1

सखयाः मयडणी व लखनाः भयग २

(परयसतयववकाः

डॉ. नरदर दशमख यनी सचवलयवरन एकय वनतकयवलकयसयठी महणन मी मयझय अनभवयचय आधयर ह

लखन कल आह. बरच लखन कलयनतर त सपयदकयकडन त कठीण व लयबीन जयसत आह अस कळवणयत आल. त

छयपल जयवच ककवय त छयपल जयईल अस कयही मयझय मनयत नवहत. ककबहनय त छयपल जयणयर नयहीच अशी खयतरी

होती. पररवचत गोषटी नहमीचय भयषतील शबद वयपरन वलवहलयमळ तय वयचणयर यनय सोपय वयटतयत कयरण तय

सहज बयजलय करतय तयत हयच मयझय अनभव आह. यलय जोड महणन सभयवषत, परवसदध कयवयपकती परलय की त

वलखयण मनयलय आनद दत.

वलखयण करतयनय मयझयसमोर परयथवमक शयळतील अधयपक होत. सतत ववकवसत होत असललय रयषटरी

आरयखडय, शकषवणक धोरणयतन सपषट होत असलली अधयपकयची जबयबदयरी, वशकषणयशी सबवधत सकलपनयत होत

असलल बदल, उपलबध होत असलल नवनव ततरजञयन व तयचय उपोग करन वयकतीलय सवताःच सबलीकरण

करणयचय वमळत असललय सधी यचय ववचयर करतय अधयपकयचय बहमोल वळ तयनी ककवय इतरयनीही बयळबोध

छोटयय गोषटी वयचणयत घयलवयवय अस मलय वयटत नयही.

मळयतच अपवयद वगळतय वयचणयबयबत आनदच असतो. एकदय परीकषय दऊन मोकळ झयलयनतर

अधयपनयपरतच कसबस वयचन करयच असयच अनकयचय खयकय असतो. अधयपन महयववदययलयतही अधयपकयनय

वययवसयवक ववकयसयसयठी ववववध परकयरचय सयवहतयचय वयचनयचय उपोग अनभवणयचय सधी फयरच

अलपयशयन वमळतयत. परवशकषण कयळयत अभयसलय जयणयर य अनक ववषयचय परतकष अधयपनयशी कयही सबध आह

यचयही अनभव बहतक वळय परवशकषणयरथयानय ददलय जयत नयही. यची कसर भरन कयढणयसयठी अनक अधयपक

सवताःच पढयकयर घऊन वयचन व तयवर चचतन करतयत. अस सवताःचय ववकयसयबयबत जयगरक असणयर अधयपक

मयझय समोर होत.

नवयय जञयनगयचय गरजनसयर परयथवमक वगयापयसनच मलयची अधन कौशल ववकवसत करणयलय महततव

दययच आह. तयसयठी अधयपकयलय सखोल ववष जञयन हव व अधयपन ववजञयनयचही जञयन हव. य दोनहीचय

अभयसयसयठी तय ववदययशयखयची पररभयषयही वयचतय, बोलतय, वलवहतय यलय हवी.

अधयपकयलय सवताःचय ववषयची सखोल जयण हवी अस अधयपनववजञयन सयगत. य सदभयात मय वलचपग

य वचनी ववदषीन चीनमधील परयथवमक वशकषकयचय मलयखती घतलय. तवहय तयनय अस आढळल, की वशकषकयच

ववष वशकषण परथवमक पयतळीच असनही तयच अधयपन उचच दजयाच आह. अधयपनयची उचच पयतळी य

अधयपकयनी कशी गयठली यचय शोध घणयसयठी तयनी कयही अधयपकयचय मलयखती घतलय. यपकी वयग य

परथवमक वशकषकयन सवताःचय कयमयववषी कय सयवगतल ह आतय आपण वयचय. त वयचत असतयनय य वशकषकयची

2

अधयपनयसयठी ववचयर करणयची पदधत, तो सवताःलय ववचयररत असललय परशयच सवरप, तयतन परकट होणयरय

तयचय सवताःचय वयवसययकड पयहणयचय दवषटकोन, तयचय वतती य सवा बयबीचय वचदकतसक ववचयर करण

सबवधतयनय शक होईल.

“मी वशकवणयपकषय ववदययरथयाची तयरी करन घणयलय वतपपट... चौपट... जयसत वळ दतो. मी सवताःसयठी

अधयपन सयवहतयचय अभयस करयलय वळ भरपर वळ घतो व यसयठी मी पढील परशयची उततर सवताःसयठी

वमळवतो. य पयठयत मी कय वशकवणयर आह? यतील एखयदयय मदददययची मी परसतयवनय कशी करणयर आह?

यसयठी ववदययरथयाचय आधीचय (पवीचय... खर तर वतामयन... पवाजञयनयचय) कोणतय सकलपनय व कौशलयचय मी

उपोग करन घऊ? जो मददय मी वशकवणयर आह तो अन कोणतय व दकती मदददययचय बयधणीचय आधयर आह? हय

मददय कोणतय अन मदददययचय पययवर उभय रयहतो? जर हय मददय कळीचय असल तर तो मी कसय वशकवयलय हवय

महणज नतर इतर मदददययच आकलन करन घणयचय दषटीन मलयची तयवरील पकड भककम होईल? जर तो मददय

कळीचय असल तर तो कोणतय सकलपनवर वय परदरियवर बयधललय आह? कशय रीतीन मी य मददय बयधणीलय

लयगणयर जञयन मलयकडन वमळवणयर आह? आपण सवताःचय जञयनयचय मदतीन नवयय जञयनयची बयधणी करत आहोत

व पवाजञयन व नवीन जञयन यतील सहसबधयची जयण मलयनय आह वय नयही यची खयतरी मलय कशी वमळल? मयझय

मलयनय कशय परकयरचय चसहयवलोकनयची गरज आह? कोणतय परकयरचय पयर यनी मी ववषयच सयदरीकरण

करयव? मी परश ववचयरलयनतर मयझ ववदययथी तयलय कशय परकयरचय परवतसयद दतील? कोणतय रठकयणी मी ववसतत

सपषटीकरण करयव व कोणतय रठकयणी सबवधत भयग खोलयत समजन घणयची जबयबदयरी ववदययरथयावर सोपवयवी?

य मदददययवर परतकषपण वय अपरतकषपण आधयररत अस कोणत मदद ववदययथी वशकणयर आहत? मयझय पयठयतन ह मदद

वशकणयची तसच भववष कयळयत अन ववष वशकणयची बठक (सजजतय) मी कशी तयर कर? मयझय वगयातील

परगत ववदययरथयानी य पयठयतन कय वशकयव, य पयठयतन गवतमद ववदययरथयाकडन मी कय अपकषय ठव? इतयदी.

थोडकयत तमही कोणयलय वशकवत आहयत यचय तमहयलय अभयस करयवय लयगतो. दसर महणज तमही कय

वशकवणयर आहयत यचयही अभयस तमहयलय करयवय लयगतो. य दोन बयबीची तमही जर छयन गफण तयर कली तर

तमहयलय श वमळल. य दोन गोषटीचय आमही पनहय पनहय ववचयर करत असतो. मयझयवर ववशवयस ठवय. मी ह

बोलतो तवढ सहजसयध नयही. परतकषयत ही फयर गतयगतीची व वळची मयगणी करणयरी परदरियय आह. वशकषक होण

सोप आह. पण उततम अधयपक होण फयर कठीण आह”.

सदभााः Ma Liping. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Lawrence

Erlbaum and Associates, Mahwah, NJ.

मयझय लखनयतन मी अधयपनयसयठी, अधयपनयदरमयन व अधयपन झयलयनतर जो ववचयर करत तो य

वलखयणयतन परकट कलय आह अस मलय वयटत. यमळ अनक अधयपक तयनी सवताःचय कययासयठी व कययादरमयन

कलली जञयनरचनय वलह लयगतील व तयमळ अधयपनयच जञयनयधयर वययपक वहयलय मदत वमळल अशी मलय आशय

3

होती. सधय वलखयण परवसदध करयलय आतरजयल सववधय उपलबध आहत. यवर वचयररक आदयन-परदयनही होऊ

शकल. तयमळ ह लखन मी परवसदध करत आह.

मयगचय भयगयत आपण सखयचय अधयपनयचय ववचयर करत होतो. सवताःचय पररसरयच आकलन करन

घणयचय परदरियत सखय उपकत ठरतयत ह आपलयलय मयहीत आह. मयनवयलय सवताःचय पररसरयच आकलन करन

घणयचय परदरियत तयची सवताःची जयणीव ववशव उपकत ठरतयत. रॉजसा पन यचय मत मयनवयची जयणीव ववशव

तीन सवरपयत अवसततवयत असतयत. य तीन ववशवयतील एक ववशव महणज अमता ववशव (platonic) अस मयनवसक

पयतळीवरील ववशव. ह ववशव मयनवयचय मनयत चचयवत वसतचय अमता आदशीकरणयचय परदरियतन अवसततवयत

आल आह. मयनवयन अवसततवयत आणलली गवणती तरथ वय सत आवण ववववध आकतीबध ह य ववशवयच घटक आहत.

उदयहरणयथा, सखय, वतरकोण, वताळ इतयदी अमता सकलपनय य ववशवयत आढळतयत. य सकलपनयच परवतरप भौवतक

ववशवयत आढळतच अस नयही. परत गवणत ववशवयत य सकलपनय सत महणन सवीकयरलय जयतयत. ही सत वय

सकलपनय ही पणापण मयनवयचय सजानशीलतची वनरमाती आह. वववशषट गहीतकयचय आधयर ही सत तका ससगत

पदधतीन वसदध करतय तयत व तयचय वसदधतसयठी इददरगोचर वसतची गरज नसत.

मयनवयचय जयवणवच दसर ववशव ह इददरयचय आवयकयतील वसतनी घडलल मता ववशव आह.

वयकतीभोवतीचय सवा जववक-अजववक घटकयचय यच समयवश होतो. य ववशवयतील सवा घटकयबददल उपकत अशी

मयवहती आपलयलय अमता ववशवयचय सयहयययन उपलबध होत. उदयहरणयथा, फलयलय पयच पयकळय आहत. यतील

पयच ही सखय-सकलपनय अमता ववशवयतील आह. पयकळय ह नयवही य अमता ववशवयतील आह. फल य भौवतक

घटकयच वणान करणयसयठी आपलयलय तयचय उपोग होतो.

मयनवयचय जयवणवच वतसर ववशव महणज तयच भयव ववशव आह. आपलय जञयनददरयचय वय तका परजञचय

आवयकयत ह ववशव असल अस नयही. ईशवरयची कलपनय आपलयलय भयवत असल तरच ती आपण मयन करतो पण

तयबयबत ईशवर अवयकत, अचचत, अववकयरी, अमयाद शकती असणयरय व सवावययपी आह हही आपण मयन करतो.

तयमळ आपल कया वय हत सयधणयसयठी तयलय भटवसत दणयचय फदयत पण पडत नयही. तयचवळी ‘जथ जयतो

तथ त मयझय सयगयती’ असय भयव आपलय मनयत असलयन अनक सकटयनय आपण वनभातन सयमोर जयतो.

मयनवयची ही तीन जयणीव ववशव परसपरयचय समनवयन भोवतयलयलय अथा दणयचय परदरियत सयमील

होतयत. य तीन ववशवयतील परसपरआतरदरियय सपषट करणयसयठी पलटो य गरीक ववचयरवतयन एक दयखलय ददलय

आह. कयही कयरणयन कयही मयणस एकय गहत बसली आहत. गहतील चभतीवर तयनय एकय शकोटीसमोरन

जयणयर य... सरकणयर य सयवलय ददसत आहत. परतकषयत जयची सयवली य चभतीवर पडत आह तय गोषटीबददल य

सयवलय पयहणयर य मयणसयनय कयहीही मयवहती नयही. ती मयणस य सयवलय पयहन तय वसत (गोषटी) कय

असयवययत यचय अदयज बयधणयचय परतन करत आहत. ददसणयर य सयवलयच आकयर बदलत आहत तरीही तयतील

कयही वववशषट आकयर पनहय पनहय ददसत आहत. तयआधयर तय मयणसयनी तय वसतसबधयन कयही अटकळी बयधलय

4

आहत व कयही खयतरजमयही कली आह. आशचयाची बयब महणज तयनी तय वसतसबधयन कलल अदयज व

परतकषयतील वसत यत बरच सयम आह. य सयमयबयबत य मयणसयनय कयहीही मयहीत नसनही तयचय बयबतच

आकलन य मयणसयनय कयही अनभवयचय आधयर ववचयरपवाक बयधललय अदयजयचय आधयर होत आह. ह आकलन

होणयत तयनय तयचय जयवणवच अमता, मता व भयव अशी तीनही ववशव समनवयन मदत दत आहत.

रॉजर पन यनी कलल मयनवयचय जयणीव ववशवयच व आकलन कतीच वववरण ह कयला पॉपर यनी कललय

ववचयर ववशवयचय सदधयवतक सपषटीकरणयशी जळत आह. य सपषटीकरणयनसयर सवताःचय बोधशकतीचय सदभयात वयकती

तीन ववशवयत रहयत. यतील पवहल ववशव ह जववक व अजववक वसतच घडलल आह. मयनवयन वनरीकषणयस सरवयत

करणयपवीपयसन ह ववशव अवसततवयत आह व त पणापण वसतवनषठ आह. मयनवयच दसर ववचयरववशव ह पवहलय

ववशवयतील घटकयशी कललय आतदरिययचय पररणयमी परयपत झोललय सवदनय, अवबोध व भयवयतमक अनभव यनी

घडलल आह. य ववशवयच अवसततव ह वयकतीचय अनभव घणयचय आवण जञयत होणयचय कषमतवर अवलबन असत. ह

ववशव पणापण वयवकतवनषठ, खयजगी व अवसथर असत. तयतील कोणतीही बयब वयकतीचय दषटीन बधनकयरक नसत.

वयकतीलय परयपत झयलल अनभव व सबोध सपरवषत करणयसयठी वयकतीलय मयधमयची व तयचय उपोग करणयची

कषमतय असणयची गरज असत. सवताःच अनभव व सकलपनय सपरवषत करणयचय परतनयतन वतसर ववचयर ववशव

मयनवयसयठी अवसततवयत त. य ववशवयत अभपगम महणज भयदकत मयडली जयतयत. य भयदकतयची वसतवनषठपण

चयचणी घऊन तयची चयचणी घऊन तय आधयर ती सवीकयरयची की नयकयरयची ह वनवशचत कल जयत. जयवळी

एखयद भयदकत नयकयरल जयत तवहय सबवधत सबोध, सकत, वचनह, ववचयर, सयहच, सतर, अनमयन, रचनय,

ततसबवधत कती व समजती नयकयरलय जयतयत. ही एकपरकयर अनभव... सकलपनय वसथरीकरणयची परदरियय असत.

उदयहरणयथा, झयड हय आपलय भोवतयलयतील घटक घऊ. ह झयड तयचय भोवतयलयतील वनरीकषक य

घटकयवशवय अवसततवयत आह ह आपलयलय मयहीत आह. जवहय वयकती तयचयकड पयहत तवहय वतलय तयसबधयन

अवबोध परयपत होतो. परत ही परदरियय ती वसत झयड आह य ओळखीपरतीच मयाददत रयहत नयही. जर वयकती

वनसपतीत रस घणयरी असल तर ती त झयड अवधक वनरखन पयहील, तय झयडयच वववशषट गणववशष शोधल व त

कोणतय परजयतीतील आह ह वनवशचत करल. जर त झयड वयकतीचय पवापररचयतील नसल तर तयचय फलयचय,

फळयचय शोध घईल व तयनसयर तयची परजयती वनवशचत करल. परतक झयडयकड सवततर वयवकतमततव महणन पयहणयरी

एकयदी वयकती त रखयटनयतन वयकत करणयचय दवषटकोनयतन तयकड पयहील. थोडकयत वयकतीनसयर अनभवयच

मतीकरण वभनन असत.

मयनवयचय बोधपरदरियची वरील दोनही सपषटीकरण आपलयलय कयही परमयणयत सवताःचय बोध परदरिययच

आकलन करन घयलय मदत दतयत. हय परकयर कयहीसय गहत बसन चभतीवर ददसणयर य सयवलयचय आधयर व

सयवलय जय वसतमळ वनमयाण होत आहत तय वसतववषी अदयज बयधणयसयरखय आह. य सपषटीकरणयचय उपोग

आपलयलय औपचयररकरीतय ववचयरपरदरियय घडवन आणणयसयठी करतय ईल कय? ववचयर करय. अमता जयवणवच

ववशव बयलकयलय नवययन घडवयच आह की त तयचय बौवदधक रचनचय भयग आह हय परश यसदभयात सहज मनयत

5

तो. चतयवजञयवनकयचय अभयसयनसयर पयच मवहनयचय बयलकयनयही एक-एक अशी दोन खळणी होतय ह समजत.

तीन वषयापात बयलकयनय वसतचय, घटनयचय सदभयात सखय ही सकलपनय वयपरतय त. मी चयर उडयय मयरलय, य

मयझय तीन बयहलय, ह दोन लयड इतयदी वयकयतन तयची सखय सकलपनय अवभवयकत होत असत. बयलकयनय एकय

वळी एक सच दयखवलय तर मोजणी वववशषट रियमयन होत व शवटचय रियमयक बरीज असत यच आकलन ती दयखवतयत.

अथयात य वोगटयतील सवाच बयलक ह वतान दयखवतीलच अस नयही. बयलक ह सखयजञयन अनौपचयररकरीतय

आतमसयत करतयत. यवरन बयलकयचय मद सखय अधनयलय सजज असतोच असय चतयवजञयवनकयचय कयस आह.

मयतर य सखयसजज (कयही वयकती सखयअकषम अस शकतयत) मदचय बवदधसवधानयसयठी मल सवासयधयरण

मयनवी वयतयवरणयत असयलय हव. य वयतयवरणयत वयवरतयनय मल अवकयश व कयल यचय सदभयात सवताःच सथयन

वनवशचत करत. बयलकयचय दषटीन पवा अनभवयतील व भयदकत कललय अनभवयतील सयततयलय व मोठयय

कयलयवधीचय सदभयात महततव असत. वतामयन अनभव गरहण करत असतयनय बयलक पवयानभवयतन घडललय मयनवसक

सरचनलय नवयय अनभवयचय सदभयात सतवलत करत. य परदरियतन बयलकयलय परयपत होणयर सबोध ह सयवासयमयन व

ढोबळ असतयत. ह सबोध वववशषट सबोधयचय ववकयसयचय सदभयात पययभत ठरतयत. ववदययरथयाचय दवषटकोनयतन

पयहतयनय य सबोधयनय चक ककवय बरोबर अस कयही ववशषण लयवतय त नयही. फयर तर त तजजञ समहयचय दषटीन

परमयवणत असणयची खयतरी दतय त नयही. पयज यचय मत त पयाी सबोध असतयत. हय सदभा लकषयत घऊन

आपण सखयचय ववचयर कर.

मयगील भयगयत मोजसखय अधयपनयसबधयत चचया कली. मोजसखय आपलयलय वयपरतय तयत महणन

आपण तय मलयनय वशकवयचय आहत अशी कलपनय करय. महणज आपलयलय सखय वयपरतय तयत व मलयनय तय

वयपरतय त नयहीत आवण तयमळ तयनय वशकवयचय अवधकयर आपलयलय वमळयललय आह. सखय वयपरलयमळ

आपलयलय तयचय सबधयन कयही रटपण करतय तयत. मी मयझयसयठी कलली रटपण पढ ददली आहत. अथयात

इतरयची रटपण वगळी, वगळ आकलन परदरशात करणयरी अस शकतयत. यमळ अनकयनी एकतर ऊन अशी रटपण

कयढली तर तमचय समहयचय मोजसखयच आकलन वययपक वहयलय मदत वमळल.

मयणसयन पयवारणयतील ववववध पयळणयोग पशची जोपयसनय करन सवत:सयठी पशधन वनमयाण कल.

एखयदयय नसरगाक सरोतयच धनयत रपयतर झयलयनतर सबवधत समहयसयठी तयचय मोजमयपयची गरज अवनवया ठरत

यचय आपलयलय मयहीत आह. कोणतयही कळपयतील वय समहयतील पश दकती ह सयगणयसयठी मयणसयचय समहयन

सखयची कलपनय अवसततवयत आणली अस मयनल जयत. दकती य परशयच उततर दणयसयठी आपण सखयवयचक

ववशषणयचय, सखयनयमयचय उपोग करतो. यसयठी आपण नसरगाक महणजच मोजसखय वयपरतो. य सखय वववशषट

गोषटीची मोजणी महणजच गणन करणयसयठी वयपरतय तयत. सखय वयपरन मोजणी करणयचय परतक समहयचय

सवताःचय पदधती होतय व आजही आहत. परत आतय अशय समहवववशषट पदधतीचय वयपर हळहळ मयग पडत आह.

6

य सखय मोजमयप करणयचय दषटीन तवहयच उपकत ठरतयत,

• जवहय मोजणयचय वसत खवडत सवरपयत आहत. खवडत सवरपयमळ तय वसत एक-एक करन मोजतय तयत असय

यचय अथा आह.

• जवहय य वसत मोजणयचय दषटीन परशय शबदयचय वय/व खणयचय सच आपलय जवळ असल.

• जवहय य खणयत एकमव असय वनवशचत सवरपयचय तका सगत रियम असल.

• जवहय वसतच मोजण तका सगत होणयसयठी वसत व शबद वय खणय यचयत फकत एकयस-एक सगती असण आवशक

असल.

आतय आपण आपली मोजसखय परणयली अभयस य व ती वरील सवा गणयनी कत आह वय नयही ह पयह य.

मयणस, पश, गरह, झयड, जीव-जयती, शबद, फळ, धयनयच दयण, सयखरच सफरटक, ददवस, मवहन इतयदी

घटकयनय ववभकत अवसततव असत तयमळ त एक-एक करन मोजतय तयत. यतील ददवस व मवहन ह

कयलयवधी अखवडत कयलपरवयहयच मयणसयन वनवशचत कलल भयग, तकड आहत.

वर उललवखललय सवा गोषटीच... महणज समहयच घटक अनक आहत; तसच सखयही अनक आहत, तयमळ

तयचयत एकयस-एक सगती परसथयवपत करण सहज शक आह.

मोजणयसयठी वयपरलय जयणयर य सवा खणयचय कयटकोरपण वनवशचत असय रियम आह. मोजणी करतयनय.

एकच रियम कयटकोरपण वयपरलय जयतो. एक, दोन, तीन, चयर यपरमयण कोणतय सखनतर कोणती सखय

णयर ह वनवशचत असत कयरण तयचय अथा आधीच तयनय अवसततवयत आणणयर यनी व तयचय वयवहयरयत

वयपर करणयर यनी ठरवललय आह.

य रठकयणी मोजणी करतयनय आपण एकयस-एक सगती ही कलपनय उपोगयत आणली आह कय? ववचयर

करय. एकयस एक सगती महणज मोजतयनय आपण एकय वसतशी फकत एकच रियम जळवतो, एकदय मोजललय

वसतलय आपण पनहय मोजत नयही आवण एकदय वयपरलल वचनह तय गटयतील घटकयसयठी पनहय वयपरत

नयही.

अमकच एकय वसतपयसनच मोजयलय सरवयत करयची असय वनम आवशक आह कय? तर असय वनम

नयही कयरण मोजणयचय परदरियमळ वसतची सखय बदलत नयही.

१ २

३

४ ५

7

ही पयच फलपयखर आहत ह आपण कशयचय आधयर महणतो? परतक फलपयखरयशी आपण एक-एक ही अक

खण... वचनह वनवगडत कल आह. परतक अक खण वगवगळी आह. परतक अक खणसयठी एक, दोन, तीन, चयर व पयच

ह शबदवचनह वववशषट रियमयनच ववचयरयत घयच कयरण तयच अथा आपण महणज आपलय सजानशील पवाजयनी ठरवल

आहत. तयनसयर पयच सवततर खणयसयठी पयच शबद सकत वनवशचत कल आहत. यमळ लखनयबरोबरीन तयचयसबधी

बोलणही सोीच होत. आज आपलयलय य सखय वयपरण सोप वयटत पण ही परणयली अवसततवयत आणणयची

महणजच नवजञयन वनरमातीची परदरियय वजदकरीची व बरयच कयळ चयललली असणयर.

यवरन मोजण ही रियमवनरपकष दरियय आह अस महणतय ईल कय?

रियमवनरपकष दरियय महणज रियमयची अपकषय नसणयरी, वसतचय रियम बदललय तरीही मोजणीत फरक न पडणयरी दरियय

आह. पण सखचय रियम मयतर बदलन चयलणयर नयही कयरण तय रियमयचय अथा परथम मोजलय गललय रियमयवर

अबलबन असतो.

आतय आपण अनक वसत वय घटक मोजणयसयठी परशय अकखणय आहत कय यचय ववचयर कर.

सधय भयरतयतील सवा वयकतीनय आधयररियम दणयची परदरियय चयल आह. रियम दण महणज मोजणच आह. वनमयनसयर

परतक वयकतीसयठी सवततर खण दण आवशक आह. यसयठी दकती खणय व तयचयशी वनगवडत शबद आपलयलय

लयगतील? त सवा शबद व तयच अथही आपलयलय लकषयत ठवयव लयगतील? तयचय आपलय मदवर कय पररणयम

होईल?

परतकषयत आपलयलय आपलय पवाजयकडन वयरसय महणन वमळयललय य मोजसखय परणयलीच ववशष कय आहत?

गणन करणयचय हतन जी सकत परणयली आपलय पवाजयनी रचली तयसयठी अनकयचय बौवदधक पररशरम तर आहतच,

पण यबरोबरीन तयची सजना कषमतय, एखयदयय समसच उततर शोधणयसयठी परणयली उपयगम वयपरणयची तयची

कषमतय, तयच रचनयकौशल यच आपलयलय कौतक वयटलयखरीज रहयत नयही. हय य जगयत असललय गोषटीचय

उलगडय... शोध नयही तर ती तयनी वयवहयरयचय सोीसयठी कलली नवजञयनवनरमाती आह.

कवळ दहय अकयचय... खणयचय सयहयययन ही सखय परणयली रचण कस...कशयमळ शक झयल आह?

दहयचय दहय पटीन... पटीत सखयचय मयडणीचय ववचयर करणयच कोणत फयद आपलयलय वमळयल आहत?

दशमयन सखय परणयलीत सखयची ककमत दहयचय दहय पटीत वयढवन वतलय आवती सवरपयत वयपरलयन आपल

मोजणयच कयम सोप झयल आह.

8

दहय अक खणयची मयडणीही य आवतनयाशी ससगत अशीच आह.

एक-एक करन मोजणी करत असतय आपण ‘एकक’ (एक-एक) ही सकलपनय वयपरतो.

दहय एककयचय समहयलय आपण दशक महणयच ठरवल आह.

दहय दशकयचय समहयलय आपलयलय शतक महणणयची सचनय आह. यबयबत आतय तमहीच खप कयही सयग शकयल

अस मलय वयटत.

एक फलपयखर दोनदय मोजयच नयही महणजच एकयच फलपयखरयसयठी दोन खणय वयपरयचय नयहीत. तसच एक

खण दोन फलपयखरयसयठी वयपरयची नयही हय वनम आपण कसोशीन पयळलय आह. य वनमयलय एकयस-एक

सगती महणतय ईल कय?

एक त नऊ वसत मोजतयनय आपण नऊ सवततर खणयचय उपोग करतो. पण तयपढ मोजणी सर ठवणयसयठी एक व

शन य दोन खणयचय उपोग करन आपण आवती मयडणी करयलय लयगतो.

१० य खणलय आपण ‘दशक’ ह सवततर नयव ददल आह.

जस दशक पणा होत जयतयत तवहय तयनय सवततर नयव न दतय तय दशकयची ककमत सयगणयसयठी एक अकी सखयचय

उपोग करतो. जस दोन दशक, आठ दशक इतयदी.

दहय दशक पणा होतयच तय दकमतीलय शतक ह आपण वगळ नयव वयपरतो. जशी शतक पणा होत जयतयत तशी आपण

तयनय सखय ववशषण जोडतो. जशी तीन शतक, पयच शतक इतयदी.

यमळ सखय वयचनही आवती पदधतीन करतय त.

एक त नऊ पातचय खणयनय सवततर नयव आहत व तयपढचय सखयच वयचन करणयसयठीही आवती पदधत

उपोगयत आणली जयत. उदयहरणयथा, अकरय, एकवीस, एकतीस, एकचयळीस यपरमयण परथम एकक व तयपढ दशक

उचचयरल जयतयत. तयचपरमयण, बयरय, बयवीस, बततीस, बचयळीस यपरमयण परथम एकक तरोटक पदधतीन व तयपढ दशक

उचचयरल जयतयत. जयवळी दशक पणा वहयलय एक एकक कमी पडतो तयवळी यत थोडय बदल होतो. ती ककमत एक

उणय (वजय) चयळीस यचय तरोटक उचचयर करन एकोणचयळीस अशी उचचयरली जयत. महणज दोन दशकयत एक कमी

असल तर ती ककमत एकोणीस (एकोणयवीस) महणजच एक उणय वीस अशी वयचली जयईल. तयचपरमयण एकोणतीस,

एकोणचयळीस, एकोणपननयस अस सखय सबोधन रचल आह.

9

यच परमयण सखतील शतकयची वय सहसरयची सखय आधी वयचली जयत. जर सखय सहसरकत असल तर

परथम सहसर, तयनतर शतक, तयनतर दशक व सवयात शवटी एकक असय वयचन रियम वनवशचत कलय आह. य सवा

रचनय ववशषटययमळ मदवर अनयवशक भयर न तय आपण अगवणत मोजसखयचय सहज वयपर कर शकतो.

आतयप ातची मयवहती आपलयजवळ आह. ही मयवहती मलयनय दऊन वतच पयठयतर करन घतल तर

सखयचय उपोग मोजणयच सयधन महणन मलयनय सकषमतन वयपरतय ईल कय? तमहयलय यचय अनभव असलच.

आतय वगासवयद उभय करणयचय दषटीन वरील मयवहतीचय आपलयलय कय उपोग करतय ईल कय त

पयह.

मयझय अनभवयनसयर पढील कयही कती करतय णयसयरखय आहत. तमहीही तयवर ववचयर करय व

तयसबधयतील कती सचवय. कयहीही करन सखय मलयचय डोकयत घसवन तय तथ रयवहलय पयवहजत असय य

मयगचय ववचयर नयही ह पकक लकषयत ठव य. तर परतक बयलकयलय तयच अमता घटकयच जयणीव ववशव ववकवसत

करयलय... नवययन घडवयलय मदत दययची आह. तस पयहतय बयलकयलय एक, दोन, तीन य सखयचय पररच

झयललय असणयर तयचय उपोग आपलयलय करन घयलय हवय. उपोग करन घयचय महणज तय बयलकयनय तय

सखयचय वयपरयत गतवयच. यसयठी बयलकयचय दवषटकोनयतन औपचयररक व सवयरस वनमयाण करणयर वयतयवरण

रचल जयलय हव. यसयठी बयलकयनय वयचन-लखनयत गतवणयची घयई टयळन धीर धरलय पयवहज. परथम

बोलणयतन तयच सखय सवदन तयचय जयणीवचय पयतळीवर आणयलय मदत दययलय हवी. यतन तयचय

सखयववषक आतमववशवयस वयढन तयनय सखयवचनह वयचणय-वलवहणयची आवशकतय वयट लयगल अस कयही

करतय ईल.

यसयठी ‘एक’ व तयलय मयहीत असललय इतर कलपनयचय भोवतयलयत शोध घयलय बयलकयनय कस

आवयहन करतय ईल, त ज कयही करत आहत तयसबधी तयनय कस बोलक करतय ईल, ववववध सदभयात त तयनय

मोजसखयबयबत आतयच आपण ज कयही वयचल त आपण नहमीच वयपरतो. पण तयची आपलयलय पणा जयण

होती... आपलयलय त सयगतय आल असत अस दकती जणयनय वयटत? ह वयचन महणज वळ वयय घयलवण आह

अस दकती जणयनय वयटल? कय? य वयचनयमळ मोजसखयपरणयलीच कोणत गणववशष सपषटपण लकषयत आल अस

तमहयलय वयटत? य वयचनयदरमयन कोणतय नवयय शबदयचय पररच झयलय? कोणतय पररवचत शबदयचय नवययन

अथा समजलय?

10

मयहीत असललय ‘एक’ य शबदयचय... सकलपनचय कसय अथा लयवत आहत ह पयहतय ईल, समहयतील कोणतय

बयलकयची समज गवणती दवषटकोनयतन ोग आह, कोणतय बयलकयलय सवताःची समज कतीतन, शबद वयपरन वयकत

करतय त यचय शोध घतय ईल, अवधक समज असललय बयलकयवर तजजञयची... परतकषीकरण करणयची जबयबदयरी

सोपवतय ईल वयवसथय अधन वयतयवरणयत हवी. य कतीतन बयलकयचय पवहलय भयगयत वणान कललय

सवरपयचय गरसमजयनय उघड करणयचीही ोजनय हवी.

समजय बयलकयचय समहयसमोर समोर तीन गोट ककवय कयही वसत ठवलय. यतील एकयलय तयची मोजणी

करयलय सयवगतली तर कय कय घड शकत. एकय रयगत पयच-सहय गोट मयडन तयची एक, दोन, तीन थपात

मोजणी समहयतील बहतक बयलकयनय करतय त आह. तयसयठी त डयवीकडन, उजवीकडन, वरन वय खयलन सरवयत

करन त तीनपात मोजणी करतयत. कयही बयलक चयर त पयचपात वसत मोजतयत. य पयशवाभमीवर आपण पढील

सवयद पयह.

अधयवपकयाः (अधयवपकन चयर-पयच गोट रयगत मयडल आहत.) वचन... त मलय यतलय एक गोटय द बर... आवण त

कय करतस त तोडयन बोल...

वचनाः हय घय एक... (वचन सवयात कडचय एक गोटय उचलन अधयवपकचय हयतयत दत.)

अधयवपकयाः वचनन मलय ददललय गोटय मी परत थ ठवत. (वचनन जय जयगतन तो गोटय उचललय तथ न ठवतय

ओळीचय दसर य टोकयलय ठवलय.) वमन त मलय यतलय एक गोटय द बर...

वमनाः (वमन ववचयरयत पडलय आह... तयन थोडय वळ गोटययकड पयहत अधयवपकन ठवललय गोटय पनहय

वतचय हयतयत ददलय.) हय घय एक गोटय...

अधयवपकयाः घनय... ददशय... वमनन मी सवगतलल कयम बरोबर कल कय? ददन... त सयग...

ददनाः वमनन तमहयलय एक गोटय ददलय... बरोबर ददलय...

अधयवपकयाः मग त दशील मलय एक गोटय...? सवयानी नीट पयहय बर... ह कयम नीट होत की नयही त...

ददनाः (ददन ववचयर करत... मयडललय गोटययतलय एक उचलन अधयवपकचय हयतयत दतो.) मी हय एक गोटय

तमचय हयतयत दतो.

अधयवपकयाः मग... कल कय... ददनन सयवगतलल कयम बरोबर?

उषयाः नयही कल... बरोबर. तो एक (अधयवपकन बयजलय ठवललय पवहलय गोटययकड वनदश करत...) गोटय

तमचयकड आह...

ददनाः पण तयनय यतलय एक गोटय हवय होतय तो मी ददलय...

11

उषयाः पण हय दोन आह...

अधयवपकयाः कोण दयखवल वन सयगल बर... उषय कय महणत आह त...? ... उषय... तच सयग बर त कय महणत

आहस त?

उषयाः (उषय मयडलल सहय-सयत गोट मोजयलय सरवयत करत...) हय एक, हय दोन, हय तीन, हय चयर...

अधयवपकयाः आतय त कलल कयम बरोबर आह की नयही ह कोणयलय पयहयलय सयग य बर...?

उषयाः वनतलय सयग?

अधयवपकयाः त ठरव वन ती ह कयम करयलय तयर आह की नयही त पयहय?

उषयाः वनत... करतस कय तपयसणी... ?

वनताः ह... त हय एक महणयलीस... पण हयही एकच महणयचय...

उषयाः नयही हय गोटय दोन मोजयचय... मलय आईन सयवगतल तस...

वनताः हय एकटय दोन नयही... पयहय नीट... अऽऽ मी कय करत त... हय एक... हय सदधय एक, आतय ह वमळन

झयल दोन.

अधयपकाः उषय त कय लकषयत ती कय महणत त? त ज महणत आहस त... वन वनत ज सयगत त सयरखच

आह कय? आश त सयग बर... तलय कय वयटत त...?

आशाः (आश मयडललय परतक गोटययलय बोटयन दयखवत बोलत...) हय एक... हय दोन... (परत पवहलयवर व

दसर यवर बोट ठवन...) ह दोन... गोट...

अधयपकाः उषयऽऽ... आतय मी तलय तीन गोट दत. पयहय बर सवयानी की मी बरोबर कयम करत की नयही त... हय

एक गोटय..., हय दसरय गोटय..., हय वतसरय गोटय... पयहय मी परत मोजत... एक, दोन, तीन... (वतसरय

गोटय उचलन उषयकड दत...) ह घ तीन गोट...

उषयाः ह तीन नयहीत... हय आतय एक आह.

ददनाः वयऽऽ गऽ सवताःसयठी वगळ मोजयच तलय?

उषयाः नयही... मी बरोबर मोजल... मलय दोन गोट दययच होत... तयईचय हयतयत एक होतय... महणन मी

हय एक ददलय... महणन त दोन झयल...

12

ददनाः पण तयईनी तलय दोन गोट दययलय सयवगतल महणज त दोन गोट दययलय हव होत... कयऽऽ... आल

कय लकषयत?

अधयवपकयाः उषय... नीट लकष दऊन न ऐकलयन झयल कय अस...? (सयत-आठ गोट समोर टयकत...) आतय मलय

यतल चयर गोट दणयच कयम कोण करल बर...?

अमोलाः मी करतो... हय एक गोटय... यत हय आणखी एक वमळन ह झयल दोन गोट... आतय यत हय आणखी

एक ठवलय ... आतय ह आहत तीन गोट.... आतय हय आणखी एक गोटय मी इकड घतो.... आतय ह आहत

चयर गोट... ह घय एक, दोन, तीन, चयर... ह घय चयर गोट...

अधयपकाः बरोबर कल कय ह कयम अमोलन...?

उषयाः बरोबर कल... पयह... एक, दोन, तीन, चयर... हऽऽ अगदी बरोबर...

कोणतय वनवमततयन व कशयपरकयर वरील सवयद वगयात उभय कलय गलय आह? हय सवयद दकती बयलकयचय

समहयत घडवन आणतय ईल अस तमहयलय वयटत? य सवयदयसदभयात अधयवपकन कोणकोणतय भवमकय कलय

आहत? समहयतील मलयकड कोणतय भवमकय सोपवलय आहत? यतन ववदययरथयाचय एक त चयर य सखयचय

आकलनयत भर पडयलय दकतपत मदत वमळयली आह? वजतकय वसत मोजयचय आहत तयपकषय जयसत वसत घऊन

कय सयधल गल आह?

य सवयदयतन वरील परशयचय शोध घणयचय परतन कलय तर लकषयत ईल की मलयनय कयही कती करयलय

सयगन तयचय वतानयतन लकषयत आललय बयबीवरन थ सवयद उभय कलय आह. अधयवपकच ववदययरथयाचय

बोलणयकड लकष होत कयरण तयतन वतलय ववदययरथयाचय सखय आकलनयचय शोध घयचय आह. पण वचनचय

कतीकड... उषयचय बोलणयकड कवळ “चक” महणन पयवहलल नयही तर तय आधयर बयलकयनी कयही कती करयवययत

व इतरयनी कललय कती पयहयवययत यसयठी कयही सधी अधयवपकन वनमयाण कलय आहत. तय वतचय पयठ

वनोजनयचय भयग आहत अस महणतय त नयही पण बयलकयचय आकलनयचय शोध घणयसयठी तय आतय वळी

वनणा घऊन रचलय आहत. यतन कयही समजन घणयसयठी आपलयभोवती आपल सहयधयी असतयत, तयची

मदत आपण घयलय हवी हही अधयपकयन तयचय जयणीव कषतरयत आणणयचय परतन कलय आह.

अशय सवयदयत बयलकयनी मोकळपणयन भयग घयवय यसयठी ववशष परतन करयव लयगतयत. घरयत मलयनी

बोलयच नयही अशी ससकती असल तर तयनय बोलक करण, तयच बोलण ऐकल जयत ह तयचय लकषयत आणन दण,

तयनय ज सयगयच आह त वयकत करयलय सयहयय दण, शबद वयपरणयलय... वयक रचनय करणयलय मदत दण...

तयचय बोलणयच हस होत नयही इतयदी बयबीकड अधयवपकलय लकष दययव लयगत. य पयरीलय परतक बयलकयत

सवताःलय वयकत होतय असय आतमववशवयस वनमयाण करण महततवयच आह तरच त बयलक सवताःलय कयदययन वमळयललय

ववववध सवयततरयचय उपोग कर शकल.

13

य परकयरचय सवयदयतन आपण कय वशकतो व कस वशकतो आहोत यची जयणीव बयलकयनय वहयलय हवी.

यसयठी सवयद पढ कसय नण शक आह ह पयह य.

अधयवपकयाः आतय आपण आज कय कय कल... तयतन आपलयलय कय कय समजल ह पयहय. कोण बर

सयगल आपलयलय... ह? दय त आज कयही बोललली नयहीस... त सयग बर... तझय कय नव

लकषयत आल आपलय बोलणयतन...? सगळयनी नीट ऐकय ह.. ती कय सयगत त...

दयाः अऽऽ

अधयवपकयाः तलय आज वगयात णयपवी वसत मोजतय त होतय कय?

दयाः होऽऽ...

अधयवपकयाः दकती वसत मोजतय त होतय तलय?

दयाः तीन... तीन मोजतय तयत... (बोट दयखवत). ही तीन बोट... मलय रचीन दयखवल. ह एक बोट, ह

एक बोट, ह एक बोट... ही एक, दोन..., तीन बोट...

अधयवपकयाः वयऽऽ... छयन! तलय तीन वसत मोजन दयखवतय तयत. मग चयर वसत नयही मोजतय त?

दयाः तयत कीऽऽ... ही कय चयर बोट... ही सगळी पयच आहत...

अधयवपकयाः मलय पयच मल मोजन दयखवशील?

दयाः ही एक... चल बयजलय ऊन बस. हय दोन. चल इथ बस... त तीन. हो इकड... त चयर... इथ...

ही पयच... इथ... ही झयली पयच मल...

अधयवपकयाः आपलय वगयात खप मल आहत तयतली आपण पयच मोजली... महणज तलय पयच वसत मोजतय

तयत... त आज कोणयलय वसत मोजयलय वशकवलस?

दयाः मी मनलय वशकवल... तो चयर.. तीन महणत होतय. तीन... चयर अस महणत नवहतय. पण आपण तर

ठरवल... तीन आधी आवण नतर चयर महणयच.

अधयवपकयाः आतय मी मोजत ही मल... एक, दोन, तीन, तीन, चयर... चयर आहत ही मल...

सवााः चकल तमच... तमही सदयमलय तीन मोजल, वनतयलय तीन मोजल... तीनन दोघयनय नयही

मोजयच... एक वसत एकदयच मोजयची तरच वसत दकती आहत त कळत.

वनतयाः मी दयखवत कस मोजयच त...

14

अधयवपकयाः वसत मोजतयनय आपण कय करयच आवण कय करयच नयही ह ठरवल... कय करयच ठरवल...

एकक करन सयगय... परथम सखयची नयव ओळीन कोण सयगल?

ववदययथीाः एक नतर दोन... नतर तीन... नतर चयर... नतर पयच महणयच...

ववदययथीाः मोजतयनय एकय वळी एक वसत मोजयची...

ववदययथीाः एकदय मोजलली वसत परत मोजयची नयही...

यपरमयण मलयनय सवताःकललय कतीबददल बोलयलय सधी उपलबध करतय तयत. एकदय आपण कय करतो

यचय ववचयर करयचय सरयव झयलय की तयनय ववमशी चचतन करणयची कौशल वशकयलय मदत दतय त.

सवताःचय कतीसबधयन ववचयर करणयचय कषमतलय पण अवधबोधी (परयबोधी) कषमतय महणतो. ती ववकवसत

करणयचय दषटीन वरील सवरपयचय वगासवयद उपोगी ठरतो. च&

परदरियलय नयतन कोणतय शबदयचय नवय अथर समजयलय मदत व मळयली?जसखयबयबत आतयच आ_ण ज कयही

वयचल तय कोणती बयब नवी होती अस

तमहयलय वयटत? ह वयचन महणज वळ वयय घयलवण झयल व कवय होत अस व कती

जणयनय वयटल? कय? य सयव हतयचय वयचनयतन सखय �णयलीच कोणत व वशष लकषयत

यलय मदत व मळयली? य वयचनयतन कोणतय नवयय शबदयचय _व रच झयलय? य

वयचनयतन कोणतय शबदयचय नवय अथर समजयलय मदत व मळयली?