Web viewMenghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong,...

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

Sekolah : SMA Labschool KebayoranMata pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XII / 1Alokasi Waktu : 4 x 4 Jam Pelajaran

A. Kompetensi Inti (KI) 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong,

kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

3. Memahami, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

4. Mengolah, menalar, menyaji, dan mencipta dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri serta bertindak secara efektif dan kreatif, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

B. Kompetensi Dasar 1.1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya2.1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri,

dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

2.2. Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.

2.3. Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.3.1. Menganalisis konsep, nilai determinan dan sifat operasi matriks serta menerapkannya dalam

menentukan invers matriks dan dalam memecahkan masalah.4.1 Menyajikan dan menyelesaikan model matematika dalam bentuk persamaan matriks dari

suatu masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linear.

C. Indikator Pencapaian Kompetensi Menunjukkan sikap kerja sama, rasa ingin tahu dan memiliki rasa percaya diri dalam menganalisis

konsep Menunjukkan rasa percaya diri dalam menyampaikan gagasan dan memecahkan masalah

nyata Menemukan konsep determinan matriks Menemukan sifat – sifat determinan matriks. Menemukan invers matriks dikaitkan dengan nilai determinan Menentukan invers matriks Memecahkan masalah yang berkaitan dengan invers matriks.

Menyajikan model matematika dalam bentuk persamaan matriks dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linier

Menyelesaikan model matematika dalam bentuk persamaan matriks dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linier

D. Materi Pembelajaran Determinan Matriks Menentukan determinan matriks 2 x 2 dan sifat-sifatnya Menentukan determinan matriks 3 x 3 dan sifat-sifatnya Invers Matriks Menyelesaikan masalah menggunakan Matriks

E. Kegiatan Pembelajaran1. Pertemuan Ke 1 ( 4 Jam Pelajaran )

Langkah Pembelajaran

Sintak Model Pembelajaran

DeskripsiAlokasi Waktu

Kegiatan Pendahuluan

1. Berdoa bersama2. Mengabsen kehadiran peserta didik3. Apersepsi Guru mengimformasikan tentang KI dan KD tentang

determinan matriks dan sifat-sifat operasi matrik serta menerapkan inverse matrik dalam pemecahan masalah;

Guru memberikan motivasi pentingnya determinan matrkis

Guru memberikan apersepsi tentang determinan matriks ordo 2x2

20 menit

Kegiatan Inti Fase 1:Orientasi siswa kepada masalah

Guru mengajak Siswa mengamati definisi tentang determinan ordo 1X1, 2X2 kemudian diarahkan untuk memperhatikan contoh soal 1.5. dari buku paket hal 9

160 menit

Fase 2:Mengorganisasikan siswa

Dari hasil pengamatan yang dilakukan, Siswa diarahkan untuk membuat pertanyaan dari hasil mengamati dari contoh 1.5, yang mengarah pada penyelesian masalah, determinan matriks atau guru memotivasi peserta didik dengan mengajukan pertanyaan kepada siswa, misalnya :1. Apa yang dimaksud dengan determinan matriks2. Bagaimana cara menghitung determinan matriks

Fase 3:Membimbing penyelidikan individu dan kelompok

Ajak siswa untuk menggali informasi seperti :

Fase 4:Mengembangkan dan menyajikan hasil karya

Dengan informasi yang telah diperoleh, Siswa diarahkan untuk menjelaskan bagaimana cara menghitung nilai determinan suatu matriks

Fase 5:Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah

Berdasarkan hasil mengamati dan menyelesaikan contoh 1.5, Siswa diarahkan untuk menuliskan kesimpulan

tentang cara menghitung determinan suatu matrik ordo 1X1, 2X2

Kegiatan Penutup

Siswa diminta memahami tentang definisi determinan matriks dan bagaimana cara menghitung nilai suatu determinan matriks

Guru membimbing siswa untuk melakukan refleksi terhadap kegiatan pembelajaran yang telah dilaksanakan

Guru memberikan tes tulis singkat Guru memberikan tugas berupa PR

2. Pertemuan Ke 2 (4 jam pelajaran )





1. Berdoa bersama2. Mengabsen kehadiran peserta didik3. Apersepsi Guru mengkonfirmasi tentang PR pada pertemuan

sebelumnya Guru memberikan motivasi pentingnya determinan

matrkis Guru memberikan apersepsi tentang determinan

matriks ordo 3x3 dan sifat-sifatnya

20 menit

Kegiatan Inti Fase 1:Orientasi siswa kepada masalah

Guru mengajak Siswa mengamati definisi tentang determinan ordo 3X3 kemudian diarahkan untuk memperhatikan contoh soal 1.16. dari buku paket hal 19

160 menit

Fase 2:Mengorganisasikan siswa

Dari hasil pengamatan yang dilakukan, Siswa diarahkan untuk membuat pertanyaan dari hasil mengamati dari contoh 1.16, yang mengarah pada penyelesian masalah, determinan matriks atau guru memotivasi peserta didik dengan mengajukan pertanyaan kepada siswa, misalnya :2. Apa yang dimaksud dengan determinan matriks3. Bagaimana cara menghitung determinan matriks

Fase 3:Membimbing penyelidikan individu dan kelompok


Fase 4:Mengembangkan dan menyajikan hasil karya

Dengan informasi yang telah diperoleh, Siswa diarahkan untuk menjelaskan bagaimana cara menghitung nilai determinan suatu matriks

Fase 5:Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah

Berdasarkan hasil mengamati dan menyelesaikan contoh 1.16, Siswa diarahkan untuk menuliskan kesimpulan tentang cara menghitung determinan suatu matrik ordo

3X3

3. Pertemuan Ke 3 ( 4 Jam Pelajaran ) Langkah

PembelajaranSintak Model Pembelajaran



Berdoa bersama2. Mengabsen kehadiran peserta didik3. Apersepsi Guru mengkonfirmasi tentang PR pada pertemuan

sebelumnya Guru memberikan motivasi pentingnya inverse

matrkis Guru memberikan apersepsi tentang inverse matriks

ordo 2x2 dan 3X3

20 menit

Kegiatan Inti Fase 1:

Orientasi siswa kepada masalah

Guru mengajak Siswa mengamati definisi tentang inverse matrik ordo 2X2 dab 3X3 kemudian diarahkan untuk memperhatikan contoh soal 1.24. dari buku paket hal 40

160 menit

Fase 2:

Mengorganisasikan siswa

Dari hasil pengamatan yang dilakukan, Siswa diarahkan untuk membuat pertanyaan dari hasil mengamati dari contoh 1.24, yang mengarah pada penyelesian masalah, inverse matriks atau guru memotivasi peserta didik dengan mengajukan pertanyaan kepada siswa, misalnya:1. Apa yang dimaksud dengan inverse matriks2. Bagaimana cara menghitung inverse matriks

Fase 3:

Membimbing penyelidikan individu dan kelompok


Fase 4:

Mengembangkan dan menyajikan hasil karya

Dengan informasi yang telah diperoleh, Siswa diarahkan untuk menjelaskan bagaimana cara menghitung nilai inverse suatu matriks

Fase 5:

Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah

Berdasarkan hasil mengamati dan menyelesaikan contoh 1.5, Siswa diarahkan untuk menuliskan kesimpulan tentang cara menghitung determinan suatu matrik ordo 1X1, 2X2

Kegiatan Penutup

Siswa diminta menyimpulkan tentang penggunaan matriks untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari


Guru memberikan tes tulis singkat




Guru memberikan tugas berupa PR Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada

pertemuan berikutnya

4. Pertemuan Ke 4 ( 4 Jam Pelajaran ) Langkah

PembelajaranSintak Model Pembelajaran



Berdoa bersama2. Mengabsen kehadiran peserta didik3. Apersepsi Guru mengkonfirmasi tentang PR pada pertemuan

sebelumnya Guru memberikan motivasi pentingnya penerapan

matriks dalam penyelesaian sistem persamaan linier Guru memberikan apersepsi tentang penerapan

matriks dalam penyelesaian sistem persamaan linier

20 menit

Kegiatan Inti Fase 1:

Orientasi siswa kepada masalah

Guru mengajak Siswa mengamati definisi tentang penerapan matriks dalam penyelesaian sistem persamaan linier diarahkan untuk memperhatikan contoh soal 1.28. dari1.29 buku paket hal 53 dan 54

160 menit

Fase 2:

Mengorganisasikan siswa

Dari hasil pengamatan yang dilakukan, Siswa diarahkan untuk membuat pertanyaan dari hasil mengamati dari contoh 1.28. dan 1.29, yang mengarah pada penyelesian masalah, penerapan matriks dalam penyelesaian sistem persamaan linier dengan mengajukan pertanyaan kepada siswa, misalnya :1. Apa yang dimaksud dengan determinan matriks2. Bagaimana cara menghitung determinan matriks

Fase 3:

Membimbing penyelidikan individu dan kelompok


Fase 4: Dengan informasi yang telah diperoleh, Siswa diarahkan untuk menjelaskan bagaimana cara penerapan




Mengembangkan dan menyajikan hasil karya

matriks dalam penyelesaian sistem persamaan linier

Fase 5:

Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah

Berdasarkan hasil mengamati dan menyelesaikan contoh 1.28 dan 1.29, Siswa diarahkan untuk menuliskan kesimpulan tentang cara penerapan matriks dalam penyelesaian sistem persamaan linier

Kegiatan Penutup

Siswa diminta memahami tentang penerapan matriks dalam penyelesaian sistem persamaan linier


Guru memberikan tes tulis singkat Guru memberikan tugas berupa PR Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada

pertemuan berikutnya

F. Penilaian, Pembelajaran Remedial dan Pengayaan 1. Teknik penilaian (Pengamatan langsung, wawancara, dan tes tertulis)2. Instrumen penilaian ( terlampir )3. Pembelajaran Remedial dan Pengayaan ( terlampir )4. Kunci dan Pedoman Penskoran ( terlampir )

G. Media/alat, Bahan, dan Sumber Belajar 1. Media/Alat : Laptop, LCD, Papan tulis2. Bahan : Lembar Aktifitas Siswa ( LAS )3. Sumber Belajar :

Buku Guru Matematika Kelas XII, Kemdikbud 2013, hal. 1- 78 dan Buku Siswa Matematika Kelas XII Semester 1, Kemdikbud 2013, hal. 1 – 70

Buku-buku penunjang Internet

Lampiran

LEMBAR AKTIFITAS SISWA

Diskusikan dengan teman satu kelompok, dan tuliskan hasil diskusinya dengan rapi dan jelas !

Pada saat ingin menonton film ke bioskop, Ida, Ahmad dan Putra masing-masing membeli snack. Ida membeli dua coklat, satu minuman, dan dua bungkus popcorn dengan membayar Rp.29.000. Ahmad menghabiskan Rp.19.000 karena membeli satu coklat, dua minuman dan satu bungkus popcorn. Sedangkan Putra membeli dua minuman dan tiga bungkus popcorn dengan menghabiskan Rp.33.000. Berapa harga dari tiap-tiap snack?

Intstrumen Penilaian Pengetahuan

Kunci Jawaban

Pedoman Penskoran

Hanya sampai pemodelan : Skor 1

Menyelesaikan perhitungan (nomor a) tapi ada kesalahan hitung dibeberapa tempat : Skor 2

Menyelesaikan perhitungan (nomor a) dengan teliti dan rapi sampai selesai : Skor 3

Menyelesaikan permasalahan nomor a, b, dan c dengan benar : Skor 4

1. Instrumen Penilaian Kompetensi Sikap

a. Penilaian Kompetensi Sikap Melalui Observasi

Mata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XII / GanjilKompetensi Dasar : 2.1 Menghayati prilaku disiplin kerja sama,kritis dan cermat

dalam bekerja menyelesaikan masalah kontektualTopik/Subtopik : Matriks / Menyelesaikan masalah dengan menggunakan

matriksIndikator Pencapaian Kompetensi

: - Menunjukkan rasa sikap kerja sama dalam kelompok- Menunjukkan sikap cermat dalam mengerjakan tugas

dalam proses pembelajaran

Nama Kerjasama Cermat Nilai AkhirAktif Bantu Santun Nilai Teliti Rapih Benar Nilai

………….………….

Keterangan: Aktif: peserta didik terlibat aktif dalam diskusi kelompok Bantu: peserta didik suka membantu teman jika mengalami kesulitan Santun: peserta didik menyampaikan pendapat dengan santunPetunjuk:

Beri skor 4, jika ketiga komponen kerjasama dipenuhi. Beri skor 3, jika dua komponen kerjasama dipenuhi. Beri skor 2, jika satu komponen kerjasama dipenuhi. Beri skor 1, jika tidak memenuhi semua komponen kerjasama dipenuhi.

Teliti : Peserta didik mengerjakan sesuai prosedur Rapih : Peserta didik hati-hati dalam menyajikan hasil Benar : Peseta didik mengerjakan soal dengan tepat Petunjuk:

Beri skor 4, jika ketiga komponen kerjasama dipenuhi. Beri skor 3, jika dua komponen kerjasama dipenuhi. Beri skor 2, jika satu komponen kerjasama dipenuhi. Beri skor 1, jika tidak memenuhi semua komponen kerjasama dipenuhi.

b. Penilaian Sikap melalui Penilaian Diri

Mata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XII / GanjilKompetensi Dasar : 2.1 Menghayati prilaku disiplin kerja sama,kritis dan cermat

dalam bekerja menyelesaikan masalah kontektualTopik/Subtopik : Matriks /

MenyelesaikanmasalahdenganmenggunakanmatriksIndikator Pencapaian Kompetensi

: - Menunjukkan rasa sikap kerja sama dalam kelompok- Menunjukkan sikap cermat dalam mengerjakan tugas

dalam proses pembelajaran

Instrumen:

c. Penilaian Antar Peserta Didik

Mata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XII / GanjilKompetensi Dasar : 2.1. Menghayati prilaku disiplin kerja sama,kritis dan cermat

dalam bekerja menyelesaikan masalah kontektualTopik/Subtopik : Matriks / Menyelesaikan masalah dengan menggunakan

matriks

Instrumen:

d. Penilaian Sikap melaluiJurnal

Mata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XII / GanjilKompetensi Dasar : 2.1. Menghayati prilaku disiplin kerja sama,kritis dan cermat

dalam bekerja menyelesaikan masalah kontektualTopik/Subtopik : Matriks /

Menyelesaikanmasalahdenganmenggunakanmatriks

Instrumen:

2. Instrumen Penilaian Kompetensi Pengetahuana. TesTulis

1) Soal Pilihan Ganda

Mata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XII / GanjilKompetensi Dasar : 3.1. Menganalisis konsep, nilai determinan dan sifat operasi

matriks serta menerapkannya dalam menentukan invers matriks dan dalam memecahkan masalah.

Topik/Subtopik : Matriks / Menyelesaikanmasalahdenganmenggunakanmatriks

Indikator Pencapaian Kompetensi

: - Menemukan konsep determinan matriks- Menemukan sifat –sifat determinan matriks.- Menemukan invers matriks dikaitkan dengan nilai

determinan- Menentukan invers matriks- Memecahkan masalah yang berkaitan dengan invers

matriks.

Instrumen :

1. Diketahui matriks A=(1 2

3 5 )

, B=(3 -2

1 4 ), dan P(2x2). Jika matriiks A x P = B, maka matriks P adalah ….

a. (13 −18-8 10 )

b. (21 −8-7 2 )

c. (-13 188 −10 )

d. (-21 87 −2 )

e. ( 5 614 12 )

Jawaban C

2) Soal Uraian







matriks.

Instrumen :

Selesaikanlah soal-soal dibawah ini!1. Diketahui sistimpersamaan linier

3 x−2 y=72 x+5 y=−8

Carilah Penyelesaian SPL di atas dengan menggunakan metoda matriks!

2. Siswa SMK jurusan teknologi pertanian mengadakan pameran hasil karya mereka, antara lain olahan kedelai berupa susu rasa coklat dan rasa vanila. Tabel berikut menunjukkan data penjualan dalam satuan liter pada pameran selama 2 hari tersebut :.

Rasa Coklat Rasa vanillaHari ke-1 40 50Hari ke-2 20 10

Tabel berikut menunjukkan pendapatan yang diperoleh dalam satuan rupiah dari penjualan diatas :

Total pendapatan dari kedua rasaHari ke-1 200.000Hari ke-2 70.000

Berapakah harga jual susu kedelai rasa coklat dan susu kedelai rasa vanila tiap liternya ?

3. Tentukan besar arus dalam jaringan listrik pada gambar berikut :Q

10 ohm

P15 ohm

10 ohm20 ohm

90 volt

i1

i2

80 volt

i3

Jawab :

1. (3 −22 5 ).( xy )=( 7

−8) ……………………………………………skore 1

A . X = B X = A-1.B …………………………………………… skore 1

X= 119 ( 5 2

−2 3).( 7−8)= 1

19 ( 19−38) ………….. Skore 1

X=( 1−2) …………………………………………… Skore 1

Jadi penyelesaian SPL di atas adalah {1,-2} Jumlah skore …………… 4

2. Persoalan diatas diselesaikan dengan matriks adalah sebagai berikut :Misalkan : x = harga susu kedelai rasa coklat per-liter

y = harga susu kedelai rasa vanilla per-liter, maka :

10205040

yx

=

000.70000.200

atau A

yx

= B, maka

yx

= A1

.B ............. Skore 1

Diperoleh A1

= )20x50()10x40(1 .Adj (A)

= 6001

40205010

=

151

301

121

601

, .................................................... Skore 1Jadi penyelesaian untuk soal di atas adalah:

yx

= A1

.B =

151

301

121

601

000.70000.200

=

20002500

……………………….. Skore 2Harga jual susu kedelai rasa coklat Rp. 2500,00 per-liter dan harga jual susu kedelai rasa vanila Rp. 2000,00 per-liter. Jumlah skore...................................................... 4

3. Tentukan besar arus dalam jaringan listrik pada gambar berikut :

Jawab : Dengan hukum Kirchhof diperoleh sistem persamaan linier : i1 – i2 + i3 = 0 -i1 + i2 - i3 = 0

10 i2 + 25i3 = 90 20i1 + 10 i2 = 80 .................................................................................1

Dengan operasi baris elementer pada matriks augmented kita peroleh :

Q

10 ohm

P15 ohm

10 ohm20 ohm

90 volt

i1

i2

80 volt

i3

8001020902510001110111

R21 (1) dan R4 1 (-20)

8020300902510000000111

R24 dan

R3 2

0000802030090251000111

R3 2 (-3)

0000190950090251000111

………………………………………. 1Ini identik dengan sistem persamaan - 95 i3 = -190 i3 = 2

10 i2 + 25i3 = 90 i2 = 101

( 90 – 25 i3 ) = 4i1 - i2 + I3 = 0 i1 = i2 – i3 = 2

Jadi, i1 = 2 , i 2 = 4 dan i 3 = 2 . .................................................................................................. 2Jumlah skore ................................................................................................................................... 4

Nilai akhir siswa = (skor yg diperolehskormaksimum x 3) + 1

b. Observasi Terhadap Diskusi/ Tanya Jawab







matriks.

Instrumen : Format observasi terhadap diskusi, tanya jawab, dan percakapan

No Nama Pernyataan

Peserta Didik Pengungkapan gagasan yang

orisinal

Kebenaran konsep Ketepatan penggunaan istilah

Ya Tidak Ya Tidak Ya Tidak

Keterangan: diisi dengan ceklis ( √ )

c. Penugasan







matriks.

Instrumen :

Pekerjaan Rumah berupa soal-soal Latihan

3. Instrumen PenilaianKompetensi Keterampilana. Penilaian Praktik

Mata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XII / GanjilKompetensi Dasar : 4.1. Menyajikan dan menyelesaikan model matematika

dalam bentuk persamaan matriks dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linear.



: - Menyajikan model matematika dalam bentuk persamaan matriks dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linier

- Menyelesaikan model matematika dalam bentuk persamaan matriks dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linier

Instrumen :

b. Penilaian Proyek

Mata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XII / GanjilKompetensi Dasar : 4.1. Menyajikan dan menyelesaikan model matematika dalam

bentuk persamaan matriks dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linear.





Instrumen :

c. Penilaian ProdukMata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XII / GanjilKompetensi Dasar : 4.1. Menyajikan dan menyelesaikan model matematika dalam

bentuk persamaan matriks dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linear.





Instrumen:

d. Penilaian PortofolioMata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XII / GanjilKompetensi Dasar : 4.1. Menyajikan dan menyelesaikan model matematika

dalam bentuk persamaan matriks dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linear.



- Menyajikan model matematika dalam bentuk persamaan matriks dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linier


Instrumen

LAMPIRAN :Materi Pembelajaran:

A. Contoh Aplikasi Matriks pada penyelesaian masalah

1. Siswa SMK jurusan teknologi pertanian mengadakan pameran hasil karya mereka, antara lain olahan kedelai berupa susu rasa coklat dan rasa vanila. Tabel berikut menunjukkan data penjualan dalam satuan liter pada pameran selama 2 hari tersebut :

Rasa Coklat Rasa vanilaHari ke-1 40 50Hari ke-2 20 10

Tabel berikut menunjukkan pendapatan yang diperoleh dalam satuan rupiah dari penjualan diatas :

Total pendapatan dari kedua rasaHari ke-1 200.000

Hari ke-2 70.000Berapakah harga jual susu kedelai rasa coklat dan susu kedelai rasa vanila tiap liternya ?Persoalan diatas diselesaikan dengan matriks adalah sebagai berikut :Misalkan : x = harga susu kedelai rasa coklat per-liter y = harga susu kedelai rasa vanilla per-liter, maka :

= atau A = B, maka = A .B

Diperoleh A = .Adj (A)

= = , Jadi penyelesaian untuk soal di atas adalah:

= A .B = =

Harga jual susu kedelai rasa coklat Rp. 2500,00 per-liter dan harga jual susu kedelai rasa vanila Rp. 2000,00 per-liter.

2. Tentukan besar arus dalam jaringan listrik pada gambar berikut :

Jawab : Dengan hukum Kirchhof diperoleh sistem persamaan linier : i1 – i2 + i3 = 0 -i1 + i2 - i3 = 0

10 i2 + 25i3 = 90 20i1 + 10 i2 = 80

Dengan operasi baris elementer pada matriks augmented kita peroleh :

R21 (1) dan R4 1 (-20) R24 dan

R3 2 R3 2 (-3)

Q

10 ohm

P15 ohm

10 ohm20 ohm

90 volt

i1

i2

80 volt

i3

10205040

yx

000.70000.200

yx

yx

1

1 )20x50()10x40(1

6001

40205010

151

301

121

601

yx

1

151

301

121

601

000.70000.200

20002500

8001020902510001110111

8020300902510000000111

0000802030090251000111

0000190950090251000111

Ini identik dengan sistem persamaan - 95 i3 = -190 i3 = 2

10 i2 + 25i3 = 90 i2 = ( 90 – 25 i3 ) = 4i1 - i2 + I3 = 0 i1 = i2 – i3 = 2

Jadi, i = 2 , i = 4 dan i 3 = 2 .

Penerapan Matriks Dalam Kehidupan Sehari-hari

A. Pengertian matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan , simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Penemu matriks adalah Arthur Cayley.

Syarat – syarat suatu matriks :○ Unsur – unsurnya terdiri dari bilangan – bilangan○ Mempunyai baris dan kolom○ Elemen – elemennya berbentuk persegi panjang dalam kurung biasa , kurung siku , atau kurung bergaris dua.

Fungsi matriks dalam kehidupan sehari-hari :● Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

● Memudahkan dalam membuat analisis mengenai suatu masalah ekonomi yang mengandung bermacam – macam variable.

● Digunakan dalam memecahkan masalah operasi penyelidikan , misalnya masalah operasi penyelidikan sumber – sumber minyak bumi dan sebagainya.

● Dikaitkan dengan penggunaan program linear, analisis input output baik dalam ekonomi, statistic, maupun dalam bidang pendidikan, manajemen, kimia, dan bidang – bidang teknologi yang lainnya.

101

1 2

Penerapan Matriks dalam kehidupan sehari-hari, ada yang bisa menyelesaikan soal ini?Seorang petani memiliki 3 buah kebun, yaitu kebun A, B, dan C yang masing-masing ditanami pohon kelapa. Untuk memanen 1 hektar kebun A diperlukan 8 orang kuli, 2 orang mandor dan 1 mobil pengangkut. Untuk memanen 1 hektar kebun B diperlukan 5 orang kuli, 3 orang mandor, dan 2 mobil pengangkut. Sedangkan untuk memanen 1 hektar kebun C diperlukan 10 orang kuli dan 3 mobil pengangkut. Jika petani tersebut memiliki 74 orang kuli 18 orang mandor dan 20 buah mobil pengangkut, tentukan luas masing-masing kebun (dalam hektar) agar aset yang dimiliki petani tersebut termanfaatkan seluruhnya.

Ada yang tau bagaimana bentuk model matematika dalam soal seperti itu? Bagaimana cara menyelesaikan soal ini? Apakah bentuknya seperti ini?

x = orang kuliy = orang mandorz = orang pengangkut

{8, 5 10}x = 74{2, 3, 0}y = 18{1, 2, 3}z = 20

{74, 18, 20} = {8, 5 10}x + {2, 3, 0}y + {1, 2, 3}z

Jadi bentuk persamaan linearnya:

8x + 2y + z = 745x + 3y + 2z = 1810x + 3z = 20

didapat nilai:x = 289/26y = 201/26z = -395/13

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

PENYELESAIAN MATRIKS PERSAMAAN LINEAR 2 DAN 3 VARIABEL :

Matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Pada pembahasan kali ini, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabel.

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah

ax + by = p ............................................................................ (1)cx + dy = q ............................................................................. (2)

Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

Tujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan itu. Oleh karena itu, berdasarkan penyelesaian matriks bentuk AX = B dapat dirumuskan sebagai berikut.

asalkan ad – bc ≠ 0.

Contoh Soal 23 :

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara matriks.

2x + y = 7x + 3y = 7

Jawab:

Dari persamaan di atas dapat kita susun menjadi bentuk matriks sebagai berikut.

Dengan menggunakan rumus penjelasan persamaan matriks di atas, diperoleh sebagai berikut.

Jadi, diperoleh penyelesaian x = 1 dan y = 2.

http://3.bp.blogspot.com/-vm8ZY7wBJ_0/UZYCCr_OXjI/AAAAAAAATPk/Fo0Kzd3QPgY/s1600/Penyelesaian-Sistem-Persamaan-Linear-dengan-Matriks-1752013.jpg

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Kalian tentu tahu bahwa untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya eliminasi, substitusi, gabungan antara eliminasi dan substitusi, operasi baris elementer, serta menggunakan invers matriks. Kalian dapat menggunakan cara-cara tersebut dengan bebas yang menurut kalian paling efisien dan paling mudah.

Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti berikut.

Misalkan A = , X = , dan B =

Bentuk di atas dapat kita tuliskan sebagai AX = B.

Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A-1 B. Dalam hal ini, A-1 =

Oleh karena itu, diperoleh :

asalkan det A ≠ 0.

Contoh Soal 24 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

2x + y – z = 1x + y + z = 6x – 2y + z = 0

Jawaban :

Cara 1:

Operasi elemen baris, selain dapat digunakan untuk mencari invers matriks, dapat pula digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Dengan menggunakan operasi baris elementer.

Dengan demikian, diperoleh y = 2. Kita substitusikan nilai y = 2 ke persamaan (2) sehingga :

y + 3z = 11 ↔ 2 + 3z = 11↔ 3z = 11 – 2↔ 3z = 9↔ z = 3

Substitusikan y = 2 dan z = 3 ke persamaan (1) sehingga diperoleh :

x + y + z = 6 ↔ x + 2 + 3 = 6↔ x + 5 = 6↔ x = 6 – 5↔ x = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.

Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}.

Cara 2:

Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks sebagai berikut.

Misalkan A = , X = , dan B =

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :

det A =

det A = 2(3) – 1(0) + (–1)(–3) = 9

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :

http://4.bp.blogspot.com/-Bgx4IRFbp5M/UZeON8gEcnI/AAAAAAAATP0/du5oBL0uNSk/s1600/operasi-baris-elementer-1852013.jpg

Dengan cara yang sama, kalian akan memperoleh K31 = 2, K32 = –3, dan K33 = 1 (coba tunjukkan).

Dengan demikian, diperoleh :kof(A) =

Oleh karena itu, adj(A) = (kof(A))T.Adj(A) =

Jadi, X =

Jadi, diperoleh x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah {(1, 2, 3)

Contoh Soal Penerapan Sistem Persamaan Linear pada Penerapan Persimpangan Jalan

Di bagian kota yang ramai dari suatu kota tertentu, dua kelompok jalan satu-arah berpotongan seperti pada gambar dibawah ini. Rata-rata volume mobil per jam yang memasuki dan meninggalkan persimpangan diberikan pada gambar. Tentukan banyaknya lalu lintas antara pada setiap perempatan (x1, x2, x3, x4)

http://2.bp.blogspot.com/-E-voOxN09rA/UZePqJ8-CyI/AAAAAAAATQE/dVQayI5YTq4/s1600/minor-kofaktor-matriks-1852013.jpg

Jawaban:

Cara Manual:

Untuk menghitung nilai x pada persimpangan jalan, volume mobil per jam yang masuk ke suatu persimpangan sama dengan volume mobil per jam yang keluar dari suatu persimpangan tersebut. Maka setiap persimpangan memiliki perumusan sebagai berikut:

Volume Mobil per Jam yang Masuk = Volume Mobil per Jam yang Keluar

Persimpangan A:

x1 + 450 = 610 + x2

x1 – x2 = 610 – 450x1 – x2 = 160

Persimpangan B:

x2 + 520 = 480 + x3

x2 – x3 = 480 – 520x2 – x3 = -40x3 – x2 = 40

Persimpangan C:

x3 + 390 = 600 + x4

x3 – x4 = 600 – 390x3 – x4 = 210

Persimpangan D:

x4 + 640 = 310 + x1

x4 – x1 = 310 – 640x4 – x1 = -330x1 – x4 = 330

http://3.bp.blogspot.com/-RRgZxtPQx0Q/VEI-rdTIW0I/AAAAAAAAFQs/rVmc9XvUGH8/s1600/alin1.png

Dari persamaan pada setiap persimpangan tersebut dapat dibuat kedalam sistem persamaan linear.

Sistem persamaan linear tersebut dapat dibuat kedalam bentuk matriks.

1. Cara Invers Matriks

Cara menyelesaikan Matriks tersebut dengan Invers Matriks yang dilakukan pertama kali adalah memisahkan sistem persamaan linear tersebut antara variabel x1, x2, x3, dan x4 dengan hasil, kemudian dibuat matriks. Sementara itu, matriks variabel x1, x2, x3, dan x4 diinverskan. Sehingga menjadi:

Kemudian kedua matriks tersebut dikalikan. Namun Matriks yang diinverskan tersebut tidak dapat dikalkulasikan karena Matriks yang diinverskan itu menghasilkan matriks singular. Sehingga memiliki nilai dan hasil penyelesaian yang tidak terdefinisi.

2. Cara Eliminasi Gauss-Jordan

Langkah-langkah menyelesaikan Matriks tersebut dengan Eliminasi Gauss-Jordan.

http://1.bp.blogspot.com/-GCtLgbPoks0/VEJA18jlTHI/AAAAAAAAFRE/xqtxQfOjqCw/s1600/alin3.png

http://3.bp.blogspot.com/-xNP-6dycGI8/VEJB5kqzSjI/AAAAAAAAFRQ/HgftHWos7P8/s1600/alin4.png

Dari penyelesaian eliminasi Gauss Jordan didapat nilai x1, x2, x3, x4 adalah:

1x1 – 1x4 = 330x1 = 330 + x4

1x2 – 1x4 = 170x2 = 170 + x4

1x3 – 1x4 = 210x3 = 210 + x4

0x4 = 00 = 0

Sistem persamaan linear tersebut dikatakan tak bebas linear (bergantung linear) karena dalam matriks dengan penyelesaian eliminasi Gauss-Jordan memiliki baris yang nol. Sehingga matriks tersebut memiliki 4 vektor dan merentang suatu ruang berdimensi 3.Maka dari persimpangan tersebut pada jalan x4 dikatakan tidak bisa dilalui atau tidak ada volume kendaraan yang masuk pada jalan x4 itu karena memiliki nilai atau penyelesaian yang tidak terdefinisi.

Cara MATLAB:Copy Paste Kode Program ini pada m-file MATLAB kemudian di-running-kan untuk melihat output hasil program ini.

http://4.bp.blogspot.com/-LM_q0jDPQk4/VEJC1dWa0NI/AAAAAAAAFRY/DPjzkGAWmUo/s1600/alin5.png

Kode Program:

clc;clear;

disp('Persamaan pada setiap persimpangan')A=[1 -1 0 0 160]B=[0 -1 1 0 40]C=[0 0 1 -1 210]D=[1 0 0 -1 330]

disp('Penggabungan setiap persamaan menjadi sebuah matriks')Matriks=[A; B; C; D]

disp('-----Cara 1-----')disp('Penyelesaian dengan Gauss-Jordan')rref(Matriks) %kolom terakhir merupakan solusi

disp('------Cara 2-----')disp('Penyelesaian dengan Invers Matriks dan Backslash')

Matriks(:,5)=[]Hasil=[160 40 210 330]'

Latihan 2 :

1. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan metode Cramer dan Operasi baris elementer ( Eliminasi Gauss ) :

a). b).

c). d).

2. Carilah suatu jawaban jika ada, apakah jawaban tersebut tunggal dari sistem persamaan linier berikut ini :

a). b).

3x1 – 4x2 = 5

2x1 + x2 = 4x + y – 2z = 1

2x – y + z = 2

x – 2y – 4z = -4

4x + 5y = 2

11x + y + 2z = 3

x + 5y + 2z = 1

2x1 – x2 + x3 – 4x4 = -32

7x1 + 2x2 + 9x3 – x4 = 14

3x1 – x2 + x3 + x4 = 11

x1 + x2 - 4x3 – 2x4 = -4

3x1 + 2x2 = 7

x1 + x2 = 7

2x1 + 8x2 + 7x3 = 0

x1 + 2x2 + 4x3 = 0

2x1 + 4x2 + 6x3 = 17

x1 + 2x2 + x3 = 1

2x1 + 4x2 + 5x3 = 32x1 + 3x2 = 7

4x1 + 6x2 = 3

x1 + 17x2 = 0

c). d).

3. Tentukan penyelesaian ekuilibrium (D = S) dari pasar satu komoditi dengan model linier:

D = 13 – 2P

S = 3P –7

dengan D, S, P menyatakan permintaan, penawaran dan harga dari komoditi.

4. Suatu perusahaan mempekerjakan 150 orang pria dan wanita. Gaji tenaga pria Rp. 20.000,00 perhari dan tenaga wanita Rp. 18.000,00 perhari. Tiap hari perusahaan harus mengeluarkan biaya untuk gaji karyawan sebesar Rp. 2.820.000,00. Dengan menggunakan matriks hitunglah banyaknya tenaga kerja pria dan wanita yang dipekerjakan.

5. Sebuah agen minyak memasarkan tiga jenis bahan bakar, yaitu bensin, solar dan minyak tanah ketiga kota A, B dan C. Pada konsumen kota A diperoleh laba Rp. 500,00 untuk bensin, Rp. 400,00 untuk solar dan Rp. 300,00 untuk minyak tanah , untuk setiap liter. Laba per liter untuk konsumen kota B masing-masing adalah Rp. 400,00 , Rp. 300,00 dan Rp. 200,00. Laba perliter untuk konsumen kota C masing-masing adalah Rp. 300,00 , Rp. 500,00 dan Rp. 100,00. Menurut perhitungan agen, jumlah laba untuk ketiga kota tersebut masing-masing adalah Rp. 1.220.000,00 , Rp. 910.000,00 dan Rp. 690.000,00 . Tentukan model matematika persoalan diatas dan kemudian hitunglah jumlah yang terjual untuk ketiga jenis bahan bakar tersebut.

6. Biro travel “Lintas ” mengelola perjalanan antar 3 kota. Berikut adalah catatan perjalanan travel “Lintas” pada tanggal 22 Nopember 2003, sebuah mobil yang berangkat dari kota A tujuan kota B membawa 8 penumpang, dan mobil tujuan kota C membawa 12 penumpang, mobil yang berangkat dari kota B ke kota A membawa 10 penumpang dan mobil tujuan kota C membawa 9 penumpang, dari kota C berangkat sebuah mobil tujuan kota A berpenumpang 11 dan tujuan kota B berpenumpang 7 orang. Bila harga tiket antar kota A ke B Rp.42.000,00 per orang, antar kota B dan kota C Rp. 45.000,00 per orang dan antar kota A ke kota C Rp.40.000, 00 per orang. Ubahlah soal ini dalam bentuk matriks ! Bagaimana cara menghitung pendapatan biro hari itu dengan matriks yang di buat ?

7. Tentukan tarikan dalam ketiga kabel yang mendukung berat sebesar 15 kg pada gambar berikut :

8. Dengan menggunakan hukum Kirchhoff , carilah besarnya arus dalam jaringan listrik pada gambar berikut :

300400

15 kg

0,5 ohm

1 ohm

1 ohm2 ohm

4 volt

I2

I3

8 volt

I1

Mengetahui, Kota Jakarta, Juni 2015

Kepala SMA LAbschool Kebayoran Guru Mata Pelajaran

Dra. Ulya Latifah, M.M Hardiyanto, S.Pd

Web viewMenghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong,...

Documents

Transcript of Web viewMenghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong,...