UKURAN PEMUSATAN DATA

Oleh : Firmansyah, S.Kom

MODUL

3

A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN PEMBELAJARAN

1. Tema : Ukuran Pemusatan Data

2. Fokus : Pembahasan Materi Pokok

1. Arti dan manfaat ukuran pemusatan data2. Rata-rata hitung, median dan modus3. Kuartil, desil dan persentil

 

3. Tujuan : Kegiatan Pembelajaran

1. Mahasiswa mampu memahami arti dan manfaat dari beberapa ukuran pemusatan data.

2. Mahasiswa mampu menggunakan rumus-rumus ukuran pemusatan data.

3. Mahasiswa mampu menghitung beberapa ukuran pemusatan data.

4. Mahasiswa mampu mengetahui jenis-jenis ukuran pemusatan data.

Ukuran Pemusatan Data

• Ukuran pemusatan adalah suatu ukuran yang menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok)

• Ukuran pemusatan merupakan penyederhanaan data untuk mempermudah peneliti membuat interprestasi dan mengambil suatu keputusan.

Ukuran Pemusatan DataLanjutan . . .

Ukuran pemusatan data meliputi:

Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean Modus Median Kuartil, Desil, Persentil

• Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data :– Ungrouped Data

Data yang belum dikelompokkan) –Grouped Data

Data yang telah dikelompokkan Tabel Distribusi Frekuensi

• Contoh Ungrouped DataData Nilai Statistika 10 orang mahasiswa

78 62 34 57 89

67 55 75 73 56

• Contoh Grouped DataData Nilai Statistika 100 orang mahasiswa

UKURAN PEMUSATANRata-Rata Hitung• Notasi :

– μ : rata-rata hitung populasi– x : rata-rata hitung sampel

• Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data

μ : rata-rata hitung populasiN : ukuran Populasix : rata-rata hitung sampeln : ukuran Sampelxi : data ke-i

CONTOH 1 • Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6

PTS, masing-masing tercatat mempunyai banyak mahasiswa sebagai berikut :

850, 1100, 1150, 1250, 750, 900Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A?

• Rata-Rata Populasi atau Sampel ? Jawab :

10006

60006

)900750125011501100850(

CONTOH 2• Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman

ringan memeriksa 6 kaleng contoh untuk diperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut adalah data 6 kaleng minuman contoh yang diperiksa :

13.5 12.5 13 12 11.5 12.5

Jawab :

5,12675

6)5,125,1112135,125,13(

x

x

x

Rata-Rata untuk Grouped Data• Nilainya merupakan pendekatan.• Biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung

sampel

x : rata-rata hitung sampeln : ukuran Sampelfi : frekuensi di kelas ke-ixi : Titik Tengah Kelas ke-i

CONTOH 3

Perhatikan tabel diatas. Tentukan rata-rata hitungnya!Jawab :

Kelas Titik Tengah Kelas (xi)

Frekuensi(fi)

fi.xi

16 – 23 19,5 10 195

24 – 31 27,5 17 467,5

32 – 39 35,5 7 248,5

40 – 47 43,5 10 435

48 – 55 51,5 3 154,5

56 – 63 59,5 3 178,5

Jumlah (∑) 50 1679

58,3350

1679

x

x

METODE CODING• Metode Coding

Metode ini untuk mempermudah perhitungan, dengan penyederhanaan angka

M = Titik Tengah Kelas yang diberi kode 0 (ui=0)ui = Kodei (c) = Interval Kelas

PERHITUNGAN DENGAN METODE CODING

• Langkah :1. Buat kolom, beri judul "ui“

2. Pilih salah satu kelas (sembarang), beri angka 0 pada kolom ui,(biasanya dipilih kelas dengan frekuensi tertinggi)

3. Isi kolom Ui diatas 0 dengan –1, -2, -3, dst, dan dibawah 0 dengan angka 1, 2, 3, dst.

4. Buat kolom fi * ui , isi dengan hasil perkalian antara frekuensi kelas dengan kode

CONTOH 4Tabel data file (dalam Kb)

58,33

08,65,27

503885,27

x

x

xJawab :

MODUS• Nilai yang paling sering muncul• Nilai yang frekuensinya paling tinggi• Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)

ContohBerat 5 orang bayi :

3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 Tidak Ada Modus

• Bisa terjadi data tanpa modusContohUmur Mahasiswa (th) :

19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17Modus : 18 dan 19

MODUS UNTUK UNGROUPED DATAModus untuk Ungrouped Data• Contoh :

Sumbangan PMI warga Depok (Rp)7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000

• Modus : Rp. 8000

MODUS UNTUK GROUPED DATAModus untuk Grouped Data• Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada• Kelas dengan frekuensi tertinggi

TBB = Tepi Batas Bawahd1 = Beda Frekuensi Kelas Modus dengan

Frekuensi Kelas sebelumnyad2 = Beda Frekuensi Kelas Modus dengan

Frekuensi Kelas sesudahnyai = interval kelasKelas Modus = kelas dengan frekuensi paling tinggi

MODUS UNTUK GROUPED DATAKelas Modus = kelas ke-2 =24-31TBB Kelas Modus = = 23,5i = 8frek, kelas modus = f2 = 17frek, kelas sebelum kelas modus = f1 = 10frek, kelas sesudah kelas modus = f3 = 7d1 = 17-10 = 7d2 = 17-7 = 10

Jawab :

Kelas Frekuensi

16 – 23 10

24 – 31 17

32 – 39 7

40 – 47 10

48 – 55 3

56 – 63 3

Jumlah (∑) 50

2779,26

29,35,23107

785,23

Modus

MEDIANMedian Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar

MEDIAN untuk Ungrouped Data• Letak Median Letak Median dalam gugus data yang

telah tersortir

n : banyak data

CONTOH 5 :1. Tinggi Badan 5 mahasiswa (centimeter) :

175 178 160 173 178Sorted : 160 173 175 178 178

n = 5 Letak Median = (5+1) / 2 = 3Median = Data ke-3 = 175

2. Tinggi Badan 6 mahasiswa (centimeter) :175 178 160 173 178 180

Sorted : 160 173 175 178 178 180n = 6 Letak Median = (6+1) / 2 = 3,5

Median = (Data ke-3 + Data ke-4) / 2 = (175+178)/2 = 176.5

MEDIAN untuk Grouped Data

• Kelas Median : Kelas di mana Median berada• Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak

Median dengan Frekuensi Kumulatif

di mana : TBB : Tepi Batas Bawahi : interval kelasfkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Medianf M : Frekuensi kelas Median

MEDIAN UNTUK GROUPED DATA

Letak median = = 25Median = data ke-25 terletak dikelas 24-31Kelas Median = kelas ke-2 =24-31

TBB Kelas Median = = 23,5i = 8f M =17Frek kumulatif sebelum kelas median= 10 Jawab :

Kelas Frekuensi

16 – 23 10

24 – 31 17

32 – 39 7

40 – 47 10

48 – 55 3

56 – 63 3

Jumlah (∑) 50

6,305588,30

0588,75,238823,0*85,23

17

102

50

85,23

Median

KUARTIL• Nilai yang membagi gugus data yang telah

tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang sama besar

• Kuartil Untuk Ungrouped Data

CONTOH SOALBerikut ini adalah data upah dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100Cari nilai Q1, Q2, dan Q3.

PENYELESAIAN• Pertama-tama data diurutkan dahulu :

X1=30, X2=35, X3=40, X4=45, X5=50, X6=55, X7=60, X8=65, X9=70, X10=80, X11=85, X12=95, X13=100.

• Q1 = t(n + 1) 4 = 1(13 + 1)

4 = 3½

Nilai yang ke-3½, berarti rata-rata dari X3 dan X4 (40+45)/ 2 = 42.5

Q2 = t(n + 1) 4 = 2(13 + 1)

4 = 7, nilai X7 = 60Q3 = t(n + 1)

4 = 3(13 + 1)

4 = 10 ½, berarti rata-rata dari X10 dan X11

nilai Q3 = ½ (X10 + X11) = ½ (80 + 85) = 82,5

Kuartil Untuk Grouped Data

Kuartil ke-q= TBB Kelas Kuartil ke-q + i   

Dimana :q : 1, 2 dan 3TBB : Tepi Batas Bawahi : interval kelasfkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Kuartilf Q : Frekuensi kelas Kuartil ke-q

Contoh Kuartil Untuk Grouped DataKelas Frekuensi Frek

kumulatif

16 – 23 10 10

24 – 31 17 27

32 – 39 7 34

40 – 47 10 44

48 – 55 3 47

56 – 63 3 50

Jumlah (∑)

50 ------

Letak kuartil ke-3 = = 37,5Kuartil ke-3 = data ke-37,5terletak dikelas 40-47Kelas Kuartil ke-3 = 40-47

TBB Kelas kuartil ke -3 = 39,5i = 8f Q =10Frek kumulatif sebelum kelas kuartil = 34

Jawab :

3,428,25,39 10

5,3*85,3910

345,3785,39

10

34450*3

85,393

Q

DESIL• Desil Nilai yang membagi gugus data yang

telah tersortir (ascending) menjadi 10 bagian yang sama besar

Desil ke-d = TBB Kelas Desil ke-d + i   

Dimana :d : 1, 2, 3 . . . 9TBB : Tepi Batas Bawahi : interval kelasfkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Desilf D : Frekuensi kelas Desil ke-d

Contoh Soal DesilKelas Frekuensi Frek

kumulatif

16 – 23 10 10

24 – 31 17 27

32 – 39 7 34

40 – 47 10 44

48 – 55 3 47

56 – 63 3 50

Jumlah (∑)

50 ------

Letak Desil ke-9 = = 45Desil ke-9 = data ke-45terletak dikelas 48-55Kelas Desil ke-9 = 48-55

TBB Kelas desil ke -9 = 47,5i = 8f D = 3Frek kumulatif sebelum kelas desil = 44

Jawab :

16,5066,25,47 31*85,47

3444585,47

3

4410

50*9

85,479

D

PERSENTILPersentil Nilai yang membagi gugus data yang

telah tersortir (ascending) menjadi 100 bagian yang sama besar

Persentil ke-p = TBB Kelas Persentil ke-p + i   

Dimana :p : 1, 2, 3 . . . 99TBB : Tepi Batas Bawahi : interval kelasfkm : Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Persentilf P : Frekuensi kelas Persentil ke-p

Contoh Soal PersentilKelas Frekuensi Frek

kumulatif

16 – 23 10 10

24 – 31 17 27

32 – 39 7 34

40 – 47 10 44

48 – 55 3 47

56 – 63 3 50

Jumlah (∑)

50 ------

Letak Persentil ke-56 = = 28Persentil ke-56 = data ke-28terletak dikelas 32-39Kelas Persentil ke-56 = 32-39

TBB Kelas persentil ke -56 = 31,5i = 8f P = 7Frek kumulatif sebelum kelas persentil = 27

Jawab :

64,3214,15,31 7

1*85,317

272885,31

7

27100

50*56

85,3156

P

soal Dari data berikut :

38 67 85 95 96 76 125 150 158 12038 36 47 49 89 70 120 80 85 9343 120 70 67 91 111 25 74 50 100

Buatlah: Tabel Distribusi Frekuensi Hitung mean, median, modus (data berkelompok) Hitung Q3, D7, P82 (data berkelompok)