TUGAS PENGGANTI FINAL

SISTEM LINEAR

Oleh:

WENI SRI YUNITA

D411 12 979

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

PROGRAM STUDI TEKNIK TELEKOMUNIKASI

UNIVERSITAS HASANUDDIN

2013

1. Definisi Sistem

Berbicara tentang sistem berarti berbicara tentang sekumpulan elemen/unsur yang

menyusun sistem, dan berbicara tentang cara berhubungan antara elemen-elemen

penyusun itu. Umumnya pengertian sistem menyangkut sesuatu yang tersusun dari

elemen-elemen. Jadi sebuah komponen tidak dapat disebut sistem. Elemen-elemen

penyusun sistem mempunyai perilaku yang khas dalam sistem, atau mempunyai

tugas yang spesifik yang tidak dapat digantikan oleh elemen lain. Jika sebuah elemen

penyusun sistem tidak ada, maka sistem menjadi tidak ada atau sistem berganti

menjadi sistem lain. Misal contohnya : Sistem audio mempunyai empat elemen, jika

salah satunya tidak ada, maka tidak dapat lagi disebut sistem audio. Tanpa penguat

dan mekanik playback, sistem dikatakan rusak. Tanpa speaker, sistem tidak lengkap

dan tidak dapat dimanfaatkan. Tanpa tombol volume, semua orang akan tertawa.

Hal yang penting untuk disepakati ketika seseorang berbicara tentang sistem teknik

adalah model sistem. Memodelkan sebuah sistem berarti menyepakati besaran

keluaran sistem, lalu menentukan masukan sistem dan akhirnya menentukan

hubungan antara keluaran dan masukan itu.

Beberapa system dapat dikenali dari berbagai sudut pandang yang berbeda,

diantaranya adalah :

a. Dari sudut pandang system dan lingkungannya: system tertutup & system

terbuka.

b. Dari sudut pandang tingkat kepastian system: system deterministic & system

probabilistic.

c. Dari sudut pandang kedinamisan system: system dinamis & system statis.

d. Dari sudut pandang kekontinuan system: system kontinu & system diskrit.

1.1 Klasifikasi Sistem

1. Sistem Linear

Sistem linier adalah suatu sistem yang mempunyai persamaan model yang linier

dan menerapkan prinsip superposisi. Dimana prinsip superposisi ini menyatakan

bahwa respon yang dihasilkan oleh penggunaan secara serentak dua buah fungsi

penggerak yang berbeda adalah sama dengan jumlah dari dua buah respon

individualnya. Oleh karenanya, pada sistem linier, respon terhadap beberapa

masukan dapat dihitung dengan cara mencari respon terhadap tiap-tiap masukan

dan menjumlahkan hasilnya. Prinsip ini memungkinkan kita untuk menyusun

jawaban yang kompleks pada persamaan-persamaan diferensial linier dari

beberapa jawaban yang sederhana. Pada penyelidikan sistem dinamik secara

eksperimantal, jika sebab dan akibat adalah sebanding, maka akan berlaku

sistem superposisi sehingga sistem tersebut dapat dianggap linier.

𝛤[𝑎₁𝑥₁(𝑡) + 𝑎₂𝑥₂(𝑡)] = 𝑎₁𝛤[𝑥₁(𝑡) + 𝑎₂𝛤[𝑥₂(𝑡)]

Untuk setiap deret masukan x₁(t) dan x₂(t) yang berubah-ubah dan setiap

konstanta a₁ dan a₂ yang berubah-ubah.

Gambar 1.1 Merupakan ilustrasi dari superposisi

2. Sistem Non Linear

Sistem non linier adalah sistem yang dinyatakan oleh persamaan non linier dan

tidak dapat menerapkan prinsip superposisi. Beberapa contoh persamaan non

linier adalah :

BA sin

32 BAZ

0)1( 2

2

2

xdt

dxx

dt

xd

03

2

2

xxdt

dx

dt

xd

Beberapa kurva karakterisik ketidaklinearan bisa diliat pada gambar berikut ini :

Gambar 1.2 Kurva karakteristik beberapa ketidaklinieran

(a) Ketidaklinieran saturasi, (b) Ketidaklinieran daerah mati,

(b) Ketidaklinieran hukum kuadrat

3. Sistem Invarian waktu dan varian waktu

Sistem dinamakan invaian waktu, jika karakteristik masukan-keluaran tidak

berubah menurut waktu. Secara terperinci,anggaplah keluaran y(t) adalah

transformasi dari x(t), sehingga dapat kita tulis :

y(t) = Γ *x(t)+

Sekarang anggap sinyal masukan yang sama ditunda k sekon untuk menghasilkan

x(t-k), dan juga dipakai sistem yang sama. Jika karakteristik sistem tidak berubah

dengan waktu, maka keluaran sistem akan menjadi y(t-k), yakni keluaran akan

sama seperti espon terhadap x(t), kecuali bahwa ia akan ditunda k sekon yang

sama dengan penundaan masukannya. Karena itu daat kita definisikan sistem

invarian waktu sebagai berikut :

Suatu sistem adalah invarian waktu jika dan hanya jika

Γ

akan memberikan

Γ

Untuk setiap sinyal masukan x(t) dan setiap pergeseran k sekon.

Untuk keperluan ui coba respon sistem dari x(t-k) atau Γ*x(t)+ dinotasikan

dengan y(n,k) , sehingga dapat ditulis :

y(t,k) = Γ*x(t)+

sekarang dapat kita katakan suatu sistem invarian waktu, jika dan hanya jika :

y(t.k) = y(t-k)

4. Sistem Dengan dan tanpa Memori

Suatu sistem dinamakan tanpa memori jika dan hanya jika keluaran untuk setiap

waktu t hanya bergantung pada masukan untuk waktu yang sama, bukan pada

x(t) y(t)

x(t-k) y(t-k)

masukan sebelum atau sesudahnya, sebaliknya suatu sisem dinamakan dinamis

atau dengan memori,jika dan hnya jika keluaran sistem untuk setiap waktu t

secara mutlak bergantung pada masukan sebelumnya.

Misalnya :

Tanpa Memori

y(t) = ax (t)

y(t) = ax (t) + bx² (t)

Dengan Memori

y(t) = x(t) + 3x(t-1)

y(t) = x(t-2) + 5x(t-4)

y(t) = 𝑥 (𝑡 − 𝑘)

y(t) = 𝑥(𝑡 − 𝑘)

5. Sistem Kausal dan Non kausal

Suatu sistem dikatakan kausal jika dan hanya jika keluaran sistem untuk setiap

waktu hanya bergantung pada masukan sekarang dan sebelumnya yaitu x(t), x(t-

1), x(t-2), .... dan tidak bergantung pada masukan yang akan datang dengan kata

lain , x(t+1), x(t+2), ... . Dalam bahasa matematis, keluaran sistem kausal

memenuhi persamaan dalam bentuk :

y(t) = f[x(t), x(t-1); x(t-2); x(t-3),....]

jika sistem tidak memenuhi definisi diatas, maka disebut non kausal. Sistem ini

seperti mempunyai keluaran tidak hanya bergantung pada masukan sekarang

dan sebelumnya saja, tapi juga bergantung pada masukan yang akan datang jua.

Jelas sistem non-kausal tidak dapat direalisasikan sistem waktu-real, tapi hanya

dapat direalisasikan untul sistem off-line (waktu non-real).

6. Sistem Stabil dan tidak Stabil

Definisi kestabilan (berdasar natural response):

Sistem stabil jika natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak

hingga

Sistem tidak stabil jika natural response mendekati tak hingga saat waktu

mendekati tak hingga

Sistem marginally stable jika natural response tetap/konstan atau berosilasi

teratur

Definisi kestabilan (berdasar total response/BIBO):

Sistem stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang

terbatas juga.

Sistem tidak stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang

tidak terbatas

Contoh Sistem Stabil

Sistem yang dinyatakan dengan y(n) = 0,1 * y(n–1) + x(n) dan y(-1) = 0 adalah

stabil, karena ketika diberi input unit impuls,outputnya adalah:

y(0) = 0,1 * y(–1)+ x(0) = 1

y(1) = 0,1 * y(0) + x(1) = 0,1

y(2) = 0,1 * y(1) + x(2) = 0,01

dan seterusnya.

Contoh Sistem tidak Stabil

Sistem yang dinyatakan dengan y(n) = 2* y(n–1) + x(n) dan y(-1) = 0 adalah

tidakstabil, karena ketika diberi input unit impuls,outputnya adalah:

y(0) = 2* y(–1) + x(0) = 1

y(1) = 2* y(0) + x(1) = 2

y(2) = 2* y(1) + x(2) = 4

dan seterusnya.

2. Definisi Sinyal

Kata lain sinyal adalah isyarat. Tapi penggunaan sehari-hari kata “sinyal” dan kata

“isyarat” sedikit berbeda. Seseorang menyuruh diam dengan meletakkan telunjuk ke

bibir disebut memberi isyarat. Kereta berangkat menunggu sinyal dari petugas PPKA

berupa tiupan peluit. Dalam pembicaraan tentang sistem teknik, kedua kata di atas

adalah sama. Sinyal adalah besaran yang diamati dalam selang waktu tertentu. Dalam

selang waktu yang dimaksud, biasanya besaran berubah secara dinamis. Dalam keseharian

dikenal sinyal suara atau sinyal gambar yang besarannya senantiasa berubah

terhadap waktu. Namun besaran yang tidak berubah terhadap waktu secara teknis

disebut sinyal juga asalkan merupakan pengamatan dalam selang waktu tertentu.

Pembicaraan tentang sistem seringkali melibatkan pembicaraan tentang sinyal.

Sistem dikenali dari sinyal yang dikeluarkannya, dan sistem diamati karena ada

dinamika sinyal padanya. Masukan dan keluaran sistem berwujud sinyal. Sinyal

sendiri bisa terdiri dari beberapa hal misal :

Sinyal Listrik, tegangan dan arus pada rangkaian

Sinyal Akustik, bunyi atau ucapan

Sinyal Video, perubahan intensitas pada citra bergerak

Sinyal Biologi,runtun (sequence) pembentuk gen,dll.

2.1 Klasifikasi Sinyal

1. Sinyal Nyata vs Kompleks

Sinyal nyata (real) adalah sinyal yang bernilai bilangan nyata, dimana sinyal

tersebut menghasilkan bilangan real. Sedangkan sinyal kompleks adalah

sinyal yang memiliki unsure bilangan kompleks pada fungsi matematisnya.

Perhatikan dua sinyal berikut ini:

s₁ (t) = Asin 3∏t 1 s₂ (t) = Ae ^ i3∏t = Acos 3∏t + j sin 3∏t

dengan s1 (t) adalah sinyal nyata, sedangkan s2(t) adalah sinyal kompleks.

2. Multi channel vs Single channel

Sinyal multikanal (multichannel) adalah sinyal yang terdiri dari kumpulan

beberapa sinyal independen (komposit). Sinyal satu kanal (single channel)

adalah sinyal tunggal yang hanya terdiri dari satu sinyal independen.

Perhatikan dua sinyal berikut ini:

S₁= { s₁ (t), s₂ (t)...... 𝑆𝑛 }; S₂ S₁

dengan adalah S1 adalah sinyal multikanal, sedangkan S2 adalah sinyal satu

kanal. Contoh sinyal multikanal adalah sinyal video berwarna (kanal-kanal

merah, hijau, dan biru), serta sinyal musik stereo (kanal-kanal kiri dan kanan).

Contoh sinyal satu kanal adalah sinyal radio medium wave (MW) pada radio

biasa.

3. Multi Dimensional vs Single Dimensional

Sinyal multidimensi (multi dimensional) adalah sinyal dengan lebih dari satu

variabel independen. Sinyal satu dimensi (single dimensional) adalah sinyal

dengan variable independen tunggal. Perhatikan dua sinyal berikut :

f (x, y) vs s1 (t)

Sinyal f (x,y) adalah sinyal multidimensi karena memiliki variable independen

x dan y- Sinyal 1 s (t) adalah sinyal dimensi satu karena variable

independennya hanya t.

4. Continuous Time vs Discrete Time

Sinyal waktu kontinu (continous time) adalah sinyal yang memiliki

variable independent yang bernilai nyata (real), sama dengan sinyal real.

Sinyal waktu diskrit (discrete time) adalah sinyal dengan variable

independen bernilai integer. Sinyal waktu kontinu didapat dari sinyal yang

bersifat analog sehingga terdapat nilainya disepanjang waktu, sedangkan

sinyal waktu diskrit didapat dari sinyal waktu digital yang dapat diperoleh

dengan cara – cara sebagai berikut :

Sampling dari sinyal waktu kontinu, artinya kita mengambil beberapa data

dari sinyal continu untuk mewakili keseluruhan data.

Mencacah (counting), kita mencacah data yang kita ambil dengan ketentuan

waktu tertentu.

5. Continuous Valued vs Discrete Valued

Continuous valued signal adalah sinyal yang tak hanya memiliki besaran

independennya yang real tetapi dapat juga memiliki besar yang merupakan

bilangan nyata juga. Discrete valued Signal adalah sinyal yang besarnya atau

variabel dependennya merupakan bilangan diskrit dimana bilangan tersebut

merupakan bilangan berindeks yang mana indeksnya mengindikasikan kapan

penyamplingan ataupun peng–counting-an dilakukan. Dari penjelasan

mengenai sinyal nilai diskrit & kontinu dan sinyal waktu diskrit & kontinu,

dapat kita peroleh 2 klasifikasi sinyal yang lain, yaitu : Sinyal digital adalah

sinyal yang sekaligus waktu diskrit dan diskrit valued, sedangkan sinyal analog

adalah sinyal yang sekaligus waktu kontinu dan nilai kontinu.

6. Sinyal Deterministik vs Sinyal Random

Sesuai dengan namanya, kedua jenis sinyal ini berdasarkan asal usul besaran

yang dipakai. Sinyal deterministic merupakan sinyal yang besarannya telah

diketahui dengan pasti, misal bila diketahui besaran independentnya.

Sedangkan sinyal random adalah sinyal yang belum diketahui dengan pasti

besaran independentnya, dalam artian masih random. Kadang–kadang sinyal

rumit menggunakan sinyal bentuk ini.