1.1. Lege de compozi ie internă (opera ie algebrică), tabla ...

CapitolulCapitolulCapitolulCapitolul 1

GRUPURI

1.1. Lege de compoziţie internă (operaţie algebrică),

tabla operaţiei, parte stabilă

Operaţiile care apar în diferite contexte ale algebrei pot avea o serie de

proprietăţi comune: asociativitate, comutativitate etc. De asemenea, există o mare diversitate în ceea ce priveşte natura elementelor mulţimilor pe care sunt definite aceste operaţii: numere, funcţii, polinoame, matrice etc.

S-a ajuns la conceptul de lege de compoziţie, plecând de la faptul că prezenţa unor proprietăţi ale operaţiilor algebrice poate fi evidenţiată fără a se face apel la natura elementelor mulţimilor şi la modul specific în care acestea operează.

Definiţia legii de compoziţie cuprinde situaţii concrete în care apar diferite operaţii algebrice din algebra clasică, ce acţionează pe o mulţime nevidă M şi care asociază oricărei perechi ordonate (x, y) de elemente din M un unic element z din M. Mai precis:

Definiţie

Fie M o mulţime nevidă. O operaţie ϕ : M × M � M se numeşte lege de

compoziţie internă (sau operaţie algebrică internă) pe mulţimea M.

Observaţie. Pe scurt, vom numi o „lege de compoziţie internă” doar „lege de compoziţie” (fără a menţiona şi cuvântul „internă”). Analog, vom spune „operaţie algebrică” în loc de „ operaţie algebrică internă”.

Dacă ϕ este o lege de compoziţie pe M, atunci elementul ϕ (x, y) ∈ M care

corespunde prin aplicaţia ϕ perechii ordonate (x, y) ∈ M × M de elemente din M se numeşte compusul lui x cu y prin legea de compoziţie ϕ.

În notaţia aditivă scriem ϕ (x, y) = x + y; x + y se numeşte suma lui x cu y, iar ϕ se numeşte adunare.

Capitolul 1. Grupuri

5

În notaţia multiplicativă scriem ϕ (x, y) = x · y; x · y se numeşte produsul lui x cu y, iar ϕ se numeşte înmulţire.

Pentru compusul lui x cu y printr-o lege de compoziţie ϕ : M × M � M se folosesc şi alte notaţii: x * y, x ⊥ y, x � y, x � y etc.

Definiţie

Fie ϕ : M × M � M o lege de compoziţie, notată cu „*”, pe mulţimea nevidă M. Spunem că legea „*” este asociativă dacă

(x * y) * z = x * (y * z), oricare ar fi elementele x, y, z din mulţimea M.

Observaţie. Avantajul unei operaţii algebrice interne asociative este acela că putem „opera” (compune) nu numai două elemente (aşa cum arată definiţia), ci oricâte elemente în număr finit, respectând ordinea în care apar acestea. Pe scurt, asociativitatea unei operaţii permite „eliminarea” parantezelor, menţinând însă ordinea în care se compun elementele.

Definiţie

Fie ϕ : M × M d M o lege de compoziţie (notată „*”) definită pe mulţimea nevidă M.

Spunem că legea „*” este comutativă dacă x * y = y * x,

pentru orice elemente x şi y ale mulţimii M.

Observaţie. În cazul când o operaţie este în acelaşi timp asociativă şi comutativă putem compune un număr finit de elemente, neţinând seama de ordinea în care se succed (adică le putem compune în ordinea în care vrem).

Definiţie

Fie ϕ : M × M d M o lege de compoziţie (notată „*”) definită pe mulţimea

nevidă M. Un element e ∈ M se numeşte element neutru pentru legea de compoziţie „*” dacă

e * x = x * e = x,

pentru orice element x ∈ M.

Observaţie. Elementul neutru, dacă există, este unic. Într-adevăr, dacă e1 şi e2 sunt elemente neutre pentru legea de compoziţie „*”, atunci

e1 = e1 * e2 = e2.

În notaţia aditivă elementul neutru se notează cu 0 (zero) şi se numeşte şi element nul (element zero), iar în notaţie multiplicativă elementul neutru se notează cu 1 (unu) şi se numeşte element unitate.

Manual clasa a XII-a

6

Definiţie

Fie ϕ : M × M d M o lege de compoziţie care admite element neutru (notată cu „*”) definită pe mulţimea nevidă M. Un element x ∈ M se numeşte

simetrizabil în raport cu legea de compoziţie „*” dacă există un element x′ din M, astfel încât

x * x′ = x′ * x = e, unde e este elementul neutru pentru legea de compoziţie „*”.

Observaţie. Elementele simetrizabile se definesc numai pentru legi de compoziţie care admit element neutru.

Dacă, în plus, legea „*” este şi asociativă, iar pentru x″ ∈ M avem, de asemenea

x * x″ = x″ * x = e, atunci

x″ = x″ * e = x″ * (x * x′) = (x″ * x) * x′ = e * x′ = x′. Aşadar, dacă legea de compoziţie „*” este asociativă şi cu element neutru,

elementul x′ ∈ M cu proprietatea x * x′ = x′ * x = e este unic determinat (dacă

există!) şi x′ se numeşte simetricul lui x. În notaţia aditivă (respectiv multiplicativă) scriem x′ = − x (respectiv x′ = x−1)

şi simetricul se numeşte opusul (respectiv inversul) lui x.

Exemple

1. Pe mulţimea numerelor reale r, operaţiile de adunare şi înmulţire sunt asociative şi comutative. Elementul neutru la adunare este 0, iar elementul neutru la înmulţire este 1.

Simetricul unui număr real x în raport cu adunarea este opusul acestuia, − x. Toate numerele reale sunt simetrizabile (admit un opus) în raport cu adunarea.

Simetricul unui număr real nenul x în raport cu înmulţirea este x

1. Numărul

real 0 nu admite simetric în raport cu înmulţirea. 2. Să considerăm mulţimea z* a numerelor întregi nenule. Operaţiile de

adunare şi înmulţire pe z* sunt asociative şi comutative. Adunarea pe z* nu admite element neutru, deci nu putem vorbi despre ele-

mente simetrizabile. Înmulţirea pe z* admite elementul neutru 1, iar singurele elemente simetri-

zabile sunt 1 şi − 1. 3. Fie Mn(r) mulţimea matricelor pătratice n × n cu elemente numere reale.

Operaţia de adunare a matricelor din Mn(r) este asociativă şi comutativă, iar operaţia de înmulţire este asociativă, dar nu este comutativă.


7

Operaţia de adunare a matricelor admite ca element neutru matricea nulă On de ordin n, iar operaţia de înmulţire admite ca element neutru matricea unitate de ordin n, In.

Simetricul unei matrice A ∈ Mn(r) în raport cu adunarea este opusa matricei A, adică − A.

Nu toate matricele din Mn(r) admit simetric (inversă) în raport cu operaţia de înmulţire. Elementele simetrizabile din Mn(r) în raport cu înmulţirea sunt matricele A de determinant nenul. Inversa lui A este A −1.

Conceptul de lege de compoziţie permite folosirea metodei axiomatice în

algebră, conducând la constituirea unei discipline distincte a matematicii, cunos-cută sub numele de algebră superioară.

Folosirea metodei axiomatice în algebră presupune ignorarea unor aspecte particulare ale obiectelor investigate şi enumerarea listei de proprietăţi (axiome) admise referitor la obiectele studiate, dar şi o restricţie de natură logică, adică inter-dicţia de a folosi în demonstraţii alte fapte în afară de axiome şi proprietăţi care au fost deduse din acestea.

Cadrul în care se aplică metoda axiomatică în algebră este dat de conceptul de structură algebrică, adică o mulţime nevidă echipată cu una sau mai multe legi de compoziţie care satisfac o listă specifică de axiome date sub formă de identităţi sau alte condiţii.

Structurile algebrice care intervin în acest capitol sunt cele de monoid şi grup, iar în capitolul următor vor fi studiate structurile algebrice de inel şi corp.

Definiţie

Fie M o mulţime nevidă pe care este definită o lege de compoziţie „*”.

O mulţime H ⊂ M se numeşte parte stabilă a lui M în raport cu operaţia „*” dacă pentru orice x, y ∈ H, compusul lui x cu y prin legea de compoziţie „*”

este tot în H, adică x * y ∈ H.

Dacă H este parte stabilă a lui M, restricţia operaţiei „*” la mulţimea H se

numeşte operaţie (lege de compoziţie) indusă de „*” pe H.

Fie M o mulţime nevidă şi ϕ : M × M � M o lege de compoziţie pe M. Fie H o parte stabilă a lui M în raport cu operaţia ϕ. Aşadar, ∀ x, y ∈ H, avem ϕ (x, y) ∈ H.

Fie ϕ′ : H × H � H, ϕ′ (x, y) = ϕ (x, y), ∀ x, y ∈ H, legea de compoziţie indusă de ϕ pe H.


8

Propoziţie Cu ipotezele de mai sus, avem: i) dacă ϕ este comutativă (respectiv asociativă), atunci ϕ′ este comutativă

(respectiv asociativă); ii) dacă e este element neutru pentru ϕ şi e ∈ H, atunci e este element

neutru şi pentru H; iii) dacă ϕ este asociativă şi admite element neutru e astfel încât e ∈ H,

atunci un element x ∈ H este simetrizabil în raport cu ϕ′ dacă şi numai dacă x este simetrizabil în raport cu ϕ şi simetricul său x′ în raport cu ϕ se află în H. Mai mult, în acest caz x′ coincide cu simetricul lui x în raport cu ϕ′.

Demonstraţie

i) Fie x, y, z ∈ H. Din definiţia lui ϕ′ rezultă ϕ′ (x, y) = ϕ (x, y) = ϕ (y, x) = ϕ′ (y, x),

respectiv ϕ′ (ϕ′ (x, y), z) = ϕ (ϕ (x, y), z) = ϕ (x, ϕ (y, z)) = ϕ′ (x, ϕ′( y, z)).

Deci ϕ′ este comutativă (respectiv asociativă) dacă ϕ este comutativă (respectiv asociativă).

ii) Pentru orice x ∈ H avem: ϕ′ (e, x) = ϕ (e, x) = x = ϕ (x, e) = ϕ′ (x, e),

deci e este element neutru şi pentru H. iii) Fie x ∈ H. Presupunem că x este simetrizabil în raport cu ϕ şi că sime-

tricul său x′ în raport cu ϕ aparţine lui H. Avem: ϕ′ (x′, x) = ϕ (x′, x) = e = ϕ (x, x′) = ϕ′ (x, x′), deci x′ este şi simetricul

lui x în raport cu ϕ′. Afirmaţia reciprocă este evidentă. Propoziţia precedentă studiază modul în care unele proprietăţi ale operaţiei ϕ

se transmit operaţiei induse ϕ′. Ea poate fi de asemenea utilă în stabilirea proprietăţilor unei legi de

compoziţie date, atunci când aceasta poate fi considerată ca lege de compoziţie indusă de către alta, ale cărei proprietăţi sunt cunoscute.

Exemple

1. Considerăm mulţimea numerelor reale r împreună cu operaţia de adunare. Submulţimea z a numerelor întregi este parte stabilă a lui r în raport cu adunarea, deoarece adunarea a două numere întregi este tot un număr întreg.

Analog, submulţimea z a numerelor întregi este parte stabilă a lui r în raport cu înmulţirea, deoarece înmulţirea a două numere întregi este tot un număr întreg.


9

z* nu este parte stabilă a lui r în raport cu adunarea (deoarece x + (− x) = 0, 0 ∉ z*), dar z* este parte stabilă a lui r în raport cu înmulţirea (înmulţirea a două numere întregi nenule este un număr întreg nenul).

2. Să considerăm mulţimea matricelor Mn(r) pătratice de ordinul n cu elemente numere reale.

Fie SnM (r) mulţimea matricelor de ordin n simetrice cu elemente numere

reale (A = njiija

,1,)(

= ∈ S

nM (r) are proprietatea că A = At , adică aij = aji,

∀ i, j ∈ {1, 2, …, n}). SnM (r) este parte stabilă a lui Mn (r) în raport cu adunarea matricelor (suma a

două matrice simetrice este o matrice simetrică). Analog, mulţimea matricelor antisimetrice (respectiv diagonale, superior

triunghiulare, inferior triunghiulare) este parte stabilă a lui Mn(r) în raport cu adunarea matricelor.

3. Considerăm mulţimea numerelor naturale n. Înmulţirea pe n este lege de compoziţie asociativă, comutativă, ce admite 1 ca element neutru. Să considerăm 2n mulţimea numerelor naturale pare. Atunci 2n este parte stabilă a lui n în raport cu înmulţirea, dar 1 ∉ 2n.

Legea indusă pe 2n de înmulţirea numerelor naturale nu admite element neutru.

4. Fie mulţimea M = {1, 2, 3, 4, 5}, F (M) mulţimea funcţiilor definite pe M cu valori în M, ϕ operaţia de compunere a funcţiilor.

Considerăm funcţia f ∈ F (M), dată prin f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 4, f (4) = 5, f (5) = 3.

Fie H = {f 2, f 3, f 4}, unde f 2 = ϕ (f, f ) = f � f, f 3 = ϕ (ϕ ( f, f ), f ) = f � f � f, f 4 = ϕ (ϕ (f, f ), ϕ (f, f )) = f � f � f � f.

Se verifică faptul că H este parte stabilă a lui F (M) în raport cu ϕ (exerciţiu!). Funcţia identitate a lui M nu aparţine lui H (1M ∉ H). Dacă ϕ′ este operaţia indusă pe H de ϕ, atunci ϕ′ admite element neutru f 3 ≠ 1M, nici un element din H nu este simetrizabil în raport cu ϕ, orice element din H este simetrizabil în raport cu ϕ′.

Observaţie. Dacă ϕ şi ψ sunt două legi de compoziţie pe o mulţime nevidă M, H o

parte stabilă a lui M în raport cu ϕ şi ψ, ϕ′ şi ψ′ legile de compoziţie induse pe H de ϕ, respectiv ψ, iar ψ este distributivă în raport cu ϕ, adică ψ (x, ϕ (y, z)) = ϕ (ψ (x, y), ψ (x, z)), ∀ x, y, z ∈ M, atunci ψ′ este distributivă în raport cu ϕ′. Într-adevăr, pentru orice x, y, z ∈ H avem

ψ′ (x, ϕ′(y, z)) = ψ (x, ϕ (y, z)) = ϕ (ψ (x, y), ψ (x, z)) = = ϕ′ (ψ′ (x, y), ψ′ (x, z)).


10

Utilizând pentru legile de compoziţie ϕ (respectiv ψ), notaţiile „*”(respectiv „�”) distributivitatea lui „�” în raport cu „*” se scrie

x � (y * z) = (x � y) * (x � z), ∀ x, y, z ∈ M.

Utilizând pentru legile de compoziţie ϕ, respectiv ψ, notaţiile aditivă „+”, respectiv multiplicativă „·”, distributivitatea înmulţirii faţă de adunare se scrie

x · (y + z) = x · y + x · z, ∀ x, y, z ∈ M.

Prima structură algebrică pe care o vom studia (facultativ) este aceea de monoid.

Definiţie Fie M o mulţime nevidă şi „*” o lege de compoziţie pe M. Perechea (M, *) se numeşte monoid dacă: i) operaţia „*” este asociativă; ii) operaţia „*” admite element neutru. Dacă, în plus, operaţia „*” este comutativă, atunci (M, *) se numeşte monoid

comutativ. Se poate arăta (lăsăm ca exerciţiu!) că mulţimea elementelor simetrizabile

dintr-un monoid (M, *) este o parte stabilă a lui M.

Definiţie (facultativ)

Fie (M, *) şi (M ′, �) doi monoizi având elementele neutre e, respectiv e′.

O aplicaţie ϕ : M � M ′ cu proprietăţile i) ϕ (x * y) = ϕ (x) � ϕ (y), ∀ x, y ∈ M;

ii) ϕ (e) = e′, se numeşte morfism de monoizi.

Definiţie (facultativ)

Un morfism de monoizi ϕ : (M, *) � (M ′, �) se numeşte izomorfism de

monoizi dacă este morfism inversabil, adică dacă există ϕ′ : (M ′, �) � (M, *)

morfism de monoizi, astfel încât ϕ � ϕ′ = 1M şi ϕ′ � ϕ = 1M′ , unde prin 1M (respectiv 1M ′) am notat funcţia identică a lui M (respectiv M ′).

Se demonstrează fără dificultate următoarea propoziţie de caracterizare a

izomorfismelor de monoizi:

Propoziţie (facultativ)

Un morfism de monoizi ϕ : (M, *) � (M ′, �) este izomorfism de monoizi dacă şi numai dacă este un morfism bijectiv.


11

Observaţie. Deşi definiţia noţiunii de monoid şi studierea proprietăţilor acestuia nu sunt cerute explicit de către programa şcolară pentru manualul de Matematică clasa a XII-a, considerăm că această noţiune joacă un rol important în definirea şi înţelegerea structurilor algebrice de grup, inel, corp.

Exemple

1. Considerând exemplele de legi de compoziţie deja enumerate la începutul acestui capitol, se observă că (r, + ), (r, · ), (z*, · ), (Mn (r), + ) sunt monoizi comutativi.

(Mn (r), · ) este monoid, dar nu este comutativ. 2. Alte exemple diferite de cele standard sunt prezentate ca exerciţii rezolvate.

Exerciţii rezolvate

1. Fie M =

+=+∈

dcba,dcba

dc

baZ,,,| .

a) Să se arate că (M, · ), este monoid. b) Să se determine elementele inversabile ale monoidului (M, · ).

Soluţie a) Vom arăta mai întâi că înmulţirea matricelor este o lege de compoziţie pe

mulţimea M. Pentru aceasta trebuie să arătăm că produsul a două matrice din M este tot o

matrice din M, adică pentru orice matrice A, B ∈ M � AB ∈ M.

Fie A =

dcba , cu a + b = c + d şi B =

δγβα , cu α + β = γ + δ (a, b, c,

d, α, β, γ, δ ∈ z).

Avem AB =

δ+βγ+α

δ+βγ+α

dcdc

baba.

Evident (aα + bγ) + (aβ + bδ) = a(α + β) + b(γ + δ) =

= a(γ + δ) + b(γ + δ) = (a + b)(γ + δ) = = (c + d)(γ + δ) = c(γ + δ) + d(γ + δ) = = c(α + β) + d(γ + δ) = (cα + dγ) + (cβ + dδ),

deci suma elementelor de pe prima linie a matricei AB este egală cu suma elementelor de pe a doua linie, adică AB ∈ M.


12

Înmulţirea matricelor este asociativă, iar matricea unitate I2 =

1001 ∈ M

este element neutru la înmulţire în mulţimea M. Deci (M, · ) este moniod. b) Fie A ∈ M element inversabil. Atunci există A−1 ∈ M, astfel încât A · A −1 =

= A −1 · A = I2. Trecând la determinanţi obţinem det A · det A −1 = 1. Cum det A, det A−1 ∈ z,

rezultă det A = ± 1.

Reciproc, dacă det A = ± 1 rezultă că matricea A −1 =

−−acbd

Adet

1∈ M

(elementele lui A −1 sunt numere întregi, iar d − b = − c + a) şi A−1 · A = A · A −1 = I2. Am arătat astfel că o matrice A ∈ M este inversabilă dacă şi numai dacă

det A = ± 1. Prin calcul det A = ad − bc = a(a + b − c) − bc = a

2 + ab − ac − bc = = (a + b)(a − c), deoarece d = a + b − c.

Rezultă că A este element inversabil în M dacă şi numai dacă (a + b)(a − c) = ± 1. (*)

Condiţia (*) are loc dacă şi numai dacă are loc una dintre următoarele situaţii:

(1)

=−

=+

1

1

ca

ba; (2)

−=−

=+

1

1

ca

ba; (3)

=−

−=+

1

1

ca

ba; (4)

−=−

−=+

1

1

ca

ba.

Din (1) rezultă b = 1 − a, c = a − 1, deci mulţimea matricelor ce satisfac condiţia (1) este

M1 =

∈

−−

−Za

aa

aa|

21

1.

Analog, mulţimile de matrice ce satisfac (2), (3), (4) sunt respectiv

M2 =

∈

−+

−Za

aa

aa|

11

;

M3 =

∈

−+−

−−Za

aa

aa|

11

;

M4 =

∈

−−+

−−Za

aa

aa|

211

.

Rezultă că mulţimea elementelor inversabile ale monoidului (M, · ) este: M1 ∪ M2 ∪ M3 ∪ M4.

2. Pe mulţimea r a numerelor reale definim legea de compoziţie „*” astfel:

x * y = x + y − xy, ∀ x, y ∈ r.


13

Să se arate că (r, * ) este monoid comutativ. Să se determine elementele simetrizabile.

Soluţie Legea de compoziţie este asociativă, deoarece (x * y) * z = (x + y − xy) * z = x + y − xy + z − (x + y − xy) z =

= x + y − xy + z − xz − yz + xyz = = x + (y + z − yz) − x(y + z − yz) = = x * (y + z − yz) = x * (y * z), ∀ x, y, z ∈ r.

Legea este comutativă, deoarece, evident x * y = y * x, ∀ x, y ∈ r.

Elementul neutru este 0. Într-adevăr, fie e ∈ r elementul neutru. Atunci x * e = e * x = x, ∀ x ∈ r.

Rezultă x + e − xe = x � e(1 − x) = 0, ∀ x ∈ r, deci e = 0. Am arătat că (r, * ) este monoid comutativ. Pentru a determina elementele

simetrizabile ale monoidului M, să considerăm x ∈ M şi x′ ∈ M simetricul lui. Atunci x * x′ = x′ * x = 0 implică x + x′ − xx′ = 0. Rezultă x′(x − 1) = x. Deci

elementele simetrizabile ale lui r în raport cu „*” sunt x ∈ r \ {1}, iar simetricul

lui x este x′ = 1−x

x.

3. Pe mulţimea [0, ∞) definim legea de compoziţie „⊥” prin x ⊥ y = 22yx + ,

∀ x, y ∈ [0, ∞). a) Să se studieze proprietăţile acestei legi de compoziţie. b) Să se arate că înmulţirea numerelor reale este distributivă faţă de aceasta. c) Să se determine x ∈ [0, ∞) pentru care 2 ⊥ x = 3.

Soluţie

Evident „⊥” este lege de compoziţie, deoarece x ⊥ y ∈ [0, ∞), ∀ x, y ∈ [0, ∞).

a) (x ⊥ y) ⊥ z = ( 22yx + ) ⊥ z = 2

222

zyx +

+ = 222 )( zyx ++ =

= )( 222zyx ++ =

2222

++ zyx = x ⊥ ( 22

zy + ) = x ⊥ (y ⊥ z),

∀ x, y, z ∈ [0, ∞), deci „⊥” este asociativă. Evident „ ⊥” este comutativă. Elementul neutru este e = 0. Într-adevăr, relaţia x * e = x implică 22

ex + = x, ∀ x ∈ [0, ∞). Deci e2 = 0 � e = 0 ∈ [0, ∞).


14

Pentru a determina elementele simetrizabile din [0, ∞) în raport cu „⊥”, consi-

derăm x ∈ [0, ∞) şi x ′ ∈ [0, ∞) simetricul lui x. Avem x ⊥ x′ = 0. Deci 22

xx ′+ = 0 �

� x2 + 2

x′ = 0 � x = 0 şi x′ = 0. Singurul element simetrizabil este x = 0, iar simetricul lui este x′ = 0.

b) Vom arăta că x · (y ⊥ z) = (x · y) ⊥ (x · z), ∀ x, y, z ∈ [0, ∞),

adică

x · 2222 )()( zxyxzy ⋅+⋅=+ .

Relaţia este evidentă.

c) Relaţia 2 ⊥ x = 3 este echivalentă cu 24 x+ = 3, deci x = 5 . 4. Considerăm monoizii comutativi (n, + ) şi (n, · ) (lăsăm ca exerciţiu veri-

ficarea proprietăţilor monoizilor) şi aplicaţia: ϕ : n � n, ϕ (x) = 2x. Să se arate că ϕ este un morfism de monoizi. Să se decidă dacă ϕ este un izomorfism de monoizi.

Soluţie

i) ϕ(x + y) = ϕ(x) · ϕ(y); ii) ϕ (0) = 1. ϕ este aplicaţie injectivă, dar nu este aplicaţie surjectivă, deci ϕ nu este

izomorfism de monoizi.

5. Considerăm monoizii comutativi (r, + ) şi (R *+ , · ).

Să se arate că aplicaţia ϕ : r � r *+ , ϕ (x) = ex este izomorfism de monoizi.

Soluţie

i) ϕ(x + y) = ϕ(x) · ϕ(y); ii) ϕ(0) = 1. Aplicaţia este injectivă şi surjectivă, deci bijectivă, în concluzie ϕ este

izomorfism de monoizi. 6. Pe mulţimea M = {1, 2, 3, 4} definim legea de compoziţie „*” prin a * b = c,

unde c este restul împărţirii lui ab la 5. Să se studieze asociativitatea, comutati-

vitatea şi elementul neutru al legii de compoziţie.

Soluţie

Pentru o mulţime finită M pe care este dată o lege de compoziţie, aceasta poate fi reprezentată şi sub forma unui „tabel”, numit tabla operaţiei.


15

Tabla operaţiei este

141441243313422111114321*

,

În „căsuţa” corespunzătoare coloanei a şi liniei b am scris a * b. De exemplu, în căsuţa „marcată” am scris rezultatul operaţiei 3 * 2 = restul

împărţirii lui 32 la 5, adică 4. Din tabla operaţiei se observă că rezultatul a * b, cu a, b ∈ M, este întotdea-

una în M, deci se verifică faptul că „*” este lege de compoziţie.

Operaţia nu este comutativă, deoarece, de exemplu 3 * 2 ≠ 2 * 3.

Observaţie. O lege de compoziţie este comutativă dacă tabla ei este simetrică faţă de diagonala principală.

Operaţia nu este asociativă. De exemplu (4 * 2) * 3 ≠ 4 * (2 * 3). Operaţia nu admite nici element neutru. Se observă tot din tabla operaţiei că

nu există nici un element e ∈ M pentru care x * e = e * x = x, ∀ x ∈ M.

Exemple mai importante vom da ulterior, când vom discuta despre grupuri finite (zn, grupul lui Klein, grupuri de permutări etc).

Exerciţii propuse 1. Fie A o submulţime a mulţimii numerelor complexe c, având proprie-

tăţile: a) ∀ z ∈ c, | z | = 1 � z ∈ A; b) A este parte stabilă a lui c faţă de adunare. Să se arate că A = c. 2. Dacă pe mulţimea nevidă M este dată o lege de compoziţie „*” satisfăcând

proprietăţile: a) ∃ e ∈ M astfel încât x * e = x, ∀ x ∈ M;

b) (x * y) * z = (z * y) * x, ∀ x, y, z ∈ M, atunci (M, * ) este monoid comutativ.

unde pe „coloană” am scris valorile lui a, iar pe „linie” valorile lui b, cu a, b ∈ {1, 2, 3, 4}.


16

3. Fie M mulţimea matricelor A ∈ M3 (z) de forma

A =

cb

a

000000

, cu a, b, c ∈ z.

Să se arate că M este parte stabilă a lui M3(z) în raport cu înmulţirea matricelor, că formează monoid în raport cu operaţia indusă şi să se determine elemente simetrizabile ale monoidului (M, · ).

4. Fie mulţimea

H =

−

−

−

−

−

,0110

,0

0,

00

,1001

,1001

i

i

i

i

− 01

10,

− i

i

00

.

Să se arate că (H, · ) este monoid necomutativ, unde „·” este operaţia de înmulţire a matricelor.

Să se alcătuiască tabla operaţiei. 5. Fie n > 1 un număr natural. Considerăm mulţimea A = {x ∈ z | (n, x) ≠ 1}.

Să se arate că A este parte stabilă a mulţimii z faţă de adunare dacă şi numai dacă n este o putere a unui număr prim.

6. Se consideră mulţimea z3 = {α | α = (a1, a2, a3), ai ∈ z, i ∈ {1, 2, 3}}, pe care se defineşte o operaţie algebrică astfel: dacă α, β ∈ z3,

α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3), atunci α � β = (a1b1 + a2b2 + a3b3, a2b1 + a3b2 + a1b3, a3b1 + a1b2 + a2b3).

a) Să se studieze asociativitatea şi comutativitatea operaţiei induse. Admite această operaţie element neutru?

b) Se defineşte o funcţie T : z3 � z astfel:

T(α) = 31a + 3

2a + 33a − 3a1a2a3,

unde α = (a1, a2, a3) ∈ z3. Să se arate că T (α � β) = T (α) T(β), ∀ α, β ∈ z3. 7. În mulţimea q+ a numerelor raţionale strict pozitive se defineşte operaţia

x * y astfel încât ∀ x, y, z, t ∈ q+ să aibă loc relaţiile: a) (x * y) · (z * t) = (x · z) * (y · t), unde „·” este înmulţirea obişnuită a nume-

relor raţionale; b) x * x = 1; c) x * 1 = x. Calculaţi 27 * 43.

8. Fie M = z × z = {(x, y) | x, y ∈ Z}. Pe M se introduce operaţia „*” definită astfel:

(x1, y1) * (x2, y2) = (x1 · x2, x2 · y1 + y2),

unde (x1, y1), (x2, y2) ∈ M, „·” este înmulţirea numerelor întregi, iar „+” este adunarea acestora.

Să se demonstreze că (M, * ) este un monoid.


17

Care sunt elementele inversabile din acest monoid?

9. Fie F =

∈

−Rba

abba ,| . Atunci F este parte stabilă a lui M2(r) în

raport cu adunarea şi înmulţirea matricelor. 10. Pe mulţimea r a numerelor reale definim legea de compoziţie:

x � y = 2

1(x + y − xy + 1), ∀ x, y ∈ r.

Să se arate că această lege de compoziţie este asociativă, comutativă şi are element neutru. Să se determine elementele simetrizabile.

11. Pe mulţimea [0, ∞) definim legea de compoziţie „�” astfel:

x � y = 2

|| yxyx −++.

Să se studieze proprietăţile acesteia. 12. Pe mulţimea r a numerelor reale definim legea de compoziţie „*” prin

x * y = 2x + y, ∀ x, y ∈ r. a) Să se studieze proprietăţile acestei legi de compoziţie. b) Pentru orice a ∈ r, să se calculeze: a2 = a * a, a3 = a2 * a şi în general

ak = ak − 1 * a.

Să se arate că pentru orice n ≥ 2 număr natural avem an = (2n − 1)a. 13. Pe mulţimea r a numerelor reale definim legea de compoziţie „*” prin

x * y = xy + ax + by + c, a, b, c ∈ r. a) Găsiţi relaţia între a, b, c astfel încât „*” să fie asociativă. b) Arătaţi că legea este asociativă dacă şi numai dacă are element neutru. c) Există elemente nesimetrizabile? 14. a) Pe mulţimea r a numerelor reale definim legea de compoziţie „*” prin

x * y = 2

1(x + y − xy + 1), ∀ x, y ∈ r.

Să se arate că mulţimea r1 = r � {1} este parte stabilă faţă de legea „*”. b) Pe mulţimea c a numerelor complexe definim legea de compoziţie

z1 � z2 = z1 + z2 − z1 z2, ∀ z1, z2 ∈ c. Să se arate că mulţimea c1 = c � {1} este parte stabilă faţă de legea „�”. 15*. Să se arate că monoizii comutativi (z, + ) şi (q, + ) nu sunt izomorfi. 16*. Să se arate că monoizii comutativi (q, + ) şi (r, + ) nu sunt izomorfi. 17. Să se arate că aplicaţia ϕq : q � q, ϕq (x) = qx, cu q ∈ q, este un morfism

definit pe monoidul (q, + ) cu valori în el însuşi. 18. Se consideră monoizii comutativi (r, + ) şi (c*, · ) şi aplicaţia f : r � c*,

f (x) = cos 2πx + i sin 2πx. Este f morfism de monoizi?


18

1.2. Grup, exemple: grupuri numerice,

grupuri de matrice, grupuri de permutări, zn

Definiţie

Fie G o mulţime nevidă şi „*” o lege de compoziţie pe G. (G, *) se numeşte grup dacă sunt satisfăcute axiomele:

i) operaţia „*” este asociativă; ii) operaţia „*” admite element neutru; iii) orice element din G este simetrizabil faţă de operaţia „*”. Dacă, în plus, operaţia „*” este comutativă spunem că grupul este comutativ

(abelian).

Observaţie. Folosind noţiunea de monoid definită anterior, spunem că (G, *) se numeşte grup dacă este un monoid şi orice element al lui G este simetrizabil în raport cu „*”.

Vom prezenta câteva exemple clasice de grupuri.

Grupuri numerice 1. Mulţimea numerelor întregi împreună cu operaţia de adunare, (z, +), este

un grup comutativ. Elementul neutru la adunare este 0 (zero), iar opusul lui x ∈ z este − x.

Mulţimea numerelor naturale n cu operaţia de adunare, (n, +), nu este grup, deoarece opusul unui element x ∈ n* nu se află în n.

2. Mulţimea numerelor reale r împreună cu operaţia de adunare, (r, +), formează un grup comutativ.

Elementul neutru la adunare este 0, iar opusul unui element x ∈ r este numărul real − x ∈ r.

3. Mulţimea numerelor reale nenule r* cu operaţia de înmulţire formează grup comutativ. Elementul neutru la înmulţire este 1, iar inversul lui x ∈ r* este

x−1 =

x

1.

(z*, ·) nu formează grup (exerciţiu!). (n*, ·) nu formează grup (exerciţiu!).


19

4. (q, +), (q*, ·) sunt grupuri comutative. Elementul neutru la adunare este 0, iar opusul unui element x ∈ q este − x ∈ q. Elementul neutru la înmulţire este 1,

iar inversul unui element x ∈ q* este x −1 =

x

1 ∈ q*.

Grupuri de matrice 1. Mulţimea matricelor pătratice de ordinul n ≥ 2 cu elemente numere reale,

Mn (r), formează un grup comutativ în raport cu operaţia de adunare a matricelor. Elementul neutru este matricea nulă de ordin n, On, iar opusul unei matrice

A ∈ Mn (r) este − A ∈ Mn (r).

Mulţimea matricelor pătratice Mn (r) cu determinant nenul formează un grup necomutativ în raport cu înmulţirea matricelor.

Elementul neutru este In =

100

010

001

K

MMM

K

K

, iar simetricul matricei A în raport

cu operaţia de înmulţire este inversa matricei A, adică A −·1 (a se vedea algoritmul de calcul din clasa a XI-a).

Lăsăm ca exerciţiu studierea în mod analog a cazurilor (Mn (A), +) şi

(Mn (A), ·), unde A poate fi z, q, c.

2. Fie H mulţimea matricelor de forma

c

ba

0, a, b, c ∈ r.

Atunci H este grup abelian în raport cu adunarea matricelor.

Demonstraţie

Acest lucru poate fi demonstrat direct, verificând axiomele din definiţia grupului.

Altă posibilitate ar fi să observăm că H este parte stabilă a lui Mn (r) în raport cu adunarea matricelor, ceea ce implică asociativitatea şi comutativitatea operaţiei de adunare pe H.

Elementul neutru este matricea O2 =

00

00∈ H, iar opusul matricei

A ∈ H este − A ∈ H.


20

Grupuri de permutări

Fie mulţimea A = {1, 2, …, n} şi notăm cu SA mulţimea tuturor permutărilor mulţimii A.

Împreună cu operaţia de compunere a permutărilor (SA, �) formează un grup, notat cu Sn, numit grupul simetric de ordinul n.

Sn este un grup cu un număr finit de elemente, şi anume n! (de exemplu grupul S4 are 4! = 24 elemente).

Elementul neutru la compunere este permutarea identică e =

n

n

K

K

21

21, iar inversa

unei permutări ϕ ∈ Sn este ϕ−1; de exemplu permutarea ϕ ∈ S4, ϕ =

1432

4321are

inversa ϕ−1 =

3214

4321(a se vedea algoritmul de calcul din clasa a XI-a).

Observaţie. Importanţa grupului Sn va fi evidenţiată în paragrafele următoare, după ce vom introduce noţiunea de izomorfism de grupuri, mai precis la teorema lui Cayley.

Reguli de calcul într-un grup

Teoremă

Fie (G, ∗) un grup şi a, b, c, x y, ∈ G. 1) a ∗ b = a ∗ c ⇔ b = c (simplificarea la stânga); 2) b ∗ a = c ∗ a ⇔ b = c (simplificarea la dreapta); 3) a ∗ x = b ⇔ x = a –1 ∗ b; 4) x ∗ a = b ⇔ x = b ∗ a –1; 5) (a ∗ b)–1 = b–1 ∗ a–1.

Demonstraţie 1-4) Compunem, după caz, relaţiile de la care pornim cu a

–1, la stânga, respectiv la dreapta.

5) (a ∗ b) ∗ (b–1 ∗ a–1) = a ∗ (b ∗ b–1) ∗ a–1 = a ∗ e ∗ a–1 = a ∗ a–1 = e.

Grupul lui Klein

Fie (K, · ) un grup cu patru elemente {e, a, b, c} astfel încât x2 = e, ∀ x ∈ K, unde e este elementul neutru.

Un grup K cu această proprietate se numeşte grupul lui Klein (în mod riguros, vom spune că grupurile izomorfe cu K se numesc grupuri Klein, după ce vom introduce noţiunea de izomorfism de grupuri).


21

Să alcătuim tabla operaţiei lui K. Calculăm ab ∈ K. Dacă ab = e, din a2 = e rezultă ab = a2, adică ab = aa.

Simplificând la stânga cu a, rezultă b = a – contradicţie. Dacă ab = a, rezultă b = e, iar dacă ab = b, rezultă a = e, egalităţi care sunt contradictorii. Rămâne drept posibilitate ab = c.

Analog se arată că ba = c, ac = b, ca = b, bc = a, cb = a. Tabla operaţiei arată astfel:

eabcc

aecbb

bceaa

cbaee

cbae⋅

Ca exemplu de grup Klein, să considerăm următorul grup: fie P un plan, în

care fixăm un sistem de axe rectangulare. În planul P considerăm următoarele transformări: sx − simetria faţă de axa Ox, sy − simetria faţă de axa Oy, s0 − simetria faţă de punctul O şi 1P aplicaţia identică a planului P. Mulţimea (K, �) împreună cu compunerea este un grup abelian, care are aceeaşi tablă ca şi grupul lui Klein.

P

P

P

PP

P

1

1

1

11

1

xy

xyy

yxx

yx

yx

ssss

ssss

ssss

sss

sss

00

0

0

0

0⋅

Grupuri de transformări (facultativ) Fie A o mulţime nevidă. Să considerăm mulţimea funcţiilor definite pe A cu

valori în A, pe care o vom nota cu FA.

Atunci (FA, �) este un monoid, unde „�” este operaţia de compunere a funcţiilor.

Notând cu SA = { f : A � A | f bijectivă} mulţimea funcţiilor bijective definite pe A cu valori în A, avem că (SA, �) este grup, numit grupul simetric (sau grup de

transformări) al mulţimii A (vom reveni asupra grupurilor de transformări când vom discuta despre subgrupuri şi izomorfisme de grupuri!).


22

Pentru următorul exemplu semnificativ de grup (grupul aditiv al claselor de

resturi modulo n, (zn, + )) avem nevoie de câteva definiţii şi precizări preliminare.

Definiţie

Fiind dată o mulţime oarecare nevidă A, se numeşte relaţie binară pe A orice submulţime R a produsului cartezian A × A.

Dacă (x, y) ∈ R spunem că „x este în relaţia R cu y” şi scriem xR y. Relaţia binară se notează frecvent cu �, de aceea vom scrie x � y şi vom citi

că „x este în relaţia � cu y”.

Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi � o relaţie binară pe A. i) � este reflexivă dacă ∀ x ∈ A, x � x; ii) � este simetrică dacă ∀ x, y ∈ A astfel încât x � y, atunci y � x; iii) � este antisimetrică dacă ∀ x, y ∈ A din relaţiile x � y şi y � x rezultă x = y; iv) � este tranzitivă dacă ∀ x, y, z ∈ A astfel încât x � y şi y � z, atunci x � z. O relaţie având proprietăţile i), ii) şi iv) se numeşte relaţie de echivalenţă, iar

o relaţie cu proprietăţile i), iii) şi iv) se numeşte relaţie de ordine. De exemplu, relaţia de paralelism a dreptelor într-un plan este o relaţie de

echivalenţă, iar relaţia de incluziune pe mulţimea părţilor unei mulţimi M este o relaţie de ordine.

Considerând ∆ = {(x, x) | x ∈ A} diagonala unei mulţimi oarecare nevide, relaţia ∆ este atât relaţie de echivalenţă, cât şi relaţie de ordine ((x, y) ∈ ∆ � x = y).

Fiind dată o relaţie de echivalenţă �, două elemente asociate prin aceasta se numesc echivalente.

Definiţie Fie � o relaţie de echivalenţă pe o mulţime nevidă A. Submulţimea lui A

Cx = {y ∈ A | y � x} (notată frecvent cu x ) se numeşte clasa de echivalenţă a elementului x.

Vom defini şi studia o relaţie foarte importantă definită pe mulţimea z a

numerelor întregi, numită congruenţa modulo n. Fie n > 0 un număr întreg pozitiv, n ∈ n*.

Pe mulţimea z a numerelor întregi definim o relaţie binară, numită congru-

enţa modulo n, astfel:


23

Definiţie

Fie n ∈ n*. Dacă a, b ∈ z, spunem că a este congruent cu b modulo n şi scriem a � b (mod n) dacă n | a − b.

Dacă a nu este congruent cu b modulo n, vom scrie a †b (mod n). Vom nota cu „�n” relaţia de congruenţă modulo n.

Propoziţie

Relaţia „�n” este o relaţie de echivalenţă pe z.

Demonstraţie

i) Dacă a ∈ z atunci n | a − a, adică a � a (mod n), deci relaţia este reflexivă. ii) Fie a, b ∈ z astfel încât a � b (mod n). Atunci n | a − b, deci n | − (a − b).

Rezultă n | b − a, adică b � a (mod n). Relaţia „�n” este simetrică. iii) Fie a, b, c ∈ z astfel încât a � b (mod n) şi b � c (mod n). Atunci n | a − b

şi n | b − c, de unde n | (a − b) + (b − c), adică n | a − c. Rezultă a � c (mod n), deci relaţia „�n” este tranzitivă. Pentru a ∈ z, fie

a = {b ∈ z | b � a (mod n)} clasa de echivalenţă a lui a.

Propoziţie

Pentru ∀ a ∈ z, dacă notăm a + n z = {a + nk | k ∈ z}

atunci a = a + n z.

Demonstraţie

Într-adevăr, x ∈ a dacă şi numai dacă x � a (mod n), echivalent cu n | x − a. Din relaţia precedentă rezultă că există k ∈ z astfel încât x − a = nk, ceea ce

este echivalent cu x = a + nk, k ∈ z. Am arătat astfel că a = a + n z. Dacă a ∈ z este un număr întreg oarecare şi n ∈ n*, atunci conform

teoremei împărţirii cu rest există q , r ∈ z unic determinate astfel încât a = nq + r, 0 ≤ r < n.

Avem: a = r , deoarece a − r = nq, deci n | a − r, echivalent cu a � r (mod n). Mai mult, dacă a, b ∈ z atunci a � b (mod n) dacă şi numai dacă resturile

împărţirii numerelor a şi b la n sunt egale. Într-adevăr, dacă a, b ∈ z din teorema împărţirii cu rest pentru numere

întregi avem a = nq1 + r1, 0 ≤ r1 < n şi b = nq2 + r2, 0 ≤ r2 < n. Prin scăderea celor două egalităţi rezultă

a − b = n (q1 − q2) + (r1 − r2).


24

Atunci n | a − b dacă şi numai dacă n | r1 − r2. Cum 0 ≤ | r1 − r2 | < n, rezultă n | a − b dacă şi numai dacă r1 = r2, adică resturile împărţirii numerelor a şi b la n sunt egale.

Am arătat astfel că dacă 0 ≤ r1, r2 < n, cu r1 † r2 (mod n), atunci 2

1r ≠ 2

2r .

Definiţie

Mulţimea { 0 , 1 , …, 3

1−n } se notează cu zn şi se numeşte mulţimea

claselor de resturi modulo n.

Mulţimea {0, 1, …, n − 1} este un sistem de reprezentanţi pentru congruenţa modulo n.

Din cele prezentate anterior rezultă că clasele de resturi modulo n sunt urmă-toarele mulţimi de numere:

0 = n z, 1 = 1 + n z, 2 = 2 + n z, …, 3

1−n = (n − 1) + n z.

Pe mulţimea zn = { 0 , 1 , …, 3

1−n } definim o lege compoziţie numită

adunarea claselor de resturi, astfel: dacă x = a , y = b ∈ zn, prin definiţie punem

a + b = 3

ba + .

Deoarece elementul a + b este definit prin intermediul reprezentanţilor elementelor x şi y, trebuie să arătăm că x + y nu depinde de modul cum se aleg aceşti reprezentanţi.

Vom demonstra că dacă a = a ′ şi b = b ′, atunci 3

ba + = 3

ba ′+′ (adunarea claselor nu depinde de alegerea reprezentanţilor).

Într-adevăr, a = a ′ � a � a′ (mod n) şi b = b ′ � b � b′ (mod n). Deci a − a′ = nk şi b − b′ = nl, cu k, l ∈ z. Prin adunarea ultimelor egalităţi rezultă (a + b) − (a′ + b′) = n(k + l), adică

(a + b) � (a′ + b′) (mod n), deci 3

ba + = 3

ba ′+′ .

Exemple Prezentăm adunarea claselor în z 3 şi z 4.

1. Pentru n = 3, z 3 = { 0 , 1 , 2 }şi tabla operaţiei este

1022

0211

2100

210+

.


25

2. Pentru n = 4, z 4 = { 0 , 1 , 2 , 3 }şi tabla operaţiei este

21033

10322

03211

32100

3210+

Similar, pe mulţimea zn putem defini legea de compoziţie numită înmulţirea claselor astfel: a · b =

2

ab , unde a , b ∈ zn. Ca şi în cazul adunării se arată că înmulţirea claselor nu depinde de alegerea

reprezentanţilor.

Exemple 1. Pentru n = 3, tabla operaţiei de înmulţire pe z3 este

1202

2101

0000

210⋅

2. Pentru n = 6, tabla operaţiei de înmulţire pe z6 este

1234505

2402404

3030303

4204202

5432101

0000000

543210⋅

.

Grupul abelian (zn, + ) momoidul (zzzzn, · )

Revenind la exemplele de grupuri despre care discutăm în acest paragraf, să arătăm că (zn, + ) este grup abelian, iar (zn, · ) este doar monoid comutativ.

• Într-adevăr, operaţia de adunare a claselor de resturi este asociativă. a + ( b + c ) = a +

3

cb + = a + (b + c) = (a + b) + c = =

3

ba + + c = ( a + b ) + c , ∀ a , b , c ∈ zn. Operaţia este comutativă. a + b =

3

ba + = 3

ab + = b + a , ∀ a , b ∈ zn. Elementul neutru la adunare este 0 : a + 0 = 0 + a = a , ∀ a ∈ zn.


26

Opusul unui element a ∈ zn este 3

an − ∈ zn.

a + 3

an − = a + n − a = n = 0 ; 3

an − + a = n − a + a = n = 0 . Deci (zn, +) este grup abelian.

• Evident, (zn, ·) este monoid comutativ, operaţia de înmulţire a claselor

fiind asociativă şi comutativă. Elementul neutru la înmulţire este 1 . Monoidul (zn, ·) nu este grup deoarece nu toate elementele din zn admit

simetric în raport cu operaţia de înmulţire a claselor.

De exemplu 0 ∈ zn nu admite simetric (ò x ∈ zn astfel încât x · 0 = 1 sau,

echivalent, ∀ x ∈ zn, x · 0 = 0 ≠ 1 ). Un element a ∈ zn este inversabil în raport cu înmulţirea dacă şi numai

dacă ∃ b ∈ zn astfel încât a · b = 1 .

Rezultă 2

ab = 1 , adică ab � 1 (mod n), deci există k ∈ z astfel încât ab − 1 = nk. Avem ab + n(− k) = 1, deci numerele a şi n sunt prime între ele, (a, n) = 1. Reciproc, dacă (a, n) = 1, există b, k ∈ z astfel încât ab − nk = 1. Atunci

a · b = 1 , adică a este inversabil în (zn, · ). Prin urmare a este inversabil � (a, n) = 1 (a ∈ {0, 1., …, n − 1}). Dacă n = p, cu p număr prim, atunci toate numerele naturale nenule mai mici

decât p, adică 1, 2, …, p − 1, sunt prime cu p, deci 1 , 2 , …, 3

1−p sunt inversabile.

Rezultă că ( ⋅,*pZ ) este grup abelian, unde p este număr prim, iar prin *

pZ

am notat zp � { 0 }, adică *pZ = {1 , 2 , …,

3

1−p }.

Observaţie. Grupurile abeliene (zn, +) şi ( ⋅,*pZ ), p prim, au un număr finit de

elemente.

Exerciţii rezolvate

1. Pe z se defineşte legea de compoziţie: z × z � z, x * y � x + y − 1. Atunci (z, * ) este un grup abelian.

Soluţie Să verificăm axiomele grupului. Relaţia „*” este asociativă deoarece

(x * y) * z = (x + y − 1) * z = (x + y − 1) + z − 1 =

= x + (y + z − 1) − 1 = x * (y + z − 1) = x * (y * z).


27

Evident relaţia „*” este comutativă, adică x * y = y * x, ∀ x, y ∈ z.

Să determinăm elementul neutru e ∈ z, adică un element cu proprietatea x * e = e * x = x, ∀ x ∈ z.

Avem x + e − 1 = x, deci e = 1 este element neutru. Vom arăta că orice element x ∈ z are simetric x′ ∈ z. Relaţia

x * x′ = x′ * x = e

este echivalentă cu x + x′ − 1 = 1, deci x′ = 2 − x ∈ z este simetricul lui x.

2. Fie G mulţimea matricelor de forma

G =

∈∈

−

−

=21

\|)(

01

000

10

3 RR a

aa

aa

Ga M .

Să se arate că G este grup în raport cu înmulţirea matricelor.

Soluţie

Pentru orice a, b ∈ r �

21

, avem Ga · Gb = Gab + (1 − a)(1 − b). Deci G este

parte stabilă a lui (M3, (r), · ).

Înmulţirea matricelor din G este asociativă, adică pentru orice A, B, C ∈ G avem

(A · B) · C = A · (B · C) (lăsăm ca exerciţiu verificarea acestei relaţii).

Să determinăm elementul neutru în raport cu operaţia de înmulţire, adică

matricea E ∈ G pentru care Ga · E = E · Ga = Ga. Matricea E este de forma

E =

−

−

ee

ee

01000

10, cu e ∈ r � {

2

1 }.

Ga · E =

−

−

⋅

−

−

ee

ee

aa

aa

01000

10

01000

10 =

=

−−+−+

−+−−+

eaaeaeea

aeeaeaae

1202000

2012.

Analog, E · Ga =

−−+−+

−+−−+

eaaeaeea

aeeaeaae

1202000

2012.


28

Din egalitatea Ga · E = Ga rezultă 2ae + 1 − a − e = a, adică 2a(e − 1) = e − 1.

Pentru ca relaţia să aibă loc pentru ∀ a ∈ r � {2

1} este necesar ca e = 1.

Deci elementul neutru este E =

100

000

001

.

Simetricul matricei Ga ∈ G în raport cu înmulţirea este inversa matricei Ga, adică

−−

−

−

−

−

=−

120

12

1

000

12

10

121

a

a

a

a

a

a

a

a

Ga ∈ G.

Rezultă că (G, · ) este grup.

Mai mult, (G, · ) este grup abelian (din calculele deja efectuate pentru determinarea elementului neutru se observă că operaţia este comutativă).

În general însă înmulţirea matricelor nu este comutativă. 3. Fie r* = r �{0} şi aplicaţiile f : r* � r*, i ∈ {1, 2, 3, 4}, definite prin f1(x)

= x, f2(x) = x

1, f3(x) = − x, f4(x) = −

x

1, ∀ x ∈ r*.

Arătaţi că mulţimea F = {f1, f2, f3, f4} este parte stabilă în raport cu compune-

rea funcţiilor. Alcătuiţi tabla operaţiei induse şi arătaţi că (F , � ) este grup abelian.

Soluţie Tabla operaţiei este

12344

21433

34122

43211

4321

fffff

fffff

fffff

fffff

ffffo

Se observă că pe F operaţia este asociativă, comutativă, cu elementul neutru

f1, 2

if = fi � fi = f1, ∀ i ∈ {2, 3, 4}, deci 1−if = fi, ∀ i ∈ {1, 2, 3, 4}.

Rezultă că (F, � ) este grup abelian.

Observaţie. Grupul (F, � ) este un grup Klein.


29

Exerciţii propuse

1. Pe mulţimea r a numerelor reale definim legea de compoziţie „*” prin

x * y = 2(x + y − 1) − xy, ∀ x, y ∈ r. Să se arate că r�{2} este o parte stabilă faţă de legea „*”, iar r�{2} împreună

cu operaţia indusă este un grup comutativ. 2. Pe mulţimea q a numerelor raţionale definim legea de compoziţie

x � y = x + y − 2

xy, ∀ x, y ∈ q.

Să se arate că mulţimea q � {2} este parte stabilă faţă de legea „�”, iar q�{2} împreună cu operaţia indusă este un grup comutativ.

3. Să se arate că mulţimea

G =

≠−∈

−−

+02|)(

47

2422

2 yxyxy

yyxRM

formează un grup comutativ în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor. 4. Fie mulţimea

G = ,0

0,

00

,1001

,1001

−

−

−

−

i

i

i

i

−

−

−

−

i

i

i

i

00

,0

0,

0110

,0110

.

Să se arate că G împreună cu înmulţirea matricelor este un grup necomutativ.

5. Pe mulţimea P (E) (submulţimi ale lui E) a părţilor unei mulţimi E definim operaţia ∆ prin:

X ∆ Y = (X �Y ) ∪ (Y � X ), ∀ X, Y ∈ P (E) (diferenţa simetrică).

Să se arate că (P (E), ∆ ) este grup abelian.

6. Pe mulţimea *+R � {1} se defineşte legea de compoziţie

x * y = x ln y.

Să se arate că ( *+R � {1}, * ) este un grup abelian.

7. Fie f : r � r o funcţie bijectivă, cu f (1) = 0. Definim legea de compoziţie * : r × r � r prin:

a * b = f ( f −1(a) + f −1(b) − 1), ∀ a, b ∈ r. Să se arate că (r, * ) este grup abelian. 8*. Fie G o mulţime nevidă înzestrată cu o operaţie notată multiplicativ şi având

proprietăţile: i) operaţia este asociativă; ii) este valabilă simplificarea la stânga; iii) există a ∈ G astfel încât x3 = axa, ∀ x ∈ G. Să se arate că (G, · ) este grup abelian.


30

9. Fie (G, · ) un grup şi a ∈ G astfel încât pentru orice x ∈ G avem ax

3a = x.

Să se arate că (G, · ) este comutativ. 10*. Fie (G, ⊥) şi (G, * ) două grupuri definite pe aceeaşi mulţime G. Să se arate

că dacă cele două grupuri admit acelaşi element neutru şi dacă a * b = (a ⊥ a) ⊥ (a ⊥ b),

∀ a, b ∈ G, atunci (G, ⊥) şi (G, * ) coincid şi sunt comutative.

1.3. Morfism, izomorfism de grupuri Conceptele de morfism şi izomorfism sunt fundamentale în algebră (şi în

general în matematică). Un izomorfism arată în ce măsură structurile algebrice între care este definit sunt „la fel” (identice) din punctul de vedere al proprietăţilor algebrice. În acest capitol vom discuta despre morfisme şi izomorfisme de grupuri.

Definiţie

Fie (G, � ) şi (G ′, * ) două grupuri. O aplicaţie f : G � G ′ se numeşte

morfism (sau homomorfism) de grupuri dacă pentru orice x, y ∈ G are loc relaţia f (x � y ) = f (x) * f ( y).

Dacă, în plus, f este aplicaţie bijectivă, atunci f se numeşte izomorfism de grupuri.

Dacă (G, �) = (G′, *) (adică G = G′, iar structurile „�” şi „*” coincid) atunci morfismul (respectiv izomorfismul) f : G � G se numeşte endomorfism (respectiv automorfism) al grupului G.

Observaţie. Dacă cele două operaţii „�” şi „*” sunt notate multiplicativ, aplicaţia

f : (G, · ) � (G ′, · ) se numeşte morfism dacă ∀ x, y ∈ G, f (x y) = f (x) f (y), iar dacă operaţiile „�” şi „*” sunt notate aditiv, atunci aplicaţia

f : (G, +) � (G ′, +) este morfism dacă ∀ x, y ∈ G, f (x + y) = f (x) + f ( y).

Exemple

1. Considerăm grupurile abeliene (r, + ) şi (r *+ , · ), unde r *

+ = {x ∈ r | x > 0}. Aplicaţia

f 1 : r � r *+ , f 1 (x) = ex

este un izomorfism de grupuri, deoarece f1 (x + y ) = ex + y = ex · e

y = f1(x) · f1( y), ∀ x, y ∈ r, (deci f1 este morfism) şi f este evident funcţie bijectivă.

Alt exemplu de izomorfism f2 : r � r *+ este f2(x) = ax, cu a > 0, a ≠ 1.


31

Inversele funcţiilor f1 şi f2 sunt funcţiile bijective

1not1

1 gf =− : r *+ � r, g1(x) = ln x;

2not1

2 gf =− : r *+ � r, g2(x) = loga x;

g1(x · y) = ln (x · y) = ln x + ln y = g2(x) + g2(y), ∀ x, y ∈ r. g2(x · y) = loga(x · y) = loga x + loga y = g1(x) + g2(y), ∀ x, y ∈ r;

Evident g1 şi g2 sunt tot izomorfisme de grupuri. 2. Fie (G, � ) şi (G ′, * ) două grupuri oarecare.

Considerăm aplicaţia I : G � G ′, I(x) = e′, ∀ x ∈ G, unde e′ este elementul neutru din G ′.

Avem I(x � y) = e′ = e′ * e′ = I(x) * I( y), deci I este un morfism de grupuri, numit morfism trivial.

Dacă ambele operaţii „�” şi „*” sunt notate aditiv, atunci I : G � G ′, I(x) = 0G ′,

∀ x ∈ G, unde 0G ′ este elementul neutru din G ′, se numeşte morfism nul. 3. Aplicaţia f : z � z, f (x) = x (f = 1

z) este un automorfism al grupului (z, +).

Evident f este morfism ( f (x + y) = f (x) + f ( y), ∀ x, y ∈ z) şi este aplicaţie bijectivă.

Aplicaţia gn : z � z, gn(x) = nx, n ∈ z, este un endomorfism al grupului (z, +). Avem gn (x + y) = n (x + y) = nx + ny = gn(x) + gn(y), ∀ x, y ∈ z. gn este automorfism dacă şi numai dacă n = ± 1 (exerciţiu!).

În continuare vom enunţa şi demonstra câteva proprietăţi importante ale morfismelor şi izomorfismelor de grupuri.

Propoziţia 1

Dacă (G, � ) este un grup, atunci aplicaţia identică 1G : G � G, 1G (x) = x,

∀ x ∈ G este automorfism de grupuri.

Demonstraţie

Fie x, y ∈ G. Atunci 1G (x � y) = x � y = 1G (x) � 1G (y). Rezultă că f este

automorfism.

Observaţie. Propoziţia de mai sus a fost demonstrată pentru grupul (z, + ) în exemplul 3.

Propoziţia 2

Fie grupurile (G, · ), (G ′, · ), (G ″, · ) (cu operaţiile notate multiplicativ pentru simplificarea scrierii). Dacă f : G � G ′ şi g : G ′ � G ″ sunt morfisme de grupuri (respectiv izomorfisme) atunci g � f : G � G ″ este morfism de grupuri (respectiv izomorfism).


32

Demonstraţie

Pentru x, y ∈ G avem (g � f )(xy) = g( f (xy)) = g( f (x) f ( y)) = g( f (x)) g( f ( y)) = = (g � f ) (x)(g � f )( y).

Propoziţia 3

Fie grupurile (G. · ) şi (G ′, · ), cu operaţiile notate multiplicativ. Fie f : G � G ′ un morfism de grupuri. Atunci: i) f (e) = e′; ii) f (x−1) = f (x)−1, ∀ x ∈ G; iii) f (xn) = ( f (x))n, ∀ x ∈ G şi n ∈ z,

unde e este elementul neutru din (G, · ), e′ este elementul neutru din (G ′, · ), x−1 este inversul elementului x din G, iar f (x) −1 este inversul elementului f (x) din G ′.

Demonstraţie

i) f (e) = f (e · e) = f (e) f (e). Elementul f (e) este din G ′. În G ′ avem e′ = f (e)−1 · f (e) = f (e)−1 ( f (e) f (e)) = ( f (e)−1 f (e)) f (e) =

= e′ f (e) = f (e) (am folosit asociativitatea înmulţirii în G ′). ii) e′ = f (e) = f (x · x−1) = f (x) · f (x−1). Rezultă f (x)−1 = f (x−1), ∀ x ∈ G. iii) Mai întâi considerăm n ∈ n. Pentru n = 0 afirmaţia rezultă din i); pentru n ≥ 1, presupunem afirmaţia

adevărată pentru n şi o vom demonstra pentru n + 1. f (xn + 1) = f (xn · x) = f (xn) · f (x) = f (x)n · f (x) = f (x)n + 1, ∀ x ∈ G.

Am arătat astfel prin inducţie că iii) este adevărată, pentru n ∈ n. Pentru n ∈ z, n < 0, avem f (xn) = f ((x−1)−n) = f (x−1)−n = (f (x)−1)−n = f (x)n, ∀ x ∈ G.

Propoziţia 4

Fie grupurile (G, · ) şi (G ′, · ). Dacă f : G � G ′ este un izomorfism de grupuri, atunci f −1 : G ′ � G este de asemenea un izomorfism.

Demonstraţie Să observăm mai întâi că am demonstrat această proprietate pentru exemplul

1 de izomorfisme de grupuri din acest paragraf. Fie y, y′ ∈ G. Aplicaţia f fiind surjectivă, rezultă că există x, x′ ∈ G astfel

încât y = f (x) şi y′ = f (x′). Atunci yy′ = f (x) f (x′) = f (x x′) (deoarece f este morfism de grupuri). Rezultă f −1( yy′) = f −1( f (xx′)) = ( f −1�f ) (x x′) = 1G (xx′) = xx′ = f −1(y)f −1(y′),

deci f −1 este morfism de grupuri. Cum f este bijectivă, funcţia inversă f −1 este de asemenea bijectivă.

Rezultă că f −1 este izomorfism de grupuri.

Folosind propoziţia precedentă, este evident că definiţia unui izomorfism de grupuri poate fi dată, echivalent, şi în felul următor:


33

Propoziţie

Fie grupurile (G, · ) şi (G ′, · ). Un morfism de grupuri f : G � G ′ este izomorfism de grupuri dacă există un morfism de grupuri g : G′ � G astfel încât

f � g = 1G ′ şi g � f = 1G.

Astfel, din definiţia echivalentă de mai sus, bijectivitatea unui izomorfism rezultă ca o consecinţă.

Propoziţie

Fie grupurile (G, · ) şi (G ′, · ). Un morfism de grupuri f : G � G ′ este un izomorfism dacă şi numai dacă f este un morfism bijectiv.

Definiţie

Două grupuri (G, � ) şi (G ′, * ) se numesc izomorfe dacă există un

izomorfism f : G � G ′.

Vom nota prin G � G ′ faptul că grupurile (G, � ) şi (G ′, * ) sunt izomorfe.

Folosind propoziţiile anterioare, este imediată demonstraţia faptului că relaţia de izomorfism între două grupuri (G, � ) şi (G ′, * ) este o relaţie reflexivă,

simetrică şi tranzitivă, adică este o relaţie de echivalenţă (exerciţiu!). Noţiunea de izomorfism permite să definim pe o mulţime nevidă dată A o

structură de grup. Condiţia ca acest lucru să fie posibil este ca să existe o aplicaţie bijectivă între mulţimile A şi G.

Teoremă

Fie A o mulţime nevidă şi (G, � ) un grup. Presupunem că există o funcţie bijectivă f : A � G. Pe mulţimea A se defineşte relaţia „*” prin

x * y = f −1 ( f (x) · f ( y)), ∀ x, y ∈ A.

Atunci (A, * ) este un grup, iar f este un izomorfism de grupuri de la (A, * )

la (G, � ).

Demonstraţie

Fie x, y, z ∈ A. Avem (x * y) * z = f −1 ( f (x * y) · f ( z)) = f −1( f ( f −1( f (x) · f (y))) · f (z)) =

= f −1(( f (x) · f ( y)) · f (z)) = f −1( f (x) · ( f ( y) · f (z))) = = f −1( f (x) · f ( f −1( f ( y) · f (z))) = f −1 ( f (x) · f (y * z)) = x * ( y * z).


34

Deci „*” este operaţie asociativă.

Fie e ∈ G element neutru. Notăm e′ = f −1(e) ∈ A. Atunci e′ este element neutru faţă de operaţia de „*”.

Într-adevăr, dacă x ∈ A′ avem x * e′ = f −1 ( f (x) · f (e′)) = f −1 ( f (x) · e) = f −1 ( f (x)) = x.

Analog e′ * x = x.

Pentru x ∈ A, notăm y = f (x) −1 inversul lui f (x) în G. Deci avem f (x) · y = y · f (x) = e. Fie x′ = f −1(y). Avem x′ * x = f −1 (f (x′) · f ( x)) = f −1 ( y · f (x)) = f −1 (e) = e′, deci x′ * x = e′.

Analog, x * x′ = e′, deci x′ = f −1(y) = f −1 ( f (x)−1) este simetricul lui x în raport cu „*”.

Rezultă că (A, *) este grup.

Din definiţie x * y = f −1 ( f (x) · f (y)), ∀ x, y ∈ A.

Avem f (x * y) = f ( f −1 ( f (x) · f (y))) = f (x) · f ( y), deci f este morfism; f este aplicaţie bijectivă (din ipoteză). Rezultă că f este izomorfism.

Prin izomorfismul astfel construit am „transferat” structura de grup de pe

(G,·) pe (A, *), deci am efectuat un transfer de structură. Reamintim că acesta este posibil numai dacă mulţimile A şi G sunt în bijecţie! Exemplu

Fie grupul (G, · ) = ((0, ∞), · ) şi mulţimea nevidă A = (1, ∞). Aplicaţia f : A � G, f (x) = x − 1 este bijectivă. Operaţia * care se defineşte pe mulţimea A este

x * y = f −1 ( f (x) · f (y)), ∀ x, y ∈ A.

Inversa lui f este f −1 : G � A, f −1(x) = x + 1, deci x * y = f −1 ( f (x − 1) · f (y − 1)) =

= (x − 1)( y − 1) + 1 = xy − x − y + 2, ∀ x, y ∈ (1, ∞). Lăsăm ca exerciţiu verificarea directă a faptului că (A, *) este grup.

1.4. Subgrup

Definiţie

Fie (G, * ) un grup şi H o submulţime nevidă a lui G. Spunem că H este subgrup al lui G dacă:

i) H este parte stabilă a lui G în raport cu „*”; ii) H înzestrată cu operaţia indusă este un grup.


35

Observaţie. În notaţia multiplicativă, H este subgrup al lui (G, · ) dacă i) ∀ x, y ∈ H � x · y ∈ H; ii) ∀ x ∈ H � x −1 ∈ H.

În notaţia aditivă, H este subgrup al lui (G, · ) dacă i) ∀ x, y ∈ H � x + y ∈ H; ii) ∀ x ∈ H � − x ∈ H.

Propoziţie Fie (G, · ) un grup şi H o submulţime nevidă a lui G. Atunci H este subgrup al

lui G dacă şi numai dacă pentru orice x, y ∈ H avem x −1 y ∈ H (sau, echivalent, xy

−1 ∈ H).

Demonstraţie

Presupunem că H este subgrup al lui G şi x, y ∈ H. Atunci x

−1 ∈ H (din condiţia ii)). Rezultă x −1 y ∈ H (din condiţia i)). Analog y −1 ∈ H (din condiţia ii)). Rezultă x y −1 ∈ H (din condiţia i)). Reciproc, presupunem că ∀ x, y ∈ H avem x y −1 ∈ H (sau x−1

y ∈ H). Cum H nevidă, rezultă că există un element x ∈ H, deci x x−1 = e ∈ H. Avem e · x

−1 ∈ H. Rezultă x −1 ∈ H, deci am demonstrat condiţia ii). Dacă x, y ∈ H, cum y −1 ∈ H � x( y −1) −1 ∈ H, deci x y ∈ H, adică am arătat

condiţia i).

Exemple 1. Fie (G, * ) un grup oarecare. Mulţimile {e} şi G sunt subgrupuri ale lui G,

numite triviale ({e} se mai numeşte subgrupul unitate al lui G, sau subgrupul {0} dacă operaţia este aditivă).

2. Subgrupurile grupului aditiv (z, + ) Dacă n ∈ z, notăm n z mulţimea

n z = {nk | k ∈ z}. Atunci n z este un subgrup al lui (z, + ), numit subgrupul ciclic generat de

elementul n. Evident, condiţiile i) şi ii) sunt imediat verificate.

Propoziţie

Orice subgrup H al lui (z, + ) este de forma n z, cu n ≥ 0.

Demonstraţie Într-adevăr, dacă H = {0}, atunci H = 0 · z. Dacă H ≠ {0}, ∃ x ∈ H, x ≠ 0. Dacă x < 0, cum − x ∈ H şi − x > 0 rezultă că

A = {x ∈ H, x > 0} este nevidă. Atunci A are un cel mai mic element, pe care îl vom nota cu n (n > 0). Deci n ≤ x, ∀ x ∈ A. Fie y ∈ H oarecare. Din teorema împărţirii cu rest avem y = nq + r, cu 0 ≤ r < n.


36

Cum r = y − nq, y ∈ H, n ∈ H � nq ∈ H şi r ∈ H. Din faptul că r ∈ H, 0 ≤ r < n şi n este cel mai mic element din A, rezultă că r = 0, deci y = nq, adică y ∈ n z. Astfel, H ⊆ n z.

Cum n ∈ z şi n ∈ H, rezultă imediat că n z ⊆ H. Deci H = n z.

3. Fie (G, · ) un grup, x ∈ G. Se notează cu < x > = {xn | n ∈ z}. Prin

verificare directă (exerciţiu!) se arată imediat că mulţimea < x > este un subgrup al lui G, numit subgrupul ciclic generat de x. Dacă există un element x ∈ G astfel încât G = < x >, atunci G se numeşte grup ciclic.

În notaţie aditivă, < x > = {n x | n ∈ z}. 4. Notăm GLn (r) mulţimea matricelor pătratice inversabile de ordinul n cu

elemente numere reale deci

GLn (r) = {A ∈ Mn (r) | ∃ B ∈ Mn (r) astfel încât AB = BA = In} =

= {A ∈ Mn (r) | det A ≠ 0}. (GLn (r), · ) formează un grup. Notăm prin SLn (r) = {A ∈ GLn (r) | det A = 1}. Este imediată demonstraţia

faptului că SLn (r) constituie subgrup al grupului (GLn (r), · ) (exerciţiu!). SLn (r) se numeşte subgrupul special liniar de ordin n.

5. Fie (Sn, � ) grupul simetric de grad n. Atunci ( 2nS , � ) formează un subgrup

al lui (Sn, � ), unde 2nS este mulţimea permutărilor pare.

6. Fie O un punct fixat din planul P şi k ∈ r, k ≠ 0. Se numeşte omotetie de

centru O şi raport k, notată kOh , transformarea planului P prin care fiecărui punct

X ∈ P i se asociază punctul X ′ ∈ P astfel încât XO ′ = k OX .

H = { kOh | k ∈ r*} este subgrup al grupului (S

P , � ), unde S

P = { f : P � P : f

bijectivă} (exerciţiu!).

H se numeşte grupul omotetiilor de centru 0. Funcţia f : r* � H, f (k) = kOh

este un izomorfism între (r*, · ) şi (H, � ).

7. Se numeşte translaţie de vector v transformarea planului P, v

t : P → P,

definită prin t (M) = M ′ astfel încât vMM =′ . Notăm cu T mulţimea tuturor translaţiilor din planul P. Atunci grupul translaţiilor (T, � ) este subgrup al grupului tuturor transformărilor bijective ale planului (S

P , � ).

Notând cu V mulţimea vectorilor din planul P , este evident că grupul (T, � ) este izomorf cu (V, + ), unde „+” este adunarea vectorilor.

8. Fie (G, � ), (G ′, * ) două grupuri şi f : G � G ′ un morfism. Următoarele submulţimi: Ker f = { x ∈ G | f (x) = e′}, unde e′ este elementul neutru al lui G ′ şi Im f = { y ∈ G ′ | ∃ x ∈ G astfel încât f (x) = y} sunt subgrupuri în G, respectiv G ′.


37

Subgrupul Ker f al lui G se numeşte nucleul morfismului f, iar subgrupul Im f al lui G ′ se numeşte imaginea morfismului f.

Ca exerciţiu, arătaţi că Ker f şi Im f sunt subgrupuri, iar morfismul f este injectiv dacă şi numai dacă Ker f = {e}.

1.5. Grup finit, tabla operaţiei, ordinul unui element

Definiţie Fie (G, * ) un grup. Dacă grupul (G, * ) are proprietatea că G este o

mulţime finită, atunci (G, * ) se numeşte grup finit. În acest caz numărul de elemente al mulţimii G (sau cardinalul mulţimii G),

notat | G |, se numeşte ordinul grupului G şi se mai notează prin ord (G). Ca exemple de grupuri finite să reamintim grupul lui Klein, grupul zn,

grupul de permutări Sn. Un rezultat simplu din teoria grupurilor, dar cu multiple aplicaţii, este urmă-

toarea teoremă.

Teorema lui Lagrange Fie (G, * ) un grup finit şi H un subgrup al său. Atunci ord (H) este un

divizor al numărului ord G.

Demonstraţie

Fie x ∈ G un element oarecare. Notăm cu xH = {xh | h ∈ H}. Mulţimile xH şi H au acelaşi număr de elemente. Într-adevăr, funcţia f : H � xH, f (h) = xh este bijectivă (surjectivitatea este evidentă, iar injectivitatea rezultă astfel: dacă f (h1) = f (h2), atunci xh1 = xh2, şi deci x −1(xh1) = x −1(xh2), adică h1 = h2).

Fie x, y două elemente oarecare. Atunci xH = yH sau x H ∩ y H = ∅. Într-adevăr, presupunem că xH ∩ yH ≠ � şi fie z ∈ xH ∩ yH. Deci există

h1, h2 ∈ H astfel încât z = xh1 = yh2. Dacă h ∈ H atunci zh = (xh1)h = x(h1h) ∈ xH, deci zH ⊆ xH.

Din z = xh1 avem x = z 11−

h , deci xh = (z 11−

h )h = z( 11−

h h) ∈ zH; rezultă xH ⊆ zH. Am arătat că xH = zH. Analog, yH = zH, deci xH = yH. Cum G este finit,

putem scrie G = {x1, x2, …, xn}. Dintre submulţimile x1H, x2H, …, xnH le alegem dintre ele pe cele care sunt diferite; fie acestea x1H,…, xpH, p ≤ n (eventual renumerotând elementele x1, …, xn). Deci pentru i ≠ j, i,j ≤ p, avem xiH ∩ xjH = � şi pentru orice k > p submulţimea xkH este egală cu una dintre submulţimile x1H, x2H, …, xpH.


38

Evident avem G = Up

i

i Hx1=

, deci | G | = ∑=

p

i

i Hx1

= p | H |, deoarece x1H, x2H,

…, xpH sunt submulţimi distincte şi |xiH| = |H|, ∀ i = p,1 . Rezultă că |H| este un divizor al lui |G|.

Evident, pentru un grup finit (G, * ) se poate alcătui tabla operaţiei, de forma

nnnnn

n

n

n

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxx

∗∗∗

∗∗∗

∗∗∗

K

MMMM

K

K

K

21

222122

121111

21*

unde G = {x1, …, xn}. Exemple de table de operaţie au fost deja amintite în paragrafele precedente.

Definiţie

Fie (G, · ) un grup finit şi x ∈ G. Cel mai mic număr natural nenul n astfel încât x

n = e, unde e este elementul neutru în grupul G, se numeşte ordinul

elementului x şi notăm ord (x) = n, deci n = ord (x) = min {k ∈ n* | xk

= e}.

Exerciţiu rezolvat

Fie (K, · ) un grup cu patru elemente, K = {e, a, b, c} astfel încât x2 = e, ∀ x ∈ K, unde e este elementul neutru.

a) Întocmiţi tabla operaţiei lui K. b) Arătaţi că grupul (K, · ) nu este izomorf cu (z4, + ). c) Dacă G este un grup cu 4 elemente, atunci G � K sau G � z4. Daţi un

exemplu de grup izomorf cu K.

Soluţie


39

a) K este grupul lui Klein, discutat în paragraful anterior. Tabla operaţiei este următoarea:

eabcc

aecbb

bceaa

cbaee

cbae⋅

b) În grupul (K, · ) avem x2 = e, ∀ x ∈ K. În schimb, în grupul (z4, + ), 1 + 1 =

= 2 ≠ 0 . Atunci cele două grupuri nu pot fi izomorfe. Într-adevăr, presupunând că există un izomorfism de grupuri f : (K, · ) �

� (z4, + ), atunci există x ∈ K cu f (x) = 1 . Rezultă că 0 = f (e) = f (x2) = f (x) +

+ f (x) = 1 + 1 − contradicţie. c) Fie G = {u, x, y, z} un grup multiplicativ cu elementul neutru u. Deoarece

ordinul oricărui element divide ordinul grupului, rezultă că ordinul oricărui element din G este 1, 2 sau 4. Distingem două cazuri:

Cazul 1

G conţine cel puţin un element de ordinul 4, de exemplu x. Atunci G = {u, x, x2, x3}, deci (G, · ) este un grup ciclic, izomorf cu (z4, + )

prin izomorfismul f : G � z4, f (xi) = i ; i ∈ {0, 1, 2, 3}.

Cazul 2

G nu conţine nici un element de ordinul 4. Atunci u are ordinul 1, iar x, y, z au ordinul 2, deci, x2 = y2 = z2 = u . Suntem în ipotezele a) şi b). Conform punctului a), tabla operaţiei arată astfel

uxyzz

xuzyy

yzuxx

zyxuu

zyxu⋅

Deci aplicaţia ϕ : K � G, ϕ (e) = u , ϕ (a) = x, ϕ (b) = y, ϕ (c) = z este un izomorfism de grupuri. Aşadar G � K.

Grupurile izomorfe cu K se numesc grupuri Klein. Reamintim exemplul K = {I, S1, S2, S3}, unde I, S1, S2, S3 sunt următoarele transformări ale planului: transformarea identică, simetria faţă de origine, simetria faţă de Ox, simetria faţă de Oy; operaţia algebrică este compunerea transformărilor.


40

Un alt exemplu este (z2, + ) × (z2, + ) = {( 0 , 0 ), ( 0 , 1 ), (1 , 0 ), (1 , 1 )}, unde adunarea se face pe componente

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2).

Teoremă

Fie (G, · ) un grup finit. Dacă x ∈ G, atunci i) dacă < x > este subgrupul ciclic generat de x, atunci | < x > | = ord x; ii) ord ( x ) | |G|; iii) x|G | = e; iv) dacă n este un număr întreg astfel încât xn = e, atunci ord (x) | n; v) x = e � ord (x) = 1.

Demonstraţie

i) Fie ord (x) = r. Vom arăta că < x > = {e, x, x2, …, x r − 1}, unde prin xk

înţelegem x · x · … · x de k ori, ∀ k ∈ n. Cum < x > = {x

t | t ∈ z}, este suficient să arătăm că orice element y = x t, cu t ∈ z, este în mulţimea {e, x, …, x r − 1}.

Din teorema împărţirii cu rest avem t = rq + s, 0 ≤ s < r. Deci y = x t = x

rq + s = = ( x

r )q · x s = e

q · x s = e · x

s = x s, deci y ∈ {e, x, …, x

r −1}. Atunci < x > = { e, x, …, x r − 1} şi | < x > | = r = ord (x). ii) Este evident din teorema lui Lagrange. iii) x ord (x) = x r = e şi ord (x) | G | rezultă | G | = k · ord (x), k ∈ n*. Deci

x | G | = x k · ord (x) = (x ord (x)) k = e k = e. iv) Din teorema împărţirii cu rest pentru n şi r = ord (x) obţinem n = ru + v,

0 ≤ v < r. Deci e = xn = xru + v = (xr)u · xv = eu · xv = e · xv = xv. Dacă v ≥ 1, atunci cum v < r = ord (x), rezultă o contradicţie (prin definiţie, ordinul lui x este cel mai mic număr natural pentru care xr = e!). Rezultă v = 0, adică n = ru, deci r | n.

v) Afirmaţia este evidentă. Următoarea teoremă ne arată că un grup finit este izomorf cu un grup de

permutări.

Teorema lui Cayley (facultativ)

Fie (G, · ) un grup finit cu n elemente. Atunci (G, · ) este izomorf cu un subgrup al lui Sn.

Demonstraţie


41

Fie SG grupul simetric al mulţimii G, adică mulţimea aplicaţiilor bijective de la G în G ′. Definim funcţia f : G � SG, f (a) = fa, a ∈ G, unde fa : G � G, fa(x) = ax, ∀ x ∈ G. Atunci f este morfism de grupuri, adică

f (ab) = f (a) � f (b), ∀ a, b ∈ G. Avem f (ab) = fab, unde fab : G � G, fab(x) = abx, ∀ x ∈ G. Avem ( f (a) � f (b))(x) = ( fa � fb)(x) = fa( fb(x)) = fa(bx) = a(bx) = abx, ∀ x ∈ G. Aplicaţia f este injectivă, deoarece

f (a) = f (b) � fa = fb � fa(e) = fb(e) � a = b

(unde e este elementul neutru al lui G). Grupurile (SG, � ) şi (Sn, � ) sunt izomorfe; izomorfismul este dat de aplicaţia

ϕ : SG � Sn, ϕ(g) =

σσσ )()2()1(

21

n

n

K

K,

unde grupul G este G = {a1, a2, …, an} şi aσ(k) = g(ak), ∀ k = {1, …, n}.

Construim aplicaţia θ : G � Sn, θ = ϕ � f. θ este compunerea a două aplicaţii injective, deci este injectivă.

Fie H = θ (G). Atunci H este subgrup al lui Sn (verificarea o lăsăm ca exerciţiu!) şi θ : (G, · ) � (H, � ) este izomorfism de grupuri.

Exerciţii rezolvate 1. Fie G un grup finit cu p elemente, unde p este un număr prim. Atunci G

este un grup ciclic.

Soluţie

Cum p ≥ 2 rezultă că există un element x ∈ G, x ≠ e, unde e este elementul neutru din G.

Cum ord (x) > 1 şi ord (x) | p, rezultă că ord (x) = p, deoarece p este număr prim.

Deci < x > = {e, x, …, xp − 1} = G, adică G este un grup ciclic. 2. Teoremele lui Euler şi Fermat

Teorema lui Euler

Dacă n ≥ 1 este un număr natural şi a ∈ z astfel încât a şi n sunt prime între ele ((a, n) = 1), atunci a

ϕ(n) � 1 (mod n), unde ϕ (n) este numărul elementelor mulţimii {k ∈ {1, 2, …, n − 1} | (k, n) = 1} (numit indicatorul lui Euler) .

Teorema lui Fermat


42

Dacă p este un număr prim şi a ∈ z astfel încât (a, p) = 1, atunci a p − 1 � 1 (mod p).

Demonstraţie

Considerăm monoidul (zn, · ). Mulţimea tuturor elementelor inversabile din monoidul (zn, · ) o notăm cu G = U (zn) şi formează un grup finit.

Dacă a ∈ z astfel încât (a, n) = 1, atunci a ∈ U (zn).

Rezultă aϕ (n) � 1 , adică echivalent, aϕ (n) � 1 (mod n).

Dacă p este număr prim, ϕ (p) = p − 1. Rezultă a p − 1 � 1 (mod p) pentru (a, p) = 1.

3. Să se arate că într-un grup finit G cu un număr par de elemente există un

element x ∈ G, x ≠ e, pentru care x2 = e, unde e este elementul neutru din grupul G.

Soluţie

Presupunem că oricare ar fi x ∈ G, x ≠ e, avem x2 ≠ e. Atunci ord (x) = r > 2. Avem (x−1)r = (xr)−1 = e−1 = e, deci ord (x−1) ≤ r. Să presupunem că ord (x−1) = q; deci q ≥ 1, q ≤ r şi (x−1)q = e. Cum (x−1)q = (x

q) −1 � (x q) −1 = e şi deci x

q = ((x q) −1) −1 = e−1 = e.

Rezultă q ≥ r. Prin urmare q = r, adică ord (x) = ord (x−1). Dar din ipoteză avem x−1 ≠ x (dacă x−1 = x rezultă x2 = e, deci ord (x) ≤ 2;

contradicţie). Cum x ∈ G, x ≠ e, rezultă că putem forma mulţimea {x, x−1}. Dacă există un element y ≠ e astfel încât y ∉ {x, x

−1}, atunci, urmând un raţionament analog, rezultă că putem forma mulţimea {y, y−1}.

Evident {x, x−1 } ∩ {y, y−1} = �. Continuând raţionamentul rezultă că mulţimea finită G este de forma

G = {e} ∪ {x, x−1} ∪ {y, y−1} ∪ …, adică are un număr impar de elemente; contradicţie.

În concluzie, există un element x ∈ G, x ≠ e astfel încât x2 = e.

4. Într-un grup finit comutativ produsul tuturor elementelor din G este egal cu produsul tuturor elementelor de ordin cel mult 2.

Soluţie

Fie x ∈ G, ord (x) > 2. Din exerciţiul precedent rezultă că ord (x−1) = ord (x) şi x ≠ x−1.

Deci ∏∈Gx

x = ∏≤

∈2)(ord y

Gy

y · ∏>

∈2)(ord z

Gz

z .

În produsul ∏>

∈2)(ord z

Gz

z apare şi z−1 în acelaşi timp cu z; dar zz−1 = e, deci

∏>

∈2)(ord z

Gz

z = e. Rezultă ∏∈Gx

x = ∏≤

∈2)(ord y

Gy

y .

5. Teorema lui Wilson


43

Dacă p este un număr natural prim, atunci (p − 1)! + 1 � 0 (mod p).

Demonstraţie

p fiind număr prim, mulţimea *pZ = {1 , 2 ,…,

3

1−p } constituie grup abelian

faţă de operaţia de înmulţire a claselor.

Fie x = a ∈ *pZ astfel încât x2 = 1 , deci

22

a = 1 . Rezultă p | a2 − 1. Dar p

este prim, ceea ce implică p | a − 1 sau p | a + 1. Dacă p | a − 1, avem a − 1 = 0, adică a = 1.

Dacă p | a + 1, avem a = p − 1, adică a = 3

1−p .

Rezultă că, în afară de 1 ,3

1−p este singurul element din *pZ de ordin mai mic

sau egal ca 2. Folosind exerciţiul precedent rezultă

1 · 2 · … · 3

1−p = 1 ·3

1−p , adică

1 · 2 · … · (p − 1) = ( )33

1!1 −=− pp , sau

( ) )1(!1 −≡− pp (mod p), ceea ce este echivalent cu

(p − 1) ! + 1 � 0 (mod p).

Exerciţii propuse 1. Arătaţi că mulţimea A = {a − b + (a + b)i | a, b ∈ z} este un grup în raport

cu adunarea numerelor complexe. Este A parte stabilă a lui c în raport cu înmulţirea numerelor complexe?

2. Arătaţi că (G, *) este grup abelian, unde G = (−1, 1) şi x * y � xy

yx

+

+

1.

Să se arate că f : G → r *+ , f (x) =

x

x

+

−

11

este un izomorfism între (G, *) şi

grupul (r *+ , · ).

3. Fie mulţimea M = A =

θθ−

θθ

cossin

sincos, θ ∈ r, A ∈ M2 (r) .


44

Să se arate că M este parte stabilă a lui M2(r) în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor şi că (M, ·) este grup izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor complexe de modul 1.

4. Arătaţi că (G, · ) este grup, unde G = {A ∈ M2(r) | tA · A = I2 }

1, iar „·” este operaţia de înmulţire a matricelor.

Arătaţi de asemenea că pentru orice A ∈ G, det A ∈ {1, −1}.

5. a) Să se arate că mulţimea matricelor simetrice din M2(r),

Gs = {A ∈ M2(r) | tA = A} formează grup în raport cu adunarea matricelor.

b) Să se arate că mulţimea matricelor antisimetrice din M2(r),

GA = {A ∈ M2(r) | tA = − A}. formează grup în raport cu operaţia de adunare a matricelor.

c) Arătaţi că orice matrice A ∈ M2(r) se poate scrie ca suma a două matrice A1 ∈ Gs şi A2 ∈ GA.

6*. Să se arate că grupurile aditive (z, + ) şi (q, + ) nu sunt izomorfe. 7*. Să se arate că grupurile aditive (q, + ) şi (r, + ) nu sunt izomorfe. 8*. Să se arate că grupurile multiplicative (q*, · ) şi (r*, · ) nu sunt

izomorfe. 9*. Să se arate că grupurile multiplicative (c*, · ) şi (r*, · ) nu sunt

izomorfe. 10*. Să se arate că grupurile (z[X], + ) şi (q[X], + ) nu sunt izomorfe (pentru

definiţii şi notaţii, vezi „Inele de polinoame”). 11. Fie (G, · ) un grup cu proprietatea (xy)2 = x2

y2, ∀ x, y ∈ G. Arătaţi că G

este grup comutativ. 12. Fie (G, · ) un grup cu proprietatea x2 = e, ∀ x ∈ G. Arătaţi că G este grup

comutativ. 13. Fie G o mulţime nevidă şi „·” o lege de compoziţie asociativă. Atunci

(G, · ) este grup dacă şi numai dacă ecuaţiile ax = b şi ya = b au soluţii în G, pentru orice a, b ∈ G.

14. Fie (G, · ) o mulţime finită pe care este definită o lege de compoziţie asociativă. Dacă operaţia are proprietăţile:

xy = xz � y = z (simplificare la stânga), pentru ∀ x, y, z ∈ G şi

xy = zy � x = z (simplificare la dreapta) pentru ∀ x, y, z ∈ G, atunci (G, · ) este grup.

1 (G, · ) se numeşte grupul matricelor ortogonale de ordinul 2 (reamintim că o matrice A ∈

Mn(r) se numeşte matrice ortogonală dacă tA · A = A · t

A = In, unde In este matricea unitate de ordin n).


45

15. a) Fie G1 =

−

−

−

−

01

10,

10

01,

01

10,

10

01.

Să se arate că (G1, · ) formează un grup comutativ. b) Fie G2 = {1, − 1, i, − i} ⊂ c, i2 = − 1. Să se arate că (G2, · ) formează un grup comutativ.

c) Fie G3 =

3412

4321,

3421

4321,

4312

4321,

4321

4321⊂ S4.

Să se arate că (G3, � ) formează un grup comutativ.

d) Să se cerceteze dacă grupurile G1, G2 şi G3 sunt izomorfe.

Teste de evaluare

Testul 1 (10 p) 1. Fie n un număr întreg fixat şi G = {(a, b) | a, b ∈ z; n | a şi n | b}.

Definim pe G următoarea lege de compoziţie: (a, b) * (a′, b′) = (aa′ + bb′, aa′ − bb′), oricare ar fi (a, b), (a′, b′) ∈ G.

Să se decidă dacă G împreună cu această operaţie formează un grup. (10 p) 2. Pe mulţimea c a numerelor complexe definim legea de compoziţie „�”

prin z1 � z2 = 21 zzi ⋅⋅ , oricare ar fi z1, z2 ∈ c.

Să se arate că mulţimea c* = c � {0} este o parte stabilă faţă de legea �, iar c* cu operaţia indusă este un grup comutativ.

(10 p) 3. Fie (G, · ) un grup multiplicativ. Dacă x, y ∈ G verifică relaţiile x3 = e şi xyx

− 1 = y3, atunci y26 = e, unde e este elementul neutru la înmulţire. Timp de lucru: 50 de minute

Testul 2 (10 p) Pe mulţimea n a numerelor naturale, definim următoarele două legi de

compoziţie: m ⊥ n = c.m.m.d.c. (m, n) şi m � n = c.m.m.m.c. (m, n), oricare

ar fi m, n ∈ n. Să se studieze proprietăţile acestor legi de compoziţie. Să se arate că:

m ⊥ (n � p) = (m ⊥ n) � (m ⊥ p) m � (n ⊥ p) = (m � n) ⊥ (m � p),

oricare ar fi m, n, p ∈ n.


46

(10 p) 2. Pe mulţimea r a numerelor reale definim legea de compoziţie ⊥ prin

x ⊥ y = 5 55 yx + ,

oricare ar fi x, y ∈ r. Să se studieze proprietăţile acesteia. (10 p) 3. Fie (G, · ) un grup necomutativ cu opt elemente, având elementul neutru e.

Fie, de asemenea, a ∈ G un element de ordinul patru şi b ∈ G � {e, a, a2, a3}. Să se demonstreze că: a) G = {e, a, a2, a3, b, ba, ba

2, ba3}.

b) ab = ba3.

c) b2 ∈ {e, a2}. Timp de lucru: 50 de minute

Testul 3 (10 p) 1. Pe mulţimea z a numerelor întregi definim următoarele două legi de

compoziţie: a � b = max {a, b} şi a ⊥ b = min {a, b}

oricare ar fi a, b ∈ z. a) Să se studieze proprietăţile acestor legi de compoziţie. b) Să se arate că:

a � (b ⊥ c) = (a � b) ⊥ (a � c) şi a ⊥ (b � c) = (a ⊥ b) � (a ⊥ c),

oricare ar fi a, b, c ∈ z. (10 p) 2. Pe mulţimea r a numerelor reale definim două legi de compoziţie „*” şi

„�” astfel:

x * y = 3 33 yx + şi x � y = x + y + 1,

oricare ar fi x, y ∈ r. a) Să se studieze proprietăţile acestor două legi de compoziţie. b) Să se rezolve sistemul

x * y = −1

x � y = 0. (10 p) 3. Pe mulţimea {a, b, c, d, e} operaţia „*” defineşte o structură de grup.

Ştiind că a * b = d, c * a = e şi d * c = b, să se alcătuiască tabla operaţiei.

Timp de lucru: 50 de minute

Testul 4


47

(10 p) 1. Daţi exemplu de un grup finit G astfel încât a3 = e, ∀ a ∈ G şi G nu este comutativ.

(10 p) 2. Este adevărat că dacă într-un grup oarecare G două elemente x şi y ∈ G au ordin finit, atunci şi xy are ordin finit?

(10 p) 3. Fie grupul multiplicativ GL2 (r) = {A ∈ M2 (r) | det A ≠ 0}.

Pentru A =

11

12determinaţi C(A) = {X ∈ GL2 (r) | XA = AX}.

(10 p) 4. Fie (G, · ) un grup şi n ∈ n, n = 2 (mod 3) astfel încât: (xy)n = xn

yn şi x3

y3 = y3

x3, ∀ x, y ∈ G.

Să se demonstreze că (G, · ) este comutativ.

Exerciţii recapitulative 1*. Să se arate că numărul operaţiilor algebrice pe o mulţime cu n elemente,

care sunt în acelaşi timp comutative şi cu element neutru este n 222 +−nn

. 2. Pe mulţimea M nevidă se defineşte o operaţie notată multiplicativ, cu

proprietatea x(yx) = y, ∀ x, y ∈ M. Să se demonstreze că fiecare din ecuaţiile ax = b şi xa = b, unde a, b ∈ M, au

soluţie unică în M. Daţi exemplu de mulţime finită M înzestrată cu o astfel de operaţie şi

alcătuiţi tabla operaţiei.

3. Pentru fiecare n ∈ n* definim funcţia fn : (0, ∞) � (0, ∞), fn(x) = x n

1

şi pentru fiecare k ∈ z definim funcţia gk : (0, ∞) � (0, ∞), gk(x) = xk. Să se arate că:

a) mulţimea F = {fn | n ∈ n*}, înzestrată cu operaţia de compunere a funcţiilor, este un monoid comutativ izomorf cu monoidul (n*, · );

b) mulţimea G = {gk | k ∈ z} înzestrată cu operaţia de compunere a funcţiilor, este un monoid comutativ izomorf cu monoidul (z, · ).

4. Fie (M, * ) un grup şi a ∈ M. Se defineşte operaţia x � y = x * a * y,

∀ x, y ∈ M. Să se arate că (M, � ) este un grup şi că (M, * ) este izomorf cu (M, � ).

5. Pe mulţimea q( d ) = {a + b d , a, b ∈ q}, unde d este un întreg liber de pătrate (d nu este divizibil prin pătratul nici unui număr prim), se defineşte operaţia x1 * x2 = x1 + x2 + d , pentru orice x1, x2 ∈ q( d ).


48

Ce structură algebrică este (q d , * )?

6. Se notează prin M mulţimea matricelor de forma

−− pmpn

nm

22, cu

m, n, p ∈ z.

a) Să se arate că înmulţirea matricelor este o lege de compoziţie pe M.

b) Să se determine cea mai mare submulţime a lui M care este grup faţă de înmulţirea matricelor.

7*. Fie Gn mulţimea matricelor pătratice de ordin n având pe fiecare linie câte un element egal cu 1 şi celelalte n − 1 elemente egale cu 0 şi analog, pe fiecare coloană, câte un element egal cu 1, iar celelalte n − 1 elemente egale cu 0. Să se arate că mulţimea (Gn, · ) înzestrată cu operaţia de înmulţire a matricelor este un grup izomorf cu grupul (Sn, � ) al permutărilor de n elemente, înzestrat cu compunerea permutărilor.

8. Daţi exemplu de un grup finit (G, · ) şi un număr natural n ≥ 2 pentru care ecuaţia xn = e are în grupul G mai mult de n soluţii.

9*. Să se arate că dintre toate ecuaţiile de forma a cos x + b sin x + c = 0, cu a, b, c ∈ r, ecuaţiile ale căror soluţii formează grup aditiv sunt următoarele:

b sin x = 0, b ≠ 0 a cos x − a = 0, a ≠ 0.

10. Se consideră mulţimea G =

∈=+ +Rbab

y

a

xyxM ,,1|),( 2

2

2

2

a punctelor

unei elipse. Fie punctul A(a, 0) ∈ G. Pe G se defineşte operaţia „*” astfel:

i) A * M = M * A = M, ∀ M ∈ G.

ii) Dacă M ∈ G � {A}, M * M este punctul în care paralela prin A la tangenta în M la elipsă retaie elipsa.

iii) Dacă M1, M2 ∈ G � {A}, M1 ≠ M2, atunci M1 * M2 este punctul în care

paralela prin A la dreapta M1M2 retaie elipsa. Să se demonstreze că (G, * ) este un grup comutativ izomorf cu grupul

multiplicativ al numerelor complexe de modul 1. 11. Fie (G, *) o mulţime înzestrată cu o lege de compoziţie asociativă „*”.

Pentru fiecare a ∈ G se definesc aplicaţiile fa şi ga, fa, ga : G � G astfel: fa(x) = a * x, ga(x) = x * a, ∀ x ∈ G.

Să se arate că (G, *) este un grup dacă şi numai dacă aplicaţiile fa şi ga sunt surjective, pentru orice a ∈ G.

12*. Fie (G, · ) un grup şi x, y ∈ G. Dacă există α, β ∈ z, α, β relativ prime, astfel încât xy

α = yαx şi xy

β = yβx, atunci xy = yx.


49

13*. Fie (G, · ) un grup. Să se arate că dacă există m, n ∈ n*, (m, n) = 1, astfel încât (xy)m = (yx)m, ∀ x, y ∈ G şi (xy)n = (yx)n, ∀ x, y ∈ G atunci (G, · ) este abelian.

14*. Să se arate că dacă într-un grup finit mai mult de jumătate dintre elementele grupului comută cu toate elementele din grup, atunci grupul este comutativ.

15*. Fie (G, · ) un grup. Dacă există r ∈ n*, astfel încât pentru orice a1, a2, …, ar ∈ G avem

21

12

41

3211

42

31

++−

++− ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ rr

rrrr

rr aaaaaaaa KK ,

atunci (G, · ) este abelian. 16*. Fie (G, · ) un grup comutativ finit cu elementul neutru e şi fie x ∈ G.

Dacă x2 = e pentru mai mult de jumătate dintre elementele grupului, atunci x2 = e, ∀ x ∈ G.

17. Să se afle elementele de ordin 6 din (z6 × z7, + ). 18. Fie G un grup cu 4 elemente. Dacă există x ∈ G astfel încât ord (x) = 4,

atunci G � z4. Să se arate că dacă G nu este ciclic, atunci G este izomorf cu grupul lui Klein şi G � z2 × z2.

19. Fie Un = {z ∈ c | zn = 1}. Să se arate că Un � zn şi Un este singurul

subgrup cu n elemente al grupului (c*, · ). 20. Să se determine numerele reale a, b, c astfel încât mulţimea

G = {x ∈ c | x3 + ax2 + bx + c = 0}

să fie grup în raport cu înmulţirea numerelor complexe. 21. Fie G un grup şi x, y ∈ G. Dacă x şi y satisfac relaţiile

x2 = y6 = e, xy = y4

x, atunci y3 = e şi x şi y comută între ele.

22. Fie x, y două elemente ale unui grup G notat multiplicativ (G, · ). Dacă x şi y satisfac relaţiile

x5 = y4 = e, xy = yx

3, atunci

x2y = yx, xy

3 = y3x

2. Să se afle ord (xy). 23*. Fie G un grup finit cu proprietatea că pentru orice ∀ x ∈ G avem x2 = e,

unde e este elementul neutru. Să se arate că există un număr natural n ≥ 0 astfel încât |G| = 2n. 24. Fie G un grup finit cu 6 elemente. Să se arate că: i) ∃ a ∈ G, a ≠ e, astfel încât a3 = e. ii) G este izomorf cu grupul (z6, + ) sau este izomorf cu grupul S3.

1.1. Lege de compozi ie internă (opera ie algebrică), tabla ...

Documents

Transcript of 1.1. Lege de compozi ie internă (opera ie algebrică), tabla ...