1

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT (Dành cho HS THPT)

Biên soạn : TS. Nguyễn Viết Đông, Khoa Toán –Tin học, ĐHKHTN, ĐHQG TP.HCM.

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Qui tắc đếm

a) Qui tắc cộng : Giả sử đối tượng X có m cách chọn khác nhau, đối tượng Y có n cách chọn

khác nhau và không có cách chọn đối tượng X nào trùng với mỗi cách chọn đối tượng

Y. Khi đó có m + n cách chọn một trong hai đối tương ấy.

b) Qui tắc nhân : Giả sử có hai hành động đựợc thực hiện liên tiếp. Hành động thứ nhất có m

kết quả. Ứng với mỗi kết quả của hành động thứ nhất, hành động thứ hai có n kết quả.

Khi đó có m.n kết quả của hai hành động liên tiếp đó.

2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Cho A là tập hợp gồm n phần tử (n 1).

a) Mỗi cách sắp đặt tất cả n phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị

của n phần tử . Số các hoán vị của n phần tử đựoc ký hiệu là Pn .

Công thức : Pn = n !

b) Mỗi cách lấy ra k phần tử từ tập A (1 k n) và xếp chúng theo một thứ tự nhất định được

gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được

kí hiệu là k

nA .

Công thức !

( 1)( 2)...( 1)( )!

k

n

nA n n n n k

n k

c) Mỗi tập con gồm k phần tử của tập hợp A(1 k n) được gọi là một tổ hợp chập k của n

phần tử . Qui ước tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

Công thức !

!( )!

k

n

nC

k n k

3. Phép thử và biến cố

a) Một phép thử mà kết quả của nó không thể đoán trước được, nhưng có thể liệt kê ra tất cả

các kết quả có thể xảy ra gọi là phép thử ngẫu nhiên. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy

ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Không gian mẫu được kí hiệu bởi

.

b) Trong một phép thử ngẫu nhiên, mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố.

Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của biến cố A, thì ta nói trong phép thử đó, biến

cố A xảy ra.

2

VD1. Gieo một con xúc xắc, gọi 1, 2, …, 6 là số chấm xuất hiện thì không gian mẫu là

= {1,2,…, 6}.

VD2. Gieo một đồng xu hai lần, thì không gian mẫu là

= {SS, SN, NS, NN}.

VD3. Gieo một con xúc xắc. Biến cố B = {1, 3, 5} là biến cố số chấm xuất hiện của xúc

xắc là số lẻ.

4. Một số lọai biến cố

a) Biến cố sơ cấp

Mỗi tập hợp con gồm đúng một phần tử của không gian mẫu gọi là một biến cố sơ cấp.

VD4. Trong ví dụ 1 thì biến cố A = {1} là biến cố sơ cấp.

b) Biến cố chắc chắn, biến cố không thể

Bản thân tập được gọi là biến cố chắc chắn. Tập rỗng là biến cố không thể.

c) Biến cố hợp (tổng), biến cố giao(tích), biến cố bù

Biến cố A B (còn kí hiệu là A+ B) gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B. Biến cố

A B( còn kí hiệu là AB) gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B. Biến cố \A A

gọi là biến cố bù của biến cố A.

VD5. Trong ví dụ 1, xem các biến cố A={1,3,5}, B= {3,6}.

Khi đó :

- Biến cố AB là biến cố {1,3,5,6} nó chỉ không xảy ra khi số chấm xuất hiện là 2

hoặc 4.

- Biến cố AB là biến cố {3}.

- Biến cố bù của biến cố A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt chẵn.

Nhận xét: Biến cố AB xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra.

Biến cố AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra.

Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

d) Biến cố xung khắc

Hai biến cố gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra trong cùng một phép thử.

e) Biến cố đồng khả năng

Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu chúng có cùng khả năng xuất hiện khi tiến

hành phép thử.

f) Biến cố độc lập

Các biến cố được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng gì đến

việc xảy ra của những biến cố còn lại.

3

5. Định nghĩa xác suất

Nếu không gian mẫu gồm n biến cố sơ cấp đồng khả năng và biến cố A gồm m biến cố sơ

cấp thì xác suất của biến cố A là ( )m

P An

.

Nhận xét : 0 ( ) 1. ( ) 1. ( ) 0P A P P

VD6. Một bình đựng 5 viên bi, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra hai

viên bi. Tính xác suất để được hai viên bi xanh.

Giải. Có

2

5 10C

cách chọn 2 viên bi trong 5 bi. (không gian mẫu gồm 10 phần tử).

Có

2

3 3C

cách chọn 2 bi xanh trong 3 bi (đây là số phần tử của biến cố đang xét).

Do đó xác suất để lấy được 2 bi xanh là 3/10.

6. Công thức cộng xác suất

a) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A B ) = P(A) + P(B).

b) Nếu A và B là hai biến cố tùy ý thì P (A B ) = P(A) + P( B) – P (AB).

c) ( ) 1 ( )P A P A .

VD7. Trong bình đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên . Tính xác suất

a) Lấy được một hoặc hai viên bi đỏ.

b) Lấy được ít nhất một viên bi đỏ.

Giải.

a) Đặt A1 là biến cố trong 3 viên lấy ra có đúng một viên đỏ và A2 là biến cố trong 3 viên lấy

ra có đúng hai viên đỏ. Ta phải tính xác suất của biến cố A là biến cố trong ba viên lấy ra

có một hoặc hai viên đỏ. Các biến cố A1 và A2 là xung khắc . Do đó

P(A1 A2) = P(A1) + P(A2).

4

1 2

4 61 3

10

2 1

4 62 3

10

1( )

2

3( )

10

1 3 4( )

2 10 5

C CP A

C

C CP A

C

P A

b) Gọi B là biến cố lấy được ít nhất một viên bi đỏ thì

3

6

3

10

( ) 1 ( ) 1C

P B P BC

.

VD8. Một lớp học có 50 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi Toán, 8 học sinh giỏi Văn

và 2 học sinh giỏi cả Văn lẫn Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh . Tính xác suất chọn

được một học sinh giỏi Văn hay Toán (giỏi cả hai môn càng tốt).

Giải. Gọi A là biến cố chọn được học sinh giỏi Toán , B là biến cố chọn được học sinh giỏi

Văn. Ta cần tính P(A B). Ta có

12( )

50

8( )

50

2( )

50

12 8 2( ) 0,36.

50 50 50

P A

P B

P A B

P A B

7. Công thức nhân xác suất

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P(AB) = P(A).P(B) .

VD9. Hai người bạn X và Y cùng đi câu cá. Xác suất để X câu được ít nhất một con là 0,1.

Xác suất để Y câu được ít nhất một con là 0,15. Tính xác suất để hai bạn X, Y không trở về tay

không.

Giải. Xác suất để X trở về tay không là

P(A) = 1 – 0,1 = 0,9.

Xác suất để Y trở về tay không là

P(B) = 1 – 0,15 = 0,85.

Các biến cố A và B là độc lập. Vậy xác suất để cả X và Y trở về tay không là

5

P(AB) = P(A). P(B) = 0,9 . 0,85 = 0,765.

Vậy sau buổi câu cá, gom số cá đã câu được, xác suất để hai bạn được ít nhất một con là

1 – P ( A B) = 1 – 0,765 = 0, 235.

8. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Đại lượng X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu

hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên không dự đoán trước được.

VD10. Gieo đồng xu 5 lần liên tiếp. Kí hiệu X là số lần xuất hiện mặt ngửa thì X là biến ngẫu

nhiên rời rạc, giá trị của X là một số thuộc tập {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

9. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 , …, xn . Gỉa sử P(X = xk) = pk.

Bảng sau đây được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.

X x1 x2 x3 …. xn

P p1 p2 p3 …. pn

Chú ý : p1 + p2 + p3 + …+ pn = 1 .

10. Kì vọng, phƣơng sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc như trong mục 9.

a) Kì vọng của X, kí hiệu là E(X), là một số được tính theo công thức:

E(X) = x1 p1 + x2p2 + … + xnpn.

b) Phương sai của X, kí hiệu là V(X) là một số được tính theo công thức

2

1

( ) ( ) , ( ).n

i i

i

V X x p trong do E X

Chú ý

2 2

1

( ) .n

i i

i

V X x p

c) Căn bậc hai của phương sai , kí hiệu là (X) , được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa là

( ) ( ).X V X

II. BÀI TẬP MẪU

BT1. Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất tổng số chấm ở hai mặt trên bằng 5.

6

Giải. Không gian mẫu là = { (1,1), (1,2),…, (6, 6)} gồm 36 biến cố sơ cấp đồng khả năng.

Biến cố “được tổng số chấm bằng 5” là tập con A = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) } gồm 4 phần

tử . Vậy 4 1

( )36 9

P A .

BT2 . Một vé sổ số có 4 chữ số. Khi quay số , nếu vé của bạn mua có số trùng hoàn toàn với

kết quả thì bạn được giải nhất. Nếu vé của bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với 3 chữ số của

kết quả (kể cả vị trí) thì bạn trúng giải nhì. Bạn An mua một vé xổ số.

a) Tính xác suất để An trúng giải nhất.

b) Tính xác suất để An trúng giải nhì.

Giải.

a) Số kết quả đồng khả năng là 104 và chỉ có một kết quả trùng với số vé của An. Do đó xác

suất trúng giải nhất của An là 1

0,000110000

.

b) Có 9 vé sai khác hàng đơn vị ( so với số trúng giải nhất), tương tự cũng có 9 vé sai khác

hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn, hàng vạn. Do đó có 9+9+9+9 =36 vé trúng giải nhì .

Vậy xác suất trúng giải nhì của An là 36

0,003610000

.

BT3. Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có có 10 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người trực lớp. Tính

xác suất trong 3 người đó có đúng một nữ.

Giải. Số trường hợp đồng khả năng là 3

30C . Gọi A là biến cố có đúng một nữ trong 3 người được

chọn thì số trường hợp đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A là 1 2

10 20C C . Xác suất của biến cố

A là

1 2

10 20

3

30

95( )

203

C CP A

C

.

BT4. Một cơ quan có 100 người, trong đó có 60 nam. Số ở gần cơ quan là 50, trong số này có

35 nam. Những người nam hoặc gần cơ quan thì phải trực đêm. Chọn ngẫu nhiên một người

trong cơ quan. Tính xác suất người đó phải trực đêm.

Giải. Gọi A là biến cố người đó là nam, B là biến cố người đó ở gần cơ quan. Khi đó biến cố

A B là biến cố ngươi đó phải trực đêm. Ta có

60 50 35 75( ) ( ) ( ) ( ) 0,75

100 100 100 100P A B P A P B P A B .

7

BT5. Có 3 hộp phấn. Hộp thứ nhất có 2 viên trắng 3 viên màu ; hộp thứ hai có 4 viên trắng 7

viên màu; hộp thứ ba có 3 viên trắng 5 viên màu. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp ra một viên.

a) Tính xác suất cả 3 viên lấy ra đều trắng.

b) Tính xác suất trong 3 viên lấy ra có hai viên trắng.

Giải. Gọi A, B, C là biến cố viên phấn lấy ra từ hôp thứ nhất, thứ hai, thứ ba là viên trắng. Ba

biến cố này độc lập.

a) Biến cố cả ba viên đều trắng là ABC.

2 4 3 3( ) ( ). ( ). ( ) . . .

15 11 8 35P A B C P A P B P C

b) Biến cố 3 viên lấy ra có 2 viên trắng là

.

( ) ( ) ( ) ( ) (

2 4 5 2 7 3 3 4 3 59

15 11 8 15 11 8 5 11 8 220

F ABC ABC ABC

P F P ABC ABC ABC P ABC P ABC P AB

BT6. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu

nhiên từ lô hàng 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong hai sản phẩm chọn ra .

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Giải.

a) Ta thấy X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2 . Ta có 0 2

6 40 2

10

1 1

6 41 2

10

2 0

6 42 2

10

2( 0)

15

8( 1)

15

1( 2)

3

C Cp P X

C

C Cp P X

C

C Cp P X

C

Vậy bảng phân bố của X là

X 0 1 2

P 2/15 8/15 1/3

b) Kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X

8

2 2 2 2

2 8 1( ) 0 1 2 1,2.

15 15 3

2 8 1( ) 0 1 2 (1,2) 32 / 75 0,4267.

15 15 3

( ) ( ) 0,4267 0,6532.

E X

V X

X V X

III. BÀI TẬP TƢƠNG TỰ.

BT1. Ta viết ngẫu nhiên các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu

nghiên thành một hàng. Tính xác suất được một số chẵn.

ĐS: 4/9.

BT2. Xếp ngẫu nhiên 5 người ngồi vào một cái bàn dài có 5 chỗ ngồi . Tính xác suất :

a) A và B ngồi ở đầu bàn.

b) A và B ngồi cạnh nhau.

Cũng hỏi như trên nhưng xét bàn tròn mà các vị trí hoàn toàn như nhau.

ĐS a) 0,1. b) 0,4. Nếu bàn tròn b) 0,5.

BT3. Xếp ngẫu nhiên 5 người A,B, C, D, E lên 7 toa tàu. Tính xác suất :

a) 5 người lên cùng toa đầu.

b) 5 người lên cùng một toa.

c) 5 người lên 5 toa đầu.

d) 5 người lên 5 toa khác nhau.

e) A và B lên cùng toa đầu.

f) A và B lên cùng một toa.

g) A và B lên cùng toa đầu , C, D, E không lên toa này .

ĐS: a) 1/75 ; b) 1/7

4; c) 120/7

5; d)7.6.5.4.3/7

5 ; e) 1/49; f)1/7; g) 6

3/7

5.

BT4. Một sản phẩm phải lần lượt qua 4 công nhân gia công độc lập. Xác suất để mỗi công nhân

làm hỏng sản phẩm là 0,01.Tính xác suất để sản phẩm suất xưởng không hỏng .

ĐS : (0,99)4 .

BT5. Ba xạ thủ độc lập bắn mỗi người một viên vào 3 tấm bia. Xác suất để các xạ thủ bắn trúng

bia lần lượt là 0,7; 0, 8; 0,5. Tính xác suất trong 3 viên có

a) Một viên trúng.

b) Hai viên trúng.

c) Không có viên nào trúng.

d) It nhất một viên trúng.

9

ĐS : a)0,22; b) 0,47; c)0,03; d) 0,97.

BT6. Gọi A là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau được lâp thành từ các chữ số

1,2,3,4,5,6. Lấy ngẫu nhiên một phần tử của A, tính xác suất lấy được số chẵn.

ĐS: 2/15.

BT7. Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để

được:

a) 3 viên xanh.

b) 3 viên đỏ.

c) 3 viên cùng màu.

d) Ít nhất hai viên xanh.

ĐS:a) 14/55; b)1/55; c)3/11; d) 42/55.

BT8. Một bình đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi.

Tính xác suất để được ;

a) 2 viên cùng màu.

b) 2 viên khác màu.

ĐS: a)5/18; b) 13/18.

BT9. Cho hai hộp đựng bi , mỗi hộp đựng 10 bi. Hộp thứ nhất đựng 6 bi đỏ và 4 bi trắng. Hộp

thứ hai đựng 7 bi đỏ và 3 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi.

a) Tính xác suất để được 2 bi đỏ và hai bi trắng.

b) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bi đỏ trong 4 bi được lấy ra. Lập bảng phân bố xác suất

của X.

ĐS: a) 1/3. b)

X 0 1 2 3 4

P 2/225 22/225 1/3 91/225 7/45

BT10. Một bình đựng 4 viên bi đen và 6 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi X là số viên

đen có được. Lập bảng phân bố xác suất của X.

ĐS:

X 0 1 2 3

P 5/30 15/30/ 9/30 1/30

10

BT11. Gieo 3 con xúc xắc. Gọi X là số con xúc xắc xuất hiện mặt 6. Lập bảng phân bố xác suất

của X.

ĐS :

X 0 1 2 3

P 125/216 75/216 15/216 1/216