BÀI T P TOÁN CAO C P 2

BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2

Ngô Mạnh Tưởng

Tháng 02 năm 2011

Mục lục

Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Tìm miền xác định của các hàm sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Cho hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.6. Tính gần đúng: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.8. Cho các hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.11. Tìm các cực trị của các hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 2. TÍCH PHÂN KÉP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Tính các tích phân sau trong hệ trục tọa độ đề các: . . . . . . . . . 5

2.2. Tính các tích phân sau trong hệ trục tọa độ cực: . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Thể tích của các vật thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1. Tính trực tiếp các tích phân đường sau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2. Dùng công thức Green tính các tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3. Tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. . . . . 11

Chương 4. LÝ THUYẾT CHUỖI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1. Xét sự hội tụ của các chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2. Tính tổng của các chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.4. Tìm miền hội tụ và tính tổng của các chuỗi hàm số. . . . . . . . . 14

i

Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài tập TOÁN CAO CẤP 2

4.5. Khai triển các hàm số f(x) sau thành chuối lũy thừa trong lân cận

của điểm x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.6. Tìm khai triển Fourier của các hàm f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.1. Giải các phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2. Giải các phương trình vi phân biến sô phân ly. . . . . . . . . . . . . . 17

5.3. Giải các phương trình vi phân đẳng cấp (thuần nhất) . . . . . . 18

5.4. Giải các phương trình vi phân Becnuly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.5. Giải các phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.6. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau bằng phương pháp

thừa số tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Ngô Mạnh Tưởng ii

Chương 1

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

1.1. Tìm miền xác định của các hàm sau:

z =1√

a2 − x2 − y2; z = arcsin

(x

y2

)z = ln

(−xy

); u =

√x+ y + z

1.2. Cho hàm số

1, f (x, y) =

√xy +

x

y. Tính f ′x (2, 1) f ′y (2, 1).

2, z = ex2 + y2. Tính z′x, z

′y.

1.3. Chứng tỏ rằng hàm số z = y ln(x2 − y2) thỏa mãn phương trình

1

x

∂z

∂x+

1

y

∂z

∂y=

z

y2

1.3.

1. Chứng tỏ rằng hàm số f(x, y) = ex sin y thỏa mãn phương trình Laplace

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0

2. Chứng tỏ rằng hàm số u(x, t) = sin(x− at) thỏa mãn phương trình sóng

∂2u

∂t2= a2∂

2u

∂x2

3. Chứng tỏ rằng hàm số u (t, x) =1

2a√πte−x2

4a2t thỏa mãn phương trình truyền nhiệt

∂u

∂t= a2∂

2u

∂x2

1


1.4.

Cho x = rcosϕ, y = rsinϕ. Tìm

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂r

∂x

∂ϕ∂y

∂r

∂y

∂ϕ

∣∣∣∣∣∣∣1.5. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau:

1) z = ln(x+√x2 + y2)

2) u = ex(cosy + xsiny)

3) u = xy2z

1.6. Tính gần đúng:

1) arctg1,02

0,95; 2) 3

√1, 022 + 0, 052; 3)

√sin2 1, 55 + 8e0,015

1.7.

1) Cho hàm z = y lnx. Tìm z′′xx, z′′xy, z

′′yy.

2) Cho hàm z = ln tg(yx

). Tìm z′′xy.

1.8. Cho các hàm

1) z =1

2lnu

vvới u = tg2x, v = cot g2x. Tìm z′x.

2) z =x2 − yx2 + y

với y = 3x+ 1. Tìmdz

dx.

1.10. Cho hàm u =1

rvới r =

√x2 + y2 + z2. Chứng tỏ rằng:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0

1.9.

1. Cho u =1

x− y+

1

y − z+

1

z − x. Chứng minh

u′′

xx + u′′

xy + u′′

yy + 2(u′′

xy + u′′

yz + u′′

xz

)= 0

Ngô Mạnh Tưởng 2


2. Cho z = xey + yex. Chứng minh

u′′′

xxx + u′′′

yyy = xu′′′

xyy + yu′′′

xxy

1.10.

1. Cho z là hàm số của x và y xác định bởi x = u+ v, y = u2 + v2, z = u3 + v3. Tính

z′x, z

′y

2. Cho x2 + y2 − z2 = 2x (y + z). Tính z′x, z

′y

3. Cho yx4 + x2y3 = exyz. Tính z′x, z

′y

1.11. Tìm các cực trị của các hàm

1. z = x3 + y3 − 3xy

2. f (x, y) = 1−√x2 + y2

3. f (x, y) = xy +50

x+

20

y, x > 0, y > 0

4. f (x, y) = x+ y − xey

5. f (x, y) = xy (1− x2 − y2) (x > 0, y > 0, x2 + y2 6 1)

6. f (x, y) = x4 + 2y4 − y2 − 2x2

7. f (x, y) = x2 + 2xy − 4x+ 8y

8. f (x, y) = 2x3 + x2y + 5y2 + x2

9. z = x3y + 12x2 − 8y

10. z = x3 + y3 + 3x2 − 3xy + 3x− 3y + 1

11. z = x4 + y4 − x2 − y2 − 2xy, x 6= 0

12. z = (x2 + y2) e−(x2+y2)

13. z = x3y2 (6− x− y) ;x > 0, y > 0

14. z = x√y − x2 − y + 6x+ 3

15. z = (x2 + y)√ey

16. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2



17. z =1

2xy + (47− x− y)

(x3

+y

4

)18. z = xy (1− x− y)

19. z = (x− y) exy

20. z = xy +3

x+

9

y(x >, y > 0)


Chương 2

TÍCH PHÂN KÉP

2.1. Tính các tích phân sau trong hệ trục tọa độ đề

các:

1.∫∫D

arcsin√x+ ydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x+y = 0, x+y =

1, y = −1, y = 1

2.∫∫D

(x+ y)2 (x− y)2 dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x+ y = 1, x+

y = 3, x− y = −1, x− y = 1

3.∫∫D

ln (x+ y) dxdy trong đóD là miền giới hạn bởi các đường x = 1, y = 1, y = x+1

4.∫∫D

xy

x2 + y2dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x+ y = 1

5.∫∫D

x2 (x− y) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x2, x = y2

6. I =∫∫D

(x2 + y2) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x, y =

x+ 1, y = 1, y = 3

7. I =∫∫D

(xy + 2y) dxdy trong đó D là tam giác OAB, biết O (0, 0) ;A (1, 1) ;B (2, 0)

8. I =∫∫D

e

x

y dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y2 = x, x = 0, y = 1

9. I =∫∫D

(y2 − x) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y2 = x, x = 3−2y2

10. I =∫∫D

x cos ydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = x2, x = 1

11. I =∫∫D

xydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x− 4, y2 = 2x

5


12. I =∫∫D

(y − x) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x + 1, y =

x− 3, y = −1

3x+

7

3, y = −1

3x+ 5

13. I =∫∫D

xdxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường xy = 6, x+ y − 7 = 0

14. I =∫∫D

(x+ y) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường 0 6 y 6 π, 0 6 x 6

sin y

15. I =∫∫D

y2xdxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x2 +y2 = 4, x+y−2 = 0

16. I =∫∫D

xdxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x = 2 + sin y, x = 0, y =

0, y = 2π

17. I =∫∫D

xdxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x3, x+ y = 2, x = 0

2.2. Tính các tích phân sau trong hệ trục tọa độ cực:

1. I =∫∫D

(2x− y) dxdy trong đó D là đường tròn tâm O, bán kính bằng 2.

2.∫∫

x2+y261

√1− x2 − y2

1 + x2 + y2dxdy

3. I =∫∫D

x2ydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y =√

2ax− x2

4.∫∫D

(x+ 2y + 1) dxdy với D là miền được xác định bởi x2 + y2 6 2y ; x2 + y2 6 2x

5.∫∫D

xydxdy trong đó D là nửa trên hình tròn (x− 2)2 + y2 6 1

6.∫∫

π26x2+y264π2

(x2 + y2)[sin√x2 + y2 + cos

√x2 + y2

]dxdy

7.∫∫D

acrtgy

xdxdy với D =

{x2 + y2 > 1 , x2 + y2 6 9 , y >

x√3, y 6

√3x

}

8.∫∫D

2ay − x2 − y2

y2dxdy với D là mặt tròn x2 + y2 6 2ay (a > 0)

9.∫∫D

a√a2 − x2 − y2

dxdy với miền D là nửa hình tròn x2 + y2 = ay nằm trong góc

phần tư thứ nhất của mặt phẳng xOy

10. I =∫∫D

ex2+y2dxdy với D là miền giới hạn bởi x2 + y2 6 R2

11. I =∫∫D

√1− x2 − y2dxdy với D là miền giới hạn bởi x2 + y2 6 x



12. I =∫∫D

√1− x2 − y2

1 + x2 + y2dxdy với D là miền giới hạn bởi x2 + y2 6 1, x > 0, y > 0

13. I =∫∫D

ln (x2 + y2)

x2 + y2dxdy với D là miền giới hạn bởi 1 6 x2 + y2 6 e

14. I =∫∫D

(x2 + y2)dxdy với D là miền giới hạn bởi x2+y2+2x−1 = 0, x2+y2+2x = 0

15. I =∫∫D

√x2 + y2dxdy với D = {(x, y) : 1 6 x2 + y2 6 9, y > 0}

16. I =∫∫D

e−x2−y2dxdy với D là miền giới hạn bởi x =

√4− y2 và trục Oy

17. I =∫∫D

1√x2 + y2

dxdy với 2x 6 x2 + y2 6 6x, y > x

18. I =∫∫D

(x+ y) dxdy với D ={(x, y) : x2 + y2 6 2x, y 6 x

√3, y > x

}19. I =

∫∫D

2dxdy với D = {(x, y) : x2 + y2 6 2x, x2 + y2 6 2y}

20. I =∫∫D

(x+ 2) dxdy với D = {(x, y) : x2 + y2 6 2x+ 4y}

21. I =∫∫D

xdxdy với D = {(x, y) : 3x2 + y2 6 1, y 6 x, y > 0}

22. I =∫∫D

(2x+ y) dxdy với D = {(x, y) : x2 + y2 6 2y, y 6 1}

23. I =∫∫D

(x+ 2y) dxdy với D =

{(x, y) :

x2

9+y2

46 1, y > 0

}

24.∫∫D

xydxdy với miền D là miền giới hạn bởi elipx2

a2+y2

b2= 1 và nằm trong góc phần

tư thứ nhất.

25. I =∫∫D

xydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường 4x2 + y2 6 4

26.∫∫D

∣∣x2 + y2 −√xy∣∣ dxdy với miền D được giới hạn bởi đường cong (x2 + y2)

2=

xy ; x, y > 0

2.3. Thể tích của các vật thể

Tính thể tích của các vật thể giới hạn bởi các mặt, các đường thẳng trong các trường

hợp sau:

1. Mặt Paraboloid z = x2 + y2 và các mặt y = x2, y = 1, z = 0

2. x = 0, y = 0, z = 0, x+ y + z = 1



3. x = 0, y = 0, z = 0, x+ y = 1, z = x2 + y2

4. z = x2 + y2, y = x2, y = 1, z = 0

5. z = 4− x2 − y2, x = ±1, y = ±1

6. 2− x− y − 2z = 0, y = x2, y = x

7. z =√x2 + y2, x2 + y2 = a2, z = 0

8. z = x2 + y2, x2 + y2 = a2, z = 0

9. z = x, x2 + y2 = a2, z = 0


Chương 3

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

3.1. Tính trực tiếp các tích phân đường sau

1. .∫AB

(x2 − 2xy)dx+ (2xy + y2)dy, AB là cung Parabol y = x2 từ điểm A(1, 1) đến

điểm B(2, 4)

2.∫L

(xy − 1)dx+ x2ydy, L từ điểm A(1, 0) đến điểm B(0, 2) trong các trường hợp sau:

(a) theo đường thẳng 2x+ y = 2

(b) theo cung Parabol 4x+ y2 = 4

(c) theo cung elip x = cost, y = 2sint

3. I =∫C

(x2 + y2) dx+ (x2 − y2) dy trong đó C là đường y = 1− |1− x| , 0 6 x 6 2.

4. I =∫C

|x− y| dy với C là đường x = a cos t, y = a |sin t| , −π4

6 t 6π

2(a > 0)

5. I =∫̂AB

ydx− xdy trong đó cung AB là nửa đường tròn có phương trình tham số{x = a cos t

y = a sin tvà 0 6 t 6 π, a là hằng số dương.

6. I =∫̂OA

2xydx− x2dy trong đó OA là cung Parabol nhận Ox làm trục đối xứng và

O (0; 0) , A (2; 1)

7. I =∫L

xdy − ydx với L là đường gấp khúc OAB với O (0; 0) , A (1; 0) , B (1, 2)

8. I =∫L

cos ydx− sinxdy với L là đoạn thẳng từ điểm (2,−2) đến điểm (−2, 2)

9. I =∫L

(x3 − y2) dx+ xydy với L là đường y = ax từ điểm (0, 1) đến điểm (1, a)

9


3.2. Dùng công thức Green tính các tích phân

1.∮L

(x2 + y2)dy, L là chu vi của hình tứ giác có các đỉnh là A(0, 0), B(2, 0), C(4, 4) và

D(0, 4).

2.∮L

(xy + x+ y) dx+ (xy + x− y) dy trong đó L là elipx2

a2+y2

b2= 1 lấy theo chiều

dương.

3.∮

x2+y2=2x

(yexy + 2x cos y − x2y) dx+ (xexy − x2 sin y + xy2 + xy) dy

4.∮

(x−1)2+(y−1)2=1

√x2 + y2dx+ y

[xy + ln

(√x2 + y2 + x

)]dy

5. I =∮

x2+y2=2x

(yx3 + ey) dx+ (xy3 + xey − 3y) dy

6.∮

x2+y2=2x

(xy + ex sinx+ x+ y) dx+ (xy − e−y + x− sin y) dy

7. I =∫L

(2xy − x2) dx+ (x+ y2) dy trong đó L là đường kín gồm hai cung parabol

y = x2 và x = y2.

8.∮L

(x2 + y2) dx+ (x2 − y2) dy trong đó L là đường gấp khúcOABO, vớiO(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)

bằng cách trực tiếp và áp dụng công thức Green.

9. I =∮L

(xy3

3− x2y2

2

)dx+

(x2y2

2− xe−2y

)dy với L là chu vi của tam giác OAB,

biết O (0; 0) , A (1; 1) , B (−1; 1)

10. I =∫L

y

2lnxdy − y2

4xdx với L là chu vi của miền giới hạn bởi các đường x2 + y2 =

4x, x2 + y2 = 8x, y = x, y =√

3x theo chiều dương.

11. I =∮L

(x+y)dx−(x−y)dyx2+y2

, với L là đường tròn x2 + y2 = 4 ngược chiều kim đồng hồ.

12. I =∮C

(2x+ y) dx+ (3x+ 2y) dy với C là biên của miền phẳng giới hạn bởi y =

2− x2, y = −x theo chiều kim đồng hồ.

13. I =∮L

e−x2+y2 (cos 2xydx+ sin 2xydy) với L là đường tròn x2 + y2 = R2

14. I =∫L

x2dy − y2dx với L là1

8của đường tròn x2+y2 = 2 đi từ A

(√2; 0)đến B (1; 1)

và cung Parabol 2y2 = x+ 1 đi từ B đến C (−1; 0)

15. I =∫L

exy [y2dx+ (1 + xy) dy] + xdy với L là nửa cung tròn x =√

2y − y2 đi từ

A (0; 0) đến B (0; 2)



16. I =∫L

(xe−x − y) dx+(x+

√4 + y2

)dy với L là cung OBA, trong đó OB là đoạn

thẳng nối O (0, 0) với B (0, 2), còn BA là nửa trên của đường tròn x2+y2+4 = 2x+4y

từ B đến A (2, 2).

17. I =∫L

(x− y)2dx+ (x+ y)2dy với L là nửa trên của đường tròn x2 + y2 = 2x cùng

chiều kim đồng hồ.

18. I =∫C

(x2y + x− y)dx+ (y − x− xy2)dy với C là đường tròn x2 + y2 = 4y, x > 0

lấy theo chiều kim đồng hồ

19. I =∫L

(1 + xy) dx+ y2dy là phần đường tròn thỏa mãn x2 + y2 = 2x, y > 0

20. I =∫C

(x2 + y cosxy) dx+

(x3

3+ xy2 − x+ x cosxy

)dy với C là cung tròn x =

a cos t, y = a sin t lấy theo chiều tăng của tham số t, 0 6 t 6 π , a > 0

3.3. Tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích

phân

1. Tích phân ∫L

(1− y2

x2cos

y

x

)dx+

(sin

y

x+y

xcos

y

x

)dy

có phụ thuộc vào đường lấy tích phân L không? Tính tích phân trong trường hợp

L là cung nối hai điểm A(1, π), B(2, π) và không cắt trục Oy.

2. Tìm hằng số a để tích phân

I =

∫AB

(x2 + 2xy + ay2) dx+ (x2 − 2xy + y2) dy

(x+ y)3

không phụ thuộc vào đường lấy tích phân đối với các đường không cắt đường y = −x.Tính tích phân với a tìm được và A(1, 0), B(0, 1)

3. Chứng minh tích phân J =∫̂AB

(x√

x2 + y2+ y

)dx+

(y√

x2 + y2+ x

)dy không

phụ thuộc vào đường lấy tích phân và tính tích phân đó, biết A (0; 0) , B (1; 1)

4. Tính I =∫C

(x+ y) dx+ (x− y)dy với C là phần đường cong y = x+sin x từ A(0, 0)

đến B(π, π)

5. Tính I =(2,3)∫(1,1)

(x√

x2 + y2− y

x2

)dx+

(y√

x2 + y2+

1

x

)dy theo đường cong C

không đi qua gốc tọa độ và không cắt trục tung.



6. Tính tích phân: ∫AB

lny

x

(xdy − ydx

x2

)biết A(1, 1).B(1, e) và cung AB nằm trong góc phần tư thứ nhất có x 6= 0 , y 6= 0


Chương 4

LÝ THUYẾT CHUỖI

4.1. Xét sự hội tụ của các chuỗi số

1,∞∑n=1

3.5.7.9...(2n+ 1)

4.9.14.19...(5n− 1)

2,∞∑n=1

4n(n+ 1)!

(3n)!

3,∞∑n=1

1

3n

(n

n+ 1

)n2

4,∞∑n=1

2.5.8...(3n− 1)

4.6.8...(2n+ 2)

5,∞∑n=0

(n!)2

2n2 6,∞∑n=0

n!(2n)!

(3n)!

7,∞∑n=1

n

(3n+ 1

5n− 2

)2n

8,∞∑n=1

1

2n

(1 +

1

n

)n2

9,∞∑n=1

(3n2 − n+ 1

4n2 + 2n

)2n

10,∞∑n=1

(n+ 2

n+ 1

)n2

1

2n

11,∞∑n=2

(n− 1

n+ 2

)n(n+2)

12,∞∑n=1

3√n+ 2

(2n

n− 1

)3n

13,∞∑n=1

n2 sinπ

2n

14,∞∑n=1

1.4.9...n2

1.3.5...(2n− 1)n!.5n+2

15,∞∑n=1

nn sinπ

2n

n!

16,∞∑n=1

n!

(2n)!tan

1

5n

17, Xét sự hội tục của chuỗi∞∑n=1

unvn

với

un =

(2 +

1

n2

)n, vn =

(1 +

2

n

)n2

18,∞∑n=1

n5

(3n+ 2

4n+ 3

)n19,

∞∑n=1

(3n

n+ 5

)n(n+ 2

n+ 3

)n2

20,∞∑n=1

2.4.6...(2n).nn

4.7.10...(3n+ 1).n!

4.2. Tính tổng của các chuỗi số

1,n+ 1

n3 − 6n2 + 11n− 6

2,∞∑n=1

9

9n2 + 3n− 20

3,∞∑n=3

4

n (n− 1) (n− 2)

4,+∞∑n=4

1

n (n+ 1) (n+ 2)

5,∞∑n=2

n− 1

(2n− 3)2 (2n− 1)2

6,1

2.4.6+

1

4.6.8+

1

6.8.10+ ...

13


7,∞∑n=1

1

n2 + 3n+ 2

8,1

1.3.5+

1

3.5.7+...+

1

(2n− 1) (2n+ 1) (2n+ 3)+

...

9,∞∑n=1

4− nn (n+ 1) (n+ 2)

10,∞∑n=2

3n− 5

n (n2 − 1)

4.3. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số

1,∞∑n=1

n!(x− 4)n

nn

2,∞∑n=0

(−1)n3n+1

4n+2 3√n+ 1

(x− 1)n

3,∞∑n=0

(n+ 2) (x+ 1)n

5n+2√n6 + 1

4,∞∑n=1

(−1)n(x− 2)n

3n+1 3√n4 + n2 + 1

5,∞∑n=1

(−1)nxn

2n+ 1

6,∞∑n=0

(x+ 3)n

4n+2 4√n3 + 1

7,∞∑n=1

(x+ 5)2n−1

n24n

8,∞∑n=1

(x− 4)n

n√n+ 2

9,∞∑n=1

(−1)n−1 x2n

4n (2n− 1)

10,∞∑n=1

(−1)n−1x2n

4n(3n−1)

4.4. Tìm miền hội tụ và tính tổng của các chuỗi hàm

số

1,∞∑n=0

x2n+5

32n (2n+ 1)

2,∞∑n=2

n (n+ 1)xn−2

3,∞∑n=1

(−1)n−1

(1 + 2n

n+ n2

)xn

4,∞∑n=1

(−1)n−1

(1 +

1

n

)xn−1

5,∞∑n=1

(2n− 1)xn+2

6,∞∑n=1

x4n−3

4n− 3

7,∞∑n=0

(4n2 + 9n+ 5)xn+1

8,∞∑n=1

nxn

9,∞∑n=1

x2n+2

(2n+ 1) (2n+ 2)

10,∞∑n=1

xn

n

4.5. Khai triển các hàm số f (x) sau thành chuối lũy

thừa trong lân cận của điểm x0

1, f(x) = ln(6x2 + 5x+ 1) với x0 = 0

2, f(x) = cos2 x với x0 = 0

3, f (x) = sin3 x với x0 = 0

4, y = f(x) =1

(1− x)2 với x0 = 0

5, y = f(x) =1

xvới x0 = 3



4.6. Tìm khai triển Fourier của các hàm f (x)

1, f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và bằng π − x với x ∈ [−π, π].

2, f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và bằng x+1

2với x ∈ [−π, π]

3, f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và bằng π − 2x với x ∈ [−π, π]

4, f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và bằng 3x2 với x ∈ [−π, π]

5, f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và bằng 2x+ 1 với −π 6 x 6 π.


Chương 5

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

5.1. Giải các phương trình vi phân tuyến tính

1, xy′ + y − ex = 0

2, y = x (y′ − x cosx)

3, ydx+ 2 (x+ y) dy = 0

4, xy′ − 2y = 2x4

5, y′ − y

1− x2− 1− x = 0

6, xy′ + (x+ 1) y = 3x2e−x

7, (xy′ − 1) lnx = 2y

8, xy′ = x+ 2y thỏa mãn y| x=1 = 0

9, y′ +3

xy = 2

x3 thỏa mãn y|x=1 = 1

10, y′ − ytgx =1

cosxthỏa mãn y|x=0 = 0.

5.2. Giải các phương trình vi phân biến sô phân ly

1, y′ =x2y − yx+ 1

2, 2x√

1− y2 + yy′ = 0

3, (xy2 + 4x) dx+ (y + x2y) dy = 0

4, y′ =cos y − sin y − 1

cosx− sinx+ 15, y′ = cos (x− y)6, x

√1− y2dx+ y

√1− x2dy = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0, y|x=0 = 0

7, sinxdy − y ln ydx = 0 thỏa mãn y|x=π

2

= e

8, (x2 − 1) y′ + 2xy2 = 0 thỏa mãn y|x=0 = 1

9, (xy2 − y2 + x− 1) dx+ (x2y − 2xy + x2 + 2y − 2x+ 2) dy = 0

10, y′ = (4x+ y − 1)2

17


5.3. Giải các phương trình vi phân đẳng cấp (thuần

nhất)

1, xy′ = y − xey

x

2, xy′ − y = (x+ y) lnx+ y

x3, y2 + x2y′ = xyy′

4, xy′ = x siny

x+ y

5, xy′ + xtgy

x− y = 0

6, xy′ + xtgy

x− y = 0

7, (x+ y + 2) dx+ (2x+ 2y − 1) dy = 0

8, (2x− 4y + 6) dx+ (x+ y − 3) dy = 0

9, xdy − (x+ y) dx = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0

10,(y +

√x2 + y2

)dx− xdy = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0

5.4. Giải các phương trình vi phân Becnuly

1, 3y′ + y = (1− 2x) y4

2, y′ + 2xy = 2x3y3

3, y′ + 2y = y2ex

4, y′ = y4 cosx+ ytgx

5, (xy + x2y3) y′ = 1

6, (x2 − 1) y′ sin y + 2x cos y = 2x− 2x3

7, x (ey − y′) = 2

8, xy′ + y = y2 lnx thỏa mãn y|x=1 = 1

9, y′ − y = xy2 thỏa mãn y|x=0 = 0

10, xy′ − y = y2 thỏa mãn y|x=1 = 0

5.5. Giải các phương trình vi phân toàn phần

1, (2x− y + 1) dx+ (2y − x− 1) dy = 0

2,xdy − ydxx2 + y2

= 0



3,2x (1− ey)(1 + x2)2 dx+

ey

1 + x2dy = 0

4, (1 + y2 sin 2x) dx− 2y cos2 xdy = 0

5,

x+ e

x

y

dx+ exy

(1− x

y

)dy = 0

6, 2x(1 +

√x2 − y

)dx−

√x2 − ydy = 0

7,

(1

ysin

x

y− y

x2cos

y

x+ 1

)dx+

(1

xcos

y

x− x

y2sin

x

y+

1

y2

)dy = 0

5.6. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau bằng

phương pháp thừa số tích phân

1, (x2 + y2) dx− 2xydy = 0

2, (y2 − 6xy) dx+ (3xy − 6x2) dy = 0

3, y (1 + xy) dx− xdy = 0

4,

(x

y+ 1

)dx+

(x

y− 1

)dy = 0

5, (x cos y − y sin y) dy + (x sin y + y cos y) dx = 0

6, (x2 + y) dx = xdy

7,(x+ 2y) dx+ ydy

(x+ y)2 = 0 thỏa mãn y|x=1 = 0

8, (xy2 + y) dx− xdy = 0

9, (x+ y) dx+ (x− y) dy = 0 thỏa mãn y|x=0 = 0

10, (x− y) dx+ (2y − x) dy = 0 thỏa mãn y|x=0 = 0


BÀI T P TOÁN CAO C P 2

Documents

Transcript of BÀI T P TOÁN CAO C P 2