Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  :            1.  Tại một điểm trên đồ thị.            2.  Tại điểm có hoành độ trên đồ thị.            3.  Tại điểm có tung độ trên đồ thị.            4.  Tại giao điểm của đồ thị với trục tung .            5.  Tại giao điểm của đồ thị với trục hoành .*Phương pháp:Phương trình tiếp tuyến(PTTT) : Của  :  tại  Viết được là phải tìm  ; và là hệ số góc của tiếp tuyến.Giải các câu trên lần lượt như sauCâu 1:- Tính . Rồi tính .– Viết PTTT: Câu 2:- Tính . Rồi tính .– Tính tung độ ,(bằng cách) thay vào biểu thức của hàm số để tính .– Viết PTTT: .Câu 3:- Tính hoành độ  bằng cách giải pt .- Tính  . Rồi tính .- Sau khi tìm được và thì viết PTTT tại mỗi điểm tìm được.Câu 4:       –     Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục : Cho

và tính ;      –     Tính . Rồi tính ;      –     Viết PTTT:: .Câu 5:     –     Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục : Chovà tính ;      –     Tính . Rồi tính  tại các giá trị  vừa tìmđược;      –     Viết PTTT:: . Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  :

                    a) biết rằng tiếp tuyến song song vớiđuờng thẳng  .                                     b) biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  .Phương pháp:

Tính  Giải phương trình    Tính  Thay vào phương trình 

Chú ý: Tiếp tuyến song song với đường thẳng   sẽ có hệ số

góc  Tiếp tuyến vuông góc  với đường thẳng   sẽ có hệ số

góc 

Bài tập vận dụng:Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng Bài 2: Cho hàm số Tìm   để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ   vuông góc với đường thẳng Bài 3: Cho    . Viết phương trình tiếp tuyếnvới   biết tiếp tuyến này vuông góc với  .Bài 4: Cho   a) Viết phương trình tiếp tuyến cới   biết tiếp tuyến này song song với $y=6x-4$b) Viết phương trình tiếp tuyến với   biết tiếp tuyến này vuông góc với c) Viết phương trình tiếp tuyến với   biết tiếp tuyến tạo với   góc  .Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước đến đồ thị.Phương pháp : Sử dụng điều kiện tiếp xúcHai đường thẳng   và   tiếp xúc tai điểm hoành độ   khi  là ngiệm của hệ

 Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua   đến   ?

Hướng dẫn giải: Gọi   là phương trình tiếp tuyến đi qua   và có hệ số

góc   có dạng:

                     Phương trình hoành độ giao điểm chung của   và   là :

               

Giải hệ trên tìm được  Vậy có hai tiếp tuyến với   đi qua  .

                               Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x)    + Tập xác định của hàm số    + Sự biến thiên:         - Chiều biến thiên                Tính đạo hàm cấp 1 và tìm nghiệm của đạo hàm (nếucó)                 Kết luận tính đơn điệu của hàm số         - Cực trị của hàm số         - Giới hạn của hàm số và đường tiệm cận (nếu có) của đồ thịhàm số    + Lập bảng biến thiên    + Vẽ đồ thị A. KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN- Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải của ba dạng hàm số sau:Y=ax3+bx2+cx+d (a #0)Y=ax4+bx2+c(a#0)Y=( ax + b)/ (cx + d) (c#0; ad-bc #0)- Lưu ý khi vẽ đồ thị: không được vẽ đồ thị ra ngoài mặt phẳngtọa độ, nét vẽ đồ thị phải trơn, mảnh, rõ, không có chỗ gấp khúc đột ngột, thể hiện được "sự uốn" của đồ thị tại các điểm uốn. Đánh dấu tọa độ của các giao điểm của đồ thị với hai trụctọa độ, các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn nếu có. Sau đây tôi đề cập ví dụ 2 dạng, các dạng khác, các bạn tự sưu tầm.A.1 Bài toán cần lưu tâm 1: Đồ thị của hàm số mang dấu giá trịtuyệt đối+ Phương pháp:Bước 1: Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đốiBước 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối, phân tích hàm sốđã cho thành các phần không chưa dấu giá trị tuyệt đốiBước 3: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại (vẽ chung trên một trục tọa độ)Bước 2: từ đồ thị y =f(x) ta có thể suy ra đồ thị y= /f(x)/ như sau:Giữ nguyên phần đồ thị y= f(x) nằm phía trên trục OxLây đối xứng qua Ox phần đồ thị y= f(x) nằm phía dưới Ox

Bỏ phần đồ thị y= f(x) ta được đồ thị hàm số y=/f(x)/A.2 Bài toán cần lưu tâm 2: Sự tương giao giữa hai đồ thị f(x)và g(x)Phương pháp: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã chof(x)=g(x)Khảo sát nghiệm số của phương trình trên, số nghiệm này chính là số giao điểm của hai đồ thịCác dạng khác bao gồm:- Tiếp tuyến với đường cong- Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước- Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x;y) cho trước.- Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị- Tìm các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số- Các bài toán về sự đối xứng- Các bài toán liên quan đếm cực trị của hàm bậc 3…B.LƯỢNG GIÁCB.1 Kiến thức cơ bản:- Bắt buộc phải sử dụng thành tạo đường tròn lượng giác, ghi nhớ để chuyển đổi các giá trị lượng giác đặc biệt, học hiểu vànhớ tất cả các hàm số lượng giác của các góc liên quan đặc biệt- Ghi nhớ các hệ thức cơ bản trong sách giáo khoaB.2 Phương trình lượng giác: phương phápBước 1: Tìm điều kiện của ẩn số để hai vế phương trình có nghĩaBước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi về một phương trình cơ bản đã biết cách giải hoặc phương trình cóthể đặt ẩn phụ.Bước 3: Giải phương trình và chọn nghiệm phù hợpBước 4: kết luận.Lưu ý : dạng phương trình có chứa tham số thì sử dụng phương pháp sau:- Chọn ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ- Chuyển phương trình về phương trình đại số- Lập luận để chuyển bài toán về bài toán theo ẩn phụ- Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu bái toán.C. GIẢI TÍCH TỔ HỢPCần đọc kĩ sách giáo khoa và làm bài tập trong sách giáo khoa,sách bài tập để có cái nhìn cơ bản về chuyên đề này. Sau đó

tìm thêm các bài tập trong sách chuyên đề, trên mạng để nâng cao tư duy.Phải nhơ được kiến thức về giai thừa,qui tắc cộng,qui tắc nhân,hoán vị,nhị thức Niu tơn.Lưu ý: Các bài toán về giải tích tổ hợp thường là những bài tập về những hành động như lập các số từ các số đã cho, sắp xếp 1 số người hay đồ vật vào những vị trí nhất định, lập các nhóm người hay đồ vật thỏa mãn một số điều kiện đã cho.- Nếu những hành động này gồm nhiều giai đoạn thì cần tìm số cách chọn cho mỗi giai đoạn rồi áp dung qui tắc nhân- Nếu bài toán thay đổi kết quả nếu ta thay đổi vị trí của cácphần tử thì chắc chắn liên quan đến hoán vị và chỉnh hợp,- Đối với những bài toán mà kết quả giữ nguyên khi ta thay đổivị trí của các phần tử thì chắc chắn là bài toán tổ hợp.D. TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNGTrong phần này, các bạn cần chú ý đến các công cụ sau:- Phương pháp tính tích phân dựa vào định nghĩa và các tính chất- Phương pháp tính tích phân đổi biến số- Phương pháp vi phân- Phương pháp tích phân từng phần áp dụng khi trong biểu thức cần tính xuất hiện 2 loại hàm số khác nhau về thể loại, ví dụ 1 hàm lượng giác, 1 hàm đại số, hàm số mũ,…- Chú ý đến tính chẵn,lẻ của hàm số khi tính tích phân- Cách cuối cùng cần lưu ý là việc đặt biến số mới t= a+b –x trong đó a,b là 2 cận.E. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀMGhi nhớ tính đơn điệu của hàm số, điều kiện cần và đủ của tínhđơn điệu, phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số. Qua đó phải biết ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng mình bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình. Ghi nhớ định lý Fermat tìm điều cần và đủ của cực trị, biết làm các bài toán giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số.Lưu ý : các phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số:- Sử dụng bất đẳng thức- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình- Sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm số trên D rồi suy ra kết quả.

I. Các bước cơ bản giải toán Khảo sát vẽ đồ thị hàm số:

– Tìm tập xác định– Nêu tính chất đặc biệt của hàm số (nếu có) như: hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn.– Xét sự biến thiên của hàm số:+ Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số+ Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)+ Lập bảng biến thiên: Gồm:  tìm đạo hàm, xét dấu,……– Vẽ đồ thị:+ Vẽ hệ trục toạ độ Đề các vuông góc+ Xác định các điểm đặc biệt: cực trị, điểm uốn, giao điểm với Ox, Oy+ Vẽ các đường tiệm cận, trục đối xứng (nếu có)+ Dựa vào bảng biến thiên và các điểm, đường đã xác định để vẽ đồ thị.—> Nhận xét về đồ thị

II. Các dạng hàm số thường gặp:

1. Hàm số  (a≠0).

*) Tập xác định: R

*) Đồ thị hàm số (P) có đỉnh  , trục đối

xứng 

*) Ngoài ra ta còn gặp các hàm số khác đưa về dạnghàm số bậc 2.

2. Hàm số  (a≠0).

*) Tập xác định: R.*) – Nếu   thì hàm số (C) có 1 cực đại và 1cực tiểu.– Nếu   thì hàm số (C) không có cực trị.*)  => Đồ thị hàm số có điển

uốn I với  . Đây là tâm đối xứng của đồ thị.

*) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.

3. Hàm bậc 4 trùng phương có dạng: (a≠0).

*) Tập xác định: R.

– Hàm số chẵn nên (C) nhận Oy làm trục đối xứng.*) 

– Nếu a,b>0 thì hàm số có một cực trị tại x=0 và không có điểm uốn.– Nếu ab<0 thì hàm số có 3 cực trị

tại  và có 2 điểm uốn

tại 

4. Hàm số nhất biến có dạng

a) Nếu c=0, d≠0 thì (H):  là đường thẳng.

b) a) Nếu c≠0 thì (H): 

*) Tập xác định:*)

– Nếu (ad-bc)≠0 thì (H) có tiệm cận ngang  và

tiệm cận đứng Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm

cận – Nếu (ad-bc)=0 thì (H) là đường thẳng khuyết:

5. Hàm số hữu tỉ bậc hai trên bậc một có

dạng: *) Tập xác định:

*) 

– Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt   thì (C) có một cực đại và một cực tiểu– Nếu (1) vô nghiệm thì (C) không có cực trị.– Nếu (1) có nghiệm kép thì (C) suy biến thành hàmsố bậc nhất, đồ thị là đường thẳng.*) Tiệm cận đứng: 

Ta có thể viết về dạng: – Nếu K≠0 thì (C) có tiệm cận xiên: – Nếu K=0 thì (C) suy biến thành hàm số bậc nhất.Trường hợp không suy biến thành hàm bậc nhất thì (C) được gọi là hypebol xiên có tâm đối xứng là giao điểm I của 2 đường tiệm cận.

6. Hàm số đa thức.Dạng tổng quát:   là hàm số đa thức bậc n với  .

*) Tập xác định: R*) (1)=0 có thể có n nghiệm phân biệt → Hàm số có thểcó n-1 cực trị.*) Hàm số không có tiệm cận.

7. Các dạng Hàm số hữu tỉ.

Có dạng:   với P(x) và Q(x) là các đa thức nguyên theo x.*) Tập xác định: Tìm điều kiện để thỏa mãn Q(x)≠0.*) Tại   mà hàm số đạt cực đại hay cực tiểu với y’=0

thì ta có:

*) Tiệm cận:– Tiệm cận đứng:  ( nếu có ) thì   là nghiệm của Q(x) với điều kiện – Tiệm cận khác:+ Nếu bậc P(x) ≤ bậc Q(x) thì hàm số có tiệm cận ngang.+ Nếu bậc P(x) = bậc Q(x)+1 thì hàm số có tiệm cận xiên.+ Nếu bậc P(x) = bậc Q(x)+k   thì hàm số có đường cong tiệm cận.

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢIPhương trình mũDạng 1: Dạng cơ bản: với a < 0 và a # 1

Dạng 2: Đưa về cùng cơ số: af(x) = ag(x)    (1)- Nếu 0 < a # 1: (1) ↔ f(x) = g(x)

- Nếu a thay đổi: Dạng 3: Đặt ẩn phụ: Đặt t = ax, t > 0, giải phương

trình ↔ Dạng 4: Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhấtPhương trình Logarit

 Dạng 3: Đặt ẩn phụĐặt t = logax sau đó giải phương trình đại số theo tDạng 4: Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhấtB. ĐỀ THIBài 1: Đại học khối D năm 2011

Giải phương trình: Giải:

Dạng I: Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điểnCách giải: Để tính xác suất P(A) của một biến cố A ta

thực hiện các bước+    Xác định không gian mẫu Ω, rồi tính số phần tử n(Ω) của Ω.+    Xác định tập con mô tả biến cố A, rồi tính số phần tử n(A) của tập hợp A.+    Tính P(A) theo công thức   P(A)=n(A)n(Ω).Thí dụ 1. Một tổ học sinh gồm 9 em, trong đó có 3 nữ đượcchia thành 3 nhóm đều nhau. Tính xác suất để mỗi nhóm có 1 nữ.Lời giải. Gọi A là biến cố : “ ở 3 nhóm học sinh mỗi nhómcó 1 nữ”.+    Để tìm n(Ω) ta thực hiệnChọn ngẫu nhiên 3 trong 9 em đưa vào nhóm thứ nhất, số khả năng là C39.Chọn 3 trong số 6 em còn lại đưa vào nhóm thứ hai, số khảnăng là C36.Chọn 3 em đưa vào nhóm thứ 3, số khả năng là C33=1.Vậy n(Ω)=C39.C36.1=1680.Vì phân ngẫu nhiên nên các biến số sơ cấp trong không gianbiến cố sơ cấp này có cùng khả năng xuất hiện.Để tìm n(A) ta thực hiện Phân 3 nữ vào 3 nhóm nên có 3! Cách khác nhau.Phân 6 nam vào 3 nhóm theo cách như trên, ta có C26.C24.1 cách khác nhauSuy ra n(A)=3!.C39.C36.1=540.+ Do đó P(A)=n(A)n(Ω)=5401680=2784

DẠNG II. Tính xác suất bằng quy tắc cộngCách giải. Sử dụng kỹ thuật đếm và các công thức sau để tính xác suất của biến cố đối, biến cố hợp,P(A¯¯¯¯)=1−P(A);P(A∪B)=P(A)+P(B), nếu A∩B=∅.Thí dụ 2: Một hộp đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ.

Lấy  ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để a)    Lấy được 3 viên bi cùng màu.b)    Lấy được 3 viên bi khác màu.c)    Lấy được ít nhất 2 viên bi xanh.Lời giải: a) gọi A là biến cố “ Lấy được 3 viên bi xanh”, B là biếncố “ lấy được 3 viên bi đỏ” và H là biến cố “ lấy được 3 viên bi cùng màu”. Ta có H=A∪B, vì A và B xung khắc nên P(H)=P(A)+P(B).Ta có P(A)=C38C312=1455;P(B)=C34C312=155.Từ đó P(H)=1455+155=311.b) Biến cố “ lấy được 3 viên bi khác màu” là biến cố H¯¯¯¯¯, VậyP(H¯¯¯¯¯)=1−P(H)=1−311=811c) Gọi C là biến cố lấy được 2 viên bi xanh và một viên bi đỏ” , K là biến cố “ lấy được ít nhất 2 viên bi xanh”.Ta có K=A∪C , vì A và C xung khắc, nên P(K)=P(A)+P(C)Ta có P(C)=C28.C14C312=2855Suy ra P(K)=1455+2855=4255

DẠNG III. Tính xác suất bằng quy tắc nhânCách giải. Để tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập A và B ta dùng công thức P(AB)=P(A)P(B)Thí dụ 3. Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ thất chứa 3 quả cầu trắng, 7 quả cầu đỏ và 15 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 10 quả cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 9 quảcầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu . Tính xác suất để hai quả cầu lấy ra có màu giống nhau. Lời giải :   Gọi A là biến cố "Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ nhất là màu trắng", B là biến cố "Quả cầu được lấy ratừ hộp thứ hai là màu trắng".

Ta có P(A)=325,P(B)=1025. Vậy xác suất để hai quả cầu được lấy ra đều màu trắng là P(AB)=P(A)P(B)=325.1025=30625( do A,B độc lập)Tương tự, xác suất để hai quả cầu được lấy ra đều màu xanhlà 1525.925=135625, và xác suất để lấy ra hai quả cầu đều màu đỏ là 625.725=42625.Theo quy tắc cộng, xác suất để lấy ra hai quả cầu cùng màulà30625+135625+42625=207625.

Dạng IV.  Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.Cách giải : Để lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X ta thực hiện các bước :+ Xác định tập các giá trị có thể {x1,x2,⋯,xn} của X.+ Tính các xác suất pi=P(X=xi), trong đó {X=xi} là biến cố "X nhận giá trị xi".+ Trình bày bảng phân bố xác suất theo dạng sau

Ví dụ 4. Một lô hàng gồm 10 sản phẩm trong đó có 3 sản

phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 4 sản phẩn để kiểm tra.

Gọi X là số sản phẩm xấu gặp phải khi kiểm tra. Lập bảng

phân bố xác suất của X.

Lời giải :

Dễ thấy X nhận các giá trị thuộc tập {0,1,2,3}. Ta có :

P(X=0)=C47C410=35210

P(X=1)=C13.C37C410=105210

P(X=2)=C23.C27C410=63210

P(X=3)=C33.C17C410=7210

Vậy bảng phân bố xác suất của X là 

Dạng V. Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến

ngẫu nhiên rời rạc.

Cách giải : Để tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn

của biến ngẫu nhiên rời rạc X ta dùng các công thức :

E(X)= i=1nxipi;V(X)= i=1n(xi−μ)2pi∑ ∑  hoặc

V(X)= i=1nx2ipi−μ2;σ(X)=V(X)−−−−−√, trong đó∑  

pi=P(X=xi),∀i=1,n¯¯¯¯¯¯¯¯;μ=E(X).

Ví dụ 5. Một chiếc hộp đựng 10 tấm thẻ, trong đó có bốn

thẻ ghi số 1, ba thẻ ghi số 2, hai thẻ ghi số 3và một thẻ

ghi số 4. Chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ rồi cộng hai số trên

hai tấm thẻ với nhau. Gọi X là số thu được.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Lời giải :

a) Gọi Aij là biến cố "Chọn được tấm thẻ ghi số i và tấm

thẻ ghi số j."

Dễ thấy X nhận các giá trị thuộc tập {2,3,4,5,6,7}. Ta

có :

P(X=2)=P(A11)=C24C210=645

P(X=3)=P(A12)=C14.C13C210=1245

P(X=4)=P(A13)+P(A22)=C14.C12C210+C23C210=1145

P(X=5)=P(A14)+P(A23)=C14.C11C210+C13.C12C210=1045

P(X=6)=P(A33)+P(A24)=C22C210+C13.C11C210=445

P(X=7)=P(A34)=C12.C11C210=245

Vậy bảng phân bố xác suất của X là 

b) Ta có :

E(X)=2.645+3.1245+4.1145+5.1045+6.445+7.245=4

V(X)=22.645+32.1245+42.1145+52.1045+62.445+72.245−42≈1,78.

σ(X)=V(X)−−−−−√=1,78−−−−√≈1,33. 1. HOÁN VỊ       Số hoán vị của n phần tử: Pn = n!

       Số tập hợp con của tập hợp n phân tử là 2n. 

B. ĐỀ THIBÀI 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

 

GIẢI:

BÀI 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k thuộc {1, 2, ..., n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.GIẢI:Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng Ck

n.

Vậy số tập hợp con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k= 9BÀI 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

(n là số nguyên dương, Akn là số chỉnh hợp chập k của n phần

tử và Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử).

GIẢI:

BÀI 4:   ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức 2Pn + 6A2

n - PnA2n = 12

(Pn là số hoán vị của n phần tử và Akn là số chỉnh hợp chập k của n

phần tử)GIẢI:

VẤN ĐỀ 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC XUẤT A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI (Bắt buộc phải nhớ)

 I. PHÉP ĐẾM 1. NGUYÊN TẮC ĐẾM     Có 2 biến cố A và B     A có m cách xảy ra     B có n cách xảy ra     2 biến cố A và B cùng xảy ra có m x n cách     Biến cố A hoặc B xảy ra có m + n cách     Chú ý: Nguyên tắc trên có thể áp dụng cho nhiều biến cố2. CHÚ Ý:     - Nếu thay đổi vị trí mà biến cố thay đổi ta có một hoán vị hoặc một chỉnh hợp     - Nếu thay đổi vị trí mà biến cố không đổi ta có một tổ hợp II. XÁC XUẤT

B. ĐỀ THIBÀI 1:   ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

BÀI 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏicó bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?GIẢI:

BÀI 3:   Trong một môn học thầy giáo có 3 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏikhó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thểlập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, saocho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trungbình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.?GIẢI:

BÀI 4:   Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.?GIẢI:

VẤN ĐỀ 3: NHỊ THỨC NEWTONA. PHƯƠNG PHÁP GIẢI (Bắt buộc phải nhớ)

Chú ý: Dựa vào bảng Pascal ta có thể viết ngay được khai triển

NewtonB. ĐỀ THIBÀI 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008

BÀI 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008

BÀI 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007

BÀI 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

BÀI 5:

Hình học không gian: Một số phương pháp xác định chiều cao khối chóp

Hình học không gian là bài toán không khó trong đề thi Đại họcmôn Toán nhưng luôn làm cho rất nhiều em bối rối. Một bài toánrất hay được hỏi trong phần này đó là tính thể tích khối chóp.Khi gặp các bài tính thể tích, một phương pháp rất hay được sửdụng đó là tính thể tích trực tiếp bằng cách xác định đường cao.Sau đây a xin giới thiệu một số phương pháp xác định đường caocủa khối chóp:Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh vuông góc với đáy thì cạnh đó chính là chiều cao.Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường caochính là đường kẻ vuông góc từ đỉnh xuống giao tuyếnLoại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó.Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp đáy.Một số trường hợp đặc biệt khác:Hình chóp S.ABCD có mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc BACHình chóp S.ABCD có SB = SC hoặc SB, SC cùng tạo với đáy một góc α thì chân đường cao hạ từ S thuộc đường trung trực của BCI.Đường thẳng và mặt phẳng .1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)Phương pháp :- Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳngChú ý : Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đòng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó . Giao điểm , nếu có của hai đường thẳng này chính là điểm chungcủa hai mặt phẳng .2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳngPhương pháp :

Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) , ta tìm trong (P) một đường thẳng c cắt A tại điểm A nào đó thì A là giao điểm của a và (P) .Chú ý : Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao tuyến của (P) và (Q) .3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng , chứng minh 3 đường thẳng đồng quy .Phương pháp :- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó làcác điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó .- Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường nàylà điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba .4. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng di độngPhương pháp :M là giao điểm của hai đường thẳng di động d và d' . Tìm tập hợp các điểm M.* Phần thuận : Tìm hai mặt phẳng cố định lần lượt chứa d và d'. M di đọng trên giao tuyến cố định của hai mặt phẳng đó .* Giới hạn (nếu có)* Phần đảoChú ý : nếu d di động nhưng luôn qua điểm cố định A và cắt đường thẳng cố định a không qua A thì d luôn nằm trong mặt phẳng cố định (A,a)5. Thiết diệnThiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến của (P) với các mặt hình chóp .Phương pháp :Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp theo các bước sau :- Từ điểm chung có sẵn , xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (Có thể là mặt trung gian)- Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác . Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này .- Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta đượcthiết diện .II.Đường thẳng // .1. Chứng minh hai đường thẳng song songPhương pháp :Có thể dùng một trong các cách sau :

- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tínhchất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét ...)- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3 .- Áp dụng định lý về giao tuyến .2 . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 1)Thiết diện qua một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước .Phương pháp :* Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng* Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến song song với một đường thẳng đã có)Giao tuyến sẽd là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy .Ghi chú : Ta có 2 cách để tìm giao tuyến :Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối hợp 2 cách khi xác định thiết diện của hình chóp .3 . Tính góc giữa hai đường thẳng a,b chéo nhau.Phương pháp :Tính góc :Lấy điểm O nào đó .Qua O dựng a' // a và b' // bGóc nhọn hoặc góc vuông tạo bởi a',b' gọi là góc giữa a và b .Tính góc : Sử dụng tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lý hàm số côsin trong tam giác thường .III.Đường thẳng // với mặt phẳng .1. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng PPhương pháp :Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) .2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(Cách 2 / dạng 2)Thiết diện song song với một đườc thẳng cho trướcPhương pháp :Nhắc lại một hệ quả : Nếu đường thẳng d song song với một mặt phẳng (P) thì bất kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa d mà cắt (P) thì sẽ cắt (P) theo giao tuyến song song với d .

Từ đây xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước theo phương pháp đã biết .IV.Mặt phẳng //.1. Chứng minh hai mặt phẳng song songPhương pháp :* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia .Chú ý :Sử dụng tính chấtta có cách thứ 2 để chưngs minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) .2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 3)Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước .Phương pháp :- Tìm phương của giao tuyến của hai mặt phẳng bằng định lý về giao tuyến :"Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau " .- Ta thường sử dụng định lý này để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước theo phương pháp đã biết .- Chú ý : Nhớ tính chấtV.Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳngChứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhauPhương pháp :* Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)- Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P).- Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) .* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau .- Chứng minh hai đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia .- Nêú hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đã học trong hình học phẳng .2. Thiết diện qua 1 điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước .Cho khối đa diện (S) , ta tìm thiết diện của (S) với mặt phẳng(P) , (P) qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước .- Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a,b cùng vuônggóc với d thì :

(P) // a (hay chứa a)(P) // b (hay chứa b)Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày ở những bài trên .- Dựng mặt phẳng (P) như sau :Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d , trong đó có ít nhất một đường thẳng qua M .mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng trên chính là (P) .Sau đó xác định thiết diện theo phương pháp đã học . VI.Đường vuông góc và đường xiên.1. Dựng đường thẳng qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước .Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngPhương pháp :Thực hiện các bước sau :*Chọn trong (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d (nên chọn d sao cho (Q) dễ dựng ).*Xác định đường thẳng* Dựng AH vuông góc với c tại H- Đường thẳng AH là đường thẳng qua A vuông góc với (P) .- Độ dài của đoạn AH là khoảng cách từ A đến (P)Chú ý :- Trước khi chọn d và dựng (Q) nên xét xem d và (Q) đã cío sẵntrên hình vẽ chưa.- Nếu đã có sẵn đường thẳng m vuông góc với (P), khi đó chỉ cần dựng Ax // m thì- Nếu AB // (P) thì d(A,(P)) = a(B, (P))- Nếu AB cắt (P) tại I thì d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB2. Ứng dụng của trục đường trònĐịnh nghĩa : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của đường tròn đó .Ta có thể dùngn tính chất của trục đường tròn để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và tính khoảng cách từ mộtđiểm đến một mặt phẳng .- Nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là một điểm cách đều 3 điểm A,B,C thì đường thẳng MO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; khi đó MO vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC))- Nếu MA=MB=MC và NA=NB=NC trong đó A,B,C là ba điểm không thẳng hàng thì đường thẳng MN là trục đường tròn qua ba điểm A,B,C; khi đó MN vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đương tròn qua ba điểm A,B,C .

3. Tập hợp hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di độngTa thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm cố định A trên đường thẳng d di động trong mặt phẳng (P) cố định và luôn đi qua điểm cố định O .Phương pháp :- Dựng , theo định lý ba đường vuông góc ta có- Trong mặt phẳng (P), nên M thuộc đường tròn đường kính OH chứa trong (P) .4. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của một điểm cố định trên mặt phẳng di động .Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc H của một điểm cố dịnh A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa một đường thẳng d cố định .Phương pháp :- Tìm mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d- Tìm- Chiếu vuông góc A lên c, điểm chiếu là H thì H cũng là hình chiếu của A trên (P) .Gọi E là giao điểm của d với (Q). Trong mặt phẳng (Q), nên H thuộc đường tròn đương kính AE .5. Góc giữa đương thẳng và mặt phẳngCách xác định góc giữa a và (P) .Phương pháp :- Tìm giao điểm O của a với (P)- Chọn điểm và dựngkhi đóVII. Mặt phẳng vuông góc1. Nhị diện góc giữa hai mặt phẳngKhi giải các bài toán liên quan đến số đo nhị diện hay góc giữa hai mặt phẳng thì ta thường xác định góc phẳng của nhị diện. Nếu góc này chưa có sẵn trên hình ta có thể dựng nó theophương pháp dưới đây .Phương pháp :- Tìm cạnh c của nhị diện (giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và(Q) chứa hai mặt của nhị diện )- Dựng một đoạn thẳng AB có hai đầu mút ở trên hai mặt của nhịdiện và vuông góc với một mặt của nhị diện .- Chiếu vuông góc A ( hay B ) trên c thành H .ta được là góc phẳng của nhị diện .Chú ý :- Nếu đã có một đường thẳng d cắt hai mặt của nhị diện tại A, B và vuông góc với cạnh c của nhị diện thì ta có thể dựng góc

phẳng của nhị diện đó như sau ; Chiếu vuông góc A ( hay B hay một điểm trên AB ) trên c thành H . Khi đó là góc phẳng của nhị diện .- Nếu hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) thì .- Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt chứa hai tam giác cân MAB và NAB có chung đáy AB thì ( I là trung điểm của AB ) là góc phẳng của nhị diện đó .2. Mặt phân giác của nhị diện , cách xác định mặt phân giác .Phương pháp :C1 :- Tìm một góc phẳng của nhị diện .- Mặt phân giác của nhị diện là mặt qua cạnh c của nhị diện vàphân giác Ot của góc phẳng xOy .C2 :- Tìm một điểm A cách đều hai mặt của nhị diện .- Mặt phân giác của nhị diện trên là mặt qua A và cạnh c của nhị diện .3. Mặt phẳng vuông gócChứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc .Phương pháp :- Cách 1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuônggóc với mặt phẳng kia .- Cách 2 : chứng minh góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 90 .* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .- Cách 1 : Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhauchứa trong (P) .- Cách 2 : Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) .- Cách 3 : Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giácABC với A, B, C thuộc (P) .- Cách 4 : Sử dụng định lý : " Nếu a chứa trong một mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và a vuông góc với giao tuyến của (P) và(Q) thì a vuông góc với (P) " .- Cách 5 : Sử dụng định lý : " Nếu a là giao tuyến của hai mặtphẳng cùng vuông góc với (P) thì a vuông góc với (P) " .4. Xác định mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặtphẳng . Thiết diện .Cho trước mặt phẳng (P) và đường thẳng a không vuông góc với (P) . Xác định mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) .Phương pháp :

- Từ một điểm trên a dựng b vuông góc với (P) thì (Q) là mặt phẳng (a, b) .Chú ý : Nếu có đường thẳng thì (Q) // d hay (Q) chứa d .