turunan derivatif

14. TURUNAN (DERIVATIF)

A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:

1. y = u + v, y’ = u’+ v’

2. y = c·u, y’= c· u’

3. y = u·v, y’= v· u’ + u· v’

4. y = , y’= (v· u’ – u· v’) : v2

5. y = un, y’= n·un – 1 · u’

6. y = sin u, y’= cos u· u’

7. y = cos u, y’= – sin u·u’

8. y = tan u, y’= sec2 u·u’

9. y = cotan u, y’ = – cosec2 u·u’

10. y = sec u, y’ = sec u· tan u·u’

11. y = cosec, u y’ = –cosec u· cotan u·u’

Keterangan:

y' : turunan pertama dari yu’ : turunan pertama dari uv’ : turunan pertama dari vIdentitas trigonometri yang banyak digunakan : 2sin u cos u = sin 2u

SOAL PENYELESAIAN1. UN 2008 PAKET A/B

Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), maka nilai f’(3) = …a. 85b. 101c. 112d. 115e. 125Jawab : a

2. UN 2008 PAKET A/B

Turunan pertama dari y = adalah

y’ = …a. –cos 4x

b.

c.

d. cos 4x

e.

Jawab : d

LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com

SOAL PENYELESAIAN3. UN 2007 PAKET A

Turunan pertama dari f(x) = adalah f’(x) = …

a.

b.

c.

d. –2 cot 3x ·

e. 2 cot 3x ·

Jawab : e

4. UN 2007 PAKET BTurunan dari y = sin3(2x – 4) adalah y’(x) = … a. 3 cos (2x – 4) sin2 (2x – 4)b. 3 sin2 (2x – 4)c. 3 sin (2x – 4) cos2 (2x – 4)d. 6 sin (2x – 4) cos2 (2x – 4)e. 6 cos (2x – 4) sin2 (2x – 4)

Jawab : e

5. UN 2006Turunan pertama fungsi f(x) = sin2(8x – 2) adalah f’(x) = … a. 2 sin (8x – 2)b. 8 sin (8x – 2)c. 2 sin (16x – 4)d. 8 sin (16x – 4)e. 16 sin (16x – 4)

Jawab : d

6. UN 2005Turunan pertama f(x) = cos3x adalah …

a. f'(x) = – cos x sin 2x

b. f'(x) = cos x sin 2x

c. f'(x) = –3 sin x cos xd. f'(x) = 3 sin x cos xe. f'(x) = –3 cos2x

Jawab : b

SOAL PENYELESAIAN7. UN 2004

INFORMASI PENDIDIKANhttp://ibnufajar75.blogspot.com

145


Turunan pertama fungsi f(x) = cos2(3x + 6) adalah f’(x) = … a. –6 sin(6x + 12)b. –3 sin(6x + 12)c. –sin(6x + 12)d. –3 cos(6x + 12)e. –6 cos(6x + 12)

Jawab : b

8. UAN 2003Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 5)cos x adalah f’(x) = …a. 3x sin x + (3x2 – 5) cos xb. 3x cos x + (3x2 – 5) sin xc. –6x sin x – (3x2 – 5) cos xd. 6x cos x + (3x2 – 5) sin xe. 6x cos x – (3x2 – 5) sin x

Jawab :e

9. UAN 2003Turunan pertama dari f(x) = sin2(2x – 3) adalah f’(x) = … a. 2cos(4x – 6)b. 2 sin(4x – 6)c. –2cos(4x – 6)d. –2 sin(4x – 6)e. 4 sin(2x – 3)

Jawab : b

10. EBTANAS 2002

Jika f(x) = , maka f’(2) = …

a. –

b.

c.

d.

e.

Jawab : d

SOAL PENYELESAIAN11. EBTANAS 2002


146


Turunan pertama fungsi y = ,

adalah y’ = …

a.

b.

c.

d. –

e. –

Jawab : c

12. EBTANAS 2002

Jika f(x) = , maka f’(2) = …

a. –

b.

c.

d.

e.

Jawab : d

13. EBTANAS 2002Diketahui f(x) = (1 + sin x)2(1 + cos x)4 dan f’(x) adalah turunan pertama f(x).

nilai f’( ) = …

a. –20b. –16c. –12d. –8e. –4

Jawab : b


147


B. Aplikasi turunan suatu fungsi

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:

1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a)

Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m adalah:y – b = m(x – a)

2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0

3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0

4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2011 PAKET 12/46Suatu perusahaan menghsilkan x produk dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 10x2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah …a. Rp149.000,00b. Rp249.000,00c. Rp391.000,00d. Rp609.000,00e. Rp757.000,00Jawab : c

2. UN 2010 PAKET ADiketahui h adalah garis singgung kurva y = x3 – 4x2 + 2x – 3 pada titik (1, – 4). Titik potong garis h dengan sumbu X adalah …a. (–3, 0)b. (–2, 0)c. (–1, 0)

d. (– , 0)

e. (– , 0)

Jawab: e

3. UN 2010 PAKET ASelembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x dm. ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volum maksimum berturut-turut adalah …a. 10 dm, 7 dm, 1 dmb. 8 dm, 5 dm, 1 dmc. 7 dm, 4 dm, 2 dmd. 7 dm, 4 dm, 1 dme. 6 dm, 3 dm, 1 dm

Jawab: e


148


SOAL PENYELESAIAN4. UN 2010 PAKET B

Garis singgung kurva y = (x2 + 2)2 yang melalui titik (1, 9) memotong sumbu Y di titik …a. (0, 8)b. (0, 4)c. (0, –3)d. (0, –12)e. (0, –21)

Jawab: c

5. UN 2010 PAKET BJarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi

s(t) = . Kecepatan

maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat t = …a. 6 detikb. 4 detikc. 3 detikd. 2 detike. 1 detik

Jawab: b

6. UN 2009 PAKET A/BSebuah bak air tanpa tutup berbentuk tabung. Jumlah luas selimut dan alas bak air adalah 28m2. Volum akan maksimum, jika jari-jari alas sama dengan …

a.

b.

c.

d.

e.

Jawab : d

7. UN 2009 PAKET A/BGaris l menyinggung kurva y = 3 di titik yang berabsis 4. titik potong garis l dengan sumbu X adalah …a. (– 12, 0)b. (– 4, 0)c. (4, 0)d. (–6, 0)e. (12, 0)

Jawab : dSOAL PENYELESAIAN


149


8. UN 2008 PAKET A/BSuatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi h meter setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = 120t – 5t2, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah … metera. 270b. 320c. 670d. 720e. 770

Jawab d

9. UN 2007 PAKET APerhatikan gambar! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum, jika koordinat T adalah …

a.

b.

c.

d.

e.

Jawab : b

10. UN 2006Santo ingin membuat sebuah tabung tertutup dari selembar karton dengan volum 16 dm3. Agar luas permukaan tabung minimal, maka jari-jari lingkaran alasnya adalah …

a. dm

b. dm

c. dm

d. 2 dm

e. 4 dm

Jawab : b

SOAL PENYELESAIAN


150


11. UAN 2003Diketahui kurva dengan persamaan y = x3 + 2ax2 + b. garis y = –9x – 2 menyinggung kurva di titik dengan absis 1. nilai a = … a. –3

b. –

c.

d. 3e. 8Jawab : a

12. EBTANAS 2002Garis singgung yang menyinggung lengkungan y = x3 – 2x + 1 di titik (1, 0), akan memotong garis x = 3 di titik …a. (3,3)b. (3,2)c. (3,1)d. (3, –1)e. (3, –2)Jawab : b

13. EBTANAS 2002Koordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = x3 – 3x + 4 berturut-turut adalah … a. (–1,6)b. (1,2)c. (1,0)d. (–1,0)e. (2,6)Jawab : a

14. EBTANAS 2002Nilai maksimum dari fungsi

f(x) = pada interval

0 x 3 adalah …

a. 9 d. 10

b. 9 e. 10

c. 10 Jawab : e

15. EBTANAS 2002Koordinat titik maksimum dan minimum dari grafik y = x3 + 3x2 + 4 berturut-turut adalah … a. (–2,4) dan (0,3)b. (0,3) dan (–2,4)c. (–2,6) dan (0,5)d. (0,4) dan (–2,8)e. (–2,8) dan (0,4)Jawab : e

KUMPULAN SOAL INDIKATOR 25 UN 2011


151


Menentukan penyelesaian dari soal aplikasi turunan fungsi.1. Diketahui h adalah garis singgung kurva

y = x3 – 4x2 + 2x – 3 pada titik (1, – 4). Titik potong garis h dengan sumbu X adalah …a. (–3, 0) c. (–1, 0) e. (– , 0)

b. (–2, 0) d. (– , 0)

2. Garis l menyinggung kurva y = 3 di titik yang berabsis 4. titik potong garis l dengan sumbu X adalah …a. (– 12, 0) c. (4, 0) e. (12, 0)b. (– 4, 0) d. (–6, 0)

3. Garis singgung yang menyinggung lengkungan y = x3 – 2x + 1 di titik (1, 0), akan memotong garis x = 3 di titik …a. (3,3) c. (3,1) e. (3, –2)b. (3,2) d. (3, –1)

4. Garis singgung kurva y = (x2 + 2)2 yang melalui titik (1, 9) memotong sumbu Y di titik …a. (0, 8) c. (0, –3) e. (0, –21)b. (0, 4) d. (0, –12)

5. Persamaan garis singgung kurva y = 2x3 – 3x2 – 4x + 5 di titik yang berabsis 2 adalah …a. 8x – y + 6 = 0 d. 8x – y + 15 = 0b. 8x – y – 6 = 0 e. 8x – y – 15 = 0c. 8x + y – 15 = 0

6. Fungsi f(x) = . Persamaan garis

singgung yang melalui titik berabsis 1 pada kurva tersebut adalah …a. 5x + 2y + 5 = 0 d. 3x + 2y – 3 = 0b. 5x – 2y – 5 = 0 e. 3x – 2y – 3 = 0c. 5x + 2y – 5 = 0

7. Grafik fungsi f dengan f(x) = x3 – 6x2 + 9x pada interval 0 ≤ x ≤ 2 akan memiliki …a. titik balik minimum di ( 1 , 4 )b. titik belok di titik ( 1 , 4 )c. titik balik maksimum di ( 1 , 4 )d. titik balik minimum di ( 1 , 3 )e. titik balik maksimum di ( 1 , 3 )

8. Diketahui f(x) = x3 + ax2 – 2x + 1 . Fungsi f

mempunyai nilai stasioner pada x = –2 untuk nilai a = …

a. –2 c. e. 4

b. 0 d.

9. Koordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = x3 – 3x + 4 berturut-turut adalah … a. (–1,6) c. (1,0) e. (2,6)b. (1,2) d. (–1,0)

10. Nilai minimum fungsi f(x) = x3 + x2 – 3x + 1,

pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah …

a. –1 c. e. 1

b. d.

11. Fungsi f yang ditentukan oleh f(x) = x3 + 6x2 – 15x turun pada interval …a. –1 < x < 5 d. x < 5 atau x > 1b. –5 ≤ x ≤ 1 e. x ≤ –5 atau x ≥ 3c. –5 < x < 1

12. Fungsi f(x) = turun pada

interval …

a. x < atau x > 2 d. < x < 2

b. x < –2 atau x > 2 e. –1 < x < 4

c. –2 < x <

13. Suatu perusahaan menghsilkan x produk dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 10x2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah …a. Rp149.000,00 d. Rp609.000,00b. Rp249.000,00 e. Rp757.000,00c. Rp391.000,00

14. Luas permukaan balok dengan alas persegi adalah 150 cm2. Agar diperoleh volume balok yang maksimum, panjang alas balok adalah …a. 3 cm c. 6 cm e. 25 cmb. 5 cm d. 15 cm

15. Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x dm. ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volum maksimum berturut-turut adalah …a. 10 dm, 7 dm, 1 dmb. 8 dm, 5 dm, 1 dmc. 7 dm, 4 dm, 2 dmd. 7 dm, 4 dm, 1 dme. 6 dm, 3 dm, 1 dm

16. Sebuah bak air tanpa tutup berbentuk tabung. Jumlah luas selimut dan alas bak air adalah 28m2. Volum akan maksimum, jika jari-jari alas sama dengan …a. d.

b. e.


152


c. 17. Santo ingin membuat sebuah tabung tertutup

dari selembar karton dengan volum 16 dm3. Agar luas permukaan tabung minimal, maka jari-jari lingkaran alasnya adalah … dm

a. c. e. 4

b. d. 2

18. Persegi panjang dengan keliling (2x + 24) dan lebar (8 – x)cm. Agar luasnya maksimum, maka panjangnya = … cma. 4 c. 10 e. 13b. 8 d. 12

19. Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi h meter setelah t detik dirumuskan dengan h(t) = 120t – 5t2, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah … metera. 270 c. 670 e. 770b. 320 d. 720

20. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan Vo m/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi

h(t) = 5 + 20t – t2. Tinggi maksimum yang

dapat dicapai peluru tersebut adalah … ma. 75 c. 145 e. 185b. 85 d. 160

21. Sebuah benda diluncurkan ke bawah suatu permukaan yang miring dengan persamaan gerak S = t3 – 6t2 + 12t + 1. Waktu yang dibutuhkan agar percepatan benda = 48 m/s2

adalah … sekona. 6 c. 10 e. 20b. 8 d. 12

22. Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus dengan panjang lintasan 5 meter selama t detik ditentukan dengan rumus S = t3 – 3t.

Percepatannya pada saat kecepatan = 0 adalah …… m/s2

a. 1 c. 6 e. 18b. 2 d. 12

23. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi s(t) = . Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat t = … detika. 6 c. 3 e. 1b. 4 d. 2

24. Perhatikan gambar! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum, jika koordinat T adalah …

a. c. e.

b. d.

25. Luas maksimum persegipanjang OABC pada gambar adalah … satuan luas

a. 4 c. 5 e. 6

b. 5 d. 6


AX

B(x, y)

O

C

Y

2x + y = 6

153

turunan derivatif

Education

Transcript of turunan derivatif