BIBLIOTHECA MATHEMATICA. - Digital Library of the Silesian ...

BIBLIOTHECA MATHEMATICA.£ f r / -/ i c .

ZEITSCHRIFT FÜR GESCHICHTET

DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN.

HERAUSGEGEBEN VON

GUSTAF ENESTRÖMIN STOCKHOLM.

D R IT T E FO LG E. S IE B E N T E R B AN D.

MIT BILDNISSEN VON LEONHARD EULER ALS TITELBILD, SOWIE 38 TEXTFIGUREN.

LEIPZIG

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

1906— 1907 .

R E C H T E, E IN SC H LIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN,

Inhaltsverzeichnis.r .....................■

Autoren-Rtegister.Ahrens, 32.Bateman, 26.Bosmans, 3, 20.Eneström, 1 - 3 ,1 1 -1 6 , 18, 19,

21, 23, 27, 29, 30, 3 3 -3 5 . Favaro, 3.Grönblad, 3.

Heath, 7..Heiberg, 5 - Hunratb, 17. Landau, 28. Loria, 24, 25. Mikami. 22. Muller, Felix, 31.

Rudio, 3.Smith, 36. Sturm, 3.Suter, 6, 8—10. Vogt, 4. Zeuthen, 5.

Sach-Register.Abdelbaqi, 10.Abel, 34.Aktuelle Fragen, 35, 36.Algebra, 1 8 -2 0 , 23.Algorismus, 13.Anfragen, 11, 12, 15, 19, 21. Anthemios, 7.Antworten, 30.Arabische Mathematik, 8 —11. Archimedes, 5.Arithmetik, 9, 11—13, 15. Bearbeitung yon Bandregistern, 35. Bernoulli, D., 27. Berührungstransformationen, 25. Bibliographie, 35, 37.Biographien, 29, 30, 32—34. Brennspiegel, 7.Briefe, 26, 27.Brüche, 12.Cantor, 2, 3.Coignet, 21.Bel Ferro, 18.Biachasimus, 8.Dreiteilung des Kreisbogens, 17, Bür er, 17.Elementargeometrie, 31. el-Nasawi, 9.Ernennungen, 38.Eukleides, 10.Euler, 2 7 -2 9 .„Fragmentum Bohiense“, 7.Français, 30.Funktionentheorie, 28.Geometrie, 4—7, 10, 17, 23- 25, 31. Geschichte der Wissenschaften, 1. Giovanni Antonio da Como, 14. Gleichungen, 18.Gosselin, 20.Griechische Mathematik, 5—7

Heron, 6.Huygens, 24.Imaginäre Größen, 23.Indische Mathematik, 4.Irrationale Größen, 4.Janöbi, 32, 33.Japanische Mathematik, 22.Jordanus, 13.Komplementäre Multiplikation, 11. Königsberger, 33.Kubische Gleichungen, 18.Kurven, 24. *Literarische Notizen, 38.Lucas de Pesloüan, 34.Mathematik im allgemeinen, 1—3, 16. Mathematiker-Versammlungen, 38. Mathematische Ausstellungen, 36. Mathematische Instrum ente, 21. Mathematische Schulen, 14.Mathematische Zeichen, 12. Mathematisch-historische Vorlesungen, 38. Näherungskonstruktionen, 17.Nairizi, 8.Neuerschienene Schriften, 37.Null, 19.Pantometer, 21.Preisfragen, 38.Preisschriften, 38.Pytagoreischer Lehrsatz, 4.Rezensionen, 2, 6 16, 31, 33, 34. Riemannsche Zetafunktion, 28.Schöne, 6.Simon, 31.Smith, 16.Tartaglia, 18.Taylor, 26.Todesfälle, 38.Wallis, 23.Wissenschaftliche Chronik, 38.

IV Inhaltsverzeichnis.

Allgem eines über Geschichte der Mathematik.Seite

1. Die Geschichte der Mathematik als Bestandteil der Geschichte der Wissenschaften. Von G. E n e s t r ö m 1 — 5

2. C a n t o r , V orlesungen ü ber G eschichte der M athem atik I 3 (1907).R ezension von G. E n e s t k ö m ........................................................................................ 398— 406

3. Kleine Bemerkungen zur zweiten Auflage von Cantors „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“. Von H. B o s m a n s , G. E n e s t r ö m ,

A. F a v a r o , C. G r ö n b l a d , F. R u d i o , A. S t u r m .

8 0 - 9 5 , 203—215, 2 8 2 -3 0 8 , 378— 396

G e s c h ic h te d e s A l te r tu m s .

4 . H aben die alten Inder den Pythagoreischen L ehrsatz und das Irra tiona le gekannt? Von H e i n r i c h V o g t ................................................6—23

5. E ine neue Schrift des Archim edes. Von J . L. H e i b e r g undH. G. Z e u t h e n . M it 12 T e x t f i g u r e n .......................................... • 321 363

6 . H e ro n is Opera omnia. III: Rationes dim etiendi et commentatio dioptrica (Vermessungslehre und Dioptra), griechisch und deutsch von H. S c h ö n e (1903). Rezension von H. S u t e r .................................... ...................................................9g __

7 . The fragm ent of A nthem ius on b u rn ing m irro rs and the „F ragm entum

m athem aticum Bobiense“ . By T. L. H e a t i i . M it 4 Textfiguren 225 233

G e s c h ic h te d e s M i t te la l te r s .

8 . Z ur F rage des von N airizi z itie rten M athem atikers ,,D iachasim us“ .Von H . S u t e r ................................................................................................................................. 39g

9 . Ü ber das Rechenbuch des A li ben A hm ed el-N asaw i. Von H e i n r ic h S u t e r ................................................................................. 113—119

10. Ü ber den K om m entar des M uham m ed ben 'A bdelbäq i zum zehnten

Buche des Euklides. Von H e i n r i c h S u t e r . M it 7 T extfiguren 234—251

11. Ü bei fepuien der kom plem entären M ultip likation bei arabischen M athem atikern. [A nfrage 126.] Von G. E n e s t r ö m . . . . _____95__97

12. Ü ber die Bezeichnung gew öhnlicher B rüche im christlichen M itte la lte r nach der E in füh rung arabischer Ziffern. [A nfrage 1 2 8 ]Von G. E n e s t r ö m ...................................................................................................° ‘ 3Q 8_ 3 0 9

13. Ü ber die „D em onstratio Jo rd an i de algorism o“ . Von G. E n e s t r ö m 2 4 -3 7

1 4 . Ü ber zwei angebliche m athem atische Schulen im christlichen M itte la lter. Von G. E n e s t r ö m ........................................................... 252—262

15. Ü ber den italienischen A rithm etiken Giovanni A ntonio da Como.[A nfrage 127 .] Von G. E n e s t r ö m 216

Inhaltsverzeichnis. V

Geschichte der neueren Zeit.Seite

16 . S m i th , H istory of m odern m athem atics. F ourth édition (1906). R ezension von G. E n e s t r ö m .................................................................... gjO g j 2

1 7 . A lb rech t D ü re rs an n äh e rn d e D re ite ilu n g eines K reisbogens. V on

K arl H u nra th . M it 1 T e x t f ig u r ............................................................... 120— 125

1 8 . H a t T a r ta g lia seine L ö su n g d e r k u b isch en G le ich u n g von D el F e rro e n tle h n t? V on G. E n e s t r ö m .......................................................................... 88—43

1 9 . Ü b e r die A n fän g e d e r B en u tz u n g von N u ll als eine w irk liche

G röße. [A n frag e 1 2 9 .] V on G. E n e s t r ö m ....................................................309

2 0 . Le „D e a r te m a g n a “ de G u illau m e G osselin. P a r H. B osm ans 44—66

2 1 . Ü b e r den P a n to m e te r von M ichel C oignet. [A nfrage 1 3 0 .] VonG. E n e s t r ö m .................................................................................................................. .........

2 2 . Z u r F ra g e a b en d län d isc h e r E in flüsse a u f die jap an isch e M ath em atik

am E n d e des s ieb zehn ten J a h rh u n d e r ts . Von Y o sh io M ik a m i 364—366

2 3 . D ie g eo m e trisch e D a rs te llu n g im a g in ä re r G rößen bei W allis . V on

G. E n eströ m . M it 5 T e x t f ig u re n ..................................................................... 263 269

2 1 . C urve p ian e spec ia li nell c a rteg g io di C. H u y g en s. D i Gino L o ria .

M it 1 T e x t f ig u r ............................................................................................................. 270—281

2 5 . P e r la p re is to r ia d e lla te o r ia delle tra s fo rm a z io n i di co n ta tto .

D i Gino L o r i a .................................................................................................................. 67—68

2 6 . T h e co rresp o n d en ce o f B ro o k T ay lo r. B y H . B a tem an . M it

2 T e x t f ig u re n .................................................................................................................. 367—371

2 7 . D e r B riefw ech se l zw ischen L eo n h a rd E u le r u n d D an iel B ern o u lli.

V on G. E n e s trö m . M it 6 T e x tf ig u re n . ......................................126 156

2 8 . E u le r u n d d ie F u n k tio n a lg le ic h u n g d e r R iem annschen Z etafu n k tio n .

V on E dm und L a n d a u ................................................................................................. 69— 79

2 9 . Ü b e r B ildn isse von L eo n h a rd E u le r . V on G. E n eströ m . M it

B ild n issen a ls T i t e l b i l d ............................................................................................ 372— 374

3 0 . S u r les frè res F ran ça is . [A n tw o r t a u f d ie A n frag e 1 1 0 .] V on

G. E n e s t r ö m ....................................................................................................................216

3 1 . S im o n , Ü ber die E n tw ick lu n g der E lem entar-G eom etrie im XIX. Ja h rh u n d e rt (1906). Rezension von F elix Mü l l e r ................................................. 406 418

3 2 . E in B e itra g z u r B io g rap h ie C. G. J . Jaco b is . V on W . A h ren s 157— 192

33 . K ö n i g s b e r g e r , C. G. J . Jacobi. F estsch rift (1904). Rezension vonG. E neström ..........................................................................................................................217 218

3 4 . L u c a s d e P e s l o ü a n , N. H. Abel. Sa vie e t son œ uvre (1906). R ezension von G. E n e s t r ö m ...............................................................................................218—219

V IInhaltsverzeichnis.

A ktuelle Fragen.3 5 . Ü ber B earbeitung von B andregistern zu m athem atischen Zeit-

Schriften oder Samm elwerken. Von G. E n e s t r ö m ........................... 193—202

3 6 . A m athem atical exhibit o f in terest to teachers. B y D av id E u g e n e S m it h

' .................................................................................................. 375—377

• e r s c h ie n e n e S c h rif te n ..................... 105—109, 220- 222, 3 1 3 -316 , 4 1 9 -4 2 2

~ Zeitschriften. Allgemeines. _ Geschichte des7 eit Ti >7 f eSChlCht: d6S Mittelalters. - Geschichte der neueren

~ Nekrologe. — Aktuelle Fragen.

3 8 . W issenschaftliche Chronik . . . . 110—112, 223 - 224, 3 1 7 -320 , 4 2 3 -4 2 5

litrr r D7 6 W T°desfalle- ~ Denmächst erscheinende mathematiseh- he 'f C 6 6v e’i ~~ Mathematisch-historische Arbeiten in Vor- w L t r gn f 7 7 M " en Üb6r Geschichte der mathematischen

" “ Gekrönte Preisschriften. - Preisfragen gelehrterGesellschaften. - M athematiker-Versammlungen im Jahre 1906. -V ermischtes.Vermischtes.

Namenregister426—442

Das 1. H eft dieses Bandes (S. 1— 112) w urde am 26. J u l i 19 0 6 ausgegeben

” • ” ” ” (S. 1 1 3 — 2 24) „ „ 16. O ktober „

” ' ” ” ” (s - 2 2 5 — 3 2 0 ) „ n 26. F eb ru a r 1907” • ” ” ” (S. 3 2 1 — 442) „ 25. Ju n i

Verbesserungen.Seite 118 Zeile 24 s ta tt 3u* + 6 a b + 8 6 * -lies 3 a* - f 3 a b + b*

” 2 1 9 ” 1 5 >< < P ( n ) = n „ <p(n) = n *

G. E n e s t b ö m : Die Gesch. d. Mathem. a l s Bestandteil d . Gesch. d. Wissensch. 1

Die G-eschichte der Mathematik als Bestandteil der Geschichte der Wissenschaften,

Von G. E neström in Stockholm.

In meinem Aufsatze Die Geschichte der Mathematik und der JJni- versitätsunterricht1) hatte ich, unter Verweisung auf einen Artikel von P a u l T a n n e r y , hervorgehoben, daß man von einer allgemeinen Geschichte der Wissenschaften2) noch keine klare Vorstellung hat. Fast gleichzeitig mit dem Erscheinen meines Aufsatzes veröffentlichte T a n n e k y eine kleine Ai beit,3) die ursprünglich dazu bestimmt war, die erste einer Reihe von Vorlesungen am „College de France" zu sein, worin er die allgemeine Geschichte der Wissenschaften zu behandeln beabsichtigte. In dieser Arbeit versuchte er einen Beitrag zur Klärung der betreffenden Vorstellung zu bieten und dabei auch die Stellung der Geschichte der besonderen Wissenschaften, (in erster Einie der Mathematik) zu dieser allgemeineren Geschichte zu bestimmen.

T a n n e k y will zwei Arten der Geschichte der Wissenschaften unterscheiden, nämlich die allgemeine und die spezielle Geschichte. Die letztere besteht nach ihm nur aus einer Zusammenstellung der Geschichten der einzelnen Wissenschaften, und zwar soll die Behandlung jeder Wissenschaft von der Art sein, die ich in einem früheren Aufsatze4) „rein fachmäßig“ genannt habe. Innerhalb der allgemeinen Geschichte der Wissenschaften soll dagegen nach T a n n e r y die Geschichte der Mathematik keine besondere Abteilung bilden, und eine rein fachmäßige Darstellung soll auch nicht Vorkommen. Nicht nur solche Gegenstände sind darin zu vermeiden, die von untergeordnetem Interesse sind, sondern auch solche, die dem gebildeten

1) G. E n e s t r ö m , Die Geschichte der Mathematik und der Universitätsunterricht; B i b l i o t h . M a th e m . 53, 1904, S. 65.

2) Ich b rauche au ch in diesem A rtik el der Kürze ha lb e r das W o rt „W issensch aften “ als Ü bersetzung des französischen „Sciences“ .

3 ) P . T a n n e r y , De l’histoire des Sciences; ß e v u e d e S y n t h e s e h i s t o r i q u e 8 ,

1904, S. 1 — 16.4 ) G. E n e s t r ö m , Über kulturhistorische und rein fachmäßige Behandlung der Ge

s c h ic h te der M athematik; B i b l i o t h . M a th e m . 43, 1903, S 1— 6.Bibliotheca Mathematica. III. Folge. VII. i

2 G . E n e s t r ö m .

Publikum unverständlich sein würden. Folglich wird die allgemeine Geschichte der Wissenschaften in betreif der Mathematik eigentlich die kulturhistorischen und biographisch-literarischen Bestandteile und noch dazu die Elementarmathematik berücksichtigen. Diese Bestandteile, sowie die ähnlichen Bestandteile der Geschichte der anderen Wissenschaften, sollen in chronologischer Ordnungsfolge zusammengearbeitet werden, und dadurch entsteht nach T a n n e r y die allgemeine Geschichte der Wissenschaften.

T a n n e r y ist also der Ansicht, daß die zwei Arten von Geschichte der Wissenschaften, nämlich die allgemeine und die spezielle, sowohl in betreif des Inhaltes als hinsichtlich der Darstellungsweise wesentlich verschieden sein sollen. Ziehe ich zuerst in Betracht die Frage über den Inhalt, so geht unmittelbar aus meinem soeben zitierten Artikel TJber kulturhistorische und rein fachmäßige Behandlung der Geschichte der Mathematik hervor, daß ich in betreff der speziellen Geschichte der Wissenschaften mit T a n n e r y einig sein muß. Anders liegt dagegen die Sache, wenn es sich um den Inhalt der allgemeinen Geschichte der Wissenschaften handelt. Freilich sind diese Worte nicht so zu deuten, als ob T a n n e r y s

Ausführungen meines Erachtens unrichtig wären. Er hat selbst ausdrücklich darauf hingewiesen, daß es verschiedene Ansichten in betreff der allgemeinen Geschichte der Wissenschaften geben kann oder sogar geben muß, und in seiner Arbeit De l’histoire des Sciences wollte er nur seine persönliche Ansicht darlegen. Er fügte hinzu, daß man augenblicklich, bevor eine allgemeine Geschichte der Wissenschaften wirklich vorhanden ist, nicht sagen darf: so und so muß die Geschichte beschaffen sein, sondern nur: so und so kann sie beschaffen sein. Nun bin ich selbst der TANNERYSchen Meinung, und ich stelle mir also zunächst die vorliegende Frage unter der folgenden Form: Kann die allgemeine Geschichte der Wissenschaften einen anderen mathematischen Inhalt haben als den von T a n n e r y angegebenen?

Zuerst will ich dann bemerken, daß ich sehr gut verstehe, nicht nur wie T a n n e r y zu seiner Auffassung kam, sondern auch daß er von seinem Gesichtspunkte aus fast notwendigerweise zu dieser Auffassung kommen mußte. Wie schon erwähnt, beabsichtigte er als ordentlicher Professor der Geschichte der Wissenschaften am „College de France“, wozu er allem Anschein nach als designiert betrachtet werden konnte, Vorlesungen zu halten, und seine kleine Arbeit De l’histoire des Sciences war ursprünglich dazu bestimmt, die Eintrittsvorlesung zu sein. Will man aber als Universitätslehrer das Studium der Geschichte der Wissenschaften befördern, so ist es klar, daß man in erster Linie die allgemein verständlichen Bestandteile der Mathematik berücksichtigen muß, und dies um so mehr, wenn man der erste wirkliche Vertreter der Geschichte der Wissenschaften

sein wird. Auf der anderen Seite ist offenbar, daß die Verständlichkeit eines gewissen mathematischen Begriffes oder Satzes nicht ein solches Merkmal ist, das unter allen Umständen entweder vorhanden ist oder durchaus fehlt, sondern daß es verschiedene Grade der Verständlichkeit gibt, und daß der Grad zuweilen nicht nur von den Kenntnissen, sondern auch von der Intelligenz des Schülers abhängig sein muß.

Aus dem Gesagten dürfte unmittelbar hervorgehen, daß die von mir oben gestellte Frage in betreff des Inhaltes der allgemeinen Geschichte der Wissenschaften bejahend beantwortet werden kann, auch wenn man großes Gewicht auf die Gemeinverständlichkeit dieses Inhaltes legt. In der Tat gibt es eine ganze Menge von Begriffen und Sätzen der höheren Mathematik, die fast ebenso leicht verständlich sind wie die der Elementarmathematik. Beispielsweise sind viele Sätze der Zahlentheorie dieser Art, und aus der Theorie der Kurven kann man beliebig viele Begriffe und Sätze entnehmen, die allgemein verständlich sind. Nun liegt es ja nahe zu bemerken, daß die fraglichen Sätze freilich leicht verständlich sind, daß aber die Beweise der Sätze nur von denen verstanden werden können, die höhere mathematische Kenntnisse besitzen. Die Bemerkung ist ohne Zweifel richtig, aber in einer allgemeinen Geschichte der Wissenschaften ist es wegen des ungeheueren Materials nur ausnahmsweise möglich, Beweise der Sätze zu bringen, und es ist wohl wenig angebracht, die verständlichen Sätze auszuschließen, nur weil die nicht mitgeteilten Beweise unverständlich wären. Übrigens gibt es gewisse mathematische Sätze, deren Richtigkeit mit einem sehr hohen Grade von Wahrscheinlichkeit ohne besondere mathematische Kenntnisse festgestellt werden kann, z. B. den WiLSONschen Satz 1 . 2 . 3 . •••(p — 1) -f- 1 == 0 (m od».

Wenn es also bewiesen ist, daß die mathematischen Bestandteile einer gemeinverständlichen allgemeinen Geschichte der Wissenschaften nicht nur aus der Elementarmathematik sondern auch aus der höheren Mathematik entnommen werden können, so hat man zu entscheiden, ob es zweckmäßig ist, in dieser Geschichte nur den von T a n n e r y angegebenen Inhalt zu berücksichtigen. Wie ich schon bemerkt habe, kann ein solches Verfahren ohne Zweifel berechtigt sein, wenn man zum erstenmal Universitätsvorlesungen über allgemeine Geschichte der Wissenschaften halten soll, aber meiner Meinung nach ist es nur in diesem Falle zu empfehlen. Offenbar verliert nämlich die Darstellung wesentlich an Interesse, wenn gerade die wichtigsten Errungenschaften der mathematischen Forschung stillschweigend übergangen werden müssen, und besonders muß der Zuhörer (oder Leser) eine verkehrte Vorstellung von der Entwickelung der Mathematik im 19. Jahrhundert bekommen, wenn alles, was sich auf die höhere Mathematik bezieht, ausgeschlossen wird. Ich bin also der Ansicht,

1*

Die Geschichte «er M athematik als Bestandteil der Geschichte der Wissenschaften. 3

4 G . E n e s t r ö m .

daß eine Universitätsvorlesung über allgemeine Geschichte der Wissenschaften sich nicht auf die Elementarmathematik beschränken, sondern so viel als möglich von den wichtigsten Begriffen und Sätzen der höheren Mathematik mitnehmen soll.

Handelt es sich dagegen um eine Darstellung der allgemeinen Geschichte der Wissenschaften, die für das gebildete Publikum oder für die Gelehrtenwelt bearbeitet wird, möchte ich noch einen Schritt weiter gehen, so daß ich die Gemeinverständlichkeit der mathematischen Bestandteile als eine Nebensache betrachte. Gewiß wird dann der mathematische Inhalt vielen Lesern zum größten Teil unverständlich, aber auf der anderen Seite werden sehr viele Leser wenigstens eine allgemeine Vorstellung von der Bedeutung der mathematischen Forschungsarbeit unserer Zeit bekommen, und schon dies ist meines Erachtens ein großer Gewinn.

Vielleicht wird man geneigt sein, gegen das soeben angeführte einzuwenden, daß es auf diese Weise unmöglich werden wird, eine allgemeine Geschichte der Wissenschaften mit Sachkunde zu bearbeiten. Die Einwendung wäre ohne Zweifel begründet, wenn man voraussetzte, daß eine einzige Person das ganze bearbeiten würde, aber anders liegt die Sache, wenn eine Anzahl von Gelehrten sich zusammenschließen um die Arbeit auszuführen, und in unseren Tagen ist eine solche Anordnung gar nicht ungewöhnlich.

Ich gehe jetzt zu der Frage der Darstellungsweise über. In dieser Hinsicht bin ich mit T a n n e k y darüber einig, daß die Bestandteile der allgemeinen Geschichte der Wissenschaften in chronologischer Ordnungsfolge zusammengearbeitet werden sollen. Ich verstehe auch sehr gut, warum T a n n e k y nicht wagte, dieselbe Darstellungsweise für die spezielle Geschichte der Wissenschaften vorzuschlagen, sondern sich damit hegnügte, eine Sammlung von Einzeldarstellungen zu empfehlen. Offenbar hat T a n n e k y an das ungeheure Material gedacht, das eine Gesamtdarstellung umfassen würde, und noch dazu die überaus großen Schwierigkeiten in Betracht gezogen, die die Bearbeitung dieses Materials von rein technischem Gesichtspunkte aus darbieten würde; vielleicht bemerkte er auch, daß eine solche Gesamtdarstellung eigentlich auf keinen großen Leserkreis rechnen konnte. Aus genau denselben Gründen bin ich damit einverstanden, daß man zur Zeit von einer speziellen Gesamtgeschichte der Wissenschaften absieht. Dagegen wäre es wohl nicht ganz unmöglich, dieselbe schon jetzt bis zu einem gewissen Grade vorzubereiten, und zwar dadurch, daß man entweder für einzelne Völker oder für gewisse Zeitabschnitte ähnliche Arbeiten in Angriff nimmt.

Das Resultat der vorangehenden Ausführungen ist also:1. Die Darstellung der allgemeinen Geschichte der Wissenschaften

soll die wichtigsten Errungenschaften der mathematischen Forschung berücksichtigen. Hat die Darstellung irgend einen sehr speziellen Zweck, z. B. für den Universitätsunterricht benutzt zu werden, so soll in jedem einzelnen Falle entschieden werden, in wie weit die Darstellung auf die

* allgemein verständlichen mathematischen Begriffe und Sätze zu beschränken ist.

2. Es ist zur Zeit angebracht, von der Bearbeitung einer speziellen Gesamtgeschichte der Wissenschaften abzusehen, aber um dieselbe vorzubereiten, könnte man versuchen, für gewisse Völker oder Zeitabschnitte solche Arbeiten herzustellen.

Die Geschichte der Mathematik als Bestandteil der Geschichte der Wissenschaften. 5

6 H e in e ic h V o g t .

Haben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrsatz und das Irrationale gekannt?

Von H e in r ic h Y o g t in Breslau.

Die in den Jahren 1901 und 1902 erfolgte Veröffentlichung und Erläuterung des APASTAMBA-Sulba-Sutra,4) einer der drei Aufzeichnungen der ältesten geometrischen, kultischen Zwecken dienenden Konstruktionsmethoden der Inder, hat einen Umschwung in der Wertung der ältesten indischen Geometrie herbeigeführt, dem M. C a n t o r im A rch iv der M athem atik und P h y s ik (83, 1905, S. 63—72) Ausdruck gegeben hat.

Gerade C a n t o r hatte 30 Jahre lang durch sein großes Ansehen den Glauben an die Abhängigkeit der indischen Geometrie von der griechischen aufrecht erhalten. Er hatte sich seine Ansicht gebildet im Gegensatz gegen die von T h i b a u t aufgestellte Schätzung der indischen Geometrie als eines selbständigen und uralten Ausflusses indischer Geistesart. T h i b a u t

hatte das S a u d b a YANA-Sulvasutra mit Übersetzung und Kommentar herausgegeben2) und aus allen drei Sulbasutren, deren Verfasser B a u d h a y a n a ,

A p a s t a m p a , K a t y a y a n a heißen, einen vergleichenden, sehr eingehenden Auszug höchst planvoll und durchsichtig zusammengestellt,3) mit fortlaufendem Kommentar versehen und sein Urteil über das Alter und die Selbständigkeit der Geometrie der Inder aus inneren Gründen hergeleitet.

• Weder T h ib a u t noch der viel weiter gehende v o n S c h r o e d e r 4)

drangen mit ihren Ansichten durch: den Umschwung herheizuführen war erst B ü r k : beschieden.

B ü r k veröffentlicht das ApASTAMBA-Snlba-Sutra vollständig in Übersetzung,5) führt die innerlichen Gründe T h i b a u t s weiter aus und f ü g t

1) A l b e e t B ü e k , D a s A p a s ta m b a - S u lb a - S u tr a ; Z e i t s c h r i f t d e r D e u t s c h e n M o r g e n lä n d is c h e n G e s e l l s c h a f t 55, 1901, S. 543—591; 56, 1902, S. 327—391.

2) T h e P a n d i t , a m o n th ly j o u r n a l o f t h e B e n a r e s c o l l e g e d e v o te d to S a n s k r i t l i t e r a t u r ę (Benares), 9—10, 1875.

3) J o u r n a l o f t h e a s i a t i c s o c ie ty o f B e n g a l (Caleutta), 44 : 1, 1875.4) v o n S c h b o e d e e , P y t h a g o r a s und die Inder (Leipzig 1884).5) a. a. O., 56.

ihnen neue, philologische Argumente hinzu.1) Er bestätigt und stützt seine Schlüsse, geht aber auch in wesentlichen Punkten über ihn hinaus in dem, was er den alten Indern zu- und den Griechen ab spricht.

Die altindische Geometrie ist jetzt ihrer Art nach als selbständig, an Alter der griechischen überlegen erkannt. Die Blütezeit des Opferkults, an den sie geknüpft ist, schließt das 12. vorchristliche Jahrhundert ein ein Beispiel eines Pythagoreischen Dreiecks (15, 36, 39) ist aus dem8. Jahrhundert überliefert; die Sulbasutren werden nicht später als in das 5. oder 4. vorchristliche Jahrhundert gesetzt.2) Also die Griechen sind bestimmt nicht, wie man bisher angenommen hatte, die Lehrmeister der Inder gewesen.

Können nun umgekehrt, was zeitlich nicht unmöglich wäre, die Griechen von den Indern gelernt haben? Können sie speziell den Pythagoreischen Lehrsatz und das Irrationale aus indischen Quellen geschöpft haben?

Diese Frage will ich im folgenden durch Untersuchung der Grenzen des altindischen geometrischen Wissens zu beantworten suchen.

I.Haben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrsatz gebannt?ApASTAMBA-Sidba-Sutra cap. I, 4 und 5 lauten:1. „Die Diagonale eines Rechtecks bringt beides hervor, was die

längere und die kürzere Seite desselben, jede für sich, hervorbringen.“

2. „Die Diagonale eines Quadrats bringt eine doppelt so große Fläche hervor.“

Wer diese beiden Sätze liest, wird nicht anstehen, die obige Frage zu bejahen.

Aber vertiefen wir die Frage: Welchen Grad von Einsicht in die Gültigkeit dieser Sätze haben die Inder besessen? Waren es empirische Regeln, von deren Gründen und deren Gültigkeitsbereich man keine Kenntnis besitzt, oder offenbart sich in ihnen ein auf Gründen der Anschauung oder des Denkens beruhendes, den Umfang der Gültigkeit nach dem Umfange der Erkenntnisgründe ahgrenzendes Wissen?

Satz 2 ist selbst ein Einzelfall. Er ist vollständig erkennbar aus einer Figur wie der bekannten aus dem P l a t o n ischen Dialog M e n o n , w o

4 Quadrate zu einem großen Quadrate zusammengeschoben sind und in jedem Einzelquadrat diejenige Diagonale gezogen ist, welche nicht nach

Haben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrsatz und das Irrationale gekannt? 7

1) a . a. 0 ., 55. — 2) B u r k , a . a . 0 . , 5 5 , S. 5 4 4 , 5 5 3 , 5 5 6 , 551 .

8 H e in b ic h V o g t .

d er M itte d er ganzen Figur läuft. B ü r k macht es durchaus wahrscheinlich, daß a u c h für die Inder die Anschauung dieser Figur ohne logische Ded u k tio n die volle Einsicht in die Beziehung zwischen Quadrat über der S e ite und Quadrat über der Diagonale geliefert hat.

Bedenkt man, was H a n k e l , T h ib a u t und B ü r k überzeugend betonen, und was ein Blick in die Sulbasutren bestätigt, „das Vorwiegen der unmittelbaren Anschauung in der Entwickelung der Geometrie der Inder, welches einen so merkwürdigen Gegensatz bildet gegen die durch Begriffe vermittelte Konstruktion der Sätze hei den Griechen“ ; 1) nimmt man hinzu, daß die Sulbasutren und die ihnen dienende Geometrie rein praktische Zwecke verfolgen, so wird man die Gedankengänge, die zur Auffindung des Satzes vom Quadrat über der Rechtecksdiagonale geführt haben, sich ganz empirisch und anschaulich denken müssen. Es dürfte deshalb der B ü r k sehe Rekonstruktionsversuch, welcher in ausgiebiger Weise das Umlegen von Gnomonen um ein vorhandenes Quadrat mit ganzzahliger Seite benutzt, auf allgemeine Zustimmung rechnen.2) So können die Inder in Verbindung mit der vorher erkannten Eigenschaft der Quadratdiagonale und der vielleicht schon vorher bekannten Rechtwinkligkeit des Dreiecks 3, 4, 5 empirisch auf einen Zusammenhang zwischen der Rechtwinkligkeit gewisser ganzzahliger Dreiecke und der Tatsache gekommen sein, daß gerade in diesen Dreiecken das Quadrat über einer Seite gleich der Summe der Quadrate über den beiden ändern ist. In den Sulbasutren finden sich im ganzen 8 solche Dreiecks- resp. Rechteckszahlen angeführt, nämlich 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 12, 16, 20; 7, 24, 25; 15, 20, 25; 12, 35, 37; 15, 36, 39.

Wie wenig systematisch das Auffinden dieser Rechtecke erfolgt ist, läßt sich auch daraus ersehen, daß, wenn man bis zur größten benutzten Diagonale 39 gehen will, ein systematisches Verfahren im ganzen nicht 8, sondern 15 ganzzahlige Rechtecke liefern würde, nämlich außer den angegebenen noch 6, 8, 10; 9, 12, 15; 10, 24, 26; 20, 21, 29; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35. Gerade nach der von B ürk rekonstruierten geometrischen und abzählenden Methode ist Vollständigkeit keineswegs ver-o obürgt und Übersehen mancher Fälle wohl möglich. Auch ist sehr einleuchend, daß die alten Inder Gnomonen von der Breite 6 (für 18, 24, 30), von der Breite 7 (für 21, 28, 35), von der Breite 8 (für 20, 21, 29) nicht erkannten, da sie eben nur bis zur Breite 5 (für 15, 20, 25) fort- schritten. Auffällig dagegen und nur durch unsystematisches Verfahren und das rein praktische, nicht auf theoretische Vollständigkeit gerichtete

1) H ankel , Z ur Geschichte der M athematik im Alterthum und M ittelalter, S. 2 2 0 .

2) B u b k , a. a . O. 55 , S . 5 6 0 — 5 7 5 . — C a n to b , a . a . O . S . 6 7 — 69.

Interesse zu erklären ist, daß sie die schmäleren Gnonomen für 6, 8 10- 10, 24, 25; 9, 12, 15, 16, 30, 34 übersahen.

Daß die Inder nicht noch andere, tiefer gehende Begründungen für ihren Rechteckssatz besaßen, scheint mir zweifellos aus B a u d h a y a x a -

Snlba-Sutra1) hervorzugehen. B a u d h a y a n a , der von den drei Sutra- verfassern am meisten &inn für Begründung hat, der ungenaue, von den ändern übeilieferte Methoden nicht hat und genaue Methoden bevorzugt, der somit wohl am meisten mathematisch von den Dreien denkt, und den T h i b a u i ) nennt „entitled to the first place by a clearer and more extensive treatment of the topics in question“, fügt allein von ihnen an den Rechteckssatz die Bemerkung: „This is seen in those oblongs the sides of which are three and four, twelve and five, fifteen and eight, seven and twenty-four, twelve and thirty-five, fifteen and thirty-six.“

Ca n t o r 3) nennt dies „den Pythagoreischen Lehrsatz, erläutert an Zahlenbeispielen“. Dem Wortlaut nach ist es mehr als eine „Erläuterung“ ; es ist, wenn man auch nach B ü r k in den Sulbasutren einen Beweis nicht suchen darf,4) eben das, was B a u d h a y a n a als „Beweis“ für den voraufgehenden Lehrsatz zu geben hat.

Das ist auch die Auffassung T h ib a u t s . Im Anschluß an die Parallelstelle A p a s t a m b a s : „ S o many cognizable measurements of the vedi (Altar) exist“, 3) sagt er:6) „In this manner A p a s t a m p a turns the Pythagorean triangles known to him to a practical use, but after all B a u d h a y a n a ’s

way of mentioning these triangles as proving his proposition about the diagonal of an oblong is more judicious. It was no practical want which could have given the impulse to such a research — for right angles could be drawn as soon as one of the „vijneya“ 7) oblongs (for instance that of 3, 4, 5) was known — but the want of some proof which might establish a firm conviction of the truth of the proposition.“

Wir sehen: Über gewisse Einzelfälle von ganzzahligen Rechtecken (auf einige mehr oder weniger kommt es nicht an) hat die indische Betrachtung nicht hinausgeführt und hat ihrer Natur nach nicht darüber hinaus führen können.

Auch der Umstand, daß die Sutren den Quadratsatz stets von dem Rechteckssatz trennen, in dem er bei allgemeiner Auffassung doch enthalten ist, hat wohl seine Ursache darin, daß die Erkenntnisgründe für beide Sätze ganz verschieden waren, daß also für den Rechteckssatz kein allgemeiner Anschauungsbeweis vorlag wie für den Quadratsatz.

1) T h ib a u t , J o u r n a l S. 235. — 2) J o u r n a l S. 228.8) Cantob, Geschichte der Mathem. I 2, S. 598 ( = l 1, S. 544).4) B übk , a . a. 0 . 55, 1901, S. 555. — 5) V ergl. B übk , a. a. O. 56 , 1902, S. 341.6) J o u r n a l , S. 238. — 7) „erk en n b are“.


Nun könnte man meinen, die Inder haben den Rechteckssatz zwar formell allgemein ausgesprochen, inhaltlich aber darunter nur die bekanntenganzzahligen Fälle begriffen.

Das aber ist bestimmt nicht der Fall. Zwar werden zur Konstruktion des rechten Winkels nur die ganzzahligen Rechtecke benutzt, aber A p a- STAMPA fügt an die Aufzählung dieser Möglichkeiten die schon oben zitierte Bemerkung (cap. V, 6) „so viele erkennbare Konstruktionen der vedi (Altäre) gibt es“, d. h. so viele ganzzahlige Rechtecke sind vorhanden und können zur Konstruktion rechtwinkliger Altäre benutzt werden. Es liegt hierin erstens das Eingeständnis, daß der Verfasser mehr ganzzahlige Rechtecke nicht kennt, und zweitens setzt die Einschränkung der Brauchbarkeit des Rechteckssatzes zu Konstruktionen auf die „erkennbaren“ Rechtecke die Annahme voraus, daß der Satz auch für „nicht erkennbare“ Rechtecke“, d. h. Rechtecke mit nicht ganzzahligen Seiten und Diagonalen gilt.

Dies findet seine Unterstützung darin, daß der Rechteckssatz ganz geläufig zur Addition und Subtraktion von Quadraten ohne Rücksicht auf ihre Seitengrößen benutzt wird, und daß speziell die trikarani, d. h. die Seite eines Quadrats, welches 3 Flächeneinheiten enthält, hergestellt wird als Diao-onale eines Rechtecks, dessen kürzere Seite die Einheit und dessenÖ 'längere Seite die Diagonale des Einheitsquadrates ist.

Also die alten Inder haben den Rechteckssatz ganz allgemein und ohne Einschränkung ausgesprochen und verwendet; aber ihr Erkenntnisgrund ist kein anderer, als daß in einigen ganzzahligen Fällen Rechtwinkligkeit und Gleichheit zwischen der Quadratsumme der Seiten und dem Quadrat der Diagonale Zusammentreffen. Hieraus wird durch unvollständige Induktion geschlossen, daß die Eigenschaft der Quadratsumme stets die Rechtwinkligkeit zur Folge hat, und umgekehrt.

Auch die Induktion und selbst die unvollständige Induktion hat ihren berechtigten Platz in der Geometrie, aber nur als Werkzeug der Erfindung, nicht als endgültiger Erkenntnisgrund. Sie kann auf Wahres wie auf Falsches führen und gibt einer Einsicht keine Notwendigkeit und Allgemeinheit. Das gesteht selbst S c h o p e n h a u e r zu , der Feind des griechischen diskursiven Denkens, der Freund der indischen Intuition, der stets angerufene Eideshelfer für die Inder gegen die Griechen:1) „Diese letztere Art der Erkenntnis ist immer nur Induktion, d. h. aus vielen Folgen, die auf einen Grund deuten, wird der Grund als gewiß angenommen; da die Fälle aber nie vollständig beisammen sein können, so ist die Wahrheit hier auch nie unbedingt gewiß. Diese Art von Wahrheit allein aber hat alle Erkenntnis durch sinnliche Anschauung und die allermeiste Erfahrung.“

j q H e in r ic h V o g t .

1) S c h o p e n h a u e r , W elt als Wille und Vorstellung (W e rk e 1, Buch 1, § 15).

Der wahre Wert des Pythagoreischen Lehrsatzes hei den Indern ist der eines an einigen Einzelfällen glücklich erratenen Zusammenhanges. V enn sie diesen Zusammenhang als allgemein gültig aussprechen und verwerten, so dürfen wir uns dadurch über die Tragweite ihrer Erkenntnis nicht täuschen lassen: wir erkennen daran nur, daß die alten Inder, mögen wir ihrem intuitiven Spürsinn mit S c h o p e n h a u e r , H a n k e l und v o n S c h r o e d e r jede Bewunderung zollen, doch vom Wesen des geometrischen Denkens und Erkennens sehr weit entfernt waren.

II.Haben die alten Inder das Wesen des Irrationalen erkannt; d. h.

haben sie, wenn auch nur an einer Zahl oder einem Verhältnis erkannt, daß es durch ganze Zahlen und Brüche nicht genau ausgedrückt werden kann?

Den Weg zur Auffindung des Irrationalen schildert C a n t o r folgendermaßen:1) „Die Hypotenuse (des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit der Kathete 1) wurde gemessen. Sie war größer als eine, kleiner als zwei Längeneinheiten. Die mannigfaltigsten Versuche mögen darauf angestellt, andere und andere Zahlenwerte für die gleichen Katheten eingesetzt worden sein, um eine Zahl für die Hypotenuse zu erhalten. Vergebens. Man erhielt wahrscheinlich Zahlen, die dem gesuchten Maße der Hypotenuse nahe kamen; Näherungswerte von würden wir sagen.“ Also der erste Schritt ist: man erhält Werte, deren Ungenauigkeit man sich bewußt ist.

C a n t o r fährt fort: „Aber es war noch ein Riesenschritt, von der Fruchtlosigkeit der angestellten Versuche auf die aller Versuche überhaupt zu schließen“. Dieser zweite Schritt, in dem man aber statt „schließen“ „vermuten“ sagen sollte, ist gewiß der größte und der eigentliche schöpferische Gedanke, durch den die Idee des Irrationalen ins Bewußtsein tritt. Diesen Schritt hat z. B. A r c h im e d e s getan, indem er auf Grund der vorangegangenen verfehlten Versuche die genaue Rektifikation des Kreises für unmöglich hielt und sich systematisch auf Näherungswerte beschränkte. Aber dieser zweite Schritt ist doch noch nicht der letzte zur Erkenntnis des Irrationalen.

Die Fruchtlosigkeit noch so vieler Versuche kann die Unlösbarkeit eines Problems wohl vermuten, aber nicht sicher erkennen lassen. Auf dem Wege des Probierens kann überhaupt kein Unmöglichkeitsbeweis geliefert werden. Für das praktische Messen, welches, wie F. K l e i n es

Haben die alten Inder den Pythagoreischen Lehrsatz und das Irrationale gekannt? 1 1

1) Geschichte der Mathematik l 2, S. 169 ( = l 1, S. 154).

1 2 H e in r ic h Y o g t .

glücklich ausdrückt,1) dem Bereiche der „Approximationsgeometrie“ angehört, gibt es überhaupt kein Irrationales; denn jedes praktische Messen kommt mit Erreichung der Genauigkeitsgrenze zu abgeschlossenen Maßzahlen. Das Irrationale entspringt erst auf dem Boden der „Präzisionsgeometrie“ (wieder nach K l e i n ) , und der Nachweis der Unmöglichkeit der Rationalität kann seiner Natur nach nicht anders geführt werden als durch Abstraktionen: entweder das Messen muß unendlich fortsetzbar gedacht werden, was es praktisch nicht ist (Schema des größten gemeinschaftlichen Teilers, Kettenbruch-Algorithmus), oder die Annahme der Rationalität muß durch indirekte Schluß weise auf einen Widerspruch mit Zahlengesetzen geführt werden (Pythagoreischer Nachweis der Irrationalität von j/2 ).2) Dieser Unmöglichkeitsbeweis ist der dritte Schritt; ihn hat für die Irrationalität von jt erst L a m b e r t , für die Transszendenz erst L i n d e

m a n n getan.Wie einfach denkt sich hingegen B ü r k die Entdeckung des Irratio

nalen! Er sagt:3) „Man verglich die Diagonale mit der Seite (des Quadrats), nannte die Differenz visesa (Unterschied) und kam nach langen vergeblichen Versuchen zu der Überzeugung, daß sich eine genaue Zahl für die Diagonale nicht finden lasse. So begnügte man sich mit einem Näherungswert, dem savisesa“. Und noch deutlicher:4) „Die Inder haben im Anschluß an ihren 1. Unterfall (den Quadratsatz) für die dvikarani ( = (2) einen Näherungswert (den savisesa) aufgestellt — offenbar, nachdem sie zuvor das Irrationale entdeckt hatten“.

In Wahrheit wird sich die Entdeckung der Irrationalität, etwa der Diagonale des Quadrats, in den oben entwickelten 3 Schritten vollziehen:1. Die durch Messen direkt erhaltenen oder daraus abgeleiteten Werte werden als ungenau erkannt, 2. es taucht die Überzeugung von der Unmöglichkeit eines genauen Wertes auf, 3. es wird der Unmöglichkeitsbeweis für die Rationalität geliefert. Wie weit sind die Inder auf diesem Wege gekommen?

Wir müssen uns vor allem hüten, unser Wissen um die Irrationalität rückwärts auf die Inder zu übertragen: Finden wir bei den Indern Werte für die Quadratdiagonale, die wir heute Näherungswerte nennen, so berechtigt uns das keineswegs zu der Annahme, daß sie diese Werte ebenfalls als Näherungswerte einer nicht genau ausdriickbaren Größe erkannt haben. Wir haben zunächst zu untersuchen, ob sie diese Werte überhaupt

1) F e l ix K l e in , Antvendung der Differential- und Integralrechnung a u f Geometrie; eine Bevision der Prinzipien (Leipzig 1902).

2 ) Can to r , Geschichte der Mathematik 1J, S. 170 ( = l 1, S. 155).

3) a. a . 0 . 5 5 , S. 557, Anm. 1. — 4) a . a. 0 . 5 5 , S. 5 7 5 , Anm. 1.

für ungenau gehalten haben. Ist dies der Fall, so ist noch der Nachweis des zweiten und dritten Schrittes erforderlich. Sollten sie aber einen oder den ändern Wert für genau gehalten haben, dann ist jede weitere Untersuchung überflüssig; dann haben sie das Wesen der Irrationalität bestimmt nicht erkannt.

Alle drei Sutrenverfasser geben für die Länge der Quadratdiagonale übereinstimmend an: „Man verlängere das Maß um seinen dritten Teil und

diesen um seinen vierten Teil weniger dieses vierten Teils.“ Also die

Diagonale = 1 + ± + gL _ _ L _ geite Der Überschuß der

Diagonale über die Seite, also die Größe -1 + n — heißt viseshao o .4 3 .4 .34

„Lnterschied“; der ganze Ausdruck für die Diagonale heißt savisesha „mit dem Unterschied“. Der savisesha ist eine sehr gute Annäherung an den

c 7 7

wahren Wert der Diagonale; er ist gleichwertig mit dem 8tenNäherungswert der Kettenbruchsentwickelung von j/2 .

Die Genauigkeit des savisesha-Wertes ist zu groß und seine Form ist zu eigenartig, als daß er rein empirisch gefunden sein könnte. Den wahrscheinlichen Weg der Auffindung, der beide Eigenschaften in befriedigender Weise erklärt und nicht über das geometrische Können der Inder hinausgeht, hat Thibaut in folgender Weise rekonstruiert: Q Nimmt man an, daß die Inder auf irgend einem Wege bemerkt hatten, daß in einem Quadrat mit der Seite 12 sich die Summe der beiden Seitenquadrate 144 + 144 = 288 d. h. das Quadrat der Diagonale nur um eine Einheit von 289, dem Quadrat von 17, unterscheidet, daß also die Diagonale annähernd = 17 ist,2) so lag es nahe, sich die Frage vorzulegen, um welche Größe die 17 zu verkleinern sei, damit das Quadrat über dieser verkleinerten Strecke genau = 288, also um l Einheit kleiner als 289 werde. Will man das Quadrat 172 = 289 nach indischer Weise um einen Gnomon = 1 verkleinern, so muß man diesem Gnomon die Breite

^ geben; denn ein solcher Gnomon besteht nahezu aus zwei Rechtecken,

jedes von der Fläche 17 X = { . Wan wird also für das Quadrat mit

der Seite 12 die gesuchte Diagonalgröße 17 — ^ = 12 + 4 + 1 __

erhalten, welche Größe, auf die Einheit als Seite reduziert, nichts anderes

ist als der savisesha 1 + \ ^ — jü + 34'

1) T h ib a u t , J o u r n a l , S. 239—241.2) Yergl. die + + d id fir jT Q o g der Griechen; P b . F I u l t s c h , B ib l io th . M a th e m .

13, 1900, S. 8 -1 2 .


Haben die Sutrenverfasser den savisesba für einen genauen oder einen ungenauen Wert der Diagonale gehalten?

Eine direkte Andeutung, daß savisesha in anderem Sinne ein Zahlenwert sei wie andere bestimmte Werte, findet sieb in keiner der 3 Sutren. So steben bei A p a s t a m b a vollständig gleicbberecbtigt, obne Andeutung eines Gültigkeitsunterschiedes hintereinander die Sätze (I, 5 und 6):„Die Diagonale eines Quadrats bringt eine doppelt so große Fläche hervor. Das Quadrat dvikarani 'die das doppelte hervorbringende.’“ Und „man verlängere das Maß um seinen dritten Teil und diesen um

seinen vierten Teil, weniger ~ dieses Teils, savisesha 'mit dem Unterschied’“.

Woran will man erkennen, daß der erste Satz eine absolute Wahrheit, der zweite eine bewußte Annäherung ausdrückt?

Ja, wenn man für die Differenz zwischen Diagonale und Seite ein eigenes technisches Wort visesha, „Unterschied“, und für die um diese Differenz vergrößerte Seite ein zweites savisesha, „mit dem Unterschied , prägte, so deutet dies wohl positiv auf das Bewußtsein einer genauen Erkenntnis hin. Wie sollte man eine ungenaue Hinzufügung, deren Ersetzbarkeit durch eine bessere man sich bewußt wäre, durch einen eigenen Namen fixieren? Weiter: Nach B a u d h a y a n a 1) wird die Längeneinheit pradesa in 12 anguli (Fingerbreiten) geteilt, 1 anguli aber in 8 jaasv (Gerstenkörner) oder auch in 34 tilas (Sesamkörner).2) Von dieser letzteren Teilung sagt T h i b a u t : 3) „I have no doubt that the second division which I have not elsewhere met, owns its origin to the savisesha“. In der Tat: ist die Quadratseite 1 pradesa = 1 2 anguli, so ist die Diagonale nach der savisesha-Regel = 1 7 anguli weniger 1 tila = 16 anguli 33 tilas, also mit diesen Maßen ganzzahlig ausdrückbar. Ist es denkbar, daß man eine so dauernde Einrichtung, wie die Unterteilung der Maßeinheit und Benennung der Unterteile mit festen Namen, treffen sollte zu Liebe einer Ausmessung, die man selbst für ungenau und wandelbar hält?

Man könnte einwerfen: Die oben nach T h ib a u t gegebene, sehr wahrscheinliche Herleitung des savisesha ist tatsächlich ungenau; sie

setzt zwei Rechtecke von der Länge 17 und der Breite ~ , welche zu

sammen = 1 sind, gleich dem Gnomon von der äußeren Seite 17 und

der Breite ^ , während tatsächlich dieser Gnomon um ein Quadrat von

der Seitenlange also der Fläche — kleiner ist als die Summe der

1 ) T h i b a u t , J o u r n a l , S. 2 4 1 . — 2 ) P a n d i t 9 , S. 2 9 3 ,

3) a. a. 0., S. 241.

^ H e in r ic h V o g t .

beiden Rechtecke Waren die Meßmethoden und die Denkart der alten Inder so wenig scharf, daß sie diesen Unterschied gänzlich übersehen und den gefundenen savisesha-Wert für genau halten konnten?

Wir müssen unterscheiden: Wenn wirklich, was wahrscheinlich, aber doch nicht sicher ist, die savisesha-Regel auf dem oben nach T h i b a u t

gekennzeichneten Wege aufgefunden worden ist, so konnte der Entdecker sehr wohl bemerken, welche Vernachlässigung er beging; denn die genaue Auswertung eines Gnomon lag durchaus im Gesichtskreise altindischer Geometrie und wurde gewohnheitsmäßig ausgeübt.

T h ib a u t sagt:1) „but we must remember that they were interested in geometrical truths only as far as they were of practical use, and that they accordingly gave to them the most practical expression“. So trieb auch den Entdecker des savisesha gewiß nicht theoretisches, sondern praktisches Interesse. Praktisch war die begangene Vernachlässigung gänzlich belanglos; so wurde der savisesha als strenge Regel überliefert; ob mit oder ohne Bewußtsein der Abweichung von der Genauigkeit, ist nicht zu entscheiden.2) Die späteren Geometer, welche nach dieser Regel arbeiteten, konnten nach ihrer Denkweise und nach den Genauigkeitsgrenzen ihrer Meßmethoden gar nicht auf den Gedanken kommen, daß hier eine Regel in anderem Sinne vorliege wie die übrigen Überlieferungen.

Die savisesha-Regel liefert bei einem Quadrat von 10 Metern Seitenlange die Diagonale um Millimeter zu groß. Die Inder maßen auf dem Erdboden ihre Altäre mit eingeschlagenen Pflöcken und daran gespannten Seilen aus; schwerlich dürfte diese Methode eine größere Genauigkeit als allenfalls Zentimeter verbürgen. Wie sollten in ihnen Zweifel an der Genauigkeit des savisesha aufsteigen, deren theoretischer Fehler weit unterhalb der Grenzen ihrer Genauigkeit blieb?

Nur wenige ihrer Regeln, z. B. der Satz von der Diagonale des Quadrats, der Satz (o -f- b)2 = a2 + 2ab -f b2, der Gnomonsatz, das Senkrechteerrichten durch 2 gleichschenklige Dreiecke hatten einen allgemein anschaulichen Charakter; die allermeisten, z. B. wie oben nachgewiesen, der Satz von der Diagonale des Rechtecks beruhten auf Ausmessung in Einzelfällen und wurden für allgemein gültig gehalten, wenn die Messung keinen Fehler erkennen ließ. Warum sollten sie über savisesha anders denken? Wir können nicht erwarten, daß sie die Genauigkeit dieser Regel ausdrücklich versichern, wenn sie gar keinen Grund hatten, an ihr zu zweifeln.


1) a. a. 0., S. 232.2) Vergl. die unten (S. 17) zitierte Bemerkung Bühks zu der ungenauen V er

größerung des 7 fachen Altars.

Sehen wir an einigen Beispielen zu, was für Regeln die alten Inder für genau halten konnten! A pa STAMBA gibt cap. III, 1 die Vorschrift. Wünscht man ein Quadrat in ein Rechteck zu verwandeln, so mache

man eine Seite so lang, wie man das Rechteck wünscht. Darauf füge man den Rest hinzu, wie es paßt/'

Alle drei Sutrenverfasser verwandeln ein Quadrat in einen Kreis, indem sie um den Mittelpunkt einen Kreis schlagen, welcher zum Radius die halbe Seite hat, vermehrt um } der Differenz zwischen der halben

Diagonale und der halben Seite; also r = -g ff- g- ]/2. A p a s ia m b a (III, 2)

fügt dieser Regel, welche nicht schlecht, aber doch viel ungenauer als die savisesha-Regel ist (es wird n = 3,09 gesetzt), die Versicherung der Genauigkeit bei: „Diese“ (Schnur) „gibt einen Kreis, genau. Soviel als“ (an den Ecken) „verloren geht, kommt“ (an den Seiten des Quadrats) „hinzu“.

Alle 3 Sutrenverfasser geben als Seite eines einem gegebenen Kreise flächengleichen Quadrats f f - des Kreisdurchmessers an. A p a s t a m b a versichert wiederum für diese Quadratur (es ist tt = 3 gesetzt!) die Genauigkeit (III, 3): „Die“ (Schnur) „gibt ein Quadrat, genau“ (so groß wie der Kreis).

Eine Hauptform der indischen Altäre ist der falkenförmige oder sogenannte siebenfache: Er besteht aus 7 ganzen Quadraten, von denen 4, zu einem größeren Quadrat zusammengefügt, den Körper des Falken bilden, je ein Quadrat einen Flügel und den Schwanz; jeder Flügel aber ist um 4 Längeneinheit, der Schwanz um Tf Längeneinheit verlängert, so daß zu den 7 ganzen Quadraten noch 2 Fünftel und 1 Zehntel Einheitsquadrat, im ganzen also | Quadrat hinzukommt, und der ganze Altar 7-|- Quadrateinheiten enthält. Es ist nun eine Fundamentalaufgabe, diesen Altar um 1 Quadrateinheit zu vergrößern, ohne seine Gestalt zu verändern. A b a s t a m p a -Sulba-Sutra III, 6 : „Was beim 8 fachen . . . von dem 7fachen verschieden ist, teile man in 7 Teile und lasse in jeden purusa“ (Quadrateinheit des 7 fachen Altars) „1 Teil eingehen, weil eine Veränderung der Gestalt nicht schriftgemäß wäre“. Also es wird die hinzuzufügende Quadrateinheit in 7 gleiche Teile geteilt und neue Quadrate gebildet, von denen jedes 1 -f Einheiten enthält. 7 solche neue Quadrate bilden den Körper, den Stamm der Flügel und des Schwanzes für den neuen Falkenaltar und enthalten somit 8 Quadrateinheiten. Die Verlängerungen der Flügel und des Schwanzes aber bekamen die alte Breite von 1 und f & ursprünglichen Längeneinheiten. So bleibt trotz der kultischen Vorschrift praktisch weder die Gestalt des Falkenaltars unverändert, noch ist die Flächengröße genau 8 i Quadrateinheiten. Die Vernachlässigung beträgt

2 j . H e in r ic h V o g t .

0,047 Quadrateinheiten, also wiederum viel mehr als der Fehler des savisesha. B u r k bemerkt’) hierzu: „Die Frage, wie groß der Inhalt eines vergrößerten agm (Altars) genau, d. h. alles — auch jene Verlängerungen — eingerechnet sei, hat unsern Sutra-Verfasser nicht beschäftigt“.

Bei dem Vorhandensein aller dieser groben Vernachlässigungen scheint es mir unmöglich, den alten Indern und speziell den Sutraverfassern gerade gegen den savisesha eine ganz unerhörte Feinfühligkeit zuzutrauen.°

D°ch^ ist nicht zu übersehen, daß die drei Sutrenverfasser sich ungenauen Konstruktionen gegenüber recht verschieden verhalten: besonders tritt der Unterschied zwischen B a u d h a y a n a und A p a s t a m b a auch hierin hervor.2)

B a u d h a y a n a vermehrt den 7 ¿fachen Altar um 1 Einheit richtio- mit voller W ahrung der Gestalt; indem er nämlich jedes der 7 Quadrate m Körper, Flügeln und Schwanz um T\ Einheitsquadrat vergrößert und auf diese Weise TV der Vermehrung für die Verlängerungen von Flügeln und Schwanz übrig behält.3) Einen ganz besonderen Beweis seines kritischen Geistes gibt er, indem er die zur Quadratur des Kreises verwendeten | f - des Durchmessers, deren Genauigkeit A p a s t a m b a versichert, „the gross side of the square“ nennt;4) eine Kritik, die in den Sulba- sutren wohl einzig dastehen dürfte. E r allein gibt im Gegensatz zu dieserals grob“ erkannten Quadratur des Kreises eine genauere Quadratseite an

]_ , 1_ 1 18 8.29 8.29 76 ' 8.29.6.8 Durchmessers. Wie T h i b a u t

überzeugend nachweist,5) ist diese Formel die Umkehrung der in allen 3 Sulbasutren enthaltenen, oben6) angegebenen Regel für Verwandlung des Quadrats in einen Kreis; und zwar hat B a u d h a y a n a für diese Um&- kehrung, welche nicht anders als rechnerisch gemacht werden konnte nach T h i b a u t zum Ausdruck der Quadratdiagonale die savisesha-Re<rel benutzt.

B a u d h a y a n a benutzt den savisesha allein zu diesem Zweck; die anderen Sutrenverfasser zur Herstellung von rechten W inkeln ’ und Quadraten, die Kommentatoren zur Berechnung von Diagonalen, wo immer Diagonalen in Frage kommen“. Wenn T h i b a u t diese ausgedehntere \ erwendung des savisesha vom Standpunkt der Genauigkeit verw irft7) „this proceedmg however, is not only useless, but positively wrong, as 'in all such cases calculation cannot vie in accuracy with geometrical construction“, so ist dem entgegenzuhalten, daß die mit savisesha berechnete

i° 55' S' 357' _ 2) VergL S- 9> ~ 3) P a n d i t 10, 73.5 ’ 21 ; J o u r n a 1 ’ s - 254- - 5) J o u r n a l , S. 253, 254.

i p , W';_ k) — 7) J o u r n a l , S. 241.

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|(Ö j. Bibliotheca Jlathematica. III. Folge. VII.

H e in r ic h V o g t .

18 . nd der mit saviseshaDiagonale nur um in m W SIo6er l s l “' ‘ Winkel nur um ,% Bogen-hergestellte rechte Wickel “ ctaung verschuldeten ÜberschüsseS ekunden iibertri®. D i - . clurch, , ^ ^ Ausftthrungsfehler; ihr Vorhanden, sied weit kleiner als die unYermeidli Meßinstrumenten: l wäre weder - * » « “ « £ “ amt Gebrauch de, . ar.se,ha bei festzustellen. Der Grund für J P XlIIIliUT vermutete sein. VielleichtB a u d h a y a n a kann also nie , ltlll Zwecke ersonnen ist,ist der, daß die finäet, nämlich nur Umrechnung„ dem B a u d h a y a n a me unentbeh ^ ^ ^ ^ _

der Zirkulator des Qu ^ ^ ^ ZweÄen aieQBtto. zue r s t später darauf ^ ^ ^ ^ phlloiogischen Gründen ge-machen. ■ a t t d h a y a n a älter sei als A p a s t a m b a . )

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g e rü c k t w e rd e n als die an ev en ^ u renv ^ Erfinder der Regel sein, ja,unmöglich gena™ ^ r ui ke’it erkannt haben, wogegen allerdings diesollte er sogar ihre g ° der Langeneinheit in 34 Unterteüegerade bei ihm sic i “ e“ ^ ersten°Schritt zur Entdeckung des Irratio- spricht, so hatte er ^ ^ ^ ^ dritten zuzutrauen, dafürn a le n g e ta n , ih n v o r D e n a n d e re n S u tre n y e rfa s se rn aber

R e g t k e rn e S p u r e m £ o b e n d a rg e le g te n G rü n d e das B ew ußtsemd ü rfe n w ir a u s d e r H a u tu n 0 . , h eCb e n Ih n e n is t n ich tv o n d e r U n g e n a m g k e i t des sa v ise sh a b e s t im m t a b sp rech en .

e in m a l je n e r e rs te S c h r i t t g e g lu c k t . fü r d ie B e k a n n tsc h a ft der

a l t , n “ t r S S T i t a b e u Im lotsten V i e r h u n d e r t die

W 01 a “ “ S « Ä „Die Auffindung der Seite eines o 10 10 mal” so großen Q uadrats, als ein gegebenes ist, geschieht durch

n ' ab liehe sich w iederholende A nw endung des pythagoreischen Lehr- L tT . . . . Dabei erscheinen N am en fü r p , »8, usw. gebildet durch> u- sammenSetzung der Z ahlw örter m it dem yon uns iru h e r (S. 5bl, 1. Auh, g 527) erörterten W orte k a ra n a ^ T hibaut, S. 16),3) also dvikarani - V -, trikaran i = V3, da^akarani = V10, catvannc;akarani = ¿ 4 0 usw. . b. ööi (527) heiß t es allgemein, ohne Beziehung auf die Sulbasutren: „Uber die Potenzbezeichnung hinaus ha t sich aber der Inder auch noch zu einer Bezeichnung der irrationalen Quadratwurzel einer Zahl m it Hilfe des W ortes karana, geschrieben ka, em porzuschw ingen gew ußt“. Im Anschluß

1 )~Bü^k, a. a. 0 . 55, S. 552 (H inweis au f B uh ler).2) Geschichte der Mathematik l 2, S. 599 ( = 1», S. 544).3 ) G em eint is t der A bdruck aus J o u r n a l o f t b e A s i a t i c s o c i e t y , S. 242.

an die erste Stelle sagt v o n S c h r o e d e r U ) „Dies ist wiederum v o n

höchstem Interesse, denn es tritt uns hier in den Qulvasütras deutlich das Irrationale entgegen“.

Die Ca n t o r -S c h r o e d e r sehe Beweisführung ist nicht stichhaltig- ihr Fehler liegt darin, daß Ca n t o r und v o n S c h r o e d e r nicht zwischen ’dem Gebrauche der Worte dvikarani usw. in den Sulbasutren und in der späteren indischen mathematischen Literatur unterscheiden. Diese Verwechslung ist um so auffälliger, als T h ib a u t , der Gewährsmann beider die Notwendigkeit dieser Unterscheidung sehr klar und überzeugend darlegt.

Die Sulbasutren gehen fast ausschließlich konstruierend und messend nicht rechnend vor: „Nothing in the sutras would justify the assumption that they were expert in long calculations“.2) Dadurch unterscheiden sie sich vollständig von den späteren, 1000 bis 1500 Jahre jüngeren mdischen Mathematikern, auch von ihren Kommentatoren, welche durchaus arithmetisch denken und sich bemühen, die alten geometrischen Wahrheiten, um sie sich und ihren Zeitgenossen verständlich und interessant zu machen, ins Arithmetische zu übersetzen. „A geometrical truth interests the later Indian mathematicians but in so far as it furnishes them with convenient examples for their arithmetical and algebraic rules; purely geometrical constructions, as the samäsa and nirhara (Addition und Subtraktion) of squares, described in the Sulvasutras, find no place in their writings.“ 3)

Bei B h a s k a r a (im 12 . Jahrhundert n. Chr.) heißt der spezielle Pythagoreische Lehrsatz: „Die Quadratwurzel der Quadratsumme der Seiten ist die Diagonale“. In den Sulbasutren aber heißt es: „Die Diagonale eines Quadrats bringt eine doppelt so große Fläche hervor“. (Die Diagonale) „des Quadrats“ (heißt darum seine) „dvikarani, die das doppelte Hervor- brmgende“. Das ist der rein geometrische Ausdruck derselben, von B h a s k a r a algebraisch ausgedrückten Tatsache: In den Sulbasutren bedeutet dvikarani nicht j/2, sondern dvikarani ist die geometrisch konstruierte, nicht die durch Messen oder Rechnen bestimmte Seite eines Quadrats mit der Fläche 2. Jeder Zweifel ist ausgeschlossen durch die bei K a t y a y a n a

hinzugefügte Erklärung:4) By the expressions: karani, karani of that (of any square) etc. we mean cords. Deshalb ist T i i ib a u t s Auseinandersetzung unanfechtbar:5) „rajja (cord = Seil) is to be supplied to karani“ und „The side of a square being called its karani, the side of a square of


1) P y t h a g o r a s und die Inder , S. 51. — 2) T h i b a u t , J o u r n a l , S. 238.3) T h ib a u t , J o u r n a l , S. 271; ebenso das Folgende.4 ) T h ib a u t , J o u r n a l , S. 2 3 3 .

5) a. a. 0., S. 233.

2*

H e in r ic h V o g t .2 0

double the size was the fd vikar a m , the line pi0(l gQr ^ ne“ instead shall for convenience sake often employ t e e™ s ^ ao.onaq of a square“, of „cord“); t o w » therefore ^ hergestdlte

Gerade weil dvikaram eine 1 selbst war, deswegenLW e, je d»S « . « * • . M . {brauchte man zur Unterscheidung fur das Maß derselbe brauchte ma oben behandelte savisesha.ä n d e r n Ausdruck; ^ indiSchen Mathemathik „the word karam

T i 1 to d e n o te a su rd o r irrational number; as the commen-‘tSa Z « P a t o " t o t of which when the Bq»are-root is to be taken the

o o t does n o t » m e out » a c t“,-) so hat sich hier tm Laufe veler Jahr- hinderte ein B e d e u tu n g sw a n d e l v o llz o g e n : Von der konstruiertw iegenden O u a d ra ts e ite <nng d ie Bezeichnung über auf die ausgemessene oder bere c h n e te , und "mit Verengerung des Begriffs auf diejenige Maßzahl welche nicht in anderen Anwendungen, sondern allem als Maß einer Quadratseite auftrat d h. als irrationale Quadratwurzel. „And“, so schließt Thibaut seine Abhandlung, „thus we see that the same word which expressed m later times the highly abstract idea of the surd number, originally denoted a cord made of reeds which the adhvaryu stretched out between two wooden poles when he wanted to please the Immortels by the perfectly symmetrical shape of their altar.

in.Hätten die alten Inder das Wesen des Irrationalen erkannt, so dürfte

man aus diesem einen Grunde trotz mancher entgegenstehender Bedenken ihrer Geometrie diejenige Abstraktion und Wissenschaftlichkeit nicht absprechen, ohne welche diese Erkenntnis ganz unmöglich ist. Mit dem Nachweis, daß sie diese Erkenntnis nicht besessen haben, fallt auch dieseNötigung weg.

Die altindische Geometrie war rein praktisch und empirisch, von Abstraktionen wie der Irrationalzahl weit entfernt; hat sie ja doch auch den Pythagoreischen Lehrsatz nur an Einzelfällen probierend erkannt und mit subjektiver Überzeugung ausgesprochen, aber nicht auf den Rang einer^ objektiv begründeten wissenschaftlichen Wahrheit zu erheben vermocht.

So können die alten Inder in der Geschichte der Mathematik auf keine andere Schätzung Anspruch erheben, als etwa die, welche bisher seit den Zeiten der Griechen die Ägypter genossen haben. Wie die Ägypter zum Zwecke der Feldmessung mancherlei geometrische Tatsachen empirisch bemerkten und praktisch verwendeten,2) so die Inder zum Zweck der Kon-

1) T h ib a u t , J o u r n a l , S. 274.2 ) Die Zeugnisse bei C a n t o r , Geschichte der M athematik l 2, S. 5 3 .

struktion ihrer Altäre. Mag auch ihr Wissen über das der Ägypter erheblich hinausgegangen sein, so können sie in der Geometrie als Wissenschaft die Lehrer der Griechen ebensowenig gewesen sein, wie die Ägypter; aus dem sehr einfachen Grunde, daß beide nicht geben konnten, was sie selbst nicht hatten. Mögen die Griechen stoffliche Anregungen, sozusagen geometrisches Rohmaterial den Völkern des Orients entlehnt haben; nach allem, was wir wissen, bleibt es wahr, wenn P r o k l u s 1) einem Griechen nachrühmt, daß er „vf]v jieqI a vvqv cpuooorpiav elg ö%f)/uoi naidetag ¿Aevüeqov ,u€Tsorr]0£v, ävoydsv rag ä g /ä g avvf]g ¿mauonov/uevog ual dvAcog nai voEQög rä dcojgrjpara öiegewojjUEVog“. Nicht Orientalen, sondern Griechen haben diese weltgeschichtliche Leistung vollbracht; erst bei ihnen finden wir die Methoden und Theoreme „des immateriellen, abstrakten geometiischen horschens , die ihnen die ganze vor ihnen und um sie herum existierende "W eit nicht hatte geben können.

Mag der Pythagoreische Lehrsatz als empirische Erfahrung zuerst von Indern oder Ägyptern aufgestellt sein, oder mögen sich seine Anfänge im Urwissen der Menschheit verlieren, als wissenschaftliche Tatsache ist er griechisch ebenso wie die Erkenntnis des Irrationalen.

Wir sind meiner Ansicht nach nicht genau genug unterrichtet, um P yth a g o ra s selbst diese Entdeckungen mit Sicherheit zuschreiben zu können;2) aber in seiner Schule sind sie bestimmt gemacht worden. Das sehen wir daraus, daß sie zu P latos Zeit vorhanden waren und von P lato und A r ist o t e l e s den Pythagoreern zugeschrieben werden. —

Wird neuerdings allgemein zugestanden, daß die Griechen nicht die Lehrmeister der alten Inder gewesen sein können; geht aus meinen Ausführungen hervor, daß die Griechen nicht umgekehrt ihre Geometrie aus indischer Quelle geschöpft haben können, so bleiben für den Ursprung der Geometrie drei Möglichkeiten.

Die erste spricht Ca n t o r aus:3) „Es kam mir der Gedanke, ob nicht in den Zeiten, welche wir als uralte zu bezeichnen pflegen, also rund ausgesprochen jetzt vor drei bis vier Jahrtausenden, schon ein dem ganzen damaligen Kulturgebiete, also Vorderasien und Ägypten gemeinsames nichtganz unbedeutendes mathematisches Wissen“ (z. B das rechtwinklige • ® Dreieck 3, 4, 5) „vorhanden gewesen sein könnte, welches sich je nachder Begabung der einzelnen Völker bald nach der einen, bald nach deranderen Richtung weiter entwickelte?“. Zweitens könnte in historischenZeiten geometrisches Wissen an verschiedenen, voneinander unabhängigen

1) P r o c l i C o m m e n ta r i i i n E u c l id i s ehm. I. ed F r i e d l e i n (Leipzig 1 8 7 3 ) , p. 6 5 .

2 ) Die älteren Forscher (Z e l l e r , H a n k e l ) sind m it Recht hierin zurückhaltender als manche Neueren.

3 ) C a n t o r , A rch . d e r M a th e m . 83, 1 9 0 5 , S. 7 1 .


S te llen entstanden sein. Diese Vorstellung ist zur Zeit die unbeliebtes, zumal bei den Erforschern des alten Orients. Aber ich meine, man . doch kein Recht, sie mit W i n d i s c h und B ü k k 1) als Glauben an e

wunderbaren Fall von prästabilierter Harmonie“ abzuweisen, zunia w man nicht nur die, zum Teil durch den gleichen Stoff bedmgten, I bermn- stimmungen, s o n d e r n auch die Unterschiede des Inhalts une er e aebührend würdigt. Endlich könnten die Griechen die Regeln der ägyptischen Feldmeßkunst oder der indischen Altarbaukunst auf irgend einem ege erhalten und als Grundlage und Rohmaterial für die Geometrie benutzt haben, die sie darauf in eigenem Geiste erbauten. Das ist die uberhefe, te, nicht erwiesene aber auch nicht widerlegte, Vorstellung, nur daß jetzt die Inder in Konkurrenz mit den Ägyptern treten.

Eine Entscheidung zwischen diesen drei Möglichkeiten dürfte zur Zeiwissenschaftlich nicht zu begründen sein.

Nachtrag.

Durch die Güte des Herrn Herausgebers dieser Zeitschrift werde ich nach Vollendung meiner Arbeit auf einen sehr beachtenswerten \ ortrag aufmerksam gemacht, den Z e u t h e n unter dem Titel „Theoreme de Tytiiagorf“- origine de la géométrie scientifique auf dem zweiten internationalen Kongreß für Philosophie zu Genf September 1904 gehalten hat (abgedruckt in den C om ptes ren d u s du C ongrès, Geneve 1904).

Ich freue mich, in wesentlichen Punkten Übereinstimmung mit meinen Anschauungen feststellen zu können. Der Vortragende scheidet die empirischen Anfänge der Geometrie, welche auf „intuition simple beruhen, von der „géométrie propre“ oder „scientifique“. Erstere findet er hei mehreren orientalischen Völkern, besonders bei Indern und Ägyptern; zur wissenschaftlichen Geometrie sind erst die Griechen vorgeschritten; und zwar war der entscheidende Schritt die Entdeckung des Irrationalen und Inkommensurablen (S. 852): „C’est à eux que se rattache la première connaissance de quantités incommensurables que nous rencontrions dans l ’histoire, et cette connaissance a provoqué ensuite les démonstrations géométriques que nous devons aux Grecs“. Die Inder haben sich zur Idee des Irrationalen nicht erhoben (S. 851 Ende): „Mais les Indiens ne se sont sans doute jamais posé la question plus abstraite de savoir s’il était en vérité absolument impossible de trouver une fraction numérique égaleà ^ 2 __1“; savisesha haben sie vermutlich für genau gehalten (S. 851Anfang): „et alors on aura pu regarder ces mesures comme exactes“.

1 ) B ürk, a. a. 0 . 55, S. 575.

y ç , H e i n r i c h Vogt.

Die Worte B a u d h a y a n a s , „Das sieht man an den Rechtecken usw.“ (siehe oben S. 9 ) sieht Z e u t h e n wie T h i b a u t und ich im Sinne ihres Urhebers „comme démonstration du théorème de P y t h a g o r e “ an (S. 816); endlich (S. 850) : „Nous ne savons pas si la connaissance du „théorème de P y t h a g o e e “ a un origine unique, ou s’il y a eu plusieurs découvertes indépendantes ni, dans le dernier cas, si on y est parvenu de la même manière ou par des procédés différents“.

Dagegen scheint mir der Rekonstruktionsversuch, den B ü e k für die indische Herleitung des allgemeinen Pythagoreischen Lehrsatzes mit wesentlicher Ausnutzung des Gnomon gibt, festeren Anschluß an die Methoden der Sulbasutren zu haben als der B e e t s c h n e id e r sehe, auf den Z e u t h e n

zurückgreift. Ähnliches dürfte für die beiden Versuche gelten, die savisesha- Regel herzuleiten (S. 850, 851). Der erste will diese Formel allein aus Messung hervorgehen lassen und dürfte damit weder ihrer Genauigkeit noch ihrer eigentümlichen Form gerecht werden; der zweite benutzt die Formel 2 = a2 ± 2ax + x 2 zu einem rein rechnerischen Verfahren und traut damit den alten Indern eine Rechenkunst zu, welche nach dem Ausweis der Quellen und dem Zeugnis T ii ib a u t s erst ihre späteren Nachkommen besessen haben. T h i b a u t , der in diesem besonderen Punkte wie im allgemeinen mehr Beachtung verdient, als er bisher gefunden hat, dürfte mit seinem Herleitungsversuche der Wahrheit wohl näher gekommen sein.


24G . E n e s t r ö m .

Über die „Demonstratio Jordani de algorismo“.Von G. E n e s t r ö m in Stockholm.

In meinem Aufsatze über den Algorithmus demonstratus■') wies ich im V o r ü b e n m h e n darauf b i n , daß der von C h a s l e S erwähnte „Algorismus J o r d a n i “ kaum mit dem von S c h ö n e r 1534 h e r a u s g e g e b e n e n Algorithmus demonstratus identisch sein kann. Damals glaubte ich freiUch m d £ a ich irgend einen Anlaß bekommen würde, mich mit j e n e r Rigorismus Schrift zu beschäftigen, und ich empfahl darum diese Frage meinen Fach- o-enossen. Indessen bin ich später durch gewisse Umstande anger 0 worden, selbst einen Beitrag zu deren Erledigung zu liefern.

Kurze Zeit nach der Veröffentlichung meines soeben zitierten A satzes erhielt ich von Herrn P. D u h e m den Artikel Sur l Algontlimus dlLnstratus, der im vorigen Jahrgange der B iM io th e ca M athem atica zum Abdruck gebracht wurde,*) und hier fand ich») Are B e m e r k * ^ daß die Anfangs- und Schlußworte der Algorismus-Schnft des Cod. Diesd. Db 86 welche Schrift C u r t z e als eine Abschrift des Algorithmus demonstratus bezeichnet hatte,*) n ic h t mit denen der SCHÜNERschen Druckausgabe übereinstimmen. Etwas später, aber jedenfalls vor dem Erscheinen des DüHEMschen Artikels, teilte mir Herr A. A. B j ö r n b o mit, daß der Cod Dresd. Db. 86 in Wahrheit einen bisher fast unbekannten Text enthält, der gar nicht wörtlich mit dem Algorithmus demonstratus überem- stimmt. Der Umstand, daß C u r t z e die zwei Texte verwechselt hatte, ver- anlaßte mich dann zu der Vermutung, daß der Cod. Dresd. Db. 86 gerade den echten „Algorismus J o r d a n i “ enthält,5) und ich bekam recht bald zwei Stützen dieser Vermutung. Herr B j ö r n b o teilte mir nämlich mit, daß er auch andere ältere Handschriften (d. h. aus dem 13. Jahrhundert)

1) G. E n e s t r ö m , Is t J o r d a n u s N e m o r a r io s Verfasser der Schrift „ Algorithmus demonstratus“?; B i b l i o t b . M a tb e m . 53, 1904, S. 13 14.

2) P . D u h e m , Sur V Algorithmus demonstratus; B i b l i o t b . M a th e in . O3 , 1905,

S. 9— 15.8) P . D u h e m , a. a. 0 . S. 12. — 4) Vgl. E n e s t r ö m , a. a. 0 . S. 10.5) G. E n e s t r ö m , Über die Bedeutung historischer Hypothesen fü r die mathematische

Geschichtsschreibung; ß i b l i o t b . M a tb e m . 63, 1905, S. 2.

Übei die nDemoiistríitio Jorctciiii cie Rigorismo44. 25

des Textes des Cod. Dresd Db. 86 aufgefunden hatte, und daß einige derselben ausdrücklich dem J o r d a n u s zugeschrieben waren; noch dazu bemerkte ich selbst,1) daß der von C a n t o r erwähnte „Algorismus J o r d a n i“

des Cod. Philipps 16345 offenbar dieselben Anfangsworte wie die Algorismus- Schrift des Cod. Dresd. Db. 86 hatte.

Dadurch war also konstatiert, daß es im 13. Jahrhundert eine ziemlich verbreitete, von dem Algorithmus demonstratus verschiedene Algorismus- Schrift gab, die schon damals dem J o r d a n u s zugeschrieben wurde. Auf der anderen Seite hatte ich selbst darauf hingewiesen,2) daß die von C i ia s l e s und W a p p l e r erwähnten Handschriften, die auch angeblich einen »Algorismus J o r d a n i“ enthalten, sehr wohl einen anderen Text bringen konnten, und noch dazu wußte ich, daß der Cod. Ottobon. 309 der V atikanischen Bibliothek in Rom eine Algorismus-Schrift enthält, die nach dem Handschriftenkataloge den Titel: „ J o r d a n is N e m o r a r ii Tractatus duo de Numeris et de Minutiis“ hat, und mit den Worten „Communis et consuetus“ beginnt.3) Es zeigte sich also, daß die Frage: „Welche Algorismus-Schrift hat J o r d a n u s wirklich verfaßt?“ sehr verwickelt ist- ich entschloß mich darum, vorläufig von jedem Versuche der endgültigen Erledigung dieser Frage abzusehen, und mich wesentlich auf eine nähere Untersuchung der Algorismus-Schrift, von der sich im Cod. Dresd. Db. 86 eine Abschrift findet, zu beschränken (im folgenden nenne ich sie zuweilen „Algorismus J o r d a n i“ , ohne dadurch zu behaupten, daß sie nachweislich von J o r d a n u s verfaßt ist). Ich habe mir darum eine photographische Kopie des oben erwähnten „Algorismus J o r d a n i“ des früheren Cod. Philipps 16345, jetzt Cod. lat. 4° 510 der kgl. Bibliothek in Berlin verschafft. Freilich ist die Handschrift (Bl. 72b— 77a der genannten Cod. lat. 4° 510) wegen der vielen Kompendien ziemlich schwer zu deuten, aber meine Lesung ist dadurch erleichtert worden, daß Herr B j ö r n b ö mir seine Abschrift des Cod. Dresd. Db. 86 zur Verfügung stellte.

Die Algorismus-Schrift hat in der Berliner Handschrift den Titel: „Demonstratio magistri J o r d a n i de algorismo“.4) Sie enthält zuerst einige Definitionen und dann 3 4 Sätze, und der Text ist, wie Herr B j ö r n b o

1) B ib l io th . M a th e m . 63, 1905, S. 310—311.9) B ib l io th . M a th e m . 63, 1905, S. 2, 311.3) Siehe B. B o n c o m p a g n i, Intorno ad im trattato d’aritmética stampato nel 1478:

A t t i d e l l ’ a c c a d e m ia p o n t i f i c i a d e ’ n u o v i L in c e i 16, 1863, S. 754.4) Unm ittelbar nach dem „Demonstratio m agistri J o r d a n i de algorismo11 fol(ft

im Cod. lat. Berol. 40 510 (Bl. 77 a—81V) eine anonyme „Demonstratio de minuciis“ indemselben Stile wie die „Demonstratio de algorism o“. Diese „Demonstratio dem m ucns“ findet sich in den meisten Handschriften, die die „Demonstratio de algorismo“enthalten, und wird in einigen dem J o r d a n u s zugeschrieben.

G . E n e s t r ö m .2 6

Teil hinsichtlich des Inhaltes. Im folgenden bring d Adie Definitionen nnd die Sätze und ifige ; * . not,gen ut a nden Anraerkunden hinzu In betreff des Abdruckes der Definitionen un Sätze hebe ich hervor, daß ich keine textkritische Ausgabe zu bietenbeabsichtige; nun an soicben Stetten, wo der Test offenb»Sinn oibt, habe ich versucht, den Terf zu «rbessern In den Erläuterungen bedeuten die Bncbstaben o, i-, c, d tiberaU ganze Zahlen Hemer als 10 und m, n beliebige ganze Zahlen.

Definitionen der „Demonstratio magistri JORDANI de algorismo“.

1 Figure1) numerorum sunt novem 1 . 2 . 3 . 4 .5 . 6 . 7 . 8 . 9, et estmima unitatis, secunda binarii et sic deinceps.

Ordo locorum figurarum a primo loco incipit in infimtum procedens,et a dextra incipiens terminum non accipit a simstra.

Omnia loca prime différencie pro eodem sumuntur. Omma a primaequidistancia pro eodem.

„Differentia“ ist bekanntlich hei den Algonthmikern der Term Anstelle oder Rangordnung der Ziffern.

2. Numerus simplex est qui una sola representatur fguia.3. Digitus est numerus a quo figura denominatur sive quicumque primo

loco una sola representatur figura.4. Articulas2) est numerus denarius vel qui précisé constat ex denariis.

Item articulas est numerus qui potest dividi in decem partes equales.5. Compositus numerus est quem diverse représentant figure vel una

pluries sumpta.6 . Suplementum loci est sciffula vel scifula est signum loci vacui a

figura.„Sciffula“ ist vermutlich eine Verketzerung von „ciphre“ Das

Zeichen Null kommt in der „Demonstratio de algorismo“ nicht vor.7. Numeri simplices a loco primo equidistantes dicuntur eiusdem

numeri différencie.Die Zahlen 1 . 10”, 2 . 10" . . . ., 9 . 10" gehören also derselben

„differentia“ (vgl. Def. 1). '

1) Im Cod. lat. Berol. 4° 510 fehlt das W ort „F igure“ . Der Abschreiber h a t nämlich einen Raum offen gelassen, um das W ort später m it sehr großen Buchstaben einzutragen.

2) Die Definition 4, die im Cod. lat. Berol. 4° 510 fehlt, ist nach dem Cod. Dresd.

Db. 86 ergänzt.

8. Numeri prime différencié que dicitur différencia unitatum ab imitate secundum ipsius addicionem ordine naturali procedunt usque ad denarium.

Die Zahlen 2, 3, . . . . , 9, sowie 10 werden durch sukzessive Addition von Einern erhalten.

9. Omnis figura per se considerata aliquam simplicium numerorum prime différencie représentât.

Identisch mit Def. 2.

10. Omnis différencia I X continet numéros secundum qnantitatem primi ipsorum se transgredientes.

11. Omnis différencie numerus primus tociens sibi coacervatur, ut ex singulis coacervationibus singuli reliquorum eiusdem différencie numerorum et primus sequentis différencié fiant.

Vgl. oben Def. 8.

12. Numeri similes sunt quos eadem figura représentât.Ähnliche Zahlen sind von der Form a. 10™ (a gegeben, n beliebig).

13. Equidistantes numeri sunt inter quos continue se sequentes sunt différencie numero equates.

Die Zahlen a .lO ”!, b. 10” sind äquidistant, wenn m — n nichtverändert wird.

14. Idem est limes1) et differentia. Numeri similes in omnibus differenciis equidistant a primis.

15. Addere est duobus propositis numeris sammam conjunctorum reperire.

16. JDetrahere est superfluum maioris ad minor cm extrahere.

17. Duplare est dati numeri duplum invenire.

18. Dimidiare est dati numeri paris dimidium sumere, et imparis to dus detracta unitate.

19. Multiplicare numerum est numerum producerc qui tociens utrum- libet propositorum contineat quociens in reliquo unitas continetur.

Das Produkt p zweier Zahlen mx und m2 ist so beschaffen, daßp ; nu = : 1. — Vgl. E u k l id e s , Elementa VII def. 15.

20. Dividere est numerum maximum extraliere quern tociens dividendus contineat, quociens unitatem divisor.

Der Quotient q von d\ durch d2 ist so beschaffen, daß di : q = d2 : 1.

Über die „Demonstratio Jordani de algorismo“. 27

1) In der ganzen „Demonstratio de algorismo“ wird das W ort „limes“ sonst nie gebraucht.

2o2 1 . Eadicem extrahere est subscribere numerum qui in se ipsum ductus

dati numeri summam vicinius consumet.Die in den Definitionen angewendeten K unstw örter sind also,

c-esehen von den Namen der Rechenoperationen: „figurae nunierorum "circulas« (? „scifule“ !), „differentia“ („ lim es“ nur im \ o ru b erg eh en , „digitus“, „articulus“, „com p ositus num erus“. N och dazu w eiden als tra Wörter aufgeführt: „supplementum loci“, „num erus simplex , „num eri similes ,

„numeri aequidistantes .

Sätze der „Demonstratio magistri JORDANI de algorismo“.

1. Sumptis similibus numeris per singulas différencias, a prima, eos sïbi continue secundum nomina multipliées esse conveniet.

Wenn 0l = a . 10, a2 = a . 100, a3 = a . l0 0 0 , so istai = 10a, a2 = 10a1; a3 = 10a2, . . . .

2. Numeri similes et eque al invicem distantes sunt proportionales.Wenn a1 = a . l 0 , a2 = a . 100, a3 = a . 1000, . . . . , so ist

a : ai = «i '• «2 = a2 : % = • • • •3. Si fuerit primus ad secundum sicut tercius ad quartum, si primo

et ter cio equates numéro différencie addantur vel detraliantur, turn quoque eisdem eosdem proportionales esse necesse est.

Wenn a : b = c : d, so ist a . 10” : b = c . 10” : d.4. Proportionales numeri, et sïbi ab invicem equcdistantes, similes erunt.

Umkehrung des Satzes 2.5. Omnis numerus simplex extra differenciam primant par est,

a . 10” (K5>1) ist eine gerade Zahl.6. Numero composito per suas différencias disposito, si prima différencia

vacua fuerit, totus erit par.a . 10 + b . 100 + c . 1000 + . . . . ist eine gerade Zahl.

7. Disposito quolibet numéro per suas différencias, si in prima différencia fuerit numerus impar, idem erit impar totus, si autem par, et idem totus par.

a ff- b . 10 + c . 100 + . . . ist ungerade oder gerade, je nachdema ungerade oder gerade ist.8. Si fuerit numerus in prima différencia quadratus, similis ei tantum

vel alii quadrato prime différencie in impari différencia quadratus est.Wenn a2 eine Quadratzahl < 10 ist, so ist a2 . 102” eine Quadratzahl.

9. Omnis numerus simplex fit ex ductu sui digiti in sue différencie numerum primum.

a . 10” ist gleich a . (1 . 10”).

G . E n e s t r ö m .

Über die „Demonstratio Jordani de algorismo“ . 29

10. In pari différencia non est numerus quadratus.a . l 02n + 1 ist nie eine Quadratzahl.

11. Omnis simplicis numeri radix est numerus simplex.Wenn a . 10n eine Quadratzahl ist, so ist die Quadratwurzel dieser

Zahl von der Form b . 10“ .12. Omnis différencie primus et ultimus numerus sunt tanquam „sub-

sequentis immédiate primus.1 . 10n + 9 . 10” ist = 1 . 10** + i.

18. Sumptis singulis numeris per omnes différencias eorum, omni numéro subsequenti eas summam minorent esse necesse est.

9 +- 9 . 10 + 9 . 102 -f- 9 . 10” _1 ist kleiner als 10”.14. Eitndem numerum impossibile est diversis modis represeniari.

YY enn A = a 4- b . 10 4~ c . 100 4- • • • • , so sind die Zahlen a,b, c, . . . . eindeutig bestimmt, sobald A bekannt ist.

15. Omnis différencie quïlibet numerus equatur suo digito, et omniumprecedentium differenciarum maximis numeris tociens simul sumptis quociens imitas est in eodem digito.

a . 10” ist = a + a (9 + 9 . 10 + ___4- 9 . 1 0 « -1).16. Omnes maximi differenciarum terciam partem habent.

Jede Zahl von der Form 9 . 10” ist ein Multipel von 3.17. Cuiuscunque numeri digiti simul sumpti terciam partem habent,

ipsum quoque terciam partem habere necesse est.YYrenn die Ziffern summe einer Zahl durch 3 teilbar ist, so ist auch

die Zahl selbst durch 3 teilbar.18. In prima différencia eadem est addicio numerorum que figurarum

denominantium.Der Satz, der nur besagt, daß a + b = a b, ist offenbar nur

wegen des folgenden Satzes aufgeführt.19. In omnia différencia articuli agregantur ratione digitorum addicione

facta.a . 10” 4* b . 10” ist = (a 4 b) . 10”.

20. Si duo numeri eiusdem différencie sibi agregantur, compositus ad secundum numerum sequentis différencie non perveniet.

a . 10” 4~ b . 10” ist kleiner als 2 . 10” +421. Duobus numeris propositis alterum alteri addere.

Das gewöhnliche Additionsverfahren ohne Zahlenbeispiel. Der kleinere Summand wird immer unter den größeren gesetzt. Keine Probe. Kunstwörter: „addere“, „additio“, „major numerus“, „minor numerus“, „summa“, „additus“, „aggregatus“ (vgl. Def. 15).

22. A numero maiore numerum minorem quemlibet detrahere.Das gewöhnliche Substraktionsverfahren ohne Zahlenbeispiel as

Borgen nicht wie im Liber algorismi de pratica ansmetnce ) un auch nicht wie bei L e o n a r d o P is a n o 2) sondern wie es jetzt üblich ist, d. h. man entlehnt oben bei der nächsten Stelle, nimmt íe Summe von 10 und der kleineren oberen Ziffer, und zieht davon die untere größere Ziffer ah. Probe durch Addition. Kunstwörter: „detrahere", „detractio“, „major numerus", „residuum“ (vgl. Def. 16).

28. Numeri dati duplum assignare.Verdopplung; man beginnt links. Kein Zahlenbeispiel.

24. Propositum numerum restat dimidiare.Halbierung; man beginnt rechts. Wenn die Zahl ungerade ist,

wird 1 subtrahiert und statt derselben im Resultate hinzugefügt. Kein Zahlenbeispiel.

25. Si proponantur duo numeri et alter per alter um multiplicetur, primique numeri circuli ad alterius principium tranferantur, ex ita sumptorum multiplicatione eundem provenire necesse est.

Wenn A und B zwei beliebige ganze Zahlen sind, so ist ( A A 0 n) . B = A . ( B . 10”).

26. De medio unius numeri ad alterius principium , ut producti equalitas servetur, non est transferre circuios.

Im allgemeinen ist (« . 100 + 6) (c . 10 + d) nicht gleich (a .10 + 6) (c . 100 + d . 10).

27. Ad medium vero alterius translatis circulis in proportionalem tantum numeris, eveniet equalitas productorum.

Wenn a :b = c:d, so ist (o . 100 + 6) (c . 10 + d) = (o . 10 + 6) (c . 100 + d).

28. Datum numerum per se multiplicare vel per quemlibet dlium. M u ltip lik a tio n s v e rfa h re n w ie im Liber algorismi de pratica aris-

metrice.3) Kein Zahlenbeispiel. Keine komplementäre Multiplikation- Keine Probe. Kunstwörter: „multiplicare" „multiplicatio", „multipli- catus" oder „numerus superior", multiplicans“ oder „numerus inferior", „productus“, „promoveré ad dextram“ (vgl. Def. 19).

29. Numeris inequalibus si differencie numero equales preponantur, inter totos etiam erit inequalitas non permutata.

Wenn a < b, so ist 10 a + c < 10 b + d.

1) Siehe Tratta ti d'aritmetica pubblicati da B . B o n c o m pa g n i II, R om a 1857, S. 83.2) II Uber abbaci di L e o n a r d o P is a n o , pubblicato da B B o n c o m p a g n i, Roma 1857,

S. 22.3) Trattati d’aritmetica II, S. 3 8 —41.

gQ G. E n b s t k ö m .

Über die „Demonstratio Jordani de algorismo“ . 31

30. Si numero minori una versus dextram differencia aäjiciatur, reliquus de ipso plus novies non detrahetur.

Wenn a<^b, so ist — höchstens gleich 9 und einem eigent

lichem Bruche.

31. Datum numerum per quemlibet minorem dividere.Division wie im Liber algorismi de pratica arismetrice1). Daß

das Verfahren eine Überwärtsdivision ist, wird nur ganz beiläufig'7 0 0durch die Bemerkung „Numerus ille secundum quem facienda est detractio, altius ceteris statuendus erit“ angedeutet. Kein Zahlenbeispiel. Probe durch Multiplikation im Vorübergehen angedeutet. Kunstwörter: „dividere“, „dividendus“ oder „numerus superior“, „divisor“ oder „numerus inferior“, „versus dextram transferre“ ; kein Wort für Quotient (vgl. Def. 20).

32. Equidistantia simplicium numerorum inter proximos productorum ex ipsis duplicata constabit.

Wenn ax — a . 10, a2 — a . 100, a3 — a . 1000, so ista . __ «, . a2 a2 . aa

33. Numerus differenciarum a quibus radix est extrahenda, duplum differenciarum radiéis non excedet.

Die Ziffernzahl einer Zahl ist höchstens das doppelte der Ziffernzahl ihrer Quadratwurzel.

34. Propositi numeri radicem extrahere.Quadratwurzelausziehen (beinahe ein Drittel der ganzen Algorismus-

Schrift) wie im Liber algorismi de pratica arismetrice, 2) aber ohne Zahlenbeispiel. Nach der allgemeinen Regel ein langer Beweis derselben, wobei angenommen wird, daß die Zahl a . b . c . d . e . [ d . h . « . 100000 + b . 10000 + c . 1000 + d . 100 + e . 10 + f] , die Quadratwurzel g . h . h [d . h . g . 100 -f h . 10 + L\ ist. Zuletzt der Satz (a + H c ) 2= « H ( H c)2 + 2 « (b + c) = a2 + 2ab + 62 + 2 ac + 2bc + c2. Keine Probe. Kunstwörter: „radix“, „extrahere“, „quadratus“, „versus dextram promoveré“ oder „transferre“, „ducere numerum in se“ (vgl. Def. 21). Hier kommt das Wort „scifule“ (vgl. Def. 6) vielfach vor, aber als Zeichen desselben wird nicht Null sondern p, q, r benutzt.

Wollte man auf Grund des vorhergehenden Berichtes die „Demonstratio de algorismo“ kurz charakterisieren, so könnte man sagen, daß sie einen \ ersuch ist, das EüKLiDische Lehrgebäude unter Bezugnahme auf die

1) Trattati d’aritmetica II, S. 41— 49. — 2) Trattati ¿’aritmética II, S. 75— 76.

arabische Rechenkunst zn ergänzen. Daß die Form durchaus EuKLlDisch ist sieht man sofort aus den Sätzen, von denen sehr viele offenbar nur deshalb aufgeftthrt worden sind, weil sie nötig waren, um gewisse andere Sätze zu beweisen. Daß E u k l i d e « dem Verfasser als Muster gedient hat, sieht man noch deutlicher aus den Beweisen der Sätze, und als Belegdrucke ich hier den Beweis des 19 Satzes ab.

Sint ergo a et b articuli quinte dilferentie et aggregentur sibi ratione digitorum; dico quod conveniens est addicio. Sit emm additus ex eis ratione digitorum c . d sit digitus a . e sit digitus b . f sit aggregatus ex d . e ut prius de prima docuimus differencia. Cum ergo eedem figure que representent c representent f, hoc est additionem fieri ratione digitorum per secundam, sicut est c ad f, ita est ci ad d et b ad e. Ergo sicut est c ad f , ita sunt a et b ad d et e, ergo permutatim sicut est c ad a et b, ita / ad d et e. Sed / est equale d . e ergo c est equale a . b quare competens est addicio.

Will man den Beweis in unsere mathematische Sprache übersetzen, so kann man der Übersetzung folgende Form geben. Seien a = m . l 0 4, l = n die zwei Zahlen. Wir setzen ferner c = (m + n) . 104, d = m, e = n> f — m -f n. Dann ist c : f = a :d = b:e, also c : f = (a + b):(d + c), oder c : (a + b) = f : (d + e). Aber f = d + e, also c == a + b, d. h. m . 104 + n . 104 = (m + n ) . 104.

Hinsichtlich des Inhaltes sind natürlich die Sätze 21— 24, 28, 31, 34 die wichtigsten, und man könnte sogar sagen, daß die übrigen 27 Sä'tze eigentlich nur deshalb aufgeführt sind, weil sie jene 7 Sätze vorbereiten. Daß man in betreff der Rechenoperationen nichts neues aus der „Demonstratio de algorismo“ lernt, ist selbstverständlich, da der Zweck der Abhandlung war, die Richtigkeit der damals gebräuchlichen Rechenoperationen zu beweisen. Wie gründlich der Verfasser der „Demonstratio“ dabei verfuhr, geht am deutlichsten aus dem 14. Satze hervor, der besagt, daß jede Zahl nur auf eine einzige Weise durch die neun Ziffern und NuR dar-o-estellt werden kann. Bemerkenswert ist, daß der Verfasser durch den15. Satz die Neunerprobe vorbereitet, aber den Satz, der dieser Probe zugrunde liegt, nicht ausspricht, während er im 17. Satze ausdrücklich angibt, daß eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn ihre Ziffernsumme ein Multipel von 3 ist. Übrigens scheinen gewisse Sätze darauf hinzuweisen, daß der Verfasser der „Demonstratio“ mehr an die griechischen als an die arabischen Zahlzeichen dachte, als er seine Abhandlung redigierte (vgl. z. B. Satz 9).

Wie schon gesagt, ist der Zweck dieses Artikels wesentlich, Auskunft über den Inhalt der „Demonstratio de algorismo“ zu geben, aber es scheint mir nicht unangebracht, hier auch die Frage über den Verfasser dieser Schrift zu berühren. Daß dieselbe schon im 13. Jahrhundert dem Jo rdanus zu



geschrieben wurde, ist ja ein nicht ganz unwichtiger Umstand, aber es wäre natürlich erwünscht zu wissen, teils ob es andere Umstände gibt, die bestätigen, daß J o rda nu s wirklich der Verfasser ist, teils ob vielleicht Gründe aufgefunden werden können, aus denen man die Schrift dem J o rdanus aberkennen muß.

Zuerst möchte ich darauf hin weisen, daß M. Cu r t z e in der Einleitung zu seiner Ausgabe der Geometria sive de triangulis libri quattuor des J o rda nu s gelegentlich eine Bemerkung einfügt, die anscheinend für die hier gestellte Frage von großer Bedeutung ist. Curtze sagt nämlich in betreif des 3. Buches der Geometria, daß darin der „liber de similibus arcubus“ mehrfach zitiert wird, wie im 2. Buche die „Arithmetica“ und der „Algorithmus“.1) Leider muß ich konstatieren, daß diese Bemerkung inkorrekt ist, denn ich habe die ganze CuRTZEsche Ausgabe der Geometria durchgesehen, ohne ein einziges Zitat zu entdecken, das sich auf eine Algorismus-Schrift bezieht; dagegen ist es durchaus richtig, daß J o r d a n u s mehrfach seine „Arithmetica“ zitiert, und zwar das 2. Buch, das bekanntlich von Verhältnissen handelt,2) möglicherweise einmal auch das 5. Buch.3)

Ein anderer Umstand, der von Belang sein könnte, ist das Vorkommen eines Verweises im Beweise des 34. Satzes der „Demonstratio de algorismo“. Hier findet sich nämlich folgender Passus: „Hane subtractionem doeuimus in opere extrahendi radicem“, und aus diesen Worten könnte man folgern, daß der Verfasser der „Demonstratio de algorismo“ eine besondere Schrift über Wurzelausziehung geschrieben hat. Indessen ist der Verweis meines Erachtens ohne Bedeutung, denn teils kennen wir keine Schrift, die hier gemeint werden kann, teils kommen im Texte der „Demonstratio de algorismo“ Stellen vor, die allem Anschein nach ursprünglich Randnoten waren, und der jetzt zitierte Passus kann sehr wohl von derselben Art sem, also von einem Besitzer der Vorlage der von mir benutzten Handschrift hinzugefügt.

Zieht man dagegen in Betracht den Inhalt der „Demonstratio de algorismo“ so scheint es mir, als ob man dadurch geneigt werden muß, J ordanus als Verfasser der Schrift anzusehen. Da nämlich die Kubik- wurzelausziehung darin nicht gelehrt wird, und da diese Operation, abgesehen von L eo n a r d o P isa n o , so weit jetzt bekannt ist im Abendlande

1) Jordan, Nemorar,, Geometria vel de triangulis libri IV . Herausgegeben von M. C u r t z e (Thorn 1887), S. XIII.

2) 1 .1 2 , I I . 6, 15, 16; III .-9 ( = S. 9, 13, 16, 17, 25 der Curtze sehen A usgabe).

3) Siehe 1 :1 2 ( = S. 9 der CuRTZESchen A usgabe), wo a u f „16 n u in ti e t 12 secundi axism etnce Jordari“ verw iesen w ird. Indessen g e h t aus dem Z usam m enhänge hervor, daß „16 q u m ti“ sich fast sicher a u f V : 16 der FJementa bezieh t.

Bibliotheca Mathematica. III. Folge. VII.

0 . G. E n e s t r ö m .o4

zuerst bei Sacro bo sco und dem Verfasser des „Carmen de algorismo“ vorkommt,1) so ist es wahrscheinlich, daß die „Demonstratm de a gonsmo vor diesen/also etwa am Anfänge des 13. Jahrhunderts verfaßt wurde. Aber wenn dies der Fall ist, kann man aus guten Gründen annehmen, d J o rda nu s der Verfasser der „Demonstratio de algorismo ist, denn die Darstellungsweise ähnelt sehr der von ihm in seinen bisher bekannten Schn ten angewendeten.2) So lange also keine andere Algonsmus-Schrift dieser Art Pfunden is t3), die aus ebenso guten oder noch besseren Gründen em JORDANUS zugeschrieben werden kann, dürfte es erlaubt sein zu behaupten, daß er höchst wahrscheinlich Verfasser der „Demonstratio de algorismo ist Unter allen Umständen scheint es mir schon jetzt festgestellt werden zu können, daß es durch die Auffindung der „Demonstratio de algorismo“ fast sicher geworden ist, J o r d a n u s habe den von S c h ö n er 1534 herausgegebenen Algorithmus demonstratus nicht verfaßt,4) denn alle wirklichen Gründe, die bisher geltend gemacht worden sind, um diese Schrift dem J o r d a n u s zu vindizieren, können mit noch größerem Rechte angewendet werden, wenn man die „Demonstratio de algorismo“ statt des Algorithmus demonstratus in Betracht zieht.

Nun hat bekanntlich Ca n t o r in seinen Vorlesungen über Geschichte der Mathematik aus dem, seiner Ansicht nach fast sicher gestellten Umstande, daß J o r d a n u s den Algorithmus demonstratus verfaßt hat, ziemlich weitgehende Folgerungen gezogen, besonders in betreff der arabischen Quelle, aus welcher J o r d a n u s seine Kenntnisse mehr oder weniger mittelbar

1) Siehe die Ausgabe von C u b t z e (Kopenhagen 1897), S. 18— 19, und Eara mathematica edited by J. 0 . H alliw ell, London 1839, S. 81—83.

2) Auch die Terminologie der „Demonstratio de algorismo“ w eist auf J o r d a n u s

hin. Beispielsweise kommt der darin benutzte Term „detrahere“ für Subtrahieren auch in dem T raktate De numeris datis vor (siehe z. B. die C u r t z e sehe Ausgabe in der Z e i t s c h r . f ü r M a th e m . 3ß, 1891; Hist. Abth. S. 12, 13, 14, usw.). In den weiter unten (Fußnote 2 S. 35) zitierten Algorismus-Schriften w ird n ich t „detrahere“, sondern „dim inuere“, „subtrahere“ oder „m inuere“ benutzt.

3) Der Text: „Communis et consuetus“ des Cod. Ottobon. 309 komm t dabei kaum in Betracht, weil er einen gewöhnlichen „Algorismus“ zu enthalten scheint, und weil es sehr möglich is t, daß J o r d a n u s sowohl einen solchen wie eine „Dem onstratio de algorismo“ verfaßt hat. Der von C h a s l e s erwähnte „Algorismus J o r d a n i“ is t verm utlich der Cod. Mazarin. 1258, und dieser en thält, wie ich aus einer freundlichen M itteilung des Herrn B jö r n b o erfahre, gerade den Text: „Communis et consuetus“ . Endlich behandelt die von W a p p u e r zitierte Algorismus-Schrift nur die Bruchrechnung, und kann also n icht in Betracht kommen, wenn es sich darum handelt, einen T rak ta t über Rechnen m it ganzen Zahlen aufzufinden, der m it größerem Rechte als die „Demonstratio de algorismo“ dem J o r d a n u s beigelegt werden kann.

4) Vgl. h i e r ü b e r n o c h D uhem , a . a . 0 . S. 1 3 —15.

Uber die „Demonstratio Jordani de algorismo“.

entnommen haben sollte,1) und es dürfte nicht ohne Interesse sein, nachzusehen, wie die CANTORschen Folgerungen zu modifizieren sind, wenn man die sehr wahrscheinliche Hypothese, daß die „Demonstratio de algorismo“ wirklich von J o r d a n ü s herrührt, statt der von Ca n t o r benutzte! wenig- wahrscheinlichen Hypothese, daß J o r d a n ü s den Algorithmus demonstratus verfaßt hat, einführt. Unter dieser Voraussetzung ist in betreff des CANTORschen Berichtes über den Inhalt der von J o r d a n ü s verfaßten Algorismus-Schrift folgendes zu bemerken.

1) J o r d a n ü s setzt seinen Lesern nicht das dekadische Zahlensystem mit seinen zehn Zeichen auseinander, denn er erwähnt nie das 10. Zeichen (Hüll), sondern benutzt nur den Namen „circulus“. Er bedient sich nie der Benennung „figura nihili“.

2 ) J o r d a n ü s lehrt nicht die komplementäre Multiplikation. Er gibt auch nicht verschiedene spezielle Regeln für Multiplikation.

•3) Das Lberwärtsdividieren wird nur im Vorübergehen von J o r d a n ü s angedeutet.

4 ) J o r d a n ü s beschäftigt sich gar nicht mit der Ausziehung von Kubikwurzeln.

Diese Modifikationen der CANTORschen Darstellung sind ja anscheinend nicht sehr erheblich, aber in Wahrheit macht die letzte alle Schlußfolgerungen semer Darstellung hinfällig. Die einzige, freilich sein- schwache Stütze, dieser Schlußfolgerungen ist nämlich der Umstand, daß der Algorithmus demonstratus die Ajt&i/cwurzelausziehung lehrt, und in der „Demonstratio J o r d a n i de algorismo" kommt nur QuadrathnrzA- ausziehung vor. Übrigens enthält diese Schrift gar nichts, das ihr Verfasser nicht aus den schon um 1200 vorhandenen2) lateinischen Bearbeitungen arabischer Rechenbücher entnehmen konnte. Unter solchen Umständen ist es — ich will nicht sagen unrichtig, aber — wenigstens unnötig hervorzuheben,3) daß J o r d a n ü s „in arabischer Schulung zum Mathematiker geworden ist", denn ganz dasselbe könnte man von allen abendländischen Mathematikern des 12. und des 13. Jahrhunderts sagen, die Arbeiten über Rechenkunst und Algebra verfaßt haben; für J o r d a n ü s

1) M. Ca n t o r , Vorlesungen über Geschichte der Mathematik 22 (Leipzig 1900\S. 84—85.

2) Nachweislich vorhanden war am Anfänge des 13. Jahrhunderts die von C u b t z e herausgegebene Algorismus-Schrift (siehe B ib l io th . M a th em . ö3, 1904,S. 312, 416). Höchst wahrscheinlich existierte damals auch der von C a n t o r (Z e its c h r . fü r M a th em . 10, 1865, S. 1— 16) herausgegebene Liber a lgorim i, und man nimmt allgemein an, daß die zwei von B o n c o m p a g n i (Trattati d'aritmetica, Roma 1857) herausgegebenen Algorismus-Schriften auch aus dem 12. Jahrhundert herrühren.

3) Siehe C a n t o r , a. a. 0 . S. 84, 85.3 *

G. E n e s t r ö m .36

würde übrigens der Ausdruck „in EüKLiüischer Schulung zum Mathematiker geworden ist“ viel besser passen. Durchaus hinfällig wir cagegen S t : die Hypothese, die Here C .ntor durch die folgenden schwung.

rollen , lm femen Oriente ruft rieUeicht religiöserund politischer Gegensatz zwei einander feindliche Schulen ms Leben. Ein Werk aus der Schule des A l k a r c h i fallt m die Hand eines geistvollen Kaufmanns, ein anderes aus der Schule des A l n a s a w i

fällt in die Hand eines hochbegabten Mönches, und im christlichen Abendlande spiegelt sich ein Gegensatz wieder, der hier auch nicht den Schein einer Berechtigung besitzt!“

Ich habe schon früher Gelegenheit gehabt, darauf hinzuweisen,2) daß sich bei L e o n a r d o P is a n o auch solche Sachen finden, die er nicht aus A l k a r c h i , aber sehr gut aus anderen arabischen Mathematikern entnommen haben kann, und daß es darum weniger angebracht ist, besonders h e r v o r z u h e b e n , L e o n a r d o P i s a n o sei ein mittelbarer Schüler von A l k a r c h i

gewesen. Aus den Ausführungen dieses Artikels dürfte jetzt ersichtlich Tein, daß man noch weniger Grund hat anzunehmen, JORDANÜS sei ein mittelbarer Schüler von A l n a s a w i gewesen, denn alles was in der „Demonstratio de algorismo“ steht und ursprünglich auf arabische Quellen zurückgeht, kann aus dem Rechenbuche des A l k h w a r iz m i entnommen worden sein.3)

Es ist eine eigene Ironie des Schicksals, daß die Hypothese des Herrn Ca n t o r in betreff der Einwirkung des A l n a s a w i auf J o r d a n ü s gerade durch die zwei ersten Worte des CANTORschen Ausspruches charakterisiert werden kann. Will man etwa wie Herr Ca n t o r die Anwendung der zwei Worte motivieren, so kann man dem Ausspruche folgende Form geben: Wunderbarer Zufall! In Thorn beschäftigt sich M a x Cu r t z e eingehend mit dem Cod. Dresd. Db. 86. Er veröffentlicht einen ausführlichen Bericht über den Inhalt der Handschrift, und gibt dabei durch ein unerklärliches Übersehen an, daß die dort Bl. 169a — 175a vorkommende Algorismus- schrift mit dem gedruckten Algorithmus demonstratus identisch ist, obgleich die Anfangs- und Schlußworte ebenso wie der ganze Text der zwei Schriften durchaus verschieden sind, und obgleich die Schriften auch in betreff des Inhaltes wesentlich voneinander abweichen. Cu r t z e benutzt später dieselbe Handschrift für seine Ausgaben der JoRDANischen Arbeiten Be

1) C a n t o r , a. a. 0 . S. 85.2) B ib l io th . M a th e m . 23, 1901, S. 35 1 -3 5 2 .3 ) Freilich enthält die von B o n c o m p a g n i herausgegebene lateinische Übersetzung

nichts über Quadratwurzelausziehung, aber die von B o n c o m p a g n i benutzte Handschrift ist unvollständig (vgl. B ib l io th . M a th e m . 53, 1904, S. 408).


triangulis (1887) und Be numeris datis (1891), ohne sein Übersehen zu entdecken, und noch 1899 gibt er ausdrücklich an, daß der Cod. Dresd. Db. 86 den Text des Algorithmus demonstratus enthält. Das unerklärliche "V ersehen von Curtze verhindert einen geistvollen Geschichtsschreiber der Mathematik zu erkennen, daß der Algorithmus demonstratus nicht ohne ganz entscheidende Gründe dem J o r d a n u s beigelegt werden darf, und ermöglicht dadurch das Aufstellen einer Hypothese in betreff der Abhängigkeit des J o r d a n u s von A l n a s a w i , welche Hypothese durch die zwei Auflagen der Vorlesungen über Geschichte der Mathematik in immer weiteren Kreisen verbreitet wird, obgleich sie kaum den Schein einer Berechtigung besitzt.

38G. E n e s t r ö m .

Hat Tartaglia seine Lösung der kubischen dleichung von Del Ferro entlehnt?

Von Gr. E nestr ö m in Stockholm.

In der ersten Auflage (1892) des zweiten Bandes seiner Vorlesungen Über Geschichte der Mathematik hatte Herr Ca n t o r (S. 471—472) als von ihm begründet die Annahme bezeichnet, daß die Auflösungsmethode des T ar ta g l ia genau mit der des S c ip io n e d e l F erro ühereinstimmte, und er folgerte daraus, daß T a r ta g l ia höchstwahrscheinlich seine Methode nicht selbständig erfand, sondern dieselbe unmittelbar oder mittelbar aus d e l F erros Schrift entnahm. „Ist es“, fragt Herr Cantor, „nur in einer Weise möglich, die kubischen Gleichungen aufzulösen?“ und beantwortet seine Frage auf folgende Weise: „Die Geschichte hat diese Frage mit lautem Nein beantwortet. Eine 1615 gedruckte Auflösung von V ie t a , . . . , eine 1683 veröffentlichte Auflösung von T sc h ir n h a u se n , Dutzende von späteren Auflösungen weichen alle untereinander und von der, wie wir begründet haben, T a r ta g l ia und d e l F erro gemeinschaftlichen ab“. „Ist es nicht gestattet“, schließt Herr Ca n t o r , „Zweifel daran zu hegen, daß beide untereinander übereinstimmende Gedankenfolgen ganz unabhängig in zwei verschiedenen Köpfen sich bildeten?“.

Etwa ein Jahr nach dem Erscheinen des zitierten Bandes der Vorlesungen veröffentlichte Herr Ze u t h e n eine Abhandlung mit dem Titel: T ' a r t a l e a contra C a r d a n u m , réplique relative à la question de priorité sur la résolution des équations cubiques (B ulle t, de l ’acad. d. sc. de D anem ark 1893, S. 303—330), die sich gerade gegen einige Punkte der CANTORSchen Darstellung der Geschichte der kubischen Gleichungen richtete. Hier wies Herr Ze u t h e n (S. 310—311) darauf hin, daß es sich in Wirklichkeit nicht um die Methode des T a r t a g l ia (die ebenso wie die des d e l F erro unbekannt ist), sondern um das von ihm hergeleitete Resultat handelte, und daß jede richtige Auflösungsmethode der kubischen Gleichung selbstverständlich zu demselben Resultate, möglicherweise unter etwas variierender Form, führen mußte. Aus dem von Herrn Ca n to r begründeten Umstande, daß das Resultat des T a r t a g l ia mit dem des

DEL F erro übereinstimmte, konnte man also n ich t schließen, daß ihre Auflösungsmethoden identisch waren.

Bekanntlich erschien im Jahre 1900 eine neue Auflage des zweiten Bandes der ÜANTORschen Vorlesungen, und dort wurde im Vorübergehen (S. 530) die ZEUTHENsche Abhandlung zitiert, woraus erhellt, daß diese nicht Herrn Can to r unbekannt geblieben war, aber der ganze Passus der Vorlesungen, um die es sich hier handelt, war in der neuen Auflage (S. ol3) unverändert abgedruckt, und ich war darum überzeugt, daß Herr Can to r der ZEUTHENschen Bemerkung keine eigentliche Bedeutung zuerkennen wollte. Freilich schien mir dieser Umstand etwas auffällig, aber da ich die Gegengründe des Herrn Ca n to r gar nicht kannte, verzichtete ich darauf, die Frage in den „Kleinen Bemerkungen“ der B ib lio th eca M athem atica zu berühren, zumal da eine eingehende Behandlung derselben wenigstens ein paar Druckseiten in Anspruch nehmen würde, während die „Kleinen Bemerkungen“, wenn irgend möglich, sehr kurz sein sollen.

Daß Herr Ze u t h e n durch den unveränderten Abdruck der CANTORschen Ausführungen vom Jahre 1892 nicht veranlaßt sein würde, seine Ansicht zu modifizieren, war leicht zu vermuten, und als im Jahre 1903 der zweite Teil seiner Forelaesninger over Mathematikens Historie erschien, fand man darin (S. 117—118) eine Bestätigung der Richtigkeit dieser Vermutung. Herr Ze u t h e n hob dort hervor (vergl. S. 84 der deutschen Übersetzung), daß es sich bei T ar ta g lia nur um ein Resultat handelte, das lediglich besagte, daß die Wurzel einer Gleichung dritten Grades als algebraische Summe der Kubikwurzeln der Wurzeln einer Gleichung zweiten Grades dargestellt werden kann, und endete mit folgenden Worten: „es wäre unberechtigt, aus der Übereinstimmung der Lösungen zu schließen, T a r ta g l ia habe F erros Auflösung selbst gekannt, denn, wenn sie überhaupt beide die Gleichungen lösen konnten, so ist diese Übereinstimmung eine Notwendigkeit“.

Die soeben zitierte deutsche Übersetzung der ZEUTHENschen Arbeit wurde kurze Zeit nach ihrem Erscheinen von Herrn Ca n t o r im A rchiv der M athem atik und P h y sik (83, 1905, S 248—252) besprochen, und hier erklärte sich Herr Ca n t o r wesentlich der Ansicht des Herrn Ze u t h e n zu sein; er bemerkte auch, daß er die „vorher von niemand beachtete Tatsache“ [d. h. die Tatsache, worauf Herr Ze u t h e n sieben Jahre vor dem Erscheinen der zweiten Auflage des zweiten Bandes der Vorlesungen aufmerksam gemacht hatte] als Randbemerkung seinem 2. Bande beifügen würde, um bei einer Neubearbeitung benutzt zu werden.

Da die Herren Ca n to r und Ze u t h e n jetzt in betreff des hier erwähnten Punktes einverstanden sind, könnte man versucht sein, jede weitere Behandlung desselben als durchaus unnütz zu betrachten. Indessen

Hat Tartaglia seine Lösung der kubischen Gleichung von Del Ferro entlehnt? 39

1A G. E nestköm .40bin ich einer anderen Ansicht, freilich nicht in betreff der Frage oh T a r t a g l i a seine Methode von d e l F erro entlehnt hat ), aber hinsichtlich der Frage ob die beiden Mathematiker ihrer Lösung genau dieselbe Form gegeben haben. Diese Frage wird zwar sowohl von Herrn Ca n t ö R wie von Herrn Ze u t h e n mit Ja beantwortet, aber da Herr Ca n t o e in semer Besprechung der ZEUTHENSchen Arbeit die Bemerkung hinzugefügt hat:

ob die beiden Kubikwurzeln u und v notwendig nur mittelst u + v und uv gefunden werden können, wie es in T ar ta g lia s Terzinen heißt, ist damit noch nicht gesagt. Das kann T a r t a g l ia sehr gut von F er ro entlehnt haben“, so scheint daraus hervorzugehen, daß auch Herr Ca n t o r die letztere Frage nicht als vollständig erledigt betrachtet. Ich werde jetzt versuchen zu zeigen, daß man keinen gültigen Grund hat, diese Fragebejahend zu beantworten.

Wie oben berichtet worden ist, hat Herr Ze u t h e n darauf hingewiesen, daß die Wurzel der kubischen Gleichung2) « 3 = ax + b immer als Summe der Kubikwurzeln der Wurzeln einer quadratischen Gleichung dargestellt werden kann, aber natürlich bedeutet dies nicht, daß das Resultat immer auf diese Weise ausgedrückt werden muß. Freilich hat der gebräuchliche explizite Ausdruck der Wurzel

(A)

1) Es is t m ir n icht unbekannt, daß S. G h e r a r d i versucht ha t zu beweisen, daß bEL F e r r o in der von C a r d a n o eingesehenen H andschrift nicht nur die W urzel der Gleichung x 3 - \ - a x = b angab, sondern auch die für diesen Zweck angewendete Methode auseinandersetzte (siehe E inige M aterialien zur Geschichte der mathematischen Falcultät in Bologna. Übersetzt von M. C u r t z e , Berlin 1871, S. 76, 78—83, 104, 115). G h e r a r d i stützt sich dabei auf den folgenden Passus des 2. „Cartello“ des L. F e r r a r i :

„ A n n ib a l d e N a v e . . nobis ostendit libellum m anu S c ip io n is F e r r e i soceri sui iam diu conscriptum, in quo istud inventum [ = inventum cubi et laterum aequalium numero] eleganter et docte explicatum , tradebatu r“ , und folgert aus den W orten „eleganter et docte explicatum “ , daß die H andschrift n icht nur das E ndresu lta t, sondern auch die H erleitung desselben enthielt. Zieht man aber in B etracht, daß das „Cartello“ den Zweck ha tte , die Verdienste des d e l F e r r o hervorzuheben, um dadurch die des T a r t a g l ia möglichst zu verkleinern, so dürfte es k lar sein, daß m an dem fraglichen, ziemlich schwebenden Ausdrucke keine Bedeutung beimessen kann. N ur wenn F e r r a r i

ausdrücklich behauptet hä tte , daß d e l F e r r o in der H andschrift auch die Methode angab, könnte man vielleicht Anlaß haben, m it G h e r a r d i einig zu sein. N im m t man noch hinzu, daß T a r t a g l ia in seiner zweiten „Risposta“ bestim m t verneinte, irgend eine fechrift eingesehen zu haben, wo die Lösung der kubischen Gleichung gelehrt worden war, so ist man wohl berechtigt, G h e r a r d is durchaus unbegründete Behauptung, daß T a r t a g l ia seine Methode von d e l F e r r o entlehnt hat, als belanglos anzusehen.

2) Bekanntlich war die erste kubische Gleichung, die gelöst worden ist, von derForm x 3 -p a x ^ h} aber ich wähle hier die Form x 3 = a x -p b, um den Ausdruck „Summe von Kubikwurzeln“ benutzen zu können.

H atT artag lia seine Lösung der kubischen Gleichung v o n Del Ferro entlehnt? 41

diese Form, und dasselbe gilt von dem in T a r t a g l ia s Terzinen angegebenen Resultate

Aber man kann natürlich die Lösung ebensogut entweder unter der Form

oder unter der Form

angeben. Im Falle (C) ist die Lösung nicht unmittelbar als Summe zweier Kubikwurzeln, im Falle (D) nicht unmittelbar als Summe der Kubikwurzeln der Wurzeln einer quadratischen Gleichung gegeben.

Die obige Bemerkung ist so selbstverständlich, daß sie leicht als durchaus unnötig erscheinen kann, aber es wird sich recht bald zeigen daß sie für die gestellte Frage nicht ohne Belang ist. Sie führt übrigens sofort zu dem Resultate, daß Herr Can to r Recht hat, wenn er bezweifelt daß die beiden Kubikwurzeln nur mittelst der Gleichungen u -f- v = buv = - gefunden werden können. Auch wenn man die Gleichung X3 = ax + b durch Zerlegung von x in zwei Teile lösen will, kann man diese Teile explizit ausdrücken wie in (A); man kann sie aber ebensogut entweder mittelst U\, v x oder mittelst u2, v 2 finden.

Von Bedeutung für die vorgelegte Frage ist meines Erachtens auch der Umstand, daß es eine einfache explizite Form der Lösung der Gleichuno- x 3 = ax -f- b giht, die nicht unmittelbar durch die Summe zweier KubiU wurzeln repräsentiert wird. Zu dieser Form gelangt man durch eine einfache Methode, die schon im 16. Jahrhundert erfunden wurde, und zwar von V ie t e .1) Bekanntlich besteht diese Methode darin, daß man

(B)j x — ym" -j- y# ,

\ uv — ^ , u + v = b.

I

setzt, wodurch

oder

1) De aquationum recognitione et emendatione tractatus duo; Opera mathematica, ed. F. v a n S c h o o te n , Leiden 16 4 6 , S. 1 5 0 ( p r o b le m a II).

42G . E n e s t r ö m .

“ 8“ , „ x , / V ¡3u s = Y — [ / ”4 2 7 ’

und---------------------------------- .--------- = = i( B ) ^ = «3 + ¿ - = j / y + | / x _ 2 7 +

3j /{ + y-62 aa T _ 27

Wir haben also fünf verschiedene Formen (A, B, C, D, E) der Losung der kubischen Gleichung x 3 = ax + b, und es geht nicht an ohne weiteres zu behaupten, daß DEL F er ro , dessen Lösung wir gar nicht kennen, genau die Form (B) angegeben hat. Freilich kann man im betreff der Form (D)

bemerken, daß die quadratische Gleichung u\ = \ - ff eme ^gattveWurzel hat, und hinsichtlich der Form (E), daß die Substitution

i ax = z U 3 + 3Üs

ziemlich schwierig aufzufinden ist, so daß es aus diesen Gründen weniger wahrscheinlich ist, DEL F erro habe sich der Formen (D) oder (E) bedient, aber in jedem Falle kann DEL F erro ebensowohl die Form (A) oder die Form (C) wie die Form(B) angegeben haben. Es erübrigt also zu untersuchen, ob man irgend einige besondere Gründe hat anzunehmen, daß die Lösung des DEL F erro genau die Form (B) hatte. Meines Wissens sind nur zwei solche Gründe erwähnt worden, nämlich:

1. F er ra ri wendet an einer Stelle seines sechsten „Cartello“ eine Redeweise an, die darauf hindeutet, daß er an T a r t ä OLIAS Erfinderrecht zweifelte;x)

2. Wenn die zwei Lösungen nicht genau dieselben gewesen wären, so hätte Ca r d a n o gewiß die Lösung des DEL F erro veröffentlicht, um dadurch zu vermeiden, den Eid der Verschwiegenheit zu brechen.2)

Diese Gründe sind indessen meiner Ansicht nach für die Entscheidung der Frage ohne Bedeutung, denn

1. vorausgesetzt, dass d e l F er r o seine Lösung unter einer der Formen (A), (C), (D) gegeben hatte, so könnte F er rari dennoch das Erfinderrecht des T a r t a g l ia ebenso gut bezweifeln; hatte d e l F er ro dagegen die Form (E) benutzt, so wußte F er r a r i sehr wohl aus der zweiten „Risposta“ vom 21. Februar 1547, daß T ar ta g l ia sich so eingehend mit Transformationen von irrationalen Ausdrücken beschäftigt hatte, daß er ohne Mühe aus dem Ausdrucke (E) den Ausdruck (A) herleiten konnte, und

*1) C a n t o k , Vorlea. über Gesch. d. Mathem. 2 2, S. 5 1 2 .

2 ) Z e u t h e n , B u l l e t , de l ’a c a d . d. sc. de D ä n e m a rk 1893, S. 3 1 0 .

auch in diesem Fall konnte F er r a r i, wenn er dazu geneigt war, an dem Erfinderrecht des Tar ta g lia zweifeln;

2. es ist gar nicht schwierig, verschiedene Umstände ausfindig zu machen, wodurch Car d a n o aus rein sachlichen Gründen veranlaßt werden konnte, gerade die Lösung des T a r ta g l ia z u veröffentlichen; ich nenne nur beispielsweise zwei solche Umstände:

a) d e l F erro hatte lediglich die Gleichung x 3 -f- ax = b behandelt;b) d e l F erro hatte keine allgemeine Regel angegeben, sondern nur

sein Verfahren an einer bestimmten numerischen Gleichung erläutert.Auf der anderen Seite konnte Ca r da no sehr wohl glauben, daß sein Verfahren Ta r ta g l ia angenehm sein würde.1) Wenn T a r ta g lia nämlich im Voraus gewußt hätte, daß die Ars magna in jedem Falle eine Lösung der kubischen Gleichung bieten würde, so ist es nicht unmöglich, daß er lieber seine eigene Lösung zur Verfügung gestellt hätte, um dadurch seinen Namen mit der wichtigen Entdeckung in Verbindung zu bringen. Hätte dagegen Ca r d a n o die Lösung des d e l F erro veröffentlicht, könnte jener leicht veranlaßt worden sein, den Namen des T ar ta g l ia gar nicht zu erwähnen.

Das Resultat der vorangehenden Untersuchung ist also:1) man hat keinen bestimmten Anlaß anzunehmen, daß die Lösung

des d e l F erro genau mit der des T a r ta g lia übereinstimmte;2 ) die Hypothese, daß T a r ta g lia auch nur einen Teil seiner Lösung

von d e l F erro entlehnt hat, ist folglich unbegründet.

H at Tartaglia seine Lösung der kubischen Gleichung von Del Ferro entlehnt? 43

1) Vgl. w a s F e r r a r i hierüber in seinem zweiten „Cartello“ (S. 4) sagt.

4 4 H . B o sm a n s .

Le „De arte magna“ de G-uillaume G-osselin,Par H. B o sm ans à B ru xelles.

I.L’ouvrage qui fait l’objet de cette notice est un mince volume de

format in 8 ° de moins de 200 pages,1) intitulé:Gv lielm i I Go sse l in i Ca d o m e n - I sis B e l l o c a sii d e a r t e I magna, seu

de occulta parte nume-1| rorum, quae & Algebra, & Almuca-1| bala vulgo dicitur; | l ib r i q v a t v o r . || In quïbus explicantur aequationes Diophanti, Regu-1 lae Quantitatis simplicis, & Quantitatis su rd a e .Ad Reuerendissimuin in Cbristo Patrem R e g in a l d v m B e a l n a e v m , || Mandensem Episcopum, Illustrissimi || Ducis Alenconij Cancellarium, Comi- |j tem Geuodanum, atque in sanction & | interiori consilio Consiliarium. J! [Marque d’imprimeur de Gil l e s B e y s . Une branche de lys, avec, en exergue, la devise:] Superis casta placent. || P a r isiis || Apud Aegidium Beys, via Iacobaea, || ad Insigne Lilij albi. | M.D LXXVII. ||2)

Guillau m e Go sse l in n’a guère laissé de souvenir. H naquit à Caen, on ne sait au juste en quelle année, et on ne connaît pas davantage la date de sa mort.3) En 1577, lors de la publication de son De arte magna, il semble avoir été encore assez jeune. C’est ce qu’on peut conclure de l’en tête de la pièce de distiques latins qui, suivant l’usage, fait suite à la préface: „Ad Gu l . Go ssel in u m Campodomensem Iuvenem Matbeseos studiosissimvm“

L’année suivante, en 1578, Go sse l in publia chez Gil l e s B e y s , à Paris, une traduction française de l 'Arithmétique de T a r t a g l ia , 4) que K astner

1) E xactem ent: 86 feu illets pag inés au recto seulem ent, p récédés de 8 feuillets non paginés.

2) D après Nesselmann, ce se ra it la dern ière fois que le m o t „A lm ucabala“ p a ra ît r a i t en tê te d ’un volum e p our désigner l ’a lgèbre (Die Algebra der Griechen , Berlin 1 8 4 2 , p . 5 8 ) .

3) Les Origines de la ville de Caen. Revues, corrigées & augmentées [p a r P. D. H u e t

¿vêque d ’Avranche]. Seconde édition. R ouen M.DCC.YI., p. 350— 351. (4) F ° ( a y)v<>.4 ) L Arithmétique de N . T a r t a g l ia . . .recueillie et traduite d 'ita lien en François

par G. G o s s e l i n , avec toutes les démonstrations mathématiques et plusieurs inventions dudit G o s s e l i n , Paris, Gilles Beys, 1578. D ’après le British Muséum Catalogue o f prin ted Books.

Le „De arte magna“ de Guillaume Gosselin. 4 5

a sommairement analysée.J) Cette Arithmétique eut une réédition, à Paris chez A d r ia n P ér ier , en 1613.2)

L a Croix d u Ma in e , 3) B a y l e 4) et beaucoup d'autres, sign a len t une édition de l’Arithmétique de Tar ta g lia par Go sse l in , qui aurait paru à Anvers, en 1578, chez Ch r ist o ph e P l a n t in . Enoncé en ces term es le renseignement est erroné et doit provenir d’une équivoque.

Gil l e s B ey s avait épousé Ma d e l e in e P l a n t in , fille de Ch r ist o ph e ,5) et l’on sait que le grand imprimeur anversois garda toujours un peu la haute main sur les succursales dirigées par ses gendres F r a n ç o is R appie- le n g ie n à Leyde, et Gil l e s B eys à Paris. L’édition P l a n t in d’Anvers n’est probablement pas autre chose que l’édition Gil l e s B eys de Paris. Quoiqu’il en soit, les Annales Plantiniennes6) ne la nomment pas, et les richissi

1) Geschichte der Mathematik (Gottingen 1796), I p. 197 200.

2) L ’arithmétique || de N ic o l a s || T a r t a g l ia Brescian, || grand mathématicien, || et prince des praticiens. || Divisée en deux parties. || L a déclaration se verra en la page suyvante. [| Becueillie et traduite d’italien en François par || G u il la u m e G o s s e l in de Caen. || Avec toutes les démonstrations mathématiques et p lu - 1| sieurs inventions dudit G o s s e l in ,

esparses || chacune en son lieu. || Première partie. ¡| [Marque d ’AüRiAN P é r ie r : Une main sortant des nuages tient un compas. Devise sur une banderolle:] Labore et Constantia. || A Paris, || Chez Adrian Périer, ruë sainct Jacques au Compas d’or. || M.DC.XIII.

La seconde partie a le même titre que la première.L’ouvrage existe à la Bibliothèque Sainte Geneviève à Paris. Il est divisé en

deux parties in 8°.La De partie comprend 136 feuillets, paginés seulement au recto, plus en tête

8 feuillets non paginés (titre, préface et table) et un feuillet blanc au commencement.La 2e partie comjirend 122 feuillets également paginés au ieeto, plus en tête

8 feuillets non paginés (titre, courte préface pour la 2e partie et table) et un feuillet blanc à la fin.

Je dois ces renseignements à l ’obligeance de M. L a m o u r o u x , bibliothécaire à la Bibliothèque Sainte Geneviève.

La marque d’ArmiAN P é r i e r est celle de l ’imprimerie P l a n t i n . G i l l e s B e y s , gendre de P l a n t i n était mort le 19 avril 1595. Sa veuve M a d e l e i n e P l a n t i n se rem aria au mois d août de l ’année suivante à A d r i a n P é r i e r et mourut à Paris le 27 décembre 1599. P é r i e r employa la marque de P l a n t i n jusqu’à sa mort, qui arriva probablement en 1616. Avec lui cessa l ’Officine Plantinienne de Paris. Voir: M. R o o s e s , C h r is t o p h e

P l a n t in , imprimeur anversois. 2 e édition (Anvers 1890), p . 373.

3) Les Bibliothèques Françaises de L a C r o ix d u M a i n e et de d u V e r d i e s sieur de Vaupnvas. Nouvelle édition (Paris M.DCC.LXXII), tom. I p. 3 2 7 -3 2 8 ; tom. IY p. 83

A i n B a y lk> Dictionnaire historique et critique. 3e édit., tom. 2 (Rotterdam M.DüO.XX), p . 1826.

P I Sur G il l e s B e y s voir: Max R o o s e s , o . c . aux endroits indiqués à la table alphabétique des noms propres. Entre les pages 220 et 221 il y a de beaux portraits hors texte, de G il l e s B e y s et de sa femme M a d e l e in e P l a n t in .

6) C. R u e l e n s et A. d e B a c k e r , Annales Plantiniennes. Première partie. C h r i sto p h e P l a n t in , 1555—1589 (Bruxelles 1865).

m es a rc h iv e s d e Ch r ist o ph e Pl a n t in conservées au Musée Plantin-Moretus à A n v e rs , n ’e n ont pas gardé de traces.1)

L’abbé Go u j e t 2) nous a conservé un fragment d’ode en mauvais vers français, dans lequel un ami de Go s s e l in , J a c q u es Co u r t in d e Cisse , l’engage à abandonner les mathématiques pour s’adonner à la poésie. Voilà tout ce que i’ai pu découvrir sur notre auteur, c’est à dire, somme toute,fort peu de chose.

Go sse l in méritait mieux cependant, car malgré l’oubli dans lequel il est tombé, son De arte magna est un ouvrage de valeur. Ca n t o r 3) ne l’a pas vu, mais K a s t n e r 4) qui l’a eu en mains dit, avec raison, qu’il est „sehr gut nur kurz".

A diverses reprises j ’avais été frappé par ce fait que plusieurs auteurs de la fin du XVIe siècle, A d r ie n R om ain notamment,5) parlent de ce petit volume presque à l’égal des algèbres les plus célèbres. J étais donc, depuis longtemps, désireux de l’étudier, mais le De arte magna est devenu assez rare et la bibliothèque royale de Belgique ne le possède pas. On m’en avait cependant signalé plusieurs exemplaires dans les dépôts Belges.6) La bibliothèque de l’université de Louvain a eu l’obligeance de mettre son exemplaire à ma disposition, à Bruxelles, pendant quelques semaines, et m’a permis ainsi d’approfondir à loisir le travail de Go sse l in . Ce sont les conclusions de cette étude que je me propose de communiquer ici.

II.Le De arte magna débute par une dédicace de Go sse l in „Reveren-

dissimo in Cbristo Patri R e g in a l d o B e a l n a e o 7) Mandensi Episcopo",

1) Je dois ce renseignement à M. M a x R o o s e s , conservateur au Musée Plantin- Moretus, qui a bien voulu faire à ma demande des recherches dans les archives deC h r is t o p h e P l a n t in . Je l ’en remercie vivement.

2) G o u j e t , Bibliothèque françoise ou histoire de la littérature françoise. Tom. 12 (Paris MDCCXLVIII), p. 302—307.

3) Vorlesungen über Geschichte der Mathematïk, 2 2 (Leipzig 1900), p. 213.4) 0. c. p. 100.5) Dans l ’essai historique sur la résolution des équations, placé en tête de ses

I n M a h v m e d is Algebram Prolegomena, fragm ent im primé d’un ouvrage inachevé, qui appartient à la Bibliothèque de l ’Université de Louvain (Scienc. 1302). L’Iw M auu-

MED18 Algebram Prolegomena n ’a pas de titre. J ’ai présenté récemment une analyse détaillée de cet im portant et très curieux commentaire d ’ÀDRiEN R o m a in à la Société scientifique de Bruxelles, qui en a voté l ’impression dans ses A n n a le s , où il paraîtra incessamment.

6) Université de Louvain (Sciences 387) ; Bibl. des villes d’Anvers et de Tournai.7) R e n a u d d e B e a u n e , né à Tours en 1527, fu t successivement évêque de Mende

(1568 1581), archevêque de Bourges (1581—1602) et archevêque de Sens (1602—1606). Il mourut le 27 septembre 1606. Voir la collection: Gallia Christiana . . . Operâ &

Iq H. B o s m a n s .

suivie d’une pièce de vers latins,4) de la table des matières et d’un extrait du privilège en date de Paris le 17 septembre 1577. Puis vient le corps de l’ouvrage divisé en quatre livres.

Le premier livre comprend dix-sept chapitres. Transcrivons en d’abord les titres avec leurs numéros d’ordre, pour en prendre ainsi un coup d’oeil d’ensemble.

1. De quantitate.2. De ratione numerandi.8. Quid sit algebra?4. Quis algebrae fuerit inventor?5. Quis sit algebrae finis?6. De numerorum nominibus.7. De ratione vestigandi lateris cubici nostra. Nous en reparlerons.8. De proportione in genere.9. De proportione arithmetica.

10. De proportione geometrica.11. De componendis rationibus.12. De rationum deductione.13. De rationum multiplicatione.14. De rationum divisione et septem ad hanc problematis. A savoir

insérer entre deux nombres donnés, une, deux, trois, quatre ou cinq moyennes proportionnelles continues; trouver deux nombres connaissant leur somme et leur moyenne proportionnelle; trouver une quatrième proportionnelle à trois nombres donnés.

15. De régula simplicis hypothesis, tribus ad hanc problematis etdemonstratione nostra.

16. De régula duplicis hypothesis, duobus problematis et demonstratione nostra.

17. Regulae duplicis usus in quantitatibus continuis in quà cubi duplicandi ratio mathematica demonstratur, tribusque ad hanc problematis hucusque desideratis.

Nous aurons à approfondir tout à l’heure ces trois derniers chapitres. Mais pour epuiser immédiatement ce qui concerne les quatorze premiers voici les quelques remarques qu’ils appellent.

Et d’abord aux chapitres 3 et 4, qu’est-ce que l’algèbre?L’algèbre, dit Go sse l in , a pour but de déterminer la valeur des in

connues, ce qui se fait au moyen des équations; „finis hujus scientiae est

studio momehorum congrégations S. M auri ordinis S. Bevedicti. Tom. I col 106- tom. 2 col. 99— 102; t 0m. 12 col. 95— 97.

1) S ig n ée : L od . M a e te l lu s Iîotomag.

Le „De arte magna“ de Guillaume Gosselin. 47

H. B o s m a n s .

4 8 llf pUciamur, utimur aequatione tan-oognitio quantitatis ignotae quam ut ehciamur,

quam medio“. 1) nA(lwnN ne représente les quantitésDans ces t" es chiffres. Il ne se sert pas

connues pas des , ' et __ ¿’un usage déjà courant en Allemagne et non plus des signes ’ g en France, comme le prouvent notammentqui ^ étaie^ PrA1 èbre de SC H EU B ELIU S publiées, en 1551 et 1552,

GAVENT à Paris.2) Au lieu et place de ces signes il emploie les lettres majuscules P et M. Quant aux inconnues, il les désigné

• des lettres, chaque puissance ayant sa notation propre. Il définit luira ême les puissances par le tableau suivant“ )

1 - 2 - <3-4 - C- 8 - QQ -16 ■ B P - 3 2 ■ QC • 64 • E S ■ 128 • CC ■ 512.D’après cela l’équation4)

12 L M 1 QP 48 aequalia 144 AZ 24 L P 2 Q

se transcrit en écriture moderne:12* — x 2 + 48 = 144 — 24* fi- 2 x 2.

Ces notations sont fort claires et on s’y habitue de suite. La clarté est d’ailleurs un des grands mérites de Go sse l in . Ses démonstrations sont translucides, on aura l’occasion de s’en convaincre par les extraits que nous en donnerons.

Le chapitre 7 est consacré à l’extraction de la racine cubique des nombres. La méthode, cela va sans dire, repose sur la formule

( d + u f = d 3 + 3 d 2u + 3 d u 2 + u 3.

1) F ° 4 i-o.2) Algebrae compendiosa facilisque descriptio, qua depromuntur magna arith-

indices m iracula . A u tlw re Icm sm Scekvbklio Mathematicarum professore in academia Tvbingensi. (M arque d ’im prim eur de Cavkllat.) Parisiis, A pud Gulielmum Cauellat, in P in g u i G allina , ex aduerso Collegii Cameracensis. 1551. Cvm Pnvilegio.

Même t i t r e : P a risiis , A pud Gulielmum C au ella t. . . 1552 . . .L ’ouvrage av a it p a ru deux ans auparavant, à B à le , sous le titre : Evcurns

M eoabekbis philosoplii é mathematiei excellentissimi, se* libri priores de geometncis v n n c iv n s Graece é Latine, una cum demonstrationibus propositionum, absq; hterarum notis ueris ac proprijs, & alijs quibusdam usum eanm eontinenhbus, non citra maximum Indus artis studiosorum emolumento adiectis. Algebrae porro regvlae, propter nvme- ro m n exempta, passim propositionibus adieeta, 1ns Ubris praernissae sunt eaedemq; demonstratae. Avthore I o a w S cbmommuo, in inelyta academia Tvbm gem i Luclidis professore ordinario. (M arque d ’im prim eur.) Cum g ra tia & prm ileg io C aesano ad quin-

quennium . B asileae per Ioannem Heruagium . .I n bibliothèque royale de Belgique possédé les trois éditions, ce qui permet

de constater que les deux éd itions de Cavkulax ne diffèrent que par le m illés im e du titre. T , Ch y j fo 5 r o. EP, RS sign ifient: relatum p n m u m , relatum secundum.

4) Liv. III, ch. VI, fo 65 vo.

L’auteur en expose longuement l’emploi, mais tous ces développements peuvent être sans inconvénient passés ici sous silence et le tableau où se trouve résumé l’opération en fait suffisamment connaître le mécanisme. Il est intéressant de comparer ce tableau à ceux qui ont été publiés sur le même sujet par T r e u t l e in , dans son histoire du calcul au X V Ie siècle. ') A l’exemple du professeur de Carlsruhe, je transcris en marge, en écriture algébrique moderne, la signification des opérations principales.

L e nom bre sur leq u el Go sse l in opère est 10077696, dont la racine cubique est 216.2)


2816 1GG77696

2 M l !6

primumSi 63 i !1 2 ; H

d3 3 (d + u) du

opus 1261 ! I 3 (d -j- u) d u -f- u3638Ili

648126

3 ( D + U ) D U

38881296648

secundum

81648216

3 ( D + U ) D UU3

opus 816696 ( 3 D + U ) D U + U 3

On ne peut cependant passer outre, sans relever dans les explications de Go sse l in une faute de plume étrange et qui s’y reproduit jusqu’à deux fois. Elle ne l’empêche pas de calculer, en fait, correctement, preuve évidente que c’est de sa part distraction pure.

L’auteur dit donc, que pour déterminer les chiffres des unités successives de la racine, il faut chaque fois diviser les restes par le triple du nombre déjà déterminé des dizaines de cette racine. C’est le triple du carré du nombre des dizaines de la racine qu’il fallait dire. „Jam sumo triplum summae notarum in latere inventarum, hoc est 21; triplum est 63............inquiro quoties 63 in 8166 contineri possunt, at possunt sexies(sic)“3) 8166:63 = 6 (1). Il suffit de refaire l’opération pour constater que c’est la division de 8166 par 1323 = 3 x 2 1 2 qui donne 6 pour quotient.

1) P. T e e u t l e in , B a s Iiechnen im 16. Jdhrhundert; A b h a n d l. z u r G esch . d e r M a th em . 1, 1877, p. 71—75.

2) Fo 8 v o . — 8) Fo 8 r » .

Bibliotheca Mathematica. III. Folge. VII. 4

Le chapitre 9 est intitulé: „De Proportione Aritkmetica“ Sous ce nom Go ssel in y traite le problème: Etant donné le côté d’un nombre polygonal, trouver ce nombre. Le très savant Mau ric e B r e ssie u , professeur de m ath ématiques, dit-il,1) ,,vir doctissimus M. B r e ssiu s , professor mathematicus,“ 2) a donné la formule suivante. Je la traduis en langage moderne.

Soit n le nombre des angles du polygone, l la longneur de son côté, le la valeur du nombre polygone. On a

[(n - 2) (7 - 1) + 2] \ = le, la formule est donnée sans démonstration. Go sse l in en fait deux applications:

1°, Quel est le nombre triangulaire dont le côté est G?R. On a, n = 3, 1 = 6, d’où le = 21.2°, Quel est le nombre pentagonal dont le côté est 6?R. On a, n = 5, l = 6, d’où le = 51.Plus tard, au chapitre 15 du livre III, l’auteur reviendra sur la formule

de B r e ssieu , pour traiter le problème inverse, en résolvant la formule par rapport à l, quand on connaît le.

Abordons enfin l’examen des trois derniers chapitres du livre I, les plus connus du De arte magna. C’est d’eux que M o n t u c l a avait garde' le souvenir lorsqu’il d it:3)

„P ier r e J o ssel in de Cahors4) publia, en 1576, un traité d’algèbre intitulé: De occulta parte numerorum, etc. J ’ai idée d’y avoir vu anciennement des essais assez ingénieux d’application de l’algèbre à la géométrie, entr’autres à l’invention des deux moyennes proportionnelles continues, où il se trompe néanmoins, croyant avoir résolu par une équation du second degré, le problème qu’A po l l o n iu s 5) résolvait au moyen d’une hyperbole".

Ce problème était le suivant:6)1) G o s s e l in a u r a i t pu t i r e r e n c o r e sa f o r m u l e de l’Arithmetica integra (1 5 4 4 ) de

S t i f e l q u i t r a i t e a u s s i , c o m m e o n s a i t , d e l a t h é o r i e d e s nombres polygonaux.2) F ° 11 r«.3 ) Histoire des Mathématiques. Nouvelle édition 1 (Paris An VII), p . 6 1 3 .

4 ) M o n t u c l a a ici un défaut de mémoire en a ttribuan t l ’ouvrage à P ie r r e

J o s s e l in de Cahors et l ’autorité du grand historien a induit beaucoup d’autres en erreur. C a n t o r , lui même, hésite dans ses Vorlesungen et ne sait à qui il faut a ttribuer le Ne arte magna (22, p. 613). J ’ai résolu autrefois ce doute ici même, dans les „Kleine M itteilungen“ (B ib l io th . M a th e m . 3S, 1902, p. 357).

5) On ignore où A p o l l o n iu s s’est occupé de cette construction, d o n t E u to c iu s

parle dans son commentaire sur le second livre d ’AiicHiM ÈDE N e sphaera et cylindro (vo ir

A r c h im e d is Opéra, éd. J L. H e ib e r g , III, Lipsiae 1 8 8 1 , p. 7 6 ; A p o l lo n i i Opéra, éd .

J. L. H e ib e r g , II, Lipsiae 1893, p. 104). G o s s e l in avait peut-être tiré la c o n n a is s a n c e

de cette construction de l ’édition des œuvres d ’A ucH iM ÈD E publiée à Bâle e n 1544 .

6) Ici G o s s e l in n ’a pas moins de six figures différentes. Je n ’ai fa it aucune attention aux lettres qui y sont employées, pour m ’attacher exclusivement au sens des constructions.

r q H. BoSMANS.


„Etant donné un rectangle A B C B , du centre 0 du rectangle décrire une circonférence qui coupe les côtés A B et A C prolongés, respectivement en deux points JE et F, tels que la corde JE F passe par le quatrième sommet D du rectangle.“

L’erreur de Go ssel in provient de ce qu’il appelle quelque part la Petitio prior.Q On pourrait la résumer en ces termes :2)

„Si au lieu de l’expression exacte d’un nombre on n’en prend qu’une valeur approchée, les différences accusées sur les résultats des opérations sont proportionnelles aux différences faites sur les hypothèses.“

Quant à Go ssel in il est confirmé dans sa méprise par les applications qu’il fait de son postulat.

Il l’essaie sur plusieurs problèmes particuliers. Mais il a la main malheureuse, car les problèmes qu’il choisit sont d’une nature telle que le principe énoncé y est vrai, parce que ces problèmes eux-mêmes peuvent se résoudre par la méthode de fausse position. Voyant donc que le principe réussit, Go sse l in en conclut, par des considérations embrouillées, qu’il est général. Ces considérations sont d’ailleurs purement arithmétiques et c’est ici que M o ntucla croyait se rappeler une tentative ingénieuse d’application de l’algèbre à la géométrie. Il est en effet curieux de voir comment Go sselin adapte son postulat au problème actuel.3)

Du centre 0 et avec un rayon arbitraire, décrivons une circonférence qui coupe les côtés A B et A C respectivement en E 1 et F \ Menons la corde E 1F 1 et notons le point G où cette corde coupe la côté B B du rectangle ou son prolongement.

Faisons la même opération avec un rayon différent et notons le point H où la nouvelle corde coupe BB.

La différence accusée sur les résultats est le segment G H que le point B (en fait, intérieur à B et à H, dans les figures de Go ssel in )

divise dans un rapport donné

1) Comparer sur ce sujet le chap. 30 de VArs magna de Ca r d a n o .

2) Voici l ’un des passages où l ’auteur s’exprime le plus clairem ent: „Si pro ignota quaestionis alicujus quantitate, duae quaelibet ejusdem generis assumantur, et ex utraque sigillatim quaestionis formula pertraetetur, si quid vel supersit demum vel desit, cum nota redundantiae vel defectus ascribatur. E rit, sicut differentia errorum totius operis, ad utrumvis ipsorum errorum, sic differentia bypotbesium ad errorem ejus hypothesis cujus erratum operis secundum proportionale est assumptum; quod hypothesis erratum, hypothesi vel additum siquidem hypothesis fuerit minor quam oportuit, vel deductum si major, quaesitam suppeditat quantitatem “ (F° 24 v» — 25 r°).

Le même principe est énoncé plus loin, mais sous une autre forme, dans la I ’etitio prior (F ° 31 r° et v°).

3) Fo 87 r<>.

52H. B o s m a n s .

Or les différences faites sur les hypothèses, c’est à dire les différences des rayons, doivent être proportionnelles aux différences des résultats.

Soient donc R eî r les rayons employés et X le rayon cherché; on calculera x par la proportion

R —j e B GxT-^r ~ B i t

III.Le livre II, divisé en trois chapitres, est consacré au calcul algé

brique. Nous en transcrivons de nouveau les titres, mais pour leur intelligence il faut savoir que les nomina sont les monômes, dans lesquels, je l’ai dit ci-dessus, seule l’inconnue est représentée par des lettres, les intégra sont les polynômes rationnels par rapport à 1 inconnue; les particulae, les expressions renfermant l’inconnue en dénominateur; les latera, les radicaux. Ces mots définis, le sens des titres n’offre plus guère de difficultés.

1. De valore nominum sive quantitatum hujus artis.2. De additione et subductione nominum.3. De nominum multiplicatione.4. De nominum divisione.5. De integrorum additione.6. De integrorum deductione.7. De integrorum multiplicatione et demonstratione nostra.8. De integrorum divisione.9. De particulis.10. Quid sit latus et quotuplex.11. De laterum multiplicatione.12. De laterum additione.13. De laterum deductione.14. De laterum divisione.La valeur des „nomina“ ou noms, dont il est question au Chapitre 1,

est la valeur du chiffre du degré de l’inconnue. Exemple: L , Q, C, ont respectivement pour valeur 1, 2, 3.

D’après cela l’addition et la soustraction des noms de valeur différentes est impossible. Il faut se contenter d’indiquer l’opération par les signes P ou M (Chapitre 2).

Pour multiplier deux noms, on ajoute leurs valeurs et on multiplie leurs nombres, c’est à dire leurs coefficients (Chapitre 3). Exemple:1)

„Plaeet multiplicare 3 Q per 4(7; valor Q est 2, valor C 3, quae addita

1) F ° 41 yo.

constituant 5 cujus numeri quantitas est RP- i ) multiplico 3 in 4 nt 12. Multiplicatis itaque SQ in 4(7 exurgunt 12R P “

Pour diviser les noms on soustrait leurs valeurs et'on divise leurs nombres. G est la conséquence de la règle de la multiplication (Chapitre 4).

Les chapitres 5 à 9 exposent le calcul des polynômes entiers, comme on pourrait le faire encore aujourd’hui dans une algèbre élémentaire

y» Par exemPle, la précision de la règle des signes de la divisons)

Regulae quatuor:,,P in P diviso quotus est P.M in M quotus est P.M in P diviso quotus est M.P m M diviso quotus est M “.La règle des signes de la multiplication est d’ailleurs formulée avec

non moins de fermeté. s)Quant aux écritures, les calculs se disposent comme suit: Multiplication (Chapitre 7):4)

■ÎL3I8QP1 ± x — q x 2 _ j _ 7

3 Q P A L M 5 3x 2 + 4x — 5Î 1 2CM18QQP21Q _ ls —

Producta 16 QM24CP28L 1 6 x 2 _ 24xs + 28iÇ[M20LP30QM3Ô - 20* + 30*2 _ 35

Summa 67 Q P 8 L M 1 2 C M 18 QQM3Ô 6 7 ^ + s,, _ 12*« _ 1 s“ ?— Division (Chapitre 8) :5)

P * Q + 8*21 2 C71/10 Q3 I \ 2 L 12x3 — 10a:2 12a:

Quotus P 8 Q P 4 L + + 4æ. ~Divisor 2LM 'à 2 r —- 3

2 L M 3 2x — 3L’habitude de biffer, au fur et à mesure, les éléments employés est

empruntée aux usages de l’arithmétique; nous en avons vu un exemple ci-dessus, à propos de l ’extraction de la racine cubique. Le déplacement du diviseur à chaque nouveau terme était aussi fort usité. On croyait par là, et peut-être avec raison, garantir la sûreté de l ’opération en écartant les erreurs de distraction.6)

1) R P , la 5 e puissance de l ’inconnue d’après le tableau donné ci-dessus.2) Fo 45 yo (coté par erreur 25).8 ) Fo 4 5 r o . — 4) p o 4 5 v o. _ 5 ) p 0 47 r o.

6) Voir mon mémoire: L a méthode d’A d r i e n R o m a in p o u r effectuer les calculs des

1904 p 4 U - 4 2 9 A n n a le S ^ ^ S° C ié té s c i e n t i f iq u e de B r u x e l l e s , 2 8 : 2 ,

Le „De arte magna“ de Guillaume Gosselin. 5 3

H B o s m a n s .

54

Restent les cinq derniers chapitres du livre. Ils ont pour objet le

pal cul de la valeur arithmétique des radicaux.Les radicaux août simples ou com posés:') est a u t e m laterum up ex

genus simplicium et eompositormm sont u t 1 9 .L C 12, etc. Composite. xero u t ¿ F 2 4 E L 9 9 , i . F o termes: les radicaux simples sont des expressions te les que f l 6 p etc , les radicaux composés des expressions telles que 1 -4 + y j,

V6TV8. L’algorithme L V se lisait Latus u niversale-Il faut encore remarquer les radicaux ^composes ) L V L l O P L o

L F C L 5 P L C 1 0 , c’est à dire: y y lO + 1 /5 , y v ° + t 10-Un radical composé se nomme aussi „latus ligatum ), racine liée. Pour m ultiplier deux radicaux on les réduit au même nom (au meme

indice), puis on multiplie leurs nom bres, c’est à dire les quantités sous le radical (Chapitre 1). Donnons à cette occasion une ulee du style del’auteur. Il s’agit de multiplier y/8 par y9.4)

U t reducantur L C 8 et L Q 9 ad idem nom en, multiplicabimus h,numerum unius lateris secundum nomen alterius, hoc est quadrate, existent 64- tu ni multiplicabimus 9 num erum alterius secundum nomen alterius, hoc est cubice, fient 729; deinde m ultiplicabim us valorem , hoc est 2, m valorem cubi, hoc est 3, exurgent 6 , cujus valons quantitas est QC.Dicemus ergo revocatis L Q 9 et L C 8 ad idem nom en existere L Q 664 etLQC 129 . . His ita constitutis, cum ambo latera constitu ta fuerint ad idem nomen eundemque valorem, m ultiplicabim us num erum unius m numerum, alterius et latus producti erit factus num erus ex uno latere in aliud.

Règle analogue pour la division des radicaux (C hapitre 14).Quant à l’addition et à la soustraction des radicaux, elle n ’est pos

sible que si les radicaux son semblables; dans les autres cas il faut se contenter d’indiquer l’opération (Chapitres 12 et 13).

T out cela est écrit en un style clair, bref, v if e t précis, qui fait plaisir à lire, ce dont au surplus l’auteur a conscience. „Reliqua, dit-il au commencement du chapitre 10, en donnant le p lan qu il va suivre, ) quae a Stifelio , 6) Cardano7) et P eeetario 8) p lu ra m ulto proponuntur, nnssa

1) Fo 47 v°. — 2) F» 48 r° . — 3) F ° 48 r°. — 4) F ° 48 \ ° — 49 r ° — 5) F». 47 v<>.6) M . S t i f e l , Arithmetica integra. Norimbergae M.D.XL1I1I. L exemplaire de

l ’Université de Louvain (Scienc. 244) que j ’ai sous les yeux présente un intérêt particulier. Il a appartenu à G em m a F r is iu s et contient, en m arge, de nombreuses notes et réflexions critiques écrites de sa main.

7) H ie r o n i m i C a r d a n t , Practica arithmetice, é mensurandi singularis. Mediolani M.D.XXX1X. Réédité dans: H ie r o n y m i C a r d a n t Opervm Tomvs qvartvs . . . Lvgdvm M.DC.LXIH. . .

8 ) I a c o b i P e l e t a r i i , De occvlta parte nvmerorvm, qmm Algebram vocant, hbrt

Le „De arte m agna“ de Guillaume Gosselin. 55

faciemus; sunt enim ejusmodi u t usum habeant nullum , obscuritatem singularem.“

IY.

Le livre III a pour objet la Théorie des équations, telle que ce mot eût pu être entendu par un algébriste du XVIe siècle. Il est divisé eu 13 chapitres aux titres desquels l ’auteur ajoute, quand il y a lieu, le nombre des problèmes résolus en exemples, dans chacun d’eux.

1° De aequatione.2° Quotuplex sit aequatio.3° De aequatione simplice (du l r degré) du obus ad hanc problematis

et demonstratione nostra.4° De aequatione secunda (du 2 a degré) et tribus canonibus cum

demonstrationibus nostris et tribus ad hanc problematis.5° De aequatione ad hanc proportionali et uno ad hanc problemate.

Equation bicarrée et autres équations réductibles au second degré.6° De reductione quadratorum ad unum quadratum. Des équations

du 2 a degré dans lesquelles le terme du 2 d degré contient plusieurscarrés, c’est à dire est affecté d’un coefficient. On la ramène à un seulcarré en divisant les deux membres par ce coefficient.

7° Quomodo revocantur quantitates ad minorem valorem et uno ad hanc problemate. De l’abaissement du degré des équations.

8° De infinito horum aequationum dignoscendis rationibus. E critcontre N onius.1)

9° Quomodo in particulis et lateribus fieri debeat aequatio.10 De aequatione tertia seu cubica.11 De fictitia D iophanti aequatione et quinque ad hanc problematis.12 De duplicata D iophanti aequalitate et uno ad hanc problemate.13 Dati cujuscunque polygoni lateris inquirendi generalis nostra ratio

et facilis.Au chapitre 1, Oo sse l in définit l ’équation en ces term es:2) „Aequatio

est duarum quantitatum diversi nominis et valoris ad unam aestimationem reductio; u t cum dicimus unum quadratum aequari quatuor lateribus,c. à d. x 2 — \x .

Combien y a-t-il d’espèces d’équations (Chapitre 2)?Quelques géomètres soutiennent, à to rt, que le nombre des équations

est illimité. Mais si on veut bien faire réflexion que toute quantité

duo. Parisiis 1560. Dans la préface du livre I, P eeetier parle de l ’édition française de son algèbre qui a pour titre : L ’algèbre de I a c q u e s P e l e t i e r du M ans départie en deus livres. A Lion, par Ian de Tournes, 1554. Je cite ce dernier titre d ’après le Manuel du libraire et de l’amateur de livres . . . par J a c q u e s C h a r l e s B r u n e i tom. 4, Paris 1863, col. 475.

1) Nous y reviendrons plus loin. — 2) F» 58 r°.

56 H. B o s m a n s .

continue est ligne, surface ou corps, on devra convenir qu’on ne peut raisonnablement admettre que trois espèces d’équations. L’auteur prévoit, semble-t-il, qu’une pareille affirmation ne restera pas sans soulever de protestations. On possédait la solution de l’équation du 4e degré! Aussi, „utut sit", ajoute-t-il,1) „nostra haec est sententia quam postea, juvante Deo, demonstrabimus“.

Ainsi donc pour Gosselin l’équation du 4e degré est pur jeu de l’esprit n’ayant qu’un sens conventionnel, comme pour nous l’espace à 4 dimensions!

Cette idée ne lui est pas aussi personnelle qu’il veut bien le dire. Il l’avait empruntée à Ca r d a n qui écrit, lui aussi, au Chapitre 1 de son Artis magnae liber:2) „Cum positio lineam, quadratum superficiem, cubus solidum référât, nae utique stultum fuerit, nos ultra progredi quo natura non licet“.

Mais, comme A d r ie n R om ain le fait très bien observer, dans son essai historique sur la résolution des équations,3) c’est la théorie des sections angulaires qui devait amener les géomètres à d’autres idées et leur montrer l’utilité pratique des équations de tous les degrés.4)

Pour résoudre les équations, Go sse l in emploie de prime abord de bien jolies méthodes. Impossible de les faire mieux connaître qu’en transcrivant une de ces solutions en entier, celle du problème 2 du chapitre 3, par exemple.5) Au surplus cela me permettra d’abréger en évitant les explications; je me contenterai d’ajouter au texte la traduction des formules en notations modernes.

„Duo habent ignotam mihi summam aureorum. Dixit primus secundo, si dederis latus quadratum tuorum aureorum possidebo très plus quam tu; sed (dixit secundus) dato latus quadratum tuorum, habebo 5 plus quamtu. Quot aureos unusquisque possidebat in loculis?

„Fingamus secundum habuisse 1 Q x 2.„Det suum L (— x) primo, reliquum erit illi 1 Q M 1 L x 2—x.„Et quia primus debet habere 3 plus quam secundus, habebit igitur

primus 1Q M 1L P 3 x 2 — æ + 3.

1) Ffo 53 vo—54 ro. — 2) Opéra, cité ci-dessus, t. IV, p. 222.3) Placé en tête de ses In M a h v m e d is Algébram prolegomena.4) „Sed et aequationes quantita tum , non ad centesimum duntaxat, sed et

millesinmm gradum et ulterius, sunt in usu humano : saltem in sectionibus angulorum, sive (quod in idem incidit) lateribus polygonorum, cum in iis non centuplicata duntaxat, sed et millecuplicata, et ulterior in infinitum inveniatur ratio .“ In M a u o m e v is

Algébram Prolegomena, p. 12.5) F« 56 ro—57 r<>. Je dirai ici, une fois pour tou tes, que la ponctuation de

G o s s e l in est défectueuse et que je n ’en tiens pas compte. Pour faciliter la lecture,j ai aussi, conformément aux habitudes modernes, multiplié les alinéas.


„Reddat jam 1L (— x) secundo quod ab eo accepit, restabunt illi 1Q M 2L P 3 x 2 — 2x -\- 3,„et secundus habebit 1 Q. x 2

„Sed et secundus, ex hypothesi, cum primi pecuniae latere habet 5 plus quam primus; det igitur primus suum L secundo, hoc est L V 1 Q M 2 L P 3 ( = y*2 — 2x + W), habebit secundus 1 QPL VI Q M 2LP3

x 2 + yJx2 — 2# -f- 3;et restabunt primo 1 Q M 2 L P 3 M L V I Q M 2 L P 3

x 2 — 2# -f 3 — y#2 — 2 x -f- 3. erum et secundus cum latere primi debet habere 5 plus quam

primus, quare primus minor secundo 5. Addamus igitur 5 primo, existit primus

1 Q M 2 L P 8 M L V I Q M 2L P 3 et haec aequabuntur secundo, nimirum

1 QPL V 1 Q M 2 L P 3x 2 — 2x + 8 — )!x2 — 2x + 3 = z 2 + f x 2 — 2x~+~3

„Et subducto utrinque 1 Q ( = x 2) restabitL V l Q M 2L P 3 aequale 8 M 2 L M L V I Q M 2L P 3

yjx2 — 2x + 3 = 8 — 2x — f x 2 — 2x + 3„Et addendo L V ( — le radical) quod deficit ex altera parte, ex 3 axiomate

restabunt8 M 2 L aequalia 2 L V 1 Q M 2 L P 3

8 — 2x = 2 yx2 — 2« 'i f 3„Duplicemus ergo L V, existet

L V 4 Q M 8 L P 1 2 aequale 8M 2 Ly 4 ^ ^ W + T 2 = 8 — 2x

et quadratis partibus4 Q M 8 L P 1 2 aequalia 64M 32L P 4Q

4 x2 — 8x - f 12 = 64 — 32x + 4x2 „Deducamus utrinque 4 Q et 12 ( = 4 x 2 + 12), restabunt

52 M 32 L aequalia M 8 L52 — 32x = — 8x

„Tollamus utrinque M 8L(== — 8x), supererunt 52Ü/24L aequalia nihilo

52 — 24 x = 0„Addamus utrinque 24 L, quae deficiunt in altera parte, existent

52 aequalia 24L52 = 24x

et sic stat aequatio. Partiemur 52 in 24, quotus erit 2 j , valor scilicet L ( x = 2lU). Secundus ergo quem fecimus habuisse 1 Q, habuit quadratum

Oo

2fc hoc est 4H- [x2 = (H )2 = 4H]- Primus ver0 1 Q M 2 L F 3 > hoc est 3y§, (x2 — 2 a; + 3 = 3Jf).

Le lecteur aura remarqué ces deux équations :52M 32L aequalia M 8L , 52 — 32a; = 3a";52-M24L aequalia nihilo, 52 — 24a; = 0.

Cette manière d’écrire, si rare encore au XVIe siècle, mérite l'attention.1)Je passe rapidement sur l’équation du second degré, dont la réso

lution forme l’objet des chapitres 4—8. A l’exemple de ses prédécesseurs, G o s s e l i n ramène l’équation aux trois types,

q = x 2 -\-px , x 2 — p x q , p x — x 2 -f- qet pour chacun d’eux il établit les formules classiques. Il n’y a rien de neuf à y relever, si ce n’est, peut-être, qu’à un moment il est assez mal inspiré. Partout ailleurs il professe grand respect pour Y Algèbre de N oniüS,,,in cujus verba juravi“, dit-il dans la préface;2) mais ici il lui cherchemal à propos querelle.3)

Quand le terme du second degré est affecté d’un coefficient, X onius

résout l’équation que nous écririonsax2 -f- bx — c

en lui faisant subir les transformations suivantes:4)4 a2x 2 -f 4 abx = 4ac

(2 ax -f- b)2 — b2 + 4a cV b2 + 4ac — b

2x = ----------------------aGo sse l in ne sait pas faire assez de gorges chaudes sur cette manière

d’opérer. Pourquoi d’abord cette multiplication par a? Pourquoi sur

1) Outre l ’exemple cité c i-dessus, on trouve encore chez G o s s e l in (F® 73 v°)3 Q M 24 L aequalia nihilo, 3 a;2 — 24 a; = 0.

Voir, sur c e sujet intéressant: G. E n e s t r ô m : Über Gleichungcn, die auf Null gebracht sind (B ib l io th . M a th em . 3s, 1902, p. 14-5).

C a n t o r , dans sa réponse à la Question 307 de l ’I n t e r m é d i a i r e des m a th é m a t ic ie n s 2, 1895, p. 86 .

Je rappellerai que W a l l i s fit un effort énergique pour tâcher de reporter le mérite de cet usage sur H a r r i o t (J. W allisu Opéra matliematica, Oxoniae 1693—1699, T. II, p. 139). Le rédacteur des A c ta E r u d i t o r u m crut le fa it assez important pour m ériter d être relevé dans le compte rendu qu’il donna de Y Algèbre de W a l l i s (Année 1686, p. 285).

2) Fo aiüj 2 o. _ 3) C’est l ’objet du chapitre VIII, f . 67 r o—68 r o.4) Je cite d après G o s s e l in , car les Opéra de N o n iu s (Basileae) que j ’ai seuls sous

la main ne contiennent pas l ’algèbre. L’édition espagnole parut, on le sait, à Anvers, sous le titre : Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria. Compuesto por el Uoctor Pedro Nunez, Cosmographo Mayor del R ey de Portugal. Anvers, en la casa de la Biuda y Herederos de Juan Stelsio, 1567. D’autres exemplaires ont pour adresse d imprimeur: En Anvers, en casa de los Herederos d ’Arnoldo Birckmau, 1567.

H. B o s m a n s .


tout prendre pour inconnue 2x? Quelle raison y a-t-il de s’arrêter dans cette voie? Ne pourrait-on pas aussi bien choisir 3x, ou 4x, ou 5æ? Là- dessus Go ssel in démontre que N o nius aurait pu prendre pour inconnue 3x ou i x , ce qui ne lui cause naturellement aucune difficulté.

Le chapitre 10 „De aequatione tertia“ est très écourté. Go ssel in n’y expose pas ce qu’on savait alors de la résolution de l’équation du 3e degré; il se contente de dire que le problème n’a pas encore reçu de solution complète. Il le réétudiera et publiera sous peu le résultat de ses recherches; „nos vero interea pro virili parte problema hoc vestigabimus, dabimusque operam ut brevi cognoscatur“.x)

Les chapitres 11 et 12 ont pour objet des problèmes d’analyse indéterminée d’après Diophante.

La traduction latine de D io p h a n t e venait d’être éditée à Bâle, en 1575, par X y l a n d e r . Il y avait donc de cela deux ans à peine. Mais il faut avoir eu en mains l’édition de X y l a n d e r pour comprendre quelle série d’inextricables énigmes à résoudre, elle imposait à la sagacité des mathématiciens.

Ecoutons à ce sujet, un des plus ingénieux commentateurs de D io p h a n t e , S imon St e v in :2)

„L’exemplaire grec duquel X y l a n d r e l’avoit translaté, dit-il, a esté (par le souvent rescripre comme il semble) si rempli de vices (dont X y l a n d r e s’en complaint souventes fois) que le texte de D io p h a n t e ne se pourroit expliquer de mot à mot.“

Aussi S t e v in arrête sa traduction et son commentaire à la fin du quatrième livre, „laissant le cinquiesme et le sixiesme pour empeschement d’autres occupations plus nécessaires“.3) Mais A l b er t Gira rd son continuateur ne croit pas trop à la raison alléguée par le géomètre brugeois D’après lui,4) il „est plus apparent que les grandes difficultés qui se rencontrent aux deux derniers livres de D io p h a n t e ont empesché le translateur d’en parachever la version“.

Il ne faut donc p o in t s ’étonner d’entendre Go sse l in nou s dire, dans

1) F» 72 v».

2) L'Arithmétique, Leyde CIO. 10. LXXXV, p. 433—434.Réédité dans: Les Oeuvres Mathématiques de S im o n S t e v in de Bruges. Par

A l b e r t G ir a r d . Leyde, CIO. 10. CXXXIV, Tom. I, p. 102.

3) L ’Arithmétique, p. 433; Les Oeuvres, Tom. I. p. 102.4) L'Arithmétique de S im o n S t e v in de Brvges, Beueuë, corrigée & augmentée de

plusieurs traictez et annotation par A l b e r t G ir a r d Samielois Mathématicien. A Leide, de l’Imprimerie des Elzeviers. CIO. 10. CXXV. F ° * 2- Dans la dédicace d’A l b e r t

G i r a r d à M a u r i c e d e N a s s a u . Cette dédicace n’est pas reproduite dans l’édition des Oeuvres Mathématiques de S im o n S t e v in , par A l b e r t G ir a r d , de Leide 1634.

60 H. B osm a n s .

sa préface:1) „Cum vero ad D io ph a n t u m deveni, aliquantulum me recta circumegit ratio; nihilominus multis laboribus exantlatis, plurima exhausta fuligine, tandem ipsum legi, perlegi et assecutus fui“. Plus tard, ajoute-t-il, il publiera un commentaire complet de l ’algébriste grec; mais il convient d’attendre que Maurice B r e ssie u , ait d’abord publié le texte des sept derniers livres, d’après le manuscrit de la Bibliothèque du Roi.2) Pour le moment, il se contente de faire connaître l’esprit des méthodes de D io ph a nte , par quelques exemples.

En fait, Gosse lin traite seulement les équations et les problèmes suivants:

D’abord, au chapitre 11, trois équations:1° 6æ2 + 1 6 = î/22° 6* - f 8 = \f-3° 6x'2 + 12x + 16 = y 3.

Puis, toujours dans le même chapitre, cinq problèmes:1° Trouver trois nombres en progression arithmétique, et tels, qu’en

ajoutant 4 à chacun d’eux, on obtienne trois carrés.2° Trouver trois nombres dont la somme soit un carré; et tels que

le premier soit un carré, ainsi que les sommes de ce premier nombre avec chacun des deux autres.

3° Trouver, quatre nombres dont la somme soit un carré; et tels que les différences entre le premier et le second, le second et le troisième, le troisième et le quatrième, soient trois carrés.

4° Trouver trois carrés en progression arithmétique.5 Trouver trois carrés en progression arithmétique, connaissant le

carré du milieu.

Au chapitre 12, Go sselin ne résout qu’un seul problème, qu’il dit très difficile:3)

Trouver tiois cairés en progression arithmétique connaissant la raison.L’exemple numérique sur lequel Go sse l in raisonne est traité correcte

ment, mais il est moins évident qu’il aît aperçu la solution générale de question. Quoi qu il en soit, il débute d’une manière fort élégante.

La voici en langage moderne:

1) F o a iiîj ro et vo. _ 2) F o a iü j v ° - (&v) r o.

i } , ” 1 ,V ' lm p ro b lè m e de D i o p h a n t e q u i lu i a do n n é l ’idée de

n r ih là i'i a Po ° ,^m e ^ énonce e t le ré so u t. O n y re c o n n a î t im m é d ia te m e n t lep 7, CU ' ' 10 ^ es A rithm étiques. V o ir D iopuanti Opéra om nia . . ediditAr a u l u s I a n x e r y , L ip s iae 1893, p . 9 6 9 9 .


boit d la raison donnée. Le problème revient à résoudre les deux équations :

x2 + d = ?/2 (1)x 2 + 2d = z 2 (2)

(1) peut s’écrired — (y + x) (y — x)

On décomposera donc d, de toutes les manières possibles, en deux facteurs, d = uv, et on posera

y + x — u , y — x = vd’où on a, pour chacune des décompositions en facteurs de d:

V = 2 (« + v) , x = i (M _ vy Jusqu’ici Go ssel in est parfaitement clair. Mais maintenant il abrège

et semble opérer quelque peu au hasard. Il était bien aisé cependant d’achever la solution comme elle était commencée:(2) peut s’écrire

2 d — (g -f- x) (g — x)On décomposera 2d en deux facteurs, de toutes les manières possibles,

2 d = u v , puis on poseras + x = u , z — x = v

d’oùz — 1 (m + V ) , x = \ ( u ' ------V )

Le problème n est possible que si les deux valeurs de x sont égales, c’est à dire, si

u — v = u — vA cette condition il n ’est, en tous cas, fait aucune allusion.Go sse l in se donne pour raison le nombre 96. Les trois carrés qui

répondent à la question sont alors 4, 100, 196.Le chapitre 13 a pour but de trouver le côté d’un nombre polygonal

donné. Le sujet n y est pas traité avec toute la généralité que semble promettre le titre: „vestigare cujuscunque polygoni lateris generalis nostra ratio et facilis'“. Au point de vue théorique l’auteur se contente de renvoyer à la formule de Maurice B k e ssie u qu’il a donnée au chapitre 9 du livre I. Il l’applique à deux problèmes.x)

1° Trouver le côté du nombre triangulaire 21?Il suffit de résoudre l’équation

\ Q P ^ L aeqnale 21 , \ x ' i + \ x = 2 lOn obtient 6 pour longueur du côté.

1) Fo 7 8 y o - 7 9 r<>.

62 H . B o s m a h s .

2° Trouver le côté du nombre pentagonal 51?Il faut résoudre

-| QM L aequale 51 , J- æ2 — \ x = 51On obtient de nouveau 6.

Y.

Le livre IV est le plus intéressant de l’ouvrage. „Hactenus“, dit Go s s e l in , 1) „ilia quae sub Algebrae calculum cadere posse videbantur explicuimus, immensumque adeo opus très in libros cougessimus. Super- est aliud ratiocinandi genus duplex: unum quantitatis simplicis quae absoluta vulgo dicitur, alterum quantitatis surdae; utrumque quadantenus Algebrae simile. Una tamen hypothesi non absolvitur, praesertim simplex sed duabus, pluribusve.“

Les hypothèses multiples dont il est ici question, sont des équations multiples. Bref, pour aller droit au but, Go sse l in veut dire qu il va nous exposer la résolution des équations à plusieurs inconnues.

Il divise son livre IY en trois chapitres. Le premier n’a pas d’en tête et sert de préface, mais les deux autres sont intitulés respectivement,

De quantitate absoluta.De quantité surda.Que faut-il entendre par ces deux mots? Go sse l in ne les définit pas

et il est assez malaisé de le faire à sa place. Sous le nom de quantités absolues et de quantités sourdes, il s’agit de deux méthodes diftérentes pour résoudre les équations du l 1' degré à plusieurs inconnues. Un exemple de chacune d’elles en fera saisir la différence.

Les problèmes des quantités absolues sont au nombre de 5 et tous du même genre. Go sse l in modifie sa notation habituelle, en supprimant dans les formules les signes P et M. Par conséquent

1 C aequale 13doit se lire

D + $ A + $ B + $ C = 13.

C’est une notation dont l’idée appartient à B ü t é o n , 2) auquel l’énoncé du problème suivant est d’ailleurs emprunté.

1) F ° 79 vo—80 ro.2) I. B uteo, Logistica, quae & arithmetica vulgo dicitur in libros quinque digesta.

Lvgdvni M.Ü.LIX. Yoir sur cet ouvrage: G .W eiitheim, Die Lngistik des J o u a n n e s B u t e o -

B ib l io th . M a th e m . 1902, p. 217—218.

Problema 5. *)„Inveniamus quatuor numéros quorum primus cum semisse reliquorum

faciat 17, secundus cum aliorum tríente 12, tertius cum aliorum quadrante 13, item quartus cum aliorum sextante 13.

„Sint illi quatuor A, 5 , G, D; et sint1 A \ B \ C \ D aequalia 17 1 B ^ A \ C \ B aequalia 12 1 C \ A \ B \ D aequalia 13 1 D \ A ^ B \C aequalia 13.

Revocentar ad Íntegros numéros, existent2 A 1 5 1 (7 1 5 aequalia 34 1 A 3 5 1 C 1 5 aequalia 361 A l B A C 1D aequalia 52 1A1B1C Q D aequalia 78.

Addamus duas ultimas aequationes, tertiam scilicet et quartam, existent 2 A 2 B 5 C 1 D aequalia 130

tollamus bine primam, restabunt1 5 4 (7 6 5 aequalia 96.

Addamus quartam et secundam, fient2 A 4 5 2 C 1B aequalia 114

tollamus hinc primam, superest351(76 5 aequalia 80.

Addamus secundam et tertiam aequationem, fient 2.4 .455 C2D aequalia 88

tollamus primam, restabunt354C 1Z ) aequalia 54.

Jam vero triplicemus 1 5 4 (7 6 5 quae fuerunt aequalia 96, fient 3 5 1 2 (7 1 8 5 aequalia 288

tollamus bine 35 1 (765 aequalia 80, restabunt11(7125 aequalia 208

subducamus iterum ex eadem 3 5 4 (7 1 5 aequalia 54, restabunt8(7175 aequalia 234.

Multiplicemus banc aequationem in 11, fient 88(71875 aequalia 2574

ducamus etiam 11(7125 aequalia 208 in 8, existent88(7965 aequalia 1664

1) F<> 82 y»—83 v°, dans la Logística, p. 193.


n . H. B o sm a n s .64tollamus 88C 96D aequalia 1664 ex 88C187D aequalibus 2574, restabunt

91 D aequalia 910sicque stat aequatiQ.

Partiemur 910 in 91, quotus erit 10 valor D ; est ergo 10 ultimusnumerus ex quaesitis.

Et quoniam 11 G12D erant aequalia 208, tollamus 12Z> hoc est 120,restabunt

88 aequalia 110 dividemus 88 in 11, quotus erit 8, valor C et tertius numerus.

Sed etiam 3-B 401D aequalia sunt 54; tollamus hinc 4C1Z), hoc est 10 et 32, nempe 42, restabunt

12 aequalia 3 B

estque B et secundus numerus 4.Jamvero 2 A 1 B 1 C \D aequantur 34; tollamus 1 B, nempe 4, 1 0 8,

1D 10, hoc est 22, restabunt12 aequalia 2 A

quare 1.4. et primus numerus est 6; suntque quatuor numeri 6, 4, 8, 10, quales vestigasse oportuit.“

Demeurons en d’accord, voila une démonstration qui peut être mise en parallèle avec ce que les algebristes du XVIe siècle ont écrit de meilleur. Aussi est-il bien naturel le sentiment de fierté avec lequel Go sse l in triomphe maintenant de B ütÉon qui a essayé de trois manières différentes, dit-il,1) d’appliquer sa méthode au problème proposé sans parvenir à le résoudre. Trois fois, en effet, B u t é o n s’embrouille dans la solution.2) Il ne parvient pas à éliminer régulièrement les inconnues, comme Go sse l in le fait, mais après en avoir, par des soustractions, réduit le nombre au besoin jusqu’à deux, trois fois il achève le problème, correctement il est vrai, mais par des tâtonnements et à la manière d’un exercice d’analyse indéterminée. Aussi B ü t Éo n termine-t-il,3) par une réflexion un peu découragée, que ne mérite plus la solution de Go s s e l in : „Si cui modus iste calculi videatur obscurior in liac régula, cuius est etiam rarior usus, certo sciât alium communiter usurpatum longe plus afferre molestiae, multoque difficilius capi. Innata enim rebus ipsis obscuritas arte quidem levari potest, tolli autem nullo modo“.

1 ) Fo 83 vo.2) Logística p. 193— 196. Il reste cep en d an t à B u téon le m érite d ’avo ir in sp iré

à G osselin le principe de la m éthode.

3) Logística p. 196.


Il nous reste, pour terminer ce travail, à donner un exemple de la résolution d’un système d’équations par quantités sourdes. Les problèmes traités par cette méthode, au nombre de quatre, ont tous pour notes caractéristiques d’abord l’emploi explicite d’une seconde inconnue, la quantité sourde,1) ensuite une espèce d’essai d’élimination par substitution.

„Problema 2 2)„Vestigemus très ejusmodi numéros, ut primus et secundus superent

tertium 20, secundus et tertius primum 30, primus et tertius secundum 40.„Sit primus 1, secundus 1 q, tertius ergo erit 1 L P 1 q M 20

( = £ -|- q — 20). Sed secundus et tertius superant primum 30, quare lL P 2 q M 2 0 aequalia sunt 1£ P 3 0

[£ + 2q — 20 = £ + 30] et sublato superfluo, additoque quod déficit

2 q aequales 50,fit lq25.

Jam sit primus, ut ante, IL , secundus 25, tertius I L P2ÔM20 ( = £ - { - 25 — 20), hoc est, IL P b (==£ + 5). Sed et tertius et primus superant secundum 40, quare

2 £ P 5 aequalia sunt 65et sublato superfluo

2 £ aequalia 60,fit unum latus 30. Primus itaque est 30, secundus 25, tertius 30 P5, hoc est 35/'

Il est intéressant de comparer, à cette occasion, Go sselin et S c iie u b e l . M. P o n t é s , dans son étude sur Les arithmétiques et les algèbres du X V I e siècle qui sont à la bibliothèque de Toulouse,3) a relevé avant moi, chez l ’algébriste allemand,4) un essai analogue de méthode par substitution. Mais S c h e u b e l est bien inférieur à Go sse l in , car l’idée d’employer une seconde inconnue ne lui vient pas.5)

1) D ans ce sens, le term e „ q u an tita sorda“ a été em ployé déjà p a r P aciuolo (cf. B i b l i o t h . M a th e m . 63, 1905, p. 899), e t plus ta rd p a r Cardan. Le term e est usité encore p a r Clavius dans son Algebra (chap. XV, Clavii Opéra, M oguntiae 1611, 2, p. 36).

2) Fo 84 vo— 85 r° .3) B u l l e t i n s e t m é m o i r e s d e l ’a c a d é m i e d e s s c i e n c e s i n s c r i p t i o n s e t

b e l l e s - l e t t r e s d e T o u lo u s e 3 , 1900, p. 285—286.V oir aussi les exem ples cites p a r M. S ta ig m ü lle r , à la p. 456 de sa notice:

I o iia n n e s S c h e u b e l , ein Deutscher Algebraiker des X V I . Jahrhundert; A b b a n d l . z u r G e sc h . d e r M a th e m . 9, 1900. — D ans Scheubel, éd. de Bâle, p. 20—21 e t 23— 24; éditions de Paris, f. 15 v ° — 16 r ° e t 17 r<>—17 v».

4) Ed. de Bâle, p. 73; éditions de P aris, f ° 50 v°.5) D ’après S t i f e l ce sera it à Cardan que rev ien d ra it l ’honnour d ’avoir repré-

Bibliotheca Hathematica. III. Folge. VII. 5

6 6H . B o sm an s : Le „De arte m agna“ de Guillaume Gosselin.

VI.Concluons. Nous croyons avoir donné une idée complète du De arte

magna, et en tous cas nous avons tâché d’y garder la plus stricte impartialité. C’est pour cela que nous avons laissé l’auteur parler le plus souvent lui même. Nous pouvons porter maintenant un jugement d’ensemble sur son oeuvre. On n’y trouve, il est vrai, aucune de ces grandes découvertes qui font époque et cependant le De arte magna mérita à juste titre l’estime des contemporains. G o s s e l i n , très au courant de la science de son temps, y est éminemment clair et bref. C’est un vulgarisateur dans le meilleur sens du mot, ayant l’art de jeter la lumière sur les découvertes des autres et de les mettre à la portée du grand nombre des savants. K a s t n e u avait excellemment jugé le De arte magna en disant qu il était „sehr gut nur kuiz .

sente les diverses inconnues d’un problème, par des lettres différentes. Voici le passage (Aritlimetica Integra, Lib. III, cap. VI, f° 252 r°):

„ C h r i s t o p h o r ü s et B ie r o n y m u s G a r d a n u s , trac tan t radices secundas (,1e8 deuxièmes inconnues) sub vocabulo quantita tis , ideoque eas sic signant 1 q. Latius vero eas tractavit C a r d a n u s . C h r i s t o p h o r ü s enim nibil habet de commissionibus secundarum radicum cum primis. Eas autem C a r d a n u s pulcbris exemplis notificavit, ita u t ipsas facile didicerim. Eae autem commissiones secundarum radicum cum primis sequentia exempla satis docent.“ Suivent les exemples.

S t i f e l a é v id e m m e n t i c i e n v u e le c h a p i t r e 9 d e VArtis m agnat liber {Opéra, t . I V , p . 2 4 1 - 2 4 2 ) .

G in o L o r i a : Per la preistoria della teoría delle trasformazioni di contatto. 67

Per la preistoria della teoria delle trasformazioni di contatto.Di Gino L oria a Genova.

Le trasformazioni geometriche ideate da F erm at e delle quali mi sono di recente ocenpato sono notevoli perché, a differenza di quelle che ordinariamente si usano, riposano sulla considerazione della lunghezza degli archi delle curve alie quali sono applicate. Esse sono effettuahili su qualunque curva piaña, ma, contenendo nella loro rappresentazione analítica una funzione inerente alie curve su cui operano, non sono di quelle che esercitano la loro influenza sull’ intero piano. Esse quindi, contrariamente a quanto, peí- una inesplicabile ed imperdonahile svista, ho asserito, non sono t r a s fo rm azio n i di c o n ta tto , almeno sinché si voglia conservare a tale locuzione il significato attribuitole da S. L ie .

Di tale categoría di trasformazioni fa invece parte una classe di corrispondenze piú antiche di tutte quelle studiate dal L ie nel capitolo intitolato „Zur Yorgeschichte der Berührungstransformationen“ di una delle migliori sue opere.2) Sono quelle trasformazioni immaginate dal V ar ig n o n e che ho studiate nel Cap. I dell’ultima parte della mia opera Spezielle algebraische und transscendente ebene Kurven (Leipzig 1902, p. 595 e seg.) In forza di una tale corrispondenza al punto I \ di coordínate xx, y± viene associato quello P di coordínate polari q, oj tali che(1) xx = Q ,yx = la}

ossia, introducendo le coordínate cartesiane x, y del punto P,

(2) xx = f x 2 + y 2, yx = l are tg

ove l é una costante nota.Ora la proprietá essenziale di tale trasformazione, di mutare due curve

fra loro tangenti in altre puré in contatto, si pud rendere di evidenza intuitiva, senza ricorrere a teoremi generali, mediante una costruzione stereometrica della trasformazione stessa, che, non essendo, a quanto mi consta, stata finora notata, giova qui segnalare.

1) B ib l io th . M a th e m . 63, 1905, p. 343—346.2) Geometrie der Berührungstransformationen, dargestellt von S. L ie und S. S c h e f f e r s ,

I. Bd., Leipzig 1896, p. l e seg.5*

Si consideri la superficie elicoide avente per asse la retta Oz e peí curva meridiana nel piano x O z quella di equazione(3 ) f ( ? , e ) = 0.Se l é il común passo ridotto delle eliche della superficie, quella di talicurve che passa peí punto (xu ef) del meridiano sara rappresentabile mediantele equazioni(4) x = xí eos u, y = x1 sen u, s = zx + ^u>nelle quali u é un parámetro variahile. L’equazione di quella superficie si otterrá eliminando u, xu zx fra le (4) e l’equazione f (xu zt) = 0, ond’ é

(5) f (V¿r + y f, * — l arc tg f ) = 0.

La sezione della superficie col piano x O y (che é un piano qualunque perpendicolare all’asse) avrá quindi per equazione

(6) f ( V ^ T ^ — l are tg |-)

o, introducendo coordinate polari Q e cu,

(7) f(e,i<0) = 0-Ora la curva (7) nasce evidentemente dalla (3) coll’ applicazione di

una trasformazione di V a k i g n o n ; quindi per eseguire questa sopra una curva del piano x s si puo procederé cosí: si consideri una superficie elicoide di cui quella curva sia il meridiano e la si tagli con un piano perpendicolare alV asse; la curva sezione sara la cercata. Emerge da ció che se si considerano nel piano x z due curve T e fra loro tangenti in un punto ilí" di loro intersezione, nasceranno coll’ indicato procedimento due elicoidi fra loro tangenti lungo tutta l’elica ad esse comune (e quella generata dal moto elicoidale di il/); tangenti saranno quindi le curve — e in cui esse sono tagliate dal piano x O y \ e poiche T e sono curve qualunque, cosi resta dimostrato essere ogni trasformazione di V a r ig n o n

una trasformazione di contatto.Osserviamo, finendo, che, siccome una tale trasformazione muta una retta

in un spirale d ’ A R C H lM E D E , cosi e evidente (e d’altronde e notissimo) essere curve di tale specie tutte le sezioni prodotte in un’ elicoide generato dal movimento di una retta segante l’asse, da piani a questo perpendicolari

Al lettore non isfuggirá certamente come la indicata costruzione stereometrica della trasformazione di V a r ig n o n guidi ad una generalizzazione di questa, giacche l’elicoide che ci é servito si puo tagliare con un piano obliquo all’asse; la nascente curva sezione e allora legata alia curva meridiana da una nuova trasformazione puntúale, piü generale di quella di V a r ig n o n

e di cui non sarebbe malagevole determinare la rappresentazione analitica Genova, 18 Maggio 1906.

(38 G ra o L o r ia : Per la preistoria della teoría del le trasformazioni di contatto.

E d m Landau: Euler u. die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion. 6 9

Euler und die Funktionalgleichung der Kiemannschen Zetafunktion,

Y on E d m u n d L a n d a u in Berlin.

E in le itu n g .Die Funktion £ (s) ist für SR (s) > 1 durch die Reihe

2 F = 1 + l , 1 , l ,v = i vS 2* 3* 4 ®

definiert; RlEMANN4) hat bewiesen, daß (s — 1) £(s) eine ganze transzendente h unktion ist, und daß £ (s) der Funktionalgleichung g enüg t-' O O CT Ö

0 ) i ( i - » ) - ^ , c o . s f r ( s) i ( « ) .

W enn die analytische Funktion cp (s) eingeführt wird, welche für SR (s) > 0 durch die Reihe

(2)V = 1 vS 2® 3* 4 S ~

definiert ist, so ist bekanntlich

V (s) = £ (s) - = (1 - 2 1-*) £(8),

und die RiEMANNsche Funktionalgleichung (1) nimmt die Gestalt an:

(3 ) v S tr A = = n » ) ( 2 ‘ - i ) Ssrw «p W (2— cos T

Unzutreffend ist H errn B a c h m a n n s 2) A ngabe, die Relation (3) sei schon im Jahre 1849 von S c h l ö m il c h 3) angegeben worden, und die Behauptung der H erren Ca h e n ,4) Y e c c h i5) und T o r e l l i , gj S c h l ö m il c h habe im

1) Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe; M o n a ts b e r i c h t e d e r p r e u ß i s c h e n A k a d e m ie d e r W is s e n s c h a f te n 1859, S. 671—673; Werke, 2. Aufl., 1892, S. 145—146.

2) D ie analytische Zahlentheorie, Leipzig 1894, S. 339.3) Lehrsatz; A rc h iv d e r M a th e m . 12, 1849, S. 415.4) Sur la fonction £(s) de Riemann et sur des fonctions analogues-, Ä n n a le s de

l ’e c o le n o rm a le (Paris) I I 3, 1894, S. 75.5) Sulla funzione £(s) d i Riemann, 1 (Paris, Hermann 1899), S. 7.6) Sulla totalitä dei numeri primi fino ad im limite assegnato; A t t i d e l l ’ a c c a -

d e m ia d e l le s c ie n z e d i N a p o l i IR , 1901, S. 88 .

Jahre 1858x) (also noch vor R iem a n n ) die Gleichung (3) gefunden. Dbenannten Autoren verwechseln jene zwei S c H L Ö M iL C H S c h e n oten mieiner dritten2), welche erst im Jahre 1877 erschien und (für 0 < s < )die Relation (3) enthält.

Mit Ausnahme von Herrn Ca i i e n 3) scheint noch niemand die richtige — Bemerkung gemacht zu haben, daß die Relation (3) (ohne Beweis) schon von E u l er veröffentlicht worden ist, fast 100 Jahre vor R ie m a n n . Da Herr Ca h e n versehentlich die Petersburger Akademieberichte statt der Berliner Akademieberichte zitiert, ist durch sein Zitat die EüLERSche Arbeit auch nicht bekannt geworden; im Übrigen gehen Herrn Ca iie n s kurze Bemerkungen4) kein richtiges Bild von der Bedeutung der Abhandlung: Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques, par M. L. E u l e r (lu en 1749), welche im Band 17 (Berlin 1768) der H is to ire de l’académ ie des Sciences et b e lle s- le t tre s („annee 1761“) auf S. 83—106 der „Memoires“ abgedruckt ist.

Im § 1 des Folgenden werde ich über den In h a lt dieser interessanten A rbeit referieren und die EüLERSche B ehauptung in diejenige präzise Form bringen, welche er gemeint hat. Im § 2 werde ich diese EüLERSche Behauptung beweisen, indem ich zeige, daß sie m it der Funktionalgleichung (3) identisch ist; für gewisse ^Verte der V ariablen bedarf dies n ich t einmal einer besonderen B egründung, da für sie die in der EuLERschen Form el auftretenden unendlichen Reihen konvergieren. E ul er sprich t nur von reellen W erten von s; doch wird sich im Folgenden die R ich tigkeit seiner V erm utung auch für alle kom plexen s ergehen, für welche

tp (s) =|= 0ist.

§ 1.E u l e r beginnt mit der Ankündigung, daß er einen einfachen Ausdruck

für den Quotienten der beiden Reihen(4) 1“ — 2m -p 3m — 4m + . . .und

1 1 4 - 1 1 4 -(5) 1 n 2« 3™ 4n ' ' 'angeben will, wo n = m + 1 ist.

1) Über eine Eigenschaft gewisser Reihen; Z e i t s c h r . für M a th e m . 3, 1858, S. 1 3 0 -132 .

2) Über die Summen von Potenzen der reziproken natürlichen Zahlen; B e r ic h t e d e r s ä c l is . G e s e l ls c h . d. W is s e n s c h . (Leipzig), Mathem. Kl. 29, 1877, S. 1 0 6 -1 0 9 ; Z e i t s c h r . f ü r M a th e m . 23, 1878, S. 135 137.

3) 1. c., S. 7 5 -7 6 .4) „Meme E uler, en 1761, avait donné cette relation , sans d’ailleurs en donner

une dénionstration, ni méme préciser les valeurs des sommes qu’il considere.“

E dm u n d L a n d a u .7 U

Euler und die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion. 71Für 0 < n < 1 sind dies konvergente Reihen. E u ler erkennt wohl,

daß (für reelle n) sonst eine der Reihen divergiert Bekanntlich1) war er noch der irrtümlichen Meinung — der er auch auf S. 84 der vorliegenden Arbeit Ausdruck gibt — daß einer divergenten Reihe eine bestimmte Zahl entspricht, welche sie bei jeder formalen Rechnung ersetzen darf; hier definiei't er jedoch (wie meist2)) in eindeutiger Weise, was er unter der Summe der Reihen versteht. Es ist dies für die Reihe (4) der Grenzwert der Funktion

1 — 2m x + 3m x 2 — 4m x 3 + ...,

wenn x wachsend gegen 1 heranrückt, und für die Reihe (5) das analoge.Hier entsteht zunächst die Frage, ob dieser Grenzwert existiert. E u l er

beweist dies wenigstens für alle ganzzahligen 0, indem er durchsuccessives Multiplizieren mit x und Differentiieren findet:

woraus er au

— x +

— 2x + 3 x 2

— 22 x -f- 32 x 2

— 23 x -f- 33 x 2

2 r 3 _ L L _

— 4 x 3 + ... 1

■ 42 x 3 -j- ...

i 3 x3 + ...■■

(i + xy>1 — X

( l+ a ff’1 — 4 x -j-

Grund der obigen Definition die Summenwerte erhält:1

1 — 1 + 1 — 1 + . . . = y ,

1 - 2 + 3 - 4 + . . . = ! , 1 _ 22 + 32 - 4 2 + . . . = 0,

1 — 23 + 33 — 43 + . . . 1

Übrigens hat E uler den Fall des ganzzahligen positiven m auch in anderen Schriften behandelt. Er erkennt, daß die Reihe

1 — 2m x + 3 m x 2 — 4 m x 3 + . . .

eine rationale Funktion von x mit dem Nenner (1 -|- x)m + x ist, also für x — 1 einen Grenzwert besitzt. Durch Anwendung der „EuLERschen“ Summenformel findet er als Summe der divergenten Reihe (4) für gerade m >- 0

1) Yergl. z. B. Herrn P kingsheims Artikel „Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse“ in der EncyUopädie der mathematischen Wissenschaften l : i , 1898 —1904, S. 107.

2) S. ebenda, S. 1 0 8 - 109.

/6 i _ 2 TO + 3”* — 4m + .. . = 0,

für ungerade m = 2 Je — 1 0

(7 ) i _ 22* ~ 1 + 32fc_1 — 4 2* _1 + . . . = = — f j f — — >

w o (in h eu tiger B eze ich n u n gsw eise) 1?* die Ä”te BERNOULLische Zahl ish A ndererseits findet er bei geradem » = 2 / c > 0 für die (k o n v erg en te )

R eihe1 _ -L 4 - — — — -4-(5) -*■ 2>l 3W 4n

(wie auch in anderen Schriften) die Formel1 . 1 1 . v 2k

(8) 1 — Ifik + 32fc— 42* + ••• — (21t)!

r. g E d m u n d L a n d a u .

A us (6 ) sch ließ t E u l er für ungerade n > 1

- = o,( 9 ) i _ ± + ± - ± +2n ' 371 4» ' # * *

aus (7) und (8) für gerade n > 0

1 _ 2 w- 1 + 3” - 1- 4 w- 1 + ... (~l)~ä + 1( n - 1)1(2" - 1). 1 _ J_ + _ L _ ± + ~

vor diese Relationen (9 ) und (10), die den ganzzahligen n^> 1 entsprechen, gehört für n — 1 die Gleichung

1 —1 + 1 —1 + ...(n ) i _ i + A _ i + 21oS2’1 2 ^ 3 4 ' • • •

„dont la liaison avec les suivantes est entièrement1) cachée“.Dies System der Gleichungen ( 9 ) und ( 1 0 ) führt nun E u l e r dazu,

eine Funktion N von n durch die Relation

l _ 2 ” - 1 + 3 n - 1 - 4 ” - 1 + . . . > - l ) ! ( 2 n - l )l P + - L_i_ ^ (2 ” —1 — l ) n n2” ' 3” 4n 1

zu definieren; da für n = 2, 3, 4, 5, . . . sich die Werte N = 1 , 0 ,— 1,0cyclisch wiederholen, also

AT nnN — — cos ~y

ist, fährt er fort: „Par cette raison je hazarderai la conjecture suivante, que quelque soit l’exposant », cette équation ait toujours lieu:

1 _ 2” - 1 + 3“—1 — 4n—1 + 5” _1 — 6n—1 + &c. — 1 -2 - 3 (n — 1) (2"— 1) _ « « ,,+ 3~ n - 4 T n + 5 - “— 6~ n + &c. _ (2M—1 — \) n n C° S 2 ‘

1) Ich zitiere durchweg in E uleeb Orthographie.

Euler und die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion. 73

E u ler bestätigt diese Gleichung zunächst noch für den Fall n — 1, indem er unter 1 • 2 ■ 3 . . . (n — 1) den Wert 1 versteht und statt

n nCOS 2 0

oden Grenzwert

n n COS -fr

lim 2= 1 2n —1 — 1 2 log 2

setzt, wodurch seine Gleichung tatsächlich in (11) übergeht. „Notre conjecture ayant donc aussi lieu pour le cas n = l , qui paroissoit d’abord s’écarter entièrement de la loi des cas suivans, c’est déjà une preuve très forte pour la vérité de cette conjecture; & puisqu’il semble impossible qu’une fausse supposition ait pu soutenir cette épreuve, on pourroit déjà regarder notre conjecture comme très solidement établie: mais je m’en vai apporter encore d’autres preuves également convaincantes.“

Alsdann verifiziert er seine Gleichung für n — 0. Die rechte Seite hat zwar für n = 0 keinen Sinn; doch schreibt E u l e r zuvor

1.2 3 . 1 ) ( 2 - - 1 ) ~ 1 . 2 . 8 . .

und geht dann im zweiten Faktor für n = 0 zur Grenze log 2 über, während er den ersten = 1 setzt. Mit anderen Worten, er bestimmt

lim r ( n ) (2"— 1) = log 2n = 0

und findet so die richtige Formel

1_J L + +2 ^ a ä -r ■ ■ ■— 2 log 2.1 - 1 + 1 - 1 + ...

„Voilà donc une nouvelle preuve, qui étant jointe à la précédente pourra bien tenir lieu d’une démonstration complette de notre conjecture. Cependant on n’est que trop autorisé d’en exiger une démonstration directe, qui renferme à la fois tous les cas possibles.“

E ul er versteht für nicht ganze (reelle) X, wie er ausdrücklich bemerkt, unter 1 - 2 - 3 .. .A seine Funktion \A]} die heute mit r (A + 1) bezeichnet wird; unter Benutzung der Funktionalgleichung

r(X) r ( \ —A) =v J v ' sin ln

findet er, daß sein Satz für alle reellen n richtig ist, falls er für n > 0 gilt. ,

74 E d m u n d L a n d a u .

Er b estä tig t ihn nun m ehr für n — \ , w o die lin k e Seite

1 — + — - 4 = + • • •_ V2+ vt = t

p T p \ 4

— m ) (2 4 — i) »= t s i l l -L COS - j - = 1(2 — v — 1) zcv

und die rechte

ist.Alsdann geht er zum Fall n = f über, wobei er die divergente Reihe

1 — -|/2 + V3 — V 4 + unter Anwendung der „EüLERschen“ Summenformel auf einem Wege behandelt, der sich leicht in einen strengen Beweis der Existenz von

lim (1 - V2« + V 3 x2 — V4 Æ3 + . . .)X = 1

umwandeln läßt. Während für n = -§ die rechte Seite der zu verifizierenden Gleichung

= - + Ü = 0,4967738 .. .2ist, findet er, daß die linke Seite mit einem Fehler <C -^5 diesem W erte

gleichkommt. „Notre conjecture est portée au plus haut degré de certitude, qu’il ne reste plus même aucun doute sur les cas où l’on met pour l’exposant n

des fractions.“Es folgen noch einige Bemerkungen über den Fall des ungeraden n > 1.Zum Schluß spricht E u l e r noch ein wichtiges Analogon zu seiner

Funktionalgleichung ohne Beweis aus. „Une conjecture semblable nous fournit ce théorème

1 + - 7 W~ 1 + &c. 1 • 2 • 3 . . . (w — 1) • 2” . n n (l-------------------------------------------------- "' ' ----------------- i-------- 1____ qiri “1 _ 3 - w + 5 - w- 7 - " + &c. n n 2 ‘

Für 0 < n < 1 konvergieren die beiden hierin auftretenden Reihen, und da er unter 1 - 2 - 3 ■ ■ ( n — 1) die Funktion r (n) versteht, spricht E u l e r hiermit eine viel später von M a lm s t e n 1) gefundene und von S c h l ö m i l c h 2) wiedergefundene Relation aus.

Er schließt mit den Worten, welche durch die geschichtliche Entwickelung bestätigt wurden: „Cette derniere conjecture renferme une expression plus simple que la précédente; donc, puisqu’elle est également certaine,

1) Specimen analyticwn,theoremata quaedam nova de integralibus definitis,suniviatione serierum earumque in alias sériés transformatione exhibons, Upsala 1842, S. 23; De integralibus quibusdam definitis, seriebusqueinfinitis, J o u r n a l f ü r M a th ein. 38, 1849 S. 17.

2 ) An der auf S . 69, Anm. 3 zitierten Stelle (vom Jabre 1849) spricht S c h l 'ö

die Gleichung aus; in der auf S. 70, Anm 1 zitierten Note (vom Jahre 1858} beweistHLOMlLCn

er sie.

Euler und die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion. 7 5

il y a à espérer qu’on travaillera avec plus de succès à eu chercher une démonstration parfaite, qui ne manquera pas de repandre beaucoup de lumière sur quantité d’autres recherches de cette nature“.

Ich werde nunmehr die Frage in Angriff nehmen und in § 2 affirmativ erledigen, oh E ulers Gleichungen richtig sind. Die von ihm ausgesprochenen Vermutungen lauten in moderner Bezeichnungs weise

lim Î ( - l)v(12) *=1* - 1________________= - ns)&s- D cos

l i m A V - l V * - 1 - ! ) * * 2

* = 1 v = l

undS — 1 „ V — llim £ ( - l) r + 1 (2 v - l ) “- ^

f-\ X~ i r = l r(s) 2S . Sn(lo) ------ ----------------------------------= ------5— sm ■lim £ {— l)v + 1 (2 v — l ) ~ s x v~ 1 n ' 2*=1»=1

E uler vermutet, daß diese Gleichungen für alle reellen s richtig sind, für welche die rechte Seite endlich ist, d. h. (12) mit Ausnahme der Werte — 2, — 4, — 6 , . . . und (13) bis auf die Werte — 1, — 3, — 5, . . . J) Zum Nachweise von (12) ist es nach (3) hinreichend, zu beweisen, daß

v—sxv— 1X = 1 V = 1

existiert und= p(s) = ( l - 2 i - ) £ ( i )

ist. Ich werde sogar für jedes komplexe s die Richtigkeit der GleichungCO

lim 2 (— l )r— 1 v ~ s xv~ 1 = <p(s)x = l » = i

nach weisen; dadurch wird sich nach (3) die Richtigkeit der Gleichung (12) für alle reellen und komplexen s ergeben, für welche <p(s), also der Nenner der linken Seite von (12), von Null verschieden ist.

Analog reicht es zum Beweise von (13) hin, festzustellen, daß

lim 2 (— l)v+ 1(2 r — 1)— sxv~ 1 x=l v=l

existiert und gleich der ganzen transzendenten Funktion yj(s) ist, welche für jli (s) > 0 durch die Reihe

/■ \ 1 1 , 1 i , vj ( - W + 1V ' W - i - g F + 5F - 7V + • • • - ^ ^ 7 3 1 ) 7

1) Für diese ausgeschlossenen W erte sind die Gleichungen insofern auch richtig,als der Nenner ihrer linken Seite 0 und der Zähler =|= 0 ist

definiert ist. Ich werde für jedes reelle oder komplexe s diesen Nachweis führen und dadurch die Richtigkeit der EuLERSchen Gleichung (13) für alle s zeigen, für welche y)(s) nicht verschwindet, also insbesondere für die _ von E u l e r betrachteten — reellen s , welche nicht n eg a tiv e

ungerade ganze Zahlen sind.Ö Ö

§ 2.E s bezeichne £ ( s , w) diejenige ana ly tisch e F u n k tion von s, w elch e

für 9t (s) > 1 durch die DiRiCiiLETSche R eih e

7 0 E d m u n d L a n d a u .

,.=o («’ + v f

mit dem positiven Parameter w definiert ist. Bekanntlich ist (s 1) ,C(s, to) eine ganze transzendente Funktion von s. Herr M e l l in ' ) hat nun folgende wichtige Relation bewiesen, in der s eine beliebige nicht positiv - ganze komplexe Zahl bezeichnet:

(14) lim ( 2 - r ( 1 - s) (log ± ) s~ ' ) = £(s, w),x = 1 \ v = 0 ( to v) /

wo x wachsend gegen 1 konvergiert.

Aus (14) folgt für w = 1

lim ( 2 - r (1 - ») (log L ) - > ) = C00,x — l v* '= 0 (1 + V) V I

(15) lim ( 2 ^ - r ( i - s) ( i o g V ) * - ~ ' W o o .X — \ \ r = l " J

Herr E. L i n d e l ö f 2) hat diese interessante Darstellung(15) der RlEMANNschen Zetafunktion auf anderem Wege abgeleitet, aber später auch3) auf die Beziehung zur M e l l in sehen Relation hingewiesen.

WirdCO r — 1

1 = 1 V S

V (— ]) = a {x)V = 1 V s

gesetzt, so ist für | x | <( 1

1) Über eine Verallgemeinerung der B if.mannsehen Function J ( s ) ; A c ta s o c i e t a t i s s c i e n t i a r u m F e n n ic a e 24, 1898,' S. 40. Die Gleichung (14) des Textes is t ein Spezialfall der dort m it (77) bezeichn ten Relation. Für meinen Zweck genügt es, reelle x zu betrachten, welche wachsend gegen 1 heranrücken.

2) Quelques applications d'une formule sommatoire générale; ebenda, 2 8 , 1902, S. 363) Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions Paris 1905

S. 139.

m ¿

r

tint

it®

I®,

also

Euler und die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetal'unktion. 77

v / \ j x . x ^ x 2 ,OsOr) = l -------- -— R ...v ’ 2 3 S 4 S

_ 1 4_ X 4 - 3:2 _J_ 3:3 _±- 9 ( X 4 - ^ 4 - Xb -L 'l- l + ? + ? + F + " _ 2 ( ? + F + ? + " )

- %(*) - f ( ‘ + $ + $ + ■ ■ • ) - %M -

A us (15 ) fo lg t nun

üm ^ s(x) — T (1 — s) (log ^ ) s_1 ) = £(«),

lim (x 2% (x 2) — T (1 — s) (2 log ™) s_1 ) = g(s) x = l V /

und daher

lim (x) — 21~ sx23ß6(x2)Sj — (1 — 21_s) £(s) = 95 (s),

lim [% (x) — 21- 8 xtys (ir2)j = <p(s),

(16) lim Os (x) — cp (s).X = \

Diese Herleitung der Gleichung (1(1) gilt nicht für ganzzahlige positive s;aber für diese und überhaupt für 91 (s) > 0 ist die Gleichung (16) nachdem A uel sehen Stetigkeitssatz trivial, da die Reihe

00 / 1 \v 1 (2) N

r = l v $

konvergiert und = cp (s) ist.Mit (16) ist nach dem Früheren die EuLERsche Vermutung (12) bewiesen

OBAus (14) folgt ferner für iv — { und w = £

lim ((2 — r (1 — s) (log — Y“ 1 ) = C(s, ]),I = 1 1 = 0 ({ + »)* V S \ & x J ]

lirn ( N _ r ( l — s) (log -M * -1) = S(s, 9),x = l } v = 0 ( l + v)s v n ö x 7 f SV>,

ch Subtraktion

( CO V -f- v 00 - T - + V »

4 * 2 — 4 * 2 — ) = C(s i ) - £ ( s ?)v=0 (1 + 4 j»)s „=0 (3 4- 4v)s I b ’ t j S 1

c = l > = 0 (£ + v)s

also durch Subtraktion

x^+v . ^ x*+v(3 —)— 4 1/)

und, wenn hierin x 2 statt x geschrieben wird,v 1 ( x . x2 xlim x* 1 -------- --------I n« 1* = 1 l 3S ’ 5S 7s + " ‘) 4» £ ( s’ i

<x> (_ IV + l/pr —1 1 /

(17) 1™ v? r ( 2 r - l ) s ” “ ? ^ ^ ~ ^ ^ ) -

78 E d m u n d L a n d a u .

Die rechte Seite von (17) ist für 9t (s) > 1

* • '(« • (*)* (f)s (Ds ’sie ist also für alle komplexen s gleich der ganzen transzendenten Funktion ip (s), and aus (17) folgt

OQ / i \'»' + 1 r'1 — 1 , „(18) i ä J r (2V- I ) s ~ = 'p(s)-

Eulers Vermutungen sind also vollständig bewiesen, und überdies hat sich die Richtigkeit der Gleichungen (12) und (13) auch für alle komplexen s ergehen, für welche <p (s) bezw. ip (s) nicht verschwinden.

Man kann nun fragen, wie es sich für die nicht reellen iS ullstellen von (p (s) und xp (s) verhält. Was zunächst die Nullstellen

s = = 1 ( i g a n z u n d > 0 )

von 1 — 21_s, also von (p (s) betrifft, so ist für sie die rechte Seite von (12) „unendlich“ und die linke Seite gleichfalls der Quotient einer von Null verschiedenen Zahl durch Null Die Gleichung (12) ist also in demselben Sinne hier richtig, wie für die reellen Nullstellen — 2, — 4, — 6, .. von (p (s) und wie (13) für die reellen Nullstellen — 1, — 3, — 5, . . . von xp (s).

Der reelle Teil der übrigen Nullstellen von (p (s) und xp (s) liegt bekanntlich zwischen 0 (exkl) und 1 (exkl.); für eine solche Nullstelle hat die rechte Seite von (12) bezw. (13) einen Sinn, während die linke Seite die sinnlose Form hat, da auch (p(l — s) bezw. ip(l — s) verschwindet. Es liegt nahe, zu fragen, ob die Grenzwerte

1 ( - Q’ + V - V - 1(19) lim , = 1

- =1 2 ( - v ~ s x r ~~1v — 1

bezw.2 ( - l)*+ 1 (2 v -l)s- V “ 1

(20) lim -------------------------------x=l £ ( _ i)’'+ 1(2v — l ) - s x* - l

T = 1

existieren. Man kann leicht folgendermaßen zeigen, daß dies der Fall ist. Es werde

2 ( — l ^ + i v - ^ - i =V = 1

2 ^ - l ) T+ » ( 2 v — 1 ) — « » - i = Qs(x)

gesetzt, und s sei eine im Streifen 0 < «R (s) < 1 gelegene Nullstelle von <p(s) bezw. »/>(«). Dann ist auch

(1 — s) — 0 bezw. ip( 1 — s) — 0,aber(21) (p (s — 1) =|= 0 bezw. ip (s — 1) 0.Nun ist für \x \ <C 1

(22) _ | i(_ i y + iy —a+ _ a _ l( l )

und ebenso

(23) ^ - s(x)) == £i-s(x \

ferner

(24) !). + ! ( 2„ = «._,(*>).

(26)

Nach (16), (18) und (21) existiert

lim sfo) __ 9>(~s)*=1 Ö j_i(i) qo(s —1)

bezw.

lim -ü=i«x=l Qs-l(x) lp(s— i ) ’

folglich existieren wegen (22), (23), (24) und (25) die beiden Grenzwerte (19) und (20) und es ist

Euler und die tunktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion. 79

8 0G. E n e s t r ö m .

Kleine Mitteilungen.

Kleine Bemerkungen zur zweiten Auflage von Gantors „Vorlesungen über Geschichte der M athem atik“.

Die eiste (fette) Zahl bezeichnet den Band, die zweite die Seite der „Vorlesungen . BM = B i b l i o t h e c a M a th e m a t ic a .

1 : 1 2 , siehe BM 1 3, 1900, S. 265. — 1 : 15, s i e h e BM ^ ,1 9 0 2 , S. 323. — 1 :2 2 , 29, 34, siehe BM l 3, 1900, S. 26 5 -2 6 6 . - 1 : 3b. 64, siehe BM J 3 1902, S. 137. - 1 : 103, siehe BM 13, 1900, S. 266. _ 1 ; 135, siehe BM 13, 1900 S 266;*»., lono S. 137. 1 :1 4 4 , 155, 169, 171, siehe BM ¿ 3, 1902, S. 137— 138. —1 :1 8 9 —190, siehe BM 1 3, 1900, S. 266; 6 3 , 1905, S 1 0 L — 1 : 192, 193, siehe BM 63 1905 S. 101—102. — 1 :1 9 5 , siehe BM 3 3, 1902, S. 56; ©3, 1905, S. 102. — 1'-’196—197, siehe BM l 3, 1900, S. 266; « 3, 1905, S. 102—103. — 1 : 198, siehe BM <»3, 1905, S. 103. - 1 :2 0 2 , siehe BM 1 3, 1900, S. 266. - 1 : 207, siehe BM 4 S,1903, S. 288. — 1 -2 2 5 , 234, siehe BM S 3, 1902, S. 138. — 1 :255 , siehe BM 3 3, 1902, S. 238 .— 1 :2 7 2 , siebe BM 4 3, 1903, S. 396. — 1 :2 8 3 , siehe BM 13, 1900 S. 499 — 1 : 284, 321, siehe BM 13, 1900, S. 266—267. — l : 3 3 o , siehe BM 6 3 , 1905, S 305 — 1 : 370, siehe BM 13, 1900, S. 319. — 1 : 383, siehe BM 1 3, 1900, S. 267. — 1 :3 8 6 , siehe BM 5 3, 1904, S. 407. — 1 : 395, siehe BM 3 3 , 1902, S. 323. —1 : 400, siehe BM 13, 1900, S. 267. — 1 : 429 , siehe BM 3 3, 1902, S. 324. —t ’ . . -- ’ , 1 r. n o n t _ 10 1 !*)= TZ?TVT « 1 OAQ Q QQß

1902, S. 139. 324. — 1 : 406, sielie BM 4 3 , 1903, S. 397. — 1 : 467, 469, siehe BM 13, 1900, S. 267. — 1 : 475, siehe BM 13 , 1900, S. 267—268; 33 , 1902, S. 139; 43,1903, S. 283. — 1 :4 7 6 , siehe BM 13, 1900, S. 268.

1 : 4 7 9 . Ü ber die Lebenszeit des N i k o l a u s R h a b d a s bekommt, man genauere A uskunft du rch die von H errn C a n t o r (F ußnote 3) z itie r te A rb e it von P a u l T a n n e ry . In einem von R h a b d a s verfaßten und von T a n n e r y zum A bd ruck gebrachten T rak ta te w ird näm lich (S. 79 des Sonderabzuges) fü r das byzantinische J a h r 6849 ( = 1341) eine O sterrechnung au sg e fü h rt, u nd dies w ird als das J a h r bezeichnet, in dem R h a b d a s seinen T ra k ta t verfaßte. A uf diesen Passus w eist auch T a n n e r y selbst in seiner E in le itung (S. 14 des Sonderabzuges) hin. G . E n e s t r ö m .

1 :4 8 0 . Nach dem Erscheinen der ersten A uflage des ersten B andes der V orlesungen , aber jedenfalls viele Jah re vor 1 8 9 4 veröffentlichte P a u l T a n n e r y

zwei A ufsätze über M o s c h o p u l o s , die ohne Zweifel verdienen, h ie r erw ähn t zu w erden, näm lich M a n u e l M o sc h o p o u l o s et N i c o l a s N h a b d a s ( B u l l e t , d. sc. m a th e m . 8 3, 1 8 8 4 , S. 263 2.1 7) und L e trade de M a n u e l M o sc h o p o u l o s

Kleine Mitteilungen. 81

sur les carrés m agiques; texte grec et traduction (A n n u a i r e de l ’a s s o c i a t i o n p o u r l ’e n c o u r a g e m e n t d e s é tu d e s g r e c q u e s 20, 1886 , S. 8 8 — 118). Der erste A ufsatz en thä lt literarische Notizen, der zweite b ring t, nach zwei H andschriften der N ationalbib lio thek in P a ris , einen verbesserten Text nebst fran zösischer Ü bersetzung.

D er Passus: „Jedenfalls m uß dieser M o s c h o p u l o s vor dem XV. S. gelebt haben, da eine H andschrift seiner A bhandlung in dieser Zeit niedergeschrieben i s t “, is t na tü rlich n ich t g u t red ig iert (verm utlich w ollte H err C a n t o r sagen, daß M o s c h o p u l o s aus dem angegebenen G runde spätestens im 15. Jahrhundert gelebt haben m uß), und wenn H err C a n t o r andeutet, daß M o s c h o p u lo s w ahrscheinlich am Ende des 14. Jah rh u n d erts lebte, so is t diese A ngabe au f G rund der U ntersuchungen von T a n n e r y zu modifizieren. D ieser b eru ft sich au f ältere Notizen, nach denen der ältere M o s c h o p u lo s entw eder u n te r M i c h a e l V III P a l e ó l o g o s (1 2 6 1 — 1282) oder u n te r A n d r o n i k o s P a l e ó l o g o s dem Ä lteren (1 2 8 2 — 1 3 2 7 ) lebte; der jüngere M o s c h o p u lo s kann nich t in B etrach t kommen, da er der M itte des 15. Jah rh u n d erts angehört, und also n ich t durch N i k o l a u s R h a b d a s (der 1341 lebte) angereg t werden konnte, eine Schrift über magische Q uadrate zu verfaßen. T a n n e r y is t darum der A nsicht, daß M o s c h o p u lo s ein älterer Zeitgenosse des R h a b d a s w ar und w ahrscheinlich schon am A nfänge des 14. Jah rh u n d erts starb. G. E n e s trö m :.

1 : 481 . W ie H e rr C a n t o r ang ib t, scheint M o s c h o p u l o s w irklich eine B ehandlung von drei H aup tfällen in betreff der K onstruk tion m agischer Q uadrate m it w2 Zellen, näm lich n — 2m -f- 1 , n — 4m und n = 4 m + 2 anzukündigen, aber auch die zwei von P a u l T a n n e r y untersuch ten M anuskripte beschränken sich auf die zwei ersten Fälle. Noch dazu schließen diese M anuskripte m it den W orten : TeAog tov avzov, und es scheint also, als ob M o s c h o p u lo s den d ritten F a ll n ich t behandelt hätte. P a u l T a n n e r y is t der A nsicht ( B u l l e t , d. sc. m a th e m . 8 2 , 1884 , S. 2 6 5 ), daß die B yzantiner fü r diesen F a ll kein allgem eines V erfahren kannten. G. E n e s t r ö m .

1 :5 0 8 , siehe BM 5 3, 1904, S. 68 . — 1 :5 1 0 , siehe BM 13, 1900, S. 314. — 1 :5 1 9 - 5 2 0 , siehe BM 8 3, 1902, S. 239. — 1 :5 3 7 , 540, 542, siehe BM 13 , 1900, S. 268. — 1 : 618, siehe BM 6 3 , 1905, S. 306-307 . — l ; 622, siehe BM 2 3, 1901, S. 143. — 1 : 638, siehe BM 6 3 , 1905, S. 394. — 1 : 641, siehe BM 3 3, 1902, S. 139. — 1 :6 6 1 , siehe BM 13, 1900, S. 499. — 1 : 662, siehe BM 13 , 1900, S. 499; 3 3, 1902, S. 139. — 1 : 663, siehe BM 3 3, 1902, S. 405. — 1 : 671, siehe BM 13, 1900, S. 499. — 1 : 673, siehe BM 5 3, 1904, S. 407—408; 6 3, 1905, S. 307. — 1 : 675, siehe BM 5 3, 1904, S. 408. — 1 : 687—689, siehe BM S 3, 1901, S. 143—144; 4 3, 1903, S. 205—206. — 1 : 694, siehe BM 1 3, 1900, S. 499; 4 3, 1903, S. 284; 6 3 , 1905, S. 103. — 1 : 704, 706, 708, siehe BM 13, 1900, S. 4 9 9 -5 0 0 .

1 : 7 1 2 . A v i c e n n a h a t auch einen anderen arithm etischen T rak ta t verfaßt, oder w enigstens w ird er in einer H andschrift des T rak ta tes als V erfasser an gegeben. D er T ite l desselben la u te t in französischer Ü bersetzung: „L ettre qui ouvre les portes de l'académ ie, p a r l’exposition des racines du calcul e t de l 'a r ith m é tiq u e“. D er A nfang dieses T rak ta tes is t französisch von J . J . M a r c e l übersetzt und g ed ru ck t im Dictionnaire des sciences mathématiques von A. S. d e M o n t f e r r i e r (tom e I , P aris 1835 , S. 1 4 1 — 143). D er übersetzte A bschnitt

Bibliotlieca Mathematica. II. Folge. VII. 6

Z U ÖCA1A ,Z U » c m , wiAx ------ -------------

( B u l l e t , d. sc. m a th e m . 62 , 144) hm .G-. E n e s t k ö m .

1 :794, sieui S. 2 6 8 — 269 .

XXI Uülb J.ICUU/1/U/ WC/ lwvwvv w .-j. - - "G e o m e t r ie G e r b e r t s . I n d e s s e n k a n n m a n b e h a u p t e n , d a ß d ie s e G r u n d e s e h r

s c h w a c h s in d , b e s o n d e r s n a c h d e m B u b n o v ( Gerberti Opera mathematica, B e i l m 1899 , S. 207) d a r a u f h i n g e w ie s e n h a t , d a ß d ie f r a g l i c h e A r b e i t a u s v i e i v e i -

s c h ie d e n e n S t ü c k e n z u s a m m e n g e s e t z t w o r d e n i s t . E s s c h e i n t m i r a ls o f a s t n o t

w e n d ig G e r b e r t d ie Regula de abaco computi a b z u e r k e n n e n , u n d z w a r w e s e n t l i c h

a u s d e n v o n N a g l ( s ie h e d ie CANTORSche F u ß n o t e 1 a u f S. 8 1 8 ) u n d W e i s s e n b o r n (lGerbert, Beiträge zur Kenntnis der Mathematik des Mittelalters, B e r l i n 1888, S . 2 1 0 — 214) a n g e f ü h r t e n G r ü n d e n .

A uf der anderen Seite kann ich n ich t m it B u b n o v (a. a. 0 . S. 2 3 — 24) einverstanden sein, wenn er G e r b e r t eine andere S chrift De norma rationis abaci zuschreibt, von der angeblich ein F rag m en t im cod. V atic. 3 1 2 3 aufbew ahrt ist. Dies angebliche F ragm en t, das übrigens n ich t, w ie B u b n o v beh au p te t, zuerst im Jah re 18 8 8 von ihm veröffentlicht w orden is t ( N a r d u c c i

h a tte es schon sechs Jah re frü h e r im B u l l e t , d i b i b l i o g r . d. sc. m a te m . 15, 1 882 , S. 115 zum A bdruck gebracht), is t in W ahrheit ein (von H e rrn C a n t o r nich t erw ähnter) B rief von G e r b e r t an C o n s t a n t i n von F leu ry , wo jen e r eine Schrift über B echenkunst in A u s s i c h t s t e l l t , und wenn m an diesen B rie f m it der E in leitung des Libellus de numerorum divisione, die bekann tlich auch an C o n s t a n t i n gerich tet ist, vergleicht, w ird m an geneig t anzunehm en, daß der Libellus gerade die von G e r b e r t in A ussicht gestellte S chrift ist. Ich hebe besonders den folgenden Passus des Briefes h ervo r: „N ain de num eris a u t per se au t in relatione consistentibus fo r tu itu locu tu ri, quid d icent esse d ig itos, quid etiam articulos, cum totius praedicti substantia numeri solummodo in istarum versetur vicissitudine rerum“; m an vergleiche h ie rm it den folgenden P assus der E inleitung des Libellus: „Q uid cum idem num erus m odo sim plex, m odo com - positus, nunc digitus, nunc constitua tu r a r t ic u lu s? “. Jedenfalls is t der B rie f kein F ragm ent einer Schrift De norma rationis abaci, sondern en thält, w ie oben bem erk t w urde, n u r eine M itteilung , daß der B riefschreiber gelegentlich einige


schw ierige P u n k te der R echenkunst erläu tern w ird („de his om nibus, si v ita suppetit, evidentius explicabo“).

Ich b in also der A nsicht, daß n u r eine Schrift von G e r b e r t über R echenkunst bisher nachgewiesen ist, näm lich der oben genannte Libellus.


1 : 823, siehe BM 1 3, 1900, S. 269.

1 :8 3 6 . H err C a n t o r erw ähnt hier, daß A t e l h a r t v o n B a t h um 11 3 0 über den A bacus schrieb und z itie rt in der P ußnote die BoNCOMPAGNische A usgabe der betreffenden Schrift (Regule abaci), aber ü b e r den Inha lt derselben te ilt er n u r m it, daß die A raber darin n i c h t genannt werden. D ieser U m stand bedeutet wohl nicht, daß H err C a n t o r in den Regule abaci nichts gefunden hat, das verdient, erw ähnt zu werden, sondern der G rund is t verm utlich, daß die B o n c o m p a g n isehe A usgabe n a c h dem Erscheinen der ersten Auflage des ersten Bandes der Vorlesungen veröffentlicht w urde, und daß H err C a n t o r bei der V orbereitung der zweiten Auflage seines W erkes m öglichst wenig h in zufügen w ollte. A ber dann sollten eigentlich solche Stellen der Vorlesungen gestrichen (oder m odifiziert) werden, wo spätere Schriften ü b e r den A bacus als interessant bezeichnet werden, w eil sie Sachen enthalten , die tatsächlich schon in den Regule abaci des A t e l h a r t Vorkommen. E ine solche Stelle findet sich S. 848 (siehe un ten die B em erkung zu dieser Seite). — Die A ngabe, daß A t e l h a r t um 1130 über den Abacus schrieb, bedeute t w ohl eigentlich, daß die Regule abaci in den ersten 30 Jah ren des 12. Jah rh u n d erts niedergeschrieben sein müssen (vgl. S. 851 ); m ir is t w enigstens kein U m stand bekannt, w oraus m an schließen kann , daß die Schrift gerade um 1130 verfaß t w urde. Im G egenteil is t es g ar n ich t unw ahrscheinlich, daß dieselbe ein paar Jah rzehnte früher niedergeschrieben w urde, denn B o n c o m p a g n i h a t am Ende der E in leitung seiner A usgabe der Regule abaci darau f bingewiesen, daß eine A bhandlung von A t e l h a r t aus der Zeit von 1101 — 1116 h e rrü h rt. D ieser U m stand is t n ich t ganz ohne B edeutung , denn wenn man behauptet, daß A t e l h a r t seine Regule abaci um 1130 schrieb, so kann m an kaum um hin anzunehmen, daß diese Schrift w ahrscheinlich späteren D atum s als der Liber de abaco des R a d u l p h von Laon ( f 1131 nach H errn C a n t o r ) w ar. A ber diese A nnahm e is t meines E rachtens durchaus unbegründet. G. E n e s t r ö m .

1 :8 4 8 . H e rr C a n t o r bem erk t in betreff einer von T r e u t l e i n h erausgegebenen anonym en Schrift ü b e r den A bacus aus der M itte des 12 . J a h r hunderts: „[Diese Schrift] zieht unsere A ufm erksam keit dadurch a u f sich, daß sie einige K unstausdrücke enthält, m it welchen w ir noch n ich t bekannt sind. Sie nenn t näm lich das unm itte lbare D ivisionsverfahren das der g o ld e n e n D iv i s io n , das com plem entäre das der e i s e r n e n “ . N un findet sich aber bei A t e l h a r t am A nfänge der Regule abaci (S. 91 der B o n c o m p a g n i sehen A u sgabe) folgender Passus: „[Philosophi] ag u n t tr ib u s modis hic scilicet sim pliciter. idest sine differenciis quod nos au rum dicim us et composite idest cum differenciis quod nos ferrum vocamus. P erm ix tum quod nos au ru m et ferrum nuncupam us“. H ier is t der A usdruck „quod nos dicim us [bezw. vocamus,

6*

G. E n e s t r ö m .

84

n u n c u p am u s]“ bem erk en sw ert, denn m an w o rd e na u s d i c k e g o l d e n e e i s e r n e X .D o m in u s G y b e r t u ssind. D a ab er ein ige Z eilen w e rte r u n te n d e r A u sd ru cK ^ A t e l h ä r t u n te rboc opus n o stris G allis r e s t i tu i t , v o rk o m m , b ’ f j Z e itg en o ssen

„ n . z - s ic h s e lb s t A t e l h a r t s

bezieht. D m letztere .st ohne .¿visio Rares- » n dZ eitgenosse R a d u lp h von L aon , /'siehe A N a g l D er arithm etische, d l 4 i o fe rrea* b e n u tz t, “ « M a t h . » . 5 , 1 8 9 0 ,

S n t äeS£ 7 Z b l n Z L [dmsio eures, divisio'fernen] posuerunt, nicbil 1 ^ memoria super ipsorum nominam » t o . ¿ - J * ^ 1 ^ 1 ^

veniuntur“, woraus h.rv.rzRgeh.n I ß der A usdrjkr7 ö if -vrr»Y' A t FT H ^R T bokäDDt WärGD. JjGlIclU. 0 ,“ J a M . ' au ch in einem v on B u .u o w ( 6 ex , e, t, Opera m a th e m d w « C l i n 1 8 9 9 S 2 9 1 - 2 9 3 ) zum A b d ru c k g e b rac h te n , m e lle ,e b t e tw a u m 1 1 0 0 gesch rieb en e '. T ra k ta te D e « » » * » » , sow ie in einer- von « — 1 8 8 2 h e rau sg e^eb en en S c h rif t ü b e r d en A b acu s aus dem E n d e des 1 2 J a h rh u n d e i ts v o rk o m m t; d ie V erfasse r dieser S c h rif te n sche inen den A u s d ru c k „ f e n e a d iv isio 1 » kennen , d er zw eite w en d e t s t a t t d e rse lb en d iv is io cu m d ifferen cia

an (siehe B a l l e t t , d i b i b l i o g r . d . sc . m a t e m . 15 , i 8 8 2 , ^ ^ « .

i . cti-> dpBfl RM 1 q 1900 S. 269. — 1 : 853, siehe BM 1 3, 1900, S. 501. — 1 : 8 5 4 ,’ siehe BM 13, 1900,’ S. 501; 3 3, 1902, S. 324; 4 s , 1903, S. 206; b 3, 1905, g 104. — 1 : 855, siehe BM 1 3, 1900, S. 501.

1 ; 855. In betreff des O c r e a t u s bemerkt Herr C a n t o r , daß nur seine „Regel des N ik o m a c h u s “ der komplementären Multiplikation einigermaßen verwandt ist. Indessen gibt es bei O c r e a t u s eine andere Stelle, wo man noch größeren Anlaß hat, der komplementären Multiplikationsregel zu gedenken, nämlich die folgende (S. 135 der HENRvschen Ausgabe): „üico ergo quodomnis minor terminus cujus[vis] limitis in majorem ejusdem ordinis tantumdem producit quantum continetur sub ipso minore et principio sequentis ordinis, subtracto. Eo quidem [quod] continetur sub eodem minore et differentia majoris et ipsius principium sequentis ordinis. Verbi gratia septies IX est septies X septies I minus. Similiter sexies IX est sexies X sexies uno minus“. Offenbar ist der gedruckte Text hier ein wenig verstümmelt, aber es ist sehr leicht denselben verständlich zu machen, wenn man nur die zwei ein geklammerten Worte eingefügt, und noch dazu „sübstracto eo“ statt „substracto . Eo“ setzt, und jedenfalls geht aus den zwei Beispielen deutlich hervor, daß es sich um die Regel a . 5 = 10 5 — [10 — a) h handelt. Auf diese Stelle bei O c r e a t u s hat schon H. W e i s s e n b o r n (G e r b e r t , B eiträge zu r K e n n tn is der M athem atik des M ittela lters, Berlin 1888, S. 184) aufmerksam gemacht.


1 : 856, siehe BM 6 3 , 1905, S. 309.


2 : 7, siehe BM 2 3, 1901, S. 351. — 2 : 8 , siehe BM 1 3, 1900, S. 501; 0 3, 1905, S. 309. — 2 : 1 0 , siehe BM 13, 1900, S. 502. — 2 : 1 4 —15, siehe BM 2 3, 1901, S. 144; 5 3, 1904, S. 200; 6 3 , 1905, S. 208—209. — 2 : 2 0 , siehe BM 13, 1900, S. 502; 3 3, 1902, S. 239. — 2 : 25, siehe BM 13, 1900, S. 274. — 2 : 3 0 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 105. — 2 : 3 1 , siehe BM 2 3, 1901, S. 351—352; 3 3, 1902, S. 239—240; « 3, 1905, S. 309—310. — 2 : 3 2 , siehe BM 6 3, 1905, S. 105. — 2 : 3 4 , siehe BM 2 3, 1901, S. 144; 63 , 1905, S. 310. — 2 :3 7 , siehe BM 13, 1900, S. 502; 63, 1905, S. 105. — 2 : 3 8 , siehe BM 2 3, 1901, S. 352. — 2 : 39, siehe BM 13, 1900, S. 502; 63 , 1905, S. 209. — 2 :4 1 , siehe BM 2 3, 1901, S. 352. — 2 : 5 1 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 106. — 2 : 53 , siehe BM 5 3, 1904, S. 201. — 2 : 57, siehe BM 2 3, 1901, S. 352. — 2 : 59—60, siehe BM 13, 1900, S. 502; 6 3, 1905, S. 310-311 .

2 :6 1 . H err Ca n t o r is t der A nsicht, daß die A rithm etik des J o r d a n u s durch die fortw ährende B enutzung allgem einer Buchstaben s ta tt besonderer bestim m ter Zahlen geradezu zu einem bahnbrechenden W erke gestem pelt w ird, und bem erkt in einer Fußnote , daß Cu r t z e unabhängig von ihm zu einer äh n lichen A nsicht gekom m en w ar. U n te r solchen U m ständen scheint es vielleicht allzu kühn, die R ich tigkeit der CANTORSchen A nsicht in A brede zu stellen, aber ich erlaube m ir dennoch, h ie r die G ründe anzugeben, w arum ich J o r d a n u s gar nich t als einen B ahnbrecher au f diesem Gebiete betrach ten kann.

An der von H errn Ca n t o r zitie rten Stelle heb t C u r t z e hervor, daß bei E u k l id e s der Beweis eines arithm etischen Satzes an einer geom etrischen F ig u r gefüh rt w ird, daß aber bei J o r d a n u s , der auch geom etrische F igu ren benutzt, die Beweise durchaus keine R ücksicht au f die F igu ren nehmen, so daß diese ebensogut wegbleiben könnten, ohne daß das V erständnis der Beweise auch n u r im Mindesten erschw ert w ürde. Cu r t z e denkt dabei offenbar an die Beweise des 2. Buches der Elem enia, übersieht aber, daß es in W ahrheit bei E u k l id e s eine große Anzahl von Beweisen gibt, welche gerade die E igenschaft besitzen, auch ohne F igu ren durchaus verständlich zu sein. Um dies zu zeigen, drucke ich h ier vo llständig den 17. Satz des 7. Buches der E lem enta in der H ei- BERGseben Ü bersetzung ab, aber ohne die F igu ren hinzuzufügen.

S i num erus duos num eros m ultip licans num eros aliquos efficii, n im e r i ex iis effccti eandem rationem habebunt, quam habent n u m eri m ultiplicati. Nam num erus A duos num eros B, T m ultiplicans num eros A, E efficiat. dico, esse B : T — A : E. quoniam enim A num erum B m ultiplicans A effecit, B num erum A m etitu r secundum un ita tes num eri A. uerum etiam Z un itas num erum A secundum un ita tes eius m etitu r. itaque un itas Z num erum A et B num erum A aequalite r m etitu r. quare Z \ A — B : A. eadem de causa e rit etiam Z : A — E : E. quare etiam B : A = T : E. itaque per- m utando B : E = A : E; quod e ra t dem onstrandum .

Es ist augenscheinlich, daß dieser Beweis gerade die E igenschaft besitzt, auch ohne die F igu ren durchaus verständlich zu bleiben, denn sie kann w örtlich a u f folgende Weise übersetzt w erden: Seien B, r die Zahlen, A der F ak to r

und A, E die P roduk te , so daß A — A .B , E — A .T . D ann is t A = —,UDd au f der anderen Seite is t A = —i also 1 : A = B : A. A u f ganz dieselbe

W eise erhält man 1: A = T: E, folglich B \A — E \ E oder B : r = A : E , was zu beweisen w ar.

Sehen w ir je tz t nach, w ie H e rr C a n t o r selbst seine von C u r t z e nich t beeinflußte A nsicht begründet, so finden w ir n u r folgende A usführungen : „W ir

G E n e s t r ö m .8 6

M . B u c h s ta b e n s t a t t * , e - m « « £

b e i A ra b e rn a u f t i e te n se h e n . 1 b e l ie b ig e n W e r t d a r s t e l l t e n .P a p p u s a u f B u c h s ta b e n h in z u w e is e n , in z e lte s V o rk o m m e n s o lc h e r B u c h -W i r v e rm o c h te n a u c h bei D e ö n a r d o B e m e rk u n g e n s in d j a g a n z r i c h t ig ,s ta b e n a n w e n d u n g n a c h z u w e ise n . 1 » . E u k x id e s h ä u f iga b e r w e m H e r r C a. ™ » o c h d a m b e m e r k t h a t * ^ ^e in e A r t v o n B e w eisen v o r lo .n m t , d ie m i t d e r J o r n A ^

w en n m a n o lin e w e i t e s d ie e’g e u m w e n ig e r g e „ e ig t w e rd e n ,s t r e ic h t , so w u rd e n v ie l le ic h t d ie B ese v o r a u s g e s e tz t d a ß d ie J o r -J o r d a n u s a ls e in e n B a h n b re c e r ^ a n z u se ie m „ £ d i S t r e ic h u n g d e r

„ . „ ¡ s c h , M o d if ik a tio n d e r * “ ” ^ 2 .* B a n g e s - A r e , so

anU n äm ich daß J o r d a n u s nich t verstand, das Endergebnis der R echnung verm ittels der u rsp rüng lich gew ählten B uchstaben darzustellen. D arum w urde die JoRiiANische Bezeichnungsweise in den meisten Fällen unzw eckm äßig, u n d n u r ausnahmsweise kam sie in den folgenden Jah rh u n d erten zuiA n s ic h t n a c h k a n n m a n , a u c h v o n d e m S ta n d p u n k te d e s H e i m C a n t o r a u s ,höchstens sa g e n , d a ß J o r d a n u s e in e n m iß lu n g e n e n V e r s u c h g e m a c h t h a t , e in e n e u e B a h n zu b re c h e n . K o r r e k te r w ä re es d a g e g e n m e in e s E r a c h te n s z u sa g e n , d a ß J o r d a n u s d ie E u K i.ro isc h e B e z e ic h n u n g sw e ise d e r Z a h le n d u r c h a l lg e m e in e B u c h s ta b e n a n w e n d e te , a b e r s e h r o f t o h n e d ie b e i E u k l i d e s h m z u g e f u g t o L in ie n

z u ze ich n en . ______________

2 : 6 3 , siehe BM 4 3, 1903, S. 206. - 2 :7 0 , siehe BM I 3, 1900, S. 4 1 7 - 9 «2 87 siehe BM l s 1900, S. 502. — 2 : 8 8 , siehe BM 1 3, 1900, b. 503,6 3 * 1905, S. 395. — 2 : 89, 90, siehe BM 1 3, 1900, S. 503. — 2 : 91—92, * 3’1900, S. 503; 5 ,3, 1904, S. 4 0 9 -4 1 0 ; 6 3 , 1905, S. 395—396. — 8 : 9 # , siehe B M . j , 1902 S 406. — 2 : 98—99, siehe BM 13, 1900, S. 269—270; 6 3 , 1905- S. 106 107.2 :1 0 0 , siehe BM S 8, 1902, S. 140. - 2 :1 0 1 , siehe B M 8 3 , 1902, S 3 2 5 ;^6 3 , 1905,S. 396. — 2 :1 0 4 —105, siehe BM 1 3, 1900 S. 503; 4 3 , « ’ inAo o Infi2 -1 1 1 siehe BM 2<$, 1901, S. 352. — 2 :1 1 6 , siehe BM 3 3 , 1902, S. 406 — 2 ': 1 1 7 -1 1 8 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 107, 311. - 2 :1 2 2 , siehe BM 13 1900 S. 5 0 3 - 504- 6 3 1905, S. 397. — 2 :1 2 6 , siehe BM 3 3, 1902, S. 406; <»3, 1905, S. 210.2 : 1 2 7 , ’ siehe BM 3 3, 1902, S. 406. — 2 :1 2 8 , siehe BM 13 , 1900, S. 504. — 2 :132, siehe BM 13, 1900, S. 515—516. — 2 :1 4 3 , siehe BM 13, 1900, S. 504. —2 :1 5 5 , siehe BM 5 3, 1904, S. 410—411.

2:155—156. In einer früheren Bemerkung (BM 53, 1904, S. 410 —411) habe ich nachgewiesen, daß die von N a r d u c c i veröffentlichten Auszüge aus dem Introductorius liber qui et pulveris dicitur in mathematicam disciplinam so wesentlich mit den entsprechenden Stellen des Traktates: I o a n n i s H i s p a l e n s i s liber algorismi de pratica arismetrice übereinstimmen, daß man behaupten kann, es handele sicht nicht um zwei verschiedene Traktate, sondern nur um zwei Handschriften desselben Traktates. Wegen seines Inhaltes braucht also der Liber introductorius in einer Geschichte der Mathematik nicht besonders erwähnt zu werden, aber auf der anderen Seite ist er wegen des im Titel vorkommenden Wortes „pulveris“ von einer gewissen Bedeutung, denn dies

Kleine Mitteilungen. 87W ort muß w ohl als eine w örtliche Ü bersetzung des arabischen Term es „ gubäri “ b etrach tet w erden. So viel ich weiß, h a t H err Oa n t o r keine A uskunft üb e r ein anderw eitiges V orkom m en des lateinischen A usdruckes fü r „S taubrechnung“ im christlichen M itte la lter gegeben, und es dü rfte darum n ich t ohne Interesse sein, darau f hinzuw eisen, daß in einem M anuskripte, das nach N a r d u c c i aus der2. H älfte des 13. Jah rh u n d erts h e rrü h r t, der A usdruck „pulverea ductio nu- m ero rum “ vorkom m t. Dies M anuskrip t w ar lange Zeit im Besitze des F ü rs ten B o n c o m f a g n i , und is t von N a r d u c c i (Caialogo d i m anoscritti ora posseduti da B . B o n c o m f a g n i, Seconda edizione, Rom a 1892 , S. 2 7 1 — 273) beschrieben. Der erw ähnte A usdruck kom m t am Ende einer H andschrift des „Carmen de algorismo “ vor. B ekanntlich is t dieser T rak ta t von H a l l i w e l l (siehe B a ra mathe- m atica, Second edition, London 1 8 4 1 , S. 73 — 83) veröffentlicht worden, aber am Ende des B o n c o m f a g n i sehen M anuskriptes entdeckte N a r d u c c i 28 hei H a l l i w e l l fehlende Verse, die er (a. a. 0 . S. 272) zum A bdruck gebrach t hat, und von denen der le tz te la u te t: „e t non pu luerea fit ductio sic n u m ero ru m “. Die 28 Verse behandeln: arithm etische Reihen, kom plem entäre M ultip likation [sehr dunkle F orm ulierung der Regel: ab = 10 b — (10 — a) b], sowie Regeln, um folgende P roduk te zu berechnen (a , b, c, d k le iner als 10): a (1 0 b), a (10b + c) 1 0 a (10b + c), (1 0 a b )(1 0 c 4 - d). Die D arstellung is t zum Teil sodunkel, daß man den Sinn erra ten m uß. Die letz ten Verse w ürde ich gar nicht verstanden haben, wenn ich n ich t die im L ib er algorism i de p ra tica arism etrice (siehe die BoNCOMPAGNisclie A usgabe [1 8 5 7 ], S. 1 1 9 ) vorkom m ende Regel verglichen hätte. M einer A nsicht nach betrach tete der V erfasser der V erse seine Regeln als K opfrechenregeln, und deutete dies du rch die z itierte B em erkung an, das Rechnen sei n ich t Stauhrechnen („pu lverea ductio n u m ero ru m “).


3 : 157, 158, siehe BM 3 3, 1901, S. 352. — 3 :1 6 0 —162, siehe BM 63 , 1905, S. 311—312.

2 : 1 6 1 . In einer früheren B em erkung (BM 6 3 , 1905 , S. 3 1 1 — 3 12) habe ich d a rau f hingewiesen, daß in betreff der drei G leichungen

8 x 3 = 6 x 1 6 , 8 a;3 = 9 o:2 4 - 12, 8 x 3 — 9 x 2 -{- i x 12

die L ösungen , die in dem von L ib r i zum A bdruck gebrachten T rak ta te angegeben w erden, den G leichungen n ich t genügen. Indessen w äre es n ich t ohne Interesse ausfindig zu machen, wie der V erfasser des T rak ta tes zu den Lösungen gekomm en ist, und fü r diesen Zweck is t es von B elang zu bem erken, daß die W urzeln alle größer als 1 aber kleiner als 2 sind. Schreib t m an nun die d rei G leichungen a u f folgende W eise

x . 8 x 2 = h x + 16, 8 a 2 = 9 x 4 - — . 12, 8 x 2 = 9 x 4 - 4 + — . 12,x xso ersieht m an sofort, daß man A nnäherungsw erte der W urzeln erhält, wenn m an in der ersten G leichung das erste x gleich 1, in den zwei anderen G leichungen

— gleich 1 setzt. Die A nnäherungsw erte bestim m t m an also aus den G leichungen

8 a:2 = h x 4 - 16, 8 x 2 = 9 x + 12, 8 x 2 = 9 x + 16,

und die L ösung dieser G leichungen fü h r t, wie m an aus der D arste llung desH errn Ca n t o r herauslesen kann , u nm itte lbar zu den vom V erfasser des T rak-

Gr. E n e s t r ö m .88

i -d i u „ „ VinHo iph fü r sehr w ahrscheinlich, daß dieser tates angegebenen Form eln. Nun halte ich seien n ich t betrach t-wirklich im V oraus wußte, die W urzeln der G leichungen seienS kgrMer als 1. und »aa W h t

C Ä Ä " w * “ -•beispiele u n te r der folgenden F orm angeben sollen.

X = Y6 ' x + y £ ^ + ^ l ’ 1® + ^ 256 + 2

9 , l / lT T T T; — 16 + I 256 + 2 1

3

daraus w ürde er unm itte lbar gefunden haben, au f welche W eise die L ösungen verallgem einert w erden könnten. E n e s t r o m .

3 : 1 6 3 , s i e h e B M I,, 1 9 0 0 , S. 5 0 4 ; 6 3 , 1 9 0 5 S. 3 1 2 . _ 2 : 1 6 4 , s i e h e BM 6 * ,

1 9 0 5 , S. 3 1 3 - 3 : 1 6 6 , s ie h e BM 1 3 , 1 9 0 0 S. 5 0 4 . - 8 :1 7 8 , s i e h e BM 3 3 , 1 9 0 2 ,

S. 1 4 0 . - 2 : 2 0 6 , s ie h e BM 6 3 , 1 9 0 5 , S. 3 1 3 . - 2 :2 1 0 , s i e h e BM 1 9 0 1 ,

S 3 5 2 - 3 5 3 . — 3 : 2 1 8 , s i e h e BM 4 3, 1 9 0 3 , S. 2 8 4 . — 3 : 2 1 9 , s i e h e BM 8 3 , 1 9 0 1 ,

S. 3 5 3 . — 3 : 2 2 2 , s ie h e BM 6 3 , 1 9 0 5 , S. 3 9 7 — 3 9 8 . — 3 : 2 2 9 , 2 4 2 , s i e h e BM 1 3 ,

1 9 0 0 , S. 5 0 4 — 5 0 5 . — 3 : 2 4 3 , s i e h e BM 1 3 , 1 9 0 0 , S. 5 0 5 ; 6 3 , 1 9 0 5 , S. 3 9 8 . —

3 : 2 5 3 , s ie h e BM 2 3 , 1 9 0 1 , S. 3 5 3 . — 2 : 2 7 3 , s i e h e BM 1 3 , 1 9 0 0 , S. 5 0 5 . —

2 : 2 7 4 , s i e h e BM 33, 1 9 0 2 , S. 3 2 5 . — 2 : 2 8 1 , s i e h e BM 5 3 , 1 9 0 4 , S. 4 1 1 . — 2 : 2 8 2 ,

2 8 3 , s i e h e BM I 3 , 1 9 0 0 , S. 5 06 ; 23, 1 9 0 1 , S. 3 5 3 — 3 5 4 . — 2 : 2 8 4 , 2 8 6 , 2 8 7 , 2 8 9 , 290, 2 9 1 , s i e h e BM l 3, 1 9 0 0 , S. 5 0 6 — 5 0 7 . — 2 : 2 9 6 , s i e h e BM 2 3, 1 9 0 1 , S. 3 5 4 .

2 : 3 0 5 . H ier nennt H e rr Ca n t o r v ier italienische V erfasser arithm etischer A rbeiten, und aus den vorangehenden W o rten : „die einen [sind] etw as früher, die ändern etw as später ged ruck t w ord en “ w ird m an versuch t anzunehm en, daß alle diese v ier A rbeiten w irklich ged ru ck t sind. A ber, so v iel ich weiß, sind die „R egule de l ’arism etica e t de la g eo m etría“ des G io v a n n i T e d a l d i n u r handschriftlich vorhanden; in der T a t erw ähn t B o n c o m p a g n i an der von H errn Ca n t o r zitie rten Stelle n u r eine H andschrift (Cod. P a rm . H H . V I. 4), und w eder in R i c c a r d is Biblioteca m atem ática ita liana noch in irgend einer anderen bibliographischen A rbeit habe ich eine gedruck te S chrift von T e d a l d i

auffinden können. Ü brigens scheint aus den von B o n c o m p a g n i (a. a. O. S. 581) zitierten Stellen der fraglichen „R eg u le“ hervorzugehen, daß sie n ich t am Ende des 15. Jah rhunderts , sondern vielm ehr 1 4 5 2 geschrieben w urden .

G . E n e s t r ö h .

2 :3 1 3 , siehe BM 13, 1900, S. 507. — 2 :3 1 7 , siehe BM 5 3, 1904, S. 69.

2 : 3 2 0 . In betreff der bei L u c a P a c iu o l o vorkom m enden R echnungen m it W urzelgrößen , kann noch bem erk t w erden, daß P a c i u o l o im 3. T ra k ta te dei 3. D istinction dei Siimma das R ationalm achen von B rüchen le h r t , deren N enner von der F orm l /a + f b + ^ + \ d sind. F re ilich b eh au p te t p I c iu o l o

irrigerw eise, daß sein V erfahren auch fü r B rüche m it m eh r als v ie rg lied rigem N enner anw endbar is t (vgl. h ierüber P . C o s s a l i , O rigine . . . delV algebra II,


Parma 1799, S. 225— 229; Scritti inediti pubblicati da B . B oncom pagni, Roma 1857, S. 161). E n e s t r ö m .

2 : 322, eiehe BM 6 3 , 1905, S. 399. — 2 : 325, siehe BM 63 , 1905, S. 313—314 —3 :3 2 8 , siehe BM 3 3 1Qoo s ^ o . * - <3 00c a . » o i * ------S. 507. — “4.3 siehesiehe BM 6 3 , 1905, S. 400—401. — 3 :3 8 1 , siehe BM 13’ 1900(~S. 507.' — 3 : 385’ siehe BM 3 3, 1902, S. 81; 4 3, 1903, S. 207. — 3 :3 8 6 , siehe BM 1 3, 1900, S. 507- 5 3, 1904, S. 306. — 3 : 395, siehe BM 1 3, 1900, S. 507-508 . — 2 : 399, siehe BM 6 3 ’ 1905, S. 107-108. — 2 : 401, 405, siehe BM 13, 1900, S. 507.

2 : 4 1 1 . In der Angabe, daß bei R a in e r G em m a -F r is iu s die A nw endung des doppelten falschen Ansatzes au f quadratische Gleichungen sich findet, ist vor „quad ra tische“ das W ort „ re ine“ einzufügen. M ir lieg t augenblicklich die von J . P e l e t ie r im Jah re 1563 besorgte A usgabe der Arithm eticae practicae m ethodus fa c ilis (das V orw ort des H erausgebers is t vom Septem ber 1558) vor, und d o rt steh t B la tt 52 b— 5 3 a das von H errn Ca n t o r angeführte Beispiel

x • ^ x ~ 2 0 0 ; ein anderes Beispiel der A nw endung des doppelten falschen

Ansatzes au f quadratische Gleichungen kom m t nicht vor. Ganz neu w ar übrigens diese A nw endung n ich t, denn schon in dem L ib er augm enti et d im inuation is sind ähnliche Sachen zu finden (siehe L i b r i , H istoire des Sciences matJiematiques en I ta lie I, S. 305 , 307 usw .) — A uch bei der A nw endung des einfachen falschen A ufsatzes beschränkt sich G em m a - F r is iu s a u f reine G leichungen; freilich behandelt er n ich t n u r quadratische und kubische, sondern auch biquadratische G leichungen (siehe den A bschnitt „ex qu a rta regula cosae“, Aufl. 1563 Bl. 5 6 b— 58a). G. E n e s t r ö m .

2 :4 1 2 . M it R echt bem erkt H err C a n t o r , daß eS leicht zu verm uten ist, wie G e m m a - F r is iu s zu dem N äherungsw erte ) / l3 3 ^ ~ 11 gelangte. In d er T a t is t eine V erm u tung eigentlich überflüssig, denn G e m m a - F r is iu s h atte schon an einer früheren Stelle ge leh rt (A ufl. 1563 , B la tt 4 4 b), daß man, um V 200 zu berechnen, genau das V erfahren anwenden sollte, das H e rr Ca n t o r

ihm in betreff der B erechnung von y i 3 3 | zuschreibt. — D er von H errn Ca n t o r bem erkte offenbare D ruckfehler 1 7 y - |13- fü r die Länge findet sich nicht in der A uflage 1 5 6 3 , wo (Bl. 5 3 a) ganz rich tig „ergo longitudo 1 7 y- pau lö p lu s “ steht. G. E n e s t r ö m .

wie „ dase lbst .» d e u te t , das B eisp ie l - 0» .» d « sw e .te u .

sposta- v . » 2 1 . F eb ru ar 1 5 4 7 « . 1batte. Die 28. Frage dieser .R isposta j a ^ u uad ra . 3 . cloe tro u .u d o .1 suo m e sia partito . 1«. P ’ >«la t“ • ' f ' ¿ ilrtello - löste F eb k a b i die F rage, ^ ^ i r f d . r ’ Ä S Z . l e r t e u S telle des « e u e r« ! * « *

berichtet, indem er darauf hmwres, daß ^

/ _ \ / r - %r- ^25 Vl25 , V625\ _ 3 . _ |= ,( V B + f ö j ( V b - V ö + y f - - y f + V 27 j V27

und daß ferner offenbar _

(3 +vfe) (3—so daß also ___ 5 —

1 1 / 5 \ / /— s / - . ^25 Vl25 , V625\^ = ^ * 4 (y3 _ V 5 + y r + W

G. E n e s t r ö m . — H B o sm a n s .

|/5 + V 3 8*V V27j V V3F e r r a r i wendete also das V erfahren an , zuerst die 5 . W urzel u nd dann

die Q uadratw urzel wegzuscbaffen, und sein V erfahren is t, wie aus dei Begründung desselben hervorgeht, als eine w irkliche M ethode zu b e trach ten Dies aeht noch deutlicher aus den A ntw orten des F e r r a r i au f die F rag en 29 30 der zweiten „R isposta“ hervo r; diese F ragen beziehen sich nam uch au f das Rationalm achen der N enner der A usdrücke:

10 10 undyö + ys un Vs + V3 ’

Die B em erkung des H errn C a n t o r , daß die V orsch rift des T a r t a g l i a ,

m an müsse zunächst die im N enner au ftre ten d en Ir ra tio n a litä te n zu W urze lgrößen gleicher B enennung machen, a lle in das blinde U m hertasten zu einem verständigen V erfahren um zuw andeln im stande ist, d ü rfte also m odifiziert werden sollen. V ielleicht is t diese B em erkung dadurch veran laß t w orden, daß T a r t a g l ia

selbst ( G eneral tra tta to , p a rte 2 , Bl. 1 5 3 b) das F E R R A R isc h e V erfahren bem ängelt, und zw ar teils w eil dem F e r r a r i „ to ta lm en te la v ia m aestra da n - solver il q u es ito “ unbekann t w ar, teils w eil dieser das R esu lta t u n te r der F orm eines P roduk tes zweier W urzelgrößen angegeben ha tte , w ährend T a r t a g l ia

un „reciso“ , d. h. ein aus einfachen W urzelg rößen bestehendes P o lynom v erlang t ha tte . Die erste A usstellung des T a r t a g l i a , die offenbar m it der B em erkung des H errn C a n t o r sehr nahe übere instim m t, is t aus dem von m ir oben angeführten G runde unberech tig t, und die zw eite A usstellung is t kaum ernstlich zu nehmen, denn T a r t a g l ia m ußte w ohl wissen, daß sein G egner im stande w ar, eine einfache M ultip lika tion von zwei W urzelausd rücken auszuführen.

Am E nde des 10. Buches des 2. Teils des G eneral tra tta to le h r t T a r t a g l i a

(Bl. 1 5 4 b) auch das R ationalm achen von B rüchen m it d re ig lied rigem N enner von der F orm y a + \ b + V c.



2 :5 2 9 . D as P roblem : „Die Zahl 8 in zwei Teile zu zerlegen, welche m iteinander und überdies m it ih re r Differenz vervielfacht das größtm ögliche P ro d u k t h ervo rb ringen“, w urde, wie T a r t a g l ia selbst bem erkt, u rsp rüng lich von F e r r a r i als 1 7 . F rage des 3 . „C arte llo“ {S. 7 ) gestellt, und der F rag e steller fo rderte auch einen Beweis der R ich tigkeit der Lösung. T a r t a g l ia löste das Problem in seiner 3. „R isposta“ , gab als Lösung x = 4 -f- y 5 -J-, y = 4 — y 5 J und füg te h inzu: „et questa e di f ru tt i delle nostra p ian ta con liquali pesavati di farm i guerra , m a el vi e fallato il pensiero“ ; im G eneral trattato findet sich ein verbesserter T ext dieses Zusatzes: „et questa b di f ru tt i della nostra p ianta, con li quali pensauano di farm i guerra , m a gli falo il pensiero“. M it „nostra p ia n ta “ m eint T a r t a g l ia ohne Zweifel seine Lösung der kubischen G leichung, wie aus seiner 2. „R isposta“ (S. 5— 6 ) deutlich hervorgeht. Im 5. „Cartello* (S. 1 9 ) bem ängelt F e r r a r i die L ösung seines Gegners, w eil dieser keinen Beweis der R ich tigkeit h inzugefügt hatte . Ob die angegebenen W erte der Teile rich tig seien oder nicht, sag t F e r r a r i , wolle e r dem T a r t a g l ia nich t m itte ilen ; jedenfalls sei die F rage wegen des fehlenden Beweises als n ich t gelöst zu bezeichnen. G. E n e s t r ö m .

2 :5 3 0 , siehe BM 2 3, 1901, S. 354—855; 3 3, 1902, S. 141. — 2 : 532, 535, 541, 548, siehe BM 13, 1900, S. 509—510. — 2 :5 4 9 , siehe BM 1 3, 1900, S. 510; « 3, 1905, S. 401. — 2 : 550, siehe BM 2 3, 1901, S. 355. — 2 : 554, siehe BM 1 3, 1900, S. 510. — 2 :5 5 5 , siehe BM 4 3, 1903, S. 285.

2 : 561. I l convient de faire observer que, dans le troisièm e liv re de sa Logística, B u t e o emploie en passant des équations dont le second m em bre est nul. A insi p. ex. dans le problèm e 6 (p. 146), on trouve à la fin de l ’exercice:

1 q M 7 [M 1 c’est à dire x — 7 = — 11 g Hf 6 [0 x — 6 = 01 q [ 6 ] x = 6 . H . B o s m a n s .

2 : 565, 567, 568, siehe BM 4 3, 1903, S. 285—286. — 2 : 569, siehe BM 18, 1900, S. 510. — 2 : 572—573, siehe BM 1 3, 1900, S. 510; 3 3, 1902, S. 141. — 2 : 576, siehe BM 2 3, 1901, S. 355—356. — 2 :5 7 9 , siehe BM 2 3, 1901, S. 145. — 2 : 580—581, siehe BM 4 3, 1903, S. 207. — 2 : 582, siehe BM 13, 1900, S. 510. — 2 : 583, siehe BM 13, 1900, S. 270; 2 3 , 1901, S. 356. — 2 : 585, siehe BM 5 3, 1904, S. 69—70. — 2 : 592, siehe B M 2 3, 1901, S. 146. — 2 :5 9 4 , siehe BM 13, 1900, S. 270. — 2 :5 9 7 , siehe BM 1 3, 1900, S. 270; 2 3, 1901, S. 146. — 2 :5 9 9 —600, siehe BM 2 3, 1901, S. 146. — 2 : 602, siehe BM 1 3, 1900, S. 270. — 2 : 603—604, siehe BM 4s, 1900, S. 270—271; ß 3, 1905, S. 108. — 2 : 611, siehe BM 2 3, 1901, S. 356—357. — 2 : 612, siehe BM 13, 1900, S. 277; 2 3, 1901, S. 146.

2 : 6 1 2 — 6 1 3 . Es is t durchaus rich tig , daß L. S c iio n e r u s am Anfänge seines Buches B e n u m eris figura tis angibt, er verstehe u n te r figu rierten Zahlen solche, welche durch M ultip likation entstanden sind, aber aus dieser D efinition is t es kaum m öglich zu e rra te n , was sein B uch enthält. In W irk lichkeit beschäftig t e r sich vorzugsw eise m it dem F all, in dem die F ak to ren gleich sind, d. h. m it Potenzen, und behandelt im Zusam m enhang h ie rm it auch W urzeln , sowie die Rechnung m it W urzelgrößen u nd einfacheren algebraischen A usdrücken.

92 G. E n e s t r ö m .

Man könnte also sagen, daß er unter figurierten Zahlen eigentlich Potenzen und Wurzeln versteht.

Von größerem Interesse als der sachliche Inhalt des Buches De numeris figuratis sind indessen, wie Herr C a n t o r auch andeutet, einige darin vorkommende Zitate. Außer dem von ihm erwähnten Verweis auf den 3 3 . Satz [nämlich des 2 . Teiles] des „Algorithmus demonstratus des J o r d a n u s “ , kommt bei S c h o n e r u s noch ein zweiter Verweis auf dieselbe Schrift vor, nämlich inbetreff des Satzes (a -f- l ) 3 — a3 — a2 + (a -f- l ) 2 + a (a + 1)> un^ zwar beruft sich S c h o n e r u s (siehe S. 279 der ersten Auflage vom Jahre 1586) auf „ J o r d a n u s 3 4 p. 2 Älgoritlimi demonstrativ-, in der Tat lautet der zitierte Satz des Algorithmus demonstratus: „Omnis cubus addit super proximum minorem cubum numerum congregatum ex quadratis amhorum et numero facto ex ductu radicis unius in radicem alterius“. Obgleich es jetzt als fast sicher betrachtet werden kann, daß der Algorithmus demonstratus nicht von J o r d a n u s herrührt, wäre es ohne Zweifel von Interesse zu wissen, wie S c h o n e r u s dazu gekommen ist, diese Schrift dem J o r d a n u s zuzuschreiben.

Auch ein anderer bei S c h o n e r u s vorkommender Verweis verdient vielleichtbeachtet zu werden. Hinsichtlich des Satzes, daß, wenn — = — • — , so

«2 ai aeist ax • ai ■ a6 — a2 • a3 • «5, beruft sich S c h o n e r u s (in der mir augenblicklich vorliegenden letzten Auflage vom Jahre 1 6 2 7 findet sich die Stelle S. 1 5 9 ) auf „ T h e b i t i u s ad 2 . p. 3 . M e n e l a i “ . Nun kommt ja dieser Satz in der Schrift De figura sectore von T a b i t b e n K u r r a vor, die sich an M e n e l a o s ’ Sphärik anschließt, aber so weit man jetzt weiß, nennt T a b i t darin gar nicht M e n e l a o s (vgl. A. A. B j ö r n b o , Ahhandl. zur Oesch. d. mathem. Wiss. 14, 1 9 0 2 , S. 1 5 ) . Es wäre also von Interesse zu wissen, woher S c h o n e r u s sein Zitat entnommen hat. G. E n e s t r ö m .

2 :6 1 3 , siehe BM 2 3, 1901, S. 357; 5 3, 1904, S. 306. — 2 :6 1 4 , siehe BM 3 3, 1902, S. 141 .— 2 :6 1 7 , 619, siehe BM 6 3 , 1905, S. 108—109. — 2 : 620, siehe BM 3 3, 1902, S. 141. — 2 : 6 2 1 , siehe BM 1 3, 1900, S. 277; 2 3, 1901, S. 146; 6 3 , 1905, S. 402. — 2 : 623, siehe BM 13, 1900, S. 277; 2 3, 1901, S. 146-147 . — 2 : 632, siehe BM « 3, 1905, S. 109. — 2 :6 3 4 , 63% siehe BM 63 , 1905, S. 315 -316 . — 2 :6 3 8 , siehe BM 2 3, 1901, S. 147. — 2 :6 4 2 , 643, siehe BM 13, 1900, S. 271. — 2 :6 4 4 , siehe BM 63, 1905, S. 40 2 -4 0 3 . — 2 : 655, siehe BM 2 3, 1901, S. 357. — 2 :6 5 6 , siehe BM 4 3, 1903, S. 286. — 2 :6 5 9 , 660, siehe BM 2 3, 1901, S. 147—148. — 2 : 6 6 1 , siehe BM ©3, 1905, S. 403. — 2 :6 6 5 , siehe BM 13, 1900, S. 271. — 2 :6 6 9 , siehe BM 5 3, 1904, S. 203. — 2 : 670, siehe BM 6 3 , 1905, S. 403. — 2 :6 7 4 , siehe BM 4 3, 1903, S. 88 . — 2 :6 8 3 , siehe BM 2 3, 1901, S. 148. — 2 : 693, siehe BM 4 3, 1903, S. 287. — 2 : 700, 701, 703, 704, 705, siehe BM 1 3, 1900. S. 271—273. — 2 : 715, siehe BM 5 3, 1904, S. 412. — 2 : 716, siehe BM 6 3 , 1905, S. 404.

2:717. Herr C a n t o r gibt an, daß J a m e s G r e g o r y 1638 geboren ist, und dieselbe Angabe haben alle anderen mir bekannten Arbeiten, die biographische Notizen über G r e g o r y enthalten. Aber wenn sein Geburtsjahr 1688 ist, wie konnte er in seinen Exercitationes geometricae (London 1668, S. 2) schreiben: „neque mihi esset difficile affirmare (si modo mentiri veilem), me ante 20 annos illam [ = quadraturam hyperboles] cognovisse“? Ein zehnjähriges Kind kann wohl nicht die Quadratur der Hyperbel gefunden haben?



2 :7 1 7 . H ier sollte entw eder Zeile 26 „verdoppelt w ird “ s ta tt „zun im m t“ gesetzt, oder der Satz, der m it: „E r zeigt fe rn e r“ beginnt, modifiziert werden. S innstörend is t ja der kleine R edaktionsfebler eigentlich nicht, da es sowohl aus der F ig u r 142 w ie aus den Form eln Seite 718 hervorgebt, was H err Ca n t o r sagen will. G. E n e s t r ö m .

2 :7 1 8 . D er von H errn C a n t o r Zeile 11— 12 zitierte Passus lau te t bei G r e g o r y ( Vera circuli et hyperbolae quadratura, Patav ii [1667 ], S. 4 Z. 3 — 4): „ex hisce percepi seriem polygonorum convergentem , cuius term inatio est c irculi sec to r“. N un kann der U m stand, daß G r e g o r y nicht „c ircu lu s“ (wie H err C a n t o r ang ib t), sondern „circuli sec to r“ sagt, durchaus belanglos erscheinen, aber in W irklichkeit is t es n ich t so. Z e u t h e n h a t nämlich ( Geschichte der Mathematik im XVI. und XV II. Jahrhundert, Leipzig 1903 , S. 305) darau f aufm erksam gem acht, daß m an durch geeignete V erbesserung des von G r e g o r y benutzten V erfahrens sicherlich beweisen könnte, die Fläche eines K reisausschnittes sei im allgem einen eine transzendente G röße, daß man aber daraus nicht folgern darf, jeder K reisausschnitt (also auch der ganze Kreis) sei eine transzendente Größe. Man d a rf also n ich t ohne w eiteres in dem zitierten Passus des G r e g o r y „c ircu lu s“ s ta tt „circuli sec to r“ setzen. G . E n e s t r ö m .

2 : 719, siehe BM 2 S, 1901, S. 357. — 2 :7 2 0 , siehe BM 4 3, 1903, S. 287; « 3, 1905, S. 404. — 2 :7 2 1 , siehe BM 13, 1900, S. 273; 63 , 1905, S. 404 -405 . — 2 : 742, siebe BM 1 3, 1900, S. 273; 3 S, 1902, S. 142. — 2 :7 4 6 , siehe BM 13, 1900, S. 273. — 2 :7 4 7 , siehe BM 13, 1900, S. 173; 2 3, 1901, S. 225. — 2 : 74!), siehe BM 4 3, 1903, S. 88. — 2 :7 6 6 . siehe BM 3 3, 1902, S. 142; 5 3, 1904, S. 412-413 . — 2 : 767, siehe BM 2 3, 1901, S. 148, 357-358 . — 2 : 770, siehe BM 4 3, 1903, S. 208. — 2 : 772, 775, siehe BM 2 3, 1901, S. 358—359. — 2 : 777, siehe BM 2 3, 1901, S. 148; 3 3, 1902, S. 204. — 2 :7 8 3 , siehe BM 2 3, 1901, S. 359; 4 3, 1903, S. 88—89. — 2 : 784, siehe BM 2 3, 1901, S 148. — 2 : 787, 791, siehe BM « 3, 1905, S. 405. — 2 :7 9 3 - 7 9 4 , siehe BM 5 3, 1904, S. 307; 63 , 1905, S. 316-317 , 405-406 . — 2 :7 9 5 , siehe BM « 3, 1905, S. 317. — 2 : 797 -798 , siehe BM 5 3, 1904, S. 307; C3, 1905, S. 317. — 2 : 799, siehe BM 5 3, 1904, S. 307. — 2 : 802, siehe BM 4 3, 1903, S. 208. — 2 : 812, siehe BM 4 3, 1903, S. 37. — 2 : 820, siehe BM 2 3, 1901, S. 148; 5 3, 1904, S. 307. — 2 :8 2 5 , siehe BM 2 3, 1901, S. 148. — 2 : 832, siehe BM 5 3, 1904, S 203—204; 6 3, 1905, S. 211. — 2 :8 4 0 , siehe BM 2 3, 1901, S. 1 4 8 - 1 4 9 . - 2 : 843, siehe BM 3 3, 1902, S. 328. — 2 :8 5 0 , siehe BM 6 3 ,1905, S. 109—110. — 2 :8 5 6 , 865, siehe BM 2 3, 1901, S. 149. — 2 : 876, 878, 879, siehe BM J 3, 1900, S. 511. — 2 : 891, siehe BM 13, 1900, S. 273. — 2 : 897, siehe BM 6 3, 1905, S. 406. — 2 :8 9 8 , siehe BM 4 3, 1903, S. 37, 208. — 2 : 901, siehe BM 13, 1900, S. 511. — 2 : 919, siehe BM 5 3l 1904, S. 204. — 2 : V III (Vorwort), siehe BM 3 3, 1902, S. 142. — 2 : IX , X (Vorwort), siehe BM 13, 1900, S. 511—512.

3 : 9, siehe BM 2 3, 1901, S. 359. — 3 : 10, siehe BM 13, 1900, S. 518; 63, 1905, S. 211. — 3 : 11, siehe BM 43 , 1903, S. 209. — 3 : 12, 17, siehe BM 13, 1900, S. 512.— 3 :2 2 , siehe BM 1 3, 1900, S. 512; 4 3, 1903, S. 209. — 3 : 2 4 , siehe BM 4 3, 1903,S. 209. — 3 : 2 5 , siehe BM 4 3 , 1903, S. 209, 399. — 3 :2 6 , siehe BM 2 3, 1901,S. 359. — 3 : 3 9 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 407. — 3 : 4 5 - 4 8 , 49, 50, siehe BM 13,1900, S. 512—513. ____________

3 :6 3 . Im V orübergehen bem erk t H err C a n t o r , daß die Exercitationes geometricae (1668 ) des J a m e s G r e g o r y ein n ich t um fangreiches B uch is t (in der T a t en thält es außer dem V orw orte n u r 27 D ruckseiten), daß aber sein

9 4 G. E n e s t e ö m .

Inhalt auch abgesehen von den hier berücksichtigten 13 ersten Seiten nicht ohne Interesse ist, hat Herr C a n t o r selbst später (S. 6 8 8 ) hervorgehoben. Ein näheres Studium der Seiten 14—27 der Exercitationes geometricae könnte vielleicht noch weitere Belege hierzu liefern. Schon auf dem Titelblatte erwähnt G r e g o r t zwei Sätze von allgemeinerem Interesse, die S. 25— 26 zu finden sind, und die in moderner Bezeichnung lauten:

j tg x dx = log sec x, j cosec x dx = log tg \ x.Das Vorkommen des ersten Satzes in den Exercitationes geometricae haben

G . H e i n r i c h in der Biblioth. Mathem. I 3, 1900, S. 91 und B r a u n m ü h l in seinen Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie (II, S. 41) erwähnt; ob das Vorkommen des zweiten Satzes früher bemerkt worden ist, weiß ich nicht.


3 : 7 0 , siehe BM 2 3, 1901, S. 360. — 3 : 82, siehe BM 5 3, 1904, S. 308. — 3 :1 0 0 , siehe BM 8 3 , 1901, S. 149. — 3 :102 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 318. — 3 :112 , siehe BM 4 3> 1903, S. 209—210; 6 3 , 1905, S. 318. — 3 :116 , siehe BM 13, 1900, S. 513.— 3 :117 , siehe BM 13, 1900, S. 518. — 3 :123, siehe BM 13, 1900, S. 513; 4 3, 1903, S. 399. — 3 :124 , siehe BM 3 3, 1902, S. 407—408; 4 3, 1903, S. 400. — 3 :1 2 6 , siehe BM 4 3, 1903, S. 288. — 3 :1 3 1 , siehe BM 4 3, 1903, S. 210. — 3 :1 5 1 , siehe BM 3 3 , 1902, S. 326. — 3 :1 6 7 , 172—173, siehe BM 4 3, 1903, S. 400. — 3 :174, siehe BM 8 3 , 1901, S. 149—150. — 3 : 183, siehe BM 13, 1900, 8 . 432. — 3 : 188, siehe BM 3 3, 1902, S. 241. — 3 :2 0 1 , siehe BM 13, 1900, S. 513. — 3 :2 0 7 , siehe BM 13, 1900, S. 519. — 3 :2 1 5 , siehe BM 2 3, 1901, S. 150. — 3 :2 1 8 , siehe BM 1 3, 1900, S. 513. — 3 :2 2 0 , siehe BM S 3, 1902, S. 326. — 3 :2 2 4 , siehe BM 1 3, 1900,S. 514. — 3 :2 2 5 , 228, siehe BM 2 3, 1901, S. 150. — 3 : 230, siehe BM 6 3 , 1905,S. 21 1 -2 1 2 . — 3 :2 3 2 , siehe BM 13, 1900, S. 514; 63 , 1905, S. 212. — 3 : 244—245, siehe BM 5 3, 1904, S. 205, 413. — 3 : 246, siehe BM 13, 1900, S. 514; 2 3, 1901,S. 151. — 3 :2 5 0 , siehe BM 13, 1900, S. 514. — 3 :3 0 3 , siehe BM 2 3, 1901, S. 155.— 3 : 330—331, siehe BM 3 3, 1902, S. 241—242. — 3 : 337, siehe BM 5 3, 1904, S. 206.

3:365. Hier finden sich einige Notizen über die von G u id o G r a n d i 1703 herausgegebene Schrift: Quadratura circuli et hyperbolae per infinitas hyperbolas et parabolas quadrabiles geometrice exliibita, und zuletzt wird bemerkt: „ G r a n d i . . . . schrieb nun 0 + 0 +■ 0 + . . . = als Symbol der Schöpfung der Welt aus dem Nichts“. Aber diese Folgerung findet sich nicht in der 1703 herausgegebenen Schrift, sondern ist ein Zusatz der „editio altera, auctior et accuratior“, die im Jahre 1710 erschien. Hier sind nämlich (S. 29) 13 Zeilen

* eingeschaltet, die in der Auflage von 1703 fehlen. Freilich behauptet G r a n d i selbst in seinem „Scholion“ (S. 29—34), daß die fraglichen Zeilen ursprünglich in seinem Manuskripte standen, und daß er dieselben auf Anregung einer Person, die er „nonnemo censoris vicem subiens“ nennt, vor der Drucklegung 'strich, aber dieser „censor“, der sein Gegner A. M a r c h e t t i war, hat in einer 1713 herausgegebenen Lettera bestritten, daß die in der zweiten Auflage eingeschalteten Zeilen wörtlich mit den von G r a n d i 1703 gestrichenen übereinstimmten. In jedem Falle aber kann es von Interesse sein zu erwähnen, daß die Schrift von 1703 sieben Jahre später eine verbesserte und vermehrte Auflage bekam. G. E n e s t r ö m .

3 : 3 7 0 —3 7 1 , siehe BM 5 3, 1904, S. 308. — 3 :3 8 2 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 213. — 3 :3 8 4 , siehe BM « 3, 1905, S. 319. — 3 :4 0 8 , siehe BM 6 3 , 1905,


S. 213. — 3 :447 , 433, siehe BM » 3, 1901, S. 151. — 3 :473, siehe BM ä 3, 1901, S. 154—155; 4 3, 1903, S. 401. — 3 : 477, 479, siehe BM 2 3, 1901, S. 151—152. — 3 :4 9 7 , 498, siehe BM 5 3, 1904, S. 309. — 3 :5 0 7 , siehe BM 5 3, 1904, S. 71—72. — 3 :5 2 1 , siehe BM 2 3, 1901, S. 441.

3 :5 2 7 . Das h ier nach V a r i g n o n s Elémens de mathématique (17 3 1 ) erw ähnte In s trum en t zu r D reite ilung eines beliebigen W inkels w urde schon in l ’H ô p i t a l s Traité analytique des sections coniques (Paris 1707), S. 4 5 2 — 453 beschrieben. G. E n e s t r ô m .

3 :5 3 5 , siehe BM 4 s, 1903, S. 401. — 3 : 536, siehe BM 5 3, 1904, S. 206. — 3 : 560, siehe BM 6 3 , 1905, S. 319—321. — 3 : 565, siehe BM 3 3 , 1902, S. 326—327. — 3 :5 7 1 , siehe BM 3 3, 1902, S. 327; 5 3, 1904, S. 72. — 3 :5 7 8 , siehe BM 3 3, 1902, S. 327; 5 3, 1904, S. 309. — 3 : 586, 6 0 9 , siehe BM 5 3, 1904, S. 3 0 9 -310 . — 3 : 614, siehe BM 4 3, 1903, S. 89—90. — 3 :6 1 6 , siehe BM 63, 1905, S. 214, 408. — 3 : 636—637, siehe BM 2 3, 1901, S. 441. — 3 : 6 4 6 - 6 4 7 , siehe BM 5 3, 1904, S. 206—207. — 3 : 652, siehe BM 2 3, 1901, S. 446; 5 3, 1904, S. 207. — 3 :660 ,siehe BM 2 3, 1901, S. 441. — 3 :6 6 7 , siehe BM 2 3, 1901, S. 441—442; 5 3, 1904,S. 207—208, 310. — 3 : 682, siehe BM 6 3 , 1905, S. 408. — 3 : 6 8 6 , siehe BM 5 3,1904, S. 208. — 3 :6 8 9 , 695, siehe BM 2 3, 1901, S. 442. — 3 : 736, siehe BM 6 3 ,1905, S. 111. — 3 : 750, 758, siehe BM 2 3, 1901, S. 446. — 3 : 759, siehe BM 5 3,1904, S. 208. — 3 : 760, 766, siehe BM 2 3, 1901, S. 446 -447 . — 3 :7 7 4 , 798, siehe BM 2 ;i, 1901, S. 442—443. — 3 :8 1 9 , siehe BM ö 3, 1905, S. 321. — 3 :8 4 5 , sieheBM * 3, 1901, S. 447; 3 3, 1902, S. 327—328. — 3 : 848, 881, siehe BM * 3, 1901,S. 443. — 3 :8 82 , siehe BM 2 S, 1901, S. 447; 5 3, 1904, S. 414. — 3 : 890, sieheBM 4 3 , 1903, S. 401. — 3 :8 9 2 , siehe BM 3 3, 1902, S. 143. — 3 : IV (Vorwort),siehe BM 2 3, 1901, S. 443.

Anfragen.

126. Ü b e r S p u r e n d e r k o m p le m e n tä r e n M u l t ip l ik a t io n b e i a r a b is c h e n M a th e m a t ik e r n . Als negatives E rgebnis seines Berichtes über die w estarabische M athem atik heb t H err C a n t o r ( Vorles. über Gesch. d. Mathem. I 2, 1894 , S. 768) als besonders w ichtig hervor, daß w ir bei den W estarabern kein kom plem entäres Rechnen, n ich t einm al die kom plem entäre M ultip likation finden. Meines W issens is t auch, je tz t keine arabische Schrift bekannt, wo die^p A rt von M ultip likation ausdrücklich g e leh rt w ird, un d m an könnte darum versuch t sein, das E rgebnis des C a n t o r sehen B erichtes als definitiv anzusehen. Freilich g laub t H. W e i s s e n b o r n ( G e r b e r t . , Beiträge zur Kenntnis der Mathematik des Mittelalters, B erlin 1888, S. 169— 208) durch eine längere U n te rsuchung nachgew iesen zu haben , daß die kom plem entäre M ultip lika tion au f A raber und In d e r zurückzuführen ist, aber sein „N achweis“ is t kaum m ehr als eine B ehauptung .

Indessen g ib t es zwei G ründe, die meines E rachtens dafü r sprechen, daß die F rage noch n ich t endgü ltig erled ig t ist, und die also neue U ntersuchungen über das V orkom m en der kom plem entären M ultip likation bei den A rabern e rw ünscht machen.

D er erste G rund is t der U m stand, daß v ier der ä ltesten abendländischen A lgorism us-Schriften, die alle v ier m ehr oder w eniger B earbeitungen arabischer V orlagen zu sein scheinen, eine kom plem entäre M ultip likationsregel enthalten. Die vier Schriften sind: 1. Die von Cu r t z e im Ja h re 18 9 8 herausgegebene

96 G. E n e s t r ö m .

a n o n y m e A lgorism usschrift, von denen d re i H andschriften bekann t sind, u nd die m ö g l i c h e r w e i s e von A t e l h a r d v o n B a t h h e r r ü h r t , jedenfalls aber n ich t spater a ls ° 1 168 verfaß t sein kann (vgl. B ib l io t h . M a th e m . 53, 1 9 0 4 , S. 8 12 , 416 ).2. D er von B o n c o m p a g n i im Ja h re 1857 herausgegebene L ib e r a lgorism i de p ra tica arism etrice, d e r vielleicht auch aus dem 12. Ja h rh u n d e rt h e rru h rt, und der in einigen H andschriften dem J o h a n n e s H i s p a l e n s i s beigeleg t w ird (vgl. B i b l i o t h . M a th e m . 5 .3, 1 9 0 4 , S. 4 0 8 — 4 0 9 ; 63 , 1 9 05 , S. 114). 3. D er von0 a n t o r im Jah re 1865 herausgegebene L ib e r a lgorizm i, der kaum spä te r als 1 2 0 0 geschrieben is t (vg l. C a n t o r , a. a. O . S. 8 55 ). 4 . D er von Ch. H e n r y

im Ja h re 18 8 0 herausgegebene Prologus O c r e a t i in H elceph, der m öglicherweise im 12 J a h rh u n d e rt verfaß t is t (vgl. C a n t o r , a. a. 0 . S. 852 , 8 5 5 ; W e i s s e n b o r n , a. a. 0 . S. 1 8 4 — 185). F re ilich is t das V orkom m en der kom plem entären M ultip likationsregel in den v ie r Schriften n ich t entscheidend, denn w er geneig t ist, den A rabern die K enntnis dieser R egel abzusprechen, kann den fraglichen U m stand so erklären , daß die Regel im 12. J a h rh u n d e rt im A bendlande allgem ein gebräuchlich w ar, und daß sie eben aus diesem G runde von den B earbe ite rn der arabischen V orlagen h inzugefüg t w urde.

E tw as größere B eachtung verd ien t v ielleicht der zweite der von m ir oben a n gedeute ten G ründe, näm lich daß im T dikhys des I b n A l b a n n a eine M ultip likationsregel vor kom m t, die d a rau f h inzudeuten scheint, daß I b n A l b a n n a vielle ich t die kom plem entäre M ultip lika tion kannte. Die betreffende R egel w ird von A. M a r r e (S. 14 des Sonderabzuges seiner Ü bersetzung) au f folgende W eisew iedergegeben :

L a m ultip lica tion p a r l ’excédant. — E lle consiste en ceci: tu dénom m es p a r dix l ’excès su r dix de l’u n des deux nom bres à m u ltip lie rl ’un p a r l ’au tre , pu is de son com pagnon tu prends ce rap p o rt, tu 1 add itionnes avec lu i, e t tu fais de la somme des dixaines; e t s’il y a dans le ra p p o r t une fraction , tu le p rends de dix, e t tu le m ets a la place

des un ités.W enn ich geneig t bin anzunehm en, daß I b n A l b a n n a h ier von kom plem en

tä r e r M ultip lika tion sp rich t, so is t der G rund dazu freilich n ich t daß M a r r e

in der F u ß n o te die von ihm überse tz te R egel als m it der Form el

+ &) 10 = ( « - 1 0 ) 5 + 1 0 5

identisch e rk lä rt. Meines E rach tens h a t M a r r e näm lich den T ext g ar nicht verstanden und darum n ich t r ich tig übersetzen können, so daß die Ü bersetzung, die er ta tsäch lich b ietet, den Sinn des I b n A l b a n n a n ich t w iederg ib t. Möglich is t ia daß der arabische T ext der von M a r r e benu tz ten A bschrift verstüm m elt ist, aber ebenso sehr is t es m öglich, daß M a r r e durch die WÖPCKESche Ü bersetzung der A rith m etik des A l i c a l s a d i (w o ein K apite l über „dénom ination* vorkom m t) veran laß t w orden ist, das V erfahren , das er „dénom ination* nennt, m it einem D ivisionsverfahren in V erb indung zu setzen. A ber schon der U m stand, daß man, um eine M ultip likation von zwei ganzen Z ahlen auszuführen , zuerst m it 1 0 div id ieren sollte, scheint m ir v erdäch tig ; nehm e ich noch hinzu, daß im M itte la lter das W o rt„ denom inatio“ als besonderes K u n stw o rt bei der kom plem entä ren M ultip lika tionsregel vo rkom m t un d „M ultip lika tion m it 1 0 “ bedeu te t (siehe z. B. J o a n n i s H i s p a l e n s i s L ib er a lgorism i de p ra tica a rism etrice , ed. B o n c o m p a g n i , Rom a 1 8 57 , S. 9 7 : „qu in q u ag in ta que est denom inatio a quin-

Kleine Mitteilungen. 97que“; M. C u r t z e , Über eine Algorismus-Schrift des XII. Jahrhunderts; Ab- bandl. zur Gesch. d. Mathem. 8, 1898, S. 18: „differentia maioris de minori demere et de reliquo denominationem facere“), so habe ich noch größeren Anlaß anzunehmen, daß M a r r e den Sinn des arabischen Textes mißverstanden bat, wenn er die Worte, die er durch: „tu dénommes par dix l’excès sur dixde l’un des deux nombres“ übersetzt, durch wiedergibt; ich für meinenTeil würde eher 10 (a—10) setzen. Den wirklichen Sinn der Regel des I b n A l b a n n a kann ich zwar nicht ermitteln, aber ich kann nicht umhin, die Überschrift „La multiplication par l’excédant“ durch „Komplementäre Multiplikationsmethode“ zu übersetzen, und ich halte es nicht für unwahrscheinlich, daß I b n A l b a n n a entweder die Regel

ab = 1 0 [a — (10—&)] + (10—a) (10— b)oder die Regel

ab - - 10a — a (10—b)

angegeben hat. Jedenfalls wäre es gut, wenn ein Kenner der arabischen Sprache die Frage näher untersuchen wollte. G . E n e s t r ö m .


98 Rezensionen-

Rezensionen,i f e r o i l i s A le x a n d r in i o p e r a q u a e s u p e r s u n t o m n ia . V ol. I I I . R a t io n e s

d im e t ie n d i e t c o m m e n t a t io d io p tr ic a (V e rm e ssu n g sleh re u n d D io p tra ) , g riec h isch u n d d e u ts c h v o n H e r m a n n S c h o n e . L e ip z ig , l e u b n e i 1 9 0 .

80 , X X I + 3 6 6 S. M ark 8 1).D ie V erm essu n g sleh re H er o k s , n ach dem g riech isch en T ite l j e t z t a llg e in e in

Metrica b e n an n t, i s t e rs t v o r e in ig en J a h r e n v o n dem V a te r des H e ia u s g e b e is

in K o n s ta n tin o p e l in einem C odex des 1 1 . J a h rb .B ez ieh u n g d ieselbe zu den schon von H u l t s c h i . J . 1 8 6 4 hei au sg eg eb en en S c h rif te n H e r o n s , d e r G eo m etrie , S te reo m e trie u n d den Jfew sM rae s teh e js t m n

TTernnianis im R h e i n . M u s e u m 612, 1 9 0 6 , p . 1 7 8 1 8 4 h“ T S « , e rö ffnen uns eine K e ih . n e n e r O r f c h t s p n . t o a u f .m b ie te d e r g r iec h isch e n M a th em a tik . G re ifen w ir z u e rs t n o ch m a ls zw ei Pheraus die schon W . S c h m id t , M. C u r t z e und G. W ertheim in d e r B i b l i o . h e rau s , m e sc 1 3 ___1 4 - 3?, 1 9 0 2 , p . 1 4 3 — 1 4 4 und in der Z e i t -

f „ ; , f M . t ' i e m (4 2 ,' 1 8 9 7 , H is , A b t. p . 1 1 3 - 1 2 0 ; 4 4 , 1 8 9 9 , H is t A b t. p 1— 3) b e h a n d e lt h aben . E rs te n s e r fa h re n w ir an s den A l '* « '« . daS A r c h i - m e d e s eine S c h rif t, b e t i te l t E phodikon , v e r fa ß t h a t ; es e n th ie lt d ieselbe u na n d e re m d ie Q u a d ra tu r d e r P a ra b e l, d ie a lso u n r ic h tig e rw e is e zw ischen die b e id en B ü c h e r vom G le ich g ew ich t d e r E b en en h in e in g e ra te n is t, d a n n ab er a u ch d ie In h a s- b e s tim m u n g zw eie r K ö rp e rg eb ild e , m it den en m an sich h e u tz u ta g e se lten m eh l b e sc h ä ftig t , d e ren In h a lte a b e r von A r c h i m e d e s sch o n r i c h t i g b e re c h n e t w o rd en s ind n äm lich des C y lin d e rh u fe s (p. 1 3 1 d e r M etrica) u n d des g em einsam en S tü ck es zw eier C y lin d e r von g leichem D u rc h m e sse r , d e ren A chsen sich i e c h t w in k lig schneiden (p. 1 3 3 ) . D as E phodikon w ird a ls e ine äh n lic h e S c h r i tt u b e i

l \ V o r v ie r J a h re n v e rsp ra c h m ir e in M ita rb e i te r d e r B i b l i o t h e c a M a t h e - m a t i c a e in e R e zen sio n v o n H e r o n s Opera 1, 2 : 1 , u n d v o r d re i J a h r e n g a b m ir e in a n d e r e r M ita rb e ite r d e r Z e its c h r if t e in ä h n lic h e s V e rsp re c h e n in b e tre f f des 3. B a n d es v o n H e r o n s Opera, a b e r w e d e r d e r e in e n o ch d e r a n d e re i s t d a z u g e k o m m e n , d ie v o n ih m ’ v e rsp ro c h e n e R e z e n sio n f e r t ig z u s te l le n . N u n h a t H e rr R u n io in se m e m N a c h ru f fü r W i l h e l m S c h m i d t (siehe B i b l i o t h . M a t h e m . 6S, 1905 S . 3 6 2 — 871) fü h r l ic h ü b e r d en 1. B a n d u n d zum T e il a u c h ü b e r d e n 2. B a n d des f r a g lic h e n W e rk e s b e r ic h te t , so d a ß e in e b e so n d e re R e z e n s io n n u n m e h r n u r f ü r d e n d. B a n d e r w ü n s c h t is t , u n d H e r r S u t e r h a t j e t z t d ie G ü te g e h a b t , d iese R e z e n s io n zu re d ig ie re n .1 (t h.TCP.STTiOM.

Rezensionen. 99

Flächen- und K örperberechnung gewesen sein, wie sie die M etrica des H e r o n sind, n u r allerdings m it eingehenderer geom etrischer B egründung der aufgestellten Form eln. Zweitens zieht H e r o n (p. 19) die irra tionale Q uadratw urzel aus einer Zahl durch w iederholte A nw endung des V erfahrens:

\ ä = |/a2 + = a;

VA ~ f 4 " = OL U. S. f.

(vgl. auch S. G ü n t h e r , D ie quadratischen Irra tiona litä ten der A lten ; A b - h a n d l . z. G esch . d. M a th e m . 4, 1882, 1— 134). Die K ubikw urzel berechnet er m it Hilfe der M ethode der beiden Fehler, die zu diesem Zwecke etwas u m geform t w ird (vgl. G. W e r t h e i m in Z e i t s c h r . f. M a th e m 44, 1899 - H ist A bt. 1— 3.

Z u r Q u a d ra tw u rz e la u sz ie h u n g is t fo lgendes h in zu zu fü g en : D ie zw eim alige A n w en d u n g des HERONSchen V erfah ren s f ü h r t a u f denselben W e r t w ie die zw eite A n n ä h e ru n g des Q a l a s a d I u n d des H a s s a r n äm lich :

( I \ 2./ o . „ | r \2aJ\ a 2 ± r = a ± ~ 2 (a + k)

© 2

wo a

Es is t in der T a t a + — -----------^ ____ = « ' = — ( « 4 - ^ - + - 1 ,2“ >(• + £) 21 “ >

1 / ct^ -j- t \= ~2 \ a i — ); beide Seiten können näm lich a u f die F orm ge-

i -II , 8 a 2 (äs2 -f- r) + r 2bracht w erden: -____ 1— L—l___4 a (2 a 2 + **)

(vgl. auch M. C u r t z e in Z e i t s c h r . f. M a th e m . 42, 1897; H ist. A bt. p. 147). W ir wollen noch anführen, daß man m it der d ritten A nnäherung des H a s s a r (vgl. B ib l io t h . M a th e m . 23 , 1901 , 38), die darin besteht, daß, wenn die

zweite A nnäherung den W ert a + ^ - ergeben h a t, von diesem die Größe2( i ) 2

su b trah ie r t w ird, auch den N äherungsw ert fü r f 3 e rhält;2 (« + JL} ................. ’ ...................................... 7g0nim m t man näm lich als zweite A nnäherung den bekannten W ert -f-f = 1

dann is t 1 + T Í -11 Q sY 1351

(> +Den W e rt f f e rhä lt man allerd ings nach den Form eln des H a s s a r direk t

n icht, wohl aber die W erte f und f f , aus denen sich erg ib t:9 7 + 7 265 6 + 4 15

W ir finden ferner in den M etrica (p . 4 9 — 65) die Inhaltsform eln fü r die regelm äßigen Polygone aus der Seite berechnet; H e r o n benutzte fü r diese A bleitungen die Sätze ü b e r das rechtw inklige D reieck, den goldenen Schnitt, und das „Buch über die Geraden im K reise“ (p 59 ); es is t dies höchst w ahrscheinlich das B uch üb e r die B erechnung der Sehnen von H i p p a r c h ; bekanntlich haben auch die A raber A b ú ’l - W e f á und E l-B írú n í Schriften u n te r dem gleichen T itel verfaßt. Die B erechnung des D reiecksinhaltes aus den drei Seiten findet

7*

|( Rezensionen.

sich an zwei O rten, in den M etrica (p. 1 9 — 25) u nd m der D iop tra (p. 281 — 2 8 5)- am ersten’ O rte sag t H e r o n : „Es g ib t eine allgem eine M ethode um wenn die d rei Seiten eines beliebigen D reiecks gegeben sind, _ den In h a lt o die H öhe zu fin d en “. So w ürde er sich w ohl n ich t au sged ruck t haben w en er selbst diese M ethode erfunden hä tte , dieselbe is t also ä lte r als H e r o n u in diesem Sinne is t also die Stelle in C a n t o r s Vorlesungen [1 p. 3 6 0 ^ ab zuändern. Es d a rf h ier w ohl auch bem erk t w erden, J ß das andm e B uc au f das an verschiedenen S tellen d er bis je tz t veröffentlichten S ch n ften H ERONS hingew iesen w ird (verg l. C a n t o r s Vorlesungen l 2, p. 3 64 o77 , 5 0 9 ) n ich teine ers te oder zw eite A usgabe der „G eom etrie“ w ar w ie Ka n t o r an d e , genannten S tellen v erm u te t, sondern in den m eisten F a llen seine M e tn c a Zu dieser B eh au p tu n g b e rech tig t m ich der ü m stand , daß die A ufgaben bei denen in der G eom etrie au f das „andere B u c h “ des H e r o n verw iesen ist, sich oft m it denselben Zahlenbeispielen u nd sogar oft m it derselben W orteink leidun (vgl. Geometrie, ed. H u l t s c h , p. 133 , Z. 1— 5 m it M etrica , p 69 ) .in den M etrica vorfinden. N u r die A ufgabe der G eom etrie p . 133 , Z. 1 0 — 16, die au f eine quadratische G leichung fü h r t, u nd die C a n t o r in seinen Vor- lesungen l 2, p. 376 f. besprich t, findet sich n ich t in den M etnca-, es scheint m ir auch w ahrscheinlich, daß dieselbe niem als in diesem B uche sich befunden ha t, denn sie is t ih re r N a tu r nach sehr abw eichend von den ü b rigen K reisaufgaben, die H e r o n an dieser Stelle behandelt hat. D er A usdruck in einem ändern B u ch e“ b rau ch t aber keineswegs im m er au f das gleiche B uch h inzudeu t n so h a t W . S c h m id t schon nachgew iesen ( B ib l io t h . M a th e m . 1 3, 19 , p. 3 1 5 ) daß auch einige Male m it den W o rten „in einem ändern B uche dei

Über den M etH ca fernev fü r die F läche einesi K reissegm entes d rei

t a - h , e r s te n , ( « = • + “ * ) . H e fe , s w e i .e » , ( « ” + “ ! ) . M e

+ J_ / Sehne\ 2 d r i tte nS: etw as m ehr als des eingeschriebenen gleichschenk-

ligen^D reiecks, entsprechend der AnCHiMEDischen F orm el f ü r das P a ra b e ls e g m e n t(Y, 7 1 ___83). B ei der ersten F o rm el lieg t 7 t— 3, bei dei zweiten 7t ,G runde, w ie H e r o n selbst bem erk t (bei diesen A nnahm en geben näm lich beide

deE iw e ite n tte fe ö m e tr is c h e n Teile w ird die B erechnung der V olum ina der fü n f regelm äßigen K örper d u rch g efü h rt; w ir w erden ferner au f p . 9 o u nd 97 bei der B ehandlung des schiefen P rism as un d C ylinders an das C a v a l ie r i sehePrinz ip e rinnert; ja dieses P rinz ip w ird geradezu in der F o rm ausgesprochenw ie es h eu tzu tage in den L ehrbüchern der S tereom etrie ben u tz t w ird , es w ird aber n ich t bew iesen; w ir sind der A nsicht, daß H e r o n dasselbe u nd zw ar w ohl m it Beweis im EphodiJcon des A r c h im e d e s , oder dann in seinem B uche über P lin th id e 1) u n d C ylinder gefunden haben w erde. E in solches B uch soll näm lich nach dem Zeugnis von H e r o n (p. 67) A r c h im e d e s verfaß t haben, u nd darin fü r das V erhältn is von K reisum fang zum D urchm esser andere Z ahlen angegeben haben als in der K reisrechnung, und zw ar soll es g rößer sein als 2 1 1 8 7 5 :6 7 4 4 1 , und k leiner als 197 8 8 8 :6 2 3 5 1 . In diesen Zahlen m üssen F eh le r stecken, denn das erste V erhältn is is t etw as größer als n , kom m t aber dem rich tig en W erte

i) Dies sind im allgemeinen niedere Prismen, m it quadratischer oder rechteckiger Grundfläche: P la tten , Ziegel.

Rezensionen. 101ziemlich nahe (3 ,11163), das zweite V erhältn is is t ebenfalls g röber als n (3 ,17377 ), is t aber z u w eit entfern t vom w ahren W erte ; H e r o n reduz ie rt aber diese großen Zahlen w ieder au f 2 2 : 7 .

Besonderes In teresse bieten auch die eigentüm lichen Berechnungen des Pyram idenstum pfes (p. 1 0 3 — 109) und des Obelisken (p. 11 3 — 117); dieselben sind rich tig , wenn auch teilw eise n ich t au f dem einfachsten W ege gefunden; es treffen also h ier die Bem erkungen C a n t o r s ( Vorlesungen l 2, p. 3 7 3 —3 7 4 ) über die stereom etrischen B erechnungen H e r o n s nich t zu, es e rg ib t sich aus den angeführten Stellen der Métrica unzw eifelhaft, daß H e r o n zwischen P y ra m idenstum pf und Obelisk wohl zu unterscheiden w ußte. A uffallend is t bei den Zahlenbeispielen zu diesen A ufgaben die ungenaue B estim m ung der Q uadra tw urzeln, so w ird p. 109 die W urzel aus 455 gleich 21 s ta tt genauer 21^- angenomm en; H e r o n scheint meistens die nächstliegende ganzzahlige W urzel als fü r seine Zwecke genügend genau erach te t zu haben. S. 125 w ird ein B adeschaff als Beispiel einer K ugelschicht berechnet, und S. 127 eine Spire (oder W ulst), wie sie in der B aukunst als Säulenunterlage au ftritt.

Im dritten Teil der Métrica, der über die T eilung der Flächen und K örper handelt, sind zu erw ähnen die beiden ARCHiMEDischen A ufgaben über die Teilung der K ugeloberfläche und des K ugelinhaltes durch eine Ebene nach gegebenem V erhältnis (p. 171 und 185); die le tz tere A ufgabe w ird, wie bei A r c h im e d e s , nich t vo llständig durchgeführt, d. h. die geometrische L ösung der kubischen G leichung, au f die das Problem führt, w ird n ich t gegeben. Eine sehr einfache angenäherte K onstruktion der T eilung eines Kreises durch zwei Sehnen in drei gleiche Teile finden w ir p. 173.

W ir haben noch einige fü r die Geschichte der M athem atik n ich t unw ichtige P unk te hervorzuheben: In der A ufgabe 4 des d ritten Teiles der Métrica (p. 149) m uß eine quadratische G leichung gelöst werden, da von zwei Größen ih r P ro d u k t und ihre Sum m e gegeben sind; H e r o n g ib t allerdings den Gang der Lösung n ich t an, sondern n u r das Schlußresultat, er w ird also den erstem als wohl bekannt vorausgesetzt und deshalb weggelassen haben. — H e r o n h a t fü r „kong ru e n t“ den ganz richtigen A usdruck iöog nai öjuoiog (gleich und ähnlich, Dioptra, p. 256), w ährend E u k l i d e s n u r den zw eideutigen’ i'oog kennt. — H e r o n bezeichnet eine unbekannte Größe in einer A ufgabe (P roportion) m it aAAog xlg od. auch n eu tr . aÄÄo xi ( = irgend ein anderer oder anderes), es kom m t auch einfach die A bkürzung xi ( = irgend etwas) vor (Métrica, p. 156, 1 5 8 , 182 etc.). — M. S im o n sag t in seinem E u k l i d und die sechs planimetrischen Bücher ( A b h a n d l . z u r G esch . d. m a t h e m . W is s e n s c h . , 11, 1901 , p . 123), die A usdrucksw eise „eine Strecke nach dem äußern u nd m ittlern V erhältn is zu te ilen ,“ d. h. ukqov m it „äu ß ern “ zu übersetzen, gebe keinen Sinn, m an müsse übersetzen: „eine Strecke is t ausgezeichnet und nach m ittlerem V erhältn is g e te ilt“ ; dieser A uffassung kann ich mich nich t anschließen, und zitiere als Beweis fü r die R ich tigkeit der bisherigen A uffassung eine Stelle aus H e r o n s Métrica (griech. T ext p. 18, deutsche Ü bers, p. 1 9 ): „W enn drei Zahlen in P ropo rtion stehen, so is t das P ro d u k t der beiden äußern {ukqojv) gleich dem Q uadrat der m itt le rn ,“ und hiervon is t der A usdruck abgele ite t: eine Strecke nach dem äußern und m ittle rn V erhältn is zu teilen.

Und nun zu der A usgabe H. S c h ö n e s . W ir wollen von vornherein b e merken, daß die A ussetzungen, die im folgenden ein M athem atiker einem P h ilo logen gegenüber m achen m u ß , keineswegs das große V erdienst zu schm älern

ILMRezensionen.

v e rm ö g e n , das sich der L e tz te r e u m die m a th e m a t i s c h - histoiische Forschu g

d u rch H e r a u s g a b e dieses Werkes H e r o n s erworben h a t .

Die z iem lich g ro ß e Zahl v on F e h le rn d ie teils^m ^in der deutschen Übersetzung, teils in belden z^ d Arbeit bedeutendhätten wohl durch eine genaue Durchlesung am Schlüsse d e ^ undreduziert werden können. Ich führe im folgenden nur o ^ ^störendsten an, falsche Buchstaben im Text mag_ der ^

r s j s ? » ’ s - -

be,de Se^ ”“ U “ wird üb.jsetet: .in einem Verhlltnis stehen-es soBte heißen „proportional sind“ oder „in Proportion stehen“ ; Verhältnis

" ^ 2 und 3 und S. 21, 4 und 5 sollten wohl an Stelle von 729 und

72° * *■ 2 « T - S. 49. 19 ih den Klammer B J 1 stattA R Die Figur dieser Seite steht nicht am richtigen Orte, sie gehört zumHilfssatz auf S. 51.

S. 55, 13 muß es heißen 8 ; 7 statt 7 : 8.S. 61, 3 soll es heißen M Z 2 statt M E 2.S. 68, 19 ist doch wohl ioc iö' ( = H ^ r ) unrichtig, es so e ei en

lS ( = H)-*“ S. 69, 2: Hier und an ändern Orten übersetzt der Herausgeber Xo)QiOSmit „Baumstück,“ besser wäre „Flächenstück“.

S. 73, 11: „kleiner ist als 4 A E B und als 4 besser wäre „kleinerist als A A E B und 4 B Z T zusammen“.

S. 77, 1: Kader0£ ist hier, wie auch anderswo, unrichtig mit „ Ratnetestatt „Höhe“ übersetzt.

S. 77, 17 soll kein neues alinea beginnen.S. 81* 10: Statt „um Vieles“ wäre besser „um so mehr#- S. 92, 22 steht unrichtig « r (— 1300) statt npö ( = 19 200).S. 93 10 wird äxxuxog mit „irrational“ übersetzt; dies ist hiei nie

das richtige Wort, es sollte heißen „unklassifizierbar“, d. h. die sich nicht ineiner bestimmten Klasse unterbringen lassen.

S. 108, 15 gibt der griechische Text den Inhalt eines Dreiecks mit den Seiten 15, 20 und 30 zu 1 3 1 | an, er ist aber nahezu 133^; der Fehler ist hier zu groß, als daß 131£ der ursprünglich von H e r o n angegebene W ertsein könnte.

S. 117, 24 muß es heißen 138 statt 130.S. 124, 12 soll xvß ( = 352) statt xvt] ( = 358) stehen.S. 125, 21 muß es heißen 448 • statt 448 • 14.S. 130, 11 und 131, 12 ist 7392 unrichtig, es sollte heißen 9956^- und

der Schlußsatz wegfallen.S. 1 3 4 , 3 0 und 135, 33: Es ist merkwürdig, daß hier H e r o n das Ver

hältnis 1 2 7 : 9 3 nimmt, da doch 4 : 3 besser wäre; ebenso wäre S. 136, 28und 137, 25 9 : 1 0 besser als 8 : 9.

S. 148, 25 und 149, 29 sollte nach „gegeben“ stehen: „also ist auch Z B . Z r gegeben“.

Rezensionen. 103

S. 150 , 7 und 151, 8 is t w ahrscheinlich Dach MS ( = 46) y ( = | ) au s

gefallen, denn 46 is t doch zu ungenau ; dann w ird auch B Z ziem lich nahe = 8 f

S. 150, 8 und 151, 9 soll es heißen r) [_ ( = 8 £) s ta tt r) ( = 8 ).S. 157, 20 schreib t der H erausgeber: 13 : 15 = 6 -Jr : x = 6 | : dem

griechischen T ext und auch der m athem atischen A usdrucksw eise en tsprechender w äre: 13 : 15 = 6 £ : x , also is t x = 1 \ .

S. 182, 23 soll es heißen r jy is * ( = 8 7 1 6 f) s ta tt judiö ( = 14014).

S. 182, 24 und 183, 25 m uß s ta tt 1 7 2 4 8 stehen 157 248.S. 183 , 19 m uß s ta tt 4 1 5 8 stehen 4158 |-.S. 183 , 25 und 184, 2 muß es s ta tt 97 050 heißen 97 805, und S. 183, 26

s ta tt 9 7 0 5 0 |/9 7 805 . Trotzdem es in diesem A rt. X X II verschiedene F eh ler hat, is t doch das Sch lußresu lta t r ic h tig : ein Beweis dafür, daß die F ehler du rch die Schuld der spä tem Ü berarbeiter und A bschreiber in den Text gekom m en sein w erden; auch zweifeln w ir daran, daß H e r o n , um die Höhe F M zu finden, die P roportion aufgestellt habe:

T A B + AEF-. r H Z = F A 3 + F X 3: T M 3 da näm lich die P ropo rtion TAB: T H Z = F A 3 : T 313 vollständig genügend gewesen w äre.

S. 185 feh lt im kleinen Kreise die Bezeichnung des M ittelpunktes M., und au f dem R adius A F des g roßem der S chn ittpunk t 0 von X A und A I ; ü b e rh au p t sind verschiedene F iguren , wie z. B, F ig . 51 (Obelisk), 55 (Badeschaff), 57 (C ylinderhuf) etc. unvollständig und schlecht gezeichnet; der H erausgeber w ird sie wohl w iedergegeben haben, wie sie im Ms. stehen, w ir sind der Ansicht, daß h ier eine Verbesserung, die sich leicht als solche hä tte erkennen lassen, am P latze gewesen wäre.

Die D ioptra. Ü ber diese Schrift haben w ir n u r weniges hinzuzufügen, da dieselbe schon längst (zuerst von V i n c e n t , in den N o t i c e s e t e x t r a i t s d e s m ss. d e la b i b l i o t h . i m p e r . 19 : 2, 185 8 ) veröffentlicht, übersetzt und auch eingehender B etrach tung un terzogen w orden ist (vgl. C a n t o r , Vorlesungen l 2, p. 356 f. und W . S c h m i d t in B i b l i o t h . M a t h e m . 4 3 , 1903 , p. 7— 13).Sie is t das vollendetste L ehrbuch der Feldm eßkunde, das uns aus dem A ltertumerhalten geblieben ist, u nd jedenfalls die direkte oder indirekte Quelle fü r v e rschiedene röm ische Feldm esser, wie z. B. C o l u m e l l a u nd die V erfasser des „Codex A rcerian u s“ . H . S c h ö n e stand allerdings noch ein ausgezeichneter Codex zu r V erfügung, den V i n c e n t noch n ich t gekannt hat, näm lich der P arise r Codex Suppl. graeca n° 607 . A ber auch dieser Codex is t n ich t feh lerfrei und lücken los, so fehlen zwischen fol. 62 und 63 sehr w ahrscheinlich 4 B lä tter, und is t amSchlüsse K ap. XXXV, ü b er die B estim m ung der E n tfernung zweier O rte auf der E rdoberfläche m it H ilfe der B eobachtung von M ondfinsternissen, sehr v erd erb t; auch gehörte X X X V II w ahrscheinlich u rsp rüng lich n ich t der Schrift ü b e r die D iop tra an.

A ls in teressan te K apitel sind hervorzuheben: I — V: B eschreibung der D ioptra; X V : einen B erg in gerader L inie zu du rchstechen , d. h. einen T unnel du rch denselben abzustecken; X X : W enn ein un terird ischer K anal gegeben ist, au f dem vorliegenden Boden einen O rt, d. h. einen P u n k t zu finden, so daß ein von diesem senkrecht h in u n te rg e fü h rte r Schacht au f einen bestim m ten P u n k t des K anals trifft; X X IV : die V erm essung eines G rundstückes m it H ilfe einer Dia-

Rezensionen.104

go n a le und d a rau f gefällten Senkrechten (O d m a t e n ) ^ . ^ derselbenste in e eines Flächenstückes verschw unden sind und n u ü b rig en Grenz-n och ü b rig sind und ein H andriß (M imema vorhanden is t,steine zu bestim m en; X X X IV : B eschreibung des W egm essers; X X X V . B estim m 0

der E n tfe rn u n g von A lexandria u nd Rom (verderbt). 2 1 uVon F eh lern b .b e ich n u r folgende - . r w h b n , . : ^ 1 9 , ^ 2 0 - 2 1 ^ «

ä b Iis .’ = i ; ° E l S den» d L f o l g t „ loh t «us d e » v o rh e rg e h e n d ,., sondern

h a t sich durch M essung ergeben. S 9 52 18S 2 5 1 — 253 . D er A rt. X IX is t im Schlußalinea ve d erb t S. 252, 18

21 ("Übers 2 5 3 1 9 — 2 3 ) soll der griechische Text verbessert w erden , wie17 ,on Vk L t b e h e b e n 4 , und die überseteung sei! ”w ieder B M senkrech t au f A T gezogen haben, m achen w ir Z N — M u B = N S - , und nachdem w ir dasselbe m it A M w ie m it B M gem acht haben,

S 255 in F ig . 101 sollen die B uchstaben W und Q m iteinander vertau sch t w erden , oder dann sind die B uchstaben im T exte falsch; io der T at stim m en diese n ich t m it denjenigen der A usgabe V i n c e n t s obgleich die B uchstaben der F ig u ren in beiden A usgaben die gleichen sind ; doch finden sichauch hei V i n c e n t F eh le r im T ext. , , ,

S. 2 5 8 , in Fig. 102 m üssen die B uchstaben zJ und A vertausch t werden,ebenso is t s ta t t B in der obern F ig u r H zu setzen.

„ . . . „ H . S u t e r .Zürich.

I

Neuerschienene Schriften. 105

Neuerschienene Schriften.Das Zeichen * bedeutet, daß die betreffende Schrift der Redaktion nicht V o rg e le g e n hat.

Autoreii-Register.d’Adhémar, 64. Freund, 7. Lebon, 18. Pierpont, 61.Alasia, 6 8 , 89. Gauss, 65. Leibniz, 48. Poincare, 84.A lbattani, 29. Gerland, 48. Lopatin, 82. Rados, 75.Aly, 93. Gravelaar, 34. Löffler, 92. Rudio, 107.Amodeo, 116. Gundelfinger, 65. Lorey, 99, 102. Schoute, 3.Appel, 16. Haas, 28. Loria, 42, 44, 85, 118. Schiile, 111.Bachet, 38. Hayashi, 22, 51. Loewy, 83. Schur, 56.Baillaud, 72. Heiberg, 25. Mackäy, 60. Siebert, 16.Bail, 7, 21. Helm, 17. Manilius, 26. Simon, 62.Berzolari, 85. Hermite, 72. Manitius, 30. Smith, 20.Bielopolskij, 81. Hessenberg, 90. Marum, 58. Sobotka, 113.Birchby, 55. Hirsch, 95. Maurer, 80. Sös, 69.Bliedner, 6 6 . Holden, 19. Milbaud, 40, 110. Stieltjes, 72.Bosmans, 33. Hoppe, 54. Minin, 82. Tannery, 32, 41, 115.Bosscha, 58. Housman, 26. Mortet, 31. Teixeira, 11.Bourget, 72. Huygens, 46. Muir, 50, 70, 120. Vahlen, 47.Brocard, 52. Jourdaiu, 57. Müller, Conrad, 53. Volta, 58.Biichel, 27. Kagan, 108. Nallino, 29. Vries, 3.Cantor, 4, -5. Kapteyn, 3. Nekrassoff, 71. W ieleitner, 118.Capozzi, 49. Kasner, 74. Newbold, 24. Wohlwill, 37.Carrara, 10, 36. Kaueiß, 59. Olivero, 8 8 . Wölfflng, 79.Darboux 9, 91. Kluyver, 3. Orbinskij, 81. Young, 117.Dickstein, 74. Körte weg, 3. Pépin, 67. Zeuthen, 6 , 23, 119.Duhem, 12,13,14,15,39,43. La Cour, 16. Petr, 113. Zindler, 63.Eneström, 2, 35, 45. Lakhtin, 82. Picard, 8 , 73.

a) Z eitsch r iften . A llg em e in es .A b h a n d lu n g e n z u r G esch ich te d e r m a th e

m a tisc h e n W isse n sc h a f te n . L eip z ig , T e u b n e r. 8 °. [1

2« : 1 (1905). — 21 (1906). — [Rezension des Heftes 18:] Neic York, Americ. mathem. soc., Bulletin 122, 1906, 314—315. (D. E. S m i t h .) — L ’enseignement mathém. 8 , 1906, 162—163. (H. S u t e r . ) — Zeitschr. für mathem. Unterr. 3 7 , 1906, 57—59. (S. G ü n t h e r .)

B ib lio th e c a M a th e m a tic a . Z e its c h r if t fü r G esch ich te d e r m a th e m a tisc h e n W is se n sc h a fte n . H e ra u sg e g e h e n von G. E n e- strö m . L e ip z ig (S tockho lm ). 8 °. [2

6 3 (1905) : 4. — [Rezension des Bandes 53 :] Bruxelles, Soc. scient , Revue des quest. scient. •93 , 1906, 658— 660. (H. B o s m a n s .)

R e v u e se m e s tr ie lle des p u b lic itio n s m a th é m a tiq u e s , ré d ig é e sous les a u sp ic e s de la so c ié té m a th é m a tiq u e d ’A m ste rd a m p a r H. d e V r ie s , D. J . K o r te w e g , J . C. K lu y v e r , W . K ap tey n , P . H. S c h o u te . A m ste rd am . 8 °. [3

14 :1 (avril—octobre 1905).

Cantor 51., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. ™ 1- (1894). [Kleine Bemerkungen :] Biblioth. Mathem. 6 3 , 1905 , 394. (G. E n e s t r ö m .) — 22 (1SOO). [Kleine Bemerkungen:] Biblioth. Mathem. 6 3 , 1905, 395—406. (G. E n e - s t e ö m , C. G e ö n b l a d .) — 33 (1901). [Kleine Bemerkungen:] Biblioth. Mathem. 6 3 , 1905, 407—408. (G. E n e s t r ö m .) [4

Cantor, 51., Über einen 4. Band von Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik(1904). [Rezension:] Bruxelles, Soc. scient., Revue des quest. scient. 93, 1906, 660—661. (H. B o s m a n s .) [ 5

Zeuthen, H. G., Geschichte der Mathematik im XVI. und XVII. Jahrhundert. Deutsche Ausgabe ( 19 0 3 ) . [Rezension:] Zeitschr. für mathem. Unterr. 37 ,19 0 6 ,5 9 — 6 1 . ( S . G ü n t h e r . ) [ 6

Ball, IV. IV. R., Histoire des mathématiques. Traduite par L. K r e u n d . 1 (1906). [Rezension:] New York. Americ. mathem. soc., Bulletin 1 2 5 , 1906, 309—314. (D. E. S m i t h .) [7

Picard, E., Sur le développement de l ’analyse et ses rapports avec diverses sciences (1905). [Rezension:] Casopis pro pëstov. matem. 34, 1905, 368-369. — Nature 72, 1905, 313. — Nyt Tidsskr. for Mathem. 16, 1905, B : 45. [ 8

Darboux, G., Etude sur le développement des méthodes géométriques (1904). [Rezension:]

106Neuerschienene Schriften.

Casopis pro pestov. raatem 34 1905 369Monatsh. fur Mathem 16, 1905, 6 8 - 69. (K- M ü l l e b . j — Nature 7 2 ,1905,313. — Nyt Tidsskr. for Mathem. 16, 1905, B : 45. [9

C a r r a r a , B ., I tre problem i classiei degli an tich i in relazione ai recen ti r isu lta ti della scienza. P rob lem a secondo. Dup- licazione del cubo (fine). P rob lem a terzo. T risezione d e ll’ angolo. [10

Bivista di fisica (Pavia) 4 : 1,1903, 337—351, 442—453: 4 : 2, 1903, 3—13, 19-33, 228—241, 309—322. — Der d ritte Teil ist auclh als Sonderabzug erschienen (Pavia 1904, o» +(2) S.) — [Rezension des 2. Teiles :] The mathem. gazette 2, 1903-1904, 21-22. — [Rezension des 3. Teiles:] Bruxelles, Soc. scient., Revue des quest. scient. b3, 1904, bM—bbö. (H. B o s m a n s . ) — Periodico dl matern^ 2 0 ,1.104, 92—93. — The mathem. gazette 3, 1904, bo—bb.

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110 W issenschaftliche Chronik.

Wissenschaftliche Chronik.

E r n e n n u n g e n .

Professor E. A n d in g in München zumDirektor der Sternwarte in Gotha.

Dr B. B. B o l t w o o d i n New Havenzum Professor der Physik an der „Yale university“ daselbst.

— Professor H.A. B u m s t e a d in New Haven zum Professor der Experim entalphysik an der „Yale university“ daselbst.

— Dr. H. D u l a c in Grenoble zum Professor der Mathematik an der „Faculte des sciences“ daselbst.

Br. G. F u b in i in Catania zum Professor der höheren Analysis an der Universität daselbst.

— Professor J u l . G m e in e r i n Prag zum Professor der M athematik an der Universität in Innsbruck.

— Professor J. G. H a g e n in W ashington zum Direktor der vatikanischen Sternwarte in Born.

— Professor A. H a g e n b a c h in Aachen zum Professor der Physik an der Universität in Basel.

— Privatdozent F. H a s e n ö h r l in Wien zum Professor der Physik an der Technischen Hochschule daselbst.

— Dr. N. A. K e n t zum Professor der Physik an der Universität in Boston.

— „Lecturer“ C. H. L e e s in Manchester zum Professor der Physik am „East London college“.

— L. A. M a r t in in Hoboken, N. J., zum Professor der M athematik und Mechanik am „Stevens institute of technology“ daselbst.— H. R. M o r g a n in W ashington zum

Direktor des „Morrison observatory“ in Glasgow, Missouri.

— Professor F. P o r r o in Genua zum D irektor des „Observatorio astronómico nacional“ in La Plata.

— Dozent J. P r e c h t in Hannover zum Professor der Experim entalphysik an der Technischen Hochschule daselbst.

— Professor M. R a d a k o w ic z in Innsbruck zum Professor der mathematischen Physik an der Universität in Czernowitz.

— Privatdozent H. R e is s n e r in Berlin zum Professor der Mechanik an der Technischen Hochschule daselbst.

— Privatdozent W . S c h l in k in Darmstadt zum Professor der M echanik an der Technischen Hochschule in Braunschweig.

— Professor T. S c h w a r z zum Direktor der Sternwarte in Kremsmünster.

— Privatdozent E. v o n S c h w e id l e r in W ien zum Professor der Physik an der U niversität daselbst.

— Dr. O . S. S t e t s o n in Syracuse, N .J., zum Professor der M athem atik an der U niversität daselbst.

— Dr. L. P. W h e e l e r in New Haven zum Professor der Physik an der „Yale university“ daselbst.

— E. T. W h it t a k e r in Cambridge zum Professor der Astronomie an der Universität in Dublin.

— Dr. E. B. W il s o n in New Haven zum Professor der M athem atik an der „Yale university“ daselbst.

— Dr. C. v a n W is s e l in g h in Amsterdam zum Professor der M athem atik an der U niversität in Groningen.

Todesfälle.— G u s t a v B a u e r , Professor der Mathe

m atik an der U niversität in München, geboren in Augsburg den 18. November 1820, gestorben in München den 3. April 1906.

Wissenschaftliche Chronik. I l l

— P ie r r e C d r ie , Professor der Physik an der Universität in Paris, geboren in Paris den 15. Mai 1859, gestorben daselbst den 19. April 1906.— Göran Dir.LNEit, früher Professor der

Mathematik an der Universität in Upsala, geboren zu Oviken (Jämtland, Schweden) den 26. April 1832, gestorben zu Sofielund (Värmdön, Schweden) den 28. März 1906.

— S a m u e l P ie r p o n t L a n g l e v , Astronom, Sekretär der „Smithsonian Institution“, geboren in Boston den 22. August 1834, gestorben in W ashington den 27. Februar1906.

— D a n ie l G e o r g L in d h a g e n , Astronom, früher Sekretär der schwedischen Akademie der Wissenschaften, geboren zu Askeby (Östergötland, Schweden) den 27. Ju li 1819, gestorben in Stockholm den 5. Mai 1906.

— H erm a n n L o r b e r g , Professor der Physik an der Universität in Bonn, geboren in Biebrich a/Bh. den 2. März 1831, gestorben 1906.

— G a b r ie l O l t r a m a r e , Professor der Mathematik an der Universität in Genf, geboren in Genf den 18. Ju li 1816, gestorben daselbst den 10. April 1906.

— J a m es M il l s P ie r c e , Professor der Astronomie an der „Havard university“ in Cambridge, Mass., gestorben in Cambridge, Mass., den 2 l. März 1906, 71 Jahre alt.

— A l e x a n d e r P o p o f f , Professor derPhysik am elektrischen Institu t in St. Petersburg, gestorben 1906.

Vorlesungen über Geschichte der mathematischen W issenschaften.

— An der Universität in Berlin hat Professor W. F ö r s t e r für das Sommersemester 1906 eine zweistündige Vorlesung über Geschichte der Astronomie im Altertum angekündigt.— An der Universität in Greifswald hat

Privatdozent B e r g für das Sommersemester 1906 eine Vorlesung über Geschichte der Physik im Zeitalter N e w t o n s angekündigt.

— An der Universität in Halle hat P rivatdozent F. B e r n s t e in für das Sommersemester 1906 eine zweistündige Vorlesung: „Geschichtliche Übersicht über die H auptgebiete der reinen M athem atik“ angekündigt.

— An der Universität in Münster hat Professor J. P lassm a n n für das Sommer-

semester 1906 eine einstündige Vorlesung über Geschichte der Astronomie angekündigt.

Preisfragen gelehrter G esellschaften.

— Société scientifique de B r u x e l l e s . Concours de l ’année 1906. Perfectionner un point du calcul fonctionnel.

— Société hollandaise des sciences à H a a rle m . Concours de l ’année 1906. In the case of constant curvature, the determination of the volume of the tetrahedron in elliptic space of three dimensions reduces to th a t of the hyperspace tetrahedron (extension of the notion of spherical trigonometry) in space of four dimensions. I t is required to collect the literature relative to the determ ination of the la tte r volume and to extend the theory in some im portant point (See the memoir of S c h l a f l i, Nieuw archief voor wiskunde, 2 nd series, vol. 6 , 2 nd part, page 199).

Vermischtes.

— An der Technischen Hochschule in W ien hat sich Privatdozent F. S t r u n z in Brünn als Privatdozent für Geschichte der Naturwissenschaften habilitiert.

— Das Heft 1 :4 :1 der Encyclopédie des sciences mathématiques bringt die erste Nummer eines A nhangs: T r i b u n e p u b l i q u e , die dazu bestim mt ist, ein Sprechsaal für die französische Ausgabe der Enzyklopädie zu sein. Darin werden nämlich Verbesserungsvorschläge und Ergänzungen aufgenommen, und es scheint auch die Absicht des Herrn M o l k z u sein, durch die T r i b u n e gelegentlich Auskunft über solche literarischen Fragen zu suchen, die den folgenden Heften des W erkes gehören und von den M itarbeitern selbst n icht erledigt werden können. Vielleicht entschließt sich Herr M o l k , den P lan der T r i b u n e allmählich zu erweitern, so daß sie zuletzt auch Aufsätze über Enzyklopädie-Fragen, z. B. über zweckmäßige Darstellungsweise und Begrenzung von Enzyklopädie-Artikeln, umfassen wird.

— La cinquième section du congrès in ternational de philosophie, qui se tenait à Genève en 1904, adoptait un vœu rela tif à l ’enseignement de l ’histoire des sciences, à savoir:

W issenschaftliche Chronik.112

lo que des rudiments d ’histoire des sciences soient enseignés en même temps que les sciences elles-mêmes et par les mêmes professeurs dans les établissements d’enseignement; que cet enseignem ent, tout élémentaire d ’ailleurs, soit rendu obligatoire par les programmes et reçoive une sanction dans les examens;

2o que, dans les universités, 1 enseignem ent régulier de l ’histoire des sciences soit assuré par la création de cours divisés en quatre séries: sciences mathém atiques et astronom iques; sciences physiques et chim iques; sciences naturelles; médecine.

H einrich Sutkr: Über das Rechenbuch des Ali ben Ahmed el-Nasawi. 113

Über das Kechenbuch des Ali ben Ahmed el-Nasawi.Yon H e in r ic h S u t e r in Zürich.

Das Bechenbuch des N a s a w I, betitelt „el-muqni“ (das Befriedigende, Überzeugende) wurde von F. W o e p c k e im J o u r n a l a s i a t ique (1863; I, p. 492—500) nur kurz besprochen; es wurden nur die Kapitelüberschriften und ein Teil der Vorrede übersetzt, ferner die Bezeichnungsweise der Brüche und einige technische Ausdrücke wiedergegeben (vergl. auch Ca n t o r , Vorlesungen, I 2, p. 716—718). Dies war selbstverständlich für die Kenntnis des Buches nicht genügend, und deshalb ist es auch nicht recht begreiflich, worauf in dieser Zeitschrift (1$, 1906, p. 35—37) schon6 . E n e ,st r ö m hingewiesen hat, wie M. Ca n t o r einem J o r d a n u s N e m o r a r iu s

mit ziemlicher Bestimmtheit eine Abhängigkeit von e l - N a s a w I gutschreiben konnte. Wir haben uns daher entschlossen, das Leidener Ms. 556 (Warn.) etwas näher zu studieren.1)

Die Abhandlung des N a s a w I nimmt in demselben die letzte Stelle ein (fol. 68v—79v), sie ist ziemlich schlecht geschrieben, die diakritischen Punkte fehlen oft, Wörter und ganze Sätze sind weggelassen, besonders gegen den Schluß hin, viele Wörter unrichtig geschrieben, in den Zahlenbeispielen oft falsche Ziffern, so daß man mit dem Verfasser der ersten Hälfte des dritten Bandes des Katalogs von Leiden (1865) annehmen muß, der Abschreiber sei des Arabischen (und gewiß auch der Rechenkunst) nur in sehr geringem Maße kundig gewesen, und dazu habe er noch, was zu seiner Entschuldigung etwas beitragen könnte, ein schwierig zu lesendes Exemplar vor sich gehabt. Es war daher keine geringe Mühe für mich, selbst das Wenige, das ich dem Buche entnommen habe, in seiner ursprünglichen Form zu erkennen und richtig wiederzugeben.

Was die Rechnungsweise e l - N a s a w is anbetrifft, so wissen wir schon aus der Darstellung W o e p c k e s , daß er im Gegensatz zu e l - K a r c ih , der gar keine Zahlzeichen gebraucht, sich der indischen Ziffern bedient, wir kennen auch seine Schreibweise der Brüche, die Berücksichtigung von ”\ erdoppelung und Halbierung als besonderer Rechnungsoperationen, und

1) W ir sprechen der Universitätsbibliothek zu Leiden für die Überlassung des Ms. auf längere Zeit unsern besten Dank aus.

Bibliotbeca Mathematica. III. Folge. VII. g

. . . H e i n r i c h S u t e r .114

-nt i, r i : Vi a l i pn wir noc 11 hinzuzufügen,die Anwendung der Neunerprobe Hier haben vorkommt,.i„ r keine komplementäre Multiplikation m cler A b n a n u i u ,

dJß von den -rechiedenen ^ m e n g e e e t ^ Bruch-

formen weiß die bei e l-K a rc h ! und besonders bei dee l - H a s s ä h und e l - Q a l a s a d i verkommen; daher sind auch.sememit Brüchen viel einfacher als diejenigen der genannten ^ them at.ker,und unterscheiden sich im ganzen von den unsngen f g

er z B : zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zaber mit Zahler und Nenner mit Nenner multipliziert, und das erste Produkt durch das zweite dividiert. Bei der Division wird sowohl die Renel angewandt, daB man den ersten Bruch mit dem umgekehrten zweiten multipliziert, als auch die daB man die Bruche auf gleichen Nenn«^bringt und dann die Zähler durch einander teilt. Es wird daher auch el-Nasawi recht haben, wenn er in der Vorrede sagt, er habe die weitschweifige Darstellung einiger seiner Vorgänger zu vermeiden gesucht; deshalb mag er wohl auch als ein recht kühner Neuerer unter den arabischen Ilechnern betrachtet worden sein, und sein Buch vielleicht keine gar große Beachtung gefunden haben, wenigstens bei den Arabern nicht, vielleichtmehr bei den Persern.

Für uns ist von besonderem Interesse die Wurzelausziebung, und deshalb hätten wir gewünscht, daß er dieser eine etwas eingehendere Behandlung hätte zuteil werden lassen; aber wir müssen annehmen, er habe sich aus praktischen Gründen so kurz gefaßt, da die Finanzbeamten der Bujidischen Statthalter nur wenig in den Fall gekommen sein werden, Quadrat- und Kubikwurzeln ausziehen zu müssen.

Quadratwurzel.

Als einziges Beispiel gibt e l - N a s a w ! V573421). Zuerst setzt er das Verfahren allgemein (ohne Beispiel) auseinander; diese allgemeine Darstellung lassen wir weg, sie ist auch schlecht geschrieben und enthältverschiedene Lücken. Nachdem er das Beispiel aufgestellt und die Einteilung zu je 2 Stellen von rechts nach links erwähnt hat, fährt er fort:2)

Fol. 72v. Die Wurzel aus 5 ist (angenähert)3) 2, stelle dieses über das 5 und unter dasselbe, multipliziere das obere 2 mit dem untern, dies gibt 4, subtrahiere dieses von 5, bleibt 1, dann verdoppele das untere 2,und verschiebe (das erhaltene 4) um eine Stelle nach rechts, wie folgendesBild zeigt:

1 ) Ein W urzelzeichen kommt bekanntlich bei e d - N a s a w i nich t v o r .

2) W ir geben zu besserem Verständnis eine ziemlich freie Ü bersetzung des Textes.3) Das Eingeklammerte hier und im folgenden steht nicht im Ms.

Über das Rechenbuch des Alî ben Ahmed el-Nasawi. 115

1. Bild: 2 Dann suche eine Zahl, die, wenn du sie mit dem17342 4 multiplizierst und mit sich seihst und die4 Summe dieser Produkte von dem Rest abziehst,

entweder nichts oder ein neuer Rest übrig bleibtJ), diese Zahl ist 3; setze sie unter das 3 und über dasselbe und multipliziere sie mit dem 4 der untersten Zeile und mit sich selbst, subtrahiere das Ergebnis vom Rest, verdoppele das 3 (hinter dem 4) und verschiebe die untere Zeile um eine Stelle nach rechts, so hast du folgendes Bild:

2. Bild: 2 3 Nun suche eine dritte Zahl auf die gleiche4442 Weise und uuter denselben Bedingungen wie

46 vorhin, sie ist 9, setze sie unter die letzte Stelledes Restes (unter das 2) und über dasselbe, und

multipliziere sie mit der ganzen unteren Zeile,2) und subtrahiere das Produkt von dem Rest, verdoppele dann das 9 (hinter dem 6) und addiere noch 1 hinzu, so hast du folgendes Bild:

3. Bild: 2 3 9 Nun ist die Zahl der obersten Zeile 239 die ge-221 suchte Wurzel, und den Rest (vom Radikanden),479 das ist 221, setzen wir als soviele Teile von

eins, als die Zahl der untersten Zeile angibt,221also gleich ^ 3). Der Grund hievon ist, daß die Quadrate je zweier

aufeinander folgender Zahlen der natürlichen Zahlenreihe sich um das Doppelte der kleineren mehr eins voneinander unterscheiden.

Kubikwurzel.

Auch hier lassen wir die allgemeine Darstellung, die dem Beispiel vorangeht, weg, da sie ohne ein solches geradezu unverständlich ist. Wiederum gibt e l - N a s a w ! nur ein einziges Beispiel, es ist 1 /3 6 5 2 2 9 6 .

Nachdem er die Einteilung zu je 3 Stellen von rechts nach links erwähnt hat, fährt er fort:

Pol. 731'—73v. Man setze 1 (d. i. die angenäherte Wurzel aus 3) über das 3 und unter dasselbe zweimal, ziehe 1 von 3 ab, so hat manfolgendes Bild:

1. Bild: 1 Nun wird das 1 der untersten Zeile verdoppelt,2652296 und das oberste 1 mit dem erhaltenen 2 multi-1 pliziert, und dieses Produkt (2) zu dem 1 der1 dritten Zeile addiert; dann das 1 der obersten

1) Dieser letzte Satz fehlt im Ms.21 Daß aufeinmal 2 ab -j- b2 gebildet und abgezogen wird, ist hier etwas anders

und deutlicher ausgedrückt als vorher.3) Dieser Bruch ist im Ms. in W orten geschrieben.

. . _ H e i n r i c h S u te b .11bZeile auch zu dem 2 der vierten addiert, hierauf das 3 der (lrltte“ Z um eine Stehe, das der untersten Zeile um zwei Stellen nach rechtsschoben so bat man folgendes Bild:1)

2 Bild: 1 Nun sucht man eine Zahl, die so beschaffen . t,2652296 daß, wenn man sie mit dem untersten mu 1p 1-3 ziert und mit sich selbst und diese beiden Pro-3 dukte zusammenzählt und zur Zahl der dritten

Zeile hinzufügt, und diese Summe mit der gefundenen Zahl multipliziert und dieses Produkt vom Reste abzieht, dieser Rest entweder verschwindet, oder wieder ein Rest übrig bleibt,2) diese Zahl ist 5; setze sie hinter das 3 der untersten Zeile, und in die oberste über das 2, dann multipliziere sie mit dem untersten 3 und mit sich selbst, (addiere diese Produkte) und füge die Summe zu dem 3 der dritten Zeile hinzu, und multipliziere das Ganze mit dem gefundenen 5 und subtrahiere das Produkt von demReste, so hast du folgendes Bild:3)

3 ßi icj. \ 5 Nun wird das 5 in der untersten Zeile ver-277296 doppelt, zu dem 3 (bezw. 30) vor ihm hmzu- 475 gezählt, (gibt 40), dieses mit dem 5 der obersten35 Zeile multipliziert (gibt 200), dieses zu 475 hinzu

gezählt (gibt 675), das oberste 5 ebenfalls zu dem in der untersten Zeile (erhaltenen 40) hinzugezählt, (gibt 45), dann die 3. Zeile um eine, die 4. um zwei Stehen nach rechts verschoben, gibt folgendes Bild:4)

4. Bild: 1 5 Nun wird eine dritte Zahl gesucht, aut dieselbe277296 Weise und unter denselben Bedingungen wie

675 vorhin, diese Zahl findet man gleich 4; setze sie45 hinter das 5 der untersten Zeile und in die

oberste Zeile über das 6, multipliziere dieses 4 mit der Zahl der untersten Zeile (45) und mit sich selbst, (addiere diese Produkte), und füge die Summe zu der dritten Zeile hinzu, und multipliziere das Ganze mit dem gefundenen 4,

1) In diesem zweiten Bild ist also das 3 der dritten Zeile nach unserer gewöhnlichen Bezeichnungsweise = 3 a2, und das unterste 3 == 3 a. Im ersten und zweiten Bild stehen im Ms. h in ter dem 1 (bezw. 3) der d ritten Zeile noch 6 (bezw. 5) Nullen, die ich weggelassen habe.

2) Die W orte „dieser Rest entweder — --------------------- übrig b le ib t“ stehen nichtim Text.

3) In diesem 3. Bild ist 277296 der neue Rest; 475 is t = 3 a 2 -(- (3a -f- b)b = 3 a 2 + 3 ah -j- b2, wenn a = 10 und b = 5 angenommen wird, und 35 = 3 a + b; wird 475 m it 5 = 5 m ultipliziert, so ergibt sich 2375 = 3 a2b -j- 3 ab2 -j- b3, dieses von 2652 abgezogen, bleibt 277, m it den drei letzten Stellen zusammen 277296.

4) In diesem 4. Bilde ist also 675 == 475 -f- 200 = 3 a 2 -f- 3 a h -f- b2 (3 a -f- 2b)b = 3 a 2 + 6 ab + 3b2 = 3 (a + b)2; 45 = 3 (a + b).

Über das Rechenbuch des Alî ben Ahmed el-Nasawî. 117

und subtrahiere das Produkt von dem Reste, so hast du folgendes Bild:1)

5. Bild: 1 5 4 Nun wird das 4 in der untersten Zeile ver-32 doppelt (gibt 458), dieses mit dem 4 der obersten

69316 Zeile multipliziert (gibt 1832), dieses zu (dem454 69316) der dritten Zeile hinzugefügt (gibt 71148),

das oberste 4 ebenfalls zu der untersten Zeile addiert2) (gibt 462), und zur dritten Zeile noch l hinzugefügt, so hat man folgendes Bild:3)

6. Bild: 1 5 4 Die oberste Zeile ist die gesuchte Kubikwurzel,32 und der Rest (32) sind Teile von der dritten4)

71149 Zeile.462 5)

Vergleicht man diesen Schluß der Kubikwurzelausziehung mit demjenigen der Quadratwurzelausziehung, so wird man sofort einsehen, daß hier ein Fehler vorliegen muß; nach den letzten Worten des Textes wäre

32 rder zu 154 hinzuzufügende Näherungsbruch = 71149 = ![_;,+' )2 + i ’e l -N a s a w ! muß aber wohl gewußt haben, daß sich zwei aufeinander folgende Kubikzahlen (a + l ) 3 und as um 3 a2 + 3a + 1 unterscheiden, er hätte also sagen sollen: „und der Rest 32 sind Teile von der dritten und vierten Zeile zusammen“; der richtige Näherungsbruch wäre dann also

32 32 r71149 + 4 6 2 ~ 71611 — 3 (a + b + cp + 3 (a + b + c) + 1

Bei der Mangelhaftigkeit des Manuskriptes wäre es sehr wohl möglich, daß die Worte „und vierten Zeile zusammen“ aus Versehen weggelassen worden wären; wir persönlich sind der Ansicht, daß e l - N a s a w ! diese zweite Annäherung gekannt hat, und daß sie nicht erst eine Erfindung L e o n a r d o s

sei, tritt dieselbe doch auch ums Jahr 1200 bei dem Perser e l - H a s a n

b . EL-H oSEi'N e l - H a q q ä q e l - M e r w a z I auf (vergl. B ib lio th . Mathem. 63 ,

1905, p. 105). Da aber L e o n a r d o in seinem Liber abaci von einer selbst gefundenen Methode bei der Kubikwurzelausziehung spricht, so müssen wir seine Worte auf die dritte Annäherung beziehen (vergl. 1. c.); es wäre allerdings möglich, aber scheint uns sehr unwahrscheinlich, daß L e o n a r d o

kein arabisches Rechenbuch mit Kubikwurzelausziehung gekannt hätte, was auch M. C a n t o r vermutet ( Vorlesungen II2, p . 31).

1) In diesem 5. Bild ist 32 der neue Rest; 69316 ist = 3 (a + b)2 + 3 (a + &)c+c2; 454 = 3 (a + b) + c; man ha t von 277296 abgezogen: 69316 ■ 4 = 277264 = 3 (a + b)2e + 3 (a + b)c2 + c3.

2) Dieser Satz „das oberste 4 -----------------— addiert“ fehlt im Ms.3) In diesem Bild is t 71149 = 3 (a + b + c)2 + 1 und 462 = 3 (a + b + c).4) Im Ms. heißt diese Zeile stets die „m ittlere“ .5) Hier steht im Ms. unrichtig 458.

118 H e i n r i c h S u t e r .

Bei der Wurzelausziehung aus Brüchen und gemischten Zahlen hat sich nun e l - N a s a w i die Sache auch gar leicht gemacht; hei der Quadratwurzel gibt er nur die beiden Beispiele:

U = i und ysöy = y i p = v = 5 fbei der Kubikwurzel ebenfalls nur zwei:

v'i = i und V3I — V v — f = H-Bei den Sexagesimalbrüchen verwandelt er die Grade, Minuten und

Sekunden, etc. in Sekunden oder Quarten, etc. (bezw. Tertien, Sexten, etc.), zieht aus dieser Zahl die Wurzel und teilt das Ergebnis durch 60, 602, etc., oder er erweitert mit 102, 104, etc. (bezw. IO4, 10ß, etc.) und teilt nachher durch 10, 102, etc.

Beispiele für die Quadratwurzel:

1. V26UT = V9462077= A • 307' = 5«T2. y i7 » = Th V17ÖÖÖÖÖ = T.^ . 4120 = 40 7'12"

Beispiele für die Kubikwurzel fehlen.Aus diesen Kapiteln über die Quadrat- und Kubikwurzelausziehung er

geben sich uns folgende Tatsachen: e l - N a s a w i hat es schon verstanden, bei beiden Operationen eine kleine Abkürzung anzubringen, indem er bei der Quadratwurzel 2 ab und b2 nicht einzeln berechnet und abzieht, sondern auf einmal (2 a -j- b)b bestimmt und abzieht (dies tat bekanntlich auch e l - H a s s ä r ,

vergl. B ib lio th . M athem 23, 1901, p. 23), ebenso wird bei der Kubikwurzel nicht einzeln 3 a2b, 3ab2 und b3, sondern auf einmal {3a2 -f (3 « + b)b}b berechnet und subtrahiert. Interessant ist auch die p. 116, Note 4) angegebene Herleitung von 3 (a - f - i)2 aus 3 a2 -f- bab 3b2. Ihm sind also in diesei Hinsicht weder L e o n a r d o von Pisa, noch S a c r o b o s c o , noch dessen Kommentator P e t r u s d e D a c ia gefolgt. Bei der Quadratwurzelausziehung

benutzte er die Annäherung {'a2 + r ~ a + der Kubikwurzel-

ausziehung höchstwahrscheinlich Va3 + r 00 a -j- 3a2 _|_ 3a -f~I’kannte er die Erlangung einer größeren Genauigkeit bei der Wurzelausziehung durch Multiplikation des Radikanden mit 102, 104, etc. (bezw. 10", 106, etc.) und nachherige Division durch 10, 102, etc., was man bis jetzt zum erstenmal bei Jon. H is p a l e n s is (vergl. Ca n t o r , Vorlesungen, I2, p. 752) gefunden hat. ’) Eine dritte Annäherung kannte er weder bei der Quadrat- noch bei der Kubikwurzel, oder, was wahrscheinlicher ist, wenigstens für die erste, hielt sie für seine Zwecke nicht für notwendig.

1) Im sexagesimalen Zahlsystem is t das Verfahren bekanntlich schon von den Söhnen des M üsa b e n S c h a k i r benutzt worden (vergl. z. B. S u t e r , B ib l io tb . M a th e m . 8 3 ,

1902, p . 271).

Über das Rechenbuch des Alî ben Ahmed el-Nasawî. 119Ob J o r d a n u s von e l - N a s a w ! beeinflußt worden sei, ist eine Fräse,/ O /

die wir beute nicht endgültig entscheiden können, sie wird wohl auch nie zu entscheiden sein. Aber, wenn man berücksichtigt, daß die Persönlichkeit des J o r d a n u s noch nicht einmal sicher dasteht, daß es zweifelhaft ist, ob er arabisch verstanden habe, daß lateinische Übersetzungen von el-NasawIs Rechenbuch damals kaum vorhanden gewesen sind (wenigstens hat man bis heute noch keine Spur von solchen gefunden), daß nach den neuesten Untersuchungen E n e s t r ö m s (B ib lio th . M athem 1%, 1906, p. 2-4—37) vielmehr die „Demonstratio de algorismo“ des Cod. Dresd. Db. 86 als der von S c h ö n e r herausgegebene Algorithmus demonstratus dem J o r d a n u s

zuzuweisen ist, so ist die Bejahung jener Frage sehr unwahrscheinlich.

120 K a r l H u n r a t h .

Albrecht Dürers annähernde Dreiteilung eines Kreisbogens.Von K a r l H u n r a t h in Kassel.

In dieser Zeitschrift habe ich mich kürzlich mit A l b r e c h t D ü r e r s

Näherungskonstruktionen regelmäßiger Vielecke beschäftigt1). Mir hatte damals nur die lateinische Ausgabe von 1532 Vorgelegen. Inzwischen habe ich die deutsche Urausgabe von 1525 einsehen können (S. 8 u. 9 des mit E bezeichneten 5ten Bogens) imd mich überzeugt, daß die Beschreibung und die Ausführung der Konstruktion des regelmäßigen Dreizehnecks in beiden Ausgaben durchaus übereinstimmen, daß in beiden Ausgaben die Figur den im Texte nicht erklärten Buchstaben c und zwischen den Buchstaben $c und b die gleichfalls im Texte nicht erklärte Zahl 24 aufweist.

Nun möchte ich D ü r e r s Dreiteilung eines Kreisbogens untersuchen.o o

1) Siehe B ib l io th . M a th e m . 63, 1905, S. 249—251. — S. 251, Z. 8 b itte ich zu lesen fa s ta tt ef, Z. 16 ea f s ta tt cab, Z. 20 — 0,007 s ta tt — 0,07 und 0,003 s ta tt -)- 0,03.

Albrecht Dürers annähernde Dreiteilung eines Kreisbogens. 121

Es sei (Fig. 1) die zum gegebenen Kreisbogen gehörige Sehne A B in den Punkten C und D in drei gleiche Teile geteilt, es seien auf A B in C und D die Senkrechten errichtet und bis zum Durchschnitte mit dem Bogen verlängert (E und F). Es sei A E t — A E , B F \ — B F gemacht, es seien CE\ und D F \ in drei gleiche Teile geteilt, endlich sei Sehne A G = A C + f- CE[, Sehne B H — B D -f- f- JDFi gemacht. Dann wird behauptet, daß annähernd die Bogen AG , GH, H B einander gleich seien. — So weit D ü r e e .

Zum Beweise mache Sehne A C\ = AG, B D t = BD, also jede = EF. Angenommen werde, die Bogen C]E und D \F seien in drei gleiche Teile geteilt, C \E in den Punkten K und L, D \F in den Punkten M und N. Man denke sich ferner die Sehne C\E und die Sehnen C \K = K L = L E = n gezogen.

Nun ist G\E^> A E —■ AG\, also >» GE], ferner G\KAr F L -f- L E - 3n ist >> C\E, also erst recht >> CE], mithin CiK -f- I£L > - C]E >* CE], sagen wir = f CE] + d\ + d2, Sehne C]L aber < C\ K -f K L , sagen wir = f GE] -p di + d2 — d3. Es ist weiter G]G >> A G — AC], d. h. > l GE\, sagen wir = -§ GE] + d±. Die mit d bezeichneten Strecken nehmen mit abnehmendem A O B rasch ab. Es können daher bei mäßiger Größe des Bogens G\E sowohl die Sehnen G]L und C\G, als auch die zugehörigen Bogen nur geringen Unterschied zeigen, ebenso die Bogen A L und AG. Bogen A L aber ist nach Annahme ein Drittel des Bogens A B .

Zur rechnerischen Prüfung fälle O J \ A B in Q.Es ist nach Konstr. A G = A C A~ f CE\ = AG -p f ( A E — AC)

= A C A 2 A E_ Pej-jjgj- nach Konstr., wenn man <p A O B mit 2a be-O

zeichnet und den Kreishalbmesser 1 setzt, A C = sin a und

Ä E 2 = AÄ32 + (Je 2 = A C 2 + J Q 2 — | sin2 a J Q*.

Da E J = C Q = p sin a und 0 Q cos a ist, so ergibt sich JQ aus der Gleichung

( J Q + cos a )2 = 1 — 4 sin2 a , mithin J Q = — cos a Ar i 1 — 9 sui2 a und

A E = A Vß (3 — sin2a — cos a j/9 — sin2a),also

A G = -$- [sin a + 1 6 (3 — sin2 a — cos a \9 — sin2a)] oder auch

A G = | [sin a + Vß (2 -p cos2 a — cos a ^8 -P cos2a)]

Zu dem gleichen Ergebnis kommt Staigmüller l) in Berichtigung der von Günther2) angestellten Berechnung.

Es ist aber

V<K3 — sin2 a — cos a ^9 — sin2 a) =

V3(3 + 2 sin a — sin2 a) — V3 (3 — 2 sin a — sin2a),also

A G = £ [sin « + V3 (3 -f- 2 sin a — sin 2« ) - V 3 ( 3 - 2 sin a — sin2 a)J und

I . . . sin 4 AOG = £ [sin a -\- ]/3 (3 -{- 2 sin a — sin2 a)

— V3 (3 — 2 sin a — sin2 a)JNun ist

[22 K a r l H u n r a t h .

also

V9 + 6 sin a — 3 sin2 a = 3 + sin a — £ sin2 a -f- £ sin3 a — sin4 a ± - T sin5 a —- -gT sin6 u

± sin7 x — . . . ,

V3 (3 + 2 sin a •— sin2 a) — ^3 (3 — 2 sin a — sin2 a)= 2 sin a + f- sin3 a + ££ sin5 a - f sin7 a -f . . .

undI I . . . sin £ AOG = \ sin a -f- sin3 a -f- vW s*n& a “I" t t I t S4n7 a +

Nach der Reihe für sin na aber erhält man sin -f- = £ sin a + g4T sin3 a -f sin5 a + xfiHh s™7 a + •• •

Die beiden Reihen stimmen in den ersten drei Gliedern überein; der Unterschied der vierten Glieder ist

Bin' a .19683

Für kleine Werte von 2 a ist daher die Abweichung unbedeutend. Für sin a = 0,3, also 2a = 34° 54' 55", 7 ist sie nur — £ ■ 0,0000001.Die zweite Reihe ergibt, da sie nur aus positiven Gliedern besteht, anirgend einer Stelle abgebrochen, stets einen Näherungswert unter dem wahren Werte.

Aus der Formel I ergibt sich für 2a = 180°1 a n l + 2 ]/3sm A 0 G = —g - •

Setzt man für V3 den Näherungswert £ ein, so ergibt sich sin £ AOG = Da aber ^3 < £ ist, so ergibt sich sin £ A O G < | , 4c A O G < 60°.

Es ist = 0,4960113, < £ A O G = 29° 44' 11", 12, < A O G = 59°

1) H. S t a i g m ü l l e r , D ü r e r als Mathematiker, S tu ttgart 1891, S. 26, Anm. 1.2) S. G ü n t h e r , Die geometrischen Näherungskonstruktionen A l b r e c b t D ü r e r s , Ans

bach 1886, S. 14 ff.

Albrecht Dürers annähernde Dreiteilung eines Kreisbogens. 12328' 22", 24 = H O B, 0 4 / = 61° 3' 15", 52. Für den < G O H ist daher der absolute Fehler 1° 3' 15", 52 - 3795", 52, der relative < 4 , für jeden der Winkel A O G und H O B aber halb so groß mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Für 2 a = 150° ergibt sichsin i A O G = +* [ \2 + y'3 + Vß (10 — f3 + 4

_ y 3 (10 — V3 - 4 \ 2 -M 3)J,oder auch

= * [V<3 + V2 + 2 j/3 (io — V3 + 2 [V6 + j/2])

— 2 ^3 (10 — V3 — 2 [j/ö + V'2]) ].Die Rechnung ergibt 0,4214232, während sin 25° = 0,4226183 ist.

Man findet < | A O G = 24° 55' 28", 1, 4 0 G = 49° 50' 56", 2, GO H = 50° 18' 7", 6, den relativen Fehler für + 6r04 / <C yiy-

Für 2a — 135° ergibt sich

sin |M O (? = xv[V /2 + V2 + V3(10 — j/2 + 4 V'2 + V§)

— j/3 (10 — V2 — 4 V2 + V'2)] = 0,3820962, während sin 22° 3 0 '= 0,3826834 ist. Man findet j 4 0 G = 22° 27' 48", 9, < M 0 £ = 44° 55' 37", 8, + G 0 H = 45° 8' 44", 4 und den relativen Fehler für G 0 H <C.

Für 2a — 120° istsin } AOG = XV [j/3 + j/3 (9 + 4 V3) — ^3 (9 — 4 f ^ ] = 0,3417569...

(sin 20° = 0,3420201) . . . ^ A O G = 39° 58' 4", 42, < G O H = 40° 3' 51", 16 und der relative Fehler für «41 G 0 H «<

Für 2a — 108° ist ____________sin | + 0 £ = [V'fT + 1 + Vö (25 + 3 j/5) — j/fi (17 — 5 j/5)]

= 0,3088892 . . . (sin 18° = = 0,3090170) . . . + A O G = 35« 59'4", 56, + G O H = 36° 1' 50", 88 und der relative Fehler für GOH < xiVf-

Für 2 a = 90° ist __________sin \ AOG = +» [j/2 + 1/6 (5 + 2 V2) — };6 (5 — 2 V2)] = 0,258 7828 ...

(sin 150 = 0,2588190)... + A OG = 29° 59' 44", 5, < GO H = 30« 0' 31", relativer Fehler für + G 0 H *< ^+sX-

Für 2a = 60° ist sin i AOG = * [1 + 3 j/5— V2l] = 0,1736460...(sin 10« = 0,1736482)...

4 : A O G = 19° 59' 59", 1, + CrOi/ = 20» 0' 1", 8, relativer Fehler für + G 0 4 /

Für 2a = 45° ists in | + 0(? = xv[V 2 — V2 + V3(10 + V 2 + 4 V2 — # )

— ] 3 (+J + j/2 — 4 f2 — 72)] = 0,1305259 ... (sin 7° 30' = 0,1305262)...

1 2 4 K a r l H u n r a t h .

Für 2a = 36° istsin * A O G = [j/ß — l + j/'c; (17 + 5 y'ö) — V'ö (25 — 3 }/5)]

= 0,1045284 .. . (sin 6°= 0 ,1045285).Für 2 a = 30° ist

sin ¡ A O G = TV [ | 2 - V3 + ] 3 (10 + V3 + 4 f 2 — ~ß)

— y/3 (10 H- y/3 — 4 y 2 — y'3)]oder aucli

= -sV [V6 + V2 + 2 V3 (10 + V3 + 2_[V6 — V2])

— 2 y/3 (10 + ^3 — 2 [^6 — y'2 ])]= 0,0871557 ( = sin 5°).

Für 180° > 2 a >- 90° würde man den Fehler sehr herabdrücken, wenn man die annähernde Dreiteilung an 180°— 2a ausführen und den gefundenen 4; zu 60° ergänzen würde.

An Winkel > 180° hat D ü r e r offenbar bei seiner Dreiteilung nicht gedacht; auch für solche <£0; kann man stets auf 4 ;-4 ;-< 900 zurückgehen, auf dem eben angegebenen Wege.

S t a ig m ü l l e r a. a. 0. meint, die Behandlung, welche K ä s t n e r 1) der DüRERschen Trisektion eines Kreisbogens angedeihen lasse, sei infolge ihrer großen Ungenauigkeit für uns wertlos.

Doch liegt die Ungenauigkeit nicht in K ä s t n e r s Methode begründet, sondern beruht auf Rechenfehlern und Versehen.

K ä s t n e r nennt den gegebenen Bogen v, die zugehörige Sehne b, den Bogen E F unserer Figur 2m>; er findet sin w = \ b und die Sehne A E unserer Figur = Sehne ( \ v — w), endlich Sehne A G unserer Figur

= y [y Sehne v -)- 2 x Sehne ( | v -— w)].Als erstes Beispiel setzt er (a. a. O. S. 244) v = 60°, findet b — 1

und sin iv = y, log sin iv — 9 2218487 — 10, w — 9° 35' 38", \ v — w= 20° 24' 22", \ ( \ v — w ) = 10° 12' 11"; dann rechnet er:

log sin 10° 12' 10" = 0,2482981 — 1 log 2 = 0,3010300

log Sehne (£v — iv) = 0,5493281 — 1 Sehne (£v — w) = 0,354 365

2xSehne(y v — w) = 0,708730 y Sehne v = 0,333333

1,141063 davon y gibt 0,380354 usw.

1) A. G. K ä s t n e r , Geometrische Abhandlungen. I (Der math. AnfangsgründeI. Theil ID. Abth.), Göttingen 1790, S. 241 ff.

Albrecht Dürers annähernde Dreiteilung eines Kreisbogens. 125

Ich will nicht davon reden, daß Kästnek den < tv nicht sehr genau findet, daß er log sin 10n 12' 10" statt log sin 10° 12' 11" berechnet — aber in Zeile 4 findet er Sehne — w) = 0,354365 statt = 0,354265 und in Zeile 7 als Summe der in Zeile 5 und 6 stehenden Zahlen 1,141063 statt 1,042063. Werden alle diese Fehler berichtigt, so ergibt sich als diese Summe 1,0418761, als } dieser Summe 0,3472920, in Übereinstimmung mit dem oben von mir gefundenen Werte (0,1736460 = ^.0,3472920)

In seinem zweiten Beispiele (a. a. O. S. 245), v = 180°, findet Kästnek <£ A OG = 59° 28' 24", also leidlich genau. In seinem dritten Beispiele (S. 246), v = 90°, findet er sin AO G = 0,2588190; — w) hat errichtig noch = 15° 41' hätte daher für Sehne ( \ v — w) = 2 sin 15° 41' 0,5406408 finden müssen — er findet aber 0,5406454 —, und fürsin ± A O G 0,2587825, nicht 0,2587810.

Kästner schreibt a. a. O. auf S. 247 unter 20): Für v < 90° gab die Regel zu viel, für v ^> 90° zu wenig. Ob das allemal so ist, und sie um 90° herum der Wahrheit nahe kommt, das mühsam untersuchen, wäre: sich mit der Theorie eines Irrtums beschäftigen.

Dieser nach Kästners Ansicht unnützen Mühe mich unterzogen zu haben muß ich mich schuldig bekennen.

1 2 6 Gr. E n eSTHÖM.

Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Daniel Bernoulli,

Von Gr. EnestrÖm in Stockholm.

Im Jahre 1843 veröffentlichte P. H. FüSS1) vollständig oder im Auszuge 57 Briefe von Daniel Bernoulli an Leonhard Euler und noch dazu eine von N. FüSS verfertigte französische Übersetzung eines verlorenen Briefes aus diesem Briefwechsel. Die entsprechenden Briefe von Euler scheinen zum größten Teil verloren gegangen zu sein, und meines Wissens sind nur vier derselben auf bewahrt worden; sie finden sich in der Herzoglichen Bibliothek in Gotha, und sind bisher nicht zum Abdruck gebracht. Es ist wohl kaum zu hoffen, daß einige der übrigen Briefe wiedergefunden werden, aber jedenfalls kann es von Interesse sein, ein Verzeichnis des Briefwechsels zwischen Euler und Daniel Bernoulli zu haben. Ich habe mir daher vorgenommen ein solches Verzeichnis, wesentlich auf Grund der FüSS sehen Ausgabe, anzufertigen und teile esO / ohier unten mit. Das Zeichen * bedeutet, daß der betreffende Brief verloren ist. In den meisten Fällen gibt Daniel Bernoulli nicht das Datum des von ihm zitierten EuLERschen Briefes an, zuweilen ist es nicht möglich zu entscheiden, ob seine Worte wirklich auf einen Brief seines berühmten Freundes und Landsmannes hinweisen.*Daniel B ernoulli an E dler 1726.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem zweiten Brief aus dem Jah re 1726 (siehe Fuss, a. a. 0 . II, S. 409).

D aniel B ernoülli an E dler 1726.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 409—410. — Französisch.

D a n i e l B e r n o u l l i an E u l e r 22. September 1733.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 411—414.

1) P. H. Fuss, Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du X V I IE me siècle (St. Pétersbourg 1843), II S. 409—655.

2) Cod. chart. B. 689—690. Anscheinend enthält die H andschrift 5 Briefe von E uler an D aniel B ernoulli, aber der vierte von diesen (vom 24. Mai 1764 datiert) ist in W irklichkeit an J ohann III B ernoulli adressiert, freilich um dem D aniel B ernoulli m itgeteilt zu werden.

126 G. E n e s t r ö m .

Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Daniel Bernoulli.

Von G. E n e s t r ö m in Stockholm.

Im Jahre 1843 veröffentlichte P. H. FüSS1) vollständig oder im Auszuge 57 Briefe von D a n i e l B e r n o u l l i an L e o n h a r d E u l e r und noch dazu eine von N. Fuss verfertigte französische Übersetzung eines verlorenen Briefes aus diesem Briefwechsel. Die entsprechenden Briefe von E u l e r scheinen zum größten Teil verloren gegangen zu sein, und meines Wissens sind nur vier derselben aufbewahrt worden; sie finden sich in der Herzoglichen Bibliothek in Gotha, und sind bisher nicht zum Abdruck gebracht. Es ist wohl kaum zu hoffen, daß einige der übrigen Briefe wiedergefunden werden, aber jedenfalls kann es von Interesse sein, ein Verzeichnis des Briefwechsels zwischen E u l e r und D a n i e l B e r n o u l l i

zu haben. Ich habe mir daher vorgenommen ein solches Verzeichnis, wesentlich auf Grund der Fuss sehen Ausgabe, anzufertigen und teile es hier unten mit. Das Zeichen * bedeutet, daß der betreffende Brief verloren ist. In den meisten Fällen gibt D a n i e l B e r n o u l l i nicht das Datum des von ihm zitierten E u l e r sehen Briefes an, zuweilen ist es nicht möglich zu entscheiden, ob seine Worte wirklich auf einen Brief seines berühmten Freundes und Landsmannes hinweisen.* D a n ie l B e r n o u l l i a n E u l e r 1 7 2 6 .

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem zweiten Brief aus dem Jahre 1726 (siehe Fuss, a. a. 0. II, S. 409).

D a n ie l B e r n o u l l i a n E u l e r 1 7 2 6 .Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 409—410. — Französisch.

D a n i e l B e r n o u l l i an E u l e r 22. September 1733.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 411—414.

1) P. H. Fuss, Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du X V I I ß m e siècle (St. Pétersbourg 1843), II S. 409—655.

2) Cod. chart. B . 689—690. Anscheinend enthält die H andschrift 5 Briefe von E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i , aber der vierte von diesen (vom 24. Mai 1764 datiert) ist in W irklichkeit an J o h a n n III B e r n o u l l i adressiert, freilich um dem D a n ie l B e r n o u l l i

m itgeteilt zu werden.

128 6 . E n e st k ö m .

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Juni (?) 1738. .Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Brief vom 9 . August 1 7 3 8 (siehe l u s s ,

a .a .O . II, S. 419).D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e k 9. August 1738.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, 449-452.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i 23. Dezember 1738.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 7 . Marz 1 7 3 9 (siehe i s s , a. a.II, S. 453); vgl. B ib l io th . M a th em . 6 3 , 1905, S 24.

* D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 7. März 1739.Original verloren. Eine von N. Fuss verfertigte französische Übersetzung veröffent

lich t von Fuss, a. a. 0. II, S. 453—457.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i März (?) 1740.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 30. April 1740 (siehe Fuss, a. a. U. II, S . 459); vgl. B ib l io th . M a th em . 6 3 , 1905, S. 53.

D a n i e l B e r n o u l l i an E u l e r 30. A pril 1740.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 458—460.

EiiiiEB an Damei, Beknoelei 15. September 1740.Original in der Herzoglichen Bibliothek in Gotha.

D a n i e l B e r n o u l l i an E u l e r 5. November 1740.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 461—165.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Dezember (?) 1740.Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 28. Januar 1741 (siehe Fuss,

a .a .O . II, S. 467).D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 28. Januar 1741.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 467—472.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i August (?) 1741.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 20. September 1741 (siehe Fuss,a. a. 0. ' i l , S. 473).

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 20. September 1741.Veröffentlicht vom Fuss, a. a. 0. II, S. 473—478.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Dezember (?) 1741. ^Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 2 0 . Januar 1 7 4 2 (siehe Fuss,

a. a. 0 . II, S. 479).D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 20. Januar 1742.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 479—483.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Februar 1742. ,

Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 7. März 1742 (siehe Fuss, a .a .O .

II, S. 484;.D a n i e l B e r n o u l l i a n E u l e r 7. M arz 1742.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 484-489.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i März 1742.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 17. April 1742 (siehe Fuss, a. a. 0 .II, S. 490).

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e ii 14. April 1742.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S, 490—494.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Juni (?) 1742.Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 28. Ju li 1742 (siehe Fuss, a; a. 0.

II, S. 497).D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 28. Ju li 1742.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 495—498.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i 1. September 1742.Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 20. Oktober 1742 (siehe Fuss,

a. a. 0 . II, S. 499).D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 20. Oktober 1742.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 499-507.

Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Daniel Bernoulli. 129

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i November 1742.Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 12. Dezember 1742 (siehe Fuss,

a. a. 0 . II, S. 508—509).D a n ie l B e r n o u l l i a n E u l e r 12. Dezember 1742.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 508—514.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Januar 1743.

Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 9 . Februar 1 7 4 3 (siehe Fuss, a. a. 0 . II, S. 515).

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 9. Februar 1743.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0, II, S. 515—521.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i März (?) 1743.Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 23. April 1743 (siehe Fuss, a.a. 0.

II, S. 522).D a n iel B e rn o u lli a n E u ler 23. April 1743.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 522-528.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i August (?) 1743.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 4 . September 17 4 3 (siehe Fuss, a. a. 0. II, S. 529, 533).

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 4. September 1743.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 529—537.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i November (?) 1743.Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 25. Dezember 1743 (siehe Fuss,

a. a. 0. II, S. 539.D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 25. Dezember 1743.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 539—547.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Januar 1744.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 4. Februar 1744 (siehe Fuss, a. a. 0 . II, S. 548—549).

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 4. Februar 1744.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 548—552.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Februar (?) 1744.Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom April oder Mai 1744 (siehe Fuss,

a. a. 0. II, S. 553).D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r April oder Mai 1744.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 553—554.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i 28. März 1744.

Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 1 3 . Juni 17 4 4 (siehe Fuss, a .a .O . II, S. 555).

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 13. Juni 1744.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 555—560.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i 4. Ju li 1744.Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 2 9 . August 1744 (siehe Fuss,

a. a. 0. II, S. 561).* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i 21. Ju li 1744.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 29. August 1744 (siehe Fuss, a. a. 0 . II, S. 561).

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 29. August 1744.Veioffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 561—567.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Ende 1744 oder Anfang 1745.Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom Anfang 1745 (siehe Fuss, a. a. 0.

II, S. 569).D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r Anfang 1745.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 568—572.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Februar (?) 1745.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 20 . März 17 4 5 (siehe Fuss, a.a.O . II, S. 573, 575).

Bibliotheoa Mathematica. III. Folge. VII. 9

130 G . E n e s t r ö m .

D a n i e l B e r n o u l l i an E u ler 20. März 1745.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 573—575.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Juni (?) 1745.Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 7. Ju li 1715 (siehe Fuss, a .a.O .


Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 576—578.* E u l k r a n D a n ie l B e r n o u l l i August (?) 1 7 4 5 .

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe von 7 . S ep te m b e r 1 7 1 5 (siehe Fuss, a. a. 0 . II, S. 583, 585).

D a n ie l B e l n o u l l i an E u l e r 7. September 1745.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 579 —586.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i November (?) 1745.Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 4 . Dezember 1 7 1 5 (siehe Fuss,

a. a. 0. II, S. 588).D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 4. Dezember 1745.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 587—591.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Dezember 1746.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 4. Januar 1746 (siehe Fuss, a .a.O . II, S. 592, 596).

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 4. Januar 1746.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 592 - 596.

* E u ler a n D a n iel B e r n o u l li Februar (?) 1746 .Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 19. März 1746 (siehe Fuss, a. a. 0.

II, S . 597).D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 19. März 1746.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 597—600. — Französisch.* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Mai (?) 1746.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 29. Juni 1746 (siehe Fuss, a. a. 0. II, S. 601).

D a n ie l B e r n o u l l i a n E u l e r 2 9 . J u n i 1 7 4 6 .Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 601—606.

* E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Jun i 1746.Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 9. Ju li 1746 (siehe Fuss, a. a . 0.


Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 607—611.? * E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Oktober (?) 1746.

Möglicherweise ist der Brief des D a n i e l B e r n o u l l i vom 3 . November 17 4 6 ein A ntw ortschreiben auf einen nach dem 9. Ju li geschriebenen Brief von E u l e r .

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 3. November 1746.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 612—615.

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 21. Januar 1747.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 616—618.

* E u ler an D a n i e l B e r n o u l l i März (?) 1747.Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 2 9 . April 1 7 4 7 (siehe Fuss, a. a. 0 .

II, S . 6 19 ) .

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 29. April 1747.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 619—621.

* E u l e r a n D a n ie l B e r n o u l l i Juli (?) 1 7 4 7 .Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 16. August 1747 (siehe Fuss, a. a. 0.

II, S. 622, 625).D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 16. August 1747.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 622—625.


' E u l e r an D a n i e l B e r n o u l l i September 1747.Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 22. September 1747 (siehe Fuss,

a. a. 0 . II, S. 626, 627).D a n ie l B e r n o u l l i a n E u l e r 2 2 . September 1 7 4 7 .


' E uler an D a n i e l B e r n o u l l i Februar (?) 1748.Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 9. März 1748 (siehe Fuss, a. a. 0 .

II, S. 630).D a n ie l B e r n o u l l i an E itler 9. März 1748.


* E u l e r a n D a n ie l B e r n o u l l i A p r i l (?) 1 7 4 8 .

Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom 15. Mai 1748 (siehe Fuss, a. a. 0. II, S. 632).

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 15. Mai 1748.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 632—633.

' E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Juni (?) 1748.Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom Ju li (?) 1748 (siehe Fuss, a. a. 0.

II, S. 634).D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r Juli (?) 1748.

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 634—637.' E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i August (?) 1748.

Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe vom September (?) 1748 (siehe Fuss, a. a. 0. II, S. 638).

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r September (?) 1748.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 638—640.

' E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i Ende 1 7 4 8 oder Anfang 1 7 4 9 .Zitiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Briefe von Anfang 1749 (siehe Fuss, a. a. 0.

II, S. 641, 644).D aniel B e r n o u l l i an E u l e r Anfang 1749.

Veröffentlicht von Fuss, a a. 0. II, S. 641—644.? ' E u l e r a n D a n ie l B e r n o u l l i 1 7 4 9 .

Möglicherweise ist der Brief des D a n i e l B e r n o u l l i vom 16. August 1749 ein Antwortschreiben auf einen von E u l e r etwa Mitte 1749 geschriebenen Brief.

D a n ie l B e r n o u l l i a n E u l e r 1 6 . August 1 7 4 9 .Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 645—647.

? ' E u l e r a n D a n ie l B e r n o u l l i 1 7 4 9 .Möglicherweise ist der Brief des D a n i e l B e r n o u l l i vom 26 . Januar 1 7 5 0 ein Antwort

schreiben anf einen von E u l e r nach dem 1 6 . August 17 4 9 geschriebenen Brief.

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 26. Januar 1750.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 648—650.

D a n ie l B e r n o u l l i an E u l e r 7. Oktober 1758.Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0 . II, S. 651—652. — Französisch.

' E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i November (?) 1753.Z itiert von D a n i e l B e r n o u l l i in seinem Brief vom Dezember 1753 (?) (siehe Fuss,

a. a. 0 . II, S. 653).D a n ie l B e r n o u l l i a n E u l e r Dezember 1 7 5 3 (?).

Veröffentlicht von Fuss, a. a. 0. II, S. 653—655. — Französisch. — Der undatierte Brief ist nach Fuss zwischen 1754 und 1766 geschrieben, aber er scheint mir vielmehr aus dem Ende des Jahres 1753 herzurühren, da sein Inhalt sich sehr nahe an den Inhalt des Briefes vom 7. Oktober 1753 anschließt.

E u l e r an D a n ie l B e r n o u l l i 22. November 1767.Original in der Herzoglichen Bibliothek in Gotha. — Französisch. — Natürlich nicht

von E u l e r selbst geschrieben, da dieser damals schon vollständig blind war.9 *

Aus diesem Verzeichnisse geht hervor, daß Euler wenigstens 49 Briefe an Daniel Bernoulli geschrieben hat und, wie schon bemerkt, sm nur vier derselben, soweit jetzt bekannt ist, auf bewahrt. Am Ende des hunderts befanden sich die EüLERSchen Briefe im Besitze des Johann hi Bernoulli1) aber ob die Sammlung schon damals nui ans vier rie enbestand, weiß man nicht.

Im folgenden bringe ich zum Abdruck drei dieser Briefe, nämlich diezwei aus dem Jahre 1734 und den Brief aus dem Jahre 1740; diesem Briefe sind im Verzeichnisse durch fette Schriften hervorgehoben. Der vierte Brief, der aus dem Jahre 17G7 herrührt, ist sehr kurz und hat gar kein mathematisches Interesse. Um das Verständnis der drei E uler sehen Briefe zu erleichtern, drucke ich hier noch die vier Schreiben des Daniel Bernoulli ab, die mit jenen im nächsten Zusammenhang stehen, nämlich vom 22. September 1733,18. Dezember 1734, 30. April 1740 und 5. November 1740; diese Schreiben sind im Verzeichnisse durch kursive Schriften hervorgehoben. Noch dazu bringe ich am Anfänge jedes Briefes ein kurzes Inhaltsverzeichnis und als Fußnoten erläuternde Anmerkungen.

Daniel Bernoulli an Euler 22. September 1733.Inhalt. Über die Reise der Brüder D a n ie l und J ohann i i B er n o u l li und be

sonders über deren A ufenthalt in Paris. — Über zwei mechanische Probleme. — Über die Bestimmung der G eschwindigkeit eines Schiffes und über die Ursache, warum das Schiff geschwinder m it halbem als m it vollem W inde gehen kann. — U niversitats- nachrichten aus Basel.

Paris d. 22. Septbr. 1733.Hochedelgeborner

Hochzuverehrender Herr Professor.Ew. werden ohne Zweifel unsere glückliche Ankunft in Paris schon

vernommen haben: Es hat sich auch mein Bruder die Ehre gegeben Ihnen einen Brief aus Amsterdam zu adressiren durch den Hrn. Prof. G r O S S .

Unsere Landreise2) ist allezeit sehr glücklich gewesen und habe viel dadurch profitirt, worüber aus Basel mehrern Rapport abstatten werde. In Paris sind viele gute Mathematici und Physici, so dass es unserer Akademie in Petersburg lieb und nützlich seyn wird mit hiesiger Akademie in einer genauen Verbündniss zu stehen, worüber hoffentlich in Petersburg in einem neuen Reglement die nöthigen Verfassungen werden gemacht werden, indem dergleichen Correspondenten die Seele einer wohleingerichteten Akademie sind. Sollte ich von dem Hrn. Präsidenten im Stand befunden

1) Siehe R. W o l f , Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz 3 (Zürich 1 8 6 0 ),

S. 1 9 5 - 1 9 7 .2 ) Über diese Reise siehe W o l f , a . a . O. 3 , S. 1 6 0 — 167.

Gr. E n e s t e ö m .


werden hierzu etwas beitragen zu können, so werde ich solches mit vielem A eigniigen thun. Es sind auch allhier einige Subjecta, welche vielleicht nicht refusiren würden sich bei unserer Akademie zu engagiren. Das problema de mvemenda tautochrona in medio resistente in ratione quadrata velocitatum ist allhier von einigen solvirt worden: Mein Vater hat auch eine Solution in den hiesigen M ém oires hiervon drucken lassen.1) Man kann hierdurch sehen wie präjudicirlich es unsern C om m entariis ist, so langsam gedruckt zu werden, indem wir allzeit als die alte Fastnacht nach den ändern kommen werden. Als ich dem Hrn. Clairaut redete von Ew. solutione isoperimetricorum, antwortete er gleich, solches problema müsse nicht schwerer seyn, als das problema ordinarium, indem man allzeit numerum elementorum multiplizieren könne pro numéro conditionum: woraus zu sehen, dass dergleichen problemata den hiesigen Mathematicis nicht schwer fallen. Aber in mechanicis ist man hier bei weitem nicht so weit gekommen. Unterwegs habe ich einige meditationes mathematicas gemacht de determinandis utique crassitiebus laminae muro horizontaliter infixae, ita ut ubique aequaliter sit rupturae ohnoxia lamina, die lamina mag proprio pondéré agiren oder noch von einem superincumbente pondéré utcunque geladen seyn. Man kann über dieses Thema viele curiose Sachen annotieren, worüber ein sonderbares memoire abfassen werde und solches unserer

_______ a\ | Akademie überschicken, so-m _—I ES bald ich mich in meinem

| h ' Vaterland werde arrangirtfr haben. Inzwischen zweifle ich nicht, es

aj werden Ew. das problema auch leicht sol-a \ viren. Ich habe auch einige artige obser-

Fig- v a t i o n e s gemacht de foliis sive aequaliter sive inaequaliter crassis sibi invicem superimponendis ut supremum folium ah infimo maxime reclinet, als in beigesetzter Figur (Fig. 1). Wenn man nun dergleichen Quadersteine sollte, als in beigesetzter Figur legen, und zugleich in locis, a, a, a etc. vincula ferrea aequalia, um allen casibus fortuitis zu occurriren, anlegen, wurde solches eine wunderliche Architectur machen. Man kann aber dieses zu ändern Sachen gebrauchen. — Auf der See habe ich einige observationes gemacht und gemerkt dass meine angegebene Maschine de observantis astrorum altitudinibus einen guten Effect haben würde. Ich hab auch die velocitatem navis ex globo e filo suspenso et aquae submerso gar genau gemessen, und ist meine Methode mit der ordinären Methode

1) Siehe J ohann B e r n o u e l i, Méthode pour trouver les tautochrones dans les milieux résistons comme le quarrê des vitesses; M ém . de l ’a c a d . d. sc. de P a r i s 1730, S. 78 — 101 [ = Opera omnia III, S. 173—197].

allzeit übereingekommen: diese aber ist weit operoser und bat nicht den Vortheil, dass man die velocitatem navis sine ulla operatione gleichsam a s an einer Uhr sehen kann, welches dazu dienen würde, dass man positionem velorum maxime favorabilem gar leicht abnehmen könnte. Allhier in Paris hab ich gehört, dass auch der Herr P oleni diese Methode invemendi navis velocitatem angegeben habe in seiner dissertatione, so das praemium erhalten. Ich habe auch gesehen die wahre Ursach, warum das Schiff caeteris paribus geschwinder geht mit halbem Winde, als mit vollem Winde. Die Ursach ist gar nicht, wie man bishero geglaubt, dass man alle Segel mit halbem Winde employiren könne; denn die obliquitas velorum derogirt mehr als man a numero velorum gewinnt, welches gewiss ist. Die wahre Ursach ist, dass mit einem vent en pouppe en faisant force de voile, das Schiff schier dimidiam velocitatem venti, oder aut das wenigste tertiam ejus partem erlangt. Weil nun die ratio velocitatum notabel ist, so ist velocitas respectiva venti bei einem halbem Winde viel größer als bei vollem Winde, und kann also in dem ersten Falle das Schiff geschwinder getrieben werden, als in dem ändern. Aber die Zeit läßt mir nicht zu, von dergleichen Materien weitläufiger zu seyn. Aus Basel schreibt man mir, dass für die professionem Rhetorices et Moralis nächstens soll dis- putirt werden; hab aber nicht haben wollen, dass man mich in meinem Namen dafür angebe: vielleicht wird mein Bruder einen Candidatus abgeben. Der Professor Anatomiae soll nächstens gemacht werden. Libera nos Domine! Des Hrn. Hermann1) Tod hat mich sehr geschmerzt . . . .

Euler an D aniel B ernoulli 18. Februar 1734.Inhalt. Geldangelegenheiten. — Über die zwei mecbaniscben Probleme, die im

Briefe des D a n i e l B e r n o u l l i erw ähnt wurden. — Über die Ursache, warum das Schiit geschwinder m it halbem als m it vollem W inde gehen kann. — Die RiccATische Differentialgleichung. — Über eine Kurve, deren Ordinaten den Bogen einer gewissen Folge von Ellipsen gleich sind. - Über eine unrichtige Reihe für log *. - Über die tautochrone Kurve im resistenten Medium. — Akademienachrichten.

HochedelgebohrnerHochgeehrtester Herr.

Ew. Hochedelgeb. werden ohne Zweifel mein letzteres Schreiben nebst dem Wexel a 550 R. Holl, von der Fr. Bruknerin ingleichem den Sec. Wexel von meinem Vater erhalten haben. Das Contoir, daraus mir denselben der H. Stehelin verschaffet, soll auch so gut stehen, daß im geringsten nicht ein Protest zu befürchten.

Da ich in meinem letzteren Briefe nicht Zeit genug hatte Ew. Hochedelgeb. von Scientificis etwas zu überschreiben, und auf Deroselben unter

1) J a k o b H e r m a n n starb in Basel am 11. Ju li 1733 (siehe über ihn W o l f , a. a. 0 .4, Zürich 1862, S. 91).

G. E n b s t r ö m .


wegs gemachte Observationen zu antworten, als berichte hiemit zugleich, daß das Problema laminarum sibi superimp onendarum, ut maximam habeant inclinationem bald sowohl von dem H. Justiz Rath Goldbach als mir ist solvirt worden. Das andere Problema die Form eines Balkens betreffend, welcher er mag beladen seyn oder nicht, allenthalben zum brechen gleich geneigt sein soll, erfordert eine Theorie des Brechens, dergleichen Dero verehrl. H. Oncle gegeben, und wie mich deucht eben das Problema schon tractirt.1) Die völlige Ausführung aber, und Application ist freylich so wohl das schönste als schwehrste in dieser Materie, und erwarte deshalhen mit V erlangen Ew. Hochedelgeh. darüber versprochene Dissertation

Deroselben Explication, warum ein Schiff mit halbem Winde geschwinder fortgehe als mit gantzem, hat jedermann über die Maßen wohl gefallen. Denn da der stärkste Wind in einer Secunde kaum 20 Schue gehet, so ist freylich die Geschwindigkeit des Schiffes in Ansehung desselben sehr considerabel. Allein der Mangel hei vollem Wind deucht mich doch noch größer zu seyn, als Ew. Hochedelgeb. scheinen in Betrachtung zu ziehen. Denn in solchem Falle kan man nicht nur nicht so viel Sesul ausspannen als hei halbem, sondern auch von den ausgespannten hat kaum die Helfte einige Wirkung. Daß die Segel des vorderen Mastes umsonst seyen, wie auch ein Theil derer des mittleren ist unstreitig. Denn ich habe oft bei starkem vollem Winde das Fähnlein des vorderen Mastes hinderwerts gekehrt gesehen. Woraus erhellet, daß die vorderen Segel den Lauf des Schiffes sogar wegen der Resistenz verhindert haben.

In den A ctis lips. M. Aug. des vorigen Jahres wird man schon in Basel meine Construction der RicCATianischen Aequation gesehen haben,2) ich möchte darüber mit großem Verlangen Dero Hochgeehrtesten Herrn A atters und Herrn V etters Urtheil vernehmen. Ew. Hochedelgeh. wissen, wie indirecte ich auf dieselbe gekommen. Wann man eine directe Methode sollte finden können, so bin ich versichert, daß dadurch die Analysis ungemein würde erweitert werden, und daraus gleichsam ein neuer Calculus entstehen.

AVann unendlich viel Ellipses auf einem Axe conjug. b gesetzet werden, und daraus eine neue curva formirt wird, davon die Abscissae den Axibus transversis r gleichgenommen, die Applicatae aber den Peripheriis dieser

1) Siehe J acob B eknodi.l i , Curvatura laminae elasticae; A c ta E r u d . 1694, S. 262 —276 [ = Opera I, S. 576—600]. Véritable hypothèse de la résistance des solides, avec la démonstration de la courbure des corps qui font ressort; M ém . de l ’a c a d . d. sc. de P a r i s 1705, S. 176 -186 [= Opera II, S. 976-989],

2) Siehe L. Euiær , Constructio aequationum quarundam différéntialium quae indeterminatarum separationem non admittunt; N o v a A c ta E ru d . 1733, S. 369 —373.

Ellipsium u gleichgesetzet werden, so wird die Natur diesei Curvae durch nachfolgende Aequation exprimiert werden;1)

, , dudr , udr2 ddu = — r r 2 _ ja»

worauf ich gleichfalls nicht anderst als indirecte gekommen.Ich vermeinte neulich, daß nachfolgende Series

m _ l (m — 1 ) (m — 1 0 ) , (m — 1 ) (m — 1 0 ) Q» — 1 0g)9 990 999000

(m — 1 ) (mi — 1 0 ) (ro — 1 0 0 ) (mi — 1 0 0 0 ) , x 9999000000

(alwo die Anzahl der Nullen im Numeratore und Denominatore einander gleich sind, im übrigen ist die Lex klar) den Logarithmum communen ipsius m exprimere, dann ist m = 1, so ist die gantze Series = 0, ist ni 10 so kommt 1, ist m = 100, kommt 2, und so fortan. Als ich nun daraus den Log. 9 finden wollte, bekam ich eine Zahl welche weit zu klein war, ohngeacht diese Series sehr stark convergirte.

Meine Dissertation Be tautochrona in fluidis wird nächstens mit den 4t. Tomo unserer Comment. gedrucket werden.2) Dero Herren Yatters Methode und einiger Mathematicorum von Paris, welche diese Curvam gleichfalls gefunden, bin ich sehr begierig zu sehen, ob sie von meiner Methode different sind, indem mich kaum möglich deucht, auf eine andere Art dazu zu kommen; daß diese Methoden aber mit meiner völlig Übereinkommen müßten, glaube ich deswegen, weil keiner für eine andere Hjpothesin resistentiae die tautochronam gefunden. Wann diese Herren von Paris so weit gekommen, möchte ich gern vernehmen, ob sie auch dieses Prohlema, datae curvae aliam adjungere ad tautochronismum producendum aptam,3) welches Ew. Hochedelgeh. proponirt, nur in hypothesi Yacui solviren werden. In den Conferenzen lese ich anjetzo eine Dissertation vor Be brachystochronis in medio quocunque resistente, darinn der verehr! H . Prof. H e r m a n sich übersehen4) Ich habe dabey diese merkwürdige

1) Vgl. die Abhandlung von E u l er , Solidio problematum rectificationem ellipsium requirentium; C o m m en t. a cad . sc. P e tr o p . 8 , 1736 [gedruckt 1741], S. 86—98(speziell Problem 1).

2) Siehe d ie A bhandlung v o n E u l e r , Curva tautochrona in fluido resistentiam faciente secundum quadrata celeritatum; C o m m e n t. a c a d . sc. P e t r o p . 4, 1729 [ged ruck t 1735], S. 67—89 (vgl. B ib i. M a tk e in . 43, 1903, S. 373).

3) Vgl. hierüber den Brief von E u l e r an J ohann B e r n o u l l i vom 2 ! Oktober 1729 ( B ib l io th . M a th e m . 43, 1903, S. 372—373), sowie die dort zitierten Abhandlungen von E u l e r .

4) Siehe J. H e rm a n n , Theoria generalis motuum; C o m m e n t. a c a d . sc. P e t r o p . 2, 1727 [gedruckt 1729], S. 139—173 (speziell art. 26). L. E u l e r , De linea celerrimi descensus in medio quocunque resistente; C o m m en t. a c a d . sc. P e tr o p . 7, 1734/1735, [gedruckt 1740], S. 135—149.

! ß g Gr. E n e s t r Öm .


Obsei vation gemacht, daß die Brachystochrona in tluido, oder wann die Resistenz den quadratis celeritatum proportional ist, mit der tautochrona in eadem hypothesi völlig übereinkomme. Whnn nun diese Übereinstimmung allzeit eintreifen sollte, so würde das Problema Tautocbronarum sehr leicht zu solviren werden. Dann sowohl in vacuo als medio quocunque resistente ist allzeit diese Curva die Brachystochrona, da die Pressio corporis in curvam noch so groß ist als die Vis centrifuga corporis, oder da die zwey vires prementes curvam sc. vis normalis et centrifuga einander gleich sind. Aus diesem unvergleichlichen Theoremate ist es derohalben sehr leicht die Brachystochronam in quacunque hypothesi zu Enden.

Von hiesigen Neuigkeiten weiß für dießmal nichts merkwürdigeres zu berichten, als daß in Abwesenheit des H. Presidenten die Direction von den Herren Go l d b a c h , S c h u m a c h e r und B a y e r geführet wird. Der H. M e d e r ist Secretarius sowohl bey den Conferenzen als auf der Canzley.Ich habe, seit dem ich mich verheyrathet, ein eignes Hauß, so in der10 Linie gelegen, und über die maßen wohl conditionirt ist, gekauft.

Au Ew. Hochedelgeb. Herrn Vatter und gantze hochzuehrende Familie bitte gehorsamst meine ergebenste Empfehlung zu machen, womit verbleibe mit schuldigster Hochachtung

Eurer HochedelgebohrnenMeines Hochgeehrtesten Herren Professors

St. Petersburg, d. 16t. Febr. 1731.gehorsamster und verbundenster

L e o n h a r d E u l e r .

Euler an Daniel Bernoulli November (?) 1734.Inhalt. Über eineu verloren gegangenen Brief des D a n iel B e r n o u l li. — Über

D a n iel B er n o u l lis W unsch, von der Petersburger Akademie der Wissenschaften eine Pension zu bekommen. — Akademienachrichten. — Die Hydrodynamik des D a n iel

B e r n o u lli und die Mechanik des E u l e r . — Ein verloren gegangenes M anuskript von D a n iel B e r n o u l li. — Privatangelegenheiten. — E uler wünscht in Basel Doctor medicinae zu werden. — Zwei Probleme aus der Differentialgeometrie. — Die Bahn einer Stückkugel in der Luft zu bestimmen. — Politische Nachrichten.

HochedelgebohrnerHochgeehrtester Herr Profeßor.

Ew. Hochedelgeb. Antwort auf mein ersteres Schreiben habe richtig erhalten und hätte darauf vor einiger Zeit schon wieder geschrieben, wenn nicht auf mein zweytes Schreiben, welches der H. S c h u m a c h e r mit'einem Briefe an Ew. Hochedelgeb. begleitet, noch vorher eine Antwort erhalten wollen. Da ich aber anjetzo von dem H. M o u l a t 1) nicht nur vernommen,

1) Vermutlich F r ie d r ic h M oula ( f 1 7 8 3 ), der 1 7 3 4 A djunkt der Petersburger Akademie der W issenschaften war (siehe W o l f , a. a. 0. 3, S. 1 6 1 162.

^ g g Gr. E nf.s t r ö m .

daß gedachter Brief in Basel angekommen, sondern daß ,^ ieSelb® schon vor geraumer Zeit geantwortet, so muß Dero Schreiben, mc nichts bekommen, zu meinem großen Verdruß v e r l o h r e n gegangen seyn.

Ew Hochedelgeh. Hoffnung zu der jährlichen Pension von 200 v. ist meiner Meinung nach gar nicht völlig verschwunden sondern nur aufgeschoben wegen der Abwesenheit Unseres Herrn Präsidenten, als voi dessen Wiederkunft keine Sachen von einiger Wichtigkeit können aus- o-emachet werden. Inzwischen können Dieselben versichert seyn daß zu einem Memhro Honorario von der Mathematischen Class niemand anderes als Ew Hochedelgeb. werde ersuchet werden. Wegen Deroselben Anforderungen habe mit großem Fleiße ein Memoriale an die Academisclie Direction aufgesetzet, und darauf nachfolgende Antwort erhalten, daß hierüber, ehe Ew. Hochedelgeh. wegen dem Lettre cachete werden disponirt haben, keine Resolution ertheilet werden könne. Im übrigen würden diese Forderungen für sehr hillich erkannt.

Was den Zustand der Academie betrifft, so scheinet insonderheit die Mathematische Class je mehr und mehr in Decadence zu kommen, indem auch der H. K r a f t 1) künftiges Jahr wegreisen wird; und man keine Anstalten macht, wiederum tüchtige membra zu erlangen. Es heißt, daß man solche Leute sehr leicht werde bekommen können, Ew. Hochedelgeh. werden aber sowohl als ich die Schwierigkeiten darinnen einsehen.

Der 4te Tomus unserer C o m m en ta rii ist schon lang zum Drucke reglirt worden, der Anfang aber ist dennoch noch nicht gemacht. Dero Unterlassene Bücher habe zusammen gepackt, und dem H. S t e h e l i n ubergehen, welcher dieselben nach Amsterdam zu schicken über sich genommen. Von den Bolognesischen Memoiren habe ich seit der Zeit kein Exemplar empfangen, und auch nicht erfahren, daß jemand anderes davon bekommen habe.

Was Dero Tractatum Hydrodynamicae betrifft, so habe deswegen gleichfalls mit dem Directorio gesprochen, von welchem deswegen an den H Präsidenten wird geschrieben werden. Es sollte mir höchstens leid seyn, wenn die Sache einige Schwierigkeiten haben sollte.

Des H. B a y a r d Historia Edessena ist herausgekommen, und soll den Leuten als ein Tomus Comment. aufgedrungen werden, welches aber, wie ich Haube, nicht angehen wird; vielmehr möchte man dadurch eme Provision von Maculatur auf einige Zeit bekommen. Es wäre zu wünschen, daß an statt solcher Bücher Scientifica möchte gedrucket werden, als wovon man nicht nur mehr Profit sondern auch Ehre haben würde.

1) G e o r g W o l f g a n g K r a f f t (1701—1754), seit 1731 Professor der Physik an der Petersburger Akademie der W issenschaften.

Von meiner Mechanica ist der erste Tomus auch, ganz fertig, habe aber wenig Hoffnung, daß man denselben allhier drucken werde.1)

'N on dei iiece, welche Ew. Ilochedelgeb. an den H. Praesident geschickt, weiß kein Mensch nichts, noch von den Briefen, so dabei gewesen.Ew. Hochedelgeb. würden am besten tliun, wenn Sie solche Sachen an mich ins künftige adressiren wollten, ich will dafür lieber das Postgelt bezahlen, als den Verlust derselben leiden.

Die Krankheit Dero Herren Vatters ist mir höchstens zu Herzengegangen, und wünsche daß dieses Denselben wiedrum in gutem Zustande antreffen möchte, wozu ich aus der Leichen Predigt des H. H e r m a n s um so viel größere Hoffnung habe, da in derselben des Herren Vatters Carmen von jedermann vor allen anderen ist bewundert worden, insonderheit aber von mir, der ich sowohl Desselben Sentiments als die BESSLERische Gewohnheit kenne. Bey Verfertigung dieser Verse vermuthe ich, daß Er vollkommen gesund müße gewesen seyn. Demselben bitte gehorsamst meine unterthänige und dankbarste Empfehlung zu machen, und mich Deßelben Wohlgewogenheit auf das beste zu recommendiren.

Mein Schwager K ö r b e l hat mich sehr gebeten ihn Ew. Hochedelgeh. zu recommendiren damit er zu einem besseren Dienste gelangen möchte, er vermeinet meine Recommendation werde sehr kräftig seyn, welches ich aber nicht einmal verlange, wenn er es nicht wohl meritirt.

Der Herr Geheime Rath Baron von M u n n ic h , welcher anjetzo Chef von dem Cadeten Corps ist, hat mir neulich Propositionen gemacht, in dem Cadeten Corps Lectionen zu halten und zugleich über die Informatores die Inspection zu haben, wofür ich außer der Academischen Gage noch eine jährliche Pension von 400 R. genießen soll. Welche Propositionen ich um so viel eher ohne Bedenken annehmen werde, da ich wegen der Abwesenheit des Herrn Praesidenten aufs zukünftige Jahr noch keine größere Besoldung hoffen kann. Bei der Academie ist sonsten keine Veränderung vorgegangen, als daß der H. J u n k e r von Ihro Kaiser! Majestaet immediate ist zum Professor ernannt worden mit Verdopplung seiner vorher gehabten Gage.

Da Ew. Hochedelgeh. nunmehr Professor Medicinae sind, so möchte ich gern mit der Zeit einmal, wenn es nicht allzuviel kosten sollte, in dieser Facultät Doctor werden, indem ich schon immatriculirt bin, und mich ins künftige etwas mehr auf dieses Studium appliciren werde.

1) Der erste Teil der E u ler sehen Mechanica sive motus scientia analytice exposita (St. Petersburg 1736) war also schon 1734 im M anuskript fertig. Dieser Umstand erklärt, warum der zweite Teil in gewissen Fällen einen Fortschritt im Vergleich m it dem ersten Teil repräsentiert (vgl. B ib l io t h M a th e m . G3, 1905, S. 319—321).


„ G. E n e s t r ö m .1 4 0

Seit der Zeit habe ich nachfolgende Prohlemata solvirt worüber ich gerne Deroselben nebst Dero Herren Vatters und anderer Mathematicorum Urtheil vernehmen möchte. Das erste ist eine Curvam zu finden, welche von unendlich viel Ellipsibus,J) welche auf einem Axe transversostehen, oieiclie Arcus abschneidet. Ingleichem von unendlich vielen Ellipsibus, welche einen Verticem und gleiche Axes conjugatos haben, gleiche Arcus abzuschneiden. Die Construction dieser curvarum ist per rectificationem ellipsium leicht, ich verlange aber eine aequationem vor diese curvas, welche so beschaffen seyn wird, daß man daraus zu keiner Construction belangen kann, ohne meine Methode, dadurch ich auch die Aequationem IiicCATianam construirt. Wann die curvae propositae similes sind als Paraholae, so hat die Solution keine Difficultät und ist dieses Problema schon im Vorigen Seculo von Dero H. Vatter®) solvirt worden: wann die Curvae aber dissimiles sind, so würde die Solution, wann sie von meiner unterschieden wäre, in der Analyse ein größeres Licht geben.

Das zweyte Problema ist dieses:3) Invenire (Fig. 2) duas curvas A M , A N algebraicas non rectificabiles sed quarum rectificatio a data quadratura

pendeat; tales ut, ducta ad axem communem A P quacunque ordinata orthogonali M N , summa arcuum A M et A N possit algebraice expnmi. Wann diese Condition nicht hinzu gethan würde, daß die beiden Arcus einerley abscissam A P haben sollten, so folgete die Solution gleich aus den Formulis welche Dero Herr \ a tte r1) pro reducendis quadraturis ad rectificationes curvarum algebraicarum gegeben. Mit dieser Con.

dition aber ist die Solution meiner Meinung nach sehr schwehr, undkan ich, obgleich meine Solution general ist, dennoch keine curvassimplices satisfacientes geben. Dieses Problema muß auch möglich seyn, daß man wann die eine curva A M gegeben ist, die andere A N finden soll so daß A M A A N rectificabel ist. Ich habe nur diesen Casum betrachtet, wann A M eine Parabola ist, habe aber die andere Curvam nicht finden können

1) VrI die Abhandlung von E u l e r , Solutio problematum rectificationem ellipsium requirentium; C o m m e n t. a°cad. sc. P e tr o p . 8 , 1836 [gedruckt 1741], S. 8 6 -9 8

(speziell Problem 2).2) Siehe J o h a n n B e r n o u l l i , Solutio sex problematum fraternorum ; A c ta E ru d .

1698, S. 226—230, Problem IV, V [ = Opera omnia I, S. 256—259].3) Siehe hierüber den Brief von E u l er a n J o h a n n B e r n o u l l i vom 2 7 . August 1 7 3 7

(B ib l io th . M a th e m . 5 3 , 1 9 0 4 , S. 2 6 0 — 2 6 2 ) , sowie die daselbst zitierten Abhandlungen.

4) Siehe B ib l io th M a th e m . 53, 1904, S. 260, Fußnote 3.

In Schreibung meiner Mechanic bin ich auf eine Aequation gefallen, welche quam proxime die Natur der projectoriae in Aere exprimirt]) Als es sey B N A 31C (Fig. 3 )2) die Yia meiner Stiick- kugel, A das punctum summum, A D eine Vertical- linie. b sey die Höhe aus welcher die Celeritas in A generirt wird, und c die Höhe aus welcher diejenige Celeritas entspringt, mit welcher wann sich die Kugel bewegt, die Resistenz der Yi gravitatis gleich ist. g ist zu 1 wie die Schwehre Flg' 3'der Kugel in aere, zu ihrer wahren Schwehre in vacuo. Wann nun gesetzt wird i P = f / , P 3 I = x , so wird die Natur der curvae A31C q. pr. diese Aequation haben:

2b y g cx — g c2[e° — l )oder

x = c 1 2by + 9 cx + f/c2Lic2

Wann die altitudo generans celer. in 31 ist v, so wird seyn

_A —— s x ^7 c | c2g 2 e 0 ( c 1 V

* \ e2c— 1 min. sec. wann b

und c in lOOOste Theile eines Rheinischen Schues exprimirt wird. Setzt man die Geschwindig-3)

P. S. Der Herr Brouckner4) befindet sich gar wohl, und läst Ew. Hochedelgeb. seine gehorsamste Empfehlung machen. Den Augenblick ist durch einen Courir die Nachricht gekommen, daß die 2000 Franzosen, so vor Danzig angekommen, feliciter geschlagen worden, so dass wenig mehr nach Francreich zurückkommen werden.


1) Ygl. E u l e r , Mechanica I, S. 373—389.

2) Neben der Figur steht: „Meines Erachtens betrüg t (?) N e w to n in seinem 2 ten Buch, wenn er statuirt, das diese Curve A 31 eine Asymptoton verticale habe, und deswegs dazu durch hyperholas zu appropinquiren sucht“.

3) Der in Gotha auf bewahrte Brief ist unvollständig; er enthält nur vier Seiten von denen die letzte m it „Geschwindig-“ endet. Offenbar stand das Datum des Briefes auf dem fehlenden B latt; etwas auffällig ist es, daß das Postskriptum schon auf der vierten Seite, also vor dem Schluß des Briefes steht.

4) Vermutlich I saak B ru c k n er (1686— 1762), der seit 1725 von der Petersburger Akademie der Wissenschaften als Mechaniker angestellt war (siehe W o l f a a 0 4 S. 9 1 -92 ).

Und tempus per A 31 wird seyn ,125 y'i)

D a n ie l B e r n o u lli an E u ler 18. Dezem ber 1<34.Inhalt. Akademieangelegenheiten. - Über die Drucklegung der Mechanica von

E uler und der Hydrodynamica von D an iel B e r n o u l li. — Über eine zahlentheoretische Abhandlung von L agny . — Über einige geometrische und mechanische Probleme. —

Über den W unsch E u l er s , Doctor medicinae zu werden.

Basel d. 18. December 1734. Die Akademie ist glücklieb einen solchen Directorem4) bekommen

zu haben, der selber die Wissenschaft besitzt. Ein guter General mussauch ein guter Soldat seyn.

Es wäre wohl Schade wenn die mathematische Classe, wie Siesagen, in Abgang käme: Man mag sagen was man will, so dependirt doch die Ehre der Akademie bei den Ausländern am allermeisten von den mathematischen und physischen Wissenschaften. Solches habe auf meiner Rückreise zur Genüge erfahren. Man sollte trachten den jungen Hrn. Cl a ir a u t von Paris zu bekommen. Ich kann Ihnen nicht genug sagen, mit welcher Avidität man allerorten nach den Mémoires von Petersburg fragt . . . Es wäre zu wünschen dass die Druckung derselben mehr beschleunigt würde. Wenn man etwa mit der Zeit sollte Mangel an mémoires haben und die meinigen nicht verachtet würden, so bin bereit einige pièces zu schicken. Es ist mir leid, dass diejenige pièce, so ich an den Hrn. Präsidenten vor einem Jahr geschickt, ist verloren gegangen.

Wenn mir Ew. Dero Tractatum mechanicum schicken wollen, so will ich denselben drucken lassen in Straßburg, allwo sie gar froh darüber seyn werden. Meine Hydrodynamicam druckt wirklich der Herr Dulseeker und gibt mir nebst 30 exemplaribus annoch 100 Thl. Recompens2) Ew. judiciren gar recht wegen der Historia Edessena; meine Hydrodynamica ist in einigen Journalen zum voraus recensirt: Ich werde solche I. K. M. zu dediciren die Freyheit nehmen, welches die einzige Dankbarkeit ist, so im Stand bin zu bezeigen, da sonsten meine Dienste nicht agreirt werden; doch bitte ich Ew. mir hierauf expresse zu antworten, ob Sie meinen, dass solches etwa nicht sollte ungütig aufgenommen werden. Wenn etwas zum Besten der Akademie darin könnte gemeldet werden, kann mir solches nur angezeigt werden, aber mit ehestem .........

Ich komme nun auf einige Mathematica. Ew. verlangen von mir zu wissen einen kurzen Begriff von des L a g n y pièce, so in den Pariser Mém. a. 1720 ist3). Es ist nichts, als leere Worte. Sein ganzes problema ist,

1) F u ss (a a. 0 . II, S. 415) te ilt mit, daß der neue Direktor der Baron von K o r f f war.2) B ekanntlich erschien die Hydrodynamica von D a n iel B e r n o u l l i zuerst im

Jahre 1738.3) Siehe T. F. de L a g n y , Méthode pour résoudre indéfiniment et d'une manière

complète en nombres entiers les problèmes indéterminés; M em . d. l ’a c a d . d. sc. de P a r i s 1720, S. 178-188 .

•j^c> G. E nESTRÖM.


den valorem numeri integri von x zu finden, damit a± l x_Jr + ■ ■ ■ ('a|]wo

a, b, c, d numeri integri sind) einen numerum integrum mache und zu- e + fx + gxz+ .. .

gleicJl " h----------- auch einen numerum integrum. Wenn x dreiDimensionen hätte oder mehr, so kann er es allzeit praestiren, wenn es möglich ist, vermittelst denen zwei Conditionen, welche er allzeit supponiren muß; solches aber ist gar leicht und hat ja der N e w t o n in seiner Arithmetica universalis schon gezeigt, wie man müsse den valorem von x aequatione unius dimensionis vermittelst der zwei gegebenen Aequationen finden ). Es wird also gleich das problema von L a g n y dahin reducirt,

dass ~Ti— em numerus mteger sej. Wenn man auf diese Weise den valorem von x gefunden, muss man erst tentiren oh er angehe oder nicht; wenn das problema möglich ist, so wird der inventus valor satisfaciren und sonsten nicht, welche letztere Observation, wie mich dünkt, der L a g n y nicht einmal macht.

Ew. problema de abscindendis arcubus aequalibus in serie ellipsium etc. ist sehr profundum und, wie ich glaube, schwer anders als a posteriori, methodo serierum auf Ihre Weise, zu solviren.

Die Natur der trajectoriae corporis in medio resistente tenuissimo projecti habe auch quam proxime determinirt: unsere Expressionen kommen in quovis casu particulari gar nahe zusammen. Doch aber muss nach unser beider hypothesi c viel grösser supponirt werden als a und x. Welche aber von unsern Expressionen accurater sey, kann nicht wohl anders als ex hypothesihus, quibus uterque in analysi usi sumus, geschlossen werden. Ihre denominationes habe in einem falschen sensu genommen, bis ich meine Expression gefunden. Ihre Worte sind diese: „b sey die Höhe, aus welcher die celeritas in vertice A generirt wird (subintellige vi gravitatis naturali), und c die Höhe (rursus pro vi gravitatis naturali), aus welcher diejenige celeritas entspringt, mit welcher, wenn sich die Kugel bewegt, die Resistenz der vi gravitatis (naturali nempe, non diminutae a medio) gleich ist etc.“. Wenn dieses Ihrer Worte Verstand ist, so finde solche Aequation:

qxx ,y — Tb +

512 b * x - \- (4 8 g g x 3 — 48 &5a;)V(16 bb - f g g x x ) — (20ggx* + 80 bbx)]/ ( l6bb + 4 ggxx )'Iß&bbgc

Aus dieser Aequation (in welcher vergessen, den numerator und denominator durch 4 zu dividiren) kann ich die übrigen Oircumstanzen,

1) Siehe I. N e w t o n , Arithmetica universalis, Ausgabe Leiden 17 3 2 , S. 6 0 — 63.

von denen Sie Meldung thun, leicht deduciren. Une At quation wenn man sie in seriem resolvirt, ist gar simpel, indem, wenn

X

ne e {e° — 1) — g c xy — 26 ’

man propter valorem admodum magnum ipsius c, supponiren kann y =

9XX _j_ l xl ^ und hat in diesem Punct einen grossen Vortheil vor meiner

A é q u a tio n .Es wird aber leicht zu zeigen seyn, dass quam proxime sey| .(lO^v-rS— W h b x ^ a G b b + qgxx) — {hggx^-\-‘i 0 l i x ) i { \ U h J\ -^ g gx x ) ==ax2,

16 hg

Auf das wenigste differiren diese zwey Expressionen in casibus particu-

laribus nicht viel. — t j -lj. i tIn mechanicis habe einige neue principia generalia erdacht, welc e

viel quaestiones pÈysico-mechanicas solviren, gleich dem prmcipio conser-vationis virium vivarum. Ich habe vor etwas Zeit gearbeitet m mvemendaleo-e vihrationum minimarum laminae uniformis elasticae paneti honzon-taliter infixae ex data ejus vi elastica; aber ich bin nicht recht mit meinerSolution zufrieden.

Wenn Ew. wollen in facult. med. Doctor werden, so will dazu gernverhülflich seyn. Wissen Sie nichts von den Kamtschatker H erren?----

Daniel B ernoulli an E u ler 30. April 1740.Inhalt. Ü ber die P re issch riften der P a rise r A kadem ie. — Ü ber ein ige m ath e

m atische Problem e u nd F ragen . — Die K älte in St. P e tersb u rg .

Basel d. 30. April 1740.

Es werden Dieselben allbereit den succès von den Pariser pieces wissen. Der prix ist in vier Theile getheilt worden, davon der eine ist Ew. zuerkannt worden, wozu ich Ihnen gratulire; ein anderer Theil istdem M a c L a u r in , ein dritter einem unbekannten Cartesianer und eineimir zuerkannt worden. Man schreibt mir, es sey noch nichts Vortrefflicheres nach Paris für dergleichen praemia geschickt worden, als drei von diesen pièces; die vierte aber hat man nicht rühmen wollen und mag vielleicht sein einzig mérite seyn, kein Anti-Cartesianer gewesen zu seyn. Von Ihrer pièce hat man mir insonderheit gerühmt, wie sie die figuramterrae, quatenus ab actione lunae mutatur, determinirt, und anbei inertiamaquarum sehr geschicklich in Considération gezogen. Ich für mein Theil habe, um mich nicht allzuweit in die pure geometrica einzulassen, mich contentirt die differentiam inter axem et diametrum perpendicularem ab actione lunae ortam zu determiniren; was aber die considerationes physicas anbelangt, habe ich alle Umstände mit der möglichsten exactitude betrachtet.

. . . G. E n e s t k ö m .144


Die Observation, so Herr d e l a C r o y è b e dem Hrn. D e l i s l e gesagt und welche mir Ew. überschrieben, bab ich der Akademie zu Paris als uns Beiden sehr favorabel überschrieben und dabei gemeldet, dass vonunserm Hrn. Präsidenten ordre gestellt worden accurate Observationen in zona glaciali zu machen. Bitte Ew. von dem Hrn. Kammerherrn zu vernehmen, ob diese meine überschickte Addition dürffe gedruckt werden. Zu Paris ist man sehr begierig zu wissen, wer der Autor sey von einer Brochure: Examen désintéressé sur la figure de la terre etc. Ew. sagen mir doch, ob Sie nicht glauben, dass Herr D e l i s l e solches verfertiget.__

Haben Sie das problema de oscillationibus corporum ex filo flexili suspensoium auch untersucht? m welchem Eall ich gern wissen möchte ob Ihre Solution mit meiner übereinkommt; ich habe Ihnen neulich solche durch den Hrn. Präsidenten überschrieben . . . .

Es ist mir lieb, dass Ew. meine schon vor vielen Jahren gefassteIdee de vorticibus infinitis ad causam gravitatis explicandam nicht des-approbiren; ich habe die Möglichkeit dieser Hypothesis illustrirt abexemplo decussationis liberae infinitorum radiorum solarium in camera obscura. Was der Abbé M o l i e r e s hierüber geschrieben1), habe ich nicht gesehen. Da meine Dissertation de causa gravitatis nirgend ist gedruckt worden, könnte vielleicht selbe einmal bei Mangel anderer Materie unseren C om m entariis inseriret werden. Der von dem N e w t o n angenommene îappoit inter actiones lunae et solis ist gewiss sehr übel fundirt und nicht füglich die phaenomena aestus maris mit einer Accuratesse zu ex- pliciren. Ew. werden zu seiner Zeit meine Reflexionen über diesen Punct sehen : ich statuire rationem mediam inter actiones solis et lunae, wie 2 zu 5.

Der gradus frigoris Petropoli huj. anni ist stupend; ich möchte gern wissen, ob keine observationes physicae bei dieser Kälte sind gemacht worden.

Euler an Daniel Bernoulli 15. September 1740.Inhalt. E u l e r s Augenkrankheit. — E u l e r s Preisschrift über Ebbe und Flut. —

Beobachtungen über Ebbe und F lu t im Eismeer. — Über das Gleichgewicht einer schwimmenden dreieckigen Scheibe. — Über dio Schwingung eines an einem Faden aufgehängten Körpers. — Über die Dissertatio liydvaulica von J o h a n n B e r n o u l l i . — Über die akustische Theorie der Pfeifen.

HochedelgebohrnerHochgeehrtester Herr Professor.

Vor einiger Zeit habe die Ehre gehabt, Denselben über Amsterdam zuzuschreiben, und Ihro Durchlaucht Portrait nebst den Academischen

1) J. P. d e M o l i è r e s (1677— 1742) hat in den M é m o ire s de l ’a c a d e m ie des s c ie n c e s de P a r i s 1728—1733 drei Abhandlungen über den fraglichen Gegenstand veröffentlicht.


. . _ G . E n f .s t r ö m .14bEw Hochedelgeb. und Dero H. Vater destmirten Büchern zuzusen , welches Dieselben ohne Zweifel schon richtig werden erhalten habe .

Auf die Scientifica habe nicht eher als jetzo antworten können, wegen einer Unpäßlichkeit an meinem Auge, wodurch ich einige oc en au er Stand gesetzet worden, das geringste vorzunehmen.

Weilen ich hoffe, daß Ew. Hochedelgeb. meine Piece De fluxu et refluxu maris1) schon werden gesehen haben, so finde nichts anders au Dero darüber gemachte Remarques für nöthig zu antworten, a H Clairaut in seiner nach London gesandten Piece, welche ich m en T ra n sac tio n en gelesen’), freylich recht hat, daß ab aucta terrae versus centrum densitate die Figur der Erde weniger von der vollkommenen Rundung abweichen müsse; diese Sache aber hat in meiner Piece keinen Einfluß weilen ich dieße Materie nur obenhin berühret habe. Sonsten hat mir der H. Maupertius neulich geschrieben, daß H. C a s s i n i nunmehro seine Meinung wegen der Figur der Erde völlig abandonnirt und vor derAcademie abgeschworen.

Aus dem Mari glaciali habe ich neulich observationes circa aestum maris erhalten, welche aber nicht hinlänglich sind etwas gründliches daraus zu schließen. Dieselben sind etwan 40 Werst von Archangel in der weisen See den 6. und 7. Aug. angestellt worden, allwo mein Schwager Kaiser Capitain von der Flotte an einem eingetheilten Pfal observirt, daß den 6‘. Aug. um 2 Uhr 45' p. m. 12 Schuh \ Zoll gestanden, zu welcher Zeit das Wasser am höchsten gewesen, nachdem ist das Wasser nach und nach gefallen biß 8 Uhr 40', da es am Pfal 9 Sch. 3 | Zoll anzeigte. Den folgenden Morgen d. D. war wiedrum Ebbe um 7 h. 58, da das Wasser am Pfal bey 8 Sch. 10 Zoll stund; um 9 h. 22' fieng daßelbe an zu steigen biß zur folgenden Fluth, so geschah um 3 h. 48' p. m., da die Höhe des Wasser am Pfal war 11 Sch. 6 Zoll. Mehr Observationen sind nicht gemacht worden, wie ich gewünscht hätte, daß dergleichen von einer Conjunction bis zur folgenden zum wenigsten angestellet würden, auch war diese Zeit circa quadraturam Lunae, aus welcher am wenigsten etwas geschlossen werden kann.

1) Die E u l e r sehe Preisschrift In q u isitio ph ysica in causam flu xu s et re flu xu s m aris erschien zuerst im Jahre 1741 in den P iè c e s q u e o n t r e m p o r té le p r i x de l ’a c a d é m ie ro y a le dos s c ie n c e s en M.DCC.XL. s u r le f lu x e t r e f lu x d e la m e r (Paris 1741), S. 235—350.

2) Siehe A. L. C l a i r a u t , Investigationes aliquot, ex quibus probetur, terrae figurant secundum leges attractionis in ratione inversa quadrati d ista n tia ru m m axim e ad ellipsin accedere debere; P h i lo s . T ra n s . 40, 1737/38, S. 19—25. — Â n in q u iry concerning the figure o f such p la n ets as revolve about an a x is , supposing the density con tinua lly to va ry from the centre towards the surface; P h i lo s . T ra n s . 40, 1737/38, S. 277—306.


Meine Difficultät über die Oscillationen des Trianguli Rectanguli aquae verticaliter innatantis*) beruhete keineswegs darauf, ob der angulus rectus außer dem Wasser stehe oder umgekehrt unter dem Wasser, wie ich angenommen hatte, denn wenn in einem Fall ein Situs aequilibrii vorhanden ist, so ist auch im umgekehrten situ ein Aequilibrium da; und also ist mein Zweifel durch Ew. Hochedelgeb. Antwort noch nicht aufgehoben.

Denn wenn auch gleich das Triangulum a b c (Fig. 4) ad b rectan- gulum so im Wasser steht, daß die Superficies aquae d e parallel ist dem lateri b c, und folglich das Latus a b vertical ist, so ziehe man nur die Linie a f, welche das latus b c in zwey gleiche Theile schneide: Weilen nun das Triangulum homogeneum gesetzt wird, so muß sein centrum gravitatis in diese Linie a f fallen. Ferner fällt auch das Centrum gravitatis partis submersae a d e in diese Linie a f- und geht folglich diese a f durch beyde Centra gravitatis. Nun aber wird zu einem situ aequilibrii erfordert, daß die gerade Linie, welche durchheyde Centra gravitatis gezogen wird, vertical sey.Dahero dieser situs des Trianguli, den Ew. Hochedelgeb. angeben, nicht einmal ein situs aequilibrii, will geschweigen ein situs firmus, wie zu den Oscillationibus nötig ist, seyn kan.

Ew. Hochedelgeb. Problema von den Oscillationibus eines an einem filo gravitatis experte aufgehängten Körpers2) habe ich anfänglich nicht mit genügsamer Attention in Erwegung gezogen; anjetzo aber, je mehr ich dasselbe betrachte je wichtiger und nützlicher befinde ich dasselbe, indem ohne dasselbe niemal die Oscillationen einer an einem Faden aufgehängten Kugel welcher Casus sonsten für so leicht angesehen wird richtig bestimmt werden können. Ich habe mich lange bedenken müssenehe ich meine General Methode einen jeden Motum oscillatorium zubestimmen, darauf habe appliciren können; endlich aber habe ich doch nachfolgende solution gefunden, welche mit Ew. Hochedb. auf das genauste übereinkommt.

Filo igitur OA in 0 fixo alligatum sit in A corpus A C B D , cujus

1) Siehe D a n ie l B e r n o u l l i , Be motibus oscillatorns corporum humido m sidentium ; C o m m en t, a cad . sc. P e tr o p . 11, 1739 [gedruckt 1750], S. 100—115.

2 ) Vgl. D a n i e l B e r n o u l l i , Commentationes de oscillationibus compositis, praesertim iis, quae fiunt in corporibus ex filo flexili suspensis; C o m m en t, a c a d . sq . P e t r o p . 12, 1740 [gedruckt 1750], S. 97— 108, sowie L. E u l e r , B e motu oscillatorio corporum flexibilium; C om m en t, a c a d . sc. P e tr o p . 13, 1741—1743 [gedruckt 1751], S. 124—166 (speziell S. 149).

10*

„ » „ « o n e s co* seS, a*

* * ■ * »»” “ ■ ^ “ " r ^ t a ' a ” J a verticali 0 ,elongatione inter oscillandum. Sit corporis centrum gravitatis in G, atque finita semi- oscillatione ubi filum 0 A fit verticale, necesse est, ut recta A B pariter fiat verticalis. Producta ergo recta B A in Z, corpus hoc inter oscillandum quasi circa punctum fixum Z gyrabitur. Jam posito corporis pondere = P, actu corpus sollicitabitur directe deorsum in directione G P a vi = P. Ex natura vero motus oscillatorii uniformis, siponamus longitudinem penduli simplicis isochroni quam quidem quaerimus = z, quamlibet corporis particulam M a tanta vi urgeri oportebit, qua eo tempore, quo pendulum z descensum absolvit, perducatur ad situm suum naturalem. Scilicet cum particula quaevis M circa polum Z gyrari debeat per angulum M Z m — A Za, spatium ab hac particula absolvendum erit = Mm, et vis requisita ad hanc particulam

31 Mmin directione M m protrahendum = — -— >

Fig 5 unde omnium harurn virium summa erit

j M ■ 31m __ ? • G g ___ P - A a ■ G Z

G . E n e s t r ö m .1 4 8

Momentum vero hujus vis M.' ~ ratione poll Z est

31 ■ 31m ■ 3 1 Z A a 3 T Z ^z A Z ■ z ’

summa omnium momentorum est

= _ 4 ? - f M M Z \A Z ■ z J

Sit summa omnium productorum, quae oriuntur, si singulae corporis particulae M multiplicentur per quadrata distantiarum suarum ab axe normaliter ad planum oscillationum GOg ducto = P Acic, quam summam momentum inertiae corporis respectu axis descripti vocare soleo; erit

ex quo summa omnium illorum momentorum est

= A a - P ( k 2 + G Z 2)A Z ■ z

quae divisa per summam potentiarum - ' <i /j dabit positionem poten-

tiae omnibus aequivalentis Qq nempe distantiamr 2

Der Briefwechsel zwischon Leonhard Euler und Daniel Bernoulli. 149

Zq G z G Z -h G zP - A a - G Zatque ipse potentia omnibus bis fictis potentiis aequivalens erit — A Z

Per bypothesin igitur baec potentia^ P - A a - G Z

eundum pro motu oscillatorio effectuni producit, quem actu edit vis gravitatis P in directione G P urgens. Quare si huic potentiae Qq contrario, applicata concipiatur

P - A a - G ZA Z ■ z

haec cum vi gravitatis P corpus in aequilibrio tenebit. Ex compositione autem barum potentiarum binarum

QR=== et ß p = p

oriatur una baec Q V- a qua corpus in quiete conservan nequit, nisi directio Q V cum fili directione OA in directum jaceat. Erit itaque O A Q V linea recta ac propterea

At cum sit

erit

ero-o

P : P ' f “ ’ a z = Oa: A a = A Z - z : A a -G Z .A . / j • Z

S~\ /-y j\ . CI • (jr / jQq = Gg — -- A Z >

A a : Oa = Qq ( = Gg): OZ -f- Zq

Aa : Oa = -Aa. y Z : OZ + G Z + ~ A Z 1 1 G Z

Sit nunc, uti Tu, Vir celeb , posuisti, OA = n, A G = g, atque OZ = x,n — x,A a = y , erit ob omnes ángulos infinite parvos Oa = n, A Z

ideoque hae duae emergent analogiae:

ti :y = (« — x) z : (g ff- n — x)y, seu z = 11 ~ ^

150G. E n e s t r ö m .

h2n = y J i + A L A l : g + n + g + n ~ x

y . n n — x J

seunA+A+Z+l g _p n + +IT+-

n — x

S it n — x = u , e n t

n + — c ^ g + n - r - -, • ' o m m d r a tu r babebitur longitudo pendub

eI qua a e q u a t i o n e s i valor ipsm» quadratur,simplicis q u a e s i t a e 2 n a a __________ . ________

; A „3 ,» + v = n + gg - m 2 + 4w2 )

seu Ich + 9 9 = 9 h (lu0 su b stitu to n ascitu r, lclc

1 ==g + T 2 ng_______ _e = n ^ n ■— t y v1 "y i x

, ,IV Vil. C e » , meemn communicata. Caetermn haec

: r as : & ¿ ^ - * ita >,otest eiprim i’ ut. 7\*2 i_ Il + 1 ± V ((w — ?)2 + 4wff)

2v mp iqfn nu n c primuxn in ebartam conje-

de b is a u t e m ™ ^ eadem m u lto d is tin c t iu s , ord inatius etc isse , ex quo , ^ m inus ordinatam explm ationem

b rev iu s exponere P “1 “ ’ q M j e W esse ad M Z n o rm a lis , qmam ih i condon es. S ie lin e a ^ ^ ^ ^ ^

d istan tia partm ula & ^ ^ ^ ^ determ inar! m otas

‘ “ “ Bi a lu m in ip so centro grav ita tis aU igetu r, tu m enim „sm U atonn » P ^ m f le li n eq ra l. quare

r t n s s e m s im qdeb et i n v e s t U in ter im mirunr e s t casnm abasi 1 1 '__ _ « nv> n A rrfin ÜV1

IllO GClPwu -----

faCÍ11 a^n 'dabero Sder^1au fg^^g^enKörper ein G lo b a ls t , »AG = q und derselbe in der superficie an den Faden O A - ncrebunden wird, so kommt die Longitudo penduli isocbrom ° O r, „ fi n 32gg 6,93 ,

n + 9 + - 5— 25wm

Wann aber keine Flexibilität vorhanden wäre, wie man gemeiniglich anzunehmen pflegt, so findet man die longitudinem pendnlr isochrom

r v „ 2 fl a 2 a 32a a , , 2 00 l ü l= .. + 9 + 55f i 7 )= '* + P + — ■


wann nehmlich g sehr klein in Ansehung des n angenommen wird. Dahero ist in diesem Fall die wahre longitudo penduli isochroni größer als die, welche

durch den gemeinen Weg gefunden wird, um ^ > welche Differentz inuO 7171

vielen Fällen, da man die longitudinem pedis horarii durch die Experienz zu bestimmen sucht, nicht negligirt werden kan. Generaliter aber kommt nach dem gemeinen Wege für unßer angenommenes Corpus oscillans die

Longitudo penduli isochroni = n -f- g -f- Weilen nun l ad g eine

gegebene Yerhältniss, so vom n nicht dependirt, so setze ich l — g — xg und wann n sehr groß in Ansehung des g angenommen wird, so bekommt nach dem gemeinen Wege diese Longitudinem penduli isochroni

X CI CI— f j — posito n -f- g = f. Die Bahn aber wird durch /, g und xexprimirt sein

_ / 4 - * £ + V (/f— 2x f g - \ - i x g g + x*gg) x , x g g , x*q3 -------------------------2 — M — j — t-

Dahero ist allzeit die wahre longitudo penduli simplicis isochroni größer als die, welche durch den gewöhnlichen Weg gefunden wird umX^ Q^—jjp—, und allhier bedeutet xg, nach Ew. Hochedelgeb. Benennungs Art die

Distantiam centri virium vivarum corporis A C B D a centro gravitatis G: es ist aber unnöthig, daß ich Ew. Hochedelgeb. die Wichtigkeit dieses Problematis weiter darthue.

Anjetzo habe von Dero H. Vater den anderen Theil seiner Theoriae HjdrodjnamicaeJ) bekommen, welche mir über die maßen wohl gefällt, insonderheit hat Derselbe auch ex primis Principiis die Pressionem aquae in latera Vasis sehr gründlich determinirt, welche mit Ew. Hochedelgeb. Theorie sehr schön übereinkommt. Ich glaube aber, daß sich Dero H. Vater vielleicht übersehen, wann er glaubt, daß Ew. Hochedelgeb. in diesem Stücke gefehlt haben. Denn er refutirt Sie zu verschiedenen malen, nicht zwar Dero Opus Hydrodynamicum, sondern einen Brief von 1730. Er findet nehmlich eine andere Formul für die Vim, qua Vas ab effluente aqua retro urgetur, wann daran Tubi horizontales allso befestigt sind (Fig. 6). Dero H. Vaters Formul für diesen Fall ist mir aber sogleich suspect Vorkommen, weilen nach derselben die retroactio vasis finita, ja quavis quantitate data major seyn kann, wann gleich das

1) Vgl. über den zweiten Teil der Dissertatio hydraulica des J o h a n n B e r n o d i x i

die Briefe von E u l e r an diesen vom 19. Oktober 1740 und von J o h a n n B e r n o u l l i an E u l e r vom 18. Februar 1741 (B ib l io th . M a th e m . 63, 1905, S . 74, 78—79).

G-. E n e s t r ö m .

152 n Ti nl-ipr steckt keineswegs in der Foramen 0 infinite dies“ R a t io n auf diesen F all; und des-Theorie Derselben sondern bloß £ O U App ^ E w ,H och.dgb.wegen verwundere ich mich, da£ De Fnrm ul für w ahr hält, und Deronicht nur bemerket, sondern die Seinig. F o m n l ' ^ ^ ^Form ul für falsch, und dazu noc; sc Term inis gedruckt

möchte aUso oh meine Vorstellungen,

^ * m ’ eine Ve“ aos' würken können. fiatnlarum kom m t m it der meinigen,Ew.Hochedgh Theorm e s o n o ^ » l a r u n , t e ^ ^

welche Dieselben m meinen ratione con.klärt finden werden, bey nahem uberein indem wir ^ ^ ^ ^ ^

stante von einander differiren, ne m 1 ^ welche Theorie m it derExperientz kan man al sc^ em i ChorL m datae Longitudim s etW ahrheit (lberemkommt, wann man Th,.,!dati ponderis durch ein (lewrcht so ^ ^ " c i U a t i o n n m minuto der Pfeife consoniret - m0M e eme CyHndrischesecundo editarum ausrechne . Secunde 870 VibrationenPfeife, welche 1 Pariser bchu ang ^ m{ffl ^ auf

machen (tem pestate scilicet me , sehen- und bey warmemdns Parom etrum als Therm om etrum insonderheit zu sehen, una uey tm m e rw e tte r wann das Barom etrum sehr hoch steht, w urde diese Pfeife

wohl 927 V ibrationen machen. Die H erro rb rin g u n g der ™ sohle4“ “ welche anf einer Pfeife angegeben werden können , habe ichi auch so k läret daß durch die V erm ehrung des Blasens nach und nach solche lh o ,

? , u • 1 o q 4 5 etc herausgebracht w erden können,welche sich verhalten wie 1, 2, 6, 4 ,0 etc. ne ia öDes N eutons Theoriae circa accessus facilis reflexionis et trans-

missionis in seiner Optica ist m ir jederzeit im höchsten Grad obscur und unverständlich vorgekom m en, und m öchte ich eine E rläu terung darüber m it der größten Begierde sehen. Inzwischen h a t man m ir geschrieben,daß der H. M o iv r e auch an einer Theoria Musica arbeite, ) und deswegen mein Opusculum darüber zu sehen verlange: ich b in aber n ich t weniger begierig, desselben Gedanken darüber zu sehen.

F ü r Ew. Hochedlgb. guten R ath wegen meines B ruders b in gehorsam st verbunden, und verbleibe m it aller vollkom m enen H ochachtung

Ew. Hochedelgeb.gehorsam ster D iener

St. Petersburg, d. 15t. Sept. 1740. L. E u ler .

1) Meines Wissens h a t M o i v r e , d e r im Jahre 1740 s c h o n 73 Jahre alt war, keine Arbeit üher die Theorie der Musik veröffentlicht.


Beyliegenden Brief an meinen Vater ersuche gehorsamst bestellen zu lassen, und meine abermal genommene Freybeit nicht Übel zu nehmen.

Was in absolvirtem Problemate den Casum anbelangt, wann der Faden im Centro gravitatis fest gemacht wird, und folglich g = 0, so ist derselbe klar in der Solution begriffen, indem aus der Aequation

i n(!z — n 4— -usogleich folgt z — n. Dahero ein solcher Körper motu sibi parallelo sich bewegen wird: Daß ich dieses nicht sogleich bemerket, war die Ursach, weilen ich vermeinte als wann sich ein solcher Körper nach den ordentlichen Regulis de centro Oscillationis richten müßte; welches aber nicht geschieht und ist allso ein großer Unterschied, oh ein Körper so in seinem Centro Gravitatis angebunden oder an dem Faden befestigt wird, daß dort eine Beugung Statt findet oder nicht. Dann wann eine Beugung allda geschehen, so ist das Centrum gravitatis selbst das Centrum oscillationis: ist aber der Faden sammt dem Körper als ein Corpus rigidum anzusehen, so hat das ordentliche Centrum Oscillationis Platz. Nach meiner Methode kan ich ferner sehr leicht die Oscillationen determinieren, wann mehr Körper so zusammen gesetzt sind, daß bey jeglicher Junctur eine Flexion geschehen kan.

Daniel Beruoulli an E u ler 5. November 1740.Inhalt. Uber E u l e r s Berufung nach Berlin. — Die Beobachtungen über Ebbe

und Flut im Eismeer. — Über das Gleichgewicht einer schwimmenden dreieckigen Scheibe.

Basel d. 5. November 1740.. . . . Ueber den letztem bewussten punctum1) erfreue ich mich nicht

weniger, als Dero Herr Vater und kann die Stunde nicht erwarten. Die nouvelle hatte ich schon von einigen Orten her erfahren mit denen Umständen, die Sie zwar nicht überschrieben, die ich aber dem Hrn. Pfarrer erzählt. Wenn Sie kein Geheimniss daraus machen, so möchte ich gar gern alle Particularitäten von Ihnen selber vernehmen. Es ist mir lieh, dass Sie mit Herrn M a u p e r t u is nunmehro in Correspondenz stehen: ich habe mit demselben von Ew. niemals als mit Admiration geredt und ihm dadurch gleiche sentiments beigehracht, welches Ew. bei jetzigen Umständen ohne Zweifel nicht unangenehm seyn wird. Doch sollen Sie dieses nicht aufnehmen, als wenn Herr M a u p e r t u is nicht allzeit eine sonderbare estime vor Sie gehabt, sondern vielmehr als ein Zeichen, dass man Sie, nach meinem Sinn, niemals genugsam nach Dero mérites esti- m ire Nun komme ich auf Dero Brief.

1) Es h a n d e l t s i c h um E u l e r s Berufung n a c h Berlin (siehe Fuss, a . a. 0 . II, S. 461).

, _ . 6 . E n e s t r ö m .1 5 4

Des Herrn Capit. K a y SEr ’s observationes circa aestum maris m man o-laciali scheinen unserer Theorie gar nicht conform, an welcher ich doc keinen Zweifel trage. Ich hah gar wohl vorgesehn ex impetu concepto aquarum, dass sich die phaenomena nicht würden so zeigen, wie es die theoria pura mit sich bringt, und deswegen gar nicht positive geredt, sondern nur hypothetice, und hab auch nicht provocirt ad aestus “ arinos in zona glaciali um die theoriam Newtonianam zu beweisen. Doch habe ich gesagt, weil es unmöglich sey den effectum ab impetu concepto aquarum oriundum zu messen, so müsse man sich begnügen einige m- aequalitates in genere anzuzeigen; und dünkt mich, dass diese maequali- tates noch ziemlich confirniirt werden durch des Hrn. K a y s e e s Observationen. Es wäre freylich zu wünschen, dass wir dergleichen Observationen, die nach der besten Methode sind angestellt worden, eine Suite hätten auf das wenigste von einer ganzen lunaison; noch viel besser aber wäre es, wenn man solche instituirte 2 Monate lang und zwar den einen circa solstitium, den ändern circa aequinoctium autumnale; ich hoffe, dass solches noch geschehen werde. Uebrigens dünken mich diese Observationen gar nicht übereinzustimmen mit des Hrn. D E LA C r o y e r e seinen, und hätte ich mehr inaequalitates circa hos aestus erwartet, in Ansehung die declinatio lunae den 6. August (ohne Zweifel stili vet.) muss schier maxima gewesen seyn.

Ew. piece de aestu maris glaube ich nicht dass sie schon gedruckt sey und erwarte solche auch nicht vor einem halben Jahre.

Ew. haben ganz recht wegen dem Exempel eines trianguli rectanguli, dessen ich mich bedient um die oscillationes compositas zu illustriren, und nimmt mich selber Wunder, wie ich die Sach hab anders ansehen können. Ich kann mich in der Wahrheit nicht einmal besinnen, wie ich das exemplum concipirt hatte. Ich bin also Denselben gar sehr verbunden, dass Sie mich hierüber zum zweiten Mal haben erinnern wollen und sehe hierdurch Ihre wahre Freundschaft; ich bitte Sie also dieses exemplum auszustreichen1) und die folgenden paragraphos anders zu numerotiren und mir express zu berichten ob Sie solches wirklich verrichtet haben. Das Vertrauen, das ich auf Sie setze, macht mich sicher, dass ich öfter die Attention, die ich in der Hauptsach conservire, in den leichten Nebensachen fahren lasse.

Nicht ein geringeres specimen Ihrer Freundschaft geben sie mir occasione meines Vaters disquisitionis hydrodynamieae2), allwo er einen Brief, so ich ihm a. 1730 geschrieben, refutirt. Ich weiss nicht, was ich

1) Siehe die Fußnote 1 auf Seite 147.2) Siehe die Fußnote 1 auf Seite 151.


mag meinem Yater dazumal geschrieben haben; ich weiss aber dass ich die Sach felicissimo successu ex genuinis principiis in meinem opusculo hydrodynamico tractirt habe, und das pro fistula utcunque inaequali et ntcunque incurvata, auch nicht nur in hypothesi velocitatis jamjam uniform is, sed pro quovis velocitatis gradu acquisito. Wenn Ew. zu lesen belieben, was ich in cit. Opusc. a pag. 279 usque ad pag. 289 melde, so werden Sie sehen, dass ich dieses Argumentum völlig exhauriret habe. Mein Yater wird wohl zufrieden seyn, dass Sie alles in seiner Disquisition, so er über diese Materie sagt, auslöschen. Da Sie aber sagen, er habe nicht gefehlt in der Methode, sondern in applicatione methodi, so möchte ich wohl von Ew. vernehmen, ob er denn auch in hypothesi velocitatis uniformis cylindrum duplum herausbringe, welches die wahre theoria nothwendig mit sich bringt, obschon der Newton selbst anders gesagt hat.

Ich habe niemals gezweifelt, Ew. werden mein problema de oscillationibus corporum ex filo flexili suspensorum solviren, sobald Sie solches ernstlich untersuchen würden. Es freut mich, dass Ihnen nunmehro dieses problema von einer grossen Wichtigkeit zu seyn vorkommt. Ihre Methode kommt ziemlich mit meiner überein und habe solche allzeit gebraucht, seit der Zeit, da ich das problema de corporibus filo flexili connexis solvirt, da ich erinnert habe, dass wenn das systema in gyrum agiret wird, die figura fili eadem seyn müsse, als solche in oscillationibus ist. Ich hab hierüber eine Dissertation gemacht, welche ich hiemit der Akademie überschicke1). Solche ist schon vor 3 Monaten fertig gewesen, und ich bitte Ew. sie mit Dero gewöhnlichen Attention zu examiniren. Yon meinem Yater habe ich vernommen, dass er dieses problema auch solvirt habe.

Ich erwarte mit grossem Yerlangen Ew. theoriam musicam2), als über welche Materie ich auch ziemlich meditirt und viele Experimente gemacht. Diese experimenta confirmiren meine theoriam de sono fistularum gar schön. Ich werde Ihnen ausführlicher darüber schreiben, wenn ich Dero tractatum werde empfangen haben. Nur eins will ich diessmal melden, davon ich schon Meldung in meinem vorigen gethan: Eine Pfeife, so einen Pariser Schuh lang, wenn solche gegen den Mund in distantia unius vel duorum pollicum gehalten und dagegen geblasen wird, gibt den Ton etwas höher als d und etwas niederer als dis. Nun aber haben Ew. in Dero Dissertation de sonos) ein experimentum, daraus folgt, dass das unterste C in einer Secunde 116-§ vibrationes mache; ich rechne also, dass die

1) Siehe die Fußnote 2 auf Seite 147.2) Es bandelt sich natürlich um das Tentcimen novae theoriae musicae (St. Peters

burg 1839) von Eülee.3) L. E u i .e k , Dissertatio physica de sono (Basel 1727).

schuhige Pfeife in einer Secunde 1050 Vibrationen respondire, müsste also nacb meiner Theorie der sonus intra min. sec. per spatium 1050 Pariser Schuh propagirt werden, welches auch nach allen Experimenten wirklich die velocitas media soni ist. Nach Ew. theona hatte die Pfeife müssen einen tiefern Ton geben als c. Ich aestimire aber velocitatem soni nicht secundum theorias, sondern secundum experimenta. Ich habe auch experimenta gemacht über die sonos von den prismatibus chalybeis, so man zu den kleinern carillons pflegt zu gebrauchen und vermeine diese theoriam auch assequirt zu haben. Wenn Sie des Hrn. M o iv e e s

Tractat werden gesehen haben, bitte mir Dero Meinung darüber aus.

156 G . E n e s t r ö m : Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Daniel Bernoulli.

W. A u k en s : Ein Beitrag zur Biographie C. G . J. Jacobis. 157

Ein Beitrag zur Biographie 0. Gr. J. Jacobis.Von W. A i ir e n s in Magdeburg.o o

I.„Die Politik ist keine exakte Wissenschaft« hat B is m a r c k einmal

gesagt.1) Erwägungen dieser Art haben jedoch nicht verhindert, daß eine ganze Reihe hervorragender Vertreter der mathematischen Wissenschaften — ich nenne nur A r a g o , B a il l y , C o n d o r c e t , C a r n o t , B r io s c h i , Cr e m o n a ,

G a l o is , F o u r ie r , M o n g e , D u p in — sich der Politik in die Arme geworfen haben. Unter den deutschen Mathematikern sind Beispiele von Männern, die zu Zeiten im Vordertreffen politischen Streites gestanden haben, allerdings weit spärlicher als bei den Romanen. Das bekannteste und berühmteste Beispiel, zugleich dasjenige, welches hier näherer Betrachtung unterzogen werden soll, ist das C. G. J . J a c o b is , und doch ist auch hier noch zu bedenken, daß einerseits ganz besondere Zeitverhältnisse erforderlich gewesen sind, um den Verfasser der Fundamente nova functionum ellipticarum aus seiner stillen Studierstube in die politische Arena zu locken und daß andererseits die eigentlich politische Betätigung nur eine verhältnismäßig recht kurze Periode im Leben J a c o b is ausmacht und daß selbst diese wie wir sehen werden, fast nur eine zufällige gewesen ist. In den Jahren seiner größten wissenschaftlichen Ruhmestaten, jener Zeit, welche B e s s e r

einmal mit der Turiner Zeit L a g r a n g e s verglichen hat, in Königsberg hatte J a c o b i von politischen Geschäften sich gänzlich fern gehalten. Zwar kann kein Zweifel bestehen, daß der so vielseitig gebildete und so vielseitig inteiessieite Mann auch die politischen Vorgänge und Fragen der Zeit mit Aufmerksamkeit und selbständigem Urteil verfolgt und hierbei stets liberalen Ideen gehuldigt hat, daß er insbesondere stets für weiteste geistige Freiheit auf wissenschaftlichem, auf literarischem Gebiet, auch im amtlichen Leben eingetreten ist; doch diese Gesinnung nach außen zu betätigen, fehlte eranlassung und Notwendigkeit. Die mit Beginn der vierziger Jahre des

vorigen Jahrhunderts einsetzende liberale Bewegung in Preußen, deren Geburtsstätte bekanntlich die Stadt der reinen Vernunft war und deren

1) G egenüber K ud. V ikchow, Sitzung des p reuss A bgeordn.-H auses v. 18. Bez. 1863 (S tenogr. Ber. p. 507).

4 - n W . AhRENS.158

erste Anfänge JaC O B I dort noch m it erlebte, wußte den großen M athematiker zu aktiver B eteiligung n ich t anzuregen. Zwar gehörten die H äupter der Königsberger Liberalen zu seinen näheren Freunden, so vor allem er O berpräsident der Provinz, der M inister T h e o d o r v . S c h ö n der bekannte liberale preußische Staatsm ann, der des F reiherrn v. S t e i n M itarbeiter an der preußischen V erfassungsgesetzgebung der Jahre 1807-1810 gewesen war Auch J o h a n n J a c o b y , der als P olitiker so berühm t gewordene Königsberger Arzt, gehörte zu J a c o b i s U m gang und w ird durch seinen intim en F reund,1) den Physikprofessor L u d w i g M o s e r , verm utlich schon frühzeitig m it dem großen M athem atiker näher bekannt geworden sein. Anderer- seits&waren es aber selbstverständlich n icht ausschließlich und auch kemen- falls in erster Linie politische Gesichtspunkte, nach denen J a c o b i seinen Um gang gewählt hätte. H uldigte doch zum Beispiel B e s s e l , m it welchem J a c o b i °durch herzlichste Freundschaft verbunden war, zumal gegen Ende seines Lebens ( f 1846) in der Politik extrem entgegengesetzten Anschauungen, die den schon genannten gemeinsamen Freund T h . v . S c h ö n z u den lebhaftesten Klagen über „diese BESSELSche K rankheit“ 2) veranlaßtem l ber- haup t ist J a c o b i — dies mag, um gleich von vorne herein etwaigen falschen V orstellungen vorzubeugen, schon hier bem erkt werden — niemals, auch nich t in der Zeit, in welche sein politisches Q uart d’heure fällt, ein einseitiger Parteim ann gewesen. E rscheint es schon an sich unw ahrscheinlich und °unnatü rlich , daß ein solcher Geist sich in die Fesseln eines P arte iprogram m s sollte schlagen lassen, um W elt und Menschen h in fo rt nur noch durch eine Parteibrille anzusehen, so läß t sich auch bei J a c o b i das gerade Gegenteil sehr leicht erweisen. Ich beziehe m ich h ier z. B., jedoc ohne speziell auf einzelne Stellen hinzuweisen, auf den dem nächst erscheinenden B riefw echsel:1) J a c o b i s m it seinem älteren Bruder M o r i t z ,

dem Erfinder der Galvanoplastik, der anscheinend von jeher den Grundsätzen des Liberalism us abhold gewesen war und diese seine politische Grundauffassung, vielleicht n ich t ohne E inw irkung des Petersburger Milieus, im Laufe der Jahre zu einem ziemlich feudal-aristokratischen , selbst reaktionären Bekenntnis entw ickelt h a tte .4) — E in jugendlicher Freund

1 ) F e r d in a n d F a l k s o n , Die liberale Bewegung in Königsberg (1 8 4 0 -1 8 4 8 )

(Breslau 1888), p. 53.2 ) Briefw. des M inisters T h e o d o r v . S c h ö n m it G. H . B e r t i und J . G. D r o y s e n ,

herausg v. F r a n z R öhl (Lpz. 1896), p. 73; vgl. a. p. 85 (Briefe an G. S c h w i n g e , einenY etter von J a c o b i s Frau).

3) B r ie fw e c h s e l zwischen C. G. J . J a c o b i u n d M . H J a c o b i (Leipzig, B. G. leubner). Die im folgenden nach laufenden Nummern in römischen Ziffern zitierten Briefe gehören diesem Briefwechsel an.

4) M o r i t z J a c o b i nahm, wie ich im Gegensatz zu K o e n i g s b e r g e r , C. G. J. J a c o b i

(Lpz. 1904), p. 452 (unten) bemerken möchte, an den politischen Vorgängen, zumal

Ein Beitrag zur Biographie C. G. J. Jacobis. 159

C. G. J . J a c o b is , der Philolog J. H o r k e l , Betreibt in einem Brief, in dem er siet in Politik und Religion für durctaus konservativ, wenn auct otne Intoleranz, bekennt: „Ähnliche Gespräche habe ich gar manches Mal mit J a c o b i geführt, und er ist bis an sein Ende mein Freund geblieben" (Brief v. 18. Nov. 1851),J) und gerade dieser Freund war, wie andere Briefstellen2) beweisen, ein glühender Verehrer des berühmten Mathematikers, dessen politische Ansichten ihm also gewiß niemals in intransigenter oder unduldsamer Form erschienen sind. Vor allem beweist aber das weiter unten zu schildernde politische Auftreten J a c o b is unsere Behauptung am deutlichsten; ja man darf sagen, daß unduldsames und unwürdiges Verhalten der eigenen Anhänger den Gegnern gegenüber, worüber J a c o b i

einige Male3) zu klagen hatte, für ihn der praktischen Politik einen unangenehmen Beigeschmack gaben und neben anderen allerdings viel wesentlicheren Faktoren mit dazu beitrugen, sein baldiges Wiederabtreten von der politischen Bühne ihm nicht bedauerlich erscheinen zu lassen.

II.War J a c o b i in Königsberg eine „politische Jungfrau" geblieben, wie

er sich später selbst ausdrückte, so änderte sich dies in Berlin um so mehr, je weiter die Bewegung fortschritt, die in den Ereignissen der Jahre 1848/1849 ihren Abschluß und Höhepunkt fand. Während dieser Zeit selbst indifferent zu bleiben war vollends unmöglich. Inmitten der hochgehenden Wogen der Volksbewegung nicht für oder widerPartei zu ergreifen, hätte völlige Gleichgültigkeit bedeutet. „Schon Cic e r o ", so schrieb C. G. J. J a c o b i

dem Bruder in dieser Zeit einmal,4) „schreibt den Untergang des römischen Staates daher, daß sich die anständigen Leute zurückzögen und ändern das Feld überließen". In Frankreich nahmen P o n c e l e t und J. L io u v il l e

Deputiertenmandate an, in Königsberg trat J a c o b is Freund und früherer Kollege F r a n z N e u m a n n als Redner in Arbeiterversammlungen auf,5) aber auch die Berliner mathematischen Fachgenossen J a c o b is blieben nicht

der Revolutionszeit (1848), sehr regen und temperamentvollen A nteil; seine diesbezüglichen Urteile m uten zwar zum Teil sonderlich an, zum anderen Teil zeigen sie aber oft großen Scharfblick.

1) Ausgew. Briefe von u. an L o b e c k u. L eu rs, herausg. v . A. L u d w ic h (Leipzig 1 8 9 4 ) , T . H , p . 5 5 2 / 5 5 8 .

2) L. c. p. 426, 471, 472, 551.8) S. unten S. 185/6 resp. Brief No. LXII (20. Juni 1848), sowie Brief No. LXYII

(22. Jan. 1849).4) Brief No. LXII (20. Juni 1848). — Der größte Teil dieses auch weiterhin

häufig zitierten Briefes is t bereits bei K o e n i g s b e k g e b , C. G. J. J a c o b i (Lpz. 1904), p . 448 — 452 abgedruckt.

5) F r a n z N e u m a n n . Erinnerungsblätter von seiner Tochter L u i s e N e u m a n n

(Tübingen u. Leipzig 1904), p. 375/6.

W. A h k e n s .

unberührt von der Zeitströmung. Am verhängnisvollsten wurde diese wie bekannt, für E i s e n s t e i n . Weniger bekannt durfte sein, a auc sich politisch exponiert haben muß, da später, als bereits die Reaktion eingetreten war, die Fama bald nach der Verhaftung des bekannten Oppositionsführers W a l d e c k auch von der des berühmten Geometers be richtete. V A R N H A G EN v o n E n s e , der dies erzählt,1) spater aber wi enu , hat auch sogar von einigen weiteren noch bevorstehenden Inkarzenerungen Kunde bekommen und darunter neben seiner eigenen auc von er D ir ic h l e t s . 2) Wenn auch der Begründer der analytischen Zahlentheone vor diesem Verhängnis und der preußische Staat glücklicherweise vor dieser Schmach bewahrt geblieben ist, so ist doch D ir ic h l e t s entschieden freisinnige und demokratische Sinnesrichtung bekannt und findet u. a. durc seinen Umgang mit dem bekanntlich ausgeprägt demokratischen V a r n h a g e n

und das von diesem ihm in den „Tagebüchern“ gespendete Lob ;) ihre volle Bestätigung. Auch bezüglich der politischen Stellung S t e in e r s wird man nicht länger in Zweifel sein, wenn man hört, daß er wegen Unterzeichnung einer an die Abgeordneten W a l d e c k und v. U n r u h gerichteten Adresse seinen Weg in ein von der politischen Polizei zusammengesteUtes schwarzes Buch4) gefunden hat. Allerdings attestiert die politische Polizei dem berühmten Geometer durch seine Aufnahme m die Abteilung III des Buches erfreulicherweise, daß er noch zu den „Männern von Inteibgenz und Gesittung“ gehöre, auf die nur „aufmerksam gemacht werden so le ) — Kein Wunder, daß, wo alles fortgerissen wurde, auch J a c o b i lebhaftes Interesse und Anteil nahm. Die Seite, auf welche er sich stellt(b £ war dieselbe wie bei den zuvor genannten Mathematikern „Ich finde so motivierte J a c o b i später einmal seine Parteinahme dem Brudei gegenli er,

so viel gesunden und nüchternen Sinn • unter den arbeitenden Klassen so tiefe Verderbtheit unter den besitzenden, daß ich glaube, daß m e Au - frischung der letztem durch die erstem wünschenswerth wäre“. )

D JAgebücher von K. A . V a r n h a g e n v o n E n s e , Bd. VI (Leipzig 1862) p. 186/7 (24. Mai 1849): „M athem atiker Professor S t e i n e r “ und 1. c p. 188 (W iderru ).

2) L. c. p. 188 (25. Mai 1849).3) L. c. Bd. V, p. 302; s. a. ibidem p. 292, 310, 349/50.4) Anzeiger fü r die politische Polizei Deutschlands a u f die Zeit vom 1. Januar

1818 bis zur Gegenwart. E in Handbuch fü r jeden deutschen Polizeibeamten. Herausgegeben von —r. Dresden. (Ohne Jahreszahl, Vorwort von Sept. 1854), p. 330. — Da°s äußerst seltene Buch ist auf der Berliner M agistratsbibliothek vorhanden, die außerdem in der „FriedländerBchen Sammlung“ eine reichhaltige und vortrefflich geordnete Spezialbibliothek über die Revolutionsbewegung von 1848 besitzt; vgl. Abend B u c h h o ltz , Die L itteratur der Berliner Märztage; D e u ts c h e R u n d s c h a u , Bd. 94,1898, p. 4 2 6 -4 3 8 .

5) L. c. Vorwort, p. XI u. VIII.6) Brief No. LXVII (22. Jan. 1849).


Schon voi Ausbruch dei Revolution, bereits 1847 unter dem großen Interesse, welches die Verhandlungen des ersten vereinigten Landtags erregten, hatte J a c o b i , ohne selbst öffentlich als Politiker aufzutreten, Beziehungen zu mehreren liberalen Führern angeknüpft und gepflogen. Besonders sympathisch und interessant war ihm der edle und humane Charakter H e r m a n n v . B e c k e r a t h s , der auch, obwohl neben Ge o r g v . V in c k e

Führer der Opposition, des Königs F r ie d r ic h W il h e l m s IV. besonderes Vertrauen besaß.1) Auch seine glänzenden rhetorischen Fähigkeiten zu zeigen, hatte J a c o b i in diesem Kreise bereits mehrfach Gelegenheit <re-o ofunden und z. B. auch nach einer Tischrede B e c k e r a t h s durch einen Toast „überaus große Furore“ zu erzielen gewußt.2)

III.Nach den Märztagen von 1848 schossen bekanntlich in Berlin wie

anderswo Zeitungen und politische Klubs wie Pilze aus der Erde. Die wichtigsten dieser letzteren, in denen sich das politische Treiben der Bürgerschaft konzentrierte, waren zunächst zwei: der „politische“ und der „constitutioneile“ Klub. V on diesen war der erstere der Resonanzboden der radikaleren Tonart, während der letztere „allgemein der Geheimeraths- Club genannt wurde“, 3) da er zahlreiche höhere Beamte, manche berühmte Gelehrte, viele Juristen usw. zu den seinigen zählte. Jenem, dem „Club der Begeisterung“ stand dieser als der „Club des Verstandes“4) gegenüber. Während der politische Klub entschieden demokratisch gerichtet war, sagte man dem konstitutionellen mit Recht nach, daß er der Aristokratie der Bourgeoisie bei den bevorstehenden Wahlen zum Siege zu verhelfen erstrebe.5) Ja, er sah sich häufig sogar der Anklage ausgesetzt, das ziemlich begriffslose Wort „Constitution“ diene ihm oder doch vielen seiner Mitglieder nur als Deckmantel für aristokratische und reaktionäre Bestrebungen.6) Nicht zweifelhaft ist, daß der Vorstand dieses Klubs mit den Ministern in Verbindung stand, wenn auch V a r n h a g e n sagt, daß

1) L eopold v. Ranke, A u s dem Briefioechsel F rie d ric h W i l h e l m s IV . m it B u n s e n

(Leipzig 1873), p. 265.2) S. Brief LIV (3. Ju li 1847) nebst W ortlaut des Toastes, vgl. a. Brief LIII

(11. Juni 1847).3) Die Clubs und Volksversammlungen Berlins bis zum Lindenclub hinab oder

vielmehr h inauf (Berlin 1848), p. 24; s. a. z. B. M a g d e b u r g is c h e Z e i tu n g No. 100, 27. April 1848.

4 ) A ugust Bkass, Geschichte der Demokratie und Revolution in Berlin (Berlin1 8 4 9 ) , p . 9 .

5) S. H eld’s L o c o m o tiv e No. 27 v. 5. Mai 1848, p. 106.6) S. die in vorstehender Anm. cit. Nummer der L o c o m o tiv e , p. 105; vgl. a.

Varnhagens Tagebücher, Bd. V, p. 132.Bibliotheca Mathematica. III. Folge. VII. 11

- W. A h r e n s .1diesen das Geschick, rechten Gebrauch hiervon au Entsprechend diesem seinem ganzen Charakter um ■Stande daß er die Verfassung auf sein Banner geschrieben hatte, legte er seihst hei seinen Verhandlungen auf strengst, Beobachtung. der Vorschriften parlamentarischer Ordnung und A erfassung gro es jev i ’ w ird3)Leser in den folgenden Berichten übrigens auch Belege Buden w d . )D r Umstand wie auch der Name „Geheimeraths-Cluh“ lassen bereits vermuten, daß man sich von den Sitzungen dieses Klubs im allgemeinen nicht übermäßig viel Unterhaltung versprechen durfte und versprach, ja seine handlangen waren sogar für ziemlich langweilig*) verschrieen. Diese Langeweile zu bannen hatte das Schicksal keinen geringeren ausersehen als den größten Mathematiker Preußens. Jacobi hatte bereits einige Male Sitzungen dieses Klubs besucht und zwar auf Anraten seines Arztes, der s.ch von solchem Besuch eine wohltuend stimulierende Wirkung auf . « o b is abgespannte Nerven versprach, eine Prognose, die der a len es a g Dabei hatte sich der große Forscher lediglich auf die Rolle des stummen Zuhörers beschränkt. Nur ein kurzer Zwischenruf wird ihm an einer Stelle nachgesagt, jedoch ist dieser insoforn nicht ohne Interesse, als er bereits zeigt wie wenig es Jacobi darauf ankam, die aura populär,s zu erhaschen und wie er w°e,ter nichts erstrebte, als rücksichtslos seine persönliche Ansicht auszusprechen. Ein Redner hatte nämlich in die Versammlung hrnem «donnert: Ist jemand in diesem Saal, der die Teilung Polens nicht für ein schmähliches Unrecht hält? Alles hatte geschwiegen, nur von einem Platze aus hörte man in ruhigem und gleichgültigem Tone: Ich.

1” r Mehr praktische Bedeutung erhielt das Klubleben, als die für den 1 Mai 1818 angesetzten Wahlen für die deutsche und die preußische Nationalversammlung heranrückten und der konstitutionelle Klub es übernahm, der Bürgerschaft Berlins geeignete Kandidaten vorzuschlagen n die eno-ere Wahl hierfür gelangten zunächst nicht nur diejenigen, weic e von dem Vorstand des KLubs oder aus der Mitte des letzteren empfohlen waren, sondern es stand auch jedem frei, sich selbst vorzuschlagen. Alle Bewerber hatten sich dem Klub durch eine Iiede vorzustellen und m dieser ihr politisches Glaubensbekenntnis abzulegen. Hierbei forderte m der

1) Tagebücher, Bd. V, p. 171 (23. Aug. 1848).2) S. A u g . B rass, 1. c. p. 9.3) Ygl. z. B. S. 179 Anm. 3.4 ) J u l ia n S c h m id t in den G ro n z b o te n 1 8 4 8 , I I . Quartal, p. 19.

5) D ie G r e n z b o te n , 8. Jabrg. I. Sem. II. Bd. (Leipzig 1849), No. 18: „Porträts der B e r l i n e r Universität. 2 . J a c o b i “ , p. 179. — In dem Briefwechsel zwischen C. G. J. J a c o b i

und M. H. J a c o b i wird dieser Artikel als Anhang w iederabgedruckt werden.


Sitzung v. 21. April H. W. D o v e , der dem Comité des Klubs angehörte, im 1 orbeigehen seinen Freund J a c o b i , den er als glänzenden Stegreifredner kannte, auf, auch eine Kandidatenrede zu halten, und verkündete dies, als J a c o b i nicht abgeneigt war, sofort von der Tribüne. Verschiedene Glaubensbekenntnisse waren bereits abgelegt, als an J a c o b i die Reihe kam. Der

«gewaltige Eindruck, den seine Rede hervorbrachte, erhellt aus einer Schilderung, welche die von A r n o l d RüGE-Leipzig und H. B. O p p e n h e im - Berlin herausgegebene R eform entwarf.

„Die einzelnen [Redner]“, berichtet das genannte Blatt in No. 25, Leipzig, 26. April 1848, „treten nacheinander auf und halten ihre Rede, die Meisten rühmen sich edler, wohlwollender Gesinnungen für das Volk, eines unbeugsamen Charakters, und was dergleichen schöne Redensarten mehr sind. Glücklich, wer aus seinem Leben ein kleines Conflictchen mit irgend einer Staatsbehörde, eine frühzeitige Entlassung aus dem Staatsdienste, sonst eine Zurücksetzung oder gar irgend einen Preßprozeß citiren kann! Das anständige Märtyrerthum der liberalen Göttinger Hofräthe, das vor einigen Jahren in Deutschland Mode war, als es Collecten von Tilsit bis Wesel hervorrief, wird hier im Kleinen wieder aufgefrischt. M A S S -

m a n n mit dem naiv umgelegten Hemdkragen erzählt seine alten Turnergeschichten und rühmt sich, den baierischen und griechischen Ordensbändern entgangen zu sein (! !), der Major erklärt sich gegen die strenge Disciplin. Andere sprechen so, daß man sie schon oft gehört zu haben glaubt.

Endlich wird der breite Strom der Alltäglichkeit und Gemeinplätzlichkeit durch Etwas unterbrochen, das uns überrascht, als ob ein Fels plötzlich aus der Spree hervorragte. Das Präsidium meldet nämlich den Prof. J a c o b i (Naturforscher) an, der auf der Wahlcandidatenliste vergessen sei. Seine Rede hatte Mark und Nerv. Zwar merkte man ihr die Vorbereitung, die Studirtheit etwas an, zwar sprach er von K a n t und F ic h t e , von der Wissenschaft und von Athen; aber er hatte doch ausnahmsweise Gedanken er trat doch mit Würde auf und suchte zu belehren, statt wie ein unverschämter Bettler seine Leiden und obscuren Verdienste zu preisen, die Niemand aufs Wort glaubt. Er entwickelte den Begriff der Gesetzlichkeit und Ordnung, kritisirte in dieser Beziehung manches gedankenlose Vor- urtheil, er wünschte, daß in unserm Cabinet neben den redlichen Leuten auch ein Staatsmann säße, daß an die Stelle der Gesetzlichkeit, die in der That jetzt gar nicht existirt, bis zur neuen Ordnung der Dinge, mehr das Motiv der Zweckmäßigkeit trete, er sprach gegen allmälige Entwickelung (ein Strom lasse sich im Laufe nicht auf halten!) und für directe Wahlen, gegen die Republik, obgleich er vor dem Worte nicht zurückschrecke, und endigte mit einer Apologie der Wissenschaft. — Die Reden der Ändern habe ich nicht ausgehalten.“

11*

W. A h r e n s .164

Auch ein ,Berlin, 22. A pril“ datierter B ericht der M a g d eb u rg isch enZ eitu n g (No *99 26. April 1848) mag hier herangezogen wer en Z e itu n g yLNo. 00, p / ^mrbprcrpo'ano'enen Bedendem es nach abfälligen Bemerkungen über die vorh g g => ^bpißt* Um so erfrischender w irkte nunm ehr auf die so seh e ö

Versam m lung die A nsprache desh e r. j e t z t M itg lieds der hiesigen Hochschule. Er war der Held des lages.Als er in seiner einem Gelehrten von Europäischem Rufe so wohl an " e le n d n Bescheidenheit, dam it schloß, an sagen: W enn er die „e ie n

S t e erner so groben und in telligenten ~1,leibe ihm nichts ü b rig , als wie PhOCION da er d e rM a rk t ve he

f mno-PTi sich 18 bessere M änner finden ; da, ja da wollte Ä Ende nehmen. Aber er ha tte dem Feinde auch öden ins Auge geschaut. So erkannte er beispielsweise an, daß die jetzigen M ünster brave Leute seien, daß sie auch finanzielle Talente besitzen m ochten, aber e, verm ißte die große Behandlung großer V erhältnisse, d.e K ühnheit

Formbildners, die K raft eines S ie in ......................Ü ber den außerordentlichen und enthusiasistischen Beifall den 1

Rede Jaco m s erntete, herrsch t in der ganzen Tagespresse • * » * * ” . E ine dreimal wiederholte Salve endlosen B eifalls,“ so schrieb J a c o b .- )

£ B rodel, „ertönte am Schluß; dreim al m ußte ich vom und wie ein Comödiant mich nach allen Seiten verbeugen, sagte mir, sein Sohn, der viel d.e alten griechischen Redner s tu d irV h ab e ■1, rrp0pfft daß sie die größten M uster erreichte . — W enn es m den vorstehend ’abgedruckten B ericht der R e fo rm ^ übrigens^heißt die K « e sei

vorbereitet“ oewesen, so ergib t sich aus der oben nach J a c o b , an e„ebe

Entst l . ^ s c h i c h t e W . ttW gT ‘’T T !S ä l u n n findet, daß der R edner dem von „12 B uchhändlern“ an ihn gestellten V erlang in wegen D rucklegung der Rede nich t au entsprechen vermochte, da er „durchaus n ich t m ehr genau w ußte, was e, es , ja n ich t einmal den Faden, zum al da w ohl keiner d an n war ) Ande

seits darf man natürlich annehmen, daß J acobi zumal un ter den damaligen Zeitverhältnissen sich m it denjenigen Fragen, die er erörterte, m Gedanken vorher oft und gründlich beschäftigt hatte. W enn m an also seine Rede als eine „w ohldurchdachte“ bezeichnet, so dürfte man das treffen, was der R eporter vielleicht durch die Bezeichnungen „stud irt“ und „vorbereitet

andeuten wollte.

1, S. insbesondere auch den Bericht des offiziellen Kluborgans, der C o n s t i t u t i o n e l l e n C lu b - Z e i tu n g , red. v. R o b e r t P r u t z , Nr. 1, 22. A pril 1848, S. 4, sowie A. W o l f f , Berliner Bevolutions-Chronik, Bd. II (Berlin 1852), p .264 .

2) Brief No. LXII (17. Jun i 1848).

Ein Beitrag zur Biographie C. G. J. Jacobis. 165„Mir war gleich unmittelbar nach meiner Rede etwas hange geworden“,

so heißt es in dem zuvor zitierten Briefe J a c o b is „und ich hatte das unbestimmte Gefühl, daß eine große Anstrengung dagegen gemacht werdenwürde............ Meine Rede war vollkommen unabhängig gewesen. Sierühmte die Minister als edle und ehrliche Männer, im Finanzfach ausgezeichnet, wünschte aber, daß sie sich durch einen Politiker ergänzten. Bedenklicher war noch ein anderer Punct, zumal ich wohl in der Hast der Improvisation den Gedanken nicht ganz klar ausgesprochen haben mag. Wie ich ihn später entwickelte, war er so: Ich wäre zwar für eine constitutioneile Monarchie, lege aber auf die Verfassungen überhaupt nicht den großen Werth. Absolute Monarchieen hätten Großes für die Völker geleistet, aber auch hei dem Hamen einer Republik üherliefe mich keine Gänsehaut. Es käme immer am meisten auf den patriotischen Sinn desVolkes an.................. Da jetzt jeder Reactionär oder Republicaner heißt,so hin ich dadurch ich weiß nicht wie in die letztre Klasse geworfen worden.“ . . . — Der Minister des Innern, A l f r e d v . A u e r s w a l d , war durch seinen Privatsekretär, einen studiosus A e g i d i , den späteren bekannten Prof iuris der Berliner Universität und Mitbegründer der freikonservativen Partei, welcher dem konstitutionellen Klub angehörte und dort als Sekretär des Klubs fungierte, gewiß unterrichtet und mag anheimgegeben haben, bei dem bedenklichen Beifall, welchen die dem Minister gewiß nicht unbedenklich erscheinenden Ausführungen J a c o b is gefunden hatten, eine Gegenbewegung einzuleiten.1) Doch es scheint, daß in erster Linie nicht die entwickelten Anschauungen J a c o b i verhängnisvoll wurden, als vielmehr seine glänzenden Talente, ohne welche sein Auftreten kaum weiter beachtet worden wäre. Jetzt erregte die Rede dagegen nicht nur die Aufmerksamkeit der politischen Gegner, sondern mußte ihm vor allem von seiten der vielen ehrgeizigen Kandidaten des Klubs Neid und Eifersucht zuziehen, ihm, dem unbequemen Eindringling, mit dem bisher niemand gerechnet hatte, der gar nicht zu den offiziell vorgeschlagenen Kandidaten des Klubs, sondern nur zu den freiwilligen Bewerbern gehörte, nichtsdestoweniger aber sofort den allergrößten Beifall der Versammlung gefunden hatte Schließt doch z. B der oben zitierte Bericht aus der M agdeburg ischen Z eitung bereits mit der Prognose, daß nur J a c o b i und M a s s m a n n von allen Kandidaten Aussicht auf Erfolg zu haben schienen, „diese beiden aber auch eine sichere“.

Unter den Gegnern J a c o b is trat besonders hervor ein Triumvirat, bestehend aus den bekannten Dichtern R o b e r t P r u t z und W i l h e l m

J o r d a n , von denen der zweite, politisch von recht zweifelhaftem Charakter2),

1) Vgl. den m ehrfach z itie rten JAcoBischen B rief No. LXH.2 ) S. H e i n r i c h L a u b e , Das erste deutsche Parlament (Leipzig 1 8 4 9 ) , B d . I I p . 1 6 3 f.

W. A h r e n s .166se ine ehrgeizigen Pläne später durch ein allerdings außerhalb Berlins er-worbenes°Mandat zur Frankfurter Nationalversammmlungge ron >r a l » n . eigentlichen Fuhren in der nunjacobischen Intrigue, dem Vorsitzenden des KlubsDieser ein Mann von ganz hervorragenden geistigen Fähigkeiten,f r ü h e r Oberlandesgerichtsrat gewesen, hatte jedoch einer 1

Oh 11 (Llunn m ü sse n war d a n n J u s t i z k o m n u s s a r ( R e c h t s a n w a l t )d ie s e Stellung a u f g e h e n aussen K a „ a c i t ä t ersten Ranges« *)

m Ä hgr f ; Adlern durch^ sein Auftreten in den, berühmten von 1847, dem sogenannten „ R i e s e n d e r ,

Gedächtnis in der Geschichte der preußischen Advokatur erworben. ) „ kluge Rechtsanwalt Crelinger, ein hagerer Herr mitdem man den feinen, verwöhnten Gelehrten sofort ansa , so ^T r e i t s c h k b 3) beschrieben; dazu ehrgeizig, erstrebte er doc ,sao-te die Stellung des Oberbürgermeisters von Berlin.4) Sach ic a e J a c o b i s Geoner gegen dessen Rede vermutlich nicht viel vorzubringen; vor aUenThot auch beiden, ungeheuren Beifall, den seine A— f " gefunden hatten, ein hiergegen gerichteter Angriff se r ® liehen Man spielte daher den Kampf vorwiegend auf das Gebie ^ Re.hinüber. Frühere Königsberger spielten damals m cweoung Berlins überhaupt eine große Rolle. Creueger war der ( nKönigsberg) einer der Führer der liberalen Bewegunghotte an der Albertina“ studiert, der schon erwähnte sind. Ae hd sic

ebendort das i’onsilrum abenndi geholt. Währenddes preußischen Liberalismus gestanden hatte und sich mit Stolz se wirklichen „der eingebildeten politischen Verdienste*) erinnern durfte hatte I S m t e Mathematiker in derselben Zeit sich )noch mehr als das: man glaubte allerlei für einen liberalen PoM.ke. be denkliche Antezedenzien aus J a c o b is früherem Leben zu kennen, war die Stelle, wo man ihn verwnndbar wähnte gegen sie den Speer richten. - So entstanden jene denkwürdigen Debatten u e die J a c o b i sehe Angelegenheit“, welche mehrere Sitzungen des konstitutionellen Klubs ausfüllten, welche den Glanzpunkt«) in der Geschichte dieses Klubs bilden und welche während einer Woche das Interesse der Berliner

1 ) F a l k s o n , 1 . c. p. 87. , . _Ar , 1 r>Q2) S. Ad. W eissler, Geschichte der Rechtsanwaltschaft (L eipzig 1905), p 4bJ.3) Deutsche Geschichte im Neunzehnten Jalirh., T h. V (L eipzig 1S94), p. 205.4) S. D ie R e f o r m N r. 27, 28. A pril 1848.5) S. z .B . bezüg lich Crelingers und J ordans T reitsciike a. a. 0 .6) Die Clubs und Volksversammlungen Berlins bis zum Lindenldub hinab odet

vielmehr h inau f (Berlin 1848).


Bürgerschaft in solchem Grade fesselten, daß während dieser Zeit die Zahl der Mitglieder des Klubs rapide wuchs und z B. von einer Sitzung (23. April) bis zur nächsten (25. April) um 200 (etwa 50 Prozent) stieg. In unserer Darstellung dieser Debatten werden wir uns auf die Berichte der Tageszeitungen stützen, besonders auf die der B e rlin e r Z e itu n g s-H alle . Die Berichte dieses Blatts, das nach einem zeitgenössischen Autor J) unter den Berliner Zeitungen die einzige war, die nach der Revolution das Panier der Freiheit aufsteckte, während die älteren Blätter (V ossische Z eitung , H aude u. S penersche Z eitung) „wie der Gaul, der am Pfluge ergraut ist“ von der Freiheit keinen Gebrauch machen wollten, sind bei weitem die eingehendsten2) und geben nach J a c o b i3) „gute und un- partheiische Auszüge“. Bevor wir jedoch zu den Einzelheiten übergehen, mag hier ein Stimmungsbild Platz finden, das dem Hauptquellenwerk der Berliner Revolutionsbewegung, der äußerst fleißigen, wenn auch nicht tendenzfreien4) Berliner Revolutions-Chronik von A d o l p h W o l f f 5) (3 Bände) entnommen ist (Bd. II, Berlin 1852, p. 265).

„J a c o b is Rede weniger“, so heißt es dort, „als die Person des Redners beschäftigte den Club einige Sitzungen hindurch. Me war hier eine aufgeregtere Debatte geführt, nie das Feld der Persönlichkeiten eifriger betreten worden. Der berühmte Mathematiker, einer der gefeiertsten Gelehrten seiner Zeit, inmitten einer Schaar von Gegnern und Anklägern, die7 O O /mit Heftigkeit und schonungslos erhobenen Angriffspunkte mit Ruhe und Humor widerlegend, dem kleinsten seiner Gegner Rede stehend, bald wie der Löwe mit der Maus spielend, bald nicht sowohl mit dem Ernste sittlicher Entrüstung, als vielmehr mit scheinbar harmlosem Spotte den Anklägern begegnend, endlich, nachdem er einen unwürdigen Kampf mit glänzenden Mitteln geführt, als vielbejubelter Sieger hervorgehend — das war das Schauspiel, dessen erster Theil am ersten Ostertage6) im Club aufgeführt wurde“ . . . .

1) R o b e r t S p r i n g e r , Berlin’s Straßen, Kneipen und Clubs im Jalire 1848 (Berlin1850), p. 144.

2) Ohne den Drucker-Strike, unter dem einzelne Zeitungen während eines Teils jener Zeit zu leiden hatten, würden wohl noch mehr Berichte vorliegen.

3) Brief No. LXII (20. Juni 1848).

^ 4 ) Vgl. W. B u s c h , Die Berliner Märztage von 1848 (München u. Leipzig 1899),

5) Die sehr verkürzte und lediglich durch Zusammenstreichen aus der ersten Ausgabe entstandene Jubiläums-Volksausgabe v. C. G o m i-e r t z in 1. Bd. (Berlin 1898) enthält zwar die hier abgedruckte Stelle, von den in der ersten Ausgabe abgedruckten und hier in Betracht kommenden Berichten der Z e i tu n g s - H a l l e dagegen nichts.

6) 23. April.

W. A u k e n s .

IV.• a f Tacobis K a n d id a te n -R e d e fo lg e n d e n K lu b s i tz u n g ,

S o fo rt m der a u f ^ m A b w esen h e i t des b e rü h m te nbereits am nächsten sebl. „„regelmäßig besuchte,M ath em a tik e rs , dei w o rden d ie Rede Jacobis d ru c k e n zuaas dem Klub d e r Antrag gestell worden dm 1 ^

iasseu. Dies war ies Klubs, L c w .oerschemeu und zum g ^ 0e” genteit, um „einige Bemerkungen über Cüelinger, eigr nolitischer Glaubensbekenntnisse zu machen",« ? offiziellen Kluborgans rerschümt heißt D i ,

Z I [d ie p o litisch en ^ M £

zeu g u n g ^ d e r S n d i T t e n u n d am A lle rw e n ig s te n d a fü r , daß sie a u ^ d e r ge-

heit der CamUdaten zurückzugehen. V o r Allem aber habe man srch zu hüten, daß nicht die blendende Form einer Rede das Lrtheil geangen nehme und die bedächtige Prüfung des Inhalts verhindere. '

C relinger hatte zwar Jacobi nicht ausdrücklich genannt; dei Zusammenhang und eine Anspielung2) auf den Mann, dessen Rede den außerordentlichsten Beifall der Versammlung erhalten hatte, schlossen jedoc jeden Zweifel aus. Die Folge war, daß nun auch Jacobis Anhangei sich zusammenschlossen und in einer Weißbierstube eine Leibgarde des berühmten Mathematikers begründeten.3) Jacobi war von der gegen ihn gesponnenen Intrigue verständigt worden und ging nun m die nächste, am ‘23. April, dem ersten Ostertage, stattfindende Klubsitzung, um eine Wiederholung der ihn betreffenden Bemerkungen aus der vorigen Sitzung zu fordern. Über diese Sitzung des 23. April berichtet die B e rlin e r Z e itu n g s-H a lle — nach Aufzählung der 18 Kandidaten, für welche sich innerhalb des Klubs eine Majorität ergeben hatte, darunter CßELiNGER, Prutz, Borsig, D iesterw eg, Jordan, J acobi, Doye, v. Raumer, v . Grol- mann, v. Humboldt — weiter folgendermaßen:4)

„Der Sprecher Cr e l in g e r bemerkt: Prof. J a c o b i habe sich in einer persönlichen Angelegenheit an ihn wenden zu müssen erklärt, er gebe

1) C o n s t i t u t i o n e l 1 e C lu b - Z e i tu n g No. 2, 26. April 1848, S. 9.2) A. W o l f f , 1. c. p. 266. — 3 ) R o b e r t S p r i n g e r , 1. c. p. 185.4) B e r l i n e r Z e i tu n g s - H a l le , No. 98, 26. April 1848, Beilage und No. 99,

27. April 1848, H auptblatt; abgedruckt bei A. W o l f f , 1. c. p. 266 ff. — W ir folgen hierbei stets dem Originalwortlaut der Z e i tu n g s - H a l l e , von dem der bei W o l f f bisweilen, allerdings nur unwesentlich, ab weicht.

168


deshalb für die Dauer dieser Erörterung das Sprecheramt in die Händedes Präs. Lette Lette übernimmt das Sprecheramt. Prof. Jacobi:Er sei von Crelinger verdächtigt worden, Crelinger habe auf seine politischen Antecedentien angespielt, er bitte zu wiederholen, was in seiner Abwesenheit über seine Person und seine Rede gesagt sei. Crelinger: Weist den Vorwurf der Verdächtigung zurück; was er gesagt habe, gelte nicht der Person „des hochverehrten Mitbürgers“ Eben so wenig hab&e er die glänzende Rede bemängeln wollen; aber er habe in ihr Gedanken und vor Allem ein politisches Glaubensbekenntniss vermißt. Dr. Bernhard!’: Crelinger habe von den politischen Antecedentien Jacobis gesprochen. Crelinger gibt dies zu. Jacobi: Es sei gesagt, seine Rede habe der Gedanken entbehrt; er glaube allerdings Gedanken geäußert zu haben, einige ewige Gedanken und manche allerdings nur auf die Zeit bezügliche/ Wenn man so lange spreche, könne es ohne allen Phrasenschmuck freilich nicht abgehen Es sei nicht möglich, n u r in Gedanken zu sprechen, und ein wohlgezielter Pfeil treffe, auch wenn er mit bunten Federn geziert sei. Er glaube auch ein politisches Glaubensbekenntniss abgelegt zu haben; er sei jedoch bereit, ein solches noch einmal vorzutragen, wenn die Gesellschaft es verlange. Lette bringt die Frage zur Abstimmung: Verlangt die Gesellschaft, daß Prof. Jacobi ein politisches Glaubensbekenntniss ablege (auf Jacobis Verlangen mit dem Zusatz), weil dies bisher nicht genügend geschehen sei? Wiederholte Abstimmung durch Händeaufheben mit Gegenprobe und Rückprobe. Die Versammlung ist uneinig über das Resultat der Abstimmung. Lette erklärt: Die Majorität sei g e g e n ein neues Glaubensbekenntniss. Jacobi: Man habe von seinen politischen Antecedentien gesprochen. Dergleichen habe er nicht; er sei eine politische Jungfrau, er habe nicht in Zeitungen geschrieben, seine Wirksamkeit auf den Kreis seiner Wissenschaft beschränkt, die Zeiten seien zur Betheiligung an der Politik nicht geeignet gewesen, er habe aber nachgedacht über Staatsverhältnisse und sich eine feste Ansicht gebildet und bewahrt. Wolle man seine Biographie wissen: sie sei die aller Gelehrten. Wenn daher auf seine politischen Antecedentien eine Anklage gegründet werden solle, so müsse er erwarten, daß man diese näher substantiiere, er sei bereit, über alle Punkte Aufschluß zu geben. Prutz: Er sei heiser, aber hier müsse er reden. Prof. Jacobi behaupte, keine politischen Antecedentien zu haben. Das sei ein übles Geständniss eines Candidaten. Jacobi habe in Königsberg gelebt, „in Königsberg, der Geburtsstätte unserer Freiheit“. Es habe dort an \ eranlassung nicht gefehlt, sich an der Politik zu betheiligen. Wenn er dies unterlassen habe, so spreche das nicht zu seinen Gunsten. Aber es seien allerdings politische Antecedentien vorhanden. Prof. J a c o b i habe zunächst zu beantworten, ob er den Brief der Akademie an den König in

170W. A h k e n s .

der Raumer sclien ^ i T ^ T d “ M a k a b e r heran-

habe. Ihn. (Dr. ™ / > “ ' J 2 Z ein ßew lhrsm ann sei - C r e u k ü e r .sei aneh bereit seine Quelle ™ nenn , ■ 0 tM E R . Man klage hier eine

Hierüber werde Aufschlu ei • A tecedentien. Thue m a n dies bei Einem,Person an auf Grund politischer A & ^ politischen Ante-

Y»pi Allen geschehen. h o fQHirrni scherSO müsse es bei Alien. ö R eicher A rt zu erörtern, (bturm iscneioedentien a l l e r Candidaten m -n ^ B eäeutnng Beifall.) P ro f Scheue,,ACH. Meine H ^ e n ; ^ & * „er S p Iso z i

des Mannes nicht zu kennen un terb rich t den Redner.)seiner W issenschaft. • (lurCf b Ver£aminlun S den Prof. SchellbachLette läßt darüber abstimnien, ob die Versamnil w ^ mit,

weiter hören wolle? Es erheben sich Hände, nnd _ ^ ^ f t ,die M ajorität wolle den Redner ^ m M herm .C » « » Hrn. F m n gesagt hat, )/ m .ü c k n e ta en!gedrängt, so ist er ein Lugner . vollständigerAbbitten!“ Eine Viertelstunde t a g b e f in d e t.sc h d e m M l W 0

Auflösung. Endlich werden die H ™ 1” “ * d {iIr die gröbsteL e t te : Der Redner hat sich eines A^ " ^ t L l n E ngland. L ob,:Yerletsnng parlamentarische! S it c „ , (Neuer Sturm . „Zurück-

M * ■ » W ln n H r. t« V ge-T r L T L t s:U" d e i , Ausdruck 'zurücknehmen“. (Der L ärm wieder-

r zH arn ack , 1 9 0 1 p 704ff. ve rw iesen w e rd e n , w o zu m e rs te n Male einein e inem B a n d e (B erlin l a u i j , p „perpben is t . H ie r se i n u r k u rzq u e llen m äß ig e D ars te llu n g d e r g an zen ng e eg lg 4 ? am 2 8 . J a n u a r , demfo lgendes b e m e rk t: R aumer ^ w o rin e r d ie se n g e g e n die damalsF rie d ric h s -T a g e , e in e L o b red e a u f d en g ro llen wo , je d o c li

A”^ ff über spiew mehrfTvr u f die d e rT r id e r ic ia n is e h e n e n tg e g e n g e se tz te R e lig io n s -P o li t ik F — an D er K önig fü h lte sich , zu m al d as P u b lik u m m e h rfa c h g e la c n t h a t t e t i e f g e k ia n u n d ä u ß e r te l ie s sow ohl zu H umboldt w ie zum K u ltu s m in is te r . D ie A k a d e m ie n a h m V e ra n la ssu n g , e in E n ts c h u ld ig u n g ssc h re ib e n a n d en K ö n ig zu r i c h te n , n a c R aum er sich se ih s t d e r A k ad em ie g eg e n ü b e r e n ts c h u ld ig t h a t te . D a d ie l a g e s p r . R aum er fo rtg e se tz t a ls H eros des F re is in n s fe ie rte , so lie ß d e r M in is te r E ~ den a u f G rund des R A U M E R s e h e n S ch re ib en s e r fo lg te n B rie f d e r A k a d e m ie a n d e n R o m v e r ö f f e n t l i c h e n , w o rau f s ich iu d e r P re sse e in w a h re r E n tr ü s tu n g s s tu r m g e g e n die A kadem ie u n d d ie A k ad em ik e r erhob .

2) ln dem B e ric h t d er C o n s t . C d u b - Z e i t u n g N o. 2, 26. A p ril 1848, S. 10 heißt1 -1-A.Ues: „erstrebt“


holt sich. „Abbitten! Abbitten!“) C r e l in g e r erklärt, zwar tief gekränkt, durch J a c o b is Erklärung jedoch befriedigt zu sein. L e t t e und mit ihm ein großer Theil der Versammlung: Wenn Hr. C r e l in g e r befriedigt ist, so hat die Gesellschaft noch keine Genugthuung. Der Redner muß die Gesellschaft um Verzeihung bitten. J a c o b i : Ich bitte die Gesellschaft um Verzeihung. (Der Lärm legt sich allmälig und J a c o b i fährt fort:) Es sei gesagt, er habe sich an die Macht herangedrängt und Gunstbezeugungen empfangen. Und doch sei er nicht einmal GeheimrathO) Wenn er°Gunst- bezeugungen hätte erstreben wollen, so würde er diese, das werde man ihm zugeben, durch die bloße Äußerung des Wunsches erlangt haben. Die Pariser Akademie habe acht Gelehrte zu ihren Associés ernannt5 unter diesen Acht sei er Einer, als Geheimrath würde er Einer unter 80 oder 800 oder 8000 gewesen sein. Er habe diese Gunst aber nicht erlangt, er sei nur Professor. Von Orden habe er nur den rothen Adlerorden 3 ter Klasse bei der Huldigung in Königsberg erhalten, er würde vielleicht, selbst ohne sich herandrängen zu müssen, die zweite Klasse haben erlangen können.2) A r a g o habe ihn dem Minister S a l v a n d y für die Ehrenlegion vorgeschlagen, der Minister habe ihn nicht decorirt wegen seiner politischen Gesinnung. Aber der „National“ habe ihn wegen eben derselben gelobt, und der „National“ stehe nicht in dem Rufe, servile Gunstbewerber zu loben. (Lebhafter Beifall. Von anderen Seiten: „Aber der Brief, der R aum er sehe Brief!“) Er müsse noch vom Orden pour le mérite sprechen. Der Orden pour le mérite, meine Herren, ist nicht sowohl eine Gunstbezeugung, als eine Bequemlichkeit. Der König hat die Bequemlichkeit, die Gelehrten alle Jahre einmal bei sich zu sehen; die Gelehrten wissen jeden 24. Jan. im Voraus sicher: daß sie von Mittag bis Abends um 6 Uhr beim König sind, und am Abend wissen sie gewiß, daß sie ihn vor dem nächsten 24. Jan. nicht wieder sehen. Er wisse nun nicht, in welcher Art er sich an die Machthaber herangedrängt habe. Vier Jahre sei er in Berlin und nur einmal beim Minister E ic h h o r n gewesen, um einem Feinde eine ihm wegen politischer Gesinnungen versagte Unterstützung zu einer Erholungsreise auszuwirken. (Stürmisches Bravo.) Uber sein Verhältniss zum König sei Allerlei gesagt worden, unter Anderem, daß er einen Tag um den ändern beim Könige esse. Das sei nicht wahr, er habe nie eine Privat-Audienz gehabt; einmal habe er eine solche nachgesucht, da sei er zu Tisch ge-

1) Der B e r l i n e r K r a k e h le r schrieb in seiner No. 1 (18. Mai 1848): „In dem neuen Gesetzbuch soll das W ort Gebeimerath m it unter den stärksten Injurieu stehen“ ; vgl. a. No. 2 und 4 dess. Blattes.

2) W ie z B. diesen Orden der Astronom H. C. Schumacher damals besaß, der nicht einmal preuß. Professor und vor allem kein — Jacobi war.

, _.im Vorwurf, daß er sich in Königsbergbeten worden Man mache i betheiligt habe. Er sei seit 4 Jahren’)an den liberalen Bestrebungen ^ K5nigsberg Politischesvon dort entfernt Dr. J acobt, habe früher p die Viervorgegangen sei. ) öem die Antwort erfolgt sei. AusserdemFragen g e s c h r i e b e n m Königsberg wabrend seines wisse er von politischen . o aufmerksam machen.Aufenthalts dort Wichts. Dagegen wolle « auf ^ ^ ^

Jetzt liberal zu ,n Königsberg in Gegenwartgewesen habe er m der ^ w g en p reßTergehendes Präsidenten Zaadlr, knntischen Principien von derzur Criminaluntersuchung gezogen, u ^ j AC0By sei ebenfalls

Freiheit und namentiich ^ ^ n d l u n g h a b e so viel Aufsehen gemacht, daß anwesend gewesen, un , ; V t1 habe Endlich wolle er noch

Ministerium berufen, von dem er die Gefährdung der- ihabe besorgen müssen. Sofort habe er an den Minister E i c h h o r n und an den Koni* geschrieben, die Gefahr geschildert, und gegen seine ei0ene Erwartung seie“n Cabinetsordrc und »nrnrtlichc M inistenü-V erfngung^ zurückgenommen worden. — Das sei Alles, was^i m ein a das politische Antecedentien nennen, nun so möge man ihn nach di sbeurtheilen. Er erwarte nun die Angabe von Thatsachen, durch we sein Herandrängen an die Gewalt dargethan werden konne. - Dei Ked verläßt unter unaufhörlichem Beifallssturm die Tribüne. - Cr e l in g e r .

Wenn es sich um den politischen Charakter eines Mannes handele so könne man denselben nach dem Gesammteindruck, welchen man von dem Leben des Mannes empfangen habe, beurtheilen. Dieser Gesammtemdruc werde durch kleine Züge, durch das Urtheil der Umgebung hervor gebracht,

1) U nter E inrechnung der ita lien ischen Reise (1843/44), n ach deren B eendigungJacobi bekanntlich nach B erlin übersiedelte , sogar se it fast 5 Jah ren .

2) Ferd. F alkson , a. a. 0 . p. 109 b e trach te t als A u sgangspunk t de r vorm ärzlichen liberalen Bewegung in Königsberg in der T a t erst die G ründung der „B ü rgergese llschaft“ (20. Dez. 1844). Keinenfalls gab es aber vor den v ierz iger Jah ren eine lib e ra le Bew egung dort: die Juli-R evolution war an K önigsberg spurlos vo rübergegangen u n d zur Zeit der Dem agogenverfolgungen h a tte das M inisterium noch in einem besonderen Schreiben anerkannt, daß auf dieser U niversität n ich ts von revo lu tionären T endenzen zu bem erken gewesen (s. H. P r u tz , Die Königliche Albertus-Universität zu Königsberg i. P r. im 19. Jahrh. (Königsberg 1894), p. 107; sowie L. F ried lä n d er , A us Königsberger Gelehrten- lcreisen, D e u t s c h e R u n d s c h a u , Bd. 88, 1896, p . 224; vgl. dazu auch Denkwürdigkeiten aus dem Leben des Generals O ld wie v. Natzmer, herausg . v. Greomar E r n st v. N a t z m e r ,

Teil II (Gotha 1888), p. 149). — 3) 1841.

W . A h r e n s .

Eiu Beitrag zur Biographie C. G. J. Jacobis. 173

er sei entscheidend, ohne daß bestimmte Facta vorhanden zu sein brauchten, welche ihn bewahrheiten. Es habe schon seit dem Regierungsantritt des jetzigen Königs eine Partei in Königsberg bestanden, die man”die liberale genannt habe. Er selbst sei ihr beigezählt worden. Niemand habe gezweifelt, daß Professor J a c o b i derselben gleichfalls angehöre. Seine hohe geistige Begabung, seine Verbindung mit dem Minister v o n S c h ö n 1), einzelne Äußerungen, welche er diesem gemacht, haben diese Annahme unterstützt. Trotzdem habe er sich von den Liberalen gesondert, er habe sich in der Umgebung des Königs Wohlgefallen und eine des freien Mannes unwürdige Weise dem Könige gegenüber verrathen. (Lärm in der Versammlung. Man fordert „Thatsachen") „Professor J a c o b i hat vor Aller Augen dem Könige die Hand geküßt. Meine Herren, es war ein Gefühl des tiefsten Schmerzes, das uns Alle übermannte, als wir dies vor unseren Augen vorgehen sahen. Und nun ersuche ich den Herrn Sprecher, diesen Brief, den mir Herr Dr. P e u t z gegeben, zu verlesen." L e t t e verliest ein Schreiben, mit welchem J a c o b i dem Könige seine mathematischen Abhandlungen zugeeignet hat. Man ruft nach dem Datum: es ist der 26. August2) 1846. ln dem Schreiben ist charakteristisch die Anerkennung, welche der \ erfasser dem Könige für die Unterstützungen ausspricht, durch die es ihm möglich geworden sei, Kraft und Muße für seine wissenschaftliche Thätigkeit zu gewinnen. Verschiedenartige Rufe geben zu erkennen, daß der Brief den beabsichtigten Eindruck auf die Versammlung nicht hervorgebracht hat. Herr Cr e l in g e r fährt jedoch fort: „Kann, meine Herren, Jemand, der der Gewalt so entgegengekommen ist, Ihre Rechte vertreten?" (Neuer Tumult.) J a c o b i : „Meine Herren, mir wird vorgeworfen, daß ich dem Könige die Hand geküßt; o, ich habe viel, viel Schlimmeres gethan, ich habe sogar dem verstorbenen Papst3) die Hand geküßt“. Der Redner

1) Der Minister v. Schön (vgl. oben S. 158) schätzte Jacobi sehr hoch. „Diese Kern- Männer“ sagt er einmal in seiner Selbstbiographie von B e sse l, Jacobi, H erb art und einem anderen Freund, m it denen er den P lan einer polytechnischen Schule beraten habe (Aus den Papieren des M inisters T h e o d o r v. Schön, Bd III (Berlin 187G), p. 104). Stolz darauf, ein Schüler K ants zu sein, verkehrte Scuön m it Vorliebe m it den Gelehrten der Königä- berger Universität. „ B e sse l, M oser, Jacobi, Rosenkranz gehören zu seinem intimsten Umgange“ , heißt es in einer Schrift Preußens Staatsmänner. III. S chön (Leipzig 1842), p. 31, „auf seiner Geschäftsreise in der Provinz wird er gewöhnlich von einem dieser Gelehrten begleitet“ . Vgl. a. einen Brief Schöns v. 25. Dez. 1843 in der V ie r t e l j a h r s c h r . f ü r V o lk s w ir th s c h . , P o l i t i k u n d K u l tu r g e s c h . OG (1880), p. 29, wonach er eine staatswissenschaftliche Frage m it seinen Freunden: „ B e sse l dem Himmlischen, Hauen dem Staatsw irth, Jacobi dem großen Kalkulator, M oser dem Lichtfreund“ besprochen hatte.

2) 30. August 1846; s. C. G. J. Jacobis Gesammelte Werlce, Bd. VII, p. 375.8) Gregor XVI. auf der w eiterhin erwähnten italienischen Reise in einer Audienz

v. 28. Dez. 1843.

w . A h r e n s .

174t t jv,iR als einen Ausdruck persönlicher

r e c h t f e r t i g t d e n a n g e f o c h t e n e n an gewährt, zur HerstellungD a n k b a r k e i t ; d e r König m mJ en usw. (Man ruft: „ders e i n e r Gesundheit eine eme ^ ^ ^ deQ B r i e f m der llAUMER-RAUMERsehe Brief. ) L ß wie es bei der Unter-schen Angelegenheit erkläre • ^ Uebatte von vier Stunden, alsZeichnung zugegangen , i ■ M ö tz lich e in v e r tra u e n sw ü rd ig e s M it-ALle b e re its e rm ü d et gew esen, ) 1 e in en B r ie f e n tw o rfen ,g lie d 2) m it dem B em erken em ge re ^ ^ ^ meine Collegen,

man dürfe ihn nur " « ’durch die Zeitungen habe ich vonunterzeichnet, ohne zu ies . ) , « g i em Fehler begangenäem M t des Briefes Kenntmss erholtem be^worden, so bestehe er darrn daß man E wa J a s »unterschrieben habe. Bas sei nichts U ^ i h k e K Awl e r ennrit .hm damit entschuldigen, daß er nur getha ■ Nichtszur Last falle. Aber man möge nicht v e rg eh n Der Königbezweckt habe, als dem Könige eine Höflichkeit „sei als Gast in die Akademie gekommen - l e t z t ^ ^ Ent.Tolissonnerien. (Lärm. „Unparlamentaiisch. ) Ausdrücke Dem

habe sich nur darum gehandelt, eine Unhöflichkeit durch eine Höflichkeit g “z m a l n . Daß V , der Kedner, nichts weiter gewollt habe möge der Umstand zeigen, daß er am anderen Tage die Weglassung, de. al hergebrachten weitschweifigen Redensarten m künftigen Briefen der Akademie an den König beantragt und durchgesetzt habe Sem so eben verlesenes Zueignungsschreiben an den König enthalte nichts was seinen Charakter beflecke. Es sei, wie em großer Gelehrter schon gesagt habe, nützlich einem Könige zu sagen: Du bist der Vater des ml 'es, arm ei sich bemühe, es zu werden. Es sei ihm deshalb zweckmäßiger erschienen, dem Könige zu sagen: „Ew. Majestät stehen an der Spitze der Bewegung, als „Stellen Sie sich an die Spitze!“ (Hier erhebt sich m der Na e er Tribüne ein furchtbarer Tumult; der Ruf: „Heraus, Heraus!“ wird gehört, und die Frage fast aller Anwesenden, wem dieser Ruf gelte, steigert den Lärmen bis zur äußersten Höhe parlamentarischer Aufregung. Fünf Minuten lang ringt der Hammer des Sprechers vergeblich nach der ihm gebührenden Beachtung. Endlich legt sich der Sturm und man hört den

1) Über diese Akademie-Sitzung vom 4. Febr. 1847 vgl. das N ähere bei H a r n a c k ,

1. c. p. 708ff.2) Böckh, vgl. dazu den Brief (No. LIV) J a c o b is v . 3. Ju li 1847 a n den Bruder.

Nach A. H arnack , 1. c. p. 700 billigten alle Akademiker das BöcKnscke Schreiben.3) „Heftiges Murren“ verzeichnet hier der Bericht der C o n s t. C lu b - Z e i tu n g

Nr. 2, 26. Apr. 1848, S. 10.

1 7 4

Ein Beitrag- zur Biographie C. G. J. Jacobis. 175

Sprecher) L e t t e : Unser Secretair hat sich eine durchaus unparlamentarische Äußerung zu Schulden kommen lassen. Er muß die Versammlung um Verzeihung bitten. (Neuer Lärm: „Welche Äußerung?“) Er hat „Pfui!“ gesagt. Stud. Aegidi, Seci.. „Ich habe mich zu dem Ausruf fortreißen lassen, ich bitte um Verzeihung. Die Versammlung hat schon einmal Absolution ertheilt, sie wird sie mir nicht versagen. Was Emern recht ist etc.“_J a c o b i: „Ich sehe, es will mit meiner Vertheidigung nicht glücken, vielleicht fange ich es zu ungeschickt an. Ich bitte nur noch um die Gunst, aus der Gesellschaft scheiden zu dürfen“. (Er will sich entfernen. Seine Freunde umringen ihn. Von vielen Seiten hört man: Nein, nein! Hierbleiben! Endlich winkt Hr. J a c o b i mit dem Hute und setzt sich nieder.) Es wird wieder ruhiger. — Herr v. B a r d e l e b e n tritt auf. Das Unterschreiben des Briefes der Akademie, ohne ihn durchzulesen, sei wenigstens Indifferenz, Leichtsinn, Eigenschaften, die ein Volksvertreter nicht besitzen dürfe. Außerdem habe Hr. J a c o b i kein genügendes Glaubensbekenntniss abgelegt Er habe zwar gesagt, er sei für die constitutioneile Monarchie, er bekomme, aber auch keine Gänsehaut, wenn er das Wort „Republik“ nennen höre. Das sei eine sehr schwankende Meinungsäußerung. Auch er, der Redner, halte die Republik für die vollkommenste Verfassungs-Form, aber für jetzt sei bei uns noch eine Kluft zwischen Monarchie und Republik, die nur mit Blut ausgefüllt werden könne. Dem Charakter des Prof. J a c o b i falle auch zur Last, daß er mit keinem Worte in seiner Rede der Person des Königs gedacht habe, des Königs, der ihn, wie er selbst zugestanden, in den Tagen seines Glückes zu Dank verpflichtet habe, und dessen jetzt zu gedenken um so mehr Pflicht eines Ehrenmannes sei, als jeder Bube jetzt das Haupt des tiefgebeugten Monarchen mit Koth zu bewerfen wage. (Stürmischer Applaus.) — J a c o b i: Er müsse dem Redner in allen Stücken Recht geben. Allerdings sei es leichtsinnig, Etwas zu unterschreiben, das man nicht gelesen habe. Dieses Leichtsinns klage er selbst sich an. Auch bekenne er das Unrecht, des Königs, seines edlen Herzens, seines hohen Geistes nicht gedacht zu haben. Er habe dies mit vielen ändern Punkten, die er in seiner Rede zu berühren sich vorgenommen,!) bei der L berraschung, durch die er auf diese Tribüne geführt worden, vergessen. Hierauf weist der Redner in beredter Entwicklung die Wohlthaten nach, welche die Völker der Monarchie verdanken; diese habe die Aristokratienherrschaft gebrochen und die Freiheit angebahnt. Er macht hierbei auf die Milderung der Leibeigenschaft durch den Kaiser in Rußland aufmerksam Dr. G l a s e r : In den alten Republiken habe ein Gesetz•Jeden mit Verbannung bedroht, der einen Bürger angeklagt habe, ohne

1) Auch in einem kurz zuvor (3. April 1848) geschriebenen Brief an den Bruder gibt Jacobi seiner persönlichen Verehrung für den König Ausdruck (Brief No. LX).

W . A h r e n s

176, ■. J Poapf? die Anklage gerechtfertigt hätte. Hier

daß em bereits beste ef. « den Professor J a c o b i wegen so-liege ein solcher fall v0 ■ müsse auch gegen Andere

nnter “ » 8 p » * . gebracht.' * Candi-geschehen; Allei An beantrage: einen solchendaten zur RecMfe*tlg^ ßange Ver Sprecher erklärt es für be-Alle bindenden Beschlu wichtigen Antrag sofort zudeutlich, eine Entscheidung “ er el:“ ober den Antrag zu hören,veranlassen. Er wünscht noch b e r ^ » n> dsß erDr. J o r d a n : Professor J a c o b i habe hen, ernicht den erforderiicaerr p a r l a m e . ^ ^ ^

diese A n t r ö g ^ r A h s t „ lelanoen scheitern an der leidenschaftlichen Erregtheit, in der I m C g sich befindet.) Der Stecker schlügt vor, die A b s tu fu n g auf eine ruhigere Sitzung zu vertagen.

V.Man wird dem oben zitierten Verfasser der Revolutions-Chronik darin

beistimmen müssen, daß ein Kampf, der J a c o b i zwang sich gegen P ^o n lich e Anklagen von jener Art zu rechtfertigen, des großen Mannes wenig wu 0 war Man darf aber andererseits zunächst nicht unterlassen, alle diese Vorgänge im Spiegel der Zeit zu betrachten. Ein Hinweis auf die üohe wissenschaftliche Stellung J acob ,is, wie ihn S c iie l l b a c h versuchte an sic schon von fragwürdigem Wert für die zur Entscheidung stehende Frage, mußte in einer Zeit, die allen Autoritätsglauben ablehnte, wirkungslos bleiben oder nur noch mehr aufreizen, zumal dieser Versuch m wenig geschickter Form hervorgetreten zu sein scheint, wenn er auch gut gemeint war und ehrlicher und berechtigter Entrüstung über die dem großen Forscher aufgezwungene unwürdige Rolle entsprungen sein mochte. Standen nun auch Angriff und Anklagen gewiß sehr tief, so verdient um so größere Beachtung die Übereinstimmung aller authentischen Berichte darin, daß J a c o b is Verhalten würdevoll und seiner hohen Stellung in der Aristokratie des Geistes stets durchaus angemessen gewesen sei und er sich schon beim ersten Auftreten in der Hinsicht vorteilhaft von allen anderen Kandidaten unterschieden habe, die geflissentlich ihre früheren Händel mit der Regierung anbrachten und ihreVerdienste um dieVolkssache priesen, auch ohne irgendwie hierzu gedrängt zu sein. Selbst Gelehrte von großem Ruf, wie F r. v . R a u m e r ,

sind hiervon nicht freizusprechen. Nun war J a c o b i seiner Vergangenheit wegen direkt in Anklagezustand versetzt; er mußte, nachdem er einmal a gesagt hatte, auch b sagen und sich verteidigen, wollte er nicht den Eindruck erwecken, die erhobenen Anklagen seien berechtigt und er


fühle sich diesen Angriffen und seinen Gegnern nicht mehr gewachsen. Zudem wird die begeisterte Anhängerschaft, die der große Mathematiker sofort gefunden hatte und die eine eigene Partei „Jacobi“ formierte, mit allen Mitteln dafür gewirkt haben, daß der aufgenötigte Kampf auch mit möglichster Entschiedenheit durchgeführt werde. Diese Anhängerschaft bestand, wie dies weiterhin auch in den Berichten hervorgehoben werden wird, aus der „Jugend“, und zwar darf man dies Moment als besonders charakteristisch für den tatsächlichen Eindruck, den jene Debatten hervorgebracht haben und den verkürzte Zeitungsberichte doch nur höchst unvollkommen wiederherzustellen imstande sind, bewerten. Denn die Jugend“7 // o )die hier vorwiegend die akademische Jugend gewesen sein wird, wie bei der Art des Klubs nicht zweifelhaft ist, hat zu allen Zeiten ein besonders feines Gefühl für vornehme und unabhängige Gesinnung gehabt.1) In der Form scheint J a c o b i allerdings in dieser Sitzung (23. Apr.) nicht immer glücklich gewesen zu sein. „Ich war ermüdet“, sagt er in dem mehrfach zitierten Brief2) an den Bruder, „und durch die Menge, die über mich herfiel, etwas verwildert.“ Die rücksichtslose, heftige, ja niederträchtige Art, wie er von fast allen Komiteemitgliedern angegriffen wäre, habe auch seine Partei erbittert. Die Wogen der Debatte gingen sehr hoch. „Es war ein furchtbarer Sturm, die höchste Aufregung“, heißt es in demselben Brief. „Denke Dir immerfort gleichzeitig 300 klatschen und 300 trommeln, und den Präsidenten mit dem Hammer die Tribüne zerklopfen um Ruhe zu schaffen. Gleichwohl wurde auch von den wüthendsten Gegnern immer meiner Rede, deren Eindruck mir noch heute unerklärlich ist, mit einer Art Bewunderung gedacht. 'Diese glänzende Rede, sagte Cr elin g er , und weil glänzend, desto gefährlichere, also diese gefährliche Rede.’ 'Das sei der Mann, sagte ein anderer, der in dem Moment wo in Francfurt vielleicht alles auf dem Spiele stände, durch die Gewalt seiner Rede alles in den Verderben bringenden Abgrund mit sich fortreißen könnte ’ Und so weiter.“ Der Reporter der N a tio n a l-Z e itu n g , die späterhin zu überschwänglichem Lob für J a c o b i sich durchrang, fand sogar, er habe sich in der Sitzung des 23. April „größtenteils ungeschickt verteidigt, oder doch so, daß er den Kern der Ausstellung als berechtigt anerkannte“.3) Dies lag nun allerdings wohl vorwiegend an der Natur der Anklagen. „Ich stand unter dreierlei Anklage“, sagt J a c o b i selbst (ibidem), „1. früher servil gewesen zu sein und nun eine plötzliche Schwenkung gemacht zu haben, 2. von jeher ein eingefleischter Jacobiner gewesen zu sein, und 3. von Cr e l in g e r , der als kluger Mann allein das richtige traf, des politischen Indifferentismus. Du siehst, da hieß es, incidit in Scyllam

1) Vgl. a. S. 187 Anm. 1. — 2) Brief N o. LXII (20. Juni 1848).3) N a t io n a l - Z e i tu n g , Nr. 24, 25. April 1848.

Bibliotheca Mathematica. III. Folge. V II. 12

W. A h k e n s .

178

quizu

. . . unmöglich sich gegen eine Anklagej vult vitare Charybdim; eS war u g:verteidigen ohne der andem w°enn nach diesem ersten Tage

So kann es nicht wunder nehmen, j ^ & q ^ ^ ^(23. Apr.) die Stimmung rm ganzen^ « ^ Berickt der N a tio n a l-die vorherrschende gehliehen war Mißgriff JaCöbisZeitung spiegelt dies wider indem « angebot en flabe, sei der gewesen, daß er sich P demokratische Blatt durcheine Behauptung, die da» geemn^ , a nicht Jungfrauen,den Zueate bekräftig^ :„In politischer Überzeugung,sondern Männer, nicht Gei rtmraktere und zwar solche, welchesondern öffentlich Andererseitsbereits früher das gestu „ eüsfälligeil und unbefangenen Beobachtermuff jedem nur » | 7 ^ “ bar der Emdruck emer gegen den

5 - Ä ‘ S H t ^ i r f Ä ÄWort ergriff, wobei er sich auf private Äußerungen HB— über J a c o b i

berief eine Indiskretion, die jenem dann spater (Sitzung v 27 1 p ■),die betreffenden Äußerungen zurücknehmen mußte, berechtigten Anlaß zueiner Rüge gegen P k u tz gab. Umgekehrt hat nach dem obigen enc Z e itungs-H alle Cr e l in g e r , als er die Widmung aus den Opuscula mathematica vorbrachte, sich auf P r u t z berufen, was diesen wieder zu einer dementierenden Erklärung in dem genannten Blatte ) veranlaßte. M sieht: die moralische Verantwortung der Anklage zu übernehmen getraute sich niemand recht; der eine suchte dem anderen die Rolle des Grobinquisitors aufzuzwingen. Man fürchtete offenbar J a c o b is geistige Überlegenheit und seinen darauf basierenden Einfluß auf die Zuhörerschaft seit seinem ersten Auftreten doch schon zu sehr, und vor allem fehlte auch der ganzen Anklage von vorne herein der innere Gehalt. Dies letztere hatte sich am Ende der Debatten des 23. April bereits so weit gezeigt, daß, als nun der Dritte im Bunde, W il h e l m J o r d a n , auf dem Plan erschien mit dem Anträge, J a c o b i wieder von der Kandidatenliste zu streichen, er zur Motivierung dieses Antrages nichts weiter als J a c o b is angeblichen und in der betr. Sitzung bewiesenen Mangel an parlamentarischem Takt vorbrachte,

1) B e r l i n e r Z e i t u n g s - H a l l e No. 99, 27. A pril 1848, B eilage, 4. Seite .

Ein Beitrag zur Biographie G. G. J. Jacobis. 179

offenbar in der Hoffnung, so die Erörterung der politischen Antecedenzien, die sich J a c o b i gegenüber nun doch schon als wirkungslos erwiesen hatte, ganz abschneiden zu können, um damit zugleich den gefährlichen Gl a s e r sehen Antrag in der Versenkung verschwinden zu lassen. Sehr richtig beobachtet hatte der Berichterstatter der R eform , der „Berlin, 25. April“, noch vor der nächsten Klubsitzung, über die Verhandlungen des 23. April schrieb:1) „Es ist die ganze Sache eine bloße Intrigue, in der Cr e l in g e r , R o b e r t P r u tz

und J o r d a n spielen, die aber den Intriguanten theuer zu stehen kommen wird.“ Für den Fall einer allgemeinen Untersuchung der Antecedenzien aller Kandidaten gemäß dem GLASERschen Antrage prophezeit dieser Bericht „eine große Purification“, bei der „C r e l in g e r , J o r d a n , Professor K e l l e r , D o v e , R a u m e r , P r u t z u s w . gestürzt werden“ würden.

VI.Uber die nächste Klubsitzung, welche am Dienstag, den 25. April statt

fand und in der die Fortsetzung des Gerichts über den berühmten Mathematiker erfolgte, berichtet die Z e itu n g s-H a lle :2)

. . . . Dr. J o r d a n s Antrag: Prof. J a c o b i von der Candidatenliste zu streichen, wird zur Berathung gestellt. Der Antragsteller bemerkt: der Candidat sei weder aus der Vorwahl, noch aus dem Comité hervorgegangen, er habe durch seine Rede die Herzen mit Sturm eingenommen. Später habe man bereut, daß man sich habe überrumpeln3) lassen. (Lärm.) J a c o b i habe früher andere politische Gesinnungen gehabt, in neuester Zeit aber eine Schwenkung gemacht; solche Candidaten könne man nicht brauchen. Es haben sich Mehrere um das Wort gemeldet; ein Streit entsteht darüber, Wer das Wort erhalten soll. Als der Sprecher J a c o b i

auf die Tribüne ruft, bricht ein anhaltender Beifallssturm los. J a c o b i :

der Anldäger spricht von einer politischen Schwenkung, also von einer Sinnesänderung, der Denunciant dagegen hat seine Beschuldigung anders begründet; er behauptet, ich hätte mich trotz meiner notorisch liberalen Gesinnung in Königsberg von den Bestrebungen der Gesinnungsgenossen fern gehalten. Beide Behauptungen sind unwahr. Ich war immer unabhängig, und wählte meine Freunde stets aus Männern, die einer liberalen Richtung angehören. Minister v . S c h ö n wäre, glaube ich, nicht mein Freund gewesen, hätte ich einer servilen Richtung gefolgt. Ich habe auch

1) D ie E e f o r m No. 27, 28. A pril 1848.2) B e r l i n e r Z e i t u n g s - H a l l e No. 99, 27. A pril 1848, B eilage; ab g ed ru ck t bei

A. W o l f f , 1. c. p. 271— 272.3) „Der Clubb sei üb erru m p elt oder überrasch t, w ie der R edner sich verbessern

m ußte — denn der Clubb h a t eigen thüm liche Begriffe von parlam en tarischen Form en und h ä lt streng au f deren B each tung“ , h e iß t es im B erich t der N a t i o n a l - Z e i t u n g Nr. 26, 27. A pril 1848.

W. A hkens.

180.. i j.- 4. der Universität anerkannt;1) auf

me den EegiernngAevollmac :.g e Mini.terialeerfflgimgen zudi. gefährlichsten Posten^ 8 ^ ^ Ich bi* zwar jetztremonstriren, schob äer atad ^ ^ ^ bm lcb Ium

zum ersten Male genoth.gt, m bekannte Hr. v. Dekschauersten Male denunciirt. D a s « W h * j c h o ^ ^ (gtimme aos der Vei. in K ö n i g s b e r g getban. re nicbt wahr!“ Tumult. Raus! Raus!)Sammlung: „Hier bm ich. vertieft er sich zuweilenHr.w D .3) ist sonst ein e h r e n d e r Mann. ^ ^ ^ ^ ^

in besondere Richtungen. ( , p Nichts gethan, um dazu zuZU Hoffesten eingeladen zu werden, habe aber Nie ^ ^

gelangen. Keinen Ministe kernig ^ ^ ^ AJs ein

Unabhängigkeit mei semer dem Cultusm inister wohlgefalRgen

T 87 « ™ f t o f der M athematik in Berlin gem acht werden sollte.

i S “ « gemacht. Ich * i e b dem

„Unwissenheit im Berufsfache istUm— ^ s mit Ändern,hat mit mir bei Gelegenheit ein PotsdamerWarum? weiß ich mir nicht zu erk areii; " ^ e ü . h e in ^ ^ ^

bm. Was ist gegen mic ^ den ^beraten Bestrebungen

FaCtUZ ' l i n ’T RHag ich kann nur denken oder handeln, wenn mir eine''bestimmte Aufgabe vorliegt. Ohne ein solches bestimmtes Ziel etwa»zu unternehmen, zu agitiren, mich an der Reg ^ ^ strebt meiner innersten Natur. Wäre dies nicht, ich hatte es leich reichen können. Politisch verfolgt zu werden aber war mir allzu wo •(Stürmischer Applaus.) Was den Brief der Akademie an den König betriff , so handelte sich’s bei der Rede des Hrn. v. R a u m e r nur um die Fern nicht um den Inhalt. A l e x a n d e r v . H u m b o l d t wohnte der Sitzung bei, und erklärte, mit dem Inhalt ganz einverstanden zu sein.3) Dem an den

1) N ach der N a t i o n a l - Z e i t u n g Nr. 26 , 27. April 1848: „er b ab e zuerst die Professoren m it befre it von ih rer etw as unw ürd igen S te llung dem R egierungsbevo

m ächtig ten gegenüber“ .2) v. D e r s c b a u erließ in der C o n s t . C lu b - Z e i tg . No. 3 (3. M ai 1848, S. 231. eine

E rk lärung gegen „die w ahrheitsw idrigen A usfälle“ J a c o b i s ; die d o rt von ihm angekündigte besondere B roschüre scheint n ich t erschienen zu sein.

3) Der B erich t der Z e i t u n g s - H a l l e is t h ie r offenbar ungenau . Z utreffend berich te t jedenfalls die C o n s t . C lu b - Z e i tg . No. 2, 26. A pril 1848), S. 11, w onach J acobi

sagte, m it dem In h a lt der RAUMERSChen R ede seien alle M itg lieder de r A kadem ie,un ter ihnen A l e x a n h e r v. H u m b o l d t , ebenso einverstanden gewesen, als sie die Formgem ißbilligt hätten . Dies findet, soweit es H u m b o l d t betrifft, seine B estä tig u n g durchdessen B rief an G a u s s v. 23. März 1847; s. die von B r u h n s h erausgegebenen Briefezivisclien H umboldt und Gauss (Leipzig 1877), p. 55.

1 80


König zu schreibenden Brief wurde ein reuevoller Brief, den R a u m e r selbst an die Akademie gerichtet,1) zum Grunde gelegt. R a u m er selbst fand sich auch nicht durch den Brief verletzt. Noch drei Wochen behielt er die Leitung der Angelegenheiten der Akademie als Secretair und blieb mit uns im besten Yernehmen. Erst als der Brief gedruckt war, erklärte er seinen Austritt, obgleich die Akademie ihn zu bleiben bat2) und seine Stelle ein ganzes Jahr für ihn offen hielt. Liegt noch Etwas gegen mich vor? (Ruf: „das Dedicationsschreiben“ ) M. H. Der König hat es nicht gelesen. Ich habe darin nur meinen Dank für die Unterstützung, die mir der König hatte zu Theil werden lassen, aussprechen wollen,3) aber das Buch ist ungelesen vom Könige an die Bibliothek gegeben. Wenn man übrigens von meiner Stellung zum Könige spricht, so muß man bedenken: die Minister T h il e und B o d e l s c h w in g h 4) waren unerbittlich gegen unabhängige Männer. Nicht so der König.5) Das zeigt sein Yerhältniss zu H u m b o l d t

und dessen Yerhältniss zu A r a g o . Mein unabhängiger Charakter steht in keinem Widerspruch zu der Gunst, welche der König für mich hatte. Dafür spricht auch mein berliner Umgang mit Männern wie B e c k e r a t h ,

A u e r s w a l d , B a r d e l e b e n 6) — dem Deputirten. (Gelächter.7)) Der Redner zählt noch Yiele seiner Freunde auf, namentlich auch aus Italien,8) und

1) Den W o rtlau t s. bei H a r n a c k , 1. c. p. 708.2) J a c o b i b ildete m it D o v e u nd L a c h m a n n die Kom m ission, die dies Schreiben

verfaßte ( H a r n a c k :, 1. c. p. 712).8) N acb dem B erich t der C o n s t . C l u b - Z e i t u n g Nr. 2 , 26. Apr. 1848, S. 11

sagte J a c o b i , „Zuschriften der A rt w ürden m ehr an das deutsche P u b lik u m , als an die hohe Person g e rich te t“, und nach der N a t i o n a l - Z e i t u n g No. 26, 27. Apr. 1848: „M an w erde wohl zugeben, daß es ihm ein Leichtes gewesen wäre, sie dem Könige zu Gesichte zu b rin g en , wenn er anders gew ollt h ä tte “ . — „D er König h a t meine D edication n ich t g e le sen ; H u m b o l d t h ä tte sie ihm vorgelesen, w enn der ihn betreffende Passus n ich t d a rin gewesen wäre. Die F reude und der D ank , den er m ir dafür bezeig t h a t, haben m ich vo llständ ig en tsch äd ig t“ , h a tte J a c o b i dem B ruder (11. Ju n i 1847, B rief No. LIII) geschrieben.

4) D er B erich t der C o n s t . C l u b - Z e i t u n g 1. c. S. 11 n enn t h ie r — offenbar zutreffend — E ic h h o r n s ta tt B o d e l s c h w i n g h .

5) D er B erich t der C o n s t . C l u b - Z e i t u n g 1. c. S. 11 läß t J a c o b i sagen, „ e r liebe den König, der jed e d iam etrale R ich tu n g einer anderen M einung v e rtragen h ab e“ .

6) Im B erich t der C o n s t . C l u b - Z e i t u n g 1. c. S. 11 sind h ie r fe rner M o h r und M e v i s s e n genann t.

7) „ ,Der D ep u tirte1, wie J a c o b i sehr beißend h in zu setz te , da der Sohn dieses D ep u tirten einer seiner H a u p tan k läg e r is t“ , h e iß t es in der N a t i o n a l - Z e i t u n g Nr. 26, 27. A pril 1848. — ln dem oben erw ähnten schw arzen B uch der Polizei sind übrigens Y ater u n d Sohn au fgeführt, le tz te re r verm utlich sogar zweim al, näm lich als S tuden t an der U niversitä t B erlin (p. 173) u n d als R edac teur der C o n s t i t u t i o n e l l e n Z e i t u n g (p. 334), w ährend der Y a ter als D ep u tirte r u n d L an d ra th p. 325 vorkom m t.

8) Im B ericht der C o n s t . C l u b - Z e i t u n g 1. c. h e iß t es: „d ie liberalen Geleh rten M o s s o t t i , M e l l o n i etc .“

W . Ahrens.1 8 2

verläßt dann unter <dem rausclhendsten ^ ^ ^ ^ empfolüene nicht gegen den Candidaten, soni Er gei überzeugt, J a c o b i seiCandidatur des großen Gele r P s e i e n Republikaner, das wisse erein Republikaner. Alle gio.e politischem Charakter,aus Erfahrung. Es fehle J a c o b i an 3o“ e^U ’ (kn Redner, schnell zu(Fortwährende lärmende Unterbrechung Die y ersammlullg

schließen.)2) - über die Can-m ihrer ^ a b T e e W e m die JACOBiache A n g e leg en h e it Ter-didaten zu stimm en. S i ’ 7 ■. prbalten h eu te aUein seienhandelt werde, einen ungew öh n lichen Zuwachs « M ^ i h se_en

- T L o r Wölb macht ihn zu dem aeinigen’) nur darum, weil man

“ er :

YII.In dieaer Sitzung (25. April), in der auch J a c o b . s Frau und Schwerter

eich unter der Zuhörerschaft befanden, ae.ersten, berichtet J a c o b i dem Binder (Brief LXH, 20. 1848>große Mathematiker hatte alle Anklagen niedergeschlagen. Bezüglich der Königsberger politiachen Vergangenheit führte daher später, naml.ch m der nächsten Sitzung (27. April), einer der Redner, O ldenbkeg die An- klao-e mit Recht auf ihren eigentlichen Kern zurück, indem er bemerkte, J a c o b i habe dort „wohl dem Liberalismus, doch nicht den Liberalen gehuldigt“4) oder wie es in einem späteren Artikel der G renzbo ten ) ei JACOBI habe sich in Königsberg, wo „ein reges politisches Leben (d. h. eine rege politische Kannegießerei)“ geherrscht habe, „in die stolze Einsam ei des Gelehrten zurückgezogen,“ worin die Gegner, vor allem die früheren

1) Im B ericht der C o n s t . C l u b - Z e i t u n g 1. C. : „einsam d enkende G eleh rte“ .2 ) Der B e rich t d er C o n s t . C l u b - Z e i t u n g v e rz e ic h n e t: „ T h e ils L a rm , th e i ls le b

h a f te r B e ifa ll“ .3) S. die abweichende D arstellung in C o n s t . C l h b - Z e i t u n g 1. c. S. 11 und

auch S. 19 (Nr. 3).4) In dem un ten abgedruck ten B erich t der Z e i t u n g s - H a l l e feh lt d ieser Passus

der O l d e n b e r g sehen R ede; s. dagegen C o n s t . C l u b - Z e i t u n g Nr. 3, 3. M ai 1848, S. 19.5 ) D ie G r e n z h o t e n , 8 . Jah rg . I . Sem. I I . Bd. (Leipzig 1 8 4 9 ) , Nr. 1 8 : „ P o r t r ä t s

der B erliner U niversität. 2 . J a c o b i“ , p . 1 7 7 /1 7 8 .

Ein Beitrag zur Biographie C. G. J. Jacobie. 183

Königsberger, allerdings eine unverzeihliche Nichtachtung erblicken mochten. Mit Recht nannte die Augsburger A llgem eine Z e itu n g 1) die J a c o b i

gemachten Vorwürfe „zum Teil ganz frivol, z. B. daß er einst dem Könige die Hand geküßt!“ Der Vorgang hatte sich am Tage nach der Huldigung in der alten Krönungsstadt (Sept. 1840) abgespielt;2) der geistreiche und liebenswürdige Monarch hatte in diesen Tagen aller Herzen im Sturm gewonnen. Von einem „Herandrängen“ an die Machthaber konnte bei J a c o b i

keine Rede sein. „Alles schwamm in Freuden, und noch einige Tage hindurch währte der bacchantische Taumel“ (T b e it s c h k e , Deutsche Geschichte im 19. Jahrh., T. V, Lpz. 1894, p. 47).3) Daß auch die gelehrten Herren der „Albertina“ hiervon mit ergriffen wurden, ist an manchen Beispielen leicht zu zeigen: man lese z. B., auf jene Tage bezüglich, in der Autobiographie4) des Botanikers E. M e y e r den allerdings „unwürdigen“ Exkurs über „Hofluft“ oder auch einen allerdings späteren Brief B e s s e l s 5) an H u m b o l d t über ein Porträt des Königs usw. Das einzige, was J a c o b i allenfalls noch hätte hinderlich sein können, wenn er ehrgeizige politische Pläne gehabt und diesen zu Liebe um Volksgunst sich hätte bemühen wollen, war die RAUMERsche Angelegenheit; doch mußte es hier versöhnend und sympathisch wirken, daß J a c o b i unumwunden die „Nachlässigkeit“ — und mehr konnte ihm schlechterdings niemand vorwerfen — zugab. Wenn Die R e fo rm 6) ohne Nennung von Namen gegen jene Akademiker wettert, welche sich soweit vergäßen, die oft bejammerte Veröffentlichung jenes Schreibens anzuklagen, so kann sie hierbei J a c o b i nicht wohl gemeint haben, da dieser wenigstens den vorliegenden Berichten zufolge eine derartige Äußerung nicht getan hat. Nach H a r n a c k , a. a. 0. p. 715 hatte J a c o b i seinerzeit im Verein mit D o v e , P o g g e n d o r f f , R ie s s und G. R o s e sogar beantragt, um der öffentlichen Meinung ein richtiges Urteil zu ermöglichen, sämtliche Protokolle in der RAUMERschen Sache in den M ona tsb erich ten der Akademie zu publizieren, ein Antrag, der jedoch abgelehnt wurde.

Jedenfalls entschied dieser Tag (25. April) die Niederlage der Gegner des berühmten Mathematikers: P r u t z sprach, von der Aussichtslosigkeit des JoRDANschen Antrages bereits überzeugt, gegen den Antrag, wenn auch scheinbar nur aus formellen Gründen; der Antragsteller zog sodann

1) A l l g e m e in e Z e i t u n g Nr. 122, p. 1942, 1. Mai 1848.2) B rief No. LXI1 (20. Ju n i 1848).3) Vgl. a. F a l k s o n , 1. c. p . 41; von J a c o b i is t d o rt an läß lich d ieser Festlichkeiten

n u r in einer g leichgü ltigen Szene die R ede (p. 34).

4) N e u e P r e u ß . P r o v i n z i a l - B l ä t t e r Bd. XI (1857), p. 208/209.5) B rief v. 12. Febr. 1846; s. Briefe von H u m b o l d t an V a r n h a g e n v o n E n s e ,

4. Aufl., Lpz. 1860, p. 198ff.; vgl. dazu A s tr o n . N a c h r . 24, No. 556 (8. A pril 1846).6) D ie R e f o r m Nr. 28 v. 29. A pril 1848 u n te r „B erlin , 26. A pril“ .

W. A hbens.184

i o j ■ „o» „iv Erzwingung einer Abstimmungd e n Antrag vorläufig zuruck, so a fo.enommen werden mußte. Deraus dem eigenen hinterlassen batten, spiegelt siebE i n d r u c k , den die Debatte 0n a l-Z e itu n g , ursprünglich,auch in den Preßbenchten wi er. ie ^ „ber ¿esgeil Rede vomwie wir sahen, gegen J a c o b i emgenom , o-esprochen, mit scharfen25. April: „Diese lange Rede m ruhigem2) ^ die Ver.Sarkasmen untermischt, mac e un gchauspiel, als wenn ein LöweSammlung*, uns g e w a h rte ^ ^ ^ ^ Con5tituti„M USmus,mit Mausen spielt J a PP ^ ^ gQ beliebt und so leicht ist;noch an ie n e igerlz ^ ^ Bewußtsein seiner Bedeutung“ . . . undkeinen Augen^ der H afd e u Spenerschen Z e itu n g 3) heißt es vonm einem Artikel de Mittheilung dieser Rede durch den DruckfWsplhen Rede J ä COBIS u . a.: „Die mittneuuugwürde ein sehr schätzbarer Beitrag zu der Biograp ie es gro en lehrten seyn und man kann nicht leugnen, daß sie sich m einzelnen Parti ZW Höhe der Classicität4) erhob. Deutschland würde sich Gluck wünschen können, wenn es viele solcher Vertreter in seine Parlamente zu schicken hätte Der Angriff des Hrn.'A e g id i , daß der Prof. J a c o b i nicht als treter der constitntionellen Ansicht, und somit nicht als Empfohlener des Clubs gelten könne, war zu wenig geeignet über den W erth dieses b - deutenden Mannes ein genügendes Urtheil abzugeben dem gewi^ ™ *geraubt ist, wenn ihn der constitutioneile Clubb auch nie e \Ö 7

VIII.In der nun folgenden Klubsitzung vom 27. April, der letzten m

Sachen J a c o b i , wurde dessen Sieg durch nahezu einstimmige erwer uns des J o r d Ansehen Antrages besiegelt, so daß der große Mathematiker unter den Kandidaten verblieb, welche der konstitutionelle Klub der Bürgerschaft Berlins für die Wahlen empfahl, ohne daß diese Empfehlung für J a c o b i

jedoch weitere Konsequenzen gehabt hätte. „Die ganze Sache“, sagt J a c o b i

selbst, „war eigentlich eine Kinderei, da Beifall oder Tadel dieses Klubs die gleichgültigste Sache der Welt ist; sie war mir aber doch interessant

1) N a t i o n a l - Z e i t u n g No. 26, 27. A pril 1848.2) Auch in dem o b en zitie rten G r e n z b o te n a r t ik e l h e iß t es (1. c. p . 178), J acobi

habe inm itten der e rb itte rts ten A ufregung u n te r tausend Z uhörern m it der größ ten Ruhe m ehr als eine Stunde gesprochen, „eben so langsam u n d b ehäb ig , w ie gew öhnlich , auch n ich t in dem Ton der Stim m e w ar eine Spur der A ufregung zu en tdecken“ . Im übrigen findet der anonym e Verfasser dieser Skizze, daß J a c o b i n ic h t e ig en tlich ein R edner sei (s. das N ähere dort).

3) H a u d e u. S p e n e r s c h e Z e i t u n g Nr. 99, 27. April 1848.4) „W enn es w ahr is t“ , sag t J acobi hierzu (B rief No. LX1I), „soll es m ir angenehm

sein, doch is t dieser U m stand bei P a rte ia rtik e ln N ebensache“ .


und lehrreich, indem ich dabei mancherlei Erfahrungen machte"1). Welcher Art diese „Erfahrungen" gewesen seien, sagt der Briefschreiber nicht, doch faßt der Bruder dies auf die ihm genehme Art auf und schreibt: „Mit dem Pöbel Dich zu befassen, darin hast Du Gott sei Dank gleich beim debut ein Haar gefunden, und an Herzweh für das Wohl der ganzen Menschheit hast Du so viel ich weiß nie gelitten. Als Du Dich vomKitzel eines bon-mots hinreißen ließest, dachtest Du gewiß in Erinnerung

. ® Deiner philologischen Studien an das Alterthum . . . . Wenn Du das Glückoder Unglück haben solltest, Deputirter zu werden (und warum solltest Du nicht daran denken?), so hoffe ich Dich im rechten Centro glänzen, mit Sarcasmen haushälterisch umgehen, und Deinen edlen Charakter und Deine feste Gesinnung im schönsten Lichte zeigen zu sehen"2). Natürlich ist hier z. T. der Wunsch der Vater des Gedankens: auch M o r it z J a c o b i

wird kaum erwartet haben, daß es ihm gelingen würde, den Bruder auf seinen Lehrer H e g e l und dessen Persiflage des „Herzwehs für das Wohl der ganzen Menschheit"3) einzuschwören und so die politische Differenz zwischen ihnen beiden zu überbrücken. In der Tat würde der große Mathematiker, wenn er in die preußische Kammer deputiert wäre, für die damals (zur Zeit des zit. Briefes) die Wahlen vorbereitet wurden, sich jedenfalls der Linken angeschlossen haben, während, wenn es ihm vorher bestimmt gewesen wäre, die Namen der 76 Professoren des Frankfurter „Professorenkonvents“ noch um einen besonders glanzvollen zu vermehren, er vermutlich nicht im rechten, sondern im linken Centro seinen Platz genommen hätte.4) „Ein mittelmäßiger Mann wie unser eins“, sagt J a c o b i5) allerdings selbst, „ist jetzt übel daran, weil alles gleich ins Gegentheil üherschlägt, und man bald rechts bald links ist“.

J a c o b is Hauptgegner Cr e l in g e e hatte durch seinen Vorstoß tatsächlich weiter nichts erreicht, als seine eigene Stellung zu untergraben, wozu vor allem auch beigetragen hatte, daß aus Erbitterung über den heftigen Angriff gegen J a c o b i einer von dessen Anhängern in der Sitzung vom 23. April die nicht unbedenklichen, schon oben erwähnten amtlichen und damit zusammenhängenden politischen Antecedenzien Cr e l in g e e s an der Hand eines Artikels der M agdeburg ischen Z e itu n g 6) vorgebracht hatte, „eine etwas unwürdige Waffe", wie J a c o b i in dem oft zitierten Briefe

1) B rief No. LXII (20. Ju n i 1848). — 2) B rief No. LXVI (Ende Dez. 1848).8) Vgl. auch B rief No. LXXIV (Petersburg , 30. Ju n i 1849 n. St.).4) Von dem H ervortre ten der „österreichischen F ra g e “ an, welche b ek an n tlich eine

ganz neue P a rte ig ru p p ieru n g in F ran k fu rt zur Folge h a tte , w ird Jacobi m it der sogen.„ E rb k a iserp a rte i“ („W eidenbuschverein“) sy m p ath isie rt haben (für seine p reuß isch deutsche G esinnung vgl. den B rief LXIV v. 4. Aug. 1848).

5) B rief No. LXIV (2. Aug. 1848).6) M a g d e b u r g . Z e i t u n g No. 98 , 23. A pril 1848 un ter „B erlin, 21. A pril“ ;

s. a. A. W olff, 1. c. pag. 270.

W A h r e n s

1 8 6

, • 1 t V e rfe h lu n g CRELINGERS in außersa g t, in w elchem er zu g eic t le £ C r e l i n g e r später eineord en tlich m ild e r B e u r te ilu n g e rzäh lt. V e n n a ^ ^ V ärnhäC 4EN

darauf bezügliche Erklärung ™ e d d h die er auch jedenoffen, freimütbig und recht W nenn ) und ^ ^ ^ ^

Vorwurf von CltELlNGEK beseitigt H errn Justiz ra tb Crelinger

- - « * . « • * » * *gesprochen, über seine 1 , , i Nöthige zu thun. Auchgebäre der Jugend, d.eser müsse man - Der Klubseines Klubs ist er sci ori mu ^ denkwürdigen Debatten wieder inselbst sank nach ßee 0 & "i^ond in dpu Ta<ren der jACOBlschen

« L o b e l i e n w nrV on rorber 424), waren spüter

selten mehr als 100 anwesend.

über die Einzelheiten der Sitzung vom 27. A p r i l ,f t i | ™noch den Bericht schuld,g gehliehen sind, sagt die Z e i tn n ö s H ai

° Tagesordnung: JACOBische Angelegenheit................Cff P r l t ^ J j1'creo-en den JoRDANschen Antrag: den Prof. J a c o b .r von der Liste der Cant a t e n zu streichen, in voriger Sitzung aus formellen Grünten er wolle jetzt seinen Widerspruch durch sachliche Grunde i echtfeiti .Der Club sei kein Wahlcomite. Die Bedeutung, welche die Aufstellung einer Candidatenliste habe, sei allein die, dem Candidaten eine Empfehlung ein Zeugniss, einen Creditbrief auszustellen. Der Antrag verlange erneu MiMreditbrief. Das politische Zeugniss würde auch er dem Candidaten versagen, allein die moralische Frage sei von der politischen hier nicht zu trennen, die zur Sprache gekommenen Handlungen, obwohl ihm dem Redner, persönlich mißfällig, seien jedoch nicht geeignet, den Candidaten in der öffentlichen Meinung moralisch zu ächten. Überdies sei die Anklage nicht genügend substantiirt, da sie sich nicht auf erhebliche Thatsachen, vielmehr nur auf einen Totaleindruck gründe. — Der Redner bemerkt noch: er habe die Anklage veranlaßt, durch welche der Club „einen ungeheuren Ruck" erhalten habe. Überstehe man diesen nicht, so sei nichts daran gelegen. Der Club habe dann verdient zu fallen. Überstehe man ihn, so habe man einen ungeheuren Fortschritt gemacht. Er habe den

1) V arnhagen, Tagebücher, Bel. V, p . 11 (9. M ai 1848).2) Ib id e m , p . 3 (2. M ai 1848).3) D i e G r e n z b o t e n 8. J a h rg . (1849) I. Sem . I I . B d ., p . 180.4) B e r l i n e r Z e i t u n g s - H a l l e N r. 1 02 , 3. M ai 1848 , H a u p tb la t t ; a b g e d ru c k t

be i A. W olfe, 1. c. p . 272— 273.


Muth, die Anklage fallen zu lassen. Ihn bestimme dazu vor Allem der Applaus, welchen die Jugend1) dem Angeklagten gezollt habe. — v. Barde- leisen . er sei gegen JäCOBIs Candidatur, aber nicht für den Antrag, ihn zu streichen. Moralisch habe er Nichts gegen Jacobi, nur sein politischer Standpunkt genüge ihm nicht. Er glaube überdies nicht, daß die Empfehlung des Clubs einem Candidaten viel nützen werde. — v. W erther: Der Club sei nun einmal in die Grenzen eines Mäßigkeitsvereins zurückgetreten; er müsse deshalb consequent sein und die Anklage verfolgen. Es frage sich, oh die Thatsachen, die man gegen Jacobi vorgehracht, eine politische Inconsequenz, eine Achse]trägerei verrathen. Es komme zuerst der Handkuß in Betracht. Unstreitig ist derselbe aus persönlichem Attachement an den König hervorgegangen. Kann ein Mann, der dem König persönlich zugeneigt ist, constitutioneller Deputirter werden? (Ja, ja!) Ich bin derselben Meinung. Der Yolksvertrag, der geschlossen werden soll, hat die Person des Königs zu sichern, den Parteileidenschaften zu entheben. Der König wird jetzt aus Liebe eine desto freiere Constitution geben, nicht mehr durch Stahl und Eisen, nicht durch Theorien von Stahl. (Bravo. Heiterkeit.) Habe man dem Candidaten vorgeworfen, er sei ein versteckter Republikaner, so sei das kein Vorwurf. Man könne Republikaner sein, ohne mit dem Königthum zu brechen. Deshalb sei er gegen den Antrag. — Olden BERG: Die Mehrheit der Versammlung kennt Jacobi nicht, sie heurtheilt ihn nur nach dem Eindruck, den die Discussion hervorgehracht. Dem Redner geht es eben so. Ihm scheint Jacobi alle Angriffe glücklich abgewehrt zu haben, nur die Akademieangelegenheit nimmt er aus. Der Dedicationsbrief sei so, daß er seihst ihn geschrieben zu haben wünsche. So könne jeder freie Britte an seine Königin schreiben, der Brief der Akademie sei ein Hauch auf einer Spiegelfläche, aber keine moralische Verschuldung. Manchmal schläft auch der gute Homer, und damals hat mehr als ein Homer geschlafen. (Beifall.) Auch die Lichter der Wissenschaft setzen Kohle ah, die öffentliche Meinung muß sie putzen, aber nicht auslöschen. (Bravo.) Jacobi muß eben als Mathematiker wahrhaft befruchtend auf eine gesetzgebende Versammlung wirken, die aus lauter Juristen, Nationalökonomen, Kaufleuten u. s. w. bestehen wird.2) Er, der Redner, sei nicht nur gegen den Antrag, sondern er beantrage jetzt, nachdem die Gesinnungstüchtigkeit ihr Müthchen an dem Genius recht tüchtig

1) „M it ih rem feinen In s tin k t fü r alles Große und G eistige“ h e iß t es im B erich t der C o n s t . C l u b - Z e i t u n g Nr. 3, 3. Mai 1848, S. 19.

2) In dem B erich t der C o n s t . C l u b - Z e i t u n g 1. c. h e iß t es: „D er M angel an politischem T alen t, den m an bei dem M athem atiker angereg t, sei n ich t erw iesen, er e rinnere an B ailly, der als M ann derselben W issenschaft seinen P räsid en ten stu h l trefflich ausgefüllt h ab e , j a es sei anzunehm en, daß eine so ab strac te Intelligenz, befruch tend au f viele rein p rak tische M änner einw irken w erde“ .

W A i i r e s s .188

gekühlt habe, den Prot JACOn. für ein,“ T0“ ^ C" -didaten aundriickl» zu erklären. & danke Jacobi (Anhaltender Beifallssturm empfangt den Redner). u rN ä c h s t für die Geduld, mit der man Ihn n angehort^ Seme An

gelegenheit erhalte einen «««"“ ( '™ ''aJ s ^ dei Versammlung stehe die Anklage cegen ihn vorgebracht, an uer iund ihr rolle! Vertrauen gen,ehe. Er bitte vor Allem, davon zu abstrahiren, daß der Leiter der Gesellschaft mit seinem Ankläger zusammen a e.Vielleicht sei dieser Mann selbst durch die Auseinandersetzung dergelegenheit befriedigt erklärt, und er richte dieserhalb eine Frage, bi,Lihm Es scheine nahe gelegen zu haben, ganz zuruckzutreten. g eic seine Kräfte durch diese Verhandlungen erschöpft seien, habe er doch nicht zurücktreten ivollen. Auch auf die Abstimmung verzichte er nicht.Er wolle die Meinung der Versammlung über ihn kennen lernen, er wolle, daß sie seine Lage würdige und die Nachtheile berücksichtige, welche ihm durch die hohe Autorität seines Klägers bereitet werden. Man möge daran nicht denken, daß ein Votum für ihn zugleich eine V erurteilung des Sprechers sei. Es sei ihm an der Meinung der Versammlung auch darum o-eleo-en weil dieselbe vielleicht über seine künftigen Entschlüsse bestimmen könne. * Für das Publicum, welches über den Club vielleicht noch keine sichere Ansicht habe, werde es ein historisches Factum abgeben, daß der constitutioneile Klub über den und den Mann so oder so geurtheilt hat. (Ein Applaus, der nicht enden zu wollen scheint, geleitet den Redner von der Tribüne.) — Crelinger: Was JaöOBI eine Anklage nenne, habe er nicht erhoben. Er habe nur eine bestimmtere und klarere Entwickelung der politischen Grundsätze gewünscht, Persönlichkeiten seien von ihm nicht angeregt worden. Man habe sein Zeugniss angerufen, und das habe er nicht verweigern können. Er sei wider seinen Willen in die Discussion hineingezogen worden. Man habe Privatäußerungen, die nicht in den Bereich dieses Saales gehören, indiscret benutzt. Wenn man ihn frage, ob er die Meinung, die er nach seinen Privatäußerungen über Jacobi gehegt, noch habe, so antworte er: Nein (Beifall) und er danke Jacobi, mit dem er immer in den freundschaftlichsten Beziehungen gestanden, daß er ihm zu dieser Äußerung Gelegenheit gegeben.

Die Abstimmung ergiebt eine Minorität von 4 oder 6 Stimmen für den Antrag...............

1) Auch Jacobi sag t in dem oft z itierten B riefe , Oldenburg — v erm utlich C. M. Oldenburg, der Ende 1848 R edakteur der dam als g eg rü n d eten D e u t s c h e n R e f o r m wurde — habe durch seine „im höchsten G rade ausgezeichnete R ede alle entzück t“ .


X.Bei der häufigen Benutzung, welche wir im vorstehenden von der

Tagesliteratur machten und machen mußten, würde eine Seite fehlen, wenn wir nicht wenigstens kurz auch jener Literaturgattung gedächten, welche in Preußen diesen Tagen ihre Entstehung verdankt und damals gleich besonders üppig emporblühte, der politischen Satire. Bei dem großen Aufsehen, welches die jAOOBische Angelegenheit in Berlin erregte, konnte es nicht fehlen, daß auch die Witzblätter und Broschüren sich dieser Materie bemächtigten. So behandelt das in jenen Tagen gegründete und noch heute angesehenste Organ dieser Richtung, der K lad d erad a tsch , in seiner allerersten Nummer (7.Mai 1848) unter der Rubrik „Clubb-Zeitung“ die „Politischen Antecedenzien des Wahl-Candidaten, Arbeitsmann Waschlappen“ in einem längeren Artikel, der zwar, wie man nach dem Zusatz: „Sitzung vom 28sten“ annehmen darf, nicht gerade speziell oder ausschließlich auf Jacobi zielen soll, der aber doch ganz vorwiegend mit Anspielungen auf die Debatten über Jacobi reichlich gespickt ist. Auch ist in derselben Nummer Jacobi unter denjenigen Männern genannt, die das Blatt zu Mitarbeitern zu gewinnen hofft, indem durch die Zusammenstellung „Jacoby und Aegidi“ kein Zweifel darüber gelassen ist, daß hier der große Mathematiker und nicht Johann Jacoby gemeint war.1) — Die damals sehr viel gelesene Ew ige Lam pe brachte einen Bericht2) über die politische Section, die der Prosector des constitutioneilen Clubs, Herr Ludwig Crelinger, an dem Professor der Mathematik Jacobi aus Könio-s- berg vorgenommen habe und wobei sich folgender Befund herausgestellt habe: „1. eine Lippenschwiele von einem servilen Handkuß; 2. an der rechten Hand ein unauslöschlicher Dintenfleck von der Unterschrift eines ungelesenen Briefes; 3. ein unterdrücktes Geheimeraths-Bewußtsein und4. mangelnde Strangulations-Marke von einem zweiten Ordenshalsbande.“ — Auch eine besondere kleine Broschüre mit dem Titel Eine Sitzung im constitutioneilen Club (Berlin 1848, 13 Seiten) parodierte z. T. jene Debatten und läßt „Aejüdlem (Aegidi) auftreten, um „die geehrte Gesellschaft vor Herrn Prof. Jacques, 3) den großen Mathematikus zu warnen,“ worauf dann die weitere Diskussion über ein wenig salonfähiges Thema nach „Prof. Dovelchen“ auch „Prof. Jacques“ auf die Tribüne führt. — Nicht wesentlich höheren Grad von Ernst darf das schon oben erwähnte schwarze Buch der politischen Polizei für sich in Anspruch nehmen und darf daher

1) Die hierzu gegebene „ E rläu te ru n g “ in der u n te r dem T ite l „Im to llen J a h r“ 1898 erschienenen N eu-A usgabe dieses Jah rg an g s is t verbesserungsbedürftig ; bei dem obenerw ähnten A rtikel feh lt dagegen jed e E rläu teru n g .

2) D ie e w ig e L a m p e , Nr. 3 (1848), S. 4.3) W ohl als A nspielung sowohl au f J a c o b is F am iliennam en wie auch a u f seinen

gew öhnlichen R ufnam en ( J a c q u e s ) aufzufassen.

W. A h k en s

1 9 0

Mer D„ C W S - werden, n , d e , I « oben die

gestellt haben °b/ eI1gic“ Cwäre Jacobi allerdings schon deswegenhierauf zu antworten. An sich weil er bekanntlich 1851ron dem 1854 erschienenen Buche ausgesch , poiltische Polizeistarb Nun führt das Buch aber m ehfach T o t e ^ ^hielt offenbar aueh die Geister es c a [m ,i rlin.]e genommen

Lal “ m g s t r OWirkung daß das Zwitterwesen „Jakoby, Professor aus konigsber )I h t wie Jacob St e if e m der Abth. III der Harmlosen sondern nebenAkago n a. in die Abth. II des Buches geraten lst> wf ° ' ' e ” “ strengeren Überwachung Bedürfenden, großentheüs gefährliche Subjek e m sich faßt.“ 3) „Ich fange jetzt erst an, me,ne Existenz ron der des Dr Jacoby zu detaehiren“, hatte C. 0. J. Jacobi dem Bruder am 26 Jan 1849 geschrieben:3) Dem Spürsinn der politischen Po izei muß dies Detachement ebenso wie der Tod des großen Mathematikers ent-gangen sein.

XIJacobis politisches Wirken hatte mit den Debatten im konstitutionellen

Klub zwar noch nicht völlig,4) aber doch in der Hauptsache ihr Ende erreicht. Als glänzendes Meteor war er plötzlich und unerwartet am politischen Himmel aufgezogen, aber auch fast ebenso schnell verschwand er wieder. Zum Volksführer fehlte dem großen Gelehrten doch mancherlei. „Jacobi ist radikal“ heißt es am Ende des mehrfach zitierten G renzbotenartikels,5) „aber er verleugnet nie den vornehmen Geist, der mit den Edelsten seiner Zeit und aller Zeiten in stetem Verkehr steht, der dem Volke sich nicht nähert, um ihm zu schmeicheln, sondern um es zu der Höhe, die er seihst errungen, heranzubilden. Aber eben daran scheitern seine Bemühungen, eine politische Stellung zu erreichen; keine Partei traut ihm, keine Partei lieht ihn. Für Geister, wie Jacobi, ist die

1 ) L. c. p. 154. — 2) L. c. V orw ort, p. VIII. — 3) B rief No. LXVII.4) Im „V erein fü r V olksrechte“ , in dem J a c o b i z u seiner „Ü bung u n d E rfah ru n g “ ,

jedoch, nu r kurze Zeit den V orsitz fü h rte , sp rach er m eh rfach , ebenso in B ezirksvereinen (Brief No. L X II; vgl. auch G r e n z b o t e n , 1. c. p. 180). A uch an läß lich der W ah len Anfang 1849 h a tte er „3 große R eden g ehalten , die fü r K am m erreden h ä ttengelten können, und w ar unerb ittlich gegen die Schm ach des B elagerungszustandesgewesen“ (Brief No. LXVII, 22. Jan . 1849). S. ferner K o h n ig s b k r o e r , 1. c. p. 479.

5) L. c. p. 181.

Ein Beitrag zur Biographie C. G. .T. Jacobis. 191

Monarchie ein günstigerer Boden; er ist zu selbstständig und auch wieder in anderer Art zu biegsam, um von den großen Massen getragen und gehoben zu werden.“ — Die berechtigten Forderungen des Volkes, das edle Bestreben, für materielle und geistige Hebung der unteren Volksschichten zu wirken, hatten J a c o b i auf die Seite der Volkspartei geführt; Voreingenommenheit und Unduldsamkeit der Menge stießen ihn dagegen, wie schon erwähnt, wieder ab. Das Recht der selbständigen Ansicht nahm er unter allen Umständen für sich in Anspruch und scheute sich daher nicht, eventuell die eigene Partei rücksichtslos vor den Kopf zu stoßen, so z. B., indem er in dem „V erein für Volksrechte“ sich gegen das gleiche Wahlrecht aussprach, eine Verletzung aller demokratischen Grundsätze, die sofort von etwa 10 Rednern nacheinander bekämpft wurde.1) Daß solche L berraschungen das Vertrauen der eigenen Partei etwas angriffen, kann nicht wunder nehmen. Auch sonst fehlte J a c o b i bei seinem Auftreten stets jede Berechnung persönlichen Vorteils; so soll er nach derselben Quelle2) bei den Wahlen des Jahres 1849 alle Aussichten dadurch verscherzt haben, daß er auf eine an ihn gerichtete Interpellation hin sich eine Bedenkzeit erbat, ohne die Frage, wie offenbar erwartet war, sofort in dem gewünschten Sinne zu beantworten. „Daß ich jetzt nicht die geringste Probabilität zum Deputirten habe,“ schrieb3) er damals, zum Wahlmann gewählt, unmittelbar vor den Deputiertenwahlen dem Bruder, „und daher über den einzunehmenden Platz nicht zu reflectiren brauche, scheint mir sicher. Du hast gar keine Vorstellung, wie fern unser eins dem Volke steht, und selbst solchen, von denen man es dochmeinen sollte, ist unsere Existenz ganz unbekannt................. Auch ist esmir unmöglich, Schritte zu thun, um mich hervorzudrängen, nicht aus mangelndem Ehrgeiz, sondern aus Bequemlichkeit. Es ist mir vorläufig genug, daß alle, die mich kennen, meinen, ich hätte die Qualification, und zwar mehr als die meisten. Ich werde auch keine Gelegenheit vorüberlassen, wenn ich einmal in einer Wahlversammlung bin, meine Meinung mit allem Feuer, Beredsamkeit und Rücksichtslosigkeit eines klar erfaßten politischen Gedankens auszusprechen. Und so kann es wohl allmählig im Laufe der Jahre, wenn ich nach und nach immer bekannter werde, dazu kommen. Das Opfer, das ich durch Aufgabe meiner Arbeiten und und vielleicht durch meine Gesundheit bringen müßte, ist so groß, daß ich mir den Aufschub oder Aufhub gefallen lassen kann.“ Damit berührt J a c o b i denn auch zugleich den Hauptpunkt, die Rücksicht auf seine wissenschaftliche Tätigkeit. Schon in einer der obigen Reden des kon-

1) D ie G r e n z b o t e n , 1 , c. p. 180.2) F alkson, 1. c. p. 87/88, sowie G r e n z b o t e n , 1 . c. p. 180/1.3) B rief No. LXVIl (26. Jan . 1849), A ntw ort au f die S. 185 z itie rte Stelle ausB riefL X V I.

W.A—■ 8'P N a tio n a l-Z e itu n g vorwurfsvoll

stitutionelleu Klubs hatte habe ihn wohl überberichtet,1) bemerkt, die Lie auch die Revolutionsbewegung hatteGebühr von d e r Politik fern ge A iten die damals vorzugsweise aufihn in seinen wissenschaftlichen ja das Jahrastronomischem Gebiete lagen ni Arbeit für ihn ge-1848 war sogar besonders reic mitten in jenerwesen (vgl. Brief LXVIl, » langen Brief an FuSS,stürmiseheu Aprilwoche war ,lH, Herausgabe der EuLEßschenden Sekretär der Petersburger . ■ d nächsten Jahres undSchriften betreffend * * * * £ f i t e n ihnr „eine furchtbar«

^ " Ä d i Ä * » " - bls ä‘hmnur einige späte Abende daran zusetzengehl> “ * ^ f dm gcMd

Hatte J a c o b i der anderen Seite nocherhoben zu werden, so hatte sein bMn(ri en und selbständigenweit mehr Anstoß erregt;' Parte°en Anklang gefunden.Männern so oft geht be amtliche StellungDie verhängnisvollen Konsequenzen weiche ,lieh tuhieraus ergaben und welche zeitweilig sein ferneres^ e r ^ ^

i\ R ' T e » s ’senB wefcbT d^Zartheit" sein«"Gefühle nicht verletzen » dem Lande zu erhalten“,.) sind bekannt*) und gehbren zudem nicht mehr in den Rahmen unseres Themas.

1) N a t i o n a l - Z e i t u n g No. 24, 25. A pril 1848.

2) B rief No. LXVIl (22. Ja n . 1849). x y g t 134 9 ). S. a.3) Vgl. a. oben S. 190 Anm. 4, sowie B rief No. L \ \ \ (21. b ep t. )

K oeniosbergel, L c p ,r8 an M H. J acobi (19. Jan . 1852).

% Vgf b . l d » . K o e h i g s b e e g e r , 1. c p . 462* ., w . „ e h (p. 470) e in . v « U c » . F rau herrüh rende ^ d r ä n g te D arste llung der ganzen A ngelegenheit a b g ed iu ck t ist, «ine auf d ieselbe Q » H e z u riick g .h .n d e D arstellung findet eich auch m dem A « » W e m ile u (S tu ttg . n. Leipa. 1905, p. 15(16) b e tite lten Buche der F ra u M . .» .H a » . . T a v e o k einer T ochter des m it J a c o b i b efreundeten A stronom en P. A. H a n s e n .

G. E n e s t k ö m : Über Bearbeitung v. Bandregistern z u matkem. Zeitschriften u s w . 193

Über Bearbeitung von Bandregistern zu mathematischen Zeitschriften oder Sammelwerken,


Daß jeder Zeitschriftenhand mit einem Inhaltsverzeichnis versehen werden soll, ist eine Regel, die wohl ausnahmslos beobachtet wird, und wenn das Verzeichnis auf verständige Weise angeordnet ist, so wird es ohne Zweifel in vielen Fällen das Benutzen des Bandes erleichtern. Durch dasselbe findet man nämlich fast unmittelbar eine Abhandlung auf, deren Verfasser oder Titel man kennt, und man kann auch ohne große Mühe ermitteln, welche Aufsätze einen gewissen Gegenstand behandeln, sofern dieser Gegenstand in den Titeln der Aufsätze genannt oder wenigstens angedeutet wird.

Aber nicht selten kommt es vor, daß man wissen will, oh sich in einer Zeitschrift Aufschlüsse über eine besondere Frage oder eine besondere Persönlichkeit finden, ohne daß man voraussetzen kann, daß es immer aus dem Titel hervorgeht, ob ein Aufsatz Aufschlüsse der erwünschten Art enthält, und in solchen Fällen genügt nicht das Inhaltsverzeichnis. Zuweilen gibt es Generalregister, die nicht nur Inhaltsverzeichnisse einer Reihe von Bänden enthalten, sondern noch dazu den Benutzern ein Namen- und Sachregister bieten, und dadurch bekommt man natürlich sehr leicht die Aufschlüsse, von denen ich soeben gesprochen habe. Aber die Generalregister erscheinen erst, nachdem eine größere Anzahl von Bänden herausgegeben worden ist, und während der Zwischenzeit hat der Forscher keinen anderen Ausweg, als die Zeitschriftenbände nacheinander durchzulaufen; indessen ist dies Verfahren so zeitraubend, daß man oft auf die erwünschte Auskunft verzichtet. Für viele Benutzer einer Zeitschrift wäre es also von Interesse, daß jeder Band nicht nur Inhaltsverzeichnis, sondern überdies Namen- und Sachregister enthielte.

Sehen wir jetzt nach, wie es sich mit den mathematischen Zeitschriften verhält, und beschränken wir uns zunächst auf Namenregister, so finden wir, daß es einige Zeitschriften gibt, die am Ende jedes Bandes ein solches


Register bringen. Hierzu gehören unter den noch existierenden Zeitschriften: B o lle ttin o di b ib lio g ra f ia e s to n a delle sc ienze m ate m atiche, B u lle tin des sciences m athém atiques, N ouve es anna es de m athém atiques, R e n d ic o n ti del c irco lo m atem á tico di Palerm o, Revue se m estrie lle des p u b lic a tio n s m at ema iq u es , W iadom ości m atem atyczne, B ib lio th e c a M athem atica ). Dagegen enthalten die meisten mathematischen Zeitschriften keine Namenregis er

Der Grund dieser Tatsache ist ohne Zweifel in einigen ballen, daß der Herausgeber den Nutzen eines Namenregisters nicht erkannt hat. In anderen Fällen ist es anzunehmen, daß der Herausgeber nicht dazu gekommen ist, ein solches Register anzufertigen oder anfertigen zu lassen, Aveil er nicht wußte, wie dasselbe zweckmäßig hergestellt werden konnte, und wie viele Zeit man dazu nötig hätte; sicherlich gibt es auch Herausgeber, die in keinem Falle geneigt sind, sich mit der Anfertigung eines Registers zu beschäftigen. Mit diesen letzteren ist natürlich nichts anzufangen; dagegen ist es zu hoffen, daß einige der Übrigen angeregt weiden, die Registerfrage in Aussicht zu nehmen, wenn ihre Aufmerksamkeit besonders darauf gelenkt wird, und daß sie auch bewogen werden können, ihre Zeitschriften mit Bandregistern zu versehen, wenn sie über das diesbezügliche Verfahren nähere Auskunft bekommen.

Anscheinend ist es am zweckmäßigsten, bei der Anfertigung von Namenregistern kleine Zettel zu benutzen, von denen jeder einen Namen mit allen dazu gehörenden Verweisen aufnimmt, denn auf diese Meise genügt es, die Druckseiten einmal durchzulaufen, und wenn man nach und nach die neuen Zettel in alphabetischer Folge einordnet, so ist das Namenregister nach der Durchsicht der letzten Druckseite des Bandes sofort fertig. Dieses Verfahrens habe ich mich auch anfangs bedient, aber ich entdeckte bald, daß es um so unbequemer wurde, je größer die Zahl der Namen war. In der Tat wurde es mir unmöglich, mich in vielen Fällen zu erinnern, ob ein gewisser Name früher vorgekommen war, so daß ich oft die schon geschriebenen Namenzettel erfolglos durchblättern mußte, und auch das Aufsuchen der wirklich vorhandenen Zettel, um neue Verweise einzutragen, sowie das Einordnen der neuen Namenzettel erforderte eine nicht unbedeutende Zeit. Seit vielen Jahren wende ich darum ein anderes Verfahren an. Zuerst fertige ich eine Namenliste ohne Verweise an, wobei ich auf vierspaltigen Schreibpapierbogen die Namen grob alphabetisch, d. h. nur nach dem Anfangsbuchstaben ordne, und

1) L i n t e r m é d i a i r e d e s m a t h é m a t i c i e n s h a t am E nde jed e n B andes ein N am enregister, aber dies bezieht sich n u r au f die F rag este lle r u n d die V erfasser der Antw orten. M a th e s i s h a t auch am E nde jed en B andes ein solches R e g is te r , das aber n ich t alle im Bande z itierten N am en en thä lt.

, G. E n e s t r ö m .194

Über Bearbeitung v. Bandregistern zu matbem. Zeitschriften oder Sammelwerken. 195

weiter auf zweispaltigen Bogen die also erhaltene Namenliste genau alphabetisch umordne. Dann sehe ich noch einmal die Druckseiten durch und führe jetzt die Verweise (d. h. die Seitenzahlen) ein. Es ist für mich also nötig, jede Druckseite zweimal durchzusehen und jeden Namen zweimal zu schreiben, aber dieser Mühe unterziehe ich mich viel lieber, als daß ich Namenzettel anwende. Ich füge hinzu, daß ich nunmehr ein besonderes Namenregister für jedes Heft der B ib lio th eca M athem atica anfertige, und zuletzt aus den vier Heftregistern ein Bandregister bearbeite; ich habe nämlich gefunden, daß dies Verfahren weniger Zeit erfordert, obgleich ich dadurch genötigt bin, jeden Namen und jede Seitenzahl noch einmal zu schreiben. Ein anderer Vorteil dieses Verfahrens ist, daß das Bandregister schon vor dem Abschließen des Bandes zum größten Teil fertig sein kann.

Die anscheinend sehr einfache Sache, eine gegebene Anzahl von verschiedenen Namen alphabetisch zu ordnen, ist bekanntlich in vielen Fällen gar nicht einfach, weil man nicht immer genau entscheiden kann, welcher Name der eigentliche Zuname ist, und welche Buchstaben als dem Zunamen angehörig betrachtet werden sollen, aber auf diese Frage, die besonders in betieff arabischer und jüdischer Namen schwierig ist, werde ich mich nicht hier einlassen, da sie in jedem Handbuch der Bibliotheks- wissenschaft behandelt wird. Dagegen halte ich für angebracht, eine andere ziemlich schwierige Frage zu berühren, nämlich was man als Name betrachten soll. Es kommen nämlich Fälle vor, in denen ein Name ausdrücklich genannt wird (vgl. z. B. die Ausdrücke „nicht-EüKLiDische Geometiie , „I ELLsche Gleichung“), ohne daß man den geringsten Grund hat, einen Fachgenossen, der Aufschlüsse über den Träger dieses Namens sucht, auf solche Stellen hinzuweisen. Es kommen andere Fälle vor, in denen ein Name zwar nicht ausdrücklich genannt, aber dennoch mehr oder weniger offen angedeutet wird, z. B. durch die Ausdrücke „Filius meus“, „ein hochverdienter Fachgenosse“, „Ich“, „meine Abhandlung“ usw- Wie soll man in diesen und ähnlichen Fällen verfahren? Eine allgemein gültige Antwort auf diese Frage gibt es natürlich nicht. Man kann als Grundsatz aufstellen, im Namenregister nur auf solche Stellen hinzuweisen, wo ein is ame ausdrücklich angeführt wird und Aufschlüsse über den Träger dieses Namens gegeben werden; man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen und sich auf solche Aufschlüsse beschränken, die von größerem Interesse sind. Dies letztere Verfahren scheint mir am wenigsten empfehlenswert, da es äußerst schwierig ist zu entscheiden, was für den Benutzer eines Zeitschriftenbandes von Interesse ist oder nicht, und aus meiner eigenen Erfahrung weiß ich, daß ein an sich sehr geringfügiger Aufschluß nicht selten wertvoll werden kann, wenn er als Ausgangspunkt

13*

G. E n e s t b ö m

196

für weitere Nachforschungen benutzt Wird' ^ /w o h l 'v o n solchenL n bei der Zusammenstellung eines unter dem NamenStellen absehen konnte, wo die Gleic u 0 ^ anderen Seite wird die„PELLSche Gieichung“ ange ii r ^um Teil das Fehlen eines wirklichen Berücksichtigung solcher Stellen R ü c h e n Gründen nehme ichSachregisters ersetzen, un aus c lese N am en (mit Ausnahme

desvon denen der V Festschrift“ auch wenn dieser Gelehrte gar

*“ « * * “ “ r re h r e P e r s ö n l i c h k e i t n i c h t ausdrücklich genannt, sondern z. B. uni dem

i S “ hochgeehrter Kollege" angedeutet, so kann die Feststellung ^mes Namens auweflen besondere Nachforschungen nohg machen, und solche Nachforschungen gehören eigentlich nicht cur Bearbeitung des Namenregisters eines einzelnen Zeitschriftenbandes; kann ich ohne den Namen ermitteln, so führe ich ihn gewöhnlich m das Register em, sonst sehe ich von der fraglichen Stelle ab. Dagegen gebe ich mir besondere Mühe, um die Initialen der Vornamen angeben zu können, um dadurch zu vermeiden, daB zwei oder mehrere 1 ersonlichkeiten unter einem Namen zusammengeführt werden.

Die Zeit, die erforderlich ist, um ein Namenregister anzufertigen, hängt natürlich nicht nur von dem Umfange des Bandes, sondern noch mehr von den behandelten Gegenständen ah. In dogmatisch-mathematischen Zeitschriften werden nur wenige Namen zitiert, und für die Herstellung des Namenregisters eines solchen Zeitschriftenhand es genügen einige Stunden1). Wesentlich anders liegt die Sache in betreff der mathematischen Zeitschriften, die literarische Artikel, Rezensionen und Schriftverzeichnisse bringen; hier kann zuweilen eine einzige Seite eine Viertelstunde oder mehr in Anspruch nehmen, während freilich andere Seiten in einer Minute erledigt werden. Die zur Herstellung des Namenregisters nötige Zeit wechselt also nicht nur für verschiedene Zeitschriften, sondern auch für einzelne Bände ein und derselben Zeitschrift; die Bände 23 (1901) und 5„ (1904) der B ib lio th e c a M ath em atica enthalten hezw. 23 und 13 Druckseiten Namenregister, und die Anfertigung des ersten Namenregisters

1) Als S tichprobe habe ich ein N am enreg iste r des B andes (>1 (1905) der M a th e m a t i s c h e n A n n a le n an g ef 'e rtig t, und dies R eg iste r h a t m ir 5 S tu n d en Arbeit gekoste t (wovon x/2 S tunde fü r die F ests te llu n g der feh lenden In itia le n von Vornamen). Dazu kom m t fü r die K orrek turlesung , w obei ich die V erw eise d u rch nochm aliges Durchlau fen der Seiten k o n tro llie rt habe, 3 S tunden. Das R eg is te r d ru ck e ich als Anhang dieses A rtikels ab ; w er sich fü r die Sache in te re s s ie rt, k a n n d ad u rch le ich t kontro llieren , ob die von m ir angegebene Zeit genügt, um ein vo lls tänd iges u n d korrek tes N am enreg iste r anzufertigen.

hat mehr als zweimal die Zeit, die für das zweite Namenregister nötig war, in Anspruch genommen. Im Durchschnitt haben die Namenregister dei 6 ersten Bände der dritten Folge der B ib lio th ec a M athen iatica 18 Druckseiten betragen, und da die Seitenzahl des Registers des 6. Bandes (1905) gerade mit der Durchschnittszahl zusammenfällt, notiere ich hier, wie lange Zeit die Anfertigung dieses Registers erfordert hat. Für die vier Heftregister habe ich zusammen 30 Stunden, für das daraus hergestellte definitive Bandregister 12 Stunden gebraucht. Aber überdies habe ich die Verweise durch nochmaliges Durchlaufen der Druckseiten des Bandes kontrolliert, und für diesen Zweck 10 Stunden angewendet, wozu für die Korrekturlesung 4 Stunden hinzukommen, so daß das Register im ganzen 56 Stunden Arbeit erfordert hat. Diese 56 Stunden würden ganz gewiß genügt haben, um einen wenigstens 18 Druckseiten langen mathematisch-historischen Aufsatz zu verfassen, aber ich für meinen Teil betrachte dennoch die Zeit als wohl angewendet, die ich für die Anfertigung des Namenregisters gebraucht habe.

Ich habe bisher nur von -Namenregistern gesprochen. Für den Benutzer eines Zeitschriftenbandes kann gewiß ein iSac/iregister von ebenso großem Nutzen wie ein Namenregister sein, und insofern können die zwei Register gleichgestellt werden, aber daß es in betreff der Anfertigung derselben einen wesentlichen Unterschied geben muß, dürfte schon aus dem Umstande hervorgehen, daß keine einzige der mathematischen Zeitschriften, die mit Bandregistern versehen sind, dabei ein Sachregister bringt. In der Tat ist es so schwer, ein gutes Sachregister zu bearbeiten, daß es kaum der Mühe lohnt, für jeden Band ein solches anzufertigen, ohne daß man im 1 oraus sicher ist, daß das ganze Register von sehr vielen Personen benutzt werden wird. Aber oft werden in Zeitschriftenartikeln nebenbei Gegenstände berührt, die von geringem Interesse sind gerade für den Leserkreis, an den sich die Zeitschrift wendet, und auf diese Gegenstände ist es also eigentlich unnötig, im Bandregister hinzuweisen. Will man aus diesem Grunde von solchen Nebensachen absehen und sich auf das wesentlichste der Artikel des Bandes beschränken, so entstehen Schwierigkeiten hinsichtlich der Auswahl der im Register aufzuführenden Stichwörter. Zuweilen erfordert die Anfertigung des Registers eine ganz besondere Sachkunde, die nicht jedem Herausgeber einer Zeitschrift immer zur Verfügung steht. Auch in sprachlicher Hinsicht bietet die Anfertigung eines Sachregisters Schwierigkeiten dar, wenn es sich um eine mehr oder weniger internationale Zeitschrift handelt, und für eine solche Zeitschrift wird noch dazu der Wert des Registers vermindert, weil z. B. ein Italiener ein Sachregister mit deutschen Stichwörtern nicht leicht benutzen kann. Aus diesen Gründen habe ich den Bänden der

Über Bearbeitung v. Bandregistern zu mathem. Zeitschriften oder Sammelwerken. 197

G. E n e s t r ö m .198

selben Gründen will ich meine Kollegen zur ^ Aringend bei der register nicht auffordern. Dagegen emp i5 ^ bieten2). Hin-Bearbeitung von Generalregis ein auc Schwierigkeiten nichtSichtlich der Generalregister sind natürlich d e bchwi g kleiner, aber der Nutzen des Sachregisters ist viel großer.

* *

lm Titel dieses Artikels hebe ich auch „„thematische Sammelwerke t T)a,unter verstehe ich solche Werke, die m mehreren, nicht

S T s c h n e l l aufeinander folgenden Bänden erscheinen und verschieden- artbre Gegenstände behandeln, a. B. die Gesammelten Werke emes Mathe- m t te r s oder erne Enayklopädre der mathemat,sehen Wissenschaften. Für solche Werke sind meines Erachtens Bandreg.ster immer wünschenswert, unabhängig davon, ob nach der B e e n d i g u n g ein Gesamtregister bearbeitet werden wird oder nicht. Für gesammelte Werke ist freilich dabei auf den Inhalt besondere Rücksicht zu nehmen. Handelt es sich um einen moderen Mathematiker, der vorzugsweise auf einem beschrankten Gebiete gearbeitet hat, sind die Bandregister von geringerem Belang, aber besonders wertvoll werden sie in betreff der gesammelten Werke älterer Mathematiker, und sogar fast notwendig, wenn Briefe darin veröffentlicht werden. Da die Bände solcher Werke dazu bestimmt sind, unmittelbar nach dem Erscheinen von vielen Fachgenossen benutzt zu werden, so sollten die Bandregister meiner Ansicht nach sowohl Namen- wie Sachregister bringen.

Noch größere Bedeutung haben gute Bandregister hinsichtlich einer Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, wenn diese, wie die seit einigen Jahren in Angriff genommene, „in knapper Form aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwickelung der mathematischen Methoden nachzuweisen“ beabsichtigt. Daß das Sachregister hier das durchaus wichtigste sein muß, ist ohne weiteres klar und ebenso klar ist es, daß das Sachregister um so nützlicher wird, je vollständiger es ist in betreff der mathematischen Stichwörter. Ob es dagegen nötig oder wenigstens nützlich ist, m das Sachregister solche nicht mathematischen Stichwörter wie „Abläufen'1 (einer Lebensversicherung), „Abschlußprovision“ , „Aktiengesellschaft“,

1) Als einen E rsa tz des S achreg isters der A rtikel b r in g t d ie B i b l i o t h e c a M a t h e m a t i c a ein Sachreg ister zum In h a ltsv e rze ich n isse , d. h . e in S ach reg iste r der

Titel der A rtikel.2) Vgl. B i b l i o t h . M a th e m . 63, 1905, S. 417.

B i b l i o t h e c a M a t h e m a t i c a kern Sachreg * golcher Band.

„Aktionär“, „Ausgaben“ (einer Lebensversicherungsgesellschaft), „Erschöp- fung (der Nummern einer Ziehungsreihe) usw. einzuführen, scheint mir zweifelhafter. Jedenfalls will ich hier ausdrücklich hervorheben, daß ich das von Herrn W. Fit. M e y e r bearbeitete Sachregister des ersten Bandes der EncyJclopädie der mathematischen Wissenschaften als eine sehr verdienstvolle Arbeit betrachte.

Auf der anderen Seite bin ich gar nicht damit einverstanden, daß das Register dieses Bandes ivesentlich nur ein Sachregister bringt. Freilich kommen darin Personennamen vor, aber eigentlich nur in solchen Fällen, in denen es sich um einen Satz oder eine Methode handelt, die im Texte einem bestimmten Mathematiker zugeschrieben werden. Sein Verfahren hat Herr W. F r . M e y e r in der Vorrede (S. XNVII) auf folgende Weise auseinandergesetzt und begründet:

Mit einigen Ausnahmen sind hier bei den Stichworten nur solche Autoren berücksichtigt, die der Gegenwart nicht mehr an gehören, und auch diese zumeist nur dann, wenn ihr mit einem bestimmten Begriffe oder Satze oder einer spezifischen Methode verbundener Name — oft freilich nur zufällig oder auch mißbräuchlich — zu einer Art gangbarer Münze geworden ist. Andererseits lag die Versuchung nahe, wenn ein Autor angeführt wurde, hinsichtlich seiner hervorstechenden Leistungen eine gewisse Vollständigkeit anzustreben. Der an sich berechtigte Wunsch, den Mancher gehegt haben wird, daß dies Prinzip auf möglichst viele oder gar alle Autoren hätte ausgedehnt werden sollen, konnte schon mit Rücksicht auf den zur Verfügung stehenden Raum nicht befriedigt werden.Der einzige ausdrücklich angegebene Grund, warum von einem voll

ständigen Namenregister Abstand genommen wurde, ist also, daß der zur J erfiigung stehende Raum zu klein war. Nun möchte ich aber wissen, ob Herr W. F r . M e y e r wenigsens versucht hatte, die für das Namen- registei nötige Seitenzahl abzuschätzen. Bis auf weiteres bin ich geneigt anzunehmen, daß er keinen erfolgreichen Versuch in dieser Hinsicht gemacht hat, denn es ist äußerst schwer, eine solche Abschätzung auszuführen, auch wenn man gewohnt ist, Namenregister anzufertigen. Aber dem sei wie ihm wolle, jedenfalls kann ich dem von Herrn W . F r . M e y e r

angeführten Grunde keine eigentliche Bedeutung beimessen. Ich habe für meinen eigenen Gebrauch ein Namenregister des ersten Bandes der En- cyldopädie angefertigt; dies Register enthält etwa 1800 Namen, und nach meiner Schätzung würde es höchstens 32 zweispaltige Druckseiten in Anspruch nehmen. Aber wenn es sich um ein so wertvolles Unternehmen wie die Encyldopädie handelt, ist es höchst unwahrscheinlich, daß ein Raum von 32 Druckseiten von entscheidender Bedeutung gewesen


G. E n e s t r ö m ,20 0

w äre '); im Gegenteil bin i c h “ { ¿ “ d T S e J r e g ibL zurEncyklopädie m it Vergnügen zwei u w k e i t d e s W erkes w ürde durchVerfügung gestellt hätte denn dre ^ ^ ^ ^

f I t ’ n Ä : t o f « t Nam«g eines jetzt lebenden M .tbe- kommt es nicht seit , ^ Satz oder einer gewissenmatikers m erster L ^ ^ die M ethode sofortMethode verbunden ist, so daß r genannt wird. Nunauffinden könnte, jveim ^ Ency]dopädie die Gegenstände inkann man ja em . , ' , , ,, . d 1 daß es noch dazu ein Sach-

's f T a T m a f d i r l t den Satz oder die Methode auffindenkenn aber i l Wirklichkeit ist es oft gnr nicht leicht zu w.ssen, wo emg Ü 2 » r Gegenstand semen Platz hat, nnd für nrcht deutsche Mathematrker • t das Benutzen des Sachregisters auch nicht immer leicht.

Aber abgesehen von dem soeben erwähnten Nutzen eines vollständigen Namenregisters, kann ein solches in vielen anderen Fällen brauchbar sem. Wenn ich z. B. wissen will, ob eine gewisse Abhandlung, die ich als wertvoll betrachte, in der Encyldopädie erwähnt wird oder nicht so ann mir ein Namenregister sofort hierüber Auskunft geben, während ich mir sonst zuweilen große Mühe geben muß, um diese Auskunft zu erhalten. Ebenso nützlich wäre mir das Namenregister, wenn man mir z. «. gelegentlich mitteilte, daß ein gewisser Verfasser eine Abhandlung über einen gewissen Gegenstand veröffentlicht hat, aber ohne daß es mir möglich war, gleichzeitig zu erfahren, wann und wo die Abhandlungerschien.

Auch von mathematisch-historischem Gesichtspunkte aus wäre em vollständiges Namenregister erwünscht. Aus demselben könnten nämlich die jungen Mathematiker entnehmen, welche Aufschlüsse ihnen die Encyldopädie über die älteren Mathematiker bietet. So z. B. würde man dadurch erfahren, daß L eonardo P isano den Bruchstrich benutzt (S. 19), das Wort „surdus“ angewendet (S. 50), die Gleichungen .s2 + n = w2,s2 n — vz behandelt (S. 570—571) und sich mit einer rekurrentenReihe beschäftigt hat (S. 577). Ebenso würde der junge Mathematikerdurch das Namenregister erfahren können, daß F. Viete die eigentliche

. . 2Buchstabenrechnung ausgebildet (S. 5), ein unendliches Produkt für —

hergeleitet (S. 111), eine trigonometrische Lösung der kubischen Gleichung gegeben (S. 501) und Konstruktionen zur geometrischen Ermittelung

1) Das N am enreg iste r der B i b l i o t h e c a M a t h e m a t i c a 23 (1901) en th ä lt, wie oben bem erk t w urde, 23 D ruckseiten.


rechnerisch erhaltener Ausdrücke zusammengestellt hat (S. 1007). Von diesen Sachen werden im M e\e r sehen Register nur die rekurrente Reihe des Leonardo Pisano (S. 1147 unter „Fibonacci“) und das unendliche

2Produkt für — des Viete (S. 1193) erwähnt.

Es ist wohl kaum zu erwarten, daß die folgenden Bände der Encyldopädie der mathematischen Wissenschaften ein vollständiges Namenregister bringen werden. Dagegen hoffe ich, daß die Bände der französischen Auflage solche Register enthalten werden. Von mathematisch- historischem Gesichtspunkte aus wäre dies gewiß sehr zu wünschen, da die französische Ausgabe eine außerordentlich große Anzahl von wertvollen historischen Notizen bringt.

N am enregister des

Abel, N. H., 34,37, 42, 49, 52, 369 Abraham, M., 235, 247. d'Alembert, J., 227,271,438, 439. Amiot, B., 5.Ampère, A. M., 109,112—114,116. Appell, P., 37.Archenhold, P. S., 72. Archimedes, 173.Aronhold, S. H., 13.Baire, R., 119,146, 149, 281, 287. Bail, R., 1.Benzenberg, J. F., 72.Bernoulli, Joh. I, 425, 431, 434. Bernstein, P., 117, 121, 132, 146. Berry, A., 24.Bessel, F. W., 74, 398.Bianchi, L., 205, 367.Biermann, O., 317.Blumenthal, 0 ., 235, 289, 325. Bohler, 0., 366.Boole, G., 5.Borel, E., 121, 271, 407, 415. Brendel, M., 73.Brianchon, C. J ., 4.Brill, A., 77.Brioschi, F ., 14, 51, 56, 57, 59. Brodén, T., 282.Bromwich, T. J. I ’A., 95, 106. Burali-Forti, C., 160.Byerly, W. E., 217.Cantor, G., 117—121, 134, 135,

138, 143, 145-148, 150, 159, 160, 406, 407, 410, 412, 413.

Casey, J ., 3.Castelnuovo, G., 20, 21, 24, 26,

37, 45, 47, 49, 50.Cauchy, A. L., 39.Cayley, A., 3, 5—18, 364.

Anhang.B andes 61 (1905) der M a th e m a t i s c h e n A n n a le n (siehe oben Fußnote 1 Seite 196).

Cesaro, E., 529, 530, 533.Chasles, M., 3—5, 10.Christoffel, E. B., 437, 438.Clebsch, A., 15—18.Cremona, L., 11, 15.

Darboux, G., 208, 209, 431, 436.Dehn, M., 173, 174, 561.De la Vallée Poussin, Ch. J.,

272, 527, 529.Del Pezzo, P., 20.Dersch, O., 15.Desargues, G., 161—164, 167, 169

-171, 177, 178, 180, 183.Dini, U., 208, 252-254, 261, 269.Dirichlet, P. G. L., 50, 239, 252

—255. 260, 261, 451, 527, 533, 534, 536-539 , 543, 546, 551.

Dodd, E. L., 95.Du Bois Reymond, P., 450, 451.Duhem, P., 438.

Engel, F., 72, 109, 113, 185-191, 587.

Enneper, A., 208.Enriques, F., 24, 40 , 49.Euklides, 174, 177, 178, 180,184,

197,199, 561,562,577,581-583, 585-587.

Euler, L., 211, 432, 448, 449, 530, 531, 558, 561-563, 565, 568- 570, 574, 576, 577, 585, 586.

Faber, G., 289.Fabry, E., 289.Faure, H. A., 17.F ejér, L ., 271, 273, 274, 277—

280, 422, 560.Fiedler, W ., 5, 18, 19.Föppl, A., 235.

Förster, E., 422.Fourier, J., 215,217,251—254,256

—258, 262, 263, 269, 271—274, 277, 278, 280, 552.

Fricke, R., 52, 70, 217, 325, 357, 364, 366, 368, 560.

Fubini, G., 367.Furtwängler, Ph., 381.Fuss, P. H., 528—530.Fiiter, R., 72.Galois, E., 55, 60—62.Gauss, K. F., 60, 72-76, 164, 203,

205, 209.Gerbaldi, F., 65, 454,457,474,518. Gergonne, J. D., 6 .Gordan, P., 50, 60, 61, 65, 6 8 ,

70, 71, 453.Goursat, E., 37.Graves, Ch , 3.Gray, A., 398.Green, G., 236, 237 , 249, 397, 447. Grube, F., 239.Gutzmer, A., 535.Hadamard, J., 437, 448, 535. Hahn, H., 430.Ham ilton, W. R ., 3 , 439—441,

446, 449.Hansen, P. A., 72, 74.Hart, A. S., 3, 13.Hartogs, F .,289,290,316,319—321. Harzer, P ., 72.Hausdorff, F ., 143.Heine, II. E., 407, 415.Hensel, K., 50, 369, 454. Herglotz, G., 551.Hermite, Ch., 14, 16, 331—333,

359-363, 367.Hesse, O., 5, 13—16, 18, 67, 6 8 .

2 0 2 O .Eneström: über Bearbeitung v. Bandregistern zu mathem . Zeitschriften usw.

Hessenberg, G., 161, 173.Hilbert, D., 158, 160-162, 164,

173 174, 176, 180, 182, 18o, 186 199, 203, 205, 207, 208, 380,’ 381, 437, 438, 443, 451.

Hiltebeitel, A. M., 72.Hirsch, A., 112, 113.Holder, 0 ., 192, 239. l ’Hôpital, G. F. de, 434.Hugoniot, A., 437.Humbert, G., 23, 49.Hurwitz, A., 278, 325.Jacobi, C. G. J., 17,32,33,53,59,329. Jellett, J. H., 2.Joachimsthal, F., 7, 8 , 13, 14. Jordan, C., 62, 252, 254, 282,

284, 286, 330, 406.Jourdain, Ph., 151.Juel, C., 77, 8 6 .Kepinski, S., 397, 402.Klein, F., 50, 72, 77, 82, 8 6 , 325,

357, 364, 366, 369,454,488,560. Koch, H. von, 544, 546.König, J., 156.Kötter, E., 5.Kriloff, A., 211.Kronecker, L., 51, 56, 57, 59—

61, 551, 560.Krüger, L., 72, 73.Kürschâk, J., 109, 113.Lachtin, L. K., 50, 63, 69, *0,

453, 526.L agrange, J .L .,74,280,422,425,433. Landau, E ., 527.Laplace, P. S., 74, 76.Laurent, P. A., 25.Lebesgue, H., 251.Legendre, A. M., 173, 561—563,

584.Lemoine, E., 291,Levi, P., 20, 132, 146.Lie, S., 109, 113.Liebmann, H., 185, 587. Lietzmann, W., 872.Lindemann, 72.Lipschitz, R., 252 , 253, 260, 261. Lloyd, H., 2, 3.Lobatchewskij, N. J., 185, 186

—191, 194, 199, 587.London, F., 95, 108!Lüroth, J., 60.Mac Cullagh, J., 3—5. Mangoldt, H. von, 205.

Mason, M., 450.Mathews (nicht Matthews), G. H.,

398.Maxwell, CI., 235.Merian, P., 72.Mertens, F., 529 , 531.Meyer, Adolf, 289.Meyer, Eugen, 200.Minkowski, H., 367 , 437 , 551. Mittag-Leffer, G., 238, 271.Möbius, A. F ., 8 6 .Monge, G., 109, 112 114, 116. Morehead, J. C., 72.Müller (Hauptmann), 72.

Netto, E., 60, 8 8 .Neumann, C., 422—425, 427,433,

434.Newton, I., 259,422,425,433, 519. Nöther, M., 1, 20, 28.

Ostwald, W., 422, 423, 425-429, 431, 433, 435, 436, 560.

Pascal, Bl., 4, 13, 161, 162, 164, 166-168, 170, 171, 173, 174, 176, 177, 182, 183.

Pellet, A., 533.PhragmAn, E., 289, 528 , 534,

544, 546, 548.P icard , E., 20—25 , 27, 36, 37,

44, 49, 280, 325, 365—367. Plücker, J., 4—6, 14, 18. Poggendorff, J. C-, 1.Poincar6 , H., 22, 325, 331, 364,

533, 569.Poisson, S. D., 111, 211, 212, 215,

280.Polignac, A. de, 529.Poncelet, J . V., 4, 6 .Prasad, G., 203.Pringsheim, A., 95, 534.

Ranke, J., 72.Rayleigh, J. W., 211, 212, 216. Rehnisch, J. E., 72.Rehnisch (Frau), 72.Repsold, J. G., 72.Repsold, 72.Rfethy, M., 422.Reye, Th., 200, 201.Riemann, B., 22, 70, 253, 256,

261,262,271—274,280,322,397, 437, 438, 528, 532, 544, 551.

Riesz, F., 406, 415.

Roberts, M., 3.R o g e r , L., 341.

S a lm o n , G., 1—19.Seheibner, W., 560.Schlafli, L., 8 .Schmidt, E rhard, 544—546. Schönflies, A., 118, 121, 281, 287,

421.Schröder, E., 121.Schubert, G. H., 72.Schubert, H., 199.Schuh, F., 85.Schur, F., 167, 1S9.S c h w a r z , H. A., 280.Segre, C., 20, 31, 8 6 .Severi, F ., 20.Simart, G., 21, 23, 25, 27, 36, 44. Simon, M., 587.Smith, II. J. S., 16.Stäckel, P., 431.Staude, 0 ., 392.Staudt, K. G. C. von, 16, 78. Stehlin. K. (?), 72.Stokes, G. G., 247, 441.Study, E., 368.Sturm, R., 15, 200-202.Sylvester, J . J ., 10,12, 14,16,17.

Taylor, Br., 39, 534, 535, 548. Tchebychew, P., 527—531, 533,

534, 542, 544, 546.Torelli, G., 532, 533.Townsend, R., 3, 5.

Vablen, K. T., 164, 176. Valentiner, H ., 62—70, 453—456,

458, 459, 513, 523.Vecchi, M., 533.V i v a n t i , G., 534, 535.Voigt, W., 235.Voss, A., 422.

W allenberg, G., 177.W eber, H., 51, 60, 62, 558. Weber, W ., 72.W eierstrass, K., 280, 321. Wiener, L. Ch., 167.Wiman, A., 51, 62, 63, 65, 6 8 ,

453—456, 459, 485, 488. W irtinger, W ., 325.

Young, W. H., 281, 287, 288. Zach, F. X. von, 74.Zemplfen, G., 422 , 437, 560. Zermelo, E ., 121, 164, 430, 451. Zeuthen. H. G.. 12, 8 6 , 87.

(r. E n e s t r ö m . — Kleine Mitteilungen. 203


Kleine Bemerkungen zur zweiten Auflage von Cantors „Vorlesungen über Geschichte der M athem atik“.

Die erste (fette) Zahl bezeichnet den B and, die zweite d ie Seite der „V orlesungen“. BM = B i b l i o t h e c a M a t h e m a t i c a .

1 : 1 2 , siehe BM 1 3 , 1900, S. 265. — 1 ; 15, siehe BM 3 3, 1902, S. 323. —

1902, S. 189, 324. — 1 : 466, siehe BM 4 3, 1903, S. 397. — 1 :4 6 7 , siehe BM l f 1900, S. 267. ’

1 : 468. In betreff der Lebensumstände des E u t o k i o s sollte in erster Linie auf den Aufsatz von P a u l T a n n e r y : E u t o c i u s et ses contemporains(B u lle t, d. sc. m athem . 8 2, 1884, 315— 329) verwiesen werden. T a n n e r y hebt zuerst hervor, daß von den vier Stellen, wo E u t o k i o s anscheinend I s i d o r o s seinen Lehrer nennt, drei einen solchen W ortlaut haben, daß „mein“ im Ausdrucke „mein Lehrer“ sich kaum auf E u t o k i o s bezieht, und daß auch die vierte Stelle sehr wohl ein von E u t o k i o s gar nicht herrührender Zusatz sein kann. Dann sucht T a n n e r y nachzuweisen, daß E u t o k i o s wahrscheinlich nicht jünger als I s i d o r o s war, und also kaum Schüler von diesem gewesen ist. Auf der anderen Seite macht T a n n e r y darauf aufmerksam, daß A m m o n io s (der etwa 5 1 0 starb) offenbar als Lehrer des E u t o k i o s betrachtet werden muß, und nach H e i b e r g (siehe W. K r o l l , Die Altertumswissenschaft 1 [1905], S. 131) ist die Richtigkeit dieser Angabe jetzt anderweitig bestätigt worden. T a n n e r y setzt darum die Blütezeit des E u t o k i o s in die erste Hälfte des 6 . Jahrhunderts, und nimmt an, daß er etwa 480 geboren ist. G . E n e s t r ö m ,

G. E n e s t r ö m .204

1 : 469 siehe BM la , 190^ 3S‘2 6i : 4 7« / s te h e B M l s ^ O C b S. 268. - 1 : 479 ,

^ » s r v N S ^ y ^ ______

1 9 0 6 , S. 81), daß ein gewisse! P ass w a ru m ich d ieser A n s ic h t bmüber ich h ä tte d .b e i h ™ ° sebl . wou r ic h tig a b g e fa ß t se in ), n äm lich(denn a n s i c h k o n n te dieser B assu A b h an d lu n g des M o sc h o pu lo s ausw eil meines W issens k e in e H a n d s c h ei von T a n n e r y u n te r- J e , Z eit v o r dem 15 . J a h rh u n d e r t b e k a n n t » t . ^ e lln d a ie

such ten H andschriften stam m en si ^ S nm m elbande, d e r zu m g roßenvon G ü nther b enü tz te H an d seh n g J a h r h u n d e r t ) g e sch rieb en ist.Teil von J o » .» » M u eh oü eü s a u s N a u p l.a ( l ^ J a h r h u n U e Jl g ä j rIndessen wäre es vielleicht besser gew. «■ v enu ch gesagt ,ist die betreffende CA»ro«sch. Angabe bisher unbestätigt, ^ E » e st röm .

redigiert“. -------------- -

1 : 4 8 V BeM l BM1900 S90314S ' - l T ö Ä - s l o , siehe BM »V, Ä S ? ' m -J : SS,’ S Ä * “ S h e “ ls'. Ä S. * 8 .

1 • 5 5 0 H ier w ird im K ap ite l: „D ie sp ä te re m a th e m a tisc h e L i t e r a tu r derR ö m e r“ eine in einem Sam m elbande in C h a rtre s en th a lte n e A b h a n d lu n g u b e i das A bacusrechnen e rw äh n t. A ber die H a n d sc h rif t s ta m m t n ach ( -schichte der Geometrie, ü b e r tr . von L . A. S o h n c k e , H a lle 1 K , . )dem 11 . J a h rh u n d e r t , nach B u b n o v (G erb erti Opera m a ih m a H c a B e r lm lS ^ O , S X X V I) aus dem 12. J a h rh u n d e r t h e r, u n d m eines W issen s h a t m an ga i ke inen A nlaß anzunehm en , daß d ie A b h a n d lu n g v on e inem R ö m er v e rfa ß t

w orden is t.

1 :6 1 8 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 3 0 6 -3 0 7 . - l : 6 2 2 , siehe BM 2 S 19°L 8 143. - 1 : 638 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 394. - 1 :,641, siehe BM 3 * 1902, S 1391 :6 6 1 , siehe BM 13, 1900, S. 499. - 1 : 662, siehe BM 1 8, ¡900 i Í J o ’ s 499 - S. 139.’_ 1 ; 663, siehe BM 3 3, 1902, S. 405. — 1 : 671, siehe BM 13, 1900, S. 499.1 : 673, siehe BM 5 3, 1904, S. 407—408; 6 3 , 1905, S. 307.

1 : 6 7 4 . In der M u ste rrech n u n g d e r D iv ision 4 6 4 6 8 : 3 2 4 h a t d e r Q u o tien t

einen u n rich tig en P la tz bekom m en. S ta t t ^ g ^ g g n m ® n ä m lich ^ g ^ g g stehen .

Dies k ö n n te ja seh r w o h l ein D ru c k feh le r sein, a b e r d a b e i F r i e d l e i n (Die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen und Römer und des christlichen Abendlandes vom 7. bis 13. Jahrhundert, E r la n g e n 1869, S. 137— 13 ) d ieselbe feh le rh afte A n o rd n u n g v o rk o m m t, v e rm u te ich , d aß a u c h h ie r ein Mi V erständnis v o rlieg t. I 11 de r T a t h e iß t es an d e r von H e r r n C a n t o r z itie r te n S te lle des T ra k ta te s A lg o rism i de numero Indorum (S. 15, Z. 12— 1 4 ): „S c rib am u s in d irec to p rim e d ifferentie n u m eri, su p e r q u e m d iv id im u s , s u p e r n u m e ru m sup erio rem quem d iv id im us, qu i su n t q u a te r , u n u m “ . A b e r „ n u m e ru s su p e i q uem d iv id im u s“ b e d eu te t ganz gew iß d e r D iv iso r , d en n e in ig e Z eilen w e ite i


oben auf derselben Seite steht: „scribes sub eis numerum, super quem dividis, scribesque ultimam differentiam numeri, super quem dividis, que est figura trium . . .sub ultima differentia numeri superioris“ ; auf der anderen Seite bedeutet „prima diflerentia“ die letzte Stelle nach unserer Ausdrucksweise, also die Einerziffer. Die höchste Ziffer des Quotienten soll also über die Ziffer 4 des Divisors d. h. über die dritte Ziffer (4) des Dividenden gesetzt werden, und der Grund dazu ist leicht einzusehen: sowohl die Ziffer des Quotienten wie die dritte Ziffer des Dividenden bezeichnen Hunderte.

Dieselbe Anordnung haben übrigens alle mir bekannten Algorismus-Schriften des 1 2 . und 13. Jahrhunderts, die die Überwärtsdivision lehren, so z. B. der von Herrn C a n t o r selbst herausgegebene Liber algorizmi und die von CuR Tze zum Abdruck gebrachte Algorismusschrift aus dem 12. Jahrhundert (daß dort ein einzigesmal die erste Ziffer 1 des Quotienten durch einen Druckfehler einen unrichtigen Platz bekommen hat, kann nicht irre leiten).

Auch abgesehen von dieser Berichtigung, scheint mir die C a n to rs c 1 i6 Restitution der Musterrechnung nicht ganz gelungen. Soll überhaupt etwas über den

14 12Quotienten gesetzt werden, so möchte ich 2 statt und 2 statt setzen.

110 u u 140 14üTn der Beschreibung kommen nämlich gar nicht die Zahlen 24 und 22 vor, aber dagegen die Zahlen 14, 2, 12, 2, und es dürfte nicht leicht zu erklären sein, was jene Zahlen eigentlich bedeuten sollten. Indessen scheint es mir aus der Beschreibung durchaus klar zu sein, daß die Produkte 3 . 1, 2 . 1 , 4 . 1 , usw. unmittelbar vom Dividenden 46 468 subtrahiert werden sollen, so daß dieser successiv die folgenden Werte bekommt (vgl. F r i e d l e i n , a.a.O . S. 137): 16468, 14468, 14068, 2068, 1268, 1108, 208, 148, 136. Die erste Operation wird auf folgende Weise angegeben: „Multiplicemus ipsum [ = unum] in tribus, et minuemus eum de eo quod supra ipsum [ = tres] est, et remanebit unum“, und dieselbe Ausdrucksweise wird für die folgenden Operationen angewendet. Übrigens wird dies Verfahren in allen oben von mir angedeuteten Algorismus- scbriften gebraucht. G. E n e s t r ö m .

1 : 075, siehe BM 5 3, 1904, S. 408. — 1 :687—689, siehe BM 2 3, 1901, S. 143 —144; 4 3, 1903, S. 205-206. — 1 : 694, siehe BM 1 3, 1900, S. 499; 4 3, 1903, S. 284; 6 3 , 1905, S. 103.

1 : 6 9 9 . In b e tre ff des B uches d e r geo m etrisch en K o n s tru k tio n e n v on A b u l W a f a w äre es n ü tz lich , n ic h t n u r a u f den WoEPCKESchen B e rich t, so n d e rn au ch a u f d ie A u szü g e von L . R o d e t ( B u l l e t t . d i b i b l i o g r . d. sc . m a te m . 1 6 , 1 8 8 3 , S. 5 2 8 — 5 4 4 ) h inzuw eisen . R o d e t h a t dasselbe M a n u sk rip t (B ib lio th èq u e n a tio n a le , anc. fonds p e rsan n° 1 6 9 ) w ie W o e p c k e b e n u tz t, g ib t a b e r se lb s t an, daß e r an gew issen S te llen e ine bessere Ü b e rse tz u n g b ie te t. G . E n e s t r ö m .

i /"rm 1906, S. 308) darauf bin- 1 : 75 4 . H e rr A . S tu rm ha sc on { j _ ^ a r is m e t r k c

gewiesen, daß das ^ H e r r n Ca n t o r z itie r te A u sd ru c k ta n tu m( e d . B o n c o m p a g h x S. 118), w ^ v e rb re i te t w a r. Ich gebe hierquantum“ verkommt im Mittela ^ ^ Berol. 4« 510 findet sich Bl. 74noch zw ei w eitere B elege t i e l i u , . dem T ex te (D e m o n s tra tio J o r d a n i deu n ten folgende A ufzeichnung , , , ,.algorismo) in keinem ZuBaimmenlhanf e S lum yixisti et iterum tantum

ä s i s c « — — ~ -

In der Tat ist ja | ( 1 0 0 — H °) findet sich im Cod. lat. Monac.

1 4 ß S l^ f o ? 1? ? (siehe M. C urtze, Arithmetische Scherzaiifgaben aus dem

U . Jahrhundert; B i b l i o t h . M a t h e ™' e t i te ru m ta n tu m , e t d im id iu m

die

VerS6: Hic puer etate quantus fuit, arte probate.O n in ta re c id a tu r , re m a n en tis te rc ia p a rs est.

f e ■ a T5M erw äh n ten T ex te des R e ch e n rä tse ls e n th a l t also

n u r ein (Tein zige den A u sd ru ck „ ta n tu m q u a n tu m « w as w o h l b e w e is t, ^ d i e s e r n ich t als ein K u n s tau sd ru ck b e tra c h te t w erd en kann .

1:756, siche BM 1,. 1900. 8 . 500:

B M ^“ m - i . U , Ä i bm r „ i m s- » - « •_ i . 823, siehe BM 13, 1900, S. 269.

1 -8 2 5 Nach A. N a g l {Gerbeut und die Rechenkunst des 10. Jaht- hunderts• S itzu n g sb er. der Akad. d. W iss. in W ien Phil. 01. 11b, l b 8 b, S 8 7 7 )’ist es gar nicht sicher, daß B e r n e l i n u s der Schule G e r b e r t s unmittelbar angehört hat. N a g e gibt an, daß B e r n e l i n u s zum ersten Mal im Jahre 1588 von einem französischen Verfasser als Schüler G e r b e r t s bezeic n worden ist daß es aber nicht möglich war, eine Bestätigung dieser Angabe

„ „ , ’ G . E n e s t r ö m .autzufanden._______________________________

1:836, 848, siehe BM 73, 1906, S. 83-84.


1:848. In einer früheren Bemerkung (BM 73, 1906, S. 83 84) habeich einige Notizen über das Vorkommen der Terme „divisio aurea« und „divisio ferrea« gegeben, und daraus gefolgert, daß diese Terme wahrscheinlich vor A t e l h a r t von Batli bekannt waren. Nachdem diese Bemerkung zum Absatz gebracht war, fand ich, daß Herr A. N a g l (Der arithmetische Tiactat des R ä d u l p b von Laon; Abhandl. zur Gesch. der Mathem. 5, 1890, S. 92)

Kleine Mitteilungen. 2 07

diese Terme als schon lange Zeit vor R a d u l p h „in der Schule zu rein technischen geworden bezeichnet hat. _ Als Beleg verweist Herr N a g l auf eine von C h a s l e s (C om ptes re n d u s de l ’academ ie des Sciences [de Paris] 1 6 1843S. 237— 246) herausgegebene Schrift über den Abacus, wo (S 243) folgender Passus vorkommt: „divisio . . . de ferrea redit ad auream, scilicet de ista cum differentiis ad lllam sine differentiis“. Aber die von C h a s l e s benutzte Handschrift (Cod. lat. Paris. 15119) stammt nach B u b n o v ( G e r b e r t i Opera mathematica, Berlin 1899, S. LXIV) aus dem Ende des 12. Jahrhunderts, und die andere bekannte Handschrift der von C h a s l e s herausgegebenen Schrift (Cod. Vatic. 3123) rührt nach E. N a r d u c c i (Due trattati inediti d’abaco; B u lle t t . di b ib l io g r . d. sc. m atem . 15, 1882, S. 112) ebenfalls aus der 2 Hälfte des 1 2 . Jahrhunderts her. Der von Herrn N a g l zitierte Passus beweist also gar nicht, daß die Terme „divisio aurea“ und „divisio ferrea“ schon zu R a d u l p h von Laons Zeit (also am A nfänge des 12. Jahrhunderts) seit langem zu technischen Bezeichnungen geworden waren. Meines Wissens ist es noch nicht nachgewiesen, daß die Terme schon im 1 1 . Jahrhundert benutzt worden sind, und nur aus den Worten des R a d u l p h kann man schließen, daß sie wahrscheinlich am Ende dieses Jahrhunderts bekannt waren. G. E n e s t r ö m .

. * : 8.5h l s ’ 1900’ S' 269‘ ~ 1 :8 8 8 , siehe BM 13, 1900, S. 501. —1 : 8o4, siehe BM J 3, 1900, S. 501; 3 3, 1902, S. 324; 4 3, 1903 S 206- 6 q 1905

f g o T ' s l o V 835’ 8ieheB M l 8 ’ 1900’ S 5 0 1 ;7 3 ’ 1996> S - 84. — 1 : 856, sieheTßM <Bg,’

1905,1901,

q „ ‘f : 7’ ®'eh° B M a ^ iS O T S . 881 — 2 : 8 , siehe BM 1 3, 1900, S. 501; 6 3 ,S. 309. — 2 . 1 0 , siehe BM I 3, 1900, S. 502. — 2 : 1 4 —1 5 , siehe BM

I ' w o f V K s ' 2o0;.,<5:J’ M05d 2f 7 n 0iJ- ~ 2:20’ siebe 1900’ ’s - 502;3 3, 1902, S 239. - 2 :2 5 , siehe BM 13, 1900, S. 274. - 2 : 30, siehe BM 6 3 , 1905, I ' qnq ’J le»o V, S: n351~ 352i s 3, 1902, S. 2 3 9 -2 4 0 ; 6 3 , 1905,I l i a - « iqT^ t ’ain’ Slehe„ B ^ L 63-’ 1905’ S ' 105- ~ 2 : 3 4 > s iehe BM 2 3, 1901,

n i o L T o2 L l7’ Siehi B,1 , »1 19°0, S. 5 °2 ; 6 3 , 1905, S. 105 -

2 :5 9 . In meinem Aufsatze Über die „Demonstratio J o r d a n i de algorismo“ (BM 73, 1906, S. 24— 37) habe ich erwähnt (S. 25), daß der Cod. Ottob. 309 zwei dem J o r d a n u s N e m o r a r iu s zugeschriebene Traktate „De numeris“ und „De minutiis“ enthält, und ich habe (S. 34) bemerkt, daß der erste Traktat, der mit den Worten „Communis et consuetus“ beginnt, ein gewöhnlicher „ Algonsmus “ zu sein scheint. Ich habe jetzt eine vollständige photographische Kopie dieses Traktates eingesehen, und bin darum in der Lage, meine Angabe zu präzisieren. Der Text „Communis et consuetus“ enthält nach einer längeren Einleitung, die zum Teil den Definitionen der „Demonstratio J o r d a n i dealgorismo“ entspricht, wörtlich die 25 Sätze I— VIII, X, XI, XX XXXIVdieser „Demonstratio“ ; im Vorübergehen sei bemerkt, daß Null nur „circulus“ genannt sind, und daß weder „digitus“ noch „articulus“ vorkommt.” Die Beweise der Sätze stimmen in den meisten Fällen wörtlich mit der „Demonstratio“ überein, in einigen Fällen sind sie kürzer und nur sehr selten (z. B. in


20820 . • Vvekt, von der „Demonstratio“ ab.i. t™ff der Wurzelausziehung) weichen sie i _ ejn gewöhnlicher „Algoris-Der Text „Communis et consuetus is ' Verfasser nicht ausschließlichmus obgleich die ganze Anordnung zeigt daß d e ^ ^einen praktischen Zweck verfolgte. So ^ ^ wiß in den anderenausziehung, zuerst das gewo in Jahrhunderts, aber dann um le ac eAlcrorismus-Schriften des 12 . unu __ Jaß die gegebene Zahl a . b . c . d . e . fnoch gründlicher zu behandeln, angeno ^ e r lä u t e r t w ird , w a ru m d ie P ro -un d die gesuch te W u rze l g k J ^ gegetzt w e rd e n so llen ,d u k te </2, 2gh usw . gerade so w ie d « ^ a lg o r is m o * w irk lic h von

D ie P rä g e , ob die ^ e m o n ^ u n a b h ä n g ig von d e r P rä g e , w er

J o r d a n u s NEMORA“ U S,lienU0 oii;mUDis e t c o n su e tu s“ is t, d en n J o r d a n u s k ann der V erfasser des le x te s „ v;~hpn hab en - in d e r T a t h a b e ich je tz ts, b r w ohl d ie beiden T ra k ta te 8«“ ^ ™ , \„ h d e r V e rw e is d e r .D em o o - einen g . K b estim m ten AntaB ™• « • extm h e n ä , ra d ic e m ' geradee tra tio * : ,H » » c r i W j - , f c008„ e tn s - b e s ie h t ,a u f den le tz ten Satz des T extes „ ß j W irk lic h k e it n u r d e r T ext

Sollte es sich indessen w ä h re n d d ie „ D e m o n s tra tio “„C om m unis e t co n su e tu s“ von U m st; n d jed e n fa lls k e in e B e d eu tu n geine sp ä tere B earb e itu n g ist, so h i t ie r te n A ufsatzes. I n d iesem F a llefü r die Sch lußfo lgerungen m ein C o m m u n is e t c o n su e tu s“w äre besonders d a rau f h in zu w eisen , daß so n d e ra sich in derebensow enig w ie die D em onstra k o m m e n n ä m lich die

S S Smi Ä ä J äi S t r t Ä r r . b i . h e r ^» . ü k e r g ew o rfen . consuetM- wie die .Demonstratio-

D aß sow ohl dei i e x t , e u n _ k a u m anzunehm en,m it U n rech t dem J o r d a n u s z u g esch n e en w , ^ E n e s t r ö m .

2 : 5 9 - 6 0 , siehe BM 1 8, 1900, S. 502; 6 3 , 1905, S. 3 1 0 -3 1 1 . — 2 . 6 1 , siehe

BM 73 , 1906, S. 8 5 -8 6 ._____________________ _

o fil OK die Armabe (Z 1 4 — 1 5 ), J o r d a n u s h a b e in se in e r Ä rithm etica «in dem griechischen daran.c h g e b ild e te s W o r t . M g » ^« L s m e to . l s led ig lich e in . V e rm u tu n g des H e rrn n n d “»v ü ie r t die zwei A uflagen d e r LEFEVREScheu A u sg ab e dei A iith m e tica , u nd er T a t findet sich in d ieser A u sg ab e das W o r t „ D ig n ita te s “ U n m rtte lb rnach dem S p ez ia ltite l; J ordam N em orarh c la r is s im iv in E le m e tü a a r t ih m *

■ cum dem onstrationibus J a c o b i F a b r i S tapu lensis fo lg en n a m h c h te i l l o fin itionen (n ich t n u m e rie r t u n d ohne R u b rik ), d an n 2 0 n u m e r ie r te u n d 6 ebenfalls n u m e rie r te „ P e tit io n e s“ , w o ra u f L e e uv r e b e m e rk t: „ D ^ m ta te a tq u e p e titio n es p au cas . . . ad iecim us, q u as . . . a u th o i s u p p re s s it . k an n diese B e m erk u n g bedeu ten , e n tw ed e r daß L e f k v r e die w en ig end a n u s n ich t vorkom m enden „ D ig n ita te s“ u n d „ P e ti t io n e s “ h in z u g e fu g t h a toder daß ein ige d e r „ D ig n ita te s“ u n d „ P e ti t io n e s “ v o n L e f k v r e

Im e rsten F a lle , d er m eines E ra c h te n s schon a u s ty p o g ra p h isc h e n G rü n d en

Kleine Mitteilungen. 209die größere Wahrscheinlichkeit besitzt, hat J o r d a n u s keine „Dignitates“ aufgeiülnt, und also keinen Anlaß gehabt, das Wort „Dignitates“ zu gebrauchen. Im zweiten Falle ist es möglich, daß dies W ort von J o r d a n u s herrührt, aber sicher ist es nicht, denn das W ort kann sehr wohl entweder von L e f e v r e hinzugefügt worden, oder von ihm aus einer von unbekannter Hand herrührenden Randbemerkung seiner Handschrift der Arithmetica entnommen sein.

___________ G. E n e s t r ö m .

2 : 63, siehe BM 4 3 , 1903, S. 206.

2 : 6 7 . Herr C a n t o r hat selbst in seinem Vorwort (S. IV) die Angaben der Fußnote 2 in betreff der Ausgaben des Traktates De numeris clatis ergänzt, indem er auf einen Aufsatz des Herrn R. v o n S t e r n e c k aus dem Jahre 1896 verweist. Da Herr v. S t e r n e c k in seinem Aufsatz bemerkt hat, daß die zwei von ihm benutzten vollständigen Handschriften des Traktates (von denen freilich die eine wertlos ist, weil sie nur eine wörtliche Abschrift der anderen bringt) vielleicht die einzigen sind, welche das vollständige Werk enthalten, so erlaube ich mir zu erwähnen, daß sich im Cod. Mazarin. 1258 der Nationalbibliothek in Paris eine vollständige Abschrift des Traktates, der hier „Data J o r d a n i s secundum operationem numerorum“ genannt wird, findet. Um einen Vergleich dieses Textes mit dem von Herrn v. S t e r n e c k benutzten zu ermöglichen, drucke ich hier den Beweis des Satzes IV ; 34 ab, welcher Satz bekanntlich besagt, daß, wenn (ci\X a2)(bl x — b2) — 0x2 oder = cx ist, so sind x 2 und x gegeben. Die Klammern bedeuten, daß sich die eingeklammerte Stelle zwar in der Handschrift findet, aber meiner Ansicht nach gestrichen werden soll, um den richtigen Sinn des Textes wieder herzustellen.

Si productus ad quadratum datus fuerit, cumque alter cum sibi addito in detractum a reliquo faciat numerum ad radicem datum et numerum datum [erit u t ipse cum sibi addito in reliquum totum faciat numerum ad quadratum datum et numerum ad radicem datum et item numerum datum], Sed reliquus totus in illum et additum ductus facit totum numerum ad quadratum datum et alium ad radicem datum. Minoribus igitur de majoribus detractis, vel relinquetur numeras datus equalis dato ad radicem vel ad quadratum datus (! soll wohl „dato“ sein) vel numerus datus equalis numero ad radicem dato et numero ad quadratum dato, vel numerus ad radicem datus equalis numero dato et numero ad quadratum dato, vel numerus ad quadratum datus equalis numero dato et numero ad radicem dato. Quodcumque fuerit, erit radix et quadratus datus.

Si productus ad radicem fuerit datus, erit eadem ratione, ducto toto in totum, numerus conjunctus ad radicem datus cum numero dato tamquam numerus ad radicem datus et numerus ad quadratum datus. Demptis ergo omnibus vel erit numerus datus equalis numero ad quadratum dato, vel equalis numero ad quadratum dato cum numero ad radicem dato, vel numerus ad quadratum datus tamquam numerus datus et numerus ad ra dicem datus. E t sic etiam radix data est.Sieht man von der eingeklammerten Stelle ab, so ist dieser Text (ich habe

nichts geändert, aber nur die zwei Kursiv gedruckten Worte numerus datus hinzugefügt) offenbar besser, als der von Herrn v. S t e r n e c k benutzte. Die im Texte angegebenen Operationen sind:

Bibliotheea Mathematica. m . Folge. VII. 14

2X0 GT E n e s t k ö m .

(axx + a2) A = a i l 2x -f- a2l>2, (ai x + «2) h x = «Ai^2 + «iA*> a ls o , w e n n (ayx - f - «2) (P\x — A) — cx“>

fll&liC2 -f- (a 2^1 — alA) x — a2^2 == ca;2’ welche Gleichung unter eine der fünf folgenden Formen gesetzt werden kann:

v. = ßx, y.] = y x x 2, y.2 = ß%x + F2*2, *3 * = ßa + ^ 3iC‘2, a4 ^ 2 = A + ^ 4*» wodurch in jedem Falle a; und dadurch auch a;2 bestimmt ist.

Ist dagegen (axa; + a2)(pxa: — ö2) = ciL so bekommt manc x -f- «2A = (a 2^l — a\ \ ) * A « iA # 2,

welche Gleichung unter eine der drei folgenden Formen gesetzt werden kann:y = a x 2, y \ = a-iX2 + ßi%, *2x2 = 72 + ß lx >

w o d u r c h in j e d e m F a l l e x b e s t i m m t i s t . G. E n e s t r ö m .

2 :7 0 , siehe BM 13, 1900, S. 417. — 2 :7 3 , 82, 87, siehe BM 13, 1900, S. 502. — 2 :8 8 , siehe BM 13, 1900, S. 503; « 3, 1905, S. 395. — 2 : 89, 90, siehe BM 13, 1900, S. 503.— 2 :9 1 —92, siehe BM 1 3, 1900, S. 503; 5 3, 1904, S. 409 -410; 6 3 , 1905, S. 395—396. — 2 : 97, siehe BM » 3, 1902, S. 406.

2 :9 8 . Der hier genannte Schüler B o g e r B a c o n s J o h a n n e s v o n L o n d o n hat zwei handschriftlich erhaltene Traktate verfaßt, nämlich „De trigonio cir- cinoque“ und „De speculis comburentibus libri quinque“ (siehe S. V o g l , Die Physik R o g e r B a c o s , Erlangen 1906, S. 11). — Es ist wenig wahrscheinlich, daß der von B o g e r B a c o n im 11. Kapitel des Opus tertium erwähnte „ J o

h a n n e s von London“ mit seinem soeben genannten Schüler identisch ist, vermutlich meint B o g e r B a c o n entweder J o h a n n e s P e c k h a m oder J o h a n n e s B a s i n g - s t o c k e (vgl. S. V o g l , a. a. O. S. 10— 11).

2 : 98—99, siehe BM 1 3, 1900, S. 269—270; 6 3 , 1905, S. 106— 107. — 2 :1 0 0 , siehe BM 3 3i 1902, S. 140. — 2 : 1 0 1 , siehe BM 3 3, 1902, S. 325; 6 3 , 1905, S. 396. — 2 : 1 0 4 — 105, siehe BM 1 3 , 1900, S. 503; 4 3 , 1903, S. 397—398. — 2 :1 1 1 , siehe BM 2 3, 1901, S. 352. — 2 : 1 1 6 , siehe BM 3 3, 1902, S. 406. — 2 : 1 1 7 - 1 1 8 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 107, 311. — 2 : 1 2 2 , siehe BM 13, 1900, S. 503— 504; « 3 , 1905, S. 397. — 2 : 1 2 6 , siehe BM 8 3 , 1902, S. 406; « 3 , 1905, S. 210. — 2 : 1 2 7 , siehe BM 8 3 , 1902, S. 406. — 2 : 1 2 8 , siehe BM 13 , 1900, S. 504. — 2 :1 3 2 , siehe BM 13, 1900, S. 515— 516. — 2 : 1 4 3 , siehe BM 13, 1900, S. 504. — 2 : 1 5 5 —156, siehe BM 5 3, 1904, S. 410—411; 7 3, 1906, S. 8 6 - 8 7 . — 2 :1 5 7 , 158, siehe BM 2 3, 1901, S. 352. — 2 : 1 6 0 —162, siehe BM 6 3 , 1905, S. 311— 312; 7 3, 1906, S. 8 7 - 8 8 . — 2 : 1 6 3 , siehe BM 13, 1900, S. 504; 6 3 , 1905, S. 312. — 2 : 1 6 4 , siehe BM « 3, 1905, S. 313. — 2 :1 6 6 , siehe BM 1 3, 1900, S. 504. — 2 : 175, siehe BM 8 3, 1902, S. 140. — 2 : 2 0 6 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 313. — 2 : 2 1 0 , siehe BM 2 3, 1901, S. 3 5 2 -3 5 3 . — 2 :2 1 8 , siehe BM 4 3, 1903, S. 284. — 2 : 2 1 9 , siehe BM 2 3, 1901 S. 353. — 2 : 2 2 2 , siehe BM « 3, 1905, S. 397— 398. — 2 : 229, 242, siehe BM 1 3, 1900, S. 504— 505. — 2 : 2 4 3 , siehe BM 1 3, 1900, S. 505; 6 3 , 1905, S. 398. — 2 : 2 5 3 , siehe BM 2 3, 1901, S. 353. — 2 : 2 7 3 , siehe BM 13, 1900, S. 505. — 2 : 274, siehe BM .8 3 , 1902, S. 325. — 2 : 281, siehe BM 5 3, 1904, S. 411 — 2 : 282, 283, siehe BM 13, 1900, S. 506; 2 3, 1901, S. 3 5 3 -3 5 4 . — 2 : 284, 286, 287, 289, 290, 291, siehe BM 13, 1900, S. 5 0 6 -5 0 7 . — 2 :2 9 6 , siehe BM 2 3, 1901, S. 354 — 2 : 305, siehe BM 7 3, 1906, S. 88. — 2 : 3 1 3 , siehe BM 13, 1900, S. 507. — 2 : 3 1 7 siehe BM 5 3, 1904, S. 69. — 2 : 3 2 0 , siehe BM 7 3, 1906, S. 88— 89. — 2 : 3 2 2 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 399. — 2 : 325, siehe BM 6 3 , 1905, S. 313— 314. — 2 :3 2 8 , siehe BM 3 3, 1902, S. 140; 4 ,3, 1903, S. 285. — 2 : 334, siehe BM 1 3, 1900, S. 507. — 2 : 3 5 1 , siehe BM 6 3, 1905, S. 399. — 2 : 3 5 3 , siehe BM 1 3, 1900, S. 507; 4 3, 1903 S. 87. — 2 : 3 55 , 3 5 7 , siehe BM « 3, 1905, S. 399— 400. — 2 : 358, 360, siehe


BM 4 3, 1903, S. 87. — 2 : 371, siehe BM 6 3 , 1905, S. 314. — 2 :3 7 9 , 380 , sieheBM 6 a, 1905, S. 400—401. — 3 : 3 8 1 , siehe BM 13, 1900, S. 507. — 2 : 385, sieheBM S 3, 1902, S. 81; 4 3, 1903, S. 207. — 2 : 3 8 6 , siehe BM 1 3, 1900, S. 507; 5 3,1904, S. 306. — 2 : 395, siehe BM 1 3, 1900, S. 507—508.

2 : 397. Da Herr Ca n t o r hier über die von G r a m m a t e u s angewendeten algebraischen Zeichen berichtet, benutze ich die Gelegenheit, um auf einen holländischen Cossisten aus der Zeit von 15 0 0 —1550 hinzuweisen, der von G k a m m a t e u s beeinflußt zu sein scheint; eigentlich gibt es ja in diesem Abschnitte der Vorlesungen keinen Platz für Holländer, sondern nur für französische, spanische, portugiesische, deutsche, englische und italienische Mathematiker.

Der betreffende Oossist ist G i e l i s v a n d e r H o e c k e , der im Jahre 1537 in Antwerpen ein Rechenbuch nebst Algebra veröffentlichte. Der Titel des Buches lautet: I n arithmetica \ een Sonderlinge excellet boeclc | leerende veelschoone ende perfecte regulen cler selven Conste \ eenen yeghelijckem seer profijte- lijilt ende van noode te weten. Eine neue Ausgabe erschien 1545; B i e r e n s d e

H a a n (.Bibliographie néerlandaise . . . sur les sciences mathématiques et physiques, Rome 1883, S. 127) verzeichnet eine Ausgabe von 1544 (vielleicht identisch mit der soeben genannten?), und auch eine Ausgabe von 1548 wird zitiert (siehe H. B o s m a n s , L e fragm ent du commentaire d ’A drien R omain sur l’algèbre de M ahom ed sen M USA .Ml- G ho WAREZMi ; A nnales de la so c ié té sc ie n tif iq u e de B ru x e lle s , 30 : 2, 1906, S. 8 des Sonderabzuges). Angeblich sollte das British Museum eine Ausgabe vom Jahre 1514 besitzen, aber schon aus den Bezeichnungen des Rechenbuches des v a n d e r H o e c k e ist es offenbar,' daß das Buch nicht vor 1521 erschienen sein kann, und in der Tat ist es leicht zu erklären, warum der Katalog des British Museum eine Ausgabe von 1514 verzeichnet. Auf dem Titelblatt der Ausgabe von 1545 steht nämlich, wie ich einer freundlichen Mitteilung des Herrn H. B o s m a n s entnehme, „Gheprent . . . M . CCCCC . XLY“, aber nach Herrn B o s m a n s ist „L“ so undeutlich, daß man ebenso gut XIV wie XLV 'lesen kann.

Für die Potenzen der unbekannten Größen wendet v a n d e r H o e c k e die Zeichen Pri, 2a, 3a, 4a, 5a an und benutzt auch die Zeichen + und — (vgl. S u z a n R . B e n e d i c t , The development of algebraic sym bolism from Paciuolo to N ewton; T each e rs C ollege, C o lu m b ia u n iv e r s i ty , New Y o rk , C ourses fo r te a c h e rs of m a th e m a tic s 1906— 1907, S. 19). G. E n e s t r ö m .

2 : 399, siehe BM 63 , 1905, S. 107—108. — 2 : 401, 405, siehe BM 13, 1900,S 507 — 2 : 4 1 1 , 412, siehe BM 7 3 , 1906, S. 89. — 2 :4 2 5 , siehe BM 1 3, 1900,S 507 — 2 : 427, siehe BM 6 3, 1905, S. 314—315. — 2 : 4 2 9 , siehe BM 5 3, 1904,S 201-202. — 2 :430, siehe BM 2 3, 1901, S. 145.— 2 :4 4 0 , siehe BM 4 3, 1903,S 285. — 2 : 442, siehe BM 3 3, 1902, S. 325. — 2 : 449, siehe BM 3 3, 1902, S. 140.— 2 : 4 5 4 , siehe BM 3 3, 1902, S. 242. — 2:474 , 480, siehe BM 3 3, 1902, S. 140— 141. — 2 :481, siehe BM 13, 1900, S. 508. — 2 :4 8 2 , siehe BM 13, 1900, S. 508; 2 3, 1901, S. 354; 3 3, 1902, S. 240; 6 3, 1905, S. 401. — 2 : 484, siehe BM S 3, 1902, S. 141. — 2 : 486, 4 8 9 , 490, siehe BM 13, 1900, S. 509. — 2 : 497, siehe BM 1 3, 1900, S. 509; 4 3, 1903, S. 87. — 2 :509, siehe BM l 3, 1900, S. 270, 509. — 2:510, siehe B M 1 3, 1900, S. 509. — 2:512, siehe BM S3, 1902, S. 141. — 2 :514 , 516, 517, siehe BM 13, 1900, S. 509. — 2 : 524, 529, siehe BM 7 3, 1906, S. 90-91. — 2 : 530, siehe BM 2 3, 1901, S. 354—355; S 3, 1902, S. 141.

14*

2 1 2 G. E n e s t k ö m .

2 : 531. Für die Geschichte der algebraischen Terminologie ist der 6 . Teil des General trattato cli nnmeri e misure von Interesse, weil darin die erste bekannte Erweiterung der Bedeutung des Termes „Binom“ zu finden ist. Im 5. Buche des 2. Teiles (Bl. 87a— 95b) hatte T a r t a g l i a dies W ort in der damals geläufigen, auf E u k l i d e s zurückgehenden Bedeutung angewendet, und dabei auch (Bl. 94a— 94b) die Terme „Trinom“, „Multinom“ auf ähnliche Weise gebraucht. Im 1. Buche des 6 . Teiles (Bl. 4a— 5a) führte er die Benennung „binomio de dignitä algebratice“ für Ausdrücke von der Form a x m -j- bxn n ganze positive Zahlen oder Null) ein, und benutzte auch den Term „trinomio de dignitä algebratice“ in ähnlicher Bedeutung. Dagegen nannte er Ausdrücke von der Form axm — bxn nicht „binomio“ sondern „residuo“.


2 : 582, 535, siehe BM 1 3, 1900, S. 509.

2 : 536. IA betreff des 5. Kapitels der Regula Aliza von C a r d a n o wird bemerkt, daß, wenn auch nicht in klarsten Worten gesagt, die Entstehung der Gleichungskonstante als Produkt der Wurzelwerte hier mindestens angedeutet ist, und die betreffende Stelle lautet, wie in der Fußnote 2 richtig angegeben wird: „Videmus, numerum aequationis si sit compositus, u t 18, 1 2 , 24 facile habere aestimationem et plures etiam, si autem primus difficile est invenire unam solam“. Liest man diese Zeilen, ohne sich die Mühe zu geben, von dem Inhalt des betreffenden Kapitels Kenntnis zu nehmen, wird man ohne Zweifel versucht sein können, die Angabe des Herrn C a n t o r als richtig anzusehen. In W ahrheit aber ist diese Angabe durchaus unbegründet. Das 5. Kapitel der Regula Aliza bezieht sich nämlich auf solche kubische Gleichungen von der Form ß 3 -f- b = a x (a und b rationale Zahlen), die als Wurzel ein „binomium“ oder „recisum“ haben. Zuerst bemerkt C a r d a n o , daß es nicht angebracht ist, * = V?« i zu setzen, weil in diesem Falle a und b nicht gleichzeitig rational werden. Dann gibt er folgende Beispiele der fraglichen Art von Gleichungen (das letzte Beispiel ist unrichtig, und wird identisch mit dem ersten, wenn man den Fehler berichtigt, d. h. 32 statt 34 setzt).

Gleichung: Wurzel:x 3 + 24 = 32 x, xi = 3 - f y<r, x 2 — 3 — Vö”,x 3 - f 12 = 34 «, aq = 3 -f- y f , « 2 = 3 - f f ,x 3 -f- 8 = 18 x, Xx — V6 — 2 ,x 3 -f- 48 = 25 x, xi = V3| — 1£,x 3 + 2 1 = 1 6 « , « 1 ==V9T — l | ,x 3 -j- 18 = 19 «, «i = Vl7V —x 3 -j- 18 = 15 x, «j = V8 | — 1-J-,x 3 + 18 = 39 «, « X - yi2 — 3,x 3 + 24 = 34 « . « x = 3 - f Vö”, x 2 — 3 — Vf.

In keinem Falle ist also die von C a r d a n o angegebene Wurzel ein rationaler ganzer Faktor der Gleichungskonstante und in keinem Falle hat er auch nur angedeutet, daß die Gleichungskonstante das Produkt der drei Wurzeln ist. Der Sinn der von Herrn C a n t o r falsch mißverstandenen Stelle ist offenbar der folgende. Nimmt man an, daß eine Wurzel der Gleichung x 3 -\-b = a x von

Kleine Mitteilungen. 213der Form ^m + n (m und n rationale Zahlen, aber ym irrational) ist, so wird

m ym -f- 3 m n -\- 3 \[m n2 n3 + b = a \m -f- a n,also ist

3 ¡1 = « « , m + 8 n2 = a,weil sonst eine rationale Zahl gleich einer irrationalen sein würde. Folglich wird

b = an — 3 m n — n3 = (m -f- 3 w2) n — 3 m n — n3 = 2 n (n 2 — m). Sind m und n ganze Zahlen, kann b offenbar nie eine Primzahl sein, und man versteht also leicht, was C a r d a n o meint mit dem Ausdrucke: „si autem primus, difficile est invenire unam solam“. Beiläufig sei bemerkt, daß die Wurzeln • der Gleichung x3 -f- 2 n (w2 — m) = (m -(- 3 w2) x offenbar n, — \m -\-n, — 2 nsind, so daß immer, wenn n eine ganze Zahl ist, eine Wurzel der Gleichung eine ganze (freilich negative) rationale Zahl wird, deren numerischer Wert gleich der Summe der zwei irrationalen Wurzeln ist. Daß dem C a r d a n o selbst dieser Umstand nicht unbekannt war, scheint daraus hervorzugehen, daß er in betreff der Gleichungen x 3 + 24 = 32 x und x 3 -f- 12 = 34 x im Vorübergeben bemerkt, die Wurzel der Gleichung x 3 = 32 x -f- 24 sei gleich 3 — \ 5 -|— 3 — y5~= 6 und die Wurzel der Gleichung x 3 — 34 x -f- 12 sei gleich 3 -f- -|~ 3— V r = 6 . In keinem Falle gibt er aber die drei Wurzeln der von ihm behandelten neun Gleichungen an.

Als Beweis dafür, daß Herr C a n t o r die zitierte Stelle richtig verstanden hat, wird von ihm auf das 17. Kapitel der Regula Alisa hingewiesen, aber da in diesem Kapitel gar nicht von irgend einer Gleichung gesprochen wird, ist es schwer zu begreifen, wie es überhaupt möglich war, hier den Satz von der Gleichungskonstante hineinzulesen (vgl. die folgende Bemerkung).


2 :5 3 6 . Z. 8 — 9 wird die Überschrift des 17. Kapitels der Regula Aliza: „ Quot modis numerus possit produci ex non numero“ erwähnt und übersetzt, und dann gibt Herr C a n t o r als Beispiel (3^ + ) / ^ ) (34- — V-g6s-) = 10 an. Aber dies Beispiel bringt ja gar keinen Aufschluß über die Frage, auf wie viele Arten die Zahl 10 das Produkt irrationaler Faktoren sein kann. In der Tat ist diese Frage am Anfänge des Kapitels behandelt, während das C a n t o r -

sche Beispiel aus dem Absatz „Tertio“ gegen das Ende des Kapitels entnommen ist, und meines Erachtens ist gerade der Anfang, den Herr C a n t o r stillschweigend übergeht, das interessanteste. Hier bemerkt nämlich C a r d a n o , daß kein Faktor einer rationalen Zahl aus mehr als vier einfachen Quadratwurzelausdrücken (oder aus mehr als einer rationalen Zahl und drei einfachen Wurzelausdrücken) bestehen kann, und diese Bemerkung ist offenbar identisch mit dem Satz, daß der Nenner des Bruches

1

V ^"+ V « 2 H- • • • +nicht rational gemacht werden kann, sofern n > 4 ist. Noch dazu bemerkt C a r d a n o , daß kein Faktor einer rationalen Zahl aus mehr als drei einfachen Kubikwurzelausdrücken bestehen kann. Diese Bemerkungen enthalten die Antwort auf die Frage, auf wie viele Arten eine ganze Zahl das Produkt irrationaler Faktoren sein kann. G. E n e s t r ö m .

214 H. B o sm a n s . — G. E n e s t k ö m .

2:541, 548, s ie h e BM 13, 1900, S.509-510. — 2 : 549, s ie h e BM 1 3, 1900,S.510; 6 3 , 1905, S. 401. — 2 : 550, s ie h e BM 2 :1, 1901, S. 355. — 2 : 554, s ie h e BM 1 3, 1900, S. 510. — 2 : 555, s ie h e BM 4 3, 1903, S. 285; 6 3 , 1905. S. 322. — 2 : 501, s ie h e BM 73, 1906, S 91 — 2 : 565, 567, 568, s ie h e BM 4 3, 1903, S. 285—286. — 2 : 569, s ie h e BM 13, 1900, S. 510. — 2 :572—573, s ie h e BM 13, 1900, S. 510; 3 3, 1902, S. 141. — 2 : 576, s ie h e BM 2 -3, 1901, S. 355—356. — 2:579, s ie h e BM 2 3, 1901, S. 145. — 2 : 580—581, s ie h e BM 4 3, 1903, S. 207. — 2 : 582, s ie h e BM 13, 1900, S. 510. — 2 : 583, s ie h e BM 13, 1900, S. 270; 2 3, 1901, S. 356. — 2 : 585, s ie h e BM 5 3, 1904, S. 69—70. — 2 :5 9 2 , s ie h e BM 23, 1901, S. 146. — 2 :594 , s ie h e BM 13, 1900, S. 270. — 2 : 597, s ie h e BM 1 3, 1900, S. 270; 2 3 , 1901, S. 146. — 2 : 599—600, s ie h e BM 2 3 , 1901, S. 146. — 2 :6 0 2 , s ie h e BM 1 3, 1900, S. 270. — 2 :6 0 3 —604, s ie h e BM 13, 1900, S. 270—271; 6 3 ,' 1905, S. 108. — 2 : 611, s ie h e BM 2 3, 1901, S. 356—357. — 2 : 612, s ie h e BM 1 3, 1900, S. 277; 2 3, 1901, S. 146. — 2 :6 1 2 -6 1 3 , s ie h e BM 73, 1906, S. 91—92. — 2 : 613, s ie h e BM 2 3, 1901, S. 357; 5 3, 1904, S. 306. — 2 :614 , s ie h e BM 3 S, 1902, S 141. — 2 : 617, 619, s ie h e BM « 3, 1905, S. 108—109. — 2 : 620, s ie h e BM 3 3, 1902, S. 141. — 2 :6 2 1 , s ie h e BM 13, 1900, S. 277; 2 3, 1901, S. 146; 0 3, 1905, S. 402.

2:621. Dans son traité De occulta parte numerorum quam algebram vocant libri duo (Paris 1560) mentionné par M. G. E n e s t r o m à la BM 6 3 , 1905, p. 402, J. P e l e t i e r donne aussi en passant des équations dont le second membre est égalé à zéro. En effet, au f° 10 r° de ce traité se trouve le passage suivant: „Sint 6 R aequales 12 B m. 24. Vtrinque aufero 6 B: Turn 6 B m. 24 aequantur 0 seu nihilo: vt necesse sit 6 11 et 24 simul aequari, quum 6 II et 24 se mutuo tollant“. Autre exemple au f° 58 r°. H. B o s m a n s .

2 : 6 2 3 , siehe BM 13, 1900, S. 277; 2 3, 1901, S. 146-147. — 2 : 6 3 2 , siehe BM 6 3, 1905, S. 109. — 2 : 6 3 4 , 6 3 7 , siehe BM 6 3, 1905, S. 315—316. — 2 : 6 3 8 , siehe BM 2 3, 1901, S. 147. — 2 : 6 4 2 , 6 4 3 , siehe BM 13, 1900, S. 271. — 2 : 6 4 4 , siehe BM ö 3, 1905, S. 402— 403. — 2 : 655, siehe BM 2 3, 1901, S. 357. — 2 : 6 5 6 , siehe BM 4 3, 1903, S. 286. — 2 : 6 5 9 , 6 6 0 , siehe BM 2 3, 1901, S. 147—148. — 2 : 6 6 1 , siehe BM « 3, 1905, S. 403. — 2 : 6 6 5 , siehe BM 13, 1900, S. 271. —2 : 6 6 9 , siehe BM 5 3, 1904, S. 203. — 2 : 6 7 0 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 403. —2 : 6 7 4 , siehe BM 4 3, 1903, S. 8 8 . — 2 : 6 8 3 , siehe BM 2 3, 1901, S. 148. — 2 : 6 9 3 , siehe BM 4 3, 1903, S. 287. — 2 : 7 0 0 , 7 0 1 , 7 0 3 , 7 0 4 , 7 0 5 , siehe BM 13, 1900. S. 271-273. — 2 : 715, siehe BM 5 3, 1904, S. 412. — 2 : 7 1 6 , siehe BM 6 3, 1905, S. 404. — 2 : 71 7 , 7 1 8 , siehe BM 7 3, 1906, S. 92—93. — 2 : 7 1 9 , siehe BM 2 3, 1901, S. 357. — 2 :7 2 0 , siehe BM 4 3, 1903, S. 287; 6 3, 1905, S. 404. — 2 : 7 2 1 , siehe BM 13, 1900, S. 273; ©3, 1905, S. 404—405. — 2 : 742, siehe- BM 1 3, 1900, S. 273; 3 3, 1902, S. 142. — 2 : 7 4 6 , siehe BM 13, 1900, S. 273. — 2 : 7 4 7 , sieheBM 13, 1900, S. 173; 2 3, 1901, S. 225. — 2 : 7 4 9 , siehe BM 43, 1903, S. 8 8 .— 2 : 7 6 6 , siehe BM 3 3, 1902, S. 142; 5 3, 1904, S. 412-413. — 2 : 7 6 7 , siehe BM 2 3, 1901, S. 148, 357—3 5 8 .- 2 :770 , siehe BM 4 3, 1903, S. 208. — 2 : 772, 775, siehe BM 2 3, 1901, S. 358—359. — 2 : 777, siehe BM 2 3, 1901, S. 148; 3 3, 1902, S. 204. — 2 :7 8 3 , siehe BM 2 3 , 1901, S. 359; 4 3 , 1903, S. 88—89. — 2 : 7 8 4 , siehe BM 2 3, 1901, S. 148. — 2 : 7 8 7 , 7 9 1 , siehe BM « 3, 1905, S. 405. — 2 : 7 9 3 - 7 9 4 , siehe BM 5 3 , 1904, S. 307; 6 3 , 1905, S. 316-317, 405-406. — 2 :7 9 5 , siehe BM <i3, 1905, S. 317. — 2 : 797—798, siehe BM 5 3, 1904, S. 307; 6 3, 1905, S. 317. — 2 : 7 9 9 , siehe BM 5 3, 1904, S. 307. — 2 :8 0 2 , siehe BM 4 3, 1903, S. 208. — 2 : 812, siehe BM 4 3, 1903, S. 37. — 2 : 8 2 0 , siehe BM 2 3, 1901, S. 148; 5 3, 1904, S. 307. — 2 :825 , siehe BM 2 3, 1901, S. 148. — 2 : 8 3 2 , siehe BM 5 3 , 1904, S. 203—204; 6 3 , 1905, S. 211. — 2 : 840, siehe BM 2 3, 1901, S. 1 4 8 -1 4 9 .-2 :8 4 3 , siehe BM 3 3, 1902, S. 328. — 2 : 8 5 0 , siehe BM 6 3, 1905, S. 109—110. — 2 : 8 5 6 , 8 6 5 , siehe BM 2 3, 1901, S. 149. — 2 : 8 7 6 , 878, 879, siehe BM 13, 1900, S. 511. — 2 : 891, siehe BM 13, 1900, S. 273. — 2 : 8 9 7 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 406. — 2 : S98, siehe BM 43, 1903, S. 37, 208. — 2 : 9 0 1 , siehe BM 1 3, 1900, S. 511. — 2 : 9 1 9 , siehe BM 5 3, 1904, S. 204. — 2 : Y III (Vorwort), siehe BM 3 3, 1902, S. 142. — 2 : IX , X (Vorwort), siehe BM 13, 1900, S. 511—512.

Kleine Mitteilungen. 2153 : 9, siehe BM 8 3 , 1901, S. 359. — 3 : 10, ¡flehe BM 13, 1900, S. 518; 6 3 , 1905,

S. 211. — 3 :11, siehe BM 4 3, 1903, S. 209. — 3 :12, 17, siehe BM 13, 1900, S. 512.— 3 :2 2 , siehe BM 13, 1900, S. 512; 43 , 1903, S. 209. — 3 :2 4 , siehe BM 4 3, 1903,S. 209. — 3 :2 5 , siehe BM 4 3 , 1903, S. 209, 399. — 3 :2 6 , siehe BM 8 3, 1901,S. 359. — 3 :3 9 , siehe BM 6 3. 1905, S. 407. — 3 :4 5 -48 , 49, 50, siehe BM 13,1900, S. 512—513. — 3 :6 3 , siehe BM 73, 1906, S. 93-94. — 3 :7 0 , siehe BM 8 3,1901, S. 360. — 3 :8 2 , siehe BM 5 3, 1904, S. 308. — 3 :100 , siehe BM 8 3, 1901, S. 149. — 3 :1 0 2 , siehe BM G3, 1905, S. 318. — 3 :1 1 2 , siehe BM 4 3, 1903, S. 209—210; 6 3 , 1905, S. 318. — 3 :116, siehe BM 13, 1900, S. 513. — 3 :117, siehe BM 13, 1900, S. 518. — 3 :123, siehe BM 13, 1900, 8 . 513; 4 3, 1903, S. 399. — 3 : 124, siehe BM 3 3, 1902, S. 407—408; 4 3, 1903, S. 400. — 3 :126 , siehe BM 4 3, 1903, S. 288. — 3 :131, siehe BM 4 3, 1903, S. 210. — 3 :151, siehe BM 3 3, 1902, S. 326. — 3 : 167, 172 — 173 , siehe BM 4 3, 1903, S. 400. — 3 :174, siehe BM 8 3, 1901, S. 149—150. — 3 :183 , siehe BM 13, 1900, S. 432. — 3 : 188, siehe BM 3 3, 1902, S. 241. — 3 :201, siehe BM 13, 1900, S. 513. — 3 : 207, siehe BM13, 1900, S. 519.— 3 :215, siehe BM 8 3, 1901, S. 150. — 3 :218, siehe BM 13, 1900, S. 513. — 3 :220, siehe BM 3 3, 1902, S. 326. — 3 :224, siehe BM 13, 1900, S. 514. — 3 : 225, 228, siehe BM 2 3, 1901, S. 150. — 3 :230 , siehe BM « 3, 1905, S. 211—212. — 3 :232, siehe BM 13, 1900, S. 514; 6 3, 1905, S. 212. — 3 : 244—245, siehe BM 5 3, 1904, S. 205, 413. — 3 : 246, siehe BM 13, 1900, S. 514; 8 3, 1901, S. 151. — 3 :250, siehe BM 13, 1900, S. 514. — 3 :3 0 3 , siehe BM 8 3, 1901, S. 155, — 3 :330—331, siehe BM 3 3 , 1902, S. 241-242. — 3 : 837, siehe BM 5 3, 1904, S. 206. — 3 :365, siehe BM 73, 1906, S. 94.

3 :3 6 7 . Da diese Seite die einzige Stelle der Vorlesungen ist, wo A. Arn a u l d genannt wird, bemerke ich in betreff der Zeilen 27— 30, daß A r n a u l d in den späteren Auflagen der Nouveaux elemens de geometrie seine Ansicht über Proportionen, wo negative Zahlen Vorkommen, modifizierte (vgl. z. B. die zweite Auflage, S. 19). Über die Gründe, welche A r n a t j l d dazu veranlaßte, findet man Auskunft in einem. von P r e s t e t (Nouveaux elemens de mathématiques, Paris 1689. S. 366— 371) veröffentlichten, wahrscheinlich aus dem Jahre 1676 herrührenden, Briefwechsel zwischen ihm selbst und A r n a u l d .


3 :3 7 0 —371, siehe BM 5 3, 1904, S. 308. — 3 :3 8 2 , siehe BM 6 3 , 1905,S. 213. — 3 :3 8 4 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 319. — 3 :408 , siehe BM tt3, 1905,S. 213. — 3 :447, 455, siehe BM 8 3 , 1901, S. 151. — 3 :473, siehe BM 8 3, 1901, S. 154—155; 4 3, 1903, S. 401. — 3 : 477, 479, siehe BM 8 3, 1901, S. 151—152. —3 : 497, 498, siehe BM 5 3, 1904, S. 309. — 3 : 507, siehe BM 5 3, 1904, S. 71—72.— 3 :521 , siebe BM 8 3 , 1901, S. 441. — 3 : 527, siehe BM 7 3, 1906, S. 95. — 3 : 535, siehe BM 4 3, 1903, S. 401. — 3 : 536, siehe BM 5 3, 1904, S. 206. — 3 : 560, siehe BM G3, 1905, S. 319—321. — 3 : 565, siehe BM 3 3, 1902, S. 326—327. — 3 : 571, siehe BM 3 3, 1902, S. 327; 5 3, 1904, S. 72. — 3 : 578, siehe BM 3 3, 1902, S. 327; 5 3, 1904, S. 309. — 3 :5 8 6 , 609, siehe BM 5 3, 1904, S. 309-310. — 3 :6 1 4 , siehe BM 4 3, 1903, S. 89—90. — 3 : 616, siehe BM 6 3, 1905, S. 214, 408. — 3 : 636—637, siehe BM 8 3, 1901, S. 441. — 3 :6 4 6 —647, siehe BM 5 3, 1904, S. 206—207.— 3 : 652, s ie h e BM 8 3 , 1901, S. 446; 5 3, 1904, S. 207. — 3 :6 6 0 , s ie h e BM 23, 1901, S. 441. — 3 :6 6 7 , s ie h e BM 8 3, 1901, S. 441—442; 5 3, 1904, S. 207— 208, 310. — 3 : 682, s ie h e BM « 3 , 1905, S. 408. — 3 : 6 8 6 , s ie h e BM 5 3, 1904, S. 208. — 3 :689 , 695, s ie h e BM 8 3 , 1901, S. 442. — 3 : 736, s ie h e BM tt3, 1905, S. 111. — 3 : 750, 758, s ie h e BM 8 3, 1901, S. 446. — 3 : 759, s ie h e BM 5 3, 1904, S. 208. — 3 : 760, 766, s ie h e BM 23, 1901, S. 446-447. — 3 : 774, 798, s ie h e BM 8 3 , 1901, S. 442—443. — 3 : 819, s ie h e BM 6 3 , 1905, S. 321. — 3 :845 , s ie h eBM 8 3 , 1901, S. 447; 3 3; 1902, S. 327—328. — 3 :848, 881, s ie h e BM 8 3, 1901,S. 443. — 3 :8 8 2 , s ie h e BM 8 3 , 1901, S. 447; 5 3, 1904, S. 414. — 3 : 890, s ie h eBM 4 3, 1903, S. 401. — 3 :8 9 2 , s ie h e BM 3 3, 1902, S. 143. — 3 : IV (Vorwort),s ie h e BM 8 3, 1901, S. 443.

2 16 Gr. E n e s t r ö m : Kleine M itteilungen.

Anfragen und Antworten,1 2 7 . Über den italienischen Arithm etiker G iovanni A ntonio da

Como. In'smnem Aufsatze Nuove ricerche sul matemático L e o n a r d o C r e m o n e s e (B ib lio th . M athem . 5s, 1904, S. 3 2 6 — 341) hat A. F a v a r o einige Notizen über den italienischen Mathematiker L e o n a r d o C r e m o n e s e oder L e o n a r d o d e ’

A n t o n i i und seine Schriften mitgeteilt. Indessen wäre es erwünscht, noch weitere Untersuchungen über diesen Mathematiker des 15. Jahrhunderts anzustellen, und für diesen Zweck könnte es nützlich sein, Aufschlüsse über einen bisher fast unbekannten italienischen Mathematiker G i o v a n n i A n t o n io d a C o m o

zu haben. Nach B. B o n c o m p a g n i (Intorno ad un trattato d’aritmetica stampato net 1478; A t t i d e l l ’ a ccad em ia p o n t i f ic ia d e’ N u o v i L in c e i 1 6 , 1863, S. 517— 519) fand sich nämlich 1863 in der „Biblioteca del monasterio di S. Salvatore de’ canonici regolari Lateranensi“ in Bologna eine (von Herrn F a v a r o nicht erwähnte) Handschrift aus dem 15. Jahrhundert m it dem Titel: „Aritmética di Gio. A n t ° d a C o m o e L e o n a r d o d a C r e m o n a . “ Es scheint also, als ob die zwei in dem Titel genannten Persönlichkeiten, von denen der letztere wohl mit L e o n a r d o d e ’ A n t o n i i identisch ist, vielleicht gleichzeitig gelebt hätten.

Ist es möglich, einige biographische Notizen über G i o v a n n i A n t o n io d a

C o m o aufzufinden? G . E n e s t r ö m .

A ddition à la réponse à la question 1 1 0 sur les frères Français.A la page 40 du B u lle t in de b ib l io g r a p h ie , d ’h is to ir e e t de b io g ra p h ie m a th é m a tiq u e 1 (1855), on trouve le renseignement que les frères F r a n ç a is étaient neveux de A r b o g a s t ; le frère mort en 1810 est appeléF . F r a n ç a i s , et T e r q u e m dit qu’il était professeur à l’école d’artillerie de Mayence. G. E n e s t r o m .

Rezensionen. 217

Rezensionen.L. Königsberger. Carl G ustav Jacob Jacobi. Festschrift zur Feier der

hundertsten Wiederkehr seines Geburtstages. Leipzig Teubner 1904. 8 °, XVIII 554 S. Porträt -f- Facsim. cA i 16.

Cil. Lucas (le Pesloiiail. N.-H. Abel. Sa vie et son œuvre. Paris, Gau- thier-Villars 1906. 8 °, XIII -f- 168 + (1 ) S. - f Porträt, Francs 5.

Die Namen J a c o b i und A b e l gehören in der Geschichte der Mathematik fast ebenso sehr zusammen wie N e w t o n und L e ib n iz ; die gleichzeige Anzeige der zwei oben genannten Bücher kann also von diesem Gesichtspunkte aus gerechtfertigt sein. Auch die Darstellungsweise ist in beiden Fällen insofern dieselbe, als die Schilderung sowohl der Lebensumstände wie der wissenschaftlichen Wirksamkeit in eine einzige Abteilung zusammengefükrt wurde, wo die chronologische Ordnungsfolge der Tatsachen oder Schriften maßgebend ist. Aber sonst verfolgen die zwei Biographien wesentlich verschiedene Zwecke, was man ja auch schon aus den Angaben über die Seitenzahlen erraten kann.

Herr K ö n i g s b e r g e r hat nicht nur die jedem Fachgenossen unmittelbar zugänglichen Quellen zu Rate gezogen, sondern noch dazu teils Briefe und Mitteilungen von seiten der Angehörigen J a c o b i s , teils andere ungedruckte oder schwer zugängliche Aktenstücke benutzt, und sein Buch bietet darum eine Fülle von neuem Material zur Biograpnie J a c o b i s . Herr L u g a s d e P e s l o ü a n hat dagegen, wie er selbst im Vorworte hervorhebt, all sein Material aus den gesammelten Werken von A b e l sowie dem „Mémorial du centenaire“ und der bekannten Arbeit von C. A. B j e r k n e s entnommen. Er hat sich so wenio- darum bekümmert, weitere Nachforschungen anzustellen, daß er S. 109 die „Recherches sur les fonctions elliptiques; seconde mémoire“ als verloren angibt, obgleich es allgemein bekannt sein dürfte, daß diese Abhandlung von HerriiG. M i t t a g - L e f f l e r im Jahre 1894 wiedergefunden und im Jahre 1902 in den A cta M a th e m a tic a (20, S. 1— 42) zum Abdruck gebracht wurde.

Die Arbeit des Herrn K ö n i g s b e r g e r hat sieben Abteilungen, nämlich:1. C a r l G u s t a v J a c o b J a c o b i s Jugendjahre 1804— 1821 (S. 1 — 5 ). —2 . J a c o b i als Student an der Universität in Berlin von Ostern 1821 — Ostern 1825 (S. 6 — 17). — 3. J a c o b i als Privatdozent an der Universität zu Königsberg von Ostern 1826 — Dezember 1827 (S. 18 — 58). — 4. J a c o b i als außerordentlicher Professor an der Universität in Königsberg vom Januar 1827

Juli 1832 (S. 59 136). — 5. J a c o b i als ordentlicher Professor an derUniversität in Königsberg vom Juli 1832 — Michaelis 1844 (S. 137 330).— 6 . J a c o b i als Mitglied der Akademie in Berlin vom Oktober 1844 bis zu seinem Tode am 18. Februar 1851 (S. 331— 523). — 7 . Rückblick (S. 524

543). Am Ende findet sich ein Personen-Register (S. 544 — 549).

218 Rezensionen.

Daß Herr K ö n i g s b e r g e r hinsichtlich der W ürdigung der wissenschaftlichen Wirksamkeit J a c o b i s nichts wesentlich neues bieten kann, ist leicht zu verstehen, aber auch wenn man die berühmte Gedächtnisrede von D ir iC H L E t gelesen hat, kann man mit Vergnügen vom „Rückblick“ des Herrn K o n i g s b e r g e r Kenntnis nehmen. Indessen hat, wie schon bemerkt wurde, die K o n i g s b e r g e r - sche Arbeit seinen entschiedenen W ert hauptsächlich als eine zuverlässige und übersichtlich geordnete Materialsammlung zur Biographie J a c o b i s , und von diesem Gesichtspunkte aus braucht sie keine besondere Empfehlung.

Auch über J a c o b i s mathematisch-historische Forschungen bringt die Arbeit interessante Aufschlüsse. Daß sichJACOBi schon als Jüugling eingehend mit solchen Forschungen beschäftigt hat, wußten wir ja schon aus dem Aufsatze von F r . H u l t s c i i

im R e p e r t o r i u m der l i t e r a r i s c h e n A r b e i t e n aus dem G e b i e t ® der r e i ne n und a n g e wa n d t e n M a t h e m a t i k (2, Leipzig 1879, S._ 324— 334) und daß er sich immer für dies Forschungsgebiet interessiert hat, ist auch wohl bekannt, aber Herr K ö n i g s b e r g e r gibt uns noch weitere Belege hierzu (vgl. g 3 8 6 _ ! _ 3 9 1 414, 473). Freilich macht es einen etwas eigentümlichen Eindruck, wenn man S. 496 liest: „ J a c o b i bespricht . . . die . . . im Jahre 1503 gedruckte kleine Schrift Opusculum etc., worin schon die Regeln fur die Aus- zieliuno' der Kubikwurzeln gegeben werden“. Bekanntlich ist die betreffende kleine °Schrift gerade der Algorismus des S a c r a b o s c o , der etwa 1250 verfaßt wurde so daß die Erwähnung des Druckjahres 1503 nicht nur bedeutungslos ist sondern sogar irreleitend sein kann; der nicht sachkundige Leser könnte nämlich leicht die Auffassung bekommen, daß im Jahre 1503 die Ausziehung von Kubikwurzeln etwas ungewöhnliches war.

Wenn es also klar ist, daß und warum die Veröffentlichung der K ö n ig s - BERGERSchen Arbeit durchaus berechtigt ist, so liegt die Sache etwas anders inbetreff der neuesten Biographie A b e l s . Daß der Verfasser nicht die Absicht hat den Lesern etwas neues zu bieten, gibt er schon im Vorworte an, und daß er eigentlich keine objektive Schilderung der Bedeutung seines Helden bieten will sieht man am deutlichsten aus der folgenden gelegentlichen Bemeikung inbetreff der B j e r k n e s sehen Biographie (S. 147— 148): „Ce qui fait la beauté de son livre, c’est le sentiment d’affection pour son compatriote, dans lequel il est écrit. Dieu nous préserve de l’historien qui n est d aucun temps, ni d aucun pays!“, sowie aus den zwei folgenden Zeilen des Vorwortes (S. XII): „On excusera ce qu’il y a dans ce travail d’imaginatif, de romanesque même“. Aber meiner Ansicht nach hat auch das Buch des Herrn L u c a s d e P e s l o ü a n eine Existenzberechtigung, und zwar als ein Versuch, die Bedeutung A b e l s für das gebildete Publikum gemeinverständlich darzulegen, und von diesem Gesichtspunkte aus wäre es gut, wenn das Buch recht bald viele Nachfolger bekäme. Freilich wäre es zu wünschen, daß solche Bücher vor dem Erscheinen von einei kompetenten Person durchgesehen werden, so daß nicht unnötigerweise Schreibfehler oder andere Ungenauigkeiten Vorkommen. Ziemlich schlecht sind von Herrn L u c a S d e P e s l o ü a n einige Personennamen behandelt, so z. B. schreibt er (S. 18, 19, 20, 34, 127, 167) „Shumacher“, obgleich er weiß (S. 35, 100, 107, 112, 113), daß der Name S c h u m a c h e r heißt, ebenso schreibt er (S. 50, 52, 54) „Litrow“ statt L i t t r o w und (S. 65) „Gergone“ statt G e r g o n n e . Inbetreff der Ungenauigkeiten erwähne ich hier zwei Stellen, worauf mich ein geschätzter Mitarbeiter der B i b l i o t h e c a M a t h e m a t i c a aufmerksam gemacht hat.

Rezensionen. 2 19

S. 14. Hinsichtlich der Bemerkung von A b e l in einem Briefe an L e - G e n d r e : „Je ne peux m’empêcher de transcrire le théorème suivant qui s ’y

[chez L e g e n d r e ] trouve et qui est, certes, le plus merveilleux des Mathématiques“, fügt der Verfasser hinzu: „Ce théorème sur la théorie des nombres n’a plus rien qui nous émerveille aujourd’hui“. Es handelt sich hier um L e g e n d r e s

Näherungsformel y — .----------- rnobeg für die Anzahl der Primzahlen <C xlog x — ijUoobb =Aber der Nachweis dieser Gleichung gelang weder G a u s s , noch A b e l , nochD i r i c h l e t , die sich alle drei damit beschäftigt haben; erst vor einigen Jahrenhat Ch. d e l a V a l l é e P o u s s i n die Frage erledigt, und dabei die L e g e n d r e -sche Gleichung modifiziert.

S. 97. Hier wird ein wohlbekannter ABELScher Satz über unendliche Reihen in folgender offenbar unsinnigen Form zitiert: „un étant un terme d’une série et cp (n) une fonction du rang n, on ne saurait trouver une telle fonction (p qui permette d'affirmer que 27 un soit convergent quand un cp (n) tend vers zéro“. Aber das tu t z. B. cp (n) = n. Der springende Punkt ist, daß für lim un cp (n) = 0 und n u r h i e r f ü r 27an konvergiert. Überdies sollen die un 0 sein.

Ein Personen-Register am Ende des Buches wäre sehr willkommen.

Stockholm. G. E n e s t r ö m .

220 Neuerschienene Schriften.

Neuerschienene Schriften.Dag Zeichen * bedeutet, daß die betreffende Schrift der Redaktion n ich t Vorgelegen hat.

Autoren-Register.Mmagiä, 16. \niodeo, 13. Appel, 15. Baldauf, 31. Ball, 10.Berr, 33. Bliedner, 40. Bobynin, 11. Bosnians, £0. Cantor, 8 . Carracido, 51. Cayley, 43. Claparède, 5.

Duhem, 14.Eneström, 2,6,25,26,29. Freund, 10.Gmeiner, 49.Graf, 43.Haldane, 32.Harzer, 18.Heiberg, 20.Hellmann, 23.Heron, 21.Kepler, 31.Krazer, 4.La Cour, 15.

Landau, 35.Lebon, 17.Loria, 3, 81.Lucas de Pesloüan, 41. Marcolongo, 38.Meier, 22.Mentrfe, 7.Mikami, 18.Müller, Conrad, 37. Rados, 45.Schläfli, 43.Schöne, H., 21.

a) Z e itsch r iften . A llg e m e in e s .

Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen W issenschaften 18 (1904). [Rezension:] Monatsh für Mathem. 17,1906 ; Lit.-Ber. 37—38. (R. v .S t .)

B iblio theca M athem atica . Z eitsch rift für G eschichte der m athem atischen W issenschaften . H erausgegeben von G. Ene- stkö m . L eipzig (Stockholm ), 8 .

73 (1906) : 1.

B olle ttino di b ib liografia e sto ria delle scienze m atem atiche pubb lica to p er cura di G. Lokia. Torino (Genova). 8°. [3

1906 : 1.Verhandlungen des d ritten internationalen Mathe

m atiker-K ongresses, herausgegeben von A. K r a z e r (1905). Rezension :] W e m F o r / c A r ^ u c .

mathem. soc ., Bulletin 12*2 » 1906 > ^( H . S . W h i t e . ) L4

Congrès in te rn a tio n a l d ’h isto ire des sciehces. U lm e section. T enue à Genève du 4 au 8 septem bre 1904. R ap p o rts e t com ptes rendus pub liés p a r les soins de E d . C l a p a r è d e . Genève 1906. [580, V in s. + S. 775 - 959 + (3) S + P orträ t ( P a u l T a n n e r y ) . — [Rezension :] Bullet, sc. mathém. SOa, 1906, 46—50. (J. P.)

Siebert, 15.Stäckel, 46.S treit, 42.Sturm, A., 9. Teixeira, 12. Valentin, 36.Vogl, 27.Vogt, 19. W hittemore, 49. Wiedemann, 23, 24. W ieleitner, 44. Zanotti-Bianco, 39.

Eneström, G., Die G eschichte der M athe m a tik als B estan d te il der Geschichte der W issenschaften . [6

Biblioth. Mathem. 73, 1906, 1—5.

M o n tré , F . , La s im ultanéité des découvertes scientifiques. [7

Deuxième congrès international de philosophie (Genève 1904), Comptes rendus 1905, 916—924.

Cantor, M ., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. — l 2(1894). [KleineBemerkungen :] Biblioth. Mathem. 73, 1906, 80—84. (G. E n e s t r ö m . ) — 22 (1900). [Kleine Bemerkungen:] Biblioth. Mathem. 73, 1906, 85-93. (G. E n e -s t r ö m , H. B o s m a n s . ) 32 (1901). [Kleine Be- m erkungen:] Biblioth. Mathem. 7j, 1906, 93 95. (G. E n e s t r ö m . ) L°

Sturm, R . , Geschichte der M athematik (1904). [Rezension:] Monatsh. für Mathem. 17, 1906; Lit.-Ber. 36—37. (R. v . S t . ) [9

Ball, W. Vf. R . , Histoire des mathématiques. T raduite par L. F r e u n d . 1(1906). [Rezension:] L’enseignement mathém. 8 , 1906, 242—244. (H.S u t e r . ) t 1 0

B o b y n in , V . V ., M éthode expérim entale dans la science des nom bres e t p rincipaux ré su lta ts obtenus. [H

L ’enseignement mathém. 8 , 1906, 177—190.Teixeira, F . G., T ratado de las ourvas especiales

notables (1905). [Rezension :] Deutsche Mathem.- Verein., Jahresber. 15, 1906, 282—283. [12

A m odeo , F . , I t r a t ta t i delle sezioni conicbe da A pollonio a Sim son. Discorso in au g u ra le délia c a tted ra di s to ria delle scienze m atem atich e d é lia re g ia u n iv e rs ità di N apoli (16 d icem bre 1905). [13

Napoli, Xstituto tecnico, Annali 23,1905. 51 S .

Duhem, P ., Les origines de la statique. 1(1905). [Rezension :] Bollett. di bibliogr. d. sc. matem. 9, 1906 13—18. (G. V a i l a t i . ) — Bullet, d. sc. mathém 30-2, 1906, 150—160. (J. T.) [14

Neuerschienene Schriften. 221La Cour, P. und Appel, J ., Die Physik auf Grund

ihrer geschichtlichen Entwickelung dargestellt. Übersetzung von G . S i e b e r t (1906). [Rezension:] Monatsh. fiir Mathem. 17, 1906; Lit.- Ber. 40. (S t. M.) [ 1 5

A lm agià , K ., L a d o ttrin a della m area ne ll’ an tic h ità e nel m edio evo. [16

Roma, Accad. d .L incei, Memorie 5n, 1905, 375—514.

Lebon, E ., P o u r l ’h isto ire des hypothèses sur la n a tu re des taches du soleil. [17 Deuxième congrès international de philosophie (Genève 1904), Comptes rendus 1905, 943—959.

Mikami, T ., On read ing P. H arzers paper on th e m athem atics in Jap an . [18

Deutsche M athem .-V erein., Jahresber. 15, 1906, 253—262. — [Bemerkung:] Daselbst 15, 1906, 330. (P. H a r z e r . )

b) G e s c h ic h te d e s A l te r tu m s .

V ogt, H ., H aben die a lten In der den Pythagoreischen L ehrsatz und das Irra tio n ale gek an n t? [19

Biblioth. Mathem. 73, 1906, 6—23.Heiberg, J . L., Mathematisches zu Aristoteles

(1904) [Rezension:] Monatsh. fiir Mathem, 17, 1906; Lit.-Ber. 37. (R. v. S t . ) [20

Heronis Opera. III. Vermessungslehre und Dioptra. Griechisch und Deutsch von H. S c h ö n e (1903'. [Rezension:] Biblioth.Mathem.73, 1906,98-104. (H. S u t e r . ) [21

M eier, R ., De Pseudo-H eronianis. [22 Rheinisches Museum für Philologie Glo, 1906, 178-184.

c) G e s c h ic h te d e s M i t te la l t e r s .

AViedemann, E ., B eiträge zur Geschichte der N aturw issenschaften . IY. Über W agen bei den A rabern. Y. Auszüge aus a rab ischen E ncyklopädien und A nderes. VI. Z ur M echanik und Technik hei den A rabern . [23Erlangen, Physik.-Mediz. Societät, Sitzungs- ber. 37, 1905, 388—455; 38, 1906, 1-56.

Wiedemann, E ., Ü ber die Lage der M ilchstraße nach Ibn a l H aitam . [24

Sirius (Leipzig) 1906. 3 S.Eneström , G., Ü ber Spuren der kom ple

m en tä ren M ultip likation bei arabischen M athem atikern . [25

Biblioth. Mathem. 73, 1906, 95—97. — Anfrage.E neström , G ., Ü ber die „D em onstratio

Jordan i de a lgo rism o“. [26Biblioth. Mathem. 73, 1906, 24-37.

Y ogi, S . , Die Physik R oger Bacos.(13. Jah rh .) E rlangen 1906. [27

8 °, X -|- (1) -j- 105 -f- (1) S. — Inaugural-Disser- tation.

H ellm ann, G ., Über die K enntn is der m agnetischen D eklination vor C hristoph Colum bus. [28Meteorolog. Zeitschr. 1906, 145—149 + Tafel.

d) G esch ich te der n e u e r e n Zeit.

Eneström, G., Hat Tartaglia seine Lösung der kubischen Gleichung von del Perro entlehnt ? [29


Bosnians, H ., Le „De arte magna“ de Guillaume Gosselin. [30


*Baldauf, G., Keplers Neue Astronomie im Auszüge und in Übersetzung der wichtigsten Abschnitte. Freiburg i. Br.1905. [31 4o, 40 S. — Gymnasial-Programm. — [Rezension:] Zeitsehr. fiir mathem. Unterr. 37, 1903, 220—221. (M . R i c h t e r . )

* Haldane, E. S ., Descartes, his life and times. New York, Dutton 1905. [32

80, 28 + 398 S. — [4.50 doll ]

Berr, H., Gassendi, historien des sciences.[33

Deuxième congrès international de philosophie (Genève 1904), Comptes rendus 1905, 855—858.

Loria, G., Per la preistoria della teoria delle trasformazioni di contatto. [34

Biblioth. Mathem. 73, 1806 , 67— 6 8 .

Landau, E ., Euler und die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion. [ 3 5


Y alentiii, G., Leonhard Eulers Wohnhaus in Berlin. [36

Deutsche M athem .-Verein., Jahresber. 15,1906, 270-271.

Müller, Conrad H ., Studien zur Geschichte der Mathematik an der Universität Göttingen im 18. Jahrhundert (19J4). [Rezension:] Monatsh. für Mathem. 17, 1906; L it -Ber. 37—38. (R.v. St.) [ 3 7

M arcolongo, E ., Sul teorema della composizione delle rotazioni istantanee. Appunti per la storia della meccanica secolo XVIII. [38

BoHett. di bibliogr. d. sc. matem. 9, 1906,

Z anotti-B ianco, O., I concetti moderni sulla figura matemática della terra Appunti per la storia della geodesia. Ill—IY. [39

Torino, Accad. d. s c ., Atti (sc. m atem.) 41 1905—1906, 21—43, 288-308.

Bliedner, Philosophie der Mathematik bei Fries (1904). [Rezension:] Zeitschr. für mathem. Unterr. 37, 1906, 218. (M. R i c h t e r . ) [40

Lucas de P esloü an , C li., N.-H. Abel. Sa vie et son œuvre. Paris, Gauthier- Villars 1906. [41

8 °, XIII + 168-f-(1) S. + Porträt. - [5 fr.]* Streit, H ., Die Fortschritte auf dem

Gebiete der Thermoelektrizität. III. Von

222 Neuerschienene Schriften.

der Mitte des vorigen Jahrhunderts bis zur Neuzeit. Wittenberge 1905. [42

8<) 104 S. — Realschul -Programm. — [Rezension:! Zeitschr. für mathem. U nterr. 67, 1906, 216—217. ( S t e g e m a n n . )

Graf J . H., Briefwechsel von Ludwig Schlafli m it Arthur Cayley (1905). [Rezension:] Bollett di bibliogr. d. sc. matem. 9, 1906, 29. (G. L )

lVielcitner H., Bibliographie der höheren algebraischen Kurven 18&-1904 Zeitschr. für mathem. Unterr. 37,1908, 295 29o (H. W i e l e i t n e e ) .

Rados G . , Rapport sur le prix Bolyai (1908). [ W i e d e r abgedruckt:] Palermo, Circolo matem Rendiconti 21, 1906, 367-385. [45

Sliickel, P ., Das Archiv der Mathematik und Physik, ein Geleitwort zu den ersten zehn Bänden der dritten Folge. [46

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e) N e k r o lo g e .Franz Michael Karlinski (1830-1906) [47

Wiadomości matem. 10, 1906, 123.James Mills Pierce (1834—1906) [48

New York, Americ.“ athemjSOC.,1906 417. — Science 2 3 2 , 1906, 637—638,1906*, 40—48 (J. K. W h i t t e m o r e ) .

Otto Stolz (1842-1905). [JJMonatsh. für Mathem. 17, 1906, 161 178.(J A G m e i n e r . ) — Deutsche Mathem.-Verem., Jahresber. 15, 1906, 309-322. (Auszug aus dem Nachrufe von G m e i n e r m it hinzugefugtem Schriftenverzeichnis.)

f) A k tu e lle F r a g e n .Enquête sur la méthode de travail des

mathématiciens. IV. IpOL’enseignemet mathém. 8 , 1906, 217 225.

Carracido, J . R., Catalogo internacional de literatura científica. 1_

Madrid, Acad. de ciencias, Revista 3, 190o, 587-602.

Wissenschaftliche Chronik. 2 23

Wissenschaftliche Chronik,Ernennungen.

— ProfessorW. P. A l e x e j e w s k i j in Charkow zum Professor der angewandten Mathematik am Technologischen Institut in Tomsk.— Dr. R. B. A l l e n in Worcester zum

Professor der Mathematik am Kenyon College in Gambier, Ohio.— Dr. H. T. B a r n e s an der „Mc Gill

university“ in Montreal zum Professor der Physik daselbst.— Dr. H. S. B l i c h f e l d t an der Stanford

Universität, Cal. zum Professor der Mathematik daselbst.— Lektor T. B r o d e n in Helsingborg zum

Professor der Mathematik an der Universität in Lund.— Dr. C . E. C o l p i t t s in Ithaca zum

Professor der Mathematik an der „Georgia school of technology“.—Dr. S. E p s t e e n in Boulder zum Professor

der Mathematik an der Universität von Colorado daselbst.

— A. S . E v e an der „Mc Gill university“ in Montreal zum Professor der Mathematik daseihst.— Dr. G. d e F r a n c h i s in Cagliari zum

Professor der Mathematik an der Universität daselbst.— Professor G. F u b i n i in Catania zum

Professor der Mathematik an der Universität in Genua.— N. R. G e o r g e zum Professor der Mathe

matik am „Massachusetts institute of technology“ in Boston.— Dr. J. G r a h a m zum Professor der

Mathematik am „Williams college“.— Privatdozent F. G r ü n e r in Bern zum

Professor der mathematischen Physik an der Universität daselbst.— Dr. J. G. H a r d y am „Williams College“

zum Professor der Mathematik daselbst.

— Dr. C. N. Haskins in Ithaca zum Professor der Mathematik an der Universität von Illinois in Urbana.— Professor H. Jacoby zum Direktor der

Sternwarte der „Columbia university“ in New York.— Dr. E. Kasner in New York zum Pro

fessor der Mathematik an der „Columbia university“ daselbst.— Dr. J. L. L ove in Cambridge, Mass.

zum Professor der Mathematik an der „Harvard university“ daselbst.— Privatdozent A. M arcüse in Berlin

zum Professor der Astronomie und mathematischen Geographie an der Handelshochschule daselbst.— Privatdozent F. M artens in Berlin

zum Professor der Physik an der Handelshochschule daselbst.— Professor G. A. M ille r an der „Stanford

university“ zum Professor der Mathematik an der Universität von Illionis in Urbana.— Professor J. A. M ille r in Bloomington

zum Professor der Mathematik und Astronomie am „Swarthmore college“.— Dr. J. M. P oor in Hanover, N. H. zum

Professor der Mathematik am „Dartmouth college“ daselbst.— Dr. J. T. P o r te r am „Williams college“

zum Professor der Physik am „Randolph- Macon college“.— Professor N. S a lty k o f f in Kiew zum

Professor der Mathematik an der Universität in Charkow.— Professor S. E. Slocum in Urbana zum

Professor der angewandten Mathematik an der Universität in Cincinnati.

— Privatdozent J. S ta rk in Göttingen zum etatsmäßigen Dozenten der Physik an der Technischen Hochschule in Danzig.


D r p i . F . S t e c k e r am „PennsylvaniaS tate college“ zum Professor der M athem atik daselbst.

— Professor W . A. S t e k l o f f in Charkow zum Professor der M athem atik an der U niversitä t in St. Pe tersburg . Professor E . B. v a n Vf.e c k in M iddle

town, Conn. zum Professor der M athem atik an der U niversitä t von W isconsin.

— J. K. W hitt em o r e in Cam bridge, Mass. zum Professor der M athem atik an der

H arvard u n iversity“ daselbst.Priva tdozen t G . W i e g h a r d t in Aachen

zum Professor der M echanik an der T echnischen Hochschule in B raunschw eig.

Todesfälle.— F r i e d r i c h H u l t s c h , früher R ek to r der

Kreuzschule in D resden, geboren in Dresden den 22. Ju li 1833, gestorben daselbst den6 . A pril 1906.

— F r a n z M i c h a e l K a r l i n s k i , früher P ro fessor der M athem atik und Astronom ie an der U niversitä t in K rak au , geboren in K rakau den 4. Oktober 1830, gestorben daselbst den 21. März 1906.

— Karl P ape, früher Professor der Physik an der U niversität in Königsberg, geboren in H annover den 20. Ja n u a r 1836, gestorben im Mai 1906.

G e o r g e A l b e r t W e n t w o r t h , früherProfessor der M athem atik am Ph illip s E xeter academ y, gestorben in E xeter den 24. Mai 1906, 71 Jah re alt.

2 2 4

— At th e „Colum bia u n iv e rs ity “ (New Y ork) Professor D. E . Smmh wiH d^ er d u rin g th e academ ic year 1906— 1907 a course (two lec tu res each w eek) on the h is to ry of m athem atics.

— An der U n iv ersitä t S traß b u rg h a t P rofessor M S imon fü r das Som m ersem ester 1906 eine zw eistündige V orlesung über G eschichte der M ath em atik im M ittelaltera n g e k ü n d ig t .

— A t the un iversity of W isconsin (Madison) Professor C. S. S l i c h t e r w ill deliver d u rin g th e sum m er session 1906 a course (two lec tu res each w eek) on th e history of m athem atics.

Vermischtes.

— D er V orstand der D eutschen M athem atiker-V ere in igung h a t besch lossen , in diesem Ja h re ein ausführliches M itg liederverzeichnis m it b io g raph ischen N otizen h erzuste llen , u n d fü r d iesen Zweck h a t der S chriftfüh rer H err A. Krazer einen besonderen F rag eb o g en an d ie M itg lieder versandt. Da die V ere in ig u n g am Anfänge des Jah res 664 M itg lieder h a tte , von denen freilich e tw a 30 n ich t P ersonen sondern In s titu tio n en sind, m uß ein solcher biog rap h ischer S pezia l-K alender von großem In teresse w erden.

Vorlesungen über Geschichte deimathematischen W issenschaften.

T. L. H e a t h : The fragment of Anthemius on burning mirrors &c. 2 25

The fragment of Anthemius on burning mirrors and the „Fragmentum mathematicum Bobiense“,

By T. L. H eath in London.

The fragment of A n t h e m iu s ('6th. c. A. D.) on burning mirrors is the subject of frequent reference in books dealing with the history of Greek geometry. But it is somewhat inaccessible, since it is not every one who can consult the original edition of it by L D u p u y (1777) or the reproduction in the M ém oires de l ’académ ie des in sc r ip tio n s et des belles le t tr e s [de Paris] 42 (1786), p. 392—451, or even the reprint of the Greek text in A. W e s t e r m a n n ’s HagabofoyQapoi (Scriptores rerum mirabilium Graeci), Braunschweig 1839, p. 149—158. The result is that the actual contents of the fragment appear to be little known or even completely overlooked, although the first and third portions of it (ed. W e s t e r m a n n , p. 145 —152 and p. 157— 158) make it a document of great importance in the history of conic sections. The object of this paper is to make these extracts once more accessible, to draw attention to the points of greatest historical interest, and incidentally to consider afresh the relation (if any) between A n t h e m iu s and the Fragmentum mathematicum Bobiense, as to which reference should also be made to H e i b e r g ’s article in the Z e its c h r if t fiir Ma t he ma t i k und Phys i k 28 (1883), Hist.-litt. Abt. p. 121—129.

The following is a literal translation of the fragment of A n t h e m iu s

so far as it relates to the conic sections.

„ 1 in a given spot to contrive that a ray of the sun shall fall, without moving away, at any hour and season.

„Let the given spot be that at the point A [Fig. 1], and through A let a meridian straight line be drawn parallel to the horizon, the [straight line] reaching to the hole or window through which the rays have to be carried to A, as A B .

Bibliotheca Mathematiea. Ilf. Folge VII. 15

2 26T. L. H e a t h .

A

„Let B G be drawn through B at right angles to A B so that it will heequinoctial.

„And let there be also through the point B anothei straight line B D belonging to the summer solstice, and likewise let B E through B he a winter-ray.

„Let there be taken, at a suitable distance from B, according to the size that we wish to make the instrument, on the winter straight line first, a point F, let F A be joined, and let the angle E F A be bisected

by the straight line FG, the point G being conceived between the winter and the equinoctial rays, as [lying] on the bisector of the angle EBC, and G F being produced as for as the point H.

If then we conceive a plane mirror in the position of the straight line GF, I say that the ray B F E falling on F G H will be reflected to the point A.

„For, since the angle E F G is equal to the angle G F A , and e angle” E F G is equal to its vertical angle H F B , it is clear that the angle G F A is also equal to the angle H F B.

„Therefore the ray B F will be reflected, at equal angles, to A inthe straight line AF.

„Similarly also we shall contrive that the equinoctial ray is reflected,in the following manner.

„Let the straight line GA be joined; and, as it were drawing a circle with centre and distance, let G K [with its extremity K] on the straight line B G be made equal to GA.

„And similarly let the angle K G A be bisected by the straight line G L M cutting the straight line B K G in L, and terminated at the point M by the straight line bisecting the angle CBD-, and let L A be joined.

„Then, since G K is equal to GA, and the angle K G A is bisected by the straight line G L M ,

„therefore the base K L is equal to L A , so that the angle K L M is also equal to the angle M L A.

I he fragment of Anthemius on burning mirrors &c. 227

„But the angle K L J\1 is equal to the angle G L B, for they are vertical; therefore also the angle M L A is equal to the angle GL B.

„Hence, if similarly a plane mirror be conceived, G L M , being continuous and connected with the aforesaid mirror GFH, the equinoctial ray L B will be reflected to A along the straight line LA.

„Similarly, doing the same with the straight line D B, we shall prove that the summer ray B N falling on the plane mirror through M O P is reflected to A along the straight line OA

„If therefore we conceive at the point B a hole symmetrical about the same centre, all the rays falling through the hole, that is, through the point B, upon the said mirrors continuous with one another will be reflected to the point A.

„But it is possible also, by continually bisecting the said angles, and proceeding in the same way by means of more and smaller mirrors, to describe the line H F G L M O P which, if it were conceived to be carried round B A as axis, will form the so-called pot-shaped (KM^avoeidss) mirror, which, being bisected and covered with a lid parallel to the horizon, and receiving the rays through B only, the point at the hole, will send them, whatever their direction, to the point A.

„But, in order that we may not have to construct and put together continual divisions and plane mirrors “ (here there are gaps in the text, theprobable effect of the passage being, ,,<we will show how), immediately after the drawing of the straight line itself [as AB], a surface of impact can be constructed to it, so as to make a mirror with the required property“).

„For, if we conceive Q F made equal to the straight line F A , the straight line QG is equal to GA.

„Since, then, the straight line Q F was made equal to F A ..............,therefore the whole QB is equal to K B , because QG is equal to GK. and the angle Q B K is bisected; therefore B K is equal to B F , F A .

„But B K is equal to B L , L A , because K L is equal to L A , and L B is common.

„For the same reason it will also be proved that B N is equal to B K and QB- and BO, OA are equal to B L , L A , and B F , F A to both.

„Thus from this it may be proved that the [broken] rays sent through the point B and reflected to A are equal to all the rest which have the same property.

„If then we stretch a string passed round the points A, B, and through the first point taken on the rays which are to be reflected, the said line will be described, which is part of the so-called ellipse, with reference to which the surface of impact of the said mirror has therefore to be constructed.“

15*

T . L . H e a t h .228 f .

We can now take stock ot the important tacts whmk emerge ro

^ - a » °f cmstrueting "ellipse by means of tangents. formed tte basis from which

2) Two tangent-proper ties o y//e f ocal distancesthe construction was evolved. These pi op • ^ tangent at thatof any point on an ellipse ma ce ^ ^ n K**e

J j * » « c s - foT to * ~ « -tart respectively a proposition not /ownd *» A p o l l o n iu s . . .

[[) The^ fundamental property used as the criterion for determ,nmgthat a nnmher of pomts ’.re on an ellipse is the fact that f t . M the focal distances of any point on the ellipse is constant.

4) W e have here mentioned, for the first time on r e c o r d apparently, the w ell-know n construction for an ellipse by using an endless string passed round two fixed points, and a pencil keeping the string tau t and describing the curve by its m otion round the two points.

On the construction as a whole it may be rem arked th a t it has the appearance of being a solution of an „inverse tangent-problem . I t is so however only in appearance; for A n t h e m iu s obviously knew th a t an ellipse had the property desired and th a t i t was fully determ ined when the foci and the one assumed poin t were given: hence he merely addressed him self to the construction of a num ber of tangents to that particular ellipse, using as his criteria for such tangents the two properties quo ed under a) and b) above. The construction had the advantage th a t the drawing of each tangent in the particu lar way determ ined autom atically

the point of contact as well.There can be no doubt that the fact that an ellipse has the pro

perty of reflecting all rays through one focus to the other focus was known to A p o l l o n iu s . For it is so easy a deduction from A p o l l o n iu s

III. 48, and we shall see from the Fragmentum Bobiense that he wrote a book on burning-glasses (neQi rov jcvqIov).

We will now pass to the third part of the fragment of A n t h e m iu s ,

which is as follows:TIT. Since the ancients also mentioned the usual burning-glasses,

[describing] how the construction of their surfaces of impact should be effected, [but dealing with them] mechanically only and not setting out any geometrical proof to this end, all of them saying that such figures are conic sections but not specifying which, and how produced, for this

The fragment of Anthemius on burning mirrors &c. 2 29

reason we will try to set out some constructions for such surfaces of impact, and these not without demonstration but confirmed by geometrical methods.

„For let the diameter of the burning-glass for which we wish to find a construction be A B [Fig. 2], and the point to which we wishthe reflection to take effect the point D on the straight line C ED atright angles to A B and bisecting it, E being supposed at the bisectionof AB-, and let B D he joined.

„Let B E he drawn through B parallel to DEC, being equal to BD , and through F let E C he drawn parallel to B A meeting D E C at the point 0; let CD be bisected at the point H.

„Then H E will he the depth of the surface of impact about A B as diameter, as will presently be clear.

„Let the straight line B E be divided into any number of equal segments whatever; suppose they are three in the present construction,EK, KL , LB-, and through K , L let LAT, K N be drawn parallel toB E , E C ; let the angle F B D be bisected by the straight line OB, thepoint 0 being conceived midway between the parallels B E , LAI.

„Let all the said parallels be produced in the direction of D to the points Q, B.

„1 say that the ray QB, occupying a position parallel to the axis, that is to E D , and falling at the point B on the mirror through OB, will be reflected to D, because the angle F B D is bisected, and reflection takes place at equal angles, as has before been proved.

„Similarly also we shall make the ray B L be reflected to D in thismanner.

„For let the. straight line OD be joined, and likewise OAI, OF.„And it is clear that OD is equal to D F because of the bisection

of the angle at B.„But OD is equal to OAI because they are carried to the points F,

AI from 0 which lies midway; and [therefore] M 0 is equal to 0 D.„Let then the angle M O D be bisected by OTP, (P being con

ceived midway between the parallels M L , N K ), cutting the parallel M L at T.

T. L. H e a t h .2 30

•* ii rt,«n he Droved that M T is also equal ,For the same reason it will then 1to TD-, , ,and T D ...............[here the fragment enasj.

Although the fragment ends here, it is ^ ^ ^ ^ ^ c t i u g of the case of the e l l i p s e how he ¡ A o L . ray in

s « - —

i fWC respectively points on them and mirrors through them would he determined such’ that rays along the parallels would be reflected to D;

" * Then“ all^the“ points so found, as 1\ are on a parabolawith focus I) and directrix F C .Thus the construction of separate plane mirrors could he avoided by drawing the parabola, which then by its revolution about CE gives the reflecting surface required.

The salient facts brought out by the extract are these.1) We have here, corresponding to the earlier construction for the

ellipse an elegant method of constructing a parabola by means of tangents, ’the method having here also the advantage that the drawing of each’tangent automatically determines the point of contact as well.

2) The properties of the parabola forming the basis of the method are a) that the tangent at any point makes equal angles with the a.rts and with the focal distance of the point and b) that the distance of any point on the curve from the focus is equal to its distance from thedirectrix.

3) Most important of all, we have here the first instance on record of the practical use of the directrix, though the property of conics with reference to the focus and directrix was known to P A P P U S (lemma on E u c l i d ’ s Surface-loci) and possibly to E u c l i d himself.

It is clear that A n t h e m i u s knew beforehand that the parabola had the desired property of reflecting to the focus all rays parallel to the axis, and further that a parabola was fully determined if only the focus and a double ordinate were given; and his construction was simply directed to drawing the particular parabola. Nothing that he says proves that the property of a parabola brought out by his construction had not been proved before. He says that „the ancients“ stated that curves having the property of reflecting rays to a point were conic sections, without proving the fact geometrically or specifying which conics. But if the properties were so commonly known and quoted, they must have

The fragment of Anthemius on burning mirrors &c. 231

been proved, and possibly so long before that the book containing the proofs had already been lost when Anthemius wrote.

It is now necessary to compare Anthemius’ proposition about the parabola with the portion of the Fragmentum mathematicum Bobiense dealing with the same subject.

It is as follows, the first part of it being the conclusion of a proof that, i f a tangent be drawn [Fig 3] to a parabola at a point E and meet the axis in D, and i f along the axis A B be measured equal to one-fourth of the parameter, then B E = BD.

„[For since the rectangle AC, A G is equal to the square on] EG , and CA is quadruple of A B , therefore four times the rectangle B A , AG , that is, four times the rectangle B A , AD , is equal to the square on GE, that is, to four times the square on A F . C

„Therefore also the rectangle B A , Fig. 3.

AD is equal to the square on A F .„Therefore the angle at F is right. And F E is equal to D F.„Therefore also D B is equal to B E .

„This being proved, let there again be a section of a cone, a parabola, of which A B is the diameter and A C the parameter; let A B beone-fourth of AC, and from any point on the section let E K be drawn parallel to A B , and let E B be joined.

„It is to be proved that K E is reflected at the section at an equal angle.„For let the tangent D E L be drawn.„Now, by what was before shown, D B Is equal to B E ; so that the

angles at the points D, E are also equal.„So are the angles D E A , L E H .„Let the difference between the angles be taken; therefore the angles

B E A, H E K which remain are equal.„Similarly we shall show that all the lines drawn parallel to AD

will be reflected at equal angles to the point B.“

[The above is quoted from H e i b e r g ' s article in the Ze i t s chr i f t für Ma t hemat i k und Phys ik; the remainder is translated from B e l g e r ’s

original edition in Hermes 16 (1881), p. 261 seqq.]

T. L. H e a t h .232„Thus burning-glasses constructed with the surface

form]’ of the section of a right-angled cone may easi y, i m(licated shown, ho proTed to bring about

But now it is necessary again to show the tac Z of a circle, how large th , circumference of thewhere it will effect ignition. Now the ancients assumed that the i0mtion is effected about the centre of the mirror; but this A p o l l o n i u s pioved as was very necessary, to be false . . . . [in his tract] against the Catoptnciand he further, in his boolc on the burning-glass, made it clear- aboutwhat point the ignition will take p la c e ............... His proof is di cuand somewhat long. Let us therefore pass over the demonstrations given by him and try to set out those which we have to add, not as desiring to set up ours against his (which would really be like swallows vying with swans) but as claiming to be able to add something for the benefit

of students of the subject referred to.„Let [Fig. 4] the circumference of a circle ABC

he set out, in which A C is the side of a square[inscribed], while D is the centre of the circle;and let D E B be drawn perpendicular to AC, let

} B D he bisected in H, and from any point let EG he drawn parallel to D B .

„1 say that F G will be reflected at an equal Flg' 4• angle between E, H

[The proof, which follows, it is unnecessary to reproduce.]H eiberg (1. c.) conjectured that the Fragmentuni mathematician

Bobiense is also by An them ius, and that the part of it quoted aboveis the conclusion of the argument concerning the parabolic mirror begun in the fragment edited by D upuy. So far as this conjecture is based on the passage in which Anthemius states that the ancients had only constructed such mirrors and said they were conic sections without any geometrical proof of the fact, Zeuthen (Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, 1886) had already shown it to be unsafe and even improbable. But in fact it will be easily seen that the contents of the Frag- mentum Bobiense do not fit on to the fragment of Anthem ius, the conclusion of which is easily supplied by the analogy of the previous case of the ellipse, as above shown. On the other hand, the proof in the Fragmentuni Bobiense makes no use of or allusion to the property of the parabola with reference to the focus and directrix unmistakeably assumed by Anthem ius; and, as the property proved in the Fragmentum Bobiense is more easily (nay, almost instantaneously) proved from the focus directrix property, it seems more likely that Anthemius would have used the latter method

The fragm ent of Anthemius on burning mirrors &c. 2 38

But Heiberg also expressed concurrence in thij view of Belger that the language of the Fragmentum Bobiense suggests Byzantine authorship. It is with reference to this idea that a re-examination of the two fragments seems called for, since I think it will show, on the contrary, that the language of the two is very different, and that the Fragmentum Bobiense must belong to a much earlier date tham the other. I would draw attention to the following differences. Anthemius speaks of the „ellipse“ and „parabola", the Fragmentum Bobiense of „a section of a cone, a parabola" and of „the section of a right-angled cone“. The latter is the pre-Apollonian term and could hardly have survived in a treatise so late as supposed. Similarly the Fragmentum Bobiense speaks of the „diameter" (meaning the „axis") of a parabola, like Archimedes; Anthemius speaks of the „axis", like Apollonius: the Fragmentum also brings in the „parameter" of which there is no word in Anthemius. Lastly the Fragmentum Bobiense uses curvilinear angles, assuming as known that the angles between the tangent to a parabola and the portions of the curve on each side of the point of contact respectively are equal. Now it is clear from Euclid’s Elements that the use of such angles was already dying out in his time, the cases in which they are mentioned in the Elements being obviously mere survivals.

All these circumstances indicate that the Fragmentum Bobiense is much older than Anthemius, and we naturally turn next to the hypothesis of Cantor (Hermes 16, p. 637 sqq.), that its author might he DlOCLES, whom we know to have written on burning-glasses (jrroi nvgicov). Eutocius (Comm, on Archimedes, ed. Heiberg III, p. 188 sqq.) quotes from this treatise Diocles’ solution of the problem left unsolved in Archimedes, On the sphere and cylinder II, 4, and prefaces it with words which suggest that he is quoting word for word. But in this solution D iocles speaks of an „ellipse" and a „hyperbola", not of „sections of an acute-angled" and „obtuse-angled cone" respectively. Hence it seems probable that our fragment was anterior even to Diocles (fl. probably about 180 B. C.). As its author also quotes Apollonius (born about 262 B. C.), the necessary inference would appear to be that he was a younger contemporary of Apollonius. This agrees well with his modest comparison of himself with Apollonius, which is more likely, it seems to me, to belong to the time when the contemporaries of the latter were speaking of him as „the great geometer" than to any later time. For geometers soon came to mention him without any exaggerated respect, as witness Pappus, and even Geminus, to judge by P roclus’ quotations from him in which Apollonius is mentioned.

234H e in r ic h S u t e r .

Über den Kommentar des Muhammed ben Abdelbaqi zum zehnten Buche des Euklides.

Von Heinrich Suter in Zürich.

Euklides nennt bekanntlich n und fm (oder \n und \m ) zwei rationale Größen (Gerade), kommensurabel bloß in Potenz; sie bilden em mediales Rechteck n^m (oder )W ),u n d die Seite des Quadrates, das diesem Rechteck inhaltsreich ist, also \ 'n \m (oder \ \ n m ) wird Mediaüinie oder kurzweg Mediale genannt. Aus je zwei solchen Linien setzt nun Euklides durch Addition und Subtraktion neue Linien zusammen, und erhalt so folgende sechs (hezw. zwölf) erste Irrationallinien:

a) n + yjm oder \ n + Vm heißt Binomium (absolutum),

L b) w_ y r ö oder Vn — Vm oder fm — n heißt Apotome oder Residuum (absolutum).

a) VwYn + l/^V» oder ^ m \n + ] n \ 'n heißt erste Bimediale,2 /- I----

h) yjmyn — jCVw oder \ m \ n — heißt erste Medialapotome. Beide Mediale sind in Potenz kommensurabel und ihr Produkt ist

rational.

a) VmV« 4 - ]/lfVw oder ^ n 4- y^fVn heißt zweite Bimediale.

b) y»t — y irV w oder \m ^ n — j/ \]n heißt zweite Medialapotome Beide Mediale sind in Potenz kommensurabel und ihr Produkt ist

medial.

a) yjm 4- + i m — \m n heißt Major (größere Irrationale),^ /-------- 7--------- /------------- ■h) \m 4- V»in — \ m — \ m n heißt Minor (kleinere Irrationale).

Beide Irrationallinien sind in Potenz inkommensurabel, die Summe ihrer Quadrate ist rational, ihr Produkt ist medial.

Über d. Kommentar d. Muhammed ben "Äbdelbäqi zum zehnten Buche des Euklides. 2 3 5

a) \ ( m -f y«) \'m2 — n -f- \ (m — )jn) yni2 — n

oder V(yWl -f V'n) V'm — n + )/(im — fn ) ]/m — n

5) y(m + y•«) y»i2 — » — Vc»» — y«) y « 2 — n

oder | ( \m -f \n ) im — n — \ (]/m — ^n) — n

heißt die ein Rationales und Mediales Potenzierende.Q

heißt die mit einem Rationalen

ein mediales Ganzes gebende.2)

Beide Irrationallinien sind in Potenz inkommensurabel, die Summeihrer Quadrate ist medial, ihr Produkt rational.

yOn + )p) in -f V(i ■ 1p) y.oder ] (\m + )/p) \ n + \(]/m — ip)

oder -f- ip ) n - f y (y Im — \ p ) n

b)

\ ( m + ip) Sn y im — y_p) i n

oder Hirn -f- ip) i n — n i m ■

]/(im- —

ip ) in

heißt die zwei Mediale Potenzierende 3)

heißt die mit einem Medialen ein mediales

Ganzes gebende.4)oder M m + \'p) n — \ (^ni — ip ) n Beide Irrationallinien sind in Potenz inkommensurabel, die Summe

ihrer Quadrate ist medial, ihr Produkt ist medial, beide Mediale aber sind inkommensurabel.

Von diesen zusammengesetzten Irrationallinien, die ich im allgemeinen durch die Wurzelausdrücke wiedergegeben habe, die Nesselmann in seiner Geschichte der Algebra bei den Griechen aufgestellt hat, handeln die Sätze 29—47 und 73 — 84 des zehnten Buches (Heibergs Ausgabe); der arabische Kommentator (mit größter Wahrscheinlichkeit Muhammed ben WbdelbäqI el-Bagdädi, vergl. Bibl ioth. Mathem. 4 3, 1903, p. 24—27) gibt zu denselben folgende Zahlenbeispiele (vergl. E u c l i d i s opera omnia. Supplementim : A n a r i t i i in decem libros priores c o m m e n t a r i i , edid. M. Curtze, 1899, p. 317-321 , 345-354 , 360 -362 und 370—379):

Binomium (absolutum): 110 -f- y8 Apotome oder Residuum (absolutum): yiO — y8

2 Erste Bimediale: y/192 + ^ 108 = ]/4 y 12 -f ^ Z yp2

Erste Medialapotome: i 192 — y 108 ===== y/4 y 12 — y/3 y/12

1) d. h. das Q uadrat der L inie is t g leich der Sum m e aus einem ra tio n alen und m edialen Rechteck.

2) d h. das Q uadrat der L inie is t g leich der Differenz aus einem m edialen und ra tio n alen R echteck.

3) d. h. das Q uadrat der Linie is t gleich der Sum m e aus zwei m edialen R echtecken.4) d. h. das Q uadrat der L inie is t gleich der Differenz aus zwei m edialen R echtecken.

1.

s ? : i “ d7" : i » » i L geIrrationallin ien, näm lich f l 0 8 ± f l 2 = | 6 V 3 ± V W 3 , das sic u n f r l " aus der zw eiten daselbst genannten F orm el ergibt.

Zweite Bimediale: ^ + V3 = + W ?Zweite Medialapotome: ]/V2 — V3 = V2 ^3 — ] V3

geht aus der oben unter 3. genannten Formel hervor für m = 2, n -

und p = 3 ; p- 349 und 376 finden wir für diese Irrationalzahl das Bei

spiel: i/72 ± f8 = V6VI ± V iY l, das sich aus derselben Formel für

m = 6, n = 2 und = f ergibt.

Major: ) / 8 + ~ ] ß + ^ 8 — V32

Minor: ^8 -f- V32 — j 8 V32geht aus der oben unter 4. gegebenen Formel hervor für m = 8 und

n = 4; p. 350 und 377 finden wir für diese Zahl das Beispiel: V 12 + j/96

+ y 12 |/96, welches sich aus der gleichen Formel für m = 12 undn = 8 ergibt.______________________________________________ _______

0 /— I ____ .

Die ein Rationales und Mediales Potenzierende: yy32 + 4 + ] 1 32 — 4 Die mit einem Rationalen ein mediales Ganzes gebende:

VV32 + 4 — V V 32 — 4 geht aus der oben unter 5. gegebenen zweiten Formel hervor für m — 8 und n = 4; p- 352 und 378 findet man für diese Irrationale das Beispiel:

y V48 + y/32 ± VV48 — V32, das sich aus derselben zweiten Formel fürm = 12 und n = 8 ergibt.___________________________________

Die zwei Mediale Potenzierende: y^PS + V24 + 1^48 — \'24 Die mit einem Medialen ein mediales Ganzes gebende:

VV48 + i u — VV48 — V24o-eht aus der oben unter 6. genannten ersten Formel hervor für m = 4,Ö 0n — 3 und p — 8; p. 354 und 379 findet sich für diese Irrationale das

Beispiel: yVSO V48 + y j SO — V48, das sich aus der dritten Formel für m = 5, n = 4 und p = 3 ergibt.

Eine zweite Doppelhexade von Sätzen über andere Irrationallinien findet sich bei Euklides (ed. Heiberg) in den Sätzen 54—65 und 91 — 102. Voraus gehen (p. 137 und 255) die Definitionen dieser neuen Irrationallinien und die Aufgaben, jede einzelne derselben zu finden (Sätze 48—53

H e in r ic h S u t e r .236

0 .

Über d. Kommentar d. Muhammed ben rAbdelbäqi zum zehnten Buche des Euklides. 237

und 85—90). Diese neuen Irrationallinien haben die folgenden Formen und Namen:

j a) m -f- im 2 — n2 = erste Binomiale ( Binomium primum)b) m — ym2 — n2 = erste Apotome (Residuum primum)a) + m — zweite Binomiale

b) ]/nrl.”p2 — m ~ zweite Apotomea) ym + = dritte Binomiale

b) im — (nl 7 pV = dritte Apotome

, a) m 4- \m 2 — n = vierte Binomiale4. • _____b) m — ym2 — n = vierte Apotome

. a) im 2 + n + m — fünfte Binomialeb) y?»2 -f- n — m — fünfte Apotomea) y?« + \m — n = sechste Binomialeb) ym — im — n = sechste Apotome

wo m und n im allgemeinen keine Quadratzahlen sein sollen und überdies so beschaffen sein müssen, daß die Quadratwurzeln stets irrational werden.

Wir sehen, daß diese sechs (bezw. zwölf) Irrationallinien in die Kategorie 1. der ersten Doppelhexade gehören, es sind alles Binomiale (bezw. Apotomeen), es kommt keine Mediallinie in denselben vor; aber es sind keine Binomia (bezw. Residua) absoluta, bei denen die beiden Teile nur der Bedingung genügen müssen, daß sie zu einander inkommensurabel seien, sondern die beiden Teile jeder Linie unterliegen noch anderen speziellen Bedingungen, diese sind die folgenden.

Bei den ersten drei Linien potenziert der größere Teil über denkleineren um das Quadrat einer der größeren in Länge kommensurabelnLinie, d. h. es ist z. B. bei 1. im 1 — (nt2 — n2) = n kommensurabel zu m, und so entsprechend bei 2. und 3. Die drei Fälle unterscheiden sich dadurch voneinander, daß bei 1. der größere Teil rational, der kleinere irrational (diese Begriffe im heutigen Sinne genommen) ist, bei 2. der größere irrational, der kleinere rational, bei 3. beide irrational sind.

Bei den letzten drei Linien potenziert der größere Teil über denkleineren um das Quadrat einer der größeren in Länge inkommensurabelnLinie, d. h. es ist z. B. 4. im 2 — (m2 — n) — in inkommensurabel zu m, und so entsprechend bei 5 und 6. Die drei Fälle 4., 5. und 6. unterscheiden sich wieder in gleicher Weise voneinander wie 1., 2. und 3.

Der Kommentar des Arabers gibt p. 332—335 und p. 366 — 369 folgende Zahlenbeispiele für diese zweite Doppelhexade:

238H e in r ic h S u t e r .

Erste Binomiale: 3 + j5 Erste Apotome: 3 — ]/ö

geht aus der oben gegebenen Formel 1. hervor für m = 3 und n = 2; p. 366 heißt das Beispiel für die Apotome 6 V20.

9 Zweite Binomiale: V,45 + 5Zweite Apotome: y45 5

geht aus der oben gegebenen Formel 2. hervor für m = 5, n = 3 undp = 2; p. 367 steht für die Apotome das Beispiel Vl8U — 10.

Dritte Binomiale: Vl08 + |'60 Dritte Apotome: Vl08 — I?60

o-eht aus der oben genannten Formel 3. hervor für m = 108, n = 3O °und p = 2.

Vierte Binomiale: 4 V6 4:. /—

Vierte Apotome: 4 — yögeht aus der Formel 4. hervor für m = 4 und n = 1 0

Fünfte Binomiale: V24 + 3 Fünfte Apotome: V24 — 3

geht aus der Formel 5. hervor für m = 3 und n = 15._ Sechste Binomiale: V8 + ) 36 . ,~

Sechste Apotome: y8 — V3geht aus der Formel 6. hervor für m = 8 und n = 5. W ir vrerden im folgenden noch eine zweite Reihe von Beispielen für diese Irrationallinien finden.

In welcher Beziehung stehen nun die Linien dieser zweiten Doppel- hexade zu denjenigen der ersten? Für uns, die wir diese Irrationalgrößen als absolute Zahlen ohne geometrische Bedeutung auffassen, heißt diese Beziehung einfach: die Größen der ersten Doppelhexade sind die Quadratwurzeln der entsprechenden der zweiten Doppelhexade, oder umgekehrt, diejenigen der zweiten die Quadrate von denen der ersten.

E u k lid es mußte nach seiner Auffassungsweise diese Beziehungen anders aussprechen; als Beispiel gebe ich nur je den ersten Satz beider Hexaden in der E u k l id ischen Form: a) Wenn ein Rechteck aus einer rationalen Linie und einer ersten Binomiale gebildet ist, so ist die Linie, die dasselbe potenziert (d. h. die Seite des Quadrates, das gleich dem Rechteck ist), ein Binomium (absolutum). b) Wenn einer rationalen Linie ein Rechteck angelegt wird, das gleich dem Quadrate eines Bi- nomiums (absol.) ist, so ist die zweite Rechteckseite eine erste Binomiale. (11 ei Berg , Sätze 5 4 und 60). Beide Sätze gehen in Radizierung (bezw.

Quadrierung) der betreffenden Irrationallinie über, wenn die rationale Linie = 1 gesetzt wird.

Der arabische Kommentator gibt für die Radizierung zwei Reihen von Zahlenbeispielen (p. 342—344 und p. 345 — 354), für die Quadrierung nur eine Reihe (p. 355—358). In der ersten Reihe der Wurzelbeispiele setzt er stillschweigend die rationale Linie = 1 und gibt eine rein algebraische Regel für die Wurzelausziehung; in der zweiten Reihe setzt er die rationale Linie = 4 und wendet die geometrische Darstellungs-o ow e ise d e s E u k l id e s an .

Erste Reihe der Wurselaussiehungen.1. Die Wurzel1) aus einer ersten Binomiale (Apotome) ist ein Binomium

(Residuum) absol.] / 6 ± V2 Ü = y§ ± 1

2. Die Wuizel aus einer zweiten Binomiale (Apotome) ist eine erste Bi- mediale (Medialapotome):

yyi2 ± 3 = yyef+yyi3. Die Wurzel aus einer dritten Binomiale (Apotome) ist eine zweite

Bimediale (Medialapotome):

y y i T y l =

4. Die Wurzel aus einer vierten Binomiale (Apotome) ist eine Major (Minor):

Ve ± y i2 = y 3 + ye + 1 / 3 — y i5. Die Wurzel aus einer fünften Binomiale (Apotome) ist eine ein

Rationales und Mediales Potenzierende (mit einem Rationalen ein mediales Ganzes gehende):

yyi2 ± 2 = y y r+ i/i ± yyr^™yi6. Die Wurzel aus einer sechsten Binomiale (Apotome) ist eine zwei

Mediale Potenzierende (mit einem Medialen ein mediales Ganzes gebende):

y y ir± y i = yyryy^ ± y y r^ y iWir zeigen das Verfahren der Wurzelausziehung des arabischen

Kommentators an Beispiel 4. Man teile 6 in zwei Teile, deren Produkt gleich dem Quadrat der Hälfte von V12 sei. Die quadratische Gleichung, die sich hierbei ergibt, nämlich x2 — 6 x -(- 3 = 0, wird vom Kommentator nicht aufgestellt, sondern es werden einfach die Lösungen 3 -j- |6 und 3 — V6 angegeben; die Wurzeln aus diesen Lösungen bilden zusammen eine Major, und diese ist die Wurzel der gegebenen vierten Binomiale

!) Der Kürze ha lber schreibe ich s ta tt „Q uadratw urzel“ n u r „W urzel“ .

Über d. Kommentar d. Muhammed ben 'Abdelbitqi zum zehnten Buche des Euklides. 239

i u oio oinp Minor, und diese ist die 6 + VI2; voneinander abgezogen bilden sieWurzel der gegebenen vierten Apotome 6 V

Zweite Reihe der Wurselauseiehungen.

1. l / 4 ( 6 ± V iö ) = V 24 ± ( 3 2 0 = V 2 0 ± 2 ^

2. 1/ i Ö / f f T ä ) = VV192 ± 12 = VV108 ± VV12

3 . = V v ^ _ ± V V 8 ^ ^

4. l / i (6 ± 7 l2 ) = V 2 T T P I = V l2 + V'96 ± 1 1 2 — ^96__

5. l / 4 ( l / l 2 ± 2 ) = V l ® ± 8 = VV 48 + ( 3 2 + VV4 8 — V326. V;4 (V2Ö ± 7 i ) = V v ® ~ ± VI28 = VV80 + 1/48 ± W 80 — 14*

Da die rationale Linie = 4 ist, so sind natürlich die Wurzeln dasdoppelte von denen der ersten Reihe.

Die Umkehrungen dieser Sätze, d. h. die Quadrierungen der ersten sechs (bezw. zwölf) Irrationallinien finden sich bei E ü k l id e s (ed. H e i b e r g )

in den Sätzen 6 0 -6 5 und 97— 102; die Zahlenbeispiele dazu gibt der Kommentator p. 3 5 5 -3 5 8 und p. 3 8 2 -3 8 3 ; da dieselben die nämlichen sind wie diejenigen bei der Wurzelausziehung, so geben wir nur von jeder Reihe das erste Beispiel (in einer Gleichung vereinigt):

(V20 ± 2)2 = 24 ± V32Ö = 4 (6 ± V20)die rationale Linie ist wieder wie hei der Radizierung = 4 gesetzt.

Da die CuRTZEsche Ausgabe der G e r h a r d sehen Übersetzung dieses arabischen Kommentars (1. c. p. 252— 386), sowie auch die Ausgabe B o n c o m p a g n is (de numeris et lineis, s. 1. 1863/64?) viele Fehler enthalten2), so mag es vielleicht Denjenigen, die sich mit dem Studium dieses Gebietes beschäftigen, willkommen sein, hier eine Richtigstellung der störendsten dieser Fehler zu finden, die mir durch Vergleichung der beiden genannten Ausgaben wesentlich erleichtert worden is t3).Seite u. Zeile. | CüRTZE. | R i c h t i g .

com paratione ad separatione ab altera

Heinrich Suter.2 4 °

254, 1Í

255, 7alteram

Dicuntur vero cum di- Discreta vero est diminutio minutione

1) Die W urzelausziehung wird also n ach der b ek an n ten Formel ausgeführt:

iä+ Tb = ] /a + Vf ^ ±2) Besonders in den Z ahlenbeispielen; auch sind sehr o ft ganze Sätze ausgelassen

was das V erständnis w esentlich erschw ert.3) Die sehr seltene B o n c o m p a g n t sehe A usgabe h a t m ir H err G. E n e s t r ö m b e re it

w illig zur V erfügung gestellt, wofür ich ihm m einen besten Dank ausspreche.

Über d. Kommentar d. Muhammed ben 'Abdelbaqi zum zehnten Buche des Euklidos. 241

Seite u. Zeile.255, 9 2 5 5 ,1 8 -1 9

— 20

— Note 2

— Note 3259, 8260, 2

260, 4 — 12 — 21— 30— 31

261, 30262, 33263, 4— 5264, 13265, 1

265, 13

266, 30267, 2

— 12

269, 7

CUETZE.

diminutione (bis) determinantur compositio

\ a 3 5 + yJaW

\ a 2b ± \ a b 2 quoniamcommunis in loco suo

a tQuodsi qx fuerint partes et ideo abincommunicantes et sint

surde

aqtantumcommunicantes per res hb, et . . .

voluerimus ex numeris

dividam, est preteritisergo unum <in se>,

cuius

e ad g, ergo

Bibliotheca Mathematiea. III. Folge. VH.

Richtig.diminutioderivanturcompositio et separatio

y a ]/b ± od. Vu2i ± y sy a )lb + y ^ )/b od. \ a 2b ± quodcommunis eis, que est pars cuiusque

earum. Jam ergo prima quantitas diversificata est, et sit pars erecta in loco suo

aoQuodsi r x fuerit pars aut ao atincommunicantes et quod una earum

est rationalis et altera surda; quod si ab non fuerit numerans aliquam earum, dicemus quod ipse sunt incommunicantes et sint surde

axiterum (fällt weg) in rem bish b , est equale multiplicationi ab in

bh duabus vicibus; jam igitur osten- sum est, quod, cum quadrato ab additur quadratum bh, e t . . .

voluerimus, dicemus quod sunt centum et census additus exceptis viginti rebus; et similiter erit quicquid multiplicare voluerimus ex numeris

diminutum est pluribusergo mediedatem sex in se ipsum et

provenit novem, ex quo minue octo et remanebit unus, cuius

e ad g, sed jam fuit proportio b ad d sicut proportio a ad e, ergo proportio a ad c est sicut proportio e ad g, ergo

Seite u. Zeile.

272, 12 — 13—14

274, Fig.275, 4

242

281, Note

282, 19 286, 1

— 31291, 4

294, 11295, 8—9

297, 3 — 18

298, 14

— 23—:

— 25- 25

H e i n r i c h S u t e r .

CuR TZE.

assumpteassumptis2ad hoc ducere,

plicahimusmulti-

H e i b e r g i i X, 31: Duas lineas mediales potentia tantum communicantes superfici- emque rationalemcon- tinentes, quarum . . •

tk ad th linearum additquinque, quod est

erit triginta sex Remanet ergo proportio

secundum earum habitudines et quantitas similiter

conversam Quoda et bg, <Ponam autem)

superficiem

Sed dg est equalis de: ergo quadratum a

coniuncteconiunctishad hoc ducere, ut fiat linea una, re-

movehimus additum cum diminuto qui sunt duo postremi, postea multiplicabimus

H e ib e r g ii X, 2 9 : Duas lineas rationales potentia tantum communicantes, quarum . . •

Richtig .

th ad kh figurarum caditquinqué, cum ergo voluerimus scire

radicem superficiei contente a linea rationali et superfluo quod est inter novem et quadraginta quinqué, quod est

erit radix triginta sex Remanent ergo proportiones secundum

earum habitudines et quadrata similiter

duploquadrato de

conversionemEta et bg, quas ponam novem et radi

cem 45, sitque a minor, et adiun- gam ad longitudinem longiorem bg superficiem

Sed dg est equalis de: ergo quadratum a est quadruplum superficiei bd in de; ipsa vero est undecim et quarta, sit ergo quadratum be commune, ergo quadratum a

quadruplo quadrato bc

Über d. Kommentar d. Mukammed ben f Abdelbâqî zum zehnten Buche des Euklides. 243

Seite u. Zeile. 299,21—22

— 2 5 -2 6

300, Note 1 — Note 2

309, 22

310, 12313, 23

— 27314, Fig.

— 4— 5— 8

315, Fig.— Fig.— 22—23

316, 14 319, 19

CURTZE.

Quinti decimi exemplumRichtig.

Quarto decimo nihil additur, nisi quod figura per numeros hoc modo notatur. Quinti decimi exemplum

que sit 4 que sint 4 et 6

Über die Figuren auf p. 298 und 299 habe ich folgendes zu bemerken: die Figur p. 298 gehört zu Theor. XIV und unter der Linie a soll stehen: radix radicis 128 statt radix radicis 11; die Figur zu Theor. XIII fehlt, sie ist folgende:

a d e b

radix quadraginta quinque VI

XI et quarta

VII e t med.

H e ib e r g iu s X, 19 H e ib e r g iu s X, 20 cui communicat g in

longitudine, et g est medialis:

supra bequale quadrato dz

medietasAn der Höhe d z soll ab et bgtantum communicantes Exponam, ut ab

radix radicis 32 An der Höhe d z soll et designatio sunt ra-

tionalis communicat secundum, et est

H e ib e r g iu s X, 20 H e ib e r g iu s X, 30cui communicat a in longitudine, ergo

g communicat d in potentia et potest supra earn cum augmento quadrati linee cui communicat g in longitudine, et g est medialis:

supra geguale superflciei a z inzb, et superficies

a z in zb est equalis quadrato d z (fällt weg)stehen: radix radicis duorum (fällt weg) incommunicantesSignabo- igitur duas lineas ah et bg

mediales, in potentia tantum communicantes et continentes superficiem rationalem, et ponam, ut ab

radix radicis 48 stehen: radix radicis 3 et disgregatio sunt, videlicet

incommunicatsecundum, hoc est summa que fit ex

radice radicis duodecim et radice radicis trium, et est

16*



320, 17

320, 20

_ 22

— 30—31

321, 17

— Notel— Note 2

322, 10

— 20

— 21

— 25—21

323, 7

— 13

244CURTZE.

Summa, que fit ex radiée ............. radiceearuin accepta

mediale.

mediale Sed cum

Rich tig .(fällt weg)

mediale, et coniunctam cum rational!facientem totum mediale.

mediale, que sint ab et lg , cum ergo coniungentur, erit potens super rationale et mediale. Sed cum

Hier fehlt das Zahlenbeispiel, es ist:—------ l die ein Rationales und Mediales

VV32 + 4 -f \] 32 4 | p 0 enzierende ----- J die mit einem Rationalen ein

VV32 + 4 VV32 4 = | me(jjajes Ganzes gehende.

ex radice <ex> 48 et radice 28, cum additur supra earn radix <ex> 48 absque radice 28

ponunturV/48 + V 2 8 ± l/4 8 -V 2 8 H e ib e r g ii X , 32 communicantes, et

assumam

potentia primam

secundam, et assumam

I erit ergo linea alia assumpta, quam quere- bamus

Iprecessit; <et> accipiam . .

premittetur

ex radice 48 et radice 24 accepta radice eius quod aggregatur, cum additur supra earn radix 48 absque radice 24 accepta radice residui.

posui± VV48

H e ib e r g ii X , 30.

V24

communicantes, eius modi ut mai or supra minorem possit cum augmento quadrati linee, cui maior in longitudine communicat, et assumam

potentia tantum communicantes, p rimam

secundam , et tertiam, eius modi, ut prima supra tertiam possit cum augmento quadrati linee, cui prima in longitudine communicat, et assumam

erit ergo linea primo assumpta et linea illa alia assumpta quod quere- bamus.

precessit; etcommendabo memorie duas sectiones, et multiplicabo unam- quamque earum in longiorem lineam et eorum que proveniunt accipiam

premitteretur

Über d. Kommentar d. Muhammed ben 'Abdelbäqi zum zehnten Buche des Euklides. 2 4 5


324, 5 — 26— 27— 29

326

327

328, 3329, 1

— 6- 12—13

— 26 330, 1

— 13— 14— 19— 28

— 29—30

— 35 331, 28

CURTZE.

Nostri tamen libri inceptio est a nota, id est nili. Quod scias ergo hoc:

mediale quod esteisdem insignitis lineis linee in potentia

Richtig.heißt bei B o n c o m ra g k n i so : unde cum

libri inceptio est a nota in h. 98, scias ergo hoc:

Aus beiden weiß ich nichts zu machen, (fällt weg) et siceisdem insignitur literis linee mediales in potentia

Muß in der unteren Figur sowohl unter radix 48 absque radice 24 als auch unter radix 48 et radix 24 stehen: accepta radice eius.

In der Figur müssen die Worte unter der Linie lg lauten: radix 32 sine 4, accepta radice eius. Die unter der Linie ag : radix 32 et 4, accepta radice eius Nach dieser Figur fehlt folgendes: In 39a nihil mutatur nisi quod linea hoc modo numeris insignitur:

b d g ai----------------- 1-radix 48 sine radice 24

accepta radice eiusbinomium, et fuerit quod est 13 radici 42/3 ipsius 20. Nam in

45 novem quinquies fuerit

quadratum queper longiorem longior 2 et 1/2quadrata, et erunt

radix 48 et radix 24 accepta radice eius

cum quadratum minoris (ex eo> minuitur, remanet,

minoris brevior

binomium et recta rationalis, et fuerit quod est 5 42/s radicis ipsius. 20 nam in 45

nongenti fuerit

superficiem cuius radixper quadratum longioris quadratum longioris 1 et x/2quadrata, est enim eius radix unus

et medium, et similiter si multi- plicaverimus unum eorum in alterum, erit quod proveniet, superficies quadrata, et erunt

cum ex quadrato maioris minuitur, remanet 5,

(fallt weg) levior

Seite u. Zeile.

333, Fig.334, 8 337, 8 339, 3

246

340, 23 342, 3

- 5

— 7— 14_ 2 5 -2 6

343, 1— 11 — 12

345, 9—10

346, 32351, 6

— 9352, 17356, 2— 3

— 10— 10—11

357, Fig.

358, Fig.

359

360, 8 — 11


CüBTZE.

radix 168 (bis) de ad ezincommunicat quadratum: ergo zh

secundumseiungitur; <seiungitur>

sextum; et illud est

numerantur ostendimus quadrato quarte 20 quadrato quarte radix 8 et medii radix unius et medietatis namque est multipli-

catio 16 In, e t .. . . superficies ml <at>et ad est> rationalis et earumet est adiuncta ad gd

rationalemelergo ht seiungitur le

radix 108 ez ad decommunicatquadratum: ergo proportio quadrati

zh ad quadratum ht non est sicut proportio numeri quadrati ad mi- merum quadratum, etgo zu

sedecimseiungitur, et unaqueque duarum line-

arum bg gh seiungitur sextum; et superfluum inter eas, quod

est radix octo sine radice trium est residuum sextum, et illud est

inveniuntur ostendemusquarte quadrati radicis 20quarte quadratiradix 4 et mediiradix unius medietatisnamque est radix multvplicationis lb

lm, et . . . . superficies nlrationalis(fällt weg)et quadratorum earum

R ich tig .

(fällt weg) eoergo hg seiungitur he

Über der Geraden ab (rechts oben) muß stehen: radix 96, statt radix 6. In den beiden Figuren 55 und 56 sind diese Nummern zu vertauschen.

Unter den Geraden az und bz (rechts oben) muß stehen: radice eius accepta. In den beiden Figuren 57 und 58 sind diese Nummern zu vertauschen.

Die beiden Figuren sind mit falschen Zahlen besetzt, es war mir aber unmöglich, herauszufinden, welches die ursprünglichen richtigen gewesen sein mögen,

adiuncte, sicut secunde I adinvicem, sicut surde sequuntur in termino | sequuntur, non sunt in termino

Über d. Kommentar d. Mubammed ben 'Abdelbäqi zum zehnten Buche des Euklides. 247

Seite u. Zeile.360, 21

— Fig.

361, 24

— 24— Fig.

362, 8— 9

— 16363, 24364, 7

— 14365, 2

— 5— 6— 6

366, 23367, Fig.

368, 18

— Fig.

371, 2— 3— 9—10— 13—22— 29—30— Fig.

CüR TZ E.

Huius vero residui est paratio

R ichtigHuius vero modi residuum est se

paratioDie Zahlen 92 und 108 sind zu ersetzen durch 108 und 192,

statt residuum ahsolutum soll stehen: residuum bimediale primum; die Figur gehört nämlich zu Theor. LXIX, die Figur zu LXYIH fehlt, das Zahlenbeispiel wäre VlO — V8

bg coniuncta sunt rationale

bg coniuncta erunt incommunicantia quadrato ag, et duo quadrata ab bg coniuncta sunt rationale

quadratum agquadratum gdDiese Figur gehört zu Theor. LXXII. punctis | principioHier fehlt das Zahlenbeispiel: Vl2 — |'3

Hier fehlt das Zahlenbeispiel: "^48 -f- V24 — ^ 4 8 — V24surda indeparavimus cuius in<et coniunctam) surdaa et fo/signabo, que sit 12

residua itidem pervenimus cuius tota in (fällt weg) secundaa et gh signabo, que sint 2 et 10

Die obere Figur ist teilweise unrichtig, sie soll folgende sein: a = 2

1 1 radix 18091-

VlOyh ------ 1 b-

resid. secund. = Vl80 — 1 0

eh; et similiter | ez; et sit proportio de ad ez sicut pro-| portio quadrati bg ad quadratum gh

Uber der Linie ed ist das li links durch z zu ersetzen, dash rechts fäUt weg.

radix 8ipse due radices sunt radix 32 in quadratum ml,(fällt weg)

j et est 2 sine radice 2 An dieser Figur und den folgenden bis p. 380 fehlen die

Zahlen, sie sind vom Leser nach dem berichtigten Texte

<radix> 32 ipse duo radices 32 in quadratum,Est ergo radix 8que est 2 et radix 2

leicht zu ergänzen.

i. Zeile.

13Note

13

2323

221329311202131616Fig.

34423

(, 13■ 255, 12

H e i n b i c h S u t e r .

CURTZE.

aale bda ostendit St’ius

ad dz, ergo

go bz lomoni Erit

ladrati radix 108 go dt01•ea earum t radix 72

ladrati est »<area quadrati est) 8

equate td B O N C O M P A G N I h a t :

Ita ostendit sensus ed ad dz, sed proportio ad ed

est sicut proportio superficiei bz ad superficiem dh, et proportio ed ad dz est sicut proportio superficiei dh ad superficiem dt, ergo

ergo fzgnomoni; sed bz equatur Tel, et fz

equatur gnomoni, ergo bg est equalis Im, sed quadratum sq est equateIm, erit

quadrati hl radix 108 ergo dh 9^area duarumquadrate hl sit radix <2 12 12quadrati hl est 192

^_________ (fällt weg)der unteren linken Ecke des Rechteckes muß b stehen,

ihenso p. 379.superficiei to t iu s

rad ix 320 quadrati hl sitB onco m pag ni h a t: unum g en u s , ich

glaube, daß es h e iß en m uß: m u t a -o /genibem (vergl. p. 321)

dieser Tafel müssen in den Rubriken „Radices'* überall die auf „Radix" folgenden Worte im Genetiv stehen, also z. B. Radix Binomii primi statt Radix Binomium primum; es sind eben die in den Rubriken „Coniuncta“ und „Residua“ stehenden Irrationallinien die Quadratwurzeln derjenigen, die in den Rubriken „Radices“ stehen.

Rich tig .

perficiei dix 180 ladrati sit imerationem

st residuum

esiduum quartum

est residuum secundum itidemresiduum quintuni

Über (1. Kommentar d. Muhammed ben '‘Abdelbäqi zum zehnten Buche des Euklides. 2 49

Die Figuren zu den sechs Sätzen (p. 382 und 383), welche nachweisen sollen, daß die sechs Residua die Quadrate der sechs ersten Irrational- apotomeen sind, sind voll von Fehlern in bezug auf die eingeschriebenen Zahlen, unvollständig und nicht in richtiger Reihenfolge, es ist deshalb nötig, dieselben hier richtig wiederzugeben:

k li mresid. prim .

6 — V2Ö g k li mresid. secund.

e 1 /12 -3 g

V5 V5 1i H

Väö

1°100 24 — V320 4 II 6 Vi92 — 12

t n l d t n l

2 b -\a

V20

resid. te rt. k li m e 1''8 — y'6 g

V 12 bz\------------ 1------------------- \a

V 108

resid. quart. lc h m e 6 — Vi2 g

III

V"V Vh V3 V3

t 24 V24 1/128 — V96 4 IV 18 V48 24 — Vl92

t n l d t n l

V8 b -\aVl2 — V96 b

zi--------------- 1----------------------- 1 a

Sjl2 Vl2 + V 96

resid . quint. k h m e V12 — 2 g

resid. sext. k h m e V20 — V8 g

1 1

< 4 1192 — 8

t n l

VI

V2

V32

t n

V2

V32 V320 — V128 4

VV48 — V32 bz\--------------- \-

VV80 — V48 b-I a

VV48 + 1/32 VV80 + V48

250H e i n r i c h S u t e r .

T den übrisen ist sie dieser Wir geben hier die Erklärung zu ■ ■ Rechteck M

uuCog. Mau tagt « ist , * = 6; daunan, das gleich a* + -Dp„htect die beiden gleichen Rechtecke

r t Ä - d i L tLresiduum primum (erste Apotome). - W äre - 1 , so war,

) s l s t - (»i ^ »*)' - 0 ® - W- W « « * d“sRechteck so, daß „ i - = 20, und W - J .« - 4 .st.

Seite u. Zeile.384, 19385 , 20

— 25— 25

— Fig.

386, 2— 9— 1 2 — 13

386, Fig.

CURTZE.

totoconveniretde (bis) be

Die richtige Figur ist:

R ichtig.

dzest itaque bd radix Dies ist ganz unverständlich, es sollte

wohl heißen: deinde multiplicabo illud in 48, et est radix radicis radicis radicis illius quod provenerit surda dz.

sind mit denselben Buchstaben zu bezeichnen, wie die vorhergehende, an die Seite ag ist 2 zu schreiben, im mittleren Rechteck ist bei beiden das Wort „radicis“ einmal, im vorderen zweimal hinzuzufügen.

deest itaque radix Deinde multiplicabo

. . . . surda.

Die beiden Figuren

Zum Schlüsse sehen wir uns noch zu folgender Bemerkung veranlaßt: Der letzte Satz des Kommentars (p 385 — 386) bezieht sich auf Satz 115 hei E u k l i d e s (Edit. H e i b e r g ) und nicht, wie C u r t z e in Note 1, p. 385 andeutet, auf das Porisma p . 352/353. E u k l i d e s will nämlich am Schlüsse des 10. Buches noch darauf hinweisen, daß es noch höhere Mediallinien gehe, als die von ihm im 21. Satze des 10. Buches definierte und dann durch das ganze Buch hin benutzte erste MediaRinie m ) n ;

Über d. Kommentar d. Muhammed ben 'Abdelbäqi zum zehnten Buche des Euklides. 251

konstruiert man nämlich ein Rechteck, dessen eine Seite ab (Fig. p. 385) gleich dieser Mediallinie, die andere Seite ag gleich der rationalen Linie

Vn«i2j)4; dies ist eine zweite Mediallinie, sie sei in der Figur = bd-

'fnm ‘2 p n eine dritte Mediallinie, sie sei in der Figur d z ; so könnte man bis ins Unendliche weiter gehen. Wir sind daher der Ansicht, daß dieser Satz 115 entgegen der Meinung von H e i b e r g ( E u c l i d i s Elementa, Yol. V ,

Proleg. LXXXV) wohl von E u k l i d e s herstamme, in bezug auf die Sätze 112—114 können wir dagegen mit H e i b e r g ühereinstimmen; diese unsere Ansicht scheint auch N a s i r e d - D i n E L -T ü si gehabt zu haben, indem er in seiner E u k l i d -Rezension die Sätze 112—114 weggelassen, dagegen 115 aufgenommen hat. Freilich sind jene fraglichen Sätze nicht so weit von dem Gegenstände abgelegen, der in den vorhergehenden Sätzen des 10. Buches behandelt wird, wie dies H e i b e r g (1. c.) darstellt; in 114

wird der Satz bewiesen, daß (Vü -f Vw) (V^pr ~ Vv'O rational sei.

p ist, so ist die Linie, die dieses Rechteck potenziert — \p \m ^ n

dann ist die Linie, die das Rechteck

252G. E n e s t r ö m .

Über zwei angebliche mathematische Schulen im christlichen Mittelalter.


„Wir haben das Ende des XIV. Jahrhunderts erreicht. Überblicken wir dasselbe mit nach rückwärts gewandten Augen, so sind es etwa folgende Punkte, die vorzugsweise sich bemerkbar machen. Die beiden Schulen, deren Vorhandensein im XIII. Jahrhundert wir erkannten, sind noch immer getrennt vorhanden. Die geistliche Schule der Universitäten, an Zahl und Bedeutung der ihr angehörenden Persönlichkeiten überwiegend, bringt in England einen B r a d w a r d in ü S , in Frankreich einen D o m in ic u s d e C la v a s io , einen O re sm e hervor, schickt Sendboten einer künftigen Größe nach Deutschland. Die weltliche oder kaufmännische Schule bleibt noch in Italien haften, ohne durch diese Einengung des Bodens ganz zu verkümmern. Sie zählt auch Persönlichkeiten von geistiger Bedeutung, wenn auch keineswegs dem Gründer der Schule, L e o n a r d von Pisa, nur annähernd gleichzustellen.“

So äußert sich Herr C a n t o r an einer Stelle seiner Vorlesungen,1) und aus einigen anderen Stellen bekommt man nähere Auskunft über diese zwei Schulen, deren Vorhandensein meines Wissens vor Herrn C a n t o r

unbekannt war.2) Der Gründer der ersten Schule war nach Herrn C a n t o r

J o r d a n u s N e m o r a r iu s 3) , und ein Vertreter dieser Schule war auch S a c r o b o s c o .4) Als Gründer der zweiten Schule ist schon in dem oben zitierten Passus L e o n a r d o P is a n o genannt, und derselben Schule gehörte

1) M. C a n t o r , Vorlesungen über Geschichte cler Mathematik 2 - , Leipzig 1900, S. 166.2 ) Wenn L ib r i (Histoire des sciences mathématiques en Italie 2 , Paris 1 8 3 8 , S. 4 4 )

behauptet, daß L e o n a r d o „créa en Toscane une école florissante“, so ist dies kaum mehr als eine Redeweise. Herr C a n t o r macht selbst a. a. 0. S. 55 darauf aufmerksam, daß für Italien eine Nachwirkung L e o n a r d o s sich nicht eher als mehr als 200 Jahre nach seinem Tode mit Deutlichkeit erkennen läßt.

3) M. C a n t o r , a. a. O. S. 8 6 , 205.4 ) M. C a n t o r , a. a. O. S. 205.

na ch Herrn C a n t o r 1) der unbekannte Verfasser eines von L i r r i 2) teilw eise veröffentlichten, angeblich aus dem 14. Jahrhundert herstammenden a lg eb ra isch en Traktates in italienischer Sprache.

Daß man im allgemeinen, wenn es mehrere Universitäten gibt, die mathematischen Unterricht erteilen, von einer mathematischen Schule der Universitäten reden kann, will ich nicht verneinen. Es ist ja klar, daß der Universitätsunterricht fast notwendigerweise eine mehr oder weniger feste Form annehmen muß, deren allgemeine Züge durch die Satzungen bestimmt werden, und es kommt oft vor, daß der Unterricht oder die Satzungen einer hervorragenden Universität wenigstens bis zu einem gewissen Grade für die übrigen maßgebend werden Ob dies wirklich für den mathematischen Universitätsunterricht im christlichen Mittelalter o-iltÖ )werde ich später untersuchen, aber jedenfalls scheint es mir nicht ganz angebracht, die betreffende Schule „geistlich“ zu nennen. Herr C a n t o r

macht selbst darauf aufmerksam3), daß die Universitäten zwar oft aus Klosterschulen und ähnlichen von Geistlichen geleiteten Anstalten herausgewachsen sind, daß aber dies nicht ihre einzige Entstehungsweise war. Von den angeblichen Vertretern der fraglichen Schule starben freilich B r a d w a r d in und O r e sm e als Bischöfe, aber S a c r o b o s c o und D o m in ic u s

d e C l a v a s i o waren meines Wissens nicht Geistliche; jener wird allgemein nur Lehrer der Mathematik und Astronomie an der Universität in Paris genannt4), und dieser gehörte zuerst der Artistenfakultät, dann der medizinischen Fakultät derselben Universität an5).

Nun ist ja möglich, daß Herr C a n t o r die Schule geistlich genannt hat, weil seiner Ansicht nach der Ordensgeneral J o r d a n u s N e m o r a r iu s

ihr Gründer war, aber dann ist die Benennung meines Erachtens noch weniger angebracht. Herr C a n t o r geht nämlich von der Voraussetzung aus, daß der Algorithmus demonstratus von J o r d a n u s verfaßt ist, und hebt besonders den Inhalt dieser Schrift als für die Schule kennzeichnend hervor6). Aber bekanntlich hat es sich herausgestellt, daß der Verfasser des Algorithmus demonstratus höchst wahrscheinlich nicht J o r d a n u s ,

1) M. Cantor, a. a. O. S. 157, 167.2) G. L i r r i , Histoüe des Sciences mathhnatiques en Italie 3, P a ris 1840, S. 302—349.3) M. Cantor , a. a. O. S. 54.4) Ü ber S a c ro b o s c o vgl. P. T a n n e r y , L ’i n t e r m e d . d. m a th e m . 7, 1900, S. 404

405; 8, 1901, S. 263— 265. -— H. B ro c a rd , L ’i n t e r m e d . d. m a th e m . 9, 1902,S. 275 277; 10, 1903, S. 261—262. An der zu le tz t z itierten Stelle e rw ähnt H err B rocard einen Verfasser aus dem E nde des 17. Ja h rh u n d erts , der nachw eist, daß m an keinen Grund hat, Sacrobosco als g e is tlich zu b e trach ten .

5) Vgl. M. C u r t z e , Über den D ominicus d e C l a v a s i o der „Geometria Gulmensis“; B i b l i o t h . M a th e m 1895, S. 107— 110.

6) M. Cantor, a. a. O. S. 8 4 - 8 5 .

Über zwei angebliche mathematische Schulen im christlichen M ittelalter. 2 53

G. E n e s t r ö m

2 5 4i i f v M a g ister G e r n a r d u s “ i s t 1), u n d e ig e n t-

sondern e in b ish er u n b ek a n n e ^ ^ Sciiule der U n iv e r s itä te n be-l ic h so llte m an a lso d iesen a s ^ b igh er n ic h t g a n z s ic h e r gem achten . N im m t m an n o c h 1 , ^ N e m 0 r ARIUS w ir k lic h m it demste llt ist, daß der M ath em atik er go kann man kaum umhm,Ordensgeneral “ rden,general Gründer einer mathematischen

“ «toietHolen Mittelalter war, als höchst un

sicher oder sogar ““ “U s e h e m l i c h ^ b e M i e ^ a n ^ ^ Vertreter einer

Meiner Ansicht nac ” T f die neneuklidisclie nennen möchte.Richtung, die ich der K ^ ^ Demmstratio J o ^ m de algorimo An einer anderen Stelle ) inische Lehrgebäude untercharakterisiert als einen Versuch das ^ ^B ezu g n a h m e a u f d ie arab isc e ec D *nm J ris datis und Del ic h e s k ö n n te m an von ®n . Ergänzung d er Aedogsva unter

B ezugnahnm ^ m if ^die A ra b isch e A l g e t o g e n a n n t w erd en , u n d der z w e ite

S f t e i n e n U Z “Zwe«,T"einen nlhtTh.deutcndcn Einünß auf die späteren niittelalter- liehen Mathematiker gehabt, aber Tatsachen, die bestätigen, daü e. eme wirkliche Schule bildete, habe ich noch nicht entdecken könne .

In betreff der Frage, oh es im christlichen Mittelalter eine mathematische Schule der Universitäten gegeben hat, muß ich zuerst hervorheben, daß diese Schule, auch wenn sie existierte, keineswegs eme besonders feste Form hatte; es ist also jedenfalls kaum erlaubt, zu sagen,daß sie in England und Frankreich Vertreter hervorlrachte und daß sie Sendboten nach Deutschland schichte. Auf dem rechnerischen Gebiete o-ab es wohl eine solche Schule, und als die ersten Vertreter derselben möchte ich S a c r o b o s c o und „Magister G e r n a r d u s “ nennen; m einem gewissen Sinne könnte man vielleicht auch B r a d w a r d i n und O r e sm e zu

dieser Schule rechnen. Dagegen sehe ich nicht ein, wie man aus dem Inhalte der Practica geometriae des D o m in ic u s d e C l a v a s i o und der Geometria Culmensis folgern kann, daß die Verfasser dieser zwei Schriften der Schule angehörten. D o m in ic u s d e C l a v a s i o vertritt ja vielmehr eine praktische Richtung, und der Umstand, daß er ein paar Jahre Lehrer der Pariser Artistenfakultät war, genügt kaum, um zu motivieren, warum Herr C a n t o r ihn zu der mathematischen Schule der Universitäten gerechnet hat.

1) Vgl. P. D u h e m , Sur VAlgorithmus demonstratus; B ib lio th . M athem . 63, 1905, S. 9-15.

2 ) G . E n e s t r ö m , Über die „Demonstratio J o u v a n i de a lgorism oB ib lio th . Mathem. 7 3 , 1906, S. 31—32.

Wenn ich also nur bis zu einem gewissen Grade mit den Ausführungen des Herrn C a n t o r in betreff der ersten von ihm angegebenen Schule einverstanden sein kann, so bin ich noch weniger mit ihm einig, wenn es sich um die angebliche kaufmännische Schule handelt. In der Tat muß ich in Abrede stellen, nicht nur, daß L e o n a r d o P is a n o

eine solche Schule gegründet, sondern sogar, daß sie nachweislich existiert hat.

So viel ich sehen kann, hat Herr C a n t o r die feste Überzeugung, daß L e o n a r d o Kaufmann1) war, und teils hieraus, teils aus dem Umstande, daß der Liber abaci Gegenstände behandelt, welche der Kaufmann brauchen mußte oder wenigstens konnte2), hat er wohl unmittelbar gefolgert, daß L e o n a r d o Vertreter einer kaufmännischen mathematischen* Schule war. Ich will zunächst untersuchen, ob die erste Voraussetzung dieser Folgerung richtig ist.

Wer zuerst behauptet hat, daß L e o n a r d o P is a n o Kaufmann war, habe ich nicht mit Sicherheit ermitteln können, aber ich bin geneigt anzunehmen, daß die Angabe aus der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts herrührt. Jedenfalls habe ich bei den älteren Verfassern keine Bestätigung derselben auffinden können. So z. B. bemerkt der anonyme Verfasser eines Libro di pratichct darismetricha aus der ersten Hälfte des 15. Jahrhunderts3) „ L io n a r d o p i s a n o . . . fu dal suo padre tirato asse, che era scrittore nella ghabella di doghana di bruggia, e quindi in egitto, e chaldea e india navichando, e per alchuno tempo riposandosi usö le schuole loro“. Etwa ein Jahrhundert später schreibt im Jahre 1506 der Pisaner Ser P e r i z o l o 4): „ L io n a r d o F ib o n a c c i fue nostro concive, e vivette nelli anni 1203. Vidde tutto el mondo; tornoe a Pisa e recö i numeri arabichi e l’aritmetica, e ne compose un libro . . .“. Hier ist also gar nicht davon die Rede, daß L e o n a r d o Kaufmann war. Ebenso unbekannt scheint dieser Umstand gewesen zu sein am Ende des 16. Jahrhunderts, als B. B a l d i seine Mathematiker-Chronik verfaßte, denn darin wird nur gesagt, daß L e o n a r d o ein großer Mathematiker war und lange Reisen gemacht hatte.5) Die Angabe, daß L e o n a r d o Kaufmann war, habe ich zuerst hei

Über zwei angebliche mathematische Schulen im christlichen M ittelalter. 2 5 5

1) Auffälligerweise fehlt S. 5 des schon zitierten Bandes der Vorlesungen, wo es sich um L e o n a r d o s Lebensumstände handelt, jede genaue Angabe über seinen Beruf; es wird nur gesagt, daß er viele Handelsreisen vorgenommen hat. Aberan vielen späteren Stellen nennt Herr C a n t o r L e o n a r d o ausdrücklich „Kaufmann“,z. B. S. 85, 86 , 154, 156.

2 ) M. C a n t o r , a. a. 0. S. 35.3 ) B. B o n c o m p a g n i , Intorno ad alcune opere di L e o n a b d o P is a n o , Roma 1854, S. 1 2 8 .

4) F. B o n a in i , Memoria unica sincrona di L e o n a r d o F ib o n a c c i , Pisa 1858, S. VI.5) B . B aldi, Cronica de’ matematici, Urbino 1707, S. 88—89.

Gr. Eneström.2 5 6

P, Cossali gefumta»), und vomselbe bei den »eisten " ^ " n L t d n d e n zu beschäftigen .*) gehabt haben, sich mi A ngabe3) und in der T at b in ich über-Nur bei B. B o n c o m p a g n i fehlt d e R b au£ unsere Tage warzeugt, daß sie auf einem ™ ^ ^ authentische Aufschlüsse über nämlich die einzige 1 ’ Vnnnte sein WidmungsschreibenL e o n a r d o s nnd in

: ä : r ,Ds i : L s o * * a — > . Tt l negofetionis cuusä prius ea peragravi“ vor*); aus dresem Ausdrucke

folgerte man nun, daß L e o n a r d o s Reisen Handelsreisen waren. er in B oncohpaom s Ausgabe des Uber abuci, die einen besseren Text bietet, fau et der Passus*): „ad que loca negotiationis tarn postea peragravi , und L e o n a r d o deutet also gar n ich t an , daß er als Kaufm ann s me Reisen vernahm. Daß er vorzugsweise oder vielleicht ausschließlich Handelsstädte besuchte, ist sehr leicht zu erklären, ohne daß man die willkürliche Annahme, daß er Kaufmann war, gebraucht. H err CAx hat selbst hervorgehoben6), daß die Stellung des V aters L e o n a rd o s , mochte er auch nur Schreiber („publicus scriba“) heißen, keineswegs eine untergeordnete gewesen ist, und daß es sich in betreff der pisamschen Faktoreien zuweilen um ganz wichtige Sachen handelte, z. B. um den Abschluß neuer Verträge. Es ist darum sehr wohl m öglich, daß L e o n a rd o , der Sohn des hohen Zollbeamten in B ugia, seine Reisen im Aufträge seiner Vaterstadt vornahm. Es ist ebenso möglich, daß L e o n a rd o gerade die „loca negotiationis“ besuchte, weil sein V ater dort Bekannte hatte,

„colà1) Siehe P. C o s s a l i , Scritti inediti pubblicati da B. B o n c o m p a g n i , Roma 1857, S. 1:

„ - - - à chiamollo il padre per procurargli pane nel servigio del commercio , vgl. S. 348: „il necessario commerciale tragitto dei mari“. Über eine ähnliche Äußerung von G . G r im a ld i (Memorie istoriche di pia uomini illustri Pisani 1 [1790], S. 163) siehe B . B o n c o m p a g n i, Bella vita e delle opere di L e o n a r d o P i s a n o , Roma 1852, S. 72, — Dagegen habe ich die Angabe, daß L e o n a r d o Kaufmann war, nicht in C o s s a l i s Arbeit. Origine, trasporto in Italia, primi progressi in essa dell’ algebra (Parma 1797 1799) auffinden können.

2) Siehe z. B. Cu. B o s s u t , Essai sur l’histoire générale des mathématiques 1, Paris 1802, S. 237 („un riche négociant de Pise, appelé L e o n a r d “ ) . — G. B. G u g l i e lm i n i ,

Elogio di L io n a r d o P is a n o , Bologna 1813, S. 7 („Non si ha tosto il Mercatante afferato il Porto“). — L i b r i , a. a. 0 . 2 , S. 20 („c’est à un marchand de Pise, L é o n a r d F ib o n a c c i ,

que nous devons la connaissance de l’algèbre“).3) Siehe B . B o n c o m p a g n i , Bella vita e delle opere di L e o n a r d o P is a n o , S. 5 —24.

— Über den Ausdruck „per cagione di traffico“ (S. 6) siehe weiter unten S. 257.4) Siehe z. B. L i b r i , a. a. 0. 2, S. 288.5) Scritti di L e o n a rd o P isa n o , pubblicati da B . B o n c o m pa g n i 1, Roma 1857, S. 1.6) M. C a n t o r , a. a. 0 . S. 4— 5.


die dem Sohne die Bekanntschaft mit den arabischen und griechischen Gelehrten vermitteln konnten. Aber auch wenn man annimmt, daß der ältere Text „que loca negotiationis causa peragravi“ richtig ist, so folgt daraus gar nicht mit Sicherheit, daß L e o n a r d o Kaufmann war. B o n

c o m p a g n i übersetzt1) „negotiationis causa“ mit „per cagione di traffico“, und man kann sehr wohl sagen, daß ein Beamter, der Reisen macht, um neue Handelsverträge abzuschließen, „per cagione di traffico“ reist. Durch den älteren Text wird also L e o n a r d o s kaufmännische Tätigkeit bestätigt, nur unter der Voraussetzung, daß man anderweitig etwas hierüber erfahren hat. Nimmt man jetzt hinzu, daß L e o n a r d o , so weit bekannt ist, an keiner Stelle seiner Schriften auch nur andeutet, daß er Kaufmann war, so darf man wohl behaupten, daß die gewöhnliche Angabe auf einem Mißverständnisse beruht.

Außer dem erwähnten Widmungsschreiben gibt es meines Wissens nur zwei authentische Aktenstücke, woraus man etwas über L e o n a r d o s

Lebensumstände erfährt. Das erste Aktenstück rührt aus dem Jahre 1226 her und ist von G. M i l a n e s i im Jahre 1867 veröffentlicht worden2), gibt aber keine Auskunft über L e o n a r d o s Beruf. Das zweite Aktenstück, ein wahrscheinlich um 1241 ausgefertigtes fiskalisches Dokument, ist von F. B o n a in i im Jahre 1858 zum Abdruck gebracht3), und dort heißt es:

Considerantes nostre civitatis et civium honorem atque profectum, qui eis, tarn per doctrinam quam per sedula obsequia discreti et sapientis viri magistri L e o n a r d i B i g o l l i , in abbacandis estimationibus et rationibus civitatis eiusque officialium et aliis quoties expedit, conferuntur; ut eidem L e o n a r d o , merito dilectionis et gratie, et scientie sue prerogativa in recompensationem laboris sui quem substinet in audiendis et consolidandis estimationibus et rationibus supradictis . . . .

Aber den Mann, der „sapiens vir magister L e o n a r d o B i g o e l o “ genannt und als hervorragender Mathematiker bezeichnet wird, hat man gar keinen Anlaß zum Kaufmann zu machen. Was hier mit „obsequia in abbacandis estimationibus et rationibus“ gemeint wurde, ist mir nicht näher bekannt, aber die Worte scheinen mir darauf hinzudeuten, daß L e o n a r d o als Kassenkontrolleur der Stadt Pisa tätig gewesen ist.4)

1 ) B . B o n c o m p a g n i , Bella vita e Helle opere di L e o n a r d o P is a n o , S . 6 .

2 ) G. M i l a n e s i , Bocumento inedito e sconosciuto intorno a L io n a r d o F ib o n a c c i

Koma 1867, S. 9—10.3 ) F. B o n a in i , a a. 0 . S. VII—VIII.4) Nach M. L a z z a r i n i (L e o n a r d o F ib o n a c c i, le sue opere e la sua famiglia; B o lle tt.

di b ib liog r. d. sc. matem. 7, 1904, S. 5) sollte aus den zitierten Worten hervorgehen, daß L e o n a r d o „contabile“ (also Rechnungsführer) der Stadt Pisa war.


G. E n e s t k ö h .

2 5 8-r oia liino’lin0’ der kaufmännischenBs W ja denkbar, dai L e o n a r d o . ob a Jung

Tätigkeit gewidmet hatte, und erst nach £ * 4 * ^ ^ ^ _

ein „sapiens magister wm , nennen; mit ebenso gutem

“ « - " vo” d“ En“ deckungen des J U r f * « ^ ^

s I Ld t°9 Abschnitt aut°Uintausch von Waren und der 10 Abschnitt autGenossenschaft unter Gesellschaftern Aber aus L“ ‘ eweder schließen, daß L e o n a r d o Kaufmann war, noch daß er m erster fflr Kaufleute ichrieb Bekanntlich haben viele arabische und jüdische Mathematiker in ihren Schriften Probleme dieser Art behandelt, ohne daß man daraus gefolgert hat, diese Schriften seien v o n Kaufmännern oder für Kaufmänner verfaßt. Es ist auch längst darauf hingewiesen worden, daß L e o n a r d o seine Vorgänger, z. B. A lk h w a r iz m i und A l k a r k h i

ausgiebig benutzt hat2), und es ist darum leicht erklärlich daß seine außerordentlich große Sammlung von Problemen viele kaufmännische Gegenstände behandelt. Auch nach L e o n a r d o hat es viele Ai beiten gegeben, worin eine Menge von ähnlichen Problemen Vorkommen, obgleich ihre Verfasser nachweislich nichts mit Handel zu tun gehabt haben, und ebensowenig einer kaufmännischen Schule angehört haben; als Beispiele nenne ich L. P a c i u o l o und N. T a r t a g l i a . Übrigens muß wohl der Leser von L e o n a r d o s Schriften ziemlich bald zu der Einsicht gelangen, daß diese nicht in erster Linie einen praktischen Zweck verfolgen3). Auch in solchen Fällen, in denen es sich um kaufmännische Gegenstände handelt, ist die Behandlung gar nicht kaufmännisch. Als Beleg erlaube ich mir auf die Probleme über Vögelkäufe hinzuweisen. Ein Mann kauft 30 Vögel verschiedener Gattung um 30 Geldstücke, nämlich Rebhühner, Tauben und Sperlinge; ein Rebhuhn kostet 3, eine Taube 2, ein Sperling | Geldstück. Wie viele Vögel jeder Gattung hat er gekauft?4) Ein andrer Mann soll auch für 30 Geldstücke 30 Vögel kaufen, nämlich zahme und wilde Tauben sowie Sperlinge; die zahme Taube kostet 2, die wilde Taube der Sperling Geldstück. Wie viele Vögel jeder Gattung soll dieser Mann kaufen?5) Ich bin überzeugt, daß der Kaufmann am

1) M. C a n t o r , a. a. 0. S. 35.2) Ygl. z. B. F. W o epc k e , Extrait du FaTcliri, Paris 1853, S. 24—29.3) Ygl. was Herr C a n t o r selbst a. a. 0. S. 36 in betreff der Practica geometriae sagt.4) Scritti di L e o n a r d o P is a n o 1, S. 165.5) Scritti di L e o n a r d o P i s a n o pubblicati da B. B o n c o m p a c n i 2, Roma 1862, S. 247

Anfänge des 13. Jahrhunderts ebensowenig als der Kaufmann am Anfänge des 20. Jahrhunderts die Lösung solcher Fragen im Verkehre des Lehens anwenden konnte.

Als Vertreter der angeblich von L e o n a r d o P is a n o gegründeten kaufmännischen mathematischen Schule nennt Herr C a n t o r , wie ich schon erwähnt habe, den Verfasser eines von L ib r i teilweise veröffentlichten algebraischen Traktates. Die Handschrift dieses Traktates soll nach L ib r i aus dem 14. Jahrhundert herrühren, aber die L ib r i sehe Angabe ist gar nicht belegt; meiner Ansicht nach kann man eher vermuten, daß der Traktat aus dem Ende des 15 Jahrhunderts stammt '), also aus einer Zeit, da es wohl nicht mehr eine kaufmännische mathematische Schule gab2). Übrigens erinnert der Inhalt der von L ib r i veröffentlichen Auszüge kaum an die Kaufleute3), und der einzige Grund, warum man den Traktat zur kaufmännischen Richtung rechnen könnte, ist eine Stelle, wo es nach L ib r i heißt4): „Essendo io pregato di dovere scrivere alcune cose di abaco necessarie a’ mercatanti, da tale che i preghi suoi mi sono comanda- menti, non come prosuntuoso ma per ubbidire mi sforzero . . . Aber dieser Grund ist sehr schwach, solange man nicht weiß, welche Gegenstände durch den Ausdruck „alcune cose di abaco necessarie a’ mercatanti“ bezeichnet werden.

Sonst habe ich in den Vorlesungen des Herrn C a n t o r nur einen Mathematiker auffinden können, der als Vertreter der kaufmännischen Schule betrachtet werden kann, nämlich P a o l o D a g o m a r i , der als Verfasser eines für Kaufleute verfaßten Traktates erwähnt wird5). Aber von diesem Traktat sagt L ib r i an der von Herrn C a n t o r zitierten Stelle nicht, daß er für Kaufleute geschrieben ist, sondern „qu’il est aussi écrit poulies négocians“ und aus dem, was L ib r i sonst mitteilt, z. B. daß der Traktat „la solution de plusieurs problèmes assez difficiles d’analyse indéterminée" enthält, geht es nicht hervor, daß der Traktat in erster Linie für Kauf leute verfaßt war, und also auch nicht, daß der Verfasser desselben Vertreter einer kaufmännischen Schule war.

Aus dem vorangehenden dürfte klar sein, daß die Annahme einer kaufmännischen mathematischen Schule des christlichen Mittelalters zum

1) Vgl. G. Enestköm, Remarque sur l’époque où le mot ,,p lus“ a été introduit comme terme d’addition; B i b l i o t h . M a th e m . 1899, S. 105— 106.

2) Daß es am Ende des 15. Ja h rh u n d erts R echenbücher gab, die fü r ju n g e Leute, welche dem K aufm annsstande sich w idm en w ollten (vgl. Cantor, a. a. 0 . S. 303), b e stim m t w aren, bew eist n a tü rlich n ich t, daß dam als eine kaufm ännische m athem atische Schule vorhanden war.

3) Vgl. M. C a n t o r , a. a. O. S. 158.4) L i b r i , a. a. O. 2, S 214.5) M. C a n t o r , a, a. 0 . S. 164.


17*

G-. E n e s t k ö m .

260

mindesten auf sehr Mittelalter eine Schule gab, die einengesagt, daß es nic i der Universitäten bildete. In derentschiedenen ö«genzrtzz Ł(. Le0n4RD0 p 0Tat glaubt Heu Gau 10 wirklich zutrifft, so ist es ja nur derentdeckt zu • » , - - “ tenen Richtung, der mod.feiert .erden so«.

e h Herrn S n t o u gehört der Gegensatz zwischen L e o n a r d o

is ach H“ rn , der Universitäten zumeist den rechnenden Ab- P i s a n o und der Sch Begründung des Herrn C a n t o r 1) ab,schnitten an; ich ruc J o r d a n u s “ den Verfasser der Algorithmusr J l r Ä ä Ä - h überall, wo — S steht,

„Magister ppelung und Halbierung als besondereRechnungsarten an, L e o n a r d 0A en n ts* nicht a s so c e. e o n a

lehrt die Neunerprobe, fur .JORDANUS ist sie nicni J o r d a n u s besitzt eine Art complementärer Mnltiplication ( ° ^ fre^ ch aus arabischer Quelle bezweifeln wir), bei L e o n a r d o ^chts Ahn- üches 2) Fast am Auffallendsten ist der Gegensatz beider Schritt steiler ' wo es sich um die Ausziehung von Kubikwurzeln handelt, J o r d a n u s lehrt dieselbe, .soweit sie ganzzahlig möglich ist, genau in der gleichen unbefangenen Weise wie vorher die Quadratwurzel. L e o n a r d o rühmt sich der Erfindung der Kubikwurzelausziehung und lehrt dabei eine Näherungsmethode, welche es gestattet, den rohesten ganzzahligen Annäherungen noch Brüche beizufügen.

Meines Erachtens genügt diese Begründung kaum, um „schroffe Gegensätze“3) zwischen der Schule der Universitäten und L e o n a r d o

nachzuweisen. Daß bei diesem weder Verdoppelung und Halbierung noch komplementäre Multiplikation vorkommt, scheint mir nur zu beweisen, daß L e o n a r d o diese Rechnungsarten als unnötig betrachtete, während auf der anderen Seite die Schule der Universitäten dieselben ohne weiteres aufnahm, nur aus dem Grunde, weil sie in älteren lateinischen Algorismus- schriften vorkamen. Wenig wichtig scheint mir auch der Umstand, daß L e o n a r d o aber nicht die Schule der U11i versltäten die Neunerprobe lehrte,

1) M. C a n t o r , a. a. 0. S. 84—85.2) Ich habe hier den Passus: „ L e o n a r d o gebraucht für das Quadrat der unbe

kannten Größe das Wort census, bei J o r d a n u s ist es nicht zu finden, sondern nur qiiaäratus“ ausgeschlossen, der sich wirklich auf J o r d a n u s und nicht auf Meister G e r n a r d u s bezieht. Der von Herrn C a n t o r bemerkte Unterschied in betreif der Terminologie hängt wohl damit zusammen, daß J o r d a n u s eine Richtung vertrat, die ich oben „neueuklidisch“ genannt habe, während L e o n a r d o in arabischer Schulung zum Mathematiker geworden war.

3) Ygl. M. C a n t o r , a. a. 0. S. 84 Z. 8 -9 v. u.

im Vorübergehen bebe ich hervor, daß die Sätze, die der Neun erprobe zugrunde liegen, in der „Demonstratio . J o r d a n i de algorismo“ Vorkommen1), so daß die Neunerprobe eigentlich nicht für L e o n a r d o kennzeichnend war. Was zuletzt die Kubikwurzelausziehung betrifft, so kann ja der Umstand, daß die von L e o n a r d o wohl zum Teil den Arabern2) entnommene Näherungsmethode nicht bei S a c r o b o s c o oder Meister G e r -

n a r d u s vorkommt, darauf beruhen, daß diese die Rechnung mit ganzen Zahlen besonders behandelten, und dabei nicht die Kenntnis der Brüche voraussetzen woUten.

Auf der anderen Seite ist es ohne Zweifel richtig, daß L e o n a r d o

P j s a n o eine Richtung vertrat, die von der der meisten Mathematiker im christlichen Mittelalter verschieden war, und der Grund dazu ist sehr leicht aufzufinden. Auf seinen Reisen bekam L e o n a r d o Gelegenheit, mit dem damaligen Stand der arabischen Mathematik bekannt zu werden, während die Mathematiker, die nach Herrn C a n t o r der Schule der Universitäten angehörten, ihre Kenntnisse der arabischen Mathematik aus älteren Übersetzungen oder Bearbeitungen entnehmen mußten. Am deutlichsten zeigt sich wohl der Gegensatz auf dem zahlentheoretischen Gebiete, aber auch in betreff der Algebra scheint mir dieser Gegensatz nachgewiesen werden zu können. Weniger wichtig ist dagegen meines Erachtens das bei L e o n a r d o eigentümliche, wenn es sich um die rechnerischen und geometrischen Gebiete handelt. In bezug hierauf verdient indessen hervorgehoben zu werden, daß L e o n a r d o besonderes Gewicht auf die praktische Arithmetik gelegt hat, während sich die Algorithmiker des Mittelalters sonst mit diesem Gegenstände weniger beschäftigten.

Übrigens gibt es auch einen anderen Umstand, der dazu beiträgt, die Gegensätze zwischen L e o n a r d o und den anderen Mathematikern des christlichen Mittelalters besonders ersichtlich zu machen. Der Zweck, den L e o n a r d o durch seine zwei Hauptwerke verfolgte, war offenbar, eine Enzyklopädie der Mathematik zu bearbeiten, während z. B . S a c r o b o s c o ,

B r a d w a r d i n und O r e s m e für einen ganz anderen Zweck literarisch tätig waren. Dadurch erklärt es sich, warum in vielen Fällen der Stoff bei L e o n a r d o von dem der anderen so verschieden ist.

, Zum Schluß erlaube ich mir, die hauptsächlichsten Resultate der vorangehenden Untersuchung auf folgende Weise zusammenzufassen:

1. Man kann freilich von einer mathematischen Schule der Universitäten im christlichen Mittelalter sprechen, aber es ist kaum möglich, diese Schule

1 ) Siehe G. E n e s t r ö m , Über die „Demonstratio J o i w a n i de algorismo“; B ib lio th . Mathem. 7 ,3, 1906, S. 32.

2) Tg!. H. S u t e r , Über das Bechenbucli des A u bf .k A u m e i , e l - N a s a w i ; B ib lio th . Mathem. 7 .3, 1906, S 117.

Uber zwei angebliche mathematische Schulen im christlichen M ittelalter. 261

2 6 2 « „ OW -

ntter tu c h a r a k t e r i s i e r e n , sofern m a n sich nicht auf das rechnerische

* 1 . christlichen

: : f " t f l e: 3 « « * ^ * >“geschrieben. ^ ^ maftematlsche Richtung

,f Gr und sein“ eingehenden Bekanntschaft mit dem Stand der arabischen Mathematik am Enle des 12. Jahrhunderte hat aber keine wirklichen Nachfolger im christlichen Mittelalter gehabt.

G. E n e s t r ö m : Die geometrische Darstellung imaginärer Größen b e i Wallis. 2 63

Die geometrische Darstellung imaginärer Größen hei Wallis.Von G. E n e s t r ö m in Stockholm.

Es ist eine wohlbekannte Sache, daß sich W a l l i s in seiner Algebra mit der Versinnlichung imaginärer Lösungen von Gleichungen zweiten Grades beschäftigt hat, und zwar in den vier Kapiteln 66— 69 Q, die die Überschriften tragen: „Of negative squares, and their imaginary roots in algebra“; „the same exemplified in geometry“; „the geometrical construction accommodated thereunto“; „other geometrical constructions thereunto relating“. Dagegen scheint es fast, als ob kein Historiker der Mathematik sich der Mühe unterzogen hätte, diese vier Kapitel wirklich durchzuarbeiten. Freilich haben die Herren I. T i m t c h e n k o 2) (1892) und W. W. B e m a n 3)

(1897) ziemlich ausführliche Auszüge aus diesen Kapiteln veröffentlicht, aber in den Auszügen fehlen die Figuren und Erläuterungen sind nicht hinzugefügt, so daß es kaum möglich ist, daraus auszufinden, inwieweit es W a l l i s wirklich geglückt ist, imaginäre Größen geometrisch darzustellen. Was man aus den Auszügen ersieht, ist eigentlich nur, daß W a l l i s die reellen Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch Punkte auf einer gewissen Gerade, die imaginären Wurzeln dagegen durch Punkte außerhalb der Gerade darstellte, und daß er sich dabei eines Verfahrens bediente, das an Addition von Vektoren erinnert. Noch weniger Auskunft über die Fragen bringen die kurzen Bemerkungen, die ich in anderen mathematisch-historischen Arbeiten gefunden habe4).

1) J. W a l l i s , A treatise of algebra both historical and practical, London 1685, S. 264—273. — J. W a l t .i s , Opera mathematica II, Oxford 1693, S. 286—295.

2) I I . T iiM 'ieH u o , OcHOBaiiia Teopia aiia.uiTjniecKHx'r, (JjyHicjjjH. 1. IIcT O prnecida CB'IsjybHia

o paBBHTffl rioHHTifi n mctojobT) jieacamEXT. bt> ocHOBaiiin Teopin aHa.iHTHaecKHXT) (pyHKuifi. Tom b 1. Sannciai MaxeMaxnsecKaro OTjyhjienia HOBopoceificitaro oöinecraa ecTecTBOHcnHTaTeieS 12, O jecca 1892, S. 107—170.

3) W. W. B e m a n , A chapter in the history of mathematics; P ro ceed in g s of the A m erican asso c ia tio n for th e advancem en t of science 46, 1897, S. 35 —36; vgl die Übersetzung in L’en se ig n em en t m athem . 1, 1899, S. 164—167.

4) Siehe z. B. D. E S m ith , History of modern mathematics in „Higher mathematics“, New York 1896, S. 515: „The idea of the graphic representation of complex


2 6 4

, Vi„Vl;in(i el t W a l l i s die Yersinnlicliung imaginärer Wie schongesag, ' ^ ^ 6ß Kapitel bezieht eich eigent-

Großen in den 66. ^ solcber Größen, sondern darin

11 m b erkt daß als die mittlere Proportionale zwischenwird nur heme Am Anfange des 67. Kapitels ver-- b und c aufgefaßt werden Kan prop0rtionale, indems ü m l i c h t W a l l i s ^ometrisc^ eme ^ ^ K r e i s e zieht, dessen

er vom Punktey und der die Achse in den PunktenDiese Tangente macht offenbar mit der

X-Achse einen Winkel - arc sin ^ und ihre Länge ist V&, Indessen

ist diese Versinnlichung1) von wenig Interesse, denn teils ersieht man daraus nicht, wie eme imaginäre Größe von der Form c■ + *, konstruierwerden soll, teils folgt aus der Konstruktion, daß V 1 je d m un auf der Peripherie eines Kreises mit dem Halbmesser 1 darstellen kann, mit Ausnahme der zwei Schnittpunkte des Kreises und der X-Achse.

Man hat nämlich für jedes k identisch 1 = fc • p and man kann folglich

nach dem W a l l is sehen Verfahren V - l so konstruieren, daß man vom

Punkte x== — \ aus eine Gerade zieht, die mit der X-Achse den W inkel

i aarc sin ___ * macht, und auf dieser Gerade eine Strecke = 1 absetzt.

& + AHierbei hat man aber keinen Anlaß, irgend einen besonderen W ert von li vorzuziehen.

Viel interessanter sind die folgenden Absätze des 67. Kapitels, wo W a l l i s versucht, eine Größe von der Form a + bi geometrisch darzu-

numbers had appeared, however, as early as 1685, in W a l l i s ’s De Algebra tractatus“ (vgl. unten S. 269 Fußnote 1). — Essai sur la représentation analytique de la direction par C a sp a h W e s s e l . Traduction, Copenbagne 1897, S. III: „Déjà vers la fin du 17e siècle, W a l l i s a essayé de donner aux nombres imaginaires une signification réelle“. Dagegen behauptet Herr M. C a n t o r noch in der zweiten Auflage seiner Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (3, Leipzig 1901, S. 726), daß II. K ü h n (geboren 1690) der erste gewesen ist, der einen Versuch machte, die imaginären Zahlen zu versinnlichen, was ja bedeuten muß, daß W a l l i s nach der Ansicht des Herrn C a n t o r nicht einmal einen Versuch in dieser Hinsicht gemacht hat. Die Erklärung dieses auffälligen Umstandes bietet wohl eine Bemerkung auf S. 728 des zitierten Bandes der Vorlesungen, woraus hervorzugehen scheint, daß Herr C a n t o r nur das 6 6 . Kapitel der W a l l i s sehen Algebra gelesen hat.

1) Vgl. hierüber A. M a c f a r l a n e , The imaginary of algebra; P ro ceed in g s of the Am erican assoc ia tion for the advancem ent of science 41, 1892, S. 38.

Die geometrische Darstellung im aginärer Größen bei Wallis 2 6 5

stellen, und ich gehe zuerst die wichtigsten Stellen derselben wörtlich wieder.*)

Suppose now (for fu rth er Illustra tion) A T riang le stan d in g [Fig. 1 ] on the Line A C (of indefinite len g th ;) whose one Leg A P = 20 is given; together w ith (the Angle P A B , and consequently) the H eight P G = 12 ; and the leng th of the o ther Leg P B = 15: By which we are to find th e len g th of th e Base A B . Al

B u t if we shall Suppose, A P = 20, P B = 1 2 , P C = 15, (and therefore A C = 175:) W hen we come to Subtract as before, the Square of P C (225,) out of the Square P B (144,) to find the Square of BC , we find th a t cannot be done w ith o u t a N egative R em ainder, 144—225 = — 81.

So th a t the Square of P C is (indeed) [Fig. 2] the Difference of th e Squares of P P , P C ; b u t a defective D eference; ( th a t of P C proving th e g rea te r, w hich was supposed th e Lesser; and the T riang le P P C , R ectan- gled, not as was supposed a t C, b u t a t P :) And

therefore B C — V — 81.W hich gives indeed

(as before) a double value

o f 4 P , V l75, +V — 81, a n d V l7 5 ,— V — 81: B u t Fig. 2.such as requ ires a newIm possibility in A lgebra. — — — — — — — — — •— — — ■— — — — — —

Y et are there Two P o in ts designed (out of th a t L in e , b u t) in th e sam e P la in ;to e ither of which, i f we draw th e Lines 4 P , P P , we have a T riang le; whose Sides I P , P P are such as were requ ired : A nd th e Angle P A C , and A ltitude P C , (above AC , though n o t above 4 P , ) such as w as proposed ; And th e Difference of Squaresof P P , P C , is th a t of C P .

This I have the m ore la rge ly in sisted on, because th e N otion (1 th ink ) is new ; and th is , the p la inest D eclaration th a t a t p resen t I can th in k of, to explicate w hat we commonly call th e Im aginary Boots of Q uadratick Equations.

Es handelt sich also hier um die Konstruktion eines Dreiecks, wenn zwei Seiten m, n und der Gegenwinkel p der Seite m gegeben sind. Berechnet man die Länge der dritten Seite, wird das Resultat

n cos /.I + Vm2 — n2 sin2 p, und wenn n sin p > » i , so ist diese dritte Seite imaginär. In diesem Falle konstruiert W a l l i s die Seite auf folgende Weise. Er nimmt A C = n cos u, zieht vom Punkte C aus eine Gerade, die mit der Verlängerung von A C

den Winkel &/ = arc cos— ~— , bzw. = n — arc cos — ?— bildet, und n sm fi n sin y

1 ) W a l l i s , a. s. 0. S. 266—268.

„immt auf dieser Gerade eine Strecke A C = *die « su ch t, Sette. Seist man jetzt „ c o s „ - « , V -; ■ ~

• 1 / 1 W2so ist die zu konstruierende Größe 0 ± bi und <p = arc sm }, w2 gin2 ^

. & , „ _ _ qrc sin -— . Folglich ist nach W a l l i s= ■ » sm ¡ T tT i’ bzw- = _ a tg " . 6A B — a + bi, wenn A C — a, B C — b, f \ or. C B arc sin a ^ //

muß > arc tg \ sein, kann aber sonst nach Belieben gewählt werden.

Es ist offenbar, daß W a l l i s durch diese Konstruktion wirklich einen Versuch gemacht hat, imaginäre Größen von der Form 0 + ^ vermi eist Addition von Vektoren geometrisch darzustellen, und daß die Darste ung

für fl = arc tg - in die G a u s s sehe übergeht. Dagegen sieht man sofort,

daß sein Versuch nicht besonders gelungen ist. Zuerst benutzt er für

die Darstellung von a — bi den Winkel (p = n arc sin a ^ ^

im Spezialfalle p = arc tg | sowohl « + bi als a - b i durch denselben Punkt

repräsentiert werden, was ein großer Übelstand ist. Kaum geringer ist der Übelstand, daß nach dem WALLisschen Verfahren a + bi + a + b t im allgemeinen nicht = 0 + a' + (6 + V )i wird; ja nicht einmal die Gleichung a + b i + a + b i = 2 a + 2 b i findet im allgemeinen statt, denn auch wenn ci und b gegeben sind, kann p und folglich (p verschiedene Werte haben. Hierzu kommt noch derselbe Übelstand wie bei der ersten Darstellung, nämlich, daß 0 + bi jeden nicht reellen Punkt auf der Peripherie des Kreises mit C als Mittelpunkt und b als Radius darstellen kann.

Den letzten Übelstand ha t W a l l i s versucht durch eine dritte Kon-ya 2 _ j_ ¿ 2

struktion zu beseitigen, wo in der Tat p den W ert arc tg — - hat;

freilich bezeichnet W allis nicht diese dritte Konstruktion als einen Spezialfall des zweiten, sondern als eine selbständige Konstruktion. Er äußert sich dabei auf folgende W eise1):

The Geometrical Effection, therefore answering to this Equation an + />«-)- (C = 0 , (so as to take in both cases at once, Possible and Impossible; that is, whether \b b be or be not less than ce;) may be this.

On AC a = b, bisected in C, erect [Fig. 3, 4] a Perpendicular CP — yjar. Andtaking PB = \b make (on whether Side you please of CP,) PBC. a R e c t a n g l e d

Triangle. Whose Right Angle will therefore be at C or B, according as PB or


26G

1) W a l i . i s , a . a . 0. S. 268—269.

Die geometrische Darstellung im aginärer Größen bei Wallis. 267

P C is b igger; an d accordingly, B C a Sine or a T angen t (to th e R adius P B ,) term inated in PC.

The S tre ig h t L ines A B , B a are the

two values of a. B oth Affirm ative if (in th e E quation ,) i t be — ba: B oth negative,if ba. W hich values be (w hat we call) R eal, i f th e R ight-A ngle be a t C: B utIm aginary if a t B.

Es handelt sich hier im zweiten Falle um die Konstruktionder imaginären Größe AC + i )P C 2 — A C 2. Setzt man A C = a,fP C 2 — A C 2 — BC = b, wird der Winkel a CB für a + bi gleich

arctg — und der Winkel A C B für a — bi gleich n — arctg—. Die dritte Kon- ° a ° ° a

struktion fällt folglich mit der zweiten zusammen, wenn man arc tg — statt

arc sinya2 _i_ h2

setzt, d. h. wenn tg p. = — . Im Vorübergehen mache

ich auf den Umstand aufmerksam, daß W a l l i s durch einen merkwürdigen Zufall gerade den Winkel benutzt, der hei unserer Darstellung der komplexen Größen unter der Normalform vorkommt. Auch in betreff dieser Konstruktion gilt indessen die Bemerkung, daß im allgemeinen

nicht a -f- bi + a + Vi = a + a + (b + b')i- nur wenn ^ == jy ist die

Formel anwendbar. Ebenso sieht man sofort, daß für a = 0 die Darstellung von bi mit der G a ü S S sehen identisch wird, daß aber in diesem Falle — bi denselben Punkt als bi repräsentiert.

Im 6 9 . Kapitel gibt W a l l i s noch viele andere Konstruktionen imaginärer Größen an, aber die meisten sind entweder Modifikationen der schon erwähnten oder ohne Interesse; beispielsweise wird einmal die Größe Vl — x2 für x <ü 1 als Ordinate des Kreises x 2 y = 1, für x )> 1 dagegen als Ordinate der Hyperbel x2 — y 2 — 1 dargestellt. Nur eine einzige Konstruktion verdient hier angeführt zu werden1). Diese bezieht sich auf die Wurzeln der Gleichung aa — ba — ce = 0 und wird von W a l l i s selbst mit folgenden Worten angegeben, nachdem er [Fig. 5] AC=C<x. = \ b gemacht und auf A a einen Halbkreis gezeichnet hat:

1) W a l l i s , a. a. 0. S. 270.

T hough V« (if g rea th er th an \ b) cannot lye as a

^Sine . w ith in the Sem icircle, in th e sam e P la in : Y et if on the Sem icircle, we suppose a C ylinder to he

e rec ted , whose h e ig h t shall be T P = V : \ bb -f- <e:

(or y . _ a , th e R oot of a N egative Square :) CP

^ V “ = 1 / « shall be (in th a t Cylinder,) a S lope-L ine; whoseFig-5- Ground-Line shall be C T = \ b . A nd th e Square of

T P , the m easure of the Im possib ility .

Setzt man hier \ b = I, ™ hezieht sid l difW a l l i s sehe Konstruktion auf Je + l e i und sein Verfahren ist we sent ic folo-endes Er versetzt stillschweigend den Nullpunkt der reellen Werte nach C und betrachtet als Gerade der reellen Punkte die Senkrechte in C auf An. Ferner nimmt er auf dieser Senkrechte eine Strecke CT = k, zieht durch CT die Vertikalebene und in dieser Ebene eine Senkrechte in T auf CT und nimmt endlich auf der letzten Senkrechte die Strecke T P = Je. Dann ist nach W a l l i s CP = Je Je i.

Es ist offenbar, daß diese Darstellung wesentlich mit der GAUSSschen zusammenfällt. Der Unterschied ist nur, daß sich W a l l t s nicht der Horizontal- sondern der Vertikalebene bedient. Wie man auf diese Weise lc — lei darstellen kann, sagt W a l l i s nicht, aber da ihm unsere Darstellung negativer reeller Größen geläufig war, hätte er wohl leicht findenkönnen, daß Je — Je i durch einen Punkt unterhalb der Horizontalebene dargestellt werden sollte. Dagegen hat er den Wert seines Verfahrens nicht verstanden, denn er erwähnt dasselbe nur ganz beiläufig und fügt hinzu, daß es nur wenig von einem vorangehenden abweicht, das eine Darstellung in der Horizontalehene bietet und wesentlich mit der zweiten der oben angeführten Konstruktionen identisch ist.

Aus der vorangehenden Untersuchung findet man:1. daß W a l l i s wirklich versucht hat, imaginäre Größen1) durch

Addition von Vektoren geometrisch darzustellen;2. daß seine Darstellung rein imaginärer Größen von der Form -f- bi

mit der GAUSSschen identisch ist;3. daß seine Versuche Größen von der Form — bi in der Horizontal

ebene darzustellen, nicht geglückt sind, weil er nur Punkte o b e rh a lb der Gerade der reellen Werte in Betracht zog;o '

4. daß seine Versuche imaginäre Größen von der Form a + b i in der Horizontalehene darzustellen auch nicht erfolgreich waren. Dagegen<_) o o

1) E igentlich bezieht sich W a l l i s ’ geom etrische D arste llu n g n u r a u f Q uadratwurzeln negativer Größen und im aginäre W urzeln von G leichungen zw eiten Grades, aher W a l l is h a t selbst in seiner A lgebra (S. 278) hervorgehoben, daß bei der Lösung von Lleichungen höherer Grade keine anderen im ag inären Größen au ftre ten .

G. Eneström.268

hat er eine Darstellung in der Yertikalebene angegeben, die weiter entwickelt mit der G a u s s sehen zusammenfällt1), aber d ie s Verfahren ist nur im Vorübergehen erwähnt, und gar nicht verwertet.

Vergleicht man die WALLisschen Versuche mit dem v o n H. K ü h n 2)

etwa 70 Jahre später veröffentlichten, so sind jene entschieden die belangreichsten, und sie hätten ohne Zweifel, als Ausgangspunkt benutzt, sehr leicht an die von W e s s e l , G a u s s und A r g a n d erfundene Darstellung komplexer Größen führen können. Indessen hat man keinen Anlaß anzunehmen, daß irgend einer dieser Mathematiker von W a l l i s beeinflußt war.

1) Die B em erkung des H errn D. E. S m i t h a. a. 0 . S . 516, daß „ W a l l i s had

suggested th e idea , th a t 4- V — 1 should rep resen t a u n it lin e , and its negative, perpendicular to th e real a x is“ ist also n ich t u n rich tig , h eb t aber einen U m stand besonders hervor, w orauf W a l l i s kein G ewicht leg te , näm lich daß die R ich tung der rein im aginären Größen senkrech t gegen die reelle Achse is t , und die Bem erkung kann darum leich t irre le itend werden.

2) H. Kühn, Meditationes de quantitatibus imaginariis construendis et radicibus imaginariis exhibendis; N o v i c o m m e n t. a c a d . sc. P e t r o p . 3 (1750/51), gedruck t 1753, S. 170—223. Vgl. h ierü b er M. C a n t o r , a. a. 0 . S. 726—728.

Die geometrische Darstellung im aginärer Größen bei W allis. 2 69

270Gino Lokia.

Gurve piane speciali nel carteggio di 0. Huygens.Di Gino L okia a Genova.

Le numerose citazioni di lettere scambiatesi nel periodo 1638— 1684 fra C H u y g e n s ed i più eminenti matematici del suo tempo che si trovano nella mia opéra Spezielle algebraische und transscendente ebene Kurven (Leipzig, 1002) G. fa nascere la fiducia clie anche gli nltimi due volumi2) délia corrispondenza di quel grande possano sommmistrare qualche ulteriore notizia sulla storia di quelle figure. Taie fiducia appare tanto più giustificata ove si rifletta che durante l’ultimo periodo délia vite del sommo olandese — quello cioè che corre fra la pubblicazione del Iraite de la lumière (1691) e la deplorata sua morte (1695) egli si disinteressô dalle ricerche di astronomia e fisica, che tanta luce di gloria avevano su di lui projettata, per consacrare tutte le forze del suo ancor robusto intelletto ai nuovi calcoli, dei quali L e ib n iz e N e w t o n , col concorso di eminenti discepoli, stavan allora dimostrando, sopra memorabili esempi, lo straordinario potere. Di tali nuovi metodi egli non fu un ammiratore délia prima ora; ma, convintosi in prosieguo di tempo del loro mdiscuti- bile valore3), si dimostrô capace di usarli con avvedutezza ed originalità, almeno nei casi m cui entrano soltanto differenziali primi4), onde in

1) Indicheremo in seguito questo volume coll abbreviatura Ebene Eut l'en.2) Oeuvres complètes de Curistiaan I I vi'gens publiées par la société hollandaise

des sciences. T. IX. Correspondance 1685—1690 (La Haye 1901). T. X. Correspondance 1691—1695 (La Haye 1905). Questi volumi verranno da noi citati coi soli numeri IX e X.

3 ) „ . . . j ’ay fait quelque progrès dans les subtilitez géométriques et dans votre excellent calcul différentiel, dont je goûte de plus en plus l’utilité“. Lettera di H u y g e n s a L e i b n i z del 17 Settembre 1693 (v. X, p. 510).

4) „J’admire de plus en plus la beauté de la geometrie dans ces nouveaux progrès qu’on y fait tous les jours, ou vous avez si grande part, Monsieur, quand ce ne seroit que par votre merveilleux calcul. M’y voilà maintenant médiocrement versé, si non que je n’entens rien aux ddx, et je voudrois bien savoir si vous avez rencontré des problèmes importants ou il faille les employer, afin que cela me donné l’envie de les etudier“. Lettera di H u y g e n s a L e i b n i z del 17 Settembre 1693 (X, p. 511). In conseguenza un’ asserzione di Z e u t h e n ( Geschichte der Mathematilc im XVI. und X V I I . Jahrhundert, Leipzig, 1903, p. 47) sembra esigere qualche modificazione.

Curve piane speciali 110I carte^gio di C. Huygcns. 271

qualunque storia del ca lcó lo infin itésim ale un parágrafo im portante dev’essere dedicato ai proced im enti su ggeriti od ap p licati da H u y g e n s per eseguire quadrature od integrare equazion i differenziali, le une e le altre co llegate a problem i di geom etría.

Molte delle questioni da lui trattate concernono la determinazione di curve dótate di assegnate proprietá delle tangenti (v. T. IX, p. 473, 517, 532, 536, 54!), 555, 573 76; T. X, p. 50, 56, 58, 60), mentre altre hannopeí fine la determinazione delle aree di cubiche, quartiche e sestiche speciali. Inoltre una folla variopinta di osservazioni toccano curve particolari gia note e di esse ci piace dar qui più precisa notizia, a complemento di quanto si legge nell’ opera succitata.

1. Fogliíi di D e s c a r t e s . La questione (v. Ebene Kurvcn p. 5) di chi per primo abbia esattamente delineata la curva di equazione cartesiana x3 + y 3 = n x y , sembra risoluta dalla lettera diretta da H u y g e n s al márchese de I’H ô p i t a l il 29 Dicembre 1692, ove trovasi (X, p. 352) la figura qui riprodotta, accompagnata (ivi p. 351 — 352) dalle seguenti parole: „Mr. D es C a r te s en parle comme si elle avait plusieurs feuilles, quoy qu’elle n’en ait qu’une, comme dans cette figure est AB C H, son trait continuant en AK, AL, le long de l’asymptote E F G , perpendiculaire au diamètre CA, prolongé d’un tiers A F.“ Taie ossevazione parve nuova ed intéressante al I’H ô p i t a l , il quale nella sua risposta, in data 12. Febbrajo 1693, soggiunse (X, p. 390) che 1’ errore di D e s c a r t e s puè rendersi palese osser- vando che l’equazione y 3 — axy + ir 3= 0 , considerata come una equazione di terzo grado in y, ammette una o tre

radici reali secondo che x — 1MCO rLa surriferita osservazione venue in dominio del pubblico grazie ad una

lettera diretta da H u y g e n s a B a s n a g e d e B e a u v a l e da costui pubblicata nel Fascicolo Dicembre 1692—Gennajo e Febbrajo 1693 delT H istoire des ouvrages des savants (v. X, p. 407 —417, specialmente p. 417), lettera in cui (corne in quella già citata diretta ail’ H ô p i t a l ) H u y g e n s ha di più indicata la quadratura délia curva di cui si tratta; ecco corne egli si esprime: „Je trouve le contenu de feuille A B C H égal à 1/6 nn ou 1/6 du carré du diamètre AC- et l’espace infini des deux costez entre A K , A L et l’asymptote, encore de la mesme grandeur“ (X, p. 351). E nella

G i n o L o r i a .

2 7 2

, t• i.iv h ô p i t a l questi afferma di avere ottenuta, „par pur succitata rep quadratura indefinita della foglia

_ f t ne s’imagineroit paS ,ue" 1 d“ une quadrature » reguliere et si simple. Celle cette couro seaments Testant de mesme, qui s’exprime parqui es genera . p » occ„parsi di tali problemi Hüygens

studiando , metod, di quadrature inrentati da F e S ' > ) , il quale anz, arera a ffe r m é ) la quadrabü.ta délia eurva m esanie In qua e modo poi H e y o e n s abbia proceduto per giungere a que,

s Itati e, apprend« da un internante brauo degh „Adrereana“ (raecolta di appunti di H ijy g e n s ) iutitolato „21. Nov. 1692 bane e tenebn. eru. quadraturam“ e pubbbcato in appendiee aile letter«, d. eu, » — teste occupati (X p. 374-380). Di queste sue scoperte H u y g e n s diede notizia a L e ib n iz con lettera del 12 Gennajo 1693 (X, p. 383—389; y. specia- mente p. 388*)); esse fecero una profonda impress!one sopra 1 emuLo di N e w t o n il quale non esitô a dichiararle (lettera del 10/20 Marzo 1693; v X p 429) „extrêmement belles“ e fu tentato di trovarne per conto buo una formola di quadratura indefinita. HuYGENS credette di scopnre in tale formola un errore4), cbe si affrettô a segnalare al marcbese de T H ô p i t a l con lettera del 9 Marzo 1693 (y . X, p. 437—438); piu tardi perd si accorse del proprio torto e lo dichiarô tanto ail H ô p i t a l (letteradel 10 Settembre 1693; X, p. 499), quanto a L e i b n i z medesimo (letteradel 17 Settembre 1693; X, p. 510).

R iguardo ai tre m etodi usati da ll’ H ô pita l ( y . p iù sopra) per quadrarela fo g lia , due di essi sono esp osti per esteso n e lla le ttera ad H u y g e n s del 2 L uglio 1693 (v. X, p. 452); e p o ich è sono di n o tev o le e legan za e, a differenza di quelli o g g i preferiti ’), r iposano su ll’ uso , n on d i coordinate polari, ma di coordinate cartesiane, c i sia lec ito riterirne 1 essenza con

sim boli m oderni:

1. Dali’ equazione%3 + y 3 = axy ,

difterenziando e poi m oltip licando per y si ottiene3 x2y d x + 3 y 3d y = a x y d y + a y 2dx\

1) Alludesi qui ail’ opuscolo postumo De aequationum localium transmutatione et emendatione.

2) Oeuvres de F e r m â t , éd. T a n n e r y et H e n r y . T. I, p. 276 e T. III, p. 276.3) Y. a n c h e L e ib n iz e n s Matheviatische Schriften, ed. G k r h a r d t , II. Bd., p. 1 4 8 —1 5 3 .

4) V. un commento a quel passo délia lettera di L e i b n i z pubblicato in X, p. 432 nota 14).

5) V. p. es. S k r r e t , Calcul intégral (H éd.; Paris 1 8 8 0 ) , p. 234—236; P. M a n s i o n ,

Sur certaines courbes carrables algébriquement (Nouy. eorresp . m athém . 1, 1878)-

Curve piane speciali nel carteggio di C. Huygens. 273

e da questa, surrogando i f col suo valore axy — x3,ml r = ay‘‘dx ~ Zaxydy xdy -)- ydxJ 6 » 2 2

Ognuno dei termini al secondo membro essendo un diff’erenziale esatto, si conclude

2. Alle J si sostituisca nell’ equazione della curva la z definita dalla relazione

z x~

e si otterra„ ahz — a6

Ora si differsnzi e si avràa 2 z 3 a6 — 2 a6z ,6xLdx = j dz,*

ossiaa ^ j o a d c\ q d z3 —— dx = 3 a 4 —----- 2 a 3

r t2 Z 3 Z !

ondeI a x 2 x*

j" y d x = 2- |3 y 2 y-

Sul terzo dei suoi m etodi di quadratura I’H ô pital d ice so ltan to d ie riposa sulT in troduzione com e n u ov i assi delle b isettr ic i d eg li an goli form ati dagli antichi.

N ella sua risposta , in data 23 L u glio 1693 (v. X, p. 461) H u y g e n s chiese sp iegazione su ll’ essere, com e afferm é I’H ô p i t a l (y. sopra),

aydx — 2 axydy , / ay26 * 2 V 6 x

propose una correzione all’ ultima formola comunicatagli dal suo abile corrispondente e cbiese ulteriori particolari sul terzo metodo di quadratura della foglia. Ma poco dopo (v. lettere del 5 Settembre e del 3 Ottobre 1693; X, p. 474 e 491) riusci a rendersi ragione di quella formola ed a riconoscere l’esattezza anche di quell’ ultimo risultato. E per quanto concerne il terzo dei procedimenti usati dall’ H ô p i t a l per quadrare la foglia, tutti i desiderabili particolari del relativo calcolo si trovano nella lettera del 25 Novembre 1693 (X, p. 566; cfr. anche un passo della lettera ad H u y g e n s del 18 Gennajo 1694; X, p. 580).

A ltri m etodi di quadratura della fo g lia dovuti al d e V o l d e r , professore a L eida , si apprendono pure n e l cartegg io che stiam o studiando (v. lettera di H u y g e n s a ll’ H ô p i t a l del 16 G iugno 1694; X, p. 623, 630 e 637); anche ta li m etodi, com e l ’u ltim o di q u elli d e ll’ H ô p i t a l , p o g g ia n o

Bibliotheca Mathematica. III. Folge. V lf. 18

\ z ± t , che D e s c a r t e s aveva p osta m m oda,su lla so s ti tu z io n e X, y —

Gino Lokia.274

u Q aiQTiiita con R o b e r v a l (Ebene Kurven p. 5o). - t S Î Â C O - » « a fine dal Seco.o XVII la questione di quadrare la foglia di D e s c a r t e . , era omar nsoluta de-

finitivamente ed in vari modi.2. Versiera e(l Iperrersiera. L’equazione {Ebene Kurven p. 6)

della versiera s. trova g il in F e r m a t - ) sotto la forma B e ,,,» E + B,j in E, cioè2) + »*«1 » “ e curTa u ‘»'o-ano a p p lie d il suo método di quadratura e concluse esser 1 are. totale

d X curva nota quand» lo sia quells del cerebro Ora appunt commentando le idee dr F e r m a t , in un lavoro postumo (X p. 3b4 3rd),H u y g e n s (v. X p . 3 7 0 - 3 7 1 ) ha, non soltanto confermato tale conclusione,ma l’ha precisata, trovando quell’ espressione dell’ area compresa fra laversiera ed il proprio asintoto a cui cosi fácilmente guida il calcólointegrale (v. Ebene Kurven p. 76—77). Emerge da cio che, per quanto concerne la quadratura délia versiera, la priorità non puo essere, col V a c c a 4) , attribuita a G u id o G r a n d i , ma dev’ esserlo a F e r m â t edH u y g e n s 5).

Analoga alla versiera è la curva avente la seguente equazione

J a£ — xne è fatta menzione nella lettera scritta da H u y g e n s a L e i b n i z il 6 Febbrajo 1691 (v. X, p. 10) e prima nel celebre Discours sur la cause de la pesanteur, letto dinnanzi ail’ Accademia di Parigi il 28 Agosto 1669ö). Scritta quell’ equazione sotto la forma

l i a 2 . a2 1y = ¥

si vede che la curva da essa rappresentata puô riguardarsi corne la „übre moyenne“ (Ebene Kurven p. 710) dedotta dalle due iperbole

y (a ± x) = a2.È notevole pero che quella curva si pub ottenere applicando ail iperbola equilátera

1) Oeuvres de Fermât T. I, p. 279. — 2) Id. T. Ill, p. 233. — 3) Oeuvres 11. cc.4) G. V a c c a , Sulla versiera (Bollett. di b ib lio g r. e s to r ia de lle sc. mat. 4,

1901, p. 3 3 - 3 4 ) .5) Riguardo alla quadratura délia „versoria“ di G. Ghandi si vegga anche il

dotto volume di P. F e r r o n i , De calculo intecjralium exercilatio mathemalica (Florentiae 1792), p. 182 e seg.

6) Cfr. IX, p. 96.

Curve piane speciali nel carteggio di C. Huygens 275

— x2 - y 2 — ay = 0 quella costruzione che, applicata al cerchio

x 2 + y 2 — a y — o,conduce alia versiera (.Ebene Kurven p. 76). Percio quella curva si potrebbe convenientemente cbiamare iperversiera.

3. Logarítmica e Logística. Lo studio degli scritti di H u y g e n s nei quali si trovano enunciate o dimostrate le più insigni proprietá della curva

X

y — bea(cioè il surricordato Discours sur la cause de la pesanteur ed il Traite de la lumière) indussero il márchese de I ’H ô p i t a l a tentare la rettificazione della logaritmica e cosi giunse ad un risultato che si affrettd a comunicare ad H u y g e n s con lettera 26 Luglio 1692 (v. X, p. 305). L’enunciato datone da I ’H ô p i t a l contiene un „lapsus calami“, che H u y g e n s non manco di rilevare (lettera del 27 Agosto 1692; X, p. 307) e che 1’H ó p i t a l si affrettó di correggere (lettera del 10 Settembre 1692; X, p. 312), indicando in pari tempo una nuova forma del suo teorema e la relativa dimostrazione. L’interesse di H u y g e n s per siffatte indagini è attestato dalla successiva sua lettera ail’ H ô p i t a l (in data 22 Ottobre 1692; X, p. 325), ove leggesi la notizia che egli applied il método usato da I ’H ô p i t a l al calcolo dell’ area generata dalla rotazione della logaritmica attorno al proprio asintoto e che inoltre trovó il massimo della curvatura della linea in questione. In quai modo egli vi sia pervenuto è completamente indicato in due brani, datati dall’ Ottobre 1692, ma solo ora pubblicati (X, p. 330 e 333), nei quali è dimostrato che l’area generata dalla rotazione della curva attorno al suo asintoto è espressa da

Jtb ]/a2 + b2 + na2 log - ~¡r a ^

3 l/iTe che il massimo del raggio di curvatura è a, risultati di cui è assai agevole rendersi conto coi procedimenti moderni.

Un’ altra procedura per rettificare la logaritmica leggesi in una lettera dell’ H ô p ita l, in data 23 Novembre 1692 (X, p. 342—34 4 )’), ove inoltre è indicata l ’espressione generale seguente pel raggio di curvatura di quella linea

K + y 2)1a y

Notiamo da ultimo che uno dei metodi di rettificazione dell’ H ô p i t a l

consiste nel ridurre tal problema alla quadratura della curva di equazione

1) Y . a n c h e la l e t t e r a d e l l ’ H ô p it a l a L e ib n iz p u b b l i c a t a d a G e rh a rd t n e l T . I I d i LeiBNizENs Mathematische Schriften, p . 217.

18*

2 7 6 Gino L o r i a .

a6 = a2x2y 2 + x2yi ora in una lettera resa di pubb lica rag ione di H u y g e n s a B a s n a g e d e B e a u v a l e che g ià citam m o (v. X , p. 407), H u y g e n s riduce invece la

detta questione alia quadratura della curvaai — x2y 2 — a2y 2,

in un modo cbe è oggi noto, grazie ad un brano inédito di recente pubblicato (X, p. 358—360).])

4. Curve d i D e b e a u n e . Gli è nella lettera ad H u y g e n s del 10 Settembre1692 (X, p. 312) cbe il márchese de I’H ô p i t a l annuncio di avere risoluto il noto problema che D e b e a u n e aveva proposto a D e s c a r t e s (cfr. Ebene Kurven p. 516); ma è soltanto nella seguente lettera del 12 Febbrajo1693 (X, p 391—392) che fa nota la soluzione da lui trovata, cioè, non solo la costruzione délia curva domandata, ma anche la quadratura délia porzione di piano compresa fra un arco di essa, le ordinate degli estremi e l’asse delle x, nonchè il baricentro di tal porzione2). E’ noto che G io v a n n i B e r n o u l l i rivendicô pubblicamente (cioè negliActa eruditorum del Maggio 1693) la paternità di tale costruzione3). Taie fatto trovasi rilevato in una lettera di H u y g e n s del 5 Agosto 1693 (X, p. 476), in risposta alla quale T H ô p ita l in data 10 Agosto 1693 (X, p. 484), dichiara quanto segue: „Lorsque Mr. B e r n o u l l i étoit à Paris il me vint voir et m’ayant dit qu’ils avoient fort travaillé son frère et lui sur l’inverse des tangentes, je lui proposé d’abord le problème de Mr. d e B e a u n e , dont il est vrai qu’il m’apporta la solution quelque temps après qui n’étoit pas beaucoup différente de la mienne que je fis insérer depuis dans le 34e Journal des Sçavants sous le nom de Mr. G***, qui est la Ire lettre de mon nom de baptesine m’appellant Guilleaume et ayant des raisons alors pour cacher mon nom. Il y a apparance que Mr. B e r n o u l l i ayant vû dans votre lettre4) que vous m’attribuyez cette invention et voulant

1) Y. l’analoga riduzione délia quadratura délia curva x 2 y2 — a4 — a2 y2 a quella délia curva x2 y2 — 4a4 — xl, esposta in un brano a p. 541—543 del tomo IX.

2) Cfr. anche la lettera dell’ H ô p i t a l ad H u y g e n s del 12 Maggio 1693 (X, p. 446 —450), ove eziandio si parla di un’ altra questione proposta da D e b e a u n e , cioè délia determinazione délia curva avente per suttangente -— ; tale problema rinviene all’integrazione dell’ equazione differenziale adx = ydy — xdy, che si effettua mediante la sostituzione y — x = z.

3) V. l’articolo Solutio proilematis G a r t e s i o propositi a Dn. de B e a u n e . Va inoltre notato che quello pubblicato dal márchese de I ’H ô p i t a l venne riprodotto in J o h a n n i s

B e r n o u l l i Opera omnia (T. 1, 1742, p. 62—63), accompagnato dalla seguenta nota esplicativa: „Cette pièce a été faite en commun par Mr. le Marquis de T H ô p i t a l et par Mr. B e r n o u l l i . C’est pourquoi l’un et l’autre a crû être en droit de se l’attribuer“.

4) Si allude alla già citata lettera di H u y g e n s a B a s n a g e d e B e a u v a l pubblicata nelT H is to ire des ouvrages des sav an ts 1692 —1693.

(Jurve piane speciali nel carteggio di C. Huygens. 277

avoir part à la gloire qui me paroist très petite, il s’est depesclié de faire mettre dans les actes de Leipsic ce que vous y verrez“. H u y g e n s rispose dichiarando: „Maintenant après ce que vous m’en dites je suis scandalizè, car s'il a esté fascliè de ce qu’aiant donné la solution du Problème de Mr. d e B e a u n e , v o u s n’avez pas fait mention de luy, il pouvoit dire ce qui en estoit, sans faire de superchierie“ (lettera del 3 Settembre 1693; X, p. 494). Ci sia lecito oservare che nelle riferite spiegazioni dell’ H ô p i t a l noi troviano parecchi punti oscuri, onde, allo stato degli atti, non ci sembra potersi ritenere del tutto ingiustificato il reclamo di priorità sporto dal B e r n o u l l i ed indiscutibile il suo torto. Prima di lasciare tali curve noteremo ancora che di esse è fatto cenno nella lettera che L e ib n iz

diresse ad H u y g e n s il 10/20 Marzo 1693 (X, p. 429), in modo pero che questi giudico „exprimé assez obscurément“ nella lettera che diresse al marchese de I’H ô p i t a l il 9 Aprile 1693 (X, p. 438—439), onde fu indotto a „douter si L e ib n iz n’a pas formé cette construction sur vostre première, qui est depuis le mois de Sept, de l’année passée dans le Journal des Scavants“; e, quasi per giustificare tal maligna insinuazione, soggiunge: ,,Monsr. L e ib n i t z est assurément très habile, mais il a avec cela une envie immodérée de paroistre, comme cela se voit encore dans le 13e Journal de la mesme année lorsqu’il parle de son Analyse des infinis“.

5. Curve per le quali è costante il rapporto fra tangente e suttangente. Il problema avente per iscopo la ricerca di tali curve è quel „Problema ab eruditis solvendum“ che G io v a n n i B e r n o u l l i enuncio negli Acta eruditorum del Maggio 1 6 9 3 (cfr. Ebene Kurven p. 520 ). Già nella lettera scritta a H u y g e n s il 2 Luglio dello stesso anno il marchese de I’H ô p i t a l afferma (v. X, p. 454) di essere in grado di risolverlo. La questione interessô subito H u y g e n s (v. la sua risposta in data 23 di detto mese; X, p. 4 6 0 ), sicchè I’H ô p i t a l si affrettè (lettera del 10 Agosto 1693; X, p. 484) a dargli qualche cenno dei risultati ottenuti, in particolare a fargli noto che le curve richieste sono algebriche o trascendenti secondoO Oche quel rapporto costante è o non razionale. Intanto era uscito il fascicolo di Giugno 1693 degli Acta eruditorum contenente l’articolo J a c o b i B e r n o u l l i Solutio problematis fraterni ante octiduum Lipsiam transmissi e di esso H u y g e n s prima segnala l’esistenza ail’ H ô p i t a l

(lettera del 3 Settembre 1693; X, p. 494) e poi gliene dà un succoso riassunto (lettera del 10 Settembre 1693; X, p. 497—499). Ma nella settimana che intercède fra le date di queste due lettere H u y g e n s si occupé per conto suo del problema bernoulliano (cfr. X, p. 500—-508) e di tali studi diede notizia con la nota C. H. Z. De problemata B e r n o u l l i a n o

in Actis Lipsiensibus hujus anni proposito, pubblicata nel fascicolo di Ottobre 1693 degli stessi Acta. Delle indagini del marchese de I’H ô p i t a l

2 7 8 Giko L o r i a .

sopra lo stesso tema si attingono più precise notizie non soltanto in una memoria da lui presentata all’ Accademia francese il 30 Giugno 16931), ma anche in una lettera a G io v a n n i B e r n o u l l i pubblicata nel fascicolo di Setiembre 1693 di quel periódico ed in una indirizzata ad H u y g e n s

il 18 dello stesso mese (X, p. 518—523). Questa provocó alcuni appunti da parte di H u y g e n s (lettera del I o Ottobre 1693; X, p. 534), che furono riconosciuti giusti da colui al quale erano stati rivolti (lettera del 21 Ottobre 1693; X, p. 544). Aggiungiamo che delle curve in discorso H u y g e n s ha scoperte notevoli costruzioni meccaniche (lettera ail’ H ô p i t a l

del 5 Novembre 1693; X, p. 550, cfr. anche p 537) e ne determinó una cúspide (v. X, p 555), risultato quest’ ultimo che il márchese de I’H ô p i t a l

si affrettó a verificare esatto (v. lettera del 25 Novembre 1693; X, p. 565).

Giova qui osservare corne delle curve la cui suttangente y vale

x ± y (la cui determinazione dipende, al pari di quella delle curve di B e r n o u l l i , da un’ equazione differenziale omogenea) si parli più volte nelle lettere che si scambiarono il márchese d ’HÔPiTAL e L e ib n iz ; c o s í nella lettera scritta dal primo il 12 Maggio 1693 (X, p. 448) si legge una costruzione di quella la cui suttangente è = x -|- y- in conseguenza l’altro tentó indarno la costruzione di quelle aventi per suttangente x — y (lettera del 23 Luglio 1693; X, p. 460), di cui perô ottenne la quadratura (v. X, 478—480); taie costruzione fu invece scoperta da I’H ô p i t a l (v . lettera del 10 Agosto 1693; p. 481—482). Le curve ottenute sono sempre trascendenti di natura logaritmiea; esse rappresentano, in certe modo, il caso eccezionale delle

curve definite dall’ equazione differenziale y = olx -f- /?«/, le quali di

regola sono curve binomie (Ebene Kurven p. 267), algebriche od inter- scendenti, tranne quando sia a = 1, ipotesi fatta appunto nei casi studiati da I’H ô p i t a l ed H u y g e n s .

6. Trattrice e Sintrattrice. Il concetto di trattrice viene di consueto (cfr. Ebene Kurven p. 562) fatto risalire ad un medico il quale s’interessava di questioni scientifiche e ne propose la ricerca a L e i b n i z . Ma giustizia impone si avverta che, non solo al concetto, ma anche aile più insigni prerogative di tale curva giunse per conto suo anche H u y g e n s , il quale neir importante sua lettera a B a s n a g e d e B e a u v a l , da noi in parecchie occasioni già citata, la nota come una di quelle „lignes courbes qui ayent cette propriété, que leurs longueur puisse se mesurer d’elles mernes“, ( X , p. 408). Con tali parole H u y g e n s intendeva, in ultima analisi,

1) Solution d’un problème de géométrie que l’on a proposé depuis peu dans le Journal de Leipsic (M ém . d e l ’a c a d . d e s s c i e n c e s 10, p. 234—237). Ivi la soluzione è enun cia ta , m a la d im ostrazione è r im an d a ta ad a ltra occasione.

esprimere il fatto che tanto l’equazione della curva, quanto la sua rettificazione dipendono dalla quadratura dell’ iperhola (cioé da logaritmi); descritta quindi la curva meccanicamente, con un procedimento da luí stesso inventato, ne deriva un modo per quadrare ogni iperhola, donde la ragione per cui egli considerava la curva in questione come una „quadratice dell’ iperhola“.

La via hattuta dal nostro matemático per giungere alie proprietá della trattrice é tracciata in un brano sin qui inédito (X, 418—421), del quale ci sia lecito tradurre in linguaggio analítico moderno i passi piu interessanti.

L’equazione della trattrice essendoI Í a 1 — y ” ,

x = J y dv>si ha

y

j ydx = j y'a* — y 2dy = ~ y ]¡a2 — y 2 + are tg

r isu lta to ch e H u y g e n s e sp r im e a p a r o le p er o tten er e u n e le g a n te m éto d o

di qu ad ratu ra d e lla tr a ttr ice ; in p a r tico la re l ’area co m p resa fra la tra ttr ice

e l’asintoto vale II volume descritto dalla rotazione della trattriceu

é dato da

Curre piane speciali nel carteggio di C. Huygens. 2 79

a

n I V«2 — y 2y d y = 2 n{ai — y-T- 2n d 33 3

— a 0

ta le v o lu m e e , d u n q u e , e g u a le a l q u a d ru p lo d i q u e llo d e lla sfera a v en te

a p er d ia m etro , c o m e afferm a H u y g e n s . II q u a le a g g iu n g e c h e la d eter-

m in a z io n e d e l cen tro d i g r a v ita G d e lla tr a ttr ice d ip en d e d a lla q u adratura

d e l c e r c h io ; ed in fa tt i d e tta g l ’o rd in a ta d i G, in fo rza d e l te o re m a di

P a p p o - G u ld in o s i h an a l 2 n d 3

—g— • 2 ng = g

on d ea

9 = Zn '

Finalmente V area descritta dalla rotazione della trattrice attorno al suo asintoto vale

a -f~ ci

yds = 2 n ady = 4 na2,— a —ci

e d u n q u e e g u a le a l l ’ area d e l c er ch io d i r a g g io 2a, a ltra c o n c lu s io n e ch e

a p p a rtie n e ad H u y g e n s .

2 8 0 Ginu Lokia.

Il brano succitato si cliiude con alcune notevolissime frasi (X, p. 422), le quali mostrano che H u y g e n s concepi anche l’analoga curva in coordinate polari e ne avverti la propriété di accostarsi asintoticamente al polo.

Ri torn i amo alla trattrice ordinaria per notare come il nome di „tractoria“ si legga in una lettera diretta da H u y g e n s a L e ib n iz il 17 Settembre 1693 (X, p. 510) ed in quell’ articolo degli Acta eruditorum (Settembre 1693; cfr. X, p. 512—515) che già citammo a proposito delle curve per cui è costante il rapporto fra tangente e suttangente; in tale articolo vanno notate le applicazioni pratiche délia curva in questione, le quali attirarono l’attenzione di L e ib n iz . Questi, nella sua lettera ad H u y g e n s del 1/11 Ottobre 1693 (X, p. 538—543), avverti tosto la possibilité di generalizzare la definizione di trattrice, nel modo che risulta dalle parole seguenti: „La construction des lignes que vous appelles Tractorias est d’importance. J’appelle ainsi plustost la construction que la ligne, car toute ligne peut estre construite de cette façon, prenant tousjours dans la Tangente un point dont la distance du point de la courbe soit donnée, ce qui fera une nouvelle ligne, le long de la quelle un bout du fil estant mené l ’autre décrira la courbe donnée“. In tale definizione, di cosi notevole généralité, è evidentemente compresa quella della sintrattrice ( Ebene Kurven p. 566), curva di cui uno studio metódico venue fatto nel Sec. XVIII da V i n c e n z o R i c c a t i , 1) in seguito a ricerche del P o l e n i 2), curva che appunto da lui ricevette il nome che porta.

S e s i v o le s s e c h e la p r e se n te r a sse g n a r is u lta sse a sso lu ta m e n te c o m

p le ta c o n v e rr eb e a n co ra r ic h ia m a re l ’a tte n z io n e d e i le t to r i so p ra u n a

c u r io sa c u r v a a lg é b r ic a d i o rd in e n o n in fe r io r e a 1 6 , c o n c e p ita da

T s c h i r n h a u s e n e d i c u i s ’ig n o r a e d es id era la d e f in iz io n e (IX, p. 157)3); in o ltr e far m e n z io n e d e i m o lte p lic i p a s s i in c u i s i p a r la d e lle c u rv e a

' fu o c h i d i T s c h i r n h a u s e n (IX, p. 154, 159, 176, 181, 185) o d e lle in -

d a g in i di H u y g e n s su lla ca ten a r ia (IX, p. 500 e 502 — 510)4), su lle

1) Ve natura et proprietatibus quarundam curvarum, quae simul cum tractoria generantur, quaqae proinde syntractoria nominabuntur (De B onon iensi scient, et a rtiu m in st. a tq u e acad. C o m m en ta rii, 3, 1755, p. 479—-303). Notiano che, nelle prime pagine di questi lavoro, viene stabilita l'equazione differenziale dell’ evoluta della trattrice; bastava eseguire la quadratura ivi indicata per concludere che tale curva è une catenaria (Ebene Kurven p. 565).

2) Epistolarum mathematicarum fasciculus, Yenetiis 1729.3) Cfr L’in te rm é d ia ire des m a th é m a tic ie n s 9, 1902, p. 172, e 12, 1905,

p. 19. E probabile che la curva in questione si possa delineare meccanicamente col movimento di cerchi che rotolano sopra altri.

4 ) V . K o r t e w e g , La solution de C h r i s t i a a n H v y o e n s du problème de la chaînette (B ib lio th . M athem. I 3 , 1900, p. 97—108).

Curve piane speoiali nel carteggio di C. Huygens. 281

costruzioni dei flessi della concoide (v. Ebene Kurven p. 131), sulle caustiche (X, p. 73 e 543), ecc.

Ma il sin qui detto sembraci piú cbe sufficiente a dimostrare quale preziosa fonte di notizie intorno al calcólo infinitesimale (in se e nelle sue applicazioni alie curve piane) sia il carteggio di H u y g e n s , del quale la Societa olandese delle Scienze ha da poco felicemente compiuta la pubblicazione. I tremila articoli sparsi nei primi dieci volumi delle Oeuvres completes de C h r . H u t g e n s contengono tale somma di osservazioni geniali, di notizie interessanti e di documenti inoppugnabili, che dovranno essere incessantemente consultati da chiunquare voglia fedelmente ritrarre quel fortunoso periodo storico nel quale l’analisi moderna, benché tuttora in fasce, con vagiti robusti faceva prevedere il radioso avvenire che la sorte le riserbava.

282 G . E n e s t i i ö m .


Kleine Bemerkungen zur zweiten Auflage von Cantors „Vorlesungen über Geschichte der M athem atik“.

Die eiste (fette) Zahl bezeichnet den Band, die zweite die Seite der „Vorlesungen“. BM = B ib lio th e c a M athem atiea .

1 :1 2 , siehe BM 13, 1S00, S. 265. — 1 : 15, siehe BM 3 3, 1902, S. 323. —I : 22, 29, 34, siehe BM 13, 1900, S. 265—266. — 1:36, 64, siehe BM 3 3, 1902,S. 137. — 1 : 103, siehe BM 13, 1900, S. 266. — 1:135, siehe BM 13, 1900, S. 266; 3 3, 1902, S. 137. — 1 : 144, 155, 169, 171, siehe BM 3 3, 1902, S. 137—138. — 1 : 189—190, siehe BM 1 3, 1900, S. 266; 6 3, 1905, S. 101. — 1 :192, 193, siehe BM 6 3, 1905, S. 101—102. — 1:195, siehe BM 3 3, 1902, S. 56; 6 3, 1905, S. 102. — 1 : 196—197, siehe BM 18, 1900, S. 266 , 63 , 1905, S. 102—103. — 1 : 198, siehe BM 63 , 1905, S. 103. — 1:202, siehe BM 1 3, 1900, S. 266. — 1 : 207, siehe BM 4 3, 1903, S. 283.— 1 :225, 234, siehe BM 3 3, 1902, S. 138. — 1 :255, siehe BM 3 3, 1902, S. 238. — 1 :272 , siehe BM 4 3, 1903, S. 396; 6 3, 1905, S. 322. — 1 :283, siehe BM 13, 1900, g 4 9 9 . _ 1 . 284, 321, siehe BM 13, 1900, S. 266—267. — 1 : 335, siehe BM 6 3, 1905, S. 305. — I : 370, siehe BM 13, 1900, S. 319. — 1 : 383, siehe BM 13, 1900, S. 267.— 1 : 386, siehe BM 5 3, 1904, S. 407. — 1 :395, siehe BM 3 3, 1902, S. 323.— 1 : 400, siehe BM 13, 1900, S. 267. — 1 : 429, siehe BM 3 3, 1902, S. 324.— 1 :432 , siehe BM 13, 1900, S. 267. — 1 : 434—435, siehe BM 4 3, 1903, S. 396— 397. — 1 :436 , siehe BM 3 3, 1902, S. 138. — 1:437, 440, siehe BM 13, 1900, S. 267. — 1 : 457, siehe BM 33, 1902, S. 238. — 1 :463 , siehe BM 3 3, 1902, S. 139, 324. — 1:466, siehe BM 4 3, 1903, S. 397. — 1 :467, siehe BM 13, 1900, S. 267. — 1 :468, siehe BM 7 3, 1906, S. 203. — 1 : 469, siehe BM 13, 1900, S 267. — 1 :475, siehe BM 13, 1900, S. 267—268; 3 3, 1902, S. 139; 4 3, 1903,S. 283 — 1:476, siehe BM 13, 1900. S. 268. — 1 : 479, siehe BM 7 3, 1906, S. 80.— 1 : 480, siehe BM. 7 3, 1906, S. 80—81, 204. — 1:481, siehe BM 7 3, 1906, S. 81.— 1 : 508, siehe BM f»3, 1904, S. 6 8 . — 1 : 510, siehe BM 13, 1900, S. 314. —1 :5 1 9 -5 2 0 , siehe BM 3 3, 1902, S. 239.

1 :5 2 4 . In betreff der Bedeutung der hier angeführten Stelle aus der PoSTELSchen anonymen Schrift vom Jahre 1540, siehe unten S. 289 die Bemerkung zu 2 : 385. Die Berufung auf A p p u l e i u s in zwei um 1500 gedruckten Rechenbüchern mit dem Titel Algorithmus linealis hat meiner Ansicht nach ebensowenig Bedeutung, da ihre Quelle unbekannt ist, und die Zuverlässigkeit derselben also nicht kontrolliert werden kann. Bekanntlich behauptete man am Anfänge des 16. Jahrhunderts auch,, daß A p p u l e i u s eine Schrift über die Coss(!) aus dem Griechischen übersetzt hatte (vgl. A bhand), z u r Gesch. d er m athem . W issen sch . 13, 1902, S. 449).


1 : 525. Über die Bedeutung des Ausdruckes: „Du rechnest wie N i k o m a c h o s “ siehe die Bemerkung zu 1 : 400 (BM 13, 1900, S. 267).

Kleine Mitteilungen. 2 8 3

1 : 537, siehe BM 13, 1900, S. 268.

1 : 539— 540. Über B o e t i u s als Zahlentbeoretiker bemerkt Herr C a n t o r : „Es ist kein ebenbürtiger Bearbeiter, der sich an den griechischen Zahlentbeoretiker [ N ik o m a c h o s ] gewagt bat. Grade den feinsten arithmetischen Dingen ist er ans dem Wege gegangen. Sein Griechisch reichte aus zur Übersetzung, seine Mathematik nicht“. Diese Bemerkung begründet Herr C a n t o r dadurch, daß „unter den weggebliebenen Dingen jener Satz des N ik o m a c h o s enthalten ist, der von der Entstehung der Kubikzahlen aus der Summe ungerader Zahlen bandelt, und ebenso der Satz, daß die n eckszabl von der Seite r und die Dreieckszahl von der Seite r— 1 zusammen die (n -f- l)eckszahl von der Seite r bilden“. Aber in Wirklichkeit hat B o e t i u s gerade die von Herrn C a n t o r erwähnten „feinsten arithmetischen Dingen“ in seine Arithmetik aufgenommen und zwar sind die betreffenden Sätze 11:39 und 11:19 (siehe De institutione arithmetica libri duo, ed. G. F r i e d l e i n , Leipzig 1867, S. 136, 103 — 104; vgl. B. B o n c o m p a g n i , B u lle tt. di b ib liogr. d. sc. matem. 8, 1875, S. 53— 54). Als Beleg bringe ich hier unten die zwei Sätze vollständig zum Abdruck.

XXXVIIII. Ipsi vero cybi, qui quamquam tribus intervallis sublati sint, tarnen propter aequalem multiplicationem participant immutabilis substantiae eiusdemque naturae sunt socii, non aliorum quam inparium coacervatione producuntur, numquam vero parium. Nam si omnes ab unitate inpares disponantur, iuncti figuras cybicas explicabunt.

I. III. V. VII. VIIII. XI. XIII. XV. XVII. XVIIII. XXI.In his igitur qui primus est, potestate et virtute primum cybum faciet; iuncti vero duo qui sequuntur, ternarius scilicet et quinarius, secundum efficiunt cybum, qui est octonarius. Iuncti autem tres, quisequuntur, septenarius, novenariusque et .XI. cybum facient, qui .XXVII. numero continetur, qui est tertius. Et sequentes quattuor quartum, et qui sequuntur quinque quintum, et ad eundem modum quotus quisque cybus effieitur, tot coniunctione inpares apponuntur. Hoc autem dili- gentius subiecta descriptio docet.1.1III. V. | VII. VIIII. XI. IXIII. XV. XVII. XVIIII. IXXI. XXIII. XXV. XXVII. XXVI1II.I.| VIII. I XXVII. LXIIlf. I CXXV.

XVIIII. Hi vero omnes, si ad latitudinem fuerint comparati, id est trianguli tetragonis vel tetragoni pentagonis vel pentagODi exagonis vel hi rursus eptagonis, sine aliqua dubitatione triangulis sese superabunt. Nam si ternarium triangulum quaternario, vel quaternarium tetragonum quinario, vel quinarium pentagonum senario exagono, vel senarium septenario eptagono compares, primo se triangulo, id est sola transeunt unitate. At vero si senarius contra novenarium, vel hic contra .XII. vel hic contra .XV., vel quindecim contra ,X. et -VIII., pro in- veniendis differentiis comparentur, secundo se triangulo, id est ternario superabunt. .X. vero ad .XVI. et .XVI. ad .XXII. et .XXII. ad.XXVIII. et .XXVIII. ad .XXXIIII. si componas, tertio se triangulovincent, id est senario. Atque hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus sese perspectum omnesque se triangulis antecedent. Quare perfecte, ut arbitror, demonstratum est, omnium formarum principium elementumque esse triangulum. G. E n e s t r ö m .

2 8 4 G. Eneström. — A. Sturm.

1 • 540, 542, siehe BM I3, 1900, S. 268. — 1 : 550, siehe BM 7 3 , 1906, S. 204. _ 1 :618 , siehe BM © 3 , 1905, S. 306-307. — 1 : 622, siehe BM 2 3, 1901, S 143. — 1 : 638, siehe BM « 3 , 1905, S. 394. — 1 :641, siehe BM 3 3, 1902, S. 139. - 1*661, siehe BM 13, 1900, S. 499. — 1 : 662, siehe BM 13, 1900, S. 499; S3, 1902,S *1 3 9 . 1 :663, siehe BM 3 3, 1902, S 405. — 1 : 671, siehe BM 13, 1900, S. 499. —1: 673, siehe BM 58, 1904, S. 407—408; 6 3 , 1905, S. 307. — 1 : 674, siehe BM 7 3 , 1906, S. 204—205. — 1 : 675, siehe BM 5 3, 1904, S. 408.

1 : 6 7 7. Wie Herr Cantor richtig liervorhebt, gibt A lkhwarizmi ausdrücklich an, daß die Gleichung x 2 + c = bx zwei Wurzeln haben kann. Auf der anderen Seite bat L. Rodet in seiner Abhandlung L ’algèbre d’Ai- Kharizmi et les méthodes indienne et grecque ( J o u rn a l a s ia t iq u e 1 17, 1878; siehe S. 9 0 — 92 des Sonderabzuges) darauf hingewiesen, daß Alkhwarizmi bei

dem Beweise der Richtigkeit der Lösung nur die Wurzel x = ^ — cin Betracht zieht, und am Ende des Beweises ganz beiläufig bemerkt, auch

x — — 11— — c sei eine Lösung der Gleichung; in der von Libri ver-2 f 4

öffentlichten mittelalterlichen Übersetzung fehlt sogar diese beiläufige Bemerkung gänzlich (siehe Libri, Histoire des sciences mathématiques en Italie I, S. 263). Noch dazu lenkt Rodet die Aufmerksamkeit darauf, daß Alkhwarizmi zwar in der Theorie zwei Wurzeln der Gleichung x 2 + C = bx anerkennt, aber in der

Praxis nur die Wurzel | — c anwendet; in der Tat scheint die von

Herrn Cantor zitierte Stelle die einzige zu sein, wo A lkhwarizmi auch die größere Wurzel erwähnt (vgl. L ibri, a. a. O. S. 278, 280, 281, 282, 283). Freilich kann dies auf der Natur der behandelten Probleme beruhen (die zwei Wurzeln repräsentieren bei A lkhwarizmi immer die Teile einer gegebenen Zahl).


1 :687—689, siehe BM g 3, 1901, S. 143-144; 4 3, 1903, S. 205-206. — 1 : 6 9 4 ,

siehe BM 13, 1900, S. 499; 43, 1903, S 284; 6 3 , 1905, S. 103. — 1 : 6 9 9 , siehe BM 73 , 1906, S. 205. — 1 : 704, 706, 708, siehe BM 13, 1900, S. 499—500. — 1 : 712, siehe BM 73, 1906, S. 81—82. — 1:714, siehe BM 1 3, 1900, S. 500. — 1 :723, siehe BM 6 3 , 1905, S. 307. — 1 : 735, 736, siehe BM 1 3, 1900, S. 500.

1 : 736— 737. Wer der Erfinder der hier auseinandergesetzten Näherungsmethode, um sin 1° aus sin 3° zu berechnen, ist, dürfte zur Zeit nicht mit Sicherheit ermittelt werden können. A. v o n B r a u n m ü h l ( Vorles. über Gesch. der Trigonom. 1, Leipzig 1 8 9 9 , S. 72— 73) vermutet, daß sie viel älteren Ursprungs ist, weil die Dreiteilungsgleichung schon von A b u ’l D s c h u d (etwa 10 0 0 ) aufgestellt wurde, und diese Gleichung für die exakte Berechnung der Sinustabellen von großer Wichtigkeit ist. Dies ist ja möglich, aber ebenso möglich ist es, daß man sich vor dem 15. Jahrhundert anderer Näherungsmethoden bediente. Z e u t h e n ( Geschichte der Mathematik im X V I. undX V II. Jahrhundert, Leipzig 1903, S. 82) bemerkt, daß es kaum berechtigt ist, aus U l u g B e g s Kreis besonders den Arzt A l - K a s c h i als Erfinder der Methode herauszugreifen. Aber wenigstens scheint M ira m T s c h e l e b i die Methode ganz bestimmt dem von ihm genannten A t a b - E d d i n D s o h a m s c h id zuzuschreiben,


denn die SÉDiLLorsche Übersetzung (De Valgèbre chez les arabes; J o u rn a l a s ia t iq u e 2j, 1853; in der Sonderausgabe findet sieb der Passus S. 30— 31) der betreffenden Stelle lautet: „ At a b -E d d in D je jis c h id . . . a réduit finalement ce problème à ceci, que 45 élevé une fois, multipliant les choses, sont équivalent du cube et du nombre . . . . E t afin d’obtenir cette racine, l’auteur se sert d’un artifice ingénieux pour introduire le cube de la chose dans la division“. Nun hat Miram T s c h e l e b i an einer vorangehenden Stelle (Sé d il l o t , a. a. O. S. 16) in betreff dieser Methode gesagt: „Nous en donnerons les démonstrations d’après le commentaire des tables d ’ÖLOUG-BEG par A l a -E d d in -A l i -K o sc h d ji, et l’opuscule qui a été composé sur le même objet par le savant Ca d h i Z a d e h -e l -R u m i“ . „Der Verfasser“ muß also entweder A l -K a sch i oder K a d isa d e h e l -R umi sein, und jener aber nicht dieser ist von M iram T sc h e l e b i an der von mir zuerst zitierten Stelle genannt. Denn daß A ta b ed d in D scham schid mit A l -K a sch i identisch ist, hat man meines Wissens keinen Anlaß zu bezweifeln.

Der Verweis S. 736 auf W c e p c k e , Passages relatifs à des sommations de séries de cubes (Rome 1 8 6 4 ), S. 2 2 — 2 5 , sollte ergänzt werden, weil es in Wirklichkeit zwei solche Sonderabzüge gibt. Der erste, der hier nicht gemeint ist, hat den Titel: Passages relatifs à des sommations de séries de cubesextraits de trois manuscrits arabes inédits de la bibliothèque impériale de Paris cotés nos 95l<¡, 95i 3 et 952 du supplément arabe (Rome 1864) und ist ein Sonderabzug aus den A n nali d i m a te m á tic a 5, 1863, S. 147— 181. Der zweite Sonderabzug hat den Titel: Passages relatifs à des sommations de séries de cubes extraits de deux manuscrits arabes inédits clu British muséum de Londres cotés nos CCCCXVIII et CCCCXIX des manuscrits orientaux (nos 7469 et 7470 des manuscrits additionels) (Rome 1864 ) und diese Abhandlung erschien in der A nnali di m a te m á tic a 6 , 1 8 6 4 , S. 2 2 5 — 248. G. Eneström.

1:740, 748, siehe BM 1 3, 1900, S. 500. — 1 : 749, ¡hebe BM I 3, 1900, S. 268. — 1 : 752, siehe BM 6 3 , 1905, S. 104. — 1 : 753, siehe BM 5 3, 1904, S. 408—409.

1 : 754. Der Cod. 65 (14. Jahrh.) der Bibliothek in St. Florian (Ober- Österreich) enthält nach dem Werke A u gustins „de magistro“ folgendes „Epitaphium A u g u s t in i super sepulchrum A d e o d a t i“ :

Si quantum vixit tantum vixisset itemque Tantum tantique dimidium super hoc,Dimidium quoque dimidii, centennis liic esset.

In der Mauriner AuGUSTiNUSausgabe findet sich dieses E p ita p h iu m n ich t. Ad eodatus war der Sohn des A u g u s t in u s . A. Sturm .

1 : 754, siehe BM 5 3, 1904, S. 409; « 3 . 1905, S. 104, 308; 7s, 1906, S. 206. — 1 : 756, siehe BM 13, 1900, S. 600; « 3, 1905, S. 308. — 1:757, 767, siehe BM 13, 1900, S. 500—501. — 1 : 794, siehe BM 3 3, 1902, S. 139.

1 : 796. Wie schon B ubnov (G e r b e r t i Opera mathematica, Berlin 1899,S. 201) hervorgehoben hat, ist die Bemerkung (Z. 26— 28): „Ob über dasRechnen mit ganzen Zahlen Anweisungen bei A bbo gegeben sind, läßt sich aus den veröffentlichten Musterstücken nicht nachweisen“ nicht ganz richtig, denn die von Ch r ist mitgeteilten Auszüge aus der Schrift A bbos enthalten (S. 146) Anweisungen über Multiplikation von 6 und 600 („dum sexagies sexagenos

2 8 6 G. Eneström.

perquiris, sexies senos XXXVI esse invenies, ubi sunt tre articuli et sex digiti, qui ostendunt sexagies sexagenos esse III D C “). Aus den von B ubnov (a. a. 0 . S. 2 0 2 — 204) veröffentlichten weiteren Auszügen ersieht man, daß Abbo auch Multiplikation von einem „articulus“ m it einem „numerus com positus“ gelehrt hat. Dagegen fehlen bei Abbo, wenigstens in den von B ubnov benutzten Handschriften, Anweisungen über M ultiplikation von zwei „numeri com positi“, und über Division giebt Abbo gar keine Auskunft.

6 . Eneström.

1:804, 805, 807, 808, 812, siehe BM 13, 1900, S. 268—269. — 1 :816, siehe BM 73, 1906, S. 82—83. — 1 : 823, siehe BM 13, 1900, S. 269. — 1 : 825, siehe BM 7s, 1906, S. 206. — 1 : 836, siehe BM 73, 1906, S. 83. — 1 : 848, siehe B M 73, 1906, 83—84, 206—207. — 1 : 852, siehe BM 13, 1900, S. 269. — 1 : 853, siehe BM 13, 1900, S. 501. — 1:854 , siehe BM 13, 1900, S. 501; S 3, 1902, S. 324; 4 3, 1903, S 206; 63, 1905, S. 104. - 1 : 855, siehe BM 13, 1900, S. 501; 7a, 1906, S. 84. -1 : 856, siehe BM 6 3, 1905, S. 309.

2 : 5 . Es ist wohl nicht ganz richtig zu sagen, daß wir den Namen des Vaters von L eonardo P isano nicht kennen, denn aus einem von G. M ilan esi 1867 veröffentlichten Aktenstücke aus dem Jahre 1226 ( Documento inedito C sconosciuto intorno a L ionardo F ibo n acci; G io r n a le a r c a d ic o 522, 18 6 7 ; der Sonderabzug enthält 10 Seiten) scheint deutlich hervorzugehen, daß der Vater G u glielm o hieß. Der betreffende Passus lautet: „B arth o lom eu s quondam A lb e r t i B onacii vendidit et tradidit L eonardo b ig o l lo quondam G uilie lm i, procuratori et certo nuntio B on accingh i germani sui quondam suprascripti G uilielm i* . Daß B onaccio ein spöttischer Beiname des Vaters war, ist kaum anzunehmen, da im Aktenstücke zwei andere Personen mit diesem Beinamengenannt werden, nämlich der damals verstorbene Alberto B onaccio und seinSohn Bartolomeo B onaccio. 6 - Eneström.

2 : 7, siehe BM 2 3, 1901, S. 351. — 2 : 8 , siehe BM 1 3, 1900, S. 501; 6 3, 1905, S 309 — 2 :1 0 , siehe BM 13, 1900, S. 502. — 2 :1 4 —15, siehe BM 2 3, 1901, S 144- 5 3, 1904, S. 200; 6 3 , 1905, S. 208-209. — 2 :20, siehe BM 13, 1900, S. 502;

1902, S. 239. — 2 :25, siehe BM 13, 1900, S. 274. — 2 :3 0 , siehe BM « 3, 1905, S 105 — 2 :3 1 , siehe BM 23. 1901, S. 351—352; S3, 1902, S. 239-240; 0 3, 1905, S’ 309—310. — 2 : 32, siehe BM 6 3 , 1905, S 105. — 2 :3 4 , siehe BM 2 3, 1901, S. 144; (>3, 1905, S. 310. — 2 :3 7 , siehe BM I 3, 1900, S. 502; 6 3, 1905, S. 105. — 2 :3 8 , siehe BM 2 3, 1901, S. 352. — 2 :3 9 , siehe BM 13, 1900, S. 502; ö 3, 1905, S 209. — 2 : 41, siehe BM 2 3, 1901, S. 352. — 2 : 51, siehe BM 6 3, 1905, S. 106. — 2 :5 3 , siehe BM 5 3, 1904, S. 201. — 2 : 57, siehe BM 2 3, 1901, S. 352 — 2 :5 9 , siehe BM 73, 1906, S. 207-208. — 2 :5 9 - 6 0 , siehe BM 13, 1900, S. 502; 6 3, 1905, S. 310-311. — 2 :6 1 , siehe BM 7S, 1906, S. 85-86, 208—209.

2:61 . Der 38. Satz des 9. Buches der Arithmetica J o r d a n i enthält einen Passus, der für die Geschichte der mathematischen Terminologie von einem gewissen Interesse ist. Dort wird erst nach N ik o m a c h o s (lntroductionis arithmeticae libri 11, ed. R. H o c h e , Leipzig 1866, S. 51) und B o ë t i u s (De institutione arithmetica libri dao, ed. G. F r i e d l e i n , Leipzig 1867, S. 53) eine Tafel mitgeteilt, die ganz wie das gewöhnliche Einmaleins aussieht, obgleich sie wie bei N ik o m a c h o s und B o ë t i u s einen zahlentheoretischen Zweck hat; dann wird in der L e f è v r e sehen Ausgabe bemerkt: „Formata ergo hac mensulaP y t h a g o r e “ , und wenn diese Bemerkung wirklich von J o r d a n u s selbst herrührt, so scheint daraus hervorzugehen, daß die gewönliche Annahme (vgl.


M. C antor, Mathematische Beiträge zum Culturleben der Völker, Halle 1863, S. 205) in betreff der Entstehung der Benennung „Mensa P y th a g o r a e “ zu modifizieren ist. Nach dieser Annahme beruht die Benennung auf einer irrigen Einschaltung des Einmaleins an einer Stelle der Geometria B o e tii, die von dem Rechenbrett handelt. Aus der zitierten Stelle des Jordanus könnte man dagegen folgern, daß eine Tafel, die sich nur in betreff der Anwendung von dem Einmaleins unterscheidet, im Mittelalter unter dem Namen „mensula P y th a g o r a e “ bekannt war, und unter solchen Umständen ist es ja leicht zu verstehen, warum das Einmaleins denselben Namen bekam.

Rührt dagegen der Ausdruck „Mensula P y th a g o r e “ von L e fe v r e her, so weiß man jedenfalls, daß er schon im 15. Jahrhundert angewendet worden ist.

G. Eneström .

2 : 6 8, siehe BM 4 3, 1903, S. 206. — 2 : 67, siehe BM V3, 1906, S. 209-210. — 2 :7 0 , siehe BM 13, 1900, S. 417. — 2 :73, 82, 87, siehe BM 13, 1900, S. 502. — 2 :8 8 , siehe BM 13, 1900, S. 503; 6 3 , 1905, S. 395. — 2 :8 9 , 90, siehe BM 1 3, 1900, S. 503.— 2 : 91—92, siehe BM 1 3, 1900, S. 503; 5 3, 1904, S 409-410; 6 3, 1905, S. 395—396. — 2 : 97, siehe BM 33 , 1902, S. 406. — 2 : 98—99, siehe BM 13, 1900, S. 269—270; 63 , 1905, S. 106—107; 7 3, 1906, S. 210. — 2 :100 , siehe BM 33> 1902, S. 140. — 2 :101, siehe BM 33, 1902, S. 325; 6 3 , 1905, S. 396. — 2 :1 0 4 -1 0 5 , siehe BM 13, 1900, S. 503; 4 3, 1903, S. 397—398. — 2:111, siehe BM 2 3, 1901, S. 352. — 2 :116 , siehe BM 3 3, 1902, S. 406. — 2 : 117-118, siehe BM 6 3 , 1905, S. 107, 311. — 2 : 122, siehe BM 13, 1900, S. 503—504; 6 3 , 1905, S. 397. — 2:126 , siehe BM 3 3, 1902, S. 406; « 3 , 1905, S. 210. — 2:127, siehe BM 3 3, 1902, S. 406. — 2 :128, siehe BM 13, 1900, S. 504.

2 : 129. Hier stellt Herr Cantor die Frage: „Wer sind die Alten,veteres, welche Oresme hier unzweideutig als seine Vorgänger bezeichnet?“. In betreff dieser Frage ist zu bemerken, daß es noch nicht sicher ist, ob bei Oresme überhaupt das Wort veteres vorkommt. Herr C antor zitiert nach M. C urtze: „Cum ymaginationem veterum vel meam . . . .“, aber an der zitierten Stelle erwähnt C urtze vier Handschriften, von denen zwei: „Cum ymaginationem meam . . . .“ und eine: „Cum ymaginationem veterum . . . haben. Dievierte Handschrift hat allerdings nach C urtze: „Cum ymaginationem veterum vel meam aber C urtze hat nicht selbst diese Handschrift gesehen,sondern beruft sich auf aus Frankreich übersendete Notizen, und es ist höchst wahrscheinlich, daß die Worte „veterum vel meam" von dem Verfasser dieser Notizen herrührt. Von den vier Handschriften haben also zwei nicht das Wort „veteres“, und in einer Handschrift ist die Lesart unsicher. G. E neström .

2 :132 , siehe BM 13, 1900, S. 515—516. — 2 :143 , siehe BM 13, 1900, S. 504.

2 :145. Da Campanus eine in vielen Abschriften aufbewahrte Theorica planetarum verfaßt hat (siehe z. B. H ouzeau et L a n ca ster , Bibliographie générale de Vastronomie I, Bruxelles 1887, S. 504), so ist es wohl anzunehmen, daß A lb e r t von Sachsen an der von Herrn C antor (Fußnote 3) zitierten Stelle diese Theorica meint, besonders als die betreffende Bedeutung des Wortes „quadratura“ auf eine astronomische Schrift hinzuweisen scheint. Eine Abschrift der genannten Abhandlung findet sich Bl. 172— 193 der von Herrn C antor etwas weiter oben (S. 110) erwähnten Cod. Basil. F. II. 33. G. Eneström .

2 8 8 G. Enestköh.

2 :1 5 0 — 151. Die Regel der Quadratwurzelausziehung der Geometria Culmensis stimmt in betreff der Berechnung der ganzen Zahl größtenteils wörtlich mit der entsprechenden Stelle des Älgorismus des S a c r o b o s c o überein, wie aus der folgenden Zusammenstellung hervorgeht.

Geometria Culmensis. S a c r o b o s c o .

Sub ultima figura inpari loco posita Sub ultima figura in impari locoinveniendus est quidam digitus, qui posita inveniendus est quidam digitusductus in se quadrate deleat totum qui ductus in se deleat totum sibi super-superpositum, vel in quantum vicinius positum respectu sui, vel in quantumpotest. . . Si nihil est residuum, constat, vicinius postest . . . . Si nichil [estquod numerus propositus fuit quadratus, residuum], constat, quod numerus pro-si vero aliquid est residuum tunc nu- positus fuerit quadratus... si vero fueritrnerus inventus fuit proxima radix sub aliquid residuum, . . . digitus ultimoillo numero contenta, saltern in integris. inventus cum subduplo vel subduplis

tunc est radix maximi quadrati sub numero proposito contenti.

Dagegen fehlt bei S a c r o b o s c o der Zusatz der Geometria Culmensis:De numero autem residuo sic facies: numerus, qui non potuit integrum

constituere, id est qui fuit residuus, sit numerator parcium, et radix inventa duplicata erit pro denominatore.

Freilich war dies Verfahren im Abendlande schon vor S a c r o b o s c o bekannt (vgl. Liber algorismi de pratica arismetrice, ed. B o n c o m p a g n i, Roma 1857, S. 76), und vielleicht hat der Verfasser der Geometria Culmensis alles was er über Quadratwurzelausziehung lehrt, wörtlich aus irgend einer Bearbeitung des Älgorismus des S a c r o b o s c o entnommen; solche Bearbeitungen waren im späteren Mittelalter gar nicht selten (vgl.M.CuRTZE, C e n tra lb l. fü r B ib l io th e k s w esen 1 6 , 1899, S. 285— 286). G. E n e s t r ö m .

3 :1 5 5 -1 5 6 , siehe BM 5 3, 1904, S. 410-411; 7 3, 1906, S. 86-87. - 2 :157, 158, siehe BM 2 3, 1901, S. 352. — 3 :1 6 0 —162, siehe BM 63, 1905, S. 311—312; y3 1906, S. 87—88. — 3:163 , siehe BM 13, 1900, S. 504; 63, 1905, S. 312. —3 :1 6 4 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 313. — 2 :166 , siehe BM 13, 1900, S. 504. — 2:175 ,siehe BM 3 3, 1902, S. 140. — 2 : 206, siehe BM 63 , 1905, S. 313. — 2 :2 1 0 , siehe BM 2 3, 1901, S. 352—353. — 2 :218 , siehe BM 4 3, 1903, S. 284. — 2 : 219, siehe BM 2 3, 1901, S. 353. — 2 :2 2 2 , siehe BM « 3, 1905, S. 397—398. — 2 : 229, 242, siehe BM l 3 , 1900, S. 504—505. — 2 :2 4 3 , siehe BM 1 3 , 1900, S. 505; 6 3 , 1905, S. 3 9 8 . — 2 : 253, siehe BM 2 3, 1901, S. 353. — 2 : 273, siehe BM 13, 1900, S. 505. — 2 : 274, siehe BM 3 3, 1902, S. 325. — 2 :281, siehe BM 5 3, 1904, S. 411. — 2 : 282, 283, siehe BM 13, 1900, S. 506; 2 3, 1901, S. 353-354. — 2 :2 8 4 , 286, 287, 289, 290, 291, siehe BM 13, 1900, S. 506—507. — 2 : 296, siehe BM 2 3, 1901, S. 354. —2 :305 , siehe BM f 3, 1906, S. 8 8 . — 2 :313 , siehe BM l 3, 1900, S. 507.

2 :3 1 4 . Aus dem 5. Tractate der 2. Distinctio der Summa kann man einen kleinen Beitrag zur Vorgeschichte der Differenzenrechnung entnehmen. Am Ende des Traktates (Bl. 44a) gibt P a c i u o l o nämlich einen Satz an, der in moderner Bezeichnung lautet

un — u0 = A U\ -)- A «<2 • • . 4~ A un%Er selbst spricht den Satz auf folgende Weise aus: „Se saranno disposti

quanti voli numeri. In che proportione se vogliano pur che el secondo auanzi el primo el terzo auanzi el secondo el quarto auanzi el terzo el quinto auanzi

Kleine Mitteilungen. 289el quarto. Et sic in infinitum: e quelli excessi: ouer differentie sieno in qual proportione si voglia: e per quanto si voglia che non fa caso: e volere sapere subito con prestezza quanta sia la summa de tutte loro differentie dal primo fin a lultimo sempre: caua el primo termino: ouer numéro de lultimo el rimanente sempre sera la summa de ditte differentie: ouer excessi: quod est nota dignum“. G. E n e s t r ö m .

2 : 317, siehe BM 5 3, 1904, S. 69. — 2 :320, siehe BM 73, 1906, S. 88—89. — 2:322, siehe BM 6 3 , 1905, S. 399. — 2 :325, siehe BM 6 3, 1905, S. 313—314. — 2 : 328, siehe BM 3 a, 1902, S. 140; 4 3, 1903, S. 285. — 2 : 334, siehe BM 13, 1900, S. 507. — 2 : 351, siehe BM 6 3 , 1905, S. 399. — 2:353 , siehe BM 13, 1900, S. 507; 43, 1903, S. 87. — 2 : 355, 357, siehe BM 6 3 , 1905, S. 399—400. — 2 :358 , 360, siehe BM 4 3, 1903, S. 87. — 2 :371 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 314. — 2 :3 7 9 , 380, siehe BM 63, 1905, S. 400—401. — 2:381 , siehe BM 13, 1900, S. 507. — 2 : 385, siehe BM 3 3, 1902, S. 81; 4 3, 1903, S. 207.

2 : 385. Meines Wissens hat man keinen Grund zu bezweifeln, daß die von Herrn C a n t o r hier erwähnte, 1540 anonym herausgegebene Schrift wirklich von G. P o s t e l herrührt. An der von Herrn C a n t o r zitierten Stelle sagt Vossius ausdrücklich: „factum id scimus, etsi in titulo praetereatur, a G u i l i e lm o P o s t e l l o “ und dieselbe Angabe haben alle anderen Verfasser, die ich zu Rate gezogen habe; der Titel der Schrift scheint Compendium de quattuor mathematicis disciplinis ex C a s s io d o r o zu sein.

Um so zweifelhafter ist es, ob die von Herrn C a n t o r aus dieser Schrift angeführte Stelle über A p p u l e j o s wirklich wichtig ist. In seiner Abhandlung Les signes numéraux et Varithmétique chez les peuples de l'antiquité et du moyen-âge (Annal i di matem. 5, 1863, S. 298) bemerkt Th. H. M a r t i n in betreff dieser Stelle: „ P o s t e l reproduit infidèlement la phrase de C a s s i o d o r e , en y ajoutant des traits de son invention, et en conseillant la lecture du livre d ’A puL ÉE , comme s’il existait encore“. Auch für mich ist es höchst unwahrscheinlich, daß P o s t e l allein eine sonst unauffindliche Arbeit gesehen hätte. Der aus der fraglichen Stelle des P o s t e l gezogene Schluß, ein Rechenbuch des A p p u l e i u s müsse sich bis zum Anfänge des XVI. Jahrhunderts erhalten haben, wird also meines Erachtens hinfällig. G. E n e s t r ö m .

2 :3 8 6 , siehe BM 13, 1900, S. 507; 5 3, 1904, S. 306.

2 : 388. Da das Buch von N u n e z : Libro (nicht „livro“) de algebra en(nicht „em“) arithmetica y (nicht „e“) geometria (Antwerpen 1567) jetzt eine große bibliographische Rarität ist, und da Herr C a n t o r nur im Vorübergehen einen von S t e v i n zitierten Passus des Buches erwähnt, aber sonst gar keine Auskunft über dessen Inhalt gibt, bemerke ich, daß Ch. H u t t o n in seinenTracts on mathematical and philosophical subjeds (II, London 1812, S. 250— 252) ein gutes Referat des Buches gebracht hat. Daraus geht hervor, daß N u n e z ausgiebig die Arbeiten von P a c i u o l o , C a r d a n o und T a r t a g l i a benutzt, aber kubische und biquadratische Gleichungen nicht behandelt. Auf der anderen Seite scheint N u n e z die mathematischen Schriften seiner deutschen Zeitgenossen nicht gekannt zu haben. G. E n e s t r ö m .

2 : 395, isehe BM 13, 1900, S. 507-508. — 2 : 397, siehe BM 7 3, 1906, S. 211. — 2 : 399, siehe BM 6 3 , 1905, S. 107—108. — 2 : 401, 405, siehe BM 13, 1900, S. 507.


290 G. Eneström.

2 - 4 1 0 DieZeichen für 1, 10, 100 , 1 0 00 , 4, 40, 400 , 4000 , die Herr C a n t o r J. B r o n k h o r s t zuschreibt, sind vermutlich aus H e i l b r o n n e r und N e s s e lm a n n entnommen. Indessen hat F r i e d l e i n an der von Herrn C a n t o r selbst zitierten Stelle darauf aufmerksam gemacht, daß B r o n k h o r s t in Wirklichkeit nur Zeichen mit wagreclit liegendem Grundstrich benutzt also wiei mi dei Figur 36 der Mathematischen Beiträge zum Culturleben der Vollcer. Die Richtigkeit der Angabe von F r i e d l e i n wird auch durch die Schrift von G. F r i z z o : De numeris libri duo authore I o a n n e N o v io m a g o esposti ed illustratt (Verona1 9 01 , S. 6 2 __ 63) bestätigt. Die Kenntnis der Zeichen verdankte B ron k h orstnach’seiner eigenen Aussage seinem Landsmann R o d o l p h u s P a l u d a n u s und soweit bekannt ist, haben alle Verfasser, die die fraglichen Zahlzeichen erwähnen, aus B r o n k h o r s t geschöpft. Aber wenn kein anderer als P a l u d a n u s die Zeichen gesehen hat, müssen sie sehr wenig verbreitet gewesen sein; man konnte sogar versucht sein zu vermuten, daß sie wesentlich von P a l u d a n u s selbst herruhren. Jedenfalls hat man meines Erachtens gar keinen bestimmten Grund anzunehmen, daß sich der von B r o n k h o r s t angewendete Ausdruck: »Chaldei et Astrologiquemlibet numerum . . . describunt“ auf spätrömische oder mittelalterlicheSterndeuter beziehe; aus der Angabe von B r o n k h o r s t kann man höchstensfolgern daß einige Sterndeuter des 16. Jahrhunderts die Zahlzeichen gebrauchtv u ’ G. E n e s t r ö m .haben.

«•411 412 siehe BM 1906, S. 89. — 3 :4 2 5 , siehe BM I 3, 1900, S. 507.—Ä » BMS», « 2 .

825 BM 3 ,',' Ä s.' £ -2 : 454,’ siehe BM 3 3, 1902, S. 242. — 2 : 474, siehe BM 3 3, 1902, S. 140-141.

2 : 479—480. Herr C a n t o r lenkt die Aufmerksamkeit darauf, daß in einer englischen Encyklopädie dem R. R e c o r d e das Verdienst unrichtig zugeschrieben wird, die Quadratwurzelausziehung aus algebraischen Ausdrücken zuerst gelehrt zu haben, und fügt hinzu, daß es sich bei R e c o r d e nicht um anderes handeln kann als ’um Ausdrücke, welche aus Summen von mit bestimmten Zahlen vervielfachten Potenzen der Unbekannten bestehen. Herr C a n t o r hat durchaus Recht, und die Quelle der unrichtigen Angabe ist vermutlich die Philosophical and mathematical dictionary von Ch. H u t t o n , w o (siehe New edition 1, London 1815, S. 85; vgl. Ch H u t t o n , Tracts on mathematical and philosophical subjects II, London 1812, S. 245) bemerkt wird: »He ( R e c o r d e ) gives also many examples of extracting the roots of compound algebraic quantities . . . which is the first instance of this kind that I have observed“ und als Beispiel y 25x 6 - M O z 5- - 26 a/4 — 14ix '6 + 81a:2 = 5 z 3 + 8 z 2 — 9x angegeben wird.

Herr C a n t o r bemerkt noch: »In anderen Ländern haben wir viel früherals 1556 Quadratwurzeln aus Ausdrücken ziehen sehen, welche aus Summen von mit bestimmten Zahlen vervielfachten Potenzen der Unbekannten bestanden“, aber leider gibt er nicht die Stellen an, wo die Vorlesungen Aufschlüsse hierüber geben. Ich habe vergebens die Stich Wörter »Quadratwurzel“ und »Wurzel“ des Registers zu Rate gezogen, um die Stellen aufzufinden, und sonst kenne ich nur einen (im Register nicht verzeichneten) Passus, der sich auf den fraglichen Gegenstand bezieht, nämlich S. 442, Z. 2— 5 v. u. des2. Bandes der Vorlesungen. Hier erwähnt Herr C a n t o r ganz beiläufig, daß

Kleine Mitteilungen. 291S t i f e l in der Arühmetica integra Gleichungen 4. Grades durch Wurzel- ausziehung auf quadratische Gleichungen reduziert hat. Aber Deutschland ist ja nur ein Land, und 1544 kaum viel früher als 1556, so daß ein Verweis auf S. 442 kaum genügt, um als Beleg zur Bemerkung des Herrn C a n t o r benutzt zu werden. Selbst kenne ich vor 1556 nur ein anderes Beispiel der Wurzelausziehung aus algebraischen Polynomen, nämlich das von den Herren T r e u t l e i n (Die deutsche C o ss; A bhandl. zu r Gesch. der M athem . 2 , 1879, S. 42) und T r o p f k e (Geschichte der Elementar-Mathematik 1, Leipzig 1902, S. 218) aus der STiFELSchen Ausgabe (1558) von R u d o l f f s Schrift Die Coss (S. 166b— 171b) zitierte. Etwa gleichzeitig behandelte T a r t a g e i a den Gegenstand im 6 . Teile des General trattato di numeri i misuri (Bl. 13b—— 14b), aber dieser Teil erschien bekanntlich erst 1560.

2 :480 , siehe BM 3 3, 1902, S. 141. — 2:481 , siehe BM 13, 1900, S. 508. — 2 : 482, siehe BM 13, 1900, S. 508; 2 3, 1901, S. 354; 3 3, 1902, S. 240; 6 3, 1905,S. 401.

2:483 . Hier könnte erwähnt werden, daß sich S c ip io n e d e l F e r r o auch mit dem Rationalmachen des Nenners des Bruches

1

f 4 + Vs + V 2beschäftigt hat, welche Frage ohne Zweifel im Anfänge des 16. Jahrhunderts als ziemlich schwierig betrachtet werden konnte. In der Regula Aliza des C a r d a n o findet sich nämlich (S . 33 der Originalausgabe, Basel 1570) folgender Passus: „Et ita si uolo diuidere per R cu 4 p : R cu 3 p : R cu 2, ut docuitS cxp io Terrus (!) Bononiensis“ („Terrus“ ist offenbar Druckfehler für F e r r e u s ) . C a r d a n o gibt als Lösung der Frage (ich habe den offenbaren Druckfehler 4199645 der Regula Aliza in 419904 p : verbessert)( V 4 + V3 + f ; 2) (V l6 + V 9 + y 4 - y i 2 — 2 - V 6 ) _______

X (81 + V419904 - f V472392) == 81, vermutlich ist dies genau die Lösung des S c ip io n e d e l F e r r o .


2 :4 8 4 , siehe BM 3 3, 1902, S. 141. — 2 :486 , 489, 490, siehe BM 13, 1900,S. 509. — 2:497 , siehe BM 13, 1900, S. 509; 4 3, 1903, S. 87.

2 : 497. In betreff des Zunamens T a r t a g l i a s bemerke ich noch, daß es am Anfänge des 16. Jahrhunderts wirklich eine Familie T a r t a g l i a gegeben zu haben scheint. Im Jahre 1524 reichte nämlich ein Architekt G io v a n n i T a r t a g l t a dem Marchese di Mantova ein Gesuch ein, für gewisse Arbeiten 350 Lire zu bekommen (siehe A. B e r t o l o t t i , Architetti, ingegneri e matematici . . . nei secoli XV, X V I e X V II , Genova 1889, S. 25 — 26). Sollte vielleicht T a r t a g l i a s Angabe, sein Zuname sei ursprünglich ein Spottname gewesen, eine Erfindung seines phantasiereichen Gehirns sein?


19*

P

G. E n e s t r ö m .292

2 : 5 0 3 . A u s “ r o S S S i g e p l a n t e f ’o ^

Ä Ä L T R e su lta teT ite lb la t t d er O rig in a lau sg ab e vom J a h re 1 5 4 5 d « ^ ^ ^ qu i etD o rt s te b t n äm lich : Artis magnae, sive inScrivsit est in ordinctotius operis de Arithmetica, quod Opus perf ^ E n e s t r ö m .

Decimus. :______

9 - 5 0 5 In b e tre ff des 1 8 . K ap ite ls d e r Ars magna b e b t H e r r C a n t o r

als eine» » » g e h ,» . ™ F o r i n t W e n , daßku b isch e G le ich u n g en d re i W u rze ln angegeben h a t A b 0! d ieser gF o r ts c h r i t t“ fin d e t sich schon im e rsten K ap ite der Ars magna w ote ils im V o rü b e rg eh e n b e m e rk t, _ d a ß d ie G le ichung ^ + 12 - ™

, 0 o i/q____ 1/ q te ils a u sfü h rlic h a u se in an d erse tz t,W u rze ln h a t, n äm lich 2 , — 2, V 3, — y d, te ils a u s iu W u rz e lnu n te r w elchen B ed in g u n g en eine ku b isch e G le ich u n g zw ei o d e r d re i W ü rze

hab en kann . F ü r den le tz ten F a l l g ib t e r r ic h tig die B e d in g u n g g « y f > b

an w enn die gegebene G le ichung ** + b ax is t. D e r U m sta n d daß C a r d a n o

i n ’ e rs te r L in ie a u f die v ie r W u rz e ln d e r G le ich u n g ** + 1 2 = l x “ f ^ h t sch e in t m ir von In te re sse zu sein, w e il e r a n d eu te t, daß C a r d a n o g l e i c h t d u rch b iq u ad ra tisch e G le ich u n g en d ieser A r t zu se in er E n td e c k u n g , daß eine G le ich u n g m eh r als zw ei W u rze ln h ab en k an n , g e rü h rt i s t H in s ic h tlich der von H e rrn C a n t o r e rw äh n te m R ü c k v e rw e isu n g a u f das 1 . K a Pl te ’> b ln J f n ic h t ganz sicher, ob H e r r Ca n t o r d ieselbe r ic h tig g e d e u te t h a t . M eines E r a ch ten s k an n sich die V e rw e isu n g w en ig sten s eb en so g u t a u f § 8 oes 1. K ap ite ls beziehen, w o Ca r d a n o a n g ib t, daß in b e tre ff d e r G le ich u n g en 6u n d x s + b = = a x 2 i m m er d ie D ifferenz d e r p o s itiv en u n d d e r n e g a tiv e n W u rze ln dem K oeffiz ienten von x 2 g le ich is t, denn dies b e d e u te t ja , daß d ie a lg eb ra isch e S u m m e d e r d re i W u rz e ln d iesem K oeffiz ienten g le ich ist.


2 : 509, siehe BM 13, 1900, S. 270 509 - 2 : olO, siehe BM 13, 1900, S. 509. -2:512, siehe BM S3, 1902, S. 141. — 3 : 514, 510 61/, :siehe .BM 18, 119°0, S. 5 0 9 .-2 : 524, 529, siehe BM 7 S, 1906, S. 90-91. - 3 : 530, siehe BM * 3, 1901, b. 354 —355; 3 3, 1902, S. 141. — 3 :5 3 1 , siehe BM 7 3, 1906, S. 212.

2 -5 3 2 In betreff des Opus novum de proportionibus kann bemerktwerden, daß' es gerade das 5. Buch des von Cardano geplanten Opus perfectum ist. Am Anfänge der ersten Seite der Originalausgabe vom Jahre 1570 steht nämlich: H iero n y m i Ca rda n i . . . de proportionibus, seu Operis peifecti über quintus“. Auffälligerweise hat das Titelblatt die unrichtige Angabe: Opusnovum de proportionibus . . . in V libros digestum, obgleich es leicht zu konstatieren ist, daß die Arbeit gar nicht aus fünf Büchern bestellt, und überdies am Ende (S. 271): „Libri de proportionibus finis“ steht. — Die Regula Aliza ist entweder das letzte Buch des geplanten Opus perfectum oder ein A nhang desselben, denn auf dem besonderen Titelblatt der Originalausgabe vom Jahre 1570 steht: De Aliza regula libellus, hoc est Operis perfecti . . . neces-

G. E n e s t r ö m .saria coroms.

Kleine Mitteilungen. 2933 :5 3 2 , 535, siehe BM 13, 1900, S. 509. — 3 :5 3 6 , siehe BM 7 3, 1906, S. 212

—213.

2 : 539. Als die weitaus bedeutsamste Bemerkung des Werkes Ars magna arithmeticae bezeichnet Herr C antor die folgende: „Cum fuerint denominationes extremae aequales extremis, semper aequatio erit una tantum et Casus possibilis, quotquot fuerint denominationes. Cum vero denominationes intermediae fuerint aequales extremis tune semper erunt plures aequationes in quaesito et casus poterit cum hoc etiam esse impossibilis“, und etwas weiter unten gibt Herr C antor die zwei Behauptungen auf folgende Weise wieder: „Falls eine Gleichung w-ten Grades auf Null gebracht nur einen Zeichenwechsel der Glieder wahrnehmen läßt, ist immer eine und nur eine positive Wurzel vorhanden; zweimaliger Zeichenwechsel ist das Kennzeichen mehrerer positiver oder lauter imaginärer Wurzeln; auf vollständiges Vorhandensein der Gleichungsglieder kommt es nicht an“.

Hierzu bemerke ich folgendes.1) Die von Cardano beispielsweise angeführten Gleichungen sind 2 ten,

3 ten und 4 ten Grades und meines Wissens hat sich Cardano nur einmal ganz im Vorübergehen, und zwar mit sehr wenigem Erfolg, mit Gleichungen höheren Grades beschäftigt. Es ist also nicht ganz genau, hier von einer Gleichung wten Grades zu sprechen.

2) Es geht nicht an, den Ausdruck „casus impossibilis“ des Cardano mit „lauter imaginäre Wurzeln“ zu übersetzen, und dies um so weniger, weil dadurch seine zweite Behauptung unrichtig wird; in der Tat hat ja z. B. eine Gleichung von der Form x3 -f- a3 = a2x 2 4- at x (oq, a2, a3 positive Zahlen) immer eine reelle negative Wurzel. Mit „casus impossibilis“ bezeichnet Cardano natürlich (vgl. die Bedeutung des Ausdruckes „casus possibilis“) den Fall, in dem alle Wurzeln entweder negativ oder imaginär sind.

3) Es scheint mir, als ob man bei der Wiedergabe der Behauptungen des Cardano besonders hervorheben sollte, daß das Zeichen des letzten Gliedes eine hauptsächliche Rolle spielt. Aus diesem Grunde erlaube ich mir, folgende Formulierung derselben vorzuschlagen:

a) Wenn in einer Gleichung 2 ten, 3 teu oder 4 ten Grades das letzte Glied negativ ist, und wenn nur ein negatives Glied oder nur eine zusammenhängende Folge von negativen Gliedern vorkommt, so gibt es eine und nur eine positive Wurzel;

b) Wenn in einer Gleichung 2 ten, 3 ten oder 4 ten Grades das letzte Glied positiv ist, und wenn nur ein negatives Glied oder nur eine zusammenhängende Folge von negativen Gliedern vorkommt, so gibt es entweder mehrere oder keine positiven Wurzeln;

c) Der Ausdruck „zusammenhängende Folge“ bedeutet, daß die Differenz der Exponenten zweier suecesiver Glieder überall = 1 ist.4) Will man das W ort „Zeichenwechsel“ benutzen, wäre es am Platze

besonders anzugeben, daß Cardano eigentlich keine Gleichungen mit mehr als zwei Zeichenwechseln in Betracht zieht. Für die Gleichung x 3 — al x 2 -f- a2x — a3 = 0 paßt also keine seiner zwei Regeln, obgleich er wirklich im Vorübergehen eine Gleichung dieser Form behandelt hat, und dabei bemerkt, daß die Gleichung drei positive Wurzeln haben kann.

G. Eneström.

2 9 4 G. Eneström. — C. Grönblad.

3:541, 548, siehe BM1S> 1900, S 509-510. - 2 : 549, sieheBM I* 1900 SA10 63, j 9 0 5 S 401 - 2 : 550, siehe BM 3 3, 1901, S. 355. - 2 : 554, siehe BM 1 3, 1900, S 510. _ 3 : 555, siehe BM 4 1903, S. 285; 6 3 , 1905, S. 322 - 2 : 561, siehe BM 7,, 906,a qi o • 565, 567, 568, siehe BM 4 3, 1903, S. 285—286. — 2 : 0 6 .), siehe BM I 3 , 190 ,S 510. - 3 :5 7 2 -5 7 3 , ’siehe BM 18 1900, S. 510; 8 3 , 1902 S. 141 - * s o76, siehe BM 3? 1901 S. 355—356. — 3:579, siehe BM 8 3 , 1901, S. 145. — 2 . 0 8O ' 5t_1, sie e BM 4-^ lOOS1 S. 207. — 2 : 582, siehe BM I 3, 1900, S. 510. — 2 : 583, siehe B I3 , • ,8 270•' 8 o 1901 S. 356. — 2 : 585, siehe BM 5 3 , 1904, S. 69—/0. — 2 :592, siehe BM 3q' 1901, S. 146. — 3 :594 , siehe BM 18, 1900, S. 270. — 2 : 5 9 7 , Siehe B 3 , mno 8 270- 2c 1901 S. 146. — 3 :5 9 9 —600, siehe BM 8 3 , 1901, S. 146.3 - 602 siehe Bm’i 3 1900 S. 270. — 3 : 603—604, siehe BM 13, 1900, S/ 270—271;

" 0 5 “ 1 0 ? - % :611, siebe BM 1901 S. 356-357. - * . « « , « * . ™ h . 1900 S 277; 8 3 , 1901, S. 146. — 3 :6 1 2 -6 1 3 , siehe BM 73, 1906, S. 91—92. 3 :613 , siehe BM 3 8, 1901, S. 357; 5 3, 1904, S. 306.

2 : 6 1 3 . Da eigentlich gar keine biographischen Notizen über Guillaume Gosselin vorliegen (vgl. H. B osmans, B ib l io th . M atliem . 73, 1 9 06 , S. 44) erlaube ich mir hier einige, freilich nicht unbekannte Zeilen aus der „Epistola ad lectorem “ der BACHETSchen DioFANTOS-Ausgabe (Paris 162 1 ) noch einmal zum Abdruck zu bringen: „Cardmalis P erronius . . . mihi saepe testatus est, se codicem manuscriptum liabuisse . . . quem cum Guilielmo Gosselino concivi suo, qui in D iophantum commentaria meditabatur, perhumaniter more suo ex- hibuisset, paulo post accidit u t Gosselinus peste correptus interiret“. Dieser Passus, der schon von Nesselmann (Die Algebra der Griechen, S. 258) B oncompagni (B u lle t t . d i b ib l io g r . d. sc. m a tem . 2 , 1 8 6 9 , S. 4 64 ) und P. Tannery (JDiophanti Opera omnia II, S. XXXIV) für einen anderen Zweck zitiert worden ist, könnte vielleicht der Ausgangspunkt für Nachforschungen über Gosselins Todesjahr sein: gewöhnlich wird ja angegeben, daß er etwa 1590 starb. ____________ G‘ E neström.

3-614 siehe BM S3, 1902, S. 141. — 3 :6 1 7 , 619, siehe BM 6 3 , 1905, S. 108 _ 1 0 9 _ 3 620, siehe BM 4 1902, S. 141. - 2 : 6 2 1 , siehe BM 1 3 1900,8 277- 3q 1901 S. 146; « 3 , 1905, S. 402; T„ 1906, S. 214. — 3 :6 2 3 , siehe BM l I ’ 1900 S. 277 2 3, 1901 S. 146-147. - 3 :632, siehe BM 6 3 , 1905, S. 109. —3 - 634 637 siehe BM. 6 3 , 1905, S. 315-316. - 3:638, siehe BM 8 3 , 1901, S. 147. —" 3 - 642, 643, siehe BM 13, 1900, S. 271. - 2 :6 4 4 , siehe BM « 3 , 1905, S. 402 4 0 3 — 3 :655 , siehe BM 8 3 , 1901, S. 357. — 3 :6 5 6 , siehe BM 4 3, 1903, S. 286. 2 :659 , 660, siehe BM 8 3 , 1901, S. 147-148. - 2 : 661, siehe BM « 3, 1905,S 403 — 2 :665 , siehe BM 13, 1900, S. 271. — 2 :669 , siehe BM 5 3, 1904, S. 203. — 3 :6 7 0 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 403. — 3 :6 7 4 , siehe BM 4 3, 1903, S. 8 8 . — 3 :6 8 3 , siehe BM 8 3 , 1901, S. 148.

2 : 6 8 7 . Die Cyclomathia des Leotaud erschien 16 6 3 (nicht 1662 ).0 . G r ö n b l a d .

2 :6 9 8 . Das hier erwähnte 4. Buch der (im Jahre 1657 erschienenen) Exercitationes mathematicae des P ra n ciscu s van S c iio o ten wurde schon früher als selbständiges Werk veröffentlicht unter dem Titel: De organica conicarum sectionum in plano descriptione tractatus . . . Cui subnexa est appendix de cubicarum aequationum resolutione. Lugd. Batavor. 1646. Aus diesem Grunde ist auch das Vorwort des 4. Buches der Exercitationes vom November 1646 datiert. — Der Appendix der älteren Arbeit findet sich nicht in den Exer-

Kleine Mitteilungen. 295citationes, w u rd e ab er b e k an n tlich vom V erfasse r in die zw eite A u fla g e se iner la te in isch en A u sg ab e d e r CARTESianischen G eo m etrie au fgenom m en.

C. G rö n bla d .

3 : 693, siehe BM 43, 1903, S. 287. — 3 : 7 0 0 , 701, 703, 704, 705, siehe BM 13, 1900. S. 271-273. — 3 : 7 1 5 , siehe BM 53 , 1904, S. 412. — 3 : 7 1 0 , siehe BM 6 3, 1905, S. 404. — 3 : 717, 718, siehe BM 7 S, 1906, S. 92—93. — 3 : 719, siehe BM 3 3, 1901, S 357. — 3 : 7 2 0 , siehe BM 43, 1903, S. 287; 63, 1905,S. 404. — 3 : 7 2 1 , siehe BM 13, 1900, S. 273; 03, 1905, S. 404—405.

2 : 741. Das hier im Vorübergeben erwähnte Supplementum cMliadis logarithmorum continens praecepta de eonim usu (1625) von K e p l e r bietet unter anderem auch einen kleinen Beitrag zur Vorgeschichte der Exponential- reihe. In betreff des Aufsuchens einer Zahl, deren Logarithmus nicht in der Tafel steht, lehrt K e p l e r nämlich ein Verfahren, das zu der Formel

~ 1 + e + Jführt, so daß die drei ersten Glieder der Exponentialreihe richtig angegeben sind. K e p l e r s Kegel findet sich im 8. Kapitel als „praeceptum I I I “ undlautet (Opera omnia, ed. C. F r isc h 7, Frankfurt am Main 1868, S. 372):

Dato logarithmo proxime majorem exscribe ex Ohiliade cum numero absoluto rotundo respondente, factaque subtractione dati ab exscripto, residuum duc in absolutum exscriptum u t multiplicantem . . . Sed quia ei [ = numero justo] adhuc deest aliquid, corrigetur sic, si facti curtati dimidium colloces loco ultimarum cyphrarum multiplicationis et multiplicationem repetas.

Setzt man den gegebenen Logarithmus gleich k, die Zahl der Tafel, deren Logarithmus dem gegebenen am nächsten kommt, gleich a, log a — k gleich ö, und die gesuchte Korrektion gleich x, so daß log (a -[- x) = k, kann man die KEPLERSclie Regel auf folgende Weise ausdrücken:

x = (a + <3.Nun ist \ 2 )

ö = log a — k = log a — log (a -\- x) --= — log [ l - f - Va

also, w eil d ie G ru n d z ah l d e r KEPLERSchen L o g a rith m e n g le ich e ~ 1 ist,

(e ~ ’) = 1 - f —, oder — = e — 1 ,folglich a a

J 1 1 ( 1 a s \ x x 1 j 4 , , , 82e l a v 2 ) — 2 ’ 0 ® — 2 '

Selbstverständlich hat K e p l e r selbst diese Folgerung nicht gezogen, und wahrscheinlich hat er die von ihm angegebene Regel aus dem Satz 26 der „Demonstratio structurae logarithmorum“ (a. a. O. S. 339) hergeleitet. Dieser Satz besagt, daß

l_ ^ log a — log (q - f x) la (a -f- x) — a a-\-x’

a lso is t ann äh eru n g sw eise

log a — log (q -)~ %) __ lo d e r x « + 1 #

ö _

X

G. Enestköm.296

worausa S 0 ( 1 +co a i


2 : 742 , siehe BM 1 3) . i » , S. 273 ; 3 3, 1902 S .1900 S. 273 . — 2 : 747, siehe B M I 3 , 1900, b. ’ 3’ „ J . „ . 5 19 0 4 , S. 412

B M * " ' 1 9 0 1 ' s 8 5 9 1 4 s i mg. gg 89. — 2 : 784 , siehe B M 8 3 , 1901, b. 14 .

u» 2. Band» ( lo M Old,,Klammern bei Wurzeln ans zusammen-worden sind. Seh b 1 7 4 , 1 7 7 a u sw _). s0gesetzten Ausdrücken vor (vgl. Bl. ,

" K 1 2 Z S S Z Z T Z p s :“ h“ t werfe« sollen; so s. B. bedeutet (Bl. 168‘)-. m e n (22 „ , » 1 * 6 mehL 2 2 - V 6 son der» - (2 2 - ( 6 ) . D ag e g e n b a t T ~die Klammern nie als Multiplikationszeichen gebraucht. Ene . .

2 : 78 7 , 791, siehe B M 6 3 , 1905, S . 405 - 7 9 B - 7 9 4 , siehegBM 5 3 , ^ 904 ,S. 307 ; 63, 1905, Sh 316_^317 4° 5- 406 . _ 3 : 795 , siehe B 3, ^ R M ^2 : 797—798 , siehe B M 53, 19° 4 , S. 307 , b 3, l » 0ö, »• 0 s i e h e BM 43 , 1903 ,1904 , S. 307’ - 2 : 802 , siehe B M 4«, 1903 8. 208 . - * . 812 , ^ iehe B gieh;c; Q7 2 1 8 2 0 , siehe BM 2 s, 1901, S. 14o, 0 3 , iqn^ ^ 211d m o 19 0 1 S 148 . - 2 : 8 3 2 , siehe BM 5 „, 1904, S. 203- 204 , 6 3 , 1905, S 21L

ü s s - B s m z m m i & J i * ■ -

1900, S. 511— 512.

3 : 9 , siehe BM 8 3 , 1901, S. 359. - 3 : 1 0 , siehe BM 1 3, 1900, S. 518- 6 3, 1905,3 . 211. — 3 : 1 1 , siehe BM 4 3, 1903, S. 209. — 3 : 1 2 , s ie h e B M 1 3, 1900, b . 512.

g . 4 4 4 5 . Hier finden sich einige Zeilen über N i c o l a s d e M a i . e z i e u(4650 4 7 2 7 ) und die Elémens de géométrie de M. le duc de Bourgogne,welche Schrift Herrn C a n t o r nicht zugänglich gewesen zu sein scheint, da er über deren Inhalt nach dem Referate in der H is to ir e de l ’acad ém ie des

Kleine Mitteilungen. 297sc ien ces [de Paris] 1727 berichtet. Herr Cantor erwähnt auch nach Herrn Loria das in Padua 1713 erschienene Buch: Serenissimi Burgundiae ducis Elementa geométrica ex gallico sermone in latinum translata, und fügt hinzu, er wisse nicht zu sagen, ob zwischen diesem Buche und den Elémens de géométrie ein Zusammenhang besteht.

In betreff der letzten Präge kann sofort bemerkt werden, daß das Buch vom Jahre 1713 in Wirklichkeit eine genaue Übersetzung der Elémens de géométrieist. Nun geben ja die Bibliographen im allgemeinen an (siehe z. B. Q u é r a r d ,La France littéraire 5 , Paris 1833, S. 464), daß die letzte Schrift zuerst 1715 herausgegeben wurde, und da teils die „Licenza“ der Übersetzung vom 3 .September 1712 datiert ist, teils eine Rezension dieser Übersetzung im G io rn a le de’ l e t t e r a t i d ’I ta l ia 14 (1713) erschien, kann die Jahreszahl MDCCXIII nicht verdruckt sein. Auf der anderen Seite ist die Übersetzung nicht nach einer Abschrift des Originals sondern nach der Druckausgabe desselben verfertigt, denn am Anfang der Übersetzung findet sich eine „Praefatio gallica latine reddita“, die aus der Druckausgabe des Originals entnommen worden sein muß. Die gewöhnliche Angabe, daß diese Ausgabe zuerst 1715 erschien, kann folglich nicht richtig sein, und in der Tat ist das Buch schon in den A cta E ru d ito ru m 1707, S. 92— 93 angezeigt. Dort steht als Druckjahr 1705, und dasselbe Druckjahr hat auch M u r h a r d (Litteratur der mathematischen Wissenschaften 1, Leipzig 1797, S. 248), der durch ein Sternchen angibt, daß er selbst ein Exemplar des Buches eingesehen hat. Es ist also sicher, daß das Buch nicht 1715 sondern 1705 erschien.

Über den wirklichen Verfasser der Elémens de géométrie gibt das Vorwortganz bestimmte Auskunft; dort wird nämlich ausdrücklich hervorgehoben, daß der Inhalt des Buches wesentlich von A. A r n a u l d herrührt, freilich so, daß seine Nouveaux elémens de géométrie an einigen Stellen abgekürzt, an anderen Stellen ergänzt worden sind. Der Passus (S. 14): „ M a l é z i e u verfaßte fürseinen Zögling Elémens de géométrie“, sollte also auf folgende Weise modifiziert werden: „M a l é z i e u benutzte bei seinem Unterrichte die Nouveaux êlémens de géométrie von A r n a u l d , und der Prinz redigierte auf Grund des mündlichen Unterrichts die später gedruckten Elémens de géométrie de M. le duc de Bourgogne“. Dagegen rühren vielleicht von M a l é z i e u die algebraisch gelösten Probleme am Ende des Buches her. — Herr L o r i a hat schon darauf hingewiesen, daß die Elémens de géométrie in betreif eines mathematischen Satzes einen Beweis enthält, der von der Herzogin von M a in e herrührt. Es handelt sich darum, zu beweisen, daß ad = hc wenn a : b = c : d, und dies gelang der Herzogin, als sie nur sechzehn Jahre alt war. Ich gebe hier den Grundgedanken des einfachen Beweises wieder. Sei b = /ua und a : b — c : d, so muß offenbar d = ßc sein, also ad — a(juc) = ¡uac, und ebenso bc = (iua)c = ¡uac, folglich ad — hc. Die Herzogin führte den Beweis für a = 2, 6 = 4, c = 3, d = 6, f i = 2 durch. G. E n e s t r ö m .

3 :1 7 , siehe BM 13, 1900, S. 512. — 3 :2 2 , siehe BM 1 3, 1900, S. 512; 4 3, 1903, S. 209.

8 :2 3 . Herr C a n t o r bemerkt hier, daß C a r l o R e n a l d i n i eine gewisse angenäherte Kreisteilung 1668 in seiner Schrift De resolutione et compositione mathematica veröffentlicht haben soll, und fügt hinzu, daß die erwähnte Schrift

298 G. Eheström.

nur der wiederholte Abdruck eines Abschnittes eines bereits 1655 als Opus mathematicum erschienenes Werkes war. In betreff der ersten Bemerkung kann das W ort „soll“ ohne weiteres gestrichen werden, denn R e n a l d in i hat tatsächlich die fragliche Kreisteilung in der Schrift De resolutione & composiüone mathematica libri duo (Patavii MDCLXVIII) angegeben, und zwar S. 3 6 7 - 3 6 8 : „Auctoris methodus ad generalem polygonorum omuium ordinatorum inscnptionem in circulo“. Daß bei R en a ld in i der Punkt C der CANTORseben Figur 5 nicht Scheitelpunkt eines gleichseitigen Dreiecks, sondern Schnittpunkt zweier Kreise, die mit dem Halbmesser A B bzw. um A und B beschrieben werden, ist, hatja gar keine Bedeutung. _

Dagegen ist die zweite Bemerkung des Herrn C a n to r meines Erachtens unrichtig. ° Daß sie zum mindesten höchst verdächtig sein muß, kann man aus R ic c a r d is Biblioteca matematica italiana (1:2, Sp. 347) entnehmen, denn dort wird erwähnt, daß die 1668 erschienene Schrift 525 Folioseiten enthält, während der einzige von R ic c a r d i verzeichnete Teil des Opus mathematicum ein Quartband von0 475 Seiten ist, und noch dazu als „Pars prior Numerorum algebram complectens“ bezeichnet wird. In der Tat ist das 1655 erschienene Opus mathematicum als die erste Auflage des im Jahre 1665 veröffentlichten ersten Teils der großen Arbeit Ars analylica mathematum anzusehen, und hat gar nichts mit der Schrift De resolutione et compositione mathematica zu tun. Nun könnte es ja möglich sein, daß es wirklich einen zweiten Teil des Opus mathematicum gäbe, und daß die Schrift De resolutione et compositione mathematica ein Abdruck dieses Teils wäre. In der Tat lautet der Titel des 1655 erschienenen Buches: C a r o l i R e n a l d i n i i . . . Opus mathematicum in quo utraque algebra, vetus scilicet et nova ä se in opere, hac de re pridem edito, pertractata novis praeceptis; novisque demonstrationibus illustratur. Methodus quoque resolutionis et compositionis mathematicae longe copiosiüs, quam ibidem, ad abstrusiora theoremata, et problemata enodanda declaratur. Pars prior Nume- rosam algebram complectens, und S. 12 wird unter „Synopsis eorum quae in hoc volumine continentur“ auch „Tractatus . . . de resolutione et compositione mathematica“ aufgeführt; es ist also sicher, daß R e n a ld in i im Jahre 165o einen solchen Traktat zu veröffentlichen beabsichtigte. Auf der anderen Seite hat weder R ic c a r d i noch irgend ein anderer mir bekannter Bibliograph oder Historiker der Mathematik die „Pars posterior“ des Opus mathematicum erwähnt, und meine eigenen Versuche ein Exemplar derselben aufzufinden sind erfolglos geblieben. Bis auf weiteres betrachte ich also die Angabe als unrichtig, daß die Schrift De resolutione et compositione mathematica R e n a ld in is vor 1668 erschienen ist. Die Schrift selbst enthält weder auf dem Titelblatt noch im Vorwort eine Andeutung, daß eine frühere Ausgabe existiert hat.

6 . E n e s t r ö m .

3 : 24, siehe BM 4 3, 1903, S. 209. — 3 : 25, siehe BM 4 3, 1903, S. 209, 399. — 3 : 26, siehe BM 8 3, 1901, S. 359. — 3 : 39, siehe BM 6 3, 1905, S. 407. — 3 : 45—48, 49, 50, siehe BM 13, 1900, S. 512—513.

8 :5 7 . Hier wird angegeben, daß die von N. M e r c a t o r in seiner Loga- rithmotechnia (1668) ausgeführte Division


damals neu war. Auf der anderen Seite hat bekanntlich N ew to n selbst behauptet, daß W a l lis „in Opere suo Arithmetico, publicato A. D. 1657. Cap. 33.

aProp. 6 8 . reduxit fräctionem j p e r perpetuam Divisionem in seriem

A + A R -J- AR'2 -j- A Rs -f- AR* -f- etc. “ (siebe z. B. Commercium epistolicum J. C o l l in s et aliorum, ed. B io t et L e f o r t , Paris 1856, S. 9), und die CANTORSche Angabe ist ja unvereinbar mit der NEWTONSchen Behauptung, deren Richtigkeit meines Wissens bisher nicht in Abrede gestellt worden ist (vgl. z. B. Ch. H u t t o n , Tracts on mathematical and philosophical subjects 1, London 1812, S. 416). Untersucht man indessen näher die von N e w to n zitierte Stelle (J o h a n n i s W a l l i s i i Mathesis universalis sive aritlimeticum opus integrum, Oxonii 1657, S. 302— 304), so findet man, daß in Wirklichkeit die von W a l l i s ausgeführte Division, nicht

= A AR -f- A R 2 + AR* + A m 4- . . .sondern

A R ‘ — A* = A 4- AR 4- A R 2 4- . . .

ist, wo t eine beliebig große ganze Zahl bedeutet. Der Unterschied ist ja von unserem Gesichtspunkte aus nicht besonders groß, aber dennoch kann man wohl sagen, daß die NnwTONSche Behauptung nicht ganz genau ist. Auf der anderen Seite wäre es für die Leser der Vorlesungen angenehm zu erfahren, auf welche Weise M e r c a to r , in betreff der von ihm ausgeführten, von Herrn Cantor als „neu“ bezeichneten Division, in W a l lis einen Vorläufer gehabt hat.

G. E n eströ m .

3 : 63, siehe BM 7S, 1906, S. 93-94.

3 : 6 8 . Hinsichtlich der NEWTON’schen Abhandlung Analysis per aequationes numero terminorum infinitas wird bemerkt, daß sie, soweit sie Erfinderrechte begründet, als 1669 bekannt gelten muß, wenn der Druck auch erst imXVIII. Jahrhundert erfolgte. Da nun Herr Cantor etwas weiter unten (S. 107) erwähnt, daß die in der Analysis per aequationes vorkommenden Gleichungsauflösungen ihre erste Veröffentlichung im Drucke in der Algebra von W a l l is (1685) fanden, wäre es auch am Platze anzugeben, daß das wesentlichste der Reihenlehre der NEWTONSchen Abhandlung ebenfalls 1685 in der Algebra von W a l l is veröffentlicht wurde und zwar im 95. Kapitel (S. 341— 347). Dort wurden z. B. die Reihen für ex, sin x, cos x (eigentlich sin vers x, d. h. 1 — cos x) und arc sin x zum Abdruck gebracht. G. E n eströ m .

3 : 70, siehe BM 23, 1901, S. 360. — 3 : 82, siehe BM 53, 1904, S. 308. — 3 : 100, siehe BM » 3, 1901, S. 149.

3 :1 0 0 . In betreff des LEiBNizschen Beweises des Satzes, daß die Fläche eines rationalen rechtwinkligen Dreiecks nie ein Quadrat ist, kann bemerkt werden, daß L eib n iz diesen fand, nachdem er den FRENiCLE’scben Beweis gesehen hatte. Sein Beweis ist nämlich vom 29. Dezember 1678 datiert und im Dezember 1678 schrieb er (Mathematische Schriften, herausg. von C. I. Ge r h a r d t ,

g Q Q G . E n e s t r ö m .

T S 18 5) an G a llo y s „J’ay demonstré le theoreme de Mons. F r e n ic l e (de l’impossibilité d’un triangle rectangle dont 1 aire est quarree) pai un® J ° y diferente de la sienne, et bien meilleure, puisqu'elle donne une infinite d autie tbeoremes plus généraux Cependant les plus habiles m athém aticiens^! cheicn. inutilement une démonstration diferente de celle de M. F r e n ic l e i

kaum w esentlich von dem FRENiCLESchen verschieden. G. E ,

*{ : 102, siehe BM 6 3 , 1905, S. 318.

8-102. Da Herr Cantor weiter unten (S. 578) aus einer Abhandlung von d e Gua entnommen hat, daß P r e s t e t einen, wie dieser selbst nachmas zugestand, mißglückten Versuch eines Induktionsbeweises der ÜESCARTESSchen Zeichenregel gemacht hatte, gebe ich hier nähere Auskunft über diesen Pun Der betreffende Beweis findet sich S. 368 der ersten Auflage (Paris 1675) der Siemens des mathématiques des P r e s t e t . Zuerst weist dieser darauf hin, daß

(r o\ ix 3 ) (x _ 4 ) (x + 5) = ÎC4 — 4 x3 — 19 x l + 106 x 120,((: + 2) % + 3) (* + 4 ] L - 5 ] - *4 + 4 ,3 _ 19 , 2 _ 106 * - 1 2 0 ,

so daß die zwei Gleichungenxi _ 4 x 3 — 19 x2 + 106 x — 120 = 0xi 4 - 4 x 3— 19 x2 — 106 x — 120 = 0 y

bezw drei positive und eine negative, drei negative und eine positive Wurzel besitzten, während auf der anderen Seite in den Gleichungen bezw. drei Zeichenwechsel und eine Zeichenfolge, drei Zeichenfolgen und ein Zeichenwechsel Vorkommen. Daß es sich hier um eine allgemein gültige Regel handelt, begiundet P r e s t e t auf folgende Weise: „s qui a toûjours + , et chaque vraye racine toûjours — , multipliant alternativement une troisième grandeur, distribuent aux termes de l’égalité composée un changement alternatif de + et — • Mais au contraire * et les fausses racines qui ont toûjours + , multipliant alternativement une troisième grandeur, elles distribuent alors deux fois de suite aux termes de l’égalité composée, un même signe + , si la troisième grandeur a + , ou lemême signe — , si cette grandeur a

Dieser offenbar ungenügende Beweis fehlt in der zweiten Auflage (Nouveaux Clemens des mathématiques Paris 1689) der P r e s t e t sehen Arbeit, und der Verfasser begnügt sich zu sagen (II, S. 353— 354): „On pourra feindre ou s’imaginer que l’égalité proposée renferme autant de racines quelle a de dimensions, et qu’eDtre ces racines il y en a autant de vraies, qu’il y a de variations des signes + et — dans les termes, et autant de fausses, qu’on y trouve de fois deux mêmes signes -f-, ou deux mêmes signes , qui s entre-suivent immédiatement“. Noch dazu schaltet P r e s t e t weiter unten (S. 362— 365) einen Artikel „De quelques reflexions de l’academie royale des sciences sur une régie d’analyse” de Monsieur D e s c a r t e s “ ein, worin er, unter Bezugnahme auf einen Aufsatz im J o u r n a l des sçavans 1684 S. 250, die Richtigkeit der D e s - c a r t e ssehen Zeichenregel verteidigt, freilich ohne auch nur einen Versuch zu machen, die Regel zu beweisen. Diese neuen Ausführungen von P r e s t e t wurden übrigens unmittelbar nach deren Veröffentlichung von M. R o lle (Traité d'algèbre, Paris 1690, S. 268— 270) beanstandet. G. E n e s t r ö m .


3 :112 , siehe BM 4 3, 1903, S. 209—210; 6 3 , 1905, S. 318. — 3:116 , siehe BM 13, 1900, S. 513. — 3 :117, siehe BM 13, 1900, S. 518.

3 : 122. Die Angabe: „Eben die Zahl h, deren Entstehung wir kennen gelernt haben, ist auch als eine Hypothese, und zwar als sogenannte g ro ß e H y p o th ese zu benutzen, während der Wert 0 die k le in e H y p o th ese heißt“ ist irreleitend, denn da Herr C a n to r unmittelbar vorher die Gleichung 8 x 2 — 5 a;— 2 = 0 vermittels des Wertes h — 2 in die Gleichung 8 a;2 — 27 x -j- 20 = 0 transformiert hat, muß der Leser annehmen, daß entweder für 8 a:2 — 5a; — 2 = 0 oder für 8a;2— 27a: + 20 = 0 die zwei Hypothesen 0 und 2 sind. Aber in Wirklichkeit benutzt R o l l e die Hypothesen nur für solche Gleichungen, deren Glieder wechselnde Vorzeichen haben (siehe S. 124: „L’on suppose icy que l’égalité proposée . . . ait receu . . . la quatrième préparation dont on a parlé dans le Chapitre précèdent“), so daß die Gleichung 8a:2 — 5a;— 2 = 0 gar nicht in Betracht kommen kann; der Grund dazu ist natürlich, daß Rull nur dann die kleine Hypothese sein kann, wenn die reellen Wurzeln sämtlich positiv sind. Auf der anderen Seite ist für die Gleichung 8 a;2 — 27& -j-2 0 = 0 die

2 7 5große Hypothese nicht 2 sondern -g- -}- + 1 = 5.


3 : 1 2 3 . In betreff der Bedeutung des Termes „Cascade“ bei Rolle hat Herr A. von B raunmühl (BM 43, 1903, S. 3 99) die CANTORsehe Darstellung wesentlich verbessert, indem er darauf hinweist, daß die Substitution v = x -j- s nur zur Bildung der Cascaden dient. Man kann also nicht mit Herrn Cantor sagen, daß die auftretenden Koeffizienten der Potenzen von x einzeln verschwinden müssen, denn in den verschiedenen Cascaden bedeutet z nicht dieselbe Größe. Diesen Umstand hat Ch. Reyneau, der im ersten Bande seiner Analyse démontrée (Paris 1708) die RoLLESche Cascadentheorie ausführlich auseinandersetzt, besonders hervorgehoben (S. 292): „L’inconnue x du produit [d. h. der Abgeleiteten] pouvant être considérée comme une indéterminée differente de x, qui est l ’inconnue de la proposée, et étant possible que l’indéterminée x ait des valeurs propres à faire en sorte que le produit soit égal à zero, en supposant que x représente dans le produit ces valeurs-là, il est évident que le produit peut être supposé égal à zero“.

Dagegen hat Herr Ca n t o r wirklich Recht, wenn er behauptet, daß die Cascaden Gleichungen sind; in der Tat sagt R o l l e ganz bestimmt (S. 125): „Chacune de ces égalitez s’appellera Cascade'1. Dieser Umstand ist ja von untergeordneter Bedeutung, und vielleicht hätte R o l l e seine Darstellung deutlicher machen können, wenn er die Abgeleiteten als Cascaden bezeichnet hätte, aber hier handelt es sich nur um die Tatsache selbst, nicht um eine Verbesserung der R o l l e sehen Terminologie. G. E n e s t r ö m .

3 :123. Die Bemerkung: „ R o l l e behauptet nun, die Wurzeln irgend einer Cascade von der letzten anfangend und aufsteigend bis zur ursprünglich gegebenen Gleichung seien stets als Hypothesen in der Cascade nächsthöheren Grades zu verwenden. In unseren Tagen spricht man den Satz so aus: Zwischen zwei aufeinander folgenden Wurzeln a und ß der Gleichung f (z) — 0 kann nicht

g Q 2 G . E n e s t r ö m .

mehr als eine einzige Wurzel von / » = 0 liegen“ ist nicht unrichtig, gibtaber keine genauere Auskunft über H o l l e s eigene Darstellung des Sakzes. m

Vorübergehen bemerke ich, daß es angebracht wäre vor das

s s™ t s ^ % - * * *

w e C w e ise T o L L E 1 Ï e W u ^ l t r 'konnte denn die Cascade hat ja nur zwei Wurzeln in diesem Talle _Konnte, ueim j 198v t nr„ ml’;i v a des racines

Der Satz selbst lautet bei R o l l e (S. 128). „bors q u y . ..effectives dans une cascade, les hypothèses de cette cascade donnent alternative ment l’une + et l’autre und den Sinn dieses Satzes kann man auf folg e n d e Weise wiedergeben: wenn eine Gleichung f(x) = 0 nur reelle und ungleiche Wurzeln hat, so liegt e i n e dieser Wurzeln zwischen zwei aufeinander- folgenden Wurzeln der Gleichung f (* ) = <>. Ferner bemerkt R o l l e (S. 130), daß wenn in einer Gleichung / » = 0 keine Wurzel zwischen zwei aufeinandei- folgenden Wurzeln der Gleichung f (*) == 0 liegt, so hat die Gleic ung f M = 0 zwei imaginäre Wurzeln. Noch dazu hebt er hervor (S 130), daß, wenn die Gleichung f (x) = 0 zwei imaginäre Wurzeln hat, so hat die Gleichun0fix) — 0 wenigstens zwei solche Wurzeln. ,

Dagegen kommt der Satz, der gewöhnlich als das R o lle sehe Theorem bezeichnet wird (vgl. B ra un m üh l, BM 43, 1903, S. 399), im Träte a 9'nicht vor, aber es ist nicht unmöglich, daß dieser Satz, wenn auch nicht in der allgemeinen Form, später von R o lle veröffentlicht wurde und zwar in de von Herr Cantor erwähnten Duodezbändchen, worin die Cascadenmethode bewiesen ist. Diese Schrift, die außerordentlich selten zu sein scheint ist mu leider nicht zugänglich, und ich kann nicht einmal den genauen Titel g e l b e n feststellen. Herr Ca n to r gibt nach einem Zitate^ von R o l l e selbst „Sur les effections géométriques“ und als Druckjahr 1690 an; dagegen verzeichnet J. R ogg [Handbuch der mathematischen Liteiatur Tübingen 18o , S 524) eine Schrift von R o l l e : Démonstration d'une méthode pour resoudie les égalités de tous les degrés suivie de deux autres méthodes, dont la première donne les moyens de résoudre ces mêmes égalités par la geometne et la seconde pour résoudre plusieurs questions de Dwpbante, gui n ont point encore este résolues. Paris, Cussons 1692, 12«. M e i n e Vermutung, daß R o l l e auch das nach ihm benannte Theorem veröffentlicht hat, beruht darauf, daß es sich, fieilic nicht in der jetzt geläufigen Form, in der Analyse demontree (I, Paris 1708, S 290) von Ch. R e y n ea u , findet und dieser verweist für seine Darstellung der Cascadenmethode ausdrücklich auf R o l l e . R ey n ea u drückt das Theorem auf folgende Weise aus: „Les racines d’une équation, dont toutes les racines sont réelles, positives et inégales, sont les limites de l’équation nouvelle qui vient de la ’multiplication de chaque terme de la première par le nombre qui est l’exposant de l’inconnue de ce terme, et de son dernier terme par zéro .



3 : 215, siehe BM 2 3, 1901, S. 150. — 3 : 218, siehe BM 13> 1900, S. 513. — 3 : 220,siehe BM 33, 1902, S. 326. — 3 : 224, siehe BM 13, 1900, S. 514. — 3 : 225, 228,siehe BM ä 3, 1901, S. 150. — 3 :230 , siehe BM « 3, 1905, S. 211-212. — 3 :232,siehe BM 13 , 1900, S. 514; 63 , 1905, S. 212.

3:232. In betreff der Abhandlung von J ohann B er n o u l li Principia calculi exponentialium seu percurrentium (A cta E ru d ito ru m 1697, S. 125 — 133) erlaube ich mir hier eine kleine Notiz einzufügen, die freilich nur bibliographisches Interesse hat. In P o g g en d o r ffs Biographisch-literarischem Handwörterhuch wird (I, Sp. 157) unter die Schriften von J ohann B er n o u l li eine Dissertatio de calculo exponentiali (Paris 1725) aufgeführt, aber da diese Abhandlung in den Opera omnia fehlt, habe ich immer die PoGGENDORFFSche Angabe als sehr verdächtig betrachtet, obgleich es mir unmöglich war zu ermitteln, woher er dieselbe entnommen hatte. Jetzt ist es mir gelungen die Frage zu erledigen. In der posthumen Arbeit von V a rign o n Eclaircissemens sur l’analyse des infiniment petits (Paris 1725) ist S. 101— 107 J ohann B er n o u llis Abhandlung in den A cta E ru d ito ru m 1697 zum größten Teil und nur mit einigen weniger wesentlichen Abweichungen zum Abdruck gebracht. Freilich ist der Titel daselbst nur De calculo exponentiali, aber im „Avertissement“ auf Seite 100 wird die Abhandlung „ dissertation “ genannt. Daß Sonderabzüge des Abdruckes vorhanden sind, ist ja nicht unmöglich, wenn auch wenig wahrscheinlich.

Offenbar beruht die Angabe von W ö l f fin g (Mathematischer Bücher schätz, Leipzig 1903, S. 164), daß eine Dissertatio de calculo exponentiali von J ohann B ern o u lli in Paris 1825 erschienen ist, auf einem Schreibfehler; die Angabe bezieht sich ohne Zweifel auf den V a rignon sehen Abdruck vom Jahre 1725.

6 . E n eströ m .

3 : 244. Im Zusammenhang mit den Angaben von neuen Auflagen der H ô p i t a l sehen Analyse des infiniment petits könnte auch bemerkt werden, daß zwei Kommentare dieses Buches besonders herausgegeben worden sind, nämlich Commentaire sur l’analyse des infiniment petits. Par M. C r o u z a s (Paris 1721, (36) 320 S. 4° 4 Taf.) und Eclaircissemens sur l’analyse des infinimentpetits. Par M. V a r ig n o n (Paris 1725, (8) -f- 118 + 2 S. 40 -f- 6 Taf.).Da G. Viv a n t i in seiner Schrift: II concetto d’infinitésimo e la sua applicazione alla matemática. Saggio storico (Mantova 1894, S. 52, 119) nach M ontucla einen dritten Kommentar von P a ulian zitiert, und noch in der zweiten Auflage jener Schrift (Napoli 1901, S. 76) bemerkt, er kenne nicht den exakten Titel dieses Kommentars, mag hier darauf hingewiesen werden, daß der „Commentaire des articles les plus difficiles de l’analyse des infiniment petits“ ein Anhang (S. 257— 375) der dritten, von A. H . P a ulian besorgten Ausgabe (Paris 1768) der Analyse des infiniment petits ist. Die Angabe von P o g g en d o r ff (Biographisch-literarisches Handwörterbuch II, Sp. 379), daß P a u lia n in Paris 1768 einen „Commentaire sur l’analyse des infiniment petits de L ’H ô p it a l “ veröffentlichte, ist also bibliographisch ungenau.

Um P aulians Sachkunde auf dem Gebiete der Infinitesimalrechnung zu charakterisieren, genügt es, seinen Beweis der Formel d [—'j = —_%dy r/u

x . dx__ zdyerwähnen. Nachdem er richtig bewiesen hat, daß wenn - = * , so ist clz— - — ,

, dx xd , nfährt er fort: also ist U 0 , M g“ d l = J ~ J

y d x — xdy , __ydx — xdy Er betrachtet also y inworaus dz = - - j oclel « L J — y*

iy als eineo Faktort ___________ G' E »BST“ “ -

S : 244-245 , siehe BM 5s, 1904, S. 205 413 - 3 : 2 « , siehe BM is, 1900, S. 514; a 3. 1901, S. 151. — 3:250, siehe BM 13, 1900, S. 514.

3 -2 7 6 Es ist richtig, daß L e ib n iz in seinem Briefe an J o h a n n B e r n o u l l i ’vom 27. Juni 1708 auch den Jesuit T h o m as G ouyh : als Gegner der Differentialrechnung nennt, aber diesen neben L a H i r e als Stutze des B o l l e innerhalb der Pariser Akademie zu bezeichnen, ist meines Erachtens nicht lichtig. Als solche Stützen nennt L e ib n iz ausdrücklich in seinem Briefe an J o h a n nB e r n o u l li vom 23. März 1707 in erster Linie den Abbé J ean G a ll o is undin zweiter Linie L a H i r e („binos illos ex malevohs R o l l i i instigatonbus . . . et ego divinabo; . . . in mentem habes G a lo is iu m et L a H iriu m ,. calculi differen- tialis acerrimos hostes“). V a r ig n o n , der sicherlich die Sache am besten kannte, nennt sogar G a l lo i s allein als R o l l e s Instigator in einem undatierten Briefe an L e ib n iz aus dem Jahre 1707 (siehe L e i b n i z e n s Mathematische Schriften herausg. von C. I. G e r h a r d t IV, S. 158): „la mort de M. 1 Abbé G a l l o y s a enfin réduit M. R o l l e à se taire: . . . il ne pense plus a rien due contreles infiniment petits . . . . Il se plaind d’y avoir été engage par cet Abbe .M R o l l e allait au feu, ne pouvant (dit-il) résister aux sollicitations de 1 autre.

Tl k TE'.S'T'T} O M


3 : 3 0 3 , siehe BM 83 . 1901, S. 155.

3 : 306. Statt „ J o h n M a c h i n war Professor der Astronomie am Giesham College' in London“ lies: „ J o h n M a c h i n wurde ein Jahr nach der Anfertigung des Berichtes zum Professor der Astronomie am Gresham College in London ernannt“ Ch H u t t o n gibt in seinem Philosophical and mathematical dictionary (siehe New edition, London 1815, II S. 1) das Datum der Ernennung „ J aL H19\ ™ G. E n e s t r o m .

3 : 330-331, siehe BM 3 S, 1902, S. 241-242. — 3 : 337, siehe BM 5 3, 1904, S. 206.

3 :3 6 4 . Die Angabe, daß J o h n M a c h i n eine zweckmäßige Umformung der G r e g o r y sehen Reihe gab und daß seine Berechnung der Zahl ji 1706 von W J o n e s der Öffentlichkeit übergeben wurde, ist durchaus richtig, aber es liegt sehr nahe, die Angabe so aufzufassen, daß in der Synopsis palmariorum matheseos nicht nur die Berechnung vorkommt, sondern auch die M a c h i n sehe Methode wenigstens angedeutet wird (der Ausdruck des Herrn C a n t o r „ohne Erläuterung“ etwas weiter unten ist auch nicht vollständig deutlich), und


vielleicht bat Herr T r o pf k e wirklich die Worte des Herrn Cantor auf diese Weise aufgefaßt, da er ( Geschichte der Elementar-Mathematik II, S. 130) sagt: „M achin veröffentlichte seine Berechnungsart 1706“. Um in Zukunft ein Mißverständnis vorzubeugen, drucke ich hier den ganzen betreffenden Passus der Synopsis palmariorum matheseos (S. 263) ab:

In the circle, the diameter is to circumference as 1 to

- - etc. = 3 . 14159 etc. ==. n.5 239 3 53 2393 T 5 5s 2393This series (among others for the same purpose, and drawn from the • same principle) I receiv’d from the excellent analyst, and my much esteem’d friend Mr. J ohn M a ch in .Es scheint fast, als ob J ones absichtlich verbergen wollte, auf welche Weise

sein Freund die Reihe hergeleitet hatte, denn dieselbe kommt an einer Stellevor, wo es sich gar nicht um die Gr eg o ry sehe Reihe handelt (diese wird vonJ ones S. 243 erwähnt).

Etwa gleichzeitig mit dem Erscheinen der Synopsis gab J. H e rm a n n in einem Briefe an L e ib n iz vom 21. August 1706 die Herleitung der MACHiNSchen Reihe (siehe LEiBNizens M athematische Schriften, herausg. von C. I . G e r h a r d t IV, S. 303), und teilte auch die Formel

y = 2 arctg y — arctg y mit. G. E n eströ m .

3 : 3 6 5 , siehe BM 7 3, 1906, S. 94. — 3 : 3 6 7 , siehe BM 7 3, 1906, S. 215. — 3 : 3 7 0 - 3 7 1 , siehe BM 5 3, 1904, S. 308. — 3:382 , siehe BM 63, 1905, S. 213. —3 : 384, siehe BM 6 3, 1905, S. 319.

3 : 398. N ik o la u s I B e r n o u l l i war nicht der einzige, der im Jahre 1708 einen Beweis für die Richtigkeit des NEWTONSchen Verfahrens zur Aufsuchung von Faktoren eines Polynoms brachte. Einen solchen Beweis, der wesentlich mit dem BERNOULLischen zusammenfällt, teilte J. H e rm a n n fast gleichzeitig L e ib n iz mit (siehe L E iB N iz e n s Mathematische Schriften, herausg. von C. I. G e r h a r d t IY, Halle 1859, S. 328 — 331). Mit derselben Frage beschäftigte sich auch L e ib n iz selbst und gab in seinem Briefe an H e rm a n n vom 6. September 1708 (a. a. O. S. 335— 339) Auskunft über eine andere Methode zur Aufsuchung von Faktoren eines Polynoms. Für diesen Zweck wird zuerst das gegebene Polynom durch lineare Substitution auf die Form

a0xn + «i#™ — 1 4~ • • • + angebracht, wo alle Koeffizienten positiv sind. Dann wird statt x eine Zahl h eingesetzt, die größer ist als der größte der Koeffizienten, und alle Divisoren der auf diese Weise erhaltenen Zahl

a0hn + a1hn~ 1 + • • • 4" aufgesucht. Wird nun jeder der fraglichen Divisoren auf die Form

a0 hr + oc1 hr ~ 1 4 b «rgebracht, so weiß man, daß das transformierte Polynom nur Faktoren von der Form

a0 xr -f- ax xr ~ 1 -{- • • • + a r Bibliotheea Mathematica. III. Folge. VII. 20

306G . E h e s t k ö m .

haben kann, und d .ß immer J und £ ganz. Zahlen sein müssen. Ferner weiß

man auch, daß wenn<z0xr -f- o.1xr ~ H + a r

ein solcher Faktor ist, so muß es unter den aufgesuchten Divisoren nebender Zahl

eine andere Zahl ,a '/ « w '_ r + <*-\hn ~ r ~~ 1 + • • • + a w — r

’ geben, die die Eigenschaft hat, daß aaa ' = o0, a r a ; _ r = Man kannalso sofort alle Divisoren ausscheiden, die nicht die genannten Eigenschafte besitzen, und in betreff der übrigen erkennt man leicht durch Probieren, ob ihnen wirkliche Faktoren des transformierten Polynoms entsprechen Hat man alle Faktoren dieses Polynoms ermittelt, so ist es natürlich leicht auch dieFaktoren des gegebenen Polynoms zu bestimmen.

Die Hauptschwierigkeit des Verfahrens ist, wie L e ib n iz selbst hervorhebt,die Aufsuchung der Divisoren der Zahl

a0hn aYhn- 1 H h«» ,1 o G. ENESTRÖM.wenn diese sehr groß i s t . ___________

3 : 408, siehe BM 6 3, 1905, S. 213.

8 -4 1 2 Es mag sein, daß in betreff des Zeitabschnittes 1700— 1726 die wirklich bedeutenden deutschen Mathematiker am wenigsten Algebraiker waren aber auf der anderen Seite verdienen sicherlich andere deutscüe Mathematiker als P. H a l c k e hier genannt zu werden. So z. B. hat sich L e ib n iz im Vorübergehen mit der D e s c a r t e sehen Zeichenregel beschäftigt und den Beweis derselben auf den später von S e g n e r bewiesenen Satz, daß wenn die Gleichung

a0 xn + % xn — 1 + • • • + an =* 0, nur reelle Wurzeln hat, so ist

an ,a0 «s Gn—1

zurückgeführt (siehe den Brief an H e r m a n n vom 24. Juni 1707; Mathematische Schriften herausg. von C. I. G e r h a r d t , IV, S. 316). Den Satz selbst hat L e ib n iz freilich nicht bewiesen, aber er hat den Weg zur Erledigung der betreffenden Frage angewiesen. Denselben Gegenstand hat L e ib n iz fast gleichzeitig in einem Briefe an°CiiR. W o l f f berührt (siehe die Ausgabe von G e r h a r d t , Halle 1860, S. 64). Auch andere algebraische Fragen (vgl. oben) werden im Briefwechsel zwischen L e ib n iz und H e r m a n n behandelt. G. E n e s t r ö m .

3 : 447 , 455, siehe BM 8 3 , 1901, S. 151. — 3 : 473, siehe BM S 3, 1901, S. 154—155; 4 3, 1903, S. 401 — 3 : 477, 479, siehe BM 8 3, 1901, S. 151—152. — 3 :4 9 7 , 498, siehe BM 5 3, 1904, S. 309. — 3 : 507, siehe BM 5 3, 1904, S. 71—72. — 3:521, siehe BM ä 3, 1901, S. 441. — 3 : 527, siehe BM 7 3 , 1906, S. 95. —■ 3 :535 , siehe BM 4 3, 1903, S. 401. — 3 : 536, siehe BM 5 3, 1904, S. 206. — 3 : 560, siehe BM 6 3 , 1905, S. 319—321. — 3 : 565, siehe BM 3 3, 1902, S. 326—327. — 3 : 571, siehe BM 3 3, 1902, S. 327; 5 3, 1904, S. 72. — 3 : 578, siehe BM 3 3, 1902, S. 327; S3, 1904, S. 309. ___________


3 : 582. Der vollständige Titel der hier erwähnten Abhandlung von S e g n e r lautet: Ad virum excellentissimum atque experientissimum dominum, G e o r g iu m E r b a r d u m H a m b e r g e r u m , phil. et med. doct. in acad. Ienens. med. prof. extrord. ac phil. prof. publ. med. prov. Saxo-Vinar. Dissertatio epistolica qua regulam H a r r i o t i de modo ex aequationum signis numerum radicum tarn verarum quam spuriarum eas componentium, cognoscendi, demonstrare, simidque rationem structurae instrumenti novi, seciionibus conicis secundi generis pleris- que, ac omnibus primi, describendis, apti, exponere conatur J o a n n e s A n d r e a s S e g n e r , M. C. Jenae apud Ohristianum Franciscum Buchium (23 -f- (1) S. 4° — 1 Taf.). Wie ich schon in der BM 5s, 1904, S. 309 — 310 angegeben habe, erschien die Abhandlung im Jahre 1728, dagegen ist die daselbst vorkommende Angabe, daß das Titelblatt als Druckjahr MDCCXYIII hat, dahin zu modifizieren, daß am Ende der Seite 23 das verdruckte Datum „Die VII. Sept. Anni M.DCC.XVI1I“ steht. Vergleicht man den oben angeführten Titel mit dem von Herrn C a n t o r weiter unten (S. 609) angegebenen, so ersieht man, daß im letzteren die Worte: „tarn verarum quam spuriarum“ [d. h. sowohl positive wie negative] fehlen, welche Worte auf die Tatsache hinweisen, daß S e g n e r nur Gleichungen mit reellen Wurzeln behandelt. S. 4 gibt S e g n e r an, er habe aus den Elementa matheseos universae von O h r . W o l f e entnommen daß die betreffende Zeichenregel zuerst von H a r r i o t entdeckt wurde. Sein Beweis der Regel findet sich S. 4— 13 der Abhandlung und ist, so viel ich sehen kann, wesentlich richtig, obgleich weder besonders klar noch schön. S e g n e r beweist zuerst den später von d e G u a benutzten Satz, daß wenn die Gleichung

(A) a0 xn -f- «x xn —1 -f- a2 xn ~ 2 -f- • • • + «h ^ 0nur reelle Wurzeln hat, so ist

aJ > a l > a 3 ^ a n

CIO a \ a 2 Cln—1

Dann multipliziert er die Gleichung (A) mit x — m und zieht besonders in Betracht die Zeichenwechsel für die Fälle

« i « i . (Tg an .m > — > — — ! • • • • ) ------ > m.ao a,o « i a n — 1

Auf diese Weise findet er, daß durch die Multiplikation mit x — m immer ein Zeichenwechsel hinzukommt, weist nach, daß dasselbe Verfahren mit einer einfachen Modifikation angewendet werden kann, wenn nicht alle Koeffizienten positiv sind, und folgert daraus, daß jede Gleichung so viele positive Wurzeln besitzt wie die Zahl der Zeicbenwechsel. Zuletzt wird die Gleichung (A) mit x -\- m multipliziert, und dasselbe Verfahren benutzt, um den entsprechenden Satz in betreff der negativen Wurzeln herzuleiten. G. E n e s t r ö m .

3 :5 8 6 , 609, siehe BM 5 3, 1904, S. 309-310.

3 : 612. Es wäre vielleicht nicht ohne Interesse, inbetreff der EuLERSchen Abhandlung He solutione problemalum Diophantceorum per numeros integros hinzuzrrfügen, daß E u l e r die von ihm gestellte Frage durch Zurückführung auf die ganzzahlige Lösung der Gleichung 1 -f- ap2 = q2 erledigt. Dadurch bekommt er Anlaß, auf eine Methode zu verweisen, „qua olim jam usi sunt

2 0 *

3 08G. E n e s t r ö m .

P e l l iu s et F e r m a t iu s “ , und welche „in operibus W a l l is i i descripta extat“. Dies ist die erste gedruckte Abhandlung von E u l e r , w o dieser die BROUNCKERSche Lösung der Gleichung + 1 = </2 P « * zuschreibt. Auch von rein mathematischem Gesichtspunkte aus ist die Abhandlung für d.e Geschichte diesei S l S u n g von Interesse, w eil darin eine Tafel der kleinste» Werte von * und Ä r “ < 68 enthalten Ist. G E™ S™ 0M-

3 :6 1 4 , siehe BM 4 3, 1908, S. 89—90.

3 . 614— 61 5 Den von Herrn Ca n t o r hier angeführten Beweis des Satzes, daß keine Summe 'a* + zweier Quadrate (a und & teilerfremd) durch eine Primzahl von der Form 4 » - l teilbar ist, hatte E u l e r schon am Anfänge des Jahres 1742 gefunden (siehe seinen Brief an G o l d b a c h vom 6 . Mai : 1742 Correspondance mathématique et physique . . . p u b h e e p a r P H. ras , St -Pétersbourg 1843 S. 115— 117). Den Beweis des Satzes, daß die ungeladen Faktoren von a*m + ’ b2m (« und h teilerfremd) ausschließlich von der Form 2 m + l w + l sind, kannte E u l e r spätestens am Anfänge des Jahres 1 /45(siehe seinen Brief an G o l d b a c h vom 16. Februar 1745 ; Fuss a. a. 0 . 1, S. ). v G . E n e s t r o m .

9 ™ « , 1005 S 214 408. — 3 :686—637, siehe BM 8 3 , 1901,s 1“1 9 heBSM4Î 6; 1*901 1S04 41-2442- i , ?9oî? S. 207-208, 310. - 3 : 682,' siehe BM 6 3 ’, siehe BM Æ3 , iy°L T’ 1 . , ’ Jy _ a onu . asq aas. sip.Vie BM 8 «.

8 8 * I a e - 4 4 7 - 3 t 1901, S. 442-443 - 3 :8 1 9 sieheRM « 1 0 0 5 S 321 — 3 : 845, siehe BM 8 3 , 1901, S. 447; 3 3, 1902, S. 327—328. — 3-848 881 ’ siehe BM 83 , 1901, S. 443. — 3 :8 8 2 , s ie h e BM 8 3 , 1901, 7:l o i y S l S- 3 Ï m ï siehe BM 4s, 1903 S. 401 - 3:892, s ie h e BM 3 3, 1902, g 1 4 3 3 : IY (Vorwort), siebe BM £ 3, 1901, S. 443.

Anfragen und Antworten.

128. Über die B ezeichnung gew öhnlicher Brüche im christlichen M ittelalter nach der Einführung arabischer Ziffern. Bekanntlich wurden nach der Einführung der arabischen Rechenkunst in Europa die Brüche, wenn sie nicht mit Worten geschrieben wurden, zuerst ganz wie bei den älteren arabischen Mathematikern bezeichnet, d. h. mit dem Zähler oberhalb des Nenners aber ohne Bruchstrich. Soweit bekannt ist, war L e o n a r d o P i s a n o der erste abendländische Mathematiker, der diesen Strich benutzte, aber es dauerte lange Zeit, bevor der Bruchstrich allgemein angenommen wurde. Genauere Auskunft über die Geschichte der Bruchbezeichnung im Mittelalter sucht man vergebens in den gewöhnlichen mathematisch-historischen Handbüchern, und dennoch ist die Frage nicht ohne Interesse, denn im christlichen Mittelalter gab es wenigstens noch eine dritte Weise, um gewöhnliche Brüche zu bezeichnen. In einem anonymen Traktate (kaum später als 1350 verfaßt) mit dem Titel; „Brevis ars minuciarum“ (Anfang: „Cum minor quantitas aliquociens sumpta maiorem


componit“ ; Ende: „si multo maior fuerit“) der sieb im Cod. Vatic. Ottob. 309 findet, wird in betreif der Bezeichnung gewöhnlicher Brüche bemerkt:

Minuciam vulgarem scribes superius numeratorem inferius denominatorem ponendo . . . . Est etiam alius modus scribendi non peior predicto, uidelicet scribendo numeratorem et denominatorem dextrorsum cum curtella lineuncula recte ipsi denominatori superposita ut .3 . quintas sic 3 5, similiter .4 . 7mas4 7.Vielleicht gab es im christlichen Mittelalter noch andere Weisen, die ge

wöhnlichen Brüche zu bezeichnen, und für die Geschichte der mathematischen Zeichensprache wäre jedenfalls eine nähere Untersuchung der Frage von Interesse.


129. Ü ber die A nfänge d e r B enu tzung von N ull als eine w irk liche Größe. Für die Entwickelung der Mathematik hat bekanntlich die Verallgemeinerung des Begriffes „Größe“ eine wesentliche Bedeutung gehabt. Wichtig ist die Einführung negativer Größen gewesen, aber kaum weniger wichtig die Erkenntnis, daß es zweckmäßig ist, die Null als eine wirkliche Größe zu betrachten.

Abgesehen von den indischen Mathematikern scheint diese Erkenntnis aus dem 16. Jahrhundert herzustammen. Daß in dieser Zeit Gleichungen aufgestellt worden sind, deren rechtes Glied Null ist, war schon früher bekannt (vgl. B ib lio th . M athem . 3S, 1902, S. 145; 63, 1905, S. 402— 403; 7S, 1906, 58, 91, 214), aber auch auf andere Weise wurde im 16. Jahrhundert die Null als eine wirkliche Größe behandelt. So z. B. hat S t i f e l (Arithmetica Integra, Nürnberg 1544, Bl. 317b) den Ausdruck x® -j- 1 für einen gewissen Zweck unter der Form x 3 -\-0x2 - \ -0 x -{ - l geschrieben. Ferner hat T a r t a g l i a im 2. Teile des General trattato di numeri e misure (Venedig 1556, Bl. 89a) Subtraktionsbeispiele von der folgenden Form angegeben:

V45 + 0 ^45 — 0y 5 + 3 V 5 + 3

V20 — 3 ’ V20 — 3Ebenso finden sich im De aliza regula libellus (Basel 1570, S. 107— 108) des C a r d a n o Gleichungen von der Form

x 3 = a + bxwo a und b successiv verschiedene Werte nach einer gegebenen Regel bekommen,und dabei werden auch die Fälle in Betracht gezogen, in denen a oder b Nullist. Beispielsweise schreibt Ca r d a n o

1 cu 0 p: 1 pos., d. h. x 3 — 0 + x,1 cu 2\0 p: 0 pos. d. h. xz — 216 + Ox.

Man verlangt eine eingehende Untersuchung über die mathematischen Schriften des 16. Jahrhunderts, wo Null als wirkliche Größe behandelt wird.


BIO.Rezensionen.

Rezensionen.D. E . Smith. H i s t o r y o f m o d e r n m a t h e m a t i c s . Fourth edition, enlarged.

New York, Wiley 1906. 81 S. 8<>. 1 doll.Die erste Auflage dieser Schrift erschien 1896 als letztes Kapitel (S. o08

— 576) der Arbeit Higher matliematics. A text-book for classical and engineermg Colleges Edited by M. Merriman and R. S. Woodward, und wurde in der B ib lio tb . M athem . 1896, S. 8 4 - 8 9 besprochen. An sich muß es ja den e fasser sehr freuen, daß jetzt eine vierte erweiterte Auflage als besonderes Buc herausgegeben wird, aber leider ist damit ein Umstand verbunden, der weder dem

den Lesern angenehm sein kann. Der Verleger bat nämlich, wie aus dem Vorworte des Verfassers hervorgebt noch für dievi^ A^ die Stereotypplatten der ersten Auflage angewendet, so daß es Herrn S m i i h I S ! r, seine Darstellung zu verbessern, sofern es sich nicht um ganz kleine Änderungen bandelte, z. B. statt „all“ (S. 24 Z. 8) das W ort many zu setzen Nun ist es klar, daß die im Laufe der zehn letzten Jahren erschienenen mathematisch-historischen Arbeiten viel Material enthalten müssen, wodurch die ursprüngliche Darstellung des Herrn S m it h z u modifizieren oder wesentlich zu ergänzen ist, so daß schon aus diesem Grunde eine neue Bearbeitung gewisser Stellen erwünscht wäre. Hierzu kommt noch, teils daß dei Verfasser seit 1896 seine mathematisch-historischen Studien eingehend fortgesetzt hat so daß er sicherlich ohne Bezugnahme auf die neueste Literatui S Verbesserungen vornehmen würde, wenn es ihm gestattet wäre, eme wirklich neue Auflage zu veranstalten, teils daß gewisse Angaben die 1 korrekt sein konnten, jetzt unrichtig sind, z. B der Verweis (S. 8) auf i die erschienenen 26 (richtiger 25) Bände der F o r t s c h r i t t e d er M a th e m a tik (bekanntlich sind jetzt 35 Bände erschienen) und die Angabe (S 69), nur zwei Bände der HAGEsschen Synopsis der höheren Mathematik hei ausgegeben sind. ..

Es ist natürlich, daß der Verfasser die Ubelstände, welche die Benutzung der ursprünglichen Stereotypplatten mit sich geführt haben, nur in geringem Grade durch die Zusätze (S. 70 — 77) beseitigen konnte. Abgesehen vom Schlußkapitel (S. 74— 77), das unter dem Titel „General tendencies“ eine Übersicht der Hauptrichtungen auf dem mathematischen Forschungsgebiete am Ende des 19. Jahrhunderts bringt, sind die Zusätze wesentlich bibliographischer Natur. Vermutlich hat es der Verfasser zwecklos gefunden, die historischen Angaben nachträglich zu berichtigen und zu ergänzen, auch an den Stellen, wo er offenbar selbst imstande war, Verbesserungen zu bieten. Unter solchen Umständen ist es angebracht, von einer eingehenden Kritik der Einzelheiten

Rezensionen. 311

der SiiiTHSchen Darstellung abzusehen, da diese Kritik eigentlich den Verleger und nicht den Verfasser treffen würde. Nur einige kleine Bemerkungen, die ich ganz gelegentlich notiert habe, bringe ich hier unten zum Abdruck.

S. 9. Wenn nur ein einziger Mathematiker des 17. Jahrhunderts genannt werden soll, der zur Entwickelung der Algebra beigetragen hat, so kommt dabei kaum H a r r i o t in Betracht, sofern man nicht mit W a l l i s in die Artis analyticae praxis Sachen hineinliest, die gar nicht darin stehen.

S. 11. Warum V ie te neben B a c h e t und F e rm a t als Arbeiter auf dem zahlentheoretischen Gebiete hervorgehoben wird, verstehe ich nicht. Meines Wissens hat sich jener kaum mit der Zahlentheorie beschäftigt, denn seine Tafel der rationalen Lösungen der Gleichung x 2 y 2 = z2 gehört eigentlich nicht hierher.

S. 15. Schon vor E u le r hatte C o te s (1722) eine Formel, die mit cos x -f- i sin x = eix wesentlich zusammenfällt, angegeben (vgl. B ib lio th . M athem . 23, 1901, S. 442).

S. 16. Der Term „Richtungskoeffizient“ wurde vor H a n k e l von M. C a n to r (Grundzüge der Elementarmathematik, Heidelberg 1855) benutzt.

S. 19. Der Grund, warum Herr Sm ith für die NEWTONSche Approximationsmethode die Jahreszahl 1711 angibt, ist leicht aufzufinden. Die Methode wurde nämlich von N ew to n selbst in der Analysis per aequationes numero terminorum infmitas auseinandergesetzt, und diese Abhandlung, die freilich schon 1669 fertig war, erschien im Jahre 1711. Auf der anderen Seite wurdedie Approximationsmethode 1685 von W allis im 94. Kapitel (S. 338 339)seiner Treatise of algehra veröffentlicht, und statt 1711 könnte also mit größerem Rechte 1685 gesetzt werden.

S. 23. Die Angabe, das G ira rd eine Formel fü r die Summe der Potenzen der Wurzeln einer Gleichung aufstellte, ist insofern ungenau, als G ira rd nur die Summen der vier ersten Potenzen (Invention nouvelle en l’algehre, Amsterdam 1629, Bl. F 2a) angegeben hat.

S. 33. Ich weiß jetzt ebensowenig als vor zehn Jahren (vgl. B ib lio th . M athem . 1896, S. 85), aus welchem Grunde T a y lo r als Urheber des Operations- kalkuls („symbolic method“) angegeben wird. Mit ebenso großem Rechte könnte wohl L eibniz als Urheber desselben genannt werden, wegen seines bekannten Hinweises auf die Analogie zwischen den Formeln für dm (x y ) und (x y)m (vgl. seinen Brief an Jo h a n n B e r n o u l l i vom 16. Mai 1695; Commercium philosophicum et mathematicum, Lausannae 1745, I S. 46 — 47). Durch diesen Hinweis wurde Jo h a n n B e r n o u l l i (siehe seinen Brief an L eibniz vom 18. Juni 1695; a. a. 0 , I S. 52) veranlaßt zu bemerken, daß man in gewissen Fällen die Differentiationszeichen do, d \ d2, d3 etc. als algebraische Größen behandeln konnte, was ja gerade das Prinzip des Operationskalkuls ist.

S. 50. Hier würde ich empfehlen, die zweite Fußnote (E n eströ m G., Review of C a n to r , Bibliotheca Mathematica 1896, p. 20) zu streichen. An der zitierten Stelle bemerkte ich nur, daß die erste Auflage der Doctrine of chances im Jahre 1 /18 erschien, ein Umstand, der natürlich schon längst bekannt ist.

S. 68— 73. Die hier mitgeteilte mathematisch-historische Bibliographie kann zu verschiedenen Bemerkungen Anlaß geben, da es zum Teil eine Geschmackssache ist, was man dabei erwähnen oder stillschweigend übergehen soll. Meiner Ansicht nach sind einige der wirklich aufgeführten Schriften °kaum er-

g I 2 Rezensionen.

wähnenswert und auf der anderen Seite sollten wenigstens einige der von der Deutschen Mathematiker-Vereinigung veröffentlichten Berichte gena™ ^ Unter den übrigen Arbeiten, deren Titel ich hier vermisse nenne ich nur diezweite w esen tlich erweitert, Auflage des Loa.ASche» Buches « presente dette prinäpaUteeree i r , A c f r . ™ o 8 9 6 B k a u m u h l .über Geschichte der Trigonometrie (Leipzig 1900- 1903) vo .

8 75 Hier wird der internationale Philosophen-Kongi eß m i anserwähnt, aber nicht der von m a t h e m a t i s c h - h i s t o r i s c h e m toichtspunkte aus weiwichtigere gleichzeitige Kongreß für Geschichte der Wissenschaften, desse Präsident P a u l T am lb v war und dessen Verhandlungen non i h m A » ueeeben sind. Dieser Kongreß ist der unmittelbare Vorgänger des von Herrn

‘ H r Î M Ä Druckfehlern der ursprünglichen Stereotypplatten sind nur wenige verbessert worden. Von unrichtigen Namen linden sich noch .Le Sœur" (S. 24) statt Th L.i S.™ oder L“ "™*(S. 33) statt J. F. F r a n ç a i s , „Hersel“ (S. 64) statt J. F. Ch. H e s ,

hinzugekommen ist der Fehler „Segré“ (S. 75) statt C. Segre _Das Buch ist mit einem Index versehen, der aber nur Sachregister, nicht

laß a . vermutlich recht bald nütige fünfte Auflage wirklich eine neue Bearbeitung und nicht, wie die bisherigen Auflagen, ein Abdruck der Stereotypplatten der ersten Auflage brachte. Eneström

Stockholm.

Neuerschienene Schriften. 3 13

Neuerschienene Schriften,Das Zeichen * bedeutet, daß die betreifende Schrift der Redaktion nicht Vorgelegen hat.

Autoren-Register.Ahrens, 18, 72.Amodeo, 46, 56.Appell, 102.Aubry, 53.Baillaud, 77.Ball, 19.Bar-Hebraeus, 31. Benedict, 37.Bernoulli, D., 57. Bonola, 9, 79.Bosnians, 39.Bourget, 77.Burkhardt, 61. Butterfield, 15.Cantor, t .Carrara, 45.Ozuber, 59.Dalwigk, 100.Duhem, 12,13, 14,29,47. Dyck, 101.Enestrom, 1,32,57,65,99.

Euler, 57.Favaro, 40, 41, 42,43,44. Fehr, 92.Galilei, 40.Gauss, 67.Geer, 50, 51.Gérard, 6 8 .Gerland, 54.Gravelaar, 28.Greilach, 8 .Guéroult, 78. GuimarSes, 81. Hardcastle, 76.Harzer, 21.Hayashi, 64.Helmholtz, 78.Hermite, 77.Hill, 96.Hunrath, 38.Huygens, 48, 49. Jourdain, 75.

Kapteyn, 4.Kiebitz, 87.Kistner, 11.Kluyver, 4, 64. Königsberger, 71. Korteweg, 4, 49. Kramer, 26.Krazer, 5.Lampa, 84.Lampe, 3, 74.Leibniz, 54.Loria, 2, 98.Löschner, 16.Lucas de Pesloiian, 69. Macfarlane, 63. Manitius, 25.Mansion, 95.Maseart, 52.Mathé, 6 6 .Moivre, 59.Moors, 23.

Muir, 55.Miiller, Felix, 17, 73. Nau, 31.Picard, 7.Rotch, 58.Schmidt, M. C. P., 24, Schoute, 4.Schur, 60.Shearman, 10. Silberberg, 33.Simon, 62.Smith, 20, 36.Solmi, 34.Stieltjes, 77.Suter, 27.Tannery, J., 70. Vries, 4.Vogl, 30.Voit, 82.Weber, W., 67. Wölffing, 103.

a) Z e itsch r iften . A llg em e in es .Bibliotheca Mathematica. Zeitschrift für

Geschichte der mathematischen Wissenschaften. Herausgegeben von G. Ene- s t b ö m . Leipzig (Stockholm). 8 ° . [1

73 (1906) : 2.Bollettino di bibliogxafia e storia delle

scienze matematiche pubhlicato per cura di G. L o ria . Torino (Genova). 8 °. [2

1906 : 2.Jahrbuch über die Fortschritte der Mathe

matik, herausgegehen von E. L a m p e . Berlin. 8°. [3

35 (1904): 2.Revue semestrielle des publications mathé

matiques, rédigée sous les auspices de la société mathématique d’Amsterdam par H. d e V e i e s . D. J. K o r t e w e g , J. C. K i . u y v e r , W. K a p t e y n , P. H. S c h o u t e . Amsterdam. 8°. [4

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Cantor, M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik.—■ 1‘2(1894). [KleineBemerkungen:] Biblioth. Mathem. 73, 1906 , 203—207. (G. E n e - s t e ö m .) — 2‘2 (1900). [Kleine Bemerkungen :] Biblioth. Mathem. 73, 1906, 207— 214. (G. Ë n e - s t b ö m , H. B o s m a n s . ) *— 3'2 (1901). [Kleine Bemerkungen:] Biblioth. Mathem. 73, 1906, 215. (G. E n e s t h ö m . ) [6

Picard, E., Sur le développement de l ’analyse et ses rapports avec diverses sciences (1905). [Rezension :J Science 232, 1906,912. (M. B ô c h e b .)

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Bonola, R., La geometria non-euclidea. Esposizione storico-critica del suo sviluppo. Bologna, Zanichelli 1906. [9

80, (2) + VI + (2) -)- 213 + (1) S. — [5 lire.]* Shearman, A. T., Development of sym

bolic logic; a critical-historical study of the logical calculus. London, Williams & Norgate 1906. [10

12«, 254 S. — [5 sh.]* K istner, A., Geschichte der Physik.

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Wissenschaftliche Chronik. 317

Wissenschaftliche Chronik.Ernennungen.

— Dr. L. D. A m e s in Columbia zum Professor der Mathematik an der Universität von Missouri daselbst.— C. Bourlkt in Paris zum Professor

der darstellenden Geometrie am „Conservatoire des arts et metiers“ in Paris.— P. P. Boyd zum Professor der Mathe

matik am Hanover college, Indiana.— Professor E. W. B r o w n in Haverford

zum Professor der Mathematik an der „Yale university“ in New Haven.

— Miß Mabel Chase zum Professor der Physik am „Mount Holyoke college“ in South Hadley, Mass.— „Instructor“ H. L. Coah in Urbana zum

Professor der Mathematik am „Marietta college“ in Marietta, Ohio.— Dr. H. L. Cooke in Cambridge (Eng

land) zum Professor der Physik an der Universität in Princeton.— Privatdozent I. F kedholm in Stock

holm zum Professor der Mechanik und mathematischen Physik an der Universität daselbst.— Privatdozent T. Godlewski in Lem

berg zum Professor der Physik an der Technischen Hochschule daselbst.— Dr. C. C. Gbove zum Professor der

Mathematik am „Hamilton college“ in Clinton, N. Y.— Privatdozent J. Grünwald in Wien

zum Professor der Mathematik an der deutschen Universität in Prag.— Dr. Gutton in Nancy zum Professor

der Physik an der Universität daselbst.— Professor G. B. H alsted in Gambier

zum Professor der Mathematik an der „State normal school of Colorado“ in Greeley.

— Dr. J. I v e y zum Professor der Mathematik und Astronomie an der „Tulane university“.

— Privatdozent A. Kahlähne in Heidelberg zum Professor der Physik an der Technischen Hochschule in Danzig.— Professor G. Landsbekg in Breslau

zum Professor der Mathematik an der Universität in Kiel.— Privatdozent H. Mache in Wien zum

Professor der Experimentalphysik an der Universität in Innsbruck.— Professor T h . E. McKinney in Marietta

zum Professor der Mathematik an der „Wesleyan university“.— „Instructor“ B. MacN utt an der

„Lehigh university“ zum Professor der Physik daselbst.— H. D. Minchin in Rochester zum Pro

fessor der Physik daselbst.— J. Muir in Glasgow zum Professor

der Physik am „Technical college“ daselbst.— W. J. N ewlin zum Professor der

Mathematik und Philosophie am „Amherst college“.— „Instructor“ J. H. Ogburn an der

„Lehigh university“ zum Professor derMathematik und Astronomie daselbst.— Professor H. R eissner in Berlin zum

Professor der Mechanik an der Technischen Hochschule in Aachen.— Dr. 0. W. R ichardson in Cambridge

(England) zum Professor der Physik an der Universität in Princeton.— Dr. J. T. R ood zum Professor der

Mathematik am „Ursinus college“ in Collegeville, Pa.— Professor H. R ubens in Berlin zum

Professor der Physik an der Universität daselbst.


— Professor W. H. S almon zum Professor der Physik an der Universität von New Brunswick.

— Professor G. S c h efeers in Darmstadt zum Professor der Mathematik an der Technischen Hochschule in Berlin.— Professor H. S chöne in Königsberg,

Herausgeber der H eron sehen „Metrica“ zum Professor der klassischen Philologie an der Universität in Basel.— Privatdozent W. S e it z in Würzburg

zum Dozenten der Physik au der technischen Hochschule in Aachen.

— Professor A. S ommerfeld in Aachen zum Professor der Physik an der Universität in München.

— Professor J. S t e in in Katwijk (Holland) zum Observator an der Yatikanischen Sternwarte in Born.— Professor Fr. S trein tz in Graz zum

Professor der Physik an der Technischen Hochschule daselbst. J. M. T hornton zum Professor der

Mathematik an der Universität von West- Virginia.

— Professor A . T ro w brid g e an der Universität von Wisconsin zum Professor der mathematischen Physik an der Universität in Princeton.— Professor H. df. V r ies in Delft zum

Professor der Mathematik an der Universität in Amsterdam.

Professor R. W a chsm uth in Berlinzum Professor der Experimentalphysik an der Bergakademie daselbst.

— Miß M. H. W a lbr id g e zum Professor der Mathematik und Physik am „Wells College“ in Aurora, N. Y.— Privatdozent R. W e b er in Heidelberg

zum Professor der Physik an der Universität daselbst.

— Professor A. W e h n el t in Erlangen zum Professor der theoretischen Physik an der Universität in Berlin.— Professor K. Z sigmondy in Prag zum

Professor der Mathematik an der Technischen Hochschule in Wien.

Todesfälle.— D avide B e ss o , früher Professor der

Mathematik an der Universität in Modena, geboren 1845 (?), gestorben zu Frascati 1906.

— L u d w ig B o ltzm ann , Professor der Physik an der Universität in Wien, geboren in Wien den 20. Februar 1844, ge

storben zu Duino bei Görz den 6. September 1906.

— J oseph F rançois B ossert, Astronom an der Sternwarte in Paris, geboren in Blandy den 30. November 1851, gestorben den 21. Juni 1906.

— E rnesto Cesàro, Professor der Mathematik an der Universität in Neapel, geboren in N e a p e lden 12. März 1859, gestorben i n Torre Annunziata den 12. September 1906.

— P aul D rude, Professor der Physik an der Universität in Berlin, geboren in Braunschweig den 12. Juli 1863, gestorben in Berlin den 5. Juli 1906.

— T homas H aiirison, früher Professor der Mathematik an der Universität in New Brunswick, gestorben den 18. September 1906, 68 Jahre alt.

— G aston A lb e r t G oh lerre d e L ong- c h a m p s , Examinator an der Militärschule in St. Cyr, geboren in Alençon den 1. März 1842, gestorben in Paris den 9. Juli 1906. S. N. Maillard, Professor der Mathe

matik an der „Faculté des sciences“ in Poitiers, gestorben 1906, 61 Jahre alt.

— A ntonino Mascari, Assistent an der Sternwarte in Catania, gestorben den 18. Oktober 1906, 44 Jahre alt.

— L udwig Matthiessen, früher Professor der Physik an der Universität in Rostock, geboren in Fissau bei Eutin den 22. September 1830, gestorben den 15-Oktober 1906.

— Georges A ntoine R atet, Professor der Astronomie an der Universität in Bordeaux, geboren in Bordeaux den 12. Dezember 1839, gestorben 1906.

— Karl Johann K onrad R einhertz, Professor der Geodäsie an der Technischen Hochschule in Hannover, geboren inXanten (Rheinprov.) den 19. Juni 1859, gestorben den 22. August 1906.

— J osephdeT flly, Generalleutnant, früher Direktor der „Ecole militaire“ in Brüssel, geboren in Ypres den 16. August 1837, gestorben in Schaerbeek den 4. August 1906.

— P aul W oleskehl, früher Privatdozent der Mathematik an der Technischen Hochschule in Darmstadt, geboren in Darmstadt den 30. Juni 1856, gestorben den 13. September 1906.

Demnächst erscheinende inathematisch- literarische Werke.

— Eine zweite, wesentlich erweiterte Auflage der Arbeit des Herrn R. Guimaraes:

<r

Wissenschaftliche Chronik. 3 1 9

„Les mathématiques en Portugal“, deren erste Auflage im Jahre 1900 erschien, ist jetzt unter der Presse, und etwa 20 Bogen sind schon gedruckt.— Der Druck der „Einführung in die

mathematische Literatur“ des Herrn F elix Müllek (vgl. B ib lio th . Mathem. 53, 1904, S. 94—95) hat jetzt begonnen.

Mathematisch-historische Arbeiten in Vorbereitung.

— Der noch ausstehende Band (Geschichte der Physik) der Sammlung Geschichte der Wissenschaften in Deutschland, mit dessen Abfassung zuerst G. Kaksten und dann A. Hellek betraut wurde, ist seit einiger Zeit vom Professor E. Gerland in Klausthal in Angriff genommen und wird voraussichtlich bis Ostern 1909 druckfertig vorliegen.

Vorlesungen über Geschichte <ler mathematischen Wissenschaften.

— An der Universität in Berlin hat Professor W. F örster für das Wintersemester 1906—1907 eine zweistündige Vorlesung über Geschichte der mittelalterlichen Astronomie angekündigt.

— An der Universität in Greifswald hat Privatdozent B erg für das Wintersemester 1906—1907 eine Vorlesung über Geschichte der neueren Physik angekündigt.— An der Technischen Hochschule in

Darmstadt hat Professor F. Graefe für das Wintersemester 1906—1Ô07 eine Vorlesung über Geschichte der Mathematik angekündigt.— An der Universität in Königsberg hat

Privatdozent Schmidt für das Wintersemester 1906-—1907 eine Vorlesung über Die großen Physiker und ihre Leistungen angekündigt.— An der Universität in Neapel hat

Professor F. Amodeo für das Wintersemester 1906 —1907 eine vierstündige Vorlesung über Geschichte der Mathematik 1200—1800 angekündigt.— An der Universität in Padua hat

Professor A. F avaro für das Wintersemester 1906—1907 eine dreistündige Vorlesung über Geschichte der italienischen Mathematik im 16. Jahrhundert angekündigt.— An der Universität in Straßburg hat

Professor M. S imon für das Wintersemester

1906—1907 eine zweistündige Vorlesung über Geschichte der Mathematik im Altertum in Verbindung mit Kulturgeschichte angekündigt.

Gekrönte Prefcschriften.— Die preußische Akademie der Wissen

schaften in Berlin hat Herrn F. Mertens in Wien einen Preis für sein Werk über zyklische Gleichungen zuerkannt.

Preisfragen gelehrter Gesellschaften.— Académie de Belgique à Bruxelles

Entre les éléments de deux formes du second ordre (deux systèmes plans non superposés, un système plan et une gerbe, deux gerbes de sommets différents), on établit une correspondance quadratique („Verwandtschaft zweiten Grades“ dans le sens de R eye, Geometrie der Lage, vol. II, chap. XXII). Etudier les systèmes d’éléments qu’on déduit par jonction ou par intersection des couples d’éléments homologues des deux formes du second ordre.

Mathematiker -Versammlungen im Jahre 1906.

— Deutsche Mathematiker-Vereinigung. Die Jahresversammlung 1906 derDeutschen Mathematiker-Vereinigung fand zu Stuttgart 16.—20. September statt. Vorträge wurden von den Herren O. B lumenthal, A. P ringsheim, G. F aber, O. P erron, F. Hartogs, P. Stäckel, D. H ilbert, E. H ilb , M. Krause, P. K oebe, W. F r. Meyer, P. ScHAFHEITLIN, A. ScHÖNFLIES, G. H eSSEN- berg, G. Landsberg, K. R ohn, C. J uel, T h . S chmid, R. M üller, H. W iener , C. R unge, R. Mehmke, A. W agenmann gehalten. Zwei Mitglieder der Vereinigung wurden beauftragt, mit der Göttinger Universitätsbibliothek zu verhandeln, ob und unter welchen Bedingungen die Bibliothek bereit wäre, Manuskripte und Briefe verstorbener Mathematiker, welche ihr von der Deutschen Mathematik er-Vereinigung übergeben werden, aufzubewahren. Es wurde ferner beschlossen, auf der nächsten Jahresversammlung eine Sitzung dem Andenken E ulers zu widmen.— Mathematics at the British association

1906. The British association for the ad- vancement of science met at York 1906, August 3; the mathematical session was

320W issenschaftliche Chronik.

held under the presidency of Mr. E. H. Griffiths. Mathematical papers were read by 0. H enrici, A. C. D ixon, A. Cunningham, A. R. F orsyth, P. A. Mac Mahon, H. H ilton, T. J. I’a B romwich, A. R. R ichardson and A. L odge.

Yermischtes.— L’histoire des mathématiques et l'en

seignement secondaire en France. Les modifications apportées au plan d’études

des lycées et collèges de garçons du 31 mai 1902 (arrêtés des 27, 28 juillet et 8 septembre 1905) contiennent entre autres le conseil suivant à propos de l’enseignement mathématique: 11 est recommandé aumaître d’introduire dans son enseignement quelques notions historiques; ainsi il pourra parler de la méthode d exhaustion chez les anciens (E uclide, A rchimède) et donner quelques détails sur 1 invention du calcul différentiel et intégral.

J. L. H e i b e r g u n d II. G. Z e u t h e n : Eine neue Schrift des Archimedes. 321

Eine neue Schrift des Archimedes.Von J. L. H e i b e r g und H. G. Z e u t h e n in Köbenhavn.

Im vorigen Sommer habe ich im Metocbion (in Konstantinopel) des Klosters des b. Grabes in Jerusalem eine Handschrift untersucht, die unter einem Euchologion des 13. Jahrhunderts Schriften des A r c h i m e d e s enthält in schöner Minuskel des 10. Jahrhunderts, die nur abgewaschen, nicht ausradiert, und mit der Lupe einigermaßen lesbar ist.

Die Hs., no. 355, 4to, aus dem Kloster des h. Sabba bei Jerusalem stammend, ist beschrieben von P a p a d o p u l o s K e r a m e u s , 'IeqoooXviäitlw) ßißModfjKT), IV S. 329,J) der eine Probe der unteren Schrift gibt; daraus war es mir sofort ersichtlich, daß der alte Text A r c h i m e d e s ist. Es sind in der Hs. große Stücke von Ilegi ¿ A Ik o jv und Ilsoi oepalQag uai uv/Jvögov erhalten, kleinere von ’Enmädiov loooQonku und K vkäov /xeTQijOig, die ich verglichen habe und für eine in Angriff genommene Neubearbeitung der Werke des A r c h i m e d e s verwerten werde; der Ertrag ist übrigens nicht groß. Wichtiger ist es schon, daß die Hs. den griechischen Text von ÜeqI ö/ov/uevcov fast vollständig enthält, wovon man bisher nur die lateinische Übersetzung W i l h e l m s v o n M o e r b e k besaß;2) ihre vielen Lücken und schweren Verderbnisse lassen sich jetzt vollständig heilen. Außerdem findet sich der Anfang einer Abhandlung über das oxofxa^iov, wovon S u t e r (A bhandl. z. Gesch. der Mathem. 9,1899, S. 493 499) einanderes, nur arabisch erhaltenes Bruchstück veröffentlicht hat; es ist dei „loculus Archimedius", eine Art „chinesischen Spiels".3)

Bei weitem die wichtigste Bereicherung, die uns durch die Hs. zuteil wird, ist aber ein großes Stück einer Schrift mit dem Titel: Aq/i/^tj^ovs jieqI tö v fir]/avuKöv Deo)Q1]uutojv ttqÖ£ EQaroOdevrjv icpodos. Es ist das

1) Hierauf machte mich Prof. H. S chöne aufmerksam.2) Daß das griechische Fragment A rchimedis Opera II, S. 356 358 unecht ist, be

stätigt sich jetzt.3) Durch den griechischen Titel erledigt sich die Erklärung Suters von dem

arabischen s(i)tomaschion. Ztofid%i°v bedeutet nach einer scharfsinnigen Vermutung meines Kollegen A. B. D rachmann : Neck-Spiel (worüber man sich ärgert); vergl. stomachari.

Bibliotheca Matliematica. III. Folge. VII. 21

’Ewoöiuöv, das T h e o d o s i o s kommentiert hatte und H e r o n mehrmals zitiert {MexQiuä ed. S c h ö n e S. 80, 17; 84, 11; 130, 15, 25). Zu dem Satz über den Flächeninhalt eines Parabelsegments, den H e r o n zitiert, ist nur der mechanische Beweis erhalten, der versprochene geometrische (derselbe als in der erhaltenen Quadratura parabolae) ist mit dem Schluß des Werks verloren gegangen. Dasselbe Schicksal hat den von H e r o n S. 130, 25 angeführten Satz betroffen, wovon keine Spur erhalten ist. Dagegen ist von den Beweisen für den anderen von H e r o n erwähnten Satz (vom Rauminhalt eines Cylinderhufs) so viel erhalten, daß eine vollständige Herstellung inhaltlich möglich ist. Überhaupt sind die noch übrigen Lücken im erhaltenen Teil nur selten für den Inhalt von Bedeutung. Im übrigen lasse ich die Schrift für sich selbst sprechen.

Der hergestellte griechische Text mit mehr philologischem Commentar wird im nächsten Heft des Hermes erscheinen. Hier lege ich den Mathematikern eine genaue Übersetzung vor. Was ich ergänzt habe, steht in [ ] ; inhaltlich absolut sichere Ergänzungen sind nicht bezeichnet, und offenbare Schreibfehler habe ich stillschweigend berichtigt.

J. L. H e i b e r g .

2 2 2 J- L - H e i b e r g u n d H . G. Z e u t h e n .

Des A r c h im e d e s Methodenlehre von den mechanischen Lehrsätzen,a n E r a t o s t h e n e s .

A r c h im e d e s grüßt den E r a t o s t h e n e s .

Ich habe dir früher einige der von mir gefundenen Lehrsätze übersandt, indem ich nur die Sätze verzeichnete, mit der Aufforderung, die vorläufig nicht angegebenen Beweise zu finden. Die Sätze der dir zugeschickten Theoreme waren folgende:

1. Wenn in ein rechtstehendes Prisma mit einem Parallelogramm1) als Grundfläche ein Zylinder eingeschrieben wird, der die Grundflächen in den gegenstehendeu Parallelogrammen1) hat, die Seitenlinien aber auf den übrigen Ebenen des Prismas, und durch den Mittelpunkt des Kreises, der Grundfläche des Zylinders ist, und einer Seite des in der gegenstehenden Ebene gelegenen Quadrats eine Ebene gelegt wird, so wird diese Ebene vom Zylinder ein Stück abschneiden, das begrenzt wird durch zwei Ebenen, die schneidende und die, worin die Grundfläche des Zylinders liegt, und durch die zwischen den genannten Ebenen liegende Zylinderfläche, und das abgeschnittene Stück des Zylinders ist 1/g des ganzen Prismas.

1) Muß heißen: Quadrat.

Eine neue Schrift des Archimedes. 323

2. Wenn in einen Würfel ein Zylinder eingeschrieben wird, der die Grundflächen in den gegen stehenden Parallelogrammen *) hat und mit der Zylinderfläche die übrigen vier Ebenen berührt, und ferner in denselben Würfel ein zweiter Zylinder eingeschrieben wird, der die Grundflächen in zwei anderen Parallelogrammen1) hat und mit der Zylinderfläche die vier übrigen Ebenen berührt, so wird der von den Zylinderflächen eingeschlossene Körper, der in beiden Zylindern enthalten ist, 2/3 des ganzen Würfels sein.

Diese Lehrsätze sind von den früher mitgeteilten wesentlich verschieden; jene Körper nämlich, die Konoiden und Sphäroiden und ihre Segmente, verglichen wir mit dem Rauminhalt von Kegeln und Zylindern, aber keiner derselben wurde einem von Ebenen umschlossenen Körper gleich gefunden; von diesen Körpern dagegen, die von zwei Ebenen und Zylinderflächen umschlossen sind, wird jeder einem der von Ebenen umschlossenen Körper gleich gefunden. Die Beweise dieser Lehrsätze schicke ich dir also in diesem Buche.

Da ich aber, wie ich schon früher sagte, sehe, daß du ein tüchtiger Gelehrter bist und nicht nur ein hervorragender Lehrer der Philosophie, sondern auch ein Bewunderer [mathematischer Forschung], so habe ich für gut befunden dir auseinanderzusetzen und in dieses selbe Buch niederzulegen eine eigentümliche Methode, wodurch dir die Möglichkeit geboten werden wird, eine Anleitung herzunehmen um einige mathematische Fragen durch die Mechanik zu untersuchen. Und dies ist nach meiner Überzeugung ebenso nützlich auch um die Lehrsätze selbst zu beweisen; denn manches, was mir vorher durch die Mechanik klar geworden, wurde nachher bewiesen durch die Geometrie, weil die Behandlung durch jene Methode noch nicht durch Beweis begründet war; es ist nämlich leichter, wenn man durch diese Methode vorher eine Vorstellung von den Fragen gewonnen hat, den Beweis herzustellen als ihn ohne eine vorläufige Vorstellung zu erfinden. So wird man auch an den bekannten Lehrsätzen, deren Beweis E u d o x o s zuerst gefunden hat, nämlich von dem Kegel und der Pyramide, daß sie ^3 sind, der Kegel des Zylinders und die Pyramide des Prismas, die dieselbe Grundfläche und gleiche Höhe haben, dem DemoKRITOS einen nicht geringen Anteil zuerkennen, der zuerst von dem erwähnten Körper den Ausspruch getan hat ohne Beweis. Wir sind aber in der Lage auch den jetzt zu veröffentlichenden Lehrsatz [in derselben Weise] früher gefunden zu haben und fühlen uns jetzt genötigt, die Methode bekannt zu machen, teils weil wir früher davon gesprochen haben, damit niemand glaube, wir hätten ein leeres Gerede verbreitet, teils in der Überzeugung, dadurch nicht geringen Nutzen für die Mathematik

1) Muß heißen Quadrat.21*

zu stiften; ich nehme nämlich an, daß jemand von d e n jetzigen oder künftigen Forschern durch die hier dargelegte Methode auch andere Le r sätze finden wird, die uns noch nicht eingefallen sind.

Zuerst legen wir nun das dar, was uns auch zuerst klar geworden durch die Mechanik, daß ein Parabelsegment 4/3 ist des Dreiecks, das le- selbe Grundfläche und gleiche Höhe hat, darauf aber der Reihe nach die einzelnen durch die genannte Methode gefundenen Lehrsätze; und am Schluß des Buches legen wir dar die geometrischen [Beweise der genannten Lehrsätze] [Voraus schicken wir folgende Satze, die wir..be

nutzen werden:]................................................................................................... ,1 Wenn von [einer Größe eine andere Größe weggenommen wird,

die nicht denselben Schwerpunkt hat, findet man den Schwerpunkt des Rests wenn man die Gerade, welche die Schwerpunkte des ganzen und des weggenommenen Teils verbindet, nach der Seite hin, wo der Schwerpunkt des ganzen liegt,] verlängert und auf ihr eine Gerade absetzt, die zur Geraden zwischen den genannten Schwerpunkten sich verhalt wie as Gewicht der weggenommenen Größe zum Gewicht des Rests [De plan.aequü. 18] . „

2. Wenn die Schwerpunkte einer beliebigen Anzahl von Großen aulderselben Geraden liegen, wird auch der Schwerpunkt der aus allen zusammengesetzten Größe auf derselben Geraden liegen [vergl. ib. 5J.

3. Der Schwerpunkt einer Geraden ist der Mittelpunkt der Geraden[vergl. ib. I 4].

4. Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, worin die von den Winkelspitzen des Dreiecks zu den Mittelpunkten der Seiten gezogenenGeraden sich schneiden [ib. I 14],

5. Der Schwerpunkt eines Parallelogramms ist der Punkt, worin dieDiagonale sich treffen [ib. I 10]. .

6. Der Schwerpunkt [eines Kreises] ist der Mittelpunkt [des Kreises].7. Der Schwerpunkt eines Zylinders ist der Mittelpunkt der Achse.8. Der Schwerpunkt eines Kegels teilt dessen Achse so, daß das Stück

am Scheitelpunkt] dreimal so groß [ist als das Stück an der Grundfläche].[Dies alles ist schon früher] veröffentlicht. [Außerdem benutze ich

noch den folgenden Satz, der leicht zu beweisen ist:][Wenn in zwei Reihen von Größen die der ersteren Reihe paarweise

der Ordnung nach mit denen der zweiten proportional sind, ferner] die Größen [der ersteren Reihe], entweder alle oder einige von ihnen, [zu denen einer dritten Reihe] in einem beliebigen Verhältnis stehen, und die der zweiten zu den entsprechenden [einer vierten Reihe] in demselben Verhältnis, so steht die Summe der Größen der ersteren Reihe zu der Summe der aus der dritten Reihe genommenen in demselben Verhältnis

g24 J. L . H e i b e r o und H. G. Z e u t h e n .

Eine neue Schrift des Archimedes. 3 25

als die Summe derjenigen der zweiten Reihe zu der Summe der aus der vierten Reihe genommenen [De conoid. 1],

I.

Es sei [Fig. 1] a ß y ein Parahelsegment umschlossen von der Geraden a y und der Parahel <*-ßy, ccy sei in ö halbiert, ö ß e dem Durchmesser parallel, und es seien aß, ß y gezogen. Dann wird das Segment a ß y 4/s des Dreiecks a ß y sein.

Man ziehe von den Punkten a ,y a£ || öße und die Tangente y£, verlängere [y ß nach u und mache u d = y k ] , Man denke sich y d als eine Wagestange mit dem Mittelpunkt u, und ¡uß sei eine beliebige Gerade || ed.Da nun yßon eine Parabel ist, y £ eine Tangente und y d eine Ordinate, so ist eß =*ßö^ dies wird nämlich in den Elementen bewiesen [d. h. der Kegelschnittlehre, vergl. Quadr. parab. 2]. Aus diesem Grunde und weil £a und || eö}ist auch juv = vß, ¿k = K a . Und weil y a : a<f = : <?o (dieswird nämlich in einem Hilfssatz bewiesen [vergl. Quadr. parab. 5]), y a : a£ — y u : uv, und yu = ud, so ist du, : uv = fxt; : ßo. Und weil v Schwerpunkt der Geraden ,u<* ist, da fxv — v§, so wird, wenn wir rtj = setzen und d als deren Schwerpunkt, so daß rd = di], die Gerade rih] in Gleichgewicht sein mit [i§ an der Stelle, wo sie ist, weil dv in umgekehrtem Verhältnis geteilt ist zu den Gewichten rr/ und und d u : uv — : rjr■ also ist u Schwerpunkt des aus beiden zusammengesetzten Gewichts. Ebenso werden alle Geraden, die im Dreieck £ ay || eö gezogen werden, an der Stelle, wo sie sind, in Gleichgewicht sein mit ihren durch die Parabel abgeschnittenen Teilen, wenn diese nach d versetzt werden, so daß u Schwerpunkt ist des aus beiden zusammengesetzten Gewichts. Und weil aus den Geraden im Dreieck y^or. das Dreieck y£oc besteht und aus den im Parabelsegment der Geraden £o entsprechend genommenen das Segment <x.ßy, so wird das Dreieck £<x.y an der Stelle, wo es ist, im Punkte k in Gleichgewicht sein mit dem Parabelsegment, wenn dies nach d als Schwerpunkt versetzt wird, so daß u Schwerpunkt ist des aus beiden zusammengesetzten Gewichts. Nun sei yu in y so geteilt, daß yu = 3 uy\

326J. L. H e ir e r g u n d H. G. Z e u t h e n .

dann wird / Schwerpunkt des Dreiecks a g y sein; denn dies ist m der Gleichgewichtslehre bewiesen [vergl. De plan, aequü. I p. >, mi E u t o k i o s S. 320, 5 ff.]. Nun ist das Dreieck g a y an der Stelle wo es ist im Punkte k in Gleichgewicht mit dem Segment ß a y , wenn dies nach d als Schwerpunkt versetzt wird, und Schwerpunkt des Dreiecks g a y ist / ; also ist A « i r Segm. a ß y nach d als Schwerpunkt versetzt - d u : x X .

Es ist aber d u = 3 nX \ als0 auch A = 3 Segm’ Jau ch A i a y = 4 A a ß y , w e il g u = m und a d = d y - also ist S eg m .

a ßy = 4ls A a ß y . Dies wird klar w erden...........Dies ist nun zwar nicht bewiesen durch das hier Gesagte; es deutet

aber darauf hin, daß das Ergebnis richtig ist. Da wir nun sahen, daß es nicht bewiesen ist, aber vermuteten, daß das Ergebnis richtig sei, so ha >en wir selbst einen geometrischen Beweis ersonnen, den wir schon früher veröffentlicht haben und auch unten anbringen werden.

II.Daß die Kugel viermal so groß ist als ein Kegel, dessen Grundfläche

dem orößten Kreis der Kugel gleich ist, die Höhe aber dem Radius der Kugel” und daß ein Zylinder, dessen Grundfläche dem größten Kreis der Kugel gleich ist, die Höhe aber dem Durchmesser des Kreises, anderthalbmal so groß ist als die Kugel, läßt sich durch die genannte Methode folgendermaßen einsehen.

^ Es sei [Fig. 2] eine Kugel,deren größter Kreis a ß y ö , zwei auf einander senkrechte Durchmesser a y , ßö- , es sei in der Kugel um den Durchmesser ß ö ein Kreis senkrecht auf den Kreis a ß y b ,

und auf diesem senkrechten Kreis sei ein Kegel errichtet, dessen Scheitelpunkt a , und nachdem dessen Mantel verlängert ist, sei der Kegel durch y von einer der Grundfläche parallelen Ebene geschnitten; sie wird folglich einen auf a y senkrechten Kreis hervorbringen, dessen Durchmesser sei

e g . Auf diesem Kreis sei ein Zylinder errichtet, dessen Achse = a y , die Seitenlinien e i und gr j . Man verlängere y a und mache a . d — y a . und denkesich y d als eine Wagestange, deren Mittelpunkt a; ferner sei eine beliebige

X

A

9

a ? \ ° \8

J

yFig. 2.

g


Gerade fxv || ßö gezogen, sie schneide den Kreis x ß y b m ß und o, den Durchmesser xy in G, die Gerade ae in n und xß in Q, und auf der Geraden /uv sei eine Ebene senkrecht auf xy errichtet; sie wird also hervorbringen als Schnitt in dem Zylinder einen Kreis mit dem Durchmesser /av, in der Kugel xßyö einen Kreis mit dem Durchmesser ßo, in dem Kegel xeß einen K reis mit dem Durchmesser ng. Weil nun y x X xö = /uG X Gn (denn xy — O/li, xO — no), und y x X «ö = xß 2 = ß o 2 -+- Gn2, so ist ¡uo X Gn = ß o 2 -f Gn2. Ferner, weil y x : xO — /uO : Gn und y x — x.x), so ist Ox : olG = ¡uo : Gn — /uG2: ¡uo X Gn. Es wurde aber bewiesen ß ö 2 + o n 2 — /xG X Gn; also x-d : xo = juo2 : ß o 2 + Gn2. Es ist aber /liO2 : ß o 2 -F On2 = fxv2 : ß o 2 + n g 2 — der Kreis in dem Zylinder mit dem Durchmesser /uv : der Kreis in dem Kegel, dessen Durchmesser nq, + der Kreis in der Kugel, dessen Durchmesser ßo, also dx : c/.o — der Kreis in dem Zylinder : der Kreis in der Kugel -f- der Kreis in dem Kegel. Also wird der Kreis in dem Zylinder an der Stelle, wo er ist, mit den beiden Kreisen, deren Durchmesser ßo, ng, wenn sie nach x) so versetzt werden, daß t) der Schwerpunkt beider ist, im Punkte « in Gleichgewicht sein. In derselben Weise kann bewiesen werden, daß, auch wenn eine andere Gerade im Parallelogramm ßX || eß gezogen wird, und auf ihr eine Ebene senkrecht auf ccy errichtet wird, der im Zylinder hervorgebrachte Kreis an der Stelle, wo er ist, im Punkt a mit den beiden in der Kugel und im Kegel hervorgebrachten Kreisen, wenn sie versetzt und auf der Wagestange im Punkt d so angebracht werden, daß x) der Schwerpunkt beider ist, in Gleichgewicht sein wird. Wenn also Zylinder, Kugel und Kegel von den genommenen Kreisen ausgefüllt werden, so wird der Zylinder an der Stelle, wo er ist, im Punkt a mit der Kugel und dem Kegel zusammen, wenn sie versetzt und auf der Wagestange im Punkt $ so angebracht werden, daß x) der Schwerpunkt beider ist, in Gleichgewicht sein. Da nun die genannten Körper in Gleichgewicht sind, der Zylinder mit u als Schwerpunkt, die Kugel und der Kegel versetzt, wie gesagt, mit $ als Schwerpunkt, so ist dx : xu = Zylinder : Kugel -f- Kegel. Es ist aber x)x — 2 xu, also auch der Zylinder = 2 X (Kugel -f Kegel). Es ist aber auch der Zylinder = 3 Kegeln [Euklid, Elem. XII 10], also 3 Kegel = 2 Kegeln + 2 Kugeln. Wenn die 2 Kegel auf beiden Seiten abgezogen werden, ist also der Kegel, dessen Achsendreieck xeC., = 2 Kugeln. Es ist aber der Kegel, dessen Achsendreieck xeß, = 8 Kegeln, deren Achsendreieck xßö, weil eß = 2ßö, also die genannten 8 Kegel = 2 Kugeln. Folglich ist die Kugel, deren größter Kreis x.ßyö, viermal so groß als der Kegel, dessen Scheitelpunkt x, die Grundfläche aber der Kreis um den Durchmesser ßö senkrecht auf xy.

328L. Heiberg und H. Ct. Zeuthen.

Durch ß und !> ziehe man im Parallelogramm /¡£ II « y die Geraden i p f t

„nd J r i »teile »ich «n eu Zylinder vor, des»en ¡'um die Durchmesser X»,die Ach»e aber « r Da nun d Z y ta er, dessen Achsenparallelogramm yw , doppelt so grob ist als d . ,dessen A chse/par,Hologram m und dieser letztere dreim al so gro rstals der Kegel, dessen Achsendreiect «ßö, wie in den Elem enten bewi

[ L i / d , Eie,u. XII, 10], so ist also der Zylinder, dessen Achsen- Parallelogramm yo,, sechsmal so groß als der Kegel, dessen A ch.endre.eck Iß ö Es wurde aber bewiesen, daß die Kugel, deren gnoßt.r Krem «ßyö, viermal so groß ist als derselbe Kegel; folglich ist der Zylinder / ,

Kugel: was zu beweisen war. ,Durch diesen Lehrsatz, daß eine Kngel viermal so groß ist als der

Kegel, dessen Grundfläche der größte Kreis, die Hohe aber gleich demRadius der Kugel, ist mir der Gedanke gekommen, daß die bei ac eeiner Kugel viermal so groß ist als ihr größter Kreis, indem ich von deiVorstellung ausging, daß, wie ein Kreis einem Dreieck g l e i c h ist dessenGrundlinie die Kreisperipherie, die Höhe aher dem Radius des Kreisesaleich, ebenso ist die Kugel einem Kegel gleich, dessen Grundfläche dieOberfläche der Kugel, die Höhe aber dem Radius der Kugel gleich.

m.Durch diese Methode läßt sich auch einsehen, daß ein Zylinder, dessen

Grundfläche dem größten Kreis eines Sphäroids gleich, die Höhe aber dei Achse des Sphäroids, anderthalbmal so groß ist als das Sphäroid, und wenn dies erkannt ist, ist es klar, daß, wenn ein Sphäroid von einer Ebene durch den Mittelpunkt senkrecht auf die Achse geschnitten wird,

so ist die Hälfte des Sphäroids doppelt so groß als der Kegel, dessen Grundfläche die des Segments ist und die Achse dieselbe.

Es sei nämlich [Fig. 3] ein Sphäroid von einer Ebene durch die Achse geschnitten, und in seiner Oberfläche sei eine Ellipse a ßyö entstanden, deren Durchmesser a.y, ßö, der Mittelpunkt k, und es sei im Sphäroid ein Kreis um den Durchmesser ßö senkrecht auf a ;'; ferner stelle man sich einen Kegel vor, dessen Grundfläche

^ der genannte Kreis, der Scheitelpunkt

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Eine neue Schrift des Archimedes 3 2 9

aber a, und nachdem sein Mantel verlängert ist, sei der Kegel von einer Ebene durch y der Grundfläche parallel geschnitten; der Schnitt wird also ein Kreis sein senkrecht auf ay mit als Durchmesser; ferner denke man sich einen Zylinder, dessen Grundfläche derselbe Kreis mit dem Durchmesser eß, die Achse aber ay- es sei ya verlängert und ad = ya-, dy denke man sich als Wagestange mit dem Mittelpunkt a und ziehe in dem Parallelogramm Aß eine Gerade fiv || sß, und auf fiv sei eine Ebene errichtet senkrecht auf ay- sie wird also als Schnitt in dem Zylinder einen Kreis hervorbringen, dessen Durchmesser uv, in dem Sphäroid einen Kreis, dessen Durchmesser ßo, und in dem Kegel einen Kreis, dessen Durchmesser ttq. Weil y a : aO = ea : an — /uO : On, und y a = a.d, so ist da : «0 = fio : on. Es ist aber /io : on = f io2 : /tio X otz und /(ffX Ott— 7t o2 -f- 0 ß 2; denn a 0 X Oy : oß2 = ai( X uy : uß2 = a u2 : n ß 2 (denn beide Verhältnisse sind gleich dem Verhältnis des Durchmessers zum Parameter [ÄPOLLONIOS, Con. I 21]) = « ö 2 : ö ^ 2, also aö2 : a.o X oy = 7tO2 : 0 g 2 = 07t2 : 07t X 7tfi, folglich fiTt X TtO = 0 ^ 2. Man addiere auf beiden Seiten jtö 2; dann ist ,uo X 07t = TtO2 + o ß 2. Also $a : aö = f io 2 : Tto2 + o ß 2. Es ist aber fiO2 : oß2 -f- 07t2 = der Kreis im Zylinder, dessen Durchmesser ¡uv, : der Kreis mit dem Durchmesser §o -f- der Kreis mit dem Durchmesser ttq; also wird der Kreis, dessen Durchmesser fiv, an der Stelle, wo er ist, im Punkte a in Gleichgewicht sein mit den beiden Kreisen, deren Durchmesser §o, ttq, wenn sie versetzt werden und im Punkte d der Wagestange so angebracht, daß 0 der Schwerpunkt beider ist; und 0 ist der Schwerpunkt beider Kreise zusammen, deren Durchmesser §o, 7tq, wenn sie versetzt werden, also da. : aö = der Kreis mit dem Durchmesser fiv : die beiden Kreise, deren Durchmesser § o, ttq. Auf dieselbe Weise kann bewiesen werden, daß auch, wenn eine andere Gerade in dem Parallelogramm AC, || et, gezogen wird, und auf der gezogenen eine Ebene errichtet wird senkrecht auf ay, wird der in dem Zylinder hervorgebrachte Kreis an der Stelle, wo er ist, im Punkte « in Gleichgewicht sein mit den beiden Kreisen zusammen, dem im Sphäroid und dem im Kegel hervorgebrachten, wenn sie nach dem Punkt d der Wagestange so versetzt werden, daß d der Schwerpunkt beider ist. Wenn also Zylinder, Sphäroid und Kegel von den genommenen Kreisen ausgefüllt werden, wird der Zylinder an der Stelle, wo er ist, im Punkte a. in Gleichgewicht sein mit dem Sphäroid -f dem Kegel, wenn sie versetzt werden und im Punkt d auf der Wagestange so angebracht werden, daß d der Schwerpunkt beider ist. Nun ist u der Schwerpunkt des Zylinders, d aber, wie gesagt, der Schwerpunkt des Sphäroids und des Kegels zusammen ; also ist da. : an = Zylinder : Sphäroid + Kegel. Aber ad = 2 au,

000

aU„ auch der Zylinder - 2 X Ä " j L * S X £ £i 2 v Kegel Es ist aber der Zylinder X g >

1 2 X Kegel + 2 X Sphäroid. Man aiehe auf beiden Seheni 1 rlpr K efel dessen Acbsendreieck a.£L,, P

ab ; dann .r t der Ke e, fl , A dlsendreieck aß«-, also 8

D l T K f l 2 X Sphäioid 4 X Kegel - Sphäroid; folglich is t das Sphäroid viermal so groß ais der Kegel, dessen Scheitelpunkt « die Grundfläche aber der Kreis um den Durchmesser ß» senkrecht auf , und >/2 Sphäroid doppelt so groß als der genannte Kegel.

Man siehe durch die Punkte ß,ö im Parallelogram m || * / die Geraden wr,V» und stelle sich einen Zylinder vor, dessen Grundflächen

die K r e i s , um d,e Durchmesser X<o. die Achse aber Da nun der7 vl in der dessen AchsenparaUelogramm <pw, doppelt so groß ist als der Zylinder! n Achsenp",rallelogramm , 6 , weil ihre Grundflächen gleich s i , die Achse aber doppelt so groß als die Achse, und da der Zylinder, dessen AchsenparaUelogramm 9 6, dreimal so groß ist als der Kegel, dessen Scheitelpunkt a, die Grundfläche aber der Kreis um den Durchm esser ßö senkrecht auf « * so ist der Zylinder, dessen AchsenparaUelogramm <pto sechsmal so groß als der genannte Kegel. Es wurde aber bewiesen daß das Sphäroid viermal so groß ist als derselbe Kegel; also ist der Zylinder anderthalbmal so groß als das Sphäroid. W . z. b. w.

IV.Daß ein Segment eines rechtw inkligen Konoids abgeschnitten durch

eine auf die Achse senkrechte Ebene anderthalbm al so groß ist als der Kegel, der dieselbe Grundfläche und Achse ha t als das Segment, kann man durch’ die genannte Methode einsehen folgendermaßen.

Es sei [ W . 4] ein rechtwinkliges Konoid, und es sei geschnitten von einer Ebene durch die Achse, die in der Oberfläche als Schnitt eine Parabel

aßy hervorbringe; es sei auch von einer anderen Ebene geschnitten senkrecht auf die Achse, und ihre gemeinsame S chnittlinie sei ß y ; die Achse des Segments sei da, sie sei verlängert bis d, und es sei da = a ö ; man stelle sich <5d als A\ age- stange vor m it dem M ittelpunkt a ; Grundfläche des Segments sei der Kreis um den Durchm esser ßy senkrecht auf aö ; man steUe sich einen Kegel vor, dessen Grundfläche der Kreis m it dem D urch

J. L. H e t b e r g u n d H. G. Z e u t h e n .

¡Z/S / <r \ \ ö-n

yFig. 4.


messer ßy, der Scheitelpunkt aber x, es sei auch ein Zylinder, dessen Grundfläche der Kreis mit dem Durchmesser ßy, die Achse aber xd, und im Parallelogramm sei eine Gerade /uv gezogen || ßy, und auf /uv sei eine Ebene errichtet senkrecht auf a<5; sie wird also als Schnitt hervorbringen in dem Zylinder einen Kreis mit dem Durchmesser /uv und in dem Segment des rechtwinkligen Konoids einen Kreis mit dem Durchmesser ßo. Da nun ßxy eine Parabel ist, xd ihr Durchmesser und ßö, ßd Ordinaten, so ist [Quadr. paral). 3] dx : xö = ßd°- : ß o 2. Aber dx = xd, also dx : xö = ß ö 2 : oß2. Es ist aber ß ö 2 : oß2 = der Kreis im Zylinder, dessen Durchmesser ß v , : der Kreis im Segment des rechtwinkligen Konoids, dessen Durchmesser ßo, also dx : xö = der Kreis mit dem Durchmesser /uv : der Kreis mit dem Durchmesser ßo- folglich ist der Kreis im Zylinder, dessen Durchmesser uv, an der Stelle, wo er ist, im Punkt x in Gleichgewicht mit dem Kreis, dessen Durchmesser ßo, wenn er versetzt wird und auf der Wagestange in d so angebracht, daß d sein Schwerpunkt ist. Und der Schwerpunkt des Kreises, dessen Durchmesser ¡uv, ist ö, der des Kreises, dessen Durchmesser ßo, wenn er versetzt wird, d, und es ist in umgekehrtem Verhältnis dx : xö = der Kreis mit dem Durchmesser ß v : der Kreis mit dem Durchmesser ßo. In derselben Weise kann bewiesen werden, daß auch, wenn eine andere Gerade im Parallelogramm ey || ßy gezogen wird, der im Zylinder hervorgebrachte Kreis an der Stelle, wo er ist, im Punkte x in Gleichgewicht sein wird mit dem in dem Segment des rechtwinkligen Konoids hervorgebrachten, wenn er auf der Wagestange nach d so versetzt wird, daß d sein Schwerpunkt ist. Wenn also der Zylinder und das Segment des rechtwinkligen Konoids ausgefüllt werden, so wird der Zylinder an der Stelle, wo er ist, im Punkte x in Gleichgewicht sein mit dem Segment des rechtwinkligen Konoids, wenn es versetzt wird und auf der Wagestange in d so angebracht, daß d sein Schwerpunkt ist. Und da die genannten Größen in a in Gleichgewicht sind, und u der Schwerpunkt des Zylinders ist, wenn xd in u halbiert wird, d aber der Schwerpunkt des dahin versetzten Segments, so ist in umgekehrtem Verhältnis d x : xu = Zylinder : Segment. Es ist aber dx = 2 a k, also auch der Zylinder = 2 X Segment Derselbe Zylinder ist aber dreimal so groß als der Kegel, dessen Grundfläche der Kreis mit dem Durchmesser ßy, der Scheitelpunkt aber a; es ist also klar, daß das Segment anderthalbmal so groß ist als derselbe Kegel.

V.Daß der Schwerpunkt eines Segments eines rechtwinkligen Konoids,

das von einer auf die Achse senkrechten Ebene abgeschnitten wird, auf

der Geraden liegt, die Achse des Segments ist, so geteilt, daß das Stuck am Scheitelpunkt doppelt so groß ist als das übrige, läßt sich durch dieMethode folgendermaßen einsehen. ,

Ein Segment eines rechtwinkligen Konoids, von einer auf die Achse senkrechten °Ebene abgeschnitten, sei von einer anderen Ebene durch die Achse geschnitten, und diese bringe hervor [Fig. 5] als Schnitt m der Ober

fläche die Parabel crßy, die gemeinsame Schnittlinie aber der Ebene, die das Segment abgeschnitten h a t, und dei schneidenden Ebene sei ß y ; Achse des Segments und Durchmesser der Parabel c/.ßy sei ad ; man verlängere da, mache a # == ad und stelle sich öd als Wagestange vor mit dem Mittelpunkt a; ferner sei ein Kegel im Segment eingeschrieben mit den Seitenlinien /3a, rJ . y ,

und in der Parabel sei eine Gerade ß o gezogen j| ß y ! sie schneide die Parabel

y in §, o, die Seitenlinien des Kegelsin n, Q. Weil nun in einer Parabel ßo, ßö senkrecht auf den Durchmesser

gezogen sind, ist da : a(T = ß ö 2 : ß ö 2 [Quadr. parab. 3], Es ist aber öa : aö — ßö : Jtö = ß d 2 : ßö X no, also auch ß ö 2 : ß ö 2 = ß ö 2 : ßö X no. Folglich § ö 2 — ß ö x na und ßö: §0 = § 0:n0, also ß ö - .n ö = £ ö ~: Ott2Es ist aber ßö : ttO = da : aff = tfa : aff, also auch #a : a ö = ß ö 2 : Ott2.Auf ßo errichte man eine Ebene senkrecht auf ad; sie wird also im Segment des rechtwinkligen Konoids einen Kreis hervorhringen, dessen Durchmesser §o, in dem Kegel aber einen Kreis, dessen Durchmesser ttq. Weil nun

. aö _ £ ö2 . a7t2f und 2 . öjr2 ^ ¿er Kreis mit dem Durchmesser |o : der Kreis mit dem Durchmesser tiq, so ist #a : aO = der Kreis, dessen Durchmesser £o, : der Kreis, dessen Durchmesser tiq. Also wird der Kreis, dessen Durchmesser §o, an der Stelle, wo er ist, im Punkte a in Gleichgewicht sein mit dem Kreis, dessen Durchmesser tiq, wenn dieser auf der Wagestange nach # so versetzt wird, daß # sein Schwerpunkt ist. Da nun 0 der Schwerpunkt ist des Kreises, dessen Durchmesser §o, an der Stelle, wo er ist, $ aber der des Kreises, dessen Durchmesser tiq, wenn er versetzt wird, wie gesagt, und in umgekehrtem Verhältnis $a : aö = der Kreis mit dem Durchmesser §o : der Kreis mit dem Durchmesser tiq, so sind die Kreise in Gleichgewicht im Punkt a. In derselben Weise kann bewiesen werden, daß auch, wenn eine andere Gerade in der Parabel ge

2 3 2 J - L - H e i b e r g u n d H . G . Z e u t h e n .


zogen wird || ßy und auf der gezogenen Geraden eine Ebene errichtet senkrecht auf ad, wird der im Segment des rechtwinkligen Konoids hervorgebrachte Kreis an der Stelle, wo er ist, im Punkt a in Gleichgewicht sein mit dem im Kegel hervorgebrachten Kreis, wenn er versetzt wird und auf der Wagestange in 0 so angebracht, daß d sein Schwerpunkt ist. Wenn also das Segment und der Kegel von den Kreisen ausgefüllt wird, so werden alle Kreise im Segment an der Stelle, wo sie sind, in Punkt a in Gleichgewicht sein mit allen Kreisen des Kegels, wenn sie versetzt werden und auf der Wagestange im Punkt d so angebracht, daß d ihr Schwerpunkt ist; also wird auch das Segment des rechtwinkligen Konoids an der Stelle wo es ist, im Punkt x in Gleichgewicht sein mit dem Kegel, wenn er versetzt wird und auf der Wagestange in d so angebracht, daß d sein Schwerpunkt ist. Weil nun der Schwerpunkt beider Größen zusammengenommen a ist, der des Kegels allein aber, wenn er versetzt ist, d, so liegt der Schwerpunkt der übrigen Größe auf x.d nach x hin verlängert, wenn auf ihr x . u abgesetzt wird derart, daß xd : x k = Segment : Kegel. Das Segment ist aber s/2 X Kegel, folglich xd — 3/2 x k , und u, der Schwerpunkt des rechtwinkligen Konoids, teilt xd so, daß das Stück am Scheitelpunkt des Segments doppelt so groß ist als das übrige.

YI.[Der Schwerpunkt einer Halbkugel liegt auf deren Achse so geteilt,]

daß das Stück an der Oberfläche der Halbkugel zu dem übrigen Stück sich verhält wie 5 : 3.

Es sei [Fig. 6] eine Kugel von einer Ebene durch den Mittelpunkt geschnitten, als Schnitt in der Oberfläche sei der Kreis xßyö hervorgebracht, xy und ßö seien zwei unter sich senkrechte Durchmesser des Kreises, auf ßö sei eine Ebene errichtet senkrecht auf xy, ferner stelle man sich einen Kegel vor, dessen Grundfläche der Kreis mit dem Durchmesser ßö, der Scheitelpunkt aber x, die Seitenlinien ßx, xd-, es sei y x verlängert und xd = y x ; man denke sich die Gerade dy als Wagestange mit dem Mittelpunkt x und ziehe in dem Halbkreis ßaö eine Gerade ßo || ßö-, sie schneide den Umkreis des Halbkreises in ß, o, die Seitenlinien des ß \Kegels in n, q und xy in e; auf <fo sei eine Ebene errichtet senkrecht auf xe- sie wird als Schnitt hervorbringen in der Halbkugel einen Kreis mit dem Durchmesser <fo, in dem Kegel einen Kreis mit dem

334J. L. H b i b e r g und H. G. Z e u t h e n .

Durchmesser x q . Weil nun «^ ^und «£ = £*, so ist ay : cte = <?£2 + ^ : £W*. Es ist aber §e* + ex* : ex= der Kreis mit dem Durchmesser ¿0 + der Kreis nnt dem Durchmesser xq : der Kreis mit dem Durchmesser xq, und y * = atf, also

. a£ = der Kreis mit dem Durchmesser §o -f der Kreis mit dem Durchmesser xq : der Kreis mit dem Durchmesser xq . Also werden die beiden Kreise, deren Durchmesser § o, xq, an der Stelle, wo sie sind, im Punkte a in Gleichgewicht sein mit dem Kreis, dessen Durchmesser xq, wenn er versetzt wird und in d so angebracht, daß 0 sein Schwerpunkt ist. Da nun der Schwerpunkt der beiden Kreise, deren Durchmesser §o, xq, an der Stelle, wo sie s in d ,--------------------

VII.[Durch diese Methode] läßt sich auch einsehen, [daß ein beliebiges

Kugelsegment] zu dem Kegel [mit derselben Grundfläche und Höhe sich verhält, wie Radius der Kugel + Höhe des Gegensegments : Höhe desGegensegments]. — —- — — 'und [Fig. 7] auf fxv errichte man eine Ebene senkrecht zu xy, sie wird

also als Schnitt hervorbringen im Zylinder einen Kreis, dessen Durchmesser juv, im Kugelsegment einen Kreis, dessen Durchmesser £o, im Kegel, dessen Grundfläche der Kreiso /um als Durchmesser, der Scheitelpunkt aber a, einen Kreis, dessen Durchmesser x q . In derselben Weise wie früher kann nun bewiesen werden, daß der Kreis, dessen Durchmesser fiv, an der Stelle, wo er ist, in a in Gleichgewicht ist mit den beiden Kreisen, | deren Durchmesser §o, x q , wenn sie versetzt werden und an der Wagestange in 0 angebracht. Und dasselbe kann von allen entsprechenden

a

i / x / Y X \ q \ o

r 1 / r Z \ \ \

■ f \

a < r v V / ß \

v

Fig 7.

Kreisen bewiesen werden]. Da nun Zylinder, Kegel und Kugelsegment von den betreffenden Kreisen ausgefüllt werden, so wird auch der Zylinder an der Stelle, wo er ist, [in « in Gleichgewicht sein] mit Kegel -f- Kugelsegment, wenn sie versetzt werden und an der Wagestange in 0 angebracht. Man teile oc rj in <p und / so, daß x% — und aap = 3<p//; also


wird % der Schwerpunkt des Zylinders sein, weil Mittelpunkt der Achse x »y, \cp aber der des Kegels]. Weil nun die genannten Körper in x in Gleichgewicht sind, so wird sein Zylinder : Kegel mit dem Durchmesser der Grundfläche e£ -f- Kugelsegment ßxö = d x : xy. —- — — — — —

VIII.

man verlängere [Fig. 8] xy und mache xd = xy und y§ = dem Radius der Kugel; y d stelle man sich als Wagestange vor mit dem Mittelpunkt x, und in der das Segment abschneidenden Ebene beschreibe man einen Kreis mit dem Mittelpunkt rj und dem Radius = 007, auf diesem Kreis sei ein Kegel errichtet mit dem Scheitelpunkt «, und die Seitenlinien des Kegels seien xe, xgj ferner sei eine Gerade kA gezogen j) sie schneide den Umkreis des Segments in k , A, die Seitenlinien des Kegels x e ß in q , 0 und xy in x. Weil nun x y : xn = xvA : «tt2 und Ka2 == a ^2 -|- xk2 und x x 2 = xo2 (da auch x r f — Elf), so ist yx. : xn = un^ t c o2 : 0 712 Es ist aber ux* -f- xo2 : xo^ = der Kreis mit dem Durchmesser kA -f der Kreis mit dem Durchmesser o q : der Kreis mit dem Durchmesser o q , u n d / a = ai?; also dx : x.x — der Kreis mit dem Durchmesser uA -f- der Kreis mit dem Durchmesser oq : der Kreis mit dem Durchmesser o q . Da nun der Kreis mit dem Durchmesser uA -f- der Kreis mit demDurchmesser o q : der Kreis mit dem Durchmesser o q — xd : x x , so sei der Kreis mit dem Durchmesser o q versetzt und auf der Wagestange in d so angebracht, daß d sein Schwerpunkt ist; also ist dx : x x — der Kreis mit dem Durchmesser kA -f der Kreis mit dem Durchmesser o q an der Stelle, wo sie sind, : der Kreis mit dem Durchmesser 0 0 , wenn er versetzt wird und auf der Wagestange in d so angebracht, daß d sein Schwerpunkt ist; also sind die Kreise im Segment ßxö und in dem Kegel xeg in Gleichgewicht mit dem in dem Kegel xeß in x. Und in derselben Weise sind alle Kreise im Segment ßxö und im Kegel xeß an der Stelle, wo sie sind, mit allen Kreisen im Kegel xeg, wenn sie versetzt werden und auf der Wagestange in d so angebracht, daß d ihr Schwerpunkt ist, in Gleichgewicht im Punkte «; also sind auch das Kugelsegment xßö und der Kegel xeg an

g g g J. I,. H eiberg und H. G. Zeuthen.

der Stelle, wo sie sind, mit dem Kegel « f , wenn er versetzt wird und auf der Wagestange in 0 so angebracht, daß t sein Schwerpunkt iet, in Gleichgewicht im Punkte «. Es sei der Zylinder gleich demKeuel dessen Grundüäche der Kreis mit dem Durchmesser eg, der Scheitel- paukt aber «, und ur, sei in <p so geteilt, daß «b = i ' f ll also ist (0 der Schwerpunkt des Kegels lag-, denn das ist vorher bewiesen. Ferner sei der Zylinder ß v durch eine senkrecht schneidende Ehene so geschnitten, daß der Zylinder ß mit dem Kegel s a £ in Gleichgewicht ist. Da nundas Segment xßö + der Kegel an der Stelle, wo sie sind, mit demKegel exg wenn er versetzt wird und auf der Wagestange m i) so angebracht, daß 0 sein Schwerpunkt ist, in « in Gleichgewicht sind undZylinder p v = Kegel exg, und die beiden Zylinder n + v m d angebrach sind und p v mit beiden Körpern in Gleichgewicht ist, so wird auch der Zylinder v mit dem Kugelsegment im Punkt « in Gleichgewicht sein. Und da Kuo-elsegment ß x ö : der Kegel, dessen Grundfläche der Kreis mit dem Durchmesser ßö, der Scheitelpunkt aber a, = grj-.rjy (dies ist nämlich vorher bewiesen [De sph. et cyl II 2 coroll.]) und Kegel ßxö : Kegel e x g = der Kreis mit dem Durchmesser ßö : der Kreis mit dem Durchmesser eg = ßrf ■ v e \ und ßrß = yij X 17«, ^ = rjxß, und yr} X i]x : tjx* = yn ■ rix, so ist Kegel ßxö : Kegel £a g = yr, : r/a. Wir haben aber bewiesen Kegel ßxö : Segment ßxö = yrj : r/«f; also öi toov Segment ßxö ■ Kegel exg = §rj : r/a. Und weil x y ■ XV = r/a + 4 rjy : xrj + 2rjy, so ist umgekehrt rjy : * a = 2/r / + r/a : 47 r/ + r/a und durch Addition

« « : OLX = 6y*l + 2 ri a : r l * + 4 i?y • Es ist aber = I* ( W +yq> = i/4 (4 r// + r/a ); denn das leuchtet ein; also ist r/ x : x y = §rj: yep,folglich auch gf) : rjx = yep : yx . Es wurde aber bewiesen> daß auch

_ das Segment, dessen Scheitelpunkt «, die Grundfläche aberder Kreis mit dem Durchmesser ßö, : der Kegel, dessen Scheitelpunkt x, die Grundfläche aber der Kreis mit dem Durchmesser e g ; also Segment ßxö : Kegel exg = yep : yx . Und da der Zylinder ß mit dem Kegel exg in x in Gleichgewicht ist, und 0 der Schwerpunkt ist des Zylinders, (p aber der des Kegels exg, so ist Kegel e x g : Zylinder ß = Ox : xep = y x : xep. Es ist aber Zylinder p v — Kegel e x g ; also durch Subtraktion Zylinder ß : Zylinder v = xep-.yep. Und Zylinder ß v = Kegel e x g ; also Kegel e x g : Zylinder v = y x : ¿'(p — # « : /</?. Es wurde aber bewiesen, daß auch Segment /J«d : Kegel e x g = y i p : y «; also dt’ töou Segment /3ad : Zylinder v = £a : a / . Und es wurde bewiesen, daß Segment ßxö mit dem Zylinder v in Gleichgewicht ist in a, und d ist Schwerpunkt des Zylinders v- folglich ist auch Punkt y Schwerpunkt des Segments ßxö.


IX.ln derselben Weise wie dies läßt sich auch einsehen, daß der Schwer

punkt eines beliebigen Kugelsegments auf der Geraden liegt, die Achse des Segments ist, so geteilt, daß das Stück derselben am Scheitelpunkt des Segments zu dem übrigen Stück sich verhält wie die Achse des Segments -f- das vierfache der Achse des Gegensegments zu der Achse des Segments + dem doppelten der Achse des Gegensegments.

X.Ferner läßt sich durch diese Methode einsehen, daß [ein Hyperboloid

segment zu dem Kegel], der dieselbe Grundfläche hat [und gleiche Höhe, sich verhält, wie die Achse des Segments -f- das dreifache] des Achsenzusatzes : die Achse + das doppelte des Zusatzes [De conoid. 25],Q und noch manches andere, das ich beiseite lassen will, da die Methode durch die vorher gegebenen Beispiele klar gemacht ist, um nur noch die Beweise der oben genannten Theoreme mitzunehmen.

XI.Wenn in ein rechtstehendes Prisma mit quadratischen Grundflächen

ein Zylinder eingeschrieben wird, dessen Grundflächen in den gegenstehenden Quadraten liegen und dessen krumme Oberfläche die 4 übrigen Parallelogramme berührt, und durch den Mittelpunkt des Kreises, der Grundfläche des Zylinders ist, und eine Seite des gegenstehenden Quadrats eine Ebene gelegt wird, so wird der Körper, der durch diese Ebene[vom Zylinder] abgeschnitten wird, 1/6 des ganzen Prismas sein. Das läßt sich durch diese Methode einsehen, und wenn es so bewiesen ist, werden wir zu dem geometrischen Beweis dafür dübergehen.

Man stelle sich ein rechtstehendes Prisma vor mit quadratischen Grundflächen und im Prisma einen Zylinder in besagter Weise eingeschrieben. Das Prisma sei £durch die Achse von einer Ebene geschnitten senkrecht auf die Ebene, die das Zylinderstück abschneidet; der Schnitt im Prisma mit dem Zylinder sei [Fig. 9 | das Parallelogramm aß, die gemeinsame Schnitt- a linie aber der Ebene, die das Zylinderstück Fig. 9.

') Vielleicht stand hier noch der Satz von der Lage des Schwerpunkts eines Hyperboloidsegments.

Bibliotheca Hatkematica. III. Folge. VII, 22

338 J. L. H e i b e k g und H. G. Z e u t h e n .

abschneidet, und der durch die Achse gelegten Ebene senkrecht auf die das Zylinderstück abschneidende sei ß y Achse des Prismas und des Zylinders sei yd. die von eß unter rechten Winkeln halbiert werde, und auf e£ sei eine Ebene errichtet senkrecht zu y d - sie wird also im Prisma ein Quadrat, im Zylinder einen Kreis als Schnitt hervorbringen.

Es sei nun [Fig. 10] der Schnitt des Prismas das Quadrat fiv, der des Zylinders der Kreis gong, und es berühre der Kreis die Seiten des

Quadrats in den Punkten §, o, n, Q- gemeinsame Schnittlinie der das Zylinderstück abschneidenden Ebene und der durch eg gelegten senkrecht auf die Achse des Zylinders sei kA- sie wird von nd§ halbiert. Man ziehe im Halbkreis OTiQ eine Gerade ot senkrecht auf ny, auf ot errichte man eine Ebene senkrecht zu ¿Jt und verlängere sie nach beiden Seiten der Ebene, worin der Kreis gong-, sie wird also im Halbzylinder, dessen Grundfläche der Halbkreis o k q , die Höhe aber die Achse des Prismas,

als Schnitt ein Parallelogramm hervorbringen, dessen eine Seite = ot, die andere = der Seitenlinie des Zylinders, und im Zylinderstück ebenfalls ein Parallelogramm, dessen eine Seite = ot, die andere = v v , und vv wird demnach im Parallelogramm de || ßco gezogen sein und ei = ny abschneiden. Weil nun ey ein Parallelogramm ist und vi || Dy, und ed, ßy die Parallelen schneiden, so ist ed : Dl = a>y : y v = ßa> : vv. Es ist aber ßco : vv = Parallelogramm im Halbzylinder : Parallelogramm im Zylinderstück; beide Parallelogramme haben nämlich dieselbe Seite öt; und sD = Du, lD = yd- und da nD — D§, so ist D§ : Dy — Parallelogramm im Halbzylinder : Parallelogramm im Zylinderstück. Man denke sich das Parallelogramm im Zylinderstück versetzt und in <f so angebracht, daß | sein Schwerpunkt ist, ferner denke man sich als eine Wagestange mit dem Mittelpunkt D; also ist das Parallelogramm im Halbzylinder an der Stelle, wo es ist, im Punkt D in Gleichgewicht mit dem Parallelogramm im Zylinderstück, wenn es versetzt wird und an der Wagestange in § so angebracht, daß § sein Schwerpunkt ist. Und da y der Schwerpunkt ist des Parallelogramms im Halbzylinder, § aber der des Parallelogramms im Zylinderstück, wenn es versetzt wird, und §D : Dy = Parallelogramm, dessen Schwerpunkt y : Parallelogramm, dessen Schwerpunkt C, so wird das Parallelogramm, dessen Schwerpunkt y, in D in Gleichgewicht sein mit dem Parallelogramm, dessen Schwerpunkt §. Auf dieselbe Weise kann bewiesen werden, daß auch, wenn eine andere Gerade im Halbkreis

Eine neue Schrift des Archimedes. 339o t t q senkrecht auf gezogen wird, und auf der gezogenen Geraden eine Ebene errichtet wird senkrecht zu ttiJ und nach beiden Seiten der Ebene, worin der Kreis § ojzq liegt, verlängert, wird das im Halbzylinder hervorgebrachte Parallelogramm an der Stelle, wo es ist, im Punkt x) in Gleichgewicht sein mit dem im Zylinderstück hervorgebrachten Parallelogramm, wenn es versetzt wird und an der Wagestange in § so angebracht, daß § sein Schwerpunkt ist; also werden auch alle Parallelogramme im Halbzylinder an der Stelle, wo sie sind, im Punkt # in Gleichgewicht sein mit allen Parallelogrammen des Zylinderstücks, wenn sie versetzt werden und an der Wagestange im Punkt § angebracht; folglich wird auch der Halbzylinder an der Stelle, wo er ist, im Punkt d mit dem Zylinderstück in Gleichgewicht sein, wenn es versetzt wird und an der Wagestange in £ so angebracht, daß § sein Schwerpunkt ist.

XII.Es sei [Fig. 11] das auf die Achse senkrechte Parallelogramm \ji v für

sich gezeichnet mit dem Kreis § o k q und dessen Durchmessern § n , op. Man ziehe] i) ¡11 und ö r j und errichte auf ihnen zwei Ebenen senkrecht zu der Ebene, worin der Halbkreis o j i q liegt, und verlängere die genannten Ebenen nach beiden Seiten; es entsteht so ein Prisma, dessen Grundfläche ein Dreieck wie die Höhe aber gleich der Achse desZylinders, und dieses Prisma ist \ des ganzen Prismas, das den Zylinder umschließt. Im Halbkreis o t t q und im Quadrat f i v ziehe man zwei ju ,v

Geraden kä und rv in gleichen Abständen von 7tif; sie schneiden den Umkreis des Halbkreises OTt Q in den Punkten u, r, den Durchmesser o q in ö, £, die Geraden Dt j , d j u in (p, y . Auf uÄ, rv errichte man zwei Ebenen senkrecht zu o q

und verlängere sie nach beiden Seiten der Ebene, worin der Kreis § o t i q

liegt; sie werden also als Schnitte hervorbringen im Halbzylinder, dessen Grundfläche der Halbkreis o t t q , die Höhe aber die des Zylinders, ein Parallelogramm, dessen eine Seite = k O, die andere aber gleich der Achse des Zylinders, und im Prisma I h j / i ebenfalls ein Parallelogramm, dessen eine Seite = Xy, die andere aber = der Achse, und in derselben Weise im Halbzylinder ein Parallelogramm, dessen eine Seite = rC, die andere aber — der Achse des Zylinders, und im Prisma ein Parallelogramm, dessen eine Seite = vtp, die andere aber = der Achse des Zylinders.

Fig. 11.

22*

3 40J. L. H e i b e r g u n d H . G. Z e u t h e n .

XIII.Es sei ein rechtstehendes Prisma mit quadratischen Grundflächen,

eine seiner Grundflächen sei [Fig. 12] das Quadrat aßyö, im Prisma sei emZylinder eingeschrieben, und seine Grundfläche sei der Kreis e £ r ] & , der die Seiten des Parallelogramms aßyö in £, £, rj, t) berührt; durch seinen Mittelpunkt und die der Seite yö entsprechenden Seite des dem Quadrat aßyö gegenstehenden Quadrats lege man eine Ebene; sie wird also von dem ganzen Prisma ein anderes Prisma abschneiden, das \ des ganzen Prismas sein wird- und es wird umschlossen sein von 3 Parallelogrammen und 2 einander gegenüberstehenden Dreiecken. In dem Halbkreis eßrj beschreibe

man eine Parabel, deren Grundlinie rje, die Achse aber uß, und im Parallelogramm örj ziehe man ¡uv || k£; sie wird also den Umkreis des Halbkreises in ß schneiden, die Parabel aber in X, und uv X vX = vß- (denn das ist einleuchtend [Apollonios, Con. I 11]). Daher ist fxv : vX — : Xö1. Auf ß v sei eine Ebene errichtet senkrecht zu £>j; sie wirdin dem von dem ganzen Prisma abgeschnittenen Prisma als Schnitt ein rechtwinkliges Dreieck hervorbrigen, dessen eine Kathete ,uv, die andere aber eine Gerade in der Ebene auf y ö senkrecht zu yö in v und gleich der Achse des Zylinders, die Hypotenuse aber in der schneidenden Ebene. Sie wird ferner in dem Stück, das vom Zylinder abgeschnitten wird von der durch er] und die der Seite y ö gegenstehende Quadratseite gelegten Ebene, als Schnitt ein rechtwinkliges Dreieck hervorbringen, dessen eine Kathete fi§, die andere aber eine in der Zylinderfläche senkrecht auf die Ebene uv gezogene Gerade, die Hypotenuse aber —

und es werden sein alle Dreiecke im Prisma : alle Dreiecke im Zylinderstück = alle Geraden im Parallelogramm örj : alle Geraden zwischen der Parabel und der Geraden er]. Und aus den Dreiecken im Prisma besteht das Prisma, aus [denen im Zylinderstück das Zylinderstück, aus] den Geraden im Parallelogramm öß || uß das Parallelogramm örj und aus den von der Parabel und der Geraden er] abgeschnittenen Geraden das Parabelsegment; also ist Prisma : Zylinderstück = Parallelogramm ijö : Segment eßrj, das von der Parabel und der Geraden er] umschlossen wird. Es ist aber das Parallelogramm örj [ = f des von der Parabel und der Geraden er] um

Eine neue Schrift des Archimedes. 341schlossenen] Segments; dies ist nämlich in dem vorher entwickelten bewiesen; also ist auch das Prisma = f Zylinderstück. Wenn also das Zylinderstück = 2, ist das Prisma = 3 und das ganze, den Zylinder umschließende Prisma = 12, weil es 4 mal das andere Prisma ist; also ist das Zylinderstück = Prisma. W. z. b. w.

XIY.Es sei ein rechtstehendes Prisma mit quadratischen Grundflächen

[und darin eingeschrieben ein Zylinder; es sei geschnitten von einer Ebene durch den Mittelpunkt der Grundfläche des Zylinders und eine Seite des gegenstehenden Quadrats]. Diese Ebene schneidet also vom ganzen Prisma ein Prisma ah und vom Zylinder ein Zylinderstück. Es läßt sich beweisen, daß das vom Zylinder durch die Ebene ahgeschnittene Stück ^ des ganzen Prismas ist. Vorher wollen wir aber beweisen, daß es möglich ist im Zylinderstück eine körperliche Figur einzuschreiben und eine andere zu umschreiben aus Prismen zusammengesetzt, die gleiche Höhe haben und als Grundflächen ähnliche Dreiecke, so daß die umschriebene Figur die eingeschriebene übertrifft um weniger als jede beliebige Größe. — — — — — — — — — — — — — — — — —

Es wurde aber bewiesen, daß das von der schiefen Ebene abgeschnittene Prisma < -f des im Zylinderstück eingeschriebenen Körpers. Nun ist das von der schiefen Ebene ahgeschnittene Prisma : der im Zylinderstück eingeschriebene Körper = Parallelogramm dt] : die Parallelogramme, die eingeschrieben sind in dem von der Parabel und der Geraden er] umschlossenen Segment; also ist Parallelogramm örj << | der Parallelogramme in dem von der Parabel und der Geraden et] umschlossenen Segment.Das ist aber unmöglich, weil wir anderswo bewiesen haben, daß dasParallelogramm ör] f ist des von der Parabel und der Geraden £?/ umschlossenen Segments. Folglich ist — — — — — — — — — — —— — — — — — — — — ----------- -- — — — — — nicht größer

Und alle Prismen in dem von der schiefen Ebene abgeschnittenen Prisma : alle Prismen in der um das Zylinderstück umschriebenen Figur = alle Parallelogramme im Parallelogramm örj : alle Parallelogramme in

34 2 J . L . H e i h e r g u n d H G. Z e u t h e n .

der Figur, die umschrieben ist um das von derParabel und der Geraden ei) umschlossenen Segment, d. h. das von der schiefen Ebene abgeschnittene Prisma : die um das Zylinderstück umschriebene Figur = Parallelogramm öi) : die von der Parabel und der Geraden Et) umschlossene Figur. Es ist aber das von der schiefen Ebene abgeschnittene Prisma > | der um das Zylinderstück umschriebenen körperlichen Figur — — --------- — —

Kommentar.Herr H e i b e r g hat mich freundlichst gebeten seine Übersetzung der

von ihm gefundenen Schrift von A r c h im e d e s mit einem Kommentar zu begleiten. Diese Schrift, wo A r c h im e d e s , der sonst nur fertige Sätze und fertige Beweise gegeben hat, in seine mathematische Werkstatt hineinsehen läßt, wird dadurch sowohl sehr leicht zu lesen als außerordentlich reich an Belehrung über A r c h im e d e s ’ Arbeitsweise und ganze Auffassung und dadurch über die antiken mathematischen Auffassungen überhaupt. Sie bringt auch wichtige, rein historische Aufschlüsse über die Arbeiten von A r c h im e d e s und von seinen Vorgängern.

Da A r c h im e d e s diesmal selbst die leitenden Gesichtspunkte in seiner klaren Sprache, wo höchstens die antiken Umbildungen der Proportionen dem modernen Leser fremdartig Vorkommen werden, darlegt, wird es da, wo der Text vollständig vorliegt, keiner Erklärung bedürfen. Eine solche würde vielmehr nur dem Leser den Genuß nehmen, selbst der schönen Darstellung des A r c h im e d e s zu folgen. In meinem Kommentar werde ich daher immer auf den Text selbst hinweisen, und nur, wenn es für den Überblick notwendig ist, den Inhalt referieren oder in die moderne Zeichensprache umschreiben. Durch das Lesen wird A r c h im e d e s ’ Gedankengang sich so klar darbieten, daß kleinere Lakunen fast mit vollständiger Sicherheit ausgefüllt werden, und daß selbst die wahrscheinlichen Hauptzüge einiger ganz verlorener Beweise sich erraten lassen.

Dagegen läßt der Platz, den diese Schrift chronologisch in der Reihe der bekannten Arbeiten von A r c h im e d e s einnimmt, sich nicht mit vollständiger Sicherheit festsetzen. Nur erfahren wir am Schluß von I, daß ihr die an D o s i t h e o s in Alexandria gesandte Schrift über die Quadratur der Parabel, wo er zum ersten Male dieselbe mechanische Methode wie hier benutzt und nachher einen davon ganz verschiedenen geometrischen Beweis gibt, vorangegangen ist. Noch älter als die genannte Schrift waren die an K o n o n in Alexandria gesandten Aufgaben und Lehrsätze, die später in der Einleitung zur Schrift über die Spiralen wiederholt sind. In der


ersten dieser Aufgaben wird es verlangt, eine ebene Fläche zu finden, die der Oberfläche einer gegebenen Kugel gleich ist. Diese Aufgabe war, als die Schrift über die Spiralen erschien, schon in dem ersten Buche über Kugel und Zylinder gelöst, und daran weiter die Bestimmungen der krummen Oberfläche eines Kugelsegments und der Rauminhalte einer Kugel, eines Kugelsektors und (im 2. Buche) eines Kugelsegments geknüpft. Ebenfalls waren die nachfolgenden Aufgaben schon im 2. Buche über Kugel und Zylinder gelöst. Außer den eben zu beweisenden Sätzen über die Spiralen nennt A r c h im e d e s

noch unter den an K o n o n geschickten Lehrsätzen die Bestimmung des Rauminhaltes eines Segments eines Umdrehungsparaboloids. Diese hat er später in der Schrift über „Konoiden und Sphäroiden“ bewiesen und noch dazu die Rauminhalte der Segmente eines zweischaligen Umdrehungshyperboloids und eines Umdrehungsellipsoids gefunden. Zur Beurteilung des wahrscheinlichen Platzes der jetzt vorliegenden Arbeit in Beziehung auf die hier genannten drei Schriften, von welchen diejenigen über Kugel und Zylinder und über Konoiden und Sphäroiden teilweise dieselben Fragen auf ganz andere Weise behandeln, liefert sie uns verschiedene Beiträge, die wir, um nichts vorzugreifen, erst am Schlüsse dieses Kommentars beleuchten werden.

Der Anfang der Vorrede zeigt, daß die Schrift an den bekannten Gelehrten E r a t o s t h e n e s in Alexandria geschickt ist, und daß A r c h im e d e s

ihm schon vorher die am Schlüsse der Schrift bewiesenen Lehrsätze *), die er aus klar ausgesprochenen Gründen als besonders interessant betrachtet, gesandt hatte. Er sagt auch, daß er früher Sätze über den Rauminhalt von Konoiden (d. h. Umdrehungsparaboloiden und hyperbolischen Umdrehungshyperboloiden) und Sphäroiden (Umdrehungsellipsoiden) mitgeteilt habe. Da die Mitteilung an K o n o n — soweit wir sie kennen — nur solche vom Paraholoid enthält, muß er also entweder in einem ändern Schreiben an einen Alexandriner mehr darüber mitgeteilt haben oder ihnen schon die „Konoiden und Sphäroiden“ gesandt haben. Obschon A r c h im e d e s

alles, was er vom Ellipsoid wußte, auch von der Kugel wissen mußte, sagt er doch nichts von der Kugel, was wir schon hier hervorheben. Waren doch die Eigenschaften der Kugel zu wichtig, um sie nur als Spezialfälle derjenigen des Ellipsoids zu betrachten, eine Betrachtungsweise, die überhaupt den antiken Darstellungen ganz fern lag!

A r c h im e d e s spricht demnächst von der eigentümlichen, mechanischen Methode, die, neben den geometrischen Beweisen der zwei Hauptsätze, ein

1) Daß eben diese Sätze in der nun gefundenen Schrift bewiesen waren, wußte man schon aus H erons vor kurzem gefundenen Metrica.

344 J. L. H e i b e r g und 11. Gr. Z e u t h e n .

Hauptgegenstand der ganzen Mitteilung ist. Sie ist nützlich zur Auffindung geometrischer Sätze und ihrer Beweise, wenn auch die dadurch erreichte Herleitung nicht selbst als geometrischer Beweis gelten darf. Als Beispiel der Nützlichkeit solcher heuristischen Methoden nennt er, daß D e m o k r i t o s die Lehrsätze über die Rauminhalte einer Pyramide und eines Kegels gefunden hat, wenn sie auch erst von E u d o x o s bewiesen würden. Da natürlich D e m o k r i t o s nicht ganz ohne Grund solche richtige Sätze aufgestellt hat, erfahren wir dadurch, daß er ihr wirklicher Entdecker ist, daß seine Beweisführung aber nicht die später aufgestellten, exakten Anforderungen befriedigte. Es wird auch bestätigt, daß E u d o x o s

der Erfinder der exakten Beweisführung der genannten Sätze ist. Wie wir aus II 296, 9—12 und 23—25 x) ersehen, geht seine Erfindung darauf aus, daß er, statt von unendlich kleinen Größen zu sprechen, die Beweise auf dem Postulat beruhen läßt, daß eine gegebene Größe immer so vielmal wiederholt werden kann, daß das dadurch erreichte Muitiplum eine andere gegebene Größe übertrifft. Bekanntlich stützt sich die Lehre von den Verhältnissen inkommensurabler Größen im 5. Buche der EuKLiDischen Elemente auf dasselbe Postulat (Def. 4), und durch die Vermittelung des daraus hergeleiteten Satzes 1 des 10. Buches, gilt dasselbe von den Beweisen im 12. Buche der eben genannten, von D e m o k r i t o s gefundenen, Sätze.2)

In allen seinen anderen Schriften stützt A r c h im e d e s seine exakte Begründung (Exhaustionsbeweis) der Sätze infinitesimaler Natur auf dasselbe Postulat (Lemma), und wie steif man damals an die Forderung einer solchen Beweisführung hielt, ersehen wir aus seiner Vorrede zum 1. Buch über Kugel und Zylinder, wo er, ohne D e m o k r i t o s zu nennen, die eben zitierten Sätze als ganz unbekannt vor E u d o x o s betrachtet. In der neugefundenen Schrift erlaubt er sich aber selbst, in I ein Dreieck und ein Parabelsegment aus Reihen paralleler Sehnen bestehen zu lassen, in II Zylinder, Kugel und Kegel durch Reihen paralleler Kreisschnitten auszufüllen, und ebenso in den folgenden Sätzen. Dadurch gelingt es ihm auf wenigen Seiten eine große Anzahl von Sätzen herzuleiten, indem er sich selbst und seinen Lesern die Mühe weitläufiger Exhaustionsbeweise erspart, Beweise, die sich jedoch überall ohne Schwierigkeit nach den ge-

1) Diese Zitate und ähnliche im fo lgen den beziehen sich auf H eibergs Ausgabe der Werke des A rchimedes.

2) Es is t daher ganz irre le iten d , n am en tlich auch fü r das V erstän d n is der EuKLiDischen E lem ente, w enn m an dieses schon von A r i s t o t e l e s (266D2; siehe H e i b e u g :

Mathematisches zu A r i s t o t e l e s ; A b h a n d l . z u r G e s c h . d e r m a t h e m . W i s s . 18, 1904 S. 23) z itierte Postulat das „ARcniMEDische A xiom “ nennt. (Siehe m einen Vortra^ am H eidelberger Kongreß 1904, B ericht (1905) S. 541.)


wohnlichen Regeln ausbilden ließen, wie er es selbst schon in der Schrift über Parabelquadratur für den Beweis in I getan batte. Aber er hütet sich überall wohl davor, die gegebene Andeutung eines Beweises als Beweis zu betrachten.

Nach der Vorrede nennt A r c h i m e d e s , neben einem Hilfsatz algebraischer Natur, die statischen Voraussetzungen, die er in seiner mechanischen Methode benutzen muß. Diese werden also als den Lesern bekannt betrachtet, und man muß annehmen, daß sie in einem damals bekannten Buche zu finden waren. Für die Mehrzahl dieser Voraussetzungen, die die Schwerpunkte ebener Figuren betreifen, liegt es nabe an A r c h i m e d e s ’ eigenes erstes Buch über das Gleichgewicht ebener Figuren zu denken, wo eben solche Fragen behandelt werden. Der erste Hilfsatz scheint auch nach den erhaltenen Überresten fast wörtlich mit dem Satz 8 des genannten Buches zu stimmen. Von demselben Hilfsatz wird ein Teil zitiert in einem Stücke des nun gefundenen, griechischen Textes der hydrostatischen Schrift von A r c h i m e d e s , das eine Lakune der bis jetzt allein gekannten lateinischen Ibersetzung ausfüllt (II S. 377, 14).!) Dort wird gesagt, daß er in den Elementen der Mechanik (¿v roTg oroi^eioig röv jurj^aviuöv) bewiesen ist. Sollte dadurch das erste Buch über das Gleichgewicht ebener Figuren be-o ozeichnet werden, und dasselbe Buch auch in der hier vorliegenden Schrift zitiert sein?

Auf letzteres deuten die zwei folgenden Hilfsätze nicht. Sie befinden sich weder unter den Postulaten noch unter den Sätzen des genannten Buches, wo sie jedenfalls besondere Beweise fordern würden, der letztere z. B. einen mit demjenigen für die Bestimmung des Schwerpunktes eines Parallelogrammes analogen Beweis. Zitate des Buches in seiner uns überlieferten Gestalt sind sie also jedenfalls nicht. Dagegen sind sie einfach genug um anzunehmen, daß sie in einem Vorläufer der exakt-geo-

1) Wie Hr. Heibeiig mir gütigst mitgeteilt hat, lautet dieses Ausfüllungsstück so:. . . und von n werde ncp \\ v o gezogen; also halbiert ncp i o ; denn dies ist in der Lehre von den Kegelschnitten bewiesen. Man teile ncp so, daß n ß = 2 ßcp, und v o in p so, daß op = 2pf. Dann ist p der Schwerpunkt des größeren Segments, ß derjenige des Segments m o a \ denn es ist in der Lehre vom Gleichgewicht (¿v ra lg ieoQQonlccig) bewiesen, daß der Schwerpunkt eines Paraboloidsegments die Achse so teilt, daß das Stück am Scheitel das Doppelte des Überrests ist. Wenn man dann das Segment ¡ n o g vom ganzen Segment abzieht, liegt der Schwerpunkt des Überrestes in py; denn in den Elementen der Mechanik ( tv zo ig ozo ixsio ig r ä v [ir]%oivix(öv) ist es bewiesen, daß, wenn man eine Größe, die einen anderen Schwerpunkt als das Ganze hat, abzieht, der Schwerpunkt des Überrests auf der Geraden liegt, die die Schwerpunkte des Ganzen und des abgezogenen Teils verbindet, nach derselben Seite verlängert, wo der Schwerpunkt des Ganzen liegt.

3 4 (» J. L. H eibeeg und H. G. Zeuthen.

metrischen Behandlung, die ÄRCHIMEDES von der Statik gegeben hat, auf-

bestellt waren. Von diesem konnte A r c h im e d e s dann auch den Wortlaut des Hilfsatzes 1 behalten haben, und 4 und 5 mußten m allen Lehrbüchern der Statik Vorkommen. Einem solchen älteren Buch müßte dann auch der wichtige HUfsatz über den Schwerpunkt des Kegels, deren Bestimmung in keiner bekannten Schrift von A r c h im e d e s vorliegt, entnommen sein.

Diese Betrachtungen setzen doch die Möglichkeit voraus, daß A r c h i

m e d e s nur der exakte Begründer der einfachsten Sätze der Statik, nicht ihr erster Entdecker noch der erste Erfinder des Begriffs des Schwerpunktes ist. Diese Möglichkeit wird nicht durch die Ausdrücke im Buche über das Gleichgewicht ebener Figuren ausgeschlossen: der Schwerpunkt wird nicht als ein neuer Begriff behandelt; nur die zu seiner exakten geometrischen Bestimmung nötigen Voraussetzungen werden aufgestellt. Auch die Überlieferung genügt nicht, um diese Möglichkeit zu entfernen; haben wir ja eben gesehen, daß man E u d o x o s aus ganz ähnlichen Gründen als Entdecker des Rauminhaltes der Pyramide und des Kegels betrachtete! Daß A r c h im e d e s den Begriff des Schwerpunktes und damit alle die in der vorliegenden Methodenlehre benutzten Voraussetzungen selbst geschaffen hat, erfordert ebensowohl einen Beweis als die entgegengesetzte Annahme.

Darauf, daß A r c h im e d e s doch wirklich selbst früher alle die aufgestellten Voraussetzungen mitgeteilt hat,1) deutet das einzige erhaltene Wort des nach der Aufstellung der mechanischen Voraussetzungen folgenden Stückes (S. 324 unten), nämlich „veröffentlicht“, welches der Herausgeber mit [Dies alles ist schon früher] ausgefüllt hat. A r c h im e d e s sollte dann schon damals nicht nur die planimetrischen Schwerpunktsätze im zitierten Buche, sondern auch die räumlichen in einer jetzt verlorenen Fortsetzung veröffentlicht haben. Auf letztere konnte dann auch das erste Zitat m dem Stück, das wir in der Note S. 345 angeführt haben, sich beziehen. Sie müßte dann ’ früher als die Methodenlehre einen geometrischen Beweis ihres Satzes V enthalten haben; denn eben auf diesen Satz bezieht sich das Zitat in dem Satze aus der hydrostatischen Schrift.

Wie es sich nun auch mit den zwei hier genannten Möglichkeiten verhält, sehen wir, daß der Satz über den Schwerpunkt eines Kegels eine Voraussetzung ist, die unabhängig von der neuen Methode gefunden ist. Es ist wahrscheinlich so geschehen, daß man mit dem Schwerpunkt einer dreiseitigen Pyramide angefangen hat.

Es ist auch noch zu bemerken, daß A r c h im e d e s seine Erklärungen darüber, daß seine mechanischen Herleitungen nicht als Beweise zu be

1) Dies ist die Ansicht H eibeegs.


trachten sind, so weit getrieben hat, daß er selbst 121 der Schrift über die Parabelquadratur, wo er dieser Herleitung die exakte Form eines Ex- liaustionsbeweises gibt, es doch für notwendig hält, darauf eine eigentlich geometrische Beweisführung folgen zu lassen. Diese würde ganz natürlich sein, wenn seine eigene exakte Begründung der Statik im 1. Buche über das Gleichgewicht ebener Figuren damals noch nicht vorlag, und er also auf einer älteren, weniger genauen Mechanik bauen mußte. In diesem Falle versteht man auch seinen Wunsch, nachher seiner neuen Methode eine bessere Grundlage zu geben, und besonders die bei der Parabelquadratur benutzte Bestimmung des Schwerpunktes eines Dreiecks mit der in der Geometrie verlangten Genauigkeit zu beweisen. Aber auch wenn sowohl die noch erhaltene Schrift über Gleichgewicht als die soeben als möglich angenommene Fortsetzung damals Vorlagen, und der Schwerpunkt in diesen zum ersten Male hervorgetreten war, konnte A r c h im e d e s diesen Begriff als zu neu betrachten, um zu hoffen, daß andere den darauf gegründeten Beweisen eine geometrische Sicherheit beimessen würden.

In beiden Fällen versteht man, daß A r c h im e d e s in der vorliegenden Schrift sich die Mühe erspart, den mechanischen Herleitungen die Form von Exhaustionsbeweisen zu geben, was ihm doch gar keine wirkliche Schwierigkeiten verursachen konnte; dies würde nämlich nicht genügen um die Beweise exakt zu machen.

Ehe wir die mechanischen Voraussetzungen verlassen, ist noch zu bemerken, daß die Benutzung des Schwerpunktes eines Kegels, dessen

aBestimmung durch Integration die Kenntnis des Integrals l x 'Adx vor-

0aussetzt, dem A r c h im e d e s erlaubt auch andere Bestimmungen auszuführen, die für uns auf dasselbe Integral führen würden, ganz wie bei der Parabelquadratur die Kenntnis des Schwerpunktes eines Dreiecks die Integrationa\ x 2dx ersetzt Von seiner Hand kannte man bis jetzt nur e i n e Be

stimmung, deren Schwierigkeit durch unseren Gebrauch des Integrala\ x sdx sich angeben läßt, nämlich diejenige des Schwerpunktes eines

Parabelsegments, die im 2. Buche über das Gleichgewicht ebener Figuren durch ganz besondere Hilfsmittel ausgeführt wird.1) Seine in den Anfängen der Schriften über die Spiralen (II, 40) und über die Konoide und Sphä- roide (I, 290) aufgestellten d i rek t en Methoden, die er in den genannten Schriften mit völliger Konsequenz überall da anwendet, wo man jetzt die

1) Siehe mein Buch: Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, S. 488 (in der dänischen Ausgabe S. 283), wo ich eine Lakune der Beweisführung ausfülle.

34 8 J. L. H e i b e r g u n d H . G. Z e u t h e n .

Integrale \ x 2dx und \ x d x anwenden würde,1) reichen, wie man es eben u o

aus diesem Vergleich ersieht, nicht so weit.Wir haben hier schon in Verbindung mit der Vorrede die von A r c h i -

MEDES an Satz I geknüpften weiteren Bemerkungen benutzt. Solche finden sich auch am Schluß vom Satz II und lehren uns, daß A r c h im e d e s den Rauminhalt der Kugel früher als ihre Oberfläche erkannt hat. Die darauf gegründeten weiteren Folgerungen aber schieben wir bis auf den Schlußdieses Aufsatzes auf.

Seine Methode erklärt A r c h im e d e s nur durch die in den Sätzen I—X

enthaltenen Anwendungen, die auch zu diesem Zwecke genügen. V on I haben wir hinlänglich gesprochen. In II wird der Rauminhalt einer Kugel dadurch bestimmt, daß, wenn sie zusammen mit einem gewissen Kegel ae£ im Punkte # eines in a unterstützten Hebels auf gehängt wird, diese Körper mit dem an der Stelle bleibenden Zylinder in Gleichgewichtsein werden. Nachdem man II gelesen hat, wird man ungefähr die nach demselben Muster unternommenen Bestimmungen der Rauminhalte eines Umdrehungsellipsoids (III) und der durch Ebenen senkrecht auf die Achse abgeschnittenen Segmente eines Umdrehungsparaboloids (IV), einer Kugel (VII) und eines Umdrehungshyperboloids (X ) nachmachen können. Die dabei hervortretende Übereinstimmung der Aufgaben ist dieselbe, die sich uns jetzt dadurch zeigt, daß die Gleichungen der Meridiankurven aller dieser Flächendie Form y 2 = p x + q x 2 haben, wo q ^ 0. Eine entsprechende Über

einstimmung findet man unter den Bestimmungen des Schwerpunktes eines Paraholoidsegments (V), einer Halbkugel (VI) und eines Kugelsegments in VIII und IX. Sie werden alle dadurch bestimmt, daß die an der Stelle bleibenden Körper mit gegebenen Körpern in gegebenem Abstand vom Unterstützungspunkt in Gleichgewicht sind. Man wird auch, wenn A r c h i

m e d e s in X von anderen Anwendungen derselben Methode spricht, in erster Linie an die anderen Segmente ähnlicher Natur (Inhalt und Schwerpunkt eines Ellipsoidsegmentes, Schwerpunkt eines Hyperboloidsegmentes) denken. Bekanntlich hat A r c h im e d e s in der Schrift über Konoide und Sphäroide die Sätze über die Rauminhalte aller dieser Körper, auch dann, wenn die Segmente schief abgeschnitten sind, geometrisch bewiesen, nicht

1) Dies habe ich im 20. Abschnitt des eben zitierten Buches im einzelnen nachgewiesen. Auf diesen konsequenten Gebrauch der Methoden gründe ich die Berechtigung, sie als „Integrationsmethoden“ zu bezeichnen, eine Benennung, die vielleicht weniger bestritten sein wird, nachdem man aus diesem Buche ersehen hat, daß infinitesimale Betrachtungen in A rchimedes’ eigener Darstellung unverschleiert auftreten können.


aber die Sätze über ihre Schwerpunkte, deren Bestimmung durch diea

Integralrechnung teilweise vom genannten Integral j' x 3dx abhängen würde.1)u

Die übereinstimmende Behandlung der Sätze I—X macht auch die wenigen, diese Sätze betreffenden Lakunen recht bedeutungslos für das Verständnis des Inhaltes. Dies ist doch erst dadurch erreicht, daß dieselbe Übereinstimmung und der ganze Zusammenhang schon von Herrn H e i b e r g

benutzt sind, um das schwierige Manuskript zu lesen und die Figuren zu rekonstruieren. Von VIH fehlt noch die Protasis oder die Aussprache des Satzes neben dem ersten Anfang des Beweises. Dieser Anfang hat jedoch nur einen Teil der Beschreibung der Figur enthalten. Die Fortsetzung zeigte im wesentlichen wie diese, übrigens in völliger Übereinstimmung mit den Figuren 6 und 7, zu rekonstruieren war, und der Beweis enthält faktisch eine vollständige Bestimmung des Schwerpunktes eines beliebigen Kugelsegmentes. Wenn jedoch demnächst IX angibt, daß der Schwerpunkt eines „beliebigen“ Kugelsegments in derselben Weise bestimmt werden kann, muß VIII zwar eine gewisse Begrenzung enthalten hahen. Die Vollständigkeit der Beweisführung zeigt jedoch, daß dieselbe nur etwa in der Angabe bestanden haben kann, daß das Segment größer (wie es in der Figur 8 des Herrn H e i b e r g vorausgesetzt ist) oder kleiner als eine Halbkugel sei, eine Begrenzung, die nötig war um eine bestimmte Figur zu haben. Abgesehen von der kleinen Abänderung der Figur darf A r c h im e d e s demnächst in IX mit vollem Recht sagen, daß der Beweis im anderen der genannten Fälle in derselben Weise wie in VIII geführt werden kann.

1) Diejenigen von allen diesen Bestimmungen, die nicht in A rchimedes’ übrigen Schriften erhalten sind, hat erst Lüca V alerio (1552—1618), der sich in hervorragender Weise A rchimedes’ Arbeitsweise angeeignet hatte, wiedergefunden (in seinem 1604 ausgegebenen Buche: De ceniro gravitatis solidorum). Ohne im einzelnen demselben Weg wie A rchimedes zu folgen (siehe Note S. 351), gelangt auch er so weit durch Benutzung des Schwerpunkts eines Kegels, den er durch vorangehende Betrachtung desjenigen einer dreiseitigen Pyramide gefunden hatte.

Dies war jedoch nicht nötig um die Richtigkeit der aus der hydrostatischen Schrift des A rchimedes zu entnehmenden Angabe über die Lage des Schwerpunktes eines Paraboloidsegments zu beweisen; solche Beweise waren auch vor Valerio gefunden. In Der Lehre von den Kegelschnitten im Altertum (S. 285 der dänischen und S. 454 der deutschen Ausgabe) habe ich — wie es sich jetzt zeigt, richtig — erraten, daß A rchimedes bei dieser Bestimmung die jetzt vollständig vorliegende, mechanische Methode, die damals allein durch die Anwendung in der Schrift über die Parabelquadratur bekannt war, angewandt hatte. Da noch kein Vorbild für die Anwendung auf Bestimmungen von Schwerpunkten vorlag, habe ich jedoch unter den verschiedenen möglichen Formen einer solchen Anwendung nicht genau des A rchimedes’ eigene, sehr einfache und schöne Herleitung getroffen, die jetzt in V vorliegt.

Dieselbe Teilung eines Satzes über Kugelsegmente findet sieb in XLII und XLIII des ersten Buches über Kugel und Zylinder. Vom Beweise desVI. Satzes über den Schwerpunkt einer Halbkugel fehlt der Schluß. Der Gang des Beweises geht jedoch hinlänglich aus dem erhaltenen Teil hervor. E s wäre selbst möglich das Fehlende mit Ausdrücken, die von A r c h im e d e s selbst benutzt sein könnten, zu rekonstruieren. Denn die Bestimmungsweise ist ganz dieselbe, die A r c h im e d e s nachher in VIII auf ein beliebiges Kugelsegment anwendet. Um den Schluß von VI zu haben, würde es also genügen in dem entsprechenden Teil von VIII das Segment duich eine Halbkugel zu ersetzen, woraus folgt, daß e und g mit ß und d, der Kegel e x g mit dem Kegel ß oc <3 zusammenfällt, was eben auf der Figur 6 geschehen ist. Außerdem werden andere Vereinfachungen davon herrühren, daß die im Beweise benutzte Bestimmung des Rauminhaltes einer Halbkugel einfacher ist als die des Rauminhaltes eines willkürlichen Segmentes.

Letztere Bestimmung ist aus Satz VII entlehnt, wo sie ganz in derselben Form gegeben ist, worin sie in VIII benutzt wird. Vielleicht hat A r c h im e d e s den VII. Satz, der sonst seinen natürlichen Platz unmittelbar nach der Bestimmung des Rauminhaltes einer Kugel (II) haben würde, nur darum unter die Beispiele seiner Methode mitgenommen, weil er sein Resultat in VIII benutzen wollte.

Die Bestimmung des Rauminhaltes eines Kugelsegmentes wird in VII ganz durch dieselben Betrachtungen ausgeführt, die in II zur Bestimmung des Rauminhaltes einer Kugel dienen. Eben dadurch ward es möglich aus den Überresten des Beweises den Satz selbst und die Figur zu rekonstruieren, wie auch einige kleine Lücken im Beweise auszufüllen. Demnach muß ferner der Schluß des Beweises folgenden Hauptinhalt gehabt haben.

Da nun oc/=|<x'<? und x d = cny, wird der dem Kugelsegment gehörige Zylinder : Kegel« £ g + Kugelsegment ß«. d = «.y \ xi) = x y 2 : J. <x rj . a. y. Nun ist Zylinder : Kegel a £ g = a y 2 : $ <x 2; also wird Zylinder : Segment = oc y* : | oc j? . oc / — ^ 0072 sein. Ferner ist Zylinder : Kegel a ß ö mit derselben Grundfläche ß ö und Scheitel oc wie das Segment = oc y 2 : J 7}ß2. Also wird Segment a ß d : Kegel x ß ö = oc i) . oc y — £ oc rß : | rj ß-, oder da ß — rj ß: rj y , istSegment ocßö : Kegel < x ß d = l$ « .y — v.i)\r]y oder = | «c y-j- i/y : tjy, was zu beweisen war. [Verlängert man den Durchmesser oc y über y hinaus um den Halbmesser bis zum Punkte, der in VIII § genannt ist, so wird man eben den in VIII benutzten Ausdruck g rj*i}y haben].

Die Bildung und Umbildung der Proportionen ist jedoch hier kürzer gegeben, als ARCHIMEDES es getan haben wird.

D urch d iese 10 B eisp ie le h at A r c h im ed es se in e M ethode so g u t er

J. L. H e i b e r g und H. G. Z e u t h e n .


klärt, daß man vollständig sieht, nicht nur wie er sie hier anwendete, sondern auch auf neue Aufgaben, z. B. auch auf die beiden neuen in der Vorrede genannten Hauptsätze, anwenden konnte. Bevor wir uns an diese wenden, haben wir jedoch noch zu fragen, ob die Fruchtbarkeit der Methode nur durch die in die Augen springende, glückliche Zusammenstellung verschiedener Bestimmungen, nämlich von Räumen und von Schwerpunkten, erlangt wird, oder ob sie auch auf die Einführung ganz neuer infinitesimaler Begriffe beruht. In der Tat begegnet uns ein solcher in der Bes t immung des Schwer punk t s durch die Größe, die wir j e t z t das s t a t i sche Moment eines Körpers in Bez i ehung auf eine feste Ebene nennen, und der Auf f indung dieser Größe durch die uuendl i che Te i lung des Körpers mi t te l s para l l e l e r Ebenen. Zwar hat A r c h im e d e s keine eigene Benennung für das Moment. Überall in den Beispielen kommt aber ein Raum vor, der nach Multiplikation mit einer konstanten Größe, genau dem Momente gleich ist.

Hat eine beliebige der mit der festen Ebene parallelen Ebenen den Abstand x von ihr, und macht sie im Körper den Schnitt u, wird das

Moment \ x u d x oder a j ~ u d x sein. Bringt man nun den Körper ohne

seine Lage zu ändern auf einem in seinem Schnittpunkte mit der festen Ebene (x = 0) unterstützten Hebel an, wird er mit einem auf der anderen Seite der Ebene an dem Hebel im Abstande a aufgehängten Körper von

der Größe j ~ u d x in Gleichgewicht sein. Nennen wir diese Größe V,

den Rauminhalt des vorgelegten Körpers U ( = \udx) und den Abstand des Schwerpunktes dieses Körpers §, hat man U :V = a: U ist in denBeispielen des A r c h im e d e s bekannt; mittels der Proportion bestimmt er demnächst entweder V durch <f oder umgekehrt.

Da die vorliegende Schrift in der neueren Zeit bis jetzt unbekannt war, bemerken wir, daß A r c h im e d e s doch auf die moderne Bildung des Begriffes des Momentes eines Körpers Einfluß gehabt hat, nämlich durch ihre Anwendung in der Schrift über die Parabelquadratur (vergl. den vorliegenden Satz I). Da kommt jedoch nur das Moment einer ebenen Figur in Beziehung auf eine Gerade vor.1)

1) Luca V alerio’s Lösung der von A rchimedes behandelten Aufgaben (siehe Note S. 349), weicht von der vorliegenden namentlich dadurch ab, daß er nicht die Momente in hervor tretender Weise benutzt. Ohne dies zu tun, kann er den Schwerpunkt eines Paraboloidsegments finden. Der jetzigen Gleichungsform y 2 = px + qx2 der Meridiankurve entsprechend, sind die übrigen Segmente Summen oder Differenzen eines Paraboloidsegments und eines Kegels. Auch Archimedes benutzt diese Zusammensetzung, aber so, daß er nicht auf das in V für das Paraboloidsegment gewonnene

gfjg J. L. H eibekg und H. G. Zeuthen.

Nachdem A r c h im e d e s in den Sätzen I —X seine Methode vollständig erklärt hat, geht er zu den Sätzen über, die er im Anfänge seines Schreibens an E r a t o s t h e n e s besonders hervorgehoben hat. Die Behandlung des ersten umfaßt sowohl eine Herleitung durch die mechanische Methode (XI—XII) als einen in XIII vorbereiteten, geometrischen Beweis, dessen in XIV erhaltene Trümmern zeigen, daß er eben so vollständig gewesen ist als die Beweise in A r c h im e d e s ’ anderen Schriften. Die Behandlung des zweiten Satzes fehlt ganz im Manuskript. Es ist doch kaum zu bezweifeln, daß sie eben so vollständig dagewesen ist.

Der erste Satz gibt den Rauminhalt des kleineren Teils eines in ein rechtstehendes Prisma mit quadratischen Grundflächen eingeschriebenen Zylinders an, der von einer Ebene geteilt wird, die durch eine Seite dei einen und den Mittelpunkt der anderen Grundfläche des Prismas geht. I m diesen Rauminhalt durch seine Methode zu finden, zeigt A r c h im e d e s zuerst in XI, daß das genannte Zylinderstück, wenn man es mit seinem gesammelten Gewicht in dem Punkte, der in der big. 9 ,C und in Fig. 10 £ genannt wird, an einen im Mittelpunkt ■& des Prismas unterstützten Hebel auf hängt, mit dem auf seinem Platz bleibenden im Rechteck ößo )y und im Halbkreise q j t o projizierten1) Halbzylinder in Gleichgewicht sein wird. Um dadurch die Größe des Zylinderstücks zu finden, muß man das Moment des Halbzylinders in Beziehung auf die in y d und q o projizierte Ebene bestimmen. Diese Bestimmung, oder die damit gleichgeltende des Schwerpunktes des Halbzylinders, wird daher in XII ausgeführt. Man findet, daß der Halbzylinder, dessen Querschnitt nun in Fig. 11 der Halbkreis o j t q ist, auch mit dem Prisma, dessen Querschnitt das Dreieck rjd/x ist und das dieselbe Höhe als das gegebene Prisma hat, in Gleichgewicht ist, wenn sie beide auf ihrem Platze bleiben und d der feste Punkt des Hebels ist. Dann wird das Zylinderstück gleich | des letztgenannten dreiseitigen Prismas sein, das selbst -} des ganzen gegebenen, vierseitigen Prismas ist. Der Schwerpunkt des Prismas liegt nämlich auf ßO im Abstande von d.

Zwar liegt dieser Beweis nicht vollständig vor, aber der erhaltene Anfang zielt eben auf diese Beweisführung so bestimmt ab, daß man sicher auf den Inhalt der Fortsetzung schließen darf. Wenn man in Ak eine Ebene senkrecht auf die Ebene der Figur errichtet, wird der Schwerpunkt des OK enthaltenden Schnittes des Halbzylinders der Mittelpunkt

Resultat hin weist, sondern jedesmal aufs neue den Kegel einführt, der in Gleichgewicht mit diesem ist. Er will nämlich eben den Gebrauch der Momente zeigen. Bei den Raumhestimmungen benutzt V alerio dieselbe Zusammensetzung.

1) Die Figuren 9 und 10, welche die im Anfang der Beweisführung von XI genannten Schnitte darstellen, gewähren in der Tat denselben Nutzen wie zwei Projektionen des Körpers.

Eine neue Schrift des Archimedes. 353von OK sein, und der Schwerpunkt des enthaltenden Schnittes des dreiseitigen Prismas der Mittelpunkt von A/, dessen Abstand von 0 die Größe ^ (pA -J- 0%) hat Um zu beweisen, daß diese Rechtecke auf einem Hehel mit dem festen Punkt ö sich in Gleichgewicht halten, ist’s also nur nötig, zu beweisen, daß

| OK : | ( p A - f o x ) = A x : OK.

Da A x = oA — o x , ö x = o d und o A = dem Halbmesser des Kreises ö k ist, wird die Richtigkeit dieser Proportion daraus folgen, daß # ö 2 + 0k 2 = $?<2 ist.

Diese Schlußreihe wird A r c h im e d e s jedoch in umgekehrter Ordnung aufgestellt haben. Demnächst wird er wie gewöhnlich in der vorliegenden Schrift den Halbzylinder und das dreiseitige Prisma als aus solchen ebenen Schnitten wie die hier betrachteten bestehend aufgefaßt haben. Indem er weiter in irgend einer Weise — die sich eben, weil A r c h im e d e s sich in der vorliegenden Schrift freier als sonst ausdrückt, nicht mit Sicherheit wieder herstellen läßt — die Symmetrie in Beziehung auf § ji benutzt hat, wird er bewiesen haben, daß das dreiseitige Prisma an seiner Stelle, wie früher das Zylinderstück in § angebracht, an dem in d unterstützten Hebel mit dem Halbzylinder in Gleichgewicht ist. Fraglich ist es nur, ob A r c h im e d e s als ein Zwischenglied der Untersuchung auch den Schwerpunkt des Halbzylinders bestimmt hat.

Unabhängig davon, was A r c h im e d e s selbst davon bemerkt haben mag, dringt sich hier ein Zusammenhang mit anderen Untersuchungen auf. Der hier bestimmte Schwerpunkt des Halbzylinders ist mit demjenigen seines Querschnittes, des Halbkreises otiq, identisch. Wegen des später im Altertum gekannten, sogenannten PAPPUS-GüLDiNschen Satzes, dessen Richtigkeit für die einfachsten Spezialfälle natürlich früher bemerkt war, ist die hier genannte Bestimmung wieder mit derjenigen des Rauminhaltes der Kugel, auf welcher ottq t; ein größter Kreis ist, wesentlich identisch. Daher müssen auch die Beweise, die man, jeden für sich, für diese Bestimmungen führen kann, ganz von selbst miteinander übereinstimmen. Die hier benutzte Bestimmung des Schwerpunktes, oder genauer des Momentes, eines Halbkreises o ttq in Beziehung auf den Durchmesser o q entspricht dann ganz genau derjenigen Bestimmung des Rauminhaltes der Kugel mit dem größten Kreis o jiq§, die darin besteht, daß man, durch die Betrachtung ebener Schnitte senkrecht auf dem Durchmesser oq zeigt, daß der umgeschriebene Zylinder ¡x v die Summe der Kugel und der durch die Umdrehung der Dreiecke tDo/x und &Qrj um oq erzeugten Kegel ist.')

1) Diese Betrachtung verwendet L u c a V a i .e i i i o in seinem schon zitierten Buche sowohl um die Kauminhalte der Kugel und ihrer Segmente als um die Schwerpunkte derselben Körper zu finden.


354 J . L . H e i b e r g u n d H . G . Z e u t h e n .

In XTTT stellt A r c h im e d e s den Gedankengang des geome t r i s che n Beweises dar, doch noch ohne den infinitesimalen Betrachtungen die Form eines Exhaustionsbeweises zu geben. Es fehlt zwar hier ein Teil des Textes, es ist aber eben soviel übrig geblieben, als zur Erkennung des ganzen Beweises nötig ist, nämlich erstens die Konstruktion (Fig. 12) der Parabel rj § e und demnächst der Gebrauch dieser Hilfskurve. Es fehlt also nur der leichte Beweis für die Richtigkeit dieser Anwendung. A r c h im e d e s hat schon in dem erhaltenen Anfang des Beweises aus der Haupteigenschaft (Gleichung) der Parabel eine Proportion hergeleitet, die, da 1) k = ß Vj so geschrieben werden kann

ixv : vX — juv2 : A o2.Nun schneidet die durch ß v gezogene, auf der Ebene der Figur senk

rechte Ebene das von A r c h im e d e s im erhaltenen Text beschriebene dreiseitige Prisma mit der Seitenfläche rj ö und das gesuchte, auf dem Halbkreise e£i] stehende Zylinderstück in Dreiecken, die sich wie ß v 2 : ß § 2 verhalten. Da nun ß ^ = ß v 2 — J ö 2, leitet man aus der obigen Proportion her, daß ^ = ^ ^

und demnächst findet man, wie es im letzten der erhaltenen Textstücke gesagt wird, daß das dreiseitige Prisma sich zum Zylinderstück verhält wie das Rechteck bi] zum Parabelsegment egi]. Die gesuchte Kubatur ist also auf die bekannte Quadratur der Parabel zurückgeführt, und daraus hat A r c h im e d e s schon hier das Resultat hergeleitet.

Man sieht, daß die Parabel nur als analytisches Hilfsmittel auftritt. Jetzt würde man, wenn man die Seite der Grundfläche des gegebenen Prismas 2 a nennt, seine Höhe b und den Abstand Kß des betrachteten, ebenen Schnittes vom Mittelpunkt der Grundfläche durch x bezeichnet,

a

das Zylinderstück durch das Integral ^ b j" {a — d x ausdrücken, wo— a

1 & • •der Ausdruck % ab —p — völlig der Proportion entspricht, durch welche

A r c h im e d e s den Schnitt des Zylinderstücks bestimmt. W ir machen es, weil wir den W ert des Integrals kennen. A r c h im e d e s wendet die entsprechende Umbildung an, weil er denselben Wert kennt, nämlich in derGestalt des Ausdruckes der Fläche eines Segments der durch die Gleichung

x2y = a — — (oder durch die entsprechende Proportion) bestimmten Parabel.

Wie m a n es in der Renaissance tat, benutzt A r c h im e d e s also die schon gewonnenen Quadraturen statt unserer Integrale.

Von XIV fehlen große Stücke. Es würde uns aber gewissermaßen genügt haben, wenn A r c h im e d e s nur nach XIII gesagt hätte: Dieser Beweis


läßt sich in einen Exhaustionsbeweis umgestalten. Denn der Bau dieser Beweise ist so festen Regeln unterworfen, daß jedermann, der z. B. die Beweise in der Schrift über die Konoide und Sphäroide kennt, selbst die Umgestaltung ausfübren kann. Die Überreste des Beweises XIV zeigen, daß A r c h im e d e s in der Tat einen mit XIII übereinstimmenden Exhaustionsbeweis in der überlieferten Form geführt bat.

Aus dem ersten Bruchstück sehen wir, daß A r c h im e d e s , nach einer Teilung des Zylinderstücks durch äquidistante, auf qe (Fig. 12) senkrechte Ebenen, auf den Schnitteu rechtstehende Prismen konstruiert hat, die außerdem von der einen oder der anderen der benachbarten Ebenen begrenzt sind, und daher zwei Reihen bilden, die beziehungsweise das Zylinderstück umschließen und von ihm umschlossen werden. Weiter hat er, wie er sagt, bewiesen, daß es — natürlich durch Teilung der Gerade et) in hinlänglich viele Teile — möglich ist zu erreichen, daß „die umschriebene Figur die eingeschriebene um weniger als jede beliebige Größe übertrifft“. x) Nach diesem Beweise muß A r c h im e d e s versucht haben vorauszusetzen, daß das gesuchte Zylinderstück j> |- des von derselben (schiefen) Ebene abgeschnittenen dreiseitigen Prismas (mit der Seitenfläche örj) sei. So wäre es möglich, daß — wie es im nächsten erhaltenen Stück heißt — das Prisma < 1 f des im Zylinderstück eingeschriebenen Körpers sei. Die Unmöglichkeit davon wird gezeigt durch Anwendung derselben Proportion, die in XIII für das Zylinderstück und das Parahelsegment vorläufig aufgestellt war, auf den in das Zylinderstück eingeschriebenen Körper und die entsprechende in das Parahelsegment eingeschriebene Summe von Rechtecken. Daß sie für diese gilt, erhellt aus den in XIII bewiesenen Proportionen, muß aber auch in dem vorher fehlenden Stück von XIY vollständig begründet gewesen sein. Nach der nächsten Lücke, wo die Annahme versucht sein muß, daß das Zylinderstück < f des dreiseitigen Prismas sei, folgt nämlich der Schluß des entsprechenden Beweises dafür, daß dieselbe Proportion für den umschriebenen Körper und die Summe der entsprechenden größeren Rechtecke gilt. Der Gang des ganzen Beweises

1) Diese Ausdrucksweise benutzt A echimedes nicht nur hier, sondern auch in mehreren seiner früher bekannten Exhaustionsbeweise (Siehe z. B. I 374, 17; 380, 4). Wenn ich also, mit Bezug darauf, daß man diesem oder jenem Verfasser in der neueren Zeit die Erfindung dieses Ausdrucks für einen exakten Grenzübergang zuschreibt, in meiner Geschichte der Mathematik im XVI. und XVII. Jahrhundert (S. 382 in der dänischen und S. 274 in der deutschen Ausgabe) ausspreche, daß der hier hervorgehobene Ausdruck „in der Tat nur besagt, was schon im Exhaustionsbeweise der Alten enthalten ist,“ habe ich den Alten noch kaum alles, was ihnen gebührt, gegeben.

23*

356 J. L. H e l b e r g und H . G. Z e u t h e n .

läßt sich also vollständig verfolgen, und muß mit dem vorläufig in XIII aufgestellten Schluß enden, daß das Prisma = f des Zylinderstücks ist.

Wie dem Exhaustionsbeweise XIY die vorläufige infinitesimale Betrachtung in XIII vorausgeht, und wie auch die kürzere Beweisführung in I dem in der Schrift über Parabelquadratur früher mitgeteilten Ex- haustionsbeweis für die mechanische Quadratur entspricht, so wird es nun erlaubt sein, überall, wo A r c h im e d e s Exhaustionsbeweise benutzt, vorauszusetzen, daß er vorher durch ähnliche infinitesimale Betrachtungen dieselben Sätze gefunden hat.1) A r c h im e d e s wendet zwar auch nicht in diesen Betrachtungen das in der früheren griechischen Mathematik viel gebrauchte,2) aber später wegen Mißbrauchs verpönte Wort äjreiQOS an. Seine Ausdrucksweise kommt uns heute noch schlimmer vor als ein solcher noch im 18. Jahrhundert geltender, leichtsinniger Gebrauch des Worts, „unendlich“, wenn er nämlich Flächen und Körper als aus Geraden und ebenen Figuren zusammengesetzt betrachtet. Die Hauptsache ist aber, daß er diese Worte nur da gebraucht, wo er voraussieht, daß seine Räsonne- ments sich nachher durch einen Exhaustionsbeweis ratifizieren lassen. Dann werden seine Betrachtungen dieselbe Gültigkeit haben, wie diejenigen, die sich jetzt auf C a u c h y ’s Infinitesimalbegriff stützen.

A r c h im e d e s hat durch die Beispiele I —X und durch die Anwendung zur Auffindung der ersten seiner neuen Hauptsätze seine mechanische Methode so vollständig erklärt, daß es dem aufmerksamen Leser nicht schwierig sein kann selbst den letzten seiner Sätze durch dieselbe Methode und im genausten Anschlüsse an ihre früheren Anwendungen herzuleiten. W ir werden eine solche Herleitung zeigen, und werden nachher untersuchen, ob andere, von dieser wesentlich verschiedene Herleitungen gut denkbar wären.

Der Satz, der herzuleiten ist, betrifft den Rauminhalt, der von zwei Zylinderflächen, die beide in einen Würfel eingeschrieben sind, umschlossen wird. Jeder Zylinder hat seine Grundflächen in zwei entgegengesetzten Seitenflächen des Würfels, während die Zylinderfläche die vier anderen berührt.

Unsere Bestimmung dieses Raumes wird sich ganz genau an die Bestimmung des Rauminhaltes einer Kugel in II anschließen. W ir können

1) Da der Exhaustionsbeweis nur dazu geeignet ist, schon gefundene Ergebnisse zu beweisen, ist eine solche Annahme wohl den meisten ganz natürlich vorgekommen. Sie ist jedoch in der neueren Zeit von Herrn C. R. W allner in verschiedenen Artikeln in dieser Zeitschrift (siehe besonders: Über die Entstehung des Grenzbegriffs, B ib lio th . M athem. 4 3 , 1903, S. 246) bestritten worden.

2) Siehe A ristoteles 203b 17, 204a 34, 207b 10 (H eiberg , Mathematisches zu A b i s t o t e l k s ; A bhandl. zur Gesch. der m athem . W iss. 18, 1904, p. 23)

Eine neue Schrift des Archimedes. 357auch dazu dieselbe Figur (Fig 2) benutzen. Nur soll jetzt die Ebene der Figur die durch den Mittelpunkt des Würfels senkrecht auf die Achse des einen Zylinders gelegte Ebene sein, der Kreis x ß y ö der Schnitt dieses Zylinders, xp(pyo) der des Würfels. Wenn die übrigen Geraden wie in II konstruiert werden, wird £ g r] Ä der Schnitt eines Prismas sein, das dieselbe Höhe x y als der Wiirfel hat, während die Grundfläche ein Quadrat ist, dessen Seiten (e £) doppelt so groß als die Kanten des Würfels sind, x £ £ ist der Schnitt einer Pyramide mit derselben Höhe und derselben Grundfläche als dieses Prisma.

Eine mit den Achsen der beiden Zylinder parallele Ebene schneidet den gesuchten Körper in einem Quadrat, dessen Seiten die Größe § o haben, das Prisma in einem Quadrat, dessen Seiten = juv sind, die Pyramide in einem Quadrat, dessen Seiten — tt q sind. Aus der in II bewiesenen Proportion x d \ x ö — fxv2 \ § o2-\-7t Q2 folgt nun, daß Körper -f- Pyramide, in 0 aufgehängt an dem Hebel mit dem Unterstützungspunkt a, mit dem an seiner Stelle belassenen Prisma in Gleichgewicht sein werden. Die Pyramide ist \ des Prismas, und der Mittelpunkt u ist der Schwerpunkt des Prismas. Also ist der gesuchte Körper = \ Prisma, und da dies = 4 Würfel ist, wird der Körper = f Würfel sein, wie in der Vorrede angegeben.

Bis in alle Einzelheiten könnte dieser Beweis wie derjenige in II formuliert werden: es genügt, die kreisförmigen Schnitte in II überall durch Quadrate zu ersetzen.

Andere Beweisführungen würden kaum durch A r c h i m e d e s ’ Methode möglich sein. A r c h i m e d e s benutzt nämlich immer die in parallelen Ebenen enthaltenen Schnitte des gesuchten Körpers. Wenn man im vorliegenden Falle dazu andere Ebenen als die mit den Achsen der beiden Zylinder parallelen nähme, würden die Schnitte, im günstigsten Falle, von Geraden und Kreisen umgeben sein, und also gar nicht für die vorliegende Untersuchung geeignet sein.

Daraus darf man weiter schließen, daß — was bei dem vorhergehenden Satze nicht der Fall war — auch im geometrischen Beweise, der wahrscheinlich der mechanischen Herleitung folgte, dieselben Ebenen benutzt sind1), und dann muß dieselbe Übereinstimmung mit einem geometrischen Beweise des Satzes über den Rauminhalt einer Kugel, die uns bei der mechanischen Herleitung begegnet ist, sich auch hier ganz von selbst dar

1) Herr Prof. C. J d e l hat mich darauf aufmerksam gemacht, daß der hier betrachtete Körper aus 8 Zylinderstücken von der im vorigen Hauptsatz behandelten Beschaffenheit zusammengesetzt ist. Wie die Sätze jeder für sich aufgestellt sind, hat A rchimedes

sie doch gewiß auch unabhängig voneinander behandelt.

358 J. L. H e i b e k g und H. G. Z e u t h e n .

geboten haben. Eben daher ist der Verlust des geometrischen Beweises besonders zu bedauern. Wir wissen nämlich aus dem Schlüsse von II, daß der Rauminhalt der Kugel A r c h im e d e s früher als ihre Oberfläche bekannt war, und daß er also ursprünglich nicht, wie im 1. Buche über Kugel und Zylinder mittels dieser bestimmt ist. Hat er auch zuerst diesen Inhalt durch seine mechanische Methode gefunden, wird er es nicht versäumt haben selbst dieses wichtige Resultat gleich auch durch einen geometrischen Beweis zu sichern, wenigstens bevor er die darauf beruhenden Aufgaben an K o n o n sandte. Auf einen solchen mußte die bei der mechanischen Herleitung in II benutzte Teilung durch parallele Ebenen ihn leicht führen, selbst ohne daß er noch die in der Schrift über Konoide und Sphäroide zur Kubatur des Ellipsoids benutzte besondere Integrationsmethode, die also auch auf die Kugel anwendbar war, erfunden hatte. Er konnte aber dabei auf verschiedene Weisen verfahren, unter welchen man also raten muß. Wegen der Übereinstimmung mit der in XII gegebenen Bestimmung des Schwerpunktes eines Halbkreises liegt es doch am nächsten an L u c a V a l e r i o ’s Bestimmung des Rauminhaltes einer Kugel (Note S. 353) zu denken. Diese wird dadurch erreicht, daß in Fig. 11 ein Kreis mit dem Halbmesser <ji der Summe zweier Kreise mit den Halbmessern OK und 0 /

gleich ist. Faßt man nun Fig. 11 so auf, wie wir eben Fig. 2 aufgefaßt haben, und vertauscht man diese drei Kreise mit Quadraten auf ihren Durchmessern, wird man ganz in derselben Weise ersehen, daß der Würfel mit dem Schnitt ,uv der Summe des gesuchten Körpers und der zwei Pyramiden mit dem Scheitel d und denselben Grundflächen wie der Würfel gleich ist.

Den hier versuchten Beweisen für die zwei Raumbestimmungen kann man leicht die Gestalt eines Exhaustionsbeweises geben. Kannte A r c h im e d e s

einen dieser Beweise, würde der andere sich von selbst darbieten.Unsere Restitution der mechanischen Herleitung und des geometrischen

Beweises des letzten Hauptsatzes stützt sich zwar hauptsächlich darauf, daß nun einmal solche Beweisführungen existiert haben müssen, und daß dazu keine andere brauchbare Hilfsmittel Vorlagen als die von uns benutzten. Doch haben wir dabei auch mit A r c h im e d e s ’ durch seine vielen Untersuchungen gewonnener Übung in derartigen Betrachtungen gerechnet, und namentlich mit seinen auch hier hervortretenden Bestrebungen seine Entdeckungen auf verschiedene Weise zu begründen und mit seiner Fähigkeit die Ergebnisse einer Untersuchung auf eine andere zu übertragen. Von letzterer Fähigkeit zeugt die Methode selbst, die ja eben auf einer solchen Übertragung beruht. \\ lr können hinzufügen, daß er kaum ohne diese Übung und diese Fähigkeit zu besitzen, die zwei Hauptsätze gefunden haben würde. Als den Vorzug dieser Sätze hebt er nämlich in


der \ orrede hervor, daß es möglich ist nur von Ebenen begrenzte Körper zu konstruieren, die den hier untersuchten Körpern gleich sind. Um ganz oder teilweise von krummen Flächen begrenzte Körper zu entdecken, die diese Eigenschaft besitzen, hat er sicher zuerst die Kubatur anderer Körper, die sie nicht hatten, versucht, und dann einen Blick dafür gewonnen, welche Abänderungen der Körper nötig waren, um sie zu erreichen. Wir nahmen ja besonders an, daß die Entdeckung dieser Eigenschaft hei dem zuletzt untersuchten Körper durch eine Abänderung der Bestimmung des Kugelinhaltes gewonnen ist. —

Zuletzt werden wir die Untersuchung über den Gang der Entdeckungen der der Kugel gehörigen Rauminhalte und Oberflächen wieder aufnehmen. Bisher haben wir sie aufgeschoben, indem wir doch jeden einzelnen Beitrag zu einer solchen Untersuchung, der in der Schrift vorkommt, hervorgehoben haben.

Aus dem Schlüsse von II haben wir gesehen, daß die Kenntnis des Rauminhaltes einer Kugel der ihrer Oberfläche vorausging, und daß A r c h im e d e s in der Tat die Größe der Oberfläche aus der des Rauminhaltes durch dieselbe Betrachtung hergeleitet hat, deren umgekehrte Anwendung in seiner Schrift über Kugel und Zylinder von der Oberfläche auf den Rauminhalt führt. Letzteres ward ihm nur dadurch möglich, daß er einen ganz neuen Beweis der Größe der Oberfläche erfand. Seine Ausdrucksweise in II deutet darauf hin, daß er damals noch nicht diesen neuen Beweis erfunden hatte, und daß also die vorliegende Schrift derjenigen über Kugel und Zylinder vorausgegangen ist. Dies werden wir daher, wenigstens vorläufig, annehmen.

Daß jedoch A r c h im e d e s nicht erst jetzt auf den Gedanken gekommen ist, daß die Oberfläche einer Kugel viermal so groß ist als ihr größter Kreis, ersehen wir aus der ersten der früher an K o n o n gesandten Aufgaben (S. 342), welche die Konstruktion einer der Kugeloberfläche gleichen ebenen Fläche verlangt (II, 4, 9). Jetzt erfahren wir aber, daß A r c h im e d e s ’

damalige Lösung dieser Aufgabe auf seiner Kenntnis des Rauminhaltes der Kugel beruhte. Ebenso beruhen die Lösungen der folgenden Aufgaben (II, 4, 15—6, 7), welche A r c h im e d e s später im zweiten Buche über Kugel und Zylinder mitgeteilt hat, alle auf der Kenntnis der Rauminhalte der Kugel und ihrer Segmente und auf der, wie wir jetzt wissen, von diesen abhängigen Kenntnis der Oberflächen derselben Körper; sie betreffen ja eben diese verschiedenen Größen. Auch die hinzugefügten Vexieraufgaben (II, 6, 10—8, 8) beziehen sich auf die noch übrigen Aufgaben, die im zweiten Buche richtig gelöst sind.

Schon damals mußte A r c h im e d e s , der gewiß die von ihm gestellten

3 0 Q J. L. Heibero und H. G. Zeuthen.

Aufgaben selbst lösen konnte, den in dem genannten zweiten Buche behandelten Stoff wesentlich beherrschen, also namentlich mit der Darstellung der Rauminhalte der Kugel selbst und ihrer Segmente durch ihre Verhältnisse an Zylindern und Kegeln ganz vertraut gewesen sein. Wie wir eben gesehen haben, konnten direkte, geometrische Beweise dieser Satze ihm auch nicht fern liegen. Daß er sie jedoch in den zwei Büchern über Kugel und Zylinder ganz anders, nämlich durch Benutzung der Größen der Oberflächen, bewiesen hat, läßt sich dadurch erklären, daß er nach der glänzenden Lösung einer so ganz neuartigen Aufgabe als die Plani- fikation krummer Oberflächen die gewonnenen Resultate möglichst viel benutzen wollte. Dadurch wird die Einheit der Behandlung in diesen Büchern gewahrt, und A r c h i m e d e s befriedigte seine Lust, dieselben Fragen von verschiedenen Seiten aus anzugreifen.

Beachtet man, daß die ganze Grundlage aller der an Konon gesandten Aufgaben über Kugeln die Kenntnis der Rauminhalte der Kugel und ihrer Segmente ist, wird es ziemlich auffällig, daß keine dieser Aufgaben sich auf dieses Fundament selbst bezieht. Man könnte vielleicht denken, daß A r c h i m e d e s dadurch die Aufgaben fast unlösbar für andere als ihn selbst machen wollte; er würde sich aber dann dafür aussetzen, daß andere eben die von ihm verschwiegenen, wichtigen Sätze aufstelten. Außerdem macht er in den folgenden Aufgaben über die Spiralen und das Paraholoid eben das Umgekehrte, indem er die Lehrsätze selbst zum Beweisen vorlegt. Die Aufgaben machen vielmehr den Eindruck, daß er voraussetzt, daß auch seine Leser die genannten Rauminhalte kennen.

Derselbe Eindruck wurde bei mir durch die Lektüre der neu gefundenen Schrift hervorgerufen. Wenn der Rauminhalt einer Kugel, den A r c h i m e d e s seihst, wie wir eben sahen, jedenfalls schon voraus kannte, hier zum erstenmal veröffentlicht würde, sollte man glauben, daß er eine so wichtige Entdeckung in der sonst recht ausführlichen Vorrede genannt hätte. Er verweist dagegen auf frühere Mitteilungen über den Rauminhalt eines Ellipsoids, der offenbar, wie es auch in der vorliegenden Schrift geschieht, durch Verallgemeinerung der Untersuchungen, die auf den Inhalt der Kugel geführt haben, gefunden sein muß. Jedenfalls wird jedermann, der seine Bestimmung des Rauminhaltes des Ellipsoids verstanden hat, selbst daraus denjenigen der Kugel erschließen können. Da A r c h i

m e d e s sicher nicht ein so wichtiges Resultat auf diese indirekte Weise preisgeben würde, m u ß er früher den Rauminhalt der Kugel und dann wahrscheinlich auch die sich daran unmittelbar anschließende Bestimmung des Rauminhaltes eines Segments mitgeteilt haben, entweder ohne Beweis oder mit einem von der erst jetzt vorgelegten Methode unabhängigen


geometrischen Beweis. Sonst müßte man annehmen, daß diese Rauminhalte schon vor A r c h im e d e s bekannt waren.

Eine solche Möglichkeit darf man nämlich nicht ohne eine nähere Untersuchung verwerfen. Nachdem wir erfahren haben, daß A r c h im e d e s die Entdeckung der Oberfläche der Kugel auf seine frühere Kenntnis des Rauminhaltes gegründet hat, wurden alle Zeugnisse der späteren Literatur dafür, daß er auch den Rauminhalt gefunden hat, hinfällig. A r c h im e d e s ’ Schrift über Kugel und Zylinder ward nämlich bald die QueUe der Kenntnis der beiden Größen, und da geht die jedenfalls dem A r c h im e d e s gehörige Entdeckung der Oberfläche voraus. Man mußte also mit Sicherheit annehmen, daß der Rauminhalt nicht früher gekannt sein konnte. Der Einfluß, den A r c h im e d e s

durch seine Anordnung des Stoffes auf die ganze folgende Mathematik ausgeüht hat, ist so groß, daß man noch in vielen Lehrbüchern demselben Weg folgt und mit der schwierigeren Bestimmung der Oberfläche anfängt. Es würde doch einfacher und daher pädagogisch besser sein, zuerst den Raum z. B. so zu bestimmen, wie der auch von A r c h im e d e s ’ anderen Schriften (namentlich von derjenigen über Konoide und Sphäroide) angeregte L u c a V a l e r io es tut, und man kommt dann jedenfalls A r c h im e d e s ’

eigenem Weg der Erfindung näher. Unter diesen Umständen sagt es auch nichts, daß man später A r c h im e d e s ’ bekannte Monument auf die beiden Entdeckungen bezogen hat. Die große Entdeckung der Oberfläche genügt um dieses Monument zu rechtfertigen.

Dagegen müssen wir alle Aufklärungen suchen, die in A r c h im e d e s ’

eigenen Schriften zu finden sind. Dann findet man in der Vorrede zum 1. Buch über Kugel und Zylinder eine Zeile, die ihm ausdrücklich die Entdeckung des Rauminhaltes zuschreibt, nämlich I, 4, 3 —4: ocdtög re 'fjiuiöAiös eönv tfjg rxpyj'fty.g, ucci. Er legt hier die Sätze dar, die „nicht früher bewiesen waren“. Er nennt zuerst die Sätze über die ganze Oberfläche und über eine Kugelkalotte. Demnächst sagt er von dem um eine Kugel umgeschriebenen Zylinder, daß er sow ohl se lb st f der K ugel als1), seine ganze Oberfläche f der Kugeloberfläche ist. Dagegen nennt er hier nichts über die auch in demselben Buche gefundene Größe eines Kugelsektors.

Wenn dieses an und für sich ganz klare Zitat uns nicht so völlig überzeugt, daß wir gleich jeden Zweifel fallen lassen, ist der Grund, daß es der Nachwelt nicht fern liegen konnte die hervorgehobene Zeile zu

1) Daß A rchimedes hier sagt, daß er im Buche über Kugel und Zylinder zum erstenmal diesen Satz beweist, streitet nicht dagegen, daß er in der vorliegenden Schrift denselben Satz hergeleitet hatte. Die Herleitung durch die mechanische Methode, will er nämlich ausdrücklich nicht als einen Beweis betrachtet haben.

interpolieren. ’) Die beiden Sätze über die Kugel und den umschriebenen Zylinder sind nämlich in demselben Korollar I 146, 13— 17 vereinigt, und da man, wie schon bemerkt, gute Gründe hatte zu glauben, daß der erste nach dem zweiten gefunden sei, mußte man ihn auch als ebenso neu ansehen und daher auch beide in der Vorrede vereinigt denken.

Auch einige Äußerungen in der Vorrede zur Schrift über die Parabelquadratur II, 296, 12—23 deuten bestimmt darauf, daß A r c h im e d e s der erste Entdecker des Rauminhaltes der Kugel sei. Hier, wo er zum erstenmal den Exhaustionsbeweis benutzen will, nennt er die Anwendungen, die man schon früher von dem Postulat, auf welchem diese Beweisführung beruht (S. 344), gemacht hat. Er weiß aber nur dieselben Anwendungen zu nennen, die wir aus E u k l id kennen. Die rege wissenschaftliche Tätigkeit in Alexandria, wo auch A r c h im e d e s das beste Verständnis seiner großen Entdeckungen suchte, hat also seit E u k l id in bezug auf die infinitesimalen Untersuchungen gar keinen Fortschritt gemacht. Die strengen Anforderungen an genaue Ausformung des Exhaustionsbeweises, von denen A r c h im e d e s sich nur in der vorliegenden Schrift loszusagen wagt, sind also nur durch Schulübungen an den E u d o x o s - E u k l id ischen Beispielen erhalten! Hat A r c h im e d e s hier wirklich alle früheren Anwendungen von E u d o x o s ’ Postulat genannt, so bleibt kein Platz für eine frühere Kugelkubatur übrig.

Wir haben hier sowohl die Gründe angeführt, die für eine frühzeitige Entdeckung des Rauminhalts der Kugel sprechen, und auch dafür, daß auch andere als A r c h im e d e s recht frühzeitig davon wußten, als diejenigen, die es wahrscheinlich machen, daß doch A r c h im e d e s selbst der Entdecker ist. Bestimmter wagen wir uns nicht darüber auszusprechen. Mehr würden wir wahrscheinlich wissen, wenn wir noch zwei Mitteilungen von A r c h i

m e d e s kannten. Die eine ist die, welche, wie in der Einleitung bemerkt, die die Konoide und Sphäroide betreffenden Resultate enhalten hat, und, wie es anzunehmen ist, auch die Definitionen dieser in der Schrift selbst nicht definierten Flächen. Dasselbe Schreiben mußte auch, wenigstens indirekt durch die Angaben über Ellipsoide, etwas enthalten über die der Kugel gehörigen Rauminhalte. Eine andere Mitteilung — die doch möglicherweise schon während seines Aufenthaltes in Alexandria mündlich abgegeben ist (?) — scheint dem Briefe an K o n o n vorausgegangen zu sein; denn die schon berührten Vexieraufgaben in diesem Brief nebst der etwas bittern Motivierung ihrer Aufstellung (II 4, 2 —4) rühren sicher von Mißgebrauch seiner früheren Mitteilungen her. Seine Absicht mit diesen Aufgaben ist nämlich: diejenigen, die sagen, daß sie alles finden können,

1 ) Eine solche Interpolation hält Herr H e i b e r g doch f ü r unmöglich.

3 6 2 J. L . H e i b e r g und H . G. Z e u t h e n .


ohne doch Beweise dafür Vorbringen zu können, dadurch zu überführen, daß sie auch falsche Sätze gefunden zu haben vorgeben. Sollte man ihm eben früher die Entdeckung der Rauminhalte der Kugel und der Kugelsegmente streitig gemacht haben? Wir wissen es nicht und wagen es kaum als Hypothese aufzustellen. Eine solche Annahme würde jedoch alle die hier besprochenen Schwierigkeiten beseitigen. Ebenfalls würden dann die Erweiterung bis zu Flächen zweiter Ordnung, die Entdeckung der Oberfläche und die vom Rauminhalte unabhängige Bestimmung dieser Oberfläche in steigendem Maße seine Überlegenheit in dieser Sache dargelegt haben.

Wie schon gesagt, haben wir die an den Satz II zugefügte Bemerkung so verstanden, als ob sie eine Bestimmung der Oberfläche der Kugel, die noch auf keine andere Weise begründet war, betrifft, und daher die neugefundene Schrift derjenigen über Kugel und Zylinder vorangehen lassen. Ich weiß auch, daß Hr. H e ib e r g den griechischen Text ebenso verstanden hat. Denken wir uns doch die Möglichkeit, daß diese Auffassung unrichtig sei, und die Anmerkung zu II nur angebe, wie A r cihim edes den in der damals schon veröffentlichten Schrift anders bewiesenen Satz über die Kugeloberfläche zuerst gefunden hatte. Die in der Vorrede besprochenen früheren Mitteilungen über Konoide und Sphäroide sind dann vielleicht auch diejenigen, die in der ausgegebenen Schrift von diesem Namen sich finden. A r c h im e d e s erklärt dann in I —X nur, wie er seine schon lange gekannten und bewiesenen Sätze zuerst gefunden hat, und die an die Schrift selbst geknüpften historischen Schwierigkeiten würden also wegfallen.

H. G. Z e u t h e n .«s&s

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_ . Y oshio Mikami.364

Zur Frage abendländischer Einflüsse auf die japanische

Mathematik am Ende des siebzehnten Jahrhunderts,Von Y o s h io M ik a m i in Tokio.1)

In seinem Artikel über Die exalten Wissenschaften im alten Japan*) bat Herr P. H a r z e r aucb die Frage behandelt, auf welchen Wegen die abendländische Mathematik im 16. Jahrhundert nach Japan gebracht sein könnte, und ob der Aufschwung der japanischen Mathematik am Ende des genannten Jahrhunderts wirklich auf abendländischen Einflüssen beruhte.3) Die folgenden Zeilen haben den Zweck, einen kleinen Beitrag zu dieser Frage zu bieten; freilich sind die Resultate, wozu meine Untersuchungen geführt haben, wesentlich negativer Art.

1. Herr H a r z e r macht auf eine Stelle der zweiten lateinischen Ausgabe von D e s c a r t e s ’ Geometrie aufmerksam4), wo in einem posthumen Traktate von F. VAN S c h o o t e n bemerkt wird: „placuit . . . theorema . . . verificare . . ., prout ad hoc me instigavit praestantissimus ac undequaque doctissimus juvenis D . P e t r u s H a r t s in g iu s , Japonensis quondam in addiscendis Mathematis, discipulus meus solertissimus“. Herr H a r zer

erwähnt auch, daß sich im „Album Studiorum Academiae Lugdunensis unter dem 6. Mai 1669 folgender Eintrag finde: „ P e t r u s H a r t s in g iu s Japonensis, 31, M. Hon. C.” und daß nach einer Mitteilung des Herrn D . K o r t e w e g

die Zahl das Lebensalter, M. das Studium der Medizin bedeute. H a r t

s in g iu s war also etwa 1638 geboren, und hat neben Mathematik auch Medizin studiert. Nun wird von einem japanischen Arzt Namens H a t o n o

S ö h a , der 1697 in Osaka im Alter von 57 Jahren starb, berichtet, daß er etwa 1658 in Nagasaki mit einem Holländer bekannt wurde, dann mit einem holländischen Schiff nach „Namban“ (d. h. Portugal, Spanien oder Holland) fuhr und unter einem Professor P o s t o (oder P o s t o w oder B o s t o w ;

1) Resume einer ausführlichen Mitteilung.2) P. H ar z e r , Die exakten Wissenschaften im alten Japan; J a h re s b e r ic h t der

deu tsch en M ath em a tik e r-V ere in ig u n g 14, 1905, S. 312—339.3) A. a. 0. S. 325—334.4) A. a. 0. S. 328.

Zur Frage abendländischer Einflüsse auf die japanische Mathematik usw. 36 5

der Name ist wahrscheinlich nicht der Zuname sondern der Vorname des Professors) Medizin studierte, worauf er nach Japan zurückkehrte und dort als Arzt bis zu seinem Tode wirkte. Könnte man nicht geneigt sein zu vermuten, daß der Arzt H a t o n o mit dem Mathematiker und Mediziner H a r t s in g iu s identisch ist, und daß dieser also nach Japan zurückkehrte? Und wäre es nicht möglich, daß der japanische Mathematiker S e k i gerade durch H a r t s in g iu s die europäische Mathematik kennen lernte, so daß die Methoden des S e k i nicht selbständig erfunden worden sind?

In betreff dieser Fragen soll zuerst bemerkt werden, daß die Gleichheit der Namen H a t o n o und H a r t s in g iu s durchaus zufällig ist, denn jener hieß ursprünglich N a k a s h im a Ch ö z a b u r ö und erst nach seiner Zurückkehr nach Japan bekam er später aus einem ganz besonderen Grunde den neuen Namen H a t o n o . Ferner scheint sich H a t o n o gar nicht mit Mathematik beschäftigt zu haben, und es ist höchst unwahrscheinlich, daß er, auch wenn er Mathematiker gewesen wäre, irgend einen Einfluß auf S e k i geübt haben könnte. Dieser hatte nämlich schon 1674 eine Arbeit Hatsubi Sampö verfaßt, worin Resultate seiner neuen Methode zu erkennen sind, und damals waren H a t o n o und S e k i sicherlich nicht zusammen- getroffen, denn H a t o n o war bis 1681 in Nagasaki wohnhaft, und es ist unmöglich, daß S e k i eine so lange Reise gemacht hat, ohne daß man davon Kenntnis hätte.-

W en n es also höchst unwahrscheinlich ist, daß P e t r u s H a r t s in g iu s

mit H a t o n o identisch ist, so ist es dennoch möglich, daß H a r t s i n g iu s -

wirklich nach Japan zurückkehrte und mit S e k i zusammentraf. Es ist auch möglich, daß um dieselbe Zeit oder etwas später ein anderer Japaner in Europa Mathematik studiert hat und bei seiner Rückkehr nach Japan die Kenntnis der abendländischen Theorien verbreitet hat, aber alle solche Annahmen sind wenigstens zur Zeit durchaus unbelegt. Ebenso ist es unbekannt, ob japanische Mathematiker am Ende des 17. Jahrhunderts im Besitz von europäischen mathematischen Arbeiten waren, aus denen S e k i seine Methoden entnommen haben könnte.

2. Herr H a r z e r hat auch untersucht, ob die Methoden des S e k i

wirklich auf europäische Einflüsse hinweisen, und er ist zu dem Resultate gelangt, daß solche Einflüsse kaum nachweisbar sind.1) Ich bin wesentlich derselben Ansicht; will man ermitteln, inwieweit die japanische Mathematik selbständig gewesen ist, muß man meines Erachtens die chinesischen Arbeiten untersuchen, die am Ende des 17. Jahrhunderts in Japan zugänglich waren. Daß S e k i wenigstens bis zu einem gewissen Grade ein Schüler der Chinesen war, geht schon aus der Weise hervor, wie er

1) A. a. 0 . S. 334— 336.

*

seine algebraischen Operationen yornahm, ein Umstand den auch Herr H a r z e r im Vorübergehen erwähnt hat. Besonders scheint S e k i die chinesische Arbeit Suang-hsiao Chi-meng benutzt zu haben, von der und 1672 neue Ausgaben in Japan erschienen. Vielleicht wurde er gerade durch diese Arbeit, wo u. a. die Auflösung linearer Gleichungen gelehrt wird, angeregt, sich mit algebraischen Untersuchungen zu beschäftigen. Eine weitere Stütze meiner Ansicht finde ich darin, daß in einer Schrift Taisei Sanlcyö, die wenigstens zum Teil von S e k i herrührt, die sogenannte schachbrettartige Multiplikation gelehrt wird. Dies Verfahren, das bekanntlich auf die Inder zurückgeht1), hatte S e k i sicherlich aus dem chinesichen Werke Suang-fa tung-Tsung entnommen, das aus dem Ende des 16. Jahrhunderts herrührt und etwas später auch in Japan nachgedruckt wurde. Auf der anderen Seite ist es höchst wahrscheinlich, daß S e k i in betreff seiner wichtigsten Entdeckungen, z. B. des Kreisprinzips, von seinen chinesischen Lehrern unabhängig war.

i) Ygl. M. Caktou, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik I2, S. 571.

366 Y o s . n o M ik a m i : Zur Frage abendländischer Einflüsse auf d. Japan. M athem atik u s w .

H. B a t e m a n : The correspondence of Brook Taylor. 367

The correspondence of Brook Taylor.By H. B a t e m a n in Liverpool.

My a tte n tio n h a v in g b e e n ca lled to th e fa c t th a t a co n sid era b le part

o f B r o o k T a y l o r ’s co rr esp o n d e n c e w ith c o n tem p o ra ry m a th em a tic ia n s is

in a sta te o f p r e se rv a tio n , I h a v e th o u g h t it w o r th w h ile to g iv e a b r ie f

a cco u n t o f th e c o n te n ts o f so m e o f th e le t te r s .1)

The bulk of the correspondence consists of letters from R e m o n d

d e M o n t m o r t and belongs to the period 1717— 1723, but there are a few written by T a y l o r himself and one of these which is dated July 26th 1712 contains an enunciation of the theorem which bears his name.

This letter, a copy of which is given below (p. 368—371), indicates that T a y l o r had discovered the theorem at least three years before the publication of his book Methodus incrementorum directa et inversa (1715), it also enables us to follow to some extent the train of thought whichculminated in the discovery of the theorem.

T h e tw o n o te b o o k s , w h ic h h a v e b een p reserv ed a lo n g w ith th e le tters ,

c o n ta in so lu t io n s o f a n u m b er o f g e o m e tr ic a l and d y n a m ica l p ro b lem s

and a lso d e sc r ip t io n s o f e x p e r im e n ts on c a p illa r ity , b u t do n o t th r o w an y

l ig h t u p o n th e u n se tt le d q u e s t io n w h e th e r T a y l o r h a d a p p lie d h is th eo rem

to th e a c tu a l d e v e lo p m e n t o f k n o w n fu n c tio n s in series.

T a y l o r is also known to the mathematical world as the discovererof a singular solution of a differential equation.2) In his Methodusincrementorum he discusses the question

mentioning that it possesses a singular solution, but he does not enter into a general theory of the subject.

In a lemma (p. 17, lemma 1), he also discusses the equation

1) The letters are in the possession of Mr E rnest T aylor of Bourne Place, Bushey, Herts. I am deeply gratifal to him for the kind assistance he gave me in the preparation of this paper.

2) See M Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik B'-’, p. 460.

368 H E" “ "obtaining the singular solution * - 1, although he makes a mistake incalculating the actual integral. .

I h a v e c a re fu lly ex a m in ed his le t te r s and n o te b o o k s m th e h o p e of

fin d in g so m e fu r th er d e v e lo p m en ts o f th is su b je c t, b u t w ith o u t su ccess .The other letters are concerned chiefly with problems m m egra ion

and the summation of series. In one of them (dated isov. )M o n t m o r t attributes the well known expansion

c c . ac , ac(a+ d) j- . . . to infinity,ft _ a ^ b b (b d) b (6 + d) (b + 2d)

to T a y l o r , th e le tte r is a p p a re n tly in a n sw er to o n e o f T a y l o r ’s, b u t he

m ay p o ss ib ly h a v e o b ta in e d th e r e su lt fr o m o n e o f T a y l o r ’s p u b lica tio n s .

The publications of M o n t m o r t and T a y l o r form the subject matter of some of the letters. In one letter he answers a request of M o n t m o r t ’b

for a criticism of some papers he is about to publish, and the no halfhearted way in which T a y l o r accomplishes his task may be taken as an illustration of the help which he generously gave to his brother mathematicians. Another letter from M o iv r e calls for an alteration in the wording of one of T a y l o r ’s problems. This letter is almost worthy of publication because the writer arrives at an amusing paradox in hisdiscussion of the problem.

Another letter of some interest is one from Chevalier R a m s a y , in which he describes the attitude which some of the French scientists took towards N e w t o n ’s theory of gravitation.

L etter from Brook Taylor to John Machin.

Mr. J o h n M a c h in ,

. . . I think justice gives you a title to what a hint [from] you was the occasion of my discovering; and therefore I now present you with what I have been able to do towards the solution of K e p l e r s Problem in a more useful manner than has yet been done for making tables. Tho’ I must own that my desire to exchange letters with so ingenious a person as Mr. M a c h in made me the more inclined to bestow some time upon this subject.

I remember once at Child’s Coffee house you shew’d me something of a method you had of doing this by finding the true center of the circle which Dr. W a r d supposes to be the other focus, whose radius describes angles proportional to the elliptical spaces described by a ray from the Sun to the Planet.

The correspondence of Brook Taylor. 369

If you would proceed that way A B D P |Fig. 1] being the semi Ellipsis, C the center, G the Focus, CP = 1 = | the greater axis, CB = b = T the lesser axis, and the angle D F G be[ing] to 2 right angles, as the segment P G D P is to the semi Ellipsis and CG — c, D E = b z and C E =

Then will E F = hx be -1- bxc2 bx2c3 -)- bxc4 -(- b x 2 cE

x.

b x 3 c6 -f- b x 4 c7-f-1 bz2c3 — | bxs2c4 -j- jirbz^c3 \ b x z 2c6 \b x 2z2c7

-f- —■ bxzi c6 -f- 75 bz^c7 > &c.

But, to me the following method seems to be the most-convenient. Let P Q B A [Fig. 2] be the semi-Ellipsis (whose greater axis is AP,

n

half the lesser axis CB, and its focus S, and center C,) which is required to be divided by the ray SQ-, so that the Segment S Q P may be to the whole semi Ellipsis in a given proportion.

With the center C and radius CP describe the circle P R D A , and draw QG perpendicular to CP, cutting the circle in K. Then will the Segment P R S P be to the semi circle, as P Q S is to the semi Ellipse. Wherefore if you take the arch P T in the same proportion to the whole semicircular arch P D A , as the segment P Q S is to the semi Ellipsis the difference TR, between P R and P T will be = to the perpendicular Sp from the focus S to the ray (JR. For the segment P S R P = P C R P — A S C R — segm: CPTC, wherefore C R T C — A CSRC, &c.

Bibliotheca Mathematica. III. I'olge. VII. 24

H. B a t e m a n .3 /0

Now suppose that by some means or other, you had got the point to R. Then making C P = 1, C B = b, GS = c, n = z,r. very near ^ ^ „ ,

Tr — a, s = the sine of the unknown arch r R = v, and yits cosine. Then will E G = z y + and S p == c*y + « s = T R = « + , (as I have just now proved). But by Sir I. N. s series s

2/ = i - i + £ - ^ ^ ands = i ; - i + ^ &Cjwherefore, (putting these values into the aequation),

c z v 2 CXV3 . c z v i . c x t f > _ CZV& „ a v = cz + c x v y -g- + 2 4 + 12 0 720

Whence (by Dr H a l l e y ’s method of extracting roots, which is in the T ra n sac tio n s , and at the end of Sr I. N.s Algebra)

1 + CX . \ ! \ — c x \ 2 . n 2 O i ___+ J,3 I A 1 _| — v h — &C* = — + 2 “ m I 3 z V + 12 + 0 0 0 3 6 0 K C '

But when cz < a (the point r being between R and A ), then it will he

1 - cx l / 1 — c x \ 2 , n 2a ; xv* ,+ 2 ~ ^ : + 3 « + 12 60«

And when r falls on the other side of D, in the quadrant DA , then the form will be

1 — CX , 1/ 1 + CXCZ 1 I c z

Or, when cz <C a,

2+ 2 — — . as»3 . r4 a;r5 e + 3 7 + 1 2 - 6 0 7 & 0-

1/ 1 CXf

2 2«c z i c« i ' e«+ 2 a; o , r 4 , x v 5 e

8 7 ® + 1 2 + 6 0 s & 0 -

And if for the first supposition you take a = c X T V, one correction,

by the terms ^ &c. will give yon v beyond the extent of the common

tables. And in the Orbits of all the Planets excepting you may conveniently enough take a — 0, and z — T V , and x = C V. Or if you take any point r and successively take T, first near r, and then further from it towards P, the point R moving at the same time from between r and A through r t il[1] it comes to some distance between r and P; the same quantities z and x may serve for several degrees together. And the motion of the point R in the compass of a few degrees being very near the same with that of T, the quantity v as well as a will be formed by the contin[ujal addition or subtraction of a degree, near enough for forming

the terms &c. So as to get v by one extraction of the square

The correspondence of Brook Taylor. 371

root, as far as the extent of the common tables of sines. In this method too there is this further advantage, that having got the arch T R, that divided by c is the sine RG, and that again multiplied by b is the Elliptical sine Q G, by which the point Q is determined. Tho’, near the Quadratures it is best to make use of the cosine C G, which is easily found hv the tables, when once you have TR.

This is the best method I can think of, to render this calculation easy If there be any better, nobody is more likely to find it than Mr. Machin; and if he has such a one he will oblige me very much by siving me some account of it.0 O

While I was thinking of these things I fell into a general method of applying Dr. H a l l e y ’s Extraction of roots to all Problems, wherein the Abscissa is required, the Area being given which, for the service that itmay be of calculations, (the only true use of all corrections) I cannotconceal. And it is comprehended in this Theorem.

Theorem.If a be any compound of the powers of z and given quantities

whether by a finite or infinite expression rational or surd. And />' be the like compound of p and the same coefficients, and z = p + x, and p — 1 = f

Then will

x — ¡j = j * + r r ln * ^ 1 .2 .3 .4 '4

= f * - ! > 2 + e ib *3 ~ e A a *4 &c-Where «, «, fic &c. are formed in the same manner of z und the given

quantities, as p, p, &c. are formed of p. &c.So that having given a, P, and one of the abscissae z or p, the other

may be found by extracting x, their difference, out of this aequation. Or you may apply this to the invention of a or P, having given z, p and x. But you will easily see the uses of this.

When oc is a finite expression, then will all the quantities <*, i &c.

and p, P &c. he so to[o].I have sent M1. K e il what I have done in the Refractions, which

1 desired him to shew you, upon condition that you would oblige me with a sight of w*: you have done in that matter, which favor I hope you won t deny me.

Bifs[ons] near Canterbury], 26 July 1712

24*

372G. E n e s t r ö m .

Über Bildnisse von Leonhard Euler.Von G. E n e s t r ö m in Stockholm.1)

Folgende Bilder von E u l e r sind mir bekannt:A) Ölbild von E. H a n d m a n n , gemalt 1756, in der Universitätskunst

sammlung in Basel.B) Pastellbild von E. H a n d m a n n , gemalt 1753, auch in der Universitäts

kunstsammlung in Basel.C) Ölbild, erwähnt von P. H. Fuss in der Correspondance mathé

matique et physique 1 (St. Petersbourg 1843), S. XXV und nach seiner Angabe von K ü t t n e r gemalt. Nach den unten genannten Reproduktionen sollte das Bild dagegen von D a r b e s herrühren.

Ein Wachsfarbebild, v o n A. L o r g n a im Jahre 1787 verfertigt, besitzt die Akademie der Wissenschaften in Paris.

Ein Brustbild von weißem Marmor findet sich im Sammlungssaal der Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg.

Wenigstens zwei Medaillen scheinen zu existieren. Die eine, mit der Unterschrift: „ R ä c h e t f(ecit) 178P‘, ist im Besitze der Akademie der Wissenschaften in Paris; die andere, von A b r a n s o n verfertigt, besitzt u. a.

die Universitätsbibliothek in Basel.Von A) oder B) sind mir folgende Reproduktionen bekannt:

1 . Fast ganze Figur mit der Unterschrift:H andmann pinxit 1756. J. S tenglin sculp. Petropoli 1768.

Ein Exemplar in der Universitätsbibliothek in Basel. Reproduziert im J a h r e s b e r i c h t d e r d e u t s c h e n M a t h e m a t ik e r v e r e i n i g u n g 10 (1907), Heft 3—4.

2 Brustbild mit der Unterschrift:Leonh. E uler.Gebr. (!) zu Basel, 1707.Gest. zu St. Petersburg 1803 (!).

Ein Exemplar in der Sammlung des Herrn D. E. S m i t h in New York.3 Brustbild mit der Unterschrift:

Leonh». E uler. Nat. Basileae MDCCVII. Mort. Petrop. MDCCLXXXIII. Ad Prototypum artifice Em. H andmanni Basil8, manu pictum Inque Honorem

1) Viele Notizen verdanke ich den Herren J. B ernoulli in Bern, H. B rocard

in Bar-le-Duc, F ritz B irckhardt in Basel, H. F k h r in Genf und D. E. Smitii inNew York.

Über Bildnisse von Leonhard Euler. 373

summi viri B ibliothecae publioae Am plissim i M agistratus Basileensis ju ssu illa tum . Aere expressit P a triaeque d icavit C h r i s t , à M e c h e l Cbalcogr. B asil3.

Ein Exemplar in der Schweizerischen Landesbibliothek in Bern. Reproduziert in der Schrift: Leonhard E u le r von S . S c h u l z - E u l e r (Frankfurt a. M. 1907).

4. Brustbild mit der Unterschrift:L e o n a r d E u l e r

E. H andmann p inx. T. Cook sculp .Pub lished by W . Bent, London, 1787.

Ein Exemplar in der Sammlung des Herrn D. E. S m i t h in New York.5. Brustbild mit der Unterschrift:

N. pinx. L andon direxLEin Exemplar in der Schweizerischen Landesbibliothek in Bern.

6. Halbfigur mit der Unterschrift:E m. H a n d j l a n n B asil, p inx it. F r i d r . W e b e r Basil, sculpsit.

L e o n a r d i E u l e r i Basiliensis im aginem aeri incidendam curavit g ra ta Civitas MDCCCLI.

Dieser Stich findet sich ferner als Titelbild in den Opera posthuma (Petropoli 1862). Er ist auch für das Titelbild dieses Bandes benutzt (Bildnis links).

Yon C) sind mir folgende Reproduktionen bekannt.1. Brustbild mit der Unterschrift:

J. D arbes p inx it. S. K ü t t n e r ( ? ) sc. 1780.Nach einer Mitteilung d e s Herrn H. F e h r .

2 Brustbild mit der Unterschrift:L e o n h a r d E u l e r

D a r b e s pinx . C. D a r c h o w sculp. B erolini 1782.Ein Exemplar in der Sammlung des Herrn D. E. S m i t h in New York. Auf der Rückseite des Exemplares ist m it Bleistift notiert: „Aus Allg. D. Biblioth. B. 53 St. 1. Berlin 1783“.

3. Brustbild mit der Unterschrift:C. T. R i e d e l s c . Lips.

Ein Exem plar in der Schweizerischen Landesbibliothek in Bem. Reproduziert von J. B o y e r in seiner Histoire des mathématiques (Paris 1900), S. 172.

4. Brustbild mit der Unterschrift:J . C h a p m a n s c u l p t .

L e o n a r d E u l e r .

London, Pub lished as the A ct directs, Octr. 13th 1804, by J. W ilkes.Ein Exemplar in der Sammlung des Herrn D. E. S m i t h in New York.

5. Brustbild mit der Unterschrift:D a r b e s p i n x i t .

Ein Exemplar in der Universitätsbibliothek in Basel.6. Eine gute Reproduktion des Bildes ist von P. H. Fuss als Titel

bild dem 1. Bande der Correspondance mathématique et physique beigefügt worden. Diese Reproduktion ist für das Titelbild dieses Bandes (Bild rechts) benutzt.

Eine Nachahmnng von C) ist ein in der Universitätsbibliothek in Basel aufbewahrter Stich (Brustbild) mit der Unterschrift: H. Pf. ( = H e in r ic h

P f e n n ig e r ).

Ein Porträt von E u l e r in der Arbeit von A. R e b i è r e , Les savants modernes (Paris 1899), S. 85 ähnelt sehr den Reproduktionen von C), aber entstammt möglicherweise einem anderen Bildnisse.

Nur eine Reproduktion des von A. L o r g n a verfertigten Portrats ist mir bekannt, nämlich ein Stahlstich (Brustbild) mit der Unterschrift:

Engraved b y B. H oll.E uler.

From a Picture by A. L orgna in the Collection of the Institute of France Und er the Superintendance of the Society for the Diffusion of Useful Knowledge.

London Published by Charles Knight Ludgate Street.Ein Exemplar in der Sammlung des Herrn D. E. S m i t h in New Y o r k .

Dieser Stich ist für das Titelbild dieses Bandes benutzt (das kleinereBild unten). _

Reproduktionen der von R ä c h e t verfertigten Medaille sind vermutlich:1. Ein Stich mit der Unterschrift:

Leonhard E üler.Des Académies Royales deB Sciences de Paris, de Londres, de Berlin, de Petersbourg &c. &c. Né à Basle, le 15 Avril 1707, Mort à St. Peters- bourg, le 18 de (!) Septembre 1788.Dessiné par Made du P iery d’après D upin sculp.le Medaillon envoyé à l’Acad. des Sciences par l’Académie de Petersbourg.A Paris, chez Esnauts et Rapilly, rue St. Jacques, à la Ville de Cou- tances Avec Priv. du Roi.Ein Exemplar in der Sammlung des Herrn D. E. S m i t h in New York.

Dieser Stich ist für das Titelblatt dieses Bandes benutzt (das kleinere Bild oben).

2. Ein Stich mit der Unterschrift:T hornthwaite sculp^

Leonard E uler.Puhd. as the Act directs DecL 1, 1789 by C. Förster No. 41 Poultry.

Ein Exemplar in der Sammlung des Herrn D. E. S m i t h in New YorkNach einer Mitteilung des Herrn G. V a l e n t i n finden sich Porträts

von E u l e r in den folgenden Werken:J. G. T ralles, Physikalisches Taschenbuch (Göttingen 1786).E ulers Briefe über verschiedene Gegenstände der Naturlehre 1 (Leipzig 1792). A llgem eine geo g rap h isch e E phem eriden 22, 1807, S. 257.E uler, Oeuvres complètes publiées par D ubois 1 (Bruxelles 1838).M. R ühlmann, Vorträge über Geschichte der technischen Mechanik (Leipzig 1885), S. 176.P. J. Möbius, Über die Anlage zur Mathematik (Leipzig 1900), S. 54.

Es ist mir unbekannt, welche Bildnisse von E uler darin reproduziert sind.

3 74 G. E n e s t b ö m : über Bildnisse von Leonhard Euler.

D a v id E u g e n e S m i t h : A mathematical exhibit of interest to teachers. 37 5

A mathematical exhibit of interest to teachers.By D a v id E u g e n e S m it h in New York.

For the benefit of students and teachers of mathematics who may be visiting Columbia University (New York), we have arranged in Teachers College a permanent exhibit of material available for the study of the history of mathematics.

The early mathematical instruments exhibited include the following: an astrolabe of Arabic workmanship; one of Italian workmanship, signed by the maker, and dated 1509; another, a part dating from about 1450, and the rest including the four plates, from the following century; and one of Paduan workmanship, signed by the maker, and dated 1557, a practically perfect specimen, with five finely engraved plates. There is also a quadrans of the sixteenth century, the well known trigonometric instrument, bearing the names „Umbra recta“, and „Umbra versa“, together with several leveling instruments of the seventeenth and eighteenth centuries. There are also numerous measures of length and weight, of the seventeenth and eighteenth centuries, including the ell and some interesting sets of money changers’ weights; several finely engraved protractors, diagonal scales, and similar instruments; several sector compasses and compasses of other kinds, of the Renaissance period; a collection of typical forms of dials to illustrate the application of mathematics to dialling m the Renaissance period, and several armillary spheres of the sixteenth, seventeenth, and eighteenth centuries.

The material used to illustrate the development of mechanical calculation includes the following: a collection of mediaeval counters fjetons, reckoning pennies) of fifteenth and sixteenth century workmanship, partly French and partly German, some with the figure of the Rechenmeister seated at the abacus. Numerous books showing the piocess of calculation by means of counters „on the line“ are also exhibited. Theie are also to be seen an Arabic abacus, a Russian tschotii, a Chinese swanpan, a Japa nese saroban, a set of N a p ie r ’s rods, and a set of Koiean bones (t e modern form of the ancient Chinese „bamboo rods , or the Japanese SanQi). Some Japanese Wasan books of 1698 are exhibited showing the tiansition

from this latter form of computing to the saroban, which took place m Japan about that time. Besides these there are shown several modern calculating machines, including the Goldman and Stanley arithmometers,slide rules, and similar devices.

There are in the collection about two thousand portraits of mathematicians, of which forty are framed. Visitors wishing to examine others, however, are assisted in doing so. This part of the collection represents the work of a number of years and the repeated examination of the stocks of many European dealers. It is particularly rich in the works of early engravers, although containing a considerable number of photographs and modern process portraits. The collection or N e w t o n s includes all the most important portraits of this great mathematician and physicist. An effort has been made to acquire all the best portraits of the early scholars who stand out as particularly prominent in the creation of pure mathematics, but the collection also includes the portraits of many who have achieved success in the field of applied mathematics. There is also a collection of more than a hundred medals of mathematicians, including the complete set of mathematical portrait medallions by D a v id d’A n g e r s .

Reproductions of a number of the portraits have been made for school and college use by The Open Court Publishing Co., of Chicago. Many of these portraits have also been reproduced in stereopticon slides for the use of the department, and copies are supplied to schools at cost.

Another interesting feature of the exhibit is the collection of autographs of mathematicians. On account of space, it is possible to exhibit only a few of the several thousand autographs in the library. The following are among the most interesting, and are shown in one of the wall cases: N e w t o n — a two-page manuscript demonstration written for one of his students at Cambridge; L e ib n it z — an autograph letter relating to a series of integrals; autograph letters of Sir W il l ia m R o w a n H a m il t o n ,

E u l e r , J o h a n n B e r n o u l l i , M e r s e n n e (written about 1625), M a u p e r t u is

L e g e n d r e , W r o n s k i , and A r a g o ; documents signed by Ga u s s , L a p l a c e ,

and L a g r a n g e ; autograph letters from P o n c e l e t to L io u v i l l e , L io u v il l e

to D ir ic h l e t , and A r a g o to P o n c e l e t .

The N e w t o n manuscript was long in the library of Professor P. J a c o l i, at Venice. It consists of a physical demonstration written by N e w t o n at Cambridge, for an Italian student, c. 1700. The impression of N e w i o n s Ga l il e o seal is from the original which was recently presented to the South Kensington Museum. The bust of N e w t o n is after the original by R o u b il l a c . The portraits of N e w t o n , numbering over one hundred, include specimens of the work of the best engravers&

There are also displayed a number of books and curios illustrating

g 7 g D a v i d E u g e n e S m i t h .

A mathematical exhibit of interest to teachers. 377

certain steps in the history or teaching of mathematics. These include a Babylonian cylinder with cuneiform numerals, reproductions of various other cylinders, a piece of ancient Egyptian pottery with the zodiacal signs, Roman coins illustrating certain unusual forms in the ancient numeral system, some English tally sticks of 1296, two Renaissance compotus medals, a celestial sphere of the sixteenth century, and photographs of curios in many of the large museums.

The bibliographical curios include one of the few copies saved from the fire which destroyed most of the first edition of L ib r i ’s Histoire des mathématiques (Vol. I.), with L ib r i’s autograph marginal notes. There are also autograph presentation copies of L a p l a c e ’s Théorie des probabilités and of H a l l iw e l l ’s JRara Mathemutica, over a hundred unpublished autograph letters of Prince B o n c o m p a g n i on the history of mathematics, numerous first or early editions of works by such writers as N e w t o n ,

D e s c a r t e s , T a r t a g l ia , Ca r d a n , B o m b e l l i, P a c iu o l o , E u l e r , and B a r r o w ,

a number of the earlist editions of E u c l id , an unpublished French translation of Ca n t o r ’s Mathematische Beiträge sum Culturleben der Völker, from the library of Ch a s l e s , and various similar works of bibliographical interest.

378F. R u d i o . — Gr. E n e s t r ö m .


Kleine Bemerkungen zur zweiten Auflage von Oantors „Vorlesungen über Geschichte der Mathematik“.

Die erste (fette) Zahl bezeichnet den B and, die zw eite d ie Seite der „V orlesungen . BM = B i b l i o t h e c a M a t h e m a t i e a .

1 : 1 2 , siehe BM 13, 1900, S. 265. — 1 : 15, siehe BM 3 3 1902 S 3214 — 1 : 22 , 29, 34, siehe BM 13, 1900, S. 2 6 5 -2 6 6 . - 1 : 36, 64 siehe BM 3 S. 1902, s 1 S7 — 1 -.103, siehe BM 13, 1900, S. 266. — 1 :1 3 5 , siehe BM 1 3, 1900, S. 266;

1902 S . 137 - 1 : 144, 155, 169, 171, siehe BM S3, 1902, S. 1 3 7 -1 3 8 . - 1 : 189—190, siehe BM 1 3, 1900, S. 266; 6 3 , 1905, S. 101.

I . 190_191*). Der ganze auf B r y s o n bezügliche Absatz dürfte gestrichenwerden, auch auf die Gefahr hin, daß der Name B r y s o n dann ganz wegfallen würde. Denn dieser verdankt die Anerkennung, die ihm C a n t o r zuteil werden läßt, wesentlich dem Umstande, daß B r e t s c h n e i d e r die Stelle bei J o h a n n e s P h i l o f o n u s falsch übersetzt hat. B r y s o n zeichnete nämlich zu einem Kreise ein eingeschriebenes und ein umgeschriebenes Polygon und dann dazwischen (¡u£T(i§v) ein drittes Polygon. Eine genauere Angabe fehlt, und sie wäre auch für das jetzt folgende plumpe Sophisma ohne jede Bedeutung, denn B r y s o n schloß: Der Kreis und das Zwischenpolygon sind beide kleiner als das umgeschriebene und beide größer als das eingeschriebene Polygon, „was aber größer als dasselbe und kleiner als dasselbe ist, ist gleich“ — rá dé roü avvov /xel^ova nal éAárrova lúa áÁAr¡Aoig éúviv. Das also ist die Leistung B r y s o n s und das ist es, was P r o k l u s zurückweist und was auch schon A l e x a n d e r von Aphrodisias als unwahr abgelehnt hat, „denn es seien ja auch 8 und 9 zugleich kleiner und größer als 10 und 7 und trotzdem nicht einander gleich“.

Alle diese Dinge sind übrigens schon 1884 von H e i b e r g (Philologus 43, p. 386) in das richtige Licht gesetzt worden. Seiner Erklärung, daß „in der Geschichte der Mathematik B r y s o n kaum einen Platz verdiene“, kann man nur zustimmen. So etwa ist B r y s o n auch bereits von A r is t o t e l e s eingeschätzt worden. F. R u d io .

1 : 192, 193, siehe BM 6 3 , 1905, S. 101— 102. — 1 : 1 9 5 , siehe BM S3, 1902, S. 56; 6 3 , 1905, S. 102. — 1 : 196—197, siehe BM 13, 1900, S. 266; 6 3 , 1905, S. 102 — 103. — 1 : 198, siehe BM 6 3 , 1905, S. 103. — 1 : 202, siehe BM 1 3, 1900, S. 266. — 1 : 207, siehe BM 4 3, 1903, S. 283. — 1 :2 2 5 , 234, siehe BM 3 3, 1902, S. 138. — 1 :2 5 5 , siehe BM 3 3, 1902, S. 2 3 8 .— 1 :2 7 2 , siehe BM 4 3, 1903, S. 396; 6 3 , 1905, S. 322. — 1 : 283, siehe BM 13, 1900, S. 499. — 1 1 284, 321, siehe BM 13, 1900,

*) Seite 203 der d ritten A uflage.


S. 266-267. — 1 :335, siehe BM 6 3 , 1905, S. 305. — I : 370, siehe BM 13, 1900, S. 319. — 1 : 383, siehe BM 13, 1900, S. 267. — 1 : 386, siehe BM 5 3, 1904, S. 407. _ 1 :395, siehe BM 3 3, 1902, S. 323. — 1:400, siehe BM 13, 1900, S. 267.

1 : 402*). Es ist mir nicht möglich, den Sinn des folgenden Passus aus- zufindeu: „Aus den drei Zahlen a, b, c [sollen] die drei neuen Zahlen a, a -f- b, a + 2 b + c gebildet werden, ein Bildungsgesetz, welches der moderne Mathematiker mit einigem Staunen als das gleiche erkennen wird, das anderthalb Jahrtausende später zu den Größen x, x -\- Ax, x 2 zlac -f- A2x führte“. Oder hat Herr C a n to k wirklich aus der betreffenden Stelle bei N ik o m ach o s den Satz herausgelesen, daß allgemein an + j = un -f- Aun, un + 2 = un -f- 2Aun 4- A2un? In Wirklichkeit sind bei N ik o m ach o s die drei Zahlen a, b, c Glieder einer geometrischen Reihe (der Quotient dieser Reihe kann auch 1 sein, so daß alle Glieder gleich sind), und der Satz besagt, daß a, a -1- &, a + 2 ö - ] - c eine neue geometrische Reihe bilden, was ja leicht zu beweisen ist. Ich bringe hier unten zum Abdruck teils die fragliche Stelle des N ik o m ach o s (Intro- ductionis arithmeticae libri I I , ed. R. H o c h e , Leipzig 1866, S. 66— 67), teils die entsprechende Stelle des Boimus {De institutione arithmetica libri duo, ed. R. H o c h e , Leipzig 1867, S. 67).

N ik o m ac h o s T(i d é n o o g r á y / i a r a r a v t ú é o n ,

JTQCÚTOV JTQCúTü) lOOV JTOUjÚai, dsVTEQOV d é Trocirá) ä ju a n a l ó e v t e q ú ) , t q L t o v d é j iq o j tü ) n a l d v o i d e v r EQOtg a ,u a n a l t q I t o j . . . é u ¡u é v Ifíó rrjT O S e v d v g t o d in X á O io v , é u d é d m X a ú i o v e ó d v gTÖ TfJM ÁÚQlOV . . .

B o etiu s

Praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, secundum vero primo et secundo, tertium primo, secundis duobus et tertio. Hoc igitur cum iu terminis iequalibus feceris, ex his qui nascentur, duplices erunt, de quibus duplicibus si idemfeceris, tríplices procreantur . . .

Denselben Gegenstand hat N ikom achos auch im zweiten Buche seiner Arithmetik (Satz 3 — 4) behandelt. G. E n eströ m .

1:429, siehe BM 3 3, 1902, S. 324. — 1 : 432, siehe BM f3, 1900, S. 267. —

525, siehe BM 7 3 , 1906/7, S. 282. — 1 : 537, siehe BM 13, 1900, S. 268. — 1 : 539—

S. 394. — 1 :641, siehe BM 3 3, 1902, S. 139. — 1 : 661, siehe BM 13, J9,00» s - 4£9- — 1 : 662, siehe BM 13, 1900, S. 499; 3 3, 1902, S. 139. — 1 :663, siehe BM 3 3, 1902, S. 405. — 1 : 671, siehe BM 13, 1900, S. 499. — 1: 673, siehe BM 5 3, 1904, S. 407-408; 6 3 , 1905, S. 307. — 1 : 674, siehe BM 7S, 1 9°6/7’ oo5’ ~1 : 675, siehe BM 5 3, 1904, S. 408. — 1 : 677, siehe BM 7 3, i906/7, S. 284. — 1:687-689, siehe BM J>3, 1901, S. 143—144; 4 3, 1903, S. 205—206. — 1 : 694, siehe

*) Seite 431 der dritten Auflage.

380 G. E n e s t k ö m .

BM i , 1 9 0 0 , S. 4 9 9 ; 4 3, 1 9 0 3 , S. 2 8 4 ; 6 3 , 1 9 0 5 , S. 1 0 3 . — 1 : 6 9 9 , siehe BM 7 3 , 1 9 0 6 /7 ,’S. 2 0 5 . 1 : 704^ 7 0 6 , 708,^ siehe BM JU ,^9°0.q & 4%9~n5n00-J~ , l .!J0Q ’

BM 6 3 BM 13,— 51°: 753,*siehe KM 5 3, 1904^ S. 408—409. — 1 : 7 5 l/s ieh e BM 5 3, 1904, S. 409, 6 3 1905, S. 104, 308; 73, 1906/7, S. 206, 285. — 1 : 756, siehe BM 1 3, 1900, S. 500; 6 0 ’ 1905 S 308. — 1:757, 767, siehe BM 13, 1900, S. 500—501. — 1 : 794, siehe BM 3 3, 1902, S. 139. — 1 : 796, siehe BM 7a, 1906/7, S. 285—286. — 1 : 804, 805, 807, 808, 812, siehe BM 13, 1900, S. 268—269. — 1 : 816, siehe BM 7S, 1906/7, S. 82-83. — 1 : 823, siehe BM 13, 1900, S. 269. — 1 : 825, siehe BM 7 a, 1906/7, S. 206. — 1 : 836, siehe BM 73, 1906/7, S. 83. — 1 : 848, siehe BM 73, 1906/7, S 83—84 206—207. — 1 : 852, siehe BM 1 3, 1900, S. 269. — 1 : 853, siehe BM 13, 1900, S. 501. — 1 : 854, siehe BM 13, 1900, S. 501; 3 St 1902, S. 324; 4s, 1903, S. 206; 6 3 , 1905, S. 104. - 1 : 855, siehe BM 13, 1900, S. 501; 7a, 1906,7, S. 84.— 1 : 8 5 6 , siehe BM 6 3 , 1 9 0 5 , S. 3 0 9 .

3 : 5 , siehe BM 73 , 1906/7, S. 286. — 3 : 7 , siehe BM 3 3, 1901, S. 351. —3 :8 , siehe BM 13, 1900, S. 501; 6 3, 1905, S. 309. — 3 :1 0 , siehe BM 13, 1900,S. 502. — 3 :1 4 —15, siehe BM 3 3, 1901, S. 144; 5 3, 1904, S. 200; 6 3 , 1905, S. 208 —209. — 3 :2 0 , siehe BM 13, 1900, S. 502; 3 3, 1902, S. 239. — 3 :25, siehe BM 13,1900, S. 274. — 3 :3 0 , siehe BM « 3 , 1905, S. 105. — 3 :3 1 , siehe BM 3 3, 1901,S. 351—352; 3 3, 1902, S. 239—240; « 3, 1905, S. 309—310. — 3 : 32, siehe BM 6 3 , 1905, S. 105. — 3 : 34, siehe BM 3 3, 1901, S. 144; 6 3 , 1905, S. 310. — 3 :3 7 , siehe BM 13, 1900, S. 502; 6 3 , 1905, S. 105. — 3 :3 8 , siehe BM 3 3, 1901, S. 352. — 3 :3 9 , siehe BM 13, 1900, S. 502; 6 3, 1905, S. 209. — 3 :4 1 , siehe BM 3 3, 1901, S. 352. — 3 :5 1 , siehe BM « 3, 1905, S. 106. — 3 :5 3 , siehe BM 5 3, 1904, S. 201.— 3 :5 7 , siehe BM 3 3, 1901, S. 352. — 3 :5 9 , siehe BM 7a, 1906/7, S. 207-208.— 3 : 59—60, siehe BM 13, 1900, S. 502; 6 3 , 1905, S. 310-311. — 3 :6 1 , siehe BM 73, 1906/7, S. 85-86, 208—209, 286—287. — 3 : 63, siehe BM 4 3, 1903, S. 206.— 3 :6 7 , siehe BM 7 3 , 1906/7, S. 209-210. — 3 :70, siehe BM 13, 1900, S. 417.— 3 :73 , 82, 87, siehe BM 13, 1900, S. 502. — 3 :8 8 , siehe BM 13, 1900, S. 503;6 3, 1905, S. 395. — 3 : 89, 90, siehe BM 13, 1900, S. 503. — 3 : 91—92, sieheBM 13, 1900, S. 503; 5 3, 1904, S. 409-410; 63, 1905, S. 395—396. — 3 : 97, sieheBM 3s, 1902, S. 406. — 3 : 98—99, siehe BM 13, 1900, S. 269—270; 6 3, 1905, S. 106 —107; 7 3 , 1906/7, S. 210. — 3 :1 0 0 , siehe BM 3 3, 1902, S. 140. — 3 :101 , siehe BM 3.3, 1902, S. 325; 6 3 , 1905, S. 396. — 3 :1 0 4 -1 0 5 , siehe BM 13, 1900, S. 503; 4 3, 1903, S. 397—398.

2 : 106. Was Herr C a n t o r nach C a m p a n u s festgestellt hat, ist eigentlich nicht die Irrationalität des goldenen Schnittes, sondern nur, daß die zwei Teile nicht ganze Zahlen sein können. Aber offenbar ist es sehr leicht, den Beweiszu ergänzen, denn wenn die Teile Brüche sind, so kann man =

setzen, wo mv n1, m2, n2 ganze Zahlen sind, und dann ist

m. m.,—, X, — — n, “ n„

— + 1 • -n j nt n1 n2oc*er (ml W2 + m2ni) '■ = mi n2 : m2nl,und jetzt kann man ganz wie früher beweisen, daß m^n2 nicht eine ganze Zahl ist. Dies ist aber unvereinbar mit der Annahme, daß m1 und n2 beide ganze Zahlen sind, und dadurch ist die Irrationalität des goldenen Schnittes fest§estellt- G. E n estr ö m .


2 : 1 1 1 , siehe BM 2 3, 1901, S. 352. — 2 : 11(1, siehe BM 3 3, 1902, S. 406. — 2 :1 1 7 —118, siehe BM 6 3, 1905, S. 107, 311. — 2 :122 , siehe BM 13, 1900, S. 503 -504 ; « 3, 1905, S. 397. — 2 :126 , siehe BM 3 3, 1902, S. 406; « 3, 1905, S. 210. — 2 :127, siehe BM 3 3, 1902, S. 406. — 2 :128, siehe BM 13, 1900, S. 504. — 2 :129, siehe BM 7 3, 1906,7, S. 287. — 2 :132, siehe BM 1 3, 1900, S. 515-516. — 2:143 siehe BM 13, 1900, S. 504.

2 : 144. Hier werden die Gründe angegeben und gebilligt, ans denenH. S u t e r einen von ihm im Jahre 1887 zum Abdruck gebrachten Traktat „De proportione dyametri quadrati ad costam ejusdem“ dem A l b e r t u s d e S a x o n i a beigelegt hat. Indessen hat kürzlich P. D u h e m (Etudes sur L e o n a r d d e V in c i I, Paris 1906, S. 341— 344) darauf hingewiesen, daß diese Gründe nicht entscheidend sind. Die Redewendung „est dare“ war nämlich sehr gewöhnlich bei den Scholastikern des Mittelalters, und ebenso war A l b e r t u s d e S a x o n ia gar nicht der einzige, der aus der Inkommensurabilität von Seite und Diagonale des Quadrates folgerte, daß das Kontinuum nicht aus unteilbaren Atomen endlicher Größe zusammengesetzt ist. Auf der anderen Seite macht D u h e m darauf aufmerksam, daß A l b e r t u s d e S a x o n ia in seinem Kommentar zu der A r i s t o t e l i sehen Schrift De coelo einen Satz widerlegt hat, der im Traktate „De proportione dyametri quadrati ad costam ejusdem“ vorkommt, und schließt daraus, daß A l b e r t u s kaum der Verfasser des Traktates sein kann. Mit dieser Schlußfolgerung bin ich indessen nicht ganz einverstanden. Der fragliche Satz beginnt nämlich: „videtur, quod possibile sit“ und unmittelbar darauf folgtein Satz, der mit „deinde probatur“ beginnt und gerade das Gegenteil des vorangehenden Satzes behauptet. Unter solchen Umständen bin ich geneigt, den Ausdruck: „videtur quod possibile sit“ mit: „es scheint als ob es möglich wäre“ zu übersetzen, und dadurch wird die Schlußfolgerung des Herrn D u h e m hinfällig. G. E n e s t r ö m .

2 :1 4 5 , siehe BM 7 S, 1906/7, S. 287.

2 : 148. In seinem ziemlich ausführlichen Bericht über die Abhandlung De proportione dyametri quadrati ad costam ejusdem übergeht Herr C a n t o r stillschweigend eine Stelle (S. 48— 4 9 des SuTERSchen Abdruckes), die meines Erachtens von besonderem Interesse ist, obgleich die darin vorkommenden Sätze in Wahrheit falsch sind. Der erste Satz (derselbe, der in der vorangehenden Bemerkung angedeutet wird) besagt, daß eine unendliche Anzahl von gleich großen Kugeln in eine Kugel mit endlichem Durchmesser verwandelt werden kann, und sein wesentlicher Inhalt ist, daß die unendliche Reihe

1 + (|/2 — 1) + (^3 — f2 ) + . . . - f (V« + 1 — V») + ■ • •eine endliche Summe hat. Der zweite Satz dagegen behauptet, daß die fragliche Anzahl von Kugeln in eine Kugel mit unendlichem Durchmesser verwandelt werden kann, und sein wesentlicher Inhalt ist, daß alle Glieder der unendlichen Reihe ___________

V a - 1 , j / 4 - V 2 + l - m p 11 + ! , . . .

gleich groß sind.

382 G. E n e s t r ö m .

Diese Sätze verdienen meiner Ansicht nach besondeie Aufineiksümkeifcwegen ihres Gegenstandes. Früher war eine einzige unendliche Reihe behandelt worden, nämlich die abnehmende geometrische Reihe, und die Sätze enthalten einen, freilich wenig gelungenen Versuch, die Lehre von den unendlichen Reihen weiter zu entwickeln. Daß der Verfasser der Abhandlung dazu kommen konnte,

die Reihe un = ¡n + 1 —als konvergent zu betrachten, beruht wahrscheinlich darauf, daß auch für dieseReihe, wie für die abnehmende geometrische, lim Un — 0, und daß er aus

n = oo ^ _______ 3 _

diesem Umstande folgerte, auch die Summe der Reihe un = ~jn -j- 1 ~\jnsei endlich. Von unserem Gesichtspunkte aus könnte man also sagen, daß erdas unrichtige Konvergenzkriterium lim un = 0 aufgestellt hat.

« = 00 G. E n e st r ö m .

2 :1 5 0 —151, siehe BM 7 3, 1906/7, S. 288. — 2 : 155—156, siehe BM 5 3, 1904, g. 410—411; 7 3, 1906/7, S: 86-87. — 2 : 157, 158, siehe BM 2 3, 1901, S. 352. — 2 :1 6 0 —162, siehe BM 6 3, 1905, S. 311—312; 7 3, 1906/7, S. 87-88. — 2 : 163, siehe BM 13, 1900, S. 504; « 3, 1905, S. 312. — 2 :1 6 4 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 313.

2 : 165. Einem Verfasser des 17. Jahrhunderts zufolge hat A n d a lö d l N e g ro einen Traktat: Praxis arithmeticae verfaßt, von dem aber jetzt kein Exemplar bekannt ist (vgl. B. B o n co m p ag n i, B u lle t t . di b ib lio g r . d. sc. m atem . 7, 1874, S. 370). Jedenfalls rührt wohl der angegebene Titel des Traktates nicht von A n d a lö d i N e g ro selbst her. G. E n e s trö m .

2:166 , siehe BM 13, 1900, S. 504. — 2 : 175, siehe BM 3 3, 1902, S. 140. — 2 :206 , siehe BM 6 3, 1905, S. 313. — 2 :210 , siehe BM 2 3, 191, S. 352—353. — 2:218, siehe BM 4 3, 1903, S. 284. — 2 :2 1 9 , siehe BM 2 3, 1901, S. 353. — 2 :2 2 2 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 397—398. — 2 : 229, 242, siehe BM 13, 1900, S. 504—505. — 2 : 243, siehe BM 13, 1900, S. 505; 6 3, 1905, S. 398.

2 : 243. In betreff des Zeichens 0 , das in der Dresdener lateinischen Algebra die konstante Größe bedeutet, vermutet J. T r o p f k e (Geschichte der Elementar-Mathematik I, Leipzig 1902, S. 196), daß es eigentlich ein griechisches 0 ist. Das ist ja sehr möglich, da spätere deutsche Cossisten tatsächlich ein dem cp ähnliches Zeichen für die konstante Größe benutzen; dagegen verstehe ich nicht, wie T r o p fk e dies Zeichen zugleich als Anfangsbuchstabe von „dragma“ erklären kann. Will man das Zeichen als Anfangsbuchstabe irgend eines Wortes deuten, so möchte ich als dies W ort „quantitas“ vorschlagen, so daß 0 also eigentlich ein q sein würde. Bekanntlich kommt bei Paciitolo das Wort „quantita mit der Abkürzung qa in einem anderen Sinne, nämlich als Name bezw. Zeichen einer zweiten unbekannten Große vor (vgl. B ib lio th . M athem . 6 3 , 1905, S. 399) und aus einigen Stellen der Dresdener lateinischen Algebra wiid man geneigt, das Zeichen 0 als Abkürzung des Termes „quantitas“ oder „quantitas cognita“ zu deuten (vgl. z .B . S. 23 Z. 30 der W APPLERSchen Abhandlung: , ( 4 36 similiter diuidatur per maiorem partem“).

----------------- G. E n e st r ö m .


2 : 245. Nicht ohne Grund bemerkt Herr C a n t o ii, daß er die Regeln Y, VI, VII so gefaßt hat, wie sie lauten müßten, nicht wie sie in der Handschriftlauten. Auf der anderen Seite wäre es vielleicht angebracht, darauf hinzuweisen, daß die Rekonstruktion der richtigen Regeln leicht vermittels derS. 21— 26 der WAPPLERsehen Abhandlung abgedruckten Regeln 4— 6 erhalten wird. Durch diesen Hinweis wird man nämlich veranlaßt, als Lösung der

— — + anzugeben, wo ja das doppelteC u c

Vorzeichen, das bei Herrn Ca n t o r fehlt, von besonderem Interesse ist (vgl. unten die Bemerkung zu 2 : 247). G. E n e s t r ö m .

2 : 246. Herr Cantor bemängelt hier den Verfasser der Dresdener lateinischen Algebra, weil dieser bei der 5. Form die Möglichkeit, die Wurzelgröße additiv oder subtraktiv zu nehmen, dahin mißversteht, daß u n t e r dem

Wurzelzeichen ^ zugezählt werden müsse, wenn es nicht abgezogen werden

könne, und weil er überdies die Wurzelgröße selbst nur subtraktiv benutzt. Diese Ausstellung würde ohne Zweifel begründet sein, wenn es sicher wäre, daß der von W appler benutzte Handschriftenband wirklich das Originalmanuskript des Verfassers enthielte. Meines Erachtens kann dies aber nicht der Fall sein, und zwar auf Grund der zahlreichen, von W appler selbst durch das Zeichen (!) hervorgehobenen groben Fehler. Im Gegenteil scheint das betreffende Manuskript von einem unkundigen Abschreiber herzu rühren, vielleicht von einem Studenten, der zwar ein wenig Arithmetik gelernt batte, aber die Algebra nicht verstand. Nun kommt die von Herrn Cantor beanstandete Regel (S. 14 der WAPPLERsehen Abhandlung) dreimal unter der Form „si . . subtrahi non potest, addere licet eundem“ vor, und nach dem Worte „si“ stehen bezw. die Zeichen für a;0, cc1 und x 2 (Z. 3, 15, 29). Nimmt man nun an, daß im Originalmanuskripte an allen drei Stellen das Zeichen für Quadratwurzel nach „si“ stand, so ist alles in Ordnung und die dreimal wiederholte Regel stimmt mit der richtigen Regel S. 23 der WAPPLERsehen Abhandlung überein. Man könnte meinen, daß nach dieser Verbesserung der Ausdruck „subtrahi non potest“ sinnlos sein würde, da immer a2 — ß kleiner als a ist, aber derselbe Ausdruck kommt wirklich S. 26 der W appler sehen Abhandlung in betreff der Quadratwurzel vor, und sein Sinn dürfte der folgende sein. Will man z.B . die Zahl 10 in zwei Teile zerfallen, deren Summe = 1 6 ist, und nennt man den größeren Teil x , so wird die Gleichung x (10 — x) = 16, d. h. x = 5 + 1/25 — 16, und hier kann nicht die Quadratwurzel subtraktiv sein, weil in diesem Falle x , d. h. der größere Teil, kleiner als die Hälfte der ganzen Zahl wird, was ja unsinnig ist.

Wie Herr Cantor richtig angibt, kommt die unsinnige Regel auch in dem von W appler (S. 14) erwähnten „Liber restauracionis numeri quem edidit Machumed filius moysi algaurismi “ vor, aber diese Handschrift kann sehr wohl von demselben unkundigen Abschreiber herrühren. G. Eneström.

2 : 247. Daß die Wurzelgröße sowohl subtraktiv wie additiv sein kann, wußte der Verfasser der Dresdener Algebra jedenfalls früher als am Schlüsse

VI. Gleichung xß

3 8 4G . E n e s t r ö m .

des 5. Kapitels, denn dies wird schon am Anfänge des Kapitels (S. 23 der W a p p l e r sehen Abhandlung) ausdrücklich gelehrt. Daß er dies auch wußte, als er die in der Dresdener Handschrift verstümmelten Zeilen (S. 11— 12 der WAPPLERSchen Abhandlung) über die Gleichung bxa + P = a x a + cx«+*P niederschrieb, scheint mir auch höchst wahrscheinlich (vgl. oben die Bemerkung zu 2 : 245). Nebenbei bemerke ich, daß der Passus des Herrn C a n t o r : „Was also .' . . nicht bekannt schien“, unverständlich ist, wenn man nicht annimmt, daß S. 245 in betreff der VI. Regel vor dem Wurzelzeichen ein Minus stehen s o j l G . E n e s t r ö m .

2 : 253, siehe BM 2 3, 1901, S. 353. — 2 : 2 73 , siehe BM 1 3, 1900, S. 505. —2 : 274, siehe BM 33, 1902, S. 325. — 2 : 281, siehe BM 5 .3 , 1904, S. 411. — 2 : 282,283, siehe BM 1 3, 1900, S. 506; 2 3, 1901, S. 353— 354. — 2 : 284, 286, 287, 289, 290, 291, siehe BM 13, 1900, S. 506—507. — 2 :2 9 6 , siehe BM 2 3 , 1901, S. 354. — 2 : 303, siehe BM 7 3 , 1906/7, S. 8 8 . — 2 : 313, siehe BM 13, 1900, S. 507. — 2 : 814,siehe BM 7 3, 1906/7, S. 288—289. — 2 : 317, siehe BM 5 3, 1904, S. 69.

2 :3 1 7 . Die hier von Herrn Ca n t o r zitierte Stelle aus der Summa des P a c iu o l o : „ T h e b it ancora degno philosopho (del qual molto B o e t io exponendo E u c l id e fa mentione: maxime nel quinto)“ scheint anzudeuten, daß P a c iu o l o die anonyme E u k l id -Übersetzung kannte, die Herr A. A. B jö r n b o näher untersucht hat, und die wahrscheinlich von G h e r a r d o C r e m o n e s e herrührt, denn darin wird T h e b it oft genannt (siehe B ib lio th . M athem . 6 3, 1905, S. 247— 248). Daß B o e t iu s der anonyme Übersetzer war, ist wohl lediglich eine Annahme des P a c iu o l o selbst. Die CAMPANOsche Übersetzung kann nicht gemeint werden, denn unmittelbar nach der von Herrn C a n t o r zitierten Stelle sagt P a c iu o l o : „De A m e t o figliuolo de J o s e p h (del qual el C a m p a n o exponendo el quinto de E u c l id e fa mentione),“ und übrigens konnte diese Übersetzung kaum dem B o e t iu s zugeschrieben werden. G. E n e s t r ö m .

2 :320, siehe BM 73, 1906/7, S. 88—89. — 2 : 3 2 2 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 399.— 2 :325 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 313—314. — 2 :328, siehe BM 3 3, 1902, S. 140; 4 3, 1903, S. 285. — 2 : 3 3 4 , siehe BM 1 3, 1900, S. 507. — 2 : 3 5 1 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 399. — 2 : 3 5 3 , siehe BM 1 3, 1900, S. 507; 4 3, 1903, S. 87. — 2 : 3 5 5 , 3 5 7 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 399—400. — 2 : 358, 360, siehe BM 4 3, 1903, S. 87.— 2:371, siehe BM 6 3 , 1905, S. 314.

2 : 379. Der Livre singulier et utile touchant l’art et pratique de geometrie von Ch. d e B o u v e l l e s ist unter dem Titel Boeck aenghaende de conste en de practycke van geometrie ins Holländische übersetzt und herausgegeben (Amsterdam, A. Roelants 1547, 4°; siehe D. B ie r e n s d e H a a n , Bibliographie néerlandaise . . . sur les sciences mathématiques, Rome 1883, S. 38). Nach einer fieundlichen Mitteilung des Herrn H. B o sm a n s scheint die Übersetzung ein wenig abgekürzt zu sein; wer der anonyme Übersetzer war, ist nicht bekannt.



1906/7, S. 289. — 3 : 395, siehe BM 13, 1900, S. 507-508. — 3 :3 9 7 , siehe BM 7, 1906/7, S. 211, — 3 :3 9 9 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 107—108. — 3:401, 405, siehe BM 13, 1900, S. 507. — 3 : 410, siehe BM 7 3, 1906/7, S. 290. — 3:411, 412, siehe BM 7 3, 1906/7, S. 89. — 3 : 425, siehe BM 13, 1900, S. 507. — 3:427 , siehe BM63, 1905, S. 314—315. — 3 :4 2 9 , siehe BM 53, 1904, S. 201—202. — 3 :430 , sieheBM 3 S, 1901, S. 145. — 3 : 440, siehe BM 4 3, 1903, S. 285. — 3 : 442, siehe BM3 3, 1902, S. 325. — 3 :4 4 9 , siehe BM 3 3, 1902, S. 140. — 3 : 454, siehe BM 3 3,1902, S. 242. — 3 : 474, siehe BM 3 3, 1902, S. 140-141. — 3 :4 7 9 —480, siehe BM 3 3, 1902, S. 141; 7 3, 1906/7, S. 290—291.

2 : 479— 480. Eine kleine Ergänzung meiner früheren Notiz über Quadrat- wurzelausziehung aus algebraischen Ausdrücken (BM 73, 1906/7, S. 290) entnehme ich aus der kürzlich erschienenen Abhandlung des Herrn H. B o s m a n s L ’algebre de J a q u e s P e l e t i e r (siehe unten die Bemerkung zu 2 : 621), wo S. 137— 139 mitgeteilt wird, daß P e l e t i e r in seiner französischen Algebra (Lyon 1554) die Quadratwurzelausziehung y36a;4 - f 48 a:3 — 104 a: 2 — 80 a: - f -100 vornahm. Freilich war P e l e t i e r sowohl in betreff des Zahlenbeispiels als hinsichtlich des Verfahrens von S t i f e l abhängig, und er legte auf die Sache so wenig Gewicht, daß er dieselbe nicht in seine lateinische Algebra vom Jahre 1560 aufnahm. Ferner hat mich Herr S u t e r darauf aufmerksam gemacht, daß Quadratwurzelausziehung aus algebraischen Polynomen schon bei A l k a r k h i vorkommt (siehe Extrait du Fakhri. . . par F. W o epck e , Paris 1853, S. 54— 55). A l k a r k h i findet z. B., daß -f- 4 a 3 -f- 1 0 a 2 + 12« -)-9 = a 2 - f 2« 3.


3 :481 , siehe BM 13, 1900, S. 508. — 3 :4 8 2 , siehe BM 13, 1900, S. 508; 8 3 , 1901, S. 354; 3 3, 1902, S. 240; 6 3 , 1905, S. 401. — 3 : 483, siehe BM 7 3, 1906/7, S. 291. — 3 :4 8 4 , siehe BM 3 3, 1902, S. 141. — 3 : 486, 489, 490, siehe BM 13, 1900, S. 509.

2 ; 490. Von dem hier erwähnten R i c h a r d W e n t w o r t h rührt vielleicht ein Traktat in italienischer Sprache her, der handschriftlich in der Bodleianischen Bibliothek in Oxford aufbewahrt ist und den Titel De numeris et misuris trägt. Von diesem Traktate hat Herr V. T o n n i - B a z z a in seinem Artikel Frammenti di nuove ricerche intorno <1 Nicoio T a r t a g l ia (A tti del congresso in te rn a z io n a le di scienze s to r ic h e 1903, 12 (1904), S. 304) zwei Seiten in Faksimile reproduziert, und die eine Seite beginnt: „Questo me era demandato a messer N i c o l o T a r t a l i a 1539 a di 7 de settembre e che el medico da millan nö potria soluer ma pregando il mi compar inf(?) nt0 de man- darse la solution e cosi io troueva el detto demando a di 11 detto“. Nun hat Herr A. F a v a r o (siehe a. a. O. S. 304— 305) darauf hingewiesen, daß die betreffende Frage von T a r t a g l i a im 5. Teile seines General trattato di numeti et misure (Venezia 1560, Bl. 18b— 19a) behandelt wird. An dieser Stelle berichtet T a r t a g l i a , daß er die Frage seinen zwei Schülern R i c h a r d W e n t w o r t h und G i a n a n t o n i o d i R u s c o n i vorlegte, daß diese beide die Frage lösten und daß W e n t w o r t h etwas später bei einem Besuche des C a r d a n o in \ enedig diesem mündlich die Lösung erklärte. Auf dies Zusammentreffen zwischen C a r d a n o und W e n t w o r t h deutet übrigens T a r t a g l i a auch in seiner Tet ,za risposta hin (siehe S. 13 der Reproduktion von E . G io r d a n i , Milano 1876), und nachdem F e r r a r i in seinem Quinto cartello (S. 17) geantwortet hatte, dei

Bibliotheca Matliematica. 111. Folge. VII.

386Gr. E n e s t b ö m . — A. F a v a k o .

fragliche W e n t w o r t h sei ihm durchaus unbekannt, berichtete T a r t a g l i a in der Quinta risposta (S. 4) ausführlicher hierüber, etwa wie in seinem gedruckten Werke. Nimmt man jetzt hinzu, daß der Traktat in einer englischen Bibliothek Platz gefunden hat, kann man kaum umhin, die Annahme, daß W e n t w o r t h Verfasser oder Bearbeiter des Traktates ist, als sehr wahrscheinlich zu bezeichnen, sofern man nicht der Ansicht ist, daß T a r t a g l i a die ganze Geschichte der von seinen zwei Schülern gebrachten Lösungen selbst erfunden , G. E n e s t r ö m .

2:497. Fu effettivamente in Mantova, circa dal secolo decimoquinto fino al decimottavo, una famiglia T a r t a g l ia ; ed anzi a pag. 129 del Libro VII delle Notizie genealogiche delle famiglie mantovane, compilate dal Conte Ca r lo d ’A r c o , e che si conserva manoscritto nell’ Archivio Gonzaga, si legge: „Spesse volte troviamo la famiglia T a r t a l e o n i confusa con quella detta dei T a r t a g l ia . Noi pero troviamo che queste fossero due distinte famiglie, e ci basterá, ricordare che di que’ cognominati d e T a r t a l e is visse nel 1544 Messer Z o a n e T a r t a l ia revisor de le fabbriche de Corte. E G iu l io P i p p i romano ordinava che lo magnifico Thesaurario faccia pagamento a Gio. T a r t a l ia soprastante de quanto ha speso per bisogno della Corte de Sua Eccellenza, cominciando a di primo decembre fino all’ ultimo del detto 1544“. — Nel 1600 M a r g h e r it a T a r t a g l ia era moglie a G iu l io Ce r e s a r a d e g l i A c e l l i . Di poi sono nominati: 111. D. Capitaneus F r a n c is c u s T a r t a l e a f. q. Magnif. D. A n d r e a e de contrata aquila nel 1657; D. A l p h o n s u s f. q. D. H ie r o n im i scriptor de contrata cigno nel 1684 ed „ A n se l m u s T a r t a l e a notarius et Commissarius Castrilucoli nel 1704“. II G io v a n n i T a r t a g l ia al quale si riferisce A. B e r t o l o t t i (Ardiiteiti, ingegneri e matematici . . . nei secoli XV, X V I e XVII, Genova 1889, pag. 25—26) é precisamente il „Messer Z o a n n e T a r t a l ia “ che nel documento del 5 Setiembre 1524 (Lib. 29 dei copialettere riservati nell’ Archivio Gonzaga) dice , haver lavorato et fatto lavorare nel pallatio della rasone, over del potestate, et avanzare trecento cinquanta libre per tal lavorero“.

Nel libro delle spese e delle éntrate Rub. B. XII. 7 del 1553, e precisamente nella „Nota dei salariati dell’ 111.mo S.r nostro che si pagano all’ ufficio della Massaria ogni anno“ figura: „Messer G io v a n n i T a r t a l ia revisor delle fabbriche. Ducati 38. 3. 6.“ Altri documenti del medesimo Archivio Gonzaga in Mantova concernono Z o a n T a r t a l ia , in ispecie nei mandati di pagamento di G iu l io P i p p i romano, come soprastante alie fabbriche del Márchese di Mantova. Questo G io v a n n i adunque appartenne alia famiglia T a r t a g l ia da non con- fondersi con l’altra famiglia T a r t a g l io n i , essa puré mantovana.

Non é perianto da escludere, ed anzi é sommamente probabile, che il cognome di ambedue queste famiglie ripeta la sua origine prima dal difetto di qualche antenato che consiste nel ripetere piu volte la prima sillaba innanzi di poter esprimere la parola intera, e che in italiano si dice „tartagliare“, mentre „tartaglione“ si dice di chi tartaglia o prova difficoltá nell’ esprimere i proprii concetti. Non resta percio di qui minimamente infirmato quello che di sé narra a tale proposito N ic c o l ó T a r t a g l ia .

A n t o n io F a v a r o .


— 2:510, siehe BM 13, 1900, S. 509. — 2:512, siehe BM 3 3, 1902, S. 141. — 2:514, 516, 517, siehe BM 13, 1900, S. 509. — 2 :524, siehe BM 7 3, 1906/7, S. 90.

2 : 527. Hier könnte erwähnt werden, daß T a r ta g lia im 1. Buche des 5. Teiles seines G eneral trattato de num eri et m isure gewissermaßen das später sogenannte MALFATTische Problem gestreift hat; er versucht nämlich daselbst in ein Dreieck drei Kreise einzuschreiben, die einander gleich und möglichst groß sind. Zuerst löst er (Bl. 19a) das Problem für ein gleichseitiges Dreieck, was ja für diesen Fall genau die Lösung des MALFATTischen Problems gibt, fügt eine ziemlich unklare Bemerkung über den Fall eines gleichschenkligen Dreieck hinzu, und hebt zuletzt hervor, daß wenn man auf dieselbe Weise in betreff eines ungleichseitigen Dreiecks verfährt, so bekommt man zwei Kreise, die sich berühren, und einen dritten Kreis, der nicht die zwei anderen berührt.

G. Eneström.

2 : 529, siehe BM 7 3, 1906/7, S. 91. — 2 :5 3 0 , siehe BM 2 3, 1901, S. 354— 3 5 5 - 3-, 1902, S. 141. — 2 :5 3 1 , siehe BM 73, 1906/7, S. 212. — 2 :5 3 2 , siehe BM’la 1900, S. 509; 73, 1905/7, S. 292. — 2 :535 , siehe BM 13, 1900, S. 509. — 2 : 536, siehe BM 7 3, 1906/7, S. 212-213.

2 :537 . Es wird gewöhnlich angenommen, daß man zwar vor V iäte bekannte Größen durch Buchstaben bezeichnete, aber nicht imstande war, dabei Rechenoperationen auszuführen, ohne zu neuen Buchstaben zu greifen. Indessen hat C a r d a n o wirklich am Ende seiner De regula a liza (Basel 1570, S. 111) zwei beliebige bekannte Größen durch die Buchstaben a und h bezeichnet und

. „ - « , ■ , • x j v. l / a V abemerkt, daß gleich — ist, d. h. & q. Eneström .

2 :539 , siehe BM 7 3, 1906/7, S. 293. — 2 : 541, 548, siehe BM 13, 1900 S. 509 eie 2 • 549 siehe BM 1 3, 1900, S. 510; 0 3, 1905, S. 401. — 2_:5o0, sieheBM 2 3, 1901,’S. 355. — 2 : 554, siehe BM 1 3, 190°,,8. 510. — 2 : 555,, siehe BM 4a, 1903, S. 285: 6 3 , 1905, S. 322. - 2 : 561, siehe BM 73, 1906 S. 91 - * . o65, 567 568 siehe BM 4 3 1903, S. 285—286. — 2 :569 , siehe BM 13, 1900, S. 510. — 2 * 572—573 siehe BM 1 ,. 1900, S. 510; 3 3, 1902, S. 141. - 2 : 576, siehe BM 2 3,1 Q01 Q a c : 2*579 siehe BM 2 3, 1901, S. 145. — 2 : 580—581, siehe BM4 3, 1903, S. 207. — 2 : 582, siehe BM 13, 1900, S. 510. - 2 : 583, siehe BM 1|, 1900 S. 270; 2 3, 1901, S. 356. — 2 :585, siehe BM 5 3, 1904, S. 69—70. — 2 . 5.1-, sie BM 2 3, 1901, S. 1 4 6 . ___________

2 : 593. Da man gewöhnlich annimmt, daß Reimers (Raimarus U rsus) 1599 gestorben ist (vgl. z. B. A. von Braunm ühl, Geschichte der Trigonom etrie I Leipzig 1900, S. 204), erlaube ich mir hier die Notiz einzufugen, daß Reimer am 15. August 1600 in Prag starb. Diese Notiz entnehme ich einer freundlichen Mitteilung des Herrn F. R. F r iis , der, sich auf den A nzeiger fü r Kun e der deutschen V orzeit (Nürnberg), Jahrg. 1877 S. 830 331, be ,hier ist nämlich die folgende Aufzeichnung zum Abdruck gebracht: „160015 August. Mane phtisi mortuus est Pragae B o h e m i o r u m N ico lau s Raymarus Ursus Dithmarsius“. Daß Reim ers am 3. August 1600 todeskrank war, sieht man übrigens aus einem Briefe von T yge B raue an H o lg e r R osenkrantz (siehe F. R. F r iis , Episto lae g m s T r a m B b a u e et O u g e rü s B o s M K w n m inter se scripseru n t, Köbenliavn 1896, S. 58). ■ nestrom .

388 G. E n e s t k ö m .

2 * 594. siehe BM I 3 , 1900, S. 270. — 3 : 597, siehe BM 1 3, 1900, S. 270; 2 3, IQ01 S*146 — 3 : 599—600, siehe BM 3 3> 1901, S. 146. — 3 :6 0 2 , siehe BM 1 3, 1900,’ S.'270: - 3 :6 0 3 -6 0 4 , siehe BM 13, 1900, S. 270-271; 6 3 , 1905, S. 108.

2 : 610. Es ist richtig, daß im 8 . Buche der JoRDANischen Arithmetik die Summenformel der Quadratzahlen nicht in der uns geläufigen Form vorkommt aber in Wirklichkeit wird sie im 36. Satze gelehrt. Dieser Satz lautet:

Si cuilibet cubo adjungatur basis sua, et triangularis basi sue equilaterus: efficietur triplus sui pyramidi.“ Nun hat J ordanus früher (Satz 27) angegeben, daß die Tetragonalpyramidalzahlen durch Summierung der Quadratzahlen erhalten werden, und der 36. Satz besagt also gerade, daß

x s + x 2 + = 3 (12 + 22 + . . . +. x 1).

Auch die Sätze 31 und 34 handeln von der Summe der Quadratzahlen, und sie enthalten implizite die Formel

1 « + 2 » + . . . + * » _ ( * + 1 ) • - ? ( « + » ) (« + 8 ) .

Dagegen habe ich die Summenformel der Kubikzahlen im 8 . Buche des Jordanus nicht auffinden können. Freilich ist es leicht, diese Formel auf Grund des 28. Satzes des 7. Buches herzuleiten; in diesem Satze wird nämlich nach Nikomachos und B o etiu s bewiesen, daß 1, 3 + 5, 7 + 9 + 11, 13 + 15 + 17 + 19 usw. die successiven Kubikzahlen sind. Übrigens behauptet Simon Jacob nicht, daß die Summenformeln im 8 . Buche des Jord an u s Vorkommen, sondern nur, daß sie daraus „jhre Demonstration vnnd gewissheit“ haben. G. Eneström .

3:611 , siehe BM 8 3 , 1901, S. 356—357. — 3 : 612, siehe BM 13, 1900, S. 277; 8 3, 1901, S. 146. — 3 :612-613 , siehe BM 73, 1906/7, S. 91—92. — 3 :6 1 3 , siehe BM 3 3, 1901, S. 357; 5 3, 1904, S. 306; 7 3, 1906/7, S. 294.

2 : 613. Der Untersuchungsgegenstand, den M a u ro lico mit dem Terme „columna“ bezeichnete, war nicht ganz neu, denn ähnliche Sachen sind schon von griechischen Mathematikern gestreift worden, nämlich von dem Verfasser (A n ato lio s? ) der sogenannten HERONSchen Definitionen und von Nikomachos. Jener definiert im Vorübergehen gewisse Arten von körplichen Zahlen, d. h. Zahlen von der Form l ■ b ■ h (l = Länge, b = Breite, h = Höhe), z. B.’ öouös füi welche Zahl l //> 5, h = b ist (siehe G. F r ie d le in , De H ero nis quae fer unter definitionibus; B u lle tt. d i b ib lio g r . d. sc. m atem . 4, 1871, S. 110). Nikomachos hat solche Zahlen in den 15. und 16. Kapiteln’ des 2. Buches seiner Arithmetik erwähnt (siehe Introductionis arithmeticae libri I I ed. R. H oche, Leipzig 1866, S. 105 108), und sie kommen unter lateinischenNamen (asser, laterculus, spheniscos oder cuneolus) bei Boiriius vor (sieheDe institutione arithmetica libri duo, ed. R. H oche, Leipzig 1867 S 111 121). Bei Jordanus finden sich im 8 . Buche seiner Arithmetik* die Terme „serratile“ und „columna“; bezeichnet man durch np die w-te 4J-eckszahl, so ist nach Jordanus eine Zahl von der Form k . n3 ein „serratile“, und „columna“ bedeutet jede Zahl von der Form k ■ np mit Ausnahme der Fälle p = 3 und

p = 4. In den Sätzen 3 0 - 3 6 des 8. Buches behandelt Jord an u s gewisse


Eigenschaften eines „serratile“; z. B. daß n ■ n3 - f n ■ {n — 1)3 = n3, welcherSatz ja die Identität n • n . (w — l)_n = ws enthält.

Über die Arithmetik des M a u r o l ic o gibt es eine besondere Abhandlung von M ariano F ontana mit dem Titel: Osservazioni storiche sopra Varitméticad i F r a n c e sc o M a u r o lic o (A tt i d e ll’ i s t i tu to n az io n a le ita lia n o 2 : 1, 1808,275 — 296 -|- Tafel). Eneström.

2 :614, siehe BM 3 3, 1902, S. 141. — 2 :617, 619, siehe BM 6 3 , 1905, S. 108 —109. — 2 : 6 2 0 , siehe BM 3 3 , 1902, S. 141. — 2 : 6 2 1 , siehe BM 1 3 , 1900, S. 277; 2 3, 1901, S. 146; 6 3 , 1905, S. 402; 7 „ 1906/7, S. 214.

2 : 621. Über J. P e le t ie r als Algebraiker hat H. Bosmans kürzlich eine ausführliche Abhandlung (.L’algèbre de J a q u e s P e l e t ie r du Mans départie an deus livres; R evue des q u e s tio n s sc ie n tif iq u e s p u b liée p a r la so c ié té s c ie n t i f iq u e de B ru x e lle s 113, 1907, S. 117— 173) veröffentlicht. Wie aus dem Titel der Abhandlung hervorgeht, hat er dabei in erster Linie die französische Ausgabe der Algebra von P e le t ie r (Lyon 1554; neue Auflagen 1609 und 1622) benutzt. Als Ergänzung der BoSMANSSchen Abhandlung erlaube ich mir auf eine Stelle der lateinischen Ausgabe (Bl. 13b) aufmerksam zu machen, die in unsere Sprache übersetzt folgendermaßen lauten würde:

Wenn die Koeffizienten der GleichungaQx n — a1x n ~ 1 + . . . + an

(a0, an positive Größen) der Bedingung a0 oq -f- . . . -j- angenügen, so ist die positive Wurzel der Gleichung < 1.

Freilich spricht P eletier den Satz nur für die Gleichung x 3 = ax2 -|- 6 aus („ex inspectione numeri, radicem esse numerum fractum facile intelligemus: quum scilicet numerus majoris signi superat numerum minoris numerumque absolutum simul sumptos“), aber seine Begründung gilt allgemein. Nach einer brieflichen Mitteilung des Herrn H. B osmans findet sich der Satz schon S. 25 der französischen Ausgabe von 1554. G. Eneström.

2 : 623, siehe BM 13, 1900, S. 277; 2 S, 1901, S. 146-147.

2 : 626. Die Angabe, daß J ohannes Junge oder Jung sein Verfahren, um Gleichungen mit ganzen rationalen Wurzeln zu lösen, 1577 veröffentlicht haben soll, beruht vielleicht auf einem Mißverständnis. Nikolaus Reimers, dem man nähere Auskunft über das Junge sehe Verfahren verdankt, sagt nur, daß dies im Jahre 1577 „erfunden vnd außgesunnen“ worden ist. Auf der anderen Seite ist es wahrscheinlich, daß J unge ein Rechenbuch veröffentlicht hat, denn „Johann J ung, Rechenmaister zu Lübeck“ wird von J. F aulhaber in seinem Buche Newer arithmetischer Wegweyser (Ulm 1614) unter den „Authores, welche nach einander hierinnen angezogen werden“ genannt, und F aulhaber scheint nur Verfasser von gedruckten Rechenbüchern aufgeführt zu haben. Ob das Rechenbuch von J unge 1577 erschien und ob darin das fragliche Verfahien gelehrt wurde, dürfte zurzeit durchaus unbekannt sein. .

390G. E n e s t r ö m .

Übrigens ist Junge nicht der erste, der das ihm zugeschriebene Verfahren angewandt hat, denn J. P e le t ie r wies schon 1554 darauf hin, daß wenn eine Gleichung von der Form æ2 = ax + b oder a:3 = « x 2 + b, wo « und b ganze Zahlen sind, eine ganze rationale Wurzel hat, so muß diese Wurzel (und im zweiten Falle noch dazu das Quadrat der Wurzel) ein Faktor von b sein (siehe V algèbre de Jahves Peletier, Lyon 1554, S. 3 9 - 4 6 , zitiert von H. Bosmans in der R evue des q u e s tio n s s c ie n tif iq u e s p u b lié e p a r la soc ié té sc ie n tif iq u e de B ru x e lle s 1 1 3, 1907, S. 143— 147; vgl. J. P e le t ie r , De occulta parte numerorum quarn dlgébram vacant, Paris 1560, Bl 12b— 13b). G- Enestrôm -

2 :626. Es ist mir unbekannt, aus welcher Quelle Herr Ca n t o r die Angabe entnahm, daß Raimarus U rsus das Beispiel x 3 = 486 90x 21a;2auf b ew ah rt hat, was wohl bedeuten muß, daß das Beispiel schon bei J u n g e vorkommt. G erh ard t sagt hierüber gar nichts, bei T r e u tle in kommt allerdings das Beispiel vor, aber dieser gibt nicht an, daß es von Junge herrührt, ebensowenig als K ästn er (Geschichte der Mathematik II, Göttingen 1797, S. 718), dem T reu tle in vermutlich das Beispiel entnommen hat. Auch bei R a im a r u s U r su s selbst sucht man vergebens eine solche Angabe. Das Verfahren des Jun ge wird von U rsus im 4. Kapitel des 2. Abschnittes (Blatt E l a— E 2b) seiner Arithmetica analytica (Frankfurt an der Oder 1601) auseinandergesetzt und an dem Beispiel

^ 2 8 = 65532a;12 + 1 8 x 10 — 3 0 * 6 — 18a;3 + 12a; — 8 erläutert. Dagegen findet sich das Beispiel x z = 486 — 90a; — 21a;2 im 5. Kapitel des 2. Abschnittes (Blatt F 2a) und hat die Überschrift „Ad formain Vtae“, während Junge hier nicht genannt wird.

Ob die CANTORSche Restitution des Verfahrens von J u n g e und U r su s durchaus richtig ist, scheint mir zweifelhaft, und da die Arbeit des U r su s

ziemlich selten sein dürfte, drucke ich hier die betreffende Stelle der Arithmetica analytica ab, indem ich statt der von Ursus benutzten cossischen Zeichen die jetzt geläufigen Symbole, sowie — statt -4- und = statt „gr.“ setze:

x 3 = 486 _ 90a; — 21a:2 in 3 (162 (24

rest 72 rest 3 in 3

Hieraus scheint mir hervorzugehen, daß U r s u s auf folgende Weise verfuhr.Er nahm versuchsweise x = 3 an, und da aus der gegebenen Gleichung folgt, daß

_ 90 _ 2 las, x ’

wird alsoa:2 = 162 — 90 — 21a; = 72 — 21a;.

Aus dieser Gleichung folgt nun wieder 72

x = — — 21, oder da x = 3 angenommen wurdex = 24 — 21 = 3,

wodurch sich erweist, daß x = 3 wirklich eine Wurzel ist. Herr Ca n t o r verwandelt dagegen die gegebene Gleichung successiv in

a;3 = 3 (162 — 90) — 21a;2 = 3 • 72 — 21a;2 = 3 2 (24 — 21) = 3 3.

G. E neström .

Kleine Mitteilungen. 3 9 1

2:632, siehe BM 6 3 , 1905, S. 109. — 2:634, 637, siehe BM 6 3 , 1905, S. 815 -316. — 2:638, siehe BM 2 3, 1901, S. 147. — 2:642, 643, siehe BM 13, 1900, S. 271. __________

2:643 . Der hier (Z. 15 v. u.) erwähnte Jacob C urtius (kaiserlicher Prokanzler, gest. 1594) briefwechselte mit T yge B rahe über astronomische Fragen (vgl. F. R. F r iis , Tychonis B ra h e i et ad eum dodorum virorum epistolae ex anno 1588 et sequentxbus annis, Köbenhavn 1900—1906, S. 121, 126, 199, 201), und wird oft von B rah e in seinen Briefen an andere Fachgenossen genannt. Gr- Eneström .

2 : 644, siehe BM 6 3 , 1905, S. 402-403. — 2 : 655, siehe BM 2 3, 1901, S. 357. _ 2:656, siehe BM 4 3, 1903, S. 286. — 2:659, 660, siehe BM 2 3, 1901, S. 147 1 4 8 . — 2:661 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 403. — 2:665, siehe BM 13, 1900, S. 271.— 2:669, siehe BM 5 3, 1904, S. 203. — 2 :670 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 403.

2 : 670. In einer früheren Bemerkung zu dieser Seite (BM 6 3 , 1905, S. 403) habe ich den Rechenmeister Chr. F. B r e c h te l in Nürnberg erwähnt. Da das von diesem herausgegebene Rechenbuch sehr selten ist (nach einer Mitteilung des Herrn G. V a le n tin scheint keine öffentliche deutsche Bibliothek ein Exemplar des Buches zu besitzen), gebe ich hier unten den vollständigen Titel desselben nach meinem Exemplare an:

Pratici || Büchlein / auff || allerley jetztlauff || fende Kauffschleg. || Durch/ || Christoff Fahium Brech= || tel Burgern vnd Rechenmei; || stern in Nürnberg. || Seinen Schülern mit fleiss || zusammen getragen.

Das Buch enthält 62 unpaginierte Seiten in sehr kleinem Oktavformat. Druckjahr fehlt, aber am Ende der letzten Seite steht: „Gedruckt zu Nürnberg / durch Johannem Knorrn“. Da B r e c h te l von F au lh ab er 1614 zitiert wird, so ist das Rechenbuch jedenfalls vor diesem Jahre (wahrscheinlich nur einige Jahre früher) gedruckt. Gr. Eneström .

2:674, siehe BM 4 3, 1903, S. 8 8 . — 2:683, siehe BM 2 3, 1901, S. 148. — 2 :687, siehe BM 7 3, 1906/7, S. 294.__________

2 : 689. In betreff des vierten Traktates (1605) von Levinus H u lsiu s wird bemerkt: „ob noch durch H u lsiu s selbst oder schon durch seine Wittwe verlegt, ist auf dem Titel nicht angegeben“. Ich habe kein Exemplar des Traktates gesehen, aber dennoch scheint mir die Bemerkung verdächtig, denn auf dem Titelblatte der von K ä stn er beschriebenen Auflage vom Jahre 1615 steht „in Verlegung des Authorn“ und diese Angabe kann meines Erachtens nur als ein wörtlicher Abdruck der entsprechenden Stelle der Originalauflage erklärt werden. Die Angabe, daß der dritte Traktat zum erstenmal 1607 erschien, ist unrichtig; M urhard (Litteratur der mathematischen Wissenschaften III, Leipzig 18Ud, S. 173) erwähnt, daß er selbst eine Auflage vom Jahre 1604 „In Verlegung Levini Hulsii“ eingesehen hat, und die königl. Bibliothek in Berlin besitzt einExemplar mit diesem Druckjahre. „„„„ , , • ±

Herr C antor gibt an, daß H u lsiu s jedenfalls vor 1607 gestorben ist;dagegen behauptet Q u e te le t an der von Herrn C antor z^ ie^ en ,e stimmt, daß H u lsiu s 1606 starb. nestrom .

392 G . E n e s t r ö m .

2 : 693, siehe BM 4 3, 1903, S. 287; 7S, 1906'7, S. 394-395. — 2 : 700, 701, 703, 704, 705, siehe BM 13, 1900. S. 271—273. — 2 : 715, siehe BM 5 3, 1904, S. 412. — 2 :7 1 6 , siehe BM « 3, 1905, S. 404. — 2 : 717, 718, siehe BM 7S, 1906/7, S. 92—93. — 2 : 719, siehe BM 2 3, 1901, S. 357. — 2 :7 2 0 , siehe BM 4 3, 1903 S. 287; 6 3 , 1905, S. 404. — 2 :721, siehe BM 13, 1900, S. 273; 6 3 , 1905, S. 404—405’

2:727. Die schwebende Angabe, daß B ürgis Logarithmen die Logarithmen mit der Basis e sind, weil jene, abgesehen von den angehängten Nullen, nahe genug mit diesen übereinstimmen, ist unnötig, denn aus dem, was Herr C antor mitteilt, kann die exakte Angabe sofort hergeleitet werden.

Aus £ = 1 0 n, y = 108 (1 -j-folgt nämlich

2/ 10 -8 = L(1 4-10 - 4) Jund wenn Je eine beliebige ganze positive oder negative Zahl ist, so habenoffenbar die Zahlen y und y ■ 10 8, sowie die Zahlen x und x ■ 1 0 ~ fc — 1dieselben Ziffern. Wenn man also eine Tafel der Logarithmen mit der Basis

(1 + i o - 4) 10*berechnet hat, so kann man durch einfache Versetzung der Dezimalkommata sowohl der Logarithmen wie der Zahlen eine Tafel der BÜRGiscben Logarithmen hersteilen und umgekehrt. In diesem Sinne kann man also sagen, daß B ürgis

A 10Logarithmen die Logarithmen mit der Basis (l -f- 10 ) (£ eine beliebigeganze Zahl) sind. Setzt man z. B. Je = 4, so ist die Basis 2-7184 573 also näherungsweise gleich e, und in diesem sehr beschränJcten Sinne könnte man sagen, daß B ü r g is Logarithmen die Logarithmen mit der Basis e sind.

__________ G. E neström .

2 : 741, siehe BM 73, 1906/7, S 3 9 5 -3 9 6 . — 2 : 742, siehe BM 1 3, 1900 S 273- »3> 1902, S. 142. - 2 : 7 4 6 , siehe BM 13, 1900, S. 273! - 2 : 747 siehe BM l t ’ 1900, S. 173; £ 3, 1901, S. 225. — 2 : 749^ siehe BM 4 3 , 1903, S. 88. — 3 :7 6 6 ] siehe BM 3S 1902, S 142; 5 ?, 1904, S. 4 1 2 -4 1 8 . - 2 : 7 6 7 , siehe BM 2 3, 1901', b. 148, 357— 358. — 2 : 7 7 0 , siehe BM 4 3, 1903, S. 208.

2 :7 7 2 . Die frühere Bemerkung von C u r t z e (BM 23, 1901, S. 358) enthalt einen Passus, der modifiziert werden muß. C u r t z e sagt nämlich, daß

n it iu s A l g e b r a s eine unbestimmte Aufgabe genau so gelöst wie es jetzt geschehen wurde. Aber wie C u r t z e selbst erwähnt, führt I n it iu s A l g e b r a s die Aufgabe auf dm Lösung der Gleichung 59* + 1 9y = 1900 zurück, worauf er die Werte * = 19, y = 41 angibt, ohne mitzuteilen, wie diese Werte aus der Gleichung erhalten werden können. Daß er die jetzt geläufige Methode benutzt hat, ist höchst unwahrscheinlich. Im Gegenteil deuten die Worte (siehe Ab h an dl. z u r Gesch. d er m athem . W iss. 13, 1902, S 572)- 1900

k n fo d S i W1f “ 1 9 V’ld 5 9 ^ m a ß e n , das eins mit dem Indernm darauf hm daß I n it iu s A l g e b r a s durch Probieren die Zahl 1900

in M n H n i ’ V°n i nen, d6r eiDe ein MultiPel von 1 9 der anderegelehrt z ^3 vcm A War‘/ ^ im 16‘ Jahrhundertö . . n A p ia n u s (vgl. P. T r e u t l e in , Das Rechnen im 16. JahrJiundert;


A bhandl. zu r Gesch. d er M athem . 1, 1877, S. 91). Aus dem was Apianus sagt, scheint hervorzugehen, daß das Probieren auf folgende Weise vorgenommen wurde. Sei die Gleichung ax + by = c, wo a größer als b ist, und sei» « < K ( » + 1) a, so bildet man die Zahlen c — na, c (n — 1 ) a,c — (w _ 2 ) a usw., und dividiert jede dieser Zahlen durch b. Findet mań dann, daß c — (n — k) a die erste Zahl ist, die ohne Rest durch b dividiertwerden kann, so ist offenbar x = n — k, y = (w ~ k) a eine Lösung dergegebenen Gleichung. ______ G Eneström .

8 : 772, 775, siehe BM 8 3 , 1901, S. 358—359. — 3:777, siehe BM 8 3, 1901, S. 148; 3 3, 1902, S. 204. — 3 : 783, siehe BM 8 3 , 1901, S. 359; 4 3, 1903, S. 88—89 — 3 :784 , siehe BM 8 3 , 1901, S. 148. — 3 : 787, Biehe BM 6 3 , 1905, S. 405- 73, 1906/7, S. 296. ’ 3’

2 : 790. Uber T h o m as H a r r i o t ist vor einigen Jahren eine besondere Arbeit von H. S te v e n s herausgegeben worden, die nicht im Buchhandel zu haben ist und die aus diesem Grunde den Historikern der Mathematik unbekannt zu sein scheint; nicht einmal G. V a c c a , der sich näher mit H a rr io t beschäftigt hat (Sui manoscritti ineäiti di T h o m a s H a r r i o t ; B o lle tt. di b ib lio g r. d. sc. m atem . 5, 1902, S. 1 — 6 ), erwähnt diese Arbeit. Der Titel lautet: T h o m a s H a r io t the mathematician, the philosopher and the scolar developed. Chiefly from dormant materials with notices of his associates including biographical and bibliographical disquisitions upon the materials of the history of „ould Virginia“ (London 1900, 8, (10) -\- 213 S.) G. Eneström.

3 :7 9 1 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 405. — 3 : 798-794, siehe BM 5 3, 1904, S. 307; 6 3 , 1905, S. 316—317, 405—406. — 3 :795 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 317. — 3 :797-798 , siehe BM 5 3, 1904, S. 307; 6 3 , 1905, S. 317. — 3 : 799, siehe BM 5 3, 1904, S. 307. — 3 : 802, siehe BM 4 3, 1903, S. 208. — 3 :812 , siehe BM 4 3, 1903“ S. 37. — 3 :8 2 0 , siehe BM 3 3, 1901, S. 148; 5 3, 1904, S. 307. — 3:825 , siehe BM 3 3, 1901, S. 148. — 3 : 832, siehe BM 5 3, 1904, S. 203-204; 6 3, 1905, S. 211. — 3 : 840, siehe BM 3 3, 1901, S. 148—149. — 3 : 843, siehe BM 3 3, 1902, S. 328. — 3:850, siehe BM 6 3 , 1905, S. 109—110. — 3:856, 865, siehe BM 3 3, 1901, S. 149.— 3 : 876, 878, 879, siehe BM 13, 1900, S 511. — 3 : 891, siehe BM 13, 1900, S. 273. — 3 : 8 9 7 , siehe BM 6 3, 1905, S. 4 0 6 — 3 :8 9 8 , siehe BM 4 3, 1903, S. 37, 208. — 3 : 9 0 1 , siehe BM 1 3 , 1900, S. 511. — 3 : 9 1 9 , siehe BM 5 3, 1904, S. 204. — 3 : VIII (Vorwort), sieh e BM 3 3 , 1902, S. 142. — 3 : IX , X (Vorwort), siehe BM J3, 1900, S. 511—512,

3 :9 , siehe BM 3 S, 1901, S. 359. — 3 :1 0 , siehe BM 13, 1900, S. 518; 6 3 , 1905, S. 211.

3:10. Der Umstand, daß C o l l in s schon gestorben war, als W a l l is ’ Algebra (1685) erschien, hat keine Bedeutung für die Frage, auf welche Weise Co l l in s bei dem Drucke dieses Werkes mitwirkte. W a l l is gibt nämlich in seinem Vorworte an, daß die Algebra schon 1676 im Manuskript fertig war und nach London versandt wurde, um gedruckt zu werden. Freilich wurde dann nur ein Probebogen angefertigt, aber der wirkliche Druck begann im August 1683, also etwa zwei Monate bevor C o l l in s starb. Die Bemerkung, daß C o l l in s ’ Mitwirkung „höchstens darin bestanden haben kann, daß er den

3 94 G . E n e s t r ö m .

Verfasser zur Herausgabe ermunterte“, wird also hinfällig, übrigens schein W allis durch Collins’ Anregung veranlaßt worden zu sein, gewisse tragen in seinem Werke zu behandeln (vgl. z.B. „Additions and emendations“ b. 171).

G. Eneström.

3 :1 1 , siebe BM 4s, 1903, S. 209. - 3 :1 2 , siebo BM ls , 1900> 512t “3 : 14—15, siehe BM 7 3, 1906/7, S. 296-297. — 3 : 17, siebe BM 13, 1900, S 512. — 3 :2 2 , siebe BM 1 3, 1900, S. 512; 4 3, 1908, S. 209. — 3 :2 3 , siebe BM 73 , 1906/7 S. 297 -298. — 3 :2 4 , siebe BM 4 3 , 1903, S. 209. — 3 :~ 5 , siebe B 4 3, 1903, S. 209, 399. — 3 :26, siebe BM 23, 1901, S. 359.

3 • 26. Die Bemerkung, daß die Herausgabe des Briefes von W a l l i s an L eotau d vom 17. Februar 1667 unterblieb bis 1685, wo der Brief als Teil der Defensio Tractatus de angulo contactus et semicirculi Aufnahme fand, ist nicht durchaus unrichtig, aber bibliographisch ungenau. Es handelt sich nämlich um den in englischer Sprache erschienenen Traktat A defense of the treatise of the angle of contact. By J o h n W a l l i s . . . . London: Printed by John Playford . . . 1684. Dieser Traktat ist ein mit besonderem Titelblatt versehener Anhang der im Jahre 1685 erschienenen englischen Ausgabe vonW a t t t s ’ A l n f ih r n 6 . EnESTRÖM.

3 :3 9 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 407.

3 :4 0 . Die Wahrscheinlichkeit, daß unter der „Algebra Lanzii puerilis“ die Institutiones arithmeticae von J ohann Lantz gemeint sind, wird fast zur Gewißheit, wenn man bemerkt, daß nach Vossius {De universae mathesios natura et constitutione, Amsterdam 1650, S. 464) dies Buch auch Abschnitte „De rationalibus cossicis“ und „De irrationalibus cossicis“ enthält. Nach Vossius erschien das Buch 1630; auf der anderen Seite verzeichnet Murhard (Litteratur der mathematischen Wissenschaften I, Leipzig 1797, S. 184) vier Auflagen aus den Jahren 1616— 1621 (München 1616, Augsburg 1617, München 1619, Köln 1621). Die Auflage von 1616 besitzt die königliche Bibliothek in Berlin.

G. E neström.

3 :4 5 —48, 49, 50, siebe BM l 3, 1900, S. 512—513. — 3 :5 7 , siebe BM 73. 1906/7 S. 298—299. — 3 :6 3 , siebe BM 7S, 1906/7, S. 93—94. — 3 :6 8 , siebe BM 73, 1906/7, S. 299. — 3 : 70, siebe BM 23, 1901, S. 360. — 3 : 82, siehe BM 5a, 1904, S. 308.

3 :9 7 . Es ist nicht richtig, daß Huygens’ Descriptio automati planetarii 1698 veröffentlicht wurde; die richtige Angabe (1703) hat Herr Cantor selbst im 2. Bande (S. 766) seiner Vorlesungen gegeben. Zum erstenmal wurde die Schrift 1703 in den Opuscula posthuma (Leiden 1703), zum zweitenmal im2 . Bande der Opera reliqua (Amsterdam 1728) zum Abdruck gebracht. Das Planetarium wird von H uygens in einem Briefe an J. G a llo is vom 19. Februar 1682 erwähnt {Oeuvres completes de Cbr. H u y g e n s , 8 , La Haye 1699, S. 342 3 4 3 ), aber das bedeutet natürlich nicht, daß die Descriptio schon damalsredigiert worden war. G. Eneström.


3 :1 0 0 , siehe BM » 3, 1901, S. 149; 73, 1906/7, S. 299—300. — 3 : 102, siehe BM 6 3 , 1905, S. 318; 73. 1906/7, S. 300. — 3 :112 , siehe BM 4 3, 1903, S. 209-210; 6 3 , 1905, S. 318. — 3:116 , siehe BM 13, 1900, S. 513. — 3:117 , siehe BM 13, 1900, S. 518. — 3 :1 2 2 , siehe BM 7 3 , 1906/7, S. 301. — 3 :123, siehe BM 13,1900, 8 . 513; 4 3, 1903, S. 399; 7 3 , 1906/7, S. 301—302. — 3 :124, siehe BM 3 3,1902, S. 407—408; 4 3, 1903, S. 400. — 3 :126 , siehe BM 4 3 , 1903, S. 288. —3 :131 , siehe BM 4 3, 1903, S. 210. — 3:151, siehe BM 3 3, 1902, S. 326. —3 : 1 6 7 , 172 — 173, siehe BM 4 3, 1903, S. 400. — 3 :1 7 4 , siehe BM 3 3, 1901, S. 149-150- — 3 :183 , siehe BM 13, 1900, S. 432. — 3 :188, siehe BM 3 3, 1902, S. 241. — 3 : 201, siehe BM 13, 1900, S. 513. — 3 : 207, siehe BM 13, 1900, S. 519. — 3 :215, siehe BM 2 3, 1901, S. 150. — 3 : 218, siehe BM 13, 1900, S. 513. — 3 : 220, siehe BM 3 3, 1902, S. 326. — 3 :224, siehe BM 13, 1900, S. 514. — 3 :225, 228, siehe BM 2 3, 1901, S. 150. — 3 : 230, siehe BM 6 3, 1905, S. 211-212. — 3 :232, siehe BM 13, 1900, S. 514; 63 , 1905, S. 212; 73, 1906/7, S. 303. — 3 :2 4 4 -2 4 5 , siehe BM 5 3, 1904, S. 205, 413; 7 3, 1906/7, S. 303—304. — 3 : 246, siehe BM 13, 1900, S. 514; 2 3, 1901, S. 151. — 3 :250, siehe BM 13, 1900, S. 514.

3 :2 7 0 . Das Lexicón mathematicum astronomicum [nicht „et“] geometrieum (Paris 1668) des H. Vitale ist für die Geschichte der reinen Mathematik fast ohne Interesse. Etwa 9/1 0 der Artikel sind astronomisch oder astrologisch, und von den rein mathematischen Artikeln beziehen sich etwa % auf Terme, die aus den EuKLinischen Elementen entnommen sind. Von arithmetischen Termen sind aufgeführt: Abaculi ( = Rechensteine), Arithmetica (2 Druckseiten), Aurea regula, Divisio, Fractiones, Logistica, Numerus, Isarithmi (wird aus Isag = initium und rythmos = numerus hergeleitet!), Quotiens, Regula aurea (vgl. Aurea regula!) und Solidus numerus; der Term Radix kommt zwar vor, aber lediglich in astronomischer Bedeutung. Die ganze Algebra ist nur durch den Artikel Algebra (vier Zeilen!) vertreten; möglicherweise könnte man auch den Artikel Logarithmi (IV 2 Druckseite) hierher rechnen. Zur Trigonometrie gehören die Artikel Complementum areus, Logarithmica ( = Lösung sphärischer Dreiecke vermittelst Logarithmentafeln), Sagitta, Sinus, Trigonometiia; zui höheren Geometrie die Artikel Ellipsis, Parabola (Hyperbola fehlt!). Lege ich noch die Artikel A figura ( = Oircinus), Asymetria, Mathematica ( l 1 Druckseite), Quadra, Quadrantal, Quadrans, Quadratura circuli (2 Druckseiten) hinzu, so glaube ich alle Terme der reinen Mathematik erwähnt zu haben, die nicht aus den EuKLiDischen Elementen entnommen sind. Vom Stande dei Mathematik an der Mitte des 17. Jahrhunderts bekommt man also durch das Buch gar keine Ahnung. — Eine neue erweiterte Auflage erschien in Rom 1690.

G. Ekeström.

39 6 H . S u t e r . — Gr. E n e s t r ö m .

3 • 571, siehe BM 3 3, 1902, S. 327; 5 3, 1904, S. 72. — 3 : 578. siehe BM 3s, 1902, S. 327; %<, 1904 S. 309. — 3 : 582, siehe BM 7 3, 1906/7, S. 307. — 3 :5 8 6 , 009 , siehe BM i904 S 309—310. — 3 :612 , siehe BM 7 3, 1906/7, S. 307—308. — 3 :614 -615 siehe BM 4 3 1903, S. 89-90; 7S, 1906/7, S. 308. - 3 : 616, siehe BM 6 3i 1905 ’s 214 408 — 3 :636—637, siehe BM 8 3, 1901, S. 441. — 3 : 6 4 6 -647 , siehe BM 5 , 1904 S 206-207. - 3 : 652, siehe BM 8 3 , 1901, S. 446; 5 3, 1904, S. 207._ 3 - 660, s ehe BM 8 3 , 1901, S. 441 - 3 :6 6 7 , siehe BM 8 3 , 1901, S. 441-442;5 , 1904 S. 207-208, 310. - 3 : 682, siehe BM 6 3 , 1905, S. 408 - 3 :6 8 6 , siehe BM 5q 1904, S. 208. — 3 :689 , 695, siehe BM 8 3 , 1901, S. 442. — 3 : 736, sieheBM ©V 1905, S. 111. — 3 : 750, 758, siehe BM 8 3, 1901, S. 446. — 3 :7 5 9 , sieheBM 5«’ 1904, S. 208. — 3 : 760, 766, siehe BM 8 3 , 1901, S. 446—447. — 3 :774, 798 siehe BM 8 3, 1901, S. 442—443. — 3 :8 1 9 , siehe BM 6 3 , 1905, S. 321. — 3 : 845, siehe BM 8 3 , 1901, S. 447; 3 3, 1902, S. 327-328. — 3 : 848, 881, siehe BM 8 q 1901, S. 443. — 3 :8 8 2 , siehe BM 8 3, 1901, S. 447; 5 3, 1904, S. 414. — 3 : 89ol siehe BM 4 3, 1903, S. 401. — 3 : 892, siehe BM 3 3, 1902, S. 143. — 3 : IY (Vorwort), siehe BM 8 3 , 1901, S. 443.

Vermischte historische Notizen.Z ur F rage des von N airiz i z itie r te n M ath em atik ers „D iachasim us“ .

Bei Gelegenheit des Studiums des Kommentars des Muhammed b. ' A bdelbäqI zum 10. Buche des E u k lid e s , über welchen ich im vorhergehenden Hefte der Bihlioth. Mathem. eine Abhandlung veröffentlicht habe, mußte ich auch den Kommentar des N airizi (A naritiu s) zu diesem 10. Buche etwas näher in Berücksichtigung ziehen, der in der Ausgabe C urtzes die Seiten 211—252 einnimmt. Auch dieser Kommentar ist voll von Fehlern, und deshalb bisweilen sehr schwer verständlich, C urtze hätte noch manche Stelle durch Anführung von Verbesserungen in den Noten dem Verständnis näher bringen können. Für jetzt will ich nur eine Stelle hier erwähnen, die schon von P. T annery besprochen worden ist (Biblioth. Mathem. 23, 1901, p. 11), der aber den daselbst vorkommenden Fehler nicht verbessert hat. Seite 232 heißt es: D iachasim us in - quit minor, quare A n a r it iu s hoc apposuit, etc.; dies gibt keinen Sinn, es muß natürlich heißen: D iachasim us inquit: miror, quare A n a r it iu s hoc apposuit, etc. Es ist möglich, daß minor nur ein Druckfehler ist, und daß C u rtze gelesen und geschrieben hat miror, denn er sagt in der Fußnote auch nur: Quis sit D iachasim us, nescimus; P. T annery aber sagt: Enfm le D iachasim us minor, etc. — Dagegen war die Vermutung T annerys, daß dieser D iachasim us identisch sei mit dem Araber Abu G a 'fa r e l-C ilazin , naheliegend, denn dieser Mathematiker hat ebenfalls einen Kommentar zum 10. Buche des E u k lid es geschrieben, allein eine genaue Untersuchung1) dieses Kommentars, der sich im Codex 14 Gol. der Leidener Bibliothek befindet, hat ergeben, daß jene Stelle nicht darin vorkommt, daß überhaupt e l-N a ir iz i im ganzen Kommentar nirgends genannt wird; es wäre aber wohl möglich, wenn auch nicht gerade wahrscheinlich, daß dieselbe einer ändern Schrift dieses arabischen Mathematikers entnommen sein könnte.

H. S u ter .

’) Diese Untersuchung hat Herr Th. W. J ijynboll in Leiden auf meine Bitte hin vorgenommen, wofür ich ihm auch hier meinen verbindlichsten Dank ausspreche; ich hatte leider vergessen, das Ms 14 Gol., das ich letzten Sommer auf der Universitätsbibliothek Zürich näher studierte, nach dieser Richtung hin zu untersuchen.


Anfragen.

180. Ü ber den P an to m ete r von M ichel Coignet. Bekanntlich hat der belgische Mathematiker M ich e l C oignet (1549 — 1623) ein Instrument, die sogenannte „Regula pantometrae“, konstruiert, das wesentlich mit dem G a lile i- schen Proportionalzirkel übereinstimmt. Dies Instrument ist von C oignet in einem Traktate beschrieben, der handschriftlich in der Königlichen Bibliothek in Brüssel auf bewahrt ist (siehe H. Bosmans, Le traité des sinus de M ic h ie l Coignet; A nnales de la so c ié té s c ie n t i f iq u e de B ru x e lle s 2 5 :2 , 1901, S. 5 des Sonderabzuges). Der Traktat ist französisch geschrieben, trägt aber den lateinischen Titel: „Usus duodecim divisionum geometricarum per quas (et ope unius circini vulgaris) fere omnia mathematicorum problemata facili negotio resolvuntur. Opera et studio M ich aelis C oigneti . . . 1610.“

H eilb ron n er (Eistoria matheseos universae, Leipzig 1742, S. 540, 572) erwähnt zwei andere Exemplare (oder Redaktionen) dieser Beschreibung des Pantometers, das eine (in der Vatikanischen Bibliothek in Rom) mit dem Titel: „M ichaelis C oigneti usus duodecim divisionum regulae pantometrae“, das andere (in der Nationalbibliothek in Paris) mit dem Titel: „M ichaelis C ogneti de regulae pantometrae fabrica et usu libri V II“.

Daß C oignet sein Instrument lange Zeit vor 1610 erfunden und selbst eine Beschreibung desselben verfaßt hatte, scheint aus einem 1626 gedruckten Buche hervorzugehen, das den Titel trägt: La geometrie redvite en vne facile et briefve practique, par deux excellens instrumens, dont l’vn est le pantometre ov compas de proportion de M ic h e l C onnette . . . Traduits en François par P. G. S. Mathématicien (Paris, Chez Charles Hulpeau . . . MDCXXVI). Der Übersetzer gibt nämlich an (siehe „av lectevr“ Seite 2), er habe etwa 8 Jahre früher von C oignet selbst die Beschreibung des Pantometers bekommen, die er jetzt in französischer Übersetzung herausgebe, und er fügt hinzu, daß „il y auoit plus de 40 ans qu’il [ = C oignet] sçauoit la composition de ce Compas, comme pourront tesmoigner ceux de sa nation qui l’ont cogneu“. Nach dieser Angabe sollte also C oign et sein Instrument schon viele Jahre vor 1598, also ganz gewiss unabhängig von G a lile i, erfunden haben.

Es wird gefragt, ob es Beschreibungen des CoiGNETSchen Pantometers gibt, die nachweislich aus der Zeit vor 1598 herrühren, und, wenn dies nicht der Fall ist, ob man irgend einen sicheren Grund hat anzunehmen, daß Coignet sein Instrument vor 1598 konstruiert hat. G. Eneström.

398Rezensionen.

Rezensionen.M. Cantor. V orlesungen ü b e r G eschich te d e r M athem atik . Erster Band.

Von den ältesten Zeiten bis zum Jahre 1200 n. Chr. Dritte Auflage. Leipzig,B. G. Teubner 1907. 8, VI -f- 941 S. —|— 1 Tafel. 24 Mk.In seinem kurzen Vorworte lenkt Herr C a n to r die Aufmerksamkeit darauf,

daß zwischen dem Erscheinen dieser und der vorigen Auflage ein Zwischenraum von 13 Jahren liegt, und daß die mathematisch-historische Forschung während dieser 13 Jahre viele neue Ergebnisse gewonnen hat. Daß nicht nur die letzte Bemerkung richtig ist, sondern auch neugewonnene Resultate von Herrn C a n to r berücksichtigt worden sind, kann man schon aus dem Umstande folgern, daß die neue Auflage etwa 60 Seiten mehr als die vorige enthält; noch besser ersieht man es natürlich, wenn man das Buch selbst liest. Es ist also eine nicht unbedeutende Arbeit, der sich Herr C a n t o r unterzogen hat, um die neue Auflage fertig zu stellen.

Bei dieser Arbeit scheint Herr C a n to r folgendes Verfahren angewendet zu haben. Wenn ihm eine mathematisch-historische Schrift zur Verfügung gestellt worden ist, hat er dieselbe durchgesehen und eventuell in sein Handexemplar der Vorlesungen die Ergänzungen oder Verbesserungen, die seines Erachtens dadurch veranlaßt werden konnten, eingetragen, oder wenigstens den Titel der Schrift angemerkt, um etwas später die angebrachten Ergänzungen oder Verbesserungen einzutragen; vielleicht hat er ausnahmsweise auch einige andere Schriften, deren Vorhandensein ihm bekannt geworden ist, auf dieselbe Weise benutzt. Durch dies Verfahren hat er allmählich das Druckmanuskript der neuen Auflage hergestellt und dasselbe dann im Jahre 1906 an den Verleger als druckfertig gesandt.

Ohne Zweifel kann ein solches Verfahren als Vorarbeit gebilligt werden, aber jedenfalls nur unter der Bedingung, daß das Druckmanuskript zuletzt genau kontrolliert wird, unter Zuhilfenahme der einschlägigen bibliographischen Arbeiten (z.B. des Jahrbuches über die F o rtsc h ritte der M athem atik und der Abteilung „Neu erschienene Schriften“ der B iblio theca H athematica), sowie der schon benutzten matbematisch-historischen Schriften, sofern diese noch zugänglich sind. Ohne diese Kontrolle kann man nämlich nicht sicher sein, daß man die mathematisch-historische Literatur so weit möglich herangezogen hat, und übrigens könnte es sehr leicht eintreffen, daß man zuweilen versäumte, ziemlich wichtige Sachen zu notieren, weil man zurzeit anderes zu besorgen hatte; noch dazu ist es eine gewöhnliche Erfahrung, daß es sehr schwer ist, im Laufe einer längeren Zeit konsequent zu sein in betreff der Auswahl der Ergebnisse, die verdienen, notiert zu werden.

Aber so viel ich sehen kann, hat Herr C a n t o r die hier als n o tw en d ig bezeichnete nachträgliche Kontrolle nicht oder wenigstens n u r ausnahm sw eise

Rezensionen. 3 99

vorgenommen, denn nur unter dieser Voraussetzung kann ich gewisse, sehr auffällige Unvollständigkeiten seiner Darstellung erklären. Eine solche Unvollständigkeit hat er selbst in seinen „Ergänzungen und Verbesserungen“ hervorgehoben, wo er (S. 913) mitteilt, daß er seinerzeit versäumte, den wichtigen Artikel des Herrn H. S u ter über Das Rechenbuch des Abu Z a k a r ija e l H a ssa r (B ib lio th . M athem . 2 3 , 1901, S. 12— 40) in seinem Handexemplare anzumerken. Daß aber dieser Fall gar nicht der einzige der fraglichen Art ist, dürfte der sachkundige Leser ohne besondere Mühe ausfindig machen können. Hier werde ich nur noch einen einzigen auffälligen Fall erwähnen.

Im Jahre 1897 veröffentlichte Max C urtze in den A b h an d lu n g en zur G esch ich te d e r M a th em a tik (8, S. 1— 27), die damals zugleich Supplemente zur Z e i ts c h r if t fü r M a th em atik und P h y s ik (Mitherausgeber M oritz C antor!) waren, eine Algorismus - Schrift, die nachweislich vor 1168 verfaßt wurde, und die von großem Interesse ist, teils wegen ihres Inhalts, teils weil sie die einzige zurzeit bekannte Algorismus-Schrift in lateinischer Sprache ist, von der es nachgewiesen worden ist, daß sie ganz sicher dem 12. Jahrhundert entstammt, und weil es wenigstens möglich ist, daß A te lh a r t von Bath ihr Verfasser ist (vgl. B ib lio th . M athem . 5 3 , 1904, S. 416). Aber nichtsdestoweniger behauptet Herr C antor noch in der neuen Auflage (S. 911) ganz wie in der vorigen (S. 856): „Andere Algorithmiker aus der Zeit, welche wir hier besprechen, also bis etwa zum Jahre 1200, sind gewiß noch mannigfach in handschriftlichen Texten vorhanden, aber im Drucke nicht veröffentlicht, worden“, und einen weiteren Beleg dafür, daß er die soeben zitierte Abhandlung von C urtze vergessen hat, bietet die Bemerkung S. 910: „Wir haben freilich diese komplementäre Multiplikation . . . bei keinem älteren Schriftsteller . . . gefunden“, denn C urtze hat nachgewiesen, daß dieselbe komplementäre Multiplikation in der vor 1168 verfaßten Algorismus-Schrift vorkoramt.

Ich gehe jetzt zu der Frage über, auf welche Weise Herr C antor die von ihm wirklich herangezogene mathematisch-historische Literatur benutzt hat. Dabei will ich zuerst als einen erfreulichen Umstand hervorheben, daß man in der neuen Auflage nicht selten den früheren M oritz C an tor, den hervorragenden Verfasser der ersten Auflage des e rs te n Bandes der Vorlesungen über Geschichte der Mathematik erkennt, wenn er über den Inhalt der seit 1894 zugänglich gemachten mathematischen Schriften des Altertums berichtet. Handelt es sich dagegen nicht um Berichte über den Inhalt neuer Quellenschriften, sondern um die Verwertung solcher Resultate anderer Fachgenossen, wodurch die frühere Darstellung des Herrn C antor modifiziert sein würde, so liegt die Sache etwas anders. Es scheint nämlich, als ob Herr C antor jetzt eine fast kränkliche Abgeneigtheit hätte, das was er früher schrieb, zu streichen oder zu ändern, so daß er sich begnügt, lediglich Zusätze einzufügen, auch wenn Streichungen oder Änderungen sehr leicht anzubringen gewesen wären. Noch schlimmer wird es, wenn die von Herrn C antor benutzten mathematisch-historischen Monographien nicht sofort alle erwünschten Aufschlüsse bringen, denn es scheint, als ob er nunmehr im allgemeinen durchaus abgeneigt wäre, auch nur einen Versuch zu machen, um unklare Fragen zu erledigen. Nimmt man noch hinzu, daß die mathematischhistorischen Kenntnisse des Herrn C antor in gewissen Gebieten nunmehr auffallend lückenhaft sind, so ist es leicht zu verstehen, daß seine Darstellung an vielen Stellen ungenau oder sogar unrichtig sein muß. Ich werde jetzt einige Beispiele solcher Stellen geben, hebe aber besonders hervor, daß ich nicht in

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erster Linie die Stellen gewählt habe, weil sie sehr wichtig sind, sondern weil es außerordentlich leicht gewesen wäre dieselben zu verbessern. Uber wichtigere Stellen werden die „Kleinen Bemerkungen“ der folgenden Hefte der B ib lio th e c a M a th e m a tic a Auskunft geben.

In der vorigen Auflage kam (S. 537) folgender Passus vor:Eine ganze Anzahl von Handschriften [hat] sich bis auf den heutigen

Tag erhalten, in welchen den Titeln nach die Arithmetik, die Musik, die Geometrie des B oethius aufgezeichnet sind. Die älteste Handschrift . . . der Geometrie [soll] dem IX. S.4) [entstammen],

4) G. S c h e p s s . . . nennt drei Pariser Codices, deren ältester dem IX. S.angehört . . . In ihnen wird ausdrücklich das Ganze als Eigentum des B o e t h i u s in Anspruch genommen.

In betreff dieses Passus bemerkte P a u l T anner y in der B ib lio th e c a M a th e m a tic a (13, 1900, S. 268): „Les mss. contenant une géométrie attribuée à B o èce et reconnus comme antérieurs au XIe siècle, n’en ont qu’un traité en cinq livres dont l’authenticité ne peut être soutenue“, und er begründete seine Behauptung ausführlich in seinen Hofes sur la Pseudo-Géométrie de B o èce (a. a. 0. S. 39 — 50). Das Material, das T annery auf diese Weise zur Verfügung stellte, könnte nun für die neue Auflage der Vorlesungen so verwertet worden sein, daß S. 537 Z. 13 „eine Geometrie“ statt „die Geometrie“, sowie Z. 16 „geometrischen Inhalts“ statt „der Geometrie“ gesetzt und außerdem die Fußnote4) ein wenig modifiziert wurde. Ein anderes Verfahren wäre gewesen, schon hier über die verschiedenen Schriften geometrischen Inhalts, die dem B o ëtiu s zugeschrieben werden, kurz zu berichten. Indessen hat Herr C antor weder das eine noch das andere Verfahren benutzt, sondern in der neuen Auflage (S. 577) den ganzen Passus unverändert abdruclcen lassen und erst S. 580— 581 die wesentlichen Berichtigungen Tannerys als Zusätze eingefügt. Nun will ich nicht mit Herrn C antor darüber streiten, ob der zitierte Passus auch unter Bezugnahme auf die TANNERYsche Bemerkung als buchstäblich richtig bezeichnet werden kann, denn diese Frage ist für mich von untergeordneter Bedeutung. Dagegen will ich ausdrücklich hervorheben, daß wenn der Zweck des CANTORSchen Buches nicht ist, die Leser irre zu führen, sondern sie zu belehren, so ist seine Darstellung jetzt zu beanstanden. Da nämlich Herr C antor im Texte zuerst die Geometrie nennt und dann angibt, daß die älteste Handschrift der Geometrie dem 9. Jahrh. entstammen soll, so muß der Leser unnötigerweise die Ansicht bekommen, daß es sich um eine bestimmte Arbeit handelt, die möglicherweise dem B o ëtiu s zuzuschreiben ist. Aber die Arbeit, von welcher eine Handschrift aus dem 9. Jahrhundert bekannt war, ist, wie Tanneby ausführlich dargelegt hat und Herr C antor selbst S. 580 — 581 anzuerkennen scheint, ganz gewiß nicht von B o ëtiu s verfaßt, während die älteste Handschrift der Arbeit, die möglicherweise von B o ëtiu s herrührt (die sogenannte Geometria B o e t ii) aus dem 11. Jahrhundert herstammt.

In der vorigen Auflage hatte Herr C antor (S. 807) auf eine Handschrift hingewiesen, die vielleicht eine von „Josephus sapiens“ verfaßte Geometrie enthalten könnte, und er fügte hinzu: „Diese Spur dürfte weitere Verfolgung verdienen“.. Hinsichtlich dieses Hinweises bemerkte P a u l T an nery in der B ib lio th e c a M a th e m a tic a (13, 1900, S. 269), daß es sich in Wirklichkeit um eine griechische Handschrift handelte, die von einem Mönche Josep h R h a cen d y tes herrührte, und die nur insofern geometrischen Inhalts war, daß sie unter anderem

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das Kompendium der Mathematik enthielt, das gewöhnlich M ich ael P s e l lo s zugewiesen wird. Mit „Josephus sapiens“ hat also diese Handschrift gar nichts zu tun. Aber dennoch findet man in der neuen Auflage (S. 857) den erwähnten Passus wieder, nur mit der Veränderung, daß statt „Diese Spur dürfte weitere Verfolgung verdienen“ jetzt die Worte stehen: „Nur freilich ist gerade diese Spur nicht weiter zu verfolgen, wie an Ort und Stelle vorgenommene Untersuchungen bewiesen haben (briefliche Mitteilung von Tankery) “. Auch hier lasse ich beiseite, ob die Worte buchstäblich richtig sein können, wenn es sich um eine endgültig erledigte Frage handelt, aber ich kann nicht umhin zu bemerken, daß der Leser unnötigerweise eine unrichtige Auffassung bekommen muß. Denn wenn die fragliche Handschrift tatsächlich gar nichts mit „Josephus sapiens“ zu tun hat, so sollte wohl hier, wo es sich gerade um diese Persönlichkeit handelt, der Hinweis ohne weiteres gestrichen oder möglicherweise unter die Fußnoten versetzt werden. Oder soll man annehmen, daß die TANNERYSche Bemerkung Herrn CantoR unbekannt geblieben ist, und daß die briefliche Mitteilung keine vollständige Auskunft brachte? Das letzte halte ich allerdings für wenig wahrscheinlich auf Grund meiner Bekanntschaft mit P a u l T annery.

Die zwei vorangehenden Beispiele beziehen sich auf die CANTORSche Abneigung gegen leichte Änderungen und Streichungen. Jetzt biete ich ein paar Beispiele seiner Abgeneigtheit, auch nur sehr einfache ergänzende Nachforschungen vorzunehmen.

In der vorigen Auflage kam (S. 854) folgender Passus vor:Vielleicht darf man . . . auch einen Algorithmus des Meister G erhard,

der handschriftlich in London sich befindet,4) unserem G erhard von Cremona überweisen. Das wäre alsdann der erste Algorithmus von bekanntem abendländischem Verfasser, den wir zu nennen hätten.

4) Ebenda [ = B. B o n c o m p a g n i , G h e r a e d o C r e m o n e s e ] p a g . 57.In betreff dieses Passus bemerkte ich (Biblioth. Mathem. 63, 1905, S. 104),

daß statt „London“ Oxford zu setzen sei, und daß in Wirklichkeit als Verfasser der Algorismus-Schrift nicht „Gerardus“ sondern G ernandus angegeben werde, wodurch der Anlaß, die Schrift dem G herardo Cremonese zu überweisen, hinfällig wird. Ob Herr C antor meine Bemerkung gelesen hat, weiß ich nicht, jedenfalls hat er in der neuen Auflage (S. 908) die unrichtige Angabe „London“ nicht verbessert, und auch sonst den Passus der vorigen Auflage unverändert abdrucken lassen. Dagegen zitiert er (S. 909) Abhandlungen von A. A. Björnbo und P. Duhem, und wenn man diese einsieht, findet man:

1) daß Herr B jörnbo die von Boncompagni erwähnte Algorismus-Schrift als ein anderes Exemplar des Tractatus magistri G e r n a r d i des Cod. Reg. Lat. 1261 der Vatikanischen Bibliothek bezeichnet;

2) daß Herr Duhem eine Handschrift der Nationalbibliothek in Paris untersucht hat, die auf der einen Seite mit dem 1534 gedruckten Algorithmus demonsiratus identisch ist, auf der anderen Seite mit der Algorismus- Schrift der soeben angeführten Handschrift der Vatikanischen Bibliothek identisch zu sein scheint.

Man kann also schon aus diesen Angaben folgern, daß der von Herrn C an tor in der vorigen Auflage erwähnte Algorithmus des Meister G erhard wahrscheinlich mit dem 1534 gedruckten Algorithmus demonstratus idenB

Bibliotlieca Mathematica. III. Folge. VII.

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ist. Nun ist aber diese Schrift nach der Ansicht des Herrn C antor (siehe den zweiten Band der Vorlesungen, zweite Auflage S. 63 — 6 6 ) eine der wichtigsten Algorismus-Schriften des Mittelalters, und die bloße Möglichkeit, daß sie dem G h erard o C rem onese zu überweisen wäre, also schon um die Mitte des 12. Jahrhunderts verfaßt sein würde, ist darum von größtem Belang; in Wahrheit kann die Entwickelung der Arithmetik im christlichen Mittelalter nicht dargestellt werden, ohne daß man zu dieser Frage Stellung nimmt.

Dabei gibt es zwei Auswege, die beide sehr nahe liegen. Man kann nämlich die Mutmaßung, daß Meister G érard mit G h erard o C rem onese identisch ist, als so unbegründet betrachten, daß sie gar nicht berücksichtigt zu werden verdient, denn teils war ja G herard o C rem onese bisher nur als Übersetzer bekannt, teils war im Mittelalter „Gerardus“ ein gar nicht ungewöhnlicher Verfassername; so z. B. gibt es handschriftlich ein „Liber magistri G erard i de Brussel De m otu“, der spätestens dem 13. Jahrhundert zu entstammen scheint. Endlich ist es auf Grund des Inhalts des Algorithmus demonstratus höchst unwahrscheinlich — man könnte sogar sagen fast unglaublich — , daß er schon aus der Mitte des 12. Jahrhunderts herrührt. Man könnte also mit gutem Rechte den ganzen Passus streichen, der von der angeblichen Al- gorismus-Schrift des G herard o C rem onese handelt.

Der zweite Ausweg wäre, wenigstens einen Versuch zu machen, um die Frage zu erledigen, und für diesen Zweck zuerst die zitierte Schrift von B oncompagni einzusehen. Tut man dies, so findet man an der von Herrn Cantor erwähnten Seite folgenden Passus:

Nel catalogo stampato de’ manoscritti della biblioteca Bodleiana d’Oxford si legge: Algorismus Magistri Gerardi in integris et minutiis. Questo trattato d’aritmetica trovasi manoscritto nel codice 61 Digby della mede- sima biblioteca Bodleiana,

und B oncom pagni verweist auf den alten Manuskript-Katalog von 1698. Vergleicht man jetzt dies Zitat mit der von Herrn C antor erwähnten Stelle der BjÖRNBOSchen Abhandlung, so findet man, daß nach dem neuen Manuskript-Katalog der Bodleianischen Bibliothek von 1883 der Titel der von Boncompagni zitierten Algorismus-Schrift lautet: „Algorismus magistri G enardi in integris et minutiis“. Der Traktat, der angeblich vom Meister G erardus verfaßt sein würde, muß also jetzt dem Meister G enardus (G ernardus, Gernandus) zugeschrieben werden, und scbon dadurch ist es fast sicher geworden, daß G herardo Cremonese gar nichts mit der 1534 herausgegebenen Algorismus-Schrift zu tun hat. Aber Herr C a n to r hat sich nicht einmal die Mühe gegeben, diese leichte Untersuchung auszuführen, sondern begnügt sich, nachdem er den Passus der vorigen Auflage unverändert abgedruckt hat, hinzuzufügen:

Vielleicht gibt es noch eine zweite umfangreichere Handschrift desselben Algorithmus in einem Vatikancodex, der den Tractatus magistri G e r n a r d i enthält. Genauer werden wir auf diesen Algorithmus, der unter dem Namen Algorithmus demonstratus ohne Bezeichnung eines Verfassers 1533 [Druckfehler für 1534] gedruckt worden ist, erst imII. Bande . . . eingehen.

Es hat also hier die Frage ganz unnötigerweise unentschieden gelassen. Im Vorübergehen bemerke ich, daß Herr Cantor sicherlich die Frage endgültig erledigt haben könnte, wenn er nur zwei kurze Briefe geschrieben hätte

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(vgl sein Verfahren in betreff der „Hodie“-Frage, S. 287 der zweiten Auflage des dritten Bandes der Vorlesungen).

In der vorigen Auflage hatte Herr Cantor (S. 536) angegeben, daß die Astronomie des B oetius nach aller Wahrscheinlichkeit noch 1515 vorhanden war, weil sich eine dies Jahr erschienene Arbeit auf deren Benutzung beruftund in der neuen Auflage wird (S. 576) diese Angabe wiederholt “mit demZusatze:

Möglicherweise ist bei jener Berufung ein 1503 in Paris gedruckter von F aber Stapulensis herausgegebener Band gemeint, der den . . . Titel führt: „B oetius Sev. Epitome . . . insuper Astronomicon“. Wenn dem aber so wäre, so stünde die Meinung auch das Astronomicon müsse vonB oethius verfaßt gewesen sein, freilich auf recht schwachen Füßen,

und in einer Fußnote teilt Herr Cantor mit, daß Herr Karl B opp den Titel einem antiquarischen Kataloge entnommen hat.

i«un verhält es sich aber so, daß der betreffende Sammelband vom Jahre 1503 ein sehr bekanntes Buch ist, dessen eine Abteilung Herr C antor selbst im 2 . Bande seiner Vorlesungen (Aufl. 2 , S. 379) zitiert hat, und das vonP. R iccard i teils in der Biblioteca matematica italiana 1, Sp. 142 143, teilsausführlicher in der B ib lio th e c a M a th em atica 1894, S. 7 3 — 7 5 beschrieben worden ist. Aus der letzten Beschreibung ersieht man (a. a. 0. S. 75), daß das „Astronomicon“ mit den Worten beginnt: „Jacobi Fabri Stapulensis Astronomici theorici corporum celestium Liber primus“, so daß der Traktat gewiß nicht von B oetius herrühren kann.

Ich habe oben bemerkt, daß die mathematisch-historischen Kenntnisse des Herrn Cantor in gewissen Gebieten auffällig fragmentarisch sind und werde dies jetzt durch ein Beispiel belegen; das Beispiel ist übrigens auch ein neuer Beweis seiner Abneigung gegen jede besondere Nachforschung.

S. 800 gibt Herr C antor an, daß eine sichere Entscheidung einer gewissen Frage allerdings nur dann möglich wäre, wenn es gelänge, den Urtext des Liber embadorum S avasord as aufzufinden. Aber dieser Urtext ist längst aufgefunden worden (vgl. B ib lio th . M athem . 43, 1903, S. 332), und von demselben ist vor einigen Jahren eine Abteilung veröffentlicht worden (vgl. B ib lio th . M athem . 53, 1904, S. 90). Übrigens kann es Herrn C antor nicht unbekannt sein, daß M oritz S te in sch n eid er die Geschichte der jüdischen Mathematik und besonders S avasord a eingehend behandelt hat, und es würde Herrn C antor ziemlich leicht gewesen sein, eine Stelle aufzufinden, wo die bekannten Handschriften des Urtextes des Liber embadorum verzeichnet sind, wenn er nur seine eigene Fußnote 3) S. 797 zu Rate gezogen hätte (vgl. B ib lio th . M athem. 1896, S. 3 6 —37).

In seinem schon erwähnten Vorworte bemerkt Herr Cantor, daß es die Pflicht des gewissenhaften Geschichtsschreibers ist, seine Leser auf die Streitpunkte aufmerksam zu machen, und daß er hofft, dieser Pflicht genügt zu haben. Auch ich bin überzeugt, daß er wirklich versucht hat, über die Gründe, die von den Vertretern verschiedener Ansichten angeführt worden sind, unparteiisch zu berichten. Aber leider scheinen seine Versuche nicht immer geglückt zu sein, und der Grund dazu ist wohl zum Teil, daß er wesentlich nur die Schriften, die ihm zur Verfügung gestellt wurden, gelesen hat. Es ist natürlich, daß diese Schriften in erster Linie von denen herrühren, die

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seinen Ansichten beipflichten, während die Gegner dieser Ansichten wenge Anlaß gehabt haben, ihm ihre Abhandlungen zu senden Aber dann vei steht man leicht, wie erfolglos die fraglichen Versuche des Herrn CHntor zuweilen werden müssen. Ein Beispiel dieser Art bietet die CANTORSche Darstellung der Streitfrage über den Ursprung der Schriften, die Herr C tor ( . )„HERONSche Sammlungen“ nennt. Als Vertreter der Ansicht, daß diese Schuften wesentlich byzantinischen Ursprungs sind, zitiert Herr C an tor (S. 392) nur J L H eiberg, der in seinem sehr kurzen Berichte über griechische Mathematik, Mechanik und Astronomie (1905) diesen Ursprung ganz beiläufig als bewiesen“ bezeichnet, aber nicht P a u l T annery, der in seinem zweiten Artikel über H eron im Jo u rn a l des savants 1903 (S. 203— 211) die Frage ausführlich behandelt hat. Diesen Artikel hat Herr C antor vermutlich nicht bekommen, denn die fragliche Zeitschrift bietet ihren Mitarbeitern keine Sonderabzüge, und er ist ihm vielleicht auch unbekannt geblieben (der Artikel ist freilich in der B ib lio th . Mathem. 63, 1905, S. 303 erwähnt). Nun enthält der TANNERYSche Artikel Ausführungen, aus denen mit großer Wahrscheinlichkeit hervorgeht, daß wenigstens die von H u ltsc h unter dem Titel „ H e ro n is Geometria“ veröffentlichte Schrift byzantinischen Ursprungs ist, und da Herr C an tor gar nichts davon mitteilt, so verliert seine Darstellung der Streitpunkte der HsRON-Frage sehran Wert. _ _ . , • . j «

Ein anderer Fehler der CANTORSchen Berichte über Streitpunkte ist, daß zuweilen Tatsachen und mehr oder weniger kühne Hypothesen nicht unterschieden werden. Ich hoffe, daß Herr Cantor mit mir einig ist, wenn ich sage: Es wäre unangebracht, in einem Lebrbuche der Arithmetik anzugeben, daß zweimal zwei fünf sei, auch wenn man nachträglich hinzufügte, daß allerdings zweimal zwei nicht genau fünf sondern vielmehr vier beträgt. Aber gerade Fehler verwandter Art begeht Herr Cantor zuweilen, wie aus den zwei folgenden Belegen hervorgehen dürfte; beide beziehen sich auf die HsRON-Frage.

S. 364 macht Herr C antor darauf aufmerksam, daß H eron in seiner Vermessungslehre den Verfasser »der Geraden im Kreise“ zitiert, und Herr C antor fügt unmittelbar hinzu: „die Geraden im Kreise (S. 362) [rühren] von H ipparch [her]; folglich muß H eron nach der Mitte des II. vorchristlichen Jahrhunderts gelebt haben“ ; hier wird also ausdrücklich behauptet, (vgl. die Verweisung auf S. 362, wo H ipparchos behandelt wird), daß H ipparchos Verfasser der von H eron zitierten Schrift ist. Aber in den folgenden Zeilen wird erwähnt, daß auch M en elaos eine Schrift mit demselben Titel verfaßte, und nun sucht Herr C antor nachträglich zu beweisen, daß H eron nicht diese Schrift gemeint haben kann (der Beweis ist übrigens meiner Ansicht nach wertlos1); ferner bemerkt Herr C antor S. 367, daß seine Überzeugung, die in der Metrica erwähnte Sehnentafel sei die des H ipparchos, von einem jüngeren Philologen geteilt wird. Aber dann ist es unangebracht, zuerst ganz einfach zu sagen, daß „die Geraden im Kreise“ von H ipparch herrühren, ohne hinzuzufügen: „unserer Überzeugung nach“ oder „wie wir unten begründenwerden“ oder etwas ähnliches.

S. 366 bemerkt Herr C antor: „um das Jahr 5 00 n. Chr. erzählt C assiodorius von dieser Vermessung und sagt dabei, ein Schriftsteller Heron m etricus

1) Auf dieselbe Weise könnte man beweisen, daß wenn in einer Arbeit bemerkt wird, in den Logarithmentafeln finde man den Wert des Logarithmus von 2, so entstammt diese Arbeit dem 17. Jahrhundert.

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habe sich an ihrer Redaktion beteiligt“ ; hier wird also ausdrücklich von einer tatsächlichen Aussage des Cassiodorius gesprochen. Aber unmittelbar nachher gibt Herr Cantor selbst zu, daß Cassiodorius gar nicht einen Schriftsteller Heron nennt, sondern daß die Handschriften „iron“ oder „yron“ (das jedenfalls nicht ein Personenname zu sein braucht) haben. In der Tat ist die Lesart „auctor Heron metricus“ nur eine kühne Konjektur Mommsens, und nach Paul Tannery ( J o u rn a l des sa v a n ts 1903, S. 156) stand vermutlich statt „auctor yron metricus“ ursprünglich „auctor gromaticus“. Wie dem auch sei, ist es durchaus irreleitend zu sagen, daß Cassiodorius einen Schriftsteller „Heron metricus“ erwähnt hat.

Bevor ich meine Kritik der neuen Auflage schließe, kann ich nicht umhin, mein Bedauern auszusprechen, daß Herr Cantor die „Kleinen Bemerkungen“ der B ib l io th e c a M a th e m a tic a nur sehr unvollständig benutzt hat; diese Bemerkungen enthalten ja ein Material, das ihm sozusagen umsonst zur Verfügung gestellt worden ist. Hinsichtlich derselben ist es bedeutungslos, ob Herr Cantor zuweilen versäumt hat, nach dem Erscheinen eines neuen Heftes der B ib lio th e c a M a th e m a tic a die angezeigten Verbesserungen in seinem Handexemplar anzumerken, denn jedes Heft der Zeitschrift enthält Verweise auf alle Bemerkungen der vorangehenden Hefte. Besonders bedauere ich, daß noch in der neuen Auflage (S. 706) die folgende irreleitende Behauptung der vorigen Auflage wiederholt ist: „So müssen beispielsweise die Arbeiten des Zenodorus den Arabern bekannt gewesen sein, weil in einer lateinischen Abhandlung über die isoperimetrische Aufgabe, welche handschriftlich in Basel vorhanden ist, der Name Archimenides vorkommt“ (vgl. B ib lio th . M athem . 3 3 , 1902, S. 405).

Es ist noch übrig, hier ein allgemeines Urteil über die dritte Auflage des ersten Bandes der Vorlesungen über Geschichte der Mathematik auszusprechen. Den Liebhabern der Geschichte der Mathematik, die nicht Mathematiker sind und die höchstens ganz beiläufig die literarische Geschichte der Mathematik selbst bearbeiten wollen, kann das Buch unbedingt empfohlen werden. Auch den Mathematikern, die nicht in der Lage sind, die mathematisch- historischen Quellenschriften oder Monographien zu benutzen, wird das Buch sehr willkommen sein, da es jedenfalls viele neue Aufschlüsse bringt, deren einige sonst nicht leicht aufzufinden sind.

Betrachtet man dagegen die neue Auflage vom Gesichtspunkte der mathematisch-historischen Forschern aus, kann das Urteil nicht in so wenigen Worten abgefaßt werden. Als Herr Cantor seine mathematisch-historischen Studien begann, war die Geschichte der Mathematik mehr ein Gegenstand der Liebhaberei als der rein wissenschaftlichen Forschung, und die vorhandene Literatur war wenig umfassend. Seitdem haben sich die Verhältnisse wesentlich verändert. Die Geschichte der Mathematik ist, zum Teil auf Grund der wertvollen Vorarbeit dos Herrn Cantor, allmählich eine wirkliche Wissenschaft geworden und die diesbezügliche Literatur mehrt sich von Jahr zu Jahr. Eine notwendige Folge dieses Umstandes ist, daß ein Fachmann allmählich zum Standpunkte des Dilettanten herabsinken wird, wenn er hauptsächlich nur von den Schriften, die er selbst bekommt, Kenntnis nimmt, ohne nachher die bibliographischen Hilfsmittel auszunützen. Diese Veränderung der Verhältnisse scheint Herrn Cantor leider entgangen zu sein, und darum kann die dritte Auflage des ersten Bandes seiner Vorlesungen den Fachgenossen empfohlen werden nur unter der Bedingung, daß sie dieselbe mit großer Vorsicht benutzen. Wie ich schon hervorgehoben habe, besteht dei

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Wert der neuen Auflage in erster Linie darin, daß sie viele Berichte bringt über die Quellenschriften, die seit 1894 zugänglich geworden sind. Ferner enthält sie viele wertvolle Angaben über die neueste mathematisch-historische Literatur, aber man muß sich davor hüten, diese Angaben ohne weiteres als wenigstens annäherungsweise vollständig zu betrachten. Auch die Darstellung der Streitpunkte ist nur mit Vorsicht zu benutzen, und wenn man in der neuen Auflage Aufschlüsse über eine gewisse Frage suchen will, so soll man sich immer erinnern, daß man nicht darauf rechnen kann, mit Sicherheit Auskunft über den heutigen Stand der mathematisch-historischen Forschung zu bekommen. Im Gegenteil kann es leicht eintreffen, daß man in Wirklichkeit Auskunft über den Stand dieser Forschung im Jahre 1880 bekommt.

Stockholm. G. E n e s t r ö m .

Max Sillion. Ü ber die E n tw ick lu n g d e r E lem en ta r-G eo m e trie im XIX . J a h rh u n d e rt. Bericht, der Deutschen Mathematiker-Vereinigung erstattet. Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Der Ergänzungsbände I. Band. Leipzig, B. G. Teubner 1906. 278 S. 8 ®. 8 Mk. Der III. Band der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften soll

nach der Disposition der Herausgeber die „Geometrie“ enthalten, und zwar in 3 Teilen. Für einen Abschnitt „Elementargeometrie“ des I. Teils war ein Bericht des Herrn M a x S im o n : „Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert“ ursprünglich bestimmt. Das Programm der „Encyklopädie“ verlangt „eine möglichst vollständige Gesamtdarstellung der mathematischen Disziplinen nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten in knapper zu rascher Orientierung geeigneter Form und eine von sorgfältigen Literaturangaben begleitete historische Entwickelung der Methoden11. Da die von Herrn M a x S im o n eingereichte Arbeit weder dem Inhalt noch der Form nach diesem vorgeschriebenen Programm entspricht, so lehnten die Herausgeber der Encyklopädie die Aufnahme ab. Dagegen beschloß, — wohl mit Rücksicht auf die von Herrn S im o n im Interesse der Sache aufgewandte große Mühe, — auf Anregung des Herrn F e l i x K l e i n , der Vorstand der deutschen Mathematiker-Vereinigung, diesen Bericht als I. Ergänzungsband seiner J a h r e s b e r ic h te erscheinen zu lassen. Man erwartete wohl, daß das meist aus Zetteln bestehende Manuskript vom Verfasser vor der Drucklegung einer sorgfältigen Redaktion und einer Prüfung in bezug auf die bibliographische Treue der Zitate unterzogen würde. Daß Herr S im o n dieser Erwartung leider nicht entsprochen hat, werden wir im Folgenden beweisen.

Zuvor möchte ich aber ausdrücklich hervorheben, daß ich mit dieser Besprechung nicht lediglich den Zweck verfolge, die dem SiMONSchen Werke anhaftenden Fehler und Mängel aufzudecken. Es kommt mir in erster Linie darauf an, auf die Schwierigkeiten hinzuweisen, mit welchen derartige historischliterarische Arbeiten verknüpft sind. Vielleicht gelingt es mir, auf Grund meiner Erfahrungen einiges beizutragen zu der Frage, wie eine solche Arbeit angegriffen und möglicherweise erleichtert werden kann.

Wer die bisher erschienenen Beiträge zu der von F e l ix K l e in , v o n D y c k und F r a n z M e y e r so schön und großzügig angelegten Encyklopädie der mathematischen II issenschaften prüft, wird zugeben müssen, daß mehrere dieser Monographieen sich recht weit von dem Ideal entfernen, das den Begründern

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vorgeschwebt hat. Das Programm verlangt zunächst eine Darstellung der gesicherten Resultate: eine solche ist, wenn man sich auf eine ganz spezielle Disziplin oder auf ein bestimmtes Problem beschränkt, für den, der dieses Feld beherrscht, wohl möglich. Schwieriger ist der zweite Punkt, eine Form der Darstellung zu finden, die zu rascher Orientierung geeignet ist; hier kann ein gut angelegtes Sachregister, wie wir es für den ersten Band besitzen, den Leser unterstützen. Das Schwierigste ist aber die dritte Forderung, eine von sorgfältigen Literaturangaben begleitete historische Entwickelung. An dieser scheitern die meisten der bisher erschienenen Beiträge, obwohl zugegeben werden muß, daß die französische Bearbeitung in diesem Punkte glücklicher ist. Aus diesem Mangel ist aber dem Verfasser kein Vorwurf zu machen, denn es fehlen bis jetzt die erforderlichen bibliographischen Vorarbeiten, ohne die eine historische Darstellung unmöglich ist. Herr E n e s t k ö m hat in der B ibliotheca M athematica (53, 1904, 388— 406) darauf hingewiesen, daß die Encyklopädie „ein neues literarisches Hilfemittel zur Verbreitung mathematisch-historischer Kenntnisse“ zu werden verspricht, vorausgesetzt, daß die historischen Anmerkungen von einem sachkundigen Fachmann gegeben und die vorhandenen von einem solchen ev. ergänzt oder verbessert werden.

Nach dem eben Gesagten wird der oben angeführte Grund für die Ablehnung der Aufnahme des SmoNschen Werkes in die Encyklopädie verständlich, auch wenn kein schriftliches Gutachten der Leiter vorliegt. Selbst wenn man das Gebiet der Elementar-Geometrie auf das beschränkt, was in der Regel auf Gymnasien gelehrt wird, (hier werden sogar die Elemente der analytischen Geometrie ausgeschlossen,) ist die Aufgabe, ihre Entwickelung im XIX. Jahrhundert darzustellen, eine äußerst schwierige, für den Einzelnen unmögliche. Schon die Vorarbeiten zu einem solchen Unternehmen müssen die Kräfte eines Einzelnen übersteigen. Selbstverständliche Voraussetzung ist, daß man alle früheren Arbeiten über die historische Entwickelung der Elementar-Geometrie kennt. Zunächst müßte man sich dann wohl die Frage vorlegen: welches war der Zustand der Elementar-Geometrie am Ende des XVIII. Jahrhunderts? Keines der bekannten historischen Werke gibt hierüber eine genügende Auskunft. Man ist also auf das Studium der bis dahin erschienenen mathematischen Journalliteratur und der mathematischen Einzelwerke angewiesen. Wer sich nicht eingehend mit der älteren Journalliteratur beschäftigt hat, unterschätzt gewöhnlich ihren Umfang und ihre Bedeutung. Als Herr M o r it z Ca n t o r zur Freude aller Fachgenossen die Absicht kundtat, seine Geschichte der Mathematik durch einen IV. Band bis zum Jahre 1799 fortzuführen, - und durch mehrere Rundschreiben zur Mitarbeit aufforderte, nahm ich Gelegenheit, außer einem Veizeichnis von ca. 100 mathematischen Sammelwerken aus der zweiten Hälfte des XVIII. Jahrhunderts eine Liste von 270 Zeitschriften mathematischen Inhalts aus den Jahren 1750 bis 1800 zusammenzustellen. Diese als Hilfsmittel für historisch - mathematische Studien unentbehrliche bibliographische Vorarbeit legte ich dem verehrten Senior der mathematischen Historiographie vor und machte in der letzten Sitzung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung zu Stuttgart in einem Bericht über die Arbeiten der bibliographischen Kommission eine kurze Mitteilung über meine Zusammenstellung.

Nimmt man nun auch an, daß die wichtigeren elementar-geometrischen Resultate und Aufgaben, welche in diesen 270 Zeitschriften enthalten sind, größtenteils in die größeren Kompendien und Encyklopädieen der Mathematik

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sowie in die Lehrbücher der Planimetrie, Trigonometrie und Stereometrie aus den letzten Jahrzehnten des XVIII. Jahrhunderts aufgenommen worden sind, so müßte man diese wenigstens zu Rate ziehen. Von den Kompendien und Eneyklopädieen kämen u. a. folgende, von Herrn S i m o n nicht genannten Werke in Betracht:0. G h e r l i , GH elementi teorico-pratici delle matematiche pure. 7 vof fol. Bologna

1770 — 1777, nach Lagranges Urteil das vollständigste Werk über Mathematik.C h . Bossut, Cours complet de mathématiques. 3 vol. Paris 1795— 1800.T h . B u g g e , Lehrbuch der gesummten Mathematik. Deutsch. 3 Bde. Altona 1ÖUU—lölb. Ch. Hutton, A mathematical and philosophical dictionary. 2 vol. London 1795—Üb.

2d ed. 1815'.S a u e i , Institutions mathématiques. Paris 1770, 6e éd. 1834. . . . , , . , , ,G e o r g G o t t l . S c h m i d t , Anfangsgründe der Mathematik. Frankfurt a. M. 5 Bde.

1797—1807, 1. Bd. (worin Elementare Geometrie) auch 1806 und 1822.J o h . G e o r g B ü s c h , Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Hamburg 1775;

2. Aufl. 1795. Amsterdam 1778—80. 2 Bde.J F H äseler, Anfangsgründe der Arithmetik, Algebra, Geometrie und Trigonometrie.

Lemgo 1775; 2. Aufl. 1792; 3. Aufl. 3 Bde. 1802—6.J. P h . G r ü s o n , Vollständige Anleitung zur niedern, hohem und angewandten Mathematik.

2 Bde. Berlin 1799.L p . U n t e r b e r g e r , Anfangsgründe der Mathematik. 3 Bde. Wien 1 7 7 5 — 7 7 und

1 7 8 4 — 8 6 .Heinr. Joh. Krebs, Anfangsgründe der reinen Mathematik. 2 T. Kopenhagen 1777—78;

2. Aufl. 1792—99.N . L . d e L a c a i l l e , Leçons élémentaires de mathématiques, ou Elémens d’alg'ebre et de

géométrie. Paris. Viele Ausgaben, u. a. 1798, 1806, 1811.M. J. Lemoine, Traité élémentaire de mathématiques. Paris 1789; 2e éd. 1790; 3e éd.

1793. (Auch für die Geschichte wichtig.)F. M e i n e r t , Lehrbuch der Mathematik. 3 T. Halle. I, H. Reine Math. 1789. III. 1795.C . S c h e r f f e r , Institutiones mathematicae. 6 vol. g r . 4. Wien 1770—77 und Supplementa

i b . 1 7 8 2 .

Genannt werden von Herrn S i m o n , aber mit ungenauen Titeln, folgende:Chr. W o l f f , Elementa matheseos universae. Halae; 5 vol. 1713—1741, auch 1730—52

und 1743— 69. — — Anfangsgründe der mathematischen Wissenschaften. Halle 1710; 10. Aufl. 1775; 11. Aufl. von L. W. G i e b e r t 1800. — — Auszug aus den Anfangsgründen der mathematischen Wissenschaften. Halle 1713; viele Aufl. bis 1772. Neuer Auszug etc. von T o b i a s M a y e r und C. L a n g s d o r f . Marburg 1797; von C. M ü l l e r 1818.

A b r. G. K ä s t n e r , Anfangsgründe der Mathematik. 4 T. Göttingen 1758—6 6 ; T. I,I. u. 2; 6 . Aufl. 1800; I, 3 u. 4 (Sammlung geometrischer Abhandlungen und Anwendungen der ebenen Geometrie und Trigonometrie) 1790—91.

W. J. G. K a r s t e n , Elementa matheseos universalis. Rostock 1758. — — Mathesis theoretica elementaris atque sublimior. Rostock und Greifswald 1760. — — Lehr-begriff der gesummten Mathematik. 8 T. ib. 1767—77; neue Aufl. 1786—9 5 .------Anfangsgründe der mathematischen Wissenschaften. 3 T. Greifswald 1778—80.------Auszug aus den Anfangsgründen und dem Lehrbegriff der mathematischen Wissenschaften. Greifswald 1781; 2. Aufl. 2 T. 1785 u. 1790. Neue Anfangsgründe . . . 1802.

J. A. v . S e g n e r , Cursus mathematici, seu elementa etc. 5 T. Halle 1757—6 8 .------Anfangsgründe der Arithmetik, Geometrie und der geometrischen Berechnungen. A. d. Lat. übers, von J. W. v. S e g n e r . Halle 1764; auch 1773 und 1801.

J. F. L o r e n z , Grundriß der reinen und angewandten Mathematik 4 Bde. Helmstädt 1791—92. Viele Auflagen: I, 1799, 1807, 1816, 1820 von C h . L. G e r l i n g , 1827;II, 1800, 1808, 1817, 1821. III u. IV. 4. Aufl. 1818. — — Die Elemente der Mathematik, in 6 Büchern. 3 T. Leipzig 1785—8 6 ; 2. Aufl. 1793—97; I, 3. Aufl. 1812.

G. Sim. K l ü g e l , Anfangsgründe der Arithmetik, Geometrie und Trigonometrie nebst ihrerAnwendung. Berlin 1782; auch 1792, 1798, 1803, 1809 und 6 . Aufl. von Ch. G. Zimmermann 1819.

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E t. Bezout. Comts de mathématiques à l’usage de l’artillerie. 4 vol. Paris 1770—72;' e ' s mathématique ci l'usage de la marine; augm . par

Garnier. 6 vol. P a n s 1800. Cours complet de mathématique, à Vusage de lamarine, d artillerie et des el'eves de l'Ecole polytechnique. Nouv. éd. rev. e t au<nnp a r Mrss. R eynaud e t de R ossel. 6 vol. 1814 und 1825.

Außer diesen Gesamtdarstellungen der Mathematik müßte man die speziellen Lehibücher der Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie aus den letzten Jahren des XVIII. Jahrhunderts durch blättern, um sich ein Bild von dem Zustand der Elementar-Geometrie am Ende desselben zu verschaffen. Da die Zahl diesei Lehrbüchei sehi groß ist (sie beträgt über 50!), so begnüge ich mich hier damit, die Namen der Verfasser der wichtigsten Lehrbücher aufzuführen.Es sind: A . M. L e g e n d r e , S. E r . L a c r o ix , A . G . K ä s t n e r , S. G. G il b e r t ’G. S. K l i g e l , S. L h u il ie r , D. S n e l l , K . S c h e r f f e r , C h . F. P f l e id e r e r , F. T h . S c h u b e r t , A b e l B ü r ja , T h . W a l t o n , C h . M ic h e l s e n , A. R. M a u d u it , J a c . F. M a l e r , J. P l a y f a ir , A n t . L u d e n n a , J. G. P r ä n d e l , J. H o w a r d , J e a n T r e m b l e y , G. v . V e g a , N ie l s M o r v il l e , J. N . M ü l l e r , A . W a g e n f ü h r , F. G. v . B u s s e ,C. Ch. L a n g s d o r f , J o h . T o b . M a y e r , A n d r . Ca g n o l i, W a l t e r F is h e r , S am .V in c e .

Alle diese Werke müßten zur Verfügung stehen, um festzustellen, ob nicht etwa ein in einer späteren Arbeit gefundenes Resultat schon vor Beginn desXIX. Jahrhunderts entdeckt worden ist. Man sieht, daß diese Feststellung derPriorität, welche von einem gewissenhaften Historiker verlangt wird, gerade bei der Elementar-Geometrie mit außerordentlichen Schwierigkeiten und großer Mühe verbunden, wenn nicht ganz unmöglich ist.

Aus dem Vorigen ergibt sich, ein wie großes Wagnis es ist, eine Darstellung der Entwickelung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert geben zu wollen. Herr M a x S im o n hat recht viel Material für seine Arbeit gesammelt, welches man sonst nicht so leicht findet, — und das ist der Vorzug seines Buches. Sehen wir nun zu, in welcher Weise dieses zusammengehäufte Material von Herrn Sim o n verwertet worden ist, um ein Bild von der Entwickelung der Elementar-Geometrie, wie es der Titel verspricht, zu geben. Zu dem Zweck müssen wir auf den Inhalt des Buches näher eingehen.

Das Werk zerfällt in 2 Abschnitte: I. Allgemeines (S, 1— 52), II. Spezielles (S. 53— 252). Abschnitt I enthält 4 Artikel mit den Überschriften: 1. Abgrenzung des Referates und allgemeine Gesichtspunkte (S. 1— 4); 2 . Geschichte (Bibliographie) (S. 5— 11); 3. Methodik (S. 12 — 24); 4. Lehrbücher, Aufgaben- sammmlungen (S. 24— 52). Berücksichtigt werden soll das, was auf dem Gymnasium gelehrt wird; doch werden die Kegelschnitte „wegen des ungeheuren Umfanges ihrer L iteratur“ (!) abgetrennt, desgleichen die Elemente der analytischen Geometrie, obwohl viele elementar-geometrischen Sätze analytisch gefunden sind. Zur allgemeinen Charakteristik der Entwickelung der Elementar - Geometrie im XIX. Jahrhundert wird bemerkt, daß die großen Strömungen der Wissenschaft auch in unserer Disziplin zutage treten. „Die DARWiNSche Theorie der Entstehung der Arten zeigt sich als systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten.“ (!) Der zweite große Zug des Jahrhunderts ist der kritische, der dritte das Gesetz der Kontinuität. „Dabei zeigt es sich denn allerdings, daß unsere Elementargeometrie, was die Materie betrifft, wenig über die der Hellenen oder der Araber hinausgekommen ist.“ Dieses Urteil des Herrn S imon dürfen w ir nicht zu tragisch nehmen; einige Zeilen weiter unten heißt

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es- Dennoch ist die geistige Arbeit auf unserem Gebiete gewaltig gewesen, es bat seine Größen wie die anderen“. Und nun werden 32 dieser Größen aufgezählt, indem die Lebenden unerwähnt gelassen werden. Daß hier auch viele Verstorbene nicht genannt sind, sagt die Zahl 32. _

Der Artikel 2. Geschichte (der Zusatz Bibliographie ist überflüssig) beginnt mit dem seltsamen Satze: „Die Geschichte der Elementargeometrie ist im wesentlichen die der ägyptischen, griechischen, indischen, arabischen Geometrie, wozu etwa die Periode von 800— 1600 ( V i e t a und F e r m â t ) der europäischen Geometrie kommt.“ S. 5 werden 54 Namen von Historikern der Elementargeometrie, geordnet nach Nationalitäten, hintereinander aufgezählt; es folgen 15 Namen von Herausgebern orientalischer und griechischer mathematischer Werke. Auffallend ist, daß in diesem Abschnitt Namen wie G. W e r t h e i m , H. W e i s s e n b o r n , A . M a r r e ’, F . H o e f e r , S . D i c k s t e i n , B i e r n a t z k i , C. d e V a u x , G . V iv a n t i ,G . V a c c a , G. V ic u ñ a ganz fehlen, während von den auf S. 5 nicht genannten A.” A r n e t h , M. P o p p e , K . F in k , W. S c h m id t , C. I . G e r h a r d t , M. M a r i e , J. B o y e r wenigstens einzelne Werke angeführt werden. Von Zeitschriften, in denen Artikel über Geschichte der Mathematik zu finden sind, werden nur erwähnt B o n c o m - p a g n is Bullettino (nicht Bulletino!), G in o L o r i a s „kleiner Ersatz“ desselben,G. E n e s t r ö m s Bibliotheca Mathematica, die historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift f. Math. u. Phys., das Journal asiatique, die Zeitschrift für Ägyptologie, die Zeitschrift der deutschen morgenländischen Gesellschaft, der B u r s i a n (!), der Philologus, die Revue scientifique, — alle ohne nähere Angabe des Titels und der Jahreszahlen. Unter die folgende Literatur („Einzelheiten“, S. 6 —12) hat sich zuletzt noch verlaufen das Bulletin de bibliographie, d’histoire etc., als Anhang zu den Nouv. Ann. de math. 1855— 1862. Gar nicht erwähnt sind hier unter Geschichte (Bibliographie) die Supplemente zur Zeitschr. f. Math. u. Phys., Abhandlungen zur Geschichte der math. Wissenschaften, 1877 u. flg., D a r b o u x ’ Bulletin des sciences mathématiques etc., seit 1870, L’Intermédiaire des mathématiciens, von L a i s a n t und L e m o in e , seit 1894, B o b y n in s Fisiko- matematitscheskaja naouki (Les sciences physiques et mathématiques dans leur présent et leur passé), 1885—1905, das Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 1 (1868), 1871 u. flg., die Revue semestrielle des publications mathématiques der mathematischen Gesellschaft zu Amsterdam, seit 1892, das Repertorium der literarischen Arbeiten auf dem Gebiete der reinen und angewandten Mathematik, von L. K ö n ig s b e r g e r und G . Z e u n e r , 1 u. 2, 1877— 79; ganz abgesehen von den zahlreichen (ca. 100) allgemein-wissenschaftlichen Zeitschriften, die mit dem Journal des Savants (1665) beginnen, und in denen zahlreiche mathematisch-historische Artikel zu finden sind.

Doch „nun zu den Einzelheiten“. Auf S. 6—12 werden in buntem Ge misch (— die Anordnung war wohl ursprünglich chronologisch gedacht —) zahlreiche Werke aufgezählt, die für die Geschichte der Elementargeometrie von Wichtigkeit sind: größere Werke über Geschichte der Mathematik, ferner Werke, welche die Geschichte der Mathematik in besonderen Zeiten oder bei einzelnen Völkern behandeln, Geschichten besonderer mathematischer Disziplinen, Biogra- phieen, Reden, kurze historische Notizen, Enzyklopädieen und Wörterbücher, auch 2 mathematische Zeitschriften, Ausgaben und Übersetzungen der Werke älterer Mathematiker u. a. — Leider vermissen wir hier, wie in dem ganzen Werk des

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Herrn M ax S im o n , die bibliographische Sorgfalt, die für ein historisches Werk ge ordert werden muß. Die Literaturangaben sind zum großen Teil ungenau o e i ganz falsch; die Titel fehlen häufig ganz, wie bei P . P e y r a r d , E. P A u g u s t H a l m a , L . F. O f t e r d in g e r , H . M a r t in , E. H o p p e , P . M a n s io n , J . H . K n o c h e ,G. r ie d l e in , A. F a v a r o , L. R o d e t . Falsche Jahreszahlen stehen bei Ca n t o r Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 . Aufl. (statt I 1898 lies I 1894)'

Ca n t o r , Uber den Seqt (statt 1889 lies 1884), J. L. H e ib e r g , (statt A p o l l o n i u s

1891 lies: A p o l l o n i i Pergaei quae graece exstant I, 1891, II , 1893). Bei M a r t in heißt die Quelle Mém. prés. Ac. in sc r ip t. I statt 4, 2 2 . Wo findet man E. R é v il l o u t , R evue é g y p to lo g iq u e p . 308? Die Bemerkung, über den Papyrus Rhind sei im J a h rb . ü. d. F o r t s c h r i t t e d. M ath, erst Bd. 22 p. 9 (1890) ein Referat gegeben, ist falsch; s. F. d. M. 12, 17— 18, 1880.

Eine ganze Reihe wichtiger Quellenschriften für die Geschichte der Elementargeometrie fehlt in Artikel 2. Herr M a x S im o n hätte mehrere derselben in F e l ix M ü l l e r , Zeittafeln für die Geschichte der Mathematik, Physik und Astronomie bis zum Jahre 1500, Lpz. 1892 (die er nicht anführt), finden können. Von wichtigeren Lücken nennen wir:

Scriptores gromatici. Schriften der römischen Feldmesser, hersg. u. erläut. von F. B l u m e K. F a c h m a n n u. A. B u d o r f f . Berlin 1848—1852.

F r . H u l t s c h , Scriptorum metrologicorum reliquiae. 2 v o l . L p z . 1 8 6 4 u . 1 8 6 6 .E. Stöber, Die römischen Grundvermessungen etc. München 1877.H. Sdter, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke. Abh.

Gsch. d. m ath. W iss. 10, 1900.F. R osenberger, Die Geschichte der exakten Wissenschaften und der Nutzen ihres Studiums.

Abh. Gsch. d. m ath. W iss. 9, 1899, 359—381.H. H ankel, Die Elemente der projektiven Geometrie. Lpz. 1875. (IV. Abschn. Auf

gaben des A pollonius.)G. F r i e d l e i n , De H e r o n i s quae feruntur definitionibus. Bull. bibl. s t o r . 4 , 9 3 — 1 2 1 ,

1871. Zusatz von B. B o n c o m p a g n i , ib. 122— 126.J. L. H eiberg, Neue Studien zu A r c h im e d e s . Z. Math. Phys. 24, Suppl. 1—84, 1890.H. W eissen b orn , Das Trapez bei E u k l id , H e r o n und B r a h m e g u p t a . Z. Math. Phys.

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Rezensionen.

Obwohl der Artikel 2 zur „Geschichte“ den Zusatz (.Bibliographie“) tragt, wird nur der Name R ic c a r d i (S. 5 ) genannt nicht aberP Rjccakdi, Biblioteca matemática italiana. 2 vol. 2 ■ Ausg. lo im o , R , 8P Ä , S W » di «»« N M » « * * '* * « ■ A c c - 1 , 1 B o l ° 8 ” * *<■

1 8 8 7 ; »4, 1 8 8 8 ; 15, 1890; 85, 1893: 45, 1894.W e r ü b e r G eschichte d e r M a th em atik sch re ib en w ill, so llte a u ch noch mit

fo lgenden B ib lio g rap h ieen v e r t r a u t sein: r r B e u g h e m Biblioqraphia mathematica. Am stelod. 1688.Joh. Ephk. S c h e ib e l , Einleitung zur mathematischen Bücherkenntnis. 3 Bde. in 20 Heften.

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deutschen und ausländischen L ehrbücher u n d M o n o g ra p h ie n des 19. Jah rh u n d erts auf dem G ebiete der m athem atischen W issenschaften . I. T. R eine M athem atik.Lpz. 1903; auch A b h . G sch. d. m a th . W is s . 16, 1.

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' G ottingae 1801— 21. Bd. VII. M athem atik .J C P oggendokff, Bibliographisch - litterarisches Handwörterbuch zur Geschichte de)

' ' e x a k t e n Wissenschaften. I u. II. Lpz. 1 8 6 3 Forts. III (die Ja h re 1 8 5 8 -1 8 8 3 um fassend), hrsg. von B. W . F e d d e r s e n und A. J. von Ö t t i n g e n . Lpg. 1896 IV (die Jah re 1 8 8 3 b iB zur Gegenw art), hrsg. von A. J . v o n O t t i n g e n . Lpz. 1 9 0 Z .

Keines von diesen bibliographischen Werken ist von Herrn S im o n zitiert. Artikel 3 des SiMONseben Buches, Methodik überschrieben, enthält in dem

einleitenden Abschnitt eine Charakteristik der neueren Strömungen des mathematischen Unterrichts. Es werden Lehrer der Mathematik genannt, welche „lebendige Lehrbücher der Methodik“ sind, es werden Hochschullehrer angeführt, deren Werke und Vorlesungen indirekt und direkt großen Einfluß auf die Geometrie der Mittelschulen gehabt haben, — zuletzt W e i e r s t r a s s , der „via G e o r g C a n to r s Mengenlehre zu der Aritlimetisierung der Geometrie geführt hat“ (!). Dann folgt unter A. Allgemeines die Aufzählung einer Reihe von Werken über Philosophie und Methodik der Mathematik. Die chronologische Anordnung solcher Massen- Literatur ist zwar sehr bequem (ihr zuliebe werden sogar einmal die beiden Bände eines Werkes [H. S c h o t t e n ] getrennt!); gegen diese spricht aber die notwendige Anführung neuer Auflagen, vor allem aber erschwert sie die Übersicht. Welche Bedeutung die einzelnen Schriften für die Entwickelung der Elementargeometrie gehabt haben, wird nicht gesagt; einige wenige werden ganz kurz charakterisiert, andere mit mehr oder weniger hierher gehörigen kurzen Notizen versehen. Die Bemerkung (S. 19), daß G. H a u c k s Festrede „seit M a u p e r t u i s (1743) der erste nachdrückliche Hinweis auf das künstlerische Element in der Mathematik“ sei, ist unrichtig. Man vergleiche: A. Z e is in g , Ästhetische Forschungen. Frankfurt a. M. 1855 (s. S. 174!); S. G ü n t h e r , A d o l p h Z e i s i n g als Mathematiker. Z. Math Phys. 21, Hl. Abt. 157— 165, 1876; abgesehen von den älteren Aufsätzen über den Nutzen der Mathematik von K ä s t n e r , P a l m q u i s t , M e y e n , E b e r h a r d u. a. Auf S. 20 hätten unter denen, die nach G ü n t h e r die Bedeutung der Geschichte für den Unterricht hervorgehoben haben, neben M a x S im on, P. T r e u t l e i n , G. L o r i v und P. M a n s ió n noch genannt werden müssen: G. F r i e d l e i n , A. v . B r i l l , H . G . Z e u t h e n , K . F in k , F e l i x M ü l l e r , A . K l i m p e r t , F . K r u s e ,

V

Rezensionen. 413

J. T r o p f k e u . a. Der Zusatz zu 0 . R a u s e n b e r g e r , „das Werk hält, was es verspricht“, klingt seltsam, da im angeführten Titel die bezeichnenden Worte „systematisch und kritisch behandelt“ fehlen. Fehlende, unvollständige oder unrichtige Titel bemerkten wir außerdem bei Y. V a l e r ia n i , G. B e l l a v it x s , J. M. H o e n e - W r o n s k i (S. 19), A. Z i e g e l , Th. W it t s t e i n , J. H o ü e l , F. D a u g e , C. F. H a u b e r (nicht „Haubert“), Ch. F. P f l e id e r e r , G. P e a n o .

Unter B. Spezielle Methodik (S. 22—24) folgt eine neue Reihe von methodischen Schriften. Mehrere unter A. stehende Schriften hätten auch hier aufgenommen werden können; eine derselben kommt auch hier noch einmal vor.

Um zu zeigen, daß auch in diesem Abschnitt 2 mehrere wichtige Schriften fehlen, führen wir folgende an:W . W u n d t , Logik. II. Bd. Allgemeine Methodenlehre. 1. Abt. Logik der Mathematik

und der Naturwissenschaften. 2. Aufl. Stuttgart 1894.G. V e r o n e s e , Lei principali metodi in geometría. Verona, Padova 1 8 8 2 .J. C. B e c k e r , Lie Mathematik als Lehrgegenstand des Gymnasiums. Berlin 1 8 8 8 .E. Kretschmer, Welche Aufgabe soll die Mathematik in der Gymnasialerziehung er

füllen? Pr. Posen 1875.A. G i l l e , H e r b a b t s Ansichten über den mathematischen Unterricht. Diss. Halle 1888. C. H a r m s , Lie erste Stufe des mathematischen Unterrichts. 2 T. Oldenburg 1852.K . K r a u s , Methodik des Unterrichts in der Geometrie und im geometrischen Zeichnen.

Wien 1895.A. M a y r , Lie wissenschaftliche Methode angewandt auf die Mathematik. Würzburg 1845. J. K o b e r , Über die Lefinitionen der geometrischen Grundbegriffe. Z. f. math. U nterr.

1, 228—286, 1870.K r ä h e , Über den indirekten Beweis. Pr. Berlin 1874.K. A. T. K n a b e , Lie Formen des indirekten Beiveises mit besonderer Rücksicht auf ihre

Anwendung in der Mathematik. Diss. Lpz. 1885.K. A. T. K n a b e , Über den indirekten Beweis. Pr. Kassel 1890.M. W. D robisch, Neue Larstellung der Logik. Lpz. 4. Aufl. 1875.

Der letzte Artikel 4 (S. 24—52) des allgemeinen Abschnittes in dem SiMONSchen Buche ist überschrieben: „Lehrbücher, Aufgabensammlungen“. Er beginnt mit einer allgemeinen Charakteristik: „Die geschilderten Strömungen zeigen sich auch in den Lehrbüchern“. Alsdann folgt eine Aufzählung von Lehrbüchern in Frankreich, Deutschland, England, Amerika, Italien und den übrigen Ländern. Zur Charakteristik der Lehrbücher in Deutschland soll u. a. die Phrase dienen: „In dem Maße wie der Bureaukratismus in die Gymnasien eindrang, ist der Geist daraus entwichen“. Besonders auf die preußischen Lehrpläne von 1892 ist der Verfasser schlecht zu sprechen; sie sollen eine Flut der schlechtesten Lehrbücher hervorgerufen haben. Die Bemerkung (S. 30), daß während in Frankreich und Italien wirklich große Mathematiker auch elementare Lehrbücher schreiben, „das in Deutschland nicht für voll gilt“, (Ausnahmen seien die Hochschullehrer F e l i x K l e i n , H. W e b e r , A. B r i l l , ) ist wohl nicht ganz richtig. Abgesehen von den älteren Mathematikern L. E u l e r , A. G. K ä s t n e r , J. H. L a m b e r t , T o b . M a y e r , B. F. T h i b a u t , besitzen wir Lehrbücher von H. G. G r a s s m a n n , M. O hm , J. A. G r u n e r t , J. J. v. L i t t r o w , K. H. S c h e l l b a c h , R. B a l t z e r u . a., die, obgleich z. T . nicht Hochschullehrer, doch zu den großen Mathematikern gerechnet werden können. Mcht allzu tragisch ist der Ausspruch (S. 25) zu nehmen, daß „ungründliche Bücher, geschickte aber unwissenschaftliche Werke eine ungeheure Verbreitung finden, während ernste Arbeiten wie die von W. G a l l e n k a m p , W o r p i t z k y , H u b e r t M ü l l e r , ja selbst H e n r i c i und T r e u t l e i n es selten zu mehr als zwei Auflagen bringen“. Wird doch selbst von Herrn S im o n auf S. 35 von H e n r i « und

T r e u t l b in , Lehrbuch, die 3. Auflage, ebenda von H u b e r t M ü l l e r , Die Elemente der Planimetrie, die 7. (!) Auflage, und S. 33 von W. G a l l e n k a m p , Die Elemente der Mathematik, die 5. (!) Auflage angeführt. Das auf S. 22 und auf S. 40 ausgesprochene Urteil über geometrische Elementarbücher in England ist auch nicht mehr richtig. Vgl. J a h rb . ü b e r F o r ts c h r . d e r M ath . 1901u. flgde. im Abschnitt VIII, 3 die Schriften von J. P e r r v , Englands neglect of science, London 1900 und Discussion on the teaching of mathematics, London 1901 u. a. Sie haben einen wohltätigen Umschwung im englischen Unterricht hervorgebracht. Auch sprechen die schon früher erschienenen, von Herrn S im o n nicht genannten Bücher von F r . C a s t l e , Elementarg practical mathematics, London 1899, J. G r a h a m , An elementary treatise on practical mathematics, ib. 1899, J. P e r r y , Practical mathematics, ib. 1899 gegen das Urteil des Herrn Sim on. Näheres findet man in dem Vortrag von R. F r i c k e , Über lieorgani- sationsbestrebungen des mathematischen Elementarunterrichts in England, Ja h re sb . der D tsch. M ath.-V er. 18, 283— 296, 1904.

Daß das Verzeichnis der Lehrbücher und Aufgabensammlungen vollständig ist, wird niemand beanspruchen. Wohl aber hätte größere Sorgfalt auf die Titel und die Jahreszahlen verwendet werden müssen. Viele Titel sind ungenau, unvollständig oder fehlen ganz. Das Verzeichnis beginnt mit den Worten: „Über die Elemente L e g e n d r e s siehe „Parallelen“. Wenn irgendwo, so hätte wohl hier der vollständige Titel angeführt werden müssen. Unter „Parallelen“ wird von der 12. Auflage gesprochen; auch hier fehlt der Titel. Die 29. Auflage von B l a n c h e t , 1886, ist nicht genannt. Mehrere Zeilen tiefer steht in einer Klammer: (L e g e n d r e von Cr e l l e ins Deutsche). Neuere Auflagen fehlen häufig, z. B. bei S . F . L a c r o ix die 25. Auflage 1897, Ch . B r io t et Ch . V a c q u a n t die 7. Auflage 1875, L e b o n die 2. Auflage 1900, bei den älteren deutschen Kompendien (s. oben) u. a. auf S. 33 steht: „Über S c h e f f l e r vergleiche „Methodik“ ; aber in 3 steht nur bei W r o ń s k i die Bemerkung: „Eine Parallele mit S c h e f f l e r wäre nicht uninteressant“; S c h e f f l e r s Hauptwerk wird nirgends genannt. Unsere sonst so entgegenkommenden Bibliothekare würden sicherlich Bestellzettel, die nur die Worte: A u g . P o u l a in 1875, L. F o u c a u l t , Paris 1894, A. J a r d in e 1855, D il l n e r V. und VI. Buch, Die Bücher von N o c a (?), W. H e r z 1883, trügen, mit dem Vermerk versehen: „Nicht vorhanden!“ Herr S im o n sagt im Vorwort: „Ich selbst habe nur die allerwichtigsten Werke bibliographisch genau zitiert, und die ändern so, daß sie, mit verschwindender Ausnahme, jeder Interessent nach meinem Zitat sofort auffinden kann.“ Daß dies nicht einmal für die „allerwichtigsten“ stimmt, haben wir bereits gesehen; daß es für die „ändern“ unrichtig ist, wird uns noch mehr einleuchten, wenn wir auf die Zitate von Journalen zu sprechen kommen.

Wir wenden uns nun zum II. Teil des Buches, Spezielles (S. 53— 249). Hier vermissen wir zunächst eine übersichtliche Anordnung des Materials, welche ermöglicht, irgend ein Problem oder irgend einen Satz leicht aufzufinden. Es ist bekannt, daß alle bisher unternommenen Versuche, die Mathematik zu systematisieren, daran scheiterten, daß nicht streng nach den behandelten Objekten, sondern teils nach Gegenständen, teils nach Methoden klassifiziert wurde. Bei Herrn S im o n ist von einem Prinzip der Einteilung des Materials nichts zu bemerken. Man sieht zwar 9 Abschnitte mit den Überschriften: A (Art. 5) Parallelentheorie, B (6 — 1 2 ) Kreis, C (13— 16) Flächeninhalt, D (17— 20) Dreieck, E (2 1 , 2 2 ) Polygone, F (23 — 26) Allgemeine ebene Konfigurationen,

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G (27— 2 9 ) Allgemeine r ä u m l i c h e Beziehungen, H (30— 32) Besondere räumliche Beziehungen, J (33 u. 34), Trigonometrie, doch sind die Über- scln iften nicht überall maßgebend für den Inhalt. Trigonometrische Formeln und Sätze sind in allen Abschnitten zu finden, nicht nur in J, Stereometrische nicht bloß in G und H. Loch schlimmer sieht es mit den Unterabteilungen,mit den Überschriften der einzelnen Artikel aus. Artikel 7 (S. 7 4 __82):„Reguläre Polygone, Kreisteilung“ überschrieben, enthält auf S. 75 einen Abschnitt A. „Allgemeines (vgl. auch Polygon)“ ; ein entsprechendes B als Überschrift sucht man vergebens. Unter A stehen dann die Paragraphen: a. Allgemeines. b. Besondere Vielecke, c. Besondere approximative Konstruktionen, d. Sternpolygone, e. Kreisteilung, f. Bogenteilung (Trisektion). In Artikel 8 folgt dann wieder: Trisektion, bezw. Multiplikation des Winkels; Artikel 9 Kreissätze, 10 Inversion (worin auch Arbeiten über das Taktionsproblem), Art. 11 Taktionsprobleme, 12 „Schließungsprobleme (inkl. Ca s t il l o n ) “ hat 2 Abteilungen: a. C a s t il l o n , b . Schließungsprobleme. Abschnitt C, Flächeninhalt, enthält Art. 13 P y t h a g o r a s (worin auch der P y t h a g o r a s im Raum und der sphärische P y t h a g o r a s ) , Art. 14 P t o l e m ä u s (mit dem Zusatz: vgl. Kreisviereck!), Art. 15 Inhalt (Flächenvergleichung), Art. 16 Isoperimetrie (mit Einschluß räumlicher Gebilde). Bei derartigen Überschriften wäre doch wohl ein genaues Sachregister erwünscht gewesen.

Bei der Besprechung des II. Teiles müssen wir uns kurz fassen; er trägt die Mängel des I. Teiles in erhöhtem Maße. Eine Aufzählung der fehlenden wichtigen Literatur, eine Korrektur der zahlreichen unvollständigen oder falschen Titel und Quellenangaben, ein Verzeichnis der häufigen Druckfehler würde einen Raum in Anspruch nehmen, den die B ib lio th e c a M ath em atica uns unmöglich zu Gebote stellen darf. Was die Druckfehler betrifft, so erstrecken sie sich nicht bloß auf einzelne Worte und Zahlen, sondern auf die Wahl der Typen. Der fortlaufende Text ist oft nicht durch den Druck von Literaturangaben zu unterscheiden, in letzteren hätte durch Typenänderung erkenntlich gemacht werden müssen, wo der Titel aufhört und die kritische Bemerkung des Referenten anfängt. Die Verfassernamen sind bald kursiv, bald antiqua, bald gesperrt, bald fett, bald sehr fett gedruckt. Die Typen wechseln ganz unmotiviert, ebenso die Alinea. Darauf hätte bei der Korrektur geachtet werden müssen. Wenn Herr S im o n in dem Vorwort sagt, er sei seinem Freunde E. L a m p e für die überaus mühevolle Korrektur verpflichtet, so darf Herr L a m p e nicht für die stehengebliebenen Druckfehler verantwortlich gemacht werden; denn er hat nur einige (nicht alle!) Druckbogen durchgesehen und die darin befindlichen Literaturangaben korrigiert und ergänzt.

Zum Schluß der Besprechung des SiMONSchen Referates müssen wir kurz auf einige historische Irrtüm er hinweisen. Auf S. 2 steht: „Das Gesetz der Kontinuität, das L e ib n iz für seine größte Entdeckung erachtete“: das Gesetz der Kontinuität findet sich schon bei K e p l e r (1604); s. e. Aufsatz vonC. T a y l o r , P roc. C am br. P h il . Soc. 4, 14— 17, 1880. Wenn Herr S im on in der Voranzeige seines Buches sagt: „Im Artikel 34 ist auf S o r l i n als den ersten, der noch vor G e r g o n n e das Gesetz der Kontinuität formuliert hat, hingewiesen“, so meint er das Gesetz der Kausalität. Die Behauptung (S. 3), P y t h a g o r a s habe selbst seinen Satz von den Indern entlehnt, hat M. C a n t o r als zweifelhaft nachgewiesen (s. A rch. M ath. P hys. (2) 8 , 68— 72, 1904). Daß nicht erst L e g e n d r e durch seine Éléments von 1794 die Para1’elenfrage

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in Fluß gebracht hat, zeigen die 64 (!) Schriften von S a c c h e r i (1733), bis L e g e n d k e , die Herr S t ä c k e l in seiner T h e o r i e der Parallellinien, Leipzg 1 ,aufzählt S. 61 wird gesagt, das Problem der Quadratur des »Ziriiels be eine „über 5 0 0 0 jährige Geschichte“ (!). S. 105 wird von dem Ottojanoschen Problem gesprochen und erzählt: „Ottojano“, damals wenig über i 6 Jahiegab die Lösung, während doch jeder Historiker der Mathematik weiß, daß Ottojano ein Städtchen am Vesuv ist und der Entdecker des Problems G io r d a n o (aus Ottojano) war. In einer Fußnote auf S. 67 erzählt Herr S im o n , daß er einige Jahre vor G ö r in g im mathematischen Kollegium auf S c h e f f l e r , bezw. P r o sz hingewiesen habe. Die GÖRiNGSche Konstruktion der Quadratur des Bogens findet sich aber schon bei L. E u l e r , N ovi C o m m e n ta v in Ac. P e t r o P-8 a 1760__61 11763]. Man sehe auch die nicht genug bekannten, aber sehiinhaltreichen „Adveisaria mathematica“ L. E u l e r s , welche in die Opera postlmma 1862 aufgenommen wurden. Auffallend ist, daß Herr S im o n mehrmals (S. 72, 8 8 . 124, 164 etc.) als Quelle N ovae C o m m e n ta tio n e s Ac. P e tro p . angibt, statt N ovi C o m m en ta rii. Publikationen mit ersterem Titel hat die Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften, aber nicht die Petersburger Akademie. Auf di N ovi C o m m e n ta rii (ad. ann. 1747— 1775) [1750 - 1776] folgen die A cta Ac. P e tro p . (pro ann. 1 7 7 7 -1 7 8 2 ) [1 7 7 8 -1 7 8 6 ] , darauf die Nova A cta (ad ann. 1783— 1802) [1787— 1806], Ein Zitat Petrop. T. IX (S. 69) ist also unvollständig. Ebenso (S. 105) Acta Petrop. (1780), denn jeder der 6 Bände der Acta besteht aus zwei besonders paginierten Teilen; z. B. S. 142 muß es statt Acta Petrop. 1, pag. 92 richtig heißen: A cta P e tro p . 4, P. I, ad. ann. 1780 [1783], 91— 94. Kann nach solchen Zitaten des Herrn S im o n „jeder Interessent die Quelle sofort auffinden“ ? Zweimal (S. 187 u. S. 209) wird gesagt: „Seit W ie n e r s Schrift: Vielecke und Vielflache (also seit 1864) werden auch die K e p l e r - PoiNSOTSchen Polyeder ab und zu den Schülern vorgeführt“. S c h e l l b a c h , O. H e r m e s , B e r t r a m u . a. taten das schon viel früher. Im Jahre 1833 soll (s. S. 240) C. F. S c h u l z die erste deutsche elementare Sphärik seit T iie o d o s iu s und M e n e l a o s geschrieben haben. Es gibt frühere deutsche Lehrbücher der Sphärik von C h r . W o l f f , S cHERFFER, P r ÄNDEL (1815), V. FORSTNER (1827), GuDERMANN (1830). In der Einleitung zur Trigonometrie (S. 223) findet sich die Bemerkung: „die ebene Trigonometrie . . . und die Polygonometrie . . sind über E u l e r , L H u il ie r , L e g e n d r e , Ca g n o l i nicht wesentlich hinausgekommen“. Zum Glück wird diese Bemerkung durch das Material auf den folgenden Seiten wiederlegt; wir brauchten sonst nur an L a m b e r t , L a g r a n g e , D e l a m b r e , L a c k o ix , P f l e id e r e r zu denken.

Noch ein paar Worte über die Zeitschriftenquellen, auf deren Bedeutung für die mathematisch-historische Forschung ich wiederholt hingewiesen habe (s. S itzg sb . der B erl. M ath. Ges. 1, 17— 19, 1902, und A t t i d e l con- g resso in te rn a z io n a le di sc ienze s to r ic h e [Roma 1903] 12, 105— 113, Roma 1904). Hier mag daran erinnert werden, daß Herr V a l e n t in für seine in Vorbereitung begriffene mathematische Bibliographie die Anzahl der Einzelwerke auf 35 000, die der Journalartikel auf 95 000 schätzt. In den vier großen Berichten von B r il l und N ö t h e r , F r . M e y e r , E. K ö t t e r und E. C z u b e r , welche die Deutsche Mathematiker-Vereinigung inauguriert hat, werden insgesamt 157 Zeitschriften erwähnt, und das Buch von G. L o r ia Spezielle und transscendente Kurven. Theorie und Geschichte zitiert 139 Journale. Die Liste der Journale, welche Herr S im o n auf einer besonderen Seite seines Buches

Rezensionen. 41 7

bringt, enthält nur 1 5 Zeitschriften; das sind aber nur die von ihm am häufigsten zitieiten Journale. Außer diesen werden im Buche noch andere Zeitschriften angeführt, im ganzen wohl nicht mehr als 8 0 . Die Deutsche Mathematiker-Vereinigung hat sich wiederholt mit der Frage beschäftigt, wie die Titel der Zeitschriften mathematischen Inhalts abgekürzt werden sollen. Herr S im ó n bezeichnet die von ihm am häufigsten zitierten Journale nur mit dem Namen ihrer Begründer oder dem ihrer Nachfolger in der Redaktion, z. B. B a t t a g l i n i , B o u r g e t , L a m p e . Eine abkürzende Bezeichnung mit Hülfe von Eigennamen, z. B. B o n c o m p a g n i Bull., L i o u v i l l e Journ., D a r b o u x Bull., hat sich°als höchst unpraktisch erwiesen. Das Namenregister des Herrn S im on zeigt sogar, daß er selbst Person und Zeitschrift verwechselt hat, z. B. bei S c h lö m i l c h und L a m p e . Nach den hauptsächlich von Herrn S t ä c k e l angegebenen Prinzipien der Abkürzung habe ich ein Verzeichnis von Zeitschriften mathematischen Inhalts angefertigt, das auf Beschluß der Deutschen Mathematiker-Vereinigung in den Jah resberich ten Bd. 12, 1 9 0 3 , veröffentlicht wurde. Es ist für die Zitate in der EncyMopädie und deren französischer Bearbeitung größtenteils maßgebend geworden. Für eine in Vorbereitung befindliche Neuausgabe dieses Verzeichnisses habe ich die Anzahl der Zeitschriften mathematischen Inhalts auf ca. 1 4 0 0 gebracht. Nun darf man wohl annehmen, daß Aufsätze oder Artikel über Elementar-Geometrie in allen diesen Zeitschriften zu finden sind. Diese Bemerkung soll wiederum hinweisen auf die ungeheuren Schwierigkeiten, mit denen die Sammlung des Materials für eine Geschichte der Elementar-Geometrie verbunden ist. Beschränkt man sich auf die Arbeiten in dieser Disziplin aus dem XIX. Jahrhundert, so kann man allerdings ca. 2 0 0 dieser Zeitschriften entbehren, die vor 1 8 0 0 entweder ganz eingegangen oder unter einem neuen Titel fortgeführt sind. Es kämen aber immerhin für das XIX. Jahrhundert noch 1 2 0 0 Zeitschriften in Betracht. Daraus sieht man, daß auch die referierenden Zeitschriften, wie unser Jahrbuch über die F o rtsch ritte der Mathematik, das B u lle tin des sciences m athém atiques, die Revue semestrielle des pub lications m athém atiques, so verdienstvoll sie immerhin sind, auf Vollständigkeit keinen Anspruch machen können.

Geradezu unmöglich ist es für den Einzelnen festzustellen, ob irgend ein Satz, irgend eine Formel, die im XIX. Jahrhundert veröffentlicht wurde, nicht etwa schon in früheren Journalen sich findet. Von besonderer Wichtigkeit für die elementare Mathematik ist eine Reihe von ca. 2 4 englischen Zeitschriften, beginnend 1 7 0 4 mit dem berühmten The Ladies Diary, welche zahlreiche mathematische Aufgaben aus der Elementar - Mathematik mit Lösungen und kleinere elementar-mathematische Artikel enthalten. Wie Herr M a c k a y (Notice sur le journalisme mathématique en Angleterre, C. R. Assoc. Franc. 22, 3 0 3 — 3 0 8 , 1 8 9 3 ) mitteilt, finden sich schon in diesen älteren Zeitschriften zahlreiche Sätze aus der sogenannten Dreiecks-Geometrie. Leider sind diese Journale schwer zugänglich; nur vier von ihnen sind, wie ich durch das Auskunftsbureau an der Königl. Bibliothek zu Berlin erfahren habe, in den öffentlichen Bibliotheken Deutschlands vollständig vorhanden, von drei anderen findet man nur einzelne Bände oder Nummern. Nur selten werden die in älteren Zeitschriften vergrabenen Schätze ans Licht gebracht. Eine vollständige mathematische Bibliographie gibt es noch nicht. Zwar finden sich zahlreiche Zeitschriftenartikel in dem oben (S. 4 1 2 ) angeführten Repertorium von R e u s s und in P o g g e n d o r f f s Wörterbuch, aber auf Vollständigkeit können beide Werke keinen

Bibliotheca Mathematica. III. Fulge. VII. 27

418Rezensionen.

Anspruch machen. Es wäre ein für die mathematisch-historische Forschung sehr verdienstliches Unternehmen, wenn aus älteren schwer zugänglichen Journalen die mathematische Literatur, mit kurzen Referaten versehen und systematisch geordnet, zusammengestellt würde, wie es z. B. Herr L o r ia für das G io rn a le d e’l e t t e r a t i d ’I ta l ia und die R a c c o lta Ca l o g e r a getan hat (Abh. z. Gsch. d. m ath. W iss. 9, 241— 274, 1899). Die Gründung eines „Jahrbuches für die negativen Fortschritte der Mathematik“, wie Herr F. K l e in es zu nennen vorschlug, sei hiermit den Fachgenossen, die sich für die Geschichte unserer Wissenschaft interessieren, dringend ans Herz gelegt,

Zweck der vorhergehenden Ausführungen war in erster Linie der, zu zeigen, welche eingehenden Vorstudien, welche umfangreichen Vorarbeiten ein mathematisch-historisches Werk erfordert zumal wenn es ein so umfangreiches Gebiet behandeln will, wie das der Elementar-Geometrie ist. Soll „eine möglichst vollständige Gesamtdarstellung der Elementar-Geometrie nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten“, wie sie die EncyUopädie verlangt, gegeben werden, so teile man die Arbeit. Nur durch die Beschränkung auf ein kleines, scharf abgegrenztes Gebiet, auf ein spezielles Problem oder eine spezielle Theorie ist dem Einzelnen möglich, das Verlangte auszuführen. Mustergültig in der Herbeischaffung des Materials und in der Verarbeitung desselben ist z. B. die Urkundensammlung zur Vorgeschichte der nichteuklidischen Geometrie, die Herr P. St ä c k e l in Gemeinschaft mit Herrn Fr. E n g e l unter dem Titel: Die Theorie der Parallellinien von E u k lid bis a u f G auss, Lpz. 1895, veröffentlicht hat. Erst mehrere solcher sorgfältig ausgeführten Vorarbeiten könnten die Bausteine bilden für eine wissenschaftliche Geschichte der Elementar-Geometrie. Durch das Buch des Herrn S lmon gewinnen wir nicht ein Bild von der Entwickelung der Elementar-Geometrie im XIS. Jahrhundert. Die einleitenden Bemerkungen zu den einzelnen Abschnitten geben keine Vorstellung von den neuen Ideen in dieser Disziplin, geschweige denn von einer chronologischen Folge der Entdeckungen oder gar von einem Zusammenhang der neuen Ideen, als Glieder der Entwickelung. Hätte Herr S im o n das von ihm gesammelte Material dazu verwertet, eine möglichst vollständige, systematisch geordnete Bibliographie der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert herzustellen, so hätte er sich ein größeres Verdienst um die mathematisch historische Forschung erwerben können. Es wäre dadurch wenigstens eine literarische Geschichtsschreibung der Elementar-Geometrie vorbereitet. Eine wissenschaftliche Geschichtsschreibung ist, wie Herr E n e s t iiü m in einem Aufsatze der B ibi. M ath. (3) 2, 1901, 1— 4, bemerkt, immer mit fast unüberwindlichen Schwierigkeiten verbunden.

Friedenau. F e l ix M ü l l e r .


Neuerschienene Schriften,Das Zeichen * bedeutet, daß die betreffende Schrift der Redaktion nicht Vorgelegen hat.

Autoren-Register.Ahrens, 50.Alasia, 70.Al-Hadschdschadsch, 28. Al-Narizi, 28.Ainodeo, 6 6 , 70.Aubry, 8 .Baillaud, 64.Berry, 16.Besthorn, 28.Bonola, 12.Borghorst, 24.Bosmans, 37.Bourget, 64.Brahe, 38.Buhl, 75.Cajori, 7.Cantor, 6 , 7.Charlier, 21.Duhem, 13, 33, 44.

Dyck, 82.Eneström, 1,31,32,36,45. Euklides, 28.Favaro, 40, 41, 43. Fehr, 76.Fourrey, 9.F ra ttin i, 71.Friis, 38.Frizell, 83.Gambioli, 16.Gauss, 56.Geer, 46.Gerland, 49.Günther, 7, 77.Hayashi, 18, 52, 55. Heath, 25.Heiberg, 28.Hermite, 64.Hilprecht, 20.

Jackson, 35.Jäger, 69.Kaller, 69.Kistner, 14.Klein, 57.König, 72. Königsberger, 63. Lampe, 3, 73.Landau, 65.Lazzeri, 74.Leibniz, 49.Loria, 2, 10, 17. 47. Lucas de Pesloüan, 58. Mansion, 19. Marcolongo, 6 8 . Maseart, 48. Millosevieh, 16.Muir, 51, 61, 62.Müller, C. H., 80.

Müller, F., 60.Ricci, 53.Kicharz, 72.Schmidt, M., 22.Simon, 54.Smith, 34.Stieltjes, 64.Strobel, 5,Suter, 30.Tannery, P., 78. Teixeira, 11.T ittel, 23.Tramer, 50.Voss, 67.W 9 Q r/i *40Wiedemann, 15,26,27,29.

a) Z e itsch r iften . A llg e m e in e s .

Bibliotheca Mathematica. Zeitschrift für Geschichte der mathematischen Wissenschaften. Herausgegeben von G. E ne- stböm. Leipzig (Stockholm). 8°. [1

73 (1907) : 3.Bollettino di bibliogiafia e storia delle

scienze matematiche pubblicato per cura di G. L oeia . Torino (Genova). 8 °. [21906 : 3 -4 .

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, herausgegeben von E. Lampe. Berlin. 8°. [8

35 (1904): 3.Atti del congresso internazionale di scienze

storiche (19u3). Volume XII (1904). [Rezension:] Arch. der Mathem. 113, 1906, 127—128. (E. L a m p e .) [4

Adreßbuch der lebenden Physiker, Mathematiker und Astronomen, zusammengestellt von Fit. S t r o b e l (1905). [Rezension:] Arch. der Mathem. I I 3, 1906, 96—97. (E. J a h n k e ) . [5

Cantor, M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Erster Band. Von den ältesten Zeiten bis zum Jahre 1200 n. Chr. Dritte Auflage. Leipzig, Teubner 1907. [6

8°, VI + 941 S. + Taf. — [24 Mk.] — l 2 (1894). [Kleine Bemerkungen:] Biblioth. Mathem. 73, 1907, 282— 286. (G . E n e s t r ö m , A. S t u r m .) — 22 (1900). [KleineBemerkungen :] Biblioth. Mathem. 73 , 1907 , 286 — 296. (G.

E n e s t r ö m , C. Gi’önth.ad.) — 3 2 (1901). [Kleine Bemerkungen:] Biblioth. Mathem. 73, 1907, 296—308. (G. E n e s t r ö m .)

Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, herausgegeben von M. C a n t o r . Vierter Band. Von 1759 bis 1799. Erste Lieferung. Geschichte der Mathematik. Von S. G ü n t h e r . Arithmetik, Gleichungslehre, Zahlentheorie. Von F. C a j o r i . Leipzig, Teubner 1907. [7

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27*

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80. — [ 8 lire ] — [Rezension:] Periodico di matem. 22, 1907, 191. (12.)

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Jahrbuch für Photographie (Halle) 1 9 0 6 . 7 S. Über einen T rak ta t vou A b u O t m a n A m k

i b n B a h r a b G a h i z ( f 8 6 9 ).

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8" , (1) + 1 4 8 S.Wiedemann, E ., Ib n a l H aitam , ein a ra

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Biblioth. Mathem. 73, 1 9 0 7 , 2 5 2 — 2 6 2 .

E neström , G ., Ü ber die Bezeichnung gew öhnlicher B rüche im christlichen M itte la lte r n ach d er E in fü h ru n g a ra b isch er Ziffern. [32

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Ed. 4 (1 9 0 6 ) . [Rezension:] Biblioth. Mathem. 7S, 1 9 0 7 , 3 1 0 — 3 1 2 . (G. E n e s t r ö m . ) [3 4

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Biblioth. Mathem. 7 3 , 1 9 0 7 , 3 0 9 . — Anfrage.

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Wissenschaftliche Chronik. 423


Ernennungen.— Professor J . A d am cz ik in Pribram zum

Professor der G eodäsie an der deutschen Technischen H ochschule in Prag.

— E. F . A dam s in C am bridge , Massi zum Professor der P h ysik am „Oberlin college“ .

— Professor W . B je r k n e s in Stockholm zum Professor der m athem atischen P h ysik an der U n iversitä t in K ristian ia .

— Privatdozent W . D o n le in München zum Professor der P h y sik an der A rtillerie- und Ingen ieurschule daselbst.

— P rivatdozent T . T . F r i e s e n d o r f f in St. P etersb u rg zum Professor der an gewandten M athem atik am elektrotechnischen Institu t daselbst.

— Privatdozent E . H o lm g re n in U psala zum Professor der M athem atik an der U niversität daselbst.

— Professor J . Ch. H u b b a rd in N ew Y o rk zum Professor der P h y s ik an der „C lark u n iversity“ in W orcester.

— Professor M. L e r c h in F re ib u rg (Schweiz) zum Professor der M athem atik an der böhm ischen T echnischen H ochschulein Brünn.

— Dr. R . E . L o v in g zum Professor der Ph ysik am „C ornell co llege“ , Iow a.

— Dr. L . M a r c h is in B ord eau x zum Professor der a llgem einen P h y s ik an der „Facu lté des sciences“ daselbst.

— Professor R . M ü l l e r in B rau n sch w eig zum Professor der darstellen den Geom etrie an der Technischen H ochschule in D arm stadt.

— Privatdozent N . N ie ls e n in Kopenhagen zum Professor der M athem atik an der U niversität daselbst.

— „In structor“ P. N . P e c k an der „George W ashington u n iversity“ zum Professor der M athem atik daselbst.

— D irektor T h . L. P i c a r t in Bordeaux zum Professor der Astronom ie an der„Facu lté des sciences“ daselbst.

— Dr. A. L . R o t c h in Cam bridge, Mass. zum Professor der M eteorologie an der„H arw ard u n iversity“ daselbst.

— Professor C. K . R u ss ia n in Lem bergzum Professor der M athem atik an derU niversität in Charkow.

— Professor E . R u t h e r f o r d in M ontreal zum Professor der P h ysik an der „V ictoria university“ in M anchester.

— Privatdozent A . S c h u lz e in M arburg zum Professor der Ph ysik an d erü n iversität daselbst.

— Professor R . W a c h s m u th in Berlin zum L eiter der physikalisch en A bteilung des Ph ysikalisch en V ereins in Fran kfu rt am M ain.

Todesfälle.— W ilh e lm v o n B e z o ld , Professor der

M eteorologie an der U niversität in Berlin , geboren in München den 2 1 . Ju n i 18 37 , gestorben den 17 . Febru ar 1907.

— A l b e r t o B r a c c i f o r t i , Lehrer der M athem atik in P iacenza, gestorben in P iacenza den 29. Septem ber 1906.

A g n e s M a ry C le r k e , V erfasserin astronom ischer Arbeiten, geboren den 10 . F e bruar 1842, gestorben den 22. Ja n u a r 1907.


— U g o D a i n e l l i , Professor der M athem atik am „Istituto tecnico“ in Rom , g e storben in Rom im Dezem ber 1906.

— E nno J ü r g e n s , Professor der M athem atik an der Technischen H ochschule in Aachen, geboren in Oberstein den 30. M ärz 1849, gestorben den 5. Ja n u a r 1907.

— F r a n ç o is Le R o u x , früher Professor der Ph ysik an der „Ecole de p h arm acie“ in Paris, geboren in P a ris den 4. Ja n u a r 18 32 , gestorben daselbst im Ja n u a r 1907.

— J o se p h L y o n , Privatdozent der M athem atik an der U niversität in G en f, ge storben in G en f den 26. Ja n u a r 1907, 49 Jah re alt.

— E . B . Mc C l e l l a n , A ssistent am „R ad cliffe observatory“ in O xford, gestorben den 2. Ja n u a r 1907, 45 Ja h re alt.

— G e o rg e B . Mc E i.iioy , früher Professor der M athem atik am „A d rien College“ , gestorben den 29. Ja n u a r 19 0 7 , 86 Ja h re alt.

— A m édée M an n h e im , früher Professor der Geometrie an der „ Ecole polytechn ique“ in P a ris , geboren in P a ris den17 . Ju l i 1 8 3 1 , gestorben daselbst den1 1 . Dezember 1906.

— J e a n A b ra h a m C h r é t i e n OuuemAns, früher D irektor der Sternw arte in U trecht, geboren in Am sterdam den 16 . Dezember 18 27 , gestorben den 14 . Dezem ber1906.

— A r t h u r W i l l i a m P a n to n , „lectu rer in m athem atics“ am „T rin ity C o lle g e “ in D ublin, geboren 1846, gestorben in D ublin den 18 . Dezember 1906.

— A dam P a d ls e n , D irektor des m eteorologischen Instituts in Kopenhagen, geboren in N yborg den 2. Ja n u a r 18 3 3 , gestorben in Kopenhagen den 1 1 . Ja n u a r 1907.

— S a l v a t o r e P o r c e l l i , früher Professor der darstellenden Geom etrie am „Istitu to tecnico“ in T rapan i, geboren in Palerm o den 1 1 . N ovem ber 18 4 3, gestorben daselbst den 1 . Ja n u a r 1907.

— J . P ö s c h l , Professor der P h ysik an der Technischen H ochschule in Graz, g e storben 1907, 79 Ja h re alt.

— J o h n K rom R e e s , Professor der A stronomie an der „C olum bia u n ive rsity “ in N ew Y o rk , geboren 1 8 5 1 , gestorben den9. März 1907.

— H e n r y C h a m b e r la in R ü s s e l , R eg ieru n g sastronom von N ew South W ales, geboren in M aitland den 17 . M ärz 18 36 , gestorben 1907.

— M o r i t z S t e in s c h n e id e r , früh er D irektor der jü d isch en T öchterschu le in B erlin , geboren in Proßnitz (Mähren) den 30. März 1 8 1 3 , gestorben in B e rlin den 24. Januar1907.

— F . P . H. S t i r l i n g , Professor der M athem atik am „C h ristian C o lle g e “ i n M adras, g e s to r b e n 19 0 7, 26 Ja h re alt.

— A n to n S ü c h a r d a , frü h er Professor der M ath em atik an der böhm ischen T echnischen H ochschule in B rü n n , geboren in M rienä (Böhm en) den 3. Oktober 18 5 4 , gestorben in P ra g den 19. F eb ru ar 1907.

— H e n r y D a v is T o d d , früher D irektor des „N a u tica l a lm an a c“ , gestorben in A nnapolis den 8. M ärz 19 0 7, 69 Ja h re alt.

— A u g u s t W e i le n m a n n , Professor derP h y sik am Po lytech n icum in Zürich , geboren in K nonau den 9. Ja n u a r 1843, gestorben in Zürich den 10 . N ovem ber 1906.

Vorlesungen über G eschichte der m athem atischen W issenschaften.

— A n der U n iversitä t in B e rlin hatPro fessor J . K n o b la u c h fü r das Som m ersem ester 190 7 eine V o rlesu n g über L e o n h a r d E u l e r s W erk e und ihre Bedeutung für die neuere M ath em atik an gekündigt.

— A n der U n iversitä t in B erlin hatP rofessor W . F ö r s t e r fü r das Som m ersem ester 190 7 eine zw eistün dige Vorlesung ü ber G eschichte der neueren Astronom ie angekündigt.

— A n der U n iversitä t in H eid elb erg hat Privatdozen t K . B o p p im W intersem ester 19 0 6 — 1907 eine V o rlesu n g über G eschichte der M ath em atik bei den G riechen gehalten und für das Som m ersem ester 1907 eine V orlesu n güb er G esch ichte derln fin itesim al- rechnung von L e ib n iz b is L a g r a n g e an gekü ndigt.

— An der U n iversitä t in L e ip z ig hat Pro fessor H. Z im m ern fü r das Som m ersem ester 1907 eine V o rlesu n g über die A stronom ie der B ab y lo n ier an gekün digt.

Wissenschaftliche Chronik. 4 2 5

— Académie des sciences de P aris. Des p rix ont été décernés à MM. H . P a d é , R . d e M o n d e ssu s et A . A u r ic pour leurs m ém oires sur le su je t: „Perfectionner en quelque point im portan t, l ’étude de la convergence des fractions continues a lg éb riq u es“ .

Preisfragen gelehrter Gesellschaften.

— Société hollandaise des sciences à Haarlem. Concours de l ’année 1908. Com m et d o it-o n p lacer p \ N sphères de rayon R \ et p 2 N sphères de rayon A'2 (N étan t un nom bre indéterm iné) pour qu ’ensem ble elles occupent un espace aussi restre in t que po ssib le? Quelles sont, si elles ex isten t, p i et p-2 étant donnés, les rapports critiques entre R i et pour lesquels une légère variatio n de ce rapport ex ige une disposition tout à fa it différente des sphères pour arriver au p lus petit espace?

— Académie des sciences de Paris. Concours de l ’année 1909. L ’invariant

Gekronte Preisschriften. absolu qui représente le nombre des inté- g ia les doubles distinctes de seconde espèce d ’une surface algébrique dépend d ’un invarian t re la t if p, qui joue un rôle im portant dans la théorie des intégrales de d ifférentielles totales de troisièm e espèce et dans celles des courbes algébriques tracées sur la surface. On propose de fa ire une étude approfondie de cet invarian t, et de chercher notam m ent comment on pourrait trouver sa valeur exacte, an moins pour des catégories étendues de surfaces.

— Académie des sciences de Danemark à Kjübenliavn. Concours de l ’an 1908. Un travail com plétant par des résultats nouveaux la théorie d ’un plan ou d ’une surface algébrique dont les points se correspondent réciproquem ent.

Vermischtes.— A n der U niversität in B ern hat sich

Fräu lein G e r t r u d W o k e r als Privatdozent für Geschichte der Chemie und P h ysik habilitiert.

426Namenregister.

Namenregister.

A b b e , E ., 3 16 .Abbo, 285, 286.Abel, N . H., 77, 2 0 1, 2 1 7 — 2 19 , 2 2 1, 3 15 ,

4 2 1.A brabam , M., 20 1.Abraham bar C hijja, 403.Abranson, 372.Abu G afar el-Chazin, siebe ol-Chazin.

Abul Dschud, 284.A bulfarag, siehe Bar-Hebrseus.Abul W efa, 99, 205.Abu Otman Am r ibn B ah r al Gahiz, 420. Abu Z ak arija el-H assar, siehe el-H assar. Adam czik, J . , 423.Adam s, E . F ., 423.Adeodatus, 285. d ’Adhém ar, R ., 105 , 107 .Ä gid i, L ., 16 5 , 166, 17 5 , 18 2 , 18 4 , 189. Ahmed ben Ju su f, 384.Ahm ed ben M usa ben Sch akir, 1 18 . Ahrens, W ., 15 7 , 3 13 , 3 14 , 3 16 , 4 19 , 4 2 1. A la-E d d in A li-K osch dji, siehe A l-K oschdji. A lasia, Ch., 10 5 , 108 , 4 19 , 422.A lbattani, 105 , 106.A lbert von Sachsen, 287, 3 8 1. d ’Alem bert, J . R , 2 0 1.A lexander von A frodisias, 378. A lexejew skij, W . P ., 223.A lgoritm i, siehe A lkhw arizm i. Al-H adschdschadsch, 4 19 , 420.A li ben Ahm ed el-N asaw i, siehe el-N asaw i A lk alsad i, siehe el-Q alasadi.A lkarchi, 36, 1 1 3 , 258, 385.A lkasch i, 284, 285.Alkhw arizm i, 30, 3 1 , 35 , 36, 46, 56, 86,

87, 96, 2 0 4 -2 0 6 , 2 1 1 , 258, 284, 288, 3 15 , 383.

A l-K osch d ji, 285.A llen , R . B ., 223.A lm agiä , R ., 220, 2 2 1 .A l-N airiz i, siehe N eiriz i.A lnasaw i, siehe el-N asaw i.A ly, F r , 10 5 , 108.A m aldi, ü ., 4 19 .Am es, L . D., 3 17 .Am iot, B ., 2 0 1.Am m onios, 203.Am odeo, F ., 10 5 , 10 9 , 220, 3 1 3 , 3 1 5 , 3 19 ,

4 19 , 422.Am pere, A . M., 10 7 , 2 0 1.A n aritiu s, siehe N eiriz i.A natolios, 388, 420 Andalo di N egro, 382.A n ding, E ., 1 1 0 .A ndronikos Paleó logos, 8 1 . d ’A ngers, D , 376.A nthem ios, 225, 228, 230 — 233, 420. A p astam ba, 6, 7, 9, 10 , 14 , 1 6 — 18 . A pianus, P , 392 , 393.A pollonios, 50, 220, 228, 2 3 2 , 2 3 3 , 329,

340, 4 1 1 .A p pel, J . , 10 5 , 10 6 , 220, 2 2 1.A p pell, P ., 2 0 1 , 3 1 3 , 3 16 .A p puleius, 282, 289.A rago , F r ., 15 7 , 1 7 1 , 1 8 1 , 190 , 376. A rbogast, L. F . A ., 2 16 .A rchenhold, F . S., 2 0 1.A rchim edes, 1 1 , 50, 68, 98, 10 0 , 1 0 1 , 2 0 1,

2 33 , 32 0 — 322 , 3 4 2 - 3 6 3 , 405, 4 1 1 , 420. d ’A rco, C., 386.A rgan d, J . R ., 269.A ristoteles, 2 1 , 86, 106 , 2 2 1 , 344, 356 , 378,

3 8 1.A rnauld, A ., 2 15 , 297.

Namenregister. 427

Arneth, A ., 4 10 .Aronhold, S. H., 2 0 1.A tab -E d d in D scham schid , 284, 285.A tel hart von B ath , 83, 84, 96, 206, 399. A u b ry, A ., 3 1 3 , 3 15 , 4 1 1 , 4 19 .A uersw ald , A . von, 16 5 , 18 1 .A ugust, E . F ., 4 1 1 .A ugustinus, 285.A uric , A ., 425.A utolykos, 4 1 1 .Avicenna, 8 1.

f la c h e t de M eziriac, C. G., 10 5 , 10 7 , 294, 3 1 1 .

Bachm ann, P ., 69.Backer, A . de, 45.Bacon, R ., 2 10 , 2 2 1 , 3 14 .B aillau d , B ., 10 5 , 108 , 3 1 3 , 3 16 , 4 19 , 4 2 1. B a illy , J . S., 159 , 18 7 .B aire , R ., 2 0 1.B a ld au f, G., 220, 2 2 1 .B a ld i, B ., 10 7 , 255.B a ll, R ., 20 1.B a ll, W . W . R ., 10 5 , 106 , 220, 3 13 , 3 14 . B altzer, R ., 4 13 .Bardeleben, von (d. Ä .), 1 8 1 .Bardelehen, von (d. J .) , 17 5 , 1 8 1 , 187 . Bar-H ebrseus, 3 1 3 , 3 14 .Barnes, H. T ., 223.B arrow , I., 106 , 377.B asin gstocke, siehe Joh an n es B asingstocke. B asn age de B eau val, H., 2 7 1 , 276, 278. Batem an, H., 367.B attag lin i, G., 4 17 , 422.B audhayana, 6, 9, 14 , 17 , 18 , 23.Bauer, G., 1 1 0 , 422.B ayard , 138 .B ayer, T. S., 13 7 .B ay le , P ., 45.Beaune, R . de, 44, 46.Beaune, siehe D ebeaune.B ecker, J . C., 4 13 .B eckerath , H. von, 1 6 1 , 18 1 .B eiger, Chr., 2 3 1 , 2 33 .B e llav itis , G., 10 8 , 4 13 .Beltram i, E ., 3 16 .Bem an, W . W ., 263.Bened ict, Suzan R ., 2 1 1 , 3 1 3 , 3 14 . Benzenberg, J . F ., 2 0 1.

B erg , O., 1 1 1 , 3 19 .Bornelinus, 82, 206.Bernhardt, 169.Bernoulli, D., 12 6 — 13 2 , 134 , 13 7 , 142 , 144,

14 5 , 14 7 , 15 3 , 3 13 , 3 15 .Bernoulli, Jacob , 72, 106, 13 5 , 277. Bernoulli, Joh ann I, 106, 13 3 , 1 3 5 — 13 7 ,

13 9 , 14 0 , 14 5 , 14 6 , 1 5 1 - 1 5 5 , 20 1, 2 7 6 - 2 7 8 , 303, 304, 3 1 1 , 376.

Bernoulli, Joh ann II, 13 2 .Bernoulli, Joh ann III, 126 , 13 2 .Bernoulli, Joh ann (in Bern), 372. Bern ou lli, N ikolaus I, 13 5 , 305.Bernstein, F ., 1 1 1 , 2 0 1, 3 14 .Berr, H., 220, 2 2 1.B erry, A., 2 0 1, 4 19 , 420.Bertolotti, A ., 2 9 1, 386.Bertram , H., 4 16 .Berzolari, L ., 10 5 , 108.Bessel, F . W., 15 7 , 158 , 17 3 , 18 3 , 2 0 1, 258. Bessler, 139 .Besso, D., 3 16 , 3 18 , 422.Besthorn, R . O., 4 19 , 420.Beughem , C., 4 12 .B eys, G , 44, 45.Bezold, W . von, 423.Bezout, E ., 409.B haskara, 19 .B ianchi, L., 20 1.B ielopolsk ij, A . A ., 10 5 , 108.B ierens de Haan, D., 2 1 1 , 384.Bierm ann, O., 20 1.R iernatzki, 4 10 .B igo llo , Guilelm o, 286.B igollo , Leonardo, siehe Pisano.B illw ille r, R , 108.B iot, J . B ., 299.B irch by, W . N ., 10 5 , 107.B ism arck , O. von, 157 .B jerkn es, C. A ., 2 17 , 2 18 .B jerkn es, W ., 423.B jörnbo, A. A ., 24, 25, 34, 92, 3 14 , 384,

4 0 1, 402.B lanchet, A ., 4 14 .B lich feld t, H. S., 223.B liedner, 10 5 , 108 , 220, 2 2 1 .

Blum e, F , 4 1 1 .B lum enthal, O., 2 0 1, 3 19 .Bobynin, Y . V ., 220, 4 10 .

428Namenregister.

Bocher, M., 3 13 .Böckh, A., 174 .Bodelschw ingh, 18 1 .Boetius, A. M. T . S., 283, 286, 287, 379,

384, 388, 400, 403.Boliler, 0 ., 2 0 1.B oll, F ., 106.Boltwood, B. B ., 1 10 .Boltzmann, L ., 3 16 , 3 18 , 422.Bolyai, .T., 108 , 222.Bom belli, R , 377.Bonacehinghi, 286.Bonaccio, A „ 286.Bonaccio, B ., 286.Bonaini, F ., 255, 257.Boncom pagni, B ., 25, 30, 35, 36, 83, 8 7— 89,

96, 206, 2 16 ,2 4 0 , 245, 248, 2 5 5 - 2 5 8 ,2 8 3 , 288, 294, 377, 382, 4 0 1, 402, 4 10 , 4 1 1 ,

4 17 .Bonola, R ., 3 1 3 , 3 16 , 4 19 .Boole, G., 20 1.Bopp, K ., 403, 424.Borei, E ., 20 1.Borghorst, G., 4 19 , 420.Borsig, 168.Bosm ans, H., 44, 9 1 , 10 5 — 107 , 2 1 1 , 2 14 ,

220, 2 2 1 , 294, 3 1 3 — 3 16 , 384, 385 , 389, 390, 397, 4 19 , 4 2 1.

Bosscha, J . , 10 5 , 107 .Bossert, J . F ., 3 18 .Bossut, Ch., 256, 408.Bostow, siehe Posto.Bourget, H., 10 5 , 10 8 , 3 1 3 , 3 16 , 4 19 , 4 2 1. Bourget, J . , 4 17 .Bourlet, C., 3 17 .Bouvelles, Chr. de, 384.Boyd, P . P., 3 17 .Boyer, J . , 373, 410 .Bracciforti, A., 423.Bradw ardin , Th. de, 2 52 — 254, 26 1. B rahe, T yge , 387, 3 9 1 , 4 19 , 4 2 1. Brahm agupta, 4 1 1 .Brass, A , 1 6 1 , 16 2 .

Braunm ühl, A. von, 94, 284, 3 0 1 , 302, 3 12 , 3 15 , 387.

Brechtei, Chr. F ., 3 9 1.B red ich in , F . A ., 108.Brendel, M., 2 0 1, 4 2 1.Bressieu, M., 50, 60, 6 1.

B retschneid er, C. A ., 23 , 378.Brianchon, C. J . , 2 0 1 .B rill , A . von, 2 0 1 , 4 12 , 4 13 , 4 16 .Briosch i, F ., 15 7 , 2 0 1.B rio t, Ch., 4 14 .B rocard , H., 10 5 , 10 7 , 253 , 372.Broden, T ., 2 0 1 , 223.Brom w ich, T. J . I ’a, 2 0 1 , 320.B ronchorst, J . , 290.B rouncker, W ., 308.Brow n, E . W ., 3 17 .Bruckn er, I., 1 4 1 .B ru ckn er (Frau), 13 4 .Bru lins, C. Chr., 180 .Brunet, J . Ch , 55.B ryson , 378Bubnov, N ., 82, 84, 204, 207, 285, 286. B üch el, C., 10 5 , 106.Buchholtz, A ., 160 .B u ga je ff, N ., 10 8 .B u gge , T h ., 408.Buhl, A ., 4 19 , 422.Büh ler, 18 .Bum stead, H. A , 1 1 0 .Bunsen, Chr. K . J . von, 1 6 1 .B u ra li-F o rti, C., 2 0 1.B urckh ard t, F r ., 372.B ü rg i, J . , 392.

! B urgund (Herzog von), 296, 297.B ü r ja , A ., 409.B ürk , A ., 6— 8, 12 , 1 5 , 17 , 18 , 22, 23. Burkh ard t, H., 3 1 3 , 3 15 .B ursian , K , 4 10 .B üsch, J . G., 408.B usch, W ., 16 7 .Busse, F . G. von, 409.Buteon, J . , 62, 64, 9 1.B u tterfie ld , A . D., 3 1 3 , 3 14 .B y e r ly , W . E ., 2 0 1 .

C ad h i-Z ad eh e l- R u m i, siehe K ad isad eh el-Rum i.

C agnoli, A ., 409, 4 16 Cahen, E , 69, 70.Cajori, F ., 4 19 , 4 2 1.C allan dreau , O., 108.C alogerä, A ., 4 18 .Cam pano, J . , 287, 380, 384.Cantor, G ., 2 0 1 , 3 16 , 4 12 .

Namenregister. 4 29

Cantor, M., 6, 8, 9, 1 1 , 12 , 1 8 — 2 1 , 25, 3 4 - 3 6 , 38 — 42, 46, 50, 58, 8 0 - 9 0 , 92— 96, 100 , 1 0 1 , 10 3 , 10 5 , 1 1 3 , 1 1 7 , 1 1 8 , 2 0 3— 206, 20 8 ,20 9 , 2 1 1 — 2 13 , 220, 2 3 3 , 252 — 2 56 , 258 — 2 6 1 , 264, 269, 28 2— 284, 287, 289— 293, 296— 302, 304, 3 0 5 , 3 0 7 , 30 8 , 3 1 1 , 3 1 3 , 36 6 , 367^ 377 — 3 3 1 , 3 8 3 , 38 4 , 390 — 39 2 , 394, 398— 405, 407, 4 1 1 , 4 15 , 4 19 .

Capozzi, D., 10 5 , 107 .Cardano, G., 38, 40, 42, 43, 5 1 , 54, 56,

65, 66, 2 12 , 2 13 , 289, 2 9 1— 293, 309, 377, 385, 387.

Carnot, L . N. M., 15 7 .Carracido, J . R , 220, 222.Carrara, B ., 10 5 — 10 7 , 3 1 3 , 3 15 .Casey, J . , 2 0 1.Cassini, J . , 146.Cassiodorius, 289, 404, 405.Castelnuovo, G., 2 0 1.C astillon, G. F . M. S . de, 4 15 .Castle, F ., 4 14 .Cauchy, A L ., 10 7 , 2 0 1 , 356 .C avalieri, B , 100 , 106.Cavellat, G., 48.C ayley, A ., 2 0 1 , 220, 222.Cesäro, E ., 2 0 1, 3 16 , 3 18 , 422.Chapm an, J . , 373 .Charlier, L ., 4 19 , 420.Chase, M abel, 3 17 .Chasles, M., 24, 25, 34, 2 0 1, 204, 207, 377. Chauveau, J . B ., 3 15 .Chozaburo, siehe N akashim a.Christ, 285.Christoffel, E . B ., 20 1.Cicero, 159 .C lairaut, A ., 13 3 , 14 2 , 146.C laparede, E , 220.C lavius, Chr., 65.Clebsch, A ., 2 0 1.Clerke, Agnes, 423.Coar. H. L ., 3 17 .Coignet, M., 397.Collins, J „ 299, 39 3, 394.Colpitts, C. E ., 223.Columbus, Chr., 221.Colum ella, 103 .Comte, A ., 108.Comtino, siehe M ordechai.

Condorcet, M. J . A. N. C., 157 .Constantin von Fleury , 82.Cook, T ., 373.Cooke, H. L ., 3 17 .Copeland, R ., 3 16 .Cornu, A , 108.Cossali, P ., 88, 256.Cotes, R ., 3 1 1 .Courtin, J . , 46.Crelinger, L ., 166, 168— 17 3 , 17 7 — 180, 185,

186 , 188, 189.Crelle, A . L ., 4 14 .Cremona, L ., 108 , 15 7 , 20 1.Crouzas, J . P ., 303.Cunningham , A., 320.Curie, P., 111 .Curtius, Ja c ., 3 9 1.Curtze, M., 24, 3 3 — 37, 40, 85, 95, 97— 99,

205, 206, 235, 2 4 0 -2 4 8 , 250, 253, 287, 288, 392, 396, 399.

Czuber, E ., 3 13 , 3 15 , 4 16 .

D ag o m a ri, P ., 259.D ainelli, U., 422, 424.D alw igk , F . von, 3 1 3 , 3 16 .Darbes, 372, 373.Darhoux, G., 105 , 108 , 2 0 1, 4 10 , 4 17 . Darchow, C., 373.Darwin, Ch., 409.Dauge, F ., 4 13 .Debeaune, F ., 276, 277.D egli A celli, G. C., 386.Dehn, M., 2 0 1.De la Croyere, 14 5 , 154 .D elam hre, J . J3., 416 .De la Y a llee Poussin, Ch. J . , 2 0 1, 2 19 . D el Ferro, Sc., 3 8 - 4 0 , 42, 43, 2 2 1 , 29 1. D elisle, J . N ., 14 5 .Del N ave, A ., 40.Del Pezzo, P ., 20 1.D em okritos, 323 , 344.Dersch, O., 2 0 1.D erschau, von, 180.D esargues, G., 20 1, 3 15 .D escartes, R ., 107 , 144, 2 2 1 , 2 7 1 , 274, 276,

295, 300, 306, 364, 377.

D iachasim us, 396.D ickstein , S., 10 5 , 108, 4 10 .D iensterw eg, F . A. W ., 168.

430 Namenregister.

Dillner, G., 1 1 1 , 4 14 .Dini, ü ., 20 1.Diofantos, 55, 59, 60, 86, 106, 294, 302,

307.Diokles, 233.D irichlet, P . G. L ., 76, 160, 2 0 1, 2 18 , 2 19 ,

3 16 , 376.Dixon, A. C., 320.Dodd, E . L ., 20 1.Dominicus de Clavasio, 252— 254.Donle, W ., 423.Dositheos, 342.Dove, H. W ., 16 3 , 168, 179 , 18T, 18 3 , 189. Drachmann, A. B , 3 2 1 .Drobisch, M. W ., 4 13 .Droysen, J . G., 158 .Drude, P., 3 16 , 3 18 , 422.Dubois, 374.Du B ois Reym ond, P ., 20 1.Dubem, P ., 24, 34, 1 0 5 - 1 0 7 , 2 0 1 , 220,

254, 3 1 3 — 3 15 , 3 8 1 , 4 0 1, 4 1 9 - 4 2 1 . Dulac, H., 1 10 .Dupin, P. Ch. F ., 15 7 .Dupin, 374.Dupuy, L ., 225, 232.Dürer, A., 120 , 12 2 , 124 , 3 14 .Du V erdier, 45.Dyck, W . von, 3 1 3 , 3 16 , 406, 4 19 , 422.

E b e rh a rd , J . P ., 4 12 .Eichhorn, J . A . F . von, 17 0 — 17 2 , 18 1 . Eisenlobr, F ., 108.Eisenstein, G., 160.E l-B agd ad i, 234, 235, 396, 420.E l-B iru n i, 99.El-Chazin, 396.El-H aitam , 2 2 1 , 420.El-H asan ben el-Hosein el-H aqqaq el-M er-

wazi, siebe el-Merwazi.El-H assar, 99, 1 1 4 , 1 1 8 , 399.E l-K arch i, siebe A lkarcb i.El-M erw azi, 1 1 7 .

E l-N asaw i, 36, 37 , 1 1 3 - 1 1 5 , 1 1 7 - 1 1 9 , 26 1, 3 14 .

El-Q alasadi, 96, 99, 1 14 .E l-R u m i siehe K ad isadeh el-Rum i. E l-T usi, siebe N asireddin.Em pedokles, 4 1 1 .Eneström , G., 1, 22, 24, 38, 58, 80— 84,

8 6 - 9 5 , 97, 98, 10 5 , 10 7 , 10 8 , 1 1 3 , 1 19 , 126 , 19 3 , 2 0 3 - 2 1 6 , 2 19 — 2 2 1 , 240, 252, 254, 259 — 2 6 1, 263, 282— 294, 296— 309, 3 1 1 — 3 16 , 372 , 379 — 395, 397 , 406, 407,

4 10 , 4 1 8 - 4 2 1 .E n g e l, F ., 2 0 1, 4 18 .E n gelcke , B , 3 15 .Enneper, A ., 2 0 1.Enriques, F ., 20 1.E p ap b rod itu s, 4 1 1 .Ep steen , S., 223.Eratosthenes, 3 2 1 , 322 , 343 , 352 .Eudoxos, 32 3 , 344, 346, 362, 4 1 1 .E u k leid es, 2 1 , 27, 3 1 , 32 , 36, 48, 85, 86,

1 0 1 , 19 5 , 2 0 1 , 2 1 2 , 2 3 0 , 2 3 3 — 236, 238 — 240, 250, 2 5 1 , 254, 3 1 3 , 320 , 327 ,328, 344, 362, 377 , 384, 395, 396, 4 1 1 ,4 12 , 4 1 8 - 4 2 0 .

E u ler, L ., 69— 78, 106 , 10 7 , 12 6 — 13 2 , 1 3 4 - 1 3 7 , 1 3 9 - 1 4 2 , 1 4 4 — 1 4 7 , 1 5 1 — 15 3 , 15 5 , 19 2 , 2 0 1 , 2 2 1 , 307 , 308, 3 1 1 , 3 1 3 ,3 15 , 3 19 , 3 7 2 — 374, 376, 37 7 , 4 13 , 4 16 ,424.

E u ler, P ., 15 3 .Eutokios, 50, 203, 233 , 326.E ve, A. S., 223 .Everett, J . D ., 108 .

F a b e r , G ., 2 0 1 , 3 19 .Fab er, J . , siebe Lefevre .F a b ry , E ., 2 0 1.Fa lkson , F ., 158 , 166 , 17 2 , 18 3 , 19 1 .Fau lh ab er, J . , 389, 3 9 1 .Faure, H. A ., 2 0 1 .Favaro , A ., 106 , 2 16 , 3 1 3 , 3 1 5 , 3 19 , 385,

386, 4 1 1 , 4 19 , 4 2 1.Feddersen, B . W ., 4 12 .Feh r, H ., 3 15 , 3 16 , 372 , 37 3 , 4 19 , 422.Fe jer, L ., 2 0 1.

Ferm at, P . de, 67, 10 7 , 272 , 274, 308, 3 1 1 , 410 .

F e rra ri, G. S., 108.F e rrari, L ., 40, 42, 43, 90, 9 1 , 106 , 385.Ferroni, P ., 274.

F ib onacci, siehe Pisano.F ic lite , J G., 16 3 .F ied ler, W ., 2 0 1 .F ilo laos, 106 .

Filoponos, Joh an n es, 10 6 , 378.

Namenregister. 431

Fin k, K , 4 10 , 4 1 ‘2.F ish er, W ., 409.F'okion, 164.Fontana, M., 389.Fontes, J . , 65.Föp p l, A , 20 1.Förster, E ., 2 0 1 .Förster, W ., 1 1 1 , 3 19 , 424.Forstner, A. K . P . von, 4 16 .F orsyth , A . R ., 320.Fou cau lt, L ., 4 14 .Fourier, J . , 15 7 , 2 0 1.Fourrey , E ., 4 19 .Fran çais, F ., 2 16 , 3 15 .F ran ça is , J . F , 2 16 , 3 12 , 3 15 .Fran ch is, G. de, 223.F ran k lin , B ., 3 15 .Frattin i, G., 4 19 , 422.Fredholm , 1 , 3 17 .Fren ic le de B essy, B , 299, 300.Freund, L ., 105 , 220.Frick e , R ., 2 0 1, 4 14 .Fried län d er, L ., 17 2 .Fried lein , G., 2 1 , 204, 205, 283, 286, 290,

388, 4 1 1 , 4 12 .F ried rich W ilh elm IV , 1 6 1 , 17 0 — 17 5 , 180,

18 1 , 18 3 , 187 .Fries, J . F ., 108 , 2 2 1 , 3 15 .Friesendorff, T . T ., 423.F riis , F . R ., 387, 3 9 1 , 4 19 , 42 1.Frisch , C., 295.F risi, P ., 4 2 1.Frizell, A. B ., 4 19 , 422.Frizzo, G ., 290.Fubin i, G ., 1 1 0 , 2 0 1 , 223.Furtw än gler, Ph ., 2 0 1.Fuß, N ., 12 6 , 128 .Fuß, P . H., 1 2 6 - 1 3 1 , 14 2 , 15 3 , 19 2 , 2 0 1,

308, 372 , 373.Füter, R ., 2 0 1.

(»alan , G., 106.G alilei, G., 10 7 , 3 1 3 , 3 1 5 , 376, 397, 4 2 1. Gallenkam p, W ., 4 13 , 4 14 .G allois, J . , 300, 304, 394.Galois, E , 15 7 , 2 0 1 , 3 15 .Gam bioli, D ., 4 19 , 420.Garnier, J . G., 409.Gassendi, P ., 2 2 1 .

Gauss, K . F ., 105, 106, 108, 180, 2 0 1, 2 19 ,2 6 6 - 2 6 9 , 3 1 3 , 3 15 , 376, 4 18 , 4 19 , 4 2 1.

Geer, P . van, 3 13 , 3 15 , 4 19 , 42 1. Geminos, 233.G em m a-Frisius, R ., 54, 89.Genardus, siehe Gernardus.George, N. R ., 223.Gérard, L ., 3 13 , 3 15 .G erardus de Brussel, 402.Gerbaldi, F ., 20 1.Gerbert, 8 2 - 8 4 , 95, 204, 206, 207, 285.Gergonne, J . D., 2 0 1, 2 18 , 4 15 .Gerhardt, C. I., 272, 275, 299, 3 0 4 - 3 0 6 ,

390, 4 10 .Gerland, E ., 105 , 107 , 3 13 , 3 15 , 3 19 , 4 19 ,

4 2 1.G erling, Ch. L ., 408.Gernardus (Gernandus), 254, 260, 2 6 1, 40 1,

402.Gherardi, S., 40.Gherardo Cremonese, 240, 384, 40 1, 402 G herli, O., 408.Gibbs, J . VV, 108.G ilbert, L. W ., 408.G ilbert, S. G., 409.G ille, A ., 4 13 .G iordani, E , 385.Giordano, A., 4 16 .Giovanni Antonio da Como, 2 16 , 3 14 .G irard, A , 59, 3 1 1G laser, J . C., 170 , 17 5 , 179.Gm einer, J . A ., 1 10 , 220, 222.G odlewski, T ., 3 17 .Goldbach, Chr., 13 5 , 13 7 , 308.Goldm an, 376.Gompertz, C., 167.Gordan, P , 20 1.G öring, W ., 4 16 .G osselin ,G ., 4 4 - 5 1 , 55, 56, 5 8 - 6 2 , 6 4 - 6 6 ,

2 2 1 , 294.G oujet, C. P ., 46.Goursat, E , 20 1.Gouye, Th., 304.Graf, J . H., 220, 222.G räfe, F ., 3 19 .Graham , J . , 223, 4 14 .Gram m ateus (Schreiber), H., 2 2 1.

G randi, G., 94, 274.Grassm ann, H. G., 4 13 .

Namenregister.

G ravelaar, N. L. W . A ., 10 5 , 106, 3 1 3 , 3 14 .

Graves, Ch., 2 0 1.G ray, A ., 2 0 1.Green, G., 20 1.Gregorius X V I, 17 3 .G regory, J . , 92— 94, 304, 305.G reilach, S ., 3 13 .G riffiths, E . H., 320.G rim aldi, G., 256.Grollm ann, von, 168.Grönblad, C., 10 5 , 294, 295, 4 19 .

Gross, 132 .Grove, C. C., 3 17 .Grube, F ., 20 1.Grüner, F ., 223.Grunert, J . A ., 4 13 .Grünwald, J . , 3 17 .Grüson, J . Ph ., 408.Gua, J . P . de, 300.Gualterotti, R ., 4 2 1.Guderm ann, Chr., 4 16 .Gueroult, G., 3 1 3 , 3 16 .G uglielm ini, G. B ., 256.Guim aräes, R , 3 1 3 , 3 16 , 3 18 .Guldin, P ., 279, 353.Gundelfinger, S., 10 5 , 108.Günther, S., 99, 10 5 — 10 7 , 12 2 , 204, 4 12 ,

4 19 , 422.Gutton, 3 17 .Gutzm er, A ., 20 1.G ybertus, siehe Gerbert.

H a a s , A. E ., 105 , 106.H adam ard, J . , 2 0 1.H agen, J . G., 1 1 0 , 3 10 .H agen, K . H., 17 3 .H agenbach, A ., 1 1 0 .Hahn, H., 2 0 1.H aleke, P ., 306.H aldane, E . S., 220, 2 2 1 .H alley, E ., 370, 3 7 1 .H alliw ell, J . O., 34, 87, 377.H alm a, N. B ., 4 1 1 .H alsted, G. B ., 3 17 .H am berger, G. E ., 307.H am ilton, W. R , 2 0 1 , 376.H andm ann, E ., 372 , 373.H ankel, H., 8 , 1 1 , 2 1 , 3 1 1 , 4 1 1 .H ansen, P. A ., 19 2 , 2 0 1.

432H ansen -T aylor, M arie, 19 2 .H ardcastle, Fran ces, 3 1 3 , 3 16 .

H ardy, J- G., 223.H arm s, C., 4 13 .H arnack, A , 17 0 , 17 4 , 1 8 1 , 18 3 .H arriot, T ., 58, 307, 3 1 1 , 393.H arrison, T h ., 3 18 .H art, A . S., 2 0 1 .H artogs, F ., 2 0 1 , 3 19 .H artsin gius, P., 364, 365.H arzer, P . , 2 0 1 , 2 2 0 , 2 2 1 , 3 1 3 , 3 14 ,

36 4 — 366, 420.H asan ben M usa ben Sch ak ir, 1 1 8 .

H äseler, J F ., 408.H asenöhrl, F ., 1 1 0 .H askins, C. N ., 223.Hatono Söha, 364, 365.H auber, C. F ., 4 13 .H auck, G., 10 8 , 4 12 , 422.H ausdorff, F ., 2 0 1.H aw kes, H. E , 3 15 .H ayash i, T ., 10 5 — 10 7 , 3 1 3 , 3 1 5 , 4 19 — 4 2 1.

H eath, T ., 225, 4 19 , 420 H egel, G. W . F ., 18 5 .H eiberg, J . L ., 50, 85, 10 5 , 10 6 , 2 0 3 , 220,

2 2 1 , 225, 2 3 1 - 2 3 3 , 3 3 5 , 236 , 238, 240, 2 4 2 -2 4 4 , 250 , 2 5 1 ,3 2 1 ,3 2 2 ,3 4 2 ,3 4 4 - 3 4 6 , 349, 356 , 362, 363, 378 , 404, 4 1 1 , 4 19 ,

420.H eilbronner, J . C., 290, 397.H eine, H. E ., 2 0 1.H einrich , G., 94 H eld, F . W. A ., 1 6 1 .H eller, A ., 3 19 .H ellm ann, G ., 220, 2 2 1 H elm , G ., 10 5 , 106.H elm holtz, H. von, 3 1 3 , 3 16 , 4 2 1 .

H enrici, J . , 4 13 .H enrici, O., 320.H enry, Ch., 84, 96, 272 .H ensel, K ., 2 0 1.H erbart, J . F ., 17 3 , 4 13 .H erglotz, G ., 2 0 1.H erm ann, J . , 13 4 , 13 6 , 13 9 , 305 , 306. H erm es, O., 4 16 .H erm ite, Ch., 10 5 , 10 7 , 108 , 2 0 1 , 3 1 3 , 3 16 ,

4 19 , 4 2 1.

Heron, 98— 10 3 , 220, 2 2 1 , 322 , 34 3 , 388, 404, 405, 4 1 1 .

Namenregister. 4 3 3

Hertz, H., 3 16 .Herz, W ., 4 14 .Hess, A. E ., 108.Hesse, 0 , 20 1.Hessel, J . F . Ch., 3 12 .H essenberg, G ., 10 5 , 10 8 , 2 0 2 , 3 1 3 ,

3 19 .H ilb , E ., 3 19 .H ilbert, D., 108 , 202, 3 19 .H ill, M J . M., 3 1 3 , 3 16 .H ilprecht, H. Y ., 4 19 , 420.H iltebeitel, A. M , 202.Hilton, H., 320.H inneberg, P ., 3 16 .H ipparchos, 99, 3 14 , 404.H irsch, A., 202.H irsch, 10 5 , 108.H ispalensis, siebe Joh annes H ispalensis. Hoche, E ., 286, 379, 388.H oëne-W ronski, siebe W ronski.Höfer, F ., 4 10 .Holden, E . S., 10 5 , 106.Holder, O., 202.H oll, B ., 374.Holm gren, E ., 423.Holtzm ann, W ., siebe X yland er.Homeros, 187 .l ’H ôpital, G. F . de, 95, 106 , 202, 2 7 1 - 2 7 3 ,

2 75 — 278, 303.Hoppe, E ., 10 5 , 10 7 , 4 1 1 .Horkel, J . , 159 .Hoüel, J . , 4 13 .Housm an, A . E ., 10 5 , 106.H ouzeau, J . C., 287.H ow ard, J . , 409.H ubbard, J . Cb., 423.Huet, P . D ., 44.H ugoniot, A ., 202.H ulsius, L., 3 9 1.H ultscb, Fr., 1 3 , 98, 100 , 2 18 , 224, 3 16 ,

404, 4 1 1 .H um bert, G., 202.H um boldt, A. von, 168 , 170 , 180 , 18 1 , 18 3 ,

192 .H unratb, K ., 120 , 3 13 , 3 14 .H urw itz, A ., 202.Hutton, Chr., 289, 290, 299, 304, 408. H uygens, C h r , 10 5 , 10 7 , 270 — 2 8 1, 3 13 ,

3 15 , 394, 4 2 1.

Bibliotheca Mathematica. III. Folge. VII.

I b n Albanna, 96, 97.Ibn el-H aitam , siehe el-Haitam ,Initius A lgebras, 392.Isidoros, 203.Ivey, J . , 3 17 .

tFackson, L . L ., 4 19 , 420.Jacob , S., 388.Jacob i, C. G. J . , 15 7 — 19 2 , 202, 2 17 , 2 18 ,

3 16 , 4 2 1.Jacob i, M arie, 158 , 182 , 192.Jacob i, Moritz, 158 , 160, 16 2 , 174 , 175 ,

17 7 , 1 8 1 , 18 2 , 185, 1 9 0 - 1 9 2 .Jaco b i, Therese, 182.Jaco b y , H , 223.Jaco b y , J . , 158 , 17 2 , 189, 190.Ja c o li, F ., 376.Jä g e r , G., 4 19 , 422.Jab n k e , E ., 4 19 .Jam blicbos, 4 1 1 .Jard in e , A ., 4 14 .Je lle tt, J . H., 202.Joach im sth al, F ., 202.Job lo t, L ., 107 .Joh annes B asingstocke, 2 10 .Johannes H ispalensis, 86, 96, 1 18 . Joh annes Peckham , 2 10 .Joh ann es von London, 2 10 .Jo ly , Cb. J . , 3 16 .Tones, W ., 304, 305.Jord an , C., 202.Jord an , W ilh ., 16 5 , 166, 168, 176 , 178 ,

179 , 18 2 — 184, 186.Jord anu s N em orarius (deN em ore), 24— 26,

28, 3 2 — 37, 85, 86, 9 2 , 1 1 3 , 1 1 9 , 2 0 6 -2 0 9 , 2 2 1 , 2 5 2 - 2 5 4 , 260, 2 6 1, 286, 287, 3 14 , 388.

Jord an u s Saxo, 254.Jo s e f E b acen d ytes, 400.Joseph us Sapiens, 400, 401.Josse lin , P ., 50.Jou rd ain , Pb . E . B ., 10 5 , 10 7 , 202, 3 1 3 ,

3 16 .Jou rdain , siehe Giordano.Ju e l, C., 202, 3 19 , 357.Ju n g e (Jung), J . , 389, 390.Ju n k er, 139 .Jü rg en s, E ., 424.Ju y n b o ll, Th. W ., 396.

28

K a d isa d e h el-Rum i, 285.

' Namenregister.

K agan , B ., 10 5 , 109.Kahlähne, A., 3 17 .K aiser (Kayser), 146 , 154 .K aller, E ., 4 19 , 422.K ant, I., 16 3 , 17 2 , 173 .K apteyn , W ., 10 5 , 3 13 .K arlin sk i, F . M., 222, 224.K arsten , G., 3 19 .Karsten, W . J . G., 408.Kasner, E ., 10 5 , 108 , 223.K ästner, A. G., 44, 46, 66, 124 , 12 5 , 390,

3 9 1 , 408, 409, 4 12 , 4 13 .K atya yan a , 6, 19 .K aucic, F r., 10 5 , 107.K ayser, siebe K aiser.K eill, J . , 3 7 1 .K eller, F . L ., 179 .Kent, N . A ., 1 1 0 .K ep in ski, S., 202.K epler, J . , 220, 2 2 1 , 295, 368, 4 15 , 4 16 . K eram eus, siebe Papad opulos K eram eus. K iebitz, P'., 3 1 3 , 3 16 .K ieß lin g , G ottl., 4 1 1 .K ieß lin g , J . , 108.K istner, A ., 3 1 3 , 4 19 , 420.K lein , F ., 1 1 , 12 , 202, 406, 4 13 , 4 18 , 4 19 ,

4 2 1.K lein günth er, H., 3 14 .K lim pert, A ., 4 12 .K lü gel, G. S ., 408, 409.K lu yver, J . C., 10 5 , 3 1 3 , 3 1 5 .K nabe, K . A. T ., 4 13 .K noblauch, J . , 424.Knoche, J . H ., 4 1 1 .K öbe, P ., 3 19 .K ober, J . , 4 13 .K och, H. von, 202.K önig , J . , 202.K ö n ig , W ., 4 19 , 422.K önigsberger, L ., 15 8 , 159 , 19 0 , 19 2 , 2 17 ,

2 18 , 3 1 3 , 3 16 , 4 10 , 4 19 , 4 2 1 .Konon, 342, 343 , 3 5 8 — 360, 362.K orff, J . A. von, 142 .K ortew eg, D. J . , 105 , 280, 3 1 3 , 3 1 5 , 364. K ortum , H., 108 .K ötter, E ., 202, 4 16 .K ra fft, G. W ., 138 .K rähe, 4 13 .

K räm er, A ., 3 1 3 , 3 14 .K raus, K ., 4 13 .K rause, M., 3 19 .K razer, A ., 220, 224, 3 1 3 .K rebs, H. J . , 408.K retschm er, E ., 4 13 .K rilo ff, A ., 202.K ro ll, W ., 203.K ronecker, L ., 202.K rü ger, L , 202.K ruse, F ., 4 12 .Kühn, H., 264, 269.Künßberg, H., 4 1 1 .K ü rsch ak , J . , 202.K üttner, 372 , 373.

Ł a c a il le , N . L . de, 408.Lachm ann, K ., 1 8 1 , 4 1 1 .L a Cour, P ., 10 5 , 106 , 220, 2 2 1.L acro ix , S. F ., 409, 4 14 , 4 16 .L a C roix du M aine, F . G. de, 45.L a g n y , T . F . de, 14 2 , 14 3 .Lag ran g e , J . L ., 106 , 10 7 , 15 7 , 202, 376,

408, 4 16 , 424.L a H ire, P h . de, 304.L a isa n t, C. A ., 4 10 .Lak h tin , L . K ., 10 5 , 10 8 , 202.L a lan d e, J . de, 106 .L am b ert, J . H ., 12 , 10 7 , 3 1 5 , 4 13 , 4 16 . Lam ouroux, 45.Lam p a, A ., 3 1 3 , 3 16 .Lam pe, E ., 3 1 3 , 3 16 , 4 15 , 4 17 , 4 19 , 422. L am y, F r ., 10 7 .Lan caster, A ., 287.Land au , E ., 69, 202, 220, 2 2 1 , 4 19 , 4 2 1. L an d sb erg , G ., 3 1 7 , 3 19 .Lan g e , J . , 108 .L a n g le y , S. P ., 10 8 , 1 1 1 , 3 16 .L an gsd orf, K . Ch. von, 408, 409.Lanz, J . , 394.

Lap lace , P . S ., 106 , 202, 376 , 377. Laube, H ., 16 5 .Lau ren t, P . A ., 202.L azzarin i, M ., 257 .Lazzeri, G ., 4 19 , 422.Lebesgue, H., 202.

Lebon, E ., 10 5 , 10 6 , 220, 2 2 1 , 4 14 . L ech alas, G., 108.Lees, C. H., 1 1 0 .

Namenregister. 435

Lefevre, J . , 208, 209, 286, 287, 403. Lefort, F ., 299.Legendre, A. M., 202, 2 19 , 376, 409, 4 14

— 4 16 .Lehrs, K ., 159 .Leibniz, G. W ., 10 5 , 10 7 , 2 17 , 270, 272,

274, 275, 277, 278, 280, 299, 300, 304 — 306, 3 1 1 , 3 1 3 , 3 15 , 376, 4 15 , 4 19 , 4 2 1, 424.

Lem oine, E ., 202, 4 10 .Lem oine, M. J . , 408.Leonardo Cremonese, 106, 2 16 .Leonardo de’ Antonii, 2 16 .Leotaud, V ., 294, 394.Lerch, M., 423.Le R oux, F ., 424.Le Seur (Lesueur), Th., 3 12 .Lette, W . A ., 1 6 9 - 1 7 1 , 17 3 , 17 5 .Levi, B ., 202.L hu lier, S., 409, 4 16 .L ib ri, G., 87, 89, 252, 253 , 256, 259, 284,

377.L ie , S., 67, 108 , 202.Liebm ann, H., 202.Lietzm ann, W ., 202.L indelöf, E ., 76.Lindem ann, F ., 12 .Lindem ann, 202.L indbagen, D. G., 1 1 1 .L io u ville , J . , 159 , 376, 4 17 .L ip sch itz , R ., 202.Littrow , J . J . von, 2 18 , 4 13 .L lo yd , H., 202.Lobatsch evskij, N . J . , 202.Lobeck , Chr. A ., 159 .Lod ge, A ., 320.Löffler, B ., 10 5 , 108.Londinensis, siebe Joh annes von London. London, F ., 202.Longcham ps, G. de, 3 16 , 3 18 , 422. L op atin , L . M., 10 5 , 108.Lorb erg , H., 1 1 1 .Lorenz, J . F ., 408.Lorey , W ., 10 5 , 109.Lorgna, A ., 372 , 374.Loria , G , 67, 10 5 , 10 7 — 109, 220, 2 2 1 , 270,

297, 3 1 2 ,3 1 3 , 3 16 , 4 10 ,4 12 ,4 16 ,4 18 — 4 21. Löschner, H., 3 1 3 , 3 14 .Love, J . L ., 223.

Loving , R . E ., 423.Loew y, M., 10 5 , 108.Lucas d ePesloüan, Ch., 2 17 , 2 18 , 220, 2 2 1,

3 1 3 , 3 15 , 4 19 , 4 2 1.Ludenna, A ., 409.Ludw ich, A ., 159 .Lüroth, J . , 202.Lyon, J , 424.

M a c Clellan, E . B ., 424.M ac Cullagh, J . , 202.M ac E lro y , G. B ., 424.M acfarlane, A., 264, 3 13 , 3 15 .M ache, H., 3 17 .M achin, J . , 304, 305, 368, 3 7 1.M ackay, J . S ., 10 5 , 107 , 4 17 .M ac K inney, Th. E ., 3 17 .M aclaurin, C., 144.Mac Mahon, P. A., 320.Mac N utt, B ., 3 17 .M aillard , S. N ., 3 18 .M aine (Herzogin von), 297.M aler, J . F ., 409.M alézieu, N. de, 296, 297.M alfatti, G., 387.M alm sten, C. J . , 74.M angoldt, H. von, 202.M anilius, M., 10 5 , 106, 3 14 .M anitius, K ., 1 1 3 , 3 14 .M anitius, M., 105 , 106.Mannheim, A ., 422, 424.M ansion, P ., 272, 3 1 3 , 3 16 , 4 1 1 , 4 1 2 ,4 1 9 ,

420.M antova (Marchese di), 2 9 1, 386.M arcel, J . J , 8 1.M archetti, A ., 94.M archis, L ., 423.M arcolongo, R ., 220, 2 2 1 , 4 19 , 422. M arcuse, A ., 223.M arie, M., 4 10 .M arre, A ., 96, 97, 410 .M artellus, L ., 47.M artens, F ., 223.M artin, L . A ., 1 10 .M artin, Th. H., 289, 4 1 1 .Marum , M. van, 10 5 , 107.M ascari, A ., 3 18 .M ascart, J . , 3 1 3 , 3 15 , 4 19 , 4 2 1.M ason, M., 202.

28*

436Namenregister.

Massmann, H. F ., 16 3 , 165.

Mathé, F ., 3 1 3 , 3 15 .M athews, ü . B ., 202.M atthiessen, L ., 3 18 .M auduit, A. R ., 409.M aupertuis, P . L . M. de, 146 , 15 3 , 376,

4 12 .Maurer, J . , 10 5 , 108.Maurolico, F ., 388, 389.M axw ell, Ch., 202.M ayer, J . T ., 409.M ayer, T , 408, 4 13 .M ayr, A ., 4 13 .Mechel, C. von, 373.Meder, 13 7 .Mehmke, R ., 3 19 .Meier, R ., 98, 220, 2 2 1.M einert, F ., 408.M ellin, H j., 76.M elloni, M., 18 1 .Menelaos, 92, 404, 4 16 .Menon, 7.Mentré, F r., 220.M ercator, N ., 298, 299, 3 15 .M erian, P ., 202.Merino, M., 108.M errim an, M., 3 10 , 3 14 .Mersenne, M., 376, 4 2 1.Mertens, F ., 202, 3 19 .M eviBsen, G., 181.M eyen, J . J . , 4 12 .M eyer, A dolf, 202.M eyer, B ugen , 202.M eyer, E ., 18 3 .M eyer, W . F r ., 199 , 2 0 1 , 202, 3 19 , 406,

4 16 .M ichael V III Paleólogos, 8 1.M ichelsen, Ch., 409.M ikam i, Y , 220, 2 2 1 , 364, 420.M ilanesi, G ., 257 , 286.M ilhaud, G., 10 5 , 10 7 , 109.M iller, G. A ., 223, 4 2 1.M iller, J . A ., 223.M illosevich, E ., 4 19 , 920.M inchin, H. D., 3 17 .M inin, A . P ., 10 5 , 108.M inkow ski, H , 202.M iram Tschelebi, 284, 285. M ittag-Leffler, G., 202, 2 17 .

M öbius, A . F ., 202.M öbius, P . J > 674.M oerbek, siehe W ilh elm von M oerbek.

Mohr, 1 8 1 .M oivre, A. d e , 1 5 2 , 1 5 6 , 3 1 3 , 3 15 ,

368.M olieres, J . P . de, 14 5 .

M olk, J . , 1 1 1 .Mommsen, T h ., 405.M ondessus, R . de, 425.M onge, G ., 10 6 , 15 7 , 202.M ontferrier, A . S. de, 8 1 .M ontm ort, R . de, 367, 368.M ontucla, J . E ., 50, 5 1 , 303.Moors, B . P ., 3 1 3 , 3 14 .M ordechai Com tino, 8 14 .M orehead, J . C , 202.M organ, H. R ., 1 10 .M oritz von N assau , 59.M ortet, V ., 10 5 , 10 6 , 4 1 1 .M orville, N ., 409.M oschopulos, M., 80, 8 1 , 204.M oser L ., 158 , 17 3 .M ossotti, O. F ., 1 8 1 .M oula, F ., 13 7 .M uham m ed ben A b d elb aq i el-Bagdad i,

siehe e l-B ag d ad i.M uham m ed ben M usa A lkh w arizm i, siehe

A lkhw arizm i.M uham m ed ben M usa ben S ch ak ir, 1 18 .

M uir, J . , 3 1 7 .M uir, T h ., 10 5 , 1 0 7 - 1 0 9 , 3 1 3 , 3 1 5 , 4 19 ,

4 2 1.M üller, C., 408.M üller, Conrad H ., 10 5 , 10 7 , 220, 2 2 1,

4 19 , 422.M üller, E ., 106.M üller, F e lix , 3 1 3 , 3 14 , 3 16 , 3 19 , 4 1 1 , 4 12 ,

4 18 , 4 19 , 4 2 1.M üller, H ubert, 4 13 , 4 14 .M üller, J . N., 409.M üller, Joh an n , 108 .M üller, J . W ., 4 12 .M üller, R ., 3 19 , 423.M üller (H auptm ann), 202.M unnich, von, 13 9 .M urhard, F . W . A ., 297, 3 9 1 , 394, 4 12 . M urm ureus, J . , 204.M usa ben Sch ak ir, 1 1 8 .

Namenregister. 437

X a g l , A., 82, 84, 206, 207.N akash im a Chözaburo, 365.N allino, C. A ., 10 5 , 106 .N annei, E ., 4 19 .N arducci, E ., 82, 84, 86, 87, 207.N asaw i, siehe el-N asaw i.N asireddin el-Tusi, 2 5 1.Natzm er, G. E . von, 17 2 .N atzm er, 0 . von, 17 2 .N au, F ., 3 1 3 , 3 14 .N eiriz i, 235 , 396. 4 19 , 420.N ekrassoff, P . A ., 10 5 , 108.N em orarius, siehe Jord anu s N em orarius. N eper, J . , 375 , 4 19 .Nesselm ann, G. H. F ., 44, 235, 290, 294. Netto, E ., 202.N euberg, J . , 4 2 1.N eum ann, C., 202.Neum ann, Fr., 109 , 159 .Neum ann, L u ise, 159 .N ew bold, W . E ., 10 5 , 106.N ew lin , W . J . , 3 17 .N ewton, I., 10 7 , 1 1 1 , 1 4 1 , 14 3 , 14 5 , 152 ,

154 , 15 5 , 202, 2 17 , 270, 272, 299, 305,3 1 1 , 3 14 , 368, 370, 376, 377.

N ielsen, N ., 423.N ikom achos, 84, 282, 283, 286, 379, 388. Nizze, E ., 4 1 1 .N oca (?), 4 14 .N örbel, 139 .N öther, M., 202, 4 16 .N oviom agus, siehe Bronkhorst.Nunes (Nonius), P ., 55, 58, 59, 289.

O creatus, 84, 96.O fterdinger, L . F ., 4 1 1 .Ogburn, J . H ., 3 17 .Ohm, M., 4 13 .O ldenburg, C. M., 18 2 , 18 7 , 188.Olivero, G., 10 5 , 108 .O lleris, A ., 82O ltram are, G ., 1 1 1 , 3 16 , 422.Oloug B eg , siehe U lu g B eg.Oppenheim, H. B , 16 3.O rb inskij, A., 10 5 , 108.Oresme, N ., 2 5 2 — 254, 2 6 1, 287.O stwald, W ., 202.O ttingen, A . J . von, 4 12 .Oudemans, J . A . C., 424.

P a c iu o lo , L ., 65, 88, 258, 288, 289, 3 14 , 377, 382, 384.

Pade, H., 425.Palm quist, F ., 4 12 .Paludanus, R ., 290.Panton, A. W ., 424.Papadopulos Keram eus, 3 2 1 .Pape, K ., 224.Pappos, 86, 230, 2 33 , 279, 353.Pascal, B l., 106 , 10 7 , 202, 3 15 .Paulian , A. H., 303.Paulsen , A ., 424.Peano, G., 4 13 .Peck, P. N ., 423.Pcckham , siehe Johannes Peckham . Peletier, J „ 54, 55, 89, 2 14 , 385, 389, 390,

4 2 1.Pell, J . , 195 , 196, 308.Pellet, A ., 202.Pepin, Y . E ., 10 5 , 108.Perier, A ., 45.Perizolo, 255.Perron, J . D. du, 294.Perron, O., 3 19 .P erry , J . L ., 4 14 .Pertz, G. H., 158 .Peters, Adolph, 180.Petr, K ., 105 , 109.Petruchew skij, F ., 109.Petrus de D acia, 1 18 .Petzval, J . , 3 16 .P eyrard , F ., 4 1 1 .P fenn iger, H., 374.P fleiderer, Ch. F ., 409, 4 13 , 4 16 .P h ilip ps, Th., 25.Ph ilo . . ., siehe F ilo . . .Phragm en, E ., 202.P icard , E ., 10 5 , 108, 202, 3 13 .P icart, Th. L ., 423.Pierce, J . M., 1 1 1 , 222.Pierpont, J . , 10 5 , 107.P iery , M ad. de, 374.P ip p i, G., 386.P ir ie , G ., 109.Pisano, Leonardo, 30, 33, 36, 86, 1 1 7 , 1 1 8 ,

200, 2 0 1, 252, 2 55 — 262, 286, 308. P lantin , Chr., 45, 46.P lan tin , M adelaine, 45.Plassm ann , J . , 1 1 1 .

438Namenregister.

Platon, 7, 2 1 .P layfa ir, J . , 409.Pliicker, J . , 202.P o g g e n d o rf f , J . C., 18 3 , 202, 303, 4 12 , 4 17 .

P o in c a re , H., 10 5 , 108, 202.

Poinsot, L ., 4 16 Poisson, S. D , 202.Poleni, G., 134 , 280.Polignac, A. de, 202.Poncelet, J . V ., 159 , 202, 376.

Poor, J . M , 223.Popoff, A ., 1 1 1 .Poppe, M., 410 .Porcelli, S., 424.Porro, F ., 1 10 .Porter, J . T ., 223.Posehl, J . , 424.Postel, J . , 282, 289.Posto (Postow, Bostow), 364.Poulain, A ., 4 14 .Prandel, J . G., 409, 416 .Prasad , G., 202.Precht, J ., 1 10 .Prestet, J . , 2 15 , 300.Pringsheim , A ., 7 1 , 202, 3 19 .Proklos, 2 1 , 233, 378, 4 1 1 .Prosz, F ., 4 16 .Prutz, H., 172 .Prutz, R ., 164 , 16 5 , 16 8 — 170 , 1 7 2 , 1 7 3 , 1 7 8 ,

17 9 , 182 , 18 3 , 186.Psellos, M., 4 0 1.Ptolem aios, K l., 3 14 , 4 1 1 , 4 15 .Puiseux, P ., 3 15 .Pu jet, L . de, 107 .Putzler, A., 109.Pythagoras, 6, 7, 9, 1 1 , 12 , 18 — 23, 106,

2 2 1, 286, 287, 4 1 1 , 4 15 .

Q alasad i, siehe el-Q alasadi.Querard, J . M., 297.Quetelet, A ., 3 9 1.

R a c h e t , 372, 374.Radakow icz, M., 1 1 0 .Rados, G., 10 5 , 108 , 220, 222.R adulph von Laon, 83, 84, 206, 207. R am say, 368.Ranke, J . , 202.R anke, L . von, 16 1 .

R aph elen gien , F ., 45.Raum er, F r . von, 16 8 , 17 0 , 1 7 1 , 17 4 , 176 ,

17 9 — 1 8 1 , 18 3 .R ausenberger, O., 4 13 .

R a yet, G. A ., 3 18 .R a y le ig h , J . W ., 202.

R eb ière , A ., 374.R ecorde, R ., 290.

Rees, J . K ., 424.R eh niscb , J . E ., 202.R eh nisch (Frau), 202.R eim ers, N ., 387 , 389, 390.R ein hertz, K . J . K ., 3 18 .R eissn er, H , 1 1 0 , 3 1 7 .R en ald in i, C., 297, 298.Repsold , J . G ., 202.Repsold , 202.R eth y , M., 202.R euleaux, F r ., 109 .R euss, J . D ., 4 12 , 4 17 .R evillou t, E , 4 1 1 .R eye , T h ., 202, 3 19 .R eynaud , A . A . L ., 409.R eyneau , Ch., 3 0 1 , 302.R h abd as, N , 80, 8 1 .R h acen dytes, siehe Jo s e f R h acen dytes. R h in d , A. H., 4 1 1 .R iccard i, P ., 88, 298, 403, 4 12 .R icca ti, J . , 13 4 , 1 3 5 , 140 .R iccati, Y , 280.R icc i, F ., 4 19 , 4 2 1.R ichardson , A R ., 320.R ich ard son , O. W ., 3 17 .R icharz, F ., 4 19 , 422 .R ich ter, M., 2 2 1.R ied el, C. T ., 373.R iem ann, B ., 69, 70, 76, 202, 2 2 1 .R iess, P . T h ., 18 3 .R iesz, F ., 202.R o b erts, M., 202.R oberva l, G. P de, 10 7 , 274.R occa, G., 4 2 1.R od et, L ., 205, 284, 4 1 1 .R o d rigu es, C., 108 .R oger, L ., 202.R o g g , J . , 302, 4 12 .Rohn, K ., 3 19 .R o lle , M ., 300— 302, 304.R om ain , A ., siehe Room en.

Namenregister. 439

Rood, J . T ., 3 17 .Room en, A. van, 46, 53, 56, 2 1 1 , 3 15 . R ooses, M., 45, 46.Rose, G., 18 3 .Rosenberger, F ., 4 1 1 .Rosenkrantz, H., 387.Rosenkranz, J . K . F ., 17 3 .R osenthal, J , 420.R ossel, de, 409.R otch, A . L ., 3 1 3 , 3 15 , 423.R o u b iliac , 376.R ow lan d, H. A ., 109.Rubens, H., 3 17 .R ud io , F ., 98, 10 5 , 109 , 378, 420.Rudolff, Chr., 66, 2 9 1.Rudorff, A ., 4 1 1 .R uelens, C., 45.Rugo, A ., 16 3.R ü h l, F r , 15 8 Rühlm ann, M., 374.R unge, C , 3 19 .Rusconi, G. di, 385.R ussel, H. C , 424.R ussian , C. K , 423.Rutherford, E , 423.

S a c c h e r i, G ., 4 16 .Sacrobosco, J . de, 34, 1 1 8 , 2 18 , 2 5 2 — 254,

2 6 1, 288.Salm on, G ., 109 , 202.Salm on, W . H., 3 18 .S a ltykoff, N , 223.Sa lvan d y, N. A ., 1 7 1 .Sam ter, H ., 10 7 , 3 14 .Sau ri, 408.Savasord a, siehe A braham bar Chijja. Sch afh eitlin , P., 3 14 , 3 19 .Scheffers, G , 67, 3 18 .Scheffler, H., 4 14 , 4 16 .Scheibel, J . E , 4 12 .Scheibner, W ., 202.Schell, W , 109 .Schellbach , K , 170 , 176 , 3 16 , 4 13 , 4 16 , 4 2 1. S ch ellin g , F . W . G , 164.Sohelling, 164.Schepss, G ., 400.Scherffer, K , 408, 409, 4 16 .Scheubel, J , 48, 65. gch läfli, L ., 1 1 1 , 202, 220, 222.

Schlink, W ., 1 10 .Schlöm ilch, O., 69, 70, 74, 4 17 .Schm id, Th., 3 19 .Schm idt, Erhard, 202.Schm idt, G. G., 408.Schm idt, Ju lia n , 162.Schm idt, M. C. P., 3 1 3 , 3 14 , 4 19 , 420. Schm idt, W ilh ., 98, 100, 10 3 ,10 9 , 4 10 ,4 2 2 . Schm idt, 3 19 .Schön, Th. von, 158 , 17 2 , 17 3 , 179 . Schöne, H., 98, 10 1 , 10 3 , 220, 2 2 1, 3 18 ,

3 2 1 , 322.Schöne, R ., 98.Schöner, J . , 24, 34, 1 19 .Schonerus, L ., 9 1 , 92.Schönflies, A ., 202, 3 19 .Schooten, F . van, 4 1 , 294, 364. Schopenhauer, A ., 10 , 1 1 .Schor, D. F ., 109.Schotten, H., 4 12 .Schoute, P. H., 10 5 , 3 13 .Schreiber, H., siehe Gram m ateus. Schröder, E ., 202.Schröder, L . von, 6, 1 1 , 19 .Schubert, F . Th., 409.Schubert, G. H , 202.Schubert, H., 202.Schuh, F ., 202.Schule, F ., 10 5 , 109.Schulz, C. F ., 4 16 .Schu lz-Eu ler, S., 373 .Schulze, A ., 423.Schum acher, H. C., 1 7 1 , 2 18 . Schum acher, 13 7 .Schur, F ., 10 5 , 107 , 202, 3 1 3 , 3 15 . Schw arz, H. A., 202.Schw arz, T ., 1 10 .Schw eid ler, E . von, 1 10 .Schw inck, G., 158 .Scottus, M ichael, 256.Sedillot, L . A ., 285.Segner, J . A . von, 306, 307, 408.Segner, J . W . von, 408.Segre, C., 202, 3 12 .Seitz, W ., 3 18 .Seki, T akakazu (Köwa), 365, 366, 4 2 1. Serenos, 4 1 1 .Serret, J . A , 272.Settala , L., 3 15 .

Severi, F ., 202.Shearman, A. T., 3 13 .Siebert, G., 105 , 106 , 220, 2 2 1.

Namenregister.

Silberberg, M., 3 13 , 3 14 .Sim art, G., 202.Simon, M., 1 0 1 , 10 5 , 107 , 202, 224, 3 1 3 ,

3 15 , 3 19 , 406—409, 4 1 1 - 4 1 9 , 4 2 1.

Simson, R ., 220.Sisam , C. H., 4 19 .Slichter, C. S., 224.Slocum, S . E ., 223.Sm ith, D. E ., 10 5 — 10 7 , 224, 263, 269,

3 1 0 - 3 1 4 , 3 7 2 - 3 7 5 , 4 1 9 - 4 2 1 .

Sm ith, H. J . S., 202.Snell, D., 409.Sobotka, J . , 105 , 109.Söha, siehe Hatono Söha.Sohncke, L . A ., 204, 4 12 .Solm i, E ., 3 13 , 3 14 .Somm erfeld, A ., 3 18 .Sorlin, 4 15 .Sös, E ., 105 , 108.Spinoza, B ., 170 .Springer, R ., 167, 168.Stäckel, P ., 202, 220, 222, 3 1 9 , 4 1 6 - 4 1 8 . Stahl, 187.Staigm üller, H., 65, 12 2 , 124 .Stanley, 376.Stark, J . , 223.Staude, O , 202.Staudt, K . G. C. von, 202.Stecker, H. F ., 224.Stegem ann, 222.Stehelin, 134 , 138 .Stehlin, K . (?), 202.Stein, H. F . K . von, 158 , 164.Stein, J . , 3 18 .Steiner, J . , 160 , 190.Steinschneider, M., 403, 424.Stekloff, W . A ., 224.Stenglin , J . , 372.Stephanos, C , 108 .Sterneck, R . von, 209.Stetson, O. S., 1 10 .Stevens, H., 393.Stevin, S., 59, 289.

Stie ltjes, T. J „ 10 5 , 108 , 3 1 3 , 3 16 , 4 19 ,4 21.

Stifel, M., 50, 54, 65, 66, 2 9 1 , 309, 385.

S tir lin g , F . P . H ., 424.Stöber, E ., 4 1 1 .Stokes, G. G., 109 , 202.Stolz, O., 222, 3 16 .Strein tz, F r ., 3 18 .Stre it, H ., 220, 2 2 1 .Strobel, F ., 4 19 .Strunz, F r , 1 1 1 , 3 14 .S tu d y, E ., 202.Sturm , A ., 206, 220, 285, 4 19 .

Sturm , R ., 202.Sucharda, A ., 424.Suter, H ., 82, 98, 10 4 — 10 7 , 1 1 3 , 1 1 8 , 220,

2 2 1 , 234, 2 6 1, 3 1 3 , 3 14 , 3 2 1 , 3 8 1 , 385,

396, 399, 4 1 1 , 4 19 , 420.Sy lvester, J . J- , 202.

T a b it, siehe T eb it.T an nery, J . , 3 1 3 , 3 15 .T an nery, P ., 1 —4, 60, 80— 82, 9 8 ,10 5 — 107 ,

109 , 203, 204, 220, 2 53 , 272 , 294, 3 12 ,396, 400, 4 0 1, 404, 405, 4 1 1 , 4 19 , 422.

T a rta g lia , A lf., 386.T a rtag lia , A nd., 386.T a rta g lia , A ns., 386.T a rtag lia , F r ., 386.T a rtag lia , G., 2 9 1 , 38 6 .T a rta g lia , H ., 386.T a rta g lia , M argh erita , 386.T a rta g lia , N ., 3 8 - 4 5 , 90, 9 1 , 106 , 2 12 ,

2 2 1 , 258, 289, 2 9 1 , 296, 309, 377 , 385 — 387.

T artag lio n i, 386.T aylor, B r., 202, 3 1 1 , 367, 368.T aylor, C , 4 15 .T aylor, E ., 367.T ch ebycheff, P ., 202.T eb it ben K urrah , 92, 384.T ed a ld i, G ., 88.T e ixe ira , F . G ., 10 5 , 10 6 , 220, 4 19 . Terquem , O., 2 16 .T etm aier, L . von, 109 .T h aies, 4 1 1 .Theodosios, 322 , 4 1 1 , 4 16 .Theon von A lexan d ria , 4 1 1 .T h ib au t, B . F ., 4 13 .T h ib au t, G ., 6, 8, 9, 1 3 — 15 , 1 7 — 20, 23

T h ile , L . G. von, 1 8 1 .T h orn thw aite, 374.

Namenregister. 441

Thornton, J . M., 3 18 .T illy , J . de, 3 16 , 3 18 .T im tchenko, I., 263.T itte l, K ., 4 19 , 420.Todd, H. D ., 424.Tonni-Bazza, V ., 385.Torelli, G., 69, 202.T orricelli, E ., 107 .Townsend, R ., 202.Tram er, M., 4 19 , 4 2 1.T ralles, J . G ., 374.Treitschke, H. von, 166, 183 .Trem bley, J . , 409.T reutlein , P ., 49, 8 3 ,2 9 1 ,3 9 0 ,3 9 2 ,4 1 1— 414 . Tropfke, J . , 2 9 1, 305, 382, 4 13 . Trow bridge, A., 3 18 .T schirnhaus, E . W . von, 38, 280.Tucker, R ., 3 16 .

U lu g B eg , 284, 285.Unruh, H. Y . von, 160.U nterberger, L ., 408.Ursus, N . R ., siehe Reim ers.

V a c ca , G., 274, 393, 4 10 .V acquant, Ch., 4 14 .Yahlen , J . , 10 5 , 10 7 .Yahlen , K . T ., 202.Y a ila t i, G., 220.V alentin , G., 220, 2 2 1 , 374, 3 9 1 , 4 16 . V alentiner, H., 202.V alerian i, V ., 4 13 .V alerio, L ., 349, 3 5 1 — 353 , 358 , 3 6 1.Y an der H oecke, G., 2 1 1 .V an der V lie t, P ., 109.Varignon, P ., 67, 68, 95, 30 3, 304. Yarnhagen von E n se, K . A ., 160 , 1 6 1 , 1 8 3 ,

186.V ater, R ., 422.V aux, C. de, 4 10 .V ecchi, M., 69, 202.V ega, G. von, 10 7 , 409.Veronese, G ., 4 13 .V icuna, G., 4 10 .V iete, F ., 38, 4 1 , 200, 2 0 1 , 3 1 1 , 4 10 . V ince, S., 409.V incent, A. J . H ., 10 3 , 104.V inci, L . da, 3 14 , 3 1 5 , 3 8 1 , 420.V incke, G. von, 16 1 .

V irchow , R ., 15 7 .V itale, H , 395.V itruvius R ufus, 4 1 1 .V ivan ti, G., 202, 803, 410 .V leck, E . B. van, 224.V ogl, S., 2 10 , 220, 2 2 1, 3 1 3 , 3 14 .V ogt, H., 6, 220, 2 2 1.V oigt, W ., 202.V oit, C., 3 1 3 , 3 16 .V oider, B . de, 273.V olta , A ., 10 5 , 107.Voss, A ., 202, 4 19 , 422.Vossius, G. J . , 289, 394.V ries, H. de, 10 5 , 3 13 , 3 18 .

W a a rd , C. de, 4 19 , 42 1.W achsm uth, R ., 3 18 , 423.W agenführ, A , 409.W agenm ann, A ., 3 19 .W albridge, M iss M. H., 3 18 .W aldeck, B. F . L ., 160.W allace, W ., 107.W allenberg, G., 202.W allis , J . , 58, 26 3— 269, 299, 308, 3 1 1 ,

393, 394, 4 2 1.W allner, C. R ., 356.W alton , T h ., 409.W appler, E ., 25, 34, 382— 384.W ard, S., 368.W eber, Friedrich , 373.W eber, H., 202, 4 13 .W eber, R ., 3 18 .W eber, W ., 202, 3 13 , 3 15 .W ehn eit, A., 3 18 .W eierstraß , K ., 202, 4 12 .W eilenm ann, A ., 424.W eißenborn, H., 82, 84, 95, 96, 4 10 , 4 1 1 . W eißler, A ., 166.W entworth, G. A ., 224.W entw orth, R ., 385, 386.W ertbeim , G., 62, 98, 99, 3 14 , 4 10 . W ertber, von, 187 .W essel, C., 264, 269.W esterm ann, A ., 225.W eyr, E d ., 109.W heeler, L. P ., 1 10 .W hite, H. S., 220.W h ittaker, E . T ., 1 10 .W hittem ore, J . K., 220, 222, 224.

442 Namenregister.

W iedem ann, E ., 220, 2 2 1 , 4 19 , 420. W iegbardt, G., 224.W ieleitner, H., 105, 109, 220, 222. W iener, H., 3 19 .W iener, L . Ch., 202, 4 16 .W ilhelm von M oerbek, 3 2 1 .W ilson, E . B ., 1 1 0 , 4 2 1.W ilson, J . , 3.W im an, A ., 202.W indisch, E ., 22.W inlock, Anna, 109.W irtinger, W ., 202.W islicenus, W . F ., 3 16 .W isselingh, C. van, 1 10 .W ittstein , T h ., 4 13 .W ohlw ill, E ., 10 5 , 107.W oker, Gertrud, 425.W olf, K ., 13 2 , 134 , 13 7 , 14 1 .W olf, 18 2 .W olff, Ad., 164, 167, 168, 179 , 18 5 , 186. W olff, Chr., 306, 307, 408, 416 .W ölffing, E ., 105 , 108 , 303 , 3 13 , 3 16 , 4 12 . W olfskehl, P ., 3 18 .W oodward, E.. S., 3 10 , 3 14 .W öpcke, F ., 96, 1 1 3 , 205, 258, 285, 385.

W orpitzky, J . , 4 13 .W ronski, H., 376 , 4 13 , 4 14 .W undt, W ., 4 13 .

X y la n d e r (Holtzmann), W ., 59.

Y o u n g , J . W . A ., 10 5 , 109 .Y oun g, W . H., 202.

Z a c h , F . X . von, 202.Zander, 17 2 .Zanotti-B ianco, O., 220, 2 2 1.Z eising, A ., 4 12 .Zeller, E ., 2 1 .Zem plen, G., 202.Zenödoros, 405.Zerm elo, E ., 202.Zeuner, 4 10 .Zeuthen, H. G., 22, 23, 38 — 40, 42, 93,

10 5 , 106, 109 , 202, 232 , 270, 284, 3 2 1 , 363, 4 1 1 , 4 12 .

Z iegel, A ., 4 13 .Zim m erm ann, Ch. G., 408.Zim m ern, H., 424.Z indler, K ., 10 5 , 10 7 .Z sigm ondy, K ., 3 18

Druck von Theodor Hofmann in Hera.

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