2 LA CIRCUNFERENCIA s

Ing. Jhonny Ruiz Núñez

1

MATEMÁTICA II

SECCIONES

CÓNICAS

2Ing. Jhonny Ruiz Núñez

CIRCUNFERENCIA

Curva de intersección de una

superficie cónica con un plano

perpendicular al eje


ELIPSE


superficie cónica con un plano en el

que b > a


5

PARÁBOLA



en el que a = b


6

HIPÉRBOLA



en el que b < a


CIRCUNFERENCIA


CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar

geométrico de un conjunto de infinitos

puntos que equidistan de un punto

situado en el centro.


A B

Recta

tangente

Recta

secante

Flecha o

sagita

Diámetro

AB( )

Centro

T

Punto de tangencia

Q

P

Radio

Arco BQ

Cuerda PQ


PROPIEDADES BÁSICAS EN LA

CIRCUNFERENCIA

01.-Radio trazado al punto de tangencia es

perpendicular a la recta tangente.

LR 10Ing. Jhonny Ruiz Núñez

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda

la biseca (divide en dos segmentos congruentes).

P

Q

MQ PM PQ R 11Ing. Jhonny Ruiz Núñez

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes

entre las paralelas.

A B

C D

mBDmAC CD // AB :Si


04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia

les corresponden arcos congruentes.

A

B

C

D

Cuerdas congruentesArcos congruentes

Las cuerdas

equidistan del

centro

mCD mAB CD AB:Si 13Ing. Jhonny Ruiz Núñez

POSICIONES RELATIVAS DE DOS

CIRCUNFERENCIAS

01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.-Tienen el mismo

centro.

r

d = Cero ; d : distancia14Ing. Jhonny Ruiz Núñez

Distancia entre

los centros (d)

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en

común.

d > R + r

R r


d = R + r

03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.-

Tienen Un punto común que es la de tangencia.

R r

Punto de tangencia

Distancia entre

los centros (d)


d

d = R - r

04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.-Tienen

un punto en común que es la de tangencia.

d: Distancia entre los centros

R

r

Punto de

tangencia


05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.-Tienen dos puntos comunes

que son las intersecciones.

( R – r ) < d < ( R + r )

Distancia entre

los centros (d)


06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios

son perpendiculares en el punto de intersección.

d2 = R2 + r2

Distancia entre

los centros (d)


06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos

comunes.

d

d < R - r d: Distancia entre los centros20Ing. Jhonny Ruiz Núñez

1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede

trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos

congruentes.

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

AP = PB

A

B

P

R

R

aa


2.-TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes

AB = CD

A

B

C

D

R

R

r

r


3.-TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.

AB = CD

A

B

C

DR

R

r

r


TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma

de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas

el doble del inradio.

a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

a

b

c

r

R R

Inradio

Circunradio


TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una

circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados

opuestos son iguales.

a + c = b + d

d

a

b

c

Cuadrilátero circunscrito


26

ECUACIONES

DE LA

CIRCUNFERENCIA


La circunferencia

es la sección cónica

que se obtiene al

cortar el cono circular

recto de dos mantos

con un plano

perpendicular al eje

del cono.

RECORDANDO….


ECUACIÓN DE LA

CIRCUNFERENCIA REFERIDA A UN

SISTEMA DE EJES CARTESIANOS

rkyhxCP22

rkyhx222

Ecuación ordinaria o cartesiana

Si C (0, 0)

ryx 222

Ecuación canónica

Consideremos la circunferencia de centro C(h,k) y radio r. Sea P(x,y) un punto

cualquiera. Por definición de distancia:


x2 + (y - 1)2 = 25

y

x

1

-1

2

3

4

6

-4

5

-2

-3

7

-5

1-1

2 3 4-4 5-2-3-5-6

0

6

r = 5

C(0, 1)

29

Ejemplo


x2 + y2 = 25y

x

1

-1

2

3

4

6

-4

5

-2

-3

7

-5

1-1

2 3 4-4 5-2-3-5-6

0

6

r = 5

C(0, 0)

30

Ejemplo


(x + 1)2 + y2 = 9

y

x

1

-1

2

3

4

6

-4

5

-2

-3

7

-5

1-1

2 3 4-4 5-2-3-5-6

0

6

r = 3

C(-1, 0)

31

Ejemplo


(x - 2)2 + (y - 2)2 = 16

y

x

1

-1

2

3

4

6

-4

5

-2

-3

7

-5

1-1

2 3 4-4 5-2-3-5-6

0

6

r = 4

C(2, 2)

32

Ejemplo


33

Ejemplo

Determinar el centro y el radio de la circunferencia cuya

ecuación es: (x+7)2 + y2 = 91

Hallar la ecuación ordinaria de una circunferencia de centro

C(2;-3) y radio 5.2

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como

diámetro la porción de la recta L: 2x-3y+12=0, comprendida

en el segundo cuadrante.

3

Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las

dos rectas paralelas L1: 2x+y-5=0 y L2: 2x+y+15=0 y, a una

de ellas, en el punto A(2,1)

4

Dos circunferencias C1 y C2 son concéntricas, el radio de C1

es 25 y la recta tangente a C1 corta a C2 en los puntos

B(8,-10) y C(12,-2). Hallar las ecuaciones de C1 y C2,

sabiendo además que la abscisa del centro de las

circunferencias es menor que 10.

5


FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN

DE LA CIRCUNFERENCIA

x2 – 2.h.x + h2 + y2 – 2.k.y + k2 = r2

x2 + y2 – 2.h.x – 2.k.y + h2 + k2 – r2 = 0

x2

+ y2

+ Dx + Ey + F = 0

ECUACIÓN

GENERAL

D = - 2.h F = h2 + k2 – r2E = - 2.k

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Si en la ecuación cartesiana desarrollamos los cuadrados y

ordenamos los términos:


Partiendo de: x2 + y2 +Dx +Ey + F = 0

1) a=c, 2) b=0, 3) d2+e

2-4f 0

Una Ecuación de 2º grado en dos variables: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,

representa una circunferencia si:

Sumando en ambos

miembros números

convenientes para completar

en cada paréntesis trinomios

cuadrados perfectos, resulta:

(x2 + dx) +(y2 + ey) = -f

Agrupando términos

(x2+dx+d2/4)+(y2+ey+e2/4) = -f+d2/4+e2/4

(x+d/2)2 + (y+e/2)2 = -f+d2/4+e2/4

Comparando con

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

,2 2

D EC

2 214

2r D E F


x2 + y2 + 4x -10y + 13 = 0

Determinar el radio y las coordenadas del

centro de la circunferencia

36

Ejemplo

1

La ecuación de una circunferencia es: (x-

4)2+(y-3)2=20. Hallar la ecuación de la

tangente a esta circunferencia en el punto

(6,7)

2

Hallar la ecuación de circunferencia

tangente al eje x, con centro en la recta L:

x+y-7=0 y que pasa por el punto A(5,4)

3


La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos

dados no colineales P1(x1, y1), P2(x2, y2) y P3(x3, y3), esta

dada por la determinante:

37

1

2 2

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

2 2

3 3 3 3

1

10

1

1

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y


38

Utilizando la ecuación general:2

x2

+ y2

+ Dx + Ey + F = 0

Hallando dos mediatrices, luego hallando la

intersección de las mediatrices (centro de la

circunferencia) y luego hallando la distancia del

centro de la circunferencia a uno de los tres puntos

(radio).

3


Encontrar la ecuación de la Circunferencia

que pasa por los puntos P1(2,1), P2(0,1) y

P3(0,-1)

39

Ejemplo

1

Encontrar la ecuación de la Circunferencia

que pasa por los puntos P1(4,-1), P2(0,-7) y

P3(-2,-3)

2


P(x,y) C L (x,y) es solución del sistema formado por la ecuación de la

circunferencia y de la recta.

)2(0

)1(02222

cbyax

fkyhxyx

De la ecuación de la recta se despeja a o b, ya que ambos no pueden ser

simultáneamente nulos. Supongamos que b 0, Despejamos:

3b

caxy

Reemplazamos “y” en la ecuación de la

circunferencias y se obtiene:

022

2

2

f

b

caxkhx

b

caxx


INTERSECCIÓN DE RECTA Y

CIRCUNFERENCIA

b

caxy

022

2

2

f

b

caxkhx

b

caxx

Resolviendo esta ecuación se obtiene dos valores para “x” que si son reales y

distintos, dan las abscisas de los puntos de intersección de la recta con la

circunferencia.

Reemplazando estos valores en,

Se obtiene las ordenadas de esos puntos.

Según la naturaleza de las raíces:

a) Dos raíces reales y distintas, la recta es secante

b) Dos raíces reales e iguales, la recta es tangente

c) Dos raíces complejas conjugadas, la recta es exterior41Ing. Jhonny Ruiz Núñez

x2 + y2 -8x +2y + 12 = 0

Hallar los puntos de intersección (si

existen) entre:

x -2y -1 = 0

y la circunferencia

recta de ecuación

42

Ejemplo


P(x,y) C1 C2 (x,y) es solución del sistema formado por la ecuación de las

circunferencias:

)2(022

)1(022

222

22

111

22

fykxhyx

fykxhyx

Para resolverlo se forma el sistema equivalente tomando la (1) y reemplazando la

(2) por la suma entre la (1) y la (2) multiplicada previamente por –

1.Obteniéndose la ecuación de una recta ya que es de primer grado con dos

incógnitas (eje radical).

)3(022

)1(022

211212

111

22

ffykkxhh

fykxhyx


x2 + y2 -4x -6y + 9 = 0

Hallar los puntos de intersección (si

existen) entre las circunferencias C1 y C2 :

y

x2 + y2 -8x -2y + 13 = 0

44

Ejemplo


DEFINICIÓN : Se llama potencia de un punto P con respecto a una

circunferencia, al producto constante de las distancias de dicho punto a

los puntos de intersección de toda secante a la circunferencia que pasa

por P:

Constante....´.´.2

PTPBPBPAPAPotP c

Se lee: Potencia de P con respecto a la circunferencia d e centro O

T

OP A

A´

B

B´

45


DEFINICIÓN : Se llama eje radical de dos circunferencias no

concéntricas, al lugar geométrico de los puntos del plano

que tienen igual potencia con respecto a esas

circunferencias. Su ecuación está dada por:

022 211212 ffykkxhh

Geométricamente el eje radical, se determina según:

a) Si las dos circunferencias son secantes

b) Si las dos circunferencias son tangentes

c) Si las dos circunferencias no tienen puntos en común


EJE RADICAL

Si las dos circunferencias son secantes:

El eje radical está determinado por los

puntos de intersección de las dos

circunferencias.

C2

C1

C2

C1

Si las dos circunferencias son tangentes: El

eje radical está determinado por el punto

común a ambas circunferencias.


EJE RADICAL

C2C1

Si las dos circunferencias no tienen puntos en común:

Se traza una circunferencia

auxiliar que sea secante con las

dos dadas.

Se determinan los ejes radicales

de las circunferencias dadas con

la auxiliar.

Por el punto de intersección de

ambos ejes se traza la recta

perpendicular a la recta

determinada por los centros de la

circunferencia dada.

Esa perpendicular es el eje radial

ce las circunferencias dada.48Ing. Jhonny Ruiz Núñez

ECUACIÓN DE LA TANGENTE A

UNA CIRCUNFERENCIA

Tangente por un punto perteneciente a la circunferencia:

y

x

C(h,k)

P0(x0 , y0)

P0(x0,y0) Cx2+y2-2hx-2ky+f = 0

Si la recta es tangente a la circunferencia por

Po, se cumple: 0CP

kyhxCP 000 ,

Luego al recta tendrá una ecuación de la forma:

0() 00 cykyxhx

Si P0 sus coordenadas deben satisfacer la

ecuación (1):

(1)

0() 0000 cykyxhx (2)

Restando las igualdades (1) y (2) y sacando factor común, resulta:

0.. 0000 yykyxxhxEcuación de la tangente a C

por P0


Determinar la ecuación de la tangente a la

circunferencia: x2 + y2 -5x +2y + 1 = 0, por el Punto

P0(4,1)

Solución:

1) Verificar si P0 pertenece a la circunferencia.

2) Determinar h y k.

3) Hallar las componentes del vector CP0.

4) Determinar c.

5) Escribir la ecuación de la recta tangente.

50

Ejemplo


ECUACIÓN DE LAS TANGENTES A

UNA CIRCUNFERENCIA

Tangente por un punto exterior a la circunferencia:

y

x

C(h,k)

P0(x0 , y0)

Sea la circunferencia: x2+y2-2hx-2ky+f = 0 y el

punto P1(x1,y1) a la circunferencia

Se debe encontrar el punto de tangencia

P0. Conocido este punto se determina P1P0

que es la recta tangente pedida.

2

00 .. rkykyhxhx

P1(x1 , y1)

P´0(x´0 , y´0)

Si P0 pertenece a la recta tangente y a la

circunferencia debe satisfacer la ecuación:

Como esa recta tangente debe pasar por P1 sus coordenadas deben satisfacer

dicha ecuación 2

0101 .. rkykyhxhx Además como P0 C debe

verificar la ecuación de la

circunferencia:

22

0

2

0 rkyhx


ECUACIÓN DE LA TANGENTE A

UNA CIRCUNFERENCIA

Tangente por un punto exterior a la circunferencia:

Se forma el sistema con ambas ecuaciones

22

0

2

0

2

0101 ..

rkyhx

rkykyhxhx

La solución de este sistema nos da las coordenadas de P0, (dos soluciones) que

justamente con P1, determina la tangente pedida.

Si el punto P1 es exterior a la circunferencia, determina las dos rectas

tangentes por el punto.

Si el punto P1 es interior a la circunferencia, el sistema no tiene solución.


Determinar la ecuación de las tangentes (si

existen) a la circunferencia: x2 + y2 +2x -19 = 0,

por el Punto P1(1,6)

Solución:

1) Determinar las coordenadas del centro y radio..

2) Verificar si la distancia de P1 a C es mayor que r.

3) Si el punto es exterior, el sistema tiene solución..

53

Ejemplo


2 LA CIRCUNFERENCIA s

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