1

VII. TURUNAN TINGKAT TINGGI

Operasi pendiferensialan terhadap fungsi f akan menghasilkan fungsi baru f’. Jika f’ diferensialkan, akan menghasilkan fungsi lain f’’ yang disebut turunan kedua dari f. Pada gilirannya f’’ boleh diturunkan lagi, sehingga diperoleh f’’’ yang disebut turunan ketiga dan seterusnya.

2

Sebagai ilustrasi, andaikan:f(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 8

Makaf’(x) = 6x2 – 8x + 7f’’(x) = 12x – 8f’’’(x) = 12f’’’’(x) = 0

Karena turunan dari fungsi nol adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih tinggi berharga nol.

3

Kita telah memperkenalkan tiga cara penulisan untuk turunan. Turunan pertama dari y = f(x) dituliskan dengan:

f’(x) Dxymasing-masing disebut: cara penulisan aksen, cara penulisan D dan cara penulisan Leibniz.

4

Cara Penulisan Turunan dari y = f(x)

Derivatif Penulisan f’

Penulisan y’

Penulisan D

Penulisan Leibniz

Pertama f’(x) y’Kedua f’’(x) y’’Ketiga f’’’(x) y’’’Keempat f’’’’(x) y’’’’Kelima f(5)(x) y(5)

Keenam f(6)(x) y(6)

..... .... .... .... ....Ke- n f(n)(x) y(n)

5

CONTOH 1

Jika y = sin 2x, cari d3y/dx3, d4y/dx4, dan

d12y/dx12.

Penyelesaian

...

6

KECEPATAN DAN PERCEPATAN

Dalam Bagian I, kita memakai pengertian kecepatan sesaat untuk memotivasi definisi turunan. Kita akan mengkaji ulang pengertian ini dengan memakai sebuah contoh. Juga, mulai saat ini kita akan memakai kata tunggal KECEPATAN sebagai ganti istilah KECEPATAN SESAAT yang kurang praktis.

7

CONTOH 2 Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisi s-nya memenuhi, s = 2t2 - 12t + 8, dengan s diukur dalam cm dan t dalam detik. Tentukan kecepatan benda bilamana t = 1 dan t = 6. Kapan kecepatannya 0? Kapan ia positif?PenyelesaianMisalkan v(t) menyatakan kecepatan pada saat t, maka:

Jadi,v(1) = 4(1) - 12 = -8 cm/detikv(6) = 4(6) – 12 = 12 cm/detikKecepatan 0 bilamana 4t - 12 = 0, yaitu, pada saat t = 3.Kecepatan positif bilamana 4t - 12 > 0, atau pada saat t > 3.

-10 -5 0 5 10 s

t = 6, s = 8, v = -12

t = 0, s = 8, v = -12t = 1, s = -2, v = -8

t = 3 s = -10v = 0

8

-10 -5 0 5 10 s

t = 6, s = 8, v = -12

t = 0, s = 8, v = -12t = 1, s = -2, v = -8

t = 3 s = -10v = 0

• Tentu saja, benda tersebut bergerak sepanjang sumbu s, bukan pada jalur di atasnya.

• Jika t = 0 dan t = 3, kecepatan negatif: benda bergerak ke kiri (mundur).

• Pada saat t = 3 ia "diperlambat" ke kecepatan nol, kemudian mulai bergerak ke kanan bila kecepatannya positif.

• Jadi, kecepatan negatif bersesuaian dengan gerakan benda itu ke arah berkurangnya s

• Kecepatan positif tersesuaian dengan gerakan benda itu ke arah bertambahnya s

9

Kecepatan vs Laju• Terdapat perbedaan teknis antara istilah kecepatan (velocity) dengan laju (speed). • Kecepatan (velocity) mempunyai tanda positif

atau negatif. • Laju (speed) didefinisikan sebagai nilai mutlak

kecepatan. • Jadi, dalam contoh di atas, laju pada saat t = 1

adalah |-8| = 8 cm/detik• Pengukur kecepatan dalam kebanyakan

kendaraan adalah pengukur laju (speedometer); ia selalu memberikan nilai-nilai tak negatif.

10

Makna Turunan ke Dua• Dari Contoh 2 di atas, diketahui:

s = 2t2 - 12t + 8, merupakan fungsi yang menyatakan posisi (cm ) benda selama t detik.

• Kecepatan benda pada saat t adalah turunan pertama dari s terhadap t, yaitu:

• Percepatan didefinisikan sebagai laju (speed) perubahan kecepatan terhadap waktu, sehingga ia merupakan turunan kedua d2s/dt2 , sehingga:

Percepatan = a = • Ini berarti bahwa kecepatan bertambah dengan suatu

tingkat yang tetap sebesar 4 cm/de tik setiap detik, yang kita tuliskan sebagai 4 cm/detik/detik.

11

CONTOH 3 Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian sehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh

s = t3 - 12t2 + 36t - 30Di sini s diukur dalam meter dan t dalam detik.a. Kapan kecepatan 0? b. Kapan kecepatan positif?c. Kapan titik bergerak mundur (ke kiri)?d. Kapan percepatannya positif?Penyelesaian:e.v = ds/dt = 3t2 - 24t + 36 = 3(t - 2)(t - 6). Jadi v = 0 pada t = 2

dan t = 6. f. v > 0 atau (t - 2)(t - 6) > 0. Penyelesaiannya adalah {t : t < 2

atau t > 6} atau (-, 2) (6, )

g.Titik bergerak mundur (ke kin), jika v < 0. yaitu, jika (t - 2)(t - 6) < 0. Ketaksamaan ini mempunyai penyelesaian berupa selang (2, 6).

h.a = dv/dt = 6 t - 24 = 6(t - 4). Jadi a > 0 jika t > 4.

2 6v (+) (0) (-) (0) (+)

12

MASALAH BENDA JATUH

Jika sebuah benda dilempar (ke atas atau ke bawah) dari suatu ketinggian awal s0 meter dengan kecepatan awal v0 meter/detik dan jika s menyatakan tinggi benda di atas tanah dalam meter setelah t detik, maka

s = - 16t2 + v0 t + s0 Ini menganggap bahwa percobaan berlangsung dekat permukaan laut dan tahanan diabaikan (lihat gambar)

Permukaan Tanah

v = v0 pada t = 0

s0

13

Contoh 4Andaikan sebuah bola dilempar ke atas dari puncak sebuah gedung yang tingginya 160 kaki dengan kecepatan awal 64 kaki/detik, a. Kapan ia mencapai ketinggian maksimum? b. Berapa ketinggian maksimumnya? c. Kapan ia membentur tanah? d. Dengan laju berapa ia membentur tanah? e. Berapa percepatannya pada t= 2?

Penyelesaian: s = - 16t2 + v0 t + s0 Di sini s0 = 160 dan v0 = 64, sehingga: s = - 16t2 + 64 t + 160

Permukaan Tanah

v0=64

s0 =160

a. Bola mencapai ketinggian maksimum pada waktu kecepatannya 0, yakni pada waktu -32t + 64 = 0, atau pada waktu t = 2 detik.

14

Permukaan Tanah

v0=64

s0 =160

a. Bola mencapai ketinggian maksimum pada waktu kecepatannya 0, yakni pada waktu -32t + 64 = 0, atau pada waktu t = 2 detik.

b. Pada t= 2, maka s = -16(2)2 + 64(2) + 160 = 224 kaki.

c. Bola membentur tanah pada waktu s= 0, yakni, pada waktu-16t2 + 64t + 160 = 0. Jika kita bagi dg 16 kemudian digunakan rumus abc maka akan diperoleh: t2 - 4t - 10 = 0.

Hanya jawab positif yang berarti. Jadi, bola membentur tanah pada t 5,74 detik.

d. Pada , maka . Jadi, bola membentur tanah pada laju 119,73 kaki/detik.

e. Percepatan selalu -32 kaki/detik/detik. Ini adalah percepatan gravitasi dekat permukaan laut.

s = - 16t2 + v0 t + s0

15

TERAPAN EKONOMIKKita seringkali mendengar siaran berita yang menjelaskan perubahan tingkat pengangguran, laju inflasi, dan seterusnya. Secara matematis, uraian ini mencakup derivatif (turunan). CONTOH 5 Kantor Berita Antara melaporkan bulan Nopember 2014, bahwa pengangguran bertambah dengan tingkat yang semakin tinggi. Di samping itu, harga makanan naik tetapi dengan tingkat yang lebih lambat dari pada sebelumnya. Tafsirkan pernyataan ini dalam bahasa kalkulus. Penyelesaian Andaikan u = f(t) menyatakan jumlah orang yang menganggur pada waktu t. Walaupun u sebenarnya meloncat dalam besaran satuan, kita ikuti kebiasaan baku dalam menyatakan u oleh sebuah kurva mulus manis, seperti dalam Gambar 5. Untuk mengatakan pengangguran bertambah adalah mengatakan du/dt> 0; untuk mengatakan bahwa ia bertambah pada tingkat yang semakin tinggi adalah mengatakan d2u/dt2 > 0. Demikian pula halnya, jika p = g(t) mewakili harga makanan (misalnya, biaya khas toko makanan satu hari untuk satu orang) pada waktu t, maka dp/dt > 0 tetapi d2p/dt2 < 0; lihat Gambar 6,

16

LATIHAN SOALDalam Soal-soal 1-3, cari d3y/dx3. 1. y = (2x + 5)4 2. 3. y = cos (x2)4. Dua partikel bergerak sepanjang garis koordinat. Pada

akhir-t detik jarak-jarak berarah mereka dari titik asal, dalam meter, masing-masing diberikan oleh s1 = 4t - 3 t2 dan s2 = t2 - 2t. a. Kapan mereka mempunyai kecepatan sama? b. Kapan mereka mempunyai laju sama? (Laju sebuah

partikel adalah nilai mutlak kecepatannya). c. Kapan mereka mempunyai posisi sama

5. Sebuah benda dilempar ke atas pada ketinggian s = -16t2 + 48t + 256 kaki setelah t detik (lihat Contoh 4)a.Berapa kecepatan awalnya? b.Kapan ia mencapai ketinggian maksimum? c. Berapa ketinggian maksimumnya? Kapan ia membentur

tanah? Dengan laju berapa ia membentur tanah?

17

VIII. PENDIFERENSIAL

AN IMPLISIT

18

Garis singgung fungsi Implisit

• Perhatikan grafik dari y3 + 7y = x3

• Titik (2, 1) terletak pada grafik, dan terdapat sebuah garis singgung pada titik tersebut.

• Bagaimana mencari kemiringan garis singgung ini? Mudah: hitung saja dy/dx pada titik tsb.

• Tetapi itulah kesukarannya, kita tidak tahu bagaimana mencari dy/dx dalam situasi ini.

Elemen baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaan yang secara gamblang (explisit) tidak terselesaikan untuk y. Apakah mungkin untuk mencari dy/dx dalam keadaan seperti-ini. Ya, diferensialkan kedua ruas persamaan y3 + 7y = x3 terhadap x dan samakan hasil-hasilnya

19

Kita anggap bahwa persamaan yang diberikan memang menentukan y sebagai suatu fungsi x.

Jadi, setelah memakai Aturan Rantai pada suku pertama, kita peroleh

Kemiringan pada titik (2,1), dihitung sbb:

20

Beberapa ContohMetode pendiferensialan implisit yang baru saja digunakan untuk mencari dy/dx tanpa terlebih dahulu menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk y dalam bentuk x. Apakah metode tersebut masuk akal? Apakah menghasilkan jawaban yang benar?CONTOH 1

Cari dy/dx jika 4x2y - 3y = x3 – 1Cara 1 Menyelesaikan persamaan y:

y(4x2 - 3) = x3 - 1 maka Jadi

Cara 2 (Pendiferensialan Implisit). Kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari 4x2 y - 3y = x3 -1. Menggunakan Aturan Hasilkali pada suku pertama, kita dapatkan

21

Cara 2 (Pendiferensialan Implisit). Kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari 4x2 y - 3y = x3 -1. Menggunakan Aturan Hasilkali pada suku pertama, kita dapatkan:

Sekalipun hasil ini kelihatan berlainan dari jawab Cara 1, tetapi keduanya sama. Substitusikan terhadap ungkapan dy/dx, sehingga diperoleh:

22

Beberapa Kesukaran yang Tak Terlihat

• Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan sebuah fungsi y = f(x) dan fungsi ini terdiferensialkan, maka metode pendiferensialan implisit akan menghasilkan sebuah ungkapan yang benar untuk dy/dx. Terdapat dua "jika" besar dalam pernyataan ini.

• Pertama perhatikan persamaan: x2 + y2 = -1, Tidak mempunyai penyelesaian dan karena itu tidak menentukan suatu fungsi.

• Sebaliknya, x2 + y2 = 25, menentukan fungsi-fungsi y = f(x) = dan y = g(x) =

f(x) =

g(x) =

23

Untungnya, fungsi ini keduanya terdiferensialkan pada (-5, 5). Pertama perhatikan f, yg memenuhi

x2 + [f(x)]2 = 25 kita diferensialkan secara implisit dan menyelesailkan untuk f’(x), diperoleh:

2x + 2f(x)f’(x) = 0

Hal yang sama terhadap g(x) menghasilkan

Jika dituliskan secara serempak, pendiferensialan implisit terhadap x2 + y2 = 25 menghasilkan:

Hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas.

24

Perhatikan bahwa dy/dx = -x/y. Andaikan kita ingin mengetahui kemiringan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 untuk x = 3. Nilai-nilai y yang berpadanan adalah 4 dan -4. Kemiringan di (3, 4) dan (3, -4), masing-masing diperoleh dari penggantian -x/y adalah -3/4 dan 3/4

f(x) =

g(x) =

25

CONTOH 2

Cari dy/dx jika x2 + 5y3 = x + 9.

Penyelesaian

26

CONTOH 3

Cari Dty jika t3 + t2 y – 10 y4

= 0

Penyelesaian

27

CONTOH 4 Cari persamaan garis singgung pada kurva

y3 — xy2 + cos xy = 2 di titik (0, 1).

Penyelesaian Untuk menyederhanakan, kita gunakan cara penulisan y' untuk dy/dx. Bilamana kita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan hasilnya, kita peroleh

3y2y' - x(2yy') - y2 - (sin xy)(xy' + y) = 0 y'(3y2 - 2xy - x sin xy) = y2 + y sin xy

Di (0,1), y’ = 1/3, sehingga persamaan garis singgung di (0, 1) adalah y-1 = x/3

28

ATURAN PANGKAT LAGI Kita telah mempelajari bahwa Dx(xn) = nxn-1, di mana n sebarang bilangan bulat. Sekarang ini kita perluas pada kasus di mana n adalah bilangan rasional sebarang. Teorema A (Aturan Pangkat).

Andaikan r bilangan rasional sebarang. Maka

Dx(xr) = r xr-1 CONTOH 5 Cari Dxy jika Penyelesaian

Pertama kita tulis )

Kemudian, memakai Teorema A. )

29

CONTOH 6 Jika , cari dy/dt

Penyelesaian

Misalkan y = u1/2 dan u = t4 –t +17

30

LATIHAN SOALDalam Soal-soal 1-3, cari Dxy memakai pendiferensialan implisit 1. x2 – y2 = 9 2. 3. cos (xy) = y2 +2x

Dalam Soal-soal 4-5, cari persamaan garis singgung pada titik yang ditunjuk.4. x3y + y3x = 10, pada titik (1,2)5. x2/3 – y2/3 – 2y = 2, pada titik (1,-1)Dalam soal 6-8, cari dy/dx (lihat contoh 5 dan 6)6. 7. 8.

31

IX. DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN

Kita telah menggunakan cara penulisan Leibniz dy/dx untuk turunan y terhadap x, baru sebatas penggunaan lambang turunan belaka. Dalam bagian ini akan dibahas penerapan lebih dalam dari diferensial.

32

• Andaikan P(x0,y0) adalah titik tetap pada y = f(x). Dengan P sebagai titik asal, perhatikan sumbu koordinat baru, dx dan dy, yang sejajar dengan sumbu x dan y yang lama.

• Dalam sistem koordinat yang baru ini, garis singgung di P mempunyai persamaan sederhana, yakni dy = m dx, di mana m adalah kemiringannya. Kemiringan m terhadap sistem koordinat baru sama

saja seperti terhadap sistem xy lama.

Jadi m = f’(x0), sehingga persamaan garis singgung dapat dituliskan sbg: dy = f’(x0) dx

Gambar 1

33

• Kegunaan gagasan ini terletak pada kenyataan dasar bahwa garis singgung tsb sangat dekat pada kurva y = f(x) di sekitar P(x0, y0). • Jadi jika x

mendapatkan pertambahan kecil x = dx, pertambahan yang berpadanan dalam y pada kurva adalah y = f (x0 + x) - f(x0), sedangkan pada garis singgung adalah dy = f’(x0) x.

Gambar 2

• Tetapi dy merupakan suatu hampiran terhadap y dan hanya berupa konstanta kali x, yang secara normal mudah dihitung.

34

Definisi (Diferensial). Andaikan y = f(x) terdiferensialkan di x dan andaikan bahwa dx, diferensial dari peubah bebas x, menyatakan pertambahan sebarang dari x. Diferensial yang bersesuaian dengan dy dari peubah tak bebas y didefinisikan oleh

dy = f’(x) dx CONTOH 1 Cari dy jika (a) y = x3 — 3x + 1. (b) (c) y = sin(x4 - 3x2 + 11). Penyelesaian Untuk menghitung diferensial, kita perlu menghitung turunan dan mengalikannya dengan dx. (a). dy = (3x2 – 3) dx(b). dy = ½ (x2 + 3x)-1/2 (2x +3) dx = (c). dy = cos (x4 – 3x2 + 11). (4x3 – 6x) dx

35

Perhatian1. Karena dy = f’(x) dx, pembagian kedua ruas

oleh dx menghasilkan f’(x) = dy/dx, maka dapat ditafsirkan turunan sebagai suatu hasilbagi dua diferensial

2. Seperti dalam turunan, ada aturan diferensial yang diperoleh dengan mengalikannya dengan dx.

36

Perhatian3. Meskipun definisi dy menganggap bahwa xy adalah

sebuah peubah bebas, anggapan tersebut tidak penting. Andaikan y = f(x), dengan x = g(t). Maka t adalah bebas dan x dan y keduanya tergantung padanya. Sekarang:

dx = g’(t) dtdan karena y = f(g(t))

dy = f’(g(t)) g’(t) dt = f’(x) dxPerhatikan bahwa dy ternyata adalah f’(x) dx, sama halnya seperti jika x adalah peubah bebas.

4. Hati-hatilah membedakan turunan dan diferensial. Mereka tidak sama. Bila menulis Dxy atau dy/dx, berarti memakai lambang untuk turunan, sebaliknya bila menuliskan dy, maka menyatakan diferensial. Jangan ceroboh dan menuliskan dy bila anda bermaksud memberi label suatu turunan. Itu akan menimbulkan kebingungan yang berlarut-larut.