1 Формулата (a + b) - WordPress.com

Íÿêîè òúæäåñòâà ñå ïðèëàãàò ÷åñòî ïðè ðåøàâàíå íà çàäà÷è è ñà èçâåñ-òíè êàòî ôîðìóëè çà ñúêðàòåíî óìíîæåíèå.

1 Ôîðìóëàòà (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

Ôîðìóëà 1.1 Êâàäðàòúò íà ñáîð îò äâà èçðàçà a è b å ðàâåí íà êâàäðàòàíà ïúðâèÿ èçðàç ïëþñ óäâîåíîòî ïðîèçâåäåíèå íà ïúðâèÿ è âòîðèÿ èçðàç,ïëþñ êâàäðàòà íà âòîðèÿ èçðàç.

Çàïèñâàìå ñõåìàòè÷íî:

(Ièçðàç+IIèçðàç)2

= (I èçðàç)2+ 2.I èçðàç.II èçðàç+ (II èçðàç)

2.

×åòåì:

(ïúðâîòî+ âòîðîòî)2

= (ïúðâîòî)2+ 2ïúòè.ïúðâîòî.âòîðîòî+ (âòîðîòî)

2.

2 Ôîðìóëàòà (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

Ôîðìóëà 2.1 Êâàäðàòúò íà ðàçëèêà îò äâà èçðàçà a è b å ðàâåí íà êâàä-ðàòà íà ïúðâèÿ èçðàç ìèíóñ óäâîåíîòî ïðîèçâåäåíèå íà ïúðâèÿ è âòîðèÿèçðàç, ïëþñ êâàäðàòà íà âòîðèÿ èçðàç.


(Ièçðàç-IIèçðàç)2

= (I èçðàç)2 − 2.I èçðàç.II èçðàç+ (II èçðàç)

2.

×åòåì:

(ïúðâîòî− âòîðîòî)2

= (ïúðâîòî)2 − 2ïúòè.ïúðâîòî.âòîðîòî+ (âòîðîòî)

2.

2.1 Ïðèëîæåíèÿ íà ôîðìóëèòå (a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2

• Ïðè ïîâäèãàíå íà êâàäðàò íà èçðàçà (−a− b)2:

I íà÷èí:

(−a− b)2

= (−a)2 + 2.(−a).(−b) + (−b)2 = a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2.

II íà÷èí:

(−a− b)2

= [−(a+ b)]2= [(−1).(a+ b)]

2= (−1)2.(a+ b)

2= (a+ b)

2.

1

• Ïðè ïîâäèãàíå íà êâàäðàò íà èçðàçà (−a+ b)2:

I íà÷èí:

(−a+ b)2

= (−a)2 + 2.(−a).b+ b2 = a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2.

II íà÷èí:

(−a+ b)2

= [−(a− b)]2= [(−1).(a− b)]

2= (−1)2.(a− b)

2= (a− b)

2.

• Ïðè ïîâäèãàíå íà êâàäðàò íà èçðàçà (b− a)2:

(b− a)2

= b2 + 2.b.a+ a2 = a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2.

• Ïðè ïðåñìÿòàíå íà èçðàçà a2 + b2:

Îò ôîðìóëàòà (a+ b)2= a2+2ab+b2 ñëåäâà, ÷å a2+b2 = (a+ b)

2−2ab.Îò ôîðìóëàòà (a− b)

2= a2−2ab+b2 ñëåäâà, ÷å a2+b2 = (a− b)

2+2ab.

• Ïðè ïðåñìÿòàíå íà èçðàçà a4 + b4:

Îò(a2 + b2

)2=(a2)2

+ 2a2b2 +(b2)2

= a4 + 2a2b2 + b4 ñëåäâà, ÷å

a4 + b4 =(a2 + b2

)2 − 2a2b2.

Îò(a2 − b2

)2=(a2)2 − 2a2b2 +

(b2)2

= a4 − 2a2b2 + b4 ñëåäâà, ÷å

a4 + b4 =(a2 − b2

)2+ 2a2b2.

• Ïðè ïîâäèãàíå íà êâàäðàò íà ñáîð èëè ðàçëèêà íà äâà ïî-

ñëîæíè èçðàçà:

(a2

2+ b2c

)2

=

(a2

2

)2

+ 2.a2

2.b2c+

(b2c)2

=

=a4

4+ a2b2c+ b4c2;(

ax2y3 − 1

3z4)2

=(ax2y3

)2 − 2.ax2y3.1

3z4 +

(1

3z4)2

=

= a2x4y6 − 2

3ax2y3z4 +

1

9z8.

• Ïðè ïîâäèãàíå íà òðè÷ëåí íà êâàäðàò:

(a+ b+ c)2

= (a+ b)2+ 2(a+ b)c+ c2 = a2 + 2ab+ b2 + 2ac+ 2bc+ c2 =

= a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

Ñëåäâàùèòå äâå ôîðìóëè ìîãàò äà ñå ïîëó÷àò, êàòî èçïîëçâàìå ôîð-ìóëàòà (a+ b+ c)

2= a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc ïî ñëåäíèÿ íà÷èí:

2

(a+ b− c)2

= [a+ b+ (−c)]2 =

= a2 + b2 + (−c)2 + 2ab+ 2a(−c) + 2b(−c) == a2 + b2 + c2 + 2ab− 2ac− 2bc;

(a− b− c)2

= [a+ (−b) + (−c)]2 =

= a2 + (−b)2 + (−c)2 + 2a(−b) + 2a(−c) + 2(−b)(−c) == a2 + b2 + c2 − 2ab− 2ac+ 2bc.

• Çà ïî-áúðçî ïðåñìÿòàíå íà êâàäðàòèòå íà íÿêîè ÷èñëà:

512 = (50 + 1)2= 502 + 2.50.1 + 12 = 2500 + 100 + 1 = 2601;

492 = (50− 1)2= 502 − 2.50.1 + 12 = 2500− 100 + 1 = 2401.

• Ïðè îïðîñòÿâàíå íà èçðàçè:

(a− 1)2+ (a+ 1)

2 − a(a− 1) = a2 − 2a+ 1 + a2 + 2a+ 1− a2 + a =

= a2 + a+ 2;

(2 + x)2 − 2(x+ 1)

2= 4 + 4x+ x2 − 2

(x2 + 2x+ 1

)=

= 4 + 4x+ x2 − 2x2 − 4x− 2 =

= −x2 + 2;

(3− a+ b)2

= 32 + (−a)2 + b2 + 2.3.(−a) + 2.3.b+ 2.(−a).b == 9 + a2 + b2 − 6a+ 6b− 2ab.

3 Ôîðìóëàòà (a+ b)(a− b) = a2 − b2

Ôîðìóëà 3.1 Ïðîèçâåäåíèåòî íà ñáîðà è ðàçëèêàòà íà äâà èçðàçà a è b åðàâíî íà ïúðâèÿ èçðàç íà êâàäðàò ìèíóñ âòîðèÿ èçðàç íà êâàäðàò.


(I èçðàç+ II èçðàç) (I èçðàç− II èçðàç) = (I èçðàç)2 − (II èçðàç)

2.

×åòåì:

(ïúðâîòî+ âòîðîòî) ïî (ïúðâîòî− âòîðîòî) = (ïúðâîòî)2 − (âòîðîòî)

2.

3.1 Ïðèëîæåíèÿ íà ôîðìóëàòà (a+ b)(a− b) = a2 − b2

• Ïðè îïðîñòÿâàíå íà èçðàçà (−a− b)(−a+ b):

(−a− b)(−a+ b) = [−(a+ b)][−(a− b)] = (−1)(a+ b)(−1)(a− b) =

= (−1)2(a+ b)(a− b) = (a+ b)(a− b) = a2 − b2.

3

• Ïðè óìíîæàâàíå íà ñáîð è ðàçëèêà íà ïî-ñëîæíè èçðàçè:

(5x+ 2y)(5x− 2y) = (5x)2 − (2y)

2= 25x2 − 4y2;(

3a2x3 − 5ax5) (

3a2x3 + 5ax5)

=(3a2x3

)2 − (5ax5)2

= 9a4x6 − 25a2x10;

(a+ 3)(a− 3)(a2 + 9

)= [(a+ 3)(a− 3)]

(a2 + 9

)=(a2 − 32

) (a2 + 9

)=

=(a2 − 9

) (a2 + 9

)=(a2)2 − 92 = a4 − 81.

• Ïðè óìíîæàâàíå íà íÿêîè òðè÷ëåíè:

(a+ b− c)(a+ b+ c) = [(a+ b)− c][(a+ b) + c] = (a+ b)2 − c2 =

= a2 + 2ab+ b2 − c2.

• Ïðè ïðåñìÿòàíå ïðîèçâåäåíèÿòà íà íÿêîè ÷èñëà:

27.33 = (30− 3)(30 + 3) = 302 − 32 = 900− 9 = 891.

4 Ïðèìåðè çà ïðèëàãàíå íà ôîðìóëèòå çà ñúê-

ðàòåíî óìíîæåíèå îò âòîðà ñòåïåí

Ïðèìåð 4.1 Äîêàæåòå òúæäåñòâîòî

(a− b)(a+ b)− (a− b)2

= 2b(a− b).

Ðåøåíèå: Îçíà÷àâàìå èçðàçèòå îò äâåòå ñòðàíè íà ðàâåíñòâîòî ñ u è v:

(a− b)(a+ b)− (a− b)2︸︷︷︸

u

= 2b(a− b)︸︷︷︸v

.

Ïðåîáðàçóâàìå âñåêè îò òÿõ:

u = (a− b)(a+ b)− (a− b)2= a2 − b2 −

(a2 − 2ab+ b2

)=

= a2 − b2 − a2 + 2ab− b2 = 2ab− 2b2,

v = 2b(a− b) = 2ab− 2b2.

Ïîëó÷èõìå, ÷å èçðàçèòå u è v èìàò åäèí è ñúù íîðìàëåí âèä, ò.å. u = v.Ñëåäâà, ÷å ðàâåíñòâîòî å òúæäåñòâî. �

Ïðèìåð 4.2 Äà ñå äîêàæå, ÷å àêî a+ b = 1, òî

a2b2 + 3 =(a2 + a+ 1

) (b2 + b+ 1

).

4

Ðåøåíèå: Îò a+ b = 1 ïîëó÷àâàìå b = 1− a.Îçíà÷àâàìå èçðàçèòå îò äâåòå ñòðàíè íà ðàâåíñòâîòî ñ u è v:

a2b2 + 3︸︷︷︸u

=(a2 + a+ 1

) (b2 + b+ 1

)︸︷︷︸v

.


u = a2b2 + 3 = a2(1− a)2+ 3 = a2

(1− 2a+ a2

)+ 3 =

= a2 − 2a3 + a4 + 3 = a4 − 2a3 + a2 + 3,

v =(a2 + a+ 1

) (b2 + b+ 1

)=

=(a2 + a+ 1

) [(1− a)

2+ (1− a) + 1

]=

=(a2 + a+ 1

) (1− 2a+ a2 + 1− a+ 1

)=

=(a2 + a+ 1

) (a2 − 3a+ 3

)=

= a4 − 3a3 + 3a2 + a3 − 3a2 + 3a+ a2 − 3a+ 3 =

= a4 − 2a3 + a2 + 3.

Ïîëó÷èõìå, ÷å èçðàçèòå u è v èìàò åäèí è ñúù íîðìàëåí âèä, ò.å. u = v.Ñëåäâà, ÷å ðàâåíñòâîòî å òúæäåñòâî. �

Ïðèìåð 4.3 Îïðîñòåòå èçðàçà

A =(x− 1)

2

5+

1

3(x− 2)− 2x2 + 3

10+ 1.

Ðåøåíèå: Ïîñëåäîâàòåëíî ïîëó÷àâàìå

A =

6^

(x− 1)2

5+

10^

x− 2

3−

3^

2x2 + 3

10+

30^1

1︸︷︷︸30

=

=6(x− 1)

2+ 10(x− 2)− 3

(2x2 + 3

)+ 30.1

30=

=6(x2 − 2x+ 1

)+ 10(x− 2)− 3

(2x2 + 3

)+ 30

30=

=6x2 − 12x+ 6 + 10x− 20− 6x2 − 9 + 30

30=−2x+ 7

30.

�

Çàáåëåæêà 4.1 Ïðè ðåøàâàíå íà ïðèìåð 4.3 îïðîñòÿâàìå èçðàç, êîéòîèìà çíàìåíàòåëè:

1. íàé-ìàëêîòî îáùî êðàòíî (ÍÎÊ) íà ÷èñëàòà 5; 3; 10 = 2.5 å ÷èñëîòî2.3.5 = 30;

5

2. êîãàòî â èçðàçà èìà ÷ëåíîâå îò âèäà1

3(x − 2), äîáðå å òå äà ñå çà-

ïèñâàò âúâ âèäàx− 2

3;

3. êîãàòî óìíîæàâàìå äîïúëíèòåëíèÿ ìíîæèòåë ñ ÷èñëèòåë, êîéòî åìíîãî÷ëåí, äîáðå å äà èçïîëçâàìå ñêîáè: −3

(2x2 + 3

).

Ïðèìåð 4.4 Íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà

A =

(x

2− 1

3

)(x

2+

1

3

)−(x2+ 1)2

çà x =8

9.


A =

(x

2− 1

3

)(x

2+

1

3

)−(x2+ 1)2

=(x2

)2−(1

3

)2

−[(x

2

)2+ 2.

x

2.1 + 12

]=

=x2

4− 1

9−(x2

4+ x+ 1

)=

x2

4− 1

9− x2

4− x− 1 = −x− 1

1

9.

Çà x =8

9

A = −8

9− 1

1

9= −2.

�

Ïðèìåð 4.5 Íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà

B =(x2− 3)(x

3+ 1)− x

(2x+ 1

3− x+ 5

2

)çà x = −2, 4.


B =x

2.x

3+

x

2− 3.

x

3− 3− x.

2(2x+ 1)− 3(x+ 5)

6=

=x2

6+

x

2− x− 3− x.

4x+ 2− 3x− 15

6=

=x2

6+

x

2− x− 3− x.

x− 13

6=

1^

x2

6+

3^x

2−

6^x −

6^3 −

1^

x2 − 13x

6︸︷︷︸6

=

=x2 + 3x− 6x− 18− x2 + 13x

6=

10x− 18

6=

2(5x− 9)

6=

=5x− 9

3.

6

Çà x = −2, 4

B =5.(−2, 4)− 9

3=−12− 9

3=−213

= −21

3= −7.

�

Ïðèìåð 4.6 Íàìåðåòå íîðìàëíèÿ âèä íà ìíîãî÷ëåíà, òúæäåñòâåíî ðà-âåí íà èçðàçà

A = (2m− x)2 − (2m− 1)(x+ 1)

2 − 4m2.

Çà êîÿ ñòîéíîñò íà ïàðàìåòúðà m êîåôèöèåíòúò íà ÷ëåíà îò ïúðâàñòåïåí å 10?


A = (2m− x)2 − (2m− 1)(x+ 1)

2 − 4m2 =

= (2m)2 − 2.2m.x+ x2 − (2m− 1)

(x2 + 2x+ 1

)− 4m2 =

= 4m2 − 4mx+ x2 − (2m− 1)x2 − 2(2m− 1)x− (2m− 1)− 4m2 =

= x2 − (2m− 1)x2 − 4mx− 2(2m− 1)x− (2m− 1) =

= x2 − 2mx2 + x2 − 4mx− 4mx+ 2x− 2m+ 1 =

= (1− 2m+ 1)x2 + (−4m− 4m+ 2)x+ (−2m+ 1) =

= (2− 2m)x2 + (2− 8m)x+ (1− 2m).

Êîåôèöèåíòúò íà ÷ëåíà îò ïúðâà ñòåïåí å 2− 8m.2− 8m = 10 ïðè m = −1. �

Ïðèìåð 4.7 Íàìåðåòå íîðìàëíèÿ âèä íà ìíîãî÷ëåíà, òúæäåñòâåíî ðà-âåí íà èçðàçà

A =(x2 −m

)2 − (x− 3)(3mx− 1)− (x+m)2.

Çà êîÿ ñòîéíîñò íà ïàðàìåòúðà m êîåôèöèåíòúò íà ÷ëåíà îò âòîðàñòåïåí å −6?


A =(x2 −m

)2 − (x− 3)(3mx− 1)− (x+m)2=

=(x2)2 − 2mx2 +m2 −

(3mx2 − x− 9mx+ 3

)−(x2 + 2mx+m2

)=

= x4 − 2mx2 +m2 − 3mx2 + x+ 9mx− 3− x2 − 2mx−m2 =

= x4 − 2mx2 − 3mx2 − x2 + x+ 9mx− 2mx− 3 =

= x4 + (−2m− 3m− 1)x2 + (1 + 9m− 2m)x− 3 =

= x4 + (−1− 5m)x2 + (1 + 7m)x− 3.

Êîåôèöèåíòúò íà ÷ëåíà îò âòîðà ñòåïåí å −1− 5m.−1− 5m = −6 ïðè m = 1. �

7

Ïðèìåð 4.8 Íàìåðåòå íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà

A = (0, 5x+ 1)2 −

(x2+ 3)(x

2− 3)− x(1 + 3x).


A = (0, 5x+ 1)2 −

(x2+ 3)(x

2− 3)− x(1 + 3x) =

=

(1

2x+ 1

)2

−(x2+ 3)(x

2− 3)− x(1 + 3x) =

=(x2+ 1)2−(x2+ 3)(x

2− 3)− x(1 + 3x) =

=(x2

)2+ 2.

x

2.1 + 12 −

[(x2

)2− 32

]− x− 3x2 =

=x2

4+ x+ 1−

(x2

4− 9

)− x− 3x2 =

=x2

4+ x+ 1− x2

4+ 9− x− 3x2 = −3x2 + 10.

Íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà ðàçëèêàòà −3x2 + 10 ñå ïîëó÷àâà ïðè íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà óìàëèòåëÿ 3x2, ò.å. ïðè x = 0.

Íàé-ãîëÿìàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà A å 10. �

Ïðèìåð 4.9 Íàìåðåòå íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà

A = 5, 5(x− 1)2 − 3

1

3(x− 2)

2 − 11

6(x+ 1)

2.


A = 5, 5(x− 1)2 − 3

1

3(x− 2)

2 − 11

6(x+ 1)

2=

=

3^

11

2(x− 1)

2 −

2^

10

3(x− 2)

2 −

1^

7

6(x+ 1)

2︸︷︷︸6

=

=33(x− 1)

2 − 20(x− 2)2 − 7(x+ 1)

2

6=

=33(x2 − 2x+ 1

)− 20

(x2 − 4x+ 4

)− 7

(x2 + 2x+ 1

)6

=

=33x2 − 66x+ 33− 20x2 + 80x− 80− 7x2 − 14x− 7

6=

=6x2 − 54

6=

6(x2 − 9

)6

= x2 − 9.

Íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà ðàçëèêàòà x2− 9 ñå ïîëó÷àâà ïðè íàé-ìàëêàòàñòîéíîñò íà óìàëÿåìîòî x2, ò.å. ïðè x = 0.

Íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà A å −9. �

8

5 Çàäà÷è çà óïðàæíåíèå

1. Çà êîè ñòîéíîñòè íà ïðîìåíëèâèòå x è y å âÿðíî ðàâåíñòâîòî

(x+ y)2= x2 + y2?

Îòãîâîð: Çà xy = 0.

2. Íàìåðåòå ïîëîæèòåëíèòå ÷èñëà m,n è p, àêî ìíîãî÷ëåíèòå u = 16x2+mx+ n è v = (px+ 1)

2ñà òúæäåñòâåíî ðàâíè.

Îòãîâîð: p = 4;m = 8;n = 1.

3. Äîêàæåòå òúæäåñòâîòî:

(à) 5a2 − 3(a− 1)(a+ 1) = 2a2 + 3;

(á)(a2 + b2

) (c2 + d2

)= (ac− bd)

2+ (bc+ ad)

2;

(â) (1− x− 2y)2= 1− 2(x+ 2y) + (x+ 2y)

2;

(ã)(x3 + x2y − xy2 − y3

)2 − (x3 − x2y − xy2 + y3)2

= 4xy(x2 − y2

)2.

Îòãîâîð:

(à)

(á)

(â)

(ã) Äîêàçàòåëñòâî: Îçíà÷àâàìå èçðàçèòå îò äâåòå ñòðàíè íà ðàâåí-ñòâîòî ñ u è v:

(x3 + x2y − xy2 − y3

)2 − (x3 − x2y − xy2 + y3)2︸︷︷︸

u

= 4xy(x2 − y2

)2︸︷︷︸v

.


u =(x3 + x2y − xy2 − y3

)2 − (x3 − x2y − xy2 + y3)2

=

=[(x3 + x2y − xy2 − y3

)+(x3 − x2y − xy2 + y3

)]×

×[(x3 + x2y − xy2 − y3

)−(x3 − x2y − xy2 + y3

)]=

=(x3 + x2y − xy2 − y3 + x3 − x2y − xy2 + y3

)×

×(x3 + x2y − xy2 − y3 − x3 + x2y + xy2 − y3

)=

=(2x3 − 2xy2

) (2x2y − 2y3

)= 4x5y − 4x3y3 − 4x3y3 + 4xy5 =

= 4x5y − 8x3y3 + 4xy5,

v = 4xy(x2 − y2

)2= 4xy

(x4 − 2x2y2 + y4

)= 4x5y − 8x3y3 + 4xy5.

Ïîëó÷èõìå, ÷å èçðàçèòå u è v èìàò åäèí è ñúù íîðìàëåí âèä, ò.å.u = v.

Ñëåäâà, ÷å ðàâåíñòâîòî å òúæäåñòâî. �

9

4. (à) Äîêàæåòå òúæäåñòâîòî

(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)(x+ 4) + 1 =(x2 + 5x+ 5

)2.

Äîêàçàòåëñòâî: Îçíà÷àâàìå ëÿâàòà ñòðàíà íà ðàâåíñòâîòî ñ u.Òîãàâà

u = (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)(x+ 4) + 1 =

= (x+ 1)(x+ 4)(x+ 2)(x+ 3) + 1 =

=(x2 + 4x+ x+ 4

) (x2 + 3x+ 2x+ 6

)+ 1 =

=(x2 + 5x+ 4

) (x2 + 5x+ 6

)+ 1 =

=(x2 + 5x

)2+ 6

(x2 + 5x

)+ 4

(x2 + 5x

)+ 24 + 1 =

=(x2 + 5x

)2+ 10

(x2 + 5x

)+ 25 (1)

Îçíà÷àâàìå ëÿâàòà ñòðàíà íà ðàâåíñòâîòî ñ v. Òîãàâà

v =(x2 + 5x+ 5

)2=(x2 + 5x

)2+ 2.

(x2 + 5x

).5 + 52 =

=(x2 + 5x

)2+ 10

(x2 + 5x

)+ 25 (2)

Îò (1) è (2) ñëåäâà, ÷å u = v. Ñëåäîâàòåëíî ðàâåíñòâîòî å òúæ-äåñòâî. �

(á) Êàòî èçïîëçâàòå ãîðíîòî òúæäåñòâî, äîêàæåòå, ÷å ÷èñëîòîM = 2010.2011.2012.2013+1 å òî÷åí êâàäðàò íà åñòåòñòâåíî ÷èñëî.

Äîêàçàòåëñòâî: Ïðåäñòàâÿìå M ïî ñëåäíèÿ íà÷èí

M = 2010.2011.2012.2013 + 1

M = (2009 + 1).(2009 + 2).(2009 + 3).(2009 + 4) + 1.

Ñúãëàñíî òúæäåñòâîòî îò (à) ïðè x = 2009 ñëåäâà, ÷å

M =(20092 + 5.2009 + 5

)2, ò.å. ÷èñëîòî M å òî÷åí êâàäðàò. �

Çàáåëåæêà 5.1 Äîêàçàíîòî òúæäåñòâî ìîæå äà ñå çàïèøå âúâ âè-äà

(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)(x+ 4) + 1 = [(x+ 1)(x+ 4) + 1]2.

Êàòî çàìåñòèì ïîñëåäîâàòåëíî x ñ 1, 2, 3, 4, 5, ïîëó÷àâàìå:

10

(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3)(1 + 4) + 1 = 2.3.4.5 + 1 = [(1 + 1).(1 + 4) + 1]2= (1.6 + 5)

2= 112;

(2 + 1)(2 + 2)(2 + 3)(2 + 4) + 1 = 3.4.5.6 + 1 = [(2 + 1).(2 + 4) + 1]2= (2.7 + 5)

2= 192;

(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3)(3 + 4) + 1 = 4.5.6.7 + 1 = [(3 + 1).(3 + 4) + 1]2= (3.8 + 5)

2= 292;

(4 + 1)(4 + 2)(4 + 3)(4 + 4) + 1 = 5.6.7.8 + 1 = [(4 + 1).(4 + 4) + 1]2= (4.9 + 5)

2= 412;

(5 + 1)(5 + 2)(5 + 3)(5 + 4) + 1 = 6.7.8.9 + 1 = [(5 + 1).(5 + 4) + 1]2= (5.10 + 5)

2= 552.

Ëåâèòå ñòðàíè íà òåçè ðàâåíñòâà ñà ïðîèçâåäåíèÿ íà ÷åòèðè ïîñ-ëåäîâàòåëíè öåëè ÷èñëà, ñúáðàíè ñ ÷èñëîòî 1, à äåñíèòå ñòðàíè ñàòî÷íè êâàäðàòè, îñíîâèòå íà êîèòî ñà ñúîòâåòíî ïðîèçâåäåíèÿòàíà íàé-ìàëêîòî è íàé-ãîëÿìîòî îò òåçè ÷èñëà, ñúáðàíè ñ ÷èñëîòî1.

Òúæäåñòâîòî

(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)(x+ 4) + 1 = [x(x+ 5) + 5]2.

ïîêàçâà, ÷å êîãàòî êúì ïðîèçâåäåíèå íà ÷åòèðè ïîñëåäîâàòåë-

íè öåëè ÷èñëà ñå ïðèáàâè åäèíèöà, ñå ïîëó÷àâà òî÷åí êâàä-

ðàò íà óâåëè÷åíîòî ñ åäèíèöà ïðîèçâåäåíèå íà íàé-ìàëêîòî

è íàé-ãîëÿìîòî îò òåçè ÷èñëà.

5. Äîêàæåòå, ÷å:

(à) àêî x+ a = 1, òî 4a2 −(x2 − a2 − 1

)2= 0;

(á) àêî x+1

x= 3, òî x2 +

1

x2= 7.

6. Äîêàæåòå, ÷å àêî ab > 0, òî (a+b−c)(a+b+c)−(a−b−c)(a−b+c) > 0.

Óïúòâàíå: Ïðåäñòàâåòå äàäåíèÿ èçðàç âúâ âèäà 4ab.

7. Äîêàæåòå, ÷å àêî 7a2 = 7b2 + 3c2, òî

(5a− 2b+ 3c)(5a− 2b− 3c) = (2a− 5b)2.

8. Äîêàæåòå, ÷å àêî 10b2 + c2 = 10a2, òî

(7a− 3b+ 2c)(7a− 3b− 2c) = (3a− 7b)2.

9. Äîêàæåòå, ÷å àêî a+ b = c+ d, òî

a2 + b2 + c2 + d2 = (a+ b)2+ (a− c)

2+ (b− c)

2.

10. Äîêàæåòå, ÷å àêî a+ b = 7 è ab = 12, òî a2 + b2 = 25.

11

11. Äîêàæåòå, ÷å:

(à) àêî (a− b)2+ (b− c)

2+ (c− a)

2= 0, òî a = b = c;

(á) àêî a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca = 0, òî a = b = c.

12. Äîêàæåòå, ÷å àêî a+ b+ c = 0 è a2 + b2 + c2 = 1, òî:

(à) ab+ bc+ ca = −1

2;

(á) 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 =1

2;

(â) a4 + b4 + c4 =1

2.

13. Äîêàæåòå, ÷å

(à) àêî x+ y + z = 0 è x2 + y2 + z2 = 4, òî x4 + y4 + z4 = 8;

(á) àêî x+ y + z = 0, íî x4 + y4 + z4 = 8, òî x2 + y2 + z2 = 4.

14. Äîêàæåòå, ÷å àêî a− b = 1, òî a2 + b2 = 2ab+ 1.

15. Äîêàæåòå, ÷å àêî 2a2 + 2b2 = 5ab, òî a = 2b èëè b = 2a.

16. Äîêàæåòå, ÷å àêî a+ b+ c = 1, òî a2 − b2 + ac− bc = a− b.

17. Äîêàæåòå, ÷å àêî a+ b = 2, òî

a(a2 + 2b+ 1

)+ b

(b2 + 2a+ 1

)+ ab(3a+ 3b− 4) = 10.

18. Äîêàæåòå, ÷å àêî a+ b− 2c = 0, òî a2 − 2ac = b2 − 2bc.

19. Àêî 4a2 + b2 − 4a− b+5

4= 0, êîå òâúðäåíèå íå å âÿðíî?

(à) (2a− 1)2+

(b− 1

2

)2

= 0;

(á) a = b =1

2;

(â) a = 2, b =1

2;

(ã) a− b = 0.

20. Íà ìÿñòîòî íà ? ïîñòàâåòå ïîäõîäÿùè åäíî÷ëåíè, òàêà ÷å äà ñå ïîëó÷èôîðìóëà çà ñúêðàòåíî óìíîæåíèå:

(?+ 3y)2

= 4x2 + ?xy + ?;(1

2− ?

)2

=1

4− ?+ b2;(

1

5?? − ??

)2

= ?x4 − ???. ? ?+ 25y2;

(2?? − 3y?)2

= 4x4n − 12x2ny3n + 9y6n.

12

Îòãîâîð:

(2x+ 3y)2

= 4x2 + 12xy + 9y2;(1

2− b

)2

=1

4− b+ b2;(

1

5x2 − 5y

)2

=1

25x4 − 2

5x2.5y + 25y2;(

2x2n − 3y3n)2

= 4x4n − 12x2ny3n + 9y6n.

21. Íà ìÿñòîòî íà ? ïîñòàâåòå ïîäõîäÿùè åäíî÷ëåíè, òàêà ÷å äà ñå ïîëó÷èôîðìóëà çà ñúêðàòåíî óìíîæåíèå:

(x− ?)(x+ ?) = x2 − 4y2;(2x2 − ?

) (2x2 + ?

)= ?− 1

9x6;(

3y2 − ?) (

3y2 + 5x?)

= ?− 25x8;

(x? − 3y) (x? + 3y) = ?6 − ?.

Îòãîâîð:

(x− 2y)(x+ 2y) = x2 − 4y2;(2x2 − 1

3x3

)(2x2 +

1

3x3

)= 4x4 − 1

9x6;(

3y2 − 5x4) (

3y2 + 5x4)

= 9y4 − 25x8;(x3 − 3y

) (x3 + 3y

)= x6 − 9y2.

22. Ïðè êàêâà ñòîéíîñò íà a èçðàçúò

A = (3x+ 8)2+ (6x− 1)

2+ (2x+ 4)

2+ ax

å êâàäðàò íà äâó÷ëåí?

Óïúòâàíå: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å 49x2 + (52 + a)x + 81.Ïîëó÷åíèÿò èçðàç å êâàäðàò íà äâó÷ëåíà 7x+ 9, àêî 52 + a = 2.7.9.

Îòãîâîð: a = 74.

23. Ïðè êàêâà ñòîéíîñò íà m ìîæå äà ñå ïðåäñòàâè êàòî êâàäðàò íà äâó÷-ëåí èçðàçúò:

(à) 25x2 + 30x+m;

(á) 64y2 −myz + 9z2;

(â) mx2 − 48x+ 64;

(ã) 121a2 +mab+ 49b2?

13

Îòãîâîð:

(à) m = 9;

(á) m = 48;

(â) m = 9;

(ã) m = 154.

24. Ïðè êàêâè ñòîéíîñòè íà n èçðàçúò:

(à) (18a− 14)2+ (6a− 5)

2+ (a+ 2)

2+ na;

(á) (4x− 7)2+ (3x− 8)

2+ (12x− 5)(12x+ 5) + n;

(â) (17v − 2)2 − (16v − 5)(16v + 5) + (4v − 9)

2+ n,

å êâàäðàò íà äâó÷ëåí?

Îòãîâîð:

(à) n = −10;(á) n = −72;(â) n = 40.

25. Íåêà a è b ñà öåëè ÷èñëà, çà êîèòî

a2 + b2 + 2ab− 3a− 2b+ 1 = 0.

Äîêàæåòå, ÷å a å êâàäðàò íà öÿëî ÷èñëî.

Óïúòâàíå: Ïðåäñòàâåòå ëÿâàòà ñòðàíà âúâ âèäà (a+ b− 1)2− a. Èìà

öåëè ÷èñëà, íàïðèìåð a = 9, b = −5, êîèòî óäîâëåòâîðÿâàò óñëîâèåòî.

26. Äîêàæåòå, ÷å àêî êúì ïðîèçâåäåíèåòî íà äâå ïîñëåäîâàòåëíè öåëè÷èñëà ñå ïðèáàâè ïî-ãîëÿìîòî îò òÿõ, ñå ïîëó÷àâà êâàäðàòúò íà ïî-ãîëÿìîòî ÷èñëî.

27. Ïðåñìåòíåòå:

(à)(−5xn − 2y3

) (−5xn + 2y3

);

(á)

(−4

5x7 − 2

3ymz2

)(−4

5x7 +

2

3ymz2

);

(â)

(3

2xn − 7

8aym

)(3

2xn +

7

8aym

).

Îòãîâîð:

(à) 25x2n − 4y6;

(á)16

25x14 − 4

9y2mz4;

(â)9

4x2n − 49

64a2y2m.

14

28. Èçâúðøåòå óìíîæåíèåòî

(à) (a+ b+ c)(a+ b− c);

(á) (a+ b− c)(a− b− c);

(â) (−a+ b+ c)(a+ b+ c);

(ã) (a− b− c)(−a− b− c).

Îòãîâîð:

(à) a2 + 2ab+ b2 − c2;

(á) a2 − 2ac+ c2 − b2;

(â) b2 + 2bc+ c2 − a2;

(ã) b2 + 2bc+ c2 − a2.

29. Ïðåäñòàâåòå ñ íîðìàëåí ìíîãî÷ëåí:

(à) (a− 1)(a+ 1)(a2 + 1

) (a4 + 1

) (a8 + 1

);

(á)(x2 − x+ 1

) (x2 + x+ 1

) (x4 − x2 + 1

).

Îòãîâîð:

(à) a16 − 1;

(á) x8 + x4 + 1.

30. Äîêàæåòå, ÷å ñòîéíîñòòà íà èçðàçà

(x− 1)(x+ 1)(x2 + 1

) (x4 + 1

)+(2− x8

)íå çàâèñè îò x.

Äîêàçàòåëñòâî: Ïîñëåäîâàòåëíî ïðåîáðàçóâàìå èçðàçà äî

(x− 1)(x+ 1)(x2 + 1

) (x4 + 1

)+(2− x8

)=

(x2 − 1

) (x2 + 1

) (x4 + 1

)+(2− x8

)=

=(x4 − 1

) (x4 + 1

)+(2− x8

)=

= x8 − 1 +(2− x8

)=

= x8 − 1 + 2− x8 = 1.

Ñëåäîâàòåëíî ñòîéíîñòòà íà èçðàçà íå çàâèñè îò x. �

31. Äîêàæåòå, ÷å ñòîéíîñòòà íà èçðàçà

(x2 − 2

)2 − (x− 2)(x2 + 4

)(x+ 2) + 4(x− 2)(x+ 2)

íå çàâèñè îò x.

Îòãîâîð: Ñòîéíîñòòà íà èçðàçà å 4. Ñëåäîâàòåëíî íå çàâèñè îò x.

15

32. Ïðåîáðàçóâàéòå èçðàçà â íîðìàëåí ìíîãî÷ëåí:

(à) 5[ab− (a+ b)

2]+ 5a2;

(á) 7[(x− y)

2 − y2]−(4x2): 2.

Îòãîâîð:

(à) −5ab− 5b2;

(á) 5x2 − 14xy.

33. Äàäåíè ñà ìíîãî÷ëåíèòå M = x2 + 2 è N = x2 − 2. Ïðèâåäåòå â íîð-ìàëåí âèä ìíîãî÷ëåíèòå:

(à) M.N ;

(á) M2 +N2;

(â) M2 −N2.

Îòãîâîð:

(à) x2 − 4;

(á) 2x4 + 8;

(â) 8x2.

34. Îïðîñòåòå èçðàçà M = (a− |b|)2 − (b− |a|)2, àêî:

(à) a ≥ 0 è b ≥ 0;

(á) a ≥ 0 è b < 0;

(â) a < 0 è b ≥ 0;

(ã) a < 0 è b < 0.

Îòãîâîð:

(à) 0;

(á) 4ab;

(â) −4ab;(ã) 0.

35. Íàìåðåòå íåèçâåñòíèÿ åäíî÷ëåí A:

(à) (a+ b)(a− b) +A+ 2ab = (a+ b)2;

(á) (b+ a)(a− b)− 2ab−A = (b− a)2.

Îòãîâîð:

(à) A = 2b2;

(á) A = −2b2.

36. Íàìåðåòå ìíîãî÷ëåíàM , çà êîéòî (a+b−c)(a−b+c)+M = 1−(b− c)2.

Îòãîâîð: M = 1− a2.

16

37. Íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà:

(à)

(3

2x+

1

3

)2

− x

(9

4x− 2

)− 1

9, àêî x =

(−1

3

)4

.

(3

2

)3

.(−2)4;

(á) (x− 1)2+

x− 2

3, àêî x =

23.32

62.

Îòãîâîð:

(à) 2;

(á) 1.

38. Íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà a2 + b2, àêî a+ b = 5 è ab = 9.

Óïúòâàíå: Èçïîëçâàéòå, ÷å a2 + b2 = (a+ b)2 − 2ab.

39. Äàäåí å ìíîãî÷ëåíúò A = 5x− x(x+ 1)(x− 1) + x2(x+ 1).

(à) Ïðåäñòàâåòå A â íîðìàëåí âèä.

(á) Ïðåñìåòíåòå ñòîéíîñòòà íà A, àêî x å ðàâíî íà îíàçè ñòîéíîñò íà

n, ïðè êîÿòî èçïúëíåíî ðàâåíñòâîòî[(52)3.(5n)

4]5

= 525n.

Îòãîâîð:

(à) A = x2 + 6x;

(á) n = 6;A = 72.

40. Íàìåðåòå íåèçâåñòíîòî ÷èñëî x â ðàâåíñòâîòî

(x− a)(x+ 1)− x(x− 2) = 5,

àêî a =−1513.(−2)5.(−3)6

10.24.(−5)12.319.

Îòãîâîð: a = 1;x = 3.

41. Íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà

(x+ 7)2+ (x− 7)

2 − 2x(x+ 7)(x− 7)

ïðè x =1

4;

Îòãîâîð: 12219

32.

42. Ïðåñìåòíåòå ñòîéíîñòòà íà ìíîãî÷ëåíà x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1 çàx = 22008 + 1.

Ðåøåíèå: Ïîñëåäîâàòåëíî ïðåîáðàçóâàìå èçðàçà äî

x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1 = x4 − 4x3 + 4x2 + 2x2 − 4x+ 1 =

= x4 + 4x2 + 1− 4x3 + 2x2 − 4x =

=(x2)2

+ (2x)2+ 12 − 2.x2.2x+ 2.x2.1− 2.2x.1

17

x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1 =(x2 − 2x+ 1

)2=[(x− 1)

2]2

= (x− 1)4.

Çà x = 22008 + 1, èìàìå

(x− 1)4

=(22008 + 1− 1

)4=(22008

)4= 28032.

�

43. Îïðîñòåòå èçðàçà

M =(1− x

2

)(1 +

x

2

)− 6x+

(x2− 4) x

2− 4.

Ïðåñìåòíåòå ñòîéíîñòòà ìó ïðè x = −1

4è ÿ ñðàâíåòå ñ ÷èñëîòî

b = |−1− (−3)| :[3 :

(−1

2

)].

Îòãîâîð: M = −8x− 3;M = −1; b = −1

3; b > M .

44. Îïðîñòåòå èçðàçà

A = −3

2a2 − 1

2

[2(a2 + 1

)(1− a)− (a− 2)

2]

è ïðåñìåòíåòå ñòîéíîñòòà ìó ïðè a =

(31

2: 3, 5− 2

).20090.

Îòãîâîð: A = a3 − 2a2 − a+ 1; a = −1;A = −1.

45. Íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà

A = x2 + xy(4x− 3y) +(y2 − 2

) (y2 + 2

)− x2(4y + 1),

àêî ñòîéíîñòòà íà x å ðàâíà íà ñòåïåíòà íà ìíîãî÷ëåíà xy2−2xy+3x,

à y = (−3)3.(1

6

)3

.8.

Îòãîâîð: A = y4 − 3xy2 − 4;x = 3; y = −1;A = −12.

46. Äàäåíè ñà èçðàçèòå

A =(2x− 1)

2

−4−(3

2− x

)(3

2+ x

), C =

− 154

(−1

5

)4

(−3)5è

B = −(5x3 − 5x2 − 30x

): (10x)−

(0, 5− x

2

)x.

18

(à) Íàìåðåòå ñòîéíîñòòà íà A ïðè x = −C.(á) Îïðîñòåòå B è äîêàæåòå, ÷å èçðàçúò A + (B − x) íå çàâèñè îò

ñòîéíîñòòà íà ïðîìåíëèâàòà x.

Îòãîâîð:

(à) A = x− 5

2; C =

1

3; A =

13

6.

(á) B = 3; A+ (B − x) =1

2.

47. Äîêàæåòå òúæäåñòâàòà:

(à) x2 + y2 = (x+ y)2 − 2xy = (x− y)

2+ 2xy;

(á) x4 + y4 =(x2 + y2

)2 − 2(xy)2= (x+ y)

4 − 4xy(x+ y)2+ 2(xy)

2,

è êàòî ãè èçïîëçâàòå, íàìåðåòå ÷èñëåíàòà ñòîéíîñò íà èçðàçà:

(à) x2 + y2, àêî x = 22, y = 8;

(á) x4 + y4, àêî x+ y = 2, xy = 14 ;

(â) xy, àêî x+ y = 4, 6, x2 + y2 = 25, 16.

Îòãîâîð:

(à) x2 + y2 = 548;

(á) x4 + y4 = 121

8;

(â) xy = −2.

48. Ïðèâåäåòå ìíîãî÷ëåíà, ðàâåí íà èçðàçà

M = (m− x− 2)2 −m

(m+ x2 − 3

),

â íîðìàëåí âèä. Íàïèøåòå M , àêî:

(à) ñâîáîäíèÿò ìó ÷ëåí å |−7|;

(á) êîåôèöèåíòúò íà ÷ëåíà îò ïúðâà ñòåïåí å −11 + 3 :1

3.

Îòãîâîð: Íîðìàëíèÿò âèä íà ìíîãî÷ëåíà å

M = (1−m)x2 + 2(2−m)x+ 4−m.

(à) m = −3;M = 4x2 + 10x+ 7;

(á) m = 3;M = −2x2 − 2x+ 1.

49. Çà êîÿ ñòîéíîñò íà ïàðàìåòúðà a íÿìà ïúðâà ñòåïåí íà ïðîìåíëèâàòàx â èçðàçà 5(ax+ 2)(ax− 2) + 3(2ax+ 1)− 5x− (ax− 2)

2?

Îòãîâîð: a =1

2.

19

50. Äàäåí å ìíîãî÷ëåíúò M = (2− x−m)2+(−4mx−3)(4mx−3), êúäåòî

m å ïàðàìåòúð, à x å ïðîìåíëèâà.

(à) Ïðåäñòàâåòå ìíîãî÷ëåíà M â íîðìàëåí âèä.

(á) Íàìåðåòå çà êîÿ ñòîéíîñò íà ïàðàìåòúðà m êîåôèöèåíòúò ïðåäx å ðàâåí íà -4.

Îòãîâîð:

(à) M =(1− 16m2

)x2 + (2m− 4)x+m2 − 4m+ 13.

(á) Êîåôèöèåíòúò ïðåä x å ðàâåí íà 2m− 4. Òîãàâà m = 0.

51. Äàäåí å ìíîãî÷ëåíúò

M =(x4 − ax3 − 3a

) (x4 − ax3 + 3a

)− (3a+ 1)(3a− 1),

êúäåòî a å ïàðàìåòúð.

(à) Ïðåäñòàâåòå ìíîãî÷ëåíà M â íîðìàëåí âèä.

(á) Îïðåäåëåòå ñòåïåíòà íà ìíîãî÷ëåíà.

(â) Îïðåäåëåòå ïðè êîÿ ñòîéíîñò íà a êîåôèöèåíòúò ïðåä ñåäìàòàñòåïåí å ðàâåí íà -8.

Îòãîâîð:

(à) M = x8 − 2ax7 + a2x6 − 18a2 + 1;

(á) 8;

(â) Ñòîéíîñòòà íà ïàðàìåòúðà a, çà êîÿòî êîåôèöèåíòúò ïðåä ñåäìà-òà ñòåïåí å ðàâåí íà -8, å −2a = −8, a = 4.

52. Äàäåí å èçðàçúò A = k − (x+ 1)2. Äà ñå íàìåðè k, àêî íàé-ãîëÿìàòà

ñòîéíîñò íà A å ðàâíà íà 4.

Îòãîâîð: k = 4.

53. Çà êîÿ ñòîéíîñò íà x èçðàçúò

(x+ 2− 1

4

)(x+ 2 +

1

4

)ïðèåìà íàé-

ìàëêà ñòîéíîñò?

Îòãîâîð: x = −2.

54. Äîêàæåòå, ÷å âñåêè îò èçðàçèòå ïðèåìà íåîòðèöàòåëíà ñòîéíîñò çàïðîèçâîëíè ñòîéíîñòè íà ó÷àñòâàùèòå â íåãî ïðîìåíëèâè:

(à) x2 + a2 + 2a+ 1;


x2 + a2 + 2a+ 1 = x2 +(a2 + 2a+ 1

)= x2 + (a+ 1)

2 ≥ 0;

�

20

(á) b2 + 2b+ 1 + 25;

(â) 9x2 − 6x+ 1 + 4x2;

(ã) c2 − 6c+ 10.


c2 − 6c+ 10 = c2 − 2.3.c+ 10 = c2 − 2.3.c+ 32 − 32 + 10 =

= c2 − 2.3.c+ 32 − 9 + 10 =(c2 − 2.3.c+ 32

)︸︷︷︸îòäåëÿìå òî÷åí êâàäðàò

+1 =

= (c− 3)2+ 1 > 0 çà âñÿêî c.

�

55. Äîêàæåòå, ÷å ìíîãî÷ëåíúò A = x2−10x+27 ïðèåìà ñàìî ïîëîæèòåëíèñòîéíîñòè çà âñÿêà ñòîéíîñò íà ïðîìåíëèâàòà x.


A = x2 − 10x+ 27 = x2 − 2.5.x+ 27 =

= x2 − 2.5.x+ 52 − 52 + 27 = x2 − 2.5.x+ 52 − 25 + 27 =

=(x2 − 2.5.x+ 52

)︸︷︷︸îòäåëÿìå òî÷åí êâàäðàò

+2 = (x− 5)2+ 2 > 0 çà âñÿêî x.

�

56. Äîêàæåòå, ÷å ñáîðúò îò êâàäðàòèòå íà âñåêè ïåò ïîñëåäîâàòåëíè öåëè÷èñëà ñå äåëè íà 5.

Ðåøåíèå: Îçíà÷àâàìå ïåòòå ïîñëåäîâàòåëíè öåëè ÷èñëà ñ

x− 2;x− 1;x;x+ 1;x+ 2.

Îçíà÷àâàìå ñáîðúò îò êâàäðàòèòå íà ÷èñëàòà ñ A. Òîãàâà

A = (x− 2)2+ (x− 1)

2+ x2 + (x+ 1)

2+ (x+ 2)

2=

= x2 − 4x+ 4 + x2 − 2x+ 1 + x2 + x2 + 2x+ 1 + x2 + 4x+ 4 =

= 5x2 + 10 = 5(x2 + 2

).

Îò ïîñëåäíîòî ðàâåíñòâî ñëåäâà, ÷å ñáîðúò å êðàòåí íà 5. �

57. Äîêàæåòå, ÷å ïðè âñÿêà öÿëà ñòîéíîñò íà n èçðàçúò:

(à) (n+ 1)(n− 1)− (n− 7)(n− 9) ñå äåëè íà 16;

(á) 6(n+ 1)(n− 1)− 2n(n− 3) + 3

(2− 2

3n

)ñå äåëè íà 4 è 8.

Óïúòâàíå:

(à) Ïðåäñòàâåòå äàäåíèÿ èçðàç âúâ âèäà 16(n− 4).

(á) Ïðåäñòàâåòå äàäåíèÿ èçðàç âúâ âèäà 4n(n+ 1).

21

Ëèòåðàòóðà

[1] Çàïðÿíîâ Ç., Ñ. Äèìèòðîâà, Ñ. Êîêèíîâà, Í. Ñúáåâà, È. Ãåîðãèåâ; Ìà-òåìàòèêà, Ó÷åáíî ïîìàãàëî çà çàäúëæèòåëíîèçáèðàåìà ïîäãîòîâêà, 7.êëàñ., Ïúðâà ÷àñò, Èçäàòåëñòâî ½Ïðîñâåòà - Ñîôèÿ� ÀÄ, Ñîôèÿ, 2008

[2] Ëîçàíîâ ×., Ê. Óçóíîâà, È. Öâåòêîâà, Ä. Ìèëàíîâà, È. Øàðêîâà; Ìà-òåìàòèêà çàäà÷è è òåñòîâå, 7. êëàñ., Èçäàòåëñêà êúùà ½Àíóáèñ�, Ñîôèÿ,2008

[3] Íèíêîâà Ï., Ì. Ëèëêîâà, Ò. Ñòîåâà; Ìàòåìàòèêà çà 7. êëàñ., Ïîìàãàëîçà ÇÈÏ, Èçäàòåëñêà êúùà ½Àíóáèñ� ÎÎÄ, Ñîôèÿ, 2010

[4] Ïàñêàëåâà Ç., Ã. Ïàñêàëåâ, Ì. Àëàøêà; Ìàòåìàòèêà 7. êëàñ, Èçäàòåë-ñòâî ½ÀÐÕÈÌÅÄ 2000� ÅÎÎÄ, Ñîôèÿ, 2008

[5] Ïàñêàëåâà Ç., Ì. Àëàøêà; Ìàòåìàòèêà, Êíèãà çà ó÷åíèêà 7. êëàñ., Èç-äàòåëñòâî ½ÀÐÕÈÌÅÄ 2000� ÅÎÎÄ, Ñîôèÿ, 2010

[6] Ðàíãåëîâà Ï., Ê. Áåêðèåâ, Ë. Äèëêèíà, Í. Èâàíîâà; Ìàòåìàòèêà, Ñáîð-íèê çà 7. êëàñ., Èçäàòåëñòâî ½Êîàëà ïðåñ� , Ïëîâäèâ, 2009

22

1 Формулата (a + b) - WordPress.com

Documents

Transcript of 1 Формулата (a + b) - WordPress.com