8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

1/16

Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median dan

Modus) untuk Data Tunggal dan Data

Bergolong

PENDAHULUAN

Tabel dan diagram dianggap cukup baik untuk menyajikan

sekumpulan data yang diperoleh dari lapangan. Namun demikian, kadang-

kadang orang ingin menyajikan data dengan suatu ukuran yang

mewakilinya, baik untuk populasi maupun untuk sampel. Ukuran yang

mewakili kumpulan data tersebut disebut ukuran tendensi sentral atau

ukuran pemusatan data. Diberi nama ukuran tendensi sentral, karena

ukuran itu cenderung ada di tengah-tengah (setelah data diurutkan).

Beberapa macam ukuran tendensi sentral yang sering digunakan dalampenelitian adalah rataan, median dan modus.

Pada praktek penelitian , peneliti sering kali bekerja dengan sampel,

yang berarti peneliti sebenarnya tidak mengetahui ukuran tendensi sentral

dan ukuran dispersi populasi. Kecuali ukuran tendensi sentral dan ukuran

dispersi, kadang-kadang perlu diketahui ukuran letak dari suatu kelompok

data diurutkan.

UKURAN TENDENSI SENTRAL

Ukuran tendensi sentral yang dibicarakan di sini adalah rataan (yangmeliputi rataan hitung, rataan harmonis dan rataan geometric), median dan

modus.

1. Rata-rata (Rata-rata hitung atau mean)

Rataan hitung atau rataan hitung sering pula disebut mean. Rataan

dari sekumpulan data ditentukan sebagai perbandingan jumlah datum

dengan banyak nilai datum. Dengan demikian

Pemakaai rataan banyak sekali dilakukan, bukan saja di dalam

pelajaran statistic akan tetapi juga dalam perhitungan sehari-hari.

Harga rata-rata adalah suatu harga yang dapat dipakai untuk

mewakili sekumpulan data, suatu harga yang representative. Tentu

sekumpulan data itu tidaklah sepenuhnya dapat diterangkan denganharga rata-ratanya, karena harga rata-rata hanyalah merupakan suatu

nilai sekitar mana bilangan-bilangan lain tersebar. Jikalau kita

perhatikan urutan besar dari angka-angka yang kita hadapi, yaitu jika

kita mencoba menderetkan bilangan-bilangan itu menurut urutan

besarnya, maka harga rata-rata itu bertendens terletak pada

1

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

2/16

pertengahan urutan atau deretan itu. Oleh karena itu sering juga

dinamakan ukuran tendensi pertengahan (measure of central

tendency). Rataan meliputi rataan hitung, rataan harmonis dan rataan

geometric. Rataan hitung (arithmetic mean) inilah yang paling banyak

dipakai dalam ilmu statistic dan di dalam penghidupan sehari-hari.

Biasanya, jika seseorang membicarakan mengenai rataan maka yang

dimaksud adalah rataan hitung.

Secara umum, jika suatu kumpulan data terdiri dari X1,X2,X3,,Xn

maka rataan dari kumpulan data itu ditentukan dengan rumus

berikut :

=

Atau (untuk populasi) (untuk sampel)

Dengan :

Atau

n = banyaknya datum yang diamati

xi = nilai datum yang ke-i

Berdasarkan rumus di atas, tampak bahwa rataan sebagai statistic

ditentukan oleh semua nilai datum yang terdapat dalam suatu

kumpulan data. Dengan perkataan lain, tiap nilai dalam datum yang

ada dalam kumpulan data memberikan sumbangan atau kontribusi

terhadap besar dan kecilnya sebuah nilai rataan. Nilai rataan pada

populasi dan sampel tidaklah berbeda yang membedakan hanyalah

simbol. Jika pada populasi rataan diberi simbol sedangkan pada

sampel diberi simbol .

Contoh :

Hitunglah rataan dari kumpulan data berikut ini :

4, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 10

Jawab :

Untuk sampel Jumlah nilai datum dari kumpulan data yang diamati

adalah

Banyak datum yang diamati adalah

Rataan

2

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

3/16

Jadi rataan kumpulan data itu adalah

Atau pada populasi

Rataan untuk Distribusi Frekuensi Data Tunggal

Untuk menghitung rataan dari sekumpulan data yang disajikan dalam

table distribusi frekuensi tunggal , kita dapat menggunakan cara

seperti contoh di atas dengan menguraikan datanya menjadi nilai-nilai

tunggalnya. Namun demikian cara di bawah ini akan lebih mudah

digunakan. Jika pada distribusi tunggal masing-masing X mempunyai

frekuensi f maka rataannya didefinisikan sebagai berikut :

Contoh :

Carilah rataan hitung dari data yang disajikan dalam table berikut

Tabel 1.1

Daftar Distribusi Nilai Mahasiswa

Nilai Frekuensi4568

38104

Jawab :

Dari Tabel 1.1 dapat dihitung jumlah rataannya

Namun demikian biasanya menggunakan rumus :

Tabel 1.2

Tabel Kerja untuk Menghitung Rataan

3

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

4/16

Nilai (x) Frekuensi (f) Fx4568

38104

12406032

Rataan untuk Distribusi Frekuensi Data Bergolong

Kalau kita telah membentuk penceran frekuensi dan kumpulan data,

maka bilangan-bilangan atau nilai-nilai itu tidak lagi dipertimbangkan

satu persatu melainkan dipertimbangkan dalam kelas-kelas olehkarena sebuah kelas bukanlah sebuah nilai, maka haruslah kita dapat

mengambil nilai atau nilai-nilai tertentu untuk mewakili kelas-kelas itu

di dalam perhitungan rataan. Pada umumnya orang memakai titik

tengah. Dengan demikian maka setiap nilai pada suatu kelas dianggap

sama dengan titik tengah kelas. Namun asumsi ini jelas salah. Oleh

karena it, banyak orang yang berpendapat bahwa mencari rataan dari

distribusi frekuensi data bergolong pastilah salah. Pencarian rataan

seperti ini dilakukan dulu ketika orang belum mengenal kalkulator,

sehingga untuk menjumlah data yang cukup banyak mengalamikesulitan. Pada jaman sekarang, kalkulator sudah banyak tersedia dan

bahkan program computer sudah dengan mudah diperoleh, mencari

rataan dengan melalui distribusi frekuensi data bergolong sangat tidak

dianjurkan. Namun cara ini diperkenalkan untuk dimengerti dan

dipakai manakala datanya memang disajikan dalam distribusi

frekuensi data bergolong dan data individualnya tidak diketahui.

Contoh :

Carilah rataan dari data yang disajikan dalam table berikut

Tabel 1.3

Daftar Distribusi Hasil Pengamatan Tinggi Tanaman

HasilPengukuran(dalammm)

Frekuensi(f)

119 127

128 136137 145146 154155 163164 172173 181

3

61011532

4

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

5/16

Jawab :

Hasil

Pengukuran(dalammm)

Titik

Tengah(x)

Frekuensi

(f)

119 127128 136137 145146 154155 163164 172173 181

123132141

150=

159168177

361011532

36979214101650795504354

Sehingga rataannya

Dalam contoh di atas, rataan suatu kumpulan data yang disajikan

dengan tebel frekuensi bergolong dihitung dengan cara menentukan

nilai kemudian membaginya dengan . Tampak bahwa ketika

menghitung nilai diperoleh nilai bilangan yang besar. Untuk

menghindari nilai bilangan yang besar ini, suatu rataan dapat dicari

dengan menggunakan nilai rataan sementara. Sebagai pedoman, nilai

rataan sementara ditetapkan nilai titik tengah yang memiliki

frekuensi terbesar. Setelah rataan sementara ditetapkan, rataan

yang sebenarnya dapat ditentukan dengan 2 metode yaitu :

*) Metode simpangan rataan

*) Metode pengkodean (coding)

1). Metode Simpangan Rataan

Misalkan adalah rataan sementara yang ditetapkan dan adalah

simpangan tiap nilai titik yengah terhadap atau .

Rataan sesungguhnya ditetapkan sebagai jumlah dari rataan

sementara dengan simpangan rataan.

5

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

6/16

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

7/16

Pengukuran(dalammm)

Tengah(x)

(f) (c)

119 127

128 136137 145146 154155 163164 172173 181

123

132141

150=

159168177

3

61011532

-3

-2-10123

-9

-12-100566

Berdasarkan Tabel di atas diperoleh dan . Dengan

panjang kelas , maka rataan sebenarnya adalah

Perhatikan bahwa rataan yang dihitung dengan Metode Simpangan

dan Metode Pengkodean itu memberikan hasil yang sama dengan

rataan yang dihitung terdahulu.

Rataan Geometrik ( rata-rata ukur/geometric mean )

Selain dikenal rataan hitung, dikenal pula rataan geometric. Pada

praktek, rataan geometric jarang dipakai.

Rataan geometric dari n bilangan positif X1, X2, X3,,Xn disajikan

dengan G, didefinisikan sebagai berikut

Untuk perhitungan bilangan-bilangan yang lebih besar dan ruwet

sebaiknya kita menggunakan logaritma, sebagai berikut :

Atau

Dengan demikian, rumus untuk harga rata-rata ukur dari data

tersusun (grouped data) dapatlah dituliskan sebagai berikut:

7

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

8/16

Titiktengah

Frekuensi

X1X2X3

.

.

.Xk

f1f2f3

.

.

.fk

Sehingga diperoleh

Contoh :

Carilah rataan geomerik dari : 1, 1, 2, 2, 4, 4

Jawab :

Rataan Harmonik ( Harmonis )

Rataan yang selanjutnya adalah rataan harmonic/harmonis. Salah

satu penerapannya adalah untuk analisis variansi dua jalan atau lebih

dengan sel tak sama yang akan dibahas pada bab XIII. Rataan

harmonic/harmonis juga sangat jarang digunakan pada ilmu statistic.

Rataan harmonis ( harmonic mean ) dari sekumpulan data adalah

kebalikan dari rataan hitung dari kebalikan bilangan-bilangan yang

termasuk di dalam kumpulan data kita.

Rataan harmonis dari bilangan X1, X2, X3,,Xn disajikan dengan H,

didefinisikan sebagai berikut :

Contoh :

Carilah rataan harmonis dari bilangan-bilangan 2, 3, 4, 5

Jawab :

8

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

9/16

2. Median

kita mengenal median jalan sebagai bagian dari jalan yang berada di

tengah-tengah. Begitu pula halnya dengan median dalam statistika.

Median adalah sebuah nilai dari kumpulan data yang berada di

tengah-tengah, dengan catatan nilai kumpulsn data tadi telah

diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Dengan perkataan

lain median adalah suatu nilai yang membelah sekelompok data

menjadi dua bagian cacahnya (banyaknya) sama. Median pada

populasi dan sampel sama.

Misalnya kumpulan data tentang nilai matematika dari 10 murid yang

terdahulu diurutkan nilainya dari yang terkecil sampai dengan yang

terbesar, maka kumpulan data itu dapat disajikan sebagai berikut

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

3 4 4 4 5 5 5 5 6 7

Kumpulan data yang telah diurutkan seperti itu disebut statistic

jajaran atau statistic peringkat. Dari statistic jajaran dapat

ditetapkan nilai datum terkecil, disebut statistic minimum, yaitu

xmin=x1dan nilai datum terbesar, disebut statistic maksimum, yaitu

xmak=x2. Kedua statistic ini (xmin dan u xmak=x2) disebut sebagai

statistic ekstrim. Untuk kumpulan data di atas statistic-statistik

ekstrimnya adalah :

*) Statistik minimum: Xmin = X1 = 3, dan

*) Statistik maksimum : Xmak = X10 = 7

Jika nilai-nilai dalam suatu kumpulan data telah diurutkan, maka

median dari kumpulan data itu dapat disajikan ditentukan sebagai

berikut :

(i) Median ditetapkan sama dengan nilai datum yang ditengah, jika

ukuran data n ganjil, atau

(ii) Median ditetapkan sebagai rataan dua nilai datum yang

ditengah, jika ukuran data n genap

Secara umum aturan di atas dapat dirumuskan sebagai berikut.

Misalkan suatu kumpulan data telah disajikan dalam statistic jajaran:

x1, x2, x3,..xn-2, xn-1, xn

9

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

10/16

Dengan x1

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

11/16

Jadi median dari kumpulan data itu adalah

b) 6 7 8 9 10 11 12 13

X4 X5

Jadi, median dari kumpulan data itu adalah 9,5

Contoh lain :

Nilai (x) Frekuensi (f) f kumulatif 4568

38104

3112125

Untuk mencari median karena f ganjil maka

Dengan demikian median berada pada data ke 13 yaitu 6

Median untuk Distribusi Frekuensi Data Bergolong

Sesuai dengan sifat distribusi frekuensi data bergolong yang tidak

dapat diketahui nilai-nilai individualnya, maka median dari

distribusi frekuensi data bergolong merupakan nilai pendekatan.

Asumsi yang dipakai adalah bahwa median terletak pada kelas

yang memuat nilai memuatnilai yang berada di tengah urutan

(sesuai dengan pengertian bahwa median adalah nilai yang beradadi tengah setelah data diurutkan). Kelas ini disebut kelas median.

Jika pada distribusi frekuensi data bergolong :

11

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

12/16

Dengan : b = tepi bawah kelas median

l = luas kelas

F = jumlah frekuensi sebelum kelas median

N = banyaknya data

Contoh :

Berat badan dari 65 orang tampak pada Tabel 1.5, kemudian

tentukanlah mediannya.

Tabel 1.5

Berat Badan 65 Orang

Kelas median

Jawab :

- Mencari letak kelas median dengan :

Maka kelas median terletak pada ukuran kelas ke 32,5 terletakpada kelas ke 3, oleh karena itu :

12

Berat Badan (kg) Frekuensi

50.00 59.9960.00 69.9970.00 79.99

80.00 89.9990.00 99.99100.00 109.99110.00 119.99

81016

141052

Jumlah 65

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

13/16

Sehingga :

3. Modus

Modus disebut juga mode. Modus dari sekumpulan data yang disajikan

dalam bentuk statistic jajaran ditentukan sebagai nilai datum yang

paling sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi

terbesar. Modus pada populasi dan sampel sama. Suatu kelompok

data mungkin mempunyai modus atau mungkin tidak mempunyai

modus, maka banyaknya modus yang ada mungkin tidak tunggal

(lebih dari sebuah). Kelompok data yang mempunyai dua modus

disebut bimodus, kelompak data yang mempunyai tiga modus

disebuttrimodus, dan seterusnya.

Modus untuk Distribusi Frekuensi Data Tunggal

Untuk mencari modus pada distribusi frekeuensi data tunggal hanya

dengan menentukan nilai yang sering muncul atau nilai yang

mempunyai frekuensi terbesar.

Contoh :

Kumpulan data 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 modusnya adalah

Jawab :

Mempunyai modus=6 sebab nilai 6 yang sering muncul, yaitu

sebanyak 3 kali

Atau untuk mempermudah buatlah table distribusi frekuensinya

Tabel 1.6

Daftar Distribusi Nilai Siswa

Nilai(x) 3 4 5 6 7Frekuensi(f)

1 2 2 3 2

Dari table 1.6 maka dapat diketahui bahwa sekumpulan data tersebut

hanya memiliki 1 modus sehingga disebut unimodus

Modus untuk Distribusi Frekuensi Data Bergolong

13

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

14/16

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

15/16

Kelas Modus

Carilah modusnya.

Jawab :

Modus berada pada kelas ke 4, sehingga :

Sehingga :

Daftar Pustaka

Budiyono.2004.Statistika Untuk Penelitian.Surakarta : Sebelas Maret

University

Wirodikromo,Sartono.2004.Matematika Untuk SMA Kelas XI.Jakarta :

Erlangga

15

8/7/2019 Ukuran Gejala Pusat (Mean, Median Dan Modus) Untuk Data Tunggal Dan Data Bergolong

16/16

16