp, pero para la parte central del elemento se puede pensar que se tiene una inercia del 80 al 100% de la Ig debido a su menor demanda de momento flexionante, ver Figura 3.29.

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Figura 3.29— Patrón de agrietamiento ante sismo de una viga doblemente empotrada.

La obtención del giro en una viga en sus extremos cuando esta ha alcanzado su momento de fluencia, se puede obtener calculando su cortante en el extremo de su viga conjugada cargada con el diagrama de momentos de la viga primaria dividido entre EI, la cual es la curvatura. El diagrama momento curvatura de una sección tiene la forma que se presenta en la Figura 3.30a, el diagrama de momento en una viga doblemente empotrada de longitud L por acciones sísmicas se muestra en la Figura 3.30b, de aquí podemos observar que los momentos máximos, Mmax, se presentan en los extremos, el momento My se presenta a una distancia L1 de los extremos hacia el centro de la viga, L1 es aproximadamente 0.13L y se aproxima a la longitud de la articulación plástica Lp; la viga conjugada cargada con las curvaturas se muestra en la Figura 3.31, en la distancia extrema L1 se carga con la curvatura última de la sección, alrededor de φu =25φy, en la parte central se carga de φy a cero al centro del elemento, la suma de las áreas A1 y A2 será el cortante en el extremo obteniéndose así el giro en la viga. En la misma Figura 3.31 se observa que el área A1 es el 95% y el área A2 es solo el 5% del área total, con esto, se puede concluir que el 95% del giro en una viga doblemente empotrada es aportado por los extremos de la viga donde se tiene una inercia baja alrededor de 0.2Ig.

a) b) Figura 3.30— a) Diagrama momento curvatura, b) Momento sísmicos en viga doblemente empotrada.

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Figura 3.31— Viga conjugada de viga doblemente empotrada carga con el diagrama de curvaturas.

Ahora que se sabe que los extremos de una viga doblemente empotrada se llevan el 95% de todo el giro, se procedió a obtener una inercia equivalente para todo el elemento, de tal manera, que esta inercia representé las inercias pequeñas en los extremos (0.2Ig) y una inercia grande al centro del elemento (0.9Ig), esto se muestra en la Figura 3.32, el valor de la inercia equivalente obtenida es alrededor de 0.35Ig, obtenida de promedios entre longitudes e inercias.

Figura 3.32— Inercia equivalente en viga doblemente empotrada.

De la misma forma que se hizo en la viga en el párrafo anterior, se procedió para un elemento columna, Figura 3.33, obteniendo un valor de 0.38Ig.

De los dos parrados anteriores se observa que las inercias equivalentes en vigas y columnas son muy parecidas a la presentadas por el ASCE 41-17 en su Tabla 10.5, mostrada en este documento en la Tabla 3.1, la cual proporciona una inercia de 0.3Ig para vigas, y para columnas una inercia de 0.3Ig interpolando linealmente hasta 0.7Ig de acuerdo a la carga axial

61

actuante en la columna, a que recordar que las columnas diseñadas con las NTCC-17 para un Q=4 se tienen cargas axiales bajas cercanas a 0.1Agf’c lo que lleva a obtener inercias bajas también en las columnas de acuerdo al ASCE 41-17.

Figura 3.33— Inercia equivalente en columna doblemente empotrada.

Hasta aquí se puede pensar que se podrían realizar tres tipos de análisis 1) el primero con una inercia baja en todo el elemento, tal cual se obtiene de la ec. (3.18) de Haselton et al. (2008), Figura 3.34a; 2) el segundo análisis refinado con una inercia baja en los extremos de los elementos, alrededor de 0.2Ig en una distancia de 0.1L de acuerdo a ec. (3.18), y una inercia alta, 0.9Ig, al centro de los elementos, Figura 3.34b; 3) el tercero con una inercia equivalente de para toda la longitud de los elementos, Figura 3.34c. El segundo análisis refinado ocasionará mayor tiempo en la elaboración de modelos, tiempo de cómputo y procesamiento de resultados, debido a la mayor discretización de los elementos.

a) b) c)

Figura 3.34— a) Análisis con inercias Haselton et al. (2008), b) Análisis con inercias refinadas en los elementos, c) Análisis con inercias equivalente en toda la longitud de los elementos.

62

En la Figura 3.35, se muestra el análisis pushover de la edificación EDIFN14Q=2 utilizando las distintas discretizaciones de inercias en los elementos descritas en el párrafo anterior, se puede observar que la diferencia entre el Modelo 1 con el Modelo 2 no tiene un cambio significativo en el comportamiento de la estructura, aun con inercias grande al centro del elemento, cumpliéndose la teoría donde los extremos de los elementos tienen mayor participación en los desplazamientos en la estructura. En la misma Figura 3.35, también se observa que el comportamiento de la estructura en el Modelo 3 comienza a ser más rígida de los Modelos 1 y 2, con base a lo anterior se descartaron en esta investigación los análisis refinados con inercias bajas en los extremos e inercias altas al centro de los elementos, ya que ocasionaban mayor tiempo de cómputo, tanto en la elaboración de los modelos de análisis como en el procesamiento de los resultados.

Figura 3.35— Análisis pushover de EDIFN14Q=2 comparando inercias en los elementos.

3.5 Modificación del diagrama momento rotación para tomar en cuenta degradación ante cargas cíclicas.

Los análisis no lineales pueden ser de dos tipos: 1) análisis estáticos no lineales, 2)

análisis dinámicos no lineales. Para el análisis estático, es posible utilizar los diagramas momento rotación (curva backbone inicial) sin tomar en cuenta la degradación de los elementos, es decir, se puede construir el diagrama momento rotación directamente con las ec. (3.12), Figura 3.36, sin embargo, si se quiere representar el comportamiento dinámico mediante una curva de capacidad obtenida de un análisis estático no lineal es necesario para este análisis utilizar una curva con degradación.

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Figura 3.36— Diagrama momento rotación inicial.

Para los análisis dinámicos se debe tomar en cuenta la degradación de resistencia y rigidez de los elementos ante carga cíclica, se hace uso de una curva modificada que proviene la curva inicial. De acuerdo con PEER/ATC-72-1 (2010), “Modeling and Acceptance Criteria for Seismic Design and Analyisis of Tall Buildings”, Pacific Earthquake Engineering Research Center, California. October 2010, existen cuatro opciones para tomar en cuenta esta degradación o la construcción de la curva modificada:

d) Opción 1. Utilizar un diagrama momento rotación sin deterioración y tomar explícitamente en un modelo de análisis la degradación de resistencia y rigidez debido a cargas cíclicas, en esta opción es necesario utilizar un software computacional con este alcance, Figura 3.37a.

e) Opción 2. Uso de una envolvente cíclica definida ya sea a partir de resultados experimentales o reglas empíricas calibradas experimentalmente, el modelo de análisis no deberá considera degradación cíclica de resistencia y rigidez, ya que se estaría duplicando la deterioración, Figura 3.37b.

f) Opción 3. Uso de factores de modificación en una curva inicial, Figura 3.37c.

g) Opción 4. Si no se toma en cuenta la rama descendente del diagrama modificado en el modelo de análisis, la deformación ultima de un elemento debe ser limitada a la deformación a la deformación asociada con el 80% de My en la rama descendente del diagrama modificado, Figura 3.37d.

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Figura 3.37— Opciones para tomar en cuenta la degradación del ciclo histerético para un análisis dinámico no lineal, tomado de PEER/ATC-72-1 (2010).

De las cuatro opciones la Opción 1 y 2 son las más realista, pero las más complejas de implementar. En la Opción 3 la curva inicial es modificada para tomar en cuenta implícitamente el deterioro. En la Opción 4 se establece un estricto límite de deformación, en este límite se asume que la resistencia cae a cero, el límite de deformaciones no es para simplificar el modelo, es para mantener a las estructuras en un rango de certeza.

En esta investigación se utilizan las Opción 3 y 4 para modificar la curva inicial y poder tomar en cuenta indirectamente el deterioro. La Opción 3 usa factores para modificar a una curva inicial, la Opción 4 usa conservadoramente deformaciones plásticas límite para controlar el nivel de degradación y mantener las estructuras en un rango con certeza de capacidad de rotación.

De acuerdo a PEER/ATC-72-1 (2010), la decisión de tomar una u otra opción es con base a los siguiente, Figura 3.38:

- Se utilizará la Opción 3, cuando el cortante último actuante en el elemento es menor a 0.8𝑠𝑠𝑑𝑑�𝑓𝑓𝑐𝑐′, aquí las rotaciones θp y θpc son multiplicadas por 0.7 y 0.5 respectivamente, para la obtención de la curva modificada. En esta Opción 3 se limita la rotación a 1.5(θy + θp).

- Se utilizará la Opción 4, cuando el cortante último en el elemento es mayor a 0.8𝑠𝑠𝑑𝑑�𝑓𝑓𝑐𝑐′. En esta Opción 4 la rotación última se toma al 20% de perdida de resistencia en la rama

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descendiente de la curva modificada. La curva modificada es obtenida al igual que la Opción 3 multiplicando las rotaciones θp y θpc por 0.7 y 0.5 respectivamente.

Esta metodología se aprecia lógica ya que a mayor demanda de cortante en el elemento se castiga mayor su capacidad de deformación. En las dos Opciones anteriores (3 y 4) las para articulaciones con alta demanda de cortante es recomendable que los criterios de aceptación sean reducidos a la mitad de los valores calculados a una demanda de cortante de 𝑉𝑉 > 1.6�𝑓𝑓𝑐𝑐′𝑠𝑠𝑑𝑑, con interpolación lineal de valores de demanda de cortante entre 0.8�𝑓𝑓𝑐𝑐′𝑠𝑠𝑑𝑑 < 𝑉𝑉 < 1.6�𝑓𝑓𝑐𝑐′𝑠𝑠𝑑𝑑 .

Figura 3.38— Procedimiento para obtener la curva backbone modificada Opción 3 y Opción 4, tomado de PEER/ATC-72-1 (2010).

En el Capítulo ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. se presentan modelos de análisis a elementos de concreto reforzado que han sido probados experimentalmente, se aplican las metodologías vistas en el Capítulo 3 de este documento, se realizan análisis de plasticidad distribuida (fibras) y plasticidad concentrada (diagramas momento rotación), así mismo, se hace la comparación de lo obtenido en los modelos de análisis con lo obtenido de forma experimental.

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4 ANALISIS NO LINEALES DE LAS EDIFICACIONES DE ESTUDIO

En este Capítulo se presenta los resultados de los análisis no lineales de las estructuras de estudio EDIFN3, EDIFN9 y EDFIN14, Figura 2.1. Las edificaciones se diseñaron con los lineamientos de las NTCS-17 y NTCC-17, de acuerdo con esta última normativa se utilizaron para los análisis estructurales inercias de 0.5Ig y de 0.7Ig en vigas y columnas agrietadas, respectivamente. Cada edificación fue diseñada con un factor de comportamiento sísmico de Q=2, Q=3 y Q=4, es decir se tiene un total de 9 edificaciones en total, cada una de ellas independientes entre ellas, las cuales son EDIFN3Q=2, EDIFN3Q=3, EDIFN3Q=4, EDIFN9Q=2, EDIFN9Q=3, EDIFN9Q=4, EDIFN14Q=2, EDIFN14Q=3 y EDIFN14Q=4. La revisión de distorsiones para cada estructura se presenta de la Figura 2.7 a Figura 2.9.

4.1 Análisis estático no lineal

Los análisis estáticos no lineales son también conocidos como análisis “pushover”, consiste en obtener la respuesta inelástica de una estructura, esta respuesta es reflejada a través de su curva de capacidad, la cual proporciona principalmente el cortante basal resistente de la estructura contra el desplazamiento de azotea, Figura 1.4. La curva se obtiene por medio del incremento de cargas o desplazamientos laterales. Se han propuesto diversos criterios para definir la forma del sistema de cargas o desplazamientos laterales; se incluyen entre ellos los que sugieren tomar la forma del vector de fuerzas de inercia asociado al modo fundamental de vibración o a una superposición de las contribuciones de los modos que más contribuyen a la respuesta.

A través del incremento de carga o desplazamiento lateral, los elementos estructurales comienzan a trabajar dentro de su rango inelástico, en el caso de elementos a flexión, estos llegan al momento de fluencia My e incursionan en su rango de rotaciones plásticas formándose las articulaciones plásticas, con el monitoreo de estas articulaciones en cada elemento se puede encontrar los modos de falla de la estructura.

Existen muchos criterios para detener el incremento de cargas laterales y así obtener el desplazamiento máximo de la estructura, estos criterios dependen de los modos de falla de la estructura, se mencionan cuatro más usuales, Figura 4.1. El primer criterio es detener el análisis cuando se presenta el primer modo de falla, que es cuando un primer elemento que forma la estructura (ya sea viga, columna, muro, etc.) incursiona en el inicio de la rama descendente de su diagrama momento rotación, Figura 4.1a. El segundo modo de falla y como segundo criterio es detener el análisis cuando la curva de capacidad comienza tener un decremento en su resistencia, el decremento es debido a la incursión en la rama descendente en sus diagramas momento rotación de varios elementos estructurales, Figura 4.1b. El tercer modo de falla es cuando se forman articulaciones de los elementos que conforman un nudo, haciendo inestable la estructura, Figura 4.1c. El cuarto criterio y como cuarto modo de falla

67

es cuando se presenta una falla de piso, es decir cuando se articulan todas las columnas de un entrepiso, Figura 4.1d. Cabe destacar que en la mayoría de los análisis pushover en edificios, se presentan articulaciones plásticas en las columnas de la base, por tal motivo requiere mayor detalle en el diseño de estos elementos.

a) b)

c) d)

Figura 4.1— Modos de falla en edificaciones debido a articulaciones plásticas.

Dependiendo la configuración estructural del edificio en ocasiones no se presenta el primer modo de falla, presentándose el segundo, ya que en muchos casos el comportamiento, armado y geometría de algunos elementos estructurales es similar entre ellos ante el incremento carga o desplazamiento lateral, provocando la incursión de las rotaciones en la rama descendente de sus diagramas momento rotación en esos elementos al mismo tiempo. Los modos de falla 3 y 4 son indeseables, debido a que somete a la estructura en condiciones de inestabilidad, además si se utilizó en el diseño de la estructura el criterio de columna fuerte viga débil, la probabilidad aparición de articulaciones en columnas es poca, debido a que las vigas primero llegarán a sus momentos máximos mientras que las columnas permanecen elásticas (debajo de su momento My).

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4.1.1 Análisis estático no lineal mediante diagramas momento curvatura

Los diagramas momento curvatura reflejan el comportamiento de una sección de un elemento ante una carga monotónica creciente, obteniéndose gran capacidad de deformación última. En estos diagramas no se consideran degradación por cargas cíclicas, por tal motivo su uso debe tomarse con cuidado y en el caso de presentarse cargas cíclicas como las de un sismo no se debe tomar como deformación última del elemento la obtenida de estos diagramas, teniéndose que limitar las deformaciones. Una forma posible de tomar en cuenta la degradación es ir modificando el diagrama esfuerzo deformación del concreto con disminuciones de resistencia ante una descarga y recarga en el comportamiento cíclico, este procedimiento esta descrito en las NTCC-17, sin embargo es un procedimiento complejo y poco práctico, además de ser necesario una rutina computacional para ayuda en los cálculos.

Los diagramas momento curvatura son útiles para tener monitorear la aparición de las articulaciones plásticas y así el modo de falla de la estructura. Los softwares de análisis se alimentan de diagramas momento curvatura o diagramas momento rotación. Como se muestra en la Figura 3.20 si se multiplica el diagrama momento curvatura por la longitud de la articulación plástica Lp se puede obtener el diagrama momento rotación de la sección. Por practicidad estos diagramas suelen idealizarse de forma bilineal, con esta idealización se obtiene el momento plástico, Mp, la rotación de fluencia, θy, y la rotación última de la sección, θu. Una manera de obtener estos diagramas bilineales, es partir del origen con la trayectoria elástica hacia momento de fluencia My y encontrar con una línea horizontal de tal manera que se tenga una igualación de áreas como ejemplifica en la Figura 4.2 perteneciente a la viga V1 de la EDFIN9Q=2. En esta investigación a este diagrama se le llamo diagrama momento rotación teórico, es decir, el obtenido de la mecánica de materiales y compatibilidad de deformaciones entre el acero y el concreto como se menciona en el Capítulo 3.2.

Figura 4.2— Idealización bilineal de diagrama momento rotación teórico.

-60

-40

-20

0

20

40

60

-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

My(+)

Mp(+)

Mp(-)

My(-)

θu(+)θy

(+)θy(-)θu

(-)

Área = Área

Área = Área

69

Utilizando diagramas momento rotación teóricos se realizaron análisis pushover de las estructuras de estudio EDIFN3, EDIFN9 y EDIFN14 para la obtención de las curvas de capacidad utilizando el software ETABS, CSI, Figura 4.3, Figura 4.4 y Figura 4.5. En todas las estructuras se utilizó un patrón de carga incremental en función de los desplazamientos del primer modo de vibrar de la estructura, así mismo, en todas las estructuras se utilizó las inercias de las NTCC-17 en su Tabla 3.2.1 (0.5Ig y 0.7Ig para vigas y columnas).

De la Figura 4.3 a la Figura 4.5 se muestra con línea punteada la curva de capacidad tomando en cuenta las secciones totalmente confinadas y con línea continua la curva de capacidad tomando en cuenta la sección semiconfinada, como se mencionó en el Capítulo 3.2; se observa que si existe una pequeña disminución de la resistencia, inclusive despreciable, por otra parte las ductilidades también permanecen sin cambio significativo. Es curioso ver en la estructura de baja altura EDIFN3, Figura 4.3, que su resistencia última con Q=4 es mayor que con Q=3, algo que parece ilógico debido a que las demandas con Q=4 son menores que con Q=3, el incremento de resistencia se debe al diseño de las columnas, el diseño de las columnas está en función de los momentos resistentes de las vigas, para diseños de vigas con Q=3 y Q=4 en esta estructura baja se obtienen áreas de acero por flexión muy similares, por otra parte las NTCC-17 especifica que al menos la resistencia de las columnas de Q=4 sea 1.5 veces el momento resistente de las vigas, mientras que con Q=3 la resistencia de la columna pide al menos 1.2 veces el momento resistente de las vigas, obteniéndose columnas más resistentes para Q=4.

Figura 4.3— Curvas de capacidad para la estructura EDIFN3 utilizando diagramas momento rotación teóricos.

70

Figura 4.4— Curvas de capacidad para la estructura EDIFN9 utilizando diagramas momento rotación teóricos.

Figura 4.5— Curvas de capacidad para la estructura EDIFN14 utilizando diagramas momento rotación teóricos.

71

De las figuras anteriores se puede observar es que al idealizar el diagrama momento rotación como se mencionó en la Figura 4.2, en la curva de capacidad no es percibible el cortante de fluencia de la de la estructura, Vy, debido a que se idealiza la resistencia plástica de los elementos, conllevando a obtener solo el cortante plástico, Vp de la estructura.

El desplazamiento último que se tomó en cada estructura para la obtención de la ductilidad fue el mismo para cada diseño Q=2, Q=3 y Q=4, y fue el desplazamiento máximo que cualquiera de estos tres diseños puede alcanzar, por ejemplo la Figura 4.4 perteneciente a la EDIFN9 se tomó como desplazamiento máximo 131cm que es el máximo desplazamiento que alcanza la EDIFN9Q=2 utilizando secciones confinadas.

Las ductilidades obtenidas en estos análisis son significativamente grandes, alrededor de 6, 9, 12 para Q=2, 3 y 4 respectivamente en las edificaciones EDIFN9 y EDFIN14, algo que no es del todo real, ya que se debe recordar que los diagramas momento curvatura son diagramas teóricos, obtenidos de las teorías de flexión que no consideran fenómenos reales que suceden en los elementos de concreto reforzado, como deslizamiento del acero de refuerzo, pérdida de adherencia, interacción flexión con cortante, pandeo de acero longitudinal, entre otros. Por eso es importante tener mesura en la utilización de ellos, debido que estos diagramas no consideran ninguno de estos fenómenos mencionados, solo se enfocan a flexión pura de las secciones.

4.1.2 Análisis estático no lineal mediante diagramas momento rotación experimentales

Los diagramas momento rotación obtenidos de forma experimental, como se mencionó en el Capítulo 3.3 capturan fenómenos adicionales a la flexión en los elementos de concreto reforzado que causan deterioro en el elemento. Los diagramas momento rotación experimental inicial son obtenidos de las ec. (3.12), ec. (3.13) y ec. (3.14). La ec. (3.14) sirve para la construcción de la primera parte elástica del diagrama y está en función de la inercia Iy del elemento, en estos primeros análisis se utilizaron las inercias de las NTCC-17 en su Tabla 3.2.1 (0.5Ig y 0.7Ig para vigas y columnas).

Se realizaron análisis pushover de las estructuras de estudio EDIFN3, EDIFN9 y EDIFN14 utilizando diagramas momento rotación experimentales, sin embargo, para idealizar la máxima respuesta de las estructuras ante un sismo y tomar en cuenta la degradación de los elementos ante carga cíclica se modifica el diagrama inicial para obtener un diagrama modificado, ver Capitulo 3.5 y Figura 3.38, estos diagramas momento rotación modificados son los utilizados para la obtención de las curvas de capacidad en los siguientes análisis pushover.

La Figura 4.6, muestra la comparación de un diagrama momento rotación teórico con el diagrama momento rotación experimental modificado para el mismo elemento

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(correspondiente a EDIFN9Q=2 V1 50x35) tanto para momento positivo como negativo. Se puede observar que el diagrama momento rotación experimental captura el momento de fluencia My, sin embargo el momento máximo, Mmax y la rotación ultima del experimental, θu, queda por debajo de los obtenidos con el diagrama teórico, esto como se comentó se ha comentado en capítulos anteriores se debe a los efectos adicionales a la flexión en el elemento, por ejemplo el cortante actuante; por lo tanto, es de esperarse que en los análisis pushover utilizando los diagramas experimentales se obtendrán cortantes basales menores.

Figura 4.6— Comparación diagrama momento rotación experimental con diagrama momento rotación teórico.

De la Figura 4.7 a la Figura 4.9 se muestran las curvas de capacidad de las edificaciones de estudio diseñadas con sus respectivas ductilidades, el criterio para detener el análisis pushover en estas estructuras fue que algunos elementos llegarán a su capacidad última de rotación θu, Figura 4.6, sin embargo el desplazamiento máximo permitido en la estructura fue cuando alguno elementos agotaban su rotación θp, Figura 4.6, después de este punto la curva de capacidad comienza a tener una caída, el desplazamiento donde iniciaba la caída se tomaba como el desplazamiento máximo permitido en la estructura, solo en la EDIFN3Q=2 se permitió mayor desplazamiento tomando como criterio una pérdida del 20% en la resistencia de su curva de capacidad.

Las curvas de capacidad obtenidas de los diagramas momentos experimentales en el software ETABS CSI, se presentan de la Figura 4.7 a la Figura 4.9 y son directamente comparables con la Figura 4.3 a la Figura 4.5, se puede observar que el desplazamiento máximo y a su vez la ductilidad, son reducidos significativamente debido a que el límite de rotación en los diagramas experimentales es mucho menor que los diagramas momento rotación teóricos, el criterio de limitar la rotación de los elementos es para tomar incertidumbres en el comportamiento real del elemento debido a muchos factores de construcción, resistencia de materiales, efectos adicionales a la flexión, incertidumbres en cargas y diseño.

73

Figura 4.7— Curvas de capacidad para la estructura EDIFN3 utilizando diagramas momento rotación experimentales e inercias de las NTCC-17.

Figura 4.8— Curvas de capacidad para la estructura EDIFN9 utilizando diagramas momento rotación experimentales e inercias de las NTCC-17.

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Figura 4.9— Curvas de capacidad para la estructura EDIFN14 utilizando diagramas momento rotación experimentales e inercias de las NTCC-17.

En los diagramas momento rotación experimentales es fácil identificar el momento de fluencia My, por tal motivo, en las curvas de capacidad es posible identificar el cortante de fluencia de la estructura, es decir cuando un primer elemento alcanza su momento My.

Como se mencionó en párrafos anteriores el momento máximo en los diagramas experimentales es menor alrededor de un 30% que el momento máximo en los diagramas teóricos, por tal motivo en estos análisis con diagramas experimentales el cortante máximo en la estructura es menor. Por ejemplo el cortante plástico, Vp, obtenido de los diagramas teóricos, Figura 4.4, para la estructura EDIFN9Q=2, Q=3 y Q=4 es 490 ton, 290 ton y 238 ton respectivamente. Los Vp obtenidos con los diagramas experimentales, Figura 4.8, son 355 ton, 220 ton y 167 ton para Q=2, Q=3 y Q=4 respectivamente, la reducción es proporcional al momento máximo entre el diagrama experimental con el teórico. Por otra parte, las ductilidades para la EDIFN9Q=2 con diagramas teóricos son 6.09, 9.10 y 12.30 para Q=2, 3 y 4 respectivamente, mientras que las ductilidades con diagramas experimentales para la misma estructura son 4.27, 6.96, 9.32 para Q=2, 3 y 4 respectivamente.

Como se ha mencionado con anterioridad, las inercias de las NTCC-17 subestiman el nivel de deformación que se presentaran en los elementos, las inercias propuestas por Haselton et al. (2008) toman en cuenta fenómenos adicionales a la flexión, toma en cuenta el efecto de deslizamiento de acero de refuerzo y el efecto de cortante en el elemento, como se ha demostrado en el Capítulo 4 con pruebas experimentales de distintos investigadores, las Haselton et al. (2008) simulan un buen comportamiento de los elementos de concreto

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reforzado. Las curvas de capacidad de las edificaciones de estudio utilizando las inercias de Haselton et al. (2008) se muestran de la Figura 4.10 a Figura 4.12.

Figura 4.10— Curvas de capacidad para la estructura EDIFN3 utilizando diagramas momento rotación experimentales e inercias de Haselton (2008).

Figura 4.11— Curvas de capacidad para la estructura EDIFN9 utilizando diagramas momento rotación experimentales e inercias de Haselton (2008).

76

Figura 4.12— Curvas de capacidad para la estructura EDIFN14 utilizando diagramas momento rotación experimentales e inercias de Haselton (2008).

De la Figura 4.10 a Figura 4.12 se observa que por obvias razones al utilizar una inercia más pequeña se tienen incrementos en el desplazamiento de fluencia, en esta misma proporción, también se tiene un incremento en el desplazamiento máximo de la estructura. El cortante basal resistente en los marcos no presenta cambios puesto que la inercia no afecta la resistencia de los elementos. Otra información importante presentada en estas son los desplazamientos para alcanzar la distorsiones permisibles que se marcan en las NTCS-17 (0.015, 0.02, 0.03 para Q=2, 3 y 4 respectivamente). Es de observar que es muy fácil alcanzar la distorsión para 0.015 correspondiente a Q=2 ya que esta distorsión se encuentra muy cerca al desplazamiento de fluencia.

Se debe recodar que desde un inicio las estructuras de estudio fueron diseñadas con las inercias de las NTCC-17 con un análisis modal espectral limitando las distorsiones permisibles, ver Figura 2.7 a Figura 2.9; si al inicio se hubieran diseñado las estructuras con las inercias de Haselton et al. (2008) y debido a la limitación de las distorsiones permisibles, aumentos de periodo y aumentos de coeficiente sísmico se tendrían estructuras más resistentes y rígidas, sin embargo, uno de los propósitos de esta investigación es diseñar las estructuras con los lineamientos de las NTCC-17 y verificar su comportamiento si las estructuras exhiben realmente un comportamiento con las inercias de Haselton et al. (2008) con la respuesta aquí presentada.

77

4.2 Análisis dinámico no lineal

Se realizaron los análisis paso a paso no lineales de las edificaciones de estudio, estos análisis se elaboraron en el software OpenSees con un modelo histerético Peak-Oriented, además se toman en cuenta los modelos de deterioro de acuerdo con Ibarra et al. (2005), Capítulo 3.1.3.

Los acelerogramas utilizados en estos análisis no lineales dinámicos se obtuvieron del software SASID perteneciente a las NTCS-17, son acelerogramas sintéticos obtenidos para las dos zonas de estudio: 1) para periodo de suelo Ts=1.83 seg perteneciente a la zona del acelerograma registrado SCT-85 (Figura 2.3) y 2) para un periodo de suelo Ts=0.80 seg perteneciente a la zona del acelerograma DX37 (Figura 2.4). Los espectros de los acelerogramas sintéticos también son proporcionados por el SASID y son graficados en la Figura 4.10, en esta misma figura también se graficas los espectros elásticos de para las zonas Ts=1.83 seg y Ts=0.80 seg, se puede observar que los espectros elásticos cubren las demandas de los espectros de cada acelerograma sintético.

Figura 4.13— Espectros de acelerogramas sintéticos obtenidos del SASID para las zonas Ts=1.83 seg y Ts=0.80 seg.

Para reducir el tiempo computacional y aprovechando la simetría de geometría y rigidez de las estructuras de estudio se analizaron como marcos, en el caso de tener estructuras asimétricas o con fuerte irregularidad es necesario un análisis tridimensional para capturar el comportamiento asimétrico.

Como se hace mención en el Capítulo 3.4, Haselton et al. (2008) presenta las ec. (3.18) ec. (3.19) para el cálculo de la inercia a fluencia y al 40% de la fluencia en elementos viga-columna de concreto reforzado. El criterio de diseño de columna fuerte-viga débil de las NTCC-17 provoca que las vigas alcancen su fluencia e incursionen en su rango no lineal mientras que las columnas permanecen elásticas, es decir, no alcanzan su momento de fluencia; en esta normativa se pide que los momentos resistentes de las columnas sean al menos 1.0, 1.3 y 1.5 mayores a los momentos resistentes reales de las vigas para Q=2, 3 y 4 respectivamente; por tal motivo, para las edificaciones de estudio, en los siguientes análisis

78

se toma la inercia a la fluencia, ec. (3.18), para las vigas (alrededor de 0.2Ig), e inercias al 40% de la fluencia, ec. (3.19), para columnas (alrededor de 0.4Ig).

La nomenclatura que se utilizó para los marcos de estudio, fue por ejemplo: MARCON9Q=2, que pertenece al marco de la edificación de 9 niveles diseñado con una ductilidad Q=2. Los periodos de vibrar de los marcos de estudio utilizando las inercias de Haselton et al. (2008) se muestran en la Tabla 4.1, en esta tabla también se muestran los periodo de las edificaciones completas utilizando las inercias de las NTCC-17 e inercias de Haselton et al. (2008), la Tabla 4.1 es un complemento de la Tabla 2.1. Es claro ver que los periodos de las edificaciones utilizando las inercias de Haselton et al. (2008) incrementan su periodo en un promedio de 40%.

Edificación InerciasNTCC-17

Periodo de vibrar, T [seg]

Edificación Inercias Haselton (2008) Periodo de vibrar, T [seg]

Marco Inercias Haselton (2008) Periodo de vibrar, T [seg]

Edificación de 3 niveles Marco de 3 niveles EDIFN3Q=2 0.54 0.73 MARCON3Q=2 0.77 EDIFN3Q=3 0.59 0.81 MARCON3Q=3 0.81 EDIFN3Q=4 0.59 0.81 MARCON3Q=4 0.81

Edificación de 9 niveles Marco de 9 niveles EDIFN9Q=2 0.96 1.37 MARCON9Q=2 1.40 EDIFN9Q=3 1.02 1.45 MARCON9Q=3 1.50 EDIFN9Q=4 1.02 1.45 MARCON9Q=4 1.52

Edificación de 14 niveles Marco de 14 niveles EDIFN14Q=2 1.15 1.73 MARCON14Q=2 1.75 EDIFN14Q=3 1.28 1.95 MARCON14Q=3 1.94 EDIFN14Q=4 1.28 1.95 MARCON14Q=3 2.00

Tabla 4.1— Periodos de vibrar de las estructuras y marcos de estudio utilizando valores de inercia de

las NTCC-17 y valores de inercia de Haselton (2008).

El comportamiento de los marcos de 3 niveles para ductilidad Q=2, 3 y 4 se muestran en la Figura 4.14, Figura 4.15 y Figura 4.16, respectivamente, para los marcos de 9 niveles se muestran de la Figura 4.17 a Figura 4.19, y para los marcos de 14 niveles de la Figura 4.20 a Figura 4.22. En estas figuras se grafican las curvas de capacidad de cada estructura el desplazamiento con su cortante asociado para cada acelerograma, así mismo para cada acelerograma se muestran los desplazamientos, distorsiones y cortantes por nivel de cada marco.

79

Figura 4.14— Comportamiento de MARCON3Q=2 ante análisis dinámico no lineal.

Figura 4.15— Comportamiento de MARCON3Q=3 ante análisis dinámico no lineal.

80

Figura 4.16— Comportamiento de MARCON3Q=4 ante análisis dinámico no lineal.

Figura 4.17— Comportamiento de MARCON9Q=2 ante análisis dinámico no lineal.

81

Figura 4.18— Comportamiento de MARCON9Q=3 ante análisis dinámico no lineal.

Figura 4.19— Comportamiento de MARCON9Q=4 ante análisis dinámico no lineal.

82

Figura 4.20— Comportamiento de MARCON14Q=2 ante análisis dinámico no lineal.

Figura 4.21— Comportamiento de MARCON14Q=3 ante análisis dinámico no lineal.

83

Figura 4.22— Comportamiento de MARCON14Q=4 ante análisis dinámico no lineal.

El fundamento principal de diseño las NTCS-17 y NTCC-17 es hacer incursionar las estructuras en un rango inelástico ante el sismo de diseño, fundamento que se cumple y es observado en las figuras anteriores en las curvas de capacidad con los desplazamientos de las estructuras ante el sismo, todas las estructuras en este estudio incursionan en un rango no lineal.

En muchas ocasiones el diseñador no tiene una idea física del nivel de daño en los elementos o daño global en la estructura después de esta incursión. En el caso de las estructuras de concreto las NTCC-17 no contiene información del nivel de daño en los elementos después del sismo de diseño, niveles que pueden ser medidos principalmente en desconchamientos de concreto, patrones de agrietamiento, fluencia o ruptura de los aceros de refuerzo.

El Capítulo 7 de esta investigación se muestra el nivel de daño de las estructuras que está en función de correspondiente Q utilizado en el diseño, recordando que de acuerdo al Q es la incursión en el rango no lineal de las estructuras.

84

5 PRUEBAS EXPERIMENTALES

La estructura EDIFN9 fue diseñada con diferentes ductilidades, ductilidad baja (Q=2), ductilidad media (Q=3) y ductilidad alta (Q=4), las distorsiones de entrepiso de un análisis pushover para cada uno de los diseños se muestran en la Figura 5.1, estas distorsiones pertenecen a un desplazamiento máximo en la estructura hasta alcanzar las máximas distorsiones permisibles que se marcan en las NTCS-17. Se realizaron dos análisis el primero utilizando las inercias de acuerdo con Haselton et al. (2008), Figura 5.1a; y otro análisis empleando las inercias de las NTCC-17 Figura 5.1b; de estas figuras se observa que la mayoría de las distorsiones máximas se presentan en el 3er nivel.

a) b)

Figura 5.1— Distorsiones de análisis pushover EDIFN9.

Si se aísla el nodo del nivel tres de una crujía de en medio de la estructura completa se obtiene una pequeña subestructura que representa el comportamiento de fuerzas y deformaciones en ese nivel, por lo tanto, por esta razón se estudiará experimentalmente en comportamiento local de esta subestructura, Figura 5.2.

85

Figura 5.2— Subestructura de estudio EDIFN9.

Uno de los objetivos principales de esta investigación es probar experimentalmente las subestructuras del EDIFN9 en el laboratorio de la UAM-Azcapotzalco, Figura 5.3, los prototipos serán a escala real, estos prototipos representan los tres diseños de la EDIFN9 con Q=2, Q=3 y Q=4, los armados de cada prototipo fueron los obtenidos de los análisis modales espectrales de acuerdo con las normativas NTCS-17 y NTCC-17, Figura 5.4.

Figura 5.3— Dispositivo de prueba y laboratorio de estructuras de la UAM-Azcapotzalco.

86

Sección de viga prototipo EDIFN9Q=2.

Sección de columna prototipo EDIFN9Q=2.

Elevación de prototipo EDIFN9Q=2.

a)

87

Sección de viga prototipo EDIFN9Q=3.

Sección de columna prototipo EDIFN9Q=3.

Elevación de prototipo EDIFN9Q=3.

b)

88

Sección de viga prototipo EDIFN9Q=4.

Sección de columna prototipo EDIFN9Q=3.

Elevación de prototipo EDIFN9Q=4.

c)

Figura 5.4— Prototipos de prueba, a) prototipo EDIFN9Q=2, b) prototipo EDIFN9Q=3, c) prototipo EDIFN9Q=4.

89

Es importante mencionar que los prototipos se construirán como una viga T donde se tomará con un ancho de losa efectivo de 8t de cada lado del alma de la viga, donde t es el peralte de la losa; se decidió dejar este ancho de losa para corroborar la influencia del acero de refuerzo de la losa en la resistencia de la viga y comprobar los lineamientos del aparto 5.1.1.2 de las NTCC-17 referente al ancho efectivo, en este caso de secciones T. En todos los estudios analíticos en esta investigación se utilizó un ancho de losa efectivo de acuerdo a este apartado 5.1.1.2 de las NTCC-17.

Como se mencionó en los objetivos de esta investigación al inicio del documento los propósitos de probar especímenes a escala real de un edificio que fue diseñado al pie de la normativa vigente son los siguientes:

1) Comprobar de forma experimental, los diagramas momento rotación que se presentan en las NTCC-17, esto para vigas como para columnas.

2) Evaluar la rigidez en los elementos viga y columna a la fluencia.

3) Comprobar si los elementos estructurales se comportan con las ductilidades para los cuales fueron diseñados de acuerdo a las NTCC-17.

4) Identificar de forma tangible el índice de daño obtenido de forma analítica en los elementos viga y columna, evaluar la severidad del daño, como anchos de grietas, desconchamientos de concreto, fluencia del acero de refuerzo, y evaluar la posibilidad de reparación.

5) Con base a los índices de daño obtenidos, evaluar las distorsiones permisibles de las edificaciones de marcos de concreto propuestas en la normatividad vigente (NTCS-17).

6) Concluir la severidad del daño estructural que implica la elección del factor de comportamiento sísmico Q para el diseño de las edificaciones.

Los prototipos de prueba se montarán sobre los marcos de reacción del laboratorio, la fuerza actuante se aplicará por medio de un gato de carga en la parte superior de la columna, la reacción de esta fuerza será por medio de otros dos gatos cada uno colocado en los extremos de las vigas, con este mecanismo de fuerza se logrará tener momentos en las vigas y las columnas de 60 ton-m, fuerza suficiente para llegar a la falla en vigas, Figura 5.5. Para la transmisión de carga de los gatos de reacción a los prototipos de prueba fue por medio de accesorios metálicos, mismos que se tuvieron que diseñar y construir en el laboratorio.

90

Figura 5.5— Flujo de fuerzas en prueba de carga.

5.1 Protocolo de carga experimental e idealización de los prototipos de prueba

De los análisis dinámicos no lineales elaborados en el Capítulo 5.2 con los acelerogramas sintéticos de la Figura 4.10, se obtuvo el comportamiento Cortante-Deformación del subensamblaje del tercer nivel para el MARCON9 esto para cada diseño Q=2, 3 y 4, el comportamiento Cortante-Desplazamiento es mostrado es la Figura 5.6, la energía histerética disipada en cada subensamblaje es de 2732 ton-cm, 1971 ton-cm y 1523 ton-cm para el diseño Q=2,3 y 4, respectivamente.

Figura 5.6— Comportamiento de nodo tercer nivel de MARCON9Q=2, 3 y 4.

Energía=2732 ton-cm

Energía=1971 ton-cm

Energía=1523 ton-cm

a)

b)

c) Subensamblaje tercer nivel

91

Los prototipos del EDIFN9 con Q=2, Q=3 y Q=4 se idealizaron en el software OpenSees para predecir el comportamiento que se obtendrá de la prueba experimental. Los prototipos se modelaron con un modelo pinching considerando los modelos de deterioro de acuerdo a Ibarra et al. (2005). El protocolo de desplazamientos en estos prototipos es el presentado en la Figura 5.7, estos ciclos de desplazamientos son aplicados en la parte superior de la columna con incrementos de 2cm cada dos, seis y cuatro ciclos.

Figura 5.7— Protocolo de desplazamientos impuesto en prototipos de prueba.

El protocolo de carga de la Figura 5.7, fue obtenido después de varias pruebas para hacer converger la energía histerética disipada en cada prototipo de prueba con la energía obtenida en el subensamblaje del nivel tres de la estructura completa (ver Figura 5.6) ante acelerogramas sintéticos que simulan el sismo de diseño, con esto se asegura que los prototipos de prueba estarán sujetos a las demandas de un sismo de diseño. La energía en cada prototipo de prueba se muestra en los apartados siguientes de este documento.

La carga axial en los elementos tiene una participación significativa tanto en resistencias como en capacidades de deformación, definiendo el comportamiento de los elementos, en los prototipos de prueba para simular la carga axial en las columnas debida a la carga muerta más la carga viva reducida se aplicará una fuerza de postensado al centro del elemento sin adherencia entre este acero de presfuerzo (en este caso una barra dywidag) y el concreto, la carga axial es de 60 ton para el prototipo Q=2 y de 59 ton para los prototipos Q=3 y 4. El valor de la carga axial de la carga muerta más la carga viva accidental del edificio, Figura 5.8.

-20-18-16-14-12-10

-8-6-4-202468

101214161820

Des

plaz

amie

nto

[cm

]

Ciclos

Protocolo de desplazamientos en prueba experimental

Número de ciclos

1 2 3 45 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 1617 18 19

92

Figura 5.8— Acero de presfuerzo simulando carga axial en columnas de prototipos de prueba.

5.1.1 Idealización del Prototipo EDIFN9Q=2

En este apartado se presentarán resultados de la idealización por medio de modelos de plasticidad concentrada y plasticidad distribuida que se obtendrían de las pruebas experimentales de los prototipos de prueba; para los modelos de plasticidad concentrada los resultados son obtenidos utilizando: 1) las inercias en los elementos de acuerdo a Haselton et al. (2008), ec.(3.18) para vigas y ec.(3.19) para columnas, como se ha mencionado en capítulos anteriores con el criterio de diseño de columna fuerte viga débil las columnas no alcanzan su momento de fluencia; 2) las inercias de acuerdo a las NTCC-17. Para modelos con plasticidad distribuida, por medio de fibras, solo considera la inercia a flexión obteniéndose de forma directa a través de las propiedades geométricas de la sección y propiedades mecánicas de los materiales, es decir la inercia agrietada Iagr, Tabla 5.1.

Plasticidad concentrada Plasticidad distribuida

Haselton et al. (2008) NTCC-17 Iagr

Viga EDIFN9Q=2 (EDIFN9Q=2 V1 50x35)

0.20 Ig 0.5 Ig 0.36 Ig

Columna EDIFN9Q=2 (EDIFN9Q=2 C1 CENT 50X50)

0.41 Ig 0.7 Ig 0.51 Ig

Tabla 5.1— Inercias de viga y columna prototipo EDIFN9Q=2.

Plasticidad concentrada.

Para el prototipo EDIFN9Q=2 en la Figura 5.9a y Figura 5.9b se presentan los diagramas momento rotación modificados de la viga y de la columna respectivamente, en estos diagramas se utilizaron las inercias de Haselton et al. (2008). En estas Figuras se puede determinar que la columna permanecerá en el rango elástico debido a que la suma de los

93

momentos máximos de las vigas divididos entre dos es de 30.0 ton-m el cual es un valor menor al momento de fluencia de la columna que es de 49.3 ton-m, observando que primero se alcanzará la falla en las vigas. La viga tiene una rotación capping para momento positivo de θp(+) = 0.035 rad y negativo de θpc(-) = 0.028 rad y una rotación post-capping es de θpc=0.05 en ambas direcciones.

a) b)

Figura 5.9— a) Momento rotación viga, b) Momento rotación columna; prototipo EDIFN9Q=2, inercias Haselton et al. (2008).

En la Figura 5.10 se presenta la respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=2 utilizando las inercias de Haselton et al. (2008), así mismo, se puede observar que si se utilizan las inercias de las NTCC-17 el sistema sería más rígido obteniendo menores desplazamientos, de esta Figura 5.10 se obtienen los valores presentados en la Tabla 5.2 en esta tabla H es la altura de la columna cuyo valor es H=350 cm.

Figura 5.10— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=2, plasticidad concentrada, OpenSees.

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación. EDIFN9Q=2V1 50x35

0

10

20

30

40

50

60

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación. EDIFN9Q=2 C1CENT 50X50

94

Inercias Haselton et al. (2008) Fuerza de Fluencia, Fy 20.0 ton Fuerza de Máxima, Fmax 21.0 ton 80% de Fmax 16.8 ton Desplazamiento Fluencia, Δy 3.6 cm Desplazamiento Máximo, Δmax 12.0 cm Ductilidad, μ=Δmax / Δy 3.3 Distorsión, γ = Δmax / H 0.034

Tabla 5.2— Valores en la respuesta del prototipo EDIFN9Q=2.

En la Tabla 5.2 se toma como Δmax al desplazamiento en el sistema cuando se tienen una degradación del 20% de su resistencia máxima. El diagrama momento rotación de la viga ante el protocolo de desplazamiento se muestra en la Figura 5.11. Tanto en la Figura 5.10 como en la Figura 5.11 se puede observar la degradación principalmente de resistencia ciclo a ciclo, esta degradación es obtenida mediante el valor β de la ec. (3.4) con un valor λ=47.10, de acuerdo a la ec. (3.14), λ representa la capacidad de absorción de energía total del elemento ET, a mayor ET la degradación del elemento ante carga cíclica es menor. El monitoreo de β se presenta en el Capítulo 7, el cual es utilizado para la obtención de un índice daño.

Figura 5.11— Diagrama momento rotación de viga EDIFN9Q=2 V1 50x35 ante protocolo de desplazamiento experimental, OpenSees.

La Figura 5.12 es la misma Figura 5.10 pero cortada a un desplazamiento de 10 cm,

ante estos 10 cm se obtiene con una energía histerética disipada de 2607 ton-cm, los 10 cm corresponden al desplazamiento cercano presentado en un sismo de diseño de la estructura completa, ver Figura 5.6a, en este sismo de diseño se presenta una energía de 2732 ton-cm, la relación entre las energías significa que el protocolo de desplazamientos impuestos en la prueba experimental refleja de buena manera el movimiento sísmico de diseño que estará demandando al subensamblaje del nivel tres.

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación Prototipo EDIFN9Q=2 V1 50x35. OpenSees

95

Figura 5.12— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=2, plasticidad concentrada a 10cm de desplazamiento.

Plasticidad distribuida.

La respuesta histerética del mismo prototipo utilizando plasticidad distribuida se presenta en la Figura 5.13, en esta misma figura se hace la comparación con la respuesta de plasticidad concentrada, se puede observar que con plasticidad distribuida no existe una degradación de resistencia en los ciclos histeréticos, sino todo lo contrario, la resistencia aumenta conforme aumentan los ciclos histeréticos, esto debido a que el acero de refuerzo entra en el rango de endurecimiento por deformación contribuyendo más a su resistencia; el análisis es terminado hasta que la fibra más alejada en tensión del acero de refuerzo llega a su máxima deformación, sin embargo también puede finalizar el análisis cuando el concreto en su fibra más alejada llegue a su máxima deformación a compresión. En la Figura 5.13 también se muestra que la rigidez por fibras es más alta que la rigidez si se considera plasticidad concentrada, especialmente con las inercias de Haselton et al. (2008).

Figura 5.13— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=2, plasticidad distribuida.

Energía=2607 ton-cm

96

5.1.2 Idealización del Prototipo EDIFN9Q=3

La presentación de los resultados para este prototipo tiene la misma metodología que la

del prototipo Q=2 presentado en el capítulo anterior. En la Tabla 5.3 se muestran las inercias de los elementos para plasticidad concentrada y distribuida para el prototipo EDIFN9Q=3, se observa menos diferencia de inercias entre plasticidad concentrada y distribuida que con Q=2.

Plasticidad concentrada Plasticidad distribuida

Haselton et al. (2008) NTCC-17 Iagr Viga EDIFN9Q=3 (EDIFN9Q=3 V1 50x25)

0.2 Ig 0.5 Ig 0.28 Ig

Columna EDIFN9Q=3 (EDIFN9Q=3 C1 CENT 50X50)

0.4 Ig 0.7 Ig 0.38 Ig

Tabla 5.3— Inercias de viga y columna prototipo EDIFN9Q=3.

Plasticidad concentrada.

Los diagramas momento rotación de la viga y columna se muestran en la Figura 5.14, se observa que la resistencia de la columna My, es mayor que la suma de los momentos de las vigas, es decir la columna permanecerá elástica inclusive cuando las vigas lleguen a su máxima capacidad, este umbral entre las fluencias de la vigas con las fluencias de las columnas es mayor que con Q=2, esto debido a que las NTCC-17, tiene como requisito para Q=3 que las columnas tengan un momento de fluencia 1.3 veces más que el momento real resistente de las vigas.

a) b)

Figura 5.14— a) Momento rotación viga, b) Momento rotación columna; prototipo EDIFN9Q=3, inercias Haselton et al. (2008).

-25-20-15-10-505

10152025

-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación. EDIFN9Q=2V3 50x25

05

1015202530354045

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación. EDIFN9Q=3 C1CENT 50X50

97

En la Figura 5.15 se presenta la respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=3 utilizando las inercias de Haselton et al. (2008). Utilizando las inercias de las NTCC-17 el sistema sería poco más rígido, sin embargo, ya sin tanta diferencia que con Q=2. De la Figura 5.15 se obtienen los resultados de la Tabla 6.4.

Figura 5.15— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=3, plasticidad concentrada.

Inercias Haselton et al. (2008) Fuerza de Fluencia, Fy 12.3 ton Fuerza de Máxima, Fmax 12.8 ton 80% de Fmax 10.2 ton Desplazamiento Fluencia, Δy 2.1 cm Desplazamiento Máximo, Δmax 14.0 cm Ductilidad, μ=Δmax / Δy 6.7 Distorsión, γ = Δmax / H 0.040

Tabla 6.4— Valores en la respuesta del prototipo EDIFN9Q=3.

De la misma manera que el prototipo anterior, en la Tabla 6.4 se toma Δmax cuando se tienen una degradación del 20% de su resistencia máxima del sistema. El diagrama momento rotación de la viga en toda su historia de carga se muestra en la Figura 5.16. Si se compara la Figura 5.16 con Figura 5.11 se puede observar que la degradación en resistencia del prototipo Q=3 es más atenuada que el prototipo Q=2, esto se debe al valor λ ec. (3.14), este parámetro representa la proporción de energía tota, ET, que puede absorber un elemento, a mayor ET la degradación del elemento es menor, ec. (3.4). El valor de en la viga del prototipo Q=3 es de λ=68.88, mientras que la viga en el prototipo es λ=47.10.

98

Figura 5.16— Diagrama momento rotación de viga EDIFN9Q=3 V1 50x25 ante protocolo de carga

experimental, OpenSees.

El desplazamiento ante un sismo de diseño del subensamblaje del nivel tres en la estructura completa para el diseño Q=3 será alrededor de 9 cm, ver Figura 5.6b, ante este sismo diseño se presentará una energía de 1971 ton-cm; la Figura 5.17 muestra la misma gráfica de la Figura 5.15 cortada a 10cm (debido a que no se tiene un ciclo con 9cm), presentándose una energía de 1938 ton-cm, similar a la energía del sismo, por lo tanto, se comprueba que el protocolo de desplazamientos impuestos en la prueba experimental refleja de buena manera el movimiento sísmico de diseño que estará demandando al subensamblaje.

Figura 5.17— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=3, plasticidad concentrada a 10cm de desplazamiento.

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación EDIFN9Q=3 V1 50x25. OpenSees

Energía=1938 ton-cm

99

Plasticidad distribuida.

La comparación de la respuesta histerética de plasticidad distribuida con plasticidad concentrada se presenta en la Figura 5.18, de la misma manera que Q=2 el análisis se detuvo cuando el acero de refuerzo llega a su máxima deformación. La rigidez considerando las inercias entre Haselton et al. (2008) y de plasticidad distribuida no tienen una diferencia tan significativa, sin embargo, la plasticidad distribuida continúa teniendo mayor resistencia ante ciclos ascendientes.

Figura 5.18— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=3, plasticidad distribuida.

5.1.3 Idealización del Prototipo EDIFN9Q=4

La presentación de los resultados para este prototipo tiene la misma metodología que

los prototipos anteriores. En la Tabla 6.4, se muestran las inercias de los elementos para plasticidad concentrada y distribuida para el prototipo EDIFN9Q=4, se puede observar que las inercias con plasticidad distribuida comienzan a parecerse más a las de plasticidad concentrada, esto debido a la utilización de acero de refuerzo de menor diámetro para estructuras más dúctiles llevando a inercias más bajas.

Plasticidad concentrada Plasticidad distribuida Haselton et al.(2008) NTCC-17 Iagr

Viga EDIFN9Q=4 (EDIFN9Q=4V1 50x25)

0.2 Ig 0.5 Ig 0.22 Ig

Columna EDIFN9Q=4 (EDIFN9Q=4 C1 CENT 50X50)

0.4 Ig 0.7 Ig 0.33 Ig

Tabla 5.5— Inercias de viga y columna prototipo EDIFN9Q=4.

100

Plasticidad concentrada.

Los diagramas momento rotación de la viga y columna se muestran en la Figura 5.19 se observa que la resistencia de la columna, My, es mayor que la suma de los momentos de las vigas, es decir la columna permanecerá elástica inclusive cuando las vigas lleguen a su máxima capacidad, la diferencia entre momento resistente de la viga con las columnas comienza a ser mayor entre mayor sea el Q con el cual se diseñó la estructura.

a) b)

Figura 5.19— a) Momento rotación viga, b) Momento rotación columna; prototipo EDIFN9Q=4, inercias Haselton et al. (2008).

En la Figura 5.20 se presenta la respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=4 utilizando las inercias de Haselton et al. (2008), se puede observar que la rigidez utilizando las inercias de las NTCC-17 ya es muy parecida a la de plasticidad concentrada, no existe un cambio tan significativo como en Q=2, de la Figura 5.20 se obtienen los valores de la Tabla 5.6.

Figura 5.20— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=4, plasticidad concentrada.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación. EDIFN9Q=4 V1 50x25

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación. EDIFN9Q=4 C1 50X50

101

Inercias Haselton et al. (2008) Fuerza de Fluencia, Fy 9.3 ton Fuerza de Máxima, Fmax 9.5 ton 80% de Fmax 7.6 ton Desplazamiento Fluencia, Δy 1.8 cm Desplazamiento Máximo, Δmax 12.0 cm Ductilidad, μ=Δmax / Δy 6.7 Distorsión, γ = Δmax / H 0.034

Tabla 5.6— Valores en la respuesta del prototipo EDIFN9Q=4.

El diagrama momento rotación de la viga en toda su historia de carga se muestra en la Figura 5.21. El valor λ, ec. (3.4) para la viga de este prototipo de prueba es λ=72.27, al tener mayor valor de λ mayor será la capacidad de energía total del elemento ET, lo que conlleva a no tener degradaciones de resistencia abruptas en el comportamiento cíclico del elemento.

Figura 5.21— Diagrama momento rotación de viga EDIFN9Q=4 V1 50x25 ante protocolo de carga experimental, OpenSees.

El desplazamiento ante un sismo de diseño del subensamblaje del nivel tres en la estructura completa para el diseño Q=4 será alrededor de 8 cm, ver Figura 5.6c, ante este sismo diseño se presentará una energía de 1523 ton-cm; la Figura 5.22 muestra la misma gráfica de la Figura 5.20 cortada a 8cm, presentándose una energía de 1542 ton-cm, similar a la energía del sismo, por lo tanto, se comprueba que el protocolo de desplazamientos impuestos en la prueba experimental refleja de buena manera el movimiento sísmico de diseño que estará demandando al subensamblaje.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación EDIFN9Q=4 V1 50x32. OpenSees

102

Figura 5.22— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=4, plasticidad concentrada a 8cm de desplazamiento.

Plasticidad distribuida.

La comparación de la respuesta histerética de plasticidad distribuida con plasticidad concentrada se presenta en la Figura 5.23, de la misma manera que Q=2 y Q=3 el análisis se detuvo cuando el acero de refuerzo llega a su máxima deformación, la rigidez considerando las inercias entre Haselton et al. (2008) y de plasticidad distribuida no tienen una diferencia tan significativa, sin embargo la plasticidad distribuida continua teniendo mayor resistencia ante ciclos ascendientes.

Figura 5.23— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=4, plasticidad concentrada.

5.1.4 Resumen de la respuesta de los prototipos

La Figura 5.24 muestra la respuesta de los tres prototipos de prueba utilizando las

inercias de Haselton et al. (2008), se utilizó este enfoque debido que en los Capítulos

Energía=1542 ton-cm

103

anteriores se ha visto que esta inercias coinciden de forma aceptable con el comportamiento de los elementos de concreto. En la Figura 5.24 se puede observar que la respuesta de los prototipos Q=3 y Q=4 tienen un mejor comportamiento antes los ciclos histeréticos que el prototipo con Q=2.

Figura 5.24— Respuesta histerética de los prototipos de los prueba, EDIFN9Q=2, EDIFN9Q=3 y EDIFN9Q=4, inercias Haselton et al. (2008), plasticidad concentrada.

104

5.2 Trabajos en el laboratorio

La cotización y compra de los insumos en el laboratorio comenzó en mayo del 2019, los trabajos en laboratorio se han realizado de julio del 2019 hasta hoy en día. Ente los trabajos más importantes se están trabajando en los armados de los prototipos de prueba, habilitado de cimbras de madera, habilitados de placas y perfiles metálicos para la construcción de accesorios metálicos y rehabilitación del marco de reacción del laboratorio, entre otros diseños locales para la realización de las pruebas experimentales.

En la Figura 5.19 se muestra la continuidad llevada a cabo para el ensamblaje del refuerzo del prototipo Q=2,

Figura 5.25— Armado de prototipo Q=2.

105

Los armados de los prototipos Q=3 y Q=4 se muestra en la Figura 5.20 y Figura 5.21, respectivamente.

Figura 5.26— Armado de prototipo Q=3.

Figura 5.27— Armado de prototipo Q=4.

La cimbra para estos prototipos, la cimbra es a base de tablas y bastidores de madera que garantizan la estabilidad del concreto antes de su fraguado, Figura 5.22, la conexión entre los elementos de madera fue por medio de clavos y tornillos, hasta ahora se tiene el 90% de la cimbra ya habilitada.

106

Figura 5.28— Cimbra de madera.

La fuerza externa en los prototipos de prueba se realizará por medio de gatos de presión con capacidad de hasta 50 ton, para fijar los gatos al marco de reacción es necesario el uso de accesorios metálicos construidos a base de placas de acero, estas placas fueron compradas a los tamaños necesarios sin embargo las perforaciones para la fijación entre ellas al marco de reacción fueron realizadas en el laboratorio. Muchas de estas placas mostradas en la Figura 5.23 también serán utilizadas en una necesaria rehabilitación del marco de reacción.

Figura 5.29— Perforación de placas metálicas.

107

Otro trabajo importante en el laboratorio fue la preparación para la colocación de los strain gauges en las varillas de refuerzo, cada prototipo tendrá 75 strain gauge, por lo tanto, entre los tres prototipos se tendrá un total 225. Cada una de estas preparaciones en la varilla de refuerzo es pulidas por medio de lijas, iniciado con un esmeril y finalizando a mano desde la lija con grano grueso (No. 80) hasta la lija con grano fino (No. 400 o 600), Figura 5.24.

Figura 5.30— Preparación de colocación de strain gauge en varilla de refuerzo.

La colocación de los strain gauges en los prototipos Q=2, y Q=3, se pegaron alrededor

de 140 piezas, cada una de ellas identificadas para el correcto procesamiento de los resultados; el pegado de cada sensor se realizó de forma resumida de la siguiente forma, Figura 5.25 :

1) Limpieza con ácido y base de la varilla de refuerzo ya pulida.

2) Pegado del strain gauge con sus químicos correspondientes.

3) Colocación de cinta teflón sobre el sensor.

4) Protección del strain gauge con neoprenos, goma butílica y pagamento.

108

Figura 5.31— Colocación de strain gauges.

El marco de reacción en el laboratorio de la UAM-Azcapotzalco cuenta con un cajón

de cimentación, este cajón se reforzo con un refuerzo adicional para poder soportar el flujo de cargas que serán demandadas por los gatos de reacción en las pruebas experimentales, el reforzamiento fue por medio de accesorios metálicos horizontales ligados a las paredes del cajón, así como un puntal central vertical al centro de la estructura, Figura 5.26, se colocaron tres “cinturones” de reforzamiento en el sentido longitudinal del cajón de cimentación.

Figura 5.32— Reforzamiento de cajón de cimentación.

El ensamblado de los accesorios metálicos fue realizado por medio de soldaduras y pernos de acero estructural de ½” de diámetro; la fijación de los accesorios 1 a las paredes del cajón se realizó con anclaje tipo Hilti RE500, para esto se tuvieron que ubicar las placas

109

bases con sus respectivas perforaciones por medio de plantillas de cartón, en tres ocasiones se encontraron interferencias con el acero de refuerzo del cajón en estos casos se tenían que reubicar las anclas y realizar nuevas perforaciones en las placas bases, Figura 5.27. El habilitado de los accesorios se realizó fuera del cajón por condiciones de espacios, en ensamblado fue por medio de mano de obra debido a que no se contaba con el especio necesario para el montaje por medio de herramienta pesada (gatos, grúas, etc.), Figura 5.28.

Aún restan los trabajos de colado de grout sobre los accesorios metálicos que hacen contacto con la losa superior e inferior de cajón, esto para asegurar un contacto uniforme de estos elementos con las piezas metálicas, Figura 5.29.

Figura 5.33— Preparaciones para fijación de accesorios metálicos en cajón de cimentación.

Figura 5.34— Ensamblado y montaje de accesorios metálicos.

110

Figura 5.35— Reforzamiento de cajón de cimentación.

Otra actividad que se ha realizado en el laboratorio, ha sido la construcción de accesorios metálicos que ayudarán para la transmisión de fuerzas del marco de reacción al espécimen de prueba, estos accesorios son de placas ensambladas con soldadura E70. La conexión de un accesorio a otro se ha realizado mediante tornillos y tuercas de acero estructural, la construcción de cada uno de ellos comenzó desde el habilitado de placas, perforaciones, ensamblado y pintado, Figura 5.30.

Figura 5.36— Fabricación de accesorios metálicos en marco de reacción.

111

La cimbra de madera fue colocada en un extremo del laboratorio de la UAM-Azcapotzalco, mientras que los armados de los prototipos de prueba fueron colocados en el extremo opuesto a la cimbra, estas posiciones se establecieron debido a los espacios libres de trabajo. Se inició con el habilitado del refuerzo del prototipo Q=2 sobre la cimbra de madera, esta maniobra tuvo que ser realizada a mano con ayuda de los estudiantes del Taller de Ingeniera Civil y estudiantes en su Servicio Social, Figura 5.31. Debido a que se tenía la inquietud del peso del refuerzo, éste fue pesado en sitio con ayuda de una “tara” con display. El peso reportado fue de 360 kg, el peso cuantificado en planos era de 346 kg. La diferencia se consideró aceptable, ya que el aumento del peso en sitio es debido al peso de alambres y pequeñas placas requeridas para los amarres de varillas.

Figura 5.37— Habilitado de refuerzo Q=2 en cimbra de madera.

Ya colocado el acero de refuerzo en la cimbra, se continuo con el habilitado del acero

de refuerzo de la losa, el cual consta de dos parrillas de refuerzo del #3@30 tanto para lecho inferior como para lecho superior. Las parrillas fueron amarradas por medio de alambre recocido con el acero de la viga, fueron calzadas sobre la cimbra de madera y con esto se logró la nivelación del refuerzo ya en conjunto. Restan los trabajos de colocación de desmoldante sobre la cimbra de madera para tener el mínimo deterioro, esta cimbra será utilizada para el colado de los tres prototipos de carga con sus respectivos arreglos de dimensiones, Figura 5.32.

112

Figura 5.38— Armado de losa de prototipo Q=2 en cimbra de madera.

Como se mencionó al inicio de este documento los objetivos de las pruebas experimentales son:

1) Comprobar de forma experimental, los diagramas momento rotación en vigas y columnas que se presentan en las NTCC-17.

2) Evaluar la rigidez y encontrar un valor de inercia en los elementos viga y columna de concreto reforzado que mejor prediga el comportamiento de los elementos inclusive ante cargas cíclicas.

3) Comprobar si los elementos estructurales se comportan con las ductilidades para los cuales fueron diseñados de acuerdo a las NTCC-17.

4) Identificar de forma tangible el índice de daño obtenido de forma analítica en los elementos viga y columna, evaluar la severidad del daño, como anchos de grietas, desconchamientos de concreto, fluencia del acero de refuerzo, y evaluar la posibilidad de reparación.

5) Con base a los índices de daño obtenidos, evaluar las distorsiones permisibles de las edificaciones de marcos de concreto propuestas en la normatividad vigente (NTCS-17).

6) Concluir la severidad del daño estructural que implica la elección del factor de comportamiento sísmico Q para el diseño de las edificaciones.

113

5.3 Resultados de pruebas experimentales y comprobación de las teorías en las NTCC-17.

En esta apartado se muestran las pruebas experimentales a especímenes de concreto que han sido probados experimentalmente, se aplican las metodologías vistas en el Capítulo 3 de este documento, se realizan análisis de plasticidad distribuida (fibras) y plasticidad concentrada (diagramas momento rotación), así mismo, se hace la comparación de lo obtenido en los modelos de análisis con lo obtenido de forma experimental.

5.3.1 Columna de concreto reforzado en volado

Este primer ejemplo se trata de en una columna en volado tomada de la base de datos experimentales disponible en PEER (Berry et al., 2004), https://nisee.berkeley.edu/spd/. Esta base de datos contiene resultados de pruebas experimentales de columnas de concreto reforzado realizadas por varios autores, existen diferentes configuraciones de prueba entre otros se tienen columnas en volado, en doble curvatura, doble longitud, volado base flexible, etc.

La columna de estudio para motivos de este trabajo la columna fue nombrada (COL-T-P), este elemento fue probado por Takana y Park (1990) y tiene las siguientes características:

- Referencia: Takana, H., and Park, R., “Effect of Lateral Confining Reinforcement on the Ductile Behavior of Reinforced Concrete Columns”, Report 90-2, Departament of Civil Engineering, University of Canterbury, June 1990, 458 pages.

- Resistencia del concreto: 32 MPa

- Acero de refuerzo transversal: Esfuerzo de fluencia 325 MPa, Resistencia última: 429 MPa.

- Acero de refuerzo longitudinal: Esfuerzo de fluencia 511 MPa, Resistencia última: 675 MPa.

- Dimensiones: Ancho 550 mm., Peralte 550 mm.

- Longitud: Longitud de inflexión 1650 mm.

- Configuración de la prueba: Cantiléver.

- Carga axial: 968 KN.

- Refuerzo longitudinal:

o Diámetro: 20 mm en barras de esquina; 20 mm en barras intermedias.

o Número de barras: 12

114

o Perpendicular a la carga: Recubrimiento libre: 40 mm; Número de barras intermedias: 2.

o Paralelo a la carga: Recubrimiento libre: 40 mm; Número de barras intermedias: 2.

o Porcentaje de refuerzo: 0.0125

- Refuerzo transversal:

o Tipo: Estribos rectangulares con grapas.

o Número de ramas a cortante: 4.

o Región con espaciamiento cerrado: Diámetro de barra: 12mm., Espaciamiento: 6 estribos a 110 mm.

o Porcentaje de refuerzo: 0.017.

a) Plasticidad concentrada

El diagrama momento rotación inicial de la columna de estudio COL-T-P es obtenido con las ecuaciones de Haselton et al. (2008), ec. (3.12) a ec. (3.20), se muestra en la Figura 5.39, en la misma figura se muestra también el diagrama momento rotación modificado de acuerdo con la Opción 3 mencionada en el Capítulo 3.5, se debe recordar que ante cargas cíclicas se debe utilizar el diagrama momento rotación modificado para tomar en cuenta la degradación del elemento. Para tener una comparativa de las rotaciones en esta misma Figura 5.39 se presentan las rotaciones obtenidas con el ASCE 41-17. La Figura 5.39 también muestra el diagrama teórico, es decir, el obtenido de un diagrama momento curvatura multiplicando las curvaturas por Lp=0.75h, donde h es el peralte de la columna, para obtener las rotaciones, ver Figura 3.19, en este diagrama teórico solo se toman los efectos puramente de flexión.

Se debe destacar que el diagrama inicial es calculado con la inercia obtenida con la ec. (3.18) resultando un valor de 0.20Ig, esta inercia considera las deformaciones por flexión, el deslizamiento del acero de refuerzo y las deformaciones por cortante.

115

Figura 5.39— Diagrama momento-rotación COL-T-P.

Con el diagrama momento rotación modificado de la Figura 5.39 se realizó un análisis pushover, la curva de capacidad obtenido de este análisis se presenta en la Figura 5.40, es de esperarse que la curva de sea simétrica en ambas direcciones positivo y negativo debido a la simetría del armado del elemento.

Figura 5.40— Curva de capacidad COL-T-P.

La columna de estudio COL-T-P se idealizó con un modelo histerético Peak-Oriented, además se toman en cuenta los modelos de deterioro de acuerdo con Ibarra et al. (2005), Capítulo 3.1.3. Esta columna tiene una capacidad de disipación de energía de acuerdo con la ec. (3.14) de λ=67.

El software computacional utilizado para los análisis estructurales fue Open System for Earthquake Engineering Simulation (OpenSees) (McKenna1997;

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación COL T-PP = 968 kN

Diagrama teórico, obtenida de diagrama momento curvatura

Diagrama inicial

Diagramamodificado

Diagrama de ASCE 41-17

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140

Fuer

za [K

N]

Desplazamiento [mm]

Curva de Capacidad Columna COL-T-P

116

http://opensees.berkeley.edu). Este software contiene una amplia variedad de materiales, permite modelar secciones por medio de fibras, modelar articulaciones plásticas a través de plasticidad concentrada o plasticidad distribuida, contiene diferentes métodos de solución, al combinar todos ellos permiten una representación física teórica de la respuesta estructural de los elementos. Además, este software incluye una rutina precargada para la utilización de modelo histerético Peak-Oriented y Pinching incluyendo los modos de deterioro propuesto por Ibarra et al. (2005).

Como primer ejercicio a la columna COL-T-P se le aplicó el patrón de desplazamientos en el extremo del elemento presentado en la Figura 5.41. De forma intencional los últimos ciclos se dejaron sin incremento de desplazamiento para poder observar la degradación del elemento aun sin incremento de la demanda.

Figura 5.41— Patrón de desplazamientos constante.

Como se presentó en párrafos anteriores, la capacidad de disipación de energía del elemento COL-T-P es de λ=67, valor que se utiliza para los modos de deterioración de resistencia básica, deterioración de rigidez de descarga y deterioración por rigidez de recarga acelerada, λs= λk= λa=67, no se activó el modo de deterioración de resistencia post-capping debido a que el desplazamiento máximo (5.0 cm) en el elemento no llega a la rama post-capping. En OpenSees se dieron de alta las variables correspondientes al diagrama momento rotación modificado debido a que se está analizando con cargas cíclicas. En la Figura 5.42 se presenta la gráfica Fuerza-Desplazamiento del elemento ante el patrón de desplazamiento de la Figura 5.41, aquí se puede observar la degradación de la resistencia ante cada ciclo, además de tener una deterioración significativa después del ciclo 7 aun sin tener un incremento en el desplazamiento, estos resultados indican que si se está tomando en cuenta el deterioro en el elemento ante cargas cíclicas en el análisis.

-6-5-4-3-2-10123456

Des

plaz

amie

nto

[cm

]

Tiempo

Patrón de desplazamientos constante

Número de ciclos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

117

Figura 5.42— Respuesta histerética de COL-T-P ante patrón de desplazamiento constante, plasticidad concentrada.

La base de datos disponible en PEER (Berry et al. 2004) solo presenta el cortante en el empotramiento de los elementos con su respectiva deformación en el extremo (en el caso de columnas en voladizo), no proporciona la historia de carga aplicada en el elemento, sin embargo, para la columna de estudio COL-T-P de la bibliografía original, Takana (1990), se obtuvo el patrón de desplazamientos impuestos en el extremo del elemento, Figura 5.43, donde Δ es el desplazamiento medido en el gato de reacción y Δy es el desplazamiento lateral de fluencia del elemento.

Figura 5.43— Patrón de desplazamiento Takana (1990).

La respuesta histerética experimental de la columna COL-T-P se muestra con línea continua en la Figura 5.44, y con línea punteada la respuesta idealizada con OpenSees utilizando los modos de deterioración de Ibarra et al. (2005) en un modelo histerético pinching, así mismo, se presenta la curva de capacidad del elemento observando que envuelve satisfactoriamente la respuesta histerética del elemento. En esta misma Figura 5.44,

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Fuer

za [K

N]

Desplazamiento [mm]

COL T-P. Respuesta histerética

1

3

5

79

11 1315 17

19

Curva de capacidad

118

se puede observar como la inercia de 0.2 Ig, proporciona una buena predicción con lo presentado en la prueba experimental.

Figura 5.44— Respuesta histerética de COL-T-P, plasticidad concentrada.

El monitoreo del giro en la COL-T-P con su respectivo momento actuante se presenta con línea continua en la Figura 5.45, con línea punteada se muestra la gráfica momento rotación modificada del elemento. Se concluye que la pruebas es detenida antes que la rotación cayera dentro del rama descendente post-capping, este criterio mucho sentido común debido que no se puede agotar la toda la capacidad de rotación de los elementos procurando dejar una capacidad adicional para tomar en cuenta la variabilidad de resistencia de los materiales, incertidumbres en la construcción y diseño del elemento. Los reglamentos de diseño suelen limitar las rotaciones, en las NTCC-17 no se limita esta rotación de forma directa imponen límites de distorsión que a su vez limitan estas rotaciones a una zona de certidumbre , sin embargo, es recomendable limitar a un 0.5θ’p, limitando esta rotación se es conservador en el diseño y como se mencionó con anterioridad se prevén la variabilidad de todas los parámetros en el diseño.

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Fuer

za [K

N]

Desplazamiento [mm]

COL T-P. Respuesta histerética

Prueba experimental

Idealización con Ibarra-Medina-Krawinkler

Rigidez de fluencia con 0.2 Ig

Curva de capacidad

119

Figura 5.45— Monitoreo de momento-rotación de COL-T-P.

En la Figura 5.46 se muestra la acumulación de energía histerética disipada

normalizada con respecto a Myθy (EHN = energía histerética disipada / Myθy) como función del número de ciclos. La suma acumulada total de EHN en todos los ciclos es 31.63 valor menor a λs= λk= λa= λc 67, el significado es que el elemento no llega agotar su capacidad de disipación de energía. La energía en el elemento depende mucho del patrón de cargas impuesto, obsérvese que la ec. (3.14), los valores de λ no están en función de un patrón de cargas, lo cual es una desventaja, sin embargo, como se ha mencionado, agotar la capacidad de energía del elemento e incursionar en la rama descendente del diagrama momento rotación no es conservador en el diseño. De acuerdo con Ibarra et al. (2005) una calibración razonable del modelo histerético se refiere a la elección de los parámetros del modelo que produzcan historias de EHN que son similares a las que se muestran en las pruebas de los componentes en todo el rango de carga.

Figura 5.46— EHN de COL-T-P.

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

COL T-P. Monitoreo de momento rotación

Momento rotación modificado

θ'p

0.5θ'p Opción de limitación de rotaciones

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5 6 7

EHN

Número de ciclos

COL T-P. Historia de EHN

120

b) Plasticidad distribuida

El uso de modelos de fibras ha sido utilizado hoy en día para la representación no lineal de los elementos a través de plasticidad distribuida, se puede modelar cualquier elemento en pequeñas fibras tanto transversalmente como en longitudinalmente, Figura 5.47. Es útil para obtener el comportamiento en cualquier punto de la sección transversal de elementos que son sometidos a combinaciones de cargas. Además, los modelos de fibras son de gran utilidad cuando se tienen elementos compuestos de 2 o más materiales, por ejemplo, elementos de concreto reforzado. En esta investigación solo se tratará solo el comportamiento de elementos sometidos a flexión y carga axial, no se abundará en el comportamiento de fibras sometidas a cortante y torsión.

La metodología principal de los modelos de fibras es discretizar en pequeñas fibras tanto la sección transversal como longitudinalmente un elemento, principalmente fibras cuadradas con relación 1:1, después a cada fibra se le asigna la curva esfuerzo deformación del material correspondiente. La flexión en el elemento produce niveles de esfuerzo axial en las fibras, con este esfuerzo con su respectiva área de cada fibra se obtiene la fuerza axial en ella, misma que multiplicada por su brazo de palanca con respecto al centroide geométrico de la sección se obtiene el momento flexionante actuante en la sección.

Figura 5.47— Sección de concreto reforzado modelado por fibras, (Manual OpenSees).

En los modelos de fibras utiliza la misma teoría que se ocupa para la obtención de los diagramas momento-curvatura, es decir, la envolvente de las fronteras del comportamiento histerético de un elemento es el diagrama momento-curvatura. Si se elaborará un análisis estático incremental (pushover) de un elemento en cantiléver idealizado con fibras se obtendría el diagrama momento-curvatura de la sección.

Es importante resaltar que en los análisis con fibras de elementos de concreto reforzado, la inercia del elemento es obtenida con las hipótesis a flexión, como diseñador puedes o no usar la pequeña contribución a tensión del concreto, los análisis consideran compatibilidad de deformaciones entre el acero de refuerzo y el concreto, con todo lo anterior se obtiene la inercia del elemento muy similar a la calculada del diagrama momento-curvatura del mismo elemento.

121

OpenSees (McKenna 1997; http://opensees.berkeley.edu), es uno de los softwares que contiene herramientas para la modelación de elementos por medio de fibra, la principal ventaja de este software ante otros, por ejemplo de SAP2000, es la reducción significativa en el tiempo computacional de cálculo.

Como ejemplo, la columna de estudio COL-T-P fue idealizada por medio de un modelo de fibras en OpenSees, se sometió a la historia de carga presentado en la Figura 5.41 con desplazamientos constantes al final del protocolo. Se debe recordar que este elemento está sometido a una carga axial de 98.67ton, parámetro importante para la correcta idealización por medio de fibras. Los diagramas esfuerzo deformación del acero de refuerzo y del concreto confinado se presentan en la Figura 5.48, el primero de ellos fue obtenido de la bibliografía original, el segundo de ellos, referente al concreto confinado, al no tener información en la bibliografía original se utilizaron las NTCC-17 con la teoría de Mander ahí presentada.

Figura 5.48— Diagrama esfuerzo deformación acero de refuerzo longitudinal y concreto confinado de COL-T-P.

La respuesta de la columna COL-T-P se muestra en la Figura 5.49, es de observarse

que los últimos ciclos de desplazamiento constante el elemento no presenta degradación en resistencia, es decir, las fibras no toman en cuenta el deterioro. La librería de materiales de OpenSees puede tomar en cuenta el deterioro con herramientas con parámetros precargados, sin embargo, no se tiene una bibliografía específica para la obtención de estos parámetros, de tal manera que si se ocuparan estas herramientas sin una referencia no se tendría creencia en los resultados obtenidos.

Una manera de idealizar el deterioro por medio de fibras, es ir modificando el diagrama esfuerzo del concreto confinado bajo el efecto de las cargas cíclicas, ocasionando una disminución del esfuerzo en cada descarga y recarga, este procedimiento esta presentado en las NTCC-17, sin embargo, es un procedimiento poco complejo además de que se requiere para ayuda de cálculo una rutina computacional.

0

100

200

300

400

500

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

Esfu

erzo

, fc

[kg/

cm2]

Deformación unitaria, εc

COL-T-PEsfuerzo deformación del concreto confinado

0

2000

4000

6000

8000

0.00 0.05 0.10 0.15

Esfu

erzo

, fs

[kg/

cm2]

Deformación unitaria, εs

COL T-PAcero de refuerzo longitudinal

122

Figura 5.49— Respuesta histerética de COL-T-P ante patrón de desplazamiento constantes, plasticidad distribuida.

Por otra parte, la Figura 5.50 presenta la comparación de la columna de estudio COL-

T-P sometida al patrón de desplazamiento de Takana 1990 (Figura 5.43), la idealización por medio de fibras se presenta con línea punteada, los resultados de la prueba experimental se presenta línea continua. Se observa como los modelos de fibras tienen mayor contribución a la resistencia debido a que el acero de refuerzo incursiona en la rama de endurecimiento por deformación. Es importante mencionar que la rigidez del elemento, en este caso la inercia, es la inercia agrietada obtenida asumiendo que el concreto no resiste esfuerzos de tensión, además no se toma en cuenta deslizamiento del acero de refuerzo ni la acción del cortante en el elemento, para la columna COL-T-P se tiene un valor de inercia de 0.38Ig y es la misma que se obtiene de un diagrama momento curvatura; en la Figura 5.50 se observa que la parte inicial de la curva los modelos de fibras subestiman la deformación del elemento, concluyendo que la verdadera inercia que se presenta en el elemento es menor a la inercia agrietada.

La Figura 5.51 muestra el monitoreo de esfuerzo-deformación del lecho de acero de refuerzo más lejano, se observa que los ciclos histeréticos de deformación del acero siguen la trayectoria de su gráfica esfuerzo deformación hasta llegar a la deformación máxima, es de pensar que la prueba fue detenida cuando el acero de refuerzo longitudinal llego a su máxima deformación o más, tal vez hasta tener una fractura del acero. El comportamiento histerético del concreto en la fibra más alejada de la sección transversal en el empotramiento del elemento se presenta en la Figura 5.52, donde se muestra que en esta prueba el concreto no llego a su deformación máxima de 0.027 para este elemento.

-600

-400

-200

0

200

400

600

-60 -40 -20 0 20 40 60

Fuer

za [K

N]

Desplazamiento [mm]

COL T-P.Respuesta histerética

13

57 al 19

123

Figura 5.50— Respuesta histerética de COL-T-P, plasticidad distribuida.

Figura 5.51— Monitoreo de esfuerzo-deformación del acero de refuerzo longitudinal COL-T-P.

-600

-400

-200

0

200

400

600

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Fuer

za [K

N]

Desplazamiento [mm]

COL T-P. Respuesta histerética

Prueba experimental

Idelización con fibras conrecubrimiento confinado

Rigidez de fluencia con 0.38 Ig

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

-0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

Esfu

erzo

, fs

[kg/

cm2]

Deformación unitaria, εs

Proyección de curva esfuerzo-deformación del acero de refuerzo

124

Figura 5.52— Monitoreo de esfuerzo-deformación del concreto COL-T-P.

La respuesta de la Figura 5.50, es con la suposición que inclusive las fibras del recubrimiento de la columna COL-T-P tienen el comportamiento del concreto confinado de la Figura 5.48. De un análisis asignando el comportamiento de concreto no confinado, Figura 5.53, a las fibras de concreto de los recubrimientos, se obtiene la respuesta de la Figura 5.54, con línea continua se muestra la prueba experimental y con línea punteada la respuesta idealizada con fibras, se observa que no existe un cambio significativo en la respuesta, solo un pequeño brinco cuando la fibra del concreto no confinado llega su compresión máxima, en este caso 0.004 de acuerdo con la Figura 5.53, este brinco también se muestra en la Figura 3.17.

Figura 5.53— Diagrama esfuerzo deformación del concreto no confinado de COL-T-P.

-500

-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

Esfu

erzo

, fs

[kg/

cm2]

Deformación unitaria, εs

Proyección de curva esfuerzo-deformación del concreto

0

50

100

150

200

250

300

350

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Esfu

erzo

, fc

[kg/

cm2]

Deformación unitaria, εc

COL-T-PEsfuerzo deformación del concreto no confinado

125

Figura 5.54— Respuesta histerética de COL-T-P tomando en cuenta el concreto no confinado en recubrimientos, plasticidad distribuida.

Es importante hacer el comentario que la respuesta de la Figura 5.50 y Figura 5.54,

no consideran el efecto de deslizamiento del acero longitudinal de refuerzo ni cortante actuante en el elemento, efectos puede incrementar los desplazamientos de forma significativa.

5.3.2 Subestructura de concreto reforzado

Se presenta otro ejemplo de aplicación de una subestructura de concreto reforzado, está consta de cuatro elementos. Se idealizaron dos de las seis pruebas experimentales de Xian Zuo Xin (1992), los prototipos de prueba consistían en un nodo viga-columna, Figura 5.55; en este estudio se investigó la resistencia ante carga sísmica de nodos de concreto reforzado, sin embargo, aquí solo se idealizo el comportamiento general de los especímenes de prueba. El protocolo de carga que se aplicaron en estas estructuras se muestra en la Figura 5.56 donde Δ es el desplazamiento medido en el gato de reacción y Δy es el desplazamiento lateral de fluencia del elemento. Se escogieron los especímenes 1 y 2 de Zuo (1992) para este trabajo, las secciones transversales, así como sus diagramas momento rotación de los elementos se presentan en la Figura 5.57 para el espécimen 1 y en la Figura 5.58 para el espécimen 2. De estas figuras se puede observar que los momentos de fluencia de las columnas son mayores inclusive a los momentos máximos de las vigas en ambos especímenes, es decir la no linealidad del sistema será por parte de las vigas, mientras que las columnas quedarán elásticas, es decir, la subestructura fue diseñada con el criterio de columna fuerte viga débil.

-600

-400

-200

0

200

400

600

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Fuer

za [K

N]

Desplazamiento [mm]

COL T-P. Respuesta histerética

Prueba experimental

Idelización con fibras sinrecubrimiento confinado

126

Figura 5.55— Prototipos de prueba Zuo (1992).

Figura 5.56— Patrón de desplazamiento Zuo (1992).

Las inercias a la fluencia de los elementos viga y columna para cada espécimen se muestran en la Tabla 5.7, estas inercias fueron obtenidas con la ec. (3.18), donde Ig es la inercia gruesa del elemento. Es importante mencionar que las columnas de los especímenes no tienen carga axial, prácticamente se comportan como una viga a flexión.

Espécimen 1 Espécimen 2 Viga 0.20 Ig 0.20 Ig Columna 0.20 Ig 0.20 Ig

Tabla 5.7— Inercia de viga y columna espécimen 1 y 2 de Zuo (1992) de acuerdo a Haselton et al.

(2008).

127

Figura 5.57— Dimensiones y diagramas momento rotación de viga y columna, espécimen 1 de Zuo (1992).

Figura 5.58— Dimensiones y diagramas momento rotación de viga y columna, espécimen 2 de Zuo (1992).

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Viga-Espécimen 1. Momento rotación

Mom-Rot. Inicial (-)Mom-Rot. Inicial (+)Mom-Rot. Modificado (-)Mom-Rot. Modificado (+)ASCE-41-17 (-)ASCE-41-17 (+)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30M

omen

to [t

on-m

]

Rotación [rad]

Columna-Espécimen 1. Momento Rotación

Mom-Rot. Inicial

Mom-Rot. Modificado

ASCE-41-17

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Viga-Espécimem 2. Momento Rotación

Mom-Rot. Inicial (-)Mom-Rot. Inicial (+)Mom-Rot. Modificado (-)Mom-Rot. Modificado (+)ASCE-41-17 (-)ASCE-41-17 (+)

0

5

10

15

20

25

30

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Columna-Espécimen 2. Momento Rotación.

Mom-Rot. Inicial

Mom-Rot. Modificado

ASCE-41-17

128

La curva de capacidad para el espécimen de ensaye 1 se muestra en la Figura 5.59a, en la Figura 5.59b se realiza un acercamiento y se adiciona la respuesta experimental, se observa que la curva de capacidad envuelve satisfactoriamente la respuesta experimental, es de pensar que la prueba es detenida en el momento en que comienza la rama descendente, algo usualmente practico debido a que incursionar un elemento en la rama descendente es arriesgado para mantener la estabilidad del espécimen de ensaye. Es de observar en la Figura 5.59b, la buena correlación que existe entre las inercias de la Tabla 5.7, con la rigidez inicial de la estructura.

(a)

(b)

Figura 5.59— (a) Curva de capacidad espécimen 1; (b) acercamiento de curva de capacidad espécimen 1 de Zuo (1992).

La respuesta histerética de fuerza horizontal con desplazamiento en la parte superior de la columna obtenida con el OpenSees con el modelo histerético peak-oriented y los modelos de deterioro de Ibarra et al. (2005) se presenta en la Figura 4.22 con línea punteada, obteniendo buenos resultados en la predicción del a resistencia como en los desplazamientos.

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

Fuer

za [K

N]

Desplazamiento [mm]

Espécimen 1. Curva de Capacidad

Proyección de curva de capacidad

129

Figura 5.60— Respuesta histerética espécimen 1 de Zuo (1992) por plasticidad concentrada.

Como se mencionó en párrafos anteriores las vigas son las que incursionan en el comportamiento no lineal del sistema, el comportamiento de las vigas es totalmente simétrico, el monitoreo de las rotaciones de una viga se presenta en la Figura 5.62, donde se observa que la viga incursiona en la rama descendente de su diagrama momento rotación provocando la caída en resistencia del sistema global en la última incursión cíclica como se observa en la Figura 5.61. La incursión de las rotaciones de los elementos en la rama descendente de su curva backbone no es deseable en el comportamiento, debido a que se presentan súbitamente disminuciones de resistencias en los elementos que afectan a su vez en el comportamiento de la estructura global.

Figura 5.61— Rotación de viga espécimen 1 de Zuo (1992).

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

-150.0 -100.0 -50.0 0.0 50.0 100.0 150.0

Fuer

za [k

g]

Desplazamiento [cm]

Espécimen 1.Fuerza-DesplazamientoK, con inercias Haselton (2008)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Viga Especimen 1. Monitoreo momento rotación

Momento rotación modificado

130

La Figura 5.62 presenta la respuesta con modelo de plasticidad distribuida por medio de fibras tomando en cuenta la relación esfuerzo-deformación del acero de fuerzo longitudinal y del concreto utilizado, Zuo (1992), en la bibliografía original no especifica la deformación unitaria máxima, sin embargo, en investigaciones similares de esa misma Universidad utilizan un valor de εmax =0.14, mismo que fue considerado aquí. La Figura 5.62 muestra un comportamiento con mayor resistencia que la presentada experimentalmente debido posiblemente a que el acero de refuerzo incursiona en la zona de endurecimiento por deformación aportando mayor resistencia; otro punto importante es que el desplazamiento obtenido de este análisis es menor al desplazamiento experimental, esto puede deberse que el modelo de plasticidad distribuida no toma en cuenta el deslizamiento del acero de refuerzo ni deformaciones por cortante, al no tomar en cuenta este fenómeno las secciones son más rígidas de lo que en realidad son. Las inercias que se utilizan en el modelo de plasticidad distribuida son inercias puramente de flexión para el espécimen 1 de 0.35Ig para vigas y 0.7Ig para columnas, obteniendo mayor rigidez en el espécimen que lo presentado experimentalmente.

Figura 5.62— Respuesta histerética espécimen 1 de Zuo (1992), plasticidad distribuida.

Las mismas curvas obtenidas anteriormente se presentan para el espécimen 2 de la

Figura 5.63 a la Figura 5.66. El comportamiento general es el mismo que para el espécimen 1; la rigidez que mejor coincide con la prueba experimental es la presentada en la Tabla 5.7, esta inercia considera deformaciones por flexión, deslizamiento de los aceros de refuerzo y deformaciones por cortante. En la se observa la incursión de las rotaciones en la rama descendente de su curva backbone, causando perdida repentina de la resistencia en el sistema global. Para este espécimen 2 la inercia obtenida solo considerando flexión es 0.36Ig para vigas y 0.49Ig en columnas, inercias que son utilizadas en el modelo de plasticidad distribuida Figura 5.66, obteniéndose mayor rigidez de la estructura que lo presentado de forma experimental.

-200.0

-150.0

-100.0

-50.0

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

-150.0 -100.0 -50.0 0.0 50.0 100.0 150.0Fuer

za [K

N]

Desplazamiento [mm]

Espécimen 1. Fuerza-Desplazamiento, plasticidad distribuidaRigidez de fluencia con 0.35Ig en vigas y 0.7Ig en columnas

131

Figura 5.63— Curva de capacidad espécimen 2 de Zuo (1992).

Figura 5.64— Respuesta histerética espécimen 2 de Zuo (1992), plasticidad concentrada.

Figura 5.65— Rotación de viga espécimen 2 de Zuo (1992).

-150

-100

-50

0

50

100

150

-150 -100 -50 0 50 100 150Fu

erza

[KN

]

Desplazamiento [mm]

Espécimen 2. Curva de capacidadRigidez de fluencia con 0.20Ig en los elementos

-150

-100

-50

0

50

100

150

-150.0 -100.0 -50.0 0.0 50.0 100.0 150.0

Fuer

za [K

N]

Desplazamiento [mm]

Espécimen 2. Fuerza-Desplazamiento, plasticidad concrentradaRigidez de fluencia con 0.20Ig en los elementos

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Viga Espécimen 2. Monitoreo momento rotación

Momento rotación modificado

132

Figura 5.66— Respuesta histerética espécimen 2 de Zuo (1992), plasticidad distribuida.

De acuerdo a lo presentado en este capítulo se concluye que las curvas bakcbone (en estos ejemplos los diagramas momento rotación, debido a que son elementos donde su comportamiento es flexión), además de los modos de deterioración de Ibarra et al. (2005), proporcionan una representación en el comportamiento aceptable de los elementos ante cargas cíclicas. Las simulaciones mediante plasticidad distribuida generan resultados más alejados al comportamiento experimental, esto debido a que no se toma en cuenta la deterioración de los elementos, posiblemente, para tener una mejora en la simulación se debe tomar en cuenta, entre otros factores, el comportamiento de fatiga de los materiales, deslizamiento del acero, efectos a cortante.

El espécimen 2 también se analizó en el software de análisis comercial SAP2000 de CSI, este es uno de los programas que no toman en cuenta degradación en el elemento debido a las cargas cíclicas, es decir, el comportamiento de momento con su respectiva rotación de cada uno de sus elementos siguen las fronteras de su curva backbone inclusive en su rama descendente. En la Figura 5.67 se muestra el monitoreo de la viga del espécimen 2 obtenido con SAP2000, esta figura es directamente comparable con la Figura 5.65, se observa que la Figura 5.67 incursiona en la rama descendente sin ninguna degradación de resistencia, lo que ocasiona que el elemento tenga resistencia para continuar ciclando ante las cargas actuantes (protocolo de carga), obteniéndose el comportamiento de la Figura 5.68, en la cual se observan desplazamientos mayores a los obtenidos en Figura 5.64. Obtener un desplazamiento en un elemento mayor al resistente puede ocasionar asignación de ductilidades mayores y poner en riesgo la estabilidad del elemento, por lo tanto, se recomienda limitar los desplazamientos inclusive antes de incursionar en la rama descendente de la curva backbone (en este caso momento rotación).

-150.0

-100.0

-50.0

0.0

50.0

100.0

150.0

-150.0 -100.0 -50.0 0.0 50.0 100.0 150.0Fu

erza

[KN

]

Desplazamiento [cm]

Espécimen 2. Fuerza-Desplazamiento, plasticidad distribuida

Rigidez de fluencia con 0.36Ig en vigas y 0.49 Ig en columnas

133

Figura 5.67— Rotación de viga espécimen 2 de Zuo (1992) obtenida de SAP2000.

Figura 5.68— Respuesta histerética espécimen 2 de Zuo (1992), plasticidad concentrada obtenida de SAP2000.

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10M

omen

to [t

on-m

]

Rotación [rad]

Viga Espécimen 2. Monitoreo momento rotación, SAP2000

Momento rotación modificado

-150

-100

-50

0

50

100

150

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250

Fuer

za [K

]

Desplazamiento [mm]

Espécimen 2. Fuerza-Desplazamiento, plasticidad concentrada. SAP200

134

6 CUANTIFICACIÓN DE RESITENCIA, DUCTILIDAD Y DAÑO ESTRUCTURAL EN LAS EDIFICACIONES DE ESTUDIO

Como se ha comentado en capítulos anteriores en esta investigación se utilizaron las inercias de las NTCC-17 (0.5Ig y 0.7Ig para vigas y columnas agrietadas respectivamente) para el diseño de las edificaciones de estudio, cumpliendo con las distorsiones permisibles en esta normativa. Por otra parte, diversos investigadores han demostrado en pruebas experimentales y estudios recientes que las inercias en los elementos de concreto reforzado son aún más pequeñas que las presentadas en las NTCC-17. Con fines de evaluar el comportamiento de las estructuras que están diseñadas con las NTCC-17 para esta investigación se dejaron en las edificaciones de estudio las resistencias y dimensiones geométricas en vigas y columnas resultantes tomando las inercias de esta normativa, sin embargo, en los análisis no lineales estáticos y dinámicos se realizaron dejando las mismas resistencias y secciones geométricas de vigas y columnas pero asignándole en estos elementos las inercias de acuerdo a Haselton et al. (2008) con las ecuaciones (3.18) y (3.19) para representar el comportamiento de las edificaciones con valores de inercia bajos. Se vuelve a mencionar que las columnas de las edificaciones no fluyen debido al criterio de diseño de columna fuerte-viga débil, por lo tanto, para las columnas se asigna la inercia correspondiente al 40% de su fluencia, ec. (3.19), para las vigas se utiliza la inercia de la ec. (3.18) ya que estas si alcanzan su fluencia.

En este apartado se presenta la Figura 6.1, misma que ya fue mostrada en Figura 1.5, pero repetida aquí para su rápida visualización, en la Figura 6.1 se muestra los significados de Q, Q’ y R que fueron utilizados en los diseños de las edificaciones de estudio.

Por otra parte, en las Figura 6.2 a Figura 6.4 se muestran las curvas de capacidad de las edificaciones de 3, 9 y 14 niveles diseñadas con sus respectivas ductilidades de Q=2, 3 y 4. Estas figuras son presentadas hasta el desplazamiento máximo, Δmax, el cual es obtenido cuando se alcanza la resistencia máxima de las estructuras, o cuando se tiene una degradación del 20% de la resistencia máxima, así mismo, en estas figuras se idealiza con línea más delgada un sistema inelástico equivalente para edificación prolongando el sistema elástico hasta la resistencia y desplazamiento, de este sistema son obtenidos todos los parámetros mostrados en la Figura 6.1 y representados en las Tabla 6.1 a Tabla 6.3.

135

Figura 6.1— Relación coeficiente sísmico basal – desplazamiento de azotea de una estructura

Figura 6.2— EDIFN3

136

Figura 6.3— EDIFN9

Figura 6.4— EDIFN14

137

6.1 Cuantificación de resistencia y ductilidad

Para la cuantificación de la resistencia y ductilidad se muestran de la Tabla 6.1 a Tabla 6.3 los parámetros Cy, Q’, R y Q entre otros, estos parámetros son obtenidos: 1) de análisis no lineales estáticos, es decir, directamente de las curvas de capacidad de las Figura 6.2 a Figura 6.4 ; 2) valores teóricos obtenidos con las NTCS-17 utilizando las inercias de acuerdo a las NTCC-17 en vigas y columnas; 3) valores teóricos obtenidos también con las NTCS-17 pero utilizando las inercias de Haselton et al. (2008) en vigas y columnas.

En estas Tablas uno de los parámetros más importantes es el cortante sismo a la fluencia, expresado en términos de coeficiente sísmico Cy = Vy / Wedif, (ver Capitulo 1.3), este coeficiente proporciona la resistencia máxima en que la estructura permanece elástica y comienza el comportamiento no lineal, cabe señalar que este coeficiente es obtenido de una idealización del sistema inelástico equivalente, ver Figura 6.1. Si se compara el Cy obtenido de los análisis no lineales (Figura 6.2 a Figura 6.4) con el Cy de diseño calculado con las NTCS-17 utilizando las inercias de las NTCC-17, se puede observar que las estructuras cumplen con la resistencia de diseño de acuerdo a la normativa, se observa que las estructuras no están sobre diseñadas ni sub diseñadas, es decir, las NTCC-17 proporcionan los requisitos geométricos y de detallado de refuerzo necesarios para alcanzar esta resistencia Cy, sin dejar a las estructuras con mayor reserva de resistencia.

El coeficiente de diseño Cy es calculado con las NTCS-17 está en función del periodo de la estructura, la normativa presenta espectros elásticos, Ce, y espectros de diseño, Cs, este último obtenido reduciendo el Ce por Q’ y R, el coeficiente Cy es obtenido multiplicando Cs por R, ver Capítulo 1.3. Los espectros de diseño sísmico de la Ciudad de México se componen de una primera rama ascendente, una meseta con coeficiente sísmico constante y una rama descendente. El cambio a mayores periodos en las estructuras tiene mayor repercusión si estas se encuentran en la rama ascendente del espectro, debido a que en esta zona del espectro a mayor periodo mayor coeficiente sísmico de diseño. Las edificaciones que son diseñadas utilizando las inercias de Haselton et al. (2008) en vigas y columnas tienen mayor periodo de vibrar, correspondiéndoles un Cs de diseño mayor (siempre y cuando estas caigan en la zona ascendente del especto) comparadas con aquellas estructuras que son diseñadas con las inercias de las NTCC-17.

Ante todo esto, si las estructuras son diseñadas en una primera instancia con las inercias de las NTCC-17, pero sin en la realidad exhiben un comportamiento más flexible con inercias más pequeñas en sus elementos debido a efectos de deslizamiento de acero de refuerzo y efectos por cortante entre otros, pude presentarse el caso que estas demandaran un Cs mayor; como se mencionó en párrafos anteriores, si se cumplen todos los requisitos de las NTCC-17 en el diseño de las estructuras, estas cumplen la demanda de Cy sin tener mayor reserva de resistencia, por lo tanto, si el Cs y en consecuencia Cy aumenta por cambios en el periodo de vibrar, estas estructuras pueden quedar escasas ante la resistencia esperada.

138

En esta investigación se utilizaron los espectros de diseños sísmico obtenidos con el SASID para dos zonas con periodos de suelo: 1) Ts=1.83 seg correspondiente al sismo SCT-85-Ew y 2) Ts=1.0 seg correspondiente al sismo DX37; los espectros elásticos y espectros de diseño (ya reducidos por su factor de comportamiento sísmico Q) se muestran en la Figura 2.3 y Figura 2.4, respectivamente para cada zona. En estas figuras se puede observar que en la primera rama de los espectros elásticos la ordena espectral incrementa conforme incrementa el periodo, sin embargo en los espectros de diseño ya reducidos por Q se observa no tiene un cambio significativo en su ordenada espectral inclusive en la rama ascendente, permaneciendo casi constante, es decir, el cambio de periodo con estos espectros de diseño no demanda un Cs y en consecuencia un Cy de diseño extremadamente mayor. Este mínimo cambio en el Cy de diseño se puede observar en las Tabla 6.1 a Tabla 6.3 donde las estructuras diseñadas con Q=2 utilizando las inercias de Haselton et al. (2008) demandan un mínimo cambio de Cy comparadas con las estructuras diseñadas con las inercias de las NTCC-17 de 0.340 a 0.344, para la estructura de 3 niveles, de 0.35 a 0.34 para las estructuras de 9 y 14 niveles para el sismo SCT-85-EW, espectro que rigió en el diseño de la estructuras, ver Figura 2.5.

El valor de ductilidad μ obtenida en cada una de las estructuras es obtenida con el cociente entre Δmax y Δy del sistema inelástico equivalente. La filosofía utilizada en la reducción de los espectros en las NTCS-17 es asociar el valor μ con el factor de comportamiento sísmico Q. El Q obtenido de los análisis no lineales (directamente de las de las Figuras 7.2 a Figura 7.4) es mayor al Q elegido para el diseño, es decir las estructuras tienen mayor ductilidad a la esperada. Se debe recordar que el máximo desplazamiento Δmax en las estructuras es obtenido cuando alguna viga alcanza su momento máximo Mmax, asociado con su respectivo θp’, ver Figura 3.38, casos en particulares como las estructuras diseñadas con Q=2, se permiten rotaciones más allá de θp’ con pequeña disminución del Mmax, ver Capítulo 5.1.

Otro enfoque distinto al utilizado en las NTCS-17 para la reducción de fuerzas sísmicas, es la igualación de la energía del sistema elástico con el sistema inelástico equivalente, así con la ec.(7.1) se calcula la reducción de fuerza Q para el sistema inelástico en función de su ductilidad μ que se presenta en este sistema, ver Figura 6.5a. Por ejemplo si se reducen las fuerzas sísmicas Q=2 se requiere que el sistema inelástico pueda desarrollar un μ=2.5, para un reducción de fuerzas Q=3 y 4, se requieren μ=5.0 y 8.5, respectivamente.

𝑄𝑄 = �2𝜇𝜇 − 1 (6.1)

Si se quisiera utilizar este enfoque a la normativa NTCS-17, Figura 6.5b, se puede observar que la reducción que fuerzas del sistema elástico al sistema inelástico se da a través del factor de reducción de fuerzas sísmicas Q’, esta reducción en algunos casos como las

139

estructuras de estudio de esta investigación son mayores al valor Q, entonces si se tiene esta reducción Q’ de fuerzas las estructuras deben cumplir con una ductilidad mínima μmin de acuerdo con la ec. (6.1) igual a:

𝜇𝜇𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛 =𝑄𝑄′2 + 1

2 (6.2)

a) b)

Figura 6.5— Reducción de fuerza elástica en función de la energía elástica.

Como se mencionó con anterioridad, en las edificaciones de estudio en esta investigación se tienen reducciones de fuerzas sísmicas con valores de Q’ relativamente grandes, por ejemplo se tiene Q’=2.73, 4.67, 6.50, para la edificación EDIFN9 diseñada con inercias de las NTCC-17 para Q=2, 3, 4, respectivamente, por lo tanto, evaluando la μmin con la ec. (6.2) se obtienen valores de μmin=4.22, 11.40, 21.63, valores significativamente grandes difíciles o casi imposibles de desarrollar en estas estructuras. Si se quisiera utilizar este enfoque es recomendable no tener reducciones de fuerzas sísmicas grandes para tener valores de ductilidades, μ, razonablemente pequeñas capaces de alcanzar en las estructuras.

140

EDIFICACIÓN 3 NIVELES

EDIFN3Q=2 EDIFN3Q=3 EDIFN3Q=4 D

E A

NÁ

LISI

S N

O

LIN

EAL

EST

ÁTI

CO

(GRÁ

FICA

S)

Wedif 252 ton 250 ton 250 ton

Vy 85 ton 65 ton 70 ton

Cy = Vy / Wedif 0.33 0.26 0.28

R = Cy/Cs 1.94 2.60 3.50

μ = Q = Δmax / Δy = 42.4 / 7.5 = 5.6 43.8 / 7.0 = 6.2 44.5 / 7.0 = 6.4

DE

NO

RMA

TIV

A

(NTC

-Sis

mo-

17)

Iner

cias

NTC

C-1

7

Tedif (NTCC-17) 0.54 seg 0.59 seg 0.59 seg

Ce 0.67 0.70 0.70

Ve 169 ton 175 ton 175 ton

Q’ 1.97 3.12 4.18

R 1.94 2.18 2.18

Cs = Ce / (Q’ R) 0.17 0.10 0.08

Cy = ( Cs ) ( R ) 0.340 0.22 0.17

2.44 5.37 9.24

DE

NO

RMA

TIV

A

(NTC

-Sis

mo-

17)

Iner

cias

Has

elto

n (2

008)

Tedif (Haselton 2008) 0.73 seg 0.81 seg 0.81 seg

Ce 0.79 0.84 0.84

Ve 199 ton 210 ton 210 ton

Q’ 2.31 3.91 5.37

R 1.89 2.12 2.12

Cs = Ce / (Q’ R) 0.18 0.10 0.07

Cy = ( Cs ) ( R ) 0.344 0.21 0.15

3.17 8.14 14.92

Tabla 6.1— Parámetros sísmicos para edificación EDIFN3.

𝜇𝜇𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛 =𝑄𝑄′2 + 1

2

𝜇𝜇𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛 =𝑄𝑄′2 + 1

2

141

EDIFICACIÓN 9 NIVELES

EDIFN9Q=2 EDIFN9Q=3 EDIFN9Q=4 D

E A

NÁ

LISI

S N

O

LIN

EAL

EST

ÁTI

CO

(GRÁ

FICA

S)

Wedif 1022 ton 976 ton 976 ton

Vy 350 ton 210 ton 160 ton

Cy = Vy / Wedif 0.34 0.22 0.16

R = Cy/Cs 1.68 2.20 2.28

μ = Q = Δmax / Δy = 75.0 / 30.0 = 2.5 86.0 / 22.0 = 3.9 95.0 / 15.0 = 6.3

DE

NO

RMA

TIV

A

(NTC

-Sis

mo-

17)

Iner

cias

NTC

C-1

7

Tedif (NTCC-17) 0.96 seg 1.02 seg 1.02 seg

Ce 0.94 0.98 0.98

Ve 961 ton 956 ton 956 ton

Q’ 2.73 4.67 6.50

R 1.84 2.07 2.07

Cs = Ce / (Q’ R) 0.19 0.10 0.07

Cy = ( Cs ) ( R ) 0.34 0.21 0.14

μ = (Q’2 + 1 ) / 2 = 4.22 11.40 21.63

DE

NO

RMA

TIV

A

(NTC

-Sis

mo-

17)

Iner

cias

Has

elto

n (2

008)

Tedif (Haselton 2008) 1.37 seg 1.45 seg 1.45 seg

Ce 1.20 1.22 1.22

Ve 1226 ton 1191 ton 1191 ton

Q’ 3.46 6.03 8.55

R 1.76 2.00 2.00

Cs = Ce / (Q’ R) 0.20 0.10 0.07

Cy = ( Cs ) ( R ) 0.35 0.20 0.14

μ = (Q’2 + 1 ) / 2 = 6.49 18.68 37.05

Tabla 6.2— Parámetros sísmicos para edificación EDIFN9.

142

EDIFICACIÓN 14 NIVELES

EDIFN14Q=2 EDIFN14Q=3 EDIFN14Q=4 D

E A

NÁ

LISI

S N

O L

INEA

L

ESTÁ

TIC

O (G

RÁ

FIC

AS)

Wedif 5390 ton 4833 ton 4833 ton

Vy 1800 ton 1100 ton 750 ton

Cy = Vy / Wedif 0.33 0.23 0.16

R = Cy/Cs 1.74 2.30 2.29

μ = Q = Δmax / Δy = 195 / 55 = 3.5 164 / 42 = 3.9 169 / 30 = 5.6

DE

NO

RMA

TIV

A

(NTC

-Sis

mo-

17)

Iner

cias

NTC

C-1

7

Tedif (NTCC-17) 1.15 seg 1.28 seg 1.28 seg

Ce 1.06 1.15 1.15

Ve 5713 ton 5558 ton 5558 ton

Q’ 3.07 5.60 7.90

R 1.80 2.02 2.02

Cs = Ce / (Q’ R) 0.19 0.10 0.07

Cy = ( Cs ) ( R ) 0.34 0.20 0.14

5.21 16.18 31.71

DE

NO

RMA

TIV

A

(NTC

-Sis

mo-

17)

Iner

cias

Has

elto

n (2

008)

Tedif (NTCC-17) 1.73 seg 1.95 seg 1.95 seg

Ce 1.22 1.22 1.22

Ve 6576 ton 5896 ton 5896 ton

Q’ 3.52 6.03 8.55

R 1.75 2.00 2.00

Cs = Ce / (Q’ R) 0.20 0.10 0.07

Cy = ( Cs ) ( R ) 0.35 0.20 0.14

6.70 18.68 37.05

Tabla 6.3— Parámetros sísmicos para edificación EDIFN14.

𝜇𝜇𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛 =𝑄𝑄′2 + 1

2

𝜇𝜇𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛 =𝑄𝑄′2 + 1

2

143

6.2 Cuantificación de daño estructural

Hasta ahora se han estudiado las estructuras EDIFN3, EDIFN9 y EDIFN14 con análisis, modal espectral, análisis no lineal estático incrementales (pushover) y análisis no lineal dinámico. El siguiente paso en esta investigación es evaluar el nivel daño en estas estructuras que van a sufrir después del sismo de diseño, con el nivel de daño obtenido y en complemento con los resultados experimentales se evaluara las posibilidad de reparación de las estructuras.

De acuerdo con Cosenza et. al (1993) el parámetro más común para la evaluación del daño estructural es una comparación entre la máxima excursión plástica de un elemento y un valor permitido, sin embargo, para una mejor predicción del daño es importante tomar en cuenta la energía disipada en el elemento, es decir, se puede presentar daño severo cuando exista disipación de energía debida a los ciclos histeréticos del sismo, pese a que se presenten desplazamientos pequeños en estos ciclos.

6.2.1 Índice de daño de Park y Ang (1985). Un índice de daño muy utilizado en la literatura es el propuesto por Park y Ang (1985),

ellos propusieron la ec.(6.3). En la primera parte de esta ecuación relaciona el desplazamiento máximo presentado ante el sismo con la capacidad de desplazamiento ultimo del elemento, el segundo término de la ecuación toma en cuenta la energía disipada en el elemento.

Los índices de daño de esta ecuación varían de 0 el cual no representa daño, a valores de 1 o mayores, el cual representa daño severo o pérdida total de resistencia del elemento.

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃 =𝛿𝛿𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀𝛿𝛿𝑢𝑢

+ 𝛽𝛽𝐸𝐸𝐻𝐻𝑄𝑄𝑀𝑀𝛿𝛿𝑢𝑢

(6.3)

donde:

δmax : máxima demanda de deformación bajo el sismo. δu : máxima capacidad de deformación bajo carga monotónica. Qy : fuerza de fluencia. β : parámetro adimensional que caracteriza la estabilidad de los ciclos histeréticos. EH : energía disipada.

Park y Ang (1987) proponen la cual muestra el estado de daño con sus respectivo índice de daño, sin embargo, en esta tabla no se proporciona parámetros físicos tangibles de como quedan los elementos después de incursiones cíclicas, parámetros como anchos de grieta, desconchamientos, fluencia en los aceros entre otros, son importantes tanto para el diseñador como cliente para poder conocer el estado a futuro de las estructuras después de un sismo de diseño.

144

Estado de daño Índice de daño Rango

Intacto 0.0 -

Menor 0.2 0.0 ̴ 0.2

Moderado 0.4 0.2 ̴ 0.5

Severo 0.6 0.5 ̴ 1.0

Tabla 6.4— Índices de daño de Park y Ang (1987).

La ec.(6.3) se puede reescribir de la siguiente forma:

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃 =𝜇𝜇𝑀𝑀𝜇𝜇𝑈𝑈

+ 𝛽𝛽𝑁𝑁𝐸𝐸𝐻𝐻𝜇𝜇𝑈𝑈

(6.4)

donde 𝜇𝜇𝑀𝑀 = 𝛿𝛿𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀/𝛿𝛿𝑀𝑀, la variable 𝜇𝜇𝑈𝑈 = 𝛿𝛿𝑢𝑢/𝛿𝛿𝑀𝑀 y 𝑁𝑁𝐸𝐸𝐻𝐻 = 𝐸𝐸𝐻𝐻/𝐹𝐹𝑀𝑀 𝛿𝛿𝑀𝑀.

El significado de la ec.(6.3) o ec. (6.4) se puede observar en la Figura 6.6, la cual representa el comportamiento de un mismo elemento ante dos cargas cíclicas diferentes. En esta figura el comportamiento de la izquierda tiene una amplitud de cargas cíclicas mayor, el comportamiento de la derecha su amplitud de cargas cíclicas es menor, sin embargo tiene mayor repeticiones de cargas. A primera instancia se puede decir que el elemento de la izquierda tiene mayor daño, debido a su mayor amplitud de su desplazamiento, este comportamiento es representado en la primera parte de la ec.(6.3) o ec. (6.4), por otra parte, la segunda parte de estas ecuaciones representa la energía histerética disipada EH, debido a la repetición de cargas, al tener mayor repetición de cargas y tener mayor EH el daño en el elemento de la derecha puede ser el mismo o mayor que el daño del elemento de la izquierda.

Figura 6.6— Comportamiento histerético de un elemento estructural ante dos protocolos de carga.

145

El valor de β en la ec.(6.3) o ec. (6.4) multiplica a la energía histerética disipada EH, con el propósito de relacionar esta energía con el daño físico del elemento. Como ejemplo obsérvese la Figura 6.7 obtenida de una prueba experimental de un espécimen de concreto reforzado ante cierto protocolo de carga, en el eje X se tiene el tiempo o ciclos de la prueba, en el eje Y se gráfica el índice de daño así como EH, para que EH se relacione con el estado o índice de daño debe ser multiplicado por el valor β. Tener valores de menores podría representar una subestimación del daño, caso contrario de tener valores mayores se podría sobre estimar el daño estructural. Cabe señalar que el valor de EH es significativamente grande pequeñas variaciones en el valor β podrían ocasionar cambios abruptos en el valor del índice de daño. Un valor de β=0, significa que no se toma en cuenta la contribución de la energía en el índice de daño el cual pudiese utilizarse en una prueba monotónica creciente.

Figura 6.7— Significado de β de Park y Ang.

Es importante mencionar que en elementos de concreto reforzado que tienen mayor

detallado de acero transversal y con menor demanda de carga axial pueden absorber mayor cantidad de energía con un daño estructural menor comparados con elementos con un detallado pobre, a mayor detallado de acero transversal menor es el valor de β. Es claro pensar que con la normativa NTCC-17 los elementos diseñados con ductilidad alta que tienen mayor detallado de acero transversal les correspondería valores de β menor comparado con los elementos diseñados con ductilidad baja, con esta idea se pensaría que los elementos con ductilidad alta tendrán menor daño, sin embargo, a que recordar que la resistencia de un elemento con ductilidad alta es menor comparado con un elemento con ductilidad baja, fluyendo primero el elemento dúctil ante un sismo de diseño.

146

Park y Ang (1985) han propuesto la ec. (6.5) para la obtención del valor β, en esta ecuación está en función del claro a cortante del elemento, carga axial y porcentajes de refuerzo longitudinal y transversal.

β = �−0.447 + 0.073𝑙𝑙𝑑𝑑

+ 0.24𝜂𝜂𝑡𝑡 + 0.314𝜌𝜌𝑡𝑡� × 0.7𝜌𝜌𝑤𝑤 (6.5)

donde l=longitud del elemento, d=peralte del elemento (l/d será remplazado por 1.7 si l/d<1.7); ηo es el esfuerzo de carga axial normalizado, ηo=N/(f’c bd) donde N=carga axial (remplazado por 0.2 si ηo <0.2); ρt es la relación de acero longitudinal como porcentaje (remplazado por 0.75% si ρt <0.75%) y ρw es la relación de confinamiento, ρw=Av /(bs).

Es claro observar que β no depende de la historia de carga; cómo se puede observar en la Figura 6.6, la evolución del daño no es la mismo para el elemento de la izquierda que el de la derecha, el valor β que multiplica a las dos diferentes EH debe ser diferente entre ellos para poder evaluar de forma correcta el daño en cada elemento. Esta misma idea es extrapolada a distintos movimientos sísmicos que producen distintas cantidades de disipaciones de energía en los elementos estructurales, por lo que muchos investigadores califican como una debilidad la ec. (6.5).

La forma más realista de monitorear la evolución del daño en un elemento, es obtener β con resultados experimentales de ese elemento con protocolos de carga que simulen el movimiento sísmico que demandará a la estructura. En esta investigación se obtendrá el valor β de forma experimental obteniendo gráficas como la Figura 6.7, mientras se tienen los resultados se evaluara el daño con la ec. (6.5).

Por otra parte para poder describir el daño total de una estructura es necesario la obtención del daño local de cada elemento que integra la estructura completa, Park et al. (1988) propusieron la ec. (6.6) para la obtención de un índice daño por entrepiso y de la estructura completa en función del índice de daño local Di.

𝐼𝐼𝐷𝐷 = �𝜆𝜆𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒 ; 𝜆𝜆𝑒𝑒 = 𝐸𝐸𝑒𝑒∑𝐸𝐸𝑒𝑒� (6.6)

donde λi es un factor de peso en función de la energía total absorbida Ei del componente i.

La ec. (6.3) puede ser utilizada para distintos mecanismos de falla en los elementos, entre los más comunes, axial, cortante y flexión, como se ha desarrollado en este investigación el comportamiento de los elementos estructurales deben ser principalmente a flexión para evitar fallas frágiles en las estructuras, por lo tanto, la ec. (6.3) puede ser reescrita como:

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃 =𝜃𝜃𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀𝜃𝜃𝑢𝑢

+ 𝛽𝛽𝐸𝐸𝐻𝐻𝑀𝑀𝑀𝑀𝜃𝜃𝑢𝑢

(6.7)

donde:

147

θmax : máxima demanda de rotación bajo el sismo. θu : máxima capacidad de rotación bajo carga monotónica, tomada en este estudio

como θu de la opción 3, ver Figura 3.38. My : momento de fluencia. EH : energía disipada (área bajo la curva del diagrama momento rotación).

En muchas de ocasiones el armado de acero en los elementos de concreto reforzado no es simétrico, situación que ocurre principalmente en vigas, esto conlleva en el caso de elementos a flexión a tener capacidades de resistencia y rotaciones distintas entre flexión positiva y flexión negativa, por lo tanto la ec. (6.7) se puede reescribir de la siguiente forma para tomar en cuenta esta asimetría:

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃 =𝜃𝜃𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀

(+)

𝜃𝜃𝑢𝑢(+) +

𝜃𝜃𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀(−)

𝜃𝜃𝑢𝑢(−) + 𝛽𝛽�

𝐸𝐸𝐻𝐻(+)

𝑀𝑀𝑀𝑀(+)𝜃𝜃𝑢𝑢

(+) +𝐸𝐸𝐻𝐻(−)

𝑀𝑀𝑀𝑀(−)𝜃𝜃𝑢𝑢

(−)� (6.8)

donde los superíndices (+) y (-) se refieren a las capacidades y resistencias a flexión positiva y negativa, respectivamente.

Park et al. (1987) desarrollaron un código computacional llamado IDARC (Inelastic Damage Analysis of Reinforced Concrete Frame – Shear – Wall Structures), el cual realiza una evaluación de daño de elementos estructurales (vigas, columnas, muros a cortante) así como de la estructura completa utilizando la metodología vista en los parrados anteriores.

IDARC utiliza el modelo histerético de tres parámetros para representar el comportamiento no lineal de los elementos, cada uno de estos parámetros están explicados en el Manual IDARC, de manera descriptiva los tres parámetros representan:

1) Comportamiento de degradación de rigidez mediante el parámetro α, el cual establece un punto en común sobre la línea inicial de rigidez extrapolada y supone que las líneas de descarga apuntan a este punto hasta que alcanzan el eje X, Figura 6.8a.

2) Comportamiento de adelgazamiento (pinching) mediante el parámetro γ, el cual baja el máximo punto objetivo (punto A de la Figura 6.8b) a un nivel recto γPy (punto B de la Figura 6.8b), los puntos de recarga apuntan a este nuevo punto de destino B hasta que alcanzan la deformación al agrietamiento, la dirección de la rigidez de la descarga cambia en este punto para apuntar al punto máximo objetivo anterior A.

3) Comportamiento de degradación de la resistencia mediante el parámetro β, este parámetro es el mismo valor utilizado en la definición del índice de daño de la ec. (6.3). El parámetro β proporciona la relación de daños incrementales causado por el incremento de la máxima respuesta, dδmax/δu, al normalizar con la energía histerética incremental dE/(δuPy) se tiene la siguiente expresión:

148

𝛽𝛽 =𝑑𝑑𝛿𝛿𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀/𝛿𝛿𝑢𝑢𝑑𝑑𝐸𝐸/(𝛿𝛿𝑢𝑢𝑃𝑃𝑀𝑀) =

𝑑𝑑𝛿𝛿𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀𝑑𝑑𝐸𝐸/𝑃𝑃𝑀𝑀

(6.9)

Como se presenta en la Figura 6.8c, el incremento de la máxima deformación debido a la energía disipada es:

𝑑𝑑𝛿𝛿𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝛽𝛽 𝑑𝑑𝐸𝐸/𝑃𝑃𝑦𝑦 (6.10)

La combinación de estos tres parámetros pueden simular modelos histeréticos existentes en la literatura, Figura 6.9. Cabe mencionar que cuando se tienen resultados experimentales de los elementos, es fácil proponer estos estos tres parámetros para simular el comportamiento presentado en dichos elementos.

Figura 6.8— Efecto de los tres parámetros, (tomada de Manual IDARC).

149

Figura 6.9— Versatilidad del modelo de tres parámetros, (tomada de Manual IDARC).

El uso de IDARC será una herramienta básica en esta investigación, aquí se puede proponer un valor de β para obtener una respuesta analítica del comportamiento de los especímenes de prueba para después comparar este resultado analítico con el resultado experimental, al tener una correlación aceptable entre el respuesta analítica y experimental el valor de β utilizado en IDARC será el valor β a utilizar en la determinación del índice de daño.

Para poner en práctica la teoría mostrada con anterioridad se obtuvieron los índices de daño de los prototipos de prueba del Capítulos anteriores, ver Figura 5.4. El comportamiento de estos especímenes es totalmente a flexión, por tal motivo se obtuvo el índice de daño en los elementos de los especímenes con las ec. (6.7) y ec. (6.8), este índice de daño fue comparado con el calculado con el IDARC. Al no contar aun con la respuesta experimental para el modelo de tres parámetros en este software se utilizó el valor de β obtenido con la ec. (6.5) para cada elemento, α = 2.0 y γ = ∞. Se dieron de alta las propiedades de resistencia y capacidad de deformación de acuerdo con el diagrama momento rotación experimental modificado de cada elemento, ver Figura 3.38, la inercia utilizada en los

150

elementos viga y columna fueron las propuestas por Haselton et al. (2008) ec. (3.18) y (3.19), respectivamente. De ante mano se sabe que las columnas de los elementos no alcanzaran la fluencia debido al criterio de diseño de columna fuerte-viga débil, las columnas al no fluir no contribuyen de manera significativa en la evaluación del índice de daño debido a que su energía disipada EH, es un valor muy pequeño con tendencia a cero, por tal motivo con obtener el daño en un elemento viga es suficiente para predecir el daño en todo el prototipo de prueba.

- PROTOTIPO EDIFN9Q=2.

Para este prototipo con la ec.(6.5) se obtiene para la Viga β=0.44 y para la columna β=0.56, la valor que se obtenga de β para la columna será indistinto, debido a que este elemento no alcanzará su fluencia. La historia de Cortante-Desplazamiento de este prototipo ante el protocolo de desplazamiento de la Figura 5.7 se presenta en la Figura 6.10, esta figura es directamente comparable con la Figura 5.10, la similitud entre estas gráficas es muy buena pese a que ambas fueron obtenidas con teorías distintas, lo que da a entender que el valor β calculado con la ec.(6.5) refleja comportamiento aceptable.

Figura 6.10— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=2, IDARC.

El diagrama momento rotación de la viga ante el protocolo de desplazamiento obtenido con IDARC se muestra en la Figura 6.11, en esta misma figura se presenta el diagrama momento rotación de la viga obtenida con el OpenSees (Figura 5.11.), la similitud entre estos dos diagramas obtenidos con distintas teorías se considera aceptable.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Fuer

za H

oriz

onta

l [to

n]

Desplazamiento [mm]

Prototipo EDIFN9Q=2, IDARC

IDARCOpenSees

151

Figura 6.11— Diagrama momento rotación de viga EDIFN9Q=2 V1 50x35 ante protocolo de desplazamiento experimental, IDARC.

Para un índice de daño del prototipo se procede a obtener el daño en todos los elementos con la ec. (6.8), después se obtiene la participación energética de cada elemento con la ec. (6.6) para poder obtener un índice de daño por nivel de después de todo prototipo, la Figura 6.12 y la Tabla 6.5 muestra los parámetros necesarios para este fin. Se debe recordar que el comportamiento del prototipo es totalmente simétrico, por lo tanto, el daño que se obtenga en la viga izquierda será el mismo que el daño en la viga derecha; las columnas no alcanzan a fluir dentro de todo el historial de carga, por lo tanto el daño en los elementos es nulo.

Figura 6.12— Índices de daño en prototipo EDIFN9Q=2.

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación Prototipo EDIFN9Q=2 V1 50x35, IDARC

IDARCOpenSees

IDPA-COL-INF=0.094

IDPA-COL-SUP=0.094

IDPA-VIGA-IZQ=5.287 IDPA-VIGA-DER=5.287

Nivel 0, ID=0.000

Nivel 1, ID=5.287

Nivel 2, ID=0.000

152

Viga Izquierda Viga Derecha Columna inferior Columna superior

Positivo Negativo Positivo Negativo Positivo Negativo Positivo Negativo

θu [rad] 0.090 0.083 0.090 0.083 0.081 0.081 0.081 0.081

θmax [rad] 0.050 0.050 0.050 0.050 0.004 0.004 0.004 0.004

θmax / θu 0.556 0.602 0.556 0.602 0.047 0.047 0.047 0.047

EH [ton-m-rad] 12.73 11.53 12.73 11.53 0.000 0.000 0.000 0.000

My [ton-m] 28.03 32.02 28.03 32.02 49.33 49.33 49.33 49.33

Myθu [ton-m-rad] 2.52 2.66 2.52 2.66 4.00 4.00 4.00 4.00

β 0.44 0.44 0.44 0.44 0.56 0.56 0.56 0.56

β EH / Myθu 2.220 1.909 2.220 1.909 0.00 0.00 0.00 0.00

IDPA 5.287 5.287 0.094 0.094

INDICE DE DAÑO NIVEL 1

∑ EN1 (Nivel 1) 48.52

λi = Ei / ∑ EN1 0.50 0.50 0.00

0.00

IDPA (Nivel 1) 5.287

INDICE DE DAÑO PROTOTIPO TOTAL

IDPA (Nivel 0) 0.00

IDPA (Nivel 1) 5.287

IDPA (Nivel 2) 0.00

∑ ET (Total) 48.52

EN0

0.00

EN1

48.52

EN2

0.00

λN0 = EN0 / ∑ET 0.00

λN1 = EN1 / ∑ET 1.00

λN2 = EN2 / ∑ET 0.00

IDPA (TOTAL) 5.287

Tabla 6.5— Índice de daño en prototipo EDIFN9Q=2

Como se observa en la Tabla 6.5 la participación de la energía total de todo el prototipo es tomada por las vigas, al ser simétrico el comportamiento en estos elementos el índice de daño de una sola viga refleja el comportamiento de toda la estructura. Para este prototipo se obtuvo un ID de 5.287, valor mucho mayor a 1.0, el cual de acuerdo con Park y Ang (1985) correspondería al colapso. El índice de daño de 5.287 se obtiene debido a que de forma analítica (en el software de análisis) el prototipo va incursionando ante ciclos mayores de desplazamientos de acuerdo al protocolo de desplazamientos impuestos, físicamente es casi imposible incursionar en todo el protocolo, con experiencia experimental el daño físico

153

casi al colapso del elemento se presenta cuando el elemento comienza a presentar una degradación del 20% de la resistencia máxima, en este caso alrededor de los 10cm, ver Figura 6.10.

El comportamiento del prototipo total así como el diagrama momento rotación de la viga cuando el elemento alcanza un ID=1.0 de acuerdo con la ec. (6.8) se muestra en la Figura 6.13, obteniéndose un desplazamiento al colapso de 6.0 cm.

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃 =0.0150.090 +

0.0160.083 + 0.44�

2.04(28.03)(0.090) +

2.21(32.02)(0.083)� = 0.17 + 0.19 + 0.72 = 1.08

Figura 6.13— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=2 al ID=1.0, IDARC.

- PROTOTIPO EDIFN9Q=3.

Para este prototipo con la ec.(6.5) se obtiene para la Viga β=0.22 y para la columna β=0.33, es importante mencionar que la viga de este prototipo tiene mayor detallado de acero transversal comparado con la viga del prototipo Q=2, por tal, motivo el valor de β se reduce de manera significativa. La historia de Cortante-Desplazamiento del prototipo ante el protocolo de desplazamiento de la Figura 5.7 se presenta en la Figura 6.14, esta figura es directamente comparable con la Figura 5.16 que es obtenida mediante los modelos de deterioro de Ibarra et al. (2005), la similitud entre estas gráficas es buena pese a que ambas fueron obtenidas con teorías distintas, lo que da a entender que el valor β calculado con la ec.(6.5) refleja comportamiento aceptable. Se puede observar que la degradación de la resistencia en este prototipo es más atenuada comparado con el prototipo Q=2.

El diagrama momento rotación de la viga ante el protocolo de desplazamiento obtenido con IDARC se muestra en la Figura 6.15, en esta misma figura se presenta el diagrama momento rotación de la viga obtenida con el OpenSees (Figura 5.16), la similitud entre estos dos diagramas obtenidos con distintas teorías se considera aceptable.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Fuer

za H

oriz

onta

l [to

n]

Desplazamiento [cm]

Prototipo EDIFN9Q=2, IDARC. ID = 1.0

-40-30-20-10

010203040

-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03

Mom

ento

[ron

-m]

Rotación [rad]

Mom. Rot. V1 50x35 Prototipo EDIFN9Q=2, IDARC. ID=1.0

154

Figura 6.14— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=3, IDARC.

Figura 6.15— Diagrama momento rotación de viga EDIFN9Q=3 V1 50x25 ante protocolo de desplazamiento experimental, IDARC.

Como se presentó para el prototipo Q=2, la obtención del índice de daño de una viga basta para representar el índice de daño del prototipo completo. El cálculo del ID de este prototipo Q=3 para todo el protocolo de desplazamiento impuesto se muestra en la Tabla 6.6 obteniéndose un ID=3.766, este valor es analítico suponiendo todas las incursiones cíclicas del protocolo de desplazamientos, algo físicamente imposible de alcanzar sin antes presentarse inestabilidades en el elemento debido al daño.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Fuer

za H

oriz

onta

l [to

n]

Desplazamiento [cm]

Prototipo EDIFN9Q=3, IDARC

IDARCOpenSees

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación Prototipo EDIFN9Q=3 V1 50x25, IDARC

IDARC

155

Viga Izquierda

Positivo Negativo

θu [rad] 0.104 0.091

θmax [rad] 0.042 0.050

θmax / θu 0.404 0.549

EH [ton-m-rad] 11.56 10.44

My [ton-m] 17.55 17.79

Myθu [ton-m-rad] 1.83 1.62

β 0.22 0.22

β EH / Myθu 1.394 1.419

IDPA 3.766

Tabla 6.6— Índice de daño en prototipo EDIFN9Q=3

El comportamiento del prototipo así como el diagrama momento rotación en la viga

cuando se presenta un ID=1.0 se observa en la Figura 6.16, el desplazamiento para este propósito alcanza un valor de 8.0cm, valor poco mayor al prototipo Q=2.

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃 =0.0220.104 +

0.0220.091 + 0.22�

2.41(17.55)(0.104) +

2.52(17.79)(0.091)� = 0.21 + 0.24 + 0.62 = 1.07

Figura 6.16— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=3 al ID=1.0, IDARC.

- PROTOTIPO EDIFN9Q=4.

Para este prototipo con la ec.(6.5) se obtiene para la Viga β=0.08 y para la columna β=0.22, como se observa estos valores de β son pequeños en comparación con los prototipos anteriores Q=2 y 3, lo que significa que en este prototipo no se tendrán degradaciones abruptas de resistencia. La historia de Cortante-Desplazamiento de este prototipo ante el protocolo de desplazamiento de la Figura 5.7 se presenta en la Figura 6.17, y es directamente comparable con la Figura 5.20 que es obtenida mediante los modelos de deterioro de Ibarra et al. (2005), la similitud entre estas gráficas es buena pese a que ambas fueron obtenidas con

-20-15-10

-505

101520

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Fuer

za H

oriz

onta

l [to

n]

Desplazamiento [mm]

Prototipo EDIFN9Q=3, IDARC. DAÑO = 1.0

-30

-20

-10

0

10

20

30

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Mom. Rot. V1 50x25 Prototipo EDIFN9Q=3, IDARC. ID=1.0

156

teorías distintas, lo que da a entender que el valor β calculado con la ec.(6.5) refleja comportamiento aceptable.

Figura 6.17— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=4, IDARC.

El diagrama momento rotación de la viga ante el protocolo de desplazamiento

obtenido con IDARC se muestra en la Figura 6.18, en esta misma figura se presenta el diagrama momento rotación de la viga obtenida con el OpenSees (Figura 5.21), la similitud entre estos dos diagramas obtenidos con distintas teorías se considera aceptable.

Figura 6.18— Diagrama momento rotación de viga EDIFN9Q=3 V1 50x25 ante protocolo de desplazamiento experimental, IDARC.

El cálculo del ID de este prototipo Q=4 para todo el protocolo de desplazamiento

impuesto se muestra en la Tabla 6.7 obteniéndose un ID=2.072, este valor es analítico suponiendo todas las incursiones cíclicas del protocolo de desplazamientos, al igual que los

-15

-10

-5

0

5

10

15

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Fuer

za H

oriz

onta

l [to

n]

Desplazamiento [cm]

Prototipo EFIN9Q=4, IDARC.

IDARCOpenSees

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Momento Rotación Prototipo EDIFN9Q=4 V1 50x25, IDARC

IDARC

OpenSees

157

anteriores prototipos físicamente es imposible de alcanzar este nivel de daño sin antes presentarse inestabilidades en los elementos.

Viga Izquierda

Positivo Negativo

θu [rad] 0.103 0.088

θmax [rad] 0.042 0.050

θmax / θu 0.408 0.568

EH [ton-m-rad] 7.89 9.40

My [ton-m] 11.54 15.12

Myθu [ton-m-rad] 1.19 1.33

β 0.08 0.08

β EH / Myθu 0.531 0.565

IDPA 2.072

Tabla 6.7— Índice de daño en prototipo EDIFN9Q=4

Es de observar que el índice de daño va disminuyendo conforme aumenta la ductilidad

que fue diseñado el prototipo, se ha obtenido ID de 5.287, 3.766 y 2.072 para Q=2, 3 y 4 respectivamente, lo que significa a primera instancia que ante el mismo protocolo de desplazamiento impuesto en la prueba experimental el prototipo Q=4 tendrá un comportamiento más estable comparado con los Q=2 y 3, comportamiento que pude ser visto en las Figura 6.10, Figura 6.14 y Figura 6.17.

El comportamiento de este prototipo así como el diagrama momento rotación en la viga cuando se presenta un ID=1.0 se observa en la Figura 6.19 , el desplazamiento para este propósito alcanza un valor de 10.0cm.

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑃𝑃𝑃𝑃 =0.0250.103 +

0.0300.088 + 0.08�

3.05(11.54)(0.103) +

4.28(15.12)(0.088)� = 0.24 + 0.34 + 0.46 = 1.05

Figura 6.19— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=4 al ID=1.0, IDARC.

-15

-10

-5

0

5

10

15

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Fuer

za H

oriz

onta

l [to

n]

Desplazamiento [cm]

Prototipo EDIFN9Q=4, IDARC. DAÑO = 1.0

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Mom. Rot. V1 50x25 Prototipo EDIFN9Q=4, IDARC. ID=1.0

158

Es de observarse en la Figura 6.13, Figura 6.16 y Figura 6.19 que cuando se obtiene un índice de daño igual a 1 o muy cercano a este valor, el comportamiento histerético de los prototipos es muy estable, es decir, no se presentan degradaciones de resistencia significativas, el comportamiento histerético ante cualquier valor de β en estos primeros ciclos es indiferente, es aquí donde el primer autor de esta investigación se hace la siguiente pregunta: ¿Si el comportamiento a los primeros ciclos es estable sin degradaciones de resistencia por que utilizar valores de β grandes, mayores a 0.22, para evaluar el daño en el elemento, inclusive al colapso?

6.2.2 Índice de daño propuesto a partir de la teoría de Ibarra et al. (2005)

El propósito de este apartado es presentar un índice de daño en función de los modelos

de deterioro propuestos por Ibarra et al. (2005) vistos en el Capítulo 3.1.3 de este documento. Para la mejor visualización de ecuaciones ya presentadas en los capítulos anteriores, se repiten en este apartado conservando su nomenclatura original.

El deterioro cíclico en una incursión i es definida por el parámetro βi el cual está dado por la ec. (3.4).

𝛽𝛽𝑒𝑒 = �𝐸𝐸𝑒𝑒

𝐸𝐸𝑇𝑇 − ∑ 𝐸𝐸𝑗𝑗𝑒𝑒𝑗𝑗=1

�𝑐𝑐

(3.4)

donde:

𝛽𝛽𝑒𝑒 = parámetro que define la deterioración en la incursión i.

𝐸𝐸𝑒𝑒 = energía histerética disipada en la incursión i.

∑𝐸𝐸𝑗𝑗 = energía histerética disipada en todas las incursiones en ambas direcciones positiva y negativa.

𝑐𝑐 = exponente que define la velocidad del deterioro. Si la historia de desplazamiento consiste en ciclos con amplitudes constantes un valor de 1 implica una velocidad de deterioración casi constante; para la misma historia de desplazamientos un valor de c=2 muestra una baja de velocidad de deterioración en los primeros ciclos y aceleradas velocidades de deterioración en los últimos ciclos.

𝐸𝐸𝑇𝑇 = es la capacidad de disipación de energía histerética expresada como un múltiplo de 𝐹𝐹𝑦𝑦𝛿𝛿𝑝𝑝, es decir, 𝐸𝐸𝑇𝑇 = 𝜆𝜆𝐹𝐹𝑦𝑦𝛿𝛿𝑝𝑝. El parámetro λ es calibrado con resultados experimentales, ec. (3.14).

159

A través de toda la historia de carga, βi, debe estar entre los valores de 0< βi ≤1. Si βi está fuera de estos límites (βi ≤0 o βi>1), la capacidad de energía histerética es agotada y se asume que toma lugar al colapso, matemáticamente:

𝜆𝜆𝐹𝐹𝑦𝑦𝛿𝛿𝑝𝑝 −�𝐸𝐸𝑗𝑗

𝑒𝑒

𝑗𝑗=1

≤ 𝐸𝐸𝑒𝑒 (3.5)

Para entender el significado de las ecuaciones anteriores se analizará el comportamiento de un elemento columna sujeta a un patrón de desplazamientos de amplitud constante en la parte superior del elemento, el desplazamiento máximo no es lo suficientemente grande para hacer incursionar al elemento en la rama descendente de su diagrama momento rotación, pero si lo suficiente para hacer fluir el elemento, Figura 6.20.

Figura 6.20— Comportamiento histerético en columna con protocolo de desplazamiento constante antes de rama descendente en su curva backbone.

Supóngase que en cada incursión cíclica se presenta una energía Ei =0.5, y que la

energía total del elemento es ET =5, además de c=1.0. El cálculo de la ec. (3.4) y del deterioro únicamente de resistencia básica que está definida por la ec. (3.6) se presenta en la Tabla 6.8, (se debe recordar que Ibarra et al. (2005) propone cuatro modos de deterioro, todos ellos combinados entre simulan la respuesta histerética del elemento). En la octava columna de esta Tabla se puede observar como la resistencia se degrada en un valor (1-βi) en cada incursión cíclica, se supone en un inicio que elemento tiene un resistencia M0=100. Fi en la ec. (3.6) es un valor genérico y puede tratarse como axial, momento, cortante.

𝐹𝐹𝑒𝑒+ = �1 − 𝛽𝛽𝑠𝑠,𝑒𝑒�𝐹𝐹𝑒𝑒−1+ y 𝐹𝐹𝑒𝑒− = �1 − 𝛽𝛽𝑠𝑠,𝑒𝑒�𝐹𝐹𝑒𝑒−1− (3.6)

La novena columna de la Tabla 6.8 se presenta ET - ∑Ej, que es la energía remanente del elemento debido a las incursiones cíclicas pasadas. Es de observarse que la energía

160

remanente va relacionada con la degradación de la resistencia, no es una relación exacta, sin embargo, la energía remanente es un reflejo de la degradación de la resistencia, se dan casos que la resistencia del elemento esta degradada aun 100% mientas que la energía total tiene un pequeño valor de reserva. La última columna de la tabla es ∑Ej/ET es la relación de la energía gastada en el elemento con la energía total. En un caso práctico como en el diseño de una estructura no se debe hacer incursionar a los elementos a disminuciones más allá del 20% o 30% de sus resistencias.

Ciclo Ei ET ∑Ej ET - ∑Ej βi (1- βi) Mi (ET - ∑Ej) / ET ∑Ej / ET 0 0.0 5 0.0 5.0 0.00 1.00 100.0 1.00 0.00

1 0.5 5 0.5 4.5 0.11 0.89 88.9 0.90 0.10

2 0.5 5 1.0 4.0 0.13 0.88 77.8 0.80 0.20

3 0.5 5 1.5 3.5 0.14 0.86 66.7 0.70 0.30

4 0.5 5 2.0 3.0 0.17 0.83 55.6 0.60 0.40

5 0.5 5 2.5 2.5 0.20 0.80 44.4 0.50 0.50

6 0.5 5 3.0 2.0 0.25 0.75 33.3 0.40 0.60

7 0.5 5 3.5 1.5 0.33 0.67 22.2 0.30 0.70

8 0.5 5 4.0 1.0 0.50 0.50 11.1 0.20 0.80

9 0.5 5 4.5 0.5 1.00 0.00 0.0 0.10 0.90

10 0.5 5 5.0 0.0 ̴ ̴ ̴ 0.00 1.00

Tabla 6.8— Evaluación de β de Ibarra en elementos con protocolo de desplazamientos constantes

El comportamiento descrito en la Tabla 6.8 y Figura 6.20, es un comportamiento que

se presenta en elementos dúctiles con una meseta correspondiente a θ’p relativamente grande. En elementos no dúctiles con valor θ’p pequeño o incursiones cíclicas en la rama descendente de su diagrama momento rotación se activa el modo de deterioración de resistencia post-capping, ver ec. (3.8) y Figura 3.11b. Cuando se activa este modo la trayectoria del comportamiento cíclico sigue la rama descendente, lo que ocasiona que el elemento pierda toda su resistencia de forma rápida sin que el elemento gaste su energía total ET. La Figura 6.21 ejemplifica este comportamiento.

Ante el comportamiento de la Figura 6.21 relacionar la energía remanente y la energía gastada del elemento ET - ∑Ej, con la degradación de resistencia es válida siempre y cuando no se incursione dentro de la rama descendente de su curva backbone.

161

Figura 6.21—Comportamiento histerético en columna ante protocolo de desplazamiento incremental hasta la rama descendente en su curva backbone.

En esta investigación se propone la ec. (6.11) como forma de cuantificar el daño derivada de la ec. (3.4) de Ibarra et al. (2005).

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼 =𝛿𝛿𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀𝛿𝛿𝑢𝑢

+∑ 𝐸𝐸𝑗𝑗𝑖𝑖𝑗𝑗=1𝐸𝐸𝑇𝑇

(6.11)

donde:

δmax : máxima demanda de deformación bajo el sismo. δu : máxima capacidad de deformación bajo carga monotónica. ET : es la capacidad de disipación de energía histerética expresada como un múltiplo

de 𝐹𝐹𝑦𝑦𝛿𝛿𝑝𝑝, es decir, 𝐸𝐸𝑇𝑇 = 𝜆𝜆𝐹𝐹𝑦𝑦𝛿𝛿𝑝𝑝.

∑𝐸𝐸𝑗𝑗: energía histerética disipada en todas las incursiones en ambas direcciones positiva y negativa.

El parámetro λ es calibrado con resultados experimentales, ec. (3.14).

𝜆𝜆 = (127)(0.19)𝜈𝜈(0.24)𝑠𝑠/𝑒𝑒(0.595)𝑉𝑉𝑝𝑝/𝑉𝑉𝑛𝑛(4.25)𝜌𝜌𝑠𝑠ℎ,𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (3.14)

La ec. (6.11) tiene una forma muy similar al índice de daño de Park y Ang (1985),

ec.(6.3), combina de forma lineal la demanda con la capacidad de deformación del elemento con la energía gastada. La energía total ET del segundo término de la ec. (6.11) está en función del valor λ y es análoga al valor β de Park y Ang (1985) de la ec. (6.5), ambas constantes estabilizan los ciclos histeréticos.

162

La ec. (6.11) solo es válida cuando los ciclos histeréticos no rebasan la rama descendente de la curva backbone de los elementos, de manera que no se active el modo de deterioro de resistencia post-capping, ver ec. (3.8) y Figura 3.11b, modo que provoca caída abrupta de resistencia y rompe la relación de resistencia con la energía. En el diseño de estructuras hacer que sus elementos incursionen en la rama descendente de sus curvas backbone ante un sismo es algo sumamente riesgoso, ya ocasiona degradación abrupta de la resistencia de la estructura, por lo tanto, la ec. (6.11) puede ser ampliamente utilizada para cuantificar el daño.

Se debe hacer énfasis que el segundo término de la ec. (6.11) es la energía gastada del elemento y no representa de manera exacta la perdida de resistencia, existe pequeñas diferencias, sin embargo estas diferencias en este documento se consideran aceptables, ver octava y decima columna de Tabla 6.8. La diferencia entre la energía gastada y perdida de resistencia comienzan disminuye cuando la energía del ciclo Ei es relativamente pequeña.

Para comportamientos en elementos a flexión con resistencias y capacidades diferentes a momento positivo y negativo, la ec. (6.11) puede reescribirse de la siguiente forma:

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼 =𝜃𝜃𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀

(+)

𝜃𝜃𝑢𝑢(+) +

𝜃𝜃𝑀𝑀𝑎𝑎𝑀𝑀(−)

𝜃𝜃𝑢𝑢(−) +

∑ 𝐸𝐸𝑗𝑗𝑖𝑖𝑗𝑗=1𝐸𝐸𝑇𝑇

(6.12)

donde: (+), (-): sentido de dirección de estudio. θmax : máxima demanda de rotación bajo el sismo.

θu : máxima capacidad de rotación bajo carga monotónica, tomada en este estudio como θu de la opción 3, ver Figura 3.38.

Para obtener del daño global de una estructura teniendo los índices de daños locales de sus elementos se hace uso de la ec. (6.6), esta ecuación asigna un factor de peso a los elementos de acuerdo a su contribución de energía de sistema total.

- PROTOTIPO EDIFN9Q=2.

El comportamiento que se presenta en los prototipos de prueba con el protocolo de desplazamiento impuesto de la Figura 5.7, hace incursionar a las vigas en su rama descendente de sus diagramas momento rotación provocando disminuciones de resistencia sin gastar su energía tota ET, este comportamiento es el descrito en la Figura 6.21.

El monitoreo de la energía gastada en la viga de este prototipo Q=2 se presenta en la Figura 6.22, obsérvese que al llegar al ciclo correspondiente a los 20cm (último ciclo de

163

protocolo de desplazamiento), el elemento ha gastado el 54% de su energía, sin embargo la resistencia de la viga se ha degradado al 100%, esto debido a la incursión cíclica en la rama descendente, ver Figura 5.11.

Figura 6.22— Gasto de energía en prototipo de prueba EDIFN9Q=2.

Para la obtención de un índice de daño con valor a 1 o muy cercano para este prototipo se hace uso de la ec. (6.12), es posible utilizar esta ecuación debido a que los desplazamientos para llegar a este índice de daño limite no incursionan en la rama descendente, por lo tanto, la gráfica para Cortante-Desplazamiento del prototipo así como el diagrama momento rotación de la viga cuando el prototipo alcanza un índice de daño a 1 se muestran en la Figura 6.23. Se hace mención que las gráficas de la Figura 6.23 son las obtenidas con OpenSees ya presentadas en la Figura 5.10 y Figura 5.11, sin embargo aquí se muestran recortadas al desplazamiento y rotación máxima para obtener un ID=1.0.

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼 =0.0290.090

+0.0290.083

+14.0744.32

= 0.32 + 0.35 + 0.32 = 0.99

Figura 6.23— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=2 al ID=1.0.

La Figura 6.23 es directamente comparada con la Figura 6.13, observe que con el

ID=1.0 calculado en este apartado (ec. (6.12)) permite obtener mayores desplazamientos y rotaciones comparado con el ID obtenido con Park y Ang (1985) ec. (6.7).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

∑ E

j / E

T

Desplazamiento [cm]

Energía V1 50x35 Prototipo EDIFN9Q=2

-30

-20

-10

0

10

20

30

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

Fuer

za H

oriz

onta

l [to

n]

Desplazamiento [cm]

Prototipo EDIFN9Q=2, ID=1.0

-40-30-20-10

010203040

-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Mom. Rot. V1 50x35 Prototipo EDIFN9Q=2, ID=1.0

164

- PROTOTIPO EDIFN9Q=3.

La presentación de resultados en este prototipo de prueba es similar al prototipo anterior. La Figura 6.24 muestra la energía en la viga de este prototipo Q=3, al igual que el prototipo anterior aquí el elemento gasta un 50% de su energía ante todo el protocolo de desplazamiento, sin embargo la viga presenta un 100% degradación de resistencia, ver Figura 5.16.

La Figura 6.25 presenta las gráficas Cortante-Desplazamiento del prototipo así como el diagrama momento rotación de la viga cuando el prototipo alcanza un índice de daño a 1, este índice de daño es evaluado con la ec. (6.12) es posible utilizar esta ecuación debido a que los desplazamientos para llegar a este índice de daño limite no incursionan en la rama descendente. Las gráficas de la Figura 6.25 son obtenidas con OpenSees ya presentadas en la Figura 5.15 y Figura 5.16, sin embargo aquí se muestran recortadas al desplazamiento y rotación máxima para obtener un ID=1.0.

Figura 6.24— Gasto de energía en prototipo de prueba EDIFN9Q=3.

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼 =0.0370.010

+0.0370.091

+13.6053.47

= 0.36 + 0.41 + 0.25 = 1.02

Figura 6.25— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=3 al ID=1.0.

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

∑ E

j / E

T

Desplazamiento [cm]

Energía V1 50x25 Prototipo EDIFN9Q=3

-15

-10

-5

0

5

10

15

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

Fuer

za H

oriz

onta

l [to

n]

Desplazamiento [cm]

Prototipo EDIFN9Q=3, ID=1.0

-30

-20

-10

0

10

20

30

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Mom. Rot. V1 50x25 Prototipo EDIFN9Q=3, ID=1.0

165

La Figura 6.25 es directamente comparada con la Figura 6.16, observe que con el ID=1.0 calculado en este apartado (ec. (6.12)) permite obtener mayores desplazamientos y rotaciones comparado con el ID obtenido con Park y Ang (1985) ec. (6.7).

- PROTOTIPO EDIFN9Q=4.

La Figura 6.26 muestra la energía en la viga de este prototipo Q=4, de esta figura se puede observar que la viga 47% de su energía ante todo el protocolo de desplazamientos impuesto, la degradación en resistencia de la viga es un 100%, ver Figura 5.21.

La gráfica para Cortante-Desplazamiento del prototipo así como el diagrama momento rotación de la viga cuando el prototipo alcanza un índice de daño a 1 se muestran en la Figura 6.27. Se hace mención que las gráficas de esta figura son las obtenidas con OpenSees ya presentadas en la Figura 5.20 y Figura 5.21, sin embargo aquí se muestran recortadas al desplazamiento y rotación máxima para obtener un ID=1.0.

Figura 6.26— Gasto de energía en prototipo de prueba EDIFN9Q=4.

𝐼𝐼𝐷𝐷𝑅𝑅𝐼𝐼 =0.0380.010 +

0.0380.088 +

10.6040.20 = 0.37 + 0.44 + 0.26 = 1.07

Figura 6.27— Respuesta histerética del prototipo de prueba EDIFN9Q=4 al ID=1.0.

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

∑ E

j / E

T

Desplazamiento [cm]

Energía V1 50x25 Prototipo EDIFN9Q=4

-15

-10

-5

0

5

10

15

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

Fuer

za H

oriz

onta

l [to

n]

Desplazamiento [cm]

Prototipo EDIFN9Q=4, ID=1.0

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06

Mom

ento

[ton

-m]

Rotación [rad]

Mom. Rot. V1 50x25 Prototipo EDIFN9Q=4, ID=1.0

166

La Figura 6.27 es directamente comparada con la Figura 6.19, obsérvese que la diferencia entre desplazamientos y rotaciones no es tan grandes como en los prototipos anteriores.

En resumen la Figura 6.23, Figura 6.25 y Figura 6.27 es el comportamiento histerético de cada prototipo de prueba (Q=2, 3 y 4) para obtener un ID=1.0 con la ec. ec. (6.12), ecuación que es obtenida de la teoría de Ibarra et al. (2005) que toma en cuenta el deterioro del elemento. Por otra parte, la Figura 6.13, Figura 6.16 y Figura 6.19 es el comportamiento histerético de cada prototipo de prueba para obtener un ID=1.0 con la teoría de Park y Ang (1985), ec. (6.8). Se observa que el ID de Park y Ang (1985) es más conservador, esto se debe al valor β que contribuye de forma significativa al índice de daño, este valor β será evaluado de forma experimental en la continuación de esta investigación.

6.3 Cuantificación de daño estructural en estructuras de estudio

Las estructuras de estudio se analizaron de forma dinámica no lineal en el Capítulo ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., con los acelerogramas sintéticos obtenidos del software SASID perteneciente a las NTCS-17, el SASID nos proporciona 8 acelerogramas de subducción y 4 de profundidad intermedia para una zona con periodo de suelo Ts=1.83 seg, también el software nos proporciona 4 acelerogramas de subducción y 4 de profundidad intermedia para una zona con periodo de suelo Ts=1.00 seg . Los espectros de cada uno de estos acelerogramas se presentan en la Figura 4.10.

Se debe recordar que aprovechando de simetría geométrica y de masas de las edificaciones de estudio los análisis no lineales dinámicos se realizaron en un solo marco de la estructura, este marco representa el comportamiento de la estructura completa.

En los siguientes estudios para obtener del daño global de una estructura teniendo los índices de daños locales de sus elementos se hace uso de la ec. (6.6).

La Tabla 6.9 se muestra el valor β de Park y Ang (1985) evaluado con la ec. (6.5), así como el valor de λ evaluado con la ec. (3.14). El promedio de valores de β para las vigas para las edificaciones EDIFN9 y EDIFN14 son de 0.45, 0.23 y 0.07 para diseños con Q=2, 3 y 4 respectivamente. Para la EDIN3 el promedio de valores de β para las vigas es de 0.17, 0.08 y 0.05 para diseños con Q=2, 3 y 4, respectivamente. Los valores aquí obtenido tienen una tendencia muy razonable, ya que ha mayor ductilidad de diseño menor es el valor de β provocando ciclos histeréticos más estables. Por otra parte, los valores de λ con ec. (3.14) incrementan conforme incrementa la ductilidad, se tienen promedio de 41, 82, 84 para la EDIFN3 para Q=2, 3 y 4 respectivamente, para la EDIFN9 Q=2, 3 y 4 se tienen promedios de λ de 47, 74 y 74; para la EDIFN14 Q=2, 3 y 4 se tiene valore promedios de λ de 64, 76 y 72 respectivamente. Al aumentar el valor de λ se aumenta el valor de la energía total ET del

167

elemento, lo que de manera análoga con el valor de β de Park y Ang (1985) estabilizan los ciclos histeréticos.

β ec. (7.5) λ ec. (3.14). Q=2 Q=3 Q=4 Q=2 Q=3 Q=4

EDIFICACIÓN 3 NIVELES

EDIFN3 V1 0.22 0.05 0.07 41.63 80.61 83.15

EDIFN3 V2 0.11 0.10 0.02 40.91 83.08 83.84

EDIFN3 C1 0.52 0.38 0.61 76.67 83.16 82.94

EDIFICACIÓN 9 NIVELES

EDIFN9 V1 0.44 0.22 0.08 47.10 68.88 72.27

EDIFN9 V2 0.42 0.20 0.04 47.22 78.34 74.82

EDIFN9 C1 EXT 0.74 0.39 - 61.37 66.85 -

EDIFN9 C1CENT 0.56 0.33 0.22 61.25 66.04 79.76

EDIFN9 C2 0.56 0.45 0.36 70.84 76.03 82.26

EDIFICACIÓN 14 NIVELES

EDIFN14 V1 0.53 0.35 0.15 67.81 80.10 76.57

EDIFN14 V2 0.58 0.23 0.11 65.48 77.73 71.89

EDIFN14 V3 0.32 0.14 0.01 59.87 71.06 66.14

EDIFN14 C1EXT 0.71 0.31 - 70.20 76.49 -

EDIFN14 C1CENT 0.18 0.21 0.21 68.09 69.96 86.94

EDIFN14 C2 0.13 0.10 0.07 73.70 78.33 87.71

EDIFN14 C3 0.26 0.32 0.18 71.35 73.31 86.92

Tabla 6.9— Valores de β Park y Ang (1985) y valores λ de Ibarra et al. (2005).

Se comienza presentando el MARCON9Q=2, marco que representa la estructura

EDIFN9Q=2. En la Figura 6.28 se muestra la historia Cortante-Desplazamiento de azotea de este marco ante el acelerograma correspondiente al sismo SUB-07-Ts=1.83seg. (acelerograma 07 de subducción a zona de suelo con Ts=1.83 seg.), así mismo en esta figura se muestra la curva de capacidad de esta estructura. Obsérvese que la estructura tiene un comportamiento no lineal rebasando por mínima diferencia el límite elástico. Ante las incertidumbres con el valor de β de Park y Ang (1985) que se ha comentado con anterioridad en la Figura 6.29a se muestran los índices de daño de entrepiso del MARCON9Q=2 utilizando distintos valores de β utilizando la ec.(6.8), es de observarse que valores de β mayores a 0.25 se comienzan a tener índices de daño mayores a 1, es decir, el colapso de la estructura. Si se utiliza un valor de β de 0.4 que el valor cercano al obtenido en la Tabla 6.9 se obtiene un índice de daño global de la estructura de 1.46, ver Figura 6.29b, significado de

168

colapso. Aquí se hace una reflexión del comportamiento, si se observa la Figura 6.28, apenas y se rebasa el límite elástico, si bien existe gasto de energía, es fácil pensar que esa estructura no alcanzará el colapso, el valor de 1.46 contradice este reflexión.

Figura 6.28— Cortante-Desplazamiento MARCON9Q=2 sismo SUB07-Ts=1.83seg.

a) b)

Figura 6.29— Índice de daño Park y Ang (1985) MARCON9Q=2 sismo SUB07-Ts=1.83seg.

-120

-90

-60

-30

0

30

60

90

120

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

Cor

tant

e B

asal

, V [t

on]

Desplazamiento [cm]

MARCON9Q=2 sismo SUB-07-Ts=1.83seg

0.0

3.5

7.0

10.5

14.0

17.5

21.0

24.5

28.0

31.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Altu

ra [m

]

Indice de daño

ID de entrepiso, Park y Ang (1985), ec. (7.8)

0.0

3.5

7.0

10.5

14.0

17.5

21.0

24.5

28.0

31.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Altu

ra [m

]

Indice de daño

ID de entrepiso y global, Park y Ang (1985), ec.(7.8)

β = 0.40

169

Si se evalúa el daño en los elementos con la ec. (6.12), ecuación derivada de la teoría de Ibarra et al. (2005), con un valor de λ=47.1 y 47.22 para las vigas V1 y V2 del marco, se obtiene un valor de 0.52, ver Figura 6.30, valor que de acuerdo a la lógica del comportamiento mostrado en la Figura 6.28 es más razonable.

Figura 6.30— Índice de daño con ec. (7.12) MARCON9Q=2 sismo SUB07-Ts=1.83seg.

Para este marco MARCON9Q=2 el sismo que le produce mayor daño es el SUB-01-

Ts=1.83 seg. El comportamiento Cortante-Desplazamiento de azotea para este sismo se muestra en la Figura 6.31, mientras que en la Figura 6.32 se obtiene los índices de daño global de la estructura con las ec. (6.8) y ec. (6.12).

Figura 6.31— Cortante-Desplazamiento MARCON9Q=2 sismo SUB01-Ts=1.83seg.

0.0

3.5

7.0

10.5

14.0

17.5

21.0

24.5

28.0

31.5

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

Altu

ra [m

]

Indice de daño

ID de entrepiso y global, ec. (7.12)

ID IB

-120

-90

-60

-30

0

30

60

90

120

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

Cor

tant

e B

asal

, V [t

on]

Desplazamiento [cm]

MARCON9Q=2 sismo SUB-01-Ts=1.83seg

170

Figura 6.32— Índice de daño en MARCON9Q=2 sismo SUB01-Ts=1.83seg.

Obsérvese que el índice de daño de acuerdo con Park y Ang (1985) con la ec.(6.8) y con un valor β=0.4 se obtiene un índice de 2.43 valor mucho mayor al colapso, sin saber cuál es el estado final de la estructura, el índice de daño obtenido con la ec. (6.12) es 0.79, valor también muy cerca al colapso sin embargo cae dentro del rango de valores que cuantifican mejor el daño.

La Tabla 6.10 muestra los índices de daño globales obtenidos con la teoría de Park y Ang (1985) así como el índice de daño global propuesto con la (6.12) para todos los marcos de la edificación de 9 niveles. Se puede observar que pequeños cambios en el valor de β de Park y Ang (1985) generan grandes cambios en el índice de daño global. Si se toma con rigor los valores promedio de β con la ec. (6.5) mostrados en la Tabla 6.9 para el marco diseñado con Q=2, 3 y 4 (β=0.4, 0.2 y 0.1, respectivamente) para se obtienen índices de daño globales de 2.43, 1.37 y 0.95 respectivamente, es decir el que tendría mayor daño seria el diseño con Q=2.

0.0

3.5

7.0

10.5

14.0

17.5

21.0

24.5

28.0

31.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Altu

ra [m

]

Indice de daño

ID de entrepiso, Park y Ang (1985), ec. (7.8)

β = 0.40

0.0

3.5

7.0

10.5

14.0

17.5

21.0

24.5

28.0

31.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Altu

ra [m

]

Indice de daño

ID de entrepiso y global, ec. (7.12)

ID IB

171

Supóngase el caso en que se utiliza un valor β=0.1 para todas las ductilidades, se obtendría un índice de daño global de 0.99, 0.89 y 0.94 para Q=2, 3 y 4. Estos valores similares significan que las estructuras tendrán casi el mismo daño, una ventaja para los diseños con Q=4, ya que pese a que son diseñados para demandas más bajas de fuerza sísmica el daño será casi el mismo que un diseño con Q=2. Los valores de índice de daño de Park y Ang, significan casi el colapso de las estructuras.

Índice de daño global

Q=2 Q=3 Q=4

Park y Ang (1985), ec. (7.8) β = 0.00 0.51 0.42 0.43

β = 0.05 0.75 0.66 0.69

β = 0.10 0.99 0.89 0.95 β = 0.15 1.23 1.13 1.21

β = 0.20 1.47 1.37 1.47

β = 0.25 1.71 1.60 1.73

β = 0.30 1.95 1.84 1.99

β = 0.40 2.43 2.31 2.51

β = 0.50 2.91 2.79 3.03

ID ec. (7.12) 0.79 0.57 0.59

Tabla 6.10— Índices de daño MARCON9.

En la Tabla 6.10 también se muestran los índices de daño de con la ec. (6.12), se

puede observar que la estructuración con Q=2 tendrá un índice de daño de 0.79, para Q=3 y 4 de 0.57 y 0.59, respectivamente. Al igual que la teoría de Park y Ang (1985) el daño en la estructura con ductilidad Q=2 será las más dañada comparadas con las estructuras Q=3 y 4.

El comportamiento del MARCON3 se muestra en la Tabla 6.11, se puede observar que esta estructuración de 3 niveles se obtienen índice de daño más pequeños, es decir, el sismo de diseño no demanda significativamente a la estructura.

La Tabla 6.12 se presentan los índice de daño para el MARCON14.

172

Índice de daño global

Q=2 Q=3 Q=4

Park y Ang (1985), ec. (7.8) β = 0.00 0.26 0.19 0.17

β = 0.05 0.36 0.28 0.24 β = 0.10 0.46 0.38 0.31

β = 0.15 0.55 0.47 0.37

β = 0.20 0.65 0.56 0.44

β = 0.25 0.75 0.66 0.51

β = 0.30 0.84 0.75 0.58

β = 0.40 1.04 0.94 0.71

β = 0.50 1.23 1.12 0.84

ID ec. (7.12) 0.41 0.23 0.21

Tabla 6.11— Índices de daño MARCON3.

Índice de daño global

Q=2 Q=3 Q=4

Park y Ang (1985), ec. (7.8) β = 0.00 0.35 0.29 0.34

β = 0.05 0.50 0.42 0.50

β = 0.10 0.65 0.54 0.66 β = 0.15 0.79 0.66 0.81

β = 0.20 0.94 0.79 0.97

β = 0.25 1.09 0.91 1.13

β = 0.30 1.23 1.04 1.28

β = 0.40 1.53 1.29 1.60

β = 0.50 1.82 1.54 1.91

ID ec. (7.12) 0.44 0.36 0.35

Tabla 6.12— Índices de daño MARCON14.

173

7 CONCLUSIONES

En este artículo se realizó un estudio a tres edificaciones de concreto reforzado con un sistema estructural sismorresistente a base de marcos resistentes a momento, las edificaciones cuentan con 3, 9 y 14 niveles. Las estructuras son diseñadas para una ductilidad baja (Q=2), media (Q=3) y alta (Q=4) apegándose a los lineamentos de las NTCC-17.

La estructura de 3 niveles no presenta cambios significativos en los volúmenes de concreto y acero de refuerzo entre los diseños con distintos valores de Q. En la edificación de 9 niveles se tiene una disminución de volúmenes de acero de refuerzo de 26% y 23% para diseños con Q=3 y 4, comparándola con el diseño Q=2, los volúmenes de concreto no tienen cambio significativo en esta estructura. La edificación de 14 niveles se tiene una disminución de volúmenes de acero de refuerzo de 38% y 28% para Q=3 y 4, comparándola con el diseño Q=2, además de una disminución del 21% en volúmenes de concreto.

El deterioro en los elementos estructurales comienza a tener un efecto importante cuando se rebasa el 50% de la rotación θ’p ante las demandas sísmicas impuestas en este estudio. En las estructuras de estudio sus elementos estructurales no rebasan este límite de rotación, por lo tanto el deterioro no tiene una participación significativa en el comportamiento histerético.

Los efectos de deslizamiento del acero de refuerzo y los efectos de cortante en la rigidez de los elementos de concreto reforzado suelen ser tomados en cuenta con disminuciones en los valores del momento de inercia de la sección gruesa. Distintos investigadores así como reglamentos de diseño, recomiendan usar valores de inercia aún más bajos a los presentados en las NTCC-17. Al disminuir su rigidez, los elementos las estructuras se flexibilizan ocasionando que en algunos movimientos sísmicos rebasen las distorsiones límites de las NTCS-17, distorsiones que posiblemente estén relacionadas con las inercias de las NTCC-17. Se recomienda en investigaciones posteriores ajustar el valor de las distorsiones permisibles a partir de rigideces en elementos de concreto reforzado más bajas a las presentadas en las NTCC-17. Para el ajuste en estas distorsiones se deberá tomar en cuenta el daño estructural correspondiente en los elementos.

Las estructuras diseñadas con las NTCC-17 proporcionan los requisitos geométricos y de detallado de refuerzo necesarios para alcanzar esta resistencia Cy, sin dejar a las estructuras con mayor reserva de resistencia, es decir, las estructuras no están sobre diseñadas ni sub diseñadas. El valor de Q para las estructuras obtenido de los análisis no lineales es mayor al Q elegido para el diseño, es decir las estructuras tienen mayor capacidad de ductilidad que la demandada.

174

Las formulaciones presentadas en las NTCC-17 para la obtención del diagrama momento rotación, así como la teoría para tomar en cuenta el deterioro de los elementos debido a la repetición de cargas proporciona resultados razonables en la predicción del comportamiento histeréticos de los elementos.

Con los índices de daño obtenidos en este documento se concluye que las estructuras a base marcos de concreto resistentes a momento diseñadas con Q=4, podrían tener daño estructural igual o inclusive menor comparado con estructuras diseñadas con Q=2. En investigaciones posteriores se probarán de forma experimental prototipos de prueba que representan los diseños Q=2, Q=3 y Q=4, con la finalidad de obtener un daño estructural físico a través del monitorio de grietas, desconchamientos del concreto, fluencia o ruptura de los aceros de refuerzo.

175

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176

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[15] Xian Zuo Xin, “Behaviour of reinforced concrete interior beam-column joints designed using high strength concrete and steel” University of Canterbury Christchurch, New Zealand, July 1992

177

A. PÉNDICE

SECCIONES DE ELEMENTOS PARA EDIFICACIONES DE ESTUDIO.

1) Edificación EDIFN3

1.1) Elevación y planta de la edificación.

Figura A.1— Elevación de EDIFN3.

Figura A.2— Planta de EDIFN3.

178

1.2) Elementos estructurales para Q=2.

a) EDIFN3Q=2 V1 35x20 b) EDIFN3Q=2 V2 30x20

Figura A.3— Secciones de viga de EDIFN3Q=2.

a) EDIFN3Q=2 C1 35x35

Figura A.4— Secciones de columna de EDIFN3Q=2.

1.3) Elementos estructurales para Q=3.

a) EDIFN3Q=3 V1 30x25 b) EDIFN3Q=3 V2 25x25

Figura A.5— Secciones de viga de EDIFN3Q=3.

179

a) EDIFN3Q=3 C1 35x35

Figura A.6— Secciones de columna de EDIFN3Q=3.

1.3) Elementos estructurales para Q=4.

a) EDIFN3Q=4 V1 30x25 b) EDIFN3Q=4 V2 25x25

Figura A.7— Secciones de viga de EDIFN3Q=4.

a) EDIFN3Q=4 C1 35x35

Figura A.8— Secciones de columna de EDIFN3Q=4 C1 35x35

180

2) Edificación EDIFN9

2.1) Elevación y planta de la edificación.

Figura A.9— Elevación de EDIFN9.

181

Figura A.10— Planta de EDIFN9.

2.2) Elementos estructurales para Q=2.

a) EDIFN9Q=2 V1 50x35 b) EDIFN9Q=2 V2 50x25

Figura A.11— Secciones de viga de EDIFN9Q=2.

182

a) EDIFN9Q=2 C1EXT 50x50 b) EDIFN9Q=2 C1 50x50

c) EDIFN9Q=2 C2 45x45

Figura A.12— Secciones de columna de EDIFN9Q=2.

2.3) Elementos estructurales para Q=3.

a) EDIFN9Q=3 V1 50x25 b) EDIFN9Q=3 V2 45x25

Figura A.13— Secciones de viga de EDIFN9Q=3.

183

a) EDIFN9Q=3 C1EXT 50x50 b) EDIFN9Q=3 C1 50x50

c) EDIFN9Q=3 C2 45x45

Figura A.14— Secciones de columna de EDIFN9Q=3.

2.4) Elementos estructurales para Q=4.

a) EDIFN9Q=4 V1 50x25 b) EDIFN9Q=4 V2 45x25

Figura A.15— Secciones de viga de EDIFN9Q=4.

184

a) EDIFN9Q=4 C1 50x50 b) EDIFN9Q=4 C2 45x45

Figura A.16— Secciones de columna de EDIFN9Q=4.

185

3) Edificación EDIFN14

3.1) Elevación y planta de la edificación.

Figura A.17— Elevación de EDIFN14.

186

Figura A.18— Planta de EDIFN14.

3.2) Elementos estructurales para Q=2.

a) EDIFN14Q=2 V1 80x50 b) EDIFN14Q=2 V2 75x50

c) EDIFN14Q=2 V3 65x40

Figura A.19— Secciones de viga de EDIFN14Q=2.

187

a) EDIFN14Q=2 C1EXT 100x100 b) EDIFN14Q=2 C1 100x100

c) EDIFN14Q=2 C2 90x90 d) EDIFN14Q=2 C3 70x70

Figura A.20— Secciones de columna de EDIFN14Q=2.

188

3.3) Elementos estructurales para Q=3.

a) EDIFN14Q=3 V1 75x45 b) EDIFN14Q=3 V2 70x45

c) EDIFN14Q=3 V3 60x35

Figura A.21— Secciones de viga de EDIFN14Q=3.

a) EDIFN14Q=3 C1EXT 90x90 b) EDIFN14Q=3 C1 90x90

189

c) EDIFN14Q=3 C3 80x80 d) EDIFN14Q=3 C3 60x60

Figura A.22— Secciones de columna de EDIFN14Q=3.

3.4) Elementos estructurales para Q=4.

a) EDIFN14Q=4 V1 75x45 b) EDIFN14Q=4 V2 70x45

c) EDIFN14Q=4 V3 60x35

Figura A.23— Secciones de viga de EDIFN14Q=4.

190

a) EDIFN14Q=4 C1 90x90 b) EDIFN14Q=4 C2 80x80

c) EDIFN14Q=4 C3 60x60

Figura A.24— Secciones de columna de EDIFN14Q=4.