Қ АР АҒ АН Д Ы У Н И В Е Р С И Т Е Т I Н I Ң ÕÀÁÀÐØÛÑÛ ÂÅÑÒÍÈÊ

ҚАРАҒАНДЫ УНИВЕРСИТЕТ IН IҢ

ÕÀÁÀÐØÛÑÛ ÂÅÑÒÍÈÊ

КАРАГАНДИНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ISSN 0142-0843

МАТЕМАТИКА сериясы

1(65)/2012 Серия МАТЕМАТИКА

Қаңтар–ақпан–наурыз

1996 жылдан бастап шығады Жылына 4 рет шығады

Январь–февраль–март Издается с 1996 года Выходит 4 раза в год

Собственник РГКП Карагандинский государственный университет имени Е.А.Букетова

Бас редакторы — Главный редактор

Е.К.КУБЕЕВ, академик МАН ВШ, д-р юрид. наук, профессор

Зам. главного редактора Х.Б.Омаров, д-р техн. наук Ответственный секретарь Г.Ю.Аманбаева, д-р филол. наук

Серияның редакция алқасы — Редакционная коллегия серии

М.И.Рамазанов, научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф.; М.Отелбаев, акад. НАН РК, д-р физ.-мат. наук, проф.; Б.Р.Ракишев, акад. НАН РК, д-р техн. наук, проф.; З.Б.Беркалиев, PhD, профессор (США); А.А.Шкаликов, д-р физ.-мат. наук, проф. (Россия); Н.А.Бокаев, д-р физ.-мат. наук, проф.; М.Т.Дженалиев, д-р физ.-мат. наук, проф.; К.Т.Искаков, д-р физ.-мат. наук, проф.; Л.К.Кусаинова, д-р физ.-мат. наук, проф.; Е.Д.Нурсултанов, д-р физ.-мат. наук, проф.; Е.С.Смаилов, д-р физ.-мат. наук, проф.; К.А.Турсунов, д-р техн. наук, проф.; У.У.Умербаев, д-р физ.-мат. наук, проф.; Н.Т.Орумбаева, отв. секретарь канд. физ.-мат. наук

Адрес редакции: 100028, г. Караганда, ул. Университетская, 28

Тел.: 77-03-69 (внутр. 1026); факс: (7212) 77-03-84. E-mail: [email protected]. Сайт: http://www.ksu.kz

Редакторы Ж.Т.Нұрмұханова Редактор И.Д.Рожнова

Техн. редактор Д.Н.Муртазина

Издательство Карагандинского государственного университета

им. Е.А.Букетова 100012, г. Караганда,

ул. Гоголя, 38, тел.: (7212) 51-38-20

e-mail: [email protected]

Басуға 26.03.2012 ж. қол қойылды. Пiшiмi 6084 1/8. Офсеттік қағазы. Көлемi 10,5 б.т.

Таралымы 300 дана. Бағасы келiсiм бойынша.

Тапсырыс 748.

Подписано в печать 26.03.2012 г. Формат 6084 1/8. Бумага офсетная.

Объем 10,5 п.л. Тираж 300 экз. Цена договорная. Заказ 748.

Отпечатано в типографии издательства КарГУ им. Е.А.Букетова

© Карагандинский государственный университет, 2012 Зарегистрирован Министерством культуры, информации и общественного согласия Республики Казахстан.

Регистрационное свидетельство 1131–Ж от 10.03.2000 г.

2 Вестник Карагандинского университета

МА ЗМ ҰНЫ С О Д Е РЖ АНИ Е

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА

Əбілдин С.К., Əбдірахманов Н.Ғ., Москален-ко Н.А. Ортақ жəне локалды ақаулары бар конструкциялардың құрыш элементтерін авто-маттандырылған есептеудегі алгоритмді құру .. 3

Абильдин С.К., Абдрахманов Н.Г., Москален-ко Н.А. Разработка алгоритма автоматизирован-ного расчета стальных элементов конструкций, имеющих общие и локальные повреждения........ 3

Əлимағамбетова А.З., Бесжанова А.Т. Матема-тикалық пəндерді оқытуда мультимедиалық технологияларды қолдану мəселелері .............. 7

Алимагамбетова А.З., Бесжанова А.Т. Вопросы использования мультимедийных технологий при обучении математическим дисциплинам...... 7

Григорьева Т.С., Заикина Т.В. Математиканы оқытуда алмаспайтын есептер əдісін қолдану . 11

Григорьева Т.С., Заикина Т.В. Метод сквоз-ных задач в обучении математике ..................... 11

Ешкеев А.Р., Пальчунов Д.Е. Заттық аймақ-тардағы аналитикалық йонсондық теориялар-дың кейбір синтаксистік жəне семантикалық қасиеттерінің формализациясы ......................... 19

Ешкеев А.Р., Пальчунов Д.Е. Формализации некоторых синтаксических и семантических свойств аналитических йонсоновских теорий предметных областей .......................................... 19

Жұмағұлова С.К., Əбілдаева Г.Б. Кəсіпорын-дарда еңбекті қорғау жүйесін ақпараттық қам-тамасыздандыру бағдарламасы жəне алгоритмі 32

Жумагулова С.К., Абилдаева Г.Б. Алгоритм и программа информационного обеспечения сис-темы охраны труда на предприятии..................... 32

Каренов Р.С. Экономикалық зерттеулерде рангтік корреляцияны жəне баламалы белгі-лер корреляциясын қолдану мəселелері ........... 37

Каренов Р.С. Проблемы использования ранго-вой корреляции и корреляции альтернативных признаков в экономических исследованиях ....... 37

Каренов Р.С. Көп қадамды экономикалық есептерді зерттеу жəне оларды шешу тəсілде-рін жасау динамикалық бағдарламалау аясы ретінде ................................................................. 51

Каренов Р.С. Изучение многошаговых эконо-мических задач и разработка методов их ре-шения как предмет динамического програм-мирования ............................................................ 51

Космакова М.Т., Мизамбаева М.Т. Туылатын облыстағы жылуөткізгіштік теңдеу үшін бір-текті шеттік есеп ................................................. 61

Космакова М.Т., Мизамбаева М.Т. Об одно-родной краевой задаче для уравнения теп-лопроводности в вырождающейся области ..... 61

Орумбаева Н.Т., Сабитбекова Г. Аралас туын-дылы квазисызықты гиперболалық теңдеулер жүйесі үшін периодты шеттік есептің шешім-ділігі туралы ........................................................ 67

Орумбаева Н.Т., Сабитбекова Г. О разреши-мости периодической краевой задачи для сис-темы квазилинейных гиперболических урав-нений со смешанной производной..................... 67

Төребек Б.Т. Лаплас теңдеуі үшін шекаралық шартында Капуто мағынасындағы бөлшек ретті оператор қатысқан бейлокалды есептің шешімділігі ......................................................... 78

Торебек Б.Т. О разрешимости одной нелокаль-ной задачи для уравнения Лапласа с гранич-ным оператором дробного порядка в смысле Капуто .................................................................. 78

АВТОРЛАР ТУРАЛЫ МƏЛІМЕТТЕР……….. 84 СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ................................. 84

Серия «Математика». 1(65)/2012 3

МАТЕМАТИКА

УДК 539.4.016.3

С.К.Абильдин1, Н.Г.Абдрахманов2, Н.А.Москаленко2 1Карагандинский государственный технический университет;

2Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова (E-mail: [email protected])

Разработка алгоритма автоматизированного расчета стальных элементов конструкций, имеющих общие и локальные повреждения

Данная статья посвящена проблемам автоматизации расчета стальных элементов конструкции, имеющих общие и локальные повреждения, и разработке алгоритма для реализации на персональном компьютере. Произведен сравнительный анализ расчета элементов конструкции с учетом дефектов и без таковых.

Ключевые слова: балочная конструкция, дефект, жесткость, Turbo Pascal 7.0, Delphi, центрально-сжатый элемент, сечение.

Развитие экономики Республики Казахстан в современных условиях во многом определяется

увеличением объема строительных работ как в промышленности, так и в жилищном секторе. Обеспе-чение безопасности и расчет на долговечность строительных конструкций проводятся как на этапе проектирования новых сооружений, так и при обследовании существующих с целью выявления их долговечности. С развитием численных методов расчета элементов конструкций появляется возмож-ность автоматизации трудоемкого процесса вычислительного характера.

Для перекрытия больших пролетов промышленных зданий и сооружений в современном строи-тельстве чаще всего используются стальные фермы различного очертания.

Как показывает практика, использование стальной фермы как стержневой конструкции эконо-мично по сравнению с балочной конструкцией, при равноценной несущей способности.

Однако опыт применения стержневых конструкций в производстве выявил и большую «чувст-вительность» этих конструкций к дефектам и повреждениям эксплуатационного характера, таким как местные прогибы, общие прогибы элементов и непроектные вырезы (рис. 1).

При этом на несущую способность влияние оказывает не только величина дефекта, но и харак-тер работающего элемента конструкции — растяжение или сжатие. Следует признать, что наиболее опасными дефектами будут местные прогибы и общие выгибы именно для сжатых элементов стерж-невых конструкций.

Поясним это на следующем примере, рассматривая один и тот же элемент, работающий на сжа-тие, сначала без дефекта и после с дефектом.

С.К.Абильдин, Н.Г.Абдрахманов, Н.А.Москаленко


Рисунок 1. Дефекты стальной стропильной фермы

Произведем расчет центрально сжатого элемента 1 (рис. 2). Усилие в стойке N = 45.13 кН, сече-ние элемента два — равнополочных уголка, расположенных в тавр, сечением 60х6, площадь сечения 13.84 см2, расчетное сопротивление стали cR =210 МПа. По формуле

.A c c

NR (1)

Отсюда получим

2

541.1333МПа 210 МПа.

13.84

kH

cм

ХY

Рисунок 2. Расчетное сечение элемента 1

Произведем расчет того же центрально сжатого элемента 1 с дефектом. Усилие в стойке N = 45.13 кН, сечение элемента — два равнополочных уголка, расположенных в тавр, сечением 60х6, площадь сечения 13.84 см2, расчетное сопротивление стали cR =210 МПа; Е — модуль упругости, расчетная длина 206 см, величина выгиба из плоскости 30 см. Находим безразмерные относительные стрелки искривления по формулам:

00 0

;x

y

f EU

l R 0

0 0

.y

y

f EV

l R

Расчетную гибкость элемента вычислим по формуле 00 ,yx

x

Rl

i E где xi — радиус инерции сечения.

Для найденных значений 0 030559 4.61 0,x U V по таблице 4 приложения 4 [1],

uv =0.240. По формуле

0yuv

NR

A

(2)

Разработка алгоритма автоматизированного…


получим

2

45.13136 МПа 210 МПа.

0.240 13.84

kH

cм

Очевидно, что дефект привел к снижению несущей способности сжатого элемента в 5 раз. При расчете элемента с локальной прогибью расчет производится только на остаточное сечение,

а прогиб заменяется непроектным вырезом соответствующего размера, т.е. площадь поврежденного участка в расчете не участвует.

Следует также отметить, что в настоящее время при проведении поверочных расчетов стержне-вых элементов, даже определив усилия в элементах конструкций программными комплексами «Ли-ра», «Scad», расчет на дефекты приходится выполнять вручную, что достаточно затруднительно, осо-бенно при наличии большого количества дефектных элементов конструкций.

Рисунок 3. Меню выбора типа сечения

В связи с этим авторами была поставлена задача о разработке и реализации алгоритма расчета вышеописанных задач с помощью персонального компьютера. Алгоритм реализовывался на языке программирования Turbo Pascal 7.0 с последующим наложением графического интерфейса в среде программирования Delphi. Программа «Дефект-сталь» (рис. 3–5) учитывает тип элемента в конструк-ции фермы, вводя соответствующий коэффициент µ. Помимо расчета элементов ферм с помощью данной программы возможно производить расчет сплошностенчатых элементов, имеющих искривле-ние, местные прогибы и дефекты, непроектные вырезы [2–4].

Рисунок 4. Меню ввода исходных параметров

С.К.Абильдин, Н.Г.Абдрахманов, Н.А.Москаленко


Кроме того, следует отметить, что дефекты снижают не только несущую способность, но и же-сткость элементов, меняют также напряженно деформированное состояние конструкции, перерас-пределяя усилия по объему стержневой конструкции. К сожалению, этот процесс перераспределения усилий остается при расчете на современных программных комплексах нереализованным ввиду от-сутствия методики учета снижения жесткостей элементов из-за дефектов и повреждений. Авторами ставится следующая задача — разработать методики учета фактических жесткостей при наличии де-фектов и повреждений в элементах стержневой конструкции и реализация ее на программном ком-плексе.

Рисунок 5. Меню вывода полученного результата

Другой стороной реализации данной методики может быть использование ее в расчетах на про-грессирующее обрушение и работа стальных стержневых конструкций в запредельной стадии при расчетах на живучесть конструкции.

Реализация указанных программы и методики будет полезна для инженеров, производящих рас-четы реальных строительных объектов на несущую способность, учитывая имеющиеся дефекты и их реальные величины, что, в свою очередь, даст более полную картину о фактическом техническом со-стоянии здания или сооружения.

References

1 SNIP II-23-81*. Steel structurals.

2 Manual (SNIP II-23-81) Design and strengthening of steel structures. 3 Belenja E.A. Steel structurals. — M.: StroyIsdat, 1986. — 560 p. 4 Rabinovich I.M. Fundamentals of construction mechanics of bar systems. — M., 1960. — 520 p.

С.К.Əбілдин, Н.Ғ.Əбдірахманов, Н.А.Москаленко

Ортақ жəне локалды ақаулары бар конструкциялардың құрыш элементтерін автоматтандырылған есептеудегі алгоритмді құру

Мақала ортақ жəне локалды ақаулары бар конструкцияның құрыш элементтерін есептеуге, автомат-тандыру проблемасына жəне жеке компьютерде жүзеге асыруға арналған алгоритмді құруға арналған. Конструкция элементтерін есептеуде ақауларды ескерумен салыстырмалы түрде зерттеу жүргізілген.

S.K.Abildin, N.H.Abdrahmanov, N.A.Moskalenko

Developing an algorithm of automated calculation of steel structural elements having a general and local damage

This article focuses on the problems of automating the calculation of steel structural elements that are com-mon and locally, and develop an algorithm for implementation on a PC. Performed a comparative analysis of the structural elements of the calculation taking into account the defects and those without.

Вопросы использования мультимедийных…


УДК 378:004.77

А.З.Алимагамбетова, А.Т.Бесжанова

Казахский университет экономики, финансов и международной торговли, Астана (E-mail: [email protected])

Вопросы использования мультимедийных технологий при обучении математическим дисциплинам

В данной работе рассмотрены методы использования мультимедийной технологии при обучении ма-тематическим дисциплинам. Указаны способы использования современных мультимедийных техно-логий. Показано, что использование компьютерных презентаций заметно упрощает работу преподава-теля, при этом у студентов появляется повышенный интерес к занятиям математики.

Ключевые слова: Интернет, мультимедийные технологии, гипермедиа, имитационное обучение, ин-формационная среда, компьютерная грамотность, программа, математика.

XXI век — век информационной революции, вызвавшей широкое применение информационных

технологий и Интернета в образовании. Информационные технологии открывают доступ к нетради-ционным источникам информации, повышают эффективность самостоятельной работы, дают воз-можность для творчества, позволяют реализовывать принципиально новые формы обучения. Так как в настоящее время перед современным обществом стоит задача подготовить специалиста знающего, правильно математически и логически мыслящего, а также владеющего современными информаци-онными технологиями, умеющего самостоятельно добывать и применять знания на практике, то каж-дому преподавателю необходимо применение в обучении интерактивных методов обучения, исполь-зование новых методов и средств обучения, обеспечивающих более широкие возможности развития, также использование мультимедийных технологий при изучении нового материала.

Одной из причин использования новых информационных технологий в образовательном про-цессе является то, что преподаватели в настоящее время сталкиваются с такой проблемой, а именно как «уложить» большой объем информации в небольшое число часов, которое имеет тенденцию к сокращению. Другой причиной использования информационных технологий в обучении является то, что в настоящее время в образовательный процесс была внедрена новая форма обучения, как дистан-ционное обучение, которое несет в себе широкие возможности доступности образования, не выходя из дома, а также охвата всех слоев населения. Кроме того, существует необходимость в тщательно подобранных учебно-методических материалах и пособиях, которые могут быть использованы при проведении лекционных и практических занятий. Одним из путей решения этой проблемы является создание презентаций, которые на современном этапе развития информационных технологий явля-ются одним из основных эффективных методов представления любого материала. Компьютерные презентации с использованием мультимедийных технологий позволяют подойти к процессу обучения творчески, разнообразить способы подачи материала, сочетать различные организационные формы проведения занятий с целью получения высокого результата, при минимальных затратах времени на обучение.

Мультимедийные технологии — новые информационные технологии, обеспечивающие работу с анимированной компьютерной графикой и текстом, речью и высококачественным звуком, неподвиж-ными изображениями и движущимися видео. Мультимедийность создает психологические условия, способствующие лучшему восприятию и запоминанию материала с включением подсознательных реакций обучаемого. Психологами доказано, что при проведении занятий с использованием новых информационных технологий активизируется правое полушарие мозга, отвечающее за ассоциативное мышление, рождение новых идей, интуицию, улучшается психоэмоциональное состояние обучаемо-го, активизируются его положительные эмоции [1].

По способам использования компьютерные презентации можно разделить на две группы — пре-зентации для сопровождения лекции (интерактивная лекция) и индивидуальные работы над проек-том.

Первая органично вписывается в структуру занятия, которое сопровождается рассказом препо-давателя. Возможность вставлять любые объекты (непосредственно на занятиях математики — раз-личного рода и сложности графики, таблицы основных производных и интегралов, диаграммы и дру-



гие виды) в презентацию делают ее особенно привлекательной при изучении сложных тем, когда не-обходимо показать модели или ход процесса. Тем более при предоставлении нового материала в таб-лицах, графиках и тезисах включаются механизмы слуховой, зрительной и ассоциативной памяти.

Вторая группа — индивидуальные работы над проектами — одна из ведущих форм личностно-ориентированного обучения. Такой активный метод обучения активизирует творческий потенциал студентов и учащихся, в условиях кредитной технологии обучения учит самостоятельно работать с информацией, выбирать главное, систематизировать, анализировать, выбирать наиболее удачный способ представления собранного материала, дает возможность реализовать себя, наглядно проде-монстрировать свои знания, умения, навыки.

На занятиях по математике преподаватель на интерактивных лекциях может использовать муль-тимедийные учебные пособия, диски, позволяющие освоить темы данной дисциплины: числовые по-следовательности, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения. При изучении темы «Функции и графики», «Аналитическая геометрия» обучающий может приме-нять специальные лабораторные работы, с помощью которых можно будет построить графики эле-ментарных и более сложных функций и преобразование графиков, создавать хорошие чертежи, изме-рять длины, площади и углы с нужной точностью любых фигур.

Применение соответствующих электронных пособий на занятиях математики показывает повы-шенный интерес к занятиям математики, улучшение дисциплины на занятиях, улучшение успеваемо-сти по другим предметам, повышение внимания и улучшение памяти.

До недавнего времени преподавателю математики при объяснении нового материала было необ-ходимо рисовать какой-либо график или чертеж на доске с помощью мела. На сегодняшний момент очень удобным при пояснении нового материала стало создание и использование простых слайдов для занятий. Применение слайдов на занятиях математики, во-первых, освобождает преподавателя от необходимости рисования какого-либо чертежа непосредственно на занятии, во-вторых, экономит время, в-третьих, чертеж на экране интерактивной доски визуально выглядит крупно, красочно, ярко.

Компьютерная технология основывается на использовании некоторой формализованной модели содержания, которое представлено педагогическими программными средствами, записанными в па-мять компьютера, и возможностями телекоммуникационной сети.

Главной особенностью фактологической стороны содержания образования является многократ-ное увеличение «поддерживающей информации», наличие компьютерной информационной среды, включающей на современном уровне базы информации, гипертекст и мультимедиа (гипермедиа), имитационное обучение, электронные коммуникации (сети), экспертные системы.

Информатизация обучения требует от обучающих и обучаемых компьютерной грамотности, ко-торую можно рассматривать как особую часть содержания компьютерной технологии. В структуру содержания компьютерной технологии (компьютерной грамотности) входят:

знание основных понятий информатики и вычислительной техники; знание принципиального устройства и функциональных возможностей компьютерной техники; знание современных операционных систем и владение их основными командами; знание современных программных оболочек и операционных средств общего назначения и владение их функциями;

первоначальный опыт использования прикладных утилитарного назначения. Современные мультимедийные технологии могут быть использованы: 1. Для объявления темы. Тема урока представлена на слайдах, в которых кратко изложены ключевые моменты разбирае-

мого вопроса, цели и задачи занятия. 2. Как сопровождение объяснения учителя. Для конкретных занятий использование мультимедийных конспектов-презентаций, содержащих

краткий текст, основные формулы, схемы, рисунки, графики, видеофрагменты. 3. Как информационно-обучающее пособие. Данная мультимедийная технология может быть использована при организации самостоятель-

ной работы обучающихся. Наличие мультимедийного обеспечения позволяет компенсировать недос-таточность лабораторной базы, благодаря возможности моделирования процессов и явлений. Исполь-зование компьютера на этом этапе имеет, помимо плюсов (индивидуальный темп работы с програм-мой, большой объем информации по теме, наличие мультимедиа), и минусы: отсутствие контакта с преподавателем, восприятие текстовой информации с экрана монитора.

Вопросы использования мультимедийных…


4. Для контроля знаний. Использование компьютерного тестирования повышает эффективность учебного процесса, ак-

тивизирует деятельность обучающегося. Тесты могут представлять собой варианты карточек с во-просами, ответы на которые тестируемый может записывать на специальном бланке ответов или ли-стке бумаги. При создании теста с выбором ответа на компьютере можно организовать вывод реак-ции о правильности (неправильности) сделанного выбора или без указания правильности сделанного выбора.

Использование мультимедийных технологий в процессе обучения математике имело следующие положительные результаты:

улучшение качества образования; повышение информативной емкости учебного содержания; расширение предметной области через интеграцию с информатикой и другими предметами ес-тественно-математического цикла.

При использовании компьютерных средств обучения (при объяснении (введении) нового мате-риала, закреплении, повторении, контроле знаний, умений, навыков) можно отметить следующие вы-годные особенности:

обучающийся становится субъектом обучения, ибо программа требует от него активного управления;

легко достигается уровневая дифференциация обучения; достигается оптимальный темп работы ученика, так как каждый студент имеет индивидуаль-ное задание, работая в своем темпе;

сокращается время при выработке технических навыков обучающихся; увеличивается количество тренировочных заданий; отслеживаются ошибки, допущенные студентом, и повторно отрабатывается недостаточно ус-военный материал;

работа студента оценивается сразу; преподаватель меньше тратит времени на проверку работ; обучение можно обеспечить материалами из удаленных баз данных, пользуясь средствами те-лекоммуникаций;

при работе с компьютером присутствует элемент игры, так иногда недостающий на занятиях, и у большинства студентов 1 курсов повышается мотивация учебной деятельности.

Мультимедийная технология работы с электронным учебником позволяет осуществлять субъект -субъектные отношения преподаватель-студент, индивидуализировать и дифференцировать учебный процесс.

Использование мультимедийной технологии позволяет совершенствовать научно-методический потенциал педагога, труд которого в учебном процессе существенно облегчается.

Мультимедийные технологии должны рассматриваться как вспомогательные средства по отно-шению к мыслительной работе участников образовательного процесса. Какими бы заманчивыми ни были новые информационные технологии, какими бы уникальными возможностями они не обладали, приоритетным всегда остается принцип «не навреди».

Педагог должен найти свою «золотую середину» использования мультимедийных технологий в учебном процессе в зависимости от цели, формы, метода проведения занятия и уровня подготовлен-ности аудитории.

Использование новых информационных технологий в образовании, непосредственно в процессе обучения, позволяет повышать свой интеллектуальный уровень, свою квалификацию, дополнительно изучая различные программы, такие как MatLab, MatCad, Microsoft Excel и многие другие. Например, при изучениии темы «Решение системы линейных уравнений» по дисциплине «Математика в экономике» для студентов экономических специальностей преподавателю можно использовать программный инструментарий мастера функций табличного редактора Microsoft Excel и наглядно продемонстрировать, при этом рационально использовав свое время, решение системы линейных уравнений как методом Крамера, так и методом обратной матрицы.

Пример. Необходимо решить систему линейных уравнений. Для реконструкции 3 цехов завода выделены деньги. Для 1 цеха — 510000, для второго — 180000, для третьего — 480000. Для всех цехов необходимо купить станки трех видов А, В, С. Причем для 1



цеха — 4 станка А, 8 станков В и 1 станок С. Для 2 цеха — 1 станок А, 2 станка В и 1 станок С и для 3 цеха — 1 станок А, 5 станков В и 4 станка С. По какой максимальной цене можно купить станки?

Обозначим максимальные цены 1 2 3, , .x x x Тогда 1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 8 510000;

2 180000;

5 4 480000.

x x x

x x x

x x x

Представим данные в виде матриц А, х, b, где матрица А — матрица коэффициентов; х — матри-ца неизвестных и b — матрица свободных чисел. Итак, для решения поставленной задачи необходи-

мо решить систему линейных уравнений ,AX b где

4 8 1

1 2 1 ;

1 5 4

A

510000

180000 .

480000

b

Наиболее простым методом решения системы линейных уравнений является метод обратной матрицы с использованием формулы

x=A-1 b. Алгоритм решения представлен ниже:

B C D E F G H I J K L M N O P Q

2 4 8 1 510000 3 A 1 2 1 B 180000 A-1 X 4 1 5 4 480000

=МОБР (C2: E4)

=МУМНОЖ (K2: M4;H2: H4)

B C D E F G H I J K L M N O P Q2 4 8 1 510 000 -0,3333 3 -0,667 50000 3 A 1 2 1 B 180 000 A-1 0,33333 -1,6667 0,333 X 30000 4 1 5 4 480 000 -0,3333 1,3333 0 70000 5

Таким образом, за считанные минуты с использованием мастера функций табличного редактора

Microsoft Excel студенты могут найти решение системы линейных уравнений двумя методами: мето-дом Крамера и методом обратной матрицы.

References

1 Robert I.V. The modern information technologies in education: didactic problems; prospects of use. — М.: School Press, 1994.

А.З.Əлимағамбетова, А.Т.Бесжанова

Математикалық пəндерді оқытуда мультимедиалық технологияларды қолдану мəселелері

Мақалада математикалық пəндерді оқытуда қазіргі мультимедиалық технологияларды қолдану əдістері қарастырылады. Компьютерлік презентацияларды пайдалану оқытушы жұмысын оңайлатады жəне ол кезде студенттердің пəнге деген қызығушылықтары артады.

A.Z.Alimagambetova, A.T.Beszhanova

Issues of applying multimedia technologies in teaching mathematical sciences

In this work methods of applying multimedia technologies in teaching mathematical sciences are provided. The ways of applying modern multimedia technology are indicated. The use of computer presentations sig-nificantly simplifies the work teaching, with students there increased interest in mathematic document write.

Метод сквозных задач…


УДК 37.022:681.3 (075.8)

Т.С.Григорьева, Т.В.Заикина

Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова (E-mail: [email protected])

Метод сквозных задач в обучении математике

В статье рассмотрены задачи школьного курса математики и их решение при помощи метода сквоз-ных задач. В ней представлены задачи, позволяющие развивать интуицию учащихся, делать обосно-ванные выводы. В целях математического развития учащихся представлены одни и те же задачи в раз-ных классах, что позволяет глубже осмыслить задачу, показать эффективность одного метода перед другим. Также может быть получено обобщенное решение задачи или такое, которое расширяет по-становку вопроса, доказывает, что задача не может иметь других решений.

Ключевые слова: метод сквозных задач, математическая модель, преемственность, информация, тре-угольник, принцип систематичности.

Когда говорят о содержании школьного курса математики, то обычно имеют в виду усвоение

школьниками определенной системы математических знаний, умений и навыков. Безусловно, это од-на из наиболее важных задач, стоящих перед школой. Однако нельзя сводить всю проблему матема-тического образования в школе к передаче учащимся определенной суммы знаний и навыков. Это неправомерно ограничивало бы роль математики в общем образовании. Поэтому перед современной школой стоит и другая, не менее важная, задача — задача математического развития учащихся. Ме-тод сквозных задач ориентирован на решение этой задачи. Главная мысль метода сквозных задач за-ключается в том, что при изучении курса математики учащиеся рассматривают несколько основных математических моделей, помогающих им осознать смысл рассматриваемых понятий, их свойства, различные случаи практического применения усвоенных понятий, их взаимосвязи и другие вопросы курса [1–4].

Под методом сквозных задач понимается использование упорядоченных комплексов математи-ческих задач, связанных одной и той же математической моделью, посредством которых реализуются цели обучения, воспитания и развития учащихся на том или ином этапе обучения.

Укажем характерные черты метода сквозных задач. 1. Раскрытие происхождения, выявление подлинного существа понятия составляют основное

назначение и основную особенность обучения математике методом сквозных задач. Этот подход к обучению основан не просто на данном построении разделов школьного курса математики, а на рассмотрении такого практического материала, который вскрывает генезис математических понятий, показывает их происхождение, мотивирует необходимость введения понятий, логику их развития.

2. При использовании метода сквозных задач источниками новой информации являются примеры, связанные с количественным изучением разных аспектов одной и той же математической модели. При этом предполагается, что в процессе такого обучения подача новой информации и переработка ее учащимися значительно больше сближаются между собой, чем при традиционном обучении.

3. При обучении методом сквозных задач создается возможность построения системы задач, при решении которых ученик использует различные аспекты математической деятельности (выявление проблемных ситуаций, математизация конкретных ситуаций, решение задач, мотивирующих необходимость расширения теории).

4. Использование метода сквозных задач во многом отвечает требованиям проблемного характера обучения в школе.

5. Процесс формирования основных понятий школьного курса математики в соответствии с методом сквозных задач состоит из системы теоретико-познавательных заданий, направленных на формирование у учащихся основных теоретических представлений, образующих данное основное понятие. Поэтому для формирования основных понятий строится, как правило, не одно теоретико-познавательное задание, а система заданий.



Заметим, что серия тематически связанных заданий для изучения одного и того же понятия по-могает раскрыть содержание формируемого понятия в порядке закрепления усвоенных знаний, подго-тавливает учащихся к формированию нового понятия.

Исходя из вышеизложенного, разрабатывая метод сквозных задач, мы считали методически це-лесообразным, что процесс формирования понятий нужно не начинать с логического определения, а завершать этим определением уже сформированное понятие. При этом было бы весьма полезным, чтобы учащиеся сами пришли к правильному определению, выделяя основные свойства изучаемого понятия и сопоставляя эти свойства с существенными признаками определяемого математического понятия. В ходе исследования мы убедились, что учащиеся легче усваивают новые понятия, если им понятна цель их изучения, связь их с известным материалом, если новое свойство, новая закономер-ность подмечены самими учащимися.

Ясно, что такая система изложения, данная лишь в одном месте курса, не произведет должного эффекта. Поэтому речь может идти только о сквозной линии, обеспечивающей преемственность в изучении этих вопросов при переходе от одного этапа обучения к другому.

Конкретизируем сказанное на примерах. В целях математического развития учащихся рассмот-рение одной и той же задачи в разных классах представляет значительный интерес. По мере изучения математики к решению некоторых задач следует возвращаться несколько раз. Это делается для того, чтобы глубже осмыслить задачу, показать эффективность одного метода перед другим. Также можно получить обобщенное решение задачи или такое, которое расширяет постановку вопроса, доказывает, что задача не может иметь других решений.

Рассмотрим несколько примеров. 1. Найти четыре последовательных числа, произведение которых равно 5040. V класс. На данном этапе учащиеся изучают только натуральные числа, поэтому, естественно,

что они ищут только натуральные решения. Если x — наименьшее из данных чисел, то из условия задачи будем иметь

1 2 3 5040.x x x x Так как в левой части этого равенства записано произведение четырех

последовательных чисел, то выясним: нельзя ли и число 5040 тоже представить в виде произведения четырех последовательных чисел: 5040 504 10 9 56 10 7 8 9 10. Итак, получаем

1 2 3 7 8 9 10,x x x x откуда следует, что числа 7, 8, 9, 10 — искомые.

VI класс. Теперь учащиеся знакомы и с отрицательными числами, поэтому из условия задачи будет следовать еще и такое равенство 1 2 3 ( 7) ( 8) ( 9) ( 10).x x x x Следовательно,

кроме уже найденных чисел, условию задачи будет удовлетворять и еще одна четверка чисел: 7, 8, 9, 10.

Таким образом, в результате решения задачи найдены две четверки искомых чисел, однако на данном этапе мы не можем утверждать, что других чисел, удовлетворяющих условию задачи, нет.

VIII класс. Здесь учащиеся знакомятся с решением квадратных уравнений, поэтому задачу мож-но сформулировать иначе:

Решить уравнение 1 2 3 5040.x x x x

В левой части уравнения удобно найти произведение множителей первого и четвертого, второго и третьего. В этом случае получим многочлены, у которых коэффициенты при 2x и x одинаковы, т.е.

будем иметь 2 23 3 2 5040.x x x x Пусть 2 3 ,x x y тогда 2 2 5040 0,y y где 72y и

70.y Отсюда 2 3 72x x или 2 3 70.x x В первом случае уравнение корней не имеет, во вто-

ром — корнями уравнения являются числа 10 и 7, а, следовательно, искомыми числами будут уже известные нам четверки чисел.

С учениками VIII класса следует не только вспомнить прежние решения этой задачи, но и пока-зать преимущество последнего: мы нашли те же корни, что и в VI классе, но дополнительно показали еще и то, что других действительных чисел, удовлетворяющих условию задачи, нет.

2. Доказать, что

1 1 1 1 1

... .1 2 2 3 3 4 1

n

n n n



V класс. Для учеников V класса формулировку задачи несколько изменим:

Вычислить сумму 1 1 1 1 1 1 1

. .1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8

Прежде всего, учащимся следует предложить придумать пару дробей, произведение которых равно их же разности, а затем приступить к нахождению искомой суммы:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 1

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 2 2 3 3 4 4 5 5 61 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

16 7 7 8 2 2 3 3 4 4 5 5 6

1 1 1 1 1 71 .

6 7 7 8 8 8

При решении этой же задачи в VIII–IX классах перед ее выполнением следует найти (не угадать, не привести пример, как в V классе) закономерность получения таких дробей, разность которых рав-

на их произведению, т.е. выяснить при каком условии .a c a c

b d b d Отсюда будем иметь

,ac ad bc или 1 .d b

c a Итак, получили, что разность дробей, обратных данным, должна равнять-

ся 1. Например,

1) 4 3 1, 1

4 и

1

3 — искомые дроби;

2) 5 2

1,3 3

3

5 и

3

2 — искомые дроби.

В результате приведенных рассуждений замечаем, что числители интересующих нас дробей

равны, а знаменатель одной из них больше знаменателя другой на величину числителя, т.е. m

n и

.m

n m

В X–XI классах данное упражнение можно выполнить, применяя метод математической индукции. 3. Доказать, что 3 11 : 6,m m где .m N VII класс. Преобразуем данный двучлен:

3 3 211 12 1 12 1 1 12 .m m m m m m m m m m m m

В этой сумме первое слагаемое, т.е. 1 1 ,m m m — произведение трех последовательных

натуральных чисел, из которых одно делится на 3, и хотя бы одно делится на 2, следовательно,

1 1m m m делится на 6. Второе слагаемое 12 m при всех m N также делится на 6. Отсюда 3 11 : 6m m при всех .m N

VIII класс. При делении числа m на 6 могут получиться остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, поэтому оно мо-жет быть представлено в виде 6 ,a 6 1,a 6 2a или 6 3.a Проверим делимость на 6 данного выра-

жения, т.е. 3 211 11 ,m m m m во всех случаях.

Если 6 ,m a 26 6 11a a делится на 6.

Если 6 1,m a то

2 2 26 1 6 1 11 6 1 36 12 1 11 12 6 1 3 1a a a a a a a a

делится на 6.

Если 6 2,m a то 2 26 2 6 2 11 6 3 1 12 8 5a a a a a делится на 6.

Если 6 3,m a то 2 26 3 6 3 11 12 2 1 9 9 5a a a a a делится на 6.



Итак, при любом натуральном m выражение 3 11m m делится на 6. IX класс. Так как 6 2 3, где 2 и 3 — взаимно простые числа, то вопрос о делимости выражения

3 211 11m m m m на 6 сводится к вопросу о делимости его на 2 и 3.

Рассматриваемое произведение 2 11m m при любом m N делится на 2, так как при 2m a

первый множитель, а при 2 1m a второй делится на 2. Проверим делимость данного выражения на 3.

Пусть 3 ,m b тогда 23 3 11b b делится на 3. Пусть 3 1,m b тогда 2

3 1 3 1 11b b

2 23 1 9 6 12 3 3 1 3 2 4b b b b b b делится на 3.

Итак, выражение 3 11m m при любом m N делится и на 2, и на 3, следовательно, оно делится на 6.

В X–XI классах данное упражнение можно выполнить, применяя метод математической индукции. 4. Даны четыре точки A, B, C, D. Доказать, что если ,AD BC ,BD AC то .CD AB VII класс. Трудность решения этой задачи — в построении чертежа. По условию задачи отрезки

BD и AD соответственно перпендикулярны отрезкам AC и BC, которые можно принять за стороны треугольника ABC. Тогда по свойству высот треугольника луч CD перпендикулярен третьей стороне треугольника (рис. 1).

В

СА

Рисунок 1

IX класс. Возвращаясь в IX классе к этой задаче, следует отметить, что решение, рассмотренное в VII классе, имеет существенный недочет: мы ссылались на то, что в треугольнике три высоты пере-секаются в одной точке, но это положение не было доказано. Предлагаемое здесь доказательство с помощью векторов корректнее, хотя и более громоздко:

( ) ( ) ( )

0 0

CD AB CA AD AB CA AB AD AB CA AD DB AD AC CB

CA AD CA DB AD AC AD CB CA AD AD AC

CA AD AD AC

( ) 0 0.AD CA AC AD

В результате преобразований получили, что 0,CD AB

значит .CD AB В X–XI классах следует рассмотреть случай, когда точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости,

т.е. могут быть вершинами тетраэдра. Доказательство в этом случае будет аналогично только что приведенному.

5. Найти наименьшее значение выражения 4 1

,x x

x

где x — положительное число.

VII — VIII классы. Можно предложить учащимся графический способ решения:

24 1 4 5 45 .

x x x xy x

x x x

Пусть 1

4,y

x 2 5.y x

Построим в одной и той же системе координат графики указанных функций и будем непосред-ственно складывать ординаты, соответствующие одним и тем же значениям абсцисс (рис. 2).



xy 5

xy

4

у

0 х

Рисунок 2

Так как по условию 0x , то искомый график будет расположен в первой четверти, а «нижняя» его точка будет иметь абсциссу 2 и ординату 9.

Итак, число 9 — наименьшее значение данного выражения.

IX класс. В учебнике для IX класса доказано, что при 0c истинно неравенство 1

2,cc

т.е.

2 — наименьшее значение суммы двух взаимно-обратных чисел.

Поскольку 4 1 4 2

5 2 5,2

x x xy x

x x x

а 2

x и

2

x — два взаимно-обратных числа,

то выражение 2

2 52

x

x

принимает наименьшее значение, равное 2 2 5 9.

X класс. Решим эту задачу с помощью производной.

Так как 4

5 ,y xx

то 2

41.y

x Тогда 0,y если 2.x Но по условию 0,x следова-

тельно, 0y при 2.x Если 0 2,x то 0.y Если 2,x то 0,y значит 2x является точкой

минимума и 2 9.y

При решении этой задачи следует подчеркнуть важность каждого из рассмотренных способов. Так, например, ценность графического решения (хоть оно и не всегда дает точные ответы) в его на-глядности. Последний же способ весьма распространен при решении аналогичных задач.

Известно, что одна и та же математическая закономерность может послужить основой для до-вольно большого числа сквозных задач. Рассмотрим, например, следующие задачи.

6. Доказать, что сумма двух последовательных четных чисел не может быть точным квадратом. 6.1. Доказать, что квадрат целого числа, увеличенный на 1 или на 2, не делится на 4. 6.2. Доказать, что сумма квадратов двух или трех нечетных чисел не может быть точным квадра-

том. 6.3. Доказать, что уравнение 2 2 1234567x y не имеет решений в целых числах. 6.4. Доказать, что если в прямоугольном треугольнике длины всех сторон — целые числа, то его

катеты не могут одновременно выражаться нечетными числами. В основе всех пяти задач лежит общая математическая закономерность, заключающаяся в том,

что квадрат любого целого числа либо делится на 4 без остатка, либо при делении на 4 дает в остатке 1. Решение подобных задач варьируется как по степени трудности, так и по мере изучения материала.

Наряду с использованием математической закономерности в различных ситуациях следует прак-тиковать также рассмотрение ее частных случаев, обобщений и аналогий. Учащиеся учатся исполь-зовать имеющиеся у них знания как средство для получения новых знаний, что очень важно для раз-вития познавательной самостоятельности и устойчивого интереса к предмету.

7. Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.

VIII класс. Используется теорема Пифагора. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC из вер-шины C прямого угла проведена высота CD (рис. 3 а).



А

С

D В

а б

в г

д

Рисунок 3

Тогда 2 2 2 ,AC AD CD 2 2 2 ,BC DB CD 22 .AB AD DB Приняв во внимание, что 2 2 2 ,AC BC AB получим 22 2 2 2 .AD CD DB CD AD DB Отсюда 2 .CD AD DB

В IX классе эта задача решается из подобия прямоугольных треугольников, полученных при проведении высоты к гипотенузе.

Варьирование этой задачи позволяет получить эквивалентную ей задачу, а также серию сквоз-ных задач.

7.1. Сумма углов при основании треугольника равна 90 . Доказать, что высота этого треуголь-ника есть среднее геометрическое проекций боковых сторон на основание.

В результате перемещений треугольника ABC, показанных на рисунке 3, образуются различные новые фигуры, в приложении к которым рассматриваемая закономерность несколько видоизменяется.

7.2. Разность углов при основании треугольника равна 90 . Доказать, что высота этого треуголь-ника есть среднее геометрическое проекций боковых сторон на основание (рис. 3 б).

7.3. Разность углов при одном из оснований трапеции равна 90 , и одна из ее диагоналей пер-пендикулярна основаниям. Доказать, что квадрат высоты трапеции равен произведению оснований (рис. 3 в).

7.4. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что ее высота есть среднее геометрическое оснований (рис. 3 г).

7.5. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90 . Доказать, что высота трапеции есть среднее геометрическое проекций ее боковых сторон на основание (рис. 3 д).

По мере изучения геометрии представляется возможность неоднократно возвращаться к интере-сующей нас закономерности и дальнейшего решения сквозных задач, основанных на ней.

7.6. Доказать, что если диагональ равнобочной трапеции перпендикулярна боковой стороне, то разность квадратов оснований трапеции равна учетверенному квадрату ее высоты.

7.7. В прямоугольном треугольнике ABC на катете AC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке D. Доказать, что 2 .CD AD BD

7.8. Доказать, что для всех ромбов, описанных около данной окружности, произведение отрезков стороны ромба, образованных точкой касания, есть величина постоянная.

7.9. Внутри прямого угла из его вершины как из центра проведена дуга окружности, а затем че-рез точку M этой дуги проведена касательная до пересечения со сторонами угла в точках A и B. Дока-зать, что произведение AM MB не зависит от положения точки M на дуге.

7.10. Доказать, что произведение оснований всякой равнобочной трапеции, описанной около данной окружности, есть величина постоянная.

7.11. Доказать, что стороны любой описанной около данной окружности трапеции делятся точ-ками касания на такие восемь отрезков, произведение которых постоянно.



7.12. Доказать, что площадь описанной равнобочной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического оснований.

Имея дело с какой-либо математической закономерностью, часто бывает полезно получить от-дельные ее частные случаи и обобщения. Если эта закономерность представлена в виде теоремы или задачи на доказательство, то целесообразно исследовать и обратное утверждение. Так, в рассматри-ваемом нами случае имеет место следующая задача.

7.13. Доказать, что если в треугольнике высота, проведенная к большей стороне, есть среднее геометрическое проекций на эту сторону двух других сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

Слова «проведенная к большей стороне» здесь обязательны, иначе, как это следует из задачи 7.2, треугольник может оказаться тупоугольным.

Рассмотрим теперь несколько примеров обобщений, допускаемых интересующей нас сквозной задачей.

7.14. В прямоугольном треугольнике ABC из точки E, взятой на катете AC, опущен перпендику-ляр ED на гипотенузу. Доказать, что 2ED AD DB AE EC (рис. 4 а).

В частном случае, когда точка E совпадает с точкой C, получим соотношение, доказанное в за-даче 7.

7.15. В треугольнике ABC, углы A и B которого острые, проведена высота CD. Доказать, что 2CD AD DB AC BC COS C (рис. 4 б). Очевидно, что, когда угол C прямой, последние две задачи приводят к соотношению, доказан-

ному в задаче 7.

В

С

А

Е

В

С

А

Н

а б

Рисунок 4

По аналогии с рассмотренной серией задач может быть получена новая путем использования другой математической закономерности: в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу.

Наряду с такими закономерностями следует рассматривать различные сквозные задачи как ин-тересные частные случаи. Рассмотрим пример.

8. Доказать, что для любых четырех точек A, B, C, D в пространстве справедливо равенство

2 2 2 2 2 .AC DB AB DC AD BC

X класс. Имеем .AC DB AB BC DB AB DC

Отсюда

2 2 2 2 2 ( ).AC DB AB DC AB DC AC DB

Преобразовав выражение, стоящее в скобках, получим

( ) ( )

( ) .

AB DC AC DB AD DB DC AD DC DB AD DC AD DB

AD DC DB AD BC

Учитывая полученные результаты, получаем требуемое равенство. Рассмотрим некоторые частные случаи задачи 8. 8.1. Доказать, при произвольном параллельном переносе двух противоположных сторон четы-

рехугольника разность между суммой квадратов диагоналей и суммой квадратов двух других сторон остается постоянной.

8.2. Доказать, что у всех четырехугольников с соответственно равными диагоналями, образую-щими между собой равные углы, абсолютная величина разности между суммами квадратов противо-



положных сторон постоянна. Если пары точек A и B, C и D лежат на взаимно перпендикулярных

прямых, то 0AD BC

и 2 2 2 2.AC DB AB DC Из этого соотношения вытекают задачи. 8.3. Два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны. Доказать, что сумма

квадратов двух других пар противоположных ребер равна между собой (рис. 5 а). 8.4. Продолжения двух противоположных сторон четырехугольника пересекаются под прямым

углом. Доказать, что сумма квадратов двух других сторон этого четырехугольника равна сумме квад-ратов диагоналей (рис. 5 б).

Эта задача в свою очередь допускает следующий частный случай. 8.5. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90 . Доказать, что сумма квадратов

диагоналей этой трапеции равна сумме квадратов оснований. 8.6. На высоте треугольника взята произвольная точка D. Доказать, что суммы квадрата боковой

стороны этого треугольника и квадрата расстояния от точки D до вершины, противолежащей взятой боковой стороне, равны между собой (рис. 5 в).

АD

В

СВ

В С

D

D

А

А

С

а б в

Рисунок 5

Отметим одно интересное следствие, вытекающее из задачи 8.6. 8.7. Доказать, что для данного треугольника сумма квадрата любой стороны и квадрата расстоя-

ния от противолежащей ей вершины до ортоцентра есть величина постоянная. В процессе изучения математики учащимся приходится овладевать новыми для них методами

решения задач. Рассмотренные примеры показывают, что основной процедурой метода сквозных за-дач является выделение из всего целостно отобранного содержания самого главного, основного, наи-более существенного, что позволяет сконцентрировать на нем внимание при объяснении материала, во время выполнения упражнений, а также в ходе последующего опроса.

Педагогической основой метода сквозных задач является принцип систематичности, требую-щий, чтобы учащиеся овладевали научными знаниями, умениями и навыками в строго определенном порядке, чтобы система проявилась не только внешне, в соответствующем расположении изучаемого материала, а создавалась в сознании учеников.

References

1 Gleyzer G.D. Improving of the teaching of mathematics in school. — M.: Enlightenment, 1989. — 238 p. 2 Guba S.G. Development of students' interest in the searching and studying of mathematical regularities // Mathematics in

school. — 1972. — 3. — P. 19–22. 3 Zubelevitch G.I. The solution of the same task in different classes // Mathematics in school. — 1980. — 5. — P. 60–62. 4 Petrov V.A. The Intensification of students’ studying // Mathematics in school. — 1981. — 6. — P. 25–27.




Математиканы оқытуда алмаспайтын есептер əдісін қолдану

Мақалада мектептегі математика жəне олардың шешімдері курсындағы есептер алмаспайтын есептер əдісімен қарастырылады. Бұнда оқушылардың сезгіштігін дамытуға, негізделген қорытындыларын жасауға мүмкіндік беретін есептер ұсынылған. Оқушыларды математикалық жағынан дамыту мақсатымен əр түрлі сыныптарда бір есеп қарастырылған. Бұл маңызды қызығушылықты туындатады, себебі есепті тезірек түсіндіруге, бір əдісті басқамен салыстырғанда тиімділігін көрсетуге болады. Сонымен қатар есепті толық шешуге немесе сұрақтың қойылымын тереңдету мүмкіндігін, есептің басқа шешімдері жоқ екенін көрсетеді.

T.S.Grigorieva, T.V.Zaikina

The cross-cutting objectives method in mathematic studying

The article is devoted to the tasks in school mathematics and also to the solution by the cross-cutting objec-tives method. There are the tasks that let develop intuition and make the outputs reasonable. To make mathe-matical development better there are the same tasks in different courses are described in this article. It’s very interesting because it let us understand the task deeper and shows greater effect of the one method over the others. It also let us get the generalized solution of the task or the solution that makes that formulation of the task wider. And it also shows that the task hasn’t any other solutions.

УДК 510.67

А.Р.Ешкеев1, Д.Е.Пальчунов2 1Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова;

2Новосибирский государственный университет, Россия (E-mail: [email protected])

Формализации некоторых синтаксических и семантических свойств аналитических йонсоновских теорий предметных областей

В данной статье представлен обзор результатов обоих авторов, связанный с вопросом построения и исследования теоретико-модельных свойств некоторых неполных аналитических теорий предметных областей. Основная цель данной заметки заключена в дальнейшей разработке логической формализа-ции онтологий предметных областей, начатой в [1–3].

Ключевые слова: модель, онтология, предметная область, язык формализации, исчисление предикатов, решетка, йонсоновская теория.

Введение. В данной статье представлены результаты, связанные с дальнейшей разработкой логи-

ческой формализации онтологий предметных областей, начатой в [1], и данная работа предполагает, что это может оказаться интересным для построения аппарата изучения, вообще говоря, неполных аналитических теорий, что, в свою очередь, тесно связано с построением теорий предметных областей. Все определения теоретико-модельных понятий, связанных с онтологией предметных областей, считаются известными, определенными как в [1]. В случае, если в [1] они неопределены, то будем считать, что мы это можем сделать на базе [1], так как основные синтаксические и семантиче-ские определения там определены.

Выделим два направления в развитии классической теории моделей. В известной книге [2] их называют западной и восточной теориями моделей, так как один из основоположников теории моде-лей А.Тарский жил на западном побережье США с 1940 г., а другой основоположник А.Робинсон — на восточном. Западная теория моделей развивается в традициях Скулема и Тарского. Она в большей степени мотивировалась проблемами в теории чисел, анализе и теории множества, и в ней использу-ются все формулы логики первого порядка. Восточная теория моделей развивается в традициях

А.Р.Ешкеев, Д.Е.Пальчунов


Мальцева и Робинсона. Она мотивировалась проблемами в абстрактной алгебре, где формулы теорий обычно имеют самое большее два блока кванторов. Она делает ударение на множества бесквантор-ных формул и экзистенциальных формул. В отличие от западной теории моделей, которая изучает полные теории, восточная теория моделей, вообще говоря, имеет дело с неполными теориями. В смысле полноты рассматриваемой теории максимальное требование, как правило, — экзистенциаль-ная полнота. Всем этим условиям удовлетворяют йонсоновские теории.

В [3] было дано объяснение того факта, почему интересно изучать неполные индуктивные теории. Среди таких теорий важное место занимают йонсоновские теории. К примеру, йонсоновскими являются теории групп, абелевых групп, полей фиксированной характеристики, линейных порядков, булевых алгебр, унаров и полигонов. Таким образом, сделаем вывод, что изучение йонсоновских тео-рий относится по своей сути к проблематике «восточной» теории моделей.

Основные принципы формализации онтологий предметных областей. Формализация понятий является одной из ключевых задач для моделирования на компьютере исследовательской деятельно-сти человека. В настоящее время одним из наиболее мощных средств представления понятий явля-ются онтологии. Они широко применяются как в теоретических исследованиях, так и в практических приложениях.

В инженерию знаний понятие «онтология» пришло из философии. В философии оно означает описание общей структуры мира. В инженерии знаний онтология описывает данную предметную об-ласть, или, более точно, данный класс предметных областей. Онтология показывает общее видение таких предметных областей.

В настоящее время много исследований по представлению знаний работает с понятием онтоло-гии. Суммируем то, что разные авторы понимают под словом онтология:

Онтология — это инструмент для моделирования реальности. Онтология описывает определенную предметную область. Знание, представленное онтологией, должно быть интерсубъективным (это означает, что все

эксперты в данной предметной области должны признавать утверждения, представленные в онтоло-гии этой предметной области).

Онтология должна содержать глоссарий ключевых понятий и спецификацию их смысла. Таким образом, цель онтологии — описание общих свойств предметной области, не зависящие

от ее конкретных реализаций. В настоящее время имеется огромное количество исследований по онтологиям. Эти исследова-

ния можно условно разделить на два направления: 1. Исследование методов построения онтологий конкретных предметных областей; применение онто-

логий для решения различных задач, связанных в первую очередь моделированием предметных областей. 2. Разработка логических языков и программных средств, направленных на создание и использо-

вание онтологий, разработка методов обработки информации, представленной с помощью этих языков. Первое из указанных направлений исследований по онтологиям по существу является частью

инженерии знаний. Для специалистов этого направления онтология — это инструмент моделирова-ния реальности, онтология описывает определенную предметную область. Для точного и гарантиро-ванно верного описания некоторой предметной области необходимо сначала, по возможности, полно специфицировать смысл ключевых понятий, терминов, на языке которых специалисты говорят о дан-ной предметной области. Поэтому онтология должна содержать глоссарий ключевых понятий, даю-щий спецификацию их смысла. Правильность онтологии определяется тем, что все эксперты в дан-ной предметной области должны признавать утверждения, представленные в онтологии этой пред-метной области; таким образом, знание, содержащееся в онтологии, должно быть интерсубъективным.

Отметим, что в огромном количестве работ по онтологиям, относящихся данному направлению инженерии знаний, указывалась необходимость переиспользования знаний, представленных в онто-логии. Поэтому одним из наиболее важных, центральных свойств онтологии предметной области яв-ляется то, что она должна описывать общие свойства предметной области, не зависящие от ее кон-кретных реализаций.

Второе направление исследований по онтологиям возникло значительно позже первого. В доста-точно большой степени это направление связано с деятельностью W3C - WWW-Консорциума, в ча-стности, с его проектом SemanticWeb.

В рамках этого направления основное внимание уделяется средствам представления онтологий: логическим языкам, языкам формализации онтологий, программным средствам, ориентированным на

Формализации некоторых синтаксических…


разработку онтологий. Например, WWW-Консорциум в рамках проекта SemanticWeb продвигает язык представления онтологий OWL, основанный на семействе логик DescriptionLogics. Разработка онтологий на языке OWL поддерживается программной системой Protégé.

При этом практически никакого внимания не уделяется тому, какая информация должна быть представлена в онтологии. Может создаться впечатление, что с точки зрения представителей этого направления онтология — это любая информация о предметной области, написанная на языке OWL. Характерно, что в одной из основных работ, лежащих в русле этого направления, — Справочной книге по онтологиям по существу не дается определения онтологии. В качестве определения онтоло-гии (единственного в этой Справочной книге) приводится всё то же краткое, символическое опреде-ление Грюбера: «Онтология — это явная спецификация концептуализации».

В настоящее время в рамках этого направления создано достаточно большое количество инст-рументальных средств разработки и представления онтологий. Это:

Protégé, Protégé-OWL OilEd Ontolingua OntoEdit WebOnto OntoSaurus ODE и т.д. … Все они основаны на различных логических средствах. Возникает вопрос — каковы должны и

могут быть логические средства представления онтологий? Каков спектр таких средств — от самых простых до самых сложных и выразительных? Возможны следующие варианты ответов на эти вопросы:

это может быть набор простых отношений между понятиями: например, очень популярные в объектно-ориентированном программировании отношения общее — частное, часть — целое и т.п.;

в качестве основы языка представления онтологий может быть использована логика описаний (DescriptionLogic);

и вообще для представления онтологий может быть взят произвольный разрешимый фрагмент логики предикатов (например, универсальные формулы, формулы с ограниченными квантора-ми и т.п.).

Каковы в таком случае должны быть требования к логическим средствам представления онтоло-гий? В качестве основных можно выделить следующие требования:

разрешимость — существование алгоритмов проверки доказуемости и эквивалентности фор-мул, непротиворечивости конечных множеств формул;

эффективность разрешающих алгоритмов; наличие уже разработанных пруверов (программ, осуществляющих логический вывод). Таким образом, следует отметить, что указанные исследования по инструментальным средствам

представления онтологий, несмотря на их достаточно большую практическую значимость, по суще-ству не исследуют содержание онтологии, т.е. информацию о предметной области, которая должна быть представлена в онтологии.

При исследовании и разработке онтологий мы имеем дело с двумя основными проблемами: что такое онтология — т.е. какую информацию о предметной области она должна содержать; каким способом должна быть представлена онтология для эффективной работы с ней (в част-ности, необходимы разрешимость и не очень большая сложность разрешающих алгоритмов).

Решением последней проблемы, как было отмечено выше, достаточно успешно занимается вто-рое направление в исследовании онтологий. Мы же сконцентрируем наше внимание на первой про-блеме. Её мы можем более детально сформулировать в виде следующих вопросов:

Что такое онтология? Чем отличается онтология от неонтологии? Какую информацию о предметной области должна содержать онтология? Исходя из этого, сформулируем основные вопросы определения и формализации онтологий: Должна ли (может ли) онтология содержать всю известную информацию о предметной области?



Верно ли, что любая информация о предметной области, записанная на языке OWL, может быть включена в онтологию данной предметной области?

Достаточна ли логика описаний (DescriptionLogic) как логическое средство представления онто-логий?

Насколько широко возможна автоматизация разработки онтологий, каковы методы такой авто-матизации?

Насколько эффективным может быть применение онтологий, какие практические задачи, свя-занные с моделированием предметных областей, могут быть решены применением онтологий?

Онтология должна описывать общие свойства предметной области, не зависящие от ее конкрет-ной реализации, — это даёт возможность ее повторного использования. Таким образом, онтология предметной области должна содержать только ту информацию, которая является верной для каждого конкретного примера данной предметной области. Поэтому онтология должна содержать только предложения, являющиеся аналитическими в контексте рассматриваемой предметной области. Онто-логия предметной области должна содержать множество ключевых понятий предметной области и аналитические предложения, определяющие смысл данных ключевых понятий. Идея отличать анали-тические и синтетические утверждения принадлежит Канту. Карнап выполнил пересмотр этой идеи и дал точные определения.

Онтология предметной области должна состоять из ключевых понятий предметной области и полного описания значений ключевых понятий. Формальной онтологией предметной области SD назовём пару O=< A, >, где — множество ключевых понятий предметной области; A — множе-ство аналитических предложений, описывающих смысл этих ключевых понятий. Множество T предложений, которые являются верными в каждом примере предметной области, будем называть теорией предметной области SD.

Пусть пара <S, > является формальной онтологией предметной области O. Множество Ta = | из S выводимо будем называть аналитической теорией предметной области O. Пусть T — теория предметной области O, Ta является аналитической теорией O и Se — множества предложений, такие что T = TaSe, т.е. T= | TaSe. Тогда множество Se назовем множеством эвристик данной предметной области O. Множество эвристик Se формализует специальное знание экспертов в данной предметной области.

Можно выделить следующие стадии построения эмпирической теории предметной области: I. Задание множества эмпирических и теоретических терминов (т.е. ключевых понятий). II. Формулирование определений ключевых понятий. III. Определение эмпирических постулатов. После первой стадии мы имеем логическую теорию, после второй стадии возникает аналитиче-

ская теория, и только после последней стадии мы получаем эмпирическую теорию. С теоретико-модельной точки зрения этапы построения теории предметной области будут сле-

дующими: I. Определение множества ключевых понятий — сигнатуры предметной области. II. Определение глоссария (множества явных и неявных определений) — получаем набор анали-

тических предложений. III. Описание реальных фактов — возникает теория предметной области. После первого этапа мы получаем сигнатуру данной предметной области. Таким образом, после

этой стадии значения истинности определены только для логически истинных предложений (и для отрицания таких предложений). Мы получили логическую теорию — т.е. множество логически ис-тинных предложений чистого исчисления предиката данной сигнатуры.

После второго этапа мы получаем точный смысл всех элементов сигнатуры. Эти смысловые зна-чения формируются из определений сигнатурных символов. Естественно-языковая форма множества этих определений — это глоссарий предметной области.

И, наконец, после последнего этапа мы получаем теорию данной предметной области. Это — эмпирическая теория, она содержит синтетические эмпирические заявления. Заметим, что предложе-ние, которое является аналитическим в одной предметной области, может быть синтетическим в другой.

Таким образом, с теоретико-модельной точки зрения мы имеем следующие шаги моделирования предметной области и построения теории предметной области:



I. Выбор ключевых понятий предметной области дает теорию класса всех моделей рассматри-ваемой сигнатуры — множество тождественно истинных предложений. На этом шаге мы получаем тавтологическую теорию Th () сигнатуры данной предметной области.

II. Разработка глоссария ключевых понятий определяет теорию класса всех моделей, представ-ляющих мыслимые (вообразимые) случаи данной предметной области. Эта теория является множест-вом аналитических предложений. На этом шаге мы получаем аналитическую теорию Ta предметной области, также как и онтологию предметной области.

III. Полное описание реального примера предметной области дает теорию предметной области (для этого примера). Полное описание всех реальных примеров предметной области дает теорию класса всех моделей рассматриваемой предметной области — множество синтетических предложе-ний. На этом шаге заканчивается моделирование предметной области.

Различие между построением онтологии предметной области и теории предметной области со-стоит в количестве шагов: после второго шага дедуктивно замкнутая формальная онтология <Ta, > полностью построена. Однако необходим третий шаг, чтобы закончить построение теории T пред-метной области.

Далее мы применим теоретико-модельные методы для разработки подхода к формализации того, как возникают новые понятия. Главная цель — дать на языке теории моделей точное формальное оп-ределение глоссария предметной области и исследовать возможность представления смысла понятий при помощи глоссария.

Глоссарий состоит из статей, в которых дается определение ключевых понятий некоторой пред-метной области. Глоссарий (тезаурус) является наиболее простым и распространенным способом представления смысла ключевых понятий данной предметной области. Тезаурус представляет наибо-лее простую часть онтологии данной предметной области.

Дадим формальное определение глоссария на языке теории моделей. Пусть — сигнатура. По-следовательность предложений <1, …, n> назовем формальным глоссарием (определяющим поня-тия из ), если выполнено:

а) (1) (1&2) … (1& … &n)= ; б) добавление каждого нового предложения k+1 консервативно расширяет предыдущий набор

предложений 1, …, k, т.е. Th (1& … &k) = Th (1& … &n)S ((1& … &k)).

Консервативность расширений наборов предложений является исключительно важной, посколь-ку при определении новых терминов мы не должны изменять смысл уже определенных понятий (иначе эти предыдущие «определения» не были определениями в строгом смысле).

Явным называется такое определение, в котором один новый сигнатурный символ явно опреде-ляется через предыдущие. Возникает вопрос: а нужны ли неявные определения, или, напротив, всегда можно обойтись явными? Всегда ли смысл набора новых понятий предметной области можно задать в виде последовательности явных определений, то есть явного глоссария? Заметим, что, как следует из определения, в явном глоссарии определяется сначала одно понятие, потом второе, затем третье и т.д. То есть каждый раз новое определение содержит только один новый сигнатурный символ.

Поэтому ослабленной версией предыдущего вопроса является следующий — всегда ли можно построить определение новых понятий по одному, таким образом, чтобы каждое определение (пусть даже и неявное) содержало только одно новое понятие?

Теорема. Существуют сигнатура , состоящая из имён двух понятий, и предложение , опреде-ляющее смысл понятий из , для которых нет формального глоссария <1, 2>, представляющего предложение , такого, чтобы сигнатура (1) состояла из имени одного понятия, а сигнатура (2) — из имени другого понятия.

Следствие. Не всегда определения понятий могут быть представлены в виде глоссария, опреде-ляющего понятия по одному.

Следствие. Не всегда определения понятий могут быть представлены в виде явного глоссария. Все перечисленные выше определения понятий и развернутые доказательства соответствующих

вышеуказанных результатов можно найти в работах [4–15]. При рассмотрении и определении каких-либо теорий фиксированной сигнатуры мы будем

придерживаться следующих принципов, сформулированных в [16, 17]:



1. Тезис Мальцева-Тарского [1]. 2. Сигнатура — это есть множество логических символов, которые кодируют ключевые понятия

рассматриваемых предметных областей. 3. Язык — это множество формул сигнатуры в обычном теоретико-модельном смысле, если в

конкретных случаях онтологии предметных областей будет возможность определить лишь предложения, то формулы и, соответственно, типы будут строиться на базе обогащенной сигнатуры. Обогащение будет происходить за счет символов исчисления предикатов логики первого порядка.

4. Описание общих свойств предметной области — это некоторое подмножество языка сигнатуры, не зависящей от ее конкретных реализаций, т.е. онтология предметной области должна содержать информацию, которая является верной для каждого конкретного примера данной предметной области.

5. В рассмотрении онтологии предметных областей должны присутствовать наборы ключевых понятий предметной области, а в описании — только множества аналитических предложений (как в [1]), дающие полное описание значений этих ключевых понятий.

6. Мы всегда будем иметь возможность дать идеальную экспертную оценку об аналитичности рассматриваемого предложения. Как следствие, рассматриваемые теории будут только аналитическими.

Все эти принципы нужны для максимально возможных применений формальных знаний теоретико-модельного характера. Понятно, что абсолютно все ситуации полноты логического характера избежать невозможно хотя бы из того, что тезис Мальцева-Тарского, являющийся отправной точкой, не является теоремой, но и не имеет опровержения. Суть вышеуказанного эмпирического тезиса заключается в том, что всякое формальное описание может быть дано в теоретико-модельных терминах. В связи с тем, что основные знания (онтологии) о предметных областях в реальном времени не полны, то, формализуя эти знания в виде аналитических предложений фиксированной сигнатуры, как правило, мы будем иметь дело с неполной аналитической теорией. Но в этом есть свой положительный момент, так как полная аналитическая теория не может иметь больше одной конечной модели с точностью до изоморфизма, хотя конечные реализации, по сути, и есть интересующая нас семантика. Среди неполных теорий конкретной сигнатуры в силу их необъятности было бы логично ограничиться индуктивными теориями, в связи с тем, что основные алгебраические объекты, как правило, имеют в качестве аксиом -предложения. Обращение к алгебраическим примерам (алгебраическим системам фиксированной сигнатуры) естественным образом еще раз связывает нас с вышеуказанным тезисом Мальцева-Тарского. Среди индуктивных теорий особое место занимают йонсоновские теории. К примеру, йонсоновскими являются теории групп, абелевых групп, полей фиксированной характеристики, линейных порядков, булевых алгебр, унаров и полигонов. Йонсоновские теории, вообще говоря, не полны. Таким образом, было бы интересно изучать свойства йонсоновских теорий в рамках построения теорий предметных областей. Одной из классических проблем науки является вопрос классификации объектов изучения по каким-либо общим признакам. B математике pоль таких объектов играют множества с заданными на ниx отношениями. C помощью математической логики эти объекты были связаны с некоторыми множествами формул языка исчисления предикатов. Эта связь между синтаксисом и семантикой фиксированного языка собственно и есть суть теории моделей. Поэтому понятно, что нахождение синтаксических и семантических признаков подобия может быть полезно в классификации теорий предметных областей.

О решётках формул в йонсоновскиx теоpияx. В этом разделе мы рассмотрим некоторые синтаксические свойства йонсоновских теорий. По договоренности из раздела 1, в силу принципа 6 из [16], мы опускаем в дальнейшем в контексте понятие «аналитичности», так как рассматриваемые теории только аналитические, т.е. дедуктивно замкнутые множества аналитических предложений. При изучении полных теорий одним из основных методов является метод использования свойств топологического пространства Sn(T) ультрафильтров булевой алгебры Fn(T) фиксированной теории Т. В случае неполной теории мы можем рассмотреть решетку En(T) экзистенциальных формул, которая является подрешеткой булевой алгебры Fn(T). В силу незамкнутости экзистенциальных формул в общем случае относительно булевых логических операций свойства топологического пространства экзистенциальных типов существенно отличается от полного случая. Понятно, что такой подход (ограничение Fn(T) до En(T)) является обобщением случая, когда мы имеем дело с полными теориями. Так как йонсоновские теории являются, вообще говоря, неполными, было бы интересно рассмотреть свойства решетки экзистенциальных формул в связи с вышеуказанным контекстом (например, как в



[1]). Основным инструментом исследования йонсоновской теории является семантический метод, суть которого заключается в трансляции свойств центрального пополнения на йонсоновский прообраз.

Решетки экзистенциальных формул. Введем определения понятий и дадим связанные с ними результаты относительно решеточных свойств экзистенциальных формул, основываясь на [1].

Пусть L — язык первого порядка. Пусть Т — индуктивная теория языка L. Обозначим через En(L) множество всех экзистенциальных формул языка L с n свободными переменными,

E(L) = ( ).n nE L Пусть En(T) — дистрибутивная решетка классов эквивалентности

( ) , ( ), ( ) ( ).Tn n n nE L T E L E T E T

Определение 1. Пусть , ( )T TnE T и 0.T T Тогда T называется дополнением ,T ес-

ли 1;T T T называется псевдо-дополнением ,T если для всех

( ) 0 ;T T T T T TnE T называется слабым дополнением ,T если для всех

( ) ( ) 0 0.T T T T TnE T

Определение 2. 1) T называется дополняемым, если T имеет дополнение.

2) T называется слабо дополняемым, если T имеет слабое дополнение.

3) T называется псевдо-дополняемым, если T имеет псевдо-дополнение.

4) En(T) называется дополняемой, если каждый ( )TnE T дополняем.

5) En(T) называется слабо дополняемой, если каждый ( )TnE T слабо дополняем.

6) En(T) называется псевдо-дополняемым, если каждый ( )TnE T псевдо-дополняем.

Далее рассмотрим формулы, устойчивые относительно расширений моделей и подмоделей. Определение 3. Формула 1( ,..., )nx x называется устойчивой относительно расширений моделей

в Mod T, если для любых моделей А и В теории Т таких, что ,A B и для любых 1,..., na a A из того,

что 1 1,..., ,..., .n nA a a B a a

Теорема 1. Формула устойчива относительно расширений моделей в Mod T тогда и только то-

гда, когда существует экзистенциальная формула такая, что T .

Определение 4. Формула 1( ,..., )nx x называется устойчивой относительно подмоделей в Mod T,

если для любых моделей А и В теории Т таких, что ,A B и для любых 1,..., na a A из того, что

1 1,..., ,..., .n nB a a A a a

Теорема 2. Формула устойчива относительно подмоделей в Mod T тогда и только тогда, когда

существует универсальная формула такая, что T . Рассмотрим понятие инвариантной формулы и связь между инвариантностью экзистенциальной

формулы и дополняемостью её класса в E(T). Определение 5. Формула называется инвариантной в Mod T, если она устойчива одновремен-

но относительно расширений моделей в Mod T и относительно подмоделей в Mod T. Теорема 3. Экзистенциальная формула инвариантна тогда и только тогда, когда T дополня-

ем в ( ).E T

Теорема 4. Экзистенциальная формула инвариантна в ( ( )),TMod Th E где E(T) — класс экзи-

стенциально замкнутых моделей теории Т, тогда и только тогда, когда T слабо дополняем в E(T). Введем необходимые определения и сформулируем известные результаты, которые

устанавливают связь между модельной полнотой, элиминацией кванторов, позитивной модельной полнотой теории Т и свойствами решетки экзистенциальных формул ( ).nE T

Определение 6. Теория Т называется модельно полной, если AT полна в языке AL для лю-бой модели А теории Т.



Теорема 5. 1) Теория Т модельно полна тогда и только тогда, когда каждая формула устойчива относитель-

но подмоделей в Mod T. 2) Теория Т модельно полна тогда и только тогда, когда каждая формула устойчива относитель-

но расширений моделей в Mod T. Определение 7. Говорят, что теория Т допускает элиминацию кванторов в L, если для каждой

формулы 1( ,..., )nx x языка L существует бескванторная формула 1( ,..., )nx x такая, что

T x1 ... xn((x1, ..., xn) (x1, ..., xn)). Теорема 6. Пусть Т’ — модельный компаньон теории Т, где Т — универсальная теория. В этом

случае Т’ — модельное пополнение Т, если и только если теория Т допускает элиминацию кванторов. Пусть Т’ — модельный компаньон теории Т. В этом случае Т’ — модельное пополнение Т, если

и только если теория Т обладает свойством амальгамируемости. Определение 8 [5]. Теория Т называется подмодельно полной, если AT полна в AL для лю-

бой подмодели А модели теории Т. Теорема 7. Теория Т подмодельно полна тогда и только тогда, когда Т допускает элиминацию

кванторов. Теорема 8. Теория Т подмодельно полна тогда и только тогда, когда каждый ( )T

nE T имеет

бескванторное дополнение. Определение 9. Теория Т называется позитивно модельно полной, если она модельно полна и

каждая экзистенциальная формула языка L эквивалентна в Т позитивной экзистенциальной формуле. В следующих теоремах, полученных в работе [1], устанавливается связь между выше-

определенными понятиями и свойствами решетки экзистенциальных формул ( ).nE T

Теорема 9. Теория Т позитивно модельно полна тогда и только тогда, когда каждый ( )TnE T

имеет позитивное экзистенциальное дополнение. Теорема 10. Теория Т имеет модельный компаньон тогда и только тогда, когда ( )nE T слабо до-

полняема. Определение 10. Решетка называется алгеброй Стоуна, если для любого её элемента верно сле-

дующее: псевдо-дополнение от псевдо-дополнения элемента равно самому элементу. Теорема 11. Теория Т имеет модельное пополнение тогда и только тогда, когда ( )nE T — алгеб-

ра Стоуна. Теорема 12. Теория T имеет модельное пополнение тогда и только тогда, когда каждый

( )TnE T имеет слабое бескванторное дополнение.

Йонсоновские теории, их центры и их связь на языке свойств решеток экзистенциальных формул этих теорий. Рассмотрим йонсоновские теории и установим связь между свойствами йонсо-новской теории, центрального пополнения йонсоновской теории и свойствами решетки классов экви-валентности экзистенциальных формул относительно этой теории. Для этого мы будем использовать результаты из [17].

Дадим следующие определения. Определение 11. Теория Т называется йонсоновской, если 1) Т имеет бесконечную модель 2) Т -аксиоматизируема; 3) Т обладает свойством совместного вложения (JEP), то есть любые две модели A T и B T

изоморфно вкладываются в некоторую модель C T; 4) Т обладает свойством амальгамируемости (АР), т.е. если для любых A,B,C T) таких, что

1 2: , :f A B f A C — изоморфные вложения, существуют D T, изоморфные вложения

1 2: , :g B D g C D такие, что 1 1 2 2 .g f g f

Определение 12. Семантической моделью СТ йонсоновской теории Т называется — одно-родная-универсальная модель теории Т 1.

Следующие определения даны в [1].



Определение 13. Пусть .k Модель М теории Т называется k-универсальной для Т, если каждая модель Т мощности строго меньше k и изоморфно вклады-вается в М;

k-однородной для Т, если при любых двух моделях А и А1 теории Т, являющихся подмоделями М, мощности строго меньше k, и изоморфны 1: ,f A A для каждого расширения В модели А, являющегося подмоделью М и моделью Т, мощности строго меньше k, существуют расшире-ние B1 модели A1, являющееся подмоделью М, и изоморфизм 1: ,g B B продолжающий f.

Определение 14. Однородной-универсальной для Т моделью называется k-однородная-универсальная для Т модель мощности k, где .k

Определение 15. Центром (центральным пополнением) йонсоновской теории Т называется ( ).TT Th C

Определение 16. Йонсоновская теория Т называется совершенной, если каждая семантическая модель СТ является насыщенной моделью Т*.

В [4] была установлена связь между совершенностью йонсоновской теории и существованием её модельного компаньона. В дальнейшем нам будут необходимы следующие утверждения.

Теорема 13. Пусть Т — йонсоновская теория. Тогда следующие условия эквивалентны: Т совершенна; Т имеет модельный компаньон. В [2, 16] была установлена связь между полнотой и модельной полнотой йонсоновской теории. Теорема 14. Пусть Т — йонсоновская теория. Тогда эквивалентны следующие условия: Т полна; Т модельно полна. В [17] была установлена связь между совершенностью йонсоновской теории и свойствами

решетки ( ).nE T Имеет место следующее утверждение. Теорема 15. Пусть Т — полная для -предложений йонсоновская теория. Тогда следующие ус-

ловия эквивалентны: Т совершенна; Т* модельно полна; ( )nE T — булева алгебра,

где полнота теории для -предложений означает, что любые две модели этой теории относительно экзистенциальных предложений не отличаются друг от друга.

В связи с вышеуказанными результатами относительно введенных понятий нами получены ре-зультаты, связывающие понятия из [1] с йонсоновскими теориями.

В следующей теореме в терминах решетки экзистенциальных формул ( )nE T найдены необхо-димые и достаточные условия элиминации кванторов центрального пополнения йонсоновской теории Т и позитивной модельной полноты центрального пополнения йонсоновской теории Т.

Теорема 16. Пусть Т — полная для -предложений йонсоновская теория, Т* — центр теории Т. Тогда

Т* допускает элиминацию кванторов тогда и только тогда, когда каждый ( )TnE T имеет бес-

кванторное дополнение; Т* позитивно модельно полна тогда и только тогда, когда каждый ( )T

nE T имеет позитивное экзистенциальное дополнение.

В следующей теореме в терминах решетки экзистенциальных формул ( )nE T найдены необхо-димые и достаточные условия совершенности йонсоновской теории Т.

Теорема 17. Пусть Т — йонсоновская теория. Тогда следующие условия эквивалентны: Т совершенна; ( )nE T слабо дополняема;

( )nE T — алгебра Стоуна. В следующей теореме в терминах решетки формул найдены необходимые и достаточные усло-

вия йонсоновости центра йонсоновской теории.



Теорема 18. Пусть Т — йонсоновская теория. Тогда следующие условия эквивалентны: Т* — йонсоновская теория; каждый ( )T

nE T имеет бескванторное слабое дополнение. При изучении свойств моделей полных теорий первого порядка полезными являются сведения о

булевых алгебрах (алгебрах Линденбаума-Тарского) ( ),nF T ,n теории T. В связи с этими булевы-

ми алгебрами ( ),nF T ,n хорошо известен вопрос и А.Д.Тайманова (можно ознакомиться в [4]:

(*) Какими свойствами должны обладать булевы алгебры ,nB ,n чтобы существовала полная

теория T, такая что nB была изоморфна ( ),nF T ?n В [4] Т.Г.Мустафиным были даны ответы на частные случаи этого вопроса. Им были получены

следующие результаты: Теорема 19. [19] Для любой булевой алгебры B существует такая полная теория T, что: а) 1( );B F T б) если B конечная, то T категорична в счетной мощности; в) если стоуновское пространство алгебры B счетно, то T тотально трансцендентна. Теорема 20 [19]. Для того, чтобы для конечных булевых алгебр 1 2,B B существовала такая кате-

горичная в счетной мощности теория T, что 1 1 2 2( ) , ( ) ,F T B F T B необходимо и достаточно, чтобы

число атомов 2B было больше квадрата числа атомов 1.B В связи с этим мы будем говорить, что вопрос (*) решается положительно для теории T, если

существует такая последовательность булевых алгебр , ,nB n что nB изоморфна ( ), .nF T n Мы рассмотрим вышеуказанный вопрос в рамках изучения неполных теорий, а именно: в классе

йонсоновских теорий. Хорошо известно, что, работая с йонсоновскими теориями, в некоторых случа-ях мы имеем возможность ограничить себя экзистенциальными формулами и экзистенциально-замкнутыми моделями рассматриваемой йонсоновской теории. В этом случае вместо алгебр Линден-баума-Тарского ( ), ,nF T n следует рассматривать решетки экзистенциальных формул

( ), .nE T n В дальнейшем мы будем опираться на следующий критерий совершенности йонсоновских тео-

рий, который является главным при описании теоретико-модельных свойств совершенных йонсонов-ских теорий.

Теорема 21. Пусть T — йонсоновская теория. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) T совершенна; 2) Т* — модельный компаньон T; 3) ;TMod T E

4) ,fT T

где TE — класс T — экзистенциально замкнутых моделей T; 0T — оболочка Кайзера (максимальная

-теория, взаимно модельно совместная с T); ( ),fTT Th F где TF — класс генерических моделей T

(в смысле конечного форсинга Робинсона); MT — модельный компаньон йонсоновской теории T. Известны следующие факты и теоремы относительно связи йонсоновских теорий и их компаньонов [10].

Определение 15. Пусть T — йонсоновская теория. Компаньоном йонсоновской теории T называется такая теория T# той же сигнатуры, которая удовлетворяет следующим условиям:

1) #( ) ;T T

2) для любой йонсоновской теории T , если ' ,T T то # #( ') .T T

3) #.T T

Естественными интерпретациями компаньона #T являются 0, , , , ,f M eT T T T T где T0-компаньон есть оболочка Кайзера; T*-компаньон есть центр; TM-компаньон есть модельный компаньон; T f-компаньон есть конечный форсинг компаньон в смысле Робинсона; Te-компаньон есть элементар-ная теория класса всех экзистенциально-замкнутых моделей теории T.

Таким образом, вышеуказанный вопрос А.Д.Тайманова можно переформулировать следующим образом:

(**) Какими свойствами должны обладать решетки , ,nE n чтобы существовала йонсоновская

теория T, такая что nE была изоморфна ( ),nE T ?n



Аналогично, мы будем говорить, что вопрос (**) решается положительно для йонсоновской тео-рии T, если существует такая последовательность решеток , ,nE n что nE изоморфна ( ),nE T .n

В связи с этими вопросами (*), (**) сформулируем следующие результаты, доказательство кото-рых следует из теоремы 3.3.

Теорема 22. Пусть T — совершенная, полная для экзистенциальных предложений йонсоновская теория. Тогда следующие условия эквивалентны:

положительное решение вопроса (**) относительно теории T; положительное решение вопроса (*) относительно теории ,T где T является центром теории T;

положительное решение вопроса (**) относительно #-компаньона теории ,# ,0, , , ,T m f e

где 0-компаньон есть оболочка Кайзера; *-компаньон есть центр; m-компаньон есть модельный ком-паньон; f-компаньон есть конечный форсинг компаньон в смысле Робинсона; e-компаньон есть эле-ментарная теория класса всех экзистенциально-замкнутых моделей теории T.

Теорема 23. Пусть T — совершенная, полная для экзистенциальных предложений йонсоновская теория, и теория T является йонсоновской, где T — множество универсальных предложений, выво-димых из T.

Тогда следующие условия эквивалентны: положительное решение вопроса (**) относительно теории ,T где T — множество универ-сальных предложений, выводимых из T;

положительное решение вопроса (*) относительно теории ,T где T является центром теории T. О подобияx в йонсоновскиx теоpияx. В этом разделе мы рассмотрим некоторые синтаксические

свойства йонсоновских теорий. Все неопределенные теоретико-модельные понятия, связанные с йонсоновостью, можно найти в

[3]. Аналогично определению йонсоновости многие семантические теоретико-модельные понятия имеют свои синтаксические йонсоновские аналоги. Это говорится для того, чтобы в дальнейшем сво-бодно использовать семантические определения. T.Г.Mустафин в [5] опpеделил точное понятие синтаксического и семантического подобия полныx теоpий. Пpичем на языке этиx опpеделений и соответствующиx понятий (напpимеp, оболочка теоpии, семантическое свойство (теоpии, модели, элемента)), он доказал, что для пpоизвольной полной теоpии существует синтаксически подобная ей некотоpая теоpия полигонов. B классе йонсоновскиx теоpий данный подxод к классификации соответствующиx объектов пpиемлем, но тpебует опpеделенныx изменений в опpеделенияx соответствующиx подобий теоpий. Это связано, во-пеpвыx, с тем, что, вообще говоpя, йонсоновские теоpии не полны, и, во-втоpыx, что в классе моделей йонсоновской теоpии одноpодно-унивеpсальные модели, вообще говоpя, не насыщенны.

C помощью обобщения некотоpыx опpеделений из [5] и теxники pаботы с йонсоновскими теоpиями получено, что в классе совеpшенныx -полныx йонсоновскиx теоpий понятия введенныx подобий йонсоновскиx теоpий совпадают с соответствующими понятиями в [5]. Дадим следующие опpеделения.

Пусть T — пpоизвольная йонсоновская теоpия, тогда ( ) ( ),n nE T E T где ( )nE T есть pешетка

-фоpмул с n свободными пеpеменными; T — центp йонсоновской теоpии T, т.е. ( ),T Th C где C — семантическая модель йонсоновской теоpии T в смысле [2].

Определение 16. Пусть 1T и 2T — йонсоновские теоpии.

Mы будем говоpить, что 1T и 2T — J-синтаксически подобны, если существует биекция

1 2: ( ) ( )f E T E T такая, что

1) огpаничение f до 1( )nE T есть изомоpфизм pешеток 1( )nE T и, 1( ) ;nE T n

2) 1 1 1( ) ( ), ( ), ;n n nf f E T n

3) 1 2 1 2( ) ( ).f Определение 17. Йонсоновская теоpия T называется совеpшенной, если каждая семантическая

модель T является насыщенной моделью .T Главным pезультатом данной pаботы является следующий результат, связанный с

вышеуказанными определениями.



Tеоpема 24. Пусть 1T и 2T — -полные совеpшенные йонсоновские теоpии.

Tогда следующие условия эквивалентны: 1) 1T и 2T — J-синтаксически подобны;

2) 1

T и 2

T синтаксически подобны [5].

Опpеделение 18. 1. Чистой тpойкой назовем , , ,A Г где A не пусто; Г — гpуппа пеpестановок, А и М —

семейство подмножеств А, такиx что ( )М g M для каждого .g Г

2. Eсли 1 1 1, ,A Г и 2 2 2, ,A Г — чистые тpойки, и 1 2: A А — биекция, то есть

изомоpфизм, если

(i) 12 1: ;Г g g Г

(ii) 2 1( ) : .E E

Определение 19. Чистая тpойка , ,C G называется семантической тpойкой полной теоpии T,

где C — носитель монстp-модели С теоpии T; ( );G Aut C — класс всеx подмножеств ,C

каждое из котоpыx является носителем соответствующей элементаpной подмодели С. Определение 20. Полные теоpии Т1 и Т2 называются семантически подобными, если иx

семантические тpойки изомоpфны между собой. Из [5] известен следующий результат. Пpедложение 1. Eсли теоpии Т1 и Т2 синтаксически подобны, тогда Т1 и Т2 семантически

подобны, обpатное не веpно. Пусть Т — йонсоновская теория, удовлетворяющая условию теоремы 1. Определение 21. Чистая тpойка , ,C Aut C Sub C называется J-семантической тpойкой, где С —

семантическая модель T; Aut C — гpуппа автомоpфизмов C; Sub C — класс всеx подмножеств носителя C, котоpые являются носителями соответствующиx подмоделей C.

Определение 22. Две йонсоновские теоpии Т1 и Т2 называются J-семантически подобными, если иx J-семантические тpойки изомоpфны как чистые тpойки.

Корректность такого определения следует из того, что у совершенной йонсоновской теории семантическая модель единственна с точностью до изоморфизма. В противном случае все семантические модели лишь элементарно эквивалентны между собой.

Две йонсоновские теории косемантичны между собой, если они имеют одну семантическую модель.

B связи с этим можно сформулировать следующее: Лемма 1. Любые две косемантические йонсоновские теоpии J-семантически подобны. Лемма 2. Eсли две совеpшенные -полные йонсоновские теоpии J-синтаксически подобны, то

они J-семантически подобны. Заключение. В связи с тем, что синтаксическое подобие теорий более сильное понятие, чем се-

мантическое подобие теорий, а также семантическое подобие теорий сохраняет целый ряд полезных свойств, мы можем сделать следующие выводы:

1. Рассмотренный выше результат (теорема 24) о подобии в йонсоновском смысле позволяет пе-ренести эти полезные факты о соответствующих центрах йонсоновских теорий на них самих.

2. Так как основным результатом [5] является подобие произвольной полной теории некоторой теории полигонов, то мы можем надеяться на аналогичный результат и с йонсоновскими теориями. В этом случае мы можем также говорить о некой универсальной интерпретации-полигонах. А это уже относится к вопросу о логической семантике естественного языка.

3. Переход к йонсоновским теориям даёт ещё одно преимущество в том смысле, что мы имеем дело в основном с формулами, у которых длина перемен кванторов не более двух, а семантический аспект ограничивается как правило классом экзистенциально-замкнутых моделей.



References

1 Pal'chunov D.E. Modelling of thinking and formalization of thinking reflection: I. Model-theoretic formalization of the ontology and reflection // Philosophy of science. — 4 (31). — 2006. — P. 86–114.

2 Handbook of mathematical logic. Jon Barwise.Elsevier, 01.01.1989: In 4 parts / Part 1.Model Theory from English. — M.: Nauka; Home Edition Physical and Mathematical Literature, 1982.

3 Yeshkeyev А.R. Jonsson’s theory. — Karaganda: KarSU Publ., 2009. — 250 p. 4 Mustafin T.G. On Boolean algebras of theories // Mathematics and physics research. — Karaganda: KarSU Publ., 1974. — Issue 1.

— P. 80–84. 5 Mustafin T.G. On similarities of complete theories // Logic Colloquium’90: proceedings of the Annual European Summer

Meeting of the Association for Symbolic Logic, held in Helsinki, Finland, July, 15–22. — 1990. — P. 259–265. 6 Pal'chunov D.E. Algebraische Beschreibung der Bedeutung von Äußerungen der natürlichen Sprache // In: Zelger,

Josef/Maier, Martin (Hrsg.): GABEK. Verarbeitung und Darstellung von Wissen. — Innsbruck-Wien: Studien-Verlag (1999). — P. 310–326.

7 Pal'chunov D.E. On a logical analysis of GABEK. In: Buber, Renate/Zelger, Josef (Hrsg.): GABEK II. Zur Qualitativen Forschung On Qualitative Research. — Innsbruck-Wien-Munchen: Studien-Verlag (2000). — P. 185–203.

8 Pal'chunov D.E. The solution of the problem of finding information based on ontologies. Business Informatics. — 1. — 2008. — P. 3–13.

9 Pal'chunov D.E. Modelling of thinking and formalization of thinking reflection. II: Ontologies and the formalization of the concepts // Philosophy of Science. — 2 (37). — 2008. — With. 62–99.

10 Pal'chunov D.E. Sentences of Definability of Boolean algebras with distinguished ideals. Bulletin of the NSU. Ser.: Mathematics, mechanics, computer science. — 2. — 2008. — Vol. 8. — C. 62–75.

11 Pal'chunov D.E. Search and retrieval of knowledge: the generation of new knowledge-based analysis of natural language texts // Philosophy of Science. — 4 (43). — 2009. — With. 70–90.

12 Pal'chunov D.E., Ulyanov E.A. Methods for automatic generation of search heuristics. Bulletin of the NSU. Ser.: Information Technology. — 2010. — Vol. 8. — . 3. — P. 5–12.

13 Pal'chunov D.E., Yakhyaeva G.E. Fuzzy algebraic systems. Bulletin of the NSU. Ser.: Mathematics, mechanics, computer science. — 2010. — T. 10 — 3.— Р. 75–92.

14 Vlasov D.Yu., Pal 'chunov D.E., Stepanov P.A. Automate extraction of relationships between concepts of natural language texts. Bulletin of the NSU. Ser.: Information Technology. — 2010. — Vol. 8. — 3. — Р. 23–33.

15 Palchunov D.E. Virtual catalog: the ontology-based technology for information retrieval // In: Knowledge Processing and Data Analysis. LNAI 6581. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011. — Р. 164–183.

16 Yeshkeyev A.R. Similarity of the theories of subject areas // Proceedings of Russian Conference with international participation KONT-09. — Novosibirsk, 2009. — P. 207–212.

17 Yeshkeyev A.R. Lattices of formulas of theory of subject areas: Proceedings of Russian Conference with international participation KONT-11. — Novosibirsk, 2011. — P. 113–122.


Заттық аймақтардағы аналитикалық йонсондық теориялардың кейбір синтаксистік жəне семантикалық қасиеттерінің формализациясы

Мақалада заттық аймақтардың кейбір толымсыз аналитикалық теориялардың модельді-теоретикалық қасиеттерін құру жəне зерттеу сұрақтарымен байланысты екі автордың нəтижелеріне шолу жасалған. Осы жұмыстың ең негізгі мақсаты [1–3]-жұмыстардағы басталған заттық аймақтардың логикалық формализацияның əрі қарай өңделуі болып табылады.

A.R.Eshkeev, D.E.Palchunov

The formalization of some syntactic and semantic properties of analytical jonsson’ theories of domains

This article provides an overview of the results of both authors connected with the question of the construc-tion and study model-theoretic properties of certain incomplete analytical theories of subject areas. The main purpose of this note is to further develop the logical formalization of domain ontologies, which began in [1–3].

С.К.Жумагулова, Г.Б.Абилдаева


УДК 615.036.2

С.К.Жумагулова1, Г.Б.Абилдаева2

1Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова; 2Карагандинский государственный технический университет (E-mail: [email protected])

Алгоритм и программа информационного обеспечения системы охраны труда на предприятии

В статье рассматриваются алгоритм и программа информационного обеспечения системы охрана труда. Показана основная цель информационной системы — улучшение эффективности анализа си-туации на предприятии путем автоматизации всех полученных данных о произошедших несчастных случаях и их совместной обработке. Рассмотрение одной из важных задач — повышения эффективно-сти общественного производства и качества работы — невозможно без учета условий и характера трудовой деятельности человека и таких неблагоприятных факторов, как травматизм, заболеваемость, снижение работоспособности.

Ключевые слова: многофакторный анализ, предприятие, травматизм, информация, язык, СУБД, программа, Delphi, база данных, Информационная система охраны труда ИСОТ.

Решение важнейших задач повышения эффективности общественного производства и качества

работы невозможно без учета условий и характера трудовой деятельности человека и таких неблаго-приятных факторов, как травматизм, заболеваемость, снижение работоспособности.

Многофакторный анализ общего производственного травматизма является основным функцио-нальным звеном системы управления безопасностью труда. Только с учетом результатов этого анали-за могут быть определены оптимальные формы управления охраной труда, создана безопасность тру-да на рабочем месте.

Полнота анализа показателей травматизма, характеризующих его качественный и количествен-ный уровень, глубина изучения всех взаимосвязей и взаимодействия элементов, его формирующих, а также выработка научно обоснованных рекомендаций по устранению либо профилактике несчастных случаев возможны только при использовании электронно-вычислительных машин, так как указанные действия связаны со значительной трудоемкостью поиска и переработки необходимой информации, высокой сложностью аналитической работы.

Компьютеризация процесса обработки данных и анализа производственного травматизма и про-фессиональной заболеваемости резко ускоряет эту работу и делает ее более достоверной, благодаря чему она становится действенным инструментом, позволяющим быстро и оперативно решать все возможные вопросы и задачи, связанные с управлением состояния условий труда на всех уровнях производства. Эффективность использования информационного обеспечения для анализа травматиз-ма зависит от полноты сбора, качества обработки, надежности хранения и поиска, оперативности и избирательности распространения информации.

По оценке специалистов, в сфере охраны труда и промышленной безопасности в настоящее вре-мя основными задачами являются: внедрение современных ресурсосберегающих и экологически чис-тых технологий, увеличение объемов инвестиций на реконструкцию и техническое перевооружение предприятий, стимулирование разработки и использование новых экологически безопасных техноло-гий, повышение квалификации специалистов [1].

База данных — это специальное электронное хранилище информации, доступ к которому осу-ществляется с помощью одного или нескольких компьютеров [1]. Существует несколько моделей баз данных, которые различаются в зависимости от структуры и способа организации данных. Это такие модели, как иерархическая, сетевая, реляционная и объектно-ориентированная.

В настоящее время наиболее широкое распространение получили реляционные базы данных, и именно эта модель была использована в написании программы «ИСОТ» («Информационная система охраны труда»). Реляционные базы данных завоевали особую популярность благодаря тому, что они обладают простотой организации и гибкостью структуры. Она представляет собой набор связанных друг с другом таблиц.

Создание, наполнение, обновление и удаление баз данных обеспечивается с помощью систем управления базами данных (СУБД), которые делятся на персональные и многопользовательские.

Алгоритм и программа информационного…


К персональным относятся такие системы управления базами данных, как Paradox, dBase, FoxPro, Access и др. С их помощью, как правило, создаются локальные базы данных, работающие на одном компьютере. Многопользовательские системы управления базами данных (Oracle, Microsoft, SQL, Server, InterBase, SyBase) служат для создания базы данных, работающих в архитектуре клиент–сервер, реализуемой в локальных и корпоративных сетях, а также в сети Internet.

База данных информационной системы была создана с помощью системы управления базами данных InterBase.

Среди языковых средств современных систем управления базами данных можно особо выделить следующие:

структурированный язык запросов (Struktured Query Language, SQL), который позволяет управлять структурой базой данных и работать с данными, а также является стандартным средством доступа к удаленным базам данных;

язык запросов по образцу (Query By Example, QBE), предназначенный для визуального конст-руирования запросов к базе данных.

Запросы в разработанной информационной системе «ИСОТ» были написаны посредством структурированного языка запросов SQL.

Доступ к базе данных из приложения Delphi осуществляется через так называемый процессор баз данных BDE (Borland Database Engine). BDE — это набор драйверов, обеспечивающих доступ к данным.

Общая схема взаимодействия программы, компонентов и базы данных представлена ниже на рисунке.

Рисунок. Схема взаимодействия программы, компонентов и базы данных

Базы данных, в зависимости от расположения таблиц и приложений, делятся на локальные и удаленные.

Локальные базы данных располагаются вместе с приложением, работающим с ним, на одном компьютере. Работа с такими базами данных производится обычно в однопользовательском режиме. Локальная база данных может также работать в сети. В таком случае файлы базы данных и приложе-ния располагаются на сервере, и при запуске этого приложения на компьютере пользователя запуска-ется его копия. Такой принцип работы с базами данных соответствует архитектуре файл-сервер. Од-нако данная архитектура имеет ряд существенных недостатков. При организации файл-серверных баз данных существуют проблемы поддержания целостности базы данных, организации контроля досту-па, синхронизации работы разных пользователей, а кроме того, возникает повышенная нагрузка на сеть ввиду необходимости передачи больших объемов информации. Поэтому в данной ситуации це-лесообразно использовать удаленные базы данных.

Удаленные базы данных размещаются на сервере сети, который также называют удаленным сер-вером, а приложение, работающее с этой базой данных, располагается на компьютере пользователя,

BDE

Невизуальные компоненты

DataSourse

Невизуальные компоненты

База данных



что соответствует архитектуре клиент–сервер. Клиентом является приложение пользователя, которое формирует запрос для получения данных и посылает его на удаленный сервер, где находится база данных. Запрос формируется на языке SQL. При получении такого запроса удаленный сервер отправ-ляет его к серверу базы данных (SQL-серверу). Сервер базы данных представляет собой программу, с помощью которой осуществляется управление удаленной базой данных и обеспечивается выдача клиенту результатов выполнения поступившего запроса. Вся работа с базой данных происходит не-посредственно на удаленном сервере. Архитектура клиент–сервер обычно реализуется с применени-ем многопользовательских систем управления базами данных. Доступ к ним производится с помо-щью драйверов SQL-Links.

Реляционная СУБД представляет собой набор взаимосвязанных таблиц. Каждая таблица нахо-дится в отдельном файле, который поддерживает пользовательский режим, т.е. с ним могут одновре-менно работать несколько приложений. Кроме основного файла, содержащего данные, для таблицы создаются файлы индексов, ключей и т.п. Имена всех файлов, относящихся к одной таблице, будут одинаковыми, отличаясь только расширениями.

Delphi, без преувеличения, имеет огромное количество визуальных и невизуальных компонентов для работы с базами данных.

Сложившаяся ситуация на промышленных предприятиях может быть улучшена путем реализа-ции комплекса мер, направленных на совершенствование системы динамического учета вредных производственных факторов и здоровья работающих, объективизацией критериев диагностики про-фессиональных заболеваний, внедрением методов медицинского отбора лиц, наиболее устойчивых к действию вредных факторов.

Для решения этих задач руководство предприятий осуществляет координацию природоохран-ных работ между предприятиями горно-металлургического комплекса, академической и отраслевой наукой, органами контроля за охраной окружающей среды [2].

Информационная система «ИСОТ», которая в данный момент находится в стадии разработки, предполагает автоматизацию процесса заполнения формы Н-I и вывод статистических данных по ин-тересующим пунктам. Данная работа предусматривает создание информационной системы охраны труда. Разрабатываемая информационная система предназначена для облегчения отслеживания ста-тистики производственных травм на предприятиях.

С помощью данной системы специалист может заполнять информацию о произошедших несча-стных случаях по форме Н-I, добавлять, удалять и редактировать данные, выполнять необходимые запросы и получать готовые результаты в табличной и графической формах. Применение «ИСОТ» снижает в несколько раз затраты на документооборот, повышает скорость и качество подготовки актов.

Основная цель информационной системы — улучшение эффективности анализа ситуации на предприятии путем автоматизации всех полученных данных о произошедших несчастных случаях и их совместной обработки.

Задание также подразумевает создание необходимой системы управления для обработки базы данных СУБД, включающей данные о несчастных случаях, произошедших на предприятии. Вся имеющаяся совокупность информации должна просматриваться и изменяться с привлечением мощ-ных средств по созданию и ведению баз данных СУБД Delphi 7.0. Это продиктовано простотой и удобством интерфейса данной СУБД.

Создание информационной системы охраны труда позволит значительно сократить объем рабо-ты работников службы безопасности предприятия. Производительность труда может повыситься за счет сокращения времени, требующего обработки документов, и уменьшения материальных затрат [3].

Для обеспечения нормального функционирования информационной системы «ИСОТ» к техни-ческому обеспечению предъявляются следующие требования:

а) конфигурация компьютера — Celeron400MHz/RAM-64Mb/HDD-3Gb; б) компьютер должен иметь привод CD-ROM; в) на жестком диске должно быть не менее 300Mb свободного места; г) на компьютере должны быть установлены: операционная система — Windows 98/Me, Windows NT 4.0, Windows 2000, Windows XP; Microsoft Internet Explorer 5.5 или выше — для правильного отображения форм; разрешение экрана должно быть установлено — 800x600 точек; размер шрифта должен быть настроен на «Обычный» — 96 точек/дюйм; для работы программы установки на операционных системах Windows NT 4.0, Windows 2000,

Windows XP вход в систему должен быть осуществлен с правами администратора.

Алгоритм и программа информационного…


Автоматизированная информационная система охраны труда «ИСОТ» в настоящий момент вы-полняет следующие функции:

ввод оперативных данных о травмах; поиск, просмотр, корректировку и удаление данных о травмах; формирование и просмотр выходных отчетных форм. В процессе работы была создана база данных Database, представленная таблицей Database.gdb.

В ней содержится вся информация о произошедших на предприятии несчастных случаях, заполнен-ная по форме Н-I. В таблице отражены все введенные пользователем посредством заполнения формы данные: регистрационный номер предприятия, Ф.И.О. пострадавшего, вид происшествия и т.д. Для пользователя была создана форма, с помощью которой ограничивается доступ к информации и об-легчается работа. От внешнего вида формы зависит быстродействие, качество работы пользователя с базой данных, она должна быть простой, удобной и легко изучаемой.

В процессе работы часто возникает необходимость просмотреть ранее введенные данные о травмах или скорректировать или удалить эти данные. Информационная система охраны труда «ИСОТ» предоставляет для этого широкие возможности. Ранее введенные случаи можно выбрать во вкладке Запросы по всем возможным параметрам ввода, а также по всевозможным сочетаниям пара-метров. Вкладка Запросы тоже делится на четыре вкладки: Поиск по организации, Данные сотрудни-ка, Медосмотр и инструктаж и Данные происшествия. Таким образом, можно выбрать любые из ин-тересующих параметров либо скомбинировать их и программа отберет и выдаст из базы данных только те данные, которые были запрошены.

При обработке документов значительный объем работ приходится на заполнение актов вручную, которое занимает много времени. Автоматизация обработки этих документов позволяет сократить до минимума время их обработки и их себестоимость.

Таким образом, разработка и внедрение автоматизированной системы охраны труда на предпри-ятии даст не только экономический, но и социальный эффект, так как освобождает исполнителя от нетворческого, ручного труда, что особенно важно в условиях рыночной экономики.

В процессе работы создана база данных «Безопасность», представленная несколькими таблица-ми. В ней скомпонована вся информация о произошедших на предприятии несчастных случаях. В таблицах содержатся введенные пользователем посредством заполнения формы данные: регистраци-онный номер предприятия, Ф.И.О. пострадавшего и т.д. В нижней части каждой формы установлены кнопки с графическими изображениями, что позволяет быстро адаптироваться неподготовленному пользователю управлять записями и формой.

Также было создано меню запросов, с помощью которого пользователь может по каким-либо параметрам получить нужную ему информацию в виде диаграмм и графиков зависимости.

Вся необходимая работа по осуществлению методов доступа к информации, хранимой в базе данных, её модификации, поддержании базы данных в целостном виде, скрыта внутри и пользовате-лю нет необходимости знать о ней, чтобы успешно решать весь круг возникающих задач, связанных с использованием информации в хранимой базе данных. Более того, программный интерфейс макси-мально облегчает работу по обращению с базой данных. Даже обращение к базе данных со сложными запросами осуществляется в таком виде, что структура возвращаемых данных видна еще до его ис-полнения. СУБД самостоятельно тестирует находящиеся в базе данных записи и производит приве-дение базы данных к целостному состоянию, устраняя возможные ошибки. Все рутинные операции подобного рода берёт на себя машина, что, без сомнения, экономит усилия и время конечного поль-зователя [4].

Круг предъявляемых требований довольно широк. Он охватывает весь спектр задач, начиная от заполнения формы акта H-I несчастных случаев до выводов данных для статистической отчетности по произошедшим на предприятии несчастным случаям. Все эти задачи решаются в рамках данной СУБД с максимальной простотой, удобством и скоростью.

Все функции, выполняемые СУБД, будут тщательным образом проверены и протестированы в процессе разработки.

Использование данной системы должно качественно улучшить уровень соблюдения техники безопасности, позволит по-новому взглянуть на систему безопасности предприятия, что даст воз-можность эффективнее решать вопросы безопасности производства и вносить свой вклад в обеспече-ние безопасности населения.



References

1 The Republic Kazakhstan Law «About safety and a labor safety». — 2004. — January, 28th. 2 Skala V.I. A labor safety and the safety precautions in practical activities of subjects of Republic Kazakhstan. — Almaty:

LEM, 2002. 3 Denisenko G.F. A labor safety. — M.: Higher school, 1986. 4 Http://www.user.cityline.ru/~anatech

С.К.Жұмағұлова, Г.Б.Əбілдаева

Кəсіпорындарда еңбекті қорғау жүйесін ақпараттық қамтамасыздандыру бағдарламасы жəне алгоритмі

Мақалада еңбек қорғау жүйесін ақпараттық қамтамасыздандырудың бағдарламасы мен алгоритмі қарастырылған. Бұл ақпараттық жүйенің негізгі мақсаты — кəсіпорындарда болған кездейсоқ оқиғаларды жəне оларды өңдеу туралы алынған мəліметтерді автоматтандыру жолымен талдау тиімділігін жақсарту. Тиімділіктің ең маңызды есептері болып жұмыс қабілетін төмендетін, ауру-сырқат, жарақат алу сияқты жағымсыз факторларды жəне еңбек əрекетінің жағдайын тіркемеуге болмайтын еңбектің сапасын, қоғамдық өндірістің тиімділігін арттыру табылады.

S.K.Zhumagulova, G.B.Abildaeva

Algorithm and the program of information support of system of the labour safety at the enterprise

In article the algorithm and the program of information support of system a labor safety are considered. A main objective of information system — improvement of efficiency of the analysis of a situation at the en-terprise by automation of all received data about events not-schastnyh cases and their joint processing. One of important problems above-nija efficiency of a social production and quality of work is considered it is impos-sible without conditions and character of labor activity of the person and such adverse factors, as a trauma-tism, disease, working capacity decrease.

Проблемы использования ранговой…


УДК 330.45

Р.С.Каренов


Проблемы использования ранговой корреляции и корреляции альтернативных признаков в экономических исследованиях

Выделено практическое значение ранговой корреляции в экономических исследованиях. Отмечено, что в настоящее время более полно разработаны способы однофакторной ранговой корреляции. Под-черкнуто, что принцип нумерации вариантов статистических рядов является основой непараметриче-ских методов изучения связи между явлениями или ранговой статистики. Доказано, что в экономиче-ских исследованиях большое применение при изучении связи между количественными и качествен-ными признаками находят ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендэла. Предложена ме-тодика применения коэффициента конкордации в экономических расчетах и обоснованиях. Значи-тельное внимание уделено анализу корреляционных связей, существующих между различными аль-тернативными признаками. Рекомендована методика измерения тесноты корреляционной связи между факторными и результативными признаками с помощью таких коэффициентов, как эмпирический ко-эффициент корреляционной связи, коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова, ко-эффициенты контингенции и ассоциации.

Ключевые слова: ранг, корреляция, альтернативный признак, эндогенные, экзогенные переменные, модель, матрица, гипотеза, Спирмен.

Практическое значение ранговой корреляции

В экономических исследованиях нередко случается, что исходные данные не подчиняются нор-мальному закону распределения. Поэтому построение производственных функций является затруд-нительным и к тому же оно может привести к ошибочным результатам. В таких случаях целесооб-разно использовать так называемую ранговую корреляцию. К этой корреляции прибегают также то-гда, когда отдельные показатели признаков не являются строго точными. Проводя предварительные, приближенные изучения, следует также применять способ ранговой корреляции.

Рангом в корреляционном анализе называют номер возрастающих (или убывающих) вариантов факторного или зависимого признака. Определяя ранги одинаковых уровней, им присваивают сред-ние номера. Уровни признаков всей совокупности наблюдений ранжируют, т.е. их нумеруют в по-рядке возрастания или убывания. Таким образом, каждый уровень всех факторных и зависимого при-знаков получает свой ранг (номер). Эти ранги по всем признакам идут в следующем порядке: 1, 2,..., n (или наоборот).

Выполняя корреляционный анализ, исследуют корреляцию не между факторными и зависимыми признаками, а между их рангами. Корреляция рангов фактора (или факторов) с рангами результатив-ного показателя называется ранговой корреляцией. Существует ряд способов определения ранговой корреляции. Изначально их разрабатывал К.Пирсон, затем эти способы получили развитие в работах Спирмена, Кендэла и других ученых. Более полно разработаны способы однофакторной ранговой корреляции [1–3].

Для ранжированных признаков показателем тесноты связи служит коэффициент ранговой кор-реляции. Если связь между изучаемыми признаками прямая, то с увеличением рангов фактора (х) также будут возрастать и ранги зависимого показателя (у). При обратной (отрицательной) зависимо-сти возрастанию рангов факторного признака (х) будет соответствовать уменьшение рангов результа-тивного показателя (у). В случае отсутствия корреляционной связи между указанными признаками нельзя обнаружить какую-либо закономерность в изменениях их рангов.

Априорный статистический анализ

При проведении всякого исследования необходимо учитывать: а) время, в течение которого дан-ное исследование должно быть закончено, и б) имеющиеся материальные, денежные и людские ре-сурсы.

В процессе спецификации переменных нельзя переоценивать мнение отдельных, даже весьма квалифицированных специалистов о механизме развития отрасли и факторах, определяющих эффек-тивность этого развития. Поэтому обычные консультации часто не дают возможности определить все



факторы, отражающие с высокой степенью достоверности взаимосвязи экономических явлений. Из литературных источников также можно получить весьма неполную информацию такого рода.

Чтобы объективно оценить круг эндогенных и экзогенных переменных и конкретный набор их в каждом из уравнений модели, необходимо учесть точки зрения многих специалистов, принадлежа-щих к различным научным школам. Для этого целесообразно формализовать имеющиеся априорные сведения.

Рассмотрим возможную процедуру формализации априорных сведений и выбора факторов, су-щественно влияющих на функции (по мнению специалистов) и связанных с ними причинно-следственными отношениями.

Вначале составляется опросная анкета (табл. 1), подлежащее которой содержит набор предпола-гаемых для изучения эндогенных переменных-функций, а сказуемое — набор эндогенных перемен-ных-аргументов и предопределенных переменных.

Т а б л и ц а 1

Опросная анкета

Эндогенные переменные-аргументы и предопределенные переменные Эндогенные переменные-функции

1y ... ky ...

Ky 1z … lz ...

Lz

1 1y

2 2y … … k ky ... … m my

Примечание. Данные работы [4; 81]. Данная анкета рассылается соответствующим специалистам. Каждому из экспертов

предлагается проранжировать отобранные аргументы по степени их влияния на функции. При желании опрашиваемые специалисты могут расширить список показателей в анкете. Фактору, который, по мнению данного специалиста, оказывает наибольшее влияние на соответствующую функцию, присваивается ранг 1, следующему — ранг 2 и т.д. Значения рангов проставляются в соответствующие графы.

Покажем процедуру статистического анализа априорной информации на примере спецификации одного уравнения модели.

Допустим, K+L=n (i=1,2,…, n). Тогда для этого уравнения можно составить сводную анкету, так называемую «матрицу рангов» (табл. 2).

В таблице 2 ijx — ранг j-го аргумента, данный i-м экспертом; m — число экспертов; n — число

факторов-аргументов. Если специалисту не удается различить по силе влияния некоторые факторы, то он вынужден

приписывать им один и тот же ранговый номер. В этом случае вводятся так называемые «связанные ранги». Например, трем факторам в анкете i-го эксперта присвоен ранг 3. Их ранговый номер в свод-ной анкете равен: (3+4+5): 3=4. Если следующие два фактора в анкете i-го эксперта имели ранг 4 и 5, то в сводной анкете их ранг будет 6 и 7, т.е. происходит переформирование рангов. Иногда в сводной анкете появляются дробные ранги. Например, если в анкете восьмому и девятому фактору приписан ранг 8, то в сводной анкете их ранг будет 8, 5.

После заполнения сводной анкеты следует провести проверку по контрольной сумме. Ее значе-ние находится по формуле

1

(1 ).

2

n

ijj

n nx

(1)

Далее вычисляются фактические суммы всех строк. Они должны быть равны друг другу и одно-временно контрольной сумме.

Теперь, когда есть уверенность, что матрица рангов составлена правильно, можно перейти к вы-яснению существенности влияния отобранных факторов на изучаемый показатель с точки зрения оп-рошенных специалистов. Для этого в таблице 2 подсчитываются суммы всех отдельных столбцов.




Матрица рангов

Аргументы Эксперты 1 2 3 ... j … n

1

n

ijj

x

1 . . . i . . . m

1

m

iji

x

11x . . .

1ix . . . .

1mx

12x . . .

2ix . . . .

2mx

13x . . .

3ix . . . .

3mx

… . . .

… . . . .

…

1 jx

.

.

.

ijx

.

.

.

.

mjx

… . . .

… . . . .

…

1nx . . .

inx . . . .

mnx

Примечание. Данные работы [4; 82]. При этом

1 1 1 1

.m n n m

ij iji j j i

x x

(2)

Фактор, который с точки зрения специалистов, оказывает наибольшее влияние на изучаемый по-казатель, имеет наименьшую сумму рангов, а фактор, оказывающий самое слабое влияние, — наи-большую.

Для того чтобы полнее использовать информацию, содержащуюся в анкетах, все исследование можно разбить на ряд этапов. На каждом этапе ставится и проверяется определенная гипотеза, поло-жительный или отрицательный ответ на которую либо означает переход к следующему этапу иссле-дования, либо показывает, что продолжение его невозможно. Во втором случае в качестве результа-тов исследования выступают результаты, полученные на уже проведенных этапах. Такой многоэтап-ный подход помогает максимально использовать возможности статистики, поскольку он позволяет проанализировать различные стороны полученной информации. Сами гипотезы строятся по принци-пу однообразности, т.е. положительный (отрицательный) ответ на любую из них всегда означает про-должение (окончание) исследования.

Гипотезы располагаются в порядке убывания их мощности, т.е. таким образом, что при оконча-нии исследования на этапе проведение этапов ( +1), ( +2) ... (или проверка гипотез 1

0H , 20H )

не дает никакой новой информации, не содержащейся уже в результатах этапов 1, 2,..., ( – номер этапа, =1, 2,..., N). Выполнение этих условий особенно важно при проверке гипотез на ЭВМ.

Для каждого конкретного исследования сами гипотезы и их порядок также конкретны [4; 83, 84]: 1. Гипотеза 1

0 :H начальная таблица рангов неадекватна таблице переформированных рангов.

Эта гипотеза проверяется в связи с тем, что дальнейшая работа (кроме гипотез 30H и 4

0H ) прово-дится на переформированных рангах. Поэтому необходима их адекватность. В случае подтверждения данной гипотезы необходимо произвести анкетирование снова ( 1

0H — самая мощная гипотеза). При-чины неадекватности: а) неоднозначное понимание специалистами каждого фактора и б) недостаточ-но высокая квалификация специалистов.

Если гипотеза 10H отвергается, переходят к проверке гипотезы 2

0 .H

2. Гипотеза 20 :H нет согласованности во мнениях специалистов. Гипотеза 2

0H — менее мощная,

чем 10 ,H так как используются переформированные ранги. Если ее рассматривать первой, то она бу-

дет проверяться даже в условиях, когда таблицы с начальными и переформированными рангами не-адекватны.



Если гипотеза 20H подтверждается, то производится новое анкетирование и переходят к провер-

ке гипотезы 10 .H Причины положительного ответа на гипотезу 2

0 :H а) анкетирование проведено не-квалифицированно; б) исследуемый процесс недостаточно изучен.

Если гипотеза 20H отвергается, переходят к гипотезе 3

0 .H

3. Гипотеза 30 :H различие в оценках опрошенных специалистов по вопросу о степени влияния

отобранных факторов на изучаемый процесс существенно. Гипотеза 3

0H проверяется в развитии гипотезы 20 .H Если гипотеза 3

0H подтверждается, то необ-

ходимо заново произвести анкетирование и перейти к проверке гипотезы 10 .H Причины положитель-

ного ответа на гипотезу 30H те же, что и на гипотезу 2

0 .H

Если гипотеза 30H отвергается, переходят к проверке гипотезы 4

0 .H

Гипотеза 40 :H различие во влиянии исследуемых факторов на изучаемый процесс несуществен-

но (по мнению опрошенных специалистов). Если гипотеза подтверждается, то необходимо расширить список факторов и вторично произве-

сти анкетирование. После этого переходят к гипотезе 10 .H Причины подтверждения гипотезы 4

0H те

же, что и гипотезы 20 .H

Если гипотеза 40H отвергается, переходят к гипотезе 5

0 .H

5. Гипотеза 50 :H нет определенной структуры влияния факторов.

Здесь под структурой понимается наличие таких влияний факторов, из которых: а) хотя бы одно не равно нулю; б) хотя бы одно отлично от других при проверке по некоторому критерию.

Если гипотеза отвергается, переходят к гипотезе 60 .H

6. Гипотеза 60 :H влияние всех или части факторов подчиняется равномерному распределению.

Если гипотеза верна, то по этим факторам необходимы дальнейшие исследования. Если гипотеза отвергается, то анализ априорной информации считается законченным.

Каждая из гипотез проверяется соответствующими статистическими методами.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

В горном деле при проведении буровых работ нередко возникает необходимость определить степень тесноты связи не только между параметрами, оцениваемыми количественно, но и между яв-лениями, для которых или вообще нет численных оценок (исходная информация выражается с помо-щью качественных признаков: влияет — не влияет, брак — годная и т.д.), или такие оценки связаны со значительными трудностями.

Для решения подобных задач может быть использован коэффициент ранговой корреляции Спирмена (в отдельных источниках пишется «Спирмэна») [5–7]. Сущность метода Спирмена состоит в следующем:

располагают варианты факторного признака (х) по возрастанию; проставляют ранги для вариантов результативного признака (у). Если связь между признаками прямая, то, наряду с увеличением ранга признака х, ранг признака

у также будет правильно возрастать, и номера рангов признаков х и у совпадут. При обратной связи возрастанию рангов признака х будет соответствовать убывание рангов признака у. В случае отсутст-вия связи ранг признака у не будет обнаруживать никакого порядка возрастания или убывания.

Степень тесноты связи между признаками определяется ранговым коэффициентом корреляции (адекватность перехода от рангов таблицы 2 к переформированным рангам проверяется по коэффи-циенту ранговой корреляции sr Спирмена):

2

2

61 ,

1s

dr

n n

(3)

где 2d — квадрат разности рангов; n — количество фиксированных наблюдений. Величина рангового коэффициента корреляции Спирмена находится в границах от -1 до +1. Ко-

гда связь отсутствует, ранговый коэффициент корреляции равен нулю ( sr =0). При прямой зависимо-



сти коэффициент корреляции ( sr ) положительный ( 0 1sr ), а в случае обратной связи — отрица-

тельный ( 1 0sr ).

Для примера вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена между порядковым номе-ром лактации и надоем молока от коровы в сельскохозяйственном предприятии. Средний уровень годовой продуктивности животных по нечетным лактациям показан в таблице 3.


Средний надой молока от коровы по нечетным лактациям

Ранги Номер лактации

Средняя продук-тивность коров,

кг лактаций продуктивно-

сти

Разности рангов Квадраты разно-сти рангов

x y xR yR x yd R R 22

x yd R R

1 3 5 7 9 11 13

49

2541 3878 3609 2874 2012 1737 1564

18215

1 2 3 4 5 6 7

28

4 7 6 5 3 2 1

28

-3 -5 -3 -1 2 4 6 0

9 25 9 1 4

16 36

100

В соответствии с формулой (3) рассчитываем коэффициент ранговой корреляции Спирмена

6 100

1 0,7857,7 49 1sr

т.е. между рангами рассматриваемых признаков имеет место высокая обратная зависимость, что свидетельствует о слабости кормовой базы и несвоевременности выбраковки коров.

Определение значимости коэффициента ранговой корреляции Спирмена

С увеличением объема выборки sr стремится к ps (ps — генеральный коэффициент ранговой кор-

реляции). Проверка гипотезы 0 :H sp = 0 при :H sp 0 осуществляется путем сравнения ,sr вычислен-

ного по формуле (3), с критическим значением, взятым из таблицы 4 для выбранного уровня значи-мости и числа пар наблюдений n.


Критические значения коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Уровень значи-

мости *


мости *


мости *


мости *

n 0,1

0,05

0,05

0,025

n 0,1

0,05

0,05

0,025

n 0,1

0,05

0,05

0,025

n 0,1

0,05

0,05

0,025

5 6 7 8 9 10 11

0,800 0,771 0,679 0,595 0,583 0,552 0,527

0,900 0,829 0,745 0,690 0,663 0,636 0,609

12 13 14 15 16 17 18

0,496 0,478 0,459 0,443 0,427 0,412 0,399

0,580 0,555 0,534 0,518 0,500 0,485 0,472

19 20 21 22 23 24 25

0,389 0,379 0,369 0,360 0,352 0,344 0,336

0,458 0,445 0,435 0,424 0,415 0,406 0,398

26 27 28 29 30

0,330 0,324 0,317 0,311 0,306

0,389 0,383 0,375 0,368 0,362

* В числителе — для двустороннего критерия, в знаменателе — для одностороннего. Примечание. Данные работы [8; 95].



Если неравенство 1 /2s sr r (4)

выполняется, то гипотезу 0 :H sp =0 не отвергают (в противном случае нет оснований для принятия гипотезы).

При 1 :H sp >0 или 1 :H 0sp используют односторонний критерий.

При n>30 гипотезу 0H проверяют с помощью t-распределения Стъюдента с k=n-2 степенями свободы.

Значение статистики

2

21

s

s

rt n

r

(5)

сравнивают с критическим значением ; ,kt взятым из таблицы 5.

Гипотезу 0 :H sp =0 принимают, если ;kt t (при 1 :H sp 0 используют двусторонний крите-

рий, при 1 :H sp >0 или 1 :H 0sp — односторонний). В целом коэффициент ранговой корреляции Спирмена целесообразно применять в следующих

случаях [7; 372]: Когда необходимо быстро получить приближенную оценку коэффициента корреляции, а точный

расчет очень громоздок. Когда нужно перепроверить согласование решений двух судей относительно рангового упоря-

дочения объектов, например, на конкурсе красоты. С помощью этого критерия можно также прове-рять измененные способности (сравнение выбранного упорядочения предметов со стандартным упо-рядочением). Примером может служить расположение детьми кубиков по величине.

Когда имеется подозрение на монотонный тренд: проверяют на значимость коэффициент корре-ляции между п значениями рангов ряда измерения и рядом натуральных чисел от 1 до п.

Применение в экономических исследованиях рангового коэффициента корреляции Кендэла

В исследованиях находит применение и другой показатель тесноты связи — ранговый коэффи-циент корреляции Кендэла ( ). Для его расчета предложена следующая формула [9; 280]:

=

22,

1 1

P QS

n n n n

(6)

где P — величина, исчисленная для каждого ранга зависимого признака, как число последующих рангов, больших взятого ранга; Q — отрицательное количество последующих рангов, меньших каждого взятого ранга зависимого признака; п — число наблюдений в исследовании; S — сумма баллов, если баллом +1 оценивается пара рангов, имеющих по обоим признакам одинаковый порядок, а баллом -1 — пара рангов с обратным порядком.

Упрощение расчетов показателя Кендэла достигается следующим образом [10; 228, 229]: ряд рангов по признаку х располагаем в возрастающем порядке с указанием соответствующих им рангов по признаку у; получаем ряд рангов по признаку х — 1, 2, 3,..., п и ряд рангов по признаку у – 1 2 3, , ,..., ;ni i i i

подсчитываем баллы для всех рангов по признаку у. Для этого находим, сколько рангов, пред-шествующих каждому рангу и последующих за ним, превышают его величину. Число предше-ствующих превышений записываем со знаком минус, а число последующих превышений — со знаком плюс;

находим сумму положительных и отрицательных баллов по каждому рангу и итоговое число баллов (S);

далее действуем по указанной формуле (6). При достаточно больших п между значениями sr и фиксируется определенное соотношение

2

.3sr

(7)

Вычислим коэффициент ранговой корреляции Кендэла по данным таблицы 3. Прежде всего оп-ределяем величины P и Q. По столбцу yR находим число предыдущих рангов, которые больше 4. Оно



равно 3, это ранги 7, 6, 5. Количество рангов, превышающих 7, равно нулю и т.д. Поэтому величина Р составляет Р = 3 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3. (8)


Квантили распределения Стьюдента ;kt

Уровень значимости Число степеней свободы k

0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,005 0,001

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

3,08 1,89 1,64 1,53 1,48 1,44 1,42 1,40 1,38 1,37 1,36 1,36 1,35 1,34 1,34 1,34 1,33 1,33 1,33 1,33 1,32 1,32 1,32 1,32 1,32 1,32 1,31 1,31 1,31 1,31 1,30 1,30 1,29 1,28

6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,70 1,68 1,67 1,66 1,64

12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,04 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96

31,82 6,97 4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,50 2,49 2,48 2,48 2,47 2,47 2,46 2,46 2,42 2,39 2,36 2,33

63,66 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,76 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58

127,32 14,09 7,45 5,60 4,77 4,32 4,03 3,83 3,69 3,58 3,50 3,43 3,37 3,33 3,29 3,25 3,22 3,20 3,17 3,15 3,14 3,12 3,10 3,09 3,08 3,07 3,06 3,05 3,04 3,03 2,97 2,91 2,86 2,81

636,62 31,60 12,94 8,61 6,86 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,02 3,97 3,92 3,88 3,85 3,82 3,79 3,77 3,75 3,73 3,71 3,69 3,67 3,66 3,65 3,55 3,46 3,37 3,29

Примечание. Данные работы [8; 205]. Отметим, что количество слагаемых равенства (8) составляет п – 1, поскольку первый ранг

столбца исключается. Это примечание касается и величины Q. Затем определяют число последующих рангов столбца ,yR меньших данного ранга. Для ранга 4

количество последующих рангов, которые меньше 4, равно 3. Это ранги 3, 2, 1. Ранг 7 имеет 5 после-дующих меньших рангов (6, 5, 3, 2, 1). Таким образом подсчет ведется до конца. В результате имеем Q = – 3 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1=-18. (9)

Поэтому ранговый коэффициент корреляции Кендэла в рассматриваемом примере составляет 2(3 18)

0,7143.7(7 1)



Выводы, вытекающие из полученных результатов, аналогичны тем, что приведены выше отно-сительно рангового коэффициента Спирмена.

В итоге подчеркнем, что особенностью ранговых коэффициентов корреляции является то, что их расчет может выполняться в условиях отсутствия достоверной исходной информации, но при извест-ных рангах изучаемых признаков. Разумеется, ранговые коэффициенты корреляции не могут совпа-дать с коэффициентами корреляции действительных уровней изучаемых признаков. Так, в рассмат-риваемом примере коэффициент парной линейной корреляции между порядковым номером лактации и продуктивностью коров составляет

2 2

7 109885 49 182150,7526.

7 455 49 7 52291731 18215r

Как видно, полученный коэффициент парной линейной корреляции несколько больше рангового коэффициента корреляции Спирмена и меньше такого же коэффициента Кендэла. Но, несмотря на это, ранговые коэффициенты корреляции имеют большое практическое значение, поскольку они по-зволяют в сложных условиях выполнять корреляционный анализ, значительно сокращая объем вы-числительной работы и время получения необходимых результатов.

Метод формализации априорной информации

Этот метод имеет особо важное значение при исследовании влияния различных факторов на ка-чественный показатель технологического процесса бурения. Сущность метода — сбор и анализ дан-ных об объекте исследования до проведения экспериментальных работ, составление примерного пе-речня факторов, которые, по мнению исследователя, могут влиять на качественный показатель тех-нологического процесса. Затем предлагается нескольким специалистам данной области провести ранжирование этих факторов, т.е. расстановку в ряд в порядке убывания степени их важности.

Вклад каждого фактора оценивается по величине ранга — места, которое отведено данному фак-тору исследователем (экспертом) при опросе. Наиболее важному, по мнению каждого эксперта, фак-торному признаку присваивается ранг 1, следующему по важности ранг 2 и т.д. Если эксперт не мо-жет при ранжировании отдать предпочтение какому-нибудь одному фактору (например 2 и 3), то ка-ждому из факторов присваивается связанный ранг, представляющий среднюю из соответствующих рангов (например (2+3)/2=2,5). Каждый специалист может по своему усмотрению к имеющимся фак-торам добавлять новые с учетом их при ранжировке.

Полученные результаты мнений m экспертов о рангах факторных признаков сводятся в таблицу (табл. 6).


Форма заполнения результатов мнений экспертов о рангах факторных признаков

Эксперт Факторный при-знак 1 2 3 … m

Сумма

1x

2x …

kx

11a

21a …

1ka

12a

22a …

2ka

13a

23a …

kma

… … … …

1ma

2ma …

kma

1 ja

2 ja

…

kja

Примечание. Данные работы [8; 96].

Результаты опроса обрабатываются следующим образом. Для каждого фактора ix определяется

сумма рангов, выставленных всеми специалистами 1( ja

— сумма рангов первого факторного при-

знака и т.д.). Находят общую сумму оценок для всех факторов, т.е. 1 1

,k m

iji j

a общая сумма оценок де-

лится на число факторных признаков

1 /T k1 1

,k m

iji j

a (10)

где Т — средняя сумма рангов.



Затем находят сумму квадратов отклонений сумм рангов от их средней

2.ijs a T (11)

Степень согласованности мнений специалистов о влиянии различных факторов на величину ре-зультативного признака оценивается коэффициентом конкордации

2 3

1

1,

12

m

k jj

W s m k k m T

(12)

где jT — показатель связанности рангов.

3

1

,i

j j jT t V tV

(13)

jtV — число одинаковых рангов в j-ом ранжировании.


2 – распределение

Уровень значимости Степень свободы 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1,642 3,219 4,642 5,989 7,289 8,558 9,803 11,030 12,242 13,442 14,631 15,812 16,985 18,151 19,311 20,465 21,615 22,760 23,900 25,038 26,171 27,301 28,429 29,553 30,675 31,795 32,912 34,027 35,139 36,250

2,706 4,605 6,251 7,779 9,236 10,645 12,017 13,362 14,684 15,987 17,275 18,549 19,812 21,064 22,307 23,542 24,769 25,989 27,204 28,412 29,615 30,813 32,007 33,196 34,382 35,563 36,741 37,916 39,087 40,256

3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773

5,412 7,824 9,837 11,668 13,388 15,033 16,622 18,168 19,679 21,161 22,618 24,054 25,472 26,783 28,259 29,633 30,995 32,346 33,687 35,020 36,343 37,659 38,968 40,270 41,566 42,856 44,140 45,419 46,693 47,962

6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,963 48,278 49,588 50,892

10,827 13,815 16,266 18,467 20,515 22,457 24,322 26,125 27,877 29,588 31,264 32,909 34,528 36,123 37,697 39,252 40,790 42,312 43,820 45,315 46,797 48,268 49,728 51,179 52,620 54,052 55,476 56,893 58,302 59,703

Примечание. Данные работы [8; 207, 208]. Величина kW колеблется в пределах от нуля, соответствующего полной несогласованности мне-

ний специалистов, до единицы, указывающей на полную согласованность мнений, т.е. принимает значения в интервале 0 1.kW

Существенность коэффициента конкордации оценивается критерием 2

2 1 11 .

12 1 js mk k Tk

(14)

Фактическое значение сравнивается с табличным (см. табл. 7).



При 2 2табл коэффициент kW существен (т.е. значим) и согласованность мнений специалистов

высокая. Воспользовавшись методикой применения коэффициента конкордации, можно также отобрать

наиболее значимые факторы и отбросить наименее влияющие, что уменьшит трудоемкость исследо-ваний и создаст условия для получения достоверных результатов.

Это можно проследить на следующем примере, взятого из практики горной промышленности. Для выяснения причин обрыва секторов матриц алмазных коронок был проведен опрос трех

специалистов (m = 3). Опрос проводился с помощью анкеты, содержащей три фактора (k = 3): работа коронкой с матрицей, не соответствующей твердости пород ( 1x ); работа при сильных вибрациях ( 2x );

некачественное спекание матрицы с корпусом коронки ( 3x ). Результаты опроса сведены в таблицу 8.

Сравним мнения специалистов о важности трех факторных признаков.


Расчетная таблица

Ранг, установленный специалистами Факторный признак первым вторым третьим

Сумма рангов по каждому факторно-му призна-

ку

Отклонение суммы рангов от средней суммы

Квадрат отклонения

1x

2x

3x

Итого В среднем

1

2,5

2,5 6 2

1

2

3 6 2

2

3

1 6 2

4

7,5

6,5 18 6

-2

1,5

0,5 0 -

4

2,25

0,25 6,5 -

По данным этой таблицы, определим .jT

Число связанных рангов первого специалиста составляет у = 2, второго и третьего у = 0. Тогда 32 2 6.jT

По формуле (12) находим

2 2

6,50,3.

13 3 3 6

12

kW

Найденное значение отличается от нуля, поэтому можно считать, что имеется достаточная сте-пень согласованности.

Оцениваем существенность kW согласно выражению (14)

Из таблицы 7 находим, что для 5 %-ного уровня значимости при =3–1=2 (две степени свобо-

ды) 2 5,991.табл Поскольку 2 2 ,табл необходимо для уточнения последующих выводов привлечь

большее число специалистов и некоторые дополнительные факторные признаки.

Альтернативные признаки в экономике

В экономических науках признаки подразделяют на качественные и количественные. Качест-венные — это признаки, отдельные значения которых отличаются друг от друга существенными свойствами. Количественными именуют признаки, отдельные значения которых отличаются друг от друга только величиной. Количественные признаки выражаются числами.

2 6,5

2,36.1 6

3 3 3 12 2



Качественные признаки также именуются атрибутивными (лат. attribuo — придаю, наделяю). Атрибут — неотъемлемое качественное свойство предмета, без которого он не существует. В эконо-мических явлениях атрибутивные признаки широко распространены и поэтому имеют большую практическую значимость. В этой связи их необходимо, как и количественные признаки, тщательно анализировать, прогнозировать, планировать и исследовать [9; 282].

В большой совокупности атрибутивных (не имеющих количественного выражения) признаков особое место принадлежит альтернативным признакам. Альтернативным называют такой признак, который может иметь данная единица совокупности, а может и не иметь, т.е. альтернативный при-знак может характеризоваться только двумя следующими значениями: или да, или нет. Альтернатива (лат. alter, фр. alternative — один из двух) переводится как попеременный. Примерами альтернатив-ных признаков могут быть рентабельные и убыточные горнодобывающие предприятия, высококаче-ственная и бракованная продукция и т.д.

Учитывая большую значимость альтернативных признаков в экономических процессах, им сле-дует уделять надлежащее внимание как в анализе, так и в планировании горного производства. Для этого целесообразно составлять ряды динамики и вариации различных альтернативных признаков и определять их основные аналитические характеристики.

Если обозначить наличие альтернативного признака у единицы совокупности через 1, а его от-сутствие — через 0, то вариация этого признака p в совокупности составляет / ,p M N (15)

где M — число единиц совокупности, обладающих данным признаком; N — общее количество учтенных единиц совокупности, т.е. вариация альтернативного признака (р) представляет собой долю единиц, обладающих определенным свойством, во всей их совокупности.

Поскольку альтернативный признак принимает всего два значения (1 и 0) с весами соответст-венно р и q, то его дисперсия

2 2 2 2

2 1 0,

p p p q q p p qpq

p q p q

(16)

где q — доля единиц, которые не имеют данного признака, причем q + p = 1. Но особенно важно, изучая альтернативные признаки в экономических процессах, использовать

корреляционный анализ. На основе результатов последнего вскрываются корреляционные связи и зависимости между различными альтернативными признаками.

Тетрахорические показатели альтернативных зависимостей

Корреляционные связи, существующие между различными альтернативными признаками, име-нуются альтернативными зависимостями (корреляцией альтернативных признаков). При изучении корреляции между альтернативными признаками обычно используют тетрахорические показатели. Для их расчета подготавливают специальную четырехпольную (четырехклеточную) таблицу. По-следняя представляет собой группировочную таблицу, которая позволяет вычислить тесноту связи между двумя альтернативными признаками [9; 283].

Для примера приведем таблицу распределения (в общем виде) рабочих горно-обогатительной фабрики (ГОФ) по полу и состоянию здоровья (табл. 9).

Расчетная таблица содержит четыре поля, в которых показывают следующую исходную инфор-мацию: a, b, c, d. Каждое из полей соответствует определенной альтернативе первого и второго при-знаков.

На основе таким образом подготовленных таблиц ведется расчет тетрахорических показателей тесноты связи. Из этих показателей получили следующие коэффициенты [10]:

эмпирический коэффициент корреляционной связи (коэффициент Фехнера); коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова; коэффициент контингенции; коэффициент ассоциации.




Распределение (в общем виде) рабочих предприятий по полу и состоянию здоровья

Число рабочих по полу Признак А Признак В женщины мужчины

Всего

Здоровье a b a + b Число рабочих по состоянию здоровья Нуждающиеся

в лечении c d c + d

Всего a + c b + d a + b + c + d

Примечание. Данные работы [9; 284].

Эмпирический коэффициент корреляционной связи (коэффициент Фехнера, Kэ) измеряет тесно-

ту связи по следующей формуле:

,э

С НК

С Н

(17)

где С и Н — число совпадений и несовпадений знаков отклонений значений признаков факторного и

результативного от своих средних, т.е. хи .у При этом фиксируется совпадение и несовпадение знаков в отклонениях от средней у различных

пар значений признаков.

эK изменяется в пределах от - 1 до + 1. Если связь между признаками обратная, то эK отрицате-

лен, в случае прямой связи — положителен. Чем ближе кK ± 1, тем связь более тесная. Коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона (С) и Чупрова (К) используются в качестве

показателя тесноты связи качественных признаков 1х и 2х и имеют вид: коэффициент Пирсона

2

2;

1C

(18)

коэффициент Чупрова

2

1 2

,1 1

Kk k

(19)

где 1 2

1 2

1 2 1 2

/2

1 1

,k k

j j

j j j j

n

n n

1k и 2k — число групп по каждому из признаков.

Коэффициент контингенции (показатель сходства, кK ) — показатель, используемый для изуче-

ния зависимости между альтернативными признаками на основе таблицы четырех полей:

,k

ad bcK

a b c d a c b d

(20)

где a, b, c, d — исходные данные четырехпольной таблицы. Контингенция, контингент (лат. contingens — достигающийся на долю) представляет собой со-

вокупность людей, предметов или явлений, которые составляют однородную в каком-то отношении группу или категорию [9; 285].

Коэффициент контингенции находится в пределах от –1 до +1. В случае обратной функциональ-ной связи этот коэффициент равен –1. Судя по формуле (20), кK = –1 тогда, когда а = d = 0. Если ко-

эффициент контингенции составляет +1, то изучаемая связь является прямой функциональной. Такая зависимость имеет место тогда, когда в четырехпольной таблице b = с = 0.



Сравнительно простым является способ вычисления коэффициента ассоциации, который обос-новал Юл. Ассоциация — это связь между отдельными представлениями, при которой одно из пред-ставлений вызывает другое. Например, ассоциация по сходству, по расположению. Коэффициент ас-социации ( аK ), вскрывающий наличие ассоциативной связи между двумя признаками, определяется

формулой

.а

ad bcK

ad bc

(21)

Величина этого коэффициента варьируется от –1 до +1. аK = –1, если ad = 0; аK = +1, когда bc = 0.

Вся последующая характеристика коэффициента ассоциации является такой же, как и коэффициента контингенции.

Для корреляционного анализа альтернативных признаков Юл также предложил другой показа-тель, который получил название «коэффициент коллигации» ( КОK ). Его уровень определяется сле-

дующим равенством:

.KO

ad bcK

ad bc

(22)

Отметив сходство формул Юла (21) и (22), подчеркнем, что абсолютные значения коэффициента коллигации намного меньше по сравнению с коэффициентом ассоциации. Подчеркнем также, что при использовании в расчетах формулы (22) находят только арифметические корни.

Рассмотрим примеры вычисления показателей тесноты связи альтернативных признаков. Для этого приведем данные, характеризующие надежность эксплуатации горно-шахтного оборудования на угольном предприятии в зависимости от качества их ремонта (табл. 10).

Коэффициент контингенции в соответствии с формулой (20) и данными таблицы 10 составляет

40 10 7 3

0,5671.40 7 3 10 40 3 7 10

kK

Т а б л и ц а 1 0

Влияние качества ремонта горно-шахтного оборудования на угледобывающем предприятии на надежность его эксплуатации

Эксплуатация Качество ремонта надежная ненадежная

Всего

Высокое Низкое

40 3

7 10

47 13

Всего 43 17 60 По формуле (21) коэффициент ассоциации Юла

40 10 7 30,9002.

40 10 7 3aK

Обращает на себя внимание значительное расхождение в уровнях исчисленных коэффициентов. Если базовым считать коэффициент контингенции, то коэффициент ассоциации Юла больше первого на 58,7 %.

Коэффициент коллигации Юла, вычисляемый по формуле (22), составляет

40 10 7 30,6272.

40 10 7 3KOK

Как видно, этот коэффициент намного меньше коэффициента ассоциации (на 30,3 %). На основе полученных результатов можно сделать заключение о том, что коэффициент контин-

генции и коэффициент коллигации Юла характеризуются определенным сходством своих уровней. Кстати, это сходство подтверждает и опыт корреляционного анализа альтернативных признаков. Уровень же коэффициента ассоциации Юла значительно превосходит другие показатели. Поэтому с какой-то вероятностью можно считать, что между надежностью эксплуатации горно-шахтного обо-



рудования и качеством его ремонта существует корреляционная связь, теснота которой является средней.

В целом же проблема ранговой корреляции и корреляции альтернативных признаков не является до конца решенной. В идеальном варианте должны быть установлены единые и объективные показа-тели тесноты связи, проблематичным остается расчет параметров функций, их ошибок, критериев согласия и т.д.

References

1 Kendel M. Rank correlations / Transl. from English. — М.: Statistics, 1974. — P. 214. 2 Hettmansperger Т. The statistical conclusions based on ranks / Transl. from English. — М.: Finance and statistics, 1987. —

P. 334. 3 Ul J.A., Kendel M. Dzh. The statistics theory / Transl. from English. — М.: Statestatpubl, 1960. — P. 780. 4 Rosanov G.V. Statistical modeling of branch development. — М.: Statistics, 1976. 5 Richard Thomas. Quantitative methods of the analysis of economic activities / Transl. from English. — М.: Publishing house

Business and Service, 1999. — P. 432. 6 Pollard J.A. directory on computing methods of statistics / the Lane with English. — М.: Finance and statistics, 1982. —

P. 344. 7 Sachs L. Statistical estimation / transl. from German. — М.: Statistics, 1976. 8 Gandzhumjan R.A. The mathematical statistics in prospecting drilling: the Handbook. — М.: Bowels, 1990. 9 Grishin A.F., Kocherova E.V. Statistical models: construction, estimation, analysis: Tutorial. — М.: Finance and statistics,

2005. 10 Venetskij I.G., Venetskaia V.I. The basic mathematic-statistical concepts and formulas of the economic analysis. — М.: Sta-

tistics, 1974.


Экономикалық зерттеулерде рангтік корреляцияны жəне баламалы белгілер корреляциясын қолдану мəселелері

Экономикалық зерттеулердегі рангтік корреляцияны қолданудың практикалық маңызы көрсетілген. Қазіргі кезде дара факторлар арасындағы рангтік корреляция тəсілдері толығырақ жасалғандығы туралы айтылған. Статистикалық қатарлар нұсқаларын нөмірлеу принципі құбылыстар арасындағы немесе рангтік статистикадағы байланыстарды зерттеудің параметрлік емес тəсілдердің негізі болып табылатынына ерекше көңіл бөлінген. Экономикалық зерттеулерде сандық жəне сапалық белгілер арасындағы байланыстарды айқындағанда Спирменнің жəне Кендэлдың рангтік корреляция коэффициенттері кеңінен қолданылатындығы дəлелденген. Экономикалық есептеулерде жəне негіздеуге конкордация коэффициентін қолдану əдістемесі ұсынылған. Əр түрлі баламалы белгілер арасындағы корреляциялық байланыстарды талдауға едəуір көңіл бөлінген. Корреляциялық байланыстың эмпирикалық коэффициенті, Пирсон жəне Чупровтың өзара үндесу коэффициенттері, контингенция жəне ассоциация коэффициенттері арқылы факторлар жəне нəтижелі белгілер арасындағы корреляциялық байланыс күшін өлшеу əдістемесі ұсынылған.

R.S.Karenov

Use problems ранговой correlations and correlations of alternative signs in economic researches

Practical value ranks correlations in economic researches is allocated. It is noticed that ways one-factorial ranks correlations are now more full developed. It is underlined that the principle of numbering of variants of statistical numbers is a basis of nonparametric methods of studying of communication between the phenomena or ranks statisticans. It is proved that in economic researches the big application at communication studying between quantitative and qualitative signs find ranks factors of correlation of Spirmena and Kendela. The technique of application of factor konkordacii in economic calculations and substantiations Is offered. The considerable attention is given to the analysis of the correlation communications existing between various alternative signs. The technique measurements narrownesses of correlation communication between factorial and productive signs by means of such factors, as empirical factor of correlation communication, factors of a mutual associativity of Pirsona and Tchuprov, factors contingent and associations is recommended.

Изучение многошаговых экономических…


УДК 330.46



Изучение многошаговых экономических задач и разработка методов их решения как предмет динамического программирования

Показано, что динамическое программирование является новым разделом прикладной математики, занимающейся анализом и разработкой численных методов решения различных экстремальных задач. Доказано, что пошаговое представление экономического процесса позволяет существенно упростить решение сложных задач. Отмечено, что задачи динамического программирования допускают исполь-зование функциональных уравнений, являющихся точной записью принципа оптимальности Ричарда Беллмана. Раскрыты возможности применения динамического программирования для решения задач по оптимальному распределению ресурсов в горной промышленности. Предложен алгоритм решения задачи оптимального распределения капитальных вложений между угледобывающими предприятия-ми методом динамического программирования. Рассмотрено решение проблемы оптимальной поли-тики замены горного оборудования на участке угольной шахты с применением аппарата динамиче-ского программирования.

Ключевые слова: динамическое программирование, оптимизация, стратегия, Беллман, аддитивность, функция дохода, ресурс, шахта, предприятие.

Принцип оптимальности Ричарда Беллмана

Сложность и многообразие экономических задач на оптимум обусловливают необходимость применения различных математических методов программирования. В связи с этим значительный интерес представляют методы динамического программирования.

Динамическое программирование является сравнительно новым разделом той отрасли матема-тики, которая занимается анализом и разработкой численных методов решения различных экстре-мальных задач [1–5].

Основным преимуществом метода динамического программирования, отличающим его от дру-гих способов оптимизации, является то, что этот метод предъявляет весьма незначительные требова-ния к свойствам функций, участвующих в формировании задачи (он не требует, например, выпукло-сти, гладкости функции и т.п.). В отличие от линейного программирования, этот метод не зависит от характера целевой функции и не требует линейности исходных ограничений.

Метод динамического программирования применяется, когда исследуемая задача может быть представлена как многоэтапная, т.е. ее можно разделить на ряд последовательных этапов или шагов. Пошаговое представление процесса позволяет существенно упростить решение сложных задач.

Эффективное применение динамического программирования возможно лишь для сравнительно ограниченного количества экстремальных задач ввиду больших требований, предъявляемых в пер-вую очередь к памяти машины. При постановке конкретных задач динамического программирования встречаются трудности, связанные с выбором параметров, характеризующих состояние системы, и разделения процесса на этапы (шаги).

Можно ввести следующие определения задачи динамического программирования. Поведением принято называть любое правило для принятия решений, которое дает допустимую

последовательность решений (стратегию); оптимальным называется поведение, максимизирующее (или минимизирующее) некоторую заранее заданную функцию параметров окончательного состоя-ния (функцию критерия).

Изучение многошаговых задач и разработка методов их решения являются предметом динами-ческого программирования. Задачи, для решения которых предназначен аппарат динамического про-граммирования, называются задачами динамического программирования.

Большой вклад в разработку теории динамического программирования сделал американский ма-тематик Ричард Беллман.

Все задачи динамического программирования характеризуются многоэтапностью процессов. Этапы чаще всего относятся к определенным интервалам времени, хотя иногда и необязательно должны означать этапы во времени, и тогда они имеют несколько иной смысл.

Большинство задач динамического программирования обладает свойством аддитивности, это значительно упрощает вычислительный процесс решения. Свойство аддитивности, например для за-



дачи о кратчайшем пути, вытекает из того, что длина пути, состоящего из нескольких отрезков дорог, равна сумме длин этих дорог. Существуют задачи динамического программирования, в которых свойство аддитивности не выполняется.

Свойство независимости оптимального плана от предыстории в задачах динамического про-граммирования является основным. Именно это свойство указывает на то, что данную задачу можно рассматривать с точки зрения динамического программирования, и именно на его основе строится большинство численных методов решения подобных задач. Свойство независимости оптимального поведения от предыстории часто называется принципом оптимальности Беллмана, или просто прин-ципом оптимальности.

Принцип оптимальности заключается в следующем. Оптимальное поведение обладает тем свой-ством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент, после-дующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающе-гося в результате первого решения (Р.Беллман).

Задачи динамического программирования допускают эффективное использование функциональ-ных уравнений, которые являются точной записью принципа оптимальности Р.Беллмана. Основное достоинство функциональных уравнений состоит в том, что решение задач большой размерности сводится к последовательному решению задач с меньшей размерностью.

Метод функциональных уравнений — основной метод решения задач динамического программирования

Одной из типичных задач динамического программирования является задача распределения ог-раниченных ресурсов при известных функциях дохода. К таким задачам относятся задачи распреде-ления ограниченных капиталовложений, сырья и других ресурсов по различным экономическим еди-ницам (отраслям промышленности, предприятиям). Функции дохода показывают зависимость выиг-рыша (количество выпущенной продукции, доход от ее продажи, повышение качества и т.д.) от ко-личества выделенных ресурсов.

Функция дохода при расчетах по методу динамического программирования может быть как не-прерывной, так и дискретной, т.е. заданной набором точек, что соответствует определенным количе-ствам единиц ресурса, например, в случае распределения таких видов ресурсов, как специалисты раз-личной квалификации, приборы, машины и т.д.

Предположим, что мы располагаем некоторыми ресурсами (денежными средствами, оборудова-нием и т.п.), которые обозначим через х. Эти ресурсы мы вкладываем в два каких-нибудь предприятия: в первое — у, во второе х – у. Пусть в течение определенного периода (например, года) количество у приносит доход g (у), а количество х – у – доход h (х – у). Общий доход от всех вложенных ресурсов составит

1 , .R x y g y h x y

Обозначим через 1F x наибольший доход, который могут принести ресурсы х при оптималь-

ном распределении их между предприятиями. Тогда

1

0.maxF x

y x

g y h x y

(1)

Теперь рассмотрим двухшаговый процесс, состоящий из двух периодов (этапов). Так как полу-чение дохода, являющееся следствием выпуска или реализации продукции, связано с определенными издержками, то к началу второго периода первоначальная сумма у уменьшится до величины ау, где 0 а < 1, а сумма х – у — до величины b (х – у), где 0 b < 1. Наибольший доход, который может быть получен от суммарного остатка ау + b (х – у) в течение второго этапа, равен

1 .F ay b x y

Обозначим через 2F x наибольший доход, который может быть получен от суммы х за оба периода.

Этот доход равен максимальному значению суммы доходов первого и второго периодов при условии, что начальные для каждого периода ресурсы распределялись наилучшим образом. Иными словами

2 10max .

y xF x g y h x y F ay b x y

(2)

Равенство (2) устанавливает связь между функциями 1F x и 2 .F x



Рассматривая n-шаговый процесс, мы приходим к основному функциональному уравнению Беллмана

10max ,n n

y xF x g y h x y F ay b x y

(3)

устанавливающему связь между nF x и 1 .nF x Определив с помощью равенства (1) 1 ,F x мы,

пользуясь (2), вычислим 2 ,F x затем 3F x и т.д. Значение nF x и дает доход от n-шагового процесса.

Применение динамического программирования для решения задач по оптимальному распределению ресурсов в горной промышленности

При использовании динамического программирования необходимо прежде всего четко поста-вить задачу, сформулировать критериальную функцию и ограничительные условия, подготовить ис-ходную информацию, определить альтернативы, выбрать метод решения, произвести вычисления, дать анализ и оценку полученному результату.

Постановка задачи предусматривает формулировку цели решения задачи, а также фиксацию со-стояния объекта управления на момент расчета. Эти данные послужат базой для получения в процес-се расчетов новых характеристик, т.е. для моделирования систем.

Современные шахты, рудники, карьеры, обогатительные фабрики представляют собой сложные комплексные предприятия, оснащенные мощной горной техникой. Планирование и управление тех-нологическими процессами, горными предприятиями требуют от руководителя любого ранга умения быстро и правильно принимать различные решения. При этом его функции все более усложняются из-за роста объемов производства, ухудшения горно-геологических условий, дальнейшего развития техники, повышения требований к максимальному использованию недр и охране окружающей среды.

В этих условиях решения, принимаемые на основе личного опыта и инженерной интуиции, за-частую становятся малоэффективными, так как не учитывают целого ряда противодействующих фак-торов. Современное производство отличается не только размерами и сложностью, затрудняющими принятие решения, но и очень высокой капиталоемкостью, резко повышающей ущерб от ошибок в проектировании, планировании и управлении. Такая ситуация характерна для всей современной эко-номики, а также и науки, что создает предпосылки для разработки новой технологии принятия реше-ний, основанной на количественных оценках вариантов, исключающей или уменьшающей значение субъективных факторов. Появились условия для применения динамического программирования в основном для решения задач двух классов: планирование (прогнозирование) деятельности экономи-ческой системы (горного предприятия) с учетом изменения выпускаемой продукции во времени в соответствии с изменяющейся потребностью и распределение ресурсов по различным направлениям во времени.

Чтобы получить хотя бы общее представление о характере задач, которые решаются методами динамического программирования в горной промышленности, назовем некоторые из них.

К ним относятся, например, задачи, связанные с оптимальным распределением капиталовложе-ний между горнодобывающими предприятиями, задачи о замене горных машин и механизмов, задачи оптимального управления запасами на горных предприятиях, распределением усилий по сбыту по-лезных ископаемых между различными регионами страны и др.

Оптимальное распределение капитальных вложений между угольными шахтами

Задачи распределения капитальных вложений целесообразно решать методом динамического программирования [6].

Если функция f x на интервале (а, b) всюду непрерывна вместе со своими производными I и II

порядка и вторая производная функция всюду отрицательна, то график функции на всем интервале строго вогнут к оси ох.

Если в некоторой точке внутри интервала (а, b) первая производная функции обращается в нуль, то в этой точке функция достигает локального максимума, который является и абсолютным макси-мумом на интервале (а, b). Заметим, что сумма вогнутых функций также вогнутая функция.

Постановка задачи. Требуется распределить ограниченную сумму капитальных вложений, предназначенную для приобретения новой забойной техники, между тремя шахтами АО «Арселор-Миттал Темиртау», расположенных на Промышленном и Саранском участках Карагандинского бас-сейна.



По принятому геолого-промышленному районированию в Карагандинском бассейне выделяются четыре угленосных района: Тентекский и Шерубай-Нуринский — в западной части, Карагандинский — в средней и Верхне-Сокурский — в восточной. В пределах каждого района по характеру угленос-ности и другим признакам выделяются угленосные участки [7].

Наиболее освоен Карагандинский район, в котором действуют сегодня три шахты: шахта им. Костенко (расположена на Промышленном участке бассейна); две шахты (им. Т.Кузембаева и «Саранская», сосредоточенные на Саранском участке Карагандинского бассейна.

Эффективность капиталовложений по отдельным угольным предприятиям неодинакова. В связи с применением горных машин и механизмов в худших горно-геологических условиях и необходимо-стью проведения все более дорогостоящих организационно-технических мероприятий по устранению имеющихся диспропорций, эффективность капитальных вложений снижается. Соответствующие эф-фективности будут при этом выражаться вогнутыми монотонно возрастающими функциями, темпы роста которых снижаются по мере возрастания аргумента.

Эффективности выражаются функциями:

1 1 10,5q x x (шахта им. Костенко);

2 2 20,6q x x (шахта им. Т.Кузембаева);

3 3 30,4q x x (шахта «Саранская»).

Требуется максимизировать

3 1 2 3 1 2 30,5 0,6 0,4R x x x x x x

при условии 1 2 3x x x x и 1x , 2x , 3 0.x На первый взгляд может показаться, что передача всего ресурса наиболее эффективному II

предприятию (шахте им. Т.Кузембаева), где он принесет доход 20,6 ,x обеспечит максимум. Однако

рациональное деление ресурса на части приносит большую эффективность. Приведем решение задачи с помощью функциональных уравнений:

1) 1 1 0,5 ;f x q x x

2) 2

2 2 1 2 2 2 1 20

max maxx x

f x R x x q x f x x

2

2 20max 0,6 0,5 .

x xx x x

Приравняем к нулю производную 2

2

:dR

dx

2

2 2 2

0,6 0,5;

2 2

dR

dx x x x

2 20,3 0,25 ;x x x

2 20,09 0,0625 ;x x x

2 20,09 0,0625 0,09 ;x x x

2

0,09 900 36;

0,1525 1525 61x x x x

2

36 36 251 .

61 61 61x x x x x x

Таким образом, независимо от размера ресурса, предназначенного I и II угольным предприятиям (шахтам им. Костенко и им. Т.Кузембаева), его следует делить в отношении 1 2: 25 :36.x x

При этом

2 2 2

36 250,6 0,5 0,6 0,5

61 61f x x x x x x

6 5 3,6 2,50,6 0,5

61 61 61x x x



6,1 610,1 0,1 61 .

61 61x x x

3) 3

3 3 1 2 3 3 3 2 30

max maxx x

f x R x x x q x f x x

33 3

0max 0,4 0,1 61 ;

x xx x x

3

3 3 3 3 3

0,4 0,1 61 0,2 0,05 61;

2 2

dR

dx x x x x x x

3 30,2 0,05 61 ;x x x

33

0,461 ;

0,025

x xx

3 316 61 ;x x x

3 316 16 61 ;x x x

3

16;

77x x

3

16 61.

77 77x x x x x

Следовательно, III предприятию (шахте «Саранская») следует выделить 16

77 всего ресурса (капи-

таловложений), а I и II (шахтам им. Костенко и им. Т.Кузембаева) — 61

77 части.

При этом суммарный эффект будет

3

16 61 1,6 6,10,4 0,1 61 0,1 77 0,8775 .

17 77 77f x x x x x x

Обратный ход. Распределим 61

77x между I и II угледобывающими предприятиями (между шах-

тами им. Костенко и им. Т.Кузембаева) в отношении 25:36:

1

25 61 25

61 77 77x x x

и

2

36 61 36.

61 77 77x x x

Таким образом, при любом размере ресурса оптимальное поведение состоит в делении его на части

1 2 3: : 25 :36 :16.x x x Графики функций эффективности и оптимального поведения показаны на рисунках 1 и 2.

Примечание. Составлен по данным исследований автора.

Рисунок 1. График функций эффективности

Примечание. Составлен по данным исследований ав-тора.

Рисунок 2. График оптимального поведения



Проблема оптимальной политики замены горно-шахтного оборудования

Одной из важных проблем, с которой приходится встречаться почти во всех отраслях производ-ственной деятельности — в промышленности и науке, на транспорте, в торговле, сельском хозяйстве и т.д. — является проблема оптимальной политики замены оборудования. Суть ее состоит в том, что в каждом конкретном случае надо уметь определить такой момент, когда выгоднее купить новое обо-рудование, чем эксплуатировать старое.

Критерии, используемые для определения оптимальности в замене оборудования, могут быть весьма различными. Например, в промышленности обычный критерий, используемый для определе-ния оптимальной политики замены оборудования, состоит в минимизации ожидаемых затрат или максимизации ожидаемой прибыли за некоторый промежуток времени. Часто в задачах о замене обо-рудования важным фактором является технический прогресс. В большей или меньшей степени этот фактор также может учитываться, однако зачастую это оказывается сделать трудно по той причине, что результаты технического прогресса невозможно точно предсказать.

В свете реализации Государственной программы форсированного индустриально-инновационного развития (ГП ФИИР) на 2010–2014 гг. на шахте «Тентекская» угольного департа-мента (УД) АО «АрселорМиттал Темиртау» к началу пятилетия (2010–2014 гг.) на вспомогательном участке установлено новое горное оборудование. Исходные данные для решения данной задачи при-ведены в таблице 1.


Исходные данные для решения задачи о замене горного оборудования на вспомогательном участке шахты «Тентекская» УД АО «АрселорМиттал Темиртау»

Время , в течение которого используется горно-шахтное оборудование, лет

Стоимостные показате-ли эксплуатации горно-го оборудования на

шахте 0 1 2 3 4 5

Годовой выпуск про-дукции (добычи угля) в стоимостном выраже-нии, млн. тенге

Ежегодные затраты на содержание и ремонт горно-шахтного обору-дования, млн. тенге

30

11

30

12

24

12

21

13

19

13

16

13

Затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования, р = 14 млн. тенге. За-

меняемое оборудование списывается. Необходимо составить такой план замены оборудования, при котором общая прибыль за пятилетний период (2010–2014 гг.) была бы максимальна.

Имеем два варианта решений: о сохранении оборудования и замене оборудования. Задача состо-ит в нахождении такой стратегии управления, определяемой решениями, принимаемыми в начале каждого года, при которой общая прибыль вспомогательного участка рассматриваемой шахты Кара-гандинского бассейна за 2010–2014 гг. была бы максимальной. Для решения поставленной задачи следует применить принцип Р.Беллмана.

Рассмотрим годы от конца к началу. Введем функцию условно-оптимальных значений критерия

оптимальности ,kF которая показывает максимальную величину прибыли, получаемой от экс-

плуатации оборудования возраста лет за последние k лет планового периода. Возраст оборудова-ния рассматривается в направлении естественного хода времени, т.е. = 0 соответствует использова-нию нового оборудования. Временные шаги нумеруются в обратном порядке, т.е. при k=1 рассматри-вается последний год планового периода (2014 г.). Направления изменения и k показаны на рисунке 3.



Примечание. Предлагается автором на основе логики решаемой задачи.

Рисунок 3. Схематичное изображение направления изменения возраста горно-шахтного оборудования и шагов метода динамического программирования

Из рисунка видно, что процесс решения начинается с последнего периода. На начало последнего года, т.е. для k=1, сделаем всевозможные предположения. Предположим, что при k=1 возраст обору-дования равен лет. В начале Т-го интервала имеется две возможности: заменить оборудование или сохранить его.

Если оборудование сохраняется, то прибыль в период Т составит R ( ) – z ( ), [R ( ) — годовой выпуск продукции в стоимостном выражении; z ( ) — затраты на производство этой продукции]; если же оборудование заменяется на новое, то прибыль составит R (0) – z (0) – р. Оптимальной для периода Т будет такая политика, которая обеспечит наибольшую прибыль в этом периоде, иначе го-воря, при условии, что R (0) – z (0) – р> R ( ) – z ( ) оборудование целесообразно заменить, а в слу-чае R (0) – z (0) – р R ( ) – z ( ) его выгодно сохранить. Таким образом, получаем:

1

сохранение;max

0 0 замена.

R zF

R z p

Для k=2 рассматривается прибыль двух последних лет (Т – 1) и Т. Поскольку для всевозможных состояний уже найдено оптимальное действие, обеспечивающее максимум прибыли 1 1 ,F для варианта сохранения оборудования расчетная формула прибыли за два последних года примет вид R –z( )+ 1 1 ,F для варианта замены — R (0)–z (0)–р+ 1 1 .F Условно-оптимальной в по-

следние два года будет политика, обеспечивающая максимум прибыли:

1

2

1

1 сохранение;max

0 0 1 замена.

R z FF

R z p F

Аналогичные рассуждения можно привести и для k=2, k = 3 и т.д. Общее функциональное урав-нение для вычисления условно-оптимальной прибыли можно записать в следующем виде:

1

1

1 сохранение;max

0 0 1 замена.

k

k

k

R z FF

R z p F

Для последнего шага k=Т имеем максимальную прибыль: 10 0 1T TF R z F — сохранение.

Затем обратным действием, просматривая шкалу времени от первого года до последнего года Т, находим оптимальные стратегии замены или сохранения оборудования. Решим задачу численно. При k=1 выражение условно-оптимальной прибыли принимает вид:

для =1 1 1 maxF 30 12

30 11 14

= 18 (сохранение);

для =2 1

24 122 max

30 11 14F


для =3 1

21 133 max

30 11 14F


для 4 1

19 134 max

30 11 14F

= 6 (сохранение).

Шаги метода динамического программирования

Возраст оборудования

Конец планового периода 0

Т

1

Т-1

Т-2

2 1 0

Т-1 Т

Начало планового периода



Результаты расчетов удобно записать в таблице 2.


Решение задачи о замене горно-шахтного оборудования методом динамического программирования

Время , в течение которого используется оборудова-ние, лет

Стоимостные показатели эксплуатации оборудования

0 1 2 3 4 5

Годовой выпуск продукции k

Ежегодные затраты z

30

11

30

12

24

12

21

13

19

13

16

13

Шаг k=1: условно-оптимальная при-быль

сохранение (да, нет)

замена (да, нет)

18

Да

Нет

12

Да

Нет

8

Да

Нет

6

Да

Нет




23

Нет

Да

23

Нет

Да

23

Нет

Да




41

Да

Нет

35

Да

Нет


сохранение (да, нет) замена (да, нет)

53

Да

Нет

Шаг k=5: условно-оптимальная при-быль сохранение (да, нет)

72

Да

Все возможные варианты работы с горно-шахтным оборудованием различных возрастов про-

смотрены, следовательно, можно перейти к шагу k = 2:

для =1 2

30 12 121 max

30 11 14 18F

= 23 (замена);

для =2 2

24 12 82 max

30 11 14 18F

= 23 (замена);

для =3 2

21 13 63 max

30 11 14 18F

= 23 (замена).

Затем следует рассчитать варианты при k=3:

для =1 3

30 12 231 max

30 11 14 23F


для =2 3

24 12 232 max

30 11 14 23F

= 35 (сохранение).

При k=4 необходимо рассчитать единственное =1:

4 1F = 30 12 35

30 11 14 41

=53 (сохранение).

В первом году пятилетки (2010 г.) стратегия определена однозначно — сохранение оборудова-ния, но для расчета наивысшей прибыли от принятия оптимальных стратегий замены и сохранения



оборудования на всем пятилетнем интервале времени (2010–2014 гг.) следует провести необходимый расчет:

5 0 30 11 53 72.F

Таким образом, найдена максимальная прибыль за 2010–2014 гг. в свете реализации ГП ФИИР, равная 72 млн. тенге.

Проследим теперь по данным таблицы 2 оптимальные стратегии замены и сохранения горного оборудования.

В первый год пятилетия (2010 г.), т.е. на шаге 4, возраст горно-шахтного оборудования равен одному году. Замены не происходит. Получаем прибыль в размере 19 млн. тенге (30–11). Во второй год пятилетки (2011 г.) возраст эксплуатируемого оборудования равен =2, оборудование также сохраняется. Таким образом, получаем прибыль в размере 18 млн. тенге. На следующем шаге воз-раст оборудования равен =3 года; из таблицы 2 видно, что оптимальная стратегия — замена обо-рудования, следовательно, прибыль в этот год составляет — 2 млн. тенге (24–12–14), т.е. шахте нужно брать кредит для реконструкции участка в начале четвертого года или использовать часть прибыли прошлых периодов. В следующем периоде прибыль составит 19 млн. тенге (30–11). И на начало пятого года (2014 г.) пятилетки (шаг 5) замены оборудования не происходит. Прибыль в этом году составит 18 млн. тенге (30–12). Суммарная прибыль на шахте за 2010–2014 гг. составит 72 млн. тенге (19+18–2+19+18).

Заключение

Необходимо отметить, что область приложения методов динамического программирования к решению ряда важных для практики задач далеко не исчерпывается приведенными нами примерами. В частности, следует указать, что эти методы находят себе применение при решении одной из важ-нейших экономических задач, связанной с анализом межотраслевого баланса, когда взаимные потоки продукции между отраслями меняются во времени и, следовательно, имеют динамический характер.

Не мешает, пожалуй, сделать еще одно замечание. Все приведенные выше задачи обладают од-ной общей особенностью. В каждой из них исходное состояние системы (исходное значение пара-метров) и n-шаговый процесс решения задачи однозначно определяют ее конечный результат. Так, например, распределение капиталовложений между тремя шахтами АО «АрселорМиттал Темиртау» приводит в конце определенного периода к вполне конкретному однозначному приросту прибыли (объема добычи угля).

Процессы распределения, в которых конечное состояние системы полностью определяется ис-ходным заданием параметров, называют детерминированными.

Между тем большинство практических задач носит в себе элемент случайности в том смысле, что конечное решение не может быть однозначно определено. Осуществление капиталовложений в какое-нибудь предприятие еще не гарантирует с достоверностью получение в течение данного пе-риода соответствующей прибыли или прироста продукции. Весь процесс производства представляет собой сложный комплекс множества взаимосвязанных факторов, и изменение одного или нескольких из них может повлиять на достижение поставленной цели. В связи с этим для большинства задач ло-гична следующая постановка вопроса: при заданном исходном состоянии системы (заданных началь-ных значениях параметров) ее конечное состояние следует ожидать с такой-то вероятностью. Иначе говоря, это означает, что при заданных капиталовложениях в результате n-шагового процесса при-рост продукции (прибыли) следует ожидать с такой-то вероятностью.

Процессы, в которых в результате решения задачи получается не вполне определенное значение интересующей нас величины, а некоторое распределение ее, называются стохастическими. Тот факт, что оптимизируемая величина является случайной (может принять различные численные значения), не вносит существенных трудностей в процесс решения задач. Всегда можно ставить вопрос об оп-тимуме ее среднего значения.

Метод функциональных уравнений приложим и к решению такого рода задач.

References

1 Smiths U.N., Kuzubov V.I., Voloshchenko A.B. Mathematical programming: Tutorial. — М.: Higher school, 1976. — P. 352. 2 Monahov A.V. Mathematical methods of the analysis of economy. — SPb.: Peter, 2002. — P. 176.



3 Kremer N.S., Putko A.B. et al. Research of operations in economy: Tutorial. — М.: Banks and stock exchanges, UNITI, 1997. — P. 407.

4 Fedoseyev V.V., Garmash A.N. et al. Economic-mathematical methods and applied models: Tutorial. — M.: UNITI, 1999. — P. 391.

5 Hedli J. Nonlinear and dynamic programming / Trans. from English. — М.: World, 1967. — P. 507. 6 Dridzh N.A., Bajmuhametov S.K. et al. Karaganda coal field: Reference book. — М.: Bowels, 1990. — P. 148–150. 7 Gluhov V.V. Management: the Textbook. — SPb.: The special literature, 2000. — P. 10, 11.


Көп қадамды экономикалық есептерді зерттеу жəне оларды шешу тəсілдерін жасау динамикалық бағдарламалау аясы ретінде

Динамикалық бағдарламалау əр алуан экстремалды есептерді шешудің сандық тəсілдерін талдаумен жəне жасаумен айналысатын қолданбалы математиканың жаңа тарауы екендігі көрсетілген. Экономикалық үдерістерді жеке қадамдарға бөліп көрсету күрделі есептерді едəуір оңайлатуға мүмкіндік беретіндігі дəлелденген. Динамикалық бағдарламалау есептері Ричард Беллманның оңтайлылық принципін дəл бейнелейтін функционалды теңдеулерді қолдануға болатындығы көрсетілген. Кен өнеркəсібінде ресурстарды оңтайлы бөлу есептерін шешу үшін динамикалық бағдарламалауды қолдану мүмкіндігі ашылған. Динамикалық бағдарламалау тəсілдерімен көмір өндіру кəсіпорындары арасында күрделі қаржыны оңтайлы бөлу есебін шешу алгоритмі ұсынылған. Динамикалық бағдарламалау аппаратын қолданып, көмір шахталары учаскелерінде кен жабдықтарын алмастырудың оңтайлы саясат мəселесінің шешімі қарастырылған.

R.S.Karenov

Studying of multistage economic problems and working out of methods of their decision as a subject of dynamic programming

It is shown that dynamic programming is new section of the applied mathematics, engaged in the analysis and working out of numerical methods of the decision of various extreme problems. It is proved that step-by-step representation of economic process allows to simplify the decision of challenges essentially. It is noticed that problems of dynamic programming suppose use of the functional equations which are exact record of a prin-ciple of an optimality of Richard Bellman. Possibilities of application of dynamic programming for the deci-sion of problems on optimum distribution of resources in mining industry is revealed. The algorithm of the decision of a problem of optimum distribution of capital investments between the coal-mining enterprises a method of dynamic programming is offered. The solution of a problem of an optimum policy of replacement of the mountain equipment on a site of a colliery with application of the device of dynamic programming is considered.

Об однородной краевой…


УДК 517.956, 517.968.2

М.Т.Космакова, М.Т.Мизамбаева Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова ([email protected])

Об однородной краевой задаче для уравнения теплопроводности в вырождающейся области

Рассмотрена краевая задача теории теплопроводности в области с подвижной границей и соответст-вующее особое интегральное уравнение Вольтерра, к которому она редуцируется. Особенность рас-сматриваемого интегрального уравнения выражена в том, что неоднородное уравнение не может быть решено методом последовательных приближений. Решено однородное уравнение, соответствующее линейному закону движения границы ( ) .t t В результате получена собственная функция рассмат-риваемого особого интегрального уравнения и ненулевое решение однородной краевой задачи.

Ключевые слова: уравнение Вольтерра второго рода, вырождающаяся область, подвижная граница, преобразование Лапласа, собственная функция.

К изучению краевых задач для уравнений в частных производных в областях с нерегулярными

точками на подвижной границе приводят многие важные прикладные задачи. В связи с постоянным увеличением объема использования контактной техники актуальными являются проблемы оптималь-ного выбора параметров контактных материалов и режимов их работы. Поэтому изучение теплофи-зических процессов, происходящих в контактах, является необходимым условием новых достижений в автоматике и приборостроении, сварочной технике, электротехнической аппаратуре и в различных устройствах, где контактные элементы служат одним из основных звеньев.

К числу наиболее важных факторов, влияющих на износостойкость и надежность различных контактных систем, относятся процессы тепло- и массообмена. Интенсивно ведущиеся в последнее время исследования тепловых режимов работы электрических контактов носят преимущественно экспериментальный характер. Вместе с тем с развитием современной контактной техники и тенден-цией к повышению быстродействия электрических аппаратов создается такая ситуация, при которой из-за кратковременности процесса оказывается практически невозможно замерить температурное поле контактной системы и тем более динамику его изменения во времени. В этом случае только тео-ретическое решение задачи о нагреве способно дать представление о характере изменения темпера-турного поля. Математическое моделирование тепловых процессов, связанных с изменением агре-гатного состояния вещества – плавлением, затвердеванием, приводит к необходимости изучения за-дач для параболических уравнений в областях с подвижными границами, известными и неизвестными.

Краевые задачи для уравнений параболического типа в областях с движущейся границей прин-ципиально отличаются от классических. Вследствие зависимости размера области от времени, тем более когда область вырождается в некоторых точках, к этому типу задач в общем случае не приме-нимы методы разделения переменных и интегральных преобразований, так как, оставаясь в рамках классических методов математической физики, не удается согласовать решение уравнения теплопро-водности с движением границы области теплопереноса. Поэтому вопрос об исследовании краевых задач в области с вырождением в начальный момент времени является актуальным.

Рассмотрение широкого круга вопросов математической физики, в частности, решение краевых задач уравнения теплопроводности в вырождающихся областях, приводит к необходимости исследо-вания особых интегральных уравнений Вольтерра. Конструктивные методы решения рассматривае-мых тепловых задач для параболических уравнений, основанные на использовании тепловых потен-циалов и редукция исходных краевых задач к интегральным уравнениям, были развиты Е.И.Кимом [1].

Рассмотрим первую краевую задачу теплопроводности в вырождающейся области (области с подвижной границей):

В области ( ; ) : 0, 0 ( )G x t t x t найти решение уравнения теплопроводности

2

22

,u u

at x

(1)

удовлетворяющее граничным условиям:

0 ( )( , ) ( ); ( , ) ( ).

x x tu x t t u x t t

(2)

М.Т.Космакова, М.Т.Мизамбаева


Подвижную границу ( )t будем считать положительной, монотонно возрастающей, дифферен-

цируемой при 0t и обращающейся в нуль в точке 0.t Функции ( )t и ( )t считаем непрерыв-

ными. Если потребуется, чтобы решение было непрерывным в окрестности 0,t необходимо нало-жить дополнительно условие согласования (0) (0).

Решение задачи (1)–(2) ищем в виде суммы тепловых потенциалов двойного слоя [2]:

2

3 220

2

3 220

1( , ) exp ( )

4 ( )2

( )1 ( )exp ( ) .

4 ( )2

t

t

x xu x t v d

a ta t

xxd

a ta t

(3)

Известно, что функция (3) удовлетворяет уравнению (1) при любых ( )v t и ( ).t Используя ус-ловия (2) и свойства тепловых потенциалов, имеем следующую систему интегральных уравнений от-носительно неизвестных плотностей ( )v t и ( )t [3]:

2

32 22 20

2

32 22 20

2

3 22 20

( ) 1 ( ) ( )( ) exp ( ) ;

2 4 ( )4 ( )

( ) ( )( ) 1 ( ) ( )( ) exp ( )

2 4 ( )4 ( )

1 ( ) ( )exp ( ) .

4 ( )4 ( )

t

t

t

v tt d

a a ta t

tt tt d

a a ta t

t tv d

a ta t

(4)

Соответствующими преобразованиями данную систему уравнений можно свести к одному осо-бому интегральному уравнению Вольтерра второго рода

2

32 22 20

( ) ( )( ) 1 ( ) ( )exp ( )

2 4 ( )4 ( )

t tt td

a a ta t

2

3 22 20

( ) ( )1 ( ) ( )exp ( ) ( ),

4 ( )4 ( )

t ttd q t

a ta t

(5)

где

2 2

3 22 20

2 ( ) ( )( ) ( ) exp ( ) .

4 ( )4 ( )

ta t tq t t d

a ta t

(6)

Вводя обозначения 2( ) 2 ( );f t a q t

2 2

3 32 22 2

( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( )( , ) exp exp ,

4 ( ) 4 ( )2

t tt tH t

a t a ta t t

(7)

получаем

0

( ) ( , ) ( ) ( ).t

t H t d f t (8)

Если функция ( )t монотонно возрастающая и (0) 0, то ядро H( , )t обладает свойствами: 1) ( , ) 0H t и непрерывно при 0 1;t

2) 0

0

lim ( , ) 0,t

t tt

H t d

0 0;t

3) 0

0

lim ( , ) 1.t

tH t d



Особенность исследуемого уравнения заключается в свойстве 3) ядра ( , )H t и выражается в том, что соответствующее неоднородное уравнение не может быть решено методом последователь-ных приближений. Уравнения такого типа впервые рассмотрены в работах С.Н. Харина, в которых изучалась асимптотика интегралов типа потенциалов двойного слоя и построены приближенные ре-шения некоторых прикладных задач [2]. Им предложен и обоснован метод, в котором решение инте-грального уравнения представляется в виде асимптотического разложения по полуцелым степеням переменной .t

Интересно отметить, что к подобного рода особым интегральным уравнениям сводятся также краевые задачи для спектрально-нагруженного параболического уравнения, когда линия нагрузки движется по закону ( )x t [4–7].

Цель настоящей работы — показать, что однородное уравнение, соответствующее (8), при ( ) ,t t т.е.

2

3 12 2220

1 1( ) exp exp ( ) 0,

4 ( ) 42

t tt tt d

а t аа tt

(9)

имеет ненулевое решение. Тем самым будет показано, что однородная задача (1)–(2) также имеет не-тривиальное решение.

В уравнении (9) произведем замены 1 1

, .ty x

Тогда

3 3

2 2

( ); ; ;

( )

x y xyx y x y tt t

xy xy t x y

2

2

4 1; .

t x y d xd d

t xy x y x x

Пределы интегрирования 1 1

0 0 .t y xx y

После подстановки в уравнение (9) и умножения полученного равенства на 2

1 34 2а ye y

приходим

к уравнению

2 2

1 13 314 42 2

3 1222

1 1 1 1 1exp 0.

( )2 ( )

а y а x

y

x ye y y e x d x

y а x y xа x yx y

Введя обозначение 2

1 34 2

1( )а ye y y

y

и умножая на у, получим

3 1222

1 1 1( ) exp ( ) 0.

( )2 y

x yy y x dx

а x yа x yx y

(10)

Если обозначить [ ( )] ( )L y p преобразование Лапласа функции ( ),y то можно доказать следующую теорему о свертке:

( ) ( ) ( ) ( ),y

L K y x x dx K p p

(11)

где

0

( ) ( ) .ptK p K t e dt

К уравнению (10) применим преобразование Лапласа. Рассмотрим отдельно каждое слагаемое.

( )[ ( )]

d pL y y

d p

верно по теореме о дифференцировании изображения Лапласа.



3 22

32 22

1 1exp ( )

( )2

1 1 2 1exp ( ) exp ( ) .

( ) ( )2 ( ) 2

y

y y

x yL x dx

а x yа x y

L x dx L y x dxа x y а x yа x y а x y

(12)

Из известного равенства 21

exp4

k pk eL

tt p

и равенства (4) для первого слагаемого

в (12) при 2

ka

имеем

2

2

1 1exp ( ) ( ).

( )2 ( ) 2

pа

y

eL x dx p

а x yа x y а p

(13)

Из известного равенства 2

32

exp ,42

k pk kL e

tt

равенства (11) и теоремы о дифференци-

ровании изображения Лапласа ( )

[ ( )]d f p

L y f yd p

для второго слагаемого в (12) при 2

ka

имеем

2

3 22

2 4exp ( ) ( ) .

4 ( )2

pa

y

dL y x dx e p

a x y d pa x y

(14)

С учетом (13) и (14) равенство (12) примет вид

22

3 22

1 1exp ( ) ( ) ( ) .

( )2 2

pa p

a

y

x y e dL x dx p e p

a x y d pa a px y

Последнее слагаемое в (10):

12

1 1( )

2 y

x dxa x y

после преобразования Лапласа с учетом

известного равенства 1 1

Lt p

и равенства (11) примет вид

1 1( ) ( ).

2 ( ) 2y

L x dx pа x y а p

Итак, после применения преобразования Лапласа к уравнению (10) получим 2

2( ) ( )( ) ( ) 0,

2 2

pаp

аd p d p ee p p

d p d p а p а p

или 2 1

1 ( ) ( ) 0.2

pаe p p

а p

Значит, ( )p удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

2 2 21( ) ( ) ,

2p p p k а

а p

(15)

где ( )x — дельта-функция, а 2 2 2 0, 1, 2,...kp k а k — корни уравнения 2

1 0.p

аe



Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению, (15), имеет вид 1

( ) ,p

аp С e

или, переходя к оригиналам, получим, что

yaD

yya

Cy

2

111exp)( 22

,

где )(2 zD — функция параболического цилиндра [9; 1081]. Производя обратные замены, получим,

что функция

2

1

4

5exp)( 220

a

tD

tt

at является собственной функцией особого инте-

грального уравнения (9), что можно проверить непосредственной подстановкой.

2

22

0;u u

at x

(16)

0

( , ) 0, ( , ) 0x x t

u x t u x t (17)

имеет ненулевое решение. Запишем его в явном виде. Из соотношений (3) и (4), учитывая, что ( ) 0, ( )t t t и )()( 0 tСt имеем:

221 1

0 1 12 3 32 22 2 10 0 1

( , ) exp exp4 ( ) 4 ( )2

tС x xu x t d d

a t ata

2

0 1 23 220

exp ( , ) ( , ) .4 ( )2

t xС xd С I x t I x t

a ta t

Поменяем порядок интегрирования в двойном интеграле

1

221

1 1 0 1 12 3 3 2 22 2 10 1

1 1( , ) exp

4 ( ) 4 ( )2

t t xI x t x d d

a t ata

и вычислим внутренний интеграл

1

221

1 3 2 22 1

1

1( , , ) exp .

4 ( ) 4 ( )

t xI x t d

a t at

Производя в нем замену 1

,t

z

получим

2 21

2 2221

1 2 2 2 21 101

2exp4 ( ) 1

( , , ) exp4 ( ) 4 ( )

x

a t xI x t z dz

a t z a tt

2221

2 2 2 21 10

1 1exp .

4 ( ) 4 ( )

xz dz

z a t z a t

Используя формулы [8]:

22

0

1exp exp 2 ;

2

ba x dx ab

x a

22 2

0

1exp exp 2

2

a dxx a

x x a

получим

21 1

1 3 22 1 11

( )2( , , ) exp .

4 ( )

x xaI x t

x a tt

Таким образом,

21 1

1 0 1 13 22 10 1

( )1( , ) exp .

4 ( )2

t x xI x t d

a ta t



Окончательно имеем

2

03 220

1 ( )( , ) exp

4 ( )2

t x xu x t C d

a ta t

2

03 220

1 ( )exp .

4 ( )2

t x xd

a ta t

Это решение представимо в следующей форме:

2 2

0 32 2 220

( , ) exp .4 ( ) 4 ( ) 4 ( )

tС x x x du x t x ch sh

a t a t a ta t

(18)

Функция ( , ),u x t определяемая равенством (18), ограничена в области

( ; ) : 0, 0 ,G x t t x t очевидно, удовлетворяет уравнению (16) и однородным граничным

условиям (17), т.е. действительно является решением однородной задачи (16)–(17).

References

1 Kim E.I. Solution of a certain class of singular integral equations with line integrals // Rep. of Akad. Scien. USSR (N.S). — 1957. — Vol. 113. — P. 24–27.

2 Kharin S.N. Themal processes in electrical contacts and the associated singular integral equations: Dis. for degree of PHD doctor, IMM Akad. Scien KazSSR. — 1970. — Р. 13.

3 Tikhonov A.N., Samarskyi А.А. Equations of mathematical physics. — Publ. 5-th. — M.: Science, 1977. — 735 p. 4 Soldatov A.P., Ramazanov M.I., Shaldykova B.A. About the boundary value problems for the spectrally-loaded parabolic op-

erator. I // Bulletin of KarSU. Mathematics series. — 2011. — 2 (62). — P. 85–92. 5 Soldatov A.P., Ramazanov M.I., Shaldykova B.A. About the boundary value problems for the spectrally-loaded parabolic op-

erator. II // Bulletin of KarSU. Mathematics series. — 2011. — 23 (62). — P. 88–95. 6 Akhmanova D.M., Dzhenaliev M.T., Ramazanov M.I. On a particular Volterra integral equation of second kind with a spectral

parameter // Siberian Mathematical Journal. — 2011. — Vol. 52. — 1. — P. 3–14. 7 Amangalieva M.M., Ahmanova D.M., Dzhenaliev М.Т., Ramazanov M.I. The boundary value problems for the spectrally-

loaded heat conduction operator with approaching loaded line in zero or infinity // Differential equations. — 2011. — Vol. 47. — 2. — P. 231–243.

8 Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Table of Integrals, Series and Products // Phizmatgiz. — 1963. — 982 p.


Туылатын облыстағы жылуөткізгіштік теңдеу үшін біртекті шеттік есеп

Жылжымалы шекаралы облыстағы жылу өткізгіштік теориясының шеттік есебі мен оған келтіруге болатын сəйкес Вольтерр ерекше интегралдық теңдеуі қарастырылады. Бұл теңдеудің ерекшелігі — біртекті емес теңдеу тізбектей жуықтау əдісі бойынша шешілмейтіндігінде болады. ( )t t шекарасының жылжуының сызықтық заңына сəйкес біртекті теңдеу шешіледі. Нəтижесінде қарастырылып отырған ерекше интегралдық теңдеудің меншікті функциясын жəне біртекті шеттік есептің нөлдік емес шешімін аламыз.

M.T.Kosmakova, M.T.Mizambaeva

On the homogeneous boundary value problem for the heat equation in the degenerate domain

We consider the boundary problem of the theory of heat conduction in a domain with a moving boundary and the corresponding singular integral equation of Volterra, to which it is reduced. Feature of this integral equa-tion is expressed in the fact that the inhomogeneous equation can not be solved by successive approximations. We solve the homogeneous equation corresponding to linear law of motion of the boundary ( ) .t t In the result we obtain an Eigen function of a singular integral equation under consideration and the nontrivial solu-tion of the homogeneous boundary value problem.

О разрешимости периодической…


УДК 517.956

Н.Т.Орумбаева, Г.Сабитбекова


О разрешимости периодической краевой задачи для системы квазилинейных гиперболических уравнений со смешанной производной

В статье рассмотрена периодическая краевая задача для системы квазилинейных гиперболических уравнений со смешанной производной. Предложен конструктивный алгоритм нахождения решения периодической краевой задачи для системы квазилинейных гиперболических уравнений. Установле-ны достаточные условия сходимости алгоритма и однозначной разрешимости исследуемой задачи.

Ключевые слова: гиперболические уравнения, неравенство Беллмана-Гронуолла, метод параметризации, смешанная производная, однопараметрическое семейство, задача Коши.

На 0, 0,Т рассматривается краевая задача

2

( , ) ( , , ), ( , ) ;u u

A x t f x t u x tx t x

(1)

(0, ) 0, 0, ;u t t T (2)

( ,0) ( , ), 0, ,u x u x T x (3)

где ( n n ) — матрица ( , )A x t непрерывна на , : n nf R R непрерывна 1,

( , ) max ( , ) ,ii n

u x t u x t

1,1

( , ) max ( , ) .n

iji n j

A x t a x t

Функция ( , ) ( , ),nu x t C R имеющая частные производные ( , )

( , ),nu x tC R

x

2 ( , )( , ),nu x t

C Rx t

называется решением задачи (1)–(3), если она удовлетворяет системе (1) при

всех ,x t и краевым условиям (2), (3).

Краевые задачи для систем гиперболических уравнений различными методами были исследова-ны многими авторами [1–5]. В [6] было предложено двухпараметрическое семейство алгоритмов и установлены достаточные условия сходимости данного алгоритма и однозначной разрешимости ли-нейной периодической краевой задачи для системы гиперболических уравнений со смешанной про-

изводной. Введем новую неизвестную функцию ( , )

( , ) ,u x t

v x tx

и задачу (1)–(3) запишем в виде

( , ) ( , , ), ( , ) ;v

A x t v f x t u x tt

(4)

( ,0) ( , ), 0, ;v x v x T x (5)

0

( , ) ( , ) , [0, ].x

u x t v t d t T (6)

Здесь задача нахождения решения периодической краевой задачи для системы квазилинейных гиперболических уравнений (1)–(3) сведена к семейству периодических краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (4), (5) и функциональному соотношению (6). Задачи (1)–(3) и (4)–(6) эквивалентны в том смысле, что если функция ( , )u x t является решением задачи (1)–

(3), то пара ( , )

( , ), ( , )u x t

u x t v x tx

будет решением задачи (4)–(6) и, наоборот, если пара

ˆ ˆ( , ), ( , ),u x t v x t — решение задачи (4)–(6), то ˆ( , )u x t — решение задачи (1)–(3).

Для решения задачи (4)–(6) применяется метод параметризации.



По шагу 0 :h Nh T произведем разбиение 1

0, 1 , , 1,2,...N

r

T r h rh N

. При этом

область Ω разбивается на N частей. Через ( , ), ( , )r rv x t u x t обозначим соответственно сужение функ-

ции , , ,v x t u x t на 0, 1 , , 1, .r r h rh r N Тогда задача (4)–(6) будет эквивалентна

краевой задаче

( , ) ( , , ), ( , ) ;rr r r

vA x t v f x t u x t

t

(7)

,0,lim0,

01

txvxv N

Tt 0, ;x (8)

10

lim , , ,s st sh

v x t v x sh 1, 1;s N (9)

0

, , ,x

r ru x t v t d , ,rx t 1, ,r N (10)

где (9) — условие склеивания функций ( , )v x t во внутренних линиях разбиения. Через ( )r x

обозначим значение функции ( , )rv x t при ( 1) ,t r h т.е. ( ) ( , ( 1) ),r rx v x r h и сделаем замену

( , ) ( , ) ( ), 1, .r r rv x t v x t x r N Получим эквивалентную краевую задачу с неизвестными

функциями ( ) :r x

( , ) ( , , ), ( , ) ;rr r r

vA x t v f x t u x t

t

(11)

, 1 0,rv x r h 0, ,x 1, ;r N (12)

1

0lim , 0,N N

t Tx x v x t

0, ;x (13)

1

0lim , 0,s s s

t shx v x t x

0, ,x 1, 1;s N (14)

0 0

, , ,x x

r r ru x t v t d d , ,rx t 1, .r N (15)

Задачи (7)–(10) и (11)–(15) эквивалентны в том смысле, что если система пар

( , ), ( , ) , 1, ,r rv x t u x t r N является решением задачи (7)–(10), то система троек

( ) ( ,( 1) ), ( , ) ( , ) ( , ( 1) ), ( , ) , 1, ,r r r r r rx v x r h v x t v x t v x r h u x t r N будет решением задачи (11)–

(15) и, наоборот, если ( ), ( , ), ( , ) , 1, ,r r rx v x t u x t r N — решение задачи (11)–(15), то система

( ) ( , ), ( , ) , 1, ,r r rx v x t u x t r N будет решением задачи (7)–(10).

Задачи (11), (12) при фиксированных ),(),( txux rr являются однопараметрическими семейства-

ми задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, где ,0x и эквивалент-на нелинейному интегральному уравнению

1 1

, , , ,t t

r r r

r h r h

v x t A x v x d A x d x

1

, , , .t

r

r h

f x u x d

(16)

Вместо ( , )rv x t подставим соответствующую правую часть (16) и, повторив этот процесс ( 1,2,...) раз, получим

, , , , , , ,r vr r vr r vr rv x t D x t x F x t u G x t v 1, ,r N (17)

где 1

1 1 1 1 10 ( 1) ( 1)

, , , ;jt

r j jj r h r h

D x t A x d A x d d

1 1 1

1

, , , , , ,t

vr r r r

r h

F x t w u f x u x d

11

1 1 1 1 11 1 1 1

, ... , , , , ... ;j jtv

j j r j j jj r h r h r h

A x A x f x u x d d d



2 1

1 1 , 1 1 0

1 1 1

, , , ... , , ... , , 1, .v vt

vr r v v r v v v

r h r h r h

G x t v A x A x A x v x d d d t r N

Переходя к пределу при 0,t rh в (17) находим 0

lim ( , ), 1, , [0, ],rt rhv x t r N x

подставляя их в

(13), (14), для неизвестных функций , 1, ,r x r N получим систему функциональных уравнений:

( , ) ( ) ( , , ) ( , , );Q x h x F x h u G x h v (18)

где

1

2

, 1

0 0 ,

, 0 0( , ) ;0 ,2 0 0

0 0 ,( 1)

N

N

I I D x Nh

I D x h IQ h x I D x h

I D x N h I

1 1 , 1 1, , , , , , , ,..., , 1 , ;v vN N v v N NF x h u F x Nh u F x h u F x N h u

1 1 , 1 1, , , , , , , ,..., , 1 , ,v vN N v v N NG x h v G x Nh v G x h v G x N h v

I — единичная матрица размерности .n Для нахождения системы из трех функций

, , , , , 1, ,r r rx v x t u x t r N имеем замкнутую систему, состоящую из уравнений (18), (17) и (15).

Предполагая обратимость матрицы ,vQ x h при всех 0, ,x из уравнения (18), где

, 0,rv x t , 0,ru x t находим 0 0 0 01 2, ,..., :Nx x x x

10 , , ,0 , ,0 .v v vx Q x h F x h G x h

Используя уравнение (17), при 0r rx x найдем функции 0 , , 1, ,rv x t r N т.е.

0 0, , , ,0 , ,0 .r vr r vr vrv x t D x t x F x t G x t

Функции 0 , , 1, ,ru x t r N определяются из соотношений

0 0 0

0 0

, , ,x x

r r ru x t v t d d , .rx t

За начальное приближение задачи (11)–(15) возьмем систему 0 0 0, , , , ,r r rx v x t u x t

1, ,r N и последовательные приближения строим по следующему алгоритму:

Шаг 1. А) Предполагая, что (0)( , ) ( , ),r ru x t u x t 1, ,r N первые приближения по ( ), ( , )r rx v x t на-

ходим, решая задачу (11)–(14). Взяв (1,0) (0) (1,0) (0)( ) ( ), ( , ) ( , ),r rx x v x t v x t систему пар

(1) (1)( ), ( , ) , 1, ,r rx v x t r N найдем как предел последовательности (1, ) (1, )( ), ( , ),m mr rx v x t определяемый

следующим способом: Шаг 1.1. Предполагая обратимость матрицы ,vQ x h при всех 0, ,x из уравнения (18), где

1,0, , ,r rv x t v x t находим 1,1 1,1 1,1 1,11 2, ,..., :Nx x x x

11,1 0 1,0, , , , , .v v vx Q x h F x h u G x h v

Подставив найденные 1,1 , 1,r x r N в (17), находим 1,1 1,1 0 1,0, , , , , , .r vr r vr vrv x t D x t x F x t u G x t v

Шаг 1.2. Из уравнения (18), где 1,1, , ,r rx t v x t определяем




Вновь, используя выражение (17), найдем функции 1,2 , , 1, :rv x t r N

1,2 1,2 0 1,1, , , , , , .r vr r vr vrv x t D x t x F x t u G x t v

На 1,m -ом шаге получаем систему пар 1, 1,, , , 1, .m mr rx v x t r N Предположим, что

решение задачи (11)–(14) — последовательность систем пар 1, 1,, , ,m mr rx v x t определена при

,m сходится к непрерывным, соответственно, на 0, , , rx x t функциям 1 1, , , 1, .r rx v x t r N

В) Функции 1 , , 1, ,ru x t r N определяются из соотношений:

1 1 1

0 0

, , ,x x


Шаг 2. А) Предполагая, что 1, , , 1, ,r ru x t u x t r N вторые приближения по ( ), ( , )r rx v x t на-

ходим, решая задачу (11)–(14). Взяв 2,0 1 2,0 1, , ,r r rx x v x t v x t систему пар 2 2, , , 1, ,r rx v x t r N найдем как предел последовательности 2, 2,, ( , ),m m

r rx v x t определяемый

следующим способом: Шаг 2.1. Предполагая обратимость матрицы ,vQ x h при всех 0, ,x из уравнения (18), где

2,0, , ,r rv x t v x t находим 2,1 2,1 2,1 2,11 2, ,..., :Nx x x x


Подставив найденные 2,1 , 1, ,r x r N в (17), находим 2,1 2,1 1 2,0, , , , , , .r vr r vr vrv x t D x t x F x t u G x t v

Шаг 2.2. Из уравнения (18), где 2,1, , ,r rv x t v x t определяем


Вновь, используя выражение (17), найдем функции 2,2 , , 1, :rv x t r N

2,2 2,2 1 2,1, , , , , , .r vr r vr vrv x t D x t x F x t u G x t v

На 2,m -ом шаге получаем систему пар 2, 2,, , , 1, .m mr rx v x t r N Предположим, что

решение задачи (11)–(14) — последовательность систем пар 1, 1,, , ,m mr rx v x t определена при

,m сходится к непрерывным, соответственно, на 0, , , rx x t функциям 2 2, , , 1, .r rx v x t r N

В) Функции 2 , , 1, ,ru x t r N определяются из соотношений:

2 2 2

0 0

, , ,x x


Через ( , )nrC R обозначим множество непрерывных и ограниченных на

0, 1 ,r r h rh функций : nr ru R с нормой

1 1, 1 ,

max sup ( , ) .r rr N t r h rh

u u x t

Введем множества 1[0, ]

(0, ( )) , , : , , max ( , ) ( ) ;t T

G x x t u x t u x t x

1 1 2 11, 0,

(0, ( )) ( , ), ( , ),..., ( , ) , ( , ) ( , ),max sup ( , ) ( ) , 1, .nN r r r

r N t TS x u x t u x t u x t u x t C R u x t x r N



Условие А. Функция ( , , )f x t u имеет непрерывную частную производную ( , , )uf x t u в 1(0, ( ))G x

и ( , , ) ( ),uf x t u L x где ( )L x — непрерывная на [0, ] функция.

Условия следующего утверждения обеспечивают равномерную относительно , ,rx t

1, ,r N сходимость предложенного алгоритма к решению краевой задачи с неизвестными функция-ми (11)–(15).

Теорема. Пусть имеет место условие А и при некоторых 0 : , 1,2,... ,h Nh T N

, 1,2,..., nN nN — матрица ( , )Q h x обратима при всех 0, .x Тогда при выполнении не-

равенств:

1) 1( , ) ( , );Q h x h x

2)

1

( ) ( )( , ) 1 ( , ) 1;

! !

j

j

x h x hq h x x h

j

3)

1 1 1 1 10, 0,

10 0 0

1( ) max , ,0 ( ) ( ) ( ) max , ,0 ( ),

!

jx

t T t Tj

a a d m f t d m b c f t d xj

где

0,

max , ;t T

x A x t

— ;const

( )( ) 1 , ( ) ;

! 1 ,

v

vv

x h b xa x x h c x

v q x h

( )b x

1

1 ( , )!

jv

j

x hx h

j

1

0

,!

jv

j

x hh

j

( )c x

1

0

( , ) ;!

jv

j

x hx h h

j

0

1 ,!( ) max 1, ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,

1 , !

v

vxv

v vv

x hx h x hvm x b x x h b x q x h b x c x L b c d

q x h v

задача (1)–(3) в 1(0, ( ))S x имеет единственное решение. Доказательство. При предположениях относительно данных задачи имеют место неравенства

1

1, 1 ,0

, , max sup , , , ;!

jv

v rr N t r h rhj

x hF x h u h f x t u x t

j

1, 1 ,

, , max sup , ;!

v

v rr N t r h rh

x hG x h v v x t

v

1, 1 , 1

max sup , .!

jv

vrr N t r h rh j

x hD x t

j

Из нулевого шага алгоритма вытекают следующие оценки:

10

0,1, 0

max , max , ,0!

jv

r vt Tr N j

x hx x h h f x t

j

0,

( ) max , ,0 ;t T

c x f x t

0 0

1, 1, 1,1 , 1 ,

max sup , max sup , maxr vr rr N r N r Nt r h rh t r h rh

v x t D x t x

1, 1 ,

max sup , ,0rr N t r h rh

F x t

1, 1 ,

max sup , ,0rr N t r h rh

G x t

10

0,1,1 0

max max , ,0! !

j jv v

rt Tr Nj j

x h x hx h f x t

j j

1 !

jv

j

x h

j

1

0,0

, max , ,0!

jv

vt T

j

x hx h h f x t

j

1

0,0

max , ,0!

jv

t Tj

x hh f x t

j



1

1 ( , )!

jv

j

x hx h

j

1

0,0

max , ,0!

jv

t Tj

x hh f x t

j

0,

( ) max , ,0 .t T

b x f x t

0

1, 1 ,

max sup ,rr N t r h rh

u x t

1

0,00

, max , ,0!

jx v

vt T

j

hh h f t d

j

00

1 ( , )!

jx v

j

hh

j

1

0,0

max , ,0!

jv

t Tj

hh f t d

j

0,

0

( ) ( ) max , ,0 ( ) .x

t Tc b f t d x

Учитывая условия А, установим неравенства: 1,1 1,0

1,max r rr N

x x

1

0 0

1, 1,1 , 1 ,0

, max sup , , , , ,0 , max sup ,! !

j vv

v r v rr N r Nt r h rh t r h rhj

x h x hx h h f x t u x t f x t x h v x t

j v

0 0

1, 1,1 , 1 ,

( ) max sup , , max sup , .!

v

r v rr N r Nt r h rh t r h rh

x hc x L u x t x h v x t

v

1,1 1,0

1, 1 ,

max sup , ,r rr N t r h rh

v x t v x t

1,1 1,0

1,1

max!

jv

r rr Nj

x hx x

j

1

0 0

1, 1,1 , 1 ,0

max sup , max sup ,! !

j vv

r rr N r Nt r h rh t r h rhj

x h x hh L u x t v x t

j v

1 !

jv

j

x h

j

1

0

1, 1 ,0

, max sup ,!

jv

v rr N t r h rhj

x hx h h L u x t

j

0

1, 1 ,1

, max sup ,! !

j vv

v rr N t r h rhj

x h x hx h v x t

j v

1

0 0

1, 1,1 , 1 ,0

max sup , max sup ,! !

j vv

r rr N r Nt r h rh t r h rhj

x h x hh L u x t v x t

j v

1

1 ,!

jv

vj

x hx h

j

1

0

1, 1 ,0

max sup ,!

jv

rr N t r h rhj

x hh L u x t

j

0

1, 1 ,1

1 , max sup ,! !

j vv

v rr N t r h rhj

x h x hx h v x t

j v

0

1, 1 ,

( ) max sup ,rr N t r h rh

b x L u x t

0

1, 1 ,

, max sup , .v rr N t r h rh

q x h v x t

Справедливо неравенство

1,1 1,1 1,0 1,1 1,0

1, 1,1 ,

max sup , , maxr r r rr N r Nt r h rh

x v x t v x t x x

0

1, 1 ,


b x L u x t

0

1, 1 ,

, max sup ,v rr N t r h rh

q x h v x t

0 0

1, 1,1 , 1 ,

( ) max sup , , max sup ,!

v



v



0

1, 1 ,

( ) ( ) max sup ,rr N t r h rh

b x c x L u x t

0

1, 1 ,

, , max sup , .!

v

v v rr N t r h rh

x hx h q x h v x t

v

Таким образом,

1, 1 1, 1, 1, 1

1, 1, 1 ,

max , max sup , , ;!

v

m m m mr r v r r

r N r N t r h rh

x hx x x h v x t v x t

v

(19)

1, 1 1,

1, 1 ,

max sup , ,m mr r

r N t r h rh

v x t v x t

1, 1 1, 1, 1, 1

1, 1, 1 ,1

max max sup , ,! !

j vv

m m m mr r r r

r N r N t r h rhj

x h x hx x v x t v x t

j v

1, 1, 1

1, 1 ,

, max sup , , .m mv r r

r N t r h rh

q x h v x t v x t

(20)

В силу неравенства , 1vq x h следует равномерная сходимость 1, 1 , , ,mr rv x t x t к 1 ,rv x t и

сходимость последовательности систем функций 1, 1mr x к непрерывным на 0,x функциям

1r x при всех 1, :r N

1, 1 1, 1,1 1,0

1, 1,1 , 1 ,0

max sup , , , max sup , , .m

jm mr r v r r

r N r Nt r h rh t r h rhj

v x t v x t q x h v x t v x t

1, 1 1,0

1,max m

r rr N

x x

1,1 1,0 1,1 1,0

1, 1,1 ,0

, , max sup , , max .!

vm

j

v v r r r rr N r Nt r h rhj

x hq x h x h v x t v x t x x

v

1, 1 1,0 1, 1 1,0

1, 1,1 ,

max sup , , maxm mr r r r

r N r Nt r h rh

v x t v x t x x

1,1 1,0 1,1 1,0

1, 1,1 ,0

, 1 , max sup , , max .!

vm

j

v v r r r rr N r Nt r h rhj


v

Переходя к пределу при ,m получим оценки

1 1 1 0(0)

1, 1,1 ,

max sup , , maxr r r rr N r Nt r h rh

x v x t v x t x x

1,1 1,0

1, 1 ,

1 ,! max sup , ,

1 ,

v

v

r rr N t r h rhv

x hx h

v v x t v x tq x h

1,1 1,0

1,max r rr N

x x

1 ,!

1 ,

v

v

v

x hx h

vq x h

0

1, 1 ,


b x L u x t

1 ,!

1 ,

v

v

v

x hx h

vq x h

0

1, 1 ,

, max sup ,v rr N t r h rh

q x h v x t

0 0

1, 1,1 , 1 ,

( ) max sup , , max sup ,!

v



v



1 ,!max 1,

1 ,

v

v

v

x hx h

vq x h

0

1, 1 ,

( ) ( ) max sup ,rr N t r h rh

b x c x L u x t

1 ,!max 1,

1 ,

v

v

v

x hx h

vq x h

0

1, 1 ,

, , max sup ,!

v

v v rr N t r h rh

x hx h q x h v x t

v

1 ,!max 1,

1 ,

v

v

v

x hx h

vq x h

0,

0

( ) ( ) ( ) ( ) max , ,0x

t Tb x c x L b c f t d

1 ,!max 1,

1 ,

v

v

v

x hx h

vq x h

, ,!

v

v v

x hx h q x h

v

0,( ) max , ,0

t Tb x f x t

1 ,!max 1,

1 ,

v

v

v

x hx h

vq x h

0

( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )!

vx

v v

x hb x x h b x q x h b x c x L b c d

v

0, 0,max , ,0 ( ) max , ,0 .t T t T

f x t m x f x t

1 0 1

0,1, 1 , 0 0

max sup , , ( ) max , ,0 ( ) .x x

r rt Tr N t r h rh

u x t u x t d m f t d x

Для систем разностей 1 ,k kr rx x 1 , , ,k k

r rv x t v x t 1 , , ,k kr ru x t u x t

1, ,r N 1,2,...k справедливы оценки: 1,1 1,0

1,max k k

r rr N

x x

1

1, 1 ,

( ) max sup , , ;k kr r

r N t r h rh

c x L u x t u x t

1,1 1,0

1, 1 ,

max sup , ,k kr r

r N t r h rh

v x t v x t

1

1, 1 ,


r N t r h rh

b x L u x t u x t

1, 1 1, 1, 1, 1

1, 1, 1 ,

max , max sup , , ;!

v

k m k m k m k mr r v r r

r N r N t r h rh

x hx x x h v x t v x t

v

1, 1 1, 1, 1, 1

1, 1,1 , 1 ,

max sup , , ( , ) max sup , , .k m k m k m k mr r r r

r N r Nt r h rh t r h rh


1, 1 1,0 1,1 1,0

1, 1,1 , 1 ,0

max sup , , , max sup , , .m

jk m k k kr r v r r

r N r Nt r h rh t r h rhj


1, 1 1,0

1, 1 ,

max sup , ,k m kr r

r N t r h rh

x t x t

1

1,1 1,0 1,1 1,0

1, 1,1 ,0

, , max sup , , max .!

vm

j k k k kv v r r r r

r N r Nt r h rhj


v



Переходя к пределу при ,m получим оценки:

1

1, 1 ,

max sup , ,k kr r

r N t r h rh

v x t v x t

1

1, 1 ,

1( ) max sup , , ;

1 ,k k

r rr N t r h rhv

b x L u x t u x tq x h

(21)

1

1,max k k

r rr N

x x

1,1 1,0 1,1 1,0

1, 1,1 ,

,max sup , , max

1 , !

v

k k k kvr r r r

r N r Nt r h rhv

x hx hv x t v x t x x

q x h v

1

1, 1 ,

,( ) max sup , ,

1 , !

v

k kvr r

r N t r h rhv

x hx hb x L u x t u x t

q x h v

1

1, 1 ,

( ) max sup , ,k kr r

r N t r h rh

c x L u x t u x t

1

1, 1 ,

,( ) ( ) max sup , , ;

1 , !

v

k kvr r

r N t r h rhv

x hx hb x c x L u x t u x t

q x h v

(22)

1 1 1

1, 1, 1,1 , 1 ,0 0

max sup , , max max sup , , .x x

k k k k k kr r r r r r

r N r N r Nt r h rh t r h rh

u x t u x t d v t v t d

Суммируя, соответственно, левые и правые части неравенств (21), (22), имеем

1 1 1

1, 1,1 ,

max sup , , maxk k k k kr r r r

r N r Nt r h rh

x v x t v x t x x

1

1, 1 ,

,1( ) ( ) ( ) max sup , ,

1 , 1 , !

v

k kvr r

r N t r h rhv v

x hx hb x b x c x L u x t u x t

q x h q x h v

1

1, 1 ,

( )1 , ( ) max sup , ,

! 1 ,

v

k kv r r

r N t r h rhv

x h b xx h c x L u x t u x t

v q x h

1

1, 1 ,


r N t r h rh

a x L u x t u x t

(23)

1 1

1, 1 , 0

max sup , , .x

k k kr r

r N t r h rh

u x t u x t d

(24)

Для функции 1k x на основе (23), (24) установим неравенства

1

0

.x

k kx a x d (25)

1

1

0 0

.1 !

kx xk a x

x a d dk

1 0 1 0

1, 1, 1 ,

max max sup , ,k kr r r r

r N r N t r h rh

x x v x t v x t

1 1

1, 1, 1 ,

max max sup , ,k k k kr r r r

r N r N t r h rh

x x v x t v x t

1 1

1, 1, 1 ,

max max sup , ,k k k kr r r r

r N r N t r h rh

x x v x t v x t

1 0 1 0

1, 1, 1 ,

... max max sup , ,r r r rr N r N t r h rh

x x v x t v x t



1 1...k kx x x 1

1 (1)

1 0 0

1( )

!

jx xk

j

a x a d d xj

1

1 (1)

1 0 0

1( ) ;

!

jx xk

j

a x a d d xj

1 1

1, 1, 1 ,

max max sup ,k kr r

r N r N t r h rh

x v x t

1 0 1 0

1, 1, 1 ,

max max sup , ,k kr r r r

r N r N t r h rh

x x v x t v x t

0 0

1, 1, 1 ,

max max sup ,r rr N r N t r h rh

x v x t

1

0, 0,1 0 0

1( ) max , ,0 ( ) max , ,0

!

jx xk

t T t Tj

a x a d m f t d m x f x tj

0, 0,( ) max , ,0 ( ) max , ,0

t T t Tc x f x t b x f x t

1

0, 0,1 0 0

1( ) max , ,0 ( ) ( ) ( ) max , ,0 ;

!

jx xk

t T t Tj

a x a d m f t d m x b x c x f x tj

1

1, 1 ,

max sup ,kr

r N t r h rh

u x t

1

1 1 1 1 10, 0,

10 0 0

1( ) max , ,0 ( ) ( ) ( ) max , ,0 ( ) .

!

jx k

t T t Tj


При k имеет место оценка

1 1 1 1 10, 0,

10 0 0

1( ) max , ,0 ( ) ( ) ( ) max , ,0 ( ) .

!

jx

t T t Tj


Таким образом, функция ( , )u x t является решением задачи (1)–(3). Докажем единственность. Пусть существует два решения ( , ),u x t ( , )u x t в 1(0, ).S В силу эк-

вивалентности задач (1)–(3) и (4)–(6) существуют пары ( , ), ( , )v x t u x t , ( , ), ( , ) ,v x t u x t которые

являются решениями задачи (4)–(6). Тогда соответствующие им системы

, , , , , , , , 1, ,r r r r r rx v x t u x t x v x t u x t r N будут решениями краевой задачи (11)–

(15). Аналогично соотношению (25) для разностей , , ,r r r rx x v x t v x t при всех

, , 1, ,rx t r N получим

1, 1, 1 ,

max max sup , ,r r r rr N r N t r h rh

x x v x t v x t

1, 1, 1 ,0

max max sup , , .x

r r r rr N r N t r h rh

a x v t v t d

С помощью неравенства Беллмана-Гронуолла [7] имеем

1, 1, 1 ,

max max sup , , 0.r r r rr N r N t r h rh

x x v x t v x t

Откуда вытекает, что , , , , 1, .r r r rv x t v x t x x r N Из неравенства

1, 1, 1,1 , 1 ,0

max sup , , max sup , , maxx

r r r r r rr N r N r Nt r h rh t r h rh

u x t u x t v t v t d

имеем , , , 1, ,r ru x t u x t r N при всех , .rx t Теорема доказана.

0,max ,t T

u x t



References

1 Cesari L.Tr. International symposium on nonlinear fluctuations. — T. 1. — Kiev, 1963. — Р. 440–457. 2 Veivoda O. et al. Partial differential equations: Time-periodic solutions. Alphen aan den Rijn. Sijthoff: Noordhoff. — 1981. — 358 p. 3 Ptashnik B.I. The incorrect boundary problems for differential equations with quotient derivatives. — Kiev, 1984. 4 Kiguradze T.I. On periodic boundary problems for linear hyperbolic equations // Differential equations. — 1993. — Т. 29, 2.

— P. 281–297. 5 Mitropoliskiy Yu.A., Homa G.P., Gromyak M.I. The asymptotic methods of the study quasiwave equations of the hyperbolic

type. — Kiev: Scientific idea, 1991. — 232 р. 6 Orumbayeva N.T., Sabitbekova G. On one-valued solvability of the periodic boundary problem for system of the hyperbolic

equations // Bulletin of KarSU. Ser. Mathematic. — 2011. — 4 (64). — P. 67–75. 7 Trenogin V.A. The functional analysis. — M., 1980.


Аралас туындылы квазисызықты гиперболалық теңдеулер жүйесі үшін периодты шеттік есептің шешімділігі туралы

Мақалада аралас туындылы квазисызықты гиперболалық теңдеулер жүйесі үшін периодты шеттік есеп қарастырылады. Квазисызықты гиперболалық теңдеулер жүйесі үшін периодты шеттік есептің шешімін табудың конструктивті алгоритмі ұсынылады. Алгоритмнің жинақтылығының жəне зерттелініп отырған есептің шешімділігінің жеткілікті шарттары тағайындалды.

N.T.Orumbaeva, G.Sabitbekova

On solvability periodical boundary value problem for system of the quasi-linear of hyperbolic equations

The constructional algorithm of finding periodical boundary value problem’s solution for system of the quasi-linear of hyperbolic equations is offered. The necessary and sufficient conditions of algorithm’s unique solv-ability of investigating problem are established. The necessary and sufficient conditions of algorithm and one-valued solvability of investigating problem are established.

Б.Т.Торебек


УДК 517.95

Б.Т.Торебек Международный казахско-турецкий университет им. Х.А.Ясави, Туркестан (E-mail: [email protected])

О разрешимости одной нелокальной задачи для уравнения Лапласа с граничным оператором дробного порядка в смысле Капуто

В статье исследована нелокальная краевая задача первого типа для уравнения Лапласа в единичном шаре. В качестве граничного оператора рассмотрен оператор дробного дифференцирования в смысле Капуто. Рассмотренная задача — простейшее обобщение задачи Бицадзе-Самарского на граничные операторы нецелого порядка. Доказаны теоремы единственности и существования решения.

Ключевые слова: оператор дробного дифференцирования, Капуто, задача Бицадзе-Самарского, Ди-рихле, однородность, гармонические полиномы.

Пусть : 1nx R x — единичный шар; : 1nx R x — его граница; ( )u x —

гармоническая функция в области ; m — натуральное число, , ,x

r xx

0 1.

Рассмотрим оператор

*

0

1 ( )[ ]( ) .

(1 )

r duD u x r d

d

*D называется оператором дифференцирования -го порядка в смысле Капуто.

Для любого 1 2( , ,..., ),m 0 1,j 1,2,..., ,j m введем обозначения

1 1 2 2* * * *... ... ,m mB r D r D r D

11 1 11 2

1 20 0 0

1[ ]( ) ... ( ) ;m

m

s sds dsB u x u sx ds

,1 2

( 1),

( 1 ) ( 1 )... ( 1 )

m

k mm

k

k k k

1 2... ,ms s s s 1 21 2 ... ;m

ms s s s

11 1 1

11 1 ... 1 .m

ms s s

Пусть ja — действительные числа, 0 1,j 1,2,..., .j N Причем будем считать ja — числа

одного знака, т.е. при всех 1,2,..., ,j N выполняются 0ja или 0.ja

Рассмотрим в следующую нелокальную задачу: ( ) 0, ;u x x (1)

*1

( ) ( ) ,N

j jj

B u x a u x f x

;x (2)

(0) ,u b (3)

где f x — непрерывная функция; b — некоторое заданное число.

Свойства и некоторые применения операторов *B и B изучены в [1]. Рассматриваемая задача является простейшим обобщением задачи Бицадзе-Самарского [2] на

граничные операторы нецелого порядка. Заметим, что аналогичные задачи в случае 0 изучались

в [3–6], а в случае 0b и 0,1

| |j mj

a

изучались в [1, 7–9].

Задача N. Найти функцию 2( )u x C C гармоническую в шаре , для которой функ-

ция * [ ]( )B u x непрерывна в и удовлетворяет условиям (2), (3).

Приведем некоторые свойства операторов *B и ,B доказанных в [1].

О разрешимости одной нелокальной…


Лемма 1. Если ( )u x гармоническая функция в области Ω, то функции [ ]( )B u x и * [ ]( )B u x

также являются гармоническими в области Ω и * [ ](0) 0.B u Лемма 2. Если ( )u x гармоническая функция в области Ω, то для любого x справедливо

равенство

11 1 11 2

*1 20 0 0

1( ) (0) ... ( ) .m

m

s sds dsu x u B u sx ds

Лемма 3. Если ( )u x — гармоническая функция в области Ω, то для любого x справедливы равенства

*[ [ ]]( ) ( ) (0);B B u x u x u * [ [ ]]( ) ( ).B B u x u x Приведем основные утверждения этой работы.

Теорема 1. Если 0,1

N

j mj

a

и решение задачи N существует, то оно единственно.

Доказательство. Пусть существует два решения 1( )u x и 2 ( ).u x Обозначим 1 2( ) ( ) ( ).u x u x u x Тогда функция ( )u x будет удовлетворять однородным условиям (2) и (3).

Обозначим

*1

( ) ( ) ( ).N

j jj

w x B u x a u x

Так как функция ( )u x является гармонической в шаре , то в силу утверждения леммы 1 функ-

ция * [ ]( )B u x также является гармонической в и * [ ](0) 0.B u Кроме того, при любом j функция

( )ju x гармоническая в шаре .

Тогда ( )w x — решение следующей задачи Дирихле: ( ) 0, , ( ) 0, .w x x w x x

Отсюда в силу единственности решения задачи Дирихле получаем, что ( ) 0, .w x x

Следовательно, при всех x выполняется равенство

*1

( ) ( ).N

j jj

B u x a u x

(4)

Разложим гармоническую функцию ( )u x в ряд вида

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 0 1

( ) ( ) ( );k kh h

i i k i ik k k k

k i k i

u x u H x r u H

где ( ) ( )ikH x — полная система однородных гармонических полиномов степени ;k ( )i

ku —

коэффициенты разложения. Применяя оператор *B к функции ( ),u x получаем (см. [1])

( ) ( )* ,

1 1

( ) ( ).kh

i ik m k k

k i

B u x u H x

(5)

Далее, используя однородность гармонических полиномов ( ) ( ),ikH x имеем

( ) ( ) ( ) ( )

1 0 1 1 0 1

( ) ( ).k kh hN N

i i i k ij k k j j k j k

j k i j k i

a u H x a u H x

(6)

Подставляя (5) — в левую, а (6) в правую части равенства (4), получаем

( ) ( ) ( ) ( ),

1 1 0 1 1

( ) ( ).k kh h N

i i k i ik m k k j j k k

k i k i j

u H x a u H x

Так как ( )0

1

(0) 0,kh

i

i

u u

то отсюда получаем ( ),

1

( ) 0.N

k ik m j j k

j

a u

Следовательно, либо выполняется равенство ,1

0,N

kk m j j

j

a

либо ( ) 0,iku 1,2,...,k

1,2,..., .ki h Если ( ) 0,iku то ( ) 0,u x x и по непрерывности ( ) 0, .u x x



Если ( ) 0iku для некоторого индекса 0 ,k k то необходимо выполнение условия

0

0 ,1

0,N

kk m j j

j

a

или то же самое 0

0 ,1

.N

kk m j j

j

a

Если для всех 1,2,..., ,j N 0,ja то 0 , 0.k m Так как

0 , 0,k m то в этом случае ( ) 0, .u x x

Если 0, 1,2,..., ,ja j N то, в силу неравенств 0

1

0N

kj j

j

a

и 0 , 0,k m равенство 0

0 ,1

Nk

k m j jj

a

ни при каком значении 0 1,2,...k не выполняется. Поэтому в этом случае ( ) 0, .u x x А если

0,ja то 0

0 , 0,1 1

.N N

kk m j j j m

j j

a a

Отсюда получаем 0 , 0, .k m m А это равенство не выполняется

ни при каком значении 0 1,2,...k . Тогда и в этом случае ( ) 0, .u x x

Таким образом, если ja — числа одного знака, т.е. при всех 1,2,...,j N выполняются

неравенства 0ja или 0ja и 0,1

,N

j mj

a

то решением однородной задачи N будет функция

( ) 0, .u x x Теорема доказана. Теперь приведем утверждение относительно существования решения задачи N.

Теорема 2. Пусть ( ) ( )f x C и 0,1

.N

j mj

a

Тогда для разрешимости задачи N необходимо и достаточно выполнения условия

1

1( ) .

N

x jjn

f x dS b a

(7)

Доказательство. Пусть решение задачи N существует и это ( ).u x Рассмотрим функцию

*1

( ) ( ) ( ).N

j jj

w x B u x a u x

Так как ( )u x гармоническая функция, то в силу утверждения леммы 1 функция * [ ]( ),B u x а также

( )ju x являются гармоническими в области .

Следовательно, функция ( )w x является решением следующей задачи Дирихле:

( ) 0, ;

( ) ( ), .

w x x

w x f x x

Представим функцию ( )w x в виде интеграла Пуассона 21 1 | |

( ) ( ) .| | yn

n

xw x f y dS

x y

Далее, используя условие

*1 1

(0) (0) (0) ,N N

j jj j

w B u a u b a

получаем

1

1(0) ( ) .

N

y jjn

w f y dS b a

Таким образом, необходимость выполнения условия (7) доказана. Покажем, что условие (7) яв-ляется и достаточным для существования решения задачи. Предположим, что функция ( )v x является решением задачи Дирихле ( ) 0, ;v x x (8) ( ) ( ), ,v x x x (9) с дополнительным условием (0) 0.v (10) Известно, что для любого ( ) ( )x C решение задачи (8), (9) существует и единственно.



Представив функцию ( )v x в виде интеграла Пуассона 21 1 | |

( ) ( )| | yn

n

xv x y dS

x y

и требуя выполнение условия (10), получаем 1

0 (0) ( ) ( ) 0.y yn

v y dS y dS

Таким образом, если ( ) ( )x C и ( ) 0,yy dS

то решение задачи (8)–(10) существует и

единственно.

Обозначим через ( )x след гармонической функции * ( )B u x на , т.е. *( ) ( ) .x B u x

Обозначим также *( ) ( ).v x B u x

Тогда функция ( )v x будет решением задачи (8)–(10). Рассмотрим функцию

( ) [ ]( ) .u x B v x b (11)

Применяя к равенству (11) оператор *B и используя свойства операторов * ,B B из леммы 3, имеем

* * *[ ]( ) [ [ ]]( ) [ ] ( ).B u x B B v x B b v x Далее представим функцию ( )v x в виде интеграла Пуассона и с учетом условия (0) 0v для

функции [ ]( )jB v x получаем представление

1 21 11

10 0

1 | |1 1 1[ ]( ) ... ( ) ( )

| |j

j y y mnm n j n

s xs sdsB v x y dS y dS ds

s x y

1 21 11

10 0

1 | |1 1 1... 1 ( ) ( , ) ( ) ,

| |j

y m j ynm n j n

s xs sdsy dS ds P x y y dS

s x y

где через ( , )jP x y обозначено

1 21 11

10 0

1 | |1, ... 1 .

| |j

j mnm j

s xs sdsP x y ds

s x y

Подставляя функцию (11) в граничное условие (2), имеем

*1 1 1

( ) ( ) ( ) [ ]( )N N N

j j j j jj j j

B u x a u x v x a B v x a b

1 1

1( ) ( , ) ( ) ( ), .

N N

j j y jj jn

x a P x y y dS a b f x x

Введем обозначения

1

( , ) ( , ),N

jj

j n

aK x y P x y

1

1

( ) ( ) .N

jj

f x f x b a

Тогда относительно функции ( )x получаем интегральное уравнение

1( ) ( , ) ( ) ( ), .yx K x y y dS f x x

(12)

Покажем, что функция ( , )K x y является непрерывной на . Для доказательства этого ут-

верждения достаточно показать непрерывность функции ( , ).jP x y

Так как 0 1j , то 1j x и | | 0, , ,js x y x y т.е. функция | |js x y отделена от

нуля и поэтому ( , )jP x y непрерывна на .

Таким образом, функция ( , )K x y является непрерывной на . Кроме того, из равенства 2 2 2 2 2 2 2 2| | 2 ( , ) | | | | 2 ( , ) | | ,| | | | 1j j j js x s x y y s y s y x x x y

получаем 2 2| | | | ,j js x y s y x т.е. ядро ( , )K x y является симметричным.



Следовательно, к интегральному уравнению (12) можно применить теорию Фредгольма. Так как

при выполнении условия 0,1

N

j mj

a

однородная задача, соответствующая (12), имеет только

нулевое решение, то соответствующее союзное однородное интегральное уравнение также имеет только нулевое решение. Тогда в силу теоремы Фредгольма интегральное уравнение (12) для любого

( ) ( )f x C разрешимо. Покажем, что при выполнении условий (7) решение интегрального уравнения (12) удовлетворяет

условию ( ) 0.yy dS

Действительно, интегрируя равенство (12) по области , имеем

1( ) ( , ) ( ) ( ) .x y x xx dS K x y y dS dS f x dS

(13)

Рассмотрим интеграл ( , ) ( ) .y xK x y y dS dS

Меняя порядок интегрирования, имеем

( , ) ( ) ( ) ( , ) .y x x yK x y y dS dS y K x y dS dS

Изучим внутренний интеграл ( , ) .xK x y dS По обозначению

1 21 11

1 1 10 0

1 | |1( , ) ( , ) ... 1 .

| |

N Nj j j

j mnj jn n m j

a a s xsdsK x y P x y s ds

s x y

Так как 21 1 | |

1,| | yn

n

xdS

x y

то ( , ) 0.xK x y dS

Следовательно, 1( ) ( ) .x xx dS f x dS

А если

теперь выполняется условие (7), то 1( ) 0.xf x dS

Тогда из равенства (13) вытекает ( ) 0.xx dS

Итак, если ( ) ( )f x C и для него выполняется условие (7), то решение интегрального уравне-

ния (12) существует, единственно и для него выполняется условие ( ) 0.xx dS

Подставляя функ-

цию ( )x в интеграл Пуассона 21 1 | |

( ) ,| | yn

n

xy dS

x y

получаем гармоническую в функцию

21 1 | |( ) ( ) ,

| | ynn

xv x y dS

x y

удовлетворяющую условиям (8) и (9). По этой функции построим функ-

цию ( ) [ ]( ) ,u x B v x b которая удовлетворяет всем условиям задачи N. Теорема доказана. Выражаю глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору

Б.Х.Турметову за постановку задач и внимание к работе.

References

1 Karachik V.V., Turmetov B.Kh., Torebek B.T. On some integro-differential operators in the class of harmonic functions and their application // Mathematical proceedings (in Russian). — 1. — Novosibirsk, 2011. — Vol. 14. — P. 99–125.

2 Bitsadze A.V., Samarskii A.A. On some simple generalizations of lnear elliptic boundary problems // Soviet Math. Rep. — M., 1969. 10 (2). — P. 398–400.

3 Il’in V.A., Moiseev E.I. Non-local boundary value problems of first kind for a Sturm-Liouville operator in its differential and finite difference aspects // Soviet Math. Rep. — M., 1986. — Vol. 291. — 3. — P. 534–539.

4 Pulatov A.K. A problem Bitsadze-Samarskii // Differential equation (in Russian). — 1989. — Vol. 25. — 3. — P. 537–539. 5 Skubachevskii A.L. Nonclassical boundary-value problems I // Journal of Mathematical Sciences. — 2008. — 155:2. —

P. 199–334. 6 Skubachevskii A.L. Nonclassical boundary-value problems II // Journal of Mathematical Sciences. — 2010. — 166:4. —

P. 377–561. 7 Torebek B.T., Turmetov B.Kh. On the solvability of some problems for the Laplace equation // Mathematical Journal (in Rus-

sian). — Almaty, 2010. — Vol. 10. — 1 (35). — P. 93–103. 8 Turmetov B.Kh., Iliyasova M.T. On the solvability of a nonlocal problem with the boundary operator of fractional order in the

sense of Hadamard-Marshoud // Bulletin of ENU (in Russian). — Astana, 2010. — 2. — P. 24–30.



9 Torebek B.T. A nonlocal problem of the first type for the Laplace equation with the boundary operator of fractional order / Abstracts of 42th All-Russian Youth School-Conference The modern problems of mathematics (in Russian). — Yekaterinburg, 2011. — P. 111–112.

Б.Т.Төребек

Лаплас теңдеуі үшін шекаралық шартында Капуто мағынасындағы бөлшек ретті оператор қатысқан бейлокалды есептің шешімділігі

Мақалада Лаплас теңдеуі үшін бірлік шарда бірінші текті бейлокалды шеттік есеп зерттелген. Шекаралық оператор есебінде Капуто мағынасындағы бөлшек ретті дифференциалдау операторы қарастырылған. Бұл есеп Бицадзе-Самарский есебінің шекаралық шартында бүтін емес оператор қатысқан қарапайым жалпыламасы болып табылады. Есептің шешімінің жалғыздығы жəне бар болуы туралы теоремалар дəлелденген.

B.T.Torebek

On solvability of nonlocal problems for the Laplace equation with the boundary operator of fractional order in the sense Caputo

In this paper the nonlocal boundary value problem of the first type for the Laplace equation in the unit bal is reseachedl. As a boundary operator, the operator of fractional differentiation in the sense of Caputo is consid-ered. The considered problem is the simplest generalizations of the problem Bitsadze-Samara on the bound-ary operators of noninteger order. We prove theorems on the existence and uniqueness of solutions.


АВТОРЛАР ТУРАЛЫ МƏЛІМЕТТЕР СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Abdrakhmanov N.G. — dean of mathematical faculty, candidate of physical and mathematical science, Karaganda State University named after E.A.Buketov.

Abildaeva G.B. — old teacher, Karaganda State Technical University.

Abildin S.K. — candidate of technical science, Karaganda State Technical University.

Alimagambetova А.Z. — candidate of physical and mathematical science, Kazakh University of Economy, Finance and International Trade, Astana.

Beszhanova А.Т. — old teacher, Kazakh University of Economy, Finance and International Trade, Astana.

Grigoryeva T.S. — old teacher, Karaganda State University named after E.A.Buketov.

Jumagulova S.К. — old teacher, Karaganda State University named after E.A.Buketov. Karenov R.S. — the Doctor of Economics, the professor, the academician of the International Academy of

information, Managing chair of Management, Karaganda State University named after E.A.Buketov.

Kosmakova М.Т. — magistrant, Karaganda State University named after E.A.Buketov.

Мizambayeva М.Т. — magistrant, Karaganda State University named of E.A.Buketov.

Moskalenko N.A. — magistrant, Karaganda State University named of E.A.Buketov.

Orumbayeva N.T. — candidate of physical and mathematical science, Karaganda State University named after E.A.Buketov.

Palchunov D.E. — doctor of physical and mathematical science, Novosibirsk State University, Russia.

Sabitbekova G. — magistrant, Karaganda State University named after E.A.Buketov.

Torebek B.Т. — master teacher, International Kazakh-Turkish University of H.A.Yasawi, Turkestan.

Yeshkeyev А.R. — doctor of physical and mathematical science, Karaganda State University named after E.A.Buketov.

Zaikina T.V. — teacher, Karaganda State University named after E.A.Buketov.

Қ АР АҒ АН Д Ы У Н И В Е Р С И Т Е Т I Н I Ң ÕÀÁÀÐØÛÑÛ ÂÅÑÒÍÈÊ

Documents

Transcript of Қ АР АҒ АН Д Ы У Н И В Е Р С И Т Е Т I Н I Ң ÕÀÁÀÐØÛÑÛ ÂÅÑÒÍÈÊ