Web viewjika setiap setiap a. 1, a 2 ∈ A dan a 1 ≠ a 2, maka f(a 1) ≠ f ... Diketahui...

RELASI DAN FUNGSI

PENGERTIAN RELASI DAN FUNGSIA. RELASI

Dalam kehidupan sehari-hari, relasi berarti “hubungan”. Dalam matematika, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

Contoh:A = {Jakarta, Paris, London, Beijing}B = {Inggris, Cina, Perancis, Indonesia}Perhatikan kedua himpunan di atas. A adalah himpunan nama ibukota negara dan B adalah himpunan nama negara. Terdapat hubungan antara himpunan A dan himpunan B, yaitu:

Jakarta adalah ibukota negara Indonesia Paris adalah ibukota negara Perancis London adalah ibukota negara Inggris Beijing adalah ibukota negara Cina

Jadi, relasi antara himpunan A dan B adalah “ibukota negara”

Septian Nurhijjah, S.Pd

Setelah mempelajari modul ini kalian diharapkan dapat:1. Membedakan pengertian relasi dan fungsi2. Menentukan daerah asal (domain), daerah kawan

(kodomain), dan daerah hasil (range)3. Menguraikan jenis-jenis fungsi (inektif, surjektif, bijektif)

TUJUAN PEMBELAJARAN

Di negara-negara berkembang, angka kriminalitas, angka kematian bayi, dan jumlah pengangguran cukup tinggi. Adakah relasi antara tingkat perekonomian suatu negara dengan angka kriminaalitas, angka kematian bayi, dan jumlah pengangguran. Apakah yang dimaksud relasi?

Cara menyatakan relasi:1. Diagram Panah

2. Koordinat Cartesius

3. Pasangan BerurutanRelasi antara himpunan A dan B = {(Rupiah, Indonesia), (Rupee, India), (Baht, Thailand), (Ringgit, Malaysia)}

B. FUNGSIFungsi adalah suatu bentuk khusus dari relasi.

Perhatikan berbagai relasi berikut.Relasi di samping bukan fungsi karena ada anggota himpunan A yang mempunyai lebih dari satu pasangan di B, yaitu: “1” di A berpasangan dengan “5”, “7”,

“9”, “12” di B “6” di A berpasangan dengan “7” dan

“12” di B “8” di A berpasangan dengan “9” dan

“12” di B

Relasi di samping bukan fungsi karena ada anggota himpunan A yang tiak mempunyai pasangan di himpunan B, yaitu “6”


Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B

Relasi di samping merupakan fungsi karena semua anggota himpunan A mempunyai tepat satu pasangan anggota himpunan B

Relasi di samping merupakan fungsi karena semua anggota himpunan A mempunyai tepat satu pasangan anggota himpunan B

Domain (daerah asal), Kodomain (daerah kawan), Range (daerah hasil)Perhatikan fungsi berikut.

Daerah Asal (domain) = {8, 10, 12}Daerah Kawan (kodomain) = {7, 9, 11, 13}Daerah Hasil (range) = {7, 9, 11}

Sifat-sifat fungsi:1. Fungsi into

Fungsi f: x ∈ A → y ∈ B disebut fungsi into jika ada y ∈ B bukan pasangan dari x ∈ A.

2. Fungsi injektif (fungsi satu-satu / onto)Fungsi f: x ∈ A → y ∈ B disebut fungsi injektif jika setiap setiap a1 , a2 ∈ A dan a1 ≠ a2, maka f(a1) ≠ f(a2). Dengan kata lain, setiap anggota domain punya pasangan yang berbeda


3. Fungsi surjektifFungsi f: x ∈ A → y ∈ B disebut surjektif jika setiap y ∈ B memiliki pasangan x ∈ A atau setiap anggota himpunan daerah kawan memiliki pasangan di daerah asal

4. Fungsi bijektifFungsi f: x ∈ A → y ∈ B disebut fungsi bijektif jika fungsi tersebut injektif sekaligus surjektif (korespondensi satu-satu) dengan ketentuan n(A) = n(B)

Contoh:Jika g: x → 3x2 + 5 dan domainnya {-3 ≤ x ≤ 1, x ∈ bil. bulat}. Tentukan:a. Rumus fungsib. Rangec. Himpunan pasangan berurutan

Penyelesaian:a. g(x) = 3x2 + 5b. Domain = {-3 ≤ x ≤ 1, x ∈ bil. bulat} = {-3, -2, -1, 0, 1}

Sehingga,g(-3) = 3(-3)2 + 5 = 3 . 9 + 5 = 32g(-2) = 3(-2)2 + 5 = 3 . 4 + 5 = 17g(-1) = 3(-1)2 + 5 = 3 . 1 + 5 = 8g(0) = 3(0)2 + 5 = 3 . 0 + 5 = 5g(1) = 3(1)2 + 5 = 3 .`1 + 5 = 8Jadi, range {5, 8, 17, 32}

c. Himpunan pasangan berurutan = {(-3,32) , (-2,17) , (-1,8) , (0,5) , (1,8)}

SOAL - SOAL


1. Tentukan relasi antara himpunan A dan B berikut.a. b.

2. Jika A = {0, 1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke B adalah “tiga kurangnya dari”. Buatlah:a. Diagram panahb. Diagram Cartesiusc. Himpunan pasangan berurutan

3. Tentukan domain, kodomain, dan range dari masing-masing himpunan pasangan berurutan berikut.A = {(1,1) , (2,3) , (3,5) , (4,7) , (5,8)}B = {(1,6) , (1,7) , (2,8) , (3,9) , (4,10)}C = {(2,5) , (3,6) , (4,7)}

4. Relasi-relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke B = {1, 2, 3} digambarkan dengan diagram panah sebagai berikut. Relasi manakah yang merupakan fungsi?

5. Perhatikan relasi berikut.

a. Tentukan relasi yang tepat dari dua himpunan tersebut

b. Apakah relasi tersebut merupakan fungsi? Jelaskan

c. Tentukan bayangan (peta) dari “Thailand”

6. Dalam fungsi-fungsi yang disajikan dalam diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi onto, injektif, atau bijektif


7. Tuliskan range fungsi dari f(x) = 4x – 2 jika diketahui ketentuan sebagai berikut.a. Domain fungsi Df = {-2, -1, 0, 1, 2}b. Domain fungsi Df = {x | -2 ≤ x ≤ 2}

8. Diketahui fungsi f : x → 2x – 3 , tentukan:a. Nilai f(-2) , f(0) , f(1) , dan f(2)b. Jika f(a) = 7, tentukan nilai ac. Jika f(x) = -5, tentukan nilai x

9. Diketahui f(x) = ax + b, dengan f(-4) = -3 dan f(2) = 9. Tentukan nilai a dan b kemudian tuliskan fungsinya

10. Gambarkan grafik fungsi f(x) = x2 – 4 dengan domain fungsi sebagai berikut.a. Df = {-2, -1, 0, 1, 2}b. Df = {x | -2 ≤ x ≤ 2}


FUNGSI LINEAR

BENTUK UMUM FUNGSI LINEAR

Fungsi linear adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu, fungsi linear sering disebut dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sebagai berikut:

Keterangan: m : gradien / kemiringanc : konstanta

Contoh: y = 2x – 1f(x) = 1 – x3y – 4x – 5 = 0

GRAFIK FUNGSI LINEAR

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi linear:1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X, y = 0, diperoleh titik A(x,0)2. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y, x = 0, diperoleh titik B(0,y)3. Menghubungkan kedua titik A dan titik B tersebut sehingga terbentuk garis lururs

Contoh:Lukislah grafik y = 2x – 6

Penyelesaian:Titik potong dengan sumbu X, y = 0

y = 2x – 60 = 2x – 66 = 2x62 = x

3 = x


Setelah mempelajari modul ini kalian diharapkan dapat:1. Menggambar grafik fungsi linear2. Menentukan gradien persamaan garis lurus3. Menentukan persamaan dari suatu garis lurus

TUJUAN PEMBELAJARAN

y = mx + catau

f(x) = mx + c

∴ (3, 0)Titik potong dengan sumbu Y, x = 0

Y = 2x – 6 = 2.0 – 6 = 0 – 6 = – 6∴ (0, – 6)

MENENTUKAN GRADIEN PERSAMAAN GARIS LURUS (FUNGSI LINEAR)

Gradien garis biasa disimbolkan dengan “m”

Contoh 1:Tentukan gradien dari persamaan garis

a. y = 3x + 10b. y = – 5x + 8

Jawab:Menurut bentuk umum persamaan garis, persamaan garis y = mx + c mempunyai gradien m.Sehingga,

a. y = 3x + 10, maka m = 3b. y = – 5x + 8, maka m = – 5

Contoh 2:Tentukan gradien persamaan garis 2x – 5y = 7

Jawab:a. 2x – 5y = 7

– 5y = – 2x + 7

Y = −2−5 x +

7−5 → m =

−2−5

=25

b. 4x + 5y – 20 = 05y = – 4x + 20

y = −45 x +

205 → m =

−45

=−45

Contoh 3:Tentukan gradien persamaan garis yang melalui titik (-2,3) dan (1,6)

Jawab:(x1, y1) = (-2, 3)(x2, y2) = (1, 6)Sehingga,

m=y2− y1

x2−x1= 6−3

1−(−2)=3

3=1

Jadi, gradien garisnya adalah 1


Garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) mempunyai gradien (m):

m=y2− y1

x2−x1

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS

Persamaan garis yang melalui sebuah titik (x1, y1) dan bergradien m

Contoh:Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-2, 1) dan bergradien – 2 Jawab:y – y1 = m(x – x1)y – 1 = – 2(x – (-2))y – 1 = -2 (x + 2)y – 1 = -2x – 4y = -2x – 4 + 1y = -2x – 3

Persamaan garis yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Contoh:Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-2, 3) dan (1, 4)

Jawab:(x1, y1) = (-2, 3)(x2, y2) = (1, 4)Sehingga,

y− y1

y2− y1=x−x1

x2−x1

y−34−3

= x−(−2)1−(−2)

y−31

= x+23

3 ( y−3 )=1(x+2)3 y−9=x+23 y−x−9−2=03 y−x−11=0

Persamaan garis yang berpotongan dengan garis lainJika terdapat dua garis dengan gradien masing-masing adalah m1 dan m2, maka:

(i) m1 = m2 , jika kedua garis tersebut sejajar


y – y1 = m (x – x1)

y− y1

y2− y1=x−x1

x2−x1

(ii) m1 . m2 = – 1 atau m1=−1m2

, jika kedua garis tersebut saling tegak lurus

Contoh 1:Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -4) dan sejajar dengan garis 9x – 3y + 6 = 0

Diketahui : l2 ≡ 9x – 3y + 6 = 0 (x1, y1) = (2, -4) l2 sejajar dengan l1, sehingga m2 = m1

Dicari : l1

Jawab:l2 → 9x – 3y + 6 = 0

9x + 6 = 3y93 x +

63 = y

3x + 2 = y ∴ m2 = 3l1 sejajar dengan l2, sehingga m1 = m2 = 3.Karena garis l1 melalui titik (2, -4) dan bergradien m1 = 3, maka diperoleh persamaan garis (l1) sebagai berikut:

y – y1 = m1 (x – x1)y– (-4) = 3 (x – 2) .....................>> (x1, y1) = (2, -4)y + 4 = 3x – 6y – 3x + 4 + 6 = 0y – 3x + 10 = 0

Jadi, persamaan garis yang melalui titik (2, -4) dan sejajar dengan garis 9x – 3y + 6 = 0 adalah y – 3x + 10 = 0

Contoh 2:Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik (-1, 2) dan tegak lurus terhadap garis 3y – 6x + 9 = 0

Jawab:Diketahui : l2 ≡ 3y – 6x + 9 = 0 (x1, y1) = (-1, 2)

l2 tegak lurus dengan l1, sehingga m1 = −1m2

Dicari : l1

Jawab:l2 → 3y – 6x + 9 = 0

3y = 6x – 9

y = 63 x -

93

y = 2x – 3 ∴ m2 = 2


l1 tegak lurus dengan l2, sehingga m1 = −1m2

=−12

Karena garis l1 melalui titik (-1, 2) dan bergradien m1 = −12 , maka diperoleh persamaan garis

(l1) sebagai berikut:y – y1 = m1 (x – x1)

y – 2 = −12 (x – (-1)) .....................>> (x1, y1) = (-1, 2)

y – 2 = −12 (x + 1)

-2 (y – 2) = x + 1-2y + 4 = x + 1-2y – x + 4 – 1 = 0-2y – x + 3 = 02y + x – 3 = 0

Jadi, persamaan garis yang melalui titik (-1, 2) dan tegak lurus dengan garis 3y – 6x + 9 = 0 adalah 2y + x – 3 = 0

Persamaan garis yang telah diketahui perpotongannya dengan sumbu koordinat

Dari grafik di atas, persamaan garisnyabx + ay = ab

Dari grafik di atas, persamaan garisnya

y = ba x

Contoh:


a = 3, b = 4.Persamaan garis:4x + 3y = 4 . 3 ⇔ 4x + 3y = 12

1. Lukislah grafik dari garis lurus berikuta. y = 3x – 5b. 2x – 5y + 2 = 0

2. Tentukan gradien dari:a. y = -12x - 10b. 3x – y = 8c. Garis yang melalui titik (-5, 2) dan titik (2, 3)d. Garis yang melalui titik (0, 3) dan (3, 4)

3. Tentukan persamaan garis lurus:a. Yang melalui titik ( 5, -1) dan bergradien -3b. Yang melalui titik (2, 3) dan (-2, 4)

4. Tentukan persamaan garis dari grafik berikut.

(a) (b)

5. Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus garis 2x – y + 5 = 0 dan melalui titik (3, 6)

FUNGSI KUADRAT


a = 5, b = – 2 Persamaan garis:-2x + 5y = (-2) . 5 ⇔ -2x + 5y = -10

a = 6 , b = 4Persamaan garis:

Y = 46 x ⟺ y =

23 x

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Bentuk umum fungsi kuadrat:f(x) = ax2 + bx + c atau y = ax2 + bx + c

sehingga,

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X, dengan mengambil y = 0.2. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y, dengan mengambil x = 03. Menentukan sumbu simetri dan koordinat titik balik

Sumbu simetri : x=−b2a

Koordinat titik balik / titik puncak : (−b2a,−D

4a )


YSumbu simetri, x = 1

Contoh:Lukislah grafik fungsi y = x2 – 2x - 8

Penyelesaian:

Sehingga grafiknya adalah berikut ini.


Web viewjika setiap setiap a. 1, a 2 ∈ A dan a 1 ≠ a 2, maka f(a 1) ≠ f ... Diketahui...

Documents

Transcript of Web viewjika setiap setiap a. 1, a 2 ∈ A dan a 1 ≠ a 2, maka f(a 1) ≠ f ... Diketahui...