8.1

Dalam modul ini akan dibahas bagaimana melakukan perhitungan-perhitungan

derivatif ataupun integral terhadap fungsi matriks atau matriks fungsi.

Perlu diketahui bahwa bagi yang telah pernah mempelajari kalkulus multivariabel,

apa yang akan dipelajari dalam modul ini adalah presentasi hal-hal penting yang banyak

digunakan dalam analisis statistika, dalam matriks dan vektor.

Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat memahami, dengan baik

pengertian fungsi matriks dan matriks fungsi, memahami sifat-sifat dan melakukan

perhitungan-perhitungan derivatif maupun integral terhadap fungsi matriks dan matriks

fungsi.

Sesudah mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu mencari derivatif maupun

integral berbagai macam fungsi matriks dan matriks fungsi, serta memanfaatkannya

untuk pekerjaan statistika yang sifatnya analitis.

8 MODUL

PENDAHULUAN

KALKULUS MATRIKS

Aljabar Matriks 2

8.2

ebelum kita mulai dengan membahas bagaimana melakukan perhitungan-

perhitungan derivatif terhadap fungsi matriks dan matriks fungsi, serta

mempelajari sifat-sifatnya, marilah terlebih dahulu kita pelajari apa yang

dimaksud dengan fungsi matriks dan matriks fungsi.

Fungsi matriks adalah suatu fungsi yang dibangun/dibentuk oleh suatu atau beberapa

matriks/vektor.

Contoh 1

2 n 1f X I X X ... X atau

1nf X X I X I atau

1 nf X X I X I

Dari contoh 1 ini, sudah barang tentu harus diperhatikan bahwa f X terdefinisikan kalau persyaratan-persyaratan yang diperlukan dalam pengoperasian matriks/vektor di

ruas kanan berlaku.

Dengan mudah dapat ditunjukkan jika X I mempunyai invers, artinya 1

X I

ada maka

12 n 1 n

1 n

I X X ... X X I X I

X I X I

Bukti

Karena

n 1 nI X ... X X I X I maka

S

Derivatif

Kegiatan Belajar 1

8.3

1n 1 nI X ... X X I X I Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa

1n 1 nI X ... X X I X I

Silakan Anda coba!!

Dengan demikian hasil (rumus) di atas dapat digunakan untuk mempermudah

menghitung ruas kiri, jika n cukup besar.

Contoh 2

Jika matriks I O

C B

maka matriks P adalah fungsi dari matriks-matriks C dan

B, dan matriks k P.P. ... .P (mengalikan matriks P sebanyak k kali) maka

2

I O I OP.P

C B C B

I.I O.C I.O O.B

C.I B.C C.O B.B

I O

C BC B

2

2 3

P.P.P P.P .P

I O I O

C BC BC B

I O

I B B C B

sehingga:

kk 1 k

I OP

{I B ... B }C B

atau

kk k

I OP

(I B) 1(I B )C B

menggunakan hasil dari contoh 1

Contoh 3

Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar maka

Aljabar Matriks 2

8.4

2 i iA

i 0

A A Af (A) e I A !2! i! i

Jika jumlahan deret tersebut konvergen, yang akan dipenuhi jika semua komponen dari

matriks eA yang merupakan deret harus konvergen.

Contoh 4

Jika matriks R n P atau matrik RP e dengan ijR r dan ijp p , serta

kij ij ijk 1

p r k!

, ij1, i j

0, j i

maka hubungan dari matriks R dan matriks P hanya akan berlaku (fungsi matriksnya

ada) jika ruas kanan dari pij konvergen untuk setiap i dan j.

Dari contoh-contoh di atas dapat dilihat dengan mudah bahwa dengan penyesuaian-

penyesuaian tertentu yang berlaku untuk matriks, hukum-hukum yang berlaku untuk

skala atau satu peubah dapat pula diberlakukan untuk matriks.

Matriks fungsi adalah suatu matriks yang paling sedikit satu komponen-komponennya

adalah fungsi (satu peubah atau lebih dari satu peubah).

Contoh 5

a.

3 x

x 2

x eF(x)

2 (3 4x

b.

2 21 1 2 2

1 231 2 2 1 2

x x x xF(x) , x (x , x )

x x x x x

Selanjutnya marilah kita bahas suatu masalah yang dihadapi dalam kalkulus

multivariabel, yaitu mencari/menghitung derivatif (parsial) ke masing-masing variabel/

peubah. Dalam format matriks dan vektor maka masalah tersebut dapat dipikirkan

sebagai mencari derivatif fungsi matriks f (x)

(yang merupakan skalar) ke vektor x

, atau

matriks/vektor fungsi y f x

ke vektor x

.

1. Derivatif suatu skalar ke vektor x

, ditulis x

, adalah suatu vektor yang

komponennya adalah derivatif parsial dari komponen vektor x

.

8.5

1 2 p1 2 p

( ... ), x (x x ...x )x x x x

Contoh 6

Jika a x x a

dengan 1 2 pa (a a ...a )

dan 1 2 pa (x x ...x )

maka

p

i i

i 1

a x

sehingga

ax

karena

p p p p

i i i i i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1

1 2 p

1 2 p

a x a x a x a x

x x x x x

a a ...a a

2. Derivatif suatu vektor y

ke vektor x

, ditulis y

x

adalah suatu matriks yang kolom-

kolomnya adalah derivatif dari komponen-komponen vektor y

ke vektor x

.

Jika 1 2 p 1 2 rx ' (x x x ), y ' (y y y )

dan ijy

A (a )x

maka iijj

ya

x

untuk

semua i, j.

Contoh 7

Jika y Ax

maka y ' x 'A '

atau

1 2 r 1 2 r 1 2 ry y y x ' a a a x a x a x a

sehingga

1 2 r1 2 r

1 2 r

y ' x 'a x 'a x 'a(x 'a x 'a x 'a )

x x x x x

a a a A

menggunakan hasil dalam contoh 6.

Aljabar Matriks 2

8.6

Contoh 8

x Ax x P (Qx)

x x x

dengan P Ax

dan Q x 'A

P Q , menggunakan hasil dalam contoh 7

Ax A x

(A A )x

2Ax

jika A adalah suatu matriks yang simetris.

Contoh 9

Cara lain untuk membuktikan bahwa:

(x Ax)

A A xx

adalah

p p

rs r s

r 1 s 1

p p

rs r s

r 1 s 1

p p

rs ir rs r is

r 1 s 1

a x x(x Ax)

x x

a x x

, i 1,2,..., px

a a x

Karena ir 1 untuk i = r dan ir 0 untuk i r maka

p p

is s ri r

s 1 r 1

(x Ax)a x a x , i 1,2,..., p

x

Ax A x

A A x

Transformasi Jacobian dari suatu transformasi dapat differential (differentiable) satu-

satu dari vektor random 1 2 px x x x ke vektor random 1 2 py y y y dengan

8.7

k ky f (x) dan k ky g (y)

, k = 1,2, p, ditulis x yJ

atau x ydet J

, adalah

harga mutlak dari determinan matrik ijA a dengan iijj

xa

.

Contoh 10

Jika 1x

1 2y e x dan 2 2y x maka

1 1

1 2x y

2 2

1 2

x x

y yJ

x x

y y

Karena 2 2y x dan 1x

1 2y e x maka 1 1 2x n y y dan 2 2x y sehingga

1 2 1 2x y1 2

1 11

y y y yJy y

0 1

Suatu hal yang perlu menjadi perhatian dalam menentukan Transformasi Jacobian

adalah transformasinya dari x ke y

sehingga untuk menentukan Transformasi Jacobian

haruslah merubahnya menjadi transformasi dari yke x

agar perhitungan derivatifnya

menjadi langsung. Hal ini tidak selalu demikian, untuk itu dapat digunakan rumus

berikut.

x y y xJ . J 1

Contoh 11

Untuk jawaban contoh 10, dapat dihitung

11

1 2

1 1y x

1 2

2 2

xx

1 2

y y

x xJ

y y

x x

e 0e y y

1 1

sehingga

y x x yJ . J i

Aljabar Matriks 2

8.8

akan menghasilkan:

x yy x 1 2

1 1J

J y y

Berikut ini akan disajikan beberapa rumus-rumus Transformasi Jacobian yang banyak

digunakan:

No. Transformasi: x y

Transformasi Jacobian

1. (p 1) (p 1)Y AX 1(det(A))

2. (p q) (p q)Y AX q(det(A))

3. (p q) p qY X A p(det(A))

4. (p q) (p q)Y AX B q p(det(A)) (det(B))

5. (p p) (p p)Y AX A dengan A simetris (p 1)(det(A))

6. (p q) (p q)Y aX dengan skalar pqa

7. (p p) (p p)Y aX dengan a skalar, X dan Y simetris 1

p(p 1)2a

8. 1(p p)Y X

2p(det(X))

9. 1p pY X

dengan X dan Y simetris

p 1(det(X))

10. kp pY X

1kp p

k r k ri j

i 1 j 1r 1

11. kp pY X dengan X dan Y simetris

1kp p

k r k ri j

i 1 j 1r 1

Catatan:

a. harga determinan dipilih/diambil yang positif.

b. 1 2 p, ,..., adalah nilai-nilai karakteristik dari matriks X.

Memperhatikan bahwa x yx

Jy

dengan x

dan adalah vektor-vektor, apabila X

dan Y adalah matriks-matriks maka untuk mencari x yJ matriks-matriks X dan Y harus

diubah dulu menjadi vektor-vektor dengan cara X dan Y diubah menjadi vec X dan vec Y

atau menjadi vektor X dan vektor Y jika X dan Y simetris.

Operasi vec terhadap suatu matrikx X, ditulis vec X adalah penyajian matriks X

dalam bentuk vektor kolom dengan cara menjadikan satu setiap vektor kolom matriks X

mulai dari vektor kolom yang pertama sampai dengan yang terakhir secara berurut.

8.9

Operasi vech (vektor-half) terhadap suatu matrikx X, ditulis vech X, adalah sama

dengan vec X, kecuali untuk setiap kolom yang disusun hanya diambil mulai dari elemen

diagonal ke bawahnya.

Contoh 12

Jika matriks 1 2 3

X4 5 6

maka vec X 1 4 2 5 3 6 dan vech

X 1 4 5 6 .

Berikut ini akan disajikan beberapa rumus yang berlaku untuk derivatif ke suatu

skalar x dan matriks X = (xij), i = 1,2, , r dan j = 1,2, , 3.

1. Jika matriks A = (aij) dan x adalah suatu skalar, maka berlaku:

a. ijaA

x x

b. 1

1 1A AA Ax x

c. A A

A A AA A Ax x

d. Jika matriks 1P T(T AT) T dengan matriks T tidak bergantung pada skalar x

dan matriks A simetris maka p A

Px x

.

2. a ijx x

, i = 1, 2, , 5 dan j = 1, 2, , 5

b. Karena

kl kl

k lji

ij ij

x atr(XA)

ax x

maka

Atr(XA)

A A diag AX

Jika A simetris dengan matriks diag (A) adalah matriks diagonal yang elemen-

elemennya adalah elemen-elemen diagonal dari matriks A.

c. Karena ij ijj

det X x det X untuk setiap i atau ij ijj

det X x det X

untuk setiap j dengan det (Xij) adalah kofektor dari elemen xij maka

Aljabar Matriks 2

8.10

ij

X X

X x

dengan

ij

ij ij ij ij

xX

X x x x

atau

ij ij2 x jika X simetris

ij1, i j

0, i j

Dengan demikian, mengingat ajoint 1X X X maka:

1X

X XX

atau

X

2X

(ajoin X) diag (ajoin X) jika X simetris.

d. Jika matrik X nonsingular maka

n X X1

.X X X

atau

1

1 1

Xn X

X 2X diag X jika X simetris

e.

ij

iji j

1

xn X X X1 1.

X X ij X x y

Xtr X

y

f. Jika vektor 1 2 ra (a ,a ,...,a )

dan vektor 1 2b (b ...b )

maka a Xb

abX

g. Jika vektor 1 2 ra (a ,a ,...,a )

dan matriks X simetris maka:

8.11

a Xa

2aa diag(aa )X

dengan diag (aa )

adalah matriks diagonal yang elemen-elemennya adalah

elemen-elemen diagonal matrik aa

.

Contoh 13

Jika matriks

3 x

x 2

x eA

2 3 4x

maka

3 x

2x

2 x

x

x e

x xA

x 3 4x2

x x

3x e

2 n2 8x

dan

1

1 1A AA Ax x

dengan 1

1A

x

ajoint (A)

Karena

2 x1

3 2 x x 3

(3 4x ) 21A

x (3 4x )(2e) e x

maka

2 x2 x2 x1

3 5 x 2 xx 3 x 3

11 12

2x3 5 21 22

3 4x 23x e(3 4x ) 2A 1

x (3x 4x (2e) ) 2 n2 8xe x e x

b b1

b b3x 4x 2e

dengan

2 4 2x 2 x x 2 x x 311b 9x 12x 2 n2 3 4x e 3e 4x e 2 x x 2 4 2x 3 x 2 x x 312b 2 9x 12x 2 n2 x 3e 4x e 2 x

2 x 3 x 2 x 2x 221b 3x e x 2 n2 3 4x e e 8x

Aljabar Matriks 2

8.12

x 2 x 3 x 3 2x 222b 2 3x e x 2 n 2 x e 8x

Contoh 14

Jika matriks 1P T(T AT) T dengan matrisk-matriks, T tidak bergantung pada

skalar x dan matriks A simetris maka

1

11

1 1

P (T AT) (T ATT T T (T AT) T AT T

x x x

A AT(T AT) T T(T AT) T P P

x x

(Ini adalah bukti rumus 1.d)

Bagian terakhir dari kegiatan belajar ini adalah pembahasan tentang derivatif (parsial)

tingkat dua atau turunan parsial kedua dari suatu skalar (yang merupakan fungsi

dari vektor 1 2 px (x x ...x )) ke vektor x

.

Jika adalah suatu skalar yang merupakan fungsi dari vektor maka turunan parsial

kedua dari ke x

, ditulis 2

x x

adalah suatu matriks H = (hij) dengan 2

iji j

hx x

.

Matriks H tersebut dikenal sebagai matriks Hessian.

Contoh 15

Jika skalar x Ax

dengan matrks

1 3 5

A 3 4 7

5 7 4

Maka matriks Hessian untuk adalah

2 x x Ax

x x x x x

2Ax karena matriks A simetrisx

2A

atau

Karena 2 2 21 1 2 1 3 2 2 3 3x Ax x 6x x 10x x 4x 14x x 9x

maka

H = (hij) dengan 2

iji j

hx x

, i, j = 1, 2, 3

8.13

2

11 1 2 31 1 1

h 2x 6x 10x 2x x x

2

21 1 2 32 1 1

h 6x 8x 14x 6x x x

dan seterusnya dengan cara yang sama

didapat: 31 12 22 32 13 23 33h 10, h 6, h 8, h 14, h 10, h 14, dan h 18 sehingga

diperoleh H = 2 A.

1) Jika matriks K adalah suatu matriks bujur sangkar bertipe n, tentukan K agar supaya Ke .

a) eI

b) e I

c) I + K

2) Jika matriks R =a a

Rb b

, tunjukkan bahwa

a) n 1nR a b R

b) 1 1r

2 2

P 1 Pe

P 1 P

berakibat

1 1 2

1 2

(1 P ) n (P P )a

1 P P

dan 1 2a b n (P P )

3) Buktikan bahwa PX X Q

0X

berakibat P Q

4) Jika vector 1 2y (y y )

dengan 2 21 1 2 1 2 2y 6x x 2x x x dan

3 22 1 1 1 2y 2x x 2x x dan skalar 3 2 21 2 1 2 1 2y 2x x x x x x tunjukkan bahwa

x yJ H

dengan H adalah matriks Hessian untuk y.

5) Jika matriks

1 2 3

X 2 4 5

3 5 6

, tentukan

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan Anda

kerjakan latihan berikut ini!

LATIHAN

Aljabar Matriks 2

8.14

a) matriks-matriks G dan H yang memenuhi vech X = Hvec X dan vec X = G vech

X.

b) GH dan apakah H merupakan invers kiri dari G? Jelaskan jawaban Anda.

6) Jika 2 2 21 1 2 2 2 3 3 1 37x 4x x 5x 6x x 3x 6x x , tentukan

a) x

b) Matriks Hessian untuk

Petunjuk Jawaban Latihan

1) K i

i 0

e K i!

2) Untuk soal b: ingat bahwa iR

i 0

Re !i

dan kij

ij ij

k 1

rp !

k

dengan ij1,i j

0,i j

misalnya:

a11k 1 k 0

k kp 1 a a ek! k!

sehingga a1P e .

3) . 4) . 5) . 6) Tunjukkan terlebih dahulu bahwa x Ax

Dalam kegiatan belajar ini telah dipelajari pengertian fungsi matriks dan

matriks fungsi dan bagaimana caranya menghitung derivatif ke skalar, vektor

maupun matriks untuk berbagai bentuk fungsi matriks dan matriks fungsi.

Khususnya untuk kombinasi linear, transformasi linear, dan bentuk kuadrat.

RANGKUMAN

8.15

1) Jika matriks

k k11 12k

k k21 22

a aA

a a

dengan k = 0, 1, 2, ... dan 0 < aij < 1 untuk setiap i, j

maka k

k 0

A

.

A. 11 12

21 22

1 a 1 a

1 a 1 a

B. 11 12

21 22

a a

a a

C. 11 12

21 22

1 1

1 a 1 a

1 1

1 a 1 a

D. 11 12

21 22

1 1

a a

1 1

a a

2) Jika matriks a a

Rb b

maka R

n = .

A. n

a b R

B. n

a b R

C. n

a b R

D. n

a b R

Pilih jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang disediakan!

TES FORMATIF 1

Aljabar Matriks 2

8.16

3) Jika matrik RP e dengan 11 12 11 12

21 22 21 22

p P r rP , R

P P r r

serta kij

ij ij

k 1

rp

k!

,

dan ij 1 untuk i = j , ij 0 untuk i j maka P = .

A. 11 12

21 22

r r

r r

e e 1

e 1 e

B. 11 12

21 22

r r

r r

e 1 e

e e 1

C. 11 1 12

21 22 1

r r

r r

e e

e e

D. 11 12

21 22

r r

r r

1 e e

e 1 e

4) Jika matriks F(x) =

3 x

x 2

e eF x

2 3 4x

maka 2

2

F

x

= .

A.

2x

x

6x e

2 n2 8

B.

2x

2x

6x e

2 n2 8

C.

x

x

6x e

2 n2 8

D.

x

2x

6x e

2 n2 8

8.17

5) Jika skalar 2 2 21 1 2 2x 3x x 2x dan 1 2x (x x ) maka

x

.

A. 21 2 1 2 22x 3x 6x x 4x

B. 21 2 2 1 26x x 4x 2x 3x

C. 22 1 1 2 12x 3x 6x x 4x

D. 21 2 1 2 16x x 4x 2x 3x

6) Jika matriks

1 2 3

X 4 5 6

7 8 9

maka vec X = .

A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

B. 1 2 3 6 5 4 7 8 9

C. 1 4 7 2 5 8 3 6 9

D. 1 4 7 8 5 2 3 6 9

7) Jika matriks

1 4 7

X 2 5 8

3 6 9

maka vech X = .

A. 1 2 3 4 5 7

B. 1 2 3 5 6 9

C. 1 4 7 5 2 3

D. 1 4 7 5 8 9

Aljabar Matriks 2

8.18

8) Jika matriks 1 2

X2 1

maka matriks-matriks G dan H yang memenuhi vech X = H

vec X dan vec X = G vech X adalah .

A.

1 0 01 0 0 0

0 1 0G ,H 0 1 0 0

0 1 00 0 0 1

0 0 1

B.

1 0 01 0 0 0

0 1 0G ,H 0 1 0 0

0 0 10 0 0 1

0 0 1

C.

1 0 01 0 0 0

0 1 0G ,H 0 1 0 0

0 0 10 0 1 0

0 0 1

D.

1 0 01 0 0 0

0 1 0G ,H 0 1 0 0

0 1 00 0 1 0

0 0 1

9) Jika transformasi x y

adalah 1 2y (y y )

dengan 1x

1 2y e x dan 2 2y x maka

x yJ

.

A. 1 2y y

B. 1 2y y

C. 1 2

1

y y

D. 1 2

1

y y

8.19

10) Matriks Hessian dari suatu skalar 2 21 1 2 2x 6x x 4x adalah matriks H = .

A. 8 6

6 2

B. 2 6

6 8

C. 6 8

2 6

D. 6 2

8 6

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di

bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar. Kemudian gunakan rumus

di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan

Belajar 1.

Rumus:

Jumlah jawaban Anda yang benar

Tingkat penguasaan = X 100%

10

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:

90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Bila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan

dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah

80%, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda

kuasai.

8.20

umpulan peubah acak X1, X2, , Xp yang masing-masing mempunyai fungsi padat peluang f(x1), f(x2), , f(xp) dan fungsi distribusi (kumulatif) f(x1), F(x2), , F(xp), secara bersama-sama akan membentuk suatu peubah acak

multidimensional atau peubah acak multivariat, yang dapat dinyatakan sebagai vektor

peubah acak.

1 2 pX X X X

dengan fungsi padat peluang bersama f(x1, x2, , xp) yang dapat ditulis sebagai f (x)

yang mempunyai sifat-sifat berikut:

1. f (x) 0

untuk setiap x

(1)

2.

xx R

f (x)dx 1

(2)

untuk p

ii 1

dx dx

dan xR

adalah domain dari x

.

Fungsi distribusi bersama dari X

, yaitu F(x)

adalah 1 2 pF(x) F(x ,x ,..., x )

1 1 p pP(X x ,...,X x )

Hubungan antara fungsi padat peluang bersama dan fungsi distribusi bersama dapat

dinyatakan sebagai:

p p 1 1x x x

F(x) f x dx

(3)

atau

P

1 2 p

F(x)f (x)

x x ... x

(4)

K

Integral

Kegiatan Belajar 2

8.21

Sehingga terlihat bahwa dari (3) dan (4), tertentunya salah satu, akan menentukan yang

lain.

Contoh 1

Jika vektor perubah acak 1 2 pX = X X X adalah vektor peubah acak yang

dibentuk oleh peubah acak Xi, i = 1, 2, , p yang saling bebas dan masing-masing

berdistribusi normal dengan mean = i dan variansi =2i maka

2x x1 2 i

2 2

p 2x1 i i

2 ii 1

112

1222

p

i

i 1

p

ii 1

p

ii 1

x D x

f (x) f x

1e

2

1e

2

1e

2 D

dengan 1 2 p 1 2 px (x x ...x ), ( ... ), D det D dan D = diag

2 2 21 2 ... pD diag , yaitu suatu matriks diagonal.

Mengingat f(xi) , I = 1, 2, , p adalah suatu fungsi padat peluang maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa syarat (i) dan (2) untuk f (x)

dipenuhi.

Contoh 2

Jika vektor peubah acak 1 2 pX = X X X adalah vektor peubah acak berdistribusi multivariat normal dengan vektor mean =

dan matriks variansi = maka

syarat (2) untuk fungsi padat peluang bersamanya berlaku dapat dibuktikan dengan, cara

berikut:

Karena

1

p 12 2

1(x ) (x )

21

f (x) e

(2 )

maka

x y

x y

x R y R

f (x)dx g(y). J dy

Aljabar Matriks 2

8.22

dengan g(y) f x y

x y

adalah suatu transformasi ortogonal yang membawa

1 menjadi suatu matriks diagonal. (Ini selalu dilakukan dan telah Anda pelajari dalam Modul 7 Kegiatan Belajar 1). Transformasi ortognal yang dimaksud adalah

matriks P yang memenuhi 1P P D dengan PP P P I dan

1 2 pD diag 1 nilai karakteristik ke-i dari matriks 1 , i = 1, 2, , p dan 1 2 n... ??? .

Karena y P(x )

maka x yJ

dapat dihitung dengan terlebih dahulu menghitung

x yJ 1

(karena P ortogonal dan y

Px

).

Karena x yy x

1J

J

dan y P(x )

menghasilkan 1p y (x )

maka

1 1 1

1P22

x y

112

1P22

1y P P y

2

x R y R

y P P y

y Ry

1f (x)dx e .1dy

2

1e dy

2 P P

1, menurut hasil dalam contoh 1

Langkah yang digunakan untuk menyelesaikan contoh 2 di atas adalah teorema

berikut.

Teorema 1

Jika vektor 1 2 px (x ,x ,..., x ) dan vektor 1 2 py (y , y ,...y )

dengan y A(x c)

,

1 2 pc (c ,c ,...,c )

adalah vector konstan dan A adalah suatu matriks yang nonsingular

maka

a. i

i

y

x

kontinu untuk semua i dan j

b. 1

x yJ A

c. Transformasi dari x

ke y

adalah satu-satu.

d. Jika x iR {x | x ,i 1,2,...,p}

maka y iR {y | y ,i 1,2,...,p}

8.23

e. Jika f (x)

adalah fungsi padat peluang dari X

dan g(y)

adalah fungsi padat

peluang dari Y

maka

x y

1

g y f x y . J

f x y . A

Permasalahan lain yang cukup penting pula untuk diperhatikan adalah tentang suatu

subvektor dari vektor random multivariat. Dalam hal demikian kepentingan kita adalah

mencari distribusi dari subvektor tersebut yang lebih dikenal sebagai distribusi marginal

dari subvektor random tersebut. Untuk itu pandang vektor random multivariat

X Y Z

dengan Y

dan Z

masing-masing adalah subvektor random dari X

dengan

komponen r dan (p r). Jika f (x) f (y,z)

adalah fungsi padat peluang bersama dari X

maka

zz R

g(y) f (y,z)dz

dan

yy R

h(z) f (y,z)dy

dengan yR

dan zR masing-masing adalah domain dari y

dan z

, sedangkan g y

dan

h(z)

masing-masing adalah fungsi padat peluang marginal dari Y

dan Z

.

Contoh 3

Jika pX N , dan X Y Z

maka r 1 11Y N ,

dan (p r) 2 22Z N ,

(Catatan: p, r, dan (p r) masing-masing adalah banyaknya komponen vektor random X

,

Y

dan Z

1 2,

dan 11 12

21 22

dengan pembagian elemen-elemennya

sesuai dengan pembagian X Y Z

.

Bukti:

Karena pX N , maka

11(x ) (x )2

p 122

1f (x) e

2

Dengan demikian, yang harus dibuktikan adalah

122 2

y

1(z ) z

2p r

y R 2 22

1f (x)dy e

2

dan

Aljabar Matriks 2

8.24

11 11 2

z

1y y

2r

z R 211

1f (x)dz e

(2 )

Terlebih dahulu perhatikan bahwa:

1 111 121

21 222 2

11 11 12 22 21 1 22

12 22 21 1

y yR Rx x

R Rz z

y R R R R y z h R z h

dengan h R R y

sehingga

11 11 12 22 21 1 221P

22

1y R R R R y z h R (z h)

21f (x) f (y,z) e2

akan menghasilkan:

11 11 12 22 21 1

1P22

z

1222

z

1y R R R R y

2z

z R

z h R z h

z

z R

1f y, z d e

2

e d

Karena

1 112p r 1

22z

z h R z h

z

z R22

1e d 1

2 R

maka

11 11 12 22 21 11 1

2 2z

p r1

2 y R R R R y2

z rz R 2 22

(2 )f (y, z)d e

2 R

Karena 1 111 11 12 22 21R R R R dan 11 121

21 22

111 12 22 21 22

R R

R R

R R R R R

maka terbukti

r 1 11Y N .

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa:

(p r) 2 22Z N ,

8.25

Teorema 2

Jika oa dan ob adalah skalar konstan 1 2 pa (a a ...a )

dan 1 2 pb (b b ...b )

adalah

vektor konstan, A adalah matriks konstan yang simetris, dan B adalah matriks konstan

yang positif definit maka

o

x

(x Bx x b b )

o x

z R

(x Ax x a a )e d

11p 1

o2 42b B b b 1 1 1 11

a o2

1B e tr AB b B b B AB b 2a

2

Contoh 4

Teorema 2 di atas dapat digunakan untuk membuktikan bahwa untuk peubah acak

pX N , maka

x

x

x R

f (x)d 1

Karena

1

1P22

1x x

21

f x e2

maka

1

1P22

x x

1x x

2x x

x R x R

1f x d e d

2

Dengan mudah dapat di amati bahwa integral yang akan dihitung adalah keadaan

khusus dari teorema 2 untuk

A = matriks 0, a

= vektor nol, a0 = 1

B = 11

2

, 1b

, dan 101

b2

Jadi

1

1 1P

21P

22x

11 1

1 24 2

x

x R

1 1f x d . e

2 22

Aljabar Matriks 2

8.26

1

1 1 1 1P

21P

22x

1 1 1 121 4 2 2

x

x R

1 1 1f x d . e .2

2 22

1

Contoh 5

Hitunglah 2 21 1 2 2(3x 4x x 2x )

1 2e dx dx

Perhitungan:

2 21 1 2 2(3x 4x x 2x )

1 2e dx dx

x

x Rx

x R

3 2e dx, dengan R

2 2

Menggunakan teorema 2 dengan A = matriks O, a

= vektor nol, a0 = 1, B = R, 0b =0

maka

12 22 2

x

.2x Rx 12

x R

e dx R

Contoh 6

Hitunglah 2 21 1 2 2(3x 4x x 2x )

2 1 1 2x (x 2)e dx dx

Perhitungan:

Menggunakan teorema 2 dengan

10

2A

10

2

, a 0 2 ,

oa 0 , 3 2

B2 2

,

b

= vektor nol dan b0 = 0 maka

2 12 2

1 1 2 2 2 2(3x 4x x 2x ) 11

2 1 1 2 2 2 2x (x 2)e dx dx B tr AB

Pada bagian terakhir dari kegiatan belajar ini, akan dihitung fungsi pembangkit

momen dari suatu peubah acak multivariat X

yang berdistibusi multivariat normal

dengan mean =

dan matriks variansi=menggunakan teorema 2.

8.27

Karena pX N dan t XXm t E e

maka

1121P

2 2x

x xt X t X 1X x

2x R

m t E e e e d dx

1

1P2 2

x

1x x t X

2

x R

1e dx

2

Menggunakan teorema 2 dengan A=matriks O, a

=vektor nol, a0=1, 11B

2

,

1b e t

, dan 1o1

b2

maka

1

1 1 11 1 1 11P2 4 22 2

1P2 2

12

t t11 1

X 2 2

t t t

1m t . e .e .2

2

e

Selanjutnya akan diperkenalkan Integral Aitken yang berbentuk:

x

1x Ax

2x

x R

e d

, dengan A positif definit.

Harga dari integral Aitkan tersebut dapat dihitung menggunakan salah satu dari dua

cara berikut.

Cara pertama:

Karena matriks A positif definit maka dapat ditemukan suatu matriks nonsingular P

sedemikian sehingga P AP I . Jika dipilih suatu transformasi 1y P x

maka

1 12 2

x y

1 12 2

y

x Ax y P APy

x y y

x R y R

y y

y

y R

e dx e J d

e A d

Aljabar Matriks 2

8.28

211222

1 P22

Py

yi

i 1

A e d

A 2

Cara kedua:

Gunakan teorema 2 dengan A = 0, ca o,a 1

B = 2 A , ob o dan b 0

.

1) Jika

21 x 1 x 2 x1 1 2

2x x x1 1 2

1 2

x x x12P

2 1 P

1 22

x x

1f x , x e

2 1 P

2x2 x1 2

2 x22 1 P

.e

tunjukkan bahwa 1 2 1 2f (x , x )dx dx 1

2) Jika peubah acak X

berdistribusi multivariat normal dengan vektor mean =

dan

matriks variansi=, dan vektor z P x

dengan P adalah suatu matriks

ortogonal sedemikian sehingga P P D , D=diag(d11, d22, , dpp), tunjukkan

bahwa

p

ii

i 1

E(z z) d

3) Hitunglah 1 2 3 4

1Q

2 21 1 2 x x x x(x 2x x )e d d d d

dengan 2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4Q 3x 2x 2x x 2x x 2x x 6x 2x 6x 2x 8

4) Jika peubah acak X

berdistribusi multivariat normal dengan vektor mean

dan

matriks variansi D=diag(d11, d22, , dpp), tunjukkan bahwa

p

ii ii

i 1

E x A x a d

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan Anda

kerjakan latihan berikut ini!

LATIHAN

8.29

5) Jika matriks=matriks A dan B positif definit dan A CC , tunjukkan bahwa

P 12 2

1 2 P

x C BCxx x xe d d ...d AB

6) Jika matriks A positif definit dan matriks B simetris, tunjukkan bahwa

1 2 p

x Ax x Bxx x xe d d ...d

ada untuk setiap dengan o untuk suatu bilangan positif o .

7) Hitunglah harga integral dalam soal nomor 6.

Petunjuk Jawaban Latihan

1) Nyatakan dahulu 112

12

x A x

1 2

1f x , x f x e

2 A

dengan 1 2x x x

dan 1 2x x

.

2) x

x

x R

E(z z) z z f x d

dan x zdx J dz

atau gunakan teorema 2).

3) Gunakan teorema 2.

4) x

x

x R

E x A x x A x f x d

dan gunakan teorema 2.

5) . 6) . 7) .

Dalam kegiatan belajar ini telah dipelajari bagaimana caranya menghitung

integral fungsi matriks, khususnya untuk fungsi matriks berbentuk kombinasi

linear, transformasi linear, maupun bentuk kuadrat.

RANGKUMAN

Aljabar Matriks 2

8.30

1) 1

2

x

x c R x c

x

x R

e d

.

A. 1P

222 R

jika R simetris

B. 1P

222 R

C. 1P

222 R

jika R simetriks

D. 1P

222 R

2) 12

x

x Rx

x

x R

e d

.

A. 1P

222 R

B. 1P

222 R

C. 1P

222 R

D. Jawaban a, b, c tidak ada yang benar

3) Jika peubah acak 1 2X X X berdistribusi bivariat normal dengan vektor mean

6 3

dan matriks variansi =3 1

1 2

maka peubah acak X1 berdistribusi normal

dengan mean = dan variansi 2 ...

A. 6 2

B. 3 3

C. 6 3

Pilih satu jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang disediakan!

TES FORMATIF 2

8.31

D. 3 2

4) Jika peubah acak 1 2X X X berdistribusi bivariat normal dengan vektor mean

6 3

dan matriks variansi 3 1

1 2

maka kovariansi dari X1 dan X2 = .

A. 1

B. 2

C. 3

D. jawaban a, b, c tidak ada yang benar

5) Jika peubah acak 1 2X X X berdistribusi bivariat normal dengan vektor mean

6 3

dan matriks variansi 3 1

1 2

maka 1 2E (X X ) = .

A. 16

B. 17

C. 18

D. 19

6) Jika matriks 6 4

R4 4

maka

1x Rx

2xe d

.

A. 2

B. 2

C. 2

D. 2

7) Agar supaya 2 2 21 2 31 x x x

21 2 3f x , x , x K e

merupakan fungsi padat peluang (fungsi

densitas) dari peubah acak 1 2 3X x x x maka K = .

A. 3

2

Aljabar Matriks 2

8.32

B. 3

22

C. 3

2

D. 3

22

8) 2 2 21 2 3

1 2 3

x x 2x2 21 2 x x xx x e d d d

.

A. 3

22

B. 3

1 22

2

C. 3

1 23

2

D. 3

1 24

2

9) Jika peubah acak 1 2 3X X X X berdistribusi trivariat normal dengan vekor mean

1 2 3

dan matriks variansi 11 22 33D diag d d d maka

E x A x

.

A. 3

ii ii

i 1

a b

B. 3

2ii ii

i 1

a b

C. 3

2ii ii

i 1

a b

D. 3

2 2ii ii

i 1

a b

8.33

10) Jika peubah acak 1 2 pX X X X berdistribusi multivariat normal dengan

vektor mean 0 0 0

dan matriks variansi=I dan matriks A bertipe

p m dengan rank=m maka 1E x A A A A x . A. p

B. p2

C. m

D. m2

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di

bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar. Kemudian gunakan rumus

di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan

Belajar 2.

Rumus:

Jumlah jawaban Anda yang benar

Tingkat penguasaan = X100%

10

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:

90 - 100% = baik sekali

80 - 89% = baik

70 - 79% = cukup

< 70% = kurang

Bila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan

denga modul berikutnya. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah

80%, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum Anda

kuasai.

3.34

Tes Formatif 1

1) C 2) B 3) A 4) D 5) A 6) C 7) D 8) D 9) D 10) B

Tes Formatif 2

1) B 2) A 3) C 4) A 5) D 6) B 7) B 8) D 9) A 10) C

Kunci Jawaban Tes Formatif

2.35

Graybill, F.A. 1(969). Introduction to Matrices with Applications in Statistics. Belmont,

California: Wadsworth Publishing Company Inc.

Searle, S.R. (1982). Matrix Algebra Useful for Statistics. New York: John Wiley & Sons.

Daftar Pustaka