ANALISIS KOMPLEKS

(TURUNAN)

Prodi Matematika 2011/ C

1. Ririn Ayu 11-550-0023

2. Husnul Qulub Al-Fitri 11-550-0087

3. Orta Rosinda P 11-550-0092

4. Dewi Annisaa 11-550-0137

5. Novia Agatis P 11-550-0

Dosen Pengampu:

Prof. Dr. Hartanto Sunardi, Drs.,M.Pd.,S.Si

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP)

UNIVERSITAS PGRI ADI BUANA

SURABAYA

KATA PENGANTAR

Pujisyukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan rahmat

serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan Makalah ini yang

Alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “Turunan”.

Makalah ini berisikan tentang Turunan. Diharapkan makalah ini dapat memberikan

informasi kepada kita semua.

Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu

kritik dan saran dari teman-teman atau dosen yang bersifat membangun selalu kami

harapkan demi kesempurnaan makalah ini.

Akhir kata, kami sampaikan terimakasih kepada semua pihak yang telah berperan

serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa

meridoi segala usaha kita.

Surabaya, Juni 2014

Penulis

i

DAFTAR ISI

Kata Pengantar....................................................................................................................

Daftar Isi...............................................................................................................................

Pendahuluan.........................................................................................................................

A. TURUNAN.......................................................................................................................

1. Definisi Turunan............................................................................................................

2. Aturan Turunan..............................................................................................................

3. Aturan Rantai.................................................................................................................

B. TURUNAN FUNGSI ...................................................................................................

TURUNAN

TURUNAN

TURUNAN

A. Turunan

Definisi 3.1

Jika f(z) bernilai tunggal dalam suatu daerah R di bidang z, maka turunan fungsi f(z)

didefinisikan sebagai

f’(z) =

Limith→0

f ( z+h )−f ( z )h (1)

nilai limitnya ada dan tunggal serta kontinu di h →0

1. Definisi TurunanTurunan fungsi f di z0, ditulis dengan f

'( z0 ) didefnisikan

sebagai berikut:

f '( z0 )= limΔz→0

f (z0+Δz )−f ( z0 )Δz jika limitnya ada.

Notasi untuk turunan f di z adalah f '( z )= d

dzf (z )

.

Aturan turunan pada bilangan riil berlaku juga pada bilangan kompleks.

2. Aturan Turunan

1.

ddz

( c )=0

2.

ddz

( z )=1

3.

ddz

[c ( f (z )]=c f ' ( z )

4.

ddz

( zn )=nzn−1 , z≠0 , n∈Ζ

5.

ddz

[ f (z )+g ( z )]= f ' (z )+g ' (z )

6.

ddz

[ f (z )g( z )]=f ' ( z ) g( z )+ f ( z )g '( z )

i

7.

ddz [ f ( z )

g( z ) ]= f ' ( z ) g( z )−f ( z ) g' ( z )

[g ( z )]2

Contoh 4 Tentukan turunan dari fungsi berikut:

1. f(z) = (2z2 + i)5

2.f ( z )=

( z−i )z+i

pada i

Penyelesaian :

1. Dengan menggunakan aturan turunan (4) dan aturan

rantai diperoleh f'( z )=5(2 z2+i)4 . 4 z=20 z (2 z2+ i)4

.

2. Dengan menggunakan aturan turunan (7) diperoleh

f '( z )=f ' ( z )g ( z )−f ( z )g '( z )

[ g( z ) ]2=

1( z+i)−( z−i)1( z+i )2

= 2i( z+i)2

Sehingga untuk z = i diperoleh

f '( i )= 2i

( i+ i)2= 2i

4 i2=−1

2i.

3. Aturan Rantai Misalkan f mempunyai turunan di z0, dan g mempunyai turunan

di f(z0). Maka fungsi F(z) = g[f(z)] mempunyai turunan di z0, dan

F '( z0 )=g' [ f ( z0 ) ] . f ' ( z0) .

Dengan kata lain, jika w = f(z) dan W = g(w) = F(z), maka

menurut aturan rantai

dWdz

=dWdw

dwdz .

Contoh 5 Tentukan turunan dari fungsi f(z) = (2z2 + i)5 dengan

menggunakan aturan rantai!

Penyelesaian:

Misalkan w = 2z2 + I dan W = w5. Maka menurut aturan rantai

dWdz

=dWdw

dwdz = (5w4)(4z) = 20z(2z2 + i)4.

B. TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS

Definisi: D⊆C : himpunan terbuka.

z0∈D

f : D → C adalah fungsi kompleks

Turunan dari f di z0 didefinisikan dengan f' ( z0 )=

limz → z0

f ( z )−f ( z0 )

z−z0

.

Misalkan z – z0=∆ z. Diperoleh z=z0+∆ z dan z→ z0 jika dan hanya jika ∆ z →0,

turunan fungsi f di z0 dapat ditulis

f ' ( z0 )=limΔz →0

f ( z0+∆ z )−f ( z0 )∆ z

Misalkan z+∆ z=w, maka ∆ z=w−z. Karena ∆ z →0 jika dan hanya jika w → z,

sehingga definisi turunan diatas dapat ditulis dalam bentuk

f ' ( z )=limΔz→ 0

f ( w )−f ( z )

w−z

Misalkan ∆ w=f ( z+∆ z )−f (z), maka definisi turunan diatas dapat ditulis dalam

bentuk

f ' ( z )=limΔz→ 0

∆ w

∆ z=dw

dz

Misalkan z=x+iy, maka z0=x0+i y0 dan ∆ z=∆ x+ i∆ y .

i

f ' ( z )=lim

( Δx+iΔy)→ 0f [ ( x0+Δx )+i ( y0+ Δy ) ]−f (x0+iy 0)

Δx+iΔy

Contoh 1 :

Misalkan fungsi f didefinisikan dengan f ( z )=z2, carilah f ' ( z ) .

Penyelesaian :

Jelas f ' ( z )=limw → z

f (w )−f ( z )

w−z

¿limw → z

w2−z2

w−z

¿limw → z

(w+ z )(w−z)

w−z

¿ limw → z

( w+z )

¿2 z

Teorema B.1

Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D⊆C dan z0∈D. Jika f ' ( z0 ) ada, maka f

kontinu di z0 .

Bukti:

Karena f ' ( z0 )=limΔz →0

f ( z0+∆ z )−f ( z0 )

z−z0

ada , diperoleh

limΔz→ 0

f (z )= limΔz → 0 [ f ( z0+∆ z )−f ( z0 )

z− z0( z−z0)+ f ( z0 )]

¿limΔz → 0

f ( z0+∆ z )−f ( z0 )z−z0

. limΔz →0

( z−z0 )+ limΔz → 0

f ( z0 )

¿ f ' ( z0 ) .0+ f ( z0 )

¿ f ( z0 )

Jadi limΔz→ 0

f (z )=f ( z0 )

Terbukti bahwa f kontinu di z0.

Teorema diatas menyatakan bahwa jika f tidak kontinu di z0, maka f ' ( z0 ) tidak ada.

Syarat kekontinuan f di z0 hanyalah syarat perlu agar f dapat diturunkan di z0, tetapi

syarat ini tidak cukup. Meskipun f kontinu di z0 belum tentu f dapat diturunkan di z0.

Contoh 2:

Perlihatkan bahwa f ( z )=¿ z∨¿2 ¿ kontinu di seluruh bidang kompleks , tetapi f hanya

dapat diturunkan di z=0.

Penyelesaian :

Karena f ( z )=¿ z∨¿2=x2+ y2¿, maka u ( x . y )=x2+ y2 dan v ( x , y )=0. Fungsi u dan v

keduanya kontinu di seluruh bidang datar, maka f kontinu di seluruh bidang

kompleks. Misalkan c∈D f=C, diperoleh

f ' (c )=limz → c

f ( z )−f ( c )

z−c=lim

z →c¿ z∨¿2−¿c∨¿2

z−c¿¿

Untuk c=0, diperoleh

f ' (0 )=limz → 0

¿ z∨¿2

z=

limz → 0

z z

z=lim

z →0z=0¿

Untuk ≠ 0 , misalkan c=a+ib, diperoleh

f ' (c )=lim

( x , y )→(a , b)x2+ y2−a2−b2

( x−a )+i ( y−b )

Sepanjang y = b,

lim

(x , y ) →(a ,b )x2+ y2−a2−b2

( x−a )+i ( y−b )=

limx → a

x2+b2−a2−b2

x−a

¿ limx→ a

( x+a )

i

¿2 a

Sepanjang x = a

lim(x , y ) →(a ,b )

x2+ y2−a2−b2

( x−a )+i ( y−b )=

limy→ b

a2+ y2−a2−b2

i ( y−b )

¿ limy → b

(−i ( y+b ) )

¿−2ib

Untuk c ≠ 0 , f ' (c ) tidak ada. Dengan demikian f kontinu di seluruh bidang kompleks ,

tetapif hanya dapat diturunkan di z=0.

Teorema B.2

Jika f dapat diturunkan di z0 , g dapat diturunkan di z0, dan k∈C, maka

1. f +g dapat diturunkan di z0

( f +g )' ( z0 )=f ' ( z0 )+g' ( z0 )

2. k . f dapat diturunkan di z0

(k . f )' ( z0 )=k . f ' ( z0 )

3. f . g dapat diturunkan di z0

( f . g )' ( z0 )=f ' ( z0 ) . g ( z0 )+ f ( z0 ) . g' (z0)

4.fg

dapat diturunkan di z0

( fg )

'

( z0)=f ' ( z0 ) g ( z0 )−f ( z0 ) g ' ( z0 )

[ g ( z0 ) ]2, g (z0)≠ 0

Bukti:

1. Misalkan h ( z )= 1g (z )

, g ( z ) ≠0, diperoleh

h' ( z )=lim

∆z → 0h ( z+∆ z )−h ( z )

∆ z

¿lim

∆z → 0

1g (z+∆ z )

− 1g ( z )

∆ z

¿lim

∆z → 0g ( z )−g ( z+∆ z )

∆ z. g ( z+∆ z ) . g ( z )

¿−lim

∆z → 0g ( z+∆ z )−g ( z )

∆ z.

1g ( z+∆ z ) . g ( z )

¿−g ' ( z )

[g ( z ) ]2

Sehingga diperoleh

( fg )

'

=(f .1g )

'

( z )

¿ f' ( z ) . 1

g (z )+f ( z ) . f

' ( 1g ( z ) )

¿ f ' ( z ) . 1g (z )

+f ( z ) .[−g' ( z )( g ( z ) )2 ]

¿f ' ( z) g ( z )−f ( z ) g ' ( z )

( g ( z ) )2

Jadi terbukti bahwa

( fg )

'

(z )= f ' ( z ) g ( z )−f ( z ) g' ( z )

( g ( z ) )2

Teorema B.3

Diberikan fungsi f yang dapat diturunkan pada C.

a. Jika f (z)=k untuk setiapz∈C dengan k suatu konstanta, maka f ' ( z )=0

b. Jika f (z)=z untuk setiap z∈C, maka f ' ( z )=1

c. Jika f (z)=zn untuk setiapz∈C ,n∈N , maka f ' ( z )=n zn−1

i

d. Jika f ( z )=a0 zn+a1 zn−1+…+an−1 z+an untuk setiap z∈C ,n∈N , maka

f ' ( z )=a0 n zn−1+a1 (n−1 ) zn−2+…+an−1

e. Jika f (z)=zn untuk setiap z∈C, n∈Z , maka f ' ( z )=n zn−1

Contoh:

ddz

( z3−3 z2+ z−4+2 )=3 z2−6 z−4 z−5

ddz

( z3−z−2 ) ( z2+5 )=( 3 z2+2 z−3 ) ( z2+5 )+ ( z3−z−2 ) 2 z

ddz ( z4−3

z2+1 )= 4 z3 ( z2+1 )−( z4−3 ) 2 z

( z2+1 )2

Teorema B.4 (Turunan Komposisi Fungsi)

Jika f dapat diturunkan di z0 dan g dapat diturunkan di f (z0), maka g∘ f dapat

diturunkan di z0 dengan ( g∘ f )' ( z0 )=g ' ( f ( z0 )) . f ' ( z0 ) .

Bukti:

Ingat aturan rantai:

dwdz

=dwdu

.dudz

Jelas ( g∘ f )' ( z0 )=d [ ( g∘ f )' ( z0 ) ]

dz

¿lim

∆z → 0g [ f ( z0+∆ z0 ) ]−g [ f ( z0 ) ]

∆ z0

¿lim

∆z → 0g [ f ( z0+∆ z0 ) ]−g [ f ( z0 ) ]f ( z0+∆ z0 )−f (z0)

.lim

∆ z → 0f ( z0+∆ z0 )−f (z0)

∆ z0

Tulis f ( z0 )=u dan f ( z0+∆ z0)−f ( z0 )=v⟺ f ( z0+∆ z0 )=u+v

Jelas ∆ z0⟶0⟺v⟶0

Jadi ( g∘ f )' ( z0 )=limv →0

g (u+v )−g (u )

v. f ' ( z0 )

¿ g' (u ) . f ' ( z0 )

¿ g' ( f ( z0 )) . f '(z0)

Terbukti, bahwa ( g∘ f )' ( z0 )=g ' ( f ( z0 )) . f ' (z0)

Teorema B.5 (Turunan Fungs Invers)

Jika z=g (w ) adalah invers dari w=f (z), dapat diturunkan di z0 dengan f '( z0)≠0 ,

maka g dapat diturunkan di f (z0) dengan g' ( f ( z0 ))= 1

f ' ( z0 ).

Latihan Soal

1. Tentukan turunan setiap fungsi berikut di titik yang diberikan dengan menggunakan

definisi :

i

a. f(z) = z2 – (3+i)z + 4 -2i

b. f(z) = 3z2 + mz2 + iz-1

2. Buktikan f(z) = |z|2 kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi hanya terdifferensial

di z = 0

3. F(z)= ((z2−3+2 i)z ²+iz

=…