WARNA WARNI

Senin, 10 Desember 2012

contoh soal dan penyelesaian struktur aljabar

1.Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.Jawaban:P = {3x|x Z }∈Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a+b ∈  P.Perhatikan :a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)= (x+y) + (x+y) + (x+y)= 3(x+y)Karena x+y ∈  Z, maka a+b ∈  P

2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a+b = b+aPerhatikan:a+b = 3x + 3y = 3(x+y)= 3(y+    x)= 3y + 3x= b + a

3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)Perhatikan:a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)= 3x + 3(y+z)=3(x+ (y+z))= 3((x+y) + z)= 3(x+y) + 3z= (3x + 3y) + 3z= (a+b) + c

4. Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.Ambil sebarang a = 3x  P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.Perhatikan:a + 0 = 3x + 3.0= 3(x+0)= 3x= aIni berarti 0 unsur nol dalam P.

5. Ambil sebarang a = 3x ∈  P. Pilih b = 3(-x) ∈  P. Akan ditunjukkan –(3x) = 3(-x)Perhatikan:

3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))= 3.0= 0Jadi –(3x) = 3(-x)

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a.b ∈  P.

Perhatikan:a .b = 3x . 3y= 3. 3xy= 3(3xy)Karena 3xy ∈  Z, maka a.b ∈  P.

2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).cPerhatikan:a.(b.c) = 3x(3y . 3z)= 3x(3(3yz))= 3.3.3(x(yz))= 3.3.3((xy)z)= 3.3(xy) . 3z= (3x . 3y). 3z= (a.b). c

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c

dan (b+c)a = b.a + c.aPerhatikan:a(b+c) = 3x(3y + 3z)= 3x(3(y + z))= 3.3(x(y + z))= 3.3(xy + xz)= 3.3xy + 3.3xz= a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x= ((y+z)3). 3x= ((y+z)x)3.3= (yx + zx)3.3= 3.3yx + 3.3zx= 3y.3x + 3z.3x= b.a + c.a

Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a.b = b.a

Perhatikan:a .b = 3x. 3y= 3.3xy= 3.3yx

= 3y. 3x= b.a

Jadi P adalah gelanggang atau ring komutatif.

2. Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.Bukti :Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari fungsi.Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka:x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Zsehingga:xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.Akibatnya:xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring 3. Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R.Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong.Terhadap operasi pergandaan bersifat( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2dan terhadap operasi pengurangan bersifat( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (√2 ).Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R.Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i │a, b dalam R }Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R. 4. Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma.Penyelesaian :

TabelDaftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)

Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga terdapat korespodensi 1 – 1 dari kedua tabel tersebut.Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) → (H,.), untuk setiap a, b  Z∈ 2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1,sehingga :p(a + b) = p(a) . p(b)p(0 + 1) = p(0) . p(1)p(1) = 1 . -1-1 = -1Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) → (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma.

5. Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan p : Z → Z adalah p(x) = 2x, x Z, adalah suatu ∀ ∈Homomorfisma.Penyelesaian :Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma :Misalkan x, y Z, maka p(x + y) = 2(x + y)∈= 2x + 2y= p(x) + p(y)Sehingga p adalah suatu Homomorfisma.Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup ke dalam dirinya sendiri.

6. Tunjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring.Penyelesaian :

TabelDaftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi :1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)-          TertutupAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3  Z∈ 4

1 + 0 = 11 + 1 = 21 + 2 = 31 + 3 = 0karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈  Z4, maka tertutup terhadap Z4-          AssosiatifAmbil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈  Z4(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2Sehingga :(a + b) + c = a + (b + c) = 2maka Z4 assosiatif-          Adanya unsur satuan atau identitasAmbil sebarang nilai dari Z4

misalkan 0 ∈  Z40 + e = e + 0 = 0

misalkan 1 ∈  Z41 + e = e + 1 = 1

misalkan 2 ∈  Z42 + e = e + 2 = 2

misalkan 3 ∈  Z43 + e = e + 3 = 3

maka Z4 ada unsur satuan atau identitas-          Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 ∈  Z4, pilih 0 ∈  Z4,sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 ∈  Z4, pilih 3 ∈  Z4,sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1 = 3

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 ∈  Z4, pilih 2 ∈  Z4,sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1 = 2

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 ∈  Z4, pilih 1 ∈  Z4,sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1 = 1

maka Z4 ada unsur balikan atau invers-          KomutatifAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 ∈  Z4(a + b) = (2 + 3) = 1(b + a) = (3 + 2) = 1Sehingga :(a + b) = (b + a) = 1maka Z4 komutatifJadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +).2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)-          TertutupAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈  Z41 . 0 = 01 . 1 = 11 . 2 = 21 . 3 = 3karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈  Z4, maka tertutup terhadap Z4-          AssosiatifAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈  Z4(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2Sehingga :(a . b) . c = a . (b . c) = 2maka Z4 assosiatifJadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .).3. Distributif perkalian terhadap penjumlahanAmbil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈  Z4a.(b + c) = 2.(1 + 3)= 2.(0)= 0(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)= 2 + 6= 0Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0

(a + b).c = (2 + 1).3= (3).3= 1(a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)= 2 + 3= 1Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan.Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu Ring (Z4,+,.).

7. Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif.Penyelesaian :Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.a . b = b . a,  a,b ∈  Z4Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 ∈  Z4 (pada tabel no.6)2 . 3 = 23 . 2 = 2Sehingga2 . 3 = 3 . 2 = 2Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian. 8. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P  Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan ⊆“genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif.Penyelesaian:TabelDaftar Cayley (P, +) dan (P, .)

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif bila memenuhi :1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)-          TertutupAmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil ∈   Pgenap + genap = genapgenap + ganjil = ganjilganjil + ganjil = genapKarena hasilnya genap dan ganjil ∈  P, maka tertutup terhadap P-          AssosiatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈  P

(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjila + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjilSehingga :(a + b) + c = a + (b + c) = ganjilMaka P assosiatif-          Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈  P, pilih genap ∈  P,

sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈  P, pilih genap ∈  P,

sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genapmaka P ada unsur satuan atau identitas-          Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈  P, pilih genap ∈  P,sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1 = genap

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈  P, pilih ganjil ∈  P,sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1 = ganjil

maka P ada unsur balikan atau invers-          KomutatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈  P(a + b) = (genap + ganjil) = ganjilSehingga :(a + b) = (b + a) = ganjilmaka P komutatifJadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +).2. Monoid terhadap perkalian (P, .)-          TertutupAmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil P∈genap . ganjil = genapgenap . genap = genapganjil . ganjil = ganjilkarena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P∈-          AssosiatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P∈(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genapa . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genapSehingga :(a . b) . c = a . (b . c) = genapmaka P assosiatif-          Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,∈ ∈sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,∈ ∈sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil

maka P ada unsur satuan atau identitas-          KomutatifAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil P∈(a . b) = (genap . ganjil) = genap(b . a) = (ganjil . genap) = genapSehingga :(a . b) = (b . a) = genapmaka P komutatifJadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif  terhadap perkalian (P, .).3. Distributif perkalian terhadap penjumlahanAmbil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P∈a.(b + c) = genap . (ganjil + genap)= genap.(ganjil)= genap(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)= genap + genap= genapmaka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap(a + b).c = (genap + ganjil). Genap= (ganjil). Genap= genap(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)= genap + genap= genapmaka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genapJadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+, .).

9. Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain.Penyelesaian :Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain:a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0Misalkan :X = {…,-3, -1, 1, 3, …} adalah himpunan bilangan ganjil danY = {…, -4, -2, 0, 2, 4,…} adalah himpunan bilangan genap.Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol.Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0,  a,b P. ∀ ∈

10. Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a ≠ 0, serta b,c R.Tunjukan ∈bahwa b = c. Penyelesaian :ab = ac, maka:ab – ac = 0a(b – c) = 0Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a ≠ 0, maka :b – c = 0Jadi b = c 11. Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain.Penyelesaian :Daftar Cayley (Z4, .)

Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh [2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] ≠ [3].Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki pembagi nol yaitu [2].  12. Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.Penyelesaian :Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain:

a P, a∀ ∈ ∃ -1 ∈ P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = eTelah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil

 Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,sehingga genap.ganjil = genap ≠ e

 Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap ∈ ∈ P,sehingga genap.genap = genap ≠ e

maka P tidak ada unsur balikan atau invers.Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P ∈ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan). Diposkan oleh WARNA WARNI di 02.00 Kirimkan Ini lewat Email BlogThis! Berbagi ke Twitter Berbagi ke Facebook

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

Posting Lama Beranda Langganan: Poskan Komentar (Atom)

Arsip Blog

▼   2012 (8) o ▼   Desember (4)

contoh soal dan penyelesaian struktur aljabar materi SOAL TRYOUT UJIAN NASIONAL (P-2) TAHUN

PELAJARAN ... matematika ekonomi

o ►   November (4)

Mengenai Saya

WARNA WARNI Lihat profil lengkapku

Template Ethereal. Diberdayakan oleh Blogger.

Penyelesaian soal Ring/gelanggang 6. jawab :

Diandaikan ada elemen 1′∈R sebagai elemen satuan. Karena 1R merupakan elemen satuan,

maka diperoleh (1 R)(1′) = 1′ . Karena 1′ juga merupakan elemen satuan, maka

diperoleh (1 R)(1′) = 1 R .

Jadi, diperoleh 1′ = 1R .

(terbukti bahwa elemen satuan tersebut tunggal).

7. jawab :

    Bukan merupakan ring sebab tidak berlaku sifat distributif :

    Terdapat 1,2,3 ϵ Z , dimana :

    ( 1 © 2 ) ® 3     = ( 1 + 2 + 2 ) ® 3 = 5 ® 3 = 5 + 3 + 15 = 23

≠ (1 ® 3) © ( 2 ® 3) = (1 + 3 + 3) © ( 2 + 3 + 6 )= 7 + 11 + 2 = 20

 

8. jawab :

f fungsi yakni untuk setiap a,b ϵ Z, a = b f(a) = f(b)

Ambil sebarang a,b ϵ Z, a = b 2a = 2b f(a) = f(b)

F bukan Homomorfisma, karena tidak berlaku

Untuk setiap a,b ϵ Z, f(ab) = 2ab = (2a)(2b) = f(a)f(b)

Sebagai contoh penyangkal(counter example) :

Terdapat -3, 5 ϵ Z, f((-3)5)     = f(-15) = 2(-15) = 30

                   = f(-3)f(5) = (-6)10 = 60