7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu của hàm số - Diễn đàn Toán học

http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 1/8

Chuyên mục: Chuyên đề ôn thi

Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu của hàm số

Lê Minh An

Thứ bảy, 15 Tháng 9 2012 00:00

Bài giảng này thuộc Khóa ôn thi ĐH 2013. Thảo luận và đặt câu hỏi tại đây

- Thông báo và lịch học

- Đăng kí làm Giảng viên

- Đăng kí làm học viên

Trong đề thi các em gặp vấn đề này ở các bài toán chẳng hạn như:

Bài toán: Cho hàm số: .Tìm để hàm số đồng biến trên trên

.

Để làm được bài toán này cần hiểu được:

- Đồng biến là gì?

- Để làm bài toán này cần thực hiện công việc gì?

A – Lý thuyết

1.Định nghĩa:

Kí hiệu: là một khoảng hoặc một đoạn, hoặc nửa khoảng và hàm số xác định trên .

Hàm số được gọi là đồng biến trên nếu tăng thì tăng mà giảm thì giảm, tức là với bất kì

thuộc , ta có thì .

Ngược lại, được gọi là nghịch biến trên nếu tăng thì giảm mà giảm thì tăng, tức là với

bất kì thuộc , ta có thì

đồng biến hoặc nghịch biến trên thì ta nói chung là đơn điệu trên .

Chú ý: là một khoảng hoặc một đoạn, hoặc nửa khoảng.

2. Định lý: (Cách xét tính đơn điệu của hàm số):

y = + (m − 1) + (2m − 3)x − 513

x3 x2 m

(2, 3)

K (C) : y = f(x) K

y = f(x) K x y x y,x1 x2 K >x1 x2 f( ) > f( )x1 x2

y = f(x) K x y x y,x1 x2 K >x1 x2 f( ) < f( )x1 x2

y = f(x) K y = f(x) K

K

(C) y = f(x)

7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu của hàm số - Diễn đàn Toán học

http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 2/8

Cho hàm số : có đạo hàm trên :

- đồng biến trên và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc .

- nghịch biến trên và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc .

Nhận xét:

1.Việc xét tính đơn điệu của hàm số được quy về việc xét dấu biểu thức đạo hàm của nó!

2.Với 3 loại hàm ta xét, có thể bỏ điều kiện “bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc ”

3.Trong ba loại hàm:

Hàm đa thức bậc 3:

Hàm đa thức bậc 4 trùng phương:

Hàm đa thức bậc nhất trên bậc nhất:

(dấu không phụ thuộc vào biến )

Thì việc xét dấu biểu thức đạo hàm hoặc là rất đơn giản hoặc là quy về bài toán tam thức bậc 2

B – Một số ví dụ:

Bắt đầu với một ví dụ đơn giản và các em cần chú ý cách trình bày

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số sau:

LG:

TXĐ:

Ta có: ,

Lập Bảng xét dấu :

Kết luận:

- Hàm số nghịch biến trên

- Hàm số đồng biến trên và

Chú ý: Khi kết luận tính đơn điệu các em không được viết, chẳng hạn:

“Hàm số nghịch biến trên ”, hoặc “hàm số đồng biến ”, hoặc “đồng biến trên tập

xác định”

Viết như thế là sai về bản chất, nếu thì ta kết luận: hàm số đồng biến trên và

(C) y = f(x) K

(C) K ⇔ (x) ≥ 0, ∀x ∈ Kf ′ K

(C) K ⇔ (x) ≤ 0, ∀x ∈ Kf ′ K

K

y = a + b + cx + d ⇒ = 3a + 2bx + c, (a ≠ 0)x3 x3 y ′ x2

y = a + b + c ⇒ = 4a + 2bx = 2x(2a + b), (a ≠ 0)x4 x2 y ′ x3 x2

y = ⇒ =ax + b

cx + dy ′ ad − bc

(cx + d)2

x

y ′

y = − − 2x + 2.13

x3 12

x2

D = R

= − x − 2y ′ x2 = 0 ⇔ − x − 2 = 0 ⇔y ′ x2 [ x = −1x = 2

y ′

(−1; 2)(−∞; −1) (2; +∞ )

(−∞; −1) ∪ (2; +∞ ) ∀x ≠ a

> 0, ∀x ≠ ay ′ (−∞; a)(a; +∞ )

7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu của hàm số - Diễn đàn Toán học

http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 3/8

Ví dụ 2: Cho hàm số: .Tìm để hàm số nghịch biến trên .

Phân tích:

- Nhận dạng, thuộc dạng xét tính đơn điệu, như vậy cần tính và xét dấu

- Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, đạo hàm của nó có dấu không phụ thuộc vào , tức là

hoặc , như vậy với điều kiện đầu tiên “hàm nghịch biến” ta cần:

- Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên và

- Vậy làm thế nào để có hàm nghịch biến trên ? Tốt nhất các em thực hiện việc xét vị trí tương đối của

ba điểm trên trục số các em sẽ nhận ra được để thỏa mãn điều kiện này thì phải nằm ngoài 2

điểm và 1, tức là .

Từ đó các em có lời giải:

TXĐ:

Để hàm số nghịch biến trên thì

Vậy với thì thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ví dụ 3: Cho hàm số:

Tìm để hàm số đồng biến trên trên .

Phân tích:

Với việc phân tích tương tự như trên ta nhận thấy rằng bài toán trên thực chất là bài toán sau:

Tìm để

Với bài toán này thì các em có thể có các cách làm khác nhau.

LG:

TXĐ:

Để hàm số đồng biến trên thì

Cách 1:

Do đó:

y =mx + 4x + m

m (−1; 1)

y ′ y ′

x> 0, ∀x ∈ Dy ′ < 0, ∀x ∈ Dy ′

= < 0 ⇔ − 4 < 0y ′ − 4m2

(x + m)2m2

(−∞; −m) (−m; +∞ )(−1; 1)

1, −1, −m −m−1 −m ∉ (−1; 1) ⇔ m ∉ (−1; 1)

D = R∖{−m}

=y ′ − 4m2

(x + m)2

(−1; 1) < 0, ∀x ∈ (−1; 1)y ′ ⇔{ − 4 < 0m2

−m ∉ (−1; 1)⇔ m ∈ (−2; −1) ∪ (1; 2)

m ∈ (−2; −1) ∪ (1; 2)

y = + (m − 1) + (2m − 3)x − 513

x3 x2

m (2; 3)

m = + 2(m − 1)x + 2m − 3 ≥ 0, ∀x ∈ (2; 3)y ′ x2

D = R= + 2(m − 1)x + 2m − 3y ′ x2

(2; 3) ≥ 0, ∀x ∈ (1, 2)y ′ ⇔ + 2(m − 1)x + 2m − 3 ≥ 0, ∀x ∈ (2; 3)x2

= − 2m + 3 = − 4m + 4 =Δ′ (m − 1)2m2 (m − 2)2

= + 2x + 1 = ≥ 0, ∀x ∈ (2; 3)′ 2 2

7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu của hàm số - Diễn đàn Toán học

http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 4/8

Nếu thì (t/m)

Nếu thì có hai nghiệm phân biệt ,

Khi đó:

Để thì hoặc (*)

TH1:

thì

TH2: thì

\displaystyle{\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left [ \begin{array}{l}3 < -2m+3\\-1 2 \end{array} \right.}

Vậy với thì thỏa mãn điều kiện đề bài.

Cách 2:

Xét:

nghịch biến trên

Vậy với thì thỏa mãn điều kiện đề bài.

Nhận xét:

- Cách thứ 2 có thể có một số em chưa quen, đó là điều dễ hiểu khi các em mới làm quen với phương pháp hàm

số, nhưng chắc chắn các em sẽ thích và thấy nó khá dễ dàng khi tiếp xúc với nhiều lớp bài toán sử dụng phương

pháp này hơn!

- Ở cách thứ nhất, trong nhiều trường hợp đối với bài toán dạng này các em sẽ không tính được "đẹp"

như bài toán trên, khi đó các em cần sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để giải quyết, ví dụ dưới đây là

một minh họa:

Ví dụ 4: Cho hàm số:

Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng

LG:

m = 2 = + 2x + 1 = ≥ 0, ∀x ∈ (2; 3)y ′ x2 (x + 1)2

m ≠ 2 = 0y ′ <x1 x2 , ∈ {−1; −2m + 3}x1 x2

≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞; ] ∪ [ ; +∞ )y ′ x1 x2

≥ 0, ∀x ∈ (2; 3)y ′ 3 < x1 < 2x2

= −1; = −2m + 3 ⇒ −1 < −2m + 3 ⇔ m < 2x1 x2

(∗) ⇔⎧⎩⎨⎪⎪ [ 3 < −1

−2m + 3 < 2m < 2

⇔ < m < 212

= −2m + 3; = −1 ⇒ −2m + 32x1 x2

⇔ m > 2

m >12

+ 2(m − 1)x + 2m − 3 ≥ 0, ∀x ∈ (2; 3)x2

⇔ g(x) = ≤ m, ∀x ∈ (2; 3)− + 2x + 3x2

2(x + 1)⇔ g(x) ≤ mmax

x∈(2;3)

g(x) = ,− + 2x + 3x2

2(x + 1)(x) = < 0,g ′ − − 2x − 1x2

2(x + 1)2∀x ∈ (2; 3)

⇒ g(x) (2; 3) ⇒ g(x) = g(2) =maxx∈(2;3)

12

m >12

,x1 x2

y = − (2m + 1) + (3m + 2)x − 5m + 213

x3 12

x2

m (0; 1)

7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu của hàm số - Diễn đàn Toán học

http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 5/8

TXĐ:

Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì

phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho

Nhận xét:

- có hệ số nên trường hợp vô nghiệm ( ) hoặc nghiệm kép ( ) không

thỏa mãn bài toán (các em chú ý lại định lí dấu tam thức bậc 2)

- Hệ điều kiện đã bao hàm điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt.(Chú ý điều kiện

phương trình có hai nghiệm trái dấu)

Ví dụ 5: (ĐH QGHN – 2000)

Cho hàm số

Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

Phân tích:

Bài toán tương đương với:

Tìm để có mang dấu âm trên một đoạn có độ dài bằng 1.

Vấn đề cần phân tích là âm trên một đoạn có độ dài bằng 1, nếu chưa từng gặp thì các em sẽ có cảm giác khá lạ

lẫm với kiểu câu hỏi như thế này.

Cùng suy nghĩ một chút nhé, khi xét dấu tam thức bậc hai có những khả năng nào?

- Nếu thì mang dấu âm trên những khoảng nào, và khoảng ấy có độ dài như thế nào?

- Tương tự nếu thì sao?

Khi trả lời 2 câu hỏi này các em sẽ phát hiện ra rằng chỉ khi thì mới xuất hiện một đoạn “Trong khoảng hai

nghiệm” có độ dài hữu hạn và độ dài của đoạn này là (với là nghiệm của )

Từ đó ta có điều kiện tương đương của bài toán là: Và đến đây một phản xạ tự nhiên là

ta sẽ nghĩ đến định lí Viet! Bài toán được giải quyết.

LG:

TXĐ:

Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trên một đoạn có độ dài bằng 1

Nếu thì (không thỏa mãn)

D = R= − (2m + 1)x + 3m + 2y ′ x2

(0; 1) ≤ 0, ∀x ∈ (0; 1)y ′

⇔ f(x) = − (2m + 1)x + 3m + 2 ≤ 0, ∀x ∈ (0; 1)x2

⇔ f(x) = 0 ,x1 x2 ≤ 0 < 1 ≤x1 x2

⇔ { ⇔ {≤ 0 <x1 x2

< 1 ≤x1 x2

≤ 0x1x2

( − 1)( − 1) ≤ 0 x1 x2

⇔ { ⇔ m ≤ −23m + 2 ≤ 0m + 2 ≤

f(x) a = 1 > 0 f(x) = 0 Δ < 0 Δ = 0

{ ≤ 0 <x1 x2

< 1 ≤x1 x2

y = + 3 + mx + mx3 x2

m

m g(x) = 3 + 6x + mx2

Δ ≤ 0 g(x)Δ > 0

Δ ≥ 0| − |x1 x2 ,x1 x2 g(x)

{ = 9 − 3m > 0Δ′

| − | = 1x1 x2

D = R= g(x) = 3 + 6x + m,y ′ x2 = 9 − 3mΔ′

≤ 0y ′

≤ 0Δ′ g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R = (−∞; +∞ )

> 0 ⇔ m < 3Δ′ g(x) g(x) ≤ 0, ∀x ∈ [ ; ]1 2

7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu của hàm số - Diễn đàn Toán học

http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 6/8

Nếu , có hai nghiệm và

Khi đó, để trên một đoạn có độ dài bằng 1 thì

(thỏa

mãn)

Bài toán: Cho hàm số .Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trong một khoảng có độ dài

Cách giải: Điều kiện của bài toán được thỏa mãn khi trên một khoảng có độ dài , điều đó xảy ra khi

và chỉ khi ) thỏa mãn

Sử dụng định lí Viet và suy ra kết quả.

Sau đây sẽ là một ví dụ về hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất.(Loại hàm này sẽ không gặp trong câu I.2, nhưng

vẫn có thể gặp trong phần riêng trong chương trình nâng cao)

Ví dụ 6: Cho hàm số: . Tìm để hàm số đồng biến trong khoảng .

LG:

TXĐ:

Hàm số xác định trên khoảng nếu .Khi đó:

Để hàm số đồng biến trong khoảng thì ,

, (*)

Xét tam thức ,

- Nếu:

Thì , khi đó kết hợp với điều kiện ban đầu thì (*)

- Nếu:

Thì có hai nghiệm phân biệt và

Do đó để thì tức là: hoặc

TH1: (Không t/m)

TH2: (**)

> 0 ⇔ m < 3Δ′ g(x) <x1 x2 g(x) ≤ 0, ∀x ∈ [ ; ]x1 x2

≤ 0y ′

| − | = 1 ⇔ = 1 ⇔ − 4 = 1 ⇔ − 4. = 1 ⇔ m =x1 x2 ( − )x1 x22 ( + )x1 x2

2x1x2 (−2)2 m

394

y = a + b + cx + dx3 x2

≥ k

≥ 0y ′ ≥ ka0

| − | ≥ kx1 x2 ⇔ ≥( − )x1 x22

k2 ⇔ − 4 ≥( + )x1 x22

x1x2 k2

y =− (3m + 1)x + 5m − 1x2

x − mm (0; 1)

D = R∖{m}(0; 1) m ∉ (0; 1) ⇔ m ∈ (−∞; 0] ∪ [1; +∞ )

=y ′ − 2mx + 3 − 4m + 1x2 m2

(x − m)2

(0; 1) ≥ 0y ′ ∀x ∈ (0; 1)

⇔ − 2mx + 3 − 4m + 1 ≥ 0x2 m2 ∀x ∈ (0, 1)

f(x) = − 2mx + 3 − 4m + 1x2 m2 = −2 + 4m − 1Δ′ m2

Δ ≤ 0 ⇔ −2 + 4m − 1 ≤ 0 ⇔ m ∈ (−∞; ] ∪ [ ; +∞ )m2 2 − 2√2

2 + 2√2

f(x) ≥ 0,∀x ∈ R ⇔ m ∈ (−∞; 0] ∪ [ ; +∞ )2 + 2√2

Δ > 0 ⇔m ∈ ( ; )2 − 2√2

2 + 2√2

f(x) <x1 x2 f(x) ≥ 0,∀x ∈ (−∞; ] ∪ [ ; +∞ )x1 x2

f(x) ≥ 0,∀x ∈ (0; 1) (0; 1) ⊂ (−∞; ] ∪ [ ; +∞ )x1 x2 1 ≤ <x1 x2 < ≤ 0x1 x2

< ≤ 0 ⇔x1 x2 { + < 0x1 x2

≥ 0x1x2⇔{ 2m < 0

3 − 4m + 1 ≥ 0m2 ⇔ m < 0

1 < <x1 x2 ⇔ 0 < − 1 < − 1x1 x2

f(x)

7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu của hàm số - Diễn đàn Toán học

http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 7/8

Đặt , thế vào ta được:

(**) với là nghiệm của

Kết luận: Vậy với thì thỏa mãn điều kiện đề bài!

Chú ý: Nhiều tài liệu trình bày lời giải bài toán trên rất ngắn gọi dựa vào định lí đảo dấu tam thức bậc hai, định lí

này hiện không được giới thiệu trong SGK chương trình THPT, vì vậy các em cần chú ý.

Xu hướng ra đề hiện nay thường không quá khó mà đánh vào tâm lí lười suy nghĩ của học sinh, đề bài thường

dùng ngôn ngữ khác để ẩn đi nội dung của câu hỏi, vì vậy các em cần rèn luyện một tâm lí bình tĩnh vững vàng và

không được lười biếng!

Với một số ví dụ như trên chắc chắn chưa thể giúp các em nắm chắc được các bài toán về tính đơn điệu vì vậy

các em cần tự mình rèn luyện bằng cách làm các bài tập.một lời khuyên chân thành đó là dù bài tập dễ hay khó

các em nên ít nhất một lần làm nó thật cẩn thận trình bày rõ ràng và làm ra đến kết kết quả cuối cùng!

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hàm số: . Tìm để hàm số đồng biến trên .

Bài 2: Cho hàm số: .

a.Tìm để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

b.Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng

c.Tìm để hàm số đồng biến trên hai khoảng và

Bài 3: Cho hàm số: .Tìm để hàm số đồng biến trên

Bài 4: Cho hàm số: .

Tìm đề hàm số đồng biến trên và .

Bài 5: Cho hàm số .

Tìm để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4

Bài 6: Cho hàm số:

Tìm để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1.

Bài 7: Cho hàm số .Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng

t = x − 1 ⇔ x = t + 1 f(x)

g(t) = − 2m(t + 1) + 3 − 4m + 1 = + (2 − 2m)t + 3 − 6m + 2(t + 1)2m2 t2 m2

⇔ 0 ≤ <t1 t2 ,t1 t2 g(t)

⇔ { + < 0t1 t2

≥ 0t1t2⇔{ 2m − 2 < 0

3m − 6m + 2 ≥ 0⇔m ≤

3 − 3√3

m ∈ (−∞; 0] ∪ [ ; +∞ )2 + 2√2

y = (m − 1) + m + (3m − 2)x13

x3 x2 m R

y =mx + 5m − 6

x + m

m

m (−2; −1)m (−∞; −4) (1; +∞ )

y = + (m − 1) + (m + 3)x − 4−13 x3 x2 m (0, 3)

y = − 2(m + 1) + (12m + 5)x + 2x3 x2

m (−∞; −1] [2; +∞)

y = (m + 1) + (2m − 1) − (3m + 2)x + m13 x3 x2

m

y = − (2m + 1) + (3m + 2)x − 5m + 213

x3 12

x2

m

y = − 2m − 3m + 1x4 x2 m (1; 2)

7/5/2014 Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu của hàm số - Diễn đàn Toán học

http://diendantoanhoc.net/home/thi-%C4%91%E1%BA%A1i-h%E1%BB%8Dc/chuy%C3%AAn-%C4%91%E1%BB%81-%C3%B4n-thi/392-bai-giang-1-tinh-do… 8/8

Bài 8: Tìm để hàm số tăng với mọi

Bài 9: Cho hàm số: .Tìm để hàm số đồng biến trên

Tài liệu tham khảo:

[1] Trần Sĩ Tùng: 200 bài toán khảo sát hàm số - 2012

[2] Trần Phương: Bài giảng luyện thi Đại học

[3] Nguyễn Anh Dũng: Chuẩn bị trước kì thi - Tạp chí TH & TT

[5] Các bài thảo luận trên VMF.

m y = mx + sin x + sin 2x + sin 3x14

19 x ∈ R

y =2 +(1−m)x+1+mx2

x−mm (1, +∞ )