82

BAB III

FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER

Pada bagian ini kita selalu mempertimbangkan fungsi elementer yang dipelajari dalam

kalkulus dan mendefinisikan hubungannya dengan fungsi dari suatu variabel kompleks.

Khususnya, kita definisikan fungsi analitik dari suatu variabel kompleks z untuk

mereduksi kedalam fungsi kalkulus z = x + i0. Kita mulai mendefinisikan fungsi

eksponen kompleks dan kita gunakan untuk pengembangan selanjutnya.

23. FUNGSI EKSPONENSIAL

Jika suatu fungsi f dari suatu variabel kompleks z = x + iy adalah direduksi kedalam

keluarga fungsi eksponensial dalam kalkulus dimana z adalah real, kita harus mengingat

kembali bahwa

(1) f(x+i0) = ex

untuk setiap bilangan real x. Karena (ex)’ = ex untuk setiap bilangan real x, juga asalnya

fungsi tersebut memenuhi kondisi berikut:

(2) f adalah terdiferensialkan dimana-mana (entire) dan f’(z) = f(z) untuk setiap z.

Perhatikan kembali contoh 1 pada bagian 18, fungsi

f(z) = ex(cosy + isiny),

Dimana y dihitung dalam radian, fungsi tersebut terdiferensialkan dimana-mana dan

f’(z) = f(z). Juga kondisi (1) dan (2) jelas dipenuhi fungsi ini. Fungsi ini dapat

ditunjukkan bahwa memenuhi kondisi (1) dan (2) (lihat soal nomor 15); dan kita tulis

f(z) = ez. Kadang-kadang, untuk memudahkan kita gunakan notasi exp z untuk ez.

Fungsi eksponensial dari analisis kompleks adalah didefinisikan untuk semua z

dengan persamaan

(3) ez = ex(cos y + i sin y)

dimana z = x + iy. Fungsi ini direduksi dari fungsi eksponensial dalam kalkulus dengan

y = 0 adalah entire dan,

(4) zz eedz

d ,

83

adalah juga entire dalam bidang z.

Dalam kalkulus, nilai n e akar pangkat n dari e adalah positif, demikian juga ex

dimana x = 1/n ( n = 2, 3, …). Selanjutnya, nilai fungsi eksponensial kompleks ez sama

dengan n e asalkan z = 1/n ( n = 2, 3, …).

Jika z bagian imajiner murni i, maka dari persamaan (3)

ei = cos + i sin .

Rumus ini disebut rumus Euler yang telah dijelaskan pada BAB I bagian 5.

Pendefinisian ei yang diberikan digunakan pada persamaan (3) dan ez secara umum

dapat dituliskan sebagai berikut

(5) ez = exeiy.

Persamaan (5) dapat ditulis menjadi

(6) iz ee , dimana = ex dan y .

Bilangan = ex adalah positif untuk semua x, dan dari persamaan (6), modulus ez

adalah ex dan y merupakan suatu argumen dari ez., yakni

(7) xz ee dan arg(ez) = y + 2n (n = 0, 1, 2, 3, …)

Sebagai catatan, ze selalu positif,

(8) ez 0 untuk semua bilangan kompleks z.

Persamaan (5) untuk ez dapat digunakan untuk menurunkan sifat fungsi eksponensial

kompleks berikut.

(9) (exp z1)( exp z2) = exp (z1+z2).

Untuk membuktikan sifat ini, tulis z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2. Maka

(exp z1)( exp z2) = 21212211 iyiyxxiyxiyx eeeeeeee .

Karena x1 dan x2 keduanya bilangan real, dan dari bab 1 bagian 6, 2121 yyiiyiy eee ,

maka

(exp z1)( exp z2) = 2121 yyixx ee ;

dan juga

84

(x1 + x2) + i(y1 + y2) = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = z1 + z2.

Ini berarti sifat pada persamaan (9) telah ditunjukkan.

Dari sifat (9) dapat diturunkan pula sifat exp(z1 – z2) exp z2 = exp z1, atau

(10) 21

2

1 zexpzexp

zexpz

Dari (10) diperoleh e0 = 1 danze

1= e-z. Sifat-sifat yang lain dari fungsi eksponensial

adalah

(11) (exp z)n = exp(nz) (n = 0, 1, 2, …), dan

(12) iziz eee 22 =ez untuk semua z

Persamaan (12) mempunyai arti bahwa fungsi ez adalah fungsi periodik dengan periodik

2i.

Contoh. Carilah semua nilai z yang memenuhi

(13) ez = -1.

Persamaan (13) dapat ditulis menjadi exeiy = 1ei. Maka dari bagian 5, bahwa dua

bilangan kompleks adalah sama dalam bentuk eksponensial , jika

ex = 1 dan y = + 2n (n = 0, 1, 2, …).

Jadi, x = 0, dan diperoleh

(14) z = (2n + 1)i, (n = 0, 1, 2, …).

LATIHAN

1. Tunjukan bahwa

(a). exp(2 3i) = - e2; (b). exp iei

1

24

2 ; (c). exp(z+i) = -exp(z)

2. Pada saat kapan fungsi 2z2 – 3 – zez + e-z entire?

3. Buktikan bahwa fungsi exp z tidak analitik dimana-mana.

4. Tunjukkan dalam dua cara bahwa fungsi exp(z2) adalah entire, Tentukan pula

turunannya.

85

5. Tulis 2izexpdan2exp iz dan bentuk x dan y. Tunjukkan pula bahwa

xyx eeiziz 222exp2exp

6. Tunjukkan bahwa 22 expexp zz .

7. Buktikan bahwa z2exp <1 jika dan hanya jika Re z > 0.

8. Carilah semua nialai z sedemikian sehingga

(a). ez = -2; (b). ez = 1 + 3 i; (c). exp(2z-1) = 1.

9. Tunjukkan bahwa ziiz expexp jika dan hanya jika z = n, (n = 0, 1, 2, …).

10. (a). Tunjukan bahwa jika ez real, maka Im(z) = n (n = 0, 1, 2, …)

(b). Jika ez imajiner murni, maka tentukan batasan nilai pada z.

11. Tentukan nilai dari exp(x+iy), jika (a) x menuju - , (b) y menuju .

12. Tulis Re

ze1

dalam bentuk x dan y. Bagaimana fungsi ini agar harmonik pada

setiap domain yang tidak memuat titik asal?

13. Misalkan fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain D. Pada saat

kapan fungsi

U(x,y) = eu(x,y)cos v(x,y), V(x,y) = eu(x,y)sin v(x,y)

Harmonik di D dan bagaimana harmonik konjugate V(x,y) dari U(x,y)?

14. Buktikan kesamaan

(exp z)n = exp(nz) (n = 0, 1, 2, …)

24. FUNGSI TRIGONOMETRI

Dari rumus Euler pada bagian 5, telah diketahui bahwa

eix = cos x + isin x, e-ix = cos x - isin x

untuk setiap bilangan real x, dan dari persamaan ini diperoleh

eix - e-ix = 2isin x , eix + e-ix e-ix = 2cos x.

86

Definisi di atas yang mendasari pendefinisian fungsi kosinus dan sinus dari suatu

variabel kompleks z, yakni:

(1)i

eez

iziz

2sin

,

2cos

iziz eez

Fungsi ini adalah entire karena mereka adalah kombinasi linier (latihan 3, bagian 22)

dari eiz dan e-iz. Dari turunan fungsi eksponensial, turunan dari (1) adalah

(2) zzdz

dcossin , zz

dz

dsincos .

Dari definisi (1) mudah untuk ditunjukkan bahwa :

(3) sin (-z) = -sin z dan cos (-z) = cos z.

Contoh. Tunjukkan bahwa

(4) 2sin z1 cos z2 = sin (z1 + z2) + sin (z1 - z2)

Dengan menggunakan definisi (1), diperoleh bahwa

2sin z1 cos z2 = 2

22

2121 iziziziz ee

i

ee

=

i

ee

i

ee zzizzizzizzi

22

21212121

= sin (z1 + z2) + sin (z1 - z2).

Sifat-sifat yang lain dari fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:

(5) sin (z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2

(6) cos (z1 + z2) = cos z1 cos z2 - sin z1 sin z2

(7) sin2 z + cos2 z = 1

(8) sin 2z = 2sin z cos z, cos 2z = cos2z – sin2z

(9) sin

2

z =cos z, sin

2

z =-cos z

Jika y suatu bilangan real, maka dari definisi (1) dan definisi fungsi hiperbolik

2sinh

yy eey

,

2cosh

yy eez

dalam kalkulus, diperoleh hubungan

87

(10) sin(iy) = i sinh y, dan cos(iy) = cosh y.

Dari persamaan (10) diperoleh bagian real dan bagian imajiner dari fungsi sin z dan

cosz, dengan memisalkan z1 = x dan z2 = iy , dan persamaan (5) dan (6), diperoleh

(11) sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y

(12) cos z = cos x cosh y - i sin x sinh y,

dimana z = x + iy.

Suatu sifat yang paling penting dari sinz dan cosz yang diturunkan dari

persamaan (11) dan (12) adalah fungsi periodik masing-masing, yakni :

(13) sin (z+2) = sin z, sin (z + ) = - sin z

(14) cos (z+2) = cos z, cos (z + ) = - cos z

Juga (lihat latihan 7)

(15)2

sin z = sin2x + sinh2y,

(16)2

cos z = cos2x + cosh2y.

Persamaan (15) dan (16) memberikan gambaran bahwa sin z dan cos z tidak terbatas

dalam nilai mutlak, walaupun nilai mutlak dari sin x dan cos x kurang dari atau sama

dengan satu.

Pembuat nol dari fungsi f(z) adalah suatu bilangan z0 sedemikian sehingga f(z0)

= 0. Jika sin z merupakan fungsi sinus dalam kalkulus dimana z adalah bilangan real,

maka sin z = 0 jika z = n, (n = 0, 1, 2, …). Demikian juga jika sin z = 0, maka dari

(15), diperoleh

sin2x + sinh2y = 0

jadi, sin x = 0 dan sinh y = 0.

Ini berarti x = n (n = 0, 1, 2, …) dan y = 0. Dari sini diperoleh suatu sifat, bahwa

(17) sin z = 0 jika dan hanya jika z = n (n = 0, 1, 2, …).

Karena dari persamaan (9), -sin

2

z = cos z, maka

(18) cos z = 0 jika dan hanya jika z =2

+ n (n = 0, 1, 2, …)

88

Jadi, dalam hal ini pembuat nol dari sin z dan cos z adalah bilangan real.

Empat fungsi trigonometri lain yang diturunkan dari fungsi sinus dan cosinus

adalah sebagai berikut :

(19)

zz

zz

z

zz

z

zz

sin

1csc,

cos

1sec

sin

coscot,

cos

sintan

Fungsi tan z dan sec z adalah fungsi analitik dimana-mana kecuali dititik singularitasnya

(bagian 20), yaitu z = (/2) + n (n = 0, 1, 2, …), dan ini merupakan pembuat nol

dari fungsi cos z. Demikian juga fungsi cot z dan csc z mempunyai titik singularitas di

pembuat nol sin z, yakni z = n (n = 0, 1, 2, …). Selanjutnya, dengan

mendeferensialkan bahagian kanan dari persamaan (19), diperoleh rumus diferensial

sebagai berikut :

(20)

zzzdz

dzzz

dz

d

zzdz

dzz

dz

d

cotcsccsc,tansecsec

csccot,sectan 22

Untuk menyelidiki sifat periodik dari fungsi trigonometri (19) dapat diselidiki dari

persamaan (13) dan (14). Sebagai contoh,

(21) tan(z + ) = tan z.

LATIHAN

1. (a). Uraikan secara rinci persamaan (2) dalam bagian 24 untuk menentukan

turunan sin z dan cos z.

(b). Misalkan fungsi f(z) adalah analitik dalam domain D. Pada saat kapan fungsi

sin f(z) dan cos f(z) analitik dalam domain D. Juga dengan menuliskan w =

f(z), maka tunjukkan bahwa

dz

dwww

dz

dcossin , dan

dz

dwww

dz

dsincos

89

2. Tunjukkan bahwa eiz = cos z + i sin z untuk setiap bilangan kompleks z.

3. Tunjukkan bahwa setiap rumus trigonometri pada persamaan (7), (8), dan (9)

bagian 24 diturunkan dari persamaan (5) dan (6) bagian 24.

4. Gunakan sifat pada persamaan (7) bagian 24 untuk menunjukkan

(a). 1 + tan2z = sec2z (b). 1 + cot2z = csc2z

5. Turunkan rumus differensial pada persamaan (20) bagian 24.

6. Dalam bagian 24, gunakan persamaan (11) dan (12) untuk menurukan persamaan

(15) dan (16) dari2

sin z dan2

cos z .

7. Tunjukkan ketaksamaan berikut ini dengan menggunakan persamaan (15) dan (16)

dari2

sin z dan2

cos z ,

(a). xz sinsin (b). xz coscos

(c). yzy coshsinsinh (c). yzy coshcossinh

8. a. Gunakan definisi (1) dalam bagian 24 dari sin z dan cos z untuk menunjukkan

2sin (z1 + z2) sin (z1 - z2) = cos 2z2 -cos 2z1

b. Dengan menggunakan bagian a, tunjukkan bahwa, jika cos z1 = cos z2 maka

paling sedikit salah satu dari bilangan z1 - z2 dan z1 + z2 merupkan kelipatan

dari 2.

9. Tunjukkan bahwa fungsi sin z dan cos z tidak analitik dimana-mana untuk z.

10. Gunakan sifat refleksi bagian 21 untuk menunjukkan bahwa, untuk semua z

a. zz sinsin b. zz coscos

11. Dengan menggunakan persamaan (11) dan (12) bagian 24, tunjukkan secara

langsung soal nomor 10.

12. Tunjukkan bahwa

(a). ziiz coscos untuk semua z

(b). ziiz sinsin jika dan hanya jika z = ni (n = 0, 1, 2, …)

90

13. Carilah semua nilai z yang memenuhi dari persamaan sinz = cosh4 dengan

menyamakan bagian real dan bagian imajiner sinz dan cosh4.

14. Carilah semua nilai yang memenuhi persamaan cos z = 2.

25. FUNGSI HIPERBOLIK

Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik dari variabel kompleks didefinisikan

melalui pendefisian mereka pada variabel real, yakni,

(1) sinh z =2

zz ee , cosh z =

2

zz ee .

Karena ez dan e-z adalah entire, maka dari persamaan (1) sinh z dan cosh z adalah entire.

Lebih dari itu,

(2) zzdz

dcoshsinh , zz

dz

dsinhcosh .

Karena (1) didefinisikan melalui fungsi eksponensial dan definisi bagian 24

sin z =i

ee iziz

2

, cos z =

2

iziz ee

dari sin z dan cos z, maka fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik mempunyai

hubungan dengan fungsi sinus dan cosinus, yakni:

(3) -i sinh (iz) = sin z, cosh (iz) = cos z

(4) -i sin (iz) = sinh z, cos (iz) = cosh z

Disamping sifat-sifat di atas, fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik mempunyai

sifat sebagai berikut :

(5) sinh (-z) = -sinh z, cosh (-z) = cosh z

(6) cosh2z – sinh2z = 1

(7) sinh (z1 + z2) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2

(8) cosh (z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 + sinh z1 sinh z2

(9) sinh z = sinh x cos y + icosh x sin y

(10) cosh z = cosh x cos y + isinh x sin y

91

(11)2

sinh z = sinh2x + sin2y

(12)2

cosh z = sinh2x + cos2y

dimana z = x + iy. Untuk membuktikan sifat-sifat di atas dapat dilakukan dengan

menggunakan definisi (1) dan sifat-sifat lain yang telah dibuktikan. Sebagai contoh akan

dibuktikan persamaan (11), dan selain itu dijadikan sebagai latihan.

Contoh. Buktikan bahwa2

sinh z = sinh2x + sin2y, dengan z = x + iy.

Dari persamaan (4) 22sinsinh izz , yakni

(13) 22sinsinh ixyz ,

dimana z = x + iy. Tetapi dari persamaan (15) bagian 24, diketahui bahwa

yxiyx 222sinhsinsin , akibatnya

xyixy 222sinhsinsin = sinh2x + sin2y,

ini berarti persamaan (11) telah dibuktikan.

Dari sifat periodik sin z dan cos z, dan hubungannya dengan persamaan (4),

maka fungsi sinh z dan cosh z adalah fungsi periodik dengan periode 2i. Persamaan (4)

memberikan hasil bahwa

(14) sinh z = 0 jika dan hanya jika z = ni (n = 0, 1, 2, …)

dan

(15) cosh z = 0 jika dan hanya jika z = in

2(n = 0, 1, 2, …).

Tangen hiperbolik dari z didefinisikan dengan persamaan

(16)z

zz

cosh

sinhtanh

dan analitik disetiap domain asalkan cosh z 0. Sedangkan fungsi cot h, sec h, dan csc h

didefisikan sebagai berikut :

z

zz

sinh

coshcoth

zhz

cosh

1sec

zhz

sinh

1csc .

92

Selanjutnya, turunan dari fungsi tanhz, cothz, sechz, dan cschz diperoleh dari sifat-sifat

turunan seperti pada fungsi hiperbolik yang bernilai real, dan diperoleh :

(17) zhzdz

dzhz

dz

d 22 csccoth,sectanh

(18) zhzhzdz

dzhzhz

dz

dcothcsccsc,tanhsecsec

LATIHAN

1. Buktikan turunan dari sinh z dan cosh z pada persamaan (2) bagian 25.

2. Buktikan bahwa sinh2z = 2sinh z cosh z dengan menggunakan :

a. definisi (1), bagian 25, dari sinh z dan cosh z.

b. dari sifat sin 2z = 2sin z cos z

3. Tunjukkan bahwa persamaan (6) dan (8) bagian 25 diturunkan dari persamaan (7)

dan (6) bagian 24.

4. Tulis sinhz = sinh(x + iy) dan coshz = cosh(x+iy), tunjukkan persamaan (9) dan (10)

bagian 25 dengan menggunakan persamaan (7) dan (8) bagian 25.

5. Turunkan persamaan (12) bagian 25 untuk2

cosh z

6. Tunjukkan bahwa xzx coshcoshsinh dengan menggunakan (a) persamaan

(12) bagian 25; (b) persamaan dalam latihan 8b bagian 24.

7. Tunjukkan bahwa

(a). sinh(z + i) = -sinhz (b). cosh(z + i) = -coshz (c). tanh (z + i) = tanhz.

8. Tunjukkan secara lengkap pembuat nol dari fungsi sinhz dan coshz yang dinyatakan

dalam persamaan (14) dan (15) bagian 25.

9. Gunakan hasil pada soal nomor 8 untuk menuntukan pembuat nol dan titik

singularitas dari fungsi tangen hiperbolik.

10. Turunkan rumus differensial persamaan (17) bagian 25.

11. Gunakan prinsip refleksi bagian 22 untuk menunjukkan bahwa, untuk setiap z,

(a). zz sinhsinh (b). zz coshcosh

93

12. Gunakan hasil pada soal nomor 11 untuk menunjukkan bahwa zz tanhtanh

dititik-titik coshz 0.

13. Kapan fungsi sinh(ez) entire? Tulis bagian real melalui fungsi dari x dan y, dan

keadaan bagaimana fungsi tersebut harus harmonik dimana-mana.

14. Carilah semua nilai z yang memenuhi persamaan

(a). cos z =2

1(b). sinh z = i (c). cosh z = -2.

26. FUNGSI LOGARITMA DAN CABANG-CABANGNYA

Salah satu motivasi untuk mendefinisikan fungsi logaritma adalah mencari penyelesaian

dari persamaan

(1) ew = z

untuk w, dimana z adalah suatu bilangan kompleks tak nol. Dari sini, kita tulis irez

dan w = u + iv, sehingga persamaan (1) menjadi

iivu reee .

Maka dari kesamaan dari dua bilangan kompleks dalam eksponensial, diperoleh eu = r

dan v +2n, dimana n suatu bilangan bulat. Karena persamaan eu = r mengakibatkan

u = ln r, dan persamaan (1) dipenuhi jika dan hanya jika w mempunyai satu dari nilai

w = ln r + i ( + 2n) (n = 0, 1, 2, …).

Jadi, jika kita tulis

(2) log z = ln r + i ( + 2n) (n = 0, 1, 2, …),

kita mempunyai hubungan sederhana

(3) elogz = z.

Persamaan (2) memberikan arti bahwa fungsi logaritma dari variabel kompleks z =rei

tak nol merupakan fungsi bernilai banyak.

94

Jika z bilangan kompleks tak nol, dengan bentuk eksponensial z =rei, maka

mempunyai satu nilai dari nilai = + 2n (n = 0, 1, 2, …), dimana = Arg z.

Persmaan (2) dapat ditulis menjadi

(4) log z = ln r + i,

Jadi,

(5) log z = ln z + i arg z (z 0).

Perlu ditekankan bahwa tidak selalu benar bahwa bagian kiri dari persamaan (3)

dengan urutan kebalikan dari fungsi logaritma dan eksponensial adalah sama dengan z.

Hal ini disebabkan oleh karena log (ez) mempunyai sejumlah tak hingga nilai untuk

setiap z yang diberikan. Tepatnya, dalam bagian 23,

xz ee dan arg (ez) = y + 2n (n = 0, 1, 2, …)

dimana z = x + iy, dan dari persamaan (5) diperoleh

log (ez) = ln ze + i arg ez = x + i(y + 2n),

atau

(6) log (ez) = z + i arg ez (n = 0, 1, 2, …)

Nilai utama dari log z adalah nilai yang termuat dalam persamaan (2) dimana n =

0 dan dinyatakan dengan Log z. Jadi

(7) Log z = ln r + i ,

atau

(8) Log z = ln z + i Arg z (z 0).

Sebagai catatan,

log z = Log z + i2n (n = 0, 1, 2, …).

Fungsi Log z adalah jelas terdefinisi dengan baik dan mempunyai nilai tunggal pada saat

z 0. Hal ini diturunkan dari logaitma asli dalam kalkulus dimana z adalah bilangan

positif z = r. Dari sini, penulisan z = rei0 adalah tunggal, dalam persamaan (7)

Log z = ln r dan akibatnya Log r = ln r.

Contoh. Dari persamaan (2), diperoleh

95

log 1 = 2ni (n = 0, 1, 2, …)

dan

log (-1) = (2n + 1)i (n = 0, 1, 2, …).

Khususnya, Log 1 = 0 dan Log (-1) = i.

Jika kita memisalkan sembarang bilangan real dan nilai pada persamaan (4)

dibatasi pada interval < < + 2, maka fungsi

(9) log z = ln r + i (r>0, < < + 2),

dengan komponen-komponennnya

(10) u(r,) = ln r dan v(r,) = ,

adalah bernilai tunggal dan kontinu dalam domain yang diberikan (lihat gambar 25).

Sebagai catatan, jika fungsi pada persamaan (9) kita definisikan pada sinar = , maka

fungsi tersebut tidak kontinu disana. Jika z titik pada sinar, maka terdapat titik-titik

sembarang yang dekat ke z yang memberikan nilai dari v dekat dengan dan juga titik-

titik sedemikian sehingga v dekat dengan + 2.

Fungsi (9) tidak hanya kontinu tetapi juga analitik dalam domain r > 0, < <

+ 2 dimana turunan parsial orde pertama dari u dan v adalah kontinu dan memenuhi

bentuk polar persaamaan C-R dari bagian 19.

rr vur

vr

u

1,

1

0 x

y

Gambar 25

96

Juga dari bagian 19,

i

irr

i

rei

reivuez

dz

d 10

1log

;

Jadi,

(11) 2arg,0z1

log zz

zdz

d.

Khususnya,

(12) Argzz

Logzdz

d,0z

1.

Suatu cabang dari fungsi bernilai banyak f adalah nilai tunggal F yang analitik

dalam suatu domain di setiap titik z yang memberikan satu nilai F(z) dari nilai-nilai f(z).

Dari sifat keanalitikannya, jelas bahwa kita dapat memilih secara acak dari nilai f. Untuk

setiap nilai tetap, fungsi bernilai tunggal pada persamaan (9) adalah suatu cabang dari

fungsi bernilai banyak persamaan (4). Fungsi

(13) Log z = ln r + i ,0z

adalah disebut cabang utama.

Suatu potongan cabang adalah bagian dari garis atau kurva yang telah dijelaskan

pada pendahuluan pendefisian suatu cabang F dari fungsi bernilai banyak f. Titik pada

potongan cabang untuk F adalah titik singular (bagian 20) dari F, dan setiap titik adalah

irisan dari semua potongan cabang dari f dan disebut titik cabang. Titik asal dan sinar

= dibuat dari potongan cabang untuk cabang (9) dari fungsi logaritma. Potongan

cabang untuk cabang utama (13) terdiri dari titik asal dan sinar = . Titik asal

merupakan titik cabang dari fungsi logaritma yang bernilai banyak.

27. SIFAT-SIFAT FUNGSI LOGARITMA

Hubungan persamaan (3) dan (6) dalam bagian 26, semua sifat logaritma dari

bilangan real positif di bawah kedalam sifat analisis kompleks, dengan sedikit

modifikasi. Dalam bagian ini akan diturunkan beberapa sifat.

97

Jika z1 dan z2 menyatakan dua bilangan kompleks tak nol, maka jelas dapat

ditunjukkan bahwa

(1) log (z1z2) = log z1 + log z2.

Pernyataan ini, diartikan sama dengan fungsi bernilai banyak pada pernyataan

(2) arg (z1z2) = arg z1 + arg z2

yang telah dijelaskan pada bagian 6. Jadi, jika dua nilai dari tiga logaritma ditetapkan,

maka terdapat suatu nilai dari logaritma keempat sedemikian sehingga pernyataan (1)

benar.

Untuk menunjukkan persamaan (1) dapat digunakan persamaan (2) sebagai dasar

pembuktian. Karena 2121 zzzz dan nilai modulus adalah semua bilangan real positif,

serta dari definisi logaritma dalam kalkulus bahwa

2121 lnlnln zzzz

juga dari persamaan (2), diperoleh bahwa

(3) 22112121 arglnarglnargln zizzizzzizz .

Persamaan (3) menunjukkan bahwa persamaan (1) telah dibuktikan.

Dengan cara yang serupa dapat pula ditunjukkan bahwa

(4)2

1logz

z= log z1 - log z2

Contoh. Ilustrikan persaman (1) dengan nilai z1 = z2 = -1. Jika nilai log z1 = i dan log

z2 = -i adalah ditentukan, maka persamaan (1) adalah jelas dipenuhi jika nilai log (z1z2)

= 0 adalah dipilih.

Juga dapat diselidiki jika nilai z1 = z2 = -1, bahwa

Log (z1z2) = 0 Log z1 + Log z2 = 2i.

Jadi pernyataan pada persamaan (1) tidak selalu benar jika log diganti dengan Log.

Demikian pula untuk persamaan (4).

Jika z suatu bilangan kompleks tak nol, maka

(5) zn = enlogz (n = 0, 1, 2, …)

98

untuk setiap nilai dari log z ditentukan. Jika n = 1, maka telah dijelaskan pada persamaan

(3) bagian 28. dan persamaan (5) jelas dipenuhi. Jika kita menuliskan z = rei pada

persamaan (5) maka kedua ruas akan diperoleh rnein.

Juga benar bahwa, jika z 0, maka

(6)

z

nz n log

1exp

1

, (n = 1, 2, …)

Bentuk pada bagian kanan persamaan (6) memberikan n nilai yang berbeda, dan nilai-

nilainya adalah merupakan nilai dari akar pangkat n dari z. Untuk membuktikan ini, tulis

z = r exp (i ), dimana adalah nilai utama dari arg z. Maka dari persamaan (2) bagian

(26), untuk log z, diperoleh

n

kir

nz

n

2ln

1explog

1exp , k = = 0, 1, 2, …. Jadi,

(7)

n

k

nirz

nn 2

explog1

exp , (k = 0, 1, 2, …).

Karena exp(i2k/n) mempunyai nilai yang berbeda jika k = 0, 1, 2, …, n-1, bagian

kanan persamaan (7) hanya mempunyai n nilai. Jadi bagian kanan persamaan (7)

merupakan akar pangkat n dari z (bagian 7), dan juga dapat ditulis nz1

. Untuk

menunjukan persamaan (6) jika bilangan bulat negatif dijadikan sebagai latihan.

LATIHAN

1. Tunjukkan bahwa

(a). ieiLog2

1

(b). iiLog4

2ln2

11

2. Tunjukkan bahwa, jika n = 0, 1, 2, …, maka:

(a). log e = 1 + 2ni (b). log i = in

2

12 (c). ini

3

122ln31log

3. Tunjukkan bahwa

(a) Log(1+i)2 = 2 Log(1+i) (b). Log (-1 + i)2 2 Log(-1 + i).

99

4. Tunjukkan bahwa

(a). log (i2) = 2 log i jika log z = ln r + i

4

9

4,0

r ;

(b). log (i2) 2 log i jika log z = ln r + i

4

11

4

3,0

r

5. Tunjukkan bahwa

(a). Himpunan dari nilai log

2

1

i adalah 41n i (0, 1, 2, …) dan

log

2

1

i = ilog21 .

(b). Himpunan nilai dari log (i2) tidak sama dengan himpunan dari 2 log i.

6. Diberikan cabang log z = ln r + i (r>0, < < + 2) dari fungsi logaritma

adalah analitik disetiap titik z pada domain yang diberikan. Carilah turunannya

dengan mendiferensialkan kedua sisi dari persamaan exp(logz) = z bagian 26 dan

aturan rantai.

7. Carilah semua nilai yang memenuhi persamaan log z = (/2)i.

8. Misalkan bahwa titik z terletak dalam strip (bidang) < y< + 2. Tunjukkan

bahwa jika cabang log z = ln r + i (r>0, < y< + 2) dari fungsi logaritma,

maka log (ez) = z.

9. Tunjukkan bahwa, jika Re z1>0 dan Re z2>0, maka Log (z1z2) = Log z1 + Log z2

10. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan kompleks tak nol z1 dan z2

Log (z1z2) = Log z1 + Log z2 + 2Ni, dimana N mempunyai satu nilai dari 0, .

11. Turunkan persamaan (4) bagian 27, untuk log (z1/z2)

(a). dengan menggunakan kenyataan bahwa arg (z1/z2) = arg z1 – arg z2

(b). pertama tunjukkan bahwa log (1/z) = - log z (z0), selanjutnya log (1/z) dan

-log z mempunyai himpunan nilai yang sama, dan terakhir gunakan persmaan

(1) bagian 27 untuk log (z1z2).

12. Dengan memilih nilai-nilai tak nol dari z1 dan z2, tunjukkan bahwa persamaan (4)

dalam bagian 27 untuk log (z1/z2) tidak selalu benar jika log diganti dengan Log.

100

13. Tunjukkan bahwa

(a). fungsi Log (z-i) adalah analitik dimana-mana kecuali pada y = 1 (x0);

(b). fungsi

iz

zLog

2

4adalah analitik dimana-mana kecuali dititik-titik

2

1 i dan

pada x -4 untuk sumbu real.

14. Tunjukkan dalam dua cara bahwa fungsi ln (x2 + y2) adalah harmonik dalam setiap

domain yang tidak memuat titik asal.

15. Tunjukkan bahwa

221ln

2

11logRe yxz (z1).

Apakah fungsi ini memenuhi persamaan Laplace jika z 1?

28. EKSPONEN KOMPLEKS

Jika z 0 dan eksponen c adalah suatu bilangan kompleks, maka fungsi zc didefinisikan

dengan persamaan

(1) zc = ec log z

dimana log z menyatakan fungsi logaritma bernilai banyak. Persamaan (1) merupakan

definisi dari zc dan ini telah dijelaskan dalam bagian 27 ketika c = n (n = 0, 1, 2, …)

dan c =n

1(n = 0, 1, 2, …). Jadi pendefinisian zc berdasarkan pada pemilihan c

seperti di atas.

Contoh. Pangkat dari z secara umum bernilai banyak, sebagai ilustrasi dapat dituliskan

14exp2

122explog2exp2

niniiii i

dimana n = 0, 1, 2, …. Sebagai catatan dari sifat fungsi eksponensial adalah

z

ze

e

1, demikian juga dua himpunan dari bilangan c

cz

zdan

1adalah sama. Juga

kita dapat menuliskan

101

(2) c

cz

z

1

dan khususnya,

ii2

1= 14exp n (n = 0, 1, 2, …).

Jika z = rei dan suatu bilangan real , cabang

log z = ln r + i (r>0, < < + 2)

dari fungsi logaritma adalah fungsi bernilai tunggal dan analitik dalam domain yang

diberikan. Jika cabang di atas digunakan, maka fungsi zc = exp (c log z) adalah fungsi

bernilai tunggal dan analitik dalam domain yang sama. Turunan dari suatu cabang dari zc

ada dan diperoleh

zccz

zcc

z

czczc

dz

dz

dz

d c log1explogexp

logexplogexplogexp

bentuk terakhir dari penurunan di atas adalah fungsi bernilai tunggal czc-1, jika

didefinisikan pada domain r>0, < < + 2. Jadi

(3) 1 cc czzdz

d παz, αz 2arg0 .

Nilai utama dari zc diperoleh jika log z diganti dengan Log z dalam definisi (1):

(4) zc = ec Log z

Persamaan (4) juga mendefinisikan cabang utama dari fungsi zc pada domain

πArgz,z 0 .

Contoh 2. Nilai utama dari (-i)i adalah

2

exp2

expexp

iiiiLog .

Contoh 3. Cabang utama dari 3

2

z dapat ditulis

3

2exp

3

2ln

3

2exp

3

2exp 3 2 irirLogz .

102

Adalah analitik dalam domain π,r 0 . Juga dapat ditunjukkan secara

langsung dengan menggunakan teorema dalam bagian 19.

Dari definisi (1), fungsi eksponensial dengan basis c, dimana c adalah konstanta

kompleks tak nol, dapat ditulis

(5) cz = ezlogc.

Jika nilai dari log z adalah spesifik, cz adalah fungsi entire dari z. Kenyataannya,

ceedz

dc

dz

d czczz logloglog ;

dan ini menunjukkan bahwa

(6) cccdz

d zz log

29. INVERS DARI FUNGSI TRIGONOMETRI DAN HIPERBOLIK

Invers dari fungsi trigonometri dan hiperbolik dapat dijelaskan dalam bentuk

logaritma.

Untuk mendefinisikan fungsi invers dari sinus sin-1z, kita tulis w = sin-1z dimana

z = sin w. Jadi w = sin-1z, jika

i

eez

iwiw

2

.

Persamaan ini kita rubah dalam bentuk persaman kuadrat eiw, yakni:

(eiw)2 – 2iz (eiw )– 1 = 0.

Penyelesaian eiw dapat dilihat pada latihan 8(a) bagian 7. Dan diperoleh

(1) 2

121 zizeiw ,

dimana 2

121 z adalah fungsi yang mempunyai dua nilai dari z. Jika kedua ruas pada

persamaan (1) dilogaritmakan dan diketahui bahwa w = sin-1z, maka diperoleh

(2)

2

121 1logsin ziziz .

103

Contoh berikut mengilustrasikan bahwa sin-1 z adalah fungsi bernilai banyak dengan

sejumlah tak berhingga nilai untuk setiap titik z.

Contoh. Dari persamaan (2) diketahui bahwa

21logsin 1 ii .

Tetapi

in221ln21log (n = 0, 1, 2, …)

dan

in 1212ln21log (n = 0, 1, 2, …)

Karena

21ln21

1ln12ln

,

maka bilangan,

inn

21ln1 (n = 0, 1, 2, …)

merupakan himpunan nilai dari 21log . Jadi

21ln1sin11

nini (n = 0, 1, 2, …).

Dengan teknik seperti yang digunakan pada persamaan (2) untuk sin-1z, dapat

ditunjukkan bahwa

(3)

2

121 1logcos ziziz

dan juga

(4)zi

ziiz

log

2tan 1

Fungsi cos-1z dan tan-1z adalah juga bernilai banyak. Jika kita amati cabang dari akar

kuadrat dan fungsi logaritma yang digunakan, maka semua tiga fungsi invers di atas

berasal dari fungsi bernilai tunggal dan analitik sebab mereka adalah komposisi dari

fungsi analitik.

104

Turunan dari ketiga fungsi di atas dapat dilihat pada persamaan di bawah ini.

Turunannya tergantung pada dua nilai yang dipilih untuk akar kuadrat:

(5) 2

12

1

1

1sin

zz

dz

d

,

(6) 2

12

1

1

1cos

zz

dz

d

Turunan dari yang terakhir adalah tidak ada, bagaimanapun, tergantung pada cara

bagaiamana membuat fungsi tersebut bernilai tunggal.

Invers dari fungsi hiperbolik dapat diperoleh dengan cara yang serupa dengan

invers fungsi trigonometri, dan diperoleh

(8)

2

1

1logsinh 21 zzz ,

(9)

2

1

1logcosh 21 zzz

dan

(10)

z

zz

1

1log

2

1tanh 1 .

Terakhir, notasi lain untuk fungsi invers adalah arc sinz, arc cos z, dan

seterusnya.

LATIHAN

1. Tunjukkan bahwa jika n = 0, 1, 2, …, maka

a.

2ln

2exp2

4exp1

ini

i

, b. ine 12

1

1

2. Carilah nilai utama dari

a. ii , b. i

ie

3

312

; c. i

i4

1

3. Dengan menggunakan definisi (1) bagian 28 dari zc tunjukkan bahwa

105

2231 2

3

i

4. Tunjukkan bahwa hasil dalam soal nomor 3 dapat ditulis dalam bentuk:

a. 3

2

1

2

3

3131

ii dan yang dicari pertama adalah akar kuadrat dari

i31

b. 2

1

2

3 3

3131

ii dan yang dicari pertama adalah pangkat tiga dari

i31

5. Tunjukkan bahwa nilai utama akar ke-n dari bilangan kompleks tak nol zo yang

didefinisikan pada bagian 7 adalah sama dengan nilai utama dari nz1

0 yang

didefinisikan dalam bagian 28.

6. Tunjukkan bahwa jika z 0 dan a suatu bilangan real, maka aa zzaz lnexp .

7. Misalkan c = a + bi suatu bilangan kompleks, dimana c 0, 1, 2, … dan

diketahui ic adalah fungsi bernilai banyak. Bagaimana cara membatasi konstanta c

agar supaya nilai dari ci adalah semua sama?

8. Misalkan c, d, dan z adalah bilangan-bilangan kompleks, dimana z 0. Buktikan

bahwa jika semua pangkatnya adalah nilai utama, maka

(a). c

cz

z1

(b). (zc)n = zcn (n = 1, 2, …) (c). zczd = zc+d (d). dc

d

c

zz

z

9. Asumsikan bahwa f’(z) ada, carilah rumus turunan untuk zfcdz

d

10. Carilah semua nilai dari :

(a). tan-1(2i) (b). tan-1(1+i) (c). cosh-1(-1) (d). tanh-10.

11. Selesaikan persamaan sin z = 2 untuk z,

a. Dengan menyamakan bagian real dan imajiner kedua bagian.

b. Gunakan persamaan (2) bagian 9, untuk sin-1z.

106

12. Selesaikan persamaan cos z = 2 untuk z.

13. Turunkan rumus (5) bagian 29 untuk turunan dari sin-1z.

14. Turunkan rumus (4) bagian 29 untuk tan-1z

15. Turunkan rumus (7) bagian 29 untuk turunan dari tan-1z

16. Turunkan rumus (9) bagian 29 untuk cosh-1z