CIRCUNFERENCIA
Curva de intersección de una
superficie cónica con un plano
perpendicular al eje
3Ing. Jhonny Ruiz Núñez
ELIPSE
Curva de intersección de una
superficie cónica con un plano en el
que b > a
4Ing. Jhonny Ruiz Núñez
5
PARÁBOLA
Curva de intersección de una
superficie cónica con un plano
en el que a = b
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
6
HIPÉRBOLA
Curva de intersección de una
superficie cónica con un plano
en el que b < a
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar
geométrico de un conjunto de infinitos
puntos que equidistan de un punto
situado en el centro.
8Ing. Jhonny Ruiz Núñez
A B
Recta
tangente
Recta
secante
Flecha o
sagita
Diámetro
AB( )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
9Ing. Jhonny Ruiz Núñez
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA
CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
LR 10Ing. Jhonny Ruiz Núñez
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
MQ PM PQ R 11Ing. Jhonny Ruiz Núñez
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A B
C D
mBDmAC CD // AB :Si
12Ing. Jhonny Ruiz Núñez
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentesArcos congruentes
Las cuerdas
equidistan del
centro
mCD mAB CD AB:Si 13Ing. Jhonny Ruiz Núñez
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.-Tienen el mismo
centro.
r
d = Cero ; d : distancia14Ing. Jhonny Ruiz Núñez
Distancia entre
los centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en
común.
d > R + r
R r
15Ing. Jhonny Ruiz Núñez
d = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.-
Tienen Un punto común que es la de tangencia.
R r
Punto de tangencia
Distancia entre
los centros (d)
16Ing. Jhonny Ruiz Núñez
d
d = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.-Tienen
un punto en común que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de
tangencia
17Ing. Jhonny Ruiz Núñez
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.-Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
( R – r ) < d < ( R + r )
Distancia entre
los centros (d)
18Ing. Jhonny Ruiz Núñez
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios
son perpendiculares en el punto de intersección.
d2 = R2 + r2
Distancia entre
los centros (d)
19Ing. Jhonny Ruiz Núñez
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos
comunes.
d
d < R - r d: Distancia entre los centros20Ing. Jhonny Ruiz Núñez
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos
congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PB
A
B
P
R
R
aa
21Ing. Jhonny Ruiz Núñez
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas
el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Inradio
Circunradio
24Ing. Jhonny Ruiz Núñez
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
a + c = b + d
d
a
b
c
Cuadrilátero circunscrito
25Ing. Jhonny Ruiz Núñez
La circunferencia
es la sección cónica
que se obtiene al
cortar el cono circular
recto de dos mantos
con un plano
perpendicular al eje
del cono.
RECORDANDO….
27Ing. Jhonny Ruiz Núñez
ECUACIÓN DE LA
CIRCUNFERENCIA REFERIDA A UN
SISTEMA DE EJES CARTESIANOS
rkyhxCP22
rkyhx222
Ecuación ordinaria o cartesiana
Si C (0, 0)
ryx 222
Ecuación canónica
Consideremos la circunferencia de centro C(h,k) y radio r. Sea P(x,y) un punto
cualquiera. Por definición de distancia:
28Ing. Jhonny Ruiz Núñez
x2 + (y - 1)2 = 25
y
x
1
-1
2
3
4
6
-4
5
-2
-3
7
-5
1-1
2 3 4-4 5-2-3-5-6
0
6
r = 5
C(0, 1)
29
Ejemplo
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
x2 + y2 = 25y
x
1
-1
2
3
4
6
-4
5
-2
-3
7
-5
1-1
2 3 4-4 5-2-3-5-6
0
6
r = 5
C(0, 0)
30
Ejemplo
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
(x + 1)2 + y2 = 9
y
x
1
-1
2
3
4
6
-4
5
-2
-3
7
-5
1-1
2 3 4-4 5-2-3-5-6
0
6
r = 3
C(-1, 0)
31
Ejemplo
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
(x - 2)2 + (y - 2)2 = 16
y
x
1
-1
2
3
4
6
-4
5
-2
-3
7
-5
1-1
2 3 4-4 5-2-3-5-6
0
6
r = 4
C(2, 2)
32
Ejemplo
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
33
Ejemplo
Determinar el centro y el radio de la circunferencia cuya
ecuación es: (x+7)2 + y2 = 91
Hallar la ecuación ordinaria de una circunferencia de centro
C(2;-3) y radio 5.2
Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como
diámetro la porción de la recta L: 2x-3y+12=0, comprendida
en el segundo cuadrante.
3
Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las
dos rectas paralelas L1: 2x+y-5=0 y L2: 2x+y+15=0 y, a una
de ellas, en el punto A(2,1)
4
Dos circunferencias C1 y C2 son concéntricas, el radio de C1
es 25 y la recta tangente a C1 corta a C2 en los puntos
B(8,-10) y C(12,-2). Hallar las ecuaciones de C1 y C2,
sabiendo además que la abscisa del centro de las
circunferencias es menor que 10.
5
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN
DE LA CIRCUNFERENCIA
x2 – 2.h.x + h2 + y2 – 2.k.y + k2 = r2
x2 + y2 – 2.h.x – 2.k.y + h2 + k2 – r2 = 0
x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0
ECUACIÓN
GENERAL
D = - 2.h F = h2 + k2 – r2E = - 2.k
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Si en la ecuación cartesiana desarrollamos los cuadrados y
ordenamos los términos:
34Ing. Jhonny Ruiz Núñez
Partiendo de: x2 + y2 +Dx +Ey + F = 0
1) a=c, 2) b=0, 3) d2+e
2-4f 0
Una Ecuación de 2º grado en dos variables: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,
representa una circunferencia si:
Sumando en ambos
miembros números
convenientes para completar
en cada paréntesis trinomios
cuadrados perfectos, resulta:
(x2 + dx) +(y2 + ey) = -f
Agrupando términos
(x2+dx+d2/4)+(y2+ey+e2/4) = -f+d2/4+e2/4
(x+d/2)2 + (y+e/2)2 = -f+d2/4+e2/4
Comparando con
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
,2 2
D EC
2 214
2r D E F
35Ing. Jhonny Ruiz Núñez
x2 + y2 + 4x -10y + 13 = 0
Determinar el radio y las coordenadas del
centro de la circunferencia
36
Ejemplo
1
La ecuación de una circunferencia es: (x-
4)2+(y-3)2=20. Hallar la ecuación de la
tangente a esta circunferencia en el punto
(6,7)
2
Hallar la ecuación de circunferencia
tangente al eje x, con centro en la recta L:
x+y-7=0 y que pasa por el punto A(5,4)
3
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos
dados no colineales P1(x1, y1), P2(x2, y2) y P3(x3, y3), esta
dada por la determinante:
37
1
2 2
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
2 2
3 3 3 3
1
10
1
1
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
38
Utilizando la ecuación general:2
x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0
Hallando dos mediatrices, luego hallando la
intersección de las mediatrices (centro de la
circunferencia) y luego hallando la distancia del
centro de la circunferencia a uno de los tres puntos
(radio).
3
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
Encontrar la ecuación de la Circunferencia
que pasa por los puntos P1(2,1), P2(0,1) y
P3(0,-1)
39
Ejemplo
1
Encontrar la ecuación de la Circunferencia
que pasa por los puntos P1(4,-1), P2(0,-7) y
P3(-2,-3)
2
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
P(x,y) C L (x,y) es solución del sistema formado por la ecuación de la
circunferencia y de la recta.
)2(0
)1(02222
cbyax
fkyhxyx
De la ecuación de la recta se despeja a o b, ya que ambos no pueden ser
simultáneamente nulos. Supongamos que b 0, Despejamos:
3b
caxy
Reemplazamos “y” en la ecuación de la
circunferencias y se obtiene:
022
2
2
f
b
caxkhx
b
caxx
40Ing. Jhonny Ruiz Núñez
INTERSECCIÓN DE RECTA Y
CIRCUNFERENCIA
b
caxy
022
2
2
f
b
caxkhx
b
caxx
Resolviendo esta ecuación se obtiene dos valores para “x” que si son reales y
distintos, dan las abscisas de los puntos de intersección de la recta con la
circunferencia.
Reemplazando estos valores en,
Se obtiene las ordenadas de esos puntos.
Según la naturaleza de las raíces:
a) Dos raíces reales y distintas, la recta es secante
b) Dos raíces reales e iguales, la recta es tangente
c) Dos raíces complejas conjugadas, la recta es exterior41Ing. Jhonny Ruiz Núñez
x2 + y2 -8x +2y + 12 = 0
Hallar los puntos de intersección (si
existen) entre:
x -2y -1 = 0
y la circunferencia
recta de ecuación
42
Ejemplo
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
P(x,y) C1 C2 (x,y) es solución del sistema formado por la ecuación de las
circunferencias:
)2(022
)1(022
222
22
111
22
fykxhyx
fykxhyx
Para resolverlo se forma el sistema equivalente tomando la (1) y reemplazando la
(2) por la suma entre la (1) y la (2) multiplicada previamente por –
1.Obteniéndose la ecuación de una recta ya que es de primer grado con dos
incógnitas (eje radical).
)3(022
)1(022
211212
111
22
ffykkxhh
fykxhyx
43Ing. Jhonny Ruiz Núñez
x2 + y2 -4x -6y + 9 = 0
Hallar los puntos de intersección (si
existen) entre las circunferencias C1 y C2 :
y
x2 + y2 -8x -2y + 13 = 0
44
Ejemplo
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
DEFINICIÓN : Se llama potencia de un punto P con respecto a una
circunferencia, al producto constante de las distancias de dicho punto a
los puntos de intersección de toda secante a la circunferencia que pasa
por P:
Constante....´.´.2
PTPBPBPAPAPotP c
Se lee: Potencia de P con respecto a la circunferencia d e centro O
T
OP A
A´
B
B´
45
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
DEFINICIÓN : Se llama eje radical de dos circunferencias no
concéntricas, al lugar geométrico de los puntos del plano
que tienen igual potencia con respecto a esas
circunferencias. Su ecuación está dada por:
022 211212 ffykkxhh
Geométricamente el eje radical, se determina según:
a) Si las dos circunferencias son secantes
b) Si las dos circunferencias son tangentes
c) Si las dos circunferencias no tienen puntos en común
46Ing. Jhonny Ruiz Núñez
EJE RADICAL
Si las dos circunferencias son secantes:
El eje radical está determinado por los
puntos de intersección de las dos
circunferencias.
C2
C1
C2
C1
Si las dos circunferencias son tangentes: El
eje radical está determinado por el punto
común a ambas circunferencias.
47Ing. Jhonny Ruiz Núñez
EJE RADICAL
C2C1
Si las dos circunferencias no tienen puntos en común:
Se traza una circunferencia
auxiliar que sea secante con las
dos dadas.
Se determinan los ejes radicales
de las circunferencias dadas con
la auxiliar.
Por el punto de intersección de
ambos ejes se traza la recta
perpendicular a la recta
determinada por los centros de la
circunferencia dada.
Esa perpendicular es el eje radial
ce las circunferencias dada.48Ing. Jhonny Ruiz Núñez
ECUACIÓN DE LA TANGENTE A
UNA CIRCUNFERENCIA
Tangente por un punto perteneciente a la circunferencia:
y
x
C(h,k)
P0(x0 , y0)
P0(x0,y0) Cx2+y2-2hx-2ky+f = 0
Si la recta es tangente a la circunferencia por
Po, se cumple: 0CP
kyhxCP 000 ,
Luego al recta tendrá una ecuación de la forma:
0() 00 cykyxhx
Si P0 sus coordenadas deben satisfacer la
ecuación (1):
(1)
0() 0000 cykyxhx (2)
Restando las igualdades (1) y (2) y sacando factor común, resulta:
0.. 0000 yykyxxhxEcuación de la tangente a C
por P0
49Ing. Jhonny Ruiz Núñez
Determinar la ecuación de la tangente a la
circunferencia: x2 + y2 -5x +2y + 1 = 0, por el Punto
P0(4,1)
Solución:
1) Verificar si P0 pertenece a la circunferencia.
2) Determinar h y k.
3) Hallar las componentes del vector CP0.
4) Determinar c.
5) Escribir la ecuación de la recta tangente.
50
Ejemplo
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
ECUACIÓN DE LAS TANGENTES A
UNA CIRCUNFERENCIA
Tangente por un punto exterior a la circunferencia:
y
x
C(h,k)
P0(x0 , y0)
Sea la circunferencia: x2+y2-2hx-2ky+f = 0 y el
punto P1(x1,y1) a la circunferencia
Se debe encontrar el punto de tangencia
P0. Conocido este punto se determina P1P0
que es la recta tangente pedida.
2
00 .. rkykyhxhx
P1(x1 , y1)
P´0(x´0 , y´0)
Si P0 pertenece a la recta tangente y a la
circunferencia debe satisfacer la ecuación:
Como esa recta tangente debe pasar por P1 sus coordenadas deben satisfacer
dicha ecuación 2
0101 .. rkykyhxhx Además como P0 C debe
verificar la ecuación de la
circunferencia:
22
0
2
0 rkyhx
51Ing. Jhonny Ruiz Núñez
ECUACIÓN DE LA TANGENTE A
UNA CIRCUNFERENCIA
Tangente por un punto exterior a la circunferencia:
Se forma el sistema con ambas ecuaciones
22
0
2
0
2
0101 ..
rkyhx
rkykyhxhx
La solución de este sistema nos da las coordenadas de P0, (dos soluciones) que
justamente con P1, determina la tangente pedida.
Si el punto P1 es exterior a la circunferencia, determina las dos rectas
tangentes por el punto.
Si el punto P1 es interior a la circunferencia, el sistema no tiene solución.
52Ing. Jhonny Ruiz Núñez
Determinar la ecuación de las tangentes (si
existen) a la circunferencia: x2 + y2 +2x -19 = 0,
por el Punto P1(1,6)
Solución:
1) Determinar las coordenadas del centro y radio..
2) Verificar si la distancia de P1 a C es mayor que r.
3) Si el punto es exterior, el sistema tiene solución..
53
Ejemplo
Ing. Jhonny Ruiz Núñez
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