matematika.fkip.unsri.ac.idmatematika.fkip.unsri.ac.id/wp-content/uploads/2017/01/... · Web...

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAANUNIVERSITAS SRIWIJAYA

Jalan Palembang-Prabumulih Km 32 Indralaya Ogan Ilir Sumatera SelatanTelepon 0711-580085 Fax. 0711-580085

Laman : www.fkip.unsri.ac.id, E-mail [email protected]

RENCANA PROGRAM SEMESTER(RPS)

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode : Teori Bilangan/GMA 15103 Jumlah SKS : 3sksSemester : 1Dosen Pengampu : 1. Dr.Yusuf Hartono, M. Sc.

2. Weni Dwi Pratiwi, M.Sc.

I. Deskripsi Mata Kuliah:Mata kuliah ini adalah mata kuliah yang bertujuan memberikan pengetahuan dan pemahaman tentang sifat-sifat bilangan bulat dan konsep kekongruenan serta aplikasinya dalam aljabar. Topik-topik kajian dalam mata kuliah ini meliputi induksi matematika, teorema binomial, algoritma Euclid dan keterbagian, faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil, kekongruenan dan sistem residu modulo , aplikasi kekongrienan, dan pandangan struktur aljbar.

II. Capaian Pembelajaran (learning outcomes) : Mahasiswa memiliki sikap mandiri dan bertanggung jawab dalam mengerjakan tugasnya. Mahasiswa diharapkan mampu menguasai materi yang berupa memahami bilangan bulat dan sifat-sifatnya, keterbagian dan algoritma

pembagian, FPB dan KPK, algoritma euclid, representasi bilangan bulat (basis bilangan bulat), kekongruenan modulo , persamaan diophantine dan pell, aplikasi perkongruenan, fungsi aritmetik dan , teorema euler dan akar primitive.

Mahasiswa diharapkan mampu menguasai materi yang berupa menentukan bilangan prima dan faktorisasi prima, kekongruenan modulo , teorema fermat dan teorema wilson.

Mahasiswa diharapkan mampu menerapkan pemikiran yang logis, kritis, sistematis, dan inovatif dalam konteks pengembangan atau implementasi ilmu yang telah dikuasai.

mailto:[email protected]

http://www.fkip.unsri.ac.id/




No. Capaian Pembelajaran Pertemuan

Kemampuan akhir capaian pembelajaran

Bahan Kajian /Materi

Pembelajaran

Metode Pembelajaran

Pengalaman Belajar Kriteria Penilaian

(Indikator)Waktu

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)1 Mahasiswa

memaknai rencana perkuliahan dan sistem penilaian yang digunakan di dalam perkuliahan

Menjelaskan rencana perkuliahan dan sistem penilaian

Pendahuluan dan Silabus

Penyajian dosen

Penyajian oleh dosen mengenai permasalahan terhadap pembelajaran mata kuliah Teori bilangan melalui Infokus proyektor

Teknik Penilaian:Sikap

1 pertemuan

2 Memahami Bilangan bulat dan sifat-sifatnya.

2.1 Memberikan contoh bilangan bulat 2.2 Memahami sifat-sifat bilangan bulat

Bilangan bulat dan sifat-sifatnya

Penyajian dosenTanya jawab

Penyajian dosenDosen menyajikan materi mengenai konsep dasar bilangan bulat , sifat-sifat dan pembuktianyaTanya JawabDalam menyajikan materi dosen memberikan pertanyaan yang

KeterampilanPengetahuanSikap

1pertemuan




kemudian dijawab oleh mahasiswa agar kelas menjadi aktif

3 Memahami Keterbagian dan algoritma pembagian

3.1 Memahami algoritma pembagian dan implementasinya.3.2 Memahami pengertian pembagi, hasil bagi dan sisa.3.3 Memahami beberapa teorema dasar yang diturunkan dari algoritma pembagian.

Keterbagian dan algoritma pembagian

Penyajian dosen, tanya jawab

Penyajian dosenDosen Menjelaskan algoritma pembagian dan buktinya, menjelaskan pengertian pembagi, hasil bagi dan sisa, , memberikan beberapa teorema yang diturunkan dari algoritma pembagian dan bukti-nyaTanya JawabDalam menyajikan materi dosen memberikan pertanyaan yang kemudian dijawab oleh mahasiswa agar kelas menjadi aktif


1Pertemuan

4 Memahami FPB dan KPK

4.1 Menjelaskan definisi FPB ,

FPB dan KPK. Penyajian dosen

Penyajian Dosen Dosen menjelaskan

KeterampilanPengetahuan

1 Pertemuan




teorema dan pembuktiannya4.2 Menjelaskan definisi KPK , teorema dan pembuktiannya

definisi FPB , teorema dan pembuktiannya dan definisi KPK , teorema dan pembuktiannya

Sikap

5 Memahami Algoritma Euclid

5.1 Memahami pengertian algoritma Euclid.5.2 Menentukan faktor persekutuan terbesar dua bilangan dengan menggunkan algoritma Euclid.

Algoritma Euclid

Penyajian dosen dan tanya jawab

Penyajian Dosen Dosen menjelaskan algoritma euclid dan menentukan faktor persekutuan terbesar dua bilangan dengan menggunkan algoritma Euclid.Tanya JawabDalam penyajian materi , dosen melakukan tanya jawab agar kelas menjadi aktif


1 Pertemuan

6 Menentukan Bilangan prima dan faktorisasi prima

6.1 Memahami dan dapat mengidentifikasi bilangan prima.6.2 Memahami

Bilangan prima dan faktorisasi prima

Diskusi Diskusi Mahasiswa diberikan kesempatan untuk mengidentifikasi bilangan prima


1 Pertemuan




pengertian faktor prima 6.3Menentukan semua faktor prima suatu bilangan6.4Menentukan batas dari bilangan prima ke-n.

berdasarkan penyelesaian soal yang telah didiskusikan . Lalu menarik kesimpulan mengenai faktor prima da menentukan batas dari bilangan ke prima-n.

7 Memahami Representasi bilangan bulat (Basis bilangan bulat)

7.1 Menjelaskan konsep penulisan lambang bilangan dengan sistem posisi7.2 Mengubah lambing bilangan basis decimal ke non decimal dan sebaliknya 7.3 Menyatakan bentuk kanonik suatu bilangan 7.4 Memahami basis bilangan bulat

Representasi bilangan bulat

Penyajian dosenTanya jawab

Dosen memperkenalkan representasi bilangan bulat, lalu siswa diberi instruksi untuk menemukan representasi bilangan bulat sepertiyang telah dijelaskan sebelumnya.


1 Pertemuan

8 Ujian Tengah Semester

Tertulis KeterampilanPengetahuan

1 Pertemuan




(UTS) Sikap 9 Memahami

Kekongruenan modulo

9.1 Menjelaskan konsep dasar Kekongruenan modulo 9.2 Menjelaskan sifat-sifat Kekongruenan modulo

Kekongruenan modulo


Penyajian Dosen Dosen menjelaskan konsep dasar Kekongruenan modulo beserta

sifat-sifatnya


1 Pertemuan

10 Menentukan Kekongruenan modulo

10.1 Mampu memecah masalah pada soal-soal yang berhubungan dengan konsep Kekongruenan modulo 10.2 Menentukan sifat-sifat yang akan digunakan dalam soal Kekongruenan modulo

Kekongruenan modulo


Penyajian dosen dan tanya jawab Dosen dan mahasiswa bersama-sama memecahkan dan menentukan sifat yang digunakan pada soal kekongruenan .


1 Pertemuan

11 Memahami Persamaan Diophantine dan Pell

11.1 Memahami bentuk persamaan Diophantine11.2 Menentukan

Persamaan Diophantine dan Pell


Penyajian dosenDosen menjelaskan materi persamaan diophatine dan


1 Pertemuan




akar persamaan Diophantine.

menentukan persamaannyaTanya Jawab Dalam penjelasan materi , diselingi dengan kegiatan tanya jawab

12 Memahami aplikasi perkongruenan

Mengetahui aplikasi perkongruenan

Perkongruenan dan aplikasinya

Penyajian dosenDan tanya jawab

Penyajian dosenDosen menjelaskan aplikasi pada perkongruenan


1 Pertemuan

13 Menentukan Teorema Fermat dan teorema Wilson

Menuliskan persyaratan teorema fermat

Menjelaskan teorema Wilson

13.1 Menunjukkan bahwa konvers dari teorema Fermat tidak benar.

13.2 Menerapkan teorema Fermat dalam menyele-

Teorema Ferma dan Wilson

Penyajian dosenDan tanya jawab

Penyajian dosenDosen menjelaskan teorema fermat dan wilson Tanya Jawab Dalam penjelasan, diselingi dengan tanya jawab

1 pertemuan




saikan soal-soal terkait.

14 Memahami Fungsi aritmetik dan

14.1 Memahami

fungsi

14.2 Memahami

fungsi

14.3 Menentukan

Harga-harga Fungsi

dan fungsi dari

beberapa bilangan

14.4Menentukan

hubungan Fungsi

dan fungsi Menunjukkan bahwa fungsi-fungsi Tau () dan sigma ( ) adalah fungsi ganda.

Fungsi dan Penyajian dosenDan tanya jawab

Penyajian dosenDan tanya jawabDosen menjelaskan

fungsi aritmetik dan

memberikan contoh

dalam hal menentukan

harga-harga dari

fungsi tersebut


1 Pertemuan

15 Memahami teorema euler dan akar primitif

15.1 Menjelaskan teorema euler15.2 Membedakan teorema fermat dan

Teorema euler dan akar primitif


Penyajian dosen dan tanya jawabDosen menjelaskan teorema euler dan


1 Pertemuan




euler 15.3 Menjelaskan pengertian akar primitif suatu bilangan asli 15.4 menentukan sifat-sifat dan ciri-ciri akar primitif suatu bilangan asli 15.5 Menentukan banyaknya akar primitif satu bilangan asli

membedakan dengan teorema sebelumnya yaitu teorema fermat.Setelah itu dosen menjelaskan tentang akar primitif suatu bilangan

16 Ujian Akhir Semester (UAS)

1 Pertemuan

Referensi:1. Rosen, Kenneth H. 1993. Elementary Number Theory and Its Applications. 3rd Ed. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Co.2. Sukarman, Herry. 1993. Materi Pokok Teori Bilangan. Modul 1 – 6. Jakarta: Penerbit Universitas Terbuka.3. LeVeque, William J. 1996. Fundamentals of Number Theory. New York: Dover Publications, Inc.

Penetapan Nilai Akhir Nilai Akhir (NA) = Total nilai persubkompetensiKeterangan




Kriteria penentuan nilai subkompetensi adalah sebagai berikut.Komponen Bobot

Tugas 20%Sikap/Absensi 10 %UTS 30%UAS 40%

Mengetahui Palembang, Juni 2015Ketua Jurusan/Ketua Prodi, Dosen Ybs,

Dra. Cecil Hiltrimartin, M.Si Dr.Yusuf Hartono, M. Sc.




SATUAN ACARA PEMBELAJARAN

A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mahasiswa Memaknai rencana perkuliahan dan sistem penilaian yang digunakan di dalam perkuliahan

B. Kemampuan akhir capaian pembelajara Menjelaskan rencana perkuliahan dan sistem penilaian

C. Bahan Kajian Pembelajaran (memerlukan lampiran materi pembelajaran) Pendahuluan dan Silabus

D. Metode Pembelajaran Penyajian oleh dosen dan tanya jawab

E. Pengalaman PembelajaranLangkah-langkah pembelajaran :Langkah-langkah Pembelajaran WaktuKegiatan Awalan 30 Menit

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode : Teori Bilangan/GMA 15103Jumlah SKS : 3 SKSSemester : 1Pertemuan Ke- : 1Dosen Pengampu : 1. Dr.Yusuf Hartono, M.Sc

2. Weni Dwi Pratiwi, M.Sc




1. Dosen mengawali pembelajaran dengan salam dan guru mengajak mahasiswa berdoa2. Dosen menanyakan kabar dan kesiapan mahasiswa dalam mengikuti mata kuliah Teori

Bilangan3. Dosen memperkenalkan diri selaku pengajar mata kuliah teori bilangan serta mengecek

kehadiran mahasiswa sekaligus perkenalan terhadap mahasiswa dan sebagai kegiatan apersepsi, mahasiswa diajak bertanya jawab tentang pengalaman-pengalaman yang mengesankan bagi mereka dalam belajar matematika

4. Dosen memberikan motivasi kepada mahasiswa bahwa pentingnya mata kuliah teori bilangan 5. Menyampaikan tujuan pembelajaran.6. Menyampaikan prosedur pembelajaran dengan belajar secara kelompok dan individu

Kegiatan inti Eksploration (Eksplorasi)1. Dosen menjelaskan:

a. tujuan mata kuliahb. ruang lingkup mata kuliahc. kebijaksanaan pelaksanaan perkuliahand. kebijakan penilaian hasil belajare. Tugas yang harus diselesaikanf. Buku ajar yang digunakan dan sumber belajar lainnyag. Hal-hal lain yang esensial dalam pelaksanaan perkuliahan

Elaboration (Elaborasi)Mahasiswa memahami dan mencatat apa saja yang disajikan oleh dosen, yaitu:1. tujuan mata kuliah

110 menit




2. ruang lingkup mata kuliah3. kebijaksanaan pelaksanaan perkuliahan4. kebijakan penilaian hasil belajar5. Tugas yang harus diselesaikan6. Buku ajar yang digunakan dan sumber belajar lainnya7. Hal-hal lain yang esensial dalam pelaksanaan perkuliahan

Confirmation (Konfirmasi)Dosen mengecek dan menanyakan kepada mahasiswa apa saja yang tidak di pahami atau yang ingin ditanyakan terhadap apa yang disajikan oleh dosen.

Kegiatan Akhir Mahasiswa diingatkan untuk mempelajari materi dipertemuan selanjutnya yaitu tentang

Bilangan bulat dan sifat-sifatnya. Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 menit

F. Alat dan Bahan/Sumber BelajarAlat dan Bahan : Alat tulis, Laptop, Infokus proyektorSumber Belajar : Referensi

G. Instrumen PenilaianPembobotan nilai keaktivan mahasiswa dalam kegiatan belajar mengajar

No. Aspek PenilaianBobot

TertinggiNilai Siswa




1. Siswa aktif bertanya dan berargumen secara kritis

20

2. Siswa cukup aktif bertanya dan berargumen secara kritis

15

3. Siswa kurang aktif bertanya dan berargumen secara kritis

10

4. Siswa tidak aktif bertanya dan berargumen secara kritis

5

Perhitungan nilai akhirNilai akhir : Skor yang diperoleh X 100

Skor maksimal







A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mahasiswa memahami bilangan bulat dan sifat-sifatnya.

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran Memberikan contoh bilangan bulat Memahami sifat-sifat bilangan bulat

C. Bahan Kajian Pembelajaran Bilangan bulat dan sifat-sifatnya

.D. Metode Pembelajaran

Penyajian materi oleh dosen dan tanya jawab.

E. Pengalaman PembelajaranLangkah-langkah pembelajaran :

Langkah-langkah Pembelajaran Waktu






Kegiatan Awalan Dosen membuka perkuliahan dengan berdoa bersama dan mengecek daftar hadir Dosen memberikan apersepsi dan memotivasi mahasiswa berhubungan dengan materi yang akan

diajarkan Dosen mengecek kemampuan prasyarat mahasiswa dengan tanya jawab

10 Menit

Kegiatan inti Ekploration

Dosen menjelaskan konsep dasar bilangan bulat dengan tanya jawab Dosen menjelaskan sifat-sifat bilangan bulat dan pembuktianya

Elaboration Mahasiswa mencatat penjelasan yang diberikan dosen Mahasiswa diberikan kesempatan untuk menanyakan hal-hal yang belum dimengerti

Confirmation Dosen memberikan penjelasan terhadap pertanyaan yang diajukan

130 Menit

Kegiatan Akhir Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Melakukan penilaian dan/atau refleksi terhadap kegiatan yang sudah dilaksanakan Mahasiswa diingatkan untuk mempelajari materi berikutnya, yaitu tentang Keterbagian dan

algoritma pembagian Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 menit


G. Instrumen penilaian




1. Penilaian hasil belajar

NO. SOAL PEMBAHASAN BOBOT

1. Buktikan pernyataan dibawah ini!Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a < b Jika dan hanya jika a + c < b + c.

i. Dibuktikan jika a < b maka a + c < b + c.Ambil bilangan bulat a, b, dan c untuk penyerhanaan symbol Z+ menyatakan himpunan bilangan bulat posistif.a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hinggaa + k = b definisi "lebih kecil dari"(a + k) + c = b + c sifat penjumlahan pada kesamaana + (k + c) = b + c sifat asosiatif penjumlahana + (c + k) = b + c sifat komutatif penjumlahan(a + c) + k = b + c sifat asosiatif penjumlahan

ii. Dibuktikan, jika a + c < b + c maka a < b.Ambil bilangan bulat a, b dan c.a + c < b + c berarti ada bilangan bulat positif p sedemikian hingga(a + c) + p = b + c definisi "lebih kecil dari"a + (c + p) = b + c sifat asosiatif penjumlahana + (p + c) = b + c sifat komutatif penjumlahan(a + p) + c = b + c sifat asosiatif penjumlahan{(a + p) + c} + (-c) _ (b + c) + (-c) sifat penjumlahan pada kesamaan(a + p) + (c + (-c)) = b + (c + (-c)) sifat asosiatif(a + p) + 0 = b+ 0 invers penjumlahan

1010

15

10

1010

15

10




a + p = b.a < b definisi "lebih kecil dari"

Dari (i) dan (ii) terbuktilah bahwa a< b jika dan hanya jika a + c < b + c

10

SKOR 100

2. Pembobotan nilai keaktivan mahasiswa dalam kegiatan belajar mengajar




10


7


5


2

Keterangan

Skor maksimum = Jumlah Skor Hasil Penilaian Pengetahuan + Skor tertinggi keaktivan Mhs.





Skor maksimal







A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Memahami Keterbagian dan algoritma pembagian

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran Mahasiswa memahami algoritma pembagian dan implementasinya. Mahasiswa memahami pengertian pembagi, hasil bagi dan sisa. Mahasiswa memahami beberapa teorema dasar yang diturunkan dari algoritma pembagian.

C. Bahan Kajian Pembelajaran Keterbagian dan algoritma pembagian.

D. Metode Pembelajaran Penyajian dosen, dan tanya jawab.

E. Pengalaman Pembelajaran

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode : Teori Bilangan/GMA 15103Jumlah SKS : 3 SKSSemester : 1Pertemuan Ke- : 3Dosen Pengampu : 1. Dr.Yusuf Hartono, M. Sc.





Langkah-langkah pembelajaranLangkah-langkah Pembelajaran WaktuKegiatan Awalan

Dosen membuka perkuliahan dengan berdoa bersama dan mengecek daftar hadir Dosen memberikan apersepsi dan memotivasi mahasiswa berhubungan dengan materi yang akan


10 Menit


Dosen menjelaskan materi keterbagian dan membuktikan teorema tentang keterbagian Dosen menjelaskan materi algoritma dan membuktikan algoritma pembagian


Confirmation Dosen memberikan penjelasan terhadap pertanyaan yang diajukan Dosen dan mahasiswa bersama-sama meluruskan kesalahpahaman

130 Menit

Kegiatan Akhir Dosen memberikan tugas mandiri agar mahasiswa lebih menguasai materi tersebut Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Melakukan penilaian dan/atau refleksi terhadap kegiatan yang sudah dilaksanakan secara konsisten

dan terprogram; Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Mahasiswa diingatkan untuk mempelajari materi berikutnya, yaitu tentang FPB dan KPK Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 Menit




F. Alat dan Bahan/Sumber Belajar1. Alat dan Bahan : Alat tulis, Laptop, Infokus proyektor2. Sumber Belajar : Referensi

G. Instrumen Penilaian1. Penilaian Hasil Belajar


1. Untuk setiap pasangan a,

b ∈ Z dengan a > 0, terdapat

pasangan q, r ∈ Z dengan

b = qa + r dan 0 ≤ r < a. Jika

a∤b, maka r memenuhi

ketaksamaan murni 0 < r < a.

Misalkan terdapat barisan aritmatika tak hingga dengan bilangan

pembeda a > 0 berikut:

…, b − 3a, b − 2a, b − a, b, b + a, b + 2a, b + 3a, … .

1) Kasus I: Ada suku yang bernilai nol.

2) Misalkan b+ka=0 untuk suatu k∈ Z. Karena b+ka=0, maka b=-

ka+0. Sehingga 0≤a……(1)

3)

2) Kasus II: Semua suku tidak nol.

Misalkan b+ka≠0 untuk suatu k∈ Z. Pilih bilangan bulat positif

terkecil.

Misalkan r=b+ka adalah bilangan bulat positif terkecil untuk k∈ Z.

r=b+ka

20

30

40




r-a=b+ka-a

r-a=b+(k-1)a

Karena b+ka adalah bilangan bulat positif terkecil dan b+ka≠0 untuk

setiap k∈ Z,maka r-a < 0 atau r <a……..(2)

Karena 0≤a dan r <a maka 0 ≤ r < |a|.

10SKOR 100





10


7


5

4. Siswa tidak aktif bertanya dan berargumen 2




secara kritis

KeteranganSkor maksimum = Jumlah Skor Hasil Menulis Makalah + Skor tertinggi keaktivan Mhs.


Skor maksimal


Dra. Cecil Hiltrimartin, M.Si Dr.Yusuf Hartono, M. Sc.SATUAN ACARA PEMBELAJARAN




A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Memahami FPB dan KPK

B. Kemampuan akhir capaian pembelajara Menjelaskan definisi FPB , teorema dan pembuktiannya Menjelaskan definisi KPK , teorema dan pembuktiannya

C. Bahan Kajian Pembelajaran FPB dan KPK

D. Metode Pembelajaran Penyajian oleh dosen


Langkah-langkah Pembelajaran Waktu






Kegiatan Awalan Dosen membuka perkuliahan dengan berdoa bersama dan mengecek daftar hadir Dosen memberikan apersepsi dan memotivasi mahasiswa berhubungan dengan materi yang akan


10 Menit


Dosen menjelaskan definisi FPB dan teorema serta pembuktiannya Dosen menjelaskan definisi KPK dan teorema serta pembuktiannya


Confirmation Mahasiswa menjelaskan jawaban dari soal yang telah diselesaikan secara berdiskusi Dosen dan mahasiswa bersama-sama meluruskan kesalahpahaman Dosen memberikan penjelasan terhadap pertanyaan yang diajukan

130 Menit

Kegiatan Akhir Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Dosen memberikan tugas mandiri untuk dikerjakan dirumah Melakukan penilaian dan/atau refleksi terhadap kegiatan yang sudah dilaksanakan secara konsisten

dan terprogram; Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Mahasiswa diingatkan untuk mempelajari materi berikutnya, yaitu tentang Algoritma Euclid Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 enit





G. Instrumen penilaian 1. Penilaian hasil belajar


1. (a, b) = d → ∃ m,n ∈ Z ∋ am + bn = d

Misalkan S adalah himpunan semua kombinasi linier dari adan b; yaitu:S = {am + bn|m, n ∈ Z}.S tak kosong sebab a = a × 1 + b × 0 dan b = a × 0 + b × 1 dankarenanya a, b ∈ S. Jadi S berisi bilangan bulat positif elementerkecil, sebut saja d = ax + by. Akan dibuktikan bahwad = (a, b). Menurut algoritma pembagian,a = dq + r , 0 ≤ r < d,sehingga diperolehr = d − dq= a − (ax + by)q= a(1 − qx) + b(−qy).Ini menunjukkan bahwa r ∈ S sedangkan 0 ≤ r < d dan d adalahbilangan bulat positif terkecil dalam S. Jadi r = 0 dan d|a.Dengan cara yang sama dapat pula ditunjukkan bahwa d|b.Selanjutnya, jika c|a dan c|b, maka c|ax + by = d. Hal inimembuktikan bahwa d = (a, b).

50

Buktika pernyataan dibawah ini! Misalkan [a,b] = m, maka harus ditunjukkan bahwa m | c. Andaikan 50





2



Skor maksimal








A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mahasiswa mampu memahami Algoritma Euclid

B. Kemampuan akhir capaian pembelajara Mahasiswa memahami pengertian algoritma Euclid. Mahasiswa menentukan faktor persekutuan terbesar dua bilangan dengan menggunkan algoritma Euclid.

C. Bahan Kajian Pembelajaran Algoritma Euclid

D. Metode Pembelajaran Penyajian oleh dosen dan tanya jawab.


Langkah-langkah Pembelajaran WaktuKegiatan Awalan


diajarkan

10 Menit




Dosen mengecek kemampuan prasyarat mahasiswa dengan tanya jawab Kegiatan inti Ekploration

Dosen menjelaskan algoritma Euclid Dosen memberikan contoh untuk menentukan faktor persekutuan terbesar dua bilangan dengan

menggunkan algoritma Euclid. Dosen melakukan tanya jawab pada saat penyajian materi berlangsung

Elaboration Mahasiswa mencatat penjelasan yang diberikan dosen Mahasiswa menjawab pertanyaan yang diajukan dosen Mahasiswa diberikan kesempatan untuk menanyakan hal-hal yang belum dimengerti


130 Menit


dan terprogram; Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Mahasiswa diingatkan untuk mempelajari materi berikutnya, yaitu tentang Algoritma Euclid Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 enit

F. Alat dan Bahan/Sumber Belajar Alat dan Bahan : Alat tulis, Laptop, Infokus proyektor




Sumber Belajar : Referensi

G. Instrumen penilaian 1. Penilaian hasil belajar


1. Berapakah FPB dari 3087 dan 6958 ?

6958 = 3087 . 2 + 7843087 = 784 . 3 + 735784 = 735 . 1 + 49735 = 49 . 15 -----> tidak bersisaFPB(3087 , 6958) = 49

Jadi, FPB dari 3087 dan 6958 adalah 49.

40

10

2. Tentukan FPB dari 437 dan 621 ! 621 = 437 . 1 + 184437 = 184 . 2 + 69184 = 69 . 2 + 4669 = 46 . 1 + 2346 = 23 . 2 -----> tidak bersisaFPB(437 , 621) = 23

40

10SKOR 100








10


7


5


2

KeteranganSkor maksimum = Jumlah Skor Hasil Menulis Makalah + Skor tertinggi keaktivan Mhs. Perhitungan nilai akhirNilai akhir : Skor yang diperoleh X 100

Skor maksimal


Dra. Cecil Hiltrimartin, M.Si Dr.Yusuf Hartono, M.Sc




A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mahasiswa menentukan Bilangan prima dan faktorisasi prima.

B. Kemampuan akhir capaian pembelajara Mahasiswa memahami dan dapat mengidentifikasi bilangan prima. Mahasiswa memahami pengertian faktor prima. Mahasiswa menentukan semua faktor prima suatu bilangan Menentukan batas dari bilangan prima ke-n.

C. Bahan Kajian Pembelajaran Bilangan prima dan faktorisasi prima

D. Metode Pembelajaran Diskusi





10 Menit




Dosen membagi menjadi 12 kelompok diskusi sebelum perkuliahan dimulai Kegiatan inti Ekploration

Dosen membagi soal latihan yang menjadi bahan diskusi Dari soal latihan ini, mahasiswa dapat menjelaksan definisi bilangan prima , menentukan factor

bilangan prima dan menentukan bilangan prima ke-nElaboration

Mahasiswa menjelaskan hasil diskusi Dosen menanggapi hasil diskusi Mahasiswa diberikan kesempatan untuk menanyakan hal-hal yang belum dimengerti


130 Menit

Kegiatan Akhir Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Melakukan penilaian dan/atau refleksi terhadap kegiatan yang sudah dilaksanakan secara konsisten

dan terprogram; Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Mahasiswa diingatkan untuk mempelajari materi berikutnya, yaitu tentang Representasi bilangan

bulat Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 enit

F. Alat dan Bahan/Sumber BelajarAlat dan Bahan : Alat tulis, Laptop, Infokus proyektor




Sumber Belajar : Referensi

G. Instrumen penilaian 1. Penilaian Hasil Diskusi Kelompok



1. Hasil diskusi sesuai yang diharapkan 5

2. Cara penyampaian padat, jelas dan mudah dimengerti

5

Jumlah 102. Penilaian jawaban soal

SOAL DISKUSI KUNCI JAWABAN BOBOT NILAI

Ada enam anak dalam sebuah keluarga. Selisih usia mereka dari si bungsu masing-masing adalah 2,6,8,12 dan 14. Tentukan usia keenam anak itu jika semua usia mereka adalah bilangan prima

Anak ke 1 : 19 tahunAnak ke 2 : 17 tahunAnak ke 3 : 13 tahunAnak ke 4 : 11 tahunAnak ke 5 : 7 tahunAnak ke 6 : 5 tahun

10

Angka terakhir darii hasil kali empat bilangan prima berurutan adalah 0. Tentukan ke empat bilangan prima tersebut dan hasil kalinya

2 x 3 x 5 x 7 = 210 10

Carilah dua bilangan prima dua angka yang berbentuk ab dan ba dan selisihnya kuadrat sempurna

73-37 = 36 Jadi 2 bilangan tersebut adalah 73 dan

10




37Carilah dua bilangan prima yang jumlah kuadratnya memiliki angka terakhir 9

22 + 52 = 29 10

Skor maksimum = Skor hasil diskusi + skor jawaban soal


Skor maksimal






A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mahasiswa memahami Representasi bilangan bulat (Basis bilangan bulat)

B. Kemampuan akhir capaian pembelajara Menjelaskan konsep penulisan lambang bilangan dengan sistem posisi Mengubah lambing bilangan basis decimal ke non decimal dan sebaliknya Menyatakan bentuk kanonik suatu bilangan Memahami basis bilangan bulat

C. Bahan Kajian Pembelajaran Representasi bilangan bulat

D. Metode Pembelajaran Penyajian oleh dosen dan tanya jawab.





10 Menit


Dosen menjelaskan basis bilangan bulat dan menjelaskan konsep penulisan lambang bilangan

130 Menit




dengan sistem posisi Dosen memberikan contoh mengubah lambang bilangan basis decimal ke non decimal dan

sebaliknya Dosen memberikan contoh bentuk kanonik suatu bilangan



Kegiatan Akhir Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Melakukan penilaian dan/atau refleksi terhadap kegiatan yang sudah dilaksanakan secara konsisten

dan terprogram; Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Mahasiswa diingatkan pertemuan selanjutnya akan dilakasankan UTS Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 Menit


G. Instrumen penilaian 1. Penilaian Hasil Belajar





1. Buktikan pernyataan dibawah ini!Misalkan b bilangan bulat positif dengan b > 1, maka setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan dengan tepat satu ekspansin = ak bk+ak −1 bk−1+…+a1 b+a0 dengan k bilangan bulat tak negatif, aj adalah bilangan bulat sedemikian hingga untuk j = 0,1,…, k dan koefisien ak ≠ 0

10

10

20

20

10




20

10

SKOR 100








10


7


5


2



Skor maksimal

Mengetahui Palembang, Juni 2015




Ketua Jurusan/Ketua Prodi, Dosen Ybs,






A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Ujian Tengah Semester (UTS)

B. Kemampuan akhir capaian pembelajara --

C. Bahan Kajian Pembelajaran --

D. Metode Pembelajaran Tertulis








Dosen membuka perkuliahan dengan berdoa bersama dan mengecek daftar hadir Dosen memberikan apersepsi dan memotivasi mahasiswa untuk berlaku jujur dalam mengerjakan

kuis

10 Menit


Dosen menjelaskan prosedur UTS Dosen membagikan soal UTS Mahasiswa mulai mengerjakan UTS selama 100 menit Kuis selesai dan dosen mengumpulkan jawaban mahasiswa Dosen dan mahasiswa bersama sama membahas soal UTS

130 Menit

Kegiatan Akhir Mahasiswa diingatkan untuk mempelajari materi selanjutnya yaitu pengintegralan dengan metode

subsitusi Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 Menit

F. Alat dan Bahan/Sumber BelajarAlat dan Bahan : -Sumber Belajar : -

G. Instrumen penilaian No. SOAL Kunci BOB

OT




NILAI

1. Buktikan Bahwa 25

2 Tentukan nilai d jika (3k + 2, 5k + 3) = d 3. Misalkan (3k + 2, 5k + 3) = d. Ini berarti d|3k + 2 dan d|5k + 3 sehinggad|2 dan d|3. Karena (2, 3) = 1 maka d = 1.

20

3 Buktikan bahwa 7|10k + m Untuk membuktikan 7|10k + m perhatikan bahwa

10k + m = 10k − 20m + 20m + m

= 10k − 20m + 21m

= 10(k − 2m) + 21m.

30




Karena 7|k − 2m dan 7|21 maka 7|10(k − 2m) + 21m yang berarti bahwa7|10k + m.

4 Tentukan bilangan bulat x , y dari persamaan 19x + 23y = 5 dengan menggunakan algoritma euclid

25

SKOR 100


Skor maksimal





A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mahasiswa memahami kekongruenan modulo

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran Menjelaskan konsep dasar Kekongruenan modulo Menjelaskan sifat-sifat Kekongruenan modulo

C. Bahan Kajian Pembelajaran Kekongruenan modulo

D. Metode Pembelajaran Penyajian dosen dan tanya jawab










10 Menit


Dosen menjelaskan konsep dasar kekongruenan modulo m . penyajian materi diselingi dengan tanya jawab

Dosen menjelaksan sifat-sifat kekongruenan modulo mElaboration

Mahasiswa mencatat penjelasan yang diberikan dosen Mahasiswa diberikan kesempatan untuk menanyakan hal-hal yang belum dimengerti


130 Menit

Kegiatan Akhir Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Dosen memberikan tugas mandiri untuk dikerjakan dirumah Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 Menit







1. Buktikan pernyataan dibawah ini!Jika a b (mod m) dan c d (mod m), maka (a + c) (b + d) (mod m)

a b (mod m) a = b + k1mc d (mod m) c = d + k2m(a + c) = (b + d) + (k1 + k2)m(a + c) = (b + d) + km dengan (k = k1 + k2)Jadi, (a + c) = (b + d) (mod m)

30

2. 1099 ≡ x (mod 7). Tentukan nilai x! Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 dibagi 7, yaitu 106

106 ≡ 1 (mod 7)

Kedua ruas persamaaan kongruensi modulo tersebut dipangkatkan 16 diperoleh

(106)16 ≡ 116 (mod 7)

1096 ≡ 1 (mod 7)

Kedua ruas dikali 103 , diperoleh ;

70




1096 x 103 ≡ 1 x 103 (mod 7)

1099 ≡ 103 (mod 7)

1099 ≡ 10 x 10 x 10 (mod 7)

1099 ≡ 3 x 3 x 3 (mod 7)

1099 ≡ 27 (mod 7)

1099 ≡ 6 (mod 7)

Dengan kata lain, 1099 dibagi 7 bersisa 6.SKOR 100





10


7


5





2



Skor maksimal






A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mahasiswa menentukan Kekongruenan modulo

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran Mampu memecah masalah pada soal-soal yang berhubungan dengan konsep Kekongruenan modulo Menentukan sifat-sifat yang akan digunakan dalam soal Kekongruenan modulo

C. Bahan Kajian Pembelajaran Kekongruenan modulo











10 Menit


Dosen bersama mahasiswa memecahkan masalah yang berhubungan dengan perkongruenan secara bersama-sama

Mahasiswa menjelaskan sifat-sifat perkongruenan daam pemecahan masalah Dosen dan mahasiswa bersama-sama meluruskan kesalahpahaman

130 Menit


dan terprogram; Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Mahasiswa diingatkan untuk mempelajari materi berikutnya, yaitu tentang persamaan diophatine

dan pell Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 Menit

F. Alat dan Bahan/Sumber Belajar1. Alat dan Bahan : Alat tulis, Laptop, Infokus proyektor




2. Sumber Belajar : Referensi



1. Tentukan pernyataan dibawah ini!a,bϵZ, a b(mod n) a dan b mempunyai sisa tak negatif yang sama jika dibagi n.

()a ≡b(mod n) a = b + kn, untuk suatu k ∈Z.b dibagi n mempunyai sisa r b = qn + r, dengan 0 ≤ r < n. a = b + kn = (qn + r) + kn = (q + k)n + r. a dan b mempunyai sisa yang sama jika dibagi n.

()Misalkan a = q1n + r dan b = q2n + r, dengan 0 ≤ r < n. a –b = (q1n + r) –(q2n + r) = (q1–q2)n n|(a-b) a ≡b(mod n).

50

2. Tentukan pernyataan dibawah ini!Jika ca cb (mod n), maka a b (mod n/d), dengan d = fpb(c,n).

c(a –b) = ca –cb =kn, untuk suatu k Z fpb(c,n) = n r, s yang relatif prima c = dr, n = ds. r(a –b) = ks s|r(a-b) a b (mod n/d).Akibat 1Jika ca cb (mod n) dan fpb(c, n) = 1, maka a b (mod n). Akibat 2Jika ca cb (mod p) dan p c, dengan p bilangan prima, maka b (mod p) .

Bukti:p c dan p bilangan prima ppb(a, b) = 1.

50

SKOR 100








10


7


5


2



Skor maksimal





A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mahasiswa memahami Persamaan Diophantine dan Pell

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran

Mahasiswa memahami bentuk persamaan Diophantine Mahasiswa menentukan akar persamaan Diophantine.

C. Bahan Kajian Pembelajaran Persamaan Diophantine dan Pell











10 Menit


Dosen menjelaskan persamaan dan bentuk akar diophatine Elaboration



130 Menit

Kegiatan Akhir Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Dosen memberitahukan materi selanjutnya yaitu tentang penkongruenan dan aplikasinya Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 enit






1. Penilaian Hasil Belajar


1. Carilah penyelesaian dari persamaan 4x + 5y = 10!

(4,5) = 1 | 10 persamaan mempunyai penyelesaian

Sesuai dengan dalil Algoritma Euclides, karena (4,1) = 1, maka tentu

ada x1,y1 Є Z sehingga 4x1 + 5y1 = 1

Karena 5 = 1.4 + 1 atau (4)(-1) + (5)(1) = 1, maka x1 = -1 dan y1 =1

(4)(1) + (5)(1) = 1

10{(4)(-1) + (5)(1)} = 10.1

4(-10) + 5(10) = 10 (Ingat: 4x + 5y = 10)

jadi, x0 = =10 dan y0 + 10

Penyelesaian persamaan adalah:

x = -10 + 5k dan y = 10 – 4k dengan k Є Z

40

2. Buktikanlah pernyataan dibawah ini:Ditentukan (a,b) c, maka

ax + by = c tidak mempunyai

penyelesaian!

Misalkan x dan y adalah bilangan – bilangan bulat yang memenuhi

ax + by = c

d = (a,b) → (d | a dan d | b)

d = | a → d | ax

d | b → d | by

(d | ax dan d | by) → d | (ax + by) → d | c

60




jadi,jika d | c, maka bertentangan dengan d = (a,b) dan d | c, sehingga

ax + by = c tidak mempunyai pemyelesaian.

SKOR 100





10


7


5


2






Skor maksimal







A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mahasiswa memahami aplikasi perkongruenan

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran Mengetahui aplikasi perkongruenan

C. Bahan Kajian Pembelajaran Perkongruenan dan aplikasinya


E. Pengalaman PembelajaranLangkah-langkah Pembelajaran WaktuKegiatan Awalan


10 Menit








Dosen menjelaskan dan memberikan contoh dari aplikasi perkongruenanElaboration

Mahasiswa mencatat penjelasan yang diberikan dosen Mahasiswa diberikan kesempatan untuk menanyakan hal-hal yang belum dimengerti Mahasiswa mencoba untuk mengerjakan soal-soal yang ada pada buku yang dipakai


130 Menit

Kegiatan Akhir Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Mahasiswa diingatkan untuk mempelajari materi berikutnya, yaitu tentang teorema fermat dan

wilson Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 Menit






1. Penilaian Hasil Belajar


1. Tentukan penyelesaian dalam bilangan bulat dari sistem persamaan linier berikut ini dengan aplikasi perkongruenan linear:6x – y = 35x – 2y = 1

15

15

20




30

20

SKOR 100








10


7


5


2



Skor maksimal





A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mahasiswa dapat menentukan Teorema Fermat dan teorema Wilson

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran Mahasiswa dapat menuliskan persyaratan teorema fermat Mahasiswa dapat menjelaskan teorema Wilson Mahasiswa dapat menunjukkan bahwa konvers dari teorema Fermat tidak benar. Mahasiswa dapat menerapkan teorema Fermat dalam menyele-saikan soal-soal terkait.

C. Bahan Kajian Pembelajaran Teorema Fermat dan Wilson










10 Menit


Dosen menjelaskan persyaratan teorema ferma Dosen menerangkan teorema Wilson Dosen membuktikan bahwa konvers dari teorema Fermat tidak benar. Dosen memberikan contoh penerapan teorema Fermat dalam menyele-saikan soal-soal

terkait. Elaboration



130 Menit

Kegiatan Akhir Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Mahasiswa diingatkan untuk mempelajari materi berikutnya, yaitu tentang Fungsi dan Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 Menit







1. Berapakah sisa pembagian 538oleh 11 ?

Menurut teorema fermat, 510 ≡ 1 (mod 11)Maka538≡ 55(10 . 3+8)

≡ (510)3×(52)4 ≡ 13.34 ≡ 81 ≡ 4 (mod 11)Jadi 538: 11 bersisa 4

30




2. Buktikan teorema berikut ini!Jika 𝑝 adalah bilangan prima, 𝑥 adalah anggota 𝑍+ dan 𝑝 tidak habis membagi 𝑥 maka 𝑥𝑝−1≡1 𝑚𝑜𝑑 𝑝

70




SKOR 100





10


7

3. Siswa kurang aktif bertanya dan berargumen 5




secara kritis4. Siswa tidak aktif bertanya dan berargumen

secara kritis2



Skor maksimal






A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Memahami Fungsi aritmetik dan

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran Memahami fungsi Memahami fungsi Menentukan Harga-harga Fungsi dan fungsi dari beberapa bilangan Menentukan hubungan Fungsi dan fungsi

Menunjukkan bahwa fungsi-fungsi Tau ( ) dan sigma ( ) adalah fungsi ganda.

C. Bahan Kajian Pembelajaran Fungsi dan










10 Menit


Dosen menjelaskan fungsi dan fungsi Dosen memberikan contoh untuk menentukan Harga-harga Fungsi dan fungsi dari beberapa

bilangan Dosen menjelaskan hubungan Fungsi dan fungsi

Dosen Menunjukkan bahwa fungsi-fungsi Tau ( ) dan sigma ( ) adalah fungsi ganda.Elaboration



130 Menit

Kegiatan Akhir Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran;

10 Menit




Mahasiswa diingatkan untuk mempelajari materi berikutnya, yaitu tentang teorema Euler dan Akar primitif

Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama Kegiatan Akhir

Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Dosen memberikan tugas mandiri untuk dikerjakan dirumah Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 Menit




1. Buktikan teorema berikut ini!Apabila n suatu bilangan bulat positif,maka hasilkan semua pembagi bulat positif dari n adalahK(n) = n1/2 τ(n)

Misalkan d adalah suatu pembagi bulat positif dari n, maka ada d1 (yaitu pembagi bulat positif dari n pula)sedemikian hingga dd1 = n.mungkin saja d = d1, jika n suatu kuadrat sempurna.Karena banyaknya pembagi bulat positif dari n adalah τ(n),dengan mengalikan setiap pembagi dari n (misalnya d)dengan pembagi pasangannya (misalnya d1)sedemikian hingga dd1 = n,maka akan diperoleh bahwa hasil kali semua pembagi bulat positif

50




dari n adalah : K(n) = n1/2 τ(n)

2. Misal m=6 dan n =5Apakah τ(mn) fungsi ganda?Apakah σ(mn) fungsi ganda?

τ(6)=4, yaitu 1,2,3,6τ(5)=2, yaitu 1,5τ(6.5)=4.2τ(30)=8Faktor-faktor bulat positif dari 30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30. Faktor dari 30 tersebut ada sebanyak 8.

Selanjutnya σ(6)= 1+2+3+6=12 dan σ(5)=1+5=6σ(6.5)=12.6σ(30)=72σ(30)=1+2+3+5+6+10+15+10=72Jumlah seluruh faktor dari 30 adalah 72

Berdasarkan bentuk yang telah diuraikan diatas bahwa τ(6.5)=4.2 dan σ(6.5)=12.6, maka τ(mn) dan σ(mn) merupakan fungsi ganda.

50

SKOR 100





10





7


5


2



Skor maksimal


Dra. Cecil Hiltrimartin, M.Si Dr.Yusuf Hartono, M.ScSATUAN ACARA PEMBELAJARAN




A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Memahami teorema euler dan akar primitive

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran Menjelaskan teorema euler Membedakan teorema fermat dan euler Menjelaskan pengertian akar primitif suatu bilangan asli Menentukan sifat-sifat dan ciri-ciri akar primitif suatu bilangan asli Menentukan banyaknya akar primitif satu bilangan asli

C. Bahan Kajian Pembelajaran Teorema euler dan akar primitif











10 Menit


Dosen Menjelaskan teorema euler dan membedakan antara teorema euler dan fermat Dosen Menjelaskan pengertian akar primitif suatu bilangan asli Dosen menjelaskan sifat-sifat dan ciri-ciri akar primitif suatu bilangan asli Dosen memberikan contoh Menentukan banyaknya akar primitif satu bilangan asli



130 Menit

Kegiatan Akhir Bersama-sama dengan mahasiswa dan/atau sendiri membuat rangkuman/simpulan pertemuan ini Memberikan umpan balik terhadap proses dan hasil pembelajaran; Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 Menit

F. Alat dan Bahan/Sumber Belajar1. Alat dan Bahan : Alat tulis, Laptop, Infokus proyektor




2. Sumber Belajar : Referensi



1. Apakah semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif?

Banyaknya bilangan bulat yang relatif prim dengan 8 ada 4 yaitu 1, 3, 5, dan 7 sehingga 𝜙 (8) = 4.Berdasarkan definisi, maka uji untuk bilangan bulat yang relatif prim dengan 8.ord81 = 1ord83 = 2ord85 = 2dan ord87 = 2Jadi, modulo 8 tidak memiliki akar primitif.Artinya tidak semua bilangan bulat modulo m memiliki akar primitif

30

2. Buktikan pernyataan berikut ini:Misalkan (a,m) = 1 dan orde a (mod m) adalah t maka ak 1 (mod m) jika hanya jika t|k.

() Orde a (mod m) adalah t, berarti t adalah suatu bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga at 1 (mod m)Perhatikan k dan t, menurut algoritma pembagian maka ada bilangan-bilangan bulat q dan r sedemikian hingga k = qt + r dengan tSehingga:ak = aqt + r = (at)qar

karena diketahui bahwa ak 1 (mod m) maka:

70




ak 1 (mod m)(at)qar 1 (mod m)ar 1 (mod m), sebab at 1 (mod m)

karena t dan t adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga at 1 (mod m) maka r = 0.Sehingga k = qt dan diperoleh t|k.(⇐) karena t|k maka k = th untuk suatu bilangan bulat h.karena at 1 (mod m) maka (at)h 1 (mod m), yaitu ak 1 (mod m)Menurut Teorema Euler, yaitu:

Jika (a,m) = 1 maka aϕm 1 (mod m)Apabila orde dari a (mod m) adalah t maka menurut teorema 1 dapat disimpulkan bahwa t|ϕm.

SKOR 100





10


7





5


2



Skor maksimal


Dra. Cecil Hiltrimartin, M.Si Dr.Yusuf Hartono, M.ScSATUAN ACARA PEMBELAJARAN




A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Ujian Akhir Semester (UAS)

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran -

C. Bahan Kajian Pembelajaran -

D. Metode Pembelajaran Tertulis



Dosen membuka perkuliahan dengan berdoa bersama dan mengecek daftar hadir Dosen memberikan apersepsi dan memotivasi mahasiswa agar mengerjakan ujian dengan jujur dan

teliti

10 Menit

Kegiatan inti 130 Menit






Ekploration Dosen menjelaskan prosedur UAS Dosen membagikan soal UAS Mahasiswa mulai mengerjakan UAS selama 100 menit Kuis selesai dan dosen mengumpulkan jawaban mahasiswa Dosen dan mahasiswa bersama sama membahas soal UAS

Kegiatan Akhir Melakukan penilaian dan/atau refleksi terhadap kegiatan yang sudah dilaksanakan secara konsisten

dan terprogram; Dosen menutup perkuliahan dengan berdoa bersama

10 Menit


G. Instrumen penilaian No. SOAL Kunci 1. Temukan satu bilangan bulat yang jika dibagi 11

sisanya 5, jika dibagi 29 sisanya 14 dan jika dibagi 31 sisanya 15.

x1=7 , x2=4 , x3=7. 15

2. Dengan menggunakan Teorema Fermat, buktikan pernyataan berikut 17 membagi 11104+1.

Bukti: Ambil p=17 prima, a=11 maka p∤a sehingga diperoleh 1116 ≡1(mod 17). Karena (11¿¿16)6=1196 ¿ maka diperoleh 1196 ≡1 (mod 17 ) . Berlaku juga bahwa

30




Dengan menggunakan ini maka 11104=1196× 118=16 ( mod17 )≡−1(mod 17), yaitu 11104+1 merupkan kelipatan 17. Terbukti.

3 Kami adalah keluarga bilangan bulat positif. Jika kami dibagi 6memberikan sisa 5, dibagi 11 memberikan sisa 4 dan dibagi 17 mem-berikan sisa 3.Tentukan bentuk umum kami,Tentukan 3 anggota terkecil dari kami.

bentuk umum keluarga bilangan tersebut adalahx = 785 + 1122t; t = 0; 1; _ _ _ :Tiga anggota terkecil berkaitan dengan t = 0; 1 dan 3 yaitu 785; 1907 dan 3029.

25

4 Buktikan 53103+ 10353 habis dibagi 39. 30


Skor maksimal

matematika.fkip.unsri.ac.idmatematika.fkip.unsri.ac.id/wp-content/uploads/2017/01/... · Web...

Documents

Transcript of matematika.fkip.unsri.ac.idmatematika.fkip.unsri.ac.id/wp-content/uploads/2017/01/... · Web...