; d P d a a P ⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂ M P MA MB ∀ ∈ ⇔ = - Hoc360.net

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

TRẮC NGHIỆM: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

PHẦN 1. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ:

1. TÓM TẮT SGK:

1.1 Định nghĩa:

;d P d a a P

* Nhận xét:

d Pd a

a P

d

a

(P)

1.2. Điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

d vuông góc với P nếu d vuông góc với 2 đường

thẳng cắt nhau cùng nằm trong P

, ;

d a

d b d P

a b P a b M

d

a

(P)

b

1.3. Các tính chất:

* Định nghĩa: Mặt phẳng đi qua trung điểm O

của đoạn AB và vuông góc với AB là mặt

phẳng trung trực của đoạn AB .

* Nhận xét: P là mặt phẳng trung trực của đoạn

thẳng AB : M P MA MB

M

A BI

(P)



/ /a b

b Pa P

/ /;

a ba b

a P b P

(P)

a b

/ /P Qa Q

a P

/ /

;

P QQ P

P a Q a

(P)

a

(Q)

/ /a Pb a

b P

/ /

;

a Pa P

a b b P

(P)

ba

1.4. Phép chiếu vuông góc, định lý ba đường vuông góc

Phép chiếu song song lên mặt phẳng ( ) theo

phương l vuông góc với mặt phẳng ( ) gọi là phép

chiếu vuông góc lên mặt phẳng ( ) .

* H là hình chiếu vuông góc (gọi tắt là hình chiếu)

của A lên mp P nếu H P và AH P

(P)

lA

H



Định lý ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a P , b P và 'a là

hình chiếu của a trên P . Khi đó

'b a b a

1.5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

0( ; ) 90d P d P

; ' 'd P d P d d AIH với 'd

là hình chiếu của d lên P

Chú ý: 0 00 ; 90d P

2. KIẾN THỨC BỔ SUNG:

2.1. Một số mô hình thường gặp.

1. Hình chóp .S ABC có SA vuông góc với đáy

SA BC

SAB , SAC vuông tại A

A là hình chiếu vuông góc của S lên

ABC .

2. Hình chóp tam giác đều .S ABC . (hoặc tứ diện đều )

(P)

a

a'b

(P)

d'

d

A

H I



Đáy ABC là tam giác đều

Mặt bên là các tam giác cân tại S. (hoặc là tam giác đều nếu hình chóp là tứ diện đều)

O là trọng tâm ABC

SO ABC

3. hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là: hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi.

A là hình chiếu của S lên ABCD

Các tam giác SAB, SAC, SAD vuông tại A

Đặc biệt: Nếu ABCD là hình vuông hoặc hình thoi thì AC vuông góc BD.

4. hình chóp tứ giác đều

Đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân tại S.

Các tam giác SAC, SBD cân tại S.

O là hình chiếu của S lên ABCD

5. Hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang có góc A vuông và SA vuông góc với đáy.



A là hình chiếu của S lên ABCD

Các tam giác SAB, SAC, SAD vuông tại A.

Đặc biệt nếu AB = 2BD:

+ Gọi I là trung điểm AD thì CI AD .

+ Trong trường hợp thêm AB = BC thì AC CD

2.2. Các hệ thức lượng trong tam giác:

Tam giác ABC vuông tại A

1 1

. .2 2

ABCS a h b c

2 2 2a b c ( định lý Pitago)

2 '.b b a

2 '.c c a

2 '. 'h b c

. .a h b c

2 2 2

1 1 1

h b c

2

2

'

'

b b

c c

1

2AM BC

sin cosAC

B CBC

cos sinAB

B CBC

tan cotAC

B CAB

cot cotAB

B CAC

Tam giác thường



Định lí côsin:

a b c bc A

b c a ca B

c a b ab C

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 .cos

2 .cos

2 .cos

Tính cosin 1 góc:

b c aA

bcc a b

Bca

a b cC

ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cos2

cos2

cos2

Độ dài trung tuyến:

a

b

c

b c am

a c bm

a b cm

2 2 22

2 2 22

2 2 22

2( )

42( )

42( )

4

Định lí sin :

a b cR

A B C 2

sin sin sin

Diện tích tam giác

1 1 1

2 2 2a b c

S ah bh ch

1 1 1sin sin sin

2 2 2S bc A ca B ab C

4

abcS

R

S pr ; a b c

p

2

( )( )( )S p p a p b p c

2

3AG AM

Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng a



2 3

4

aS

3

2

aAH

2.3. Các chú ý khác

Độ dài đường chéo hình vuông cạnh bằng a là 2a

Độ dài đường chéo hình chữ nhật có độ dài 2 cạnh là a và b là 2 2a b

Trong hình vuông và hình thoi, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc nhau.

Trục của đa giác: là đường thẳng qua tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đó.

Nếu một điểm nằm trên trục của đa giác thì nó cách đều các đỉnh của đa giác.

Chứng minh:

Cho đa giác có n đỉnh 1 2.... nA A A . Gọi O là tâm đường tròn ngoai tiếp đa giác và d là trục

của đa giác.

Lấy điểm I d . Khi đó các tam giác 1 2 .... nIOA IOA IOA (Tam giác vuông có 2 cạnh

bằng nhau) 1 2 .... nIA IA IA

PHẦN 2. CÁC DẠNG TOÁN:

DẠNG 1. CÁC BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT:

1.1. Phương pháp

+ Sử dụng lý thuyết phần A

+ Vẽ hình để tìm ra mối liên hệ giữa các đại lượng trong đề.

1.2. Ví dụ.

Ví dụ 1: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng.

A. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng

cho trước.

B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường

thẳng cho trước.



C. Có vô số một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt

phẳng cho trước.

D. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường

thẳng cho trước.

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 2: Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào sai?

A. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc một mặt phẳng thì nó

vuông góc với mặt phẳng đó.

B. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P và đường thẳng b vuông góc với

mặt phẳng P thì a vuông góc với b .

C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P và đường thẳng b vuông góc với a

thì b vuông góc với mặt phẳng P .

D. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng P

thì a song song hoặc thuộc mặt phẳng P .

Lời giải

Chọn C

Nhìn hình vẽ dễ thấy / /b a P nhưng b không vuông góc với P

Ví dụ 3: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song

với nhau.

C. Mặt phẳng P và đường thẳng a không thuộc mặt phẳng P cùng vuông góc với

đường thẳng b thì song song với nhau.

D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông vuông góc với một đường thẳng thì song song với

nhau.

Lời giải

Chọn B

b

a

A

B C



Ví dụ 4: Chọn khẳng định đúng. Mặt phẳng (P) là trung trực của đoạn AB khi và chỉ khi:

A. Song song với AB . B. Vuông góc với AB .

C. Đi qua trung điểm của AB . D. Cả B và C đều đúng.

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB là mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với

.AB .

1.3. Bài tập áp dụng:

Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu đường thẳng ( )d thì d vuông góc với hai đường thẳng trong ( ) .

B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) thì ( )d .

C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ) thì d

vuông góc với một đường thẳng bất kì nằm trong ( ) .

D. Nếu ( )d và đường thẳng )//(a thì d a .

Lời giải

Chọn B

Câu 2: Cho mệnh đề sau: (1) Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến và các vectơ này cùng phương với nhau.

(2) Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.

(3) Một đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng () thì d vuông góc với mọi đường thẳng

nằm trong mặt phẳng ().

(4) Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng () thì d vuông

góc với mặt phẳng ().

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải

Chọn B

Câu 3: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu a P và b P thì b a .

B. Nếu a P và b a thì b P .

C. Nếu a P và a b thì b P .

D. Nếu a P và b P thì b a .

Lời giải



Chọn A

Câu 4: Cho hai đường thẳng phân biệt ,a b và mặt phẳng P , trong đó a P .Chọn mệnh đề

sai trong các mệnh đề sau:

A. Nếu b a thì b P .

B. Nếu b P thì b a .

C. Nếu b P thì a b .

D. Nếu a b thì b P .

Lời giải

Chọn D

Câu 5: Trong không gian cho 3 điểm , ,M A B phân biệt thỏa mãn MA MB . Chọn khẳng định

đúng: A. M không nằm trên đường trung trực nào của đoạn thẳng AB .

B. M là trung điểm của AB .

C. Khi đó , A B trùng nhau.

D. M nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn .AB

Lời giải

Chọn D

Trong không gian, nếu điểm M cách đều hai điểm ,A B thì M nằm trên mặt phẳng

trung trực của đoạn .AB

DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG.

2.1. Phương pháp giải

Cách 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng , ta chứng minh d vuông góc với

hai đường thẳng cắt nhau nằm trong .

Cách 2: Sử dụng tính chất 1a)

/ /a b

ab

.

2.2. Ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ABC . Mệnh đề nào sau

đây đúng?



A. AC SAB . B. BC SAB . C. AB SBC . D. AC SBC

Lời giải

Chọn B

BC AB

BC SADBC SA

.

Ví dụ 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ABCD . Mệnh đề nào sau đây

sai?

A. BC SAB . B. CD SAD . C. AC SBD . D. BD SAC .

Lời giải

Chọn C

A

B

C

S



Ví dụ 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SO ABCD . Gọi I , J lần lượt là

trung điểm AB , BC . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. IJ SAB . B. CD SAD . C. IJ SBD . D. BD SAC .

Lời giải

Chọn C

/ /IJ AC

Mà AC BD

AC SBDAC SO

IJ SBD .

Ví dụ 4: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , 2AB a AD a và

SA ABCD . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. BC SB . B. CD SD . C. BD SC . D. SA AB .

O

C

A B

D

S

J

IO

C

A D

B

S



Lời giải

Chọn C


Câu 1: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD . Hỏi đường thẳng SC vuông góc với

mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

A. AHK . B. AHD . C. AKB . D. SBD .

Lời giải

Chọn A

AK SCD AK SC (1)

AH SBC AH SC (2)

Từ (1) và (2) SC AHK .

Câu 2: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng

đáy. Hỏi trong các mặt bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt là tam giác vuông?

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .

O

C

A B

D

S

O

H

K

C

AD

B

S



Lời giải

Chọn D

Ta có , ,SBC SAB SAC là tam giác vuông.

Câu 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ABCD . Gọi . ,I J K lần lượt là

trung điểm của ,AB BC và SB . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. / /IJK SAC . B. BD IJK . C. , 60SD BC . D. BD SAC .

Lời giải

Chọn C

Câu 4: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , cạnh bên SA vuông góc với

đáy. ,H K lần lượt là hình chiếu của A lên , DSC S . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ( D)AK SC . B. BD SAC . C. DAH SC . D. BC SAC .

Lời giải

Chọn A

B

A

C

S

K

J

I

C

BA

D

S



Ta có:

CD ADCD SAD CD AK

CD SA

Mặt khác AK SD (theo giả thiết)

Suy ra ( D)AK SC .

Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AD CD a ,

2AB a , SA ABCD . Gọi E là trung điểm của AB . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh

đề sau.

A. CE SAB . B. CB SAB .

C. SDC vuông tại C . D. CE SDC .

Lời giải

Chọn A

/ /CE ADCE SAB

AD SAB

.

I

C

A B

D

S

KH

C

EA B

D

S



DẠNG 3: ÁP DỤNG ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐỂ CHỨNG MINH 2 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.

3.1. Phương pháp giải:

Cách 1: Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b , ta tìm mặt phẳng chứa

đường thẳng b sao cho việc chứng minh a dễ thực hiện.

Cách 2: Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

3.2. Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABC có SA ABC và ABC vuông ở B . Gọi AH là đường cao của SAB

. Khẳng định nào sau đây sai?

A. AH SB . B. AH BC . C. AH AC . D. AH SC .

Lời giải

Chọn C

Ta chứng minh được AH SBC .

Ví dụ 2: Cho hình chóp .S ABC có và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC . Hãy Chọn

khẳng định đúng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

A C

B

S

H

ABCSA

ACBC AHBC SCBC ABBC



Do ;SH BC SA BC nên .BC SAH Tức là .BC AH

Ví dụ 3: Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình thoi tâm O và SA SC , SB SD . Trong các mệnh

đề sau, mệnh đề nào sai?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Dễ thấy do SA SC nên ΔSAC cân S và .SO AC Tương tự .SO BD

Do đó AC SO nên AC không vuông góc với .SA .

Ví dụ 4: Cho biết khẳng định nào sau đây là sai?

Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành, hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại O và

SA SB SC SD . Khi đó,

A. AC vuông góc với BD .

B. SO vuông góc với AC .

S

A

B

C

H

AC SA SD AC SA BD AC BD

B

A D

C

S



C. SO vuông góc với BD .

D. SO vuông góc với .ABCD

Lời giải

Chọn A

Vì hai đường chéo của hình bình hành không vuông góc với nhau


Câu 1. Cho hình chóp .S ABC có cạnh SA ABC và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K

lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai?

A. CH SA . B. CH SB . C. CH AK . D. AK SB .

Lời giải

Chọn D

Do ABC cân tại C nên CH AB . Suy ra CH SAB . Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai.

Câu 2. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O

trên mặt phẳng ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

O

S

D C

BA



A. H là trọng tâm tam giác ABC . B. H là trung điểm của BC .

C. H là trực tâm của tam giác ABC . D. H là trung điểm của AC .

Lời giải

Chọn C

Ta có

OA OB

OA OBC OA BCOA OC

.

Mà OH OBC OH BC .

Vậy ta có:

BC OA

BC OAH BC AHBC OH

.

Chứng minh tương tự ta có AB CH .

Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC .

Câu 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết , SA SC SB SD . Khẳng

định nào sau đây là sai?

A. SO ABCD . B. SO AC .

C. SO BD . D. Cả A, B, C đều sai.

Lời giải

Chọn D

OC

B

A

H



Ta có: SA SC SAC là tam giác cân

Mặt khác: O là trung điểm của AC (tính chất hình thoi)

Khi đó ta có: AC SO (1)

tương tự ta có BD SO (2)

(1), (2) ( )SO ABCD

Câu 4. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm I , cạnh bên SA vuông góc với đáy.

Gọi , H K lần lượt là hình chiếu của A lên , SC SD . Khẳng định nào sau đây sai?

A. AK CD . B. BC SB . C. AH BD . D. AH BC .

Lời giải

Chọn D

Câu 5. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi

, E F lần lượt là hình chiếu của A lên , SB SD . Khẳng định nào sau đây sai?

A. SC EF . B. SC AE . C. SC AF . D. SC BC .

Lời giải

Chọn D

O

S

A

B C

D



Ta có SA ABCD SA BC . Lại có BC AB nên BC SAB BC AE .

, , 1AE SB AE BC AE SBC AE SC .

Chứng minh tương tự ta có , 2SC AF

Vậy từ 1 và 2 ta có SC AEF .

DẠNG 4. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

4.1. Phương pháp giải

Muốn tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng d :

Ta tìm hai đường thẳng ,a b cùng vuông góc với d . Áp dụng tính chất

/ /

d a

d a

a

ta suy ra

được mặt phẳng là mặt phẳng qua M và song song với a và b (hoặc chứa một trong hai đường thẳng

,a b và song song với đường thẳng còn lại).

4.2. Ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA ABC . Mặt phẳng

( )P đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt , ,AC SC SB lần lượt tại , ,N P Q .

Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang vuông. B. Hình thang cân.

C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.

Lời giải

Chọn A

B

D

A

C

S

F

E



Ta có: AB BC

BC SBSA BC

Vậy

/ /BC SB

P BCP SB

(1)

Mà P ABC MN (2)

Từ (1) và (2) / /MN BC

Tương tự ta chứng minh được / / , MN/ / BC, BC (SAB)PQ BC

Mà SA BC PN NM

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại ,M Q .

Ví dụ 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA ABCD . Cắt hình chóp bởi

một mặt phẳng qua A vuông góc với SC ta được thiết diện là:

A. Một hình chữ nhật.

B. Một hình vuông.

C. Một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau.

D. Một hình thoi.

Lời giải

Chọn C

Q

P

N

M

A C

B

S



Gọi K là hình chiếu của A trên SC . Trong SAC gọi I SO AK

Ta có BD SA

BD SACBD AC

BD SC mặt khác SC nên / /BD

Ta có

/ /

I SBD

BD SBD

BD

/ / , ,SBD HL BD H SD L SB

Thiết diện là tứ giác AHKL .

Ta có / /HL BD

HL AKBD AK

.

Ví dụ 3: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và 2SA SB SC b a b .

Gọi G là trọng tâm ABC . Xét mặt phẳng ( )P đi qua B vuông góc với SC tại điểm I nằm giữa

S và C . Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( )P là?

L

I

O

C

A B

D

S

K

H



A. 2 2 23

2

a b aS

b

. B.

2 2 23

4

a b aS

b

. C.

2 2 23

2

a b aS

b

. D.

2 2 23

4

a b aS

b

.

Lời giải

Chọn B

Kẻ AI SC AIB SC . Thiết diện là tam giác AIB

Ta có 2 2 2

2 2 2sin 1 1 42 2

a b b aAI AC ACS a cos ACS a b a

ab b

Gọi J là trung điểm của AB . AIB cân tại I suy ra IJ AB

2 2 22 2 2 2 1 3

3 .I2 2 4

a a b aIJ AI AJ b a S AB J

b b

.

Ví dụ 4: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A , đáy lớn 8, 6AD BC ,

SA ABCD , 6SA . Gọi M là trung điểm của AB . ( )P là mặt phẳng qua M và vuông

góc với AB . Thiết diện của ( )P và hình chóp có diện tích bằng?

A. 10 . B. 20 . C. 15. D. 16 .

Lời giải

Chọn C

J

I

G

A C

B

S



/ /P AB P SA

Gọi , ,I J K lần lượt là trung điểm , ,SB CD SC

Thiết diện là hình thang MNKI vuông tại M

3 7. .3 15

2 2MNKI

IK MNS MI

.


Câu 1: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam

giác ABC , SO vuông góc với đáy. Gọi I là điểm tùy ý trên đoạn thẳng OH (không trùng với O và H ),

mặt phẳng ( )P qua I và vuông góc với OH . Thiết diện của ( )P và hình chóp là hình gì?


C. Hình bình hành. D. Tam giác vuông.

Lời giải

Chọn B

KI

NM

A

B

D

C

S



/ /P OH P SO P SAH IK

/ /P BC P ABC MN

/ /P BC P ABC PQ

Thiết diện là tứ giác MNPQ

Ta có / / BC

PQ/ / BC

MN

, KI lần lượt là trung điểm của ,MN PQ

Mà ABC đều và SBC cân tại S ,IK MN IK PQ MNPQ là hình thang cân.

Câu 2: Cho hình chóp .S ABCD , SA ABCD , SA a , mặt ABCD là hình chữ nhật với

, 2AB a AD a . M là điểm thuộc cạnh AB , đặt 0AM x x a . Mặt phẳng qua M và vuông

góc với AB cắt , ,CD SC SB lần lượt tại , ,N P Q . Thiết diện của ( )P và hình chóp là hình gì?


C. Hình bình hành. D. Hình vuông.

Lời giải

Chọn A

Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD cạnh 12a , AP là đường cao của tam giác ACD . Mặt phẳng P đi qua

B và vuông góc với AP cắt ACD theo giao tuyến có độ dài bằng?

A. 9 . B. 6 . C.8 . D. 7 .

Q

P

K

M

N

OH

A C

B

S

I



Lời giải

Chọn C

Ta có ,CD AP CD BP CD APB BG CD

,AD M AD BM AD BCM AD BG

BG ABC BG AP

Kẻ KL đi qua trọng tâm G của ACD và song song với CD AP KL P là mặt phẳng BKL

2

83

ACD BKL KL CD .

Câu 4: Cho hình chóp .S ABCD ,có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA ABCD . Gọi M là trung

điểm của BO , P là mặt phẳng qua M và P BC . Thết diện là hình gì?

A. Hình thang cân. B. Hình thang vuông.

C. Hình bình hành. D. Tam giác vuông.

Lời giải

Chọn B

G

MA D

C

P

B

K

L



Trong ABCD , qua M kẻ / / / / ,IJ AB CD I BC và J AD IJ BC (1)

Trong SCD kẻ / /JE SA với E SD . Vì SA ABCD nên JE ABCD JE BC (2)

(1) và (2) BC EIJ

Xét EIJ và SCD ta suy ra được ,EIJ SCD qua , / / / / I ,E CD J cắt SC tại F

Suy ra thiết diện là hình thang EFIJ .

Câu 5: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tai B , , 3AB a SA a và

SA ABC . Gọi M là điểm trên cạnh AB và 0AM x x a mặt phẳng đi qua M và vuông

góc với AB . Giả sử thiết diện của hình chóp .S ABC với là tứ giác MNPQ . Tìm x để thiết diện

MNPQ lớn nhất?

A. 2

ax . B.

2

ax . C.

3

2

ax . D. x a .

Lời giải

Chọn A

F

E

I

J

MO

C

A D

B

S



Ta tìm được MNPQ là hình chữ nhật

3, 3

a x aMN MBMQ AM x MN a x

SA AB a

22 2 3

.MQ 3 34 2 4

MNPQ

a a aS MN a x x x

2 3max

4MNPQ

aS khi

2

ax .

DẠNG 5. XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

5.1 Phương pháp: xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P

Bước 1: Tìm d P I

Bước 2: Trên d lấy điểm A khác I. Tìm hình chiếu H của A lên P . (Thông thường

ta chọn điểm A trên d và A thuộc đường thẳng P , khi đó hình chiếu của A là giao

điểm của và P ).

Bước 3: suy ra ; ( ; )d P AI HI AIH

Q

P

N

A C

B

S

M



Bước 4: Tính AIH (nếu đề bài yêu cầu tính góc)

Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác trong mục 2.2

* Lưu ý:

+ // d a , ( ) , ( )a d

+ // , ( ) , ( )a a

+ Ta có thể tính góc giữa đường thẳng d và mp P bằng công thức: .sin ;

.

u nd P

u n

. Trong đó

u

là VTCP của d , n

là véc tơ có giá vuông góc với P .

5.2. Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với đáy. ABC là tam giác vuông cân tại B . Cho độ dài các cạnh SA AB a .

a, Góc giữa đường thẳng SB và ABC là:

A. SBA B. ;SA SC C. SAB D. SBC

Lời giải

Chọn A

(P)

d'

d

A

HI



( )SA ABC nên A là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC)

( ;( ) ( ; )SB ABC SB AB SBA

b, Góc giữa SC và SAB :

A. 45 B. 60 C. 35 16 ' D. 75

Lời giải

Chọn C

BC AB (Vì tam giác ABC vuông tại B)

do ( ) ( )SA ABC SA BC ABC

( )BC SAB B là hình chiếu vuông góc của C lên (SAB)

SB là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB)

( ;( )) ( ; )SC SAB SC SB BSC .

* Tính BSC :

Xét tam giác SBC vuông tại B; có: BC a ; 2 2 2SB SA AB a

02tan 35 16 '

22

BC aBSC BSC

SB a

c, Tính góc giữa SA và (SBC)

A. 060 B. 030 C. 045 D. 055 35'

Lời giải

Chọn C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB, ta có

A C

B

S

H



AH SB ; ( )BC SAB ( )BC AH SAB

( )AH SBC

H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC)

SH là hình chiếu vuông góc của SA lên (SBC)

( ;( )) ( ; )SA SBC SA SH ASH

* Tình ASH : Vì tam giác ASH vuông cân tại A nên 045ASH

Ví dụ 2: Cho chình chóp .S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a . SA vuông góc với đáy; SA a . Góc giữa SA và ((SBD) bằng:

A. 045 B. 060 C. 035 15' D. 075 05'

Lời giải

Chọn C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SO.

Ta có

AH SO ;

BD AC ; BD SA ( ) ( )BD SAC BD AH SAC

( )AH SBD

H là hình chiếu của A lên (SBD)

SH là hình chiếu của SA lên (SBD)

( ;( )) ( ; )SA SBD SA SH ASH

Tính ASH : Xét tam giác ASO vuông tại A; có SA=a, 2

2 2

AC aAO

O

A D

CB

S

H



0

222tan 35 15'

2

aAO

ASH ASHSA a


Câu 1: Cho tứ diện ABCD , có AB vuông góc với mặt đáy, tam giác BCD vuông tại B . Khẳng

định nào đúng?

A. Góc giữa CD và ABD là CBD B. Góc giữa AC và BCD là ACB

C. Góc giữa AD và ABC là ADB D. Góc giữa AC và ABD là CBA

Lời giải

Chọn B

Do ( )AB BCD nên BC là hình chiếu của AC lên BCD

Suy ra góc giữa AC và BCD là ;AC BC ACB

Câu 2: Cho hình chóp tam giác .S ABC , có ABC là tam giác đều cạnh a , 3SA SB SC a

. Tinh góc giữa SA và ABC .

A. 45 B. 60 C. 35 26 ' D. 70 31'

Lời giải

Chọn D

B D

C

A



Gọi ,AI CK lần lượt các đường cao trong tam giác ABC , H AI CK

Ta có ;BC AI BC SI BC SH

Tương tự, CK SH

Suy ra SH ABC nên là hình chiếu của SA lên ABC

; ;SA ABC SA AH SAH

Xét tam giác SAH vuông tại H ;có 2 2 3 3

.3 3 2 3

a aAH AI

313cos 70 31'33

aAH

SAH SAHSA a

Câu 3: Cho hình chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ABCD . Biết

6

3

aSA . Tính góc giữa SC và ABCD .

A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 75 . Lời giải

Chọn A

H

A C

B

S

IK



Ta có: SA ABCD SA AC

;SC ABCD SCA

ABCD là hình vuông cạnh a 6

2,3

aAC a SA

3tan 30

3

SA

AC .

Câu 4: Cho hình thoi ABCD có tâm , 4 , 2O BD a AC a . Lấy điểm S không thuộc ABCD

sao cho SO ABCD . Biết 1an

2t SBO . Tính số đo của góc giữa SC và ABCD

A. o30 . B. o45 . C. o60 . D. o75 .

Lời giải

Chọn B

Ta có ABCD là hình thoi có 4 2BD a BO a .

a

α

A D

CB

S

O

A D

CB

S



Mà tam giác vuông SBO có 2

an1

tSO

SBOB

OO

S a .

Ta có SO ABCD OC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ABCD .

, ,SC ABCD SC AO SCO .

Xét tam giác vuông SCO có 0tan 1 45SO a

SCO SCOCO a

.

Vậy góc giữa SC và ABCD là 045 .

Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . M là trung điểm CD. Biết

2SA SC SB SD a , đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a . Gọi là góc giữa

SM và mặt đáy. Khi đó tan ?

A. 3

2. B.

3

2. C.

6

6. D. 2 .

Lời giải Chọn D

Vì các tam giác SAC cân tại S nên SO AC ; Tương tự SO BD

SO ABCD OM là hình chiếu của SM lên ABCD

; ;SM ABCD SM OM SMO

Xét tam giác SMO vuông tại O ,có 2

2

aOM ; SO a

tan 22

2

SO a

OM a

.

DẠNG 5. ĐIỂM CỐ ĐỊNH – TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

5.1. Phương pháp:

α

O

A D

CB

S



1. Tập hợp điểm thường gặp:

Cho 3 điểm A , B , C không thẳng hàng và mặt thẳng

Nếu M là điểm thỏa mãn AM BC thì điểm M nằm trên mặt phẳng P qua A và vuông

góc với BC.

Nếu điểm M thỏa mãn : AM thì điểm M nằm trên mặp phẳng P qua A và vuông

góc với

Nếu điểm M thỏa mãn MA MB thì M nằm trên mặt phẳng P qua trung điểm I của

AB và vuông góc với AB , chính là mặt phẳng trung trực của đoạn AB . Nếu M thỏa mãn MA MB MC MA MB và MA MC thì M nằm trên giao tuyến

của hai mặt phẳng P (mặt phẳng trung trực của AB ) và mặt phẳng Q (mặt phẳng trung

trực của AC ), giao tuyến này chính là trục của tam giác ABC .

2. Bài toán quỹ tích:

Bài toán “Quĩ tích hình chiếu H của điểm cố định O lên đường thẳng di động d trong mặt

phẳng quay quanh điểm cố định A ”.

Gọi B là hình chiếu của O trên

OH là hình chiếu của OH lên

OH d BH d (định lý ba đường vuông góc) 90BHA và H

Quĩ tích là đường tròn đường kính BA trong

5.2. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A và B . Tập hợp điểm M sao cho MA MB là:

A. Mặt phẳng P qua trung điểm của AB và vuông góc với AB

B. Đường thẳng d qua trung điểm của AB và vuông góc với AB

C. Mặt phẳng P qua trung điểm của AB và song song với AB

D. Đường thẳng qua trung điểm của AB và song song với AB

d

α( )

AB

H

O



Lời giải

Chọn A

Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng ta chọn đáp án A

Ví dụ 2: Tìm tập hợp điểm M cách đều 4 đỉnh của hình chữ nhật ABCD tâm O .

A. Là mặt phẳng qua O và vuông góc với ABCD

B. Là đường thẳng qua O và vuông góc với ABCD

C. Là mặt cầu tâm O đường kính AC.

D. Là đường thẳng qua O và song song với AB

Lời giải

Chọn B

Gọi M là điểm cách đều 4 đỉnh của hình chữ nhật ABCD . Gọi 'M là hình chiếu

của M lên mp ABCD . Ta chứng minh M’ trùng O . Thật vậy :

Do M là điểm cách đều 4 đỉnh của hình chữ nhật ABCD nên các tam giác 'SAM ;'SBM 'SCM , 'SDM vuông tại 'M và bằng nhau.

Suy ra ' ' ' 'AM BM CM DM 'M O

Vậy tập hợp M là đường thẳng qua O và vuông góc với ABCD .

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho M thỏa mãn các điều kiện sau: MA BC , MB AC , MC AB .

A. Là đường thẳng qua A và vuông góc BC

B. Là mặt phẳng qua B và vuông góc với AC

C. Là đường thẳng qua giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC

D. Là đường thẳng qua trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với ABC

Lời giải

Chọn D

Goi P là mặt phẳng qua A và vuông góc với BC. Khi đó với mọi điểm M P

ta đều có AM BC .

Tương tự ta có Q là mặt phẳng qua B và vuông góc AC ; R qua C và vuông

góc AB

Suy ra tập hợp M là đường thẳng d P Q R d là đường thẳng qua

trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với ABC

Ví dụ 4: Trên cạnh AD của hình vuông ABCD tâm O ta lấy điểm M và trên tia At vuông góc với mp(ABCD) lấy S. Gọi I là trung điểm của SC và H là hình chiếu của I trên CM. Tìm quỹ tích điểm H khi M chạy trên AD và S chạy trên At ?



A. Quỹ tích là đường tròn đường kính OC

B. Quỹ tích là đường thẳng OH

C. Quỹ tích là đường tròn đường kính OH

D. Quỹ tích là cung tròn 'OHH của đường tròn đường kính OC , với 'H là trung điểm

CD

Lời giải

Chọn D

Phân tích : Đường thẳng CM luôn thuộc mp(ABCD) cố định, do vậy H luôn nằm

trên mp(ABCD). Đường thẳng CM này luôn đi qua 1 điểm cố định là điểm C. Như

vậy ta sẽ tìm mối liên hệ giữa H (hình chiếu của I ) với các yếu tố cố định trên. Ta sẽ tìm thêm hình chiếu của I trên mp(ABCD) cố định. Dự đoán : Đó sẽ là điểm O

Từ đó ta có bài giải cụ thể như sau :

Giải : O là trung điểm AC.

Mà I là trung điểm SC . nên OI là đường trung bình của tam giác SAC

/ /OI SA

Mà SA ABCD OI ABCD O là hình chiếu của I lên ABCD

OH là hình chiếu của IH lên ABCD OH CM (định lý 3 đường vuông

góc)

Rõ ràng O cố định, C cố định, góc 90OHC và H thuộc mp(ABCD) cố định

H thuộc cung tròn OHC của đường tròn đường kính OC

A B

CD

S

M O

I

H



Giới hạn: M A H O ; 'M D H H Với 'H là trung điểm CD


Câu 1: Cho hình vuông ABCD tâm O . Tìm tập hợp điểm cách đều hai điểm A và C

A. Đường thẳng qua O và vuông góc với ABCD

B. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AC

C. Là đường thẳng BD

D. Là mặt phẳng chứa AC và vuông góc với ABCD

Lời giải

Chọn B

Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.

Câu 2: Tìm tập hợp điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC

A. Là đường thẳng qua A và vuông góc với ABC

B. Là mặt phẳng qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với ABC

C. Là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với

ABC

D. Là đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với ABC

Lời giải

Chọn C

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . SA vuông góc với

ABCD . I là trung điểm SC . M di dộng trên AD . Tìm tập hợp điểm K là hình chiếu của I

trên CM .

A. Quỹ tích là đường tròn đường kính OK trong ABCD

B. Quỹ tích là cung tròn OKC của đường tròn đường kính OC

C. Quỹ tích là đường thẳng OK

D. Quỹ tích là đường tròn đường kính OC trong ABCD

Lời giải

Chọn B



Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . SA vuông góc với ABCD

. M di động trên AD . 'E là chân đường cao hạ từ A trong tam giác SAD . Tập hợp điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B của tam giác SBM là:

A. Đường tròn đường kính SA trong SAD

B. Đường tròn đường kính AM trong SAD

C. Cung tròn 'AEE của đường tròn đường kính SA

D. Cung tròn AEM của đường tròn đường kính AM

Lời giải

Chọn C

Câu 5: Cho mặt phẳng P và một điểm O ngoài P . A là một điểm cố định thuộc P

sao cho OA không vuông góc với P . d là đường thẳng di động trong P và luôn qua A . I

là hình chiếu của O lên P . Tập hợp điểm M là hình chiếu của O lên d là:

A. Đường tròn đường kính IA trong P .

B. Đường tròn đường kính OA

C. Đường thẳng IM

D. Đoạn thẳng IM

Lời giải

Chọn A

DẠNG 6. CÁC DẠNG TOÁN KHÁC

Tìm tọa độ điểm cách đều các đỉnh của hình chóp

6.1. Phương pháp

Cách 1: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

B1: Tìm tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

B2: Dựng đường thẳng d qua O và vuông góc với đáy. (trục của đa giác đáy)

B3: Dựng mặt phẳng trung trực P của 1 cạnh bên của hình chóp.



B4: Tìm d P I là điểm cách đều các đỉnh của chình chóp.

Cách 2: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông.

6.2. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABCD . SA vuông góc ABCD , ABCD là hình vuông tâm O . M

là trung điểm SA . Tìm điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp:

A. I là trung điểm của SC

B. I là giao điểm của mặt phẳng qua M và vuông góc với SC

C. I là giáo điểm của mặt phẳng qua M và vuông góc với SD

D. I trùng với S

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 2: Hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều và có trọng tâm là G . Các cạnh bên , ,SA SB SC đều có độ dài bằng a , ,I K P lần lượt là trung điểm các cạnh , ,BC AB SA .

O là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Khẳng định nào sai?

A. Nếu E là giao điểm của SG và mặt phẳng trung trục của SC thì E trùng với O .

B. Đường thẳng SG vuông góc với ABC

C. Trong mặt phẳng SAI , giao điểm của đường thẳng qua P và vuông góc với SA là

điểm O .

D. O là giao điểm của SG và mặt phẳng trung trực của BC

Lời giải

Chọn D

O

A D

CB

S

I

M




Câu 1: Hình chóp .S ABC có SA ABC , tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm

, ,O M H lần lượt là trung điểm , ,BC SA SO . Gọi I là điểm cách đều các đỉnh hình chóp. Chọn


A. I trùng điểm H

B. I trùng với M

C. I trung với O

D. Tứ giác MAOI là hình chữ nhật

Lời giải

Chọn D

G

A C

B

S

IK

P

O

A C

B

S

M

O

HI



Câu 2: Hình chóp .S ABC có SA ABC , tam giác ABC vuông tại B . Các điểm

, ,O M K lần lượt là trung điểm , , BAC SA C . Gọi I là điểm cách đều các đỉnh hình chóp. Chọn


A. I là trung điểm SC

B. I trùng điểm O

C. I trùng điểm K

D. Góc giữa SC và SAB là ASC

Lời giải

Chọn A

Câu 3: Cho hình tứ diện ABCD có AB , BC , CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách

đều bốn điểm A , B , C , D .

A. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

B. O là trọng tâm tam giác ACD .

C. O là trung điểm cạnh BD .

D. O là trung điểm cạnh AD .

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

A C

B

S

K

O

M



I là trung điểm AC . Dựng đường thẳng d qua I và vuông góc ABC . dễ thấy d AD O

là trung điểm AD

Cách 2:

Gọi O là trung điểm của AD .

Từ giả thiết ta có AB CD

CD ABC CD ACBC CD

. Vậy ACD vuông tại C .

Do đó OA OC OD (1)

Mặt khác AB CD

AB BCD AB BD ABDAB BC

vuông tại B .

Do đó OA OB OD (2)

Từ (1) và (2) ta có OA OB OC OD .

C A

B

D

I

OM



Câu 4: Hình chóp .S ABCD có ABCD là hình vuông tâm O , SA SB SC SD AB . M , N lần lượt là trung điểm của ,CDSA . I là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Khẳng

định nào sai:

A. SO ABCD

B. IM là đường thẳng trung trực của SA

C. I trùng O

D. I nằm trên đường thẳng qua N và vuông góc với ABCD

Lời giải

Chọn D

Câu 5: Cho hình chóp .S ABCD có 2SA SB SC SD a , đáy ABCD là hình thang có / /AB CD , 2 ;AB a AD BC CD a . Gọi O , K lần lượt là trung điểm AB ,CD . Gọi I là

điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Khẳng định nào đúng?

A. Điểm I là trọng tâm tam giác SAD

B. I trùng điểm O

C. I là giao điểm của mặt phẳng trung trực của AB và SO

D. I là giao điểm của mặt phẳng trung trực của SA và OK

Lời giải

Chọn A

O

A D

CB

S

M

N



PHẦN 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP:

1. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 1: Trong không gian cho đường thẳng và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vuông

góc với cho trước? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Lời giải

Chọn D

Câu 2: Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.

Chọn A Câu 3: Mệnh đề nào sau đây có thể sai?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song. D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.

Chọn C

Câu 4: Cho hình chóp .S ABC có SA ABC và ABC vuông ở B . Gọi AH là đường cao

của SAB . Khẳng định nào sau đây sai? A. SA BC . B. AH BC . C. AH AC . D. AH SC .

Chọn C Câu 5: Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là:

A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng .AB

B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB .

I

A B

CD

S

O

E

K



C. Mặt phẳng vuông góc với AB tại A . D. Đường thẳng qua A và vuông góc với AB .

Chọn A Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB AC và DB DC . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB ABC . B. AC BD . C. CD ABD . D. BC AD .

Lời giải

Chọn D

Gọi I là trung điểm BC thì BC AID nên BC AD .

Câu 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâmO . Biết SA SC và =SB SD. Khẳng định nào sau đây đây là khẳng định sai?

A. SO ABCD . B. AC SBD . C. BD SAC . D. CD AC .

Chọn D Câu 8: Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC và tam giác ABC vuông tại B . Vẽ

SH ABC , .H ABC Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC . B. H trùng với trực tâm tam giác .ABC

C. H trùng với trung điểm của AC . D. H trùng với trung điểm của BC .

Lời giải

Chọn C Vì H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại B

Câu 9: Cho hình chóp .S ABC có cạnh SA ABC và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi

H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây có thể sai?

A. CH SA . B. CH SB . C. CH AK . D. AK SB .

Lời giải

Chọn D

Loại trừ A, B, C vì CH SAB .

Câu 10: Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC . Gọi O là hình chiếu của S lên mặt đáy

ABC . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. O là trọng tâm tam giác ABC . B. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC .

C. O là trực tâm tam giác ABC . D. O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

ABC .

Lời giải

Chọn B

Câu 11: Cho hình chóp .S ABCD có SA ABC và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là

tâm của ABC và I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. BC SB . B. SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD .

C. IO ABCD . D. Tam giác SCD vuông ở D .



Lời giải

Chọn B vì SB SD .

Câu 12: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC a . Trên đường thẳng qua A vuông góc

với ( )ABC lấy điểm S sao cho 6

2

aSA . Tính số đo giữa đường thẳng SB và ABC

A. 300. B. 450. C. 600. D. 750. Lời giải

Chọn C

2

2

aAB , 0tan tan 3 60

ASABS

AB .

Câu 13: Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a . Trên đường thẳng qua O vuông

góc với ABCD lấy điểm S . Biết góc giữa SA và ABCD có số đo bằng 045 . Tính độ dài

.SO

A. 3SO a . B. 2SO a . C. 3

2

aSO . D.

2

2

aSO .

Lời giải Chọn B

1 1.2 2 2

2 2SO AO AC a a

Câu 14: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC a . Hình

chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm BC . Biết SB a . Tính số đo của

góc giữa SA và ABC .

A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 075 .

Lời giải

Chọn C

Gọi H là trung điểm BC Tam giác SBC đều. 3 1

,2 2 2

a aSH AH BC .

0tan tan 3 60SH

SAHAH

.

Câu 15: Cho hình chóp đều .S ABCD . Thiết diện qua đỉnh A và vuông góc với cạnh bên SC có diện tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính .

A. 1 33

arcsin4

. B. 1 33

arcsin8

.



C. 1 33

arcsin8

. D. 2 33

arcsin8

.

Lời giải

Chọn B

Đặt cạnh đáy hình vuông ABCD là 2a AC a .

Giả sử thiết diện qua A là cắt SC , SB , SD lần lượt tại K , N , M .

Theo giả thiết SC ANKM MN SC .

Mặt khác: BD SC (vì BD SAC ) //MN BD MN SAC MN AK

1.

2ANKMS AK MN .

sin 2 sinSCA AK AC a .

1MN SO SO OO OO

BD SO SO SO

(vì AO O ACK ; với O MN AK ).

2

12 cot

1 22 cot 1 1 cot2 tan

aMN

OO aBD OC

.

2 21 cot 2 1 cot 02

MN BD a

.

Ta có 2 2 21 1 1. 2 sin . 2 1 cot

2 2 2AMKN ABCDS S AK MN a a a a

2 22 2sin 1 sin 4sin sin 2 0 02

1 33 1 33sin arcsin

8 8

.

2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Câu 1: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.



B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

C. Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

D. Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song với nhau thì cũng vuông

góc với đường thẳng còn lại

Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng và đường thẳng b vuông góc với a thì b

vuông góc với mặt phẳng .

B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng thì a

song song hoặc thuộc mặt phẳng .

C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng

thì a vuông góc với b .

D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Câu 3: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu a và b a thì b . B. Nếu a và a b thì b .

C. Nếu a và b a thì b . D. Nếu a và b thì b a .

Câu 4: Trong không gian, cho các đường thẳng 1 2, ,d d d , trong đó, hai đường thẳng 1d và 2d chéo nhau.

Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng 1d và song song với đường thẳng 2d . Khẳng định nào

sau đây sai?

A. Nếu d vuông góc với một trong hai đường thẳng 1 2,d d thì d vuông góc với P .

B. Nếu d vuông góc với cả hai đường thẳng 1 2,d d thì d vuông góc với P .

C. Nếu d vuông góc với P thì d vuông góc với cả hai đường thẳng 1 2,d d .

D. Nếu d vuông góc với P thì d vuông góc với ít nhất một trong hai đường thẳng.

Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. AB CD B. AC BD C. BC AD D. AC BC

Câu 6: Cho hình chóp .S ABC có tam giác ABC vuông tại B và ( ).SA ABC Gọi H là hình chiếu

vuông góc của A trên SB và M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. .SA SC B. .AH SC C. .SB BC D. .SM AH



Câu 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy ABCD .

Goi I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. IO ABCD . B. SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD .

C. BD SC . D. SA SB SC .

Câu 8: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi ,H K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB

và AD . Khẳng định nào sau đây sai ?

A.CK HD . B.CK SC .

C.CK SD . D. CK SA .

Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh 12a . Gọi P là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD .

Thiết diện của P và hình chóp có diện tích bằng:

A. 36 . B.36 2 C.36 3 . D. 40 .

Câu 10: Cho hình chóp .S ABCD , SA ABCD , SA a , mặt ABCD là hình chữ nhật với

, 2AB a AD a . M là điểm thuộc cạnh AB , đặt 0AM x x a . Mặt phẳng qua M

và vuông góc với AB cắt , ,CD SC SB lần lượt tại , ,N P Q . Tính diện tích MNPQ theo a và x .

A. 2a . B. 2 2a x . C. 2 2a x . D. 2 2x a .

Câu 11: Cho hình thang ABCD vuông ở A và D , SD ABCD . Gọi M là trung điểm của SA . Mặt

phẳng DMC cắt hình chóp theo thiết diện gì?

A. Hình vuông. B. Hình thang cân.

C. Hình bình hành. D. Hình thang vuông.

Câu 12: Cho hình lập phương .ABCD A B C D . Hai điểm ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB CC .

Thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của MN là hình gì?

A. Hình vuông. B. Hình thoi.

C. Hình bình hành. D. Hình thang vuông.

Câu 13: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâmO , SA ABCD . Gọi M là trung

điểm của SC . Mặt phẳng P qua M vuông góc với đường thẳng SA . Diện tích thiết diện của mặt

phẳng P với khối chóp bằng mấy lần diện tích đáy?

A. 2 . B. 1

2. C.

1

4. D.

1

6.



Câu 14: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông, cạnh huyền BC a . Hình chiếu vuông

góc của S lên ABC trùng với trung điểm của BC . Biết SB a . Số đo của góc giữa SA và

ABC là

A. 75 . . B. 45 . C. 60 . D. 30 .

Câu 15: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường

cao SH vuông góc với ABCD . Gọi là góc giữa BD và SAD . Tính sin .

A. 3

sin2

. B. 1

sin2

. C. 10

sin4

. D. 6

sin4

.

Câu 16: Cho hình chóp .S ABC có SA ABC và tam giác ABC vuông tại A. Gọi ,H K lần lượt là

trực tâm các tam giác ABC và SBC . Số đo góc giữa AK và SBC là

A. 60 . B. 90 . C. 45 . D. 120 .

Câu 17: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Biết

AB a , góc giữa MN và mặt phẳng đáy bằng 45 . Tính SO .

A. 10

2

aSO . B.

5

4

aSO . C.

10

4

aSO . D.

5

2

aSO .

Câu 18: Trong mặt phẳng cho đường tròn đường kính cố định BC và một điểm M di động trên đường

tròn này. Trên dường thẳng d vuông góc với tại B lấy một điểm A . Gọi ,H K lần lượt là

hình chiếu của B trên AM và AC . Tìm tập hợp điểm H khi M di động. A. H thuộc đường tròn đường kính BK .

B. H thuộc đường tròn đường kính AC .

C. H thuộc đường tròn đường kính BM .

D. H thuộc đường tròn đường kính AB .

Lời giải

Chon A



BK cố định và 90BHK nên H thuộc đường tròn đường kính BK .

Câu 19: Cho hình tam giác đều ABC và đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC tại A . M là

một điểm lưu động trên d , E là chân các đường cao hạ từ B của tam giác MBC và D là trung

điểm cạnh AC . Tìm tập hợp của E .

A. E thuộc đường tròn đường kính CB .

B. E thuộc đường tròn đường kính AB .

C. E thuộc đường tròn đường kính AD .

D. E thuộc đường tròn đường kính DC .

Câu 20: Cho tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc. Tìm tập hợp điểm M trong không gian

sao cho 2 2 2 23MA MB MC MO .

A. M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG , trong đó I là một điểm cách đều 4 điểm

, , ,O A B C và G là trọng tâm tam giác ABC .

B. M thuộc mặt phẳng đi qua I và song song với OG , trong đó I là một điểm cách đều 4 điểm

, , ,O A B C và G là trọng tâm tam giác ABC .

C. M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG và G là trọng tâm tam giác ABC .

D. M thuộc mặt phẳng đi qua I và song song với OG và G là trọng tâm tam giác ABC .

Lời giải

Chọn A

K

H

CB

M

A



Gọi I là điểm cách đều 4 điểm , , ,O A B C ,G là trọng tâm tam giác ABC

Ta có 2 2 2 23MA MB MC MO

2 2 2 2

3

3 . 3 . 3 . .

MI IA MI IB MI IC MI IO

IA IB IC MI IO MI IG MI IO MI OG MI O MI OG

.

Câu 21: Tìm tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC

A. Đường thẳng d ABC tại tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .

B. Đường thẳng d ABC tại tâm đường tròn nội tiếp ABC .

C. Đường thẳng d ABC .

D. Đường thẳng / /d ABC .

Câu 22: Cho tứ diên SABC có SA ABC . Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC

và SBC . Các đường thẳng , ,AH SK BC thỏa mãn.

A. Đôi một vuông góc. B. Chéo nhau. C. Song song. D. Đồng quy.

Câu 23: Cho góc tam diện Sxyz với 120 , 60 , 90xSy ySz zSy . Trên các tia , ,Sx Sy Sz lần lượt

lấy các điểm , ,A B C sao cho SA SB SC a . Tam giác ABC có đặc điểm gì trong các đặc

điểm sau? A. Vuông cân. B. Đều.

C. Cân nhưng không vuông. D. Vuông nhưng không cân.

H

CO

B

A

I



Câu 24: Cho tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc, H là hình chiếu vuông góc của điểm O

lên mp(ABC), M là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất

của 2 2 2

2 2 2

MA MB MCT

OA OB OC

A. min 3T . B. min 2T . C. min 4T . D. min 6T .

Lời giải

Chọn B

N AM BC kẻ 1 / /MM OA

1MM OBC

Kẻ 1 1,MA OA A OA . Khi đó

2 22 2 2 1

1 2 2

22 . 1

OAAM OMAM OM OA OAOA

OA OA OA (1)

Tương tự gọi 1 1,B C là các điểm tương tự như 1A ta có

2 21

2 2

21

OBMB OM

OB OB OB (2)

2 21

2 2

21

OCMC OM

OC OC OC (3)

Từ (1),(2),(3)2

2 1 1 1 1 1 12 2 2 2

1 1 12 3 2 3

OA OB OC OA OB OCOMT OM

OA OB OC OA OB OC OH OA OB OC

Mặt khác 1 1 1 1OA OB OC

OA OB OC

Vì ( 1 1 1, ,MBC MAC MAB

ABC ABC ABC

S SOA OB OC SNM

OA NA S OB S OC S )

O

C

BA

N

M1

M

A1



Do đó 2

21 2

OMT

OH do OM OH .

Câu 25: Cho tứ diện ABCD có , ,DA DB DC đôi một vuông góc. Gọi , , lần lượt là góc giữa các

đường thẳng , ,DA DB DC với mặt phẳng ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 22 cot 2 cot 2 cotM .

A. 8 . B. 64 . C. 1. D. 64 2 .

Lời giải

Chọn B

Gọi H là hình chiếu của D trên ABC . Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC

, ,DA ABC DA AH DAH

Đặt , ,DA a DB b DC c

Gọi I AH BC DI là đường cao của tam giác DBC nên 2 2

.DB DC bcDI

BC b c

2 2 2 2 2 22 22 2

2 2 2 2

2 4cot 2 cot 2 2

a b c a b cDA a a

DI b c b c bc bc

Vậy 2 42 cot

a

bc (1)

Tương tự 2 42 cot

b

ac (2) và 2 4

2 cotc

ab (3)

H

I

D C

B

A



Nhân theo vế các bất đẳng thức ta được 2 2 22 cot 2 cot 2 cot 64 .

PHẦN 4. ĐỀ KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ:

Câu 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD . Chọn khẳng định sai:

A. A là hình chiếu vuông góc của S lên mp ABCD .

B. B là chiếu vuông góc của C lên mp SAB .

C. D là chiếu vuông góc của C lên mp SAD .

D. D là hình chiếu vuông góc của A lên mp SCD .

Câu 2. Cho hình chóp .S ABCD ; SA vuông góc với đáy ABCD ; ABCD là hình vuông.

Đường thẳng SA vuông góc với đường thẳng nào sau đây ?

A. SB . B. SD . C. BC . D. SC .

Câu 3. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( ) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào

Sai ?

A. a vuông góc với hai đường thẳng bất kì cắt nhau trong ( ) .

B. a vuông góc với hai đường thẳng bất kì song song nhau trong ( ) .

C. a vuông góc với hai đường thẳng bất kì trong ( ) .

D. A và B sai.

Câu 4. Chọn khẳng định đúng. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB thì:

A. Song song với AB . B. Vuông góc với AB .

C. Đi qua trung điểm của AB . D. Cả B và C đều đúng.

Câu 5. Cho tứ diện ABCD có AB AC và DB DC . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB ABC . B. AC BD . C. CD ABD . D. BC AD .

Câu 6. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với

đáy, M là trung điểm BC , J là hình chiếu của A lên BC . Khẳng định nào sau đây

đúng ?

A. ( )BC SAJ . B. ( )BC SAB . C. ( )BC SAC . D. ( )BC SAM .

Câu 7. Cho hình chóp .S ABC có SA ABC và AB BC . Gọi O là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác SBC . H là hình chiếu vuông góc của O lên ABC . Khẳng định nào sau

đây đúng?

A. H là trung điểm cạnh AB .



B. H là trung điểm cạnh AC .

C. H là trực tâm của tam giác ABC .

D. H là trọng tâm của tam giác ABC .

Câu 8. Cho hình chóp .S ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, SA ABCD . Trong các tam

giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông.

A. SBC . B. SCD . C. SAB . D. SBD .

Câu 9. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ABCD . Mặt phẳng qua A

và vuông góc với SC cắt SB , SC , SD theo thứ tự tại H , M , K . Chọn khẳng định sai

trong các khẳng định sau?

A. AK HK . B. HK AH . C. BD AK . D. AH SB .

Câu 10. Cho tứ điện đều ABCD , góc giữa AB với mặt đáy BCD là , khi đó cos bằng:

A. 3

3. B.

3

2. C.

2

2. D.

1

2.

Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có các cạnh bằng nhau, góc giữa SD với mặt đáy

ABCD bằng:

A. 90 . B. 60 C. 45 . D. 30 .

Câu 12. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có 3 , 2AB a AD a , SA vuông

góc với mặt phẳng ABCD , SA a . Gọi là góc giữa đường thẳng SC và mp ABS

. Khi đó tan bằng?

A. 5

10. B.

14

11. C.

17

7. D.

10

5.

Câu 13. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , tâm O , SA ABCD và

6SA a . Góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng ABCD gần bằng?

A. 74 . B. 55 . C. 81 . D. 63 .

Câu 14. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có

đường cao AH vuông góc với mp ABCD . Gọi a là góc giữa BD và mp SAD . Chọn

khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. 3

cos2 2

a . B. 3

sin2 2

a . C. 60a . D. 30a .

Câu 15. Cho hình chóp .S ABCD , với đáy ABCD là hình thang vuông tại A , đáy lớn 8AD ,

6BC , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , 6SA . Gọi M là trung điểm AB . P

a



là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB . Thiết diện của P và hình chóp có diện tích

bằng?

A. 10 . B. 20 . C. 15 . D. 16 .

ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

D C D D D A B D A A C D A B C

Câu 14:

Lời giải

Chọn B

Gọi K là trung điểm của SA .

Ta có: AD SAB và SAB đều nên BK SAD .

Vậy , ,BD SAD BD KD BDK a .

Gọi cạnh của hình vuông ABCD là x , thì 2BD x và 3

2

xBK .

Xét trong tam giác vuông BKD có 3

sin2 2

BKa

BD .

Câu 15:

Lời giải

Chọn C

α

AD

CB

S

H

K



Do P AB P SA

Gọi I là trung điểm của

Gọi là trung điểm của

Gọi là trung điểm của , mà

Vậy thiết diện của và hình chóp là hình thang vuông tại

Ta có:

là đường trung bình của tam giác

là đường trung bình của tam giác

là đường trung bình của hình thang

Khi đó .

N

KI

M

CB

DA

S

SB MI SA MI P

N CD MN AB MN P

K SC IK BC MN BC MN IK

IK P

P MNKI M

MI SAB1

32

MI SA

IK SBC1

32

IK BC

MN ABCD 1

72

MN AD BC

3 7. .3 15

2 2MNKI

IK MNS MI

; d P d a a P ⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂ M P MA MB ∀ ∈ ⇔ = - Hoc360.net

Documents

Transcript of ; d P d a a P ⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂ M P MA MB ∀ ∈ ⇔ = - Hoc360.net