PEMBELAJARAN ELIPS DENGAN MENGGUNAKAN GOOGLE EARTH

MARIANA (06022681620020)Magister Pendidikan Matematika

Universitas SriwijayaAdzkia.mariana0016@gmail.com

LATAR BELAKANG

Matematika adalah ilmu universal yang mendasari perkembangan ilmu pengetahuan

dan teknologi modern, memajukan daya pikir serta analisa manusia(Rusefendi,

2006).Matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang,

termasuk ilmu alam,

teknik, kedokteran atau medis, ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika

mampu menyiapkan Sumber Daya Manusia (SDM) yang berkualitas yang ditandai memiliki

kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi sesuai dengan tuntutan

kebutuhan. Oleh karena itu,mata pelajaran matematika sangat perlu diajarkan kepada semua

peserta didik mulai dari taman kanak kanak.

Salah satu materi matematika yang diajarkan di sekolah adalah materi geometri.

Tujuan mempelajari materi ini diharapkan agar siswa dapat meningkatkan kemampuan

pemahaman mengenai keruangan. Materi geometri diajarkan secara berjenjang mengikuti

perkembangan daya berpikir anak. Brumfiel (1960)menyatakan paling sedikit ada empat

alasan mengapa geometri diajarkan di sekolah sebagai salah satu materi ajar dalam

matematika. Pertama,geometri memiliki keindahan logika dan mengajarkan ketelitian logika

dimana seseorang dituntut untuk menjadi teliti dan cermat. Oleh karena itu,dengan

mempelajari geometri Jurnal Didaktik Matematika Roskawati, dkk 65menuntun seseorang

menjadi hati-hati dan cermat dalam beraktifitas. Kedua,geometridiajarkan untuk kepentingan

praktis, artinya geometri diajarkan untuk mendukung ilmu-ilmu yang lainnya.Ketiga,

setelahmempelajari geometri,akan memiliki pengetahuan yang akan memberikan wawasan

lebih luas untuk memahami keindahan bentuk yang ada disekitarnya. Keempat, akan

memiliki pengetahuan dan wawasan untuk mengetahui dan memahamipemikiran ilmiah.

Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika karena banyaknya

konsep-konsep yang termuat di dalamnya. Geometri menggabungkan penyajian abstraksi

1

dari pengalaman visual dan spasial, misalnya bidang, pola,pengukuran dan

pemetaan.Sedangkan dari sudut pandang matematika,geometri menyediakan pendekatan-

pendekatan untukpemecahan masalah melaluigambar-gambar, diagram, sistem koordinat,

vektor, dan transformasi(Abdussakir, 2011).

Pembelajaran geometri, khususnya pada tingkat Sekolah Menengah Atas saat ini

menitik beratkan pada materi dimensi tiga yang meliputi hubungan antara titik, garis, bidang

dalam ruang dimensi tiga, dan berbagai hal yang muncul akibat adanya hubungan tersebut.

Hal ini sejalan dengan pendapat T ravers (1987) yang menyatakan bahwa: “Geometry is the

study of the relationships among points, lines, angles, surfaces, and solids”. Pembelajaran

geometri secara tegas dibedakan antara pengertian, gambar, dan model dari

suatu bangun (Iswadji, 2001). Oleh karena itu,dalam pembelajarannya harus dimulai dengan

benda-benda konkret yaitu benda-benda nyata berdimensi tiga, kemudian ke dalam bentuk

semi konkret yang diwujudkan dengan gambar-gambar sehingga terlihat seperti bangun

berdimensi dua. Pada akhirnya siswa dapat memiliki pengetahuan tentang bangun berdimensi

tiga yang sudah bersifat abstrak dan ada di dalam pikiran setiap siswa. Pada tahap ini,

siswa dapat mempelajari geometri tanpa harus berhadapan dengan objek atau bentuk

langsung.

Maka media pembelajaran merupakan salah satu komponen penentu efektivitas

belajar. Media pembelajaran mengubah materi ajar yang abstrak menjadi kongkrit dan

realistik dengan mengoptimalkan fungsi seluruh panca indra siswa untuk meningkatkan

efektivitas siswa belajar serta mengarahkan pikirannya secara logis dan realistis ( Yulianti,

Zulkardi & Siroj, 2010).

Salah satu media pembelajaran yang tepat untuk menggambarkan secara nyatayaitu

google earth. Google earth adalah Program yang memetakan bumi dari superimposisi

gambar yang dikumpulkan dari pemetaan satelit, fotografi udara dan globe GIS 3D. Google

earth merupakan salah satu media yang tepat dalam pembelajaran. Berdasarkan penelitian

Riyadi,S (2011) bahwa penggunaan google earth membantu siswa dalam memahami peta

dari pada menggunakan media globe. Sehingga penggunaan google earth juga dapat

membantu dalam memahami geometri.

2

PEMBAHASAN

1.Aplikasi Google Earth

Google Earth merupakan sebuah program globe virtual yang sebenarnya disebut

Earth Viewer dan dibuat oleh Keyhole, Inc.. Program ini memetakan bumi dari superimposisi

gambar yang dikumpulkan dari pemetaan satelit, fotografi udara dan globe GIS 3D. Tersedia

dalam tiga lisensi berbeda: Google Earth, sebuah versi gratis dengan kemampuan terbatas;

Google Earth Plus ($20), yang memiliki fitur tambahan; dan Google Earth Pro ($400 per

tahun), yang digunakan untuk penggunaan komersial.

Awalnya dikenal sebagai Earth Viewer, Google Earth dikembangkan oleh Keyhole, Inc.,

sebuah perusahaan yang diambil alih oleh Google pada tahun 2004. Produk ini, kemudian

diganti namanya menjadi Google Earth tahun 2005, dan sekarang tersedia untuk komputer

pribadi yang menjalankan Microsoft Windows 2000, XP, atau Vista, Mac OS X 10.3.9 dan

ke atas, Linux (diluncurkan tanggal 12 Juni 2006) dan FreeBSD. Dengan tambahan untuk

peluncuran sebuah klien berbasis update Keyhole, Google juga menambah pemetaan dari

basis datanya ke perangkat lunak pemetaan berbasis web. Peluncuran Google Earth

menyebabkan sebuah peningkatan lebih pada cakupan media mengenai globe virtual antara

tahun 2005 dan 2006,[3] menarik perhatian publik mengenai teknologi dan aplikasi

geospasial.

Globa virtual ini memperlihatkan rumah, warna mobil, dan bahkan bayangan orang dan

rambu jalan. Resolusi yang tersedia tergantung pada tempat yang dituju, tetapi kebanyakan

daerah (kecuali beberapa pulau) dicakup dalam resolusi 15 meter.[4] Las Vegas, Nevada dan

Cambridge, Massachusetts memiliki resolusi tertinggi, pada ketinggian 15 cm (6 inci).

GoogleEarth memolehkan pengguna mencari alamat (untuk beberapa negara), memasukkan

koordinat, atau menggunakan mouse untuk mencari lokasi.

Google Earth juga memiliki data model elevasi digital (DEM) yang dikumpulkan oleh

Misi Topografi Radar Ulang Alik NASA. Ini bermaksud agar kita dapat melihat Grand

Canyon atau Gunung Everest dalam tiga dimensi, daripada 2D di situs/program peta lainnya.

Sejak November 2006, pemandangan 3D pada pegunungan, termasuk Gunung Everest, telah

digunakan dengan penggunaan data DEM untuk memenuhi gerbang di cakupan SRTM.

Banyak orang yang menggunakan aplikasi ini menambah datanya sendiri dan menjadikan

mereka tersedia melalui sumber yang berbeda, seperti BBS atau blog. Google Earth mampu

menunjukkan semua gambar permukaan Bumi. dan juga merupakan sebuah klien Web Map

3

Service. Google Earth mendukung pengelolaan data Geospasial tiga dimensi melalui

Keyhole Markup Language (KML).

Google Earth memiliki kemampuan untuk memperlihatkan bangunan dan struktur

(seperti jembatan) 3D, yang meliputi buatan pengguna yang menggunakan SketchUp, sebuah

program pemodelan 3D. Google Earth versi lama (sebelum Versi 4), bangunan 3d terbatas

pada beberapa kota, dan memiliki pemunculan yang buruk tanpa tekstur apapun. Banyak

bangunan dan struktur di seluruh dunia memiliki detail 3D-nya; termasuk (tetapi tidak

terbatas kepada) di negara Amerika Serikat, Britania Raya,[6] Irlandia, India, Jepang, Jerman,

Kanada, Pakistan dan kota Amsterdam dan Alexandria.[7] Bulan Agustus 2007, Hamburg

menjadi kota pertama yang seluruhnya ditampilkan dalam bentuk 3D, termasuk tekstur

seperti facade. Pemunculan tiga dimensi itu tersedia untuk beberapa bangunan dan struktur di

seluruh dunia melalui Gudang 3D Google[8] dan situs web lainnya.

Adapun cara penggunaan google earth yaitu :

1. Mendownload terlebih dahulu aplikasi google earth

https://www.google.com/earth/download/ge/agree.html. Lalu aplikasi diinstall.

Gambar 1

Tampilan google earth pembuka

2. Aplikasi dapat digunakan dengan mengisi tempat pada kolom cari. Misal Koloseum

Di Roma Italia. Lalu klik telusuri. Maka google earth akan memproses pencaarian

tempat tersebut.

4

Gambar 2

Google earth menampilkan Koloseum di Roma Italia

3. Maka akan muncul bangunan yang kita ingingkan. Untuk memperlihatkan gambar

berbentu dimensi 3. Maka dapat di klik sebelah kiri bawah pada“bangunan 3D’”

sehingga muncul tanda √.

4. Untuk memperkecil, memperbesar, menggeser kiri kanan ataupun memutar 3600.

Dapat menggunakan tombol yang berada di kanan atas.

2. Colosseum di Roma, Italia.Colosseum atau Coliseum, awalnya disebut Amphitheatre Flavianus (Latin:

Amphitheatrum Flavium, Italia Anfiteatro Flavio atau Colosseo), adalah sebuah

amfiteater elips di pusat kota Roma, Italia, yang terbesar yang pernah dibangun di

Kekaisaran Romawi. Ini adalah salah satu karya rekayasa terbesar dari arsitektur

Romawi. Menempati bagian timur dari Forum Romawi, konstruksi dimulai antara 70

dan 72 Masehi di bawah kaisar Vespasianus dan selesai pada 80 Masehi di bawah

Titus, dengan modifikasi lebih lanjut yang dilakukan selama pemerintahan

Domitianus (81Ð96). Nama “Amphitheatrum Flavium” berasal dari kedua

Vespasianus dan Titus nama keluarga (Flavius, dari gens Flavia).

5

Awalnya mampu diduduki sekitar 50.000 penonton, Colosseum digunakan

untuk kontes gladiator dari tontonan publik. Bangunan ini tetap digunakan selama

hampir 500 tahun dengan pertandingan terakhir tercatat di sana hingga akhir abad ke-

6. Serta permainan gladiator tradisional, banyak acara publik lainnya yang diadakan

di sana, seperti opera pertempuran laut, berburu binatang, eksekusi, dan drama

berdasarkan mitologi klasik. Bangunan ini akhirnya berhenti digunakan untuk hiburan

di era awal abad pertengahan. Ia kemudian digunakan kembali untuk tujuan yang

bervariasi seperti perumahan, workshop, tempat untuk perintah agama, benteng,

tambang dan sebuah kuil Kristen. Meskipun kini dalam kondisi hancur akibat

kerusakan yang disebabkan oleh gempa bumi dan penjarahan batu, Colosseum telah

lama dilihat sebagai simbol ikon Kekaisaran Roma. Hari ini adalah salah satu atraksi

wisata paling populer Roma modern dan masih memiliki hubungan dekat dengan

Gereja Katolik Roma, karena setiap Jumat Agung Paus memimpin torchlit “Jalan

Salib” prosesi ke ampiteater.

Gambar 3Gambar Colosseum Utuh

Para arkeolog Italia menemukan fragmen dari lukisan dinding berwarna cerah di

dalam koridor Colosseum di Roma, salah satu atraksi wisata terpopuler di kota itu.

Lukisan dinding atau grafiti tersebut menggambarkan adegan heroik sekaligus erotis. 

"Kami menemukan jejak dekorasi dengan warna merah, biru, dan hijau," kata

Rosella Rea, Direktur Colosseum, seperti dikutip SMH, Jumat (11/1/2013). "Fragmen

6

grafiti ini menggambarkan kehidupan gladiator, kemenangan, bahkan ada adegan

erotis," tambahnya. Para arkeolog juga menemukan tulisan dari abad ke-17 serta tanda

tangan dari para penonton yang pernah ada di teater kuno ini. "Kami berharap dapat

menemukan lukisan atau peninggalan berharga lain di koridor ini," tukasnya. Namun

sayangnya, lukisan ini masih tertutup untuk umum karena arkeolog masih bekerja

untuk memperbaiki lantai kedua dan ketiga Colosseum yang rusak dalam beberapa

tahun terakhir. Lukisan tersebut baru diperlihatkan kepada umum pada musim panas

2014 nanti. Colosseum, bangunan yang dibangun oleh Kaisar Romawi Titus dan atraksi

wisata terbanyak dikunjungi di dunia, kini dalam keadaan menyedihkan. Bangunan ini

semakin rusak dan hancur dimakan usia dan polusi. Selama 10 tahun terakhir,

pengunjung Colosseoum telah bertambah dari sejuta pengunjung mencapai enam juta

pengunjung per tahun, berkat film blockbuster Gladiator. 

Colosseum Roma Yang Selalu Dihantui Arwah Para Gladiator

Siapa yang tidak kenal Colosseum Roma yang berada di negara Italia ini Colosseum

Roma yang didirikan oleh Wali Kota Vespasian pada masa Domitianus dan

diselesaikan oleh anaknya, Titus dulunya adalah gedung tempat pertempuran para

Gladiator dan hinga kini bangunan Colosseum masih tetap berdiri kokoh meninggalkan

jejak sejarah dan merupakan tujuan wisata dunia. 

Gambar 4Gambar Colosseum

Colosseum Roma merupakan bangunan termegah dan merupakan bangunan

yang menjadi karya besar arsitektur Kerajaan Romawi yang pernah dibangun.

7

Colosseum Roma yang mampu menampung penoton sebanyak 50.000 orang ini juga

merupakan simbol kejayan kekaisaran romawi ketika itu. 

Colosseum Roma dibangun untuk arena gladiator yang ketika itu merupakan

hiburan bagi raja raja di Romai, Para tahanan ketika itu dijadikan gladiator untuk di

tarungkan hingga tewas jumlah gladiator yang tewas ketika masa romawi jumlahnya

tidak terbatas sehinga ketika itu Colosseum merupakan tempat pembataiyan paling keji

yang digunaka untuk menghibur raja dan para penoton. Selain bertarung melawan antar

gladiator terkadang para gladiator juga harus bertarung mempertaruhkan nyawa untuk

melawan hewan seperti harimau dan singa. 

Gambar

Colosseum Roma tampak dari depan

Para gladiator yang tewas di Colosseum tidak dikuburkan secara layak mayat

mayat gladiator dilempar begitu saja di bawah kubah Colosseum. Sehinga membuat

tempat ini menjadi angker, banyak para pengunjung Colosseum Roma melihat

penampakan para gladiator yang masih menggunakan baju gladiator melintas di

sekitara Colosseum Roma. Arwah para gladiator ini gentayangan akibat mayat mayat

mereka tidak dikubur dengan layak, sampai saat ini arwah para gladiator masih

menghatui para pengunjung yang berwisata ke Colosseum 

8

Gambar.3Colosseum dari dekat

3. Elips

Jika diamati lebih seksama gambar coloseum mirip dengan gambar elips,Elips

merupakan kurva lengkung tertutup yang memiliki dua sumbu simetri. Elips merupakan

salah satu irisan kerucut karena bentuk elips dapat diperoleh dengan mengiris kerucut

menurut sebuah bidang yang tidak sejajar bidang alas dan tidak memotong bidang alas.

Dalam bidang koordinat, elips didefinisikan sebagai kedudukan titik-titik yang

jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dalam pembahasan selanjutnya,

kedua titik tertentu itu dinamakan titik focus.

B2

L1 L2

a b

0 c

A1 F1 F2 A2

L1 L2

B1

9

Bagian-bagian elips:

a. dua sumbu simetri, yaitu garis yang melalui titik-titik fokus F1& F2 dan garis yang

melalui titik tengah F1&F2.

b. Titik fokus elips yaitu F1&F2.

c. Titik pusat elips adalah di titik O.

d. Sumbu utama atau sumbu transversal adalah sumbu simetri yang melalui titik-

titik focus F1&F2.

e. Puncak elips adalah A1&A2.

f. Sumbu panjang atau sumbu mayor adalah ruas garis A1 A2

g. Sumbu minor adalah ruas garis B1 B2.

Hubungan antara a, b, dan c

misalkan OF1 = OF2 = c

B1F1 = B1F2 = B2F1 = B2F2 = a

OB1 = OB2 = b

Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga OB2F2:

b2 = a2 + c2

Persamaan Elips yang Berpusat di O (0,0)

Persamaan elips dengan titik pusat O (0,0), dengan sumbu mayor elips brimpit

dengan sumbu X. jarak titik pusat elips dengan focus adalah c sehingga F1(-c,0), F2(c,0)

puncak elips di B(-a,0) dan B(a,0).

y

p(x,y)

B(-a,o) F1(-c,o) F

2(c,o) B(a,0)x

10

Misalkan P(x, y) sembarang titik pada elips dan penjumlahan jarak terhadap titik focus

adalah 2a. sehingga d(F1,P) + d(F2,P) = 2a

√(x + c)2+(y – 0)2 + √(x – c)2+(y – 0)2 = 2a

√(x + c)2+(y)2 = 2a - √(x – c)2+(y)2 (Kuadratkan)

(x + c)2+(y)2 = 4a2 - 4a√(x – c)2+y2 + (x – c)2 + y2

x2 + 2cx + c2 +y2 = 4a2 – 4a√(x – c)2+y2 + x2 = 2cx + c2 + y2

x2 – x2 + 2cx + 2cx + c2 – c2 + y2 – y2 -4a2 = -4a√(x – c)2+y2

4cx – 4a2 = - 4a√(x – c)2+y2

4a√(x – c)2+y2 = 4a2 – 4cx

a√(x – c)2+y2 = a2 – cx (Kuadratkan)

a2((x-c)2+y2) = (a2 – cx)2

a2(x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2a2c + c2x2

(a2 – c2)x2 + a2 + y2 = (a2 – c2)a2 (Dibagi a2(a2 – c2))

x 2 + y 2 = 1

a2 (a2-c2)

Karena a2-c2 = b2 dan b>0 maka,

atau b2x2 + a2y2 = a2b2

Persamaan direktris x =

Nilai eksentrisitas e =

Adapun persamaan elips berpusat di O (0,0), fokus F1(0,-c) dan F2(0,c), sumbu mayor

berimpit dengan sumbu y.

11

q

y

ea

ea

B2 (p, q+b)P(x,y)

A1 (p-a, q)

B1 (p, q-b)

A2 (p+a, q)F1 (p-c, q) F2 (p+c, k)

A(p,q)

Sumbu utama y =q

y

a F2

-b 0 b x

-a F1

Persamaannya adalah:

x 2 + y 2 = 1, a > b atau a2x2 + b2y2 = a2b2

b2 a2

dengan b2 = a2-c2

Persamaan direktris y =

Persamaan eksentrisitas e =

Persamaan Elpis Berpusat di A(p,q)

Elips berpusat di A(p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu x, panjang sumbu

mayor 2a, dan panjang sumbu minor 2b. Dengan menggunakan definisi elips, dapat

ditunjukkan bahwa persamaan elips itu adalah :

( x−p )2

b2+

( y−q)2

a2=1

Dan hubungan a2 = b2 + c2

12

g1¿ y = q -

ae

g2¿ y = q +

ae

Berdasarkan elips di atas, dapat ditentukan beberapa hal berikut :

a. Sumbu utama adalah garis y = q dan sumbu sekawan adalah garis x = p.

b. Koordinat puncak di A1 (p-a,q) dan A2 (p+a,q), koordinat titik ujung sumbu minor

adalah B1 (p, q-b) dan B2 (p, q+b).

c. Koordinat focus di F1 (p-c,q) dan F2 (p+c,q).

d. Nilai Eksentrisitas e = ca

e. Persamaan direktriks adalah g1¿ x = p -ae dan g2¿ x = p +

ae

f. Panjang latus rectum = 2b2

a

Elips yang berpusat di A(p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu y, panjang

sumbu mayor = 2a, dan panjang sumbu minor 2b.Dengan menggunakan definisi elips,

dapat ditunjukkan bahwa persamaan elips itu adalah :

( x−p )2

b2+

( y−q)2

a2=1

Dan hubungan a2 = b2 + c2

13

A(p,q)

P(x,y)

A2 (p, q+a)

F2 (p, q+c)

B2 (p, b+q)

A1 (q, p-a)

B1 (p-b,q)

F1 (q, p-a)

Sumbu utama x =py

x

q

p0

Berdasarkan gambar di atas, dapat ditentukan beberapa hal berikut :

a. Sumbu utama adalah garis x = p dan sumbu sekawan adalah garis y = q.

b. Koordinat puncak di A1 (q, p-a) dan A2 (p,q+a), koordinat titik ujung sumbu minor

adalah B1 (p-b,q) dan B2 (p+b,q).

c. Koordinat focus di F1 (p,q-c) dan F2 (p,q+c).

d. Nilai Eksentrisitas e = ca

e. Persamaan direktriks adalah g1¿ y = q -ae dan g2¿ y = q +

ae

f. Panjang latus rectum = 2b2

a

Bentuk Umum Persamaan Elips

Jika bentuk baku persamaan elips itu dijabarkan, maka kita dapat memperoleh bentuk

umum persamaan elips, sebagai contoh :

b2 (x-p)2 + a2(y-q)2 = a2b2

b2 (x2-2px+p2) + a2(y2-2qy+q2) = a2b2

b2x2-2b2px + b2p2 + a2y2 – 2a2qy + a2q2 – a2b2 = 0

b2x2 +a2y2 – ab2px – 2a2qy + (b2p2 + a2q2 – a2b2) = 0

Dengan menetapkan b2 = a, a2=B, -2b2p=c, -2a2q=D, dan b2p2+a2q2-a2b2 = E, maka

persamaannya dapat ditulis :

Dengan A, B, D, D, dan E merupakan bilangan-bilangan real (A¿0 , B¿0 , A¿ B, A dan

B bertanda sama ). Persamaan ini disebut bentuk umum persamaan elips.

14

Ax2 +By2 + Cx + Dy + E = 0

( x−p )2

b2 +

( y−q)2

a2=1

Persamaan Garis Singgung Elips

1. Garis Singgung dengan Bergradien m

Jika garis h = y = mx + n menyinggung elips x2

a2 +y2

b2 = 1, = 0, maka besarnya

diskriminan D = 0 dari persamaan kuadrat yang dihasilkan dari dua persamaan diatas

adalah:

x2

a2 + y2

b2 = 1 x2

a2 +(m+n)2

b2 = 1

= 1

=

= 0

(b2+a2 m2 ) x2+2a2mnx+a2(n2−b2)=0

a b c

D = b2 - 4ac

= - 4

=

=

D = -4 a2b2(n2−b2−a2 m2)

Sehingga dapat dicari persamaan garis singgung pada elips:

-4 a2b2(n2−b2−a2 m2)= 0

a2b2(n2−b2−a2 m2) = 0

n2=b2−a2m2

n = √b2−a2 m2

15

Jadi, persamaan garis singgung pada elips x2

a2 + y2

b2 = 1 dengan gradient m didefinisikan

dengan persamaan:

y =

2. Garis Singgung melalui Titik Pada Elips

y

h

P

x

+

Gambar di atas memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung elips x2

a2 + y2

b2 =1 di

titik P(x1,y1), maka persamaan garis h adalah:

y - y1 = m(x -x1) ………………………………….(1)

secara beometri gradient garis singgung di titik P(x1,y1) adalah:

m =

Dengan mengambil diferensial pada elips + ,maka:

d( x2

a2 +y2

b2 ) = d(1)

d( x2

a )+( y2

b2 ) = d(1)

2 xa2 dx+ 2 y

b2 dy=0

16

…………………………………….(2)

Sehingga dapat disimpulkan persamaan m = dideferensilkan pada elips

x2

a2 + y2

b2 =1 titik P(x1,y1) adalah:

m = =−b2 xa2 y

dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:

y-y1 =−b2 xa2 y

(x-x1)

y-y1 (a2y1) = -b2x1 (x-x1)

a2yy1-a2y12 = -bxx1+b2x1

2

a2yy1 + bxx1 = a2y12 + b2x1

2 ………………………………….(3)

Karena P(x1y1) terletak pada elips x2

a2 + y2

b2 =1 dan x x1

a2 +y y1

b2 =x1

2

a2 +y1

2

b2

Jadi persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1y1) terletak pada elips x2

a2 + y2

b2 =1

adalah:

Elips horizontal =x x1

a2 +y y1

b2 =1

Elips vertikal = x x1

b2 +y y1

a2 =1

Kesimpulan

17

Kesimpulan dari paper ini adalah penggunaan google earth dapat membantu

menguatkan konsep yang dimiliki ke dalam masalah nyata matematika serta memudahkan

dalam melihat bentuk suatu benda secara nyata walaupun benda tersebut berada jauh dari kita

DAFTAR RUJUKAN

Abdussakir. (2009). Pembelajaran Matematika dengan Problem Posing. [Online] Tersedia

http://www.google.co.id [20 Febuari 2010]

Brumfiel (1960). Teachers manual for Geometry. Addison-Wesley Educational Publishers

Inc, U. S

http://duniaartikelsejarah.blogspot.com/

Iswadji, D. (2001). Geometri Ruang.Yokyakarta: UNY

Ruseffendi. (2006). Pengantar Kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya

dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito

18