DASAR-DASAR PROSES PEMBELAJARAN MATEMATIKA 1

Bahan Ajar

DISUSUN OLEH :

Kelompok I

Nama kelompok I : 1. Feby Setia Nengsih (2011.121.133)

2. I Wayan Mertayase (2011.121.100)

3. Hermawansyah (2011.121.114)

4. Aldina (2011.121.121)

Kelas : 4 C

Mata Kuliah : Dasar-dasar Proses Pembelajaran Matematika 1

Dosen PA : Farida Aryani, M.Pd

Jurusan : Pendidikan MIPA

Program Studi : Pendidikan MatematikA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMUPENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

TAHUN AJARAN 2012

KATA PENGANTAR

1

Puji syukur kami panjakan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karen ata

curahan karunia-Nya kami dapat menghadirkan buku “Modul” khusus bagi siswa

kreatif guna menunjang proses belajarnya.

Modul ini memiliki keunggulan tersendiri, dengan menggunakan

Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan(KTSP) yang menekankan pada

pemingkatan mutu di segala aspek pembelajaran dan pemuatan materi pokok

mencangkup ringkasan materi, lembar kegiatan serta untuk menguji kemampuan

siswa dalam memahami materi yang telah diberikan.

Kami berterima kasih kepada guru dan siswa yang telah memiliki modul

ini, semoga dapat meningkatkan hasil proses belajar mengajar dalam upaya

peningkatan mutu di segala aspek pembelajaran.

Semoga modul ini bermanfaat dalam proses pembelajaran siswa, segala

kritik dan saran dari pembaca kami harapkan demi perbaikan modul ini.

Palembang, Mei 2013

Ttd

BAB 1

2

BENTUK AKAR, PANGKAT, dan LOGARITMA

A. BENTUK PANGKAT

1. Pangkat Bulat Negatif dan Nol

Sifat-sifat :

a0 = 1

a−P= 1aP

2. Pangkat Bulat Positif

Bentuk pangkat :

an = b

Untuk n = 1 maka a1 = a

Keterangan :

a : Bilangan pokok

b : Pangkat atau eksponen

c : Hasil perpangkatan

Contoh :

a. 2−5= 125 =

132

b. ¿ 8 )0 = 1

c. 43 = 4 x 4 x 4 = 64

d. 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625

B. BENTUK AKAR dan PANGKAT PECAHAN

1. Bentuk Akar

Bilangan rasional

Adalah bilangan yang dapat di tulis dalam bentuk ab ; dimana a , b∈B

dan b ≠ 0.

Contoh : 15=0,4 ;0 ,−1 ,−2

3

3

a x a x a x...x a

Sebanyak n kali

Bilangan irasional

Adalah yang tidak dapat di tulis dalam bentuk ab diman a , b∈B

Contoh : √3 ;−√2 ; 1√3

; log 2; 2log 100

Bentuk akarn√a=b, apabila bn=a, untuk bilangan asli n.

Sifat-sifat :

1. n√a=a1n 2. n√a . b= n√a . n√b=a

1n .

b1n 5. n√a . n√b= n√ a

b

3. n√am=amn 4.

n√an√b

=n√ ab

Semua berlaku untuk a , b≥ dengan definisi bahwa; √a=a12

2. Menyederhanakan Bentuk Akar

Bentuk akar dapat disederhanakan dengan menggunakan sifat bahwa :

√a xb=√a x √b

Contoh :

√48=√16 x 3=√16 x √3=4 √3

Dari sifat di atas, maka diperoleh sifat :

(√a+√b )2=a+2√ab+b=( a+b )+2√ab

(√a−√b )2=a−2√ab+b=( a+b )−2√ab

Dari sifat di atas diperoleh :

√ (a+b )+2√ab=√a+√b

√ (a+b )−2√ab=√a−√b, maka > b

Contoh :

√8+2√15=√ (5+3 )+2√5.3=√5+√3

4

C. OPERASI ALJABARA pada BENTUK AKAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

√a+√a=2√a p√a+q√a=( p+q)√a

p√a−q√a=( p−q)√a

2. Hasil Kali Bentuk Akar

√a+√a=a √a+√b=√a . b p√a . q√b=pq√ab (√a+√b ).√c=√a .√c+√b .√c=√ac+√bc

n√am . p√aq=amn

3. Sifat-sifat Bentuk Akar

Komulatif :√a+√b=√b+√a

√a .√b=√b .√a

Asosiatif : (√a .√b .√c )=√a (√b .√c )

Distributif : (√a .√b .√c )=√a (√b .√c )

4. Kuadrat Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

(√a+√b )2=a+b+2√ab

(√a−√b )2=a+b−2√ab

√a+√b=√a+b+2√ab √a−√b=√a+b−2√ab

Contoh :

1. 3√5+3√5=(3+3 ) √5=6 √5 2. 5√3 x 2√5=(5 x 2 ) √3 x5

¿10√15

D. MERASIONALKAN PENYEBUT

5

1. Pasangan Bentuk Akar yang Hasil Kalinya Bilangan Rasional

(√a+√b ) (√a−√b )=a−b

(a+√b ) (a−√b )=a2−b

(√a+b ) (√a−b )=a−b2

2. Merasionalkan Penyebut Pecahan

a√b

= a√b

x √b√b

=ab √b

aa+√b

= aa+√b

x(a−√b )(a−√b )

= ca2−b

. (a−√b )

aa−√b

= aa−√b

x(a+√b )(a+√b )

= ca2−b

. ( a+√b )

Contoh :

a. 2√3

= 2√3

x √3√3

=2√33

=23 √3

b. 2√3+√2

= 2√3+√2

. √3−√2√3−√2

=2 (√3−√2 )3−2

=2 (√3−√2 )=2√3−2√2

E. PANGKAT PECAHAN

Apabila pangakat (eksponen) suatu bilangan berpangkat merupakan pecahan,

maka bilangan tersebut disebut bilangan pecahan disingkat pangkat pecahan.

Hubungan antara pangkat pecahan dengan akar bentuk akar :

a1n=n√a a

mn =

n√am m√ n√a=mn√a=a1

m.n

Persamaan pangkat sederhana.

1. ax=an, berlaku x = n

2. xa=na, berlaku x = n

Untuk menyelesaikan bentuk pangkat digunakan langkah :

1. Jika yang ditanyakan pangkatnya, maka bilangan pokoknya harus

disamakan.

2. Jika yang ditanyakan bilangan pokoknya, maka pangkatnya harus

disamakan.

6

Contoh himpunan penyelesaian dari 32 x=13 √3 !

Jawab :

32 x=13 √3

⟺32 x=3−1 .312

⟺32 x=3−1+1

2

⟺2 x=−12

⟺−12

x 12

⟺−14

HP¿ {−14 }

F. RUMUS-RUMUS PANGKAT RASIONAL

1. am. an=am+n 2. am: an=am−n

3. (am )n=am+ n

4. ( ab )

n

=an

bn

5. an

am=an−m v

Contoh :

1. 53 :52=53−1=51

2. (32 )5=32.5=310

3. a15

a3 =a15−3=a12

7

G. LOGARITMA

1. Mengubah Bentuk alog b = c menjadi ac = b dan sebaliknya

Bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan rill.

Bentuk umum :

Keterangan : a = bilangan pokok

2. Logaritma Suatu Bilangan

Bentuk Umum :

Keterangan : a = bilangan pokok

b = bilangan yang ditarik logaritmanya

c = hasil logaritma

Bilangan pokok 10 biasanya ditulis, seperti log 2 , log 5

Contoh :

5log 25 = x, maka 5x = 25 => 52 = 25, jadi x = 2

3. Sifat-sifat Logaritma

1. alog b x c = alog b + alog c 6. alog b = anlog b . n

2. alog bc = alog b – alog c 7. alog 1 = 0

3. alog bn = n alog b 8. alog a = 1

4. alog b . blog c = alog c 9. alog 1a = -1

5. alog b = log blog a 10. 1/a log b = alog

1b

Contoh :

1. 3log 1

81 = 3log 134 = 3log 3- 4 = -4

8

y = ab

alog b = c <=> b = ac

2. Diketahui log 2 = 0,301. Carilah log 0,2 !

Jawab : log 0,2 = log 2

10 = log 2 – log 10 = 0,301 – 1 = - 0,699

Soal-soal Latihan Bab 1

1. Apabila bentuk 1

4√23 diubah kebentuk pangkat pecahan adalah . . .

a.3

412

b. 12

c. 14

d.1

234

e.1

234

2. Hasil dari 2

3−3 adalah . . .

a. 54 d. 49

b. 45 e. 55

c. 53

3. Bentuk sederhana dari ( p3

q6 )16 adalah . . .

a. √ qq

b. √ p

c. √ pq

9

d. √ qp

e. √ qp

4. Nilai dari 6√3−2√5+2√3+4√5 adalah . . .

a. 8√3+2√5 d. 38+ 2

5

b. 3√8+5√8 e. 8√3−2√5

c. 83+25

5. Nilai dari 3√2 x 3√2 adalah . . .

a. √610

b. 6√10

c. 10√6

d. √6+10

e. √6−10

6. Nilai dari ❑13 log 1

9 adalah . . .

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

7. Nilai dari 2 log 8 adalah . . .

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

8. Nilai dari 4 log 16 adalah . . .

a. – 2 d. 4

b. 1 e. 5

c. 2

9. Hasil dari 2 log 64 – 2 log 8 adalah . . .

a. 1 d. 4

b. 2 e. - 2

c. 3

10. Harga dari log 0,04 – log 4 adalah . . .

10

a. 1 d. - 1

b. 2 e. 5

c. - 2

BAB II

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT

1. BENTUK UMUM

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang dapat ditulis bentuk ax2 + by +c

= 0 dimana a, b, c ∈ R dan a ≠0

Jika c = 0, maka bentuk menjadi ax2 + by +c = 0, yang disebut persamaan

kuadrat tak lengkap.

Jika b = 0, maka bentuk menjadi ax2 + by +c = 0, yang disebut

persamaankuadrat bentuk asli.

2. Cara menetukan akar-akar persamaan kuadrat

a. Cara menetukan akar-akar persamaan kuadratdengan

memfaktorkan

Cara ini menggunakan sifat-sifat faktor nol, yaitu jika a x b = 0, maka a

= 0 atau b=0.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari 2x2 + x – 6 = 0

2x2 + x – 6 = 0

⋙ (2x – 3)(x + 2) = 0

⋙ 2x – 3 = 0

2x = 3

x = 32 atau x + 2 = 0

x = -2

11

HP = ( -2, 32 )

b. Cara menetukan akar-akar persamaan kuadrat dengan

melengkapkan kuadrat sempurna

Bila persamaan kuadrat tidak dapat di ffaktorkan, maka salah satu cara

menyelesaikannya adalah dengan cara melengkapi kuadrat sempurna,

yaitu dengan terlebih dahulu mengubah bentuk ax2 + by +c = 0 menjadi

bentuk (x ± p)2 = q.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari 2x2 + 6x = 1

2x2 + 6x = 1

x2 + 3x = 12

x2 + 3x + (32 )2 =

12 + (

32)2

(x + (32 ))2 =

114

x + 32 =√ 11

4

x = - 32 ±√ 11

4

x = - 32 +1

2 √ 114

atau x = - 32 - 1

2 √ 114

jadi, HP = {(= - 32 +1

2 √ 114

atau x = - 32 - 1

2 √ 114

)}

c. Menetukan akar-akar persamaan kuadratdengan sempurna

Dengan menggunakan prinsip melengkapi kuadrat sempurna, diperoleh

rumus akar-akar persamaan kuadrat ax2 + by +c = 0, a ≠ 0, yaitu :

X12 =−b ±√b2−4 ac

2a

Contoh :

12

Tentukan penyelesaian dari 2x2 + 3x – 4 = 0

a = 2, b = 3, c = -4

X12 =−b±√b2−4 ac

2a =−3±√32−4.2 (−4 )

2.2 =−3 ±√41

4

X = −3+√414 atau x = −3−√41

4

Jadi, HP = {(−3+√414 ,

−3−√414

)}

B. DISKRIMINAN, JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR

PERSAMAAN KUADRAT

1. Menggunakan diskriminan dalam menyelesaikan masalah persamaan

kuadrat

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat ax2 + by +c = 0 ditentukan oleh nilai

diskriminan D = b2 -4ac.

No No Sifat akar Syarat-syarat

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Real berlainan

Real sama

Real berlainan dan irasional

Real berlawanan (x1 = -x2 )

Real berkebalikan (x1 = 12 )

x1 > 0, x2 > 0

x1 > 0, x2 > 0

Real berlainan tanda

Imajer (khayalan)

Real

D > 0

D = 0

D > 0 dan D kuadrat sempurna

D > 0, b = 0

D > 0, a = c

D ≥ x1 + x2 > 0, x1 x2 >0

D ≥ x1 + x2 > 0, x1 x2 >0

D > 0, x1 x2 < 0

D < 0

D ≥ 0

Contoh :

13

Diketahui persamaan kuadrat x2 – 4x + 2p = 0. Tentukan nilai dari atau

batas p agar persamaan kuadrat tersebut :

a. Mempunyai dua akar real yang berbeda

Jawab :

x2 – 4x + 2p = 0 , a = 1, b = -4, c = 2p

D = b2 – 4ac

= (-4)2 – 4. 1,2p

= 16 – 8p

Agar persamaan kuadrat memepunyai akar-akar berbeda, syarat D > 0

16 -8p > 0

-8p > -16

P > 2

Jadi, persamaan kuadrat x2 – 4x + 2p = 0 mempunyai dua akar real yang

berbeda untuk batas nilai p > 2

b. Agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama, syarat D = 0

16 – 8P = 0

P = 2

Jadi, persamaan kuadrat x2 – 4x + 2p = 0 mempunyai dua akar real yang

berbeda untuk batas nilai p = 2

2. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + by +c = 0, maka :

a. x1 + x2 = −ba

b. x1 . x2 = aa

c. x1 - x2 = √Da

d. x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 – 2x1 . x2 = ba - 2 = b

2−2aca2

e. x12 - x2

2 = ( x1 + x2)( x1 - x2)

f. x12 - x2

2 = ( x1 + x2)( x1 - x2)

g. x13 - x2

3 = ( x1 + x2)3 + 3 x1 x2 ( x1 - x2)

14

h.1

x 1 + 1

x2 = x 1+x2x 1 x 2 =

bc

Contoh :

Akar-akar persamaan kuadrat x2 - 3x – 1 = 0 adalah x1 dan x2. Tanpa

menyelesaikan persamaannya terlebih dulu, hitungkah:

a.x1 + x2 b. x1 . x2 c. x12 . x1

2 d. 1x1 +

1x2

jawab :

Persamaan kuadrat x2 - 3x – 1 = 0 memiliki keofisien a = 1, b=-3, c = -1

a.x1 + x2 = −ba = −(−3)

1 = 3

b. x1 . x2 = ca =

−11 = -1

c. x12 . x1

2 = (x1 + x2)2 – 2x1 . x2 = 32 – 2.(-1) = 9 + 2 = 11

d. 1

x1 + 1

x2 = x1+x2x 1x 2 =

−31 = -3

C. MENGETAHUI PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI AKAR-

AKARNYA

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 dapat di tentukan dengan rumus :

(x – x1)(x – x2) = 0 atau x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

Contoh :

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya -5 dan -6

Jawab :

Dengan memfaktorkan (x – x1)(x – x2) = 0

x1 = -5 dan x2 = -6

(x –(-5))(x – (-6)) = 0

(x + 5 )(x + 6) = 0

x2 + 11x + 30 = 0

jadi, persamaan kuadrat yyang diminta adalah x2 + 11x + 30 = 0

Dengan memakai rumus jumlah dan hasil akli akar-akar x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

x1 = -5 dan x2 = -6

x1 + x2 = -5 + (-6) = -11 dan x1 . x2 = -5 . (-6) =30

15

x2 – (-11)x + 30 = 0

x2 + 11x + 30 = 0

jadi, persamaan kuadrat yyang diminta adalah x2 + 11x + 30 = 0

1. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya mempunyai hubungan

dengan akar-akar persamaan kuadrat yang lain.

a. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kurang dari akar-akar persamaan kuadrat

ax2 + by +c = 0 adalah a(x + k)2 + b(x + k) + c = 0

b. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya k lebihnya dari dari akar-akar persamaan

kuadrat ax2 + by +c = 0 adalah a(x + k)2 + b(x + k) + c = 0

c. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya m kali akar-akar persamaan kuadrat ax2 +

by +c = 0 adalah ax2 + bm + cm2 + 0

d. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya merupakam ke balikan dari akar-akar

persamaan kuadrat ax2 + by +c = 0 adalah = c + by+ ax2=

e. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya lawan dari akar-akar persamaan kuadrat

ax2 + by +c = 0 adalah ax2 – bx + x = 0

f. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kurang dari i akar-akar persamaan

kuadrat ax2 + by +c = 0 adalah a2x2 – (b2 – 2ac) + c2 = 0

D. FUNGSI KUADRAT

1. Bentuk umum fungsi kuadrat

Fungsi f : x y = f(x) yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b,

c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

2. Sumbu simetri dan titik puncak fungsi kuadrat

Pada fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, nilai minimum atau maksimum fungsi f

disebut nilai ekstrem.

f(x) = ax2 + bx + c = a(x + b

2a ) + b2−4 ac−4 a

karena (x + b

2a ) ≥ 0 maka :

a. Untuk a > 0, nilai f (−ba ) = b

2−4 ac−4 a

= D

−4 a , nilai minimum dari f dan titik

(-b

2a , D

−4 a ) merupakan titik puncak dandisebut titik balik minimum.

16

b. Untuk a < 0, nilai f (−ba ) = b

2−4 ac−4 a

= D

−4 a ,nilai maksimum dari f dan titik

(-b

2a , D

−4 a ) merupakan titik puncak dandisebut titik balik maksimum.

Contoh :

Diketahui fungsi f da R dengan rumus f(x) = 2x2 – 12x + 16, tentukan :

a. Sumbu simetri fungsi f

b. Titik puncak fumgsi f dan jenisnya

Jawab:

a. x = −b2a

=−(12)2.2

=124

= 3

Jadi, sumbu simetrinya adalah x = 3

b. f( −b2a ) = f(3) = 2(3)2 – 12.3 + 16 = 18 – 36 + 16 = -2

Jadi, titik puncaknya adalah ( 3, - 2 ) dan karena a > 0, maka titik puncak

tersebut merupakan titik balik minimum.

3. Menggambar grafik fungsi kuadrat

a. fungsi f(z) == ax2 + bx + c atau y = = ax2 + bx + c grafik berbentuk parabola.

1) Bila a > 0 , maka parabola terbuka ke atas

2) Bila a< 0, maka parabola terbuka kebawah

b. Langkah-langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat y = = ax2 + bx + c ,

a ≠ 0.

1) Menetukan titik potong dengan sumbu x (y=0).

a) Bila D > 0, maka memotong sumbu x di dua titik

b) Bila D = 0, maka menyinggung sumbu x

c) Bila D < 0, maka tidak memotong sumbbu x

2) Menetukan titik potong dengan sumbu y (x=0) yaitu (0,c).

3) Menentukan perrsamaan sumbu simetri x = −b2a

4) Menentukan titik puncak (titik balik) yaitu : T (−b2 a

, D−4 a ) atau T(

−b2 a ,f(

D2a

¿)

a) Bila a > 0, maka T merupakan titik balik minimu

b) Bila a < 0, maka T merupakan titik balik maksimum

17

5) Menentukkan beberapa titik bantu (bila diperlukan)

Ada beberapa kemungkinan kedudukan parabola terhadap sumbu x.

Sumbu x :

4. Pada fungsi f(x) = ax2 + bx + c

a. F(x) > 0 untuk x ∈ R disebut definit positif bila a > 0 dan D < 0

b. F(x) > 0 untuk x ∈ R disebut definit negatif bila a > 0 dan D < 0

Contoh :

Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(z) = 2x2 +4x + 7

F(x) = 2x2 +4x + 7 ↔ y = 2x2 +4x + 7, a = 2, b = 4, c = 7

a. Titik potong dengan sumbu x(y=0)

2x2 +4x + 7 = 0

D2 = b2 - 4ac = 42 – 4.2.7 =16 – 56 = -40

Karena D =-40 < 0, maka grrafik tidak memotong sumbu x

b. Titik potong dengan sumbu y (x=0)

y = (2 .02) + 4.0 + 7 = 7

tidak potong dengan sumbu y adalah (0,7)

c. Menentukan sumbu simetri x = −b2 a x −4

2.2 = -1

d. Menentukan titik puncak T (−b2 a

, D−4 a )

D−4 a = b2−4 ac

−4 a = 42−4.2 .7

−4.2 = 16−56

−8 = −40−8 = 5

Jadi, titik puncak T (0,5)

Oleh karena a =2 > 0, maka T merrupakan titik balik minimum dan parabola

terbuka keatas.

18

a > 0D < 0 a > 0

D = 0 a > 0D > 0 a < 0

D < 0a > 0D = 0 a < 0

D < 0

e. Titik bantu

X -2 1

Y 7 13

f. Gambar :

(-0,7)

(-1,5) 5

` -3 -2 -1 -0 0 1 2 3

E. MENETUKAN PERSAMAAN KUADRAT DAN PEMAKAIAN FUNGSI

KUADRAT

1. Menetukan perrsamaan kuadrat yang mempunyai ciri-ciri tertentu

a. Fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di A (x1,0) dan B (x2, 0) serta melalui

sebuah titik tertentu adalah.

y = f(x) = a(x – x1)(x – x2)

b. Fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu x di A (x1,0) dan melakui sebuah titik

tertentu adalah :

y = f(x) = a(x – x1)

c. Fungsi kuadrat yyang melalui titik puncak p(x1,yp) dan melalui sebuah titik

tertentu adalah :

y = f(x) = a(x – xp)2 + yp

d. Fungsi kuadrat yang melalui titik A (x1,y1), B(x2,y2) dan C (x3,y3) menggunakan

rumus f(x) = ax2 + bx + c sehingga di peroleh sistem persamaan :

y == ax12 + bx1 + c

y2 == ax22 + bx2 + c

19

y3 == ax32 + bx3 + c

contoh :

tentukan fungsi kudrat yang memotong sumbu x di (1,0) dan (-4,0) serta

memiliki titik (0,4) !

jawab :

grafik memotong sumbu x di (1,0) dan (-4,0) serta melalui (0,4)

y = a(x – x1)(x – x2)

y = a(x – 1)(x – (-4))

y = a(x – 1)(x +4)

titik (0,4) di substitusikan ke y = a(x – 1)(x +4)

4 = a(0 – 1)(0 +4)

4 = a(-1)(4)

4 = -4a

a = -1

jadi, persamaannya y = -1(x – 1)(x – 4)

y = -1(x2 + 4x – x – 4)

y = -x2 -3x + 4

2. Pemakaian fungsi kuadrat

Beberapa masalah sehari-hari dapat diselesaikan melalui model metamatika

persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, antara lai luas daerah bangun datar dan

gerak suatu benda yang mendapat percepatan gravitasi.

Contoh :

20

Seutas kawat mempunyai panjang 40 cm. Kawat ini dibentuk menjadi persegi

panjang dengan panjang x cm dan lebar y cm. Luas persegi panjang dinyatakan

dalam L(cm2).

a. Nyatakan L dalam fumgsi x!

b. Carilah luas persegi panjang terbesar

Jawab :

a. Panjang kawat = keliling persegi panjang =40 cm

2 (x + y) = 40

x + y =20

y = 20 – x

Luas persegi panjang L = x.y

L = x(20-x)

L = 20x – x2

Jadi, L sebagai fungsi x adalah L = -X2 + 20X

b. L = -x2 + 20x merupakan fungsi kuadrat dalam x dengan a = -1, b=20, dan c=0

Lmaks = b2−4 ac−4 a

= (20)2−4(−1)(0)

−4 (−1) =

4004 = 100

Jadi, luas persegi panjang terbesar adalah L = 100 cm2

F. JENIS PERTIDAKSAMAAN

1. Pertidaksamaan kuadrat

Ada dua cara menentukan pertidaksamaan kuadrat, yaitu :

a. Dengan garis bilangan

Langkah-langkah :

1) Mengubah persamaan kuadrat ke bentuk umu persamaan kuadrat.

2) Menentukan persamaan kuadrat

3) Membuat garis bilangan dan menentukan titik-titik pada garis bilangan dari

akar-akar yang diperoleh sehingga garis bilangan terbagi menjadi tiga

bagian.

4) Menentukan tanda-tanda pada masing-masing daerah.

Tanda daerah yang paling kanan sesuai dengan keofisien dari x2.

Jika a = positif (+) (+)

X1 (-) x2

Jika a = negatif (-) (+)

21

X1 (+) x2

5) Menetukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat sesuai dengan tanda

pertidaksamaan soal <;<=(-) >;≥ = +

Contoh :

1) Ubah dalam bentuk persamaan kuadrat x2 +3x – 10 = 0

2) Menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut

(x +5)-(x-2) = 0

X + 5 =0 x – 2= 0

X + 5 =0 x – 2= 0

X = -5 atau x = 2

3) Akar-akar persamaan kuadrat x2 +3x – 10 = 0 menjadi garis bilangan 3

interval, yaitu x ≤ -5, x ≥ 2 dan x ≤ -5, x ≥ 2

4) Ditentukan tanda nilai x2 +3x – 10 pada masing-masing interval.

Pada x ≤ -5, misal x = -6 maka (-6)2 +3(-6) – 10 =10=8 > 0

Pada x ≤ -5, x ≥ 2, misal x = 0 maka (0)2 +3(0) – 10= -10 < 0

Pada x ≥ 2 , misal x = 3 maka (3)2 +3(3) – 10 = 8 > 0

+ - +

-5 2

Jadi, penyelesaian dari x2 +3x – 10 ≥ 0 adalah x ≤ -5 dan x ≥ 2.

Catatan :

misal x1 dan x2 akar-akar dari ax2 + bx + c = 0 dan x1 < x2

Jika ax2 + bx + c ≥ 0 ; a > 0, maka penyelesaiannya

Jika ax2 + bx + c ≥ 0 ; a > 0, maka penyelesaiannya x1 ≤ x≤ x2

b. Dengan sektsa grafik fungsi kuadrat

Langkah-langkah :

1. Mengubah persamaan kuadrat ke bentuk umu persamaan kuadrat (ax2 + bx +

c = 0).

2. Membuat sketsa grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c

3. Menentukan bagian(daerah) grafik yang sesuai dengan pertidaksamaan

kuadrat yang akan di selesaikan.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian x2 + 3x -10 < 0

Jawab :

22

Misalkan y = x2 + 3x -10. Langkah berikutnya adalah membuat sketsa

parabola y = x2 + 3x -10 dengan terlebih dahulu menentukan titik potong

dengan sumbu x (jika ada).

x2 + 3x -10 = 0

(x + 5)(x – 2) = 0 A B C

x + 5 = 0 atau x – 2 = 0 -5 2

x = -5 atau x = 2

Pada grafik terlihat bahwa garis bilangan terbagi oleh titik (-5,0) dan (2,0)

menjadi tiga bagian, yaitu. A = {x|x < -5}, B = {x|-5<x<2}, dan C = {x|x >

2}

Bagian-bagian dari nilai x2 + 3x -10 positif ditunjukkan dengan bagian grafik

yang terletak di atas sumbu x, sedangkan yang negatif di tunjukkan dengan

bagian yang terletak di bawah sumbu x.

x ∈ A x ∈ B x ∈ C

x2 + 3x -10 > 0 x2 + 3x -10 < 0 x2 + 3x -10 > 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x|-5<x<2}

SOAL LATIHAN :

1. Nilai y dari persamaan kuadrat 2y2 – ((x + 1)(y – 2)) = 8 adalah. . .

a. {2, 3}

b. {3, 5}

23

c. {3, 5}

d. {-3, 2}

e. {1, 2}

2. Diketahui persamaan kuadrat (2x + 1)2 + 2 = x(2x – 1), maka Hpnya adalah . . .

a. {

12 ,3}

b. {-

32 , -1}

c. {-

12 ,3}

d. {

32 , 4}

e. {

23 ,5}

3. Agar persamaan kuadrat (3x – 2)(x + 1) = x + 1menjadi persamaan kuadrat sempurna,

maka nilai x adalah . . .

a. ± 4

b. ± 1

c. ± 3

d. ± 5

e. ± 6

4. Akar-akar persamaan kuadrat x2 = x – 12 = 0 adalah. . .

a. {3, -4}

b. {-4, 3}

c. {-3, 4}

d. {-6,-2}

e. { 1, 12}

5. Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat

2a=2 a+2

2 adalah . . .

a. {-3, 4}

b. {-2, 5}

c. {-2, 1}

d. {2, 5}

e. {3, 4}

24

6. Akar-akar persamaan 32 + 5x + 1 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai dari

x2

x1+

x1

x2 adalah. ..

a. 2

12

b. 3

12

c. 6

14

d. 6

e. 6

13

7. Akar-akar dari persamaan 2x2 + bx + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai a + b, jika akar-

akarnya 2x1 dan 2x2 adalah. . .

a. -1

b. 1

c. 2

d. -2

e. 3

8. Persammaan x2 – 10x + 25 = 0, mempunyai dua akar kembar real dan rasional, jika

harga diskriminannya adalah. . .

a. 2

b. 4

c. 3

d. 1

e. 0

9. Akar dari persamaan kuadrat yang memenuhi x2 - 4x + 3 = 0 dan x2 -5x + 4 = 0

adalah. . .

a. 2

b. 3

c. 1

d. -1

e. 4

10.Persamaan kuadrat x2 – (m + 2)x + m = 0 dengan m ∈ R selalu mempunyai dua akar

real yang berlainan, maka niali m adalah. . .

25

a. √2

b. ± √−4

c. ± √4

d. √5

e. √6

BAB III

PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

26

A. Sistem persamaan Linear 1. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 adalah bilangan riil.2. Cara Penyelesaian Persamaan Linear

a. Metode SubtitusiLangkah-langkah penyelesaian :1) Pada salah satu persamaan, nyatakan variabel x dalam y atau y dalam

x.2) Subtitusi kedalam persamaan kedua,sehingga diperoleh nilai

variabelnya.3) Nilai salah satu variabel yang diperoleh disubtitusikan ke salah satu

persamaan, diperoleh nilai salah satu variabel yang kedua.Contoh :Selesaikan sistem, persamaan berikut dengan metode subtitusi!

4x + 2y = 8

2x + 4y = 10Jawab : 4x + 2y = 8 → 2y = 8 – 4x

y = 4 – 2xsubtitusikan y = 4 – 2x ke persamaan kedua :

2x + 4y = 10 x = 1 diubtitusikan ke persamaan pertama2x + 4(4 – 2x)= 10 4x + 2y = 82x + 16 – 8x = 10 4.1 + 2y = 8-6x = 10 – 16 2y = 8 - 4-6x = -6 2y = 4 x = 1 y = 2 Jadi,himpunan penyelesaiannya = {1,2}

b. Metode EliminasiLangkah-langkah penyelesaian :1) Koefisien salah satu variabel dari sistem persamaan disamakan

terlebih dahulu.2) variabel yang koefisiennya sama dieliminasi(dihilangkan)dengan cara

penguranganatau penjumlahan,sehinggadiperoleh nilai salah satu variabelnya.

3) Nilai variabel yang lain diperoleh dengan cara yang sama.Contoh :Selesaikan sistem persamaan berikut dengan car metode elliminasi! 2x + 2y = 8

27

4x - 2y = 10Jawab :

Koefisien yang sama adalah variabel y seehingga variabel y yang

dapat dihilangkan untuk mencari nilai variabel x.

2x + 2y = 84x – 2y = 106x = 18X = 3

Untuk mencari nilai varabel y, maka koefisienvariabel x harus disamakan supaya varriabel x bisa dihilangkan.2x + 2y = 8 x 2 4x + 4y = 164x – 2y = 10 x1 4x – 2y = 10

6y = 6 y = 1

c. Gabungan eliminasi dan SubtitusiLangkah-langkah penyelesaian :1) Nilai salah satu variabel dicari dengan cara eliminasi.2) Nilai variabel yang suah diperoleh disubtitusikan ke salah satu

persamaan untuk mencari nilai variabel yang kedua.d. Metode Determinan (pengayaan)

Persamaan linear dengan dua peubah : a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

determinan matriks ordo 2x2 : [a1 b1

a2 b2]→ D = a1b2 – a2b1

langkah-langkah penyelesaian: 1) Dicari determinan dari dua persamaan. Jika D = sistem persamaan

linear tidak mempunyai penyelesaian.2) Dicari Dx , Dy , nilai x dan y.

Dx = [c1 b1

c2 b2] = c1 b2 - b1c2 x = D xD

Dy = [a1 c1

a2 c2] = a1c1 - c1 a2 y = D y

DContoh :

28

Selesaikan persamaan berikut { 3 x+5 y=22x−3 y=−5

Jawab :

D = [3 52 −3 ] = 3(-3) – 2.5 = -9 -10 = -19 x =

D xD =

−38−19 =

2

Dx = [ 21 5−5 −3 ] = 21(-3) – 5(-5) = -63 +25 = -38 y =

D yD =

−57−19

= 3

Dy = [3 212 −5 ] = (-5).3 -21.2 = -15 – 42 = - 57

Jadi,himpunan penyelesaiannya penyelesaiannya = {2, 3}

Jawablah pertanyaan-pertanyaan dibawah ini dengan benar!

1. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan :{ 2 x+ y=53 x−2 y=−3

2. Himpunan penyelesaian sistem persamaaan : {4 x+ y=122 x+ y=8 adalah...

3. Sepuluh tahun yang lalu umur A dua kali umur B, lima tahun kemudian umur A menjadi 1,5 kali umur B. Sekarang umur A adalah...

4. Himpunan penyelesaian sistem persamaaan :{3 x+4 y=175 x+7 y=28 adalah...

5. Di sebuah toko, Aprillia membeli barang A dan 2 barang B dengan harga Rp. 4.000,00. Juia membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga RP. 9.500,00. Januar ingin membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga...

B. Sistem Persamaan Linear Dengan Tiga Variabela1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 , c3 , d1 , d2 , d3 adalah bilangan riil.

Cara penyelesaian :1. Metode Subtitusi

Langkah-langkah penyelesaian:Secara prinsip sama dengan cara penyelesaian sistem linear dengan dua variabel.

29

Contoh :Selesaikan persamaan :x + y + z = 2 ...............(1)2x – y +3z = -3 .........(2)x + 2y – 2z = 7 .........(3)

Jawab : Dari persamaan x + y + z = 2 → x = 2– y – z ......(4)Persamaan (4) disubtitusikan ke persamaan (2)2(2– y – z) – y + 3z = -34 – 2y - 2z –y + 3z = -3 z = 3y – z ........(5)

Persamaan (5) disubtitusikan ke persamaan (4) : x = 9 – 4y ......(6)Persamaan (5) dan (6) disubtitusikan ke persamaan (3) : x + 2y – 2z = 7Menjadi (9 – 4y) + 2y – 2(3x – 7) = 7 9 – 2y + 14 – 6y = 7 -8y = - 16 y = 2Nilai y = 2 disubtitusikan ke persamaan (5) dan persamaan (6) diperoleh:z = 3y – 7 x = 9 – 4yz = 3.2 – 7 x = 9 – 4.2z = -1 x = 1

Jadi, penyelesaian persamaan diatas adalah (1, 2, -1)

2. Gabungan Subtitusi dan EliminasiContoh :

x + 3y + 4z = 2 ....(1)2x – y – 5z = 3 ....(2)3x + 2y – 2z = -1 ....(3)(1)x + 3y + 4z = 2 |x 2|2x +6y +8z = 4(2)2x – y – 5z = 3 |x 1|2x – y – 5z = 3

7y + 13z = 1 ....(4)

Ulangi lagi untuk persamaan yang laindengan mengalikan persamaan (1) dengan (3),kemudian mengurangkan dari persamaan (3) :

x + 3y + 4z = 2 |x 3| 3x + 9y + 12z = 63x + 2y – 2z = -1 |x 1| 3x + 2y – 2z = -1

30

7y + 14z = 7 ....(5)

Maka diperoleh sistem persamaan dengan dua variabel yang baru, yaitu persamaan (4) dan (5). Dengan eliminasi kembali dapat diperoleh

7x + 13z = 17y + 14z = 7 -z = -6 z = 6

(4)7y + 13z = 17y + 13.6 = 17y + 78 = 17y = - 77 y = 11

Selanjutnya subtitusikan y = - 11 dan z = 6 ke persamaan (1)x + 3y +4z = 2x + 3(-11) + 4.6 = 2x – 33 + 24 = 2 x = 11jadi himpunan penyelesaiannya = {(11 ,−11,6 ) }

3. Determinan Ordo 3 x 3 (pengayaan)Persamaan dengan tiga peubah :a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Penyelesaiannya dengan mengubah kebentuk matriks ordo 3 x 3, kemudian dicari determinannya.

D = [a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3]= a1(b1. c3−¿ c2 . b3¿−b1 (c3 .a2−a3 . c2 )+¿

b1¿. b2¿

Dx = [d1 b1 c1

d2 b2 c2

d3 b3 c3] = d1(c1. b2−¿ c2 . b3¿−b1 (c3 .d2−c2 . d3 )+¿

c1 ¿. b2¿

Dy = [a1 d1 c1

a2 d2 c2

a3 d3 c3] = a1(c3. d2−¿ c2 . d3 ¿−d1 (c3 . a2−c2 . a3 )+¿

31

c1 ¿.d2 ¿

Dz =[a1 b1 d1

a2 b2 d2

a3 b3 d3] = a1(d3. b2−¿ d2 . b3¿−b1 (d3 . a2−d2 . a3 )+d1¿.b2¿

x =

Dx

D ; y =

D y

D ; x =

Dz

DContoh :

Selesaikan : { x+3 y 4 z=22 x− y−5 z=3

3x+2 y−2 z=−1Jawab :

D = [1 3 42 −1 −53 2 −2] = 1( - 1. (- 2) – (-5).2) - 3(2.(-2) – 3.(-5)) + 4(2.2 – 3.(-1))

= 12 – 33 +28 = 7

Dx = [ 2 3 43 −1 −5

−1 2 −2] = 2((-2).(-1) – 2.(-5)) – 3(3.(-2) – (-1).(-5)) + 4(2.3 –

(1)(-1) = 24 + 33 + 20 =77

Dy = [1 2 42 3 −53 −1 −2] = 1(3.(-2) – (-1).(-5)) – 2(2.(-2) – 3.(-5)) + 4(2.(-1) – 3.3)

= - 11 – 22 – 44 = -77

Dz = [1 3 22 −1 33 2 −1] = 1((-1) – (-1) – 2.3) – 3((2.(-1) – 3.3) + 2(2.2 – 3(-1))

= - 55 + 33 + 14 = 42

x =

777 = 11 y =

−777 = -11 z =

427 = 6

Jadi,himpunan penyelesaian = {(11 ,−11 , 6)}

C. Sistem Persamaan Linear dengan Persamaan KuadratUntuk menyelesaiakan sistem dengan dua varabel, satu linear, dan satu kuadrat, dapat digunakan metode subtitusi atau pemfaktoran.

32

Contoh :Selesaiakan persamaan y = x2 + 1 dan x + 3y = 7!Jawab :y = x2 + 1 disubtitusikan x + 3y = 7

x + 3(x2 + 1) = 7x + 3x2 + 3 = 73x2 + x – 4 = 0(3x + 4)(x – 1) = 03x = -4 V x = 1

x = −4

3

Untuk x = −4

3 → y = ()2

+ 1 =

169 + 1 =

259

Untuk x = 1 → y = 12 + 1 = 2Jadi, titik potong dari kedua persamaan tersebut adalah A () dan B (1,2)

D. Sistem Persamaan Kuadrat Dengan Persamaan KuadratUntuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan persamaan kuadrat dapat digunakan metode subtitusi atau pemfaktoran.Contoh : Diketahui persamaan kuadrat y = 3x2 – 4x + 1 dan y = x2 + x + 4. Tentukan himpunan penyelesaiannya!Jawab :

3x2 – 4x + 1 = x2 + x + 4 2x2 – 5x – 3 = 04x2 – 10x – 6 = 0(2x – 6)(2x + 1) = 02x – 6 = 0 V 2x + 1 = 0

x = 3 V x = −1

2

untuk x = 3 → y = 32 + 3 + 4 = 16

untuk x = −1

2 → x = ()2−1

2 + 4 =

14

−12 + 4 =

154

Jadi,himpunan penyelesaiannaya = {(3, 6)} dan {( , ) }

33

SOAL – SOAL :

1. Diketahui sistem persamaan linear {5x−3 y=−12 x− y=−1 ,maka nilai x.y + x

adalah ...a. 5b. 1c. 2d. 3e. 4

2. Jika diberikan sistem persamaan linear {7 x−2 y−10=03 x+4=5 y ,maka nilai

12(x.y)2

adalah ...a. 8b. 7c. 6d. 5e. 4

3. Diketahui persamaan linear, maka nilai

12 x +y adalah ...

a. 4

b. 4

12

c. 3

12

d. 2

12

e. 5

4. Diketahui sistem persamaan linear {3 x− y=17x+4 y=−3 ,maka himpunan

penyelesaiannya adalah ...a. {, }b. {, }c. {, }d. {, }e. {, }

34

5. Diketahui sistem persamaan linear {2 x+5 y=133 x+2 y=10 ,maka nilai (x + y) adalah ...

a.

4211

b.

4311

c.

1143

d.

1243

e.

1043

6. Nilai 3x + 2y dari sistem persamaan linear {2 x+2 y=23 x+3 y=3 adalah ...

a. 0b. 1c. 2d. 3e. 4

7. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear { 2 x− y=14 x−11+7 y=0 adalah ...

a. { 1, 0}b. {1, 1} c. {1, 2}d. {2, -1}e. {-1, 1}

8. Nilai p dan q dari sistem persamaan

12 p + 2q = 5 dan

13 p +

45 q = -2 adalah ...

a. {14 , }b. {, }c. {24 , }d. {, }e. {, }

9. Jika diketahui persamaan linear { −2 x+ y=53 x+4 y=−2 ,maka nilai 3(x + y) adalah ...

a. 4

35

b. -2c. 3d. -3e. 2

10. Nilai y + 2x dari sistem persamaan { x+2 y=102 x+3 y=13 adalah ...

a. 11b. 8

c. 7

12

d. 7e. −¿

PERTIDAKSAMAAN

Pertidaksamaan adalah suatu kalimat yang mengandung tanda atau notasi > , <,

≤ , ≥. Penyelesaian pertidaksamaan seperti pada penyelesaian persamaan yaitu

menentukan nilai-nilai yang membuat kalimatnya menjadi benar.

A. Pengertian Pertidaksamaan Satu Variabel

Satu bentuk aljabar yang memuat tanda > , <, ≤ , atau≥ dan hanya memuat satu

variabel, misal : x , y , z.

36

Pengertian selang atau interval

Selang pada umumnya merupakan himpunan penyelasian dari suatu

pertidaksamaan.

Contoh :

-1 < x < 3 digambarkan dengan :

(karena tanda pertidaksamaan tidak memakai “ = “ , maka bulatannya kosong

“o” )

x ≥ 1 digambarkan dengan :

(bulatannya penuh “ .” karena pakai “ = ”)

B. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

1. Pengertian

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang memuat variabel yang

berpangkat satu.

Contoh : -5y + 1 < 2

px + q > -5

2 z−1≤ 3 z+5

2. Sifat-sifat sebuah pertidaksamaan

Jika a>b ;a ,b , c ,∈R ; maka berlaku :

a. a ± c>b± c

b. ac>bc ,c>0

c. ac<bc ,c<0

d.ac>b

c,c>0

e.ac<b

c,c<0

37

. o . . . o .-2 -1 0 1 2 3 4

. . . . .-1 0 1 2 3

Dan berlaku sebaliknya, jika a < b.

3. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. 2 x+7≤ 5;

b. 3−x ≥ 2 x+12!

Jawab :

a. 2 x+7≤ 5

2 x≤ 5−7

2 x≤−2

x ≤ −22

x ≤−1

∴HP {x x ≤−1 , x∈R }

b. 3−x≥ 2x+12

−x−2 x≥ 12−3

−3 x≥ 9

x≤ 9−3

x ≤−3

∴ HP {x x ≤−3 , x∈R }

C. Pertidaksamaan Kuadrat Satu Variabel

1. Pengertian

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat variabel

berbentuk kuadrat / pangkat dua.

Misalnya : p x2+qx+r<0

2 x2+x>5

2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

Langkah-langkahnya :

a. Kumpulkan semua suku ke ruas kiri, sehingga ruas kanan nol.

b. Tentukan harga-harga nol (faktorkan) jika ada. Jika ternyata D < 0, maka

ingat “definit positif” dan “negatif”.

c. Setelah difaktorkan ditemukan nilai x, letakkan pada garis bilangan,

kemudian tentukan daerah positif dan negatifnya.

Contoh :

38

(tanda dibalik karena koefisien x negatif)

Tentukan HP dari :

a. 2 x2−5>−9 x

b. 2 x−3<x2

Jawab :

a. 2 x2−5>−9 x

2 x2+9 x−5>0

(2 x−1 )(x+5)>0

2 x−1=0∨ x+5=0

x=12∨ x=−5

Letakkan pada garis bilangan :

Dari arah kanan, lihat koefisien x2

yaitu 2; jadi, positif.

Dari soal “ > 0” ; jadi, daerah

positif.

∴HP={x x←5 x> 12}

b. 2 x−3<x2

−x2+2 x−3<0

Harga nol : −x2+2x−3<0

Ternyata :

D= b2 – 4ac

= 4 – 4(-1) (-3)

= 4 – 12

=- 8

D<0 dan a = -1 < 0 ; jadi, definit

negatif maka −x2+2 x−3<0

(selalu negatif)

∴HP {x x∈R }

D. Pertidaksamaan Simultan

Pertidaksamaan simultan adalah pertidaksamaan dengan dua tanda tidak sama.

Misal : a< x<b

−1<x+2<5

Cara menentukan penyelesaiannya.

Contoh : Tentukan HP dari pertidaksamaan :

a. −2<3 x−5<4

b. 3 ≤ 8−5 x≤ 18

Jawab :

a. −2<3 x−5<4 ( cara langsung )

−2+5<3 x<4+5

39

3<3 x<9

1<x<3

∴HP={x1<x<3 , x∈R }

Cara lain (terpisah = dua kali penyelesaian)

−2<3 x−5<4

−2<3 x−5

−2+5<3 x

3<3 x

1<x ..................(1)

3 x−5<4

3 x<4+5

3 x<9

x<3..........................(2)

Dari (1) dan (2) dibuat garis bilangan :

1<x<3

b. Cara langsung :

3 ≤ 8−5 x≤ 18

3−8≤−5 x≤ 18−8

−5≤−5 x≤ 10

1 ≥ x ≥−2

∴HP={x−2≤ x≤ 1 , x∈R }

E. Pertidaksamaan Pecahan

1. Pengertian

Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang mempunyai bagian

pembilang dan penyebut dengan variabel tertentu.

Misal : 2 x+1x−5 ≥ 0

2. Macam-macam bentuk baku pertidaksamaan pecahan.

40

(2)

(1)

1 3

(tanda dibalik, karena koefisien x negatif)

a.f (x )g (x) < 0, g(x) ≠ 0

b.f (x )g (x) > 0, g(x) ≠ 0

c.f (x )g (x) ≤ 0, g(x) ≠ 0

d.f (x )g (x) ≥ 0, g(x) ≠ a

3. Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan

a. Kumpulkan semua suku pada ruas kiri, sehingga ruas kanan nol dan

janganlah melakukan perkalian silang.

b. Samakan penyebutnya (jika perlu).

c. Tentukan harga nol pembilang (catatan : tanda pertidaksamaannya

mengikuti soal) dan hharga nol penyebut (catatan : apapun tanda

pertidaksamaan dalam soal, untuk penyebut tidak boleh memakai tanda

“=” ).

d. Letakkan harga-harga x yang didapatkan, kemudian dari arah kanan garis

bilangan letakkan tanda “+” atau minusnya (lihat keofisien tertinggi pada

pembilang dibagi keofisien x tertimggi penyebutnya).

Contoh :

Tentukan HP dari pertidaksamaan :

a.x−4x+1 ≥ 2 b.

3 x−2x2−x−6

≤ 0

Jawab :

a.x−4x+1 ≥ 2 →

x−4x+1 -2 ≥ 0 (ruas kanan nol )

→ x – 4−2(x+1)x+1

≥ 0 (samakan penyebutnya)

→ x – 4−2 x+4

x+1 ≥ 0

→ – x−6

x+1 ≥0

Harga nol : -x – 6 = 0

41

X = -6

Penyebut : x + 1 = 0

X = -1

Letakan pada garis pembilang :

- - lihat keofisien x pembilang dibagi keofisien x penyebut

-6 -1

−11 = -1 < 0 (negatif)

b.3 x−2

x2−x−6 ≤ 0

Harga nol : 3x – 2 = 0

X = 23

Penyebut : x2 – x – 6 = 0

(x-3)(x-2) = 0

X = 3 ⋁ x= 2

Letakkan pada garis bilangan :

+ +

31 = 3 (positif)

-2

23 3

F. Pertidaksamaan Bentuk Akar

42

1) Pengertian pertidaksamaan bentuk akar adalah pertidaksamaan yang

memuat akar atau fungsi irasional.

Misal : √ f (x) < p, f(X) ≥ 0, p > 0

2) langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar

a. kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan

b. berlakukan syarat bagi fungsi-fungsi yang berada di bawah tanda akar

yaitu harus selalu positif atau nol.

c. Potongkan antara hasil (1) dan (2)

Contoh :

Tentukan HP dari pertidaksamaan :

a. √3 x+3 ≥ √ x−1 b. √ x2−4 x < √5

Jawab :

a. √3 x+3 ≥ √ x−1 dikuadratkan

3x + 3 ≥ x – 1

3x – x ≥ -1 -4

2x ≥ -5

X ≥ -52

Dipotongkan (1), (2) dan (3)

syarat :

3x + 3 ≥ 0

3x ≥ -3

X ≥ -1

X – 1 ≥ 0

43

−52 -1 1

X ≥ 1

HP = {X|X ≥ 1, X ∈ R}

b. √ x2−4 x < √5 dikuadratkan

X2 – 4x < 5

(x-5)(x+1) < 0

X = 5 ⋁x = -1 -1 < X < 5. . . . . . . . . . (1)

Syarat :

X2 – 4x < 5

X(x -4) ≥ 0

X = 0⋁x=4

Dipotongkan (1) dan (2) :

X ≤ 0 ∨ X ≥ 4 .. . . . . . .. . .(2)

G. Pertidaksamaan Nilai Mutlak1. Pengertian nilai mutlak

a. Untuk setiap bilangan x,nilai mutlak x yang akan disimbolkan dengan “|X|” ditemtukan sebagai :

|x|={+x ,untuk x ≥ 0−x , untuk x<0

b. Sifat-safat nilai mutlak :1) |x| = √ x2

2) |x . y| = |x||y|3) || = ||

2. Pengertian dan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlakUntuk a ∈ R, a ≥ 0 berlaku :a. Jika|x|<a, maka −a< x<ab. Jika|x|≤ a, maka −a≤ x≤ ac. Jika|x|>a, makax<−aV x>ad. Jika|x|≥ a, makax≤−aV x≥ a

Sifat – sifat :

a. |x− y|≥||x|−|y|| b. |x+ y|≤|x|+|y|

44

+ - +

-1 5

+ - +

0 4

Cara penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak : dengan mengukuadratkan kedua ruasContoh:Tentukan HP dari pertidaksamaan :

a. |2 x+1|<6 c. |x+1|≤|1−2 x|

b. |4−x|≥3 d. |x2−3|>6

Jawab :

a. |2 x+1|<6→ −6<2 x+1<6−6−1<2 x<6−1

−7<2 x<5

−7

2< x< 5

2Atau dengan cara mengkuadratkan kedua ruas

|2 x+1|<6→ (2 x+1 ) 2 <364 x2+4 x+1−36<0

4 x2+4 x+35<0(2 x+7 ) (2 x−5 )<0

x=−72∨x=5

2 + - +

∴−72< x< 5

2−7

252

b. |4−x|≥3 →4−x≤−3∨4−x≥3−1≤−7∨−x≥−1

x≥7∨x≤1

c. |x+1|≤|1−2 x|x2+2 x+1≤1−4 x+4 x2

+ - +0≤3 x2−6 x 0 20≤3 x ( x−2 )

∴ x≤0∨x≥2

d. |x2−3|>6 → x2−3<−6∨x2−3>6

x2<−3∨x2−9>0x2−3<0∨( x−3 ) (x−3 )>0 + - +

-3 3Jadi, x<−3∨x>3

45

H. Merancang Model Matematika yang Berkaitan dengan Pertidaksamaan Satu VariableContoh :1. Sebuah segitiga ABC, siku – siku di A. Jika panjang AB = xc dan AC = dua

lebihnya dari AB dan luas segitiga ABC tersebut lebih dari 4 cm2, maka tentukan nilai x yang memenuhi, ingat x > 0

Jawab :

C

L=12

x (x+2 )

x+2 L > 412

x ( x+2 )>4

x2+2 x>8

A x B x2+2 x−8>0( x+4 ) (x−2 )>0x=−4∨x>2

Karena x > 0, maka nilai x yang memenuhi adalah x > 22. Jumlah dua buah bilangan asli lebih besar atau sama dengan 18 dan kurang

dari 50. Jika bilngan kedua lebihnya empat dari bilangan pertama, maka tentukan batasan bagi bilangan pertama.

Jawab : misal : bilangan pertama = x*bilangan kedua = 4 + x

Jadi, 18≤x+( 4+x )<5018≤4+2 x<5014≤2 x<467≤x<23

46

SOAL - SOAL LATIHAN :

1. Jika nilai x yang memenuhi 5x + 1 ≤

8 – 2x adalah x ≤

a2 , maka nilai a = . . .

a. 7

b. 14

c. 16

d. 21

e. 25

2. Penyelesaian dari pertidaksamaan

3 x−1x+4 ≤

2 adalah . . .

a. X ≤

-4 ∨

x ≥

13

b. X < -4 ∨ x ≥ 9

c. -4 < x ≤ 9

d. -4 ≤ x ≤ 9

e. -9 ≤ x ≤ -4

3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

3x+1 >

2xx−2 adalah . . .

a. X < -1 ∨ x > 2

b. X < 0 ∨ x > 2

c. X < 0 ∨ -1< x < 2

d. -1 < x < 2

e. X < -1 ∨ 0 < x < 2

4. Nilai x yanng memenuhi x2 – 4x – 12 ≤ 0 dan 3x + 2 > 5 adalah . . .

a. 1 < x ≤ 6

b. 1 ≤ x ≤ 6

c. -2 ≤ x ≤ 6

d. -2 ≤ x < 1

e. x ≤ 6

47

5. Agar gratis 2x + 3y = 6 berada di bawah sumbu, maka nilai x yang memenuhi

adalah. . .

a. x < 3

b. x < 2

c. x ≤ 3

d. x > 2

e. x > 3

6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √❑≤3 adalah ...a. −1<x<17b. −1<x≤ 17c. −1 ≤ x ≤18d. −1 ≤ x ≤17e. 1 ≤ x ≤17

7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan √ x+1 ≥√x−3 adalah c ≤ x ≤ d, maka nilai c + d = ...

a.

12

b. 3

c.5 1

2d. 6

e.7 1

28. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ¿2 x−1∨¿2−3|2 x−1|−2≥ 0¿

adalah ...a. x≤ atau x ≥ 2

b.− 1

2 ≤ x≤

c. x≤−atau x ≥d. x≤ atau x ≥e. x≤−atau x ≥

9. Penyelesaian pertidaksamaan √ x2+2 x−8≥√x−2 adalah ...a. −3 ≤ x ≤ 2b. −4≤ x ≤2c. x≤−3atau x ≥2

48

d. x≤−4 atau x≥ 2e. x≥ 2

10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan √❑≥2 adalah ...a. −5<x<−1b. x<1V x>4c. 4<x<5d. 4 ≤ x<5e. 2 ≤ x<5

49