TURUNAN DAN INTEGRAL KEL.8

8/7/2019 TURUNAN DAN INTEGRAL KEL.8

http://slidepdf.com/reader/full/turunan-dan-integral-kel8 1/18

1

TURUNAN DAN INTEGRAL

Disusun oleh :

Wiri Pamungkas (G01110102)

Tri Wibowo (G01110108)

Karina (G01110106)

Dwi Yoga Budi P (G01110104)

Ely Suseri (G01110110)

Florentinus Atian (G01110112)

Sri Utami (G 01110114)

FAKULTAS KEHUTANAN

UNIVERSITAS TANJUNGPURA

2010



2

Kata pengantar

Segala puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah memberikan

rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini tepat waktu.

Makalah ini merupakan tugas yang diberikan oleh dosen mata kuliah matematika.

Makalah ini disusun dengan pemahaman konsep dasar dan keterampilan

menyelesaikan soal-soal hitung yaitu turunan dan integral. Contoh soal kami ambil dari

EBTANAS dan buku referensi lainnya. Latihan soal ini memberikan kesempatan bagi

kami dan pembaca untuk menguji pemahaman terhadap konsep yang telah dipelajari.

Dalam melakukan dan mengerjakan soal ini selalulah antusias dan memiliki prinsip ³

jika saya mau saya pasti bisa´.

Akhirnya kmi mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu dalam menyelesaikan makalah ini. Mudah-mudahan semua amal bakti dan

kebaikan mendapat balasan dari Tuhan Yang Maha Esa. Kami mengharapkan kritik

dan saran yang bersifat membangun dari semua pihak demi kesempurnaan tulisan ini.

Semoga makalah ini bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan terutama bagi

kami.



3

Daftar isi

Kata pengantar ........................................................................................................... i

Daftar isi ..................................................................................................................... ii

Bab I Pendahuluan .................................................................................................... 1

Bab II Pembahasan .................................................................................................... 2

1. Deferensial / Turunan ...................................................................................... 2

a. Rumus yang digunakan

untuk mencari turunan fungsi ..................................................................... 2

b. Rumus turunan fungsi ................................................................................ 2

c. Rumus garis singgung

Dan pembahasan naik / turun fungsi .......................................................... 2

d. Rumus maksimum dan minimum ............................................................... 3

2. Integrasi / Integral ............................................................................................ 3

a. Penyelesaian umum dari turunan-turunan

yang berbenuk a xn ..................................................................................... 3

b. Rumus Integral-integral standar ................................................................. 3

c. Integral-integral tertentu ............................................................................. 4

d. Rumus Integral parsial ................................................................................ 4

Contoh soal pembahasan ........................................................................... 5

Bab III Penutup ......................................................................................................... 14

a. Kesimpulan ......................................................................................................... 14

Daftar pustaka .......................................................................................................... 15



4

BAB I

Pendahuluan

Proses integrasi adalah kebalikan dari proses deferensiasi. Pada deferensiasi

jika f (x) = 2x2 maka f¶ (x) = 4x. jadi integral dari 4x adalah 2x2, dengan kata lain

integrasi adalah proses pengubah f¶ (x) menjadi f (x) dengan cara yang sama, integral

dari 2t adalah t2.

Integrasi adalah suatu penjumlahan atau penambahan seluruh bagian dari huruf

S yang diperpanjang, dilambangkan dengan kita gunakan untuk mengganti kata

integral, sehingga dari contoh diatas. ( 4x = 2x2 dan f¶ 2t adalah t2)

Dalam diferensiasi koefisien diferensiasi dy/dx menunjukan dalam suatu fungsi x

dideferensiasi x, dimana dx menunjukan bahwa diferensiasi terhadap x¶ dalam integrasi,

variabel integrasi ditunjukan dengan menambahkan d (variabelnya) setelah fungsi yang

di integrasi.

Jadi 4x dx berarti integral dari 4x terhadap x1 dan f¶ 2t berarti ³integral dari 2t

terhadap t´

Sebagaimana dinyatakan diatas, koofisien diferensial dari 2x2 adalah 4x

sehingga 4x dy = 2x2 namun koefisien diferensial dari 2x2 + 7 juga 4x sehingga 4x

juga sama dengan 2x2 + 7. Untuk memungkinkan hadirnya konstanta, setiap kali

dilakukan proses integrasi, sebuah konstanta µc¶ ditambahkan kedalam hasil.

Jadi 4x dx = 2x2 + c dan 2t dx = t2 + c

µc¶ disebut konstanta sembarang dari integrasi.



5

BAB II

PEMBAHASAN

1. Diferensial / Turunan

Turunan dari f(x) adalah f¶(x) = ��

Turunan sering digunakan untuk mencari :

a. Turunan fungsi

b. Garis singgung

c. Naik / turun fungsi

d. Maksimum dan minimum

a. Rumus yang sering digunakan untuk mencari turunan fungsi :

1. y = c y¶ = o

2. y = xn y¶ = nxn-1

3. y = sin x y¶ = cos x

4. y = cos x y¶ = -sin x

5. y = u · v y¶ = u¶v + v¶u

6. y =

y¶ =

7. sin 2x = 2 sin x · cos x

8. cos 2x = cos2 x ± sin2 x

b. Rumus untuk mencari garis singgung :

y ± y1 = m (x ± x1)

c. Rumus untuk mencari naik / turun fungsi :

Jika f¶(x) > 0 untuk setiap x dalam (a,b), maka f adalah fungsi naik pada (a,b).

Jika f¶(x) < 0 untuk setiap x dalam (a,b), maka f adalah fungsi turun pada (a,b).

Jika f¶(x) = 0 untuk setiap x dalam (a,b), maka f adalah fungsi konstan pada (a,b).

*Suatu fungsi f disebut naik pada suatu interval jika untuk setiap nilai x1 dan x2

pada interval itu, jika x1 < x2 maka f(x1) < f(x2).



6

*Suatu fungsi f disebut turun pada suatu interval jika untuk setiap nilai x1 dan x2

pada interval itu, jika x1 < x2 maka f(x1) > f(x2).

d. Maksimum dan minimum :

Artinya f¶(x) = 0

*Misal f(a) adalah nilai maksimum f pada I jika f(a) � f(x) untuk semua x I.

*Misal f(a) adalah nilai minimum f pada I jika f(a) � f(x) untuk semua x I.

Masalah maksimum dan minimum jika fungsinya diketahui :

- Tentukan nilai-nilai stasioner f(x) dan jenisnya jika ada

- Tentukan nilai-nilai f(x) pada ujung-ujung interval jika interval devinisi fungsi

ada

-Ambil nilai terbesar dari (1) dan (2) sebagai nilai maksimum fungsi dan nilai

terkecil sebagai nilai minimum fungsi.

*Masalah maksimum dan minimum jika fungsinya tidak diketahui :

- Rumuskan fungsi dari berbagai informasi yang diberikan

- Rumus fungsi yang dibuat harus mengandung kuantitas yang akan

dimaksimumkan atau diminimumkan dalam bentuk satu variabel saja

2. INTEGRASI/INTEGRAL

a. Penyelesaian umum dari integral-integral yang ber bentuk axn

Rumus dx =

+ c

b. Rumus Integral ± integral standar

(i) n dx =

+ c (kecuali n = - 1)

(ii) ax dx = sin ax + c

(iii) ax dx = - cos ax + c

(iv) 4x dt = - e4x + c

(v) dx = In x + c



7

c. Integral ± Integral Tertentu

Integral tertentu adalah integral yang batas ± batasnya diketahui. Jika suatu

pernyataan ditulis [x] µb¶ disebut batas atas dan µa¶ disebut batas bawah.

Operasi yang menggunakan batas ± batas didefinisikan sebagai ;

[x] = (b) ± (a)

d. Rumus Integral Parsial

dv = uv ± v du



CONTOH SOAL PEMBAHASAN

a. Contoh pembahasan turunan fungsi :

1. y = x4 ± x3 ± 5 untuk x = 5

Jawab ?

y¶ = 4x3 ± 3x2

y¶(5) = 4(5)3 ± 3(5)2

= 4(125) ± 75

= 425

2. Jika diketahui f(x) = 5x2 + x ± 7 hitunglah :

a. f(2) : f(1)

b. f(3 + a)

c. f(3 + a0 ± f(3)

d. f

Jawab ?

f(x) = 5x2 + x ± 7

a. f(2) = 5(2)2

+ (2) ± 7 = 15

f(1) = 5(1)2 + (1) ± 7= -1

f(2) : f(1) =

= 15

b. f(3 + a) = 5(3 + a)2 + (3 + a) ± 7

= 5(9 + 6a + a2) + (3 + a) ± 7

= 45 + 30a + 5a2 + 3 + a - 7

= 41 + 31a + 5a2

c. f(3) = 5(3)2 + (3) ± 7 = 41

f(3 + a) ± f(3) = (41 + 31a + 5a2) ± (41)

= 31a + 5a2

d. f

=

= 31 + 5a



9

b. Contoh pembahasan garis singgung :

1. Persamaan garis lurus yang menyinggung grafik f(x) = 2x3 + 3x2 + x dititik

(-1,0) adalah .. . .

Jawab ?

Diket x1,y1 = -1,0

Mencari gradient. . . f(x) = 2x3 = 3x2 + x

f¶(x) = 6x2 + 6x +1

m = f¶(-1) = 6 · (-1)2 + 6 · (-1) + 1 = 1

Masukkan rumus y ± y1 = m (x ± x1)

y ± 0 = 1 (x + 1)

y = x + 1

2. Persamaan garis singgung grafik y = x2 ± 4x + 3 yang sejajar dengan garis y

= 2x + 3 adalah . . . .

Jawab ?

Diket y = 2x + 3, maka m1 = 2

Sejajar m1 = m2 = 2

Cari titik (x1,y1) ?

m2¶ = f¶(x1)

2 = 2 x1 ± 4

x1 = 3 y1 = 0

Masukkan rumus y ± y1 = m (x ± x1)

y ± 0 = 2 (x ± 3)

y = 2x ± 6

y = 2x + 6 = 0



10

c. Contoh pembahasan naik / turun fungsi

1. Grafik dari fungsi f(x) = x3 ± 3x2 + 5 turun untuk

Turun f¶(x) = < 0

3x2 + 6x < 0

3x (x + 2) < 0

x1 = 0 x2 = -2

- - +

-2 0

d. Contoh pembahasan maksimum dan minimum

1. Keuntungan (k) perminggu dalam ribuan rupiah, dari suatu perusahaan kecil

pengekspor mebel berhubungan dengan banyak pekerja, n, dan dinyatakan

dengan rumus k(n) = - n3 + 90n + 1000

Tentukan

a. Banyak pekerja yang dibutuhkan sehingga perusahaan mendapat

keuntungan maksimum perminggu

b. Keuntungan maksimum perminggu

Jawab ?

a. � k(n) = - n3 + 90n + 1000

k¶(n) = - n2 + 90n

k´(n) = - n

dari soal dapat kita nalar bahwa jumlah pekerja (n) harus lebih banyak

dari nol, n � 0



11

� menentukan titik stasioner, k¶ = 0

- n2 + 90 = 0

n2 = 90 -

= 81

n = 9

� k´(9) = - · 9

= -20 < 0 k(n) maksimum jika n = 9

Jadi banyak pekerja yang dibutuhkan sehingga keuntungan maksimum

adalah 9 orang

b. k(9) = -

· 93 + 90 · 9 + 1000

= 1540

Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 1.540.000 perminggu

2. Jarak suatu partikel yang sedang bergerak dihitung, dan titik 0 (0,0) setiap

saat t, dapat ditentukan oleh rumus x(t) =t

3 ± 5t2 + 16t + 22, 0 � t � 9

Tentukan jarak max dan min partikel dan titik 0

Jawab ?

� x(t) =t

3

± 5t2

+ 16t + 22

x¶(t) = t2 ± 10t + 16

= (t ± 8) (t ± 2)

x´(t) = 2t ± 10

� Titik stasioner

x¶(t) = 0

(t ± 8) (t - 2) = 0

t = 8 atau t = 2



12

x´(2) = 2 · 2 ± 10

= -6 < 0 x(t) maksimum pada saat t = 2

x´(8) = 2 · 8 ± 10

= 6 > 0 x(t) minimum pada saat t = 8

Jarak maksimum adalah x(t = 2) = · 23 ± 5 · 22 + 16 · 2 +22 = 36

Jarak minimal adalah x(t = 8) = · 83 ± 5 · 82 + 16 · 8 + 22 =

3. Jumlah dua angka adalah 8. Tentukan kedua angka tersebut sehingga jumlah

kuadratnya paling minimum !

Jawab ?

Misalkan bilangan itu x dan y, x + y = 8 y = 8 ± x

Jumlah kuadrat k = x2 + y2

Kalau diminimumkan dalam satu variabel saja.

k(x,y) = x2 + y2

k(x) = x2 + (8 ± x)2

= x2 + 64 ± 16x + x(8 ± x)2

k(x) = 2x ± 16x + 64

k¶(x) = 4x ± 16

k´(x) = 4

� menentukan titik stasioner dengan uji turunan pertama

k´(x) = 0

4 ± 16 = 0

x = 0

� menentukan titik stasioner dengan uji turunan keduak´(4) = 4 > 0

titik dengan x = 4 adalah titik minimum

� jika x = 4 maka y = 8 ± 4 = 4

Dua angka yang apabila dijumlahkan 8 dan jumlah kuadratnya paling

minimum adalah 4 dan 4



13

2. INTEGRASI/INTEGRAL

a. Penyelesaian umum dari integral-integral yang ber bentuk axn

Rumus dx =

+ c

b. Integral ± integral standar

Contoh soal pembahasan

1. �� =

+ c

=

+ c

2.

dt dx =

+ c

=

+ c

= t4 + c

3.

dx =

=

= x4 + c

Rumus

a. n dx =

+ c (kecuali n = - 1)

b. ax dx = sin ax + c

c. ax dx = - cos ax + c

d. 4x dt = - e4x + c

e.

dx = In x + c



14

Contoh Soal

1. cos 3x dx = 5 3x + c

= 5 ( sin 3x ) + c

= sin 3x + c

2. 2x dx = 3 2x dx

= (3) (- cos 2x ) + c

= - cos 2x +c

3. e3x dx = 5 3x dx = 5 [ e3x] + c

=

e3x + c

4. dx = ) (

) dx

=

) dx

= In x + c

c. Integral ± Integral Tertentu

Integral tertentu adalah integral yang batas ± batasnya diketahui. Jika suatu

pernyataan ditulis [x]

µb¶ disebut batas atas dan µa¶ disebut batas bawah.

Operasi yang menggunakan batas ± batas didefinisikan sebagai ;

[x] = (b) ± (a)

Peningkatan nilai dari integral x2 ketika x meninggalkan 1 hingga 3 ditulis

sebagai

2 dx = [

+ c] = (

+ c ) (

+ c )

= ( 9 + c ) (

+ c ) = 8

Contoh soal

1. dx = [

]

= [ (2)2 ] ± [

(1)2 ]

= 6 ± 1 = 4

atau 4,5



15

2. 4 ± x2 ) dx = [ 4x -

]

= [ 4 (x) ±

] ± [ 4 ( - 2 ) ±

]

= [ 12 ± 9 ] ± [ -8 -

]

= [ 3 ] ± [ - 5 ] = 8

atau 8,33

d. Integral Parsial

Rumus

dv = uv ± v du

Contoh soal

1. (2x ± 1)3 dx

u = 4x du = 4 dx

dv = (2x ± 1)3 dx

v = 3 dx

= 4

= 4 + c

(2x ± 1)3 = 4x � (2x ± 1)4 -

(2x ± 1)4 � 4dx

= x (2x ± 1)4 - �

(2x ± 1)5 � 4dx

= x (2x ± 1)4 - (2x ± 1)5 � 4

= x (2x ± 1)4 - (2x ± 1)5 + c

= x (2x ± 1)4 - (2x ± 1)5 + c



16

2. ��

Misal = u = 2x, maka du = dx

dv = sin x dx, maka v = �� = cos x

��

= -2 cos x + 2 sin x + c

3. ��

Misal = u = x, maka du = dx

dv = cos x dx, maka v = �� = sin x

��

= x sin x ± cos x + c



17

BAB III

Penutup

a. Kesimpulan

Diferensiasi dan integrasi merupakan suatu bilangan yang cara

penyelesaiannya hampir sama yaitu bilangannya sama-sama diturunka.

Diferensiasi merupakan kebalikan dari integrasi jika diferensiasi, f (x) =2x2 maka f¶

(x) = 4x jadi integral dari 4x adalah 2x2.

Diferensiasi digunakan pada perhitungan yang melibatkan laju perubahan

seperti kecepatan dan percepatan dan nilai maksimum serta minimum dari kurva.

Sedangkan integrasi adalah proses penjumlahan atau penambahan seluruh bagian

dan huruf s yang diperpanjang dilambangkan dengan

Makalah ini tentunya masih banyak kekurangan, untuk itu kepada pembaca tidak

hanya terpaku pada makalah ini dan saran kami kepada semua pembaca untuk

mencari tahu lebih lanjut tentang isi makalah ini serta lebih giat lagi mengerjakan

contoh-contoh soal yang variasinya berbeda. Makalah ini merupakan sedikit

gambaran tentang pengetahuan diferensiasi dan integrasi semoga dengan adanya

makalah ini dapat memotivasi agar belajar lebih giat dan aktif.



18

Daftar Pustaka

Bird, John, 2004. Matematika Dasar Teori dan Aplikasi Praktis Edisi Ketiga, Jakarta;

Penerbit Erlangga.

Departemen Pendidikan Nasional, Soal-soal Ujian Nasioanal SMA ±IPA Tahun 2006 -

2010

TURUNAN DAN INTEGRAL KEL.8

Documents

Transcript of TURUNAN DAN INTEGRAL KEL.8