1

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN

Materi:

• Hampiran linier menggunakan turunan

• Gerak benda sepanjang garis lurus

• Laju yang berkaitan

• Deret Taylor

• Maksimum dan minimum global dan lokal

• Kemonotonan dan kecekungan

• Menggambar grafik canggih

• Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan

• Menghitung limit bentuk tak tentu

� Hampiran linier menggunakan turunan

h

afhafaf

h

)()(lim)( : turunandefinisi kembaliIngat

0

−+=′

→

2

Definisi tersebut menyatakan bahwa untuk nilai h yang cukup kecil, maka

)()()( Akibatnya

)()()(atau )()(

)(

afhafhaf

afhafhafh

afhafaf

′+≈+

′≈−+−+

≈′

101 nilai hampirilah n turunan,menggunakaDengan 1.Contoh

.05,1020

110

1002

1.1100101

yaitu ,)()()(

diperoleh makaturunan hampiran n Menggunaka

.2

1)(dan ,101)( maka 1 Jika

.10100)( maka ,100dan )(Misalkan :Jawab

=+=+≈

′+≈+

=′=+=

====

afhafhaf

xxfhafh

afaxxf

3

� Gerak Benda Sepanjang Garis Lurus

Bila posisi suatu benda yang bergerak sepanjang garis lurus setiap saat

dinyatakan oleh

Jelaskan bagaimana gerak benda tersebut .

tttts 249)( 23 +−=

Contoh 2: Hampirilah nilai sin 280

.47,0866,0.035,05,06

cos906

sin 28sin

)()()(

.90180

22 ,

630

,sin)( Berarti .)230(82 :Jawab

o

oo

oo

=−=ππ

−π

≈

′+≈+

π−=π⋅

−=−=

π==

=−=

afhafhaf

ha

xxf

4

saat. setiapkecepatan

perubahan yaitu ,percepatan menyatakan 186)(

sedangkan

saat, setiap bendagerak kecepatan menyatakan 24183)(

2

2

2

−===

+−==

tdt

sd

dt

dvta

ttdt

dstv

Benda bergerak ke kanan bila v(t) > 0 dan bergerak ke kiri bila v(t) < 0.

)4)(2(3 )86(324183)( 22 −−=+−=+−== ttttttdt

dstv

2 4

+ + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + +

Jadi, sebelum t = 2 dan sesudah t = 4 benda bergerak ke kanan,

sedangkan di antara t = 2 dan t = 4 benda bergerak ke kiri. Pada

saat t = 2 dan t = 4 benda berhenti (tidak bergerak)

5

Kecepatan benda berkurang bila a(t) < 0, yaitu bila t < 3.

Kecepatan benda bertambah setelah t = 3.

a(t)v(t)s(t)t

2445707

1824366

129205

60164

0-3183

-60202

-129161

-182400

-2445-34-1

6

-4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 s

t = 0 t = 1 t = 2

t = 3

t = 4 t = 5

t = 6

� Laju yang berkaitan

Contoh 1. Udara dipompakan ke dalam balon bundar sehingga volumenya bertambah dengan laju 100 cm3/detik. Seberapa cepat jari-jari balon bertambah ketika garis tengah balon 50 cm?

Jawab: Misalkan V(t) = volume balon pada saat t

dan r(t) = jari-jari balon pada saat t.

cmrdt

dr

cmdt

dV

25 ketika , :Ditanyakan

detik./100 :Diketahui 3

=

=

7

m. 50balon tengah garis

ketikam/detik 25

1laju dengan bertambah balon jari-jari Jadi

.25

1

25.4

100

25.410025

4

43.3

4dengan , :rantaiaturan Gunakan

.3

4)( :)(dan )( Hubungkan

2

2

2

22

3

π

ππ

π

π

ππ

π

==

=⇒=

=∴

===

=

dt

dr

dt

drr

dt

drr

dt

dV

rrdr

dV

dt

dr

dr

dV

dt

dV

rtVtrtV

Contoh 2. Sebuah tangga yang panjangnya 6 m bersandar pada dinding

tegak. Jika ujung bawah tangga bergeser menjauhi dinding

dengan laju 1 m/detik, seberapa cepat ujung atas tangga

bergeser ke bawah pada saat ujung bawah tangga berjarak 3

m dari dinding?

8

3untuk ,:Ditanyakan

1 : Diketahui

tanggaatas ujungdan lantai antarajarak )( dan

gabawah tang ujungdan dinding antarajarak )(Misalkan

=

=

=

=

xdt

dy

dt

dx

ty

tx

m. 3 dindingdengan gabawah tang ujung antarajarak ketika

m/detik 3

1laju dengan bawah kebergeser tanggaatas ujung Jadi

3

1 sehingga ,033.22.3.1kan substitusi

333363

,022 : erhadapTurunkan t

.36 :)(dan )( Hubungkan

2

22

−==+

=−=⇒=

=+

=+

dt

dy

dt

dy

yx

dt

dyy

dt

dxxt

yxtytx

y

x0

m/detik 1=dt

dx

6

9

Strategi menyelesaikan masalah laju yang berkaitan :

� Baca masalah dengan cermat

� Bila memungkinkan gambarkan situasi yang dihadapi

dengan diagram

� Kenali besaran-besaran yang berubah terhadap waktu,

berilah lambang (notasi)

� Nyatakan informasi yang telah diketahui dan apa yang

ditanyakan

� Tentukan hubungan antara besaran yang diketahui dan

besaran yang akan dihitung

� Diferensialkan hubungan yang diperoleh terhadap waktu

� Substitusikan informasi yang diketahui dan tentukan laju

yang tidak diketahui.

Contoh 3. Air dipompakan dengan laju 2 m3 ke dalam suatu tangki yang

berbentuk kerucut terbalik dengan alas berbentuk lingkaran.

Jika jari-jari alas kerucut 2 m dan tinggi kerucut 4 m, tentukan

laju bertambahnya tinggi permukaan air, pada saat kedalaman

air 3 m.

10

4

h

r

2Misalkan pada saat t

V(t) = volume air di tangki

r(t) = jari-jari permukaan air

h(t) = tinggi permukaan air

maka

hrV2

3

1π=

3h bila , :Ditanyakan

2 : Diketahui

=

=

dt

dh

dt

dV

Dengan memanfaatkan kesebangunan segitiga diperoleh

4

2=

h

rsehingga

2

hr = dan

3

2

1223

1hh

hV

ππ =

=

Akibatnya

.28,0 9

8 3

423

4

2

2

==⇒=⇒=

==

π

π

π

dt

dh

dt

dhh

dt

dhh

dt

dh

dh

dV

dt

dV

11

Contoh 4. Mobil A meluncur ke barat dengan laju 50 km/jam, dan mobil B

meluncur ke utara dengan laju 60 km/jam. Keduanya bergerak

lurus menuju ke persimpangan kedua jalan yang mereka lalui.

Dengan laju berapakah kedua mobil tersebut saling mendekat

ketika mobil A berada pada posisi 0,3 km sebelum

persimpangan dan mobil B berada pada posisi 0,4 km sebelum

persimpangan?

B

AC

x

y

z

12

.

)()()(

))(()()( diperoleh maka

,)()(

lim)(

:limit definisidigunakan linier hampiran dalam Jika

1(x)Pcmx

aafafxaf

axafafxf

ax

afxfaf

ax

=+=

′−+′=

−′+≈

−

−=′

→

� Hampiran fungsi menggunakan POLINOM TAYLOR

Perbaiki dengan hampiran kuadrat :

22 )(Misalkan CxBxAxP ++=

Dengan demikian nilai f(x) di sekitar a dapat dihampiri oleh garis

singgung f(x) di a. Hampiran ini cukup baik untuk nilai x yang dekat

dengan a. Namun tidak demikian untuk nilai x yang jauh dari a.

Perhatikan bahwa

)()(dan )()( 11 afaPafaP ′=′=

Akan ditentukan A, B, dan C sehingga P2(x) merupakan hampiran yang baik

untuk f(x), dengan syarat

)()(dan )()(),()( 222 afaPafaPafaP ′′=′′′=′=

13

)(2)()(

)(2)(2)(

)()()(

22

22

22

22

afCaPxP

afCaBaPCxBxP

afCaBaAaPCxBxAxP

′′==′′=′′

′=+=′⇒+=′

=++=⇒++=

2

22

222

2

22

)(2

)())(()(

)2(2

)())(()(

2

)())()((

2

)()()()(P Jadi

2

)()()(

2

)())()(()()(

)()(2)(

axaf

axafaf

aaxxaf

axafaf

xaf

xaafafaaf

aafafx

aaf

aafaf

aaf

aaafafafCaBaafA

aafafCaafB

−′′

+−′+=

+−′′

+−′+=

′′+′′−′+

′′+′−=

′′+′−=

′′−′′−′−=−−=

′′−′=−′=

Bila hampiran kuadrat masih kurang baik, dapat diperbaiki dengan

hampiran kubik, yaitu32

3 )( DxCxBxAxP +++=

)()(dan )()(),()(),()(

:syaratdengan

2233 afaPafaPafaPafaP ′′′=′′′′′=′′′=′=

14

dst ........)(

2

)()()(

2

)())()(()(32)(

,2

)()(

2

.2.3)(

2.3

)()()(2.3)(

)(.2.32)(.2.32)(

)(32)(32)(

)()()(

32

22

222

2

2

222

33

23

23

323

323

=−−−=

′′′+′′−′=

′′′−′′′−′′−′=−−′=

′′′−′′=

−′′=

′′′=⇒′′=′′′==′′′

′′=+=′′⇒+=′′

′=++=′⇒++=′

=+++=⇒+++=

DaCaBaafA

aaP

aafaf

aaP

aaaPafafDaCaafB

aaPafDaafC

aPDafaPDxP

afDaCaPDxCxP

afDaCaBaPDxCxBxP

afDaCaBaAaPDxCxBxAxP

3210

323

)(!3

)()(

!2

)()(

!1

)()(

!0

)(

)(2.3

)()(

2

)())(()()(P

Diperoleh

axaf

axaf

axaf

axaf

axaf

axaf

axafafx

−′′′

+−′′

+−′

+−=

−′′′

+−′′

+−′+=

15

Secara umum, bila perbaikan hampiran dilanjutkan, akan diperoleh

KK +−++−+

−′′′

+−′′

+−′+≈

nniv

axn

afax

af

axaf

axaf

axafaff(x)

)(!

)()(

!4

)(

)(!3

)()(

!2

)())(()(

)(4

32

Bentuk

KK +−++−′′

+−′+=

−=∑∞

=

nn

k

k

k

a)(xn!

(a)fax

afaxafa)f

axk

afT(x)

2

0

)(

)(!2

)())(((

)(!

)(

disebut uraian (ekspansi) Taylor dari f(x) di sekitar x = a. Bila a = 0, diperoleh

uraian Mac Laurin dari f(x), yaitu

KK +++′′

+′+==∑∞

=

nn

k

kk

xn!

)(fx

fxf)f

k

xfL(x)

0

!2

)0()0(0(

!

)0( 2

0

)(

16

1cos x5

0sin x4

-1-cos x3

0-sin x2

1cos x1

0sin x0

f(n)(0)f(n)(x)n

Contoh: ,sin)( Bila xxf = tentukan uraian Mac Laurin dari f(x).

KK +++′′

+′+≈ nn

xn!

)(fx

fxf)ff(x)

0

!2

)0()0(0( 2

∑∞

=

+

+

−=

+−+−+−=

+−+++−++≈

0

12

11119753

765432

)!12(

)1(

!11!9!7!5!3

!7.1

!6.0

!5.1

!4.0

!3.1

!2.0.10sin

k

kk

xk

xxxxxx

x

xxxxxxxx

K

K

17

18

∑∞

=

−=ο+−+−+−=

++−+++−+≈

0

212108642

765432

!2

)1( )(

!10!8!6!4!21

!7.0

!6.1

!5.0

!4.1

!3.0

!2.1.01cos

k

kk

xk

xxxxxx

xxxxxxxx K

� Nilai Maksimum dan Minimum Global (Lokal)

Definisi: Fungsi f dikatakan mencapai maksimum (minimum) global

di titik (c, f(c)) jika

)()( xfcf ≥ ( ))()( xfcf ≤ x∀, di daerah asal f.

Bila f mencapai maksimum atau minimum global di titik (c, f(c)) maka f(c)

disebut nilai ekstrim dari f, sedangkan titik (c, f(c)) disebut titik ekstrim

dari f.

Definisi: Fungsi f dikatakan mencapai maksimum (minimum) lokal di

titik (c, f(c)) jika )()( xfcf ≥ ( ),)()( xfcf ≤

x∀ di suatu selang buka yang memuat c.

19

xxf sin)( Fungsi 1. = mencapai maksimum global dan lokal di titik-titik

( ) K,3,2,1,0,1 ,22

=π+π nn

dan mencapai minimum global dan lokal di titik-titik

( ) K,3,2,1,0,1- ,22

3 =π+π nn

Contoh-contoh:

2)( Fungsi 2. xxf =

Mencapai minimum global di titik (0,0) namun tidak memiliki titik

maksimum global. Bila x pada selang [1,6] maka f(x) memiliki titik

minimum lokal di (1,1) dan maksimum lokal di titik (6,36).

3)( Fungsi 3. xxf =

Tidak memiliki titik minimum maupun maksimum global. Bila x pada

selang [-1,5] maka f(x) memiliki titik minimum lokal di (-1,-1) dan

maksimum lokal di titik (5,125).

20

� TEOREMA KEUJUDAN TITIK EKSTRIM

Jika f(x) kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f(x) memiliki titil ekstrim

maksimum dan titik ekstrim minimum.

� PROSEDUR MENENTUKAN TITIK EKSTRIM

1. Kumpulkan semua titik kritis dari f(x) pada selang [a,b]

2. Hitung nilai f(x) pada setiap titik kritis tersebut. Nilai f(x) yang terbesar

menjadi titik ekstrim maksimum, sedangkan yang terkecil menjadi titik

ekstrim minimum

� TEOREMA TITIK KRITIS

Misalkan f(x) terdefinisi pada selang tertutup [a,b] dan c terletak di selang

[a,b]. Jika f(c) adalah nilai ekstrim maka (c,f(c)) haruslah suatu titik kritis,

yaitu (c,f(c)) mungkin berupa salah satu dari yang berikut ini

• (c,f(c)) adalah titik ujung selang

• (c,f(c)) adalah titik stasioner dari f, yaitu

• (c,f(c)) adalah titik singular dari f, yaitu tidak ada

0)( =′ cf

)(cf ′

21

Contoh:

1. Tentukan semua titik ekstrim dari fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 pada selang

tertutup [-1/2,3].

Jawab:

Titik-titik kritis:

i. Titik-titik ujung: (-1/2,1) dan (3,-27).

ii. Titik-titik stasioner:

Jadi titik stasioner: (0,0) dan (1,1).

iii. Titik-titik singular: tidak ada sebab selalu ada.

Jadi titik-titik kritis: {(-1/2,1) , (3,-27), (0,0) , (1,1)}.

Titik ekstrim maksimum: (-1/2,1) dan (1,1).

Titik ekstrim minimum: (3,-27).

10

0)1(6

066)(

066)(

2

2

=∨=⇔

=−−⇔

=+−=′

=+−=′

cc

cc

cccf

xxxf

)(cf ′

22

2. Tentukan semua titik ekstrim dari fungsi f(x) = x2/3 pada selang [-1,2].

Jawab:

Titik-titik kritis:

i. Titik-titik ujung: (-1,1) dan .

ii. Titik-titik stasioner:

Tidak ada c yang memenuhi.

Jadi titik stasioner tidak ada.

iii. Titik-titik singular:

Jadi titik singular: (0,0).

Jadi titik-titik kritis: {(-1,1) , , (0,0) }.

Titik ekstrim maksimum:

Titik ekstrim minimum: (0,0).

( )3 4,2

03

2)(

3

2

3

2)(

3

331

==′

==′ −

ccf

xxxf

.0 bila ada tidak 3

2)(

3 c

ccf ==′

( )3 4,2

( )3 4,2

23

Prosedur menyelesaikan masalah maksimum-minimum:

1. Buatlah gambar / skema permasalahan

2. Buatlah rumus untuk besaran yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan,

misalkan F

3. Manfaatkan kondisi-kondisi yang diketahui untuk membuat F menjadi fungsi

yang hanya bergantung pada satu variabel saja, misalkan x

4. Tentukan selang untuk nilai-nilai x yang mungkin

5. Tentukan semua titik-titik kritis (calon titil ekstrim)

6. Di antara titik-titik kritis, tentukan titik ekstrim.

Contoh:

1. Sebuah kotak yang terbuka bagian atasnya akan dibuat dari selembar seng berbentuk segiempat dengan lebar 20 cm dan panjang 32 cm. Pada keempat sudut seng dipotong bujursangkar-bujursangkar kecil berukuran sama. Kemudian sisa seng dilipat ke atas sehingga terbentuk kotak. Tentukan ukuran kotak tersebut agar kapasitasnya maksimal.

2. Tentukan ukuran sebuah tabung lingkaran tegak dengan volume sebesar mungkin, yang dapat dimasukkan ke dalam sebuah kerucut lingkaran tegak setinggi 10 cm dengan jari-jari alas 4 cm.

3. Tentukan titik pada hiperbola y2 - x2 = 4 yang jaraknya paling dekat dengan titik (2,0).

24

TEOREMA:

Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik

kritis (c,f(c))

1. Jika berubah dari negatif ke positif di titik c maka f(c) adalah nilai

minimum lokal

2. Jika berubah dari negatif ke positif di titik c maka f(c) adalah

nilai maksimum lokal

3. Jika tidak berubah tanda di titik c maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal

)(xf ′

)(xf ′

)(xf ′

TEOREMA: Uji ekstrim lokal untuk titik stasioner

Misalkan fungsi dan ada dan serta

1. Jika maka f(c) adalah nilai ekstrim maksimum lokal

2. Jika maka f(c) adalah nilai ekstrim minimum lokal

0)( =′ cf)(xf ′ )(xf ′′ ),( bax ∈∀ ),( bac∈

0)( <′′ cf

0)( >′′ cf

25

� KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN

Definisi kemonotonan : Misalkan f terdefinisi pada suatu selang, maka

1. f dikatakan monoton naik pada selang tersebut jika berlaku

jika

2. f dikatakan monoton turun pada selang tersebut jika berlaku

jika

21, xx∀)()( 21 xfxf < 21 xx <

21, xx∀)()( 21 xfxf > 21 xx <

Definisi kecekungan : Misalkan ada , maka

1. grafik fungsi f cekung ke atas pada selang (a,b) jika monoton naik pada

selang (a,b)

2. grafik fungsi f cekung ke bawah pada selang (a,b) jika monoton turun

pada selang (a,b)

)(xf ′ ),( bax ∈∀

)(xf ′

)(xf ′

Titik tempat berubahnya kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah

atau sebaliknya disebut TITIK BALIK atau TITIK BELOK

26

Teorema Kemonotan : Misalkan f kontinu pada selang (a,b) dan ada

1. Jika maka grafik fungsi f monoton naik pada selang (a,b)

2. Jika maka grafik fungsi f monoton turun pada selang (a,b)

)(xf ′ ),( bax ∈∀

0)( >′ xf

0)( <′ xf

Teorema Kecekungan : Misalkan f kontinu pada selang (a,b) dan ada

1. Jika maka grafik fungsi f cekung ke atas pada selang (a,b)

2. Jika maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada selang (a,b)

)(xf ′′ ),( bax ∈∀

0)( >′′ xf

0)( <′′ xf

Contoh:

1. f(x) = x2 - 4 02)(dan 0 jika ,0

0 jika ,02)( >=′′

<<

>>=′ xf

x

xxxf

Jadi f(x) monoton turun pada selang monoton naik pada selang

dan cekung ke atas di mana-mana.

)0,(−∞ ),0( ∞

2. f(x) = 3x3 0 jika ,0

0 jika ,018)(dan 0, xbila 09)( 2

<<

>>=′′≠>=′

x

xxxfxxf

Jadi f(x) monoton naik di mana-mana, cekung ke bawah pada selang

cekung ke atas pada selang , dan (0,0) adalah titik belok.

)0,(−∞),0( ∞

27

� SKETSA GRAFIK CANGGIH

Langkah-langkah:

1. Tentukan tanda dari f(x) untuk melihat di mana grafik f(x) berada di atas sumbu

x dan di mana grafik f(x) berada di bawah sumbu x.

2. Tentukan tanda dari untuk melihat kemonotonan grafik f(x)

3. Tentukan tanda dari untuk melihat kecekungan grafik f(x)

4. Periksa kesimetrian

5. Periksa semua asimtot yang ada

6. Daftarlah titik-titik penting sebagai titik-titik bantuan

7. Sketsa grafik

)(xf ′

)(xf ′′

Contoh: Sketsalah grafik fungsi 32

203)(

35xx

xfy−

==

Langkah 1: Periksa tanda dari f(x)

( )( )32

203203

32

)203(

32

203)(

2232335 −+=

−=

−=

xxxxxxxxf

28

03

203

20−

--------------------+++++++++++++++ ----------------------------- +++++++++++++

Langkah 2: Periksa tanda dari )(xf ′

320atau 0x

320 bila 0)(dan

3200atau

320 bila 0)( Jadi ><<−><<−<< xxfxxxf

( )( )32

2215

32

)4(15

32

6015)(

22224 −+=

−=

−=′

xxxxxxxxf

Jadi f(x) monoton naik bila x < -2 atau x > 2, dan monoton turun bila -2 < x < 2.

0 22−

+++++++++++----------------------------------------------------------- +++++++++++++

29

Langkah 3: Periksa tanda dari )(xf ′′

( )( )32

2260

32

)2(60

32

12060)(

23 −+=

−=

−=′′

xxxxxxxxf

0 22−

--------------------+++++++++++++++ ----------------------------- +++++++++++++

2atau 0x2 bila atas ke cekung )(dan

20atau 2 bilabawah ke cekung )( Jadi

><<−

<<−<

xxf

xxxf

Langkah 4: Periksa kesimetrian

)(32

203

32

203

32

)(20)(3)(

353535

xfxxxxxx

xf −=−

−=+−

=−−−

=−

Karena f(-x) = -f(x) maka f(x) adalah fungsi ganjil sehingga grafiknya simetris terhadap

titik asal (0,0).

30

Langkah 5: Periksa asimtot: tidak ada asimtot.

Langkah 6: daftarkan titik-titik bantuan

-22

00

2-2

0

0

f(x)x

320−

320

2−

2

28

7

28

7−

31

Langkah 7: sketsa grafik berdasarkan informasi yang diperoleh

dari langkah-langkah sebelumnya.

Soal: Sketsalah grafik fungsi

].8,7[dengan 71232)( .2

)2()( .1

23

2

−∈+−−==

+==

xxxxxfy

x

xxfy

� Menghitung limit bentuk tak tentu

1. Bentuk tak tentu 0

0

Misalkan dan ada dan Jika)(af ′ )(ag′ .0)( ≠′ ag 0)(lim)(lim ==→→

xgxfaxax

maka

.)(

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

axax ′

′=

→→

32

2. Bentuk tak tentu ∞

∞

.)(

)(lim

)(

)(lim maka )(limdan )(lim Jika

xg

xf

xg

xfxgxf

axaxaxax ′

′=±∞=±∞=

→→→→

Menghitung limit bentuk tak tentu dengan cara tersebut dikatakan menggunakan

DALIL L’HOSPITAL

Contoh:

2

3

48

72lim

48

2472lim

824

2436lim

388

21212lim

7342

1243lim .3

4

)1(0

0)1.(1.4

)2cos(2)2sin(

)3cos()4sin(3)3sin()4cos(4lim

2sin

)3sin()4sin(lim .2

11

coslim

sinlim .1

2

2

3

23

24

34

22

00

==+

=

−

+=

+−

++=

−+−

−++

=−+

+−=

+

+=

==

∞→∞→

∞→∞→∞→

→→

→→

xx

xxx

xx

xx

x

x

x

xx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxxx

xx

xx

x

x

x

ππ

ππ

33

Soal-soal: Bila ada, tentukan nilai limit berikut ini.

22

1lim .9

22

1lim .8

1

11lim .7

coslim .6

1lim .5

123lim .4

lim .3

1lim .2

sin

tanlim .1

2

20

0

22

242

x

2

2

1

1

0

2

0

0

+−

−

+−

−

−−

−

+−−

−

−−

−

−

−

∞→

→

→

→

∞→

→

−

→

→

→

xx

x

xx

x

ex

x

x

xxx

xx

xx

x

e

x

e

xx

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

ππ

34

� TEOREMA NILAI RATA_RATA (untuk turunan)

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensialkan di selang

terbuka (a,b) maka terdapat c, dengan a < c < b sehingga

)()()(

cfab

afbf′=

−

−

� Sifat turunan yang sama:

).,(,)()( sehingga maka ),(),()( Jika baxkxgxfkbaxxgxf ∈∀+=∃∈∀′=′

a bc a bcc c

?)( padaberlaku ratarata nilai oremaapakah te

,13 ,13)( Jika:Contoh 2

xf

xxxxf

−

≤≤−−+=