ài giảng toán 11 - Hoc Online 247

LỚP TOÁN THẦY TP HUẾ. SĐT: 0834 332133

CS1: P5. DÃY 11 TẬP THỂ XÃ TẮC. ĐƯỜNG NGÔ THỜI NHẬM

CS2: TRUNG TÂM CAO THẮNG ( 11 ĐỐNG ĐA)

ài giảng toán 11(Từ cơ bản đến nâng cao)

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH LỚP TOÁN THẦY CƯ‐

TP HUẾ

(Chiêu sinh thường xuyên, bổ trợ kiến thức kịp thời)

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 1

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. LÝ THUYẾT

I – ĐỊNH NGHĨA

1) Hàm số sin

Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x

sin :

sin

x

x y x

=

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là sin .y x=

Tập xác định của hàm số sin là .

2) Hàm số côsin

Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x

cos :

cos

x

x y x

=

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là cos .y x=

Tập xác định của hàm số cô sin là .

3) Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức ( )sin cos 0 ,

cos

xy x

x= ¹ kí hiệu là

tan .y x=

Tập xác định của hàm số tany x= là D \ , .2

k kp

pì üï ïï ï= + Îí ýï ïï ïî þ

4) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức ( )cos sin 0 ,

sin

xy x

x= ¹ kí hiệu là

cot .y x=

Tập xác định của hàm số coty x= là { }D \ , .k kp= Î

II – TÍNH TUẦN HOÀN VÀ CHU KÌ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1) Định nghĩa

Hàm số ( )y f x= có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số

0T ¹ sao cho với mọi Dx Î ta có:

● Dx T- Î và D.x T+ Î

● ( ) ( )f x T f x+ = .


Trang 2

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Người ta chứng minh được rằng hàm số siny x= tuần hoàn với chu kì 2T p= ; hàm số

cosy x= tuần hoàn với chu kì 2T p= ; hàm số tany x= tuần hoàn với chu kì T p= ; hàm

số coty x= tuần hoàn với chu kì .T p=

2) Chú ý

● Hàm số ( )siny ax b= + tuần hoàn với chu kì 0

2T

a

p= .

● Hàm số ( )cosy ax b= + tuần hoàn với chu kì 0

2T

a

p= .

● Hàm số ( )tany ax b= + tuần hoàn với chu kì 0Ta

p= .

● Hàm số ( )coty ax b= + tuần hoàn với chu kì 0Ta

p= .

● Hàm số ( )1y f x= tuần hoàn với chu kì 1T và hàm số ( )2y f x= tuần hoàn với chu kì 2T

thì hàm số ( ) ( )1 2y f x f x= tuần hoàn với chu kì 0T là bội chung nhỏ nhất của 1T và 2T .

Lưu ý 2 số thực không xác đinh được bội chung nn, nên là 0 1 2T mT nT với m,n là 2 số

tự nhiên nguyên tố cùng nhau )

III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1) Hàm số siny x=

● Tập xác định D = , có nghĩa và xác định với mọi ;x Î

● Tập giá trị [ ]1;1T = - , có nghĩa 1 sin 1;x- £ £

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 ,p có nghĩa ( )sin 2 sinx k xp+ = với ;k Î

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 22 2

k kp p

p pæ ö÷ç- + + ÷ç ÷çè ø

và nghịch biến trên mỗi khoảng

32 ; 2

2 2k k

p pp p

æ ö÷ç + + ÷ç ÷çè ø, ;k Î

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

2) Hàm số cosy x=

● Tập xác định D = , có nghĩa và xác định với mọi .x Î


Trang 3

● Tập giá trị [ ]1;1T = - , có nghĩa 1 cos 1;x- £ £

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 ,p có nghĩa ( )cos 2 cosx k xp+ = với ;k Î

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( )2 ; 2k kp p p- + và nghịch biến trên mỗi khoảng

( )2 ; 2k kp p p+ , ;k Î

● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

3) Hàm số tany x=

● Tập xác định D \ , ;2

k kp


● Tập giá trị ;T =

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì ,p có nghĩa ( )tan tanx k xp+ = với ;k Î

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; , ;2 2

k k kp p

p pæ ö÷ç- + + Î÷ç ÷çè ø


x

2

p-p-

y

2

pO3

2

p- p 3

2

p

4) Hàm số coty x=

● Tập xác định { }D \ , ;k kp= Î

● Tập giá trị ;T =

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì ,p có nghĩa ( )tan tanx k xp+ = với ;k Î

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ); , ;k k kp p p+ Î



Trang 4

x2

p-

p-

y

2

pO3

2

p-

p 3

2

p2p- 2p

B. PHÂN LOAIJVAF PHƯƠNG PHÁP GIẢI BAIF TÂP

Dạng 1: Tìm tập xác đinh của hàm số

1. Phương pháp

Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau

y u x có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và u(x) 0 .

u(x)yv(x)

có nghĩa khi và chỉ u x , v x xác định và v(x) 0 .

u(x)yv(x)

có nghĩa khi và chỉ u x , v x xác định và v(x) 0 .

Hàm số y sinx, y cosx xác định trên và tập giá trị của nó là:

1 sin x 1 ; 1 cosx 1 .

Như vậy, y s in u x , y cos u x xác định khi và chỉ khi u x xác định.

y tan u x có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và u x k ,k2

y cot u x có nghĩa khi và chỉ khi u x xác định và x k ,k .

2. Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) 25xy sin

x 1

; b) 2y cos 4 x ; c) y sin x; d) y 2 sin x .

Giải

a) Hàm số 25xy sin

x 1

xác định 2x 1 0 x 1.

Vậy D \ 1 .

b) Hàm số 2y cos x 4 xác định 2 24 x 0 x 4 2 x 2.


Trang 5

Vậy D x | 2 x 2 .

c) Hàm số y sin x xác định sinx 0 k2 x k2 ,k .

Vậy D x | k2 x k2 ,k .

d) Ta có: 1 sinx 1 2 sinx 0 .

Do đó, hàm só luôn luôn xác định hay D .


a) y tan x6

; b) y cot x ;

3

c) sin xy ;

cos(x )

d)

1y .tan x 1

Giải

a) Hàm số y tan x6

xác định

2x k x k ,k .6 2 3

Vậy

2D \ k ,k .3

b) Hàm số y cot x3

xác định x k x k ,k .

3 3

Vậy D \ k ,k .3

c) Hàm số

sin xycos(x )

xác định 3cos x 0 x k x k ,k .2 2

Vậy 3D \ k ,k .2

d) Hàm số 1y

tan x 1

xác định

tan x 1 x k ,k .

4

Vậy D \ k ,k .4


a) 1y cos2x ;

cosx b)

3cos2xy .sin3x cos3x

Giải

a) Hàm số 1y cos2x

cosx xác định cosx 0 x k ,k .

2

Vậy

D \ k ,k .2


Trang 6

b) Hàm số 3cos2xy

sin3x cos3x xác định

1 ksin3x cos3x 0 sin6x 0 6x k x ,k .2 6

Vậy kD \ ,k .6

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số sau đây xác định trên : y 2m 3cosx.

Giải

Hàm số đã cho xác định trên R khi và chỉ khi 2m2m 3cosx 0 cosx3

Bất đẳng thức trên đúng với mọi x khi 2m 31 m .3 2

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số 2021.

sin=y

x

A. D .= B. { }D \ 0 .=

C. { }D \ , .k kp= Î D. D \ , .2

k kp


Lời giải

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi sin 0 , .x x k kp¹ ¹ Î

Vật tập xác định { }D \ , .k kp= Î

Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số 1 sin.

cos 1

+=

-x

yx

A. D .= B. D \ , .2

k kp


C. { }D \ , .k kp= Î D. { }D \ 2 , .k kp= Î

Lời giải

Chọn D

Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 1 0 cos 1 2 , .x x x k kp- ¹ ¹ ¹ Î

Vậy tập xác định { }D \ 2 , .k kp= Î

Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số cos.

sin2

p=

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø

xy

x


Trang 7

A. D \ , .2

k kpì üï ïï ï= Îí ýï ïï ïî þ

B. { }D \ , .k kp= Î

C. ( )D \ 1 2 , .2

k kpì üï ïï ï= + Îí ýï ïï ïî þ

D. ( ){ }D \ 1 2 , .k kp= + Î

Lời giải

Chọn C

Hàm số xác định sin 0 , .2 2 2

x x k x k kp p p

p pæ ö÷ç - ¹ - ¹ ¹ + Î÷ç ÷çè ø

Vậy tập xác định D \ , .2

k kp



sin cos=

-y

x x

A. D .= B. D \ , .4

k kp

pì üï ïï ï= - + Îí ýï ïï ïî þ

C. D \ 2 , .4

k kp


D. D \ , .4

k kp


Lời giải

Chọn D

Hàm số xác định sin cos 0 tan 1 , .4

x x x x k kp

p - ¹ ¹ ¹ + Î


k kp


Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số cot 2 sin 2 .4

y x xpæ ö÷ç= - +÷ç ÷çè ø

A. D \ , .4

k kp


B. D .=Æ

C. D \ , .8 2

k kp pì üï ïï ï= + Îí ýï ïï ïî þ

D. D .=

Lời giải

Chọn C

Hàm số xác định sin 2 0 2 , .4 4 8 2

kx x k x k

p p p pp

æ ö÷ç - ¹ - ¹ ¹ + Î÷ç ÷çè ø

Vậy tập xác định D \ , .8 2

k kp pì üï ïï ï= + Îí ýï ïï ïî þ

Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số 23 tan .2 4

xy

pæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

A. 3D \ 2 , .

2k k

pp

ì üï ïï ï= + Îí ýï ïï ïî þ B. D \ 2 , .

2k k

pp

ì üï ïï ï= + Îí ýï ïï ïî þ


Trang 8

C. 3D \ , .

2k k

pp

ì üï ïï ï= + Îí ýï ïï ïî þ D. D \ , .

2k k

pp


Lời giải

Chọn A

Hàm số xác định 2 3cos 0 2 , .

2 4 2 4 2 2

x xk x k k

p p p pp p

æ ö÷ç - ¹ - ¹ + ¹ + Î÷ç ÷çè ø

Vậy tập xác định 3D \ 2 , .

2k k

pp


Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số 2

3 tan 5.

1 sin

xy

x

-=

-

A. D \ 2 , .2

k kp


B. D \ , .2

k kp


C. { }D \ , .k kp p= + Î D. D .=

Lời giải

Chọn B

Hàm số xác định khi và chỉ khi 21 sin 0x- ¹ và tan x xác định

2sin 1cos 0 , .

2cos 0

xx x k k

x

pp

ìï ¹ï ¹ ¹ + Îíï ¹ïî


k kp


Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số sin 2.y x= +

A. D .= B. [ )D 2; .= - +¥ C. [ ]D 0;2 .p= D. D .=Æ

Lời giải

Chọn A

Ta có 1 sin 1 1 sin 2 3, .x x x- £ £ ¾¾ £ + £ " Î

Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của sin 2x + với mọi .x Î

Vậy tập xác định D .=

Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số sin 2.y x= -

A. D .= B. { }\ , .k kp Î C. [ ]D 1;1 .= - D. D .=Æ

Lời giải

Chọn D

Ta có 1 sin 1 3 sin 2 1, .x x x- £ £ ¾¾- £ - £- " Î

Do đó không tồn tại căn bậc hai của sin 2.x -

Vậy tập xác định D .=Æ


Trang 9


1 siny

x=

-

A. { }D \ , .k kp= Î B. D \ , .2

k kp


C. D \ 2 , .2

k kp


D. D .=Æ

Lời giải

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 sin 0 sin 1.x x- > < ( )*

Mà 1 sin 1x- £ £ nên ( )* sin 1 2 , .2

x x k kp

p ¹ ¹ + Î

Vậy tập xác định D \ 2 , .2

k kp


Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số 1 sin 2 1 sin 2 .y x x= - - +

A. D .=Æ B. D .=

C. 5D 2 ; 2 , .

6 6k k k

p pp p

é ùê ú= + + Îê úë û

D. 5 13D 2 ; 2 , .

6 6k k k

p pp p

é ùê ú= + + Îê úë û

Lời giải

Chọn B

Ta có 1 sin 2 0

1 sin 2 1 , .1 sin 2 0

xx x

x

ì + ³ïï- £ £ " Îíï - ³ïî

Vậy tập xác định D .=

Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số tan cos .2

y xpæ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø

A. D \ ,2

k kp


. B. D \ 2 ,2

k kp


.

C. D = . D. { }D \ ,k kp= Î .

Lời giải

Chọn D

Hàm số xác định khi và chỉ khi .cos cos 1 22 2

x k x kp p

p¹ + ¹ + . ( )*

Do k Î nên ( )* cos 1 sin 0 , .x x x k kp ¹ ¹ ¹ Î

Vậy tập xác định { }D \ , .k kp= Î


Trang 10

Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

1. Phương pháp:

Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số y f(x)

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số; kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là x,x D x D (1)

Bước 2: Tính f( x) và so sánh f( x) với f(x)

- Nếu f( x) f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên D (2)

- Nếu f( x) f(x) thì f(x) là hàm số lẻ trên D (3)

Chú ý:

- Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f(x) là hàm không chẵn và không lẻ trên D;

- Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng, thì f(x) là hàm không chẵn và cũng không

lẻ trên D .

Lúc đó, để kết luận f(x) là hàm không chẵn và không lẻ ta chỉ cần chỉ ra điểm 0x D sao cho

0 0

0 0

f( x ) f(x )f( x ) f(x )


Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = sin2x; b) y = tan x ; c) 4y sin x .

Giải

a) TXĐ: D . Suy ra x D x D .

Ta có: f x sin 2x sin2x f x .

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) TXĐ: D \ k ,k .2

Suy ra x D x D .

Ta có: f x tan x tan x f x .

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) TXĐ: D . Suy ra x D x D .

Ta có: 4 4f x sin x sin x f x .



a) y = tanx + cotx; b) y = sinx.cosx.


Trang 11

Giải

a) TXĐ: kD \ ,k .2

Suy ra x D x D

Ta có: f x tan x cot x tanx - cot x tanx cot x f x


b) TXĐ: D . Suy ra x D x D

Ta có: f x sin x .cos x sinxcosx f x



a) y = 2sinx + 3; b) y sinx cosx .

Giải

a) TXĐ: D . Suy ra x D x D

Ta có:

f 2sin 3 12 2

; f 2sin 3 52 2

Nhận thấy

f f2 2

f f2 2

Do đó hàm số không chẵn không lẻ.

b) TXĐ: D . Suy ra x D x D

Ta có: y sinx cosx 2 sin x4

f 2 sin 0; f 2 sin 24 4 4 4 4 4

Nhận thấy

f f4 4

f f4 4

Do đó hàm số không chẵn không lẻ.


a)

sinx tanxysinx cot x

; b) 3

3cos x 1y .

sin x


Trang 12

Giải

a) Hàm số xác định khi

2

cosx 0 cosx 0cosx 0 ksinx 0 sinx 0 x ,k .

2sinx 0sinx cot x 0 sin x cosx 0

TXĐ: k

D \ ,k2

Suy ra x D x D

Ta có:

sin x tan x sin x tan x sin x - tan xf x f xsin x cot x sin x cot xsin x cot x


b) TXĐ: D \ k ,k Suy ra x D x D

Ta có:

3 3 3

3 3 3

cos x 1 cos x 1 cos x 1f x f xsin x sin x sin x


Ví dụ 5. Xác định tham số m để hàm số sau: y f x 3msin4x cos2x là hàm số chẵn.

Giải

TXĐ: D . Suy ra x D x D

Ta có:

f x 3msin 4x cos 2x 3msin4x cos2x

Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì:

f x f x , x D 3msin4x cos2x -3msin4x cos2x, x D

6msin4x 0 m 0


Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. sin .y x= B. cos .y x= C. tan .y x= D. cot .y x=

Lời giải

Chọn B

Nhắc lại kiến thức cơ bản:

Hàm số siny x= là hàm số lẻ.

Hàm số cosy x= là hàm số chẵn.

Hàm số tany x= là hàm số lẻ.


Trang 13

Hàm số coty x= là hàm số lẻ.

Vậy B là đáp án đúng.


A. sin .y x=- B. cos sin .y x x= - C. 2cos sin .y x x= + D. cos sin .y x x=

Lời giải

Chọn C

Tất các các hàm số đều có TXĐ: D = . Do đó D D.x x" Î - Î

Bây giờ ta kiểm tra ( ) ( )f x f x- = hoặc ( ) ( ).f x f x- =-

Với ( ) siny f x x= =- . Ta có ( ) ( ) ( )sin sin sinf x x x x- =- - = =- -

( ) ( )f x f x¾¾ - =- . Suy ra hàm số siny x=- là hàm số lẻ.

Với ( ) cos sin .y f x x x= = - Ta có ( ) ( ) ( )cos sin cos sinf x x x x x- = - - - = +

( ) ( ) ( ){ },f x f x f x¾¾ - ¹ - . Suy ra hàm số cos siny x x= - không chẵn không lẻ.

Với ( ) 2cos siny f x x x= = + . Ta có ( ) ( ) ( )2cos sinf x x x- = - + -

( ) ( ) [ ]2 2 2cos sin cos sin cos sinx x x x x xé ù= - + - = + - = +ë û

( ) ( )f x f x¾¾ - = . Suy ra hàm số 2cos siny x x= + là hàm số chẵn.

Với ( ) cos sin .y f x x x= = Ta có ( ) ( ) ( )cos .sin cos sinf x x x x x- = - - =-

( ) ( )f x f x¾¾ - =- . Suy ra hàm số cos siny x x= là hàm số lẻ.


A. sin 2 .y x= B. cos .y x x= C. cos .cot .y x x= D. tan.

sin

xy

x=

Lời giải

Chọn D

Xét hàm số ( ) sin 2 .y f x x= =

TXĐ: D = . Do đó D D.x x" Î - Î

Ta có ( ) ( ) ( )sin 2 sin 2f x x x f x- = - =- =- ( )f x¾¾ là hàm số lẻ.

Xét hàm số ( ) cos .y f x x x= =


Ta có ( ) ( ) ( ) ( ). cos cosf x x x x x f x- = - - =- =- ( )f x¾¾ là hàm số lẻ.

Xét hàm số ( ) cos cot .y f x x x= =

TXĐ: ( ){ }D \ .k kp= Î Do đó D D.x x" Î - Î


Trang 14

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )cos .cot cos cotf x x x x x f x- = - - =- =- ( )f x¾¾ là hàm số lẻ.

Xét hàm số ( ) tan.

sin

xy f x

x= =

TXĐ: ( )D \ .2

k kpì üï ïï ï= Îí ýï ïï ïî þ

Do đó D D.x x" Î - Î

Ta có ( )( )( )

( )tan tan tan

sin sin sin

x x xf x f x

x x x

- -- = = = =

- -( )f x¾¾ là hàm số chẵn.


A. sin .y x= B. 2 sin .y x x= C. .cos

xy

x= D. sin .y x x= +

Lời giải

Chọn A

Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ.

Câu 5: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A. sin cos 2 .y x x= B. 3sin .cos .2

y x xpæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

C. 2

tan.

tan 1

xy

x=

+ D. 3cos sin .y x x=

Lời giải

Chọn B

Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

O .

Xét đáp án B, ta có ( ) 3 3 4sin .cos sin . sin sin2

y f x x x x x xpæ ö÷ç= = - = =÷ç ÷çè ø

. Kiểm tra được đây là

hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Câu 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. 2cos sin .y x x= + B. sin cos .y x x= +

C. cos .y x=- D. sin .cos3 .y x x=

Lời giải

Chọn D

Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ.

Câu 7: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A. cot 4 .y x= B. sin 1.

cos

xy

x

+= C. 2tan .y x= D. cot .y x=

Lời giải

Chọn A


Trang 15

Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn.


A. sin .2

y xpæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

B. 2sin .y x= C. cot.

cos

xy

x= D. tan

.sin

xy

x=

Lời giải

Chọn C

Viết lại đáp án A là sin cos .2

y x xpæ ö÷ç= - =÷ç ÷çè ø

Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.


A. 21 sin .y x= - B. 2cot . sin .y x x=

C. 2 tan 2 cot .y x x x= - D. 1 cot tan .y x x= + +

Lời giải

Chọn C

Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.

Câu 10: Cho hàm số ( ) sin 2f x x= và ( ) 2tan .g x x= Chọn mệnh đề đúng

A. ( )f x là hàm số chẵn, ( )g x là hàm số lẻ.

B. ( )f x là hàm số lẻ, ( )g x là hàm số chẵn.

C. ( )f x là hàm số chẵn, ( )g x là hàm số chẵn.

D. ( )f x và ( )g x đều là hàm số lẻ.

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số ( ) sin 2 .f x x=


Ta có ( ) ( ) ( )sin 2 sin 2f x x x f x- = - =- =- ( )f x¾¾ là hàm số lẻ.

Xét hàm số ( ) 2tan .g x x=

TXĐ: ( )D \ .2

k kp


Do đó D D.x x" Î - Î

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2tan tan tang x x x x g xé ù- = - = - = =ë û ( )f x¾¾ là hàm số chẵn.

Câu 11: Cho hai hàm số ( ) 2

cos 2

1 sin 3

xf x

x=

+ và ( ) 2

sin 2 cos3

2 tan

x xg x

x

-=

+. Mệnh đề nào sau đây là đúng?


Trang 16

A. ( )f x lẻ và ( )g x chẵn. B. ( )f x và ( )g x chẵn.

C. ( )f x chẵn, ( )g x lẻ. D. ( )f x và ( )g x lẻ.

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số ( ) 2

cos 2.

1 sin 3

xf x

x=

+


Ta có ( )( )( )

( )2 2

cos 2 cos 2

1 sin 3 1 sin 3

x xf x f x

x x

-- = = =

+ - +( )f x¾¾ là hàm số chẵn.

Xét hàm số ( ) 2

sin 2 cos3.

2 tan

x xg x

x

-=

+

TXĐ: ( )D \ 2

k kp


. Do đó D D.x x" Î - Î

Ta có ( )( ) ( )

( )( )2 2

sin 2 cos 3 sin 2 cos3

2 tan 2 tan

x x x xg x g x

x x

- - - -- = = =

+ - +( )g x¾¾ là hàm số chẵn.

Vậy ( )f x và ( )g x chẵn.

Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A. 3

1.

siny

x= B. sin .

4y x

pæ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø C. 2 cos .

4y x

pæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø D. sin 2 .y x=

Lời giải

Chọn A

Viết lại đáp án B là ( )1sin sin cos .

4 2y x x x

pæ ö÷ç= + = +÷ç ÷çè ø

Viết lại đáp án C là 2 cos sin cos .4

y x x xpæ ö÷ç= - = +÷ç ÷çè ø

Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ.

Xét đáp án D.

Hàm số xác định [ ]sin 2 0 2 2 ; 2 ;2

x x k k x k kp

p p p p pé ùê ú ³ Î + Î +ê úë û

( ); .2

D k k kp

p pé ùê ú¾¾ = + Îê úë û

Chọn D4

xp

= Î nhưng D.4

xp

- =- Ï Vậy sin 2y x= không chẵn, không lẻ.

Câu 13: Mệnh đề nào sau đây là sai?


Trang 17

A. Đồ thị hàm số siny x= đối xứng qua gốc tọa độ .O

B. Đồ thị hàm số cosy x= đối xứng qua trục .Oy

C. Đồ thị hàm số tany x= đối xứng qua trục .Oy

D. Đồ thị hàm số tany x= đối xứng qua gốc tọa độ .O

Lời giải

Chọn A

Ta kiểm tra được hàm số siny x= là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy .

Do đó đáp án A sai.

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

1. Phương pháp:

Cho hàm số y f(x) xác định trên tập D

D 0 0

f(x) M, x DM max f(x)

x D : f(x ) M

D 0 0

f(x) m, x Dm min f(x)

x D : f(x ) m

Lưu ý:

1 s inx 1; 1 cosx 1.

2 20 sin x 1; 0 cos x 1.

0 sin x 1; 0 cosx 1.

Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình cơ bản

o Phương trình bậc hai: 2ax bx c 0 có nghiệm x khi và chỉ khi 0

a 0

o Phương trình asinx bcosx c có nghiệm x khi và chỉ khi 2 2 2a b c

o Nếu hàm số có dạng: 1 1 1

2 2 2

a sinx b cosx cy

a sinx b cosx c

Ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về phương trình asinx bcosx c .

2. Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y 2sin x 14

; b) y 2 cosx 1 3 .

Giải


Trang 18

a) Ta có:

1 sin x 1 2 2sin x 2 1 2sin x 1 34 4 4

Hay 1 y 3 . Suy ra:

Maxy 3 khi sin x 1 x k2 ,k .4 4

Miny 1 khi 3sin x 1 x k2 ,k .

4 4

b) Ta có:

1 cosx 1 0 cosx 1 2 0 cosx 1 2

0 2 cosx 1 2 2 3 2 cosx 1 3 2 2 3

Hay 3 y 2 2 3 Suy ra

Maxy 2 2 3 khi cosx 1 x k2 ,k .

Miny 3 khi cosx 0 x k ,k .2


a) y sinx cosx ; b) y 3 sin2x cos2x .

Giải

a) Ta có:

y sinx cosx 2 sin x4

2 y 2 .

Suy ra:

Maxy 2 khi sin x 1 x k2 ,k .4 4

Miny 2 khi

3sin x 1 x k2 ,k .4 4

b) Ta có: 3 1y 3 sin2x cos2x 2 sin2x cos2x 2sin 2x

2 2 6

Suy ra: 2 y 2 . Do đó:

Maxy 2 khi sin 2x 1 2x k2 x k2 ,k .6 6 2 3

Miny 2 khi

sin 2x 1 2x k2 x k2 ,k .6 6 2 6



Trang 19

a) 2y cos x 2sin x 2 ; b) 4 2y sin x 2cos x 1 .

Giải

a) Ta có:

22 2

22

y cos x 2sin x 2 1 sin x 2sin x 2

sin x 2sin x 3 sin x 1 4

Vì 21 s inx 1 2 sin x 1 0 4 sin x 1 0

2 24 sin x 1 0 0 sin x 1 4 4

Hay 0 y 4

Do đó:

Maxy 4 khi sin x 1 x k2 ,k .2

Miny 0 khi sin x 1 x k2 ,k .2

Lưu ý:

Nếu đặt t sinx,t 1;1 . Ta có (P): 2y f t t 2t 3 xác định với mọi t 1;1 , (P) có

hoành độ đỉnh t 1 và trên đoạn 1;1 hàm số đồng biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

t 1 hay sin x 1 và đạt giá trị lớn nhất khi t 1 hay sin x 1 .

b) Ta có

24 2 2 2

24 2 2

y sin x 2cos x 1 1 cos x 2cos x 1

cos x 4cos x 2 cos x 2 2

Vì 22 2 20 cos x 1 2 cos x 2 1 4 cos x 2 1

222 cos x 2 2 1 2 y 1

Do đó:

Maxy 2 khi


Trang 20

2cos x 0 cosx 0 x k ,k .2

Miny 1 khi

2cos x 1 sinx 0 x k ,k .

Lưu ý:

Nếu đặt 2t cos x,t 0;1 . Ta có (P): 2y f t t 4t 2 xác định với mọi t 0;1 , (P) có hoành

độ đỉnh t 2 0;1 và trên đoạn 0;1 hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t 1

và đạt giá trị lớn nhất khi t 0.

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2sin x cos x 1

ysin x cos x 2

Giải

Ta có: π

sin x cos x 2 2 sin x 24

Vì π

2 2 sin x 2, x4

nên

π2 sin x 2 2 2 0, x4

πsin x cosx 2 2 sin x 2 0, x

4

Do đó: D

Biến đổi 2sin x cos x 1

ysin x cos x 2

ysin x ycos x 2y 2sin x cos x 1

y 2 sin x y 1 cos x 2y 1 *

Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm x là 2 2 2a b c

2 2 2 2 3 17 3 17y 2 y 1 2y 1 2y 6y 4 0 y

2 2

Kết luận: 3 17 3 17

max y ;min y2 2


Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 3sin 2.y x= -

A. 1, 5.M m= =- B. 3, 1.M m= =

C. 2, 2.M m= =- D. 0, 2.M m= =-

Lời giải

Chọn A

Ta có 1 sin 1 3 3sin 3 5 3sin 2 1x x x- £ £ ¾¾- £ £ ¾¾- £ - £


Trang 21

15 1 .

5

My

m

ì =ïï¾¾- £ £ ¾¾íï =-ïî

Câu 2: Tìm tập giá trị T của hàm số 3cos 2 5.y x= +

A. [ ]1;1 .T = - B. [ ]1;11 .T = - C. [ ]2;8 .T = D. [ ]5;8 .T =

Lời giải

Chọn C

Ta có 1 cos 2 1 3 3cos2 3 2 3cos 2 5 8x x x- £ £ ¾¾- £ £ ¾¾ £ + £

[ ]2 8 2;8 .y T¾¾ £ £ ¾¾ =

Câu 3: Tìm tập giá trị T của hàm số 5 3sin .y x= -

A. [ ]1;1 .T = - B. [ ]3;3 .T = - C. [ ]2;8 .T = D. [ ]5;8 .T =

Lời giải

Chọn C

Ta có 1 sin 1 1 sin 1 3 3sin 3x x x- £ £ ¾¾ ³- ³- ¾¾ ³- ³-

[ ]8 5 3sin 2 2 8 2;8 .x y T¾¾ ³ - ³ ¾¾ £ £ ¾¾ =

Câu 4: Hàm số 5 4 sin 2 cos 2y x x= + có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải

Chọn C

Ta có 5 4 sin 2 cos 2 5 2 sin 4y x x x= + = + .

Mà 1 sin 4 1 2 2 sin 4 2 3 5 2 sin 4 7x x x- £ £ ¾¾- £ £ ¾¾ £ + £

{ }3 7 3;4;5;6;7yy yÎ¾¾ £ £ ¾¾¾ Î nên y có 5 giá trị nguyên.

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số ( )2 sin 2016 2017y x=- + .

A. 2016 2.m =- B. 2.m =- C. 1.m =- D. 2017 2.m =-

Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) ( )1 sin 2016 2017 1 2 2 sin 2016 2017 2.x x- £ + £ ¾¾ ³- + ³-

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2.-

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 1.

cos 1y

x=

+

A. 1.

2m = B. 1

.2

m = C. 1.m = D. 2.m =

Lời giải


Trang 22

Chọn A

Ta có 1 cos 1x- £ £ .

Ta có 1

cos 1x + nhỏ nhất khi và chỉ chi cos x lớn nhất cos 1x = .

Khi 1 1cos 1 .

cos 1 2x y

x= ¾¾ = =

+

Câu 7: Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cosy x x= + . Tính

.P M m= -

A. 4.P = B. 2 2.P = C. 2.P = D. 2.P =

Lời giải

Chọn B

Ta có sin cos 2 sin .4

y x x xpæ ö÷ç= + = + ÷ç ÷çè ø

Mà 1 sin 1 2 2 sin 24 4

x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- £ + £ ¾¾- £ + £÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

22 2.

2

MP M m

m

ìï =ïï¾¾ = - =íï =-ïïî

Câu 8: Tập giá trị T của hàm số sin 2017 cos 2017 .y x x= -

A. [ ]2;2 .T = - B. [ ]4034;4034 .T = - C. 2; 2 .T é ù= -ê úë û D. 0; 2 .T é ù= ê úë û

Lời giải

Chọn C

Ta có sin 2017 cos 2017 2 sin 20174

y x x xpæ ö÷ç= - = - ÷ç ÷çè ø

.

Mà 1 sin 2017 1 2 2 sin 2017 24 4

x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- £ - £ ¾¾- £ - £÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

2 2 2; 2 .y T é ù¾¾- £ £ ¾¾ = -ê úë û

Câu 9: Hàm số sin sin3

y x xpæ ö÷ç= + -÷ç ÷çè ø

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn C

Áp dụng công thức sin sin 2 cos sin2 2

a b a ba b

+ -- = , ta có

sin sin 2 cos sin cos .3 6 6 6

x x x xp p p pæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ - = + = +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø


Trang 23

Ta có { }1 cos 1 1 1 1;0;1 .6

yx y yp Îæ ö÷ç- £ + £ ¾¾- £ £ ¾¾¾ Î -÷ç ÷çè ø

Câu 10: Hàm số 4 4sin cosy x x= - đạt giá trị nhỏ nhất tại 0x x= . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 0 2 , .x k kp= Î B. 0 , .x k kp= Î

C. 0 2 , .x k kp p= + Î D. 0 , .2

x k kp

p= + Î

Lời giải

Chọn B

Ta có ( )( )4 4 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos cos 2 .y x x x x x x x= - = + - =-

Mà 1 cos2 1 1 cos 2 1 1 1x x y- £ £ ¾¾- ³- ³ ¾¾- ³ ³ .

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1- .

Đẳng thức xảy ra ( )cos 2 1 2 2 .x x k x k kp p = = = Î

Câu 11: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 1 2 cos3 .y x= -

A. 3, 1.M m= =- B. 1, 1.M m= =-

C. 2, 2.M m= =- D. 0, 2.M m= =-

Lời giải

Chọn B

Ta có 1 cos3 1 0 cos3 1 0 2 cos3 2x x x- £ £ ¾¾ £ £ ¾¾ ³- ³-

11 1 2 cos3 1 1 1 .

1

Mx y

m

ì =ïï¾¾ ³ - ³- ¾¾ ³ ³- ¾¾íï =-ïî

Câu 12: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 24 sin 2 sin 2 .4

y x xpæ ö÷ç= + + ÷ç ÷çè ø

A. 2.M = B. 2 1.M = -

C. 2 1.M = + D. 2 2.M = +

Lời giải

Chọn D

Ta có 2 1 cos 24 sin 2 sin 2 4 sin 2 cos2

4 2

xy x x x x

pæ ö æ ö-÷ ÷ç ç= + + = + +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

sin 2 cos 2 2 2 sin 2 2.4

x x xpæ ö÷ç= - + = - +÷ç ÷çè ø

Mà 1 sin 2 1 2 2 2 sin 2 2 2 24 4

x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- £ - £ ¾¾- + £ - + £ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 2.+


Trang 24

Câu 13: Tìm tập giá trị T của hàm số 6 6sin cos .y x x= +

A. [ ]0;2 .T = B. 1;1 .

2T

é ùê ú=ê úë û

C. 1;1 .

4T


D. 10; .

4T


Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) ( )26 6 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos 3sin cos sin cosy x x x x x x x x= + = + - +

2 2 23 3 1 cos 4 5 31 3sin cos 1 sin 2 1 . cos 4 .

4 4 2 8 8

xx x x x

-= - = - = - = +

Mà 1 5 3 11 cos 4 1 cos 4 1 1.

4 8 8 4x x y- £ £ ¾¾ £ + £ ¾¾ £ £

Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số 2 2sin 2 cos .y x x= +

A. 3, 0.M m= = B. 2, 0.M m= = C. 2, 1.M m= = D. 3, 1.M m= =

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )2 2 2 2 2 2sin 2 cos sin cos cos 1 cosy x x x x x x= + = + + = +

Do 2 2 21 cos 1 0 cos 1 1 1 cos 2 .

1

Mx x x

m

ì =ïï- £ £ ¾¾ £ £ ¾¾ £ + £ ¾¾íï =ïî

Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 2

2.

1 tany

x=

+

A. 1.

2M = B. 2

.3

M = C. 1.M = D. 2.M =

Lời giải

Chọn D

Ta có 22

2

2 22 cos

11 tancos

y xx

x

= = =+

.

Do 20 cos 1 0 2 2.x y M£ £ ¾¾ £ £ ¾¾ =

Câu 16: Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 28 sin 3cos 2y x x= + .

Tính 22 .P M m= -

A. 1.P = B. 2.P = C. 112.P = D. 130.P =

Lời giải

Chọn A

Ta có ( )2 2 2 28 sin 3cos 2 8 sin 3 1 2 sin 2 sin 3.y x x x x x= + = + - = +

Mà 2 21 sin 1 0 sin 1 3 2 sin 3 5x x x- £ £ ¾¾ £ £ ¾¾ £ + £


Trang 25

253 5 2 1.

3

My P M m

m

ì =ïï¾¾ £ £ ¾¾ ¾¾ = - =íï =ïî

Câu 17: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 22 sin 3 sin 2y x x= + .

A. 2 3.m = - B. 1.m =- C. 1.m = D. 3.m =-

Lời giải

Chọn B

Ta có 22 sin 3 sin 2 1 cos2 3 sin 2y x x x x= + = - +

3 13 sin 2 cos2 1 2 sin 2 cos2 1

2 2

2 sin 2 cos sin cos 2 1 2 sin 2 1.6 6 6

x x x x

x x xp p p

æ ö÷ç ÷ç= - + = - +÷ç ÷÷çè øæ ö æ ö÷ ÷ç ç= - + = - +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Mà 1 sin 2 1 1 1 2 sin 2 3 1 3.6 6

x x yp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- £ - £ ¾¾- £ + - £ ¾¾- £ £÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1.-

Câu 18: Tìm tập giá trị T của hàm số 12 sin 5cos .y x x= -

A. [ ]1;1 .T = - B. [ ]7;7 .T = - C. [ ]13;13 .T = - D. [ ]17;17 .T = -

Lời giải

Chọn C

Ta có 12 512 sin 5cos 13 sin cos .

13 13y x x x x

æ ö÷ç= - = - ÷ç ÷çè ø

Đặt 12 5cos sin

13 13a a= ¾¾ = . Khi đó ( ) ( )13 sin cos sin cos 13siny x x xa a a= - = -

[ ]13 13 13;13 .y T¾¾- £ £ ¾¾ = -

Câu 19: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 4 sin 2 3cos 2 .y x x= -

A. 3.M = B. 1.M = C. 5.M = D. 4.M =

Lời giải

Chọn C

Ta có 4 34 sin 2 3cos 2 5 sin 2 cos2

5 5y x x x x

æ ö÷ç= - = - ÷ç ÷çè ø.

Đặt 4 3cos sin

5 5a a= ¾¾ = . Khi đó ( ) ( )5 cos sin 2 sin cos 2 5sin 2y x x xa a a= - = -

5 5 5.y M¾¾- £ £ ¾¾ =

Câu 20: Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin 4 sin 5y x x= - + .

Tính 22 .P M m= -


Trang 26

A. 1.P = B. 7.P = C. 8.P = D. 2.P =

Lời giải

Chọn D

Ta có ( )22sin 4 sin 5 sin 2 1.y x x x= - + = - +

Do ( )21 sin 1 3 sin 2 1 1 sin 2 9x x x- £ £ ¾¾- £ - £- ¾¾ £ - £

( )2 2102 sin 2 1 10 2 2.

2

Mx P M m

m

ì =ïï¾¾ £ - + £ ¾¾ = - =íï =ïî

Câu 21: Hàm số 2cos cosy x x= - có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn C

Ta có 2

2 1 1cos cos cos .

2 4y x x x

æ ö÷ç= - = - -÷ç ÷çè ø

Mà 2

3 1 1 1 91 cos 1 cos 0 cos

2 2 2 2 4x x x

æ ö÷ç- £ £ ¾¾- £ - £ ¾¾ £ - £÷ç ÷çè ø

{ }2

1 1 1 1cos 2 2 0;1;2

4 2 4 4yx y yÎæ ö÷ç¾¾- £ - - £ ¾¾- £ £ ¾¾¾ Î÷ç ÷çè ø nên có 3 giá trị thỏa mãn.

Câu 22: Hàm số 2cos 2 sin 2y x x= + + đạt giá trị nhỏ nhất tại 0x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 0 2 , .2

x k kp

p= + Î B. 0 2 , .2

x k kp

p=- + Î

C. 0 2 , .x k kp p= + Î D. 0 2 , .x k kp= Î

Lời giải

Chọn B

Ta có 2 2cos 2 sin 2 1 sin 2 sin 2y x x x x= + + = - + +

( )22sin 2 sin 3 sin 1 4.x x x=- + + =- - +

Mà ( )21 sin 1 2 sin 1 0 0 sin 1 4x x x- £ £ ¾¾- £ - £ ¾¾ £ - £

( ) ( )2 20 sin 1 4 4 sin 1 4 0x x¾¾ ³- - ³- ¾¾ ³- - + ³ .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 .

Dấu '' ''= xảy ra ( )sin 1 2 .2

x x k kp

p =- =- + Î

Câu 23: Tìm giá trị lớn nhất M và nhất m của hàm số 4 2sin 2 cos 1y x x= - +

A. 2, 2.M m= =- B. 1, 0.M m= =


Trang 27

C. 4, 1.M m= =- D. 2, 1.M m= =-

Lời giải

Chọn D

Ta có ( ) ( )24 2 4 2 2sin 2 cos 1 sin 2 1 sin 1 sin 1 2.y x x x x x= - + = - - + = + -

Do ( )22 2 20 sin 1 1 sin 1 2 1 sin 1 4x x x£ £ ¾¾ £ + £ ¾¾ £ + £

( )22 21 sin 1 2 2 .

1

Mx

m

ì =ïï¾¾- £ + - £ ¾¾íï =-ïî

Câu 24: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 44 sin cos 4y x x= - .

A. 3.m =- B. 1.m =- C. 3.m = D. 5.m =-

Lời giải.

Chọn B

Ta có ( )2

4 21 cos 24 sin cos 4 4. 2 cos 2 1

2

xy x x x

æ ö- ÷ç= - = - -÷ç ÷çè ø

( )22cos 2 2 cos 2 2 cos 2 1 3 3.x x x=- - + =- + + £

Mà ( )21 cos 2 1 0 cos 2 1 2 0 cos 2 1 4x x x- £ £ ¾¾ £ + £ ¾¾ £ + £

( )21 cos 2 1 3 3 1.x m¾¾- £- + + £ ¾¾ =-

Câu 25: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 27 3cos .y x= -

A. 10, 2.M m= = B. 7, 2.M m= = C. 10, 7.M m= = D. 0, 1.M m= =

Lời giải

Chọn B

Ta có 21 cos 1 0 cos 1x x- £ £ ¾¾ £ £

2 24 7 3cos 7 2 7 3cos 7x x¾¾ £ - £ ¾¾ £ - £ .

Câu 26: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được

cho bởi một hàm số ( )4 sin 60 10178

y tpé ù

ê ú= - +ê úë û

với t Î và 0 365t< £ . Vào ngày nào trong

năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5.

Lời giải

Chọn B

Vì ( ) ( )sin 60 1 4 sin 60 10 14.178 178

t y tp pé ù é ù

ê ú ê ú- £ ¾¾ = - + £ê ú ê úë û ë û


Trang 28

Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất ( )14 sin 60 1178

y tpé ù

ê ú = - =ê úë û

( )60 2 149 356 .178 2

t k t kp p

p - = + = +

Do 149 540 365 0 149 356 365 0

356 89kt k k kÎ< £ ¾¾ < + £ - < £ ¾¾¾ = .

Với 0 149k t= ¾¾ = rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày,

tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 365t< £ thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).

Câu 27: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực

nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức

3cos 12.8 4

th

p pæ ö÷ç= + +÷ç ÷çè ø Mực nước của kênh cao nhất khi:

A. 13t = (giờ). B. 14t = (giờ). C. 15t = (giờ). D. 16t = (giờ).

Lời giải

. Chọn B

Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất

cos 1 28 4 8 4

t tk

p p p pp

æ ö÷ç + = + =÷ç ÷çè ø với 0 24t< £ và .k Î

Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn

Vì với 14 28 4

tt

p pp= ¾¾ + = (đúng với 1k = Î ).

Dạng 4. Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó

1. Phương pháp

Muốn chứng minh hàm số tuần hoàn f(x) tuần hoàn ta thực hiện theo các bước sau:

Xét hàm số y f(x) , tập xác định là D

Với mọi x D , ta có 0x T D và 0x T D (1) . Chỉ ra 0f(x T ) f(x) (2)

Vậy hàm số y f(x) tuần hoàn

Chứng minh hàm tuần hoàn với chu kỳ 0T

Tiếp tục, ta đi chứng minh 0T là chu kỳ của hàm số tức chứng minh 0T là số dương nhỏ nhất thỏa

(1) và (2). Giả sử có T sao cho 00 T T thỏa mãn tính chất (2) ... mâu thuẫn với giả thiết

00 T T . Mâu thuẫn này chứng tỏ 0T là số dương nhỏ nhất thỏa (2). Vậy hàm số tuần hoàn với

chu kỳ cơ sở 0T

Một số nhận xét:


Trang 29

- Hàm số y sin x,y cosx tuần hoàn chu kỳ 2 . Từ đó y sin ax b ,y cos ax b có chu

kỳ

02Ta

- Hàm số y tanx, y cot x tuần hoàn chu kỳ . Từ đó y tan ax b ,y cot ax b có chu kỳ

0Ta

Chú ý:

1y f (x) có chu kỳ T1 ; 2y f (x) có chu kỳ T2

Thì hàm số 1 2y f (x) f (x) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.

Các dấu hiệu nhận biết hàm số không tuần hoàn

Hàm số y f(x) không tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau vi phạm

Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn

Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x a hoặc x a

Phương trình f(x) k có vô số nghiệm hữu hạn

Phương trình f(x) k có vô số nghiệm sắp thứ tự m m 1... x x ... mà m m 1x x 0 hay

2. Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở 0T

0 0a)f(x) s inx, T 2 ; b)f(x) tan2x, T2

Hướng dẫn giải

a) Ta có : f(x 2 ) f(x), x .

Giả sử có số thực dương T 2 thỏa f(x T) f(x) sin x T sinx , x (*)

Cho x VT(*) sin T cosT 1; VP(*) sin 12 2 2

(*) không xảy ra với mọi x . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 0T 2

b) Ta có :

f(x ) f(x), x D2

.

Giả sử có số thực dương T2

thỏa f(x T) f(x) tan 2x 2T tan2x , x D (**)

Cho x 0 VT(**) tan2T 0; VP(**) 0


Trang 30

B (**) không xảy ra với mọi x D . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 0T2

Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ cơ sở (nếu có) của các hàm số sau

23x xa) f(x) cos cos ; b)y cosx cos( 3x); c)f(x) sin x ; d)y tan x.2 2


c) Hàm số 2f(x) sin x không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp

của nó dần tới 0

k 1 k 0 khi kk 1 k

d) Hàm số f(x) tan x không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp

của nó dần tới

2 2 2k 1 k khi k


Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hàm số siny x= tuần hoàn với chu kì 2 .p

B. Hàm số cosy x= tuần hoàn với chu kì 2 .p

C. Hàm số tany x= tuần hoàn với chu kì 2 .p

D. Hàm số coty x= tuần hoàn với chu kì .p

Lời giải

Chọn C

Vì hàm số tany x= tuần hoàn với chu kì .p

Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. siny x= B. siny x x= + C. cos .y x x= D sin.

xy

x=

Lời giải

Chọn A

Hàm số siny x x= + không tuần hoàn. Thật vậy:

Tập xác định D = .

Giả sử ( ) ( ), Df x T f x x+ = " Î

( ) ( )sin sin , Dx T x T x x x + + + = + " Î

( )sin sin , DT x T x x + + = " Î . ( )*


Trang 31

Cho 0x = và x p= , ta được ( )

sin sin 0 0

sin sin 0

T x

T Tp p

ì + = =ïïíï + + = =ïî

( )2 sin sin 0 0T T T Tp¾¾ + + + = = . Điều này trái với định nghĩa là 0T > .

Vậy hàm số siny x x= + không phải là hàm số tuần hoàn.

Tương tự chứng minh cho các hàm số cosy x x= và sin xy

x= không tuần hoàn.

Câu 3: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?

A. cos .y x= B. cos 2 .y x= C. 2 cosy x x= . D. 1.

sin 2y

x=

Lời giải.

Chọn C

Câu 4: Tìm chu kì T của hàm số sin 5 .4


A. 2.

5T

p= B. 5

.2

Tp

= C. .2

Tp

= D. .8

Tp

=

Lời giải

Chọn A

Hàm số ( )siny ax b= + tuần hoàn với chu kì 2T

a

p= .

Áp dụng: Hàm số sin 54


tuần hoàn với chu kì 2.

5T

p=

Câu 5: Tìm chu kì T của hàm số cos 2016 .2

xy

æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø

A. 4 .T p= B. 2 .T p= C. 2 .T p=- D. .T p=

Lời giải

Chọn A

Hàm số ( )cosy ax b= + tuần hoàn với chu kì 2T

a

p= .

Áp dụng: Hàm số cos 20162

xy

æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø tuần hoàn với chu kì 4 .T p=

Câu 6: Tìm chu kì T của hàm số ( )1sin 100 50 .

2y xp p=- +

A. 1.

50T = B. 1

.100

T = C. .50

Tp

= D. 2200 .T p=

Lời giải

Chọn A


Trang 32

Hàm số ( )1sin 100 50

2y xp p=- + tuần hoàn với chu kì 2 1

.100 50

Tpp

= =

Câu 7: Tìm chu kì T của hàm số cos 2 sin .2

xy x= +

A. 4 .T p= B. .T p= C. 2 .T p= D. .2

Tp

=

Lời giải

Chọn A

Hàm số cos 2y x= tuần hoàn với chu kì 1

2.

2T

pp= =

Hàm số sin2

xy = tuần hoàn với chu kì 2

24 .

1

2

Tp

p= =

Suy ra hàm số cos 2 sin2

xy x= + tuần hoàn với chu kì 4 .T p=

Nhận xét. T là của 1T và 2.T

Câu 8: Tìm chu kì T của hàm số cos3 cos5 .y x x= +

A. .T p= B. 3 .T p= C. 2 .T p= D. 5 .T p=

Lời giải

Chọn C

Hàm số cos3y x= tuần hoàn với chu kì 1

2.

3T

p=

Hàm số cos5y x= tuần hoàn với chu kì 2

2.

5T

p=

Suy ra hàm số cos3 cos5y x x= + tuần hoàn với chu kì 2 .T p=

Câu 9: Tìm chu kì T của hàm số ( )3cos 2 1 2 sin 3 .2

xy x

æ ö÷ç= + - - ÷ç ÷çè ø

A. 2 .T p= B. 4T p= C. 6T p= D. .T p=

Lời giải

Chọn B

Hàm số ( )3cos 2 1y x= + tuần hoàn với chu kì 1

2.

2T

pp= =

Hàm số 2 sin 3 .2

xy

æ ö÷ç=- - ÷ç ÷çè ø tuần hoàn với chu kì 2

24 .

1

2

Tp

p= =

Suy ra hàm số ( )3cos 2 1 2 sin 32

xy x

æ ö÷ç= + - - ÷ç ÷çè ø tuần hoàn với chu kì 4 .T p=


Trang 33

Câu 10: Tìm chu kì T của hàm số sin 2 2 cos 3 .3 4

y x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç= + + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

A. 2 .T p= B. .T p= C. 3 .T p= D. 4 .T p=

Lời giải

Chọn A

Hàm số sin 23

y xpæ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø

tuần hoàn với chu kì 1

2.

2T

pp= =

Hàm số 2 cos 34


tuần hoàn với chu kì 2

2.

3T

p=

Suy ra hàm số sin 2 2 cos 33 4

y x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç= + + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

tuần hoàn với chu kì 2 .T p=

Câu 11: Tìm chu kì T của hàm số tan 3 .y xp=

A. .3

Tp

= B. 4.

3T = C. 2

.3

Tp

= D. 1.

3T =

Lời giải

Chọn D

Hàm số ( )tany ax b= + tuần hoàn với chu kì Ta

p= .

Áp dụng: Hàm số tan 3y xp= tuần hoàn với chu kì 1.

3T =

Câu 12: Tìm chu kì T của hàm số tan 3 cot .y x x= +

A. 4 .T p= B. .T p= C. 3 .T p= D. .3

Tp

=

Lời giải

Chọn B

Hàm số ( )coty ax b= + tuần hoàn với chu kì Ta

p= .

Áp dụng: Hàm số tan 3y x= tuần hoàn với chu kì 1 .3

Tp

=

Hàm số coty x= tuần hoàn với chu kì 2 .T p=

Suy ra hàm số tan 3 coty x x= + tuần hoàn với chu kì .T p=

Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của 1T và 2.T

Câu 13: Tìm chu kì T của hàm số cot sin 2 .3

xy x= +

A. 4 .T p= B. .T p= C. 3 .T p= D. .3

Tp

=


Trang 34

Lời giải

Chọn C

Hàm số cot3

xy = tuần hoàn với chu kì 1 3 .T p=

Hàm số sin 2y x= tuần hoàn với chu kì 2 .T p=

Suy ra hàm số cot sin 23

xy x= + tuần hoàn với chu kì 3 .T p=

Câu 14: Tìm chu kì T của hàm số sin tan 2 .2 4

xy x

pæ ö÷ç= - + ÷ç ÷çè ø

A. 4 .T p= B. .T p= C. 3 .T p= D. 2 .T p=

Lời giải

Chọn A

Hàm số sin2

xy = tuần hoàn với chu kì 1 4 .T p=

Hàm số tan 24

y xpæ ö÷ç=- + ÷ç ÷çè ø

tuần hoàn với chu kì 2 .2

Tp

=

Suy ra hàm số sin tan 22 4

xy x

pæ ö÷ç= - + ÷ç ÷çè ø tuần hoàn với chu kì 4 .T p=

Câu 15: Tìm chu kì T của hàm số 22 cos 2017.y x= +

A. 3 .T p= B. 2 .T p= C. .T p= D. 4 .T p=

Lời giải

Chọn C

Ta có 22 cos 2017 cos 2 2018.y x x= + = +

Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì .T p=

Câu 16: Tìm chu kì T của hàm số 2 22 sin 3cos 3 .y x x= +

A. .T p= B. 2 .T p= C. 3 .T p= D. .3

Tp

=

Lời giải

Chọn A

Ta có ( )1 cos 2 1 cos6 12. 3. 3cos 6 2 cos 2 5 .

2 2 2

x xy x x

- += + = - +

Hàm số 3cos 6y x= tuần hoàn với chu kì 1

2.

6 3T

p p= =

Hàm số 2 cos 2y x=- tuần hoàn với chu kì 2 .T p=

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì .T p=


Trang 35

Câu 17: Tìm chu kì T của hàm số 2tan 3 cos 2 .y x x= -

A. .T p= B. .3

Tp

= C. .2

Tp

= D. 2 .T p=

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )1 cos 4 1tan 3 2 tan 3 cos 4 1 .

2 2

xy x x x

+= - = - -

Hàm số 2 tan 3y x= tuần hoàn với chu kì 1 .3

Tp

=

Hàm số cos 4y x=- tuần hoàn với chu kì 2

2.

4 2T

p p= =

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì .T p=

Câu 18: Hàm số nào sau đây có chu kì khác p ?

A. sin 2 .3


B. cos 2 .4

y xpæ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø

C. ( )tan 2 1 .y x= - + D. cos sin .y x x=

Lời giải

Chọn C

Vì ( )tan 2 1y x= - + có chu kì .2 2

Tp p

= =-

Nhận xét. Hàm số 1cos sin sin 2

2y x x x= = có chu kỳ là .p

Câu 19: Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2p ?

A. 3cos .y x= . sin cos .2 2

x xy =

C. ( )2sin 2 .y x= + D. 2cos 1 .2

xy

æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø

Lời giải.

Chọn C

Hàm số ( )3 1cos cos3 3cos

4y x x x= = + có chu kì là 2 .p

Hàm số 1sin cos sin

2 2 2

x xy x= = có chu kì là 2 .p

Hàm số ( ) ( )2 1 1sin 2 cos 2 4

2 2y x x= + = - + có chu kì là .p

Hàm số ( )2 1 1cos 1 cos 2

2 2 2

xy x

æ ö÷ç= + = + +÷ç ÷çè ø có chu kì là 2 .p

Câu 20: Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?


Trang 36

A. cosy x= và cot .2

xy = B. siny x= và tan 2 .y x=

C. sin2

xy = và cos .

2

xy = D. tan 2y x= và cot 2 .y x=

Lời giải

Chọn B

Hai hàm số cosy x= và cot2

xy = có cùng chu kì là 2 .p

Hai hàm số siny x= có chu kì là 2p , hàm số tan 2y x= có chu kì là .2

p

Hai hàm số sin2

xy = và cos

2

xy = có cùng chu kì là 4 .p

Hai hàm số tan 2y x= và cot 2y x= có cùng chu kì là .2

p

Dạng 5. Đồ thị của hàm số lượng giác

1. Phương pháp

1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:

- Tìm tập xác định D.

- Tìm chu kỳ T0 của hàm số.

- Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần).

- Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:

0x 0, T hoặc 0 0T Tx ,

2 2

.

- Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.

- Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ 0v k.T .i

về bên trái và phải

song song với trục hoành Ox (với i

là véc tơ đơn vị trên trục Ox).

2/ Một số phép biến đổi đồ thị:

a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0.

b) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y f(x a) bằng cách tịnh tiến đồ thị y =

f(x) sang phải trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến sang trái trục hoành a đơn vị nếu a < 0.

c) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành.


Trang 37

d) Đồ thị f(x), neáu f(x) 0

y f(x)-f(x), neáu f(x) < 0

nên suy ra đồ thị y = f(x) bằng cách giữ nguyên

hần đồ thị y = f(x) phía trên trục hoành và lấy đối xứng y = f(x) phía dưới trục hoành qua trục hoành

Mối liên hệ đồ thị giữa các hàm số

Tịnh tiến theo

vec tơ v=(a;b)

Đối xứng qua gốc O

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị

Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị

Đối xứng qua Oy

Đối xứng qua Ox

Đối xứng qua Ox

Đối xứng qua Oy

y=-f(x)

y=f(-x)

y=-f(-x) y=f(x+a)+b

y=f(x)+b

y=f(x+a)

y=f(x)


Ví dụ 1. Vẽ đồ thị các hàm số sau: y = sin 4x


a) Haøm soá y = sin 4x.Mieàn xaùc ñònh: D= .

Ta chæ caàn veõ ñoà thò haøm soá treân mieàn 0;2

2(Do chu kì tuaàn hoaøn T= )4 2

Baûng giaù trò cuûa haøm soá y =sin 4x treân ñoaïn 0; laø:2

x 0

16

8

3

16

524

4

5

16

38

3

2

y 0

22

1 2

2

32

0 -2

2 -1 -

32

0

Ta có đồ thị của hàm số y = sin4x trên đoạn

0;

2và sau đó tịnh tiến cho các

đoạn:

..., ,0 , , ,....2 2


Trang 38

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số xy = cos .3


xHaøm soá y = cos .3

Mieàn xaùc ñònh: D= .Ta chæ caàn veõ ñoà thò haøm soá treân mieàn 0;6

2(Do chu kì tuaàn hoaøn T= 6 )1/ 3

xBaûng giaù trò cuûa haøm soá y = cos treân ñoaïn 0;6 laø:3

x 0

34

32

21

6 3

154

9

2

336

6

y 1

22

0 -3

2 -1 -

22

0 3

2 1

Ta có đồ thị của hàm số y=xcos3

trên đoạn 0;6 và sau đó tịnh tiến cho các

đoạn: ..., 6 ,0 , 6 ,12 ,....

Ví dụ 3. Cho đồ thị của hàm số y =sinx, (C) . Hãy vẽ các đồ thị của các hàm số sau:

a) y = sin x+ b) y= sin x+ 2.

4 4


Trang 39


Từ đồ thị của hàm số y = sinx, (C) như sau:

a) Từ đồ thị (C), ta có đồ thị

y = sin x+4

bằng cách tịnh tiến (C) sang trái

một đoạn là 4

đơn vị, ta được đồ thị hàm số

y = sin x+ , (C')4

như (hình 8)

sau:

b) Từ đồ thị (C’) của hàm số

y = sin x+4

, ta có đồ thị hàm số

y = sin x+ 2

4bằng cách tịnh tiến (C’) lên trên một đoạn là 2 đơn vị, ta

được đồ thị hàm số

y = sin x+ 2, (C'')

4 như sau:

y


Trang 40


Câu 1: Đồ thị hàm số cos2


được suy từ đồ thị ( )C của hàm số cosy x= bằng cách:

A. Tịnh tiến ( )C qua trái một đoạn có độ dài là .2

p

B. Tịnh tiến ( )C qua phải một đoạn có độ dài là .2

p

C. Tịnh tiến ( )C lên trên một đoạn có độ dài là .2

p

D. Tịnh tiến ( )C xuống dưới một đoạn có độ dài là .2

p

Lời giải

Chọn B

Nhắc lại lý thuyết

Cho ( )C là đồ thị của hàm số ( )y f x= và 0p> , ta có:

+ Tịnh tiến ( )C lên trên p đơn vị thì được đồ thị của hàm số ( )y f x p= + .

+ Tịnh tiến ( )C xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số ( )y f x p= - .

+ Tịnh tiến ( )C sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số ( )y f x p= + .

+ Tịnh tiến ( )C sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số ( )y f x p= - .

Vậy đồ thị hàm số cos2


được suy từ đồ thị hàm số cosy x= bằng cách tịnh tiến

sang phải 2

p đơn vị.

Câu 2: Đồ thị hàm số siny x= được suy từ đồ thị ( )C của hàm số cosy x= bằng cách:

A. Tịnh tiến ( )C qua trái một đoạn có độ dài là .2

p

B. Tịnh tiến ( )C qua phải một đoạn có độ dài là .2

p

C. Tịnh tiến ( )C lên trên một đoạn có độ dài là .2

p

D. Tịnh tiến ( )C xuống dưới một đoạn có độ dài là .2

p

Lời giải

Chọn B

Ta có sin cos cos .2 2

y x x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç= = - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø


Trang 41

Câu 3: Đồ thị hàm số siny x= được suy từ đồ thị ( )C của hàm số cos 1y x= + bằng cách:

A. Tịnh tiến ( )C qua trái một đoạn có độ dài là 2

p và lên trên 1 đơn vị.

B. Tịnh tiến ( )C qua phải một đoạn có độ dài là 2

p và lên trên 1 đơn vị.

C. Tịnh tiến ( )C qua trái một đoạn có độ dài là 2

p và xuống dưới 1 đơn vị.

D. Tịnh tiến ( )C qua phải một đoạn có độ dài là 2

p và xuống dưới 1 đơn vị.

Lời giải

Chọn D

Ta có sin cos cos .2 2

y x x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç= = - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Tịnh tiến đồ thị cos 1y x= + sang phải 2

p đơn vị ta được đồ thị hàm số

cos 1.2

y xpæ ö÷ç= - +÷ç ÷çè ø

Tiếp theo tịnh tiến đồ thị cos 12

y xpæ ö÷ç= - +÷ç ÷çè ø

xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số

cos .2


Câu 4: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. 1 sin 2 .y x= + B. cos .y x= C. sin .y x=- D. cos .y x=-

Lời giải

Chọn B

Ta thấy tại 0x = thì 1y = . Do đó loại đáp án C và D.

Tại 2

xp

= thì 0y = . Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn.



Trang 42


A. sin .2

xy = B. cos .

2

xy = C. cos .

4

xy =- D. sin .

2

xy

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

Lời giải

Chọn D

Ta thấy:

Tại 0x = thì 0y = . Do đó loại B và C.

Tại x p= thì 1y =- . Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa.

Câu 6: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.


A. 2cos .

3

xy = B. 2

sin .3

xy = C. 3

cos .2

xy = D. 3

sin .2

xy =

Lời giải

Chọn A

Ta thấy:

Tại 0x = thì 1y = . Do đó ta loại đáp án B và D.

Tại 3x p= thì 1y = . Thay vào hai đáp án A và C thì chit có A thỏa mãn.



Trang 43


A. sin .4


B. 3cos .

4y x

pæ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø C. 2 sin .

4y x

pæ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø D. cos .

4y x

pæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

Lời giải

Chọn A

Ta thấy hàm số có GTLN bằng 1 và GTNN bằng 1- . Do đó loại đáp án C.

Tại 0x = thì 2

2y =- . Do đó loại đáp án D.

Tại 3

4x

p= thì 1y = . Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có A thỏa mãn.



A. sin .y x= B. sin .y x= C. sin .y x= D. sin .y x=-

Lời giải

Chọn D

Ta thấy tại 0x = thì 0y = . Cả 4 đáp án đều thỏa.

Tại 2

xp

= thì 1y =- . Do đó chỉ có đáp án D thỏa mãn.



Trang 44


A. cos .y x= B. cosy x=- C. cos .y x= D. cos .y x=

Lời giải

Chọn B

Ta thấy tại 0x = thì 1.y =- Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Câu 10: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B,C,D.


A. sin .y x= B. sin .y x= C. cos .y x= D. cos .y x=

Lời giải

Chọn A

Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0 . Do đó chỉ có A hoặc D thỏa mãn.

Ta thấy tại 0x = thì 0y = . Thay vào hai đáp án A và D chỉ có duy nhất A thỏa mãn.



Trang 45


A. tan .y x= B. cot .y x= C. tan .y x= D. cot .y x=

Lời giải

Chọn C

Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0 . Do đó ta loại đáp án A và B.

Hàm số xác định tại x p= và tại x p= thì 0y = . Do đó chỉ có C thỏa mãn.

Câu 12: .Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,D.


A. sin 1.2

y xpæ ö÷ç= - -÷ç ÷çè ø

B. 2 sin .2


C. sin 1.2

y xpæ ö÷ç=- - -÷ç ÷çè ø

D.

sin 1.2

y xpæ ö÷ç= + +÷ç ÷çè ø

Lời giải

Chọn A

Ta thấy hàm số có GTLN bằng 0 , GTNN bằng 2.- Do đó ta loại đán án B vì

[ ]2 sin 2;2 .2

y xpæ ö÷ç= - Î -÷ç ÷çè ø

Tại 0x = thì 2y =- . Thử vào các đáp án còn lại chỉ có A thỏa mãn.

Câu 13: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D


A. 1 sin .y x= + B. siny x= . C. 1 cosy x= + . D. 1 siny x= + .

Lời giải


Trang 46

Chọn A

Ta có 1 cos 1y x= + ³ và 1 sin 1y x= + ³ nên loại C và D.

Ta thấy tại 0x = thì 1y = . Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có A thỏa mãn.



A. 1 sin .y x= + B. siny x= . C. 1 cosy x= + . D. 1 siny x= + .

Lời giải

Chọn B

Ta có 1 cos 1y x= + ³ và 1 sin 1y x= + ³ nên loại C và D.

Ta thấy tại x p= thì 0y = . Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có B thỏa.


Trang 47

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1) Phương trình =sin x a

Trường hợp 1a > ¾¾ phương trình vô nghiệm, vì 1 sin 1x- £ £ với mọi x .

Trường hợp 1a £ ¾¾ phương trình có nghiệm, cụ thể:

▪ 1 2 30; ; ; ; 1

2 2 2a

ì üï ïï ïÎ í ýï ïï ïî þ. Khi đó

2sin sin , sin

2

x kx k

x kx a

a pa

p a p

é = +ê= Îê = - +

=ë

.

▪ 1 2 30; ; ; ; 1

2 2 2a

ì üï ïï ïÏ í ýï ïï ïî þ. Khi đó

arcsin 2sin ,

arcsin 2

x a kx a k

x a k

pp p

é = +ê= Îê = - +ë

.

2) Phương trình cos x a=

Trường hợp 1a > ¾¾ phương trình vô nghiệm, vì 1 cos 1x- £ £ với mọi x .

Trường hợp 1a £ ¾¾ phương trình có nghiệm, cụ thể:

▪ 1 2 30; ; ; ; 1

2 2 2a

ì üï ïï ïÎ í ýï ïï ïî þ. Khi đó

2cos cos , cos

2

x kx k

x kx a

a pa

a p

é = +ê= Îê =

= - +ë

.

▪ 1 2 30; ; ; ; 1

2 2 2a

ì üï ïï ïÏ í ýï ïï ïî þ. Khi đó

arc cos 2cos ,

arc cos 2

x a kx a k

x a k

pp

é = +ê= Îê =- +ë

.

3) Phương trình tan x a=

Điều kiện: ( ) .2

x k kp

p¹ + Î

● 10; ; 1; 3

3a

ì üï ïï ïÎ í ýï ïï ïî þ. Khi đó tan tana , t n x x kx ka a a p= = += Î .

● 10; ; 1; 3

3a

ì üï ïï ïÏ í ýï ïï ïî þ. Khi đó tan arctan , x a x a k kp= = + Î .

4) Phương trình cot x a=

Điều kiện: ( ) .x k kp p¹ + Î

● 10; ; 1; 3

3a

ì üï ïï ïÎ í ýï ïï ïî þ. Khi đó cot cot cot , x a kx x ka a p = += = Î .

● 10; ; 1; 3

3a

ì üï ïï ïÏ í ýï ïï ïî þ. Khi đó arccot ,c ot a x ax k kp= = + Î .


Trang 48

B. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

Ví dụ 1. Giải các phương trình

a) cos 2x 06

; b) cos 4x 1

3

; c) cos x 15

;

d) sin 3x 03

e)

xsin 12 4

; f) sin 2x 1

6

;

Hướng Dẫn Giải

a)

kcos 2x 0 2x k x ,k6 6 12 2

b)

kcos 4x 1 4x k2 x ,k3 3 12 2

c)

4cos x 1 x k2 x k2 ,k5 5 5

d)

ksin 3x 0 3x k x ,k3 3 9 3

e)

x x 3sin 1 k2 x k4 ,k2 4 2 4 2 2

f)

sin 2x 1 2x k2 x k ,k6 6 2 3

Ví dụ 2. Giải phương trình

a) 1sin 3x 1

2 ; b) 1

cos 2x 22

c) xtan 2 3 ; d) cot 2x 3 4

3 4

Giải

a) Ta có:

3x

k23x k2 x6 18 31 sin 3x sin ,k

5 k26x

1k2

6 8 3

Vậy nghiệm của phương trình (1) là k2 5 k2

x ;x ,k .18 3 18 3

b) Ta có:


Trang 49

2

2x k2

2x k2 x k2 3 32 co

x

s2x cos ,k3

k3 3

Vậy nghiệm của phương trình (*) là: x k ,k3

c) 3 x 3arctan 2 k3 ,k

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x 3arctan 2 ,kk3

d) Ta có:

k4 cot 2x cot 2x k x ,k .

4 6 4 6 24 2

Vậy nghiệm của phương trình là: k

x ,k .24 2

Lời bình: Những phương trình ch trên là nhưng phương trình lượng giác cơ bản. Sử dụng MTCT ta có thể tìm được các giá trị đặc biệt của hàm số lượng giác

Ở câu a) 1sin3x2

. Dùng MTCT (ở chế độ rad ) ta ấn SHIF sin 1 2 ta được kết quả là

π

6 . Do đó:

π1sin3x sin2 6

Hoàn toàn tương tự cho câu b) 1cos2x2

. Ta ấn:

SHIF cos 1 2 ta được kết quả là π2

3 . Do đó:

π1 2cos2x cos2 3

Ở câu c) nếu ta dùng MTCT: Thử ấn SHIFT tan 2 ta được kết quả

Do đó, phương trình x

tan 23 ta chỉ có thể ghi π

x arctan2 k3

Trên MTCT không có hàm cot, tuy nhiên ta thừa biết αα

1cottan

. Do đó, đối với câu d)

cot 2x 34

ta ấn máy như sau:

SHIT tan 1 3 ta được kết quả là π

6 . Do đó: cot 2x 3 cot

4 6



Trang 50

a) sin 4x sin x3

; b) 0 x

cot g x 30 cot g .2

2 3 2c) cos x ; d) sin 2x cos3x.

4

Giải

a) Ta có:

k24x x k2 x3 9 3sin 4x sin x ,k

2 k24x x k x2

1533

5

Vậy nghiệm của phương trình (*) là k2 2 k2x ;x

9 3 15 5

b) Điều kiện: 0 0

0

0 0

x 30 k.180 x 30k,nx

n.180 x n.3602

0 0 0 0 0

0 0

x xcot g x 30 cot g x 30 k.180 2x 60 x k.360

2 2

x 60 k.360 ,k

Vậy nghiệm của phương trình là: 0 0x 60 k.360 ,k

c) Ta có

2 3 2 1 cos 2x 3 2cos x 2 1 cos 2x 3 2

4 2 4

3cos 2x cos 2x k2 x k

2 6 6 1,k

2

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x k ,12

k

Nhận xét: Ngoài cách giải trên ta có thể giải theo cách sau:

2

3 23 2 x arccos k2cos x 43 2 4cos x ,k4 3 2 3 2cos x x arccos k2

4 4

Tuy nhiên không nên giải theo cách này vì mất đi cái vẻ đẹp của toán học. Lời giải ban đầu sử dụng dụng công thức hạ bậc với các phép biến đổi hết sức đơn giản đưa về phương trình rất đẹp với đáp số.

d) Ta có


Trang 51

3x 2x k2

3x 2x k22

sin 2x cos3x cos3x cos 2x2

k2x5x k2

10 52 ;k

x k2

2

2 2x k2

Vậy nghiệm của (*) là k2,x ;x k2

10 5k

2

Nhận xét: Phương trình sin 2x cos3x được chuyển thành cos3x cos 2x2

, ta cũng có thể

chuyển thành dạng sau: sin 2x sin 3x2

.

Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình sinx 4m 1 *

Giải

Trường hợp 1: 1

4m 1 1 m4m 1 1 2

4m 1 1m 0

Phương trình (*) vô nghiệm

Trường hợp 2: 1

4m 1 1 1 4m 1 1 0 m2

Phương trình (*) có nghiệm

x arcs

x arc

in 4m

sin 4m 1 k2,k

1 k2

Tóm lại:

Nếu1

m2

m 0

thì phương trình (*) vô nghiệm

Nếu 10 m

2 thì phương trình (*) có nghiệm

x arcsin 4m 1 k

x arcsin 4m 1 k2

2

Ví dụ 5. Tìm m để phương trình 2 sin x m4

có nghiệm x 0;2

Giải

Ta có: 3

0 x x2 4 4 4

2

sin x 12 4


Trang 52

Phương trình đã cho có nghiệm

2 mx 0; khi 1 1 m 2

2 2 2


a) sin 2x sin 2x cos x 0 1 ; b) sin x cos 2x sin 2x cos3x 2 .

Giải

a) Ta có

sin 2x 0 2x k k

1 sin 2x 1 cosx 0 x ,kcosx 2 2x 1 k

Vậy nghiệm của phương trình là k

x ,k .2

Lưu ý: Một số học sinh mắc sai lầm nghiệm trọng (lỗi rất cơ bản) là rút gọn phương trình ban đầu

cho sin 2x , dẫn đến thiếu nghiệm

b) Định hướng: Cả hai vế phương trình đều cho dưới dạng tích của hai hàm lượng giác. Thông

thường ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Ta nhắc lại: 1sinacosb sin a b sin a b2

Ta có

1 12 sin 3x sinx sin 5x sinx sin 5x sin 3x

k5x 3x

2 2x k

5x 3x

k2

k2,k

x8 4

Vậy nghiệm của phương trình (*) là k;x ,k

8 4x k

C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Nghiệm của phương trình x 1

sin5 2 là

A. x 2k , k6

và

7x 2k , k

6

.

B. 5

x 2k , k6

và

35x 2k , k

6

.

C. 5

x 10k , k6

và

35x 10k , k

6

.


Trang 53

D. o5x k1800 , k

6

và o35

x k1800 , k6

.


CHỌN C.

x 5

2k x 10kx 5 6 6sin sin k k

x 355 62k x 10k

5 6 6

Câu 2. Nghiệm của phương trình sinx 1 là

A. x k k2

B. x k

2

C. x k2 , k D. x k2 , k

2


CHỌN D.

sinx 1 x k2 , k2

.


A. x k2 , k2

B. x k2 , k C.

3x k2 , k

2

D. x k , k

2


CHỌN C.

3sinx 1 x k2 , k

2

.


A. x k , k2

B. x k , k

2

C. x k , k D. B và C đúng


CHỌN C.

sinx 0 x k2 , k .

Câu 5. Nghiệm của phương trình cosx 1 là

A. x k2 , k B. x k , k C. x k , k

2

D. x k2 , k

2



Trang 54

CHỌN A.

cosx 1 x k2 , k .


A. x k , k B. x k2 , k C. x k2 , k

2

D. x k , k


CHỌN B.

cosx 1 x k2 , k .


A. o ox 180 k360 , k B. o ox 90 k180 , k

C. o ox 90 k360 , k D. ox k90 , k


CHỌN B.

o ocosx 0 x 90 k180 , k .

Câu 7. Nghiệm của phương trình tanx 1 là

A. x k2 , k4

B. x k , k

4

C.

3x k , k

4

D. x k , k

4


CHỌN B.

tanx 1 x k , k4

.

Câu 8. Nghiệm của phương trình tanx 1 là

A. x k2 , k4

B. x k2 , k

4

C. 2k 1x 1 k , k

4

D. B và C đúng


CHỌN C.


Trang 55

2k 1tanx 1 x k 1 . k

4 4

.

Câu 9. Phương trình tanx 0 có nghiệm là

A. x k , k2

B. x k , k C. x k2 , k D.

3x k , k

2


CHỌN B.

tanx 0 x k , k .

Câu 10. Phương trình cotx 1 có nghiệm là

A. x k2 , k4

B. x k2 , k

4

C. x k2 , k

6

D. x k , k

4


CHỌN D.

cotx 1 x k , k4

.


A. 2k 1x 1 k , k

4

B. x k2 , k

4

C. 3

x k2 , k4

D. tất cả đều đúng


CHỌN A.

2k 1cotx 1 x k , k 1 . k , k

4 4

.


A. x k , k2

B. x k2 , k

2

C.

3x k2 , k

2

D. tất cả đều đúng


CHỌN A.

cotx 0 x k , k2

.


Trang 56

Câu 13. Nghiệm của phương trình 1

cotx2

là

A. x k2 , k3

B. x k , k

6

C. x k , k

3

D. x k2 , k

4


CHỌN A.

1cosx cosx cos x k2 , k

2 3 3

.

Câu 14. Nghiệm của phương trình 3

cos2x2

là

A. 5

x k , k6

B.

5x k , k

12

C. x k , k

8

D.

5x k , k

6


CHỌN B.

Ta có: 3 5 5 5

cos2x cos 2x k2 x k , k2 6 6 12

.

Câu 15. Nghiệm của phương trình tan2x 3 là

A. x k , k6

B. x k , k

6

C. x k , k

12 2

D.

kx , k

12 2


CHỌN D.

Ta có: k

tan2x 3 tan 2x k x , k6 6 12 2

.

Câu 16. Nghiệm của phương trình cot x 3 là

A. x k , k6

B. x k , k

6

C. x k , k

3

D.

4x k2 , k

3


CHỌN B.

Ta có: cotx 3 cot x k , k6 6

.


Trang 57

Câu 17. Nghiệm của phương trình otanx tan25 là

A. o ox 25 k360 và o ox 155 k360 , k . B. o ox 25 k180 và o ox 155 k180 , k

C. o ox 25 k360 và o ox 25 k360 , k D. o ox 25 k180 , k


CHỌN D.

Câu 18. Nghiệm của phương trình tan x 512

là

A. o ox 20 k180 , k B. o ox 15 5 k180 , k

C. o ox 15 arctan5 k180 , k D. x arctan5 k , k12


CHỌN D.

otan x 15 5 tan x arctan512

x arctan5 k x arctan5 k , k12 12

Câu 19: Giải phương trình 2sin 0

3 3

x pæ ö÷ç - =÷ç ÷çè ø.

A. ( ) .x k kp= Î B. ( )2 3.

3 2

kx k

p p= + Î

C. ( ) .3

x k kp

p= + Î D. ( )3.

2 2

kx k

p p= + Î

Lời giải.

Chọn D

Phương trình 2 2sin 0

3 3 3 3

x xk

p pp

æ ö÷ç - = - =÷ç ÷çè ø

( )2 3.

3 3 2 2

x kk x k

p p pp = + = + Î

Câu 20: Số nghiệm của phương trình ( )0 3sin 2 40

2x - = với 0 0180 180x- £ £ là?

A. 2. B. 4. C. 6. D. 7.

Lời giải


Trang 58

Chọn B

Phương trình ( ) ( )0 0 03sin 2 40 sin 2 40 sin 60

2x x- = - =

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

2 40 60 360 2 100 360 50 180.

2 40 180 60 360 2 160 360 80 180

x k x k x k

x k x k x k

é é é- = + = + = +ê ê ê ê ê ê- = - + = + = +ê ê êë ë ë

Xét nghiệm 0 050 180 .x k= + Vì 0 0 0 0 0 0180 180 180 50 180 180x k- £ £ ¾¾- £ + £

0

0

1 13023 13.

18 18 0 50k k x

kk x

Îé =- =-ê- £ £ ¾¾¾ê = =êë

Xét nghiệm 0 080 180 .x k= + Vì 0 0 0 0 0 0180 180 180 80 180 180x k- £ £ ¾¾- £ + £

0

0

1 10013 5.

9 9 0 80k k x

kk x

Îé =- =-ê- £ £ ¾¾¾ê = =êë

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.

Cách 2 (CASIO). Ta có 0 0 0 0180 180 360 2 360 .x x- £ £ ¾¾- £ £

Chuyển máy về chế độ DEG, dùng chức năng TABLE nhập hàm

( ) ( ) 3sin 2 40

2f X X= - - với các thiết lập Start 360, End 360, Step 40=- = = . Quan sát

bảng giá trị của ( )f X ta suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Câu 21: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 1sin 2

3 2x

pæ ö÷ç + =÷ç ÷çè ø trên đường tròn lượng giác

là?

A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.

Lời giải

Chọn C

Phương trình ( )2 2

3 6 12sin 2 sin .3 6

2 23 6 4

x k x kx k

x k x k

p p pp p

p pp p p

p p p

é éê ê+ = + =- +æ ö ê ê÷ç + = Îê÷ êç ÷çè ø ê ê

+ = - + = +ê êêê ëë

Biểu diễn nghiệm 12

x kp

p=- + trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1).


x kp

p= + trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2).


Trang 59

Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình.

Cách trắc nghiệm. Ta đưa về dạng 2x k

n

pa= + ¾¾ số vị trí biểu diễn trên đường tròn

lượng giác là n .

Xét 2

12 12 2x k x k

p p pp=- + =- + ¾¾ có 2 vị trí biểu diễn.

Xét 2

4 4 2x k x k

p p pp= + = + ¾¾ có 2 vị trí biểu diễn.

Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí có thể trùng nhau.

Câu 22: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số sin 3y x= và siny x= bằng nhau?

A. ( )2

.2

4

x kk

x k

pp

p

é =êê Îê = +êë

B. ( ).4 2

x kk

x k

pp p


C. ( ).4

x k kp

= Î D. ( ).2

x k kp

= Î

Lời giải

Chọn B

Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3 sinx x=

( )3 2

.3 2

4 2

x kx x k

kx x k x k

ppp pp p

é =é = + êê ê Îê ê= - + = +ë êë

Câu 23: Gọi 0x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 cos 20

1 sin 2

x

x=

-. Mệnh đề nào sau đây là

đúng?

A. 0 0; .4

xpæ ö÷çÎ ÷ç ÷çè ø

B. 0 ; .4 2

xp pé ùê úÎê úë û

C. 0

3; .

2 4x

p pæ ö÷çÎ ÷ç ÷çè ø D. 0

3; .

4x

pp

é ùê úÎê úë û

Lời giải

Chọn D

Điều kiện: 1 sin 2 0 sin 2 1.x x- ¹ ¹

Hình1

O

4

p

O

12

p-

sin

cos

sin

cos

Hình2


Trang 60

Phương trình ( )( )

2 2sin 2 cos 2 1sin 2 12 cos 2

0 cos 2 01 sin 2 sin 2 1

x xxx

xx x

+ =é =ê= = ¾¾¾¾¾¾ê- =-êë

loaïi

thoûa maõn

( )sin 2 1 2 2 .2 4

x x k x k kp p

p p =- =- + =- + Î

Cho 10

4 4k k

pp- + > ¾¾ > .

Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với 3 31 ; .

4 4k x

p pp

é ùê ú= = Îê úë û

Câu 24: Hỏi trên đoạn [ ]2017;2017- , phương trình ( )( )sin 1 sin 2 0x x+ - = có tất cả bao nhiêu

nghiệm?

A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642.

Lời giải.

Chọn D

Phương trình ( )

( )sin 1

sin 1 2 .2sin 2 vo nghiem

xx x k k

x

pp

é =-ê =- =- + Îê =êë

Theo giả thiết 2017 2017

2 22017 2 20172 2 2

k k

p pp

pp p

- + +- £- + £ £ £

{ }xap xi 320,765 321,265 320; 319;...;321 .kk kÎ¾¾¾- £ £ ¾¾¾ Î - -

Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của k tương úng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu

bài toán.

Câu 25: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin 3

4 2x

pæ ö÷ç - =÷ç ÷çè ø

bằng:

A. 9

p . B. 6

p- . C.

6

p . D. 9

p- .

Lời giải

Chọn B

Ta có 3 2

3 4 3sin 3 sin 3 sin4 2 4 3

3 24 3

x kx x

x k

p pp

p p pp p

p p

éê - = +æ ö æ ö ê÷ ÷ç ç- = - = ê÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø ê

- = - +êêë

( )

7 273 2

36 312 .11 11 2

3 212 36 3

kxx k

kk

x k x

p ppp

p p pp

ééêê = += +êê

Îêêêê

= + = +êêê êë ë


Trang 61

TH1. Với min

Cho

max

7 70 0

7 2 24 36 .7 1736 3

0 124 36

x k k xk

x

x k k x

pp p

p

éê > >- = =ê

= + ¾¾¾êê

< <- =- =-êêë

TH2. Với min

Cho

max

11 110 0

11 2 24 36 .11 1336 3

0 124 36

x k k xk

x

x k k x

pp p

p

éê > >- = =ê

= + ¾¾¾êê

< <- =- =-êêë

So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là 13

36x

p=- và nghiệm dương nhỏ nhất

là 7

36x

p= . Khi đó tổng hai nghiệm này bằng 13 7

36 36 6

p p p- + =- .

Câu 26: Tổng các nghiệm của phương trình ( )0tan 2 15 1x - = trên khoảng ( )0 090 ;90- bằng:

A. 00 . B. 030 .- C. 030 . D. 060 .-

Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) ( )0 0 0 0 0 0tan 2 15 1 2 15 45 180 30 90 .x x k x k k- = - = + = + Î

Do ( )0 0 0 0 0 0 4 290 ;90 90 30 90 90

3 3x k kÎ - ¾¾- < + < - < <

00 0 0

0

1 6060 30 30 .

0 30k k x

k xÎ

é =- =-ê¾¾¾ ¾¾- + =-ê = =êë

Câu 27: Giải phương trình ( )cot 3 1 3.x - =-

A. ( )1 5 .

3 18 3x k k

p p= + + Î B. ( )1

.3 18 3

x k kp p

= + + Î

C. ( )5 .

18 3x k k

p p= + Î D. ( )1

.3 6

x k kp

p= - + Î

Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) ( )cot 3 1 3 cot 3 1 cot6

x xpæ ö÷ç- =- - = - ÷ç ÷çè ø

( ) 11 1 53 1 .

6 3 18 3 3 18kx k x k k x

p p p pp = - =- + = - + Î ¾¾ = +

Câu 28: Số nghiệm của phương trình 3tan tan

11x

p= trên khoảng ;2

4

pp

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø là?

A. 1 B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn B


Trang 62

Ta có ( )3 3tan tan .

11 11x x k k

p pp= = + Î

Do { }CASIOxap xi

3;2 2 0, 027 1,72 0;1 .

4 4 11kx k k k

p p pp p p Îæ ö÷çÎ < + < ¾¾¾- < < ¾¾¾ Î÷ç ÷çè ø

Câu 29: Tổng các nghiệm của phương trình tan 5 tan 0x x- = trên nửa khoảng [ )0;p bằng:

A. p . B. 3

2

p . C. 2p . D. 5

2

p .

Lời giải

Chọn B

Ta có ( )tan 5 tan 0 tan 5 tan 5 .4

kx x x x x x k x k

pp- = = = + = Î

Vì [ )0;x pÎ , suy ra { }0 0 4 0;1;2;34

kkk k

pp Î£ < £ < ¾¾¾ = .

Suy ra các nghiệm của phương trình trên [ )0;p là 30; ; ; .

4 2 4

p p pì üï ïï ïí ýï ïï ïî þ

Suy ra 3 30 .

4 2 4 2

p p p p+ + + =

Câu 30: Giải phương trình tan 3 .cot 2 1.x x =

A. ( ) .2

x k kp

= Î B. ( ).4 2

x k kp p

=- + Î

C. ( ) .x k kp= Î D. Vô nghiệm.

Lời giải

Chọn D

Điều kiện: ( )cos3 0 6 3 .sin 2 0

2

x kx

kx

x k

p p

p

ìïï ¹ +ïì ¹ï ïï ï Îí íï ï¹ïî ï ¹ïïïî

Phương trình ( )1tan 3 tan 3 tan 2 3 2 .

cot 2x x x x x k x k k

xp p = = = + = Î

Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x kp= không thỏa mãn .2

x kp

¹

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 31: Giải phương trình cos 2 tan 0.x x =

A. ( ) .2

x k kp

= Î B. ( ).2x k

kx k

pp

p

éê = +ê Îê

=êë

C. ( ).4 2x k

kx k

p p

p

éê = +ê Îê

=êë

D.

( ) .2

x k kp

p= + Î


Trang 63

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: ( )cos 0 .2

x x k kp

p¹ ¹ + Î

Phương trình cos 2 0

cos 2 tan 0tan 0

xx x

x

é =ê= ê =ë

( )

( )( )

2.4 22

x kx kk

x kx k

p ppp

pp

ééê = +ê = + êê Îêêê ==êë ë

thoûa maõn

thoûa maõn

Câu 32: Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x m= có nghiệm.

A. 1.m £ B. 1.m ³- C. 1 1.m- £ £ D. 1.m £-

Lời giải

Chọn C

Với mọi ,x Î ta luôn có 1 sin 1x- £ £ .

Do đó, phương trình sin x m= có nghiệm khi và chỉ khi 1 1.m- £ £

Câu 33: Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 0x m- = vô nghiệm.

A. ( ) ( ); 1 1; .m Î -¥ - È +¥ B. ( )1; .m Î +¥

C. [ ]1;1 .m Î - D. ( ); 1 .m Î -¥ -

Lời giải

Chọn A

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x a= .

Phương trình có nghiệm khi 1a £ .

Phương trình vô nghiệm khi 1a > .

Phương trình cos 0 cos .x m x m- = =

Do đó, phương trình cos x m= vô nghiệm 1

1 .1

mm

m

é <-ê > ê >ë

Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 1x m= + có nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải

Chọn C

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x a= .

Phương trình có nghiệm khi 1a £ .


Trang 64

Phương trình vô nghiệm khi 1a > .

Do đó, phương trình cos 1x m= + có nghiệm khi và chỉ khi 1 1m + £

{ }1 1 1 2 0 2; 1;0mm m mÎ- £ + £ - £ £ ¾¾¾ Î - - .

Câu 35: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

cos 2 23

x mpæ ö÷ç - - =÷ç ÷çè ø

có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong .S

A. 6.T = B. 3.T = C. 2.T =- D. 6.T =-

Lời giải

Chọn D

Phương trình cos 2 2 cos 2 2.3 3

x m x mp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- - = - = +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Phương trình có nghiệm 1 2 1 3 1m m- £ + £ - £ £-

{ } ( ) ( ) ( )3; 2; 1 3 2 1 6.m S TÎ¾¾¾ = - - - ¾¾ = - + - + - =-


Trang 65

BÀI 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

A. KIẾN THỨC LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

+ = 0at b

trong đó , a b là các hằng số ( )0a ¹ và t là một hàm số lượng giác.

Cách giải. Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a , ta đưa về phương trình lượng giác cơ

bản.

2) Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng

sin cosa x b x c+ =

Cách giải. Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2 .a b c+ ³

Chia hai vế phương trình cho 2 2a b+ , ta đựợc

2 2 2 2 2 2sin cos .

a b cx x

a b a b a b+ =

+ + +

Do 2 2

2 2 2 21

a b

a b a b

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø+ + nên đặt

2 2 2 2cos sin .

a b

a b a ba a= ¾¾ =

+ +

Khi đó phương trình trở thành

( )2 2 2 2

cos sin sin cos sin .c c

x x xa b a b

a a a+ = + =+ +

3) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

2 0at bt c+ + =

trong đó , , a b c là các hằng số ( )0a ¹ và t là một hàm số lượng giác.

Cách giải. Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

4) Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x

Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x là phương trình có dạng

2 2sin sin cos cos 0a x b x x c x+ + =

Cách giải.

● Kiểm tra cos 0x = có là nghiệm của phương trình.

● Khi cos 0x ¹ , chia hai vế phương trình cho 2cos x ta thu được phương trình


Trang 66

2tan tan 0.a x b x c+ + =

Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết cách giải.

Đặc biệt. Phương trình dạng 2 2sin sin cos cosa x b x x c x d+ + = ta làm như sau:

Phương trình 2 2sin sin cos cos .1a x b x x c x d + + =

( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2

sin sin cos cos sin cos

sin sin cos cos 0.

a x b x x c x d x x

a d x b x x c d x

+ + = +

- + + - =

5) Phương trình chứa sin cosx x và sin .cosx x

Định nghĩa. Phương trình chứa sin cosx x và sin .cosx x

( ) sin cos 0sin cosa b x xx x c+ + =

Cách giải. Đặt sin cost x x= (điều kiện 2 2t- £ £ )

Biểu diễn sin .cosx x theo t ta được phương trình cơ bản.

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁO GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

1. Phương pháp

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Giải phương trình 2 cos 3 0x - = .

Lời giải

Ta có ( )2

62 cos 3 0 cos cos .6

26

x kx x k

x k

pp

pp

p

éê = +ê

- = = Îêê

=- +êêë

Ví dụ 2: Giải phương trình 2sin 1 0x

Lời giải

Ta có: 2

1 62sin 1 0 sin sin sin52 6

26

x kx x x k

x k

Ví dụ 3: Giải phương trình tan 2 3 03

xpæ ö÷ç - + =÷ç ÷çè ø

Lời giải

Ta có tan 2 3 0 tan 2 3 tan 2 tan3 3 3 3

x x xp p p pæ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- + = - =- - = -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø

( )2 2 .3 3 2

kx k x k x k

p p pp p - =- + = = Î


Trang 67

Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C,D.

Cách trắc nghiệm. Ta có 2

2 4

kx k

p p= = ¾¾ có 4 vị trí biểu diễn.

Ví dụ 4: Hỏi trên đoạn [ ]0;2018p , phương trình 3 cot 3 0x - = có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải

Ta có ( )cot 3 cot cot .6 6

x x x k kp p

p= = = + Î

Theo giả thiết, ta có xap xi 10 2018 2017,833

6 6k k

pp p£ + £ ¾¾¾- £ £

{ }3 0;1;...;2017k kÎ¾¾¾ Î . Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018

nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 1: Phương trình 2sin 1 0x có nghiệm là:

A. 2

67

26

x k

x k

B. 2

67

26

x k

x k

C. 2

65

26

x k

x k

D. 67

6

x k

x k

Lời giải

Chọn B

Ta có: 1

2sin 1 0 sin sin2 6

x x

2

67

26

x kk

x k

sin

O

cosC

D

A

B


Trang 68

Câu 2: Giải phương trình 2cos 1 sin 2 02 2

x x

A. 22 ,

3x k k

B. 2 ,3

x k k

C. 4 ,3

x k k D. 2

4 ,3

x k k

Lời giải

Chọn D

Vì 1 sin 1, sin 2 02 2

x xx

Vậy phương trình tương đương

12cos 1 0 cos 2

2 2 2 2 32

4 ,3

x x xk

x k k

Câu 3: Phương trình 2sin 3 0x có tập nghiệm là:

A. 2 ,6

k k

. B. 2 ,

3k k

.

C. 5

2 , 2 ,6 6

k k k

. D. 2

2 , 2 ,3 3

k k k

.

Lời giải

2

3 32sin 3 0 sin .22

23

x kx x k

x k

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 2

2 , 2 ,3 3

S k k k

Câu 4: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 sin 4 1 0.3

xpæ ö÷ç - - =÷ç ÷çè ø

A. .4

xp

= B. 7.

24x

p= C. .

8x

p= D. .

12x

p=

Lời giải

Chọn C

Ta có 12 sin 4 1 0 sin 4 sin 4 sin

3 3 2 3 6x x x

p p p pæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç- - = - = - =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø


Trang 69

( )4 2 4 2

3 6 2 8 2 .7 7

4 24 263 6 24 2

kx k x k x

kk

x kx k x

p p p p pp p

pp p p ppp p

é é éê ê ê- = + = + = +ê ê ê

Îê ê êê ê ê

= +- = - + = +ê ê êê êê ë ëë

TH1. Với Cho 0min

10 0 .

8 2 8 2 4 8

k kx k k x

p p p p p>= + ¾¾¾ + > >- = =

TH2. Với Cho 0min

7 7 7 70 0 .

24 2 24 2 12 24

k kx k k x

p p p p p>= + ¾¾¾ + > >- = =

So sánh hai nghiệm ta được 8

xp

= là nghiệm dương nhỏ nhất.

Câu 5: Giải phương trình 24 sin 3x = .

A. ( )2

3 , .

23

x kk

x k

pp

pp

éê = +ê

Îêê

=- +êêë

B. ( )2

3 , .2

23

x kk

x k

pp

pp

éê = +ê

Îêê

= +êêë

C. ( ) , .3 33

kx

kk

p pìïï = +ï Îíïï ¹ïî

D. ( ), .33

kx

kk

pìïï =ï Îíïï ¹ïî

Lời giải

Chọn D

Ta có 2 2 3 34 sin 3 sin sin

4 2x x x= = = .

Với ( )2

3 3sin sin sin .22 3

23

x kx x k

x k

pp

pp

p

éê = +ê

= = Îêê

= +êêë

Với ( )2

3 3sin sin sin .42 3

23

x kx x k

x k

pp

pp

p

éê =- +æ ö ê÷ç=- = - Îê÷ç ÷çè ø ê

= +êêë

Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác (hình vẽ).

sin

O

cos

3

p2

3

p

3

p-2

3

p-

B A


Trang 70

Nếu tính luôn hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm

này thành một họ nghiệm, đó là 3

x kp

= .

Suy ra nghiệm của phương trình ( )3 , .33

3

kx kx

kkk l

p p

pp

ìïï ì= ïï ï =ï ïï Îí íï ïï ï ¹¹ï ïîïïî

Câu 6: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cos 1 0x m+ - = có

nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải

Chọn C

Ta có 13 cos 1 0 cos

3

mx m x

-+ - = = .

Phương trình có nghiệm { }11 1 1 3 1 3 0;1;2 .

3mm

m mÎ-- £ £ - £ £ + ¾¾¾ Î

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m .

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ]2108;2018- để phương trình

cos 1 0m x + = có nghiệm?

A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 4038.

Lời giải

Chọn A

Ta có 1cos 1 0 cos .m x x

m+ = =-

Phương trình có nghiệm [ ] { }2018;2018

11 1 1 1;2;3;...;2018m

mm m

mÎ

Î-- £- £ ³ ¾¾¾¾¾ Î .

Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của tham số m .

Câu 8: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình ( )2 sin 2 1m x m- = + nhận 12

xp

= làm

nghiệm.

A. 2.m ¹ B. ( )2 3 1

.3 2

m+

=-

C. 4.m =- D. 1.m =-

Lời giải

Chọn C

Vì 12

xp

= là một nghiệm của phương trình ( )2 sin 2 1m x m- = + nên ta có:

( ) 2 22 .sin 1 1 2 2 2 4

12 2

mm m m m m m

p -- = + = + - = + =- .


Trang 71

Vậy 4m =- là giá trị cần tìm.

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( )1 sin 2 0m x m+ + - = có nghiệm.

A. 1.m £- B. 1.

2m ³ C. 1

1 .2

m- < £ D. 1.m >-

Lời giải

Chọn B

Phương trình ( ) ( ) 21 sin 2 0 1 sin 2 sin .

1

mm x m m x m x

m

-+ + - = + = - =

+

Để phương trình có nghiệm 21 1

1

m

m

-- £ £

+

12 2 10 1 0

2 11 112 3 2

1 0 01 1 1

m mm

m mm

mm

m m m

ìéì ì ï- -ï ï ïï ï ê ³£ + ³ ïï ï ïêï ï+ + ïï ï ê ³í í í <-êï ï ï- ëï ï ï- £ - £ï ï ïï ï ï+ + >-ï ï ïî î î

là giá trị cần tìm.

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( )2 sin 2 1m x m- = + vô nghiệm.

A. 1;2 .

2m

é ùê úÎê úë û

B. ( )1; 2; .2

mæ ö÷çÎ -¥ È +¥÷ç ÷çè ø

C. ( )1;2 2; .

2m

æ ö÷çÎ È +¥÷ç ÷çè ø D. 1

; .2

mæ ö÷çÎ +¥÷ç ÷çè ø

Lời giải

Chọn D

TH1. Với 2m = , phương trình ( )2 sin 2 1 0 3m x m- = + = : vô lý.

Suy ra 2m = thì phương trình đã cho vô nghiệm.

TH2. Với 2m ¹ , phương trình ( ) 12 sin 2 1 sin 2 .

2

mm x m x

m

+- = + =

-

Để phương trình ( )* vô nghiệm [ ]

121

1 21;1 .112 2

1 22

mm

m mmm mm

é + éê >> ê+ ê - ê Ï - êêê +- < <ê<-ê ëê -ë

Kết hợp hai trường hợp, ta được 1

2m > là giá trị cần tìm.

Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

1. Phương pháp

Cách 1

Chia hai vế phương trình cho 2 2a b ta được:


Trang 72

(1) 2 2 2 2 2 2

a b csin x cosxa b a b a b

Đặt: 2 2 2 2

a bsin , cos 0, 2a b a b

phương trình trở thành:

2 2 2 2

c csin .sin x cos .cosx cos(x ) cosa b a b

x k2 (k Z)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

2 2 22 2

c 1 a b c .a b

Cách 2

Xét xx k2 k2 2

có là nghiệm hay không?

Xét xx k2 cos 0.2

Đặt: 2

2 2x 2t 1 tt tan , thay sin x , cosx ,2 1 t 1 t

ta được phương trình bậc hai theo t:

2(b c)t 2at c b 0 (3)

Vì x k2 b c 0, nên (3) có nghiệm khi:

2 2 2 2 2 2' a (c b ) 0 a b c .

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: 0xtan t .2

Ghi chú

1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2a b c .

3/ Bất đẳng thức B.C.S:

2 2 2 2 2 2y a.sin x b.cosx a b . sin x cos x a b

2 2 2 2 sin x cosx amin y a b vaø max y a b tan xa b b



a)sinx 2cosx 5; b)sinx 3cosx 1; c)5cosx 3sinx 4 2.

Giải


Trang 73

a) Ta thấy 2 2 2b 5 c 25a phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Chia hai vế của (1) cho 2 2a b 2 , ta được :

1 3 1 1sinx cosx sinxcos cosxsin

2 2 2 3 3 2

x k2 x k23 6 2

sin x sin ,k3 6

x k27

x 23 6

k6

Vậy nghiệm của phương trình (1) là 7

x ;x k2 ,6

k2 k2

b) Chia hai vế của (1) cho 2 2a 3b 4 , ta được :

5 3 4cosx sinx *

34 34 17

Đặt 5 3

cos ,sin , 0;234 34

Lúc đó : 4 4pt cos x x arccos k2

17,k

17

Ví dụ 2. Tìm nghiệm của phương trình cos7x 3sin7x 2 * thỏa mãn điều kiện 2 6

x .5 7

Giải

Ta có :

1 3 2* cos7x sin7x sin cos7x cos sin7x sin

2 2 2 6 6 4

sin 7x sin sin 7x sin6 4 6 4

5 k27x k2 x

6 4 84 7k,m

11 m237x m2 x

846 4 7

Do

2 5 k2 6 2 5 2k 6 5

5 84 7 7 5 84 7 7 84

k k2 6x

5 7 2 11 m2 6 2 11 2m 6 11

5 84 7 7 5 84 7 7 84

m m


Trang 74

7 5 5k 3

5 24 24k 2

km 1

7 11 11m 3 m 2

5 24 24

m

Vậy nghiệm của phương trình (*) là

52 35 59

x ;x ;x .84 84 84

Ví dụ 3. Giải phương trình sin2x 1 6sinx cos2x .

Định hướng: Chuyển cos2x sang vế trái, dùng công thức nhân đôi 21 cos2x 2sin x . Lúc đó

phương trình đưa về phương trình tích với sự xuất hiện của nhân tử chung là s inx

Giải

Ta có:

π

2

sin2x 1 6sin x cos2x sin2x 6sin x 1 cos2x 0

2sin x cosx 3 2sin x 0 2sin x cosx 3 sin x 0

sin x 0x k ,k

sin x cosx 3 (VN)

Vậy nghiệm của phương trình là πx k , k .

Ví dụ 4. Giải phương trình: 2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4 .

Định hướng: Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái, nhóm

2sin2x 2 cosx 2 cosx 2sin x 1 , sử dụng công thức 2cos2x 1 2sin x để nhóm

2 22sin x 1 7sinx 4 2sin x 7sinx 3 sinx 3 2sinx 1

Chú ý rằng: nếu 21 2f x ax bx c a x x x x với 1 2x ,x là nghiệm của phương trình

f x 0

Giải

Ta có:

π

π

ππ

2

2

2 2 2

PT 4sin x.cosx 2cosx 2sin x 1 7sin x 4 0

2cosx 2sin x 1 2sin x 7sin x 3 0

2cosx 2sin x 1 sin x 3 2sin x 1 0

2sin x 1 sin x 2cosx 3 0

1 x k2sin x 6 (k )25x k2sin x 2cosx 3 0 (VN vì 1 2 3 )6

Vậy nghiệm của phương trinh là: π ππ π

5x k2 , x k2 , k .6 6


Trang 75

Ví dụ 5. Giải phương trình: sinx 2sinx 1 cosx 2cosx 3 .

Định hướng: Khai triển cả hai vế phương trình ta thấy vế trái xuất hiện 22sin x và vế phải xuất

hiện 22cos x , như vậy nếu đặt 2 ra ngoài ta se được công thức nhân hai: 2 22 cos x sin x 2cos2x .

Chuyển vế, phương trình đã cho trở thành:

sinx 3 cosx 2cos2x .

Giải

Ta có:

π π

π π π ππ

π π ππ π

2 2PT sinx 3 cosx 2 cos x sin x sin x 3 cosx 2cos2x

1 3sin x cosx cos2x sin x sin 2x2 2 3 2

5 2x 2x k2 x k3 2 18 3 (k )

5x 2x k2 x k23 2 6

Vậy phương trình có nghiệm là: π π π

π5 2 5x k ; x k2 , k18 3 6

.

Ví dụ 6. Giải phương trình : cos7xcos5x 3sin2x 1 sin7xsin5x *

Định hướng : Ở cả hai vế phương trình đều xuất hiện 7x,5x . Chuyển vế ta được :

cos7xcos5x sin7xsin5x cos 7x 5x cos2x

Giải

Ta có :

* cos7xcos5x sin7xsin5x 3sin2x 1

cos 7x 5x 3sin2x 1 cos2x 3sin2x 1 1

Chia hai vế của phương trình (1) cho 221 3 2

Ta được: 1 3 1 1

cos2x sin2x cos cos2x sin sin2x2 2 2 3 3 2

x k

cos 2x cos k23 3 3 x k

3

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x kk ,x k ,3

Ví dụ 7. Xác định m để phương trình 2 sin x m cosx m 2 * có nghiệm.


Trang 76

Định hướng : Phương trình asin x bcosx c có nghiệm khi 2 2 2a b c .

Giải

Ta có :

(*) có nghiệm 22 2 2 22 m m 2 2 m 2m 2m 2 m 0

Vậy m 0 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

2

a)sin x m cosx 1 m 1

3b) 2m 1 sin x 2m 1 cosx 2m 2

2

Giải

a) Cách 1. Thay x

k hay x,k k2 ,k2 2

vào (1). Ta có :

VT 1 0 m m, nên (1) không có nghiệm k2 ,x k

Đặt x

t tan2

. Ta có (1) trở thành: 2

2 2

2t 1 tm 1 m

1 t 1 t

2 2 2 21 t m m2t m mt tt 2t 1 *2m 0

2 2m1 1 m

Nếu m 0 thì 0 * vô nghiệm 1 vô nghiệm

Nếu m 0 thì *0 có nghiệm kép 1 2

b 't t 1

a

1 có nghiệm x

k2 4 hay x k2

2,k

Nếu m 0 thì *0 có nghiệm t 1 2m hoặc t 1 2m

1 có nghiệm là x 2arctan ,1 2m 2 kk

Tóm lại :

Nếu m 0 thì (1) vô nghiệm

Nếu m 0 thì có nghiệm x k22

,k

Nếu m 0 thì (1) có nghiệm là , ,kx 2arctan 1 2m k2 x 2arctan 1 2m k2

Cách 2

(1) có dạng asinX bcosX c với a 1,b m,c 1,X x

Ta có :


Trang 77

22 2 2 1 2b c 1 mA a 1 m 2m

Nếu m 0 thì 2 2 20 cA a b (1) vô nghiệm

Nếu m 0 : 1 sin x 1 x k2 .2

k

Nếu m 0 thì 2 2 2b cA 0 a 1 có nghiệm

Chia hai vế của phương trình (1) cho 2m 1

Ta được: 2 2 21 1

1 m 1 msin x cosx *

m 1m m

Đặt 2 2 2

m 1 1 mcos , sin , cos .

m1 1 1m m

* cos x cos x k2 hoặc x k2 ,k

b) (1) có dạng asinX bcosX c với 2 3a 2m,b 2m 1,c 2m ,X x

2 . Ta có

2 22 2 2a 2m 1 2mb 8m 21

22 2 4 24m 6

3 9c 2m

2 4m

(2) có nghiệm 2

2 2 2 4 2 21 1a c 4m 0 2m 0

4 2b 2m

2 21 1 12m 0 m m

2 4 2

Với 1m : 2 sin x 1 x k2 ,

2 2k

Với 1m : 2 cosx 1 x k2

2.k


Câu 1: Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos 2 sin 2 1x x- = . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. .4

SpÎ B. .

2S

pÎ C. 3

.4

SpÎ D. 5

.4

SpÎ

Lời giải

Chọn C

Phương trình 12 cos 2 1 cos 2

4 4 2x x

p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç + = + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø


Trang 78

2 24 4cos 2 cos , .

4 42 2 4

4 4

x kx kx k

x kx k

p p ppp p

pp p pp

é é =ê + = +æ ö êê÷ç ê + = Î÷ êç ÷ç êè ø ê =- +ê+ =- +ê ëêë

Xét nghiệm 4

x kp

p=- + , với 1k = ta được 3.

4x

p=

Câu 2: Số nghiệm của phương trình sin 2 3 cos 2 3x x+ = trên khoảng 0;2

pæ ö÷ç ÷ç ÷çè ø là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn A

Phương trình 1 3 3 3sin 2 cos 2 sin 2

2 2 2 3 2x x x

pæ ö÷ç + = + =÷ç ÷çè ø

2 23 3sin 2 sin , .

3 32 2 6

3 3

x kx kx k

x kx k

p p ppp p

pp p pp p

éé =ê + = +æ ö êê÷ç ê + = Îê÷ç ÷ç êè ø ê = +ê+ = - +ê ëêë

10 0

2 2kk k

pp Î< < < < ¾¾¾ không có giá trị k thỏa mãn.

1 10 0 .

6 2 6 3 6kk k k x

p p pp Î< + < - < < ¾¾¾ = =

Câu 3: Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2 2cos sin 2 2 sinx x x- = + trên khoảng ( )0;2 .p

A. 7.

8T

p= B. 21

.8

Tp

= C. 11.

4T

p= D. 3

.4

Tp

=

Lời giải

Chọn C

Phương trình 2 2cos sin sin 2 2 cos 2 sin 2 2x x x x x - - = - =

( )cos 2 1 2 2 .4 4 8

x x k x k kp p p

p pæ ö÷ç + = + = =- + Î÷ç ÷çè ø

Do

71

1 17 80 2 0 2158 8 8

28

k

k xx k k

k x

pp

p p pp

Î

éê = =ê

< < ¾¾ <- + < < < ¾¾¾êê

= =êêë

7 15 11.

8 8 4T

p pp¾¾ = + =

Câu 4: Số nghiệm của phương trình sin 5 3 cos5 2 sin 7x x x+ = trên khoảng 0;2

pæ ö÷ç ÷ç ÷çè ø là?

A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Lời giải


Trang 79

Chọn D

Phương trình 1 3sin 5 cos5 sin 7 sin 5 sin 7

2 2 3x x x x x

pæ ö÷ç + = + =÷ç ÷çè ø

( )7 5 2

3 6sin 7 sin 5 .3

7 5 23 18 6

x x k x kx x k

kx x k x

p pp pp

p p pp p

é éê = + + ê = +êæ ö ê÷ç ê = + Îê÷ç ÷ç æ öêè ø ê÷çê = - + + = +÷ êç ÷çê è ø êëë

1 10 0 .

6 2 6 3 6kk k k x

p p pp Î< + < - < < ¾¾¾ = =

018

1 8 20 1 .

18 6 2 3 3 97

218

k

k x

k k k x

k x

p

p p p p

p

Î

éê = =êêê

< + < - < < ¾¾¾ = =êêêê = =êêë

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.

Câu 5: Giải phương trình 3 cos sin 2 sin 2 .2 2

x x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç+ + - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

A.

52

6 , .2

18 3

x kk

x k

pp

p p

éê = +ê

Îêê

= +êêë

B.

72

6 , .2

18 3

x kk

x k

pp

p p

éê = +ê

Îêê

=- +êêë

C.

52

6 , .7

26

x kk

x k

pp

pp

éê = +ê

Îêê

= +êêë

D.

2

18 3 , .2

18 3

x kk

x k

p p

p p

éê = +ê

Îêê

=- +êêë

Lời giải

Chọn B

Ta có cos sin2

x xpæ ö÷ç + =-÷ç ÷çè ø

và sin cos2

x xpæ ö÷ç - =-÷ç ÷çè ø

.

Do đó phương trình 3 sin cos 2 sin 2 3 sin cos 2 sin 2x x x x x x- - = + =-

( )3 1sin cos sin 2 sin sin 2 sin sin 2

2 2 6 6x x x x x x x

p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç + =- + =- + = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( )

22 2

6 18 3 .5

2 2 26 6

x x k x kk

x x k x k

p p pp

p pp p p

é éê ê+ =- + =- +ê ê

Îê êê ê+ = + + =- -ê ê

ê êë ë

Xét nghiệm 1 ', '

5 72 '2

6 6k k

k kx k x k

p pp p=- -

Î Î=- - ¾¾¾¾ = + .

Vậy phương trình có nghiệm ( )2 7, ' 2 , ' .

18 3 6x k x k k k

p p pp=- + = + Î


Trang 80

Câu 6: Gọi 0x là nghiệm âm lớn nhất của sin 9 3 cos7 sin 7 3 cos 9x x x x+ = + . Mệnh đề nào sau đây

là đúng?

A. 0 ;0 .12

xpæ ö÷çÎ - ÷ç ÷çè ø

B. 0 ; .6 12

xp pé ù

ê úÎ - -ê úë û

C. 0 ; .3 6

xp pé ö÷êÎ - - ÷÷ê øë

D. 0 ; .2 3

xp pé ö÷êÎ - - ÷÷ê øë

Lời giải

Chọn A

Phương trình sin 9 3 cos 9 sin 7 3 cos7x x x x - = -

9 7 23 3

sin 9 sin 7 53 3

9 7 2 48 83 3

x x k x kx x k

xx x k

p pp p

p pp pp p

p p

éê - = - + é =êæ ö æ ö ê÷ ÷ç ç ê ê - = - ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç æ öê êè ø è ø = +÷çê - = - - + ê÷ç ë÷çê è øë

maxCho x 0

max

0 0 1.5 5

0 148 8 6 48

k

k

k k k x

kk k x

p pp p p

Î

<

Î

é < < ¾¾¾ =- =-êê¾¾¾¾ê + < <- ¾¾¾ =- =-êë

So sánh hai nghiệm ta được

nghiệm âm lớn nhất của phương trình là ;0 .48 12

xp pæ ö÷ç=- Î - ÷ç ÷çè ø

Câu 7: Biến đổi phương trình ( )cos3 sin 3 cos sin 3x x x x- = - về dạng ( ) ( )sin sinax b cx d+ = + với b ,

d thuộc khoảng ;2 2

p pæ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø. Tính b d+ .

A. .12

b dp

+ = B. .4

b dp

+ = C. .3

b dp

+ =- D. .2

b dp

+ =

Lời giải

Chọn D

Phương trình 3 sin 3 cos3 sin 3 cosx x x x + = +

3 1 1 3sin 3 cos3 sin cos sin 3 sin .

2 2 2 2 6 3x x x x x x

p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç + = + + = +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Suy ra .6 3 2

b dp p p

+ = + =

Câu 8: Giải phương trình cos 3 sin0.

1sin

2

x x

x

-=

-

A. , .6

x k kp

p= + Î B. 2 , .6

x k kp

p= + Î

C. 72 , .

6x k k

pp= + Î D. 7

, .6

x k kp

p= + Î

Lời giải

Chọn C


Trang 81

Điều kiện ( )2

1 1 6sin 0 sin sin sin .52 2 6

26

x kx x x k

x k

pp

pp

p

ìïï ¹ +ïïï- ¹ ¹ ¹ Îíïï ¹ +ïïïî

Điều kiện bài toán tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường tròn lượng giác (Hình 1).

Phương trình cos 3 sin 0 cos 3 sinx x x x - = =

( )cot 3 cot cot .6 6

x x x l lp p

p = = = + Î


x lp

p= + trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2.

Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm 26

x kp

p= + . Do đó phương trình có nghiệm

( )72 .

6x l l

pp= + Î

Câu 9: Hàm số 2 sin 2 cos 2

sin 2 cos 2 3

x xy

x x

+=

- + có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) ( )2 sin 2 cos 22 sin 2 1 cos 2 3 .

sin 2 cos 2 3

x xy y x y x y

x x

+= - - + =-

- +

Điều kiện để phương trình có nghiệm ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 3 7 2 5 0y y y y y - + + ³ - + - £

O

sin

cos6

p5

6

p

Hình1

O

sin

cos6

p

Hình2


Trang 82

{ }51 1;0

7yy yÎ- £ £ ¾¾¾ Î - nên có 2 giá trị nguyên.

Câu 10: Gọi 0x là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2 3 sin 2 3 sin cos 2.x x x x+ + - = Mệnh đề nào

sau đây là đúng?

A. 0 0; .12

xpæ ö÷çÎ ÷ç ÷çè ø

B. 0 ; .12 6

xp pé ùê úÎê úë û

C. 0 ; .6 3

xp pæ ùç úÎçç úè û

D. 0 ; .3 2

xp pæ ùç úÎçç úè û

Lời giải

Chọn B

Phương trình 1 3 3 1cos 2 sin 2 sin cos 1

2 2 2 2x x x x + + - =

sin 2 sin 16 6

x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç + + - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

.

Đặt 2 2 2 2 .6 6 3 6 2

t x x t x t x tp p p p p

= - ¾¾ = + = + + = +

Phương trình trở thành sin 2 sin 1 cos2 sin 12

t t t tpæ ö÷ç + + = + =÷ç ÷çè ø

( )22 sin sin 0 sin 2 sin 1 0.t t t t - = - =

min

1sin 0 0 0 .

6 6 6kt t k x k k k x

p pp p Î= = ¾¾ = + > >- ¾¾¾ = =

min

min

12 2 0 0 .

1 6 3 6 3sin5 12

2 2 0 0 .6 2

k

k

t k x k k k xt

t k x k k k x

p p pp p

pp p p p

Î

Î

éê = + ¾¾ = + > >- ¾¾¾ = =ê

= êê= + ¾¾ = + > >- ¾¾¾ = =ê

êë

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là ; .6 12 6

xp p pé ù

ê ú= Îê úë û


sin 3 cos 23 3

x x mp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- - - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

vô nghiệm.

A. 21. B. 20. C. 18. D. 9.

Lời giải

Chọn C

Phương trình vô nghiệm ( ) ( )2 22 2 1

1 3 2 4 4 01

mm m

m

é <-ê + - < - > ê >ë

[ ] { }10;1010; 9; 8;...; 2;2;...;8;9;10m

mmÎ

Î-¾¾¾¾ Î - - - - ¾¾ có 18 giá trị.

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( )2cos sin 2 1x x m+ = + vô

nghiệm.


Trang 83

A. ( ) ( ); 1 1; .m Î -¥ - È +¥ B. [ ]1;1 .m Î - C. ( );m Î -¥ +¥ D.

( ) ( );0 0; .m Î -¥ È +¥

Lời giải

Chọn D

Phương trình vô nghiệm ( )2

2 2 21 1 2 1mé ù + < +ê úë û

( )4 2 2 2 22 0 2 0 0 0.m m m m m m + > + > > ¹


( )1 sin cos 1m x m x m+ - = - có nghiệm.

A. 21. B. 20. C. 18. D. 11.

Lời giải

Chọn C

Phương trình có nghiệm ( ) ( )2 22 2 01 1 4 0

4

mm m m m m

m

é ³ê + + ³ - + ³ ê £-ë

[ ] { }10;1010; 9; 8;...; 4;0;1;2;...;8;9;10m

mmÎ

Î-¾¾¾¾ Î - - - - ¾¾ có 18 giá trị.


( ) 21 sin sin 2 cos 2 0m x x x+ - + = có nghiệm.

A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020.

Lời giải

Chọn D

Phương trình ( )1 cos 21 sin 2 cos 2 0

2

xm x x

- + - + =

( )2 sin 2 1 cos 2 1.x m x m- + - =- -

Phương trình có nghiệm ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 4 4 1m m m m - + - ³ - - £ £

[ ] { }2018;20182018; 2017;...;0;1m

mmÎ

Î-¾¾¾¾¾ Î - - ¾¾ có 2020 giá trị.

Dạng 3. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1. Phương pháp

Phương trình bậc hai đối với phương trình lương giác là phương trình có một trong 4 dạng sau:

1. 2asin x bsin x c 0 . Cách giải: t sin x, 1 t 1

2. 2acos x bcosx c 0 . Cách giải: t cosx, 1 t 1


Trang 84

3. 2a tan x b tan x c 0 . Cách giải:

t tan x, x k ,k2

4. 2acot x bcot x c 0 . Cách giải: t cot x, x k ,k


Ví dụ 1. Giải các phương trình sau

a) 22sin x 5cosx 1 0 ; b) 2tan x 1 3 tanx 3 0

c) 2 2tan x cot x 2 ; d) 2cot 2x – 4cot2x 3 0


a)

2 2 22sin x 5cosx 1 0 2 1 cos x 5cosx 1 0 2cos x 5cosx 3 0

1cosx 1 2

cosx x k2 ,k22 3

cosx 3

b) Điều kiện: cosx 0

2

x ktanx 3 3tan x 1 3 tanx 3 0 ,ktanx 1

x k4

a) Điều kiện: sin2x 0

Đặt 2t tan x , phương trình đã cho trở thành

2 21t 2 0 t 2t 1 0 t 1 tan x 1 x k ,k

t 4

b) Điều kiện: s inx 0

2

1 kx arc cot 3cot 2x 3 2 2cot 2x – 4cot2x 3 0 ,k

kcot 2x 1x

8 2

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau

a)cos2x 9cosx 5 0 ; b) 2

13 3 tanx 3 3 0

cos x


a) 2

1cosx 2

cos2x 9cosx 5 0 2cos x 9cosx 4 0 x k2 ,k23

cosx 4


Trang 85

b) Điều kiện: cosx 0

2

2

13 3 tanx 1 3 0 tan x 3 3 tanx 3 2 0

cos x

x ktanx 14 ,k

tanx 3 2 x arctan 3 2 k

Ví dụ 3. Xác định m để phương trình 2mcoscos 6mx x 9 0 * có nghiệm x ;2 2


Đặt t cosx. Với x 0 t 12 2

Ta có 2 2m 6m 9t t 2m 30 hoặc t 3 1 (loại)

Phương trình (*) có nghiệm

3x ; 0 2m 3 1 m 2.

2 2 2

Ví dụ 4. Xác định m để phương trình 22cos x m 2 cosx m 0 * có đúng hai nghiệm x 0;2


Đặt t cosx, t 1. với x 0; t 0;12

Ta có:

2

t 1 0;1

2t m 2 t m 0 mt

2

Để (*) có đúng hai nghiệm x 0;2

thì

m0;1 m 0;2

2


Câu 1: Hỏi trên 0;2

pé ö÷ê ÷÷ê øë, phương trình 22 sin 3sin 1 0x x- + = có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn A

Phương trình 2

1sin

2 sin 3sin 1 0 2sin 1

xx x

x

éê =ê- + = ê

=êë


Trang 86

( )

26

sin sin 52 .6

6sin 1

22

x k

xx k k

xx k

pp

pp

p

pp

éê = +ê

é êê = êê = + Îêê êê = êë ê = +ê

êë

Theo giả thiết

1 10 2 0

6 2 12 6 65 5 1

0 0 2 .2 6 2 12 12

100 2

42 2

k

k

k

k k k x

x k k k

k kk

p p pp

p p pp

p pp

Î

Î

Î

é éê ê£ + < - < < ¾¾¾ = =ê êê êê ê

£ < £ + < - < <- ¾¾¾ ÎÆê êê êê êê ê- < < ¾¾¾ ÎÆ£ + <ê êê êë ë

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên 0;2

pé ö÷ê ÷÷ê øë.

Câu 2: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 22 cos 5cos 3 0x x+ + = trên đường tròn

lượng giác là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn A

Phương trình ( )

2

cos 12 cos 5cos 3 0 3

cos2

xx x

x

é =-êê + + = ê =-êë

loaïi

( )cos 1 2 .x x k kp p =- = + Î

Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

Câu 3: Cho phương trình 2cot 3 3cot 3 2 0.x x- + = Đặt = cot 3t x , ta được phương trình nào sau đây?

A. 2 3 2 0.t t- + = B. 23 9 2 0.t t- + = C. 2 9 2 0.t t- + = D. 2 6 2 0.t t- + =

Lời giải

Chọn A

Câu 4: Số nghiệm của phương trình ( )24 sin 2 2 1 2 sin 2 2 0x x- + + = trên ( )0;p là?

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.

Lời giải

Chọn B

Phương trình ( )2

2sin 2

24 sin 2 2 1 2 sin 2 2 0 .1

sin 22

xx x

x

éê =êê- + + = êê =êë


Trang 87

( )

( )

0;

0;

2 22 8 84sin 2 sin .

3 3 32 42 2

4 8 8

x k xx kx

x k x k x

p

p

p pppp

pp p p

p p

ééêê = + ¾¾¾ == +êê

= = êêêê

= + = + ¾¾¾ =êêê êë ë

( )

( )

0;

0;

2 21 6 12 12sin 2 sin .

5 5 52 62 2

6 12 12

x k x k xx

x k x k x

p

p

p p pp p

pp p p

p p

é éê ê= + = + ¾¾¾ =ê ê

= = ê êê ê

= + = + ¾¾¾ =ê êêê ëë

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn.

Câu 5: Số nghiệm của phương trình 2sin 2 cos2 1 0x x- + = trên đoạn [ ];4p p- là?

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải

Chọn C

Phương trình 2 2sin 2 cos 2 1 0 cos 2 cos 2 2 0x x x x- + = - - + =

( )cos 2 1

cos 2 1 2 2 , .cos 2 2

xx x k x k k

xp p

é =ê = = = Îê =-ë

loaïi

Do [ ] { };4 4 1 4 1;0;1;2;3;4 .kx k k kp p p p p ÎÎ - ¾¾- £ £ - £ £ ¾¾¾ Î -

Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn.

Câu 6: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 22 sin 3cos 04 4

x x- = trên đoạn [ ]0;8 .p

A. 0.T = B. 8 .T p= C. 16 .T p= D. 4 .T p=

Lời giải

Chọn B

Phương trình 2 22 sin 3cos 0 2 1 cos 3cos 04 4 4 4

x x x xæ ö÷ç- = - - =÷ç ÷çè ø

( )

2

1cos

14 22 cos 3cos 2 0 cos cos cos4 4 4 2 4 3

cos 24

xx x x x

x

péê =ê

- - + = = =êê

=-êêë

loaïi

[ ]

[ ]

0;8

0;8

4 42 8

4 204 3 3 3 8 .4 20 3 3

2 84 3 3 3

x

x

xk x k x

Tx

k x k x

p

p

p p pp p

p pp

p p pp p

Î

Î

é éê ê= + = + ¾¾¾¾ =ê ê

= + =ê êê ê

=- + =- + ¾¾¾¾ =ê êê êë ë

Câu 7: Số nghiệm của phương trình ( ) ( )2

13 1 cot 3 1 0

sinx

x- - - + = trên ( )0;p là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn B


Trang 88

Điều kiện: ( )sin 0 .x x k kp¹ ¹ Î

Phương trình ( ) ( ) ( ) ( )2 21 cot 3 1 cot 3 1 0 cot 3 1 cot 3 0x x x x + - - - + = - - - =

( ) ( )

( ) ( )

0;

0;

3cot cotcot 1 4 4 4 .

cot 3cot cot

6 66

x

x

x x k xx

x x k xx

p

p

p p pp

p pp p

Î

Î

é æ ö é÷çê = - ê =- + ¾¾¾ =÷çé ÷=- çê êè øê ê êê ê ê=êë ê = + ¾¾¾ =ê=ê êëë

thoûa maõn

thoûa maõn

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn.

Câu 8: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 cos 2 2 cos 2 0x x+ - = trên đoạn [ ]0;3p .

A. 17.

4T

p= B. 2 .T p= C. 4 .T p= D. 6 .T p=

Lời giải

Chọn A

Phương trình ( )22 cos 2 2 cos 2 0 2 2 cos 1 2 cos 2 0x x x x+ - = - + - =

( )

2

2cos

224 cos 2 cos 2 2 0 cos22 1

cos2

xx x x

x

éê =êê + - - = =ê +ê =-êë

loaïi

[ ]

[ ]

0;3

0;3

92 ;

9 7 174 4 4 .7 4 4 4 4

24 4

x

x

x k x xT

x k x

p

p

p p pp

p p p pp p

p

Î

Î

éê = + ¾¾¾¾ = =ê

¾¾ = + + =êê

=- + ¾¾¾¾ =êêë

Câu 9: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos 2 3sin 4 0x x+ + = trên đường tròn lượng

giác là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn A

Phương trình ( )2 21 2 sin 3sin 4 0 2 sin 3sin 5 0x x x x - + + = - + + =

( )( )

sin 1sin 1 2 .5

2sin2

xx x k k

x

pp

é =-êê =- =- + Îê =êë

loaïi

Suy ra có duy nhất 1 vị trí đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm.

Câu 10: Cho phương trình cos cos 1 02

xx + + = . Nếu đặt cos

2

xt = , ta được phương trình nào sau đây?

A. 22 0.t t+ = B. 22 1 0.t t- + + = C. 22 1 0.t t+ - = D. 22 0.t t- + =

Lời giải

Chọn A


Trang 89

Ta có 2cos 2 cos 1.2

xx = -

Do đó phương trình 2 22 cos 1 cos 1 0 2 cos cos 0.2 2 2 2

x x x xæ ö÷ç - + + = + =÷ç ÷çè ø

Đặt cos2

xt = , phương trình trở thành 22 0.t t+ =

Câu 11: Số nghiệm của phương trình 5cos 2 4 cos

3 6 2x x

p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç+ + - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø thuộc [ ]0;2p là?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn B

Ta có 2 2cos 2 1 2 sin 1 2 cos3 3 6

x x xp p pæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ = - + = - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

.

Do đó phương trình 2 32 cos 4 cos 0

6 6 2x x

p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- - + - - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( )

1cos 2

6 2 1 6cos 2 ,6 2 6 33

2cos26 2

x x kx x k k

x kx

p pp

p p pp

pp p

é æ ö é÷çê - =÷ ê =- +ç ÷çê è ø æ ö ê÷çê - = - = + Î÷ êç ÷ê çè øæ ö ê÷ê ç = +ê- =÷çê ÷ç êè ø ëë

loaïi

.

Ta có [ ]0;2 112

6 6xx k xpp p

p Î=- + ¾¾¾¾ = ; [ ]0;222 2

xx k xpp pp Î= + ¾¾¾¾ = .

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn.

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan cot 8x m x+ = có nghiệm.

A. 16.m > B. 16.m < C. 16.m ³ D. 16.m £

Lời giải

Chọn D

Phương trình 2tan cot 8 tan 8 tan 8 tan 0tan

mx m x x x x m

x+ = + = - + = .

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ( )24 0 16m m¢D = - - ³ £ .

Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( )cos 2 2 1 cos 1 0x m x m- + + + =

có nghiệm trên khoảng 3;

2 2

p pæ ö÷ç ÷ç ÷çè ø.

A. 1 0m- £ £ . B. 1 0m- £ < . C. 1 0m- < < . D. 11

2m- £ < .

Lời giải

Chọn B


Trang 90

Phương trình ( )2

1cos

2 cos 2 1 cos 0 .2cos

xx m x m

x m

éê =ê - + + = ê

=êë

Nhận thấy phương trình 1cos

2x = không có nghiệm trên khoảng 3

;2 2

p pæ ö÷ç ÷ç ÷çè ø (Hình vẽ). Do đó

yêu cầu bài toán cos x m = có nghiệm thuộc khoảng 3; 1 0

2 2m

p pæ ö÷ç - £ <÷ç ÷çè ø.

Câu 14: Biết rằng khi 0m m= thì phương trình ( )2 22 sin 5 1 sin 2 2 0m x m mx - + + + = có đúng 5

nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;32

pp

æ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 3.m =- B. 1

2m = . C. 0

3 7; .

5 10m

æ ùç úÎçç úè û D. 0

3 2; .

5 5m

æ ö÷çÎ - - ÷ç ÷çè ø

Lời giải

Chọn D

Đặt ( )sin 1 1t x t= - £ £ .

Phương trình trở thành ( )2 22 5 1 2 2 0.t m t m m- + + + = ( )*

Yêu cầu bài toán tương đương với:

TH1: Phương trình ( )* có một nghiệm 1 1t =- (có một nghiệm x ) và một nghiệm

20 1t< < (có bốn nghiệm x ) (Hình 1).

Do 21 21

ct t m m

a=- ¾¾ =- =- - .

O

cos

sin

O

Hình1 Hình2

2t

sin

cos

2t

cos

sin

O

m1

2


Trang 91

Thay 1 1t =- vào phương trình ( )* , ta được ( )( )

( )( )

2

2

3 6 0;1.1 1

0;12 4

m t

m t

é =- ¾¾ =- Ïêêê =- ¾¾ = Îêë

loaïi

thoûa

TH2: Phương trình ( )* có một nghiệm 1 1t = (có hai nghiệm x ) và một nghiệm

21 0t- < £ (có ba nghiệm x ) (Hình 2).

Do 21 21

ct t m m

a= ¾¾ = = + .

Thay 1 1t = vào phương trình ( )* , ta được ( ]( )

( ]( )

2

2

1 2 1;0.1 3

1;02 4

m t

m t

é = ¾¾ = Ï -êêê = ¾¾ = Ï -êë

loaïi

loaïi

Vậy 1

2m =- thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do 1 3 2

; .2 5 5

mæ ö÷ç=- Î - - ÷ç ÷çè ø

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

( )22 cos 3 3 2 cos3 2 0x m x m+ - + - = có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ; .6 3

p pæ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø

A. 1 1.m- £ £ B. 1 2.m< £ C. 1 2.m£ £ D. 1 2.m£ <

Lời giải

Chọn B

Đặt ( )cos 1 1t x t= - £ £ . Phương trình trở thành ( )22 3 2 2 0.t m t m+ - + - =

Ta có ( )22 5mD= - . Suy ra phương trình có hai nghiệm 1

2

1.2

2

t

t m

éê =êê

= -êë

Ta thấy ứng với một nghiệm 1

1

2t = thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng ; .

6 3

p pæ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø Do đó

yêu cầu bài toán 21 0 1 2 0 1 2.t m m- < £ - < - £ < £

Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đươn với phương trình ( )22 3 2 2 0t m t m+ - + - = có hai

nghiệm 1 2, t t thỏa mãn ( )( )

2 1

0

1 0 1 . 1 0 .

. 1 0

P

t t a f

a f

ìï £ïïï- < £ < < >íïïï - >ïî

sin

O

cos

2t 1

1

2t =


Trang 92

Dạng 4. Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x

1. Phương pháp

Cách 1:

Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?

Lưu ý: cosx = 0 2x k sin x 1 sin x 1.2

Khi cosx 0 , chia hai vế phương trình (1) cho 2cos x 0 ta được:

2 2a.tan x b.tan x c d(1 tan x)

Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

2(a d)t b.t c d 0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

1 cos2x sin2x 1 cos2x(1) a. b. c. d2 2 2

b.sin2x (c a).cos2x 2d a c

(đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x)


Ví dụ 1. Giải phương trình 2 2x 3sinxcossin x 4cos x 0 * .

Giải

Khi 2

cosx 0x k ,k

2 sin x 1

Ta có VT * 1 VP * không có nghiệm trên 2cos 0x

Chia hai vế của (*) cho 2cos x, ta được: 2 x 3tanxt 4an 0

x ktanx 1 tan4 ,k4

tan x arctan 4 kx 4

Vậy nghiệm của (*) là ;x arctan 4 k ,kx k4

Ví dụ 2. Giải phương trình 2 22sin 3sinxcosx cox *3 s x 2

Giải

Khi 2

cosx 0x k

2 sin,k

x 1


Trang 93

Ta có: VT * 2 VP * * có nghiệm x k ,2

k

Khi 2,kx k : cos 0x2

, chia hai vế của (*) cho 2cos x

1tanx tan x k

6 6,

3k


k

;

,x kk .6

Ví dụ 3. Giải phương trình 3 2 3x 2sinxcoscos x 3sin x 0 * .

Giải

Khi2

cox 0x k

2 sin,k

x 1

Ta có: VT * 3 VP * không có nghiệm x k ,2

k

3cos 0x

Chia hai vế của (*) cho 3cos x , ta được:

3 2

0

1 2 tanx 3tan tanx 1 3x 0 x 3tanx 1tan 0

t ,kanx 1 tan x k4 4


k

Ví dụ 4. Giải phương trình 3 2x sinx 3sin xcoc s sxo 0 * .

Giải

Khi 2

cox 0x k

2 sin,k

x 1

Ta có: VT * 1 VP * không có nghiệm trên 3cos 0x

Chia hai vế của (*) cho 3cos x , ta được 2 21 xtan x 1 tan 3 x 0tan

3 2 2x 2tan x tan 1 0 tanx 1 tan x 2tanx 1 0tan

2

xtan x 1 0 tan x 14

tan x 1 2tan x arctx 2tan an 1 2 kx 1 0

Vậy nghiệm của (*) là x ;x arctan 1 2 k ,4

k


Trang 94

Ví dụ 5. Xác định a để 2 2x 2sin2x 3acosas *2in x có nghiệm.

Giải

1 cos2x 1 cos2x* a 2sin2x 3a 2

2 2

2sin 2x a cos2x 2 2a 1

(*) có nghiệm 1 có nghiệm 22 2a2 2 2a

2 2 2 84 a 4 8a 4a 3a 0 0 a

38a

Vậy với 8

0 a3

thì phương trình đã cho có nhiệm.

Ví dụ 6. Cho phương trình:

3 2 3x xcosxsin 2m 1 sin 3m 1 sinx x 0cos * .

Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

x ;0 .2

Giải

Khi 2

cox 0x k

2 sin,k

x 1

Ta có: VT * 1 VP * không có nghiệm trên 3cos 0x

Chia hai vế của (*) cho 3cos x , ta được:

3 2tan 2m 1 tan 3m 1 tanx m 1x 0x

Đặt t tanx. với x ;0 t ;02

Ta có: 3 2t 2m 1 t 3m 1 t m 1 0

2

2

t 1t 1 t 0

f t2mt m 1

2mt m 1t 0 1

Để (*) có ba nghiệm phân biệt x ;02

khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt

11

2

22

1 2

0 m 1 0,

P 0

S 0

f

m m

t t 0 m-1 0t , t : m 1

t , t 1 m 0

1 2m m 1 01 0

Vậy m 1 thỏa mãn đề bài.


Trang 95


Câu 1: Giải phương trình ( )2 2sin 3 1 sin cos 3 cos 0.x x x x- + + =

A. ( )2 .3

x k kp

p= + Î B. ( ).4

x k kp

p= + Î

C. ( )2

3 .

24

x kk

x k

pp

pp

éê = +ê

Îêê

= +êêë

D. ( )3 .

4

x kk

x k

pp

pp

éê = +ê

Îêê

= +êêë

Lời giải

Chọn D

Phương trình ( )2t

tan 3 1 t 3 0an 1

antan 3x

xx

xé =

- + ==

+ êêêë

( )4 .

3

x kk

x k

pp

pp

éê = +ê

Îêê

= +êêë

Câu 2: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2sin 3 sin cos 1x x x+ = ?

A. ( )2cos cot 3 0x x - = . B. sin . tan 2 3 02 4

x xp pé ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú+ + - - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øë û

.

C. ( )2cos 1 . tan 3 02

x xpé ùæ ö÷çê ú+ - - =÷ç ÷çê úè øë û

. D. ( )( )sin 1 cot 3 0x x- - = .

Lời giải

Chọn B

Phương trình 2 2 2sin 3 sin cos sin cosx x x x x + = +

( )23 sin cos cos 0 cos 3 sin cos 0.x x x x x x - = - =

cos 0 sin 0.2

x xpæ ö÷ç= + =÷ç ÷çè ø

13 sin cos 0 tan .

3x x x- = =

Ta có

11tan tan

34tan 2 3 tan 2 3 0.14 41 tan . tan 1 .1

4 3

xx x

x

pp p

p

++æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ = = = + + - - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø- -

Vậy phương trình đã cho tương đương với sin . tan 2 3 02 4

x xp pé ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú+ + - - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è øë û

.

Câu 3: Cho phương trình 2cos 3sin cos 1 0x x x- + = . Mệnh đề nào sau đây là sai?


Trang 96

A. x kp= không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho 2cos x thì ta được phương trình 2tan 3 tan 2 0x x- + = .

C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho 2sin x thì ta được phương trình 22 cot 3cot 1 0x x+ + = .

D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2 3sin 2 3 0x x- + = .

Lời giải

Chọn C

Với 2

sin 0sin 0.

cos 1 cos 1

xxx k

x xp

ìì == ïïï ï= ¾¾ í íï ï= =ïî ïî Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy

A đúng. ( vì thay x = k không thỏa mãn pt)

Phương trình 2 2 2cos 3sin cos sin cos 0x x x x x - + + =

2 2 2sin 3sin cos 2 cos 0 tan 3 tan 2 0x x x x x x - + = - + = . Vậy B đúng.

Phương trình 2 2 2cos 3sin cos sin cos 0x x x x x - + + =

2 2 22 cos 3sin cos sin 0 2 cot 3cot 1 0x x x x x x - + = - + = . Vậy C sai.

Phương trình 1 cos 2 sin 23 1 0 cos 2 3sin 2 3 0.

2 2

x xx x

+ - + = - + = Vậy D đúng.

Câu 4: Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình 2 2sin 4 sin cos 4 cos 5x x x x- + = trên đường tròn

lượng giác là?

A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.

Lời giải

Chọn C

Phương trình ( )2 2 2 2sin 4 sin cos 4 cos 5 sin cosx x x x x x - + = +

( )22 24 sin 4 sin cos cos 0 2 sin cos 0 2 sin cos 0x x x x x x x x- - - = + = + =

1tan

2x =- ¾¾ có 2 vị trí biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng gác.

Câu 5: Số nghiệm của phương trình 2 2cos 3sin cos 2 sin 0x x x x- + = trên ( )2 ;2p p- ?

A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 .

Lời giải

Chọn D

Phương trình 2

tan 141 3 tan 2 tan 0 .1

1tanarctan2

2

x x kx x

xx k

pp

p

éé = ê = +ê êê - + = êê ê=ê = +êë êë


Trang 97

Vì ( ) { }9 72 ;2 2 2 2; 1;0;1

4 4 4kx k k k

pp p p p p ÎÎ - ¾¾- < + < - < < ¾¾¾ Î - - .

Vì ( ) 12 ;2 2 arctan 2

2x kp p p p pÎ - ¾¾- < + <

{ }CASIOxapxi

28,565 24,565 28; 27; 26; 25kk kÎ¾¾¾- < <- ¾¾¾ Î - - - - .

Vậy có tất cả 8 nghiệm.

Câu 6: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 24 sin 3 3 sin 2 2 cos 4x x x+ - = là:

A. 12

p . B. 6

p . C. 4

p . D. 3

p .

Lời giải

Chọn B

Phương trình ( )2 2 2 24 sin 3 3 sin 2 2 cos 4 sin cosx x x x x + - = +

( )2

cos 0

3 3 sin 2 6 cos 0 6 cos 3 sin cos 0 1tan

3

x

x x x x xx

é =êê - = - = ê =êë

minCho 0

min

10 0

2 2 2 2 .1

0 06 6 6 6

k

k

x k k k k x

x k k k k x

p p pp p

p p pp p

Î

>

Î

é éê ê= + + > >- ¾¾¾ = =ê ê

¾¾¾ê êê ê

= + + > >- ¾¾¾ = =ê êê êë ë


xp

= là nghiệm dương nhỏ nhất.

Câu 7: Cho phương trình ( ) ( )2 22 1 sin sin 2 2 1 cos 2 0x x x- + + + - = . Trong các mệnh đề sau,

mệnh đề nào sai?

A. 7

8x

p= là một nghiệm của phương trình.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho 2cos x thì ta được phương trình 2tan 2 tan 1 0x x- - = .

C. Nếu chia hai vế của phương trình cho 2sin x thì ta được phương trình 2cot 2 cot 1 0x x+ - = .

D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2 sin 2 1x x- = .

Lời giải

Chọn D

Câu 8: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là ( ) ( )2 22 sin 1 3 sin cos 1 3 cos 1.x x x x+ - + - =

A. 6

p- . B.

4

p- . C. 2

3

p- . D.

12

p- .

Lời giải


Trang 98

Chọn B

Phương trình ( ) ( )2 2 2 22 sin 1 3 sin cos 1 3 cos sin cosx x x x x x + - + - = +

( )2 2sin 1 3 sin cos 3 cos 0x x x x + - - =

( )2tan

tan1 4an

tan 33

1 3 t 3 0x kx

x xx x k

pp

pp

éê =- +é =- êê êê ê=êë = +êêë

+ - - =

maxCho x 0

max

10 0

4 4 4 .1 2

0 13 3 3

k

k

k k k x

k k k x

p pp

p pp

Î

<

Î

éê- + < < ¾¾¾ = =-ê

¾¾¾¾êê

+ < <- ¾¾¾ =- =-êêë


xp

=- là nghiệm âm lớn nhất.


( )2 211sin 2 sin 2 3cos 2x m x x+ - + = có nghiệm?

A. 16. B. 21. C. 15. D. 6.

Lời giải

Chọn A

Phương trình ( )2 29 sin 2 sin 2 cos 0x m x x + - + =

( ) ( )1 cos2 1 cos 29. 2 sin 2 0 2 sin 2 4 cos 2 5.

2 2

x xm x m x x

- + + - + = - - =-

Phương trình có nghiệm ( ) ( )2 2 52 16 25 2 9

1

mm m

m

é ³ê - + ³ - ³ ê £-ë

[ ] { }10;1010; 9;...; 1;5;6;...;10m

mmÎ

Î-¾¾¾¾ Î - - - ¾¾ có 16 giá trị nguyên.

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình

( ) ( )2 2sin 2 1 sin cos 1 cosx m x x m x m- - - - = có nghiệm?

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải

Chọn A

Phương trình ( ) ( ) ( )2 21 sin 2 1 sin cos 2 1 cos 0m x m x x m x - - - - - =

( ) ( ) ( )1 cos 2 1 cos 21 . 1 sin 2 2 1 . 0

2 2

x xm m x m

- + - - - - - =

( )2 1 sin 2 cos 2 2 3 .m x m x m - + = -

Phương trình có nghiệm ( ) ( )2 22 24 1 2 3 4 4 0 0 1m m m m m m- + ³ - - £ £ £

{ }0;1m mÎ¾¾¾ Î ¾¾ có 2 giá trị nguyên.


Trang 99

Câu 11: Tìm điều kiện để phương trình 2 2sin sin cos cos 0a x a x x b x+ + = với 0a ¹ có nghiệm.

A. 4a b³ . B. 4a b£- . C. 41

b

a£ . D. 4

1b

a£ .

Lời giải

Chọn C

Phương trình 2tan tan 0a x a x b+ + = .

Phương trình có nghiệm ( )2 4 0 4 0a ab a a bD= - ³ - ³

( ) 4 44 0 0 1.

b a ba b a

a a

- - £ £ £

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 22 sin sin 2 2x m x m+ = vô nghiệm.

A. 40

3m£ £ . B. 0m < , 4

3m > . C. 4

03

m< < . D. 4

3m <- ,

0m > .

Lời giải

Chọn B

Phương trình 1 cos 22. sin 2 2 sin 2 cos 2 2 1.

2

xm x m m x x m

- + = - = -

Phương trình vô nghiệm ( )22 2

01 2 1 3 4 0 .4

3

mm m m m

m

é <êê + < - - > ê >êë

Câu 13: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm thuộc đoạn [ ]3;3- để phương trình

( )2 22 cos 2 sin 2 1 0m x m x+ - + = có nghiệm.

A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Phương trình ( )2 1 cos 22 . 2 sin 2 1 0

2

xm m x

+ + - + =

( )2 24 sin 2 2 cos 2 4m x m x m - + = + .

Phương trình có nghiệm ( ) ( )2 22 2 2 2 216 2 4 12 12 1 1m m m m m m + + ³ + ³ ³ ³

[ ] { }3;33; 2; 1;1;2;3m

mmÎ

Î-¾¾¾¾ Î - - - ¾¾ có 6 giá trị nguyên.

Dạng 5. Phương trình chứa sin cosx x và sin cos .x x

1. Phương pháp

Bài toán 1: a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0


Trang 100

Đặt: t cosx sin x 2.cos x ; t 2.4

2 21t 1 2sin x.cosx sin x.cosx (t 1).2

Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này

tìm t thỏa t 2. Suy ra x.

Lưu ý dấu

cosx sin x 2 cos x 2 sin x4 4

cosx sin x 2 cos x 2 sin x4 4

Bài toán 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

Đặt: t cosx sin x 2. cos x ; Ñk : 0 t 2.4

21sin x.cosx (t 1).2

Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.


Ví dụ 1. Giải các phương trình

a) sinx cosx 2sinxcosx 1 0 1

b) 6 sinx cosx sinxcosx 6 0 2

Giải

a) Đặt t sinx cosx 2 x , t 24

Phương trình (1) trờ thành: 2

21t 2

tt 2 1 0 t

20

t 12 sin x 1

4t 2 2

1sin x 1 sin

4 42

x k2x k24 4

,k3

x k24 4

x k22

Vậy nghiệm của phương trình (1) là

;x k2 ,k .2

x k2


Trang 101

b) Đặt t sin x cosx 2 sin x , t 24

Phương trình (2) trờ thành: 2

2 12t 131 t

6t 6 t2

00

t 12 sin x

4t 13 2

1sin x sin

4 42

3x k2

x k2x k24 4

,k2

x k24 4

Vậy nghiệm của phương trình (2) là

;x kk 22

,kx 2 .

Ví dụ 2. Giải phương trình: sin2x 2 2 sinx cosx 5 .

Giải

Đặt 2sin x cosx t t 2 sin2x t 1 .

2PT t 2 2t 6 0 t 2 (thỏa mãn)

Giải phương trình

π ππ

5sin x cosx 2 cos x 1 x k2 k4 4

.

Vậy nghiệm của phương trình là ππ

5x k2 k4

.

Ví dụ 3. Giải phương trình 3 3x cos x 2sin sinx cosx 1 *

Định hướng: Ta sử dụng hằng đẳng thức

3 3sin inx cosx 1x cos x s sinxcosx

Giải

Ta có:

* sinx cosx 1 sinxcosx 2 sinx cosx 1 1

Đặt t sinx cosx 2 sin x , t 24

Phương trình (1) trở thành: 2t

t 1 2t 12

1


Trang 102

2 3

2 2

t 2 0

t 1 t t 2 0 t

t 3 t 4t

1 do t t 2 0, t

2 t

x k2

x k21

2

sin x sin ,k4 42

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ;x k2 ,k2

x k2

.

Ví dụ 4. Giải phương trình: 2cos3x 3cosx 4cos x 8sin x 8 0 .

Định hướng: Ta sử dụng công thức nhân 3 cho cos3x để triệt tiêu phần 3cosx phía liền kề sau đó.

Như vậy, phương trình viết thành: 3 24cos x 4cos x 8sin x 8 0 , nhóm các cụm

3 2 24cos x 4cos x 4cos x cosx 1 , 8sin x 8 8 1 sin x . Sử dụng hằng đẳng thức

2 2cos x 1 sin x 1 sin x 1 sin x . Đưa phương trình đã cho về phương trình tích với nhân tử

chung là 1 sinx .

Giải

Ta có:

ππ

3 2

2

PT 4cos x 3cosx 3cosx 4cos x 8sin x 8 0

cos x cosx 1 2 1 sin x

1 sin x 1 sin x cosx 1 2 1 sin x

sin x 1 x k22

1 sin x cosx 1 2 sin x cosx sin x.cosx 1 *

Đặt 2t 1sin x cosx t t 2 sin x.cosx2

.

* trở thành 2

2 t 1t 1t 1 t 2t 3 02 t 3 (loaïi)

πkt 1 sin2x 0 x2

.

Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm là: πkx (k )

2 .

Ví dụ 5. Giải phương trình : 3 22cos sinx 1 2sx xin *

Định hướng : Biến đổi 2 2sin x 1 cos x , chuyển vế phương trình ta được

3 22cos sinx x cos x 12 0 , đến đây hoàn toàn tương tự ví dụ 4.

Giải

Ta có :


Trang 103

3 2 3 2* 2cos 1 cos sinx 1 0 2x 2 x cos sinx 2cos x 1x 0

22cos cosx 1 1 sinx 0

2 1 sinx 1 sinx cosx 1 1 sinx

x

0

1 sinx 2 1 sinx cosx 1 1 0

1 sinx 2 sinx cosx 2sinxcosx 1 0

1 sinx 0 1

2 sinx cosx 2sinx cosx 1 0 2

Ta có : 1 x k2 ,2

k

Giải (2), ta đặt t sinx cosx= 2 sin x , t 24

(2) trở thành : 22t t 1 0 t 2 0 t 01 t

2 sin x 0 x k4 4

,k

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x k2 , ,kx k2 4

Ví dụ 6. Cho sin2x 2m 2 sinx cosx 2m 2 1 0 * . Xác định m để phương trình (*) có

đúng hai nghiệm 5

x 0;4

Giải

Đặt t sinx cosx 2 sin x4

Với 5 3

0 x x4 4 4 2

Phương trình (*) trờ thành

2t 2m 2 t 2m 21 1 0

2t 2m 2 t 2m 2 0 t 2 hoặc t 2m

Với

t 2 sin x 1 x k2 x k2

4 4,k

2 4

Mà 5 1 1

0 k2 k50 x k 04 4 8 2

4k k


Trang 104

Do đó x4

là một nghiệm của (*)

Để (*) có đúng hai nghiệm 5

x 0;4

khi 21 sin x

4 2

2 12 2m 1 m

2 2


Câu 1: Giải phương trình ( )sin cos 2 sin cos 2x x x x+ + = .

A. , .2x k

kx k

pp

p

éê = +ê Îê

=êë

B. 2

, .22

x kk

x k

pp

p

éê = +ê Îê

=êë

C. 2

, .22

x kk

x k

pp

p

éê =- +ê Îê

=êë

D. , .2x k

kx k

pp

p

éê =- +ê Îê

=êë

Lời giải

Chọn B

Đặt sin cos 2 sin4

t x x xpæ ö÷ç= + = + ÷ç ÷çè ø

. Vì [ ]sin 1;1 2; 24

x tpæ ö é ù÷ç + Î - Î -÷ç ê ú÷ç ë ûè ø

.

Ta có ( )2

22 2 2 1sin cos sin cos 2 sin cos sin cos

2

tt x x x x x x x x

-= + = + + = .

Khi đó, phương trình đã cho trở thành ( )

22

112 2 4 5 0 .

52

ttt t t

t

é =- ê+ = + - = ê =-ë loaïi

Với 1t = , ta được 1sin cos 1 sin sin sin

4 4 42x x x x

p p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç+ = + = + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

24 4

24 4

x k

x k

p pp

p pp p

éê + = +ê

êê+ = - +ê

êë

2,

22

x kk

x k

pp

p


.

Câu 2: Cho phương trình ( )3 2 sin cos 2 sin 2 4 0x x x+ + + = . Đặt sin cost x x= + , ta được phương

trình nào dưới đây?

A. 22 3 2 2 0.t t+ + = B. 24 3 2 4 0.t t+ + =

C. 22 3 2 2 0.t t+ - = D. 24 3 2 4 0.t t+ - =

Lời giải

Chọn A

Đặt 2sin cos sin 2 1.t x x x t= + ¾¾ = -

Phương trình đã cho trở thành ( )2 23 2 2 1 4 0 2 3 2 2 0.t t t t+ - + = + + =


Trang 105

Câu 3: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 1sin cos 1 sin 2

2x x x+ = - là:

A. .2

p- B. .p- C. 3

.2

p- D. 2 .p-

Lời giải

Chọn C



. Điều kiện 2 2.t- £ £

Ta có ( )22 2 2 2sin cos sin cos 2 sin cos sin 2 1.t x x x x x x x t= + = + + = -

Phương trình đã cho trở thành ( )

22

111 2 3 0 .

32

ttt t t

t

é =- ê= - + - = ê =-ë loaïi

Với 1t = , ta được 12 sin 1 sin sin sin

4 4 4 42x x x

p p p pæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ = + = + =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

224 4 ,

22 2

4 4

x kx kk

x kx k

p p pppp p pp p

é é =ê + = + êê ê Îê êê = +ê+ = - +ê ëêë

.

TH1. Với max2 0 0 1 2 .kx k k k xp pÎ= < < ¾¾¾ =- =-

TH2. Với max

1 32 0 1 .

2 4 2kx k k k x

p pp Î= + < <- ¾¾¾ =- =-

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là 3

2x

p=- .

Câu 4: Từ phương trình ( )( )1 3 cos sin 2 sin cos 3 1 0x x x x+ + - - - = , nếu ta đặt cos sint x x= + thì

giá trị của t nhận được là:

A. 1t = hoặc 2t = . B. 1t = hoặc 3t = .

C. 1t = . D. 3t = .

Lời giải

Chọn C

Đặt ( )21

sin cos 2 2 sin cos .2

tt x x t x x

-= - - £ £ ¾¾ =

Phương trình trở thành ( ) ( )21 3 1 3 1 0t t+ - - - - =

( )( )

21

1 3 3 0 1.3

tt t t

t

é =ê - + + = =ê =êë loaïi

Câu 5: Cho x thỏa mãn 2 sin 2 3 6 sin cos 8 0x x x- + + = . Tính sin 2 .x

A. 1sin 2 .

2x =- B. 2

sin 2 .2

x =- C. 1sin 2 .

2x = D. 2

sin 2 .2

x =


Trang 106

Lời giải

Chọn C



. Vì [ ]sin 1;1 0; 24

x tpæ ö é ù÷ç + Î - Î÷ç ê ú÷ç ë ûè ø

.

Ta có ( )22 2 2 2sin cos sin cos 2 sin cos sin 2 1.t x x x x x x x t= + = + + = -

Phương trình đã cho trở thành ( )( )

2

62 1 3 6 8 0 2

6

tt t

t

éê =ê- - + = êê =êë loaïi

2 1sin 2 1 .

2x t= - =

Câu 6: Hỏi trên đoạn [ ]0;2018p , phương trình in coss 4 sin 2 1xx x + =- có bao nhiêu nghiệm?

A. 4037. B. 4036. C. 2018. D. 2019.

Lời giải

Chọn A


t x x xpæ ö÷ç= - = - ÷ç ÷çè ø

. Vì [ ]sin 1;1 0; 24

x tpæ ö é ù÷ç - Î - Î÷ç ê ú÷ç ë ûè ø

.

Ta có ( )22 2 2 2sin cos sin cos 2 sin cos sin 2 1 .t x x x x x x x t= - = + - = -

Phương trình đã cho trở thành ( )( )

2

14 1 1 .3

4

tt t

t

é =êê+ - = ê =-êë

loaïi

Với 1t = , ta được sin 2 0 2 ,2

kx x k x k

pp= = = Î .

Theo giả thiết [ ]0;2018 0 2018 0 40462

kx k

pp pÎ ¾¾ £ £ £ £

{ }0;1;2;3;...;4036k kÎ¾¾¾ Î ¾¾ có 4037 giá trị của k nê có 4037 nghiệm.

Câu 7: Từ phương trình ( )2 sin cos tan cotx x x x+ = + , ta tìm được cos x có giá trị bằng:

A. 1. B. 2.

2- C. 2

.2

D. 1.-

Lời giải

Chọn C

Điều kiện sin 0

sin 2 0cos 0

xx

x

ì ¹ïï ¹íï ¹ïî.

Ta có ( ) ( ) sin cos2 sin cos tan cot 2 sin cos

cos sin

x xx x x x x x

x x+ = + + = +

( ) ( )2 2sin cos

2 sin cos 2 sin cos . 2 sin cos 2.sin cos

x xx x x x x x

x x

+ + = + =


Trang 107

Đặt ( )2 1


tt x x t x x

-= + - £ £ ¾¾ =

Phương trình trở thành ( )2 32 1 2 2 0 2t t t t t - = - - = =

sin cos 2 sin 2 cos .x x x x + = = -

Mà ( )22 2 2 2sin cos 1 cos 2 cos 1 2 cos 2 2 cos 1 0x x x x x x+ = + - = - + =

( )2 1

2 cos 1 0 cos2

x x - = = .

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin cos sin cos 0x x x x m- - + =

có nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn C

Đặt ( )2 1


tt x x t x x

-= + - £ £ ¾¾ =

Phương trình trở thành ( )2

2210 2 2 1 1 2 2

2

tt m m t t t m

-- + = - = - - - =- + .

Do ( )22 2 2 1 1 2 1 0 1 3 2 2t t t- £ £ ¾¾- - £ - £ - ¾¾ £ - £ + .

Vậy để phương trình có nghiệm 0 3 2 21 2 2

2 2 12

m m+

- + - £ £+ ££

{ }1;0;1 .m mÎ¾¾¾ Î -


Trang 240

BÀI 3. CẤP SỐ CỘNG



Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều

bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đỗi .d

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu ( )nu là cấp số cộng với công sai ,d ta có công thức truy hồi 1n nu u d+ = + với *.n Î

Đặc biệt khi 0d = thì cấp số cộng là một dãy số không đỗi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

II – SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1

Nếu cấp số cộng ( )nu có số hạng đầu 1u và công sai d thì số hạng tổng quát nu được xác định bởi

công thức:

( )1 1nu u n d= + - với 2.n ³

III – TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG

Định lí 2

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

1 1

2k k

k

u uu - ++

= với 2.k ³

IV – TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Định lí 3

Cho cấp số cộng ( ).nu Đặt 1 2 3 ... .n nS u u u u= + + + + Khi đó ( )1 .

2n

n

n u uS

+=

Chú ý: Vì ( )1 1nu u n d= + - nên công thức trên có thể viết lại là ( )

1

1.

2n

n nS nu d

-= +

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Xác định cấp số cộng, công sai và số hạng của cấp số cộng

1. Phương pháp

Xác định một cấp số cộng là xác định số hạng đầu u1 và công sai d

Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 và d rồi giải hệ đó.


Ví dụ 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?


Trang 241

A. 1 ; 3; 7; 11; 15;- - - - B. 1; 3; 6; 9; 12;- - - -

C. 1; 2; 4; 6; 8;- - - - D. 1; 3; 5; 7; 9;- - - -

Lời giải

Chọn A

Ta lần lượt kiểm tra: 2 1 3 2 4 3 ?u u u u u u- = - = - =

Xét đáp án A: 2 1 3 2 4 31 ; 3; 7; 11; 15; u u u u u u- - - - ¾¾ - = - = - =

Xét đáp án B: 2 1 3 21; 3; 6; 9; 12; 4 3u u u u- - - - ¾¾ - =- =/ - = - ¾¾ loại

Xét đáp án C: 2 1 3 21; 2; 4; 6; 8; 3 2u u u u- - - - ¾¾ - =- =/ - = - ¾¾ loại

Xét đáp án D: 2 1 3 21; 3; 5; 7; 9; 4 2u u u u- - - - ¾¾ - =- =/ - = - ¾¾ loại

Ví dụ 2: Cho dãy số 1 1 3;0; ; 1; ;.....

2 2 2- - - là cấp số cộng với:

A. Số hạng đầu tiên là 1

2, công sai là 1

.2

B. Số hạng đầu tiên là 1

2, công sai là 1

.2

-

C. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là 1.

2

D. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là 1.

2-

Lời giải:

Chọn B

Nếu dãy số ( )nu là một cấp số cộng thị công sai d của nó là hiệu của một cặp số hạng

liên tiếp bất kì (số hạng sau trừ cho số hạng trước) của dãy số đó.

Ta có 1 1 3;0; ; 1; ;.....

2 2 2- - - là cấp số cộng

1

2 1

1

21

2

u

u u d

ìïï =ïïï¾¾íïï - =- =ïïïî

Ví dụ 4: Cho cấp số cộng ( )nu có 1 5u =- và 3.d = Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

A. Thứ 15. B. Thứ 20. C. Thứ 35. D. Thứ 36.

Lời giải.

Chọn D

Ví dụ 5: Cho cấp số cộng ( )nu có 3 15u = và 2d =- . Tìm .nu

A. 2 21.nu n=- + B. 312.

2nu n=- + C. 3 17.nu n=- - D. 234.

2nu n= -

Lời giải.


Trang 242

Chọn A

Ta có ( )3 1 11

15 2 191 2 21.

22

ì ì= = + =ï ïï ï = + - =- +í íï ï =-=- ïï îîn

u u d uu u n d n

dd

Ví dụ 6: Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d

của cấp số cộng đó là bao nhiêu?

A. 4.d = B. 5.d = C. 6.d = D. 7.d =

Lời giải.

Chọn B

1

8 1

55

40 7

ud

u u d

ì =ïï ¾¾ =íï = = +ïî

Dạng 2. Tính tổng các số hạng trong một cấp số cộng

1. Phương pháp

Tính tổng n số hạng đầu tiên nhờ công thức: 11 n

n

n 2u n 1 dn u uS

2 2


Ví dụ 1: Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là 3 4nu n= + với *n Î . Gọi nS là tổng n số hạng

đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 3 1.

2

n

nS-

= B. ( )7 3 1

.2

n

nS-

= C. 23 5

.2n

n nS

+= D.

23 11.

2n

n nS

+=

Lời giải.

Chọn D

Câp số cộng 1 .n

u a bu an b

d a

ì = +ïï= + ¾¾íï =ïî

( ) ( )2 21

1

37 1 3 113 4 7 .

3 2 2 2

-ì = -ï +ï= + = + = + =íï =ïîn n

n nu n n n nu n S nu d n

d

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng ( )nu có 1 4u = và 5.d =- Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số

cộng.

A. 100 24350.S = B. 100 24350.S =- C. 100 24600.S =- D. 100 24600.S =

Lời giải.

Chọn B

( )1 100 1

1 100.99100 24350

2 2n

n nS nu d S u d

-= + ¾¾ = + =-

Ví dụ 3: Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:


Trang 243

A. 7650. B. 7500. C. 3900. D. 3825.

Lời giải.

Chọn D

Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng ( )*3n n Î nên chúng lập thành cấp số cộng

( )150 1 50

50

3 503 3825

150 2n

uu n S u u

u

ì =ïï= ¾¾ ¾¾ = + =íï =ïî

Chú ý: ( )( )

1 1

1.

2 2n n

n nnS u u nu d

-= + = +

Ví dụ 4: Tính tổng ( )1 2 3 4 5 ... 2 1 2S n n= - + - + + + - - với 1n ³ và .n Î

A. 0.S = B. 1.S =- C. .S n= D. .S n=-

Lời giải.

Chọn D

Với mọi *n Î thì ( )2 1 2 1n n- - =- .

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3 4 5 6 2 1 2S n n= - + - + - + - -+ . Do đó ta xem S là tổng của n số hạng,

mà mỗi số hạng đều bằng 1- nên .S n=-

Nhận xét: Ta có 1;3;5; ;2 1n- và 2;4;6; ;2n là các cấp số cộng có n số hạng nên

( ) ( )1 3 5 2 42 61 2+ -= + + + - + + ++ nS n

( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 2 .2 2

= + - - + = - + =-n n

n n n n n n

Ví dụ 5: Cho cấp số cộng ( )nu thỏa mãn 2 8 9 15 100.u u u u+ + + = Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của

cấp số cộng đã cho.

A. 16 100.S = B. 16 200.S = C. 16 300.S = D. 16 400.S =

Lời giải.

Chọn D

Ta có 2 8 9 15 1 1100 4 30 100 2 15 50.u u u u u d u d+ + + = + = + =

Khi đó ( ) ( )16 1 16 1

168 2 15 8.50 400

2S u u u d= + = + = =

Dạng 3. Chứng minh một hệ thức trong cấp số cộng:

1. Phương pháp

Sử dụng các tính chất của cấp số cộng


Ví dụ 1: Nếu ; ; a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành cấp số

cộng?


Trang 244

A. 2 2 22 ; ; .b a c B. 2 ; 2 ; 2 .b a c- - - C. 2 ; ; .b a c D. 2 ; ; .b a c- -

Lời giải.

Chọn B

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 .+ = - + =- - + - = -c a b c a b c a b

Ví dụ 2: Nếu 1 1 1; ;

b c c a a b+ + + theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành

cấp số cộng?

A. 2 2 2; ; .b a c B. 2 2 2; ; .c a b C. 2 2 2; ; .a b c D. 2 2 2; ; .a c b

Lời giải.

Chọn C

Theo giả thiết ta có ( )( )2 1 1

2 2

b c b ac a

c a b c a b b a c

+ ++= + =

+ + + + +

( ) ( ) ( )2 22 2a c b c a b ab bc ac + + + = + + +

( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 .a c ac bc bc b ab bc ac a c b + + + + = + + + + =

Ví dụ 3: Cho ; ; a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2 2 22 4 .a c ac b+ + = B. 2 2 2 2 .a c ab bc+ = -

C. 2 2 .a c ab bc- = - D. 2 2 2 2 .a c ab bc- = -

Lời giải.

Chọn A

Ta có: ( )2 2 2 2 22 4 2 4a c b a c b a c ac b+ = + = + + =

Dạng 4. Giải phương trình ( tìm x trong cấp số cộng)

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Cho các số 4; 1; 6; x- theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm .x

A. 7.x = B. 10.x = C. 11.x = D. 12.x =

Lời giải.

Chọn C

Vì các số 4; 1; 6; x- theo thứ tự 1 2 3 4, , ,u u u u lập thành cấp số cộng nên

4 3 3 2 6 6 1 11- = - ¾¾ - = - =u u u u x x

Ví dụ 2: Nếu các số 5 ; 7 2 ; 17m m m+ + + theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?

A. 2.m = B. 3.m = C. 4.m = D. 5.m =

Lời giải.


Trang 245

Chọn C

Ba số 5 ; 7 2 ; 17m m m+ + + theo thứ tự 1 2 3, ,u u u lập thành cấp số cộng nên

( ) ( ) ( )1 3 22 5 17 2 7 2 4u u u m m m m+ = + + + = + =

Nhận xét: Ta có thể dùng tính chất 3 2 2 1.u u u u- = =

Ví dụ 3: Với giá trị nào của x và y thì các số 7; ; 11; x y- theo thứ tự đó lập thành một cấp số

công?

A. 1; 21.x y= = B. 2; 20.x y= = C. 3; 19.x y= - D. 4; 18.x y= =

Lời giải.

Chọn B

Bốn số 7; ; 11; x y- theo thứ tự 1 2 3 4, , ,u u u u lập thành cấp số cộng nên

4 3 3 2

4 3 2 1

11 11 22 2

11 7 18 20

u u u u y x x y x

u u u u y x x y y

ì ì ì ì- = - - = - + = =ï ï ï ïï ï ï ï í í í íï ï ï ï- = - - = + - =- =ï ï ïï î î îî


Câu 1: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?

A. 2 1 1 2 4; ;0; ; ;1; ....

3 3 3 3 3- - B. 15 2;12 2;9 2;6 2;....

C. 4 7 9 11;1; ; ; ;....

5 5 5 5 D. 1 2 3 4 3 5

; ; 3; ; ;...3 33 3

Lời giải.

Chọn C

Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: 1 1m m k ku uu u+ +=/ --

thì ta kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

Xét đáp án A: 2 1 3 2 4 3

2 1 1 2 4 1; ;0; ; ;1; ....

3 3 3 3 3 3u u u u u u- - ¾¾ = - = - = - = ¾¾ loại A

Xét đáp án B:

2 1 3 2 4 315 2;12 2;9 2;6 2;.... 3 3 u u u u u u¾¾- = - = - = - = ¾¾ loại B

Xét đáp án C: 1 32 2

4 7 9 11 1;1; ; ; ;....

5 5 5 5

2

55u u u u¾¾ = /- = - = ¾¾Chọn C

Xét đáp án D: 2 1 3 2 4 3

1 2 3 4 3 5 3; ; 3; ; ;...

3 3 33 3u u u u u u¾¾ = - = - = - ¾¾ loại D

Câu 2: Cho cấp số cộng có số hạng đầu 1

1,

2u =- công sai 1

.2

d = Năm số hạng liên tiếp đầu tiên

của cấp số này là:

A. 1 1;0;1; ;1.

2 2- B. 1 1 1

;0; ;0; .2 2 2

- C. 1 3 5;1; ;2; .

2 2 2 D. 1 1 3

;0; ;1; .2 2 2

-


Trang 246

Lời giải:

Chọn D

Ta dùng công thức tổng quát ( ) ( )1

1 11 1 1

2 2 2n

nu u n d n= + - =- + - =- + , hoặc

1

1

2n n nu u d u+ = + = + để tính các số hạng của một cấp số cộng.

Ta có

1

2 1

1 3 2

4 3

5 4

1

20

1 1 1;

2 2 21

3

2

u

u u d

u d u u d

u u d

u u d

ìïï =-ïïïïï = + =ïïïïï=- = ¾¾ - + =íïïïï = + =ïïïïï = + =ïïïî

Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính:

Nhập: 1

2X X= + (nhập X X d= + ).

Bấm CALC: nhập 1

2- (nhập 1u ).

Để tính 5 số hạng đầu ta bấm dấu “=” liên tiếp để ra kết quả 4 lần nữa!

Câu 3: Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.

A. 7; 12; 17, B. 6; 10; 14. C. 8; 13; 18. D. 6; 12; 18.

Lời giải.

Chọn A

Giữa 2 và 22 có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số

cộng có 5 số hạng với 1 52; 22;u u= = ta cần tìm 2 3 4, , .u u u

Ta có 2 1

5 15 1 3 1

4 1

722 2

4 5 2 124 4

3 17

u u du u

u u d d u u d

u u d

ì = + =ïï- - ïï= + = = = ¾¾ = + =íïïï = + =ïî

Câu 4: Cho hai số 3- và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành

cấp số cộng có công sai 2.d = Tìm .n

A. 12.n = B. 13.n = C. 14.n = D. 15.n =

Lời giải.

Chọn A

Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có 2n+ số hạng với 1 23, 23.nu u +=- =

Khi đó ( )( )2 1

2 1

23 31 1 13 12

2+

+

- --= + + + = = = = ¾¾n

n

u uu u n d n n A

d

Câu 5: Biết các số 1 2 3; ; n n nC C C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với 3.n > Tìm .n


Trang 247

A. 5.n = B. 7.n = C. 9.n = D. 11.n =

Lời giải.

Chọn B

Ba số 1 2 3; ; n n nC C C theo thứ tự 1 2 3, ,u u u lập thành cấp số cộng nên

( )( )( ) ( )1 3 2

1 3 2

2 1 12 2 2.3

6 2

- - -+ = + = =³ +n n n

n n n n nu u u C C C n n

( )2

2 23 21 1 9 14 37 .

76

é =- + ê + = - - + =ê ³=ë

nn nn n n n n

n

Nhận xét: Nếu 1 1, ,k k ku u u- + là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì ta có

1 1 2 .k k ku u u- ++ =

Câu 6: Cho cấp số cộng ( )nu có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17; . Tìm số hạng tổng

quát nu của cấp số cộng.

A. 5 1.nu n= + B. 5 1.nu n= - C. 4 1.nu n= + D. 4 1.nu n= -

Lời giải.

Chọn C

Các số 5; 9; 13; 17; theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ( )nu nên

( ) ( )11

2 1

51 5 4 1 4 1

4CTTQ

n

uu u n d n n

d u u

ì =ïï ¾¾¾ = + - = + - = +íï = - =ïî

Câu 7: Cho cấp số cộng ( )nu có 1 3u =- và 1.

2d = Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ( )13 1 .

2nu n=- + + B. 13 1.

2nu n=- + -

C. ( )13 1 .

2nu n=- + - D. ( )13 1 .

4nu n=- + -

Lời giải.

Chọn C

Ta có ( ) ( )1

1

31

1 3 112

2

CTTQn

uu u n d n

d

ì =-ïïï ¾¾¾ = + - =- + -íï =ïïî

Câu 8: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. 7 3 .nu n= - B. 7 3 .nnu = - C. 7

.3nun

= D. 7.3 .nnu =

Lời giải.

Chọn A

Dãy ( )nu là cấp số cộng nu an b = + ( ,a b là hằng số).


Trang 248

Câu 9: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. ( ) ( )1 2 1 .n

nu n= - + B. sin .nun

p= C. 1

1

1.

1n n

u

u u -

ì =ïïíï = -ïî D. 1

1

1.

2n n

u

u u -

ì =ïïíï =ïî

Lời giải.

Chọn C

Dãy ( )nu là một cấp số cộng 1n nu u d- = + ( d là hằng số).

Câu 10: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

A. 4 9.nu n=- + B. 2 19.nu n=- + C. 2 21.nu n=- - D. 2 15.nnu =- +

Lời giải.

Chọn D

Dãy số 2 15nnu =- + không có dạng an b+ nên có không phải là cấp số cộng.

Câu 11: Cho cấp số cộng ( )nu có 1 5u =- và 3.d = Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 15 34.u = B. 15 45.u = C. 13 31.u = D. 10 35.u =

Lời giải.

Chọn C

151

13

10

375

3 8 313

22n

uu

u n ud

u

ì =ïïì =-ï ïï ï¾¾ = - ¾¾ =í íï ï=ï ïî ï =ïî

Câu 12: Cho cấp số cộng ( )nu có 1

1

4u = và 1

.4

d =- Gọi 5S là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số

cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 5

5.

4S =- B. 5

4.

5S = C. 5

5.

4S = D. 5

4.

5S =-

Lời giải.

Chọn A

1

5 1

15.4 1 1 54 5 5. 10.

1 2 4 4 4

5

uS u d

d

ìïï =ï æ öïï ÷ç¾¾ = + = + - =-÷í ç ÷çï è øï =-ïïïî

Câu 13: Cho cấp số cộng ( )nu có 2 d =- và 8 72.S = Tìm số hạng đầu tiên 1.u

A. 1 16.u = B. 1 16 .u =- C. 1

1.

16u = D. 1

1.

1

6u =-

Lời giải.


Trang 249

Chọn A

( )1 1

8 1

272 8 28. 2 168.7

72 82

du u

S u d

ì =-ïïï ¾¾ = + - =íï = = +ïïî

Câu 14: Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó

số hạng thứ n của cấp số cộng đó là nu có giá trị là bao nhiêu?

A. 57.nu = B. 61.nu = C. 65.nu = D. 69.nu =

Lời giải.

Chọn C

( )1 2

2

1

1, 4

561 .4 2 561 0 17.12561

2n

u dn n

n n n nn nS nu d

ì = =ïï -ïï ¾¾ = + - - = =í -ï = = +ïïïî

17 1 16 1 16.4 65= = + = + = ¾¾nu u u d C

Câu 15: Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng

thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?

A. 2.d = B. 3.d = C. 4.d = D. 5.d =

Lời giải.

Chọn A

( )

1112

112 1 12

111 2323

2312144 144 2

2 11

uu du

uS u u d

ìì =+ = ïï ïì ï=ï ïïï ¾¾ í í í -ï ï ï= + = = =ï ï ïî ï ïî î

Câu 16: Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 23 19

4n

n nS

-= với *n Î . Tìm số hạng

đầu tiên 1u và công sai d của cấp số cộng đã cho.

A. 1

12; .

2u d= =- B. 1

34; .

2u d=- = C. 1

3; 2.

2u d=- =- D. 1

5 1; .

2 2u d= =

Lời giải.

Chọn B

Ta có 2 2

2 21 1

3 19 3 19

4 4 4 2 2 2

æ ö- - ÷ç= - = = + = + - ÷ç ÷çè øn

n n n n d dn n S nu d n u n

1

1

34

2 4 .319

22 4

ìï ìï =-= ïï ïï ïï í íï ï =ï ï- =-ï ïîïïî

du

d du

Câu 17: Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là 2 4nS n n= + với *n Î . Tìm số hạng

tổng quát nu của cấp số cộng đã cho.


Trang 250

A. 2 3.nu n= + B. 3 2.nu n= + C. 15.3 .nnu -= D.

18

5. .5

n

nu-æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø

Lời giải.

Chọn A

Ta có 2 21

1

124

2 24

2

ìïï =ïæ ö ïï÷ç+ = = + - ÷ íç ÷ç ïè ø ï - =ïïïî

n

dd d

n n S n u nd

u

1 52 3

2 n

uu n

d

ì =ïï ¾¾ = +íï =ïî

Câu 18: Cho cấp số cộng ( )nu có 2 2001u = và 5 1995u = . Khi đó 1001u bằng:

A. 1001 4005.u = B. 1001 4003.u = C. 1001 3.u = D. 1001 1.u =

Lời giải.

Chọn C

2 1 11001 1

5 1

2001 20031000 3

1995 4 2

u u d uu u d

u u d d

ì ì= = + =ï ïï ï ¾¾ = + =í íï ï= = + =-ïï îî

Câu 19: Cho cấp số cộng ( )nu , biết: 11, 8n nu u +=- = . Tính công sai d cảu cấp số cộng đó.

A. 9.d =- B. 7.d = C. 7.d =- D. 9.d =

Lời giải.

Chọn D

( )1 8 1 9n nd u u+= - = - - =

Câu 20: Cho cấp số cộng ( ).nu Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

A. 10 205 10 .

2

u uu u

+= + B. 90 210 1502 .u u u+ = C. 10 30 20. .u u u= D. 10 30

20

..

2

u uu=

Lời giải.

Chọn B

Xét đáp án A: 10 30 1 1

1

5 10 1 1 2

9 2919

2 24 9 2 13

u u u d u du d

u u u d u d u d

ì + + + +ïï = = +ïï ¾¾íïï + = + + + = +ïïî

loại

Xét đáp án B: ( )

( )90 210 2 1

150 1

2 298 2 149

2 2 159

u u u d u d

u u d

ìï + = + = +ïíï = +ïî

Nhận xét: Có thể lấy một cấp số cộng cụ thể để kiểm tra, ví dụ ( )* .nu n n= Î

Câu 21: Cho cấp số cộng ( )nu thỏa mãn 2 23 60.u u+ = Tính tổng 24S của 24 số hạng đầu tiên của

cấp số cộng đã cho.


Trang 251

A. 24 60.S = B. 24 120.S = C. 24 720.S = D. 24 1440.S =

Lời giải.

Chọn C

( ) ( )2 23 1 1 160 22 60 2 23 60.u u u d u d u d+ = + + + = + =

Khi đó ( ) ( )( ) ( )24 1 24 1 1 1

2412 23 12 2 23 12.60 720.

2= + = + + = + = =S u u u u d u d

Câu 22: Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17;

tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã

cho.

A. 2.d = B. 3.d =- C. 4.d = D. 5.d =

Lời giải.

Chọn B

1 6 1 1

12 4

17 2 5 17 16

2 6 1414 3

u u u d u

u du u d

ì ì ì+ = + = =ï ï ïï ï ï í í íï ï ï+ =+ = =-ïï ï îîî

Câu 23: Cho cấp số cộng ( )nu thỏa mãn 7 3

2 7

8.

75

u u

u u

ì - =ïïíï =ïî Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.

A. 2

.1

d = B. 1

. 3

d = C. 2.d = D. 3.d =

Lời giải.

Chọn C

( ) ( )( )( ) ( )( )

1 17 3

1 12 7 1 1

6 2 8 28

2 12 7575 6 75

u d u d du u

u uu u u d u d

ì ìì ï + - + = =- = ïï ïï ï í í íï ï ï + + == + + =ï ï ïî îî

Câu 24: Cho cấp số cộng ( )nu thỏa mãn 1 7

2 22 6

26.

466

u u

u u

ì + =ïïíï + =ïî Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1 13.

3

u

d

ì =ïïíï =-ïî B. 1 10

.3

u

d

ì =ïïíï =-ïî C. 1 1

.4

u

d

ì =ïïíï =ïî D. 1 13

.4

u

d

ì =ïïíï =-ïî

Lời giải.

Chọn C

Ta có( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 11 7

2 2 2 22 22 6 1 1 1 1

2 6 26 13 3 (1)26.

466 5 466 5 466 2

u d u du u

u u u d u d u d u d

ì ì+ = = -ì ï ï+ =ï ï ïï ï ï í í íï ï ï+ = + + + = + + + =ï ï ïî ï ïî î

Thay (1) và (2) ta được: ( ) ( )2 2 213 2 13 2 466 8 338 466- + + = + =d d d

1

1

4 1

4 25

d u

d u

é = =ê ê =- =ë


Trang 252

Câu 25: Cho cấp số cộng ( )nu thỏa mãn 1 3 5

1 6

15.

27

u u u

u u

ì - + =ïïíï + =ïî Chọn khẳng định đúng trong các khẳng

định sau?

A. 1 21.

3

u

d

ì =ïïíï =ïî B. 1 21

.3

u

d

ì =ïïíï =-ïî C. 1 18

.3

u

d


.4

u

d

ì =ïïíï =ïî

Lời giải.

Chọn B

Ta có ( ) ( )( )

1 1 11 3 5

1 6 1 1

2 4 1515

27 5 27

ìì ï - + + + =- + =ï ïï í íï ï+ = + + =ï ïî î

u u d u du u u

u u u u d1 1

1

2 15 21.

2 5 27 3

ì ì+ = =ï ïï ï í íï ï+ = =-ïï îî

u d u

u d d

Câu 26: Cho cấp số cộng ( )nu thỏa 2 4 6

2 3

36.

54

u u u

u u

ì + + =ïïíï =ïîTìm công sai d của cấp số cộng ( )nu biết

10.d <

A. 3.d = B. . 4 d = C. 5.d = D. 6.d =

Lời giải.

Chọn A

Ta có ( ) ( ) ( )( )( )

1 1 12 4 6

2 3 1 1

3 5 3636

54 2 54

u d u d u du u u

u u u d u d

ìì ï + + + + + =+ + =ï ïï í íï ï= + + =ï ïî î

( )( )( ) ( )

1

1 1

3 12 1

2 4.

5 2

u d

u d u d

+ =

+ + =

ìïïíïïî Từ ( )1 suy ra 1 12 3u d= - . Thay vào ( )2 , ta được

( )( ) 212 2 12 54 18 45 0 3d d d d d- - = - + = = hoặc 15=d .

Câu 27: Cho cấp số cộng ( )nu thỏa 1 2 3

2 2 21 2 3

27

275

u u u

u u u

ì + + =ïïíï + + =ïî. Tính 2.u

A. 2 3.u = B. 2 6.u = C. 2 9.u = D. 2 12.u =

Lời giải.

Chọn C

Ta có ( ) ( )

( ) ( )1 1 11 2 3

2 22 2 2 21 2 3 1 1 1

2 2727

275 2 275

u u d u du u u

u u u u u d u d

ìï + + + + =ì + + =ï ïï ïí íï ï+ + = + + + + =ï ïî ïî

( )( ) ( ) ( )

1

2 221 1 1 2

.9 1

275 2

u d

u u d u d

+ =

+

ìïïïíïïïî + + + =

Từ ( )1 suy ra 19d u= - . Thay vào ( )2 , ta được

( ) ( )222 2

1 1 1 1 1 1 1 19 2 9 275 18 65 0 13u u u u u u u ué ù+ + - + + - = - + = =ë û hoặc 1 5u = .

Vậy 1 13

4

u

d

ì =ïïíï =-ïî hoặc 1

2 1

59

4

uu u d

d

ì =ïï ¾¾ = + =íï =ïî

Câu 28: Tính tổng 15 20 25 ... 7515.T = + + + +


Trang 253

A. 5651265.T = B. 5651256.T = C. 5651625.T = D. 5651526.T =

Lời giải.

Chọn A

Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu 1 15u = và

công sai 5.d =

Giả sử tổng trên có n số hạng thì 7515nu =

( ) ( )1 1 7515 15 1 5 7515 1501u n d n n + - = + - = = .

Vậy ( ) ( )1

1501

2 1500 .1501 2.15 1500.5 .15015651265

2 2

u dT S

+ += = = =

Câu 29: Tính tổng 2 2 2 2 2 21000 999 998 997 ... 2 1 .T = - + - + + -

A. 500500.T = B. 500005.T = C. 505000.T = D. 500050.T =

Lời giải.

Chọn A

Ta có ( ) ( ) ( )1. 1000 999 1. 998 997 ... 1. 2 1 1999 1995 ... 3.T = + + + + + + = + + +

Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu 1 1999u = và

công sai 4.d =-

Giả sử tổng trên có n số hạng thì

( ) ( )( )13 1 3 1999 1 4 3 500.nu u n d n n= + - = + - - = =

Vậy ( ) ( )1 500

500

.500 1999 3 .500500500

2 2

u uT S

+ += = = =

Câu 30: Cho cấp số cộng 1 2 3; ; ; ; nu u u u có công sai ,d các số hạng của cấp số cộng đã cho đều

khác 0. Với giá trị nào của d thì dãy số 1 2 3

1 1 1 1; ; ; ;

nu u u u là một cấp số cộng?

A. 1.d =- B. 0.d = C. 1.d = D. 2.d =

Lời giải.

Chọn B

Ta có 2 1 2 1 1 2

3 2

3 2 2 3

1 1

.1 1

d

u u d u u u u

u u d d

u u u u

ìïï - =-ïì ï- =ï ïï í íï ï- =ï ïî - =-ïïïî

Theo yêu cầu bài toán thì ta phải có 2 1 3 2

1 1 1 1- = -

u u u u

1 3 11 3

00

01 12

dd

du u u d

u u

é =ê é =ê ê =ê ê= = = +ëêë


Trang 254

Câu 31: Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là:

A. 20 và 70 . B. 45 và 45 . C. 20 và 45 . D. 30 và 60 .

Lời giải.

Chọn D

Ba góc , ,A B C của một tam giác vuông theo thứ tự đó ( A B C< < ) lập thánh cấp số cộng

nên 90, 2C C A B= + = .

Ta có 180 3 180 60

2 2 30

90 90 90

A B C B B

A C B A C B A

C C C

ì ì ì+ + = = =ï ï ïï ï ïï ï ïï ï ï+ = + = =í í íï ï ïï ï ïï ï ï= = =ï ï ïî î î

Câu 32: Ba góc ( ), ,A B C A B C< < của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi

góc bé nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng:

A. 40 . B. 45 . C. 60 . D. 80 .

Lời giải.

Chọn A

Ba góc , ,A B C của một tam giác theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, thì

2 , 2C A C A B= + = . Ta có

0 00 0

0 0 0

0

60 40180 3 180

2 2 120 60 40

2 2 2 80

B AA B C B

A C B A C B A C B C A

C A C A C A C

ì ìì ì ï ï= =ï ï+ + = = ï ïï ï ï ïï ï ï ïï ï+ = + = + = ¾¾ = ¾¾ - =í í í íï ï ï ïï ï ï ïï ï ï ï= = = =ï ï ï ïî î î î

.

Câu 33: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ

dài các cạnh của tam giác đó là:

A. 1 3; 1; .

2 2 B. 1 5

; 1; .3 3

C. 3 5; 1; .

4 4 D. 1 7

; 1; .4 4

Lời giải.

Chọn C

Ba cạnh ( ), ,a b c a b c< < của một tam giác theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thỏa

yêu cầu thì

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 1 .

2 2 2 2

a b c a b c a b c

a b c b b

a c b a c b a b c c

ì ì ìï ï ï+ = + = + =ï ï ïï ï ïï ï ï+ + = = =í í íï ï ïï ï ïï ï ï+ = + = = - - -ï ï ïî î î

Ta có ( )22 2 2 1 22

3

45

2 1 4 5 0 1 .4

5

4

== -

ìïï =ïïïïï+ = ¾¾¾ - + = - + = = =íïïïï =ïïïî

ba c

a

a b c c c c c b

c

Câu 34: Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?


Trang 255

A. 1635. B. 1792. C. 2055. D. 3125.

Lời giải.

Chọn C

Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có

30 số hạng có công sai 3d = và 1 25.u =

Tổng số ghế là 1 2 130 30

30.2930 2055

2uS u duu += + + =+ =

Câu 35: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,.Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

A. 73. B. 75. C. 77. D. 79.

Lời giải.

Chọn C

Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng ( )nu có

1 1, 1.u d= = Giả sử có n hàng cây thì 1 2 3003 .n nu u u S+ + + = =

Ta có ( ) 2

1

13003 6006 0 77

2n

n nS nu d n n n

-= = + + - = =

Câu 36: Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?

A. 78. B. 156. C. 300. D. 48.

Lời giải.

Chọn C

Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giời) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số

hạng với 1 1,u = công sai 1.d = Vậy số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là:

( ) ( )24 1 24

2412 1 24 300

2S S u u= = + = + =

Câu 37: Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô

thứ hai là 5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n . Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta

phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?

A. 98. B. 100. C. 102. D. 104.

Lời giải.

Chọn B


Trang 256

Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ( )nu có

1 7, 5.u d= = Gọi n là số ô trên bàn cờ thì 1 2 25450 .n nu Su u + = =+ + Ta có

( ) 2

1

125450 7 .5

2 2

- -= = + = +n

n n n nS nu d n

25 9 50900 0 100n n n + - = =

Câu 38: Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?

A. 5.2500.000 đồng. B. 10.125.000 đồng. C. 4.000.000 đồng. D. 4.245.000 đồng.

Lời giải.

Chọn B

Giá tiền khoang mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng ( )nu có

1 80000, 5000.u d= = Do cần khoang 50 mét nên tổng số tiền cần trả là

01 502 5 1

50.4950 50.80000 1225.5000 10125000

2u u u S u d+ = = + = + =+ +

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ.

Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 108

CHƯƠNG 2. TỔ HỢP XÁC SUẤT

BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM


I. QUI TẮC CỘNG

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là cách đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:

Nếu A và B là các tập hữu hạn không giao nhau thì

n A B n A n B

Chú ý: Quy tắc công có thể mở rộng cho nhiều hành động

Ví dụ 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thuỷ. Cần chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn?

Giải

Chọn đường bộ thì có 3 cách; chọn đường thủy có 2 cách.

Vậy có : 3 2 5 cách chọn.

Ví dụ 2: Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6 loại nước ngọt. Thực khách cần chọn đúng 1 loại thức uống. Hỏi có mấy cách chọn ?

Giải

Chọn rượi có 3 cách, chọn bia có 4 cách, chọn nước ngọt có 6 cách

Vậy có : 3 4 6 13 cách chọn.

II. QUI TẮC NHÂN

Một công việc được hoàn thành bao gồm hai công đoạn A và B (hai hành động liên tiếp). Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.

Ví dụ 1: Giữa thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội có 3 loại phương tiện giao thông: đường bộ, đường sắt và đường hàng không. Hỏi có mấy cách chọn phương tiện giao thông để đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội rồi quay về?

Giải

Đi từ Hồ Chí Minh đến Hà Nội có 3 cách chọn phương tiện.

Khi đi về từ Hà Nội đến HCM có 3 cách.

Vậy có : 3 3 9 cách chọn.

Ví dụ 2: Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 uỷ viên thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có mấy cách bầu?



Trang 109

Giải

Có 15 cách chọn chủ tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch và phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký.

Vậy có : 15 14 3 2730 cách chọn.

3. Các dấu hiệu chia hết {kiến thức bổ sung}

Chia hết cho 2: số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.

Chia hết cho 3: tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ: 276).

Chia hết cho 4: số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4 (ví dụ : 1300, 2512, 708).

Chia hết cho 5: số tận cùng là 0, 5.

Chia hết cho 6: số chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

Chia hết cho 8: số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8 (ví dụ : 15000, 2016, 13824).

Chia hết cho 9: tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835).

Chia hết cho 25: số tận cùng là 00, 25, 50, 75.

Chia hết cho 10: số tận cùng là 0.

Ví dụ. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho 9.

Giải

Gọi n abc là số cần lập.

m a ʹb ʹc ʹ là số gồm 3 chữ số khác nhau.

1 1 1m ʹ a b c là số gồm 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 9.

Ta có : Tập các số n Tập các số m Tập các số

* Tìm m : có 5 cách chọn a ʹ (vì a ʹ 0 ), có 5 cách chọn b ʹ (vì b ʹ a ʹ ), có 4 cách chọn c ʹ ( vì

c ʹ a ʹ và c ʹ b ʹ ). Vậy có : 5.5.4 100 sốm.

* Tìm m ʹ : trong các chữ số đã cho, 3 chữ số có tổng chia hết cho 9 là {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}

– Với {0,4,5}: có 2 cách chọn 1a , 2 cách chọn 1b , 1 cách chọn 1c , được 2.2.1 4 số m ʹ

– Với {1,3,5}: có 3! = 6 số m ʹ

– Với {2,3,4}: có 3! = 6 số m ʹ

– Vậy có : 4 + 6 + 6 = 16 số m ʹ

Suy ra có : 100 – 16 = 84 số n.



Trang 110

Chú ý: Qua ví dụ trên, ta thấy nếu số cách chọn thỏa tính chất p nào đó quá nhiều, ta có thể làm

như sau: Số cách chọn thỏa p bằng số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn không thỏap. Người ta còn

gọi cách làm này là dùng “phần bù”.


Dạng 1. Quy tắc cộng

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa?


* TH 1: Chọn bông hồng trắng có 5 cách chọn

* TH 2: Chọn bông hồng đỏ có 6 cách chọn

* TH 3: Chọn bông hồng vàng có 7 cách chọn

Vậy có 5 6 7 18 cách.

Ví dụ 2: Trong một hộp có 10 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?


Có 10 cách chọn một quả cầu trắng và 5 cách chọn một quả cầu đen.

Vậy cách chọn một trong các quả cầu ấy là: 10 5 15 (cách).

Ví dụ 3: Lớp 11A có 30 học sinh và lớp 11B có 32 học sinh, có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh từ 2 lớp trên để tham gia đội công tác xã hội?


Có 30 cách chọn một học sinh lớp 11A và 32 cách chọn một học sinh lớp 11B.Vậy số cách chọn một học sinh từ 2 lớp trên là: 30 32 62 (cách).

Ví dụ 4: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm một chữ số?

A. 36. B. 720.

C. 6. D. 120.


Nếu gọi x là số tự nhiên gồm một chữ số thì x 1 hoặc x 2 hoặc x 3 hoặc x 4 hoặc x 5

hoặc x 6.

Vậy có 6 số tự nhiên gồm một chữ số.


Câu 1. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc cỡ 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo

cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo)?



Trang 111

A. 9. B. 5. C. 4. D. 1.

Lời giải

Chọn A

· Nếu chọn cỡ áo 39 thì sẽ có 5 cách.

· Nếu chọn cỡ áo 40 thì sẽ có 4 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có 5 4 9+ = cách chọn mua áo.

Câu 2. Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn

một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là:

A. 13. B. 72. C. 12. D. 30.

Lời giải

Chọn A

· Nếu chọn một cái quần thì sẽ có 4 cách.

· Nếu chọn một cái áo thì sẽ có 6 cách.

· Nếu chọn một cái cà vạt thì sẽ có 3 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có 4 6 3 13+ + = cách chọn.

Câu 3. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau.

Một học sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách chọn khác nhau là:

A. 480. B. 24. C. 48. D. 60.

Lời giải

Chọn B

· Nếu chọn một cây bút chì thì sẽ có 8 cách.

· Nếu chọn một cây bút bi thì sẽ có 6 cách.

· Nếu chọn một cuốn tập thì sẽ có 10 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có 8 6 10 24+ + = cách chọn.

Câu 4. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần

chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?

A. 45. B. 280. C. 325. D. 605.

Lời giải

Chọn D

· Nếu chọn một học sinh nam có 280 cách.

· Nếu chọn một học sinh nữ có 325 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có 280 325 605+ = cách chọn.



Trang 112

Câu 5. Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định

chọn một học sinh tiên tiến lớp 11A hoặc lớp 12 .B Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết

rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến?

A. 31. B. 9. C. 53. D. 682.

Lời giải

Chọn C

· Nếu chọn một học sinh lớp 11A có 31 cách.

· Nếu chọn một học sinh lớp 12B có 22 cách.


Câu 6. Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được

đánh số 7, 8, 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?

A. 27. B. 9. C. 6. D. 3.

Lời giải

Chọn B

Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.

· Nếu chọn một quả trắng có 6 cách.

· Nếu chọn một quả đen có 3 cách.


Câu 7. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay.

Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B ?

A. 20. B. 300. C. 18. D. 15.

Lời giải

㋅họn A

· Nếu đi bằng ô tô có 10 cách.

· Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách.

· Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách.

· Nếu đi bằng máy bay có 2 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có 10 5 3 2 20+ + + = cách chọn.

Câu 8. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề

tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn

hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?

A. 20. B. 3360. C. 31. D. 30.



Trang 113

Lời giải

Chọn C

· Nếu chọn đề tài về lịch sử có 8 cách.

· Nếu chọn đề tài về thiên nhiên có 7 cách.

· Nếu chọn đề tài về con người có 10 cách.

· Nếu chọn đề tài về văn hóa có 6 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có 8 7 10 6 31+ + + = cách chọn.

Dạng 2. Quy tắc nhân

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau?


Mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát (gồm 3 tiết mục thuộc ba thể loại khác nhau)

Chọn 1 vở kịch có: 2 cách chọn

Chọn 1 điệu múa có: 3 cách chọn

Chọn 1 bài hát có: 6 cách

Vậy có: 2 3 6 36 cách.

Ví dụ 2: Dãy 1 2 3 4x , x , x , x với mỗi kí tự ix chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1. Hỏi có bao nhiêu dãy như

vậy?


Mỗi kí tự ix có hai cách chọn (0 hoặc 1).

Vậy có tất cả: 2 2 2 2 16 dãy 1 2 3 4x , x , x , x .

Ví dụ 3: Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 24 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn hai học sinh: 1 nam và 1 nữ tham gia đội cờ đỏ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm đó có bao nhiêu cách chọn?


Có 20 cách chọn một học sinh nam và 24 cách chọn một học sinh nữ.

Vì vậy có 20 24 480 cách chọn hai học sinh (1 nam, 1 nữ).

Ví dụ 4: Số các số chẵn có hai chữ số là:




Trang 114

Số chẵn có hai chữ số có dạng ab với a 0, b chẵn.

+ Chọn a 1,2,3,4,5,6,7,8,9 , có 9 cách chọn.

+ Chọn b 0,2,4,6,8 , có 5 cách chọn.

Vậy có tất cả 9 5 45 số.


Câu 1: Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

A. 4. B. 7. C. 12. D. 16.

Lời giải

Chọn C

Để chọn một chiếc đồng hồ, ta có:

· Có 3 cách chọn mặt.

· Có 4 cách chọn dây.

Vậy theo qui tắc nhân ta có 3 4 12´ = cách.

Câu 2: Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách chọn bộ '' quần-áo-cà vạt '' khác nhau?

A. 13. B. 72. C. 12. D. 30.

Lời giải

Chọn B

Để chọn một bộ '' quần-áo-cà vạt '' , ta có:

· Có 4 cách chọn quần.

· Có 6 cách chọn áo.

· Có 3 cách chọn cà vạt.

Vậy theo qui tắc nhân ta có 4 6 3 72´ ´ = cách.

Câu 3: Một thùng trong đó có 12 hộp đựng bút màu đỏ, 18 hộp đựng bút màu xanh. Số cách khác

nhau để chọn được đồng thời một hộp màu đỏ, một hộp màu xanh là?

A. 13. B. 12. C. 18. D. 216.

Lời giải

Chọn D

Để chọn một hộp màu đỏ và một hộp màu xanh, ta có:

· Có 12 cách chọn hộp màu đỏ.

· Có 18 cách chọn hộp màu xanh.




Trang 115

Câu 4: Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Số

cách khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập.

A. 24. B. 48. C. 480. D. 60.

Lời giải

Chọn C

Để chọn '' một cây bút chì - một cây bút bi - một cuốn tập '' , ta có:

· Có 8 cách chọn bút chì.

· Có 6 cách chọn bút bi.

· Có 10 cách chọn cuốn tập.


Câu 5: Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách

chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu.

A. 240. B. 210. C. 18. D. 120.

Lời giải

Chọn B

Để chọn ba bông hoa có đủ cả ba màu (nghĩa là chọn một bông hoa hồng trắng- một bông hoa hồng đỏ- hoa hồng vàng), ta có:

· Có 5 cách chọn hoa hồng trắng.

· Có 6 cách chọn hoa hồng đỏ.

· Có 7 cách chọn hoa hồng vàng.


Câu 6: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món ăn trong năm món, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một nước uống trong ba loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn.

A. 25. B. 75. C. 100. D. 15.

Lời giải

Chọn B

Để chọn thực đơn, ta có:

· Có 5 cách chọn món ăn.

· Có 5 cách chọn quả tráng miệng.

· Có 3 cách chọn nước uống.




Trang 116

Câu 7: Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần

chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?

A. 910000. B. 91000. C. 910. D. 625.

Lời giải

Chọn B

Để chọn một nam và một nữ đi dự trại hè, ta có:

· Có 280 cách chọn học sinh nam.

· Có 325 cách chọn học sinh nữ.


Câu 8: Một đội học sinh giỏi của trường THPT, gồm 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 3 học

sinh khối 10. Số cách chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em?

A. 12. B. 220. C. 60. D. 3.

Lời giải

Chọn C

Để chọn một nam và một nữ đi dự trại hè, ta có:

· Có 5 cách chọn học sinh khối 12.




Câu 9: Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà

trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng?

A. 100. B. 91. C. 10. D. 90.

Lời giải

Chọn D

Để chọn một người đàn ông và một người đàn bà không là vợ chồng, ta có

· Có 10 cách chọn người đàn ông.

· Có 9 cách chọn người đàn bà.


Câu 10: An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4

con đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn

đường đi đến nhà Cường?

A. 6. B. 4. C. 10. D. 24.

Lời giải



Trang 117

Chọn D

· Từ An ¾¾ Bình có 4 cách.

· Từ Bình ¾¾ Cường có 6 cách.


Câu 11: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

A. 9. B. 10. C. 18. D. 24.

Lời giải

Chọn D

· Từ A B¾¾ có 4 cách.

· Từ B C¾¾ có 2 cách.

· Từ C D¾¾ có 2 cách.


Câu 12: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A?

A. 1296. B. 784. C. 576. D. 324.

Lời giải

Chọn C

Từ kết quả câu trên, ta có:

· Từ A D¾¾ có 24 cách.

· Tương tự, từ D A¾¾ có 24 cách.


Câu 13: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (thăm một bạn không quá một lần)?

A. 3991680. B. 12!. C. 35831808. D. 7!.

Lời giải

Chọn A

Một tuần có bảy ngày và mỗi ngày thăm một bạn.



Trang 118

· Có 12 cách chọn bạn vào ngày thứ nhất.

· Có 11 cách chọn bạn vào ngày thứ hai.

· Có 10 cách chọn bạn vào ngày thứ ba.

· Có 9 cách chọn bạn vào ngày thứ tư.

· Có 8 cách chọn bạn vào ngày thứ năm.

· Có 7 cách chọn bạn vào ngày thứ sáu.

· Có 6 cách chọn bạn vào ngày thứ bảy.

Vậy theo qui tắc nhân ta có 3991612 11 10 9 8 7 06 8´ ´ ´ ´ ´ ´ = cách.

Câu 14: Nhãn mỗi chiếc ghế trong hội trường gồm hai phần: phần đầu là một chữ cái (trong bảng

24 chữ cái tiếng Việt), phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao

nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau?

A. 624. B. 48. C. 600. D. 26.

Lời giải

Chọn C

Một chiếc nhãn gồm phần đầu và phần thứ hai { }1;2;...;25Î .

· Có 24 cách chọn phần đầu.

· Có 25 cách chọn phần thứ hai.


Câu 15: Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu

tiên là một chữ cái (trong bảng 26 cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập

{ }1;2;...;9 , mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập { }0;1;2;...;9 . Hỏi nếu chỉ dùng một

mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?

A. 2340000. B. 234000. C. 75. D. 2600000.

Lời giải

Chọn A

Giả sử biển số xe là 1 2 3 4 5 6a a a a a a .

· Có 26 cách chọn 1a






Vậy theo qui tắc nhân ta có 26 9 10 10 10 10 2340000´ ´ ´ ´ ´ = biển số xe.



Trang 119

Câu 16: Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên?

A. 160. B. 240. C. 180. D. 120.

Lời giải

Chọn C

Ta có 3 4 8253125000 2 .3 .5= nên mỗi ước số tự nhiên của số đã cho đều có dạng 2 3 5m n p´ ´

trong đó , , m n pÎ sao cho 0 3; 0 4; 0 8.m n p£ £ £ £ £ £

· Có 4 cách chọn .m

· Có 5 cách chọn .n

· Có 9 cách chọn .p

Vậy theo qui tắc nhân ta có 4 5 9 180´ ´ = ước số tự nhiên.

Câu 17: Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số (không nhất

thiết phải khác nhau)?

A. 324. B. 256. C. 248. D. 124.

Lời giải

Chọn B

Gọi số cần tìm có dạng abcd với ( ) { }, , , 1, 5, 6, 7 .a b c d AÎ =

Vì số cần tìm có 4 chữ số không nhất thiết khác nhau nên:

a được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.

b được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.

c được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.

d được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có 4 4 4 4 256´ ´ ´ = số cần tìm.

Câu 18: Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

A. 36. B. 24. C. 20. D. 14.

Lời giải

Chọn B

Gọi số cần tìm có dạng abcd với ( ) { }, , , 1,5, 6,7 .a b c d AÎ =

Vì số cần tìm có 4 chữ số khác nhau nên:

· a được chọn từ tập A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.

· b được chọn từ tập { }\A a (có 3 phần tử) nên có 3 cách chọn.

· c được chọn từ tập { }\ ,A a b (có 2 phần tử) nên có 2 cách chọn.

· d được chọn từ tập { }\ , ,A a b c (có 1 phần tử) nên có 1 cách chọn.



Trang 120

Như vậy, ta có 4 3 2 1 24´ ´ ´ = số cần tìm.

Câu 19: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn?

A. 99. B. 50. C. 20. D. 10.

Lời giải

Chọn C

Gọi số cần tìm có dạng ab với ( ) { }, 0,2, 4, 6,8a b AÎ = và 0.a ¹

Trong đó:

· a được chọn từ tập { }\ 0A (có 4 phần tử) nên có 4 cách chọn.

· b được chọn từ tập A (có 5 phần tử) nên có 5 cách chọn.

Như vậy, ta có 4 5 20´ = số cần tìm.

Câu 20: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100 ?

A. 36. B. 62. C. 54. D. 42.

Lời giải

Chọn D

Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập

{ }1, 2,3, 4,5, 6 .A = Từ tập A có thể lập được 6 số có một chữ số.

Gọi số có hai chữ số có dạng ab với ( ), .a b AÎ

Trong đó:

· a được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn.

· b được chọn từ tập A (có 6 phần tử) nên có 6 cách chọn.

Như vậy, ta có 6 6 36´ = số có hai chữ số.

Vậy, từ A có thể lập được 36 6 42+ = số tự nhiên bé hơn 100.

Câu 21: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau?

A. 154. B. 145. C. 144. D. 155.

Lời giải

Chọn C

Gọi số cần tìm có dạng abcd với ( ) { }, , , 0,1, 2,3, 4,5 .a b c d AÎ =

Vì abcd là số lẻ { }1,3,5 :d d = có 3 cách chọn.

Khi đó :a có 4 cách chọn (khác 0 và d ), :b có 4 cách chọn và :c có 3 cách chọn.

Vậy có tất cả 3 4 4 3 144´ ´ ´ = số cần tìm.

Câu 22: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?



Trang 121

A. 156. B. 144. C. 96. D. 134.

Lời giải

Chọn A

Gọi số cần tìm có dạng abcd với ( ) { }, , , 0,1, 2,3, 4,5 .a b c d AÎ =

Vì abcd là số chẵn { }0, 2, 4 .d =

TH1. Nếu 0,d = số cần tìm là 0.abc Khi đó:

· a được chọn từ tập { }\ 0A nên có 5 cách chọn.

· b được chọn từ tập { }\ 0,A a nên có 4 cách chọn.

· c được chọn từ tập { }\ 0, ,A a b nên có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có 5 4 3 60´ ´ = số có dạng 0.abc

TH2. Nếu { }2, 4 :d d= có 2 cách chọn.

Khi đó :a có 4 cách chọn (khác 0 và d ), :b có 4 cách chọn và :c có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có 2 4 4 3 96´ ´ ´ = số cần tìm như trên.

Vậy có tất cả 60 96 156+ = số cần tìm.


Trang 122

BÀI 2. HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP – TỔ HỢP


I. HOÁN VỊ

1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Nhận xét:

Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba phân tử a, b, c là khác nhau.

2. Số hoán vị

Kí hiệu nP là số hoán vị của n phần tử. Ta có công thức sau:

Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Giải

Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.

Vậy có 5P 5! 120 cách sắp.

Ví dụ 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.

Giải

Gọi 1 2 3 4 5A a a a a a với 1a 0 và 1 2 3 4 5a , a , a , a , a phân biệt là số cần lập.

Bước 1: chữ số 1a 0 nên có 4 cách chọn a1.

Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! 24 cách.

Vậy có 4 24 96 số.

II. CHỈNH HỢP

1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 . Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A theo một thứ tự nào đó

được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

2. Số các chỉnh hợp

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

kn

n!A n(n 1)(n 2)...(n k 1) , 1 k n

(n k)!

Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k 0 hoặc k n.


Trang 123

Khi k n thì nn nA P n!.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số điện thoại bắt đầu bằng 2 chữ cái khác nhau lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z và tiếp theo là 5 chữ số khác nhau không có số 0.

Giải

Chọn 2 chữ cái trong 26 chữ cái, xếp vào hai vị trí đầu tiên, đây là chỉnh hợp chập 2 của 26 phần tử. Tiếp theo, chọn 5 chữ số trong 9 chữ số khác 0, xếp vào 5 vị trí, đây là chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử.

Vậy có : 2 526 9A .A 9828000 số.

Ví dụ 4: Một đội bóng đá có 18 cầu thủ. Cần chọn ra 11 cầu thủ phân vào 11 vị trí trên sân để thi đấu chính thức. Hỏi có mấy cách chọn nếu:

a) Ai cũng có thể chơi ở bất cứ vị trí nào?

b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được?

c) Có 3 cầu thủ chỉ có thể làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được?

Giải

a) Chọn 11 người trong 18 người, xếp vào 11 vị trí. Đây là chỉnh hợp chập 11 của 18 phần tử. Có :

1118 127A 0312243 cách.

b) Chọn A làm thủ môn. Tiếp đến, chọn 10 người trong 17 người còn lại, xếp vào 10 vị trí.

Vậy có : 1017 70A 5729024 cách.

c) Chọn 1 trong 3 người làm thủ môn, có 3 cách. Tiếp đến, chọn 10 người trong 15 người kia, xếp

vào 10 vị trí, có 1015A cách.

Vậy, có: 1015 326913A 8592 cách.

III. TỔ HỢP

1. Định nghĩa

Cho tập A gồm n phần tử n 1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k

của n phần tử.

Chú ý:

Số k trong định nghĩa cần thỏa điều kiện 1 k n.

Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử.

2. Số các tổ hợp

Số các tổ hợp chập k của n phần tử:

kn

n!C .

k!(n k)!


Trang 124

Ví dụ: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Giải

Cách 1: Ta có các trường hợp sau

3 người được chọn gồm 1 nữ và 2 nam.

chọn ra 1 trong 3 nữ ta có 3 cách.

chọn ra 2 trong 5 nam ta có 25C cách

Suy ra có 253C cách chọn

3 người được chọn gồm 2 nữ và 1 nam.

chọn ra 2 trong 3 nữ có 23C cách.

chọn ra 1 trong 5 nam có 5 cách.

Suy ra có 235C cách chọn.

3 người chọn ra gồm 3 nữ có 1 cách.

Vậy có 2 25 33C 5C 1 46 cách chọn.

Cách 2: Số cách chọn 3 người bất kì là: 38C

Số cách chọn 3 người nam cả là: 35C

Vậy số cách chọn 3 người thỏa yêu cầu bài toán là:

3 38 5C C 46 cách.

3. Tính chất của các số knC

a) Tính chất 1: k n kn nC C

b) Tính chất 2: k k 1 k

n n 1 n 1C C C


Dạng 1. Hoán vị

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Số các số có năm chữ số khác nhau lập nên từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là:


Một số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập nên từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là một hoán vị của

năm chữ số đó. Vậy có tất cả 5! 120 (số).

Ví dụ 2: Người ta xếp 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Hóa và 3 quyển sách Lý lên một giá sách

theo từng môn. Số cách sắp xếp sẽ là:


Trang 125


Có 3 môn học nên có 3! cách xếp sách theo môn.

Trong đó có 5! cách xếp sách Toán, 4! cách xếp sách Hóa, và 3! cách xếp sách Lý. Vậy số cách xếp

tất cả là: 3! 4! 5! 3!.

Ví dụ 3: Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp để cho

học sinh nam và nữ xen kẽ nhau là:

A. 5!. B. 10!.

C. 22. 5! . D. 25! .


Ví dụ 4: Số cách sắp xếp chỗ cho 10 khách ngồi quanh một bàn tròn (hai cách xếp được coi là như

nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một góc nào đó) là:


Ví dụ 5: Long và Hưng cùng 8 bạn rủ nhau đi xem bóng đá. Số cách xếp nhóm bạn trên vào 10

chỗ ngồi sắp hàng ngang sao cho Long và Hưng ngồi cạnh nhau là:


Ví dụ 6: Có bao nhiêu cách dán 5 con tem khác nhau vào 5 phong bì khác nhau và mỗi phong bì

một tem?


Số cách dán 5 con tem vào 5 phong bì theo đề bài là số cách xếp có thứ tự 5 con tem vào 5 vị trí. Đó

chính là số hoán vị của 5 phần tử.

Do đó đáp số là 5P .

Ví dụ 7: Có bao nhiêu cách xếp 5 nam và 3 nữ ngồi trên một băng ghế dài sao cho nam ngồi kề

nhau và nữ ngồi kề nhau?


Xem 5 nam và 3 nữ lần lượt như 2 phần tử và.

Số cách sắp xếp vàvào 2 vị trí là: 2P 2 (cách).

Mỗi cách hoán vị 5 nam và 3 nữ cho nhau trong cùng một vị trí ta luôn thêm 5! 3! cách xếp

khác nhau.

Vậy số cách xếp theo yêu cầu bài toán là: 2 5! 3! 1440.


Câu 1: Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng? (giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau)

A. 120. B. 100. C. 80. D. 60.

Lời giải

Chọn A

Số các khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội

bóng là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5! 120= cách.

Câu 2: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài?

A. 120 B. 5 C. 20 D. 25

Lời giải

Chọn A


Trang 126

Số cách sắp xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài là một hoán vị của 5 phần

tử nên có 5! 120= cách.

Câu 3: Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là:

A. 6!4!. B. 10!. C. 6! 4!.- D. 6! 4!.+

Lời giải

Chọn B

Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ là một hoán vị của 10 phần tử nên có 10! cách.

Câu 4: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là

A. 24. B. 120. C. 60. D. 16.

Lời giải

Chọn A

Xếp bạn Chi ngồi giữa có 1 cách. Số cách xếp 4 bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ

còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có có 4! cách. Vậy có 24 cách xếp.

Câu 5: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế?

A. 120. B. 16 C. 12. D. 24.

Lời giải

Chọn C

Xếp An và Dũng ngồi hai đầu ghế có 2! cách xếp. Số cách xếp 3 bạn Bình, Chi, Lệ vào 3

ghế còn lại là một hoán vị của 3 phần tử nên có có 3! cách. Vậy có 2!.3! 12= cách.

Câu 6: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau?

A. 24. B. 48. C. 72. D. 12.

Lời giải

Chọn C

Số cách xếp 5 bạn vào 5 chỗ trên ghế dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5! 120=

cách.

Số cách xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi cạnh nhau là 2.4! 48= cách (An và

Dũng ngồi cạnh nhau xem như 1 bạn; xếp 4 bạn vào 4 chỗ có 4! cách; cách xếp An và

Dũng ngồi cạnh nhau là 2! 2= )

Vậy số cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau là

120 48 72- = cách.

Câu 7: Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?


Trang 127

A. 345600. B. 725760. C. 103680. D. 518400.

Lời giải

Chọn C

Số các hoán vị về màu bi khi xếp thành dãy là 3!

Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành dãy là 3!

Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành dãy là 4!

Số cách xếp 5 viên bi xanh khác nhau thành dãy là 5!

Số cách xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau

là 3!.3!.4!.5! 103680= cách.

Câu 8: Cô dâu và chú rể mời 6 người ra chụp ảnh kỉ niệm, người thợ chụp hình có bao nhiêu cách

sắp xếp sao cho cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau.

A. 8! 7!.- B. 2.7!. C. 6.7!. D. 2! 6!.+

Lời giải

Chọn B

Khi cô dâu, chú rể đứng cạnh nhau (có thể thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một phần

tử và đứng với 6 vị khách mời để chụp ảnh nên có 2.7! cách sắp xếp.

Câu 9: Trên giá sách muốn xếp 20 cuốn sách khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho tập 1

và tập 2 đặt cạnh nhau.

A. 20! 18!.- B. 20! 19!.- C. 20! 18!.2!.- D. 19!.18.

Lời giải

Chọn D

Sắp xếp 20 cuốn sách trên giá là một hoán vị của 20 phần tử nên ta có 20! cách sắp xếp.

Khi hai cuốn tập 1 và tập 2 đặt cạnh nhau (thay đổi vị trí cho nhau), ta coi đó là một

phần tử và cùng sắp xếp với 18 cuốn sách còn lại trên giá nên có 2.19! cách sắp xếp.

Vậy có tất cả 20! 2.19! 19!.18- = cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán.

Câu 10: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?

A. 12. B. 24. C. 4. D. 6.

Lời giải

Chọn D

Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì. Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một

hoán vị của 3 phần tử nên có có 3! 6= cách.

Câu 11: Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?


Trang 128

A. 576. B. 144. C. 2880. D. 1152.

Lời giải

Chọn B

Giả sử các ghế ngồi đánh số từ 1 đến 8.

Chọn 1 bạn bất kì ngồi vào 1 vị trí ngẫu nhiên trên bàn tròn có 1 cách. (Nếu chọn 8 cách thì tức là nhầm với bàn dài). Xếp 3 bạn cùng giới tính còn lại vào 3 ghế (có số ghế cùng

tính chẵn hoặc lẻ với bạn đầu) có 3! cách.

Xếp 4 bạn còn lại ngồi xen kẽ 4 bạn đẫ xếp ở trên có 4! cách.

Vậy có 3!.4! 144= cách.

Câu 12: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau:

A. 44 . B. 24. C. 1. D. 42.

Lời giải

Chọn B

Số các số tự nhiện có 4 chữ số khác nhau được tạo thành là một hoán vị của 4 phần tử bằng 4! 24= .

Dạng 2. Chỉnh hợp

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Từ 10 bông hoa có chủng loại khác nhau và 4 cái lọ khác nhau, có bao nhiêu cách cắm 4

bông hoa vào 4 lọ và mỗi lọ 1 bông hoa?

A. 10.P


Số cách cắm 4 bông hoa từ 10 bông hoa khác nhau vào 4 lọ khác nhau là một bộ 4 bông hoa có thứ

tự.

Ví dụ: Gọi 4 bông hoa được chọn là A, B, C, D và 4 lọ hoa là , , , . Hai cách cắm sau đây là khác

nhau:

A B C D B A C D

Do đó số cách cắm bông theo yêu cầu bài toán là 410A .

Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số

khác nhau và trong đó phải có chữ số 1?


Cách 1: Đem chữ số 1 xếp trước

Số cách xếp chữ số 1 vào 1 trong 4 vị trí là: 4 (cách)

Số cách xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại là 34A (cách)

Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 344 A 96 (số).

Cách 2: Dùng phần bù:


Trang 129

Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau (không cần biết có hay không có chữ số 1) lấy từ

1,2,3,4,5 là 45A 120 (số)

Phần bù của tập các số phải có chữ số 1 là tập các số không có chữ số 1.

Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau (và không có chữ số 1) lấy từ 2,3,4,5 là 4P 24 (số)

Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 120 24 96 (số).

Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập thành bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác

nhau đôi một?


Do đó số cách thành lập các số tự nhiên theo yêu cầu bài toán là số các chỉnh hợp chập 3 của 6 (chữ

số): 36A .

Ví dụ 4: Từ 10 điểm phân biệt và không có ba điểm nào thẳng hàng, có thể lập được bao nhiêu

vectơ?


Để có một vectơ ta cần có 2 điểm phân biệt và để ý hai vectơ AB và

BA là khác nhau. Do vậy số

cách thành lập các vectơ là số cách chọn 2 điểm có thứ tự từ 10 điểm của đề bài.

Nghĩa là số cách thành lập các vectơ là số các chỉnh hợp chập 2 của 10 (điểm): 210A .

Ví dụ 5: Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh nam thi

toán, lý và 2 học sinh nữ thi hóa, sinh? (Mỗi học sinh thi một môn).


Số cách chọn 2 trong 20 nam thi toán, lý là 220A (cách)

Số cách chọn 2 trong 10 nữ thi hóa, sinh là 210A (cách)

Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là 2 220 10A A (cách).

Ví dụ 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số

trong đó phải có chữ số lẻ?


Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau (không cần biết có hay không có chữ số lẻ) lấy từ

các chữ số 1,2,3,4,5,6 là 36A 120 (số).

Số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau (cả 3 chữ số đều chẵn) lấy từ 2,4,6 là 3P 6 (số)

Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 120 16 114 (số).

Ví dụ 7: Có bao nhiêu số có hai chữ số, mà các chữ số đều là số lẻ và khác nhau?


Xét tập A 1,3,5,7,9 ; có 5 phần tử.

Số n ab; a,b A,a b.Vậy có 25A 20.

Ví dụ 8: Có thể có tối đa là bao nhiêu số điện thoại gồm 7 chữ số và các chữ số đều khác nhau?


Xét tập A 0,1,2,...,9 .

Số điện thoại x abcdefg. Số a A có 10 cách chọn. Vì b a và b A nên có 9 cách chọn. Vậy có:

10 9 8 7 6 5 4 604800 cách.

Cách giải khác: Các số a, b, c, d, e, f khác nhau từng đôi một nên ta có số cách chọn là

710A 604800.


Trang 130

Nhận xét: Các bài toán dùng quy tắc nhân, bạn cũng nên dùng công thức tính số chỉnh hợp chập k

của n, knA cho nhanh.

Ví dụ 9: Có 10 môn học và một ngày học 5 tiết. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các môn học trong

ngày đó?


Chọn 5 môn trong 10 môn cho ngày hôm đó, sau đó thay đổi thứ tự 5 môn học, ta có: 510A 30240.

Ví dụ 10: Cho tập A 1,2,3,...,9 . Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số, các chữ số đôi một

khác nhau và các chữ số 2; 4; 5 đồng thời có mặt?

A. 1800. B. 3600.

C. 10800. D. 4320.


Xét ba vị trí trong 5 vị trí của số có 5 chữ số cần tìm để cho các chữ số 2, 4, 5. Ta có 35A cách chọn.

Còn lại hai vị trí cho các số khác trong A\ 2,4,5 . Ta còn 6 chữ số. Vậy có 26A cách chọn.

Cuối cùng, ta được: 3 25 6A .A 1800.


Câu 1: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài?

A. 15. B. 720. C. 30. D. 360.

Lời giải

Chọn D

Số cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp

chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có 46 360A = cách.

Câu 2: Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mội lọ cắm một bông)?

A. 35. B. 30240. C. 210. D. 21.

Lời giải

Chọn C

Số cách xếp bảy bông hoa khác nhau vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3

của 7 phần tử. Suy ra có 37 210A = cách.

Câu 3: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mội lọ cắm không quá một một bông)?

A. 60. B. 10. C. 15. D. 720.

Lời giải

Chọn A

Số cách cắm 3 bông hoa vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử.

Suy ra có 35 60A = cách.


Trang 131

Câu 4: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?

A. 15. B. 360. C. 24. D. 17280.

Lời giải

Chọn B

Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp

chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có 46 360A = cách.

Câu 5: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ

0

có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?

A. 15. B. 12. C. 1440. D. 30.

Lời giải

Chọn D

Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm ( ),A B cho ta một vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B

và ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm

đã cho. Suy ra có 26 30A = cách.

Câu 6: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ.

A. 462. B. 55. C. 55440. D. 11!.5!

Lời giải

Chọn C

Số cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ đá 5 quả 11 mét là số các chỉnh hợp chập 5 của 11

phần tử. Vậy có 511 55440A = .

Câu 7: Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba?

A. 336. B. 56. C. 24. D. 120.

Lời giải

Chọn A

Số kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba là số các chỉnh hợp chập 3 của 8

phần tử. Vậy có 38 336A = .

Câu 8: Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn ra 3 người vào ban thường vụ. Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn?

A. 210. B. 200. C. 180. D. 150.


Trang 132

Lời giải

Chọn A

Số cách chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ từ 7

người là số các chỉnh hợp chập ba của bảy phần tử. Vậy có 37 210A = .

Câu 9: Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể?

A. 2730. B. 2703. C. 2073. D. 2370.

Lời giải

Chọn A

Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì mỗi kết quả ứng với một

chỉnh hợp chập ba của 15 phần tử, do đó ta có: 315 2730A = kết quả.

Câu 10: Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể?

A. 94109040. B. 94109400. C. 94104900. D. 94410900.

Lời giải

Chọn B

Mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 100 phần tử, do đó ta có: 4100 94109400A =

kết quả.

Câu 11: Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất?

A. 944109. B. 941409. C. 941094. D. 941049.

Lời giải

Chọn C

Vì người giữ vé số 47 trúng giải nhất nên mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 3 của

99 phần tử, do đó ta có: 399 941094A = kết quả.

Câu 12: Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải?

A. 3766437. B. 3764637. C. 3764367. D. 3764376.

Lời giải


Trang 133

Chọn D

Nếu người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải thì:

· Người giữ vé số 47 có 4 cách chọn giải.

· Ba giải còn lại ứng với một chỉnh hợp chấp 3 của 99 phần tử, do đó ta có 399 941094A = cách.

Vậy số kết quả bằng 3994 4 941094 3764376A´ = ´ = kết quả.

Câu 13: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, , 9 ?¼

A. 15120. B. 59 . C. 95 . D. 126.

Lời giải

Chọn A

Mỗi cách xếp số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các số 1, 2, , 9¼ là một chỉnh hợp

chập 5 của 9 phần tử. Vậy có 59 15120A = .

Câu 14: Cho tập { }0,1, 2, , 9 .A = ¼ Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập

A là?

A. 30420. B. 27162. C. 27216. D. 30240.

Lời giải

Chọn C

Gọi số cần tìm là , 0abcde a ¹ .

· Chọn a có 9 cách.

· Chọn , , ,b c d e từ 9 số còn lại có 49 3024A = cách.

Vậy có 9 3024 27216´ = .

Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3?

A. 249. B. 7440. C. 3204. D. 2942.

Lời giải

Chọn B

Ta chia thành các trường hợp sau:

· TH1: Nếu số 123 đứng đầu thì có 47A số.

· TH2: Nếu số 321 đứng đầu thì có 47A số.

· TH3: Nếu số 123;321 không đứng đầu

Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu ( khác 0;1;2;3 ), khi đó còn 6 vị trí có 4 cách xếp 3 số

321 hoặc 123 , còn lại 3 vị trí có 36A cách chọn các số còn lại. Do đó trường hợp này có

366.2.4. 5760A =


Trang 134

Suy ra tổng các số thoả mãn yêu cầu là 472 5760 7440A + = .

Dạng 3. Tổ hợp

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Cho tập M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là:


Số tập con gồm 2 phần tử của M là số cách chọn 2 phần tử bất kì trong 10 phần tử của M. Do đó số

tập con gồm hai phần tử của M là 210C .

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách phân công hai bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật?


Kết quả của sự phân công một nhóm gồm 2 bạn là một tổ hợp chập 2 của 10. Vậy số cách phân

công là: 210

10!C 45.

2!.8!

Ví dụ 3: Số đường chéo của một đa giác lồi 15 cạnh là:


Số đoạn thẳng có hai đầu mút là hai đỉnh của đa giác đã cho là 215C , trong đó số cạnh của đa giác

là 15.

Vậy số các đường chéo là: 215C 15 105 15 90.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách phân công 8 bạn học sinh thành hai nhóm: một nhóm có 5 bạn, nhóm

kia có 3 bạn?


Số cách phân nhóm 5 bạn trong số 8 bạn học sinh là 58C .

Sau khi phân nhóm 5 bạn sẽ còn lại 3 bạn được phân công vào nhóm còn lại.

Vì vậy sẽ có 58C 56 cách.

Ví dụ 5: Lớp 11 của một trường THPT có 45 học sinh. Cần chọn 4 bạn vào Đội Cờ đỏ và 3 bạn vào

Ban Chấp hành Đoàn. Số cách chọn là:


Chon 4 bạn trong số 45 bạn vào Đội Cờ đỏ nên có 445C cách chọn. Sau khi chọn 4 bạn rồi, chọn 3

bạn trong số 45 4 41 bạn còn lại vào Ban Chấp hành Đoàn nên có 341C cách chọn. Từ đó, theo

quy tắc nhân có 4 345 41C C cách chọn.

Ví dụ 6: Từ 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng và không có ba điểm nào thẳng hàng, có thể vẽ

được bao nhiêu tam giác?


Từ 3 điểm không thẳng hàng ta có một tam giác và để ý các tam giác ABC, BCA, CAB,… là giống

nhau.

Do đó số tam giác có thể vẽ được là số cách chọn 3 điểm không có thứ tự từ 10 điểm của đề bài.

Vậy đáp số là 310C .

Ví dụ 7: Số đường chéo của một đa giác có 10 cạnh là bao nhiêu?


Một đa giác có 10 cạnh thì có 10 đỉnh.

Số đoạn thẳng được thành lập từ 10 đỉnh của đa giác là 210C


Trang 135

Số đường chéo của đa giác là số đoạn thẳng vừa tìm ở trên và bỏ đi số cạnh của đa giác.

Vậy số đường chéo cần tìm là: 210C 10 35 (đường chéo).

Ví dụ 8: Một người nông dân có 10 cây giống khác nhau gồm 6 cây xoài và 4 cây mít. Người ấy

muốn chọn 4 cây để trồng sao cho phải có đủ 2 loại xoài và mít. Hỏi người ấy có mấy cách để

chọn?


Nhận xét: Phải có xoài và mít là phải có không cụ thể. Phải có cây mít nào? Và phải có cây xoài nào?

Do đó ta dùng cách chia trường hợp như sau:

TH1: 1 cây xoài và 3 cây mít.

Số cách chọn 1 trong 6 cây xoài là 6 (cách)

Số cách chọn 3 trong 4 cây mít là 34C 4 (cách)

Suy ra TH1 có 6 4 24 (cách).


Tương tự, ta có: 2 26 4C C 90 (cách)


Tương tự ta có: 36C 4 80 (cách)

Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là: 24 90 8 194 (cách).

Ví dụ 9: Từ 3 bông hồng vàng, 4 bông hồng trắng và 5 bông hồng đỏ (các bông xem như đôi một

khác nhau), có bao nhiêu cách chọn một bó hoa gồm 5 bông trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ?

A. 175. B. 4200.

C. 1650. D. 787.


Số cách chọn 1 trong 5 bông hồng đỏ là 5 (cách).

Số cách chọn 4 trong 7 bông hồng (vàng và trắng) là: 47C 35 (cách)

Vậy số cách chọn một bó bông theo yêu cầu bài toán là: 5 35 175 (cách).

Ví dụ 10: Một lớp có 20 học sinh trong đó có 15 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội

gồm 4 học sinh trong đó có ít nhất một nữ?


Cách 1: Chia trường hợp

TH1: 1 nữ và 3 nam.

Số cách chọn 1 trong 5 nữ là 5 (cách)

Số cách chọn 3 trong 15 nam là 315C 455 (cách)

Suy ra TH1 có 5 455 2275 (cách).


Tương tự ta có: 2 25 15C C 1050 (cách).


Tương tự ta có: 35C 15 150 (cách).

TH4: 4 nữ.

Tương tự ta có: 45C 5 (cách).

Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là:

2275 1050 150 5 3480 (cách).

Cách 2: Dùng phần bù

Số cách chọn 4 học sinh không phân biệt nam, nữ từ 20 học sinh là: 420C 4845 (cách)


Trang 136

Số cách chọn 4 học sinh nam từ 15 học sinh nam là: 415C 1365 (cách)

Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là: 4845 1365 3480 (cách).

Ví dụ 11: Có 20 quyển sách khác nhau gồm 15 quyển sách toán và 5 quyển sách lý. Có bao nhiêu

cách chọn 5 quyển sách toán và 2 quyển sách lý để xếp có thứ tự lên 1 kệ sách dài?


Số cách chọn 5 trong 15 quyển sách toán là 515C 3003 (cách)

Số cách chọn 2 trong 5 quyển sách lý là 25C 10 (cách)

Số cách xếp 7 quyển sách toán, lý vừa chọn lên kệ sách dài là: 7P 5040 (cách). Vậy số cách xếp

theo yêu cầu bài toán là:

3003 10 5040 151351200 (cách).

Ví dụ 12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5

chữ số khác nhau trong đó có 3 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn?


Số cách chọn 3 trong 5 chữ số lẻ 1,3,5,7,9 là: 35C 10 (cách)

Số cách chọn 2 trong 4 chữ số chẵn 2,4,6,8 là: 24C 6 (cách)

Số cách xếp 5 chữ số vừa chọn vào 5 vị trí là: 5P 120 (cách)

Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 10 6 20 7200 (số)

Ví dụ 13: Một học sinh có 10 cây viết khác nhau. Học sinh đó có bao nhiêu cách chọn 3 trong 10

cây viết đó để đi học?


Gọi 3 cây viết được chọn là A, B, C không có thứ tự, nghĩa là A, B, C hoặc B, C, A hoặc C, A, B,… là

giống nhau.

Do đó đáp số là 310C .

Ví dụ 14: Một lớp có 30 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh làm ban

cán sự lớp?


Đề bài chỉ yêu cầu chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp mà không phân công cụ thể công việc của 3

học sinh đó.

Do vậy 3 học sinh được chọn không có thứ tự. Nghĩa là số cách chọn theo yêu cầu bài toán là 330C (cách).

Ví dụ 15: Một hộp đựng 10 quả cầu khác nhau gồm 5 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen. Có bao

nhiêu cách chọn 2 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen từ hộp đó?


Số cách chọn 2 trong 5 quả cầu trắng là 25C (cách).

Số cách chọn 2 trong 5 quả cầu đen là 25C (cách).

Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là 2 25 5C C (cách).

Ví dụ 16: Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 6 học sinh nam thi

bóng chuyền và 2 học sinh nữ thi cầu lông?


Số cách chọn 6 trong 20 học sinh nam thi bóng chuyền là 620C (cách).

Số cách chọn 2 trong 10 học sinh nữ thi cầu lông là 210C (cách).


Trang 137

Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là 6 220 10C C (cách).

Câu 17: Một lớp có 30 học sinh gồm 20 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh nam thi

toán và 2 học sinh nữ thi lý, hóa? (Mỗi học sinh thi một môn).


Số cách chọn 3 trong 20 học sinh nam thi toán là 320C (cách)

Số cách chọn 2 trong 10 học sinh nữ thi lý, hóa là 210A (cách)

Vậy số cách chọn theo yêu cầu bài toán là 3 220 10C A (cách).

Câu 18: Một lớp có 30 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh tham gia văn nghệ và 2 học sinh

tham gia phong trào thể thao của nhà trường?


Số cách chọn 3 trong 30 học sinh tham gia văn nghệ là 330C (cách)

Như vậy đã chọn được 3 học sinh và chỉ còn lại 27 học sinh.

Số cách chọn 2 trong 27 học sinh còn lại để tham gia phong trào thể thao là 227C (cách). Vậy số cách

chọn theo yêu cầu bài toán là 3 230 27C C (cách).


Câu 1: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh

công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?

A. 9880. B. 59280. C. 2300. D. 455.

Lời giải

Chọn A

Nhóm học sinh 3 người được chọn (không phân biệt nam, nữ - công việc) là một tổ hợp

chậm 3 của 40 (học sinh).

Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh là 340

40!9880.

37!.3!C = =

Câu 2: Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có

bao nhiêu cách lập?

A. 25. B. 252. C. 50. D. 455.

Lời giải

Chọn D

Mỗi đoàn được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 (người). Vì vậy, số đoàn đại biểu có thể

có là 510

10!252.

5!.5!C = =

Câu 3: Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người trong ban thường vụ.

Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu

các chọn?

A. 25. B. 42. C. 50. D. 35.

Lời giải


Trang 138

Chọn D

Vì không xét đến sự phân biệt chức vụ của 3 người trong ban thường vụ nên mỗi cách

chọn ứng với một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.

Như vậy, ta có 57

7!35

2!.5!C = = cách chọn ban thường vụ.

Câu 4: Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng

nhau. Nếu kết quả cuộc thi và việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

A. 1635. B. 1536. C. 1356. D. 1365.

Lời giải

Chọn D

Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì mỗi kết quả ứng với một tổ hợp chập 4 của 15 phần tử.

Như vậy, ta có 415 1365C = kết quả.

Câu 5: Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ?

A. 665280. B. 924. C. 7. D. 942.

Lời giải

Chọn B

Số cách lấy 6 viên bi bất kỳ (không phân biệt màu) trong 12 viên bi là một tổ hợp chập

6 của 12 (viên bi). Vậy ta có 612 924C = cách lấy.

Câu 6: Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con?

A. 104. B. 450. C. 1326. D. 2652.

Lời giải

Chọn C

Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.

Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là 252 1326.C =

Câu 7: Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao

nhiêu trận đấu?

A. 100. B. 105. C. 210. D. 200.

Lời giải

Chọn B

Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu.

Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá).


Trang 139


15!105

13!.2!C = = trận đấu.

Câu 8: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)?

A. 10. B. 30. C. 6. D. 60.

Lời giải

Chọn A

Cắm 3 bông hoa giống nhau, mỗi bông vào 1 lọ nên ta sẽ lấy 3 lọ bất kỳ trong 5 lọ khác

nhau để cắm bông. Vậy số cách cắm bông chính là một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử (lọ

hoa). Như vậy, ta có 35

5!10

2!.3!C = = cách.

Câu 9: Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 2018 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng

mà hai đầu mút thuộc ?P

A. 2018!.

2016! B. 2016!

.2!

C. 2018!.

2! D. 2018!

.2016!.2!

Lời giải

Chọn D

Với hai điểm bất kỳ trong n điểm ta luôn được một đoạn thẳng.

Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 2018 phần tử (điểm).


2018!

2016!.2!C = đoạn thẳng.

Câu 10: Cho 10 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng khác

nhau tạo bởi 2 trong 10 điểm nói trên?

A. 90. B. 20. C. 45. D. Một số khác.

Lời giải

Chọn C

Với hai điểm bất kỳ trong n điểm ta luôn được một đoạn thẳng.

Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (điểm).


10!45

8!.2!C = = đường thẳng.

Câu 11: Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi

có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?

A. 15. B. 20. C. 60. D. Một số khác.

Lời giải

Chọn B

Cứ 3 điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành một tam giác.


Trang 140

Lấy 3 điểm bất kỳ trong 6 điểm phân biệt thì số tam giác cần tìm chính là một tổ hợp

chập 3 của 6 phần từ (điểm). Như vậy, ta có 36 20C = tam giác.

Câu 12: Cho 10 điểm phân biệt 1 2 10, ,...,A A A trong đó có 4 điểm 1 2 3 4, , ,A A A A thẳng hàng, ngoài ra

không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10

điểm trên?

A. 96 tam giác. B. 60 tam giác. C. 116 tam giác. D. 80 tam giác.

Lời giải

Chọn C

Số cách lấy 3 điểm từ 10 điểm phân biệt là 310 120.C =

Số cách lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm 1 2 3 4, , ,A A A A là 34 4.C =

Khi lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm 1 2 3 4, , ,A A A A thì sẽ không tạo thành tam giác.

Như vậy, số tam giác tạo thành 120 4 116- = tam giác.

Câu 13: Cho mặt phẳng chứa đa giác đều ( )H có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các

đỉnh của ( )H . Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của ( )H .

A. 1440. B. 360. C. 1120. D. 816.

Lời giải

Chọn B

Lấy một cạnh bất kỳ của ( )H làm cạnh của một tam giác có 20 cách.

Lấy một điểm bất kỳ trong 18 đỉnh còn lại của ( )H (trừ đi hai đỉnh của một cạnh) có 18

cách. Vậy số tam giác cần tìm là 20.18 360= .

Câu 14: Cho hai đường thẳng song song 1d và 2.d Trên 1d lấy 17 điểm phân biệt, trên 2d lầy 20

điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này.

A. 5690. B. 5960. C. 5950. D. 5590.

Lời giải

Chọn C

Một tam giác được tạo bởi ba điểm phân biệt nên ta xét:

TH1. Chọn 1 điểm thuộc 1d và 2 điểm thuộc 2d ¾¾ có 1 217 20.C C tam giác.

TH2. Chọn 2 điểm thuộc 1d và 1 điểm thuộc 2d ¾¾ có 2 117 20.C C tam giác.

Như vậy, ta có 1 2 2 117 20 17 20. . 5950C C C C+ = tam giác cần tìm.

Câu 15: Số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là:

A. 10. B. 20. C. 18. D. 22.

Lời giải


Trang 141

Chọn B

Hai đường tròn cho tối đa hai giao điểm. Và 5 đường tròn phân biệt cho số giao điểm tối

đa khi 2 đường tròn bất kỳ trong 5 đường tròn đôi một cắt nhau.

Vậy số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là 252. 20.C =

Câu 16: Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là:

A. 50. B. 100. C. 120. D. 45.

Lời giải

Chọn D

Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt khi không có ba đường thẳng nào đồng

quy và không có hai đường thẳng nào song song.

Và cứ hai đường thẳng ta có một giao điểm suy ra số giao điểm chính là số cặp đường

thẳng bất kỳ được lấy từ 10 đường thẳng phân biệt. Như vậy, ta có 210 45C = giao điểm.

Câu 17: Với đa giác lồi 10 cạnh thì số đường chéo là

A. 90. B. 45. C. 35. D. Một số khác.

Lời giải

Chọn C

Đa giác lồi 10 cạnh thì có 10 đỉnh. Lấy hai điểm bất kỳ trong 10 đỉnh của đa giác lồi ta

được số đoạn thẳng gồm cạnh và đường chéo của đa giác lồi.

Vậy số đường chéo cần tìm là 210

10!10 10 35.

8!.2!C - = - =

Câu 18: Cho đa giác đều n đỉnh, n Î và 3.n ³ Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường

chéo.

A. 15.n = B. 27.n = C. 8.n = D. 18.n =

Lời giải

Chọn D

Đa giác lồi n đỉnh thì có n cạnh. Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong n đỉnh

này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.

Vậy để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh, với

� Tất cả đoạn thẳng dựng được là bằng cách lấy ra 2 điểm bất kỳ trong n điểm, tức là số

đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập 2 của n phần tử.

Như vậy, tổng số đoạn thẳng là 2.nC

� Số cạnh của đa giác lồi là .n

Suy ra số đường chéo của đa giác đều n đỉnh là ( )2 3

.2n

n nC n

-- =


Trang 142

Theo bài ra, ta có ( ) 2

33

18.33 270 0135

2

nn

nn nn n

ì ³ïï ì ³ïïï ï =í í-ï ï - - ==ï ïîïïî

Câu 19: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng phân biệt song song với nhau và năm đường thẳng phân biệt vuông góc với bốn đường thẳng song song đó.

A. 60. B. 48. C. 20. D. 36.

Lời giải

Chọn B

Cứ 2 đường thẳng song song với 2 đường thẳng vuông góc với chúng cắt nhau tại bốn điểm là 4 đỉnh của hình chữ nhật.

Vậy lấy 2 đường thẳng trong 4 đường thẳng song song và lấy 2 đường thẳng trong 5

đường thẳng vuông góc với 4 đường đó ta được số hình chữ nhật là 2 24 5. 60.C C =

Câu 20: Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh

sao cho trong đó có đúng 3 học sinh nữ?

A. 110790. B. 119700. C. 117900. D. 110970.

Lời giải

Chọn B

Số cách chọn 3 học sinh nữ là: 320 1140C = cách.

Số cách chọn 2 bạn học sinh nam là: 215 105C = cách.

Số cách chọn 5 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1140 105 119700.´ =

Câu 21: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có

mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?

A. 1 14 54! .C C B. 2 2

3 53! .C C C. 2 24 54! .C C D. 2 2

4 53! .C C

Lời giải

Chọn C

Số cách chọn 2 số chẵn trong tập hợp { }2;4;6;8 là: 24C cách.

Số cách chọn 2 số lẻ trong tập hợp { }1;3;5;7;9 là: 25C cách.

Số cách hoán vị 4 chữ số đã chọn lập thành 1 số tự nhiên là: 4! cách.

Vậy có 2 24 54! C C´ ´ số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 22: Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy

mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu.

A. 300. B. 310. C. 320. D. 330.

Lời giải


Trang 143

Chọn B

Các viên bi lấy ra có đủ cả 2 màu nên ta có các trường hợp:

Số bi trắng Số bi xanh Số cách chọn

1 3 1 36 5C C´

2 2 2 26 5C C´

3 1 3 16 5C C´

Vậy có tất cả 1 3 2 2 3 16 5 6 5 6 5 310C C C C C C´ + ´ + ´ = cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2. Dùng phần bù. Số cách chọn 4 viên bi tùy ý từ 11 viên bi là: 511C cách.

Số cách chọn 4 viên bi màu trắng là: 46C cách.

Số cách chọn 4 viên bi là màu xanh là: 45C cách.

Vậy có ( )5 4 411 6 5 310C C C- + = cách chọn 4 viên bi trong đó có cả 2 màu.

Câu 23: Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học

sinh trong đó có cả nam và nữ?

A. 455. B. 7. C. 456. D. 462.

Lời giải

Chọn A

Số cách chọn 5 học sinh tùy ý là: 511C cách.

Số cách chọn 5 học sinh nam là: 56C cách.

Số cách chọn 5 học sinh nữ là: 55C cách.

Vậy có 5 5 511 6 5 455C C C- - = cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2. Do trong 5 học sinh được chọn có cả nam cả nữ nên ta có các trường hợp sau:

Số học sinh nam Số học sinh nữ Số cách chọn

1 4 1 46 5C C´

2 3 2 36 5C C´

3 2 3 26 5C C´

4 1 4 16 5C C´

Vậy có 1 4 2 3 3 2 4 16 5 6 5 6 5 6 5 455C C C C C C C C´ + ´ + ´ + ´ = cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Trang 144

Câu 24: Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho

học sinh cắm trại. Lớp 10A có 19 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Giáo viên cần chọn 5

học sinh để trang trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học

sinh nữ? Biết rằng học sinh nào trong lớp cũng có khă năng trang trí trại.

A. 519 .C B. 5 5

35 19 .C C- C. 5 535 16 .C C- D. 5

16 .C

Lời giải

Chọn B

Tổng số học sinh lớp 10A là 35 .

Có 535C cách chọn 5 học sinh từ 35 học sinh lớp 10A.

Có 519C cách chọn 5 học sinh từ 19 học sinh nam của lớp 10A.

Do đó có 5 535 19C C- cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất một học sinh nữ.

Câu 25: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 nam và 15 nữ. Giáo viên cần chọn 3 học

sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh

trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?

A. 2625. B. 455. C. 2300. D. 3080.

Lời giải

Chọn D

Do trong 3 học sinh được chọn có nhiều nhất 1 học sinh nam nên ta có các trường hợp

sau:

Số học sinh nam Số học sinh nữ Số cách chọn

1 2 1 225 15C C´

0 3 0 325 15C C´

Vậy có 1 2 0 325 15 25 15 3080C C C C´ + ´ = cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2. Số cách chọn 3 học sinh bất kì trong lớp là: 340C cách.

Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 2 học sinh nam, 1 học sinh nữ là: 2 125 15C C´ cách.

Số cách chọn 3 học sinh nam là: 3 025 15C C´ cách.

Vậy có ( )3 2 1 3 040 25 15 25 15 3080C C C C C- ´ + ´ = cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 26: Từ 20 người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư kí và

3 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu?

A. 4651200. B. 4651300. C. 4651400. D. 4651500.

Lời giải

Chọn A


Trang 145

Số cách chọn 1 người trong 20 người làm trưởng đoàn là: 120C cách.

Số cách chọn 1 người trong 19 người còn lại làm phó đoàn là: 119C cách.

Số cách chọn 1 người trong 18 người còn lại làm thư kí là: 118C cách.

Số cách chọn 3 người trong 17 người còn lại làm ủy viên là: 317C cách.

Vậy số cách chọn đoàn đại biểu là 1 1 1 320 19 18 17 4651200C C C C´ ´ ´ = .

Câu 27: Một tổ gồm 10 học sinh. Cần chia tổ đó thành ba nhóm có 5 học sinh, 3 học sinh và 2

học sinh. Số các chia nhóm là:

A. 2880. B. 2520. C. 2515. D. 2510.

Lời giải

Chọn B

Số cách chọn ra nhóm có 5 học sinh từ 10 học sinh là: 510C cách.

Số cách chọn ra nhóm 3 học sinh từ 5 học sinh còn lại là: 35C cách.

Số cách chọn ra nhóm 2 học sinh từ 2 học sinh còn lại là: 22C cách.

Vậy có 5 3 210 5 2 2520C C C´ ´ = cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 28: Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có 21

đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia 3 nhóm về 3 ấp để

hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ?

A. 12363 .C B. 12

36 .C C. 7 521 153 .C C D. 7 5 7 5

21 15 14 10 .C C C C

Lời giải

Chọn D

Số cách chọn nhóm thứ nhất là: 7 521 15C C´ cách.

Số cách chọn nhóm thứ hai là: 7 514 10C C´ cách.

Số cách chọn nhóm thứ ba là: 7 57 5C C´ cách.

Vậy có ( ) ( ) ( )7 5 7 5 7 5 7 5 7 521 15 14 10 7 5 21 15 14 10C C C C C C C C C C´ ´ ´ ´ ´ = cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài

toán.

Câu 29: Trong một giỏ hoa có 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các

bông hoa coi như đôi một khác nhau). Người ta muốn làm một bó hoa gồm 7 bông được

lấy từ giỏ hoa đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa biết bó hoa có đúng 1 bông hồng đỏ?

A. 56. B. 112. C. 224. D. 448.

Lời giải

Chọn B

Số cách chọn 1 bông hồng đỏ từ giỏ hoa là: 14C .


Trang 146

Bó hoa gồm 7 bông hồng mà có đúng 1 bông hồng đỏ nên tổng số bông hồng vàng và

bông hồng trắng là 6 . Ta có các trường hợp sau:

Số bông hồng vàng Số bông hồng trắng Số cách chọn

5 1 5 15 3C C´

4 2 4 25 3C C´

3 3 3 35 3C C´

Vậy có ( )5 1 4 21 3 35 3 5 3 5 34 112C C C CC C C+ ´ =´ + ´ cách chọn bó hoa thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 30: Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi

sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là:

A. 2163. B. 3843. C. 3003. D. 840.

Lời giải

Chọn A

Số cách chọn 5 viên bi bất kì trong hộp là: 515C cách.

Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu vàng là: 511C cách.

Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu đỏ là: 510C cách.

Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu xanh là: 59C cách.

Vậy có ( )5 5 5 515 11 10 9 2163C C C C- + + = cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 31: Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh

lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?

A. 126. B. 102. C. 98. D. 100.

Lời giải

Chọn C

Do trong 5 học sinh có đủ học sinh ở các lớp 12A, 12B, 12C nên ta có các trường hợp

sau:

Số học sinh lớp 12A

Số học sinh lớp 12B

Số học sinh lớp 12C

Số cách chọn

2 1 2 2 1 24 3 2C C C´ ´

1 2 2 1 2 24 3 2C C C´ ´

2 2 1 2 2 14 3 2C C C´ ´


Trang 147

3 1 1 3 1 14 3 2C C C´ ´

1 3 1 1 3 14 3 2C C C´ ´

Vậy có 2 1 2 1 2 2 2 2 1 3 1 1 1 3 14 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 98C C C C C C C C C C C C C C C´ ´ + ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ = cách chọn thỏa

mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2. Tổng số học sinh trong đội văn nghệ của nhà trường là 9 học sinh.

Số cách chọn 5 học sinh bất kì trong 9 học sinh là: 59C cách.

Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12A là: 55C cách.

Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12B là: 56C cách.

Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12C là: 57C cách.

Vậy có ( )5 5 5 59 5 6 7 98C C C C- + + = cách thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 32: Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có

ít nhất 1 học sinh?

A. 85. B. 58. C. 508. D. 805.

Lời giải

Chọn D

Số cách chọn 6 học sinh bất kì trong 12 học sinh là: 612C cách.

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 10 là: 67C cách.



Vậy có ( )6 6 6 612 7 8 9 805C C C C- + + = cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 33: Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như

sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường

cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội

tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.

A. 50. B. 500. C. 502. D. 501.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết suy ra có 2 khả năng xảy ra như sau:

TH1: Có đúng 1 học sinh khối 10.

Số cách chọn 1 học sinh khối 10 là: 15C cách.


Trang 148

Số cách chọn 9 học sinh còn lại khối 11 và 12 là: 910C cách.

TH2: Có đúng 2 học sinh khối 10.

Số cách chọn 2 học sinh khối 10 là: 25C cách.

Số cách chọn 8 học sinh còn lại từ khối 11 và 12 là: 810C cách.

Vậy có 1 9 2 85 10 5 10 500C C C C´ + ´ = cách lập đội thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 34: Đội văn nghệ của một nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học

sinh lớp 12C. Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ đó để biểu diễn trong lễ

bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A?

A. 80. B. 78. C. 76. D. 98.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết suy ra có 3 khả năng xảy ra như sau:

Số học sinh lớp 12A

Số học sinh lớp 12B

Số học sinh lớp 12C

Số cách chọn

2 2 1 2 2 14 3 2C C C´ ´

2 1 2 2 1 24 3 2C C C´ ´

3 1 1 3 1 14 3 2C C C´ ´

Vậy có 2 2 1 2 1 2 3 1 14 3 2 4 3 2 4 3 2 78C C C C C C C C C´ ´ ´ ´ ´ ´+ + = cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 35: Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách

chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?

A. 280. B. 400. C. 40. D. 1160.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết suy ra có 2 trường hợp xảy ra như sau:

Số viên bi xanh Số viên bi đỏ Số viến bi vàng Số cách chọn

1 1 2 1 1 28 5 3C C C´ ´

2 2 0 2 2 08 5 3C C C´ ´

Vậy có 2 2 08

1 1 28 5 3 5 3 400C CC C C C´ ´ =´ ´ + cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 36: Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy

ra 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng.


Trang 149

A. 654. B. 275. C. 462. D. 357.

Lời giải

Chọn B

Tổng số bi lấy ra có 4 viên mà bi đỏ nhiều hơn bi vàng nên có 2 trường hợp xảy ra:

TH1: Không có bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 1 viên trở lên.

Số cách lấy 4 viên bi bất kì trong tổng số 9 viên bi (gồm 5 đỏ và 4 xanh) là: 49C cách.

Số cách lấy 4 viên bi xanh là: 44C cách.

Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là: 4 49 4 125C C- = cách.

TH2: Có 1 viên bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 2 viên trở lên. Số cách lấy 1 viên bi

vàng: 13C cách.

Số cách lấy 3 viên bi còn lại trong đó có 2 bi đỏ và 1 bi xanh là: 2 15 4C C´ cách.

Số cách lấy 3 viên bi còn lại đều là bi đỏ là: 3 05 4C C´ cách.

Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là: ( )1 2 1 3 03 5 4 5 4C 150C C C C´ ´ + ´ = cách.

Vậy có 125 150 275+ = cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 37: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Từ đó người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3

bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì đã chọn. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế?

A. 1000. B. 1200. C. 2000. D. 2200.

Lời giải

Chọn B

Số cách chọn 3 tem thư trong 5 tem thư khác nhau là: 35C cách.

Số cách chọn 3 bì thư trong 6 bì thư khác nhau là: 36C cách.

Số cách dán tem thư thứ nhất vào 3 bì thư là: 13C cách.

Số cách dán tem thư thứ hai vào 2 bì thư còn lại là: 12C cách.

Số cách dán tem thư thứ hai vào bì thư cuối cùng là: 11C cách.

Vậy có ( ) ( )3 3 1 1 15 6 3 2 1 1200C C C C C´ ´ ´ ´ = cách làm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 38: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành các

đề thi. Biết rằng trong đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1

câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên?

A. 69. B. 88. C. 96. D. 100.

Lời giải

Chọn C


Trang 150

Theo bài ra, một đề thi gồm 3 câu hỏi vừa có câu hỏi lý thuyết vừa có câu hỏi bài tập nên

ta xét:

TH1: Đề thi gồm 1 câu lý thuyết, 2 câu bài tập. Lấy 1 câu lý thuyết trong 4 câu lý

thuyết có 14C cách, tương ứng lấy 2 câu bài tập trong 6 câu bài tập có 2

6C cách. Vậy có 1 24 6.C C đề.

TH2: Đề thi gồm 2 câu lý thuyết, 1 câu bài tập. Lập luận tương tự TH1, ta sẽ tạo được 2 14 6.C C đề.

Vậy có thể tạo được 1 2 2 14 6 4 6 96C C C C´ + ´ = đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 4. Phương Trình – Bất Phương Trình

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Tìm n biết n! 2!(n 2)!.


Điều kiện n và n 2.

Khi đó n! 2!(n 2)! (n 2)!(n 1)n 2(n 2)! (n 1)n 2

2 n 1n n 2 0

n 2.

Ví dụ 2: Tìm n thỏa mãn phương trình

n n 1

n 1

P P 1.

P 6


Điều kiện: n 2 và n .Ta có:

n n 1

n 1

P P 1 n! (n 1)! 1

P 6 (n 1)! 6

2 n 2(n 1)!n (n 1)! 1 n 1 1n 5n 6

n 3.(n 1)!n(n 1)! 6 n(n 1) 6

Ví dụ 4: Giải bất phương trình 3 2x xA 5A 12x.


Điều kiện: x 3 và x .

Ta có:

3 5x x

x! x!A 5A 21x 5. 21x

(x 1)! (x 2)!

(x 3)!(x 2)(x 1)x (x 2)!(x 1)x5. 21x

(x 3)! (x 2)!

(x 2)(x 1) 5(x 1) 21 ( vì x 3)

2x 2x 24 0 6 x 4 3 x 4 ( vì x 3)

x 3,x 4. ( vì x )

Ví dụ 5: Giải phương trình 5 4n nC 17C ?


Điều kiện: n 5 và n .Ta có:

5 4n n

n! n!C 17C 17.

5!(n 5)! 4!(n 4)!


Trang 151

1 1 1 17

17. n 89.4!5(n 5)! 4!(n 5)!(n 4) 5 n 4

Ví dụ 6: Giải phương trình 1 2 3n n n

7nC C C ?

2


Điều kiện: n 3 và n .Ta có: 1 2 3n n n

7nC C C

2

n! n! n! 7n

1!(n 1)! 2!(n 2)! 3!(n 3)! 2

(n 1)!n (n 2)!n(n 1) (n 3)!n(n 1)(n 2) 7n

(n 1)! 2(n 2)! 6(n 3)! 2

n(n 1) n(n 1)(n 2) 7nn

2 6 2

n 1 (n 1)(n 2) 71

2 6 2 ( Vì n 3) 2n 16.

n 4 (Vì n 3) .

Ví dụ 7: Giải bất phương trình m m 213 13C C ?


Điều kiện: 0 m 11 và m .

Ta có:

m m 213 13

13! 13!C C

m!(13 m)! (m 2)!(11 m)!

1 1

m!(11 m)!(12 m)(13 m) m!(m 1)(m 2)(11 m)!

1 1

(12 m)(13 m) (m 1)(m 2)

(m 1)(m 2) (12 m)(13 m) ( vì 0 m 11 )

2 2 11m 3m 2 m 25m 156 m 0 m 5

2

m 0,1,2,3,4, .

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình

k k 1n n

k k 1n n

C C 0?

4C 5C 0


Điều kiện: n k 1,k 1 và n,k

Ta có:

k k 1n n

k k 1n n

C C 0 (1)

4C 5C 0 (2)

k k 1n n

k k 1(1) C C n 2k 1

k k 1 n (vì k k 1 loại)

k k 1 k k 1n n 2k 1 2k 1

(2k 1)! (2k 1)!(2) 4C 5C 4C 5C 4. 5

k!(k 1)! (k 1)!(k 2)!

1 1 4 54. 5 k 8 n 17.k!k(k 1)! (k 1)!(k 1)!(k 2)! k k 2


Trang 152


Câu 1: Tìm tất cả các giá trị x Î thỏa mãn ( )1 16 .x x xP P P- +- =

A. 2.x = B. 3.x = C. 2;x = 3.x = D. 5.x =

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: 1x ³ và .x Î

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 16 6 ! 1 ! 1 ! 6 1 !. 1 1 !. 1x x xP P P x x x x x x x x- +é ù- = - - = + - - = - +ë û

( ) ( )( )( )

22

6. 1 1 5 6 0 .3

xx x x x x

x

é =ê - = + - + = ê =êë

thoûa maõn

thoûa maõn

Câu 2: Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa mãn 22 3. – . 8.P x P x =

A. 4.S =- B. 1.S =- C. 4.S = D. 3.S =

Lời giải

Chọn D

Ta có 2 2 22 3

1. – . 8 2!. 3!. 8 2 6 8 0

4

xP x P x x x x x

x

é =-ê= - = - - = ê =ë

1 4 3.S¾¾ =- + =

Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 2 223 42 0x xA A- + = ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 6.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: 2x ³ và x Î .

Ta có ( )

( )( )

2 22

2 !!3 42 0 3. 42 0

2 ! 2 2 !x x

xxA A

x x- + = - + =

- -

( ) ( )( )

( )2

73. 1 . 2 1 .2 42 0 42 0 .

6

xx x x x x x

x

é =-ê - - - + = + - = ê =êë

loaïi

thoûa maõn

Câu 4: Cho số tự nhiên x thỏa mãn 10 9 89x x xA A A+ = . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. x là số chính phương. B. x là số nguyên tố. C. x là số chẵn.

D. x là số chia hết cho 3.

Lời giải

Chọn B



Trang 153

Ta có ( ) ( ) ( )

10 9 8 ! ! !9 9

10 ! 9 ! 8 !x x x

x x xA A A

x x x+ = + =

- - -

( )( )( )( )

2111 1 9

16 55 0 .1 9 9 8 5

xx x

x x x x

é =ê + = - + = ê- - - =êë

thoûa maõn

loaïi

Câu 5: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn ( )3 25 2 15n nA A n+ = + ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: 3n ³ và .n Î

Ta có ( )( ) ( )

3 2 ! !5 2 15 5. 2 30 0

3 ! 2 !n n

n nA A n n

n n+ = + + - - =

- -

( ) ( ) ( ) 3 22 . 1 . 5. 1 . 2 30 0 2 5 30 0 3.n n n n n n n n n n - - + - - - = + - - = =

Câu 6: Tìm giá trị n Î thỏa mãn 1 2 31 2 13 .n n nC C C+ + ++ =

A. 12.n = B. 9.n = C. 16.n = D. 2.n =

Lời giải

Chọn A


Ta có ( ) ( ) ( )

( )1 2 3

1 2 1

1 ! 2 ! 1 !3 3.

1!. ! 2!. ! 3!. 2 !n n n

n n nC C C

n n n+ + +

+ + ++ = + =

-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 . 2 1 . . 1 2 1 . .1 3. 1 3.

2 6 2 6

n n n n n n n nn

+ + - + + - + + = + =

( )( )

2 22

6 9 18 10 24 0 .12

nn n n n n

n

é =-ê + + = - - - = ê =êë

loaïi

thoûa maõn

Câu 7: Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn 2 114 14 142 .x x xC C C+ ++ =

A. 4.P = B. 32.P = C. 32.P =- D. 12.P =

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: 0 12x£ £ và x Î .

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 114 14 14

14! 14! 14!2 2

! 14 ! 2 ! 12 ! 1 ! 13 !x x xC C C

x x x x x x+ ++ = + =

- + - + -

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 12.

14 13 1 2 1 13

1 2 14 13 2 2 14

x x x x x x

x x x x x x

+ =- - + + + -

+ + + - - = + -


Trang 154

2 412 32 0 4.8 32.

8

xx x P

x

é =ê - + = ¾¾ = =ê =ë

Câu 8: Tính tổng S của tất cả các giá trị của n thỏa mãn 1 2 1

1 4

1 1 7.

6n n nC C C+ +

- =

A. 8.S = B. 11.S = C. 12.S = D. 15.S =

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: 1n ³ và n Î .

Ta có ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )1 2 1

1 4

1 ! 2!. 1 ! 7 3 !1 1 7 1 2 7

! 1 ! 6 4 ! 1 6 46n n n

n n n

n n n n n n nC C C+ +

- - +- = - = - =

+ + + +

( )( )

23

11 24 0 3 8 11.8

nn n S

n

é =ê - + = ¾¾ = + =ê =êë

thoûa maõn

thoûa maõn

Câu 9: Tìm giá trị x Î thỏa mãn 0 1 2 79.x xx x xC C C- -+ + =

A. 13.x = B. 17.x = C. 16.x = D. 12.x =

Lời giải

Chọn D

Điều kiện: x Î .

Ta có 0 1 2 0 1 279 79x xx x x x x xC C C C C C- -+ + = + + =

( ) ( )( )

2121

1 79 156 0 .2 13

xx xx x x

x

é =- ê + + = + - = ê =-êë

thoûa maõn

loaïi

Câu 10: Tìm giá trị n Î thỏa mãn ( )14 3 7 3 .n n

n nC C n++ +- = +

A. 15.n = B. 18.n = C. 16.n = D. 12.n =

Lời giải

Chọn D

Điều kiện: n Î .

Ta có ( ) ( )1 3 34 3 4 37 3 7 3n n

n n n nC C n C C n++ + + +- = + - = +

( )( ) ( )( )( )

4 2 2 17 3 36 0 12 .

3! 3!

n n n nn n

+ + + + - = - = = thoûa maõn

Câu 11: Tìm giá trị n Î thỏa mãn 1 2 3 7.

2n n n

nC C C+ + =

A. 3.n = B. 4.n = C. 6.n = D. 8.n =

Lời giải

Chọn B


Trang 155

Ta có ( ) ( ) ( )

1 2 3 7 ! ! ! 7

2 1 ! 2!. 2 ! 3! 3 ! 2n n n

n n n n nC C C

n n n+ + = + + =

- - -

2 16 0 4.n n - = ¾¾ =

Câu 12: Tính tổng S của tất cả các giá trị của x thỏa 1 2 3 26 6 9 14 .x x xC C C x x+ + = -

A. 2.S = B. 7.S = C. 9.S = D. 14.S =

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: 3x ³ và .x Î

Ta có ( ) ( ) ( )

1 2 3 2 2! ! !6 6 9 14 6. 6. 9 14

1!. 1 ! 2!. 2 ! 3!. 3 !x x x

x x xC C C x x x x

x x x+ + = - + + = -

- - -

( ) ( )( )( )( )( )

2

0

3 1 2 1 9 14 2 .

7

x

x x x x x x x x x

x

é =êê + - + - - = - =êêê =ë

loaïi

loaïi

thoûa maõn

Câu 13: Tìm giá trị n Î thỏa mãn 6 7 8 9 823 3 2 .n n n n nC C C C C ++ + + =

A. 18.n = B. 16.n = C. 15.n = D. 14.n =

Lời giải

Chọn C


Áp dụng công thức 1 11

k k kn n nC C C+ +

++ = , ta có 6 7 8 9 823 3 2n n n n nC C C C C ++ + + =

( )6 7 7 8 8 9 8 7 8 9 82 1 1 1 22 2 2 2n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C C C+ + + + + + + + + + = + + =

( ) ( )7 8 8 9 8 8 9 81 1 1 1 2 2 2 22 2n n n n n n n nC C C C C C C C+ + + + + + + + + + + = + =

9 82 2 2 9 8 15.n nC C n n+ + = ¾¾ + = + =

Câu 14: Đẳng thức nào sau đây là sai?

A. 7 7 62007 2006 2006 .C C C= + B. 7 2000 6

2007 2006 2006 .C C C= + C. 7 2000 19992007 2006 2006 .C C C= + D.

7 7 20002007 2006 2006 .C C C= +

Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức 1 11

k k kn n nC C C+ +

++ = , ta có 6 7 72006 2006 2007C C C+ = . Do đó A đúng.

Áp dụng công thức 6 20002006 2006

7 19992006 2006

.k n kn n

C CC C

C C-

ìï =ï= ¾¾íï =ïî

Suy ra 7 6 7 2000 1999 2000 72007 2006 2006 2006 2006 2006 2006C C C C C C C= + = + = + . Do đó C, D đúng; B sai.

Câu 15: Đẳng thức nào sau đây là đúng?


Trang 156

A. 211 2 3 4 ... .nn C ++ + + + + =

B. 211 2 3 4 ... .nn A ++ + + + + =

C. 1 21 2 3 4 ... .... .nn n nn C C C+ + + + + = + + +

D. 1 21 2 3 4 ... .... .nn n nn A A A+ + + + + = + + +

Lời giải

Chọn A

Ta có ( )1

1 2 3 4 ...2

n nn

++ + + + + = và

( )( )

( )21

1 ! 1.

2! 1 2 ! 2n

n n nC

n+

+ += =

+ -

Do đó A đúng.

Câu 16: Tính tích P của tất cả các giá trị của n thỏa mãn ( )2 272 6 2 .n n n nP A A P+ = +

A. 12.P = B. 5.P = C. 10.P = D. 6.P =

Lời giải

Chọn A


Ta có ( )( ) ( )

2 2 ! !72 6 2 !. 72 6 2. !

2 ! 2 !n n n n

n nP A A P n n

n n

é ùê ú+ = + + = +ê ú- -ê úë û

( ) ( ) ( )( )2!. 1 . 72 6 1 2. ! ! 6 12 0n n n n n n n n né ù - + = - + - - - =ë û

( )( )

( )

24

12 03 4.3 12.

! 6 03

nn n

n Pn

n

é =êé - - = êê =- ¾¾ = =êê - = êë ê =ë

thoûa maõn

loaïi

thoûa maõn

Câu 17: Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn ( )11 17 2 30 .x

x x xA P P-+ -+ =

A. 7.P = B. 4.P = C. 28.P = D. 14.P =

Lời giải

Chọn A


Ta có ( ) ( )( )1

1 1

1 !7 2 30 7 2. 1 ! 30. !

2!xx x x

xA P P x x-

+ -

é ù+ê ú+ = + - =ê úë û

( ) ( )

( )2

71

7 2 30 7 53 28 0 7.427

xx x

x x x Px

é =é ù ê+ê ú ê + = - + = ¾¾ =ê ú ê =ë û êë

thoûa maõn

loaïi

Câu 18: Tìm giá trị n Î thỏa mãn 3 38 65 .n

n nC A++ +=

A. 15.n = B. 17.n = C. 6.n = D. 14.n =


Trang 157

Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức k n kn nC C -= , ta có 3 3 5 3

8 6 8 65 5.nn n n nC A C A++ + + += =

( )( ) ( )( )

2178 7

5 15 544 0 .5! 32

nn nn n

n

é =+ + ê = + - = ê =-êë

thoûa maõn

loaïi

Câu 19: Tìm giá trị x Î thỏa mãn 2 1. 48.xx xA C - =

A. 4.x = B. 3.x = C. 7.x = D. 12.x =

Lời giải

Chọn A


Ta có ( ) ( )

2 1 ! !. 48 . 48

2 ! 1 !.1!x

x x

x xA C

x x- = =

- -

( ) ( )3 21 . 48 48 0 4 .x x x x x x - = - - = = thoûa maõn

Câu 20: Tìm giá trị n Î thỏa mãn 2 11 5.n

n nA C -+- =

A. 3.n = B. 5.n = C. 4.n = D. 6.n =

Lời giải

Chọn B


Ta có ( )

( )( )

( )( )2 1

1

1 ! 1!5 5 1 . 5 0

2 ! 1 !2! 2n

n n

n n nnA C n n

n n-+

+ +- = - = - - - =

- -

( )( )

22

3 10 0 .5

nn n

n

é =-ê - - = ê =êë

loaïi

thoûa maõn

Câu 21: Tính tích P của tất cả các giá trị của n thỏa mãn 2 23 15 5 .n nA C n- = -

A. 5.P = B. 6.P = C. 30.P = D. 360.P =

Lời giải

Chọn C


Ta có ( ) ( )

2 2 ! !3 15 5 3. 15 5

2 ! 2!. 2 !n n

n nA C n n

n n- = - - = -

- -

( )( ) ( )

( )2

611 3 15 5 11 30 0

2 5

nn nn n n n n

n

é =- ê - - = - - + - = ê =êë

thoûa maõn

thoûa maõn

5.6 30.P¾¾ = =


Trang 158

Câu 22: Tìm giá trị x Î thỏa mãn ( )4 3 413 24 .x

x x xA A C -+= -

A. 3.x = B. 1.x = C. 5.x = D. 1; 5.x x= =

Lời giải

Chọn C


Ta có ( )( )

( )( ) ( )

4 3 41

1 !! !3 24 23. 24.

4 ! 2 ! 4 !.4!x

x x x

xx xA A C

x x x-

+

é ù+ê ú= - = -ê ú- - -ê úë û

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1

23. 24. 23. 24.4 ! 2 ! 4 !.4! 1 2 3 1.24

x x

x x x x x

é ù é ù+ +ê ú ê ú = - = -ê ú ê ú- - - - -ê ú ê úë û ë û

( )( ) ( )( )( )( )

11 123 24. 1 1 .

2 3 2 3 5

xx x

x x x x x

é =+ + ê = - = ê- - - - =êë

loaïi

thoûa maõn

Câu 23: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn ( ) ( )

44 15

2 ! 1 !nA

n n+ <

+ -?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: n Î .

Ta có ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )44 4 ! 3 415 15

152 ! 1 ! 2 !. ! 1 !

n n n nA

n n n n n n+ + + +

< < <+ - + -

( )( ) { }23 4 15 8 12 0 2 6 3, 4, 5 .nn n n n n n nÎ + + < - + < < < ¾¾¾ Î

Câu 24: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 2 212 3 20 0n nC A+ + - < ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải

Chọn A


Ta có ( )( ) ( )

2 21

1 ! !2 3 20 0 2 3. 20 0

2!. 1 ! 2 !n n

n nC A

n n+

++ - < + - <

- -

( ) ( ) 2 251 3 1 20 0 2 10 0 2 2.

2nn

n n n n n n n n³Î + + - - < - - < - < < ¾¾¾ =

Câu 25: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 2 212 3 30n nC A+ + < ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải

Chọn A


Trang 159


Ta có ( )( ) ( )

2 21

1 ! !2 3 30 2. 3. 30

2! 1 ! 2 !n n

n nC A

n n+

++ < + <

- -

( ) ( ) 2 251 3 1 30 2 15 0 3 2.

2nn

n n n x n n n n³Î + + - < - - < - < < ¾¾¾ =

Câu 26: Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn 3 43 1 114. n

n nP C A-- +< ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải

Chọn D


Ta có ( )

( )( )( )

3 43 1 1

1 ! 1 !14. 14.3!.

3 !.2! 3 !nn n

n nP C A

n n-- +

- +< <

- -

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 742 2 1 2 1 1 42 1 42 0

6

nn n n n n n n n n n

n

é <-ê - - < - - + < + + - > ê >ë

3 7.n

n

n

n³Î

ì ³ïï¾¾¾íï Îïî

Câu 27: Giải hệ phương trình 1

1

0.

4 5 0

y yx x

y yx x

C C

C C

+

-

ìï - =ïíï - =ïî

A. 17

.8

x

y

ì =ïïíï =ïî B.

17.

8

x

y

ì =ïïíï =-ïî C.

9.

8

x

y

ì =ïïíï =ïî D.

7.

9

x

y

ì =ïïíï =ïî

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: 1x y³ + và ,x y Î .

Ta có ( )( )

1

1

0 1

4 5 0 2

y yx x

y yx x

C C

C C

+

-

- =- =

ìïïíïïî.

Phương trình ( ) 11 1 2 1 0y yx xC C y y x x y+ = + + = - - = .

Phương trình ( )( ) ( ) ( )

1 ! !2 4 5 4. 5.

!. ! 1 !. 1 !y yx x

x xC C

y x y y x y- = =

- - - +

4 54 9 4 0.

1x y

y x y = - + =

- +

Do đó hệ phương trình đã cho ( )2 1 0 17

.4 9 4 0 8

x y x

x y y

ì ì- - = =ï ïï ï í íï ï- + = =ï ïî îthoûa maõn

Câu 28: Tìm cặp số ( );x y thỏa mãn 1 1

1 .6 5 2

y y yx x xC C C+ -+ = =

A. ( ) ( ); 8;3 .x y = B. ( ) ( ); 3;8 .x y =


Trang 160

C. ( ) ( ); 1;0 .x y = - D. ( ) ( ) ( ) ( ); 1;0 , ; 8;3 .x y x y= - =

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: 1x y³ + và ,x y Î .

● ( )

( ) ( ) ( )

111

1

5 1 ! 6 !5. 6.

6 5 ! 1 ! 1 ! 1 !

y yy yx xx x

xC C xC C

y x y y x y

+++

+

+= = =

+ - + - -

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )5 1 6

5 1 1 6 11 1

xy x x y x y

x y x y y

+ = + + = - - +

- - + +. ( )1

● ( ) ( ) ( ) ( )

1 11 1 ! !

2. 5.5 2 5. 1 !. 1 ! 2. 1 !. 1 !

y yy yx xx x

C C x xC C

y x y y x y

+ -+ -= = =

+ - - - - +

( ) ( )( )1 1

5. 1 2. 1y y x y x y =

+ - - +

( ) ( )( ) ( ) ( )( )5. 1 2. 1 15. 1 6. 1y y x y x y y y x y x y + = - - + + = - - + . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( )( ) ( )5 1 1 15. 1 1 3y x y y x y + + = + + = . Thay vào ( )1 , ta được

( ) ( )( )

( )2

0 115 1 6 2 1 2 3 9 0 .

3 8

y xy y y y y y

y x

é = ¾¾ =-ê + = - - = ê = ¾¾ =êë

loaïi

thoûa maõn

Câu 29: Giải hệ phương trình 2

1:

31

:24

.

x xy y

x xy y

C C

C A

+

ìïïïïïíï

î

=

ïïïï=

A. 4

.1

x

y


4.

8

x

y

ì =ïïíï =ïî C.

4 4, .

1 8

x x

y y

ì ì= =ï ïï ïí íï ï= =ï ïî î D.

1.

8

x

y

ì =ïïíï =ïî

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: y x³ và ,x y Î .

Ta có ( )

( )

2

1: 1

31

: 224

.

x xy y

x xy y

C C

C A

+

ìïïïïïíï

î

=

ïïïï=

Phương trình ( )( ) ( )

1 ! ! 242 24 24. 1 4

24 ! ! ! !

xy x x

y yxy

C y yC A x

x y x y x xA = = = = =

- -.

Thay 4x = vào ( )1 , ta được ( )

( )( )

44 4

242

2 !1 !3 3.

3 4!. 4 ! 4!. 2 !y

y yy

C yyC C

y yC ++

+= = =

- -

( )( )( )( )

( )( )

21 41 23

9 8 0 .1 3 2 8 4

y xy yy y

y y y x

é = < =+ + ê = - + = ê- - = > =êë

loaïi

thoûa maõn


Trang 161

Câu 30: Giải hệ phương trình 2 5 90

5 2 80

y yx x

y yx x

A C

A C

ìï + =ïíï - =ïî.

A. 5

.2

x

y


20.

10

x

y


2.

5

x

y


6.

3

x

y

ì =ïïíï =ïî

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: x y³ và ,x y Î .

Đặt yx

yx

u A

v C

ìï =ïíï =ïî, ta được

2 5 90 20

5 2 80 10

u v u

u v v

ì ì+ = =ï ïï ïí íï ï- = =ï ïî î.

Ta có ! !. 20 !.10 ! 2 2.k kn nA k C u y v y y y= ¾¾ = = = =

Với 20u = , suy ra ( )

( )( )

25!

20 20 20 1 20 .42 !

yx x

xxA A x x

xx

é =ê= = = - = ê =-- ë loaïi

Vậy hệ phương trình có nghiệm 5

.2

x

y

ì =ïïíï =ïî


Trang 162

BÀI 3. NHỊ THỨC NIU-TƠN

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

Ta thừa nhận công thức nhị thức Niu-ton sau:

nn k n k k 0 n 1 n 1 1 n 1 1 n 1 n n

n n n n nk 0

nk k n k 0 n 1 1 n 1 n 1 n 1 1 n nn n n n n

k 0

a b C a b C a C a b ... C a b C b

C a b C b C a b ... C a b C a .

Hệ quả:

Với a b 1 ta có n 0 1 nn n n2 C C ... C .

Với a 1,b 1 ta có k n0 1 k nn n n n0 C C ... 1 C ... 1 C .

Chú ý:

Số các số hạng của khai triển bằng n 1.

Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n.

Số hạng tổng quát (thứ k 1 ) có dạng:

kk

k1

n knC a b ,T k 0,1,2, ,n .

Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: k n kn nC C .


Dạng 1. Xác định hệ số hoặc số hạng chứa kx

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Số hạng không chứa x trong khai triển 2 10

3

1(x )

x là:


Số hạng tổng quát thứ k 1 trong khai triển 2 10

3

1(x )

x có dạng:

kk 2 10 k k 20 2k 3k k 20 5k10 10 103

1C (x ) C x x C x .

x

Từ yêu cầu bài toán ta có 20 5k 0 k 4.

Do đó số hạng không chứa x là 410C 210.

Ví dụ 2: Trong khai triển 12

x 3,

3 x

hệ số của số hạng chứa 4x bằng bao nhiêu?



Trang 163

Số hạng tổng quát thứ k 1 trong khai triển 12

x 3

3 x

là:

12 k kk k k k 12 k k k 12 k k k 12 2k 2k 12

12 12 12

3 x( 1) C ( 1) C x x 3 3 ( 1) C x 3 .

x 3

Từ yêu cầu bài toán ta có: 12 2k 4 k 4.

Suy ra hệ số cần tìm là: 4 4 412

551 .C .3 .

9

Ví dụ 3: Khai triển và rút gọn 2 3 10P(x) (1 x) (1 x) ... (1 x) ta

được 2 3 100 1 2 10P(x) a a x a x ... a x . Hệ số 9a bằng bao nhiêu?


Nhận xét: Trong khai triển n(1 x) thì đơn thức có bậc cao nhất là n.

Do đó 9a là hệ số của 9x chỉ có trong đa thức 9 10(1 x) (1 x) .

Hệ số của 9x trong 9(1 x) là 99C 1

Hệ số của 9x trong 10(1 x) là 910C 10

Suy ra 9a 10 1 11

Ví dụ 4: Trong khai triển của

20071 1 1 1

15 3 3 5x y x y ,

số hạng mà lũy thừa của x và y bằng nhau


Số hạng tổng quát thứ k 1 trong khai triển của

20071 1 1 1

15 3 3 5x y x y

là:

k k 2007 k 2007 k 10035 4k 6021 2kk k15 3 3 5 15 32007 2007C x y x y C x y .

Ta cần có: 10035 4k 6021 2k

,15 3

do đó k 669.

Ví dụ 5: Tìm hệ số của 25 10x y trong khai triển 153x xy .


Xét số hạng: 15 kk 3 k k 45 3k k k k 45 2k k

k 1 15 15 15T C x (xy) C x y C x y

Ta có: 45 2k 25

k 10.k 10


Trang 164

Vậy hệ số của 25 10x y là của 1015C 3003.

Ví dụ 6: Tổng các hệ số của khai triển n

31x

x

bằng 1024. Tìm hệ số của 6x trong khai triển.


Ta có: n n n 1

3 0 1 3 n 3nn n n

1 1 1x C C x ... C x .

x x x

Tổng hệ số của khai triển là: 0 1 n nn n nC C ... C 2 .

Vậy n n 102 1024 2 2 n 10.

Xét số hạng 10 k 3k

k 3k k k 4k 10k 1 10 10 1010 k

1 xT C x C C x .

x x

Ta được 4k 10 6 k 4. Vậy 410C 210.

Ví dụ 7. Với n là số nguyên dương thỏa 1 2n nC C 55, Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

n3

2

2x

x


Điều kiện 2n và n

Ta có

1 2 2n n

n 10n! n!C C 55 55 n n 110 0

n 11(L)1!(n 1)! 2!(n 2)!

Với n 10 ta có khai triển 10

3

2

2x

x

Số hạng tổng quát của khai triển làk

k 3(10 k) k k 30 5k10 102

2C x . C 2 x ,

x

với 0 10.k

Số hạng không chứ x ứng với k thoải 30 5k 0 k 6.

Vậy số hạng không chứa x là 6 610C 2 13440.

Dạng 2 : Tìm số hạng đứng chính giữa

1. Phương pháp

Khi n chẵn thì số hạng đứng giữa là số hạng thứ: n

1.2

Khi n lẻ thì coó hai số hạng đứng giữa là n 1

2

và

n 11.

2


Trang 165


Ví dụ 1: Trong khai triển 8(2 x 3y) , hệ số của số hạng đứng chính giữa bằng bao nhiêu?


Trong khai triển 8(2x 3y) có tất cả 9 số hạng

Do đó số hạng đứng giữa là số hạng thứ 5: 4 4 48C (2x) (3y) .

Suy ra hệ số cần tìm là: 4 4 48C .2 .3 90720.

Ví dụ 2: Tìm số hạng ở chính giữa trong khai triển: 10

3

5

1x .

x


Ta có số hạng 5 5

25 3

6 10 5 3

1 1T C 252 x .

x x

Dạng 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn của na b

1. Phương pháp

Bước 1: Số hạng tổng quát thứ k 1 là: k n k kk 1 nT C a b

Đặt k n k kk nu C a b , 0 k n .

Bước 2: Giải hệ phương trình k k 10

k k 1

u uk .

u u

Bước 3: Hệ số lớn nhất trong khai triển là k n k k0 0 0nC a b .


Câu 36: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển thành đa thức biến x của 4

1 3x ?

4 4


Ta có: 4

2 3 41 3 1 3 27 27 27x x x x x .

4 4 256 64 128 64 256

Vậy hệ số lớn nhất là 27

.64

Ví dụ 2: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển n1 x , biết tổng các hệ số bằng 4096.


Ta có: 0 1 n n n 12n n nC C ... C 2 2096 2 2 n 12.

Xét k k 112 12

12! 12!C C (1 k 12) 13 k k k 6

k!(12 k)! (k 1)!(13 k)!

.


Trang 166

Tương tự k 1 k12 12C C k 6.

Vậy k 6. Khi đó 67 12T C 924.

Dạng 4: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển na b

1. Phương pháp

Bước 1: hạng tổng quát thứ k 1 là: m r

p qk n k k kk 1 n nT C a b C a .b ( Với a,b là hữu tỉ.

Bước 2: Giải hệ phương trình 0

m

pk ,0 k n k .

r

q

Bước 3: Số hạng cần tìm là k n k k0 0 0nC a b .


Ví dụ 1: Tìm các số hạng là số nguyên trong khai triển 532 3 .


Xét số hạng 5 k kk 3

k 1 5T C 2 . 3 ,0 k 5.

k 1T khi và chỉ khi 5 k chia hết cho 2 và k chia kết cho 3 mà 0 k 5, nên k 3. Vậy

2 33 3

4 5T C 2 . 3 60.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số hạng là số hữu tỉ trong khai triển 10034 4 4 ?


Xét số hạng k100 kk 34

k 1 100T C 4 4 ;0 k 100.

k 1T khi và chỉ khi 100 k là bội của 4 và k là bội của 3. Vì 100 chia hết cho 4, nên k là bội của 4 và k

là bội của 3.

Vậy k là bội của 12. Mà 0 k 100, nên k 0;12;24;36;48;60;72;84 và 96. Tức là có 9 số.

Dạng 5: Tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức

1. Phương pháp

Khi các số hạng của tổng đó có dạng k n k knC a b thì ta dùng trực tiếp nhị thức Niu-ton


Trang 167

nn k n k k 0 n 1 n 1 1 n 1 1 n 1 n n

n n n n nk 0

nk k n k 0 n 1 1 n 1 n 1 n 1 1 n nn n n n n

k 0

a b C a b C a C a b ... C a b C b

C a b C b C a b ... C a b C a .

Việc còn lại chỉ chỉ khóe léo chọn a,b.

Lưu ý hai kết quả thường dùng là:

Với a b 1 ta có n 0 1 nn n n2 C C ... C .

Với a 1,b 1 ta có k n0 1 k nn n n n0 C C ... 1 C ... 1 C .


Ví dụ 1: Tính tổng 1 2 3 20072007 2007 2007 2007C C C ... C


Ta có: 2007 1 2 3 20072007 2007 2007 2007(1 1) C C C ... C .

Vậy 1 2 3 2007 20072007 2007 2007 2007C C C ... C 2 1.

Ví dụ 2: Tính tổng của 2 2 20 1 nn n nC C ... C bằng:


Khai triển: 0 2n 1 2n 1 n n 2n2n 2n 2n 2nC C x C x ... C x ... C .

Mặt khác

2n n n 0 n 1 n 1 n 0 1 n nn n n n n n(x 1) (x 1) (x 1) (C x C x ... C )(C C x ... C x ).

Trong cách khai triển đầu, hệ số của nx là n2nC .Trong cách sau, hệ số của nx là:

2 2 20 1 nn n nC C ... C .

Vậy 2 2 20 1 n nn n n 2nC C ... C C .

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức: 2006 1 2004 3 2002 5 0 20072007 2007 2007 2007B 2 C 2 C 2 C ... 2 C


Ta có: 2007 0 2007 2007 1 2006 2006 20072007 2007 2007(1 2x) C x .2 C 2 .2 ... C

Cho x 1 ta có: 20073 A B (1)

Mặt khác: 2007 0 2007 2007 1 2006 2006 20072007 2007 2007(1 2x) C x .2 C 2 .2 ... C

Cho x 1 ta có: 1 A B (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2007 20071 1A 3 1 ;B 3 1 .

2 2


Trang 168


Câu 1: Tìm hệ số của 12x trong khai triển ( )1022 .x x-

A. 810 .C B. 2 8

10 2 .C C. 210 .C D. 2 8

10 2 .C-

Lời giải

Chọn B

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 10 1010 10 10 102 2 10 2 10

10 10 100 0 0

2 . 2 . . 2 . . 2 . .kk k kk k k k k k

k k k

x x C x x C x C x- - -- + +

= = =

- = - = =å å å

Hệ số của 12x ứng với 10 12 2k k+ = = ¾¾ hệ số cần tìm 2 810 2 .C

Câu 2: Khai triển đa thức ( ) ( )20075 1P x x= - ta được ( ) 2007 2006

2007 2006 1 0... .P x a ax x aa x= + + + +

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 7 72000 2007 . .5a C=- B. 7 7

2000 2007 5 ..a C= C. 2000 20072000 2000.5 .a C=- D. 7 7

2000 2007 5 ..a C=

Lời giải

Chọn C


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2017 2017

2007 2017 2017 20172017 2017

0 0

5 1 . 5 . 1 . 5 . 1 . .k k k kk k k

k k

x C x C x- - -

= =

- = - = -å å

Hệ số của 2000x ứng với 2017 2000 7k k- = =

¾¾ hệ số cần tìm ( )20007 2000 200020072017 . 5 ..5CC- -=

Câu 3: Đa thức ( ) 5 4 3 280 80 4 102 13 0x x xP x xx - - += + - là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

A. ( )51 2 .x- B. ( )5

1 2 .x+ C. ( )52 1 .x - D. ( )5

1 .x -

Lời giải

Chọn C

Nhận thấy ( )P x có dấu đan xen nên loại đáp án B.

Hệ số của 5x bằng 32 nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì

khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là 532 .x )

Câu 4: Tìm số hạng chứa 7x trong khai triển 13

1.x

x

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø

A. 4 713 .C x- B. 3

13.C- C. 3 713 .C x- D. 3 7

13 .C x

Lời giải

Chọn C



Trang 169

( )13 13 13

13 13 213 13

0 0

1 1. . . 1 . .

kkk k k k

k k

x C x C xx x

- -

= =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç- = - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øå å

Hệ số của 7x ứng với 13 2 7 3k k- = = ¾¾ số hạng cần tìm 3 713 .C x-


1.

2x

x

æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø

A. 3 39

1.

8C x- B. 3 3

9

1.

8C x C. 3 3

9 .C x- D. 3 39 .C x

Lời giải

Chọn B


9 9 99 9 2

9 90 0

1 1 1. . . . .

2 2 2

k kk k k k

k k

x C x C xx x

- -

= =

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ = =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øå å

Hệ số của 3x ứng với 9 2 3 3k k- = = ¾¾ số hạng cần tìm 3 39

1.

8C x


2

1.x

x


A. 37 3140 .C x- B. 37 31

40 .C x C. 2 3140 .C x D. 4 31

40 .C x

Lời giải

Chọn B


40 40 4040 40 3

40 402 20 0

1 1. . . .

kk k k k

k k

x C x C xx x

- -

= =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ = =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øå å

Hệ số của 31x ứng với 40 3 31 3k k- = = ¾¾ số hạng cần tìm 37 3140 .C x

Câu 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 6

2 2.x

x


A. 4 262 .C B. 2 2

62 .C C. 4 462 .C- D. 2 4

62 .C-

Lời giải

Chọn A


( ) ( )6 6 662 2 12 3

6 60 0

2 2. . . 2 . .

kk kk k k

k k

x C x C xx x

- -

= =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ = =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øå å

Số hạng không chứa x ứng với 12 3 0 4k k- = =

¾¾ số hạng cần tìm 4 4 4 26 6.2 2 .C C=


2 1.xy

xy

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø


Trang 170

A. 470 .y B. 460 .y C. 450 .y D. 440 .y

Lời giải

Chọn A


( ) ( )8 8 882 2 8 2 16 3

8 80 0

1 1. . . 1 . . .

kk kk k k k

k k

xy C xy C x yxy xy

- - -

= =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- = - = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øå å

Số hạng không chứa x ứng với 8 2 0 4k k- = =

¾¾ số hạng cần tìm 4 4 48 70 .C y y=

Câu 9: Tìm số hạng chứa 3x y trong khai triển 5

1.xy

y

æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø

A. 33 .x y B. 35 .x y C. 310 .x y D. 34 .x y

Lời giải

Chọn C


( )5 5

5 5 5 25 5

0 0

51 1

. . . . .k

kk k k k

k k

xy C xy C x yy y

- - -

= =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷+ = =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øå å

Hệ số của 3x y ứng với 5 3

25 2 1

kk

k

ì - =ïï = ¾¾íï - =ïî số hạng cần tìm 3

52 310 .C x y x y=

Câu 10: Tìm hệ số của 6x trong khai triển 3 1

31n

xx

+æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø với 0x ¹ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn

2 21 23 4n nC nP A+ + = .

A. 6210 .x B. 6120 .x C. 120. D. 210.

Lời giải

Chọn D

Từ phương trình 2 21 23 4 3.n nC nP A n+ + = ¾¾ =

Với 3n = , ta có ( )3 1 10 1010 10

3 3 3 4 1010 10

0 0

1 1 1. . . .

n kkk k k

k k

x x C x C xx x x

+ --

= =

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ = + = =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øå å

Hệ số của 6x ứng với 4 10 6 4k k- = = ¾¾ hệ số cần tìm 410 210.C =

Câu 11: Tìm hệ số của 9x trong khai triển ( )2

1 3n

x- , biết n là số nguyên dương thỏa mãn

2 3

2 14 1

3n n nC C+ = .

A. ( )9918 3 .C- B. ( )9

9 918 3 .C x- C. ( )9

9 918 3 .C x D. ( )9

918 3 .C

Lời giải


Trang 171

Chọn A

Từ phương trình 2 3

2 14 19.

3n n

nnC C

+ = ¾¾ =

Với 9n = , ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )18 18 182 18 18

18 18 180 0 0

1 3 1 3 . 1 3 . 3 . . . 1 3 .n k k kk kk k k k k

k k k

x x C x C x C x-

= = =

- = - = - = - = -å å å

Hệ số của 9x ứng với 9k = ¾¾ hệ số cần tìm ( )9918 3 .C-


3

32

n

xx

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø với 0x ¹ , biết n là số nguyên dương

thỏa mãn 3 212n nC n A ++ = .

A. 12 4 1216 .2 .3 .C- B. 0 16

16 .2 .C C. 12 4 1216 .2 .3 .C D. 16 0

16 .2 .C

Lời giải

Chọn C

Từ phương trình 3 212 8.n nC n A n++ = ¾¾ =

Với 8n = , ta có

( ) ( )2 16 416 16 1616 16 3

16 163 3 30 0

3 3 32 2 . 2 . .2 . 3 . .

n k kk kk k k

k k

x x C x C xx x x

-- -

= =

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- = - = - = -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øå å

Số hạng không chứa x ứng với 416 0 12

3

kk- = =

¾¾ số hạng cần tìm 12 4 1216 .2 .3 .C

Câu 13: Tìm hệ số của 7x trong khai triển 2 23

n

xx

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø với 0x ¹ , biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai

triển bằng 1080.

A. 1080. B. 810.- C. 810. D. 1080.

Lời giải

Chọn B


( ) ( )2 2 2 3

0 0

2 23 . 3 . .3 2 . .

n kn nn k kk k n k n kn n

k k

x C x C xx x

- - -

= =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç- = - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øå å

Số hạng thứ 3 ứng với 2k = , kết hợp với giả thiết ta có

( )2 2 5.3 .4 1080 1 .3 4.5.3 5.n nnC n n n- = - = =

Hệ số của 7x ứng với 2 3 7 10 3 7 1n k k k- = - = =

¾¾ hệ số cần tìm ( )1 45 3 2 810.C - =-


Trang 172

Câu 14: Tìm số tự nhiên n , biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x trong khai triển

1

3

n

xæ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø

bằng 4.

A. 8. B. 17. C. 9. D. 4.

Lời giải

Chọn C


1 20 1 1 2 2

0

1 1 1 1 1. . . ...

3 3 3 3 3

n k nnk n k n n n nn n n n n

k

x C x C x C x C x C- - -

=

æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç- = - = + - + - + + -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è øå .

¾¾ số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x là 2

2 21.

3n

nC x -æ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø

Yêu cầu bài toán ( )

22 1 ! 1

4 . 4 9.3 2! 2 ! 9n

nC n

n

æ ö÷ç - = = ¾¾ =÷ç ÷çè ø -

Do n Î nên ta chọn 9n = thỏa mãn.

Câu 15: Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ( )213 .x xy+

A. 10 40 1021 .C x y B. 10 43 10

21 .C x y

C. 11 41 1121 .C x y D. 10 43 10

21C x y ; 11 41 1121 .C x y

Lời giải

Chọn D


( ) ( ) ( )21 2121 213 3 63 2

21 210 0

. . . . .k kk k k k

k k

x xy C x xy C x y- -

= =

+ = =å å

Suy ra khai triển ( )213x xy+ có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng

với 10k = ) và số hạng thứ 12 (ứng với 11k = ).

Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là 10 43 1021C x y ; 11 41 11

21C x y .

Câu 16: Tính tổng S tất cả các hệ số trong khai triển ( )173 4 .x -

A. 1.S = B. 1.S =- C. 0.S = D. 8192.S =

Lời giải

Chọn B

Tính tổng các hệ số trong khai triển ¾¾ cho 1.x =

Khi đó ( )173.1 4 1.S = - =-

Câu 17: Khai triển đa thức ( ) ( )10002 1P x x= - ta được ( ) 1000 999

1000 999 1 0... .P x a a x x aax= + + + +

Mệnh đề nào sau đây là đúng?


Trang 173

A. 1000 999 1... 2na a a+ + + = . B. 1000 9 19 9 ... 2 1na a a+ + + = - .

C. 1000 999 1... 1a a a+ + + = . D. 1000 999 1... 0a a a+ + + = .

Lời giải

Chọn D

Ta có ( ) 1000 9991000 999 1 0...P x x x ax a a a= + + + + .

Cho 1x = ta được ( ) 1000 999 1 01 ... .P a a a a= + ++ +

Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( )1000 10002 1 1 2.1 1 1.P x x P= - ¾¾ = - =

Từ đó suy ra 1 0 1 01000 999 1000 999... 1 ... 1 .a a a a a aa a+ + + = ¾¾ + + + = -+

Mà là số hạng không chứa x trong khai triển ( ) ( )10002 1P x x= - nên

( ) ( )0 10001000 10000 1000 10002 1 1.a C x C= - = =

Vậy 1000 999 1... 0.a a a+ + + =

Câu 18: Tìm hệ số của 5x trong khai triển ( ) ( ) ( )5 1021 2 1 3 .P x x x x x= - + +

A. 80. B. 3240. C. 3320. D. 259200.

Lời giải

Chọn C


( ) ( ) ( )5 5

5 5 5 65 5

0 0

1 2 . . 2 . 2 . .k kk k k

k k

x x x C x C x- - -

= =

- = - = -å å

¾¾ số hạng chứa 5x tương ứng với 6 5 1k k- = = .

Tương tự, ta có ( ) ( )10 10

10 102 2 10 1210 10

0 0

1 3 . . 3 .3 .ll l l l

l l

x x x C x C x- - -

= =

+ = =å å .

¾¾ số hạng chứa 5x tương ứng với 12 5 7l l- = = .

Vậy hệ số của 5x cần tìm ( )P x là ( )41 7 35 10. 2 .3 3320C C+ = .

Câu 19: Tìm hệ số chứa 10x trong khai triển ( ) ( )2

3211 2

4

nf x x x x

æ ö÷ç= + + +÷ç ÷çè ø với n là số tự nhiên thỏa mãn

hệ thức 3 2 14nn nA C n-+ = .

A. 5 10192 .C B. 5 10 10

192 .C x C. 9 10192 .C D. 9 10 10

192 .C x

Lời giải

Chọn A

Từ phương trình 3 2 14 5.nn nA C n n-+ = ¾¾ =

Với 5n = , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

3 4 15 1921 1 11 2 2 2 2

4 16 16

nf x x x x x x x

æ ö÷ç= + + + = + + = +÷ç ÷çè ø.


Trang 174

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có ( ) ( )19

19 1919

0

1 12 .2 . .

16 16k k k

k

f x x C x -

=

= + = å

Số hạng chứa 10x trong khai triển tương ứng với 19 10 9k k- = = .

Vậy hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển là 10 9 5 1019 19

12 2 .

16C C=

Câu 20: Tìm hệ số của 4x trong khai triển ( ) ( )31 3n

P x x x= - - với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 2 2

16 5nn nC n A-

++ + = .

A. 210. B. 840. C. 480. D. 270.

Lời giải

Chọn C

Từ phương trình 2 216 5 10.n

n nC n A n-++ + = ¾¾ =

Với 10n = , khi đó ( ) ( ) ( )103 31 3 1 3n

P x x x x x= - - = - - .


( ) ( ) ( ) ( ) ( )1010103 3 3

100

1 3 1 3 1 3kkk

k

P x x x x x C x x=

é ù= - - = - + = - +ê úë û å

( ) ( ) ( )10 10

2 210 10

0 0 0

1 1 3 1 3kkk kk k k l l k l

kk k l

C x x C C x +

= = =

= - + = -å å å .

Số hạng chứa 4x trong khai triển tương ứng với ( ) ( ) ( ){ }2 4

0 10 ; 4;0 , 2;1

0

k l

k k l

l k

ì + =ïïïï £ £ =íïïï £ £ïî

.

Vậy hệ số của số hạng chứa 4x trong khai triển là 4 0 2 110 4 10 2 3 480C C C C+ = .

Câu 21: Tìm hệ số của 10x trong khai triển ( )52 31 x x x+ + + .

A. 5. B. 50. C. 101. D. 105.

Lời giải

Chọn C


( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 55 552 3 2 2 2

5 5 5 50 0 0 0

1 1 1 . . . .lk k l k l k l

k l k l

x x x x x C x C x C C x +

= = = =

+ + + = + + = =å å å å

Số hạng chứa 10x trong khai triển tương ứng với 2 10 10 2k l k l+ = = - .

Kết hợp với điều kiện ta có hệ ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 10

0 5, 0 5 ; 0;5 , 2;4 , 4;3

,

k l

k l k l

k l

ì + =ïïïï £ £ £ £ =íïïï Îïî .

Vậy hệ số cần tìm là 0 5 2 4 4 35 5 5 5 5 5. . . 101.C C C C C C+ + =

Câu 22: Tìm hệ số của 5x trong khai triển ( ) ( ) ( ) ( )2 81 2 1 ... 8 1 .P x x x x= + + + + + +


Trang 175

A. 630. B. 635. C. 636. D. 637.

Lời giải

Chọn C

Các biểu thức ( ) ( ) ( )2 41 , 1 , , 1x x x+ + + không chứa số hạng chứa 5.x

Hệ số của số hạng chứa 5x trong khai triển ( )55 1 x+ là 5

55 .C


56 .C


57 .C


58 .C

Vậy hệ số của 5x trong khai triển ( )P x là 5 56 7 8

5 555 6 7 8 636C C C C+ + + = .

Câu 23: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 0 1 1 2 22 2 2 2 2 2... ... .n n n n

n n n n n nC C C C C C+ ++ + + = + + +

B. 0 1 1 1 2 22 2 2 2 2 2... ... .n n n n

n n n n n nC C C C C C- + ++ + + = + + +

C. 0 1 2 1 2 22 2 2 2 2 2... ... .n n n n

n n n n n nC C C C C C- + ++ + + = + + +

D. 0 1 1 1 2 22 2 2 2 2 2... ... .n n n n

n n n n n nC C C C C C+ + ++ + + = + + +

Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức k n kn nC C -= , ta có

0 22 2

1 2 12 2

1 12 2

.

nn n

nn n

n nn n

C C

C C

C C

-

- +

ìï =ïïïï =ïíïïïïï =ïî

Cộng vế theo vế, ta được 0 1 1 1 2 22 2 2 2 2 2... ... .n n n n

n n n n n nC C C C C C- + ++ + + = + + +

Câu 24: Tính tổng 0 1 2 ... nn n n nS C C C C= + + + + .

A. 2 1.nS = - B. 2 .nS = C. 12 .nS -= D. 2 1.nS = +

Lời giải

Chọn B

Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( )1n

x+ , ta có

( ) 0 1 2 21n n n

n n n nx C C x C x C x+ = + + + + .

Cho 1x = , ta được ( )0 1 2 1 1 2nn n

n n n nC C C C+ + + + = + = .

Câu 25: Tính tổng 0 1 2 22 2 2 2... n

n n n nS C C C C= + + + + .

A. 22 .nS = B. 22 1.nS = - C. 2 .nS = D. 22 1.nS = +


Trang 176

Lời giải

Chọn A

Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( )21

nx+ , ta có

( )2 0 1 2 2 2 22 2 2 21

n n nn n n nx C C x C x C x+ = + + + + .

Cho 1x = , ta được ( )20 1 2 2 22 2 2 2 1 1 2 .

nn nn n n nC C C C+ + + + = + =

Câu 26: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1n

n n nC C C+ + ++ + + = - .

A. 8.n = B. 9.n = C. 10.n = D. 11.n =

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )2 1 0 1 2 12 1 2 1 2 11 1 ...

n nn n nC C C

+ ++ + ++ = + + + . ( )1

Lại có 0 2 12 1 2 1

nn nC C ++ += ; 1 2

2 1 2 1n

n nC C+ += ; 2 2 12 1 2 1

nn nC C -+ += ; …; 1

2 1 2 1n nn nC C ++ += . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra 2 1

0 12 1 2 1 2 1

2...

2

nn

n n nC C C+

+ + ++ + + =

1 2 20 22 1 2 1... 2 1 2 1 2 1 10n n n

n nC C n+ + + + = - - = - = .

Vậy 10n = thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 27: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 3 2 12 1 2 1 2 1... 1024n

n n nC C C ++ + ++ + + = .

A. 5.n = B. 9.n = C. 10.n = D. 4.n =

Lời giải

Chọn A

Xét khai triển ( )2 1 0 2 1 1 2 2 12 1 2 1 2 11 ...

n n n nn n nx C x C x C

+ + ++ + ++ = + + + .

Cho 1x = , ta được 2 1 0 1 2 12 1 2 1 2 12 ...n n

n n nC C C+ ++ + += + + + . ( )1

Cho 1x =- , ta được 0 1 2 12 1 2 1 2 10 ... n

n n nC C C ++ + +=- + - + . ( )2

Cộng ( )1 và ( )2 vế theo vế, ta được

( )2 1 1 3 2 1 2 12 1 2 1 2 12 2 ... 2 2.1024 5n n n

n n nC C C n+ + ++ + += + + + = = .

Câu 28: Tính tổng 0 1 2 33 3 ... 3n nn n n nS C C C C= + + + + .

A. 3 .nS = B. 2 .nS = C. 3.2 .nS = D. 4 .nS =

Lời giải

Chọn D

Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( )1n

x+ , ta có

( ) 0 1 2 21n n n

n n n nx C C x C x C x+ = + + + + .


Trang 177

Cho 3x = , ta được ( )0 1 2 33 3 ... 3 1 3 4 .nn n n

n n n nC C C C+ + + + = + =

Câu 29: Khai triển đa thức ( ) ( )12 120 1 121 2 ...P x x a a x a x= + = + + + . Tìm hệ số ka ( )0 12k£ £ lớn nhất trong

khai triển trên.

A. 8 812 2 .C B. 9 9

12 2 .C C. 10 1012 2 .C D. 8 8

121 2 .C+

Lời giải

Chọn A

Khai triển nhị thức Niu-tơn của ( )121 2x+ , ta có

( ) ( )12 12

12

12 120 0

1 2 2 2kk k k k

k k

x C x C x= =

+ = =å å .

Suy ra 12 2k kka C= .

Hệ số ka lớn nhất khi 1 1

1 12 12

1 11 12 12

1 22 2 23 2612 1

.2 1 3 32 2

12 1

k k k kk k

k k k kk k

a a C C k kk

a a C Ck k

+ ++

- --

ìïï ³ïìì ï³ ³ï ï - +ïï ï £ £í í íï ï ï³ ³ï ï ïî î ³ïï - +ïî

0 12 8kk

k£ £Î¾¾¾ = . Vậy hệ số lớn nhất là 8 8

8 12 2a C= .

Câu 30: Khai triển đa thức ( )10

9 100 1 9 10

1 2...

3 3P x x a a x a x a x

æ ö÷ç= + = + + + +÷ç ÷çè ø. Tìm hệ số ka ( )0 10k£ £ lớn

nhất trong khai triển trên.

A. 7

71010

21 .

3C+ B.

771010

2.

3C C.

661010

2.

3C D.

881010

2.

3C

Lời giải

Chọn B

Khai triển nhị thức Niu-tơn của 10

1 2

3 3x

æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø, ta có

10 10 1010 10

10 100 0

1 2 1 2 1 2

3 3 3 3 3 3

k k k kk k k

k k

x C x C x- -

= =

æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç+ = =÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è øå å .

Suy ra 10

10

1 2

3 3

k kk

ka C-æ ö æ ö÷ ÷ç ç= ÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

.

Giả sử ka là hệ số lớn nhất, khi đó 1

1

k k

k k

a a

a a+

-

ì ³ïïíï ³ïî

( )

( )

10 10 1 11

10 100

10 10 1 11

10 10

1 2 1 2 193 3 3 3 19 223

22 3 31 2 1 233 3 3 3

k k k kk k

k

k k k kk k

C C kk

kC C

- - + ++

£ £

- - - --

ìï æ ö æ ö æ ö æ ö ìï ï÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çï ³ ï÷ ÷ ÷ ÷ ³ç ç ç çï ÷ ÷ ÷ ÷ ïç ç ç çè ø è ø è ø è øï ïï ï £ £í íï ïæ ö æ ö æ ö æ öï ï £÷ ÷ ÷ ÷ï ïç ç ç ç³÷ ÷ ÷ ÷ï ïç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ïîï è ø è ø è ø è øïî

10 7.k

kÎ¾¾¾ =

Vậy hệ số lớn nhất là 7

77 1010

2

3a C= .


Trang 178

BÀI 4&5. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

A. KIẾN THỨC LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU

1. Phép thử

Gieo một đồng tiền kim loại (gọi tắt là đồng tiền), rút một quân bài từ cỗ bài tú lơ khơ (cỗ bài 52 lá) hay bắn một viên đạn vào bia,… là những ví dụ về phép thử.

Khi gieo một đồng tiền, ta không thể đoán trước được mặt ghi số (mặt ngửa, viết tắt là N) hay mặt kia (mặt sấp, viết tắt là S) sẽ xuất hiện). Đó là phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

Để đơn gian, từ nay phép thử ngẫu nhiên được gọi tắt là phép thử.

2. Không gian mẫu

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là (đọc là ô-mê-ga)

II. BIẾN CỐ

Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Người ta thường kí hiệu các biến cố bằng các chữ in hoa A, B, C, …

Tập được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không). Còn tập được gọi là

biến cố chắc chắn.

Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần tử của A ( hay thuận lợi cho A)

III. PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử

Biến cố đối của A kí hiệu là A \A

Hợp hai biến cố A và B kí hiệu là A B

Giao hai biến cố A và B kí hiệu là A B (hoặc A.B)

A B = thì ta nói A và B xung khắc.

IV. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

1. Định nghĩa

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xảy ra xuất hiện.

Ta gọi tỉ số

n A

n là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P A .


Trang 179

n AP A .

n

Chú ý:

n A là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn n là số các

kết quả có thể xảy ra của phép thử.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Bộ bài tú - lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tìm xác suất của các biến cố:

A: “Rút ra được tứ quý K ‘’

B: “4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át”

C: “4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích’’

Giải

Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: 452C 270725

Suy ra n( ) 270725

Vì bộ bài chỉ có 1 tứ quý K nên ta có n(A) 1

Vậy 1

P(A)270725

Vì có 448C cách rút 4 quân bài mà không có con Át nào,

suy ra 4 452 48N(B) C C

15229P(B)

54145

Vì trong bộ bài có 13 quân bích, số cách rút ra bốn quân bài mà trong đó số quân bích không ít hơn

2 là: 2 2 3 1 4 013 39 13 39 13 39C .C C C C .C 69667

Suy ra 5359

n(C) 69667 P(C) .20825

Ví dụ 2. Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để:

1. 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ 2. 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu.

Giải

Gọi biến cố A :“ 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”

B : “3 viên bi lấy ra có không quá hai màu”

Số các lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là: 320C nên ta có: 3

20C 1140

1. Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là: 38C 56 nên A 56


Trang 180

Do đó:

A 56 14

P(A)1140 285

.

2. Ta có:

Số cách lấy 3 viên bi chỉ có một màu: 3 3 38 7 5C C C 101

Số các lấy 3 viên bi có đúng hai màu

Đỏ và xanh: 3 3 315 8 7C C C

Đỏ và vàng: 3 3 313 8 5C C C

Vàng và xanh: 3 3 312 5 7C C C

Nên số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu:

3 3 3 3 3 315 13 12 8 7 5C C C 2 C C C 759

Do đó: B 860 . Vậy

B 43

P(B)57

.

V. TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT

1. Định lí

Định lí

a) P 0,P 1.

b) 0 P A 1, với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc thì

P A B P A P B

Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có P A 1 P A .

2. Ví dụ

Ví dụ 3: Cho hộp chứ ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen như hình, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Hãy tính xác suất sao cho hai quả đó:

a) khác màu; b) Cùng màu.

Giải

Mỗi lần lấy đồng thời hai quả cầu cho ta một tổ hợp chập hai của năm phần tử. Do đó, không gian

mẫu gồm các tổ hợp chập hai của năm phần tử và 25n( ) C 10.


Trang 181

Vì việc lấy quả cầu là ngẫu nhiên nên các kết quả đó là đồng khả năng. Ký hiệu A : ”Hai quả cầu

khác màu”, B : ”Hai quả cầu cùng màu”.

Vì chỉ có hai màu đen hoặc trắng nên ta thấy B A.

a) theo quy tắc nhân, n(A) 2.3 6.

Do đó: n(A) 6 3

P(A) .n( ) 10 5

b) Vì B A nên theo hệ quả ta có: 3 2

P(B) P(A) 1 P(A) 1 .5 5

Ví dụ 4: Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tính xác suất

các biến cố sau:

a) A : ”Nhận được quả cầu ghi số chẳn”;

b) B : ”Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 3”

c) A B;

d) C : ”Nhận được quả cầu ghi số không chia hết cho 6 ”

Giải

Không gian mẫu được mô tả là 1,2,...,20 gồm 20 kết quả đồng khả năng, n( ) 20.

a) A 2,4,6,8,10,12,14,`6,18,20 ,n(A) 10 nên

n(A) 10 1P(A) .

n( ) 20 2

b) B 3,6,9,15,18 ,n(B) 6. Từ đó:

n(B) 6 3P(B) .

n( ) 20 10

c) A B 6,12,18 ,n(A B) 3 nên

n(A B) 3P(A B) .

n( ) 20

d) Vì A B 6,12,18 , nên A B là biến cố ”Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 6 ”. Do đó,

C là biến cố đối của biến cố A B, ta có C A B và

3 17P(C) 1 P(A B) 1 .

20 20

VI. CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

Ví dụ 5: Bạn thứ nhất có một đồng tiền, bạn thứ hai có con súc sắc (cân đối, đồng chất). Xét phép thử “Bạn thứ nhất gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ hai gieo con súc sắc” (hình.a).

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử này.


Trang 182

b) Tính xác suất của các biến cố sau:

A : “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp”;

B : “Con súc sắc xuật hiện mặt 6 chấm”;

C : “Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ”.

c) Chứng tỏ: P(A.B) P(A).P(B);P(A.C) P(A).P(C).

Giải

a) Không gian mẫu của phép thử có dạng

S1,S2,S3,S4,S5,S6,N1,N2,N3,N4,N5,N6 .

Theo giả thiết, gồm 12kết quả đồng khả năng xuất hiện.(hình.b)

b) Ta thấy A S1,S2,S3,S4,S5,S6 ,n(A) 6;

B S6,N6 ,n(B) 2;

C N1,N3,N5,S1,S3,S5 ,n(C) 6.

Từ đó n(A) 6 1

P(A) ;n( ) 12 2

n(B) 2 1

P(B) ;n( ) 12 6

n(C) 6 1

P(C) .n( ) 12 2

N

1

6

5 4 3

2

S

1

5 4 3

2

6

Hình a Hình b


Trang 183

c) Rõ ràng A.B S6 và n(A.B) 1

P(A.B) .n( ) 12

Ta có

1 1 1P(A.B) . P(A)P(B).

12 2 6

Tương tự A.C S1,S3,S5 ;

n(A.C) 3 1 1 1P(A.C) . P(A)P(C).

n( ) 12 4 2 2

Trong ví dụ trên, xác suất xuất hiện mổi mặt của con súc sắc là1,

6không phụ thuộc vào đồng tiền

xuất hiện mặt “sấp” hoặc “ngữa”.

Nếu sự xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của một biến cố khác thì ta nói

hai biến cố đó độc lập. Như vậy trong ví dụ trên biến cố A và B độc lập và cũng vậy, A và C độc

lập.

Tổng quát, đối với hai biến cố bất kỳ thì ta có mối liên hệ sau:

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

P(A.B) P(A).P(B).


Dạng 1: Tính xác suất dựa vào định nghĩa cổ điển

1. Phương pháp

Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng công thức:

P(A) Soá laàn xuaát hieän cuûa bieán coá A .

N

Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức :

n(A)P(A) .

n( )


Ví dụ 1: Một tổ có 8 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người từ tổ đó. Xác suất để chọn được cả 2 nam bằng bao nhiêu?


Tổng số học sinh trong tổ là 8 4 12 học sinh.

Số cách chọn 2 trong 12 học sinh trong tổ là 212C 66 (cách).

Suy ra n 66.

Gọi A là biến cố: “Chọn được 2 nam”


Trang 184

Suy ra 28n A C 28.

Vậy

n A 28 14P A .

66 33n

Ví dụ 2: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ và 5 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp đó. Xác suất để chọn được đúng một viên bi đỏ là bao nhiêu?


Tổng số viên bi trong hộp là 4 5 9 (viên bi).

Số cách chọn 3 trong 9 viên bi là: 39C 84 (cách).

Suy ra: n 84.

Gọi A là biến cố: “Chọn 3 viên bi và được đúng 1 viên bi đỏ”.

Số cách chọn 1 trong 4 viên bi đỏ là 4 (cách).

Số cách chọn 2 trong 5 viên bi trắng là 25C 10 (cách)

Suy ra n A 4 10 40.

Vậy 40 10P A .

84 21

Ví dụ 3: Trong một hộp đựng 10 cây viết trong đó có 4 cây viết hư. Lấy ngẫu nhiên 3 cây viết. Xác suất để chọn được cả 3 cây đều tốt là bao nhiêu?

A. 1.

2 B.

1.

4 C.

1.

6 D.

1.

8


Số cách chọn 3 trong 10 cây viết là 310C 120 (cách).

Suy ra n 120.

Gọi A là biến cố: “Chọn được cả 3 cây đều tốt”.

Số cây viết còn tốt là 10 4 6 (cây viết).

Số cách chọn 3 trong 6 cây viết còn tốt là 36C 20 (cách).

Suy ra n A 20.

Vậy 20 1P A .

120 6

Ví dụ 4: Gieo 2 con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc giống nhau là bao nhiêu?

A. 1.

2 B.

1.

4 C.

1.

6 D.

1.

8


Trang 185


Ta có: 2n 6 36.

Gọi A là biến cố: “Số hiệu xuất hiện trên 2 con súc sắc giống nhau”.

Suy ra A 1;1 , 2; 2 , 3; 3 , 4; 4 , 5; 5 , 6;6 n A 6.

Vậy 6 1P A .

36 6

Ví dụ 5: Gieo một đồng tiền 5 lần. Xác suất để cả 5 lần đều xuất hiện mặt ngửa là bao nhiêu?


Ta có: 5n 2 32.

Gọi A là biến cố: “Cả 5 lần xuất hiện mặt ngửa”.

Suy ra A N N N N N n A 1.

Vậy 1P A .

32

Ví dụ 6: Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con rút ngẫu nhiên 4 con. Xác suất để được 1 con át và 3 con K là bao nhiêu?


Ta có: 452n C 270725.

Gọi A là biến cố: “Rút được 1 con át và 3 con K”.

Số cách rút được 1 trong 4 con át là 4 cách.

Số cách rút được 3 trong 4 con K là 34C 4 (cách).

Suy ra n A 4 4 16.

Vậy 16P A .

270725

Ví dụ 7: Có 6 quả cầu được đánh số từ 1 đến 6 và đựng trong một hộp. Lấy ngẫu nhiên 4 quả và xếp chúng theo thứ tự thành hàng ngang từ trái sáng phải. Xác suất để được tổng các chữ số bằng 10 là bao nhiêu?

A. 4.

15 B.

3.

15 C.

2.

15 D.

1.

15


Lấy 4 quả cầu từ 6 quả cầu và xếp chúng có thứ tự là số chỉnh hợp chập 4 của 6 (cách xếp).

Suy ra 46n A 360.

Gọi A là biến cố: “Tổng 4 chữ số trên 4 quả cầu bằng 10”.


Trang 186

Các chữ số trên 4 quả cầu chỉ có thể là 1, 2, 3, 4.

Vậy mỗi phần tử của A là một hoán vị của 4 chữ số 1, 2, 3, 4.

Suy ra 24 1P A .

360 15

Ví dụ 8: Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10.000 đồng, 5 vé trúng 5.000 đồng và 10 vé trúng 1.000 đồng. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Xác suất để người đó trúng thưởng đúng 3.000 đồng là bao nhiêu?

A. 4

.2695

B. 3

.2695

C. 2

.2695

D. 1

.2695


Số cách mua 3 trong 100 vé số là 3100C 161700 (cách)

Suy ra n 161700.

Gọi A là biến cố: “Mua 3 vé và trúng đúng 3000 đồng”.

Như vậy phải mua đúng 3 vé số loại trúng 1000 đồng.

Suy ra 310n A C 120.

Suy ra 120 2P A .

161700 2695

Ví dụ 9: Một hộp đựng 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên từ hộp một thẻ. Xác suất để số ghi trên thẻ lấy ra đó chia hết cho 2 hoặc 5 là bao nhiêu?

A. 3.

5 B.

7.

10 C.

4.

5 D.

9.

10


Ta có: n 100.

Gọi A là biến cố: “Số ghi trên thẻ chia hết cho 2 hoặc cho 5”.

Nhận xét: Một số vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 5 thì số đó có chữ số tận cùng là chữ số 0. Do đó cách đếm số phần tử của A như sau:

Các số chẵn từ 2 đến 100 có 50 số.

Các số chia hết cho 5 và có chữ số tận cùng khác chữ số 0 từ 5 đến 95 có 10 số.

Suy ra n A 50 10 60.

Suy ra 60 3P A .

100 5

Ví dụ 10: Cho 8 quả cân có trọng lượng lần lượt là 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg. Chọn ngẫu nhiên ba quả cân trong số đó. Xác suất để tổng trọng lượng 3 quả cân được chọn không vượt quá 9kg là bao nhiêu?


Trang 187

A. 1.

14 B.

5.

56 C.

1.

8 D.

3.

28


Số cách chọn 3 trong 8 quả cân là 38C 56 (cách).

Suy ra n 56.

Gọi A là biến cố: “Tổng trọng lượng 3 quả cân không vượt quá 9kg”.

Suy ra 3 quả cân được chọn chỉ có thể là:

1kg 1kg 1kg 1kg 1kg 1kg 2kg



Suy ra n A 7.

Suy ra 7 1P A .

56 8

Ví dụ 11: Một hộp chứa 10 viên bi gồm 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Xác suất để lấy được 2 viên bi màu trắng và 2 viên bi màu đỏ là bao nhiêu?


Số cách chọn 4 trong 10 viên bi là 410C 210 (cách).

Suy ra n 210.

Gọi A là biến cố: “Lấy được 2 viên bi trắng và 2 viên bi đỏ”.

Số cách chọn 2 trong 6 viên bi trắng là 26C 15 (cách).

Số cách chọn 2 trong 4 viên bi đỏ là 24C 6 (cách).

Suy ra n A 15 6 90.

Suy ra 90 3P A .

210 7

Ví dụ 12. Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu xanh và 6 quả cầu đỏ. Chọn ngẩu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để chọn ra 2 quả cầu cùng màu bằng bao nhiêu?


Số cách chọn ngẩu nhiên 2 quả cầu từ 11 quả cầu là 211 55.C

Số các chọn hai quả cầu cùng màu là 2 25 6 25.C C


Trang 188

Xác suất để chọn ra hai quả cầu cùng màu là 25 5

.55 11

Ví dụ 13. Xếp ngẩu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hang ngang. Tính xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.

A. 11

.630

B. 1

.126

C. 1

.105

D. 1.

42


Số cách xếp 10 học sinh vào 10 vị trí: ( ) 10!n cách.

Gọi A là biến cố : “10 học sinh trên không có hai học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”.

Xếp 5 học sinh lớp 12C vào 5 vị trí có 5!cách.

Ứng mỗi cách xếp 5 học sinh lớp 12C sẽ có 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và 2 vị trí ở đầu để xếp các học sinh còn lại.

C1 C2 C3 C4 C5

TH1: Xếp 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí ở giữa (không xếp vào hai đầu), có 34A cách.

Ứng với mỗi cách xếp đó, chọn lấy 1 học sinh lớp 12A xếp vào vị trí thứ 4 (để hai học sinh lớp 12C không được ngồi cạnh nhau), có 2 cách.

Học sinh lớp 12A còn lại có 8 vị trí để xếp, có 8 cách.

Theo quy tắc nhân, ta có 345!. .2.8A cách.

TH2: Xếp hai học sinh trong 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí ở giữa và học sinh còn lại xếp ở vị trí

đầu có 1 23 4.2.C A cách.

Ứng với mỗi cách xếp đó còn hai vị trí trống ở giữa, xếp 2 học sinh lớp 12A vào hai vị trí đó. Có 2 cách.

Theo quy tắc nhân, ta có 1 23 45!. .2. .2C A cách.

Do đó số cách xếp không có học sinh cùng lớp ngồi cạnh nhau là:

3 1 24 3 4(A) 5!. .2.8 5!. .2. .2 63360n A C A cách.

Vậy (A) 63360 11

(A) .( ) 10! 630

nP

n

Dạng 2: Quy tắc tính xác suất

1. Phương pháp

1. Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì P A B P A P B .


Trang 189

Mở rộng quy tắc cộng xác suất

Cho k biến cố 1 2 kA ,A ,...,A đôi một xung khắc. Khi đó:

1 2 k 1 2 kP(A A ... A ) P(A ) P(A ) ... P(A ).

P(A) 1 P(A).

Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó:

P(A B) P A P B P AB .

2. Quy tắc nhân xác suất

Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P AB P A .P B .


Ví dụ 1: Một hộp đựng 20 viên bi gồm 12 viên bi màu đỏ và 8 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp đó. Xác suất để có ít nhất một viên bi màu đỏ là bao nhiêu?


Số cách chọn 3 trong 20 viên bi là 320C 1140 (cách).

Suy ra n 1140.

Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một viên màu đỏ”.

Suy ra A là biến cố: “Cả 3 viên bi đều màu xanh”.

Suy ra 38n A C 56. Suy ra 56 14

P A .1140 285

Ta có: 14 271P A 1 P A 1 .

285 285

Ví dụ 2: Gieo liên tiếp 4 lần một đồng tiền cân đối và đồng chất. Xác suất của biến cố A: “Có ít nhất một lần mặt ngửa xuất” là bao nhiêu?


Ta có: 4n 2 16.

Biến cố A là: “Không có mặt ngửa xuất hiện”. Nghĩa là cả 4 lần đều xuất hiện mặt sấp.

Suy ra n A 1. Suy ra 1P A .

16

Ta có: 1 15P A 1 .

16 16

Ví dụ 3: Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 người. Xác suất để có ít nhất một nữ bằng bao nhiêu?


Trang 190


Số người trong tổ là 10 5 15 (người).

Số cách chọn 4 trong 15 người là 415C 1365 (cách).

Suy ra n 1365.

Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một nữ”.

Suy ra A là biến cố: “Không có nữ”. Nghĩa là có 4 nam.

Suy ra 410n A C 210. Suy ra 210 2

P A .1365 13

Ta có: 2 11P A 1 .

13 13

Ví dụ 4: Có hai bình, mỗi bình chứa 6 viên bi. Bình thứ nhất có 3 bi xanh, 2 bi vàng và 1 bi đỏ. Bình thứ hai có 2 bi xanh, 1 bi vàng và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi bình 1 viên bi. Xác suất để được 2 bi xanh là bao nhiêu?


Mỗi bình có 6 viên bi và lấy mỗi bình 1 viên nên n 6.

Gọi A là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở bình thứ nhất”.

Suy ra n A 3. Suy ra 3 1P A .

6 2

Gọi B là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở bình thứ hai”.

Suy ra n B 2. Suy ra 2 1P B .

6 3

Ta có: A.B là biến cố: “Lấy được 1 viên bi xanh ở bình thứ nhất và 1 viên bi xanh ở bình thứ 2”.

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên 1 1 1P A.B P A .P B . .

2 3 6

Ví dụ 5: Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một phát vào bia. Xác suất trúng đích của người thứ nhất là 0,9; người thứ hai và 0,7. Xác suất cả 2 người đều trúng là bao nhiêu?


Gọi A là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng”.

Gọi B là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng”.

Như vậy A.B là biến cố “Hai người đều bắn trúng”.

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên P A.B P A .P B 0,9.0,7 0,63.

Ví dụ 6: Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II. Xác suất bắn trúng đích của các xạ thủ theo thứ tự là 0,9 và 0,8. Lấy ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Xác suất để viên đạn đó trúng đích là bao nhiêu?


Trang 191


Gọi A là biến cố: “Lấy 1 xạ thủ loại I bắn trúng đích”.

Có 2 xạ thủ loại I nên 0,9P A 0,45.

2

Gọi B là biến cố: “Lấy 1 xạ thủ loại II bắn trúng đích”.

Có 8 xạ thủ loại II nên 0,8P B 0,1.

8

Ta có: A B là biến cố: “Lấy ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ này bắn trúng”.

Vì A và B là biến cố xung khắc nên: P A B P A P B 0,45 0,1 0,55.

B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là?

A. 4

16. B. 2

16. C. 1

16. D. 6

16.

Lời giải

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là ( ) 2.2.2.2 16.n W = =

Gọi A là biến cố '' Cả bốn lần gieo xuất hiện mặt sấp '' 1.A¾¾ W =

Vậy xác suất cần tính ( ) 1

16P A = .

Câu 2: Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là?

A. 12

36. B. 11

36. C. 6

36. D. 8

36.

Lời giải

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là 6.6 36.W = =

Gọi A là biến cố '' Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm '' . Để tìm số phần tử của biến

cố A , ta đi tìm số phần tử của biến cố đối A là '' Không xuất hiện mặt sáu chấm ''

5.5 25 36 25 11.AA¾¾ W = = ¾¾ W = - =


36P A = .

Câu 3: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để biến cố có tổng hai mặt

bằng 8.

A. 1.

6 B. 5

.36

C. 1.

9 D. 1

.2


Trang 192

Lời giải

Chọn A


Gọi A là biến cố '' Số chấm trên mặt hai lần gieo có tổng bằng 8 '' .

Gọi số chấm trên mặt khi gieo lần một là ,x số chấm trên mặt khi gieo lần hai là .y

Theo bài ra, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 6

1 6 ; 2;6 , 3;5 , 4;4 , 6;2 , 5;3 , 4;4 .

8

x

y x y

x y

ì £ £ïïïï £ £ =íïïï + =ïî

Khi đó số kết quả thuận lợi của biến cố là 6.AW =

Vậy xác suất cần tính ( ) 6 1.

36 6P A = =

Câu 4: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần, tính xác suất để biến cố có tích 2 lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn.

A. 0, 25. B. 0,5. C. 0,75. D. 0,85.

Lời giải

Chọn C


Gọi A là biến cố '' Tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn '' .

Ta xét các trường hợp:

TH1. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số lẻ thì khi gieo lần hai, số chấm xuất

hiện phải là số chẵn. Khi đó có 3.3 9= cách gieo.

TH2. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số chẵn thì có hai trường hợp xảy ra là

số chấm xuất hiện trên mặt khi gieo lần hai là số lẻ hoặc số chẵn. Khi đó có 3.3 3.3 18+ =

cách gieo.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố là 9 18 27.AW = + =

Vậy xác suất cần tìm tính ( ) 270,75.

36P A = =

Câu 5: Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau là?

A. 12

216. B. 1

216. C. 6

216. D. 3

216.

Lời giải

Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu là 6.6.6 36.W = =


Trang 193

Gọi A là biến cố '' Số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau '' . Ta có các trường

hợp thuận lợi cho biến cố A là ( ) ( ) ( ) ( )1;1;1 , 2;2;2 , 3;3;3 , , 6;6;6 .

Suy ra 6.AW =


216P A = .

Câu 6: Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ.

A. 70.

143 B. 73

.143

C. 56.

143 D. 87

.143

Lời giải

Chọn A

Không gian mẫu là chọn tùy ý 4 người từ 13 người.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 413 715CW = = .

Gọi A là biến cố '' 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ '' . Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:

● TH1: Chọn 3 nữ và 1 nam, có 3 18 5C C cách.

● TH2: Chọn cả 4 nữ, có 48C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 3 1 48 5 8 350A C C CW = + = .

Vậy xác suất cần tính ( ) 350 70

715 143AP A

W= = =

W.

Câu 7: Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.

A. 313.

408 B. 95

.408

C. 5.

102 D. 25

.136

Lời giải

Chọn B

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi. Suy ra số

phần tử của không gian mẫu là 518 8568CW = = .

Gọi A là biến cố '' 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng '' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

● TH1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 3 bi xanh nên có 1 1 36 7 5. .C C C cách.

● TH2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh nên có 2 2 16 7 5. .C C C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 1 1 3 2 2 16 7 5 6 7 5. . . . 1995A C C C C C CW = + = .


Trang 194


8568 408AP A

W= = =

W.

Câu 8: Một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bị, tính xác suất để 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh.

A. 1.

12 B. 1

.3

C. 16.

33 D. 1

.2

Lời giải

Chọn C



Gọi A là biến cố '' 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh '' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

● TH1: Chọn 1 bi đỏ và 3 bi xanh nên có 1 35 4.C C cách.

● TH2: Chọn 2 bi đỏ và 2 bi xanh nên có 2 25 4C C cách.

● TH3: Chọn 3 bi đỏ và 1 bi xanh nên có 3 15 4.C C cách.

● TH4: Chọn 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh nên có 2 1 15 3 4C C C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 1 3 2 2 3 1 2 1 15 4 5 4 5 4 5 3 4. . 240A C C C C C C C C CW = + + + = .


495 33AP A

W= = =

W.

Câu 9: Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly.

A. 3851.

4845 B. 1

.71

C. 36.

71 D. 994

.4845

Lời giải

Chọn D

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa gồm 21 hoa.


Gọi A là biến cố '' 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly '' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

● TH1: Chọn 1 hoa hồng, 1 hoa ly và 5 hoa huệ nên có 1 1 58 7 6. .C C C cách.




Trang 195

Suy ra số phần tử của biến cố A là 1 1 5 2 2 3 3 3 18 7 6 8 7 6 8 7 6. . . . . . 23856A C C C C C C C C CW = + + = .


116280 4845AP A

W= = =

W

Câu 10: Có 13 học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối 12

có 8 học sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 3

học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ

đồng thời có cả khối 11 và khối 12 .

A. 57.

286 B. 24

.143

C. 27.

143 D. 229

.286

Lời giải

Chọn A

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh.


Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và

khối 12 '' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

● TH1: Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên

có 1 1 12 8 3 48C C C = cách.

● TH2: Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có 1 22 3 6C C = cách.

● TH3: Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có 2 12 3 3C C = cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 48 6 3 57AW = + + = .

Vậy xác suất cần tính ( ) 57.

286AP A

W= =

W

Câu 11: Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu trắng. Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu.

A. 2808.

7315 B. 185

.209

C. 24.

209 D. 4507

.7315

Lời giải

Chọn B

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi đã cho.


Gọi A là biến cố '' Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu '' . Để tìm

số phần tử của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 1 1 1 17 6 5 4 840

AC C C CW = = .


Trang 196

Suy ra số phần tử của biến cố A là 6475A AW = W - W = .


7315 209AP A

W= = =

W.

Câu 12: Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu.

A. 14.

95 B. 48

.95

C. 47.

95 D. 81

.95

Lời giải

Chọn C

Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 1 120 19. 380C CW = = .

Gọi A biến cố '' 2 quả cầu được lấy cùng màu '' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:

● TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng.

Do đó trường hợp này có 1 18 7.C C cách.

● TH2: Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen.

Do đó trường hợp này có 1 112 11.C C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 1 1 1 18 7 12 11. .A C C C CW = + .

Vậy xác suất cần tính ( )1 1 1 18 7 12 11

1 120 19

. . 47.

95.A C C C C

P AC C

W += = =

W

Câu 13: Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số.

A. 8.

33 B. 14

.33

C. 29.

66 D. 37

.66

Lời giải

Chọn D

Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.


Gọi A là biến cố '' 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số '' .

● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là 4.4 16= cách (do số bi đỏ ít hơn nên

ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh).


Trang 197

● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là 3.4 12= cách.

● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi đỏ và 1 bi vàng là 3.3 9= cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 16 12 9 37AW = + + = .


66AP A

W= =

W.

Câu 14: Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu.

A. 810.

1001 B. 191

.1001

C. 4.

21 D. 17

.21

Lời giải

Chọn A

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 6

14 3003CW = = .

Gọi A là biến cố '' 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu '' . Để tìm số phần tử của biến cố

A ta đi tìm số phần tử của biến cố A tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau:

● TH1: Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu vàng).

Do đó trường hợp này có 66 1C = cách.

● TH2: Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có 68C cách.

Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có 6 611 6C C- cách.

Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có 6 69 6C C- cách.

Do đó trường hợp này có ( ) ( )6 6 6 6 68 11 6 9 6 572C C C C C+ - + - = cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 1 572 573A

W = + = .

Suy ra số phần tử của biến cố A là 3003 573 2430A AW = W - W = - = .


3003 1001AP A

W= = =

W

Câu 15: Trong một hộp có 50 viên bi được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp, tính xác suất để tổng ba số trên 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3.

A. 816.

1225 B. 409

.1225

C. 289.

1225 D. 936

.1225

Lời giải

Chọn B




Trang 198

Gọi A là biến cố '' 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3 '' . Trong 50 viên bi được chia thành ba loại gồm: 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số chia cho 3 dư 1 và 17 viên bi còn lại có số chia cho 3 dư 2. Để tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố A , ta xét các trường hợp

● TH1: 3 viên bi được chọn cùng một loại, có ( )3 3 316 17 17 1920C C C+ + = cách.

● TH2: 3 viên bi được chọn có mỗi viên mỗi loại, có 1 1 116 17 17. . 4624C C C = cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là ( )3 3 3 1 1 116 17 17 16 17 17. . 6544A C C C C C CW = + + + = .


19600 1225AP A

W= = =

W

Câu 16: Cho tập hợp { }0; 1; 2; 3; 4; 5A = . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được

lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số

được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.

A. 1.

5 B. 23

.25

C. 2.

25 D. 4

.5

Lời giải

Chọn C

Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc . Trong đó , ,

0

; ;

a b c A

a

a b b c c a

ì Îïïïï ¹íïïï ¹ ¹ ¹ïî

.

Khi đó

● Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì 0a ¹ .

● Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b a¹ .

● Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c a¹ và c b¹ .

Do đó tập S có 5.5.4 100= phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .


Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu '' . Khi đó ta có các bộ

số là 1 2b hoặc 2 4b thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên có tất cả

8 số thỏa yêu cầu.

Suy ra số phần tử của biến cố X là 8XW = .


100 25XP X

W= = =

W

Câu 17: Cho tập hợp { }2; 3; 4; 5; 6; 7; 8A = . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một

khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính


Trang 199

xác suất để số được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.

A. 1.

5 B. 3

.35

C. 17.

35 D. 18

.35

Lời giải

Chọn D

Số phần tử của tập S là 47 840.A =


Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 1840 840.CW = =

Gọi X là biến cố '' Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ '' .

● Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2; 4; 6; 8 là 24 6C = cách.

● Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ số 3; 5; 7 là 23 3C = cách.

● Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với

một hoán vị của 4 phần tử nên có 4! cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là 2 24 3. .4! 432.X C CW = =


840 35XP X

W= = =

W

Câu 18: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các

chữ số 1; 2; 3; 4; 6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn chia hết

cho 3 .

A. 1.

10 B. 3

.5

C. 2.

5 D. 1

.15

Lời giải

Chọn C

Số phần tử của S là 35 60A = .


Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 160 60.CW = =

Gọi A là biến cố '' Số được chọn chia hết cho 3 '' . Từ 5 chữ số đã cho ta có 4 bộ gồm ba

chữ số có tổng chia hết cho 3 là ( )1; 2; 3 , ( )1; 2; 6 , ( )2; 3; 4 và ( )2; 4; 6 . Mỗi bộ ba chữ số

này ta lập được 3! 6= số thuộc tập hợp S .

Suy ra số phần tử của biến cố A là 6.4 24AW = = .


60 5AP A

W= = =

W


Trang 200

Câu 19: Cho tập hợp { }1; 2; 3; 4; 5A = . Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ

số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu

nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 .

A. 1.

30 B. 3

.25

C. 22.

25 D. 2

.25

Lời giải

Chọn B

Ta tính số phần tử thuộc tập S như sau:

● Số các số thuộc S có 3 chữ số là 35A .



Suy ra số phần tử của tập S là 3 4 55 5 5 300A A A+ + = .



Gọi X là biến cố '' Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 '' . Các tập con của A có

tổng số phần tử bằng 10 là { }1 1; 2; 3; 4A = , { }2 2; 3; 5A = , { }3 1; 4; 5A = .

● Từ 1A lập được các số thuộc S là 4!.

● Từ 2A lập được các số thuộc S là 3! .

● Từ 3A lập được các số thuộc S là 3! .

Suy ra số phần tử của biến cố X là 4! 3! 3! 36.XW = + + =


300 25XP X

W= = =

W

Câu 20: Một hộp đựng 10 chiếc thẻ được đánh số từ 0 đến 9 . Lấy ngẫu nhiên ra 3 chiếc thẻ, tính

xác suất để 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho

5 .

A. 8.

15 B. 7

.15

C. 2.

5 D. 3

.5

Lời giải

Chọn A

Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ 10 chiếc thẻ.


Gọi A là biến cố '' 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia

hết cho 5 '' . Để cho biến cố A xảy ra thì trong 3 thẻ lấy được phải có thẻ mang chữ số 0


Trang 201

hoặc chữ số 5 . Ta đi tìm số phần tử của biến cố A , tức 3 thẻ lấy ra không có thẻ mang

chữ số 0 và cũng không có thẻ mang chữ số 5 là 38C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 3 310 8A C CW = - .

Vậy xác suất cần tính ( )3 310 8

310

8.

15A C C

P AC

W -= = =

W

Câu 21: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Chọn ngẫu nhiên ra 8 tấm thẻ, tính xác suất để

có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang

số chia hết cho 10 .

A. 560.

4199 B. 4

.15

C. 11.

15 D. 3639

.4199

Lời giải

Chọn A

Không gian mẫu là cách chọn 8 tấm thể trong 20 tấm thẻ.

Suy ra số phần tử của không mẫu là 820 25970CW = = .

Gọi A là biến cố '' 3 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1

tấm thẻ mang số chia hết cho 10 '' . Để tìm số phần tử của A ta làm như sau:

● Đầu tiên chọn 3 tấm thẻ trong 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 310C cách.

● Tiếp theo chọn 4 tấm thẻ trong 8 tấm thẻ mang số chẵn (không chia hết cho 10 ), có 48C cách.

● Sau cùng ta chọn 1 trong 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 , có 12C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 3 4 110 8 2. . 16800A C C CW = = .

Vậy xác suất cần tính ( )3 4 110 8 2

820

. . 560

4199A C C C

P AC

W= = =

W.

Câu 22: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập

hợp S . Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

A. 8.

89 B. 81

.89

C. 36.

89 D. 53

.89

Lời giải

Chọn A

Số phần tử của tập S là =9.10 90 .


Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W = =290 4005C .

Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau '' . Ta mô tả không gian của biến cố X nhưu sau:


Trang 202

● Có 10 cách chọn chữ số hàng đơn vị (chọn từ các chữ số { }0; 1; 2; 3;...; 9 ).

● Có 29C cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ các chữ số { }1; 2; 3;...; 9 ).

Suy ra số phần tử của biến cố X là W = =2910. 360X C .

Vậy xác suất cần tính ( )W

= = =W

360 8.

4005 89XP X

Câu 23: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S ,

tính xác suất để chọn được một số gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ

số lẻ (hai số hai bên chữ số 0 là số lẻ).

A. 49.

54 B. 5

.54

C. 1.

7776 D. 45

.54

Lời giải

Chọn B

Số phần tử của tập S là 899.A .


Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 899. 3265920AW = = .

Gọi X là biến cố '' Số được chọn gồm 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số

lẻ '' . Do số 0 luôn đứng giữa 2 số lẻ nên số 0 không đứng ở vị trí đầu tiên và vị trí cuối

cùng. Ta có các khả năng

● Chọn 1 trong 7 vị trí để xếp số 0 , có 17C cách.

● Chọn 2 trong 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí cạnh số 0 vừa xếp, có 25A cách.

● Chọn 2 số lẻ trong 3 số lẻ còn lại và chọn 4 số chẵn từ { }2; 4; 6; 8 sau đó xếp 6 số

này vào 6 vị trí trống còn lại có 2 43 4. .6!C C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là 1 2 2 47 5 3 4. . . .6! 302400X C A C CW = = .

Vậy xác suất cần tính ( )W

= = =W

1 2 2 47 5 3 4

89

. . . .6! 5.

549.X C A C C

P XA

Câu 24: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, trong đó có 6 đội nước ngoài và

3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng , , A B C

và mỗi bảng có 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau.

A. 3.

56 B. 19

.28

C. 9.

28 D. 53

.56

Lời giải

Chọn C

Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 9 đội thành 3 bảng.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 3 3 39 6 3. .C C CW = .


Trang 203

Gọi X là biến cố '' 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau '' .

● Bước 1. Xếp 3 đội Việt Nam ở 3 bảng khác nhau nên có 3! cách.

● Bước 2. Xếp 6 đội còn lại vào 3 bảng , , A B C này có 2 2 26 4 2. .C C C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là 2 2 26 4 23!. . .X C C CW = .


3 3 39 6 3

3!. . . 540 9

1680 28. .X C C C

P XC C C

W= = = =

W.

Câu 25: Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham gia trong đó có hai bạn Việt và Nam. Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B , mỗi bảng gồm 4 người. Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu.

A. 6.

7 B. 5

.7

C. 4.

7 D. 3

.7

Lời giải

Chọn D

Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 8 người thành 2 bảng.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 4 48 4.C CW = .

Gọi X là biến cố '' 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu '' .

● Bước 1. Xếp 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu nên có 12C cách.

● Bước 2. Xếp 6 bạn còn lại vào 2 bảng , A B cho đủ mỗi bảng là 4 bạn thì có 2 46 4.C C

cách.

Suy ra số phần tử của biến cố X là 1 2 42 6 4. .X C C CW = .


1 2 42 6 4

. 3

7. .X C C

P XC C C

W= = =

W.

Câu 26: Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu dễ,

10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là '' Tốt '' nếu trong đề thi có cả ba

câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn 2 . Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi '' Tốt '' .

A. 941.

1566 B. 2

.5

C. 4.

5 D. 625

.1566

Lời giải

Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu là 530 142506CW = = .

Gọi A là biến cố ''Đề thi lấy ra là một đề thi '' Tốt '' '' .

Vì trong một đề thi '' Tốt '' có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn 2 nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A .


Trang 204

● Đề thi gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó: có 3 1 115 10 5C C C đề.



Suy ra số phần tử của biến cố A là 3 1 1 3 1 1 2 1 215 10 5 15 10 5 15 10 5 56875A C C C C C C C C CW = + + = .


142506 1566AP A

W= = =

W.

Câu 27: Trong một kỳ thi vấn đáp thí sinh A phải đứng trước ban giám khảo chọn ngẫu nhiên 3

phiếu câu hỏi từ một thùng phiếu gồm 50 phiếu câu hỏi, trong đó có 4 cặp phiếu câu hỏi

mà mỗi cặp phiếu có nội dung khác nhau từng đôi một và trong mỗi một cặp phiếu có nội

dung giống nhau. Tính xác suất để thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi có nội dung

khác nhau.

A. 3

4 B. 12

.1225

C. 4.

7 D. 1213

.1225

Lời giải

Chọn D

Không gian mẫu là số cách chọn tùy ý 3 phiếu câu hỏi từ 50 phiếu câu hỏi.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 350A CW = .

Gọi X là biến cố '' Thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi khác nhau '' .

Để tìm số phần tử của X ta tìm số phần tử của biến cố X , lúc này cần chọn được 1 cặp

trong 4 cặp phiếu có câu hỏi giống nhau và chọn 1 phiếu trong 48 phiếu còn lại.

Suy ra số phần tử của biến cố X là 1 14 48.

XC CW = .


350

. 1213.

1225X X C C C

P XC

W - WW -= = = =

W W

Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016 có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh. Môn thi này

thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D . Mỗi câu trả lời đúng được

cộng 0, 2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng

Anh nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn

Tiếng Anh trong kỳ thi trên.

A. ( )2030

5

5

0

0 . 3.

4

C B.

( )2030

5

5

0

0 . 3.

4

A C.

( )203050 . 3

.50

C D.

( )203050 . 3

.50

A

Lời giải

Chọn A

Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50 x- là số câu trả lời sai.

Ta có số điểm của Hoa là ( )0, 2. 0,1. 50 4 30x x x- - = = .

Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu.


Trang 205

Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên. Mỗi

câu có 4 phương án trả lời nên có 504 khả năng.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 504W = .

Gọi X là biến cố '' Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu '' . Vì mỗi câu đúng có 1

phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. Vì vậy có ( )203050 . 3C khả năng thuận

lợi cho biến cố X .

Suy ra số phần tử của biến cố X là ( )203050 . 3X CW = .

Vậy xác suất cần tính ( )( )2030

5

50

0 ..

3

4XP

CX

W= =

W

Câu 28: Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên vào 9 ghế thành một

dãy. Tính xác suất để xếp được 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11 .

A. 5.

12 B. 7

.12

C. 1.

1728 D. 5

.72

Lời giải

Chọn A

Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 9 học sinh vào một ghế dài.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 9!W = .

Gọi A là biến cố '' Xếp 3 học sinh lớp 12 xen kẽ giữa 6 học sinh lớp 11 '' . Ta mô tả khả

năng thuận lợi của biến cố A như sau:

● Đầu tiên xếp 6 học sinh lớp 11 thành một dãy, có 6! cách.

● Sau đó xem 6 học sinh này như 6 vách ngăn nên có 7 vị trí để xếp 3 học sinh lớp 12

(gồm 5 vị trí giữa 6 học sinh và 2 vị trí hai đầu). Do đó có 37A cách xếp 3 học sinh lớp

12 .

Suy ra số phần tử của biến cố A là 376!.A AW = .

Vậy xác suất cần tính ( )376!. 5

.9! 12

A AP A

W= = =

W

Câu 29: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường THPT có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ.

Trong buổi lễ trao phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng ngang. Tính xác suất để khi xếp sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau.

A. 653.

660 B. 7

.660

C. 41.

55 D. 14

.55

Lời giải

Chọn D

Không gian mẫu là số cách sắp xếp tất cả 12 học sinh thành một hàng ngang. Suy ra số

phần tử của không gian mẫu là 12!W = .


Trang 206

Gọi A là biến cố '' Xếp các học sinh trên thành một hàng ngang mà 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau '' . Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:

● Đầu tiên xếp 8 học sinh nam thành một hàng ngang, có 8! cách.

● Sau đó xem 8 học sinh này như 8 vách ngăn nên có 9 vị trí để xếp 4 học sinh nữ thỏa

yêu cầu bài toán (gồm 7 vị trí giữa 8 học sinh và 2 vị trí hai đầu). Do đó có 49A cách xếp

4 học sinh nữ.


Vậy xác suất cần tính ( )498! 14

.12! 55

A AP A

W= = =

W

Câu 30: Có 3 bì thư giống nhau lần lượt được đánh số thứ tự từ 1 đến 3 và 3 con tem giống nhau

lần lượt đánh số thứ tự từ 1 đến 3 . Dán 3 con tem đó vào 3 bì thư sao cho không có bì

thư nào không có tem. Tính xác suất để lấy ra được 2 bì thư trong 3 bì thư trên sao cho

mỗi bì thư đều có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó.

A. 5.

6 B. 1

.6

C. 2.

3 D. 1

.2

Lời giải

Chọn B

Không gian mẫu là số cách dán 3 con tem trên 3 bì thư, tức là hoán vị của 3 con tem

trên 3 bì thư. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 3! 6W = = .

Gọi A là biến cố '' 2 bì thư lấy ra có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó '' . Thế thì bì thư còn lại cũng có số thứ tự giống với số thứ tự con tem đã dán vào nó. Trường hợp này có 1 cách duy nhất.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 1AW = .


6AP A

W= =

W

Câu 31: Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống

nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp

thành một dãy sao cho 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau?

A. 16800. B. 1680. C. 140. D. 4200.

Lời giải

Chọn A

Xếp 3 cuốn sách Toán kề nhau. Xem 3 cuốn sách Toán là 3 vách ngăn, giữa 3 cuốn sách Toán có 2 vị trí trống và thêm hai vị trí hai đầu, tổng cộng có 4 vị trí trống.

Bước 1. Chọn 3 vị trí trống trong 4 vị trí để xếp 3 cuốn Lý, có 34C cách.

Bước 2. Giữa 6 cuốn Lý và Toán có 5 vị trí trống và thêm 2 vị trí hai đầu, tổng cộng có 7

vị trí trống. Chọn 3 vị trí trong 7 vị trí trống để xếp 3 cuốn Hóa, có 37C cách.


Trang 207

Bước 3. Giữa 9 cuốn sách Toán, Lý và Hóa đã xếp có 8 vị trí trống và thêm 2 vị trí hai đầu, tổng cộng có 10 vị trí trống. Chọn 3 vị trí trong 10 vị trí trống để xếp 3 cuốn Sinh, có

310C cách. Vậy theo quy tắc nhân có 3 3 3

4 7 10. . 16800C C C = cách.

Câu 32: Xếp 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ vào một bàn tròn 10 ghế. Tính xác suất để không

có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau.

A. 37.

42 B. 5

.42

C. 5.

1008 D. 1

.6

Lời giải

Chọn B

Cố định 1 vị trí cho một học sinh nam (hoặc nữ), đánh dấu các ghế còn lại từ 1 đến 9.

Không gian mẫu là hoán vị 9 học sinh (còn lại không cố định) trên 9 ghế đánh dấu.


Gọi A là biến cố '' không có hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau '' . Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:

● Đầu tiên ta cố định 1 học sinh nam, 5 học sinh nam còn lại có 5! cách xếp.

● Ta xem 6 học sinh nam như 6 vách ngăn trên vòng tròn, thế thì sẽ tạo ra 6 ô trống để

ta xếp 4 học sinh nữ vào (mỗi ô trống chỉ được xếp 1 học sinh nữ). Do đó có 46A cách.


Vậy xác suất cần tính ( )465!. 5

.9! 42

A AP A

W= = =

W

Câu 33: Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và

chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn

lại không có ai.

A. 3.

4 B. 3

.16

C. 13.

16 D. 1

.4

Lời giải

Chọn B

Không gian mẫu là số cách sắp xếp 4 hành khách lên 4 toa tàu. Vì mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có 44 cách xếp.


Gọi A là biến cố '' 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai '' . Để tìm số phần tử của A , ta chia làm hai giai đoạn như sau:

● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và

xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn. Suy ra có 3 14 4.C C cách.


Trang 208

● Giai đoạn thứ hai. Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách

còn lại. Suy ra có 13C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 3 1 14 4 3. .A C C CW = .


4 4

. . 48 3

164 4A C C C

P AW

= = = =W

.

Câu 34: Có 8 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tính xác suất để 3

người cùng đến quầy thứ nhất.

A. 10.

13 B. 3

.13

C. 4769.

6561 D. 1792

.6561

Lời giải

Chọn D

Không gian mẫu là số cách sắp xếp 8 người khách vào 3 quầy. Vì mỗi người khách có 3

cách chọn quầy nên có 83 khả năng xảy ra.


Gọi A là biến cố ʹʹCó 3 người cùng đến quầy thứ nhất, 5 người còn lại đến quầy thứ hai

hoặc ba ʹʹ . Để tìm số phần tử của A , ta chia làm hai giai đoạn như sau:

● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 3 người khách trong 8 người khách và cho đến quầy thứ

nhất, có 38C cách.

● Giai đoạn thứ hai. Còn lại 5 người khách xếp vào 2 quầy. Mỗi người khách có 2

cách chọn quầy. Suy ra có 52 cách xếp.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 3 58 .2A CW = .

Vậy xác suất cần tính ( )3 58

8

.2 1792.

65613A C

P AW

= = =W

Câu 35: Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Tính xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào.

A. 94.

95 B. 1

.95

C. 6.

95 D. 89

.95

Lời giải

Chọn D

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 người trong 20 người.

Suy ra số phần tử không gian mẫu là 320 1140CW = = .

Gọi A là biến cố '' 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào '' . Để tìm số phần tử

của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 3 người được chọn luôn có 1

cặp vợ chồng.


Trang 209

● Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng, có 14C cách.

● Chọn thêm 1 người trong 18 người, có 118C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 1 14 18. 72

AC CW = = .

Suy ra số phần tử của biến cố A là 1140 72 1068AW = - = .


1140 95AP A

W= = =

W.

Câu 36: Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm

thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp

phó và bí thư. Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh

em sinh đôi nào.

A. 64.

65 B. 1

.65

C. 1.

256 D. 255

.256

Lời giải

Chọn A

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong 40 học sinh.

Suy ra số phần tử không gian mẫu là 340 9880CW = = .

Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào '' . Để tìm số

phần tử của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 3 học sinh được

chọn luôn có 1 cặp anh em sinh đôi.

● Chọn 1 cặp em sinh đôi trong 4 cặp em sinh đôi, có 14C cách.

● Chọn thêm 1 học sinh trong 38 học sinh, có 138C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 1 14 38. 152

AC CW = = .



9880 65AP A

W= = =

W.

Câu 37: Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên 4

chiếc. Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi.

A. 3.

7 B. 13

.64

C. 99.

323 D. 224

.323

Lời giải

Chọn C

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 chiếc giày từ 20 chiếc giày.



Trang 210

Gọi A là biến cố '' 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi '' . Để tìm số phần tử của biến cố

A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 4 chiếc giày được chọn không có đôi nào.

● Số cách chọn 4 đôi giày từ 10 đôi giày là 410C .

● Mỗi đôi chọn ra 1 chiếc, thế thì mỗi chiếc có 12C cách chọn. Suy ra 4 chiếc có ( )41

2C

cách chọn.

Suy ra số phần tử của biến cố A là ( )44 110 2. 3360

AC CW = = .



4845 323AP A

W= = =

W.

Câu 38: Một trường THPT có 10 lớp 12 , mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các

lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau (các học sinh cùng lớp không bắt tay với nhau). Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần.

A. 405. B. 435. C. 30. D. 45.

Lời giải

Chọn A

Mỗi lớp cử ra 3 học sinh nên 10 lớp cử ra 30 học sinh.

Suy ra số lần bắt tay là 230C (bao gồm các học sinh cùng lớp bắt tay với nhau).

Số lần bắt tay của các học sinh học cùng một lớp là 2310.C .

Vậy số lần bắt tay của các học sinh với nhau là 2 230 310. 405C C- = .

Câu 39: Có 5 đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2 , 4 , 6 , 8cm cm cm cm và 10cm . Lấy ngẫu nhiên 3

đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng trên, tính xác suất để 3 đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác.

A. 3.

10 B. 9

.10

C. 7.

10 D. 4

.5

Lời giải

Chọn A

Không gian mẫu là số cách lấy 3 đoạn thẳng từ 5 đoạn thẳng.


Gọi A là biến cố '' 3 đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác '' . Để ba đoạn thẳng tạo thành một tam giác chỉ có các trường hợp: ( )4 , 6 , 8cm cm cm hoặc ( )6 , 8 , 10cm cm cm hoặc

( )4 , 8 , 10cm cm cm .

Suy ra số phần tử của biến cố A là 3AW = .


Trang 211

Vậy xác suất cần tìm ( ) 3

10AP A

W= =

W.

Câu 40: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ở

các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm

không nằm trên các trục tọa độ). Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ.

A. 68.

91 B. 23

.91

C. 8.

91 D. 83

.91

Lời giải

Chọn B

Không gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho.


Gọi A là biến cố ''Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ '' . Để xảy ra biến cố A thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ tư.

● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có 1 12 4C C cách.

● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, có 1 13 5C C cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 1 1 1 12 4 3 5 23A C C C CW = + = .


91AP A

W= =

W

Câu 41: Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham

gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là 12

29. Tính số học

sinh nữ của lớp.

A. 16. B. 14. C. 13. D. 17.

Lời giải

Chọn B

Gọi số học sinh nữ của lớp là ( )*, 28n n nÎ £ .

Suy ra số học sinh nam là 30 n- .

Không gian mẫu là chọn bất kì 3 học sinh từ 30 học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 330CW = .

Gọi A là biến cố '' Chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ '' .

● Chọn 2 nam trong 30 n- nam, có 230 nC - cách.

● Chọn 1 nữ trong n nữ, có 1nC cách.


Trang 212

Suy ra số phần tử của biến cố A là 2 130 .A n nC C-W = .

Do đó xác suất của biến cố A là ( )2 130

330

.A n nC CP A

C-W

= =W

.

Theo giả thiết, ta có ( )2 130

330

.12 1214.

29 29n nC C

P A nC-= = ¾¾ =

Vậy số học sinh nữ của lớp là 14 học sinh.

Câu 42: Một chi đoàn có 3 đoàn viên nữ và một số đoàn viên nam. Cần lập một đội thanh niên tình nguyện (TNTN) gồm 4 người. Biết xác suất để trong 4 người được chọn có 3 nữ

bằng 2

5 lần xác suất 4 người được chọn toàn nam. Hỏi chi đoàn đó có bao nhiêu đoàn

viên.

A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.

Lời giải

Chọn A

Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là ( )* 7,n n n³ Î .

Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là 3n- .

Xác suất để lập đội TNTN trong đó có 3 nữ là 3 13 3

4

. n

n

C C

C- .

Xác suất để lập đội TNTN có toàn nam là 4

34

n

n

C

C- .

Theo giả thiết, ta có 3 1 4

1 43 3 33 34 4

. 2 2. . 9.

5 5n n

n nn n

C C CC C n

C C- -

- -= = ¾¾ =

Vậy cho đoàn có 9 đoàn viên.

Câu 43: Một hộp có 10 phiếu, trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt lấy ngẫu

nhiên mỗi người 1 phiếu. Tính xác suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng.

A. 4.

5 B. 3

.5

C. 1.

5 D. 2

.5

Lời giải

Chọn C

Không gian mẫu là mỗi người lấy ngẫu nhiên 1 phiếu.


Gọi A là biến cố '' Người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng '' . Ta mô tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:

● Người thứ ba có 12 2C = khả năng lấy được phiếu trúng thưởng.

● 9 người còn lại có số cách lấy phiếu là 9! .


Trang 213

Suy ra số phần tử của biến cố A là 2.9!AW = .

Vậy xác suất cần tính ( ) 2.9! 1.

10! 5AP A

W= = =

W

Câu 44: Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi lớp thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn khác nhau. Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng ký 4 môn thi và cả 4 lần thi đều thi tại một phòng duy nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác xuất để trong 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí.

A. 253.

1152 B. 899

.1152

C. 4.

7 D. 26

.35

Lời giải

Chọn A

Không gian mẫu là số cách ngẫu nhiên chỗ ngồi trong 4 lần thi của Nam.


Gọi A là biến cố '' 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí '' . Ta mô tả không gian của biến cố A như sau:

● Trong 4 lần có 2 lần trùng vị trí, có 24C cách.

● Giả sử lần thứ nhất có 24 cách chọn chỗ ngồi, lần thứ hai trùng với lần thứ nhất có 1 cách chọn chỗ ngồi. Hai lần còn lại thứ ba và thứ tư không trùng với các lần trước và

cũng không trùng nhau nên có 23.22 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là 24 .24.23.22A CW = .


4 3

.24.23.22 .23.22 253.

115224 24A C C

P AW

= = = =W


Trang 214

CHƯƠNG 3. DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC


Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên *n Î là đúng với mọi n mà không thể

thử trực tiếp thì có thể làm như sau:

· Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với 1.n =

· Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì 1n k= ³ (gọi là giả thiết quy nạp),

chứng minh rằng nó cũng đúng với 1.n k= +

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi 1n = nên theo kết quả ở

bước 2, nó cũng đúng với 1 1 2.n = + = Vì nó đúng với 2n = nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng

với 2 1 3,...n = + = Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên *.n Î

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p³ ( p là một số tự nhiên) thì:

· Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với ;n p=

· Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n k p= ³ và phải chứng minh rằng nó cũng

đúng với 1.n k= +


Dạng 1. Chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1 . Chứng minh rằng: 2 *1.2 2.5 3.8 ... n 3n 1 n n 1 ,vôùi n N (1)

Lời giải

Bước 1: Với n=1, vế trái bằng 1.2=2, vế phải bằng 2. hệ thức (1) đúng

Bước 2: Đăt vế trái bằng Sn. Giả sử hệ thức (1) đúng vơi n k 1 , tức là :

2k

2k 1

S 1.2 2.5 ... k(3k 1) k (k 1)( giaû thieát quy naïp)Ta phaûi chöùng minh raèng (1) cuõng ñuùng vôùi n=k+1, töùc laø :

S k 1 k 2

Thaä vaäy, töø giaû thieát quy naïp ta coù:

2k 1 k

22

*

S S k 1 3 k 1 1 k k 1 k 1 3k 2

(k 1)(k 3k 2) k 1 k 2

Vaäy heä thöùc (1) ñuùng vôùi moïi n N

Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi n 3 ta có: n 23 n 4n 5 (1) Lời giải


Trang 215

k 2

Vôùi n=3, veá traùi baèng 27, coøn veá phaûi baèng 26.Baát ñaúng thöùc (4) ñuùng.Giaûi söû baát ñaúng thöùc (4) ñuùng vôùi n=k 3. töùc laø:

3 k 4k 5. (1')Ta phaûi chöùng minh noù cuõng ñuùng vôùi n=k+

2k+1

2k 1 2 2

22 k 1

1, töùc laø:

3 k 1 4 k 1 5

Thaät vaäy, nhaân hai veá cuûa baát ñaúng thöùc (1') vôùi 3 ta coù:

3 3k 12k 15 k 1 4 k 1 5 2k 6k 5

Vì 2k 6k 5 0neân 3 k 1 4 k 1 5

Ñaêng thöùc (1) ñaõ ñöôïc chöùng minh

Dạng 3. Chứng minh một tính chất

Ví dụ. Chứng minh rằng: 7 *n n chia heát cho 7 vôùi moïi n N Giải

7n

17

k

7 7 6 5 4 3 2k+1

7 6 5 4

Ñaët A n n.Khi n=1 thì A 0 chia heát cho 7

Giaû söû ñaõ coù: A k k 7

Thaät vaây, aùp duïng coâng thöùc nhò thöùc Niu-ton ta coù:

A k 1 k 1 k 7k 21k 35k 35k 21k 7k 1 k 1

k k 7 k 3k 5k 5k

3 2

7k k+1

7 *

3k k

Theo giaû thieát quy naïp thì A k k chia heát cho 7, do ñoùA 7

Vaäy n n chia heát cho 7 vôùi moïi n N

Dạng 4. Một số bài toán khác

Ví dụ. Chứng minh rằng: n+1

2 2 ... 2 2cos2

Giải

n

k k+1

Ñaët veá traùi cuûa heä thöùc (1) baèng C .

Khi n=1, veá traùi baèng 2, veá phaûi baèng 2cos 2; heä thöùc (1) ñuùng4

Giaû söû heä thöùc (1) ñuùng vôùi n=k 1, töùc laø C 2cos2

ta phaûi chöùng minh:

k+1 k+2

k+1 k k 1

2k 2 k 2 k 2

C 2cos2

Thaät vaäy, töø giaû thieát quy naïp ta coù:

C 2 C 2 2cos2

4cos 2cos ( vì cos )2 2 2

Vaäy heä thöùc (1) ñaõ ñöôïc chöùng minh


Trang 216


Câu 1: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến ( )A n đúng với mọi số tự nhiên n p³ ( p là

một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:

A. 1.n = B. .n p= C. .n p> D. .n p³

Lời giải.

Chọn B

Câu 2: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến ( )A n đúng với mọi số tự nhiên n p³ ( p là

một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề ( )A n đúng với n k= . Khẳng định nào sau

đây là đúng?

A. .k p> B. .k p³ C. .k p= D. .k p<

Lời giải.

Chọn B

Câu 3: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến ( )A n đúng với mọi

số tự nhiên n p³ ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

· Bước 1, kiểm tra mệnh đề ( )A n đúng với .n p=

· Bước 2, giả thiết mệnh đề ( )A n đúng với số tự nhiên bất kỳ n k p= ³ và phải chứng

minh rằng nó cũng đúng với 1.n k= +

Trong hai bước trên:

A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng. C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai.

Lời giải.

Chọn C

Câu 4: Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8 1n + chia hết cho *7, ''n" Î ( )* như sau:

· Giả sử ( )* đúng với n k= , tức là 8 1k + chia hết cho 7.

· Ta có: ( )18 1 8 8 1 7k k+ + = + - , kết hợp với giả thiết 8 1k + chia hết cho 7 nên suy ra được 18 1k+ + chia hết cho 7. Vậy đẳng thức ( )* đúng với mọi *.n Î

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Học sinh trên chứng minh đúng.

B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.

C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.

D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.

Lời giải.

Chọn D


Trang 217

Thiếu bước 1 là kiểm tra với 1n = , khi đó ta có 18 1 9+ = không chi hết cho 7.

Câu 5: Cho ( )

1 1 1 1...

1 2 2 3 3 4 . 1nSn n

= + + + +⋅ ⋅ ⋅ +

với *.n Î Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 3

1.

12S = B. 2

1.

6S = C. 2

2.

3S = D. 3

1.

4S =

Lời giải.

Chọn C

Lưu ý rằng nS là tổng n số hạng đầu tiên nên.

Do đó với 2n = , ta có 2

1 1 2.

1 2 2 3 3S = + =

⋅ ⋅

Câu 6: Cho ( )

1 1 1 1...

1 2 2 3 3 4 . 1nSn n

= + + + +⋅ ⋅ ⋅ +


A. 1.n

nS

n

-= B. .

1n

nS

n=

+ C. 1

.2n

nS

n

+=

+ D. 2

.3n

nS

n

+=

+

Lời giải.

Chọn B

Cách trắc nghiệm: Ta tính được 1 2 3

1 2 3, ,

2 3 4S S S= = = . Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ

hơn mẫu đúng 1 đơn vị.

Cách tự luận. Ta có 1 2 3

1 2 3, ,

2 3 4S S S= = = ¾¾ dự đoán .

1n

nS

n=

+

· Với 1n = , ta được 1

1 1

1.2 1 1S = =

+: đúng.

· Giả sử mệnh đề đúng khi n k= ( )1k ³ , tức là ( )

1 1 1...

1.2 2.3 1 1

k

k k k+ + + =

+ +.

· Ta có ( )

1 1 1...

1.2 2.3 1 1

k

k k k+ + + =

+ +

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

2

1 1 1 1 1...

1.2 2.3 1 1 2 1 1 2

1 1 1 1 2 1...

1.2 2.3 1 1 2 1 2

k

k k k k k k k

k k

k k k k k k

+ + + + = ++ + + + + +

+ + + + + + =

+ + + + +

( ) ( )( )1 1 1 1 1

... .1.2 2.3 1 1 2 2

k

k k k k k

+ + + + + =

+ + + + S

uy ra mệnh đề đúng với 1n k= + .

Câu 7: Cho ( ) ( )

1 1 1...

1 3 3 5 2 1 2 1nSn n

= + + +⋅ ⋅ - ⋅ +


A. 1.

2 1n

nS

n

-=

- B. .

2 1n

nS

n=

+ C. .

3 2n

nS

n=

- D. 2

.2 5n

nS

n

+=

+


Trang 218

Lời giải.

Chọn B

Cho

1

2

3

11

36

2 .153

37

n S

n S

n S

ìïï = ¾¾ =ïïïïïï = ¾¾ =íïïïïï = ¾¾ =ïïïî

Kiểm tra các đáp án chỉ cho B thỏa.

Câu 8: Cho 2 2 2

1 1 11 1 ... 1

2 3nPn

æ öæ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= - - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø với 2n ³ và .n Î Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1.

2

nP

n

+=

+ B. 1

.2

nP

n

-= C. 1

.n

Pn

+= D. 1

.2

nP

n

+=

Lời giải.

Chọn D

Vì 2n ³ nên ta cho 2 2

3 2 2

1 32 1

42.

1 1 23 1 . 1

32 3

n P

n P

ì æ öï ÷ï ç= ¾¾ = - =÷ï ç ÷çï è øïïíï æ ö æ öï ÷ ÷ç ç= ¾¾ = - - =ï ÷ ÷ç ç÷ ÷ï ç çè ø è øïïî

Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa.

Câu 9: Với mọi *n Î , hệ thức nào sau đây là sai?

A. ( )1

1 2 ...2

n nn

++ + + =

B. ( ) 21 3 5 ... 2 1n n+ + + + - = .

C. ( )( )2 2 2 1 2 1

1 2 ...6

n n nn

+ ++ + + =

D. ( )( )( )22 2 2 2 1 2 1

2 4 6 26

n n nn

+ ++ + + + = .

Lời giải.

Chọn D

Bẳng cách thử với 1n = , 2n = , 3n = là ta kết luận được.

Câu 10: Xét hai mệnh đề sau:

I) Với mọi *,n Î số 3 23 5n n n+ + chia hết cho 3.

II) Với mọi *,n Î ta có 1 1 1 13...

1 2 2 24n n n+ + + >

+ +.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Không có. D. Cả I và II.

Lời giải.


Trang 219

Chọn A

Ta chứng minh I) đúng.

Với 1n = , ta có 3 21 1 3.1 5.1 9 3u = + + = : đúng.

Giả sử mệnh đề đúng khi n k= ( )1k ³ , tức là 3 23 5 3ku k k k= + + .

Ta có ( ) ( )3 2 2 21 3 5 3 9 9 3 3 3 3.k ku k k k k k u k k+ = + + + + + = + + + Kết thúc chứng minh.

Mệnh đề II) sai vì với 1,n = ta có 1 1 12 13VT

1 1 2 24 24= = = >

+ : Vô lý.


Trang 220

BÀI 2. DÃY SỐ



1. Định nghĩa dãy số

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là

dãy số). Kí hiệu:

( )

*:

.

u

n u n

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển 1 2 3, , , ..., , ...,nu u u u

trong đó ( )nu u n= hoặc viết tắt là ( ),nu và gọi 1u là số hạng đầu, nu là số hạng thứ n và là số hạng

tổng quát của dãy số.

2. Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập { }1, 2,3,...,M m= với *m Î được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là 1 2 3, , , ..., ,nu u u u trong đó 1u là số hạng đầu, mu là số hạng cuối.

II –CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng

trước nó.

III – DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa 1

Dãy số ( )nu được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1n nu u+ > với mọi *.n Î

Dãy số ( )nu được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1n nu u+ < với mọi *.n Î

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số ( )nu với ( )3n

nu = - tức là

dãy 3, 9, 27,81,...- - không tăng cũng không giảm.

2. Dãy số bị chặn

Định nghĩa 2


Trang 221

Dãy số ( )nu được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

*, .nu M n£ " Î

Dãy số ( )nu được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

*, .nu m n³ " Î

Dãy số ( )nu được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số , m M

sao cho

*, .nm u M n£ £ " Î


Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số

1. Phương pháp

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho dãy số nu , tìm nu

a) 1n

n 1 n

u 5u :

u u 3

; b) 1

nn 1 n

u 3u :

u 4u


a) Ta có:

1

2

3

4

n

u 5

u 5 1.3

u 5 2.3

u 5 3.3

...

u 5 n 1 .3 *

b) Ta có

1

2

23

34

n 1n

u 3

u 3.4

u 3.4

u 3.4

...

u 3.4 *

Ví dụ 2. Cho dãy số nu , tìm nu

a) 1n

n 1 n

u 1u :

u 2u 3

; b) 1

n 2n 1 n

u 3u :

u 1 u


a) Ta có:


Trang 222

21

32

43

54

n 1n

u 1 2 3

u 5 2 3

u 13 2 3

u 29 2 3

...

u 2 3 *

b) Ta có

21

22

23

24

3n

u 3 3 0

u 10 3 1

u 11 3 2

u 12 3 3

...

u 3 n 1 *


Câu 1: Cho dãy số ( )nu , biết .1n

nu

n

-=

+ Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số

nào dưới đây?

A. 1 2 3 4 5; ; ; ; .

2 3 4 5 6- - - - - B. 2 3 4 5 6

; ; ; ; .3 4 5 6 7

- - - - - C. 1 2 3 4 5; ; ; ; .

2 3 4 5 6 D. 2 3 4 5 6

; ; ; ; .3 4 5 6 7

Lời giải.

Chọn A

Ta có 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5; ; ; ; .

2 3 4 5 6u u u u u=- =- =- =- =-

Nhận xét: (i) Dùng MTCT chức năng CALC để kiểm tra (tính) nhanh.

(ii) Ta thấy dãy ( )nu là dãy số âm nên loại các phương án C, D . Đáp án đúng là A hoặc

B. Ta chỉ cần kiểm tra một số hạng nào đó mà cả hai đáp án khác nhau là được. Chẳng

hạng kiểm tra 1u thì thấy 1

1

2u =-

Câu 2: Cho dãy số ( )nu , biết 3 1n n

nu =

-. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số

nào dưới đây?

A. 1 1 1; ; .

2 4 8 B. 1 1 3

; ; .2 4 26

C. 1 1 1; ; .

2 4 16 D. 1 2 3

; ; .2 3 4

Lời giải.

Chọn B

Dùng MTCT chức năng CALC: ta có


Trang 223

1 2 32 3

1 2 2 1 3 3; ; .

2 8 4 263 1 3 1u u u= = = = = =

- -

Câu 3: Cho dãy số ( )nu , biết 1

1

1

3n n

u

u u+

ì =-ïïíï = +ïîvới 0n ³ . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt

là những số nào dưới đây?

A. 1;2;5.- B. 1;4;7. C. 4;7;10. D. 1;3;7.-

Lời giải.

Chọn A

Ta có 1 2 1 3 21; 3 2; 3 5.u u u u u=- = + = = + =

Nhận xét: (i) Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính:

Nhập vào màn hình: 3.X X= +

Bấm CALC và cho 1X =- (ứng với 1 1)u =-

Để tính nu cần bấm “=” ra kết quả liên tiếp 1n- lần. Ví dụ để tính 2u ta bấm “=” ra kết

quả lần đầu tiên, bấm “=” ra kết quả thứ hai chính là 3 ,...u

(ii) Vì 1 1u =- nên loại các đáp án B, C. Còn lại các đáp án A, C; để biết đáp án nào ta chỉ

cần kiểm tra 2u (vì 2u ở hai đáp án là khác nhau): 2 1 3 2u u= + =

Câu 4: Cho dãy số ( ),nu biết 2

2

2 1.

3n

nu

n

-=

+ Tìm số hạng 5.u

A. 5

1.

4u = B. 5

17.

12u = C. 5

7.

4u = D. 5

71.

39u =

Lời giải.

Chọn C

Thế trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: 2

5 2

2.5 1 49 7.

28 45 3u

-= = =

+

Câu 5: Cho dãy số ( ),nu biết ( )1 .2 .n

nu n= - Mệnh đề nào sau đây sai?

A. 1 2.u =- B. 2 4.u = C. 3 6.u =- D. 4 8.u =-

Lời giải.

Chọn D

Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC:

( ) ( ) ( )2 3 4

1 2 3 42.1 2; 1 .2.2 4, 1 2.3 6; 1 2.4 8u u u u=- =- = - = = - =- = - = .

Nhận xét: Dễ thấy 0nu > khi n chẵn và ngược lại nên đáp án D sai.

Câu 6: Cho dãy số ( ),nu biết ( ) 21 . .

nn

nun

= - Tìm số hạng 3.u


Trang 224

A. 3

8.

3u = B. 3 2.u = C. 3 2.u =- D. 3

8.

3u =-

Lời giải.

Chọn D

Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: ( )3

3

3

2 81 . .

3 3u = - =-

Câu 7: Cho dãy số ( )nu xác định bởi ( )

1

1

2.1

13n n

u

u u+

ì =ïïïíï = +ïïî

Tìm số hạng 4 .u

A. 4

5.

9u = B. 4 1.u = C. 4

2.

3u = D. 4

14.

27u =

Lời giải.

Chọn A

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 4 3

1 1 1 2 1 1 2 51 2 1 1; 1 ; 1 1 .

3 3 3 3 3 3 3 9u u u u u u

æ ö÷ç= + = + = = + = = + = + =÷ç ÷çè ø

Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

Câu 8: Cho dãy ( )nu xác định bởi 1

1

3.

22n

n

u

uu +

ì =ïïïïíï = +ïïïî

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. 2

5.

2u = B. 3

15.

4u = C. 4

31.

8u = D. 5

63.

16u =

Lời giải.

Chọn A

Ta có

1 22 3

3 44 5

3 7 7 152 2 ; 2 2

2 2 2 2 4 415 31 31 63

2 2 ; 2 2 .2 8 8 2 16 16

u uu u

u uu u

ìïï = + = + = = + = + =ïïïíïï = + = + = = + = + =ïïïî

Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

Câu 9: Cho dãy số ( ),nu biết 1

2 1n

nu

n

+=

+. Số 8

15 là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 8. B. 6. C. 5. D. 7.

Lời giải.

Chọn D

Ta cần tìm n sao cho 1 815 15 16 8 7.

2 1 15n

nu n n n

n

+= = + = + =

+

Nhận xét: Có thể dùng chức năng CALC để kiểm tra nhanh.


Trang 225

Câu 10: Cho dãy số ( ),nu biết 2 5.

5 4n

nu

n

+=

- Số 7

12 là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 8. B. 6. C. 9. D. 10.

Lời giải.

Chọn A

Dùng chức năng “lặp” để kiểm tra đáp án. Hoặc giải cụ thể như sau:

2 5 724 60 35 28 11 88 8.

5 4 12n

nu n n n n

n

+= = + = - = =

-

Câu 11: Cho dãy số ( ),nu biết 2 .nnu = Tìm số hạng 1.nu +

A. 1 2 .2.nnu + = B. 1 2 1.n

nu + = + C. ( )1 2 1 .nu n+ = + D. 1 2 2.nnu + = +

Lời giải.

Chọn A

Thay n bằng 1n+ trong công thức nu ta được: 11 2 2.2n n

nu ++ = = .

Câu 12: Cho dãy số ( )nu , biết 3 .nnu = Tìm số hạng 2 1.nu -

A. 22 1 3 .3 1.n

nu - = - B. 12 1 3 .3 .n n

nu -- = C. 2

2 1 3 1.nnu - = - D. ( )2 1

2 1 3 .nnu -- =

Lời giải.

Chọn B

Ta có 2 1 2 1 12 13 3 3 .3 .n n n n n n

n nu u« - - --= ¾¾¾¾ = =

Câu 13: Cho dãy số ( ),nu với 15 .nnu += Tìm số hạng 1.nu -

A. 11 5 .n

nu -- = B. 1 5 .n

nu - = C. 11 5.5 .n

nu +- = D. 1

1 5.5 .nnu -- =

Lời giải.

Chọn B

( )1 11 115 5 5 .nn n n n

n nu u - ++ « --= ¾¾¾ = =

Câu 14: Cho dãy số ( ),nu với 2 3

1.

1

n

n

nu

n

+æ ö- ÷ç= ÷ç ÷çè ø+ Tìm số hạng 1.nu +

A. ( )2 1 3

1

1.

1

n

n

nu

n

+ +

+

æ ö- ÷ç= ÷ç ÷çè ø+ B.

( )2 1 3

1

1.

1

n

n

nu

n

- +

+

æ ö- ÷ç= ÷ç ÷çè ø+

C. 2 3

1 .2

n

n

nu

n

+

+

æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø+ D.

2 5

1 .2

n

n

nu

n

+

+

æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø+

Lời giải.

Chọn D

( )( )

( )2 1 32 3 2 51

1

1 11.

1 1 1 2

nn nn n

n n

nn nu u

n n n

+ ++ +« +

+

æ ö+ -æ ö æ ö- ÷ç÷ ÷ç ç÷ç= ¾¾¾ = =÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷ç ç÷÷è ø è øç+ + + +è ø


Trang 226

Câu 15: Dãy số có các số hạng cho bởi: 1 2 3 40; ; ; ; ; .

2 3 4 5 có số hạng tổng quát là công thức nào dưới

đây?

A. 1.n

nu

n

+= B. .

1n

nu

n=

+ C. 1

.n

nu

n

-= D.

2

.1n

n nu

n

-=

+

Lời giải.

Chọn C

Vì 1 0u = nên loại các đáp án A và B. Ta kiểm tra 2

1

2u = ở các đáp án C, D:

Xét đáp án C: 2

1 1

2n

nu u

n

-= ¾¾ =

Xét đáp án D: 2

2

2 1

1 3 2n

n nu u

n

-= ¾¾ = =/ ¾¾

+ loại

Nhận xét: 1 2 3

1 1 1 2 1 2 3 10 ; ; ,...

1 2 2 3 3u u u

- - -= = = = = = nên đoán 1

.n

nu

n

-=

Câu 16: Dãy số có các số hạnh cho bởi: 1;1; 1;1; 1; .- - - có số hạng tổng quát là công thức nào

dưới đây?

A. 1.nu = B. 1.nu =- C. ( )1 .n

nu = - D. ( ) 11 .

n

nu+= -

Lời giải.

Chọn C

Vì dãy số đa cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án A và B. Ta kiểm tra 1 1u =-

ở các đáp án C, D:

Xét đáp án C: ( ) 11 1n

nu u= - ¾¾ =-

Xét đáp án D: ( ) ( )1 2

1 11 1 1n

nu u+= - ¾¾ = = =/ -- ¾¾ loại D.

Câu 17: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6; .- Số hạng tổng quát của dãy số này là

công thức nào dưới đây?

A. 2 .nu n=- B. 2.nu n= - C. ( )2 1 .nu n=- + D. 2 4.nu n= -

Lời giải.

Chọn D

Kiểm tra 1 2u =- ta loại các đáp án B, C. Ta kiểm tra 2 0u = ở các đáp án A, D:

Xét đáp án A: 2 4 02nu n u= = =/ ¾¾ loại A.

Xét đáp án D: 2 4 2.2 4 0nu n= - = - =

Nhận xét: Dãy 2;4;6;... có công thức là ( )*2n n Î nên dãy 2;0;2;4;6; .- có được bằng

cách “tịnh tiến” 2n sang trái 4 đớn vị, tức là 2 4.n-


Trang 227

Câu 18: Cho dãy số ( ),nu được xác định 1

1

2.

2n n

u

u u+

ì =ïïíï =ïî Số hạng tổng quát nu của dãy số là số hạng

nào dưới đây?

A. 1.nnu n -= B. 2 .n

nu = C. 12 .nnu += D. 2.nu =

Lời giải.

Chọn B

Từ công thức 1

12 1

13 2

22

2 2.2 4.2

2 2.4 8n n

uu

u uu u

u u+

ì =ïïì =ï ïï ï¾¾ = = =í íï ï=ï ïî ï = = =ïî

Xét đáp án A với 1 1 011 1 1 1n u -= ¾¾ = = = ¾¾ A loại.

Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn.

Xét đáp án C với 1 1 211 2 2 4n u += ¾¾ = = = ¾¾ C loại.

Dễ thấy đáp án D không thỏa mãn.


1

1.2

2n n

u

u u+

ìïï =ïïíïï = -ïïî

Số hạng tổng quát nu của dãy số là số hạng

nào dưới đây?

A. ( )12 1 .

2nu n= + - B. ( )12 1 .

2nu n= - - C. 12 .

2nu n= - D. 12 .

2nu n= +

Lời giải.

Chọn B

Từ công thức

1

12 1

1

3 2

1

211 3

2 2 .22 22

3 72 2

2 2

n n

u

uu u

u uu u

+

ìïï =ïïïìï ïï ï=ïï ï¾¾ = - = - =-í íï ïï ï= -ï ïïî ïï = - =- - =-ïïïî

Xét đáp án A với ( )2

1 52 2 2 1

2 2n u= ¾¾ = + - = ¾¾ A loại.

Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn.

Xét đáp án C với 2

1 1 72 2.2 4

2 2 2n u= ¾¾ = - = - =- ¾¾ C loại.

Xét đáp án D với 1

1 51 2.1

2 2n u= ¾¾ = + = ¾¾ D loại.


1

2.

2 1n n

u

u u n+

ì =ïïíï - = -ïî Số hạng tổng quát nu của dãy số là số

hạng nào dưới đây?

A. ( )22 1 .nu n= + - B. 22 .nu n= +


Trang 228

C. ( )22 1 .nu n= + + D. ( )2

2 1 .nu n= - -

Lời giải.

Chọn A

Kiểm tra 1 2u = ta loại các đáp án B và C. Ta có 2 1 2.1 1 3.u u= + - =

Xét đáp án A: ( )2

22 1 3nu n u= + - ¾¾ =

Hoặc kiểm tra: ( )221 1 2 1.n nu u n n n+ - = - - = -

Xét đáp án D: ( )2

22 1 1nu n u= - - ¾¾ = ¾¾ loại D. Hoặc kiểm tra:

( )2 21 1 1 12 2 .n n nu u n n n+ - = - - = =/ -- +


21

1.

n n

u

u u n+

ì =ïïíï = +ïî Số hạng tổng quát nu của dãy số là số


A. ( 1)(2 1)1 .

6n

n n nu

+ += + B.

( 1)(2 2)1 .

6n

n n nu

- += +

C. ( 1)(2 1)1 .

6n

n n nu

- -= + D.

( 1)(2 2)1 .

6n

n n nu

+ -= +

Lời giải.

Chọn C

Kiểm tra 1 1u = ta loại đáp án A. Ta có 22 1 1 2.u u= + =

Xét đáp án B: 2

( 1)(2 2) 2.1.61 1 23

6 6n

n n nu u

- += + ¾¾ == = / + ¾¾ B loại.

Xét đáp án C: 2

( 1)(2 1) 2.1.31 1 2

6 6n n

n n nu u u

- -= = + ¾¾ = + =

Xét đáp án D: 2

( 1)(2 2) 2.3.21 . 1 3

6 62n

n n nu u

+ -= + ¾¾ + = =/= ¾¾D loại.


1

2

.12n

n

u

uu+

ì =-ïïïïíï =- -ïïïî

Số hạng tổng quát nu của dãy số là số


A. 1.n

nu

n

- += B. 1

.n

nu

n

+= C. 1

.n

nu

n

+=- D. .

1n

nu

n=-

+

Lời giải.

Chọn C


Trang 229

Kiểm tra 1 2u =- ta loại các đáp án A, B. Ta có 21

1 32 .

2u

u=- - =-

Xét đáp án C: 2

1 3

2n

nu u

n

+=- ¾¾ =-

Xét đáp án D : 2

2

1 3n

nu u

n=- ¾¾ =- ¾¾

+D loại.

Câu 23: Cho dãy số ( ),nu được xác định ( )

1

2

1

1.

1n

n n

u

u u+

ì =ïïïíï = + -ïïî Số hạng tổng quát nu của dãy số là số


A. 1 .nu n= + B. 1 .nu n= - C. ( )21 1 .

n

nu = + - D. .nu n=

Lời giải.

Chọn D

Kiểm tra 1 1u = ta loại đáp án A, B và C

Câu 24: Cho dãy số ( )nu có số hạng tổng quát là ( )2 3nnu = với *.n Î Công thức truy hồi của dãy

số đó là:

A. 1

1

6.

6 , 1n n

u

u u n-

ì =ïïíï = >ïî B. 1

1

6.

3 , 1n n

u

u u n-

ì =ïïíï = >ïî

C. 1

1

3.

3 , 1n n

u

u u n-

ì =ïïíï = >ïî D. 1

1

3.

6 , 1n n

u

u u n-

ì =ïïíï = >ïî

Lời giải.

Chọn B

Vì 11 2.3 6u = = nên ta loại các đáp án C và D. Ta có 2

2 2.3 18.u = =

Xét đáp án A: 12 1

1

66 6.6 36

6 , 1n n

uu u

u u n-

ì =ïï ¾¾ = = = ¾¾íï = >ïîA loại.

Xét đáp án B: 12 1

1

63 3.6 18

3 , 1n n

uu u

u u n-

ì =ïï ¾¾ = = =íï = >ïî

Câu 25: Cho dãy số ( ),na được xác định 1

1

3.1

, 12n n

a

a a n+

ì =ïïïíï = ³ïïî

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. 1 2 3 4 5

93.

16a a a a a+ + + + = B. 10

3.

512a =

C. 1

9.

2n n na a+ + = D. 3

.2n n

a =

Lời giải.

Chọn D


Trang 230

Ta có 31 2 1 1 11 2 3 42 3 1 1

33; ; ; ,...

2 2 22 2 2 2n n n

uu u u u ua a a a u - -= = = = = = ¾¾ = = nên suy ra đáp án D

sai.

Xét đáp án A:

5

1 2 3 4 5 2 3 4

11

1 1 1 1 9323 1 3.

12 162 2 2 12

a a a a a

æ ö÷ç- ÷ç ÷çæ ö è ø÷ç+ + + + = + + + + = = ¾¾÷ç ÷çè ø -A đúng.


3 3

5122a = = ¾¾ B đúng.

Xét đáp án C. 1 1

3 3 3 3.2 9

2 2 2 2n n n n n na a+ -

++ = + = = ¾¾ C đúng.

Dạng 2. Tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

1. Phương pháp

Xét tính tăng giảm

(un) là dãy số tăng un+1 > un, n N*.

un+1 – un > 0 , n N* 1 1n

n

uu ,n N* ( un > 0).

(un) là dãy số giảm un+1 < un với n N*.

un+1 – un< 0 , n N* 1 1n

n

uu , n N* (un > 0).

Dãy số bị chặn

(un) là dãy số bị chăn trên M R: un M, n N*. (un) là dãy số bị chặn dưới m R: un m, n N*. (un) là dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N*. 1. Phương pháp

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Xét tính tăng giảm của dãy số nu biết

n2n 1a)u ;3n 2

b) n

2 nun


*n n 1 n

72n 1 2 3a)u ; u u 0, n3n 2 3 3 n 1 2

. Vậy dãy giảm

Lưu ý: Ta không cần phải chia như vậy, làm cũng rất nhanh.

b)


Trang 231

n

*n 1 n

2 n 2u nn n

2u u n n 1 1 0, nn n 1

.

Vậy dãy giảm

Ví dụ 2. Xét tính tăng giảm của dãy số nu biết

n

n n 15a)u ;

3 b)

n 2

n2u

n

.


a) Xét

n 1n 1 n

2n 50,n 2k 1

n 3 n 22n 5u u 1 .

2n 5n 3 n 20,n 2k

n 3 n 2

Vậy dãy đã cho không tăng không giảm

b) Xét

n 1n 1 n

10,n 2k 1

n 4 n 51u u 1 .

1n 4 n 50,n 2k

n 4 n 5

Vậy dãy đã cho không tăng không giảm

Ví dụ 3. Xét tính bị chặn của dãy số nu

2

n 2n 2na)u ;

n n 1

b) n 2

nun 2n n


2

n 2 2n 2n n 1a)u 1

n n 1 n n 1

Ta có:

*

2n 10 1, n

n n 1. Suy ra: *

n1 u 2, n .

Vậy dãy số đã cho bị chặn

b)

*n n2

n 1 1u 0 u , n22n 2n n 1 1

n

Ví dụ 4. Xét tính bị chặn của dãy số nu

nna)u 1 cos ;2n

b) 2

n 2

4sin n 4cos 3n 1u

5n n



Trang 232

n nn n

n

a)u 1 cos u 1 cos cos 12n 2n 2n

1 u 1

Vậy dãy đã cho bị chặn.

b)

22

n n2 2 2

4sin n 4cos 3n 14sin n 4cos 3n 1 5u u 15n n 5n n 5n

Suy ra: *n1 u 1, n .

Vậy dãy đã cho bị chặn.


Câu 1: Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

A. 1; 1; 1; 1; 1; 1; B. 1 1 1 11; ; ; ; ;

2 4 8 16- -

C. 1; 3; 5; 7; 9; D. 1 1 1 11; ; ; ; ;

2 4 8 16

Lời giải.

Chọn C

Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1;đây là dãy hằng nên không tăng không giảm.

Xét đáp án B: 1 2 3

1 1 1 11; ; ; ; ;

2 4 8 16u u u- - ¾¾ > < ¾¾ loại B

Xét đáp án C: 1*1; 3; 5; 7; 9; ,n nu u n+¾¾ < Î

Xét đáp án D: 1 2 3

1 1 1 11; ; ; ; ;

2 4 8 16 nuu u u¾¾ > > ¼> >¼¾¾ loại D.

Câu 2: Trong các dãy số ( )nu cho bởi số hạng tổng quát nu sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. 1.

2n nu = B. 1

.nun

= C. 5.

3 1n

nu

n

+=

+ D. 2 1

.1n

nu

n

-=

+

Lời giải.

Chọn D

Vì 2 ;n n là các dãy dương và tăng nên 1 1;

2n n là các dãy giảm, do đó loại A,B.

Xét đáp án C: 1

1 2

2

35 2

73 1

6

n

un

u u un

u

ìïï =ï+ ïï= ¾¾ ¾¾ > ¾¾íï+ ï =ïïïî

loại C

Xét đáp án D: 1

2 1 3 1 12 3 0

1 1 1 2n n n

nu u u

n n n n+

æ ö- ÷ç= = - - = - >÷ç ÷çè ø+ + + +

Câu 3: Trong các dãy số ( )nu cho bởi số hạng tổng quát nu sau, dãy số nào là dãy số tăng?


Trang 233

A. 2.

3n nu = B. 3

.nun

= C. 2 .nnu = D. ( )2 .

n

nu = -

Lời giải.

Chọn C

Xét đáp án C: 112 2 2 2 0n n n n

n n nu u u ++= ¾¾ - = - = > ¾¾

Vì 2 ;n n là các dãy dương và tăng nên 1 1;

2n n là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và

B.

Xét đáp án D: ( ) 22 3

3

42

8n

n

uu u u

u

ì =ïï= - ¾¾ ¾¾ > ¾¾íï =-ïî loại D.

Câu 4: Trong các dãy số ( )nu cho bởi số hạng tổng quát nu sau, dãy số nào là dãy số giảm?

A. 1.

2n nu = B. 3 1

.1n

nu

n

-=

+ C. 2 .nu n= D. 2.nu n= +

Lời giải.

Chọn A

Vì 2n là dãy dương và tăng nên 1

2n là dãy giảm ¾¾

Xét B: 1

1 2

2

13 1

51

3n

un

u u un u

ì =ïï- ï= ¾¾ ¾¾ < ¾¾íï+ =ïïî

loại B. Hoặc

( )( )1

3 2 3 1 40

2 1 1 2n n

n nu u

n n n n+

+ -- = - = >

+ + + + nên ( )nu là dãy tăng.

Xét C: ( )22 21 1 2 1 0n n nu n u u n n n+= ¾¾ - = + - = + > ¾¾ loại C.

Xét D: 1

12 3 2 0

3 2n n nu n u u n n

n n+= + ¾¾ - = + - + = > ¾¾

+ + +loại D.

Câu 5: Trong các dãy số ( )nu cho bởi số hạng tổng quát nu sau, dãy số nào là dãy số giảm?

A. sin .nu n= B. 2 1

.n

nu

n

+=

C. 1.nu n n= - - D. ( ) ( )1 . 2 1 .n n

nu = - +

Lời giải.

Chọn C

A. 1

1 1sin 2 cos sin

2 2n n nu n u u n+

æ ö÷ç= - = + ÷ç ÷çè ø có thể dương hoặc âm phụ thuộc n nên đáp án A

sai. Hoặc dễ thấy sin n có dấu thay đổi trên * nên dãy sin n không tăng, không giảm.

B. ( )

2 2

1

1 1 1 1 11 0

1 1n n n

n n nu n u u

n n n n n n+

+ + -= = + - = + - = >

+ + nên dãy đã cho tăng nên B sai.


Trang 234

C. 11 ,

1nu n n

n n= - - =

+ + dãy 1 0n n+ - > là dãy tăng nên suy ra nu giảm.

D. ( ) ( )1 2 1n n

nu = - + là dãy thay dấu nên không tăng không giảm.

Cách trắc nghiệm.

A. sinnu n= có dấu thay đổi trên * nên dãy này không tăng không giảm.

B. 2 1

n

nu

n

+= , ta có

21

1 2

2

1 21

52

2n

n un

u u unn u

ì = =ïï +ï ¾¾ < ¾¾ =íï = =ïïî

không giảm.

C. 1nu n n= - - , ta có 1

1 2

2

1 1

2 2 1

n uu u

n u

ì = =ïï ¾¾ >íï = = -ïî nên dự đoán dãy này giảm.

D. ( ) ( )1 2 1n n

nu = - + là dãy thay dấu nên không tăng không giảm.

Cách CASIO.

Các dãy ( ) ( )sin ; 1 2 1n nn - + có dấu thay đổi trên * nên các dãy này không tăng không

giảm nên loại các đáp án A, D.

Còn lại các đáp án B, C ta chỉ cần kiểm tra một đáp án bằng chức năng TABLE.

Chẳng hạn kiểm tra đáp án B, ta vào chức năng TABLE nhập ( )2 1X

F XX

+= với thiết lập

Start 1, End 10, Step 1.= = =

Nếu thấy cột ( )F X các giá trị tăng thì loại B và chọn C, nếu ngược lại nếu thấy cột ( )F X

các giá trị giảm dần thị chọn B và loại C.

Câu 6: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số 12nu

n= - là dãy tăng. B. Dãy số ( ) ( )1 2 1

n nnu = - + là dãy giảm.

C. Dãu số 1

1n

nu

n

-=

+ là dãy giảm. D. Dãy số 1

2 cosnu nn

= + là dãy tăng.

Lời giải.

Chọn D

Xét đáp án A: 1

1 1 12 0

1n n nu u un n n+= - ¾¾ - = - < ¾¾

+loại A.

Xét đáp án B: ( ) ( )1 2 1n n

nu = - + là dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loại B.

Xét đáp án C: 1

1 2 1 11 2 0

1 1 1 2n n n

nu u u

n n n n+

æ ö- ÷ç= = - ¾¾ - = - > ¾¾÷ç ÷çè ø+ + + +loại C.

Xét đáp án D: 1

1 1 12 cos 2 cos cos 0

1 2n n nu n u un n n+

æ ö÷ç= + ¾¾ - = - + >÷ç ÷çè ø+ + nên

Câu 7: Mệnh đề nào sau đây sai?


Trang 235

A. Dãy số 1n

nu

n

-= là dãy giảm. B. Dãy số 22 5nu n= - là dãy tăng.

C. Dãy số 11

n

nun

æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ølà dãy giảm. D. Dãy số 2sinnu n n= + là dãy tăng.

Lời giải.

Chọn C

Xét A: 1

1 1 1 11 0

1n n n

nu n u u n n

n n n n+

-= = - ¾¾ - = - + - + <

+ nên dãy ( )nu là dãy

giảm nên C đúng.

Xét đáp án B: 22 5nu n= - là dãy tăng vì 2n là dãy tăng nên B đúng. Hoặc

( )1 2 2 1 0n nu u n+ - = + > nên ( )nu là dãy tăng.

Xét đáp án C: ( )11 1 2 21 0 . 1

1

n n nn

n nn

un n nu u

n n u n n+æ ö æ ö æ ö+ + +÷ ÷ ÷ç ç ç= + = > ¾¾ = > ¾¾÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø+

là dãy tăng nên

Xét đáp án D: ( )( )2 2 21sin 1 sin 1 sin 0n n nu n n u u n n+= + ¾¾ - = - + + > nên D đúng.

Câu 8: Cho dãy số ( )nu , biết 3 1.

3 1n

nu

n

-=

+ Dãy số ( )nu bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

A. 1.

3 B. 1. C. 1

.2

D. 0.

Lời giải.

Chọn B

Ta có 3 1 21 1.

3 1 3 1n

nu

n n

-= = - <

+ + Mặt khác: 2

5 1 10

7 2 2u = > > > nên suy ra dãy ( )nu bị chặn

trên bởi số 1.

Câu 9: Trong các dãy số ( )nu cho bởi số hạng tổng quát nu sau, dãy số nào bị chặn trên?

A. 2 .nu n= B. 2 .nnu = C. 1

.nun

= D. 1.nu n= +

Lời giải.

Chọn C

Các dãy số 2 ; 2 ; 1nn n+ là các dãy tăng đến vô hạn khi n tăng lên vô hạn nên chúng không

bị chặn trên (có thể dùng chức năng TABLE của MTCT để kiểm tra).

Nhận xét: 11nu

n= £ với mọi *n Î nên dãy ( )nu bị chặn trên bởi 1.

Câu 10: Cho dãy số ( )nu , biết cos sin .nu n n= + Dãy số ( )nu bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị

chặn trên.

Lời giải.


Trang 236

Chọn C

Ta có 1 sin1 cos1 1 0MTCTnu u¾¾¾ = + > > nên loại các đáp án A và B (dùng TABLE của

MTCT để kiểm tra, chỉ cần 1 số hạn nào đó của dãy số lớn hơn a thì dãy số đó không thể

bị chặn trên bởi .a )

Ta có cos sin 2 sin4

2nu n n npæ ö÷ç= + = + ÷ç ÷ç ø

£è

Câu 11: Cho dãy số ( )nu , biết sin cos .nu n n= - Dãy số ( )nu bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?

A. 0. B. 1.- C. 2.- D. Không bị

chặn dưới.

Lời giải.

Chọn C

5 sin 5 cos5 1 0MTCTnu u¾¾¾ = - <- < ¾¾ loại A và B (dùng TABLE của MTCT để kiểm tra,

chỉ cần có một số hạng nào đó của dãy số nhỏ hơn a thì dãy số đó không thể bị chặn

dưới với số .a )

Ta có 2 sin4

2nu npæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè

³-ø

Câu 12: Cho dãy số ( )nu , biết 3 cos sin .nu n n= - Dãy số ( )nu bị chặn dưới và chặn trên lần lượt

bởi các số m và M nào dưới đây?

A. 2; 2.m M=- = B. 1; 3 1.

2m M=- = +

C. 3 1; 3 1.m M=- + = - D. 1 1; .

2 2m M=- =

Lời giải.

Chọn A

( )1

13 1

2MTCT TABLE

nu u¾¾¾¾¾ > - > ¾¾ loại C và D.

( )4

1

2MTCT TABLE

nu u¾¾¾¾¾ <- ¾¾ loại B. Vậy

Nhận xét: 3 12 sin cos 2sin 2

2 2 62.nnu n n un

pæ ö æ ö÷ç ÷ç÷ç= - = - ¾¾-÷ç÷ç ÷ç÷÷ ø£

ç ø£

èè

Câu 13: Cho dãy số ( ),nu biết ( ) 2 51 .5 .n n

nu += - Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số ( )nu bị chặn trên và không bị chặn dưới.

B. Dãy số ( )nu bị chặn dưới và không bị chặn trên.

C. Dãy số ( )nu bị chặn.

D. Dãy số ( )nu không bị chặn.


Trang 237

Lời giải.

Chọn D

Nếu n chẵn thì 2 15 0nnu += > tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên

dãy ( )nu không bị chặn trên.

Nếu n lẻ thì 2 15 0nnu +=- < giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên

dãy ( )nu không bị chặn dưới.

Vậy dãy số đã cho không bị chặn.

Câu 14: Cho dãy số ( ),nu với ( )

1 1 1... , 1; 2; 3 .

1.4 2.5 3nu nn n

= + + + " =+

Mệnh đề nào sau đây

đúng?





Lời giải.

Chọn C

Ta có ( )0n nu u> ¾¾ bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác ( ) ( )

( )*1 1 1 1

3 1 1k

k k k k k k< = -

+ +Î

+

nên suy ra:

( )1 1 1

1.2 2.3 3.4

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1

1 2 2 3 2 4 1 1n n nu

n n n+ = - + - + - + + - =< + + + - <

+ + +

nên dãy ( )nu bị chặn trên, do đó dãy ( )nu bị chặn.

Câu 15: Cho dãy số ( ),nu với 2 2 2

1 1 1... , 2; 3; 4; .

2 3nu nn

= + + + " = Mệnh đề nào sau đây đúng?





Lời giải.

Chọn C

Ta có ( )0n nu u> ¾¾ bị chặn dưới bởi 0. Mặt khác ( )

( )2*1 1 1 1,

1 12k k

k k k kk< = -

- -Î ³

nên suy ra:


Trang 238

( )1 1 1

1.2 2.3 3.4

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1

1 2 2 3 2 4 1 1n n nu

n n n+ = - + - + - + + - =< + + + - <

+ + +

nên dãy ( )nu bị chặn trên, do đó dãy ( )nu bị chặn.

Câu 16: Trong các dãy số ( )nu sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?

A. 2 1.nu n= + B. 1.nu n

n= + C. 2 1.n

nu = + D. .1n

nu

n=

+

Lời giải.

Chọn D

Các dãy số 2 ; ; 2nn n dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn, nên

các dãy 2 11; ; 2 1nn n

n+ + + cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này

không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn.

Nhận xét: 10 1 1.

1 1n

nu

n n< = = - <

+ +

Câu 17: Trong các dãy số ( )nu cho bởi số hạng tổng quát nu sau, dãy số nào bị chặn?

A. 1.

2n nu = B. 3 .n

nu = C. 1.nu n= + D. 2 .nu n=

Lời giải.

Chọn A

Các dãy số 2 ; ; 3nn n dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên

các dãy 2; 1; 3nn n+ cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị

chặn trên, do đó chúng không bị chặn.

Nhận xét: 1 1.

220 n n

u =< £

Câu 18: Cho dãy số ( ),nu xác định bởi 1

*1

6.

6 , n n

u

u u n+

ì =ïïíï = + " Îïî Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 56 .

2nu£ < B. 6 3.nu£ <

C. 6 2.nu£ < D. 6 2 3.nu£ £

Lời giải.

Chọn D

Ta có 2

512 3 2

2u = > > > nên loại các đáp án A, B, C.

Nhận xét: Ta có

1 1

11

1

1

60 6.

0 6

6 6

6 6n

n

n

n nnn

u u

u

uu u

u uu u ++ +

ì =ïï¾¾ ³ ¾¾ ¾¾ ³íï³ = +

ì = ìï =ïï ï¾¾í íï ï ³ïî= +ï ïîî


Trang 239

Ta chứng minh quy nạp 2 3.nu £

1 1 12 3; 62 3 6 2 3 6 6 2 3.k k ku u u u+ +£ £ ¾¾ £ + < + == +

Câu 19: Cho dãy số ( ),nu với sin1nu

n

p=

+. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Số hạng thứ 1n+ của dãy là 1 sin .1nu

n

p+ =

+

B. Dãy số ( )nu là dãy số bị chặn.

C. Dãy số ( )nu là một dãy số tăng.

D. Dãy số ( )nu không tăng không giảm.

Lời giải.

Chọn B

( )1sin sin sin1 1 1 2n nu u

n n n

p pp+= ¾¾ = = ¾¾

+ + + +A sai.

si 1 1n1n nu

nu

p= ¾¾ £- £

+¾¾ B đúng.

1 sin sin 0 02 1 2 1 2n nu u

n n n n

p p p p p+

æ ö÷ç- = - < < < ¾¾÷ç ÷çè ø+ +£

+ +C, D sai.

Câu 20: Cho dãy số ( ),nu với ( )1 .n

nu = - Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số ( )nu là dãy số tăng. B. Dãy số ( )nu là dãy số giảm.

C. Dãy số ( )nu là dãy số bị chặn. D. Dãy số ( )nu là dãy số không bị chặn.

Lời giải.

Chọn C

( )1 n

nu = - là dãy thay dấu nên không tăng, không giảm ¾¾ A, B sai.

Tập giá trị của dãy ( )1 n

nu = - là { }1;1 1 1nu£ £- ¾¾- ¾¾ C đúng.


Trang 257

BÀI 4. CẤP SỐ NHÂN



Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều

là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi .q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu ( )nu là cấp số nhân với công bội ,q ta có công thức truy hồi:

1n nu u q+ = với *.n Î

Đặc biệt:

· Khi 0,q = cấp số nhân có dạng 1, 0, 0, ..., 0, ...u

· Khi 1,q = cấp số nhân có dạng 1 1 1 1, , , ..., , ...u u u u

· Khi 1 0u = thì với mọi ,q cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, ..., 0, ...

II - SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu 1u và công bội q thì số hạng tổng quát nu được xác định bởi công

thức

11.

nnu u q -= với 2.n ³

III – TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN

Định lí 2

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

21 1.k k ku u u- += với 2.k ³

IV – TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Định lí 3

Cho cấp số nhân ( )nu với công bội 1.q ¹ Đặt 1 2 ... .n nS u u u= + + + Khi đó

( )1 1.

1

n

n

u qS

q

-=

-

Chú ý: Nếu 1q = thì cấp số nhân là 1 1 1 1, , , ..., , ...u u u u khi đó 1.nS nu=


Trang 258


Dạng 1. Xác định cấp số nhân, số hạng , công bội của cấp số nhân

1. Phương pháp

Xác định một cấp số nhân là xác định số hạng đầu u1 và công bội q

Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 và q rồi giải hệ đó.


Ví dụ 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. 128; 64; 32; 16; 8; ...- - B. 2; 2; 4; 4 2; ....

C. 5; 6; 7; 8; ... D. 115; 5; 1; ; ...

5

Lời giải.

Chọn A

Dãy ( )nu là cấp số nhân ( ) ( )32 41

1 2 3

* 0 ,n n n

uu uu qu n

u u uq u- Î = = = = = =/ q gọi là công

bội.

Xét đáp án A: 32 4

1 2 3

1128; 64; 32; 16; 8; ...

2

uu u

u u u- - ¾¾ =- = =


21

12; 2; 4; 4 2; ...

22.

u

u

u

u¾¾ =/ = = ¾¾ loại B.

Tương tự, ta cũng loại các đáp án C, D.

Ví dụ 2: Với giá trị x nào dưới đấy thì các số 4; ; 9x- - theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?

A. 36.x = B. 13.

2x =- C. 6.x = D. 36.x =-

Lời giải.

Chọn C

Nhận xét: ba số ; ;a b c theo thứ tự đó lấp thành cấp số nhân 2.ac b =

Ví dụ 3: Tìm 0b> để các số 1; ; 2

2b theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. 1.b =- B. 1.b = C. 2.b = D. 2.b =-

Lời giải.

Chọn B

Cấp số nhân ( )21 1

; ; 2 . 2 12 2

b b b¾¾ = =


Trang 259

Ví dụ 4: Cho cấp số nhân 1 1 1 1; ; ; ; .

2 4 8 4096 Hỏi số 1

4096 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã

cho?

A. 11. B. 12. C. 10. D. 13.

Lời giải.

Chọn B

Cấp số nhân: 11

2

1

1

21 1 1 1 1 1 1; ; ; ; . .

12 4 8 4096 2 2 22

n

n n

u

uu

qu

-

ìïï =ïï æ öï ÷ç¾¾ = =÷í ç ÷çï è øï = =ïïïî

12

1 1 112

4096 2 2n nu n= = =

Ví dụ 5: Cho cấp số nhân ( )nu thỏa 1 2 3

1 2 3

14.

. . 64

u u u

u u u

ì + + =ïïíï =ïîTính 2.u

A. 2 4.u = B. 2 6.u = C. 2 8.u = D. 2 10.u =

Lời giải.

Chọn A

Từ ( )321 2 3 1 1 1 1 1. . 64 . . 64 64 4u u u u u q u q u q u q= = = = hay 2 4u = .

Thay vào hệ ban đầu ta được 1 3 1 3 1

31 3 1 3

4 14 10 8

2.4. 64 . 16

u u u u u

uu u u u

ì ì ì+ + = + = =ï ï ïï ï ï í í íï ï ï == =ï ï ïîî î hoặc 1

3

2

8

u

u

ì =ïïíï =ïî.

Vậy 1 8

1

2

u

q

ì =ïïïíï =ïïî

hoặc 12 1

24.

2

uu u q

q

ì =ïï ¾¾ = =íï =ïî

Ví dụ 6: Cho cấp số nhân ( )nu thỏa 1 3 5

1 7

65

325

u u u

u u

ì - + =ïïíï + =ïî. Tính 3.u

A. 3 10.u = B. 3 15.u = C. 3 20.u = D. 3 25.u =

Lời giải.

Chọn C

Ta có ( ) ( )

( ) ( )

2 42 411 3 5 1 1 1

6 61 7 1 1 1

1 65 165 65

325 325 1 325 2

u q qu u u u u q u q

u u u u q u q

ì - + =ì ï- + = - + =ï ïï í íï ï+ = + = +

ìïï

=ïïí

ïî î ïïïî

.

Lấy ( )2 chia ( )1 , ta được 6

22 4

1 3251 5 2

651

qq q

q q

+= + = =

- +.

Vậy 1 5

2

u

q

ì =ïïíï =ïî hoặc 1 2

3 1

55.4 20.

2

uu u q

q

ì =ïï ¾¾ = = =íï =-ïî


Trang 260

Dạng 2. Tính tổng của cấp số nhân

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Cho cấp số nhân ( )nu có 2 2u =- và 5 54.u = Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số

nhân đã cho.

A. 1000

1000

1 3.

4S

-= B.

1000

1000

3 1.

2S

-= C.

1000

1000

3 1.

6S

-= D.

1000

1000

1 3.

6S

-=

Lời giải.

Chọn D

Ta có 2 1 1

4 3 35 1 1

22.3

54 . 2 3

u u q u

u u q u q q q q

ìïì ï- = =ï =ïï í íï ï= = = =-ï ïî =-ïî

Khi đó

( )( )

100100 100

100 1

1 31 2 1 3. .

1 3 1 3 6

qS u

q

- -- -= = =

- - -

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1 1; ; 1; ; 2048.

4 2 Tính tổng S của tất cả các số

hạng của cấp số nhân đã cho.

A. 2047,75.S = B. 2049,75.S = C. 4095,75.S = D. 4096,75.S =

Lời giải.

Chọn A

Cấp số nhân đã cho có

11 1 1 211

11

2048 2 .2 2 13.42

2

n n nuu q n

q

- - -

ìïï =ï ¾¾ = = = = =íïï =ïî

Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 13 số hạng. Vậy

13 13

13 1

1 1 1 2. . 2047,75

1 4 1 2

qS u

q

- -= = =

- -

Ví dụ 3: Tính tổng ( ) ( )12 4 8 16 32 64 ... 2 2

n nS

-=- + - + - + - + - + - với 1, .n n³ Î

A. 2 .S n= B. 2 .nS =

C. ( )2 1 2

.1 2

n

S- -

=-

D. ( )1 2

2. .3

n

S- -

=-

Lời giải.

Chọn D

Các số hạng ( ) ( )12; 4; 8; 16; 32; 64;...; 2 ; 2

n n-- - - - - trong tổng S gồm có n số hạng theo

thứ tự đó lập thành cấp số nhân có 1 2, 2.u q=- =- Vậy


Trang 261

( )( )

( )1

1 2 1 21. 2. 2.

1 1 2 3

n nn

n

qS S u

q

- - - --= = =- =-

- - -

Ví dụ 4: Gọi 9 99 999 ... 999...9S = + + + + ( n số 9 ) thì S nhận giá trị nào sau đây?

A. 10 1.

9

n

S-

= B. 10 110 .

9

n

Sæ ö- ÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø

C. 10 110 .

9

n

S næ ö- ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø

D. 10 110 .

9

n

S næ ö- ÷ç ÷= +ç ÷ç ÷çè ø

Lời giải.

Chọn C

Ta có ( ) ( ) ( )2

n so 9

9 99 999 ... 99...9 10 1 10 1 ... 10 1nS = + + + + = - + - + + -

2 1 1010 10 ... 10 10. .

1 10

nn n n

-= + + + - = -

-

Ví dụ 5 : Cho cấp số nhân ( )nu có tổng của hai số hạng đầu tiên bằng 4 , tổng của ba số hạng đầu

tiên bằng 13 . Tính tổng của năm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho, biết công bội của cấp số

nhân là một số dương.

A. 5

181.

16S = B. 5 141.S = C. 5 121.S = D. 5

35.

16S =

Lời giải.

Chọn C

( )

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2

123 1

4 14 1 13 1 3 0 1.

13 1

S u u u qq q q q q u

S u q q

ìï = = + = +ïï + + = + = > =íï = = + +ïïî

Khi đó 5 5

5 1

1 1 3. 1. 121

1 1 3

qS u

q

- -= = =

- -

Dạng 3. Các bài toán thực tế

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích

của đế tháp (có diện tích là 212 288 m ). Tính diện tích mặt trên cùng.

A. 26 .m B. 28 .m C. 210 .m D. 212 .m

Lời giải.

Chọn A


Trang 262

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội 1

2q = và

1

122886 144.

2u = = Khi đó diện tích mặt trên cùng là

1011 1 10

61446

2u u q= = =

Ví dụ 2: Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt

gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên

thắng hay thua bao nhiêu?

A. Hòa vốn. B. Thua 20000 đồng.

C. Thắng 20000 đồng. D. Thua 40000 đồng.

Lời giải.

Chọn C

Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có 1 20 000u = và

công bội 2.q =

Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

( )91

9 1 2 9

1... 10220000

1

u pS u u u

p

-= + + + = =

-

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là 910 1. 10240000u u p= =

Ta có 10 9 20 000 0u S- = > nên du khách thắng 20 000.


Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?

A. 2; 4; 8; 16; B. 1; 1; 1; 1; - -

C. 2 2 2 21 ; 2 ; 3 ; 4 ; D. ( )3 5 7; ; ; ; 0 .a a a a a ¹

Lời giải.

Chọn C

Xét đáp án C: 2 2 2 2 3

2

2

1

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 9

44

u

uu

u¾ =/ =¾ =

Các đáp án A, B, D đều là các cấp số nhân.

Nhận xét: Dãy ( )nu với 0nu =/ là cấp số nhân . nnu a q = , tức là các số hạng của nó đều

được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của cùng một cơ số q (công bội), các số hạng liên tiếp

(kể từ số hạng thứ hai) thì số mũ của chúng cách đều nhau. Ví dụ

2; 4; 8; 16; ¾¾ là cấp số nhân và 2 .nnu =

1; 1; 1; 1; - - ¾¾ là cấp số nhân và ( )1 .n

nu = -


Trang 263

( )3 5 7; ; ; ; 0a a a a a ¹ ¾¾ là cấp số nhân và ( )2 1 21. .

nnnu a a

a-= =

Câu 2: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. 1; 2; 4; 8; B. 2 3 43; 3 ; 3 ; 3 ;

C. 1 14; 2; ; ;

2 4 D.

2 4 6

1 1 1 1; ; ; ;

p p p p

Lời giải.

Chọn D

Các đáp án A, B, C đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là 12;3; .

2

Xét đáp án D: 22 4 6

32

21

1 1 1 1 1; ; ; ;

1 uu

uup p p p p p¾ =/ =¾ =

Câu 3: Dãy số 1; 2; 4; 8; 16; 32; là một cấp số nhân với:

A. Công bội là 3 và số hạng đầu tiên là 1.

B. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 1.

C. Công bội là 4 và số hạng đầu tiên là 2.

D. Công bội là 2 và số hạng đầu tiên là 2.

Lời giải.

Chọn B

Cấp số nhân: 1

2

1

1; 2; 4; 8; 16; 32

1

2;

u

uq

u

ì =ïïïï¼¾¾íï = =ïïïî

Câu 4: Cho cấp số nhân ( )nu với 1 2u =- và 5.q =- Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

A. 2; 10; 50; 250.- - B. 2; 10; 50; 250.- -

C. 2; 10; 50; 250.- - - - D. 2; 10; 50; 250.-

Lời giải.

Chọn B

1

2 11

3 2

4 3

2

102

505

250

u

u u qu

u u qq

u u q

ì =-ïïïïì = ==-ï ïï ï¾¾í íï ï = =-=-ï ïî ïï = =ïïî

Câu 5: Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

A. 720. B. 81. C. 64. D. 56.

Lời giải.

Chọn B


Trang 264

Ta có cấp số nhân ( )nu có:

12 1

1

16 981

36 4k k

k kk k

u uq u u q

u u+

+ ++

ì =ïï = = ¾¾ = =íï =ïî

Câu 6: Tìm x để các số 2; 8; ; 128x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. 14.x = B. 32.x = C. 64.x = D. 68.x =

Lời giải.

Chọn B

Cấp số nhân 2; 8; ; 128x theo thứ tự đó sẽ là 1 2 3 4; ; ;u u u u , ta có

32

1 2

23 4

2 3

8 32322 8 3232

128 102432

8

uu x xxu u

xxu xu x

xxu u

ìï ìïï ì == ïïï = ïï ìï =ï ïïïï ï ï ïé ==í í í íêï ï ï ï=ï ï ï ïî ê==ï ï ï =-ëïîï ïïîïïî

Câu 7: Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2 1; ; 2 1x x x- + theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. 1.

3x = B. 1

.3

x = C. 3.x = D. 3.x =

Lời giải.

Chọn A

Cấp số nhân ( )( ) 2 2 12 1; ; 2 1 2 1 2 1 3 1 .

3x x x x x x x x- + ¾¾ - + = = =

Câu 8: Tìm x để ba số 1 ; 9 ; 33x x x+ + + theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. 1.x = B. 3.x = C. 7.x = D. 3; 7.x x= =

Lời giải.

Chọn B

Cấp số nhân ( )( ) ( )21 ; 9 ; 33 1 33 9 3.x x x x x x x+ + + ¾¾ + + = + =

Câu 9: Với giá trị ,x y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là 2; ; 18; x y- - theo thứ tự đó lập

thành cấp số nhân?

A. 6

.54

x

y

ì =ïïíï =-ïî B.

10.

26

x

y

ì =-ïïíï =-ïî C.

6.

54

x

y

ì =-ïïíï =-ïî D.

6.

54

x

y

ì =-ïïíï =ïî

Lời giải.

Chọn C

Cấp số nhân: 6

324

18

22; ; 18; .18 4

18

5

xx

xx yy y

xx

ì -ïï ì == ïï ïï- ïï- - ¾¾ í íï ï-ï ï=ï ïîï=

ï

-=

î

Vậy

( ) ( ); 6;54x y = hoặc ( ) ( ); 6; 54x y = - -


Trang 265

Câu 10: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; 12; ; 192.x y Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 1; 144.x y= = B. 2; 72.x y= = C. 3; 48.x y= = D. 4; 36.x y= =

Lời giải.

Chọn C

Câp số nhân:2

12 14412

; 12; ; 192 .3

481922304

12

yx xx yx y

y yy

y

ìï ìï ï=ï ï = ì =ï ïïï ï ï¾¾ í í íï ï ï =ïï ï î=ï ï =ïîïï

î

Câu 11: Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; ; ; 320x y

theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 25

.125

x

y


20.

80

x

y


15.

45

x

y


30.

90

x

y

ì =ïïíï =ïî

Lời giải.

Chọn B

Cấp số nhân:

1

22

3 1

33

4 1

5

5 205; ; ; 320 .

805

32025

u

xq

xx y x

yy u u q

xu u q

ì =ïïïïï =ïïï ìï =ïï ï¾¾ í íï ï == = = ïï îïïïïïï = = =ïïî

Câu 12: Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là 6; x x- và .y Tìm y , biết rằng công bội của cấp

số nhân là 6.

A. 216.y = B. 324.

5y = C. 1296

.5

y = D. 12.y =

Lời giải.

Chọn C

Cấp số nhân 6; x x- và y có công bội 6q = nên ta có

( )1

2 1

23 2

366, 656 6

36 129636.36 5 5

u x q xx u u q x

yy u u q x

ìïìï = - = ï =ï ïï ïï ï= = = - í íï ïï ï = =ï ï= = =ï ïî ïî

Câu 13: Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là 2 1x + và 24 1.x - Số hạng thứ ba của cấp số

nhân là:

A. 2 1.x - B. 2 1.x +

C. 3 28 4 2 1.x x x- - + D. 3 28 4 2 1.x x x+ - -

Lời giải.

Chọn C


Trang 266

Công bội của cấp số nhân là: 24 1

2 1.2 1

xq x

x

-= = -

+ Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là:

( )( )2 3 24 1 2 1 8 4 2 1x x x x x- - = - - +

Câu 14: Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?

A. 1

1

1.

1, 1n n

u

u u n+

ì =ïïíï = + ³ïî B. 1

1

1.

3 , 1n n

u

u u n+

ì =-ïïíï =- ³ïî

C. 1

1

2.

2 3, 1n n

u

u u n+

ì =-ïïíï = + ³ïî D.

1 2.

sin , 11n

u

u nn

p

p

ìïï =ïïïí æ öï ÷ï ç= ³÷ï ç ÷çï è ø-ïî

Lời giải.

Chọn B

( )nu là cấp số nhân 1n nu qu+ = ¾¾

Câu 15: Cho dãy số ( )nu với 3.5 .

2n

nu = Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ( )nu không phải là cấp số nhân.

B. ( )nu là cấp số nhân có công bội 5q = và số hạng đầu 1

3.

2u =

C. ( )nu là cấp số nhân có công bội 5q = và số hạng đầu 1

15.

2u =

D. ( )nu là cấp số nhân có công bội 5

2q = và số hạng đầu 1 3.u =

Lời giải.

Chọn C

3.5

2n

nu = là cấp số nhân công bội 5q = và 1

15

2u =

Câu 16: Trong các dãy số ( )nu cho bởi số hạng tổng quát nu sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. 2

1.

3n nu -= B. 1

1.3n n

u = - C. 1.

3nu n= + D. 2 1.

3nu n= -

Lời giải.

Chọn A

Dãy 2

1 19.

33

n

n nu -

æ ö÷ç= = ÷ç ÷çè ø là cấp số nhân có

1 3

1

3

u

q


Câu 17: Trong các dãy số ( )nu cho bởi số hạng tổng quát nu sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. 7 3 .nu n= - B. 7 3 .nnu = - C. 7

.3nun

= D. 7.3 .nnu =


Trang 267

Lời giải.

Chọn D

Dãy 7.3nnu = là cấp số nhân có 1 21

3

u

q

ì =ïï ¾¾íï =ïî

Câu 18: Cho dãy số ( )nu là một cấp số nhân với *0, .nu n¹ Î Dãy số nào sau đây không phải là

cấp số nhân?

A. 1 3 5; ; ; ...u u u B. 1 2 33 ; 3 ; 3 ; ...u u u

C. 1 2 3

1 1 1; ; ; ...

u u u D. 1 2 32; 2; 2; ...u u u+ + +

Lời giải.

Chọn D

Giả sử ( )nu là cấp số nhân công bội ,q thì

Dãy 1 3 5; ; ; ...u u u là cấp số nhân công bội 2.q

Dãy 1 2 33 ; 3 ; 3 ; ...u u u là cấp số nhân công bội 2 .q

Dãy 1 2 3

1 1 1; ; ; ...

u u ulà cấp số nhân công bội 1

.q

Dãy 1 2 32; 2; 2; ...u u u+ + + không phải là cấp số nhân.

Nhận xét: Có thể lấy một cấp số nhân cụ thể để kiểm tra, ví dụ 2 .nnu =

Câu 19: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; ... . Tìm số hạng tổng quát nu của

cấp số nhân đã cho.

A. 13 .nnu -= B. 3 .n

nu = C. 13 .nnu += D. 3 3 .n

nu = +

Lời giải.

Chọn B

Câp số nhân 1

1 11

33; 9; 27; 81; ... 3.3 39

33

n n nn

uu u q

q- -

ì =ïïï¾¾ = = =íï = =ïïî

.

Câu 20: Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm

công bội q của cấp số nhân đã cho.

A. 3.q = B. 3.q =- C. 2.q = D. 2.q =-

Lời giải.

Chọn A

Theo giải thiết ta có: 1 5 5 56 1

6

2486 2 243 3.

486

uu u q q q q

u

ì =ïï ¾¾ = = = = =íï =ïî


Trang 268

Câu 21: Cho cấp số nhân ( )nu có 1 3u =- và 2.

3q = Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 5

27.

16u =- B. 5

16.

27u =- C. 5

16.

27u = D. 5

27.

16u =

Lời giải.

Chọn B

414

5 1

32 16 16

3. 3. .23 81 27

3

uu u q

q

ì =-ïï æ öï ÷ç¾¾ = =- =- =-÷í ç ÷çï è ø=ïïî

Câu 22: Cho cấp số nhân ( )nu có 1 2u = và 2 8u =- . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 6 130.S = B. 5 256.u = C. 5 256.S = D. 4.q =-

Lời giải.

Chọn D

( )

( )

( )

1

551

5 12 1

6

6

445 1

2

4

2 1 41. 2. 410

8 2 1 1 4

1 42. 1638

1 4

2. 4 512.

u

q

u qS u

u u q q q

S

u u q

ìïïïï =ïïïï =-ïïïïì = - -ï ï -ï ï = = =í íï ï=- = = - +ï ïî ïïï - -ïï = =-ïï +ïïïï = = - =ïî

Câu 23: Cho cấp số nhân ( )nu có 1 3u = và 2q =- . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã

cho?

A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6.

C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho.

Lời giải.

Chọn C

( ) ( ) ( )1 1 61 1 61192 3. 2 1 .2 64 1 .2 7.

n nn nnu u q n

- -- -= = = - - = = - =

Câu 24: Cho cấp số nhân ( )nu có 1 1u =- và 1

10q =- . Số

103

1

10 là số hạng thứ mấy của cấp số

nhân đã cho?

A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104.

C. Số hạng thứ 105. D. Không là số hạng của cấp số đã cho.

Lời giải.

Chọn B


Trang 269

( )11

1103 1

11 11. 104.

1 1031010 10

nnn

n n

n chanu u q n

n

--

-

ì-æ ö ïï÷ç= = =- - = =÷ íç ÷ç ïè ø - =ïî

Câu 25: Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5. Biết số hạng chính giữa là 32805. Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?

A. 18. B. 17. C. 16. D. 9.

Lời giải.

Chọn B

1 1 1 8132805 5.3 3 6561 3 9.n n n

nu u q n- - -= = = = = = Vậy 9u là số hạng chính giữa của cấp

số nhân, nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.

Câu 26: Cho cấp số nhân ( )nu có 81nu = và 1 9.nu + = Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1.

9q = B. 9.q = C. 9.q =- D. 1

.9

q =-

Lời giải.

Chọn A

Công bội 1 9 1

81 9n

n

uq

u+= = =

Câu 27: Một dãy số được xác định bởi 1 4u =- và 1

1, 2.

2n nu u n-=- ³ Số hạng tổng quát nu của

dãy số đó là:

A. 12 .nnu -= B. ( ) 1

2 .n

nu-

= -

C. ( )14 2 .nnu - +=- D.

11

4 .2

n

nu-æ ö÷ç=- - ÷ç ÷çè ø

Lời giải.

Chọn D

11 11

1

1

4 41

4. .1 12

2 2

nn

n

n n

u uu u q

u u q

--

+

ì ì=- =-ï ïï ï æ öï ï ÷ç¾¾ = =- - ÷í í ç ÷çï ï è ø=- =-ï ïï ïî î

Câu 28: Cho cấp số nhân ( )nu có 1 3u =- và 2.q =- Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số

nhân đã cho.

A. 10 511.S =- B. 10 1025.S =- C. 10 1025.S = D. 10 1023.S =

Lời giải.

Chọn D

( )( )

10101

10 1

3 1 21. 3. 1023.

2 1 1 2

u qS u

q q

ì =- - -ï -ï ¾¾ = =- =íï =- - - -ïî


Trang 270

Câu 29: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64; Gọi nS là tổng của n số hạng

đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 14 .nnS -= B.

( )11 4.

2

n

n

nS

-+= C. 4 1

.3

n

nS-

= D. ( )4 4 1

.3

n

nS-

=

Lời giải.

Chọn C

Cấp số nhân đã cho có 11

1 1 1 4 4 1. 1. .

4 1 1 4 3

n n n

n

u qS u

q q

ì =ï - - -ï ¾¾ = = =íï = - -ïî

Câu 30: Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm

số hạng cuối 6u của cấp số nhân đã cho.

A. 6 32.u = B. 6 104.u = C. 6 48.u = D. 6 96.u =

Lời giải.

Chọn D

Theo giả thiết: 5 56 66 1

16 1 1

22

3.2 96.1 1 23189 .

1 1 2

qq

u u qquS u u

q

ì =ïï ì =ïïï ï = = =í í- -ï ï == = = ïï îï - -ïî

Câu 31: Cho cấp số nhân ( )nu có 1 6u =- và 2.q =- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã

cho bằng 2046. Tìm .n

A. 9.n = B. 10.n = C. 11.n = D. 12.n =

Lời giải.

Chọn B

Ta có ( )( )

( )( ) ( )1

1 212046 . 6. 2 2 1 2 1024 10.

1 1 2

nnn n

n

qS u n

q

- --= = =- = - - - = =

- - -

Câu 32: Cho cấp số nhân ( )nu có tổng n số hạng đầu tiên là 5 1.nnS = - Tìm số hạng thứ 4 của cấp

số nhân đã cho.

A. 4 100.u = B. 4 124.u = C. 4 500.u = D. 4 624.u =

Lời giải.

Chọn C

Ta có ( ) 1 11 11

1 415 1 . 1 .

5 51 1

nn n

n

u q uuqS u q

q qq q-

ì ì= - =ï ï- ï ï- = = = - í íï ï= =- - ï ïî î Khi đó

3 34 1 4.5 50u u q= = =

Câu 33: Cho cấp số nhân ( )nu có tổng n số hạng đầu tiên là 1

3 1.

3

n

n nS -

-= Tìm số hạng thứ 5 của

cấp số nhân đã cho.


Trang 271

A. 5 4

2.

3u = B. 5 5

1.

3u = C. 5

5 3 .u = D. 5 5

5.

3u =

Lời giải.

Chọn A

Ta có ( )( )1 1

11

3 1 23 1 1

3 1 1 .113 1333

nnn

nn

u q uu

S qq qq

-

ì ìï = - =ïæ ö ï ïæ ö- ÷ ïç ïï÷ç ÷ç= - = = - ÷ í í÷çç ÷ ÷ç ï ïç è ø ÷ - ==è ø ï ïï ïîïî

Khi đó

45 1 4

2

3u u q= =

Câu 34: Một cấp số nhân có số hạng thứ bảy bằng 1

2, công bội bằng 1

4. Hỏi số hạng đầu tiên của

cấp số nhân bằng bào nhiêu?

A. 4096. B. 2048. C. 1024. D. 1

512.

Lời giải.

Chọn B

Ta có 6

16 1

7 1 6

144 2048

1 2

2 4

qu

uu u q

ìïï =ïïï = =íïï = = =ïïïî

Câu 35: Cho cấp số nhân ( )nu có 2 6u =- và 6 486.u =- Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho,

biết rằng 3 0.u >

A. 3.q =- B. 1.

3q =- C. 1

.3

q = D. 3.q =

Lời giải.

Chọn D

2 1 4 4

5 4 46 1 1

681 3 3.

486 . 6.

u u qq q

u u q u q q q

ì- = =ïï = = =íï- = = = =-ïî

Câu 36: Cho cấp số nhân 1 2 3; ; ; u u u với 1 1.u = Tìm công bội q để 24u + 35u đạt giá trị nhỏ nhất?

A. 2.

5q =- B. 0.q = C. 2

.5

q = D. 1.q =

Lời giải.

Chọn A

Ta có 2

2 22 3 1 1

2 44 5 4 5 5 4 5

4.

55 5u u u q u q q q q

æ ö÷ç+ = + = + = ³+ -÷ç ÷ -çè ø Vậy

( )2 3

4min 4 5

5u u+ =- khi 2

5q =-


Trang 272

Câu 37: Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?

A. 12 .nnu -= B. 2n

nu = C. 12 .nnu += D. 2 .nu n=

Lời giải.

Chọn B

Ta có 2 1 1 1 115 4 4

6 1 1

4 22.2 2 .

264 . 4n n n

n

u u q uu u q

qu u q u q q q- -

ì ì= =ï =ïï ï = = =í íï ï == = = = ïï îî

Câu 38: Cho cấp số nhân ( )nu có công bội .q Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 11. .k

ku u q -= B. 1 1 .2

k kk

u uu - ++

=

C. 1 2. .k k ku u u+ += D. ( )1 –1 .ku u k q= +

Lời giải.

Chọn A

Câu 39: Cho cấp số nhân ( )nu có 1 0u ¹ và 0.q ¹ Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. 37 4 . .u u q= B. 4

7 4 . .u u q= C. 57 4. .u u q= D. 6

7 4 . .u u q=

Lời giải.

Chọn A

( )3

4 1 3 3 37 1 46

7 1

.u u q

u u q q u qu u q

ìï =ï ¾¾ = =íï =ïî

Câu 40: Cho cấp số nhân ( )nu có 1 0u ¹ và 0.q ¹ Với 1 ,k m< < đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. . .km ku u q= B. . .m

m ku u q= C. . .m km ku u q -= D. .q .m k

m ku u +=

Lời giải.

Chọn C

( )1 1 11 1 1 .k m k m k m k

k m ku u q u u q u q q u q- - - - -= ¾¾ = = =

Câu 41: Cho một cấp số nhân có n số hạng ( )55 .n k> > Đẳng thức nào sau đây sai?

A. 1 2 1. . .n nu u u u -= B. 1 5 4. . .n nu u u u -=

C. 1 55 55. . .n nu u u u -= D. 1 1. . .n k n ku u u u - +=

Lời giải.

Chọn C

( ) ( )1 1 11 1 1 1 1. . .n k m

n k mu u u u q u q u q u u- - -= = = với 1.k m n+ = +

Câu 42: Tìm số hạng đầu 1u và công bội q của cấp số nhân ( ),nu biết 6

7

192.

384

u

u

ì =ïïíï =ïî


Trang 273

A. 1 5.

2

u

q


.2

u

q

ì =ïïíï =ïî C. 1 6

.3

u

q


.3

u

q

ì =ïïíï =ïî

Lời giải.

Chọn B

( )

56 1

6 51 57 1 1

2192.192

6384 192

qu u q

uu u q u q q qq

ì =ïìï ï= =ï ïï ïí íï ï = == = = =ï ïïî ïïî

Câu 43: Cho cấp số nhân ( )nu thỏa mãn 4 2

5 3

36.

72

u u

u u

ì - =ïïíï - =ïî Chọn khẳng định đúng?

A. 1 4.

2

u

q


.2

u

q

ì =ïïíï =ïî C. 1 9

.2

u

q


.3

u

q

ì =ïïíï =ïî

Lời giải.

Chọn B

( )( ) ( ) ( )

24 2 1

2 2 2 1 25 3 1 1

236 1

36 .672 1 1 36 1

qu u u q q

uu u u q q u q q q q q q

ì =ïìï ï= - = -ï ïï ïí í = =ï ïé ù= - = - = - =ï ïê ú -ï ïë ûî ïî

Câu 44: Cho cấp số nhân ( )nu thỏa mãn 20 17

1 5

8.

272

u u

u u

ì =ïïíï + =ïî Chọn khẳng định đúng?

A. 2.q = B. 4.q =- C. 4.q = D. 2.q =-

Lời giải.

Chọn A

( )

319 16

1 120 17

4111 5 1 4

888 2.272

16272 1 2721

qu q u qu u q

uuu u u qq

ìï =ì ïï =ì ì= =ï ïïïï ï ï ï í í í íï ï ï ï ==+ = + = ïï ï ï îî ïî ï +ïî

Câu 45: Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là các số dương, tích của số

hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 1.

16 Tìm

số hạng đầu 1u và công bội q của cấp số nhân đã cho.

A. 1

1.2

2

u

q

ìïï =ïíïï =ïî

B. 1 2

.1

2

u

q


C. 1 2

.1

2

u

q

ì =-ïïïíï =-ïïî

D. 1

1.2

2

u

q

ìïï =-ïíïï =-ïî

Lời giải

Chọn B

( )

11

2

2 21 3 1

12 6 2 2 4 4

3 5 1 1

0,,1

002

.. 1 1 121 1

.16 16

uu

q qu

u u u qu

qu u u q u q q q

ìì >ïï ïï ìïï ïïï ï> => ïï ïïï ïï ï ï í í í= =ï ï ïï ï ï = =ï ï ïï ï ïï ï ï= î= = =ï ïï ïî î


Trang 274

Câu 46: Cho cấp số nhân ( )nu có công bội q và thỏa

1 2 3 4 51 2 3 4 5

1 3

1 1 1 1 149

35

u u u u uu u u u u

u u

ì æ öï ÷ï ç ÷+ + + + = + + + +ï ç ÷ï ç ÷çí è øïïï + =ïî

.

Tính 21 4 .P u q= +

A. 24.P = B. 29.P = C. 34.P = D. 39.P =

Lời giải.

Chọn B

Nhận xét: Nếu 1 2 3 4 5, , , , u u u u u là một cấp số nhân với công bội q thì 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1, , , ,

u u u u u

cũng tạo thành cấp số nhân với công bội 1

q.

Do đó từ giả thiết ta có ( )

( )

5 5

11

21 1

11

1 1. 49 . 1

11 1

35 2

.

q qu

q uq

u u q

æ ö÷ç - ÷ç ÷ç- ÷ç ÷= ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç -

ìïïïïïïïíïïïïïïïî

÷ç ÷çè ø

+ =


5 52 4 2

1 1 141

1 49 11 . 49 7

1 1

q qu u q u q

q u q q

æ ö- - ÷ç ÷ç = = =÷ç ÷÷ç- -è ø.

Với 21 7u q =- . Thay vào ( )2 , ta được 1 17 35 42u u- = = . Suy ra 2 7

42q =- : vô lý.

Với 21 7u q = . Thay vào ( )2 , ta được 1 17 35 28u u+ = = . Vậy

1 28

1

2

u

q


hoặc 1 28

1

2

u

q

ì =ïïïíï =-ïïî

. Khi

đó 21 4 29.u q+ =

Câu 47: Cho cấp số nhân ( )nu có công bội q và thỏa 1 2 3

2 2 21 2 3

26

364

u u u

u u u

ì + + =ïïíï + + =ïî. Tìm q biết rằng 1.q >

A. 5.

4q = B. 4.q = C. 4

.3

q = D. 3.q =

Lời giải.

Chọn D

Ta có( )( )

211 2 3

2 2 2 2 2 41 2 3 1

1 2626

364 1 364

u q qu u u

u u u u q q

ìï + + =ì + + =ï ïï ïí íï ï+ + = + + =ï ïî ïî

( ) ( )

( ) ( )

22 2 21

2 2 41

1 26 1

1 3 4.

6 2

u q q

u q q

+ + =

+

ìïïïí=ïïïî +

Lấy ( )1 chia ( )2 , ta

được( )22

2

24 3 2

42

2

26 1 13 7 4 7 3 0 3 7

4

1

614 0

3q q q q q

qqq

q

q

q

q

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= - - - + = + - + - =ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ çç è ø

+

è ø

+

+ +.


Trang 275

Đặt 1t q

q= + , 2t ³ . Phương trình trở thành

( )2

1 3 7 10 10

3

0 .t

tt

t

é =-

=-

êê- - = êêë

loaïi

Với 10

3t =- , suy ra 21 10

3 10 3 0 33

q q q qq

+ =- - + = = hoặc 1

3q = . Vì 1q > nên 3.q =

Câu 48: Các số 6 , 5 2 , 8x y x y x y+ + + theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các

số 1, 2, 3x y x y- + - theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính 2 2.x y+

A. 2 2 40.x y+ = B. 2 2 25.x y+ = C. 2 2 100.x y+ = D. 2 2 10.x y+ =

Lời giải.

Chọn A

Theo giả thiết ta có ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )2

6 8 2 5 2

1 3 2

x y x y x y

x x y y

ìï + + + = +ïïíï - - = +ïïî

( )( ) ( ) ( )2 2

3 3 6.

23 1 3 3 2 0 2

x y x y x

yy y y y y

ì ì= =ï ï ì =-ïï ï ï í í íï ï ï =-- - = + = + ïï ï îî î

Suy ra 2 2 40.x y+ =

Câu 49: Ba số ; ; x y z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các

số ; 2 ; 3x y z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q .

A. 1.

3q = B. 1

.9

q = C. 1.

3q =- D. 3.q =-

Lời giải.

Chọn A

( )

( )2

2 2

2

0;3 4 3 4 1 0 .

3 2 2 3 4 1 0

xy xq z xqx xq xq x q q

x z y q q

ì éï == =ï ê + = - + = í êï + = - + =ï ëî

Nếu 0 0x y z= = = công sai của cấp số cộng: ; 2 ; 3x y z bằng 0 (vô lí).

Nếu ( )2

11

3 4 1 0 .13

3

1q

q q q qq

é =êê- + = =êê

=/=

ë

Câu 50: Cho dãy số tăng ( ), , a b c c Î theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời , 8, a b c+ theo

thứ tự lập thành cấp số cộng và , 8, 64a b c+ + theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá

trị biểu thức 2 .P a b c= - +

A. 184.

9P = B. 64.P = C. 92

.9

P = D. 32.P =

Lời giải.

Chọn B


Trang 276

Ta có ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

22

2 2

1

2 8 2 16 2 .

64 8 64 8 3

ac bac b

a c b a b c

a c b ac a b

ì ìï ï ==ï ïï ïï ïï ï+ = + - = -í íï ïï ïï ï+ = + + = +ï ïï ïî î

Thay (1) vào (3) ta được: ( )2 264 16 64 4 4 4 .b a b b a b+ = + + - =

Kết hợp (2) với (4) ta được: ( )

82 16 7 5

4 4 4 60

7

ca

a b c

a b cb

ì -ïï =ïì - = -ï ïï ïí íï ï- = -ïî ï =ïïïî

Thay (5) vào (1) ta được:

( ) ( ) ( )2 2

367 8 4 60 9 424 3600 0 36 .100

9

cc c c c c c c

c

é =êê- = - - + = =ê =ê

Î

ë

Với 36 4, 12 4 12 72 64.c a b P= = = = - + =

Câu 51: Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0

theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q . Tìm .q

A. 2.q = B. 2.q =- C. 3.

2q =- D. 3

.2

q =

Lời giải.

Chọn B

Giả sử ba số hạng ; ;a b c lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó ; ;b a c theo thứ tự đó

lập thành cấp số nhân công bội .q Ta có

2

2 2

2 02 .

; 2 0

a c b bbq bq b

a bq c bq q q

ì é+ = =ïï ê + = í êï = = + - =ïî ë

Nếu 0 0b a b c= = = = nên ; ;a b c là cấp số cộng công sai 0d = (vô lí).

Nếu 2 2 0 1q q q+ - = = hoặc 2.q =- Nếu 1q a b c= = = (vô lí), do đó 2.q =-

Câu 52: Cho bố số , , ,a b c d biết rằng , ,a b c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân công bội

1q > ; còn , ,b c d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng 14a d+ = và

12.b c+ =

A. 18 73.

24q

+= B. 19 73

.24

q+

= C. 20 73.

24q

+= D. 21 73

.24

q+

=

Lời giải.

Chọn B

Giả sử , ,a b c lập thành cấp số cộng công bội .q Khi đó theo giả thiết ta có:


Trang 277

( )( )

( ) ( )

22

2

, 2 12

14 214

12 312

b aq c aq aq d aqb d c

a da d

a q qb c

ìï = = ìïï + =ïï ïï ï+ =ïï ï + =í íï ï+ =ï ïï ï + =ï ï+ =ï ïîïî

Nếu 0 0q b c d= = = = (vô lí)

Nếu 1 ; 0q b a c a b c=- =- = + = (vô lí).

Vậy 0, 1,qq =/ =/ - từ (2) và (3) ta có: 14d a= - và 2

12a

q q=

+ thay vào (1) ta được:

( )( )

2 33 2

2 2 2

2

12 14 14 12 2412 7 13 6 0

191 12 19 6

730

24

q q q qq q q

q q q q q q

q q q q

+ -+ = - - + =

+ + +

+ - + =

=

Vì 1q > nên 19 73.

24q

+=

Câu 53: Gọi 1 11 111 ... 111...1S = + + + + ( n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây?

A. 10 1.

81

n

S-

= B. 10 110 .

81

n

Sæ ö- ÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø

C. 10 110 .

81

n

S næ ö- ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø

D. 1 10 110 .

9 9

n

S né ùæ ö- ÷çê ú÷= -ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

Lời giải.

Chọn D

Ta có n so 9

1 1 1 109 99 999 ... 99...9 . 10.

9 9 1 10

n

S né ùæ ö -÷ç ê ú= + + + + = -÷ç ÷÷ ê úçè ø -ë û

.

Câu 54: Biết rằng 2 10 21.31 2.3 3.3 ... 11.3 .

4

b

S a= + + + + = + Tính .4

bP a= +

A. 1.P = B. 2.P = C. 3.P = D. 4.P =

Lời giải.

Chọn C

Từ giả thiết suy ra 2 3 113 3 2.3 3.3 ... 11.3S = + + + + . Do đó

11 112 10 11 11 111 3 1 21.3 1 21

2 3 1 3 3 ... 3 10.3 11.3 .3 .1 3 2 2 4 4

S S S S-

- = - = + + + + - = - =- - = +-

Vì 111 21.3 21.3 1 1 11

, 11 3.4 4 4 4 4 4

b

S a a b P= + = + = = ¾¾ = + =

Câu 55: Một cấp số nhân có ba số hạng là , , a b c (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác

0 và công bội 0.q ¹ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 2

1 1.

bca= B.

2

1 1.

acb= C.

2

1 1.

bac= D. 1 1 2

.a b c+ =


Trang 278

Lời giải.

Chọn B

Ta có 22

1 1ac b

acb= =

Câu 56: Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng:

A. 056 . B. 0102 . C. 0252 . D. 0168 .

Lời giải.

Chọn C

Giả sử 4 góc A, B, C, D (với A B C D< < < ) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa

yêu cầu với công bội .q Ta có

( )2 3

33

31 360360

9 252.27 27

243

qA q q qA B C D

A A DD A Aq A

D Aq

ìï =ì ïïì + + + =+ + + = ïï ïï ï ï = + =í í íï ï ï= =ïî ï ïïî ï = =ïî


Trang 279

CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN

BÀI 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ


I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số ( )nu có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu nu có thể nhỏ hơn một số dương

bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim 0nnu

+¥= hay 0nu khi .n +¥

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số ( )nv có giới hạn là a (hay nv dần tới a ) khi ,n +¥ nếu ( )lim 0.nnv a

+¥- =

Kí hiệu: lim nnv a

+¥= hay nv a khi .n +¥

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) 1lim 0;

n n+¥= 1

lim 0kn n+¥= với k nguyên dương;

b) lim 0n

nq

+¥= nếu 1;q <

c) Nếu nu c= ( c là hằng số) thì lim lim .nn nu c c

+¥ +¥= =

Chú ý: Từ nay về sau thay cho lim nnu a

+¥=

ta viết tắt là lim nu a= .

II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim nu a= và lim nv b= thì

( ) lim n nu v a b· + = + ( ) lim n nu v a b· - = -

( ) lim . .n nu v a b· = lim n

n

u a

v b

æ ö÷ç ÷· =ç ÷ç ÷çè ø (nếu 0b ¹ ).

b) Nếu lim

0,n

n

u a

u n

ì =ïïíï ³ "ïî thì

lim.

0nu a

a

ìï =ïíï ³ïî

III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn ( )nu có công bội q , với 1q < được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:


Trang 280

( )1 2 31 1 .

1nS u u u uu

qq

= + + + + =-

¼ <¼ +

IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

· Ta nói dãy số ( )nu có giới hạn là +¥ khi n +¥ , nếu nu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể

từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim nu =+¥ hay nu +¥ khi .n +¥

· Dãy số ( )nu có giới hạn là -¥ khi n +¥ , nếu ( )lim nu- =+¥.

Kí hiệu: lim nu =-¥ hay nu -¥ khi .n +¥

Nhận xét: ( )lim .n nu u=+¥ - =-¥

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim kn =+¥ với k nguyên dương;

b) lim nq =+¥ nếu 1q> .

3. Định lí 2

a) Nếu lim nu a= và lim nv =¥ thì lim 0n

n

u

v= .

b) Nếu lim 0nu a= > , lim 0nv = và 0, 0nv n> " > thì lim .n

n

u

v=+¥

c) Nếu lim nu =+¥ và lim 0nv a= > thì .lim .n nu v +¥=


Dạng 1. Sử dụng nguyên lý kẹp

1. Phương pháp


Ví dụ 1 : Cho hai dãy số ( )nu và ( )nv có ( )

2

1

1

n

nun

-=

+ và

2

1.

2nvn

=+

Khi đó ( )lim n nu v+ có giá trị bằng:

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Lời giải

Chọn B


Trang 281

Ta có ( )2

2

0lim lim 0 li

1 10

11

.

0

m

2

01

0n n

n

n n

n

un

u

n

u v

n

vn

v

ìïïïïï ¾¾ = = ¾£ £ £

+

£ £ £¾ + =íïïïïî

ï +

Ví dụ 2: Kết quả của giới hạn sin 5lim 2

3

n

n

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø bằng:

A. 2.- B. 3. C. 0. D. 5.

3

Lời giải

Chọn A

Ta có sin 5 1,0

3

n

n n£ £ mà 1

lim 0n= nên sin 5

lim 0,3

n

n= do đó sin 5

lim 2 2.3

n

n

æ ö÷ç - =-÷ç ÷çè ø

Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới hạn như sau (các bài sau có thể làm tương tự) :

Nhập ( )sin 5

2.3

X

X-

Bấm CALC và nhập 9999999999 (một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì nó báo lỗi, khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn.

Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị gần đúng với kết quả hiện trên MTCT.

Ví dụ 3 : Kết quả của giới hạn 3sin 4 coslim

1

n n

n

++

bằng:

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn B

Ta có 3sin 4cos 7 70

1 1

3sin 4cos0 lim 0.

1

n n nn

n n nn

+£ £ £

+¾

+¾ =

+ +


Câu 1: Giá trị của giới hạn ( )1

lim 41

n

n

æ ö- ÷ç ÷ç + ÷ç ÷ç ÷+ ÷çè ø bằng:

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) ( ) ( )1 11 1

01

0 lilim m 4 401 1 1

.1

nn n

n n n n n

- -£ £ £ ¾¾ = ¾

æ ö- ÷ç ÷ç + =÷ç ÷ç ÷+ ÷çè ø¾

+ + +

Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để

12 cos 1

lim .2 2

kn nn

n

-=


Trang 282

A. 0. B. 1. C. 4. D. Vô số.

Lời giải

Chọn A

Ta có

1 12 cos cos1

2 2

k kn n nn n

n n

-= - .

Điều kiện bài toán trở thành

1cos

lim 0.

knn

n=

Ta có 1lim cos cos 0 1

n= = nên bài toán trở thành tìm k sao cho

*

12

, 3lim lim 0 1 0 2

2

kk

k k l

n kn k

n Î

-

== = - < < ¾¾¾¾

không tồn tại k (do k nguyên dương và

chẵn).

Câu 3: Kết quả của giới hạn 2

cos 2lim 5

1

n n

n

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø+ bằng:

A. 4. B. 1.

4 C. 5. D. 4.-

Lời giải

Chọn C

Ta có

2 2 2 2

cos 2 1 c cos 20 lim 5

os 20 lim 0

1 1 15.

1

n n n n n n n

n n nnn£ £ £ ¾¾ = ¾¾

+ + +

æ ö÷ç - =÷ç ÷çè ø+

Câu 4: Kết quả của giới hạn 2 3lim sin 25

nn n

pæ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø là:

A. .-¥ B. 2.- C. 0. D. .+¥

Lời giải

Chọn A

Ta có 2 3 3 1 sinlim sin 2 lim . 2 .

5 5

n nn n n

n

p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Vì

3 3

3

lim lim1 sin

lim . 2 .1 sin50 lim . 2 2 0

1 sin 1

5 5. 0

n

n nn

nnn

n n n

pp p

ì ìï ï=+¥ =+¥ï ï æ öï ïï ï ÷ç¾¾ ¾¾ - =-¥÷æ öí í ç ÷ç÷çï ï è ø- =- <÷çï ï ÷çï ï è øï ïî£

î£

Dạng 2. Giới hạn hữu tỉ

1. Phương pháp

Chú ý : Cho ( ) ( ),P n Q n lần lượt là các đa thức bậc ,m k theo biến :n


Trang 283

( ) ( )( ) ( )

1 0

1

1

1 1 0

1 0

0

m

k kk k k

m mm m a n a a

Q n b n b n b n

P x a n

b b

a n-

-

--= + + + =/+

= + + + + =/

Khi đó ( )( )

lim limm

mk

k

P n a n

Q n b n= , viết tắt

( )( )

mm

kk

P n a n

Q n b n , ta có các trường hợp sau :

Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m k< ) thì ( )( )

lim 0.P n

Q n=

Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( m k= ) thì ( )( )

lim .m

k

P n a

Q n b=

Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m k> ) thì ( )( )

0lim .

0m k

m k

khi a bP n

khi a bQ n

ì+¥ >ïï=íï-¥ <ïî

Để ý rằng nếu ( ) ( ),P n Q n có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể

m kn tì có bậc là .k

n Ví dụ n có bậc là 3 41

,2

n có bậc là 4,...

3

Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng !


Ví dụ 1. Tính

3 2

3 23n 5n 1lim

2n 6n 4n 5.

Giải

3 2 3

3 2

2 3

5 133n 5n 1 3n nlim lim

6 4 5 22n 6n 4n 5 2n n n

Ví dụ 2: Tính 2

3

2lim

3 1

n n

n n

++ -

Lời giải

Ta có 2 2

3

2 3

1 22 0

lim lim 0.3 1 13 1 1

n n nnn n

n n

++= = =

+ - + -

Giải nhanh : Dạng « bậc tử » < « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0.

Ví dụ 3 : Cho dãy số ( )nu với 2

5 3n

n bu

n

+=

+ trong đó b là tham số thực. Để dãy số ( )nu có giới hạn hữu

hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu Lời giải

Ta có ( )22 2

lim lim lim35 3 55

n

bn b nun

n

b++

= = =+

"+

Î


Trang 284

Giải nhanh : 2 2 2

5 3 5 5

n b n

n n

+=

+ với mọi .b Î

Ví dụ 4: Cho dãy số ( )nu với 2

2

4 2.

5n

n nu

an

+ +=

+ Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a

bằng bao nhiêu Lời giải

( )2 2

2

2

1 24

4 2 42 lim lim lim

50 2.

5n

n n n nu a aaan a

n

+ ++ += = = = =

+ +=/

Giải nhanh : 2 2

2 2

4 2 4 42 2.

5

n n na

aan an

+ += =

+

Ví dụ 5 : Tính giới hạn ( )( )( )

( )( )

2 3

4 2

2 2 1 4 5lim .

3 1 3 7

n n n nL

n n n

+ + +=

- - -

Lời giải

( )( )( )

( )( )

2 3 3

4 2

3 4 2

2 1 51 2 42 2 1 4 5 1.2.4 8

lim lim .3 1 7 1.3 33 1 3 7 1 3

n n n n n nnL

n n nn n n

æ öæ öæ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ + +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷+ + + ç ç çè øè øè ø= = = =

æ öæ ö- - - ÷ ÷ç ç- - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø

Giải nhanh: ( )( )( )

( )( )

2 3 2 3

4 24 2

2 2 1 4 5 .2 .4 8.

3.33 1 3 7

n n n n n n n

n nn n n

+ + +=

- - -


Câu 1: Giá trị của giới hạn 2

3lim

4 2 1n n

-- +

là:

A. 3.

4- B. .-¥ C. 0. D. 1.-

Lời giải

Chọn C

Ta có 2

2

2

33 0

lim lim 0.2 1 44 2 1 4

nn n

n n

--

= = =- + - +



4

3 2 1lim

4 2 1

n n

n n

- ++ +

là:

A. .+¥ B. 0. C. 2.

7 D. 3

.4

Lời giải

Chọn B


Trang 285

Ta có 3 2 4

4

3 4

3 2 13 2 1 0

lim lim 0.2 1 44 2 1 4

n n n n nn n

n n

- +- += = =

+ + + +


Câu 3: Cho hai dãy số ( )nu và ( )nv có 1

1nun

=+

và 2.

2nvn

=+

Khi đó lim n

n

v

u có giá trị bằng:

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Lời giải

Chọn A

Ta có

111 1

lim lim lim 1.22 11

n

n

v n nu n

n

++= = = =

+ +

Giải nhanh : 11.

2

n n

n n

+=

+

Câu 4: Cho dãy số ( )nu với 4

5 3n

anu

n

+=

+ trong đó a là tham số thực. Để dãy số ( )nu có giới hạn

bằng 2 , giá trị của a là: A. 10.a = B. 8.a = C. 6.a = D. 4.a =

Lời giải

Chọn A

Ta có

44

lim lim lim .35 3 55

n

aan anun

n

++= = =

+ + Khi đó

lim 2 2 105n

au a= = =

Giải nhanh : 42 10.

5 3 5 5

an an aa

n n

+= =

+

Câu 5: Tính giới hạn 2

2

5lim .

2 1

n nL

n

+ +=

+

A. 3.

2L = B. 1

.2

L = C. 2.L = D. 1.L =

Lời giải

Chọn B

Ta có 2 2

2

2

1 515 1

lim lim1 22 1 2

n n n nLn

n

+ ++ += = =

+ +


Trang 286

Giải nhanh: 2 2

2 2

5 1.

22 1 2

n n n

n n

+ +=

+

Câu 6: Tính giới hạn 2 3

3

3lim .

2 5 2

n nL

n n

-=

+ -

A. 3.

2L =- B. 1

.5

L = C. 1.

2L = D. 0.L =

Lời giải

Chọn A

2 3

3

2 3

133 3

lim lim5 2 22 5 2 2

n n nLn n

n n

-- -= = =

+ - + -

Giải nhanh: 2 3 3

3 3

3 3 3.

22 5 2 2

n n n

n n n

- -=-

+ -

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để ( )

2 4

4

5 3lim 0.

1 2 1

n anL

a n n

-= >

- + +

A. 0; 1.a a£ ³ B. 0 1.a< < C. 0; 1.a a< > D. 0 1.a£ <

Lời giải

Chọn C

( ) ( ) ( )

2 4 2

4

3 4

53 05 3 3

lim lim 0 .2 1 111 2 1 1

a an an anLaaa n n a

n n

- é <- - ê= = = > ê >-- + + ë- + +

Câu 8: Tính giới hạn ( )( )( )( )

3 2

4

2 3 1lim .

2 1 7

n n nL

n n

- +=

- -

A. 3.

2L =- B. 1.L = C. 3.L = D. .L =+¥

Lời giải

Chọn A

Ta có

( )( )( )( )

3 23 2 2 2 2 2

44

4 4

2 1 2 11 . 3 1 32 3 1 1.3 3

lim lim lim .1 7 1 7 2.1 22 1 7 2 . 1 2 1

n nn n n n n n nL

n n n nn nn n

æ ö æ ö æ öæ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- + - +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷- + ç ç ç çè ø è ø è øè ø -= = = = =-

æ ö æ ö æ öæ ö- - ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- - - -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è øè ø

Giải nhanh: ( )( )( )( )

3 2 3 2

44

2 3 1 .3 3.

22 .2 1 7

n n n n n

n nn n

- + -=-

- -


2

2lim

1 3

n n

n

--

là:

A. 1.

3- B. .+¥ C. .-¥ D. 2

.3


Trang 287

Lời giải

Chọn C

33 2 2

22

22

2 21 12lim lim lim . .

111 3 33

nn n n nn

nn

nn

æ ö÷ç - ÷ -ç ÷çè ø-= =

æ ö- ÷ç -- ÷ç ÷çè ø

Ta có

3 22

2

22

lim2

12 21 im lim .11lim 0 1 3 31 33

n

n n nnn nn

n

ì =+¥ïïïï -ï --ï ¾¾ = =-¥íï =- < -ï -ïï -ïïî

Giải nhanh : 3 3

2 2

2 1.

31 3 3

n n nn

n n

-=- ¾¾-¥

- -


2

2 3lim

4 2 1

n n

n n

++ +

là:

A. 3.

4 B. .+¥ C. 0 D. 5

.7

Lời giải

Chọn B

33 2 2

22

22

2 23 32 3lim lim lim . .

2 12 14 2 1 44

nn n n nn

n nn

n nn n

æ ö÷ç + ÷ +ç ÷çè ø+= =

æ ö+ + ÷ç + ++ + ÷ç ÷çè ø

Ta có

3 22

2

22

lim2

32 2 33 im lim . .32 1lim 0 4 2 1 42 1 44

n

n n nnn n nn n

n n

ì =+¥ïïïï +ï ++ï ¾¾ = =+¥íï = > + +ï + +ïï + +ïïî

Giải nhanh : 3 3

2 2

2 3 3 3. .

44 2 1 4

n n nn

n n n

+= ¾¾+¥

+ +


lim4 5

n n

n

--

là:

A. 0. B. .+¥ C. .-¥ D. 3.

4

Lời giải

Chọn C

44 3 3

3

3 31 13lim lim lim . .

554 5 44

nn n n nnn

nnn

æ ö÷ç - ÷ -ç ÷çè ø-= =

æ ö- ÷ç -- ÷ç ÷çè ø

Ta có


Trang 288

3

4 33

3

lim3

13 31 lim l lim . .1 54 5lim 0 45 44

n

n n nnn nn

n

ìï =+¥ïïï -ï -ïï - ¾¾ = =-¥íï -=- <ï -ïï -ïïïî

Giải nhanh : 4 4

33 1. .

4 5 4 4

n n nn

n n

- -=- ¾¾-¥

-

Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

A. 3

2

3 2lim .

2 1

n

n

+-

B. 2

3

2 3lim .

2 4

n

n

-- -

C. 3

2

2 3lim .

2 1

n n

n

-- -

D. 2 4

4 2

2 3lim .

2

n n

n n

-- +

Lời giải

Chọn B

. Theo dấu hiệu ở đã nêu ở phần Chú ý trên thì ta chọn giới hạn nào rơi vào trường hợp « bậc tử » < « bậc mẫu » !

3

2

3 2lim

2 1

n

n

+=+¥

- : « bậc tử » > « bậc mẫu » và 2.2 4 0.m ka b = = >

2

3

2 3lim 0

2 4

n

n

-=

- - : « bậc tử » < « bậc mẫu ».

3

2

2 3lim

2 1

n n

n

-=+¥

- - : « bậc tử » > « bậc mẫu » và ( ) ( )3 . 2 0.n ka b = - - >

2 4

4 2

2 3 3 3lim

2 22

n n

n n

- -= =

-- + : « bậc tử » = « bậc mẫu » và 3 3

.2 2

m

k

a

b

-= =

-

Câu 13: Dãy số nào sau đây có giới hạn là ?-¥

A. 2

1 2.

5 5

n

n n

++

B. 3

3

2 1.

2n

n nu

n n

+ -=

- + C.

2 4

2 3

2 3.

2n

n nu

n n

-=

+ D.

2 2.

5 1n

n nu

n

-=

+

Lời giải

Chọn C

Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » = « bậc mẫu » và 0.m ka b <

2 4

2 3

2 3

2n

n nu

n n

-=

+ : « bậc tử » > « bậc mẫu » và 3.2 6 0 lim .m k na b u=- =- < ¾¾ =-¥

Chú ý : (i) ( )1 01

1

0lim .

0nm m

m nn

khi aa n a n

khi aa n a-

-

ì+¥ >ïï+ + =íï- <+ +

¥ïî

(ii) Giả sử { }max : 1;2 ;iq q i m= ¼> thì

( )0

1 1 0

1

lim . 0, 1.

0, 1

n nm m

n

a khi q

a q a q khi a q

khi

a

q

a q

a

ìï <ïïï+ + = +¥+ + > >íïïï-¥ < >ïî


Trang 289

Ta dùng « dấu hiệu nhanh » này để đưa ra kết quả nhanh chóng cho các bài sau.

Câu 14: Tính giới hạn ( )2lim 3 5 3 .L n n= + -

A. 3.L = B. .L =-¥ C. 5.L = D. .L =+¥

Lời giải

Chọn D

. ( )2 22

5 3lim 3 5 3 lim 2L n n n

n n

æ ö÷ç= + - = + - =+¥÷ç ÷çè ø vì

2

2

lim

.5 3lim 2 2 0

n

n n

ìï =+¥ïïï æ öí ÷çï + - = >÷çï ÷çï è øïî

Giải nhanh : 2 23 5 3 3 .n n n+ - ¾¾+¥

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng ( )10;10- để

( )( )2 3lim 5 3 2L n a n= - - =-¥ .

A. 19. B. 3. C. 5. D. 10.

Lời giải

Chọn B

Ta có ( )( ) ( )2 3 3 22

5lim 5 3 2 lim 3 2n a n n a

n

æ ö÷ç- - = - - =-¥÷ç ÷çè ø

( ) ( )2 2

2 , 10;10

5lim 3 2 2 0 2 2 1; 0; 1.

aaa a a a

n Î Î -

æ ö÷ç - - = - < - < < ¾¾¾¾¾ =-÷ç ÷çè ø

Câu 16: Tính giới hạn ( )4 2lim 3 4 1 .n n n+ - +

A. 7.L = B. .L =-¥ C. 3.L = D. .L =+¥

Lời giải

Chọn D

Ta có

( )4 2 42 3 4

4 1 1lim 3 4 1 lim 3n n n n

n n n

æ ö÷ç+ - + = + - + =+¥÷ç ÷çè ø vì

4

2 3 4

lim

.4 1 1lim 3 3 0

n

n n n

ìï =+¥ïïï æ öí ÷çï + - + = >÷çï ÷çï è øïî

Giải nhanh : 4 2 43 4 1 3 .n n n n+ - + ¾¾+¥

Câu 17: Cho dãy số ( )nu với ( ) ( )2

2 2 ... 2 .n

nu = + + + Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. lim .nu =-¥ B. 2lim .

1 2nu =

- C. lim .nu =+¥ D. Không tồn tại

lim .nu

Lời giải

Chọn C


Trang 290

Vì ( ) ( )2

2, 2 , , 2n

¼ lập thành cấp số nhân có 1 2u q= = nên

( ) ( ) ( )1 2

2. 2 2 2 1 lim1 2

n

n

n nu u- é ù= = - - ¾¾ =+¥ê úê úë û-

vì 2 2 0

.2 1

a

q

ìï = - >ïïíï = >ïïî


1 31 ...

2 2 2lim1

n

n

+ + + +

+ bằng:

A. 1.

8 B. 1. C. 1

.2

D. 1.

4

Lời giải

Chọn D

Ta có ( )( )11 3 1 1

1 ... 1 2 . .2 2 2 2 2 2

nn nn

++

+ + + + = + + = Do đó

2

2 2

1 31 ... 12 2 2lim lim

41 4 4

nn n

n n

+ + + + += =

+ +(“bậc tử” = “bậc mẫu”).

Câu 19: Giá trị của giới hạn 2 2 2

1 2 1lim ...

n

n n n

æ ö- ÷ç + + + ÷ç ÷çè ø bằng:

A. 0. B. 1.

3 C. 1

.2

D. 1.

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )( )( ) 2

2 2 2 2 2 2

1 1 11 2 1 1 1... 1 2 . .

21

2

n nn n n

n n n n nn

n+

- + -- -+ + + = + + = =- Do đó

2

2 2 2 2

1 2 1 1lim ... lim .

22

n n n

n n n n

æ ö- -÷ç + + + = =÷ç ÷çè ø

Câu 20: Giá trị của giới hạn ( )

2

1 3 5 2 1lim

3 4

n

n

æ ö+ + + + + ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç +è ø

bằng:

A. 0. B. 1.

3 C. 2

.3

D. 1.

Lời giải

Chọn B

Ta có ( )( ) 21 2 1

5 2 12

1 3n n

n n+ -

- =+ + =+ nên

( ) 2

2 2

1 3 5 2 1 1lim lim

33 4 3 4

n n

n n

æ ö+ + + + + ÷ç ÷= = ¾¾ç ÷ç ÷÷ç + +è ø


1 1 1lim ...

1.2 2.3 1n n

æ ö÷ç ÷ç + + + ÷ç ÷÷ç +è ø là:


Trang 291

A. 1.

2 B. 1. C. 0. D. .-¥

Lời giải

Chọn B

Ta có

( )1 1 1 1 1 1 1

lim ... lim 1 lim 1 1.1.2 2.3 1 2 2 3 1

1 1

1n n nn n

æ ö æ ö æ ö÷ç ÷ ÷ç ç÷ç + + + = - + - + = - =÷ ÷ç ç÷ç ÷ ÷ç ç÷÷ è ø è øç + +ø+ -

+è

Câu 22: Giá trị của giới hạn ( )( )

1 1 1lim ...

1.3 3.5 2 1 2 1n n

æ ö÷ç ÷ç + + + ÷ç ÷÷ç - +è ø bằng:

A. 1.

2 B. 1

.4

C. 1. D. 2.

Lời giải

Chọn A

Với mọi *k Î thì ( )( )

1 1 1 1

2 1 2 1 2 2 1 2 1k k k k

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø- + - +, do đó

( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 1

lim ... lim 11.3 3.5 2 1 2 1 2 3 3 5 2 1 2 1

1 1 1lim 1 .

2 2 1 2

n n n n

n

æ ö é ù÷ç ÷ç ê ú+ + + = - + - + -÷ç ÷ ê ú÷ç - + - +è ø ë ûé ùê ú= - =ê ú+ë û


1 1 1lim ......

1.4 2.5 3n n

é ùê ú+ + +ê ú+ê úë û

bằng:

A. 11.

18 B. 2. C. 1. D. 3

.2

Lời giải

Chọn A

Ta có

( )1 1 1 1 1 1 1 1 1

...... 11.4 2.5 3 3 4 2 5 3 6

1 1 1 1 1 11

3 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 11

3 2 3 1 2 3

1

1 1

3

1 1

3

11 1 1 1

3 6 1 2 3

n n

n n

n n

n n

n

n n n

é ùê ú+ + + = - + - + - +ê ú+ ë ûé ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú= + + + - + + +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê

+ -+

+ ++ úè ø è øë û

æ ö÷ç= + + - - - ÷ç ÷çè ø+ + +æ ö÷ç= - - - ÷ç ÷çè ø+ + +

Do đó ( )

1 1 1 1 11 1 1 1 11lim ...... lim .

1.4 2.5 3 3 6 1 2 3 8n n n n n

æ ö æ ö÷ç ÷ç÷ç + + + = - - - =÷ç÷ç ÷ç÷÷ è øç + + + +è ø


Trang 292


2 2 2

2

1 2 ...lim

1

n

n n

+ + +

+ bằng:

A. 4. B. 1. C. 1.

2 D. 1

.3

Lời giải

Chọn D

Đặt ( )( )( )3 2 1 2 12 3

6 6

n n nn n nP n

- +- += = thì ta có

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

2 2 221 2 1 3 2 1

1 2 31 1

6

2 3 n P P P P P n P n

n n nP n P

+ = - + - + + + -

+ += + =

+ +

-

+

Do đó ( )

( )( )( )

2 2 2

22

1 2 ...lim li

1 2 3 2 1

31 6m .

6 1

n n nn

n n n n

+ +=

+

+ +=

+=

+

Câu 25: Cho dãy số có giới hạn ( )nu xác định bởi 1

1

1

2.

1, 1

2nn

u

u nu+

ìïï =ïïïíïï = ³ïï -ïî

Tính lim .nu

A. lim 1.nu =- B. lim 0.nu = C. 1lim .

2nu = D. lim 1.nu =

Lời giải

Chọn D

Giả sử lim nu a= thì ta có

( )1 2

2 2

2 1

1 1lim lim 1

22 1.

02nn

a aa u

a aa

u a a a+

ì ìï =/ =/

- = - + =

ïï ï= = = =í íï ï- - ï ïîî

Câu 26: Cho dãy số có giới hạn ( )nu xác định bởi 1

1

2.1

, 12

nn

u

uu n+

ì =ïïïïí +ï = ³ïïïî

Tính lim .nu

A. lim 1.nu = B. lim 0.nu = C. lim 2.nu = D. lim .nu =+¥

Lời giải

Chọn A

Giả sử lim nu a= thì ta có

1

1 1lim lim 1

2 2n

n

u aa u a+

+ += = = = ¾¾

Câu 27: Kết quả của giới hạn 29 1

lim4 2

n n

n

- +-

bằng:

A. 2.

3 B. 3

.4

C. 0. D. 3.


Trang 293

Lời giải

Chọn B

. 2 2

1 19

9 1 3lim lim

24 2 44

n n n nn

n

- +- +

= =- -

Giải nhanh: 2 29 1 9 3

.4 2 4 4

n n n

n n

- +=

-


4

2 1lim

3 2

n n

n

- + +

+ bằng:

A. 2.

3- B. 1

.2

C. 3.

3- D. 1

.2

-

Lời giải

Chọn C

2 2

4

4

2 112 1 1

lim lim2 33 2 3

n n n n

nn

- + +- + += =-

+ +

Giải nhanh : 2 2

4 4

2 1 1.

33 2 3

n n n

n n

- + + -=-

+

Câu 29: Kết quả của giới hạn 2 3lim

2 5

n

n

+

+ là:

A. 5.

2 B. 5

.7

C. .+¥ D. 1.

Lời giải

Chọn D

32

2 3 2lim lim 1.

52 5 22

n nn

n

++

= = =+ +

Giải nhanh: 2 3 21.

2 5 2

n n

n n

+=

+


1

n

n n

+ -

+ + bằng:

A. 1. B. 0. C. 1.- D. 1.

2

Lời giải

Chọn B


Trang 294

2

2

1 1 41 4 0

lim lim 011 1 1

1

n n nnn n

n n

+ -+ -

= = =+ +

+ +

Giải nhanh: 1 4 10.

1

n n

nn n n

+ -= ¾¾

+ +

Câu 31: Biết rằng 2

2

1lim sin .

42

n na b

n n

p+ += +

- - Tính 3 3.S a b= +

A. 1.S = B. 8.S = C. 0.S = D. 1.S =-

Lời giải

Chọn B

Ta có 2 2

2

11 1

1 1 1lim lim 2 2 sin

1 41 22 1

n n n

n nn n

p+ +

+ + += = =

- - - -

ìï =ï¾¾ ¾¾ =íï =ïî

2 28

0

aS

b


10lim

1n n+ + là:

A. .+¥ B. 10. C. 0. D. .-¥

Lời giải

Chọn C

2

4 2

2 4

1010 0

lim lim 0.11 11 1

n

n nn n

= = =+ + + +

Giải nhanh: 24 2 4

10 10 100.

1 nn n n= ¾¾

+ +

Câu 33: Kết quả của giới hạn ( ) 4 2

2 2lim 1

1

nn

n n

++

+ - là:

A. .+¥ B. 1. C. 0. D. .-¥

Lời giải

Chọn C

( )( )3

4 2 4 2

2 12 2lim 1 lim 0

1 1

nnn

n n n n

+++ = =

+ - + - (“bậc tử”< “bậc mẫu”).

Giải nhanh: ( ) 4 2 4

2 2 2 21 . 0.

1

n nn n

n n n n

++ = ¾¾

+ -


Trang 295

Câu 34: Biết rằng 3 23

2

5 7lim 3

3 2

an nb c

n n

+ -= +

- + với , ,a b c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức

3.

a cP

b

+=

A. 3.P = B. 1.

3P = C. 2.P = D. 1

.2

P =

Lời giải

Chọn B

Ta có 3

3 23 3 33

2

2

5 75 7

lim lim 331 2 33 2 3

aan n b an n

n nn n

+ -+ -

= = =- + - +

3 13 .3

30

ba

b c Pc

ìïï =ï= + =íïï =ïî

Câu 35: Kết quả của giới hạn 5 25lim 200 3 2n n- + là: A. .+¥ B. 1. C. 0. D. .-¥

Lời giải

Chọn D

Ta có

5 25 55 3

200 2lim 200 3 2 lim 3n n n

n n

æ ö÷ç ÷ç- + = - + =-¥÷ç ÷÷çè øvì

555 3

lim

.200 2lim 3 3 0

n

n n

ì =+¥ïïïï æ öí ÷ç ÷ï ç - + =- <÷ï ç ÷÷çï è øïî

Giải nhanh: 55 2 55 5200 3 2 3 3. .n n n n- + - =- ¾¾-¥

Dạng 3. Dãy số chứa căn thức

1. Phương pháp

Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.


Ví dụ 1. Tính 2 2lim n 7 n 5

Giải

2 22 2

2 2 2 2

n 7 n 5 2lim n 7 n 5 lim lim 0n 7 n 5 n 7 n 5

33 32 2

33 32 2

A B löôïng lieân hieäp laø: A BA B löôïng lieân hieäp laø: A BA B löôïng lieân hieäp laø: A BA B löôïng lieân hieäp laø: A B A B

A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B


Trang 296

Ví dụ 2. Tính 2 2lim n 3n n

Giải

2 2

2 2

3n 3 3lim n 3n n lim lim23n 3n n 1 1

n

Ví dụ 3. Tính ( )2lim 1n n n- + -

Lời giải

. 2 21 0n n n n n- + - - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( )2

2

2

111 1

lim 1 lim lim21 11 1 1

n nn n nn n n

n n

- +- +- + - = = =-

- + + - + +

Giải nhanh : 2

2 2

1 11 .

21

n nn n n

n n n n n

- + -- + - = =-

- + + +

Ví dụ 4. Tính ( )3 2 3lim n n n- +

Lời giải

3 32 3 3 0n n n n n- + - + = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( )( )

23 2 3

2 232 3 2 3 233 3

1 1lim lim lim .

31 11 1 1

nn n n

n n n n n nn n

- + = = =æ ö- - - + ÷ç - - - +÷ç ÷çè ø

Giải nhanh : ( )

2 23 2 3

3 32 6 3 232 3 2 3 23

1.

3

n nn n n

n n n nn n n n n n- + = =

- - +- - - +

Ví dụ 5. Tính ( )lim 1n n né ù+ -ê úë û

Lời giải

( ) ( )1 0n n n n n n+ - - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( ) 1 1lim 1 lim lim

21 11 1

nn n n

n n

n

+ - = = =+ +

+ +

Giải nhanh : ( ) 11 .

21

n nn n n

n n n n+ - = =

+ + +


Câu 1: Giá trị của giới hạn ( )lim 5 1n n+ - + bằng:

A. 0. B. 1. C. 3. D. 5.


Trang 297

Lời giải

Chọn A

5 1 0n n n n+ - + - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( ) 4lim 5 1 lim 0

5 1n n

n n+ - + = =

+ + +

Câu 2: Giá trị của giới hạn ( )2 2lim 1 3 2n n- - + là:

A. 2.- B. 0. C. .-¥ D. .+¥

Lời giải

Chọn C

( )2 22 2

1 2lim 1 3 2 lim 1 3n n n

n n

æ ö÷ç ÷ç- - + = - - + =-¥÷ç ÷÷çè ø vì

2 2

1 2lim , lim 1 3 1 3 0.n

n n

æ ö÷ç ÷ç=+¥ - - + = - <÷ç ÷÷çè ø

Giải nhanh : ( )2 2 2 21 3 2 3 1 3 .n n n n n- - + - = - ¾¾-¥

Câu 3: Giá trị của giới hạn ( )2 2lim 2 2n n n n+ - - là:

A. 1. B. 2. C. 4. D. .+¥

Lời giải

Chọn B

2 2 2 22 2 0n n n n n n+ - - - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( )2 2

2 2

4 4lim 2 2 lim lim 2.

2 22 2 1 1

nn n n n

n n n nn n

+ - - = = =+ + - + + -

Giải nhanh : 2 2

2 2 2 2

4 42 2 2.

2 2

n nn n n n

n n n n n n+ - - = =

+ + - +

Câu 4: Có bao nhiêu giá trị của a để ( )( )2 2 2lim 2 1 0.n a n n a n+ - + + + =

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Lời giải

Chọn B

( )2 2 2 2 22 1 0n a n n a n n n+ - + + + - = ¾¾ nhân lượng liên hợp:

Ta có ( )( ) ( )2

2 2 2

2 2

2 1lim 2 1 lim

1

a a nn a n n a n

n n n

- - -+ - + + + =

+ + +


Trang 298

22

2

12 12

lim 0 .221 1

1 1

a a aa ana

n n

- - - é =-- - ê= = = ê =ë+ + +

Câu 5: Giá trị của giới hạn ( )2 2lim 2 1 2 3 2n n n n- + - - + là:

A. 0. B. 2.

2 C. .-¥ D. .+¥

Lời giải

Chọn B

2 2 2 22 1 2 3 2 2 2 0n n n n n n- + - - + - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( )2 2

2 2

2 2

2 1lim 2 1 2 3 2 lim

2 1 2 3 2

12 1

lim .1 1 3 2 2

2 2

nn n n n

n n n n

n

n nn n

-- + - - + =

- + + - +

-= =

- + + - +

Giải nhanh :

2 2

2 2 2 2

2 1 2 12 1 2 3 2 .

22 1 2 3 2 2 2

n nn n n n

n n n n n n

-- + - - + = =

- + + - + +

Câu 6: Giá trị của giới hạn ( )2 2lim 2 1 2n n n n+ - - + là:

A. 1.- B. 1 2.- C. .-¥ D. .+¥

Lời giải

Chọn C

Giải nhanh : ( )2 2 2 22 1 2 2 1 2 .n n n n n n n+ - - + - = - ¾¾-¥

Cụ thể : ( )2 22

2 1 1lim 2 1 2 lim . 1 2n n n n n

n nn

æ ö÷ç ÷ç+ - - + = + - - + =-¥÷ç ÷÷çè ø vì

2

2 1 1lim , lim 1 2 1 2 0n

n nn

æ ö÷ç ÷ç=+¥ + - - + = - <÷ç ÷÷çè ø

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa ( )2 2lim 8 0n n n a- - + = .

A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số.

Lời giải

Chọn B

Nếu 2 2 28 0n n n a n n- - + - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :


Trang 299

Ta có ( ) ( )2 22 2

2

2 8 2 8lim 8 lim lim

11 1

a n an n n a

n n nn

- -- - + = =

+ + + +

2 4 0 2.a a= - = =

Câu 8: Giá trị của giới hạn ( )2lim 2 3n n n- + - là:

A. 1.- B. 0. C. 1. D. .+¥

Lời giải

Chọn A

2 22 3 0n n n n n- + - - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( )2

2

2

322 3

lim 2 3 lim lim 12 32 3 1 1

n nn n nn n n

n n

- +- +- + - = = =-

- + + - + +

Giải nhanh : 2

2 2

2 3 22 3 1.

2 3

n nn n n

n n n n n

- + -- + - = =-

- + + +

Câu 9: Cho dãy số ( )nu với 2 25 1nu n an n= + + - + , trong đó a là tham số thực. Tìm a để lim 1.nu =- A. 3. B. 2. C. 2.- D. 3.-

Lời giải

Chọn C

2 2 2 25 1 0n an n n n+ + - + - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( )2 2

2 2

2 2

41 lim lim 5 1 lim

5 1

4

lim 2.25 1

1 1

n

anu n an n

n an n

a an aan n n

+- = = + + - + =

+ + + +

+= = =-

+ + + +

Giải nhanh :

2 2

2 2 2 2

41 5 1 2.

25 1

an an an an n a

n an n n n

+- + + - + = = =-

+ + + + +

Câu 10: Giá trị của giới hạn ( )3 33 3lim 1 2n n+ - + bằng:

A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.

Lời giải

Chọn C

3 33 3 3 33 31 2 0n n n n+ - + - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :


Trang 300

( )( ) ( )

3 33 3

23 3 3 33 33 3

1lim 1 2 lim 0.

1 1. 2 2n n

n n n n

-+ - + = =

+ + + + + +

Câu 11: Giá trị của giới hạn ( )3 3 2lim 2n n n- - bằng:

A. 1.

3 B. 2

.3

- C. 0. D. 1.

Lời giải

Chọn B

3 33 2 32 0n n n n n- - - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( )( )

23 3 2

2 233 2 3 2 233 3

2 2 2lim 2 lim lim .

32 22 . 2 1 1 1

nn n n

n n n n n nn n

- -- - = = =-

æ ö- + - + ÷ç - + - +÷ç ÷çè ø

Giải nhanh : ( )

2 23 3 2

3 32 6 3 233 2 3 2 23

2 2 22 .

3.2 . 2

n nn n n

n n n nn n n n n n

- -- - = =-

+ +- + - +

Câu 12: Giá trị của giới hạn ( )lim 1 1n n né ù+ - -ê úë û là:

A. 1.- B. .+¥ C. 0. D. 1.

Lời giải

Chọn D

( ) ( )1 1 0n n n n n n+ - - - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( ) 2 2lim 1 1 lim lim 1

1 1 1 11 1

nn n n

n n

n n

+ - - = = =+ + -

+ + -

Giải nhanh : ( ) 2 21 1 1.

1 1

n nn n n

n n n n+ - - = =

+ + - +

Câu 13: Giá trị của giới hạn ( )2 2lim 1 3n n né ù+ - -ê úë û bằng:

A. 1.- B. 2. C. 4. D. .+¥

Lời giải

Chọn B

( ) ( )2 2 2 21 3 0n n n n n n+ - - - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( )2 2

2 2

2 2

4 4lim 1 3 lim lim 2

1 31 3 1 1

nn n n

n nn n

+ - - = = =+ + - + + -


Trang 301

Giải nhanh : ( )2 2

2 2 2 2

4 41 3 2.

1 3

n nn n n

n n n n+ - - = =

+ + - +

Câu 14: Giá trị của giới hạn ( )2 2lim 1 6n n n n né ù+ + - + -ê úë û là:

A. 7 1.- B. 3. C. 7.

2 D. .+¥

Lời giải

Chọn C

( ) ( )2 2 2 21 6 0n n n n n n n n+ + - + - - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( )2 2

2 2

2 2

7lim 1 6 lim

1 6

7 7lim .

21 1 1 61 1

nn n n n n

n n n n

n nn n

+ + - + - =+ + + + -

= =+ + + + -

Giải nhanh : ( )2 2

2 2 2 2

7 7 71 6 .

21 6

n nn n n n n

n n n n n n+ + - + - = =

+ + + + - +


1lim

2 4n n2 + - + là:

A. 1. B. 0. C. .-¥ D. .+¥

Lời giải

Chọn C

2 2 22 4 0n n n n2 + - + - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( )2 22 22

1 1 1 2 4lim lim 2 4 lim . 1 1

2 22 4n n n

n nn n2

é ùæ ö÷çê ú÷ç= - + + + = - + + + =-¥÷ê úç ÷÷çè ø+ - + ê úë û

vì 2 2

1 2 4lim , lim 1 1 1 0

2n

n n

é ùæ ö÷çê ú÷ç=+¥ - + + + =- <÷ê úç ÷÷çè øê úë û

Giải nhanh :

( ) ( )2 2 2 2

2

1 1 12 4 .

2 22 4n n n n n

n n2=- + + + - + =- ¾¾-¥

+ - +

Câu 16: Giá trị của giới hạn 29 2

lim3 2

n n n

n

- - +-

là:

A. 1. B. 0. C. 3. D. .+¥

Lời giải

Chọn A

2 29 2 9 3 0n n n n n =/- = ¾- + ¾ giải nhanh :


Trang 302

2 29 2 91

3 2 3

n n n n

n n

- - +=

-

Cụ thể : 2 2

1 1 29

9 2 9lim lim 1.

23 2 33

n n n n n nn

n

- - +- - +

= = =- -


1lim

1n n+ - là:

A. 2. B. 0. C. .-¥ D. .+¥

Lời giải

Chọn B

33 33 1 0n n n n+ - - = ¾¾ nhân lượng liên hợp :

( )( )

33

23 3 233

1lim 1 lim 0

1 1n n

n n n n+ - = =

+ + + +

Dạng 4. Dãy số chứa hàm lũy thừa

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Tính 1

1

3 2.5lim

2 5

n n

n n

+

+

-+

Lời giải

Giải nhanh : 1 1

1

3 2.5 2.510

2 5 5

n n n

n n n

+ +

+

- -=-

+

Cụ thể : 1

1

310

3 2.5 5lim lim 10.

2 5 22. 1

5

n

n n

n n n

+

+

æ ö÷ç -÷ç ÷çè ø-= =-

+ æ ö÷ç +÷ç ÷çè ø

Ví dụ 2: Tính 13 4.2 3

lim3.2 4

n n

n n

+- -+

Lời giải

Giải nhanh : 13 4.2 3 3 3

0.43.2 4 4

nn n n

n n n

+ æ ö- - ÷ç= ¾¾÷ç ÷çè ø+

Cụ thể : 1

3 1 18. 3.

3 4.2 3 04 2 4lim lim 0.

13.2 4 13. 1

2

n n n

n n

n n n

+

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø- -= = =


Ví dụ 3: Tính

n 5n 1

5n 2

1 2lim

3


Trang 303


Cách 1: Giải bằng tự luận

Ta có:

n n5n 1n

5n 2

1 2 2 2lim lim 1 . 0.9 33

Cách 2: Mẹo giải nhanh

n 5n5n 1

n

5n 2

1 2 21 . 0.33

Ví dụ 4: Tính n n 1

n n3 4.2 3lim .

3.2 4



Ta có:

n n

n n 1 4

n n n

3 2 34.24 43 4.2 3 n

3.2 4 23. 14

(chia tử và mẫu cho 4n ).

Suy ra n n 1

n n3 4.2 3 0lim 0.

13.2 4


nn n 1 n

n n n3 4.2 3 3 3 0.

43.2 4 4

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc ( )0;20 sao cho 2

2

1 1lim 3

3 2n

an

n

-+ -

+ là một số nguyên.

Lời giải

Ta có

2 2

2 2

2 2

11

lim lim33 1 11 lim 3 3 .

3 21 1

lim lim 022

n

n

n

aan n an an

an n

ìïï -ï -ïï = =ïï + -ï + + - = +íï +ïïï æ öï ÷ç= =÷ï ç ÷ï çè øïî

Ta có ( )

{ }0;20 ,

1;6;13 .3

aaa

a

ìïï Î ÎÎï ¾¾íï

ïî Î+ï



lim3 2.5

n

n n

+-+

bằng:

A. 25.

2- B. 5

.2

C. 1. D. 5.

2-

Lời giải

Chọn A


Trang 304

Cụ thể : 2

12 25

2 5 255lim lim .

23 2.5 32

5

n

n

n n n

+

æ ö÷ç -÷ç ÷çè ø-= =-


Giải nhanh : 2 22 5 5 25

23 2.5 2.5

n n

n n n

+ +- -=-

+


2 2.3 1

n

n n

-- +

bằng:

A. 1.- B. 1.

2- C. 1

.2

D. 3.

2

Lời giải

Chọn B

Giải nhanh : 3 1 3 1

22 2.3 1 2.3

n n

n n n

-=-

- + -

Cụ thể :

11

3 1 13lim lim .

22 2.3 1 2 12

3 3

n

n

n n n n

æ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø-= =-

- + æ ö æ ö÷ ÷ç ç- +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Câu 3: Biết rằng ( )

( )

12

1 2

5 2 1 2 3 5lim

15.2 5 3

nn

nn

n ac

bn

+

+

æ ö÷ç - + ÷+ç ÷ç ÷+ = +ç ÷ç ÷-ç ÷+ - ÷çè ø

với , , .a b c Î Tính giá trị của biểu thức

2 2 2.S a b c= + + A. 26.S = B. 30.S = C. 21.S = D. 31.S =

Lời giải

Chọn B

( )( )

12 2

1 2

2

2 1 31 2. 25 2 1 2 3 5 5lim lim

11 2 15.2 5 3 15. 5 .5 5

n n

nn

n n nn

n nn

n

+

+

æ öæ ö æ ö ÷ç ÷ ÷ç ç ÷çæ ö - +÷ ÷ ÷ç ç +ç÷ ÷ ÷ç ÷- + ç ç÷ ÷ç÷ è ø è ø+ ÷ç ÷ ç ÷ç ÷++ = +ç ÷ç ÷ ÷çç ÷- ÷ç æ ö æ öç ÷ ÷+ - ç -÷ ÷÷ç ç ç ÷è ø + -÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç è ø è øè ø

1 52 2.

55= + = +

Giải nhanh :

( )( )

( )( )

12 2

1 2 1 2

15 2 1 52 3 2 1 52 2 5.

51 55.2 5 3 5 2

n nn

n nn

an n

bn n

c

+

+ +

ì =ïï- + + ïï+ + = + = + ¾¾ =íï- ï+ - ï =ïî

Vậy 2 2 21 5 2 30.S = + + =


2 2

3 2lim

3 3 2

n n n

n n n

pp +

+ +- +

là:


Trang 305

A. 1. B. 1.

3 C. .+¥ D. 1

.4

Lời giải

Chọn D

Giải nhanh: 2

2 2

3 2 3 4 4 1

43 3 2 3 3 4.4 4.4

n n n n n n n

n n n n n n n

p pp p+

+ + + += =

- + - +

Cụ thể : 2

2 2

31

3 2 14 4lim lim .

43 3 2 33. 3. 4

4 4

n n

n n n

n n n n n

p

p

pp +

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø+ += =

- + æ ö æ ö÷ ÷ç ç- +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Câu 5: Kết quả của giới hạn lim 3 5nné ù-ê úë û

là:

A. 3. B. 5.- C. .-¥ D. .+¥

Lời giải

Chọn D

Giải nhanh : Vì 3 5> nên 3 5 3 .nn n- ¾¾+¥

Cụ thể : 5lim 3 5 lim 3 1

3

nnn n

æ öæ ö ÷çé ù ÷ç ÷ç ÷ ÷ç- = - =+¥çê ú ÷ ÷çç ÷ ÷÷çë û ç è ø ÷çè ø vì

lim3

.5lim1 1 0

3

n

n

ìï =+¥ïïïï æ öí ÷çï ÷ç- = >ï ÷ç ÷ï ÷çè øïïî

Câu 6: Kết quả của giới hạn ( )4 1lim 3 .2 5.3n n+ - là:

A. 2.

3 B. 1.- C. .-¥ D. 1

.3

Lời giải

Chọn C

Giải nhanh : ( )4 13 .2 5.3 5.3 5 0 .n n n+ - - =-¥ - <

Cụ thể : ( )4 1 2lim 3 .2 5.3 lim3 162. 5

3

nn n n+

æ öæ ö ÷ç ÷ç ÷ç- = - =-¥÷ ÷çç ÷ ÷çç è ø ÷è ø vì

lim3

.2lim 162. 5 5 0

3

n

n

ìï =+¥ïïïï æ öæ öí ÷ç ÷ç ÷ï ç - =- <÷ ÷çï ç ÷ ÷çï ç è ø ÷è øïïî

Câu 7: Kết quả của giới hạn 13 4.2 3

lim3.2 4

n n

nn

+- -+

là:

A. 0. B. 1. C. .-¥ D. .+¥

Lời giải

Chọn A

Giải nhanh : 13 4.2 3 3 3

0.43.2 4 4

nn n n

n nn

+ æ ö- - ÷ç= ¾¾÷ç ÷çè ø+


Trang 306

Cụ thể : 11 18.3 3

24. 044

3 4.2 3 3 4.2 30 lim 0.

3.2 4 3.2 4

n n n n

n n n

nn

n n

+++ æ ö÷ç£ £ = ¾¾÷ç- - - -

=+ +÷çè ø


2

2 3 10lim

3 2

n n

n n

+ + +- +

là:

A. .+¥ B. 2.

3 C. 3

.2

D. .-¥

Lời giải

Chọn A

. Ta có ( )( ) 3

0

3

2

20

1 2 2.

6 22

6

n

n n

nn k n

nk

nn n n n

C

n

C=

ìïï ï- - ïï³ = íïï +¥ïïïî

= å Khi đó:

1

2 2

2

12 3. 10.

2 3 10 2 22lim lim .

1 23 2 3

n

n n n

nn

n n nn n

+

æ ö÷ç+ + ÷ç ÷çè ø+ += =+¥

- + - + vì

2

2

2lim

1 .2 3. 10.222

lim 01 2 33

n

n

n

n

n

n n

ìïï =+¥ïïïïïï æ öï ÷çí + + ÷çï ÷çè øïï = >ïïï - +ïïïî

Câu 9: Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc ( )0;2018 để 1

41

.1024

4 2lim

3 4

n n

n n a

+

+

++

£

A. 2007. B. 2008. C. 2017. D. 2016.

Lời giải

Chọn B

( )

1

44 2

11 2.

4 2 1 1 12lim lim .

3 4 4 23 244

n

n n

n n a n a aaa

+

+

æ ö÷ç+ ÷ç ÷çè ø+= = = =


Giải nhanh: 1

4 1042

4 2 4 1

3 4 4 2

12 1024 2 10.

1024

n n na

n n n a aa

+

+ + £ ³+

= ³=+

Mà ( )0;2018aÎ và a Î nên { }10;2017aÎ ¾¾ có 2008 giá trị .a

Câu 10: Kết quả của giới hạn ( )2 12

lim3 1 3

n

n

n n

n

æ ö- ÷+ç ÷ç + ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø bằng:

A. 2.

3 B. 1.- C. 1

.3

D. 1.

3-

Lời giải

Chọn C

. Ta có ( ) ( )2 21 12 2

lim lim lim .3 1 3 13 3

n n

n n

n n n n

n n

æ ö- -÷+ +ç ÷ç + = +÷ç ÷ç ÷- -÷çè ø Ta có


Trang 307

( ) ( )

( )

2

2

110 lim 0

21

2 1lim lim

13 1 3

3 3

12 13 lim .3 1 33

10

3

n

n

n

n

nn

n

n n nn n n

n n

ìïï

-æ ö÷ç£ £ =÷ç

+ïï +ï = =ïï æ ö-ï - ÷+ç-ï ÷ç + =÷í ç ÷çï ÷- ÷çï è ø

÷çè

ïï -ïïï øïïî

Câu 11: Kết quả của giới hạn ( )3 1 cos3

lim1

nn n

n

æ ö+ - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷-çè ø bằng:

A. 3.

2 B. 3. C. 5. D. 1.-

Lời giải

Chọn B

. ( ) ( )3 1 cos3 1 cos33

lim lim .1 1

n nn n nn

n n n

æ ö æ ö+ - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷- -ç çè ø è ø Ta có :

( ) ( )( )

1 cos3 1 cos310 li

3 3lim 3

11 3 1 co

m

s3lim 3

01 1 1

.1

0

n

n nn n

n n n

n

n n n

n

ìïï = =ïï æ ö-ï + - ÷çïï ÷ç =÷í ç ÷çï ÷÷-çï è ø- -£ £ =

- - -ïïïïïî

Câu 12: Kết quả của giới hạn lim 2.3 2n n- + là: A. 0. B. 2. C. 3. D. .+¥

Lời giải

Chọn D

Ta có 1lim 2.3 2 lim 3 . 2 2. .

33

nn n

n

nn

æ ö÷ç- + = - + ÷ç ÷çè ø Vì

( )2

lim 3

0 12 2. 2 0

3

lim 32

0 lim 0 ,1 13 3 lim

2

1lim 0

3

3

n

n nn

n

n

n

n

n n n nn nn nC

üïïïïïïïï ìïï =+¥ïï=+¥

æ ö÷ç- +

ïï ïïï ï£ £ = == >÷ç ÷ç

= ¾¾ý íï ï- - ï ïï ïï ïïîïïïïæ ö ï÷ç = ï÷ç ÷ ïçè ø ï

è

ï

ø

þ

do đó lim 2.3 2 .n n- + =+¥

Dạng 5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

1. Phương pháp

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q 1.


Trang 308

Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un)

11 2 n

uS u u ... u ...

1 q

Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10

n31 2

1 2 3 n 2 3 n

aa a aX N,a a a ...a ... N ... ...10 10 10 10


Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

n 11 1 1 11, , , ,..., ,...2 4 8 2


Theo đề cho ta có: 11u 1, q .2

1u 1 2S .11 q 312

Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a 0,212121... (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số.



Ta có: a 0,212121...

2 4 6

0,21 0,0021 0,000021 ...1 1 121 ...

10 10 10

Tổng 2 4 6

1 1 1S ...10 10 10

là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có 1 2 21 1u , q .

10 10

21

2

1u 110S .

11 q 99110

Do đó 1 7A 21. .

99 33

Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính

Nhập vào màn hình 0, 21 và ấn phím ta được kết quả 7 .33

Ví dụ 3: Tổng

2 3 n 1nS 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9 ... có kết quả bằng bao nhiêu?


2 3 n 1S 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9 ...

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng có 1u 1, q 0,9.


Trang 309

1u 1S 10.1 q 1 0,9

Ví dụ 4: Cho 2 3S 1 q q q ..., q 1

2 3

2 2 3 3

T 1 Q Q Q ..., Q 1

E 1 qQ q Q q Q ...

Biểu thị biểu thức E theo ,S T Hướng dẫn giải

2 3S 1 q q q ..., q 1 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có 1u 1, q q.

Khi đó: 1u 1 S 1S q .1 q 1 q S

(1)

Tương tự: 1 T 1T Q .

1 Q T

(2)

2 2 3 3E 1 q.Q q .Q q .Q ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng công bội qQ (vì qQ 1 , và

1u 1).

1uE

1 qQ (3)

Thay (1), (2) vào (3): 1u STE E .T 1 S 1 S T 11 .

T S

Ví dụ 5: Tìm số hạng 1U của cấp số nhân lùi vô hạn, biết 1S 4; q .2


Ta có: 1 11

u uS q 1 4 u 2.

11 q 12

Ví dụ 6: Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết 1S 6; U 3.


Ta có: 1u 3 1S q 1 6 q .1 q 1 q 2


Câu 1: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2 , tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân

bằng 9

4. Số hạng đầu 1u của cấp số nhân đó là:

A. 1 3.u = B. 1 4.u = C. 1

9.

2u = D. 1 5.u =

Lời giải

Chọn A


Trang 310

Gọi q là công bội của cấp số nhân, ta có :

( )

( )

1

1

3 3

13 1

12 2 11 2

.9 11 9 2 1 2 1 3. 4 21 4

uqu q

q

q q uS uq

ì ìï ïï ï= ì =-ï = -ï ïïï - ïïïï ï ï í í í æ öï ï ï- - = ÷ï ï ï ç= + =÷= =ï ï ï çïî ÷çï ï è ø-ï ïîïî

Câu 2: Tính tổng 3

1 1 19 3 1

3 9 3nS -= + + + + + + + .

A. 27.

2S = B. 14.S = C. 16.S = D. 15.S =

Lời giải

Chọn A

Ta có

1

3 2 4

1: 1,

1

3

1 1 1 1 1 1 1 279 3 1 9 1 9 .

13 9 3 2

1

3 3 3 13

3n

CSN lvh u q

nS -

= =

-

æ ö÷ æ öç ÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= + + + + + + + = + + + + = =ç ÷ ç ÷÷ç ç ÷÷ç ÷ç÷ -ç ÷ç÷ ÷çç è ø÷÷çè ø

+ +

Câu 3: Tính tổng 1 1 1 12 1

2 4 8 2nS

æ ö÷ç= + + + + + + ÷ç ÷çè ø .

A. 2 1.S = + B. 2.S = C. 2 2.S = D. 1.

2S =

Lời giải

Chọn C

Ta có

11

: 1,2

1 1 1 1 12 1 2 2 2.

12 4 8 2 12

n

CSN lvh u q

S

= =

æ ö÷ æ öç ÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= + + + + + + = =ç ÷ ç ÷÷ç ç ÷÷ç ÷ç÷ -ç ÷ç÷ ÷çç è ø÷÷çè ø

Câu 4: Tính tổng 2 4 21

3 9 3

n

nS = + + + + + .

A. 3.S = B. 4.S = C. 5.S = D. 6.S =

Lời giải

Chọn A

Ta có

12

: 1,3

22 4 2 2 2

1 13 9 3 3

2 13.

23 13

3

n

CSN lv

n

h u q

nS

= =

æ ö÷ç+ +æ

=ö÷ç= + + + + + = + + +÷ç ÷ =÷ç ÷çè ø -

çè ø

Câu 5: Tổng của cấp số nhân vô hạn ( ) 1

1

11 1 1, , ,..., ,...

2 6 18 2.3

n

n

+

-

-- bằng:


Trang 311

A. 3.

4 B. 8

.3

C. 2.

3 D. 3

.8

Lời giải

Chon D

. Ta có :

( ) ( )

1

1

2 1

1:

1

1

1,3

11 1 1 1 1 31 .

12 3 2 83 3 1

11 1 1

2 6 18 2.33

n

n

CSN lvh u

n

n

q

S+ +

-

= =

-

-

æ ö÷ æ öç ÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷- ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷+ = - + + + = =ç ÷ ç ÷÷ç ç ÷÷ç ÷ç÷ +ç ÷ç÷ ÷çç è ø÷

-= + + +

÷çè ø

-

Câu 6: Tính tổng 1 1 1 1 1 1... ...

2 3 4 9 2 3n nS

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= - + - + + - +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø.

A. 1. B. 2.

3 C. 3

.4

D. 1.

2

Lời giải

Chọn D

Ta có

1 11

21

:3

:

1 1 1 1

1 1

2

1 1... ...

2 3 4 9 2 3

1 1 1 1

2 4 3 9 3n n

CSN lvh

n

u q

n

CSN lvh u q

S

= = = =

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= - + - + + - +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øæ öæ ö ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷ çç ÷= + + - + +çç ÷ ç÷ç ÷ çç ÷ çç ÷ çç ÷÷ç çè ø è ø

+ + + +

111 132 1 .

1 1 2 21 12 3

÷÷= - = - =÷÷÷÷ - -÷÷÷


2

1 ...lim 1, 1

1 ...

n

n

a a aa b

b b b

+ + + +< <

+ + + + bằng:

A. 0. B. 1.

1

b

a

--

C. 1.

1

a

b

--

D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn B

Ta có 21 ... na a a+ + + + là tổng 1n + số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và

công bội là a , nên ( )1 1

21. 1 1

1 ... .1 1

n nn

a aa a a

a a

+ +- -+ + + + = =

- -

Tương tự: ( )1 1

21 1 1

1 ... .1 1

n nn

b bb b b

b b

+ +- -+ + + + = =

- -

Do đó ( )

1

2 1

2 1 1

11 ... 1 1 11lim lim lim . 1, 1 .

1 11 ... 1 1

1

n

n n

n n n

aa a a b a ba a b

a ab b b b b

b

+

+

+ +

-+ + + + - - --= = = < <

- -+ + + + - --

Câu 8: Rút gọn 2 4 6 2cos cos cos1 cos nx x x xS + + + += ++ với cos 1.x ¹


Trang 312

A. 2sin .S x= B. 2cos .S x= C. 2

1.

sinS

x= D.

2

1.

cosS

x=

Lời giải

Chọn C

Ta có

21

2 4 6 22 2

: 1, cos

1 1cos cos cos cos1 .

1 cos sinn

CSN lvh u q x

x x x xx x

S= =

+ + + + + = == +-

Câu 9: Rút gọn ( )2 4 6 21 sin sin sin 1 in. sn nS x x x x= - + - + + - + với sin 1.x ¹

A. 2sin .S x= B. 2cos .S x= C. 2

1.

1 sinS

x=

+ D. 2tan .S x=

Lời giải

Chọn C

Ta có

( )2

1

2

: 1, s

6

n

2 4 2

i

1 si1

1n si .n sin s1 n

in .si

n

CSN lvh x

n

u q

S x x x xx

= =-

+ - + + -- += =+

Câu 10: Thu gọn 2 31 tan tan tanS a a a-= - + +¼ với 0 .4

ap

< <

A. 1.

1 tanS

a=

- B. cos

.2 sin

4

Sa

pa

=æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø

C. tan.

1 tanS

aa

=+

D. 2tan .S a=

Lời giải

Chọn B

Ta có ( )tan 0;1aÎ với mọi 0; ,4

pa

æ ö÷çÎ ÷ç ÷çè ø do đó

1

2 3

: 1, tan

1 cos costan .

1 tan sin co1 tan tan

s2 sin

4CSN lvh u q

Sa

a apa a a

a a aa= =-

- +¼= = =æ ö+ + ÷ç + ÷ç ÷çè ø

= - +

Câu 11: Cho ,m n là các số thực thuộc ( )1;1- và các biểu thức: 2 31M m m m= + + + +

2 31N n n n= + + + +

2 2 3 31A mn m n m n= + + + +

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. .1

MNA

M N=

+ - B. .

1

MNA

M N=

+ + C. 1 1 1

.AM N MN

= + - D.

1 1 1.A

M N MN= + +

Lời giải


Trang 313

Chọn A

Ta có

1 11

1 ,11

11

M mm M

nNNn

ì ìï ïï ï= = -ï ïï ï-ï ïí íï ïï ï = -=ï ïï ï- ïï îî

khi đó

1 1.

1 11 11 1 1

MNA

mn M NM N

= = =æ öæ ö- + -÷ ÷ç ç- - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø

Câu 12: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111 được biểu diễn bởi phân số tối giản a

b. Tính tổng

.T a b= + A. 17. B. 68. C. 133. D. 137.

Lời giải

Chọn B

Ta có 2 30,5111 0,5 10 10 10 n- - -= + + + + +

Dãy số 2 310 ;10 ;...;10 ;...n- - - là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 21 10 ,u -= công

bội bằng 110q -= nên 2

11

10 1.

1 901 10

uS

q

-

-= = =- -

Vậy 2346 23

0,5111... 0,5 68.4590 45

aS T a b

b

ì =ïï= + = = ¾¾ ¾¾ = + =íï =ïî

Câu 13: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535...A = được biểu diễn bởi phân số tối giản a

b. Tính

.T ab= A. 3456. B. 3465. C. 3645. D. 3546.

Lời giải

Chọn B

Ta có

2

2 4

2

353535 35 35100,353535... 0,35 0,0035 ... ... 3465.

1 999910 10 110

aA T

b

ì =ïï= = + + = + + = = =íï =ïî-.

Câu 14: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231...B = được biểu diễn bởi phân số tối giản a

b. Tính

.T a b= - A. 1409. B. 1490. C. 1049. D. 1940.

Lời giải

Chọn A

Ta có


Trang 314

3

3 6

3

5,231231... 5 0,231 0,000231 ...

2311742231 231 231 1742105 ... 5 5 1409

1 333999 33310 10 110

B

aT

b

= = + + +

ì =ïï= + + + = + = + = ¾¾ =íï =ïî-

Câu 15: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323¼ được biểu diễn bởi phân số tối giản a

b. Khẳng

định nào dưới đây đúng? A. 152 .a b- > B. 142 .a b- > C. 132 .a b- > D. 122 .a b- >

Lời giải

Chọn D

Ta có

4 6 8

12 13

1 1 10,17232323 0,17 23

10 10 10

117 17 23 1706 8531000023.

1100 100 100.99 9900 49501100

8532 4097 2 .

4950

aT

b

æ ö÷ç¼= + + + ÷ç ÷çè ø

= + = + = =-

ì =ïï¾¾ < = <íï =ïî

.

Dạng 6: Giới hạn dãy số có quy luật công thức, dãy cho bởi hệ thức truy hồi

1. Phương pháp

Dãy tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bị chặn dưới thì tồn tại giới hạn.

Phương pháp quy nạp thường được sử dụng.


Ví dụ 1: Cho

n

1 1 1u ...1.2 2.3 n n 1

. Tính nlim u


Ta luôn có:

1 1 1k k 1k k 1

áp dụng vào nu :

n

1 1 1 1u ...1.2 2.3 3.4 n n 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1... 11 2 2 3 3 4 n n 1 n 1

Do đó: n1lim u lim 1 1.

n 1

Ví dụ 2: Cho n

1 1 1 1u ... .3.5 5.7 7.9 2n 1 2n 1

Tính nlim u


Ta luôn có:

1 1 1 1 .2 2k 1 2k 12k 1 2k 1


Trang 315

n1 1 1 1u ...

3.5 5.7 7.9 2n 1 2n 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...2 3 5 2 5 7 2 7 9 2 2n 1 2n 1

1 1 1 .2 3 2n 1

Do đó n1 1 1 1lim u lim .2 3 2n 1 6

Ví dụ 3:

21 2 3 ... nlim

2n bằng bao nhiêu?


Vì

n n 1

1 2 3 ... n2

nên:

2 2

n n 11 2 3 ... n 1lim lim .42n 4n

Ví dụ 4: Tính giới hạn: 2 2 2

1 1 1lim 1 1 ... 1 .2 3 n


Ta có:

2 2 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 1 3 1 n 11 1 ... 1 . ...2 3 n 2 3 n

2 2 2

2 1 . 2 1 . 3 1 . 3 1 ... n 1 n 1 n 1.2n2 .3 ...n

Vậy 2 2 2

1 1 1 1lim 1 1 ... 1 .22 3 n

Ví dụ 5: Tìm giới hạn của dãy: 1

*nn 1

U 2.U 1

U ; n2



Ta chứng minh dãy nU là bị chặn: n1 U 2.

Dãy nU là dãy giảm.

Thật vậy ta xét

nk 1 k k

U 1U U U

2 k k k2U U 1 U 1 (đúng).

Vậy dãy nU có giới hạn. Đặt nlim U a .

Ta có:

nn 1

U 1lim U lim

2 hay

a 1a a 1.2


Khai báo: 1 X {biến đếm}; 2 A {giá trị 1u }

Ghi vào màn hình: A 1X X 1: A

2

Ấn CALC và lặp lại phím , quan sát ta thấy dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1. Vậy nlimU 1.


Trang 316

Ví dụ 6: Tìm giới hạn của dãy: 1*

n 1 n

U 2.

U 2 U ; n



Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn: n2 U 2 (bằng phương pháp quy nạp).

1U 3 (đúng).

Giả sử kU 2, k 1.

Ta có: k 1 kU 2 U 2 2 2 k 1 .

Vậy *kU 2 n .

Tương tự: *nU 2 n . Ta chứng minh dãy nU là dãy tăng (bằng phương pháp quy nạp).

+ 1 2 1 2U 2; U 2 2 U U .

+ Giả sử k 1 kU U k 2 . Ta xét *k k 1U U ; k

2 2k m k k k kU 2 U U 2 U U U 2 0

k1 U 2 (luôn đúng vì *k2 U 2, k )

Vậy dãy nU tăng; bị chặn trên nên có giới hạn, gọi n n 1a lim U limU .

Ta có: 2n nlim U 2 LimU a 2 a a 2 a

2a a 2 0

a 2 (nhaän)a 1 (loaïi)


Khai báo: 1 X {biến đếm}; 2 A {giá trị 1u }

Ghi vào màn hình: X X 1: A 2 A

Ấn CALC và lặp lại phím , quan sát ta thấy dãy tăng và bị chặn dưới bởi 2. Vậy nlimU 2.

Ví dụ 7: Tìm giới hạn của dãy:

1

*n 1 n

n

U 3

.1 3U U ; n2 U

A. 2. B. 1 3 .

2

C. 3. D. 3.2


ĐÁP ÁN C

Ta có: *nU 0, n .

Theo bất đẳng thức Cô‐si, ta có: *n 1 n

n

1 3U U 3, n .2 U

Vậy nU là dãy bị chặn dưới.


Trang 317

Vì

22 n

n n n 1 n nn n

U1 3 1U 3 U 3 U U U2 U 2 U

*n n n

1 U U U , n .2

Dãy đã cho là giảm. Vậy dãy có giới hạn. Đặt n 1 nlimU limU a.

Ta có:

n n

n

1 3lim U lim U2 U

21 3a a a 3 a 3.2 a

3. Bài tập trắc nghệm

Câu 1: Tính giới hạn:

2

1 3 5 ... 2n 1lim .

3n 4

A. 0. B. 1.3 C.

2.3 D. 1.

Lời giải

ĐÁP ÁN B

Ta có: 21 3 5 ... 2n 1 n 1 .

Vậy:

2

2 2

1 3 5 ... 2n 1 n 1lim lim

3n 4 3n 4

2 2

2

2

2 11n 2n 1 1n nlim lim .

4 33n 4 3n


1 1 1lim ... .1.2 2.3 n n 1

A. 0. B. 1.

C. 3.2 D. Không có giới hạn.

Lời giải

ĐÁP ÁN B

Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1lim ... lim 1 ...1.2 2.3 2 2 3 n n 1n n 1

1lim 1 1.n 1


1 1 1lim ... .1.3 3.5 n 2n 1 2n 1

A. 1. B. 0. C. 1.2 D. 2.


Trang 318

Lời giải

ĐÁP ÁN C.

Ta có:

1 1 1lim ...1.3 3.5 n 2n 1 2n 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1lim 1 ... lim 1 .2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 2


1 1 1lim ... .1.3 2.4 n n 2

A. 3.4 B. 1. C. 0. D.

2.3

Lời giải

ĐÁP ÁN A

Ta có:

1 1 1...1.3 2.4 n n 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ...2 3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n 2

1 1 1 112 2 n 1 n 2

Vậy

1 1 1 3lim ... .1.3 2.4 4n n 2


1 1 1lim ... .1.4 2.5 n n 3

A. 11 .18

B. 2. C. 1. D. 3.2

Lời giải

ĐÁP ÁN A

Ta có:

1 1 1...1.4 2.5 n n 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...3 1 4 2 5 3 6 4 7 n 3 n n 2 n 1 n 1 n 2 n n 3

1 1 1 1 1 113 2 3 n 1 n 2 n 3

vậy:

1 1 1 11lim ... .

1.4 2.5 18n n 3

Câu 6: Cho dãy nu với n 21 2 3 ... nu .

n 1

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. nlim u 0. B. n1lim u .2


Trang 319

C. nlim u 1. D. nlim u không tồn tại.

Lời giải

ĐÁP ÁN B

Dãy số 1, 2, 3, …, n là cấp số cộng có số hạng đầu là 1u 1 số hạng cuối cùng nu n , công sai

d 1 .

Khi đó 1

nn u n n n 1

S 1 2 3 ... n .2 2

Viết lại:

n 2

n n 1u

2 n 1

2

n 2 22

1n 1n n 1 n 1lim u lim lim lim .222 n 1 n 2

n

Câu 7: Tìm giới hạn của dãy: 1

2*n

n 1

1U2 .

U1U ; n2 2

A. 2. B. 1.

C. 2. D. Không có giới hạn.

Lời giải

ĐÁP ÁN B

Ta có: 1 2 31 5 57U ; U ; U ;...2 8 64

Ta chứng minh: *nU 1 n (bằng phương pháp quy nạp). Vậy dãy bị chặn trên.

Ta chứng minh nU là dãy tăng. Thật vậy:

Ta có: 2n

n 1 n nU1U U U

2 2

22

n n nU 2U 1 0 U 1 0 luôn đúng *n , vì nU 1.

Vậy dãy có giới hạn. Đặt n n 1a limU limU .

Ta có:

2 22n

n 1U1 1 alim U lim a 2a 1 a

2 2 2 2

2a 2a 1 0 a 1 .

Câu 8: Tìm giới hạn của dãy:

12

*nn 1

n

U 5

.2 UU ; n

2U

A. 1. B. 2.


Trang 320

C. 3. D. Không có giới hạn.

Lời giải

ĐÁP ÁN B

Ta có: n 1 nn

1 1U U 2U 2

(theo bất đẳng thức Cô‐si với nU 0 ). Vậy nU là dãy bị chặn dưới.

Dấu “=” không xảy ra, nên *nU 2, n .

Lại có:

2n 1 n

2 2n n n

U 2 U 1 1U 22U U

. Vì 2n nU 2 U 2

*n 1 n2 2

n n

1 1 1 1 1 1 1 U U , n .2 2 2 2U U

Vậy dãy giảm, khi đó nU có giới hạn. Đặt n 1 nlimU limU a a 0 .

Ta có:

2 2

2 2nn 1

n

2 U 2 alim U lim a 2a 2 a2U 2a

2a 2 a 2 (vì a 0 ).

Câu 9: Tìm giới hạn của dãy:

1

*n 1 n

U 2

U 2.U ; n

A. 2. B. 1 2.

C. 1 7 .

2

D. Không có giới hạn.

Lời giải

ĐÁP ÁN A

Ta có: 1 2U 2; U 2 2 ;…

Ta sẽ chứng minh nU 2 ; *n (bằng phương pháp quy nạp).

1n 1, U 2 2 . Giả sử kU 2, k 1.

Ta có: k 1 kU 2U 2.2 4 2.

Vậy nU 2, n . Lại có: *nU 0, n .

Lại có: nn 1

n n n

2UU 2 2 1U U U 2

dãy tăng.

Vậy dãy đã cho có giới hạn. Đặt n 1 nlim U lim U a a 0

Ta có: 2n 1 nlim U lim 2U a 2a a 2a a 2.


Trang 321

BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ


I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm 0x và hàm số y f x xác định trên K hoặc trên 0K \ {x }. Ta nói hàm số

y f x có giới hạn là số L khi x dần đến 0x nếu với dãy số nx bất kì,

n 0 n 0 nx K \ {x } vaø x x ,tacoù f(x ) L.

Kí hiệu: 0x x0lim f(x) L hay f(x) L khix x

n n 0 n 0 nx x0lim f(x) L (x ),x K \ {x },x x f(x ) L

2. Định lí về giới hạn hữu hạn:

Ta thừa nhận định lý sau:

x x x x0 0

x x0

x x0

x x0

x x x x0 0

a)Giaûi söû lim f(x) L vaø lim g(x) M.Khi ñoù:

* lim f(x) g(x) L M;

* lim f(x).g(x) L.M;

f(x) L* lim neáuM 0 .g(x) M

b)Neáuf(x) 0 vaø lim f(x) L thì :L 0 vaø lim f(x) L.

Daáu cu

0ûa f(x) ñöôïc xaùc ñònh treân khoaûng ñang tìm giôùi haïn, vôùi x x

3. Giới hạn một bên

* Định nghĩa:

Cho hàm số y f x xác định trên khoảng 0x ;b .

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y f x khi 0x x nếu với dãy số nx bất kì,

0 n n 0 nx x b vaø x x ta coù: f(x ) L.

Kí hiệu: x x0

lim f(x) L

n 0 n n 0 nx x0

lim f(x) L x ,x x b,x x f(x ) L

Cho hàm số y f x xác định trên khoảng 0a;x . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm

số y f x khi 0x x nếu với dãy số nx bất kì, n 0 n 0 na x x vaø x x ta coù: f(x ) L. Kí

hiệu: x x0

lim f(x) L.


Trang 322

n n 0 n 0 nx x0

lim f(x) L x ,a x x ,x x f(x ) L.

* Định lí

x x0 x x x x0 0

lim f(x) L lim f(x) lim f(x) L.

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

* Định nghĩa

Cho hàm số y f x xác định trên khoảng (a; ). Ta nói hàm số y f x có giới hạn là số L

khi khi x nếu với mọi dãy số nx bất kì, n n nx a vaø x ta coù: f(x ) L. .

Kí hiệu: xlim f(x) L hay f(x) L khix .

n n n nxlim f(x) L x ,x a,x f(x ) L.

Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ( ;a). Ta nói hàm số y f x có giới hạn là số L

khi khi x nếu với mọi dãy số nx bất kì, n n nx a vaø x ta coù: f(x ) L.

Kí hiệu: xlim f(x) L hay f(x) L khix .

n n n nxlim f(x) L x ,x a,x f(x ) L.

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực

Các định nghĩa về giới hạn ( hoặc ) của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa 1,2

hay 3 ở trên. Chẳng hạn, giới hạn của hàm số y f x khi x dần đến dương vô vực được định

nghĩa như sau:

* Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; .

Ta nói hàm số y f x có giới hạn là khi x nếu với mọi dãy số n(x ) bất kì,

n n nx a vaø x , ta coù: f(x ) .

Kí hiệu: xlim f(x) hay f(x) khi x

n n n nxlim f(x) (x ),x a,x f(x ) .

Nhận xét: x xlim f(x) lim f( x) .

2. Các giới hạn đặc biệt


Trang 323

x x

x

kx

kx

c1. lim c c lim 0 vôùi c laø haèng soáx

2. lim x

neáu k nguyeân döông3. lim x

0 neáu k nguyeân aâm

neáu k chaün4. lim x

neáu k leû

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

Nếu x x x x x x0 0 0lim f(x) L 0 vaø lim g(x) hoaëc thì lim f(x)g(x)

được tính theo quy tắc trong

bảng sau:

x x0lim f(x)

x x0lim g(x)

x x0lim f(x).g(x)

L 0

L 0

- +

b) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

x x0lim f(x)

x x0lim g(x)

Dấu của g(x) x x0

f(x)limg(x)

L Tuỳ ý 0

L 0

0

+

-

L<0 +

-

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp

0 0x x ,x x ,x ,x


Trang 324


Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn

1. Phương pháp

Nếu hàm số f x xác định trên 0K x thì 0x x0lim f x f x .


Ví dụ 1: Tính 2x 1lim x x 7 .


2x 1lim x x 7 1 1 7 9.

Ví dụ 2: Tính 4 5

4 6x 1

3x 2xlim5x 3x 1


4 5

4 6x 1

3x 2x 3 2 1lim .5 3 1 95x 3x 1

Ví dụ 3: Tính 3x 1lim 4x 2x 3

là:


ĐÁP ÁN A 3x 1lim 4x 2x 3 4 2 3 5.

Ví dụ 4: Tính 3

3x 1 2

x 1limx 3 2


3

33x 1 2

x 1 1 1lim 0.4 2x 3 2


2x 2

x 4x 3lim7x 9x 1


4 2

2x 2

x 4x 3 16 16 3 1lim .28 18 1 37x 9x 1



2lim 3 7 11x

x x

+ + là:

A. 37. B. 38. C. 39. D. 40.

Lời giải


Trang 325

Chọn A

( )2 2

2lim 3 7 11 3.2 7.2 11 37x

x x

+ + = + + =


3lim 4x

x

- là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn B

( )22

3lim 4 3 4 1x

x

- = - =


0

1lim sin

2xx

là:

A. 1sin .

2 B. .+¥ C. .-¥ D. 0.

Lời giải

Chọn D

Ta có 2

0

1 1lim sin 0.sin 0

2 2xx

= =


31

3lim

2x

x

x-

-+

là:

A. 1. B. 2.- C. 2. D. 3.

2-

Lời giải

Chọn B

( )( )

22

3 31

1 33lim 2

2 1 2x

x

x-

- --= =-

+ - +


3

41lim

2 1 3x

x x

x x

-- -

là:

A. 1. B. 2.- C. 0. D. 3.

2-

Lời giải

Chọn C

( )( ) ( )( )3 3

4 41

1 1lim 0

2 1 3 2.1 1 1 3x

x x

x x

- -= =

- - - -


1lim

3x

x

x x-

-+ -

là:

A. 3.

2- B. 2

.3

C. 3.

2 D. 2

.3

-


Trang 326

Lời giải

Chọn D

Ta có 41

1 11 2lim

1 1 3 33x

x

x x-

- --= =-

- -+ -


1

3 1lim

1x

x x

x-

+ --

là:

A. 3.

2- B. 1

.2

C. 1.

2- D. 3

.2

Lời giải

Chọn A

Ta có 2

1

3 1 3 1 1 3lim

1 1 1 2x

x x

x-

+ - + += =-

- - -


2

43

9lim

2 1 3x

x x

x x

-

- - là:

A. 1.

5 B. 5. C. 1

.5

D. 5.

Lời giải

Chọn C

( )( ) ( )( )2 2

4 43

9 9.3 3 1lim

2 1 3 2.3 1 3 3 5x

x x

x x

- -= =

- - - -


322

1lim

2x

x x

x x

- ++

là:

A. 1.

4 B. 1

.2

C. 1.

3 D. 1

.5

Lời giải

Chọn B

2 2

32 22

1 2 2 1 1lim

22 2 2.2x

x x

x x

- + - += =

+ +

Câu 10: Giá trị của giới hạn 3 2

2

3 4 3 2lim

1x

x x

x

- - -+

là:

A. 3.

2- B. 2

.3

- C. 0. D. .+¥

Lời giải

Chọn C

Ta có: 3 2 3

2

3 4 3 2 12 4 6 2 0lim 0

1 3 3x

x x

x

- - - - - -= = =

+


Trang 327

Dạng 2. giới hạn một bên

1. Phương pháp Ta cần nắm các tính chất sau

n 0 n n 0 nn nx x0

lim f(x) L x ,x x b, lim x x lim f(x ) L

n n 0 n 0 nn nx x0

x x0x x x x0 0

lim f(x) L x ,a x x , lim x x lim f(x ) L

lim f(x) lim f(x) L lim f(x) L


Ví dụ 1: Tínhx 3

x 3lim

2x 6



x 3 x 3

x 3 x 3 1lim lim .2x 6 22 x 3


Nhập vào màn hình x 3

2x 6

và ấn 5CALC 3 10 ta được kết quả

Ví dụ 2: Tính 3

2x 1

1 xlim3x x


3

2x 1

1 x 0lim 0.43x x

Ví dụ 3: Tính 3

2x 2

x 2x 3limx 2x


ĐÁP ÁN D

Tử số có giới hạn là 1 , mẫu số có giới hạn 0 và khi x 2 thì 2x 2x 0.

Do đó 3

2x 2

x 2x 3lim .x 2x


Trang 328

Ví dụ 4: Tính x 0

2x xlim5x x


x 0 x 0 x 0

x 2 x 1 2 x 12x x 1lim lim lim 1.15x x x 5 x 1 5 x 1

Ví dụ 5: Tính

2

3 2x 1

x 4x 3limx x


2

3 2 2 2x 1 x 1 x 1

x 1 x 3 x 1 x 3x 4x 3 0lim lim lim 0.1x x x x 1 x

Ví dụ 6: Cho hàm số 2x 1 vôùi x 1f x .1 x2x 2 vôùi x 1

Khi đó x 1lim f x

bằng bao nhiêu?


2

x 1 x 1

x 1lim f x lim1 x

vì tử số có giới hạn là 2, mẫu số có giới hạn 0 và 1 x 0 với x 1.



15lim

2x

x

x+

--

là:

A. .-¥ B. .+¥ C. 15.

2- D. 1.

Lời giải

Chọn A

. Vì ( )

( )2

2

2

lim 15 13 0 15lim .

2lim 2 0 & 2 0, 2x

x

x

x x

xx x x

+

+

+

ìï - =- <ï -ï ¾¾ =-¥íï -- = - > " >ïïî


2lim

2x

x

x+

+

- là:

A. .-¥ B. .+¥

C. 15.

2- D. Không xác định.

Lời giải

Chọn B


Trang 329

2

2

2

lim 2 2 0 2lim .

2lim 2 0 & 2 0, 2

x

x

x

x x

xx x x

+

+

+

ìï + = >ï +ïï ¾¾ =+¥íï -- = - > " >ïïïî

Câu 3: Kết quả của giới hạn ( )2

3 6lim

2x

x

x+ -

+

+ là:

A. .-¥ B. 3.

C. .+¥ D. Không xác định.

Lời giải

Chọn B

Ta có 2 2x x+ = + với mọi 2,x >- do đó :

( ) ( ) ( )

( )( )2 2 2 2

3 6 3 2 3 2lim lim lim lim 3 3

2 2 2x x x x

x x x

x x x+ + + + - - - -

+ + += = = =

+ + +


2lim

2 5 2x

x

x x-

-- +

là:

A. .-¥ B. .+¥ C. 1.

3- D. 1

.3

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )( )22 2 2

2 2 1 1lim lim lim .

2 1 2 1 2 32 5 2x x x

x x

x x xx x- - -

- -= = =-

- - -- +

Câu 5: Kết quả của giới hạn ( )( )

2

23

13 30lim

3 5x

x x

x x+-

+ +

+ + là:

A. 2.- B. 2. C. 0. D. 2.

15

Lời giải

Chọn C

Ta có 3 0x+ > với mọi 3,x >- nên:

( )( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )

2

2 22 23 3 3

3 10 3. 10 3 3 3 713 30lim lim lim 0

53 5 3 5 3 5x x x

x x x xx x

xx x x x+ + +- - -

+ + + + - + - ++ += = = =

++ + + + - +.

Câu 6: Cho hàm số

( )2

21

1

3 1 1

.

xx

xf x

x x

<-=

ìïïïïíïïï + ³ïî

víi

víi Khi đó ( )1

limx

f x+

là:

A. .+¥ B. 2. C. 4. D. .-¥

Lời giải

Chọn B


Trang 330

( ) 2 2

1 1lim lim 3 1 3.1 1 2x x

f x x+ +

= + = + =

Câu 7: Cho hàm số ( )2

.1 1

12 2 1

xx

f x xx x

+<

= -

³

ìïïïïíïïïïî -

víi

víi

Khi đó ( )1

limx

f x-

là:

A. .+¥ B. 1.- C. 0. D. 1.

Lời giải

Chọn A

( )2

1 1

1lim lim

1x x

xf x

x- -

+= =+¥

- vì

( )( ) ( )

2

1

1

lim 1 2.

li 0 0 1m 1 & 1x

x

x

x x x

-

-

" <

ìï + =ïïíï - = - >ïïî


.3 21 2

x xf xx x

-ìïï ³=

- <íïïî

víi

víi Khi đó ( )

2limxf x

là:

A. 1.- B. 0. C. 1. D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2

2 2

22 2

2 2

lim lim 3 1lim lim 1 lim 1.

lim lim 1 1x x

xx x

x x

f x xf x f x f x

f x x

+ +

+ -

- -

ìï = - =ïï = = =íï = - =ïïî

Câu 9: Cho hàm số ( ) 2 3 2

1 2.

x xf x

ax x

- + ³=

-

ìïïíï <ïî

víi

víi Tìm a để tồn tại ( )

2lim .x

f x

A. 1.a = B. 2.a = C. 3.a = D. 4.a =

Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) ( )

( ) ( )2 2

2 2

lim lim 1 2 1.

lim lim 2 3 3

x x

x x

f x ax a

f x x

- -

+ +

ìï = - = -ïïíï = - + =ïïî

Khi đó ( )2

limx

f x

tồn tại ( ) ( )2 2

lim lim 2 1 3 2.x x

f x f x a a- +

= - = =

Câu 10: Cho hàm số ( )

2

2

2 3 3

1 3

2

.

3 3

x x x

f x x

x x

- + >= =

- <

ìïïïïíïïïïî

víi

víi

víi

Khẳng định nào dưới đây sai?

A. ( )3

lim 6.x

f x+

= B. Không tồn tại ( )3

lim .x

f x

C. ( )3

lim 6.x

f x-

= D. ( )3

lim 15.x

f x-

=-

Lời giải

Chọn C


Trang 331

Ta có ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2

3 3

2 3 3

3 3

lim lim 2 3 6lim lim

lim lim 3 2 15

+ +

+ -

- -

ìï = - + =ïïï ¾¾ ¹íï = - =-ïïïî

x x

x x

x x

f x x xf x f x

f x x

¾¾ không tồn tại giới hạn khi 3.x

Vậy chỉ có khẳng định C sai.

Dạng 3. Giới hạn tại vô cực

1. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng


Câu 11: Giá trị của giới hạn ( )3lim 1x

x x-¥

- + là:

A. 1. B. .-¥ C. 0. D. .+¥

Lời giải

Chọn D

( )3 32 3

1 1lim 1 lim 1

x xx x x

x x-¥ -¥

æ ö÷ç- + = - + =+¥÷ç ÷çè ø vì

3

2 3

lim

.1 1lim 1 1 0

x

x

x

x x

-¥

-¥

ìï =-¥ïïïí æ öï ÷ç - + =- <÷ï ç ÷ï çè øïî

Giải nhanh: ( )3 31 1x x x- + - ¾¾+¥ khi .x -¥

Câu 12: Giá trị của giới hạn ( )3 2lim 2 3x

x x x-¥

+ + là:

A. 0. B. .+¥ C. 1. D. -¥ .

Lời giải

Chọn B

Ta có

( ) ( )3 2 3 2 32

2 3lim 2 3 lim 2 3 lim 1 .

x x xx x x x x x x

x x-¥ -¥ -¥

æ ö÷ç+ + = - + - = - + - =+¥÷ç ÷çè ø

Giải nhanh: 3 322 3x x x x+ + +¥ khi .x -¥


x x+¥

+ + là:

A. 0. B. .+¥ C. 2 1.- D. -¥ .

Lời giải

Chọn B

Giải nhanh: 2 2: 1 2x x x x x x+¥ + + + = +¥ .

Đặt x làm nhân tử chung:


Trang 332

( )22

1lim 1 lim 1 1

x xx x x

x+¥ +¥

æ ö÷ç ÷ç+ + = + + =+¥÷ç ÷÷çè ø vì

22

lim

.1lim 1 1 2 0

x

x

x

x+

+¥

ì =+¥ïïïïíï + + = >ïïïî

Câu 14: Giá trị của giới hạn ( )3 3 2lim 3 1 2x

x x+¥

- + + là:

A. 3 3 1.+ B. .+¥ C. 3 3 1.- D. -¥ .

Lời giải

Chọn B

Giải nhanh: ( )3 33 2 3 2 3: 3 1 2 3 3 1 .x x x x x x+¥ - + + + = + +¥

Đặt x làm nhân tử chung:

( )3 3 2 33 2

1 2lim 3 1 2 lim 3 1

x xx x x

x x+¥ +¥

æ ö÷ç ÷ç- + + = - + + =+¥÷ç ÷÷çè ø vì

333 2

lim

.1 2lim 3 1 3 1 0

x

x

x

x x

+¥

+¥

ì =+¥ïïïïï æ öí ÷çï ÷ç - + + = + >ï ÷çï ÷÷çè øïïî

Câu 15: Giá trị của giới hạn ( )2lim 4 7 2x

x x x x+¥

+ + là:

A. 4. B. .-¥ C. 6. D. +¥ .

Lời giải

Chọn D

Đặt 2x làm nhân tử chung:

( )2 2 7lim 4 7 2 lim 4 2

x xx x x x x

x+¥ +¥

æ ö÷ç ÷ç+ + = + + =+¥÷ç ÷÷çè ø vì

2lim

.7lim 4 2 4 0

x

x

x

x

+¥

+¥

ìï =+¥ïïïï æ öí ÷çï ÷ç + + = >ï ÷çï ÷÷çï è øïî

Giải nhanh: ( ) ( )2 2 2: 4 7 2 4 2 4 .x x x x x x x x x+¥ + + + = +¥

Dạng 4. Dạng vô định 0

0

1. Phương pháp

Nhận dạng vô định 00

: x x x x x x0 0 0

u(x)lim khi lim u(x) lim u(x) 0.v(x)

Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước

0x x x x x x x xo o o o0

(x x )A(x)u(x) A(x) A(x)lim lim lim vaø tính lim .v(x) (x x )B(x) B(x) B(x)

Nếu phương trình f x 0 có nghiệm là 0x thì 0f x x x .g x

Đặc biệt:


Trang 333

Nếu tam thức bậc hai

21 2

1 2

f(x) ax bx c,maø f(x) 0 coù hai nghieäm phaân bieät x ,x

thì f(x) ñöôïc phaân tích thaønhf(x) a x - x x - x

Phương trình bậc 3: 3 2ax bx cx d 0 (a 0)

1a b c d 0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1, ñeå phaân tích thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner

1a b c d 0 thì pt coù moät nghieäm laø x 1, ñeå phaân tích thaønh nhaân töû ta duøng pheùp chia ña thöùc hoaëc duøng sô ñoà Hooc-ner

Nếu u x và v x có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó

phân tích chúng thành tích để giản ước.

33 32 2

33 32 2

A B löôïng lieân hieäp laø: A B.



A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B .

A B löôïng lieân hieäp laø: A B A B .


Ví dụ 1: Tính 2

x 1

x 3x 2limx 1



2

x 1 x 1 x

x 1 x 2x 3x 2lim lim lim x 2 1.x 1 x 1


Nhập vào màn hình 2X 3X 2

X 1

ấn 10CALC 1 10 ta được kết quả

Ví dụ 2: Tính 2

2x 1

2x 3x 1L lim .1 x



2

2x 1 x 1 x 1

2x 1 x 1 2x 12x 3x 1 1lim lim lim .21 x 1 x 1 x1 x


Trang 334


Nhập vào màn hình 2

22X 3X 1

1 X


Ví dụ 3: Tính 2

3x 1

x 3x 2limx 1



2

3 22x 1 x 1 x 1

x 1 x 2x 3x 2 x 2 1lim lim lim .3x 1 x x 1x 1 x x 1



3x 3x 2

x 1



t a

t alimt a


4 4

3 2 2 3 3t a t a

t alim lim t t a ta a 4a .t a

Ví dụ 5: Tính 4

3y 1

y 1limy 1



3 24 3 2

3 22y 1 y 1 y 1

y 1 y y y 1y 1 y y y 1 4lim lim lim .3y 1 y y 1y 1 y y 1



3Y 1Y 1



Trang 335

Ví dụ 6: Tính 2

x 2

4 xlimx 7 3



2

x 2

4 xlimx 7 3

2

x 2 x 2

x 2

x 4 x 7 3 x 2 x 2 x 7 3lim lim

x 7 9x 7 3 x 7 3

lim x 2 x 7 3 24.


Nhập vào màn hình 24 X

X 7 3

ấn 5CALC 1 10 ta được kết quả 24.

Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 24 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau:

Nhập

2

x 2

x 2

d 4 Xdx

d X 7 3dx

rồi ấn phím ta được kết quả chính xác 24.

Ví dụ 7: Tính x 0

1 x 1limx



x 0 x 0 x 0

1 x 1 1 x 1 1 1lim lim lim .x 21 x 1x 1 x 1



Trang 336

Nhập vào màn hình 1 x 1

x

ấn 5CALC 0 10 ta được kết quả 1 .2

Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 12

ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau:

Nhập

x 0

x 0

d 1 X 1dx

d Xdx

rồi ấn phím ta được kết quả chính xác 10,5 .2

Ví dụ 8: Tính 2

x 4

x 6x 8limx 2



2

x 4 x 4 x 4

x 2 x 4 x 2x 6x 8lim lim lim x 2 x 2 2 4 8.x 4x 2


Nhập vào màn hình 2x 6x 8

x 2

ấn 5CALC 4 10 ta được kết quả 8.

Lưu ý: Để ra kết quả chính xác 8 ta có thể tính theo quy tắc Lô-pi-tan như sau:

Nhập

2

x 4

x 4

d X 6X 8dx

d X 2dx

rồi ấn phím ta được kết quả chính xác 8.


Trang 337


x 2 2

x 4 2lim4 2x 8

b



3 2

x 2 2

x 4 2E lim4 2x 8

Nhân tử và mẫu hai lượng liên hợp:

23 32 2 2x 4 2 x 4 4 4 2x 8

23 3 32 2 2 2

2x 2 3 32 2 2 2

x 4 2 x 4 2 x 4 4 4 2x 8

E lim

4 2x 8 4 2x 8 x 4 2 x 4 4

2 2

2x 2 3 32 2 2

2 2

2x 2 3 32 2 2

2

2x 2 3 32 2

x 4 8 4 2x 8lim

16 2x 8 x 4 2 x 4 4

x 4 4 2x 8lim

2 x 4 x 4 2 x 4 4

4 2x 8 8 1lim .24 3

2 x 4 2 x 4 4


Nhập vào màn hình 3 2

2

x 4 2

4 2x 8


1 .3

Lời bình: Nếu ta dùng quy tắc Lô-pi-tan

Nhập

3 2

x 2

2

x 2

d x 4 2dxd 4 2x 8dx

rồi ấn phím ta được kết quả 10, 3 .3


Trang 338


2x 2

x 12 2limx 4



4 2

2x 2

x 12 2E limx 4

4 42 2

x 2 42 2

x 12 2 x 12 2lim

x 4 x 12 2

2

x 2 42 2

x 12 4limx 4 x 12 2

(vẫn còn dạng vô định 00

)

2 2

x 2 42 2 2

2

x 2 42 2 2

x 2 4 2 2

x 12 4 x 12 4lim

x 4 x 12 2 x 12 4

x 12 16limx 4 x 12 2 x 12 4

1 1lim .32x 12 2 x 12 4


Ta dùng quy tắc Lô-pi-tan

Nhập

4 2

x 2

2

x 2

d x 12 2dx

d x 4dx

rồi ấn phím ta được kết quả

10,03125 .32

Ví dụ 11: Tính 6

2x 1

x 1limx 1



Trang 339


6

2x 1

x 1E limx 1

66 62

6x 1 62 2

x 1 x x 1lim

x 1 x x 1

6x 1 62 2

x 1limx 1 x x 1

(Vẫn dạng vô định 00

)

6x 1 62

6x 1 62

x 1 x 1lim

x 1 x 1 x x 1 x 1

1 1lim .12x 1 x x 1 x 1


Ta dùng quy tắc Lô-pi-tan

Nhập

6

x 1

2

x 1

d X 1dxd x 1dx

rồi ấn phím ta được kết quả 10,08 3 .

12

Để chuyển 10,08 312

ta bấm như sau 0.08Qs3=



22

8lim

4x

x

x

--

là:

A. 0. B. .+¥

C. 3. D. Không xác định.

Lời giải


Trang 340

Chọn C

Ta có 3 2 2

22 2 2

8 ( 2)( 2 4) 2 4 12lim lim lim 3

( 2)( 2) 2 44x x x

x x x x x x

x x xx

- - + + + += = = =

- + +-


31

1lim

1x

x

x-

++

là:

A. 3.

5- B. 3

.5

C. 5.

3- D. 5

.3

Lời giải

Chọn D

( )( )( )( )

4 3 25 4 3 2

3 221 1 1

1 11 1 5lim lim lim .

31 11 1x x x

x x x x xx x x x x

x x xx x x- - -

+ - + - ++ - + - += = =

+ - ++ - +

Câu 3: Biết rằng3

23

2 6 3lim 3 .3x

x a bx-

+= +

- Tính 2 2.a b+

A. 10. B. 25. C. 5. D. 13.

Lời giải

Chọn A

Ta có ( )( )( )( )

( )2 23

23 3 3

2 3 3 3 2 3 32 3 3lim lim lim

3 33 3x x x

x x x x xx

x xx x- - -

+ - + - ++= =

- -- +

( ) ( )( )

2

2 22 3 3. 3 3 318

3 3 1012 33 3

aa b

b

é ù- - - +ê ú ì =ïê úë û ï= = = ¾¾ + =íï =- - ïî.


23

6lim

3x

x x

x x-

- - ++

là:

A. 1.

3 B. 2

.3

C. 5.

3 D. 3

.5

Lời giải

Chọn C

( )( )( )

2

23 3 3

3 26 2 3 2 5lim lim lim .

3 3 33x x x

x xx x x

x x xx x- - -

+ -- - + - - -= = = =

+ -+


3lim

27x

x

x-

-

- là:

A. 1.

3 B. 0. C. 5

.3

D. 3.

5

Lời giải

Chọn B


Trang 341

Ta có 3 0x- > với mọi 3,x < do đó:

( )( )3 23 3

3 3lim lim

27 3 9 3x x

x x

x x x x- -

- -=

- - + +

2 23

3 3 3lim 0.

9 3 9 3.3 3x

x

x x-

- -= = =

+ + + +

Câu 6: Giá trị của giới hạn ( )2 21 217

0

1 2limx

x x

x

p p

+ - - là:

A. 212

.7

p- B.

212.

9

p- C.

212.

5

p- D.

211 2.

7

p-

Lời giải

Chọn A

Ta có

( ) ( )( )2 21 72 21 217 21

0 0 0

1 2 11 2 2lim lim lim .

7x x x

x xx xx

x x

pp p p

+ - -+ - -= + =-


20limx

x x x

x+

+ - là:

A. 0. B. .-¥ C. 1. D. .+¥

Lời giải

Chọn D

Ta có ( )( )

22

2 22 20 0 0

1lim lim limx x x

x x xx x x

x x x xx x x x+ + +

+ -+ -= = =+¥

+ ++ +

vì 1 0> ; ( )2

0lim 0x

x x x+

+ + = và 2 0x x x+ + > với mọi 0.x >


31

1lim

4 4 2x

x

x

-

+ - là:

A. 1.- B. 0. C. 1. D. .+¥

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )( )

( )( )

2 333

31 1 3 2 3

( 1) 4 4 2 4 4 41

lim lim4 4 2 4 4 8 1x x

x x xx

x x x x

- + + + +-=

+ - + - + +

( )( )( )

2 33

1 3 2 3

4 4 2 4 4 412

lim 1.124 1x

x x

x x

+ + + += = =

+ +


Trang 342


0

2 1 8limx

x x

x

+ - - là:

A. 5.

6 B. 13

.12

C. 11.

12 D. 13

.12

-

Lời giải

Chọn B

Ta có 3 3

0 0

2 1 8 2 1 2 2 8lim limx x

x x x x

x x x

æ ö+ - - + - - - ÷ç ÷ç= + ÷ç ÷÷çè ø

( )20 3 3

2 1 1 13lim 1 .

12 121 1 4 2 8 8x x x x

æ ö÷ç ÷ç ÷ç= + = + =÷ç ÷ç ÷+ +ç + - + - ÷è ø

Câu 10: Biết rằng 0, 5b a b> + = và 3

0

1 1lim 2x

ax bx

x

+ - -= . Khẳng định nào dưới đây sai?

A. 1 3.a< < B. 1.b> C. 2 2 10.a b+ > D. 0.a b- <

Lời giải

Chọn A

Ta có 3 3

0 0

1 1 1 1 1 1lim limx x

ax bx ax bx

x x x

æ ö+ - - + - - - ÷ç ÷ç= + ÷ç ÷è ø

( )( ) ( )

( )( ) ( )

0 2 33

0 2 33

lim1 11 1 1

lim 2.3 21 11 1 1

x

x

ax bx

x xx x x

a b a b

xx x

æ ö÷ç= + ÷ç ÷ç ÷+ -ç ÷+ + + +ç ÷÷çè øæ ö÷ç= + = + =÷ç ÷ç ÷+ -ç ÷+ + + +ç ÷÷çè ø

Vậy ta được: ì + =ïï ì + =ïï ï = =í íï ï + =+ = ïï îïî

55

3, 22 3 122

3 2

a ba b

a ba ba b

Dạng 5. Dạng vô định ¥¥

1. Phương pháp

Nhận biết dạng vô định

x x x x x x0 0 0

x x x x x0 0

u(x)lim khi lim u(x) , lim v(x) .v(x)u(x)lim khi lim u(x) , lim v(x) .v(x)

Chia tử và mẫu cho nx với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu ( Hoặc phân tích thành tích chứa

nhân tử nx rồi giản ước)


Trang 343

Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu).

Cách tính giới hạn dạng này hoàn toàn tương tự giới hạn dãy số.


Ví dụ 1: Tính 4 3 2

4x

2x x 2x 3limx 2x



4 3 2 2 4

4x x3

1 2 322x x 2x 3 x x xlim lim 1.

1x 2x 2x


4 3 2 4

4 42x x 2x 3 2x 1.

x 2x 2x


Nhập vào màn hình 4 3 2

42x x 2x 3

x 2x

ấn 15CALC 10 ta được kết quả 1.

Lời bình: “Bậc tử bằng bậc mẫu” nên kết quả 2 1.2


4x

3x 2xlim5x 3x 2



4 5

4x x3 4

3 4x x

3x 2x 3 2xlim lim3 25x 3x 2 5x x

3 2lim 5 5 0; lim 3 2x .x x

Do đó: 4 5

4x

3x 2xlim .5x 3x 2



Trang 344

4 5 5

4 43x 2x 2x 2 x .

55x 3x 2 5x



43x 2x

5x 3x 2

ấn 15CALC 10 ta được kết quả .

Lời bình: Bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên kết quả là .


4 6x

3x 2xlim5x 3x 2



4 5 2

4 6x x2 6

3 23x 2x 0xxlim lim 0.

5 2 35x 3x 2 3x x


4 5 5

4 6 63x 2x 2x 2 1. 0.

3 x5x 3x 2 3x



4 63x 2x

5x 3x 2


Lời bình: “Bậc tử bé hơn bậc mẫu” nên kết quả là 0.


5 4x

3x 4x 2lim9x 5x 4



4 5 5

5 4x x5

3 243x 4x 2 2x xlim lim .

5 4 39x 5x 4 9x x


Trang 345


4 5 5

5 4 53x 4x 2 4x 4 2 .

9 39x 5x 4 9x



5 43x 4x 29x 5x 4


Ví dụ 5: Tính 2

x 2

x 2x 3xL lim .4x 1 x 2



2

x x x2

2 2

2 2x 1 3x 1 3x 2x 3x 2x xlim lim lim .31 1 24x 1 x 2 x 4 x 2 4 1

xx x



2

x 2x 3x

4x 1 x 2

ấn 15CALC 10 ta được kết quả

2 .3

Ví dụ 6: Tính 2

x

4x 1 x 5lim2x 7



2 2 2

x x

1 1 54x4x 1 x 5 2 0x xlim lim 1.

72x 7 2 02x


Nhập vào màn hình 24x 1 x 5

2x 7



Trang 346

Ví dụ 7: Tính 3x

xlim x 5x 1



2

2

3 3x x x3

51x x 5 xxlim x 5 lim lim 1.1x 1 x 1 1x


Nhập vào màn hình 3xx 5

x 1


Ví dụ 8: Tính

3 942

100x

x 1 1 2xlim

2x 3


3 9423 942

2

100x x 100100

9436 94

2

x 100100

3 94

3 942

x100

1 1x 1 x 2x 1 1 2x xxE lim lim32x 3 x 2

x

1 1x 1 x 2xxlim

3x 2x

1 11 2 1 . 2xxlim3 22

x

932 .



2

2 5 3lim

6 3x

x x

x x-¥

+ -+ +

là:


Trang 347

A. 2.- B. .+¥ C. 3. D. 2 .

Lời giải

Chọn D

Ta có 2 2

2

2

5 322 5 3

lim lim 26 36 3 1

x x

x x x xx x

x x

-¥ +¥

+ -+ -= =

+ + + +.

Giải nhanh : khi x -¥ thì : 2 2

2 2

2 5 3 22.

6 3

x x x

x x x

+ -=

+ +


2

2 5 3lim

6 3x

x x

x x-¥

+ -+ +

là:

A. 2.- B. .+¥ C. .-¥ D. 2 .

Lời giải

Chọn C

Ta có: 3 2 3

2

2

5 322 5 3

lim lim . .6 36 3 1

x x

x x x xxx x

x x

-¥ -¥

+ -+ -= =-¥

+ + + +

Giải nhanh : khi x -¥ thì : 3 2 3

2 2

2 5 3 22 .

6 3

x x xx

x x x

+ -= -¥

+ +


6 5

2 7 11lim

3 2 5x

x x

x x-¥

- ++ -

là:

A. 2.- B. .+¥ C. 0. D. .-¥

Lời giải

Chọn C

Ta có: 3 2 3 4 6

6 5

6

2 7 112 7 11 0

lim lim 0.2 5 33 2 5 3

x x

x x x x xx x

x x

-¥ -¥

- +- += = =

+ - + -

Giải nhanh : khi x -¥ thì : 3 2 3

6 5 6 3

2 7 11 2 2 1. 0.

33 2 5 3

x x x

x x x x

- +=

+ -


2 3lim

1x

x

x x-¥

-

+ - là:

A. 2.- B. .+¥ C. 3. D. 1- .

Lời giải

Chọn D

. Khi x -¥ thì 2 2 2 2 01x x x x x x x x x=- ¾¾ + - - =- - =- =/


Trang 348

¾¾ chia cả tử và mẫu cho x , ta được 2

2

322 3

lim lim 111 1 1

x x

x x

x xx

-¥ -¥

--= =-

+ - - + -.


2

2 3

1

a x

x x

- -

+ - có giới hạn là +¥ khi x +¥ (với a là tham số). Tính giá trị nhỏ

nhất của 2 2 4.P a a= - +

A. min 1.P = B. min 3.P = C. min 4.P = D. min 5.P =

Lời giải

Chọn B

Khi x +¥ thì 2 2 21 0x x x x x x x x= ¾¾ + - - = - =

¾¾ Nhân lượng liên hợp:

Ta có ( )

( )( )( )2 222

2 3 3 1lim lim 2 3 1 lim 2 1 1 .

1x x x

a xa x x x x a

x xx x+¥ +¥ +¥

æ ö- - æ ö ÷ç÷ç ÷ç= - - + + = - - + +÷ç ÷ç÷ç ÷÷è øçè ø+ -

Vì ( )

2

22

lim2 3

lim1lim 1 1 4 0 1

x

x

x

xa x

x xx

+¥

+¥

+¥

ìï =+¥ïï - -ïï =+¥æ öí ÷çï ÷ç + + = > + -ï ÷çï ÷÷çï è øïî

3lim 2 2 0 2

xa a a

x+¥

æ ö÷ç - - = - > <÷ç ÷çè ø.

Giải nhanh : ta có 2

2 3

1

xx

x x

-+¥¾¾

+ -

( )( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 1 2 . 2 2 2a x x x a x x x a x a= - - + + - + = - +¥ < .

Khi đó ( )2

in2

m3, 32 4 1 3 1 2 3.P a a a P a P³ = = - + = - + = < =


lim1x

x x

x-¥

- ++

là:

A. 2.- B. 1.- C. 2.- D. .+¥

Lời giải

Chọn C

Giải nhanh: khi 2 24 1 4 2

2.1

x x x xx

x x x

- + --¥¾¾ = =-

+

Cụ thể: 2 2

1 14

4 1 4lim lim 2.

11 11x x

x x x xx

x

-¥ -¥

- - +- + -

= = =-+ +


2

4 2 1 2lim

9 3 2x

x x x

x x x+¥

- + + -

- + là:


Trang 349

A. 1.

5- B. .+¥ C. .-¥ D. 1

5.

Lời giải

Chọn D

Giải nhanh : khi

2 2

2 2

4 2 1 2 4 2 1.

3 2 59 3 2 9 2

x x x x x x xx

x xx x x x x

- + + - - -+¥¾¾ = =

+- + +

Cụ thể : 2 2

2

2 1 24 1

4 2 1 2 1lim lim .

539 3 2 9 2x x

x x x x xx

x x xx

+¥ +¥

- + + -- + + -

= =- + - +


2

4 2 1 2lim 0

3x

x x xL

ax x bx-¥

- + + -= >

- + là hữu hạn (với ,a b là tham số). Khẳng định

nào dưới đây đúng.

A. 0.a³ B. 3L

a b=-

+ C. 3

Lb a

=-

D. 0.b>

Lời giải

Chọn B

Ta phải có 2 3 0ax x- > trên ( ) 0.; aa-¥ ³

Ta có 2 24 2 1 2 4 3 0.x x x x x x x-¥¾¾ - + + - =- =/-

Như vậy xem như “tử” là một đa thức bậc 1. Khi đó 2

2

4 2 1 2lim 0

3x

x x x

ax x bx-¥

- + + ->

- + khi và

chỉ khi 2 3ax x bx- + là đa thức bậc 1.

Ta có ( )2 2 0.3ax x bx ax bx a b x a b- + + = - + ¾ - + =/¾

Khi đó ( )

2

2

4 2 1 2 3 30 0 .

3

x x x xL b a b a

b aa b xax x bx

- + + - -= = > - > >

-- +- +


2

2 1lim

2 1x

x x

x-¥

+ +

+ là:

A. 2.

2 B. 0. C. 2

.2

- D. 1.

Lời giải

Chọn C

Giải nhanh: 33 2 33

2 2

2 1 1.

2 22 1 2

x x x xx

xx x

+ +-¥¾¾ = =-

-+


Trang 350

Cụ thể: 3

3 23 3

2

2

2 11

2 1 1lim lim .

1 22 1 2x x

x x x x

xx

-¥ -¥

+ ++ +

= =-+ - +

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của a để ( )2lim 2 1x

x ax-¥

+ + là .+¥

A. 2.a> B. 2.a < C. 2.a > D. 2.a <

Lời giải

Chọn B

Giải nhanh: 2 22 1 2x x ax x x-¥¾¾ + + +

( )2 2 2 0 2.x ax a x a a=- + = - +¥ - < <

Cụ thể: vì limx

x-¥

=-¥ nên ( )22

1lim 2 1 lim 2

x xx ax x a

x-¥ -¥

æ ö÷ç ÷ç+ + = - + + =+¥÷ç ÷÷çè ø

2

1lim 2 2 0 2.

xa a a

x-¥

æ ö÷ç ÷ç - + + = - < <÷ç ÷÷çè ø

Dạng 6. Dạng vô định ¥-¥ , 0.¥

1. Phương pháp

Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp

Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức.

Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định ;0. hoặc

chuyển về dạng vô định 0;0


Ví dụ 1: Tính xlim x 1 x 3


x x x

4x 1 x 3 xlim x 1 x 3 lim lim 0.x 1 x 3 1 31 1

x x

Ví dụ 2: Tính 2xlim x x 5 x


2 22

x x x2

2

x 5 x 5 5lim x x 5 x lim x lim .25x 5 x 1 1

x


Trang 351

Ví dụ 3: Tính 2xlim x x 5x


2x

E lim x x 5x

Nhân và chia liên hợp 2x x 5x

2 22 2

x x2

x x 5x x x 5x x x 5xE lim lim5x x 5x x x 1x

x

5xlim5x x 1x

(Vì x xlim x lim x

)

x

5 5 5lim .25 1 1 01 1

x

Ví dụ 4: Tínhx 0

1 1lim 1x x 1


x 0

1 1E lim 1x x 1

(Dạng vô định 0. )

x 0 x 0

1 x 1 1lim lim 1.x 1x x 1


1lim x 5 0.x


2x x

1 5lim x 5 lim 1 1.x x

Ví dụ 7: Tính 2xlim x x 2 x


2 22

x x x2

2

x 2 x 2 2lim x x 2 x lim x lim 122x 2 x 1 1

x

.

Ví dụ 8: Tính 2

x 0

x 1 x x 1limx


Trang 352


2 2

x 0 x 0 2

x 0 2

x 1 x x 1 x 1 x x 1lim limx x 1 x x 1

x 0lim 02x 1 x x 1

Ví dụ 9: Tính xlim x 5 x 7


x x x

x

x 5 x 7 12lim x 5 x 7 lim limx 5 x 7 x 5 x 7

120xlim 0.25 71 1

x x


2lim x 5x x5

.


2 22

x x x2 2

x

x x x 5xlim x 5x x lim limx 5x x x 5x x

5 5lim .251 1

x


1lim x 5 1x

.


2 2 2

2x x x x

5 5x . 1 x 1x 5 5x xlim lim lim lim 1 1.

x x x x


Câu 1: Giá trị của giới hạn ( )3 2lim 2x

x x-¥

- là:

A. 1. B. .+¥ C. 1.- D. -¥ .

Lời giải

Chọn D

Giải nhanh : 3 2 32 2 .x x x x-¥¾¾ - -¥


Trang 353

Cụ thể: ( )3 2 3 1lim 2 lim 2

x xx x x

x-¥ -¥

æ ö÷ç- = - =-¥÷ç ÷çè ø vì

3lim

.1lim 2 2 0

x

x

x

x

-¥

-¥

ìï =-¥ïïïí æ öï ÷ç - = >÷ï ç ÷ï çè øïî


1 1lim

2 4x x x-

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø- - là:

A. .-¥ B. .+¥ C. 0. D. 1.

Lời giải

Chọn A

Ta có 2 2 22 2 2

1 1 2 1 1lim lim lim

2 4 4 4x x x

x x

x x x x- - -

æ ö æ ö æ ö+ - +÷ ÷ ÷ç ç ç- = = =-¥÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø- - - -

Vì ( ) ( )2

2 2lim 1 3 0; lim 4 0x x

x x- -

+ = > - = và 2 4 0x - < với mọi ( )2;2 .x Î -

Câu 3: Biết rằng 4a b+ = và 31

lim1 1x

a b

x x

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø- - hữu hạn. Tính giới hạn 31

lim11x

b aL

xx

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø-- .

A. 1. B. 2. C. 1. D. 2.-

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )( )

2 2

3 3 21 1 1lim lim lim .

1 1 1 1 1x x x

a b a ax ax b a ax ax b

x x x x x x

æ ö + + - + + -÷ç - = =÷ç ÷çè ø- - - - + +

Khi đó 31

lim1 1x

a b

x x

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø- - hữu hạn 21 .1 .1 0 2 1.a a b a b + + - = - =-

Vậy ta có 31

4 1lim

2 1 3 1 1x

a b a a bL

a b b x x

ì ì+ = = æ öï ïï ï ÷ç =- - ÷í í ç ÷çï ï è ø- =- = - -ï ïî î

( )( )( )2

221 1

22lim lim 1

11 1x x

xx x

x xx x x

- ++ -=- =- =

+ +- + +.

Câu 4: Giá trị của giới hạn ( )2lim 1 2x

x x+¥

+ - là:

A. 0. B. .+¥ C. 2 1.- D. -¥ .

Lời giải

Chọn B

Ta có ( )22

1lim 1 2 lim 2 1

x xx x x

x+¥ +¥

æ ö÷ç ÷ç+ - = + - =+¥÷ç ÷÷çè ø

Vì 2

1lim ; lim 2 1 2 1 0.

x xx

x+¥ +¥

æ ö÷ç ÷ç=+¥ + - = - >÷ç ÷÷çè ø

Giải nhanh : ( )2 21 2 2 2 2 1 .x x x x x x x x+¥¾¾ + - - = - = - +¥


Trang 354


x x+¥

+ - là:

A. 0. B. .+¥ C. 1.

2 D. -¥ .

Lời giải

Chọn A

. 2 21 0x x x x x x x+¥¾¾ + - - = - = ¾¾ Nhân lượng liên hợp.

Giải nhanh: 2

2 2

1 1 11 0.

21x x x

xx x x x+¥¾¾ + - = =

+ + +

Cụ thể: ( )2

2

2

11 0

lim 1 lim lim 0.211 1 1

x x x

xx xx x

x

+¥ +¥ +¥+ - = = = =

+ + + +

Câu 6: Biết rằng ( )2lim 5 2 5 5 .

xx x x a b

-¥+ + = +

Tính 5 .S a b= +

A. 1.S = B. 1.S =- C. 5.S = D. 5.S =-

Lời giải

Chọn A

2 25 2 5 5 5 5 5 0x x x x x x x x-¥¾¾ + + + =- + =


Giải nhanh: 25 2 5x x x x-¥¾¾ + +

2 2

2 2 2 1.

2 5 55 2 5 5 5

x x x

xx x x x x= = =-

-+ + -

Cụ thể: Ta có ( )2

2

2lim 5 2 5 lim

5 2 5x x

xx x x

x x x-¥ -¥+ + =

+ +

12 2 1 1

lim 5 1.552 2 5 5 05 5

x

aS

bx

-¥

ìïï =-ï= = =- =- ¾¾ =-íï- ï =ï- + + î

Câu 7: Giá trị của giới hạn ( )2 2lim 3 4x

x x x x+¥

+ - + là:

A. 7.

2 B. 1

.2

- C. .+¥ D. .-¥

Lời giải

Chọn B

. Khi 2 2 2 23 4 0x x x x x x x+¥¾¾ + - + - =



Trang 355

Giải nhanh: 2 23 4x x x x x+¥¾¾ + - +

2 2 2 2

1.

2 23 4

x x x

xx x x x x x

- - -= = =-

+ + + +

Cụ thể: ( )2 2lim 3 4x

x x x x+¥

+ - + =

2 2

1 1lim lim .

23 43 4 1 1x x

x

x x x xx x

+¥ +¥

- -= =-

+ + + + + +

Câu 8: Giá trị của giới hạn ( )3 3 2lim 3 1 2x

x x-¥

- + + là:

A. 3 3 1.+ B. .+¥ C. 3 3 1.- D. -¥ .

Lời giải

Chọn D

( )3 3 2 33 2

1 2lim 3 1 2 lim 3 1

x xx x x

x x-¥ -¥

æ ö÷ç ÷ç- + + = - - + =-¥÷ç ÷÷çè ø

Vì 333 2

1 2lim , lim 3 1 3 1 0.

x xx

x x-¥ -¥

æ ö÷ç ÷ç=-¥ - - + = - >÷ç ÷÷çè ø

Giải nhanh:

( )3 33 2 3 2 33 1 2 3 3 1 .x x x x x x-¥¾¾ - + + + = - -¥

Câu 9: Giá trị của giới hạn ( )32 3 2limx

x x x x+¥

+ - - là:

A. 5.

6 B. .+¥ C. 1.- D. -¥ .

Lời giải

Chọn A

Khi 3 32 3 2 2 3 0x x x x x x x x x+¥¾¾ + - - -- = - =


( ) ( )3 32 3 2 2 3 2lim limx x

x x x x x x x x x x+¥ +¥

+ - - = + - + - -

( )

2

2 232 3 33

1 1 5lim .

2 3 61 1 1x

x x

x x x x x x+¥

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= + = + =ç ÷ç ÷ç ÷+ + ÷ç + - + - ÷çè ø

Giải nhanh: ( ) ( )3 32 3 2 2 3 2x x x x x x x x x x+ - - = + - + - -

( )

2 2

3 62 2 2 2 3 632 3 331 1 1

x x x x

x x x x x x x xx x x x= + +

+ + + + ++ - + -


Trang 356

( )1 1 5.

2 3 6x= + = +¥

Câu 10: Giá trị của giới hạn ( )3 3lim 2 1 2 1x

x x+¥

- - + là:

A. 0. B. .+¥ C. 1.- D. -¥ .

Lời giải

Chọn A

3 3 332 1 2 1 2 2 0x x x x x+¥¾¾ - - + - = ¾¾ nhân lượng liên hợp:

( )( ) ( )( ) ( )

3 3

2 23 33

2lim 2 1 2 1 lim 0.

2 1 2 1 2 1 2 1x x

x xx x x x

+¥ +¥

-- - + = =

- + - + + +

Giải nhanh: 3 32 1 2 1x x- - + =

( ) ( ) 3 3 3 32 2 2 2 2 23 23 3

2 2 20.

4 4 4 3 42 1 4 1 2 1 x x x xx x x

- - -=

+ +- + - - +


1lim 1x

xx

é ùæ ö÷çê ú- ÷ç ÷çê úè øë û là:

A. .+¥ B. 1.- C. 0. D. +¥ .

Lời giải

Chọn B

Ta có ( )0 0

1lim 1 lim 1 0 1 1.x x

x xx

é ùæ ö÷çê ú- = - = - =-÷ç ÷çê úè øë û

Câu 12: Kết quả của giới hạn ( ) 22lim 2

4x

xx

x+-

- là:

A. 1. B. .+¥ C. 0. D. -¥ .

Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) 22 2

2. 0. 2lim 2 lim 0

24 2x x

x x xx

x x+ +

-- = = =

- +.


2 1lim

3 2x

xx

x x+¥

++ +

là:

A. 2.

3 B. 6

.3

C. .+¥ D. -¥ .

Lời giải

Chọn B


Trang 357

( )2

3 2 3 2

3

122 12 1 6

lim lim lim .1 2 33 2 3 2 3

x x x

x xx xxx x x x

x x

+¥ +¥ +¥

+++= = =

+ + + + + +

Giải nhanh:

3 2 2 2

2 1 2 6 1 6 1 6. . . . . .

3 3 33 2 3

x xx x x x x

xx x x x

++¥¾¾ = = =

+ +


1lim sinx

x xx

p

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø là:

A. 0 . B. 1- . C. .p D. .+¥

Lời giải

Chọn B

Ta có ( )2 220 0

1lim sin lim sin 1 1.x x

x x x xx

p p

æ ö÷ç - = - =-÷ç ÷çè ø

Câu 15: Kết quả của giới hạn ( )

( )32

1lim 1

1x

xx

x+ -+

- là:

A. 3. B. .+¥ C. 0. D. -¥ .

Lời giải

Chọn C

. Với ( )1;0x Î - thì 1 0x + > và 01

x

x>

-.

Do đó ( )

( )( )

( )( )( )( )

3 22

1 1lim 1 lim 1 1

1 11x x

x xx x x x

x xx+ + - -+ = + - +

- +-

( )( )2

1lim 1 1 0

1x

xx x x

x+ -= + - + =

-


Trang 358

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC


I – HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1

Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng K và 0 .x KÎ

Hàm số ( )y f x= được gọi là liên tục tại 0x nếu ( ) ( )0

0lim .x x

f x f x

=

II – HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2

Hàm số ( )y f x= được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số ( )y f x= được gọi là liên tục trên đoạn [ ];a b nếu nó liên tục trên khoảng ( );a b và

( ) ( ) ( ) ( )lim , lim .x a x b

f x f a f x f b+ -

= =

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một '' đường liền '' trên khoảng đó.

Hàm số liên tục trên khoảng ( );a b Hàm số không liên tục trên khoảng ( );a b

III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2

Giả sử ( )y f x= và ( )y g x= là hai hàm số liên tục tại điểm 0x . Khi đó:

a) Các hàm số ( ) ( )y f x g x= + , ( ) ( )y f x g x= - và ( ) ( ).y f x g x= liên tục tại 0x ;

b) Hàm số ( )( )

f x

g x liên tục tại 0x nếu ( )0 0g x ¹ .

Định lí 3

Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ];a b và ( ) ( ). 0,f a f b < thì tồn tại ít nhất một điểm ( );c a bÎ

sao cho ( ) 0f c = .

O

x

y

b

a

y

O

xa b


Trang 359

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ];a b và ( ) ( ). 0,f a f b < thì phương trình ( ) 0f x = có ít nhất

một nghiệm nằm trong khoảng ( );a b .


Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số

1. Phương pháp



Câu 1: Hàm số ( ) 13

4f x x

x= - +

+ liên tục trên:

A. [ ]4;3 .- B. [ )4;3 .-

C. ( ]4;3 .- D. [ ] [ ); 4 3; .-¥ - È +¥

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: ( ]3 4

4;0

4 03

3TXDx x

Dx x

³+ > £-

ì ì- >-ï ïï ï ¾¾¾ = - ¾¾í íï ïï ïî î hàm số liên tục trên ( )4;3 .- Xét tại

3,x = ta có

( ) ( )3 3

1 1lim lim 3 3

4 7x xf x x f

x- -

æ ö÷ç ÷= - + = = ¾¾ç ÷ç ÷çè ø+ Hàm số liên tục trái tại 3.x =

Vậy hàm số liên tục trên ( ]4;3 .-

Câu 2: Hàm số ( )3 cos sin

2 sin 3

x x x xf x

x

+ +=

+ liên tục trên:

A. [ ]1;1 .- B. [ ]1;5 . C. 3; .

2

æ ö÷ç- +¥÷ç ÷çè ø D. .

Lời giải

Chọn D

Vì 02sin 3x+ =/ với mọi TXDx DÎ ¾¾¾ = ¾¾ Hàm số liên tục trên .

Câu 3: Cho hàm số ( )f x xác định và liên tục trên với ( )2 3 2

1

x xf x

x

- +=

- với mọi 1.x =/ Tính

( )1 .f

A. 2. B. 1. C. 0. D. 1.-

Lời giải

Chọn D


Trang 360

Vì ( )f x liên tục trên nên suy ra

( ) ( ) ( )2

1 1 1

3 21 lim lim lim 2 1.

1x x x

x xf f x x

x

- += = = - =-

-

Câu 4: Cho hàm số ( )f x xác định và liên tục trên [ ]3;3- với ( ) 3 3x xf x

x

+ - -= với 0x ¹ .

Tính ( )0f .

A. 2 3.

3 B. 3

.3

C. 1. D. 0.

Lời giải

Chọn B

Vì ( )f x liên tục trên [ ]3;3- nên suy ra

( ) ( )0 0 0

3 3 2 10 lim lim lim .

3 3 3x x x

x xf f x

x x x

+ - -= = = =

+ + -

Câu 5: Cho hàm số ( )f x xác định và liên tục trên ( )4;- +¥ với ( )4 2

xf x

x=

+ - với 0x ¹ .

Tính ( )0f .

A. 0. B. 2. C. 4. D. 1.

Lời giải

Chọn C

Vì ( )f x liên tục trên ( )4;- +¥ nên suy ra

( ) ( ) ( )0 0 0

0 lim lim lim 4 2 4.4 2x x x

xf f x x

x = = = + + =

+ -

Dạng 2. Hàm số liên tục tại một điểm

1. Phương pháp

Ta cần phải nắm vững định nghĩa:

Cho hàm số y f x xác định trên khoảng K và 0x K. Hàm số y f x gọi là liên tục tại 0x nếu

0 0x x0 x x x xo o

lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ).


Ví dụ 1: Cho x 2 2 xf xx

với x 0. Phải bổ sung thêm giá trị f 0 bằng bao nhiêu thì

hàm số liên tục tại x 0?



Trang 361

x 0 x 0 x 0

x 0

x 2 2 x x 2 2 xlim f x lim limx x 2 2 x

2 1lim .2x 2 2 x

Như vậy để hàm số liên tục tại x 0 thì phải bổ sung thêm giá trị 1f 0 .2

Ví dụ 2: Cho hàm số 2a x vôùi x 1 vaø af x .

3 vôùi x 1

Giá trị của a để f x liên tục tại x 1 là bao

nhiêu?


TXĐ: D . Ta có:

2x 1 x 1lim f x lim a x a 1.

Để hàm số liên tục tại x 1

x 1 lim f x f 1 a 1 3 a 4.

Ví dụ 3: Cho hàm số 2

3x 1 vôùi x 3 vaø x 2f x .x x 6

b 3 vôùi x 3 vaø b

Tìm b để f x liên tục tại x 3.

TXĐ: D . Ta có:

2

3x 3 x 3

x 1 3lim f x lim ; f 3 b 3.3x x 6

Để hàm số liên tục tại x 3

3 2 3x 3 lim f x f 3 b 3 b .3 3

Ví dụ 4: Cho hàm số a 2 khi x 2

f x .sin khi x 2

x

Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x 2.


TXĐ: D . Ta có

x 2 x 2

x 2 x 2

f 2 sin 12

lim f x lim a 2 a 2

lim f x lim sin 12

Hàm số liên tục tại x 2 khi a 1 2 a 3.

Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm 0x .

3 3x 2 2 neáu x 2f x x 2ax 2 neáu x 2

; 0x 2.



Trang 362

TXĐ: D . Ta có:

3

2x 2 x 2 x 2 3 3

3 x 23x 2 2 1lim f x lim lim .x 2 4

x 2 3x 2 2 3x 2 4

x 2lim f x ax 2 2a 2.

Lại có: f 2 2a 2 .

Hàm số liên tục tại 0x 2 nếu 1 72a 2 a .4 8

Ví dụ 6: Xét tính liên tục của hàm số sau tại 0x .

2

2

x 3 2 neáu x 1x 1

1f x neáu x 14

x 1 neáu x 1x 6x 7

; 0 0x 0, x 1.


Ta có: x 1 x 1 x 1

x 3 2 x 1 1lim f x lim lim .x 1 4x 1 x 3 2

2

2x 1 x 1 x 1

x 1 x 1 1 1lim f x lim lim ; f 1 .x 7 4 4x 6x 7

Vậy x 1 x 1

1lim f x lim f x f 14

, nên hàm số liên tục tại 0x 1.

Dễ thấy 2

2x 0 x 0

x 1 1lim f x lim f 07x 6x 7

nên hàm số liên tục tại x 0.

Ví dụ 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại 0x .

0 0f x x 2 ; x 2, x 1.


Ta có: f x x 2 x 2 neáu x 2

x 2 neáu x 2

Ta có: x 1 x 1lim f x lim x 2 3; f 1 3.

Vậy x 1lim f x f 1

, nên hàm số liên tục tại tại 0x 1.

Lại có: x 2 x 2 x 2

lim f x lim x 2 0; lim f x 0; f 2 0.

Vậy x 2x 2 x 2

lim f x lim f x lim f 2 0

nên hàm số liên tục tại 0x 2.


Trang 363

Ví dụ 8: Cho hàm số

x 2 vôùi 5 x 4x 5

f x mx 2 vôùi x 4 .

x vôùi x 43

Tìm giá trị của m để f x liên tục tại x 4 .


Ta có: x 4 x 4 x 4

x 2 2 x 2lim f x lim ; lim .3 3 3x 5

Và f 4 4m 2

Để hàm số liên tục tại x 4 thì x 4 x 4lim f x lim f x f 4

2 14m 2 m .3 3


2

2

x 8 3 neáu x 1x 4x 3f x .1 cos x a x neáu x 16

Tìm giá trị của a để f x liên tục tại x 1 .


TXĐ: D .

2 21 1f 1 cos a 1 a 1.6 6

2 2

x 1 x 1

1 1lim f x lim cos x a x a 1.6 6

2 22

2 2 2x 1 x 1 x 1

x 8 3 x 8 3x 8 3lim f x lim limx 4x 3 x 4x 3 x 8 3

2

2 2 2x 1 x 1

2x 1

x 1 x 1x 8 9lim limx 4x 3 x 8 3 x 1 x 3 x 8 3

x 1 1lim .6x 3 x 8 3

Để hàm số liên tục tại x 1 x 1

x 1 lim f x lim f x f 1

21 1a 1 a 1.6 6


Câu 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( )2 2

khi 22

khi 2

x xx

f x xm x

ìïïï- -

ïíïïïïî

¹= -

= liên tục tại 2.x =

A. 0.m = B. 1.m = C. 2.m = D. 3.m =


Trang 364

Lời giải

Chọn D

. Tập xác định: D = , chứa 2x = . Theo giả thiết thì ta phải có

( ) ( ) ( )2

2 2 2

22 lim lim lim 1 3.

2x x x

x xm f f x x

x

- -= = = = + =

-

Câu 2: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( )3 2 2 2

khi 11

3 khi 1

x x xx

f x xx m x

ìï - +ïï-

¹= -

+í

=

ïïïïïî

liên tục tại

1.x =

A. 0.m = B. 2.m = C. 4.m = D. 6.m =

Lời giải

Chọn A

. Hàm số xác định với mọi x Î . Theo giả thiết ta phải có

( ) ( )( )( )

( )23 2

2

1 1 1 1

1 22 23 1 lim lim lim lim 2 3 0.

1 1x x x x

x xx x xm f f x x m

x x

- +- + -+ = = = = = + = =

- -

Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số ( )1

khi 11

1 khi 1

xx

y f x xk x

-¹= = -

+

ìïïïïí=

ïïïïî

liên tục tại 1.x =

A. 1.

2k = B. 2.k = C. 1

.2

k =- D. 0.k =

Lời giải

Chọn C

Hàm số ( )f x có TXĐ: [ )0; .D = +¥ Điều kiện bài toán tương đương với

Ta có: ( )1 1 1

1 1 1 11 1 lim lim lim .

1 2 21x x x

xk y y k

x x

-+ = = = = = =-

- +

Câu 4: Biết rằng hàm số ( )3

khi 31 2

khi 3

xx

f x x

m x

ìïïï-

¹= +ïíïïïïî

-=

liên tục tại 3x = (với m là tham số). Khẳng

định nào dưới đây đúng?

A. ( )3;0 .mÎ - B. 3.m £- C. [ )0;5 .mÎ D. [ )5; .mÎ +¥

Lời giải

Chọn B

Hàm số ( )f x có tập xác định là ( )1; .- +¥ Theo giả thiết ta phải có

( ) ( )( )( ) ( )

3 3 3 3

3 1 233 lim lim lim lim 1 2 4.

31 2x x x x

x xxm f f x x

xx

- + +-= = = = =- + + =-

-+ -


Trang 365

Câu 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( )2 1

sin khi 0

khi 0

x xf x x

m x

ìïïïí¹

==

ïïïî


A. ( )2; 1 .mÎ - - B. 2.m £- C. [ )1;7 .mÎ - D. [ )7; .mÎ +¥

Lời giải

Chọn C

Với mọi 0x =/ ta có

( ) 2 21si0 n 0f x x x

x£ = £ khi 0x ¾¾ ( )

0lim 0.x

f x

=

Theo giải thiết ta phải có: ( ) ( )0

0 lim 0.x

m f f x

= = =


sinlim 1.x

x

x= Hàm số ( )

tankhi 0

0 khi 0

xx

f x xx

¹=

=

ìïïïíïïïî

liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. 0; .2

pæ ö÷ç ÷ç ÷çè ø B. ; .

4

pæ ö÷ç-¥ ÷ç ÷çè ø C. ; .

4 4

p pæ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø D. ( ); .-¥ +¥

Lời giải

Chọn A

Tập xác định:

3 3| ; ;

2 2 2 2 2 2 2k

k k kD kp p p p p p p

p p pÎ

ì ü æ ö æ ö æ öï ïï ï ÷ ÷ ÷ç ç ç+ Î = + + = È - È + È÷ ÷ ÷í ý ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çï ï è ø è ø è øï ïî=

þ

Ta có ( ) ( )0 0 0

tan sin 1 1lim lim lim . 1. 1

cos co0

s0

0x x x

x xf x

x x xf

= = =/ == = ¾¾ ( )f x không liên tục tại

0.x =


sinlim 1.x

x

x= Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( )

sinkhi 1

1khi 1

xx

f x xm x

pìïïï ¹= -

=íïïïî


A. .m p=- B. .m p= C. 1.m =- D. 1.m =

Lời giải

Chọn A

Tập xác định .D = Điều kiện bài toán tương đương với

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

1 1

1 1 1

sin1 lim lim

1

sin sin 1 sin 1lim lim lim . * .

1 1 1

x x

x x x

xm f f x

x

x x x

x x x

p

p p p p pp

p

= = =-

é ù- + - - -ê ú= = = -ê ú- - -ê úë û

Đặt ( )1t xp= - thì 0t khi 1.x Do đó (*) trở thành: ( )0

sinlim . .t

tm

tp p

= - =-


Trang 366


sinlim 1.x

x

x= Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số

( ) ( )2

1 coskhi

khi

xx

f x x

m x

pp

p

ìïïïï+

íïïïïî

¹= -

=

liên tục tại .x p=

A. .2

mp

= B. .2

mp

=- C. 1.

2m = D. 1

.2

m =-

Lời giải

Chọn C

. Hàm số xác định với mọi x Î . Điều kiện củz bài toán trở thành:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2

22

2 2 2

2sin sin2cos1 cos 12 2 2 22lim lim lim lim lim *2

2 2

x x x x x

x xxx

m f f xxx x xp p p p p

p

p p

pp p p

é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê úè ø è ø+ ê ú= = = = = =ê úæ ö- - - ÷çê ú- ÷ç ÷çê úè øë û

Đặt 02 2

xt

p= - khi 1.x Khi đó (*) trở thành:

22

0

1 sin 1 1lim .1 .

2 2 2t

tm

t

æ ö÷ç= = =÷ç ÷çè ø

Câu 9: Hàm số ( )4

2

3 khi 1

khi 1, 0

1 khi 0

x

x xf x x x

x xx

ìïïïï=-

+=ïïíïïïïïïî

¹- ¹+

=

liên tục tại:

A. mọi điểm trừ 0, 1.x x= = B. mọi điểm .x Î

C. mọi điểm trừ 1.x =- D. mọi điểm trừ 0.x =

Lời giải

Chọn B

Hàm số ( )y f x= có TXĐ: D = .

Dễ thấy hàm số ( )y f x= liên tục trên mỗi khoảng ( ) ( ); 1 , 1;0-¥ - - và ( )0;+¥ .

(i) Xét tại 1x =- , ta có

( )( )( )

( )( ) ( )

242

21 1 1 1

1 1lim lim lim lim 1 3 1 .

1x x x x

x x x xx xf x x x f

x xx x- - - -

+ - ++= = = - + = = -

++

¾¾ hàm số ( )y f x= liên tục tại 1x =- .

(ii) Xét tại 0x = , ta có

( )( )( )

( )( ) ( )

242

20 0 0 0

1 1lim lim lim lim 1 1 0 .

1x x x x

x x x xx xf x x x f

x xx x

+ - ++= = = - + = =

++

¾¾ hàm số ( )y f x= liên tục tại 0x = .


Trang 367

Câu 10: Số điểm gián đoạn của hàm số ( )( )

2

0,5 khi 1

1khi 1, 1

11 khi 1

x

x xf x x x

xx

ìïïïï=-

+= ¹ïïíïïïïïïî

- ¹-

=

là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn B

. Hàm số ( )y f x= có TXĐ D = .

Hàm số ( )( )

2

1

1

x xf x

x

+=

- liên tục trên mỗi khoảng ( ); 1-¥ - , ( )1;1- và ( )1;+¥ .

(i) Xét tại 1x =- , ta có ( )( )

( )21 1 1

1 1lim lim lim 1

1 21x x x

x x xf x f

xx- - -

+= = = = -

--¾¾ Hàm số liên tục

tại 1x =- .

(ii) Xét tại 1x = , ta có ( )

( )

( )( )

21 1 1

21 1 1

1lim lim lim

111

lim lim lim11

x x x

x x x

x x xf x

xxx x x

f xxx

+ + +

- - -

ìï +ï = = =+¥ïï --ï ¾¾íï +ïï = = =-¥ïï --î

Hàm số ( )y f x= gián

đoạn tại 1x = .

Dạng 3. Hàm số liên tục trên một khoảng

1. Phương pháp

Hàm số y f x được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng

đó.

Hàm số y f x được gọi là liên tục trên đoạn a,b nếu nó liên tục trên a,b và

x a x blim f(x) f(a) , lim f(x) f .(b)



2x 1f x .

x 5x 6

Khi đó f x liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A. 3;2 . B. 3; . C. ;3 . D. 2;3 .


ĐÁP ÁN D

2

2x 1f x

x 5x 6

không liên tục tại x 2; x 3, suy ra f x liên tục trên khoảng 2;3 .

Ví dụ 2: Hàm số nào dưới đây liên tục trên ?

A. 2

3x 1y .1 x

B. y 3 tan x.

C. 2

4 xy .2 1 x

D.

3 2xy .1 sin x


Trang 368


ĐÁP ÁN C

Ta có định lí: Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên từng khoảng xác định.

Do đó: Phương án A sai vì tập xác định là \ 1;1 .

Phương án B sai vì tanx chỉ xác định khi x k , k .2

Phương án D sai vì 1 sin x 0 , nghĩa là hàm số chỉ xác định khi x k2 , k .2

Phương án C đúng vì hàm số có tập xác định là D nên nó liên tục trên .

Ví dụ 3: Hàm số nào dưới đây liên tục trên 0; ?

A. y x 1. B. 2

sin x 2y .x 1

C.

3 2xy .x 1

D. 2y x x.


ĐÁP ÁN C

Tập xác định của hàm số y x 1 là 1; suy ra y không liên tục trên 0; .

Tập xác định của hàm số 2

sin x 2yx 1

là \ 1;1 suy ra y không liên tục trên 0; .

Tập xác định của hàm số 3 2xy

x 1

là 1; . Suy ra y liên tục trên 1; . Mặt khác

1; 0; nên y cũng liên tục trên 0; .

Tập xác định của hàm số 2y x x là ;0 1; . Suy ra y không liên tục trên 0; .

Ví dụ 4: Hàm số y tanx.cot x liên tục trên khoảng nào dưới đây?

A. 0; .2

B. ; . C. 0; . D. ; .2 2


ĐÁP ÁN A

Hàm số y tanx.cot x xác định khi 1

1 22

x k; k ,k .

x k2

Do đó trong bốn khoảng của đề bài thì chỉ có 0;2

thỏa điều kiện xác định của hàm số

y tanx.cot x. Nghĩa là nó liên tục trên 0; .2

Ví dụ 5: Cho hàm số tanx vôùi x 0f x x0 vôùi x 0

. Hàm số f x liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A. 0; .2

B. ; .4

C. ; .4 4

. D. ; .



Trang 369

ĐÁP ÁN A

x 0

tan xlim 1 f 0 0.x

Hàm số f x gián đoạn tại 0x 0 và 0x k ,2

suy ra f x liên tục trên

khoảng 0; .2

Ví dụ 6: Cho hàm số 2 2

2

a x vôùi x 2, af x .

2 a x vôùi x 2

Giá trị của a để f x liên tục trên là:

A. 1 và 2. B. 1 và 1 . C. 1 và 2. D. 1 và 2.


ĐÁP ÁN D

2

x 2 x 2

lim f x 2a lim f x 2 2 a f 2

2 2 a 1a 2 a a a 2 0 .

a 2


Câu 1: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số ( )( )

2 2 khi 2

1 khi 2

m x xf x

m x x

ìï £=

-í

>ïïïî

liên tục

trên ?

A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.

Lời giải

Chọn A

. TXĐ: D = . Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ( );2-¥ ; ( )2;+¥ .

Khi đó ( )f x liên tục trên ( )f x liên tục tại 2x =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

lim 2 lim lim 2 .x x x

f x f f x f x f+ -

= = = ( )*

Ta có

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2

2 2

2 2 2

2 2

2 4 1lim lim 1 2 1 * 4 2 1 .1

2lim lim 4

x x

x x

f m mf x m x m m m

mf x m x m

+ +

- -

ìïï =ï é =-ï êïï é ù ê= - = - ¾¾ = - í ë ûï ê =ï êï ëï = =ïïî

Câu 2: Biết rằng hàm số ( ) [ ]( ]

khi

1 khi

0;4

4;6

x xf x

m x

ìï ÎïíÎ

=+ïïî

tục trên [ ]0;6 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 2.m < B. 2 3.m£ < C. 3 5.m< < D. 5.m ³

Lời giải

Chọn A

Dễ thấy ( )f x liên tục trên mỗi khoảng ( )0;4 và ( )4;6 . Khi đó hàm số liên tục trên đoạn

[ ]0;6 khi và chỉ khi hàm số liên tục tại 4, 0, 6x x x= = = .


Trang 370

Tức là ta cần có

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )0

6

4 4

lim 0

lim 6 . *

lim lim 4

x

x

x x

f x f

f x f

f x f x f

+

-

- +

ìï =ïïïïï =íïïïï = =ïïî

( )

( )0 0

lim lim 0 ;

0 0 0

x xf x x

f

+ +

ìï = =ïï· íïï = =ïî

( ) ( )

( )6 6

lim lim 1 1 ;

6 1x x

f x m m

f m

- - ìï = + = +ïï· íï = +ïïî

( )

( ) ( )

( )

4 4

4 4

lim lim 2

lim lim 1 1 ;

4 1

x x

x x

f x x

f x m m

f m

- -

+ +

ìï = =ïïïïï· = + = +íïïïï = +ïïî

Khi đó ( )* trở thành 1 2 1 2.m m+ = = <

Câu 3: Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số ( )

2 3 2khi 1

1

khi 1

x xx

xf x

a x

ìï - +ï ¹ïï -=íïïï =ïî

liên tục trên

.

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Lời giải

Chọn C

Hàm số ( )f x liên tục trên ( );1-¥ và ( )1; .+¥ Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khi

và chỉ khi nó liê tục tại 1,x = tức là ta cần có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

lim 1 lim lim 1 . *x x x

f x f f x f x f+ -

= = =

Ta có ( )( ) ( )

( ) ( )( )1 1

1 1

2 khi 1 lim lim 2 1khi 1 *

lim lim 2 12 khi 1

x x

x x

x x f x xf x a x

f x xx x

- -

+ +

- > ìï = - =ïï= = ¾¾íï = - =-ïï- < î

ìïïïï ¾¾íïïïïî

không tỏa mãn với

mọi .a Î Vậy không tồn tại giá trị a thỏa yêu cầu.


2 1khi 1

1khi 1

xx

f x xa x

ìïïïï-

íïïïïî

¹= -

=

liên tục trên đoạn [ ]0;1 (với a là tham số). Khẳng định

nào dưới đây về giá trị a là đúng?

A. a là một số nguyên. B. a là một số vô tỉ. C. 5.a> D. 0.a <

Lời giải

Chọn A


Trang 371

Hàm số xác định và liên tục trên [ )0;1 . Khi đó ( )f x liên tục trên [ ]0;1 khi và chỉ khi

( ) ( ) ( )1

lim 1 . *x

f x f-

=

Ta có ( )

( ) ( )( )( )2

1 1 1

1

* 4.1lim lim lim 1 1 4

1x x x

f a

axf x x x

x- - -

ìï =ïïï ¾¾ =í - é ùï = = + + =ï ê úï ë û-ïî

Câu 5: Xét tính liên tục của hàm số ( )1

khi 12 1 .

2 khi 1

xx

f x xx x

ìïïïï-

<= - -

- ³íïïïïî

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. ( )f x không liên tục trên . B. ( )f x không liên tục trên ( )0;2 .

C. ( )f x gián đoạn tại 1.x = D. ( )f x liên tục trên .

Lời giải

Chọn D

Ta có ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )1 1

1 1 1

1 2

lim lim 2 2

1lim lim lim 2 1 2

2 1

x x

x x x

f

f x x f x

xf x x

x

+ +

- - -

ìïïïï =-ïïïï = - =- ¾¾íïïïï - é ùï = = - - + =-ï ê úï ë û- -ïî


Vậy hàm số ( )f x liên tục trên .

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số ( )

2

2

5 6khi 3

4 31 khi 3

x xx

f x x xa x x

- +>

= - -

ìïïïïíïïïïî - £

liên tục tại 3x = .

A. 2

3- . B. 2

.3

C. 4.

3- D. 4

.3

Lời giải

Chọn A

Điều kiện bài toán trở thành: ( ) ( ) ( ) ( )3 3

lim lim 3 . *x x

f x f x f+ -

= =

Ta có

( )

( )( )( )

( ) ( )

2

2

3 3 3

2 3

3 3

3 1 3

2 4 35 6lim lim lim 3

14 3

lim lim 1 1 3 .

x x x

x x

f a

x x xx xf x

xx x

f x a x a

+ + +

- -

ìï = -ïïïï - - +ï - +ï = = =-íï -- -ïïïï = - = -ïïî

( ) min

2 2

3* .

3a a ¾¾¾ = =-¾

Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số ( )

3

2

3 2 2khi 2

21

khi 24

xx

xf x

a x x

+ ->

-=

+

ìïïïïïí£

ïïïïïî



Trang 372

A. max 3.a = B. max 0.a = C. max 1.a = D. max 2.a =

Lời giải

Chọn C

Ta cần có ( ) ( ) ( ) ( )2 2

lim lim 2 . *x x

f x f x f+ -

= =

Ta có

( )

( )

( )

( )

2

3

2 2

2

ma

2

2 2

x

72 2

4

3 2 2 1lim lim *

2 41 7

lim li 2

1

4 4

1

m

.x x

x x

f a

xf x a

x

f x

a

a x a

+ +

- -

ìïï = -ïïïïï + -ïï = = ¾¾ =íï -ïïï æ öï ÷çï = +

¾¾

= -÷çï ÷ç øïï

=

èî

Câu 8: Xét tính liên tục của hàm số ( )1 cos khi 0

1 khi 0.

x x

xf

xx

- £

+

ìïïí>

=ïïî

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ( )f x liên tục tại 0.x = B. ( )f x liên tục

trên ( );1 .-¥

C. ( )f x không liên tục trên . D. ( )f x gián đoạn tại 1.x =

Lời giải

Chọn C

Hàm số xác định với mọi x Î .

Ta có ( )f x liên tục trên ( );0-¥ và ( )0; .+¥

Mặt khác ( )

( ) ( )

( )

( )0 0

0 0

0 1

lim lim 1 cos 1 cos 0 0

lim lim 1 0 1 1

x x

x x

f

f x x f x

f x x

- -

+ +

ìïï =ïïïï = - = - = ¾¾íïïïï = + = + =ïïî

gián đoạn tại 0.x =

Câu 9: Tìm các khoảng liên tục của hàm số ( )cos khi 1

21 khi 1

.f x

xx

x x

p£

- >

ìïïïï=íïïïïî

Mệnh đề nào sau đây là

sai?

A. Hàm số liên tục tại 1x =- .

B. Hàm số liên tục trên các khoảng ( ) ( );, 1 1; .-¥ - +¥

C. Hàm số liên tục tại 1x = .

D. Hàm số liên tục trên khoảng ( )1,1- .

Lời giải

Chọn A

Ta có ( )f x liên tục trên ( ) ( ) ( ); 1 , 1;1 , 1; .-¥ - - +¥


Trang 373

· Ta có ( )

( )( )

( )( )

( )

1 1

1 cos 02

lim lim 1 2x x

ff x

f x x

p

- - - -

ì æ öï ÷ï ç- = - =÷ï ç ÷çï è øï ¾¾íïï = - =-ïïïî

gián đoạn tại 1.x =-

· Ta có

( )

( ) ( )

( )

( )1 1

1 1

1 cos 02

lim lim 1 0

lim lim cos 02

x x

x x

f

f x x f x

f xxp

p

+ +

- -

ìïïï = =ïïïïï = - = ¾¾íïïïïï = =ïïïî


Câu 10: Hàm số ( )f x có đồ thị như hình bên không liên tục tại

điểm có hoành độ là bao nhiêu?

A. 0.x =

B. 1.x =

C. 2.x =

D. 3.x =

Lời giải

Chọn B

Dễ thấy tại điểm có hoành độ 1x = đồ thị của hàm số bị ''đứt ''

nên hàm số không liên tục tại đó.

Cụ thể: ( ) ( )1 1

lim 0 3 limx x

ff xx+ -

=/ == nên ( )f x gián đoạn tại 1.x =

x

2

3

y

1O

1


2

khi 1, 0

0 khi 0 .

khi 1

xx x

xf x x

x x

ìïï < ¹ïïïïï= =íïïï ³ïïïïî

Hàm số ( )f x liên tục tại:

A. mọi điểm thuộc . B. mọi điểm trừ 0x = .

C. mọi điểm trừ 1x = . D. mọi điểm trừ 0x = và 1x = .

Lời giải

Chọn A


Dễ thấy hàm số ( )y f x= liên tục trên mỗi khoảng ( ) ( );0 , 0;1-¥ và ( )1;+¥ .


Trang 374

Ta có

( )

( )

( )

( )2

0 0 0

2

0 0 0

0 0

lim lim lim 0

lim lim lim 0

x x x

x x x

f

xf x x f x

x

xf x x

x

- - -

+ + +

ìïïï =ïïïïï = = = ¾¾íïïïïïï = = =ïïî


Ta có

( )

( )

( )

( )2

1 1 1

1 1

1 1

lim lim lim 1

lim lim 1

x x x

x x

f

xf x x f x

x

f x x

- - -

+ +

ìï =ïïïïïï = = = ¾¾íïïïï = =ïïïî


Vậy hàm số ( )y f x= liên tục trên .


2 1khi 3, 1

14 khi 1

1 khi 3

xx x

xf x x

x x

ìï -ï < ¹ïï -ïïï= =íïïï + ³ïïïïî

. Hàm số ( )f x liên tục tại:

A. mọi điểm thuộc . B. mọi điểm trừ 1x = .

C. mọi điểm trừ 3x = . D. mọi điểm trừ 1x = và 3x = .

Lời giải

Chọn D


Dễ thấy hàm số ( )y f x= liên tục trên mỗi khoảng ( ) ( );1 , 1;3-¥ và ( )3;+¥ .

Ta có ( )

( ) ( )( )2

1 1 1

1 4

1lim lim lim 1 2

1x x x

f

f xxf x x

x

ìï =ïïï ¾¾í -ï = = + =ïï -ïî


Ta có ( )

( ) ( )( )2

3 3 3

3 2

1lim lim lim 1 4

1x x x

f

f xxf x x

x- - -

ìï =ïïï ¾¾í -ï = = + =ïï -ïî


Câu 13: Số điểm gián đoạn của hàm số ( ) 2

2 khi 0

1 khi 0 2

3 1 khi 2

x x

h x x x

x x

ì <ïïïï= + £ £íïïï - >ïî

là:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Lời giải

Chọn A

Hàm số ( )y h x= có TXĐ: D = .

Dễ thấy hàm số ( )y h x= liên tục trên mỗi khoảng ( ) ( );0 , 0;2-¥ và ( )2;+¥ .


Trang 375

Ta có ( )

( ) ( )0 0

0 1

lim lim 2 0x x

hf x

h x x- -

ìï =ïï ¾¾íï = =ïïî không liên tục tại 0x = .

Ta có

( )

( ) ( )( ) ( )

( )2

2 2

2 2

2 5

lim lim 1 5

lim lim 3 1 5x x

x x

h

h x x f x

h x x

- -

+ +

ìïï =ïïïï = + = ¾¾íïïïï = - =ïïî


Câu 14: Tính tổng S gồm tất cả các giá trị m để hàm số ( )

2

2

khi 1

2 khi 1

1 khi 1

x x x

f x x

m x x

ìï + <ïïï= =íïïï + >ïî


A. 1.S =- B. 0.S = C. 1.S = D. 2.S =

Lời giải

Chọn B

Hàm số xác định với mọi x Î .

Điều kiện bài toán trở thành ( ) ( ) ( ) ( )1 1

lim lim 1 . *x x

f x f x f+ -

= =

Ta có

( )

( ) ( )( ) ( )

( )2 2 2

1 1

2

1 1

1 2

lim lim 1 1 * 1 2

lim lim 2

x x

x x

f

f x m x m m

f x x x

+ +

- -

ìïï =ïïïï = + = + ¾¾ + =íïïïï = + =ïïî

1 0.Sm ¾¾ = =


3

cos khi 0

khi 0 1.1

khi 1

x x x

xf x x

x

x x

ì- <ïïïïïï= £ <íï +ïïï ³ïïî

Hàm số ( )f x liên tục tại:

A. mọi điểm thuộc .x Î B. mọi điểm trừ 0.x =

C. mọi điểm trừ 1.x = D. mọi điểm trừ 0; 1.x x= =

Lời giải

Chọn C


Dễ thấy ( )f x liên tục trên mỗi khoảng ( ) ( );0 , 0;1-¥ và ( )1;+¥ .

Ta có ( )

( ) ( )

( )

( )0 0

2

0 0

0 0

lim lim cos 0

lim lim 01

x x

x x

f

f x x x f x

xf x

x

- -

+ +

ìïïïï =ïïïï = - = ¾¾íïïïïï = =ïï +ïî



Trang 376

Ta có

( )

( )

( )

( )2

1 1

3

11

1 1

1lim lim

1 2

lim lim 1

x x

xx

f

xf x f x

x

f x x

- -

++

ìïï =ïïïïï = = ¾¾íï +ïïï = =ïïïî

không liên tục tại 1x = .

Dạng 4. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng

1. Phương pháp

Chứng minh phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm

- Tìm hai số a và b sao cho f a .f b 0

- Hàm số f x liên tục trên đoạn a;b

- Phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm 0x a;b

Chứng minh phương trình f x 0 có ít nhất k nghiệm

- Tìm k cặp số i ia ,b sao cho các khoảng i ia ;b rời nhau và

i if(a )f(b ) 0, i 1,...,k

- Phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm i i ix a ;b .

Khi phương trình f x 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho :

- f a , f b không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.

- Hoặc f a , f b còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.


Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x 1 x 2 2x 1 0.


Đặt f x m x 1 x 2 2x 1.

Tập xác định: D nên hàm số liên tục trên .

Ta có: f 1 3; f 2 3 f 1 .f 2 0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.

Ví dụ 2: Cho hàm số

2

2

x 4 x 0;2f x

x 4 6 x 2;4

. Phương trình f x 7 có bao nhiêu nghiệm?


Xét phương trình: 2x 4 7 trên 0;2

Ta có: 2 2x 4 7 x 3 x 3 (nhaän)

x 3 (loaïi)

Xét phương trình: 2x 4 6 7 trên 2;4

Ta có: 2 2x 4 6 7 x 8x 15 0 x 3 (nhaän)x 5 (loaïi)


Trang 377

Vậy phương trình f x 7 có đúng hai nghiệm.


Câu 1: Cho hàm số ( ) 34 4 1.f x x x=- + - Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hàm số đã cho liên tục trên .

B. Phương trình ( ) 0f x = không có nghiệm trên khoảng ( );1 .-¥

C. Phương trình ( ) 0f x = có nghiệm trên khoảng ( )2;0 .-

D. Phương trình ( ) 0f x = có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 13; .

2

æ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø

Lời giải

Chọn B

(i) Hàm ( )f x là hàm đa thức nên liên tục trên ¾¾ A đúng.

(ii) Ta có ( )( )

( )1 1 0

02 23 0

ff x

f

ìï - =- <ï ¾¾ =íï - = >ïî có nghiệm 1x trên ( )2;1- , mà

( ) ( ) ( )2;0 ;2 1 1; Ì - Ì -¥- - ¾¾ B sai và C đúng

(iii) Ta có ( )

( )0 1 0

01 10

2 2

f

f xf

ìï =- <ïïï ¾¾ =æ öí ÷çï = >÷çï ÷çï è øïî

có nghiệm 2x thuộc 10; .

2

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø Kết hợp với (1) suy ra

( ) 0f x = có các nghiệm 1 2,x x thỏa: 1 2

13 1 0

2x x- < <- < < < ¾¾ D đúng.

Câu 2: Cho phương trình 4 22 5 1 0.x x x- + + = Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng ( )1;1 .-

B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng ( )2;0 .-

C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng ( )2;1 .-

D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( )0;2 .

Lời giải

Chọn D

Hàm số ( ) 4 22 5 1f x x x x= - + + là hàm đa thức có tập xác định là nên liên tục trên .

Ta có

(i) ( )( )

( ) ( ) ( )0 1

1 . 0 0 01 3

ff f f x

f

ìï =ï - < ¾¾ =íï - =-ïî có ít nhất một nghiệm 1x thuộc ( )1;0- .

(ii) ( )( )

( ) ( ) ( )0 1

0 . 1 0 01 1

ff f f x

f

ìï =ï < ¾¾ =íï =-ïî có ít nhất một nghiệm 2x thuộc ( )0;1 .


Trang 378

(iii) ( )( )

( ) ( ) ( )1 1

1 . 2 0 02 15

ff f f x

f

ìï =-ï < ¾¾ =íï =ïî có ít nhất một nghiệm 3x thuộc ( )1;2 .

Vậy phương trình ( ) 0f x = đã cho có các nghiệm 1 2 3, ,x x x thỏa

1 2 31 0 1 2x x x- < < < < < <

Câu 3: Cho hàm số 3( 1) 3f x xx -= - . Số nghiệm của phương trình ( ) 0f x = trên là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn D

Hàm số ( ) 3 3 1xf x x - -= là hàm đa thức có tập xác định là nên liên tục trên . Do đó

hàm số liên tục trên mỗi khoảng ( ) ( ) ( )2; 1 , 1;0 , 0;2 .- - -

Ta có

· ( )( )

( ) ( ) ( )2 3

2 1 0 11 1

ff f

f

ìï - =-ï - - < ¾¾íï - =ïî có ít nhất một nghiệm thuộc ( )2; 1 .- -

· ( )( )

( ) ( ) ( )1 1

1 0 0 10 1

ff f

f

ìï - =ï - < ¾¾íï =-ïî có ít nhất một nghiệm thuộc ( )1;0 .-

· ( )( )

( ) ( ) ( )2 1

2 0 0 10 1

ff f

f

ìï =ï < ¾¾íï =-ïî có ít nhất một nghiệm thuộc ( )0;2 .

Như vậy phương trình ( )1 có ít nhất ba thuộc khoảng ( )2;2- . Tuy nhiên phương trình

( ) 0f x = là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm. Vậy phương trình ( ) 0f x = có

đúng nghiệm trên .

Cách CASIO. (i) Chọn MODE 7 (chức năng TABLE) và nhập: 3 3( ) 1.F X X X- -=

(ii) Ấn “=” và tiếp tục nhập: Start 5«- (có thể chọn số nhỏ hơn).

End 5« (có thể chọn số lớn hơn).

Step 1« (có thể nhỏ hơn, ví dụ 1

2).

(iii) Ấn “=” ta được bảng sau:

Bên cột X ta cần chọn hai giá trị a và b ( )a b< sao cho tương ứng bên cột ( )F X nhận

các giá trị trái dấu, khi đó phương trình có nghiệm ( );a b . Có bao nhiêu cặp số ,a b như

thế sao cho khác khoảng ( );a b rời nhau thì phương trình ( ) 0f x = có bấy nhiêu nghiệm.


Trang 379

Câu 4: Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [ ]1;4- sao cho ( )1 2f - = , ( )4 7f = . Có thể nói gì về

số nghiệm của phương trình ( ) 5f x = trên đoạn [ 1;4]- :

A. Vô nghiệm. B. Có ít nhất một nghiệm. C. Có đúng một nghiệm. D. Có đúng hai nghiệm.

Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) ( )5 5 0f x f x= - = . Đặt ( ) ( ) 5.g x f x= - Khi đó

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1 1 5 2 5 3

1 4 0.4 4 5 7 5 2

g fg g

g f

ìï - = - - = - =-ï - <íï = - = - =ïî

Vậy phương trình ( ) 0g x = có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( )1;4 hay phương trình

( ) 5f x = có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( )1;4 .

Câu 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( )10;10- để phương trình

( )3 23 2 2 3 0x x m x m- + - + - = có ba nghiệm phân biệt 1 2 3, , x x x thỏa mãn 1 2 31x x x<- < <

?

A. 19. B. 18. C. 4. D. 3.

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số ( ) ( )3 23 2 2 3f x x x m x m= - + - + - liên tục trên .

● Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt 1 2 3, , x x x sao cho 1 2 31x x x<- < < . Khi đó

( ) ( )( )( )1 2 3f x x x x x x x= - - - .

Ta có ( ) ( )( )( )1 2 31 1 1 1 0f x x x- = - - - - - - > (do 1 2 31x x x<- < < ).

Mà ( )1 5f m- =- - nên suy ra 5 0 5.m m- - > <-

● Thử lại: Với 5m <- , ta có

▪ ( )limx

f x-¥

=-¥ nên tồn tại 1a <- sao cho ( ) 0f a < . ( )1

▪ Do 5m <- nên ( )1 5 0f m- =- - > . ( )2

▪ ( )0 3 0f m= - < . ( )3

▪ ( )limx

f x+¥

=+¥ nên tồn tại 0b> sao cho ( ) 0f b > . ( )4

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( ); 1-¥ - ; Từ ( )2 và ( )3 , suy

ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( )1;0- ; Từ ( )3 và ( )4 , suy ra phương trình có

nghiệm thuộc khoảng ( )0; .+¥

Vậy khi 5m <- thỏa mãn ( ) { }10;109; 8; 7; 6 .m

mmÎ

Î -¾¾¾¾ Î - - - -


Trang 381

CHƯƠNG 5. ĐẠO HÀM

BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA ĐẠO HÀM


I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng ( );a b và ( )0 ;x a bÎ . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

( ) ( )0

0

0

limx x

f x f x

x x

-

-

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số ( )y f x= tại 0x và kí hiệu là ( )0'f x (hoặc ( )0'y x ),

tức là

( )( ) ( )

0

00

0

' lim .x x

f x f xf x

x x

-=

-

Chú ý: Đại lượng 0x x xD = - gọi là số gia của đối số x tại 0 .x

Đại lượng ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0y f x f x f x x f xD = - = +D - được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy

( )0 0' lim .

x

yy xxD

D=

D

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Bước 1. Giả sử xD là số gia của đối số x tại 0x , tính ( ) ( )0 0y f x x f xD = +D - .

Bước 2. Lập tỉ số y

x

DD

.

Bước 3. Tìm 0

limx

y

xD

DD

.

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Định lí 1 Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại 0x thì nó liên tục tại 0x .

Chú ý: a) Nếu ( )y f x= gián đoạn tại 0x thì nó không có đạo hàm tại 0x .

b) Nếu ( )y f x= liên tục tại 0x thì có thể không có đạo hàm tại 0x .

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lí 2 Đạo hàm của hàm số ( )y f x= tại điểm 0x là hệ số góc của tiếp tuyến 0M T của đồ thị hàm số tại

điểm ( )( )0 0 0; M x f x .

Định lí 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= tại điểm ( )( )0 0 0; M x f x là

( )( )0 0 0– ' –y y f x x x=

trong đó ( )0 0 y f x= .

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm Vận tốc tức thời: ( ) ( )0 0 .'v t s t=


Trang 382

Cường độ tức thời: ( ) ( )0 0' .I t Q t=

II – ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa Hàm số ( )y f x= được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( );a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên

khoảng đó. Khi đó, ta gọi hàm số ( )' : ;f a b

( )'x f x

là đạo hàm của hàm số ( )y f x= trên khoảng ( );a b , kí hiệu là 'y hay ( )' .f x


Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

1. Phương pháp

Tính số gia của hàm số 0 0y f x x f x .

Lập tỉ y .x

Tính giới hạn x 0

ylim .x


Ví dụ 1: Cho f là hàm số liên tục tại 0x . Đạo hàm của f tại 0x là:

A. 0f x .

B. 0 0f x h f x

.h

C. 0 0

h 0

f x h f xlim

h

(nếu tồn tại giới hạn).

D. 0 0

h 0

f x h f x hlim

h

(nếu tồn tại giới hạn).

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Theo định nghĩa đạo hàm tại 0 0x : f x .

Ví dụ 2: Cho hàm f xác định bởi

2x 1 1 x 0f x x0 x 0

. Giá trị f 0 bằng:

A. 0. B. 1. C. 12

. D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C

2

2x 0 x 0 x 0 2

f x f 0 x 1 1 1 1f 0 lim lim lim .x 0 2x x 1 1


Trang 383

Ví dụ 3: Cho hàm f xác định trên \ 2 bởi

3 2

2x 4x 3x x 1

f x x 3x 20 x 1

.

Giá trị f 1 bằng:

A. 3 .2

B. 1. C. 0. D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D

3 2

2x 1 x 1 x 1

f x f 1 x x 3x 4x 3xf 1 lim lim lim .x 1 x 1 x 2x 1 x 3x 2

Ví dụ 4: Cho hàm số x khi x 0y f x

1 x khi x 0

và điểm có 0x 0. Khẳng định nào sau đây là

đúng?

A.

x 0

f x f 0lim 1.

x 0

B.

x 0

f x f 0lim 1.

x 0

C. f 0 1.

D. Hàm số không có đạo hàm tại 0x 0.


x 0 x 0 x 0

f x f 0 xlim lim lim 1 1.x x

x 0 x 0

f x f 0 1 xlim lim .x x

Do đó hàm số không có đạo hàm tại x 0.

Ví dụ 5: Cho hàm số 2f x 1 x 1 x 1 . Tính

h 0

f x h f xlim .

h

A. 2

2x .1 x

B. 2

x .1 x

C.

2

1 .1 x

D. 2

1 .2 1 x

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B

Ta có:

2 2

h 0 h 0 2 22

1 x h 1 x 2x h xlim lim .h 1 x1 x h 1 x

Ví dụ 6: Cho hàm số f x sin x. Tính

h 0

f x h f xlim

h

A. xcos .2

B. x2sin .2

C. cosx. D. cosx.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C.


Trang 384

Ta có:

h 0 h 0

h h2cos x sinsin x h sin x 2 2lim lim

h h

h 0

hsin h2lim cos x 1.cosx cosxh 22

h 0

hsin2vì lim 1 .

h2

Ví dụ 7: Tìm a để hàm số sau liên tục và có đạo hàm tại 0x .

2x neáu x 1f x

ax 1 neáu x 1

; 0x 1 .

A. a 1 . B. a 2 . C. a 1 . D. a 2 . Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A Xét tính liên tục tại 0x 1 . Ta có: f 1 1 .

2

x 1 x 1 x 1 x 1lim f x lim ax 1 a 1; lim f x lim x 1

.

Hàm số liên tục tại 0x 1 a 1 1 a 2 .

Xét đạo hàm của hàm số tại 0x 1 .

Ta có:

x 0 x 0 x 0

2 1 x 1 1f 1 x f 1 2 xlim lim lim 2 f 1x x x

.

Lại có:

2

x 0 x 0

f 1 x f 1 1 x 1lim lim 2 f 1

x x

.

Vậy a 2 , hàm số liên tục và có đạo hàm tại 0x 1 .

Ví dụ 8: Cho hàm số f x x và g x 1 x .

Tìm đạo hàm của hàm số f x và f x g x tại 0x 0.

A. f x không có đạo hàm và f x g x không có đạo hàm tại 0x 0.

B. f x không có đạo hàm tại 0x 0 và f x g x có đạo hàm tại 0x 0 và đạo hàm bằng 1 tại

0x 0.

C. f x không có đạo hàm tại 0x 0 và f x g x có đạo hàm tại 0x 0 và đạo hàm bằng 0.

D. f x có đạo hàm tại 0x 0 và bằng 0; f x g x có đạo hàm cũng bằng 0.


Ta có: x neáu x 0f x

x neáu x 0

tại 0x 0; f 0 0.

0 0

x 0 x 0

f x x f x xlim lim 1.x x

0 0

x 0 x 0

f x x f x xlim lim 1 1.x x

Vậy hàm số không có đạo hàm tại 0x 0.

Ta còn có: h x f x g x 1. Hiển nhiên h x 0, x . Vậy h 0 0.


Trang 385

Ví dụ 9: Cho f xác định trên 0; bởi 1f x .x

Đạo hàm của f tại 0x 2 là:

A. 1 .2

B. 1 .2

C. 1 .2

D. 1 .2

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Cách 1: Giải bằng tự luận

Dùng định nghĩa tính được 0 20

1 1f x f 22x

.


Ví dụ 10: Cho hàm f xác định trên bởi 3f x x . Giá trị f 8 bằng:

A. 1 .

12 B.

1 .12

C. 1 .6

D. 1 .6

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Cách 1: Giải bằng tự luận

3 3 3

h 0 h 0 h 03

h 0 2 33

h 0 2 33

f 8 h f 8 h 8 8 h 8 2lim lim limh h h

h 8 2limh h 8 2 h 8 4

1 1lim12h 8 2 h 8 4

Vậy 1f 812

.


Ấn tiếp


Câu 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Nếu hàm số ( )y f x= không liên tục tại 0x thì nó có đạo hàm tại điểm đó.

B. Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại 0x thì nó không liên tục tại điểm đó.

C. Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại 0x thì nó liên tục tại điểm đó.


Trang 386

D. Nếu hàm số ( )y f x= liên tục tại 0x thì nó có đạo hàm tại điểm đó.

Lời giải Chọn C

Câu 2: Cho f là hàm số liên tục tại 0x . Đạo hàm của f tại 0x là:

A. ( )0 .f x

B. ( ) ( )0 0 .

f x h f x

h

+ -

C. ( ) ( )0 0

0limh

f x h f x

h

+ - (nếu tồn tại giới hạn).

D. ( ) ( )0 0

0limh

f x h f x h

h

+ - - (nếu tồn tại giới hạn).

Lời giải Chọn C Ta có Cho f là hàm số liên tục tại 0x .

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) ( ) ( )

0

0

0

limx x

f x f x

x x

-

- thì ( )

( ) ( )0

00

0

limx x

f x f xf x

x x

-¢ =

-.

Đặt ( )( ) ( )

00 0

00 limh

f xh x x f x

h f x

h¢

+ -= - = .

Câu 3: Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại 0x là ( )0f x¢ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ( )( ) ( )

0

00

0

lim .x x

f x f xf x

x x

-¢ =

- B. ( )

( ) ( )0 00 0

lim .x

f x x f xf x

xD

+D -¢ =

D

C. ( )( ) ( )0 0

0 0lim .h

f x h f xf x

h

+ -¢ = D. ( )

( ) ( )0

0 00

0

lim .x x

f x x f xf x

x x

+ -¢ =

-

Lời giải Chọn D

Hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại 0x là ( )0f x¢ ( )( ) ( )

0

00

0

limx x

f x f xf x

x x

-¢ =

-.

Đặt ( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0

0 0 00 lim limx h

fh

x x f x fx

x hx x

f xf x

x hD

+D - + -¢ = =

D=D = - .


3 4khi 0

41

khi 04

.

xx

f x

x

ìïïïïïíïïïïïî

- -¹

=

=

Tính ( )0 .f ¢

A. ( ) 10 .

4f ¢ = B. ( ) 1

0 .16

f ¢ = C. ( ) 10 .

32f ¢ = D. Không tồn tại.

Lời giải Chọn B

Xét ( ) ( )

0 0 0

3 4 10 2 44 4lim lim lim

0 4x x x

xf x f x

x x x

- --- - -

= =-

( )( )( ) ( ) ( )0 0 0

2 4 2 4 1 1lim lim lim .

164 2 4 4 2 4 4 2 4x x x

x x x

x x x x x

- - + -= = = =

+ - + - + -

Câu 5: Cho hàm số ( )2 1 1

khi 0

0 khi 0

.x

xf x xx


+ -¹=

=

Tính ( )0 .f ¢


Trang 387

A. ( )0 0.f ¢ = B. ( )0 1.f ¢ = C. ( ) 10 .

2f ¢ = D. Không tồn

tại . Lời giải

Chọn C

Xét ( ) ( )

2

2

20 00

1 10 1 1

lim0

l0

imlimxx x

xxx

x

f x f

x x

+ -- + -

= =-

-

( )( )( ) ( )

2 22

20 0 02 2 2 2

1 1 1 1 1 1lim lim lim .

21 11 1 1 1x x x

x x x

xx x x x

+ - + += = = =

+ ++ + + +

Câu 6: Cho hàm số ( )f x xác định trên { }\ 2 bởi ( )

3 2

2

4 3khi 1

3 20 k

.

hi 1

x x xx

f x x xx

ìïïïï- +

¹= - +

=íïïïïî

Tính ( )1 .f ¢

A. ( ) 31 .

2f ¢ = B. ( )1 1.f ¢ = C. ( )1 0.f ¢ = D. Không tồn tại.


Xét ( )( )( )( )( )

( )3 2

21 1 1 1

1 3 34 3lim lim lim lim 2.

1 2 23 2x x x x

x x x x xx x xf x

x x xx x

- - -- += = = =

- - -- +

Ta thấy: ( ) ( )1

lim 1x

f x f

¹ . Do đó, hàm số không tiên tục tại điểm 1x = .

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại điểm 1x = .


2

1 khi 0

khi 0.

x xf x

x x

ìïï - ³=

- <íïïî

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số không liên tục tại 0x = . B. Hàm số có đạo hàm tại 2x = . C. Hàm số liên tục tại 2x = . D. Hàm số có đạo hàm tại 0x = .


Xét các giới hạn ( ) ( )( ) ( )

2

0 0

2

0 0

lim lim 1 1.

lim lim 0

x x

x x

f x x

f x x

+ +

- -

ìï = - =-ïïïíï = - =ïïïî

Do ( ) ( )0 0

lim limx x

f x f x+ -

¹ nên hàm số không liên tục tại 0x = .

Do đó, hàm số không có đạo hàm tại 0x = .

Câu 8: Tìm tham số thực b để hàm số ( )

2

2

khi 2

6 khi 22

x xf x x

bx x

£=

- + -

ìïïïïí>ïïïïî

có đạo hàm tại 2.x =

A. 3.b = B. 6.b = C. 1.b = D. 6.b =- Lời giải

Chọn B Để hàm số có đạo hàm tại 2x = trước tiên hàm số phải liên tục tại 2x = , tức là

( ) ( )2

2

2 2 2 2lim lim lim 6 lim 2 2 6 4 6.

2x x x x

xf x f x bx x b b

+ - + -

æ ö÷ç ÷= - + - = - + - = =ç ÷ç ÷çè ø

Thử lại với 6b = , ta có

· ( ) ( )

2 2

2 2 2

10 6 102 2 2lim lim lim2 2 2x x x

x xbx xf x f

x x x+ + +

- + - - + --= =

- - -


Trang 388

( )( )( )2 2

2 10 10lim lim 4;

2 2 2x x

x x x

x+ +

- - -= = =

-

·( ) ( ) 2

2 2

2 4lim lim 4.

2 2x x

f x f x

x x- -

- -= =

- -

Vì ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2lim lim

2 2x x

f x f f x f

x x+ -

- -=

- - nên hàm số có đạo hàm tại 2.x =

Câu 9: Cho hàm số ( )2 2 2 khi 0

1 khi 0

mx x xf x

nx x

+ + >=ìï

+í

£ïïïî

. Tìm tất cả các giá trị của các tham số , m n

sao cho ( )f x có đạo hàm tại điểm 0x = .

A. Không tồn tại , .m n B. 2, .m n= " C. 2, .n m= " D. 2.m n= =


Ta có

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 2

0 2 2 2 2lim lim lim lim 2 2.

00 2 2

lim lim lim lim0

x x x x

x x x x

f

f x f mx x mx xmx

x x xf x f nx nx

n nx x x

+ + + +

- - - -

ìïïï =ïïïï - + + - +ï = = = + =íï -ïïï - + -ïï = = = =ïï -î

Hàm số có đạo hàm tại 0x = khi và chỉ khi tồn tại giới hạn ( ) ( )

0

0lim

0x

f x f

x

-

-

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0lim lim 2

0 0x x

f x f f x fn

x x- +

- - = =

- -.


khi 12

khi 1

xx

f x

ax b x

£=

+ >


. Tìm tất cả các giá trị của các tham số , a b sao cho

( )f x có đạo hàm tại điểm 1x = .

A. 11, .

2a b= =- B. 1 1

, .2 2

a b= = C. 1 1, .

2 2a b= =- D. 1

1, .2

a b= =

Lời giải Chọn A · Hàm số có đạo hàm tại 1x = , do đó hàm số liên tục tại 1x = .

1

2a b + = . ( )1

· Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )

1 1 1 1

2

1 1 1 1

1 .1 1lim lim lim lim

1 1 1.1

1 1 1 12 2lim lim lim lim 11 1 2 1 2

x x x x

x x x x

f x f ax b a b a xa a

x x x

xf x f x x x

x x x

+ + + +

- - - -

ìï - + - + -ï = = = =ïï - - -ïïïíï -ï - + - +ïï = = = =ïï - - -ïî

Hàm số có đạo hàm tại ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 11 lim lim 1.

1 1x x

f x f f x fx a

x x+ -

- -= = =

- - ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , ta có 11,

2a b= =- .


Trang 389

Dạng 2. Số gia của hàm số

1. Phương pháp

Số gia của hàm số y f x tại điểm 0x là 0 0y f x x f x .

Chú ý rằng số gia y của hàm số là một hàm số của số gia biến số x.


Ví dụ 1: Số gia của hàm số 2f x x 1 tại điểm 0x 1 ứng với số gia x 1 bằng:

A. 2. B. 1. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN B Số gia 0 0y f x x f x f 0 f 1 1 2 1.

Ví dụ 2: Số gia của hàm số 2y 2x 2 tại điểm 0x 0 ứng với số gia x 1 bằng:

A. 2. B. 0. C. 2. D. 8. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A Số gia 0 0y f x x f x f 1 f 0 4 2 2.

Ví dụ 3: Cho hàm số 20f x x 3; x 1; x. Chọn số gia tương ứng y dưới đây cho thích hợp.

A. 2y x 10. B. 2y 1 x 2.

C. 2y 1 x 10. D. 2y 1 x 1.


2 2

2 2

y f 1 x f 1 1 x 3 1 3

1 x 3 2 1 x 1.

Ví dụ 4: Cho hàm số 01f x 1 3x; x ; x.2

Chọn số gia tương ứng y dưới đây cho thích

hợp.

A. 5 5y 3 x.2 2

B. 1 5y 1 3 x 1 3. 1 3 x .2 2

C. 1 1 5 5y 1 3. x 1 3. 3 x .2 2 2 2

D. 1 5y 1 3x x 1 3. 1 3x x .2 2



Trang 390

1 1y f x f2 2

1 11 3. x 1 3.2 2

5 53. x .2 2

Ví dụ 5: Cho hàm số 0f x sin x; x ; x.2

Chọn y và yx

dưới đây cho thích hợp.

A. y xy sin x 1; 1.

2 x x

B. sin x

2 2yy sin x ; .2 2 x x

C. sin x 1

2yy sin x 1; .2 x x

D. sin x

2yy sin x ; .2 x x


y f x f2 2

sin x sin sin x 12 2 2

sin x2y .

x x

Ví dụ 6: Cho hàm số 0f x x 2 ; x 2; x. Chọn y và yx

dưới đây cho thích hợp.

A. y xy x ; 1.x x

B.

yy x; 1.x

C. x 2yy x 2 ; .

x x

D. xyy x ; .

x x


y f 2 x f 2 2 x 2 0 x

xy .x x

Ví dụ 7: Cho hàm số 0f x sin2x; x ; x.3

Chọn số gia tương ứng y dưới đây cho thích hợp.

A. 2 2y sin x sin3 3

. B.

2y sin2x x sin3

.


Trang 391

C. 2y sin2 x sin

3 3

. D. 2y sin x sin

3 3

.


2 20 0y f x x f x y sin x sin .

3 3


Câu 1: Tính số gia của hàm số 2 2y x= + tại điểm 0 2x = ứng với số gia 1.xD =

A. 13.yD = B. 9.yD = C. 5.yD = D. 2.yD =

Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 1 2 3 2y f x x f x f f f fD = +D - = + - = -

( ) ( )2 23 2 2 2 5.= + - + =

Câu 2: Tính số gia của hàm số 3 2 1y x x= + + tại điểm 0x ứng với số gia 1.xD =

A. 20 03 5 3.y x xD = + + B. 3 2

0 0 02 3 5 2.y x x xD = + + +

C. 20 03 5 2.y x xD = + + D. 2

0 03 5 2.y x xD = - +

Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 01y f x x f x f x f xD = +D - = + -

( ) ( )3 2 3 2 20 0 0 0 0 01 1 1 1 3 5 2.x x x x x xé ù é ù= + + + + - + + = + +ê úê ú ë ûë û

Câu 3: Tính số gia của hàm số 2

2

xy = tại điểm 0 1x =- ứng với số gia .xD

A. ( )21.

2y x xD = D -D B. ( )21

.2

y x xé ùD = D -Dê úë û C. ( )21

.2

y x xé ùD = D +Dê úë û D.

( )21.

2y x xD = D +D

Lời giải Chọn A Ta có ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1y f x x f x f x fD = +D - = - +D - -

( ) ( )( )

2 221 1 21 1 1

.2 2 2 2 2

x x xx x

- +D - D + D- = - = D -D

Câu 4: Tính số gia của hàm số 2 4 1y x x= - + tại điểm 0x ứng với số gia xD là:

A. ( )02 4 .y x x xD =D D + - B. 02 .y x xD = +D C. ( )02 4 .y x x xD =D - D D.

02 4 .y x xD = - D

Lời giải Chọn A

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0 0 04 1 4 1y f x x f x x x x x x xé ù é ùD = +D - = +D - +D + - - +ê úê ú ë ûë û

( )02 4 .x x x=D D + -

Câu 5: Tính số gia của hàm số 1y

x= tại điểm x (bất kì khác 0 ) ứng với số gia .xD


Trang 392

A. ( )

.x

yx x x

DD =

+D B.

( ).

xy

x x x

DD =-

+D C. .

xy

x x

DD =-

+D D. .

xy

x x

DD =

+D


Ta có ( ) ( )( )

1 1.

xy f x x f x

x x x x x x

DD = +D - = - =-

+D +D

Câu 6: Tính tỷ số y

x

DD

của hàm số 3 1y x= + theo x và .xD

A. 0.y

x

D=

D B. 1.

y

x

D=

D C. 2.

y

x

D=

D D. 3.

y

x

D=

D


Ta có ( ) ( ) ( ) [ ]3 1 3 1 3y f x x f x x x x xé ùD = +D - = +D + - + = Dë û 3.y

x

D =

D


x

DD

của hàm số 2 1y x= - theo x và .xD

A. 0.y

x

D=

D B. 2 .

yx x

x

D=D +

D C. 2 .

yx x

x

D= +D

D D. .

yx

x

D=D

D

Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 221 1 2y f x x f x x x x x x xé ùD = +D - = +D - - - = D + Dê úë û

2 .y

x xx

D = +D

D


x

DD

của hàm số 32y x= theo x và .xD

A. ( )332 2

.x xy

x x

- DD=

D D B. ( )2

2 .y

xx

D= D

D

C. ( )226 6 2 .y

x x x xx

D= + D + D

D D. ( )223 3 .

yx x x x

x

D= + D + D

D

Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 33 22 2 6 6 2y f x x f x x x x x x x x xD = +D - = +D - = D + D + D

( )226 6 2 .y

x x x xx

D = + D + D

D


x

DD

của hàm số 1y

x= theo x và .xD

A. ( )

1.

y

x x x x

D=

D +D B.

( )1

.y

x x x x

D=-

D +D C. 1

.y

x x x

D=-

D +D D. 1

.y

x x x

D=

D +D


Ta có ( ) ( )( )

1 1 xy f x x f x

x x x x x x

DD = +D - = - =-

+D +D

( )1

.y

x x x x

D =-

D +D

Câu 10: Đạo hàm của hàm số ( ) 2f x x x= - tại điểm 0x ứng với số gia xD là:


Trang 393

A. ( )( )2

0lim 2 .

xx x x x

D D + D -D B. ( )

0lim 2 1 .

xx x

D D + -

C. ( )0

lim 2 1 .x

x xD

D + + D. ( )( )2

0lim 2 .

xx x x x

D D + D +D


Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0 0 0y f x x f x x x x x x xé ùD = +D - = +D - +D - -ê úë û

( )2

0 02 2 1.y

x x x x x xx

D= D + D -D =D + -

D

Khi đó ( ) ( )0 00 0' lim lim 2 1 .

x x

yf x x x

xD D

D= = D + -

D

Dạng 3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

1. Phương pháp



Câu 11: Một chất điểm chuyển động theo phương trình ( ) 2s t t= , trong đó 0,t > t tính bằng giây

và ( )s t tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm 2t = giây.

A. 2m/ s. B. 3m/ s. C. 4m/ s. D. 5m/ s. Lời giải

Chọn C Ta tính được ( )' 2 .s t t=

Vận tốc của chất điểm ( ) ( ) ( )' 2 2 2.2 4m/s.v t s t t v= = = =

Câu 12: Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình ( ) 2196 4, 9s t t t= - trong đó 0,t > t tính

bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và ( )s t là khoảng cách của viên đạn

so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? A. 1690m. B. 1069m. C. 1906m. D. 1960m.

Lời giải Chọn D Ta tính được ( )' 196 9,8 .s t t= -

Vận tốc của viên đạn ( ) ( ) ( )' 196 9,8 0 196 9,8 0 20.v t s t t v t t t= = - = - = =

Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng ( ) 220 196.20 4, 9.20 1960m.h s= = - =

Câu 13: Một chất điểm chuyển động có phương trình ( ) 3 23 9 2s t t t t= - + + , trong đó 0,t > t tính

bằng giây và ( )s t tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì bận tốc của vật đạt giá trị nhỏ

nhất? A. 1s.t = B. 2s.t = C. 3s.t = D. 6s.t =

Lời giải Chọn A Ta tính được ( ) 2' 3 6 9.s t t t= - +

Vận tốc của chất điểm ( ) ( ) ( )22' 3 6 9 3 1 6 6.v t s t t t t= = - + = - + ³


Trang 394

Dấu '' ''= xảy ra 1.t =

Câu 14: Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức ( ) 28 3v t t t= + , trong

đó 0,t > t tính bằng giây và ( )v t tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời

điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây. A. 26m/ s . B. 211m/ s . C. 214m/ s . D. 220m/ s .

Lời giải Chọn C Ta tính được ( )' 8 6 .v t t= +

Ta có ( ) ( )211 8 3 11 1 0 .v t t t t t= + = = >

Gia tốc của chất điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 2' 8 6 1 ' 1 8 6.1 14m/s .a t v t t a v= = + = = + =

Câu 15: Một vật rơi tự do theo phương trình 21

2s gt= , trong đó 29,8m/ sg = là gia tốc trọng

trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ ( )5st t =

đến t t+D với 0, 001s.tD =

A. tb 49m/ s.v = B. tb 49, 49m/ s.v = C. tb 49,0049m/ s.v = D.

tb 49,245m/ s.v =


Ta có ( ) ( ) ( )2 2

tb

1 112 2 49,0049m/ s.2

g t t gts t t s tv gt g t

t t

+D -+D -= = = + D =

D D

Dạng 4. Phương trình tiếp tuyến

1. Phương pháp

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm 0 0 0M x ;y là:

0 0 0y f x x x f x .

Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k thì ta giải phương trình 0f x k tìm hoành độ tiếp điểm.


Ví dụ 1: Cho hàm số y f x . Đồ thị (C) và điểm 0 0 0M x ;f x C . Phương trình của tiếp tuyến

với (C) tại 0M là:

A. 0 0y f x x x . B. 0 0y f x x x y .

C. 0 0y y f x x. D. 0 0 0y y f x x x .

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại 0 0M x ;y C :

0 0 0y f x x x y hoặc 0 0 0y y f x x x .

Ví dụ 2: Cho hàm số 2f x x 5 có f x 2x. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm

số tại điểm M có hoành độ 0x 1.


Trang 395

A. y 2 x 1 6 . B. y 2 x 1 6.

C. y 2 x 1 6. D. y 2 x 1 6.


20 0x 1 f x 1 5 6

f 1 2 .

Phương trình tiếp tuyến: y 2 x 1 6 .

Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4y f x x tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

A. y 4x 3. B. y 4x 4. C. y 4x 5. D. y 4x 5.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A

Ta có: 3f 1 1; f x 4x , do đó f 1 4.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 4 x 1 1 4x 3.

Ví dụ 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3y f x x tại điểm mà tiếp điểm có tung độ bằng 1 có

phương trình là: A. y 3x 4. B. y 3x. C. y 3x 2. D. y 3x 4.


Ta có: Khi y 1 thì 3x 1 , do đó x 1.

2f 1 1; f x 3x , do đó f 1 3.


Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4y f x x có hệ số góc bằng 4.

A. y 4x 3. B. y 4x. C. y 4x 5. D. y 4x 4.


Ta có: 3f x 4x .

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 4 nên 34x 4 , do đó x 1 ; f 1 1.



Câu 16: Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol 2y x= tại điểm có hoành độ 1.

2

A. 0.k = B. 1.k = C. 1.

4k = D. 1

.2

k =-


Ta có ( )

2 2

0 0 0

1 1 1 11 2 2 2 2

' lim lim lim 1 1.2 x x x

f x f xy x

x xD D D

æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç+D - +D -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çæ ö è ø è ø è ø è ø÷ç = = = +D =÷ç ÷çè ø D D


Trang 396

Vậy 1' 1

2k y

æ ö÷ç= =÷ç ÷çè ø.

Câu 17: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3y x= tại điểm ( )1; 1 .- -

A. 3 4.y x=- - B. 1.y =- C. 3 2.y x= - D. 3 2.y x= +

Lời giải Chọn D Ta tính được ( )' 1 3.k y= - =

Ta có 0

0

1

1

3

x

y

k

ì =-ïïïï =-íïïï =ïî

. Suy ra phương trình tiếp tuyến ( )1 3 1 3 2.y x y x+ = + = +

Câu 18: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1y

x= tại điểm có hoành độ bằng 1- .

A. 2 0.x y+ + = B. 2.y x= + C. 2.y x= - D. 2.y x=- +

Lời giải Chọn A Ta tính được ( )' 1 1.k y= - =-

Với 0 01 1.x y=- =-

Ta có 0

0

1

1

1

x

y

k

ì =-ïïïï =-íïïï =-ïî

. Suy ra phương trình tiếp tuyến ( )1 1 1 2.y x y x+ =- + =- -

Câu 19: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3y x= tại điểm có tung độ bằng 8.

A. 8.y = B. 12 16.y x=- + C. 12 24.y x= - D. 12 16.y x= -

Lời giải Chọn D Với 0 08 2.y x= = Ta tính được ( )' 2 12.k y= =

Ta có 0

0

2

8

12

x

y

k

ì =ïïïï =íïïï =ïî

. Suy ra phương trình tiếp tuyến ( )8 12 2 12 16.y x y x- = - = -

Câu 20: Cho hàm số 3 23 2.y x x= - + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm

với trục tung. A. 2 .y x= B. 2.y = C. 0.y = D. 2.y =-

Lời giải Chọn B Ta có : ( )2

0 00; 2; ' 3 6 ' 0 0x y y x x k y= = = - = =

Ta có : 0

0

0

2

0

x

y

k

ì =ïïïï =íïïï =ïî

. Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2.y =

Câu 21: Cho hàm số 3 23 2.y x x= - + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm

với đường thẳng 2.y =-

A. 9 7; 2.y x y=- + =- B. 2.y =- C. 9 7; 2.y x y= + =- D.

9 7; 2.y x y= + =

Lời giải


Trang 397

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm : 3 2 13 2 2 .

2

xy x x

x

é =-ê= - + =- ê =ë

Với ( )2

1' 1 9

yx

k y

ì =-ïï=- íï = - =ïî. Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 9 7.y x= +

Với ( )2

2' 2 0

yx

k y

ì =-ïï= íï = - =ïî . suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2.y =-

Câu 22: Cho hàm số 3 23 2.y x x= - + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng 9 7.y x= +

A. 9 7; 9 25.y x y x= + = - B. 9 25.y x= - C. 9 7; 9 25.y x y x= - = + D. 9 25.y x= +

Lời giải Chọn B Gọi ( )0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm.

Ta tính được ( ) 20 0 0' 3 6 .k y x x x= = - Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 9 7y x= +

nên có 020 0

0

19 3 6 9 .

3

xk x x

x

é =-ê= - = ê =ë

Với 00

21

9

yx

k

ì =-ïï=- íï =ïî. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ( )9 7y x= + loaïi (vì trùng với

đường thẳng đã cho).

Với 00

23

9

yx

k

ì =ïï= íï =ïî . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 9 25.y x= -

Câu 23: Cho hàm số 3 23 2.y x x= - + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng 1.

45y x=-

A. 45 173; 45 83.y x y x= - = + B. 45 173.y x= -

C. 45 173; 45 83.y x y x= + = - D. 45 83.y x= -

Lời giải Chọn A Gọi ( )0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm.

Ta tính được ( ) 20 0 0' 3 6 .k y x x x= = - Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1

45y x=-

nên có 020 0

0

51. 1 45 3 6 45 .

345

xk k x x

x

é =æ ö÷ç ê- =- = - = ÷ç ÷ç êè ø =-ë

Với 00

525

45

yx

k

ì =ïï= íï =ïî . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 45 173.y x= -

Với 00

523

45

yx

k

ì =-ïï=- íï =ïî. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 45 83.y x= +

Câu 24: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1y

x= biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

1.

4-

A. 4 1 0 ; 4 1 0.x y x y+ - = + + = B. 4 4 0 ; 4 4 0.x y x y+ - = + + =

C. 1 14 ; 4.

4 4y x y x=- - =- + D. 1

4y x=- .


Trang 398


Gọi ( )0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm. Ta tính được ( )0 20

1' .k y x

x= =-

Theo giả thiết ta có 20 02

0

1 1 14 2.

4 4k x x

x=- - =- = =

· Với 0 0

12

2x y= = . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

( )1 12 4 4 0.

4 2y x x y=- - + + - =

· Với 0 0

12

2x y=- =- . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

( )1 12 4 4 0.

4 2y x x y=- + - + + =

Câu 25: Cho hàm số 3 23 2.y x x= - + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết cosin

góc tạo bởi tiếp tuyến và đường thẳng : 4 3 0x yD - = bằng 3.

5

A. 2; 1.y y= = B. 2; 1.y y=- = C. 2; 1.y y=- =- D. 2; 2.y y= =-

Lời giải Chọn D Gọi ( )0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm ( ) 2

0 0 0' 3 6 .k y x x x = = -

Phương trình tiếp tuyến d có dạng ( )0 0 .y y k x x+ = -

Suy ra tiếp tuyến d có một vectơ pháp tuyến là ( );1 .dn k= -

Đường thẳng D có một vectơ pháp tuyến là ( )4; 3 .nD = -

Theo đề bài ta có: ( )2

04 3 3

cos , .2451 16 9

7

kk

dkk

é =- - êêD = = ê =-+ + êë

Với 20 0

24 243 6 :

7 7k x x=- - =- vô nghiệm.

Với 020 0

0

00 3 6 0 .

2

xk x x

x

é =ê= - = ê =ë

· 0 00 2x y= = Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2 0 2.y y- = =

· 0 02 2x y= =- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2 0 2.y y+ = =-


Trang 399

BÀI 2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM


I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Định lý 1: Hàm số ny x n ,n 1 có đạo hàm tại mọi x và

'n n 1x nx .

Nhận xét

'c ' 0 claø haèng soá .

x 1.

Định lý 2: Hàm số y x có đạo hàm tại mọi x dương và ' 1x .2 x

II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG

1. Định lý

Định lý 3: Giả sử u u x ,v v x là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Ta có

'

2

u v ' u' v'

u v ' u' v'

uv ' u'v v'u

u u'v v'u v 0v v

Bằng quy nạp toán học, ta chứng minh được

' ' ' '1 2 n 1 2 nu u ... u u u ... u .

2. Hệ quả

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì ' 'ku ku .

Hệ quả 2: '

21 u' , u 0 .u u

III. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

1. Hàm hợp


Trang 400

Giả sử u g x là hàm số của x, xác định trên khoảng a,b và lấy giá trị trên khoảng c,d ; f u

là hàm số của u, xác định trên c,d và lấy giá trị trên . Khi đó, ta lập một hàm số xác định trên

a,b và lấy giá trị trên theo quy tắc sau: x f g x .

Ta gọi hàm số y f g x là hàm hợp của hàm số y f u với u g x .

2. Đạo hàm của hàm hợp

Định lý: Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại x là 'xu và hàm số y f u có đại hàm tại u là '

uy

thì hàm hợp y f g x có đạo hàm tại x là ' ' 'x u xy y .u .

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP

Dạng 1. Đạohàmcủahàmđathức

1.Phươngpháp

2.Cácvídụrènluyệnkĩnăng

Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2y 2x 3x 5 . Tìm x để y 0

Hướng dẫn giải 3 2y 2x 3x 5

2 x 0y 0 6x 6x 0 x x 1 0 .

x 1

Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2y 3x x 1 . Giải bất phương trình y 0 .


ĐÁP ÁN A 3 2 2y 3x x 1 y 9x 2x

2 2y 0 9x 2x 0 x 0.9

Ví dụ 3: Cho hai hàm số 2 21 3f x x 4x; g x 9x x .2 2

Tìmx để f x g x


f x x 4; g x 9 3x. Do đó 5f x g x 4x 5 x .4

Ví dụ 4: Cho hàm số 31f x mx x .3

Tìm m đê ị x 1 là nghiệm của bất phương trình f x 2



Trang 401

Ta có: 2f x m x . Giá trị x 1 là nghiệm của bất phương trình f x 2 khi và chỉ khi:

m 1 2 m 3.

3.Bàitậptrắcnghiệm

Câu 1: Cho hàm số ( ) 3 212 2 8 1

3f x x x x= - + - , có đạo hàm là ( )f x¢ . Tập hợp những giá trị của

x để ( ) 0f x¢ = là:

A. { }2 2 .- B. { }2; 2 . C. { }4 2 .- D. { }2 2 .

Lời giải

Chọn D

Ta có: ( ) 2 4 2 8f x x x¢ = - + .

Phương trình ( ) 20 4 2 8 0 2 2f x x x x¢ = - + = = .

Câu 2: Cho hàm số 3 23 1y x x= + + , có đạo hàm là y ¢ . Để 0y ¢ £ thì x nhận các giá trị thuộc tập

nào sau đây?

A. 2;0 .

9

é ùê ú-ê úë û

B. 9;0 .

2

é ùê ú-ê úë û

C. [ )9; 0; .

2

æ ùç ú-¥ - È +¥çç úè û D. [ )2

; 0; .9

æ ùç ú-¥ - È +¥çç úè û

Lời giải

Chọn A

Ta có: 29 2y x x¢ = + .

Do đó, 2 2 20 9 2 0 ;0

90

9y y x x x x

é ù¢ ¢ ê ú£ = + - £ £ -

êë£

ûÎ

ú.

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số ( ) 4 3 24 13 2xf x xx x+ - +=- + tại điểm 1x =- .

A. ( )1 .4f ¢ - = B. ( )1 14.f ¢ - = C. ( )1 15.f ¢ - = D. ( )1 24.f ¢ - =

Lời giải

Chọn D

Ta có: ( ) 3 212 64 2xf x xx + -¢ =- + .

Suy ra ( ) ( ) ( ) ( )3 212 1 61 4 1 2 241f ¢ - =- - +- - =+ - .

Câu 4: Cho hàm số ( )3 212 1 4

3y x m x mx= - + - - , có đạo hàm là y ¢ . Tìm tất cả các giá trị của m

để 0y ¢ ³ với x" Î .

A. 11; .

4m

æ ö÷çÎ - - ÷ç ÷çè ø B. 1

1; .4

mé ùê úÎ - -ê úë û


Trang 402

C. ( ] 1; 1 ; .

4m

é ö÷êÎ -¥ - È - +¥÷÷ê øë D. 1

1; .4

mé ùê úÎ -ê úë û

Lời giải

Chọn B

Ta có: ( )2 22 1y x m x m¢ = +- - .

Khi đó, 0'y ³ với x" Î ( )2 2 1 02x m x m + - ³- với x" Î

( )2 2 12 1 0 4 5 1 0 1

4m m m m m¢ D = + + £ + + £ - £ £- .

Câu 5: Cho hàm số ( )3 211 3

3y mx m x mx=- + - - + , có đạo hàm là y ¢ . Tìm tất cả các giá trị của m

để phương trình 0y ¢ = có hai nghiệm phân biệt là 1 2,x x thỏa mãn 2 21 2 6x x+ = .

A. 1 2m =- + ; 1 2.m =- - B. 1 2.m =- -

C. 1 2m = - ; 1 2.m = + D. 1 2.m =- +

Lời giải

Chọn A

Ta có: ( )2 2 1y mx m x m¢ =- + - - .

Phương trình 0y ¢ = có hai nghiệm phân biệt

( )2 2 1 0mx m x m- + - - = có 2 nghiệm phân biệt

( )2 2

001

012

mm

mm m

ìïìï ïï ï í íï ï>ï ïî

¹¹

¢ <D =î

- -ï

.

Khi đó, gọi 1 2,x x là hai nghiệm phân biệt của phương trình ( )

1 2

1 2

2 1

1

x

x

mx

mx

ìï -ïïïí=

+ =ïïïïî

.

Ta có: ( )( )

2

2

1 22 21 2 21

2 16 2 62 6

mx x x x

mx x

æ ö÷ç ÷+ - = ç ÷ç ÷-

+ = ÷è-

ç=

ø

2 2 1 0 1 2mm m+ - = =- .

So với điều kiện thì 1 2m =- thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 6: Biết hàm số ( ) ( )3 2 0bxf ax dx a cx+ + + >= có đạo hàm ( ) 0f x¢ > với x" Î . Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A. 2 3 0.acb - > B. 2 3 0.acb - ³ C. 2 3 0.acb - < D. 2 3 0.acb - £

Lời giải

Chọn C


Trang 403

Ta có ( ) 2 23f x ax bx c¢ + += . Vì 0a> và ( ) 0f x¢ > với x" Î nên 0¢D < tức là 2 3 0b ac- < .

Câu 7: Biết hàm số ( ) ( )3 2 0bxf ax dx a cx+ + + <= có đạo hàm ( ) 0f x¢ < với x" Î . Mệnh đề


A. 2 3 0.acb - > B. 2 3 0.acb - ³ C. 2 3 0.acb - < D. 2 3 0.acb - £

Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) 2 23f x ax bx c¢ + += . Vì 0a < và ( ) 0f x¢ < với x" Î nên 0¢D < tức là 2 3 0b ac- < .

Câu 8: Tính đạo hàm của của hàm số ( )23 22y x x= - .

A. ( ) 5 4 36 20 16 .f x x x x¢ = - + B. ( ) 5 36 16 .f x x x¢ = +

C. ( ) 5 4 36 20 4 .f x x x x¢ = - + D. ( ) 5 4 36 20 16 .f x x x x¢ = - -

Lời giải

Chọn A

Ta có: ( ) ( ) ( )( )3 2 3 2 3 2 5 42 342 2 2 2 3 2 6 20 16y x x x x x x x x xx x-¢¢ = - - = - = - + .

Câu 9: Cho hàm số ( )322 1y x= + , có đạo hàm là y ¢ . Để 0y ¢ ³ thì x nhận các giá trị nào sau

đây?

A. Không có giá trị nào của .x B. ( ];0 .-¥ C. [ )0; .+¥ D. .

Lời giải

Chọn C

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 23 2 1 2 1 3.4 2 1 12 2 1y x x x x x x¢¢ = + + = + = + .

Do đó, ( )220 12 2 1 0y x x x¢ ³ + ³ .

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số ( )531y x= - .

A. ( )2 435 1 .y x x¢ = - B. ( )2 4315 1 .y x x¢ =- -

C. ( )2 3 43 1 .y x x¢ =- - D. ( )2 3 4

5 1 .y x x¢ =- -

Lời giải

Chọn B

Ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 2 3 24 34 45 1 1 5 3 1 15 1y x x x x x x¢¢ = - - = - - =- - .

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số ( )20163 22y x x= - .


Trang 404

A. ( )20153 22016 2 .y x x¢ = - B. ( ) ( )20153 2 22016 3 .42y x xx x¢ = --

C. ( )( )3 2 22016 2 3 4 .y x x x x¢ = - - D. ( )( )3 2 22016 2 3 2 .y x x x x¢ = - -

Lời giải

Chọn B

Ta có: ( ) ( ) ( )( )2015 20153 2 3 2 2 3 22016 2 2 2016 3 4 2y x x x x x x xx¢¢ = - - = -- .

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số ( )( )2 2 2 1y x x= - - .

A. 4 .y x¢ = B. 2 2.3 6xy x - +¢ =

C. 2 4.2 2xy x - +¢ = D. 2 4.6 2xy x - -¢ =

Lời giải

Chọn D

Ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 12 2 2 1 22 2 2 46y x x x x x x x x x¢ ¢¢ = - + - = =-+ --- - -

Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số ( ) ( )( ) ( )1 2 ... 2018f x x x x x= - - - tại điểm 0x = .

A. ( )0 0.f ¢ = B. ( )0 2018!.f ¢ =- C. ( )0 2018!.f ¢ = D. ( )0 2018.f ¢ =

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 ... 1;nf x f x f x f x f n nx ³= Î .

Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 1 0 1... ... ... ...n nnf x f x f x f x f x f x f x f x f x f x¢¢ ¢ ¢= + + +

Áp dụng công thức trên cho hàm số ( ) ( )( ) ( )1 2 ... 2018f x x x x x= - - - và thay 0x = với chú

ý ( )0 0 0f = ta được:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 . 2 ... 2018 0. 2 .... 2018 0. 1 ... 2017 2018!f ¢ = - - - + - - + - - = .

Câu 14: Tính đạo hàm của hàm số ( ) ( )( ) ( )1 2 ... 2018f x x x x x= + + + tại điểm 1004x =- .

A. ( )1004 0.f ¢ - = B. ( )1004 1004!.f ¢ - =

C. ( )1004 1004!.f ¢ - =- D. ( ) ( )2' 1004 1004! .f ¢ - =

Lời giải

Chọn D

Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 ... 1;nf x f x f x f x f n nx ³= Î .

Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 1 0 1... ... ... ...n nnf x f x f x f x f x f x f x f x f x f x¢¢ ¢ ¢= + + + .


Trang 405

Áp dụng công thức trên cho hàm số ( ) ( )( ) ( )1 2 ... 2018f x x x x x= + + + và thay 1004x =-

với chú ý ( )1004 1004 0f - = ta được

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

1004 1004 . 1004 1 ... 1004 1003 . 1004 1005 ... 1004 2018

1 .1. 2 .2..... 1004 .1004 1004! .

f é ù é ù¢ - = - - + - + - + - +ë û ë û

= - - - =

Dạng2.Đạohàmcủahàmphânthức

1.Phươngpháp


Ví dụ 1: x 1 3x

yx 1


2 2

2 2

1 6x x 1 1 x 3xx 1 3x 3x 6x 1y y .x 1 x 1 x 1

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số 2x 3y2x 1


Dùng công thức nhanh:

2ax b ad bcy y .cx d cx d

Do đó, với 2x 3y2x 1

thì

28y .

2x 1

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số 21y

x 1


2

2 22 2

x 1 2xy .x 1 x 1

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số 2

2x 1yx 1

?

Hướng dẫn giải 2 2

2 2 2x 1 x 1 2 2y 1x 1 x 1 x 1

Do đó

2

2 22 2

2 x 1 4xy .x 1 x 1


1yx x 1



Trang 406

2

2 22 2

x x 1 2x 1y .x x 1 x x 1


2x x 3yx x 1

Hướng dẫn giải 2 2

2 2 2x x 3 x x 1 4 4y 1 .x x 1 x x 1 x x 1

Do đó:

2

2 22 2

4 x x 1 4 2x 1y .

x x 1 x x 1


Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số ( ) 2

1

xf x

x=

- tại điểm 1x =- .

A. ( )1 1.f ¢ - = B. ( ) 11 .

2f ¢ - =- C. ( )1 2.f ¢ - =- D. ( )1 0.f ¢ - =

Lời giải

Chọn B

TXĐ: { }D \ 1 .=

Ta có ( )( )

( )2

2 11

21f x f

x

-¢ ¢= - =--

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số 2 2 3

.2

x xy

x

+ -=

+

A. ( )2

3' 1 .

2y

x= +

+ B.

( )

2

2

6 7' .

2

x xy

x

+ +=

+

C. ( )

2

2

4 5' .

2

x xy

x

+ +=

+ D.

( )

2

2

8 1' .

2

x xy

x

+ +=

+

Lời giải

Chọn A

Ta có ( )2

3 31

2 2y x y

x x¢= - = +

+ +.

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số ( )1 3

.1

x xy

x

-=

+

A. 2

2

9 4 1' .

( 1)

x xy

x

- - +=

+ B.

2

2

3 6 1' .

( 1)

x xy

x

- - +=

+ C. 2' 1 6 .y x= - D.

( )

2

2

1 6' .

1

xy

x

-=

+

Lời giải


Trang 407

Chọn B

Ta có: ( ) 21 3 3

1 1

x x x xy

x x

- -= =

+ +

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2

3 1 3 1 1 6 1 3 3 6 1.

1 1 1

x x x x x x x x x x x xy

x x x

¢ ¢- + - - + - + - - - - +¢ = = =+ + +

Câu 4: Cho hàm số ( )21 3

1

x xf x

x

- +=

-. Giải bất phương trình ( ) 0.f x¢ >

A. { }\ 1 .x Î B. .x ÎÆ C. ( )1; .x Î +¥ D. .x Î

Lời giải

Chọn A

Ta có: ( )( ) ( ) ( )( )

( )

2 2

2

1 3 1 1 3 1

1

x x x x x xf x

x

¢ ¢- + - - - + -¢ =

-

( )( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

3 2 1 1 3 2 2

1 1

x x x x x x

x x

- + - - - + - += =

- -.

Bất phương trình ( )( )

{ }22

2

2 2 02 20 0 \ 1

11

x xx xf x x

xx

ìï - + >- + ï¢ > > Îíï ¹- ïî .


1

xf x

x=

-. Phương trình ( ) 0f x¢ = có tập nghiệm S là:

A. 20; .

3S

ì üï ïï ï=í ýï ïï ïî þ B. 2

;0 .3

Sì üï ïï ï= -í ýï ïï ïî þ

C. 30; .

2S

ì üï ïï ï=í ýï ïï ïî þ D. 3

;0 .2

Sì üï ïï ï= -í ýï ïï ïî þ

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

3 3 2 3 3 2

2 2 2

1 1 3 1 2 3

1 1 1

x x x x x x x x xf x

x x x

¢ ¢- - - - - -¢ = = =- - -

.


3 23 2

2

02 3

0 0 2 3 0 31

2

xx x

f x x xxx

é =ê-¢ ê= = - = ê =- êë

.

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số 2

2

2 7.

3

x xy

x

- + -=

+

A. ( )

2

22

3 13 10' .

3

x xy

x

- - -=

+ B.

( )

2

22

3' .

3

x xy

x

- + +=

+

C. ( )

2

22

2 3' .

3

x xy

x

- + +=

+ D.

( )

2

22

7 13 10' .

3

x xy

x

- - -=

+

Lời giải


Trang 408

Chọn C

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

22

2 7 3 3 2 7

3

x x x x x xy

x

¢ ¢- + - + - + - + -¢ =

+

( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 22

4 1 ( 3) 2 . 2 7 2 3

( 3)3

x x x x x x xy

xx

- + + - - + - - + +¢ = =++

Dạng3.Đạohàmcủahàmchứacăn

1.Phươngpháp


Ví dụ 1: Cho hàm số y 4x x . Tìm x để y 0 ?


1y 4x x y 42 x

1 1 1y 0 4 0 x x .8 642 x

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số 3y x x 1


2 1y' 3x .2 x

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 21f x x 3 2x 18x 7.3

Tìm x để f x 0


22f x x 6 2x 18 x 3 2 .

2f x 0 x 3 2 0 x 3 2.

Ví dụ 4: Cho hàm số f x 1 x . Tính f 3 x 3 .f 3 ?


Ta có: 1 1f x f 3 .42 1 x

Lại có: f 3 2. Vậy 1 x 5f 3 x 3 .f 3 2 x 3 . .4 4

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số: 2

1yx 1

?


Ta có:

2

2 32

xxx 1y .

x 1x 1


Trang 409

Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số: 2y x x 1?


Ta có: 2

22 2

x 2x 1y x 1 x. .x 1 x 1

Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số: 1 xy ?1 x


Ta có:

31 1 x 1 2 2x 1 x 3 xy 1 x . .

1 x 1 x2 1 x 2 1 x 2 1 x


Câu 1: Cho hàm số 2 3 .y x x=- + Tập nghiệm S của bất phương trình ' 0y > là:

A. ( ); .S = -¥ +¥ B. 1; .9

Sæ ö÷ç= -¥ ÷ç ÷çè ø

C. 1; .

9S

æ ö÷ç= +¥÷ç ÷çè ø D. .S =Æ

Lời giải

Chọn C

Ta có 12 3 ' 3.y x x y

x

-=- + = +

Do đó 1 1 1' 0 3 0 3

9y x

x x

-> + > > >

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số ( ) 1f x x= - tại điểm 1x = .

A. ( ) 1' 1 .

2f = B. ( )' 1 1.f = C. ( )' 1 0.f = D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn D

Ta có ( ) 1' .

2 1f x

x=

-

Tại 1x = thì ( )'f x không xác định.

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số 21 2 .y x= -

A. 2

1' .

2 1 2y

x=

- B.

2

4' .

1 2

xy

x

-=

- C.

2

2' .

1 2

xy

x

-=

- D.

2

2' .

1 2

xy

x=

-

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )2

2 2 2

1 2 ' 4 2'

2 1 2 2 1 2 1 2

x x xy

x x x

- - -= = =

- - -.


Trang 410

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số 2 34 .y x x= -

A. 2

2 3

6' .

4

x xy

x x

-=

- B.

2 3

1' .

2 4y

x x=

-

C. 2

2 3

12' .

2 4

x xy

x x

-=

- D.

2

2 3

6' .

2 4

x xy

x x

-=

-

Lời giải

Chọn A

Ta có 2 2

2 3 2 3

2 12 6

2 4 4

x x x xy

x x x x

- -¢ = =- -

.

Câu 5: Cho hàm số ( ) 2 2 .f x x x= - Tập nghiệm S của bất phương trình ( ) ( )'f x f x³ có bao

nhiêu giá trị nguyên?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )( )2

2 2 2

2 ' 2 2 1' .

2 2 2 2 2

x x x xf x

x x x x x x

- - -= = =

- - -

Khi đó, ( ) ( ) 2

2

1' 2

2

xf x f x x x

x x

-³ ³ -

-

2 2 3 5 3 51 2 3 1 0

2 2x x x x x x

- + - ³ - - + £ £ £

Vì { }1;2x xÎ = tập S có 2 giá trị nguyên.

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số ( ) .f x x x=

A. ( ) 1' .

2f x x= B. ( ) 3

' .2

f x x= C. ( ) 1' .

2

xf x

x= D.

( )' .2

xf x x= +

Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) ( ) 1 3' '. . ' . .

2 22

xf x x x x x x x x x

x= + = + = + =

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số 2 2 .y x x x= -

A. 2

2 2.

2

xy

x x

-¢ =-

B. 2

2

3 4.

2

x xy

x x

-¢ =-


Trang 411

C. 2

2

2 3.

2

x xy

x x

-¢ =-

D. 2

2

2 2 1.

2

x xy

x x

- -¢ =-

Lời giải

Chọn C

Ta có 2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 2 32 . .

2 2 2 2

x x x x x x xy x x x

x x x x x x

- - + - -¢ = - + = =- - -

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số ( ) 22 1 .y x x x= - +

A. 2

2

2

4 12 .

2

xy x x

x x

-¢ = + -+

B. 2

2

2

4 12 .

xy x x

x x

-¢ = + ++

C. 2

2

2

4 12 .

2

xy x x

x x

-¢ = + ++

D. 2

2

2

4 12 .

2

xy x x

x x

+¢ = + ++

Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) ( ) ( )2 22 1 . 2 1 .y x x x x x x¢¢¢ = - + + - +

( )( ) 22 2

2 2

2 1 2 1 4 12. 2 .

2 2

x x xx x x x

x x x x

- + -= + + = + +

+ +


1.

1y

x=

+

A. 2 2

' .( 1) 1

xy

x x=

+ + B.

2 2.

( 1) 1

xy

x x¢ =-

+ +

C. 2 2

.2( 1) 1

xy

x x¢ =

+ + D.

2

2

( 1).

1

x xy

x

+¢ =-+

Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) ( )

( )

2 2

22 2 2

1 11

11 2 1 1

x xy

xx x x

¢ ¢¢ - +æ ö - +÷ç ÷¢ ç= = =÷ç ÷ç ÷ +è ø+ + +

( )2 2.

1 1

x

x x

-=

+ +


1.

1

xy

x

-=

+

A. 2

2' .

1

xy

x=

+ B.

2 3

1' .

( 1)

xy

x

+=

+


Trang 412

C. 2 3

2( 1)' .

( 1)

xy

x

+=

+ D.

2

2 3

1' .

( 1)

x xy

x

- +=

+

Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) ( )( )

( )

( )

( )

22 2

2

2 22 2

1 11 . 1 1 1 1

1 1

xx xx x x x x

yx x

¢ + - -¢- + - - + +¢ = =+ +

( )2 2

3 2 32

1 1.

( 1)1

x x x x

xx

+ - + += =

++

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số 2 1.

2

xy

x

-=

+

A. ( )2

5 2' . .

2 12 1

xy

xx

+=

-- B.

( )2

1 5 2' . . .

2 2 12 1

xy

xx

+=

--

C. 1 2' . .

2 2 1

xy

x

+=

- D.

( )2

1 5 2' . . .

2 2 12

xy

xx

+=

-+

Lời giải

Chọn D

Ta có ( )2

1 2 1 1 5 2. . . .

2 2 2 12 1 22

2

x xy

x xx xx

¢æ ö- +÷ç¢ = =÷ç ÷çè ø+ -- ++

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số 2 1

.x

yx

+=

A. 2 2

1 1' 1 .

2 1

xy

x x

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø+ B.

2

1' .

2 1

xy

x=

+

C. 2 2

1 1' 1 .

2 1

xy

x x

æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø+ D.

2 2

1 1' .

2 1

xy x

x x

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø+

Lời giải

Chọn A

Ta có 2

2 22

1 1 1 1' ' 1 .

2 112

x xy

x x xxx

æ ö æ ö+ ÷ç ÷ç÷= = -ç ÷ç÷ ÷ç ç÷ç è ø+è ø+

Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số 1.

1 1y

x x=

+ - -

A. ( )2

1.

1 1y

x x¢ =-

+ + - B. 1

.2 1 2 1

yx x

¢ =+ + -


Trang 413

C. 1 1.

4 1 4 1y

x x¢ = +

+ - D. 1 1

.2 1 2 1

yx x

¢ = ++ -

Lời giải

Chọn C

Ta có 1 1 1.

21 1

x xy

x x

+ + -= =

+ - -

( )1 1 1 1 1 11 1 .

2 2 2 1 2 1 4 1 4 1y x x

x x x x

æ ö¢ ÷ç¢ ÷ = + + - = + = +ç ÷ç ÷çè ø+ - + -

Câu 14: Tính đạo hàm của hàm số ( )2

3 2

3 2 1

2 3 2 1

x xf x

x x

+ +=

+ + tại điểm 0.x =

A. ( )' 0 0.f = B. ( ) 1' 0 .

2f = C. Không tồn tại. D. ( )' 0 1.f =

Lời giải

Chọn B

Ta có ( )( ) ( ) ( )

( )

2 3 2 2 3 2

23 2

3 2 1 .2 3 2 1 3 2 1 . 2 3 2 1

2 3 2 1

x x x x x x x xf x

x x

¢¢+ + + + - + + + +¢ =

+ +

( ) ( )

( ) ( )

23 2 2

4 3 23 2

2 3 2 3 23 2

9 46 2 2 3 2 1 3 2 1

9 6 9 8 43 2 1

4 3 2 1 3 2 12 3 2 1

x xx x x x x

x x x xx x

x x x xx x

++ + + - + +

+ - + ++ += =+ + + ++ +

( ) 4 1 0 .

8 2f ¢ = =


2 2

ay

a x=

- ( a là hằng số).

A. ( )

3

2 2 2 2.

a xy

a x a x¢ =

- - B.

3

2 2.

a xy

a x¢ =

-

C. ( )

3

2 2 2 2.

2

a xy

a x a x¢ =

- - D.

( )( )

3 2

2 2 2 2

3 2.

2

a a xy

a x a x

-¢ =

- -

Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) ( )

( ) ( )

3 2 23 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

' 2' .

2 .

a a x a x a xy

a x a x a x a x a x

- - - -= = =

- - - - -


Trang 414

BÀI 3. ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC


1. Giới hạn của sin x

x

Định lý 1

0

sinlim 1.x

x

x=

Nếu ( )0

lim 0x x

u x

= thì ( )

( )0

sinlim 1x x

u x

u x= .

2. Đạo hàm của hàm số siny x=

Định lý 2

Hàm số siny x= có đạo hàm tại mọi x Î và ( )sin cosx x¢ = .

Nếu siny u= và ( )u u x= thì ( )sin .cosu u u¢ ¢= .

3. Đạo hàm của hàm số cosy x=

Định lý 3

Hàm số cosy x= có đạo hàm tại mọi x Î và ( )cos sinx x¢ =- .

Nếu cosy u= và ( )u u x= thì ( )cos sinu u u¢ ¢=- .

4. Đạo hàm của hàm số tany x=

Định lý 4

Hàm số tany x= có đạo hàm tại mọi 2

x kp

p¹ + và ( ) 2

1tan

cosx

x¢ = .

Nếu tany u= và ( )u u x= thì ( ) 2tan

cos

uu

u

¢¢ = .

5. Đạo hàm của hàm số coty x=

Định lý 5

Hàm số coty x= có đạo hàm tại mọi x kp¹ và ( ) 2

1cot

sinx

x¢ =- .

Nếu coty u= và ( )u u x= thì ( ) 2cot

sin

uu

u

¢¢ =- .


Trang 415


Dạng 1. Tính Đạo Hàm của các hàm số lượng gics

1. Phương pháp

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm.

Áp dụng các đạo hàm lượng giác cơ bản.


Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y tan 7x


2 2

7x 7y .cos 7x cos 7x

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y cosx


cosx sin xy .2 cosx 2 cosx

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y cos2x


cos2x 2sin2x sin2xy .2 cos2x 2 cos2x cos2x

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y sin x


sin x cosxy sin x y .2 sin x 2 sin x

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y sin3x


sin3x 3cos3xy .2 sin3x 2 sin3x

Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số 2y tan 5x


2 3

5x 10sin5xy 2 tan5x. .cos 5x cos 5x

Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số y cos 3x3


y cos 3x y 3x . sin 3x 3sin 3x .3 3 3 3

Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số y sin 2x2



Trang 416

y sin 2x cos2x y 2sin2x.2

Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số f x 2sin 2x cos2x


y 2 sin2x cos2x 4cos2x 2sin2x.

Ví dụ 10: Cho 2 2f x cos x sin x. Tính f4

Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận

Ta có 2 2f x cos x sin x cos2x. Do đó f x 2sin 2x.

Vậy f 2sin 2.4 2


Chuyển sang chế độ rad bằng cách ấn phím SHIFT MODE 4


x4

d cos X sin Xdx


Ví dụ 11: Tính đạo hàm của hàm số 3y cos 4x


3 2 2 2y cos 4x y 3cos 4x. cos4x 3cos 4x. 4sin 4x 12cos 4x.sin 4x.

Ví dụ 12: Với y cos 2x4

thì

y8

y3

có giá trị bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải Cách 1: Giải bằng tự luận

y cos 2x y 2sin 2x4 4

2y 2 sin 0; y 2sin 08 4 4 3 4 3

y8

0.y

4


Chuyển sang chế độ rad bằng cách ấn phím SHIFT MODE 4


Trang 417

Nhập vào màn hình x

8

x3

d cos 2Xdx 4

d cos 2Xdx 4



Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số pæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè øsin 3

6y x .

A. 3cos 3 .6

y xpæ ö÷ç¢ = - ÷ç ÷çè ø

B. 3cos 3 .6

y xpæ ö÷ç¢ =- - ÷ç ÷çè ø

C. cos 3 .6

y xpæ ö÷ç¢ = - ÷ç ÷çè ø

D. 3sin 3 .6

y xpæ ö÷ç¢ =- - ÷ç ÷çè ø

Lời giải

Chọn B

Ta có 3 .cos 3 3.cos 36 6 6

y x x xp p p¢æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç¢ = - - =- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

.

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số 21sin

2 3y x

pæ ö÷ç=- - ÷ç ÷çè ø.

A. 2cos .3

y x xpæ ö÷ç¢ = - ÷ç ÷çè ø

B. 21cos .

2 3y x x

pæ ö÷ç¢ = - ÷ç ÷çè ø

C. 1sin .

2 3y x x

pæ ö÷ç¢ = - ÷ç ÷çè ø D. 21

cos .2 3

y x xpæ ö÷ç¢ = - ÷ç ÷çè ø

Lời giải

Chọn A

Ta có p p¢æ ö æ ö÷ ÷ç ç¢ =- - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø2 21

. . cos2 3 3

y x x ( ) p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç=- - - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø2 21

. 2 .cos .cos2 3 3

x x x x .

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số ( )2sin 3 2y x x= - + .

A. ( )2cos 3 2 .y x x¢ = - + B. ( ) ( )22 3 . sin 3 2 .y x x x¢ = - - +

C. ( ) ( )22 3 .cos 3 2 .y x x x¢ = - - + D. ( ) ( )22 3 .cos 3 2 .y x x x¢ =- - - +

Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 2 .cos 3 2 2 3 .cos 3 2y x x x x x x x¢¢ = - + - + = - - + .


Trang 418

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số = +2 tany x x x .

A. 12 tan .

2y x x

x¢ = + B. 1

2 tan .y x xx

¢ = +

C. 2

2

12 tan .

cos 2

xy x x

x x¢ = + + D.

2

2

12 tan .

cos

xy x x

x x¢ = + +

Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) ( ) ( )2

2 22

1tan + tan . 2 tan

cos 2

xy x x x x x x x

x x

¢¢ ¢¢ = + = + + .

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số 22 cosy x= .

A. 22 sin .y x¢ =- B. 24 cos .y x x¢ =-

C. 22 sin .y x x¢ =- D. 24 sin .y x x¢ =-

Lời giải

Chọn D

Ta có ( )2 2 2 22. . sin 2.2 . sin 4 siny x x x x x x¢¢ =- =- =- .

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số 1tan

2

xy

+= .

A. 2

1.

12 cos

2

yx

¢ =+

B. 2

1.

1cos

2

yx

¢ =+

C. 2

1.

12 cos

2

yx

¢ =-+

D. 2

1.

1cos

2

yx

¢ =-+

Lời giải

Chọn A

Ta có 2 2

11 12

tan1 12 cos 2 cos

2 2

xx

yx x

¢æ ö+ ÷ç ÷ç ÷¢ çæ ö è ø+ ÷ç¢ = = =÷ç ÷ç + +è ø.

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số 2sin 2y x= + .

A. 2

2

2 2cos 2 .

2

xy x

x

+¢ = ++

B. 2

2cos 2 .

2

xy x

x¢ =- +

+

C. 2

2cos 2 .

2

xy x

x¢ = +

+ D. 2

2

1cos 2 .

2

xy x

x

+¢ = ++

Lời giải

Chọn C


Trang 419

Ta có ( ) ( )2

2 2 2 2

2 2

22 cos 2 cos 2 cos 2

2 2 2

x xy x x x x

x x

¢+¢¢ = + + = + = ++ +

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số cos 2 1y x= + .

A. sin 2 1.

2 1

xy

x

+¢ =-+

B. sin 2 1.

2 1

xy

x

+¢ =+

C. sin 2 1.y x¢ =- + D. sin 2 1.

2 2 1

xy

x

+¢ =-+

Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) ( )2 1 sin 2 12 1 sin 2 1 sin 2 1

2 2 1 2 1

x xy x x x

x x

¢+ +¢¢ =- + + = + =-+ +

.

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số 2cot 1y x= + .

A. 2 2 2

.1. sin 1

xy

x x¢ =-

+ + B.

2 2 2.

1. sin 1

xy

x x¢ =

+ +

C. 2 2

1.

sin 1y

x¢ =-

+ D.

2 2

1.

sin 1y

x¢ =

+

Lời giải

Chọn A

Ta có ( )2

2

2 2 2 2 2 2 2

1 1

sin 1 sin 1 1.sin 1

xx xx

yx x x x

¢+ +¢ =- =- =-

+ + + +.

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số ( )sin sin .y x=

A. ( )cos sin .y x¢ = B. ( )cos cos .y x¢ =

C. ( )cos .cos sin .y x x¢ = D. ( )cos .cos cos .y x x¢ =

Lời giải

Chọn C

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin .cos sin cos .cos siny x x x x x¢ ¢é ù¢ = = =ë û .

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số ( )cos tany x= .

A. ( ) 2

1sin tan

cosy x

x¢ = ⋅ ⋅ B. ( ) 2

1sin tan

cosy x

x¢ =- ⋅ ⋅

C. ( )sin tan .y x¢ = D. ( )– sin tan .y x¢ =

Lời giải

Chọn C


Trang 420

Ta có ( ) ( ) ( )2

1tan sin tan .sin tan

cosy x x x

x¢¢ =- =- .

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số 22 sin cos 2y x x x= - + .

A. 4 sin sin 2 1.y x x¢ = + + B. 4 sin 2 1.y x¢ = +

C. 4 cos 2 sin 2 1.y x x¢ = + + D. 4 sin 2 sin 2 1.y x x¢ = - +

Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) ( )2.2 sin . sin 2 sin 2 1 4 cos sin 2 sin 2 1y x x x x x x x¢ ¢¢ = + + = + +

2 sin 2 2 sin 2 1 4 sin 2 1x x x= + + = +

Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số 2sin 22 2 4

y x xp p pæ ö÷ç= - + -÷ç ÷çè ø

.

A. ( )2 sin 42

y xp

p¢ =- - + ⋅ B. 2 sin cos .2 2 2

y x xp p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç¢ = - - +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

C. 2 sin cos .2 2 2

y x x xp p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç¢ = - - +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

D. ( )2 sin 4 .y xp¢ =- -

Lời giải

Chọn A

Ta có ( )2 1 cos 4

sin 22 2 4 2 2 4

xy x x x

pp p p p p- -æ ö÷ç= - + - = + -÷ç ÷çè ø

( )1 1cos 4

2 2 2 4x x

p pp

æ ö÷ç=- - + + - ÷ç ÷çè ø

Suy ra ( )1 1cos 4

2 2 2 4y x x

p pp

¢æ öæ ö÷ç ÷ç¢ ÷= - - + + - ÷ç ç ÷÷ç ç ÷ç è øè ø

( ) ( ) ( )14 sin 4 2 sin 4

2 2 2x x x

p pp p p¢= - - + =- - + .

Câu 14: Tính đạo hàm của hàm số ( )3cos 2 1y x= - .

A. ( ) ( )3sin 4 2 cos 2 1 .y x x¢ =- - - B. ( ) ( )23cos 2 1 sin 2 1 .y x x¢ = - -

C. ( ) ( )23cos 2 1 sin 2 1 .y x x¢ =- - - D. ( ) ( )26 cos 2 1 sin 2 1 .y x x¢ = - -

Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) ( ) ( )3 2cos 2 1 3cos 2 1 cos 2 1y x x x¢ ¢é ù é ù¢ = - = - -ê ú ë ûë û

( ) ( )26 sin 2 1 cos 2 1x x=- - -

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 3sin 4 2 cos 2 1 .x x x x xé ù=- - - - =- - -ë û


Trang 421

Câu 15: Tính đạo hàm của hàm số ( )3sin 1y x= - .

A. ( )3cos 1 .y x¢ = - B. ( )3cos 1 .y x¢ =- -

C. ( ) ( )23sin 1 .cos 1 .y x x¢ =- - - D. ( ) ( )23sin 1 .cos 1 .y x x¢ = - -

Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2sin 1 3. sin 1 . sin 1 3.cos 1 .sin 1y x x x x x¢ ¢é ù é ù¢ = - = - - =- - -ê ú ë ûë û .

Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số 3tan cot 2y x x= + .

A. 23 tan .cot 2 tan 2 .y x x x¢ = + B. 2

2 2

3 tan 2.

cos sin 2

xy

x x¢ =- +

C. 22

13 tan .

sin 2y x

x¢ = - D.

2

2 2

3 tan 2.

cos sin 2

xy

x x¢ = -

Lời giải

Chọn D

Ta có ( ) ( )2

3 22 2 2

2 3 tan 2tan cot 2 3 tan tan

sin 2 cos sin 2

xy x x x x

x x x¢ ¢¢ = + = - = -

Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số sin cos

sin cos

x xy

x x

+=

-.

A. ( )2

sin 2.

sin cos

xy

x x

-¢ =-

B. ( )

2 2

2

sin cos.

sin cos

x xy

x x

-¢ =-

C. ( )2

2 2 sin 2.

sin cos

xy

x x

-¢ =-

D. ( )2

2.

sin cosy

x x

-¢ =-

Lời giải

Chọn D

Ta có 2 sin

sin cos 4tan .

sin cos 42 cos

4

xx x

y xx x

x

pp

p

æ ö÷ç + ÷ç ÷ç æ öè ø+ ÷ç= = =- + ÷ç ÷çæ ö è ø- ÷ç- + ÷ç ÷çè ø

Suy ra ( )2 2

2

1 1 2

sin coscos sincos4 2

yx xx xx

p-¢ =- =- =--+

æ ö æ ö÷ç ÷ç÷ç ÷ ÷ç çè ø ÷çè ø

.

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số ( )

2

tan 1 2y

x=-

-.

A. ( )2

4.

sin 1 2

xy

x¢ =

- B.

( )4

.sin 1 2

yx

-¢ =-


Trang 422

C. ( )2

4.

sin 1 2

xy

x

-¢ =-

D. ( )2

4.

sin 1 2y

x

-¢ =-

Lời giải

Chọn D

Ta có ( )( )( )

( )( ) ( )

2

2 2 2

14.

2 tan 1 2 cos 1 2 4

tan 1 2 tan 1 2 sin 1 2

x xy

x x x

-¢- - - -¢ =- = =- - -

.

Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số cos 2

3 1

xy

x=

+.

A. ( )

( )2

2 3 1 sin 2 3cos 2.

3 1

x x xy

x

- + -¢ =

+ B.

( )2 3 1 sin 2 3cos 2.

3 1

x x xy

x

- + -¢ =

+

C. ( )

( )2

3 1 sin 2 3cos 2.

3 1

x x xy

x

- + -¢ =

+ D.

( )( )2

2 3 1 sin 2 3cos 2.

3 1

x x xy

x

+ +¢ =

+

Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) ( ) ( )

( )( )

( )2 2

cos 2 3 1 3 1 .cos 2 2 3 1 sin 2 3cos 2

3 1 3 1

x x x x x x xy

x x

¢ ¢+ - + - + -¢ = =

+ +.

Câu 20: Cho ( ) 22 2f x x x= - + và ( ) ( )sing x f x= . Tính đạo hàm của hàm số ( )g x .

A. ( ) 2 cos2 sin .g x x x¢ = - B. ( ) 2 sin 2 cos .g x x x¢ = +

C. ( ) 2 sin 2 cos .g x x x¢ = - D. ( )/ 2 cos 2 sin .g x x x= +

Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) ( ) 2sin 2 sin sin 2g x f x x x= = - +

( ) ( )22sin sin 2 2.2sin .cos cos 2sin 2 cos .g x x x x x x x x¢¢ = - + = - = -

Dạng 2. Tính đạo hàm tại một điểm

1. Phương pháp



Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số ( ) 5sin 3cosf x x x= - tại điểm 2

xp

= .

A. 3.2

fpæ ö÷ç¢ =÷ç ÷çè ø

B. 3.2

fpæ ö÷ç¢ =-÷ç ÷çè ø

C. 5.2

fpæ ö÷ç¢ =-÷ç ÷çè ø

D. 5.2

fpæ ö÷ç¢ =÷ç ÷çè ø


Trang 423

Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )5sin 3cos 5 sin 3 cos 5cos 3sinf x x x x x x x¢ ¢ ¢¢ = - = - = + .

Suy ra 5cos 3sin 32 2 2

fp p pæ ö÷ç¢ = + =÷ç ÷çè ø

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số ( ) 32 sin 2

5f x x

pæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø tại điểm

5x

p=- .

A. 4.5

fpæ ö÷ç¢ - =÷ç ÷çè ø

B. 4.5

fpæ ö÷ç¢ - =-÷ç ÷çè ø

C. 2.5

fpæ ö÷ç¢ - =÷ç ÷çè ø

D. 2.5

fpæ ö÷ç¢ - =-÷ç ÷çè ø

Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) 3 3 3 32 sin 2 2 2 cos 2 4 cos 2

5 5 5 5f x x x x x

p p p p¢ ¢é ùæ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çê ú¢ = - = - - =- -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çê úè ø è ø è ø è øë û.

Suy ra 3 24 cos 4 cos 4

5 5 5f

p p pp

æ ö æ ö÷ ÷ç ç¢ - =- + =- =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø.

Câu 3: Hàm số ( ) 4f x x= có đạo hàm là ( )f x¢ , hàm số ( ) 2 sin2

xg x x

p= + có đạo hàm là ( )g x¢ .

Tính giá trị biểu thức ( )( )1

.1

fP

g

¢=

¢

A. 4.

3P = B. 2.P = C. 2.P =- D. 4

.3

P =-

Lời giải

Chọn B

Ta có ( ) 34f x x¢ = và ( ) 2 sin 2 .cos .2 2 2

x xg x x

p p p¢æ ö÷ç¢ = + = +÷ç ÷çè ø

Suy ra ( )( )1 4

2.1 2 cos

2 2

fP

g p p¢

= = =¢ +

Câu 4: Hàm số ( ) 4f x x= có đạo hàm là ( )f x¢ , hàm số ( ) 4 sin4

xg x x

p= + có đạo hàm là ( )g x¢ .

Tính giá trị biểu thức ( )( )2

.2

fP

g

¢=

¢

A. 1.P = B. 16.

16P

p=

+ C. 16

.17

P = D. 1.

16P =

Lời giải

Chọn A


Trang 424

Ta có ( ) 4f x¢ = và ( ) 4 cos .4 4

xg x

p p¢ = +

Suy ra ( )( )2 4

1.22 4 cos

4 4

fP

g p p¢

= = =¢ +

Câu 5: Hàm số ( ) sin cos 1f x a x b x= + + có đạo hàm là ( )f x¢ . Để ( ) 10

2f ¢ = và 1

4f

pæ ö÷ç- =÷ç ÷çè ø thì giá

trị của a và b bằng bao nhiêu?

A. 2.

2a b= = B. 2 2

; .2 2

a b= =-

C. 1 1; .

2 2a b= =- D. 1

.2

a b= =

Lời giải

Chọn D

Ta có ( )/ cos sin .f x a x b x= - Khi đó ( ) 10

2

14

f

fp

ìïï ¢ =ïïïí æ öï ÷ï ç- =÷ï ç ÷çï è øïî

1 1 1cos 0 sin 02 2 2 .

12 2sin cos 1 1 04 4 22 2

a b a b

a b aa bp p

ì ì ìï ï ïï ï ï- = = =ï ï ïï ï ïï ï ï í í íæ ö æ öï ï ï÷ ÷ï ï ïç ç- + - + = =÷ ÷ï ï ï- + =ç ç÷ ÷ç çï ï ïè ø è ø ïîï ïîî

Câu 6: Cho hàm số ( ) 2cosy f x x= - với ( )f x là hàm số liên tục trên . Trong các biểu thức

dưới đây, biểu thức nào xác định hàm số ( )f x thỏa mãn ( ) 1y x¢ = với mọi x Î ?

A. ( ) 1cos2 .

2f x x x= + B. ( ) 1

cos 2 .2

f x xx -= C. ( ) sin 2 .f x x x= - D.

( ) sin 2 .f x x x= +

Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) ( ) ( )2 sin cos sin 2y x f x x x f x x¢ ¢ ¢= + = + .

Suy ra ( ) ( ) ( )1 sin 2 1 1 sin 2 .y x f x x f x x¢ ¢ ¢= + = = -

Đến đây ta lần lượt xét từng đáp án, ví dụ xét đáp án A ta có

( ) ( )/

// 1 sin 21 1

cos 2 cos 22 2

f x xx x x xæ ö÷ç¢ = + = + =÷ç ÷ -çè ø

(thỏa mãn)

Dạng 3: Giải phương trình f’ x 0

1. Phương pháp Tính đạo hàm f’ x


Trang 425

Để giải phương trình f’ x 0, ta áp dụng cách giải các phương trình lượng giác cơ bản và

một số phương trình lượng giác thường gặp.


Ví dụ 1: Với 1y sin x

3 2

thì phương trình y 0 có nghiệm là:

A. x k2 ,k .3

B. x k2 ,k .3

C. x k2 ,k .3

D. x k2 ,k .6


1 1 1y sin x y cos x3 2 2 3 2

1 1y 0 cos x 0 x k x k2 ,k .3 2 3 2 2 3

Ví dụ 2: Với 2y cos 2x3

thì phương trình y 0 có nghiệm là:

A. x k .3 2

B. x k .3

C. x k .3 2

D. x k2 .3


2 2y cos 2x y 2sin 2x3 3

2 2y 0 sin 2x 0 2x k3 3

2 k2x k x ,k .3 3 2

Ví dụ 3: Hàm số 2 xy cot ,4

nghiệm của phương trình y 0 là:

A. 2 k . B. k . C. 2 k4 . D. Một kết quả khác.


2

2 3

xcosx x 1 1 1 4y cot y 2cot . .x x4 4 4 2sin sin4 4

xy 0 cos 0 x 2 k4 ,k .4

Ví dụ 4: Giải phương trình: f x 0, biết f x cosx sin x x.

A. x k2 ; x k2 ; k .2

B. x k ; k .2

C. x k ; x k ; k .4

D. x k ; k .



Trang 426

Ta có: f x sin x cosx 1.

Vậy: 1f x 0 sin x cosx 1 sin x4 2

x k2x k24 4 .

3 x k2x k2 24 4

Ví dụ 5: Giả sử sin2x 3f x cosx x.4 2

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình f x 0 là:

A. 1;1 . B. . C. ; . D. 0; .


Ta có: sin2x 3f x cosx x4 2

1 3f x cos2x sinx .2 2

1 3f x 0 cos2x sin x 02 2

2 21 2sinx 2sin x 3 0 sin x sin x 2 0 *

Đặt t sin x, 1 t 1 , phương trình trở thành: 2t t 2 0 1 t 2 (so điều kiện ta được nghiệm 1 t 1 ). Do đó * 1 sin x 1 x ; .

Ví dụ 6: Với sin3x cos3xf x cosx 3 sin x3 3

thì tập nghiệm của f x 0 là:

A. k ; k , k .

8 2 2

B. k , k .2

C. k , k . D. .


Ta có: sin3x cos3xf x cosx 3 sin x3 3

f x cos3x sinx 3 cosx sin3x

f x 0 cos3x sin x 3 cosx sin3x 0

cos3x 3 sin3x sin x 3 cosx

1 3 1 3cos3x sin3x sin x cosx2 2 2 2

cos cos3x sin sin3x cos sin x sin cosx3 3 3 3


Trang 427

cos 3x sin x3 3

cos 3x cos x cos x3 2 3 6

k3x x k2 x3 6 8 2 ; k .

3x x k2 x k3 6 12

3. Bài tập Trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số 2y cos x sin x. Phương trình y ' 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; ).

A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C y' 2cosxsin x cosx cosx(1 2sinx)

x k2cosx 0

y' 0 x k2 ;(k )1 6sin x2 5x k2

6

Vì5x (0; ) x ; ;

6 2 6

. Vậy có 3 nghiệm thuộc khoảng (0; )

Câu 2: Cho hàm số y (m 1)sin x m cosx (m 2)x 1. Tìm giá trị của m để y ' 0 có nghiệm?

A. m 1

.m 3

B. m 2.

C. 1 m 3. D. m 2. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A y' (m 1)cosx msinx (m 2)

Phương trình y' 0 (m 1)cosx msin x (m 2)

Điều kiện phương trình có nghiệm là 2 2 2a b c

2 2 2 2 m 1(m 1) m (m 2) m 2m 3 0

m 3

Câu 3: Cho hàm số cosxf x .cos2x

Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác f x 0 trên

đường tròn lượng giác ta được mấy điểm phân biệt? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 3 điểm. D. 4 điểm.


3

1sin x. cos2x cosx sin2xsin x2 cos2xf x

cos2x cos2x

f ' x 0 x k ,k .


Trang 428

Ta biểu diễn được 2 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác. Câu 4: Cho hàm số f x cosx sin x cos2x. Phương trình f x 1 tương đương với phương

trình nào sau đây? A. sinx 0. B. sinx 1 0. C. sin x 1 cos x 1 0. D. cosx 0.


sin cos 2sin2 f x x x x

f x 1 sin x cosx 2sin 2x 1

Đặt 2t sin x cosx t 2 sin2x t 1

Khi đó phương trình

2t 1

2t t 3 0 3t l2

Với 2

1 sin cos 1 2 sin 14 2

2

x kt x x x k Z

x k

Nghiệm trên cũng là nghiệm của phương trình sin x 1 cosx 1 0 .

Câu 5: Cho hàm số 3

3cos xf x 2 sin x 2cosx 3sin x3

. Biểu diễn nghiệm của phương trình

lượng giác f x trên đường tròn ta được mấy điểm phân biệt?

A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm.


3 3f x 2sin x 3cos x

3 33 3f x 0 tan x tan x2 2

.

Vậy có hai điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.


Trang 429

BÀI 4. VI PHÂN

A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

1. Định nghĩa

Cho hàm số y f x xác định trên a;b và có đạo hàm tại x a;b . Giả sử x là số gia của x.

Ta gọi tích f ' x x là vi phân của hàm số y f x tại x ứng với số gia x, kí hiệu là df x hoặc

dy, tức là : dy df(x) f '(x) x.

Chú ý:

Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y x ta có

dx d x x ' x 1. x x.

Do đó, với hàm số y f x ta có

'dy df x f x dx.

2. Ứng dụng phép tính gần đúng

0 0 0f(x x) f(x ) f '(x ) x

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số y=f(x)

1. Phương pháp

Tính đạo hàm y=f(x)

Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là df(x) f '(x)dx

Vi phân của hàm số y=f(x) tại x 0 là 0 0df(x ) f '(x )dx


Ví dụ 1: Vi phân của hàm số 2f x 3x x tại điểm x 2 , ứng với x 0,1 là:

A. 0,07. B. 10.

C. 1,1. D. 0,4.


ĐÁP ÁN C

Ta có: f x 6x 1 f 2 11

df 2 f 2 x 11.0,1 1,1


Trang 430

Ví dụ 2: Vi phân của hàm số 5 2y 2x 5x

bằng biểu thức nào sau đây?

A. 42

2dy 10x 5 dx.x

B. 42

2dy 10x dx.x

C. 42

2dy 10x dx.x

D. 2

2dy 10x dx.x


ĐÁP ÁN C

5 2y 2x 5x

thì 42

2y 10xx

. Vậy 42

2dy 10x dx.x

Vi dụ 3: Vi phân của hàm số 2y x 5x bằng biểu thức nào sau đây?

A. 2

1dy dx.2 x 5x

B. 2

2x 5dy dx.x 5x

C. 2

2x 5dy dx.2 x 5x

D.

2

2x 5dy dx.2 x 5x


ĐÁP ÁN D

2y x 5x thì 2

2x 5y .2 x 5x

Vậy 2

2x 5dy dx.2 x 5x

Ví dụ 4: Vi phân của hàm số 2x 3y2x 1


A. 2

7dy dx.2x 1

B. 2

8dy dx.2x 1

C. 2

4dy dx.2x 1

D. 2

4dy dx.2x 1


ĐÁP ÁN B

2x 3y2x 1

thì

28y

2x 1

. Vậy

28dy dx

2x 1

.

Ví dụ 5: Vi phân của hàm số y tan5x bằng biểu thức nào sau đây?

A. 25dy dx.

cos 5x B.

25xdy dx.

cos 5x


Trang 431

C. 25dy dx.

cos 5x D.

25dy dx.

sin 5x


ĐÁP ÁN A

y tan5x thì 25y

cos 5x . Vậy

25dy dx.

cos 5x

Ví dụ 6: Vi phân của hàm số y cosx bằng biểu thức nào sau đây?

A. cosxdy dx.

2 cosx B.

sinxdy dx.2 cosx

C. sinxdy dx.cosx

D. sinxdy dx.

2 cosx


ĐÁP ÁN D

y cosx thì sinxy

2 cosx . Vậy

sinxdy dx.2 cosx

Ví dụ 7: Vi phân của hàm số y sin 2x3


A. dy cos 2x dx.3

B. dy 2 cos 2x dx.

3

C. dy cos 2x dx.3

D. dy 2 cos 2x dx.

3


ĐÁP ÁN B

y sin 2x3

thì y 2 cos 2x .

3

Vậy dy 2 cos 2x dx.3

Ví dụ 8: Cho hàm số y 5sin2x. Vi phân của hàm số tại x3

là:

A. dy 5dx. B. dy 10cos2xdx.

C. dy 10cos2xdx. D. dy 5dx.


ĐÁP ÁN D

y 5sin2x y 10cos2x.


Trang 432

dy y dx dx 10cos2xdx.

Vi phân của hàm tại x : dy 10 cos 2. dx.3 3

dy 5dx.

Ví dụ 9: Cho hàm số x 3y .

1 2x

Vi phân của hàm số tại x 3 là:

A. 1dy dx.7

B. dy 7dx. C. 1dy dx.7

D. dy 7dx.


ĐÁP ÁN A

2

x 3 7 7 1y y y 3 .1 2x 49 71 2x

Vi phân của hàm số tại x 3 là: 1dy dx7

.

Ví dụ 10: Cho hàm số y sin sin x . Vi phân của hàm số tại x là:

A. dy cos sin x dx. B. dy sin x cosx dx.

C. dy cos sin x cos xdx. D. dy cos sin x sin xdx.


ĐÁP ÁN C

Ví dụ 11: Cho hàm số y tan x. Vi phân của hàm số tại x là:

A. 1dy dx.

2 x cos x B.

21dy dx.

2 x cos x

C. 2

1dy dx.2 x cos x

D. 2

1dy .2 x cos xdx


ĐÁP ÁN C

21y tan x y .

2 x cos x

21dy dx.

2 x cos x

Ví dụ 12: Cho hàm số 2y cos 2x. Vi phân của hàm số tại x là:


Trang 433

A. dy 4cos2xsin2xdx. B. dy 2cos2xsin2xdx.

C. dy 4cos2xsin2dx. D. dy 2cos2xsin2xdx.


ĐÁP ÁN C

2y cos 2x y 2 cos2x.2sin 2x 4 cos2xsin 2x.

dy 4cos2xsin2dx.

Ví dụ 13: Vi phân của hàm số 2y x 3x 1 là:

A. 2

1dy dx.x 3x 1

B. 2

2x 3dy dx.x 3x 1

C. 2

1dy dx.2 x 3x 1

D. 2

2x 3dy dx.2 x 3x 1


ĐÁP ÁN D

Ta có:

22 2

2 2

x 3x 1 2x 3y x 3x 1 dy x 3x 1 dx dx dx2 x 3x 1 2 x 3x 1

.

Ví dụ 14: Vi phân của hàm số y 3x 1 x 1 là:

A. 3 1dy dx.

2 3x 1 2 x 1

B.

3 1dy dx.3x 1 x 1

C. 1 1dy dx.

2 3x 1 2 x 1

D.

1 1dy dx.3x 1 x 1


ĐÁP ÁN A.

Ta có:

3x 1 x 1y 3x 1 x 1 dy 3x 1 x 1 dx dx

2 3x 1 2 x 1

3 1 dx2 3x 1 2 x 1

Ví dụ 15: Vi phân của hàm số 2x 2x 3y2x 1

là:


Trang 434

A. 2 2

x 7dy dx.2x 1 x 2x 3

B.

2 2

3x 7dy dx.2x 1 x 2x 3

C. 2

3x 7dy dx.2x 1

D.

2

2

3x 7 x 2x 3dy dx.

2x 1


ĐÁP ÁN B

Ta có:

2

2 2

x 2x 3 3x 7y dy y dx dx2x 1 2x 1 x 2x 3

.

Ví dụ 16: Vi phân của hàm số 10

2y x 1 x

là:

A.

52

2

5 x 1 xdy dx.

x 1

B.

102

2

5 x 1 xdy dx.

x 1

C.

92

2

10 x 1 xdy dx.

x 1

D.

102

2

10 x 1 xdy dx.

x 1


ĐÁP ÁN D

Ta có: 10

2y x 1 x

102

92

2 2

10 x 1 xxdy y dx 10 x 1 x . 1 dx dx.x 1 x 1

3. Bài tập rèn luyện tốc độ

Câu 1: Cho hàm số 2

21 xy .1 x

Vi phân của hàm số tại x là:

A.

22

4dy dx.1 x

B.

22

4xdy dx.1 x

C.

22

dxdy .1 x

D.

24dy dx.

1 x



Trang 435

ĐÁP ÁN B

Câu 2: Vi phân của hàm số 22x 1y

x x 2

là:

A.

2

22

2x 2x 5dy dx.x x 2

B.

2

22

x x 5dy dx.x x 2

C.

2

22

2x x 1dy dx.x x 2

D.

2

2x 5dy dx.x x 2


ĐÁP ÁN A

Ta có:

2 2 2

2 22 2

2x 1 x x 2 2x 1 x x 2 2x 2x 5dy y dx dxx x 2 x x 2

.

Câu 3: Vi phân của hàm số 2y 5x 3 9x 1 là:

A. 2

2x 3dy dx2 9x 1

. B.

2

2

90x 27x 5dy dx9x 1

.

C. 2

5dy dx9x 1

. D. 2

2

x 2x 2dy dx9x 1

.


ĐÁP ÁN B

Ta có:

2 2

22 2

2 2

2

2

2 2

2 2

dy y dx 5x 3 9x 1 5x 3 9x 1 dx

9x 1 18x5 9x 1 5x 3 5 9x 1 5x 3 .2 9x 1 2 9x 1

9x5 9x 1 5x 39x 1

5 9x 1 5x 3 9x 90x 27x 5

9x 1 9x 1

Câu 4: Vi phân của hàm số 2y sin x cos2x x là:

A. dy 1 cos2x dx. B. dy x sin 2x dx.


Trang 436

C. dy sin 2x 1 dx. D. dy sin 2x 1 dx.


ĐÁP ÁN C

Ta có: dy y dx 2sin x sin x sin2x. 2x 1 dx

2sin x cosx 2sin 2x 1 dx sin 2x 1 dx .

Câu 5: Vi phân của hàm số y 1 2 tan x là:

A. tanxdy dx.

1 2tanx

B.

21 tan xdy dx.2 1 2tan x

C. 2tanxdy dx.

1 2tanx

D.

21 tan xdy dx.1 2tan x


ĐÁP ÁN D

Ta có: y 1 2tan x dy y dx 1 2tan x dx

21 2 tan x 1 tan xdx dx2 1 2tan x 1 2 tan x

.

Câu 6: Vi phân của hàm số 2

22 2x xy

x 1

là:

A.

2

22

2x 6x 2dy dx.x 1

B.

22

6x 2dy dx.x 1

C.

22

2x 3dy dx.x 1

D.

2

22

2x x 1dy dx.x 1


ĐÁP ÁN A

Ta có:

2 2 2

2 2 22

2 2x x 2 2x x 2x 6x 2y dy y dx dx dx.x 1 x 1 x 1

Câu 7: Cho hàm số 2y f x x 1 . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f?


Trang 437

A. dy 2 x 1 dx. B. 2dy x 1 dx.

C. dy 2 x 1 dx. D. dy x 1 dx.


ĐÁP ÁN A

Câu 8: Cho hàm số y f x được xác định bởi biểu thức sin y cosx và 0 x, y2

. Chọn kết quả

đúng:

A. y tan x. B. y tan x. C. y 1. D. y 1.


ĐÁP ÁN D

2 2

cosydy sinxdx.sinx sinx sinx sinxy 1

cosy sinx1 sin y 1 cos x

Câu 9: Xét hàm số 2y f x 1 cos 2x. Chọn câu đúng:

A. 2

sin 4xdf x dx.2 1 cos 2x

B.

2

sin 4xdf x dx.1 cos 2x

C. 2

cos2xdf x dx.1 cos 2x

D. 2

sin2xdf x dx.1 cos 2x


ĐÁP ÁN B

2

2 2

1 cos 2x sin4xdf x dx.2 1 cos 2x 1 cos 2x

Câu 10: Vi phân của hàm số 3y 2x x 1 bằng biểu thức nào sau đây?

A. 2 1dy 6x 1 dx.2 x

B. 2 1dy 6x dx.2 x

C. 2 1dy 6x dx.2 x

D. 2 2dy 6x dx.x


ĐÁP ÁN C


Trang 438

3 2 1y 2x x 1 y 6x .2 x

Do đó: 2 1dy 6x dx.2 x

Câu 11: Cho hàm số x 3y

1 2x

. Vi phân của hàm số tại x 3 là:

A. 1dy dx.7

B. dy 7dx.

C. 1dy dx.7

D. dy 7dx.


ĐÁP ÁN A

Ta có

27 1y y 3

71 2x

. Do đó

1dy dx.7

Câu 12: Vi phân của y tan5x là:

A. 2

5xdy dx.cos 5x

B. 25dy dx.

sin 5x

C. 25dy dx.

cos 5x D.

25dy dx.

cos 5x


ĐÁP ÁN C

25y tan5x y

cos 5x . Do đó

25dy dx

cos 5x

Câu 13: Cho hàm số 2y cos 2x . Vi phân của hàm số là:

A. dy 4cos2xsin2xdx. B. dy 2cos2xsin2xdx.

C. dy 2cos2xsin2xdx. D. dy 2sin 4xdx.


ĐÁP ÁN D

Ta có: 2dy d cos 2x 2cos2x.(cos2x)'dx 4cos2x.sin2xdx 2sin 4xdx.

Câu 14: Cho hàm số y tan x . Vi phân của hàm số là:


Trang 439

A. 2

1dy dx.2 x cos x

B. 2

1dy dx.x cos x

C. 1dy dx.

2 x cos x D.

21dy dx.

2 x cos x


ĐÁP ÁN D

Ta có : 2 21 1dy d tan x .( x)'dx dx.

cos x 2 x.cos x

Câu 15 : Cho hàm số 2

21 xy1 x

. Vi phân của hàm số là:

A.

22

4xdy dx.1 x

B.

22

4dy dx.1 x

C. 2

4dy dx.1 x

D.

22

dxdy .1 x


ĐÁP ÁN D

Ta có : 2

2 2 21 x 4xdy d dx.1 x (1 x )

Dạng 2: Tính gần đúng giá trị của một biểu thức

1. Phương pháp

Lập hàm số y f x và chọn 0x , x một cách thích hợp

1. Tính đạo hàm 0f’ x ,f’ x và 0f x

2. Giá trị gần đúng của biểu thức 0 0 0P f x x f(x ) f '(x ) x.


Ví dụ 1: Dùng vi phân tính gần đúng 3 26,7 có giá trị là:

A. 2,999. B. 2,98. C. 2,97. D. 2,89.


ĐÁP ÁN A

Xét 3f x x thì 3 2

1f x3. x

. Cho 0x 27, x 0,3.


Trang 440

Theo công thức gần đúng 0 0 0f x x f x . x f x

33 127,3 27 0,3 2,999.27

Ví dụ 2: Dùng vi phân tính gần đúng sin29 có giá trị là:

A. 0,4849. B. 0,5464. C. 0,4989. D. 0,4949.


ĐÁP ÁN A

Xét f x sin x với 29 rad .6 180

Có f x cos x.

Chọn 0x6

,

x sin sin cos . 0,4849.180 6 180 6 6 180


Câu 1: Dùng vi phân tính gần đúng 9995,0

1 có giá trị là:

A. 1,0005. B. 1,005. C. 1,0015. D. 1,05.


ĐÁP ÁN A

Xét hàm số 21 1f x f ' xx x

Ta có: 1 f 1 0,0005 f 1 f ' 1 .0,0005 1 1.0,0005 1,0005.0

(,9 95

)9

Câu 2: Dùng vi phân tính gần đúng ocos45 30' có giá trị là:

A. 0,7. B. 0,7009. C. 0,7019. D. 0,8.


ĐÁP ÁN B

Xét hàm số f x cosx f ' x sinx.

Khi đó

o o o o o 3,14cos45 30' f 45 30 f 45 f ' 45 . 0,7009.6


Trang 441

Câu 3: Dùng vi phân tính gần đúng 3,20

1 có giá trị là:

A. 0,7. B. 0,7009. C. 0,7019. D. 0,8.


ĐÁP ÁN B

Xét hàm số 1 1f x f ' xx 2x x

Khi đó: 1 f 20,25 0,05 f 20,25 f ' 20,25 .0,05 0,222.20,3


Trang 442

BÀI 5. ĐẠO HÀM CẤP HAI


I. Định nghĩa

Giả sử hàm số y f x có đạo hàm tại mỗi điểm x a,b . Khi đó, hệ thức y' f ' x xác định một

hàm số mới trên khoảng a,b . Nếu hàm số y' f ' x lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm cấp

hai của hàm số y f x tại x và kí hiệu là y'' hoặc f '' x .

Chú ý

Đạo hàm cấp 3 của hàm số y f x được định nghĩa tương tự và kí hiệu y''' hoặc f ''' x

hoặc 3f x .

Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp n 1, kí hiệu n 1f x

n ,n 4 . Nếu n 1f x có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của

y f x , kí hiệu ny hoặc nf x .

'

n n 1f x f x .

II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI

Đạo hàm cấp hai f '' t là gia tốc tức thời của chuyển động s f t tại thời điểm t.


Dạng 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số y f x

1. Phương pháp

Tính đạo hàm cấp 1: f’(x)

Tính đạo hàm cấp 2:'

f ''(x) f '(x)

Tính đạo hàm cấp 3: '(3)f (x) f ''(x)

Tính đạo hàm cấp 4: '(4) (3)f (x) f (x)

Tính đạo hàm đến cấp được chỉ ra


Ví dụ 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số 5 24f x x 3x x 45


A. 316x 6. B. 316x 6x. C. 34x 6. D. 216x 6.


ĐÁP ÁN A

5 24f x x 3x x 45

thì 4f x 4x 6x 1, do đó: 3f x 16x 6.

Ví dụ 2: Đạo hàm cấp hai của hàm số y cos2x bằng biểu thức nào sau đây?

A. 2sin2x. B. 4cos2x. C. 4sin2x. D. 4cos2x. Hướng dẫn giải


Trang 443

ĐÁP ÁN B

y cos2x thì y 2sin2x. Do đó y 4cos2x.

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 21 1f x x x 12x 1.3 2

Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của f x

không âm là:

A. 1; .2

B. 1 ; .2

C.

1 ; .2

D. 1 ; .2


ĐÁP ÁN D

3 21 1f x x x 12x 13 2

thì 2f x x x 12; f x 2x 1.

Do đó 1f x 0 x .2

Ví dụ 4: Cho hàm số 1y .

x 1

Tính y ?

A.

42y .

x 1

B.

32y .

x 1

C.

32y .

x 1

D.

42y .

x 1


ĐÁP ÁN B

Ta có:

2 31 2y y .

x 1 x 1

Ví dụ 5: Cho hàm số x 3y .x 4

Tính 2M 2 y 1 y .y .

A. M 0. B. M 1. C. 1M .

x 4

D.

22xM .

x 4


ĐÁP ÁN A

Ta có:

2 37 14y y

x 4 x 4

Lại có x 3 71 y 1x 4 x 4

Vậy:

2

4 349 7 14M 2 y 1 y .y 2. . 0.

x 4x 4 x 4

Ví dụ 6: Cho hàm số 21y x x 1.2

Tính 2y 2y.y .

A. 0. B. 2. C. 1. D. 1.


ĐÁP ÁN C

Ta có: y x 1 y 1.


Trang 444

Vậy: 22 2 2 21y 2y.y x 1 2 x x 1 .1 x 2x 1 x 2x 2 1.2

Ví dụ 7: Cho hàm số y xsinx. Tính xy 2 y sin x xy .

A. 1. B. 0. C. 2. D. sinx. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN B

Ta có: y sin x cosx y cosx cosx xsin x 2 cosx xsin x.

Vậy:

2 2xy 2 y sinx xy x sinx 2 sinx x cosx sinx 2x cosx x sin x 0. Ví dụ 8: Cho hàm số

y A sin x . Tính 2M y .y.

A. M 1. B. M 1.

C. 2M cos x 4 . D. M 0.


ĐÁP ÁN D

Ta có: 2y A cos x y A sin x

2 2 2y y A sin x A sin x 0.

Ví dụ 9: Cho hàm số y sin2x cos2x . Giải phương trình y 0.

A. x k2 , k .4

B. x k , k .8 2

C. x k2 , k .8

D. x k , k .2


ĐÁP ÁN B

Ta có: y 2cos2x 2sin2x y 4sin2x 4cos2x.

Phương trình y 0 4sin2x 4cos2x 0 sin 2x 04

2x k x k ; k .4 8 2

Ví dụ 10: Cho hàm số: 2xy m 4 cosx.

2

Tìm m sao cho y 0 với mọi x . A. m 3. B. m 2. C. m 3. D. m 2.


ĐÁP ÁN A

Ta có: y m 4 x sin x y m 4 cos x

y 0 m 4 cos x 0 cosx m 4 *

Vì cosx 1, x .

Vậy bất phương trình (*) luôn nghiệm đúng x 1 m 4 m 3.


Trang 445

Ví dụ 11: Cho hàm số 3x 2y .1 x

Giải bất phương trình y 0.

A. x 1. B. x 1. C. x 1. D. Vô nghiệm.


ĐÁP ÁN B

Ta có:

2 31 2y y .

1 x 1 x

Vậy

32y 0 0 1 x 0 x 1.

1 x

Ví dụ 12: Cho hàm số 3 2 (3)y 3x 3x x 5; y 3 bằng:

A. (3)y 3 162 . B. (3)y 3 0 .

C. (3)y 3 54 . D. (3)y 3 18 .


ĐÁP ÁN D

3 2 2

(3) (3)

y 3x 3x x 5 y 9x 6x 1y 18x 6

y 18 y 3 18.

Ví dụ 13: Cho hàm số 2y sin x . Đạo hàm cấp 4 của hàm số là:

A. 2cos 2x. B. 8cos2x.

C. 8cos2x. D. Một kết quả khác.


ĐÁP ÁN C

2

(4)

y sin xy 2sin x cosx sin2xy 2cos2xy 4sin2x

y 8cos2x.

Ví dụ 14: Cho hàm số y f x sin 2x. Hãy chọn câu đúng.

A. 4y y 0. B. 4y y 0. C. y y tan2x. D. 22y y 4.


ĐÁP ÁN B

y 2cos2x 4y y 8sin2x.

y 4sin2x 4y y 0

Ví dụ 15: Cho hàm số 2y x 1 . Xét hai quan hệ:

(I) y.y 2x;

(II) 2y .y y .

Quan hệ nào đúng?


Trang 446

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.


ĐÁP ÁN D

Ta có:

2

xyx 1

và

2 2

1y ,x 1 x 1

suy ra y.y x và 2

2

1y .y y .x 1


Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số 5 4f x 2x 1x


A. 33

440x .x

B. 33

440x .x

C. 33

840x .x

D. 33

840x .x


ĐÁP ÁN C

5 4f x 2x 1x

thì 42

4f x 10xx

, do đó 33

8f x 40x .x

Câu 2: Cho hàm số (3)2y ; y 11 x

bằng:

A. 3 .4

B. 3 .4

C. 4 .3

D. Một kết quả khác.


ĐÁP ÁN A

(3)4

(3)

2 12y y1 x 1 x

12 3y 1 .16 4

Câu 3: Cho hàm số 2 (3)y cos x; ; y3

bằng:

A. 2 . B. 2 3 . C. 2 3 . D. 2 .


ĐÁP ÁN B

2

(3)

y cos x y 2cosxsinx sin2xy 2cos2xy 4sin2x

2y 4.sin 2 3.3 3

Câu 4: Cho hàm số (3)y sin x cosx; y4

bằng:

A. 2. B. 2.


Trang 447

C. 0. D. Một kết quả khác.


ĐÁP ÁN C

(3)

y sinx cosx y cosx sinxy sin x cosxy cosx sin x

2 2y cos sin 0.4 4 4 2 2

Câu 5: Với hàm số (3)21y , y 2

x 1

là:

A. 80 .27 B.

80 .27

C. 40 .27 D.

40 .27


ĐÁP ÁN B

2

(3)4 4

(3)4 4

(3)

1yx 1

1 1 1y .3!2 x 1 x 1

1 1y 3x 1 x 1

80y 2 .27

Câu 6: Cho hàm số 2y cos 2x và các đạo hàm y , y , y . Giá trị của biểu thức y 16y y 16y 8

là kết quả nào sau đây?

A. 0. B. 8. C. 8. D. cos4x. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN A

2 1 cos4xy cos 2x2

y 2sin 4x; y 8cos4x; y 32sin 4x.y 16y y 16y 8 32sin 4x 32sin 4x 8cos4x 8 8cos4x 8 0.

Câu 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số y sin2x bằng biểu thức nào sau đây?

A. sin2x. B. 4sinx. C. 4sin2x. D. 2sin2x.


ĐÁP ÁN C

y sin2x thì y 2cos2x . Do đó y 4sin 2x .

Câu 8: Xét hàm số y f x cos 2x3

. Phương trình (4)f x 8 có nghiệm x 0;

2

là:

A. x .2

B. x 0; x .6

C. x 0; x .3

D. x 0; x .2


Trang 448


ĐÁP ÁN A

Từ giả thiết ta có:

x k2 216cos 2x 8 cos 2x cos x3 3 3 2

x k6

.Câu 7: Cho hàm số 2y cos x.

Tính y ?

A. y 2 cos2x. B. y 4 cos2x. C. y 2 cos2x. D. y 4cos2x.


ĐÁP ÁN A

Ta có: y 2 cosxsin x sin 2x y 2 cos2x.

Câu 9: Cho hàm số 2y 2x x . Tính 3M y .y 1.

A. 2. B. 0. C. 1. D. 2

1 .2x x


ĐÁP ÁN B

Ta có:

22

22 2

1 x1 x 1y y . 1. 2x x2x x2x x 2x x

3 3

2 2

1 y .y 1 y .y 1 02x x 2x x

.

Câu 10: Cho hàm số 4f x x 1 . Tính f 2 .

A. 27. B. 81. C. 96. D. 108.


ĐÁP ÁN D

Ta có: 3 2f x 4 x 1 f x 12 x 1 . Vậy f 2 108.

Câu 11: Cho hàm số 3y sin x. Tính M y 9y.

A. sin x. B. 6sin x. C. 6 cosx. D. 6sin x.


ĐÁP ÁN B

Ta có: 2 2 3y 3sin x cosx y 6sin x cos x 3sin x.

Vậy:

2 3 3 2 2M y 9y 6sinxcos x 3sin x 9sin x 6sinx cos x sin x 6sinx.

Câu 12: Cho hàm số y xtanx. Tính 2 2 2M x y 2 x y 1 y .

A. 2

2x .

cos x B. 1. C. 2 2x tan x. D. 0.



Trang 449

ĐÁP ÁN D

Ta có: 2

2 2 4x 1 cos x 2xsin x cosxy tan x y

cos x cos x cos x

Lại có 2

2 2 2 2 2 2 22

xx y x x tan x x 1 tancos x

1 y 1 x tanx .

Vậy 2

2 22

2x2 x y 1 y 1 x tan x 1cos x

2 22 2

4

2 2 2

4 2

cos x cos x 2xsin x cosxx y xcos x

2x cos x xsin x cosx 2x 1 x tan x 2cos x cos x

Từ (1) và (2) 2 2 2M x y 2 x y 1 y 0.

Câu 13: Cho hàm số 5 4y 3x 5x 3x 2. Giải bất phương trình y 0.

A. x ;1 \ 0 . B. x 1; .

C. x 1;1 . D. x 2;2 .


ĐÁP ÁN A

Ta có: 4 3 3 2y 15x 20x 3 y 60x 60x .

3 2 2 x 1y 0 60x 60x 0 60x x 1 0 .

x 0

Câu 14: Cho hàm số

31y .

x 1

Giải bất phương trình y 0.

A. x 1. B. x 1. C. x 1. D. Vô nghiệm.


ĐÁP ÁN A

Ta có:

4 53 12y y .

x 1 x 1

Vậy

512y 0 0 x 1 0 x 1.

x 1

Câu 15: Cho hàm số y f x sin x. Hãy chọn câu sai.

A. y sin x .2

B. y sin x .

C. 3y sin x .2

D. (4)y sin 2 x .


ĐÁP ÁN D


Trang 450

(4) 3y cos x sin x.2

Câu 16: Cho hàm số 22x 3xy f x .

1 x

Đạo hàm cấp 2 của f là:

A.

21y 2 .

1 x

B.

32y .

1 x

C.

32y .

1 x

D.

42y .

1 x


ĐÁP ÁN B

2 2 3

2 1 x 11 1 2y 2x 1 y 2 y .1 x 1 x 1 x 1 x

Câu 17: Cho hàm số 1y f x .x

Xét hai mệnh đề:

(I) 32y f x .x

(II) 46y f x .x

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.


ĐÁP ÁN D

2 4 31 2x 2y yx x x

(do đó (I) sai).

2

6 43x 6y 2.x x

(do đó (II) sai).

Câu 18: Cho hàm số: 4 3 2y 2 m x 2x 2mx 2m 1.

Tìm m để phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt.

A. 1 3m ; ; \ 2 .2 2

B. 3 1m ; ; \ 2 .2 2

C. 3 1m ; ; \ 2 .2 2

D. 1 3m ; ; \ 2 .2 2


ĐÁP ÁN D

Ta có: 3 2 2y 4 2 m x 6x 4mx y 12 2 m x 12x 4m.

Phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt hay phương trình: 23 2 m x 3x m 0 có hai

nghiệm phân biệt.


Trang 451

2

m 212 m 02 m 0 m .20 4m 8m 3 0 3m2

Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y=f(x)

1. Phương pháp

Tính đạo hàm 3( )f’ x ,f’’ x , f x .

Dự đoán công thức đạo hàm cấp n của hàm số.

Chứng minh công thức dự đoán bằng quy nạp toán học.


Ví dụ 1: Cho hàm số y sinx, dự đoán công thức (n)y x bằng:

A. ( )ny sin x n . B. ( )ny cos x n .

C. ( )ny sin x n .2

D. ( )ny cos x n. .

2


ĐÁP ÁN C

Ta chứng minh bằng quy nạp

� Với n = 1, ta có y' cosx sin x2

đúng.

� Giả sử công thức đúng với n = k, tức là ( )ky sin x k .2

� Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1, tức là chứng minh:

k ( 1)y sin x2

k 1 .

Thật vậy:

'

k 1 (k( ) )y y ' sin x k cos x k sin x k sin x k 1 .2 2 2 2

( )2

Vậy, ta được

( )ny sin x n .2

Ví dụ 2: Cho hàm số 1y ,

2x 1

dự đoán công thức (n)y x bằng:

A. ( )ny sin x n . B. ( )ny cos x n .

C. ( )ny sin x n .2

D. ( )ny cos x n. .

2


yʹ = ‐2)1x2(

2

; yʹʹ =

3

2

)1x2(

2.2

và yʹʹʹ = ‐

4

3

)x1(

3.2.2

.

Dự đoán:


Trang 452

y(n) = 1n

nn

)1x2(

!n.2.)1(

.

Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.

� Với n = 1, ta có:

yʹ = 11)1x2(

!1.2).1(

= ‐

2)1x2(

2

đúng.

� Giả sử công thức đúng với n = k, tức là y(k) = 1k

kk

)1x2(

!k.2.)1(

. (*)

� Ta đi chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh:

y(k + 1) = 2k

1k1k

)1x2(

)!1k.(2.)1(

.

Thật vậy:

y(k + 1) = [y(k)]ʹ = [1k

kk

)1x2(

!k.2.)1(

]ʹ = (‐1)k.2k.k!

'

1k)1x2(

1

= (‐1)k.2k.k!

2k)1x2(

)1k(2 =

2k

1k1k

)1x2(

)!1k.(2.)1(

, đpcm.

Vậy, ta được: y(n) = 1n

nn

)1x2(

!n.2.)1(

.


Câu 19: Tính đạo hàm cấp n của hàm số 22x 1y .

x 5x 6

A. n n

(n)n 1 n 1

(2) .7.n! (1) .5.n!y .(x 2) (x 3)

B. n 1 n 1

(n)n 1 n 1

( 1) .7.n! ( 1) .5.n!y .(x 2) (x 3)

C. n n

(n)n n

( 1) .7.n! ( 1) .5.n!y .(x 2) (x 3)

D. n n

(n)n 1 n 1

( 1) .7.n! ( 1) .5.n!y .(x 2) (x 3)


ĐÁP ÁN D

Ta có: 2x 1 7(x 2) 5(x 3) ; 2x 5x 6 (x 2)(x 3)

Suy ra 7 5y .

x 3 x 2

Mà

(n) (n)n n n n

n 1 n 1 n 11 ( 1) .1 .n! ( 1) .n! 1 ( 1) .n!,

x 2 x 2(x 2) (x 2) (x 3)

Nên n n

(n)n 1 n 1

( 1) .7.n! ( 1) .5.n!y .(x 2) (x 3)


Trang 453

Câu 20: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y cos2x.

A. n(n)y 1 cos 2x n .2

B. (n) ny 2 cos 2x .2

C. (n) n 1y 2 cos 2x n .2

D. (n) ny 2 cos 2x n .2

Hướng dẫn giải:

ĐÁP ÁN D

Ta có 2y ' 2cos 2x ,y '' 2 cos 2x 2 ,2 2

3y ''' 2 cos 2x 3 .2

Bằng quy nạp ta chứng minh được (n) ny 2 cos 2x n .2

Câu 21: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 2x 1.

A. n 1

(n)

2n 1

( 1) .3.5...(3n 1)y .(2x 1)

B. n 1

(n)

2n 1

( 1) .3.5...(2n 1)y .(2x 1)

C. n 1

(n)

2n 1

( 1) .3.5...(2n 1)y .(2x 1)

D. n 1

(n)

2n 1

( 1) .3.5...(2n 1)y .(2x 1)


ĐÁP ÁN D

Ta có 3 5

1 1 3y' ,y '' ,y '''2x 1 (2x 1) (2x 1)

Bằng quy nạp ta chứng minh được: n 1

(n)

2n 1

( 1) .3.5...(2n 1)y .(2x 1)

Câu 22: Tính đạo hàm cấp n của hàm số 22x 1y .

x 3x 2

A. n n

(n)n 1 n 1

5.( 1) .n! 3.( 1) .n!y .(x 2) (x 1)


Trang 454

B. n n

(n)n 1 n 1

5.( 1) .n! 3.( 1) .n!y .(x 2) (x 1)

C. n n

(n)n 1 n 1

5.( 1) .n! 3.( 1) .n!y : .(x 2) (x 1)

D. n n

(n)n 1 n 1

5.( 1) .n! 3.( 1) .n!y .(x 2) (x 1)


ĐÁP ÁN D

Ta có: 5 3y

x 2 x 1

Bằng quy nạp ta chứng minh được: n n

(n)n 1 n 1

5.( 1) .n! 3.( 1) .n!y .(x 2) (x 1)

Câu 23: Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2

xyx 5x 6

A. n n

(n)n 1 n 1

( 1) .3.n! ( 1) .2.n!y .(x 3) (x 2)

B. n n

(n)n n

( 1) .3.n! ( 1) .2.n!y .(x 3) (x 2)

C. n n

(n)n 1 n 1

( 1) .3.n! ( 1) .2.n!y .(x 3) (x 2)

D. n n

(n)n 1 n 1

( 1) .3.n! ( 1) .2.n!y .(x 3) (x 2)


ĐÁP ÁN C

Ta có: x 3(x 2) 2(x 3) ; 2x 5x 6 (x 2)(x 3)

Suy ra 3 2y .

x 3 x 2

Mà

(n) (n)n n n n

n 1 n 1 n 11 ( 1) .1 .n! ( 1) .n! 1 ( 1) .n!,

x 2 x 3(x 2) (x 2) (x )

Nên ta có: n n

(n)n 1 n 1

( 1) .3.n! ( 1) .2.n!y .(x 3) (x 2)

Câu 24: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y cos2x.

A. (n) ny 2 cos 2x n .2

B. (n) n 1y 2 cos 2x n .2

C. (n) ny 2 cos 2x .2


Trang 455

D. (n) n 1y 2 cos 2x n .2


ĐÁP ÁN A

Ta có :

2y ' 2cos 2x ,y '' 2 cos 2x 2 ,2 2

3y ''' 2 cos 2x 3 .

2

Bằng quy nạp ta chứng minh được (n) ny 2 cos 2x n .2

Dạng 3: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp hai

1. Phương pháp


Ví dụ 1: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2S t 3t

(t: tính bằng giây, s: tính bằng mét).


A. Vận tốc của chuyển động khi t 3s là v 12m / s.

B. Vận tốc của chuyển động khi t 3s là v 24m / s.

C. Gia tốc của chuyển động khi t 4s là 2a 18m / s .

D. Gia tốc của chuyển động khi t 4s là 2a 9m / s .


ĐÁP ÁN C

3 2 2S t 3t v t S 3t 6t

2v 3 3.3 18 9 m / s .

3 2S t 3t a S 6t 6

2t 4sa 6.4 6 18 m / s .

Ví dụ 2: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 3 2S t 3t 5t 2 , trong đó

t tính bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t 3 là:

A. 224 m / s . B. 217 m / s . C. 214 m / s . D. 212 m / s .


ĐÁP ÁN D

Gia tốc của chuyển động khi t 3 bằng S 3 .

2S t 3t 6t 5; S t 6t 6 nên 2S 3 18 6 12 m / s .

3. bài tập rèn luyện tốc độ

Câu 25: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:

3 2S t 3t 9t 2 (t: tính bằng giây, s tính bằng mét).


A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t 0 hoặc t 3.


Trang 456

B. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t 1 là 2a 12m / s .

C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t 3 là 2a 12m / s .

D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t 0.


ĐÁP ÁN C

3 2S t 3t 9t 2

2

2 2

v t S3t 6t 9

t 1v t 0 3t 6t 9 0 t 2t 3 0

t 3

3 2S t 3t 9t 2

2t 3s

a S 6t 6

a 6.3 6 12 m / s .

Câu 26: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 3 2S t 2t 4t 1 , trong đó

t tính bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t 2 là:

A. 212 m / s . B. 28 m / s . C. 27 m / s . D. 26 m / s .


ĐÁP ÁN B

Gia tốc của chuyển động khi t 2 bằng S 2 .

2S t 3t 4t 4; S t 6t 4 nên 2S 2 12 4 8 m / s .


Trang 457

CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 1. PHÉP BIẾN HÌNH


1. Định nghĩa

Đặt vấn đề: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M’ của điểm M lên đường thẳng d. Ta đã biết rằng với mỗi điểm M có một điểm M’ duy nhất là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng d cho trước (hình 1.1).

Ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H ’ = F(H) là tập các điểm M’ F M , với

mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H ’, hay hình H ’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F.

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

2. Biểu thức tọa độ

Gọi M x;y là điểm nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: Mʹ f M .

Với Mʹ xʹ; y ʹ sao cho:

x ʹ g x;y1

y ʹ h x;y

Hệ (1) được gọi là biểu thức tọa độ của phép biến hình f.

3. Điểm bất động của phép biến hình

Một điểm M P gọi là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu f M M .


Trang 458

Nếu f M M với mọi điểm M P thì f được gọi là phép đồng nhất.

B. PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua một phép biến hình

Phương pháp giải: Dùng định nghĩa hoặc biểu thức tọa độ của phép biến hình.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 1; 2 , M’ là ảnh của M qua phép biến hình f có

biểu thức tọa độ:

x ʹ 2x y 1

y ʹ x y 2. Tìm tọa độ xʹ; y ʹ của M’.

Giải

Thay tọa độ điểm M vào biểu thức tọa độ của M’, ta được:

x ʹ 2.1 2 1 1

y ʹ 1 2 2 5

Vậy M ʹ 1;5 .

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x y 1 0 . Tìm ảnh

của đường thẳng d qua phép biến hình có biểu thức tọa độ là:

x ʹ 2x y

y ʹ 3x 2y.

Giải

Ta có:

x ʹ 2x y x 2x ʹ y ʹ*

y ʹ 3x 2y y 3x ʹ 2y ʹ

Thay (*) vào phương trình của d, ta được: 2x ʹ y ʹ 3x ʹ 2y ʹ 1 0 x ʹ y ʹ 1 0 .

Do đó, phương trình của d’, ảnh của đường thẳng d là: x y 1 0 .

Dạng 2. Tìm điểm bất động của phép biến hình

Phương pháp giải: Dùng định nghĩa hoặc biểu thức tọa độ của phép biến hình.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình f có biểu thức tọa độ là:

x ʹ 2x y 1

y ʹ x 2y 1.

Tìm các điểm bất động của phép biến hình f.

Giải

M x;y là điểm bất động khi M ʹ f M M . Do đó, nếu M ʹ xʹ; y ʹ thì

x ʹ x

y ʹ y.

Thay vào biểu thức tọa độ, ta được:

x 2x y 1

y x 2y 1 hay x y 1 0 .

Vậy các điểm bất động của f nằm trên đường thẳng có phương trình x y 1 0 .


Trang 459

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1. Gọi f là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ được xác định bởi: OM ʹ OM

với O

là điểm cố định. Hỏi f có mấy điểm sao cho M f M

A. Duy nhất 1 điểm B. Ít nhất một

C. Ít nhất là hai D. không có điểm nào


Đáp án A

M f M OM OM OM 0 O M

.

Vậy có duy nhất 1 điểm có ảnh là chính nó, đó là gốc tọa độ O.

Câu 2. Gọi f là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ được xác định bởi MM ʹ v

(v

là

vectơ cho sẵn khác 0

). Hỏi điểm nào nằm trên đoạn thẳng AB có ảnh qua f là chính nó

A. A B. B

C. trung điểm của AB D. không có điểm nào


Đáp án D

Gọi M thuộc đoạn thẳng AB có ảnh qua f là chính nó, ta có M f M MM ʹ v 0

không có

điểm M nào.

Câu 3. Cho đường thẳng cố định. Gọi f là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho

MM ʹ taiH

MH M ʹH

Giả sử A ʹ f A ,Bʹ f B . Khẳng định nào sau đây đúng

A. AB A ʹBʹ B. AB A ʹBʹ C. AB A ʹBʹ D. Chỉ A đúng


Đáp án C

Vì A ʹ f A và Bʹ f B nên là đường trụng trực của AA ʹ và BB’. Trong hình thang ABB’A’,

ta có A ʹBʹ AB.

Câu 4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, a 1;2 ; M x,y ;M ʹ x ʹ,y ʹ .

Biểu thức tọa độ của phép biến hình

f biến M thành M’ sao cho MM ʹ a

có công thức nào sau đây:


Trang 460

A. x ʹ x 1

y ʹ y 2

B. x ʹ x 1

y ʹ y 2

C. x ʹ x 2

y ʹ y 1

D. x ʹ y 1

y ʹ x 2


Đáp án A

Vì MM ʹ a

nên x ʹ x 1

y ʹ y 2

Câu 5. Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M x,y thành Mʹ xʹ,y ʹ được xác định bởi

x ʹ x

y ʹ 2y

. Điểm nào sau đây có ảnh qua f là chính nó

A. 0;0 B. 1;0 C. 0;1 D. x ,0


Đáp án D

M là ảnh qua f chính là M x x xM f M

y 2y y 0


x ʹ x

y ʹ y

. Ảnh của : x y 0 qua f có phương trình là:

A. 1

y x2

B. 1;0 C. 0;1 D. x ,0


Đáp án C

Từ x ʹ x x x ʹ

y ʹ y y y ʹ

thay vào x y 0

Ta có: x ʹ y ʹ 0 x y 0


x ʹ x y.

y ʹ x y

Gọi A 1;2 và B 1;3 . Tính độ dài của A ʹB ʹ ta được:


Trang 461

A. 10 B. 3 C. 2 3 D. 10


Đáp án D

Vì x ʹ x y

y ʹ x y

nên A’ có tọa độ A ʹ

A ʹ

x 1 2 1

y 2 1 3

Tương tự ta tìm được B 4;2 . Do đó: A ʹBʹ 10


x ʹ x.

y ʹ 2y

Ảnh của elip 2

2xE : y 1

2 qua f là (E’) có phương trình

A. 22 yx

12 4 B.

22 yx1

4 1 C.

22x

2y 14 D.

22 y

x 12


Đáp án A

Vì x ʹ x

y ʹ 2y

nên x x ʹ

y ʹy

2

thay vào 2

2xE : y 1

2 ta được

22 yx1

2 4

Câu 9. Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M x,y thành M ʹ x ʹ,y ʹ được xác định bởi

x ʹ x.

y ʹ 2y

Ảnh của đường tròn 2 2C : x y 4 0 qua f có phương trình

A. 22 yx

12 4 B.

22 yx1

2 1

C. 2 2x 2y 1 D.

22 y

x 44


Đáp án D

Vì x ʹ x

y ʹ 2y

nên x x ʹ

y ʹy

2

thay vào 2 2C : x y 4 0 ta được 2

2 yx 4

4

Câu 10. Trong hệ trục tọa độ Oxy, phép biến hình f biến M x,y thành M ʹ x ʹ,y ʹ được xác định

bởi x ʹ 2x

.y ʹ y

Gọi M ʹʹ x ʹʹ,y ʹʹ là ảnh của M’ qua f. Tọa độ của M’’ tính theo x,y của M là:


Trang 462

A. x ʹʹ 4x

y ʹʹ y

B. x ʹʹ 2x

y ʹʹ y

C. x ʹʹ x

y ʹʹ y

D. x ʹʹ 3x

y ʹʹ y


Đáp án A

Vì x ʹ 2x

y ʹ y

nên x ʹʹ 2x ʹ

y ʹʹ y ʹ

. Suy ra: x ʹʹ 2 2x 4zx

y ʹʹ y


Trang 463

BÀI 2. PHÉP TỊNH TIẾN


Khi đẩy một cánh cửa trượt sao cho chốt cửa dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B ta thấy từng điểm của cánh cửa cũng được dịch chuyển một đoạn bằng AB và theo hướng từ A đến B (h.1.2). Khi đó

ta nói cánh cửa được tịnh tiến theo vectơ AB

.

I. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho vectơ v

. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM ʹ v

được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v

.

Phép tịnh tiến theo vectơ v

thường được ký hiệu là v

T ,v

được gọi là vectơ tịnh tiến.

Như vậy: vT M M ʹ MM ʹ v

Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

Ví dụ:


Trang 464

II. Tính chất

Tính chất 1. Nếu v vT M M ʹ, T N N ʹ thì MʹNʹ MN

và từ đó suy ra M ʹN ʹ MN


Trang 465

Nói cách khác, phép tính tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Từ tính chất 1 ta chứng minh được tính chất sau.

Tính chất 2

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính (h.1.7).

III. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M x;y và vectơ v a;b . Gọi

vM ʹ x ʹ; y ʹ T M . Ta có:

x ʹ x a

y ʹ y b

Đây là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ v .


Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua một phép tịnh tiến

Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho v 2; 1 và đường thẳng d có phương trình 5x 3y 1 0 .

Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến v

T .

Giải

Cách 1. Vì v

d ʹ T d nên d ʹ d∥ . Do đó d ʹ : 5x 3y c 0 . Lấy M 1;2 d . Khi đó

v

M ʹ T M 1 2;2 1 1;1 . Mà M ʹ d ʹ nên: 5.1 3.1 c 0 c 8 . Vậy

d ʹ : 5x 3y 8 0 .


Trang 466

Cách 2. Ta có:

x ʹ x 2 x x ʹ 2

y ʹ y 1 y y ʹ 1

Thế x, y vào phương trình của d’, ta được: 5. x ʹ 2 3. y ʹ 1 1 0 5x ʹ 3y ʹ 8 0 .

Vậy phương trình đường thẳng d ʹ : 5x 3y 8 0 .

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình 2 2x y 4x 2y 4 0 .

Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v 3;2 .

Giải

Cách 1. Biểu thức tọa độ của v

T là:

x ʹ x 3 x x ʹ 3

y ʹ y 2 y y ʹ 2.

Thay vào phương trình của (C) ta được:

2 2 2 2x ʹ 3 y ʹ 2 4 x ʹ 3 2 y ʹ 2 4 0 x ʹ y ʹ 10x ʹ 2y ʹ 17 0

Vậy ảnh của (C) qua v

T là: 2 2C ʹ : x y 10x 2y 17 0 .

Cách 2. Đường tròn có tâm I 2; 1 và bán kính r 3 . Ảnh v

I ʹ T I có tọa độ

x ʹ 2 3;y ʹ 1 5;1 . Đường tròn ảnh (C’) có tâm I ʹ 5;1 và bán kính r ʹ r 3 nên có phương

trình: 2 2 2 2x 5 y 1 9 x y 10x 2y 17 0 .

Dạng 2. Dùng phép tịnh tiến để tìm tập hợp điểm di động

Phương pháp giải: Chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép tịnh tiến.

Ví dụ: Cho đường tròn (C) qua điểm A cố định và có bán kính R không đổi. Một đường thẳng d có phương không đổi đi qua tâm I của (C). Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm M và M’. Tìm tập hợp các điểm M và M’.

Giải

Tập hợp các điểm I là đường tròn (I), tâm A, bán kính R.

Vì IM có phương không đổi (phương của d) và IM R

(không đổi) nên IM v (vectơ hằng). Do đó:

v

M T I . Vậy, tập hợp điểm M là đường tròn (I’),

ảnh của (I) qua v

T .

Tương tự, IM ʹ v nên

v

M ʹ T I . Vậy tập hợp

những điểm M’ là đường tròn (I’’) ảnh của (I) qua v

T .

(C)

v

I''

I'

M'

M

I

A


Trang 467

Dạng 3. Dùng phép tịnh tiến để dựng hình

Phương pháp giải: Muốn dựng một điểm, N chẳng hạn, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Xác định điểm M và phép tịnh tiến theo vectơ v sao cho

vT M N .

Bước 2. Tìm cách dựng điểm M rồi suy ra N.

Ví dụ: Cho hai điểm cố định A, B phân biệt và hai đường thẳng 1 2d ; d không song song với nhau.

Giả sử điểm M thuộc 1d và điểm N thuộc 2d sao cho ABMN là hình bình hành. Hãy dựng điểm N.

Giải

Giả sử bài toán đã giải xong, ta có 1 2M d , N d và

ABMN là hình bình hành.

Vì ABMN là hình bình hành nên NM AB , suy ra

AB

M T N .

Gọi 2d ʹ là ảnh của 2d qua ABT thì 1 2M d d ʹ .

Cách dựng M:

d1d2 d2'

N M

A B

Dựng 2 2AB

d ʹ T d .

Gọi 2 1d ʹ d M , M là điểm phải dựng.

Vì 1d không song song với 2d (giả thiết) nên 2d ʹ cắt 1d tại một điểm duy nhất. Bài toán luôn luôn

có một lời giải.

Để dựng N, ta dựng ảnh của M trong BA

T .


Câu 1. Cho đường thẳng d. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành chính nó?

A. Không có phép nào B. Có một phép duy nhất

C. Chỉ có hai phép D. Có vô số phép


ĐÁP ÁN D.

Vectơ tịnh tiến có giá song song với d.

Câu 2. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?



Trang 468



ĐÁP ÁN A.

Vì phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó.

Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?




ĐÁP ÁN D.

Vectơ tịnh tiến có giá không song song với d.

Câu 4. Cho hai đường thẳng song song a và a’, một đường thẳng c không song song với chúng. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng a’ và biến đường thẳng c thành chính nó?




ĐÁP ÁN B.

Giả sử c cắt a và a’ tại A và A’. Vectơ tịnh tiến phải là AAʹ .

Câu 5. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đó a a ʹ, b b ʹ∥ ∥ và a cắt b. Có bao nhiêu phép tịnh

tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng a’ và biến mỗi đường thẳng b và b’ thành chính nó?




ĐÁP ÁN B.

Giả sử b cắt a và a’ tại A và A’. Vectơ tịnh tiến phải là AAʹ .

Câu 6. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đó a a ʹ, b b ʹ∥ ∥ và a cắt b. Có bao nhiêu phép tịnh

tiến biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a’ và b’?


Trang 469




ĐÁP ÁN B.

Giả sử a và b cắt nhau tại M, a’ và b’ cắt nhau tại M’. Vectơ tịnh tiến phải là MM ʹ .

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đồ thị của hàm số y sinx . Có bao nhiêu phép tịnh tiến

biến đồ thị đó thành chính nó?




ĐÁP ÁN D.

Các phép tịnh tiến theo vectơ 2k , với k là số nguyên.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u 3; 1 . Phép tịnh tiến theo vectơ

u biến điểm

M 1; 4 thành:

A. điểm M ʹ 4; 5 B. điểm M ʹ 2; 3 C. điểm M ʹ 3; 4 D. điểm M ʹ 4;5


ĐÁP ÁN A.

Phải có MM ʹ u .

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm A 3;2 thành điểm A ʹ 2;3 thì

nó biến điểm B 2;5 thành:

A. điểm Bʹ 5;2 B. điểm Bʹ 1;6 C. điểm Bʹ 5;5 D. điểm Bʹ 1;1


ĐÁP ÁN B.

Phải có BBʹ AAʹ .

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm M 4;2 thành điểm M ʹ 4;5

thì nó biến điểm A 2;5 thành:


Trang 470

A. điểm A ʹ 5;2 B. điểm A ʹ 1;6 C. điểm A ʹ 2;8 D. điểm A ʹ 2;5


ĐÁP ÁN C.

Phải có AA ʹ MM ʹ .

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ u 4;6 biến đường thẳng a có

phương trình x y 1 0 thành:

A. đường thẳng x y 9 0 B. đường thẳng x y 9 0

C. đường thẳng x y 9 0 D. đường thẳng x y 9 0


ĐÁP ÁN A.

Phép tịnh tiến đó biến điểm M x;y thành điểm M ʹ x ʹ; y ʹ sao cho x ʹ x 4 và yʹ y 6 hay

x x ʹ 4 và y y ʹ 6 . Nếu M a thì x y 1 0 nên x ʹ 4 y ʹ 6 1 0 hay x ʹ y ʹ 9 0 . Vậy

M’ nằm trên đường thẳng x y 9 0 .

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm A 2; 1 thành điểm A ʹ 3;0

thì nó biến đường thẳng nào sau đây thành chính nó?

A. x y 1 0 B. x y 100 0 C. 2x y 4 0 D. 2x y 1 0


ĐÁP ÁN B.

Vectơ tịnh tiến là u AA ʹ 1;1 , đường thẳng biến thành chính nó khi và chỉ khi nó có vectơ chỉ

phương là u .

Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép tịnh tiến biến điểm A 2; 1 thành điểm A ʹ 1;2

thì nó biến đường thẳng a có phương trình 2x y 1 0 thành đường thẳng có phương trình:

A. 2x y 1 0 B. 2x y 0 C. 2x y 6 0 D. 2x y 1 0


ĐÁP ÁN C.

Lấy điểm M 0;1 nằm trên a, M biến thành M ʹ 1;4 mà M’ nằm trên đường thẳng có phương

trình 2x y 6 0 nên đó là đường thẳng ảnh của a.


Trang 471

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và a’ lần lượt có phương

trình 3x 2y 0 và 3x 2y 1 0 . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến đường thẳng a thành

đường thẳng a’?

A. u 1; 1 B.

u 1; 1 C.

u 1; 2 D.

u 1;2


ĐÁP ÁN A.

Lấy điểm O 0;0 nằm trên a, một điểm M x;y nằm trên a’ nếu 3x 2y 1 0 .

Vectơ tịnh tiến là u OM x;y với điều kiện 3x 2y 1 0 . Vectơ

u 1; 1 ở phương án A

thỏa mãn điều kiện đó.

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và a’ lần lượt có phương trình 2x 3y 1 0 và 2x 3y 5 0 . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây không biến đường

thẳng a thành đường thẳng a’?

A. u 0;2 B.

u 3;0 C.

u 3;4 D.

u 1; 1


ĐÁP ÁN D.

Nếu vectơ tịnh tiến là u a;b thì điểm M x;y biến thành điểm M ʹ x ʹ; y ʹ sao cho xʹ x a ,

yʹ y b hay x xʹ a, y y ʹ b . Vậy đường thẳng 2x 3y 1 0 biến thành đường thẳng

2 x ʹ a 3 y ʹ b 1 0 hay 2xʹ 3y ʹ 2a 3b 1 0 . Muốn đường thẳng này trùng với đường

thẳng a ʹ : 2x 3y 5 0 ta phải có 2a 3b 1 5 hay 2a 3b 6 . Vectơ u ở phương án D

không thỏa mãn điều kiện đó.

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và a’ lần lượt có phương

trình 3x 4y 5 0 và 3x 4y 0 . Phép tịnh tiến theo u biến đường thẳng a thành đường thẳng

a’. Khi đó độ dài bé nhất của vectơ u bằng bao nhiêu?

A. 5 B. 4 C. 2 D. 1


ĐÁP ÁN D.

Bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng a và a’.

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng a có phương trình 3x 2y 5 0 . Phép tịnh

tiến theo vectơ u 1; 2 biến đường thẳng đó thành đường thẳng a’ có phương trình:


Trang 472

A. 3x 2y 4 0 B. 3x 2y 0 C. 3x 2y 10 0 D. 3x 2y 7 0


ĐÁP ÁN A.

Phép tịnh tiến có biểu thức tọa độ x ʹ x 1; y ʹ y 2 . Như vậy x xʹ 1; y y ʹ 2 , thay vào

phương trình của a ta được phương trình của a’ là 3 x ʹ 1 2 y ʹ 2 5 0 , vậy a’ có phương trình

3x 2y 4 0 .

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol có đồ thị 2y x . Phép tịnh tiến theo vectơ

u 2; 3 biến parabol đó thành đồ thị của hàm số:

A. 2y x 4x 1 B. 2y x 4x 1 C. 2y x 4x 1 D. 2y x 4x 1


ĐÁP ÁN B.

Phép tịnh tiến biến điểm M x;y thành điểm M ʹ x ʹ; y ʹ mà x x ʹ 2; y y ʹ 3 nếu M thuộc

parabol đã cho thì 2

y ʹ 3 x ʹ 2 hay 2y ʹ x ʹ 4x ʹ 1 . Vậy M thuộc parabol có đồ thị như phương

án B.

Câu 19. Cho hai đường thẳng song song a và b. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Không tồn tại phép tịnh tiến nào biến đường thẳng a thành đường thẳng b.

B. Có duy nhất một phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b.

C. Có đúng hai phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b.

D. Có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b.


ĐÁP ÁN D.

Trên các đường thẳng a và b ta lần lượt lấy các điểm M và N bất kì.

Ta thấy ngay phép tịnh tiến theo vectơ u MN biến đường

thẳng a thành đường thẳng b.

b

a

N

M

Câu 20. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Hợp của phép tịnh tiến theo vectơ u và phép tịnh tiến theo vectơ

u là một phép đồng nhất.

B. Hợp của hai phép tịnh tiến theo vectơ u và

v là một phép tịnh tiến theo vectơ

u v .


Trang 473

C. Phép tịnh tiến theo vectơ u 0 là một phép dời hình không có điểm bất động.

D. Phép tịnh tiến theo vectơ u 0 luôn biến đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó.


ĐÁP ÁN D.

Giả sử ta có phép tịnh tiến theo vectơ u biến điểm M thành điểm 1M và phép tịnh tiến theo vectơ

v biến điểm 1M thành điểm 2M . Ta có:

1MM u và

1 2M M v .

Do đó

1 1 2 2MM M M u v MM u v .

Như thế phép tịnh tiến theo vectơ u v biến M thành 2M .

Vậy: Hợp của hai phép tịnh tiến theo vectơ u và

v là một phép tịnh tiến theo vectơ

u v .

+ Hợp của phép tịnh tiến theo vectơ u và phép tịnh tiến theo vectơ

u theo kết quả trên là phép

tịnh tiến theo vectơ u u 0 , đó là một phép đồng nhất.

+ Câu D sai vì: Nếu là đường thẳng song song với giá của vectơ u thì ảnh của là chính nó.

Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , ta xét phép tịnh tiến T theo vectơ u a; b biến

điểm M x;y thành điểm M ʹ x ʹ; y ʹ . Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến này là:

A.

x ʹ x b

y ʹ y a B.

x ʹ x a

y ʹ y b C.

x x ʹ a

y y ʹ b D.

x ʹ y a

y ʹ x b


ĐÁP ÁN B.

Câu 22. Trong hệ tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm M x;y thành điểm M ʹ x ʹ; y ʹ

sao cho xʹ 2x; y ʹ y 2 . Phép biến hình f biến đường thẳng : x 3y 5 0 thành đường thẳng

d có phương trình là:

A. x 2y 4 0 B. x 6y 22 0 C. 2x 4y 5 0 D. 3x 2y 4 0


ĐÁP ÁN B.

Từ giả thiết suy ra: xʹ

x2

và y y ʹ 2 .

Thế vào phương trình của ta được: xʹ

3 y ʹ 2 5 0 xʹ 6y ʹ 22 02

.

Vậy ảnh của là đường thẳng có phương trình x 6y 22 0 .


Trang 474


sao cho xʹ x 2y; y ʹ 2x y 1. Gọi G là trọng tâm của ABC với A 1;2 , B 2;3 , C 4;1 .

Phép biến hình f biến điểm G thành điểm G’ có tọa độ là:

A. 5;1 B. 3;4 C. 8;3 D. 0;6


ĐÁP ÁN A.

Trọng tâm của ABC là G 1;2 . Gọi G’ là ảnh của G ta có: G ʹ 1 2.2; 2.1 2 1 5;1 .


sao cho xʹ x 2y; y ʹ 2x y 1 . Xét hai điểm A 1;2 và B 5;4 . Phép biến hình f biến trung

điểm I của đoạn thẳng AB thành điểm I’ có tọa độ là:

A. 8;0 B. 3;2 C. 6; 8 D. 8;2


ĐÁP ÁN A.

Trung điểm của đoạn thẳng AB là I 2;3 . Gọi I’ là ảnh của I ta có: I ʹ 2 2.3; 2.2 3 1 8;0 .

Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình 4x y 3 0 .

Ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến T theo vectơ u 2; 1 có phương trình là:

A. 4x y 5 0 B. 4x y 10 0 C. 4x y 6 0 D. x 4y 6 0


ĐÁP ÁN C.

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

x ʹ x 2 x xʹ 2

y ʹ y 1 y y ʹ 1

Thế vào phương trình của ta được: 4 x ʹ 2 y ʹ 1 3 0 4x ʹ y ʹ 6 0 .

Vậy ảnh của là đường thẳng ʹ có phương trình: 4x y 6 0 .

Câu 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, parabol (P) có phương trình 2y x . Phép tịnh tiến T

theo vectơ u 3;2 biến (P) thành parabol (P’) có phương trình là:




Trang 475

ĐÁP ÁN A.


xʹ x 3 x xʹ 3

y ʹ y 2 y y ʹ 2

Thế vào phương trình của (P) ta được: 2 2y ʹ 2 x ʹ 3 y ʹ x ʹ 6x ʹ 11 .

Vậy ảnh của (P) là parabol (P’) có phương trình: 2y x 6x 11 .

Câu 27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho T là một phép tịnh tiến theo vectơ u biến điểm

M x;y thành điểm M ʹ x ʹ; y ʹ với biểu thức tọa độ là: x xʹ 3; y yʹ 5 . Tọa độ của vectơ tịnh

tiến u là:

A. 5; 3 B. 3;5 C. 3;5 D. Một kết quả khác


ĐÁP ÁN C.

Từ giả thiết ta có: x x ʹ 3; y y ʹ 5 x ʹ x 3; y ʹ y 5 .

Suy ra: u 3;5 .

Câu 28. Cho hai hình vuông 1H và 2H bằng nhau. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Luôn có thể thực hiện được một phép tịnh tiến biến hình vuông này thành hình vuông kia.

B. Có duy nhất một phép tịnh tiến biến hình vuông này thành hình vuông kia.

C. Có nhiều nhất hai phép tịnh tiến biến hình vuông này thành hình vuông kia.

D. Có vô số phép tịnh tiến biến hình vuông này thành hình vuông kia.


ĐÁP ÁN C.

Gọi I và J là tâm của 1H và 2H .

+ Nếu 1H và 2H có các cạnh không song song thì không tồn tại phép tịnh tiến nào biến hình vuông

này thành hình vuông kia.

+ Nếu 1H và 2H có các cạnh tương ứng song song thì các phép tịnh tiến theo các vectơ IJ và

JI sẽ

biến hình vuông này thành hình vuông kia.

+ Không thể có nhiều hơn hai phép tịnh tiến biến hình vuông này thành hình vuông kia.

Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol: 2P : y x và 2Q : y x 2x 2 .

Để chứng minh có một phép tịnh tiến T biến (Q) thành (P), một học sinh lập luận qua ba bước như sau:


Trang 476

1. Gọi vectơ tịnh tiến là u a; b , áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

xʹ x a x xʹ a

y ʹ y b y y ʹ b

2. Thế vào phương trình của (Q) ta được:

2 2 2y ʹ b x ʹ a 2 x ʹ a 2 y ʹ x ʹ 2 1 a x ʹ a 2a b 2

Suy ra ảnh của (Q) qua phép tịnh tiến T là parabol (R) 2 2y x 2 1 a x a 2a b 2

3. Buộc (R) trùng với (P) ta được hệ: 2

2 1 a 0 a 1

b 1a 2a b 2 0

Vậy có duy nhất một phép tịnh tiến biến (Q) thành (P), đó là phép tịnh tiến theo vectơ

u 1; 1 .

Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào?

A. Lập luận hoàn toàn đúng. B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.


ĐÁP ÁN A.

Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, ta xét phép biến hình f biến điểm M x;y thành điểm

M ʹ x ʹ; y ʹ định bởi:

x ʹ y a

y ʹ x b, trong đó a và b là các hằng số.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. f biến gốc tọa độ O thành điểm A a;b .

B. f biến điểm I b; a thành gốc tọa độ O.

C. f là một phép biến hình không có gì đặc sắc.

D. f là một phép dời hình.


ĐÁP ÁN C.

Ta thấy ngay hai câu (A) và (B) đều đúng.

Gọi M ; và N u;v là hai điểm bất kì; M ʹ ʹ; ʹ và N ʹ u ʹ; v ʹ là các ảnh của M, N qua phép

biến hình f.


Trang 477


ʹ a

ʹ b và

u ʹ v a

v ʹ u b

Do đó: 2 22M ʹN ʹ v a a u b b

2 2 2 22 2M ʹN ʹ v u u v MN

Suy ra: MʹNʹ MN

Vậy f là một phép dời hình.

Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình 3x 4y 1 0 .

Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên phải một đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ có phương trình là:

A. 3x 4y 5 0 B. 3x 4y 2 0 C. 3x 4y 3 0 D. 3x 4y 10 0


ĐÁP ÁN B.

Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên phải một đơn vị, tức là thực hiện phép

tịnh tiến theo vectơ i 1;0 . Do đó đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ có phương trình:

3 x 1 4y 1 0 3x 4y 2 0 .


Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên trái hai đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ có phương trình là:

A. 2x y 7 0 B. 2x y 2 0 C. 2x y 8 0 D. 2x y 6 0


ĐÁP ÁN A.

Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên trái 2 đơn vị, tức là thực hiện phép tịnh

tiến theo vectơ u 2;0 . Do đó đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ có phương trình:

2 x 2 y 3 0 2x y 7 0 .

Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình y 5x 3 . Thực

hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ có phương trình là:

A. y 5x 4 B. y 5x 12 C. y 5x D. y 5x 7


ĐÁP ÁN C.


Trang 478

Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị, tức là thực hiện phép tịnh

tiến theo vectơ u 0;3 . Do đó đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ có phương trình:

y 3 5x 3 y 5x .

Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình y 4x 3 .

Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía dưới 4 đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ có phương trình là:

A. y 4x 14 B. y 4x 1 C. y 4x 2 D. y 4x 1


ĐÁP ÁN D.

Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía dưới 4 đơn vị, tức là thực hiện phép tịnh

tiến theo vectơ u 0; 4 . Do đó đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ có phương trình:

y 4 4x 3 y 4x 1 .


Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về phía trái 2 đơn vị, sau đó tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ có phương trình là:

A. 5x y 14 0 B. 5x y 7 0 C. 5x y 5 0 D. 5x y 12 0


ĐÁP ÁN A.

Từ giả thiết suy ra ʹ là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ u 2;3 .

Do đó đường thẳng ʹ có phương trình là: 5 x 2 y 3 1 0 5x y 14 0 .

Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình y 3x 2 .

Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u 1;2 và

v 3;1 , đường thẳng biến

thành đường thẳng d có phương trình là:

A. y 3x 1 B. y 3x 5 C. y 3x 9 D. y 3x 15


ĐÁP ÁN C.

Từ giả thiết suy ra d là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ a u v .

Ta có: a u v 1 3;2 1 a 2;3

Do đó đường thẳng có phương trình là: y 3 3 x 2 y 3x 9 .


Trang 479

Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình 2y x 2x 3 . Phép

tịnh tiến theo vectơ u 1;2 biến parabol (P) thành parabol (P’) có phương trình là:

A. 2y x 4 B. 2y x 4 3 C. 2y x 2x 2 D. 2y x 4x 5


ĐÁP ÁN A.

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến, ta có:

x ʹ x 1 x x ʹ 1

y ʹ y 2 y y ʹ 2

Thế vào phương trình của (P) ta được: 2 2y ʹ 2 x ʹ 1 2 x ʹ 1 3 y ʹ x ʹ 4 .

Vậy phương trình của (P’) là: 2y x 4 .

Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình 2y 2x x 1 .

Phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên phải 2 đơn vị, biến parabol (P) thành parabol (P’) có phương trình là:

A. 2y 2x 9x 11 B. 2y 2x x 3 C. 2y 2x 3x 2 D. 2y 2x 5x 6


ĐÁP ÁN A.

Phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên phải 2 đơn vị, tức là phép tịnh tiến theo vectơ

u 2;0 . Do đó phương trình của (P’) là:

2 2y 2 x 2 x 2 1 y 2x 9x 11 .

Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình 2y x 2x 3 .

Phép tịnh tiến theo phương của trục tung về dưới 3 đơn vị, biến parabol (P) thành parabol (P’) có phương trình là:

A. 2y x 2x B. 2y x 5x 2 C. 2y x 3x 4 D. 2y x 7x 5


ĐÁP ÁN A.

Phép tịnh tiến theo phương của trục tung về bên dưới 3 đơn vị, tức là phép tịnh tiến theo vectơ

u 0; 3 .

Do đó phương trình của (P’) là: 2 2y 3 x 2x 3 y x 2x .

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình 2y x . Phép tịnh tiến

theo phương của trục hoành về phía trái 3 đơn vị, sau đó tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía dưới 1 đơn vị. Ảnh của (P) là một parabol (Q) có phương trình là:


Trang 480



ĐÁP ÁN B.

Từ giả thiết suy ra: (Q) là ảnh của (P) qua phép tịnh tiến theo vectơ u 3; 1 .

Do đó phương trình của (P’) là: 2 2y 1 x 3 y x 6x 8 .

Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình 2y x x 1 . Thực

hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u 1; 2 và

v 2;3 , parabol (P) biến thành

parabol (Q) có phương trình là:



ĐÁP ÁN A.

Từ giả thiết ta suy ra, (Q) là ảnh của (P) qua phép tịnh tiến theo vectơ a u v .

Ta có: a u v 3;1 .

Do đó phương trình của (Q) là: 2 2y 1 x 3 x 3 1 y x 7x 14 .

Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol (P) và (Q) có phương trình lần lượt là

2y x và 2y x 2x 3 . Chọn câu sai trong các câu sau:

A. Không thể thực hiện được một phép tịnh tiến nào biến parabol này thành parabol kia.

B. Có duy nhất một phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia.

C. Có đúng hai phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia.

D. Có vô số phép tịnh tiến biến parabol này thành parabol kia.


ĐÁP ÁN C.

Theo giả thiết (P): 2y x và (Q): 2y x 2x 3 .

Phương trình của (Q) có thể viết lại thành: 2

y x 1 2

Parabol (P) có đỉnh là gốc tọa độ O và parabol (Q) có đỉnh là I 1;2 . Như thế, phép tịnh tiến theo

vectơ u OI biến (P) thành (Q) và phép tịnh tiến theo vectơ

u IO biến (Q) thành (P).


Trang 481

Câu 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (T) có phương trình

2 2x y 2x 8 0 . Phép tịnh tiến theo vectơ u 3; 1 , biến đường tròn (T) thành đường tròn (T’)

có phương trình là:

A. 2 2x y 8x 2y 8 0 B. 2 2x y 4x y 5 0

C. 2 2x y 4x 4y 3 0 D. 2 2x y 6x 4y 2 0


ĐÁP ÁN A.


x ʹ x 3 x x ʹ 3

y ʹ y 1 y y ʹ 1

Thế vào phương trình của (T) ta có: 2 2 2 2x ʹ 3 y ʹ 1 2 x ʹ 3 8 0 x ʹ y ʹ 8x ʹ 2y ʹ 8 0 .

Vậy phương trình của (T’) là: 2 2x y 8x 2y 8 0 .


2 2x y 4x 2y 0 . Gọi I là tâm của (T). Phép tịnh tiến theo vectơ u 5; 1 biến điểm I thành

điểm I’ có tọa độ là:

A. 7;2 B. 7;0 C. 3; 2 D. 5;3


ĐÁP ÁN B.

Phương trình đường tròn (T) viết lại: 2 2

x 2 y 1 5 .

Như thế (T) có tâm I 2;1 .

Suy ra, phép tịnh tiến theo vectơ u 5; 1 biến điểm I thành điểm I ʹ 7;0 .

Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn 1T và 2T bằng nhau có

phương trình lần lượt là 2 2

x 1 y 2 16 và 2 2

x 3 y 4 16 . Giả sử f là phép tịnh tiến

theo vectơ u biến 1T thành 2T , khi đó tọa độ của

u là:

A. 4;6 B. 4; 6 C. 3; 5 D. 8; 10


ĐÁP ÁN A.

Hai đường tròn 1T và 2T có tâm lần lượt là: 1I 1; 2 và 2I 3;4 .


Trang 482

Vậy phép tịnh tiến T biến 1T thành 2T là phép tịnh tiến theo vectơ

1 2u I I 4;6 .


2 2x y x 2y 3 0 . Phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên phải 4 đơn vị, biến đường

tròn (T) thành đường tròn (T’) có phương trình là:

A. 2 2x y 9x 2y 17 0 B. 2 2x y 4x 2y 4 0

C. 2 2x y 5x 4y 5 0 D. 2 2x y 7x 2y 1 0


ĐÁP ÁN A.

Phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên phải 4 đơn vị, tức là phép tịnh tiến theo vectơ

u 4;0 . Phép tịnh tiến này biến đường tròn (T) thành đường tròn (T’) có phương trình:

2 2 2 2x 4 y x 4 2y 3 0 x y 9x 2y 17 0 .


2 2x y x 2y 3 0 . Phép tịnh tiến theo phương của trục tung về dưới 2 đơn vị, biến đường tròn

(T) thành đường tròn (T’) có phương trình là:

A. 2 2x y 2y 9 0 B. 2 2x y 2x 6y 2 0

C. 2 2x y x 4y 5 0 D. 2 2x y 2x 7 0


ĐÁP ÁN D.

Phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía dưới 2 đơn vị, tức là phép tịnh tiến theo vectơ

u 0; 2 . Phép tịnh tiến này biến đường tròn (T) thành đường tròn (T’) có phương trình:

22 2 2x y 2 2x 4 y 2 3 0 x y 2x 7 0 .


2 2x y 4x 6y 5 0 . Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u 1; 2 và

v 1; 1 . Đường tròn (T) biến thành đường tròn (T’) có phương trình là:

A. 2 2x y 18 0 B. 2 2x y x 8y 2 0

C. 2 2x y x 6y 5 0 D. 2 2x y 4y 4 0



Trang 483

ĐÁP ÁN A.

Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u 1; 2 và

v 1; 1 tức là thực hiện theo

phép tịnh tiến vectơ a u v .

Ta có: a u v 1 1; 2 1 2; 3 .

Phép tịnh tiến này biến đường tròn (T) thành đường tròn (T’) có phương trình:

2 2 2 2x 2 y 3 4 x 2 6 y 3 5 0 x y 18 0 .

Câu 49. Cho đường tròn O;R và hai điểm A, B phân biệt. Một điểm M thay đổi trên đường tròn

(O). Khi đó tập hợp các điểm N sao cho MN MA MB là tập nào sau đây?

A. Tập . B. Đường tròn tâm A bán kính R.

C. Đường tròn tâm B bán kính R. D. Đường tròn tâm I bán kính R với OI AB .


ĐÁP ÁN D.


MN MA MB MN MB MA MN AB

Như thế phép tịnh tiến theo vectơ u AB biến điểm M

thành điểm N.

Vậy khi M thay đổi trên đường tròn O;R thì quỹ tích

của N là đường tròn I;R với OI AB .

N

IO

M

A B

Câu 50. Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng không song song với đường thẳng AB. Một điểm

M thay đổi trên . Khi đó tập hợp các điểm N sao cho AN AB AM là tập nào sau đây?

A. Tập .

B. Đường thẳng qua A song song với .

C. Đường thẳng qua B song song với .

D. Đường thẳng ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ AB .


ĐÁP ÁN D.


Trang 484


AN AB AM AN AM AB MN AB

Như thế phép tịnh tiến theo vectơ u AB biến điểm M

thành điểm N.

Vậy khi M thay đổi trên đường thẳng thì quỹ tích của N là đường thẳng ʹ ảnh của qua phép tịnh tiến trên.

Δ

NM

A B

Câu 51. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu có hai đoạn thẳng AB và CD bằng nhau thi luôn tồn tại một phép tịnh tiến biến đoạn thẳng này thành đoạn thẳng kia.

B. Nếu có hai tam giác đều ABC và DEF bằng nhau thì luôn tồn tại một phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia.

C. Nếu có hai hình vuông ABCD và MNPQ bằng nhau thì luôn tồn tại một phép tịnh tiến biến hình vuông này thành hình vuông kia.

D. Nếu có hai đường tròn O;R và O ʹ;R ʹ bằng nhau thì luôn tồn tại một phép tịnh tiến biến

đường tròn này thành đường tròn kia.


ĐÁP ÁN D.

+ Nếu hai đoạn thẳng AB và CD bằng nhau và nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì mới thực hiện được một phép tịnh tiến biến đoạn thẳng này thành đoạn thẳng kia.

+ Nếu có hai tam giác đều ABC và DEF bằng nhau và có các cặp cạnh nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì mới thực hiện được phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia.

+ Trường hợp hai hình vuông bằng nhau cũng giống như hai tam giác bằng nhau.

+ Với hai đường tròn bằng nhau O;R và O ʹ;R ta luôn thực hiện được hai phép tịnh tiến theo

vectơ OOʹ hoặc vectơ

OʹO biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Câu 52. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD với A 1;4 , B 2;1 ,

C 7; 1 . Nếu T là phép tịnh tiến theo vectơ u biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD thì vectơ

u có tọa độ là:

A. 9;3 B. 5; 4 C. 9; 2 D. 8;5


ĐÁP ÁN C.


Trang 485

Dễ thấy phép tịnh tiến theo vectơ u BC 9; 2

biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD.

I

BA

D C

Câu 53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD với A 1; 4 , B 8;2 và

giao điểm của hai đường chéo AC và BD là I 3; 2 . Nếu T là phép tịnh tiến theo vectơ u biến

đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD thì vectơ u có tọa độ là:

A. 3;12 B. 5;3 C. 3; 2 D. 7; 5


ĐÁP ÁN B.

Do I là trung điểm của AC nên ta có:

C I A

C I A

x 2x x 6 1 5C 5;0

y 2y y 4 4 0

Phép tịnh tiến theo vectơ u BC 3; 2 biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD.

Câu 54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng song song a và b có phương

trình lần lượt là 2x y 4 0 và 2x y 1 0 . Nếu phép tịnh tiến T theo vectơ u m; 3 biến

đường thẳng a thành đường thẳng b thì giá trị của m bằng:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4


ĐÁP ÁN A.

Trên đường thẳng a ta lấy điểm A 0;4 . Phép tịnh tiến T theo vectơ u m; 3 biến điểm A thành

điểm A’ định bởi:

x ʹ 0 mA ʹ m;1

y ʹ 4 3.

Vì T biến a thành b nên: Aʹ b 2m 2 0 m 1 .


Trang 486

BÀI 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC


I. Định nghĩa

1. – Cho đường thẳng d. Phép đối xứng qua đường thẳng d, kí hiệu là dÑ , là phép biến hình biến

mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua d (Khi đó d là đường trung trực của đoạn MM’).

- Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi đơn giản là phép đối xứng trục.

- Đường thẳng d gọi là trục của phép đối xứng, hay đơn giản là trục đối xứng.

- Gọi 0M là hình chiếu vuông góc của M trên d. Ta có: dÑ M M'

0 0M M ʹ M M .

2. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình (H) nếu dÑ biến (H) thành chính nó. Khi đó (H) gọi

là hình có trục đối xứng.

II. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng Oxy, gọi M x;y và dM' Ñ M x';y' .

Nếu d là trục Ox thì:

x ʹ x

y ʹ y.

Nếu d là trục Oy thì:

x ʹ x

y ʹ y.

III. Tính chất

Phép đối xứng trục:

1. Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. 2. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm tương ứng. 3. Biến một đường thẳng thành đường thẳng. 4. Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. 5. Biến một đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính của đường tròn đã cho.


Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục

Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M 4;3 và đường thẳng d có phương trình:

x 1 2t

y 1 t. Tìm ảnh của M và d qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là 1d là đường thẳng

2x y 1 0 .

Giải


Trang 487

Gọi d1d ' Ñ d . Vectơ chỉ phương của d là

u 2;1 , vectơ chỉ phương của 1d là

1u 1;2 .

Ta có:

1 1u.u 0 d d .

Vậy: 1d ʹ d và d’ trùng với d.

Gọi là đường thẳng vuông góc với 1d : 2x y 1 0 , thì : x 2y c 0 .

Cho qua M 4;3 , ta có: x 10 . Vậy : x 2y 10 0 .

Gọi I là giao điểm của và 1d thì tọa độ của I là nghiệm của hệ:

2x y 1 0

x 2y 10 0.

Suy ra

8 21I ;

5 5. Mà I là trung điểm của MM’ nên

4 27M ʹ ;

5 5.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2x y 2x 4y 4 0 và

đường elip 2 2E : x 4y 1 .

a. Tìm ảnh của (C) qua dÑ với d : x y 0 .

b. Tìm ảnh của (E) qua OyÑ .

Giải

a. Ảnh của (C) qua dÑ : Gọi là đường thẳng qua I 1; 2 và vuông góc với d : x y 0 , ta

có : x y 3 0 .

Tọa độ giao điểm H của và d là:

3 3H ;

2 2.

Gọi dI ' Ñ I , ta có:

H

H

x ʹ 2x x x ʹ 2

y ʹ 2y y y 1.

Do đó: I ʹ 2;1 .

Mặt khác, (C’) có bán kính R ʹ 3 nên 2 2

Cʹ : x 2 y 1 9 .

b. Ảnh (E’) của (E) qua OyÑ : Biểu thức tọa độ của OyÑ là:

x ʹ x x x ʹ

y ʹ y y y ʹ.

Do đó, 2 2E ʹ : x ʹ 4y ʹ 1 hay 2 2x 4y 1 .

Cách khác: (E) có trục đối xứng là Oy, nên (E) không đổi qua OyÑ . Do đó 2 2E ʹ : x 4y 1 .

Dạng 2. Tìm trục đối xứng của một hình

Phương pháp giải: Dùng định nghĩa trục đối xứng của một hình, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Chỉ ra một đường thẳng d là trục đối xứng của hình (H).


Trang 488

Bước 2. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc hình (H), ảnh M’ của M qua dÑ cũng thuộc (H).

Ví dụ 1: Tìm các trục đối xứng của hình thoi.

Giải

Cho hình thoi ABCD. Đặt ABCD là (H) và đường thẳng AC là d, ta có:

Với mọi điểm M thuộc cạnh AB thì M H .

Vì d là trung trực của đoạn thẳng BD nên ảnh M’ của M qua

dÑ thuộc cạnh AD. Do đó, M ʹ H .

Tương tự,, nếu M BC M ʹ DC M ʹ H .

Tóm lại với mọi M thuộc hình thoi ABCD thì ảnh M’ của M

qua ACÑ thuộc hình thoi ABCD. Vậy, AC là trục đối xứng của

hình thoi ABCD.

d

O

M

B

C

D

AM'

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh BD là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

Tóm lại, hình thoi có hai trục đối xứng, đó là hai đường chéo của nó.

Ví dụ 2. Tìm các trục đối xứng của một hình tròn.

Giải

Gọi d là một đường thẳng đi qua tâm đường tròn. Với mọi điểm M thuộc

đường tròn ta vẽ dây MM ʹ d thì M’ là ảnh của M qua dÑ . Suy ra, d là trục

đối xứng của đường tròn.

Dạng 3. Tìm tập hợp điểm

Phương pháp giải:

Bước 1. Chọn dÑ : M M' .

Bước 2. Xác định tập hợp điểm M, suy ra tập hợp điểm M’.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có A và C cố định, B di động trên một đường tròn (C) cho trước. Tìm tập hợp những điểm D.

Giải

Ta có: ACÑ : B D . Mà B C nên D C ʹ , ảnh của (C) qua ACÑ .

Vậy tập hợp những điểm D là đường tròn (C’), ảnh của (C) qua ACÑ .

Dạng 4. Dùng phép đối xứng trục để dựng hình


d

M'O

M


Trang 489

Bước 1. Xác định dÑ : M M' .

Bước 2. Xác định M, suy ra M’ (hoặc ngược lại) bằng dÑ .

Ví dụ: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d cố định và hai điểm A, B cố định, phân biệt nằm hai

bên đường thẳng d. Hãy dựng điểm M trên d sao cho MA MB lớn nhất.

Giải

Gọi dB' Ñ B . Với điểm M tùy ý trên d, ta có: MA MB MA MBʹ ABʹ .

Do đó: max

MA MB MA MB ABʹ A, M, Bʹ thẳng hàng.

Cách dựng: - Dựng dB' Ñ B .

- Giao điểm của d và AB’ là điểm phải dựng.

Bài toán có một nghiệm duy nhất khi AB’ không song song với d.


Câu 1. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến một đường thẳng d cho trước thành chính nó?




ĐÁP ÁN D.

Trục của phép đối xứng là d hoặc bất kì đường thẳng nào vuông góc với d.

Câu 2. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?




ĐÁP ÁN D.

Trục đối xứng là bất kì đường thẳng nào vuông góc với d và d’.

Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?




Trang 490


ĐÁP ÁN B.

Trục đối xứng là đường thẳng song song và cách đều d và d’.

Câu 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?




ĐÁP ÁN C.

Trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d và d’.

Câu 5. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c vuông góc với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?




ĐÁP ÁN B.

Phép đối xứng qua đường thẳng d.

Câu 6. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c vuông góc với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành b và biến c thành chính nó?




ĐÁP ÁN B.

Trục đối xứng là đường thẳng song song, cách đều d và d’.

Câu 7. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c không vuông góc với chúng cũng không song song với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?





Trang 491

ĐÁP ÁN A.

Câu 8. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c không vuông góc và cũng không song song với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành b và biến c thành chính nó?




ĐÁP ÁN A.

Câu 9. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đó a a ʹ, b bʹ∥ ∥ và a cắt b. Có bao nhiêu phép đối

xứng trục biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a’ và b’?




ĐÁP ÁN A.

Chỉ có một phép đối xứng trục biến a thành a’, nhưng phép đó không biến b thành b’.

Câu 10. Trong các hình dưới đây, hình nào có một và chỉ một trục đối xứng?

A. Đường elip. B. Đường tròn.

C. Đường hypebol. D. Đường parabol.


ĐÁP ÁN D.

Câu 11. Trong các hình dưới đây, hình nào có ba trục đối xứng?

A. Đoạn thẳng. B. Đường tròn.

C. Tam giác đều. D. Hình vuông.


ĐÁP ÁN C.

Câu 12. Trong các hình dưới đây, hình nào có bốn trục đối xứng?

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật.

C. Hình thoi. D. Hình vuông.



Trang 492

ĐÁP ÁN D.

Câu 13. Trong các hình dưới đây, hình nào không có trục đối xứng?

A. Hình gồm hai đường tròn không bằng nhau.

B. Hình gồm một đường tròn và một đoạn thẳng tùy ý.

C. Hình gồm một đường tròn và một đường thẳng tùy ý.

D. Hình gồm một tam giác cân và đường tròn nội tiếp.


ĐÁP ÁN B.

Câu 14. Trong các hình dưới đây hình nào không có vô số trục đối xứng?

A. Đường tròn. B. Đường thẳng.

C. Hình gồm hai đường thẳng song song. D. Hình đa giác đều n cạnh.


ĐÁP ÁN D.

Hình đa giác đều n cạnh có n trục đối xứng.

Câu 15. Trong các hình dưới đây hình nào không có trục đối xứng?

A. Đồ thị của hàm số y sinx . B. Đồ thị của hàm số y cosx .

C. Đồ thị của hàm số y tanx . D. Đồ thị của hàm số y x .


ĐÁP ÁN C.

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng trục biến điểm A 2;1 thành Aʹ 2;5 có trục

đối xứng là:

A. Đường thẳng y 3 . B. Đường thẳng x 3 .

C. Đường thẳng y 6 . D. Đường thẳng x y 3 0 .


ĐÁP ÁN A.

Trục đối xứng là trung trực của AA’.

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng trục biến điểm M 1; 4 thành điểm

Mʹ 4;1 thì nó có trục đối xứng là:


Trang 493

A. Đường thẳng x y 0 . B. Đường thẳng x y 0 .

C. Đường thẳng x y 1 0 . D. Đường thẳng x y 1 0 .


ĐÁP ÁN B.

Trục đối xứng là trung trực của MM’.

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng trục biến điểm M 2;3 thành điểm

Mʹ 3;2 thì nó biến điểm C 1; 6 thành điểm:

A. Cʹ 6;1 . B. Cʹ 1;6 .

C. Cʹ 6; 1 . D. Cʹ 6;1 .


ĐÁP ÁN D.

Trục của phép đối xứng là đường thẳng y x . Phép đối xứng đó biến điểm M a;b thành điểm

Mʹ b;a .

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng trục biến điểm M 3;1 thành điểm

Mʹ 1; 3 thì nó biến điểm N 3; 4 thành điểm:

A. Nʹ 3;4 . B. Nʹ 3; 4 .

C. Nʹ 4; 3 . D. Nʹ 4;3 .


ĐÁP ÁN D.

Trục của phép đối xứng là đường thẳng y x . Phép đối xứng đó biến điểm M a;b thành điểm

Mʹ b; a .

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng trục biến điểm A 0;1 thành điểm

Aʹ 1;0 thì nó biến điểm B 5;5 thành điểm:

A. B 5;5 . B. Bʹ 5;5 .

C. Bʹ 5; 5 . D. Bʹ 1;1 .


Trang 494


ĐÁP ÁN A.

Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng qua đường thẳng x y 0 biến đường thẳng

4x 5y 1 0 thành đường thẳng có phương trình:

A. 4x 5y 1 0 . B. 5x 4y 1 0 .

C. 5x 4y 1 0 . D. 4x 5y 1 0 .


ĐÁP ÁN B.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua đường thẳng x y 0 là xʹ y và y ʹ x . Bởi vậy từ

phương trình 4x 5y 1 0 ta suy ra 4y ʹ 5xʹ 1 0 .

Vậy đường thẳng 4x 5y 1 0 biến thành đường thẳng 5x 4y 1 0 .

Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng qua đường thẳng x y 0 biến đường tròn có

phương trình 2 2x y 2x 1 0 thành đường tròn có phương trình:

A. 2 2x y 2y 1 0 . B. 2 2x y 2x 1 0 .

C. 2 2x y 2y 1 0 . D. 2 2x y 2x 1 0 .


ĐÁP ÁN A.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng đã cho là xʹ y và y ʹ x . Bởi vậy, từ phương trình

2 2x y 2x 1 0 ta suy ra 2 2yʹ xʹ 2yʹ 1 0 , đó là tập hợp những điểm xʹ; yʹ thỏa mãn

phương trình đường tròn 2 2x y 2y 1 0 .

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình 2 2x y 2x 3y 1 0 .

Phép đối xứng qua trục Ox biến đường tròn đó thành đường tròn (C’) có phương trình:

A. 2 2x y 2x 3y 1 0 . B. 2 2x y 2x 3y 1 0 .

C. 2 2x y 2x 3y 1 0 . D. 2 2x y 2x 3y 1 0 .


ĐÁP ÁN B.

Chỉ việc thay y bằng y trong phương trình đường tròn đã cho.


Trang 495

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình 2 2x y 2x 3y 1 0 .

Phép đối xứng qua trục Oy biến đường tròn đó thành đường tròn (C’) có phương trình:

A. 2 2x y 2x 3y 1 0 . B. 2 2x y 2x 3y 1 0 .

C. 2 2x y 2x 3y 1 0 . D. 2 2x y 2x 3y 1 0 .


ĐÁP ÁN C.

Chỉ việc thay x bằng x trong phương trình đường tròn đã cho.

Câu 25. Quan sát các hình dưới đây, hãy cho biết kết luận nào là đúng?

H1 H2 H3 H4

A. Hình 1H không có trục đối xứng, hình 2H có 1 trục đối xứng, hình 3H có 5 trục đối xứng và

hình 4H có 2 trục đối xứng.

B. Hình 1H có 1 trục đối xứng, hình 2H có 2 trục đối xứng, hình 3H có 5 trục đối xứng và hình

4H có 2 trục đối xứng.

C. Hình 1H có 1 trục đối xứng, hình 2H có 2 trục đối xứng, hình 3H có 5 trục đối xứng và hình

4H có 4 trục đối xứng.

D. Hình 1H không có trục đối xứng, hình 2H có 2 trục đối xứng, hình 3H có 5 trục đối xứng và

hình 4H có 4 trục đối xứng.


ĐÁP ÁN C.

Câu 26. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Phép đối xứng trục là một phép dời hình.

B. Phép đối xứng trục có vô số điểm bất động.

C. Một tam giác nào đó có thể có đúng hai trục đối xứng.

D. Một hình có thể không có trục đối xứng nào, có thể có một hay nhiều trục đối xứng.



Trang 496

ĐÁP ÁN C.

Ta thấy ngay các câu A, B, D đều đúng.

Câu C sai vì: Một tam giác thường không có trục đối xứng nào, một tam giác cân (không đều) chỉ có 1 trục đối xứng, một tam giác đều có 3 trục đối xứng.

Câu 27. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Qua phép đối xứng trục aÑ , ảnh của đường thẳng d là đường thẳng d’ song song với d.

B. Qua phép đối xứng trục aÑ , ảnh của tam giác đều aBC có tâm O a (tâm đường tròn ngoại tiếp)

là chính nó.

C. Qua phép đối xứng trục aÑ , ảnh của một đường tròn là chính nó.

D. Qua phép đối xứng trục aÑ , ảnh của đường thẳng d vuông góc với a là chính nó.


ĐÁP ÁN D.

- Qua phép đối xứng trục aÑ , ảnh của đường thẳng d là đường thẳng d’ song song với d, điều này

chỉ đúng khi d a∥ .

- Câu B chỉ đúng khi a đi qua đường cao của tam giác đều ABC.

- Câu C chỉ đúng khi a đi qua tâm của đường tròn.

- Câu D đúng. Vì nếu lấy M là một điểm bất kì thuộc d thì ảnh của M qua phép đối xứng aÑ là

điểm Mʹ d . Vậy ảnh của d là chính nó.

Câu 28. Ta xem các mẫu tự in I, J, H, L, P như các hình. Những hình nào có đúng hai trục đối xứng?

A. I, J B. I, H C. J, L D. H, P


ĐÁP ÁN B.

Câu 29. Chọn câu sai trong các câu sau:

A. Đường tròn có vô số trục đối xứng.

B. Đa giác đều n cạnh có đúng n trục đối xứng.

C. Hình thoi có hai trục đối xứng.

D. Một tam giác nào đó có thể có đúng hai trục xứng.


ĐÁP ÁN D.

- Ta thấy ngay các câu A, B, C đều đúng.


Trang 497

- Theo câu 2, không có tam giác nào có hai trục đối xứng.


Đường thẳng đối xứng của qua trục hoành có phương trình là:

A. 2x 3y 6 0 . B. 2x 3y 6 0 . C. 4x y 6 0 . D. 3x 2y 6 0 .


ĐÁP ÁN A.

Hai điểm M x;y và Mʹ x; y thì đối xứng với nhau qua trục hoành. Do đó đường thẳng đối xứng

của : 2x 3y 6 0 qua trục hoành có phương trình là: 2x 3y 6 0 .


Đường thẳng đối xứng của qua trục tung có phương trình là:

A. 5x y 3 0 . B. 5x y 3 0 . C. x 5y 3 0 . D. x 5y 3 0 .


ĐÁP ÁN B.

Hai điểm M x;y và Mʹ x;y thì đối xứng với nhau qua trục tung. Do đó đường thẳng đối xứng

của : 5x y 3 0 qua trục tung có phương trình là: 5x y 3 0 5x y 3 0

Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình 2x y 1 0 và

điểm A 3;2 . Trong các điểm dưới đây, điểm nào là điểm đối xứng của A qua đường thẳng ?

A. M 1;4 . B. N 2;5 . C. P 6; 3 . D. Q 1;6 .


ĐÁP ÁN A.

Đường thẳng : 2x y 1 0 có vectơ chỉ phương a 1;2

. Gọi d là đường thẳng qua A 3;2

vuông góc với thì a

là vectơ pháp tuyến của d. Phương trình của d là:

1 x 3 2 y 2 0 x 2y 7 0 .

Tọa độ của điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên nghiệm đúng hệ phương trình:

2x y 1 0 x 1H 1;3

x 2y 7 0 y 3

.

Gọi B là điểm đối xứng của A qua , thì H là trung điểm của AB nên:

B H A

B H A

x 2x x 1B 1;4

y 2y y 4

.


Trang 498

Chú ý: Vì đây là bài tập trắc nghiệm, nên để chọn câu đúng cho nhanh ta chỉ cần kiểm tra các lựa

chọn. Ví dụ nếu chọn M 1;4 ta thấy ngay trung điểm của AM là I 1;3 , sau đó chỉ cần kiểm

tra vectơ AM

vuông góc với vectơ chỉ phương a 1;2

của .


đối xứng trục OxÑ biến parabol (P) thành parabol (P’) có phương trình là:

A. 2y x 2x 3 . B. 2y x 2x 3 . C. 2y x 2x 3 . D. 2y x 4x 3 .


ĐÁP ÁN C.

Lí luận như câu 2 phương trình của (P’) là: 2y x 2x 3 .

Chú ý: Có thể dùng kiến thức sau: đồ thị của hai hàm số y f x và y f x thì đối xứng với

nhau qua trục hoành.

Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình 2y 2x x 5 . Phép

đối xứng trục OyÑ biến parabol (P) thành parabol (P’) có phương trình là:

A. 2y 2x x 5 . B. 2y 2x x 5 . C. 2y 2x x 5 . D. 2y 2x x 5 .


ĐÁP ÁN B.

Hai điểm M x;y và Mʹ x;y thì đối xứng với nhau qua trục tung. Do đó phương trình của (P’)

là: 2 2y 2 x x 5 y 2x x 5 .


2 2x y 2x y 5 0 . Phép đối xứng trục OxÑ biến đường tròn (T) thành đường tròn (T’) có

phương trình là:

A. 2 2x y 2x y 5 0 . B. 2 2x y 2x y 5 0 .

C. 2 2x y 2x y 5 0 . D. 2 2x y x 2y 5 0 .


ĐÁP ÁN A.

Thay y bởi y ta được phương trình của đường tròn (T’) là: 2 2x y 2x y 5 0 .


Trang 499


2 2

x 2 y 3 16 . Phép đối xứng trục OyÑ biến đường tròn (T) thành đường tròn (T’) có


A. 2 2

x 3 y 2 16 . B. 2 2

x 2 y 3 16 .

C. 2 2

x 2 y 3 16 . D. 2 2

x 2 y 3 16 .


ĐÁP ÁN B.

Thay x bởi x ta được phương trình của đường tròn (T’) là:

2 2 2 2x 2 y 3 16 x 2 y 3 16

Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Phép đối xứng trục aÑ biến điểm A 4;3 thành điểm A’ có tọa độ là:

A. 4; 3 . B. 4; 3 . C. 4;3 . D. 3;4 .


ĐÁP ÁN D.

Ta có thể chứng minh được rằng: hai điểm M x;y và Mʹ y;x thì đối xứng nhau qua a là đường

phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy.

Suy ra: Aʹ 3;4 .

Ghi chú: Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là đường thẳng có phương trình y x .

Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi b là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.

Phép đối xứng trục bÑ biến điểm P 5; 2 thành điểm P’ có tọa độ là:

A. 5;2 . B. 5;2 . C. 2; 5 . D. 2;5 .


ĐÁP ÁN C.

Ta có thể chứng minh được rằng: Hai điểm M x;y và Mʹ y; x thì đối xứng qua b là đường

phân giác của góc phần tư thứ hai của hệ tọa độ Oxy.

Suy ra: Pʹ 2; 5 .

Ghi chú: Đường phân giác của góc phần tư thứ hai là đường thẳng có phương trình y x .


Trang 500

Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Ta

xét đường tròn (T) có phương trình 2 2

x 2 y 3 9 . Phép đối xứng trục aÑ biến đường tròn

(T) thành đường tròn (T’) có phương trình là:

A. 2 2

x 3 y 2 9 . B. 2 2

x 2 y 3 9 .

C. 2 2

x 3 y 2 9 . D. 2 2

x 3 y 2 9 .


ĐÁP ÁN A.

Thay x bởi y và y bởi x ta được phương trình của (T’) là:

2 2 2 2y 2 x 3 9 x 3 y 2 9 .

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Ta

xét đường thẳng có phương trình 3x 4y 5 0 . Phép đối xứng trục aÑ biến đường thẳng

thành đường thẳng ʹ có phương trình là:

A. 4x 3y 5 0 . B. 3x 4y 5 0 . C. 4x 3y 5 0 . D. 3x 4y 5 0 .


ĐÁP ÁN A.

Thay x bởi y và y bởi x ta được phương trình của ʹ là: 3y 4x 5 0 4x 3y 5 0 .

Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi b là đường phân giác của góc phần tư thứ hai. Ta

xét đường tròn (T) có phương trình 2 2x y 6x 4y 2 0 . Phép đối xứng trục bÑ biến đường

tròn (T) thành đường tròn (T’) có phương trình là:

A. 2 2x y 6x 4y 2 0 . B. 2 2x y 4x 6y 2 0 .

C. 2 2x y 6x 2y 2 0 . D. 2 2x y 4x 6y 2 0 .


ĐÁP ÁN D.

Thay x bởi y và y bởi x ta được phương trìn của (T’) là:

2 2 2 2y x 6 y 4 x 2 0 x y 4x 6y 2 0 .

Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi b là đường phân giác của góc phần tư thứ hai. Ta

xét đường thẳng có phương trình y 5x 3 . Phép đối xứng trục bÑ biến đường thẳng thành

đường thẳng ʹ có phương trình là:


Trang 501

A. 1 3

y x5 5

. B. 1 3

y x5 5

. C. y 5x 3 . D. y 5x 3 .


ĐÁP ÁN A.

Thay x bởi y và y bởi x ta được phương trình của ʹ là: 1 3x 5 y 3 y x

5 5 .

Câu 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi a là đường thẳng có phương trình x 2 0 . Phép

đối xứng trục aÑ biến điểm M 4; 3 thành điểm M’ có tọa độ là:

A. 6; 3 . B. 8; 3 . C. 8;3 . D. 6;3 .


ĐÁP ÁN B.

Trước hết ta nhận thấy rằng: hai điểm M x;y và 0Mʹ 2x x;y thì đối xứng qua đường thẳng có

phương trình 0x x .

Phương trình của a viết lại: 0x 2 x 2 .

Do đó, với điểm M 4; 3 thì điểm M’ đối xứng của M qua a có hoành độ là xʹ 2 2 4 8 .

Suy ra: Mʹ 8; 3 .

Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi b là đường thẳng có phương trình y 3 0 . Phép

đối xứng trục bÑ biến điểm P 2;5 thành điểm P’ có tọa độ là:

A. 2; 5 . B. 2; 5 . C. 2;1 . D. Một kết quả khác.


ĐÁP ÁN C.

Trước hết ta nhận thấy rằng: hai điểm M x;y và 0Mʹ x;2y y thì đối xứng qua đường thẳng có

phương trình 0y y .

Phương trình của b viết lại: y 3 .

Do đó, với điểm P 2;5 thì điểm M’ đối xứng của M qua b có tung độ là: y ʹ 2.3 5 1 .

Suy ra: Mʹ 2;1 .

Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt

là 1x x và 2 1 2x x x x ; M x;y là một điểm bất kì. Phép đối xứng trục aÑ biến điểm M


Trang 502

thành điểm M’ và phép đối xứng trục bÑ biến điểm M’ thành điểm M’’. Như thế phép biến hình

biến điểm M thành điểm M’’ là một phép tịnh tiến theo vectơ u . Tọa độ của vectơ

u là:

A. 1 22 x x ;0 . B. 2 12 x x ;0 . C. 1 2x x ;0 . D. 2 1x x ;0 .


ĐÁP ÁN B.

Gọi 1I x ;0 và 2J x ;0 là các giao điểm của hai đường thẳng a và b với trục hoành.

Như thế phép biến hình biến điểm M thành điểm M’’ là một phép tịnh tiến theo vectơ u 2IJ

.

Ta có: 2 1u 2IJ 2 x x ;0

.


là 1y y và 2 1 2y y y y ; M x;y là một điểm bất kì. Phép đối xứng trục aÑ biến điểm M

thành điểm M’ và phép đối xứng trục bÑ biến điểm M’ thành điểm M’’. Như thế phép biến hình

biến điểm M thành điểm M’’ là một phép tịnh tiến theo vectơ u . Tọa độ của vectơ

u là:

A. 2 10;2 y y . B. 2 10;2 y y . C. 2 10;y y . D. 2 10;y y .


ĐÁP ÁN A.

Lí luận như câu 45 ta được 2 1u 0;2 y y

.


là x 2 và x 5 . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục aÑ và bÑ (theo thứ tự). Điểm

M 2;6 biến thành điểm N có tọa độ là:

A. 4;6 . B. 5;6 . C. 4;6 . D. 9;6 .


ĐÁP ÁN C.

Theo bài 46 thì phép biến hình biến điểm M thành điểm N là phép tịnh tiến theo vectơ:

u 2. 5 2 ;0 u 6;0

.

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta được N 4;6 .


Trang 503


là y 1 và y 3 . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục aÑ và bÑ (theo thứ tự). Điểm

P 7;1 biến thành điểm Q có tọa độ là:

A. 7;6 . B. 7; 5 . C. 7;3 . D. 7;9 .


ĐÁP ÁN D.

Phép biến hình biến điểm P thành điểm Q là phép tịnh tiến theo vectơ: u 0;2. 3 1 u 0;8

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến ta được: Q 7;9 .

Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là x 2 và x 3 ; là đường thẳng có phương trình 2x y 0 . Thực hiện liên tiếp hai phép đối

xứng trục aÑ và bÑ (theo thứ tự), đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ có phương trình là:

A. 2x y 10 0 . B. 2x y 5 0 . C. 2x y 20 0 . D. Một kết quả khác.


ĐÁP ÁN C.

Phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng ʹ là phép tịnh tiến theo vectơ:

u 2. 3 2 ;0 u 10;0

.

Phép tịnh tiến này biến thành ʹ có phương trình: 2 x 10 y 0 2x y 20 0 .


là y 2 và y 3 ; là đường thẳng có phương trình 3x 2y 1 0 . Thực hiện liên tiếp hai phép

đối xứng trục aÑ và bÑ (theo thứ tự), đường thẳng biến thành đường thẳng ʹ có phương trình

là:

A. 3x 2y 5 0 . B. 3x 2y 5 0 . C. 3x 2y 10 0 . D. Một kết quả khác.


ĐÁP ÁN A.

Phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng ʹ là phép tịnh tiến theo vectơ:

u 0;2. 3 2 u 0;2

.

Phép tịnh tiến này biến thành ʹ có phương trình: 3x 2 y 2 1 0 3x 2y 5 0 .


Trang 504


là x 4 và x 2 ; (T) là đường tròn có phương trình 2 2

x 1 y 2 4 . Thực hiện liên tiếp hai

phép đối xứng trục aÑ và bÑ (theo thứ tự), đường tròn (T) biến thành đường tròn (T’) có phương

trình là:

A. 2 2

x 3 y 2 4 . B. 2 2

x 3 y 2 4 .

C. 2 2

x 1 y 4 4 . D. 2 2

x 5 y 1 4 .


ĐÁP ÁN B.

Phép biến hình biến đường tròn (T) thành đường tròn (T’) là phép tịnh tiến theo vectơ:

u 2. 2 4 ;0 u 4;0

.


2 2 2 2x 4 1 y 2 4 x 3 y 2 4 .


là y 1 và y 2 ; (T) là đường tròn có phương trình 2 2x y 2x 6y 1 0 . Thực hiện liên tiếp

hai phép đối xứng trục aÑ và bÑ (theo thứ tự), đường tròn (T) biến thành đường tròn (T’) có


A. 2 2x y 2x 6y 1 0 . B. 2 2x y 2x 8y 4 0 .

C. 2 2x y 2x 12y 4 0 . D. 2 2x y 4x 12y 1 0 .


ĐÁP ÁN A.

Phép biến hình biến đường tròn (T) thành đường tròn (T’) là phép tịnh tiến theo vectơ:

u 0;2. 2 1 u 0; 6

.


22 2 2x y 6 2x 6 y 6 1 0 x y 2x 6y 1 0 .

Câu 53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A 2;6 , B 1;2 , C 6;1 . Gọi

G là trọng tâm của ABC . Phép đối xứng trục OxÑ biến điểm G thành điểm G’ có tọa độ là:


Trang 505

A.

2;4

3.

B. 3; 3 . C.

7; 3

3. D.

4; 4

3.


ĐÁP ÁN C.

Từ giả thiết suy ra: 7 7

G ;3 Gʹ ; 33 3

.

Câu 54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A 1;5 , B 1;2 , C 6; 4 .

Gọi G là trọng tâm của ABC . Phép đối xứng trục OyÑ biến điểm G thành điểm G’ có tọa độ là:

A. 2; 1 . B. 2; 4 . C. 0; 3 . D. 2;1 .


ĐÁP ÁN D.

Từ giả thiết suy ra: G 2;1 Gʹ 2;1 .


Gọi G là trọng tâm của ABC và a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Phép đối xứng

trục aÑ biến điểm G thành điểm G’ có tọa độ là:

A.

4;1

3. B.

4;1

3. C.

41;3

. D.

41;

3.


ĐÁP ÁN C.

Ta có: 4 4

G ;1 Gʹ 1;3 3

.

Câu 56. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, các đường có phương trình sau đây, đường nào nhận trục hoành làm trục đối xứng:

A. 2y x 2x . B. y 4x 3 .

C. 2 2x y 4x 1 0 . D. 2 2x y 4x 12y 1 0 .


ĐÁP ÁN C.


Trang 506

Khi thay y bởi y thì phương trình 2 2x y 4x 1 0 * không thay đổi nên đường tròn có

phương trình (*) nhận trục hoành làm trục đối xứng.

Câu 57. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. y 5x 3 . B. 2y x 4x 5 . C. 4 2y x x 1 . D. y sinx .


ĐÁP ÁN C.

Do phương trình 4 2y x x 1 không thay đổi khi ta thay x bởi x nên đồ thị của hàm số này

nhận trục tung làm trục đối xứng.

Câu 58. Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn O;R . Điểm A thay đổi trên O;R . Gọi H

là trực tâm của ABC và H’ là điểm đối xứng của H qua đường thẳng BC. Mệnh đề nào sau đây là

đúng?

A. H’ luôn nằm trên đường tròn Oʹ;R đối xứng của O;R qua đường thẳng BC.

B. H’ luôn nằm trên một đường thẳng cố định song song với BC.

C. H’ luôn nằm trên đường trung trực của cạnh BC.

D. H’ luôn nằm trên đường tròn O;R .


ĐÁP ÁN D.

Trong một tam giác, điểm đối xứng của trực tâm H qua một cạnh của nó thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Đây là một kiến thức cơ bản. Tuy nhiên ta có thể chứng minh lại bài toán này như sau:

Kẻ các đường cao AM, BN, CP và gọi D là điểm đối xứng của H qua BC.

Ta có tứ giác ANHP là một tứ giác nội tiếp, suy ra: oPAN PHN 180 hay oBAC BHC 180 .

Mặt khác, có D là điểm đối xứng của H qua BC nên BDC BHC .

Do đó: oBAC BDC 180 .

Suy ra D nằm trên đường tròn (O) ngoại tiếp ABC .

D

H

M

P

N

O

B C

A

Câu 59. Trong mặt phẳng cho đường thẳng và hai điểm A, B phân biệt nằm cùng một bên đường thẳng . Một điểm M thay đổi trên , khi đó vị trí của M để MA MB đạt giá trị nhỏ nhất là:


Trang 507

A. M trùng với hình chiếu vuông góc của A trên .

B. M trùng với hình chiếu vuông góc của B trên .

C. M trùng với giao điểm của và đường trung trực của AB.

D. M trùng với giao điểm của và đường thẳng BA’ với A’ là điểm đối xứng của A qua .


ĐÁP ÁN D.

Đây là bài toán cơ bản về giá trị nhỏ nhất.

Do A’ là điểm đối xứng của A qua nên: MA MAʹ

Do đó: MA MB MAʹ MB AʹB

Như thế: min MA MB AʹB

Xảy ra khi: A’, B, M thẳng hàng, khi đó M trùng với điểm I là giao điểm của A’B và .

Δ

I

A'

A

B

M

Câu 60. Cho đoạn thẳng AB và là đường thẳng cố định song song với BC. Trên lấy điểm M bất kì. Khi đó vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất là:

A. M trùng với hình chiếu vuông góc của A trên .

B. M trùng với hình chiếu vuông góc của B trên .

C. M trùng với hình chiếu vuông góc của I trên với I là trung điểm của AB.

D. Không thể xác định được vị trí của M.


ĐÁP ÁN C.

Chu vi của MAB là: p MA MB AB .

Mà AB cố định nên p đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Theo bài 59, khi đó M ở vị trí K với K là giao điểm của và A’B, A’ là điểm đối xứng của A qua .

ΔK

A'

A

B

M

I

Câu 61. Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Một điểm M thay đổi trên tia Ox và một điểm N thay đổi trên tia Oy. Để xác định vị trí của M và N sao cho AMN có chu vi nhỏ

nhất, một học sinh chứng minh qua ba bước như sau:


Trang 508

Bước 1: Gọi p là chu vi tam giác AMN ta có:

p AM AN MN

Bước 2: Thực hiện phép đối xứng trục OxÑ điểm A biến

thành điểm B. Suy ra AM BM , và thực hiện phép đối

xứng trục OyÑ điểm A biến thành điểm C. Suy ra

AN CN .

Do đó: p BM MN CN

x

yJ

I

C

B

OA

M

N

Bước 3: Như thế p đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi các điểm B, M, N, C thẳng hàng. Khi đó M trùng với điểm I giao điểm của Ox và BC, N trùng với điểm J giao điểm của Oy và BC.

Hỏi cách chứng minh trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào?

A. Chứng minh chính xác. B. Sai từ bước 1.



ĐÁP ÁN A.

Câu 62. Cho hai đường thẳng song song a và b; A và B là hai điểm hai bên đường thẳng b trong đó điểm A nằm trong dãy định bởi a và b (A và B đều không nằm trên a và b). Muốn dựng một đoạn thẳng

MN vuông góc với cả a, b với M a và N b sao

cho AM MN NB có độ dài nhỏ nhất. Một học

sinh lập luận qua ba bước như sau:

Bước 1: Trước hết ta thấy rằng MN có độ dài không đổi, nên ta chỉ cần xác định vị trí của M, N để AM BN nhỏ nhất.

a

b

N0

M0

Q

P

A

B

M

N

Bước 2: Thực hiện phép tịnh tiến T theo vectơ u NM

, điểm B biến thành điểm Q; suy ra

BN QM . Thực hiện phép đối xứng trục aÑ điểm A biến thành điểm P, suy ra AM PM.

Do đó: AM BN PM QM PQ .

Bước 3: Đẳng thức xảy ra khi điểm M nằm trên đoạn thẳng PQ, như thế M trùng với điểm 0M là

giao điểm của PQ và đường thẳng a; khi đó N trùng với điểm 0N là hình chiếu vuông góc của 0M

trên đường thẳng b.

Để ý rằng khi thực hiện phép tịnh tiến T theo vectơ u NM

mà điểm Q trùng với điểm A thì ta kết

luận ngay vị trí của điểm M cần xác định là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng a.


Trang 509

Tóm lại bài toán luôn thực hiện được.


A. Chứng minh chính xác. B. Sai từ bước 1.



ĐÁP ÁN A.

Câu 63. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O. Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Không có phép đối xứng trục nào biến a thành b.

B. Có duy nhất một phép đối xứng trục biến a thành b.

C. Có đúng hai phép đối xứng trục biến a thành b.

D. Có vô số phép đối xứng trục biến a thành b.


ĐÁP ÁN C.

Gọi p và q là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng a và b. Ta thấy ngay có hai phép đối xứng trục biến a thành

b là các phép đối xứng trục pÑ và qÑ . p

q

b

a

O


Trang 510

BÀI 4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM


I. Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa

Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với

M qua O, có nghĩa là OM OM ʹ 0 .

OÑ M M' OM OM' 0

Điểm O gọi là tâm của phép đối xứng, hay đơn giản là tâm đối xứng.

Phép đối xứng qua một điểm còn gọi đơn giản là phép đối xứng tâm.

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm I a; b . Phép đối xứng tâm IÑ biến điểm M x;y thành điểm

Mʹ xʹ; y ʹ thì:

x ʹ 2a x

y ʹ 2b y.

Công thức này gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm IÑ .

3. Tâm đối xứng của một hình

Điểm O gọi là tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối xứng OÑ biến hình H thành chính nó,

nghĩa là OÑ H H .

Ví dụ:

a. Các hình như hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đề có tâm đối xứng. Đó là giao điểm của hai đường chéo của mỗi hình. b. Đường tròn có một tâm đối xứng, đó là tâm của nó.


Dạng 1. tìm ảnh của 1 điểm, một đường qua phép đối xứng tâm

1 Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I : 1) A( 2;3) , I(1;2) (4;1) 2) B(3;1) , I( 1;2)

A ( 5;3)

3) C(2;4) , I(3;1) (4; 2) BC

Giaûi :

a) Gæa söû : ( ) ( 1; 2) ( 3;1)

1 3 4(4;1)

2 1 1

A Ñ A IA IA x yI

x xA

y y


Trang 511

2 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp ñoái xöùng taâm I : 1) ( ) : 2 5 0, (2; 1) ( ) : 2 5 0 2) ( ) : 2 3 0, (1;0)

x y I x yx y I ( ) : 2 1 0

3) ( ) : 3 2 1 0, (2; 3) ( ) : 3 2 1 0 x y

x y I x y

PP : Coù 3 caùch Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä Caùch 2 : Xaùc ñònh daïng // , roài duøng coâng thöùc tính khoaûng caùch d( ; ) . Caùch 3 : Laáy baát kyø A,B , roài tìm aûnh A ,B

Giaûi

A B4 4

1) Caùch 1: Ta coù : M(x;y)2 2

IÑ x x x xM

y y y y

I

M(x;y) 2 5 0 (4 ) 2( 2 ) 5 0 2 5 0 M (x ;y ) : 2 5 0

Vaäy : ( ) ( ) : 2 5 0Caùch 2 : Goïi = Ñ ( ) song song I

I

Vì x y x y x yx y

Ñx yI

: x + 2y + m = 0 (m 5) .

5 (loaïi)|5| | m | Theo ñeà : d(I; ) = d(I; ) 5 | |52 2 2 21 2 1 2

( ) : 2 5 0Caùch 3 : Laáy

mm

m

x y: A( 5;0),B( 1; 2) (9; 2), (5;0) : 2 5 0 A B A B x y

3 Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp ñoái xöùng taâm :2 2 2 2 1) ( ) : ( 2) 1, (2;1) ( ) : ( 4) 12 2 2 2 2) (C) : 4 2 0, (1;0) ( ) : 8 2 12 0

3) (

C x y E C x y

x y x y F C x y x y

E

2 2P) : y = 2x 3 , taâm O(0;0) ( ) : y = 2x 3: ) 2 caùch giaûi :

Caùch 1: Duøng bieåu thöùc toaï ñoä .Ñ

Caùch 2 : Tìm taâm I , ( cho) . b) Töông töï .

x P xHD a Coù

I R R ñaõI

Dạng 2. Chứng minh một hình H có tâm đối xứng


Bước 1. Xác định điểm cố định O.

Bước 2. Chứng minh rằng, với mọi điểm M thuộc H, điểm OM' Ñ M cũng thuộc H.


Trang 512

Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy, gọi (C) là đồ thị của hàm số 1

yx

. Chứng minh rằng (C) có tâm đối

xứng là O, gốc của hệ tọa độ Oxy.

Giải

Gọi M x;y C thì có: 1

yx

.

Gọi Mʹ xʹ; y ʹ là ảnh của M qua OÑ thì từ MO OM ʹ 0 , ta có:

x x ʹOM OM ʹ

y y ʹ

Thay vào (1) ta được: 1 1

y ʹ y ʹx ʹ x ʹ

. Hệ thức này chứng tỏ M ʹ C .

Tóm lại, với mọi điểm M thuộc (C), M’ là ảnh của M qua OÑ cũng thuộc (C). Vậy, (C) có tâm đối

xứng là O.

Ví dụ 2: Cho hai điểm cố định A và B có AB 2 . Tìm tập hợp những điểm M’ sao cho

MA MB MM'

, biết rằng 2 2MA MB 4 .

Giải

Đề tìm tập hợp những điểm M’ ta phải tìm tập hợp những điểm M.

Ta có 2 2MA MB 4 . Gọi O là trung điểm của AB thì O cố định. Mà 2

2 2 2 ABMA MB 2MO2

nên 2

2 AB2MO 4 2 MO 12

. Do đó, tập hợp những điểm M là đường tròn (C) tâm O có bán

kính R 1 .

Bây giờ ta tìm tập hợp những điểm M’.

Ta có: MA MB MM'

(giả thiết) (1)

Mà O là trung điểm của AB nên: MA MB 2MO

(2)

Từ (1) và (2) ta có: MM ʹ 2MO OM OM ʹ 0

.

Do đó OM' Ñ M .

Theo trên, M thuộc (C) nên M’ thuộc (C’) là ảnh của (C) qua OÑ . Mà (C’) chính là (C). Vậy tập

hợp những điểm M’ là đường tròn tâm O, trung điểm của AB, bán kính R 1 .

Dạng 3. Dùng phép đối xứng tâm để dựng hình

Phương pháp giải: Muốn dựng điểm N, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Xác định hai điểm M và O sao cho ON Ñ M .

Bước 2. Tìm các dựng điểm M suy ra N.


Trang 513

Ví dụ: Dựng hình bình hành ABCD, biết rằng hai đỉnh B và D cố định, đỉnh A thuộc một đường tròn (I) đã cho và đỉnh C thuộc một đường thẳng d đã cho.

Giải

Gọi O là trung điểm của BD thì O cố định và OÑ A C .

Ta dựng A trước. Vì OC Ñ A nên OA Ñ C . Mà C d

nên A d ʹ , ảnh của d qua OÑ . Do đó: A I d ʹ .

Đã có A, ta dựng OC Ñ A .

Tóm lại: Hình bình hành ABCD đã dựng xong.

Bài toán có 2; 1; 0 lời giải tùy theo d’ và (I) có 2; 1; 0 giao điểm.

(I)

d

d'

C

A

O

I

B D


Câu 1. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến một đường thẳng a cho trước thành chính nó?

A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép.


ĐÁP ÁN D.

Tâm đối xứng là điểm bất kì nằm trên a.

Câu 2. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?




ĐÁP ÁN A.

Tâm đối xứng phải nằm trên cả d và d’ nên không có.

Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến d thành d’?




ĐÁP ÁN D.


Trang 514

Tâm đối xứng là các điểm cách đều d và d’.

Câu 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?




ĐÁP ÁN B.

Tâm đối xứng là giao điểm của d và d’.

Câu 5. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến đường thẳng d thành d’?




ĐÁP ÁN A.

Vì phép đối xứng tâm biến d thành đường thẳng song song hoặc trùng với d.

Câu 6. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c không song song với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến đường thẳng a thành đường thẳng b và biến đường thẳng c thành chính nó?




ĐÁP ÁN B.

Giả sử c cắt a và b lần lượt tại A và B. Phép đối xứng tâm cần tìm là phép đối xứng qua trung điểm của AB.

Câu 7. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đó a a ʹ, b b ʹ∥ ∥ và a cắt b. Có bao nhiêu phép đối

xứng tâm biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a’ và b’?




ĐÁP ÁN B.


Trang 515

Đó là phép đối xứng qua tâm hình bình hành tạo thành bởi bốn đường thẳng đã cho.

Câu 8. Trong các hình dưới đây hình nào không có tâm đối xứng?

A. Đường elip. B. Đường hypebol.

C. Đường parabol. D. Đồ thị của hàm số y sinx .


ĐÁP ÁN C.

Câu 9. Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng?

A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.

B. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.

C. Hình lục giác đều.

D. Hình gồm một đường tròn và một hình vuông nội tiếp.


ĐÁP ÁN B.

Câu 10. Trong các hình dưới đây, hình nào không có vô số tâm đối xứng?

A. Đồ thị của hàm số y sinx . B. Đồ thị của hàm số y sinx 1 .

C. Đồ thị của hàm số y tanx . D. Đồ thị của hàm số

1y

x .


ĐÁP ÁN D.

Đồ thị của hàm số 1

yx

là đường hypebol, chỉ có duy nhất một tâm đối xứng là điểm gốc tọa độ.

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng tâm biến điểm A 5;2 thành điểm

A ʹ 3;4 thì nó biến điểm B 1; 1 thành điểm:

A. Bʹ 1;7 B. Bʹ 1;6 C. Bʹ 2;5 D. Bʹ 1; 5


ĐÁP ÁN A.

Trung điểm của BB’ phải là trung điểm của AA’.

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm có tâm là điểm gốc tọa độ. Khi đó nó

biến đường thẳng 3x 4y 13 0 thành đường thẳng:


Trang 516

A. 3x 4y 13 0 B. 3x 4y 13 0 C. 3x 4y 13 0 D. 3x 4y 13 0


ĐÁP ÁN D.

Phép đối xứng qua O biến điểm M x;y thành điểm M ʹ x; y .

Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép đối xứng tâm với tâm là điểm I 1; 1 . Khi đó nó

biến đường thẳng 2x 3y 5 0 thành đường thẳng:

A. 2x 3y 7 0 B. 2x 3y 7 0 C. 2x 3y 7 0 D. 2x 3y 4 0


ĐÁP ÁN B.

Điểm I phải cách đều đường thẳng đã cho và ảnh của nó.

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và b lần lượt có phương

trình 3x 4y 1 0 và 3x 4y 5 0 . Nếu phép đối xứng tâm biến a thành b thì tâm đối xứng phải

là điểm nào trong các điểm sau đây?

A. I 2; 2 B. I 2;2 C. I 2;2 D. I 2;0


ĐÁP ÁN A.

Tâm đối xứng phải cách đều hai đường thẳng đã cho.;

Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I a; b . Thực hiện phép đối xứng tâm I biến

điểm M x;y thành M ʹ x ʹ; y ʹ . Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm này là:

A. x ʹ 2b x

y ʹ 2a y

B. xʹ 2a x

y ʹ 2b y

C. xʹ a 2x

y ʹ b 2y

D. x ʹ a 2y

y ʹ b 2x


ĐÁP ÁN B.

Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình 2y x x . Phương

trình của parabol (Q) đối xứng với (P) qua gốc tọa độ O là:

A. 2y x x . B. 2y x x . C. 2y x x . D. 2y x 2x .


ĐÁP ÁN A.


Trang 517

Hai điểm M x;y và M ʹ x; y thì đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O. Do đó phương trình của

parabol (Q) là: 2 2y x x y x x .

Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I 2; 1 và đường thẳng có phương trình

x 2y 2 0 . Ảnh của qua phép đối xứng tâm IÑ là đường thẳng có phương trình:

A. x 2y 2 0 . B. x 2y 3 0 . C. x 2y 6 0 . D. 2x y 4 0 .


ĐÁP ÁN A.

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm, ta có: x ʹ 4 x x 4 x ʹ

y ʹ 2 y y 2 y ʹ

Thế vào phương trình của ta được: 4 x ʹ 2 2 y ʹ 2 0 x ʹ 2y ʹ 2 0 x ʹ 2y ʹ 2 0

Vậy phương trình ảnh của là: x 2y 2 0 .

Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I 2; 1 và đường tròn (T) có phương trình

2 2x y 9 . Phép đối xứng tâm IÑ biến đường tròn (T) thành đường tròn (T’) có phương trình là:

A. 2 2x y 8x 4y 11 0 . B. 2 2x y 4x 6y 5 0 .

C. 2 2x y 2x 4y 0 . D. 2 2x y 6x 2y 2 0 .


ĐÁP ÁN A.


y ʹ 2 y y 2 y ʹ

Thế vào phương trình của (T) ta được: 2 2 2 24 x ʹ 2 y ʹ 9 x ʹ y ʹ 8x ʹ 4y ʹ 11 0 .

Vậy phương trình của (T’) là: 2 2x y 8x 4y 11 0 .

Câu 19. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng?

A. 2y 2x 3x 1 . B. 3y x x 5 . C. 3y x tanx . D. 2y sinx x 1 .


ĐÁP ÁN D.


Trang 518

Ta đã biết đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Trong các hàm số dưới

đây chỉ có hàm số 2y sinx x 1 là hàm số lẻ, nên đồ thị của hàm số này nhận gốc tọa độ O làm

tâm đối xứng.

Câu 20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình 2 2x y 8x 10y 32 0 . Phương trình của đường tròn (C’) đối xứng của (C) qua gốc tọa độ O có


A. 2 2x 4 y 5 9 . B. 2 2

x 4 y 5 16 .

C. 2 2x 4 y 5 4 . D. Một phương trình khác.


ĐÁP ÁN A.

Thay x bởi x và y bởi y ta được phương trình của (C’) là:

2 22 2x y 8x 10y 32 0 x 4 y 5 9 .

Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình 2y x 2x và điểm

I 3;1 . Phép đối xứng tâm IÑ biến parabol (P) thành parabol (P’) có phương trình là:



ĐÁP ÁN A.


y ʹ 2 y y 2 y ʹ

Thế vào phương trình của (P) ta được: 2 22 y ʹ 6 x ʹ 2 6 x ʹ y ʹ x ʹ 14x ʹ 46 .

Vậy phương trình của (P’) là: 2y x 14x 46 .

Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I 2; 1 và tam giác ABC với A 1;4 ,

B 2;3 , C 7;2 . Phép đối xứng tâm IÑ biến trọng tâm G của tam giác ABC thành điểm G’ có tọa

độ là:

A. 2;5 . B. 2; 5 . C. 1; 4 . D. 0; 5 .


ĐÁP ÁN D.


Trang 519

Trọng tâm của ABC là G 2;3 .

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm, ta được G ʹ 0; 5 .


Trang 520

BÀI 5. PHÉP QUAY


I. ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O

thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM’ OM’) bằng được gọi là phép quay

tâm O góc (h.1.27).

Điểm O được gọi là tâm quay còn được gọi là góc quay của phép quay.

Phép quay tâm O góc thường được kí hiệu là Q O;

Ví dụ 1. Trên hình 1.28 ta có các điểm A’, B’, O tương ứng là ảnh của các điểm A, B, O qua phép

quay tâm O, và góc quay 2

Nhận xét:


Trang 521

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

II. TÍNH CHẤT Quan sát chiếc tay lái (vô lăng) trên tay người lái xe ta thấy khi người lái xe quay tay lái một góc nào đó thì hai điểm A và B trên tay lái cũng quay theo. (h.1.34). Tuy vị trí A và B thay đổi nhưng khoảng cách giữa chúng không thay đổi. Điều đó được thể hiện trong tính chất sau của phép quay.


Trang 522

Tính chất 1. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

(Phép quay tâm O, góc (OA; OA’) biến điểm A thành A’, B thành B’.

Khi đó, ta có: A’B’ = AB)

Tính chất 2.

Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính (h.1.36).


Trang 523

Nhận xét


Trang 524


Dạng 1. Chứng minh điểm M’ là ảnh của điểm M trong một phép quay

Phương pháp giải: Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tìm một điểm cố định O và một góc không đổi.

Bước 2. Chứng minh:

OM OM ʹ

OM,OM ʹ

Ví dụ 1: Cho ABC là tam giác đều (các đỉnh được ghi theo chiều dương). Hãy xác định phép quay biến C thành A).

Giải

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

o

OA OC

OC,OA 120

Vậy oQ O;120 : C A .

Ta còn có phép quay oQ B;60 : C A .

120o

O

A

B C

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn O;R và O ʹ;R cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua B, cắt

O;R tại M cắt O ʹ;R tại M’. Chứng minh rằng M’ là ảnh của M trong phép quay tâm A, góc

quay OAO ʹ .

Giải

Xét tam giác MAM’ ta có: 1 1M O ; 1 1M ʹ O ʹ (góc nội

tiếp và nửa góc ở tâm cùng chắn một cung). Mà 1 1O O ʹ

(vì OAO ʹ cân tại A), suy ra 1 1M M ʹ .

Vậy, tam giác MAM’ cân tại A, suy ra: AM AM ʹ 1

Mặt khác: OMA OʹM ʹA c.c.c , suy ra

MAO M ʹAO ʹ . Mà:

M'

B

A

O O'M

MAM ʹ MAO OAM ʹ M ʹAO ʹ OAM ʹ OAO ʹ .

Do đó: MAM ʹ 2 .

Từ (1) và (2) suy ra:

AM AM ʹ

AM,AM ʹ


Trang 525

Vậy M’ là ảnh của M trong phép quay tâm A, góc quay OAO ʹ .

Dạng 2. Tìm ảnh của một đường thẳng, đường tròn qua một phép quay


Tìm ảnh của một đường thẳng qua một phép quay Q I; .

Bước 1. Lấy trên đường thẳng một điểm cố định 0M và điểm di động M.

Bước 2. Gọi 0M ʹ và M’ lần lượt là ảnh của 0M và M trong phép quay Q I; .

Bước 3. Chứng minh rằng M’ thuộc một đường thẳng d’ cố định.

Kết luận: d’ chính là ảnh của d qua phép quay Q I; .

Tìm ảnh của một đường tròn qua một phép quay Q I; .

Bước 1. Gọi O’ là ảnh của O, tâm đường tròn đã cho, qua Q I; , ta có O’ cố định.

Bước 2. Lấy điểm M tùy ý trên đường tròn (O). Gọi M’ là ảnh của M qua Q I; , chứng minh rằng

O ʹM ʹ OM .

Bước 3. Chứng minh rằng M’ thuộc đường tròn O ʹ;R .

Kết luận: O ʹ;R chính là ảnh của O;R qua Q I; .

Ví dụ 1: Cho phép quay tâm O, góc quay o60 và đường thẳng d. Tìm ảnh của d qua Q I; .

Giải

Gọi H là hình chiếu của O lên d, ta có H cố định. Gọi H’ là ảnh của H qua oQ O;60 . Ta có:

o

OH ʹ OH1

OH,OH ʹ 60

Mặt khác, gọi M là điểm di động trên d và M’ là ảnh của M qua oQ O;60 , ta có:

o

OM OM ʹ2

OM,OM ʹ 60

Từ (1) và (2), ta có:

OH OH ʹ

OM OM ʹ OH ʹM ʹ OHM c.g.c

HOM H ʹOM ʹ

Do đó: oOH ʹM ʹ 90

Vậy tập hợp điểm M’ là đường thẳng d’ vuông góc với

d

d'

60o

60o

M'

H'

O

H M


Trang 526

OH’ tại H’.

Lưu ý:

1. Góc của d và d’ bằng o60 .

2.

o

HM H ʹM ʹ

HM,H ʹM ʹ 60

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có A cố định (các đỉnh được vẽ theo chiều dương).

Biết rằng C thuộc đường tròn I;R cho sẵn. Tìm ảnh của đường tròn I;R qua phép quay

oQ A; 90 .

Giải

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, có các đỉnh ghi

theo chiều dương nên:

o

AC AB

AC,AB 90

Suy ra B là ảnh của C qua oQ A; 90 .

Gọi I’ là ảnh của I qua phép quay oQ A; 90 , ta có

I’ cố định và:

o

AI AI ʹ

AI,AI ʹ 90

I'

C

A

B

I

Mặt khác:

o I I ʹQ A; 90 : I ʹB IC

C B. Do đó I ʹB R (bán kính của I;R )

Tóm lại, ta có: I’ cố định, I ʹB R (không đổi) nên tập hợp những điểm B là đường tròn tâm I’, bán

kính R. Đó là ảnh của đường tròn I;R .

Dạng 3. Dựng hình bằng phép quay

Phương pháp giải: Muốn dựng điểm N qua phép quay, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Xác định điểm M và phép quay Q O; :M N .

Bước 2. Tìm cách dựng điểm M, suy ra điểm N bằng phép quay trên.

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có các đỉnh được vẽ theo chiều dương. Lấy điểm P trên cạnh AB.

Hãy dựng điểm Q trên cạnh CA sao cho CQ AP .

Giải


Trang 527

Giả sử bài toán đã dựng xong ta có: Q AC sao cho CQ AP .

Trước hết ta phải xác định phép quay biến C thành A và Q thành

P. Ta có: CQ AP CQ AP 1

Mặt khác, P AB và Q CA nên:

oCQ,AP CA,AB 120 2

Từ (1) và (2) suy ra:

o

CQ AP

CQ,AP 120

120°

QP

O

A

B C

Gọi O là tâm của phép quay biến C thành A và Q thành P, ta có:

o

OC OA 3

OC,OA 120 4

Từ (3) suy ra O thuộc đường trung trực của CA; từ (4) suy ra O thuộc cung chứa góc o120 vẽ trên

dây CA. Mà ABC là tam giác đều nên O chính là trọng tâm của nó.

Tóm lại, ta đã xác định được phép quay tâm O, góc quay o120 , biến C thành A, biến Q thành P.

Suy ra oQ O; 120 : P Q và O O , nên biến OP thành OQ. Vậy Q là giao điểm của cạnh CA

và OQ là ảnh của đường thẳng OP qua phép quay oQ O; 120 . Bài toán chỉ có một nghiệm hình.


Câu 1. Cho hai đường thẳng bất kì d và d’. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?




ĐÁP ÁN D.

Tâm của phép quay là điểm cách đều hai đường thẳng d và d’.

Câu 2. Cho hai đường thẳng song song a và a’, một đường thẳng c không song song với chúng. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng a thành đường thẳng a’ và biến đường thẳng c thành chính nó?




ĐÁP ÁN B.


Trang 528

Phép quay góc quay o180 , tâm quay là trung điểm của đoạn thẳng do a và a’ chắn ra trên c.

Câu 3. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đó a a ʹ, b b ʹ∥ ∥ và a cắt b. Có bao nhiêu phép quay

biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a’ và b’?




ĐÁP ÁN B.

Phép quay góc quay o180 , tâm quay là tâm hình bình hành tạo bởi bốn đường thẳng đã cho.

Câu 4. Cho tam giác đều ABC với trọng tâm G. Phép quay tâm G với góc quay nào dưới đây biến tam giác ABC thành chính nó?

A. o30 . B. o45 . C. o60 . D. o120 .


ĐÁP ÁN D.

Câu 5. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Phép quay tâm O với góc quay nào dưới đây biến hình vuông ABCD thành chính nó?

A. o30 . B. o45 . C. o90 . D. o120 .


ĐÁP ÁN C.

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A 1;0 thành điểm A ʹ 0;1 .

Khi đó nó biến điểm M 1; 1 thành điểm:

A. M ʹ 1; 1 . B. M ʹ 1;1 . C. M ʹ 1;1 . D. M ʹ 1;0 .


ĐÁP ÁN B.

Câu 7. Khi nào thì hợp thành của hai phép quay Q O; và Q O; là phép đồng nhất?

A. Khi o90 . B. Khi k , với k nguyên.

C. Khi 2k , với k nguyên. D. Không khi nào.


ĐÁP ÁN C.


Trang 529

Hợp thành là phép quay tâm O góc quay .

Câu 8. Khi nào thì hợp thành của hai phép quay Q O; và Q O; là phép đối xứng tâm?

A. Khi o0 . B. Khi k , với k nguyên.

C. Khi 2k , với k nguyên. D. Không khi nào.


ĐÁP ÁN B.

Hợp thành là phép quay tâm O góc quay .

Câu 9. Cho phép quay Q O; biến điểm A thành điểm A’ và biến điểm M thành điểm M’. Chọn

mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. AM A ʹM ʹ

. B. OA,OA ʹ OM,OM ʹ .

C. AM,AʹMʹ

. D. AM A ʹM ʹ .


ĐÁP ÁN A.

Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, ta xét phép quay Q O; . Trong các mệnh đề sau,

mệnh đề nào sai?

A. Nếu o90 thì Q biến trục hoành x’Ox thành trục tung y’Oy.

B. Nếu o270 thì Q biến trục tung y’Oy thành trục hoành x’Ox.

C. Nếu o90 thì Q biến trục tung y’Oy thành trục hoành x’Ox.

D. Nếu o180 thì Q biến trục hoành x’Ox thành chính nó.


ĐÁP ÁN D.

Ta thấy ngay các câu A, B, C đều đúng.

Nếu o180 thì Q biến trục hoành x’Ox thành trục ngược hướng với trục x’Ox.

Câu 11. Trong câu này ta chỉ xét các phép quay với góc quay thỏa điều kiện o o0 180 . Cho

hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Không tồn tại phép quay nào biến đường thẳng a thành đường thẳng b.

B. Có duy nhất một phép quay biến đường thẳng a thành đường thằng b.


Trang 530

C. Có đúng hai phép quay biến đường thẳng a thành đường thẳng b.

D. Có vô số phép quay biến đường thẳng a thành đường thẳng b.


ĐÁP ÁN D.

Giả sử a và b ở vị trí như hình vẽ.

Gọi là góc tạo bởi a và b.

+ Ta thấy phép quay Q O; biến a thành b và phép quay

oQ O;180 biến b thành a.

+ Mặt khác, chẳng hạn như trên tia Ox ta lấy một điểm I bất

kì nào đó, thì phép quay oQ I;180 sẽ biến b thành a.

x

y ba

y'

x'

O I

Như thế, với hai đường thẳng a và b cắt nhau sẽ có vô số phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia.

Câu 12. Cho tam giác ABC đều tâm O (O là tâm của đường tròn ngoại tiếp). Ta thực hiện phép

quay tâm O biến tam giác ABC thành chính nó. Một số đo của góc quay là:

A. o45 . B. o60 . C. o90 . D. o120 .


ĐÁP ÁN D.

Trong tam giác đều ABC tâm O, ta có: oCOA 120 .

Như vậy phép quay tâm O với góc quay o120 sẽ biến tam

giác ABC thành chính nó.

Dĩ nhiên phép quay tâm O với góc quay bằng ok180 cũng biến

tam giác ABC thành chính nó.

120O

O

A

B C

Câu 13. Cho hình vuông ABCD tâm O. Ta xét các mệnh đề sau:

1. Phép quay oQ O;45 biến hình vuông ABCD thành chính nó.





Trang 531

Trong các mệnh đề trên:

A. Có duy nhất một mệnh đề đúng. B. Có hai mệnh đề đúng.

C. Có ba mệnh đề đúng. D. Tất cả bốn mệnh đề đều đúng.


ĐÁP ÁN B.

Hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau tại O. Dễ thấy các phép quay oQ O;k90 biến

hình vuông ABCD thành chính nó.

Câu 14. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Ta xét các mệnh đề sau:

1. Phép quay oQ O;72 biến hình vuông ABCDE thành chính nó.








ĐÁP ÁN C.

Ta có: oAOB BOC COD DOE EOA 72 .

Do đó các phép quay tâm O với góc quay bằng ok72 đều biến

ngũ giác đều ABCDE thành chính nó.

Như thế các câu 1, 3, 4 đều đúng,, câu 2 sai. D

C

B

AO

E

Câu 15. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Ta xét các mệnh đề sau:

1. Phép quay oQ O;60 biến hình vuông ABCDEF thành chính nó.





Trang 532





ĐÁP ÁN D.

Tương tự như câu 38; do đó các phép quay tâm O với góc quay bằng ok60 đều biến lục giác đều

ABCDEF thành chính nó.

Như thế tất cả các câu 1, 2, 3, 4 đều đúng.

Câu 16. Cho phép quay Q O; biến điểm M thành điểm M’. Chọn câu sai trong các câu sau:

A. Phép quay Q O; là một phép dời hình.

B. Phép quay Q O; có O là một điểm bất động.

C. Ta luôn có OM OM ʹ

và MOM ʹ .

D. Ta luôn có OM OMʹ và OM,OM ʹ .


ĐÁP ÁN C.

Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 2x y 5 0 và x 2y 3 0 . Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì

số đo của góc quay là:

A. o45 . B. o60 . C. o90 . D. o120 .


ĐÁP ÁN C.

Ta thấy ngay hai đường thẳng a và b có phương trình 2x y 5 0 và x 2y 3 0 là vuông góc

với nhau. Suy ra o90 .

Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4x 3y 5 0 và x 7y 4 0 . Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì

số đo của góc quay là:

A. o45 . B. o60 . C. o90 . D. o120 .


ĐÁP ÁN A.


Trang 533

Đường thẳng a : 4x 3y 5 0 có vectơ pháp tuyến u 4;3

.

Đường thẳng b : x 7y 4 0 có vectơ pháp tuyến v 1;7

.

Gọi là góc tạo bởi a và b ta có: 2 2 2 2

4.1 3.7 2cos cos u,v

24 3 . 1 7

. Suy ra o45 .

Vậy o45 .

Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M 4;1 . Phép quay oQ O;90 biến điểm

M thành điểm M’ có tọa độ là:

A. 1;4 . B. 1;4 . C. 1; 4 . D. 1; 4 .


ĐÁP ÁN B.

Nhận thấy:

+ OM OM ʹ 17 .

+ OM 4;1 , OM ʹ 1; 4 OM.OM ʹ 0

Do đó OM OM ʹ

.

Vậy, phép quay oQ O;90 biến điểm M thành điểm M ʹ 1;4 .

Câu 20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M x;y . Phép quay Q O; biến điểm M

thành điểm M’ có tọa độ là:

A. xcos ; ysin . B. ycos ;xsin .

C. xcos ysin ;xsin ycos . D. xcos ysin ;xsin ycos .


ĐÁP ÁN C.


Trang 534

Theo tính chất của phép quay ta có: OM OM ʹ .

Đặt Ox,OM , thế thì: x OMcos ,y OMsin .

Ta có; Ox,OM ʹ .

Do đó:

x ʹ OM ʹcos

OM cos cos sin sin

x ʹ xcos ysin

y ʹ OM ʹsin

OM sin cos sin cos

y ʹ xsin ycos

x

y

α

x

y

y'

x'O

M

M'

Vậy: M ʹ xcos ysin ;xsin ycos .


Phép quay oQ O;90 biến trọng tâm G của ABC thành điểm G’ có tọa độ là:

A. 1; 2 . B. 1;2 . C. 3; 1 . D. 3;1 .


ĐÁP ÁN B.

Ta có G 2; 1 . Suy ra G ʹ 1;2 .

Câu 22. Cho tam giác đều ABC có tâm O và các đường cao AA’, BB’, CC’ (các đỉnh của tam giác

ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của đường cao AA’ qua phép quay oQ O;240 là:

A. AA’. B. BB’.

C. CC’. D. Một đoạn thẳng qua O song song với BC.


ĐÁP ÁN B.

Phép quay oQ O;240 biến A thành B; A’ thành B’.

Vậy ảnh của AA’ là BB’.

Câu 23. Cho hình vuông ABCD tâm O (các đỉnh ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnh AB

qua phép quay oQ O;270 là:


Trang 535

A. AB. B. BC. C. CD. D. DA.


ĐÁP ÁN B.

Phép quay oQ O;270 biến A thành B, B thành C.

Vậy ảnh của AB là BC.

Câu 24. Cho hình thoi ABCD có góc oABC 60 (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng

hồ). Ảnh của cạnh CD qua qua phép quay oQ A;60 là:

A. AB. B. BC. C. CD. D. DA.


ĐÁP ÁN B.

Phép quay oQ A;60 biến C thành B; D thành C.

Vậy ảnh của CD là BC.

Câu 25. Cho tam giác ABC vuông tại B và góc tại A bằng o60 (các đỉnh của tam giác ghi theo

chiều kim đồng hồ). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều ACD. Ảnh của cạnh BC qua phép

quay oQ A;60 là:

A. AD. B. AI với I là trung điểm của CD.

C. CJ với J là trung điểm của AD. D. DK với K là trung điểm của AB.


ĐÁP ÁN D.

Từ giả thiết suy ra ABC là nửa tam giác đều, do đó AC 2AB .

Phép quay oQ A;60 biến B thành K; C thành D.

Vậy ảnh của BC là DK. 60o

I

J

K

D

A

B C

Câu 26. Cho hai đường tròn 1 2O , O bằng nhau; mỗi đường tròn đi qua tâm của đường tròn kia,

cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường cát tuyến đi qua giao điểm A của chúng cắt một đường tròn ở M và cắt đường tròn kia ở N. Góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại M, N của hai đường tròn bằng:


Trang 536

A. o45 . B. o60 . C. o90 . D. o120 .


ĐÁP ÁN B.

Từ giả thiết ta thấy 1 2BO O là tam giác đều, do đó

o1 2O BO 60 , suy ra o

1AMB IO B 60 và

o2ANB IO B 60 . Như thế BMN đều và oMBN 60 .

Thực hiện phép quay Q tâm B với góc quay o60 . Phép

quay này biến 2O thành 1O nên biến đường tròn 2O

thành đường tròn 1O ; biến N thành M, nên biến tiếp

tuyến tại N của 2O thành tiếp tuyến tại M của 1O .

Suy ra góc hợp bởi hai tiếp tuyến tại M và N là o60 .

60o

B

NA

O1

O2

M

Câu 27. Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ta vẽ các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE; gọi M là trung điểm của BC. Để chứng minh đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng DE, một học sinh lập luận qua ba bước như sau:

Bước 1: Thực hiện phép quay Q tâm A góc quay . Phép quay này biến B thành F là trung điểm của AC; biến C thành E; do đó Q biến BC thành FE.

Bước 2: Như thế Q biến trung điểm M của BC thành trung điểm

N của FE. Suy ra oMAN 90 hay AM AN .

N

P

M

F

E

D

CB

A

Bước 3: Mặt khác AN là đường trung bình của DEF nên AN DE∥ ; do vậy AM DE .


A. Chứng minh hoàn toàn đúng. B. Sai từ bước 1.



ĐÁP ÁN A.

Câu 28. Biết B nằm giữa A và C; trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC dựng các tam giác đều ABE, BCF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE. Để chứng minh tam giác AMN đều, một học sinh chứng minh qua ba bước như sau:


Trang 537

Bước 1: Thực hiện phép quay Q tâm B với góc quay o60 .

Phép quay Q biến E thành A; biến C thành F.

Bước 2: Do đó Q biến đoạn thẳng EC thành đoạn thẳng AF. Như thế Q biến trung điểm N của EC thành trung điểm M của AF.

Bước 3: Từ kết quả trên suy ra: BN BM và oNBM 60 .

Kết luận: Tam giác BMN là tam giác đều.

N

M

F

E

A B C

Hỏi cách chứng minh trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?




ĐÁP ÁN A.


Trang 538

BÀI 6. KHÁI NIỆM PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU


I. Khái niệm về phép dời hình

Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều có một tính chất chung là bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Người ta dùng tính chất đó để định nghĩa phép biến hình sau đây.

Định nghĩa

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M’, N’ thì MN = M’N’.

Nhận xét

1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.

Ví dụ 1.

a) Tam giác A’B’’C’’ là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình (h.1.39a).

b) Ngũ giác MNPQR là ảnh của ngũ giác M’N’P’Q’R’ qua phép dời hình (h.1.39b).

c) Hình là ảnh của hình qua phép dời hình (h.1.40)

Ví dụ 2.

Trong hình 1.42 tam giác DEF là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm B góc 900và phép tịnh tiến theo vectơ


Trang 539

II. Tính chất

Phép dời hình:

1) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;

2) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;

3)Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

4) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Chú ý.

a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’ (h.1.44).

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.


Trang 540

Ví dụ 3. Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó (h.1.45). Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc

600 và phép tịnh tiến theo vectơ

Giải

Gọi phép dời hình đã cho là F. Chỉ cần xác định ảnh của các đỉnh của tam giác OAB qua phép dời hình F. Ta có phép quay tâm O, góc 600biến O, A và B lần lượt thành O, B, C. Phép tịnh tiến theo

vectơ biến O, B và C lần lượt thành E, O và D. Từ đó suy ra F(O) = E, F(A) = O, F(B)=D. Vậy ảnh của tam giác OAB qua phép dời hình F là tam giác EOD.

II. Khái niệm hai hình bằng nhau

Quan sát hình hai con gà trong tranh dân gian (h.1.47), vì sao có thể nói hai hình và bằng nhau?


Trang 541

Chúng ta đã biết phép dời hình biến một tam giác thành tam giác bằng nó. Người ta cũng chứng minh được rằng với hai tam giác bằng nhau luôn có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Vậy hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Người ta dùng tiêu chuẩn đó để định nghĩa hai hình bằng nhau.

Định nghĩa

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Ví dụ 4

a) Trên hình 1.48, hai hình thang ABCD và A’’B’’C’’D’’ bằng nhau vì có một phép dời hình biến hình thang ABCD thành hình thang A’’B’’C’’D’’.

b) Phép tịnh tiến theo vectơ biến hình thành hình , phép quay tâm O góc 900 biến

hình thành hình . Do đó phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến

theo vectơ và phép quay tâm O góc 900 biến hình thành hình . Từ đó suy ra hai

hình và bằng nhau (h.1.49).


Trang 542


Câu 1. Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.


ĐÁP ÁN C.

Vectơ tịnh tiến là 2HK

có H, K lần lượt nằm trên trục của phép thứ nhất và phép thứ hai sao cho HK vuông góc với các trục đó.

Câu 2. Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt nhau là phép nào trong các phép dưới đây?




ĐÁP ÁN D.

Tâm quay là giao điểm của hai trục d và d’ của hai phép đối xứng trục, góc quay bằng hai lần góc

d,d ʹ .

Câu 3. Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng vuông góc với nhau là phép nào trong các phép dưới đây?


Trang 543




ĐÁP ÁN B.

Phép đối xứng qua giao điểm của hai trục đối xứng.

Câu 4. Hợp thành của hai phép tịnh tiến là phép nào trong các phép dưới đây?




ĐÁP ÁN C.

Vectơ tịnh tiến bằng tổng hai vectơ tịnh tiến của hai phép đã cho.

Câu 5. Hợp thành của hai phép đối xứng tâm là phép nào trong các phép dưới đây?




ĐÁP ÁN C.

Phép tịnh tiến theo vectơ 2OOʹ

, trong đó O là tâm của phép đối xứng thứ nhất, O’ là tâm của phép

đối xứng thứ hai.

Câu 6. Khi nào thì hợp thành của hai phép tịnh tiến uT và

vT là phép đồng nhất?

A. Không khi nào. B. Khi u v 0

.

C. Khi u v

. D. Khi u v 0

.


ĐÁP ÁN D.

Vì hợp thành là phép tịnh tiến theo vectơ u v

.

Câu 7. Khi nào thì hợp thành của hai phép đối xứng trục aÑ và bÑ là phép đồng nhất?

A. Khi hai đường thẳng a và b trùng nhau.

B. Khi hai đường thẳng a và b song song.

C. Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau.


Trang 544

D. Không khi nào.


ĐÁP ÁN A.

Khi a và b trùng nhau, nếu aÑ biến điểm M thành điểm N thì bÑ biến điểm N thành điểm M.

Câu 10. Cho hình vuông ABCD. Gọi phép biến hình F là hợp thành của hai phép đối xứng trục

ACD và BDD . Khi đó F là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép tịnh tiến theo vectơ AC

.

B. Phép quay tâm D với góc quay 2

.

C. Phép đối xứng qua giao điểm của AC và BD.

D. Phép đối xứng qua đường thẳng BD.


ĐÁP ÁN C.

Nhận xét rằng F biến A thành C và B thành D.

Câu 11. Gọi F là hợp thành của hai phép đối xứng tâm OD và OʹD . Khi đó F là:

A. phép đối xứng qua trung điểm của OO’. B. phép tịnh tiến theo vectơ 2OOʹ

.

C. phép tịnh tiến theo vectơ OOʹ

. D. phép đối xứng qua trung trực của OO’.


ĐÁP ÁN B.

Hãy xác định ảnh của điểm O qua phép F.

Câu 12. Cho hình chữ nhật ABCD với M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi F là hợp

thành của phép tịnh tiến T theo vectơ AB

và phép đối xứng qua đường thẳng BC. Khi đó F là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng qua điểm M. B. Phép đối xứng qua điểm N.

C. Phép đối xứng qua tâm O của hình chữ nhật. D. Phép đối xứng qua đường thẳng MN.


ĐÁP ÁN D.

Bằng cách tìm ảnh của các điểm A và D qua phép F sẽ thấy các phương án A, B, C đều không đúng.

Câu 13. Cho hình vuông ABCD. Gọi Q là phép quay tâm A biến điểm B thành điểm D, Đ là phép đối xứng qua đường thẳng AD. Khi đó hợp thành của hai phép Q và Đ là:


Trang 545

A. Phép đối xứng qua tâm hình vuông. B. Phép đối xứng qua đường thẳng AC.

C. Phép đối xứng qua đường thẳng AB. D. Phép đối xứng qua điểm C.


ĐÁP ÁN B.

Phép hợp thành đó biến B thành D, biến D thành B và biến A thành A nên các phương án A, C, D đều không đúng.

Câu 14. Cho hình vuông ABCD. Gọi Q là phép quay tâm A biến B thành D, Q’ là phép quay tâm C biến D thành B. Hợp thành của hai phép Q và Q’ là:

A. Phép đối xứng qua điểm B. B. Phép đối xứng qua đường thẳng AC.



ĐÁP ÁN A.

Phép hợp thành đó biến điểm B thành điểm B nên phương án B và D không đúng. Nó lại không biến điểm A thành điểm A nên phương án C không đúng.

Câu 15. Cho hình vuông ABCD. Gọi Q là phép quay tâm A biến B thành D, Q’ là phép quay tâm C biến B thành D. Hợp thành của hai phép Q và Q’ là:

A. Phép tịnh tiến theo vectơ AB

. B. Phép tịnh tiến theo vectơ 2AD

.



ĐÁP ÁN B.

Phép hợp thành đó biến điểm A thành điểm A’, đối xứng với A qua D nên phương án B đúng.

Câu 16. Cho hình vuông ABCD, I là trung điểm cạnh AB. Gọi phép biến hình F là hợp thành của

hai phép: Phép tịnh tiến ABT và phép đối xứng tâm ID . Khi đó F là phép nào trong các phép dưới

đây?

A. Phép đối xứng qua điểm A. B. Phép tịnh tiến theo vectơ AC

.

C. Phép quay tâm D với góc quay 2

.

D. Phép đối xứng qua đường thẳng BD.


ĐÁP ÁN A.

Phép hợp thành đó biến điểm A thành điểm A, nên chỉ có phương án A đúng.


Trang 546

Câu 17. Cho hình vuông ABCD. Gọi phép biến hình F là hợp thành của hai phép đối xứng trục

ABD và CDD . Khi đó F là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng qua điểm A. B. Phép tịnh tiến theo vectơ 2AD

.

C. Phép đối xứng qua điểm B. D. Phép tịnh tiến theo vectơ BC

.


ĐÁP ÁN B.

Câu 18. Cho tam giác cân ABC đỉnh A, đường cao AH, với BAC . Gọi phép biến hình F là hợp

thành của hai phép đối xứng trục ABD và AHD . Khi đó F là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép quay Q A; . B. Phép đối xứng qua đường thẳng AC.

C. Phép đối xứng qua điểm A. D. Phép tịnh tiến theo vectơ BC

.


ĐÁP ÁN A.

Phép hợp thành đó biến điểm A thành điểm A, và biến B thành D.

Câu 19. Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Nếu phép dời hình biến điểm B thành điểm C và biến điểm A thành chính nó thì đó là:

A. Phép đối xứng qua trung trực của BC.

B. Phép quay tâm A góc quay AB,AC .

C. Phép đối xứng qua trung trực của BC hoặc phép quay tâm A góc quay AB,AC .

D. Phép đối xứng qua trung điểm cạnh BC.


ĐÁP ÁN C.

Có thể xảy ra phương áng A hoặc phương án B.

Câu 20. Cho tam giác cân ABC đỉnh A. Nếu phép dời hình biến điểm B thành điểm C, biến điểm C thành B thì đó là:

A. Phép đối xứng qua trung trực của BC.

B. Phép đối xứng qua trung điểm cạnh BC.

C. Phép quay tâm A góc quay AB,AC .

D. Phép đối xứng qua trung trực của BC hoặc đối xứng qua trung điểm BC.



Trang 547

ĐÁP ÁN D.

Có thể xảy ra phương án A hoặc phương án B.

Câu 21. Cho hình thoi ABCD có góc A bằng o60 . Nếu phép dời hình biến điểm A thành điểm B và

điểm B thành điểm D thì nó biến điểm D thành:

A. Điểm C. B. Điểm A.

C. Điểm C hoặc điểm A. D. Điểm đối xứng với D qua C.


ĐÁP ÁN C.

Nếu phép dời hình đó biến điểm D thành điểm D’ thì hai tam giác ABD và BDD’ phải bằng nhau. Vậy D’ phải trùng với C hoặc A.

Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD, tâm O với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Nếu phép dời hình biến điểm A thành điểm N, M thành O và O thành P thì nó biến điểm Q thành:

A. Điểm D. B. Điểm C.

C. Điểm Q. D. Điểm B.


ĐÁP ÁN B.

Nếu phép dời hình đó biến điểm Q thành điểm Q’ thì hai hình chữ nhật AMOQ và tứ giác NOPQ’ phải bằng nhau. Vậy Q phải trùng với C.

Câu 23. Cho hình vuông ABCD, tâm O với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Nếu phép dời hình biến điểm A thành M, B thành P thì nó biến điểm M thành:

A. Điểm O. B. Điểm C.

C. Điểm Q. D. Điểm B.


ĐÁP ÁN A.

Nếu phép dời hình đó biến điểm M thành điểm M’ thì vì M là trung điểm AB nên M’ là trung điểm MP, nên M trùng với O.

Câu 24. Cho hình chữ nhật ABCD, tâm O với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Nếu phép dời hình biến tam giác AMQ thành tam giác NOP thì nó biến điểm O thành:

A. Điểm D. B. Điểm B.

C. Điểm Q. D. Điểm C.


Trang 548


ĐÁP ÁN D.

Nếu phép dời hình đó biến điểm O thành điểm O’ thì vì bốn điểm A, M, Q, O là bốn đỉnh của hình chữ nhật nên bốn điểm N, O, P, O’ cũng là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Suy ra O’ trùng với đỉnh C.


A. Phép quay Q O; với o180 là phép đối xứng tâm OÑ .

B. Phép đối xứng tâm OÑ là một phép dời hình.

C. Phép đối xứng tâm OÑ có một điểm bất động duy nhất là điểm O.

D. Phép đối xứng tâm OÑ nếu biến điểm M thành điểm M’ thì ta có OM OM ʹ

.


ĐÁP ÁN D.

Ta thấy ngay các câu A, B, Cđều đúng.

Phép đối xứng tâm OÑ nếu biến điểm M thành điểm M’ thì ta có OM OM ʹ

.

Câu 26. Chọn mệnh đề đúng:

A. Hợp của hai phép quay là một phép quay.

B. Hợp của hai phép đối xứng tâm là một phép đối xứng tâm.

C. Một phép đối xứng tâm không thể có nhiều hơn một điểm bất động.

D. Phép tịnh tiến T theo vectơ u 0

trong trường hợp nào đó có thể là một phép đối xứng tâm.


ĐÁP ÁN C.

- Hợp của hai phép quay là một phép quay, chỉ đúng khi hai phép quay này có cùng tâm quay.

- Ta hãy xét hai phép đối xứng tâm IÑ và JÑ với I và J

khác nhau.

Với M là một điểm bất kì, ta gọi: IÑ M N và

JÑ N P

Ta có: MN 2IN

và NP 2NJ

.

JI

M

N

P

Suy ra: MP MN NP 2 IN NJ 2IJ

: không đổi.

Như thế phép tịnh tiến T theo vectơ u 2IJ

biến điểm M thành điểm P.


Trang 549

Vậy: hợp của hai phép đối xứng tâm IÑ và JÑ với I và J khác nhau là một phép tịnh tiến theo vectơ

u 2IJ

.

- Phép đối xứng tâm OÑ có một điểm bất động duy nhất là O.

- Phép tịnh tiến T theo vectơ u 0

không thể là một phép đối xứng tâm.

Câu 27. Ta xét các mệnh đề:

1. Tam giác đều có 3 trục đối xứng và 1 tâm đối xứng. 2. Hình vuông có 4 trục đối xứng và 1 tâm đối xứng. 3. Ngũ giác đều có 5 trục đối xứng và 1 tâm đối xứng. 4. Lục giác đều có 6 trục đối xứng và 1 tâm đối xứng.


A. Có 1 mệnh đề đúng. B. Có 2 mệnh đề đúng.

C. Có 3 mệnh đề đúng. D. Cả 4 mệnh đề đều đúng.


ĐÁP ÁN B.

+ Đa giác đều n cạnh thì có n trục đối xứng.

+ Đa giác đều nếu số cạnh n chẵn thì có một tâm đối xứng, và nếu số cạnh n lẻ thì không có tâm đối xứng.

Như thế trong 4 câu trên có hai câu 4 và 4 là đúng.

Câu 28. Một hình H được gọi là có một tâm đối xứng nếu:

A. Tồn tại một phép tịnh tiến biến H thành chính nó.

B. Tồn tại một phép quay biến H thành chính nó.

C. Tồn tại một một phép đối xứng trục biến H thành chính nó.

D. Tồn tại phép đối xứng tâm biến H thành chính nó.


ĐÁP ÁN D.

Câu 29. Cho hai điểm phân biệt I và J. Thực hiên phép đối xứng tâm IÑ biến điểm M thành điểm

M’, sau đó tiếp tục thực hiện phép đối xứng tâm JÑ biến điểm M’ thành điểm M’’. Như vậy phép

biến hình biến điểm M thành M’’ là:

A. Một phép tịnh tiến. B. Một phép đối xứng tâm.

C. Một phép quay. D. Một phép đối xứng trục.



Trang 550

ĐÁP ÁN A.

Theo cách chứng minh trong câu 29 thì hợp của hai phép đối xứng tâm với hai tâm phân biệt là một phép tịnh tiến.

Câu 30. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Ta thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục, phép

đối xứng trục aÑ biến điểm M thành điểm M’ và phép đối xứng trục bÑ biến điểm M’ thành điểm

M’’. Như vậy phép biến hình biến điểm M thành điểm M’’ là:

A. Một phép tịnh tiến. B. Một phép đối xứng tâm.

C. Một phép quay. D. Một phép đối xứng trục.


ĐÁP ÁN C.

Gọi là góc tạo bởi a và b, I và J lần lượt là trung điểm của MM’ và M’M”.

Theo tính chất của phép quay ta có:

+ OM OM ʹ và MOM ʹ 2IOM ʹ .

+ OMʹ OMʺ và M ʹOMʺ 2M ʹOJ .

Suy ra OM OMʺ và MOMʺ 2IOJ 2 .

Như vậy phép biến hình biến M thành M” là phép

quay tâm O với góc quay 2 ; tức là hợp của hai phép

đối xứng trục với hai trục cắt nhau là một phép quay.

a

b

2α

M''

M'

O

M

Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình H gồm có hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là y 2x và y 2x .

Ta xét các mệnh đề sau:

1. Trục hoành là trục đối xứng của hình H. 2. Trục tung là trục đối xứng của hình H. 3. Gốc tọa độ O là tâm đối xứng của hình H.


A. Không có mệnh đề nào đúng. B. Có một mệnh đề đúng.

C. Có hai mệnh đề đúng. D. Tất cả ba mệnh đề đều đúng.


ĐÁP ÁN D.

Ta thấy hai đường thẳng a : y 2x và b : y 2x thì đối xứng với nhau qua trục hoành và trục tung

và đi qua gốc tọa độ O. Suy ra cả ba mệnh đề 1, 2, 3 đều đúng.


Trang 551

Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm I 1; 2 và J 2; 4 . Thực hiện liên tiếp

hai phép đối xứng tâm IÑ và JÑ (theo thứ tự), điểm M 1; 3 biến thành điểm M’ có tọa độ là:

A. 2; 7 . B. 4; 1 . C. 7;1 . D. 0; 8 .


ĐÁP ÁN C.

Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm IÑ và JÑ (theo thứ tự) ta được phép tịnh tiến T theo

vectơ u 2IJ

. Suy ra u 6;4

.

Do đó: M ʹ 6 1;4 3 7;1 . Vậy M ʹ 7;1 .

Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 0;1 và B 2; 1 và parabol (P) có

phương trình 2y x . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm AÑ và BÑ (theo thứ tự), parabol

(P) biến thành parabol (P’) có phương trình là:



ĐÁP ÁN A.

Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm AÑ và BÑ (theo thứ tự) ta được phép tịnh tiến T theo

vectơ u 2AB

. Suy ra u 4; 4

.

Do đó: Phương trình (P’) là 2 2y 4 x 4 y x 8x 12 .

Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 1 , B 2;3 và đường thẳng a có

phương trình y 4x 1 . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm AÑ và BÑ (theo thứ tự),

đường thẳng a biến thành đường thẳng a’ có phương trình là:

A. y 4x 5 . B. y 4x 17 . C. y 4x 12 . D. y 4x 4 .


ĐÁP ÁN B.


vectơ u 2AB

. Suy ra u 2;8

.

Do đó: Phương trình (a’) là y 8 4 x 2 1 y 4x 17 .


Trang 552

Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;0 , B 1;1 và đường tròn (T) có

phương trình 2 2x y 4x 0 . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm AÑ và BÑ (theo thứ tự),

đường tròn (T) biến thành đường tròn (T’) có phương trình là:

A. 2 2x y 4x 2y 4 0 . B. 2 2x y 4x 4y 4 0 .

C. 2 2x y 6x 2y 1 0 . D. 2 2x y 4y 8 0 .


ĐÁP ÁN B.


vectơ u 2AB

. Suy ra u 4;2

.

Do đó: Phương trình của đường tròn (T’) là:

2 2 2 2x 4 y 2 4 x 4 0 x y 4x 4y 4 0 .

Câu 36. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Đường thẳng đi qua tâm của một hình tròn thì chia hình tròn đó thành hai hình bằng nhau.

B. Đường thẳng đi qua tâm của một hình vuông thì chia hình vuông đó thành hai hình bằng nhau.

C. Đường thẳng đi qua tâm của một tam giác đều thì chia tam giác đều đó thành hai hình bằng nhau.

D. Đường thẳng đi qua tâm của một hình bình hành thì chia hình bình hành đó thành hai hình bằng nhau.


ĐÁP ÁN C.

+ Câu A hiển nhiên đúng.

+ Tâm O của hình vuông cũng là tâm đối xứng của nó, nên mọi đường thẳng qua tâm O của hình vuông đều chia hình vuông thành hai hình bằng nhau.

+ Trường hợp hình bình hành cũng tương tự như hình vuông.

+ Nếu ABC đều có tâm O, thì O không phải là tâm đối xứng của nó. Như thế những đường thẳng

đi qua O không chứa các đường cao của ABC sẽ chia tam giác này thành hai hình không bằng

nhau.

Câu 37. Cho hình H gồm có hình bình hành ABCD tâm I và hình bình hành EFGK tâm J. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Không tồn tại đường thẳng nào chia H thành hai hình bằng nhau.

B. Có vô số đường thẳng chia H thành hai hình bằng nhau.


Trang 553

C. Đường trung trực của đoạn thẳng IJ chia H thành hai hình bằng nhau.

D. Đường thẳng qua I và J chia H thành hai hình bằng nhau.


ĐÁP ÁN D.

Ta đã biết, giao điểm của hai đường chéo của một hình bình hành cũng là tâm đối xứng của hình bình hành đó. Do đó, bất kì đường thẳng nào đi qua tâm của một hình bình hành đều chia hình

bình hành đó thành hai hình bằng nhau.

Thế nên với hai hình bình hành ABCD và EFGK bất kì, nếu gọi I và J là các tâm đối xứng của chúng thì đường thẳng đi qua I và J sẽ chia mỗi hình bình hành ABCD và EFGK thành hai hình bằng nhau.

d

J

I

KA

DC

B

EF

G

Câu 38. Cho hình H gồm có lục giác đều ABCDEF tâm I và hình thoi MNPQ tâm J. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Không tồn tại đường thẳng nào chia H thành hai hình bằng nhau.

B. Có vô số đường thẳng chia H thành hai hình bằng nhau.

C. Đường trung trực của đoạn thẳng IJ chia H thành hai hình bằng nhau.

D. Đường thẳng qua I và J chia H thành hai hình bằng nhau.


ĐÁP ÁN D.

Lý luận tương tự như câu 37.


Trang 554

BÀI 7. PHÉP VỊ TỰ


I. ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa

Cho điểm O và số k 0 .Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM ʹ kOM

được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k (h.1.50).

Phép vị tự tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là O;kV

Ví dụ 1 a) Trên hình 1.51a các điểm A’, B’, O lần lượt là ảnh của các điểm A, B, O qua phép vị tự tâm O tỉ số -2. b) Trong hình 1.51b phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến hình H thành hình H ’. 1. Cho tam giác ABC. Gọi E và F tương ứng là trung điểm AB và AC. Tìm một phép tự biến B và C tương ứng thành E và F. Nhận xét 1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó. 2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất 3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.


Trang 555

II. TÍNH CHẤT Tính chất 1

Tính chất 2 Phép vị tự tỉ số k: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy (h.1.53).


Trang 556

b)Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó (h.1.54).

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R (h.1.55)


Trang 557

II. TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Ta đã biết phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn. Ngược lại, ta có định lý sau:

Định lý Với hai đường tròn bất kỳ luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự đó được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn Cho hai đường tròn (I; R) và (I’;R’). Có ba trường hợp xảy ra: + Trường hợp I trùng với I’

Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I; R’) (h.1.58).


Trang 558

+ Trường hợp I khác I’ và R R ʹ Lấy điếm M bất kỳ thuộc đường trong (I; R). đường thẳng qua I’ song song với IM cắt đường tròn (I’; R’) tại M’ và M’’. Giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng II’ còn M, M’’ nằm khác phía đối với đường thẳng II’. Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng II’ tại điểm O nằm ngoài đoạn thẳng II’, còn đường thẳng MM’’ cắt đường thẳng II’ tại điểm O1 nằm trong đoạn thẳng II’.

Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số R ʹ

kR

và phép vị tự tâm 1O tỉ số 1

R ʹk

R

sẽ biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’). Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn nói trên. + Trường hợp I khác I’ và R = R’.

Khi đóMMʹ/ /II ʹ nên chỉ có phép vị tự tâm 1O tỉ số R

k 1R

biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’; R’). Nó chính là phép đối xứng tâm O1.


Trang 559

B. PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Xác định phép vị tự biến điểm M cho sẵn thành điểm M’ cho sẵn

Phương pháp giải: Ta có các trường hợp sau:

a. Nếu cho sẵn tâm O, ta tìm tỉ số k bằng OM ʹ

OM

.

b. Nếu cho sẵn k, ta tìm O là điểm chia đoạn MM’ theo tỉ số k. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Hãy xác định tâm phép vị tự có tỉ số k 3 biến G

thành A.

Giải

Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Ta có: OA 3OG

(tính chất trọng tâm). Hệ thức này chứng tỏ

V O;3 :G A . Vậy, tâm của phép vị tự phải tìm là trung điểm O của BC.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Tìm tỉ số của phép vị tự tâm G biến H thành O.

Giải

Theo định lí Ơ-le, ta có O, G, H thẳng hàng và 1

GO GH2

. Hệ thức này chứng tỏ

1V G, H O

2

. Vậy, tỉ số của phép vị tự phải tìm là

1

2 .

Dạng 2. Dùng phép vị tự để tìm tập hợp điểm

Phương pháp giải: Để tìm tập hợp những điểm N, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Xác định phép vị tự V O;k :M N .

Bước 2. Tìm tập hợp H những điểm M, suy ra tập hợp những điểm N là H’, ảnh của H qua phép vị

tự V O;k .


Trang 560

Ví dụ 1: Cho đường tròn cố định O , tâm O, bán kính R. Trên (O) lấy hai điểm cố định và phân

biệt A, B. Gọi M là điểm di động trên (O) và M’ là điểm sao cho MM ʹ AB

. Tìm tập hợp các trọng

tâm G của tam giác BMM’. Giải

Gọi I là trung điểm của MM’. Ta có: 1

MI AB2

. Mà G

là trọng tâm của tam giác BMM’ nên 2

BG BI3

, suy ra

2V B; : I G

3

. Do đó ta tìm tập hợp những điểm I

trước. Vì 1

MI AB2

, nên 1AB

2

T M I . Từ đó, tập hợp

GO''

O'I M'

O

A B

M

(O’) của những điểm I là đường tròn tâm O’, với 1

OO ʹ AB2

và bán kính R. Mà 2

V B; : I G3

nên tập hợp những điểm G là đường tòn tâm O’’, ảnh của (O’) qua phép vị tự 2

V B;3

với

2BO ʹʹ BO ʹ

3

và bán kính

2R ʹ R

3 .

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) cố định, tâm O, bán kính R. Gọi A là điểm cố định trên (O); B và C là

hai điểm di động trên (O) sao cho o oBAC 0 90 . Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác

ABC. Giải

Tam giác ABC nội tiếp trong (O) có bán kính R nên

BC 2R sin .

Gọi I là trung điểm của BC thì OI R cos . Tập hợp các

điểm I là đường tròn O;Rcos . Gọi G là trọng tâm của

tam giác ABC, ta có: 2

AG AI3

, suy ra 2G V A; I

3

.

Do đó, tập hợp những điểm G là đường tròn tâm 0G , với

0

2G V A; O

3

hay 0

2AG AO *

3

và bán kính

2r R cos

3 .

Mặt khác, theo định lí Ơ-le trong tam giác ABC, ta có

OH 3OG

nên H V O;3 G .

G0

G

I

H O

B C

A

Gọi 0H là ảnh của 0G thì 0 0OH 3OG

, suy ra: 0 0OH 3OA 3OG 3OA 2AO do * OA

.


Trang 561

Do đó 0H A . Vậy, tập hợp những điểm H là đường tròn tâm A, bán kính r ʹ 3r 2R cos

Chú ý:

a. Kết quả bài toán này cho thấy AH 2OI

.

b. Nếu dùng kết quả AH 2OI

(đã chứng minh trong bài phép đối xứng, phép tịnh tiến) thì ta có

ngay AH 2OI 2R cos và suy ra tập hợp các điểm H như trên.

Dạng 3. Dùng phép vị tự để dựng hình

Phương pháp giải: Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Xác định phép vị tự biến hình H phải dựng thành hình H’.

Bước 2. Dựng hình H’ rồi suy ra hình H.

Ví dụ 1. Cho góc nhọn xOy trong đó có điểm A cho sẵn. Hãy dựng đường tròn qua A, tiếp xúc với Ox và Oy.

Giải

Giả sử bài toán đã giải xong, ta có đường tròn (I), tâm I đi qua A, tiếp xúc với Ox và Oy.

Phân tích:

Vì (I) tiếp xúc với Ox và Oy nên I thuộc phân giác

Ot của xOy . Gọi A’ là ảnh của A qua V O;k với

k 0 và I ʹ V O;k I thì I ʹA ʹ IA∥ . Do đó, I’

thuộc đường thẳng qua A’ và song song với AI.

Cách dựng:

- Ta dựng (I’) trước: Dựng (I’) tiếp xúc với Ox và Oy, có tâm I’.

- Đường thẳng OA cắt (I’) tại A’.

- Đường thẳng qua A song song với A’I’, cắt Ot tại I.

- Đường tròn tâm I, đi qua A là đường tròn phải dựng.

Chứng minh: Vì (I) là ảnh của (I’) đi qua A’ và tiếp xúc với Ox và Oy nên (I) qua A và tiếp xúc với Ox và Oy.

y

x

tI

A'O

A

I'

y

x

tI''

A''

I

A'O

A

I'

Biện luận: Vì OA cắt (I’) tại 2 điểm phân biệt A’ và A’’ nên có đường thẳng d đi qua A và song song với A’’I’. Đường thẳng d cắt Ot tại I’’. Ta có đường tròn (I’’) đi qua A và tiếp xúc với Ox và Oy. Bài toán có 2 nghiệm hình.


Trang 562

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn. Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ có MN MQ 2 sao cho M, N

thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh CA và Q thuộc cạnh AB.

Giải

Giả sử bài toán đã giải xong, ta có hình chữ nhật MNPQ thỏa đề bài.

Phân tích:

Đặt: AQ AM

k 0AB AE

, thì phép vị tự V A;k biến hình chữ nhật MNPQ thành hình chữ nhật

EDCB với ED EB 2

(vì MN MQ 2 ).

Cách dựng:

- Dựng hình chữ nhật EDCB khác phía với tam giác ABC đối với

đường thẳng BC sao cho ED EB 2 .

- AD cắt BC tại N, AE cắt BC tại M.

- Qua M và N lần lượt dựng các đường thẳng vuông góc với BC, cắt AC tại P và AB tại Q.

- MNPQ là hình chữ nhật phải dựng.

Bài toán chỉ có một nghiệm hình.


Câu 1. Cho phép vị tự tỉ số k 2 biến điểm A thành điểm B và biến điểm C thành điểm D. Khi đó:

A. AB 2CD

. B. 2AB CD

. C. 2AC BD

. D. AC 2BD

.


ĐÁP ÁN C.

Câu 2. Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy là AB và CD mà AB 3CD . Phép vị tự biến điểm A

thành điểm C và biến điểm B thành điểm D có tỉ số là:

PQ

M N

D

B C

A

E


Trang 563

A. k 3 . B.

1k

3 . C.

1k

3 .

D. k 3 .


ĐÁP ÁN B.

Tâm vị tự là giao điểm hai đường chéo của hình thang.

Câu 3. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành d’?




ĐÁP ÁN A.

Phép vị tự biến d thành d’ thì d’ phải song song hoặc trùng với d.

Câu 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?




ĐÁP ÁN D.

Tâm vị tự là giao điểm của d và d’. Tỉ số vị tự là số k tùy ý khác 0.

Câu 5. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số k 100 biến mỗi

đường thẳng d thành đường thẳng d’?




ĐÁP ÁN D.

Lấy hai điểm tùy ý A và A’ lần lượt nằm trên d và d’, rồi lấy điểm O sao cho OA ʹ 100OA

. Phép

vị tự tâm O tỉ số k 100 sẽ biến d thành d’.

Câu 6. Cho hai đường thẳng song song d và d’ và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?



Trang 564



ĐÁP ÁN B.

Lấy đường thẳng a bất kì đi qua O cắt d và d’ lần lượt tại A và A’. Gọi k là số sao cho OA ʹ kOA

,

số k không phụ thuộc đường thẳng a. Phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.

Câu 7. Cho hai đường tròn bằng nhau O;R và O ʹ;R với tâm O và O’ phân biệt. Có bao nhiêu

phép vị tự biến O;R thành O ʹ;R ?




ĐÁP ÁN B.

Đó là phép vị tự có tâm là trung điểm OO’, tỉ số vị tự bằng 1 .

Câu 8. Cho đường tròn O;R . Có bao nhiêu phép vị tự với tâm O biến O;R thành chính nó?




ĐÁP ÁN C.

Tỉ số vị tự là 1 hoặc 1 .

Câu 9. Cho đường tròn O;R . Có bao nhiêu phép vị tự biến O;R thành chính nó?




ĐÁP ÁN D.

Phép vị tự tỉ số 1 với tâm I bất kì.

Câu 10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA,

AB. Với giá trị nào của k thì phép vị tự V G;k biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’?


Trang 565

A. k 2 . B. k 2 . C.

1k

2 . D.

1k

2 .


ĐÁP ÁN D.

Câu 11. Cho hai đường tròn (C) và (C’) không bằng nhau và không đồng tâm, cùng tiếp xúc với đường thẳng d. Có bao nhiêu phép vị tự biến (C) thành (C’) và biến d thành chính nó?




ĐÁP ÁN B.

Tâm vị tự là giao điểm của d với đường thẳng đi qua hai tâm của hai đường tròn.

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự tâm I 3; 1 có tỉ số k 2 . Khi đó nó biến

điểm M 5;4 thành điểm:

A. M ʹ 1; 11 . B. M ʹ 7;11 . C. M ʹ 1;9 . D. M ʹ 1; 9 .


ĐÁP ÁN A.

Ta phải có: IM ʹ 2IM

.

Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự tỉ số k 2 và biến điểm A 1; 2 thành điểm

A ʹ 5;1 . Khi đó nó biến điểm B 0;1 thành điểm:

A. B ʹ 0;2 . B. Bʹ 12; 5 . C. B ʹ 7;7 . D. Bʹ 11;6 .


ĐÁP ÁN C.

Ta phải có A ʹB ʹ 2AB

.

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự tâm I 1;1 tỉ số 1

k3

. Khi đó nó biến

đường thẳng 5x y 1 0 thành đường thẳng có phương trình:

A. 15x 3y 10 0 . B. 15x 3y 23 0 . C. 15x 3y 23 0 . D. 5x 3y 8 0 .



Trang 566

ĐÁP ÁN B.

Điều kiện cần là hai đường thẳng phải có cùng vectơ chỉ phương nên có thể loại ngay ba phương án A, C, D.

Câu 15. Cho hai đường thẳng song song a và b lần lượt có phương trình: x 4y 1 0 và

x 4y 3 0 . Phép vị tự có tâm O 0;0 biến đường thẳng a thành đường thẳng b phải có tỉ số vị tự

k bằng bao nhiêu?

A. 1

k3

. B. 1

k3

. C. k 3 . D. k 3 .


ĐÁP ÁN D.

Đường thẳng Ox cắt a và b lần lượt tại A 1;0 và B 3;0 . Nếu k là tỉ số vị tự thì OB kOA

. Vậy

k 3 .

Câu 16. Cho phép vị tự V tâm O tỉ số 2 và phép vị tự V’ tâm O tỉ số 1

2. Hợp thành của V và V’ là:

A. Phép đối xứng qua trung điểm của OO’.

B. Phép đối xứng qua đường thẳng trung trực của OO’.

C. Phép tịnh tiến theo vectơ 1OO ʹ

2

.

D. Phép tịnh tiến theo vectơ OO ʹ

.


ĐÁP ÁN C.

Lấy điểm M bất kì, M’ là ảnh của M qua V, M’’ là ảnh của M’ qua V’ thì 1

MM ʹʹ OO ʹ2

.

Câu 17. Cho hình bình hành ABCD. Gọi phép biến hình F là hợp thành của phép vị tự V A;2 và

phép tịnh tiến CDT . Khi đó F là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép vị tự V B;2 . B. Phép vị tự V C;2 .

C. Phép tịnh tiến theo vectơ 2CD

. D. Phép tịnh tiến theo vectơ DC

.


ĐÁP ÁN A.

Thấy ngay rằng hợp thành của hai phép đó biến điểm B thành chính nó.


Trang 567

Câu 18. Cho tam giác đều ABC, với A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Nếu phép đồng dạng biến A thành B’, B thành C thì nó biến điểm C’ thành:

A. Điểm A’. B. Trung điểm B’C. C. Điểm C’. D. Trung điểm BA’.


ĐÁP ÁN B.

Nếu phép đồng dạng biến C’ thành M thì vì C’ là trung điểm của AB nên M phải là trung điểm B’C.

Câu 19. Cho tam giác đều ABC, với A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Nếu phép đồng dạng biến A thành B’, B thành C thì nó biến điểm C thành:

A. Điểm A’. B. Điểm C’.

C. Điểm đối xứng với C’ qua B’. D. Điểm A’ hoặc điểm đối xứng với C’ qua B’.


ĐÁP ÁN D.

Nếu phép đồng dạng biến C thành M thì vì tam giác ABC là tam giác đều nên tam giác B’CM là tam giác đều.

Câu 20. Cho hình chữ nhật ABCD với P và Q lần lượt là trung điểm của AB và BC. Nếu phép đồng dạng biến tam giác ADC thành tam giác QBP thì nó biến điểm D thành:

A. Tâm của hình chữ nhật. B. Trung điểm cạnh AD.

C. Trung điểm cạnh DC. D. Điểm C.


ĐÁP ÁN A.

Nếu phép đồng dạng biến B thành M thì vì bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật, nên Q, M, P, B cũng là bốn đỉnh của hình chữ nhật.

Câu 21. Phép vị tự tâm O với tỉ số k k 0 là một phép biến hình biến điểm M thàn điểm M’ sao

cho:

A. OM kOM ʹ

. B. OM ʹ kOM

. C. OM ʹ kOM . D.

1OM ʹ OM

k

.


ĐÁP ÁN B.

Câu 22. Trong các phép biến hình sau đây, phép biến hình nào không có tính chất: Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó?


Trang 568

A. Phép đối xứng tâm. B. Phép tịnh tiến.

C. Phép đối xứng trục. D. Phép vị tự.


ĐÁP ÁN C.

Giả sử ta có phép đối xứng trục aÑ và a là một đường thẳng cho trước. Ta xét đường thẳng và

gọi ʹ là ảnh của qua phép đối xứng trục aÑ .

- Nếu a∥ thì ʹ a∥ .

- Nếu a thì ʹ a .

- Nếu a thì ʹ .

- Nếu cắt a tại điểm I thì ʹ cắt a tại I.

Như thế nói chung: Phép đối xứng trục không có tính chất biến một đường thẳng thành một đường thẳng.

Câu 23. Cho hai đường tròn 1O và 2O sao cho tâm của đường tròn này nằm trên đường tròn

kia. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Tồn tại duy nhất một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

B. Tồn tại hai phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

C. Tồn tại một phép đối xứng trục biến đường tròn này thành đường tròn kia.

D. Tồn tại một phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.


ĐÁP ÁN B.

Từ giả thiết suy ra hai đường tròn 1O và 2O bằng nhau.

Ta thấy ngay:

- Có duy nhất một phép vị tự biến 1O thành 2O , đó là

phép vị tự trong.

- Có hai phép đối xứng trục biến đường tròn này thành

đường tròn kia, với trục đối xứng là đường thẳng 1 2O O hoặc

đường thẳng qua hai giao điểm A, B của hai đường tròn.

- Gọi I là giao điểm của 1 2O O và AB thì IÑ là phép đối

I

B

A

O1 O2

xứng tâm duy nhất biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Câu 24. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác MNP là phép vị tự:


Trang 569

A. Tâm A, tỉ số k 2 .

B. Tâm O, tỉ số 1

k2

với O là tâm của ABC .

C. Tâm G, tỉ số 1

k2

với G là trọng tâm của ABC .

D. Tâm H, tỉ số k 2 với H là trực tâm của ABC .


ĐÁP ÁN C.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Theo tính chất của trọng tâm ta có:

1GI GA

2

.

Do đó phép vị tự 1

V G;2

biến ABC thành MNP nên biến đường tròn ngoại tiếp của tam giác

ABC thành đường tròn ngoại tiếp của tam giác MNP.

Ghi chú: Nhận thấy H là trực tâm tam giác ABC và O là trực tâm MNP , nên H và O là hai điểm

đối xứng với nhau qua phép vị tự 1

V G;2

. Từ đó ta suy ra phép vị tự

1V H;

2

biến đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC thành đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Câu 25. Chọn câu sai trong các câu sau:

A. Phép vị tự V O;k với k 1 luôn có một điểm bất động duy nhất.

B. Một phép vị tự có thể có vô số điểm bất động.

C. Phép vị tự là một phép dời hình.

D. Phép vị tự V O;k nếu biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì M ʹN ʹ k MN .


ĐÁP ÁN C.

Câu 26. Cho đường thẳng và điểm O . Một điểm M thay đổi trên . Gọi N là trung điểm

của đoạn thẳng OM. Khi M thay đổi trên tập hợp các điểm N là:

A. Một đường thẳng qua O.

B. Một đường thẳng a song song với mà 1d O;a d O;

2 .

C. Một đường thẳng b song song với mà d O;b 2d O; .

D. Một đường thẳng c song song với mà 1d O;c d O;

3 .



Trang 570

ĐÁP ÁN B.

Từ giả thiết suy ra 1

ON OM2

.

Như thế phép vị tự 1

V O;2

biến điểm M thành điểm N.

Vậy khi M thay đổi trên thì quỹ tích của N là đường

a

O

M

N

a ảnh của qua phép vị tự trên.

Dễ thấy 1d O;a d O;

2 .

Câu 27. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I và là đường thẳng song song với đường thẳng AB.

Một điểm M thay đổi trên , gọi G là trọng tâm của MAB . Khi M thay đổi trên tập hợp các

điểm G là:

A. Một đường thẳng đi qua I.

B. Một đường thẳng a song song với mà 1d I;a d I;

2 .

C. Một đường thẳng b song song với mà 2d I; b d I;

3 .

D. Một đường thẳng c song song với mà 1d I;c d I;

3 .


ĐÁP ÁN D.

Theo tính chất của trọng tâm ta có: 1

IG IM3

.


V I;3

biến điểm M thành điểm G.

c

G

IA B

M

Vậy khi M thay đổi trên thì quỹ tích của G là đường thẳng c, ảnh của qua phép vị tự trên.

Dễ thấy: 1d I;c d I;

3 .

Câu 28. Để chứng minh rằng phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn, một học sinh lập luận qua ba bước như sau:

Bước 1: Giả sử V O;k là phép vị tự tâm O tỉ số k. Ta xét đường tròn I;R .

Xác định điểm I’ là ảnh của I qua phép vị tự V O;k , tức là OI ʹ kOI

, thì I’ là một điểm cố định.


Trang 571

Bước 2: Với M là một điểm bất kì, ta xác định điểm M’ là ảnh của M qua phép vị tự V O;k , tức

là OM ʹ kOM

. Suy ra: I ʹM ʹ kIM .

Bước 3: Do đó:

M I;R I ʹM ʹ kR M ʹ thuộc đường tròn I ʹ; kR .





ĐÁP ÁN C.

Ta thấy lập luận sai từ bước 2: Từ OM ʹ kOM

, suy ra I ʹM ʹ k IM .

Câu 29. Cho đường tròn O;R và một điểm A cố định. Một điểm M thay đổi trên O;R , gọi N là

trung điểm của đoạn thẳng AM. Khi M thay đổi trên O;R , tập hộp các điểm N là:

A. Đường tròn tâm A bán kính R.

B. Đường tròn tâm O bán kính 2R.

C. Đường tròn tâm I bán kính R

2 với I là trung điểm của AO.

D. Đường tròn đường kính AO.


ĐÁP ÁN C.

Từ giả thiết suy ra: 1

AN AM2

.


V A;2

biến điểm M thành

điểm N.

Vậy khi M thay đổi trên đường tròn O;R thì

quỹ tích điểm N là đường tròn (T) ảnh của đường

tròn O;R qua phép vị tự trên.

N

IO

M

A

Ta thấy (T) là đường tròn có tâm I là trung điểm của AO và bán kính là R

2.


Trang 572

Câu 30. Cho đường tròn O;R và A là một điểm cố định trên đường tròn. Một điểm M di động

trên đường tròn, gọi A’ là điểm đối xứng của A qua M. Tập hợp các điểm A’ khi M thay đổi trên

O;R là:

A. Đường tròn tâm A bán kính R.

B. Đường tròn tâm O bán kính 2R.

C. Đường tròn tâm B bán kính 2R với AB là đường kính của đường tròn O;R .

D. Đường tròn tâm B bán kính 2R

3 với AB là đường kính của đường tròn O;R .


ĐÁP ÁN C.

Từ giả thiết suy ra: AN 2AM

.

Như thế phép vị tự V A;2 biến điểm M thành điểm N.

Vậy khi M thay đổi trên đường tròn O;R thì quỹ tích của N

là đường tròn (T) ảnh của đường tròn O;R qua phép vị tự

trên.

Ta thấy (T) là đường tròn có tâm B với AB là đường kính của

đường tròn O;R và bán kính là 2R.

M

N

O BA

Câu 31. Cho đoạn thẳng AB với trung điểm I và đường tròn O;R sao cho đường thẳng AB và

đường tròn O;R không có điểm chung. Một điểm M thay đổi trên O;R , gọi G là trọng tâm tam

giác MAB. Khi M thay đổi trên O;R , tập hợp các điểm G là:

A. Một cung tròn qua hai điểm A và B.

B. Đường tròn tâm I bán kính R

3.

C. Đường tròn tâm J bán kính R

3 với

1IJ IO

3

.

D. Đường tròn đường kính IO.


ĐÁP ÁN C.


Trang 573

Từ giả thiết suy ra: 1

IG IM3

.


V I;3

biến điểm M thành điểm G.

Vậy khi M thay đổi trên đường tròn O;R thì quỹ tích của

G là đường tròn (T) ảnh của đường tròn O;R qua phép vị

tự trên.

Ta thấy (T) là đường tròn tâm J bán kính R

3 với

1IJ IO

3

.

G

OI

A

B

M

J

Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 2;5 . Phép vị tự V O;3 biến điểm A

thành điểm A’ có tọa độ là:

A. 6;15 . B. 15;6 . C. 15;6 . D. 6; 15 .


ĐÁP ÁN A.

Ta có: OA ʹ 3OA

.

Mà A 2;5 , suy ra OA ʹ 6;15

.

Vậy A ʹ 6;15 .

Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A 1;4 , B 3;2 , C 7;0 .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Phép vị tự V O; 2 biến điểm G thành điểm G’ có tọa độ là:

A. 4;6 . B. 4;2 . C. 2; 4 . D. 6; 8 .


ĐÁP ÁN C.

Ta có: G 1;2 .

Suy ra: OG ʹ 2OG 2; 4

.

Vậy G ʹ 2; 4 .


vị tự 1

V O;2

biến parabol (P) thành parabol (P’) có phương trình là:


Trang 574

A. 2y 2x x 4 . B. 2y 2x x 2 . C. 2y x 4x 2 . D. 2y 4x x .


ĐÁP ÁN B.

Giả sử phép vị tự 1

V O;2

biến điểm M x;y thành điểm M ʹ x ʹ; y ʹ .

Ta có: 1

OM ʹ OM OM 2OM ʹ2

.

Suy ra: x 2x ʹ

y 2y ʹ

Thay vào phương trình của (P) ta được:

2 2 22y ʹ 2x ʹ 2x ʹ 3 2y ʹ 4x ʹ 2x ʹ 4 y ʹ 2x ʹ x ʹ 2 .

Vậy phương trình của parabol (P) là: 2y 2x x 2 .


Phép vị tự V O;2 biến đường thẳng thành đường thẳng ʹ có phương trình là:

A. x 2y 1 0 . B. x 2y 1 0 . C. 3x 6y 5 0 . D. 2x 4y 7 0 .


ĐÁP ÁN A.

Giả sử phép vị tự 1

V O;2

biến điểm M x;y thành điểm M ʹ x ʹ; y ʹ .

Ta có: 1

OM ʹ 2OM OM OM ʹ2

Suy ra:

x ʹx

2y ʹ

y2

Thay vào phương trình của ta được: y ʹx ʹ

2. 4. 1 0 x ʹ 2y ʹ 1 02 2 .

Vậy phương trình của ʹ là x 2y 1 0 .

Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tòn (T) có phương trình

2 2x 2 y 1 4 . Phép vị tự V O;4 biến đường tròn (T) thành đường tròn (T’) có phương

trình là:


Trang 575

A. 2 2x 8 y 4 64 . B. 2 2

x 4 y 2 16 .

C. 2 2x 12 y 8 16 . D. 2 2

x 8 y 4 64 .


ĐÁP ÁN A.

Nếu phép vị tự V O;4 biến điểm M x;y thành điểm M ʹ x ʹ; y ʹ .

Ta có: 1

OM ʹ 4OM OM OM ʹ4

Suy ra:

x ʹx

4y ʹ

y4

Thay vào phương trình của (T) ta được: 22

2y ʹx ʹ2 1 4 x ʹ 8 y ʹ 4 64

4 4

.

Vậy phương trình của (T’) là: 2 2x 8 y 4 64 .

Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình 2y 8x , gọi F là tiêu

điểm của (P). Phép vị tự V O; 4 biến F thành điểm F’ có tọa độ là:

A. 8;0 . B. 4;0 . C. 8;0 . D. 1;0 .


ĐÁP ÁN C.

Phương trình 2y 8x có dạng 2y 2px . Suy ra p 4 .

Do đó tiêu điểm của (P) là: F 2;0 .

Phép vị tự V O; 4 biến điểm F thành F’ nên: OF ʹ 4OF

. Suy ra F ʹ 8;0 .

Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol (P) và (Q) có phương trình 2y 12x

và 2y 4x . Nếu V O;k là phép vị tự biến (P) thành (Q) thì tỉ số k của phép vị tự này bằng:

A. 1

k2

. B. 1

k3

. C. k 2 . D. k 3 .


ĐÁP ÁN B.


Trang 576

+ 2P : y 12x tiêu điểm của (P) là F 3;0 .

+ 2Q : y 4x tiêu điểm của (Q) là F ʹ 1;0 .

Suy ra: 1

OF ʹ OF3

.

Vậy phép vị tự tâm O biến (P) thành (Q) có tỉ số vị tự là 1

k3

.

Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I 1; 2 . Phép vị tự V I;3 biến điểm

M 3;2 thành điểm M’ có tọa độ là:

A. 11;10 . B. 6; 8 . C. 11; 10 . D. 6;2 .


ĐÁP ÁN A.

Ta có: IM ʹ 3IM

.

Do đó:

x ʹ 1 3 3 1 x ʹ 11

y ʹ 10y ʹ 2 3 2 2

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I 1;2 và tam giác ABC với A 0;7 ,

B 3;2 , C 9;3 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Phép vị tự 1

V I;2

biến điểm G thành

điểm G’ có tọa độ là:

A. 2;4 . B. 1;1

2

. C. 1; 4

3

. D. 1; 4 .


ĐÁP ÁN B.

Trọng tâm của tam giác ABC là G 2;4 .

Ta có: 1

IG ʹ IG2

Do đó:

11x ʹ 1 2 1

x ʹ22

1y ʹ 1y ʹ 2 4 2

2

Vậy 1

G ʹ ;12

.


Trang 577

Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I 1;0 và parabol (P) có phương trình

2y 4x . Phép vị tự V I;2 biến parabol (P) thành parabol (P’) có phương trình là:

A. 2y 8 x 1 . B. 2y 2 x 1 . C. 2y 4x 3 . D. 2y 4 x 1 .


ĐÁP ÁN A.

Nếu phép vị tự V I;2 biến điểm M x;y thành điểm M ʹ x ʹ; y ʹ thì ta có:

1IM ʹ 2IM IM IM ʹ

2

.

Do đó:

x ʹ 11xx 1 x ʹ 1

2 22y ʹ1

y 0 y ʹ 0 y2 2

Thay vào phương trình của (P) ta được: 2

2y ʹ x ʹ 14 y ʹ 8 x ʹ 1

2 2 2

.

Vậy phương trình của (P’) là: 2y 8 x 1 .

Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 5; 2 và đường tròn (C) có phương trình

2 2x y 6x 2y 15 0 . Phép vị tự V A; 2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) có


A. 2 2x 9 y 4 100 . B. 2 2

x 4 y 6 64 .

C. 2 2x 5 y 4 36 . D. 2 2

x 6 y 8 25 .


ĐÁP ÁN A.

Phương trình của (C) viết lại là: 2 2x 3 y 1 25 .

Suy ra (C) có tâm I 3; 1 bán kính R 5 .

Phép vị tự V A; 2 biến điểm I thành điểm I ʹ a; b với AI ʹ 2AI

.

Suy ra:

a 5 2 3 5 a 9

b 4b 2 2 1 2

Bán kính của (C’) là: R ʹ 2 .5 10 .


Trang 578

Vậy phương trình của (C’) là: 2 2x 9 y 4 100 .

Câu 43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C) và (T) định bởi

2 2 2 2C : x 1 y 5 25, T : x y 6x 2y 15 0 . Tâm vị tự trong của (C) và (T) là điểm E

có tọa độ là:

A. 1;2 . B. 4; 1 . C. 3;2 . D. 1; 2 .


ĐÁP ÁN D.

+ Đường tròn (C) có tâm I 1; 5 bán kính R 5 .

+ Phương trình đường tròn (T) viết lại: 2 2x 3 y 1 25 .

Suy ra (T) có tâm J 3;1 , bán kính r 5 .

Như thế hai đường tròn (C) và (T) bằng nhau, do đó chỉ có một phép vị tự biến (C) thành (T), đó là

phép vị tự trong. Tâm vị tự trong là trung điểm A của IJ. Ta có: A 1; 2 .

Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C) và (T) định bởi

2 2 2 2C : x 2 y 1 4, T : x 3 y 3 16 . Tâm vị tự ngoài của (C) và (T) là điểm P có

tọa độ là:

A. 6;5 . B. 7; 5 . C. 5; 7 . D. 4;3 .


ĐÁP ÁN B.

+ Đường tròn (C) có tâm I 2; 1 , bán kính R 2 .

+ Đường tròn (T) có tâm J 3; 3 , bán kính r 4 .

Nếu P là tâm vị tự ngoài của (C) và (T) thì ta có: r

PJ PI 2PIR

. Tọa độ của P là:

P

P

3 2.2x 7

1 2

3 2. 1y 5

1 2

Câu 45. Cho hai đường tròn (C) và (T) tiếp xúc với nhau tại điểm A. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Điểm A là một tâm vị tự của hai đường tròn.

B. Nếu (C) và (T) tiếp xúc ngoài thì A là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn.


Trang 579

C. Nếu (C) và (T) tiếp xúc trong thì A là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

D. Hai đường tròn (C) và (T) luôn có hai tâm vị tự (trong và ngoài).


ĐÁP ÁN A.

+ Hiển nhiên A là một tâm vị tự của hai đường tròn.

+ Nếu (C) và (T) tiếp xúc ngoài thì A là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

+ Nếu (C) và (T) tiếp xúc ngoài trong thì A là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn.

+ Nếu (C) và (T) tiếp xúc ngoài và bán kính của hai đường tròn bằng nhau thì không có tâm vị tự ngoài.


Trang 580

BÀI 8. PHÉP ĐỒNG DẠNG


1. Định nghĩa

Phép biến hình f gọi là phép đồng dạng với tỉ số k k 0 nếu với hai điểm bất kì M, N và ảnh M’,

N’ của chúng, ta có: M ʹN ʹ kMN .

2. Định lí: Mọi phép đồng dạng f tỉ số k k 0 đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và

một phép dời hình D.

3. Tính chất của phép đồng dạng

Phép đồng dạng:

Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó;

Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia;

Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k (k là tỉ số đồng dạng);

Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k;

Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R ʹ kR ;

Biến một góc thành một góc bằng nó.

4. Hai hình đồng dạng

Định nghĩa: Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.


Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của phép đồng dạng

Phương pháp giải: Sử dụng định lí: “Mọi phép đồng dạng f tỉ số k k 0 đều là hợp thành của

một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình”.

Ví dụ: Cho phép đồng dạng f là hợp thành của phép quay tâm O, góc quay và phép vị tự cùng

tâm O, tỉ số vị tự k k 0 . Chứng minh rằng ảnh M’ của điểm M xác định bởi: OM ʹ kOM

OM,OM ʹ

.

Giải

Gọi 1M là ảnh của M trong phép quay tâm O, góc quay . Ta có:

1

1

OM OM 1

OM,OM 2

Gọi M’ là ảnh của 1M trong phép vị tự tâm O, tỉ số k k 0 , ta có:

11

1

OM ʹ kOM 3OM ʹ kOM

OM ,OM ʹ 0 4

Từ (1) và (3) ta có: OM ʹ kOM .


Trang 581

Từ (2) và (4) ta có: OM,OM ʹ .

Tóm lại, phép đồng dạng f là hợp thành của phép quay Q O; và phép vị tự V O;k , k 0 biến

điểm M thành điểm M’ xác định bởi: OM ʹ kOM

OM,OM ʹ

.

Dạng 2. Tìm ảnh của một điểm M qua một phép đồng dạng

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa của phép đồng dạng.

Ví dụ: Chứng minh rằng, nếu một phép đồng dạng f biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC lần lượt biến thành trọng tâm, trực tâm của tam giác A’B’C’.

Giải

Gọi D là trung điểm của cạnh BC, thì: f : D D ʹ , D’ là trung điểm của cạnh B’C’.

Do đó: f biến trung tuyến AD thành trung tuyến A’D’.

Tương tự, f biến trung tuyến BE thành trung tuyến B’E’.

Vậy: f : G AD BE G ʹ A ʹD ʹ B ʹE ʹ , tức là f biến trọng tâm G của tam giác ABC thành trọng

tâm G’ của tam giác A’B’C’.

Gọi 1AA là đường cao của tam giác ABC thì: 1 1f : BC B ʹC ʹ; f : AA A ʹA ʹ .

Mà 1AA BC nên 1A ʹA ʹ B ʹC ʹ . Như thế f biến đường cao 1AA của tam giác ABC thành đường

cao 1A ʹA ʹ của tam giác A’B’C’.

Tương tự, f biến đường cao 1BB của tam giác ABC thành đường cao 1BʹB ʹ của tam giác A’B’C’.

Do đó f biến 1 1H AA BB thành 1 1H ʹ A ʹA ʹ B ʹB ʹ , tức là f biến trực tâm H của tam giác ABC

thành trực tâm H’ của tam giác A’B’C’.

Tương tự, ta cũng chứng minh được f biến tâm O của đường tròn (ABC) thành tâm O’ của đường tròn (A’B’C’).

Dạng 3. Chứng minh hai hình H và H’ đồng dạng

Phương pháp giải: Ta chứng minh có một phép đồng dạng f biến H thành H’.

Ví dụ: Chứng minh rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau.

Giải

Cho hai n – giác đều 1 2 nA A ...A và 1 2 nB B ...B có cùng số cạnh là n và có tâm lần lượt là O và O’.

Hai tam giác câu 1 2A OA và 1 2B O ʹB có góc ở đỉnh 1 2 1 2

2A OA B O ʹB

n

nên đồng dạng. Do đó,

đặt: 1 2 1

1 2 1

B B O ʹBk

A A OA (1)


Trang 582

Gọi V O;k là phép vị tự tâm O, tỉ số k, thì V O;k biến đa giác đều 1 2 nA A ...A thành đa giác đều

1 2 nC C ...C , và ta có: 1 2

1 2

C Ck

A A (2)

Từ (1) và (2) cho ta: 1 2 1 2C C B B .

Vậy, hai n – giác đều 1 2 nC C ...C và 1 2 nB B ...B có cạnh bằng nhau, nên có một phép dời hình D biến

1 2 nC C ...C thành 1 2 nB B ...B .

Nếu gọi f là hợp thành của V O;k và D, thì f là một phép đồng dạng biến n – giác đều 1 2 nA A ...A

thành n – giác đều 1 2 nB B ...B . Vậy hai n – giác đều 1 2 nA A ...A và 1 2 nB B ...B đồng dạng với nhau.

Dạng 4. Tìm tập hợp các điểm M’ là ảnh của điểm M qua một phép đồng dạng


Xác định phép đồng dạng f :M M ʹ .

Tìm tập hợp H của các điểm M. Suy ra tập hợp các điểm M’ là H’, ảnh của H qua phép đồng dạng f.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân ở A (các đỉnh vẽ theo chiều dương, tức ngược chiều quay của

kim đồng hồ). Biết đỉnh B cố định, đỉnh A di động trên đường tròn O;R . Tìm tập hợp các đỉnh C.

Giải

Tam giác ABC vuông cân ở A nên BC AB 2 . Xét phép vị tự

tâm B tỉ số k 2 biến A thành A’, với BA ʹ 2BA

. Ta có

A’ thuộc nửa đường thẳng BA và BA ʹ BA 2 . Từ đó suy ra:

o

BC BA ʹ

BA ʹ,BC 45

Do đó C là ảnh của A’ trong phép quay tâm B, góc o45 , suy

ra C là ảnh của A qua phép hợp thành của phép vị tự V B; 2

và phép quay oQ B; 45 . Vậy, C là ảnh của A qua một phép

đồng dạng tỉ số k 2 .

Theo giả thiết, A di động trên đường tròn O;R , nên tập hợp

của C là đường tròn O ʹ;R 2 , ảnh của đường tròn O;R qua

phép đồng dạng đó. Tâm O’ được xác định bởi:

oBO,BO ʹ 45

BO ʹ BO 2

.

C

B

A

O

O'


Trang 583



A. Phép vị tự với tỉ số k 0 là một phép đồng dạng.

B. Phép đồng dạng là một phép dời hình.

C. Phép vị tự với tỉ số k 1 không phải là một phép dời hình.

D. Phép quay là một phép đồng dạng.


ĐÁP ÁN B.

Phép đồng dạng nói chung không phải là một phép dời hình. Thật vậy:

Nếu phép đồng dạng với tỉ số k biến điểm M, N thành M’, N’ thì ta có: M ʹN ʹ kMN .

Do đó, nếu k 1 thì M ʹN ʹ MN , trong trường hợp này phép đồng dạng không phải là một phép

dời hình.


A. Phép vị tự với tỉ số k là một phép đồng dạng với tỉ số k .

B. Phép đồng dạng là một phép vị tự.

C. Nếu ta thực hiện liên tiếp một phép vị tự và một phép dời hình thì ta được một phép đồng dạng.

D. Nếu hai đa giác đồng dạng thì tỉ số các cạnh tương ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng.


ĐÁP ÁN B.

Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm P 3; 1 . Thực hiện liên tiếp hai phép vị tự

V O;4 và 1

V O;2

điểm P biến thành điểm P’ có tọa độ là:

A. 4; 6 . B. 6; 2 . C. 6;2 . D. 12; 4 .


ĐÁP ÁN C.

Giả sử ta có: Phép vị tự 1V I;k biến điểm M thành điểm N và phép vị tự 2V I;k biến điểm N

thành điểm P. Khi đó ta có: 1ON k OM

và 2OP k ON

. Suy ra 1 2OP k k OM

.

Như thế P là ảnh của M qua phép vị tự 1 2V O;k k .

Áp dụng kết quả trên phép vị tự biến điểm P thành điểm P’ là phép vị tự V tâm I theo tỉ số

1 2

1k k k 4. 2

2

.


Trang 584

Ta được: OP ʹ 2OP OP ʹ 6; 2

.

Vậy P ʹ 6;2 .

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Nếu có phép đồng dạng biến cạnh AB thành cạnh BC thì tỉ số k của phép đồng dạng đó bằng:

A. 2 . B. 2 . C. 3 . D.

2

2.


ĐÁP ÁN B.

Ta dễ thấy tỉ số đồng dạng là BC AB 2

k 2AB AB

.

Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 2;1 , B 0;3 , C 1; 3 , D 2;4 . Nếu

có phép đồng dạng biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng CD thì tỉ số k của phép đồng dạng đó bằng:

A. 2 . B.

3

2. C.

5

2. D.

7

2.


ĐÁP ÁN C.

Ta có: AB 2 2 , CD 5 2 .

Suy ra tỉ số của phép đồng dạng là CD 5

kAB 2

.

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: 2 2C : x y 2x 2y 2 0 ,

2 2D : x y 12x 16y 0 . Nếu có phép đồng dạng biến đường tròn (C) thành đường tròn (D) thì

tỉ số k của phép đồng dạng đó bằng:

A. 2 . B. 3. C. 4. D. 5.


ĐÁP ÁN D.

+ Phương trình của 2 2C : x 1 y 1 4 C có tâm I 1;1 , bán kính R 2 .

+ Phương trình của 2 2D : x 6 y 8 100 T có tâm J 6;8 , bán kính r 10 .

Tỉ số của phép đồng dạng là r

k 5R

.


Trang 585

Câu 7. Cho điểm A và đường thẳng không đi qua A. Một điểm M thay đổi trên . Vẽ tam giác AMN vuông cân tại M (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều ngược kim đồng hồ). Đi tìm tập hợp các điểm N, một học sinh lập luận qua ba bước như sau:

Bước 1: Từ giả thiết suy ra oAM;AN 45 và

AN 2AM .

d

45o

I

A

H M

N

Suy ra N là ảnh của M qua phép đồng dạng gồm hợp của hai phép vị tự V A; 2 và phép quay

oQ A;45 .

Bước 2: Do đó khi M thay đổi trên thì tập hợp các điểm N là ảnh đường thẳng d của qua đồng dạng trên.

Bước 3: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên , vẽ tam giác vuông cân AHI (hình vẽ); ta

thấy d là đường thẳng qua I và tạo với một góc o45 .

Kết luận: tập hợp các điểm N là đường thẳng d.

Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào?

A. Lập luận hoàn toàn đúng. B. Sai từ bước 1.



ĐÁP ÁN A.

Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hai hình tròn bất kì thì đồng dạng.

B. Hai đa giác đều bất kì có cùng số cạnh thì đồng dạng.

C. Hai elip bất kì thì đồng dạng.

D. Hai parabol bất kì thì đồng dạng.


ĐÁP ÁN C.


Trang 586

+ Dễ thấy hai câu A và B đều đúng.

+ Hai elip chỉ đồng dạng khi và chỉ khi tỉ số độ dài các trục lớn và tỉ số độ dài các trục nhỏ của hai elip bằng nhau.

+ Hai parabol bất kì thì đồng dạng.

Thật vậy, ta hãy xem cách chứng minh bài toán tổng quát hơn sau đây: “Hai cô-nic có cùng tâm sai thì đồng dạng”.

Ta xét hai cô-nic có cùng tâm sai e:

- Cô-nic (C) có tiêu điểm F, đường chuẩn .

- Cô-nic (C’) có tiêu điểm F’, đường chuẩn ʹ .

1

K

H

K1

H1

F

M1

M

Ta có thể thực hiện liên tiếp một phép tịnh tiến và một phép quay (tức là thực hiện một phép dời

hình) để biến F’ thành F và biến ʹ thành 1 song song với . Phép dời hình này biến (C’) thành

cô-nic 1C bằng với (C’), 1C có tâm sai e.

Theo đề bài, ta sẽ chứng minh (C) và 1C đồng dạng với nhau.

Gọi K và 1K lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên và 1 . Đặt 1Fkk

Fk .

Thực hiện phép vị tự V tâm F tỉ số k, phép vị tự này biến thành 1 .

Trên (C) lấy điểm M bất kì, gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên .

Phép vị tự V biến M thành 1M và H thành 1H , 1H là hình chiếu vuông góc của 1M trên 1 .

Hai tam giác FMH và 1 1FM H đồng dạng cho: 1

1 1

M FMFe

MH M H .

Do đó 1M nằm trên cô-nic 1C . Suy ra phép vị tự V biến (C) thành cô-nic 1C , nên hai cô-nic

(C) và 1C đồng dạng.

Vậy bài toán được chứng minh.

Trở lại bài toán: Hai parabol bất kì thì đồng dạng vì chúng có cùng tâm sai e 1 .


Trang 587

ÔN TẬP CHƯƠNG 1

Các câu hỏi trắc nghiệm sau đây đều sử dụng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Câu 1. Cho đường thẳng d và qua điểm A 3;1 , có vectơ phép tuyến n 2;3

. Ảnh d’ của d trong

phép tịnh tiến theo vectơ v 6;4


A. 2x 3y 9 0 . B. 2x 3y 9 0 . C. 2x 3y 9 0 . D. 2x 3y 9 0 .


ĐÁP ÁN C.

Câu 2. Đường thẳng d qua A 4;3 với vectơ chỉ phương 1

u 1;2

có ảnh d’ trong phép tịnh tiến

theo vectơ v 1; 2

là:

A. x 2y 10 0 . B. x 2y 10 0 . C. x 2y 8 0 . D. 2x y 8 0 .


ĐÁP ÁN A.

Câu 3. Phương trình trục đối xứng của dÑ : A B , với A 2;1 và B 2;3 là:

A. x y 2 0 . B. x y 2 0 . C. 2x y 2 0 . D. 2x y 2 0 .


ĐÁP ÁN C.

Câu 4. Cho hai điểm A 1; 3 và B 5; 3 . Trục đối xứng d của dÑ có phương trình:

A. y x 3 1 . B. y x 3 1 . C. x 2 . D. y 3 .


ĐÁP ÁN A.

Câu 5. Cho đường thẳng d : x 4y 5 0 . Ảnh của d trong phép tịnh tiến theo v 8;2

là d’ có

phương trình:

A. x 4y 5 0 . B. x 4y 5 0 . C. 2x 3y 6 0 . D. Một phương trình khác.


ĐÁP ÁN D.


Trang 588

Câu 6. Đường thẳng d : 2x y 2 0 có ảnh qua dÑ có phương trình:

A. 2x y 2 0 . B. 2x y 0 0 . C. x 2y 2 0 . D. x 2y 2 0 .


ĐÁP ÁN B.

Câu 7. Trong phép OÑ , ảnh của đường tròn tâm I 3; 2 , bán kính R 3 có phương trình:

A. 2 2x 4 y 9 . B. 2 2x 4 y 9 .

C. 2 2x 4 y 8 . D. Một phương trình khác.


ĐÁP ÁN A.

Câu 8. Trong phép đối xứng OÑ , ảnh của đường tròn có đường kính AB với A 3;1 và B 2; 5

có phương trình:

A. 2 2x y x 4y 13 0 . B. 2 2x y x 4y 11 0 .

C. 2 2x y x 4y 11 0 . D. 2 2x y x 4y 11 0 .


ĐÁP ÁN D.

Câu 9. Ảnh của đường tròn đường kính AB với A 9;2 và B 3;6 qua phép đối xứng trục OxÑ


A. 2 2x y 6x 8y 15 0 . B. 2 2x y 6x 8y 15 0 .

C. 2 2x y 6x 8y 15 0 . D. Một phương trình khác.


ĐÁP ÁN B.

Câu 10. Ảnh của đường tròn 2 2C : x y 8x 2y 5 0 qua OyÑ có phương trình là:

A. 2 2x y 8x 2y 5 0 . B. 2 2x y 8x 2y 5 0 .

C. 2 2x y 8x 2y 5 0 . D. 2 2x y 8x 2y 5 0 .



Trang 589

ĐÁP ÁN A.

Câu 11. Cho phép quay tâm I 1;2 biến M x;y thành M ʹ x ʹ; y ʹ . Điểm bất biến của phép quay có

tọa độ là:

A. 2;1 . B. 2;1 . C. 1;2 . D. 1; 2 .


ĐÁP ÁN C.

Câu 12. Cho hai điểm A 1;0 và B 3;0 . Tìm tâm I của phép quay có góc quay o90 biến A thành

B.

A. I 1;2 . B. I 2; 2 . C. I 2; 2 . D. I 1; 2 .


ĐÁP ÁN B.

Câu 13. Cho hai điểm M 2; 2 và N 2;2 . Tìm tâm của phép quay có góc quay o90 biến M

thành N.

A. 0;0 . B. 4;0 . C. 0; 4 . D. 4;4 .


ĐÁP ÁN B.

Câu 14. Cho phép quay tâm I 2;0 có góc quay o90 biến O thành O’ có tọa độ là:

A. O ʹ 2; 2 . B. O ʹ 2;1 . C. O ʹ 2;2 . D. O ʹ 2; 2 .


ĐÁP ÁN B.

Câu 15. Phép vị tự tâm A, tỉ số 3

4, biến điểm B thành điểm C, thỏa mãn hệ thức:

A. 4AB 3CA 0

. B. 4CA 3AB

. C. 4CA 3CB

. D. 4BC 3BA

.


ĐÁP ÁN A.

Câu 16. Hệ thức 4OA 5OB

biệt thị phép vị tự tâm O, biến điểm A thành điểm B có tỉ số k bằng:


Trang 590

A. 5

4. B.

5

7. C.

4

5. D.

3

5.


ĐÁP ÁN C.

Câu 17. Nếu có hệ thức IA 2AB

thì phép vị tự tâm I biến điểm A thành điểm B có tỉ số k bằng:

A. 2

3. B.

3

2. C.

1

3.

D. Một số khác.


ĐÁP ÁN B.

Câu 18. Nếu có hệ thức 2AI IB

thì phép vị tự tâm I biến điểm A thành điểm B có tỉ số k bằng:

A. 2 . B.

1

2.

C. 2 . D.

1

2 .


ĐÁP ÁN C.

Câu 19. Phép vị tự tâm O, tỉ số k 2 biến điểm M 1;2 thành điểm M có tọa độ:

A. 2; 4 . B. 2;4 . C. 2; 4 . D. 2;4 .


ĐÁP ÁN B.

Câu 20. Phép vị tự tâm O, tỉ số k 2 biến điểm trực tâm của tam giác ABC với A 1;4 , B 4;0 ,

C 2; 2 thành điểm nào sau đây?

A. 2; 2 . B. 2 2 ; 2 . C. 2 2 ; 2 . D. 2 ; 2 2 .


ĐÁP ÁN B.

Câu 21. Phép vị tự tâm O, tỉ số k 2 biến đường tròn tâm A 1; 4 , bán kính R 3 thành đường

tròn có phương trình:

A. 2 2x y 2x 4y 8 0 . B. 2 2x y 4x 16y 32 0 .

C. 2 2x y 2x 4y 8 0 . D. Một phương trình khác.


Trang 591


ĐÁP ÁN B.

Câu 22. Trong phép tịnh tiến theo vectơ v 3;4

, đường tròn 2 2C : x y 4x 6y 3 0 có ảnh

là đường tròn:

A. 2 2x y 2x 2y 14 0 . B. 2 2x y 2x 2y 14 0 .

C. 2 2x y 2x 2y 14 0 . D. 2 2x y 2x 2y 14 0 .


ĐÁP ÁN C.

Câu 23. Cho đường tròn 2 2C : x y 4 . Phép đồng dạng f biến (C) thành 2 2C ʹ : x y 9 có tỉ

số đồng dạng bằng:

A. 2 . B. 3 . C.

3

2. D.

2

3.


ĐÁP ÁN A.

Câu 24. Phép đồng dạng tâm O, tỉ số k 2 , góc o45 biến đường tròn 2 2C : x y 2x 1 0

thành đường tròn (C’) có phương trình:

A. 2 2x 1 y 1 3 . B. 2 2

x 1 y 1 2 .

C. 2 2x 1 y 1 9 . D. 2 2

x 1 y 1 2 .


ĐÁP ÁN B.

Câu 25. Trong phép đồng dạng tâm I, tỉ số k. Câu nào sau đây đúng?

A. Biến một đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song với d.

B. Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’ có độ dài bằng AB

k.

C. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.

D. Biến góc thành góc có số đo bằng k .


ĐÁP ÁN C.


Trang 592

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ SONG SONG

BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A. LÝ THUYẾT

1. Mở đầu về hình học không gian

Hình học không gian có các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng và mặt phẳng.

Quan hệ thuộc: Trong không gian:

a. Với một điểm A và một đường thẳng d có thể xảy ra hai trường hợp:

· Điểm A thuộc đường thẳng d , kí hiệu .A dÎ

· Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu .A dÏ

b. Với một điểm A và một mặt phẳng ( )P có thể xảy ra hai trường hợp:

· Điểm A thuộc mặt thẳng ( )P , kí hiệu ( ).A PÎ

· Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu ( ).A PÏ

2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian

Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết đã biết của hình học phẳng đều đúng.

Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

3. Điều kiện xác định mặt phẳng

Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng:

Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm , ,A B C không thẳng hàng của

mặt phẳng, kí hiệu ( ).ABC

Cách 2: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A

không thuộc ,d kí hiệu ( ), .A d

Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng ,a b cắt nhau, kí hiệu

( ), .a b

Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng ,a b song song, kí hiệu

( ), .a b


Trang 593

4. Hình chóp và tứ diện

Định nghĩa: Cho đa giác 1 2 ... nA A A và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với

các đỉnh 1 2, , ..., nA A A ta được n miền đa giác 1 2 2 3 1, , ..., .n nSA A SA A SA A-

Hình gồm n tam giác đó và đa giác 1 2 3... nA A A A được gọi là hình chóp 1 2 3. ... .nS A A A A

Trong đó:

· Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.

· Đa giác 1 2 ... nA A A gọi là mặt đáy của hình chóp.

· Các đoạn thẳng 1 2 2 3 1, , ..., n nA A A A A A- gọi là các cạnh đáy của hình chóp.

· Các đoạn thẳng 1 2, , ..., nSA SA SA gọi là các cạnh bên của hình chóp.

· Các miền tam giác 1 2 2 3 1, , ..., n nSA A SA A SA A- gọi là các mặt bên của hình chóp.

(P)

A5

A6

A4A3

A2

A1

S

Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

Chú ý

a. Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.

b. Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là hình tứ diện đều.

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬPCÂ

Dạng 1: Dạng toán lý thuyết

1. Phương pháp



Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.

B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.

D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.


Trang 594

Lời giải

Chọn C

A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.

B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.

D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Câu 2: Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?

A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.

Lời giải

Chọn B

Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.

Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa 34 4C = mặt phẳng.

Câu 3: Trong mặt phẳng ( )a , cho 4 điểm , , ,A B C D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Điểm S không thuộc mặt phẳng ( )a . Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói

trên?

A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.

Lời giải

Chọn C

Với điểm S không thuộc mặt phẳng ( )a và 4 điểm , , ,A B C D thuộc mặt phẳng ( )a , ta có 24C cách chọn 2 trong 4 điểm , , ,A B C D cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác định.

Vậy số mặt phẳng tạo được là 6.

Câu 4: Cho 5 điểm , , , ,A B C D E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu

mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?

A. 10. B. 12. C. 8. D. 14.

Lời giải

Chọn A

Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.

Ta có 35C cách chọn 3 điểm trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Số

mặt phẳng tạo được là 10.

Câu 5: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A. Ba điểm phân biệt . B. Một điểm và một đường thẳng.


Trang 595

C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm phân biệt .

Lời giải

Chọn C

A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Câu 6: Cho tứ giác ABCD . Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của

tứ giác ABCD ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Lời giải

Chọn A

4 điểm , , ,A B C D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm , , ,A B C D đã đồng phẳng và tạo

thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng ( )ABCD .


A. Nếu 3 điểm , ,A B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng ( )P và ( )Q thì , ,A B C thẳng

hàng.

B. Nếu , ,A B C thẳng hàng và ( )P , ( )Q có điểm chung là A thì ,B C cũng là 2 điểm

chung của ( )P và ( )Q .

C. Nếu 3 điểm , ,A B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng ( )P và ( )Q phân biệt thì , ,A B C

không thẳng hàng.

D. Nếu , ,A B C thẳng hàng và ,A B là 2 điểm chung của ( )P và ( )Q thì C cũng là điểm

chung của ( )P và ( )Q .

Lời giải

Chọn D

Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.

A sai. Nếu ( )P và ( )Q trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa

đủ điều kiện để kết luận , ,A B C thẳng hàng.

B sai. Có vô số đường thẳng đi qua A , khi đó ,B C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của

( )P và ( )Q .


Trang 596

C sai. Hai mặt phẳng ( )P và ( )Q phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3

điểm , ,A B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì , ,A B C cùng thuộc giao tuyến.

Câu 8: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.

B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất .

C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy

nhất .

D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm , ,A B C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó

trùng nhau.

Lời giải

Chọn B

Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.

Câu 9: Cho 3 đường thẳng 1 2 3, ,d d d không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi.


A. 3 đường thẳng trên đồng quy. B. 3 đường thẳng trên trùng nhau.

C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác. D. Các khẳng

định ở A, B, C đều sai .

Lời giải

Chọn A

B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.

C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.

Câu 10: Thiết diện của 1 tứ diện có thể là:

A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Tam giác

hoặc tứ giác.

Lời giải

Chọn D


Trang 597

Khi thiết diện cắt 3 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 3 giao tuyến. Ba giao tuyến lập thành 1 hình tam giác.

Khi thiết diện cắt cả 4 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 4 giao tuyến. Bốn giao tuyến lập thành 1 hình tứ giác.

Thiết diện không thể là ngũ giác vì thiết diện có 4 mặt, số giao tuyến tối đa là 4.

Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

1. Phương pháp

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.


Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song với nhau. Gọi M là điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của các cặp mặt phẳng:

a. (SAC) và (SBD) b. (SAB) và (SCD)

c. (SBC) và (SAD) d. (BCM) và (SAD)

e. (CDM) và (SAB) f. (BDM) và (SAC)

Giải

a. Trong mp (ABCD):

AC BD O

AC SAC O SAC SBD

BD SBD

Mà S SAC SBD nên SO SAC SBD .

b. Trong (ABCD) ta có:

AB CD F

AB SAB F SAB SCD

CD SCD

Mà S SAB SCD nên SF SAB SCD .

E

F

O

AD

C

B

S

M

c. Trong (ABCD) ta có:

BC AD E

BC SBC E SAD SBC

AD SAD

Mà S SAD SBC nên SE SAD SBC .

d. Ta có: M MBC SAD


Trang 598

E BC AD E MBC SAD

Nên ME MBC SAD .

e. Ta có: M MCD SAB

F AB CD F MCD SAB

Vậy MF MCD SAB .

f. Ta có: M BDM SAC

O BDM SAC

Do đó MO BDM SAC .

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, AD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

a. (ABN) và (CDM); b. (ABN) và (BCP).

Giải

a. Ta có M và N là hai điểm chung của hai mặt phẳng (ABN) và (CDM), nên giao tuyến của hai mặt phẳng này chính là đường thẳng MN.

b. Trong mặt phẳng (ACD): AN cắt CP tại K. Do đó K là điểm chung của hai mặt phẳng (BCP) và (ABN).

Mà B cũng là điểm chung của hai mặt phẳng này nên giao tuyến của chúng là đường thẳng BK.

K

A

B

C

D

M P

N


Câu 1: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang ( ).ABCD AB CD Khẳng định nào sau đây

sai?

A. Hình chóp .S ABCD có 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( )SAC và ( )SBD là SO (O là giao điểm của AC và ).BD

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( )SAD và ( )SBC là SI (I là giao điểm của AD và ).BC

D. Giao tuyến của hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SAD là đường trung bình của .ABCD

Lời giải

Chọn D


Trang 599

I

O

A B

D C

S

· Hình chóp .S ABCD có 4 mặt bên: ( ) ( ) ( ) ( ), , , .SAB SBC SCD SAD Do đó A đúng.

· S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng ( )SAC và ( ).SBD

( ) ( )( ) ( )

O AC SAC O SACO

O BD SBD O SBD

ìï Î Ì Îï íï Î Ì Îïî là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng ( )SAC và

( ).SBD

( ) ( ) .SAC SBD SO¾¾ Ç = Do đó B đúng.

· Tương tự, ta có ( ) ( ) .SAD SBC SIÇ = Do đó C đúng.

· ( ) ( )SAB SAD SAÇ = mà SA không phải là đường trung bình của hình thang .ABCD Do

đó D sai.

Câu 2: Cho tứ diện .ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác .BCD Giao tuyến của mặt phẳng

( )ACD và ( )GAB là:

A. (AM M là trung điểm của ).AB B. (AN N là trung điểm của ).CD

C. (AH H là hình chiếu của B trên ).CD D. (AK K là hình chiếu củaC trên ).BD

Lời giải

Chọn B

GN

A

C

DB

· A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ( )ACD và ( ).GAB


Trang 600

· Ta có ( ) ( )( ) ( )

N BG ABG N ABGBG CD N N

N CD ACD N ACD

ìï Î Ì ÎïÇ = ¾¾ íï Î Ì Îïî là điểm chung thứ hai giữa

hai mặt phẳng ( )ACD và ( ).GAB

Vậy ( ) ( ) .ABG ACD ANÇ =

Câu 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng ( )a chứa tam giác .BCD Lấy ,E F là các điểm

lần lượt nằm trên các cạnh , .AB AC Khi EF và BC cắt nhau tại ,I thì I không phải là

điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?

A. ( )BCD và ( ).DEF B. ( )BCD và ( ).ABC

C. ( )BCD và ( ).AEF D. ( )BCD và ( ).ABD

Lời giải

Chọn D

I

B

C

D

A

E

F

Điểm I là giao điểm của EF và BC mà ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

.

EF DEF I BCD DEF

EF ABC I BCD ABC

EF AEF I BCD AEF

ì ìï ïÌ = Çï ïï ïï ïÌ = Çí íï ïï ïï ïÌ = Çï ïî î

Câu 4: Cho tứ diện .ABCD Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , .AC CD Giao tuyến của hai mặt

phẳng ( )MBD và ( )ABN là:

A. đường thẳng .MN

B. đường thẳng (AH H là trực tâm tam giác ).ACD

C. đường thẳng (BG G là trọng tâm tam giác ).ACD

D. đường thẳng .AM

Lời giải

Chọn C


Trang 601

G

N

M

B D

C

A

· B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ( )MBD và ( ).ABN

· Vì ,M N lần lượt là trung điểm của , AC CD nên suy ra , AN DM là hai trung tuyến của

tam giác .ACD Gọi G AN DM= Ç

( ) ( )( ) ( )

G AN ABN G ABNG

G DM MBD G MBD

ìï Î Ì Îï íï Î Ì Îïî là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng ( )MBD

và ( ).ABN

Vậy ( ) ( ) .ABN MBD BGÇ =

Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , M N lần lượt là trung điểm

AD và .BC Giao tuyến của hai mặt phẳng ( )SMN và ( )SAC là:

A. .SD

B. (SO O là tâm hình bình hành ).ABCD

C. (SG G là trung điểm ).AB

D. (SF F là trung điểm ).CD

Lời giải

Chọn B

T O

N

M D

B C

A

S

· S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ( )SMN và ( ).SAC


Trang 602

· Gọi O AC BD= Ç là tâm của hình hình hành.

Trong mặt phẳng ( )ABCD gọi T AC MN= Ç

( ) ( )( ) ( )

O AC SAC O SACO

O MN SMN O SMN

ìï Î Ì Îï íï Î Ì Îïî là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng ( )SMN và

( ).SAC

Vậy ( ) ( ) .SMN SAC SOÇ =

Câu 6: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , I J lần lượt là trung điểm

, .SA SB Khẳng định nào sau đây sai?

A. IJCD là hình thang. B. ( ) ( ) .SAB IBC IBÇ =

C. ( ) ( ) .SBD JCD JDÇ = D. ( ) ( ) (IAC JBD AO OÇ = là tâm ).ABCD

Lời giải

Chọn D

M

O

I

J

D

C

A

S

B

· Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB IJ AB CD IJ CD

IJCD là hình thang. Do đó A đúng.

· Ta có ( )( )

( ) ( ) .IB SAB

SAB IBC IBIB IBC

ìï Ìï Ç =íï Ìïî Do đó B đúng.

· Ta có ( )( )

( ) ( ) .JD SBD

SBD JBD JDJD JBD

ìï Ìï Ç =íï Ìïî Do đó C đúng.

· Trong mặt phẳng ( )IJCD , gọi M IC JD= Ç ( ) ( ) .IAC JBD MO Ç = Do đó D sai.

Câu 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang ( ).ABCD AD BC Gọi M là trung điểm .CD

Giao tuyến của hai mặt phẳng ( )MSB và ( )SAC là:

A. (SI I là giao điểm của AC và ).BM

B. (SJ J là giao điểm của AM và ).BD

C. (SO O là giao điểm của AC và ).BD


Trang 603

D. (SP P là giao điểm của AB và ).CD

Lời giải

Chọn A

I M

A D

B C

S

· S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ( )MSB và ( ).SAC

· Ta có ( ) ( )

( ) ( ) ( )I BM SBM I SBM

II AC SAC I SAC

ìï Î Ì Îï íï Î Î Îïî là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng

( )MSB và ( ).SAC

Vậy ( ) ( ) .MSB SAC SIÇ =

Câu 8: Cho 4 điểm không đồng phẳng , , , .A B C D Gọi ,I K lần lượt là trung điểm của AD và

.BC Giao tuyến của ( )IBC và ( )KAD là:

A. .IK B. .BC C. .AK D. .DK

Lời giải

Chọn A

K

I

B D

C

A

Điểm K là trung điểm của BC suy ra ( ) ( ).K IBC IK IBCÎ Ì

Điểm I là trung điểm của AD suy ra ( ) ( ).I KAD IK KADÎ Ì

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng ( )IBC và ( )KAD là .IK


Trang 604

Câu 9: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB CD . Gọi I là giao điểm của

AC và BD . Trên cạnh SB lấy điểm M . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( )ADM và

( )SAC .

A. .SI

B. AE ( E là giao điểm của DM và SI ).

C. .DM

D. DE ( E là giao điểm của DM và SI ).

Lời giải

Chọn B

S

A B

CD

M

I

E

Ta có A là điểm chung thứ nhất của ( )ADM và ( )SAC . Trong mặt phẳng ( )SBD , gọi

E SI DM= Ç .

Ta có:

● E SIÎ mà ( )SI SACÌ suy ra ( )E SACÎ .

● E DMÎ mà ( )DM ADMÌ suy ra ( )E ADMÎ .

Do đó E là điểm chung thứ hai của ( )ADM và ( )SAC .

Vậy AE là giao tuyến của ( )ADM và ( )SAC .

Câu 10: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác .ACD Gọi I và J lần lượt

là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với .CD Gọi ,H K lần lượt

là giao điểm của IJ với CD của MH và .AC Giao tuyến của hai mặt phẳng ( )ACD và

( )IJM là:

A. .KI B. .KJ C. .MI D. .MH

Lời giải

Chọn A


Trang 605

K

H

M

A

C

D

B

I

J

Trong mặt phẳng ( ),BCD IJ cắt CD tại ( ).H H ACD Î

Điểm H IJÎ suy ra bốn điểm , , ,M I J H đồng phẳng.

Nên trong mặt phẳng ( )IJM , MH cắt IJ tại H và ( ).MH IJMÌ

Mặt khác ( )( )

( ).M ACD

MH ACDH ACD

ìï Îï Ìíï Îïî Vậy ( ) ( ) .ACD IJM MHÇ =

Dạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

1. Phương pháp

Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt

phẳng , ta tìm giao điểm của a và một đường thẳng b

nằm trong .

a b M

M ab

b

a

β

αM

Phương pháp:

- Bước 1: Xác định mp chứa a.

- Bước 2: Tìm giao tuyến b .

- Bước 3: Trong : a b M , mà b , suy ra M a .


Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD (không có cặp cạnh đối nào song song) nằm trong mặt phẳng . S là

điểm không nằm trên .

a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD), (SAB) và (SCD). b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC và SD. Tìm giao điểm P của đường thẳng BN với mặt phẳng (SAC).


Trang 606

c. Gọi Q và R lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng.

Giải

a. * Giao tuyến của mặt mp(SAC) và mp(SBD): Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có:

S SACS SAC SBD

S SBD

Từ (1) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAC) và mp(SBD).

O ACO SAC

AC SACO SAC SBD

O BDO SBD

BD SBD

(2)

Từ (2) suy ra O là điểm chung thứ hai của mp(SAC) và mp(SBD).

Vậy SO SAC SBD .

P T

R

Q N

M

OA D

J

S

BC

* Giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD): Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta có:

S SABS SAB SCD

S SCD

(3)

Từ (3) suy ra S là điểm chung thứ nhất của mp(SAB) và mp(SCD).

E ABE SAB

AB SABE SAB SCD

E CDE SCD

CD SCD

(4)

Từ (4) suy ra E là điểm chung thứ hai của mp(SAB) và mp(SCD).

Vậy: SE SAB SCD .

b. Trong mp(SBD), hai đường thẳng SO, BN cắt nhau tại P, ta có:

P BN

P SO SAC P SAC

P là giao điểm của BN và (SAC).

Vậy P là giao điểm cần tìm.

c. Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng:

Trong mp(SCD), gọi T là giao điểm của MN và SE. Ta có MN là đường trung bình của tam giác

SCD nên MN CD∥ . Xét tam giác SDE, ta có:


Trang 607

∥MN CDN laø trung ñieåm cuûa SD

T là trung điểm của SE.

Tương tự, QR là đường trung bình của tam giác SAB nên QR AB∥ . Xét tam giác SAE, ta có:

QR∥ABQ laø trung ñieåm cuûa SA

QR đi qua trung điểm T của SE.

Như vậy, bốn điểm M, N, Q, R nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau TN và TQ nên chúng đồng phẳng.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng , cho tứ giác ABCD. Gọi S là điểm không thuộc , M là điểm nằm

trong tam giác SCD.

a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD). b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD).

Giải

a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD): Gọi N là giao điểm của SM và CD, gọi E là giao điểm của aN

và BD. Rõ ràng mp SAM mp SAN . Ta có:

E AN E SAME SAM SBD 1

E BD E SBD

Mặt khác: S SAM SBD 2

Từ (1) và (2) suy ra: SE SAM SBD .

b. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng (SBD). Ta có:

SAM AM

SAM SBD SE F AM SBD

F AM SE SAM

F

E

A D

C

B

S

N

M

Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy điểm M, trên cạnh SC lấy điểm N, sao cho MN không song song vói AC. Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (OMN) với các đường thẳng AC, BC và AB.

Giải


Trang 608

Trong mp(SAC): MN AC K , mà MN OMN nên

K AC OMN .

Trong mp(ABC): OK BC H , mà OK OMN nên

H BC OMN .

Ta có: OK AB G , mà OK OMN nên

G AB OMN .

HG

KAC

B

S

O

M

N

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD. Gọi E và F là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh SB và CD.

a. Tìm giao điểm của EF với mặt phẳng (SAC). b. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AEF) với các đường thẳng BC và SC.

Giải

a. Ta có EF SBF .

Trong mp(ABCD): BF AC O , suy ra

SAC SBF SO .

Trong mp(SBF): EF SO K , mà SO SAC ,

suy ra K EF SAC .

b. Trong mp(ABCD): AF BC G , mà

AF AEF , suy ra G BC AEF .

Khi đó: AEF AEG .

KH

GO

A D

CB

S

E

F

Trong mp(SBC): EG SC H , mà EG AEF , suy ra H SC AEF .


Câu 1: Cho bốn điểm , , ,A B C D không đồng phẳng. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của AC và

.BC Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho 2 .BP PD= Giao điểm của đường thẳng CD và

mặt phẳng ( )MNP là giao điểm của

A. CD và .NP B. CD và .MN C. CD và .MP D. CD và .AP

Lời giải

Chọn A


Trang 609

E

N

M

B

A

C

DP

Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa .CD Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại

.E

Điểm ( ).E NP E MNPÎ Î Vậy ( )CD MNPÇ tại .E

Cách 2. Ta có ( )N BC

NP BCDP BD

ì Îïï Ìíï Îïî suy ra ,NP CD đồng phẳng.

Gọi E là giao điểm của NP và CD mà ( )NP MNPÌ suy ra ( ) .CD MNP EÇ =

Vậy giao điểm của CD và ( )mp MNP là giao điểm E của NP và .CD

Câu 2: Cho tứ diện .ABCD Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD ; G là trọng tâm

tam giác .BCD Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng ( )ACD là:

A. điểm .F B. giao điểm của đường thẳng EG và .AF

C. giao điểm của đường thẳng EG và .AC D. giao điểm của đường thẳng EG và .CD

Lời giải

Chọn B

M

G

E

F

D

C

A

B


Trang 610

Vì G là trọng tâm tam giác ,BCD F là trung điểm của CD ( ).G ABF Î

Ta có E là trung điểm của AB ( ).E ABF Î

Gọi M là giao điểm của EG và AF mà ( )AF ACDÌ suy ra ( ).M ACDÎ

Vậy giao điểm của EG và ( )mp ACD là giao điểm .M EG AF= Ç

Câu 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của .SC

Gọi I là giao điểm của AM với mặt phẳng ( ).SBD Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 2 .IA IM=-

B. 3 .IA IM=-

C. 2 .IA IM=

D. 2,5 .IA IM=

Lời giải

Chọn A

I

O

M

A

B

D

C

S

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của .AC

Nối AM cắt SO tại I mà ( )SO SBDÌ suy ra ( ).I AM SBD= Ç

Tam giác SAC có ,M O lần lượt là trung điểm của , .SC AC

Mà I AM SO= Ç suy ra I là trọng tâm tam giác 22 .

3SAC AI AM IA IM = =

Điểm I nằm giữa A và M suy ra 2 2 .IA MI IM= =-

Câu 4: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt

phẳng ( )ABCD . Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C . Giao điểm của

đường thẳng SD với mặt phẳng ( )ABM là:

A. giao điểm của SD và .AB B. giao điểm của SD và AM .

C. giao điểm của SD và BK (với K SO AM= Ç ). D. giao điểm của

SD và MK (với K SO AM= Ç ).

Lời giải

Chọn C


Trang 611

S

A

B

C

D

M

N

K

O

● Chọn mặt phẳng phụ ( )SBD chứa SD .

● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( )SBD và ( )ABM .

Ta có B là điểm chung thứ nhất của ( )SBD và ( )ABM .

Trong mặt phẳng ( )ABCD , gọi O AC BD= Ç . Trong mặt phẳng ( )SAC , gọi K AM SO= Ç .

Ta có:

▪ K SOÎ mà ( )SO SBDÌ suy ra ( )K SBDÎ .

▪ K AMÎ mà ( )AM ABMÌ suy ra ( )K ABMÎ .

Suy ra K là điểm chung thứ hai của ( )SBD và ( )ABM .

Do đó ( ) ( )SBD ABM BKÇ = .

● Trong mặt phẳng ( )SBD , gọi N SD BK= Ç . Ta có:

▪ N BKÎ mà ( )BK ABMÌ suy ra ( )N ABMÎ .

▪ N SDÎ .

Vậy ( )N SD ABM= Ç .

Câu 5: Cho bốn điểm , , , A B C S không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi , I H lần lượt là trung

điểm của , SA AB . Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC ( K không

trùng với các đầu mút). Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng ( )IHK .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. E nằm ngoài đoạn BC về phía .B B. E nằm ngoài đoạn BC về phía .C

C. E nằm trong đoạn .BC D. E nằm trong

đoạn BC và , .E B E C¹ ¹

Lời giải

Chọn D


Trang 612

S

A

B

C

I

H

K

E

F

● Chọn mặt phẳng phụ ( )ABC chứa BC .

● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( )ABC và ( )IHK .

Ta có H là điểm chung thứ nhất của ( )ABC và ( )IHK .

Trong mặt phẳng ( )SAC , do IK không song song với AC nên gọi F IK AC= Ç . Ta có

▪ F ACÎ mà ( )AC ABCÌ suy ra ( )F ABCÎ .

▪ F IKÎ mà ( )IK IHKÌ suy ra ( )F IHKÎ .

Suy ra F là điểm chung thứ hai của ( )ABC và ( )IHK .

Do đó ( ) ( )ABC IHK HFÇ = .

● Trong mặt phẳng ( )ABC , gọi E HF BC= Ç . Ta có

▪ E HFÎ mà ( )HF IHKÌ suy ra ( )E IHKÎ .

▪ E BCÎ .

Vậy ( )E BC IHK= Ç .

Dạng 4. Thiết diện

1. Phương pháp

Tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt cắt với hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa giác phẳng. Đa giác đó chính là thiết diện cần tìm. Mỗi đoạn giao tuyến là cạnh của thiết diện.


Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là ba điểm nằm trên AB, BC, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).

Giải


Trang 613

Trong mp(ABCD):

MN AD E

MN CD F

NO AD K

Trong mp(SKN): NP SK Q .

Trong mp(SAD):

EQ SA G

EQ SD H

Khi đó: MNP HEF

RH

G

F

E

Q

KO

A

D C

B

S

M

N

P

Trong mp(SCD): HF SC R .

Vậy ta có các đoạn giao tuyến do mp(MNP) cắt các mặt của hình chóp là:

MNP ABCD MN; MNP SAD GH; MNP SAB MG;

MNP SCD HR; MNP SBC RN.

Do đó thiết diện cần tìm là ngũ giác MNRHG.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M là một điểm trên cạnh SB. Tìm thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (AMD).

Giải

Trong mp(ABCD): AB CD E .

Trong mp(SAB): AM SE K .

Do đó mp AMD mp AKD .

Trong mp(SCD): KD SC N

Do đó MN AMD SBC , ND AMD SCD .

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AMND.

KN

C

A D

E

S

B

M

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD, E là một điểm trên cạnh BC, F là một điểm trên cạnh SD.

a. Tìm giao điểm K của BF và mp(SAC). b. Tìm giao điểm J của EF và mp(SAC). c. Chứng minh ba điểm C, K, J thẳng hàng. d. Xác định thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (BCF).

Giải


Trang 614

a. Ta có: BF SBD .

Trong mp(ABCD): AC BD O

Do đó SO SAC SBD .

Trong mp(SBD): BF SO K

Do đó K BF SAC .

b. Ta có EF SED

Trong mp(ABCD): AC ED H

Trong mp(SED): EF SH J

Mà SH SAC nên J EF SAC .

c. Ta có:

K BF SAC

J EF SAC K,J BCF SAC

BF BCF ,EF BCF

K

G

J

HO

A D

C

B

S

E

F

Mà C BCF SAC , nên K, J, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng (BCF) và (SAC), suy ra

chúng thẳng hàng.

d. Trong mp(SAC): CK SA G , suy ra mp BCF mp BCFG .

Vậy ta có các đoạn giao tuyến của mp(BCF) với các mặt của hình chóp là: BG BCF SAB ,

GF BCF SAD , FC BCF SCD .

Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BCFG.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AD; G là trọng tâm tam giác SAD. Đường thẳng BN cắt CD tại K.

a. Chứng minh ba điểm M, G, K thẳng hàng. b. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MCG).

Tính tỉ số mà thiết diện chia đoạn SA. Từ đó cho biết thiết diện là hình gì?

Giải


Trang 615

a. Ta có SN là đường trung tuyến của tam giác SAD.

G là trọng tâm của tam giác SAD nên:

SG 2

SN 3 .

Xét tam giác BCK có: ND BC∥ và 1

ND BC2

(do N

là trung điểm của AD) nên SN là đường trung tuyến

của tam giác SBK. Mà SG 2

SN 3 nên G cũng là trọng

tâm của tam giác SBK.

Ta lại có MK là đường trung tuyến của tam giác SBK. Do đó KM đi qua trọng tâm G.

Q

KG

N

M

B

AD

C

S

Vậy ba điểm M, G, K thẳng hàng.

b. Do ba điểm M, G, K thẳng hàng nên mp MCG mp MCK , suy ra CD MCG và

DG MCG .

Trong mp(SAD): DG SA Q , suy ra DQ MCG SAD và MQ MCG SAB .

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MCDQ.

Vì G là trọng tâm tam giác SAD nên DG là đường trung tuyến của tam giác SAD. Do đó Q là trung điểm của SA.

Vậy thiết diện chia đoạn SA theo tỉ số QS1

QA .

Như vậy MQ là đường trung bình của tam giác SAB.

Do đó MQ AB∥ , mà AB CD∥ nên MQ CD∥ .

Vậy thiết diện MCDQ là hình thang.


Câu 1: Cho tứ diện .ABCD Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và ,AC E là điểm trên

cạnh CD với 3 .ED EC= Thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( )MNE và tứ diện ABCD là:

A. Tam giác .MNE

B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh .BD

C. Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // .BC

D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF // .BC

Lời giải

Chọn D


Trang 616

F

N

M

A

C

DB

E

Tam giác ABC có ,M N lần lượt là trung điểm của , .AB AC

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC MN // .BC

Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC và cắt BD tại F EF // .BC

Do đó MN // EF suy ra bốn điểm , , ,M N E F đồng phẳng và MNEF là hình thang.

Vậy hình thang MNEF là thiết diện cần tìm.

Câu 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi H , K lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC . Trên đường

thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD . Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng ( )HKM

là:

A. Tứ giác HKMN với .N ADÎ B. Hình thang HKMN với N ADÎ và .HK MN

C.Tam giác HKL với .L KM BD= Ç D. Tam giác HKL với .L HM AD= Ç

Lời giải

Chọn C

L

M

K

H

D

C

B

A

Ta có HK , KM là đoạn giao tuyến của ( )HKM với ( )ABC và ( )BCD .

Trong mặt phẳng ( )BCD , do KM không song song với BD nên gọi L KM BD= Ç .


Trang 617

Vậy thiết diện là tam giác HKL .

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng ( )0 .a a> Các điểm , ,M N P lần

lượt là trung điểm của , , .SA SB SC Mặt phẳng ( )MNP cắt hình chóp theo một thiết diện có

diện tích bằng:

A. 2 .a B. 2

.2

a C. 2

.4

a D. 2

.16

a

Lời giải

Chọn C

Q

PN

M

A

B

D

C

S

Gọi Q là trung điểm của .SD

Tam giác SAD có ,M Q lần lượt là trung điểm của ,SA SD suy ra MQ // .AD

Tam giác SBC có ,N P lần lượt là trung điểm của ,SB SC suy ra NP // .BC

Mặt khác AD // BC suy ra MQ // NP và MQ NP MNPQ= là hình vuông.

Khi đó , , ,M N P Q đồng phẳng ( )MNP cắt SD tại Q và MNPQ là thiết diện của hình

chóp .S ABCD với ( ).mp MNP

Vậy diện tích hình vuông MNPQ là 2

.4 4

ABCDMNPQ

S aS = =

Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng .a Gọi G là trọng tâm tam giác .ABC Mặt phẳng

( )GCD cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:

A. 2 3

.2

a B. 2 2

.4

a C. 2 2

.6

a D. 2 3

.4

a

Lời giải

Chọn B


Trang 618

H

G

M

N

A

B

C

D

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB BC suy ra .AN MC GÇ =

Dễ thấy mặt phẳng ( )GCD cắt đường thắng AB tại điểm .M

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng ( )GCD và tứ diện .ABCD

Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB suy ra 3.

2

aMD =

Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB suy ra 3.

2

aMC =

Gọi H là trung điểm của 1. .

2MCDCD MH CD S MH CDD ^ =

Với 2

2 2 2 2.

4 2

CD aMH MC HC MC= - = - =

Vậy 21 2 2

. . .2 2 4MCD

a aS aD = =

Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm

các cạnh AC , BC ; P là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng ( )MNP cắt tứ diện theo một

thiết diện có diện tích là:

A. 2 11

.2

a B. 2 2

.4

a C. 2 11

.4

a D. 2 3

.4

a

Lời giải

Chọn C


Trang 619

A

B

C

D

PN

M

D

M NH

Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC . Suy ra N , P , D thẳng

hàng.

Vậy thiết diện là tam giác MND .

Xét tam giác MND , ta có 2

ABMN a= = ; 3

32

ADDM DN a= = = .

Do đó tam giác MND cân tại D .

Gọi H là trung điểm MN suy ra DH MN^ .

Diện tích tam giác 2

2 21 1 11. .

2 2 4MND

aS MN DH MN DM MHD = = - = .

Dạng 5. Ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy

1. Phương pháp

- Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau và giao điểm đó nằm trên đường thẳng thứ 3 (Hình a).

- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (Hình b).

b

a

c

K

Hình a.

βα

A

B

C

Hình b.


Trang 620


Ví dụ 1. Gọi a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q); A là điểm không nằm trên cả hai mặt phẳng này; C và D là hai điểm nằm trên (P). Gọi E là giao điểm của a với CD; F và G lần lượt là giao điểm của AC, AD với (Q). Chứng minh rằng ba điểm E, F và G thẳng hàng.

Giải

Ta thấy D và C thuộc mp(P), A không thuộc mp(P) nên A, C và D không thẳng hàng. Do đó, tồn tại mặt phẳng (ACD). Ta có:

F AC F ACDF ACD Q 1

F Q

G AD G ACDG ACD Q 2

G Q

a

Q

PD

F

A

EG

C

E CD E ACDE ACD Q 3

E a Q E Q

Như vậy, F, G, E nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (Q) nên chúng thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng, sao cho chúng đôi một cắt nhau. Chứng minh chúng đồng quy.

Giải

Theo giả thiết a và b cắt nhau, giả sử tại O.

Ta chứng minh O thuộc c.

Do a và c cắt nhau nên tồn tại mp(a,c).

Do b và c cắt nhau nên tồn tại mp(b,c). Ta có:

O a O a,cO a,c b,c

O b O b,c

Mà a,c b,c c nên O c .

Vậy ba đường thẳng a, b, c đồng quy tại O.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Một mặt phẳng cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Giả sử AD cắt BC tại E; A’D’ cắt B’C’ tại E’. Chứng minh:

a. S, E, E’ thẳng hàng. b. A’C’, B’D’, SO đồng quy.

Giải


Trang 621

a.

BC AD E

BC SBC E SBC SAD 1

AD SAD

B ʹC ʹ A ʹD ʹ E ʹ

B ʹC ʹ SB ʹC ʹ E ʹ SB ʹC ʹ SA ʹD ʹ 2

A ʹD ʹ SA ʹD ʹ

Mà S SBC SAD 3

Kết hợp (1), (2), (3) ta có ba điểm S, E, E’ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). Do đó ba điểm đó thẳng hàng.

K

D'

C'

O

AD

B

S

E

C

A'

B'

E'

b. Trong mp(A’B’C’D’):

A ʹC ʹ B ʹD ʹ K

A ʹC ʹ SAC K SAC SBD i

B ʹD ʹ SBD

Mà SAC SBD SO ii nên từ (i), (ii) suy ra K SO .

Vậy ba đường thẳng SO, A’C’, B’D’ đồng quy.

Ví dụ 4. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SB, SC và AB, sao cho IJ không song song với BC, IK không song song với SA.

a. Tìm giao điểm D của (IJK) và BC. b. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Chứng minh ba đường thẳng SA, KI, EJ đồng quy.

Giải

a. Trong mp(SBC): IJ BC D (do IJ không song

song với BC).

Mà IJ IJK nên D IJK BC .

b. Ta có IK không song song với SA nên trong

mp(ABC): IK SA F .

Ta có:

IK SA F

IK IJK ,SA SAC F EJ

EJ IJK SAC

.

Vậy ba đường thẳng SA, IK, EJ đồng quy.

E

D

F

AC

S

B

I J

K


Trang 622

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC và BD, K là một điểm trên cạnh SD.

a. Tìm giao điểm E của mặt phẳng (ABK) với CD. b. Tìm giao điểm F của mặt phẳng (ABK) với SC. c. Chứng minh các đường thẳng AF, BK và SO đồng quy.

Giải

a. Trong mp(ABCD): AB CD E .

Mà AB ABK nên E ABK CD .

b. Ta có: ABK AEK

Trong mp(SCD): EK SC F .

Mà EK ABK nên F ABK SC .

c. Trong mp(ABK): AF BK G .

Mà AF SAC , BK SBD

nên G SAC SBD SO .

Vậy ba đường thẳng AF, BK và SO đồng quy.

FG

E

O

AD

B

S

C

K


Câu 1: Cho tứ diện .ABCD Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AB và .CD Mặt phẳng ( )a qua

MN cắt , AD BC lần lượt tại P và .Q Biết MP cắt NQ tại .I Ba điểm nào sau đây thẳng

hàng?

A. , , .I A C B. , , .I B D C. , , .I A B D. , , .I C D

Lời giải

Chọn B

Q

I

N

M

BD

C

A

P


Trang 623

Ta có ( ) ( )ABD BCD BDÇ = .

Lại có ( )( )

I MP ABDI

I NQ BCD

ìï Î Ìï íï Î Ìïî thuộc giao tuyến của ( )ABD và ( )BCD

, , I BD I B D Î thẳng hàng.

Câu 2: Cho tứ diện SABC . Gọi , , L M N lần lượt là các điểm trên các cạnh , SA SB và AC sao

cho LM không song song với AB , LN không song song với SC . Mặt phẳng ( )LMN cắt

các cạnh , , AB BC SC lần lượt tại , , K I J . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. , , .K I J B. , , .M I J C. , , .N I J D. , , .M K J

Lời giải

Chọn B

S

A

B

C

L

M N

I

JK

Ta có

● M SBÎ suy M là điểm chung của ( )LMN và ( )SBC .

● I là điểm chung của ( )LMN và ( )SBC .

● J là điểm chung của ( )LMN và ( )SBC .

Vậy , , M I J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của ( )LMN và ( )SBC .

Câu 3: Cho tứ diện .ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác ,BCD M là trung điểm ,CD I là điểm ở

trên đoạn thẳng ,AG BI cắt mặt phẳng ( )ACD tại .J Khẳng định nào sau đây sai?

A. ( ) ( ).AM ACD ABG= Ç B. , , A J M thẳng hàng.

C. J là trung điểm của .AM D. ( ) ( ).DJ ACD BDJ= Ç

Lời giải

Chọn C


Trang 624

J

GM

A

C

DB

I

Ta có A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng ( )ACD và ( ).GAB

Do ( ) ( )( ) ( )

M BG ABG M ABGBG CD M M

M CD ACD M ACD

ìï Î Ì ÎïÇ = íï Î Ì Îïî là điểm chung thứ hai giữa hai

mặt phẳng ( )ACD và ( ).GAB

( ) ( )ABG ACD AM Ç = ¾¾A đúng.

Ta có ( )( )

( ) ( ),

BI ABG

AM ABM AM BI

ABG ABM

ìï Ìïïï Ì íïïï ºïî

đồng phẳng.

, ,J BI AM A J M = Ç thẳng hàng ¾¾ B đúng.

Ta có ( )( )

( ) ( )DJ ACD

DJ ACD BDJDJ BDJ

ìï Ìï = Ç ¾¾íï Ìïî D đúng.

Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM

¾¾ C sai.

Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi , , E F G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh , , AB AC BD sao cho

EF cắt BC tại I , EG cắt AD tại H . Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?

A. , , .CD EF EG B. , , .CD IG HF C. , , AB IG HF . D. , , .AC IG BD

Lời giải

Chọn B


Trang 625

A

B C

D

E

F

G

I

H

O

Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng 1 2 3, , d d d đồng quy ta chứng minh giao

điểm của hai đường thẳng 1d và 2d là điểm chung của hai mặt phẳng ( )a và ( )b ; đồng

thời 3d là giao tuyến ( )a và ( )b .

Gọi O HF IG= Ç . Ta có

● O HFÎ mà ( )HF ACDÌ suy ra ( )O ACDÎ .

● O IGÎ mà ( )IG BCDÌ suy ra ( )O BCDÎ .

Do đó ( ) ( )O ACD BCDÎ Ç . ( )1

Mà ( ) ( )ACD BCD CDÇ = . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra O CDÎ .

Vậy ba đường thẳng , , CD IG HF đồng quy.

Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm

M . Gọi N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng ( )AMB . Mệnh đề nào sau

đây đúng?

A. Ba đường thẳng , , AB CD MN đôi một song song.

B. Ba đường thẳng , , AB CD MN đôi một cắt nhau.

C. Ba đường thẳng , , AB CD MN đồng quy.

D. Ba đường thẳng , , AB CD MN cùng thuộc một mặt phẳng.

Lời giải

Chọn C


Trang 626

D

C

BA

S

MN

I

K

O

Gọi .I AD BC= Ç Trong mặt phẳng ( )SBC , gọi K BM SI= Ç . Trong mặt phẳng ( )SAD , gọi

N AK SD= Ç .

Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng ( )AMB .

Gọi O AB CD= Ç . Ta có:

● O ABÎ mà ( )AB AMBÌ suy ra ( )O AMBÎ .

● O CDÎ mà ( )CD SCDÌ suy ra IJ, ,MN SE .

Do đó ( ) ( )O AMB SCDÎ Ç . ( )1

Mà ( ) ( )AMB SCD MNÇ = . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra O MNÎ . Vậy ba đường thẳng , , AB CD MN đồng quy.

Dạng 5. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng.

1. Phương pháp

Áp dụng kết quả:

I a b

a P ,b Q I c

P Q c

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện aBCD. Gọi K là trung điểm của cạnh BC, H là một điểm cố định trên cạnh AC. Mặt phẳng (P) di động chứa HK, cắt các cạnh BD và AD lần lượt tại M và N.

a. Giả sử cho trước điểm M không là trung điểm của BD, hãy xác định điểm N. b. Tìm tập hợp giao điểm I của hai đường HM và KN khi M di động trên canh BD.

Giải


Trang 627

a. Trong mp(BCD): KM CD E .

Trong mp(ACD): HE AD N .

Mà HE P nên N AD P là điểm cần

tìm.

b. Ta có:

I HM KN

HM HBD I HBD AKD 1

KN AKD

Trong mp(ABC): BH AK F

F HBD AKD

I

F

NE

K

A

BD

C

M

H

Mà D HBD AKD , nên DF HBD AKD (2)

Từ (1) và (2) suy ra I chạy trên đường thẳng cố định DF.

Giới hạn:

Cho M D thì N D . Khi đó I D .

Cho M B thì N A . Khi đó I F .

Vậy tập hợp điểm I là đoạn DF.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và AC, sao cho MN không song song với BC. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F.

a. Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định. b. Tìm tập hợp giao điểm của ME và NF. c. Tìm tập hợp giao điểm của MF và NE.

Giải


Trang 628

a. Trong mp(ABC): MN BC K .

Khi đó K là điểm chung của (BCD) và (P), mà EF là giao tuyến của (BCD) và (P) nên EF đi qua điểm K cố định.

b. Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I là điểm chung của (NBD) và (MCD), suy ra I thuộc giao tuyến DJ của mp(MCD) và (NBD).

Giới hạn: Tậm hợp cần tìm là đoạn DJ.

c. Gọi H là giao điểm của MF và NE thì H là điểm chung của (ABD) và (ACD), suy ra H thuộc giao tuyến AD của mp(ABD) và mp(ACD).

Giới hạn: Tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng AD trừ đi đoạn AD.

J

H

E

K

A

B D

C

M

N

F


Trang 629

BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG


1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt

Cho hai đường thẳng a và .b Căn cứ vào sự đồng phẳng và số điểm chung của hai đường thẳng ta có

bốn trường hợp sau:

a. Hai đường thẳng song song: cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung, tức là

( ) ( );.

a P b Pa b

a b

ìï Ì Ìïíï Ç =Æïî

b. Hai đường thẳng cắt nhau: chỉ có một điểm chung.

a cắt b khi và chỉ khi .a b IÇ =

c. Hai đường thẳng trùng nhau: có hai điểm chung phân biệt.

{ }, .a b A B a bÇ = º

d. Hai đường thẳng chéo nhau: không cùng thuộc một mặt phẳng.

a chéo b khi và chỉ khi ,a b không đồng phẳng.

2. Hai đường thẳng song song

Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lí (về giao tuyến của hai mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).


Trang 630


Dạng 1. Câu hỏi lý thuyết

1. Phương pháp



Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.

Lời giải

Chọn A

Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).

Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.

B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.

C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

Lời giải

Chọn D

A sai. Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.

B và C sai. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.


A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.

C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.

D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.

Lời giải

Chọn C


Trang 631


A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.

B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.

C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.

D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.

Lời giải

Chọn B

A sai. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.

C sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.

D sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.

Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Lấy ,A B thuộc a và ,C D thuộc b . Khẳng định nào

sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC ?

A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.

C. Song song với nhau. D. Chéo nhau.

Lời giải

Chọn D

a

b

A

B

CD

Theo giả thiết, a và b chéo nhau a và b không đồng phẳng.

Giả sử AD và BC đồng phẳng.

Nếu ( ) ( );AD BC I I ABCD I a bÇ = Î Î . Mà a và b không đồng phẳng, do đó, không tồn tại

điểm I .

Nếu AD BC a và b đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD và BC chéo nhau.

Câu 6: Cho ba mặt phẳng phân biệt ( ) ( ) ( ), , a b g có ( ) ( ) 1da bÇ = ; ( ) ( ) 2db gÇ = ; ( ) ( ) 3da gÇ = . Khi đó

ba đường thẳng 1 2 3, ,d d d :

A. Đôi một cắt nhau. B. Đôi một song song.


Trang 632

C. Đồng quy. D. Đôi một song song hoặc đồng quy.

Lời giải

Chọn D

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Câu 7: Trong không gian, cho 3 đường thẳng , ,a b c , biết a b , a và c chéo nhau. Khi đó hai đường

thẳng b và c :

A. Trùng nhau hoặc chéo nhau. B. Cắt nhau hoặc chéo nhau.

C. Chéo nhau hoặc song song. D. Song song hoặc trùng nhau.

Lời giải

Chọn B

Giả sử b c c a (mâu thuẫn với giả thiết).

Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt , ,a b c trong đó a b . Khẳng định nào sau đây

sai?

A. Nếu ca thì cb .

B. Nếu c cắt a thì c cắt b .

C. Nếu A aÎ và B bÎ thì ba đường thẳng , ,a b AB cùng ở trên một mặt phẳng.

D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b .

Lời giải

Chọn B

Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b .

Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau ,a b và điểm M ở ngoài a và ngoài b . Có nhiều nhất bao

nhiêu đường thẳng qua M cắt cả a và b ?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.

Lời giải

Chọn A


Trang 633

c

a

b

P

Q

M

Gọi ( )P là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và M ; ( )Q là mặt phẳng tạo bỏi đường thẳng b

và M .

Giả sử c là đường thẳng qua M cắt cả a và b .

( )( )

( ) ( )c P

c P Qc Q

ìï Îï = Çíï Îïî.

Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cả a và b .

Câu 10: Trong không gian, cho 3 đường thẳng , ,a b c chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu

đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.

Lời giải

Chọn D

Gọi M là điểm bất kì nằm trên a .

Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c . Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi

M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c .

Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d .

Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng , ,a b c .

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song

1. Phương pháp

Cách 1. (Dùng định nghĩa) chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.

Cách 2. Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng.

Cách 3. Dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh ba đoạn nối trung điểm các cạnh đối diện của một tứ diện đồng quy tại trung

điểm của mỗi đoạn.

Giải


Trang 634

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của

các đoạn AB, CD, AD, BC, AC, BD. Ta cần

chứng minh các đoạn MN, PQ, RS đồng quy tại

trung điểm của chúng.

Ta có:

MP là đường trung bình của ABD nên

MP BD∥ và 1

MP BD2

(1)

NQ là đường trung bình của BCD nên

NQ BD∥ và 1

NQ BD2

(2)

Vậy tứ giác MPNQ là hình bình hành.

G

N

M

Q

R

P

SB D

A

C

Gọi G là giao điểm của hai đường chéo MN và PQ. Khi đó ta có G là trung điểm của MN và PQ.

Tương tự ta chứng minh được tứ giác PSQR là hình bình hành. Suy ra trung điểm G của đường chéo PQ

cũng là trung điểm của đường chéo RS.

Vậy ba đoạn MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đường.

Chú ý: Điểm G nói trên được gọi là trọng tâm của tứ diện.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E là một điểm trên cạnh AD

nhưng không trùng với A và D.

a. Xác định thiết diện của tứ diện với mp(IJE).

b. Xác định vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện đó là hình bình hành.

c. Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện đó là hình thoi.

Giải

a. Xác định thiết diện của tứ diện với mp (IJE): Ta có IJ là

đường trung bình của BCD nên: IJ CD∥ (1)

IJ IJE

CD ACDIJE ACD EF IJ F AC

IJ CD

E IJE ACD

∥∥

(2)

Như vậy, mp(IJE) cắt các mặt của tứ diện theo các đoạn

giao tuyến nối tiếp nhau IJ, JE, EF và FI, nên thiết diện

cần tìm là tứ giác IJEF có EF IJ∥ (theo (2)) nên thiết diện

này là hình thang.

E

I

JB D

C

A

F

b. Xác định vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành: IJEF là hình bình hành khi

và chỉ khi JE IF AB∥ ∥ , tức là E là trung điểm của AD.

c. Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD để thiết diện là hình thoi: IJEF là hình

thoi khi và chỉ khi IJEF là hình bình hành và IJ JE , tức là E là trung điểm của AD và AB CD.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F, G, H lần lượt là các điểm nằm

trên các cạnh BC, AD, SD, SC sao cho EH SB∥ , EF AB, GH CD∥ ∥ .

a. Chứng minh 4 điểm E, F, G, H đồng phẳng.

b. Chứng minh GF SA∥ .

c. Gọi I là giao điểm của EH và FG. Chứng minh rằng khi E di động trên BC thì I chạy trên một đường

thẳng cố định.

Giải


Trang 635

a. Chứng minh 4 điểm E, F, G, H đồng phẳng. Ta có:

EF ABEF CD

AB CD

∥∥

∥ (1)

Mặt khác: GH CD∥ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF GH∥ (3)

(3) chứng tỏ tồn tại duy nhất mặt phẳng qua hai

đường thẳng song song EF và GH. Vậy bốn điểm E, F,

G, H đồng phẳng (cùng thuộc mp EF,GH ).

b. Chứng minh GF SA∥ :

x

GH

E

B

AD

C

S

F

I

SCD có GH CD∥ nên: DG CH

DS CS (4)

CBS có EH SB∥ nên: CH CE

CS CB (5)

Hình bình hành ABCD có EF AB CD∥ ∥ nên: CE DF

CB DA (6)

Từ (4), (5), (6) suy ra: DG DF

GF SADS DA

∥ .

c. Chứng minh I chạy trên đường thẳng cố định. Ta có:

I EH SBC I SBCI SBC SAD

I FG SAD I SAD

Điều này chứng tỏ I chạy trên giao tuyến cố định Sx của hai mặt phẳng cố định (SBC) và (SAD) khi E

chạy trên BC.

Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, E, F là các điểm lần

lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD và DA. Giả sử MN cắt EF.

Chứng minh rằng MN, AC và EF đồng quy.

Giải

Vì MN cắt EF nên bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

Giả sử MN cắt EF tại J. Áp dụng định lí 3 (định lí về giao

tuyến của ba mặt phẳng) cho ba mặt phẳng (ABC), (ACD) và

(NJF), ta có ba giao tuyến MN, AJ và EF đồng quy tại J. EN

B D

A

J

M F

C

Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SAB và SAD;

E là trung điểm của cạnh BC.

a. Chứng minh MN BD∥ .

b. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(MNE).

c. Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng

LH BD∥ .

Giải


Trang 636

a. Chứng minh MN BD∥ . Gọi P và Q lần lượt là trung

điểm của AB và AD. Ta có:

M SP,N SQMN PQPM QN 1 (tính chaát troïng taâm)

PS QS 3

∥ (1)

Mặt khác: PQ là đường trung bình của ABD nên: PQ BD∥ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MN BD∥ .

b. Xác định thiết diện của hình chóp với mp(MNE).

Theo hệ quả của định lí 3, ta có:

MN MNE

BD ABCD

MN BD

ABCD MNE EK MN BD K CD

∥

∥ ∥

H

L

R

K

I

P

Q

NM

E

A D

S

BC

Trong mp(ABCD), gọi I AB EK .

Trong mp(SAB), gọi R IM SA, H IM SB .

Trong mp(SAD), gọi L RN SD .

Như vậy, mp(MNE) cắt các mặt (ABCD), (SBC), (SAB), (SAD), (SCD) lần lượt theo các đoạn giao tuyến

nối tiếp nhau KE, EH, HR, RL, LK. Do đó thiết diện cần tìm là ngũ giác KEHRL.

c. Chứng minh LH BD∥ :

MN MNE

BD SBDLH BD

MN BD

SBD MNE HL

∥∥

.

Dạng 3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

1. Phương pháp

Cách 1. Tìm hai điểm chung phân biệt (đã đề cập ở bài 1).

Cách 2. (Dùng hệ quả định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng).

a b

a P ,b Q c a b

P Q c

∥

∥ ∥

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện SABC. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AB, G là một điểm trên

cạnh AC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

a. (SAC) và (EFC).

b. (SAC) và (EFG).

Giải

a. Ta có: EF là đường trung bình của tam giác SAB

EF SA∥


Trang 637

Mà

EF EFC ,SA SAC

C EFC SAC

Suy ra EFC SAC Cx EF SA∥ ∥

b. Ta có: EF SA∥

Mà

EF EFG ,SA SAC

G EFG SAC

EFG SAC Gy EF SA∥ ∥

H

F

E

A C

S

B

G

Trong mp(SAC): Gy cắt SC tại H. Vậy GH EFG SAC .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của

SA và SB, P là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

a. (SBC) và (SAD).

b. (SAB) và (SCD).

c. (MNP) và (ABCD).

Giải

a. Ta có:

BC AD

BC SBC ,AD SAD

S SBC SAD

∥

SBC SAD Sx BC AD∥ ∥ .

b. Ta có:

AB CD

AB SAB ,CD SCD

S SAB SCD

∥

y

x

Q

M

N

B

AD

C

S

P

SAB SCD Sy AB CD∥ ∥ .

c. Ta có:

MN AB

MN MNP ,AB ABCD MNP ABCD PQ AB MN Q AD

P MNP ABCD

∥

∥ ∥ .

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và tam giác ACD.

a. Chứng minh GJ AB∥ .

b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (GJD).

Giải

a. Gọi K là trung điểm của CD.

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

KG KJ 1

GJ ABKB KA 3

∥ .


Trang 638

b. Ta có:

GJ AB

GJ GJD ,AB ABD

D GJD ABD

GJD ABD Dx AB GJ

∥

∥ ∥

xJ

GK

B D

A

C

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O và I là một điểm trên đoạn SO.

a. Tìm giao điểm E và F của mặt phẳng (ICD) lần lượt với các đường SA và SB. Chứng minh EF AB∥ .

b. Gọi K là giao điểm của DE và CF. Chứng minh SK BC∥ .

Giải

a. Trong mp(SAC): IC SA E

Trong mp(SBD): ID SB F

Mà IC ICD , ID ICD

nên E ICD SA, F ICD SB .

Ta có:

EF SAB ICD

AB CD EF AB CD

AB SAB ,CD SCD

∥ ∥ ∥ .

b. Ta có:

I

K

F

O

B

AD

C

S

E

CF DE K

CF SBC K SBC SAD

DE SAD

.

Mà S SBC SAD nên SK SBC SAD .

Vậy:

SK SBC SAD

BC AD SK BC AD

BC SBC ,AD SAD

∥ ∥ ∥ .

Dạng 4. Bài tập ứng dụng

Câu 1: Cho tứ diện .ABCD Gọi ,I J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và .ABD Chọn khẳng định

đúng trong các khẳng định sau?

A. IJ song song với .CD

B. IJ song song với .AB

C. IJ chéo .CD

D. IJ cắt .AB

Lời giải


Trang 639

Chọn A

J

IN

M

A

D

CB

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của , .BC BD

MN là đường trung bình của tam giác BCD ( )/ / 1MN CD

,I J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD ( )22

3

AI AJIJ MN

AM AN = =

Từ ( )1 và ( )2 suy ra: .IJ CD

Câu 2: Cho hình chóp .S ABCD có AD không song song với .BC Gọi , ,M N , , ,P Q R T lần lượt là trung

điểm , , , , , .AC BD BC CD SA SD Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?

A. MP và .RT B. MQ và .RT C. MN và .RT D. PQ và .RT

Lời giải

Chọn B

TR

Q

P

N

M

S

C

B

DA

Ta có: ,M Q lần lượt là trung điểm của ,AC CD

MQ là đường trung bình của tam giác ( )1CAD MQ AD

Ta có: ,R T lần lượt là trung điểm của ,SA SD

RT là đường trung bình của tam giác ( )2SAD RT AD


Trang 640

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra: .MQ RT

Câu 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , , ,I J E F lần lượt là trung điểm

, , , .SA SB SC SD Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với ?IJ

A. .EF B. .DC C. .AD D. .AB

Lời giải

Chọn C

EJ

FI

C

A D

B

S

Ta có IJ AB (tính chất đường trung bình trong tam giác SAB ) và EF CD (tính chất đường

trung bình trong tam giác SCD ).

Mà CD AB (đáy là hình bình hành) .CD AB EF IJ¾¾

Câu 4: Cho tứ diện .ABCD Gọi ,M N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng ; ,AB P Q là hai

điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng .CD Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng , .MP NQ

A. .MP NQ B. .MP NQº

C. MP cắt .NQ D. ,MP NQ chéo nhau.

Lời giải

Chọn D

B D

C

A

M

N

P

Q

Xét mặt phẳng ( ).ABP

Ta có: ,M N thuộc ,AB M N thuộc mặt phẳng ( ).ABP


Trang 641

Mặt khác: ( ) .CD ABP PÇ =

Mà: ( ) , , ,Q CD Q ABP M N P QÎ Ï không đồng phẳng.

Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

( )SAD và ( ).SBC Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d qua S và song song với .BC B. d qua S và song song với .DC

C. d qua S và song song với .AB D. d qua S và song song với .BD

Lời giải

Chọn A

d

C

A D

B

S

Ta có ( ) ( )

( ) ( ),

SAD SBC S

AD SAD BC SBC

AD BC

ìï Ç =ïïï Ì Ìíïïïïî ¾¾ ( ) ( )SAD SBC Sx AD BCÇ = (với d Sxº ).

Câu 6: Cho tứ diện .ABCD Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và ,AC G là trọng tâm tam

giác .BCD Giao tuyến của hai mặt phẳng ( )GIJ và ( )BCD là đường thẳng:

A. qua I và song song với .AB B. qua J và song song với .BD

C. qua G và song song với .CD D. qua G và song song với .BC

Lời giải

Chọn C


Trang 642

x

M

IJ

A

D

B

C

G

Ta có ( ) ( )

( ) ( ),

GIJ BCD G

IJ GIJ CD BCD

IJ CD

ìï Ç =ïïï Ì Ìíïïïïî ¾¾ ( ) ( ) .GIJ BCD Gx IJ CDÇ =

Câu 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và .CD Gọi ,I J lần lượt là

trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác .SAB Giao tuyến của ( )SAB và ( )IJG

là

A. .SC

B. đường thẳng qua S và song song với .AB

C. đường thẳng qua G và song song với .DC

D. đường thẳng qua G và cắt .BC

Lời giải

Chọn C

QP G

JI

S

D

BA

C

Ta có: ,I J lần lượt là trung điểm của AD và BC

IJ là đường trunh bình của hình thang .ABCD IJ AB CD

Gọi ( ) ( )d SAB IJG= Ç

Ta có: G là điểm chung giữa hai mặt phẳng ( )SAB và ( )IJG


Trang 643

Mặt khác: ( ) ( );SAB AB IJG IJ

AB IJ

ìï É Éïíïïî

Giao tuyến d của ( )SAB và ( )IJG là đường thẳng qua G và song song với AB và .IJ

Câu 8: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm .SA Thiết diện

của hình chóp .S ABCD cắt bởi mặt phẳng ( )IBC là:

A. Tam giác .IBC

B. Hình thang IBCJ ( J là trung điểm SD ).

C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB ).

D. Tứ giác .IBCD

Lời giải

Chọn B

JI

C

A D

B

S

Ta có ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ),

IBC SAD I

BC IBC AD SAD IBC SAD Ix BC AD

BC AD

ìï Ç =ïïï Ì Ì ¾¾ Ç =íïïïïî

Trong mặt phẳng ( ) :SAD ,Ix AD gọi Ix SD JÇ = ¾¾ IJ BC

Vậy thiết diện của hình chóp .S ABCD cắt bởi mặt phẳng ( )IBC là hình thang .IBCJ

Câu 9: Cho tứ diện ,ABCD M và N lần lượt là trung điểm AB và .AC Mặt phẳng ( )a qua MN cắt tứ

diện ABCD theo thiết diện là đa giác ( ).T Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ( )T là hình chữ nhật.

B. ( )T là tam giác.

C. ( )T là hình thoi.

D. ( )T là tam giác; hình thang hoặc hình bình hành.

Lời giải


Trang 644

Chọn D

N

M

N

M

B

C

D

AA

D

C

B

I

J

K

Trường hợp ( ) AD Ka Ç =

( )T¾¾ là tam giác .MNK Do đó A và C sai.

Trường hợp ( ) ( ) ,BCD IJa Ç = với , ;I BD J CDÎ Î ,I J không trùng .D

( )T¾¾ là tứ giác. Do đó B đúng.

Câu 10: Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác

SAC cân tại , 8.S SB = Thiết diện của mặt phẳng ( )ACI và hình chóp .S ABCD có diện tích bằng:

A. 6 2. B. 8 2. C. 10 2. D. 9 2.

Lời giải

Chọn B

N

O

A

I

B

S

D

C

Gọi ; .O SD CI N AC BD= Ç = Ç

,O N lần lượt là trung điểm của 1, 4.

2DS DB ON SB = =

Thiết diện của ( )mp ACI và hình chóp .S ABCD là tam giác .OCAD

Tam giác SACD cân tại S SC SA SDC SDA = D =D

CO AO = (cùng là đường trung tuyến của 2 định tương ứng) OCAD cân tại O

1 1. .4.4 2 8 2.

2 2OCAS ON ACD = = =


Trang 645

Câu 11: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ .CD Gọi ,M N lần

lượt là trung điểm của SA và .SB Gọi P là giao điểm của SC và ( ).AND Gọi I là giao điểm

của AN và .DP Hỏi tứ giác SABI là hình gì?

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật.

C. Hình vuông. D. Hình thoi.

Lời giải

Chọn A

I

E

P

N M

D C

BA

S

Gọi , E AD BC P NE SC= Ç = Ç . Suy ra ( )P SC AND= Ç .

Ta có

· S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SCD ;

· I DP AN I= Ç là điểm chugn thứ hai của hai mặt phẳng ( )SAB và ( ).SCD

Suy ra ( ) ( )SI SAB SCD= Ç . Mà .AB CD SI AB CD¾¾

Vì MN là đường trung bình của tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung bình

của tam giác SAI nên suy ra SI AB= .

Vậy SABI là hình bình hành.

Câu 12: Cho tứ diện .ABCD Các điểm ,P Q lần lượt là trung điểm của AB và ;CD điểm R nằm trên

cạnh BC sao cho 2 .BR RC= Gọi S là giao điểm của mặt phẳng ( )PQR và cạnh .AD Tính tỉ số

.SA

SD

A. 2. B. 1. C. 1.

2 D. 1

.3

Lời giải

Chọn A


Trang 646

S

Q

P

A

D

C

B

R

I

Gọi I là giao điểm của BD và .RQ Nối P với ,I cắt AD tại .S

Xét tam giác BCD bị cắt bởi ,IR ta có 1. . 1 .2.1 1 .

2

DI BR CQ DI DI

IB RC QD IB IB= = =

Xét tam giác ABD bị cắt bởi ,PI ta có 1. . 1 . .1 1 2.

2

AS DI BP SA SA

SD IB PA SD SD= = =

Câu 13: Cho tứ diện ABCD và ba điểm , ,P Q R lần lượt lấy trên ba cạnh , , .AB CD BC Cho PR // AC và

2 .CQ QD= Gọi giao điểm của AD và ( )PQR là .S Chọn khẳng định đúng?

A. 3 .AD DS= B. 2 .AD DS= C. 3 .AS DS= D. .AS DS=

Lời giải

Chọn A

S

I

Q

P

B

C

D

A

R

Gọi I là giao điểm của BD và .RQ Nối P với ,I cắt AD tại .S

Ta có . . 1DI BR CQ

IB RC QD= mà 2

CQ

QD= suy ra 1 1

. . .2 2

DI BR DI RC

IB RC IB BR= =

Vì PR song song với AC suy ra 1. .

2

RC AP DI AP

BR PB IB PB= =

Lại có 1. . 1 . . . 1 2 3 .

2

SA DI BP SA AP BP SAAD DS

SD IB PA SD PB PA SD= = = ¾¾ =

Câu 14: Gọi G là trọng tâm tứ diện .ABCD Gọi A ¢ là trọng tâm của tam giác .BCD Tính tỉ số .GA

GA ¢


Trang 647

A. 2. B. 3. C. 1.

3 D. 1

.2

Lời giải

Chọn B

G

A'

E

M

B D

C

A

Gọi E là trọng tâm của tam giác ,ACD M là trung điểm của .CD

Nối BE cắt AA ¢ tại G suy ra G là trọng tâm tứ diện.

Xét tam giác ,MAB có 1

3

ME MA

MA MB

¢= = suy ra A E¢ // 1

.3

A EAB

AB

¢ =

Khi đó, theo định lí Talet suy ra 13.

3

A E A G GA

AB AG GA

¢ ¢= = =

¢

Câu 15: Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của

,AB CD và G là trung điểm của đoạn .MN Gọi 1A là giao điểm của AG và ( ).BCD Khẳng định


A. 1A là tâm đường tròn tam giác .BCD

B. 1A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .BCD

C. 1A là trực tâm tam giác .BCD

D. 1A là trọng tâm tam giác .BCD

Lời giải

Chọn D


Trang 648

A1P

G

N

M

A

C

DB

Mặt phẳng ( )ABN cắt mặt phẳng ( )BCD theo giao tuyến .BN

Mà ( )AG ABNÌ suy ra AG cắt BN tại điểm 1 .A

Qua M dựng MP // 1AA với .M BNÎ

Có M là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm ( )1 1 1 .BA BP PA =

Tam giác MNP có MP // 1GA và G là trung điểm của .MN

1A là trung điểm của ( )1 1 2 .NP PA NA =

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra 11 1

2

3

BABP PA A N

BN= = = mà N là trung điểm của .CD

Do đó, 1A là trọng tâm của tam giác .BCD


Trang 649

BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

A. LÝ THUYẾT

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( ).P Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta

có ba trường hợp sau:

a. Đường thẳng a và mặt phẳng ( )P không có điểm chung, tức là:

( ) ( ).a P a PÇ =Æ

b. Đường thẳng a và mặt phẳng ( )P chỉ có một điểm chung, tức là:

( )a P A aÇ = cắt ( )P tại .A

c. Đường thẳng a và mặt phẳng ( )P có hai điểm chung, tức là:

( ) { } ( ), .a P A B a PÇ = Ì

a

(P)

( ) ( ).a P a PÇ =Æ

A

a

(P)

( ) { }a P A aÇ = cắt ( ).P

BA

(P)

a

( ) { } ( ), .a P A B a PÇ = Ì

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng ( )P và song song với một đường thẳng

nào đó trong ( )P thì a song song với ( ).P

Tức là, ( )a PË thì nếu:

( ) ( ).a d P a PÌ

a

d

(P)

3. Tính chất

Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )P thì mọi mặt phẳng ( )Q chứa a mà cắt

( )P thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với .a

Tức là, nếu ( )( ) ( ) ( )

.a P

a da Q Q P d

ìïïï íï é ùÌ Ç =ï ë ûïî


Trang 650

d

a(Q)

(P)

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.

Tức là: ( ) ( )( )( )

.

P Q d

P a d a

Q a

ìï Ç =ïïï íïïïïî

(Q)

(P)

da

Hệ quả 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song

song với .b



Câu 1: Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( )P trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối

của a và ( )P ?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Lời giải

Chọn B

(P)

aA

a

(P)

a

(P)

Có 3 vị trí tương đối của a và ( )P , đó là: a nằm trong ( )P , a song song với ( )P và a

cắt ( )P .

Câu 2: Cho hai đường thẳng phân biệt ,a b và mặt phẳng ( )a . Giả sử a b , ( )b a . Khi đó:


Trang 651

A. ( ).a a B. ( ).a aÌ

C. a cắt ( ).a D. ( )a a hoặc ( ).a aÌ

Lời giải

Chọn D

Câu 3: Cho hai đường thẳng phân biệt ,a b và mặt phẳng ( )a . Giả sử ( )a a , ( )b aÌ . Khi đó:

A. .a b B. ,a b chéo nhau.

C. a b hoặc ,a b chéo nhau. D. ,a b cắt nhau.

Lời giải

Chọn C

c

a

b

b

a

Vì ( )a a nên tồn tại đường thẳng ( )c aÌ thỏa mãn .a c Suy ra ,b c đồng phẳng và xảy

ra các trường hợp sau:

Nếu b song song hoặc trùng với c thì a b .

Nếu b cắt c thì b cắt ( ) ( ),a cb º nên ,a b không đồng phẳng. Do đó ,a b chéo nhau.

Câu 4: Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ( )a . Giả sử ( )b aË . Mệnh đề nào sau đây

đúng?

A. Nếu ( )b a thì .b a

B. Nếu b cắt ( )a thì b cắt .a

C. Nếu b a thì ( ).b a

D. Nếu b cắt ( )a và ( )b chứa b thì giao tuyến của ( )a và ( )b là đường thẳng cắt cả a và

.b

Lời giải

Chọn C

A sai. Nếu ( )b a thì b a hoặc ,a b chéo nhau.

B sai. Nếu b cắt ( )a thì b cắt a hoặc ,a b chéo nhau.

D sai. Nếu b cắt ( )a và ( )b chứa b thì giao tuyến của ( )a và ( )b là đường thẳng cắt a

hoặc song song với a .


Trang 652

Câu 5: Cho hai đường thẳng phân biệt ,a b và mặt phẳng ( )a . Giả sử ( )a a và ( )b a . Mệnh đề


A. a và b không có điểm chung.

B. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.

C. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.

D. a và b chéo nhau.

Lời giải

Chọn C

Câu 6: Cho mặt phẳng ( )P và hai đường thẳng song song a và b . Khẳng định nào sau đây

đúng?

A. Nếu ( )P song song với a thì ( )P cũng song song với .b

B. Nếu ( )P cắt a thì ( )P cũng cắt .b

C. Nếu ( )P chứa a thì ( )P cũng chứa .b

D. Các khẳng định A, B, C đều sai.

Lời giải

Chọn B

Gọi ( ) ( ),Q a bº .

A sai. Khi ( ) ( ) ( )b P Q b P= Ç Ì .

C sai. Khi ( ) ( ) ( )P Q b P¹ .

Xét khẳng định B, giả sử ( )P không cắt b khi đó ( )b PÌ hoặc ( )b P . Khi đó, vì b a

nên ( )a PÌ hoặc a cắt ( )P (mâu thuẫn với giả thiết ( )P cắt a ).

Vậy khẳng định B đúng.

Câu 7: Cho ( )d a , mặt phẳng ( )b qua d cắt ( )a theo giao tuyến d ¢ . Khi đó:

A. .d d ¢ B. d cắt d ¢ . C. d và d ¢ chéo nhau. D. .d d ¢º

Lời giải

Chọn A

Ta có: ( ) ( )d a b¢ = Ç . Do d và d ¢ cùng thuộc ( )b nên d cắt d ¢ hoặc d d ¢ .

Nếu d cắt d ¢ . Khi đó, d cắt ( )a (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy d d ¢ .

Câu 8: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.


Trang 653

Lời giải

Chọn D

c

a

b

Gọi a và b là 2 đường thẳng chéo nhau, c là đường thẳng song song với a và cắt b .

Gọi ( ) ( ),b ca º . Do ( )a c a a .

Giả sử ( ) ( )b a . Mà ( ) ( )b ba bÎ .

Mặt khác, ( ) ( )a aa b .

Có vô số mặt phẳng ( ) ( )b a . Vậy có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo

nhau.

Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Có duy nhất một mặt phẳng song song với a và .b

B. Có duy nhất một mặt phẳng qua a và song song với .b

C. Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm M , song song với a và b (với M là điểm cho

trước).

D. Có vô số đường thẳng song song với a và cắt .b

Lời giải

Chọn A

Có có vô số mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau.

Do đó A sai.

Câu 10: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau , ,a b c . Gọi ( )P là mặt phẳng qua a , ( )Q là mặt

phẳng qua b sao cho giao tuyến của ( )P và ( )Q song song với c . Có nhiều nhất bao

nhiêu mặt phẳng ( )P và ( )Q thỏa mãn yêu cầu trên?

A. Một mặt phẳng ( )P , một mặt phẳng ( ).Q B. Một mặt phẳng ( )P , vô số mặt phẳng

( ).Q

C. Một mặt phẳng ( )Q , vô số mặt phẳng ( ).P D. Vô số mặt phẳng ( )P và ( ).Q

Lời giải

Chọn A


Trang 654

c

(Q)(P)

b

a

Vì c song song với giao tuyến của ( )P và ( )Q nên ( )c P và ( )c Q .

Khi đó, ( )P là mặt phẳng chứa a và song song với ,c mà a và c chéo nhau nên chỉ có

một mặt phẳng như vậy.

Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng ( )Q chứa b và song song với c .

Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng ( )P và một mặt phẳng ( )Q thỏa yêu cầu bài toán.

Dạng 2. Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

1. Phương pháp

(Dùng định lí 1)

a b

b P a P

a P

∥

∥

Nếu không có sẵn đường thẳng b trong mặt phẳng (P) thì ta tìm đường thẳng b bằng cách chọn một mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P), giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng b cần tìm.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD và ABEF.

a. Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABF. Chứng minh GGʹ DCEF∥ .

Giải


Trang 655

a. Ta có OO’ là đường trung bình của tam giác ACE và

tam giác BDF nên: OOʹ CE∥ và OOʹ DF∥ .

Mà CE BCE , DF ADF nên OOʹ BCE∥ và

OOʹ ADF∥ .

b. Theo tính chất của trọng tâm tam giác, ta có:

AG AGʹ 2

AO AOʹ 3

Vậy GGʹ OOʹ∥ Cd OOʹ CE∥ nên GGʹ CE∥ .

G

G'

M

O

O'

E

C

A B

D

F

Mà CE CDEF nên GGʹ DCEF∥ .

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD. M là điểm trên cạnh BC sao cho MB 2MC .

Chứng minh MG ACD∥ .

Giải

Gọi E là trung điểm của AD. Ta có: BG 2

BE 3 (do G là trọng tâm

của tam giác ABD).

Mà BM 2

BC 3 (do MB 2MC ) nên

BG BM

BE BC.

Suy ra MG CE∥ .

Mà CE ACD do đó MG ACD∥ .

M

GE

A

B D

C

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng

minh rằng MN ABD∥ và MN ACD∥ .

Giải

Gọi H là trung điểm của BC, ta có: M AH, N DH . Do đó:

HM HN 1

HA HD 3 (tính chất trọng tâm tam giác) MN AD∥ .

Như vậy:

MN ADMN ABD

AD ABD

MN ADMN ACD

AD ACD

∥∥

∥∥

M

NH

A

B D

C


Trang 656

Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC; là mặt phẳng qua M và

song song với AB và CD, cắt các cạnh BD, AD, AC lần lượt tại N, P, Q. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.

Giải

Ta có:

AB

ABC AB MQ AB

ABC MQ

∥

∥ (1)

Tương tự, ta có: NP AB∥ (2)

CD

ACD CD PQ CD

ACD PQ

∥

∥ (3)

Tương tự, ta có: MN CD∥ (4)

Từ (1) và (2) suy ra: MQ NP∥ (5)

Từ (3) và (4) suy ra: PQ MN∥ (6)

α

P

NM

Q

A

B D

C

Từ (5) và (6) suy ra MNPQ là hình bình hành.

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình bình hành; F, G lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a. Chứng minh rằng FG song song với các mặt phẳng (SAD) và (SBC). b. Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh rằng SB, SC song song với mặt phẳng (FGE).

Giải

a. Ta có:

FG ADFG SAD

AD SAD

∥∥

Chứng minh tương tự, ta cũng có: FG SBC∥

b. Gọi EFG SD H . Ta có:

ABCD EFG FG

ABCD SAD ADEH AD FG

SAD EFG EH

FG AD

∥ ∥

∥

H

F

G

A

D C

B

S

E

Suy ra H là trung điểm của SD.

Như vậy:


Trang 657

GH SC (tính chaát ñöôøng trung bình)SC EFG

HG EFG

∥∥ .

Tương tự, ta có: SB EFG∥ .

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. là mặt phẳng đi qua trung

điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB, cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại Q, P và N. Hãy xác định hình tính của tứ giác MNPQ?

Giải

Ta có:

ABSAB MQ AB

M SAB

∥∥ (1)

Mặt khác:

1

DC AB DC QM * DC

QM

∥ ∥ ∥

α

N

MQ

A

D C

B

S

P

Như vậy:

DCPN DC

PN SCD

∥∥ (2)

Từ (*) và (2) suy ra MNPQ là hình bình thang.

Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một

đường thẳng

1. Phương pháp

Ngoài hai cách đã đề cập ở Bài 1 và Bài 2 ta có hai cách sau để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cách 1. Dùng định lí 2.

a P

a Q d a

P Q d

∥

∥

Cách 2. Dùng hệ quả 2.

P a

Q a d a

P Q d

∥

∥ ∥

Tìm thiết diện là tìm các đoạn giao tuyến theo phương pháp tìm giao tuyến được nêu ở trên, cho đến khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.


Trang 658

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SD.

a. Chứng minh MN SBC , SB OMN , SC OMN∥ ∥ ∥ .

b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (OMN). Thiết diện là hình gì?

Giải

a. Ta có MN AD∥ (MN là đường trung bình của

tam giác SAD) và AD BC∥ (tứ giác ABCD là hình

bình hành), suy ra MN BC∥ .

Mà BC SBC nên MN SBC∥ .

Ta có: ON SB∥ (ON là đường trung bình của tam

giác SBD) nên ON OMN .

Do đó: SB OMN∥ .

Ta có OM SC∥ (OM là đường trung bình của

SAC) và OM OMN .

Vậy SC OMN∥ .

M N

QP

O

B

A D

C

S

b. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Từ đó có: PQ AD∥ , suy ra PQ MN∥ .

Vậy MN và PQ đồng phẳng, nghĩa là OMN MNPQ .

Ta có thiết diện do mp(OMN) cắt hình chóp là hình thang MNPQ MN PQ∥ .

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, M là một điểm trên đoạn IJ. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, song song với AB và CD.

a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ICD). b. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì?

Giải


Trang 659

a. Ta có:

P CD

CD ICD P ICD Mx CD

M P ICD

∥

∥ .

Trong mp(ICD) ta có Mx cắt IC tại E và cắt ID tại F. Suy

ra EF P ICD .

b. Ta có:

P AB

AB ABC P ABC Ey AB

E P ABC

∥

∥ .

Q

R

S

P

E

F

I

J

A

B D

C

M

Trong mp(ABC) ta có Ey cắt BC tại P và cắt AC tại S.

Suy ra PS P ABC .

Ta có:

P AB

AB ABD P ABD Ft AB

F P ABD

∥

∥ .

Trong mp(ABD) ta có Ft cắt BD tại Q và cắt AD tại R.

Suy ra QR P ABD .

Khi đó: PQ P CBD và RS P ACD .

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác PQRS.

Theo chứng minh trên ta có thể suy ra được: PS AB, QR AB∥ ∥ nên PS QR∥ .

(1)

Mặt khác, ta có:

P CDRS CD

RS P ACDRS PQ

P CDPQ CD

PQ P BCD

∥∥

∥∥

∥

(2)

Từ (1) và (2) suy ra thiết diện PQRS là hình bình hành.


Trang 660

Dạng 4. Bài tập ứng dụng

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác .S ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và .SC


A. MN // ( ).mp ABCD B. MN // ( ).mp SAB

C. MN // ( ).mp SCD D. MN // ( ).mp SBC

Lời giải

Chọn A

Xét tam giác SAC có ,M N lần lượt là trung điểm của , .SA SC

Suy ra MN // AC mà ( )AC ABCD MNÌ ¾¾ // ( ).mp ABCD

Câu 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N là hai điểm trên

,SA SB sao cho 1.

3

SM SN

SA SB= = Vị trí tương đối giữa MN và ( )ABCD là:

A. MN nằm trên ( ).mp ABCD B. MN cắt ( ).mp ABCD

C. MN song song ( ).mp ABCD D. MN và ( )mp ABCD chéo nhau.

Lời giải

Chọn C

Theo định lí Talet, ta có SM SN

SA SB= suy ra MN song song với .AB

Mà AB nằm trong mặt phẳng ( )ABCD suy ra MN // ( ).ABCD

Câu 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ,ABD Q thuộc cạnh AB sao cho

2 ,AQ QB P= là trung điểm của .AB Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MN //( ).BCD B. GQ //( ).BCD

C. MN cắt ( ).BCD D. Q thuộc mặt phẳng ( ).CDP

Lời giải

Chọn B

QG

P

M

A

C

DB


Trang 661

Gọi M là trung điểm của .BD

Vì G là trọng tâm tam giác ABD2

.3

AG

AM =

Điểm Q ABÎ sao cho 22 .

3

AQAQ QB

AB= = Suy ra AG AQ

GQAM AB

= ¾¾ // .BD

Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng ( )BCD suy ra GQ //( ).BCD

Câu 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi

1,O O lần lượt là tâm của , .ABCD ABEF M là trung điểm của .CD Khẳng định nào sau

đây sai?

A. 1OO //( ).BEC B. 1OO //( ).AFD C. 1OO //( ).EFM D. 1MO cắt

( ).BEC

Lời giải

Chọn D

Xét tam giác ACE có 1,O O lần lượt là trung điểm của , .AC AE

Suy ra 1OO là đường trung bình trong tam giác ACE 1OO // .EC

Tương tự, 1OO là đường trung bình của tam giác BFD nên 1OO // .FD

Vậy 1OO //( )BEC , 1OO //( )AFD và 1OO //( )EFC . Chú ý rằng: ( ) ( ).EFC EFM=

Câu 5: Cho tứ diện .ABCD Gọi , , , , ,M N P Q R S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

, , , , , .AC BD AB CD AD BC Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?

A. , , , .P Q R S B. , , , .M P R S C. , , , .M R S N D. , , , .M N P Q

Lời giải

O1

O

EF

CD

BA


Trang 662

Q

P

NS

RM

B C

D

A

Chọn C

Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có

PS // AC //QR suy ra , , ,P Q R S đồng phẳng

Tương tự, ta có được PM // BC // NQ suy ra , , ,P M N Q đồng phẳng.

Và NR //CD // SN suy ra , , ,M R S N đồng phẳng.

Câu 6: Cho tứ diện .ABCD Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ( ),ABC a là mặt phẳng đi

qua H song song với AB và .CD Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của ( )a của tứ

diện?

A. Thiết diện là hình vuông. B. Thiết diện là hình thang cân.

C. Thiết diện là hình bình hành. D. Thiết diện là hình chữ nhật.

Lời giải

P

Q

M

N

H

A

D

CB

Chọn C

Qua H kẻ đường thẳng ( )d song song AB và cắt ,BC AC lần lượt tại , .M N

Từ N kẻ NP song song vớ ( ).CD P CDÎ Từ P kẻ PQ song song với ( ).AB Q BDÎ

Ta có MN // PQ // AB suy ra , , ,M N P Q đồng phẳng và AB //( ).MNPQ

Suy ra MNPQ là thiết diện của ( )a và tứ diện.

Vậy thiết diện là hình bình hành.


Trang 663

Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho 2

.3

SM

SA= Một mặt phẳng ( )a đi qua M song song với AB và ,CD cắt hình chóp theo một

tứ giác có diện tích là:

A. 400.

9 B. 20

.3

C. 4.

9 D. 16

.9

Lời giải

Q

PN

C

D

B

A

S

M

Chọn A

Ta có ( ) ABa và CD mà , , ,A B C D đồng phẳng suy ra ( ) ( ).ABCDa

Giả sử ( )a cắt các mặt bên ( ) ( ) ( ) ( ), , ,SAB SBC SCD SDA lần lượt tại các điểm , ,N P Q với

, ,N SB P SC Q SDÎ Î Î suy ra ( ) ( ).MNPQa º

Khi đó MN // AB MN là đường trung bình tam giác SAB 2.

3

SM MN

SA AB = =

Tương tự, ta có được 2

3

NP PQ QM

BC CD DA= = = và MNPQ là hình vuông.

Suy ra 2

2 4 4 400.10.10 .

3 9 9 9MNPQ ABCD ABCDS S Sæ ö÷ç= = = =÷ç ÷çè ø

Câu 8: Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn .AD ,M N lần lượt là hai

trung điểm của AB và .CD ( )P là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên ( )SBC theo một

giao tuyến. Thiết diện của ( )P và hình chóp là

A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình vuông

Lời giải


Trang 664

NM

S

CB

DA

P Q

Chọn B

Xét hình thang ABCD , có ,M N lần lượt là trung điểm của , .AB CD

Suy ra MN là đường trung bình của hình thang ABCD MN // .BC

Lấy điểm P SBÎ , qua P kẻ đường thẳng song song với BC và cắt BC tại .Q

Suy ra ( ) ( )P SBC PQÇ = nên thiết diện ( )P và hình chóp là tứ giác MNQP có

MN // PQ // BC . Vậy thiết diện là hình thang .MNQP

Câu 9: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm .O Gọi M là điểm thuộc

cạnh SA (không trùng với S hoặc A ). ( )P là mặt phẳng qua OM và song song với .AD

Thiết diện của ( )P và hình chóp là

A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Hình tam giác.

Lời giải

PQ O

S

C

D

B

A

M N

Chọn B

Qua M kẻ đường thẳng MN // AD và cắt SD tại N MN // .AD

Qua O kẻ đường thẳng PQ // AD và cắt ,AB CD lần lượt tại ,Q P PQ // .AD

Suy ra MN // PQ // AD , , ,M N P Q¾¾ đồng phẳng ( )P cắt hình chóp .S ABCD theo

thiết diện là hình thang .MNPQ


Trang 665

Câu 10: Cho tứ diện .ABCD Gọi ,I J lần lượt thuộc cạnh ,AD BC sao cho 2IA ID= và 2 .JB JC=

Gọi ( )P là mặt phẳng qua IJ và song song với .AB Thiết diện của ( )P và tứ diện ABCD

là

A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình tam giác. D. Tam giác đều.

Lời giải

Chọn B

H

J

K

A

C

DB

I

Giả sử ( )P cắt các mặt của tứ diện ( )ABC và ( )ABD theo hai giao tuyến JH và .IK

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ),P ABC JH P ABD IKÇ = Ç =

( ) ( ) ( ),ABC ABD AB PÇ = // AB JH¾¾ // IK // .AB

Theo định lí Thalet, ta có 2JB HA

JC HC= = suy ra HA IA

IHHC ID

= // .CD

Mà ( )IH PÎ suy ra IH song song với mặt phẳng ( ).P

Vậy ( )P cắt các mặt phẳng ( )ABC , ( )ABD theo các giao tuyến ,IH JK với IH // .JK

Do đó, thiết diện của ( )P và tứ diện ABCD là hình bình hành.


Trang 666

BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

A. LÝ THUYẾT 1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt Cho 2 mặt phẳng ( )P và ( ).Q Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường

hợp sau: a. Hai mặt phẳng ( )P và ( )Q không có đường thẳng chung, tức là:

( ) ( ) ( ) ( ).P Q P QÇ =Æ

b. Hai mặt phẳng ( )P và ( )Q chỉ có một đường thẳng chung, tức là:

( ) ( ) ( )P Q a PÇ = cắt ( ).Q

c. Hai mặt phẳng ( )P và ( )Q có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là:

( ) ( ) { } ( ) ( ), .P Q a b P QÇ = º

(P)

(Q)

( ) ( ) ( ) ( ).P Q P QÇ =Æ

a

(Q)

(P)

( ) ( ) ( )P Q a PÇ = cắt ( ).Q

(Q)

(P)

( ) ( ) { } ( ) ( ), .P Q a b P QÇ = Ç

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song Định lí 1: Nếu mặt phẳng ( )P chứa hai đường thẳng ,a b cắt nhau và cùng song song với mặt

phẳng ( )Q thì ( )P song song ( ).Q

Tức là: ( ){ }

( ) ( )( ) ( )

,

.

,

a b P

a b I P Q

a P b Q

ìï Îïïï Ç = íïïïïî

(P)

ba(Q)

3. Tính chất Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Tức là: ( ) ( )( )

( ) ( )! : .

O QO P Q

P Q

ìï ÎïÏ $ íïïî

Cách dựng: - Trong ( )P dựng ,a b cắt nhau.

- Qua O dựng 1 1, .a a b b

- Mặt phẳng ( )1 1,a b là mặt phẳng qua O và song song với ( ).P


Trang 667

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )Q thì qua a có một và chỉ một mặt

phẳng ( )P song song với ( ).Q

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng ( )P và ( )Q song song thì mặt phẳng ( )R đã cắt ( )P thì phải cắt

( )Q và các giao tuyến của chúng song song.

Tức là: ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

.

P Q

a P R a b

b Q R

ìïïïï = Ç íïïï = Çïî

b

a

(R)

(P)

(Q)

Định lí Ta – let trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

Tức là: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1

2 2 2

; ;

; ;

P Q R

a P A a Q B a R C

b P A b Q B b P C

ìïïïï Ç = Ç = Ç =íïïï Ç = Ç = Ç =ïî

1 1 2 2

1 1 2 2

.A B A B

B C B C =

C2C1

B2B1

A2A1

ba

(R)

(P)

(Q)

4. Hình lăng trụ và hình hộp Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau. Trong đó:

� Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ. � Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ. � Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác … Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau: a. Các cạnh bên song song và bằng nhau. b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành. c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.


Trang 668

(Q)A'5

A'4

A'3

A'2

A'1

(P)

A5

A4A3

A2

A1

Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp. a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật. b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.

D1 C1

B1A1

D C

BA

D1 C1

B1A1

D C

BA

Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 5. Hình chóp cụt Định nghĩa: Cho hình chóp 1 2. ... .nS A A A Một mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng chứa đa giác

đáy cắt các cạnh 1 2, , ..., nSA SA SA theo thứ tự tại 1 2, , ..., .nA A A¢ ¢ ¢ Hình tạo bởi thiết diện 1 2 ... nA A A¢ ¢ ¢ và đáy

1 2 ... nA A A của hình chóp cùng với các mặt bên 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1, , ..., n nA A A A A A A A A A A A¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ gọi là một hình chóp

cụt. Trong đó: � Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

A'5 A'4

A'3A'2

A'1

A5

A4

A3A2

A1

(P)

S

� Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt. � Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như 1 1 2 2, , ..., n nA A A A A A¢ ¢ ¢ gọi là cạnh bên của hình chóp cụt.

Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,… Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau:


Trang 669

1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng. 2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang. 3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.


Dạng 1: Bài toán lý thuyết

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song. B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau. C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. D. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.


P

a

Q

Trong không gian, hai mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau, song song với nhau. Vì vậy, 2 mặt phẳng không cắt nhau thì có thể song song hoặc trùng nhau A là mệnh đề sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song song với nhau (hình vẽ) B là mệnh đề sai. Ta có: ( ) ( ),a P a Q nhưng ( )P và ( )Q vẫn có thể song song với nhau.

Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.

Câu 2: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận ( ) ( )?mp mpa b

A. ( ) ( )a g và ( ) ( ) ( )(b g g là mặt phẳng nào đó ).

B. ( ) aa và ( ) ba với ,a b là hai đường thẳng phân biệt thuộc ( ).b

C. ( ) aa và ( ) ba với ,a b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với ( ).b

D. ( ) aa và ( ) ba với ,a b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc( ).b



Trang 670

a b

ba

Trong trường hợp: ( ) ( )a g và ( ) ( ) ( )(b g g là mặt phẳng nào đó) thì ( )a và ( )b có thể

trùng nhau Loại A.

( ) aa và ( ) ba với ,a b là hai đường thẳng phân biệt thuộc ( )b thì ( )a và ( )b vẫn có

thể cắt nhau (hình 1) Loại B.

( ) aa và ( ) ba với ,a b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với ( )b thì ( )a và

( )b vẫn có thể cắt nhau (hình 2) Loại C.

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu mặt phẳng ( )a ( )b thì mọi đường thẳng nằm trong ( )a đều song song với

( ).b

B. Nếu hai mặt phẳng ( )a và ( )b song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm

trong ( )a cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong ( ).b

C. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng

( )a và ( )b phân biệt thì ( ) ( ).a b

D. Nếu đường thẳng d song song với ( )mp a thì nó song song với mọi đường thẳng nằm

trong ( ).mp a


Hình 3Hình 2Hình 1

b

a

b

a

a

d

Nếu hai mặt phẳng ( )a và ( )b song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt

thuộc ( )a và ( )b có thể chéo nhau (Hình 1) Loại B.

Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng ( )a

và ( )b phân biệt thì hai mặt phẳng ( )a và ( )b có thể cắt nhau (Hình 2) Loại C.

Nếu đường thẳng d song song với ( )mp a thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng

nào đó nằm trong ( ).a (Hình 3).

Câu 4: Cho hai mặt phẳng song song ( )a và ( )b , đường thẳng ( )a a . Có mấy vị trí tương đối

của a và ( ).b

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.


Trang 671

Lời giải Chọn B Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng.

( )a a mà ( ) ( ) aa b và ( )a không thể cắt nhau.

Vậy còn 2 vị trí tương đối.

Câu 5: Cho hai mặt phẳng song song ( )P và ( )Q . Hai điểm ,M N lần lượt thay đổi trên ( )P và

( ).Q Gọi I là trung điểm của .MN Chọn khẳng định đúng.

A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều ( )P và ( ).Q

B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều ( )P và ( ).Q

C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt ( ).P

D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt ( ).P


Q

P

I

N

M

Ta có: I là trung điểm của MN Khoảng cách từ I đến ( )P bằng khoảng cách từ I đến ( )Q

Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều ( )P và ( ).Q

Câu 6: Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )?P

A. a b và ( ).b PÌ B. a b và ( ).b P

C. ( )a Q và ( ) ( ).Q P D. ( )a QÌ và ( ).b PÌ

Lời giải Chọn D Ta có: a b và ( )b PÌ suy ra ( )a P hoặc ( )a PÌ LoạiA.

a b và ( )b P suy ra ( )a P hoặc ( )a PÌ Loại B.

( )a Q và ( ) ( )Q P suy ra ( )a P hoặc ( )a PÌ Loại C.

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu ( ) ( )a b và ( ) ( ),a ba bÌ Ì thì .a b

B. Nếu ( ) ( )a b và ( ) ( ),a ba bÌ Ì thì a và b chéo nhau.

C. Nếu a b và ( ) ( ),a ba bÌ Ì thì ( ) ( ).a b

D. Nếu ( ) ( ) ( ) ( ),a bg a g bÇ = Ç = và ( ) ( )a b thì .a b



Trang 672

Nếu ( ) ( )a b và ( ) ( ),a ba bÌ Ì thì a b hoặc a chéo b A, B sai.

Nếu a b và ( ) ( ),a ba bÌ Ì thì ( ) ( )a b hoặc ( )a và ( )b cắt nhau theo giao tuyến song

song với a và .b

Câu 8: Cho đường thẳng ( )a mp PÌ và đường thẳng ( ).b mp QÌ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ( ) ( ) .P Q a b B. ( ) ( ).a b P Q

C. ( ) ( ) ( )P Q a Q và ( ).b P D. a và b chéo nhau.

Lời giải Chọn C Với đường thẳng ( )a mp PÌ và đường thẳng ( )b mp QÌ

Khi ( ) ( )P Q a b hoặc ,a b chéo nhau A sai.

Khi ( ) ( )a b P Q hoặc ( ) ( ),P Q cắt nhau theo giao tuyến song song với a và b B

sai. a và b có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau D sai.

Câu 9: Hai đường thẳng a và b nằm trong ( ).mp a Hai đường thẳng a¢ và b¢ nằm trong ( ).mp b

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu a a¢ và b b¢ thì ( ) ( ).a b

B. Nếu ( ) ( )a b thì a a¢ và .b b¢

C. Nếu a b và a b¢ ¢ thì ( ) ( ).a b

D. Nếu a cắt b và ,a a b b¢ ¢ thì ( ) ( ).a b


Hình 1 Hình 2

a

b

b'

a'

a

a'

Nếu a a¢ và b b¢ thì ( ) ( )a b hoặc ( )a cắt ( )b (Hình 1) A sai.

Nếu ( ) ( )a b thì a a¢ hoặc ,a a¢ chéo nhau (Hình 2) B sai.

Nếu a b và a b¢ ¢ thì ( ) ( )a b hoặc ( )a cắt .CC ¢ (Hình 1) C sai.

Câu 10: Cho hai mặt phẳng ( )P và ( )Q cắt nhau theo giao tuyến .D Hai đường thẳng p và q lần

lượt nằm trong ( )P và ( ).Q Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. p và q cắt nhau. B. p và q chéo nhau.

C. p và q song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

Lời giải


Trang 673

Chọn D

P

Q

p

q

q

p

P

Q

q

p

Q

P

Ta có p và q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).

Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng song song

1. Phương pháp

Áp dụng kết quả sau:

a c, b d

a,b PP Q

c,d Q

a b A

∥ ∥

∥

Áp dụng: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).

a Qa P

Q P∥

∥

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD BC, AD 2BC∥ . Gọi E, F, I lần

lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD.

a. Chứng minh EFB SCD∥ . Từ đó chứng minh CI EFB∥ .

b. Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAD). Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến này, chứng minh

SBF KCD∥ .

Giải a. Ta có: EF SD∥ (EF là đường trung bình của tam giác SAD).

BF CD∥ BC FD, BC FD∥ .

Suy ra EFB SCD∥ .

Mà CI SCD nên CI EFB∥ .

b. Ta có:

BC AD

BC SBC , AD SAD

S SBC SAD

SBC SAD Sx, Sx AD BC

∥

∥ ∥

xK

IE

FA D

CB

S

Trong mp(SAD): FI cắt Sx tại K. Ta có: SK FD, IS ID∥ nên IK IF .


Trang 674

Vậy tứ giác SKDF là hình bình hành, suy ra SF KD∥ .

Mặt khác BF CD∥ nên SBF KCD∥ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và CD. a. Chứng minh mặt phẳng (OMN) và mặt phẳng (SBC) song song với nhau. b. Giả sử hai tam giác SAD và ABC đều là tam giác cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với mặt phẳng (SAD).

Giải a. Ta có: ON BC∥ (ON là đường trung bình của tam giác BCD). OM SC∥ (OM là đường trung bình của tam giác SAC)

Vì OM,ON OMN ; BC,SC SBC nên

OMN SBC∥ .

b. Từ E kẻ đường thẳng EP AD∥ (P thuộc AB) (1) Khi đó theo tính chất đường phân giác và tam giác cân ta có:

PB EC AC AB FB

PA ED AD AS FA

P

F

EO N

M

B

AD

C

S

Do đó: PF SA∥ (2)

Từ (1) và (2) suy ra PEF SAD∥ .

Mặt khác EF PEF nên EF SAD∥ .

Ngoài ra ta có thể dùng định lí Thales để chứng minh EF SAD∥ như sau:

Theo tính chất đường phân giác và tính chất của tam giác cân ta chứng minh được:

AB AC FB EC

AS AD FS ED.

Theo định lí Thales ta suy ra ba đường thẳng BC, EF và SD nằm trong ba mặt phẳng song song, suy ra EF song song với mặt phẳng chứa BC và song song với mặt phẳng chứa SD. Mặt khác BC AD∥ nên EF song song với mặt phẳng (SAD). Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ song song với nhau. a. Chứng minh hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau. b. Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C. c. Chứng minh G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

Giải a. Ta có:

AʹB DʹC∥ (vì tứ giác A’BCD’ là hình bình hành).

BD BʹDʹ∥ (vì tứ giác BB’D’D là hình bình hành), suy ra mp BDAʹ mp BʹDʹC∥ .


Trang 675

b. Gọi O, O’ và Q lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D và AA’C’C. Ta có: A’O là đường trung tuyến và G là trọng tâm của

tam giác BDA’ nên AʹG 2

AʹO 3.

Do đó G cũng là trọng tâm tam giác A’AC (vì A’O là đường trung tuyến của tam giác A’AC). Mà AQ là đường trung tuyến của tam giác A’AC nên G thuộc AQ, G thuộc AC’ . (1) Tương tự ta có G’ là trọng tâm của tam giác B’D’C và cũng là trọng tâm của tam giác A’C’C. Mà C’Q là đường trung tuyến của tam giác A’C’C nên G’ thuộc C’Q. Suy ra G’ thuộc AC’. (2)

G'

GQ

O

O'

A'B'

C'

A

DC

B

D'

Từ (1) và (2) suy ra đường chéo AC’ đi qua hai trọng tâm G và G’ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C. c. Ta có:

G là trọng tâm tam giác A’AC nên AG 2 AG 1

AC ʹ 2AQAQ 3 AC ʹ 3

. Suy ra 1

AG ACʹ3

.

G’ là trọng tâm tam giác A’C’C nên C ʹG ʹ 2 C ʹG ʹ 1

AC ʹ 2C ʹQC ʹQ 3 C ʹA 3

. Suy ra 1

CʹGʹ ACʹ3

.

Vậy 1

AG GGʹ CʹGʹ ACʹ3

. Tức là G và G’ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

Dạng 3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng

1. Phương pháp

Dùng tính chất thứ 2.

P Q

P a a b

Q b

∥

∥

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của AD. Gọi và là mặt phẳng qua

điểm M và lần lượt song song với mặt phẳng (SBD) và (SAC).

a. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp .

b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp .

c. Gọi H và K lần lượt là giao điểm của và với AC và BD. Chứng minh tứ giác OHMK là

hình bình hành.

Giải


Trang 676

a.

SBD

ABCD SBD BD

M ABCD

∥

ABCD MN BD N AB∥

Gọi M là trung điểm của AD nên N là trung điểm của AB. Ta có:

SBD

SAB SBD SB SAB NE SB E SA

N SAB

∥

∥

Mà N là trung điểm của AB nên E là trung điểm của SA.

Khi đó: ME SAD .

K

H

FE

N P

MA D

CB

S

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MNE.

b.

SAC

ABCD SAC AC ABCD MP AC P CD

M ABCD

∥

∥

Mà M là trung điểm của AD nên P là trung điểm của CD. Ta có:

SAC

SCD SAC SC SCD PF SC F SD

P SCD

∥

∥

Mà P là trung điểm của CD nên F là trung điểm của SD. Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MPF.

c. Trong mp(ABCD): AC cắt MN tại H, BD cắt MP tại K. Do MN chứa trong mp và MP chứa

trong mp nên H chính là giao điểm của AC với mp và K chính là giao điểm của BD với

mp .

Ta có MN BD∥ nên MH OK,MP AC∥ ∥ nên MK HO∥ . Vậy tứ giác OHMK là hình bình hành.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (P’) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh: a. Tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. b. AAʹ CCʹ BBʹ DDʹ .

Giải

a. Ta có AB CD∥ và Ax Dt∥ nên mp Ax,By mp Cz,Dt∥ .

Mà Pʹ Ax,By AʹBʹ ; Pʹ Cz,Dt CʹDʹ nên AʹBʹ CʹDʹ∥ (1)

Tương tự:


Trang 677

mp Ax,Dt mp By,Cz

P ʹ Ax,Dt A ʹD ʹ A ʹD ʹ B ʹC ʹ

P ʹ By,Cz BʹC ʹ

∥

∥

(2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. b. Gọi O và O’ lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Khi đó ta có OO’ là đường trung bình của hình thang AA’C’C và hình thang BB’D’D. Do đó: AAʹ CCʹ 2OOʹ và BBʹ DDʹ 2OOʹ . Vậy AAʹ CCʹ BBʹ DDʹ .

x ty z

O

O'

C'

D'

C

A

D

B

A'

B'

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Mặt phẳng chứa MN

cắt các cạnh AD và BC lần lượt là P và Q. a. Cho trước điểm P, hãy nói cách dựng điểm Q. b. Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng KP KQ .

Giải

a. Ta có là mp(MNP).

Trong mp(ABD): MP cắt BD tại E. Trong mp(BCD): EN cắt BC tại Q.

Vậy chính là mp(MPNQ). Q là điểm cần tìm.

b. Trên hai đường thẳng chéo nhau AB và CD lần lượt có các điểm A, M, B và C, N, D định ra các tỉ số bằng nhau:

MA ND

1MB NC

.

Theo định lí Thales ta suy ra AD, MN, BC nằm trên ba mặt phẳng song song.

K

P

Q

M

N

B

C

A

DE

Mà PQ là cát tuyến cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại P, K, Q nên: KP MA ND

1KQ MB NC

.

Vậy K là trung điểm của PQ.

Dạng 3. Tìm thiết diện của lăng trụ, hình chóp cụt

1. Phương pháp

Tìm thiết diện của lăng trụ hay hình chóp cụt cũng thực hiện tương tự như xác định thiết diện của hình chóp. 2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CC’. a. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (A’MN). Tính tỉ số mà thiết diện chia cạnh AB. b. Gọi P là điểm đối xứng của C qua A. Hãy xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (MNP). Tính tỉ số các đoạn thẳng mà thiết diện chia các cạnh AA’ và AB.

Giải a. Trong mp(BCC’B’): MN cắt BB’ tại D.

Khi đó mp(A’MN) chính là mp(A’DN). Trong mp(AA’B’B): A’D cắt AB tại E. Vậy thiết diện do mp(A’MN) cắt lăng trụ là tứ giác A’EMN.


Trang 678

Ta có: EA AA ʹ 2CN MC

2 2EB BD BD MB

(vì AAʹ CCʹ 2CN, CN BD∥ và MB MC ). Do đó EA

2EB

.

b. Trong mp(ABC): MP cắt AC tại F. Khi đó mp(MNP) chính là mp(MNF).

Trong mp(AA’C’C): NF cắt AA’ tại K. Vậy thiết diện do mp(MNP) cắt lăng trụ là tứ giác MNPK.

Ta có: KA KA 1 KA 1 FA 1 1 1

. . .AA ʹ CC ʹ 2 CN 2 FC 2 2 4

(vì AAʹ CCʹ 2CN, KA CN∥ ).

Vậy KA 1

KA ʹ 3.

Tam giác FBC có FM và BA là hai đường trung tuyến cắt nhau tại P nên P là trọng tâm tam giác

FBC. Vậy theo tính chất trọng tâm ta có PA 1

PB 2.

K

F

M

NB'

C'

E

D

M

N

B'

C'

A C

B

A'

B

A'

C

A

P

Ví dụ 2. Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, B’B và BC. Xác định thiết diện của hình chóp cụt cắt bởi mặt phẳng (MNP).

Giải

Gọi là mp(MNP).

Trong mp(AA’B’B): MN cắt AB tại F và cắt AA’ tại E. Trong mp(ABC): FP cắt AC tại Q. Trong mp(AA’C’C): QE cắt A’C’ tại R. Khi đó:

MN AA ʹBʹB

NP BBʹCʹC

PQ ABC

QR AA ʹC ʹC

RM A ʹBʹCʹ

Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQR.

R

Q

E

F

P

N

M

C'

A C

B

A'

B'

Ví dụ 3. Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’ và AC. Xác định thiết diện của hình chóp cụt cắt bởi mặt phẳng chứa MP và song song với mặt phẳng (BB’C’C).

Giải


Trang 679

Gọi là mặt phẳng chứa MP và song song với

mp(BB’C’C). Ta có:

BBʹCʹC

ABC BBʹC ʹC BC

P ABC

ABC PN BC N AB

∥

∥

Vì P là trung điểm của AC nên N là trung điểm của AB. Ta có:

BBʹC ʹC

A ʹBʹC ʹ BBʹC ʹC BʹC ʹ

M A ʹBʹC ʹ

A ʹBʹC ʹ MQ BʹC ʹ Q A ʹC ʹ

∥

∥

N

Q

M

P

C'

A C

B

A'

B'

Vì M là trung điểm của A’B’ nên Q là trung điểm của A’C’.

Khi đó:

MN AAʹBʹB

PQ AAʹCʹC

Vậy thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ MQ NP∥ .

Dạng 4: Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm .O Gọi , ,M N I theo thứ tự

là trung điểm của ,SA SD và .AB Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ( )NOM cắt ( ).OPM B. ( )MON //( ).SBC

C. ( ) ( ) .PON MNP NPÇ = D. ( )NMP //( ).SBD


PN

M

O

A B

D C

S

Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD suy ra MN // .AD ( )1

Và OP là đường trung bình của tam giác BAD suy ra OP // .AD ( )2

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra MN //OP // AD , , ,M N O P đồng phẳng.

Lại có MP // ,SB OP // BC suy ra ( )MNOP //( )SBC hay ( )MON //( ).SBC


Trang 680

Câu 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm .O Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng ( )P song song với ( )SBD và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A

hoặc C ). Thiết diện của ( )P và hình chóp là hình gì?

A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều.


O

P

M

N

S

AD

BC

I

Gọi MN là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng ( )P và mặt đáy ( ).ABCD

Vì ( )P // ( ) ( ) ( ),SBD P ABCD MNÇ = và ( ) ( )SBD ABCD MNÇ = suy ra MN // .BD

Lập luận tương tự, ta có ( )P cắt mặt ( )SAD theo đoạn giao tuyến NP với NP // .SD

( )P cắt mặt ( )SAB theo đoạn giao tuyến MP với MP // .SB

Vậy tam giác MNP đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của ( )P và hình chóp

.S ABCD là tam giác đều .MNP

Câu 3: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn 4,AB AC= = 30 .BAC = Mặt

phẳng ( )P song song với ( )ABC cắt đoạn SA tại M sao cho 2 .SM MA= Diện tích thiết

diện của ( )P và hình chóp .S ABC bằng bao nhiêu?

A. 16.

9 B. 14

.9

C. 25.

9 D. 1.


N

P

S

B

CA

M


Trang 681

Diện tích tam giác ABC là 01 1. . . sin .4.4.sin 30 4.

2 2ABCS AB AC BACD = = =

Gọi ,N P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng ( )P và các cạnh , .SB SC

Vì ( )P //( )ABC nên theoo định lí Talet, ta có 2.

3

SM SN SP

SA SB SC= = =

Khi đó ( )P cắt hình chóp .S ABC theo thiết diện là tam giác MNP đồng dạng với tam giác

ABC theo tỉ số 2.

3k = Vậy

22 2 16. .4 .

3 9MNP ABCS k SD D

æ ö÷ç= = =÷ç ÷çè ø

Câu 4: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên 2,BC = hai đáy

6, 4.AB CD= = Mặt phẳng ( )P song song với ( )ABCD và cắt cạnh SA tại M sao cho

3 .SA SM= Diện tích thiết diện của ( )P và hình chóp .S ABCD bằng bao nhiêu?

A. 5 3.

9 B. 2 3

.3

C. 2. D. 7 3.

9


O P

N

BA

CD

D C

A B

S

M

H K

Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của ,D C trên .AB

ABCD là hình thang cân ;

1.AH BK CD HK

BKAH HK BK AB

ì = =ïï =íï + + =ïî

Tam giác BCK vuông tại ,K có 2 2 2 22 1 3.CK BC BK= - = - =

Suy ra diện tích hình thang ABCD là 4 6. 3. 5 3.

2 2ABCD

AB CDS CK

+ += = =

Gọi , ,N P Q lần lượt là giao điểm của ( )P và các cạnh , , .SB SC SD

Vì ( )P // ( )ABCD nên theo định lí Talet, ta có 1.

3

MN NP PQ QM

AB BC CD AD= = = =

Khi đó ( )P cắt hình chóp theo thiết diện MNPQ có diện tích 2 5 3. .

9MNPQ ABCDS k S= =

Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm , 8O AB = , 6.SA SB= =

Gọi ( )P là mặt phẳng qua O và song song với ( ).SAB Thiết diện của ( )P và hình chóp

.S ABCD là:

A. 5 5. B. 6 5. C. 12. D. 13. Lời giải

Chọn B


Trang 682

MN

QP

S

DC

A

B

Qua O kẻ đường thẳng ( )d song song AB và cắt ,BC AD lần lượt tại , .P Q

Kẻ PN song song với ( )SB N SBÎ , kẻ QM song song với ( ).SA M SAÎ

Khi đó ( )MNPQ //( )SAB thiết diện của ( )P và hình chóp .S ABCD là tứ giác MNPQ

Vì ,P Q là trung điểm của ,BC AD suy ra ,N M lần lượt là trung điểm của , .SC SD

Do đó MN là đường trung bình tam giác SCD 4.2 2

CD ABMN = = =

Và 3; 32 2

SB SANP QM NP QM MNPQ= = = = = là hình thang cân.

Hạ ,NH MK vuông góc với .PQ Ta có ( )12.

2PH KQ PH PQ MN= = - =

Tam giác PHN vuông, có 5.NH =

Vậy diện tích hình thang MNPQ là . 6 5.2MNPQ

PQ NMS NH

+= =

Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau. B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song. C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều. D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.

Lời giải Chọn C Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác,… ), ta thấy rằng Hình lăng trụ luôn có các cạnh bên song song và bằng nhau. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác,… ) Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song.

Câu 7: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai? A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau. B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành. C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau. D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

Lời giải Chọn C Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam giác đều.


Trang 683

Câu 8: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng? A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một song song. B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang. C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng. D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.

Lời giải Chọn C Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác,… ) ta thấy rằng: Các cạnh bên của hình chóp cụt đôi một cắt nhau. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.

Câu 9: Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai? A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang. C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.

Lời giải Chọn C Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

Câu 10: Cho hình lăng trụ . .ABC A B C¢ ¢ ¢ Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của BB ¢ và .CC ¢ Gọi D

là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )AMN và ( ).A B C¢ ¢ ¢ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. .ABD B. .ACD C. .BCD D. .AA ¢D


N

M

C'

B'

A'

C

B

A

Ta có

( )( )

MN AMN

B C A B C

MN B C

ìï Ìïïïï ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Ì ¾¾íïïï ¢ ¢ïïî D là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )AMN và ( )A B C¢ ¢ ¢ sẽ

song song với MN và B C¢ ¢ . Suy ra .BCD

Câu 11: Cho hình lăng trụ . .ABC A B C¢ ¢ ¢ Gọi H là trung điểm của .A B¢ ¢ Đường thẳng B C¢ song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. ( ).AHC ¢ B. ( ).AA H¢ C. ( ).HAB D. ( ).HA C¢

Lời giải


Trang 684

Chọn A

M

A'

C

BA

B'

C'

H Gọi M là trung điểm của AB suy ra ( ).MB AH MB AHC¢ ¢ ¢¾¾ ( )1

Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB A¢ ¢ suy ra MH song song và bằng BB ¢ nên MH song song và bằng CC ¢ ¾¾ MHC C¢ là hình hình hành

( ).MC HC MC AHC¢ ¢¾¾ ¾¾ ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( ) ( ) ( ).B MC AHC B C AHC¢ ¢ ¢ ¢¾¾

Câu 12: Cho hình lăng trụ .ABC A B C¢ ¢ ¢ . Gọi H là trung điểm của .A B¢ ¢ Mặt phẳng ( )AHC ¢ song

song với đường thẳng nào sau đây? A. .CB ¢ B. .BB ¢ C. .BC D. .BA ¢


M

A'

C

BA

B'

C'

H

Gọi M là trung điểm của AB suy ra ( ).MB AH MB AHC¢ ¢ ¢¾¾ ( )1

Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB A¢ ¢ suy ra MH song song và bằng BB ¢ nên MH song song và bằng CC ¢ ¾¾ MHC C¢ là hình hình hành

( ).MC HC MC AHC¢ ¢¾¾ ¾¾ ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( ) ( ) ( ).B MC AHC B C AHC¢ ¢ ¢ ¢¾¾

Câu 13: Cho hình lăng trụ 1 1 1. .ABC A B C Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. ( )ABC //( )1 1 1 .A B C B. 1AA //( )1 .BCC

C. AB // ( )1 1 1 .A B C D. 1 1AA B B là hình chữ nhật.


Trang 685

Lời giải Chọn D Vì mặt bên 1 1AA B B là hình bình hành, còn nó là hình chữ nhật nếu 1 1 1.ABC A B C là hình

lăng trụ đứng.

Câu 14: Cho hình hộp 1 1 1 1. .ABCD A B C D Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. ABCD là hình bình hành. B. Các đường thẳng 1 1 1 1, , ,A C AC DB D B

đồng quy. C. ( )1 1ADD A //( )1 1 .BCC B D. 1AD CB là hình chữ nhật.


D C

AB

B1A1

C1D1

Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy rằng: · Hình hộp có đáy ABCD là hình bình hành. · Các đường thẳng 1 1 1 1, , ,A C AC DB D B cắt nhau tại tâm của 1 1 1 1, .AA C C BDD B

· Hai mặt bên ( ) ( )1 1 1 1,ADD A BCC B đối diện và song song với nhau.

· 1AD và CB là hai đường thẳng chéo nhau suy ra 1AD CB không phải là hình chữ nhật.

Câu 15: Cho hình hộp .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ có các cạnh bên , , , .AA BB CC DD¢ ¢ ¢ ¢ Khẳng định nào dưới

đây sai?

A. ( )AA B B¢ ¢ //( ).DD C C¢ ¢ B. ( )BA D¢ ¢ //( ).ADC ¢

C. A B CD¢ ¢ là hình bình hành. D. BB D D¢ ¢ là một tứ giác. Lời giải

Chọn B

D' C'

A' B'

BA

CD


Trang 686

Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:

· Hai mặt bên ( )AA B B¢ ¢ và ( )DD C C¢ ¢ đối diện, song song với nhau.

· Hình hộp có hai đáy ( ) ( ),ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ là hình bình hành A B CD¢ ¢ = và A B¢ ¢ //CD

suy ra A B CD¢ ¢ là hình hình hành. · BD // B D¢ ¢ suy ra , , ,B B D D¢ ¢ đồng phẳng BB D D¢ ¢ là tứ giác.

· Mặt phẳng ( )BA D¢ ¢ chứa đường thẳng CD ¢ mà CD ¢ cắt C D¢ suy ra ( )BA D¢ ¢ không song

song với ( ).ADC ¢

Câu 16: Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh.

Lời giải Chọn C Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc các mặt của hình lăng trụ tam giác.

Câu 17: Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh? A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7 cạnh.

Lời giải Chọn C Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh.

Câu 18: Cho hình hộp .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ . Gọi I là trung điểm của .AB Mặt phẳng ( )IB D¢ ¢ cắt hình

hộp theo thiết diện là hình gì? A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.


M

I

D'

C'B'

A'

D

CB

A

Ta có

( )( )

B D IB D

BD ABCD

B D BD

ì ¢ ¢ ¢ ¢ï Ìïïïï Ì ¾¾íïïï ¢ ¢ïïî Ggiao tuyến của ( )IB D¢ ¢ với ( )ABCD là đường thẳng d đi qua

I và song song với BD .


Trang 687

Trong mặt phẳng ( )ABCD , gọi M d AD IM BD B D¢ ¢= Ç ¾¾ .

Khi đó thiết diện là tứ giác IMB D¢ ¢ và tứ giác này là hình thang.

Câu 19: Cho hình hộp .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ . Gọi ( )a là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt

hình hộp theo thiết diện là một tứ giác ( )T . Khẳng định nào sau đây không sai?

A. ( )T là hình chữ nhật. B. ( )T là hình bình hành. C. ( )T là hình thoi. D. ( )T là hình

vuông. Lời giải

Chọn B

d

B C

AD

D'A'

C'B'

Giả sử mặt phẳng ( )a đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ giác ( ).T

Gọi d là đường thẳng giao tuyến của ( )a và mặt phẳng ( ).A B C D¢ ¢ ¢ ¢

Ta chứng minh được AB // d suy ra tứ giác ( )T là một hình bình hành.

Câu 20: Cho hình chóp cụt tam giác .ABC A B C¢ ¢ ¢ có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A ¢ và có 1

.2

AB

A B=

¢ ¢ Khi đó tỉ số diện tích ABC

A B C

S

SD

¢ ¢ ¢D

bằng

A. 1.

2 B. 1

.4

C. 2. D. 4.


B

C

B'

C'A'

A

Hình chóp cụt .ABC A B C¢ ¢ ¢ có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song nên tam giác ABC

đồng dạng tam giác A B C¢ ¢ ¢ suy ra

1. . 12 . .

1 4. .2

ABC

A B C

AB ACS AB AC

S A B A CA B A C

D

¢ ¢ ¢D

= = =¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢



Trang 688

BÀI 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG

A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. PHÉP CHIẾU SONG SONG

Cho mặt phẳng và đường thẳng cắt . Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng

đi qua M và song song hoặc trùng với sẽ cắt tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là

hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng theo phương của đường thẳng hoặc nói

gọn là theo phương .

Mặt phẳng gọi là mặt phẳng chiếu. Phương gọi là phương chiếu.

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên mặt

phẳng được gọi là phép chiếu song song lên theo phương.

Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp Hʹ các hình chiếu M’ của tất cả những điểm M thuộc H được gọi là hình chiếu của Hʹ qua phép chiếu song song nói trên.

Chú ý. Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Sau đây, ta chỉ xét các phép chiếu của những đường thẳng có phương không trùng với phương chiếu.

II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG

Định lí 1

a) Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

b) Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

III. Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng

Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Hình biểu diễn của các hình thường gặp

+ Tam giác: Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác có dạng tùy ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,v.v…)

+ Hình bình hành: Một hình bình hành bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật…)

+ Hình thang: Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu.



Trang 689

+ Hình tròn: Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian 1. Phương pháp

Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta cần chú ý một số điểm sau: - Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng cùng phương thì trên hình H’ hình chiếu của hai đoạn thẳng đó phải cùng phương. - Trung điểm của một đoạn thẳng có hình chiếu là trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu. - Trong tam giác có một góc tù, ta cần chú ý chân đường cao kẻ từ đỉnh của góc nhọn không nằm trên cạnh đối diện mà nằm ở trên phần kéo dài của cạnh ấy. - Một góc bất kì có thể biểu diễn cho mọi góc (nhọn, vuông, tù). - Một tam giác bất kì có thể là hình biểu diễn của mọi tam giác (cân, đều, vuông). - Hình bình hành có thể dùng làm hình biểu diễn cho các hình có tính chất của hình bình hành (vuông, thoi, chữ nhật,…) - Một đường tròn được biểu diễn bởi một đường elip hoặc một đường tròn, hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng. 2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu d để hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) là: a. Một tam giác cân. b. Một tam giác vuông.

Giải Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A. a. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA’ cân tại A’. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’. b. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA” vuông tại A”. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA” biến tam giác ABC thành tam giác vuông A”BC.

Ví dụ 2. Vẽ hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song song với (P)).

Giải Vì phương chiếu d là SA nên SA cắt (P) tại A’. Các đỉnh B, C, D có hình chiếu trên (P) lần lượt là B’, C’,

D’ BBʹ AAʹ,CCʹ AAʹ,DDʹ AAʹ∥ ∥ ∥ . Vậy hình chiếu

của hình chóp S.ABCD lên (P) là tứ giác A’B’C’D’.

Ví dụ 3. Vẽ hình biểu diễn của tam giác ABC có góc A tù, đường cao BH. Giải

Xem hình vẽ sau:

P

A'

A

B

C

A"

d

P

AD

CB

S

A'

B' C'

D'



Trang 690

Hình thật

Hình biểu diễn

Ví dụ 4. Vẽ hình biểu diễn của đường tròn có hai đường kính vuông góc. Giải

Giả sử trên hình thật ta có đường tròn tâm (O), tâm O, có hai đường kính AB và CD vuông góc. Nếu ta vẽ dây dung MN song song với AB thì CD sẽ cắt MN tại trung điểm I của MN.

Suy ra cách vẽ hình biểu diễn như sau: - Vẽ elip (E), tâm O’ và đường kính A’B’ (qua O’) của nó. - Vẽ dây cung M ʹN ʹ A ʹB ʹ∥ . - Lấy I’ là trung điểm của M’N’. Đường thẳng O’I’ cắt elip (E) tại C’, D’. Ta có A’B’ và C’D’ là hình biểu diễn hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn.

Hình thật

Hình biểu diễn Ví dụ 5. Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.

Giải Xét hình lục giáo đều ABCDEF, ta thấy: - Tứ giác OABC là một hình thoi. - Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O. Suy ra cách vẽ như sau: + Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn cho hình thoi OABC. + Lấy các điểm D’, E’, F’ đối xứng với các điểm A’, B’, C’ qua O’. + A’B’C’D’E’F’ là hình cần vẽ.

Hình biểu diễn lục giác đều Ví dụ 6. Vẽ hình biểu diễn của một tam giác đều.

Giải Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm đối xứng với A qua O, ta thấy tứ giác OBDC là hình thoi. Từ đó suy ra cách vẽ như sau: + Vẽ hình bình hành O’B’D’C’ biểu diễn cho hình thoi OBDC. + Lấy điểm A’ là điểm đối xứng của D’ qua O’. + Tam giác A’B’C’ là tam giác đều cần tìm.

H

B C

A

C'

B'

A'H'

D

C

M N

A O B

IN'

M'

A'

C'

O' B'

D'

I'

C

F

D

A

E OB

A'

F'

E' D'

O'

B'

C'



Trang 691

Hình biểu diễn tam giác đều

Dạng 2. Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song

1. Phương pháp

Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song thường là dựa vào các tính chất của phép chiếu song song để chứng minh một vấn đề nào đó. Cần chú ý rằng trong các bài toán dạng này, việc tìm phương chiếu đóng vai trò khá quan trọng. 2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. a. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng tâm của tam giác BCD. b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N theo phép chiếu nói trên.

Giải a. Chứng minh G’ là trọng tâm của tam giác BCD: - Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng (BCD). - Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên BI và ở giữa B và I. Trong tam giác IAB, ta có:

IG IGʹIGʹ 1IA IB

IG 1 IB 3

IA 3

.

Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác BCD. b. Hình chiếu của M, N qua phép chiếu song song phương AB trên mặt phẳng (BCD). Ta thấy:

- BD là hình chiếu của AD trên mặt phẳng (BCD); M là trung điểm của AD nên M’ là trung điểm của BD. - BC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (BCD); N là trung điểm của AC nên N’ là trung điểm của BC. Ví dụ 2. Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M trên đoạn DB’, và điểm N trên đường chéo AC sao cho MN BC ʹ∥ .

Giải

D

O

A

B C

A'

C'

O'

B'

D'

d

M

N M' G

G'N' I

B

C

A

D



Trang 692

- Phân tích: Giả sử đã tìm được M DBʹ và N AC sao cho MN BC ʹ∥ . Xét phép chiếu song song theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này, hình chiếu của các điểm D, M, B’ lần lượt là D, N, B’’. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B” cũng thẳng hàng. Do đó, N là giao điểm của DB” và AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau:

- Cách dựng: + Dựng B” là hình chiếu của B’ qua phép chiếu theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD). + Dựng N là giao điểm của DB” và AC. + Trong mặt phẳng (DB’B”), ta kẻ NM B ʹBʺ∥ cắt DB’ tại M. Vậy M và N là các điểm cần tìm.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng song song. B. Hình chiếu song song của một hình bình hành là một hình bình hành. C. Phép chiếu song song biến một tam giác thành một tam giác nếu mặt phẳng chứa tam giác không cùng phương với phương chiếu. D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng.


Câu 2. Trên hình có

AH BC

HB HC và hình có

AB CD,AD BC

AC BD

∥ ∥

Hình

Hình

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. ABC là tam giác đều. B. ABC là tam giác cân tại A. C. ABCD là hình thoi. D. B và C đúng.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Nhìn hình vẽ, ta thấy: - Tam giác ABC có AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại A B đúng. - Tứ giác ABCD có AB CD, AC BD∥ ∥ nên là hình bình hành. Mặt khác hai đường chéo của nó vuông

góc nên ABCD là hình thoi C đúng. Câu 3. Trên hình , ta có phép chiếu song song theo phương d và mặt phẳng chiếu (P); AB CG∥ và

AB DG ; A’, B’, C’, D’, E’, G’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, E, G qua phép chiếu nói trên.

MN

B''

A

B'

B C

C'

D

H

A

B C

O

DA

B C



Trang 693

Hình

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. DG D ʹG ʹ

1AB A ʹBʹ

. B. C ʹD ʹ CD

D ʹE ʹ DE.

C. DʹGʹ AʹBʹ . D. Tất cả A, B, C đều đúng. Hướng dẫn giải

ĐÁP ÁN D. The định lí 2, ta thấy câu A và câu B đúng. Từ câu A đúng suy ra câu C đúng. Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau. B. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì song song. C. Hình chiếu song song của hai một hình vuông là một hình vuông. D. Hình chiếu song song của một lục giác đều là một lục giác đều.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A. Dựng mặt phẳng (P) qua a và song song với b. Dựng mặt phẳng (Q) qua b và song song với a. Giả sử (P) song song với (Q). Ta chọn phương chiếu d song song với (P) và mặt phẳng chiếu (R) sao cho (R) cắt (P) và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a’ và b’. Khi đó hình chiếu a’, b’ song song với nhau.

Câu 5. Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng chéo nhau a và b có hình chiếu là hai đường thẳng a’ và b’. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a’ và b’ luôn luôn cắt nhau. B. a’ và b’ có thể trùng nhau. C. a và b không thể song song. D. a’ và b’ có thể cắt nhau hoặc song song với nhau.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D.

Gọi l là phương chiếu, và là các mặt phẳng song song với l và lần lượt đi qua a và b. Khi đó

nếu và cắt nhau thì a’ và b’ cắt nhau, nếu và song song thì a’ và b’ song song.

Câu 6. Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng a và b có hình chiếu là hai đường thẳng song song a’ và b’. Khi đó: A. a và b phải song song với nhau. B. a và b phải cắt nhau. C. a và b có thể chéo nhau hoặc song song với nhau. D. a và b không thể song song.

d

P B'A'

G'E'D'C'

BA

CD

E G

a' b'

a b

Q

R

P



Trang 694


Nếu a ʹ b ʹ∥ thì mp a,a ʹ mp b,bʹ∥ . Bởi vậy a và b có thể song song hoặc chéo nhau.

Câu 7. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D có hình chiếu song song trên mặt phẳng (P) lần lượt là bốn điểm A’, B’, C’, D’. Những trường hợp nào sau đây không thể xảy ra? A. A’B’C’D’ là bốn đỉnh của một hình bình hành. B. D’ là trọng tâm tam giác A’B’C’. C. D’ là trung điểm cạnh A’B’. D. Hai điểm B’, C’ nằm giữa hai điểm A’ và D’.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D. Bốn điểm không đồng phẳng A’, B’, C’, D’ không thể thẳng hàng. Câu 8. Hình chiếu song song của một hình thang ABCD không thể là hình nào dưới đây? A. Hình bình hành. B. Hình tam giác cân. C. Đoạn thẳng. D. Bốn điểm thẳng hàng.

Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B.


Trang 695

BÀI 1. VECTO TRONG KHÔNG GIAN


I – ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Cho đoạn thẳng trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là , điểm cuối là ta có một vectơ,

được kí hiệu là .

Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu chỉ vectơ có điểm đầu là , điểm

cuối . Vectơ còn được kí hiệu là ,…

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

II – ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trong không gian cho ba vectơ , , đều khác vectơ – không. Nếu từ một điểm bất kì ta vẽ

, , thì có thể xả ra hai trường hợp:

Trường hợp các đường thẳng , , không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói

rằng vectơ , , không đồng phẳng.

Trường hợp các đường thẳng , , cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nói ba vectơ ,

, đồng phẳng.

Trong trường hợp này giá của các vectơ luôn luôn song song với một mặt phẳng.

a) Ba vectơ , , không đồng phẳng b) Ba vectơ , , đồng phẳng

Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm .

Từ đó ta có định nghĩa sau đây:

2. Định nghĩa

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

AB A B

AB

AB

A

B , , , a b x y

a

b

c

O

OA a=

OB b=

OC c=

· OA OB OC

a

b

c

· OA OB OC a

b

c

, , a b c

a

b

c

a

b

c

O


Trang 696

Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị) một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:

Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ , không cùng phương và vectơ . Khi đó ba vectơ , ,

đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số sao cho . Ngoài ra cặp số là duy nhất.

Định lí 2

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng , , . Khi đó với mọi vectơ ta đều tìm

được một bộ ba số sao cho . Ngoại ra bộ ba số là duy nhất.


Dạng 1. Biểu diễn vectơ

Câu 1: Cho hình lăng trụ Đặt Gọi là trọng tâm của tam

giác Vectơ bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi I là trung điểm của .B C¢ ¢

Vì G ¢ là trọng tâm của tam giác 2.

3A B C A G A I¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ =

Ta có ( )2 1.

3 3AG AA A G AA A I AA A B A C¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= + = + = + +

( ) ( ) ( )1 1 13 3 .

3 3 3AA AB AC AA AB AC a b c¢ ¢= + + = + + = + +

a

b

c

a

b

c

,m n c ma nb= +

,m n

a

b

c

x

, ,m n p x ma nb pc= + +

, ,m n p

. .ABC A B C¢ ¢ ¢ , , .a AA b AB c AC¢= = =

G ¢

.A B C¢ ¢ ¢ AG¢

( )13 .

3a b c+ +

( )13 .

3a b c+ +

( )13 .

3a b c+ +

( )1.

3a b c+ +

G' I

C

B

A

B'

C'A'


Trang 697

Câu 2: Cho hình lăng trụ Đặt Hãy biểu diễn vectơ

theo các vectơ

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn D

Vì BB C C¢ ¢ là hình bình hành suy ra B C B C B B BC AA¢ ¢ ¢ ¢ ¢= + = -

.AA BA AC AA AB AC a b c¢ ¢=- + + =- - + =- - +

Câu 3: Cho hình lăng trụ Gọi là trung điểm của Đặt

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C

. .ABC A B C¢ ¢ ¢ , , .a AA b AB c AC¢= = =

B C¢

, , .a b c

.B C a b c¢ = + -

.B C a b c¢ =- + -

.B C a b c¢ = + +

.B C a b c¢ =- - +

C

B

A' C'

B'

A

. .ABC A B C¢ ¢ ¢ M .BB¢ , , .CA a CB b AA c¢= = =

1.

2AM a c b= + - 1

.2

AM b c a= + -

1.

2AM b a c= - + 1

.2

AM a c b= - +


Trang 698

Vì M là trung điểm của 1

.2

BB BM BB¢ ¢ =

Ta có 1 1 1

.2 2 2

AM AB BM BA BB CA CB BB a b c¢ ¢= + =- + =- + + =- + +

Câu 4: Cho hình hộp tâm Gọi là tâm của hình hình hành Đặt

Khi đó

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của , .AB CD

Vì I là trung điểm của MN suy ra 2OM ON OI+ =

.

Kết hợp với ( )2 12 .

22

OA OB OMOI OA OB OC OD

OC OD ON

ìï + =ïï = + + +íï + =ïïî

M

C

B

A

B'

C'A'

.ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ .O I .ABCD

, , , .AC u CA v BD x DB y¢ ¢ ¢ ¢= = = =

( )12 .

4OI u v x y=- + + + ( )1

2 .2

OI u v x y=- + + +

( )12 .

2OI u v x y= + + +

( )12 .

4OI u v x y= + + +

O

I

N

M

B'

C'D'

B

D C

A

A'


Trang 699

( )1 1 1 1 1 1.

2 2 2 2 2 4AC CA BD DB u v x y

æ ö÷ç ¢ ¢ ¢ ¢= - - - - =- + + +÷ç ÷çè ø

.

Câu 5: Cho hình hộp có Gọi là trung điểm của

là giao điểm của và Mệnh đều nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn A

Vì I là trung điểm của 2 .B C A B A C A I¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ + =

Và K là giao điểm của ,A I B D¢ ¢ ¢ nên theo định lí Talet 2.

3A K A I¢ ¢=

Ta có ( )2 1 1 1.

3 3 3 3AK AA A K AA A I AA A B A C a b c¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= + = + = + + = + +

Khi đó ( ) .DK DA AK CB AK AB AC AK= + = + = - +

1 1 4 2.

3 3 3 3a b a b c a b c= - + + + = - +

Câu 6: Cho tứ diện có trọng tâm Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn A

.ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ , , .AB a AC b AA c¢= = =

I ,B C¢ ¢

K A I¢ .B D¢ ¢

( )14 2 3 .

3DK a b c= - + ( )1

4 2 .3

DK a b c= - +

4 2 .DK a b c= - +

4 2 3 .DK a b c= - +

K I

C

BA

C'

D

D'

B'A'

ABCD .G

( )2.

3AG AB AC AD= + + ( )1

.4

AG AB AC AD= + +

( )1.

4OG OA OB OC OD= + + +

0.GA GB GC GD+ + + =


Trang 700

Vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD suy ra 0.GA GB GC GD+ + + =

Khi đó ( )1 1.4

4 4OG OG OA AG OB BG OC CG OD DG= = + + + + + + +

( ) ( )1 1.

4 4OA OB OC OD AO OG AO OA OB OC OD= + + + ¾¾ + = + + + +

( ) ( ) ( )1 1 14 .

4 4 4AO OA AB AC AD AO OA AB AC AD AB AC AD= + + + + = + + + + = + +

Vậy ( )1

4AG AB AC AD= + +

nên mệnh đề ( )2

3AG AB AC AD= + +

sai.

Câu 7: Cho tứ diện Đặt Gọi là trọng tâm của tam giác

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi M là trung điểm của CD suy ra 2.

3BG BM=

Ta có ( ) ( )2 2 1 1. .

3 3 2 3AG AB BG AB BM AB BC BD AB BC BD= + = + = + + = + +

G

B D

C

A

.ABCD , , .AB a AC b AD c= = =

G .BCD

.AG a b c= + + ( )1

.3

AG a b c= + +

( )1.

2AG a b c= + + ( )1

.4

AG a b c= + +

G M

A

C

DB


Trang 701

( ) ( ) ( )1 1 1.

3 3 3AB AC AB AD AB AB AC AD a b c= + - + - = + + = + +

Câu 8: Cho tứ diện Đặt Gọi là trung điểm của đoạn thẳng

Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn A

Vì M là trung điểm của BC suy ra 1

.2

BM BC=

Ta có ( )1 1.

2 2DM DA AB BM AB AD BC AB AD BA AC= + + = - + = - + +

( )1 1 1 1 12 .

2 2 2 2 2AB AC AD a b c a b c= + - = + - = + -

Câu 9: Cho tứ diện Gọi và lần lượt là trung điểm của và Đặt


A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn D

.ABCD , , .AB a AC b AD c= = =

M

.BC

( )12 .

2DM a b c= + - ( )1

2 .2

DM a b c= - + +

( )12 .

2DM a b c= - + ( )1

2 .2

DM a b c= + -

M

B D

C

A

.ABCD M P AB .CD

, , .AB b AC c AD d= = =

( )1.

2MP c d b= + + ( )1

.2

MP d b c= + -

( )1.

2MP c b d= + - ( )1

.2

MP c d b= + -


Trang 702

Vì ,M P lần lượt là trung điểm của ,AB CD2

.2

AM AB

AC AD AP

ìï =ïïíï + =ïïî

Ta có ( )1 1 1 1 1.

2 2 2 2 2MP MA AP AM AP AB AC AD b c d= + =- + =- + + =- + +

Dạng 2. Đẳng thức vectơ

Câu 1: Cho hình lăng trụ tam giác Đặt . Khẳng định

nào dưới đây là đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có 0.BC AC AB d c b b c d= - = - - + =

Câu 2: Cho hình lập phương Gọi là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. B.

C. D.

P

M

A

C

DB

. .ABC A B C¢ ¢ ¢ , , ,AA a AB b AC c¢ = = =

BC d=

.a b c= +

0.a b c d+ + + =

0.b c d- + =

.a b c d+ + =

C

B

A

B'

C'A'

. .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ O

( )1.

3AO AB AD AA ¢= + +

( )1.


( )1.


( )2

.3

AO AB AD AA ¢= + +


Trang 703

Lời giải

Chọn B

Theo quy tắc hình hộp, ta có .AC AB AD AA¢ ¢= + +

Mà O là trung điểm của AC¢ suy ra ( )1 1.

2 2AO AC AB AD AA¢ ¢= = + +

Câu 3: Cho hình hộp tâm Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

� A đúng, vì theo quy tắc hình hộp, ta có .AC AB AD AA¢ ¢= + +

� B đúng, vì 0.AB CD

AB BC CD D ABC D A

ìï =-ïï ¢ ¢ + + + =íï ¢ ¢ï =-ïî

� C sai, vì AB AA AB

AD DD AD

ìï ¢ ¢+ =ïïíï ¢ ¢ï + =ïî

mà .AB AD AB AA AD DD¢ ¢ ¢ ¢¹ + ¹ +

O

C

BA

C'

D

D'

B'A'

.ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ .O

.AC AB AD AA¢ ¢= + +

0.AB BC CD D A¢ ¢+ + + =

.AB AA AD DD¢ ¢+ = +

.AB BC CC AD D O OC¢ ¢ ¢ ¢+ + = + +

O

C

BA

C'

D

D'

B'A'


Trang 704

� D đúng, vì ( )

( )( ) ( )

1 :1 2 .

2 :

AB BC CC AC CC AC

AD D O OC AO OC AC

ìï ¢ ¢ ¢+ + = + =ïï =íï ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ï + + = + =ïî

Câu 4: Cho hình hộp Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn D


� A đúng, vì 1 1

1 1

BC B C

BA B A

ìï =ïïíï =ïïî

suy ra 1 1 1 1.BC BA B C B A+ = +

� B đúng, vì 1 1 1 1 .AD D C D A AD DC DA AC DA DC+ + = + + = + =

� C đúng, vì 1 1BD BC BA BB= + +

(quy tắc hình hộp).

� D sai, vì 1 1 1 1 1 1 .BA DD BD BA BB BD BA BD BC+ + = + + = + ¹

Câu 5: Cho hình hộp Gọi là trung điểm của Khẳng định nào dưới đây là

đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn B

1 1 1 1. .ABCD A B C D

1 1 1 1.BC BA B C B A+ = +

1 1 1 1 .AD D C D A DC+ + =

1 1.BC BA BB BD+ + =

1 1 .BA DD BD BC+ + =

C

BA

C1

D

D1

B1A1

1 1 1 1. .ABCD A B C D M .AD

1 1 1 1 1 1.B M B B B A B C= + +

1 1 1 1 1 1

1.

2C M C C C D C B= + +

1 1 1 1 1 1

1 1.

2 2C M C C C D C B= + +

1 1 1 1 1 12 .BB B A B C B D+ + =


Trang 705


� A sai, vì ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1

1 1.

2 2B M B B BM BB BA BD BB B A B D= + = + + = + +

( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1.

2 2BB B A B A B C BB B A B C= + + + = + +

� B đúng, vì ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1

1 1.

2 2C M C C CM C C CA CD C C C A C D= + = + + = + +

( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1.

2 2C C C B C D C D C C C D C B= + + + = + +

� C sai, vì 1 1 1 1 1 1

1

2C M C C C D C B= + +

(từ B).

� D sai, vì 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.BB B A B C BA BC BA A D BD+ + = + = + =

Câu 6: Cho hình lập phương có cạnh bằng Gọi là trọng tâm của tam giác


A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Cách 1. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD I là trung điểm của .BD

Ta có 1 13 .

2 3

BG BI BGBIG D B G BD BG

D G D B BD¢ ¢ ¢D D = = = =

¢ ¢ ¢ ¢

M

C1

B1

A1

C

D1

D

BA

.ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ .a G

.AB C¢

3 .AC AG¢ =

4 .AC AG¢ =

4 .BD BG¢ =

3 .BD BG¢ =

G

I

D'

C'B'

D

A'

A

CB


Trang 706

Cách 2. Theo quy tắc hình hộp, ta có .BA BC BB BD¢ ¢+ + =

Do G là trọng tâm của tam giác AB C¢ suy ra 3 3 .BA BC BB BG BD BG¢ ¢+ + = =

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt

. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi O là tâm hình bình hành .ABCD

Vì O là trung điểm của AC suy ra ( )2 2 1 .SA SC SO SO a c+ = = +

Và O là trung điểm của BD suy ra ( )2 2 2 .SB SD SO SO b d+ = = +

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra .a c b d+ = +

Câu 8: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm Gọi là điểm thỏa mãn


A. không thẳng hàng. B.

C. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra 0.OA OB OC OD+ + + =

.S ABCD ABCD , ,SA a SB b= =

,SC c SD d= =

.a c b d+ = +

0.a b c d+ + + =

.a d b c+ = +

.a b c d+ = +

O

C

AB

D

S

.S ABCD ABCD .O G

0.GS GA GB GC GD+ + + + =

, ,G S O 4 .GS OG=

5 .GS OG=

3 .GS OG=

O

C

S

D

BA G


Trang 707

Ta có 4 0.GS GA GB GC GD GS GO OA OB OC OD+ + + + = + + + + + =

4 0 4GS GO GS OG + = =

ba điểm , ,G S O thẳng hàng.

Câu 9: Cho tứ diện và điểm thỏa mãn ( là trọng tâm của tứ diện). Gọi là giao điểm của và mặt phẳng Khẳng định nào dưới đây là

đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Vì 0G là giao điểm của đường thẳng AG với mặt phẳng ( ).BCD

Suy ra 0G là trọng tâm của tam giác BCD 0 0 0 0.G B G C G D + + =

Theo bài ra, ta có 0 0 0 0

0

3 0GA GB GC GD GA GG G B G C G D+ + + = + + + + =

0 03 0 3 .GA GG GA G G + = =

Câu 10: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và là trung điểm của

Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn B

ABCD G 0GA GB GC GD+ + + =

G

0G GA ( ).BCD

02 .GA G G=-

04 .GA G G=

03 .GA G G=

02 .GA G G=

G

G0 M

A

C

DB

ABCD ,M N ,AB CD G

.MN

4 .MA MB MC MD MG+ + + =

.GA GB GC GD+ + =

0.GA GB GC GD+ + + =

0.GM GN+ =


Trang 708

Vì ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB CD suy ra 2

.2

GA GB GM

GC GD GN

ìï + =ïïíï + =ïïî

Mà G là trung điểm của MN 0 0.GM GN GA GB GC GD + = + + + =

Khi đó ( )4 4 .MA MB MC MD MG GA GB GC GD MG+ + + = + + + + =

Câu 11: Cho hình hộp . Tìm giá trị thực của thỏa mãn đẳng thức vectơ

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có 1 1 1 1 1 1 1.AB B C DD AB BC CC AC CC AC k+ + = + + = + = =

Câu 12: Cho hình hộp Tìm giá trị thực của thỏa mãn đẳng thức vectơ

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

G

N

M

B D

C

A

1 1 1 1.ABCD A B C D k

1 1 1 1.AB B C DD k AC+ + =

4.k = 1.k = 0.k = 2.k =

C

BA

C1

D

D1

B1A1

. .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ k

( )' ' 0.AC BA k DB C D+ + + =

0.k = 1.k = 4.k = 2.k =


Trang 709

Ta có AC BA AC CD AD¢ ¢ ¢+ = + =

và .DB C D DB DC C B D A¢ ¢ ¢ ¢+ = - = =

Suy ra ( ) ( )' ' 0 1 0 1.AC BA k DB C D AD k D A k D A k¢ ¢ ¢+ + + = + = - = =

Câu 13: Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và của tứ diện Gọi là

trung điểm của đoạn . Tìm giá trị thực của thỏa mãn đẳng thức vectơ

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Vì ,M N lần lượt là trung điểm của 2

, .2

IA IC IMAC BD

IB ID IN


Mặt khác 0IM IN+ =

( I là trung điểm của MN ) 0.IA IB IC ID+ + + =

Ta có ( ) ( ) ( )0

2 1 2 2 1 0IA k IB kIC ID IA IB IC ID k IB k IC+ - + + = + + + + - + - =

( )( )1 2 0k IB IC - + =

mà 2 0IB IC+ ¹

suy ra 1 0 1.k k- = =

Câu 14: Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và của tứ diện Gọi là

trung điểm của đoạn và là một điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị thực của

thỏa mãn đẳng thức vectơ

D'

C'B'

D

B C

A

A'

,M N AC BD .ABCD I

MN k

( )2 1 0.IA k IB k IC ID+ - + + =

2.k = 4.k = 1.k = 0.k =

I

N

M

A

B

DC

,M N AC BD .ABCD I

MN P

k ( ).PI k PA PB PC PD= + + +


Trang 710

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Vì ,M N lần lượt là trung điểm của 2

, .2

IA IC IMAC BD

IB ID IN


Mặt khác 0IM IN+ =

( I là trung điểm của MN ) 0.IA IB IC ID+ + + =

Khi đó ( )4 4PA PB PC PD PI IA IB IC ID PI+ + + = + + + + =

Mà ( )PI k PA PB PC PD= + + +

nên suy ra 1

4 1 .4

k k= =

Câu 15: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và Tìm giá trị thực của

thỏa mãn đẳng thức vectơ

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có N là trung điểm của CD ( )2 1 .MC MD MN + =

Và M là trung điểm của AB suy ra ( )0 2 .MA MB+ =

4.k =1

.2

k =1

.4

k = 2.k =

I

N

M

A

B

DC

P

ABCD ,M N AB .CD

k ( ).MN k AC BD= +

1.

2k = 1

.3

k = 3.k = 2.k =

N

M

A

C

DB


Trang 711

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra ( ) ( ) ( )1 1 1.

2 2 2MN MC MD MA AC MB BD AC BD= + = + + + = +

Kết hợp giả thiết ( ) 1.

2MN k AC BD k= + =

Dạng 3. Đồng phẳng của ba vectơ

Câu 1: Cho ba vectơ không đồng phẳng. Xét các vectơ , ,


A. Ba vectơ đồng phẳng. B. Hai vectơ cùng phương.

C. Hai vectơ cùng phương. D. Ba vectơ đôi một cùng

phương.

Lời giải

Chọn A

Giả sử, ba vectơ , ,x y z đồng phẳng, khi đó . .x m y n z= +

.

Ta có ( ) ( ). . . .

. . . 3 . 2 . .. 3 . 2 .

m y m a m b m cm y n z m a m n b m n c

n z n b n c

ìï = - -ïï + = - + - +íï =- -ïïî

Khi đó ( ) ( )2

22 . 3 . 2 . 3 1 .

12 0

mm

a b m a m n b m n c m nn

m n

ì =ïï ì =ïïï ï+ = - + - + + =- í íï ï =-ïï îï + =ïî

Vậy ba vectơ , ,x y z đồng phẳng.

Câu 2: Cho ba vectơ không đồng phẳng. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Ba vectơ đồng phẳng.

B. Ba vectơ đồng phẳng.

C. Ba vectơ đồng phẳng.

D. Ba vectơ đồng phẳng.

Lời giải

Chọn B

Ba vectơ , ,x y z đồng phẳng khi và chỉ khi , : . . .m n x m y n z$ = +

Với 2 4 , 3 3 2 , 2 3 3 .x a b c y a b c z a b c= - + = - + = - -

Suy ra ( ) ( )2 4 3 3 2 2 3 3 .a b c m a b c n a b c- + = - + + - -

( ) ( ) ( )3 2 1

3 2 3 2 3 3 3 2

2 3 4

m n

m n a m n b m n c m n

m n

ì + =ïïïï= + - + + - - - =- íïïï - =ïî

hệ vô nghiệm.

, ,a b c

2x a b= +

y a b c= - -

3 2 .z b c=- -

, ,x y z

,x a

,x b

, ,x y z

, ,a b c

2 , 2 3 6 , 3 6x a b c y a b c z a b c= + + = - - =- + +

2 4 , 3 3 2 , 2 3 3x a b c y a b c z a b c= - + = - + = - -

, 2 3 , 3 3x a b c y a b c z a b c= + + = - + =- + +

, 2 3 , 2x a b c y a b c z a b c= + - = - + =- - +


Trang 712

Vậy ba vectơ kể trên không đồng phẳng.

Chú ý. Bạn đọc làm tương tự với các A, C, D để thấy được các vectơ , ,x y z đồng phẳng

Câu 3: Cho ba vectơ . Điều kiện nào dưới đây khẳng định ba vectơ đồng phẳng?

A. Tồn tại ba số thực thỏa mãn và

B. Tồn tại ba số thực thỏa mãn và

C. Tồn tại ba số thực sao cho

D. Giá của đồng quy.

Lời giải

Chọn B


� Với 0 0m n p m n p+ + = = = = suy ra 0ma nb pc+ + =

nên chưa kết luận được ba

vectơ , ,a b c

đồng phẳng.

� Với 0m n p+ + ¹ suy ra tồn tại ít nhất một số khác 0.

Giả sử 0,m ¹ ta có 0 . . .n p

ma nb pc a b cm m

+ + = =- -

Suy ra tồn tại ,n p để ba vectơ , ,a b c

đồng phẳng.

Câu 4: Cho hình hộp . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. đồng phẳng. B. đồng phẳng.

C. đồng phẳng. D. đồng phẳng.

Lời giải

Chọn C

Ta có 1 1 1 1AD A D A C CD= = +

suy ra 1 1, ,CD AD A C

đồng phẳng.

Câu 5: Cho hình hộp Gọi là tâm của hình bình hành và là tâm của hình bình hành Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. đồng phẳng. B. đồng phẳng.

, ,a b c

, ,a b c

, ,m n p 0m n p+ + = 0.ma nb pc+ + =

, ,m n p 0m n p+ + ¹ 0.ma nb pc+ + =

, ,m n p 0.ma nb pc+ + =

, ,a b c

1 1 1 1.ABCD A B C D

1 1, ,BD BD BC

1 1 1, ,CD AD A B

1 1, ,CD AD A C

1, ,AB AD C A

C

BA

C1

D

D1

B1A1

. .ABCD EFGH I ABEF K

.BCGF

, ,BD AK GF

, ,BD IK GF


Trang 713

C. đồng phẳng. D. đồng phẳng.

Lời giải

Chọn B

Vì ,I K lần lượt là trung điểm của AF và .CF

Suy ra IK là đường trung bình của tam giác AFC IK // AC IK //( ).ABCD

Mà GF //( )ABCD và ( )BD ABCDÌ suy ra ba vectơ , ,BD IK GF

đồng phẳng

Câu 6: Cho hình hộp Gọi lần lượt là tâm của hình bình hành và

Khẳng định nào dưới đây là sai? A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B


� A đúng, vì ,IK AC

cùng thuộc mặt phẳng ( ).B AC¢

� B đúng, vì 1 1

.2 2

IK IB B K AC A C¢ ¢ ¢ ¢= + = =

� C sai, vì 'IK IB B K¢= +

Ta có 1 1 1 1 1 1 1.AB B C DD AB BC CC AC CC AC k+ + = + + = + = =

.

, ,BD EK GF

, ,BD IK GC

KI

F

GH

B

D C

A

E

. .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ ,I K ABB A¢ ¢

.BCC B¢ ¢

4.k = 1.k = 0.k = 2.k =

KI

C'

B'A'

C

D'

D

BA


Trang 714

Câu 7: Cho tứ diện Gọi lần lượt là trung điểm của Khẳng định nào dưới

đây là khẳng định sai?

A. Ba vectơ đồng phẳng.

B. Ba vectơ không đồng phẳng.

C. Ba vectơ đồng phẳng.

D. Ba vectơ đồng phẳng.

Lời giải

Chọn C

Vì ,M N lần lượt là trung điểm của ,AD BC suy ra: ( )1

2MN AB DC= +

và

( )1.

2MN BD AC= +

Khi đó, dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

� A đúng, vì ( )1, ,

2MN AB DC AB DC MN= +

đồng phẳng.

� B đúng, vì MN không nằm trong mặt phẳng ( ).ABC

� C sai, tương tự ta thấy AN không nằm trong mặt phẳng ( ).MNC

� D đúng, vì ( )1, ,

2MN BD AC BD AC MN= +

đồng phẳng.

Câu 8: Cho tứ diện . Trên các cạnh và lần lượt lấy điểm sao cho

Gọi lần lượt là trung điểm của và Khẳng định nào

dưới đây là sai?

A. Ba vectơ đồng phẳng. B. Ba vectơ đồng phẳng.

C. Ba vectơ đồng phẳng. D. Ba vectơ đồng phẳng.

Lời giải

Chọn A

.ABCD ,M N , .AD BC

, ,AB DC MN

, ,AB AC MN

, ,AN CM MN

, ,BD AC MN

M

N

B D

C

A

ABCD AD BC ,M N

3 , 3 .AM MD BN NC= = ,P Q AD .BC

, ,BD AC MN

, ,MN DC PQ

, ,AB DC PQ

, ,AB DC MN


Trang 715

Theo bài ra, ta có ,M N lần lượt là trung điểm của , .PD QC

Khi đó, dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

� A sai, vì 3 3 3 3

MN MA AC CN MN MA AC CN

MN MD DB BN MN MD DB BN

ì ìï ï= + + = + +ï ïï ïí íï ï= + + = + +ï ïï ïî î

Suy ra 1

4 3 , ,2

MN AC BD BC BD AC MN= - +

không đồng phẳng.

� B đúng, vì 2MN MP PQ QN

MN PQ DCMN MD DC CN

ìï = + +ïï = +íï = + +ïïî

Suy ra ( )1, ,

2MN PQ DC BD AC MN= +

đồng phẳng.

� C đúng, vì với cách biểu diễn PQ

tương tự như trên, ta có ( )1.

2PQ AB DC= +

� D đúng, vì biểu diễn giống A, ta được 1 3

.4 4

MN AB DC= +

Câu 9: Cho tứ diện và các điểm , xác định bởi ;

. Tìm để các đường thẳng cùng song song với một

mặt phẳng. A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Yêu cầu bài toán tương đương với tìm x để ba vectơ , , MN AD BC

đồng phẳng.

Hệ thức ( ) ( )1 2 3 3AM AB AB BC AM AB BC = - + =- -

.

Hệ thức ( ) ( )2 AN AD AB AD x DA AB BC - = - + + +

( )1AN x AB x AD x BC = + - +

.

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( ) ( )2 3MN AN AM x AB x AD x BC= - = + - + +

.

N

M

P

Q

A

C

DB

ABCD M N ( )2 3 1AM AB AC= -

( ) 2DN DB x DC= +

x , , AD BC MN

1.x =- 2.x =- 3.x =- 2.x =


Trang 716

Vậy ba vectơ , , MN AD BC

đồng phẳng khi 2 0 2x x+ = =- .

Câu 10: Cho hình hộp Gọi là điểm trên cạnh sao cho Lấy

trên đoạn sao cho Với giá trị nào của thì

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi O là tâm của hình hình hành ABCD và I là trung điểm của .DD ¢

Nối C D¢ cắt CI tại N N¢ ¢ là trọng tâm của tam giác .CDD ¢

Ta có OI là đường trung bình của tam giác BDD ¢ suy ra OI // .BD ¢

Mặt khác CN CM

CI CO

¢= nên MN ¢ //OI suy ra MN ¢ // .BD ¢

Theo bài ra, ta có MN // BD ¢ N N ¢¾¾ º2 2

.3 3

C N C D x¢ ¢ = =

Câu 11: Cho hình chóp Lấy các điểm lần lượt thuộc các tia sao cho

trong đó là các số thay đổi. Để mặt phẳng đi qua

trọng tâm của tam giác thì A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

. .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ M AC 3 .AC MC= N

C D¢ .C N x C D¢ ¢= x .MN BD ¢

2.

3x =

1.

3x =

1.

4x =

1.

2x =

M

N'

I

O

B

D A

A'

C'B'

D'

C

. .S ABC , ,A B C¢ ¢ ¢ , ,SA SB SC

, , ,SA SB SC

a b cSA SB SC

= = =¢ ¢ ¢

, ,a b c ( )A B C¢ ¢ ¢

ABC

3.a b c+ + = 4.a b c+ + = 2.a b c+ + = 1.a b c+ + =


Trang 717

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra 0.GA GB GC+ + =

Khi đó 3 0GS SA SB SC+ + + =

mà . , . , . .SA a SA SB b SB SC c SC¢ ¢ ¢= = =

Suy ra 3 . . . . . . .3 3 3

a b cSG a SA b SB c SC SG SA SB SC¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= + + = + +

Vì ( )A B C¢ ¢ ¢ đi qua trọng tâm tam giác ABC suy ra , ,GA GB GC¢ ¢ ¢

đồng phẳng.

Do đó, tồn tại ba số , ,l m n sao cho ( )2 2 2 0l m n+ + ¹ và . . . 0.l GA m GB n GC¢ ¢ ¢+ + =

( ) ( ) ( ) ( ). . . 0 . . . .

. . . . . . .3 3 3

l GS SA m GS SB n GS SB l m n SG l SA m SB n SC

l m n a b cSG SA SB SC SA SB SC

l m n l m n l m n

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ + + + + + = + + = + +

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ = + + = + ++ + + + + +

Suy ra 1 3.3 3 3

a b c l m na b c

l m n l m n l m n+ + = + + = + + =

+ + + + + +

Dạng 4. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ

Câu 1: Cho tứ diện . Gọi là trọng tâm tam giác . Điểm xác định bởi đẳng thức

vectơ Mệnh đề nào sau đây đúng? A. trùng B. thuộc tia và

C. là trung điểm D. là trung điểm

Lời giải

Chọn B

Do G là trọng tâm tam giác BCD nên 3 .AB AC AD AG+ + =

Kết hợp giả thiết, suy ra 3 .AM AG=

Câu 2: Cho tứ diện . Điểm xác định bởi Mệnh đề nào sau đây đúng? A. là trung điểm

B. là đỉnh thứ tư của hình bình hành

G

C'

A

B

S

C

A'

B'

ABCD G BCD M

.AM AB AC AD= + +

M .G M AG 3 .AM AG=

G .AM M .AG

ABCD N .AN AB AC AD= + -

N .BD

N .BCDN


Trang 718

C. là đỉnh thứ tư của hình bình hành

C. trùng với

Lời giải

Chọn C

Ta có .AN AB AC AD AN AB AC AD BN DC= + - - = - =

Đẳng thức chứng tỏ N là đỉnh thứ tư của hình bình hành .CDBN

Câu 3: Cho tứ diện Ta định nghĩa là trọng tâm tứ diện khi và chỉ khi

Khẳng định nào sau đây sai? A. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và

B. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và

C. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và

D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải

Chọn D

Ta có ( ) ( ) 0 2 2 0 0GA GB GC GD GI GJ GI GJ+ + + = + = + =

G¾¾ là trung điểm IJ . Do đó A đúng.

Tương tự, B và C đều đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Câu 4: Cho hình hộp Điểm được xác định bởi đẳng thức vectơ

Mệnh đề nào sau đây đúng? A. là tâm của mặt đáy

B. là tâm của mặt đáy

C. là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.

N .CDBN

N .A

.ABCD ''G ABCD

0 ''.GA GB GC GD+ + + =

G AB .CD

G AC .BD

G AD .BC

G

N

M

A

C

DB

. .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ M

' ' ' ' 0.MA MB MC MD MA MB MC MD+ + + + + + + =

M .ABCD

M ' ' ' '.A B C D

M


Trang 719

D. Tập hợp điểm là đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.

Lời giải

Chọn C

Gọi O AC BD= Ç và ' ' ' ' '.O A C B D= Ç

Khi đó 0OA OB OC OD+ + + =

và ' ' ' ' ' ' ' ' 0.O A O B O C O D+ + + =

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )MA MB MC MD MO OA MO OB MO OC MO OD+ + + = + + + + + + +

4 0 4 4 .OA OB OC OD MO MO MO= + + + + = + =

Tương tự, ta cũng có ' ' ' ' 4 '.MA MB MC MD MO+ + + =

Từ đó suy ra ' ' ' ' 0MA MB MC MD MA MB MC MD+ + + + + + + =

( )4 4 ' 0 4 ' 0 ' 0MO MO MO MO MO MO + = + = + =

.

Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của '.OO

Câu 5: Cho hình hộp có tâm Đặt , . Điểm xác định bởi đẳng

thức vectơ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. là trung điểm B. là tâm hình bình hành

C. là trung điểm D. là tâm hình bình hành

Lời giải

Chọn A

Gọi , 'I I lần lượt là tâm các mặt đáy , ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ . Suy ra O là trung điểm của '.II

Do .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ là hình hộp nên .AB DC=

Theo giả thiết ta có ( ) ( ) ( )1 1 1 1.

2 2 2 2OM a b AB BC DC CB DB IB= - = - = + = =

M

.ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ .O AB a=

BC b=

M

( )1

2OM a b= -

M .BB ¢ M .BCC B¢ ¢

M .CC ¢ M .ABB A¢ ¢

I

I'

O

C

BA

C'

D

D'

B'A'


Trang 720

Vì .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ là hình hộp nên từ đẳng thức OM IB=

suy ra M là trung điểm '.BB


Trang 721

BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CÂN NẮM

I – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Góc giữa hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, cho và là hai vectơ khác . Lấy một điểm bất kì, gọi và là hai

điểm sao cho . Khi đó ta gọi góc là góc giữa hai vectơ và

trong không gian, kí hiệu là .

2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, cho hai vectơ và đều khác . Tích vô hướng của hai vectơ và là một

số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức:

.

Trong trường hợp hoặc , ta quy ước .

II – VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa

Vectơ khác được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của vectơ song song

hoặc trùng với đường thẳng .

2. Nhận xét

a) Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì vectơ với cũng là vectơ chỉ phương

của .

b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm thuộc và một

vectơ chỉ phương của nó.

u

v

0 A B C

,AB u=

AC v= BAC ( )0 180BAC£ £

u

v ( )

,u v

u

v

0

u

v

.u v

( ). . . cos ,u v u v u v=

=

0u =

0v = . 0u v

a

0 d

a

d

a d

ka ¹ 0k

d

A da

A B

C

d


Trang 722

c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.

III – GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng và trong không gian là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi

qua một điểm và lần lượt song song với và .

2. Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng và ta có thể lấy điểm thuộc một trong hai đường

thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua và song song với đường thẳng còn lại.

b) Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng và là vectơ chỉ phương của đường thẳng và

thì góc giữa hai đường thẳng và bằng nếu và bằng nếu

. Nếu và song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng .

IV – HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng .

Người ta kí hiệu hai đường thẳng và vuông góc với nhau là .

2. Nhận xét

a) Nếu và lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và thì: .

b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

B. PHÂN LOẠI

Dạng 1. Tính góc giữa hai đường thẳng

1. Phương pháp

Cách 1: (Theo phương pháp hình học)

Lấy điểm O tùy ý ( ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng), qua đó vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho.

Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O.

Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm, nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính.

a b ¢a ¢b

a b

a b O

O

u a

v b

( ) a= ,u v a b a a£ £ 0 90 a-180

a< £ 90 180 a b 0

90

a b ^a b

u

v a b ^ =

. 0a b u v

b'

a'

O

b

a


Trang 723

Cách 2: (Theo phương pháp vectơ)

Tìm 1 2u ,u

lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 1 và 2 tính 1 2u ,u

Khi đó 1 21 2 1 2

1 2

u .ucos , cos u ,u

| u | . | u |


Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi I là trung điểm của BC. Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng DI và AB.


Đặt cạnh của tứ diện có độ dài là .a

Gọi J là trung điểm của AC.

Ta có: ( ) ( ) // , ,IJ AB AB DI IJ DI DIJ = =

Kẻ ( ),HD IJ H IJ^ Î

Ta có:

aIH 1 34cosDIJ .DI 6a 3 2 3

2

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định Góc tạo bởi hai đường thẳng BD và CD’.


Do BA ʹ //CD ʹ nên góc giữa BD và CD’ là góc giữa BD và BA’

Mà A ʹBD là tam giác đều nên góc giữa BD và BA’ là o60 .

Vậy góc giữa BD và CD’ là o60 .

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AC AB a và BC a 2. Xác định góc giữa hai đường thẳng CS và AB.



Trang 724

Trước hết ta tính góc giữa hai vectơ SC và

AB

Từ giả thiết suy ra ABC vuông cân tại A

Ta có:

SA AC .ABSC.ABcos SC,AB

SC . AB SC . AB

2

2

aSA.AB 0 a.a.cos120 12

a.a 2aSC . AB

Suy ra: SC,AB 120 .

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60 .

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Cho biết

AB CD 2a và MN a 3 . Xác định góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD


Gọi I là trung điểm của AC ta có: IM IN a Áp dụng định lí côsin trong IMN

2 2 2MN IM IN 2IM.INcosMIN

2 2 23a a a 2a.acosMIN

1cosMIN

2

Suy ra: MIN 120

Vậy: AB,CD IM,IN 180 120 60 .

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian

1. Phương pháp

Cách 1: Dùng định nghĩa: 0a b a,b 90

Cách 2: Dùng định lí: b / /c

a ba c

Cách 3: Sử dụng tích vô hướng: a b a.b 0


Trang 725

2. .Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC và ASB BSC CSA . Chứng minh rằng: SA BC,SB AC,SC AB

Hướng dẫn

Chöùng minh: SA BC

Xeùt: SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SC

SA . SC cosASC SA . SB cosASB 0 SA BC

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD.

a) Chứng minh AG CD

b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.

Hướng dẫn

a) Đặt AB b; AC c; AD d

Chứng minh : AG CD AG.CD 0

Với

1 1AG AB AC AD b c d3 3

CD AD AC d c

Từ đó: AG.CD 0

b) Ta có:

AC.BMcos AC,BMAC . BM

Với

21 aAC.BM AC. AM AB AC.AM AC.AB AC. AC AD AC.AB

2 4

2a 3AC . BM2

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM


A. Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và khi song

song với (hoặc trùng với ).

B. Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và thì song

song với .

C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Lời giải

a b a c b

c b c

a b a c b

c

d

c

b

G

A

B

C

D


Trang 726

Chọn A

A đúng theo định nghĩa.

B sai vì có thể b và c chéo nhau.

C sai vì có thể là góc vuông.

D sai. Nếu góc giữa hai vectơ chỉ phương là a với 0 00 90a£ £ thì góc giữa hai đường

thẳng bằng a , nếu góc giữa hai vectơ chỉ phương là a với 0 090 180a< £ thì góc giữa hai

đường thẳng bằng 0180 .a-


A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.

C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Lời giải

Chọn D

Câu 3: Cho hai đường thẳng phân biệt và mặt phẳng , trong đó . Mệnh đề nào sau

đây là sai?

A. Nếu thì . B. Nếu thì .

C. Nếu thì . D. Nếu thì .

Lời giải

Chọn D

Vì b có thể nằm trong mặt phẳng ( )P .

Câu 4: Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

, a b ( )P ( )a P^

( )b P^ / /b a ( )/ /b P b a^

/ /b a ( )b P^ b a^ ( )/ /b P

.ABCD EFGH AB

DH

045 . 090 . 0120 . 060 .


Trang 727

Vì DH AE=

( ADHE là hình vuông) nên ( ) ( ) 0, , 90AB DH AB AE BAE= = =

( ABFE là hình

vuông).

Câu 5: Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Vì EG AC=

( AEGC là hình chữ nhật) nên ( ) ( ) 0, , 45AB EG AB AC BAC= = =

( ABCD là

hình vuông).

Câu 6: Cho hình lập phương . Góc giữa và là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

A B

CD

F

H G

E

.ABCD EFGH AB

EG

090 . 060 . 045 . 0120 .

E

GH

F

D C

BA

. ' ' ' 'ABCD A B C D AC 'DA

045 . 090 . 060 . 0120 .


Trang 728

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương. Khi đó, tam giác 'AB C đều (

' 2' B CAB CA a= = = ) do đó 0' 60B CA = .

Lại có, 'DA song song 'CB nên ( ) ( ) 0, ' , ' ' .60AC DA AC CB ACB == =

Câu 7: Cho hình hộp . Giả sử tam giác và đều có ba góc nhọn.

Góc giữa hai đường thẳng và là góc nào sau đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có ' 'AC A C ( ' 'A B CD là hình bình hành) mà ' 'DA C nhọn nên

( ) ( ) , ,' ' ' ' ' '.AC A D A C A DAD C= =

Câu 8: Cho hình lập phương . Chọn khẳng định sai?

A. Góc giữa và bằng B. Góc giữa và bằng

C. Góc giữa và bằng D. Góc giữa và bằng

Lời giải

Chọn B

A B

CD

B'

D' C'

A'

' ' ' '.A BAB CD DC 'AB C ' 'A DC

AC 'A D

' .AB C ' '.DA C ' .BB D '.BDB

D'

C'B'

A'

D

CB

A

. ' ' ' 'ABCD A B C D

AC ' 'B D 090 . ' 'B D 'AA 060 .

AD 'B C 045 . BD ' 'A C 090 .


Trang 729

Ta có ( ) ( ) 0', ' ' ', ' ' ' 90 .AA B BB B BB CDD == = Khẳng định B sai.

Câu 9: Cho tứ diện đều Số đo góc giữa hai đường thẳng và bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Gọi M là trung điểm của CD .

Ta có . 0CD AM =

và . 0CD MB =

.

Do đó ( ). . . . 0CD AB CD AM MB CD AM CD MB+ +== =

.

Suy ra AB CD^

nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 090 .

Câu 10: Cho tứ diện đều cạnh bằng . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Góc giữa và bằng bao nhiêu?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

A'

C'D'

B'

D C

BA

.ABCD AB CD

060 . 030 . 090 . 045 .

CB

D

M

A

ABCD a O BCD

AO CD

00 . 030 . 090 . 060 .


Trang 730

Gọi M là trung điểm của CD .

Vì ABCD là tứ diện đều nên , .CD O DA MM C^ ^

Ta có ( ). . . . 0.CD AO CD AM MO CD AM CD MO= + + ==

Suy ra AO CD^

nên số đo góc giữa hai đường thẳng AO và CD bằng 090 .

Câu 11: Cho tứ diện đều , là trung điểm của cạnh . Khi đó bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Giả sử cạnh của tứ diện là a .

Tam giác BCD đều 3

2

aDM = .

Tam giác ABC đều 3

2

aAM = .

Ta có: ( ) . .cos ,

3. .2

AB DM AB DMAB DM

aAB DM a

= =

O

D

A

C

M

B

ABCD M BC ( )cos ,AB DM

2.

23

.6

1.

2

3.

2

M

B D

C

A


Trang 731

Mặt khác: ( ). . .AB DM AB AM AD AB AM AB AD= - = -

( ) ( )

2 2 2

. .cos . . .cos .

. .cos30 . .cos60

3 3 1 3. . . .

2 2 2 4 2 4

AB AM AB AM AB AD AB AD

AB AM AB AD

a a a aa a a

= -

= -

= - = - =

( ) ( ) ( ) ( )3 30 ,cos ,

6os

6, c ,AB DM AB DM AB DMAB DM= > = =

.

Câu 12: Cho tứ diện có và . Hãy xác định góc giữa cặp

vectơ và ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có ( ). . . .AB CD AB AD AC AB AD AB AC= - = -

( ) ( ). . cos . . .cos .

. .cos60 . .cos60 .

AB AD AB AD AB AC AB AC

AB AD AB AC

= -

= -

Mà . 0AC AD AB CD= =

( ), 90AB CD =

.

Câu 13: Cho hình chóp có và . Hãy xác định góc giữa cặp

vectơ và ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

ABCD AB AC AD= = 60BAC BAD= =

AB

CD

60 . 45 . 120 . 90 .

C D

B

A

.S ABC SA SB SC= = ASB BSC CSA= =

SC

AB

120 . 45 . 60 . 90 .


Trang 732

Ta có ( ). . . .SC AB SC SB SA SC SB SC SA= - = -

( ) ( )

. . cos . . . cos .

. . cos . .cos .

SC SB SC SB SC SA SC SA

SC SB BSC SC SA ASC

= -

= -

Mà SA SB SC= = và BSC ASC= . 0SC AB =

.

Do đó ( ), 90SC AB =

.

Câu 14: Cho hình chóp có và . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng

chéo nhau và

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Xét ( ). . . .SC AB CS CB CA CS CA CS CB=- - = -

2 2 2 2 2 2

. .cos . . cos

. . . .2 . 2 .

CS CA SCA CS CB SCB

SC CA SA SC CB SBCS CA CS CB

SC CA SC CB

= -

+ - + -= -

2 2 2 2 2 2

02 2

SC CA SA SC CB SB+ - + -= - = (do SA SB= và CA CB= )

Vậy SC AB^ .

A C

B

S

.S ABC SA SB= CA CB=

SC .AB

030 . 045 . 060 . 090 .

C

B

A

S


Trang 733

Câu 15: Cho hình chóp có và . Tính số đo của góc giữa hai đường

thẳng chéo nhau và

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Xét ( ). . . .SA BC SA SC SB SA SC SA SB= - = -

( ) . . cos , . .cosSA SC SA SC SA SB SAB= -

. . cos . . cos .SA SC ASC SA SB ASB= - ( )1

Ta có

( ) chung

SA

AB AC SAB SAC c g c

SAB SAC

ìïïïï = D =D - -íïïï =ïî

.

Suy ra SC SB

ASC ASB

ì =ïïíï =ïî. ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra . 0SA BC =

. Vậy SA BC^ .

Câu 16: Cho tứ diện có , , . Gọi là góc giữa và

. Chọn khẳng định đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

.S ABC AB AC= SAC SAB=

SA .BC

030 . 045 . 060 . 090 .

A B

C

S

M

ABCD3

2AC AD= 60CAB DAB= = CD AD= j AB

CD

4os c

3.j= 60 .j= 30 .j=

4os c

1.j=


Trang 734

Ta có ( ). .

cos ,. .

AB CD AB CDAB CD

AB ACD B CD= =

Mặt khác ( ). . .AB CD AB AD AC AB AD AB AC= - = -

( ) ( ). . cos . . . cos .

. .cos60 . .cos60

1 3 1 1 1. . . . . . .

2 2 2 4 4

AB AD AB AD AB AC AB AC

AB AD AB AC

AB AD AB AD AB AD AB CD

= -

= -

= - =- =-

Do có ( )

1.

14cos ,

. 4

A

AB

B CDAB CD

CD

-= = .

Vậy cos1

4j= .

Câu 17: Cho tứ diện có và , . Gọi và lần

lượt là trung điểm của và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

C D

B

A

ABCD AB AC AD= = 60BAC BAD= = 90CAD = I J

AB CD AB

IJ

120 . 90 . 60 . 45 .


Trang 735

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD ( )1.

2IJ IC ID = +

Tam giác ABC có AB AC= và 060BAC = ABC D đều CI AB ^ .

Tương tự, ta có ABDD đều nên DI AB^ .

Ta có ( )1 1 1. . . . 0

2 2 2IJ AB IC ID AB IC AB ID AB= + = + =

( ), 90I J AB AB IJ ^ =

.

Câu 18: Cho tứ diện có . Gọi lần lượt là trung điểm của .

Góc bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

J

I

B D

C

A

ABCD AB CD= , , ,I J E F , , ,AC BC BD AD

( ),IE JF

30 . 45 . 60 . 90 .

J

E

I

F

B D

C

A


Trang 736

Ta có IF là đường trung bình của ACDD 1

2

IF CD

IF CD

ìïïïíï =ïïî

.

Lại có JE là đường trung bình của BCDD 1

2

JE CD

JE CD


.

IF JE

IF JE

ì =ïïíïïî Tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác:

1

21

2

IJ AB

JE CD

ìïï =ïïïíïï =ïïïî

. Mà JB EA CD IJ == .

Do đó IJEF là hình thoi. Suy ra ( ) 90,IE JF = .

Câu 19: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và các cạnh bên đều

bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc

bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Do ABCD là hình vuông cạnh a 2AC a = .

2 2 2 22AC a SA SC = = + SACD vuông tại S .

Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của DSAD1

2NM SA =

Khi đó 1

. . 02

NM SC SA SC= =

( ), 90MN SC MN SC ^ = .

Câu 20: Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi và lần lượt là trung

điểm của và . Số đo của góc bằng:

.S ABCD ABCD a

a M N AD SD ( ),MN SC

45 . 30 . 90 . 60 .

M

N

D

B C

A

S

.S ABCD a I J

SC BC ( ),IJ CD


Trang 737

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD OJ là đường trung bình của .BCDD

Suy ra 1

2

OJ CD

OJ CD


.

Vì ( ) ( ), ,CD OJ IJ CD IJ OJ = .

Xét tam giác IOJ , có

1

2 21

2 21

2 2

aIJ SB

aOJ CD

aIO SA

ìïï = =ïïïïïï = =íïïïïï = =ïïïî

IOJD đều.

Vậy ( ) ( ) , , 60IJ CD IJ OJ IJO= = = .

Câu 21: Cho hình chóp có cạnh , tất cả các cạnh còn lại đều bằng . Tính số đo

của góc giữa hai đường thẳng và

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Theo giả thiết, ta có AB BC CD DA a= = = = nên ABCD là hình thoi cạnh a .

Gọi O AC BD= Ç . Ta có ( ) CBD SBD c c cD =D - - .

Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng CO và SO bằng nhau.

Xét tam giác SAC , ta có 1

2SO CO AC= = .

90 . 45 . 30 . 60 .

J

I

O

CB

DA

S

.S ABCD SA x= a

SA .SC

030 . 045 . 060 . 090 .


Trang 738

Do đó tam giác SAC vuông tại S (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đáy).

Vậy SA SC^ .

Câu 22: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có . . .AB EG AB AC=

Mặt khác AC AB AD= +

.

Suy ra ( ) 2. . .AB EG AB AC AB AB AD AB AB AD= = + = +

.

Vì ABCD là hình vuông . 0AB AD AB AD ^ =

22 2. 0 .AB AB AD AB a + = + =

Câu 23: Cho hình lập phương có cạnh . Gọi là trung điểm . Giá trị

là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

.ABCD EFGH a . .AB EG

2 3.a 2.a2 2

.2

a 2 2.a

G

F

H

B

D C

A

E

1 1 1 1.ABCD A B C D a M AD

1 1.B M BD

21.

2a 2.a 23

.4

a 2 2.a


Trang 739

Ta có ( )( )1 1 1 1.B M BD B B BA AM BA AD DD= + + + +

2

1 1 1 100 0

. . . .BB BA BB AD B B DD BA BA AD== =

= + + + +

1

0

.BA DD=

+ 1

0 0

. . .AM BA AM AD AM DD= =

+ + +

2

1 1. .B B DD BA AM AD= + + 2 2

2 2

2 2

a aa a=- + + = .

Câu 24: Cho tứ diện có . Gọi lần lượt là trung điểm của và

. Biết vuông góc với . Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

D1 C1

B1A1

M

BA

CD

ABCD , 3AC a BD a= = ,M N AD BC

AC BD MN

6.

3

aMN =

10.

2

aMN = 2 3

.3

aMN =

3 2.

2

aMN =

3a

a

P

N

M

B D

C

A


Trang 740

Gọi P là trung điểm của AB ,PN PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABCD

và ABDD . Suy ra

1

2 2 .1 3

2 2

aPN AC

aPM BD

ìïï = =ïïïíïï = =ïïïî

Ta có AC BD PN PM^ ^ hay tam giác PMND vuông tại P

Do đó 2 2

2 2 9 10.

4 4 2

a a aMN PN PM= + = + =

Câu 25: Cho tứ diện có vuông góc với . Mặt phẳng song song với và

lần lượt cắt tại . Tứ giác là hình gì?

A. Hình thang. B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật. D. Tứ giác không phải hình thang.

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )( ) ( )

/ // / .

MNPQ ABMQ AB

MNPQ ABC MQ

ìïï íï Ç =ïî

Tương tự ta có / / , / / , / / DMN CD NP AB QP C .

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có ( )MN MQ do AB CD^ ^ .

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 26: Trong không gian cho hai tam giác đều và có chung cạnh và nằm trong

hai mặt phẳng khác nhau. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh

và . Tứ giác là hình gì?

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thang.

Lời giải

Chọn B

ABCD AB CD ( )P AB CD

, , , BC DB AD AC , , , M N P Q MNPQ

P

N

Q

A

C

DB

M

ABC ABC ¢ AB

, , , M N P Q

, , AC CB BC ¢ C A¢ MNPQ


Trang 741

Vì , , , M N P Q lần lượt là trung điểm của các cạnh , , AC CB BC ¢ và C A¢

1

2/ / / /

PQ MN AB

PQ AB MN

ìïï = =ïíïïïî

MNPQ là hình bình hành.

Gọi H là trung điểm của AB . Vì hai tam giác ABC và ABC ¢ đều nên .CH AB

C H AB

ì ^ïïíï ¢ ^ïî

Suy ra ( )AB CHC ¢^ . Do đó AB CC ¢^ .

Ta có / /

/ /

PQ AB

PN CC PQ PN

AB CC

ìïïïï ¢ ^íïï ¢ï ^ïî

.

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 27: Cho tứ diện trong đó , góc giữa và là và điểm trên

sao cho . Mặt phẳng qua song song với và cắt

lần lượt tại . Diện tích bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

HN

M

Q

P

A C

B

C'

ABCD 6, 3AB CD= = AB CD 60 M

BC 2BM MC= ( )P M AB CD

, ,BD AD AC , ,M N Q MNPQ

2 2. 3. 2 3.3

.2


Trang 742

Ta có ( )( ) ( )

/ // / .

MNPQ ABMQ AB

MNPQ ABC MQ


Tương tự ta có / / , / / , / / DMN CD NP AB QP C .

Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có ( ) ( ) 0; ; 60AB CD QM MP= = . Suy ra 0. . sin 60 .MNPQS QM QN=

Ta có 12.

3

CM MQCMQ CBA MQ

CB ABD D = = =∽

22.

3

AQ QNAQN ACD QN

AC CDD D = = =∽

Vậy 0 3. . sin 60 2.2. 2 3.

2MNPQS QM QN= = =

Câu 28: Cho tứ diện có vuông góc với , . là điểm thuộc cạnh

sao cho . Mặt phẳng đi qua song song với và . Diện tích

thiết diện của với tứ diện là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

3

6P

N

Q

B D

C

A

M

ABCD AB CD 4, 6AB CD= = M

BC 2MC BM= ( )P M AB CD

( )P

5. 6.17

.3

16.

3


Trang 743

Ta có ( )( ) ( )

/ // / .

MNPQ ABMN AB

MNPQ ABC MN


Tương tự ta có / / , / / , / /MQ CD NP CD QP AB . Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có ( ) ( ) 0; ; 90AB CD MN MQ NMQ= = = tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Lại có 1 4;

3 3

CM MNCMN CBA MN

CB ABD D = = =∽

24.

3

AN NPANP ACD MP

AC CDD D = = =∽

Vậy 16. .

3MNPQS MN NP= =

Câu 29: Cho tứ diện có vuông góc với , . là điểm thuộc cạnh

sao cho . Mặt phẳng song song với và lần lượt cắt

tại . Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

4

6

P

Q

N

A

C

DB

M

ABCD AB CD 6AB CD= = M BC

( ). 0 1MC x BC x= < < ( )P AB CD

, , ,BC DB AD AC , , ,M N P Q

9. 11. 10. 8.


Trang 744

Xét tứ giác MNPQ có / / / /

/ / / /

MQ NP AB

MN PQ CD

ìïïíïïîMNPQ là hình bình hành.

Mặt khác, AB CD MQ MN^ ^ . Do đó, MNPQ là hình chữ nhật.

Vì / /MQ AB nên . 6MQ CM

x MQ x AB xAB CB

= = = = .

Theo giả thiết ( ). 1MC x BC BM x BC= = - .

Vì / /MN CD nên ( ) ( )1 1 . 6 1MN BM

x MN x CD xCD BC

= = - = - = - .

Diên tích hình chữ nhật MNPQ là

( ) ( )2

1. 6 1 .6 36. . 1 36 9

2MNPQ

x xS MN MQ x x x x

æ ö+ - ÷ç= = - = - £ =÷ç ÷çè ø.

Ta có 9MNPQS = khi 1

12

x x x= - = .

Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC .

Câu 30: Trong không gian cho tam giác . Tìm sao cho giá trị của biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất.

A. là trọng tâm tam giác .

B. là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

C. là trực tâm tam giác .

D. là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Lời giải

Chọn A

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC G cố định và 0.GA GB GC+ + =

6

6

P

N

Q

B

A

C

D

M

ABC M2 2 2P MA MB MC= + +

M ABC

M ABC

M ABC

M ABC


Trang 745

( ) ( ) ( )2 2 2

P MG GA MG GB MG GC= + + + + +

( )2 2 2 23 2 .MG MG GA GB GC GA GB GC= + + + + + +

2 2 2 2 2 2 23 .MG GA GB GC GA GB GC= + + + ³ + +

Dấu bằng xảy ra .M G º

Vậy 2 2 2minP GA GB GC= + + với M Gº là trọng tâm tam giác .ABC


Trang 746

BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẢNG


1. Định nghĩa

Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng

nếu vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng

Kí hiệu

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Hệ quả

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

3. Tính chất

Tính chất 1

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng

Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Tính chất 2

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

d ( )a

d a

( ).a

( ).d a^

d

a

α

α

d

O

I AB AB

.AB

d

α

O


Trang 747

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

Tính chất 1

Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Tính chất 2

Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Tính chất 3

Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc

với thì cũng vuông góc với

Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

5. Định lí ba đường vuông góc

Định nghĩa

Phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương vuông góc tới mặt phẳng gọi

là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng

a

α

b

a

β

α

a ( )a

( )a .a

ab

α

( )P ( )P

( ).P


Trang 748

Định lí (Định lí 3 đường vuông góc)

Cho đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng và

đường thẳng nằm trong mặt phẳng Khi đó điều kiện

cần và đủ để vuông góc với là vuông góc với hình

chiếu của trên

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa

Nếu đường thẳng thì ta nói góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa và hình

chiếu của nó trên gọi là góc giữa

đường thẳng và mặt phẳng

Chú ý: Nếu là góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng thì ta luôn có



1. Phương pháp

Ta cần nắm vững các tính chất sau

Tính chất 1

a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này

thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với

nhau.

Tính chất 2

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì

cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với

nhau.

Tính chất 3

a ( )P

b ( ).P

b a b

a¢ a ( ).P

b a b a'

b

a'

a

P

( )a P^ a ( )P090 .

a

( )P a

a¢ ( )P

a ( ).P

j

d ( )a0 00 90 .j£ £

φ

P

a

a'


Trang 749

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào

vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a.

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng

vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.


Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng a, b và hai mặt phẳng (P), (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

a // bP b.

P a B.

a bP a.

b // P

C.

a bP //a.

b P D.

a QP // Q .

b P


ĐÁP ÁN A

a // bP b

P a là mệnh đề đúng. Nghĩa là, cho hai đường thẳng song song, mặt

phẳng nào vuông góc với đường thẳng này sẽ vuông góc với đường thẳng kia.


A.

a Pa // b.

b P B.

a P

b P a// b.

a b

C.

P // Qa // Q .

a P D.

a // Pa // Q .

P Q


ĐÁP ÁN B

Mệnh đề A sai. Vì khi đó hai đường thẳng a và b có thể song song hoặc trùng nhau. Mệnh đề A chỉ đúng khi a và b phân biệt.

Mệnh đề B đúng. Thật vậy, ta thấy:

+ Nếu a cắt b tại M. Như vậy, qua điểm M ta vẽ được hai đường thẳng a và b cùng

vuông góc với (P): Vô lí. Vậy a không cắt b.

+ Nếu a chéo b. Lấy điểm N trên a. Qua N vẽ đường thẳng b ʹ // b.

Do b P nên b ʹ P . Như vậy từ điểm N ta có hai đường thẳng a và b’ cùng

vuông góc với (P): Vô lí. Vậy a và b không chéo nhau.

+ Trường hợp a trùng b không xảy ra vì a b (giả thiết).

Vậy a // b.


Trang 750

Mệnh đề C sai. Mệnh đề đúng là a Q .

Mệnh đề D sai. Vì lúc này a có thể song song hoặc chứa trong (Q).


A.

a b

a c b // P .

c P

B.

a Pb // P .

a b

C.

b // Pa P.

b Pa b D.

a PP // Q .

a // Q


ĐÁP ÁN C

A sai: Lúc này b có thể chứa trong, hoặc cắt, hoặc song song với (P). Mệnh đề chỉ đúng

khi a P .

B sai: Vì lúc này b có thể chứa trong (P). Mệnh đề chỉ đúng khi b P .

D sai: Thật vậy, nếu P // Q hoặc P Q thì do a P nên a Q : Vô lí (Trái với

giả thiết a // Q ).

Ví dụ 4: Cho

a,b,c

c a, c b. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a cắt b. B. a // b. C. a b.

D.

a // b.

a b


ĐÁP ÁN D

Vì a, b, c đồng phẳng và c a, c b nên a // b hoặc a b.

Ví dụ 5: Cho

a,b

c //

c a, c b

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a cắt b. B. a // b. C.

a // b.

a b

D. a b.


ĐÁP ÁN C


Trang 751

Ví dụ 6: Cho

a,b

c

c a, c b

caét . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a cắt b. B. a // b. C.

a // b

a b.

D. a b.


ĐÁP ÁN C


Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong thì

vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong

B. Nếu đường thẳng thì vuông góc với hai đường thẳng trong

C. Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng nằm trong thì

D. Nếu và đường thẳng thì

Lời giải

Chọn C

Mệnh đề C sai vì thiếu điều kiện '' cắt nhau '' của hai đường thẳng nằm trong ( ).a Ví dụ:

đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và nằm trong nhưng và

song song với nhau thì khi đó chưa chắc vuông góc với

Câu 2: Trong không gian cho đường thẳng không nằm trong mặt phẳng , đường thẳng

được gọi là vuông góc với mp nếu:

A. vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp

B. vuông góc với đường thẳng mà song song với mp

C. vuông góc với đường thẳng nằm trong mp

D. vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp

Lời giải

d ( )a d

( ).a

( )d a^ d ( ).a

d ( )a ( ).d a^

( )d a^ ( )a a .d a^

c ( )a b c

a ( ).a

D ( )P D

( )P

( ).P

a a ( ).P

a ( ).P

( ).P

cb

a


Trang 752

Chọn D

Đường thẳng D được gọi là vuông góc với mặt phẳng ( )P nếu D vuông góc với mọi

đường thẳng trong mặt phẳng ( )P .(Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.

C. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

Lời giải

Chọn B

Mệnh đề ở câu B sai vì: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau, chéo nhau.

Câu 4: Cho hai đường thẳng phân biệt và mặt phẳng trong đó Chọn mệnh đề

sai trong các mệnh đề sau? A. Nếu thì B. Nếu thì

C. Nếu thì D. Nếu thì

Lời giải

Chọn D

`Mệnh đề D sai vì b có thể nằm trong ( )P .

Câu 5: Cho hai đường thẳng và mặt phẳng . Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề

sau: A. Nếu và thì . B. Nếu và thì .

, a b ( ),P ( ).a P^

( )b P^ .a b b a ( ).b P^

( )b PÌ .b a^ a b^ ( ).b P

, a b ( )P

( )a P^ b a^ ( )b P ( )a P ( )b P^ a b^

a

b

cc

b

a

a

Pb


Trang 753

C. Nếu và thì . D. Nếu và thì .

Lời giải

Chọn B

Mệnh đề A sai vì b có thể nằm trong ( )P .

Mệnh đề C sai vì b có thể cắt ( )P hoặc b nằm trong ( )P .

Mệnh đề D sai vì b có thể nằm trong ( ).P

Câu 6: Cho là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề

sau: A. Nếu và thì

B. Nếu vuông góc với mặt phẳng và thì

C. Nếu và thì

D. Nếu , và cắt thì vuông góc với mặt phẳng

Lời giải

Chọn D

Nếu a b^ và b c^ thì a c hoặc a cắt c hoặc a trùng c hoặc a chéo .c

( )a P b a^ ( )b P ( )a P b a^ ( )b P^

, , a b c

a b^ b c^ .a c

a ( )a ( )b a .a b^

a b b c^ .c a^

a b^ b c^ a c b ( ), .a c

a

Pb

a a

b

b PP

a

b

P

b bba

acc

P P P


Trang 754

Câu 7: Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

B. Qua một điểm cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường

thẳng cho trước.

C. Qua một điểm cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

D. Qua một điểm cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Lời giải

Chọn C

Mệnh đề C sai vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Câu 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Lời giải

Chọn D

O

O

O

b

ca

P

O

A

P

O


Trang 755

Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Câu 9: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

C. Với mỗi điểm và mỗi điểm thì ta có đường thẳng vuông góc với

giao tuyến của và

D. Nếu hai mặt phẳng và đều vuông góc với mặt phẳng thì giao tuyến của

và nếu có sẽ vuông góc với

Lời giải

Chọn D

Mệnh đề A sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Mệnh đề B sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.

Mệnh đề C sai vì đường thẳng AB có thể không vuông góc với giao tuyến.

Câu 10: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.

B. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và đường thẳng với vuông góc với

C. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và mặt

phẳng thì mặt phẳng song song với mặt phẳng .

( )A aÎ ( )B bÎ AB

d ( )a ( ).b

( )a ( )b ( )g d

( )a ( )b ( ).g

b

b ( ).P

a ( )P a

( )Q ( )P ( )Q

Q

P

B

O C

A

A

PR Q

O


Trang 756

D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và mặt

phẳng thì song song với .

Lời giải

Chọn A

Mệnh đề B sai vì hai góc này phụ nhau.

Mệnh đề C sai vì ( )P có thể trùng ( )Q .

Mệnh đề D sai vì a có thể trùng .b

Dạng 2. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Từ đó suy ra đường thẳng vuông góc với đường thẳng

1. Phương pháp

Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một ttrong các

cách sau

1.

a b ( )a c ( ) a ( )b c A

(a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau)

2. a / /b

a ( )b ( )

( a song song với một đường thẳng b vuông góc (P) )

3. a ( )

a ( )( ) / /( )

4. AB ( ) M | MA MB , ( ) là mặt phăng trung trực của AB

5.

ABC ( )MA MB MC MO ( )OA OB OC

Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ngoài 4 cách đã biết ở bài hai

đường thẳng vuông góc ta có thểm sử dụng thêm các cách sau

1. a ( )

a bb ( )

2. a / /( )

a bb ( )

3. a' hch (a)

b a b a'b

4. ABC,a AB

a BCa AC

a ( )P b

( )P a b


Trang 757


Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Kẻ BE vuông góc với

AC E AC . Khi đó:

A. BE SBC .

B. BE SAB .

C. BE SAC .

D. BE là đường phân giác của góc ABC .


ĐÁP ÁN C

Do SA BE, BE AC BE SAC .

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại C. Kẻ SA ABC , AE SC và AF SB . Khi đó:

A. AF// BC. B. AE SBC .

C. AF SBC . D SB AEF .


ĐÁP ÁN D

Ta có:

( ) ( )1BC AC

BC SAC BC AEBC SA

ìï ^ï ^ ^íï ^ïî

Theo giả thiết: ( )2SC AE^

Từ (1) và (2) suy ra AE SB mà AF SB SB AEF .

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và SA SC , SB SD.

Khi đó:


Trang 758

A. SO là đường cao của hình chóp.

B. Tam giác SBD vuông cân.

C. Tam giác SAC vuông cân.

D. 1

SO BD.2


ĐÁP ÁN A

O là tâm hình thoi O là trung điểm của AC, BD mà mỗi SAC, SBD cân

SO AC, SO BD SO ABCD SO là đường cao hình chóp.

Lưu ý: Tam giác SAC, SBD chỉ cân chứ không vuông

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA SC , SB SD. Gọi

I, J theo thứ tự là trung điểm của AB và BC thì

A. IJ SAD .

B. IJ SCD .

C. IJ SAC .

D. IJ SBD .


ĐÁP ÁN D

SAC, SBD cân SO ABCD


Trang 759

SO IJ

IJ // AC IJ BD

IJ SBD .

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB b và tam

giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy một điểm M với AM x 0 x a . Mặt phẳng qua M song song với AC và SB cắt BC, SB, SA lần lượt tại N, P, Q. Giá trị x để

MNPQS lớn

nhất bằng

A. a.

5 B.

a.

4 C.

a.

2

D.

a.

3

Phân tích: Trước hết ta phải xác định được MNPQ là hình chữ nhật

Vì // SB và //AC nên MNPQ là hình bình hành.

AC SO ( ACS )

AC BD ( )

caânñöôøng cheùo hình vuoâng

AC SBD

AC SB , mà MQ// SB MN MQ

Vậy MNPQ là hình chữ nhật.


ĐÁP ÁN C

Ta có: MN // AC

BM a xMN .AC .a 2 a x 2

BA a

SAB có: MQ // SB AM bx

MQ .SBAB a

MNPQ

b 2S MN.MQ a x x

a

Ta có:

2a x x a

a x x a x x2 4

MNPQ

S lớn nhất khi và chỉ khi a x x a

x .2


Câu 11: Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại Cạnh bên vuông góc với đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của và Khẳng định nào dưới đây sai?

A. B. C. D.

Lời giải

.S ABC ABC .C SA

,H K AB .SB

.CH AK^ .CH SB^ .CH SA^ .AK SB^


Trang 760

Chọn D

Vì H là trung điểm của AB , tam giác ABC cân suy ra .CH AB^

Ta có ( )SA ABC SA CH^ ^ mà CH AB^ suy ra ( ).CH SAB^

Mặt khác ( )AK SABÌ CH¾¾ vuông góc với các đường thẳng , , .SA SB AK

Và AK SB^ chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại .S .

Câu 12: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại cạnh bên vuông góc với

đáy. Gọi là chân đường cao kẻ từ của tam giác Khẳng định nào dưới đây là sai? A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Theo bài ra, ta có ( )SA ABC^ mà ( ) .BC ABC SA BCÌ ^

Tam giác ABC vuông tại ,B có AB BC^ ( ) .BC SAB BC AH^ ^

Khi đó ( ) .AH SB

AH SBC AH SCAH BC

ì ^ïï ^ ^íï ^ïî

K

H

A

BC

S

.S ABC ABC ,B SA

H A .SAB

.SA BC^ .AH BC^ .AH AC^ .AH SC^

H

A C

B

S


Trang 761

Nếu AH AC^ mà SA AC^ suy ra ( )AC SAH AC AB^ ^ (vô lý).

Câu 13: Cho tứ diện Gọi là trực tâm của tam giác và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Vì AH vuông góc với ( )mp BCD suy ra .AH CD^ ( )1

Mà H là trực tâm của tam giác BCD .BH CD ^ ( )2

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra ( ) .CD AH

CD ABH CD ABCD BH


Câu 14: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm Biết rằng

Khẳng định nào sau đây là đúng? A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Vì SA SC= SACD cân tại S mà O là trung điểm .AC SO AC ^

.ABCD H BCD AH

.CD BD^ .AC BD= .AB CD= .AB CD^

C

DB

A

.S ABCD ABCD .O ,SA SC= .SB SD=

( ).AB SAC^ .CD AC^ ( ).SO ABCD^ ( ).CD SBD^

C

A B

D

S


Trang 762

Tương tự, ta cũng có SO BD^ mà ( )AC BD O ABCDÇ = Ì ( ).SO ABCD ^

Câu 15: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm Cạnh bên vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây là sai? A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Vì SA vuông góc với ( ) .mp ABCD SA BD ^

Mà ABCD là hình thoi tâm O AC BD^ nên suy ra ( ).BD SAC^

Mặt khác ( )SO SACÌ và ( )SC SACÌ suy ra BD SO

BD SC

ì ^ïïíï ^ïî.

Và ,AD SC là hai đường thẳng chéo nhau.

Câu 16: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm Đường thẳng cuông góc với mặt đáy . Gọi là trung điểm của Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. B.

C. Tam giác vuông ở D. là mặt phẳng trung trực của

Lời giải

Chọn D

.S ABCD ABCD .O SA

.SA BD^ .SC BD^ .SO BD^ .AD SC^

O

C

S

B

DA

.S ABCD ABCD .O SA

( )ABCD I .SC

( ).IO ABCD^ .BC SB^

SCD .D ( )SAC

.BD


Trang 763

Vì ,O I lần lượt là trung điểm của ,AC SC suy ra OI là đường trung bình của tam giác

SAC OI // SA mà ( ) ( ).SA ABCD OI ABCD^ ^

Ta có ABCD là hình chữ nhật BC AB ^ mà SA BC^ suy ra .BC SB^

Tương tự, ta có được ( )( )

.CD AD

CD SDCD SA SA ABCD

ì ^ïï ^íï ^ ^ïî

Nếu ( )SAC là mặt phẳng trung trực của BD BD AC¾¾ ^ : điều này không thể xảy ra vì

ABCD là hình chữ nhật.

Câu 17: Cho hình chóp với đáy là hình thang vuông tại và , có , . Cạnh bên vuông góc với đáy , là trung điểm của . Chỉ ra

mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. B.

C. Tam giác vuông tại . D.

Lời giải

Chọn D

Từ giả thết suy ra ADCE là hình vuông .CE AB

CE AD a

ì ^ïïíï = =ïî

I

O

C

S

B

DA

.S ABCD ABCD A D AD CD a= =

2AB a= SA ( )ABCD E AB

( ).CE SAB^ ( ).CB SAC^

SDC D ( ).CE SDC^

C

EA B

D

S


Trang 764

Ta có ( )

( ). do

CE ABCE SAB

CE SA SA ABCD

ì ^ïï ^íï ^ ^ïî Do đó A đúng.

Vì 1

2CE AD a CE AB ABC= = = D vuông tại C CB AB ^ . Kết hợp với CB SA^ (do

( )SA ABCD^ ) nên suy ra ( ).CB SAC^ Do đó B đúng.

Ta có ( )

( ) . do

CD ADCD SAD CD SD

CD SA SA ABCD

ì ^ïï ^ ^íï ^ ^ïî Do đó C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ, suy ra D là đáp án sai.

Câu 18: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi lần lượt là đường cao của tam giác và tam giác Khẳng

định nào dưới đây là đúng? A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Vì SA vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD .SA BC^

Mà AB BC^ nên suy ra ( ) ( ).BC SAB BC AE SAB^ ^ Ì

Tam giác SAB có đường cao AE AE SB ^ mà ( ) .AE BC AE SBC AE SC^ ^ ^

Tương tự, ta chứng minh được AF SC^ . Do đó ( ).SC AEF^

Câu 19: Cho hình chóp có Gọi lần lượt là trực tâm các tam giác và

. Mệnh đề nào sau đây sai? A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

.S ABCD ABCD SA

,AE AF SAB .SAD

( ).SC AFB^ ( ).SC AEC^ ( ).SC AED^ ( ).SC AEF^

C

AD

B

S

F

E

SABC ( ).SA ABC^ , H K SBC

ABC

( ).BC SAH^ ( ).SB CHK^ ( ).HK SBC^ ( ).BC SAB^


Trang 765

Ta có ( ).BC SA

BC SAHBC SH

ì ^ïï ^íï ^ïî Do đó A đúng.

Ta có ( ) .CK AB

CK SAB CK SBCK SA


Mặt khác có .CH SB^ Từ đó suy ra ( ).SB CHK^ Do đó B đúng.

Ta có ( )( )

( ).BC SAH BC HK

HK SBCSB CHK SB HK

ìï ^ ^ï ^íï ^ ^ïî Do đó C đúng.

Dùng phương pháp lại trừ, suy ra D sai.

Câu 20: Cho hình lập phương Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có AA D A¢ ¢ là hình vuông suy ra .AD A D¢ ¢^ ( )1

Và .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ là hình lập phương suy ra .AB A D¢^ ( )2

HA C

B

S

MK

. .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ AC ¢

( ).A BD¢ ( ).A DC¢ ¢ ( ).A CD¢ ¢ ( ).A B CD¢ ¢

C'

B'A'

C

A B

D

D'


Trang 766

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra ( ) .A D ABC D A D AC¢ ¢ ¢ ¢ ¢^ ^

Lại có ABCD là hình vuông AC BD ^ mà ( )( )AA BD AA ABCD¢ ¢^ ^

( )BD AA C C BD AC¢ ¢ ¢ ^ ^ . Kết hợp với A D AC¢ ¢^ suy ra ( ).AC A BD¢ ¢^

Câu 21: Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau. Gọi là hình chiếu của

trên mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. B.

C. là trực tâm D.

Lời giải

Chọn D

( ) .OA OB

OA OBC OA BCOA OC

ì ^ïï ^ ^íï ^ïî Do đó A đúng. ( )1

Gọi .I AH BC= Ç

Theo giả thiết ta có ( ) .OH ABC OH BC^ ^ ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( ) .BC AOI BC OI^ ^

Tam giác vuông ,BOC ta có 2 2 2

1 1 1.

OI OB OC= +

Tam giác vuông ,AOI ta có 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1.

OH OA OI OA OB OC= + = + + Do đó B đúng.

Từ chứng minh trên ( ) .BC AOI BC AI^ ^ ( )3

Gọi .J BH AC= Ç Chứng mình tương tự ta có AC BJ^ . ( )4

Từ ( )3 và ( )4 , suy ra H là trực tâm .ABCD Do đó C đúng.

Vậy D là đáp án sai.

OABC , , OA OB OC H

O ( )ABC

.OA BC^2 2 2 2

1 1 1 1.

OH OA OB OC= + +

H .ABCD 2 2 2 23 .OH AB AC BC= + +

H

B

CO

A


Trang 767

Dạng 3. Xác định góc – hình chiếu – tính độ dài

1. Phương pháp

Bước 1: Tìm giao điểm O của a với .

Bước 2: Chọn A a và dựng AH , với

H .

Khi đó: AOH a,

Bước 3: Tính số đo của AOH dựa trên các hệ thức lượng trong tam giác.

Các trường hợp đặc biệt

0a ( ) a,( ) 90

0a / /( )a,( ) 0

a ( )

Chú ý: Nếu a,( ) thì 00 90


Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC có SA ABC và SA a, AB a 3 , tam giác SBC cân tại S.

a) Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC) là

A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .

b) Góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABC) là

A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .


Xác định góc và . Ta có:

SA ABC

AB SB (ABC)

AC SC (ABC)

laø hình chieáu cuûa treânlaø hình chieáu cuûa treân

SBA

SCA.

a) ĐÁP ÁN A

SA ABC SA AB SAB vuông tại A. Do đó:

SA a 1tan 30 .

AB a 3 3

a

OH

A


Trang 768

b) ĐÁP ÁN B

2

2 2 2 2 2SAB : SB SA AB a a 3 4a

Do đó: SB 2a SC SB 2a

Mặt khác: SA ABC SA AC SAC vuông tại A

SA a 1sin 30 .

SC 2a 2

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 . Cạnh

SA vuông góc với đáy và SA a.

a) Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là

A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .

b) Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) là

A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .

c) Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) là

A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .


Xác định góc và . Ta có:

SA ABCD

AB SB (ABCD)

AD SD (ABCD)

laø hình chieáu cuûa treânlaø hình chieáu cuûa treân

SBA

SDA

a) ĐÁP ÁN C

Góc giữa đường thẳng SB và mặt

phẳng (ABCD) là SBA

SA ABCD SAB vuông cân tại A

SBA 45 .

b) ĐÁP ÁN A

Góc giữa đường thẳng SD và mặt

phẳng (ABCD) là SDA

SA ABCD SAB vuông tại A

SA 3

tan 30 .AD 3

c) ĐÁP ÁN B


Trang 769

DA SAB SA là hình chiếu của SD trên (SAB) ASD

SAD vuông tại A AD

tan 3 60 .SA

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC a ,

AA ʹ a 2 và 5

cosBA ʹC6. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A A’C’C) bằng

A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .


ĐÁP ÁN A

Đặt AB x thì 2 2 2 2A ʹB A ʹC x 2a

Áp dụng định lí côsin trong A ʹBC , ta có:

2 2 2

2 2 2

2 2

A ʹB A ʹC BCcosBA ʹC

2A ʹB.A ʹC

2x 4a a 5x a

62 x 2a

Kẻ BH AC, khi đó BH AA ʹC ʹC

Suy ra góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng

(AA’C’C) là góc BA ʹH .

Trong tam giác vuông A’BH có

a 3

BH 12sinBA ʹH BA ʹH 30 .A ʹB 2a 3

Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết

AB 3cm, BC ʹ 3 2cm . Góc hợp bởi đường thẳng BC’ và mặt phẳng (ACC’A’) bằng

A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 .


ĐÁP ÁN D

Gọi H là trung điểm của cạnh AC, suy ra HC’ là hình

chiếu của BC’ lên mặt phẳng (ACC’A’)

Do đó BC ʹ, ACC ʹA ʹ BC ʹ,HC ʹ

Ta có tam giác BHC’ vuông tại H, cạnh

3 2

BH cm2

Ta có BH 1sinHC ʹB HC ʹB 30 .

BC ʹ 2

Vậy BC ʹ, ACC ʹA ʹ 30 .


Trang 770

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, A 60 . Chân

đường vuông góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của hai

đường chéo của đáy ABCD. Cho BBʹ a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .


ĐÁP ÁN C

Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.

Gọi O AC BD . Theo giả thiết ta có BʹO ABCD

BʹB ABCD B

BʹO ABCD , O ABCD

Hình chiếu B’B trên (ABCD) là OB

B ʹB, ABCD B ʹB,BO B ʹBO

Tam giác ABD có AB AD a , BAD 60 ABD là

tam giác đều a

OB2

Trong tam giác vuông B’OB: a

OB 12cosBʹOB BʹOB 60 .BBʹ a 2

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a. Hai mặt

phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng 28a 6

3.

Côsin của góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng

A. 19

.5 B.

6.

5 C.

6.

25

D. 19

.25


ĐÁP ÁN A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (SBC)

SHSD; SBC HSD cos SD; SBC cosDSH

SD

2

ABC

1 1 8a 6 4a 6S SA.AB SA.4a SA

2 2 3 3

D.SBC SBC

1V DH.S

3 và


Trang 771

D.SBC S.BCD BCD

3

1V V .SA.S

3

1 4a 6 1 32a 6. . .4a.4a

3 3 2 9

3 3

SBC

SBC

1 32a 6 32a 6DH.S DH

3 9 3S

Từ

BC ABBC SAB BC SB

BC SA

SBC

1 1S BC.SB .4a.SB 2a.SB

2 2

22

2 2 2 2 2

SBC

4a 6 80a 80 80SB SA AB 16a SB a S 2a

3 3 3 3

Thế vào (1) 3

2

32a 6 4a 10DH

5803.2a

3

22

2 2 2 24a 6 80a 80SD SA AD 16a SD a

3 3 3

22 2

2 2 2 80a 4a 10 304aSH SD HD

3 5 15

304a

304 SH 1915SA a cos SD; SBC .15 SD 580

a3


Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của Khẳng định nào dưới đây

là đúng?

A. // B. Góc giữa và bằng

C. D.

Lời giải

Chọn B

.S ABCD ABCD SA

, ,I J K , , .AB BC SB

( )IJK ( ).SAC SC BD 060 .

( ).BD IJK^ ( ).BD SAC^


Trang 772

Xét tam giác ,SBC có 1

2

BK BJ

BS BC= = suy ra JK song song với ( )1 .SC

Tam giác ,SAB có 1

2

BI BK

BA BS= = suy ra IK song song với ( )2 .SA

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra ( )mp IJK // ( ) ( ).mp SAC *

Vì ABCD là hình vuông BD AC ^ mà SA BD^ suy ra ( ).BD SAC^

Kết hợp với ( ),* ta được ( )BD IJK^ . Vậy góc giữa hai đường thẳng ,SC BD bằng 090 .

Câu 2: Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau. Khẳng định nào dưới đây

đúng?

A. Góc giữa và mặt phẳng là góc

B. Góc giữa và mặt phẳng là góc

C. Góc giữa và mặt phẳng là góc

D. Góc giữa và mặt phẳng là góc

Lời giải

Chọn B


� A sai, vì ( )CB BD

CB ABD BCB BA

ì ^ïï ^ íï ^ïî là hình chiếu của C trên ( ).mp ABD

J

K

I

C

AD

B

S

ABCD , ,AB BC BD

CD ( )ABD .CBD

AC ( )BCD .ACB

AD ( )ABC .ADB

AC ( )ABD .CBA

B D

C

A


Trang 773

Suy ra góc giữa CD và mặt phẳng ( )ABD là góc .CDB

� B đúng, vì ( )AB BC

AB BCD BAB BD

ì ^ïï ^ íï ^ïî là hình chiếu của A trên ( ).mp BCD

Suy ra góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng ( )BCD là góc .ACB

� C sai, vì ( )BD BA

BD ABC BBD BC

ì ^ïï ^ íï ^ïî là hình chiếu của D trên ( ).mp ABC

Suy ra góc giữa AD và mặt phẳng ( )ABC là góc .DAB

� D sai, vì B là hình chiếu của C trên ( )mp ABD suy ra góc giữa AC và mặt phẳng

( )ABD là góc .CAB


đáy. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là hình chiếu của trên Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. là trung điểm của cạnh

B. là trung điểm của cạnh

C. là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

D. là trọng tâm của tam giác

Lời giải

Chọn C

Ta có SA vuông góc với ( )mp ABC SA BC ^ mà AB BC^ suy ra ( )BC SAB^

BC SB ^ tam giác SBC vuông tại B O là trung điểm của .SC

Theo bài ra, ta có ( )OH ABC OH^ // SA H là trung điểm của .AC

Mà tam giác ABC vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .ABC

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác nhọn, cạnh bên . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng khi đó

A. là trực tâm của tam giác

.S ABC ABC ,B SA

O .SBC H O

( ).ABC

H .AB

H .BC

H .ABC

H .ABC

H

O

A C

B

S

.S ABC ABC SA SB SC= = H

S ( ),ABC

H .ABC


Trang 774

B. là trọng tâm của tam giác

C. là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

D. là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Lời giải

Chọn C

Vì H là hình chiếu vuông góc của S trên ( )mp ABC nên ta có

� Tam giác SAH vuông tại ,H có 2 2 2.SA AH SH= +

� Tam giác SBH vuông tại ,H có 2 2 2.SB BH SH= +

� Tam giác SCH vuông tại ,H có 2 2 2.SC CH SH= +

Kết hợp điều kiện SA SB SC= = suy ra HA HB HC= = nên H là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác .ABC

Câu 5: Cho hình chóp có và Gọi là hình

chiếu vuông góc của trên mặt phẳng khi đó

A. là trung điểm của B. là trọng tâm của tam giác

C. là trung điểm của D. là trung điểm của

Lời giải

Chọn D

H .ABC

H .ABC

H .ABC

H

A B

C

S

.S ABC 0 0 0120 , 60 , 90BSC CSA ASB= = = .SA SB SC= = I

S ( ),ABC

I .AB I

.ABC

I .AC I

.BC


Trang 775

Đặt .SA a= Tam giác SAB vuông cân tại ,S có 2 2 2.AB SA SB a= + =

Tam giác SAC cân tại ,S có 060CSA = suy ra .SA SC AC a= = =

Áp dụng định lí Cosin cho tam giác ,SBC ta có 2 2 2 2. . . cosBC SB SC SB SC BSC= + -

2 2 2 2 0 2 2 22 . cos120 3 3 .BC a a a a BC a AB AC = + - = = = +

Khi đó, tam giác ABC vuông tại A mà I là hình chiếu của S trên ( ).mp ABC

Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay chính là trung điểm .BC .

Câu 6: Cho hình hộp có đáy là hình thoi tâm , và

Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là

A. trung điểm của

B. trọng tâm của tam giác

C. tâm của hình thoi

D. trọng tâm của tam giác

Lời giải

Chọn B

Vì ABCD là hình thoi AB AD= mà 060BAD = suy ra tam giác ABD đều ( )1 .

IC B

A

S

.ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ ABCD O 060BAD =

.A A A B A D¢ ¢ ¢= = A ¢ ( )ABCD

.AO

.ABD

O .ABCD

.BCD

H

O

D'

C'B'

D

A'

A

CB


Trang 776

Ta có A A A B A D¢ ¢ ¢= = nên hình chiếu vuông góc của A ¢ trên mặt phẳng ( )ABCD trùng

với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ( )2 .ABD

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .ABD

Câu 7: Cho hình chóp có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là

A. tâm đường tròn nội tiếp tam giác

B. tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

C. trọng tâm của tam giác

D. giao điểm của hai đường thẳng và

Lời giải

Chọn A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ).ABCD

Gọi , ,M N P lần lượt là hình chiếu của S trên các cạnh , , .AB AC BC

Ta có ( ) ,SH AB

AB SHM AB HMSM AB

ì ^ïï ^ ^íï ^ïî tương tự ta được , .HN AC HP BC^ ^

Khi đó ( ) ( ) ( ) ; ; ,SAB ABC SM HM SMH= = tương tự suy ra .SMH SNH SPH = =

SMH SNH SPH HM HN NP HD =D =D = = là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

.ABC

Câu 8: Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau và ,

. Độ dài đoạn thẳng bằng

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn A

.S ABC

S ( )ABC

.ABC

.ABC

.ABC

AC .BD

NM

A C

B

S

H

P

ABCD , ,AB BC CD AB a= ,BC b CD c= =

AD

2 2 2 .a b c+ + 2 2 2 .a b c+ -

2 2 2 .a b c- + 2 2 2 .a b c- + +


Trang 777

Ta có ( )AB BC

AB BCDAB CD

ì ^ïï ^ íï ^ïî tam giác ABD vuông tại .B

Lại có ( )AB CD

CD ABCBC CD

ì ^ïï ^ íï ^ïîtam giác BCD vuông tại .C

Khi đó 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2.

AD AB BDAD AB BC CD AD a b c

BD BC CD

ìï = +ï = + + = + +íï = +ïî

Câu 9: Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau. Điểm nào dưới đây các

đều bốn đỉnh của tứ diện ?

A. Trung điểm của cạnh

B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

C. Trung điểm của cạnh

D. Trọng tâm của tam giác

Lời giải

Chọn C

.

Ta có ( )AB BC

AB BCDAB CD

ì ^ïï ^ íï ^ïî tam giác ABD vuông tại .B

Suy ra ,2

ADIA IB ID= = = với I là trung điểm của .AD ( )1

Lại có ( )AB CD

CD ABCBC CD

ì ^ïï ^ íï ^ïîtam giác ACD vuông tại .C

C

DB

A

ABCD , ,AB BC CD

, , ,A B C D ABCD

.BD

.ABC

.AD

.ACD

O

B D

C

A


Trang 778

Suy ra ,2

ADEA EC ED= = = với E là trung điểm của .AD ( )2

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra I Eº nên trung điểm của cạnh AD cách đều , , , .A B C D

Câu 10: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và độ dài các cạnh bên Gọi là trọng tâm của tam giác Độ dài đoạn thẳng bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Vì SA SB SC= = và G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra G là chân đường cao kẻ từ đỉnh S xuống mặt phẳng ( ).ABC

Gọi M là trung điểm của BC suy ra .2 2

BC aBM CM= = =

Tam giác ABC đều cạnh ,a có 3 1 3. .

3 2 3 6

AM a aGM = = =

Tam giác SBM vuông tại ,M có 2

2 2 2 .4

aSM SB MB b= - = -

Tam giác SGM vuông tại ,G có 2 2 2 2

2 2 2 9 3.

4 12 3

a a b aSG SM GM b

-= - = - - =

Câu 11: Cho hình vuông tâm cạnh bằng Trên đường thẳng qua và vuông góc với

mặt phẳng lấy điểm Biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

bằng Độ dài cạnh bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

.S ABC ABC a

.SA SB SC b= = = G .ABC SG

2 29 3.

3

b a+ 2 23.

3

b a- 2 29 3.

3

b a- 2 23.

3

b a+

M

AC

B

G

S

ABCD ,O 2 .a O

( )ABCD .S SA ( )ABCD

045 . SO

3.SO a= 2.SO a=3

.2

aSO =

2.

2

aSO =


Trang 779

Vì O là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ).ABCD

Suy ra OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ( )ABCD

Khi đó ( ) ( ) 0; ; 45SA ABCD SA OA SAO= = = tam giác SAO vuông cân. ( )1

Tam giác ABC vuông cân tại ,B có 22.

2 2

AC ABOA a= = = ( )2

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra 2.SO OA a= =

Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật có cạnh , . Hai mặt

bên và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh . Tính

góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Do ( )SA ABCD^ nên ( ) ( ) , , ,SC ABD SC ABCD SC AC SCA= = = .

Xét tam giác vuông SAC , ta có 2 2

tan 3SA SA

SCAAC AB BC

= = =+

.

Suy ra 060SCA = .

Câu 13: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tâm . Cạnh bên và vuông góc với mặt đáy . Gọi là góc giữa và mặt phẳng . Mệnh đề

nào sau đây đúng? A. B. C. . D.

Lời giải

Chọn A

Vì ( )SA ABCD^ nên hình chiếu vuông góc của SO trên mặt đáy ( )ABCD là AO . Do đó

( )( ) ( ) , , .SO ABCD SO OA SOA= =

Trong tam giác vuông SAO , ta có tan 2 2.SA

SOAOA

= =

O

C

AD

B

S

.S ABCD ABCD AB a= 2BC a=

( )SAB ( )SAD ( )ABCD 15SA a=

SC ( )ABD

030 045 060 090

.S ABC ABCD a O 2SA a=

( )ABCD j SO ( )ABCD

tan 2 2.j = 060 .j = tan 2.j = 045 .j =


Trang 780

Vậy SO hợp với mặt đáy ( )ABCD một góc nhọn j thỏa mãn tan 2 2j= .

Câu 14: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , tam giác là tam giác đều có cạnh bằng và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC , suy ra ( )SH ABC^ .

Vì ( )SH ABC^ nên HA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ( )ABC .

Do đó ( )( ) ( ) , ,SA ABC SA AH SAH= = .

● Tam giác SBC đều cạnh 2a nên 3.SH a=

● Tam giác ABC vuông tại A nên 1

.2

AH BC a= =

Tam giác vuông SAH , có tan 3SH

SAHAH

= = , suy ra 060SAH = .

Câu 15: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Gọi là góc giữa và mặt phẳng

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

.S ABC ABC A 60ABC = SBC

2a

SA ( )ABC

030 045 060 090

AB

C

S

H

.S ABCD ABCD a SAB a

( )ABCD j SD

( )ABCD

5cot .

15j= 15

cot .5

j= 030 .j =3

cot .2

j=


Trang 781

Gọi H là trung điểm AB , suy ra ( ).SH AB SH ABCD^ ^ Vì ( )SH ABCD^ nên hình

chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy ( )ABCD là HD .

Do đó ( ) ( ) , , .SD ABCD SD HD SDH= =

● Tam giác SAB đều cạnh a nên 3.

2

aSH =

● 2 2 5.

2

aHD AH AB= + =

Tam giác vuông SHD , có 5cot .

15

DHSDH

SH= =

Câu 16: Cho chóp đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi là góc giữa giữa

cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Gọi O là tâm mặt đáy ( )ABCD , suy ra ( )SO ABCD^ .

Vì ( )SO ABCD^ , suy ra OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ( )ABCD .

Do đó ( )( ) ( ) , , .SA ABCD SA AO SAO= =

Tam giác vuông SOA , có 2 2 14

tan .2

SO SB BOSAO

AO AO

-= = =

Câu 17: Cho tứ diện đều. Gọi là góc giữa và mặt phẳng . Chọn khẳng định

đúng trong các khẳng định sau?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

H

D

B C

A

S

.S ABCD 2 3 j

tan 7.j = 060 .j = 045 .j =14

tan .2

j=

ABCD a AB ( )BCD

3cos

3a=

3cos

4a= cos 0a=

3cos

2a=


Trang 782

Chọn A

Gọi H là trọng tâm tam giác đều ( ).BCD AH BCD ^

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện 3.

3

aABCD BH =

Khi đó 3cos .

3

BHABH

ABa a= = = .

Câu 18: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , cạnh bằng . Cạnh bên . Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của

của đoạn thẳng . Gọi là góc giữa và mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây

đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Vì ( )SH ABCD^ nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng ( )ABCD là HD .

Do đó ( ) ( ) , , .SD ABCD SD HD SDH= =

● Tính được 2 2 2.SH SA AH a= - =

● Trong tam giác ADH , có 2 2 02 . . cos 45 10.DH AH AD AH AD a= + - =

Tam giác vuông SHD , có 5tan .

5

SHSDH

HD= =

Câu 19: Cho lăng trụ có đáy là hình thoi cạnh , . Hình chiếu vuông góc của xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên

. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

.S ABCD ABCD O 4a

2SA a= S ( )ABCD H

AO a SD ( )ABCD

tan 5.a= tan 1.a= 5tan .

5a = tan 3.a=

O

H

D

B C

A

S

. ' ' ' 'ABCD A B C D a 060BAD =

'B

'BB a=030 045 060 090


Trang 783

Gọi O AC BD= Ç . Theo giả thiết ( )'B O ABCD^ .

Do đó ( ) ', ', 'BB ABCD BB BO B BO= = .

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a , suy ra 1

2 2

aBO BD= = .

Tam giác vuông 'B BO , có 01cos ' ' 60

' 2

BOB BO B BO

BB= = = .

Câu 20: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với . Hình chiếu

vuông góc của trên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác và . Gọi

lần lượt là trung điểm các cạnh và . Gọi là góc giữa đường thẳng

với mặt đáy . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có MN SB . Do đó ( ) ( ), ,MN ABCD SB ABCD= .

Do ( )SH ABCD^ nên ( ) ( ) , , ,MN ABCD SB ABCD SB HB SBH= = = .

D' C'

B'A'

O

D C

BA

.S ABCD ABCD ,AB a= 3AD a=

H S ABC2

aSH =

, M N BC SC a MN

( )ABCD

4tan .

3a=

3tan

4a= 2

tan3

a= tan 1a=

H

D

CB

A

S

M

N


Trang 784

Ta có 2 2 2BD AB AD a= + = ; 2

3 3

BD aBH = = .

Tam giác SHB , có 3tan

4

SHSBH

BH= = .

Câu 21: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh bằng , vuông góc với đáy. Gọi , lần lượt là trung điểm và . Tính góc giữa đường thẳng

với mặt phẳng , biết .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Kẻ MK SO , do ( )SO ABCD^ , suy ra ( )MK ABCD^ .

Do đó ( ) , ,MN ABCD MN NK MNK= = . Ta có 3 3 2

4 4

aCK CA= = .

Tam giác CNK , có 2 2 2

02 10cos 45

2 2 . 4

CN CK KN aKN

CN CK

+ -= = = .

Tam giác vuông MNK , có 01os 60 .

2c

NKMNK MNK

MN= = =

Câu 22: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Hai mặt phẳng và

cùng vuông góc với đáy và . Gọi là góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

.S ABCD ABCD O a SO

M N SA BC MN

( )ABCD10

2

aMN =

030 045 060 090

S

A B

CD

M

NK

O

.S ABCD ABCD a ( )SAB

( )SAC ( )ABCD 2SA a= j SB

( )SAD

5cos .

5j=

2 5cos .

5j= 060 .j = 030 .j =


Trang 785

Ta có ( )BA AD

BA SADBA SA

ì ^ïï ^íï ^ïî. Suy ra hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng

( )SAD là SA . Do đó ( ) ( ) , , .SB SAD SB SA BSA= =

Tam giác vuông SAB , ta có 2 2

2 5cos .

5

SB SABSA

SA SA AB= = =

+

Câu 23: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên và vuông góc với đáy. Gọi là góc giữa và mặt phẳng . Chọn khẳng định đúng

trong các khẳng định sau?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có ( )BC BA

BC SABBC SA

ì ^ïï ^íï ^ïî. Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng ( )SAB

là SB . Do đó ( ) ( ) , , .SC SAB SC SB CSB= =

Tam giác vuông SAB , có 2 2 7.SB SA AB a= + =

Tam giác vuông SBC , có 1tan .

7

BCCSB

SB= =

D

CB

A

S

.S ABCD ABCD a 6SA a=

a SC ( )SAB

1tan .

8a=

1tan .

7a= 030 .a=

1tan .

6a=

S

A

B C

D


Trang 786

Câu 24: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh bên vuông góc

với đáy, góc gữa và mặt đáy bằng . Gọi là góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Xác định ( ) 045 , ,SC ABCD SC AC SCA= = = , suy ra 2 2SA AC a= = .

Gọi O AC BD= Ç , ta có ( )DO AC

DO SACDO SA

ì ^ïï ^íï ^ïî nên hình chiếu vuông góc của SD trên

mặt phẳng ( )SAC là SO . Do đó ( ) , ,SD SAC SD SO DSO= = .

Ta có 12

2DO BD a= = ; 2 2 2 2 10SO SA AO SA DO a= + = + = .

Tam giác vuông SOD , có 5tan

5

ODDSO

OS= = .

Câu 25: Cho hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng , . Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

.S ABCD ABCD 2a SA

SC ( )ABCD045 j SD

( )SAC

5tan .

5j = tan 5.j = 060 .j = 045 .j =

O

S

A

B C

D

. ' ' ' 'ABCD A B C D ABCD 2 2

' 4AA = 'A C ( )' 'AA B B

030 045 060 090


Trang 787

Ta có ( )' ''

BC ABBC AA B B

BC AA

ì ^ïï ^íï ^ïî.

Do đó ( ) ( ) ' , ' ' ' , ' 'A C AA B B A C A B CA B= = .

Vì ( )' 'BC AA B B^ 'BC BA ^ nên tam giác 'A BC vuông tại B .

Tam giác vuông 'A BC , có 2 2

1tan ' .

' 3'

BC BCCA B

A B AA AB= = =

+

Vậy 'A C tạo với mặt phẳng ( )' 'AA B B một góc 030 .

Câu 26: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh

và . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây

đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Gọi .I HK AC= Ç Do , H K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK BD . Suy ra

HK AC^ . Lại có AC SH^ nên suy ra ( )AC SHK^ .

Do đó ( )( ) ( ) , , .SA SHK SA SI ASI= =

D'

C'B'

A'

D

CB

A

.S ABCD ABCD a SAB

, H K AB

AD j SA ( )SHK

tan 7.j =2

tan .4

j= 7tan .

7j=

14tan .

4j=

I

K

H

D

B C

A

S


Trang 788

Tam giác SIA vuông tại I , có 2 2

174tan .

7

ACAIASI

SI SA AI= = =

-

Câu 27: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , ,

. Cạnh bên và vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi M là trung điểm AD , suy ra ABCM là hình vuông nên CM AD^ .

Ta có ( )CM AD

CM SADCM SA


Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng ( )SAD là SM .

Do đó ( ) , ,SC SAD SC SM CSM= = .

Tam giác vuông SMC , có 0

2 2

1tan 30

3

CM ABCSM CSM

SM SA AM= = = =

+.

Câu 28: Cho hình chóp có đáy là hình vuông. Mặt bên là tam giác đều có đường cao vuông góc với mặt phẳng . Gọi là góc giữa và mặt phẳng

. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

.S ABCD ABCD A B AB BC a= =

2AD a= 2SA a= SC

( )SAD

030 045 060 090

S

A

B C

DM

.S ABCD ABCD SAB

SH ( )ABCD a BD

( )SAD

060 .a= 030 .a= 3cos .

2 2a =

3sin .

2 2a =


Trang 789

Gọi I là trung điểm SA . Do tam giác SAD đều nên .BI SA^ ( )1

Ta có ( ) .AD AB

AD SAD AD BIAD SH

ì ^ïï ^ ^íï ^ïî ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , ta có ( )BI SAD^ nên hình chiếu vuông góc của BD trên mặt phẳng ( )SAD

là .ID Do đó ( ) , , .BD SAD BD ID BDI= =

Tam giác BDI vuông tại I nên 3

32sin .2 2 2

ABBI

BDIBD AB

= = =

Câu 29: Cho hình lập phương . Gọi là góc giữa và mặt phẳng

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Gọi ' ' ; ' 'A C AC I C D CD HÇ = Ç = .

Ta có ( )' '

' ' '' ' '

C D CDC D A BCD IH

C D A D

ì ^ïï ^ íï ^ïî là hình chiếu vuông góc của 'AC trên mặt

phẳng ( )' 'A BCD .

I

S

A

CB

D

H

. ' ' ' 'ABCD A B C D a 'AC ( )' ' .A BCD

0 . 30a =2

tan .3

a= 0 .45a = tan 2.a=

HI

A

B C

D

A'

B' C'

D'


Trang 790

Do đó ( ) ( ) ', ' ' ' , ' ' ' , ' .AC A BCD C I A BCD C I HI C IH= = =

Trong tam giác vuông 'C HI , có 2

' 2tan ' 2.

2

ABC H

C IHABIH

= = =

Dạng 4. Thiết Diện

Phương pháp

Việc xác định thiết diện với một khối đa diện với một mặt phẳng vuông góc với một

đường thẳng cho trước, trước hết ta phải tìm được điểm chung của một mặt phẳng đã cho

với một mặt của khối đa diện, sau đó dựa vào mối quan hệ giữa tính song song và vuông

góc để tìm ra phương của giao tuyến giữa mặt đã cho và các mặt của khối đa diện.

Thường ta hay dùng hệ quả sau để tìm điểm chung

a b a ( )1)

( ) b a / /( )

;

O b a2) b ( )

O ( ) a

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng đi qua vuông góc

với . Tính diện tích của thiết diện tạo bởi với hình chóp đã cho.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi H là trung điểm .AB SH AB ^ Suy ra:

· ( )SH aÌ .

· ( )SH ABCD^ (do ( ) ( )SAB ABCD^ theo giao tuyến AB ).

Kẻ ( ) ( ) .HM AB M CD HM a^ Î Ì

.S ABCD ABCD AB a= 2BC a=SAB ( )a S

AB S ( )a2 3

.4

aS =

2 3.

2

aS = 2 3.S a=

2

.2

aS =

M

H

D

CB

A

S


Trang 791

Do đó thiết diện là tam giác SHM vuông tại H .

Ta có 3

2

aSH = , 2 .HM BC a= = Vậy

21 3 3. .2 .

2 2 2SHM

a aS aD = =

Câu 2: Cho hình chóp đều có đáy là tam giác đều cạnh , tâm ; . Gọi là điểm thuộc đoạn . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với .

Đặt . Tính diện tích của thiết diện tạo bởi với hình chóp .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Vì .S ABC là hình chóp đều nên ( )SO ABC^ (O là tâm của tam giác ABC ).

Do đó 'SO AA^ mà ( ) 'AAa ^ suy ra ( )SO a .

Tương tự ta cũng có ( )BC a .

Qua M kẻ IJ BC với , I AB J ACÎ Î ; kẻ MK SO với .K SAÎ

Khi đó thiết diện là tam giác .KIJ

Diện tích tam giác IJK là 1.

2IJKS IJ MKD = .

Trong tam giác ABC , ta có '

IJ AM

BC AA= suy ra . 2 3

' 3

AM BC xIJ

AA= = .

Tương tự trong tam giác SAO , ta có MK AM

SO AO= suy ra .

2 3AM SO

MK xAO

= = .

Vậy 21 2 3.2 3 2

2 3IJK

xS x xD = = .

.S ABC ABC a O 2SO a= M

( ) ;AO M A M O¹ ¹ ( )a M AO

AM x= S ( )a .S ABC

22 .S a= 22 .S x= ( )23.

2S a x= - ( )2

2 .S a x= -

K

J

IM O

S

A

B

C


Trang 792

Câu 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , và vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua và vuông góc với trung tuyến của tam giác . Tính diện tích

của thiết diện tạo bởi với hình chóp đã cho.

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi I là trung điểm .BC AI BC ^ Kẻ AK SI^ ( )K SIÎ .

Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt , SB SC lần lượt tạị , M N .

Khi đó thiết diện là tam giác .AMN

Ta có ( ) .BC AI

BC SAI BC AK MN AKBC SA

ì ^ïï ^ ^ ^íï ^ïî

Tam giác vuông SAI , có 2 2

. 21

7

SA AI aAK

SA AI= =

+.

Tam giác SBC , có 2 2

2 2 2

4 4.

7 7

MN SK SA SA aMN

BC SI SI SA AI= = = = =

+

Vậy 21 2 21

. .2 49AMN

aS AK MND = =

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , và vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua trung điểm của và vuông góc với . Tính diện tích của

thiết diện tạo bởi với hình chóp đã cho.

.S ABC ABC a SA a=

( )a A SI SBC

S ( )a22 21

.49AMN

aSD =

24 21.

49AMN

aSD =

2 21.

7AMN

aSD =

22 21.

7AMN

aSD =

N

M

K

S

A

B

C

I

.S ABC ABC a SA a=

( )a E SC AB S

( )a


Trang 793

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C

Gọi F là trung điểm AC , suy ra EF SA .

Do ( )SA ABC SA AB^ ^ nên EF AB^ . ( )1

Gọi , J G lần lượt là trung điểm , AB AG .

Suy ra CJ AB^ và FG CJ nên FG AB^ . ( )2

Trong SABD kẻ GH SA ( )H SBÎ , suy ra GH AB^ . ( )3

Từ ( )1 , ( )2 và ( )3 , suy ra thiết diện cần tìm là hình thang vuông EFGH .

Do đó ( )1.

2EFGHS EF GH FG= + .

Ta có 1

2 2

aEF SA= = ; 1 3

2 4

aFG CJ= = ; 3

.4

GH BG aGH BG

SA BA= = =

Vậy 21 3 3 5 3

.2 2 4 4 32EFGH

a a a aS

æ ö÷ç= + =÷ç ÷çè ø.

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , và vuông góc với

đáy. Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với . Tính diện tích của thiết diện

tạo bởi với hình chóp đã cho.

A. B.

25 3.

16EFGH

aS =

2 7.

32EFGH

aS =

25 3.

32EFGH

aS =

25 2.

16EFGH

aS =

J

H

G

E

C

B

A

S

F

.S ABC ABC a 2SA a=

( )a B SC S

( )a2 15

.10BIH

aSD =

2 5.

8BIH

aSD =


Trang 794

C. D.

Lời giải

Chọn D

Gọi I là trung điểm của AC , suy ra BI AC^ .

Ta có ( )BI AC

BI SAC BI SCBI SA

ì ^ïï ^ ^íï ^ïî. ( )1

Kẻ IH SC^ ( )H SCÎ . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( )SC BIH^ .

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác .IBH

Do ( )BI SAC BI IH^ ^ nên IBHD vuông tại I .

Ta có BI đường cao của tam giác đều cạnh a nên 3

2

aBI = .

Tam giác CHI đồng dạng tam giác CAS , suy ra

2 2

. . 5

5

IH CI CI SA CI SA aIH

SA CS CS SA AC= = = =

+.

Vậy 21 15

. .2 20BIH

aS BI IHD = =

Câu 6: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Mặt phẳng đi qua

và vuông góc với . Tìm hệ thức giữa và để cắt tại điểm nằm giữa

và .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

2 3.

12BIH

aSD =

2 15.

20BIH

aSD =

S

A

B

C

H

I

.S ABC a b ( )a

A SC a b ( )a SC1C

S C

2.a b> 3.a b> 2.a b< 3.a b<


Trang 795

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Do .S ABC là hình chóp đều nên ( )SG ABC^ .

Gọi 'C là trung điểm AB . Suy ra , ', C C G thẳng hàng.

Ta có ( )'

'AB CC

AB SCC AB SCSG AB

ì ^ïï ^ ^íï ^ïî. ( )1

Trong tam giác SAC , kẻ 1AC SC^ . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( )1SC ABC^ .

Suy ra thiết diện cần tìm là tam giác 1ABC thỏa mãn đi qua A và vuông góc với SC .

Tam giác SAC cân tại S nên để 1C nằm giữa S và C khi và chỉ khi 090ASC < .

Suy ra 2 2 2 2 2cos 0 0 2 0 2.ASC SA SC AC b a a b> + - > - > <

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại , đáy lớn , , vuông góc với mặt phẳng , . Gọi là trung điểm . Gọi là

mặt phẳng qua và vuông góc với . Thiết diện của và hình chóp có diện tích

bằng: A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

C'G

C1

S

A

B

C

.S ABCD ABCD A 8AD = 6BC =SA ( )ABCD 6SA = M AB ( )P

M AB ( )P

10 20 15 16

KI

NM

D

CB

A

S


Trang 796

Do ( ) ( ) .P AB P SA^

Gọi I là trung điểm của ( ).SB MI SA MI P Ì

Gọi N là trung điểm của ( ).CD MN AB MN P ^ Ì

Gọi K là trung điểm của SC IK BC , mà ( ).MN BC MN IK IK P Ì

Vậy thiết diện của ( )P và hình chóp là hình thang MNKI vuông tại M .

Ta có:

MI là đường trung bình của tam giác SAB 1

3.2

MI SA = =

IK là đường trung bình của tam giác SBC 1

3.2

IK BC = =

MN là đường trung bình của hình thang ABCD ( )17.

2MN AD BC = + =

Vậy . 15.2MNKI

IK MNS MI

+= =

Câu 8: Cho hình chóp đều có đáy là tam giác đều cạnh , tâm , đường cao ; . Gọi là điểm thuộc đoạn . Mặt phẳng đi qua và

vuông góc với . Đặt . Tính diện tích của thiết diện tạo bởi với hình

chóp .

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn A

Vì .S ABC là hình chóp đều nên ( )SO ABC^ (O là tâm của tam giác ABC ).

.S ABC ABC a O 'AA

2SO a= M ( )' ';OA M A M O¹ ¹ ( )a M

'AA AM x= S ( )a

.S ABC

( )2 22 8 6 3 3 .IJEFS x ax a=- - + ( )2 22 8 6 3 3 .IJEFS x ax a= - +

( )23.

2S a x= - ( )2

2 .S a x= -

F

E

N

A'

C

B

A

S

OM

I

J


Trang 797

Do đó 'SO AA^ mà ( ) 'AAa ^ suy ra ( )SO a .

Tương tự ta cũng có ( )BC a .

Qua M kẻ IJ BC với , I AB J ACÎ Î ; kẻ MN SO với '.N SAÎ

Qua N kẻ EF BC với , E SB F SCÎ Î .

Khi đó thiết diện là hình thang .IJFE

Diện tích hình thang ( )1

2IJEFS IJ EF MN= + .

Tam giác ABC , có . 2 3.

' ' 3

IJ AM AM BC xIJ

BC AA AA= = =

Tam giác SBC , có ( ).2 3 .

' ' '

EF SN OM OM BCEF x a

BC SA OA OA= = = = -

Tam giác 'SOA , có ( )' . '2 3 2 3 .

' '

MN MA SO MAMN a x

SO OA OA= = = -

Vậy ( )( ) ( )2 224 3 3 3 2 3 2 8 6 3 3 .

3IJEFS x a a x x ax a= - - =- - +

Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , . Cạnh bên và vuông góc với đáy. Mặt phẳng đi qua vuông góc với . Tính diện

tích của thiết diện tạo bởi với hình chóp đã cho.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Trong tam giác SAC , kẻ AI SC^ ( )I SCÎ .

Trong mp ( )SBC , dựng đường thẳng đi qua I vuông góc với SC cắt SB tại M .

Trong mp ( )SCD , dựng đường thẳng qua I vuông góc với SC cắt SD tại N .

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mp ( )a là tứ giác AMIN .

.S ABCD ABCD AB a= 3AD a=

2SA a= ( )a A SC

S ( )a2 6

.7AMIN

aS =

212 6.

35AMIN

aS =

26 6.

35AMIN

aS =

2 6.

5AMIN

aS =

N

M

I

D

CB

A

S


Trang 798

Ta có ( )SC SC AMa^ ^ . ( )1

Lại có ( )BC AB

BC SAB BC AMBC SA

ì ^ïï ^ ^íï ^ïî. ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( )AM SBC AM MI^ ^ .

Chứng minh tương tự, ta được AN NI^ .

Do đó 1 1

. .2 2AMIN AMI ANIS S S AM MI AN NID D= + = + .

Vì , , AM AI AN là các đường cao của các tam giác vuông , , SAB SAC SAD nên

2 2

. 2

5

SA AB aAM

SA AB= =

+;

2 2

.2

SA ACAI a

SA AC= =

+;

2 2

. 2 21

7

SA AD aAN

SA AD= =

+.

Suy ra 2 2 30

5

aMI AI AM= - = và 2 2 14

7

aNI AI AN= - = .

Vậy 21 2 30 2 21 14 12 6

. .2 5 7 7 355

AMIN

a a a a aS

æ ö÷ç ÷ç= + =÷ç ÷÷çè ø.

Câu 10: Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác vuông cân tại với ; và vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua là trung điểm của và vuông

góc với . Thiết diện tạo bởi với hình lăng trụ là:

A. Hình thang cân. B. Hình thang vuông.

C. Tam giác. D. Hình chữ nhật.

Lời giải

Chọn B

Gọi N là trung điểm AB MN AB ^ .

. ' ' 'ABC A B C ABC A 2BC a=

'AA a= ( )a M BC

'AB ( )a . ' ' 'ABC A B C

R

Q

N

M

C'B'

A'

CB

A


Trang 799

Ta có ( ) ( )' ' ' .'

MN ABMN ABB A MN AB MN

MN AAa

ì ^ïï ^ ^ Ìíï ^ïî

Từ giả thiết suy ra ' ' 'AB a AA ABB A= = là hình vuông ' 'BA AB ^ .

Trong mp ( )' 'ABB A kẻ 'NQ BA với 'Q AAÎ .

Trong mp ( )' 'ACC A kẻ QR AC với 'R CCÎ .

Vậy thiết diện là hình thang MNQR vuông (do MN và QR cùng song song với AC và

MN NQ^ ).


Trang 800

BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC


I. Góc giữa hai mặt phẳng

1. Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Nhận xét:

Cho hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q); 1 2

u , u lần lượt

là vectơ chỉ phương của a và b. Gọi là góc giữa (P) và (Q). Khi đó, ta có:

neáu

neáu

o

1 2 1 2

o o

1 2 1 2

u ,u u ,u 90

180 u ,u u ,u 90

Như vậy, góc giữa hai mặt phẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng o90 .

Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu nó nằm trên đường thẳng

vuông góc với (P).

2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến x, để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với x, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b. Lúc đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.

3. Định lí 1. Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên

mặt phẳng (P’) thì S ʹ Scos , trong

đó là góc giữa hai mặt phăng (P)

và (P’).

dt A ʹBC dt ABC .cos

II. Hai mặt phẳng vuông góc

1. Định nghĩa. Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng o90 .

Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, kí hiệu: P Q hay Q P .

oP Q 90 (Với là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)).


Trang 801

Từ định nghĩa trên ta suy ra: 1 2

P Q n n , với 1 2

n , n theo thứ tự là vectơ pháp tuyến của

(P) và (Q).

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

a) Định lí 2. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

P aP Q

a Q

Chú ý: Dùng định lí này để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.

b) Các hệ quả

Hệ quả 1

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

với nhau và A là điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

P Q

A P a P

A a, a Q

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào thuộc (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) sẽ vuông góc với mặt phẳng (Q).

P Q

P Q c a Q

a P , a c

Hệ quả 2. Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

P Q a

P R a R

Q R


Trang 802

Hệ quả 3. Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).

a không vuông góc với (P)

Q a! Q :

Q P.

III. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương

1. Hình lăng trụ đứng

a) Định nghĩa. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

b) Nhận xét. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

2. Hình lăng trụ đều

a) Định nghĩa. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

b) Nhận xét. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau. Ngoài ra, hình lăng trụ đều có các tính chất của hình lăng trụ đứng.

3. Hình hộp đứng

a) Định nghĩa. Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

b) Nhận xét. Trong hình hộp đứng bốn mặt bên đều là hình chữ nhật.

4. Hình hộp chữ nhật

a) Định nghĩa. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

b) Nhận xét. Tất cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.

5. Hình lập phương

Định nghĩa. Hình lập phương là hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông.

IV. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều


Trang 803

1. Định nghĩa đều

Định nghĩa. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là

đường cao của hình chóp.

Từ định nghĩa, suy ra:

Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi

đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy.

Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

2. Hình chóp cụt đều

Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.

Đoạn thẳng nối tâm của hai đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.

Từ định nghĩa suy ra: Các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân bằng nhau.



Câu 1: Cho hai mặt phẳng và song song với nhau và một điểm không thuộc và

. Qua có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với và ?

A. B. C. D. Vô số.

Lời giải

Chọn D

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với ( )P . Do ( ) ( ) ( )P Q d Q ^ .

Giả sử ( )R là mặt phẳng chứa d . Mà ( )( )

( ) ( )( ) ( )

d P R P

d Q R P

ì ìï ï^ ^ï ïí íï ï^ ^ï ïî î.

Có vô số mặt phẳng ( )R chứa d . Do đó có vô số mặt phẳng qua M , vuông góc với ( )P

và ( )Q .


A. Cho hai đường thẳng song song và và đường thẳng sao cho . Mọi

mặt phẳng chứa thì đều vuông góc với mặt phẳng .

( )P ( )Q M ( )P

( )Q M ( )P ( )Q

2. 3. 1.

a b c ,c a c b^ ^

( )a c ( ),a b


Trang 804

B. Cho , mọi mặt phẳng chứa thì .

C. Cho , mọi mặt phẳng chứa đều vuông góc với .

D. Cho , nếu và thì .

Lời giải

Chọn B

A sai. Trong trường hợp a và b trùng nhau, sẽ tồn tại mặt phẳng chứa a và b không

vuông góc với mặt phẳng ( )a chứa c .

C sai. Trong trường hợp a và b cắt nhau, mặt phẳng ( ),a b chứa b nhưng không vuông

góc với a .

D sai. Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và tréo nhau, nếu ( ) aa É , ( ) ba và

( ) bb É , ( ) ab thì ( ) ( )a b .


A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

B. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Lời giải

Chọn C

A sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).

B sai. Qua một đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

D sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.


A. Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến . Với

mỗi điểm thuộc và mỗi điểm thuộc thì ta có vuông góc với .

B. Nếu hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng thì giao tuyến của

và nếu có cũng sẽ vuông góc với .

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

D. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải

( )a a^ ( )b a ( ) ( )b a^

a b^ b a

a b^ ( )a aÌ ( )b bÌ ( ) ( )a b^

( )P ( )Q d

A ( )P B ( )Q AB d

( )P ( )Q ( )R

( )P ( )Q ( )R


Trang 805

Chọn B

A sai. Trong trường hợp a dÎ , b dÎ , khi đó AB trùng với d .

C sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).

D sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải

Chọn D

A sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng này, vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

B, C sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).


A. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.

D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Lời giải

Chọn C

A sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.

B sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.

D sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?


Trang 806

A. Cho đường thẳng vuông góc với đường thẳng và nằm trong mặt phẳng .

Mọi mặt phẳng chứa và vuông góc với thì vuông góc với .

B. Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng và mặt phẳng chứa , mặt

phẳng chứa thì vuông góc với .

C. Cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , mọi mặt phẳng chứa thì

vuông góc với .

D. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Lời giải

Chọn B

Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và tréo nhau, nếu ( )P aÉ , ( )P b và ( )Q bÉ ,

( )Q a thì ( ) ( )P Q .


A. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng góc nhọn giữa mặt phẳng và mặt

phẳng khi mặt phẳng song song với mặt phẳng .

B. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng góc nhọn giữa mặt phẳng và mặt

phẳng khi mặt phẳng song song với mặt phẳng hoặc .

C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.

D. Cả 3 mệnh đề trên đều đúng.

Lời giải

Chọn D

Câu 9: Trong khẳng định sau về lăng trụ đều, khẳng định nào sai?

A. Đáy là đa giác đều.

B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

C. Các cạnh bên là những đường cao.

D. Các mặt bên là những hình vuông.

Lời giải

Chọn D

Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình chữ nhật.


A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương.

B. Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.

C. Nếu hình hộp có bốn đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương.

a b b ( )P

( )Q a b ( )P ( )Q

a b ( )P a

( )Q b ( )P ( )Q

a ( )P ( )Q a ( )P

( )Q

( )P ( )Q ( )P

( )R ( )Q ( )R

( )P ( )Q ( )P

( )R ( )Q ( )R ( ) ( )Q Rº


Trang 807

D. Nếu hình hộp có sau mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương.

Lời giải

Chọn B

Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

1. Phương pháp

Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta dùng định lí: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

(P) a(P) (Q).

a (Q)

Như vậy, việc chứng minh hai mặt phẳng vuông góc quy về việc chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.


Ví dụ 1: Cho đường thẳng a và hai mặt phẳng (P) và (Q). Khẳng đinh nào sau đây đúng?

A.

a PQ P .

Q a B.

Q Pa Q .

a P

C.

P Qa Q .

a D. Có 2 câu đúng trong 3 câu trên.


ĐÁP ÁN A

Theo định lí: “Nếu P a và a Q thì P Q ” thì A đúng.

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến . Gọi a là đường thẳng nằm trong

(P). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu a thì a Q . B.

aa Q .

P Q

C. Nếu a Q thì P Q . D. Chỉ có 1 câu sai trong 3 câu trên.


ĐÁP ÁN D

a Pa Q

a: Sai. Vậy A sai.

aa Q

P Q: Đúng. Vậy B đúng.


Trang 808

a PP Q

a Q: Đúng. Vậy C đúng.

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là . A P và A Q .

Qua A, vẽ đường thẳng ʹ vuông góc với (Q). Khẳng đình nào sau đây sai ?

A. ʹ P . B. ʹ chéo .

C. ʹ . D. Có 2 câu đúng trong 3 câu trên.


ĐÁP ÁN B

Ta có:

P Q

A P ʹ P

ʹ Q

: Đúng. vậy A đúng.

Vì ʹ P và P nên ʹ chéo là sai. Vậy B sai.

ʹ Qʹ

Q: Đúng. Vậy C đúng.

Ví dụ 4: Cho đường thẳng a và hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến . Khẳng đinh


A.

a Pa Q .

a B.

caét

a Qa P .

a

C.

P Qa P .

a D. Cả 3 câu đều sai.


ĐÁP ÁN D

Thiếu giả thiết P Q nên A sai (hình 1).

Thiếu giả thiết nên B sai (hình 2).

Thiếu giả thiết cắt a nên C sai (hình 3).

Hình 1

Hình 2

Hình 3


Trang 809

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD và tam giác ABC vuông tại B. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. CB AD. B. AB BCD .

C. 2 2 2AC AB BC . D. Cả A, B, C đều đúng.


ĐÁP ÁN B

Vì ABC vuông tại B nên

AB BC và ABD vuông

tại B nên AB BD . Từ đó

suy ra AB BCD . Vậy B

đúng.

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC đều, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D, lấy điểm S. Để cho mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAC), SD có độ dài tính theo a bẳng

A. a 6

.2

B. a 3. C. a 3

.3

D. a 6.


ĐÁP ÁN A

Vì SD BCD nên SDB và SDC

vuông tại D.

Mà DB DC (ABCD là hình thoi)

nên SDB SDC . Suy ra, SB SC .

Mặt khác AB AC (ABC đều) nên

SAB SAC . Gọi I là chân đường

vuông góc hạ từ C trong SCA , ta có

SA IB và SA IC. Suy ra

SA BIC .

Để cho SAB SAC , ta phải có oBIC 90 .

Suy ra BC a

OI2 2

(O là trung điểm của BC).

AIO vuông tại I cho a 2

AI .2

AIO ADS∽ nên AD a 6

SD .IO SD .AI 2


Trang 810


Câu 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , vuông góc với đáy.

Gọi là trung điểm . Khẳng định nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn D

Tam giác ABC cân tại B có M là trung điểm .AC BM AC ^ Do đó A đúng.

Ta có ( )( ) ( ) ( ) ( )

do

BM ACBM SAC SBM SAC

BM SA SA ABC

ì ^ïï ^ ^íï ^ ^ïî. Do đó B đúng.

Ta có ( )( ) ( ) ( ) ( )

do

BC BABC SAB SBC SAB

BC SA SA ABC

ì ^ïï ^ ^íï ^ ^ïî. Do đó C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.

Câu 2: Cho tứ diện có và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam

giác đều, tam giác vuông tại . Gọi , lần lượt là trung điểm của và

. Khẳng định nào sau đây sai?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

.S ABC ABC B SA

M AC

.BM AC^ ( ) ( ).SBM SAC^

( ) ( ).SAB SBC^ ( ) ( ).SAB SAC^

S

A

B

CM

SABC SBC ABC

SBC ABC A H I BC

AB

.SH AB^ .HI AB^ ( ) ( ).SAB SAC^ ( ) ( ).SHI SAB^


Trang 811

Do SBC là tam giác đều có H là trung điểm BC nên SH BC^ .

Mà ( ) ( )SBC ABC^ theo giao tuyến ( ) .BC SH ABC SH AB ^ ^ Do đó A đúng.

Ta có HI là đường trung bình của ABCD nên .HI AC HI AB ^ Do đó B đúng.

Ta có ( ) ( ) ( ).SH AB

AB SHI SAB SHIHI AB

ì ^ïï ^ ^íï ^ïî Do đó D đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì C là đáp án sai.

Câu 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , mặt bên là tam giác

đều và mằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của . Mệnh đề

nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn B

Tam giác SA C đều có I là trung điểm của SC nên AI SC^ . Do đó A đúng.

A

B C

S

H

I

.S ABC ABC C SAC

I SC

.AI SC^ ( ) ( ).SBC SAC^

.AI BC^ ( ) ( ).ABI SBC^

S

A B

C

H

I


Trang 812

Gọi H là trung điểm AC suy ra SH AC^ . Mà ( ) ( )SAC ABC^ theo giao tuyến AC nên

( )SH ABC^ do đó SH BC^ . Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên

BC AC^ . Từ đó suy ra ( )BC SAC BC AI^ ^ . Do đó C đúng.

Từ mệnh đề A và C suy ra mệnh đề D đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì B là đáp án sai.

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , vuông góc với đáy. Gọi

lần lượt là hình chiếu của trên , và là giao điểm của với mặt

phẳng . Khẳng định nào sau đây sai?

A. B. C. D. Tam giác

đều.

Lời giải

Chọn D

Ta có ( )BC AB

BC SAB BC AHSA BC

ì ^ïï ^ ^íï ^ïî. Do đó A đúng.

Lại có AH SB^ . Từ đó suy ra ( )AH SBC AH SC^ ^ . ( )1

Lại có theo giả thiết SC AK^ . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( ) ( ) ( )SC AHK SBC AHK^ ^ . Do đó B đúng.

Ta có ( )( )

SC AHKSC AI

AI AHK

ìï ^ï ^íï Ìïî. Do đó C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.

Câu 5: Cho tam giác đều cạnh . Gọi là điểm đối xứng với qua . Trên đường

thẳng vuông góc với mặt phẳng tại lấy điểm sao cho . Gọi là

trung điểm ; kẻ vuông góc . Khẳng định nào sau đây sai?

.S ABC ABC B SA

, H K A SB SC I HK

( )ABC

.BC AH^ ( ) ( ).AHK SBC^ .SC AI^

IAC

H

C

B

A

S

K

I

ABC a D A BC

( )ABC D S6

2

aSD = I

BC IH SA ( )H SAÎ


Trang 813

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên .BC AD^

Ta có ( )BC AD

BC SAD BC SABC SD

ì ^ïï ^ ^íï ^ïî.

Lại có theo giả thiết IH SA^ . Từ đó suy ra ( )SA HCB SA BH^ ^ . Do đó A đúng.

Tính được 3

2

aAI = , 2 3AD AI a= = , 2 2 2 3 2

.2

aSA AD SD= + =

Ta có .

2 2

IH AI AI SD a BCAHI ADS IH

SD AS ASD D = = = = ∽ tam giác HBC có trung tuyến

IH bằng nửa cạnh đáy BC nên 090BHC = hay BH HC^ . Do đó D đúng.

Từ mệnh đề A và D suy ra mệnh đề C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì B là đáp án sai.

Dạng 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng

1. Phương pháp

Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến x, để xác định góc giữa chúng, ta chỉ

việc xét một mặt phẳng (K) vuông góc với x lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a và b. Lúc đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.

Để tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thường làm như sau:

– Xác định một điểm A trên (P), vẽ AH Q (tại H).

– Vẽ HO x tại O thì AO x.

– Góc oOA,OH 90 là góc cần tìm.

.SA BH^ ( ) ( ).SDB SDC^ ( ) ( ).SAB SAC^ .BH HC^

S

AB

CD

I

H


Trang 814


Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)

và SA a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

A. o30 . B. o45 . C. o60 .

D. o90 .


ĐÁP ÁN A

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

(ABC).

Kẻ đường cao AH của ABC, ta có:

BC AH , AH là hình chiếu của SH trên

mặt phẳng (ABC) nên suy ra BC SH .

Vậy SHA.

Tam giác SHA vuông tại A có: SA a,

AH a 3 (đường cao của tam giác đều

ABC).

Suy ra: oSA a 3tan 30 .

AH 3a 3

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên a 21

SA .6

Giá trị

góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

A. o30 . B. o45 . C. o60 .

D. o90 .


ĐÁP ÁN C

Xác định góc . Gọi G là trọng tâm của ABC ,

ta có SG ABC . Kẻ AM BC thì trọng tâm

G của ABC thuộc AM.

GM là hình chiếu của SM trên mặt phẳng (ABC)

nên BC SM. Suy ra góc cần tìm là SMG.

Tính . Ta có: a 3

AM2

(đường cao của tam

giác đều ABC, cạnh a), suy ra


Trang 815

1 a 3

GM AM .3 6

Tam giác SMB vuông tại M nên:

2 2 22 2 2 a 21 a a a

SM SB BM SM .6 2 3 3

Tam giác SGM vuông tại G nên:

oGM a 3 3 1cos . 60 .

SM 6 a 2

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 3.

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’C’), thì cos có giá trị bằng

A. 5.

5 B.

6.

6 C.

3.

3

D. 3.

4


ĐÁP ÁN A

Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ đều nên B và C là hình chiếu vuông góc của B’ và C’ trên (ABC).

Tam giác AB’C’ cân tại A. Gọi I là trung điểm của B’C’ thì AI BʹC ʹ.

Ta có AA ʹ A ʹB ʹC ʹ AA ʹ A ʹI AA ʹI vuông tại A’.

Do đó: 2 2

2 2 2 2 3a 15aAI AA ʹ A ʹI 3a .

4 4

Suy ra a 15

AI .2

+ Diện tích 21 a 15

ABʹC ʹ : S B ʹC ʹ.AI .2 4

+ Diện tích 2a 3

ABC : S ʹ .4

Áp dụng công thức diện tích hình chiếu của đa giác, ta có:

2

2

S ʹ a 3 4 5cos . .

S 4 5a 15


Trang 816

Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác O.ABC có OA, OB, OC vuông góc đôi một. Gọi , , là các

góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA). Tổng

2 2 2cos cos cos có giá trị bằng

A. 2. B. 3.

2 C. 1.

D. 1.

2


ĐÁP ÁN C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (ABC).

Đặt OA a, OA b, OC c và OH h.

Kéo dài CH cắt AB tại I, ta chứng minh được

AB OCI và 2 2 2 2

1 1 1 1.

h a b c

Suy ra góc giữa (ABC) và (OAB) là OIC .

Trong OCI ta có: OIC COH (góc có

cạnh tương ứng vuông góc).

Trong OCH ta có: OH h

cos .OC c

Chứng minh tương tự: h h

cos , cos .a b

Do đó

2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

h h h 1 1 1cos cos cos h 1.

a b c a b c

Chú ý: Có thể chứng minh bài toán bằng cách dùng công thức diện tích hình chiếu như sau:

Gọi S, 1 2 3

S , S , S lần lượt là diện tích các tam giác ABC, OAB, OBC, OCA.

Do OC OAB nên OAB là hình chiếu vuông góc của ABC lên (OAB).

Ta có: 1

S Scos .

Mặt khác HAB là hình chiếu vuông góc của OAB lên (ABC) nên:

2HAB OAB 1

S S .cos S cos Scos .

Chứng minh tương tự: 2 2

HBC HCAS Scos ; S Scos .

Do đó: 2 2 2

HAB HBC HCAS S S Scos Scos Scos .

Hay 2 2 2 2 2 2S S cos cos cos cos cos cos 1.


Trang 817

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại B, AB a.

Để góc tạo bởi (AB’C’) và (ABC) bằng o60 thì độ dài cạnh bên của lăng trụ bằng bao nhiêu?

A. a. B. a 3. C. 2a.

D. a 5.


ĐÁP ÁN B

Ta có BC AB và BC BBʹ nên BC ABBʹA ʹ .

Mà BʹC ʹ // BC nên B ʹC ʹ ABB ʹA ʹ . Suy ra:

BʹC ʹ ABʹ ABʹC ʹ vuông tại B’.

Gọi S là diện tích của ABʹC ʹ và S’ là diện

tích ABC.


2

o a 1S ʹ Scos60 S.

2 2. Do đó

2S a .

Mà 1

S BʹC ʹ.ABʹ ABʹ 2a.2

Từ tam giác ABB’ vuông tại B ta có:

2 2 2 2 2 2BBʹ ABʹ AB 4a a 3a BBʹ a 3.


Câu 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , tam giác là

tam giác đều có bằng cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi là góc giữa

hai mặt phẳng và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

.S ABC ABC A 60ABC = SBC

2a j

( )SAC ( )ABC

060 .j = tan 2 3.j =3

tan .6

j=1

tan .2

j=


Trang 818

Gọi H là trung điểm của BC , suy ra ( )SH BC SH ABC^ ^ .

Gọi K là trung điểm AC , suy ra HK AB nên HK AC^ .

Ta có ( ) .AC HK

AC SHK AC SKAC SH


Do đó ( ) ( ) ( ) , , .SAC ABC SK HK SKH= =

Tam giác vuông ABC , có 1.cos .

2 2

aAB BC ABC a HK AB= = = =

Tam giác vuông SHK , có tan 2 3SH

SKHHK

= = .

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Cạnh bên và vuông

góc với mặt đáy . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Mệnh đề nào

sau đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Gọi M là trung điểm của BC , suy ra AM BC^ .

Ta có ( )AM BC

BC SAM BC SMBC SA


AB

C

S

H K

.S ABC ABC a 3SA a=

( )ABC j ( )SBC ( )ABC

030 .j = 5sin .

5j= 060 .j = 2 5

sin .5

j=

S

A

B

C

M


Trang 819

Do đó ( ) ( ) ( ) , , .SBC ABC SM AM SMA= =

Tam giác ABC đều cạnh a , suy ra trung tuyến 3.

2

aAM =

Tam giác vuông SAM , có 2 2

2 5sin .

5

SA SASMA

SM SA AM= = =

+

Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , cạnh . Đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính góc giữa hai mặt phẳng

và .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Gọi Q là trung điểm BC , suy ra OQ BC^ .

Ta có ( ) .BC OQ

BC SOQ BC SQBC SO


Do đó ( ) ( ) , , .SBC ABCD SQ OQ SQO= =

Tam giác vuông SOQ , có tan 3.SO

SQOOQ

= =

Vậy mặt phẳng ( )SBC hợp với mặt đáy ( )ABCD một góc 060 .

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , cạnh , góc ,

. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và Mệnh đề nào

sau đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

.S ABCD ABCD O a SO

( )ABCD3

2

aSO = ( )SBC

( )ABCD

030 045 060 090

.S ABCD ABCD I a 060BAD =

3

2

aSA SB SD= = = j ( )SBD ( ).ABCD

tan 5.j =5

tan .5

j =3

tan .2

j= 045 .j =

HI

S

D

CB

A QO

S

D C

BA


Trang 820

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a .

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( )ABCD . Do SA SB SD= = nên suy ra H cách

đều các đỉnh của tam giác ABD hay H là tâm của tam gác đều ABD .

Suy ra 1 3

3 6

aHI AI= = và 2 2 15

.6

aSH SA AH= - =

Vì ABCD là hình thoi nên HI BD^ . Tam giác SBD cân tại S nên SI BD^ .

Do đó ( ) ( ) , ,SBD ABCD SI AI SIH= = .

Trong tam vuông SHI , có tan 5.SH

SIHHI

= =

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông vuông tại và ,

. Cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng Gọi là góc giữa

hai mặt phẳng và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi M là trung điểm AB ADCM là hình vuông2

ABCM AD a= = = .

Suy ra tam giác ACB có trung tuyến bằng nửa cạnh đáy nên vuông tại C .

Ta có ( ) .BC SA

BC SAC BC SCBC AC


Do đó ( ) ( ) , , .SBC ABCD SC AC SCA= =

Tam giác SA C vuông tại A 2tan .

2

SA

ACj = =

Câu 6: Cho hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi là trung điểm . Tính

góc giữa hai mặt phẳng và .

.S ABCD ABCD A D 2 ,AB a=

AD CD a= = SA a= ( ).ABCD j

( )SBC ( )ABCD

2tan .

2j= 045 .j = 060 .j = 030 .j =

M

D C

BA

S

.S ABCD a M SC

j ( )MBD ( )ABCD


Trang 821

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Gọi 'M là trung điểm ( )' ' .OC MM SO MM ABCD ^

Theo công thức diện tích hình chiếu, ta có ' cos .M BD MBDS SjD D=

0' . 2cos 45 .

. ' ' 2M BD

MBD

S BD MO MO

S BD M O M Oj jD

D

= = = = =

Câu 7: Trong không gian cho tam giác đều và hình vuông cạnh nằm trên hai mặt

phẳng vuông góc. Gọi lần lượt là trung điểm của , . Gọi là góc giữa hai

mặt phẳng và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SCD là đường thẳng d đi qua

S và song song với AB .

Trong mặt phẳng ( )SAB có .SH AB SH d^ ^

90 .j= 60 .j= 45 .j= 30 .j=

M'

M

A

B C

D

S

O

SAB ABCD a

,H K AB CD j

( )SAB ( )SCD

2tan .

3j =

2 3tan .

3j=

3tan .

3j=

3tan .

2j=

KH

D

CB

A

S

d


Trang 822

Ta có ( ) .CD HK

CD SHK CD SK d SKCD SH

ì ^ïï ^ ^ ^íï ^ïî

Từ đó suy ra ( ) ( ) , , .SAB SCD SH SK HSK= =

Trong tam giác vuông SHK , có 2 3tan .

3

HKHSK

SH= =

Câu 8: Cho hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi là góc giữa hai mặt

phẳng và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Gọi O AC BD= Ç . Do hình chóp .S ABCD đều nên ( )SO ABCD^ .

Gọi M là trung điểm của SD . Tam giác SCD đều nên CM SD^ .

Tam giác SBD có SB SD a= = , 2BD a= nên vuông tại .S SB SD OM SD ^ ^

Do đó ( ) ( ) , ,SBD SCD OM CM= .

Ta có ( )OC BD

OC SBD OC OMOC SO


Tam giác vuông M OC , có tan 2OC

CMOOM

= = .

Câu 9: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , . Hình chiếu

vuông góc của trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

và . Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

.S ABCD a j

( )SBD ( )SCD

tan 6.j =2

tan .2

j =3

tan .2

j= tan 2.j =

O

M

B

D

C

A

S

.S ABC ABC A AB AC a= =

H S ( )ABC ABC

6

2

aSH = j SB AC

2cot .

4j= cot 7.j =

7cot .

7j=

14cot .

4j=


Trang 823

Gọi H là trung điểm BC . Tam giác ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC . Theo giả thiết, ta có ( )SH ABC^ .

Qua B kẻ Bx AC . Khi đó , ,SB AC SB Bx= .

Kẻ HE Bx^ tại E , cắt AC tại M .

Suy ra AMEB là hình chữ nhật nên

1

2 21

2 2

aBE AM AC

aHE HM AB

ìïï = = =ïïïíïï = = =ïïïî

.

Ta có ( )Bx HE

Bx SHE Bx SEBx SH


Tam giác vuông SEB , có 2 2

7cot

7

BE AMSBE

SE SH HE= = =

+.

Câu 10: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại . Gọi là trung điểm

. Biết rằng vuông góc với mặt phẳng và Tính cosin của góc

tọa bởi hai mặt phẳng và .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

E

M

H

S

CB

A

.S ABC ABC C H

AB SH ( )ABC .AB SH a= =

a ( )SAB ( )SAC

1cos .

3a= 2

cos .3

a=3

cos .3

a =2

cos .3

a=


Trang 824

Ta có ( )SH ABC SH CH^ ^ . ( )1

Tam giác ABC cân tại C nên CH AB^ . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( )CH SAB^ .

Gọi I là trung điểm AC BC ACHI BC HI AC^¾¾ ¾¾¾¾ ^ . ( )3

Mặt khác AC SH^ (do ( )SH ABC^ ). ( )4

Từ ( )3 và ( )4 , suy ra ( )AC SHI^ .

Kẻ ( ) HK SI K SI^ Î . ( )5

Từ ( )AC SHI AC HK^ ^ . ( )6

Từ ( )5 và ( )6 , suy ra ( )HK SAC^ .

Vì ( )( )

HK SAC

HC SAB

ìï ^ïíï ^ïî nên góc giữa hai mặt phẳng ( )SAC và ( )SAB bằng góc giữa hai đường

thẳng HK và HC .

Xét tam giác CHK vuông tại K , có 1

2 2

aCH AB= = ;

2 2 2

1 1 1

3

aHK

HK SH HI= + = .

Do đó 2cos .

3

HKCHK

CH= =

Nhận xét. Bài làm sử dụng lý thuyết ''( )( )

( ) ( ) 1

1 2

2

, ,d

d dd

aa b

b

ìï ^ï =íï ^ïî'' . Nếu ta sử dụng lý

thuyết quen thuộc '' góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến '' thì rất khó.


đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và Góc giữa hai mặt phẳng

và là

S

K

I

H

C

B A

.S ABC ABC ,B SA

,E F AB .AC

( )SEF ( )SBC


Trang 825

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Gọi ( )d là đường thẳng đi qua S và song song với .EF

Vì EF là đường trung bình tam giác A BC suy ra EF // BC .

Khi đó ( )d // EF // BC ( ) ( ) ( ) ( )1 .SEF SBC dÇ =

Ta có ( )( )SA BC SA ABC

AB BC

ìï ^ ^ïíï ^ïî suy ra ( ) ( )2 .

BC SEBC SAB

BC SB

ì ^ïï^ íï ^ïî

Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra ( )( )

( ) ( ) ( ) ; ; .d SE

SEF SBC SE SB BSEd SB

ìï ^ï = =íï ^ïî

Câu 12: Cho hai tam giác và nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và

Với giá trị nào của thì hai mặt phẳng và

vuông góc.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

.CSF .BSF .BSE .CSE

E

F

B

CA

S

ACD BCD

, 2 .AC AD BC BD a CD x= = = = = x ( )ABC ( )ABD

3.

3

a .2

a 2.

2

a.

3

a

M

N

B

C

D

A


Trang 826

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của , .AB CD

Ta có AN CD^ mà ( ) ( )ACD BCD^ suy ra ( ) .AN BCD AN BN^ ^

Tam giác ABC cân tại ,C có M là trung điểm của AB suy ra .CM AB^

Giả sử ( ) ( )ABC BCD^ mà CM AB^ suy ra ( ) .CM ABD CM DM^ ^

Khi đó, tam giác M CD vuông cân tại M 2 .2 2

AB CDMN AB CD x = = = =

Lại có 2 2 2 2 ,AN BN AC AN a x= = - = - mà 2 2 2.AB AN BN= +

Suy ra ( )2 2 2 2 2 32 4 3 .

3

aa x x a x x- = = =

Câu 13: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Cạnh bên và vuông

góc với mặt phẳng Xác định để hai mặt phẳng và tạo với nhau

một góc

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Từ A kẻ AH vuông góc với ( ).SB H SBÎ

Ta có ( )SA BC

BC SAB BC AHAB BC

ì ^ïï ^ ^íï ^ïî mà AH SB^ suy ra ( ).AH SBC^

Từ A kẻ AK vuông góc với ( ),SD K SDÎ tương tự, chứng minh được ( ).SK SCD^

Khi đó ( )SC AHK^ suy ra ( ) ( ) ( ) 0; ; 60 .SBC SCD AH AK HAK= = =

Lại có SAB SAD AH AKD =D = mà 060HAK = suy ra tam giác AHK đều.

Tam giác SAB vuông tại ,S có 2 2 2 2 2

1 1 1.

xaAH

AH SA AB x a= + =

+

Suy ra 2 2

2 22 22 2

.x SH x

SH SA AHSB x ax a

= - = =++

.S ABCD ABCD .a SA x=

( ).ABCD x ( )SBC ( )SCD

060 .

3.

2

ax = .

2

ax = .x a= 2 .x a=

H

K

C

A

D

B

S


Trang 827

Vì HK // BD suy ra 2

2 2 2 2 2 2

1.

2. 2

SH HK x xa xx a

SB BD x a x a a x a= = = =

+ + +

Câu 14: Cho hình lăng trụ tứ giác đều có đáy cạnh bằng góc giữa hai mặt

phẳng và có số đo bằng Độ dài cạnh bên của hình lăng trụ bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Vì .ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ là lăng trụ tứ giác đều ( )AB BBAB BB C B

AB BC

ì ¢^ïï ¢ ¢ ^íï ^ïî.

Khi đó

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

ABC BB C B BC

ABCD BB C B BC

ABC ABCD AB

ì ¢ ¢ ¢ ¢ï Ç =ïïïï ¢ ¢Ç =íïïï ¢ Ç =ïïî

suy ra ( ) ( ) ( ) 0; ; 60 .ABC ABCD BC BC C BC¢ ¢ ¢= = =

Đặt ,AA x¢ = tam giác BCC ¢ vuông tại ,C có 0tan tan 60 . 3.CC

C BC x a aBC

¢¢ = = =

Câu 15: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

Tính độ dài đường cao của khối chóp.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

.ABCD A B C D¢ ¢ ¢ ¢ ,a

( )ABCD ( )ABC ¢ 060 .

2 .a 3 .a 3.a 2.a

B'

C'D'

CD

BA

A'

.S ABC ,a 060 .

SH

3.

2

aSH = 2

.3

aSH = .

2

aSH =

3.

2

aSH =

M

A C

B

H

S


Trang 828

Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh S xuống mặt phẳng ( ).ABCD

Vì .S ABC là hình chóp đều có SA SB SC= = nên suy ra H chính là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác .A BC

Gọi M là trung điểm của ,BC ta có ( )BC AM

BC SAMBC SH


Khi đó ( ) ( ) ( ) 0; ; 60SBC ABC SM AM SMA= = = .

Tam giác ABC đều có 2 2 3 3.

2 3 6

a AM aAM AB MB HM= - = = =

Tam giác AHM vuông tại ,H có 0 3tan tan 60 . .

6 2

SH a aSMA SH

HM= = =

Vậy độ dài đường cao .2

aSH =

Dạng 4. Thiết diện

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , đáy lớn ; cạnh

bên vuông góc với đáy. Gọi là điểm trên cạnh và ; là điểm

trên đoạn và . Mặt phẳng qua và vuông góc với mặt phẳng .

Thiết diện tạo bởi với hình chóp đã cho là:

A. tam giác. B. hình thang cân.

C. hình thang vuông. D. hình bình hành.

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )AB AD

AB SADAB SA

ì ^ïï ^íï ^ïî. Mà ( ) ( )SADa ^ suy ra ( )AB a .

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N .

Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB tại P .

Khi đó thiết diện là hình thang MNPQ (do MN PQ ).

.S ABCD ABCD A D AB

SA Q SA ,Q A¹ Q S¹ M

AD M A¹ ( )a QM ( )SAD

( )a

A B

CD

S

P

N

M

Q


Trang 829

Vì ( )AB SAD^ suy ra ( )MN SAD^ nên MN EM^ .

Do đó thiết diện MNPE là hình thang vuông tại E và M .

Câu 2: Cho hình chóp đều . Mặt phẳng qua , song song với và vuông góc với

mặt phẳng . Thiết diện tạo bởi với hình chóp đã cho là:

A. tam giác đều. B. tam giác cân. C. tam giác vuông. D. tứ giác.

Lời giải

Chọn B

Gọi I là trung điểm BC .

Trong tam giác SAI kẻ AH SI^ ( )H SIÎ .

Trong tam giác SBC , qua H kẻ đường song song với BC , cắt SC ở M , cắt SB ở N .

Qua cách dựng ta có ( ).BC AMN ( )1

Ta có ( )

( ) ( ) ( ). do

SI AHSI AMN SBC AMN

SI MN SI BC

ì ^ïï ^ ^íï ^ ^ïî ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra thiết diện cần tìm là tam giác AMN .

Dễ thấy H là trung điểm của MN mà ( )AH SBC^ suy ra AH M N^ . Tam giác AMN có

đường cao AH vừa là trung tuyến nên nó là tam giác cân đỉnh A .

Câu 3: Cho hình chóp đều . Mặt phẳng qua và vuông góc với mặt phẳng .

Thiết diện tạo bởi với hình chóp đã cho là:

A. tam giác cân. B. hình hình hành. C. hình thang vuông. D. hình thang cân.

Lời giải

Chọn D

SABC ( )a A BC

( )SBC ( )a

N

M

H

I

C

BA

S

.S ABCD ( )a AB ( )SCD

( )a


Trang 830

Gọi , I J lần lượt là trung điểm của CD và AB .

Trong tam giac SIJ kẻ JK SI^ .

Trong tam giac SIJ , qua K kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC tại M , cắt SD tại

N .

Ta dễ dàng chứng minh được ( ) ( )ABMN SCD^ .

Khi đó thiết diện cần tìm là hình thang ABMN .

Vì hình chóp đã cho là hình chóp đều nên suy ra AN BM= .

Vậy thiết diện là hình thang cân.

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ,

; cạnh bên và vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua và

vuông góc với mặt phẳng . Tính diện tích của thiết diện tạo bởi với hình

chóp đã cho.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Gọi E là trung điểm AB , suy ra AECD là hình vuông nên DE AC^ . ( )1

J

I

D

C B

A

S

O

M

N

K

.S ABCD ABCD A D

2 , AB a AD DC a= = = SA a= ( )a SD

( )SAC S ( )a

2

.2

aS =

2 2.

2

aS =

2 3.

2

aS =

2

.4

aS =

S

E

D C

BA


Trang 831

Mặt khác ( )SA ABCD SA DE^ ^ . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( ) ( ) ( )DE SAC SDE SAC^ ^ .

Ta có ( )( ) ( )

( ) ( ).SDE SD

SDESDE SAC

aüïÉ ï ºýï^ ïþ

Vậy thiết diện là tam giác SDE .

Ta có 2 2 2 22; 2SD SA DA a SE SA AE a= + = = + = ; 2 2DE AC DC a= = = .

Do đó tam giác SDE đều có cạnh 2a nên 2 23 3

4 2SDE

SD aSD = = .

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm với Cạnh

bên và vuông góc với đáy. Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với

Tính diện tích của thiết diện tạo bởi và hình chóp đã cho.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi , M N lần lượt là trung điểm , AD BC . Khi đó:

· MN đi qua .O

· ( ).MN AD

MN SADMN SA

ì ^ïï ^íï ^ïî

Từ đó suy ra ( ) ( )SMNa º và thiết diện cần tìm là tam giác SM N .

Tam giác SM N vuông tại M nên 2 2

21 1 2. . .

2 2 2 2SMN

AD aS SM MN SA ABD

æ ö÷ç= = + =÷ç ÷çè ø

.S ABCD ABCD O ,AB a= 2 .AD a=

SA a= ( )a SO ( ).SAD

S ( )a

2 3.

2

aS =

2 2.

2

aS =

2

.2

aS = 2 .S a=

N

M

O

S

A

B C

D


Trang 832

BÀI5.KHOẢNGCÁCH


1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

a) Định nghĩa:

Khoảng cách từ một điểm M đến đường

thẳng là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu vuông góc

của M trên đường thẳng .

Ký hiệu: d M, MH.

b) Chú ý: Nếu M thì d M, 0.

M Δ

P H

2. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

a) Định nghĩa:

Khoảng cách từ một điểm M đến mặt

phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm

M và H, trong đó H là hình chiếu vuông

góc của điểm M trên mặt phẳng (P).

Kí hiệu: d M, P MH. P

M

H

b) Chú ý: Nếu M P thì d M, P 0.

3. Khẳng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

a) Định nghĩa:

Khoảng cách từ một đường thẳng a đến

một mặt phẳng (P) song song với a bằng

khoảng cách từ một điểm tùy ý của a đến

(P).

Tức là: d a, P d M, P , M a.

b) Chú ý: Khi

a Pd a, P 0.

a P

a

P

NM

HK

4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

a) Định nghĩa:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song

song bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý

của mặt này đến mặt kia.

Tức là: d P , Q d M, Q , M Q .

b) Chú ý: Khi

P Qd P , Q 0.

P Q

Q

P

NM

HK

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

a) Định nghĩa:

Đường thẳng a gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và ʹ nếu a


Trang 833

c

a

b

B'

C'

A'

A

DC

B

D'

H

cắt ở M và cắt ʹ ở N đồng thời vuông góc với cả và ʹ. Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc

chung của hai đường thẳng chéo nhau và ʹ.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của

hai đường thẳng đó.

b) Chú ý:

Khi

ʹd , ʹ 0.

ʹ

Khi // ʹ d , ʹ d M, ʹ

với M .

a

Δ'

Δ

N

M


DAÏNG 1: KHOAÛNG CAÙCH TÖØ 1 ÑIEÅM ÑEÁN ÑÖÔØNG THAÚNG 1. Phương Pháp

Cách xác định:

Việc dựng hình chiếu của một điểm trên đường thẳng trong không gian, ta có thể làm theo 2

cách sau:

Dựng mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho. Rồi trên mặt phẳng đó qua điểm đã cho dựng đoạn vuông góc từ điểm tới đường thẳng.

Dựng một mặt phẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với đường thẳng, lúc đó giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng vừa dựng chính là hình chiếu của điểm trên đường thẳng.

Tính toán: Sau khi đã xác định được khoảng cách cần tính, ta dùng các hệ thức lượng trong tam

giác, đa giác, đường tròn, … để tính toán.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a, AD b, AA ʹ c. Khoảng cách từ điểm

A đến đường thẳng BD’ bằng

A.

2 2

2 2 2

a b c.

a b c B.

2 2

2 2 2

b b c.

a b c

C.

2 2

2 2 2

c b c.

a b c D.

2 2

2 2 2

abc b c.

a b c


ĐÁP ÁN A

Do AB AD ʹ nên tam giác ABD’ vuông tại A. Trong tam giác ABD’ kẻ đường cao AH thì

AH d A,BD ʹ .

Trong ADD ʹ , ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

AD ʹ AD DD ʹ b c

BD ʹ AB AD ʹ a b c

Xét ABD ʹ , ta được:


Trang 834

a

aa

60°

J

OI

B'

C'

AC

B

A'

K H

2 2

2 2 2

AH.BD ʹ AB.AD ʹ

AB.AD ʹ a b cAH

BD ʹ a b c

Vậy

2 2

2 2 2

a b cd A,BD ʹ AH .

a b c

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a, hình chiếu của

C’ trên (ABC) trùng với tâm của đáy. Cạnh bên CC’ hợp với (ABC) góc o60 . Gọi I là trung điểm

của AB. Khoảng cách

Câu 2.1. từ điểm O đến đường thẳng CC’ bằng

A. a.

2 B.

3a.

2 C.

a.

4 D.

a.

3


ĐÁP ÁN A

Theo giả thiết, suy ra: C ʹO ABC , suy ra:

ABC

OC hch CC ʹ CC ʹ, ABC C ʹCO

Theo giả thiết, ta có: oC ʹCO 60

Trong (C’CO) dựng OH CC ʹ tại H ta được:

d O,CC ʹ OH.

Xét COH o 2 a 3 3 aOH OC.sin30 . .

3 2 2 2

Suy ra: ad O,CC ʹ .

2

Câu 2.2. Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng IC’ bằng

A. 2a 13

.3

B. 3a 13

.13

C. a 3

.3

D. a 13

.3


ĐÁP ÁN B

Tính d C,IC ʹ

Trong (C’IC) dựng CK IC ʹ tại K ta được: d C,IC ʹ CK

Xét OC ʹ.CI

CIC ʹ OC ʹ.CI CK.IC ʹ CKIC ʹ

Mà o a 3 a 3OC ʹ OC.tan60 . 3 a;CI

3 2

2 2

2 2 2 2a 13aIC ʹ IO OC ʹ a

12 12

Nên

a 3a.

3a 3a 132d C,IC ʹ CK .13a 13 13

2 3

Câu 2.3. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng A’B’ bằng

A. 2a 7

.3

B. a 7

.3

C. a 7

.2

D. a 7

.4


Trang 835

a

a

a

FE

C

A D

B

S

H


ĐÁP ÁN C

Tính d O,A ʹBʹ

Vì C ʹO ABC // A ʹBʹC ʹ OC ʹ A ʹBʹC ʹ . Gọi J là trung điểm của

A ʹBʹ C ʹ J A ʹBʹ A ʹBʹC ʹ OJ A ʹBʹ (định lí 3 đường vuông góc)

Tức là: d O,A ʹB ʹ OJ

Xét 2

2 2 2 3a a 7OC ʹ J OJ OC ʹ C ʹ J a

4 2

Tức là: a 7d O,A ʹB ʹ .

2

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) và SA a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng

BE bằng

A. 2a 5

.5

B. a 5

.3

C. a 5

.5

D. 3a 5

.5


ĐÁP ÁN D

Vì SA ABCD , trong mặt phẳng (ABCD) nếu dựng AH BE

tại H thì SH BE (định lí 3 đường vuông góc). Tức là khoảng

cách từ điểm S đến đường thẳng BE bằng đoạn SH.

Ta có: 2

ABE

1 1 a 1S AB.EF a.a AH.BE

2 2 2 2

Mà 2

2 2 2 a a 5BE BC CE a

4 2

Nên 2a 2a

AHBE 5

, mà SAH vuông tại A, nên:

2

2 2 2 4a 3a 3a 5SH SA AH a

5 55

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA (ABCD) ,

SA a. Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB. Khoảng cách từ điểm I đến

đường thẳng CM bằng

A. a 2

.5

B. a 3

.17

C. a 30

.10

D. a 3

.7


ĐÁP ÁN C

Do IO (ABCD) nên nếu dựng OK CM (K CM) thì IK CM .

Tức là: d(I,CM) IK .

Mà 2

2 2 2aIK OI OK OK

4

Do OMC

1S OK.MC

2 I

OM

C

AD

B

S

K


Trang 836

a

aa

a 3

3

O I

H

A C

B

S

K

2 2 2

OMC

22

a a a2

2 8 42S aOK

MC 2 5aa

4

Suy ra 2 2a a a 6 a 30

IK .4 20 102 5

Ví dụ 5: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, gọi O là tâm của đáy và a 3

SO3

. Gọi I là

trung điểm của BC và K là hình chiếu của O lên SI. Khoảng cách từ O đến SA bằng

A. a 5

.5

B. a 3

.3

C. a 2

.3

D. a 6

.6


ĐÁP ÁN D

Dựng OH SA tại H d(O,SA) OH

Ta có: 2 2 a 3 a 3

OA AI . SO3 3 2 3

,

suy ra: 1 1 a 3 a 6

OH SA . . 22 2 3 6

Vậy a 6d O,SA

6.

DAÏNG 2: KHOAÛNG CAÙCH TÖØ MOÄT ÑIEÅM ÑEÁN MAËT PHAÚNG

1. Phương pháp

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vuông

góc của điểm đó trên mặt phẳng. Việc dựng hình chiếu của điểm trên mặt phẳng, ta hay dùng

một trong các cách sau:

Cách 1:

Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P).

Xác định m P Q .

Dựng Mx m P Q , suy ra H Mx m

là điểm cần tìm.

Cách 2:

m

Q

P

M

H

Giả sử đã biết đường thẳng d , dựng Mx//d , lúc đó H Mx P là hình chiếu

vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).

Cách 3:

Dựa vào tính chất trục của tam giác: Cho ABC nằm trên (P), hình chiếu vuông góc của điểm M trên (P) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , tức là nếu MA MB MC khi đó hình chiếu

của điểm M trên (P) là tâm O của đường tròn ngoại tiếp ABC.

Chú ý. Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần biết vận dụng chú ý sau một

cách khéo léo để từ việc phải tính khoảng cách từ một điểm này đến mặt phẳng (khó xác định)

đến việc tính khoảng cách từ điểm khác đến mặt phẳng (dễ xác định hơn).


Trang 837

Nếu MA// d M, d A, .

Nếu

d M, IMMA I .

IAd A,

P H

M

I

A

K

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA a. Góc giữa

đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng o30 . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM)

với M là trung điểm CD bằng

A.a.

3 B.

2a.

3 C.

4a.

3 D.

5a.

3


ĐÁP ÁN A

Dễ dàng chứng minh được DB SAC Hình chiếu vuông góc của DS lên (SAC) là SO, góc

giữa SD và (SAC) là oDSO 30 . Đặt DO x , ta có SO x 3 (O là giao của AC và BD)

Từ 2 2 2 aSO AO SA x

2

Gọi N là trung điểm của AB DN// BM

Suy ra

1

d D; SBM d N; SBM d A; SBM2

Kẻ AI BM, AH SM .

Từ đó chứng minh được

AH SBM d A; SBM AH

Trong (ABCD): 2

ABM ABCD BCM

aS S 2S

2

Mà ABM

1 2aS AI.BM AI

2 5

Khi đó:

2 2 2

1 1 1 aAH a d D; SBM .

3 3AH AI SA

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a 2 và BC a. Cạnh

bên SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với đáy là 060 . Khoảng cách từ điểm C đến

mặt phẳng (SBD) bằng

A.a 38

.29

B.3a 58

.29

C.3a 38

.29

D. 3a

.29


ĐÁP ÁN B

Gọi H là hình chiếu vuông góc

của A trên BD và K là hình chiếu

vuông góc của A trên SH.

Ta có SA BD và AH BD nên

O M

DN

B C

A

S

I

H


Trang 838

60°

B

D C

A

S

H

K

OF

E

Q

P

D

C

A

B

S

I

H

BD SAH .

Suy ra AK BD . Mà AK SH

nên AK SBD

Ta có: d C; SBD d A; SBD AK

Ta có: 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 29

AK SA AH SA AB AD 18a

Vậy 3a 58

d C; SBD AK .29

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ABCD và SA a 3.

Gọi I là hình chiếu của A lên SC. Từ I lần lượt vẽ các đường thẳng song song với SB, SD cắt BC,

CD tại P, Q. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AD. Khoảng cách từ E đến mặt phẳng

(SBD) bằng

A. 3a 21

.11

B. a 21

9. C.

3a 21.

7 D.

a 21.

7


ĐÁP ÁN C

Gọi O là tâm của hình vuông

ABCD.

Qua A dựng AH SO . Dễ dàng

chứng minh được AH BD

Khi đó AH d A, SBD

Trong tam giác vuông SAC, ta có:

2CI.SC AC 2 2

2 2 2

IC AC AC

SC SC SA AC

2 2 2

2 22 2 2

AB BC 2a 2

52a 3aSA AB BC

CBS có IP CP CI CP 2

IP // SPSB CB CS CB 5

Áp dụng định lý Talet:

BE BP 3 BE BC CP 3

CQ PC 2 CQ PC 2

Mà 5

AB CD CQ QP CQ BE BE3

Do AEF vuông tại A nên:

2

22 2

AEF

1 1 1 32 32aS AE.AF AE AB BE AB

2 2 2 25 25 (đvdt)

DA 5 3

d E, SBD d A, SBDDE 3 5

Tam giác SAO vuông tại A, khi đó 2

2

2 2 2

1 1 1 3aAH

7AH SA AO

Vậy 3a 21d E, SBD .

7

Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA a, BC 2a , SA 2a ,


Trang 839

A C

B

S

H

K

IA D

B C

S

H

SA ABC .Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Khoảng cách từ điểm K đến mặt

phẳng (SAB) bằng

A.8a

.9 B.

a.

9 C.

2a.

9 D.

5a.

9


ĐÁP ÁN

Vì BC SAB nên: AH BC, AH SBC

AH HK, AH SC mà AK SC

SC AHK

Ta có: AB.SA 2a

AHSB 5

,

AC.SA 2 5a

AKSC 3

,

2 2 8aHK AK AH

3 5,

4aSK

3

3

S.AHK

1 4a 2a 8a 32V . . . a

6 3 1355 3 5

Mặt khác 2 2 4SH SA AH a

5 nên 2

AHS

4S a

5

Vậy khoảng cách cần tìm là: KSAH

AHS

3V 8ad K, SAB .

S 9

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, oABC BAD 90 , BA BC a , AD 2a.

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2. Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Khoảng cách

từ H đến mặt phẳng (SCD) bằng

A.5a

.3 B.

4a.

3 C.

2a.

3 D.

a.

3


ĐÁP ÁN D

Gọi I là trung điểm AD.

Ta có AD

CI IA ID2

, suy ra ACD vuông tại C CD AC.

Mà SA ABCD SA CD

nên ta có CD SD hay SCD vuông. Gọi 1 2

d , d lần

lượt là khoảng cách từ B, H đến (SCD)

Ta có: SA SB

SAB SHASH SA

∽

2

2

SH SA 2

SB 3SB

mà 22 1

1

dSH 2 2d d

SB d 3 3

Thể tích khối tứ diện S.BCD: 3

SBCD

1 1 2aV SA. AB.BC

3 2 6

Ta có: 2 2SC SA AC 2a ,


Trang 840

60°

K

HC B

A

S

M

H

A C

B

S

K

M

D

2 2 2

SCD

1CD CI ID 2a S SC.CD 2a

2

Ta có:

3

S.BCD 1 SCD 1 2

2a3.

1 a6V d .S d3 22a

Vậy khoảng cách từ H đến (SCD) là 2 1

2 ad d

3 3.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB AC a , I là trung điểm của SC,

hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC, mặt phẳng SAB

tạo với đáy một góc bằng o60 . Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SAB theo a bằng

A.a 3

.2

B.a 3

.8

C.a 3

.4

D. a.

4


ĐÁP ÁN C

Gọi K là trung điểm của AB HK AB 1

Vì SH ABC nên SH AB 2 Từ (1) và (2) AB SK

Do đó góc giữa SAB với đáy bằng góc giữa SK và HK và

bằng oSKH 60

Ta có a 3

SH HK.tanSKH2

Vì IH // SB nên IH // SAB .

Do đó d I, SAB d H, SAB

Từ H kẻ HM SK tại M

HM SAB d H, SAB HM

Ta có 2 2 2 2

1 1 1 16 a 3HM

4HM HK SH 3a.

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB 2a , AC 2a 3. Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa hai mặt phẳng

(SBC) và (ABC) bằng o30 . Khoảng cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng (SAC)

bằng

A.a 3

.5

B. a 5

.3

C.a 5

.5

D. 3a

.5


ĐÁP ÁN C

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ HK BC tại K

BC SHK

Từ giả thiết ta có: oSHK 30

2 2BC AB AC 4a

AC HK 3 a 3

sinABC HKBC HB 2 2


Trang 841

K

HC

B

A

S

M

Trong tam giác SHK có a

SH HKtanSKH2

Do M là trung điểm của cạnh BC nên MH // AC, do đó MH // (SAC).

Suy ra: d M, SAC d H, SAC

Trong mặt phẳng (SAB) kẻ HD SA tại D. Ta có:

AC SAB AC DH DH SAC

2 2 2

1 1 1 a 5HD

5DH HA HS

Vậy a 5

d M, SAC d H, SAC HD .5

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB AC a , I là trung điểm của SC,

hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, mặt phẳng (SAB) tạo

với đáy 1 góc bằng o60 . Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a bằng

A.a 3

.5

B. a 5

.4

C. a 3

.4

D. a 3

.2


ĐÁP ÁN C

Gọi K là trung điểm của AB HK AB 1

Vì SH ABC nên SH AB 2

Từ (1) và (2) AB SK

Do đó góc giữa (SAB) với đáy bằng góc giữa

SK và HK bằng oSKH 60 .

Ta có: a 3

SH HKtanSKH2

Vậy 3

S.ABC ABC

1 1 1 a 3V S .SH . AB.AC.SH

3 3 2 12

Vì IH// SB nên IH // SAB . Do đó d I, SAB d H, SAB

Từ H kẻ HM SK tại M HM SAB d H, SAB HM

Ta có: 2 2 2 2

1 1 1 16 a 3HM

4HM HK SH 3a.

Vậy a 3d I, SAB

4.

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm cạnh AB.

Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường

thẳng SA và mặt đáy bằng o60 . Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SBC bằng

A. a 7

.29

B.a 21

.4 29

C. a 21

.3 29

D. a 21

.29


ĐÁP ÁN B


Trang 842

H'KH

I

A

B

C

S

E

I' H' K

H

I

A

B CA'

Ta có: 2 2 a 3CI AC AI

2

Do đó 2 2 a 7AH AI IH

4, suy ra o a 21

SH AH.tan604

.

Gọi A’, H’, I’ lần lượt là hình chiếu của A, H, I trên BC, E là hình chiếu của H trên SH’ thì

HE SBC d H; SBC HE .

Ta có: 1 1 a 3

HH ʹ II ʹ AA ʹ2 4 8

. Từ 2 2 2

1 1 1 a 21HE

HE HS HH ʹ 4 29

Vậy a 21d H; SBC .

4 29

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc oBAC 60 , hình chiếu

của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng SAC hợp

với mặt phẳng ABCD góc o60 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng

A. a

.112

B. 2a

.111

C.6a

.112

D. 3a

.112


ĐÁP ÁN C

Trong SBD kẻ OE// SH khi đó ta có

OC, OD, OE đôi một vuông góc.

Và: a a 3 3a

OC , OD , OE2 2 8

Áp dụng công thức:

2 2 22

1 1 1 1

OC OD OEd O, SCD

3ad

112

Mà 6a

d B, SCD 2d O, SCD .112

DAÏNG 3: KHOAÛNG CAÙCH GIÖÕA HAI MAËT PHAÚNG SONG SONG. KHOAÛNG CAÙCH TÖØ ÑÖÔØNG THAÚNG ÑEÁN MAËT PHAÚNG

1. Phương pháp

Việc tính khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nó, hoặc tính

khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đều quy về việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt

E

OH

A

B C

D

S


Trang 843

a

aa

aa

I

B

C

A'C'

B'

A

J

phẳng. Cần lưu ý việc chọn điểm trên đường hoặc trên mặt sao cho việc xác định khoảng cách

đơn giản nhất.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Hình chiếu

vuông góc của A trên (A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’.

Câu 1.1. Khoảng cách từ AA’ đến mặt bên BCC’B’ bằng

A. a 3

.4

B. a 3

.3

C. 3a 2

.4

D. a 3

.2


ĐÁP ÁN A

Ta có: AA ʹ // BBʹ BCC ʹBʹ

AA ʹ // BCC ʹB ʹ

Gọi AA ʹ

J hch I IJ AA ʹ // BB ʹ IJ BBʹ

Mặt khác, theo giả thiết suy ra:

BʹC ʹ A ʹI AA ʹIB ʹC ʹ AA ʹI

BʹC ʹ AI AA ʹI

Suy ra: IJ BʹC ʹ , tức là IJ BCC ʹBʹ ,

mà J AA ʹ nên d AA ʹ, BCC ʹBʹ IJ

Trong AI.A ʹI

AA ʹI IJ.AA ʹ AI.A ʹI IJAA ʹ

.

Dễ thấy a 3

A ʹI2

, 2

2 2 2 3a aAI AA ʹ AI a

4 2.

Suy ra:

a a 3.

a 32 2IJa 4

. Vậy a 3d AA ʹ, BCC ʹBʹ .

4

Câu 1.2. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng

A. a.

4 B.

a.

2 C.

a 2.

4 D.

a 5.

2


ĐÁP ÁN B

Hai đáy của lăng trụ song song nên d ABC , A ʹBʹC ʹ d A, A ʹBʹC ʹ mà A ABC và

a

AI A ʹBʹC ʹ d ABC , A ʹBʹC ʹ AI .2

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a, BC b , CC ʹ c.

2.1. Khoảng cách từ AA’ đến (BDD’B’) bằng

A. 2 2 2

abc.

a b c B.

2 2

abc.

a b C.

2 2

ab.

a b D.

2 2

ac.

a c


ĐÁP ÁN C

Ta có: AA ʹ // BBʹ BDDʹBʹ


Trang 844

AA ʹ // BDD ʹBʹ . Do đó:

d AA ʹ, BDD ʹBʹ d A, BDD ʹBʹ

Gọi BD

H hch A AH BD mà

BDD ʹBʹ ABCD suy ra:

AH BDD ʹBʹ . Tức là:

d A, BDD ʹBʹ AH

Xét 2 2 2

1 1 1ABD

AH AB AD

2 2

2 2 2 2

1 1 a b

a b a b

nên

2 22

2 2 2 2

a b abAH AH

a b a b

Vậy: 2 2

abd AA ʹ, BDD ʹBʹ .

a b

2.2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’, BB’. Khoảng cách từ MN đến (ABC’D’) bằng

A. 2 2 2

2abc.

a b c B.

2 2

abc.

2 a b C.

2 2

bc.

2 a b D.

2 2

2ac.

a c


ĐÁP ÁN C

NM

C

B

D

C'D'

A' B'

A

K

Ta có: MN//AB ABC ʹD ʹ MN// ABC ʹD ʹ . Suy ra:

d MN, ABC ʹD ʹ d M, ABC ʹD ʹ , nhưng A’M cắt mặt phẳng (ABC’D’) tại A và M là trung

điểm của AA’. Nên:

1

d M, ABC ʹD ʹ d A ʹ, ABC ʹD ʹ2

Gọi AD ʹ

K hch A ʹ A ʹK AD ʹ mà ABC ʹD ʹ AA ʹD ʹD , suy ra:

A ʹK ABC ʹD ʹ . Tức là: d A ʹ, ABC ʹD ʹ A ʹK .

Xét

2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 c bA ʹAD ʹ

A ʹK A ʹA A ʹD ʹ c b c b, nên:

2 22

2 2 2 2

c b bcA ʹK A ʹK

c b b c. Vậy

2 2

bcd M, ABC ʹD ʹ .

2 a b

2.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng AD ʹBʹ và C ʹBD bằng

C

B

D

C'D'

A' B'

A

H


Trang 845

a

aK

HN

M P

B C

A

S

A. 2 2 2

abc.

a b c B.

abc.

ab bc ca

C. 2 2 2

abc.

2 a c c D.

2 2 2 2 2 2

abc.

a b b c c a


ĐÁP ÁN D

G1

O'

O

C

B

D

C'D'

A' B'

A

Ta có: BʹD ʹ // BD C ʹBD BʹD ʹ // C ʹBD

Gọi O AC BD,O ʹ A ʹC ʹ B ʹD ʹ

Suy ra: AO ʹ //C ʹO C ʹBD AO ʹ // C ʹBD

Mà AO ʹ,B ʹD ʹ AB ʹD ʹ ,AO ʹ BʹD ʹ O ʹ AD ʹB ʹ // C ʹBD

Ta đã chứng minh được A’C bị các mặt (AD’B’), (C’BD) chia thành ba đoạn bằng nhau.

Do đó: 1

d AD ʹB ʹ , C ʹBD d G , C ʹBD d A ʹ, AD ʹBʹ

Vì A’A, A’B’, A’D’ đôi một vuông góc, nếu:

2 2 2 2 2 22

1 1 1 1 1 1 1

A ʹA A ʹB ʹ A ʹD ʹ a b cd A ʹ, AD ʹBʹ

Vậy: 2 2 2 2 2 2

abcd A ʹ, AD ʹBʹ d AD ʹBʹ , C ʹBD

a b b c c a

Ta cần chú ý kết quả sau: Nếu tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc thì:

2 2 2

1 1 1d O, ABC .

OA OB OC

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy

ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC. Khoảng cách giữa hai (MNP) và (SBC)

bằng

A. a 3

.3

B. a 3

.2

C. a 3

.4

D. 3a 3

.2


ĐÁP ÁN C

Theo giả thiết, suy ra:

MN//SB SAB MN// SAB

NP// SC SAC NP// SAC

Mà MN,NP MNP ,MN NP N nên MNP // SBC .

Gọi H là trung điểm của BC AH BC

(do ABC đều)


Trang 846

H

B

C

A'C'

B'

A

K

Mà ABC SBC và AH ABC

BC ABC SBC AH SBC

Gọi K AH MP KH SBC d K, SBC KH

Vì MNP // SBC và K MNP

Do đó: 1 a 3

d MNP , SBC d K, SBC KH AH .2 4

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng

đáy bằng o30 .Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Khoảng

cách giữa hai mặt phẳng đáy bằng

A. a.

3 B.

a.

2 C.

a 2.

2 D.

a 3.

2


ĐÁP ÁN B

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy chính bằng AH.

Trong HAA ʹ , ta có: oA ʹ 30 .

o aAH AA ʹ.sinA ʹ a.sin30 .

2

DAÏNG 4. KHOAÛNG CAÙCH GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG CHEÙO NHAU 1. Phương pháp

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b. Khoảng cách từ b đến (P) là khoảng cách cần tìm.

Cách 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

Cách 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó. Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Khi a b

+ Dựng một (P) b, (P) a tại H.

+ Trong (P) dựng HK b tại K.

+ Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của

a và b.

Cách 2: + Dựng (P) b, (P) // a .

+ Dựng P

a ʹ hch a , bằng cách lấy M a

dựng đoạn MN ( ) , lúc đó a’ là

đường thẳng đi qua N và song song a.

+ Gọi H a ʹ b , dựng HK//MN HK là

đoạn vuông góc chung.

Cách 3:

+ Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại

điểm M.

+ Dựng hình chiếu b’ của b trên (P).

+ Dựng hình chiếu vuông góc H của M

trên b’.

b

a

P

HK

a'

a

bP

MK

HN


Trang 847

+ Từ H dựng đường thẳng song song với

a, cắt b tại điểm B. a

b'

P

B

A

MH

+ Qua B dựng đường thẳng song song với MH, cắt a tại điểm A. Khi đó, AB là đoạn vuông góc

chung của a và b.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AD 2AB ,

SA ABCD , SC 2a 5 và góc giữa SC và ABCD bằng o60 , M là trung điểm của cạnh BC.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD bằng

A.a 510

.17

B.a 51

.17

C.2a 510

.17

D. 3a 510

.17


ĐÁP ÁN A

Ta có SA ABCD SC có hình chiếu trên ABCD là AC

oSC,ABCD SC,AC SCA 60

Ta giác SAC vuông tại A

oAC SC.cos60 a 5

và oSA SC.sin60 a 15

Ta có 2 2 2AB AD AC

2 25AB 5a AB a

Dựng hình bình hành AMDN và dựng

AH SN tại H.

Ta có:

AM//DN AM// SDN d AM, SDN d A, SDN

AM MD nên AMDN là hình chữ nhật.

ND AN mà DN SA DN SAN

DN AH mà AH SN AH SDN d A, SDN AH

Ta có 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 17

AH AS AN 15a 2a 30a

a 510

AH17

. Vậy a 510d AM,SD .

17

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 2a , oBAC 60 , cạnh bên

SA vuông góc với đáy và SA a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách giữa hai

đường thẳng SB và CM bằng

N

M CB

A D

S

H


Trang 848

M

N

A C

B

S

E

H

A.a 10

.17

B. 2a 3

.29

C. 2a 3

.19

D. a 3

.13


ĐÁP ÁN B

Gọi N là trung điểm cạnh SA.

Do SB// CMN nên

d SB,CM d SB, CMN

d B, CMN d A, CMN

Kẻ AE MC, E MC và kẻ

AH NE, H NE

Chứng minh được

AH CMN d A, CMN AH

Tính AMC2S

AEMC

trong đó:

2

AMC

1 1 3S AM.AC.sinCAM a.4a. a 3 2a 3

AE2 2 213

MC a 13

Tính được 2a 3 2a 3 2a 3

AH d A, CMN d SB,CM .29 29 29

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, SA vuông góc với đáy,

SA AD a, AB 2a . Khoảng cách giữa AB và SC bằng

A. a.

2 B.

a.

2 C.a 2. D. 2a 2.


ĐÁP ÁN B Ta có: AB // DC nên

d AB,SC d AB, SDC .

Trong mặt phẳng (SAD) từ A kẻ

AH SD, H SD 1

Ta có:

DC ADDC SAD

DC SA

DC AH 2

E

A

D C

S

B

H

Từ (1) và (2) suy ra AH SCD

AH d AB, SCD d AB,SC

Trong tam giác vuông SAD có: 2 2 2 2

1 1 1 2 aAH .

AH AD SA a 2

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, oABC 60 , cạnh bên SA vuông

góc với đáy, SC tạo với đáy một góc o60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SD bằng

A. 3a

.5 B.

2a.

5 C.

a.

15 D.

3a.

15


Trang 849

60°60° H

A

B C

D

S

60°E

A

C

B

S

D

IK

H

O H

B

D C

A

S

I


ĐÁP ÁN D

S.ACD

SCD

3Vd AB,SD d A, SCD

S

Gọi H là trung điểm CD. Ta có:

CD SH .

Do đó 2

SCD

1 a 15S CD.SH

2 4

Vậy S.ACD

SCD

3V 3ad AB,SD d A, SCD .

S 15

Lưu ý: Ở trên ta đã sử dụng công thức S.ABCD ABCD1V SA.S3

. Đây là công thức thể tích của khối

đa diện học ở chương trình 12 1V B.h3

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a,

AD a 3, SA ABCD , góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) bằng o60 . Khoảng

cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng

A.3a

.2 B.

a.

4 C.

3a.

4 D.

2a.

3


ĐÁP ÁN A

Trong mặt phẳng (ABCD) đường thẳng

qua D song song với AC, cắt đường

thẳng AB tại E.

Trong tam giác ADE kẻ đường cao AK

K DE SAK SDE . Dựng

AH SK tại H, suy ra AH SDE .

Do AC// SDE

d AC;SD d A; SDE AH

Ta có: a 3 3a 3a

AK AH d AC;SD .2 4 4

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 , OBAD 120 và

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC)

và (ABCD) bằng O60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng

A. a 7

.14

B. 3a 7

.4

C.3a 7

.14

D. a 7

.8


ĐÁP ÁN C

Gọi O AC BD.

Vì DB AC, BD SC nên BD SAC tại O.

Kẻ OI SC OI là đường vuông góc chung của BD và SC.

Sử dụng hai tam giác đồng dạng ICO và ACS hoặc


Trang 850

đường cao của tam giác SAC, suy ra được 3a 7

OI .14

Vậy 3a 7d BD,SC .

14

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng o45 . Gọi E là trung điểm BC. Khoảng cách

giữa hai đường thẳng DE và SC theo a bằng

A. a.

19 B.

2a 38.

9 C.

a 38.

19 D.

a 38.

9


ĐÁP ÁN C

Từ C dựng CI // DE DE// SCI .

Từ A dựng AK CI , cắt ED tại H và CI tại K.

Trong (SAK) dựng HT SK .

Do CI SAK nên HT SCI

CD.AI 3aAK ,

CI 5

1 aHK AK

3 5

d DE;SC d H; SCI

SA.HK a 38HT .

SK 19

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, đường thẳng SA vuông góc với

mặt phẳng (ABCD) và SA AD a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

A.a 2

.10

B. a 2

.6

C. a 2

.4

D. a 2

.2


ĐÁP ÁN D

Trong mặt phẳng (SAD),

vẽ AH SD, H SD

Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên

CD SAD AH SCD

Vậy khoảng cách giữa AB và SC chính là AH.

Trong tam giác vuông SAD có AH là đường

cao nên

2 2 2

1 1 1 a 2AH

2AH AS AD

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a 2

.2

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB đều cạnh a, tam giác ABC cân tại C. Hình chiếu

của S trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AB, góc hợp bởi cạnh SC và mặt đáy là

o30 . Tính khoảng cách của hai đường thẳng SA và BC.

H

E

DA

B C

S

I

K

T

HB

A

D C

S


Trang 851

A.3a

.13

B.3a

.13

C.a.

13 D.

2a.

13


ĐÁP ÁN A

Gọi H là trung điểm cạnh AB, ta có SH là

đường cao của hình chóp S.ABC và CH là

đường cao của tam giác ABC. Từ giả thiết

ta được oSCH 30 . Tam giác SHC vuông

tại H nên

oSH 3atan30 CH SH. 3

CH 2

Dựng hình bình hành ABCD, khi đó

d BC,SA d BC, SAD

d B, SAD 2d H, SAD

Gọi G, K lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng AD và SG. Ta có:

AD HGAD SHG HK AD

AD SH

Mà HK SG nên HK SAD hay d H, SAD HK

Tam giác SHG vuông tại H nên:

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 52 3aHK

HK HG HS HB HC HS 9a 2 13

Vậy 3ad BC,SA

13.

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD, tứ giác ABCD là hình thang cân, hai đáy là BC và AD. Biết

SA a 2 , AD 2a, AB BC CD a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD

trùng với trung điểm cạnh AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD bằng

A. a 21

.3

B.a 21

.7

C.a.

7 D.

3a.

7


ĐÁP ÁN B

Ta có: 2

ABCD ABI

3a 3S 3S

4

Xét SBI vuông tại I có: 2 2 2 2SI SB BI a SI a

SIBC

SBC

AD// BCAD// SBC

BC SBC

d AD,BC d AD, SBC

3Vd I, SBC

S

D

H

A C

B

S

G

K

IA D

B C

S


Trang 852

3 3

SIBC S.ABCD

2

SBC

1 1 a 3 a 3V V . ;

3 3 4 12

a 7S p p a p b p c

4

Vậy a 21d AD,SB .

7

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỐC ĐỘ

Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách từ C đến AC bằng

A. a 6

.7

B. a 3

.2

C. a 6

.3

D. a 6

.2

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách từ D đến đường

thẳng SB bằng

A. a. B. a.

2 C.

a.

3 D.

a 3.

2

Câu 3: Cho tam giác ABC có AB 14,BC 10,AC 16 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt

phẳng (ABC) tại A lấy điểm O sao cho OA 8 . Khoảng cách từ điểm O đến cạnh BC bằng

A. 8 3. B. 16. C. 8 2. D. 24.

Câu 4: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC 2a , oABC 60 . Gọi M là trung

điểm cạnh BC và SA SC SM a 5 . Khoảng cách từ S đến cạnh AB bằng

A. a 17

.4

B. a 19

.2

C. a 19

.4

D. a 17

.2

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAC bằng o60 . Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD 2HB. Đường

thẳng SO tạo với mặt phẳng ABCD góc o60 với O là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách

từ B đến mặt phẳng SCD bằng

A. 3a 7

.15

B. 3a 7

.14

C. a 7

.11

D. 2a 7

.15

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có các mặt ABC, SBC là những tam giác đều cạnh a. Góc giữa hai mặt

phẳng (SBC) và (ABC) bằng o60 . Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) nằm trong tam giác

ABC. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a bằng

A. 2a 13

.13

B.3a 13

.13

C. 3a 13

.11

D. a 13

.13

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật tâm I, có AB a, BC a 3. Gọi H là trung

điểm AI. Biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAC vuông tại S. Khoảng cách từ C

đến mặt phẳng (SBD) bằng

A.3a

.11

B.a

.13

C.3a

.15

D. 5a

.17

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD 2a ; tam giác SAC vuông tại S và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC a 3. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

(SAD) bằng

A.3a 21

.7

B.a 21

.7

C.4a 21

.7

D. 2a 21

.7

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a , BC 2a 2 . Hình chiếu


Trang 853

của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác ABC. Góc giữa đường thẳng SB và mặt

phẳng (ABCD) bằng o60 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. 3a 21

.7

B. a 21

.7

C. 4a 21

.7

D. 2a 21

.7

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có oAB AC, BC a 3, BAC 120 . Gọi I là trung điểm cạnh AB.

Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường

thẳng SA và mặt đáy bằng o60 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng

A.4a 37

.37

B.a

.37

C.3a 37

.37

D. 2a 37

.37

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hình chiếu của S lên

mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm I của AC và BC. Mặt bên (SAB) hợp với đáy một góc o60 . Biết rằng AB BC a, AD 3a. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB) theo a bằng

A.4a 3

.5

B.3a

.4

C.3a 3

.7

D. 3a 3

.2

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc oDAB 120 .

Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng o60 .

Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng

A.a 3

.5

B.3a

.4

C.3a

.7

D. 3a 3

.2

Câu 13: Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng a, oABC 120 . Gọi G là

trọng tâm tam giác ABD. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại G, lấy điểm S sao cho

oASC 90 .Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBD) theo a bằng

A. a

.17

B.a 2

.27

C. a 2

.17

D. a

.37

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD 2a ; tam giác SAC vuông tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC a 3 . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng

(SAD) bằng

A. 2a 13

.7

B.2a

.7

C.2a 21

.7

D. a 13

.7

Câu 15: Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh đều bằng a và oBAD BAA ʹ DAA ʹ 60 .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) bằng

A. a 5

.5

B. a 10

.5

C. a 6

.3

D. a 3

.3

Câu 16: Cho tứ diện ABCD có AB BCD ,AB 5a,BC 3a,CD 4a . Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AC và AD.

Câu 16.1. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (BCD) bằng

A. 2a

.3 B.

a.

2 C.

a.

4 D.

5a.

2

Câu 16.2. Gọi (P) là mặt phẳng chứa MN và đi qua trung điểm K của AB. Khoảng cách giữa hai

mặt phẳng (P) và (BCD) bằng


Trang 854

A. a.

3 B.

3a.

2 C.

5a.

4 D.

5a.

2

Câu 17: Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’. Đáy lớn ABCD có cạnh bằng a, đáy nhỏ

A’B’C’D’ có cạnh bằng b. Góc giữa mặt bên và đáy lớn bằng o60 . Khoảng cách giữa hai mặt đáy

của hình chóp cụt đều bằng

A. ab 3

.2

B. a b 3

.2

C. a b 3

.2

D. b a 3

.2

Câu 18: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và

(ACD’) bằng

A. a 3

.2

B. a 3

.3

C. a 3

.2

D. a 3

.5

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3a, AD 2a . Hình chiếu

vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH 2HB. Góc giữa

mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng o60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và

AD bằng

A. a 39

.15

B.6a 39

.13

C. a 39

.3

D. a 39

.11

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, a 17

SD2

, hình chiếu vuông

góc H của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của đoạn

AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD theo a bằng

A. a 3

.25

B. a 3

.45

C. a 3

.15

D. a 3

.5

Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có a 70

SC5

, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB 2a, AC a

và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB. Khoảng cách giữa hai đường

thẳng BC và SA bằng

A.3a

.5 B.

4a.

5

C.a.

5

D. 2a

.5

Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng 3a. Chân đường cao hạ từ

đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AB 3AH, góc tạo bởi đường

thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng o60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

A.3a 21

.29

B.3a 21

.19

C. a 21

.39

D. 3a 21

.7

Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD 2a . Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của H và AD, góc giữa SB và mặt phẳng đáy

(ABCD) là o45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BH theo a bằng

A. 2a

.3

B.2

a .5

.

C.2

a .3

D. a.

3

Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SD hợp với

mặt đáy một góc o60 và hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt đáy là trung điểm của cạnh

AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng

A. a 345

.31

B. a 546

.31

C.a 645

.31

D. a 465

.31

Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với


Trang 855

HA

C B

D

S

C

B

D

A

C'

A' B'

D'

H

AB BC a, AD 2a a 0 . Các mặt bên SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy. Biết

góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng o60 .Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và

SB bằng

A.2a 3

.5

B.2a 3

.15

C. a 3

.15

D. 3a 3

.5

Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc oABC 60 cạnh bên SD a 2 .

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho

HD 3HB. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB

bằng

A. a 3

.40

B. a 30

.8

C. a 3

.8

D. a 3

.4

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại B và C,

AB 2BC 4CD 2a , giả sử M và N lần lượt là trung điểm AB và BC. Hai mặt phẳng (SMN)

và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SB hợp với (ABCD) một góc o60 .

Khoảng cách giữa SN và BD bằng

A. 3

a .15 B.

3a .

65 C.

3a .

55 D.

3a .

35

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Biết

AD 2AB 2BC 2a, SA SD SC 3a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng

A. a 5

.3

B. a 3

.3

C. a 3

.2

D. a 2

.2

D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. ĐÁP ÁN C

Nhận xét rằng:

BAC ʹ CA ʹA DAC ʹ A ʹAC

BʹCʹA DʹCʹA

nên khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’, D’ đến đường

chéo AC’ đều bằng nhau.

Hạ CH vuông góc với AC’, ta được:

2 2 2

1 1 1 a 6CH .

3CH AC CC ʹ

Câu 2. ĐÁP ÁN A

Gọi H là giao điểm của AC và BD.

AB BC CD DA a ABCD là hình thoi.

Do đó AC BD đồng thời H là trung điểm của AC và BD.

SAC cân tại S SH AC (1)

SBD cân tại S SH BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SH ABCD (3)

Vì SA SB SC SD

nên HA HB HC HD

Suy ra ABCD là hình vuông (tứ giác đều) (4)

Từ (3) và (4) ta được S.ABCD là hình chóp tứ giác đều.


Trang 856

A C

B

O

H

60°I

K

MA

C

B

S

H

Xét SBD ta có: 2 2 2SA SB a,BD a 2 BD SB SD .

Thế nên SBD vuông tại S.

Suy ra DS SB . Vậy d D,SB DS a.

Câu 3. ĐÁP ÁN B

Nửa chu vi tam giác ABC:

14 16 10

p 202

ABC

S 20. 20 14 20 16 20 10 40 3

ABC2S 80 3

AH 8 3BC 10

Nối OH thì OH BC . Khoảng cách từ O đến BC là OH:

2 2OH OA AH 16

Câu 4. ĐÁP ÁN B

Chân đường cao hình chóp là tâm H của đường tròn ngoại

tiếp tam giác AMC (Do SA SC SM ).

Góc oAMC 120 , nên H ở ngoài tam giác AMC và HAM là

tam giác đều nên:

HM AM a

2 2 2 2SH SM HM 5a a 2a

Từ H kẻ HK AB thì SK AB : SK là khoảng cách từ S đến cạnh AB.

a 3

HK MI2 (do ABM là tam giác đều cạnh bằng a)

2 2

2 2 2 3a 19a a 19SK SH HK 4a

4 4 2.

Câu 5. Phân tích:

Ta có H.SCD H.SCD S.HCD

SCD SCD SCD

3V V V3 3 9 9d B, SCD d H, SCD . . .

2 2 S 2 S 2 S

ĐÁP ÁN B

Trong tam giác SHO có:

oSH HO.tan60

1 a 3 a. . 3

3 2 2

Ta có:

HCD

2

1 1 aS CO.HD . . OD OH

2 2 2

a a 3 1 a 3 a. . .

4 2 3 2 16

2 3

S.HDC HDC

1 1 a a aV .SH.S . . 1

3 3 2 16 96

Mặt khác: 2 2 2 2a 57 a 21SD SH HD ;SC SH HC

6 6

60°60°

HO

CB

A D

S


Trang 857

HI

A

B C

D

S

N

K

60°

M

A C

B

S

H

K

CB

A D

S

H

J

2

SCD

a 57 a 21 SC SD CDSD ; SC ; CD a, p

6 6 2

a 21S p p SC p SD p CD 3

12

Từ (1), (2) ta có 3a 7d B, SCD .

14

Câu 6. ĐÁP ÁN B

Gọi M là trung điểm của BC.

Lập luận được góc giữa (SBC) và (ABC) là oSMA 60

SAM đều cạnh bằng a 3

2

2

SAM

3 3aS

16

3

S.ABC SAM

2

SAC

3B.SAC

2SAC

1 a 3V BC.S

3 16

1 a 13 a 3 a 39S .

2 4 2 16

3V 3a 3 3a 13d B, SAC .

S 13a 3916.

16

Câu 7. ĐÁP ÁN D

SH ABCD SH AC

SAC vuông tại S 2SH HA.HC

2 2AC AB BC 2a , suy ra:

a 3a a 3HA , HC SH

2 2 2

CI 2HI d C, SBD 2d I, SBD

Hạ HN BD, N BD và HK SN, KN .

Suy ra: HK SBD nên d H, SBD HK

Ta có: ABD

AB.AD a 3AB.AD 2S 2HN.BD HN

2BD 4

Ta có: 2 2 2

1 1 1 3aHK

HK HN SH 2 15. Vậy

3ad C, SBD 2HK .

15

Câu 8. ĐÁP ÁN D

Kẻ SH AC, H AC

Do SAC ABCD SH ABCD

2 2 SA.SC a 3SA AC SC a, SH

AC 2

Ta có:

2 2 aAH SA SH CA 4HA

2

d C, SAD 4d H, SAD


Trang 858

120°

KHI

A

B

C

S

H'

E

Do BC// SAD d B, SAD d C, SAD 4d H, SAD

Kẻ HK AD K AD , HJ SK J SK

Chứng minh được SHK SAD mà HJ SK HJ SAD

d H, SAD HJ ; AHK vuông tại o a 2K HK AHsin45

4

2 2

SH.HK a 3HJ

2 7SH HK. Vậy

2a 3 2a 21d B, SAD .

77

Câu 9. ĐÁP ÁN D

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC và O

là tâm của hình chữ nhật, ta

có:

22

2 2 1BH BO . AC

3 3 2

1a 2 2a a

3

Ta có SH ABCD nên góc giữa SB và

mặt phẳng (ABCD) là góc oSBH 60

Trong tam giác vuông SHB ta có:

oSH BHtanSBH a.tan60 a 3

Ta có: 3

d A; SBC 2d O; SBC 2. d H; SBC 3d H; SBC2

Kẻ HK BC K BC , HI SK I SK 1

Ta có: SH ABCD SH BC

Do đó BC SHK BC HI 2

Từ (1) và (2) suy ra HI SBC nên d H; SBC HI

Ta có 1 1

HK DC a3 3

. Trong tam giác vuông SHK ta có:

2 2 2

2

aa 3.

SH.HK a 3 a 213HI1428SH HK a

3a9

.

Vậy 3a 21

d A; SBC 3d H; SBC 3HI14

.

Câu 10. ĐÁP ÁN C

HI

A'B C

A

I' KH'

O

K

H

CB

A D

S

I


Trang 859

Theo định lý Côsin trong tam giác ABC ta được AB AC a

Ta có 2

2 2 2 o 7aCI AI AC 2AI.AC.cos120

4

a 7CI

2

Do đó:

2 2 2 2

22 AI AC CI 3a a 3

AH AH4 16 4

Suy ra o 3aSH AH.tan60

4

AH cắt BC tại K. Gọi A’, H’, I’ lần lượt là hình chiếu của A, H, I trên BC.

Ta có:

d A; SBC AK AA ʹ

4HK HH ʹd H; SBC

d A; SBC 4d H; SBC

Gọi E là hình chiếu của H trên SH’ thì HE SBC d H; SBC HE

1 a

HH ʹ AA ʹ4 8

và từ 2 2 2

1 1 1 3aHE

HE HS HH ʹ 4 37

Vậy 3a 37

d A; SBC 4HE .37

Câu 11. ĐÁP ÁN D

Gọi K là hình chiếu của I lên AB.

Suy ra oSKI 60 .

Do KI BI

IK //ADAD BD

.

Mà BI BC a 1

ID AD 3a 3BI 1 BI 1

BI ID 4 BD 4

Suy ra KI 1 3a 3a 3

KI SIAD 4 4 4

Gọi H là hình chiếu của I lên SK. Ta có

AB IKAB IH

AB SI

Từ đó suy ra IH SAB d I; SAB IH

Mà do DB 4IB d D; SAB 4d I; SAB 4IH

Lại có 2 2 2 2 2

1 1 1 16 16 3a 3IH

8IH IS IK 27a 9a. Vậy 3a 3

d D; SAB2

.

Câu 12. ĐÁP ÁN B

60°

I

B C

DA

S

K

H


Trang 860

K

CB

A D

S

H

J

G

D

O

A

B C

S

H

SAC ABCD

SBD ABCD

SAC SBD SO

SO ABCD SO BC

Kẻ OK BC BC SOK

oSBC , ABCD SKO 60

AO SBC C

d A; SBC 2d O; SBC

2 2 2

SBC SOK

SBC SOK SK OH SBC d O; SBC OH

OH SK

1 1 1 3a 3aOH d A; SBC .

8 4OH OK OS


o oABC 120 BAD 60 ABD đều cạnh a.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

a 3 2 a 3

AO ; AG AO ; AC a 32 3 3

a 6

SG GA.GC3

(SAC vuông tại S, đường cao SG).

Kẻ GH SO GH SBD vì

BD GH SAO d G; SBD GH

SGO vuông tại G, đường cao GH

2 2 2 2

1 1 1 27 a 2GH .

GH GS GO 2a 27


Kẻ SH AC, H AC

Do SAC ABCD SH ABCD

2 2SA AC SC a,

SA.SC a 3SH

AC 2

Ta có:

2 2 aAH SA SH CA 4HA d C, SAD 4d H, SAD

2

Do BC// SAD d B, SAD d C, SAD 4d H, SAD

120°60°

O

A

D C

B

S

K

H


Trang 861

O

A'

B'

D'

A

C B

C'

D

H

Kẻ HK AD K AD , HJ SK J SK

Chứng minh được SHK SAD mà HJ SK HJ SAD

d H, SAD HJ

AHK vuông tại o a 2K HK AHsin45

4

2 2

SH.HK a 3HJ

2 7SH HK. Vậy

2a 3 2a 21d B, SAD .

77


Hạ A ʹH AC , ta có nhận xét:

BD ACBD OAA ʹ

BD A ʹO

BD A ʹH A ʹH ABCD

Và vì ABCD // A ʹBʹC ʹD ʹ nên A ʹH chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.

Nhận xét rằng hình chóp A’.ABD là hình chóp đều, nên ta lần lượt có:

2 2 a 3 a 3

AH AO .3 3 2 3

2 2

2 2 2 2 a 2a a 6A ʹH A ʹA AH a A ʹH .

3 3 3

Câu 16.1. ĐÁP ÁN D

MN//CDMN// BCD

CD BCD

Töø keû

M MH//ABMH BCD

AB BCD

Vậy: MH d MN, BCD

ABC cho: AB 5a

MH .2 2

Câu 16.2. ĐÁP ÁN D

Tính d P , BCD :

MN//CDP // BCD

MK // BC

M P 5aMH d P , BCD .

2MH BCD


Lưu ý: Cần chú ý rằng, trong hình chóp cụt đều thì các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau, các

góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng nhau.

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’; K và J lần lượt là trung điểm

của A’D’ và AD.

Gọi H là hình chiếu của K trên (ABCD) thì KH OJ tại H và KH là khoảng cách cần tìm.

Gọi là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp cụt thì

K

H

M

N

A

B

C

D

H

M

N

A

B

C

D


Trang 862

60°KH

IA

B C

D

S

K

H

O'

O

C'

B'

D'

A'

C

A B

D

φH

J

K O'

B'A'

C'

O

B

D C

A

D' oKJH 60 .

Ta có: b a

O ʹK ;OJ2 2

.

KHOO’ là hình chữ nhật nên:

a b

JH OJ O ʹK2

a b 3KH 2.KHHJK : tan KH .

HJ a b 2

Câu 18. Phân tích:

Chứng minh BʹD BCʹ :

BC ʹ CBʹBC ʹ CDA ʹBʹ BC ʹ BʹD 1

BC ʹ DC DC BBʹC ʹC

Chứng minh A ʹC ʹ BʹD :

A ʹC ʹ BʹD ʹA ʹC ʹ BDD ʹBʹ A ʹC ʹ BʹD 2

A ʹC ʹ BBʹ BBʹ A ʹBʹC ʹD ʹ

Xác định giao điểm K và H:

BBʹD ʹD BʹD

BC ʹA ʹ BBʹD ʹD BO ʹ O ʹ A ʹC ʹ BʹD ʹ BʹD BC ʹA ʹ K

BʹD BO ʹ K

BBʹD ʹD BʹD

ACD ʹ BBʹD ʹD D ʹO O AC BD BʹD ACD ʹ H

BʹD D ʹO H

ĐÁP ÁN B

Từ (1) và (2) suy ra BʹD (BC ʹA ʹ) (3)

Mặt khác:

BC ʹ // AD ʹBC ʹA ʹ // ACD ʹ 4

BA ʹ //CD ʹ

Từ (3) và (4) suy ra: BʹD ACD ʹ 5

Ta có: BʹD BA ʹC ʹ K,BʹD BC ʹA ʹ ,

BʹD D ʹAC H,BʹD ACD ʹ

Do đó KH là khoảng cách cần tìm.

2

2 2 2 2 2BDBʹ : BʹD BD BʹB a 2 a 3a BʹD a 3

Dễ thấy trong hình chữ nhật BB’D’D ta có: 1 a 3

KH BʹD .3 3

Câu 19. ĐÁP ÁN A


Trang 863

D

I

H

B C

A

K

S

J

K

H

DA

B C

S

E

F

Kẻ HK CD K CD . Khi đó:

CD HKCD SHK CD SK

CD SH

Vậy góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc oSKH 60

Trong tam giác vuông SHK:

oSH HKtan60 2a 3

Vì SBC //AD d AD,SC d A, SBC .

Trong (SAB) kẻ AI SB , khi đó:

BC ABBC SAB BC AI

BC SH. Mà SB AI AI SBC

Vậy 2 2

SH.AB 2a 3.3a 6a 39d AD,SC d A, SBC AI .

SB 1312a a


SH ABCD SH HD. Ta có:

2 2

2 2 2

SH SD HD

SD AH HD

SH a 3

HK// BD HK // SBD

d HK,SD d H, SBD

Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên BD và F là hình chiếu vuông góc của H trên SE.

Ta có: BD HE và BD SH nên BD SHE BD HF mà HF SE do đó HF SBD . Suy

ra d H, SBD HF

Ta có: a 2

HE HBsinEBH4

2 2

HS.HE a 3HF

5HS HE.

Vậy a 3d HK,SD .

5


Tam giác AHC vuông cân cạnh a nên

CH a 2

Tam giác SHC vuông tại H nên

2 2 2aSH SC CH

5

Dựng AK BC, HI BC . Đường

thẳng qua A song song với BC cắt IH

tại D BC// SAD

d BC,SA s BC, SAD d B, SAD 2d H, SAD

AD SDH SAD SDH .


Trang 864

60°

H

CA

D B

S

E

F

Kẻ HJ SD HJ SAD d H, SAD HJ

Ta có 2 2 2

1 1 1 2a aAK HD

AK AB AC 5 5

2 2 2

1 1 1 2aHJ

5HJ HD HS. Vậy 4a

d BC,SA .5


Nhận thấy SH ABC HC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC)

oSCH 60 là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC)

Ta có 2 2 2 oHC AC AH 2AC.AH.cos60 2 2 219a a 2.3a.a. 7a

2

oHC a 7 SH HC.tan60 a 21

Dựng AD CB AD//CB BC// SAD

d SA;BC d BC; SAD d B; SAD 3d H; SAD

Dựng HE AD tại E AD SHE

SAD SHE (theo giao tuyến SE)

Dựng HF SE tại F HF SAD HF d H; SAD

Ta có: o a 3HE AH.sin60

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 29

HF HE SH 3a 21a 21a

a 21 3a 21HF d B; SAD

29 29

Vậy 3a 21d SA;BC .

29


45° KH

BA

DC

S

Do SH (ABCD) nên góc giữa SB và mặt phẳng đáy (ABCD) là góc oSBH 45 . Ta có SBH

vuông cân tại H nên SH BH a 2

Gọi K là trung điểm của BC, ta có BH//DK BH// SDK .

Suy ra: d BH;SD d BH; SDK d H; SDK

Tứ diện SHDK vuông tại H nên

2 2 2 22

1 1 1 1 5

HS HK HD 2ad H; SDK

Vậy 2

d BH;SD d H; SDK a5.



Trang 865

60°

M

EOH

CB

AD

S

K

M

HO

CB

AD

S

I

H

DO

A

B C

S

E

K

Ta có SH (ABCD) .

Tính a 5 a 15

HD ; SH2 2

Dựng E sao cho AEBO là hình bình hành. Gọi M là trung

điểm của AE. Hạ HK vuông góc với SM.

Chứng minh HK SAE và tính được a 465

HK62

Tính được a 465

d BD;SA 2HK .31


Gọi H AC BD SH ABCD và

1

BH BD3

Kẻ HE AB AB SHE , hay

oSAB ; ABCD SEH 60

Mà 1 2a 2a 3

HE AD SH3 3 3

Gọi O là trung điểm AD, ta có ABCD là hình vuông cạnh a ACD có trung tuyến

1

CO AD2

CD AC CD (SAC) VÀ BO//CD hay CD//(SBO) và BO (SAC)

d CD;SB d CD; SBO d C; SBO

Tính chất trọng tâm tam giác BCO 1 a 2

IH IC3 6

2 2 5a 2IS IH HS

6

Kẻ CK SI mà CK BO CK (SBO) d(C,(SBO)) CK

Trong tam giác SIC có: SIC

1 1 SH.IC 2a 3S SH.IC SI.CK CK

2 2 SI 5

Vậy 2a 3d CD,SB

5.


Từ giả thiết có tam giác ABC đều cạnh a.

Gọi a 3

O AC BD BO BD a 32

3 3

HD BD a 34 4

2 22 2 2 2 27a 5a a 5

SH SD HD 2a SH16 16 4

2 22 2 2 5a 3a a 2

SB SH HB SB16 16 2

BD ACAC SBD AC OM

AC SH


Trang 866

Diện tích tam giác MAC là 2

MAC

1 1 1 a 2 a 2S OM.AC SB.AC .a

2 4 4 2 8

SB//OM SB// MAC

d SB;CM d SB; MAC d S; MAC d D; MAC

M.ACD ACD ABCD

1 1 1 1V d M; ABCD .S . d S; ABCD . S

3 3 2 2

3

S.ABCD

1 a 15V

4 96

Mặt khác

M.ACD MAC

1V d D; MAC .S

3

3

M.ACD

2MAC

a 153V a 3032d D; MAC .S 8a 2

8


H N

MA B

CD

S

K

Gọi H MN BI SMN SBI SH

Do hai mặt phẳng (SMN) và (SBI) cùng vuông góc với ABCD SH ABCD

Dễ thấy BH là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng đáy, suy ra oSBH 60 .

Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB và BC, mà AB 4CD nên suy ra MN BD tại H.

Xét tam giác BMN ta có: 2 2 2 2

1 1 1 5 aBH

BH BM BN a 5

Xét tam giác SBH lại có:

oSH a 15tanSBH SH HB.tan60

HB 5

Tính khoảng cách giữa SN và BD.

Do

BD SHBD SMN

BD MN

Dựng HK vuông góc SN, suy ra HK là đoạn vuông góc chung của

SN và BD d BD,SN HK .

Xét BHN có: 2 2

2 2 a a a 5HN BN BH

4 5 10

Xét SHN ta có: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 20 5 65 3HK a

65HK SH HN a 3a 3a


Trang 867

HA D

B C

S

Vậy 3d BD,SN a

65.


Theo giả thiết ta có BC AB a

Gọi H là trung điểm của AD

HA HD a

Từ giả thiết ABCH là hình vuông cạnh a tâm O

CH a

1 a 2CO AC

2 2

Trong tam giác ACD có CH là trung tuyến và

1

CH AD2

ACD vuông tại C H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) SK ABCD , SK là đường cao

của hình chóp S.ABC.

Hơn nữa các tam giác vuông SKA, SKC và SKD bằng nhau vì SK chung và

SA SD SC 3a KA KC KD

K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD K trùng với H.

Trong tam giác vuông SHD ta có: 2 2 2 2 2SH SD HD 9a a 2 2a

Tứ giác BCDH là hình bình hành (vì HD// BC, HD BC ) CD// BH

Ta có:

CD// BH SBHCD// SBH

CD SBH

Ta có SB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.

Mặt khác

CD// SBH

SB SBH

d CD,SB d CD, SBH d C, SBH

Ta có

CO HB a 2CO SBH d C, SBH CO .

CO SH 2

ài giảng toán 11 - Hoc Online 247

Documents

Transcript of ài giảng toán 11 - Hoc Online 247