INSTITUTO SUPERIOR DE AGRONOMIA

Departamento de Matemática

Exercícios de Apoio às

Aulas Práticas da disciplina

Estatística

(com algumas soluções)

2005/2006

0

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

1. Numa turma há 6 raparigas e 12 rapazes. Quantas maneiras diferentes existemde formar uma comissão de 6 pessoas que tenha no máximo duas raparigas e que,entrando uma rapariga ela seja a mais nova da turma.

2. De um baralho com 40 cartas tiram-se, com reposição, 6 cartas. Qual a proba-bilidade de que saiam exactamente três figuras?

3. Num saco estão sete bolas numeradas de 1 a 7. Retira-se uma bola do saco dezvezes, com reposição. Qual a probabilidade do acontecimento “A bola com onúmero 5 não sai mais de duas vezes”?

4. O Vitor dispõe de um saco com 10 bolas pretas e quer introduzir certo númerode bolas brancas de tal forma que, ao tirar uma bola, a probabilidade de ela serbranca seja maior do que 0.1. Quantas bolas brancas se deve introduzir na urna?

5. Colocaram-se três pares de sapatos diferentes só na cor, dentro de uma caixa. ASara tem os olhos vendados e vai retirar dois sapatos da caixa. Qual a probabi-lidade de tirar um par?

6. O José está indeciso quanto à compra de três discos. Resolveu fazer o seguinte:para cada um atira uma moeda ao ar e se sair “face” compra o disco. Determinea probabilidade de:

(a) não comprar nenhum;

(b) comprar pelo menos um;

(c) comprar pelo menos dois.

7. O João tem 20 pares de meias e o José tem 16. Se escolhermos ao acaso um parde meias de cada um, a probabilidade de ambas serem brancas é 0.25. Se o Joãotem 10 pares de meias brancas quantas meias brancas tem o José?

8. Fez-se uma aposta simples no totoloto (selecção de 6 números em 49). Determinea probabilidade de:

(a) acertar nos seis números;

(b) acertar em cinco números;

(c) acertar em três números.

9. Cinco amigos vão dar um passeio num automóvel de 5 lugares. Sabendo que sótrês deles podem conduzir, qual o número de formas diferentes que eles têm deocupar os lugares durante o passeio.

1

10. Os medicamentos em ensaio num determinado laboratório são identificados porcódigos que obedecem às seguintes regras:

– têm 5 letras seguidas de 2 algarismos;

– começam por vogal;

– não podem ter duas vogais nem duas consoantes seguidas;

– o último algarismo é 0 ou 1.

(a) Qual o número máximo de códigos diferentes.

(b) Escolhendo um código ao acaso, calcule a probabilidade de que ele não tenhaletras nem algarismos repetidos.(Nota: Considere 23 letras e 10 algarismos)

11. Para o jantar de encerramento de um torneio de ténis inscreveram-se 40 raparigase 80 rapazes, que vão ser distribuidos por 20 mesas de seis lugares. Sabendo queem cada mesa ficarão 2 raparigas e 4 rapazes,

(a) Determine de quantas formas distintas pode a organização constituir o grupoque ficará na mesma mesa que o rapaz e a rapariga vencedores do torneio.

(b) De cada uma das vinte mesas vai escolher-se ao acaso um representante.Determine a probabilidade de que, nos 20 representantes, haja exactamente5 raparigas.

12. Considere seis mil milhões de habitantes na Terra e suponha que cada um recebeum cartão de identificação com uma sequência de letras. Qual tem de ser onúmero mínimo de letras a usar em cada cartão, para garantir que as sequênciassão todas diferentes?

Indique quando será necessário aumentar esse número mínimo de uma unidade.(Nota: Considere o alfabeto com 26 letras e que todas as sequências têm o mesmonúmero de letras.)

13. Um comerciante foi informado que tem 4 embalagens premiadas de entre as 20que adquiriu de um certo produto, mas não sabe quais são. Dispondo as 20embalagens em fila na montra por uma ordem qualquer, qual a probabilidade deque as embalagens premiadas fiquem todas juntas no início ou no fim da fila?

14. Dos ouvintes de uma estação radiofónica 37% ouvem o programa X, 53% ouvemo programa Y e 15% ouvem ambos os programas. Ao escolher aleatoriamente umouvinte desta estação qual a probabilidade de que

i) ouça apenas um dos referidos programas;

ii) não ouça nenhum destes dois programas.

15. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com 12rapazes e 8 raparigas. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formadopor cinco raparigas e cinco rapazes. De quantas maneiras diferentes se podeformar este grupo?

2

16. Num grupo de 1000 alunos de uma escola verificou-se que 200 praticam natação,250 praticam futebol e 700 não praticam nenhuma destas modalidades. Esco-lhendo ao acaso 20 destes alunos, qual é a probabilidade de que só 4 pratiquempelo menos uma das modalidades.

17. Num aquário existem 5 peixes vermelhos, 3 dourados e 2 azuis.

Retiram-se sucessivamente 3 peixes.

(a) Qual a probabilidade de saírem 2 da mesma cor e um de cor diferente?

(b) Qual a probabilidade de o terceiro peixe a ser retirado ser azul?

18. Lança-se quatro vezes consecutivas um dado com as faces numeradas de 1 a 6.No primeiro lançamento sai face 1 e no segundo sai face 2. Qual é a probabilidadede os números saídos nos 4 lançamentos serem todos diferentes.

19. A Joana tem na estante do seu quarto três livros de José Saramago, quatro deSophia de Mello Breyner Andresen e cinco de Carl Sagan. Quando soube queia passar as férias a casa da avó, decidiu escolher 6 desses livros, para ler nesseperíodo. A Joana pretende levar dois livros de José Saramago, um de Sophia deMello Breyner Andresen e três de Carl Sagan.

(a) De quantas maneiras pode fazer a sua escolha?

(b) Admita agora que a Joana já seleccionou os seis livros que irá ler em casa daavó. Supondo aleatória a sequência pela qual estes seis livros vão ser lidos,qual é a probabilidade de os dois livros de José Saramago serem lidos um aseguir ao outro?

20. Uma nova marca de gelados, oferece em cada gelado, um de três bonecos: ratoMickey, Peter Pan ou Astérix. Sete amigos vão comprar um gelado cada um.Supondo que os três bonecos têm igual probabilidade de sair, qual é a probabili-dade de o Rato Mickey sair exactamente a dois dos sete amigos?

3

Soluções dos Exercícios de revisão

1. 5 × C124 + C12

5 + C126

2. C63 (3/10)3(7/10)3

3.∑2

i=0 C10i (1/7)i(6/7)10−i

4. Pelo menos 2 bolas.

5. 1/5

6. a) 1/8; b)7/8; c) 1/2

7. Tem 8.

8. a)1/(C496 ) b) C6

5C43

1

C496

; c) C63

C433

C496

9. 72

10. a) 810000; b) 0.408

11. a)C391 C79

3 b) p ≃ 0.15

12. n = 7

13. ≃ 0.0004

14. i) 0.60 ii) 0.25

15. C125 C8

5

16. C3004

C70016

C100020

17. a) ≃ 0.66; b)0.20

18. 1/3

19. a) 120; b) 1/3.

20. C72 (1/3)2(2/3)5

4

EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES

1. Lança-se um dado de seis faces, perfeito. Qual a probabilidade de o resultadoser:

a) par;

b) divisível por três;

c) par ou divisível por três.

2. Lançam-se dois dados de seis faces, perfeitos. Qual a probabilidade de a somados resultados do lançamento ser:

a) par;

b) divisível por três;

c) par ou divisível por três.

3. Considere o tempo de vida de uma lâmpada em centenas de horas. Seja Ω = t :t > 0 o espaço de resultados associado à duração de vida da lâmpada. Considereos acontecimentos:

A = t : t > 15 B = t : 2 < t < 10 C = t : t < 12

Caracterize os seguintes acontecimentos:

A ∪ B A ∩ C A ∩ B (A ∪ B) ∩ C A ∪ (B ∩ C)

4. Sejam A, B e C acontecimentos aleatórios tais que

P (A) = P (B) = P (C) =1

4, P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = 0 e P (A ∩ C) =

1

8.

Calcule a probabilidade de se verificar pelo menos um dos acontecimentos A, Bou C.

5. Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios. Mostre que:

a) P (A ∩ B) ≤ P (A) ≤ P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B);

(Exame 17/7/90)

b) P (A|B) =P (A)[1 − P (B|A)]

1 − P (B), supondo P (A) 6= 0 e P (B) 6= 1;

(Exame 10/7/91)

c) P [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B)] = P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B);

(Exame 23/7/91)

5

d) P (B) = P (A)P (B|A) − P (A)P (B|A) + P (B|A), supondo 0 < P (A) < 1;(Exame 13/9/91)

e) max0, P (A) + P (B) − 1 ≤ P (A ∩ B) ≤ minP (A), P (B) (desigualdadede Boole).

6. Sejam A e B dois acontecimentos aleatórios tais que

P (A) = 0.4, P (B) = p e P (A ∪ B) = 0.7.

Para que valores de p, os acontecimentos A e B:

a) podem ser mutuamente exclusivos?

b) são independentes?

7. Numa propriedade agrícola, sabe-se que 60%, 75% e 50% das árvores são defolha caduca, de fruto e de fruto com folha caduca, respectivamente. Calcule aprobabilidade de uma árvore da propriedade, escolhida ao acaso:

a) não ser árvore de fruto;

b) ser árvore de fruto ou de folha caduca;

c) ser árvore de fruto, sabendo que tem folha caduca.

8. Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios tais que

P (A) = P (B) = p e P (C) = 0.5p.

Sabendo que A e B são independentes, determine, em função de p, a probabilidadede pelo menos um dos três acontecimentos se realizar e indique os valores possíveisde p, quando:

a) C é mutuamente exclusivo de A e de B;

b) C é mutuamente exclusivo de A e independente de B;

c) A, B e C são independentes.

9. As probabilidades de três corredores de velocidade percorrerem 100 metros emmenos de 10 segundos são respectivamente: 1/3, 1/5 e 1/10. Considerando queos tempos dos três atletas são independentes, calcule a probabilidade de, umacorrida em que participam apenas os três atletas, ser ganha em menos de 10segundos.

10. Sejam A, B e C três acontecimentos aleatórios, com probabilidade não nula,definidos num espaço de resultados Ω. Mostre que:

P (AC|BC) = P (A|BC) =P (AB|C)

P (B|C).

(Exame de 16.9.1994)

6

11. Sejam A e B acontecimentos aleatórios.

(a) Prove que se A e B são independentes, então:

i. A e B são independentes;ii. A e B são independentes;iii. A e B são independentes.

(b) Prove que se P (B) 6= 0, então P (A|B) = 1 − P (A|B).

(c) Se P (B) 6∈ 0, 1, será verdade que P (A|B) = 1 − P (A|B)? Justifique.

12. Considere três acontecimentos A, B e C tais que

P (C) = 0.3, P (B|C) = 0.4, P (B|C) = 0.8, P (A|(B ∩ C)) = P (A|(B ∩ C)) =0.2.

a) Calcule P (C|B).

b) Calcule P [(B ∩ C)|A].

c) Diga, justificando, se os três acontecimentos são ou não independentes.

(Exame de 29.10.2001)

13. Considere um espaço de resultados formado por N acontecimentos elementaresai e por M acontecimentos elementares bj. Os elementos ai são equiprováveis,o mesmo acontecendo com os elementos bj . Por outro lado P [bj] = 2P [ai] ∀i, j.Prove que um acontecimento E formado por n(≤ N) elementos ai e por m(≤ M)elementos bj tem probabilidade

P [E] =n + 2m

N + 2M.

(Exame 17/9/92)

14. Um vendedor de bolbos prepara encomendas a partir de 3 lotes de bolbos que, porterem idades diferentes, não apresentam a mesma probabilidade de germinação.A probabilidade de germinação de um bolbo é de 0.80 se pertence ao lote A, de0.85 se pertence ao lote B e de 0.90 se pertence ao lote C.

a) i) Qual a probabilidade de germinação de um bolbo retirado ao acaso deum lote escolhido ao acaso?

ii) Retirou-se um bolbo ao acaso de um lote escolhido ao acaso e verificou-se que não germinava. Qual a probabilidade de o bolbo ter sido retiradodo lote C?

b) Se uma encomenda for constituída por um bolbo (retirado ao acaso) de cadalote, qual a probabilidade de pelo menos dois bolbos germinarem, admitindoa independência de germinação entre os bolbos retirados de lotes diferentes?

7

15. Um teste é constituído por uma pergunta com n respostas alternativas. O alunoou sabe a resposta ou responde ao acaso. Seja p a probabilidade de o aluno sabera resposta. Admita que as probabilidades de o aluno responder correctamente àpergunta se souber a resposta e de o aluno responder correctamente à perguntase responder ao acaso são 1 e 1/n, respectivamente.

a) Verifique que a probabilidade de um aluno não ter respondido ao acaso se

respondeu correctamente énp

1 + (n − 1)p.

b) Supondo n = 5 e p = 0.2, calcule a probabilidade de um aluno não respondercorrectamente à pergunta.

16. Três amigos A, B e C almoçam juntos. Só um deles pagará a despesa total deacordo com o seguinte jogo:

A lança uma moeda de 1 Euro suposta equilibrada, se sair “face euro” pagaa despesa; caso contrário B lança a moeda. Se sair “face euro” B paga; casocontrário B joga mais uma vez a moeda e conforme obtém “face euro” ou “facepaís” assim é ele ou C a pagar a despesa (sem que C chegue a fazer algumlançamento).

(a) Calcule, para cada um, a probabilidade de pagar a despesa.

(b) Determine a probabilidade de B pagar sabendo que A não pagou.

(c) (*) Estes três amigos decidem fazer uma série consecutiva de almoços nosquais a despesa é paga sempre de acordo com o jogo descrito acima. Quantosalmoços deverão combinar no máximo por forma a que a probabilidade deB não pagar mais de 5 almoços seja superior a 0.90? (Sugestão: se nãoresolveu a alínea (a) considere a probabilidade de B pagar o almoço igual a0.4).

((*) A resolução desta alínea necessita de matéria leccionada mais tarde - dis-tribuições.)

(Exame de 21/7/92)

17. Considere quatro urnas U1, U2, U3 e U4. Suponha que em cada uma há bolasbrancas e pretas, assim distribuídas:

U1 U2 U3 U4

brancas 3 5 1 0pretas 1 1 5 6

a) Calcule a probabilidade de, tendo sido escolhida uma urna ao acaso e nessaurna uma bola ao acaso:

i) a bola escolhida ser branca, sabendo que foi escolhida a urna U2;ii) a bola escolhida ser branca;iii) ter sido escolhida a urna U2, sabendo que a bola escolhida foi branca.

8

b) Diga, justificando, se os acontecimentos “escolher a urna U2” e “escolher bolabranca” são independentes.

18. As famílias de uma certa cidade escolhem uma das três alternativas para fazerférias: praia, campo ou ficar em casa.

Durante a última década verificou-se que escolhiam aquelas alternativas, respec-tivamente, 50%, 30% e 20% das famílias da referida cidade.

A probabilidade de descansar durante as férias está relacionada com a alternativaescolhida: 0.4, 0.6 e 0.5 conforme se tenha ido para a praia, para o campo ouficado em casa.

a) Qual a probabilidade de uma família daquela cidade descansar durante asférias?

b) Sabendo que determinada família descansou durante as férias, qual a alter-nativa mais provável de ter sido escolhida por esta família?

19. Um determinado tipo de peças é produzido pelas fábricas F1, F2 e F3. Duranteum certo período de tempo, F1 produziu o dobro das peças de F2 enquanto F2

e F3 produziram o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2%, 2% e 4%das peças produzidas por F1, F2 e F3, respectivamente, são defeituosas. Todasas peças produzidas nesse período de tempo foram colocadas num depósito.

a) Qual a percentagem de peças defeituosas provenientes a fábrica F2?

b) Qual a percentagem de peças defeituosas armazenadas?

c) Foi encontrada uma peça defeituosa no depósito. Qual a origem(fábrica)menos provável dessa peça?

(Adaptado do exame de 14/11/97)

20. Num dado país 10% da população sofre de uma determinada doença: 6% deforma grave e 4% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efectuado umteste que dá resultado positivo:

– com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;

– com probabilidade 0.75 para um indivíduo com doença na forma moderada;

– com probabilidade 0.05 para um indivíduo não doente.

a) Efectuando um teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de oresultado ser positivo?

b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a proba-bilidade de ele ter a doença?

c) Será que existe independência entre ter a doença na forma moderada e naforma grave? Justifique.

9

21. Uma estação agrária levou a cabo um estudo para avaliar a precisão da pre-visão do estado do tempo para uma dada região. Com base num grande númerode registos, fornecidos pelo Serviço de Meteorologia, obtiveram-se as seguintesconclusões:

– Probabilidade de, para um dia chuvoso, ter sido prevista chuva = 0.85;

– Probabilidade de, para um dia sem chuva, ter sido prevista chuva = 0.40;

– Probabilidade de um dia chuvoso = 0.20.

Calcule as seguintes probabilidades:

a) Previsão de um dia sem chuva;

b) Chover sabendo que a previsão foi chuva;

c) Previsão correcta.(Exame de 23/7/91)

22. Um dado tipo de barómetro está preparado para prever chuva ou prever “nãochuva”. Tem-se verificado que ele prevê “não chuva” em 10% dos dias chuvosos,chuva em 20% dos dias com sol e quando um dia não tem sol nem chuva eleprevê “não chuva” com probabilidade igual a 0.05. Num país em que se temverificado nos últimos anos que “faz sol” em cerca de 60% dos dias e “ faz chuva”em 30% dos dias, responda às seguintes questões (considere que “dia com sol”,“dia com chuva” e “dia sem sol e sem chuva” constituem uma partição do espaçode resultados associado à classificação dos dias quanto ao estado do tempo): .

a) Qual a probabilidade de o barómetro prever chuva?

b) Qual a probabilidade de “fazer sol” num dia para o qual a previsão seja dechuva?

c) Qual a probabilidade de o barómetro errar?

(Exame de 13.07.2001)

23. Seja X uma variável aleatória discreta que toma valores em IN com a seguintefunção probabilidade:

P (X = j) =1

2j, ∀j ∈ IN.

Calcule:

a) P (X par);

b) P (X > 5);

c) P (X divisível por 3).

24. Considere a variável aleatória discreta X que toma valores em IN0 com a seguintefunção probabilidade:

P (X = j) = (1 − a)aj, ∀j ∈ IN0,

em que a é uma constante desconhecida, não nula.

10

a) Indique o(s) valor(es) possível(eis) para a.

b) Mostre que, para quaisquer inteiros não negativos s e t, se verifica:

P (X ≥ s + t|X ≥ s) = P (X ≥ t).

25. Três bolas são retiradas, sem reposição, de uma urna que contém 4 bolas vermel-has e 6 bolas brancas. Seja X a variável aleatória que representa o total de bolasvermelhas retiradas.

a) Construa a distribuição de probabilidades de X.

b) Represente graficamente a distribuição obtida na alínea a).

c) Determine a função distribuição cumulativa de X e represente-a grafica-mente.

d) Calcule P (1 ≤ X ≤ 3).

26. Uma caixa contém 10 iogurtes, estando 4 estragados. Retiram-se 5 com reposição:

a) Sendo X o número de iogurtes estragados determine a função massa deprobabilidade de X.

b) Determine a função distribuição cumulativa de X. Represente-a grafica-mente.

c) Calcule P [1 ≤ X ≤ 3].

27. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabili-dades:

xi -2 -1 0 1 2P (X = xi) 0.1 0.3 0.1 0.2 0.3

a) Calcule E(X) e V (X).

b) Determine a função distribuição cumulativa de X.

c) Calcule P (X ≥ 0|X < 2).

d) Determine a distribuição de probabilidades da variável aleatória Y = X2.

28. Seja X uma variável aleatória discreta que toma os valores x = 1, 2, ..., n, ...2n−1,n ∈ IN, com probabilidades p(x). Considere p(n + k) = p(n − k), k ∈ IN. Mostreque:

a) E(X) = n;

b) Todos os momentos de ordem ímpar em torno do valor médio se anulam.

11

29. O número de televisores encomendados mensalmente em determinada loja é bemdescrito por uma variável aleatória X com a seguinte função distribuição cumu-lativa:

F (x) =

0 se x < 00.1 se 0 ≤ x < 10.3 se 1 ≤ x < 20.6 se 2 ≤ x < 31 se x ≥ 3

a) Determine a função massa de probabilidade da variável aleatória X.

b) Quantos televisores deve ter a loja em stock, por mês, para que a probabili-dade de satisfazer todas as encomendas seja superior a 0.95?

c) Se num dado mês a loja só tiver 2 televisores em stock , determine a dis-tribuição de probabilidades da variável aleatória que representa a diferença,em valor absoluto, entre as encomendas e o stock .

30. O peso, em Kg, de um coelho com idade compreendida entre os 8 e os 14 mesesé a variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade:

f(x) =

0 se x ≤ 1x − 1 se 1 < x < k3 − x se k ≤ x < 30 se x ≥ 3

, k ∈]1, 3[.

a) Calcule k.

b) Determine a função distribuição cumulativa de X.

c) Qual a probabilidade de um coelho com idade compreendida entre os 8 e os14 meses ter peso superior a 2 Kg.

(Exame de 7/12/90)

31. Considere a variável aleatória contínua X com a seguinte função distribuiçãocumulativa:

F (x) =

0 se x < 0ax + b se 0 ≤ x < π1 se x ≥ π.

a) Determine a e b.

b) Determine a função densidade de probabilidade de X.

c) Calcule P (X < π2|X ≥ π

4).

d) Calcule:

d1) E(X) e V ar(X);

d2) E(1

X + 2).

12

32. Considere a função real de variável real assim definida:

f(x) = ke−|x|, k ∈ IR e x ∈ IR.

a) Determine o valor de k de modo que seja função densidade de probabilidadede uma variável aleatória X.

b) Determine a função de distribuição cumulativa de X.

c) Calcule P (|X − E(X)| < 1).

33. Considere a função

fθ(x) =

θ2xe−θx para x > 00 para x ≤ 0, em que θ > 0.

a) A função fθ(x) define uma função densidade de probabilidade?

b) Determine a função de distribuição cumulativa associada a fθ(x).

c) Seja X a v.a com função densidade fθ(x). Determine P (X ≥ 1).

34. Seja X uma v. a. contínua com a seguinte função distribuição cumulativa :

F (x) =

k − c3/x3 para x ≥ c0 para x < c, c > 0.

a) Determine o valor de k.

b) Determine a função densidade de X.

c) Calcule o primeiro quartil da distribuição de X.

d) Determine o valor médio e a mediana de X.

e) Calcule P [c < X < 3c | X < 4c].

f) O que pode dizer quanto ao valor do terceiro momento de X? E do quartomomento?

g) Determine a função densidade da v.a. Y = X2.

35. A proporção de álcool em certo produto pode ser considerada uma variávelaleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade:

f(x) =

20x3(1 − x) 0 < x < 10 restantes valores de x.

a) Determine a função distribuição cumulativa de X e esboce o seu gráfico.

b) Calcule µX , σ2X e σX .

c) Suponha que o preço de venda do produto depende da percentagem deálcool. Se 1/3 < X < 2/3 o produto é vendido por A1 euros/l, caso contráriopor A2 euros/l. Calcule a distribuição de probabilidades do lucro líquido porlitro de produto, supondo que o custo por litro é de B euros.

13

36. Seja X a variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de proba-bilidade:

f(x) =1

2e−|x−α|, ∀x ∈ IR, em que α ∈ IR.

a) Mostre que f é uma função densidade de probabilidade.

b) Determine a função distribuição cumulativa de X e represente-a grafica-mente.

c) Calcule P (|X − α| < 1).

d) Mostre que a função geradora de momentos de X é MX(t) = eαt

1−t2, |t| < 1.

e) Determine E(X) e V ar(X).

f) Determine a mediana de X.

37. Num processo de inventário concluíu-se que a raridade de determinada espécieanimal era inversamente proporcional à área observada até que se avistasse umexemplar da espécie, associada ao percurso de amostragem. Considere entãoa v.a. X designando a distância percorrida até se avistar algum exemplar daespécie, com função densidade dada por

f(x) =

b

k x2 1 ≤ x ≤ b0 restantes valores de x.

(a) Indique quais as condições que k e b devem verificar de modo que f(x) sejauma função densidade.

(b) Determine a função de distribuição cumulativa de X.

(c) Calcule a mediana de X.

(d) Considere a v.a. Y = C0+C1X, que caracteriza o custo de amostragem, ondeC0 designa os custos fixos e C1 o custo por unidade de percurso. Determineo custo esperado para o inventário.

(Exame de 10/7/92)

38. Mostre que, se a variável aleatória contínua X tem função densidade de proba-bilidade par então, caso exista E(X) , tem-se E(X) =0.

39. A distribuição de probabilidades conjunta do par aleatório (X, Y ) é a seguinte:

Y 1 2 3 4X1 0.03 0.06 0.09 0.122 0.01 0.08 0.11 0.203 0.06 0.06 0.10 0.08

14

a) Calcule as distribuições de probabilidades marginais de X e Y .

b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique.

c) Calcule P (X = 3, Y = 2) e P (X = 3|Y = 2).

d) Determine:

d1) E(X), E(Y ) e E(XY );d2) COV (X, Y ) e ρX,Y .

40. O peso de cada saco de quilo de café de certa marca é uma variável aleatória que,segundo um estudo realizado por uma organização de defesa do consumidor, temfunção densidade de probabilidade uniformemente distribuída entre 0.8 Kg e bKg, i.e.,

f(x) =

4 0.8 < x < b0 restantes valores de x.

a) Determine b.

b) Determine a função distribuição cumulativa da variável aleatória e represente-a graficamente.

c) Qual a percentagem de sacos de café da referida marca que pesam menos de1 Kg?

d) Se o peso dos sacos for independente de saco para saco e se uma pessoacomprar 4 sacos, qual a probabilidade de todos os sacos pesarem menos de1 kg?

41. Um cliente de uma livraria pode fazer encomendas de livros estrangeiros em inglêse francês que não existam em stock.

O número de livros em inglês e francês encomendados semanalmente é o paraleatório (X, Y ) com a seguinte distribuição de probabilidades:

Y 1 2 3 4X0 0.01 0.02 0.04 0.031 0.05 0.10 0.20 0.152 0.04 0.08 0.16 0.12

a) Qual a probabilidade de numa semana serem encomendados no máximo doislivros?

b) Qual a percentagem de semanas em que existe igualdade de livros inglesese franceses encomendados?

c) Determine as funções distribuição marginais das variáveis X e Y .

d) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y e interprete oseu resultado.

15

e) Qual a distribuição de probabilidades da variável aleatória "Número totalde livros em inglês e francês encomendados semanalmente"?

f) Qual a probabilidade de numa semana se encomendar pelo menos um livroem inglês sabendo que foram encomendados dois livros emfrancês?

42. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes e semelhantes com distribuiçãode probabilidade assim definida:

pX(x) = θx−1(1 − θ) 0 < θ < 1, x = 1, 2, ...

(a) Mostre que pX é de facto uma distribuição de probabilidade.

(b) Calcule P [X1 + X2 = 4].

(Exame de 21/7/92)

43. Um posto de gasolina é reabastecido uma vez por semana. As vendas no passadosugerem que a função densidade de probabilidade do volume de vendas semanais,X, medido em dezenas de milhares de litros, é dada por:

f(x) =

x − 1 1 ≤ x < 23 − x 2 ≤ x < 30 restantes valores de x.

a) Determine a probabilidade de numa semana o volume de vendas se situarentre os 15000 litros e os 23000 litros.

b) Determine a função distribuição cumulativa da variável aleatória X.

c) Calcule o valor esperado, a mediana e o desvio padrão do volume de vendassemanais.

d) Determine a quantidade mínima de gasolina com que o posto se deve abaste-cer, por semana, para que a gasolina não se esgote no referido posto em maisde 8% das semanas.

e) (*) Admitindo que o volume de vendas é independente de semana parasemana, qual a probabilidade de, em 2 anos, o posto vender mais de 210dezenas de milhares de litros.

((*) Esta questão só poderá ser resolvida mais tarde, após estudada a distribuiçãonormal e Teorema Limite Central.)

44. Considere a extracção sucessiva de dois números tais que, na primeira extracçãopodem sair os números 1, 2, 3 e 4 com igual probabilidade e na segunda extracçãopode obter-se, também com igual probabilidade, um dos valores do conjunto1, ..., k, onde k designa o resultado da primeira extracção.

Considere as seguintes variáveis aleatórias:

X-variável aleatória que indica o número da primeira extracção;

Y -variável aleatória que indica o número da segunda extracção.

16

a) Determine a distribuição de probabilidade conjunta do par (X, Y ).

b) Qual a probabilidade de sair 2 na segunda extracção se saíu 3 na primeira?

c) Serão X e Y variáveis aleatórias independentes? Justifique.

d) Calcule E[X + Y ].

(Exame de 22.06.2001)

45. Uma empresa seguradora tem ao balcão dois vendedores de seguros de vida. Aexperiência tem revelado que 50% das pessoas que contactam o vendedor A eapenas 25% das pessoas que contactam o vendedor B fazem um seguro de vida.Considere o par aleatório (X, Y ) que representa o número de apólices vendidasdiariamente por A e B num dia em que cada vendedor atende 2 pessoas.

a) Admitindo que que cada pessoa contactou um só vendedor, determine adistribuição de probabilidades conjunta do par aleatório (X, Y ).

b) Qual a probabilidade de se vender pelo menos um seguro de vida?

c) Qual a probabilidade de A vender pelo menos um seguro de vida sabendoque B vendeu dois seguros?

d) Calcule E(X + Y ) e V ar(X).

46. Seja (X, Y ) o par aleatório com a seguinte função densidade de probabilidadeconjunta:

f(x, y) =

a (x + y) 1 ≤ x ≤ 2 1 ≤ y ≤ 20 restantes valores de (x, y).

a) Determine o valor da constante a.

b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique.

c) Calcule P [Y < X] e P [Y > 3 − X]. Comente.

d) Determine o valor médio de 1/X.

e) Determine a função densidade condicional de Y |X = 3/2.

47. Seja (X, Y ) a variável aleatória bidimensional contínua com a seguinte funçãodensidade conjunta:

f(x, y) =

4xye−x2−y2

se x > 0 e y > 00 para outros valores.

a) Determine as funções densidade marginais de X e Y .

b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique.

c) Calcule COV (X, Y ).

17

48. Seja X o tempo total desde a chegada de um cliente a uma estação de serviçoaté ao momento em que faz o pagamento, e seja Y o tempo que está em filaaté efectuar o pagamento (medidos em unidades de 5 minutos). Suponha que asvariáveis (X, Y ) têm função densidade de probabilidade conjunta assim definida:

f(x, y) =

(x/2)e−x se 0 ≤ y ≤ x < ∞0 para outros valores de (x, y).

a) Calcule as funções densidade marginais de X e Y .

b) Qual a probabilidade de o tempo gasto na fila ser superior a 5 minutos se otempo total gasto por um cliente for inferior a 15 minutos.

c) Calcule o tempo médio de serviço. Qual a variância do tempo de serviço.?

d) As variáveis aleatórias X e Y são independentes? Justifique.

49. Uma experiência aleatória pode dar dois resultados: êxito ou fracasso. O custode uma experiência que resulte em êxito é de 5 euros e em fracasso de 10 euros.A experiência é repetida 20 vezes, de forma independente. Seja X a variávelaleatória que conta o número de êxitos.

a) Sabendo que a probabilidade de uma experiência resultar em êxito é 0.9,construa a distribuição de probabilidades de X.

b) Calcule P [X > 15].

c) Calcule a probabilidade de haver mais êxitos do que fracassos.

d) Mostre que o custo total C das 20 experiênciaspode ser expresso como C = 200 − 5X.

e) Calcule E(C).

f) Calcule P [C < 125].

(Exame 4/7/88)

50. Uma dada experiência biológica analisa cobaias. Cada vez que se repete a referidaexperiência, uma cobaia diferente é analisada e cada repetição só usa uma cobaia.Sabendo que a experiência é bem sucedida em 40% dos casos, calcule:

a) A probabilidade de ter pelo menos duas experiências bem sucedidas, se tiver10 cobaias.

b) O número de cobaias necessário para que o número esperado de sucessosseja 24.

c) O número de cobaias necessário para que a probabilidade de obter pelomenos uma experiência com sucesso não seja inferior a 0.95.

(Exame de 18/7/88)

51. Uma pessoa planta 6 bolbos, escolhidos ao acaso de uma caixa que contém 5bolbos de túlipa e 4 bolbos de junquilho. Qual a probabilidade de essa pessoaplantar 2 bolbos de junquilho e 4 de túlipa?

18

52. Numa escola, vai realizar-se um exame de uma dada disciplina num determinadodia. Está prevista uma greve às avaliações para este dia à qual 75% dos docentesvão aderir. Dos 20 docentes existentes, 8 são convocados para a vigilância daqueleexame. Sabendo que os alunos vão ser distribuídos por duas salas e que seadmite a possibilidade de o exame se realizar com um docente por sala, qual aprobabilidade de o referido exame se realizar para todos os alunos?

(Exame 25/9/95)

53. Um método frequentemente utilizado para estimar o número de animais de umadada espécie num certo habitat é o da captura-recaptura. O método pode serexemplificado pela seguinte situação:

Num lago são capturados, marcados e devolvidos à água 5 peixes de umacerta espécie. Passado algum tempo (a fim de permitir que os peixes mar-cados se distribuam aleatoriamente pelo lago, embora não convenha deixarpassar demasiado tempo, para se poder admitir que a dimensão da popu-lação permaneceu constante) são pescados 4 peixes dessa mesma espécie econta-se quantos de entre eles estão marcados, o que será representado pelavariável aleatória X.

a) Qual a probabilidade de nenhum dos 5 peixes marcados ser recapturado, seexistirem 10 peixes da referida espécie no lago? E se existirem 100?

b) A ideia do método de captura-recaptura consiste em considerar o tamanhoda população como sendo aquele que torna mais provável o valor de X queresultou de uma experiência deste tipo. Assim, por exemplo, qual dos 4valores N = 10, N = 20, N = 100 ou N = 1000, considera mais plausívelpara o tamanho da população se:

i) da experiência resultou X = 1;ii) da experiência resultou X = 2.

54. Na época natalícia, certa pastelaria fabrica 3 tamanhos de bolo-rei: de 500g, de750g e de 1000g. Nem todos os bolos fabricados contêm brinde. Este é colocadode tal forma que 20% dos bolos de 500g ficam sem brinde, o mesmo sucedendocom 10% dos bolos de 1000g e com 30% dos bolos de 750g. 25% dos bolosfabricados são de 500g e outros 25% de 1000g.

a) Qual a probabilidade de um bolo sem brinde ser de 750g?

b) A filha de um casal seu amigo apareceu-lhe com um brinde que lhe saíu nobolo-rei comprado na referida pastelaria. Qual dos bolos (tamanho) temmaior probabilidade de ter sido comprado pelo casal?

c) A referida pastelaria tem uma produção diária de 1000 bolos. Qual a prob-abilidade de uma pessoa que compra 10 desses bolos ter pelo menos 2 combrinde?

(Exame 7/12/90)

19

55. Um agricultor tem na sua cave duas categorias de vinhos engarrafados: garrafasde vinho tinto e garrafas de vinho branco. Supõe-se que nesta cave só há vinhosde três anos (1968, 1969 e 1970) e que há o mesmo número de garrafas de cadaano. A percentagem de garrafas de vinho tinto entre as engarrafadas em cadaum daqueles anos ( 1968, 1969 e 1970) é de 70%, 50% e 90%, respectivamente.

a) Um ladrão leva uma garrafa ao acaso que verifica ser de vinho branco. Qualé o ano mais provável de engarrafamento desse vinho?

b) Depois de ter provado o vinho branco, o referido ladrão achou que ele eramuito bom. Decide então fazer nova ‘visita’ à cave com o objectivo delevar consigo pelo menos três garrafas de vinho branco. Considerando quea escolha é feita ao acaso, quantas garrafas deverá o ladrão levar para quea probabilidade de atingir o seu objectivo seja superior ou igual a 0.6?

56. Considere uma empresa agrícola que produz uvas e melões nas quantidades (emtoneladas) X e Y , respectivamente. Devido às instáveis condições atmosféricas ovalor das produções é aleatório com f.d.p. conjunta dada por:

f(x, y) =

k(1 − x)(2 − y) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2

0 outros valores.

a) Calcule k.

b) Se num dado momento a produção de melões for de 1 ton, qual será a f.d.p.da produção de uvas?

c) Será que as quantidades produzidas de cada fruta são independentes? Jus-tifique.

d) Escolhendo ao acaso 20 empresas nas condições anteriores, qual será a prob-abilidade de, em pelo menos 5 delas, a produção de uvas ser superior a 800kg?

57. Um laboratório exporta um certo produto químico para o mercado europeu. Estemercado exige que o produto fornecido tenha entre outras características, umadeterminada coloração. Da produção do laboratório, 60% tem a coloração ade-quada, mas apenas metade desta quantidade satisfaz também as outras condiçõesexigidas pelo referido mercado.

a) Qual a percentagem da produção do laboratório que satisfaz as condiçõesexigidas pelo referido mercado ?

b) De um lote de 100 produtos em que 30 não estão em condições de exportação,retirou-se uma amostra de 10, sem reposição. Calcule a probabilidade deaparecer pelo menos um produto que não seja exportável.

(Exame 17/9/90)

20

58. Seja X uma variável aleatória com distribuição B(n; p) e Y a variável aleatória

definida por Y =X

n. Calcule:

a) E[Y ] , V ar[Y ] e E[Y 2];

b) A função geradora de momentos de Y .

c) E [1/(X + 1)];

59. Numa linha de fabrico de uma determinada componente electrónica pode ocorrerum defeito muito raro mas causador de grandes prejuizos. Seja 0.01 a proba-bilidade de ocorrência desse defeito. Um teste muito simples é realizado paradetecção do defeito. Apresenta, no entanto, probabilidades significativas de con-duzir a conclusões erradas. Assim, cerca de 5% das vezes o teste indica a existên-cia de defeito se não houver defeito e cerca de 3% das vezes indica ausência dedefeito se houver defeito.

(a) Qual a probabilidade de se ter uma conclusão incorrecta?

(b) Determine a probabilidade de o teste indicar a existência de defeito.

(c) São comercializadas embalagens contendo 80 daquelas componentes. Quala probabilidade de, numa determinada embalagem, duas componentes ap-resentarem defeito?

(d) A venda de cada embalagem referida na alínea anterior para o mercadoé feita com um lucro Y , que é função de vários factores entre os quaiso número de componentes defeituosas. Com o objectivo de simplificar oscálculos considere constante o efeito de todos os outros factores, sendo olucro dado pela relação

Y = 0.02 − 0.1X

onde X é o número de componentes defeituosas em cada embalagem. Qualé nessa situação, a probabilidade de uma embalagem não dar prejuizo?

(Exame de 17/7/92)

60. Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição binomialde parâmetros (n, p) e (m, p), respectivamente.

a) Prove que X1 + X2 tem distribuição binomial de parâmetros (n + m, p).

b) Prove que X1|(X1 + X2 = k), k = 0, 1, 2, · · · , m + n tem distribuiçãohipergeométrica e indique os parâmetros da distribuição.

61. A probabilidade de um atirador acertar num alvo é p = 1/4.

a) Seja X a variável aleatória que conta o número de tiros necessários atéacertar, pela primeira vez, no alvo. Determine n tal que P [X ≤ n] > 0.8.

b) Quantos tiros espera o atirador dar até acertar pela primeira vez no alvo?

21

c) Qual a probabilidade de ter de atirar 5 vezes até acertar duas vezes no alvo?

62. O Duarte vai posicionar-se na linha de lançamento livre num campo de bas-quetebol e atirar até fazer um cesto. Se admitirmos que os lançamentos sãoindependentes e de probabilidade de acertar constante e igual a 0.8, determine:

a) a probabilidade de necessitar de menos de 5 lançamentos para acertar;

b) o número esperado de lançamentos que tem que efectuar para acertar.

63. Se X é uma variável aleatória com distribuição geométrica de parâmetro p, ex-prima P [a ≤ X ≤ b] como função de p, a e b.

64. Suponha que, de cada vez que conduz o carro em excesso de velocidade, tem umaprobabilidade 0.001 de vir a ser multado e que ao fim de três multas perde acarta. Identifique e caracterize a distribuição da variável aleatória que indica onúmero de vezes que conduz em excesso de velocidade até perder a carta (admitaocorrências de multa independentes).

65. Admita quer 5% da população possui um dado tipo de sangue. Como a populaçãoé suficientemente grande a selecção aleatória de indivíduos pode considerar-sesatisfazendo as condições de provas i.i.d.

a) Qual o número esperado de testes necessários para localizar três pessoas comaquele tipo de sangue.

b) Qual a probabilidade de que seja necessário realizar pelo menos 8 testes paralocalizar duas pessoas com aquele tipo de sangue?

66. Uma empresa de aluguer de autocarros para excursões de longo curso dispõe de5 veículos. Sabe-se, pela análise do seu comportamento, que a procura semanalde veículos segue uma distribuição de Poisson de média 4.

a) Determine a probabilidade de, em certa semana, um dos autocarros não seralugado.

b) Qual a probabilidade de, em duas semanas, serem procurados 6 veículos?

c) Determine o valor esperado do número de clientes que em certa semana nãopodem ser atendidos por já estarem alugados todos os autocarros.

(Exame de 16/2/91)

67. O número de petroleiros que chega a uma certa refinaria, em cada dia, é umav.a. X com distribuição de Poisson de parâmetro µ = 2. As actuais instalaçõesportuárias da refinaria podem atender até 3 petroleiros por dia. Se mais de 3petroleiros chegam num dia, os petroleiros em excesso são enviados para outroporto.

a) Qual a probabilidade de, num dado dia, a refinaria ter de recusar petroleiros?

22

b) Qual deverá ser a capacidade de atendimento da refinaria para permitir oacolhimento de todos os petroleiros que chegam em cerca de 95% dos dias?

c) Qual o número esperado de petroleiros chegados por dia?

d) Qual o número mais provável de petroleiros chegados num dia?

e) Qual a probabilidade de em dois dias chegarem 5 petroleiros?

f) Qual o número esperado de petroleiros atendidos num dia?

g) Qual o número esperado de petroleiros recusados num dia?

68. O número de automóveis que em cada dia passa num certo troço de estrada podeconsiderar-se uma variável aleatória X com distribuição de Poisson de parâmetroµ = 10. Nesse troço de estrada existe um posto de venda de melões. O númerode automobilistas que param no referido posto de venda, num dado dia, é umavariável aleatória Y . Sabe-se que

P (Y = m|X = r) =

(

rm

)

(0.1)m(0.9)r−m , m = 0, 1, 2, ..., r.

NOTA: P (Y = m|X = r) =0 se r < m.

a) Determine a função de probabilidade conjunta de X e Y .

b) Determine a função de probabilidade marginal de Y .

c) Sabendo que pararam 3 automobilistas no posto de venda num dado dia,qual a probabilidade de o número de carros que passaram na estrada nessedia ter sido no máximo 6?

69. Em certo bairro recentemente construído e constituído por prédios de duas, trêsou quatro assoalhadas, verificou-se que em 37% dos apartamentos os moradoresnão têm filhos. A distribuição dos apartamentos por número de assoalhadas é aseguinte:

No¯de assoalhadas 2 3 4Percentagem 30% 40% 30%

(a) Determine a média e a variância do número de assoalhadas de um aparta-mento.

(b) Admitindo que o número de filhos por apartamento tem uma distribuiçãode Poisson, determine a probabilidade de num certo apartamento haver pelomenos cinco filhos.

(c) Sabendo que dos moradores em apartamentos de duas assoalhadas apenas20% têm pelo menos um filho e que nos de três assoalhadas 30% não têmfilhos, qual a probabilidade de num apartamento de 4 assoalhadas escolhidoao acaso haver pelo menos um filho.

(Exame de 10/7/92)

23

70. Duas máquinas A e B produzem 10% e 90% da produção total de um dadoartigo, respectivamente. Suponha que 5% dos artigos fabricados por cada umadas máquinas são defeituosos.

a) Qual a probabilidade de um artigo defeituoso ter sido fabricado pela máquinaA?

b) De um lote bastante grande do referido artigo, é retirada uma amostraaleatória de 50 artigos. Qual a probabilidade de encontrar no máximo 10artigos defeituosos? E 5?

c) Qual o número máximo de artigos que deverá tirar ao acaso da produçãototal para que a probabilidade de não encontrar defeituosos seja superior a0.80?

71. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias com distribuição de Poisson de parâmetros λ1

e λ2, respectivamente. Prove que se X1 e X2 forem independentes, a distribuiçãode X1|(X1 + X2 = k), k ∈ IN, é binomial.

72. Seja X uma variável aleatória contínua, com distribuição uniforme no intevrvalo(−0.5, 1.0),i.e., com função densidade de probabilidade assim definida:

f(x) =

2/3 −0.5 < x < 1.00 x /∈] − 0.5, 1.0[

a) Determine a função distribuição cumulativa de X.

b) Calcule, justificando convenientemente todos os seus cálculos:

i) P (X > 0.5);ii) P (X2 < 0.25);

c) Deduza:

i) A função distribuição cumulativa da variável aleatória Y = X3;ii) A função densidade de probabilidade da variável aleatória Y = X3.

(Exame 21/6/99)

73. Uma análise estatística sobre 1000 chamadas de longa distância indica que a du-ração de uma chamada pode considerar-se uma variável aleatória com distribuiçãoaproximadamente normal com parâmetros µ = 240 s e

σ = 40 s.

a) Qual a percentagem destas chamadas com duração inferior a 180 s?

b) Qual a probabilidade de uma dada chamada durar entre 180 e 300 s?

c) Sabe-se que apenas 1% das chamadas tem duração inferior a uma dadachamada. Determine a duração desta chamada.

74. Uma empresa agro-química fabrica mensalmente 90 toneladas de um dado pro-duto. Sabendo que a procura mensal deste produto é uma variável aleatóriaaproximadamente normal de parâmetros µ =80 ton e σ =10 ton, calcule:

24

a) A probabilidade de a procura mensal do produto se situar entre 68 e 90toneladas;

b) A probabilidade de haver num mês procura excedentária;

c) A produção necessária para que a probabilidade de haver procura mensalinsatisfeita seja 0.025.

(Exame 18/7/88)

75. O erro aleatório cometido numa dada medição segue uma lei normal de desviopadrão σ =1 mm e média µ =0 mm. Calcule a probabilidade de, em duasmedições independentes, o erro cometido pelo menos numa delas não ultrapassar,em valor absoluto, 1.28mm. (Exame 12/9/88)

76. Uma fábrica produz motores cujo tempo de vida é uma variável aleatória comdistribuição normal de parâmetros µ =10 anos e σ =2 anos. A fábrica quer criarum período de garantia para os motores de forma a que não mais de 3% tenhamde ser substituídos. Qual deverá ser o período de garantia máximo oferecido pelafábrica?

77. Cada um de 20 postos de trabalho nas linhas de montagem de uma fábrica con-some diariamente peças do tipo A a um ritmo dado por uma variável aleatóriacom distribuição N (50, 3.2). Se os stocks de peças forem renovados todos os diasúteis, qual deverá ser o stock mínimo no início de cada dia de forma a que aprobabilidade de ruptura dos stocks não exceda 20% ? Admita que o consumoem cada posto de trabalho é independente do consumo nos restantes postos detrabalho. (Exame 23/7/91)

78. Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função geradora de mo-mentos:

MY (t) = e3t+8t2 , t ∈ IR

a) Calcule a função geradora de momentos da variável aleatória X = Y −34

.

b) Determine o valor médio e a variância de X.

c) Se W ∩ N(µ, σ) então a função geradora de momentos de W é definida por

MW (t) = eµt+ 1

2t2σ2

, t ∈ IR.

Identifique as distribuições de X e Y .

(Exame 22/6/98)

79. Numa fábrica de pesticidas, o peso em kg de certo tipo de embalagens de fungi-cidas é uma v. a. normal com média 2 kg. Tem-se verificado que 1.5% dasembalagens são rejeitadas por conterem menos de 1.870 kg.

(a) Qual a percentagem de embalagens cujo peso difere do peso médio mais de150g?

25

(b) Enviado um lote de 60 embalagens para um fornecedor, qual a probabilidadede o peso total dessas embalagens ser superior a 121 kg? E a 120?

(c) Qual a probabilidade de, em 100 embalagens, serem aceites pelo menos 80,se for feita a seguinte alteração do critério: rejeita-se as embalagens que têmmenos de 1.950 kg.

(Exame 10/7/92)

80. Um grossista de distribuição de fruta recebe do produtor pêssegos de quatrocategorias: extra, A, B e C. Da experiência anterior, sabe-se que o diâmetro deum pêssego é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normalde média 64 mm e desvio padrão 3 mm. A classificação do referido fruto emfunção do seu diâmetro é a seguinte:

Categoria Diâmetro (x) em mmC x ≤ 60B 60 < x ≤ 65A 65 < x ≤ 70

Extra x > 70

Atendendo aos custos de armazenamento e de distribuição, admite-se que o lucrolíquido por tonelada é de 80 contos para a categoria extra, 50 contos para acategoria A, 10 contos para a categoria B e -5 contos para a categoria C.

Qual o lucro líquido esperado de um fornecimento constituído por uma toneladade pêssegos?

(Exame 14/7/88)

81. Um produto pesa em média 10g com desvio padrão de 2g. Este produto é em-balado em caixas com 50 unidades cada. Sabe-se que as caixas vazias pesam emmédia 500g com desvio padrão de 25g. Admita que as variáveis peso do produtoe da caixa vazia são independentes com distribuição normal.

a) Qual é a probabilidade de numa caixa encontrar no máximo 40 unidades doreferido produto com peso inferior a 8g cada?

b) Qual é a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais do que 1050g?

(Exame 10/7/98)

82. Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supõe-se que40% dessas garrafas contêm realmente uma quantidade de líquido menor do quea indicada no rótulo. Calcule a probabilidade de em 100 garrafas existentes numagrande loja:

a) haver 30 com menos de 1 litro;

b) haver não mais de 30 com menos de 1 litro;

26

c) haver mais de 45 com menos de 1 litro;

d) haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro.

83. Um determinado modelo de avião pode transportar uma carga máxima (pas-sageiros e bagagens) de 9000kg. Admita que o peso da bagagem de um passageiroé uma variável aleatória com distribuição N(18, 5), que o peso de um passageiro-homem é uma variável aleatória com distribuição N(70, 10) e que o peso de umpassageiro-mulher é uma variável aleatória com distribuição N(60, 10).

a) Qual é o peso da bagagem de um passageiro que não é ultrapassado pormais de 20% dos passageiros?

b) Considere um casal (homem e mulher) que entra no avião. Qual a proba-bilidade de o peso da mulher ser superior ao do homem? Que hipóteses temde admitir para responder a esta questão?

c) Num determinado vôo a lotação do avião está completa com 80 homens e20 mulheres, que levam a respectiva bagagem. Qual a probabilidade de oavião não poder partir por excesso de carga?

d) A companhia pratica a cobrança de uma taxa para bagagens com peso su-perior a 20kg. Havendo 60 passageiros num vôo, qual é a probabilidade deque mais de 10 passageiros paguem a referida taxa.

(Exame 11/10/95)

84. Suponha que os elos de uma corrente de bicicleta têm comprimentos aleatórioscom distribuição normal de média 0.5 cm e desvio padrão 0.04cm. As normasde um fabricante de bicicletas exigem que o comprimento de uma corrente estejacompreendido entre 49 e 50 cm .

(a) Qual a percentagem de elos cujo comprimento excede 0.6cm?

(b) Se uma corrente tiver 100 elos, qual a proporção de correntes a satisfazer asnormas exigidas?

(c) Utilizando apenas 99 elos, que valor deverá assumir o desvio padrão paraque 90% das correntes satisfaça as normas do fabricante?

(Exame 21/7/92)

85. O diâmetro de um certo tipo de peças é uma variável aleatória com distribuiçãonormal. As peças são consideradas defeituosas se o seu diâmetro diferir do valormédio µ mais do que 1.25 mm. Sabe-se que 2.28% das peças possuem um diâmetrosuperior a 7 mm, sendo também esta percentagem a das peças com um diâmetroinferior a 5 mm.

Tendo-se extraído uma amostra de 100 peças de um grande lote, qual a proba-bilidade de aparecerem pelo menos 5 peças defeituosas.

27

86. Para efeitos de comercialização, um dado fruto é classificado de acordo com o seutamanho. Considera-se que o diâmetro de uma peça deste fruto é uma variávelaleatória com distribuição normal de desvio padrão igual a 5 cm e média µ cm.A classificação, em categorias, do referido fruto é a seguinte:

Categoria Diâmetro (x) em cmC1 x ≤ 6C2 6 < x < 12C3 x ≥ 12

a) Sabendo que 30% dos frutos são da categoria C3, calcule o diâmetro médiodos frutos e a percentagem dos frutos das outras categorias.

b) Se os frutos forem vendidos em embalagens de 6 unidades, qual a probabil-idade de uma embalagem ter pelo menos 2 frutos da categoria C3?

c) Sabendo que 10%, 8% e 2% dos frutos pertencentes respectivamente às cat-egorias C1,C2 e C3 se apresentam em más condições, qual a probabilidadede um fruto retirado ao acaso não estar em condições de ser consumido?

87. Uma máquina deve ensacar sacos com 500g de turfa para plantações. O peso decada saco de turfa é uma v.a. normal com σ=20 gramas. A média da distribuiçãopode ser regulada na máquina pelo operador.

(a) Qual deverá ser a média calibrada na máquina, de modo que apenas 5% dossacos tenha peso inferior ao desejado?

(b) Enquanto aguardam em armazém a saída para o campo, os sacos são coloca-dos numa prateleira que, por ser pouco resistente, apenas consegue suportar300 kg. Qual o risco de a prateleira desabar no caso de serem empilhados610 sacos?

(Exame 17/9/92)

88. Num edifício funcionam 7 elevadores. A carga máxima de cada elevador é de320 kg. A dada altura entra um grupo de 4 pessoas em cada um dos elevadores.Calcule a probabilidade de no máximo 3 elevadores não funcionarem se o pesode uma pessoa for considerado uma variável aleatória com distribuição normalde média 71,75 kg e desvio padrão 10 kg.

89. O João vai entrar para a Universidade e foi informado de que há 30% de pos-sibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de receber a bolsa, aprobabilidade de se licenciar é de 0.80, enquanto que no caso de não a obter, aprobabilidade de se licenciar é de apenas 0.50.

a) Diga ao João qual a probabilidade de ele não se licenciar.

b) Se daqui a uns anos encontrar o João já licenciado, qual a probabilidade deele ter recebido a bolsa de estudo?

28

c) Considere toda a população estudantil que se encontra nas mesmas condiçõesdo João relativamente à possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo.

c1) Se for retirada uma amostra de 100 estudantes ao acaso, qual a proba-bilidade de se licenciarem entre 50 e 60 (inclusivé)?

c2) Se for retirada uma amostra de 20 estudantes ao acaso dos que vierema licenciar-se, qual a probabilidade de nenhum ter recebido bolsa deestudo.

(Exame 13/9/91)

90. Uma fábrica de derivados de cortiça produz lotes de 10000 rolhas para exportação.Por cada lote, 100 rolhas são retiradas sem reposição para analisar. Se nãoexistirem mais de 3 rolhas defeituosas, o lote está em condições de ser exportado.

a) Determine a função probabilidade da variável aleatória que indica o númerode rolhas defeituosas na amostra retirada de um lote com y rolhas defeitu-osas.

b) Calcule a probabilidade de um lote com 600 rolhas defeituosas estar emcondições de ser exportado.

c) Qual deveria ser o critério a adoptar para que a probabilidade de exportaro lote referido na alínea anterior fosse inferior a 0.05?

(Exame 7/7/89)

91. O comprimento (em cm) de uma peça produzida por uma máquina A é umavariável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [5, 7]. O comprimento(em cm) de uma peça produzida por outra máquina B é uma variável aleatóriacom distribuição uniforme no intervalo [6, 9]. A máquina A produz o dobro daspeças da máquina B.

a) Uma peça é retirada ao acaso da produção total das duas máquinas.

i) Qual é a probabilidade da peça ter um comprimento superior a 6.5 cm?ii) Sabendo que a peça tem um comprimento superior a 6.5 cm , qual é a

probabilidade de ter sido produzida pela máquina A?

b) Recolheu-se uma amostra aleatória de 100 peças produzidas pela máquinaA. Qual é a probabilidade aproximada de o comprimento médio das peçasser superior a 6.5 cm? Justifique.

(Exame 10/7/98)

92. O número de avarias por mês nos comboios da linha de Sintra que provocam ainterrupção da circulação é uma variável aleatória X com distribuição de Poissonde parâmetro µ = 3.5. O número de avarias num dado mês é independente donúmero de avarias nos outros meses.Por outro lado, o tempo necessário para restabelecer a circulação ferroviária após

29

uma avaria é uma variável aleatória Y com distribuição N (2.5 ,0.75) (em horas), etambém aqui, o tempo de reparação após uma avaria é independente dos temposde reparação após outras avarias.

a) Qual o número esperado de avarias num dado mês? E num ano?

b) Qual a probabilidade de a interrupção da circulação após uma avaria exceder4.5 horas?

c) Qual a probabilidade de o tempo total de interrupção da circulação na linhade Sintra exceder 8 horas, se houver 2 avarias num mês?

d) Qual a distribuição de probabilidades da variável aleatória que conta o tempototal de interrupção da circulação num mês, se houver r avarias ? Qual oseu valor esperado?

93. O tempo de duração T , em minutos, de uma chamada telefónica é uma var-iável aleatória com distribuição exponencial padrão. O custo, em euros, de cadachamada C(T ), função da duração, é dado por

C(T ) =

0.2 0 < T ≤ 3

0.2 + 0.6(T − 3) T > 3.

Determine o custo médio de cada chamada.

94. O tempo de espera para uma pessoa ser atendida numa dada pastelaria é umavariável aleatória com distribuição exponencial de média 4 minutos. Qual aprobabilidade de uma pessoa ser atendida em menos de três minutos, em pelomenos 4 dias de uma semana (considere uma semana com 7 dias)?

95. Considere três componentes colocadas em série de tal modo que a avaria dequalquer uma determina uma avaria no sistema. Admita que os tempos de vida(Xi, i = 1, 2, 3) das componentes são variáveis aleatórias independentes comdistribuição exponencial com parâmetros β1, β2 e β3, sendo βi > 0, ∀i ∈1, 2, 3. Deduza a função de distribuição cumulativa do tempo de vida dossistema, Y = minX1, X2, X3.(Exame 17/9/92)

96. Determine:

a) O quantil de ordem 0.99 numa distribuição χ2(4);

b) q0.99 numa distribuição χ2(18);

c) q0.9 numa distribuição t-Student com 3 graus de liberdade;

d) q0.1 numa t(3);

e) q0.9 numa t(23);

f) q0.9 numa t(10000);

30

g) o quantil de ordem 0.95 numa distribuição F (7,15);

h) q0.05 numa F (15,7).

97. Sejam X1, X2, ..., X80 80 variáveis aleatórias independentes com distribuição nor-mal reduzida. Calcule P (X2

1 + X22 + ... + X2

80 > 107).

98. Sejam X, X1, X2, ..., X10 11 variáveis aleatórias independentes com distribuiçãonormal de valor médio nulo e desvio padrão 2. Considere

T =X

√√√√

10∑

i=1

X2i

.

a) Calcule P (|T | < 0.4339).

b) Determine k tal que P (T > k) = 0.5.

c) Calcule P (T 2 > 0.496).

99. Considere uma amostra aleatória de dimensão 25, (X1, X2, ..., X25) , em queXi, (i = 1, 2, ..., 25) tem distribuição N (0, 0.3).

a) Qual a probabilidade do estimador X tomar um valor inferior a -0.05?

b) Seja Y =25∑

i=1

X2i . Calcule:

b1) P (Y > 1);b2) P (Y > 0|Y < 1).

100. Sejam Z1, Z2 e Z3 variáveis aleatórias independentes com distribuição normalreduzida. Calcule as seguintes probabilidades:

a) P (Z1 < 1.5);

b) P (Z1 + Z2 < 1.5);

c) P (Z21 < 3.84);

d) P

(

Z21 + Z2

2

Z23

< 400

)

;

e) P

Z1

√

Z22 + Z2

3

> 7

;

f) P (Z21 + 2 Z1 Z2 + Z2

2 < 10).

101. Sejam V1, V2, ..., V9 variáveis aleatórias normais reduzidas independentes. Con-sidere as variáveis aleatórias seguintes:

V =9∑

i=1

Vi, X =V 2

1∑9

i=2 V 2i

e Y =V1 − V2

√

V 23 + V 2

4 + V 25

.

Calcule:

31

a) P (|V | < 0.25);

b) P (X > 0.014);

c) P (Y < 1.9).

(Exame 7/12/90)

32

Soluções de alguns Exercícios de Probabilidades

2. a) 0.5.

b) 1/3.

c) 2/3.

4. 5/8.

6. a) 0.3.

b) 0.5.

7. a) 0.25.

b) 0.85.

c) 5/6.

8. a) [0, 0.5].

b) [0, 2/3] ∪ 1.c) [0, 1].

9. A- Acontecimento “atleta 1 percorre 100 m em menos de 10 s”

B- Acontecimento “atleta 2 percorre 100 m em menos de 10 s”

C- Acontecimento “atleta 3 percorre 100 m em menos de 10 s”

Pede-se P (A ∪ B ∪ C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A ∩ B)−P (A ∩ C)−P (B ∩ C)+

P (A ∩ B ∩ C)

ou P (A ∪ B ∪ C) = 1 − P(

A ∩ B ∩ C)

= 78150 = 0.52

14. a) i) P (G) = P (G ∩ A) + P (G ∩ B) + P (G ∩ C) = 0.85.

ii) P (C|G) = 2/9.

b) P (G|A).P (G|B).P (G|C) + P (G|A).P (G|B).P (G|C)++P (G|A).P (G|B).P (G|C) + P (G|A).P (G|B).P (G|C) =0.941.

15. b) 0.64.

21. a) 0.51.

b) 17/49.

c) 0.65.

22. Consideremos os seguintes acontecimentos:

C - ”dia chuvoso” - P (C) = 0.3 P(

PC|C)

= 0.10

S - ”dia sol” - P (S) = 0.6 P (PC|S) = 0.20

N - ”dia S/sol e S/chuva” - P (N) = 0.1 P(

PC|N)

= 0.05

PC - ”prever chuva”

PC - ” prever não chuva ”

33

a) P(

PC)

= P(

PC ∩ S)

+ P(

PC ∩ C)

+ P(

PC ∩ N)

↓Teorema da probabilidade total

= P(

PC|S)

· P (S) + P(

PC|C)

· P (C) + P(

PC|N)

· P (N) = 0.52

b) P (S|PC) = P (PC|S)·P (S)P (PC) = 0.20×06

1−0.52 = 0.25

c) P (erro) = P(

PC ∩ C)

+ P (PC ∩ S) + P(

PC ∩ N)

+ P (PC ∩ N)︸ ︷︷ ︸

= 0.25

P (N) = 0.1

23. a) P (X = 2j) =∞∑

j=1

1

22j= 1/3.

b) P (X > 5) =∞∑

j≥6

1

2j= 1/32.

c) P (X = 3j) =∞∑

j=1

1

23j= 1/7.

24. a) a ∈]0, 1[.

31. a) Se X é v.a. contínua então terá que ter-se F (x) contínualimx→0+ F (x) = 0 e limx→π− F (x) = 1 , isto e,

a.0 + b = 0 e aπ + b = 1 ⇒ b = 0 e a =1

π

b) f(x) =

1

π0 < x < π

0 x < 0 ou x > π

c) P (X <π

2|X ≥ π

4) =

P (π4 ≤ X < π

2 )

P (X ≥ π4 )

=1

3

d1) E(X) =

∫ π

0

x

πdx =

π

2; V ar[X] = π2

12

d2) [log(π + 2) − log2] /π

35. a) F (x) =

0 x ≤ 0x4(5 − 4x) 0 < x < 11 x ≥ 1.

b) 2/3, 2/63 e√

2/63

c) L(X) =

A1 − B 1/3 < X < 2/3A2 − B restantes valores.

P (A1 − B) = 101/243

P (A2 − B) = 142/243.

36. b) F (x) =

1

2ex−α x < α

1 − 1

2eα−x x ≥ α.

34

c) 1 − 1/e.

e) α e 2.

f) α.

45. a) O vendedor A pode fazer 0, 1 e 2 seguros com probabilidades 0.5 × 0.5, 2 ×0.5 × 0.5 e 0.5 × 0.5, respectivamente.

O vendedor B pode fazer 0, 1 e 2 seguros com probabilidades 0.75 × 0.75, 2 ×0.75 × 0.25 e 0.25 × 0.25, respectivamente.

Y 0 1 2X

0 0.140625 0.09375 0.0156251 0.28125 0.1875 0.031252 0.140625 0.09375 0.015625

b) P (X + Y ≥ 1) =0.859375.

c) P (X ≥ 1|Y = 2) = 0.75.

d) 1.5 e 0.5.

49. a) X ∩ B(20; 0.9).

b) 0.9568.

c) ≃ 1.

e) 110

f) 0.9568.

50. a) 0.9536.

b) 60 cobaias.

c) Pelo menos 6 cobaias.

54. a) 0.667.

b) 750 g.

c) ≃ 1.

55. a) 1969.

b) Pelo menos 10 garrafas.

56. a) k = 1

b) f(x/y = 1) =

2(1 − x) 0 ≤ x ≤ 10 o.v.

c) Sim

d) p =prob. de a produção ser superior a 800 kg

p =∫ 10.8 2(1 − x)dx = 0.04

X → no¯ de empresas naquelas condições X ∩ B(20; 0.04)

P [X ≥ 5] = 1 − P [X ≤ 4]

35

57. a) 30%.

b) ≃ 0.977.

61. a) ≥ 6.

b) 4.

c) 0.105.

62. a) 0.9984.

b) 1.25.

65. a) 60.

b) 0.9556.

66. a) 0.1954.

b) 0.1221.

c) 0.41.

67. a) 0.1429.

b) A capacidade de atendimento deverá ser de 4 petroleiros por dia.

c) 2.

d) 1 ou 2.

e) 0.156

f) 1.782.

g) 0.218.

68. a) P (Y = m,X = r) =

(

r

m

)

(0.1)m(0.9)r−m.e−1010r

r!se r ≥ m

P (Y = m,X = r) = 0 se r < m.

b) P (Y = m) =∞∑

r=0

P (Y = m,X = r) =m−1∑

r=0

P (Y = m,X = r)+

+∞∑

r=m

P (Y = m,X = r) =∞∑

r=m

P (Y = m,X = r) =

=∞∑

r=m

(

r

m

)

(0.1)m(0.9)r−m e−1010r

r!=

= e−10(0.1)m∞∑

r=m

6 r!(r − m)!m!

(0.9)r−m 10r

6 r! =

=10me−10(0.1)m

m!

∑

r=m

(0.9)r−m

(r − m)!10r−m =

=(10 × 0.1)me−10

m!e0.9×10 =

(10 × 0.1)me−1

m!.

Ou seja, Y ∩ P (10 × 0.1) = P (1)

36

c) 0.031.

73. a) 6.68%.

b) 0.8664.

c) 147 s.

74. a) 0.7262.

b) 0.1587.

c) 99.6 ton.

75. 0.9598.

76. 6.24 anos.

77. X v.a. consumo de cada posto em que X ∩ N (50; 3.2).

Y =20∑

i=1

Xi v.a. consumo dos 20 postos em que Y ∩ N (1000; 3.2√

20).

P (Y > a) < 0.20 ⇐⇒ P (Y < a) > 0.8 ⇐⇒ Φ(a − 1000

3.2√

20) > 0.8 ⇐⇒

⇐⇒ a−100014.31 ≥ 0.85 ⇐⇒ a ≥ 1013.

O stock mínimo deverá ser constituído por 1013 peças.

80. 24.135 contos.

82. X v.a. no¯ de garrafas c/ menos de 1 litro em que X ∩ B(100; 0.40) ∼ N (40;

√24).

a) P (X = 30) ∼ P (29.5 < X < 30.5) = 0.01.

b) P (X ≤ 30) ∼ P (X < 30.5) = 0.0262.

c) P (X > 45) = 1 − P (X ≤ 45) ∼ 1 − P (X ≤ 45.5) = 0.1314.

d) P (44 ≤ X ≤ 50) ∼ P (43.5 ≤ X ≤ 50.5) = 0.2227.

85. 0.008.

86. a) Diâmetro médio dos frutos: 9.4 cm; 24.8% e 45.2% de frutos C1 e C2, respectiva-mente.

b) 0.58.

c)

Categorias P (Ci) P (Mau/Ci)C1 0.25 0.10C2 0.45 0.08C3 0.30 0.02.

Então P (Mau)= 0.067.

88. 0.9998.

90. a) H(10000, 100, y) ∼ B(100;y

10000).

37

b) ≃ 0.145.

c) Se não existir mais de 1 rolha defeituosa na amostra então o lote está em condiçõesde ser exportado.

92. a) 3.5 e 42.

b) 0.0039.

c) 0.0023.

d) A v.a. tem distribuição N (2.5r; 0.75√

r) . O seu valor esperado é 2.5r.

97. 0.025.

98. a) 0.8.

b) k = 0.

c) 0.05.

38