Volume! - Andalan Pelajar...
-
Upload
nguyendiep -
Category
Documents
-
view
259 -
download
0
Transcript of Volume! - Andalan Pelajar...
1. Volume Gambar di bawah adalah 𝑛 = 5 keping uang logam dengan ketebalan ∆𝑥 yang jika dirapatkan satu sama lain akan membentuk silinder pejal. Prinsip ini akan digunakan untuk menentukan volume siliner
Luas permukaan uang logam berbentuk lingkaran adalah 𝐴 = 𝜋𝑟! Volume satu keping uang logam adalah 𝑉! = 𝐴!∆𝑥𝑉! = 𝜋𝑟!!∆𝑥
Jika ada 𝑛 keping uang logam disusun membentuk silinder maka volumenya adalah
𝑉 = 𝜋𝑟!!∆𝑥!
!!!
Pada gambar di bawah jika daerah yang diarsir diputar sejauh 360! mengelilingi sumbu X lintasannya akan membentuk silinder
Area yang diarsir dibatasi garis 𝑦 = 𝑟 dan sumbu X pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 maka luas silinder yang terbentuk luas alasnya 𝐴 = 𝜋𝑟! dan tingginya 𝑏 − 𝑎 maka luasnya adalah 𝑉 = 𝜋𝑟! 𝑏 − 𝑎
Jika kurva 𝑦 = 𝑟 dibagi menjadi 𝑛 partisi 𝑃 dan kontinu pada selang 𝑎 = 𝑥! < 𝑥! < 𝑥! < ⋯ < 𝑥! = 𝑏 maka lebar ∆𝑥 = !!!
!= 𝑥!!! − 𝑥!
Luas permukaan tiap partisi yang berbentuk lingkaran adalah 𝐴! = 𝜋𝑟!
𝐴! = 𝜋 𝑓 𝑥! !
Volumenya adalah
𝑉 = 𝐴!∆𝑥!
!!!
𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥! !∆𝑥!
!!!
Untuk 𝑛 yang sangat besar dan ∆𝑥 → 0 maka volume adalah
𝑉 = lim∆!→!
𝜋 𝑓 𝑥! !∆𝑥!
!!!
𝑉 = 𝜋𝑓 𝑥 !!
!𝑑𝑥
𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 !!
!𝑑𝑥
Jika 𝑓 𝑥 kontinue pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 dan diputar sejauh 360! pada sumbu X maka volume benda putar yang terbentuk adalah
𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 !!
!𝑑𝑥
Jika diputar terhadap sumbu Y
𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑦 !!
!𝑑𝑦
Untuk perhitungan volume siliner pada gambar di atas 𝑓 𝑥 = 𝑟 adalah 𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 !!
! 𝑑𝑥
= 𝜋 𝑟!!! 𝑑𝑥
= 𝜋 𝑟!𝑥!!! 𝑑𝑥
= 𝜋𝑟! !!!!
𝑥!!!𝑏
𝑎
= 𝜋𝑟!𝑥𝑏
𝑎= 𝜋𝑟!𝑏 − 𝜋𝑟!𝑎= 𝜋𝑟! 𝑏 − 𝑎
Untuk menghitung volume bola digunakan kurva setengah lingkaran
Persamaan lingkaran yang berjari jari 𝑟 dan berpusat di 0,0 adalah 𝑥! + 𝑦! = 𝑟!
𝑦! = 𝑟! − 𝑥!
𝑦 = 𝑟! − 𝑥!
𝑓 𝑥 = 𝑟! − 𝑥!
Volume bola yang terjadi bila kurva 𝑓 𝑥 = 𝑟! − 𝑥! pada selang −𝑟 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟 diputar terhadap sumbu X
𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 !!
!!𝑑𝑥
𝑉 = 𝜋 𝑟! − 𝑥!!!
!!𝑑𝑥
𝑉 = 𝜋 𝑟! − 𝑥!!
!!𝑑𝑥
𝑉 = 𝜋 𝑟!𝑥! − 𝑥!!
!!𝑑𝑥
𝑉 = 𝜋 𝑟!1
0 + 1 𝑥!!! −
12 + 1 𝑥
!!!𝑟
−𝑟
𝑉 = 𝜋 𝑟!𝑥 −13𝑥!
𝑟
−𝑟
𝑉 = 𝜋 𝑟! 𝑟 −13𝑟 ! − 𝜋 𝑟! −𝑟 −
13−𝑟 !
𝑉 = 𝜋 𝑟! −13𝑟! − 𝜋 −𝑟! −
13−𝑟!
𝑉 = 𝜋23𝑟! − 𝜋 −𝑟! +
13𝑟!
𝑉 = 𝜋23𝑟! − 𝜋 −
23𝑟!
𝑉 =23 𝜋𝑟
! +23 𝜋𝑟
!
𝑉 =43 𝜋𝑟
!