CircunferenciaLa circunferencia es una curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.1

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un planoque equidistan a otro punto llamado centro.

Distíngase de círculo, cuyo lugar geométrico que queda determinado por una circunferencia y la región del plano que encierraesta.

Historia

Terminología frecuentePerímetroÁrea

Propiedades

Posiciones relativas respecto la circunferenciaLos puntosLas rectas

Propiedades

Entre circunferenciasPropiedades

Ángulos en una circunferenciaPropiedades

Inscripción y circunscripción

Representación de la circunferenciaEcuación de la circunferencia

Propiedades

Función paramétricaFunción paramétrica en el plano complejoFunción vectorialEcuación en coordenadas polares

Propiedad

Formas de identificar circunferenciasEn topologíaEn ecuaciones diferencialesEn geometría diferencial de curvas

Circunferencias particularesCircunferencias de CardanusCircunferencia directrizCircunferencia osculatriz

Véase también

Índice

Referencias

Enlaces externos

El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia. Cuando usaban los carros con ruedas, era primordialrelacionar el diámetro o radio con la circunferencia.2

Elementos relevantes de la circunferencia, heredados por el círculo:

El centro es el punto equidistante a todos los puntos de una circunferencia.Señalado con el nombre en la figura.Un radio es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con un puntocualquiera de la misma. El radio también es la longitud de los segmentos del mismonombre. Señalado con el nombre en la figura.Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferenciapasando por su centro. El diámetro también es la longitud de los segmento delmismo nombre. Señalado con el nombre en la figura.El perímetro es el contorno de la circunferencia y su longitud. Señalado con el nombre en la figura.Una cuerda es cualquier segmento que une dos puntos de unacircunferencia. El diámetro es un cuerda de máxima longitud. Segmentoverde en la figura.Un arco es cualquier porción de circunferencia delimitada por dos puntossobre esta. Se dice también que una cuerda subtiende cada arco quedeterminan sus extremos. Línea curva azul en la figura.Una flecha o sagita respecto una cuerda es el segmento de su mediatrizque hay entre esta cuerda y el arco que determina esta, sin pasar por elcentro. Segmento rojo en la figura.Una semicircunferencia es cualquier arco delimitado por los extremos de un diámetro.

La longitud de una circunferencia en función del radio o del diámetro es:

donde es la constante pi.

El área del círculo o de la región del plano delimitada por una circunferencia:

A =

Historia

Terminología frecuente

Perímetro

Área

Propiedades

Solo las rectas que contengan el centro de la circunferencia pueden ser un ejede simetría de esta.

Los puntos de la circunferencia sobre cualquier perpendicular a las recta que pasapor el centro son equidistantes a esta. Al construir un triángulo isósceles con dosradios y la perpendicular queda probado que son equidistantes a la recta que ahorase le puede llamar recta de simetría.

Las circunferencias son invariantes a cualquier rotación con el eje en el centrode esta circunferencia.

Trivial después de entender que los radios sufren una rotación, por tanto, nomodifican su longitud ni su origen común, ya que se trata de un desplazamiento delplano y por tanto una isometría.

Véase también: Posiciones relativas en el círculo

Posiciones de los puntos respecto de la circunferencia:

Un punto exterior es el que está a una distancia mayor al radio de la circunferencia respectola posición de su centro.Un punto interior es el que está a una distancia menor al radio de la circunferencia respectola posición de su centro.

Posiciones de las rectas respecto de la circunferencia:

Una recta exterior es cualquier recta que no tiene puntos en común con lacircunferencia.Una recta tangente es cualquier recta que toca la circunferencia en un único punto.

Una recta secante es cualquier recta que corta la circunferencia en dos puntos.3

Se llama punto de tangencia cada uno de los puntos que comparte la circunferencia con losdiferentes elementos tangentes, es decir, el punto donde se produce la tangencia. En todo punto dela circunferencia se pueden hacer tangencias.

Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio quecontiene el punto de tangencia.

Por reducción al absurdo, se puede suponer que no es perpendicular, por tanto, sepuede construir un triángulo isósceles con otro radio, probando así que hay otropunto de tangencia diferente al primero y como este debería ser único implica lanegación de que no sean perpendiculares y por tanto es un ángulo recto.

Posiciones entre circunferencias:

Una circunferencia es exterior a otra, si todos sus puntos son exteriores a esta otra. Véase la figura 1 y 8.Una circunferencia es interior a otra, si todos sus puntos son interiores a esta otra. Véase la figura 5.

Posiciones relativas respecto la circunferencia

Los puntos

Las rectas

Propiedades

Entre circunferencias

Una circunferencia es circundante a otra, si todos sus puntos no soninteriores a esta otra que a su vez no es exterior a la primera. Véase lasfiguras 7 y 8.Una circunferencia es tangente exterior a otra, si tienen un único puntocomún y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. Véase lafigura 2.Una circunferencia circundante es tangente exterior a otra, si tienen un únicopunto común. Véase la figura 7.Una circunferencia es tangente interior a otra, si tienen un único puntocomún y todos los demás puntos de una son interiores a la otra. Véase lafigura 4.Una circunferencia es secante a otra, si se cortan en dos puntos distintos.Véase la figura 3.Una circunferencia es secante ortogonalmente a otra, si el ángulo de suintersección es recto, es decir, sus rectas tangentes en cada una de lasintersecciones son perpendiculares.Son excéntricas las circunferencias que no tienen el mismo centro.Son concéntricas las circunferencias que tienen el mismo centro, es decir,las que no son excéntricas.Son coincidentes las circunferencias que tienen el mismo centro y el mismoradio, es decir, que todos los puntos de una son los de la otra y viceversa. Véase la figura 6.

Los centros de las circunferencias tangentes están alineados con el punto detangencia.

Como la recta tangente en el punto es perpendicular al radio, implica que todos losradios son perpendiculares a dicha recta tangente en el mismo punto, es decir, todoslos centros están alineados.

Posición de los ángulos respecto de una circunferencia, puede ser:

Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de lacircunferencia.4 Véase la figura 1.Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia cuyoslados determinan una cuerdas cada uno en la dicha circunferencia.4 Véasela figura 2.Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia yuno de sus lados secantes determina una cuerda y el otro una rectatangente a la circunferencia, es decir, que el vértice es un punto detangencia.4 Véase la figura 3.Un ángulo ex-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia yuno de sus lados determina una cuerda y la prolongación del otro determinaotra cuerda, es decir, es el ángulo exterior de un ángulo inscrito.5 Véase lafigura 4.Un ángulo interior es el que tiene su vértice en el interior de lacircunferencia.4 Véase la figura 5.Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en el exterior de lacircunferencia y cada lado es tangente o secante a la circunferencia.4 Véanse las figuras 6,7 y 8.

Propiedades

Ángulos en una circunferencia

Propiedades

En el ángulo central su amplitud y el radio de la circunferencia, determina la longitud del arco resaltado en la figura en azul. Si el ángulo está en grados:

El ángulo central indica qué fracción de circunferencia que tiene el arco, así, si entonces:

Es decir, el arco es directamente proporcional al ángulo central, y que simplificando

queda la fórmula buscada.

Si el ángulo está en radianes:

El arco capaz relaciona el ángulo central, inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito siempre que lasintersecciones de los lados mantengan la misma distancia.

Si el ángulo inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito tienen la misma amplitud , entonces, determinanla misma longitud de arco, de color azul en la imagen, sobre una misma circunferencia de radio .Si el ángulo está en grados:

Como el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito, este hecho se sustituye en la fórmula usada en el ángulo central quedando:

Simplificando queda la fórmula buscada.

Si el ángulo está en radianes:

Diversos tipos de ángulos aparecen en el análisis de la potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Diremos que una circunferencia está circunscrita a un polígono cuando todos los vértices de dicho polígono están sobre esta, sedice que este polígono está inscrito.

Diremos que una circunferencia está inscrita a un polígono cuando sea tangente a todos los lados de dicho polígono, se dice queeste polígono está circunscrito.

Inscripción y circunscripción

Representación de la circunferencia

La circunferencia se puede representar mediante ecuaciones o funciones que determinan la posición de cada uno de sus puntos.Para ello solo hace falta garantizar que la distancia de cada punto de la circunferencia a su centro sea constante para cadauna de las ecuaciones y funciones que se tenga.

Una circunferencia queda determinada por un centro y unradio , por tanto, su ecuación queda determinada al imponer que ladistancia de sus puntos, , al centro sea constante, es decir,

dando la siguiente ecuación:6 7

Su representación en un sistema de coordenadas viene dada por cada puntode la forma que satisfacen la ecuación.

La ecuación anterior es más sencilla si está centrada en el origen decoordenadas

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio uno sedenomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica y suecuación es:8 9 10 11 12

Su función implícita es y para representar la circunferencia se buscan los puntos del plano que cumplenla ecuación

Es posible usar cuadratura para hallar la ecuación de la circunferencia a partir de su ecuación extendida:

Aplicando cuadratura a y se deduce que:

y por tanto de donde:

A partir de los puntos extremos de un diámetro, y , la ecuación de la circunferencia es:

Ecuación de la circunferencia

circunferencia de radio dos en un sistemade coordenadas

Propiedades

Solo hace falta extender el producto de la ecuación dada para identificar lacircunferencia:

Finalmente se debe observar que los dos puntos anulan la ecuación y probar que el

punto medio es el centro.

La circunferencia con centro en y radio se puede parametrizar usando funciones trigonométricas de un soloparámetro para obtener una función paramétrica

También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como

Primero se utiliza un haz de rectas del tipo para proyectar los valores de sobre la recta vertical que serán de la forma y proyectando serán de laforma .

Si se sustituye sobre la circunferencia unidad

nos dará la intersección

de la proyección sobre esta circunferencia y

por tanto los puntos de esta

paramétricamente:

finalmente sustituyendo sobre el haz y arreglando las fracciones queda

donde incluye el punto en el infinito.13

En el plano complejo, una circunferencia con centro y radio a partir de la ecuación de la circunferencia se obtiene la forma paramétrica:14 15

donde

Función paramétrica

Proyección sobre rectahorizontal.

Función paramétrica en el plano complejo

Como en la función paramétrica, la circunferencia puede representarse en cualquier subespacio de dimensión dos de un espaciovectorial usando dos vectores ortonormales y , y por tanto generadores de dicho subespacio, permitiendo construir lacircunferencia en cualquier plano oblicuo con centro y radio que viene dada o descrita por la función vectorial:

donde

Toda curva plana dada en coordenadas polares es de la forma donde es la distancia al centro o polo y

el ángulo respecto el eje OX, por tanto la expresión de una circunferenciacon centro en el polo y radio es:

La curva tiene que cumplir la ecuación:

Es decir:

De donde se deduce que

Cuando el centro está en el punto con radio la circunferencia es:

Función vectorial

Ecuación en coordenadas polares

Circunferencia unitaria.

donde

Extendiendo la ecuación de lacircunferencia:

Se hace el cambio y y se simplifica como:

Finalmente se toma la raíz positiva para que El polo no puede ser exterior

a la circunferencia por que el dominio del parámetro no queda definido

continuamente en la parametrización.

Dados tres puntos cualesquiera no alineados y existe una única circunferencia quecontiene a estos tres puntos, es decir, esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estospuntos. La ecuación de la circunferencia está dada de por el determinante matricial:

Según el área que se trabaje, hay formas de identificar y usar una circunferencia implícitamente, además de sus funciones yecuaciones.

En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia usual de lageometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar como unolos dos extremos de un intervalo cerrado. Sin embargo, los geómetras llaman 2-esfera a la circunferencia, mientras que lostopólogos se refieren a ella como 1-esfera y la indican como , dando lugar a posibles confusiones.16

La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo, la dimensión de una recta no acotada, o de un arco — esto es de unconjunto homeomorfo con un intervalo cerrado — y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeomorfo con unacircunferencia, es igual a 1.17 También el caso de una poligonal cerrada.

Propiedad

Formas de identificar circunferencias

En topología

En el tema de ecuaciones diferenciales, una circunferencia puede determinarse mediante una curva integral de una ecuacióndiferencial como:

En teoría local de la curva, se considera como circunferencia una curva de curvatura constante sin torsión.

Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial e interiormente, una sobre la otra guardando una razón entre sus radios de1:2. Investigadas, originalmente, por el matemático italiano, Girolamo de Cardano18

Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la hipérbola. Siendo estas el lugar de los centros de las circunferenciastangentes a la llamada circunferencia directriz.18

Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie, en el punto de contacto, además de la tangente se toma en cuenta lacircunferencia de la curvatura, llamada circunferencia osculatriz18 19

CírculoDisco (topología)Circunferencia de Apolonio3-esfera | n-esferaSección cónicaElipse | Parábola | HipérbolaTeorema segundo de Tales

1. Real Academia Española y Asociación deAcademias de la Lengua Española (2014).«Circunferencia» (http://dle.rae.es/circunferencia).Diccionario de la lengua española (23.ª edición).Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7.

2. Boyer: Historia de la matemática3. De forma muy particular y para facilitar explicaciones

didácticas en diferentes libros es posible encontrarpor recta radial o recta diametral a las rectas que

contienen al centro, un diámetro o un radio de unacircunferencia.

4. RACEFN, ed. (1999). Diccionario Esencial de lasCiencias. Editorial Espasa Calpe, S.A. p. 61. ISBN 84-239-7921-0.

5. Dibujo técnico I Escrito por CESAR CALAVERA OPI,ISABEL JIMENEZ RUIZ, pg 52

6. Haaser, La Salle, Sulivan: Análisis Matemático I

En ecuaciones diferenciales

En geometría diferencial de curvas

Circunferencias particulares

Circunferencias de Cardanus

Circunferencia directriz

Circunferencia osculatriz

Véase también

Referencias

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre círculos y circunferencias.

Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Circunferencia.

Ejercicios resueltos y video tutoriales sobre la circunferencia (http://www.wikimatematica.org/index.php?title=La_circunferencia)Círculo y circunferencia, en Descartes. Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa. Ministeriode Educación, Política Social y Deporte de España (http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/poligonos_areas_dbc/2.htm)Materiales didácticos: Circunferencia, en Descartes (http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Circunferencia/La%20circunferencia.htm)Círculo y circunferencia en webdelprofesor.ula.ve, de la Universidad de Los Andes, Venezuela (http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/05-superficie.htm)Weisstein, Eric W. «Circunferencia "Circumference" » (http://mathworld.wolfram.com/Circumference.html). EnWeisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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7. Segun la especialización del libro consultado, labarra simple o la doble barra vertical representa ladistancia, en este caso corresponde a la distanciaeuclidiana donde la distancia entre dos puntos es

8. "Introducción a la geometría" Eugenio RoanesMacías. Anaya editorial. 1.ª ed, 1980. ISBN 84-207-1478-X

9. "Geometría Diferencial" Antonio López de la Rica,Agustín de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-6

10. "Geometría analítica del plano y del espacio". JesúsM. Ruiz. Anaya, 1.ª ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8

11. "Cálculus" (Volumen I). Tom M. Apostol. Segundaedición, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1

12. "Cálculo" (Volumen I) Ron Larson, Robert P.Hostetler, Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octavaedición, 2006. ISBN 970-10-5274-9

13. Geometría analítica de Pastor, Santaló y Balanzat,página 76.

14. es una función analítica, usada para describirregiones circulares en plano complejo como arcos decircunferencias alrededor de un punto, por tanto,frecuente en diversa bibliografía de análisis.

15. Weinberger, Hans F. (1992). Ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales (Dr. D. FranciscoVélez Cantarell, trad.) [Partial differential equations].Ed Reverté, S.A. pp. a partir de la gágina 215.ISBN 84-291-5160-5.

16. Weisstein, Eric W. «Circle» (http://mathworld.wolfram.com/Circle.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld(en inglés). Wolfram Research. Consultado el 2016.

17. Kazimierz Kuratowski: Introducción a la teoría deconjuntos y a la topología, Editorial Vicens Vives,Barcelona, España, 1966

18. Diccionarios RIODUERO. Matemáticas. ISBN 84-220-0832-7

19. Cf. Barrett O'Neill. Elementos de GeometríaDiferencial pág. 80 Limusa Wiley

Enlaces externos